harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { C _ { H ^ { \sigma } } ( { \bf Q } _ { 2 } ) } & { = Z ( H ) \times F _ { 4 } ( q ) , } \\ { C _ { H ^ { \sigma } } ( { \bf Q } _ { 3 } ) } & { = Z ( H ) \times \mathrm { P S p } _ { 8 } ( q ) , } \\ { C _ { H ^ { \sigma } } ( { \bf Q } _ { 4 } ) } & { = Z ( H ) \times ( \mathrm { P } \Omega _ { 8 } ^ { + } ( q ) . 2 ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| ( \mathbf { T } - z _ { k } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \right\| _ { 2 } = \operatorname* { m a x } _ { \theta \in \sigma ( \vec { T } ) } | \theta - z _ { k } | ^ { - 1 } } & { = | \theta ^ { * } - z _ { k } | ^ { - 1 } } \\ & { \leq | \lambda ^ { * } - z _ { k } | ^ { - 1 } \leq \operatorname* { m a x } _ { \lambda \in \sigma ( \vec { A } ) } | \lambda - z _ { k } | ^ { - 1 } = \| ( \mathbf { A } - z _ { k } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { 0 } = \tilde { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { 0 } = \mathcal { G } _ { p , q , 0 } ^ { \times } , \quad { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { n } = { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { 0 n } = \left\lbrace \begin{array} { l l l } { \mathcal { G } _ { p , q , 0 } ^ { \times } , \! \! \! \! \! \! \! \! } & & { \mathrm { ~ n ~ i s ~ o d d } , } \\ { \mathrm { P } ^ { \pm } , \! \! \! \! \! \! \! \! } & & { \mathrm { ~ n ~ i s ~ e v e n } , } \end{array} \right. } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { } & { \check { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { 0 } = \tilde { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { n } = \mathrm { P } ^ { \pm } , \; \; \check { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { 0 n } = \tilde { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { 0 n } = \mathrm { P } , \; \; \check { \Gamma } _ { p , q , 0 } ^ { n } = \left\lbrace \begin{array} { l l l } { \mathrm { P } ^ { \pm } , \! \! \! \! \! \! \! \! } & & { \mathrm { ~ n ~ i s ~ o d d } , } \\ { \mathcal { G } _ { p , q , 0 } ^ { \times } , \! \! \! \! \! \! \! \! } & & { \mathrm { ~ n ~ i s ~ e v e n } , } \end{array} \right. } \end{array}
k = k _ { 0 } ( v _ { 0 } , c _ { \mathrm { i } } , c _ { \mathrm { e } } ) \equiv \frac { 1 } { \sqrt { ( c _ { \mathrm { i } } - v _ { 0 } ) ^ { 2 } - c _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } ( 1 - v _ { 0 } c _ { \mathrm { i } } / c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = \frac { \omega _ { \mathrm { p e } } } { \sqrt { ( c _ { \mathrm { i } } - v _ { 0 } ) ^ { 2 } - c _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } ( 1 - v _ { 0 } c _ { \mathrm { i } } / c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } ,
( \delta _ { i } ^ { m } ) ^ { + } ( ( v _ { i } ^ { m } ) ^ { + } ) ^ { 2 } = \frac { ( \kappa _ { m } ^ { i } ) ^ { + } } { ( \rho _ { b } ) ^ { + } } = b ^ { 2 } \frac { ( \kappa _ { m } ^ { i } ) ^ { - } } { ( \rho _ { b } ) ^ { - } } = b ^ { 2 } ( \delta _ { m } ^ { i } ) ^ { - } ( ( v _ { i } ^ { m } ) ^ { - } ) ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ f o r ~ } m \in \mathbb { Z } , i = 1 , 2 ,
\int \, { \frac { d x \, d y } { x y } } \, y ^ { j } \, x ^ { n - j } \, ( y - x ) \, K _ { q } ( x , y , Q ^ { 2 } ) = - { \frac { 1 } { 8 } } \, w _ { n , j } ^ { q } ( Q ^ { 2 } ) \; \; ,
