harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { \mathrm { e f f } } ^ { s } ( t ) = \frac { 1 } { b } \left( \begin{array} { c c } { \frac { 4 g ^ { 2 } t } { t ^ { 2 } - 1 } } & { e _ { 1 } e _ { 2 } } \\ { e _ { 1 } e _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) .
P \left\{ \underset { h \in \mathrm { H _ { \ s i g m a } } ( L , N , B , F ) } { \operatorname* { s u p } } [ R ( h ) - \widehat { R } _ { n } ( h ) ] > \varepsilon \right\} \leq C _ { 3 } \mathcal { N } \left( \mathcal { H } _ { \sigma } ( L , N , B , F ) , \frac { \varepsilon } { 4 G } \right) \exp \left( \log \log n - \frac { n ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } / 4 } { A _ { n } ^ { ' } + B _ { n } ^ { ' } ( n \varepsilon / 2 ) ^ { \nu } } \right) .
\| \varphi \| _ { \infty } ^ { 2 } = \| \mathbf { H } _ { \varphi } \| ^ { 2 } = \| \mathbf { H } _ { \varphi } g \| _ { 2 } ^ { 2 } = \big \langle \mathbf { H } _ { \varphi } g , \mathbf { H } _ { \varphi } g \big \rangle = \big \langle \overline { { \varphi } } g , \mathbf { H } _ { \varphi } g \big \rangle = \big \langle g \overline { { \mathbf { H } _ { \varphi } g } } , \varphi \big \rangle ,
- \left( { \frac { d \varphi } { d z } } \right) ^ { 2 } = 2 \int ( n _ { r } - n _ { f } - \tilde { n } ) d \varphi = - K \varphi ^ { 2 } - 2 G { \frac { \tilde { f } ( - \psi ) } { ( \psi + { \cal E } _ { j } ) ^ { \alpha } } } { \frac { ( \varphi + { \cal E } _ { j } ) ^ { \alpha + 3 / 2 } } { \alpha + 3 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \left( \frac { q ( r _ { c } ) r _ { c } ^ { 2 } } { 2 } - \left[ \frac { r ^ { 3 } } { 3 } \int _ { r ^ { \prime } } ^ { \infty } \frac { q ( s ) } { s ^ { 2 } } d s \right] _ { 0 } ^ { r _ { c } } - \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } \frac { r ^ { 3 } } { 3 } \frac { q ( r ^ { \prime } ) } { r ^ { 2 } } d r ^ { \prime } \right) } \end{array}
C _ { 4 , k } ( \alpha , \beta , \gamma , \delta ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { \alpha - 1 } y ^ { \beta - 1 } z ^ { \gamma - 1 } w ^ { \delta - 1 } } { ( x + 1 / x + y + 1 / y + z + 1 / z + w + 1 / w ) ^ { k + 1 } } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \mathrm { d } z \mathrm { d } w
\begin{array} { r l } { W \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { s r } \left( t \right) \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( - \dot { \sigma } _ { s r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \right) \left( \varepsilon \left( t \right) - \varepsilon \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } > 0 \quad \mathrm { a n d } } \\ { W \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \sigma ^ { 2 } \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ S ~ L ~ } } ^ { \ast } } & { { } = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { ~ P ~ r ~ } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \mathrm { ~ B ~ i ~ } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { ~ P ~ l ~ } } { d _ { 3 } } \right) ^ { m _ { 3 } } \left( \frac { \mathrm { ~ M ~ a ~ } } { d _ { 4 } } \right) ^ { m _ { 4 } } \left( \frac { \mathrm { ~ L ~ a ~ } } { d _ { 5 } } \right) ^ { m _ { 5 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { 0 } \sum _ { \mu = - \infty } ^ { \infty } \frac { d D _ { \mu } ( t ) } { d t } { \hat { e } _ { \mu } ( \theta ) } = - \sum _ { \mu = - \infty } ^ { \infty } D _ { \mu } ( t ) \hat { e } _ { \mu } ( \theta ) + \beta \big [ \delta q _ { 0 } ( t ) + \delta q _ { \mathrm { ~ { ~ R ~ } ~ } } ( t ) \cos ( \theta ) + \delta q _ { \mathrm { ~ { ~ I ~ } ~ } } ( t ) \sin ( \theta ) \big ] \mathcal { H } \big ( h _ { \infty } ( \theta ) - T \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| S ( t ) u ( s ) - P S ( t ) u ( s ) \| } & { \leq \| S ( t ) u ( s ) - S ( t ) x _ { s , k } \| + \| S ( t ) x _ { s , k } - P S ( t ) x _ { s , k } \| } \\ & { \qquad \qquad + \| P S ( t ) x _ { s , k } - P S ( t ) u ( s ) \| } \\ & { \leq \| u ( s ) - x _ { s , k } \| + \| S ( t ) x _ { s , k } - P S ( t ) x _ { s , k } \| } \\ & { \qquad \qquad + \| P S ( t ) x _ { s , k } - P S ( t ) u ( s ) \| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 3 ( k + 1 ) } + \frac { 1 } { 3 ( k + 1 ) } + \| P S ( t ) x _ { s , k } - P S ( t ) u ( s ) \| . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c } { e _ { 1 1 } } \\ { e _ { 2 2 } } \\ { e _ { 3 3 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - \zeta ^ { ( 1 ) } } \\ { - \zeta ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c } { S _ { 1 1 1 1 } } & { S _ { 1 1 2 2 } } & { S _ { 1 1 2 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - b ^ { ( 1 ) } } & { - b ^ { ( 2 ) } } \\ { S _ { 1 1 2 2 } } & { S _ { 1 1 1 1 } } & { S _ { 1 1 2 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - b ^ { ( 1 ) } } & { - b ^ { ( 2 ) } } \\ { S _ { 1 1 2 2 } } & { S _ { 1 1 2 2 } } & { S _ { 1 1 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - b ^ { ( 1 ) } } & { - b ^ { ( 2 ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { S _ { 2 3 2 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { S _ { 2 3 2 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { S _ { 2 3 2 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - b ^ { ( 1 ) } } & { - b ^ { ( 1 ) } } & { - b ^ { ( 1 ) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } \\ { - b ^ { ( 2 ) } } & { - b ^ { ( 2 ) } } & { - b ^ { ( 2 ) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { a _ { 2 3 } } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \sigma _ { 1 1 } } \\ { \sigma _ { 2 2 } } \\ { \sigma _ { 3 3 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - p _ { f } ^ { ( 1 ) } } \\ { - p _ { f } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] \, ,
\rho E _ { r } ^ { M } = \frac { K _ { r } \rho } { 4 \lambda _ { M } } , \quad \rho E _ { v } ^ { M } = \frac { K _ { v } ( \lambda _ { M } ) \rho } { 4 \lambda _ { M } } \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad { \lambda _ { M } } = \frac { \left( K _ { v } ( \lambda _ { M } ) + K _ { r } + 3 \right) \rho } { 4 \left( \rho E - \frac { 1 } { 2 } \rho { \vec { U } } ^ { 2 } \right) } .
A ( t ) \big / V _ { t o t a l } = \frac { 4 \pi } { 3 } v _ { \omega } ^ { 3 } I _ { 0 } t ^ { 3 } e ^ { - \frac { \pi } { 3 } v _ { \omega } ^ { 3 } I _ { 0 } t ^ { 4 } } .
