harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d \Gamma } { d \Delta p _ { z ^ { \prime } } } = } & { \, \frac { n _ { g } \Delta p _ { z ^ { \prime } } } { 2 m _ { g } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { 2 \pi \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } 4 \pi R ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \mathrm { s e c } ^ { 2 } \theta \, \mathrm { s i n } \, \theta \, e ^ { - \Delta p _ { z ^ { \prime } } ^ { 2 } \mathrm { s e c } ^ { 2 } \theta \big / 2 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } } \\ & { \times \bigg ( 1 + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \bigg ( \frac { \Delta p _ { z ^ { \prime } } \mathrm { s e c } \, \theta } { m _ { g } \overline { { v } } } - \frac { 2 m _ { g } \overline { { v } } } { \Delta p _ { z ^ { \prime } } \mathrm { s e c } \, \theta } \bigg ) \mathrm { e r f } \big ( \Delta p _ { z ^ { \prime } } \mathrm { s e c } \, \theta / 2 m _ { g } \overline { { v } } \big ) e ^ { \Delta p _ { z ^ { \prime } } ^ { 2 } \mathrm { s e c } ^ { 2 } \theta \big / 4 m _ { g } ^ { 2 } \overline { { v } } ^ { 2 } } \bigg ) d \theta , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { \hat { b } _ { 1 1 } } & { \hat { b } _ { 1 2 } } \\ { \hat { b } _ { 2 1 } } & { \hat { b } _ { 2 2 } } \end{array} \right] = \boldsymbol { S } \left[ \begin{array} { l l } { \hat { a } _ { 1 1 } } & { \hat { a } _ { 1 2 } } \\ { \hat { a } _ { 2 1 } } & { \hat { a } _ { 2 2 } } \end{array} \right]
\hat { \mathrm { G } } _ { 0 } \longrightarrow \hat { \tilde { \mathrm { G } } } _ { 0 } = \hat { \mathrm { G } } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } ( e _ { + } { \eta } _ { + } + e _ { - } { \eta } _ { - } ) = \frac { 1 } { 1 } { L } e _ { + } : \rho _ { \mathrm { N } } ( 0 ) :
\begin{array} { r l r } { u ( x , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } } F \left( \widehat { \Psi } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } } \right) ; C \partial _ { \xi } \widehat { \Psi } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } } \right) \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } } \frac { C \partial _ { \xi } \widehat { \Psi } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } } \right) } { 1 - \frac { C } { 2 \nu } \widehat { \Psi } \left( \frac { x } { \sqrt { 2 a ( t + t _ { * } ) } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } ( E _ { k } + E _ { w } + E _ { \Sigma } + E _ { g } ) = \mathcal { D } { d t } + \dot { E } _ { k } ^ { i n } \, \leq \, 0 \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \dot { h } \leq 0 . } \end{array}
\tilde { M } _ { 1 3 } ^ { R } = - \rho \tilde { V } _ { S 0 } ^ { 2 } + \rho \sqrt { ( \tilde { V } _ { P 0 } ^ { 2 } - \tilde { V } _ { S 0 } ^ { 2 } ) \left[ ( 1 + 2 \tilde { \delta } ) \tilde { V } _ { P 0 } ^ { 2 } - \tilde { V } _ { S 0 } ^ { 2 } \right] } ,
{ \cal H } _ { i n t } = \left( { \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt 2 } } \right) _ { l q } ^ { N C } { \frac { 1 } { 2 } } \bar { \nu } \gamma ^ { \mu } \left( { \frac { 1 - \gamma _ { 5 } } { 2 } } \right) \nu \left[ j _ { q L } ^ { ( 3 ) } - ( \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) _ { l q } j _ { q } ^ { e m } \right] _ { \mu } ,
E = \Delta \sum _ { i } ^ { \phantom { N } } S _ { i } ^ { 2 } + V \sum _ { \left\langle i j \right\rangle } S _ { i } S _ { j } + J \sum _ { \left\langle i j \right\rangle } ( 1 - S _ { i } ^ { 2 } ) s _ { i } s _ { j } ( 1 - S _ { j } ^ { 2 } ) ,
\left\{ \begin{array} { l } { \dot { \bar { \mathbf { y } } } _ { 1 } = \hat { A } _ { 2 } ^ { 1 1 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 1 } + \hat { A } _ { 2 } ^ { 1 2 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 2 } + \bar { B } _ { 2 } ^ { 1 } u _ { 2 } } \\ { \dot { \bar { \mathbf { y } } } _ { 2 } = \hat { A } _ { 2 } ^ { 2 1 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 1 } + \hat { A } _ { 2 } ^ { 2 2 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { y } } _ { 2 } + \bar { B } _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } } \end{array} \right.
