harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { d _ { m ^ { \prime } , m } ^ { j } ( \pi ) } & { = ( - 1 ) ^ { j - m } \delta _ { m ^ { \prime } , - m } } \\ { d _ { m ^ { \prime } , m } ^ { j } ( \pi - \beta ) } & { = ( - 1 ) ^ { j + m ^ { \prime } } d _ { m ^ { \prime } , - m } ^ { j } ( \beta ) } \\ { d _ { m ^ { \prime } , m } ^ { j } ( \pi + \beta ) } & { = ( - 1 ) ^ { j - m } d _ { m ^ { \prime } , - m } ^ { j } ( \beta ) } \\ { d _ { m ^ { \prime } , m } ^ { j } ( 2 \pi + \beta ) } & { = ( - 1 ) ^ { 2 j } d _ { m ^ { \prime } , m } ^ { j } ( \beta ) } \\ { d _ { m ^ { \prime } , m } ^ { j } ( - \beta ) } & { = d _ { m , m ^ { \prime } } ^ { j } ( \beta ) = ( - 1 ) ^ { m ^ { \prime } - m } d _ { m ^ { \prime } , m } ^ { j } ( \beta ) } \end{array} }
{ \frac { d \sigma } { d ^ { 3 } p _ { c } } } = \sum _ { a b c d } \int d x _ { a } d x _ { b } f _ { a / A } ( x _ { a } ) f _ { b / B } ( x _ { b } ) { \frac { d \hat { \sigma } } { d ^ { 3 } p _ { c } } } ( a b \rightarrow c d ) \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { - C _ { \alpha } \Psi _ { m , n } ^ { B } - C _ { \alpha } \Psi _ { m - 1 , n - 1 } ^ { B } - C _ { \alpha } \Psi _ { m + 1 , n } ^ { B } = E \Psi _ { m , n } ^ { A } , } \\ & { } & { - C _ { \alpha } \Psi _ { m , n } ^ { A } - C _ { \alpha } \Psi _ { m - 1 , n } ^ { A } - C _ { \alpha } \Psi _ { m + 1 , n + 1 } ^ { A } } \\ & { } & { - S _ { \alpha } \Psi _ { m , n } ^ { C } - S _ { \alpha } \Psi _ { m - 1 , n - 1 } ^ { C } - S _ { \alpha } \Psi _ { m + 1 , n } ^ { C } = E \Psi _ { m , n } ^ { B } , } \\ & { } & { - S _ { \alpha } \Psi _ { m , n } ^ { B } - S _ { \alpha } \Psi _ { m - 1 , n } ^ { B } - S _ { \alpha } \Psi _ { m + 1 , n + 1 } ^ { B } = E \Psi _ { m , n } ^ { C } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big | \big ( z _ { 2 } \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } \big ) ^ { 2 } F ( z ) \big | + } & { \big | \big ( z _ { 2 } \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } \big ) ^ { 2 } G ( \bar { z } ) \big | } \\ & { < \big | \kappa ^ { 2 } \sum _ { k \in A } a _ { k } z ^ { n _ { k } } { q _ { k - 1 } ( z ) } \big | + \big | \kappa ^ { 2 } \sum _ { k \in A } \bar { a } _ { k } \bar { z } ^ { n _ { k } } { p _ { k - 1 } ( \bar { z } ) } \big | } \\ & { + \sum _ { \operatorname* { m a x } M \in A } ^ { n } | b _ { M } | \cdot \big | \frac { m ( M ) _ { 2 } } { m ( M ) _ { 1 } } - \kappa ^ { 2 } \big | + \sum _ { \operatorname* { m a x } M \notin A } | b _ { M } | \cdot \big | \frac { m ( M ) _ { 2 } } { m ( M ) _ { 1 } } \big | } \\ & { \leq \sqrt { 2 } \kappa ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } | a _ { k } | \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } ( 1 + | a _ { j } | ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } + 2 } \end{array}
\chi \simeq \frac { 1 } { \sqrt { | \omega t | } } \left[ e ^ { i ( \omega t + p z ) } \, a _ { \, \mathrm { i n } } ( p ) + e ^ { - i ( \omega t + p z ) } \, a _ { \, \mathrm { i n } } ^ { \dagger } ( p ) \right] \ ,
d _ { G \boxdot H } ( v ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { l l } { d _ { G } ( v ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } v \in V ( G ) , } \\ { 2 \cdot | V ( H ) | + 2 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } v \in I ( G ) , } \\ { d _ { G } ( u _ { i } ) + d _ { H } ( v _ { j } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } v = v _ { i , j } , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq i < | V ( G ) | , } \\ { 0 \leq j < | V ( H ) | . } \end{array} \right. } \end{array} } \end{array} \right.
