harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathtt k \int _ { \partial \Omega } u ^ { p } } & { \left( 1 - \frac { v ^ { p - 1 } } { ( v + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } \right) - \lambda \int _ { \Omega } m u ^ { p } \left( 1 - \frac { v ^ { p - 1 } } { ( v + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } \right) + \lambda \int _ { \Omega } u ^ { p } \left( u ^ { q } - \frac { v ^ { p + q - 1 } } { ( v + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } \right) } \\ { = } & { \int _ { \Omega } H ( \nabla v ) ^ { p - 1 } H _ { \xi } ( \nabla v ) \nabla \left( \frac { u ^ { p } } { ( v + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } \right) - \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla u ) \leqslant 0 . } \end{array}
a _ { l } = a _ { 1 } + a _ { 2 } ( \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } ) + a _ { 2 } ( \frac { m _ { 1 } } { m _ { 3 } } ) + a _ { 3 } ( \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } , \frac { m _ { 1 } } { m _ { 3 } } ) ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { R _ { 1 } - \gamma } } \\ & { \ge } & { \frac { 1 } { n } | { \cal A } _ { n } ( e ^ { * } ) | } \\ & { \ge } & { K _ { n } \left( \frac { 1 } { n } \log ( 1 - \sqrt { \varepsilon } - \xi ) - \frac { 1 } { n } \log N _ { n } , \sqrt { \varepsilon } \right) } \\ & { \ge } & { K _ { n } \left( \frac { 1 } { n } \log ( 1 - \sqrt { \varepsilon } - \xi ) - R _ { 2 } , \sqrt { \varepsilon } \right) } \\ & { \ge } & { K _ { n } ( - R _ { 2 } - \gamma , \sqrt { \varepsilon } ) } \\ & { \ge } & { \tau ( R _ { 2 } + \gamma ) - \kappa } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { x = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } ( - 1 ) ^ { f ( x ) } \left[ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } } } } \sum _ { y = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } ( - 1 ) ^ { x \cdot y } | y \rangle \right] = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { y = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } \left[ \sum _ { x = 0 } ^ { 2 ^ { n } - 1 } ( - 1 ) ^ { f ( x ) } ( - 1 ) ^ { x \cdot y } \right] | y \rangle
\begin{array} { r l } { U _ { B } = } & { \sum _ { x } \frac { 1 } { 2 } [ e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , x } ^ { \dagger } - a _ { d A , x } ^ { \dagger } ) a _ { u A , x + 2 } } \\ { + } & { e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , x + 2 } ^ { \dagger } + a _ { d A , x + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { u A , x } } \\ { - } & { e ^ { - 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , x } ^ { \dagger } - a _ { d A , x } ^ { \dagger } ) a _ { d A , x + 2 } } \\ { + } & { e ^ { 4 g _ { 0 } } ( a _ { u A , x + 2 } ^ { \dagger } + a _ { d A , x + 2 } ^ { \dagger } ) a _ { d A , x } ] } \\ { - } & { \sum _ { x } ( a _ { u B , x } ^ { \dagger } a _ { u B , x } + a _ { d B , x } ^ { \dagger } a _ { d B , x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| w \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } ^ { 2 } \le } & { \| v \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } \| g _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } + \| w \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } \| \partial _ { n } v \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } } \\ { \le } & { C \sqrt { H - m } ( 1 + L ^ { 2 } ) ^ { 1 / 4 } ( 1 + k ( H - m ) ) \| w \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } \| w \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } } \\ & { + C ( H - m ) \frac { ( 1 + k ( H - m ) ) ^ { 2 } } { k } \| w \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } \| g _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle x \rangle } & { { } = - \kappa _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \; | c _ { 1 } ( \epsilon t ^ { \prime } ) | \cos [ \omega t + \varphi _ { 1 } ( \epsilon t ^ { \prime } ) ] + \mathcal { O } ( \kappa _ { 1 } / \omega _ { \mathrm { r e l } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \mathbb Q ( E _ { [ n ] , R } \cap \{ \mathrm { M i m } _ { n + 1 \to 1 } \mathrm { ~ f a v o r a b l e } \} ) } \quad } & { } \\ & { \leq \frac { C M } { T ^ { d } } \mathbb Q ( E _ { [ n ] , R } \cap \{ \mathrm { M i m } _ { n + 1 \to 1 } \mathrm { ~ f a v o r a b l e } \} \cap \{ y _ { n + 1 } \in B _ { 2 T } \setminus B _ { T } \} ) } \\ & { \leq C M \mathbb Q ( E _ { [ n + 1 ] , R } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } H } & { { } = - \pi \Omega I _ { 1 z } + \pi \Omega I _ { 2 z } + H _ { 1 2 } , ~ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ , ~ } } \\ { H _ { 1 2 } } & { { } = 2 \pi J \mathbf { I } _ { 1 } \cdot \mathbf { I } _ { 2 } + 2 \pi \mathcal { D } \left( 3 I _ { 1 z } I _ { 2 z } - \mathbf { I } _ { 1 } \cdot \mathbf { I } _ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 } } A _ { \mu } A ^ { \mu } - { \frac { \theta } { 2 m ^ { 2 } } } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } A ^ { \lambda } - { \frac { 1 } { 4 m ^ { 2 } } } A _ { \mu \nu } A ^ { \mu \nu } ,
f _ { 0 2 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - 3 . 2 3 2 8 } \end{array} \right) , f _ { 3 0 0 } = \left( \begin{array} { c } { - 2 2 . 9 5 5 2 } \\ { 1 2 . 5 7 9 3 } \end{array} \right) , f _ { 2 1 0 } = \left( \begin{array} { c } { 9 . 2 5 9 3 } \\ { - 6 . 1 3 6 2 } \end{array} \right) , f _ { 1 2 0 } = f _ { 0 3 0 } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \| e _ { \Gamma } \| _ { \mathcal { B } } ^ { 2 } } & { = \Re \{ \mathcal { C } ( e _ { \Gamma } , e _ { \Gamma } ) \} + 2 \| \kappa ^ { 2 } e _ { \Gamma } \| ^ { 2 } = \Re \{ \mathcal { C } ( e _ { \Gamma } , u _ { \Gamma } - v _ { \Gamma , S } ) \} + 2 \| \kappa ^ { 2 } e _ { \Gamma } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq C _ { \mathcal { C } } \| e _ { \Gamma } \| _ { \mathcal { B } } \| u _ { \Gamma } - v _ { \Gamma , S } \| _ { \mathcal { B } } + 2 ( C _ { \mathcal { C } } \sigma ^ { * } ) ^ { 2 } \| e _ { \Gamma } \| _ { \mathcal { B } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi } & { = } & { \frac { 1 } { 1 + \exp ( w _ { \mathrm { b } } ) } , } \\ { w _ { \mathrm { b } } } & { = } & { - \frac { \mu } { k _ { \mathrm { B } } T } } \\ & { } & { + \frac { a _ { \mathrm { p } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \Big ( 2 \kappa _ { \mathrm { d i f } } H ^ { 2 } + \bar { \kappa } _ { \mathrm { d i f } } K - 2 \kappa _ { \mathrm { p i } } C _ { 0 } H + \frac { \kappa _ { \mathrm { p i } } C _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \Big ) , } \end{array}
\mathrm { t r i r e s } \left( \Phi _ { A } ^ { * ( 2 ) } \right) = \left( g h _ { 1 } \left( \Phi ^ { A } \right) , g h _ { 2 } \left( \Phi ^ { A } \right) + 1 , g h _ { 3 } \left( \Phi ^ { A } \right) \right) = - \mathrm { t r i g h } \left( \Phi _ { A } ^ { * ( 2 ) } \right) ,
