harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \Pi } _ { n } ^ { \mathrm { ( i ) } } } & { ( \tau _ { 2 } ) = \sum _ { f = 1 } ^ { n } \hat { F } _ { f } [ \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; n ) ] \binom { n } { f } p ^ { n - f } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \\ & { + \sum _ { f = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { f } \Big \{ \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; n ) \right] - \hat { F } _ { k } \left[ \eta _ { \mathrm { i r } } ( \tau _ { 2 } ; n - 1 ) \right] \Big \} } \\ & { \times \binom { n } { f + 1 } p ^ { n - f - 1 } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \end{array}
\lambda = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 3 \times 1 0 ^ { - 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 3 \times 1 0 ^ { - 3 } } } & { { 1 . 5 \times 1 0 ^ { - 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 2 . 5 \times 1 0 ^ { - 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = l } ^ { k } \binom { i } { l } \binom { k } { i } \frac { 1 } { [ a ] _ { i } [ b ] _ { k - i } } } & { = \sum _ { i = l } ^ { k } \binom { k } { i } \binom { i } { l } \frac { ( a - k + 1 ) ^ { ( k - i ) } ( a - k ) ! ( b - k + 1 ) ^ { ( i ) } ( b - k ) ! } { a ! b ! } } \\ & { = \binom { k } { l } \frac { ( a - k ) ! ( b - k ) ! } { a ! b ! } \frac { ( a + b - 2 k + 2 ) ^ { ( k ) } } { ( a + b - 2 k + 2 ) ^ { ( l ) } } ( a - k + 1 ) ^ { ( l ) } } \\ & { = \binom { k } { l } \frac { [ a + b - k + 1 ] _ { k } } { [ a ] _ { k - l } [ b ] _ { k } [ a + b - 2 k + l + 1 ] _ { l } } . } \end{array}
d Q = ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( P + K - P ^ { \prime } - K ^ { \prime } ) \frac { d ^ { 3 } p ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 p ^ { \prime } } \frac { d ^ { 3 } k ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 k ^ { \prime } } = \frac { d t } { 8 \pi s } .
\begin{array} { r l } { \int _ { V } d \mathbf { r } \, \left( \frac { 1 } { \mu } \nabla \times \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \right) \cdot \left( \nabla \times \mathbf { A } _ { \parallel } \right) } & { } \\ { + \int _ { S } d \mathbf { r } \, \hat { n } \cdot } & { \left[ \left( \frac { 1 } { \mu } \nabla \times \mathbf { A } _ { \varepsilon \perp } \right) \times \mathbf { A } _ { \parallel } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { x _ { 0 } } = \Bigg \{ x : [ 0 , T ] \to \mathbb { R } ^ { d _ { x } } \bigg \vert \ x ( t ) = x _ { 0 } - \hat { W } \boldsymbol { 1 } + W \psi ( t ) , W \in \mathbb { R } ^ { d _ { x } \times 2 K } \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \frac { 2 m _ { \mathrm { i n } } } { m _ { \mathrm { i n } } R \cosh m _ { \mathrm { i n } } R } \left( \frac { - B } { 2 } + \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } R } \right) , } \\ { B } & { = ( \phi _ { \mathrm { o u t } } - \phi _ { \mathrm { i n } } ) R - \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } R } . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q = O ( \varepsilon ^ { k } ) , \mathrm { ~ f o r ~ k \ge ~ 0 ~ , ~ i f ~ \rVert ~ Q ~ \rVert ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ 1 ) } _ { s } \le _ { \mathtt { p e } , s } ~ \varepsilon ^ k ( 1 + \rVert ~ \mathfrak { I } _ \delta ~ \rVert ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ 1 ) } _ { s + \mu _ 0 } ) ~ f o r ~ s o m e ~ \mu _ 0 > 0 ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c c } { H _ { 1 } + C } & { - g _ { 1 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { * } } & { A \psi _ { 1 } ^ { 2 } } & { - g _ { 1 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } } \\ { - g _ { 1 2 } \psi _ { 1 } ^ { * } \psi _ { 2 } } & { H _ { 2 } + C } & { - g _ { 1 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } } & { B \psi _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { - A \psi _ { 1 } ^ { * 2 } } & { g _ { 1 2 } \psi _ { 1 } ^ { * } \psi _ { 2 } ^ { * } } & { - H _ { 1 } - C } & { g _ { 1 2 } \psi _ { 1 } ^ { * } \psi _ { 2 } } \\ { g _ { 1 2 } \psi _ { 1 } ^ { * } \psi _ { 2 } ^ { * } } & { - B \psi _ { 2 } ^ { * 2 } } & { g _ { 1 2 } \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { * } } & { - H _ { 2 } - C } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { U _ { 1 } } \\ { U _ { 2 } } \\ { V _ { 1 } } \\ { V _ { 2 } } \end{array} \right) = \Delta \left( \begin{array} { c } { U _ { 1 } } \\ { U _ { 2 } } \\ { V _ { 1 } } \\ { V _ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \Phi } } & { { } = - \mu \dot { \Theta } \dot { \Psi } - \Omega _ { 1 } ^ { 2 } \Phi , } \\ { \ddot { \Theta } } & { { } = \mu \dot { \Psi } \dot { \Phi } - \Omega _ { 2 } ^ { 2 } \Theta , } \\ { \ddot { \Psi } } & { { } = k _ { \mathrm { e x t } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { ( v ) } ( { z } , { t } ) \simeq } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 } t ^ { - 3 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } z = 1 \, , } \\ { a _ { z } t ^ { - z } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } z \ge 2 \, . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \mathbb Q ( E _ { [ n ] , R } \cap D _ { 1 } \cap \{ y _ { n + 1 } \in B _ { 2 T } \setminus B _ { T } \} \cap \{ y _ { 1 } \in B _ { R - 1 } \} ) } \quad } & { } \\ & { \leq C T ^ { d } \mathbb Q ( E _ { [ n + 1 ] , R } ) + \frac { C T ^ { d } } { ( M - n ) ( M - n + 1 ) } \mathbb Q ( E _ { \{ 2 , \ldots , n \} , R } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta { { \theta } _ { n , 1 } } } & { { } = } & { { { \theta } _ { n } } + { { \theta } _ { n + 1 } } + 2 ( \theta ^ { ( 0 ) } - \theta _ { L i n } ) , } \\ { \Delta { { \theta } _ { n , 2 } } } & { { } = } & { 2 { { \theta } _ { n } } + 2 ( \theta ^ { ( 0 ) } - \theta _ { L i n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \bullet \, \, \texttt { c o n v e c t i o n d o m i n a t e d r e g i m e } } & { \qquad } & { \mathrm { e r r } ( \boldsymbol { U } , L ^ { 2 } ) \lesssim C ( \boldsymbol { u } _ { \mathrm { e x } } ) \, \, h ^ { 2 . 5 } \, , } \\ & { \bullet \, \, \texttt { d i f f u s i o n d o m i n a t e d r e g i m e } } & { \qquad } & { \mathrm { e r r } ( \boldsymbol { U } , L ^ { 2 } ) \lesssim C ( \boldsymbol { u } _ { \mathrm { e x } } ) \, \, \sqrt { \nu } h ^ { 2 } \, . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - i } \end{array} \right] : L C P
\begin{array} { r } { ( \mu _ { s } - \mu _ { i } ) { A _ { p } ^ { ( r ) } } ^ { 2 } + \mu _ { p } \left( { A _ { s } ^ { ( r ) } } ^ { 2 } - { A _ { i } ^ { ( r ) } } ^ { 2 } \right) = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } } & { { } = 0 = - \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) } \end{array}
\sqrt { n } \boldsymbol { \lambda } _ { n } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ; \epsilon ) \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( - \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 2 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \delta } _ { \beta , \epsilon } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { K } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \right) ,
\mathcal { I } _ { { Y _ { \mathrm { l o w } } } } ( \eta ; \lambda ) = \frac { ( 1 - e ^ { - \lambda } ) ^ { 2 } e ^ { - 2 \eta } } { e ^ { - \lambda } + ( 1 - e ^ { - \lambda } ) e ^ { - \eta } } + ( 1 - e ^ { - \lambda } ) \left( \frac { 1 } { \eta } - e ^ { - \eta } \right) .
\begin{array} { r l } { \vert \psi _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { \cosh { r } } } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } / 2 } \frac { \operatorname { t a n h } ^ { n } { r } } { 2 ^ { n } n ! } \hat { a } ^ { \dag 2 n } \vert 0 \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Phi _ { n } ^ { ( 1 ) } \rangle = \sum _ { I } | \Phi _ { I } \rangle \frac { \langle \Phi _ { I } | H _ { W } | \Phi _ { n } \rangle } { { \cal E } _ { n } - { \cal E } _ { I } } , } \end{array}
d x ^ { i } d x ^ { i } = d r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 1 } ^ { 2 } d \varphi _ { 1 } ^ { 2 } + d r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } d \varphi _ { 2 } ^ { 2 } ~ .