\begin{array} { r l } { l _ { j , 1 } = } & { \cos \theta _ { j , 1 } , } \\ { l _ { j , 2 } = } & { \sin \theta _ { j , 1 } \cos \theta _ { j , 2 } , } \\ { l _ { j , 3 } = } & { \sin \theta _ { j , 1 } \sin \theta _ { j , 2 } \cos \theta _ { j , 3 } , } \\ & { \vdots } \\ { l _ { j , M - 1 } = } & { \sin \theta _ { j , 1 } \sin \theta _ { j , 2 } \ldots \sin \theta _ { j , M - 2 } \cos \theta _ { j , M - 1 } , } \\ { l _ { j , M } = } & { \sin \theta _ { j , 1 } \sin \theta _ { j , 2 } \ldots \sin \theta _ { j , M - 2 } \sin \theta _ { j , M - 1 } , } \end{array}
\beta \left( D _ { \mathrm { { L } } } \oplus \delta _ { \mathrm { { R } } } \right) = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \delta _ { \mathrm { { R } } } } \\ { D _ { \mathrm { { L } } } } & { 0 } \end{array} \right] } = i \beta \partial _ { t } + i { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \sigma ^ { k } } \\ { - \sigma ^ { k } } & { 0 } \end{array} \right] } \nabla _ { k } - m { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \eta \omega K } \\ { - \eta \omega K } & { 0 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { P _ { + x } ( s ) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { \xi \kappa ^ { 2 } } { 4 k ^ { 2 } } \bigg [ } & { { } 2 \tau \sin ^ { 2 } ( k s ) \cos ( 2 \tau s ) } \end{array}
V = \left( \begin{array} { l l l l } { v _ { 1 1 } } & { v _ { 2 1 } } & { \cdots } & { v _ { N 1 } } \\ { v _ { 1 2 } } & { v _ { 2 2 } } & { \cdots } & { v _ { N 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { v _ { 1 N } } & { v _ { 2 N } } & { \cdots } & { v _ { N N } } \end{array} \right) ,
\frac { \partial n } { \partial t } + \dot { \vec { x } } \cdot \frac { \partial n ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { x } } + \dot { \vec { k } } \cdot \frac { \partial n ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { k } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { c _ { q } = c _ { \exp ( \hbar ) } } & { = \exp \Bigl [ \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } \hbar ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } \log ( - \hbar ) + \log \sqrt { 4 \pi } + O ( \hbar ^ { \infty } ) \Bigr ] , } \\ { G _ { q } ( q ^ { a } ) = G _ { e ^ { \hbar } } ( e ^ { a \hbar } ) } & { = \exp \Bigl [ - \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } \hbar ^ { - 1 } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log ( - \hbar ) + \log \frac { \Gamma ( a ) } { \sqrt { 2 \pi } } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log 2 } \\ & { \phantom { = \exp x } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { B _ { 2 k } B _ { 2 k + 1 } ( a ) } { k ( 2 k + 1 ) ! } 2 ^ { 2 k } \, \hbar ^ { 2 k } + O ( \hbar ^ { 2 ( m + 1 ) } ) \Bigr ] , } \\ { G _ { q } ( - q ^ { a } ) = G _ { e ^ { \hbar } } ( - e ^ { a \hbar } ) } & { = \exp \Bigl [ \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } \hbar ^ { - 1 } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log ( - \hbar ) - \log \frac { \Gamma ( 1 - a ) } { \sqrt { 2 \pi } } + ( a - \frac { 1 } { 2 } ) \log 2 } \\ & { \phantom { = \exp x } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \frac { B _ { 2 k } B _ { 2 k + 1 } ( a ) } { 2 k ( 2 k + 1 ) ! } 2 ^ { 2 k } \, \hbar ^ { 2 k } + O ( \hbar ^ { 2 ( m + 1 ) } ) \Bigr ] , } \end{array}