\begin{array} { r } { \rho \left( \vec { r } , \, t \right) = \sum _ { i } f _ { i } \left( \vec { r } , \, t \right) } \\ { \rho \left( \vec { r } , \, t \right) \vec { u } \left( \vec { r } , \, t \right) = \sum _ { i } f _ { i } \left( \vec { r } , \, t \right) \vec { c } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { B _ { d / 4 } ( x ) } u } & { \le C ( N , p , \mu ) \Big ( \operatorname* { i n f } _ { B _ { d / 8 } ( x ) } u + d \cdot \| f _ { + } \| _ { L ^ { N } ( B _ { d / 4 } ( x ) ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \Big ) } \\ & { \le C ( N , p , \mu ) \Big ( \operatorname* { i n f } _ { B _ { d / 8 } ( x ) } u + d \cdot \| F \| _ { L ^ { N } ( B _ { d / 4 } ( x ) ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \vec { m } } = - \frac { \gamma } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \left[ \boldsymbol { m } \times \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } + \alpha \, \boldsymbol { m } \times \left( \boldsymbol { m } \times \boldsymbol { h } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \right) \right] , } \end{array}
\mathrm { p g h } \left( V ^ { * \alpha ( \lambda ) } \right) = \mathrm { p g h } \left( A _ { \; \; \; ( \lambda ) } ^ { * \alpha } \right) = \mathrm { p g h } \left( \eta ^ { * ( \lambda ) } \right) = \mathrm { p g h } \left( C _ { ( \lambda ) } ^ { * } \right) = 0 ,
W _ { p } = \left\{ \begin{array} { l l l } { { W _ { H } ; } } & { { x \, \epsilon \ \, [ 0 , L ] , } } & { { y \, \epsilon \, [ l , L - l ] ; } } \\ { { C ( x ) \operatorname { t a n h } [ \alpha ( y - L ) ] + D ( x ) ; } } & { { x \, \epsilon \ [ 0 , L ] , } } & { { y \, \epsilon \, [ L - l , L + l ] , } } \end{array} \right.
f _ { \mathrm { G } } ( \boldsymbol { p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \eta _ { \mathrm { m a x } } e ^ { - \varepsilon ( \v { p } ) / \varepsilon _ { 0 } } \quad } & { \mathrm { f o r } \quad \varepsilon ( \boldsymbol { p } ) < \varepsilon _ { 0 } \ln \displaystyle \frac { \eta _ { \mathrm { m a x } } } { \eta _ { \mathrm { m i n } } } , } \\ { 0 \quad } & { \mathrm { f o r } \quad \varepsilon ( \boldsymbol { p } ) > \varepsilon _ { 0 } \ln \displaystyle \frac { \eta _ { \mathrm { m a x } } } { \eta _ { \mathrm { m i n } } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { J _ { k } ( \mu _ { k } ) = \relax \biggl [ } & { Q _ { 1 k } M _ { k } + Q _ { 2 k } \Sigma _ { k } + K _ { k } ^ { T } R _ { k } K _ { k } M _ { k } + R _ { k } \bar { U } _ { k } + R _ { k } \bar { u } _ { k } m _ { k } ^ { T } K _ { k } ^ { T } } \\ & { + P _ { 1 k + 1 } ( A _ { k } + B _ { k } K _ { k } ) M _ { k } ( A _ { k } + B _ { k } K _ { k } ) ^ { T } + P _ { 1 k + 1 } B _ { k } \bar { U } _ { k } B _ { k } ^ { T } } \\ & { + 2 P _ { 1 k + 1 } ( A _ { k } + B _ { k } K _ { k } ) m _ { k } \bar { u } _ { k } B _ { k } ^ { T } } \\ & { + P _ { 2 k + 1 } ( A _ { k } + B _ { k } K _ { k } ) \Sigma _ { k } ( A _ { k } + B _ { k } K _ { k } ) ^ { T } \biggr ] . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { a _ { F } \to 0 } \varrho _ { F } ( r ) = \frac { 3 Z e } { 4 \pi r _ { b } ^ { 3 } } \, \Theta ( r _ { b } - r ) , \quad \mathrm { a n d \, \, \, } r _ { b } = \operatorname* { l i m } _ { a _ { F } \to 0 } c _ { F } .
