harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
I \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = W \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
R ( E , M ) \equiv \frac { d ^ { 2 } N } { d t d E } = \frac { 1 } { 2 \pi \hbar } \times \frac { \Gamma _ { s } ( E , M ) } { e ^ { \frac { 8 \pi G M E } { \hbar c ^ { 3 } } } - ( - 1 ) ^ { 2 s } } ,
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
1 - e = 1 0 ^ { - 1 } , \, 1 0 ^ { - 2 } , \, 1 0 ^ { - 3 } , \, 1 0 ^ { - 4 } , \, 1 0 ^ { - 5 } , \, 1 0 ^ { - 6 } , \, 1 0 ^ { - 7 }
L _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \, \, \, L _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\frac { 1 } { ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { 2 } } \rightarrow \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { ( z _ { 1 } - z _ { 2 } + \imath 0 ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { ( z _ { 1 } - z _ { 2 } - \imath 0 ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { { \bar { \phi } _ { a b } ( z ) : = } } & { { ( \bar { \phi } _ { a b } ^ { ( 0 ) } ( z ) , \cdots , \bar { \phi } _ { a b } ^ { ( n - 1 ) } ( z ) ) , } } \\ { { \bar { \phi } _ { a a + \bar { \epsilon } _ { j } } ^ { ( i ) } ( z ) : = } } & { { ( \tilde { \Phi } ( z ) ) _ { j } ^ { i } / C h ( z - ( n - 1 ) / 2 ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \cdot - \left( \boldsymbol { s } _ { j , k } + \boldsymbol { t } _ { p , q } \right) ) \right\vert - \left\vert \tilde { I } _ { 0 , 0 } ^ { m } ( \cdot - \left( \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } + \boldsymbol { t } _ { 0 , 0 } \right) ) \right\vert \right\| _ { { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } = \left\| \tilde { \mathcal { E } } _ { p , q } \right\| _ { { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } } \\ & { \qquad \leq 2 \pi \left\| \mathcal { F } ( I ) \right\| _ { L ^ { 1 } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } \left( \left\| \eta _ { j , k } \right\| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } + \left\| \eta _ { 0 , 0 } \right\| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { 0 , 0 } ) } + \left\| \zeta _ { p , q } - \zeta _ { 0 , 0 } \right\| _ { L ^ { \infty } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } \right) } \\ & { \qquad \qquad + \left\| \gamma _ { p , q } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } + \left\| \gamma _ { 0 , 0 } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ T _ { k } ] } & { \leq { \tilde { \cal O } } \left( \frac { 1 } { \delta } + \frac { 1 } { \delta _ { 1 } } + \frac { \sqrt { ( 1 - \delta ) ( L _ { f } + \lambda + \kappa ) ( { \bar { L } } + \lambda + \kappa ) } } { \delta ( \lambda + \kappa ) } + \frac { L _ { f } } { \lambda + \kappa } + \frac { L } { n ( \lambda + \kappa ) } + \frac { \sqrt { ( 1 - \delta ) ( L _ { f } + \lambda + \kappa ) ( L + \lambda + \kappa ) } } { \sqrt { \delta } ( \lambda + \kappa ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \theta } = \frac { p _ { \theta } } { I _ { 1 } } , \qquad \dot { p } _ { \theta } = - \frac { m _ { 3 } ^ { 2 } } { I _ { 1 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 3 } \theta } ; } \\ { \dot { \varphi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \frac { 1 - \cos \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \dot { \psi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } - \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) \cos \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - t _ { i j \dots } ^ { a b \dots } ( \tau + \Delta \tau ) } & { = } & { t _ { i j \dots } ^ { a b \dots } ( \tau ) + \frac { i } { 2 } \Delta \tau ( \langle \Phi _ { i j \dots } ^ { a b \dots } | \bar { H } _ { N } ( \tau ) | \Phi \rangle } \\ & { } & { + \langle \Phi _ { i j \dots } ^ { a b \dots } | \bar { H } _ { N } ( \tau + \Delta \tau ) | \Phi \rangle ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } & { = f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) + f ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 1 } ) } \\ { \hat { P } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) } & { = f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) + f ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 2 } ) } \\ & { + f ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 1 } , \omega _ { 3 } ) + f ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 1 } ) } \\ & { + f ( \omega _ { 3 } , \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) + f ( \omega _ { 3 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathtt { L } ^ { - } ( \mathbf { r } , t ) : = \{ ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) : t ^ { \prime } \leq t , | | \mathbf { r } ^ { \prime } - \mathbf { r } | | \leq c ( t ^ { \prime } - t ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } , \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \cos ( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } ) { \bf 1 } - i \sin ( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } ) \left( \begin{array} { c c } { \cos ( { \it \Delta \phi } ) } & { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } \\ { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } & { - \cos ( { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) \right) , } \end{array}
\gamma _ { 5 } \; = \; \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { { \mathbf 1 } _ { 2 \times 2 } } } \\ { { { \mathbf 1 } _ { 2 \times 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; ,
Q ( W | A ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { e ^ { - H ( W ) } } { \int _ { W _ { A } } e ^ { - H ( W ) } d W _ { A } } \quad } & { W \in W _ { A } } \\ { 0 } & { W \notin W _ { A } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { v _ { S } } \\ { i _ { S } } \end{array} \right] = \prod _ { k } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { j \omega \mu _ { 0 } d _ { k } } \\ { \sigma _ { k } ( \omega ) d _ { k } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { v _ { 0 } } \\ { i _ { 0 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( L ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mu + s { \Bigl [ } { \frac { ( 1 - \alpha ) ^ { - \xi } } { 1 - \xi } } + { \frac { ( 1 - \alpha ) ^ { - \xi } - 1 } { \xi } } { \Bigr ] } } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi \neq 0 , } \\ { \mu + s [ 1 - \ln ( 1 - \alpha ) ] } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi = 0 , } \end{array} \right. }
e _ { \mu } ^ { A } = \left( \frac { 1 } { f } \left( \dot { a } + \sqrt { \dot { a } ^ { 2 } + f } \right) \delta _ { v } ^ { A } + \dot { a } \delta _ { r } ^ { A } \right) \delta _ { \mu \tau } + \delta _ { \mu } ^ { A } ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { y y } ( \Omega ) \right\} } } & { = } & { - \frac { 4 \hbar v _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } { g \Omega } \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \, \left\{ f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] - \hbar \Omega \right) \right\} } \\ & { \times } & { J ( K , \phi ) \sin { ( \phi ) } \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] \left\{ K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] - \hbar \Omega \right\} \frac { \delta \left( ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) K - \hbar \Omega \right) } { \eta _ { 1 } \eta _ { 2 } } . } \end{array}
\Psi _ { S = 0 , \, M _ { S } = 0 } = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left( \mathrm { d e t } | \phi _ { H } \alpha , \phi _ { H } \beta | - \mathrm { d e t } | \phi _ { L } \alpha , \phi _ { L } \beta | \right)
b ( z , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { N _ { \mathrm { s u r f } } ^ { 2 } \, z } & { \quad \mathrm { f o r } \, \, z > - 4 8 \, \textrm { m } } \\ { N _ { \mathrm { m i d } } ^ { 2 } \, z } & { \quad \mathrm { f o r } \, \, - 7 2 \, \textrm { m } > z > - 4 8 \, \textrm { m } } \\ { N _ { \mathrm { d e e p } } ^ { 2 } \, z } & { \quad \mathrm { f o r } \, \, z < - 7 2 \, \textrm { m } } \end{array} \right.
\bar { p } _ { I } \to { \frac { 3 \bar { p } _ { I } + \bar { s } } { 3 + \bar { s } } } \ \ \forall \ I < 8 \quad , \quad \bar { p } _ { I } \to { \frac { 3 \bar { p } _ { I } - 2 \bar { s } } { 3 + \bar { s } } } \ \ \forall \ I \geq 8
\bigl \| \tilde { \theta } _ { 0 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } = \bigl \| \theta _ { 0 } \bigr \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } - 2 \int _ { 0 } ^ { \alpha ^ { 2 } L _ { \theta _ { 0 } } ^ { 2 } } \int _ { \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } } \bigl | ( \theta _ { 0 } \ast \nabla \Phi ( s , \cdot ) ) ( x ) \bigr | ^ { 2 } \, d x \, d t \, .