| \psi ( 0 ) | ^ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } | \psi ( 0 ) | _ { D } ^ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } \frac { f _ { D } ^ { 2 } M _ { D } \kappa ^ { - 4 / 9 } } { 1 2 } .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { x } } & { { } = } & { \frac { 8 } { 9 } \frac { ( 1 - f _ { s } ) b ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { \nu ^ { 2 } - 1 } - \frac { ( 2 l _ { \perp } / X _ { 0 } ) ^ { ( 1 - \nu ) / 2 } K _ { \frac { 1 - \nu } { 2 } } \left( \frac { X _ { 0 } } { l _ { \perp } } \right) } { \Gamma ( \frac { 3 - \nu } { 2 } ) } \right) , } \\ { \mathcal { D } _ { y } } & { { } = } & { \frac { 8 } { 9 } \frac { ( 1 - f _ { s } ) b ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { 2 } { \nu ^ { 2 } - 1 } - \frac { ( 2 l _ { \perp } / X _ { 0 } ) ^ { ( 1 - \nu ) / 2 } K _ { \frac { 1 - \nu } { 2 } } \left( \frac { X _ { 0 } } { l _ { \perp } } \right) } { \Gamma ( \frac { 3 - \nu } { 2 } ) } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { 3 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \Big ( 2 C \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 2 C { \mathbb { E } } [ \left\| \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] + s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \Big ) } \\ & { + 3 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 3 \left\| { \mathbf { C } } _ { \gamma } \right\| _ { C } ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { 6 C \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + 3 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { + 3 \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \left\| \Pi _ { C } { \mathbf { Y } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + \Big ( 3 \left\| { \mathbf { C } } _ { \gamma } \right\| _ { C } ^ { 2 } } \\ & { ~ + 6 C \gamma _ { y } ^ { 2 } \left\| { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } \right\| _ { C } ^ { 2 } \Big ) L ^ { 2 } { \mathbb { E } } [ \left\| { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } - { \mathbf { X } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] . } \end{array}
C _ { 0 \rho n } = \frac { \sqrt { C _ { 2 \rho n } ^ { 2 } + C _ { 3 \rho n } ^ { 2 } } } { 2 } , ~ ~ \phi _ { \rho n } = \arctan \left( \frac { C _ { 3 \rho n } } { C _ { 2 \rho n } } \right) .
\mathrm { ~ e ~ } ^ { \pm 2 i k _ { z } ^ { \pm } \ell } - \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ M _ { k i } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] \mathrm { ~ e ~ } ^ { \pm i k _ { z } ^ { \pm } \ell } + \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } [ M _ { k i } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] = 0 ,
\rho _ { C } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 2 4 9 5 7 0 2 0 1 1 4 6 9 6 2 5 } { 6 2 4 6 6 0 0 4 3 5 3 0 2 4 } c + \frac { 4 9 9 7 5 0 } { 9 9 9 9 } b
\Gamma _ { a a } ^ { ( 2 ) } ( k ) = \coth { \frac { \beta k ^ { 0 } } { 2 } } \Bigl [ \Gamma _ { a r } ^ { ( 2 ) } ( k ) - \Gamma _ { r a } ^ { ( 2 ) } ( k ) \Bigr ] \, , \qquad \Gamma _ { a r } ^ { ( 2 ) } ( k ) = \Gamma _ { r a } ^ { ( 2 ) * } ( k ) \, .
