harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
+ ( \overline { { { \rho } } } _ { \mathrm { t o t , - } } ( p ) + { \kappa } _ { p , - } ( j _ { p } ^ { \mathrm { e x } } ) ^ { \star } ) ( \overline { { { \rho } } } _ { \mathrm { t o t , - } } ( - p ) + { \kappa } _ { p , - } { j _ { p } ^ { \mathrm { e x } } } ) \} + { \hbar } ^ { 2 } \frac { q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } { L } \sum _ { p > 0 } \frac { 1 } { \mathrm { E } _ { p } ^ { 2 } ( \mathrm { N } ) } j _ { p } ^ { \mathrm { e x } } ( j _ { p } ^ { \mathrm { e x } } ) ^ { \star }
\begin{array} { r l } { \mu ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } ) } & { { } = \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { M M } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M N } \boldsymbol { \mathbf { y } } } \\ { \Sigma ^ { 2 } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } ) } & { { } = k - \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M M } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } + \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { M M } \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { K S } \left[ \hat { \rho } ^ { S P } , { \bf R } \right] } & { { } = } & { E _ { b s } \left[ \hat { \rho } ^ { S P } , { \bf R } \right] + E _ { d c } [ \hat { \rho } ^ { S P } ] , } \end{array}
\partial _ { \psi _ { k } } \mathsf { G } _ { p _ { j } } = 0 , \qquad \partial _ { p _ { k } } \mathsf { G } _ { p _ { j } } = 0 , \qquad \partial _ { \psi _ { k } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } = 0 , \qquad \partial _ { p _ { k } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } = 0 , \qquad k \neq j \, ,
\begin{array} { r l } { { \cal H } ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) } & { { } \! = \! \left( \begin{array} { l l l l } { m ( { \bf k } ) } & { A _ { 1 } k _ { z } } & { 0 } & { A _ { 2 } k _ { - } } \\ { A _ { 1 } k _ { z } } & { - m ( { \bf k } ) } & { A _ { 2 } k _ { - } } & { 0 } \\ { 0 } & { A _ { 2 } k _ { + } } & { m ( { \bf k } ) } & { - A _ { 1 } k _ { z } } \\ { A _ { 2 } k _ { + } } & { 0 } & { - A _ { 1 } k _ { z } } & { - m ( { \bf k } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\Gamma ( \Xi _ { c c } ^ { + + } ) - \Gamma ( \Xi _ { c c } ^ { + } ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { c } ^ { 2 } } { 4 \pi } | V _ { c s } | ^ { 2 } | V _ { u d } | ^ { 2 } [ \langle \Xi _ { c c } ^ { + + } | P ^ { c u } | \Xi _ { c c } ^ { + + } \rangle - \langle \Xi _ { c c } ^ { + } | P ^ { c d } | \Xi _ { c c } ^ { + } \rangle ] \, ,
\beta ^ { k } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \frac { \tau _ { 1 } ^ { k } + \hat { \delta } ^ { k } } { 2 } } } ( \tau _ { 1 } ^ { k } + \hat { \delta } , \tau _ { 2 } ^ { k } , . . . , \tau _ { n } ^ { k } ) ^ { T } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \hat { \delta } ^ { k } = \sqrt { ( \tau _ { 1 } ^ { k } ) ^ { 2 } - | | \tau _ { 2 : n } ^ { k } | | ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \hat { K } _ { N } ^ { m , t } \phi } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left\langle \hat { C } _ { \mathbb H } ^ { m , t } \phi , \, \hat { e } _ { j } \right\rangle \hat { e } _ { j } = \frac { 1 } { m } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \phi ( y _ { k } ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left\langle \Phi ( x _ { k } ) , \, \hat { e } _ { j } \right\rangle \hat { e } _ { j } = \frac { 1 } { m } \sum _ { k = 1 } ^ { m } \phi ( y _ { k } ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } \hat { e } _ { j } ( x _ { k } ) \hat { e } _ { j } . } \end{array}