u ( f _ { a _ { 1 } \ldots a _ { k } } c ^ { a _ { 1 } } \cdots c ^ { a _ { k } } ) = u ^ { A } \partial _ { A } ( f _ { a _ { 1 } \ldots a _ { k } } ) c ^ { a _ { 1 } } \cdots c ^ { a _ { k } } + \sum _ { i } u ^ { a _ { i } } ( - 1 ) ^ { i - 1 } f _ { a _ { 1 } \ldots a _ { k } } c ^ { a _ { 1 } } \cdots c ^ { a _ { i - 1 } } c ^ { a _ { i + 1 } } \cdots c ^ { a _ { k } }
\frac { d } { d T } \left[ T \left( L _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) + E + \frac { \omega } { 2 } \right) \right] = L _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) + E + \frac { \omega } { 2 } + T \frac { d \omega } { d T } \left( \frac { d L _ { \mathrm { e f f } } } { d \omega } + \frac { 1 } { 2 } \right) = 0 \, .
\mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \phi _ { N } \rangle ] \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { K \to \infty } \mathbb { E } [ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \langle \zeta _ { t } ^ { X | K } , \phi _ { N } \rangle ] \xrightarrow [ N \to \infty ] { } 0 ,
\begin{array} { r l r } { \Theta _ { p } ^ { ( x ) } } & { { } = } & { p \theta _ { \mathrm { a c } } + k _ { p } ( \eta ) \cdot \delta + k _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) \cdot \zeta ^ { - 1 } , } \\ { \Theta _ { p } ^ { ( y ) } } & { { } = } & { p \theta _ { \mathrm { a c } } + q _ { p } ( \eta ) \cdot \delta + q _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) \cdot \zeta ^ { - 1 } + \frac { \pi } { 2 } . } \end{array}
\left. \frac { \partial \tau } { \partial \sigma } \right| _ { { \bf q } = { \bf 0 } } = \frac { \partial \tau } { \partial \bar { \bf r } } \cdot \frac { d \bar { \bf r } } { d \sigma } = \bar { \bf w } \cdot { \bf \hat { n } } = \frac { 1 } { v _ { 0 } } .
Y ( \theta ) = \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \frac { \textstyle \Gamma ( 1 - l + \epsilon n \gamma / 3 6 \pi + 1 / 4 + i \theta / 2 \pi ) \Gamma ( l - \epsilon n \gamma / 3 6 \pi - 1 / 4 - i \theta / 2 \pi ) } { \textstyle \Gamma ( - l + \epsilon n \gamma / 3 6 \pi + 1 / 4 - i \theta / 2 \pi ) \Gamma ( l + 1 - \epsilon n \gamma / 3 6 \pi - 1 / 4 + i \theta / 2 \pi ) } \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \tilde { B } _ { k } ( 0 ) - \tilde { B } _ { k } ( r ) > a - \sqrt { r } \mid \mathcal { F } _ { \lambda } ) } & { \le c \exp \left( - \frac { ( a - \sqrt { r } - r L _ { \lambda } / \lambda - r \lambda ) ^ { 2 } } { 4 ( 1 - r / \lambda ) r } \right) } \\ & { \le \exp \left( - \frac { ( a ^ { 2 } - 2 a ( \sqrt { r } + r L _ { \lambda } / \lambda + r \lambda ) ) ( 1 + r / \lambda ) } { 4 r } \right) } \\ & { \le \exp \left( - \frac { a ^ { 2 } } { 4 r } - \frac { a ^ { 2 } } { 4 \lambda } + \frac { a } { \sqrt { r } } + a ( L _ { \lambda } ) ^ { + } / \lambda + a \lambda \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { V \ge \frac { \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } ( \underline { { B } } _ { i } + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } D _ { i } - \delta _ { i } ) } { - p _ { i } ^ { \mathrm { b } } + \beta _ { i } + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } r _ { i } } , } \\ { V \ge \frac { \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } ( \underline { { B } } _ { i } + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } D _ { i } - \delta _ { i } ) } { - p _ { i } ^ { \mathrm { s } } + \beta _ { i } + \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } r _ { i } } . } \end{array}
| \tilde { \mathrm { R } } \rangle = c _ { R } ^ { R } | \mathrm { R } ^ { \prime } \rangle + c _ { N } ^ { R } | \mathrm { N } \rangle \, , \quad | \tilde { \mathrm { N } } \rangle = c _ { R } ^ { N } | \mathrm { R } ^ { \prime } \rangle + c _ { N } ^ { N } | \mathrm { N } \rangle \, .
