harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \overline { { \texttt { m s e } _ { \pi } ^ { [ k ] } } } \! \triangleq \! \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { T } { \mathbb { E } } \left[ \int _ { D _ { i } ^ { [ k ] } } ^ { D _ { i + 1 } ^ { [ k ] } } \texttt { m s e } _ { \pi } ^ { [ k ] } \left( t , \tilde { S } _ { i } ^ { [ k ] } \right) d t \right] } { \sum _ { i = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ D _ { i + 1 } ^ { [ k ] } - D _ { i } ^ { [ k ] } \right] } . } \end{array}
v _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ r ~ e ~ a ~ d ~ } } \sim \mathcal { O } ( 1 0 0 ) \frac { a _ { \mathrm { ~ B ~ o ~ h ~ r ~ } } } { t _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ y ~ } } } = 3 5 . 2 \sqrt { \alpha \, \beta } \, \gamma
\begin{array} { r l } { K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 1 ) } } & { = \langle \psi _ { 0 } | V _ { \mathrm { S M S } } | \psi _ { 0 } \rangle \ , } \\ { K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 2 ) } } & { = { \sum _ { n \neq 0 } } \frac { | \langle \psi _ { 0 } | V _ { \mathrm { S M S } } | \psi _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { E _ { 0 } - E _ { n } } \ . } \end{array}
g _ { \ j } ^ { i } \equiv \frac { \partial \gamma ^ { i } } { \partial \tilde { \gamma } ^ { j } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { 1 + \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } } { \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } } } & { - \frac { \gamma ^ { 3 } } { \gamma ^ { 2 } } } & { \frac { \gamma ^ { 1 } } { \gamma ^ { 2 } } } \end{array} \right) , \quad \frac { \partial \tilde { \gamma } ^ { i } } { \partial \gamma ^ { j } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { 1 + \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } } { ( \gamma ^ { 1 } ) ^ { 2 } } } & { \frac { \gamma ^ { 3 } } { \gamma ^ { 1 } } } & { \frac { \gamma ^ { 2 } } { \gamma ^ { 1 } } } \end{array} \right) .
\gamma _ { n , k } = \frac { | \mathbf { h } _ { n , n , k } ^ { H } \mathbf { w } _ { n , k } | ^ { 2 } } { \sum _ { j = 1 , j \neq k } ^ { K } | \mathbf { h } _ { n , n , k } ^ { H } \mathbf { w } _ { n , j } | ^ { 2 } + \sum _ { l = 1 , l \neq n } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { K } | \mathbf { h } _ { l , n , k } ^ { H } \mathbf { w } _ { l , j } | ^ { 2 } + \sigma _ { u } ^ { 2 } } .
\Big [ \begin{array} { c } { { v } } \\ { { \emptyset } } \end{array} \Big ] \times \Big [ \begin{array} { c } { { v } } \\ { { \emptyset } } \end{array} \Big ] , \qquad \Big [ \begin{array} { c } { { \emptyset } } \\ { { \emptyset } } \end{array} \Big ] \times \Big [ \begin{array} { c } { { v } } \\ { { \emptyset } } \end{array} \Big ] , \qquad \Big [ \begin{array} { c } { { v } } \\ { { \emptyset } } \end{array} \Big ] \times \Big [ \begin{array} { c } { { \emptyset } } \\ { { \emptyset } } \end{array} \Big ]