{ \bf p } _ { j } ( { \bf q } ) = \frac { 1 } { \sqrt { V } } \sum _ { \alpha } \frac { e \, z _ { \alpha } \, { \bf \delta r } _ { \alpha j } } { i \, { \bf q } \cdot { \bf \delta r } _ { \alpha j } } \left( 1 - e ^ { - i \, { \bf q } \cdot { \bf \delta r } _ { \alpha j } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \langle \Lambda | e ^ { \pm 2 i \phi _ { e } } | \Lambda ^ { \prime } \rangle } & { = \int \sin { \theta _ { e } } \mathrm { d } \theta _ { e } \mathrm { d } \phi _ { e } \sum _ { L , L ^ { \prime } } F _ { L } ^ { * } F _ { L ^ { \prime } } Y _ { L \Lambda } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) ^ { * } e ^ { \pm 2 i \phi _ { e } } Y _ { L ^ { \prime } \Lambda ^ { \prime } } ( \theta _ { e } , \phi _ { e } ) } \\ & { = \sum _ { L , L ^ { \prime } } F _ { L } ^ { * } F _ { L ^ { \prime } } \delta _ { \Lambda , \Lambda ^ { \prime } \pm 2 } \int \sin { \theta _ { e } } \mathrm { d } \theta _ { e } ( - 1 ) ^ { \Lambda ^ { \prime } \pm 2 } \Theta _ { L , - \Lambda ^ { \prime } \mp 2 } ( \theta _ { e } ) \Theta _ { L ^ { \prime } , \Lambda ^ { \prime } } ( \theta _ { e } ) } \end{array}
\textbf { v } _ { \alpha } ( t - \delta t / 2 ) = \frac { m _ { i } } { m _ { \alpha } } \textbf { v } _ { i } ( t - \delta t / 2 ) + \frac { m _ { j } } { m _ { \alpha } } \textbf { v } _ { j } ( t - \delta t / 2 ) ,
\left\lbrace \begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathbf { b } } } & { { } = \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ l ~ } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } } \\ { { \mathbf { R } _ { \mathbf { b } } } } & { { } = \frac { 1 } { \gamma _ { \mathbf { b } } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ c ~ l ~ } } } \, b _ { \eta } \, \alpha _ { \eta } \, { \mathbf { R } _ { \eta } } } \\ { K _ { \mathbf { b } } } & { { } = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \eta } b _ { \eta } } \, { \binom { 2 } { b _ { \eta } } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \widetilde { \mathcal { L } } ( 1 2 ) \right) \widetilde { g } _ { \alpha \alpha } ( 1 2 ) \begin{array} { r l } { [ t ] } & { + \sum _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } [ 3 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { \alpha \gamma } ( 1 3 ) \, f _ { \alpha } ( 1 ) \, \widetilde { g } _ { \gamma \alpha } ( 3 2 ) \right) } \\ & { + \sum _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } [ 3 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { \gamma \alpha } ( 3 2 ) \, f _ { \alpha } ( 2 ) \, \widetilde { g } _ { \alpha \gamma } ( 1 3 ) \right) } \\ & { = - \widetilde { \mathcal { V } } _ { \alpha \alpha } ( 1 2 ) \, f _ { \alpha } ( 1 ) f _ { \alpha } ( 2 ) \, . } \end{array} } \end{array}
S _ { \mathrm { d i a g } } ^ { ( 4 ) } ( \textbf { k } _ { 1 } , \textbf { k } _ { 2 } ) = N S ^ { ( 2 ) } ( k _ { 1 } ) S ^ { ( 2 ) } ( k _ { 2 } ) + \mathcal { O } ( 1 )
\begin{array} { r l } { \mathscr { E } ( G _ { 2 } ) _ { ( S _ { 2 } \rightarrow S _ { 2 } ) } } & { \simeq \mathscr { E } ( G _ { 1 } ) _ { ( S _ { 1 } \hookrightarrow S _ { 2 } ) } } \\ & { \simeq \mathbb { D } ( \mathscr { P } _ { 1 } ) _ { ( R _ { 2 } \twoheadrightarrow R _ { 1 } ) } } \\ & { \simeq \mathscr { E } ( G _ { 1 } ) _ { ( S _ { 1 } \rightarrow S _ { 1 } ) } \otimes _ { R _ { 1 } } R _ { 2 } } \\ & { \simeq \mathscr { E } \otimes _ { R } R _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle } & { = } & { \frac { 3 X ^ { 2 } + 3 X + 2 } { 1 - X ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, { \cal R } _ { 4 } } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } & { = } & { \frac { 2 X ^ { 3 } + 3 X ^ { 2 } + 2 X + 1 } { 1 - X ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \cal R } _ { 4 } } \\ { \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \rangle } & { = } & { \frac { X ^ { 4 } + 2 X ^ { 3 } + 2 X ^ { 2 } + 2 X + 1 } { 1 - X ^ { 3 } } \left( \frac { k _ { B } T } { \kappa } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } { \cal R } _ { 4 } \, , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \xi } F = S ( \frac { \partial } { \partial \xi } f ) S ^ { - 1 } + \frac { \bar { \xi } - \xi } { 2 } \; \frac { \partial S } { \partial \xi } S ^ { - 1 } , \quad \frac { \partial } { \partial \bar { \xi } } F = S ( \frac { \partial } { \partial \bar { \xi } } f ) S ^ { - 1 } - \frac { \bar { \xi } - \xi } { 2 } \; \frac { \partial S } { \partial \bar { \xi } } S ^ { - 1 } .
v _ { \parallel } = \frac { 1 } { \sqrt { r } } C _ { 0 } H _ { m } ( x _ { \parallel } , x _ { \perp } ) = \frac { 1 } { \sqrt { r } } C _ { 0 } \left( \frac { x _ { \parallel } } { 2 \sin \theta _ { c } } \right) ^ { - m / 3 } h _ { m } ( \zeta )
\begin{array} { r } { [ \hat { A } ( \mathbf { k } _ { n } , t ) , \hat { B } _ { s } ( \mathbf { k } _ { n } , t ) ] = [ \hat { A } ( \mathbf { k } _ { n } , t _ { 0 } ) , \hat { B } _ { s } ( \mathbf { k } _ { n } , t _ { 0 } ) ] \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \omega _ { n } - \beta \omega _ { 0 } ) ( t - t _ { 0 } ) } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\tilde { \rho } _ { 2 } ^ { \mathrm { e f f } } ( n , T ) = \frac { 3 2 4 0 5 . 4 } { \sigma ( n , T ) [ \Omega \mathrm { m } ] } \left( \frac { T } { \mathrm { e V } } \right) ^ { 3 / 2 } - 0 . 8 4 6 0 2 4 \, \, \ln \left( \frac { \Theta } { \Gamma } \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } _ { n } } & { { } = T \sum _ { j } w _ { j } \left( 1 + \ln \left( \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } { w _ { k ^ { \prime } } } S ( { { \mathbf x } } _ { j } - { { \mathbf x } } _ { k ^ { \prime } } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \right) \right) \nabla S ( { { \mathbf x } } _ { j } - { { \mathbf x } } _ { k } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho h ( { \bf r } ) } & { = } & { \frac { 1 } { N } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } ^ { \prime } \: \rho ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } ^ { \prime } , { \bf r } ^ { \prime } - { \bf r } ) - \rho } \\ & { = } & { \frac { 1 } { N } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } ^ { \prime } \: \rho _ { T } ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } ^ { \prime } , { \bf r } ^ { \prime } - { \bf r } ) + \frac { 1 } { N } \int _ { \Lambda } d ^ { 2 } { \bf r } ^ { \prime } \: \rho ( { \bf r } ^ { \prime } ) \rho ( { \bf r } ^ { \prime } - { \bf r } ) - \rho ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { 1 } = u _ { 1 } ^ { \varepsilon } ( a ( x , t ) , t ) = a _ { 1 } ( x , t ) + 2 \sqrt { \frac { \pi | a _ { 1 2 } ( x , t ) | } { \varepsilon } } \ \mathrm { s i g n } ( a _ { 1 2 } ( x , t ) ) \cos { \frac { 2 \pi t } { \varepsilon } } , } \\ & { u _ { 2 } = u _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( a ( x , t ) , t ) = a _ { 2 } ( x , t ) + 2 \sqrt { \frac { \pi | a _ { 1 2 } ( x , t ) | } { \varepsilon } } \sin { \frac { 2 \pi t } { \varepsilon } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \partial _ { t } g ^ { n } ( t , x , s , y ) = - \frac { 1 } { 2 } \Sigma ^ { n } ( t , x ) ^ { 2 } \partial _ { x