\frac { \Gamma ( f _ { 0 } \to \eta ^ { \prime } \eta ) } { \Gamma ( f _ { 0 } \to \eta \eta ) } = \left| \frac { \langle \, 0 \, | \, G \widetilde { G } \, | \, \eta ^ { \prime } \, \rangle } { \langle \, 0 \, | \, G \widetilde { G } \, | \, \eta \, \rangle } \right| ^ { 2 } \, \frac { p _ { \eta \eta ^ { \prime } } ^ { C M } } { p _ { \eta \eta } ^ { C M } } \, ,
\begin{array} { r l } & { { \mathscr F } ^ { * } = L ^ { 2 } ( I ^ { * } , \mathfrak { m } ^ { * } ) \cap \mathscr { S } ^ { * } , } \\ & { { \mathscr E } ^ { * } ( f ^ { * } , f ^ { * } ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbf K } \left( \frac { d f ^ { * } } { d x } \right) ^ { 2 } d x + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \geq 1 , n \in { \mathbb Z } } \frac { \left( f ^ { * } ( a _ { k } ^ { n } ) - f ^ { * } ( b _ { k } ^ { n } ) \right) ^ { 2 } } { | b _ { k } ^ { n } - a _ { k } ^ { n } | } , \quad f ^ { * } \in { \mathscr F } ^ { * } . } \end{array}
\mathbf { \Sigma } _ { \mathrm { d e v } } = \mathbf { \Sigma } - \frac { 1 } { 3 } \mathrm { t r } ( \mathbf { \Sigma } ) \mathbb { 1 } _ { 3 \times 3 } = \frac { 2 \Sigma _ { 1 } - \Sigma _ { 2 } - \Sigma _ { 3 } } { 3 } \mathbf { I } _ { 1 } + \frac { - \Sigma _ { 1 } + 2 \Sigma _ { 2 } - \Sigma _ { 3 } } { 3 } \mathbf { I } _ { 2 } + \frac { - \Sigma _ { 1 } - \Sigma _ { 2 } + 2 \Sigma _ { 3 } } { 3 } \mathbf { I } _ { 3 } \equiv \tilde { \Sigma } _ { 1 } \mathbf { I } _ { 1 } + \tilde { \Sigma } _ { 2 } \mathbf { I } _ { 2 } + \tilde { \Sigma } _ { 3 } \mathbf { I } _ { 3 } .
\rho = \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } p _ { i } + \frac { 1 } { \beta V } \left[ \gamma _ { \beta } ( \beta , L _ { i } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } \gamma _ { L _ { i } } ( \beta , L _ { i } ) \right] \frac { \partial f } { \partial \lambda _ { e f f } }
\begin{array} { r l } { H _ { T C 2 } } & { { } = \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \hbar \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \omega _ { x g } \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } + \frac { g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } x ( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } + \hat { \sigma } _ { j } ^ { - } ) \right] . } \end{array}
\vec { F } _ { 2 1 } ^ { [ n ] } = \int d ^ { 3 } x _ { 2 } \left( \rho _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } ) \vec { E } _ { 1 } ^ { [ n ] } ( \vec { x } _ { 2 } ) + \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } ) \times \vec { B } _ { 1 } ^ { [ n ] } ( \vec { x } _ { 2 } ) \right) .
