harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { x x } } & & { \varepsilon _ { x y } } \\ { \varepsilon _ { y x } } & & { \varepsilon _ { y y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { \perp } \cos ^ { 2 } \theta + \varepsilon _ { \parallel } \sin ^ { 2 } \theta } & & { \left( \varepsilon _ { \perp } - \varepsilon _ { \parallel } \right) \cos \theta \sin \theta } \\ { \left( \varepsilon _ { \perp } - \varepsilon _ { \parallel } \right) \cos \theta \sin \theta } & & { \varepsilon _ { \parallel } \cos ^ { 2 } \theta + \varepsilon _ { \perp } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathbf { q } _ { N _ { i j } } ^ { \ast } : = - \frac { \Delta t } { 2 \mathcal { L } _ { i j } } \left[ \mathcal { Z } ( h _ { i \, N _ { i j } } ^ { n } , \mathbf { q } _ { i \, N _ { i j } } ^ { n } , \mathbf { n } _ { i j } ) + \mathcal { Z } ( h _ { j \, N _ { i j } } ^ { n } , \mathbf { q } _ { j \, N _ { i j } } ^ { n } , \mathbf { n } _ { i j } ) \right] .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { C ( n ) } { n + 1 } } } & { = { \frac { C ( n - 1 ) } { n } } + { \frac { 2 } { n + 1 } } - { \frac { 2 } { n ( n + 1 ) } } \leq { \frac { C ( n - 1 ) } { n } } + { \frac { 2 } { n + 1 } } } \\ & { = { \frac { C ( n - 2 ) } { n - 1 } } + { \frac { 2 } { n } } - { \frac { 2 } { ( n - 1 ) n } } + { \frac { 2 } { n + 1 } } \leq { \frac { C ( n - 2 ) } { n - 1 } } + { \frac { 2 } { n } } + { \frac { 2 } { n + 1 } } } \\ & { \ \ \vdots } \\ & { = { \frac { C ( 1 ) } { 2 } } + \sum _ { i = 2 } ^ { n } { \frac { 2 } { i + 1 } } \leq 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } { \frac { 1 } { i } } \approx 2 \int _ { 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { x } } \mathrm { d } x = 2 \ln n } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { { \cal R } _ { n } } { { \cal R } _ { s } } = \frac { \nu _ { s } } { \nu _ { n } } = \frac { \eta _ { s } } { \eta _ { n } } \frac { \rho _ { n } } { \rho _ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert \mathcal { P } _ { \mathcal { N } } a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , n , s , \eta } \lVert a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \lVert \mathcal { P } _ { \mathcal { N } } b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , n , s , \eta } \lVert b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) } & { = s \tilde { \varepsilon } _ { c r } \left( s \right) = \frac { 1 } { s ^ { \beta + \nu } } \left( \frac { a _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } s ^ { \alpha + \beta } \frac { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } \right) } \\ & { = \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \nu - \alpha } } + \frac { a _ { 3 } } { b _ { 2 } } \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } - \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right) \frac { 1 } { s ^ { \nu - \alpha } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } + \frac { a _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \beta + \nu } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } } , } \end{array}
{ \cal L } _ { B } = D _ { \mu } \phi [ D ^ { \mu } \phi ] ^ { * } + D _ { \mu } \sigma [ D ^ { \mu } \sigma ] ^ { * } - \frac { 1 } { 4 } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 4 } H _ { \mu \nu } H ^ { \mu \nu } - U
V _ { x } ( z , t ) = \frac { a _ { 0 } } { \sqrt { 1 + z / L _ { d } } } \cos \left( k _ { | | } ( z - v _ { A } t ) + ( \kappa _ { 2 } / \kappa _ { 1 } ) \ln \left| 1 + z / L _ { d } \right| + \theta _ { 0 } \right) ,