x } ^ { 2 } g ^ { n } ( t , x , s , y ) - B ^ { n } ( t , x ) \partial _ { x } g ^ { n } ( t , x , s , y ) , ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ t \in [ 0 , s ) , ~ x \in \mathbb { R } , } \\ { g ^ { n } ( s , x , s , y ) = \delta _ { y } , ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ x \in \mathbb { R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla _ { e _ { 1 } } u \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } + \| \nabla _ { e _ { 2 } } u \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } } & { \lesssim H ^ { 2 } \left( 1 + \log \frac { H } { h } \right) \left( \| \nabla ( \nabla _ { e _ { 1 } } u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } + \| \nabla ( \nabla _ { e _ { 2 } } u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \lesssim H ^ { 2 } \left( 1 + \log \frac { H } { h } \right) | u | _ { H ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { k } ( { \bf m , R } ) = ( I ^ { - 1 } R ^ { T } { \bf m } ) _ { k } = \frac { 1 } { I _ { k } } ( m _ { 1 } R _ { 1 k } + m _ { 2 } R _ { 2 k } + m _ { 3 } R _ { 3 k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \widetilde f } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { { } = } & { \left\{ \begin{array} { l c l } { \frac { f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) f _ { 1 } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } } & { , } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) > 0 } \\ { 0 } & { , } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = 0 } \end{array} \right. \; . } \end{array}
d { \cal { V } } { \cal { V } } ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 } { 2 } d \phi } } & { { e ^ { \phi } d \chi } } \\ { { 0 } } & { { - \frac { 1 } { 2 } d \phi } } \end{array} \right)
W _ { \mathrm { e l } } ^ { \varepsilon } ( A ) : = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } W _ { \mathrm { e l } } ( I + \varepsilon A ) , \quad \widetilde { W } _ { \mathrm { v i } } ^ { \varepsilon } ( A ) : = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \widetilde { W } _ { \mathrm { v i } } ( I + \varepsilon A ) , \quad \psi ^ { \varepsilon } ( A ) : = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \psi ( \varepsilon A )
S _ { \mathrm { u n t w i s t e d } } = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 1 0 } ^ { 2 } } \int d ^ { 1 0 } x \, e ^ { - 2 \phi } \sqrt { | \mathrm { d e t } g | } \left( R + 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } \right) \, ,
\sigma _ { \mathrm { D i c k } , m = 1 } ( \tau ) = \frac { \sigma _ { \mathrm { L O } } } { \sqrt { 2 \mathrm { l n } 2 } } \bigg | \frac { \mathrm { s i n } ( \pi T / T _ { c } ) } { \pi T / T _ { c } } \bigg | \sqrt { \frac { T _ { c } } { \tau } } ,
p ^ { ( m ) } ( x _ { 1 } | \mathbf { x } _ { \ominus } ) \approx \rho ^ { ( S ) } ( x _ { 1 } | \mathbf { x } _ { \ominus } ) , \ \ \mathcal { L } _ { p } ^ { ( m ) } \approx \Lambda _ { p } ^ { ( S ) } ,
u _ { r } \equiv U _ { ( 0 , \, r - 1 ) } ^ { 2 } + \Lambda _ { 1 } ^ { 4 } \Omega _ { ( 2 , \, r - 1 ) } + \Lambda _ { r } ^ { 4 } \Omega _ { ( 1 , \, r - 2 ) } - M _ { 0 } \Omega _ { ( 1 , \, r - 1 ) }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \mathbb { E } \left[ f \left( \sqrt { N } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k + 1 ) \right) - f \left( \sqrt { N } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) \big | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( N ) } \right] } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \biggl [ \frac { N } { 2 ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } f ^ { \prime \prime } \left( \sqrt { N } M _ { 1 } ^ { ( N ) } ( k ) \right) p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \left( 1 - p _ { 1 } ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) \right) } \\ & { \qquad \qquad + o ( 1 / N ) \biggr ] } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \! \! \frac { 1 } { 2 N ( 1 + \frac { k } { N } + \frac { 1 } { N } ) ^ { 2 } } f ^ { \prime \prime } \left( \sqrt { N } M _ { 1 } ^ { ( N ) } \left( N \frac { k } { N } \right) ) \right) p _ { 1 } \left( N { + } k , Z ^ { ( N ) } \Big ( \frac { k } { N } \Big ) \right) } \\ & { \quad \cdot \left( 1 { - } p _ { 1 } \left( N { + } k , Z ^ { ( N ) } \Big ( \frac { k } { N } \Big ) \right) \right) + o ( 1 ) } \\ & { \xrightarrow { N \to \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { f ^ { \prime \prime } ( M _ { 1 } ( s ) ) } { 2 ( 1 + s ) ^ { 2 } } p _ { 1 } ( Z ( s ) ) \left( 1 - p _ { 1 } ( Z ( s ) \right) d s = \int _ { 0 } ^ { t } L _ { s } f ( M _ { 1 } ( s ) ) d s } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } N _ { p } = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \rho _ { i } | C _ { i } | ( 1 - P _ { s } ^ { \lceil \frac { \Delta t } { \tau _ { s } } \rceil } ) / w _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } = 0 ,
q = - { \frac { 1 } { 2 \pi } } \sum _ { \kappa } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \, \left\{ { \frac { d \delta _ { \kappa } ( E ) } { d E } } - { \frac { d \delta _ { \kappa } ( - E ) } { d E } } \right\} .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F _ { H } ^ { 2 } ( N ) } { \partial H } } & { = 2 \sum _ { k = 2 } ^ { N } ( N - k + 1 ) \left( 2 k ^ { 2 H } \log k - ( k + 1 ) ^ { 2 H } \log ( k + 1 ) - ( k - 1 ) ^ { 2 H } \log ( k - 1 ) \right) } \\ { * } & { \quad - 2 N 2 ^ { 2 H } \log 2 } \\ & { < 2 N \sum _ { k = N _ { 0 } } ^ { N } \left( 2 k ^ { 2 H } \log k - ( k + 1 ) ^ { 2 H } \log ( k + 1 ) - ( k - 1 ) ^ { 2 H } \log ( k - 1 ) \right) } \\ { * } & { \quad - 2 N 2 ^ { 2 H } \log 2 } \\ & { \le 2 N \bigl ( N ^ { 2 H } \log N - ( N + 1 ) ^ { 2 H } \log ( N + 1 ) + N _ { 0 } ^ { 2 H } \log N _ { 0 } } \\ { * } & { \quad - ( N _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 H } \log ( N _ { 0 } - 1 ) - 2 ^ { 2 H } \log 2 \bigr ) < 0 } \end{array}
F _ { X Y } ( x _ { t _ { 1 } } , \ldots , x _ { t _ { m } } , y _ { t _ { 1 } ^ { ' } } , \ldots , y _ { t _ { n } ^ { ' } } ) = F _ { X Y } ( x _ { t _ { 1 } + \tau } , \ldots , x _ { t _ { m } + \tau } , y _ { t _ { 1 } ^ { ' } + \tau } , \ldots , y _ { t _ { n } ^ { ' } + \tau } ) \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } \tau , t _ { 1 } , \ldots , t _ { m } , t _ { 1 } ^ { ' } , \ldots , t _ { n } ^ { ' } \in \mathbb { R } { \mathrm { ~ a n d ~ f o r ~ a l l ~ } } m \in \{ 1 , \ldots , M \} , n \in \{ 1 , \ldots , N \}
\begin{array} { r } { \Delta C \propto \varepsilon ^ { - \alpha } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ O ~ P ~ } \propto \varepsilon ^ { \beta } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \chi \propto \varepsilon ^ { - \gamma } , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { 5 } = - \frac { 1 } { 2 } \Omega _ { 2 } \sigma _ { z } + \frac { 1 } { 2 } G \left( m e ^ { i \delta _ { 1 } t } + m ^ { \dagger } e ^ { - i \delta _ { 1 } t } \right) ( \sigma ^ { + } + \sigma ^ { - } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } ( R , \theta ) } & { = \sum _ { L } P _ { L } ( \cos \theta ) \times \Big [ V _ { L } ^ { ( 0 ) } ( R ) + \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 2 } V _ { L } ^ { ( 1 2 ) } ( R ) } \\ { + } & { \hat { s } _ { 1 } \cdot \hat { s } _ { 3 } V _ { L } ^ { ( 1 3 ) } ( R ) + \hat { s } _ { 2 } \cdot \hat { s } _ { 3 } V _ { L } ^ { ( 2 3 ) } ( R ) + V _ { L } ^ { ( 3 b ) } ( R ) \Big ] , } \end{array}