\begin{array} { r l } { \| e _ { 2 } \| _ { H ^ { 1 } } } & { = \tau ^ { 2 } \left\| I _ { N } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \theta ) \left( d B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) [ B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) ] \right) \mathrm { d } \theta \right) \right\| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim \tau ^ { 2 } \| d B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) [ B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) ] \| _ { H ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin \left[ \arctan \left( \frac { \eta } { \eta _ { 0 } } \right) \right] } & { { } = \frac { \sigma _ { 0 } \eta } { \sigma _ { \eta } \eta _ { 0 } } \, , } \\ { \cos \left[ \arctan \left( \frac { \eta } { \eta _ { 0 } } \right) \right] } & { { } = \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \prime } ( a , b ) } & { = \sqrt { \frac { \int _ { V _ { m } ^ { \prime } } ^ { V _ { M } ^ { \prime } } [ E _ { a } ^ { \prime } ( V ^ { \prime } ) - E _ { b } ^ { \prime } ( V ^ { \prime } ) ] ^ { 2 } ~ d V ^ { \prime } } { \sqrt { \left( \int _ { V _ { m } ^ { \prime } } ^ { V _ { M } ^ { \prime } } [ E _ { a } ^ { \prime } ( V ^ { \prime } ) - \langle E _ { a } ^ { \prime } \rangle ] ^ { 2 } ~ d V ^ { \prime } \right) ~ \left( \int _ { V _ { m } ^ { \prime } } ^ { V _ { M } ^ { \prime } } [ E _ { b } ^ { \prime } ( V ^ { \prime } ) - \langle E _ { b } ^ { \prime } \rangle ] ^ { 2 } ~ d V ^ { \prime } \right) } } } } \\ & { = \sqrt { \frac { C ^ { 3 } \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { a } ( V ) - E _ { b } ( V ) ] ^ { 2 } ~ d V } { \sqrt { \left( C ^ { 3 } \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { a } ( V ) - \langle E _ { a } \rangle ] ^ { 2 } ~ d V \right) ~ \left( C ^ { 3 } \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { b } ( V ) - \langle E _ { b } \rangle ] ^ { 2 } ~ d V \right) } } } } \\ & { = \sqrt { \frac { \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { a } ( V ) - E _ { b } ( V ) ] ^ { 2 } ~ d V } { \sqrt { \left( \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { a } ( V ) - \langle E _ { a } \rangle ] ^ { 2 } ~ d V \right) ~ \left( \int _ { V _ { m } } ^ { V _ { M } } [ E _ { b } ( V ) - \langle E _ { b } \rangle ] ^ { 2 } ~ d V \right) } } } = \varepsilon ( a , b ) . } \end{array}
\eta ( f _ { m } ) = \frac { \sqrt { 2 } f _ { m } } { \gamma / ( 2 \pi ) } \sqrt { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { f _ { L } ^ { 2 } } { f _ { m } ^ { 2 } } + 1 \right] \left[ \frac { f _ { c } } { f _ { m } } + 1 \right] \left[ \frac { F k _ { B } T } { P _ { s } } \right] } .
\operatorname { J } _ { \mathbf { Z } \mathbf { Z } } = \operatorname { c o v } [ \mathbf { Z } , { \overline { { \mathbf { Z } } } } ] = \operatorname { E } \left[ ( \mathbf { Z } - \mathbf { \mu _ { Z } } ) ( \mathbf { Z } - \mathbf { \mu _ { Z } } ) ^ { \mathrm { T } } \right]
\frac { 1 } { | \vec { x } _ { 1 2 } | ^ { \lambda } } \sim \frac { 1 } { d + 2 n - \lambda } \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n } n ! } \frac { 2 \pi ^ { d / 2 } } { \Gamma ( d / 2 + n ) } \, ( \partial ^ { 2 } ) ^ { n } \delta ^ { d } ( \vec { x } _ { 1 2 } ) \, ,
\mathcal { H } _ { \mathrm { { e f f } } } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - i \omega _ { \mathrm { 0 } } } & { 0 } & { - i \omega _ { \mathrm { d } } } \\ { i \omega _ { \mathrm { 0 } } } & { 0 } & { i \omega _ { \mathrm { d } } \left( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \phi \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \omega _ { \mathrm { d } } } & { 0 } & { - i { \omega } _ { \mathrm { m } } } \\ { i \omega _ { \mathrm { d } } \left( 1 - 3 \cos ^ { 2 } \phi \right) } & { 0 } & { i { \omega } _ { \mathrm { m } } } & { 0 } \end{array} \right) .