\frac { P _ { \perp } } { P _ { \parallel } } = \frac { \sum _ { i , j \in \{ x , y , z \} } P _ { i j } ( \delta _ { i j } - b _ { i } b _ { j } ) / 2 } { \sum _ { i , j \in \{ x , y , z \} } P _ { i j } b _ { i } b _ { j } } \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } b _ { i } = B _ { i } / | \vec { B } | , P _ { j i } = P _ { i j }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \phi ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { N } { 1 6 \pi ^ { 3 / 2 } \kappa \sigma ^ { 3 } \phi _ { 0 } } + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 3 / 2 } \kappa \sigma ^ { 3 } \phi _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = i + 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { - ( \mathbf { R } _ { i } - \mathbf { R } _ { j } ) ^ { 2 } / ( 4 \sigma ^ { 2 } ) } . } \end{array}
S _ { i j } = \frac { 1 } { \left| \vec { s } _ { i } - \vec { s } _ { j } \right| } \; \; \; \; \; \; \; \; \; D _ { i j } = \frac { \left( \vec { s } _ { i } - \vec { s } _ { j } \right) \cdot \vec { n } _ { j } } { \left| \vec { s } _ { i } - \vec { s } _ { j } \right| ^ { 3 } } ,
{ \begin{array} { r l } { F ^ { \prime } ( t ) = } & { f ^ { \prime } ( t ) + { \big ( } f ^ { \prime \prime } ( t ) ( x - t ) - f ^ { \prime } ( t ) { \big ) } + \left( { \frac { f ^ { ( 3 ) } ( t ) } { 2 ! } } ( x - t ) ^ { 2 } - { \frac { f ^ { ( 2 ) } ( t ) } { 1 ! } } ( x - t ) \right) + \cdots } \\ & { \cdots + \left( { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( t ) } { k ! } } ( x - t ) ^ { k } - { \frac { f ^ { ( k ) } ( t ) } { ( k - 1 ) ! } } ( x - t ) ^ { k - 1 } \right) = { \frac { f ^ { ( k + 1 ) } ( t ) } { k ! } } ( x - t ) ^ { k } , } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \alpha ( Q ^ { 2 } ) } } } & { - } & { { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \ln \left( { \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \alpha ( Q ^ { 2 } ) } } \right) } \\ & { = } & { { \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \alpha _ { 0 } } } + { \frac { 2 } { \epsilon } } + \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } + \gamma _ { E } - \ln 4 \pi } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathrm { W } + j } = Q _ { \mathrm { W } + 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { j - 1 } \mu _ { + k , \mathrm { W } } \le ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j - 1 } , } \\ & { \Rightarrow \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } ( Q _ { \mathrm { W } + j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } + j } ) = \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } Q _ { \mathrm { W } + j } \le \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j - 1 } = \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta P ( \mathrm { P e } , \Delta \varphi ) } & { = \left[ \Delta p _ { 1 } ^ { 0 } \Delta \varphi + \Delta p _ { 3 } ^ { 0 } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 3 } } { 6 } \right] + \left[ \Delta p _ { 0 } ^ { 1 } + \Delta p _ { 2 } ^ { 1 } \frac { ( \Delta \varphi ) ^ { 2 } } { 2 } \right] \mathrm { P e } + \left[ \Delta p _ { 1 } ^ { 2 } \Delta \varphi \right] \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { 2 } } { 2 } + \left[ \Delta p _ { 0 } ^ { 3 } \right] \frac { ( \mathrm { P e } ) ^ { 3 } } { 3 ! } . } \end{array}
\xi _ { 1 } = \frac { - 2 \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } } { \beta _ { 1 } ^ { 2 } + \beta _ { 2 } ^ { 2 } } , \qquad \xi _ { 2 } = 0 \quad \mathrm { a n d \quad } \xi _ { 3 } = \frac { \beta _ { 2 } ^ { 2 } - \beta _ { 1 } ^ { 2 } } { \beta _ { 1 } ^ { 2 } + \beta _ { 2 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { u ( t ) - 2 \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { ( 1 - s ^ { 2 } ) ^ { ( 2 - t ^ { 2 } ) / ( 2 + t ^ { 2 } ) } } { ( 2 + t ^ { 2 } ) ( 1 + s ^ { 2 0 } ) } \left\{ 5 ( 2 + t ^ { 2 } ) s ^ { 1 8 } ( 1 - s ^ { 2 } ) + ( s ^ { 2 0 } + 1 ) ( s ^ { 2 1 } + s + 2 ) \right\} u ( s ) \, \mathrm { d } s } \\ & { = \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 0 } } - \frac { 4 } { 2 + t ^ { 2 } } \Beta ( 3 / 2 , 4 / ( 2 + t ^ { 2 } ) ) , \quad - 1 \leq t \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \{ | \mathcal { S } ( X ( t ) , X ^ { \eta } ( 0 ) + X ^ { \xi } ( 0 ) , \varepsilon ) | \ge \delta r _ { 0 } n \} } \\ & { \le \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta } \Big [ ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } \frac { \| X ^ { \Gamma } ( 0 ) \| ^ { 2 } } { c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } + \lambda _ { 1 } t \Big ( 6 + \frac { c _ { l } } { 2 } + 1 6 c _ { s } c _ { l } } \\ & { + \frac { 3 c _ { l } + 2 3 } { 2 r _ { 0 } n } \Big ) + \Big ( \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 3 } } + \lambda _ { 2 } t \Big ) \Big ( \frac { \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } } { c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n } + \frac { 1 } { r _ { 0 } n } \Big ) \Big ] } \\ & { \le \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } \delta } \Big [ ( 1 - \lambda _ { 3 } ) ^ { t } + C _ { 1 1 } \lambda _ { 1 } t + C _ { 1 2 } \Big ( \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 3 } } + \lambda _ { 2 } t \Big ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { G ( U ) } & { { \xrightarrow { \quad \varphi _ { U } \quad } } } & { F ( U ) } \\ { r _ { V , U } { \Biggl \downarrow } } & { } & { { \Biggl \downarrow } r _ { V , U } } \\ { G ( V ) } & { { \xrightarrow [ { \quad \varphi _ { V } \quad } ] { } } } & { F ( V ) } \end{array}
\Bigg [ 0 , 0 , 0 , \frac { C _ { 1 } \pm \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { w ^ { 2 } ( 3 w + 1 ) ^ { 4 } \left( w ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } \left( 3 w ^ { 2 } + 1 \right) \left( 9 w ^ { 2 } + w + 2 \right) \left( 5 0 \alpha ^ { 2 } \left( 3 w ^ { 2 } + 1 \right) \left( 9 w ^ { 2 } + w + 2 \right) + 1 2 \alpha \left( 3 w ^ { 2 } + 1 \right) ( 3 w + 1 ) ^ { 2 } + 9 ( 3 w + 1 ) ^ { 4 } \right) ( 4 \alpha + 3 w ( ( 4 \alpha + 9 ) w + 6 ) + 3 ) ^ { 2 } } } { \alpha ( w - 1 ) w ( w + 1 ) ( 3 w + 1 ) ^ { 2 } \left( 3 w ^ { 2 } + 1 \right) \left( 9 w ^ { 2 } + w + 2 \right) } } { 4 ( 4 \alpha + 3 w ( ( 4 \alpha + 9 ) w + 6 ) + 3 ) } \Bigg ] ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { C i r r u s ~ r e g i m e : ~ } } & { q _ { i } \rightarrow \mathrm { R H } \rightarrow T [ 3 . 4 ] \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } \rightarrow \partial _ { z z } \mathrm { R H } [ 6 . 4 ] } \\ { \mathrm { C u m u l u s ~ r e g i m e : ~ } } & { q _ { i } \rightarrow q _ { c } \rightarrow \mathrm { R H } \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } [ 4 . 5 ] \rightarrow \partial _ { z z } p [ 5 . 1 ] } \\ { \mathrm { D e e p ~ c o n v e c t i v e ~ r e g i m e : ~ } } & { \mathrm { R H } \rightarrow T \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } \rightarrow p _ { s } [ 5 . 5 ] \rightarrow \partial _ { z z } \mathrm { R H } [ 5 . 6 ] } \\ { \mathrm { S t r a t u s ~ r e g i m e : ~ } } & { \mathrm { R H } \rightarrow \partial _ { z } \mathrm { R H } \rightarrow \partial _ { z z } p \rightarrow \partial _ { z z } \mathrm { R H } [ 5 . 9 ] \rightarrow q _ { c } [ 6 . 3 ] } \end{array}
\frac { d \hat { \sigma } _ { i j } ^ { h } } { d y } = \omega _ { i j } ^ { h , ( 0 ) } + \left( \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \right) \omega _ { i j } ^ { h , ( 1 ) } + { \cal O } \left( \alpha _ { s } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \mathcal { Y } ^ { n + 1 } ( t ) + \frac { d } { d t } \mathcal { M } _ { 2 } ^ { n } ( t ) + \nu \mathcal { Z } ^ { n + 1 } ( t ) } \\ & { \leq C \left( \mathcal { I } ^ { n } ( t ) \mathcal { Y } ^ { n + 1 } ( t ) + \mathcal { B } ^ { n } ( t ) \mathcal { Y } ^ { n } ( t ) + \mathcal { I } ^ { n } ( t ) \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Y } ^ { n } ( s ) \, d s \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { \gamma \rightarrow 0 } ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { | \sqrt { \lambda } \alpha _ { 0 } | ^ { 2 q } } \sum _ { m = 0 } ^ { + \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { + \infty } \frac { 2 ^ { 2 m - q } \lambda ^ { q - m } } { \Gamma ( 2 m + 1 ) } \frac { \Gamma ( m + k + 1 ) ^ { 2 } ( - 1 ) ^ { m + q } } { \Gamma ( m - q + k + 1 ) } \frac { x ^ { 2 m } } { k ! } \big ( \frac { 1 } { 2 \sigma _ { \gamma } ^ { 2 } } \big ) ^ { k + m - q } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { * ( \beta _ { 1 } \wedge * \beta _ { 2 } ) } & { = } & { * \big ( ( \alpha _ { 1 } \otimes \zeta _ { 1 } ) \wedge ( ( * \alpha _ { 2 } ) \otimes \zeta _ { 2 } ) \big ) } \\ & { = } & { * ( \langle \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } \rangle \, \alpha _ { 1 } \wedge * \alpha _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \langle \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } \rangle \, * ( \alpha _ { 1 } \wedge * \alpha _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \langle \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 2 } \rangle \, h ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } \\ & { = } & { \langle \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } \rangle . } \end{array}
\varepsilon _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left[ S _ { i j k \ell } ^ { 0 } + \sum _ { c = 1 } ^ { m _ { 1 } } \phi _ { c } \left( H _ { i j k \ell _ { c } } + \Delta H _ { i j k \ell _ { c } } \right) \right] \sigma _ { k \ell } \, ,
\begin{array} { l l l l } { \Bar V _ { i j } ^ { n + 1 } = } & { \frac { 1 } { \Delta x } \sum _ { G _ { y } } w _ { G _ { y } } ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { G _ { y } } , t _ { n + 1 } ) - W ( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , y _ { G _ { y } } , t _ { n + 1 } ) ) , } \\ { \Bar Y _ { i j } ^ { n + 1 } = } & { \frac { 1 } { \Delta y } \sum _ { G _ { x } } w _ { G _ { x } } ( W ( x _ { G _ { x } } , y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n + 1 } ) - W ( x _ { G _ { x } } , y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n + 1 } ) ) , } \\ { \Bar Z _ { i j } ^ { n + 1 } = } & { \frac { 1 } { \Delta x \Delta y } ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n + 1 } ) - W ( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n + 1 } ) - } \\ & { \qquad \; ( W ( x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n + 1 } ) - W ( x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , y _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t _ { n + 1 } ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { W = \left\{ ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \in \left( \mathbb { C } \setminus \bigcup _ { \alpha \in Y ^ { * } } \sigma ( \mathcal { C } ^ { \alpha } ) \right) ^ { 2 } : \begin{array} { l } { I _ { 1 1 } ( \omega _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 2 } ) ) - I _ { 1 1 } ( \omega _ { 2 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 1 } ) ) = 0 } \\ { \mathrm { ~ o r ~ } } \\ { ( V _ { 1 } ^ { d e f } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) - V _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega ) ) + V _ { 1 } I _ { 2 2 } ( \omega ) = 0 } \end{array} \right\} } \end{array}
e ^ { \mu _ { 2 } \hat { \sigma } ^ { \dagger } \hat { \sigma } } \left\vert A \right\rangle = e ^ { \frac { | A | ^ { 2 } } { 2 } \left( e ^ { 2 \mu _ { 2 } } - 1 \right) } \left\vert e ^ { \mu _ { 2 } } A \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { S ( \omega _ { e x } ) } & { { } = - \frac { 1 } { \pi } \Im \sum _ { \lambda = x , y , z } \langle \Psi _ { 0 } | \hat { \mu } _ { \lambda } ^ { \dagger } \frac { 1 } { \omega _ { e x } - \hat { H } + E _ { 0 } + i \eta } \hat { \mu } _ { \lambda } | \Psi _ { 0 } \rangle , } \\ { \sigma ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) } & { { } = - \frac { 1 6 \pi \omega _ { e m } ^ { 3 } \omega _ { e x } } { 9 c ^ { 4 } } \sum _ { \rho , \lambda = x , y , z } | \alpha _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) | ^ { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { 2 x ^ { 6 } - 4 x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 3 x } \\ { = } & { A \left( x - 1 \right) ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } + B \left( x - 1 \right) \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } + C \left( x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } + \left( D x + E \right) \left( x - 1 \right) ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 1 \right) + \left( F x + G \right) \left( x - 1 \right) ^ { 3 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { g _ { \pm , x x } ^ { R R } } & { = \frac { k _ { y } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } { E E ^ { * } \Big ( \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } + \kappa ) ^ { 2 } } + \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } - \kappa ) ^ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } } \\ { g _ { \pm , x y } ^ { R R } } & { = - \frac { k _ { x } k _ { y } } { E E ^ { * } \Big ( \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } + \kappa ) ^ { 2 } } + \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } - \kappa ) ^ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } } \\ { g _ { \pm , y y } ^ { R R } } & { = \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { E E ^ { * } \Big ( \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } + \kappa ) ^ { 2 } } + \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } - \kappa ) ^ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } } \\ { \Omega _ { \pm , x x } ^ { z , R R } } & { = \frac { 2 k _ { x } \kappa } { E E ^ { * } \Big ( \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } + \kappa ) ^ { 2 } } + \sqrt { k _ { y } ^ { 2 } + ( k _ { x } - \kappa ) ^ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \Delta L _ { \mathrm { ~ k ~ } } } { L _ { \mathrm { ~ k ~ } } } = \frac { \lambda ^ { 2 } ( T ) - \lambda ^ { 2 } ( 0 ) } { \lambda ^ { 2 } ( 0 ) } \propto \bigg ( \frac { k _ { B } T } { \Delta } \bigg ) ^ { 4 } .
S ( | \xi _ { m _ { J } } ^ { ( 1 ) } ; \xi _ { - m _ { J } } ^ { ( 2 ) } \rangle ) = 1 / \sqrt 2 ( | \xi _ { m _ { J } } ^ { ( 1 ) } ; \xi _ { - m _ { J } } ^ { ( 2 ) } \rangle + | \xi _ { - m _ { J } } ^ { ( 1 ) } ; \xi _ { m _ { J } } ^ { ( 2 ) } \rangle )
{ \cal L } _ { \mathrm { s c a l } } ^ { ( 2 ) } [ B ] = { \frac { D - 1 } { D } } \times \mathrm { e q . } ( \ref { G a m m a 2 s c a l } ) + { \frac { 1 } { D } } \times \mathrm { e q . } ( \ref { G a m m a 2 s c a l p I } )
\begin{array} { r } { \gamma ( \cdot , \cdot ) = \left( \begin{array} { l l } { \gamma _ { 1 , 1 } } & { \gamma _ { 1 , 2 } } \\ { \gamma _ { 2 , 1 } } & { \gamma _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) , \quad \textrm { w i t h } \quad \gamma _ { i , j } : \; \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } \to \mathcal { M } _ { 2 } ( \mathbb { C } ) , \quad i , j = 1 , 2 . } \end{array}
V _ { \mathrm { C K M } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } } } & { { \lambda } } & { { A \lambda ^ { 3 } ( \rho - i \eta ) } } \\ { { - \lambda } } & { { 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } } } & { { A \lambda ^ { 2 } } } \\ { { A \lambda ^ { 3 } ( 1 - \rho - i \eta ) } } & { { - A \lambda ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \frac { i } { 4 } \bigg \{ \int _ { \partial C _ { R } \cap S } k U ( \theta ) H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k R ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { 0 } , n } = \: } & { { } c _ { \mathrm { I } } \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { \frac { n - 2 } { 2 } } V _ { \mathrm { 0 , 1 } } + \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \frac { n - 2 } { 2 } } \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { i } \right) \left( 1 - c _ { \mathrm { I } } \right) V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e i } } + \left( \sum _ { i = 0 } ^ { \frac { n - 4 } { 2 } } \left( c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } \right) ^ { i } \right) c _ { \mathrm { I } } \left( 1 - c _ { \mathrm { E } } \right) V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal L a w ( X _ { n } ) - \mu ^ { \delta } \| _ { T V } } & { \leqslant \| \mathcal L a w ( X _ { \lfloor t / \delta \rfloor \lfloor n / \lfloor t / \delta \rfloor \rfloor } ) - \mu ^ { \delta } \| _ { T V } } \\ & { \leqslant \alpha ^ { \lfloor n / \lfloor t / \delta \rfloor \rfloor } \| \mathcal L a w ( X _ { 0 } ) - \mu ^ { \delta } \| _ { T V } \leqslant C e ^ { - c \delta n } , } \end{array}
