harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { E } ( \mathbf { r } ) = E _ { 0 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { m = n } a _ { n m } \mathbf { M } _ { n m } ^ { ( i ) } ( k , \mathbf { r } ) + b _ { n m } \mathbf { N } _ { n m } ^ { ( i ) } ( k , \mathbf { r } ) ,
\bigg | \frac { \Delta \mu } { k _ { \mathrm { B } } T } \bigg | = \bigg | \int _ { T _ { m } } ^ { T } \frac { 1 } { k _ { \mathrm { B } } T ^ { 2 } } \left( \frac { H _ { i c e } } { N _ { i c e } } - \frac { H _ { w } } { N _ { w } } \right) d T \bigg | ,
\begin{array} { r l } { H ^ { ( t + 1 ) } } & { { } = A ^ { ( t ) } } \\ { g ^ { ( t + 1 ) } } & { { } = \frac { B ^ { ( t ) } - H ^ { 2 ( t + 1 ) } } { C ^ { ( t ) } - \bar { x } H ^ { ( t + 1 ) } } } \\ { \mu ^ { ( t + 1 ) } } & { { } = \bar { x } - \frac { H ^ { ( t + 1 ) } } { g ^ { ( t + 1 ) } } } \\ { \sigma ^ { 2 ( t + 1 ) } } & { { } = \frac { B ^ { ( t ) } } { g ^ { 2 ( t + 1 ) } } - 2 \frac { C ^ { ( t ) } } { g ^ { ( t + 1 ) } } + \overline { { x ^ { 2 } } } - \mu ^ { 2 ( t + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mathrm { P 1 } ) : } & { \! \! { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { P } , \boldsymbol { \Bar { P } } } } \, } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \varepsilon _ { i } } \\ & { \mathrm { s . t . } } & { \bar { P } _ { i } \leq F _ { \mathrm { { n l } } } [ \boldsymbol { Q } _ { i } ( \boldsymbol { P } ) ] \frac { m _ { 0 } } { m _ { i } } , } \\ & { \! \! } & { \frac { { \bar { P } _ { i } } \bar { z } _ { \mathrm { 2 , i } } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } \geq \operatorname* { m a x } \{ 1 , 2 ^ { \frac { k _ { i } } { m _ { i } } } - 1 \} , } \\ & { \! \! } & { ~ , . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos ( u _ { 1 } + \dots + u _ { d } ) } & { = \operatorname { R e } ( e ^ { i ( u _ { 1 } + \dots + u _ { d } ) } ) = \operatorname { R e } \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { d } ( \cos u _ { j } + i \sin u _ { j } ) \right] } \\ & { = \sum _ { J \subset \{ 1 , \dots , d \} , \# J \ \mathrm { e v e n } } ( - 1 ) ^ { \# J / 2 } \prod _ { j \not \in J } \cos u _ { j } \cdot \prod _ { j \in J } \sin u _ { j } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { e ^ { i a \left( { \hat { n } } \cdot { \vec { \sigma } } \right) } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { i ^ { k } \left[ a \left( { \hat { n } } \cdot { \vec { \sigma } } \right) \right] ^ { k } } { k ! } } } \\ & { = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { p } ( a { \hat { n } } \cdot { \vec { \sigma } } ) ^ { 2 p } } { ( 2 p ) ! } } + i \sum _ { q = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { q } ( a { \hat { n } } \cdot { \vec { \sigma } } ) ^ { 2 q + 1 } } { ( 2 q + 1 ) ! } } } \\ & { = I \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { p } a ^ { 2 p } } { ( 2 p ) ! } } + i ( { \hat { n } } \cdot { \vec { \sigma } } ) \sum _ { q = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { q } a ^ { 2 q + 1 } } { ( 2 q + 1 ) ! } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol H _ { \boldsymbol \ell } ^ { * } \boldsymbol H _ { \boldsymbol \ell } } & { = \Bigg [ \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k ( \boldsymbol x _ { h } - \boldsymbol x _ { j } ) } \Bigg ] _ { h , j \in \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } , m } ( \boldsymbol \ell ) } } \\ & { = \left[ \prod _ { t = 1 } ^ { d } \left( D _ { \frac { M } { 2 } - 1 } ( { x _ { h } } _ { t } - { x _ { j } } _ { t } ) + \mathrm e ^ { - M \pi \mathrm i ( { x _ { h } } _ { t } - { x _ { j } } _ { t } ) } \right) \right] _ { h , j \in \mathcal I _ { \boldsymbol M _ { \boldsymbol \sigma } , m } ( \boldsymbol \ell ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { B e r n S u m } ( 0 , 0 ) = 1 ; } \\ & { } & { \mathrm { B e r n S u m } ( n , m ) = 0 \mathrm { ~ i f ~ } n < m ; } \\ & { } & { \mathrm { B e r n S u m } ( n , m ) = \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { m } \sum _ { j _ { 2 } = 0 } ^ { m - j _ { 1 } } \frac { B _ { 2 j _ { 1 } } B _ { 2 j _ { 2 } } \mathrm { B e r n S u m } ( n - 1 , m - j _ { 1 } - j _ { 2 } ) } { ( 2 j _ { 1 } ) ! ( 2 j _ { 2 } ) ! } ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { 1 } } & { = } & { 1 + \zeta _ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \zeta _ { 3 } \varepsilon ^ { 3 } + \frac { 7 } { 1 0 } \zeta _ { 2 } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 4 } + { \mathcal O } \left( \varepsilon ^ { 5 } \right) , } \\ { J _ { 2 } } & { = } & { \left[ B _ { 2 } + I \left( 1 , f _ { 3 } ; q \right) \right] \varepsilon ^ { 2 } } \\ & { } & { + \left[ B _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } I \left( 1 ; q \right) - B _ { 2 } I \left( f _ { 2 } ; q \right) - I \left( 1 , f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) - I \left( f _ { 2 } , 1 , f _ { 3 } ; q \right) \right] \varepsilon ^ { 3 } } \\ & { } & { + \left[ B _ { 4 } + \zeta _ { 2 } B _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } B _ { 3 } I \left( 1 ; q \right) - B _ { 3 } I \left( f _ { 2 } ; q \right) + \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } I \left( 1 , f _ { 2 } ; q \right) + \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } I \left( f _ { 2 } , 1 ; q \right) \right. } \\ & { } & { \left. + B _ { 2 } I \left( 1 , f _ { 4 } ; q \right) + B _ { 2 } I \left( f _ { 2 } , f _ { 2 } ; q \right) + \zeta _ { 2 } I \left( 1 , f _ { 3 } ; q \right) + I \left( 1 , f _ { 2 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) + I \left( f _ { 2 } , f _ { 2 } , 1 , f _ { 3 } ; q \right) \right. } \\ & { } & { \left. + I \left( 1 , f _ { 4 } , 1 , f _ { 3 } ; q \right) + I \left( f _ { 2 } , 1 , f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) \vphantom { \frac { 1 } { 2 } } \right] \varepsilon ^ { 4 } + { \mathcal O } \left( \varepsilon ^ { 5 } \right) , } \\ { J _ { 3 } } & { = } & { \varepsilon I \left( f _ { 3 } ; q \right) + \left[ - \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } - I \left( f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) \right] \varepsilon ^ { 2 } + \left[ - \frac { 1 } { 2 } B _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } I \left( f _ { 2 } ; q \right) + B _ { 2 } I \left( f _ { 4 } ; q \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \zeta _ { 2 } I \left( f _ { 3 } ; q \right) + I \left( f _ { 2 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) + I \left( f _ { 4 } , 1 , f _ { 3 } ; q \right) \vphantom { \frac { 1 } { 2 } } \right] \varepsilon ^ { 3 } + \left[ - \frac { 1 } { 2 } B _ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \zeta _ { 2 } B _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } B _ { 3 } I \left( f _ { 2 } ; q \right) \right. } \\ & { } & { \left. + B _ { 3 } I \left( f _ { 4 } ; q \right) - \frac { 2 } { 3 } \zeta _ { 3 } I \left( f _ { 3 } ; q \right) - B _ { 2 } I \left( f _ { 4 } , f _ { 2 } ; q \right) - B _ { 2 } I \left( f _ { 2 } , f _ { 4 } ; q \right) - \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } I \left( f _ { 2 } , f _ { 2 } ; q \right) \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { 1 } { 2 } B _ { 2 } I \left( f _ { 4 } , 1 ; q \right) - \zeta _ { 2 } I \left( f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) - I \left( f _ { 2 } , f _ { 2 } , f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) - I \left( f _ { 4 } , f _ { 2 } , 1 , f _ { 3 } ; q \right) \right. } \\ & { } & { \left. - I \left( f _ { 2 } , f _ { 4 } , 1 , f _ { 3 } ; q \right) - I \left( f _ { 4 } , 1 , f _ { 2 } , f _ { 3 } ; q \right) \vphantom { \frac { 1 } { 2 } } \right] \varepsilon ^ { 4 } + { \mathcal O } \left( \varepsilon ^ { 5 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C } \, = \, \frac { \partial \mathcal { E } } { \partial Q } \, = \, \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \frac { \partial \mu ^ { \mathrm { e f f } } } { \partial N } - \sum _ { i } \alpha _ { i } \, \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \frac { \partial \mu _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } } { \partial N } } \\ { = \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \frac { \partial \mu ^ { \mathrm { e f f } } } { \partial N } - \sum _ { i } \alpha _ { i } \, t _ { i } \, \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \frac { \partial \mu _ { i } ^ { \mathrm { e f f } } } { \partial N _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta _ { k } \le \gamma _ { k } \le \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { 4 l _ { g , 1 } } , \frac { 1 } { 4 T \mu _ { g } } \right) , \ \alpha _ { k } \le \operatorname* { m i n } \left( \frac { 1 } { 8 l _ { f , 1 } } , \frac { 1 } { 2 \xi l _ { F , 1 } } \right) , } \\ & { \frac { \xi } { T } < c _ { \xi } \mu _ { g } \cdot \operatorname* { m a x } \left( l _ { g , 1 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } , \ l _ { * , 1 } \sqrt { M } \right) ^ { - 1 } , \quad \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } } \le \frac { T \mu _ { g } \beta _ { k } } { 1 6 } } \end{array}
Q ^ { 2 } { \frac { d } { d Q ^ { 2 } } } \left( \alpha ( Q ^ { 2 } ) \right) { } ~ = ~ - b _ { 0 } \alpha ^ { 2 } ( Q ^ { 2 } ) ~ - ~ b _ { 1 } \alpha ^ { 3 } ( Q ^ { 2 } ) ~ + . . .
\begin{array} { r l } { ( \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u ) , h ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 0 } \frac { E ( u + t h ) - E ( u ) } { t } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 0 } \frac { 1 } { t } \bigg ( \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u + t \nabla h | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u + t h | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | u + t h | ^ { 4 } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad - \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | u | ^ { 4 } \right) \bigg ) } \\ & { = ( \nabla u , \nabla h ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + ( V u + \beta | u | ^ { 2 } u , h ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { = \left( u + \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u + \beta | u | ^ { 2 } u ) , h \right) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } , } \end{array}
m _ { h } ^ { 2 } ( m _ { t } ) \simeq M _ { Z } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } 2 \beta + \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 2 } } v ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \beta \; h _ { t } ^ { 4 } ( m _ { t } ) \; \ln \left( \frac { m _ { \tilde { q } } } { m _ { t } } \right) .
