harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\varphi \left( a _ { m } X ^ { m } + a _ { m - 1 } X ^ { m - 1 } + \cdots + a _ { 1 } X + a _ { 0 } \right) = a _ { m } \theta ^ { m } + a _ { m - 1 } \theta ^ { m - 1 } + \cdots + a _ { 1 } \theta + a _ { 0 } .
{ \bf W } ( \rho ) = \left( \begin{array} { l l l l } { Y ^ { 1 } ( \rho ) } & { Y ^ { 2 } ( \rho ) } & { Y ^ { 3 } ( \rho ) } & { Y ^ { 4 } ( \rho ) } \\ { ( Y ^ { 1 } ( \rho ) ) ^ { \prime } } & { ( Y ^ { 2 } ( \rho ) ) ^ { \prime } } & { ( Y ^ { 3 } ( \rho ) ) ^ { \prime } } & { ( Y ^ { 4 } ( \rho ) ) ^ { \prime } } \\ { Z ^ { 1 } ( \rho ) } & { Z ^ { 2 } ( \rho ) } & { Z ^ { 3 } ( \rho ) } & { Z ^ { 4 } ( \rho ) } \\ { ( Z ^ { 1 } ( \rho ) ) ^ { \prime } } & { ( Z ^ { 2 } ( \rho ) ) ^ { \prime } } & { ( Z ^ { 3 } ( \rho ) ) ^ { \prime } } & { ( Z ^ { 4 } ( \rho ) ) ^ { \prime } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \omega _ { i j } = a _ { i j } e ^ { - \frac { | \mathbf { v } _ { i } - \mathbf { v } _ { j } | ^ { 2 } } { t } } \, \, \, \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \, \, \, | \mathbf { v } _ { i } - \mathbf { v } _ { j } | = 2 \sin \frac { \left< \Delta \theta _ { i j } \right> } { 2 } , } \end{array}
\frac { d g _ { l } } { d t } = \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } b _ { l } g _ { l } ^ { 3 } - \frac { g _ { l } ^ { 3 } } { ( 4 \pi ) ^ { 4 } } \left( C _ { l u } \mathrm { T r } ( y _ { u } y _ { u } ^ { \dagger } ) + \sum _ { k } b _ { k l } g _ { k } ^ { 2 } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { X \cup Y } } & { = { \frac { 1 } { N _ { X \cup Y } } } \left( N _ { X } \mu _ { X } + N _ { Y } \mu _ { Y } - N _ { X \cap Y } \mu _ { X \cap Y } \right) } \\ { \sigma _ { X \cup Y } } & { = { \sqrt { \frac { [ N _ { X } - 1 ] \sigma _ { X } ^ { 2 } + N _ { X } \mu _ { X } ^ { 2 } + [ N _ { Y } - 1 ] \sigma _ { Y } ^ { 2 } + N _ { Y } \mu _ { Y } ^ { 2 } - [ N _ { X \cap Y } - 1 ] \sigma _ { X \cap Y } ^ { 2 } - N _ { X \cap Y } \mu _ { X \cap Y } ^ { 2 } - [ N _ { X } + N _ { Y } - N _ { X \cap Y } ] \mu _ { X \cup Y } ^ { 2 } } { N _ { X \cup Y } - 1 } } } } \end{array} }
L ^ { s w i t c h } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - 2 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 2 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { - 2 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 2 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { a , b } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \mathcal { A } _ { a , b } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = \mathcal { A } ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) \mathcal { A } _ { a , b } ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { \widehat { \mathcal { A } } _ { a , b } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \widehat { \mathcal { A } } _ { a , b } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = \widehat { \mathcal { A } } _ { a , b } ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) \widehat { \mathcal { A } } _ { a , b } ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { { C l ( \eta _ { 1 } ) > 0 \; \; \Longrightarrow C l ( \eta _ { 1 } \oplus \eta _ { 2 } ) = C l ( \eta _ { 1 } ) \otimes C l ( \eta _ { 2 } ) } } \\ { { C l ( \eta _ { 1 } ) < 0 \; \; \Longrightarrow C l ( \eta _ { 1 } \oplus \eta _ { 2 } ) = C l ( \eta _ { 1 } ) \otimes C l ( - \eta _ { 2 } ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { 2 } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } , \tilde { P } _ { 1 } , \tilde { P } _ { 2 } ) = \alpha _ { 1 } Q _ { 1 } \tilde { P } _ { 1 } + \alpha _ { 2 } Q _ { 2 } \tilde { P } _ { 2 } + \alpha _ { 3 } Q _ { 1 } Q _ { 2 } + \alpha _ { 4 } \tilde { P } _ { 1 } \tilde { P } _ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \langle [ L _ { b } , t _ { b , * } ] ( \bar { \dot { g } } , \bar { \dot { A } } ) , \ ( \dot { g } _ { 1 } ^ { * } , \dot { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } & { = \Big \langle ( \bar { \dot { g } } , \bar { \dot { A } } ) , \ \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ^ { * } ( \check { g } _ { 1 } ^ { * } , \check { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle = \Big \langle \widehat { L _ { b } } ( 0 ) ( \bar { \dot { g } } , \bar { \dot { A } } ) , \ ( \check { g } _ { 1 } ^ { * } , \check { A } _ { 1 } ^ { * } ) \Big \rangle } \\ & { = - \langle f + \frac { 1 } { 2 } [ [ L _ { b } , t _ { b , * } ] , t _ { b , * } ] ( \dot { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 1 } ) + [ L _ { b } , t _ { b , * } ] ( \dot { g } _ { 2 } - \check { g } _ { 1 } , \dot { A } _ { 2 } - \check { A } _ { 1 } ) , ( \check { g } _ { 1 } ^ { * } , \check { A } _ { 1 } ^ { * } ) \rangle } \end{array}
\hat { D } _ { M } \epsilon _ { 1 1 } + \frac 1 { 2 8 8 } \left( \Gamma _ { M } { } ^ { N P Q R } - 8 \delta _ { M } ^ { N } \Gamma ^ { P Q R } \right) \hat { F } _ { N P Q R } \epsilon _ { 1 1 } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial A } { \partial t } + \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } = 0 } \\ & { \frac { \partial ( A u ) } { \partial t } + \frac { \partial ( A u ^ { 2 } ) } { \partial x } + \frac { A } { \rho } \, \frac { \partial F ( A ) } { \partial x } = \frac { A } { \rho } \frac { \partial } { \partial x } \left( \eta \, G ( A ) \frac { \partial ( A u ) } { \partial x } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z c } & { { } = } & { \frac { \lambda _ { \mathrm { o b s } } - \lambda _ { \mathrm { r e f } } } { \lambda _ { \mathrm { r e f } } } = \frac { \nu _ { \mathrm { r e f } } - \nu _ { \mathrm { o b s } } } { \nu _ { \mathrm { o b s } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { t } d t _ { 0 } \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = - \int _ { \infty } ^ { 0 } d s \frac { \partial } { \partial s } P ( \widehat { L } , s | \widehat { L } _ { 0 } , 0 ) = - P ( \widehat { L } , 0 | \widehat { L } _ { 0 } , 0 ) = - \delta ( \widehat { L } - \widehat { L } _ { 0 } ) } \end{array}
\rho _ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \tau _ { 1 } \psi ^ { 2 } + i \tau _ { 2 } { \cal F } , \quad \rho _ { 4 } = { \frac { 1 } { 2 4 } } i \tau _ { 2 } \psi ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } \tau _ { 1 } { \cal F } \psi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } i \tau _ { 2 } { \cal F } ^ { 2 } , \quad \mathrm { e t c . } ,
M _ { \pi } ^ { ( 4 ) 2 } = { \frac { i } { F _ { 0 } ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 3 A ( \pi ) - A ( \eta ) } { 6 } } \right] - { \frac { 8 m _ { \pi } ^ { 2 } } { F _ { 0 } ^ { 2 } } } \left[ ( m _ { \pi } ^ { 2 } + 2 m _ { K } ^ { 2 } ) ( L _ { 4 } - 2 L _ { 6 } ) + m _ { \pi } ^ { 2 } ( L _ { 5 } - 2 L _ { 8 } ) \right] \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } _ { 0 } } & { \ \cong \mathrm { { P r o j } } \bigoplus _ { m \in \mathbb { N } } \bigoplus _ { i \in \mathbb { Z } } H ^ { 0 } ( B _ { 1 } , \mathcal { O } _ { B _ { 1 } } \otimes \mathcal { O } _ { X } ( ( m - i ) B _ { 1 } ) ) } \\ & { \ \cong { \mathrm { P r o j } } \bigoplus _ { m \in \mathbb { N } } \bigoplus _ { i \in \mathbb { N } } H ^ { 0 } ( B _ { 1 } , \mathcal { O } _ { B _ { 1 } } ( m B _ { 1 } ) ) s ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } } & { \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \partial \Omega ^ { \star } ( z ) } n \cdot ( \nabla T - u T ) \ d S \ d z \ d t } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \Omega ^ { \star } ( z ) } ( \Delta T - u \cdot \nabla T ) \ d y \ d z \ d t } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d } { d t } \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \Omega ^ { \star } ( z ) } T \ d y \ d z \ d t = 0 \, } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { \mathrm { S E } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) = P _ { \mathrm { L D O S } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) + P _ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) . } \end{array}
{ \hat { H } } _ { I I } = { \frac { \mu _ { 0 } \mu _ { \mathrm { N } } ^ { 2 } } { 4 \pi } } \sum _ { \alpha \neq \alpha ^ { \prime } } { \frac { g _ { \alpha } g _ { \alpha ^ { \prime } } } { R _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { 3 } } } \left\{ \mathbf { I } _ { \alpha } \cdot \mathbf { I } _ { \alpha ^ { \prime } } - 3 \left( \mathbf { I } _ { \alpha } \cdot { \hat { \mathbf { R } } } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \right) \left( \mathbf { I } _ { \alpha ^ { \prime } } \cdot { \hat { \mathbf { R } } } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \right) \right\} .
\Pi \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } , \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } , . . . , \theta _ { N } - \theta _ { N - 1 } \right) = \Pi _ { 2 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) + \hdots + \Pi _ { N } ( \theta _ { N } - \theta _ { N - 1 } ) \, ,
Y _ { z } = \frac { - 4 } { \left( k a \right) ^ { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( n + 1 \right) \left[ \alpha _ { n } + \alpha _ { n + 1 } + 2 \left( \alpha _ { n } \alpha _ { n + 1 } + \beta _ { n } \beta _ { n + 1 } \right) \right]
\begin{array} { r l r l } { I _ { r } ( x , y ) - I _ { s } ( x , y ) = } & { \frac { z _ { 2 } } { k } \nabla _ { \perp } [ I _ { r } ( x , y ) \nabla _ { \perp } \phi ( x , y ) ] } & & { } \\ & { - z _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \left[ D _ { f } ^ { ( x x ) } ( x , y ) I _ { r } ( x , y ) \right] } \\ & { - z _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \left[ D _ { f } ^ { ( y y ) } ( x , y ) I _ { r } ( x , y ) \right] } \\ & { - z _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x \partial y } \left[ D _ { f } ^ { ( x y ) } ( x , y ) I _ { r } ( x , y ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| \nu _ { i } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } ( 1 + \beta ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big \| \nu _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i - 1 } \big \| ^ { 2 } + 2 L ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { i } ^ { ( k ) } - x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 4 K \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } + 8 K \zeta ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } + 3 2 L ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } ( 1 + \beta ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \big \| \nu _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { \nu } _ { i - 1 } \big \| ^ { 2 } + 2 L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| d _ { i - 1 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 4 K \sigma ^ { 2 } } { b _ { 1 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } + 8 K \zeta ^ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \alpha _ { i } ^ { 2 } + \frac { 3 2 \lambda ^ { 2 } L ^ { 2 } a _ { i } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \bigg ( 1 + \frac { 1 } { \beta } \bigg ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| z _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \bar { z } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, \sigma _ { 2 , i } ^ { ( k ) } \ \big \vert } & { \ t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \, ] } \\ & { = \, \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon \, u \, \mathrm { s i g n } ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) , \quad } & { 0 < p _ { \varepsilon } < 1 , } \\ { \lfloor t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \rfloor - t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) + u , } & { p _ { \varepsilon } = 0 , } \\ { \lfloor t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) \rfloor - t \, ( \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } + \sigma _ { 1 , i } ^ { ( k ) } ) , } & { p _ { \varepsilon } = 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { c } { { \displaystyle \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M } \phi ( \Theta - \vartheta _ { j } , 1 / 2 ) = \displaystyle \int _ { a s y m p } ^ { \Theta } d x \, W ( x ) } } \\ { { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M } \phi ( \Theta + \vartheta _ { j } , 1 / 2 ) = - \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M } \phi ( - \Theta - \vartheta _ { j } , 1 / 2 ) = - \displaystyle \int _ { a s y m p } ^ { - \Theta } d x \, W ( x ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \underbrace { \partial _ { t } \left( \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho c } \\ { \rho \boldsymbol { u } } \\ { e } \end{array} \right) } _ { \partial _ { t } y ( t ) } } & { = } & { \underbrace { - \nabla \cdot \left( \left( \begin{array} { c } { \rho \boldsymbol { u } } \\ { \rho c \boldsymbol { u } } \\ { \rho \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { u } } \\ { e \boldsymbol { u } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { P } \\ { P \boldsymbol { u } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \sigma } \\ { \boldsymbol { u } \cdot \sigma } \end{array} \right) \right) + \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \rho \boldsymbol { g } } \\ { \rho \boldsymbol { g } \cdot \boldsymbol { u } } \end{array} \right) } _ { A ( y ( t ) ) = ( A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } + A _ { 4 } ) ( y ( t ) ) } } \\ & { } & { + \underbrace { \nabla \cdot \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { \rho \kappa _ { c } \nabla c } \\ { 0 } \\ { K \nabla T } \end{array} \right) } _ { B ( y ( t ) ) } \, + \underbrace { \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \boldsymbol { j } \times \boldsymbol { B } } \\ { \boldsymbol { u } \cdot ( \boldsymbol { j } \times \boldsymbol { B } ) + \eta \boldsymbol { j } ^ { 2 } } \end{array} \right) } _ { C ( y ( t ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \tau } c _ { i , 1 } + \mathrm { P e } u ( \mathbf { y } , \tau ) \partial _ { x } c _ { i , 0 } = \kappa _ { i } \nabla _ { \mathbf { y } } \cdot \left( \nabla _ { \mathbf { y } } c _ { i , 1 } + z _ { i } c _ { i , 1 } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 0 } + z _ { i } c _ { i , 0 } \nabla _ { \mathbf { y } } \phi _ { 1 } \right) , } \end{array}
\hat { G } ( x _ { 0 } , \vec { k } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d k _ { 0 } ~ ( - k _ { 0 } ^ { 2 } + \vec { k } ^ { 2 } ) ^ { - \alpha } S g I m k _ { 0 } e ^ { i k _ { 0 } x _ { 0 } }
x = 1 / L , \, \, \, y = 1 / \gamma _ { L } , \, \, \, \ a = \frac { \Lambda } { M _ { 7 } ^ { 5 } } , \, \, \, b = \frac { Q ^ { 2 } } { M _ { 7 } ^ { 5 } } , \, \, \, \, d = \frac { 2 \alpha ^ { \prime } } { M _ { 7 } ^ { 5 } } .
