harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Vert \mathfrak { m } ^ { n + 1 } ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } } & { \leq e ^ { \Vert \mathrm { d i v } _ { x } \, u ^ { n } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( ( 0 , t ) \times \mathbb T ^ { d } ) } t / 2 } \left( \Vert \mathfrak { m } ^ { i n } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } + \int _ { 0 } ^ { t } \Vert u ^ { n } ( \tau ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m + 1 } } \Vert \mathfrak { m } ^ { n + 1 } ( \tau ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \, \mathrm { d } \tau \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = 2 \pi \int _ { - \infty } ^ { \infty } u _ { \lambda } ( \xi ) \overline { { ( u _ { \nu } ) } } ( \xi ) d \xi } \\ & { = 2 \pi \int _ { - { \pi } } ^ { { \pi } } e ^ { i ( \lambda - \nu ) \xi } d \xi } \\ & { = 4 \pi ^ { 2 } { \frac { \sin \pi \big ( \lambda - \nu ) } { \pi ( \lambda - \nu ) } } } \\ & { = 4 \pi ^ { 2 } { \operatorname { s i n c } } ( \lambda - \nu ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta E ^ { \prime } } & { = - \, \frac { \Delta _ { B } } { 2 } \left( 1 - \frac { T } { T _ { c o r r } } \right) ^ { 2 \beta } } & { \mathrm { f o r ~ A F M } \, , } \\ { \Delta E ^ { \prime } } & { = + \, \frac { \Delta _ { B } } { 2 } \left( 1 - \frac { T } { T _ { c o r r } } \right) ^ { 2 \beta } } & { \mathrm { f o r ~ F M } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( ( p - 1 ) \mathcal { H } _ { p } ( W , X ^ { n } ) + 1 ) } & { = \left\lVert \frac { d \mathcal { P } _ { W X ^ { n } } } { d \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } } \right\rVert _ { L _ { p } ( \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } ) } ^ { p } } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } } \mathcal { P } _ { W } ( w ) \mathcal { P } _ { X } ( x ) \left( \frac { \mathcal { P } _ { X | W = w } ( x ) } { \mathcal { P } _ { X } ( x ) } \right) ^ { p } d w d x } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } } \mathcal { P } _ { X } ( x ) ^ { 1 - p } \int _ { \mathbb { R } } \mathcal { P } _ { W } ( w ) \mathcal { P } _ { X | W = w } ( x ) ^ { p } d w d x . } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { j , j + 1 } = \frac { n _ { j } - n _ { j + 1 } } { n _ { j } + n _ { j + 1 } } , \qquad t _ { j , j + 1 } = \frac { 2 n _ { j } } { n _ { j } + n _ { j + 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi = } & { { } \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int \frac { \left[ \rho \right] } { r } d V ^ { \prime } } \\ { { \mathbf A } = } & { { } \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \frac { [ { \mathbf J } ] } { r } d V ^ { \prime } . } \end{array}
\lambda _ { 0 , 1 } = u , \quad \mathcal { R } _ { 0 } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array} , \quad \mathcal { R } _ { 1 } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) } \end{array} ,