\begin{array} { r l r } { H _ { n m } ( x , p ) } & { = } & { \langle \alpha | n \rangle \langle m | \alpha \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { n ! m ! } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } + p ^ { 2 } } { 2 \lambda } } \Big ( \frac { x - i p } { \sqrt { 2 \lambda } } \Big ) ^ { n } \Big ( \frac { x + i p } { \sqrt { 2 \lambda } } \Big ) ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q } & { \approx } & { 2 v _ { 0 } \left| \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } \right| \, ( 1 + 2 \Gamma T _ { D u r , 0 } \, \mathrm { c o s } \Delta ) \, \mathrm { c o s } \phi \, \mathrm { e } ^ { i \theta ( n _ { 1 } - m ) + i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ & { } & { \times \left( 1 - i n _ { 1 } \Gamma T _ { D u r , 0 } \, \mathrm { s i n } \phi \right) \left( 1 + i n _ { 2 } \Gamma T _ { D u r , 0 } \, \mathrm { s i n } \phi \right) } \\ & { } & { = 2 v _ { 0 } \left| \mathrm { s i n } { \frac { \Delta } { 2 } } \right| \, \mathrm { c o s } \phi \, \mathrm { e } ^ { i \theta ( n _ { 1 } - m ) + i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ & { } & { \times \left( 1 + \Gamma \, T _ { D u r , 0 } \left[ 2 \mathrm { c o s } \Delta + i ( n _ { 2 } - n _ { 1 } ) \mathrm { s i n } \Delta \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { d } \mathcal { P } _ { k } = ( - 1 ) ^ { k } \mathcal { R } \rho _ { k } - \sqrt { d } \mathcal { P } \varepsilon _ { 0 k } , } \\ { \mathcal { R } = \frac { R _ { 1 } c _ { V 2 } \mathcal { H } _ { 1 } - R _ { 2 } c _ { V 1 } \mathcal { H } _ { 2 } } { ( c _ { V } \rho ) ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal { H } _ { k } = ( \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) - p _ { * k } ) ( p _ { + } + p _ { * ( 3 - k ) } ) , } \\ { \sqrt { d } \mathcal { P } = ( \gamma - 1 ) p _ { + } + \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } + \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { I } _ { Q P D } = \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon m \left( e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \right) \Big ( - A _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n + 2 , m ) } } \\ & { + A _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m + 2 ) } - B _ { n } \beta _ { ( n , m ) , ( n - 2 , m ) } + B _ { m } \beta _ { ( n , m ) , ( n , m - 2 ) } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = \dot { E } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int \! d \alpha \dot { E } _ { \alpha } = \frac { 1 } { 4 } \int \! d \alpha d \beta d \gamma \ \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } \Re \left( z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } z _ { \alpha } ^ { * } \right) } \end{array}
I _ { 2 } ( x _ { - } , x _ { + } | a ) \equiv \frac { 1 } { 2 } x _ { - } D _ { - } ( x _ { - } | \mathrm { L } ) + ( x _ { - } - a \mathrm { L } ) D _ { + } ( x _ { + } | \mathrm { L } ) + \frac { 1 } { 2 4 \mathrm { L } } x _ { - } ^ { 3 } + I _ { 2 } ( 0 , 0 | a ) ,
\boldsymbol { v } ( \omega ) = ( \hat { a } _ { e } ( \omega ) , \hat { a } _ { e } ^ { \dagger } ( - \omega ) , \hat { a } _ { o } ( - \omega ) , \hat { a } _ { o } ^ { \dagger } ( \omega ) , \hat { a } _ { t } ( \omega ) , \hat { a } _ { t } ^ { \dagger } ( - \omega ) , \hat { a } _ { \mathrm { t m } } ( \omega ) , \hat { a } _ { \mathrm { t m } } ^ { \dagger } ( - \omega ) ) ^ { \top } ,
\begin{array} { r l } { c _ { 1 n } } & { = - c _ { 2 n } = \frac { 1 } { \mathcal { N } _ { n } } } \\ { c _ { 3 n } } & { = \frac { 1 } { \mathcal { N } _ { n } } \frac { 2 t } { U - \Delta v - E _ { n } ^ { N } } } \\ { c _ { 4 n } } & { = \frac { 1 } { \mathcal { N } _ { n } } \frac { 2 t } { U + \Delta v - E _ { n } ^ { N } } } \end{array}
\widetilde s \exp ( \widetilde s / K _ { M } ) \exp ( - T ^ { * } ) \cdot \frac { \delta } { 1 - \delta } \leq s _ { 0 } \exp ( s _ { 0 } / K _ { M } ) \exp ( - 1 ) \cdot \frac { \delta } { 1 - \delta } .