[ H , \underline { { { \Sigma } } } . \underline { { { \Pi } } } ] = i f _ { e } \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \sigma ^ { j } ( D ^ { j } \phi ^ { 0 } ) ^ { * } } } \\ { { \sigma ^ { j } D ^ { j } \phi ^ { 0 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\frac { d v _ { p } ^ { \prime } } { d t ^ { \prime } } = \left( \frac { \phi + C _ { m } \phi } { \gamma + C _ { m } \phi } \right) \frac { D u ^ { \prime } } { D t ^ { \prime } } - \left( \frac { 1 } { \gamma + C _ { m } \phi } \right) \frac { 2 C _ { D } \phi \nu } { \pi D _ { p } ^ { 2 } } \mathrm { R e } ( v _ { p } ^ { \prime } - u ^ { \prime } ) + \left[ \; a _ { F } ^ { \prime } \; \right] .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , T ) } & { : = \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } , } \\ { m _ { \dagger } ^ { \varDelta } ( x , T ) } & { : = \hat { m } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } , } \\ { E _ { j } ^ { n + 1 } ( \rho _ { \dagger } ^ { \varDelta } ) } & { : = \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { \rho } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { 2 } { \gamma - 1 } } d x , } \\ { E _ { j } ^ { n + 1 } ( m _ { \dagger } ^ { \varDelta } ) } & { : = \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } \hat { m } ( x , T ) \left\{ A ( x , T ) \right\} ^ { \frac { \gamma + 1 } { \gamma - 1 } } d x . } \end{array}
\mathrm { I m } \, \Pi ^ { ^ { R A } } { } _ { \mu } { } ^ { \mu } \sim e ^ { 2 } g ^ { 2 } q _ { 0 } \int d p { d l } \, \left( { \cal O } ( { \frac { 1 } { p } } ) + { \cal O } ( { \frac { 1 } { l } } ) \right)
\lambda _ { k } = \left( \frac { \mathrm { m i n } _ { t = 0 , . . . , K } ( \mathrm { V a r } \{ \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { t } \} ) } { \mathrm { V a r } \{ \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { k } \} } \right) ^ { 1 / 2 } = \left( \frac { \gamma ^ { 2 } } { \mathrm { V a r } \{ \nabla _ { \Theta } \mathcal { L } _ { k } \} } \right) ^ { 1 / 2 }
C _ { 0 0 } = \frac { 3 \sqrt { 5 } } { 4 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \left( 3 ( \sin i ) ^ { 2 } - 2 \right) \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \phantom { } _ { 0 } \Delta \bar { C } _ { 2 0 } ,
\begin{array} { r l } { h _ { x } } & { \approx \frac { h _ { i + 1 , j } - h _ { i - 1 , j } } { 2 \Delta x } , } \\ { h _ { y } } & { \approx \frac { h _ { i , j + 1 } - h _ { i , j - 1 } } { 2 \Delta y } j , } \\ { h _ { x x } } & { \approx \frac { h _ { i + 1 , j } - 2 h _ { i , j } + h _ { i - 1 , j } } { \Delta x ^ { 2 } } , } \\ { h _ { y y } } & { \approx \frac { h _ { i , j + 1 } - 2 h _ { i , j } + h _ { i , j - 1 } } { \Delta y ^ { 2 } } , } \\ { h _ { x y } } & { \approx \frac { h _ { i + 1 , j + 1 } - h _ { i - 1 , j + 1 } - h _ { i + 1 , j - 1 } + h _ { i - 1 , j - 1 } } { 2 \Delta x \, 2 \Delta y } . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } m v _ { g y , \parallel } ^ { 2 } - \mu _ { g y } B ( \textbf { X } _ { g y } ) - \varepsilon _ { \delta } e \langle \psi _ { 1 } \rangle - \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 m c ^ { 2 } } \langle | \textbf { A } _ { 1 } | ^ { 2 } \rangle - \frac { 1 } { 2 B ( \textbf { X } _ { g y } ) } \partial _ { \mu _ { g y } } \langle \psi _ { 1 } ^ { 2 } \rangle \right) ,