\langle P S | \bar { \psi } _ { f } \gamma ^ { ( \sigma } \gamma _ { 5 } i D ^ { \mu _ { 1 } } i D ^ { \mu _ { 2 } ) } \psi _ { f } | P S \rangle = 2 a _ { 2 f } S ^ { ( \sigma } P ^ { \mu _ { 1 } } P ^ { \mu _ { 2 } ) } ,
\left[ \frac { \partial } { \partial t } \left( \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } - \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } \right) + \frac { \rho _ { 1 } } { 2 } \left( \nabla \phi _ { 1 } \right) ^ { 2 } - \frac { \rho _ { 2 } } { 2 } \left( \nabla \phi _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] _ { z = \xi } + ( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) g ( t ) \xi - \sigma \nabla \cdot \left( \frac { \nabla \xi } { \sqrt { 1 + | \nabla \xi | ^ { 2 } } } \right) = 0 .
\boldsymbol { B } = \nabla \times \boldsymbol { A } = - \Delta _ { \perp } \psi \, \mathrm { e } _ { \rho } + \frac { 1 } { h _ { \phi } } \partial _ { \phi } \left( \frac { 1 } { h _ { \rho } } \partial _ { \rho } \psi \right) \, \mathrm { e } _ { \phi } + \frac { 1 } { h _ { s } } \partial _ { s } \left( \frac { 1 } { h _ { \rho } } \partial _ { \rho } \psi \right) \, \mathrm { e } _ { s } .
\big \| e ^ { - \pi i \cdot \delta L ^ { 2 \gamma } t _ { \mathfrak u _ { 1 } } \Gamma } \cdot \mathcal K _ { ( \mathtt { s g n } , \mathtt { i n d } , \mathscr B ) } ^ { ( \mathbb V \mathbb C , Z , W ) } ( x _ { 0 } ^ { \prime } , k _ { \mathfrak u _ { 2 1 } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 2 } } , t _ { \mathfrak u _ { 1 } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 1 } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 2 } } ) \big \| _ { Y _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta } } \lesssim ( C ^ { + } \delta ^ { 1 / 4 } ) ^ { n _ { 2 } } L ^ { \eta ^ { 4 } } \| Z \| _ { Y _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta } } ,
\epsilon L ^ { ( 2 ) } \theta = \tilde { h } _ { 1 } ^ { ( 2 ) } v ^ { 2 } \phi ^ { j } ( \epsilon \gamma ^ { i } \theta ) ( \theta \gamma ^ { i j } \theta ) + h _ { 1 } ^ { ( 2 ) } v ^ { i } v ^ { j } \phi ^ { k } ( \epsilon \gamma ^ { i } \theta ) ( \theta \gamma ^ { j k } \theta ) ,
\begin{array} { r l r } { u _ { m } ( N , q _ { l } ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 2 } { \textrm { B } ( m , N - m + 1 ) } \int _ { 0 } ^ { q _ { l } } d \rho \frac { \rho ^ { 2 m - 1 } } { ( 1 + \rho ^ { 2 } ) ^ { N + 1 } } } \\ { v _ { m } ( N , q _ { l } ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 2 } { \textrm { B } ( m , N - m + 1 ) } \int _ { q _ { l } } ^ { \infty } d \rho \frac { \rho ^ { 2 m - 1 } } { ( 1 + \rho ^ { 2 } ) ^ { N + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n + 1 ) - \pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n ) = \sum _ { ( a \mu , b \nu ) \neq ( i \alpha , j \beta ) } \Pi _ { a b } ^ { \mu \nu } ( n ) \omega _ { a \mu , b \nu \rightarrow i \alpha , j \beta } - \Pi _ { i j } ^ { \alpha \beta } ( n ) \omega _ { i \alpha , j \beta \rightarrow a \mu , b \nu } } \end{array}