\mathcal { L } _ { g } = | | h ( \mathcal { T } + \tau ) - \hat { h } ( \mathcal { T } + \tau ) | | _ { 2 } ^ { 2 } + | | \alpha ( \mathcal { T } + \tau ) - \hat { \alpha } ( \mathcal { T } + \tau ) | | _ { 2 } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \langle \psi , M ^ { \mathrm { A I S } } ( \rho ) ^ { - 1 } \psi \rangle } \\ { = } & { \int \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho ) \rho ( \theta ) \left( L ( \theta , \rho ) ^ { T } \nabla _ { \theta } \psi ( \theta ) \right) ^ { T } \left( L ( \theta ^ { \prime } , \rho ) ^ { T } \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \psi ( \theta ^ { \prime } ) \right) \rho ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \geq 0 } \end{array}
( p - p ^ { \prime } ) p ( 1 - p ) = ( 1 - p ) ^ { 2 } \frac { n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \; J } { k _ { v b - } } - p ^ { 2 } \frac { \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } \right) J } { k _ { c b 0 } }
I _ { S O V C } \left[ A ^ { 2 } \Pi _ { 3 / 2 } ( 0 0 0 ) \rightarrow X ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 1 0 ) \right] \propto \frac { | h _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ O ~ } } | ^ { 2 } | \lambda | ^ { 2 } } { ( \Delta E _ { A B } - \Delta E _ { A A } + \omega ^ { B } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } ( \Delta E _ { A A } - \omega ^ { A } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { ~ A ~ X ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } | ^ { 2 } ,
N ( \varepsilon ) = g ( \varepsilon ) \langle f \rangle ( \boldsymbol { p } ) = \frac { n _ { 0 } } { \beta \Gamma ( a + 1 ) \eta _ { \mathrm { m a x } } \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \beta \eta _ { \mathrm { m i n } } \varepsilon } ^ { { \beta \eta _ { \mathrm { m a x } } \varepsilon } } \mathrm { d } x \, x ^ { 1 + a } G \left( \frac { x } { \beta \eta _ { \mathrm { m a x } } \varepsilon } \right) e ^ { - x } .
\mathrm { s i g n } ( H ( r _ { 0 } ) ) = \mathrm { s i g n } ( r _ { 2 } - r _ { 1 } ) \; \mathrm { s i g n } ( r _ { 0 } - r _ { 1 } ) \; \mathrm { s i g n } ( r _ { 0 } - r _ { 2 } ) \, .
\langle V ( x ) \rangle = N ^ { - 1 } \operatorname * { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \int d A _ { 0 } \langle 0 | e ^ { i T H } e ^ { { \frac { 2 \pi i } { g } } \int _ { C } d y ^ { i } \epsilon _ { i j } E _ { i } ( y ) } e ^ { i \int A _ { 0 } [ \partial _ { i } E _ { i } - J _ { 0 } ] } e ^ { i T H } | 0 \rangle \, .
T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } = - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } + 1 + e ^ { j \varphi }
\delta _ { t } { S } = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \{ [ { L } _ { q ^ { i } } ] \delta _ { v } q ^ { i } + \frac { d } { d t } ( \frac { \partial { L } } { \partial \dot { q } ^ { j } } \delta _ { v } q ^ { j } + { L } \delta t ) \} .