\begin{array} { r } { k _ { \mathrm { M c K } } ^ { [ M ] } ( \mu , \mu ^ { \prime } ) : = \operatorname* { i n f } _ { \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } \in X ^ { M } } k ^ { [ M ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) + \tilde { \omega } _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) , ( \mu , \mu ^ { \prime } ) \right] \right) { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { Z } } \sum _ { \tau = 1 } ^ { T _ { p } } \lambda _ { d i v } \| y ( \tau ) - y ^ { \mathrm { r e f } } \| ^ { 2 } + \sum _ { \tau = 1 } ^ { T _ { p } } \lambda _ { v } \| v ( \tau ) - v ^ { \mathrm { r e f } } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { s } ^ { T } b _ { i } ( \boldsymbol { Z } ) + \mu ^ { k \top } C \boldsymbol { Z } + \left( \frac { \rho } { 2 } \right) \| C \boldsymbol { Z } - c _ { \boldsymbol { Z } } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } z ( \tau ) \in [ z _ { \operatorname* { m i n } } , z _ { \operatorname* { m a x } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T \equiv T _ { D } ( \nu ) } & { = \left( - \frac { \mathcal { E } ( \mathbf { 0 } , 0 ) } { \partial _ { t , t } \mathcal { E } ( \mathbf { 0 } , 0 ) } \right) ^ { 1 / 2 } , } \\ { L \equiv L _ { D } ( \mu ) } & { = \left( - \frac { \mathcal { E } ( \mathbf { 0 } , 0 ) } { \partial _ { x , x } \mathcal { E } ( \mathbf { 0 } , 0 ) } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigcup _ { ( x , a ) \in \mathrm { O b } E ( F ) } E ( F ) ( ( x , a ) , ( x ^ { \prime } , b ) ) } & { = \{ ( f , \xi ) \mid f \in X ( x , x ^ { \prime } ) , \xi \in F x ^ { \prime } ( F f a , b ) \} } \\ & { = \bigcup _ { x \in \mathrm { O b } X } \bigcup _ { a \in \mathrm { O b } F x } \bigcup _ { f \in X ( x , x ^ { \prime } ) } \ast ( \deg f ) \times F x ^ { \prime } ( F f a , b ) } \\ & { = \bigcup _ { x \in \mathrm { O b } X } \bigcup _ { f \in X ( x , x ^ { \prime } ) } \left( \ast ( \deg f ) \times \bigcup _ { a \in \mathrm { O b } F x ^ { \prime } } F x ^ { \prime } ( F f a , b ) \right) , } \end{array}
S = - \int d ^ { 4 } \sigma \sqrt { - \mathrm { d e t } \, ( G _ { \mu \nu } + e ^ { - \frac { \phi } { 2 } } F _ { \mu \nu } - b _ { \mu \nu } ) } + \int \Big ( C _ { 4 } + C _ { 2 } \wedge ( e ^ { - \frac { \phi } { 2 } } F - b _ { 2 } ) \Big ) .
\sigma ^ { \tt C C 1 1 } ( s ) \; = \; \int d s _ { 1 } \int d s _ { 2 } \; \; \frac { \sqrt { \lambda } } { \pi s ^ { 2 } } \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { 1 5 } { \cal C } _ { k } \cdot { \cal G } _ { k } ( s , s _ { 1 } , s _ { 2 } ) ~ .
\begin{array} { r } { E _ { \omega , k } ^ { G } = - \frac { 2 \pi i } { c \sqrt { \epsilon _ { 0 } } } [ Z _ { \omega , k } ^ { ( 1 1 ) } j _ { \omega , k } ^ { G } + Z _ { \omega , k } ^ { ( 1 2 ) } j _ { \omega , k } ^ { 2 D } ] + \eta _ { \omega , k } ^ { ( 1 ) } \delta _ { k , 0 } E _ { 0 , x } } \\ { E _ { \omega , k } ^ { 2 D } = - \frac { 2 \pi i } { c \sqrt { \epsilon _ { 0 } } } [ Z _ { \omega , k } ^ { ( 2 1 ) } j _ { \omega , k } ^ { G } + Z _ { \omega , k } ^ { ( 2 2 ) } j _ { \omega , k } ^ { 2 D } ] + \eta _ { \omega , k } ^ { ( 2 ) } \delta _ { k , 0 } E _ { 0 , x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \frac { 2 ( B + C ) } { A ^ { 2 } } ; } \\ { \beta } & { { } = \alpha \mathrm { S } ^ { \ast } ; } \\ { \mathrm { S } ^ { \ast } } & { { } = \frac { C \mathrm { S } _ { E } + A \bar { u } } { B + C } . } \end{array}
Y _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ W ~ G ~ 2 ~ } ) } = - \mathrm { ~ j ~ } \alpha _ { 3 } Y _ { \mathrm { ~ T ~ E ~ M ~ } } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ W ~ G ~ 2 ~ } ) } \cot ( k _ { 0 } d _ { 3 } ) \, .