\left( \cos \alpha ^ { ( n ) } L _ { i j , i } - \sin \alpha ^ { ( n ) } \kappa _ { i } ^ { ( n ) } L _ { i j } \right) \sigma _ { j } ^ { ( n ) } = \tilde { \kappa } _ { j } ^ { ( n ) } \sigma _ { j } ^ { ( n ) } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d { \sigma } _ { n l } ( N ) } { d \Omega } } & { { } \simeq } & { \frac { k _ { f } ( N ) } { k _ { i } } \frac { 1 } { 2 q ^ { 4 } } \left\{ 8 J _ { N } ^ { 2 } ( X _ { q } ) \; { \cal A } _ { n l } ( q ) + \left( \frac { { \cal E } _ { 0 } } { \omega } \right) ^ { 2 } | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot { \hat { \mathbf { q } } } | ^ { 2 } { \cal D } _ { n l } ( \omega , q ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( x , y ) } & { { } \approx \mathcal { N } \int \mathrm { d } y ^ { \prime } \, \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( 0 , y ^ { \prime } ) \mathrm { ~ U ~ } _ { \mathrm { ~ H ~ } } \left( \sqrt [ 3 ] { 3 } \frac { x - L _ { c } } { \delta _ { a } } , \frac { ( y - y ^ { \prime } ) \cos \theta - 2 L _ { c } \sin ^ { 3 } \theta } { \sqrt [ 6 ] { 3 } \, \delta _ { a } \cos \theta } , - \frac { \lambda L _ { c } } { 2 \pi \sqrt [ 3 ] { 3 } \, \delta _ { a } ^ { 2 } } \frac { \cos 2 \theta } { \cos \theta } \right) , } \end{array}
\mathcal { I } _ { \mathrm { ~ N ~ } } : \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( B ) \leftrightarrow \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( A )
w _ { \hat { \mathbf { n } } } ^ { 2 } = \sum _ { \mathbf { a } } \left( \mathbf { a } \cdot \hat { \mathbf { n } } \right) ^ { 2 } n _ { \mathbf { a } } \rightarrow ( w _ { \hat { \mathbf { x } } } , w _ { \hat { \mathbf { y } } } , w _ { \hat { \mathbf { z } } } ) = ( 3 . 9 ~ \mu \mathrm { m } , 3 . 8 ~ \mu \mathrm { m } , 2 . 1 ~ \mu \mathrm { m } ) ~ .
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } F ( { \boldsymbol x } ) _ { i } \geq \| { \boldsymbol x } \| _ { p + 1 } ^ { p + 1 } - \| { \boldsymbol x } \| _ { p + 1 } \| \boldsymbol { u } \| _ { \frac { p + 1 } { p } } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { \Omega } } { \partial t } } & { { } = \frac { \nabla \rho \times \nabla p } { \rho ^ { 2 } } + \frac { \mu \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { \Omega } } { \rho R e _ { a c } } + \frac { \mu } { R e _ { a c } } \frac { \nabla \rho \times [ \nabla \times \boldsymbol { \Omega } ] } { \rho ^ { 2 } } } \end{array}
\partial _ { t } { \bf u } + { \bf u } \cdot { \boldsymbol \partial } { \bf u } = - { \boldsymbol \partial } p / { \rho _ { \mathrm { f } } } + \nu \partial ^ { 2 } { \bf u } + { \bf f } _ { \mathrm { f s } } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; { \boldsymbol \partial } \cdot { \bf u } = 0 ,
\begin{array} { r } { Z [ \beta , J _ { \alpha } ] = \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \: \exp \left( - \beta \left[ \frac { 1 } { 2 } \chi ^ { 2 } ( y | \theta ) + \phi ( \theta ) \right] \right) \exp \left( \beta J _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } \right) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathcal { L } ( y | \theta ) \propto \exp \left( - \frac { \chi ^ { 2 } ( y | \theta ) } { 2 } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \pi ( \theta ) \propto \exp ( - \phi ( \theta ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla ^ { 2 } u ( \boldsymbol { x } ) } & { = 0 } & { i n \quad \Omega , } \\ { \frac { \partial u ( \boldsymbol { x } ) } { \partial \boldsymbol { n } } } & { = 0 } & { i n \quad \Gamma , } \\ { \nabla u ( \boldsymbol { x } ) } & { = \boldsymbol { v } _ { 0 } } & { w h e n \quad \boldsymbol { x } \rightarrow \infty , } \end{array}