\dot { g } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { \scriptsize ~ n o r m a l } } = \frac { - I \mathfrak R ( \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { \scriptsize ~ n o r m a l } } ) } { ( \mathfrak R ( V _ { t } ^ { j , k } ) ) ^ { 2 } } \mathrm { ~ a n d ~ } \dot { g } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { \scriptsize ~ m o t i o n } } = \frac { - I \mathfrak R ( \dot { V } _ { t } ^ { j , k , \mathrm { \scriptsize ~ m o t i o n } } ) } { ( \mathfrak R ( V _ { t } ^ { j , k } ) ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \ddot { \sigma } _ { i } ( t ) + \omega _ { i } ^ { 2 } \sigma _ { i } ( t ) } & { = \frac { k _ { B } } { m } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { i } ( t ) } - \frac { \sigma _ { i } ( t ) } { r _ { i } } \partial _ { i } \right) T ( \boldsymbol { r } , t ) } \\ & { \quad + \sigma _ { i } \sum _ { j , k , \ell } \frac { \partial _ { j } \mu _ { i j k \ell } ( T ) } { r _ { i } \rho ( \boldsymbol { r } ) } \delta _ { k , \ell } \frac { \dot { \sigma } _ { k } } { \sigma _ { \ell } } , } \end{array}
\gamma _ { n _ { [ 3 ] } } ^ { [ 3 ] } = \left\langle \mathbf { d } \gamma _ { n _ { [ 3 ] } } ^ { [ 2 ] } \Big \vert \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } ^ { [ 2 ] } \right\rangle , n _ { [ 3 ] } = 1 , \dots , N _ { 0 } ^ { [ 3 ] } ,
I _ { 1 } = - \frac \pi p \int _ { 0 } ^ { \mu } d k \, \ln \left| \frac { p ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } + 2 \, k \, \left( \omega + p \right) } { p ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } + 2 \, k \, \left( \omega - p \right) } \right|
L _ { \theta _ { 0 } } : = \frac { \| \theta _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } } { \| \theta _ { 0 } \| _ { H ^ { 1 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } } & { \geq \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \left\{ \big [ \exp \big ( 3 \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \big ) \big ] ^ { - 1 } p _ { i , j } ^ { t + 1 } - e ^ { - B } \right\} } \\ & { \geq \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \Big [ \exp \Big ( \operatorname* { m a x } _ { i } 3 \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \Big ) \Big ] ^ { - 1 } p _ { i , j } ^ { t + 1 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } e ^ { - B } } \\ & { = \Big [ \exp \Big ( \operatorname* { m a x } _ { i } 3 \eta _ { p , i } r _ { i } + \eta B \Big ) \Big ] ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t + 1 } - e ^ { - B } . } \end{array}
\int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f _ { n } ( 0 ) \varphi ( 0 ) \, \mathrm { d } v - \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } f _ { n } \partial _ { t } \varphi \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t = \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left( \nabla ^ { 2 } \varphi : A [ f _ { n } ] f _ { n } \right) + 2 \nabla \varphi \cdot \nabla a [ f _ { n } ] f _ { n } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t .
\partial _ { \mu } \pi _ { i } ^ { j } \to \partial _ { \mu } \pi _ { i } ^ { j } - \left( \begin{array} { c c } { { O } } & { { - m _ { 1 } A _ { \mu } + m _ { 2 } \gamma _ { 5 } B _ { \mu } } } \\ { { m _ { 1 } A _ { \mu } + m _ { 2 } \gamma _ { 5 } B _ { \mu } } } & { { O } } \end{array} \right) _ { i } ^ { j }
{ \sum } ^ { \varphi l } ( p ) = \frac { e ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } } { 2 s _ { W } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \ \omega _ { + } \Delta _ { F } ( k ) S _ { F } ( k + p ) \omega _ { - } \ .