\bar { \bf E } = \frac { \partial \bar { \bf r } ^ { T } } { \partial \bar { \bf q } } = \left[ \hat { \bf e } _ { 1 } , \ \hat { \bf e } _ { 2 } , \ \hat { \bf t } + ( { \bf h } \cdot { \bf q } ) \hat { \bf n } \right] ^ { T } \, ,
\tilde { \alpha } ( z , z ^ { \prime } ) = \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mu _ { \mathrm { e x t } } ( z ^ { \prime } , x _ { k } ^ { \prime } ) \Pi _ { l = 1 , l \neq k } ^ { K } q _ { z ^ { \prime } } ( x _ { l } ^ { \prime } ) \right] q ( z ^ { \prime } , z ) q _ { z } ^ { K } ( \mathcal { X } ) } { \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mu _ { \mathrm { e x t } } ( z , x _ { k } ) \Pi _ { l = 1 , l \neq k } ^ { K } q _ { z } ( x _ { l } ) \right] q ( z , z ^ { \prime } ) q _ { z } ^ { K } ( \mathcal { X } ^ { \prime } ) } \right\} .
f ^ { \prime } ( t ^ { \prime } ) = { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ( t _ { r } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ( t _ { r } ) | } } \cdot ( - \mathbf { v } _ { s } ( t ^ { \prime } ) ) + c \geq c - \left| { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ( t _ { r } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { s } ( t _ { r } ) | } } \right| \, | \mathbf { v } _ { s } ( t ^ { \prime } ) | = c - | \mathbf { v } _ { s } ( t ^ { \prime } ) | \geq c - v _ { M } > 0
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { b } } & { = \varepsilon _ { 1 } ^ { b } + \varepsilon _ { 3 } ^ { b } - \varepsilon _ { 2 } ^ { b } , } \\ { \Delta \epsilon ^ { b } } & { = 2 \varepsilon _ { 2 } ^ { b } - ( \varepsilon _ { 1 } ^ { b } + \varepsilon _ { 3 } ^ { b } ) , } \\ { t ^ { b } } & { = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } ( \varepsilon _ { 2 } ^ { b } - \varepsilon _ { 1 } ^ { b } ) ( \varepsilon _ { 3 } ^ { b } - \varepsilon _ { 2 } ^ { b } ) } . } \end{array}
( \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } ) = \sum _ { s _ { z \, N } } \cdots \sum _ { s _ { z \, 2 } } \sum _ { s _ { z \, 1 } } \int _ { \mathrm { a l l \, s p a c e } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 1 } \int _ { \mathrm { a l l \, s p a c e } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 2 } \cdots \int _ { \mathrm { a l l \, s p a c e } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { N } \Psi _ { 1 } ^ { * } \left( \mathbf { r } _ { 1 } \cdots \mathbf { r } _ { N } , s _ { z \, 1 } \cdots s _ { z \, N } , t \right) \Psi _ { 2 } \left( \mathbf { r } _ { 1 } \cdots \mathbf { r } _ { N } , s _ { z \, 1 } \cdots s _ { z \, N } , t \right)
\begin{array} { r l } { I _ { 0 } + S _ { 0 } + \frac { S _ { 0 } - l n | e ^ { S _ { 0 } } - 1 | } { R _ { 0 } } } & { { } = I _ { \infty } + S _ { \infty } + \frac { S _ { \infty } - l n | e ^ { S _ { \infty } } - 1 | } { R _ { 0 } } } \end{array}