f _ { 1 } = f _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 ( 1 - 4 \alpha ) } \ln \left( 1 - \frac { V ^ { 2 } } { 3 6 \alpha ^ { 2 } } \frac { ( 1 - 4 \alpha ) } { 3 \Lambda } \right) ~ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \kappa ( u ) + \displaystyle \frac { R ( u ) } { \kappa ( u ) } \right] ~ d u \right) } } \\ & { } & { \times \frac { 1 } { \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { R ( u ) } { \kappa ( u ) + \displaystyle \frac { R ( u ) } { \kappa ( u ) } ~ d u } \right) } \geq \frac { \kappa _ { R } } { \mathscr { S } } } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { F } _ { i j } ^ { d - d } = \frac { 3 } { r ^ { 5 } } \left[ \left( \textbf { m } _ { i } \cdot \textbf { m } _ { j } \right) \textbf { r } - \frac { 5 } { r ^ { 2 } } \left( \textbf { m } _ { i } \cdot \textbf { r } \right) \left( \textbf { m } _ { j } \cdot \textbf { r } \right) \textbf { r } + \left( \textbf { m } _ { j } \cdot \textbf { r } \right) \textbf { m } _ { i } + \left( \textbf { m } _ { i } \cdot \textbf { r } \right) \textbf { m } _ { j } \right] , } \end{array}
\langle \Omega | T \{ \phi ( x ) \phi ( y ) \} | \Omega \rangle = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty ( 1 - i \epsilon ) } { \frac { \left\langle 0 \left| T \left\{ \phi _ { I } ( x ) \phi _ { I } ( y ) \exp \left[ - i \int _ { - T } ^ { T } d t \, H _ { I } ( t ) \right] \right\} \right| 0 \right\rangle } { \left\langle 0 \left| T \left\{ \exp \left[ - i \int _ { - T } ^ { T } d t \, H _ { I } ( t ) \right] \right\} \right| 0 \right\rangle } } ,
R ( a _ { j } , a _ { j } ) = \sum _ { k \neq j } ( - 1 ) ^ { k } \, { \frac { ( q _ { j } p _ { k } - p _ { j } q _ { k } ) ^ { 2 } } { a _ { j } - a _ { k } } } \, + p _ { j } ^ { 2 } - a _ { j } q _ { j } ^ { 2 } - 2 p _ { j } q _ { j } u + 2 q _ { j } ^ { 2 } v \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { i } { \omega _ { c } } \frac { \partial \alpha _ { p } ( \xi , \tau ) } { \partial \tau } = } \\ & { \sum _ { n } \alpha _ { n } ( \xi , \tau ) \Big \langle \mathrm { L G } _ { p 0 } \Big | \frac { \delta n + \delta n _ { \mathrm { N L } } } { \Delta n } \Big | \mathrm { L G } _ { n 0 } \Big \rangle e ^ { i ( p - n ) \omega _ { w } \tau } \, , } \\ & { a ( r , \xi , \tau ) = e ^ { - i \omega _ { c } \tau } \sum _ { p } \alpha _ { p } ( \xi , \tau ) \mathrm { L G } _ { p 0 } ( r ) e ^ { - i p \omega _ { w } \tau } } \end{array}
\mu ( q ) - \mu ( 0 ) \, \leq \, \operatorname * { l i m } _ { N \rightarrow \infty } { \frac { 1 } { N T } } \log ( 1 + \Theta ) ^ { N } \, = \, { \frac { 1 } { T } } \log ( 1 + \Theta ) \, ,
\begin{array} { r l r } { { \hat { \Gamma } } ^ { ( 0 ) } \left\{ { \hat { \sigma } } \right\} } & { = } & { - \frac { \gamma } { 2 } \left( { \hat { P } } ^ { ( e ) } { \hat { \sigma } } + { \hat { \sigma } } \, { \hat { P } } ^ { ( e ) } \right) + { \hat { \gamma } } ^ { ( 0 ) } \left\{ { \hat { \sigma } } \right\} } \\ { { \hat { \gamma } } ^ { ( 0 ) } \left\{ { \hat { \sigma } } \right\} } & { = } & { \gamma \sum _ { q = 0 , \pm 1 } { \hat { D } } _ { q } ^ { \dagger } \, { \hat { \sigma } } \, { \hat { D } } _ { q } \, . } \end{array}
k _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } ) S _ { B } ( \mathbf { Q } + \mathbf { q } ) } \equiv \Gamma _ { \mathbf { q } , \mathbf { Q } } ^ { S _ { B } S _ { B } } = \sum _ { \nu } k _ { S _ { B } S _ { B } \nu } ( \mathbf { Q } , \mathbf { q } )
\begin{array} { r l r } { { \cal J } } & { = } & { \frac { 1 } { { \bf \nabla } \psi ~ { \bf \times } ~ { \bf \nabla } \theta ~ { \bf \cdot } ~ { \bf \nabla } \phi } } \\ & { = } & { \frac { X } { \left| \frac { \partial ( \psi , \theta ) } { \partial ( X , Z ) } \right| } = X \left| \frac { \partial ( X , Z ) } { \partial ( \psi , \theta ) } \right| . } \end{array}