\begin{array} { r l } { H _ { P } ^ { \prime } = } & { ( 1 + \cos k _ { x } - i \epsilon ) \Gamma _ { 1 } + ( 1 + \cos k _ { y } + i \epsilon ) \Gamma _ { 6 } - \sin k _ { x } \Gamma _ { 2 } } \\ & { - \sin k _ { y } \Gamma _ { 7 } + \frac { ( \beta + \gamma ) } { 2 } \Gamma _ { 1 1 } + \frac { i ( \beta - \gamma ) } { 2 } \Gamma _ { 1 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ( \rho ) } & { { } = X _ { b } + r ( \cos [ \phi _ { c } ] - \cos [ 2 \pi \rho + \phi _ { c } ] ) } \\ { Y ( \rho ) } & { { } = Y _ { b } + r ( \sin [ \phi _ { c } ] - \sin [ 2 \pi \rho + \phi _ { c } ] ) } \\ { Z ( \rho ) } & { { } = Z _ { 0 } - Y ( \rho ) / m } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { X } \theta } & { ( \vec { x } , z , \omega ) } \\ & { = \frac { [ S _ { X X } ( \vec { x } , z , \omega ) - S _ { Y Y } ( \vec { x } , z , \omega ) ] \nabla _ { X } S _ { X Y } ( \vec { x } , z , \omega ) - S _ { X Y } ( \vec { x } , z , \omega ) \nabla _ { X } [ S _ { X X } ( \vec { x } , z , \omega ) - S _ { Y Y } ( \vec { x } , z , \omega ) ] } { 4 S _ { X Y } ( \vec { x } , z , \omega ) ^ { 2 } + [ S _ { X X } ( \vec { x } , z , \omega ) - S _ { Y Y } ( \vec { x } , z , \omega ) ] ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \langle v \rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } \nabla _ { v } ( - \Delta _ { v } ) ^ { - 1 } F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { \infty } } } & { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { 1 } } + \| | \nabla _ { v } | ^ { - 1 } | F _ { + } ^ { ( \frac { 3 } { 2 } , s ) } | \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { \infty } } } \\ & { \lesssim \| F _ { + } ^ { ( 2 , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } + \| \langle \nabla _ { v } \rangle ^ { \frac { 3 } { 4 } } | F _ { + } ^ { ( \frac { 3 } { 2 } , s ) } | \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim 1 + \| | F _ { + } ^ { ( \frac { 3 } { 2 } , s ) } | \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } ^ { \frac { 3 } { 4 } } . } \\ & { \lesssim 1 + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ^ { \frac { 3 } { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \frac { \dot { a } ^ { \ast } } { a ^ { \ast } } = \frac { \partial a ^ { \ast } \left( \eta , x _ { \ast } , y _ { \ast } , z _ { \ast } \right) \! / \partial \eta } { a ^ { \ast } \left( \eta , x _ { \ast } , y _ { \ast } , z _ { \ast } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( \mathscr { Q } h _ { x } h ) \Lambda ^ { s } \mathscr { Q } h \ d x \right| } & { \lesssim \left\| \Lambda ^ { s } ( \mathscr { Q } h _ { x } h ) \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| \Lambda ^ { s } \mathscr { Q } h \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \left( \left\| \Lambda ^ { s } \mathscr { Q } h _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| h \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| \mathscr { Q } h _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \Lambda ^ { s } h \right\| _ { L ^ { 2 } } \right) \left\| \Lambda ^ { s } \mathscr { Q } h \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \left( \left\| h \right\| _ { H ^ { s - \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } \left\| h \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| h \right\| _ { H ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } \left\| h \right\| _ { H ^ { s } } \right) \left\| h \right\| _ { H ^ { s - 2 } } . } \end{array}
\xi = { \mathbf { e } } { \left[ \begin{array} { l } { \xi ^ { 1 } ( \mathbf { e } ) } \\ { \xi ^ { 2 } ( \mathbf { e } ) } \\ { \vdots } \\ { \xi ^ { k } ( \mathbf { e } ) } \end{array} \right] } = { \mathbf { e } } \, \xi ( \mathbf { e } )