\begin{array} { r l } { s _ { N } ^ { 2 } } & { = \frac { \alpha ( N - 1 ) } { 2 } \Bigl ( \int _ { N ^ { - 1 / \alpha } } ^ { 1 } \frac { \bigl ( \ln \cosh ( \beta x ) \bigr ) ^ { 2 } } { x ^ { 1 + \alpha } } d x - \frac { \alpha } { N } \Bigl ( \int _ { N ^ { - 1 / \alpha } } ^ { 1 } \frac { \ln \cosh ( \beta x ) } { x ^ { 1 + \alpha } } d x \Bigr ) ^ { 2 } \Bigr ) } \\ & { ~ \sim \frac { \alpha N } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \bigl ( \ln \cosh ( \beta x ) \bigr ) ^ { 2 } } { x ^ { 1 + \alpha } } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sqrt { ( V _ { \mathrm { C o v } } ^ { 2 } + 2 C _ { x , y } ^ { 2 } V _ { \mathrm { C o v } } ) } = \sqrt { 2 C _ { x , y } ^ { 2 } V _ { \mathrm { C o v } } } \sqrt { 1 + \frac { V _ { \mathrm { C o v } } } { 2 C _ { x , y } ^ { 2 } } } } \\ & { = \sqrt { 2 C _ { x , y } ^ { 2 } V _ { \mathrm { C o v } } } \left( 1 + \frac { V _ { \mathrm { C o v } } } { 4 C _ { x , y } ^ { 2 } } \right) + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \sqrt { 2 C _ { x , y } ^ { 2 } V _ { \mathrm { C o v } } } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ & { \simeq \sqrt { 2 \frac { \eta ^ { 2 } T ^ { 2 } ( \sigma _ { x } ^ { 2 } ) ^ { 4 } } { V _ { 0 } m } \left[ c _ { \mathrm { p e } } + \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { \eta T \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 3 / 4 } = } & { \frac { 1 } { 1 2 0 } [ 5 \delta _ { 1 / 4 } ^ { 3 } - 4 \delta _ { 1 / 4 } ^ { 2 } \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } } \\ & { - 7 \delta _ { 1 / 4 } ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 4 ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 3 } ] , } \\ { \delta _ { 3 / 4 } ^ { \prime } = } & { \frac { 1 } { 1 2 0 } [ 5 ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 3 } - 4 ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \delta _ { 1 / 4 } } \\ & { - 7 ( \delta _ { 1 / 4 } ^ { \prime } ) \delta _ { 1 / 4 } ^ { 2 } - 4 ( \delta _ { 1 / 4 } ) ^ { 3 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( i , j ) } & { \mathrel { + } = } & { \sum _ { k } \left| A _ { k } \right| ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { k } ) ( 1 - \beta _ { k } ) } \\ { P ( i , j + 1 ) } & { \mathrel { + } = } & { \sum _ { k } \left| A _ { k } \right| ^ { 2 } ( 1 - \alpha _ { k } ) \beta _ { k } } \\ { P ( i + 1 , j ) } & { \mathrel { + } = } & { \sum _ { k } \left| A _ { k } \right| ^ { 2 } \alpha _ { k } ( 1 - \beta _ { k } ) } \\ { P ( i + 1 , j + 1 ) } & { \mathrel { + } = } & { \sum _ { k } \left| A _ { k } \right| ^ { 2 } \alpha _ { k } \beta _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nu _ { k l } \left( u _ { k l } \right) } & { \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } \, n _ { l } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } \, u _ { k l } ^ { 3 } } \, \ln \Lambda _ { k l } \, , } \\ { \nu _ { k e } \left( u _ { k e } \right) } & { \approx } & { \frac { e _ { k } ^ { 2 } e _ { e } ^ { 2 } \, n _ { e } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \, c ^ { 3 } \, \gamma _ { e } ^ { 2 } } \, \ln \Lambda _ { k e } \, , } \\ { m _ { k l } } & { = } & { \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta ~ = } & { { } ~ 1 + \sigma _ { A } ^ { 2 } - \frac { \frac { \eta } { 2 } T _ { A } \sigma _ { A } ^ { 2 } ( \sigma _ { A } ^ { 2 } + 2 ) } { \frac { \eta } { 2 } ( T _ { B } \sigma _ { B } ^ { 2 } + T _ { A } \sigma _ { A } ^ { 2 } ) + \sigma _ { z } ^ { 2 } } , } \\ { \theta ~ = } & { { } ~ 1 + \sigma _ { B } ^ { 2 } - \frac { \frac { \eta } { 2 } T _ { B } \sigma _ { B } ^ { 2 } ( \sigma _ { B } ^ { 2 } + 2 ) } { \frac { \eta } { 2 } ( T _ { B } \sigma _ { B } ^ { 2 } + T _ { A } \sigma _ { A } ^ { 2 } ) + \sigma _ { z } ^ { 2 } } , } \\ { \phi ~ = } & { { } ~ \frac { \frac { \eta } { 2 } \sqrt { T _ { A } T _ { B } \sigma _ { A } ^ { 2 } ( \sigma _ { A } ^ { 2 } + 2 ) \sigma _ { B } ^ { 2 } ( \sigma _ { B } ^ { 2 } + 2 ) } } { \frac { \eta } { 2 } ( T _ { B } \sigma _ { B } ^ { 2 } + T _ { A } \sigma _ { A } ^ { 2 } ) + \sigma _ { z } ^ { 2 } } . } \end{array}