f \left( v _ { x } , v _ { y } , v _ { z } \right) = \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } b } \exp \left( \frac { - \left( a ^ { 2 } \left( v _ { x } ^ { 2 } + v _ { y } ^ { 2 } \right) + \left( b ^ { 2 } - a ^ { 2 } \right) \left( v _ { y } \cos \theta - v _ { x } \sin \theta \right) ^ { 2 } \right) } { 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } + \frac { - v _ { z } ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } \right) .
J ^ { \mu } = \frac { ( 2 p _ { 1 } + q ) ^ { \mu } } { 2 \, p _ { 1 } \! \cdot \! q + M ^ { 2 } } - \frac { ( 2 p _ { a } - q ) ^ { \mu } } { 2 \, p _ { a } \! \cdot \! q - M ^ { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { \mu _ { t + 1 } ^ { ( j ) } } & { = \mu _ { t } ^ { ( j ) } + \eta \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { t } ^ { ( j ) } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( l ) } \right) } \left( X _ { i } - \mu _ { t } ^ { ( j ) } \right) , } \\ { \omega _ { t + 1 } ^ { ( j ) } } & { = \omega _ { t } ^ { ( j ) } + \eta \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t + 1 } ^ { ( j ) } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { t } ^ { ( j ) } \phi \left( X _ { i } - \mu _ { t + 1 } ^ { ( l ) } \right) } - 1 \right] \omega _ { t } ^ { ( j ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { e } _ { \mathrm { f a r } } ( \theta , \phi ) } & { = \boldsymbol { \hat { a } } _ { \theta } e _ { \mathrm { f a r } , \theta } ( \theta , \phi ) + \boldsymbol { \hat { a } } _ { \phi } e _ { \mathrm { f a r } , \phi } ( \theta , \phi ) } \\ & { = \boldsymbol { \hat { a } } _ { \theta } \left( f _ { x } \cos \phi + f _ { y } \sin \phi \right) } \\ & { \quad + \boldsymbol { \hat { a } } _ { \phi } [ \cos \theta \left( - f _ { x } \sin \phi + f _ { y } \cos \phi \right) ] } \end{array}
| \psi _ { n } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \hbar m \omega ) ^ { n } } } \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } \hat { p } ^ { n } e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | \psi _ { 0 } \rangle ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } v _ { i } \left( \frac { i } { N + 1 } \right) ^ { 1 / d } } & { \leq 2 \sum _ { j = 1 } ^ { k } { \binom { k } { j } } \frac { 1 } { N ^ { j - 1 } } B ( 1 / d + 1 , k - j + 1 ) } \\ & { = 2 \sum _ { j = 1 } ^ { k } { \binom { k } { j } } \frac { 1 } { N ^ { j - 1 } } \frac { \Gamma ( 1 / d + 1 ) ( k - j ) ! } { \Gamma ( 1 / d + k - j + 2 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { D } : } & { { } = ( \mathbf { u } , \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } ) _ { \omega } - ( \bar { \mathbf { u } } , \bar { \mathbf { D } } _ { 2 } \bar { \mathbf { u } } ) _ { \Omega } } \end{array}
\Phi ( w , z ) : = \frac { ( 1 - \vartheta ) z \left( \frac { w - w ^ { c + 1 } } { 1 - w } \right) - \vartheta z \, \bar { \varphi } ( z ) } { 1 - ( \vartheta z ) / w - w ^ { c } z ( 1 - \vartheta ) } , \quad w \in ( - 1 , 1 ) ,
a _ { x } \Omega ^ { 2 } = \pm 2 | a | \left( \frac { \xi _ { _ { S C } } - \nu _ { _ { S C } } } { \nu _ { _ { S C } } + \xi _ { _ { S C } } } \right) \left( \lambda - \nu _ { _ { S C } } | a | ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { \mu _ { _ { S C } } } .