\arctan ( z ) = z - { \frac { z ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { z ^ { 5 } } { 5 } } - { \frac { z ^ { 7 } } { 7 } } + \cdots = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } z ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 } } \, ; \qquad | z | \leq 1 \qquad z \neq i , - i
L _ { K } = x v _ { y } - y v _ { x } = \frac { 2 \Omega _ { - } } { \Omega } D + \frac { 2 \Omega _ { + } } { \Omega } J + \frac { 2 \omega _ { c } } { \Omega } \sqrt { J D } \cos \left( \theta + \varphi \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( - z \left( - \frac { m } { r } + 4 \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { d } { d a } - 2 \frac { r ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) - z \frac { m } { r } + i k r \right) L _ { n } ^ { - m } ( a ) } \\ & { = } & { - 4 z \frac { r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \left( \frac { d } { d a } - \frac { 1 } { 2 } \right) L _ { n } ^ { - m } ( a ) - a L _ { n } ^ { m } ( a ) - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 z } L _ { n } ^ { - m } ( a ) \right) } \\ & { = } & { 2 \sqrt { 2 } z \frac { \sqrt { 2 } r } { w _ { 0 } ^ { 2 } } L _ { n } ^ { - m + 1 } ( a ) \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { i k w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { L _ { n } ^ { | m | } ( a ) } { L _ { n } ^ { | m - 1 | } ( a ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { J } _ { \mathrm { \texttt { M - M G N } } } ( \boldsymbol { x } ) } & { = \boldsymbol { V } ^ { \top } \boldsymbol { V } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Bigg [ s _ { k } \left( \boldsymbol { z } _ { k } \right) \boldsymbol { W } _ { k } ^ { \top } \boldsymbol { J } _ { \sigma _ { k } } ( \boldsymbol { z } _ { k } ) \boldsymbol { W } _ { k } } \\ & { \qquad + \left( \boldsymbol { W } _ { k } ^ { \top } \sigma _ { k } ( \boldsymbol { z } _ { k } ) \right) \left( \boldsymbol { W } _ { k } ^ { \top } \sigma _ { k } ( \boldsymbol { z } _ { k } ) \right) ^ { \top } \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { p h a s e } } ( - \frac { \pi } { 2 } ) = } & { { } | g \rangle \langle g | + e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } } | e \rangle \langle e | } \\ { = } & { { } | g \rangle \langle g | - i | e \rangle \langle e | } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { K } _ { \mathbf { X X } } = \operatorname { c o v } ( \mathbf { X } , \mathbf { X } ) } & { = \operatorname { E } \left[ ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ^ { \mathrm { T } } \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ \mathbf { X X } ^ { \mathrm { T } } \right] - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ^ { \mathrm { T } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { a _ { i j } ( \omega , p ) : = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Big [ \frac { \partial \theta _ { i j } } { \partial p _ { i } } \eta _ { k i } + \frac { \partial \eta _ { i j } } { \partial p _ { i } } \theta _ { k i } + \frac { \partial \eta _ { j k } } { \partial p _ { j } } \theta _ { i j } - \frac { \partial \eta _ { k i } } { \partial p _ { k } } \theta _ { j k } } \\ & { \qquad - \frac { \partial \theta _ { i j } } { \partial p _ { j } } \eta _ { j k } - \frac { \partial \eta _ { i j } } { \partial p _ { j } } \theta _ { j k } - \frac { \partial \eta _ { k i } } { \partial p _ { i } } \theta _ { i j } + \frac { \partial \eta _ { j k } } { \partial p _ { k } } \theta _ { k i } \Big ] , } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 5 , 0 , 0 , 1 . 5 ) } & { \mathrm { i f ~ } x > 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 3 2 3 , 1 . 2 0 6 , 0 , 0 . 3 ) } & { \mathrm { i f ~ } x < 0 . 5 , y > 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 1 3 8 , 1 . 2 0 6 , 1 . 2 0 6 , 0 . 0 2 9 ) } & { \mathrm { i f ~ } x < 0 . 5 , y < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 3 2 3 , 0 , 1 . 2 0 6 , 0 . 3 ) } & { \mathrm { i f ~ } x > 0 . 5 , y < 0 . 5 . } \end{array} \right.