\begin{array} { r } { \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { A } \mathbf { x } ^ { n } = \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { x } ^ { n + 1 } } \\ { ( \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { A } ) ^ { - 1 } \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { x } ^ { n + 1 } = \mathbf { x } ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { ( y , + 1 ) } ( ( X _ { n _ { * } } , V _ { n _ { * } } ) = ( z , + 1 ) ) } & { \geq \sum _ { N _ { 1 } = \underline { { N } } _ { 1 } } ^ { \overline { { N } } _ { 1 } } \Bigg [ \underbrace { \prod _ { n = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \exp ( - \delta \lambda ( y + ( n + 1 / 2 ) \delta ) ) } _ { \textnormal { n o j u m p s b e f o r e } N _ { 1 } } \times \underbrace { \delta \underline { { \lambda } } \exp ( - \delta \overline { { \lambda } } ) } _ { \textnormal { a j u m p a t } N _ { 1 } } \times } \\ & { \qquad \times \underbrace { \prod _ { m = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } \exp ( - \delta \lambda ( y + ( N _ { 1 } - 1 - ( m + 1 / 2 ) ) \delta ) ) } _ { \textnormal { n o j u m p s u n t i l } N _ { 2 } } \times \underbrace { \delta \underline { { \lambda } } \exp ( - \delta \overline { { \lambda } } ) } _ { \textnormal { a j u m p a t } N _ { 2 } } } \\ & { \qquad \times \underbrace { \prod _ { \ell = 0 } ^ { n _ { * } - N _ { 1 } - N _ { 2 } } \exp ( - \delta \lambda ( y + ( N _ { 1 } - 1 - ( N _ { 2 } - 1 ) + ( \ell + 1 / 2 ) ) \delta ) ) } _ { \textnormal { n o j u m p s a f t e r } N _ { 2 } } \Bigg ] } \\ & { \geq \sum _ { N _ { 1 } = \underline { { N } } _ { 1 } } ^ { \overline { { N } } _ { 1 } } \exp ( - \delta \overline { { \lambda } } n _ { * } \delta ) ) \delta ^ { 2 } \underline { { \lambda } } ^ { 2 } \exp ( - 2 \delta \overline { { \lambda } } ) } \\ & { = \left\lceil \frac { L } { \delta } \right\rceil \exp ( - \overline { { \lambda } } n _ { * } \delta ) ) \delta ^ { 2 } \underline { { \lambda } } ^ { 2 } \exp ( - 2 \delta \overline { { \lambda } } ) } \\ & { \geq L \exp ( - \delta \overline { { \lambda } } n _ { * } ) ) \underline { { \lambda } } ^ { 2 } \exp ( - 2 \delta _ { 0 } \overline { { \lambda } } ) \delta } \\ & { \geq 2 L \exp ( - \delta \overline { { \lambda } } n _ { * } ) ) \underline { { \lambda } } ^ { 2 } \exp ( - 2 \delta _ { 0 } \overline { { \lambda } } ) ( 2 R - \delta _ { 0 } ) \left( \nu ( + 1 ) \times \frac { 1 } { M } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { B } { A } = \frac { 2 K ^ { 2 } \cosh ( K ) - ( K ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) \cosh ( Q ) } { 2 Q K \sinh ( K ) - ( K ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) \sinh ( Q ) } \; . } \end{array}
G = \int _ { \Omega } \left\{ \rho _ { f } \phi - \frac { \epsilon ( \mathbf { x } ) } { 2 } \left| \nabla \phi \right| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon \kappa ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \lambda \right\} d \mathbf { x }
c _ { L F V } ( Y _ { \mu } , \Sigma _ { Y } ^ { \prime } - \mathrm { e x c h a n g e } ) = O ( g ^ { 2 } \frac { m _ { u j } ^ { 2 } } { M _ { Y } ^ { 4 } } ) ( V _ { K M } ^ { \dag } ) _ { \mu j } ( V _ { K M } ) _ { j e } ,
\begin{array} { r l } { \| \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \Delta } \hat { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \| _ { \mathrm { F } } } & { \geq \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \hat { \boldsymbol { \Sigma } } , s + l ) \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } - \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \hat { \boldsymbol { \Sigma } } , l ) ( \frac { 5 \delta ^ { 2 } } { \rho \lambda _ { K } l ^ { 1 / 2 } } + 9 s l ^ { - 1 / 2 } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } } \| _ { 1 , 1 } ) } \\ & { \geq ( \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \hat { \boldsymbol { \Sigma } } , s + l ) - 9 s l ^ { - 1 / 2 } \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \hat { \boldsymbol { \Sigma } } , l ) ) \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } - \frac { 5 \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \hat { \boldsymbol { \Sigma } } , l ) \delta ^ { 2 } } { \rho \lambda _ { K } l ^ { 1 / 2 } } . } \end{array}