\mathbf { A } = \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } ( t ) } \\ { a _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right] , \qquad \mathrm { M } = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { \mathrm { m o d } } } \left[ \begin{array} { l l } { f _ { 2 } } & { - f _ { 1 } + 2 \Delta \omega } \\ { - f _ { 1 } - 2 \Delta \omega } & { - f _ { 2 } } \end{array} \right] , \qquad \Delta \omega = \frac { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega _ { \mathrm { m o d } } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left| M ( t ) - M ( s ) \right| } & { = \left\{ \begin{array} { c c } { h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) - h ( \overline { { x } } _ { s } , s ) \mathrm { ~ i f ~ } M ( t ) > M ( s ) } \\ { h ( \overline { { x } } _ { s } , s ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) \mathrm { ~ i f ~ } M ( s ) > M ( t ) } \end{array} \right. } \\ & { \leq \left\{ \begin{array} { c c } { h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , s ) \mathrm { ~ i f ~ } M ( t ) > M ( s ) } \\ { h ( \overline { { x } } _ { s } , s ) - h ( \overline { { x } } _ { s } , t ) \mathrm { ~ i f ~ } M ( s ) > M ( t ) } \end{array} \right. } \\ & { \leq \left\{ \begin{array} { c c } { | \partial _ { t } h ( \overline { { x } } _ { t } , z ) | | t - s | \mathrm { ~ i f ~ } M ( t ) > M ( s ) } \\ { | \partial _ { t } h ( \overline { { x } } _ { s } , z ) | | t - s | \mathrm { ~ i f ~ } M ( s ) > M ( t ) } \end{array} \right. } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { y , z } | \partial _ { t } h ( y , z ) | | t - s | . } \end{array}
u _ { k } ( \overline { { { n } } } _ { k } ) = \bigl [ \frac { 1 } { 2 } ( \sqrt { \overline { { { n } } } _ { k } ( \overline { { { n } } } _ { k } + 1 ) } \pm \sqrt { \overline { { { n } } } _ { k } ( \overline { { { n } } } _ { k } + 1 ) - 4 } ) \bigr ] .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { F I T B O } } ( x \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } ) } & { : = H \bigg [ \frac { 1 } { M } \sum _ { i } ^ { M } p ( y \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } , x , \theta _ { i } , \eta _ { i } ) \bigg ] - \frac { 1 } { 2 M } \sum _ { i } ^ { M } \log [ 2 \pi e ( C ( x , x \mid \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } , \theta _ { i } , \eta _ { i } ) + \sigma _ { n , i } ) ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } ( P \parallel Q ) } & { = \int _ { x _ { a } } ^ { x _ { b } } p ( x ) \log \left( { \frac { p ( x ) } { q ( x ) } } \right) \, d x } \\ & { = \int _ { x _ { a } } ^ { x _ { b } } { \tilde { p } } ( y ( x ) ) | { \frac { d y } { d x } } ( x ) | \log \left( { \frac { { \tilde { p } } ( y ( x ) ) \, | { \frac { d y } { d x } } ( x ) | } { { \tilde { q } } ( y ( x ) ) \, | { \frac { d y } { d x } } ( x ) | } } \right) \, d x } \\ & { = \int _ { y _ { a } } ^ { y _ { b } } { \tilde { p } } ( y ) \log \left( { \frac { { \tilde { p } } ( y ) } { { \tilde { q } } ( y ) } } \right) \, d y } \end{array} }
\mathcal { J } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } u _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { 2 } - \nu \bigg ( \frac { \partial u } { \partial x } \bigg ) _ { j + \frac { 1 } { 2 } } .
\tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha - \beta ) \right) = { \frac { a - b } { a + b } } \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha + \beta ) \right) = { \frac { a - b } { a + b } } \cot \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { ( 1 - \gamma ) } { 2 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K _ { \epsilon , R } ( a , v , a ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) g ( a , v , t ) g ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } , t ) [ ( v + v ^ { \prime } ) ^ { \gamma } - v ^ { \gamma } - v ^ { \gamma } ] \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } \textup { d } v \textup { d } a } \\ { \leq } & { \frac { K _ { 1 } ( 1 - \gamma ) } { 2 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } ( v ^ { - \alpha } v ^ { \beta } + v ^ { \beta } v ^ { - \alpha } ) \xi _ { R } ( v + v ^ { \prime } ) g ( a , v , t ) g ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } , t ) [ ( v + v ^ { \prime } ) ^ { \gamma } - v ^ { \gamma } - v ^ { \gamma } ] \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } \textup { d } v \textup { d } a } \\ { \leq } & { \frac { K _ { 1 } ( 1 - \gamma ) } { 2 } \int _ { \{ v < \frac { R } { 2 } \} } \int _ { \{ v ^ { \prime } < \frac { R } { 2 } \} } ( v ^ { - \alpha } v ^ { \beta } + v ^ { \beta } v ^ { - \alpha } ) g ( a , v , t ) g ( a ^ { \prime } , v ^ { \prime } , t ) [ ( v + v ^ { \prime } ) ^ { \gamma } - v ^ { \gamma } - v ^ { \gamma } ] \textup { d } v ^ { \prime } \textup { d } a ^ { \prime } \textup { d } v \textup { d } a . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \theta _ { 2 } } \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { = } & { \nabla _ { \theta _ { 2 } } ( \sum _ { a _ { 2 } , \eta _ { 3 } } \pi _ { 2 } ( a _ { 2 } , \eta _ { 3 } | s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } , a _ { 2 } , \eta _ { 3 } ) ) } \\ { = } & { \sum _ { a _ { 2 } , \eta _ { 3 } } \Big ( \nabla _ { \theta _ { 2 } } \pi _ { 2 } ( a _ { 2 } , \eta _ { 3 } | s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } , a _ { 2 } , \eta _ { 3 } ) + \pi _ { 2 } ( a _ { 2 } , \eta _ { 3 } | s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \nabla _ { \theta _ { 2 } } \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } , a _ { 2 } , \eta _ { 3 } ) \Big ) } \\ { = } & { \sum _ { a _ { 2 } , \eta _ { 3 } } ( \nabla _ { \theta _ { 2 } } \pi _ { 2 } ( a _ { 2 } , \eta _ { 3 } | s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \hat { Q } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 2 } , \eta _ { 2 } , a _ { 2 } , \eta _ { 3 } ) ) + \gamma \sum _ { a _ { 2 } , \eta _ { 3 } } ( \pi _ { 2 } ( a _ { 2 } , \eta _ { 3 } | s _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \sum _ { s _ { 3 } } P ( s _ { 3 } | s _ { 2 } , a _ { 2 } ) \nabla _ { \theta _ { 2 } } \hat { J } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 3 } , \eta _ { 3 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { A } + \mathbf { B } \right) \left( \mathbf { X } + \mathbf { Y } \right) } & { = \left( \mathbf { X } - \mathbf { Y } \right) \mathbf { \Omega } } \\ { \left( \mathbf { A } - \mathbf { B } \right) \left( \mathbf { X } - \mathbf { Y } \right) } & { = \left( \mathbf { X } + \mathbf { Y } \right) \mathbf { \Omega } , } \end{array}
\textrm { P 2 : } \qquad [ \widehat { \iota } ( c _ { s , a } ) ] = \underset { \iota ( c _ { s , a } ) \in { H } _ { 0 } ^ { 1 } ( [ 0 , c _ { s , a , m a x } ] ) } { \textrm { a r g m i n } } ~ \mathcal { J } _ { 2 } ( \iota ( c _ { s , a } ) ) ,
\mathrm { I I - L } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \, \omega \left[ \rho _ { V } ^ { L } ( \omega , { \bf p } ) - \rho _ { A } ^ { L } ( \omega , { \bf p } ) \right] \, = \, 0 \, .
{ \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } = { \frac { \partial \mathbf { f } _ { 1 } } { \partial \mathbf { f } _ { 2 } } } \cdot \left( { \frac { \partial \mathbf { f } _ { 2 } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } \right) .