\begin{array} { r } { \rho _ { f } \left( \frac { \partial } { \partial t } + \textbf { u } \cdot \nabla \right) \textbf { u } = - \nabla p + \eta _ { S } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega _ { f } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \sigma } \left( \mathbf { k } \right) } & { { } \rightarrow \sigma N ^ { - 1 } k _ { x } / \sqrt { k _ { z } ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { \alpha \beta \gamma } ^ { 2 } \rightarrow } & { { } \left( \sqrt { k _ { \alpha z } ^ { 2 } } + \sqrt { k _ { \beta z } ^ { 2 } } + \sqrt { k _ { \gamma z } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
I ( p ; m _ { 0 } , r ) = \left( \prod _ { \mu = 1 } ^ { d } c _ { \mu } \right) \left[ m _ { 0 } + r \sum _ { \rho } ( c _ { \rho } - 1 ) + r \sum _ { \rho } \frac { s _ { \rho } ^ { 2 } } { c _ { \rho } } \right] ( H _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { - n - \frac { 1 } { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \xi = } & { { } \frac { \sum _ { i } \left( N _ { i } ^ { + } - N _ { i } ^ { - } \right) + i \sum _ { i } \left( N _ { i } ^ { + } + N _ { i } ^ { - } - 2 N _ { i } ^ { R } \right) } { N _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { A } ( t _ { * } + r ) - \mathcal { A } ( t _ { * } + r ^ { \prime } ) , r - r ^ { \prime } \rangle } & { = \langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) ( r - r ^ { \prime } ) , r - r ^ { \prime } \rangle + \langle \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ) - \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ^ { \prime } ) , r - r ^ { \prime } \rangle } \\ & { \ge \gamma \| r - r ^ { \prime } \| _ { \mathbb { V } } ^ { 2 } + \langle \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ) - \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; r ^ { \prime } ) , r - r ^ { \prime } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } } & { = U _ { \phi } ^ { \dagger } \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } ^ { ' } U _ { \phi } = U _ { \phi } ^ { \dagger } ( \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { ' } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { H } _ { \mathrm { d \cdot E } } ^ { ' } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { ' \dagger } ) U _ { \phi } } \\ & { = \hat { T } _ { \bf Q } + \mathcal { \hat { H } } _ { e l } + \sum _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } + \sum _ { u } e ( \hat { \bf Q } _ { u } - { \bf R } _ { u } \sum _ { \alpha } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ) \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) - \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } \Big ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \times \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol { \xi } } } + \sum _ { u } e ( \hat { \bf Q } _ { u } - { \bf R } _ { u } \sum _ { \alpha } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ) \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) - \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } \Big ) \omega _ { \boldsymbol k } ~ ~ ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j \neq 0 } \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( E ( x _ { j } ) ) } & { { } = } & { - \frac { \sinh ( \phi ) } { \phi } \int _ { 0 } ^ { + \pi / \phi } d \lambda \rho ( \lambda ) K _ { 1 } ^ { \prime } ( \lambda ) \sigma ( \lambda ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\vert \frac { f ( \mu _ { 1 } , p ) - f ( \mu _ { 2 } , p ) } { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } - \partial _ { \mu } f \left( \frac { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } { 2 } , p \right) \right\vert \leq c ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ { \left\vert \frac { f ( \mu , p _ { 1 } ) - f ( \mu , p _ { 2 } ) } { p _ { 1 } - p _ { 2 } } - \partial _ { p } f \left( \mu , \frac { p _ { 1 } + p _ { 2 } } { 2 } \right) \right\vert \leq c ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\Sigma ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) = \left[ \begin{array} { l l l } { K ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) } & { \cdots } & { K ( x _ { 1 } , x _ { n } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { K ( x _ { n } , x _ { 1 } ) } & { \cdots } & { K ( x _ { n } , x _ { n } ) } \end{array} \right] + \sigma _ { \epsilon } ^ { 2 } I .