{ \scriptstyle { \begin{array} { l } { { \mathrm { M o h o r o v i č i ć ~ ( 1 9 2 2 ) : } } } \\ { g _ { 1 1 } = g _ { 4 4 } = V ^ { 2 } , \ V V ^ { \prime \prime } - V ^ { 2 } = 0 , \ V \left( x _ { 1 } \right) = e ^ { a x _ { 1 } } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { d s ^ { 2 } = e ^ { 2 a } \left( - d x _ { 4 } ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } \right) + d x _ { 2 } ^ { 2 } + d x _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { { \mathrm { c o r r e c t e d ~ b y ~ B o l l e r t ~ ( 1 9 2 2 b ) : } } } \\ { d s ^ { 2 } = e ^ { 2 a x } \left( - d x _ { 4 } ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } \right) + d x _ { 2 } ^ { 2 } + d x _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { { \mathrm { f i n a l ~ c o r r e c t i o n ~ b y ~ M o h o r o v i č i ć ~ ( 1 9 2 3 ) : } } } \\ { d s ^ { 2 } = e ^ { 2 a x _ { 1 } } \left( - d x _ { 4 } ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } \right) + d x _ { 2 } ^ { 2 } + d x _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { i } ^ { l \alpha } } & { { } = \left( \mathbf { h } _ { i } ^ { l \alpha } , \mathbf { g } ^ { l \uparrow } , \mathbf { g } ^ { l \downarrow } , \mathbf { g } _ { i } ^ { l \alpha \uparrow } , \mathbf { g } _ { i } ^ { l \alpha \downarrow } \right) , } \\ { \mathbf { g } ^ { l \uparrow } } & { { } = \frac { 1 } { N ^ { \uparrow } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \uparrow } } \mathbf { h } _ { j } ^ { l \uparrow } , \quad \mathbf { g } ^ { l \downarrow } = \frac { 1 } { N ^ { \downarrow } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \downarrow } } \mathbf { h } _ { j } ^ { l \downarrow } , } \\ { \mathbf { g } _ { i } ^ { l \alpha \uparrow } } & { { } = \frac { 1 } { N ^ { \uparrow } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \uparrow } } \mathbf { h } _ { i j } ^ { l \alpha \uparrow } , \quad \mathbf { g } _ { i } ^ { l \alpha \downarrow } = \frac { 1 } { N ^ { \downarrow } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \downarrow } } \mathbf { h } _ { i j } ^ { l \alpha \downarrow } . } \end{array}
\widetilde { \mathbf { u } } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { o u t } } \gets \frac { 1 } { 1 - \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } } \left[ \mathbf { f } _ { q } ^ { \mathrm { o u t } } \left( \widetilde { \mathbf { q } } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , \widetilde { \mathbf { q } } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , \mathbf { w } _ { q } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } , \gamma _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } \right) - \alpha _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } \widetilde { \mathbf { q } } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } \right] .