H ( q , p ) = \frac { 1 } { 2 } \left( p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } + A q _ { 1 } ^ { 2 } + B q _ { 2 } ^ { 2 } + C q _ { 1 } q _ { 2 } \right) \, ,
\begin{array} { r } { \Psi _ { 0 } ^ { 2 } = 2 \sqrt { e } n _ { 0 } = \frac { e ^ { - 2 \gamma - 1 } } { \pi } \frac { \ln ( a _ { \uparrow \downarrow } / a ) } { a a _ { \uparrow \downarrow } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { v } ( { \mathbf v } ) } & { { } = \int _ { \Omega } \frac { \nu } { 2 } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) \, d { \mathbf x } , \qquad \omega _ { a } ( { \mathbf v } ) = \int _ { \Omega } ( { \mathbf u } \cdot \nabla { \mathbf u } ) \cdot { \mathbf v } - p { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf v } \, d { \mathbf x } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lvert \mathrm I + \mathrm { I I } \right\rvert } & { \le C ( \Omega ) \frac \nu L \Biggl [ \nu ^ { - \frac 1 3 } F _ { \nu } + E _ { \nu } ^ { \frac 1 3 } \left( \nu ^ { - 1 } D _ { \nu } + \nu ^ { \frac 1 3 } H _ { \nu } ^ { \frac 1 3 } \right) \Biggr ] ^ { \frac 3 4 } ( T | \partial \Omega | ) ^ { \frac 1 4 } } \\ & { \le { C ( \Omega ) } \Biggl [ \nu ^ { \frac 1 2 } F _ { \nu } ^ { \frac 3 4 } + E _ { \nu } ^ { \frac 1 4 } \left( D _ { \nu } ^ { \frac 3 4 } + \nu H _ { \nu } ^ { \frac 1 4 } \right) \Biggr ] \frac { ( \nu T | \partial \Omega | ) ^ { \frac 1 4 } } L . } \end{array}
H _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = x _ { + } S _ { 0 } ^ { 2 } - x _ { - } S _ { - } ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } S _ { 0 } S _ { - } + 2 x _ { + } k S _ { 0 } + 2 x _ { 0 } ( s - k ) S _ { - } + x _ { + } ( k ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { R ^ { 2 } ( t ) = e ^ { - \Gamma t } \sum _ { l , l ^ { \prime } } } & { \big [ \left( s _ { l } s _ { l ^ { \prime } } + c _ { l } c _ { l ^ { \prime } } \right) \cos \left( w _ { 0 } \left( t _ { l } - t _ { l ^ { \prime } } \right) \right) } \\ & { - \left( s _ { l } c _ { l ^ { \prime } } - c _ { l } s _ { l ^ { \prime } } \right) \sin \left( \omega _ { 0 } \left( t _ { l } - t _ { l ^ { \prime } } \right) \right) \big ] } \\ & { e ^ { \Gamma \left( t _ { l } + t _ { l ^ { \prime } } \right) / 2 } \Theta \left( t - t _ { \rangle } \right) } \end{array}
E _ { \mathrm { p o t } } = \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } \sum _ { \boldsymbol { k } } | \hat { b } | ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ E _ { \mathrm { p o l o } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \boldsymbol { k } } | \hat { v } _ { p } | ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ E _ { \mathrm { t o r o } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \boldsymbol { k } } | \hat { v } _ { t } | ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathcal { D } } = \frac { E _ { \mathrm { p o l o } } - E _ { \mathrm { p o t } } } { E _ { \mathrm { p o l o } } + E _ { \mathrm { p o t } } }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) } \\ & { \quad + b ( t , x , \mu , \hat { \alpha } ( t , x , \mu , \partial _ { x } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) ) ) \cdot \partial _ { x } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) } \\ & { \quad + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } b ( t , v , \mu , \hat { \alpha } ( t , v , \partial _ { x } \mathcal { U } ( t , v , \mu ) ) ) \cdot \partial _ { \mu } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) ( v ) d \mu ( v ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left[ ( \sigma \sigma ^ { \operatorname { T } } + \sigma ^ { 0 } ( \sigma ^ { 0 } ) ^ { \operatorname { T } } ) ( t , x , \mu ) \partial _ { x x } ^ { 2 } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) \right] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathrm { T r } \left[ ( \sigma \sigma ^ { \operatorname { T } } + \sigma ^ { 0 } ( \sigma ^ { 0 } ) ^ { \operatorname { T } } ) ( t , v , \mu ) \partial _ { v } \partial _ { \mu } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) ( v ) \right] d \mu ( v ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } \mathrm { T r } \left[ ( \sigma \sigma ^ { \operatorname { T } } + \sigma ^ { 0 } ( \sigma ^ { 0 } ) ^ { \operatorname { T } } ) ( t , v , \mu ) \partial _ { \mu } ^ { 2 } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) ( v , v ^ { \prime } ) \right] d \mu ( v ) d \mu ( v ^ { \prime } ) } \\ & { \quad + \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \mathrm { T r } \left[ ( \sigma ^ { 0 } ( t , x , \mu ) ( \sigma ^ { 0 } ) ^ { \operatorname { T } } ) ( t , v , \mu ) \partial _ { x } \partial _ { \mu } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) ( v ) \right] d \mu ( v ) } \\ & { \quad + f ( t , x , \mu , \hat { \alpha } ( t , x , \mu , \partial _ { x } \mathcal { U } ( t , x , \mu ) ) ) = 0 , } \end{array}
\left[ K _ { \quad \quad \nu } ^ { ( 0 ) \mu } - \delta _ { \nu } ^ { \mu } K ^ { ( 0 ) } \right] | _ { y = 0 } = - { \frac { 3 } { l } } \delta _ { \nu } ^ { \mu } = - { \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } } \sigma \delta _ { \nu } ^ { \mu } \ .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { n } = \frac { 1 } { T _ { \mathrm { T H z } } } \int _ { 0 } ^ { T _ { \mathrm { T H z } } } d t e ^ { i ( \Omega + n \omega ) t } \int \frac { d ^ { D } { \bf P } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } { \bf d } ^ { * } p _ { { \bf k } ( t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \mathrm { ~ } e ^ { - \Gamma _ { 2 } \tau } \left( \cos ( \tau \omega ) + \frac { \gamma ^ { 2 } ( \Gamma _ { x x } - \Gamma _ { y y } ) } { 4 \omega } \sin ( \tau \omega ) - \frac { \gamma ^ { 2 } ( \Gamma _ { x x } + \Gamma _ { y y } + 2 \Gamma _ { z z } ) } { 4 } \tau \cos ( \tau \omega ) \right) \langle S _ { x } ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } \rangle } \\ { + } & { { } \mathrm { ~ } e ^ { - \Gamma _ { 2 } \tau } \left( \left( 1 + \frac { \gamma ^ { 2 } \Gamma _ { x y } } { 2 \omega } \right) \sin ( \tau \omega ) - \frac { \gamma ^ { 2 } ( \Gamma _ { x x } + \Gamma _ { y y } + 2 \Gamma _ { z z } ) } 4 \tau \sin ( \tau \omega ) \right) \langle S _ { x } ( t _ { 0 } ) S _ { y } ( t _ { 0 } ) \rangle } \\ { + } & { { } \mathrm { ~ } \mathfrak { C } \langle S _ { x } ( t _ { 0 } ) S _ { z } ( t _ { 0 } ) \rangle + \mathfrak { D } \langle S _ { x } ( t _ { 0 } ) \rangle , } \end{array}
\alpha = \frac { l \pi } { r } + \frac { 2 r - s } { 2 r } \pi \left( \left[ \frac { 1 } { 2 } + \frac { l } { s } \right] - \left[ \frac { 1 } { 2 } - \frac { l } { s } \right] \right) \, .
