harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int \left( \varphi \circ H ^ { 2 n + 1 } \right) \psi \, \mathrm { d } \mu } & { = \int \left( \varphi \circ H ^ { 2 n + 1 } - \varphi \circ H ^ { 2 n } \right) \psi \, \mathrm { d } \mu + \int \left( \varphi \circ H ^ { 2 n } \right) \psi \, \mathrm { d } \mu } \\ & { = \int \left( \phi \circ H ^ { 2 n } \right) \psi \, \mathrm { d } \mu + \int \left( \varphi \circ H ^ { 2 n } \right) \psi \, \mathrm { d } \mu } \end{array}
S _ { \zeta ( \phi ) ; v , x , y , z , u } \left( \phi , g _ { \mu \nu } \right) + S _ { \xi ( \phi ) ; v ^ { \prime } , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , u ^ { \prime } } \left( \phi , g _ { \mu \nu } \right) ,
\begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c c c c } { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { 6 } } & { { } } & { { 1 5 } } & { { } } & { { 2 0 } } & { { } } & { { 1 5 } } & { { } } & { { 6 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \end{array}
\delta S _ { 1 } = \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \left[ i \Theta ( a - b ) \frac { F _ { l } \tilde { F } _ { l } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } - i \Theta ( a + b ) \frac { F _ { r } \tilde { F } _ { r } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \right]
Q _ { \textrm { s c } } ^ { \texttt { P } } = \frac { 2 } { | k _ { h } R _ { N } | } \left[ | a _ { 0 } ^ { \texttt { P } } | ^ { 2 } + 2 \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } | a _ { \nu } ^ { \texttt { P } } | ^ { 2 } \right] .
f ( x ) = { \frac { \Gamma { \bigl ( } { \frac { \nu + 1 } { 2 } } { \bigr ) } } { \Gamma { \bigl ( } { \frac { \nu } { 2 } } { \bigr ) } { \sqrt { \pi \nu } } \sigma } } \left( 1 + { \frac { 1 } { \nu } } \left( { \frac { x - \mu } { \sigma } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - { \frac { \nu + 1 } { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \frac { d N } { d t } } & { = } & { 2 k _ { \mathrm { o n } } - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \ N - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ y _ { c } \ \Delta N , } \\ { \frac { d \Delta N } { d t } } & { = } & { - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \Delta N - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ N y _ { c } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { A _ { k } ^ { \mu } \left( \theta \right) } } \\ { { \tilde { A } _ { k } ^ { \mu \dagger } \left( \theta \right) } } \end{array} \right) = { \cal B } _ { k } \left( \begin{array} { c } { { A _ { k } ^ { \mu } } } \\ { { \tilde { A } _ { k } ^ { \mu \dagger } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 - \theta } { \sigma ^ { 2 } } \left\| \tilde { u } _ { t } \right\| ^ { 2 } } & { \leqslant - V _ { a } ( K _ { t + 1 } ) + V _ { a } ( K _ { t } ) + \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \left\| \varepsilon _ { j } ( x _ { t } ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leqslant - V _ { a } ( K _ { t + 1 } ) + V _ { a } ( K _ { t } ) + \frac { \bar { \varepsilon } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma \bigl ( [ x ] _ { T } + ( \mathcal { M } _ { v } ) _ { T } \oplus ( [ y ] _ { T } + ( \mathcal { M } _ { v } ) _ { T } ) \bigr ) } & { = \{ \sigma \bigl ( [ z ] _ { T } + ( \mathcal { M } _ { v } ) _ { T } \bigr ) \mid [ z ] _ { T } \in [ x ] _ { T } + [ y ] _ { T } \} } \\ & { = \{ [ z v ] _ { T v } \mid z = x + y t \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } t \in T \} } \\ & { = \{ [ x v + y v \cdot t v ] _ { T v } \mid t \in T \} } \\ & { = [ x v ] _ { T v } + [ y v ] _ { T v } } \end{array}