\beta _ { 1 } ^ { - } ( \mathrm { i } \omega ) = - 2 \sum _ { n \ne 0 } \frac { \mathrm { I m } \left[ \langle 0 | Q _ { 1 0 } | n \rangle \langle n | B _ { 1 0 } ^ { - } | 0 \rangle \right] } { \omega _ { n } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } ,
{ \cal F } _ { 0 } = - \frac { \mathrm { l n } Z _ { 0 } } { \beta V } = \frac { 1 } { \beta V } \sum _ { n } \sum _ { \bf p } \mathrm { l n } \left( \frac { \beta M ^ { 2 } } { \rho } \right) + 2 T \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \beta \omega + l n ( 1 - e ^ { - \beta \omega } ) \right] \; ,
\begin{array} { r l } { A _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } } & { = \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) - { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { j } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { j } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) } \\ { A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 1 } } } & { = \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) - { \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } } \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { j } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { j } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \Phi } + c \dot { \Phi } + \omega _ { n } ^ { 2 } \Phi } & { { } = 0 } \\ { c = 2 \zeta \omega _ { n } , \: \: \: \omega _ { n } ^ { 2 } = \frac { g } { L _ { o f f } } , } \end{array}
\mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 4 } \} - 2 \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} | ^ { 2 } - \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } - \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 }
\overline { { \varepsilon } } ( \mathbf { M } , \omega ) = \varepsilon _ { 0 } \left[ \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { r } ( \omega ) } & { - i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { z } } & { i f _ { \mathrm { ~ F ~ } } ( \omega ) M _ { y } } \\ { i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { z } } & { \varepsilon _ { r } ( \omega ) } & { - i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { x } } \\ { - i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { y } } & { i f _ { { F } } ( \omega ) M _ { x } } & { \varepsilon _ { r } ( \omega ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta \right) P _ { k } ^ { i } P _ { k } ^ { j } ( \theta ) } & { = \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta \right) P _ { k } ^ { i } P _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) } \\ & { \quad + \frac { \varepsilon ^ { - 2 } } { n ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta \right) B _ { k - 1 } ^ { i } B _ { k - 1 } ^ { j } ( \theta _ { 0 } , \theta ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { n \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg [ f \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta \right) \times } \\ & { \qquad \Big \{ P _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) B _ { k - 1 } ^ { j } ( \theta _ { 0 } , \theta ) + P _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) B _ { t _ { k - 1 } } ^ { i } ( \theta _ { 0 } , \theta ) \Big \} \bigg ] } \\ & { \to \int _ { 0 } ^ { 1 } f \left( X _ { s } ^ { 0 } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , \theta \right) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { i j } \left( X _ { s } ^ { 0 } , H ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } ) , \beta _ { 0 } \right) \, \mathrm { d } s , } \end{array}