\boldsymbol { A } = \left[ \begin{array} { c c c c } { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { \boldsymbol { \Delta } + \boldsymbol { r } ^ { - 2 } } { R e } } & { - \boldsymbol { D } \boldsymbol { \bar { U } } } & { \boldsymbol { Z } } & { - i \alpha \boldsymbol { I } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { \boldsymbol { \Delta } } { R e } } & { - \frac { 2 i m \boldsymbol { r } ^ { - 2 } } { R e } } & { - \boldsymbol { D } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \frac { 2 i m \boldsymbol { r } ^ { - 2 } } { R e } } & { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { \boldsymbol { \Delta } } { R e } } & { - i m \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } \\ { i \alpha \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { D } + \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } & { i m \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } & { \boldsymbol { Z } } \end{array} \right] \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { a _ { m } ^ { l } } & { = \frac { 1 } { 2 \Delta x _ { l } ^ { 5 } } [ 1 2 h _ { m , l } - 6 ( y _ { m , l + 1 } ^ { \prime } + y _ { m , l } ^ { \prime } ) \Delta x _ { l } + ( y _ { m , l + 1 } ^ { \prime \prime } - y _ { m , l } ^ { \prime \prime } ) \Delta x _ { l } ^ { 2 } ] , } \\ { b _ { m } ^ { l } } & { = \frac { 1 } { 2 \Delta x _ { l } ^ { 4 } } [ - 3 0 h _ { m , l } + ( 1 4 y _ { m , l + 1 } ^ { \prime } + 1 6 y _ { m , l } ^ { \prime } ) \Delta x _ { l } + ( - 2 y _ { m , l + 1 } ^ { \prime \prime } + 3 y _ { m , l } ^ { \prime \prime } ) \Delta x _ { l } ^ { 2 } ] , } \\ { c _ { m } ^ { l } } & { = \frac { 1 } { 2 \Delta x _ { l } ^ { 3 } } [ 2 0 h _ { m , l } - ( 8 y _ { m , l + 1 } ^ { \prime } + 1 2 y _ { m , l } ^ { \prime } ) \Delta x _ { l } + ( y _ { m , l + 1 } ^ { \prime \prime } - 3 y _ { m , l } ^ { \prime \prime } ) \Delta x _ { l } ^ { 2 } ] , } \\ { d _ { m } ^ { l } } & { = \frac { 1 } { 2 } y _ { m , l } ^ { \prime \prime } , } \\ { e _ { m } ^ { l } } & { = y _ { m , l } ^ { \prime } , } \\ { f _ { m } ^ { l } } & { = y _ { m , l } , } \end{array}
\tilde { \Delta } _ { \nu } = \Delta _ { 0 } \, \Big [ \big ( 1 - \xi _ { \nu } \big ) \big ( 1 - \eta _ { \nu } \big ) + \zeta _ { \mathrm { Q E D } } \Big ] = \Delta _ { \nu } + \Delta _ { 0 } \, \zeta _ { \mathrm { Q E D } } .
\begin{array} { r } { U ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 \exp \left( \frac { - 1 } { ( 1 - \frac { r } { 2 0 l } ) ^ { 2 } } \right) } & { r < 2 0 l } \\ { 0 } & { r \geq 2 0 l . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \mathrm { T F } } ( \vec { r } ) = \frac { g \, \Omega _ { D } } { D \, ( 2 \pi \hbar ) ^ { D } } \big [ 2 m \, ( \mu - V ( \vec { r } ) ) \big ] _ { + } ^ { D / 2 } = \frac { g \, \Omega _ { D } } { D \, ( 2 \pi { \mathcal U } ^ { 2 } ) ^ { D } } \big [ 2 \, ( \mu - V ( \vec { r } ) ) \big ] _ { + } ^ { D / 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \alpha \in \mathbb { R } ^ { 2 } } } & & { m _ { t } ( \alpha ) : = J \left( \theta _ { t } \right) + c _ { t } ^ { \textup { T } } \alpha + \frac { 1 } { 2 } \alpha ^ { \textup { T } } Q _ { t } \alpha } \\ & { \ \textup { s . t . } } & & { \| \alpha \| _ { G _ { t } } \leq \Delta , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } .
\left( \begin{array} { c } { { \nu _ { L } ^ { 0 } } } \\ { { \nu _ { R } ^ { 0 C } } } \end{array} \right) _ { i } \ = \ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { G } + N _ { R } } U _ { i j } ^ { 0 , \nu * } n _ { L j } ^ { 0 } , \qquad \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { L } ^ { 0 C } } } \\ { { \nu _ { R } ^ { 0 } } } \end{array} \right) _ { i } \ = \ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { G } + N _ { R } } U _ { i j } ^ { 0 , \nu } n _ { R j } ^ { 0 } \, .
Y _ { k i } = \sum _ { j } \Sigma _ { i j } ^ { - 1 / 2 } ( X _ { k j } - R _ { j } ) \approx \sum _ { j } \frac { 1 } { \sqrt { ( \Sigma ^ { - 1 } ) _ { i i } } } ( \Sigma ^ { - 1 } ) _ { i j } ( X _ { k j } - R _ { j } ) ,
a ^ { 2 } ( y ) = A \exp \left( { - \sqrt { \frac { 2 \hat { \kappa } ^ { 2 } } { 3 } | \Lambda _ { B } | } y } \right) + B \exp \left( { \sqrt { \frac { 2 \hat { \kappa } ^ { 2 } } { 3 } | \Lambda _ { B } | } y } \right) \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { k _ { i } ^ { \rightarrow } } & { = \sum _ { j \neq i } a _ { i j } ( 1 - a _ { j i } ) = \sum _ { j \neq i } a _ { i j } ^ { \rightarrow } } \\ { k _ { i } ^ { \leftarrow } } & { = \sum _ { j \neq i } a _ { j i } ( 1 - a _ { i j } ) = \sum _ { j \neq i } a _ { i j } ^ { \leftarrow } } \\ { k _ { i } ^ { \leftrightarrow } } & { = \sum _ { j \neq i } a _ { i j } a _ { j i } = \sum _ { j \neq i } a _ { i j } ^ { \leftrightarrow } . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { r l } { y _ { 0 } ^ { * * } = } & { { } ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 0 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } , } \\ { y _ { 1 } ^ { * * } = } & { { } ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } \varepsilon _ { 1 } \Lambda } { \alpha + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } , } \\ { y _ { 2 } ^ { * * } = } & { { } ~ \frac { \frac { \alpha } { r + \mu } ( 1 - p _ { S } ) \varepsilon _ { 2 } \Lambda } { \alpha ( 1 - p _ { S } ) + \frac { \mu n ^ { * } } { y _ { 0 } ^ { * * } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } ^ { * * } + y _ { 2 } ^ { * * } ) } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| } & { \leqslant ( 1 + \epsilon / 2 ) \psi ^ { \prime } ( \tilde { f } ( x _ { k + 1 } ) ) ( f ( x _ { k } ) - f ( x _ { k + 1 } ) ) } \\ & { = ( 1 + \epsilon / 2 ) \psi ^ { \prime } ( \tilde { f } ( x _ { k + 1 } ) ) ( \tilde { f } ( x _ { k + 1 } ) - \tilde { f } ( x _ { k } ) ) } \\ & { \leqslant ( 1 + \epsilon / 2 ) ( \psi ( \tilde { f } ( x _ { k + 1 } ) ) - \psi ( \tilde { f } ( x _ { k } ) ) ) . } \end{array}
\left( { \begin{array} { c } { u _ { 1 0 } ^ { i } } \\ { b _ { 1 0 } ^ { i } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) = \int _ { - \infty } ^ { \tau } \! \! \! d \tau _ { 1 } \left( { \begin{array} { c c } { G _ { u u } ^ { i j } } & { G _ { u b } ^ { i j } } \\ { G _ { b u } ^ { i j } } & { G _ { b b } ^ { i j } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c } { F _ { 1 0 u } ^ { j } } \\ { F _ { 1 0 b } ^ { j } \rule { 0 ex } { 5 ex } } \end{array} } \right) ,