\tilde { I } _ { t , m ^ { \prime } } - \tilde { \alpha } _ { t } \left\{ \begin{array} { l l } { \geq \tilde { z } _ { t } - \tilde { \alpha } _ { t } \geq 1 } \\ { \leq \tilde { z } _ { t } ^ { \prime } - \tilde { \alpha } _ { t } = L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + 1 \leq 2 L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \Delta P _ { s h } Q } & { = \int _ { V _ { O S C } } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V + \int _ { ( V - V _ { O S C } ) / 2 } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V } \\ & { + \int _ { V _ { O S C } } \sigma _ { x y } \Bigl ( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \Bigr ) d V + \int _ { ( V - V _ { O S C } ) / 2 } \sigma _ { x y } \Bigl ( \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } \Bigr ) d V . } \end{array}
\| \eta _ { 1 } \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } \, \le \, C _ { 4 } E _ { 0 } [ \eta _ { 1 } ] + C _ { 5 } \bigl ( \tilde { \mu } _ { 0 } ^ { 2 } + \tilde { \mu } _ { 1 } ^ { 2 } + \tilde { \mu } _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \, ,
\psi _ { i } ( Y _ { 1 } ^ { N _ { 1 } + N _ { 2 } } , \hat { U } _ { 1 } ^ { i - 1 } , W _ { n } ) \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { X _ { i } } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \hat { X _ { i } } \neq e , \hat { X } _ { i - 1 } = e , } \\ & { \mathrm { ~ o r ~ i f ~ } \hat { X _ { i } } \neq e , \hat { X } _ { i - 1 } \neq e , \hat { X _ { i } } = \hat { X } _ { i - 1 } \oplus \hat { U } _ { i - 1 } , } \\ { \hat { X } _ { i - 1 } \oplus \hat { U } _ { i - 1 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \hat { X _ { i } } = e , \hat { X } _ { i - 1 } \neq e , \hat { U } _ { i - 1 } \neq e } \\ { e , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\left\langle { \bar { \psi } } ( k _ { 1 } ) { \bar { \psi } } ( k _ { 2 } ) \cdots { \bar { \psi } } ( k _ { n } ) \psi ( k _ { 1 } ^ { \prime } ) \cdots \psi ( k _ { n } ) \right\rangle = \sum _ { \mathrm { p a i r i n g s } } ( - 1 ) ^ { S } \prod _ { \mathrm { p a i r s } \; i , j } \delta \left( k _ { i } - k _ { j } \right) { \frac { 1 } { \gamma \cdot k _ { i } - m } }
\begin{array} { r l r } { \hat { \rho } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { ( \Delta { \sf t } ) ^ { N + 1 } } \int _ { 0 } ^ { \Delta { \sf t } } d { \sf t ^ { v } } \int _ { 0 } ^ { t } \dots \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } \dots d t _ { N } \, \times } \\ { ~ ~ } & { { } \times } & { w ( { \sf t ^ { v } } ; t _ { 1 } , \dots , t _ { N } ) \, | \Psi _ { t _ { 1 } \dots t _ { N } } ( t ; { \sf t ^ { v } } ) \rangle \langle \Psi _ { t _ { 1 } \dots t _ { N } } ( t ; { \sf t ^ { v } } ) | \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial { u ^ { \prime } } } { \partial x } + \frac { \partial { w ^ { \prime } } } { \partial z } = 0 ~ , } \\ & { R e \left( \frac { \partial { u ^ { \prime } } } { \partial t } + \overline { { u } } \frac { \partial { u ^ { \prime } } } { \partial x } + { w ^ { \prime } } \frac { d \overline { { u } } } { d z } \right) = - \frac { \partial { p ^ { \prime } } } { \partial x } + \Delta { u ^ { \prime } } ~ , } \\ & { R e \left( \frac { \partial { w ^ { \prime } } } { \partial t } + \overline { { u } } \frac { \partial { w ^ { \prime } } } { \partial x } \right) = - \frac { \partial { p ^ { \prime } } } { \partial z } + \Delta { w ^ { \prime } } + \frac { R a } { R e } { T ^ { \prime } } ~ , } \\ & { P r R e \left( \frac { \partial { T ^ { \prime } } } { \partial t } + \overline { { u } } \frac { \partial { T ^ { \prime } } } { \partial x } + { w ^ { \prime } } \frac { \partial \overline { { T } } } { \partial z } \right) = \Delta { T ^ { \prime } } ~ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } \langle A \rangle } & { = { \frac { d } { d t } } \int \Phi ^ { * } A \Phi \, d ^ { 3 } x } \\ & { = \int \left( { \frac { \partial \Phi ^ { * } } { \partial t } } \right) A \Phi \, d ^ { 3 } x + \int \Phi ^ { * } \left( { \frac { \partial A } { \partial t } } \right) \Phi \, d ^ { 3 } x + \int \Phi ^ { * } A \left( { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } \right) \, d ^ { 3 } x } \\ & { = \int \left( { \frac { \partial \Phi ^ { * } } { \partial t } } \right) A \Phi \, d ^ { 3 } x + \left\langle { \frac { \partial A } { \partial t } } \right\rangle + \int \Phi ^ { * } A \left( { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } \right) \, d ^ { 3 } x } \end{array} }
y ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , . . . , n _ { M } ) = h ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , . . . , n _ { M } ) * { \overset { M } { \cdots } } * x ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , . . . , n _ { M } ) \longleftrightarrow Y ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , . . . , \omega _ { M } ) = H ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , . . . , \omega _ { M } ) X ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , . . . , \omega _ { M } )
0 = \partial _ { t } A = \int d ^ { 2 } u e ^ { \varphi } \partial _ { t } \varphi = \int d ^ { 2 } u \frac { \delta \mathcal F } { \delta \varphi } = \int d ^ { 2 } u \frac { \delta \hat { \mathcal F } } { \delta \varphi } + \lambda A
\begin{array} { r l r } { \mathbf { e } _ { r } \times \boldsymbol \sigma } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \sin \theta \sin \phi } & { i \cos \theta } \\ { - i \cos \theta } & { - \sin \theta \sin \phi } \end{array} \right) \mathbf { e } _ { x } + } \\ & { } & { \left( \begin{array} { c c } { - \sin \theta \cos \phi } & { \cos \theta } \\ { \cos \theta } & { \sin \theta \cos \phi } \end{array} \right) \mathbf { e } _ { y } + } \\ & { } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - i e ^ { - i \phi } } \\ { i e ^ { i \phi } } & { 0 } \end{array} \right) \mathbf { e } _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { S } ( \mathcal { H } , \omega ) } & { = \mathcal { H } _ { S S } - \mathcal { H } _ { S \bar { S } } \sum _ { k = 0 } ^ { \mathrm { d i m } \bar { S } } \frac { c _ { k } ( \omega ) } { c _ { 0 } ( \omega ) } ( \mathcal { H } _ { \bar { S } \bar { S } } - \omega I ) ^ { k } \mathcal { H } _ { \bar { S } S } } \\ & { = \mathcal { H } _ { S S } - \sum _ { k = 0 } ^ { \mathrm { d i m } \bar { S } } \frac { c _ { k } ( \omega ) } { c _ { 0 } ( \omega ) } \sum _ { n = 0 } ^ { k } C _ { k } ^ { n } ( - \omega ) ^ { k - n } \mathcal { H } _ { S \bar { S } } ( \mathcal { H } _ { \bar { S } \bar { S } } ) ^ { n } \mathcal { H } _ { \bar { S } S } , } \end{array}
\varphi _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) : = \varphi ( \tilde { T } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) ) = 2 \pi \left( d _ { p , q } + \boldsymbol { t } _ { p , q } \cdot \boldsymbol { \xi } + \zeta _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } \, .
\begin{array} { r } { \delta = \theta _ { c 0 } x _ { 0 } + \frac { \theta _ { c 0 } } { 1 4 . 7 } \sqrt { \frac { \cos { \gamma } } { k ^ { 2 } C _ { T } } } ( 2 . 9 + 1 . 3 \sqrt { 1 - C _ { T } } - C _ { T } ) } \\ { \times \mathrm { l n } \Bigg [ \frac { ( 1 . 6 + \sqrt { C _ { T } } ) ( 1 . 6 \sqrt { \frac { 8 \sigma _ { y } \sigma _ { z } } { \cos { \gamma } } } - \sqrt { C _ { T } } ) } { ( 1 . 6 - \sqrt { C _ { T } } ) ( 1 . 6 \sqrt { \frac { 8 \sigma _ { y } \sigma _ { z } } { \cos { \gamma } } } + \sqrt { C _ { T } } ) } \Bigg ] , } \end{array}