p ( { \bf n } | \beta ) = \frac { 1 } { B _ { K } ( \beta ) } \frac { \prod _ { i } \Gamma ( n _ { i } + \beta ) } { \Gamma ( N + K \beta ) } = \frac { \Gamma ( K \beta ) } { \Gamma ( \beta ) ^ { K } } \frac { \prod _ { i } \Gamma ( n _ { i } + \beta ) } { \Gamma ( N + K \beta ) }
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 1 } + i e _ { 5 } ) , \quad \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 2 } + i e _ { 6 } ) , \quad \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } = \frac { 1 } { 2 } ( e _ { 3 } + i e _ { 7 } ) } \\ { \alpha _ { 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 1 } + i e _ { 5 } ) , \quad \alpha _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 2 } + i e _ { 6 } ) , \quad \alpha _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } ( - e _ { 3 } + i e _ { 7 } ) . } \end{array}
\mathbf { E } _ { 0 } ^ { \prime } = E _ { 0 , \parallel } ^ { \prime } ( \theta , \phi ) \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + E _ { 0 , \perp } ^ { \prime } ( \theta , \phi ) \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } ^ { \prime }
Z _ { I } = \sum _ { m \in ( \mathbb { Z } _ { \ge 0 } ) ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } } \prod _ { i ^ { \prime } \in I ^ { \prime } } \Gamma ( \langle \mathsf { D } _ { i ^ { \prime } } , \sigma _ { m } \rangle + \alpha _ { i ^ { \prime } } ) \prod _ { i \in I } \frac { ( - 1 ) ^ { m _ { i } } } { m _ { i } ! } \exp ( \langle \theta , \sigma _ { m } \rangle ) ,
\begin{array} { r l } { \Psi ( | x | ^ { \frac { 1 } { 2 } } z , x ) } & { = e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \sigma _ { 3 } } | x | ^ { - \frac { \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } \widehat { \mathbf { R } } ( z ) \widehat { \mathbf { P } } ^ { ( 0 ) } ( z ) | x | ^ { \alpha \sigma _ { 3 } } e ^ { x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) \sigma _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \omega } _ { t } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \omega } _ { t - 1 } - \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } M } } \\ & { \qquad + \frac { 4 L ^ { 2 } } { b _ { y } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \bigg \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 4 L ^ { 2 } } { b _ { y } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \hat { x } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| \hat { y } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\Big ( \partial _ { c } d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } \big ( c _ { \mathbf { m } } ^ { \kappa } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , 0 , 0 \big ) [ u _ { 0 } ] \, | \, g _ { 0 } \Big ) _ { 2 } \neq 0 .