\begin{array} { r l } { g _ { n , \mu \nu } = } & { \frac { 1 } { 4 } \Big ( \partial _ { \mu } \theta \partial _ { \nu } \theta + \sin ^ { 2 } \theta \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \phi \Big ) , } \\ { \Omega _ { n , \mu \nu } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sin \theta \Big ( \partial _ { \mu } \phi \partial _ { \nu } \theta - \partial _ { \nu } \phi \partial _ { \mu } \theta \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \mathrm { i } \omega + \frac { \partial } { \partial t } \right) \frac { 1 } { \kappa ( x , t ) } \left( - \mathrm { i } \omega + \frac { \partial } { \partial t } \right) v ( x , t ) - \frac { \partial } { \partial x } \left( \frac { 1 } { \rho ( t , x ) } \frac { \partial } { \partial x } v ( x , t ) \right) = 0 , \quad x \in \mathbb { R } , \, t \in \mathbb { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { y } _ { 1 } } & { \mathbf { y } _ { 2 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { p } } } \\ { \mathbf { y } _ { 2 } } & { \mathbf { y } _ { 3 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { p } + 1 } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { y } _ { m _ { o } } } & { \mathbf { y } _ { m _ { o } + 1 } } & { \dots } & { \mathbf { y } _ { m _ { o } + m _ { p } - 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { C } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } - 1 } \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } \mathbf { A } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { 2 } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } } \mathbf { B } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { o } - 1 } \mathbf { B } } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { o } } \mathbf { B } } & { \dots } & { \mathbf { C } \mathbf { A } ^ { m _ { p } + m _ { o } - 2 } \mathbf { B } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { R - 1 } \left( 1 - p \right) p ^ { i } \mathbb { E } \left[ { D } _ { i } \right] + \sum _ { i = R } ^ { \infty } \left( 1 - p \right) p ^ { i } \mathbb { E } \left[ { D } _ { i } \right] } \\ & { = T _ { B I } \left( \frac { p ^ { R + 1 } \left( R - 1 \right) - R p ^ { R } + p } { 1 - p } + \left( 1 - p ^ { R } \right) \alpha \right) } \\ & { + T _ { B I } p ^ { R } \left( \frac { W + 1 } { 2 ( 1 - p ) } + R + \alpha - 1 \right) } \\ & { = T _ { B I } \left( \frac { p ^ { R } ( { W - 1 } ) / { 2 } + p } { 1 - p } + a \right) . } \end{array}
+ { \hbar } ^ { 2 } \frac { e _ { + } ^ { 2 } } { 4 { \pi } ^ { 2 } } \sum _ { \stackrel { q \in \cal Z } { q \neq ( 0 ; - p ) } } { \cal F } _ { + - } ( q ) \frac { 1 } { q ( p + q ) } { \rho } _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { N } } ( p + q ) { \rho } _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { N } } ( - q ) ,
\frac { U } { \ell _ { 1 } } u \frac { \partial c } { \partial x } + \frac { V } { \ell _ { 2 } } v \frac { \partial c } { \partial y } + \frac { W } { \ell _ { 3 } } w \frac { \partial c } { \partial z } = \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 1 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 3 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } c } { \partial z ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { W = \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } W } { \ensuremath { \mathrm { d } } z } = \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \Theta } { \ensuremath { \mathrm { d } } z } - V _ { c } M _ { s } \Theta - V _ { c } n _ { s } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } M _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G _ { s } } G } & { = } & { 0 , \, \mathrm { a t } \, z = 0 , } \\ { W = \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 2 } W } { \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { 2 } } = \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } \Theta } { \ensuremath { \mathrm { d } } z } - V _ { c } M _ { s } \Theta - V _ { c } n _ { s } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } M _ { s } } { \ensuremath { \mathrm { d } } G _ { s } } G } & { = } & { 0 , \, \mathrm { a t } \, z = 1 . } \end{array}