\begin{array} { r l } { s _ { t } } & { { } = { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { s } } \\ { \mathbf { s } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { s } + { \frac { \gamma ^ { 2 } } { \gamma + 1 } } { \boldsymbol { \beta } } \left( { \boldsymbol { \beta } } \cdot \mathbf { s } \right) - \gamma { \boldsymbol { \beta } } s _ { t } } \end{array}
\frac { N _ { \mathrm { n } } } { t _ { \mathrm { n } } } \approx \frac { N _ { \mathrm { l , r } } } { t _ { \mathrm { r } } } \approx \frac { N _ { \mathrm { l , n } } } { t _ { \mathrm { n } } } \approx \frac { N _ { \mathrm { r } } } { t _ { \mathrm { r } } } = \frac { n _ { \mathrm { n v } } V _ { \mathrm { s e n } } \phi } { t _ { \mathrm { r } } } = \frac { V _ { 0 } } { G } ,
\mu _ { 3 0 K e V } ( \mathrm { ~ I ~ r ~ o ~ n ~ } ) \approx 6 4 . 3 8 ( c m ^ { - 1 } ) , ~ \mu _ { 8 0 K e V } ( \mathrm { ~ I ~ r ~ o ~ n ~ } ) \approx 4 . 6 9 ( c m ^ { - 1 } )
e ^ { - \frac { \tau } { 2 } \sum _ { g } \hat { L } _ { g } ^ { 2 } } = \int \mathrm { ~ d ~ } x ^ { N _ { g } } \; p ( x _ { g } ) \; e ^ { i \sqrt { \tau } \sum _ { g } x _ { g } \hat { L } _ { g } } + \mathcal { O } ( \tau ^ { 2 } ) ~ ,
P _ { \alpha \beta } = \delta _ { \alpha \beta } - 4 \; \underset { a < b } { \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \sum _ { b = 1 } ^ { 3 } } U _ { \alpha a } U _ { \beta a } U _ { \alpha b } U _ { \beta b } \sin ^ { 2 } x _ { a b } , \quad \alpha , \beta = e , \mu , \tau ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { A _ { j } } & { = } & { \int \frac { s t ^ { j - 1 } \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert 1 + s \underline { { g } } + t \underline { { m } } \vert ^ { 2 } } , j = 1 , 2 , } \\ { B _ { j } } & { = } & { \int \frac { t ^ { j } \mathrm { d } H ( s , t ) } { \vert 1 + s \underline { { g } } + t \underline { { m } } \vert ^ { 2 } } , j = 0 , 1 , 2 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 2 \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - m ( t - s ) } \langle L _ { s } , h ( L _ { s } ) \rangle d s } & { \leq 2 \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { m ( s - t ) } ( u ( 0 ) - \frac { m } { 2 } Y _ { s } ) \mathrm { d } s } \\ & { \leq \frac { 2 u ( 0 ) } { m } \left( 1 - e ^ { - m t } \right) - m \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - m ( t - s ) } Y _ { s } d s . } \end{array}
\rho ^ { \otimes n } = \sum _ { \mathbf { k } , \mathbf { l } ~ \in \{ 0 , \dots , 2 ^ { d } - 1 \} ^ { n } } p ( \mathbf { k } , \mathbf { l } ) \left\vert \mathbf { k } \right\rangle _ { A ^ { n } } \left\langle \mathbf { k } \right\vert \otimes \left\vert \mathbf { l } \right\rangle _ { B ^ { n } } \left\langle \mathbf { l } \right\vert \otimes \rho _ { E ^ { n } } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { l } } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( H ( \tau ^ { * } ) \! + \! \frac { K } { \mu ( 1 \! - \! \epsilon ) } \! - \! \frac { 1 } { 2 \theta _ { k } } \cdot \frac { \mu } { 2 \theta _ { k } \! + \! \mu } ( 1 \! - \! F _ { k } ( \tau ^ { * } ) ) \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \! - \! \beta ^ { * } \left( H ( \tau ^ { * } ) \! + \! \frac { K } { \mu ( 1 \! - \! \epsilon ) } \right) = 0 , } \end{array}