P _ { r , 0 , \psi } ( R , V ) = \frac { ( 1 + r ) 2 \pi \tau _ { m } R + ( 1 - r ) \left\{ 1 + ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + V ^ { 2 } + 2 V \sin \psi + [ 1 - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } - V ^ { 2 } ] \cos \psi \right\} } { ( 1 + r ^ { 2 } ) \big [ 1 + ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + V ^ { 2 } \big ] + ( 1 - r ^ { 2 } ) 2 \pi \tau _ { m } R - 2 r \left\{ 2 V \sin \psi + \big [ 1 - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } - V ^ { 2 } \big ] \cos \psi \right\} }
\begin{array} { r } { u _ { b } = 0 , \quad v _ { b } = A r + B / r , \quad T _ { b } = \frac { \ln { \left[ ( 1 - \eta ) r \right] } } { \ln { \eta } } , } \\ { w _ { b } = \frac { 1 } { ( 1 - \eta ) ^ { 2 } } \frac { C } { D } \left[ ( 1 - \eta ) ^ { 2 } r ^ { 2 } - 1 + ( 1 - \eta ^ { 2 } ) T _ { b } \right] } \\ { - \frac { 1 } { 4 ( 1 - \eta ) ^ { 2 } } \left[ ( 1 - \eta ) ^ { 2 } r ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \right] T _ { b } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { u } ^ { U T } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + \operatorname* { m a x } \big [ \Lambda _ { 1 3 } + \Lambda _ { 1 2 } ( 1 + \Lambda _ { 2 3 } ) , \, \Lambda _ { 2 3 } \big ] } \, , } \\ { \Psi _ { l } ^ { U T } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 2 } } \big ] } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 2 3 } } , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 3 } + \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } } \big ] } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { r } _ { k } ( n + 1 ) = [ } & { { } 1 , } \\ { \hat { \mathbf { v } } _ { k } ( n + 1 ) = } & { { } \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { k } \mathbf { r } _ { k } ( n + 1 ) \, . } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { \mathrm { D o m } ( \chi _ { [ j , z ] } ) \ni r \to 0 } \frac { g ( \chi _ { [ j , z ] } ( r ) ) } { \lvert r \rvert } = 0 , \qquad \mathrm { a n d } \qquad \operatorname* { l i m s u p } _ { \mathrm { D o m } ( \chi _ { [ j , z ] } ) \ni r \to 0 } \frac { g ( \chi _ { [ j , z ] } ( r ) ) } { \lvert r \rvert } \geq \lambda ( z ) ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l l } { \underline { { \operatorname { c u r l } } } \left( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } \left( \vec { E } \right) \right) - \varepsilon \omega ^ { 2 } \vec { E } } & { = \vec { 0 } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \\ { \mu ^ { - 1 } \gamma ^ { t } \left( \operatorname { c u r l } \left( \vec { E } \right) \right) - i \kappa \omega \gamma ^ { T } \left( \vec { E } \right) } & { = \vec { 0 } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ^ { \infty } } \\ { \gamma ^ { T } \left( \vec { E } \right) } & { = \vec { E } ^ { \mathrm { i n c } } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma ^ { \mathrm { i n c } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \frac { m _ { \mathrm { o , t o t } } } { \mathcal { W } _ { \mathrm { o } } } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { \nu _ { \mathrm { l } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - U } & { 0 } & { \nu _ { \mathrm { v } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { - 4 U } { \pi } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { d _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } - D _ { \mathrm { d t } } ^ { 2 } + d _ { \mathrm { d t } } ^ { 2 } } \\ { \frac { - 4 } { \pi } } & { 0 } & { 0 } & { d _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } } & { - d _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { V _ { \mathrm { l } } } \\ { n _ { \mathrm { l } } } \\ { n _ { \mathrm { v } } } \\ { L _ { \mathrm { T } } } \\ { L _ { \mathrm { d t } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \hat { H } _ { 0 } + \sum _ { b } ^ { N _ { \mathrm { e n v } } } \hat { H } _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( b ) } } \\ { \hat { H } _ { \mathrm { e n v } } ^ { ( b ) } } & { = \sum _ { j } \frac { p _ { j b } ^ { 2 } } { 2 m _ { j b } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { j b } \omega _ { j b } ^ { 2 } \left( x _ { j b } - \frac { c _ { j b } \hat { s } _ { b } } { m _ { j b } \omega _ { j b } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
( \Gamma _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 } ) - f _ { 1 , Q } \gamma ) ( \Gamma _ { 1 } g _ { 1 , R } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 } ) - \gamma \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( J _ { 1 } ) ) > 0 .
\begin{array} { r } { \beta \mu ^ { \mathrm { { e x } } } = \underbrace { - \ln p _ { 0 } [ \phi ( r ; \lambda _ { G } ) ] } _ { \mathrm { ~ P ~ a ~ c ~ k ~ i ~ n ~ g ~ } } + \underbrace { \beta \mu _ { \mathrm { { L R } } } ^ { \mathrm { { e x } } } [ P ( \varepsilon \; | \; \phi ( r ; \lambda _ { G } ) ) ] } _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ n ~ g ~ - ~ r ~ a ~ n ~ g ~ e ~ } } + \underbrace { \ln x _ { 0 } [ \phi ( r ; \lambda _ { G } ) ] } _ { \mathrm { ~ C ~ h ~ e ~ m ~ i ~ s ~ t ~ r ~ y ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( k ) : = H [ u _ { p } ( k _ { x } x + y ; k ) ] } & { = \int _ { y } \left( \frac { k _ { y } ^ { 4 } } { 2 } - \frac { 3 k _ { x } ^ { 4 } } { 2 } - k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } \right) ( u _ { p } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + ( k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } ) ( u _ { p } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac { \mu u _ { p } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { u _ { p } ^ { 4 } } { 4 } d y , } \\ { S ( k ) : = S [ u _ { p } ( k _ { x } x + y ; k ) ] } & { = 2 k _ { x } k _ { y } \int _ { y } k ^ { 2 } ( u _ { p } ^ { \prime \prime } ) - ( u _ { p } ^ { \prime } ) ^ { 2 } d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \tilde { \alpha } _ { o u t } ( \omega ) \left( \tilde { \alpha } _ { o u t } ( \omega ) \left( \omega ^ { \prime } \right) \right) ^ { * } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) } \\ { \left\langle \tilde { \alpha } _ { i n } ( \omega ) \left( \tilde { \alpha } _ { i n } ( \omega ) \left( \omega ^ { \prime } \right) \right) ^ { * } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \delta \left( \omega - \omega ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { v } ( { \mathbf v } ) } & { { } = \oint _ { \Gamma } \big ( ( \nu { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) ) { \mathbf v } \big ) \cdot { \mathbf n } \, d s , \qquad \beta _ { p } ( { \mathbf v } ) = \oint _ { \Gamma } - p { \mathbf v } \cdot { \mathbf n } \, d s . } \end{array}
\left[ \frac { 1 } { 2 } \rho _ { 0 } u _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } - B \Delta \rho g \sin \theta L \right] - A \Delta \rho g \cos \theta h _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 } C _ { \mathrm { d } } \rho _ { 0 } u _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \frac { L } { h _ { 0 } } ,