\begin{array} { r l r } { U _ { \theta } ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } , \varphi _ { 0 } ) \theta _ { l } - \sin \theta _ { 0 } \frac { m } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } \dot { \varphi } _ { l } } & { { } = } & { f _ { \theta } ( t ) , } \\ { U _ { \varphi } ^ { \prime \prime } ( \theta _ { 0 } , \varphi _ { 0 } ) \varphi _ { l } + \sin \theta _ { 0 } \frac { m } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } \dot { \theta } _ { l } } & { { } = } & { f _ { \varphi } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { 2 } \big ( ( T _ { n , 3 } ^ { a , b } ) ^ { c } \big ) = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 ( a + 1 ) ( b + 1 ) } } { 2 } } } \\ { = } & { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { ( 4 n + 1 ) ^ { 2 } - 6 4 ( n - 3 + a ( n - 4 - a ) ) } } { 2 } } \qquad \mathrm { ( s i n c e , ~ a + b = n - 4 ~ ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha = \alpha _ { 0 } \left\{ 1 + \frac { \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) } { D _ { s } } + \frac { 2 \hat { \Gamma } _ { p } ^ { 2 } ( 1 - \chi ) ^ { 2 } \ell _ { 0 } } { \pi D _ { s } D _ { p } \ell _ { p } } \ln \left[ \frac { 2 \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) } { 2 \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) + \pi D _ { p } \ell _ { p } / \ell _ { 0 } } \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { j } ^ { ( 1 ) } = e ^ { - i \tau ( V ( x _ { j } ) + f ( | \psi _ { j } ^ { k } | ^ { 2 } ) ) } \psi _ { j } ^ { k } , } \\ & { \psi _ { j } ^ { k + 1 } = \sum _ { l \in \mathcal { T } _ { N } } e ^ { - i \tau \mu _ { l } ^ { 2 } } \widetilde { ( \psi ^ { ( 1 ) } ) } _ { l } \sin ( \mu _ { l } ( x _ { j } - a ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { R } ^ { p _ { j } } _ { p _ { k } } = 0 = d \omega ^ { p _ { j } } _ { p _ { k } } + \omega ^ { p _ { j } } _ { \gamma } \wedge \omega ^ { \gamma } _ { p _ { k } } \, , } & & { j < k = 2 , \hdots , N \, , } \\ & { \mathcal { R } ^ { \psi _ { j } } _ { \psi _ { k } } = 0 = d \omega ^ { \psi _ { j } } _ { \psi _ { k } } + \omega ^ { \psi _ { j } } _ { \gamma } \wedge \omega ^ { \gamma } _ { \psi _ { k } } \, , } & & { j < k = 2 , \hdots , N \, , } \\ & { \mathcal { R } ^ { \psi _ { k } } _ { p _ { j } } = 0 = d \omega ^ { \psi _ { k } } _ { p _ { j } } + \omega ^ { \psi _ { k } } _ { \gamma } \wedge \omega ^ { \gamma } _ { p _ { j } } \, , } & & { j \neq k \, , } \\ & { \mathcal { R } ^ { \psi _ { j } } _ { p _ { j } } = - \frac { 1 } { \mathsf { A } } \, d p _ { j } \wedge \, d \psi _ { j } = d \omega ^ { \psi _ { j } } _ { p _ { j } } + \omega ^ { \psi _ { j } } _ { \gamma } \wedge \omega ^ { \gamma } _ { p _ { j } } \, , } & & { j = 2 , \hdots , N \, . } \end{array}
K 3 ~ ; ~ \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathrm { d i m . } } } & { { K ( g ) = 5 9 , } } \\ { { \mathrm { d i m . } } } & { { C ( g ) = 4 0 , } } \\ { { \mathrm { d i m . } } } & { { \epsilon ( g ) = 5 7 , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { J _ { \tilde { \mathbf { x } } } = \sum _ { i } v _ { i } \tilde { \mathbf { x } } _ { i } + \sum _ { i < j } w _ { i j } \tilde { \mathbf { x } } _ { i } \tilde { \mathbf { x } } _ { j } } \end{array}