\begin{array} { r } { \| F ^ { \prime } ( { x } _ { 0 } ) ^ { - 1 } ( F ^ { \prime } ( { x } ) - F ^ { \prime } ( { y } ) ) \| \le K \| { x } - { y } \| , ~ ~ { x } , { y } \in \mathcal { D } , } \\ { \| F ^ { \prime } ( { x } _ { 0 } ) ^ { - 1 } F ( { x } _ { 0 } ) \| \le \eta , ~ ~ h = K \eta \le 1 / 2 , } \\ { \bar { S } ( { x } _ { 0 } , t ^ { * } ) \subseteq \mathcal { D } , ~ ~ t ^ { * } = 2 \eta / ( 1 + \sqrt { 1 - 2 h } ) . } \end{array}
\tilde { \chi } ( m , \bar { m } ; \tau _ { 2 } ) = \int \int _ { F } \frac { d ^ { 2 } m ^ { \prime } } { ( m _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \ll m , \bar { m } ; \tau _ { 2 } | m ^ { \prime } , \bar { m ^ { \prime } } ; \tau _ { 1 } \gg \tilde { \chi } ( m ^ { \prime } , \bar { m ^ { \prime } } ; \tau _ { 1 } ) .
\begin{array} { r l } { { \mathbf Y } _ { D } ^ { k } } & { = { \textbf H } _ { S D } { \mathbf X } _ { S } ^ { k } + { \textbf H } _ { R D } ^ { k } { \mathbf X } _ { R } ^ { k } + { \mathbf W } _ { D } ^ { k } } \\ & { = [ { \textbf H } _ { S D } , { \textbf H } _ { R D } ^ { k } ] \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf U } [ \mathbf { 0 } _ { N _ { S } \times n _ { r } } , { \mathbf V } _ { S } ^ { k } ] } \\ { { \mathbf I } _ { n _ { r } } , { \mathbf V } _ { R } ^ { k } } \end{array} \right] + { \mathbf W } _ { D } ^ { k } } \\ & { = \Bigg [ { \textbf H } _ { R D } ^ { k } , [ { \textbf H } _ { S D } { \mathbf U } , { \textbf H } _ { R D } ^ { k } ] \left[ \begin{array} { l } { { \mathbf V } _ { S } ^ { k } } \\ { { \mathbf V } _ { R } ^ { k } } \end{array} \right] \Bigg ] + { \mathbf W } _ { D } ^ { k } . } \end{array}
\| L x \| = \left\Vert { \frac { \| x \| } { \delta } } L \left( \delta { \frac { x } { \| x \| } } \right) \right\Vert = { \frac { \| x \| } { \delta } } \left\Vert L \left( \delta { \frac { x } { \| x \| } } \right) \right\Vert \leq { \frac { \| x \| } { \delta } } \cdot 1 = { \frac { 1 } { \delta } } \| x \| .
\nabla ^ { 2 } \Phi - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } } } \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial t ^ { 2 } } } + { \frac { \partial } { \partial t } } ( \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi ) + \nabla \Phi \cdot \nabla \left( { \frac { \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi } { 2 } } \right) \right] = 0
\begin{array} { r l } { Q } & { = \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } r ^ { 2 } \rho ( r ^ { \prime } ) 4 \pi r ^ { 2 } d r ^ { \prime } } \\ & { = \left[ r ^ { 2 } q ( r ) \right] _ { 0 } ^ { r _ { c } } - 2 \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } r q ( r ) d r } \\ & { = r _ { c } ^ { 2 } q ( r _ { c } ) - 2 \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } r q ( r ) d r } \end{array}
H ( a ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! { \frac { \mathrm { d } z } { ( 1 + z ) ^ { 2 } } } \, { \frac { 1 } { \pi } } \mathrm { a r c c o t } \, \bigg ( { \frac { \ln z + 1 / a } { \pi } } \bigg ) + { \frac { 1 } { 1 - e ^ { - 1 / a } - i \epsilon } } - 1 \, .