K = i \frac { 3 g _ { 2 } ^ { 2 } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } X _ { 1 } ( \Delta _ { 1 } ) + i \frac { 6 g _ { 2 } ^ { 2 } } { f _ { \pi } ^ { 2 } } X _ { 1 } ( \Delta _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { e } _ { \lambda } } & { = } & { \left( \frac { \lambda \cdot \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { z } + \xi \mathbf { e } _ { y } \right) \cdot \frac { \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } } } { \sqrt { \lambda ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } } \, , } \\ { \mathbf { e } _ { \xi } } & { = } & { \left( \frac { - \xi \cdot \sqrt { 1 + \lambda ^ { 2 } } } { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } \mathbf { e } _ { z } + \lambda \mathbf { e } _ { y } \right) \cdot \frac { \sqrt { 1 - \xi ^ { 2 } } } { \sqrt { \lambda ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } } \, } \end{array}
\begin{array} { r } { d \left( \mathcal { T } _ { 1 } \sin \varphi _ { 1 } + \mathcal { T } _ { 2 } \sin \varphi _ { 2 } \right) + 2 \mu _ { + } \mu _ { - } \tilde { l } \mathcal { S } \sin ( \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } ) = 0 . } \end{array}
T _ { 1 } ^ { R } b { ^ \dagger _ { 1 / 2 } } T _ { 1 } ^ { R - 1 } T _ { 1 } ^ { R } b _ { 1 / 2 } T _ { 1 } ^ { R - 1 } T _ { 1 } ^ { R } \vert V _ { 0 } \rangle = 0 \; .
G _ { + } ( \omega ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { i } \omega [ ( 1 - 2 \Delta ) ( \log ( - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \omega ) - 1 ) - 2 \Delta \log ( 2 \Delta ) ] } } { \sqrt { - \mathrm { i } \Delta \omega } } \frac { \Gamma ( 1 - \mathrm { i } \Delta \omega ) } { \Gamma \big ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \omega \big ) } , \qquad \Delta = \frac { 1 } { N - 2 } .
\begin{array} { r } { \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ( x , x ^ { \prime } ; \omega ) = \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { - Z \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( x , 0 ; \omega ) [ \ensuremath { \mathbf { I } } _ { 2 } + Z \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( 0 , 0 ; \omega ) ] ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { G } } _ { 0 } ( 0 , x ^ { \prime } ; \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \hat { h } - h \| _ { \Omega } \leq C _ { 1 } \| \nabla \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Omega } + C _ { 2 } \| \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Gamma - \Gamma _ { t } } + C _ { 3 } \| \hat { h } - g \phi \| _ { \Gamma _ { t } } , } \end{array}
{ \frac { \tau ( \Lambda _ { b } ) } { \tau ( B ^ { 0 } ) } } \simeq 0 . 9 8 \pm 0 . 0 2 + 0 . 1 5 \varepsilon _ { 2 } - ( d _ { 1 } + d _ { 2 } \widetilde B ) \, r > 0 . 8 8 - ( d _ { 1 } + d _ { 2 } \widetilde B ) \, r \, ,
\epsilon \leq 1 - \cos ^ { 2 } \theta _ { 1 } \cos ^ { 2 } \theta _ { 2 } \stackrel { \theta _ { 1 } = \theta _ { 2 } } { = } 1 - \cos ^ { 4 } \theta \stackrel { \theta \ll \pi / 2 } { = } 2 \theta ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \textstyle \mathcal { N } \left( f _ { \theta } ^ { - 1 } ( x ( t + \tau ) ; x ( t ) ) ; 0 , I \right) \left| \mathrm { d e t } \, \mathcal { J } _ { f _ { \theta } ^ { - 1 } ( { } \cdot { } ; x ( t ) ) } ( x ( t + \tau ) ) \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V _ { F } ( j ) \geq \frac { \rho } { 1 + \rho } \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } } \Big | A ( s , j ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \zeta _ { o } \Big | ^ { 2 } d s } \\ & { - \rho ( \bar { A } ^ { 2 } + 2 \bar { A } ) ( 2 ( j - j _ { o } ) + 1 ) ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) ( t _ { j + 1 } - t _ { j _ { o } } + 1 ) \tilde { V } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { \delta } { \delta v } \mathcal { L } = 0 , } \\ & { \frac { \delta } { \delta \Phi } \mathcal { L } = 0 , } \\ & { \frac { \delta } { \delta \rho } \mathcal { L } = 0 , } \\ & { \frac { \delta } { \delta \rho _ { T } } \mathcal { L } = 0 . } \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { r l } & { \rho ( v - \nabla \Phi ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } \rho + \nabla \cdot ( \rho v ) - \beta \Delta \rho = 0 , } \\ & { \frac { \| v \| ^ { 2 } } { 2 } - \partial _ { t } \Phi - \nabla \Phi \cdot v - \beta \Delta \Phi = 0 } \\ & { \Phi ( T , x ) + V ( x ) = 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { A ^ { ( t ) } } & { \sim \mathsf E K } & & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = H } \\ { B ^ { ( t ) } } & { \sim \mathsf E K ^ { 2 } } & & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = H ^ { 2 } + H } \\ { C ^ { ( t ) } } & { \sim \mathsf E ( K X ) } & & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { 1 } { g } ( H ^ { 2 } + ( 1 + \mu g ) H ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ^ { \prime } } & { { } = x - \Phi _ { \epsilon } ( y ) x + x \eta _ { \epsilon } ( y ) } \\ { y ^ { \prime } } & { { } = y + \Psi _ { \epsilon } ( x ) y + y \tilde { \eta } _ { \epsilon } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J } & { { } = J _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } + ( - ) ^ { p q + p + q } { \star \tilde { A } } , } \\ { L } & { { } = L _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } - ( - ) ^ { p q + q } { \star \tilde { A } _ { \psi } } . } \end{array}
c _ { s u m } = { \frac { 3 k } { k + 2 } } ~ + ~ { \frac { 3 l } { l + 2 } } = 6 ~ - ~ 6 \left( { \frac { 1 } { \tilde { k } } } ~ + ~ { \frac { 1 } { \tilde { l } } } \right) ,
[ \Lambda _ { m } ^ { ( F ) } , \Lambda _ { n } ^ { ( F ) } ] = ( n - m ) \Lambda _ { m + n } ^ { ( F ) } , \qquad [ \Lambda _ { n } ^ { ( F ) } , f ] = ( z ^ { n + 1 } \partial _ { z } + { \bar { z } } ^ { n + 1 } \partial _ { \bar { z } } ) f .
\sigma ^ { 1 } \, = \, \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; \; , \; \; \sigma ^ { 2 } \, = \, \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; \; , \; \; \sigma ^ { 3 } \, = \, \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r } { i \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t _ { 1 } } = - \frac { w _ { 1 } } { 2 m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } \right) + \frac { m \omega _ { 1 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } ) } { 2 w _ { 1 } } \psi _ { 1 } + \omega _ { 1 } \hat { L } _ { z _ { 1 } } \psi _ { 1 } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { z _ { 1 } } & { \bar { z } _ { 1 } } & { 1 } \\ { z _ { 2 } } & { \bar { z } _ { 2 } } & { 1 } \\ { z _ { 3 } } & { \bar { z } _ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } } & { y _ { 1 } } & { 1 } \\ { x _ { 2 } } & { y _ { 2 } } & { 1 } \\ { x _ { 3 } } & { y _ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { i } & { - i } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { { \binom { n - \rho n } { \rho n - j } } { \binom { \rho n } { j } } } & { \geq \sqrt { \frac { n - \rho n } { 8 ( \rho n - j ) ( n - 2 \rho n + j ) } } 2 ^ { n { H ( ( \rho n - j ) / ( n - \rho n ) ) } } } \\ & { \times \sqrt { \frac { \rho n } { 8 ( j ) ( \rho n - j ) } } 2 ^ { n { H ( j / \rho n ) } } } \\ & { = 2 ^ { n [ H ( ( \rho n - j ) / \rho n ) + H ( ( \rho n - j ) / ( n - \rho n ) ) ] - o ( n ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \partial \textup { S p } | } & { \approx 2 ( 1 - h _ { 1 } ) ^ { n - 