\begin{array} { r } { p \Bigg ( s _ { i } ( t + 1 ) = 1 \Bigg | \begin{array} { l } { s _ { i } ( t ) = 0 , s _ { j } ( t ) = 0 , s _ { j } ( t + 1 ) = 1 , j \in e } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ e ~ i ~ s ~ a ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } ) } \end{array} \Bigg ) = b ( l - k ) } \\ { p \Bigg ( s _ { i } ( t + 1 ) = 0 \Bigg | \begin{array} { l } { s _ { i } ( t ) = 1 , s _ { j } ( t ) = 1 , s _ { j } ( t + 1 ) = 0 , j \in e } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ e ~ i ~ s ~ a ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ e ~ d ~ g ~ e ~ } ) } \end{array} \Bigg ) = b k } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { s } ( t ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { l = 1 } ^ { d ( \lambda _ { j } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { i ^ { l } \tau ^ { l - 1 } } { ( l - 1 ) ! } e ^ { i \lambda _ { j } \tau } R _ { - l } ( \lambda _ { j } ) f ( t - \tau ) d \tau } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sum _ { l = 1 } ^ { d ( \lambda _ { j } ) } \int _ { 0 } ^ { 2 T + 1 } \frac { i ^ { l } \tau ^ { l - 1 } } { ( l - 1 ) ! } e ^ { i \lambda _ { j } \tau } R _ { - l } ( \lambda _ { j } ) f ( t - \tau ) d \tau } \end{array}
h ( a ) = k - { \frac { \omega _ { 4 } M } { a ^ { 2 } } } + { \frac { 3 \omega _ { 4 } ^ { 2 } Q ^ { 2 } } { 1 6 a ^ { 4 } } } + { \frac { a ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { n _ { t h } = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { t h } ^ { \mathrm { r e f } } \frac { I _ { \mathrm { c o r r } } ^ { r } } { I _ { \mathrm { c o r r , r e f } } ^ { r } } } & { \mathrm { f o r ~ r e d ~ p u m p i n g } } \\ { ( n _ { t h } ^ { \mathrm { r e f } } + 1 ) \frac { I _ { \mathrm { c o r r } } ^ { b } } { I _ { \mathrm { c o r r , r e f } } ^ { b } } - 1 } & { \mathrm { f o r ~ b l u e ~ p u m p i n g . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ \hat { \gamma } _ { \textsc { p } , i } \; , \hat { \gamma } _ { \textsc { p } ^ { \prime } , j } \} = 2 \delta _ { \textsc { p } \textsc { p } ^ { \prime } } \delta _ { i j } \mathbb { 1 } \; \; , \; \; \hat { \gamma } _ { \textsc { p } , i } ^ { \dagger } = \hat { \gamma } _ { \textsc { p } , i } \; \; , \; \; \hat { \gamma } _ { \textsc { p } , i } ^ { 2 } = \mathbb { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Omega _ { \mathrm { [ 1 1 1 ] } } ^ { \mathrm { o u t } } } { 2 } \int _ { - d } ^ { s } d z ( m ^ { + } ) ^ { 2 } = \gamma \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } \int _ { - d } ^ { s } d z m ^ { + } \frac { \partial u ^ { + } } { \partial z } , } \\ { \frac { \Omega _ { \mathrm { [ 1 1 1 ] } } ^ { \mathrm { o u t } } } { 2 } \int _ { - d } ^ { s } d z ( u ^ { + } ) ^ { 2 } = - \frac { \overline { { B } } _ { [ 1 1 1 ] } } { 2 \omega \rho M _ { s } } \int _ { - d } ^ { s } d z u ^ { + } \frac { \partial m ^ { + } } { \partial z } , } \end{array}
\omega _ { a , b } \equiv 4 a b + 2 ( a + b ) + \frac { 3 } { 4 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad V _ { a , b } ^ { ( 0 ) } \equiv V _ { a , b } ( 0 ) = a + b + \frac { 1 } { 2 }
\frac { \delta \Gamma [ A _ { k } ] } { \delta \omega ( x ) } = \int d y \, \frac { \delta A _ { i } ( y ) } { \delta \omega ( x ) } \frac { \delta \Gamma [ A _ { k } ] } { \delta A _ { i } ( y ) } = D _ { i } \, \frac { \delta \Gamma [ A _ { k } ] } { \delta A _ { i } ( x ) } = 0
\begin{array} { r l r } { \big \| U \Sigma _ { n , N } ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { n , N } ^ { * } U ^ { * } F _ { N } ^ { T } - F _ { N } ^ { T } \big \| _ { n } ^ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { n } \big \| U \big ( \Sigma _ { n , N } ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { n , N } ^ { * } - I _ { n } \big ) \Sigma _ { n , N } V ^ { * } \widetilde { \pmb { \omega } } \big \| _ { \ell _ { 2 } , n } ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n } \big \| \big ( \Sigma _ { n , N } ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { n , N } ^ { * } - I _ { n } \big ) \Sigma _ { n , N } V ^ { * } \widetilde { \pmb { \omega } } \big \| _ { \ell _ { 2 } , n } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \big \| \big ( \Sigma _ { n , N } ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { n , N } ^ { * } - I _ { n } \big ) \Sigma _ { n , N } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { n } \| V ^ { * } \widetilde { \pmb { \omega } } \| _ { \ell _ { 2 } , n } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \big \| \big ( \Sigma _ { n , N } ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { n , N } ^ { * } - I _ { n } \big ) \Sigma _ { n , N } \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \cdot \| \widetilde { \pmb { \omega } } \| _ { n } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { B I } } & { { } = } & { 4 \epsilon _ { B I } \left[ \left( \frac { \sigma _ { B I } } { r _ { B I } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma _ { B I } } { r _ { B I } } \right) ^ { 6 } \right] + \epsilon _ { B I } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r _ { B I } \leq \frac { d _ { B } + d _ { I } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \ell , k } } & { { } = \sum _ { m , n } x _ { m - 1 } ^ { \ell } G ( g ) _ { m , n } x _ { n - 1 } ^ { k } } \\ { J _ { \ell } } & { { } = \sum _ { m , n } x _ { m - 1 } ^ { \ell } G ( g ) _ { m , n } ( x _ { n } - x _ { n - 1 } ) , } \end{array}
{ \frac { d g _ { l } ^ { } } { d t } } = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } b _ { l } ^ { } g _ { l } ^ { 3 } + { \frac { g _ { l } ^ { 3 } } { ( 1 6 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \Bigl [ \sum _ { k } b _ { l k } ^ { } g _ { k } ^ { 2 } - \mathrm { T r } \{ C _ { l u } { \bf Y } _ { u } ^ { \dagger } { \bf Y } _ { u } ^ { } + C _ { l d } { \bf Y } _ { d } ^ { \dagger } { \bf Y } _ { d } ^ { } + C _ { l e } { \bf Y } _ { e } ^ { \dagger } { \bf Y } _ { e } ^ { } \} \Bigr ]
\phi _ { m } = N _ { m } e ^ { { \frac { \nu } { 2 } } k \rho } \left[ J _ { \nu - 1 } \left( { \frac { 2 m } { k } } \right) Y _ { \nu } \left( { \frac { 2 m } { k } } e ^ { { \frac { k } { 2 } } \rho } \right) - Y _ { \nu - 1 } \left( { \frac { 2 m } { k } } \right) J _ { \nu } \left( { \frac { 2 m } { k } } e ^ { { \frac { k } { 2 } } \rho } \right) \right]
\begin{array} { r } { E _ { \textrm { M A R E } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | E _ { i } ^ { \textrm { H S E 0 6 } } - [ E _ { i } ^ { \textrm { D e e P K S / P B E } } - \bar { E } ^ { \textrm { D e e P K S / P B E } } + \bar { E } ^ { \textrm { H S E 0 6 } } ] | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } | \tilde { Y } _ { t } - Q _ { t } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \left| \int _ { n \lambda } ^ { t } e ^ { - \gamma ( t - s ) } ( h _ { M Y , \epsilon } ( p _ { s } ^ { \lambda , n } ) - h _ { t a m , \gamma } ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) ) d s \right| ^ { 2 } } \\ & { { \leq } ( t - n \lambda ) \int _ { n \lambda } ^ { t } e ^ { - 2 \gamma ( t - s ) } \mathbb { E } | h _ { M Y , \epsilon } ( p _ { s } ^ { \lambda , n } ) - h _ { t a m , \gamma } ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) | ^ { 2 } d s } \\ & { \leq \lambda \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | h _ { M Y , \epsilon } ( p _ { s } ^ { \lambda , n } ) - h _ { t a m , \gamma } ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) | ^ { 2 } d s } \\ & { \leq 8 \lambda \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | h _ { M Y , \epsilon } ( p _ { s } ^ { \lambda , n } ) - h _ { M Y , \epsilon } ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) | ^ { 2 } d s } \\ & { + 8 \lambda \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | h _ { M Y , \epsilon } ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) - h ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) | ^ { 2 } d s } \\ & { + 8 \lambda \int _ { n \lambda } ^ { t } \mathbb { E } | h ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) - h _ { t a m , \gamma } ( \tilde { x } _ { n \lambda } ) | ^ { 2 } d s . } \end{array}
n _ { \mathrm { ~ d ~ } } = ( n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \cdot n _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ e ~ c ~ i ~ e ~ s ~ } } + 1 ) \cdot n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \cdot \frac { n _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ e ~ c ~ i ~ e ~ s ~ } } } { 2 } \cdot ( \ell _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + 1 ) .