\langle \frac { \partial \alpha _ { k } } { \partial \theta _ { i } } | \frac { \partial \alpha _ { k } } { \partial \theta _ { j } } \rangle = | \alpha _ { k } | ^ { 2 } \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { i } } \right) \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { j } } \right) \left( 1 + | \alpha _ { k } | ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { E ( \Lambda ) } & { { } = \int _ { \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } } \Lambda \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } \Lambda } \sqrt { ( \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } - \Lambda ) ( \Lambda - \Lambda _ { \operatorname* { m i n } } ) } d \Lambda } \end{array}
- 2 i \int \frac { d ^ { \, 4 } P } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, e ^ { - i P \cdot ( x - y ) } \sum _ { \tau = \pm } \theta ( \tau p _ { 0 } ) \left[ P \cdot \partial _ { X } f ^ { ( \tau ) } ( X ; { \bf p } ) \right] \hat { \Delta } ^ { ( \tau ) } ( X ; P ) = 0 ,
\frac { 2 \delta } { d _ { 1 } } = 1 + \frac { 2 m _ { p } g } { \kappa d _ { 1 } } + \mathcal { W } \Bigg ( \frac { 2 m _ { p } V _ { p } ^ { 2 } - 2 m _ { p } g d _ { 1 } - \kappa d _ { 1 } ^ { 2 } } { \kappa d _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { 1 + 2 m _ { p } g / \kappa d _ { 1 } } } \Bigg ) \, ,
\mathcal { f } _ { a b } ^ { ( j ) } = \mathcal { f } _ { a b } ^ { ( j , 0 ) } + \sum _ { c } \mathcal { f } _ { a b c } ^ { ( j , 1 ) } \xi _ { c } + \sum _ { c , d } \mathcal { f } _ { a b c d } ^ { ( j , 2 ) } \xi _ { c } \xi _ { d } + \cdots .
\begin{array} { r l } { \Vert u ( t , x ) \Vert _ { p } } & { \leq \sum _ { n \geq 0 } \Vert I _ { n } ( f _ { n } ( \cdot , t , x ) ) \Vert _ { p } \leq \sum _ { n \geq 0 } ( p - 1 ) ^ { \frac n 2 } \Vert I _ { n } ( f _ { n } ( \cdot , t , x ) ) \Vert _ { 2 } } \\ & { = \sum _ { n \geq 0 } ( p - 1 ) ^ { \frac n 2 } \left( n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
F _ { \mu \nu } = \eta _ { \alpha \nu } F ^ { \beta \alpha } \eta _ { \mu \beta } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { E _ { x } / c } & { E _ { y } / c } & { E _ { z } / c } \\ { - E _ { x } / c } & { 0 } & { - B _ { z } } & { B _ { y } } \\ { - E _ { y } / c } & { B _ { z } } & { 0 } & { - B _ { x } } \\ { - E _ { z } / c } & { - B _ { y } } & { B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \| \overline { { Q } } _ { t + 1 } ^ { i } - \overline { { Q } } _ { t } ^ { i } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \alpha _ { t } ^ { 2 } \Big | \overline { { Q } } _ { t } ^ { i } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { i } ) + r ^ { i } ( s _ { t } , a _ { t } ^ { 1 } , a _ { t } ^ { 2 } ) + \gamma _ { i } \overline { { \pi } } _ { t } ^ { j } ( s _ { t + 1 } ) \overline { { Q } } _ { t } ^ { i } ( s _ { t + 1 } ) \Big | ^ { 2 } \qquad \mathrm { f o r ~ } j \neq i } \\ & { \leq 3 \Big ( 2 C ^ { 2 } ( \| \overline { { Q } } _ { 0 } ^ { i } \| , M ) + M ^ { 2 } \Big ) \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \alpha _ { t } ^ { 2 } } \\ & { < \infty \ , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \varepsilon ^ { 2 p } \partial _ { r r } \Phi ( \textbf { x } , r ) + \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 p } } ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \Phi ( \textbf { x } , r ) + \frac { \beta } { \varepsilon ^ { 2 p } } \Phi ( \textbf { x } , r ) + | \Phi ( \textbf { x } , r ) | ^ { 2 p } \Phi ( \textbf { x } , r ) = 0 , } \\ & { \Phi ( \textbf { x } , 0 ) = \psi _ { 0 } ( \textbf { x } ) , \quad \partial _ { r } \Phi ( \textbf { x } , 0 ) = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 p } } \psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) , \quad \textbf { x } \in \Omega , } \end{array} \right.