a _ { c } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { | \Delta { \textbf { v } } | } { \Delta t } } = { \frac { v } { r } } \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { | \Delta { \textbf { r } } | } { \Delta t } } = \omega \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \to 0 } { \frac { | \Delta { \textbf { r } } | } { \Delta t } } = v \omega = { \frac { v ^ { 2 } } { r } }
\Delta E ( \vartheta ) = - 2 \cos \left( \vartheta \right) \left| \frac { \operatorname * { d e t } ^ { \prime } M } { \operatorname * { d e t } M _ { 0 } } \right| ^ { - 1 / 2 } \left( \frac { S _ { E } \left[ \varphi _ { \mathrm { i n s t } } \right] } { 2 \pi } \right) ^ { 1 / 2 } e ^ { - S _ { E } \left[ \varphi _ { \mathrm { i n s t } } \right] } \, ,
\hat { \boldsymbol { v } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { v } _ { p } ~ \boldsymbol { e } _ { p \boldsymbol { k } } + \hat { v } _ { t } ~ \boldsymbol { e } _ { t \boldsymbol { k } } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ k _ { h } \neq 0 , } \\ { \hat { \boldsymbol { v } } _ { s } = \hat { v } _ { x } ~ \boldsymbol { e } _ { x } + \hat { v } _ { y } ~ \boldsymbol { e } _ { y } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ k _ { h } = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { } & { \varphi ( r _ { 1 } - \varepsilon ) - \varphi ( r _ { 1 } + \varepsilon ) = I R _ { c } + } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad \qquad + \frac { 2 \pi r _ { 1 } } { I } \left[ \left( u _ { r } \Pi _ { E } ^ { r r } + u _ { \vartheta } \Pi _ { E } ^ { \vartheta r } \right) \Big | _ { r _ { 1 } + \varepsilon } \right. } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \left. - \left( u _ { r } \Pi _ { L , E } ^ { r r } + u _ { \vartheta } \Pi _ { L , E } ^ { \vartheta r } \right) \Big | _ { r _ { 1 } - \varepsilon } \right] \! , } \end{array}
\frac { S ( g g ^ { P P } \rightarrow \tilde { G } \rightarrow g g ) } { B ( g g ^ { P P } \rightarrow g g ) } \; = \; 0 . 6 \times 1 0 ^ { - 2 } \left( \frac { 2 5 0 ~ \mathrm { M e V } } { \Delta M } \right) \left( \frac { M _ { \tilde { G } } } { 6 0 ~ \mathrm { G e V } } \right) ,
\begin{array} { r } { \lambda ( E ; \{ p \} ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { N + 1 } , \mathrm { ~ f o r ~ } E < p _ { 1 } } \\ { \frac { ( E - p _ { k - 1 } ) } { p _ { k } - p _ { k - 1 } } p _ { N + k } + \frac { ( p _ { k } - E ) } { p _ { k } - p _ { k - 1 } } p _ { N + k - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } p _ { k - 1 } \le E < p _ { k } , \ k = 2 , \ldots , N } \\ { p _ { 2 N } , \mathrm { ~ f o r ~ } E \ge p _ { N } . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathrm { J } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } r _ { 0 } ) \mathrm { Y } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } ) - \mathrm { J } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } ) \mathrm { Y } _ { m } ^ { \prime } ( k _ { m n } r _ { 0 } ) = 0 .