{ \L _ { Y 5 } } = \sum _ { n _ { 1 } , \, n _ { 2 } } \, \! \! \! ^ { \prime } \ g H _ { 5 } \left[ i e ^ { - i \theta } { \bar { \phi } } _ { e } ^ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } { \bar { \chi } } _ { e } ^ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } + i e ^ { i \theta } { \bar { \phi } } _ { o } ^ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } { \bar { \chi } } _ { o } ^ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } \right] + h . c .
{ \begin{array} { r l } { s ^ { 2 } } & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } - 2 r _ { 1 } r _ { 2 } \left( \cos \theta _ { 1 } \cos \theta _ { 2 } + \sin \theta _ { 1 } \sin \theta _ { 2 } \right) } \\ & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } - 2 r _ { 1 } r _ { 2 } \cos \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) } \\ & { = r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } - 2 r _ { 1 } r _ { 2 } \cos \Delta \theta , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { T 1 } ^ { E 2 } ( \omega ) } & { = } & { 5 \sqrt { \frac { 1 0 J _ { 0 } ( 2 J _ { 0 } - 1 ) } { 7 ( 2 J _ { 0 } + 3 ) ( J _ { 0 } + 1 ) ( 2 J _ { 0 } + 1 ) } } \sum _ { n \pm } ( - 1 ) ^ { J _ { 0 } + J _ { n } + 1 } } \\ & { \times } & { \left\{ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 2 } & { 2 } \\ { J _ { 0 } } & { J _ { 0 } } & { J _ { n } } \end{array} \right\} \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle n _ { 0 } J _ { 0 } \| T _ { E 2 } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ( r , \theta ) \xrightarrow { \mathrm { ~ l ~ a ~ r ~ g ~ e ~ } r } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 2 l + 1 ) } { 2 i k } P _ { l } ( \cos \theta ) \times } \\ { \left[ S _ { l } ( k ) \frac { e ^ { i k r } } { r } - \frac { e ^ { - i ( k r - l \pi ) } } { r } \right] . } \end{array}
\mathcal { C } _ { i j k l } = 8 A \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Gamma _ { n } | \mathcal { B } _ { n } | ^ { 2 } \phi _ { n } ^ { 2 } k _ { i } ^ { n } k _ { j } ^ { n } k _ { l } ^ { n } k _ { m } ^ { n } .
\begin{array} { c l r } { \psi ^ { T } ( \rho , z ) } & { = \int _ { - k _ { r } } ^ { k _ { r } } S ( \beta _ { r } ) J _ { 0 } \left( \rho \sqrt { ( n _ { r } ^ { 2 } - n _ { i } ^ { 2 } ) k _ { 0 } ^ { 2 } - \left[ \beta _ { r } ^ { 2 } - \left( \frac { n _ { r } n _ { i } k _ { 0 } ^ { 2 } } { \beta _ { r } } \right) ^ { 2 } \right] } \, \, \right) \exp ( i \beta _ { r } z ) \exp \left( - \frac { n _ { r } n _ { i } k _ { 0 } ^ { 2 } } { \beta _ { r } } z \right) \textrm { d } \beta _ { r } } \\ & { \approx \, \exp ( - \bar { \beta } _ { i } z ) \int _ { - k _ { r } } ^ { k _ { r } } S ( \beta _ { r } ) J _ { 0 } \left( \rho \sqrt { k _ { r } ^ { 2 } - \beta _ { r } ^ { 2 } } \, \right) \exp ( i \beta _ { r } z ) \, \textrm { d } \beta _ { r } \, \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { h } } & { = } & { \hat { h } _ { F } + \hat { h } _ { A } + \hat { h } _ { I } } \\ { \hat { h } _ { F } } & { = } & { \sum _ { { \bf k } } \omega _ { { \bf k } } \hat { a } _ { { \bf k } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \bf k } } } \\ { \hat { h } _ { A } } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { A } } \omega _ { j } \hat { \sigma } _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 - \Pi } & { { } = } & { f + ( 1 - f ) \left[ ( ( 1 - f ) \phi ) ^ { k _ { C } - 1 } + 1 - ( 1 - f ) ^ { k _ { C } - 1 } \right] ^ { k _ { I } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \Pi _ { 1 } ^ { \mu \nu } ( p ) = } & { { } \frac { 2 e ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { [ ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] [ k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] } \biggl \{ k ^ { \mu } k ^ { \nu } [ 2 ( p - k ) \cdot k - ( p - k ) \cdot p ] + 4 ( p - k ) ^ { \mu } k ^ { \nu } [ 2 k \cdot k - k \cdot p ] + } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P _ { i } ( \tau _ { i } , t _ { i } ) } & { = \sum _ { \underline { { \tau } } _ { \partial i } , \underline { { t } } _ { \partial i } } P _ { \Psi _ { i } } ( \tau _ { i } , t _ { i } , \underline { { \tau } } _ { \partial i } , \underline { { t } } _ { \partial i } ) } \\ & { = \frac { 1 } { Z _ { \Psi _ { i } } } \sum _ { \underline { { \tau } } _ { \partial i } , \underline { { t } } _ { \partial i } } \xi ( \tau _ { i } , t _ { i } ; c _ { i } ) \psi ^ { * } ( \tau _ { i } , \underline { { \tau } } _ { \partial _ { i } } ; \{ s _ { l i } \} _ { l \in \partial i } , x _ { i } ^ { 0 } ) \psi ( t _ { i } , \underline { { t } } _ { \partial i } ) \prod _ { l \in \partial i } \mu _ { l \to \Psi _ { i } } ( \tau _ { l } , \tau _ { i } , t _ { l } , t _ { i } ) } \\ & { = \frac { 1 } { Z _ { \Psi _ { i } } } \gamma ( t _ { i } ) \xi ( \tau _ { i } , t _ { i } ; c _ { i } ) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } , 0 } \prod _ { l \in \partial i } \left[ \sum _ { \sigma _ { l i } = 0 } ^ { 2 } \mu _ { l \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { l i } , \tau _ { i } , c _ { l i } = 1 , t _ { i } ) \right] \right. } \\ { + } & { \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \prod _ { l \in \partial i } \left[ \sum _ { \sigma _ { l i } = 1 } ^ { 2 } \mu _ { l \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { l i } , \tau _ { i } , c _ { l i } = 1 , t _ { i } ) \right] } \\ { - } & { \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } < { T + 1 } ] \prod _ { l \in \partial i } \mu _ { l \to \Psi _ { i } } ( \sigma _ { l i } = 2 , \tau _ { i } , c _ { l i } = 1 , t _ { i } ) } \\ { - } & { \phi ( t _ { i } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } , 0 } \prod _ { l \in \partial i } \left[ \sum _ { \sigma _ { l i } = 0 } ^ { 2 } \mu _ { l \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { l i } , \tau _ { i } , c _ { l i } = 0 , t _ { i } ) \right] } \\ { - } & { \phi ( t _ { i } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \prod _ { l \in \partial i } \left[ \sum _ { \sigma _ { l i } = 1 } ^ { 2 } \mu _ { l \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { l i } , \tau _ { i } , c _ { l i } = 0 , t _ { i } ) \right] } \\ { + } & { \left. \phi ( t _ { i } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } < { T + 1 } ] \prod _ { l \in \partial i } \mu _ { l \to \Psi _ { i } } ^ { \prime } ( \sigma _ { l i } = 2 , \tau _ { i } , c _ { l i } = 0 , t _ { i } ) \right) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { Q ^ { ( i + 1 ) } = Q ^ { ( i ) } + \frac { \Delta P - \Delta P ^ { ( i ) } } { d \Delta P / d Q } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { \mathrm { w h e r e } ~ ~ \frac { d \Delta P } { d Q } = n \left\{ \frac { ( m + 1 ) ( m + 2 ) ( m + 3 ) } { ( m + 1 ) ( m + 2 ) + 2 ( m + 1 ) \nu + 2 \nu ^ { 2 } ) ( 1 - \nu ) ^ { ( k + 1 ) } } \right\} ^ { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | Q - U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } | ^ { ( n - 1 ) } } { h ^ { ( 3 n + 1 ) } } d Z . ~ ~ ~ ~ } \end{array}
f \, = \, x q _ { \mathrm { N S } } ^ { \pm } ( x , \mu _ { f , 0 } ^ { 2 } ) \, , \: F _ { 2 , \mathrm { N S } } ^ { \pm } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \, \: \: \mathrm { ~ a n d ~ } \: x F _ { 3 , \mathrm { N S } } ^ { \pm } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \: \: .