\begin{array} { r l } & { m _ { 1 1 } = e ^ { i L k _ { \operatorname { I } } } \left( \cos ( L k _ { \operatorname { I I } } ) - i \sin ( L k _ { \operatorname { I I } } ) \frac { 2 v _ { 1 } ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } k _ { \operatorname { I } } ^ { 2 } k _ { \operatorname { I I } } ^ { 2 } + \tilde { m } ^ { 2 } ( k _ { \operatorname { I } } ^ { 2 } + k _ { \operatorname { I I } } ^ { 2 } ) } { 2 E ( E - U _ { 0 } ) k _ { \operatorname { I } } k _ { \operatorname { I I } } } \right) , } \\ & { m _ { 2 2 } = e ^ { - i L k _ { \operatorname { I } } } \left( \cos ( L k _ { \operatorname { I I } } ) + i \sin ( L k _ { \operatorname { I I } } ) \frac { 2 v _ { 1 } ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } k _ { \operatorname { I } } ^ { 2 } k _ { \operatorname { I I } } ^ { 2 } + \tilde { m } ^ { 2 } ( k _ { \operatorname { I } } ^ { 2 } + k _ { \operatorname { I I } } ^ { 2 } ) } { 2 E ( E - U _ { 0 } ) k _ { \operatorname { I } } k _ { \operatorname { I I } } } \right) , } \\ & { m _ { 1 2 } = i \frac { \sin ( L k _ { \operatorname { I I } } ) ( k _ { y } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } ( m ^ { 2 } + \hbar ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } ) - v _ { 1 } ^ { 2 } ( m ^ { 2 } - \hbar ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } v _ { 2 } ^ { 2 } ) k _ { 1 } ^ { 2 } - 2 i v _ { 1 } v _ { 2 } k _ { \operatorname { I } } k _ { y } E ) ( \frac { U _ { 0 } } { 2 } - E ) } { \hbar ^ { 2 } v _ { 1 } ^ { 2 } k _ { \operatorname { I } } k _ { \operatorname { I I } } ( E ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ( E - U _ { 0 } ) } , } \end{array}
\mathcal { H } _ { 1 } ( k ) = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { J \exp ( - i k M ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { J \exp ( i k M ) } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
Z _ { \mathrm { I s i n g } } = \sum _ { \mathrm { b . c . } } \int { \mathcal D } \psi { \mathcal D } \bar { \psi } \, \exp \left( 2 \int _ { \mathcal T } d ^ { 2 } z \left( \psi \bar { \partial } \psi - \bar { \psi } \partial \bar { \psi } + m \bar { \psi } \psi \right) \right) = \sum _ { \mathrm { b . c . } } ( \mathrm { d e t } ( - \nabla ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ) ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r l } { \ddot { y } + ( \frac { { 2 \zeta } } { { { U _ { r } } { S _ { t } } } } + \frac { { 4 \gamma } } { { \pi { m ^ { * } } + \pi { C _ { M } } } } ) \dot { y } + \frac { 1 } { { { U _ { r } } ^ { 2 } { S _ { t } } ^ { 2 } } } y } & { { } = \frac { { { C _ { L 0 } } } } { { 4 { \pi ^ { 3 } } { S _ { t } } ^ { 2 } ( { m ^ { * } } + { C _ { M } } ) } } \cdot q , } \\ { \ddot { q } + \varepsilon \left( { { q ^ { 2 } } - 1 } \right) \dot { q } + q } & { { } = { A } \ddot { y } . } \end{array}
\boldsymbol { L } ( \boldsymbol { k } ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { \boldsymbol { L _ { c } } ( \boldsymbol { k } ) } & { \boldsymbol { \partial _ { y } U } } & { \boldsymbol { 0 } } & { \mathrm { i } k _ { x } ^ { * } \boldsymbol { I _ { c } } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { L _ { e } } ( \boldsymbol { k } ) } & { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { \partial _ { y } } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { L _ { c } } ( \boldsymbol { k } ) } & { \mathrm { i } k _ { z } ^ { * } \boldsymbol { I _ { c } } } \\ { \mathrm { i } k _ { x } ^ { * } \boldsymbol { I _ { c } } } & { \boldsymbol { \partial _ { y } } } & { \mathrm { i } k _ { z } ^ { * } \boldsymbol { I _ { c } } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { L _ { B } } } & { \boldsymbol { \hat { \nabla } } } \\ { \boldsymbol { \hat { \nabla } } ^ { T } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { { } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t < \zeta ( X ^ { \eta } ) \} } 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \omega ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { E } _ { z } ^ { 1 } ( \kappa ) = \left\{ \begin{array} { c } { b _ { 1 } \kappa + \frac { b _ { 2 } } { \kappa } ~ ~ \kappa < 1 } \\ { b _ { 3 } \kappa + \frac { b _ { 4 } } { \kappa } - \nu g r _ { b } \kappa \log \left( \kappa + \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } \right) ~ ~ 1 < \kappa \ll \infty } \end{array} \right. } \end{array}