{ \cal L } = - \frac { v ^ { 2 } } { 4 } T r [ ( \alpha _ { L \mu } - \alpha _ { R \mu } ) ^ { 2 } ] - a \frac { v ^ { 2 } } { 4 } T r [ ( \alpha _ { L \mu } + \alpha _ { R \mu } ) ^ { 2 } ] + { \cal L } _ { \mathrm { k i n } }
\begin{array} { r } { \nu _ { e i } = \frac { 4 \sqrt { 2 \pi } } { 3 } \frac { e ^ { 4 } n _ { 0 e } \log \Lambda } { m _ { e } ^ { 1 / 2 } T _ { 0 e } ^ { 3 / 2 } } , \quad \nu _ { e e } = \frac { \nu _ { e i } } { Z } } \end{array}
\phi _ { \textup { M } } = \frac { \mathrm { i } \omega \mu } { 2 } \mathrm { I m } \left[ \frac { \partial u _ { \textup { I } } } { \partial n } u _ { \textup { S } } ^ { * } + \frac { \partial u _ { \textup { S } } } { \partial n } u _ { \textup { I } } ^ { * } \right]
M _ { x } = { \frac { 1 6 q _ { 0 } } { \pi ^ { 4 } } } \sum _ { m = 1 , 3 , 5 , . . . } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 , 3 , 5 , . . . } ^ { \infty } { \frac { { \frac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + \nu { \frac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } } { m n \left( { \frac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } } \sin { \frac { m \pi x } { a } } \sin { \frac { n \pi y } { b } }
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap ( B _ { 1 } \cup B _ { 2 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma } { 2 } } \\ { 0 \leq x \leq \left( \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } \leq z \leq \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \\ { \left( - \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 ( m - 1 ) } r } \right) ^ { - 1 } \leq x \leq \frac { \sigma ^ { 2 m } r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \sigma ^ { 2 m - 1 } r \leq z \leq - \frac { \sigma ^ { 2 m - 1 } r } { 2 } } \end{array} \right. , } \end{array}
\mathcal { L } _ { m _ { 3 / 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } \frac { n + \omega } { R } \bar { \psi } _ { \mu } ^ { ( n ) } \gamma ^ { \mu \nu } \psi _ { \nu } ^ { ( n ) } + \frac { W } { \pi R } \sum _ { n , m } \bar { \psi } _ { \mu } ^ { ( n ) } \gamma ^ { \mu \nu } \psi _ { \nu } ^ { ( m ) } \, ,
\langle T _ { \nu } ^ { \mu } \rangle = { \frac { ( N ^ { 2 } - 1 ) } { 3 2 \pi ^ { 2 } l ^ { 4 } } } \mathrm { d i a g } ( - 3 , 1 , 1 , 1 ) + \tilde { T } _ { \nu } ^ { \mu }
\begin{array} { r } { A ( \varphi , k , \xi ) : = \int _ { - \frac { k } 2 } ^ { \frac { k } 2 } \partial _ { \xi } \overline { { \mathfrak { p } } } ( \varphi , \xi + t ) d t , \mathrm { ~ s o ~ t h a t ~ } T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { a } ] ( \varphi , k , \xi ) = \widehat { \mathfrak { a } } ( \varphi , k , \xi ) e ^ { \mathrm { i } A ( \varphi , k , \xi ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( w C _ { \varphi } ) ^ { n } x ^ { * } } & { = ( w C _ { \varphi } ) ^ { n } ( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { c _ { k } ^ { * } e _ { k } } ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n - 1 } ( k ) } c _ { \varphi ^ { n } ( k ) } ^ { * } e _ { k } } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { d _ { k } ^ { * } e _ { k } } = f ^ { * } . } \end{array}