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac 1 { 2 ( 1 - h _ { 1 } ) } x _ { 1 } ^ { 2 } + O ( x _ { 1 } ^ { 4 } ) \right) ^ { n - 2 } e ^ { \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + O ( x _ { 1 } ^ { 4 } ) } \, d x _ { 1 } } \\ & { = 2 ( 1 - h _ { 1 } ) ^ { n - 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( n - 2 ) \left( \frac 1 { 2 ( 1 - h _ { 1 } ) } x _ { 1 } ^ { 2 } + O ( x _ { 1 } ^ { 4 } ) \right) } e ^ { \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + O ( x _ { 1 } ^ { 4 } ) } \, d x _ { 1 } } \\ & { = 2 ( 1 - h _ { 1 } ) ^ { n - 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \frac { - ( n - 3 ) - h _ { 1 } } { 2 ( 1 - h _ { 1 } ) } x _ { 1 } ^ { 2 } - ( n - 3 ) O ( x _ { 1 } ^ { 4 } ) } \, d x _ { 1 } } \\ & { \approx 2 ( 1 - h _ { 1 } ) ^ { n - 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - ( n - 3 ) \left( \frac 1 { 2 ( 1 - h _ { 1 } ) } x _ { 1 } ^ { 2 } + O ( x _ { 1 } ^ { 4 } ) \right) } \, d x _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } ( \tilde { r } , t ) = } & { \; \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \left( \int _ { 0 } ^ { s } \left( 4 \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial t } - \tilde { u } _ { 1 } \frac { \partial \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } } { \partial \tilde { r } } \right) I ( \sigma , t ) \, \mathrm { d } \sigma \right) \, \mathrm { d } s + B _ { 1 } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tilde { r } } \frac { 1 } { I ( s , t ) } \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \frac { \kappa _ { 1 } } { \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \kappa _ { 1 } \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \\ { \hat { \psi } _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \frac { \kappa _ { 2 } } { \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 [ D k _ { r } ^ { 2 } + \chi ] > - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) , } \\ { \left[ \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) \right] ^ { 2 } < 8 \left[ \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } \right] ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \Phi _ { \textbf { a } , \textbf { b } } ( z ^ { \prime } ) - \Phi _ { \textbf { a } , \textbf { b } } ( z ) \vert } & { \geqslant C _ { 0 } \mathcal { D } _ { \textbf { a } , \textbf { b } } \vert z ^ { \prime } - z \vert - \frac { C r _ { 0 } } { 1 - C r _ { 0 } } \mathcal { D } _ { \textbf { a } , \textbf { b } } \vert z ^ { \prime } - z \vert } \\ & { \geqslant \left( C _ { 0 } - \frac { C r _ { 0 } } { 1 - C r _ { 0 } } \right) \mathcal { D } _ { \textbf { a } , \textbf { b } } \vert z ^ { \prime } - z \vert } \\ & { \geqslant \frac { C _ { 0 } } { 2 } \mathcal { D } _ { \textbf { a } , \textbf { b } } \vert z ^ { \prime } - z \vert , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } } & { = } & { \frac { 2 \, \epsilon _ { f } ^ { D T } \, n _ { D } } { 3 \, k T _ { i } \, \left( n _ { p } + n _ { D } + n _ { T } + n _ { B } \right) } \, } \\ { A _ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 \, \epsilon _ { f } ^ { p B } \, n _ { p } } { 3 \, k T _ { i } \, \left( n _ { p } + n _ { D } + n _ { T } + n _ { B } \right) } \, . } \end{array}
\frac { \partial S _ { \vartheta } } { \partial m } = M _ { H } \mathbb { G } ^ { 0 } ( \phi ) , \quad \frac { \partial S _ { \vartheta } } { \partial E } = M _ { H } \mathbb { G } ^ { 1 } ( \phi ) , \quad \frac { \partial S _ { \vartheta } } { \partial L _ { z } } = \mathbb { G } ^ { 2 } ( \phi ) , \quad \frac { \partial S _ { \vartheta } } { \partial L } = \mathbb { G } ^ { 3 } ( \phi ) ,