\begin{array} { r l r } & { \partial _ { t t } u ( x , y , t ) - \alpha ^ { 2 } \Delta u ( x , y , t ) = 0 , } & { \quad ( x , y ) , t \in \Omega \times [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x , y , 0 ) = \phi ( x , y ) , } & { \quad ( x , y ) \in \Omega , } \\ & { \partial _ { t } u ( x , y , 0 ) = \psi ( x , y ) , } & { \quad ( x , y ) \in \Omega , } \\ & { u ( x , y , t ) = 0 , } & { \quad ( x , y ) \in \partial \Omega \times [ 0 , T ] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \frac { \varepsilon } { c } \frac { \partial I _ { g } } { \partial t } + \vec { \Omega } \cdot \nabla I _ { g } = L _ { a } ^ { \varepsilon } \left( \sigma _ { e , g } \phi _ { g } - \sigma _ { a , g } I _ { g } \right) + L _ { s } ^ { \varepsilon } \left( \sigma _ { s - i n , g } \frac { \rho _ { g } } { 4 \pi } - \sigma _ { s - o u t , g } I _ { g } \right) } } \\ { { C _ { V } \frac { \partial T } { \partial t } \equiv \frac { \partial U _ { m } } { \partial t } = \frac { L _ { a } ^ { \varepsilon } } { \varepsilon } \sum _ { g = 1 } ^ { G } \int _ { 4 \pi } \left( \sigma _ { a , g } I _ { g } - \sigma _ { e , g } \phi _ { g } \right) d \vec { \Omega } } } \end{array} \right.
\Theta = \frac { \pi } { 2 } - 2 \cot ^ { - 1 } \left[ \frac { 1 } { \mathcal { B } } \mathrm { s n } \left( \left. \frac { \tilde { x } + C _ { 2 } } { \mathcal { A } } \right| m \right) \right] .
\begin{array} { r } { \footnotesize \frac { \langle T ^ { G } \rangle } { \langle T _ { r ^ { \star } } ^ { G } \rangle } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { r ^ { \star } ( \alpha + \beta ) ( 2 D \beta + x _ { 0 } \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } ) } { \lambda \left[ r \beta \mu _ { 1 } ^ { \star } e ^ { \frac { x _ { 0 } } { 2 D } \left( \mu _ { 1 } ^ { \star } + \mu _ { 2 } ^ { \star } \right) } + \left( \alpha + \beta \right) \left[ e ^ { \frac { x _ { 0 } \mu _ { 1 } ^ { \star } } { 2 D } } { ( \beta \mu _ { 1 } ^ { \star } + \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } ) - \alpha \mu _ { 2 } ^ { \star } } \right] \right] } \; \; \mathrm { f o r } \; \; \lambda < \lambda _ { c } } \\ { 1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \lambda \geq \lambda _ { c } , } \end{array} \right. } \end{array}
M \sim R \frac { \Delta U } { \Delta l } \sim R \frac { I _ { \mathrm { i } } S B } { \Delta l } \sim \frac { R } { r } \frac { S ^ { 2 } B ^ { 2 } } { \Delta l \Delta t } \sim \frac { 1 } { r } \bigg ( \frac { R S } { \Delta l } \bigg ) ^ { 2 } B ^ { 2 } \dot { \varphi } \sim I _ { \mathrm { B } } ^ { 2 } \dot { \varphi } ~ .
\mathbf { F _ { r } } = \mathbf { F } _ { \mathrm { i m p } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { c e n t r i f u g a l } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { C o r i o l i s } } + \mathbf { F } _ { \mathrm { E u l e r } } = m \mathbf { a _ { r } } \ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in I _ { 1 } } E ( v ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \lesssim \| \psi \| _ { L _ { t } ^ { 3 } L _ { x } ^ { 6 } } ^ { 3 } + \| v \| _ { L _ { t } ^ { \frac { 8 } { 3 } } L _ { x } ^ { 8 } } ^ { 2 } \| \psi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } + \| v \| _ { L _ { t } ^ { \frac { 8 } { 3 } } L _ { x } ^ { 8 } } ^ { 2 } \| \phi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } } \\ & { + \| \psi \| _ { L _ { t } ^ { \frac { 8 } { 3 } } L _ { x } ^ { 8 } } \| \phi \| _ { L _ { t } ^ { \frac { 8 } { 3 } } L _ { x } ^ { 8 } } \| \phi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } + \| \phi \| _ { L _ { t } ^ { \frac { 8 } { 3 } } L _ { x } ^ { 8 } } \| v \| _ { L _ { t } ^ { \frac { 8 } { 3 } } L _ { x } ^ { 8 } } \| \phi \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 2 } | } & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } | \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 2 } } ( 4 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } | \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 2 } } ( 4 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 1 - \alpha ) } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { \alpha } . } \end{array}