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } { \mathrm { d o m } \, F = \Big \{ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } ( \bar { x } + x _ { i } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { \ell } \mu _ { j } u _ { j } \; \big | \; } & { \lambda _ { i } \geq 0 , \, \forall i = 1 , \ldots , k , \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lambda _ { i } = 1 , } \\ & { \mu _ { j } \geq 0 , \, \forall j = 1 , \ldots , \ell \Big \} + \pi _ { X } ( W _ { 0 } ) . } \end{array} } \end{array}
\mu \frac { d } { d \mu } { \cal F } _ { \zeta } ^ { a } ( X ; \mu ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \sum _ { b } \, W _ { \zeta } ^ { a b } ( X , Z ) \, { \cal F } _ { \zeta } ^ { b } ( Z ; \mu ) \, d Z \, .
F ( \Psi ) : = F _ { 0 } \, , \quad p ( \Psi ) : = p _ { 0 } + \frac { \Psi _ { 0 } } { R _ { 0 } ^ { 4 } } ( \Psi _ { a } - \Psi ) \, , \quad \Psi _ { a } = \Psi ( R _ { a } , Z _ { a } ) ,
\begin{array} { r l } & { E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) - E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ) } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 \eta _ { n } } \left( \| { \bf u } ^ { n } - { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } - \| { \bf u } ^ { n + 1 } - { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } \right) + \eta _ { n } \| \nabla _ { { \bf u } } E _ { n } ^ { \lambda , \psi } ( { \bf u } ^ { n } ) \| _ { \mathcal { H } } ^ { 2 } + \frac { \epsilon _ { n } } { \eta _ { n } } \| { \bf u } ^ { n } - { \bf u } \| _ { \mathcal { H } } + \frac { \epsilon _ { n } ^ { 2 } } { \eta _ { n } } . } \end{array}
J _ { k } ^ { \ast } \left( \mathbf { x } _ { n - k } \right) = \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { u } _ { n - k } } \left\{ { \hat { f } } \left( \mathbf { x } _ { n - k } , \mathbf { u } _ { n - k } \right) + J _ { k - 1 } ^ { \ast } \left( { \hat { \mathbf { g } } } \left( \mathbf { x } _ { n - k } , \mathbf { u } _ { n - k } \right) \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( B _ { 0 } + \frac { \delta _ { 0 } } { 4 } \bigg ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + \bigg ( B _ { 1 } + \frac { \delta _ { 1 } } { 4 } - \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \log { ( \bar { y } ) } \bigg ) \log ( n ) \quad ~ } & { } \\ { + \bigg ( B _ { 2 } - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \log ( \bar { y } ) \bigg ) \bigg ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) \quad } & { \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { \bigg [ \bigg ( A _ { 1 } + \frac { \delta _ { 2 } } { 4 } \bigg ) \log ( n ) + \bigg ( A _ { 2 } - \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } \log ( \bar { y } ) \bigg ) \bigg ] \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) \quad } & { \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega ^ { 2 } - c _ { S } ^ { 2 } \left( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \right) - i \gamma g k _ { z } + \frac { ( \gamma - 1 ) g ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } = } \\ { = \frac { - i } { \omega \tau _ { V } } \left( \omega ^ { 2 } - c _ { T } ^ { 2 } \left( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } \right) - i g k _ { z } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { t } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \rho \left( S ^ { - 1 } \left( \widetilde W ( s ) \right) \right) d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho \left( S ^ { - 1 } \left( y \right) \right) L ^ { \widetilde W } ( t , y ) d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho \left( x \right) S ^ { \prime } ( x ) L ^ { \widetilde W } ( t , S ( x ) ) d x } \\ & { = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { \frac { 2 a } { \sigma ^ { 2 } } - 1 } e ^ { - \frac { 2 b } { \sigma ^ { 2 } } x } L ^ { \widetilde W } ( t , S ( x ) ) d x } \\ & { < \infty } \end{array}