V _ { l i g h t } ^ { K } ( x ) , ~ ~ ~ V _ { h e a v y } ^ { K } ( x ) , ~ ~ ~ S _ { l i g h t , 1 } ^ { K } ( x ) , ~ ~ ~ S _ { l i g h t , 2 } ^ { K } ( x ) , ~ ~ ~ S _ { h e a v y } ^ { K } ( x ) ,
a _ { i j } \sim \left( \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 0 } & { + 1 } \\ { p _ { i j } ^ { - } } & { p _ { i j } ^ { 0 } } & { p _ { i j } ^ { + } } \end{array} \right) \quad \forall \: i < j ;
B _ { 3 / 2 } = \int _ { S ^ { 2 } } d s c _ { 3 / 2 } = \frac { - \pi ^ { 3 / 2 } } { 6 } + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \int _ { s ^ { 2 } } \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } d s ,
\begin{array} { r l r } { r _ { 0 , - } } & { { } = } & { n _ { ( ^ { 3 } E ) } \sigma _ { ( ^ { 3 } E ) } J } \\ { r _ { - , 0 } } & { { } = } & { n _ { ( ^ { 2 } A ) } \sigma _ { ( ^ { 2 } A ) } J } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { + } } & { { } = N _ { - } \left( 1 - p \right) \frac { 4 \prod _ { i = 0 } ^ { 2 } \left( N _ { + } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } + \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N _ { - } - i \right) \, p } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } , } \\ { \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { - } } & { { } = N _ { + } \left( 1 - p \right) \frac { 4 \prod _ { i = 0 } ^ { 2 } \left( N _ { - } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } + \frac { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N _ { + } - i \right) \, p } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ^ { ( 2 ) } ( N ) } & { = } & { \sum _ { k = 1 , m } \frac { \alpha _ { 0 k } ^ { 2 } \omega _ { k } ^ { 2 } } { 4 } \left\{ B _ { N - 2 k } { \cal M } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { k } , \mathbf { q } ) e ^ { - 2 i k \phi _ { 1 } } \right. } \\ & { } & { + B _ { N + 2 k } { \cal M } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( - \omega _ { k } , \mathbf { q } ) e ^ { 2 i k \phi _ { 1 } } } \\ & { } & { \left. + B _ { N } \left[ \widetilde { \cal M } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( { E } _ { 1 s } , \omega _ { k } ) + \widetilde { \cal M } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( { E } _ { 1 s } , - \omega _ { k } ) \right] \right\} } \\ & { } & { + \frac { \alpha _ { 0 1 } \alpha _ { 0 m } \omega _ { 1 } \omega _ { m } } { 4 } \left[ B _ { N - m - 1 } { \cal N } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { m } , \mathbf { q } ) e ^ { - i ( m + 1 ) \phi _ { 1 } } \right. } \\ & { } & { + B _ { N + m + 1 } { \cal N } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( - \omega _ { 1 } , - \omega _ { m } , \mathbf { q } ) e ^ { i ( m + 1 ) \phi _ { 1 } } } \\ & { } & { + B _ { N - m + 1 } { \cal N } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( - \omega _ { 1 } , \omega _ { m } , \mathbf { q } ) e ^ { - i ( m - 1 ) \phi _ { 1 } } } \\ & { } & { \left. + B _ { N + m - 1 } { \cal N } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , - \omega _ { m } , \mathbf { q } ) e ^ { i ( m - 1 ) \phi _ { 1 } } \right] . } \end{array}
\omega _ { \sigma } ^ { 2 } ( q ) = q ^ { 2 } \frac { 1 + \frac { 2 } { \pi } V _ { ( 0 ) } ^ { 1 1 } + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \{ ( U _ { ( 0 ) } ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } - 2 U _ { ( 0 ) } ^ { 1 1 } U _ { ( 1 ) } ^ { 1 1 } \} } { 1 + \frac { 2 } { \pi } V _ { ( 1 ) } ^ { 1 1 } - \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } ( U _ { ( 1 ) } ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } } ,
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { f _ { 1 } } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 9 } ^ { 2 } + K ( \cosh \sigma d t - \sinh \sigma d x _ { 9 } ) ^ { 2 } ) + \frac { \bar { r _ { 5 } ^ { 2 } } } { r ^ { 2 } ( 1 - K ) } d r ^ { 2 }
\left( \begin{array} { c c c } { - i k _ { z } \mathcal { S } ( \mathbf { k } ) } & { \omega k _ { z } } & { - \omega k _ { y } } \\ { - \omega k _ { z } } & { - i k _ { z } \mathcal { S } ( \mathbf { k } ) } & { \omega k _ { x } } \\ { \omega k _ { y } } & { - \omega k _ { x } } & { - i k _ { z } \mathcal { S } ( \mathbf { k } ) } \end{array} \right)
< \boldsymbol { P } > = < \boldsymbol { P } _ { b } > + \epsilon < \boldsymbol { P } ^ { * } > + O ( \epsilon ^ { 2 } ) = T ( \mathcal { G } _ { b } + \epsilon \mathcal { G } ^ { * } + O ( \epsilon ^ { 2 } ) ) \frac { \boldsymbol { q } _ { b } + \boldsymbol { q } ^ { * } + O ( \epsilon ^ { 2 } ) } { | \boldsymbol { q } _ { b } + \boldsymbol { q } ^ { * } + O ( \epsilon ^ { 2 } ) | } .