\begin{array} { l l } { { \partial _ { \alpha } ^ { - } \theta ^ { \prime } { } ^ { \gamma } \partial _ { \beta } ^ { - } \theta _ { \gamma } ^ { \prime } = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { \alpha \beta } \partial ^ { - \delta } \theta ^ { \prime \gamma } \partial _ { \delta } ^ { - } \theta _ { \gamma } ^ { \prime } ~ ~ } } & { { ~ \bar { \partial } _ { \dot { \alpha } } ^ { + } \bar { \theta } _ { \dot { \gamma } } ^ { \prime } \bar { \partial } _ { \dot { \beta } } ^ { + } \bar { \theta } ^ { \prime } { } ^ { \dot { \gamma } } = \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { \dot { \beta } \dot { \alpha } } \bar { \partial } _ { \dot { \delta } } ^ { + } \bar { \theta } _ { \dot { \gamma } } ^ { \prime } \bar { \partial } ^ { + } { } ^ { \dot { \delta } } \bar { \theta } ^ { \prime } { } ^ { \dot { \gamma } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \big ( f [ U ^ { \varepsilon } \to V ^ { \varepsilon } ] \big ) = } & { \exp \big ( f [ U ^ { \varepsilon } \to U ] + f [ U \to V ] + f [ V \to V ^ { \varepsilon } ] \big ) } \\ & { + \sum _ { ( U ^ { \prime } , V ^ { \prime } ) \neq ( U , V ) } \exp \big ( f [ U ^ { \varepsilon } \to U ^ { \prime } ] + f [ U ^ { \prime } \to V ^ { \prime } ] + f [ V ^ { \prime } \to V ^ { \varepsilon } ] \big ) . } \end{array}
U _ { 2 } ^ { \mathrm { Q F H } } ( r _ { I J } ) = U _ { 2 } ( r _ { I J } ) + \frac { \hbar ^ { 2 } \beta } { 1 2 m } \left( \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } ( r _ { I J } ) } { \partial r _ { I J } ^ { 2 } } + \frac { 2 } { r _ { I J } } \frac { \partial U _ { 2 } ( r _ { I J } ) } { \partial r _ { I J } } \right) ,
\frac { \alpha ^ { \prime } } 4 \delta M ^ { 2 } \ge - \frac 1 N \operatorname * { m i n } \left[ ( j ^ { 3 } + n _ { F } ) ^ { 2 } , ( \tilde { j } ^ { 3 } + \tilde { n } _ { F } ) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } } & { = \frac { a _ { 5 } - \mathrm { i } \, a _ { 4 } ( \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 5 } ) + \mathrm { i } \, a _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } \lambda _ { 5 } ) } { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 3 } ) ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 4 } ) ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 5 } ) } , } \\ { D _ { 3 } } & { = \frac { a _ { 5 } - \mathrm { i } \, a _ { 4 } ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 5 } ) + \mathrm { i } \, a _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 5 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 4 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 5 } ) } { ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 1 } ) ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 4 } ) ( \lambda _ { 3 } - \lambda _ { 5 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \bot } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { \le \bigg ( 1 - \frac 3 2 \lambda _ { 1 } \bigg ) \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \bigg ( 1 - \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } - \frac 1 2 \lambda _ { 1 } \bigg ) } \\ & { ~ \mathbb { E } \{ \| X ^ { \bot } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \frac { \lambda _ { 1 } } { l ^ { ( s ) } } \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } + \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 l ^ { ( s ) } } ( z ^ { s } ) ^ { T } \tilde { D } ^ { ( s ) } z ^ { s } } \\ & { - \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } \} } \\ & { \le ( 1 - \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } ) \mathbb { E } \{ \| X ^ { \bot } ( t ) \| ^ { 2 } \} + \lambda _ { 1 } c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n \Big ( 3 + \frac { c _ { l } } { 2 } } \\ & { + 4 c _ { s } c _ { l } + \frac { 2 } { r _ { 0 } n } \Big ) } \\ & { \le ( 1 - \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \| X ^ { \bot } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } \Big ( \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } \wedge \lambda _ { 3 } } \wedge t \Big ) c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } \\ & { ~ \Big ( 3 + \frac { c _ { l } } { 2 } + 4 c _ { s } c _ { l } + \frac { 2 } { r _ { 0 } n } \Big ) . } \end{array}