\begin{array} { r l } & { m _ { 1 } \ddot { u } _ { 1 } ^ { k } + k _ { 4 } \left( u _ { 1 } ^ { k } - u _ { 4 } ^ { i - 1 } \right) + k _ { 1 } \left( u _ { 1 } ^ { k } - u _ { 2 } ^ { k } \right) = 0 } \\ & { m _ { 2 } \ddot { u } _ { 2 } ^ { k } + k _ { 2 } \left( u _ { 2 } ^ { k } - u _ { 1 } ^ { k } \right) + k _ { 3 } \left( u _ { 2 } ^ { k } - u _ { 3 } ^ { k } \right) } \\ & { + k _ { 4 } \left( u _ { 2 } ^ { k } - u _ { 4 } ^ { k } \right) + f _ { \mathrm { N L } } ( w ^ { k } ) = 0 } \\ & { m _ { 3 } \ddot { u } _ { 3 } ^ { k } + k _ { 3 } ( u _ { 3 } ^ { k } - u _ { 2 } ^ { k } ) - f _ { \mathrm { N L } } ( w ^ { k } ) = 0 } \\ & { m _ { 4 } \ddot { u } _ { 4 } ^ { k } + k _ { 1 } \left( u _ { 4 } ^ { k } - u _ { 1 } ^ { i + 1 } \right) + k _ { 4 } \left( u _ { 4 } ^ { k } - u _ { 2 } ^ { k } \right) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { - 1 } [ Y ] ( t ) } & { { } = Y _ { \mathrm { ~ N ~ R ~ } } \delta ( t ) + H ( \omega _ { 0 } ) e ^ { - i \omega _ { 0 } t } u ( t ) } \end{array} } \end{array}
+ _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } : S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \times S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \to S _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } }
\begin{array} { r l } { G } & { = \int _ { V } ~ g ~ d ^ { 3 } r + ~ F _ { \mathrm { g e l } } } \\ & { = \int _ { V } d ^ { 3 } r ~ \Big ( f _ { \mathrm { e l } } + f _ { \mathrm { e n t } } + f _ { \mathrm { c r } } } \\ & { - ~ \mu _ { - } n _ { - } - \mu _ { + } n _ { + } - \mu _ { \mathrm { H } } n _ { \mathrm { H } } - \mu _ { \mathrm { O H } } n _ { \mathrm { O H } } \Big ) ~ + ~ F _ { \mathrm { g e l } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } = \mathcal { R } _ { \mathrm { W E N O } } ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j - 2 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j - 1 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + 1 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + 2 } ) , } \\ { \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } = \mathcal { R } _ { \mathrm { W E N O } } ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + 3 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + 2 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j + 1 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i , j - 1 } ) ; } \end{array}
{ \cal W } \, ( \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ) = \frac { m ^ { 2 } } { 4 \lambda } \, \varphi _ { 1 } - \frac { \lambda } { 3 } \, \varphi _ { 1 } ^ { 3 } + \lambda \, \varphi _ { 1 } \varphi _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \mu } { 2 } \, \varphi _ { 2 } ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { Q } _ { 0 } ^ { i n h } ( s ) = \frac { 1 } { s + r } \bigg ( 1 + \frac { r } { s + r + \alpha + \beta } } & { { } [ \alpha \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { r } ) } \\ { \tilde { Q } _ { 1 } ^ { i n h } ( s ) = \frac { 1 } { s + r } \bigg ( 1 + \frac { r } { s + r + \alpha + \beta } } & { { } [ \beta \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol R ^ { 0 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) , \; \; \boldsymbol R ^ { k } = \left( \begin{array} { l } { \omega _ { k } ^ { - 1 } \boldsymbol { \eta } ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { r } _ { k } } \\ { \boldsymbol { r } _ { k } } \end{array} \right) \; \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; k > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } & { \leq \frac { 2 } { \sqrt { n } } + \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) < n R _ { 1 } ^ { * } + L _ { 1 } \sqrt { n } } \\ { * } & { \qquad \mathrm { a n d } ~ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 2 } | P _ { X } ) < n ( R _ { 1 } ^ { * } + R _ { 2 } ^ { * } ) + L _ { 2 } \sqrt { n } \Big \} . } \end{array}