u _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { a } } & { \mathrm { i f ~ } \lambda ( \mathcal { M } _ { i - 2 } , \mathcal { M } _ { i - 1 } ) \leq \lambda ( \mathcal { M } _ { i - 1 } , \mathcal { M } _ { i } ) \, , } \\ { \mathbf { b } } & { \mathrm { i f ~ } \lambda ( \mathcal { M } _ { i - 2 } , \mathcal { M } _ { i - 1 } ) > \lambda ( \mathcal { M } _ { i - 1 } , \mathcal { M } _ { i } ) \, . } \end{array} \right.
1 = \frac { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } \ e ^ { - \beta U } \ \delta [ q _ { 1 } - z ] } { \int \ensuremath { \mathrm { d } } \ensuremath { \mathbf { q } } \ e ^ { - \beta U } \ \delta [ q _ { 1 } - z ] }
\left( \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial x } - \sin \beta \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial h _ { 1 } } { \partial y } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { \sigma _ { 0 } } { \rho g h \cos \beta } \right) ^ { 2 }
I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { i \phi _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } \mathcal { F } ( I ) ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right) ( \boldsymbol { x } ) \, .
\begin{array} { r l r } { \left\langle - \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } } { r ^ { 3 } } I _ { 2 3 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 3 } \right\rangle _ { M } } & { { } = } & { \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { 3 2 \mathrm { i } a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \, \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , 2 } - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } 2 \varpi } X _ { - k } ^ { - 3 , - 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s } } } ^ { * } v ) ( s ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { { R , P \in \mathcal { U } _ { p } ^ { \mathtt { s a } } } } \sum _ { a } \pi ( a | s ) \Bigm [ R ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ & { = - ( \alpha _ { s } + \gamma \beta _ { s } \kappa _ { p } ( v ) ) \lVert \pi ( \cdot | s ) \rVert _ { q } + \sum _ { a } \pi ( a | s ) ( R ( s , a ) + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } P ( s ^ { \prime } | s , a ) v ( s ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
\int _ { \Omega } \left( \psi ( \phi _ { h } ^ { n + 1 } ) + h ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } ) + f ( \phi _ { h } ^ { n + 1 } ) g ( \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } ) \right) + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla \phi _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { F } _ { h } ^ { n + 1 } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \pi _ { t } ( x _ { t } + z ) = } & { \int \exp \left( \frac { 2 \langle e ^ { - t / 2 } x _ { 0 } , x _ { t } + z \rangle _ { U } - e ^ { - t } \| x _ { 0 } \| _ { U } ^ { 2 } } { 2 v _ { t } } \right) \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) } \\ { = } & { \int \exp \left( \frac { \langle e ^ { - t / 2 } x _ { 0 } , z \rangle _ { U } } { v _ { t } } \right) n ( x _ { 0 } , x _ { t } ) ~ \mathrm { d } \mu _ { \mathrm { d a t a } } ( x _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { e ^ { ( a ) } ( U ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \left( H _ { 1 } ^ { 2 A _ { a \digamma } } ; q \right) _ { n } } { ( q ; q ) _ { n } } \left( q H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } H _ { 2 } ^ { M _ { a \digamma } } U \right) ^ { n } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left( e _ { - n } ^ { ( \digamma ) } e ^ { ( a ) } ( U ) - ( - 1 ) ^ { | a | } H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } H _ { 2 } ^ { - 2 n M _ { a \digamma } } U ^ { - 2 n } e ^ { ( a ) } ( U ) e _ { n } ^ { ( \digamma ) } \right) . } \end{array}