{ S _ { 1 4 } ^ { q } = S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , q } + S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \downarrow , q } + S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \uparrow , q } + S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \downarrow , q } , }
\sum _ { a = 1 } ^ { \eta } \int \textrm { d } \mathbf r _ { 1 } \, \textrm { d } \mathbf r _ { 2 } \frac { \phi ^ { * } \left( \mathbf r _ { 1 } \right) \chi \left( \mathbf r _ { 1 } \right) \psi _ { a } ^ { * } \left( \mathbf r _ { 2 } \right) \theta _ { a } \left( \mathbf r _ { 2 } \right) } { \left| \mathbf r _ { 1 } - \mathbf r _ { 2 } \right| } \, ,
\begin{array} { r l } { E _ { \varphi } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \frac { \sqrt { 2 r _ { 2 } \pi ^ { 7 } k _ { 2 } ^ { 3 } } n I _ { 0 } \sec ( \pi / 4 + k _ { 2 } r _ { 2 } ) J _ { 1 } ( k _ { 2 } r ) \Big ( k _ { 3 } \cos ( \omega _ { 0 } t ) - k _ { 2 } \tan ( \pi / 4 + k _ { 2 } r _ { 2 } ) \sin ( \omega _ { 0 } t ) \Big ) } { 2 \pi l \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { 0 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) ^ { 2 } } , } \\ { E _ { z } ( r < r _ { 2 } , t ) } & { \approx \frac { \sqrt { r _ { 2 } \pi ^ { 5 } k _ { 2 } } n I _ { 0 } J _ { 1 } ( k _ { 2 } r ) \cos ( \omega _ { 0 } t ) } { 2 \pi l \alpha _ { 0 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } ) \Big ( \cos ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) - \sin ( k _ { 2 } r _ { 2 } ) \Big ) } , } \end{array}
T _ { \mathrm { e f f } } = T \left( 1 + \frac { m a q } { 2 k _ { \mathrm { B } } k ^ { 2 } } \right) = T \left[ 1 + 4 \eta \left( \frac { \pi k _ { \mathrm { B } } } { \hbar k c } \right) ^ { 2 } T _ { \mathrm { ~ U ~ } } ^ { 3 } \right] .
\delta s ^ { 2 } = [ \pm d \chi ^ { 2 } - d \lambda ^ { 2 } - d \theta ^ { 2 } + ( 1 + \epsilon 4 \tan ^ { - 1 } \left[ e ^ { \pm t } \right] ) \frac { b ( \lambda ) } { a ( \lambda ) } ( \hat { { \delta } } t ) ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta ( \delta \varphi ) ^ { 2 } ] ,
\delta \phi ^ { I } = \overline { { { \epsilon } } } _ { 2 } ^ { i } \left( \sigma ^ { I } M ^ { \star } { \sigma ^ { J } } ^ { \dagger } - \sigma ^ { J } M ^ { \star } { \sigma ^ { I } } ^ { \dagger } \right) _ { i j } \epsilon _ { 1 j } \phi ^ { J }
\begin{array} { r l } { f } & { = - \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N \beta } \log { \int _ { - \sqrt { \log { 2 } } } ^ { \sqrt { \log { 2 } } } \textrm { d } \epsilon \exp { \Big [ N \Big ( \log { 2 } - \epsilon ^ { 2 } - \beta \epsilon \Big ) \Big ] } } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 1 } { \beta } \log { 2 } - \frac { \beta } { 4 } , \; } & { \beta \leq 2 \sqrt { \log { 2 } } } \\ { - \sqrt { \log { 2 } } , \; } & { \beta > 2 \sqrt { \log { 2 } } } \end{array} \right. . } \end{array}
\kappa ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { r l r } { \exp { \left( - \frac { t - \delta } { \tau _ { m } } \right) } } & { { } \exp { \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D ( t - \delta ) } \right) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad t - \delta \geq 0 } \end{array} \right.