2 S _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ( p ) = - \frac { 1 } { 3 } \rho ^ { 3 } v _ { a b c d } ^ { 1 } v _ { c d a b } ^ { ( 2 ) } \Bigl ( \frac { \Sigma ^ { 1 } ( p ) } { 2 } \Bigr ) ^ { 2 } \frac { D _ { 1 } } { 2 } .
\operatorname* { l i m } _ { N _ { \mathrm { s t o } } \rightarrow + \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s t o } } } \left| \tilde { \chi } _ { n k } \right\rangle \left\langle \tilde { \chi } _ { n k } \right| + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { K S } } } \left| \phi _ { i k } \right\rangle \left\langle \phi _ { i k } \right| = \hat { I } ,
\frac { \partial f _ { u } } { \partial t } = - v _ { t t } + \alpha ( t ) _ { t } u _ { x x } + \alpha ( t ) u _ { x x t } + \beta ( t ) _ { t } u + \beta ( t ) u _ { t } + \gamma ( t ) _ { t } ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) u + \gamma ( t ) ( 2 u u _ { t } + 2 v v _ { t } ) u + \gamma ( t ) ( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } ) u _ { t } ,
W e _ { c } = \frac { \rho { U _ { t } } ^ { 2 } R } { \sigma } = \left( \frac { U _ { t } } { U _ { c } } \right) ^ { 2 } = \frac { 2 \alpha _ { 2 } } { 1 - \alpha _ { 1 } { \lambda } / { R } } .
\begin{array} { r l r } { \langle \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \mathbf { \overline { { q } } } } , \delta \mathbf { \overline { { q } } } \rangle } & { { } = } & { \langle 2 \mu _ { i } \operatorname { R e } \left( \left( \frac { \partial ( \mathbf { A } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { a } } \right) + \mu _ { i } ^ { 2 } \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { q } } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { f l u } , \mathrm { d i v } } ^ { + } = \frac { - 2 \zeta _ { + } ( 3 \zeta _ { + } - 2 ) ( \zeta _ { + } ( \zeta _ { + } ( k + 3 ) - k \sigma - 3 ) + 1 ) \pm 2 \sqrt { 3 } \sqrt { \zeta _ { + } ^ { 5 } ( 3 \zeta _ { + } - 2 ) ^ { 2 } k ( \zeta _ { + } - \sigma ) } } { ( 2 - 3 \zeta _ { + } ) ^ { 2 } \zeta _ { + } ^ { 2 } } , } \\ { \gamma _ { \mathrm { f l u } , \mathrm { d i v } } ^ { - } = \frac { - 2 \zeta _ { - } ( 3 \zeta _ { - } + 2 ) ( \zeta _ { - } ( \zeta _ { - } ( k + 3 ) + k \sigma + 3 ) + 1 ) \pm 2 \sqrt { 3 } \sqrt { \zeta _ { - } ^ { 5 } ( 3 \zeta _ { - } + 2 ) ^ { 2 } k ( \zeta _ { - } + \sigma ) } } { \zeta _ { - } ^ { 2 } ( 3 \zeta _ { - } + 2 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
[ \hat { D } _ { \alpha } , \hat { D } _ { \beta } ] f = - ( \partial _ { \alpha } A _ { \beta } ^ { \mu } - \partial _ { \beta } A _ { \alpha } ^ { \mu } ) \partial _ { \mu } f + ( A _ { \alpha } ^ { \mu } \partial _ { \mu } A _ { \beta } ^ { \nu } - A _ { \beta } ^ { \mu } \partial _ { \mu } A _ { \alpha } ^ { \nu } ) \partial _ { \nu } f \, .
E _ { y } \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { 2 \pi \epsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x d y \frac { y \rho _ { 0 } \left( x + x _ { 0 } , y + y _ { 0 } \right) } { \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }
\varepsilon = \frac { 3 2 . 5 3 A _ { t } E } { ( A _ { \mathrm { H I } } + A _ { t } ) Z _ { \mathrm { H I } } Z _ { t } ( Z _ { \mathrm { H I } } ^ { 2 / 3 } + Z _ { t } ^ { 2 / 3 } ) ^ { 1 / 2 } } ,