0 = - [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { D } ^ { f } ] _ { 1 0 , 0 0 } \delta _ { n , 1 } c _ { 0 0 } ( \omega ) - \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { \infty } [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { V C } ^ { f } ] _ { n 0 , n ^ { \prime } 0 } c _ { n ^ { \prime } 0 } ( \omega ) .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \ell } } & { = \frac { | [ \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } \! + \! \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { r i s } } ) ] \mathbf { w } _ { \ell } | ^ { 2 } } { \displaystyle \sum _ { k = 1 , k \neq \ell } ^ { L } \big \rvert [ \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } \! + \! \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { r i s } } ) ] \mathbf { w } _ { k } \big \rvert ^ { 2 } \! \! \! + \! \sigma _ { n } ^ { 2 } } } \\ { R } & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \log _ { 2 } \left( 1 + \gamma _ { \ell } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { 3 } ( U ^ { 2 } ) + D ^ { 2 } ( 2 \Delta U + 2 U J ) } & { + D \left( \Delta ^ { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + J ^ { 2 } + 2 \Delta J \right) } \\ & { - \left\{ E ^ { 3 } U ^ { 2 } + E ^ { 2 } \left( 2 \Delta U + 2 U J \right) + E \left( \Delta ^ { 2 } + J ^ { 2 } + 2 \Delta J + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } \right) \right\} = 0 , } \end{array}
s \Gamma _ { S T } [ \hat { \mu } , \hat { R } _ { 0 } ] = \kappa { \cal A } ( C , \hat { \mu } , \hat { R } _ { 0 } ) + \frac { \kappa } { 2 } \int _ { S T } d \tau \left\{ D \phi - \bar { \partial } B _ { S T } \right\}
w _ { \pm } = \left[ ( - 1 ) ^ { N _ { c } + r _ { \pm } } \left( \frac { N _ { c } - r _ { - } } { N _ { c } - r _ { + } } \right) ^ { N _ { c } - r _ { \pm } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 N _ { c } - N _ { f } } } \mu \Lambda ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { p r e d } \operatorname { t h r e e } = } & { \ \operatorname { f i r s t } \ ( \operatorname { f } \ ( \operatorname { f } \ ( \operatorname { f } \ ( \operatorname { p a i r } \ \operatorname { z e r o } \ \operatorname { z e r o } ) ) ) ) } \\ { = } & { \ \operatorname { f i r s t } \ ( \operatorname { f } \ ( \operatorname { f } \ ( \operatorname { p a i r } \ \operatorname { z e r o } \ \operatorname { o n e } ) ) ) } \\ { = } & { \ \operatorname { f i r s t } \ ( \operatorname { f } \ ( \operatorname { p a i r } \ \operatorname { o n e } \ \operatorname { t w o } ) ) } \\ { = } & { \ \operatorname { f i r s t } \ ( \operatorname { p a i r } \ \operatorname { t w o } \ \operatorname { t h r e e } ) } \\ { = } & { \ \operatorname { t w o } } \end{array} }
\begin{array} { r } { U _ { a , b , m , n } ^ { d } ( O , S , I , J ) : = U ^ { d } ( \overline { { O } } + h _ { \mathrm { s } } \boldsymbol { \omega } _ { a } ^ { p _ { \mathrm { s } } } , \ \overline { { S } } + h _ { \mathrm { s } } \boldsymbol { \omega } _ { b } ^ { p _ { \mathrm { s } } } , \ \overline { { I } } + h _ { \mathrm { t } } \omega _ { m } ^ { p _ { \mathrm { t } } } , \ \overline { { J } } + h _ { \mathrm { t } } \omega _ { n } ^ { p _ { \mathrm { t } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } } } & { { } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = \mathcal { J } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { s - \varepsilon } ^ { \varepsilon } ( 1 ) = \frac { ( \frac { 1 } { 2 } \rho d ) _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } \rho d - \frac { 1 } { 2 } d + 1 ) _ { s - \varepsilon } } { ( \frac { 1 } { 2 } d ) _ { s } ( s - \varepsilon ) ! } = \frac { ( \frac { 1 } { 2 } \rho d ) _ { s } } { ( \frac { 1 } { 2 } d ) _ { s } } \binom { \frac { 1 } { 2 } d ( \rho - 1 ) + s - \varepsilon } { s - \varepsilon } } \end{array}