\frac { \zeta _ { x } } { \zeta _ { t } } = \left[ \left( \frac { R _ { t } } { R _ { x } } \right) ^ { 1 - \frac { M _ { e f f } ^ { 2 } } { 1 + M _ { e f f } ^ { 2 } } } \cdot \frac { 1 + M _ { x } ^ { 2 } } { 1 + M _ { t } ^ { 2 } } \right] ^ { \beta }
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l } { \hat { \textbf { p } } = \textrm { a r g m i n } _ { \textbf { p } } | \textbf { p } _ { H } - M \textbf { p } | ^ { 2 } = M ^ { + } \textbf { p } _ { H } } \\ { \textbf { p } = ( 0 , p _ { 2 } , p _ { 3 } , p _ { 4 } ) ^ { T } } \\ { \textbf { p } _ { H } = ( p _ { H _ { 1 } } , p _ { H _ { 2 } } , p _ { H _ { 3 } } , p _ { H _ { 4 } } ) ^ { T } } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { f } ^ { \mathrm { f b } } ( t ) = \left[ \begin{array} { l } { f _ { \Sigma } ^ { \mathrm { f b } } } \\ { f _ { \Delta } ^ { \mathrm { f b } } } \end{array} \right] = g \left[ \begin{array} { l l } { c _ { \Sigma } q _ { \Sigma } } & { c _ { \Delta } q _ { \Sigma } } \\ { c _ { \Sigma } q _ { \Delta } } & { c _ { \Delta } q _ { \Delta } , } \end{array} \right] \dot { \mathbf { a } } ( t - \tau ) \equiv g ^ { \prime } \left[ \begin{array} { l l } { c _ { \Sigma } } & { c _ { \Delta } } \\ { c _ { \Sigma } r } & { c _ { \Delta } r } \end{array} \right] \dot { \mathbf { a } } ( t - \tau ) \equiv - \mathbf { G } \dot { \mathbf { a } } ( t - \tau ) ,
\begin{array} { r } { \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } \sum _ { j } W _ { i j } ^ { + d } = 4 , \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } \sum _ { j } W _ { i j } ^ { - d } = 4 \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ y ~ i ~ , ~ } } \\ { \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } \sum _ { i } W _ { i j } ^ { + d } = 4 , \sum _ { d = 1 } ^ { 4 } \sum _ { i } W _ { i j } ^ { - d } = 4 \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ y ~ j ~ . ~ } } \end{array}
k _ { z } \! = \! n _ { \mathrm { m } } k _ { \mathrm { o } } + \frac { \Omega } { \widetilde { v } } \! = \! \frac { 1 } { \beta _ { v } } \left\{ \frac { \omega } { c } - k _ { \mathrm { o } } ( 1 - n _ { \mathrm { m } } \beta _ { v } ) \right\}
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } ^ { \dagger } } & { { } = \left( \mathbf { W } \mathbf { W } ^ { \dagger } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left( \boldsymbol { \Sigma } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { } & { k ^ { 1 / 2 } v _ { i } = A ^ { n - 2 i } v _ { i } , F v _ { N - 1 } = 0 , F v _ { n } = z _ { 2 } v _ { n + 1 } , F v _ { i } = v _ { i + 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq n , N - 1 , } \\ { } & { E v _ { 0 } = z _ { 1 } v _ { N - 1 } , E v _ { i } = [ i ] [ n - i + 1 ] v _ { i - 1 } \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq 0 . } \end{array}