\mathopen { } \mathclose \bgroup \left| \frac { k } { | k | } \cdot \frac { v } { | v | } \aftergroup \egroup \right| = \frac { | k _ { 1 } + k _ { 2 } \sqrt { 2 } | } { \sqrt { 3 } | k | } \geq \frac { 1 } { 3 \sqrt { 3 } | k | ^ { 2 } }
\mathcal { F } _ { i j } = \sum _ { l } ^ { n + 1 } \frac { 1 } { P _ { l } ( \boldsymbol { \theta } ) } \frac { \partial P _ { l } ( \boldsymbol { \theta } ) } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial P _ { l } ( \boldsymbol { \theta } ) } { \partial \theta _ { j } } .
K _ { i j } ^ { 0 } ( \, p _ { i j 0 } ^ { \prime } , \, p _ { i j 0 } , \, P _ { i j 0 } ) \, = \beta _ { i } \beta _ { j } \, \Lambda _ { i j } ^ { + + } \, \beta _ { i } \beta _ { j } \, K _ { i j } ^ { T } ( \, s _ { i j } , \, s _ { i j } , \, P _ { 0 } - h _ { k } \, ) \, \Lambda _ { i j } ^ { + + }
{ \bf E } _ { \mathrm { N I R } } ( t ^ { \prime } ) = { \bf F } _ { \mathrm { N I R } } [ 1 + \rho _ { 2 1 } e ^ { - i ( 2 N \omega t ^ { \prime } - \varphi _ { 2 1 } ) } ] e ^ { - i \Omega t ^ { \prime } }
\, \, \, \, \partial ^ { \mu } A _ { \mu } \, = \, 0 \, \, \, \, \, ; \, \, \, F _ { \mu \nu } \, + \, { \tilde { F } } _ { \mu \nu } \, = \, 0 \, \, \, \, \, ; \, \, \, \partial ^ { \mu } \Psi _ { \mu } \, = \, 0
\Sigma _ { A A } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = ( - \alpha k _ { 3 } ) \left\{ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } \left[ R _ { A A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] \right\} ^ { - 1 } \mu _ { B } ( \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { H _ { P F } ^ { v } } & { { } = \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \mathbf { p } _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \neq j } \frac { 1 } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } - \sum _ { i , M } \frac { Z _ { M } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { R } _ { M } | } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { M \neq N } \frac { Z _ { M } Z _ { N } } { | \mathbf { R } _ { N } - \mathbf { R } _ { M } | } } \end{array}
\int \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { 4 } \, \frac { \boldsymbol { k \, \cdot \, } ( \boldsymbol { v } _ { 3 } - \boldsymbol { v } _ { 4 } ) } { \omega ^ { \prime } + \boldsymbol { k \cdot v } _ { 4 } } f _ { i } ( \boldsymbol { v } _ { 4 } ) = n _ { i } \frac { \boldsymbol { k \cdot v } _ { 3 } } { \omega ^ { \prime } } \xi ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) + n _ { i } \, [ \xi ( \omega ^ { \prime } , \boldsymbol { k } ) - 1 ] \, .
\begin{array} { r } { \big \langle \mathbf { x } \big \vert \mathbf { \rho } ^ { \left( n \right) } \big \vert \mathbf { x } _ { 0 } \big \rangle = \frac { 1 } { \operatorname { t r } \left( \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } \right) } \big \langle \mathbf { x } \big \vert \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } \big \vert \mathbf { x } _ { 0 } \big \rangle , } \end{array}