\sigma _ { b } \; = \; \frac { 1 } { 2 } \, \delta \int \frac { d \Omega } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \, \frac { | { \mathrm { \boldmath ~ k ~ } } | } { s \, | { \mathrm { \boldmath ~ p ~ } } | } \, \frac { 1 } { 4 } \sum _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } \left| { \cal M } _ { \phi \phi } \right| ^ { 2 } ,
{ \big ( } \mathbb { H } _ { \mathrm { e } } ( \mathbf { R } ) { \big ) } _ { k ^ { \prime } k } \equiv \langle \chi _ { k ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ; \mathbf { R } ) | H _ { \mathrm { e } } | \chi _ { k } ( \mathbf { r } ; \mathbf { R } ) \rangle _ { ( \mathbf { r } ) } = \delta _ { k ^ { \prime } k } E _ { k } ( \mathbf { R } )
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ F i n d ~ } \gamma \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t : ~ } } & \\ { \Delta \gamma = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } { \Omega } _ { 0 } , } \\ { \gamma = 1 } & { \mathrm { ~ a t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { l v , e n d o } } } \\ { \gamma = - 1 } & { \mathrm { ~ a t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { r v , e n d o } } , } \\ { n _ { 0 _ { i } } \left( \nabla _ { 0 _ { i } } \gamma \right) = 0 } & { \mathrm { ~ a t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { b a s e } } , { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { e p i } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { Q } & { { } = } & { g _ { X } X _ { \mathrm { t r a n s } } + Q _ { \mathrm { n o i s e , ~ o p t i c a l } } + Q _ { \mathrm { n o i s e , ~ m e c h a n i c a l } } } \\ { P } & { { } = } & { g _ { Y } Y _ { \mathrm { t r a n s } } + P _ { \mathrm { n o i s e , ~ o p t i c a l } } + P _ { \mathrm { n o i s e , ~ m e c h a n i c a l } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mathrm { p d e } } ( \textbf { u } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } ; \Theta ) ) = \frac { 1 } { n _ { s } n _ { p } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \| \mathcal { N } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { k } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) , \textbf { u } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { k } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) ) ) - f ( \boldsymbol { x } _ { \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } , } \\ { J _ { \mathrm { b } } ( \textbf { u } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } ; \Theta ) ) = \frac { 1 } { n _ { s } n _ { b } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b } } \| \mathfrak { b } ( \boldsymbol { x } _ { \partial \mathcal { D } } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { k } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { x } _ { \partial \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) , \textbf { u } ( \boldsymbol { x } _ { \partial \mathcal { D } } ^ { ( i ) } , \boldsymbol { k } ^ { ( j ) } ( \boldsymbol { x } _ { \partial \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) ) ) - g ( \boldsymbol { x } _ { \partial \mathcal { D } } ^ { ( i ) } ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { T } \simeq } & { \frac { \kappa _ { m } } { \kappa _ { M } } \frac { k _ { B } T _ { 0 } } { \hslash \omega _ { M } } + \left( \frac { S _ { L P } } { 2 \kappa _ { M } } \right) , } \\ { T _ { \mathrm { e f f } } = } & { \frac { n _ { T } \hslash \omega _ { M } } { k _ { B } } , } \\ { S _ { L P } ^ { S R M } } & { \simeq \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { M } } \frac { \gamma _ { + } ^ { 2 } } { ( \gamma _ { + } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad \times \left( \mathcal { H } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } } \right] + \mathcal { X } ^ { 2 } \left[ \frac { \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { 0 } } \, + \frac { \omega _ { M } ^ { 2 } } { \gamma _ { + } ^ { 2 } } \right] \right) , } \\ { S _ { L P } ^ { P R M } } & { \simeq \frac { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { M } } \left( \mathcal { H } ^ { 2 } \frac { \gamma _ { + } ^ { 2 } } { \gamma _ { + } ^ { 2 } + \omega _ { M } ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { 1 } } \right] + \mathcal { X } ^ { 2 } \left[ \frac { \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { 1 } } \right] \right) , } \\ { \mathcal { X } } & { = \eta \sqrt \frac { W _ { i n } } { 2 m \omega _ { 0 } \gamma _ { + } ^ { 2 } } , \quad \mathcal { H } = \xi \sqrt \frac { 2 \omega _ { 0 } W _ { i n } } { m \gamma _ { + } ^ { 4 } } , } \end{array}
P = e ^ { i \omega _ { 2 } t _ { 2 } } ( \cos ( \omega _ { 1 } t _ { 1 } ) + \frac { i } { 2 } ( \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { 2 } } + \frac { \omega _ { 2 } } { \omega _ { 1 } } ) \sin ( \omega _ { 1 } t _ { 1 } )
\begin{array} { r l } { \sum _ { 2 ^ { 3 2 p } \leq t < T _ { p } ^ { q _ { 0 } } , t \in \mathcal { T } _ { p } } } & { r _ { t } \geq \sum _ { q \in \mathcal { P } _ { p } ^ { 0 } } \tilde { R } _ { p } ^ { 0 } ( q ) + \sum _ { q \in \mathcal { P } _ { 1 } \setminus \mathcal { S } ^ { 0 } } \tilde { R } _ { p } ^ { 1 } ( q ) } \\ & { \geq \sum _ { q \in \mathcal { P } _ { p } ^ { 0 } \cup ( \mathcal { P } _ { p } ^ { 1 } \setminus \mathcal { S } _ { p } ^ { 0 } ) } \bar { R } _ { p } ^ { * } ( q ) - 1 1 \epsilon _ { p } T - ( 3 2 + 4 c \ln T ) T ^ { 1 5 / 1 6 } } \\ & { \geq \sum _ { p 2 ^ { p + 5 } \leq q < q _ { 0 } } \bar { R } _ { p } ^ { * } ( q ) - \sum _ { q \in \mathcal { S } _ { p } ^ { 0 } \cap \mathcal { P } _ { p } ^ { 1 } } ( T _ { p } ^ { q + 1 } - T _ { p } ^ { q } ) - 1 1 \epsilon _ { p } T - ( 3 2 + 4 c \ln T ) T ^ { 1 5 / 1 6 } } \\ & { \geq \sum _ { p 2 ^ { p + 5 } \leq q < q _ { 0 } } \bar { R } _ { p } ^ { * } ( q ) - 1 3 \epsilon _ { p } T - ( 3 2 + 4 c \ln T ) T ^ { 1 5 / 1 6 } . } \end{array}
\Gamma _ { i o n s , d i r e c t } ( \Phi , v _ { a z i m u t h a l } ) = \frac { 1 } { A } \sum _ { E = 0 } ^ { E = 1 0 0 e V } \Gamma _ { n e u t r a l s , d i r e c t } \left( \Phi - \Phi _ { d i s p l a c e m e n t } ( v _ { s p u t t e r } , v _ { a z i m u t h a l } ) \right) f _ { T h o m p s o n } ( E )
\left( \begin{array} { c c c } { { { \frac { 3 } { 1 6 } } F ( \phi ^ { 2 } ) \left( { \frac { 3 - \alpha } { \alpha } } z + { \frac { \alpha - 1 } { \alpha } } R \right) - { \frac { 3 } { 8 } } V ( \phi ^ { 2 } ) } } & { { { \frac { 3 } { 1 6 } } { \frac { \beta - \alpha } { \alpha } } F ( \phi ^ { 2 } ) \sqrt { z } \sqrt { z - { \frac { R } { 3 } } } } } & { { - { \frac { 3 } { 2 } } F ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) \phi \sqrt { P _ { k } } \sqrt { P _ { k } - { \frac { R } { 3 } } } } } \\ { { { \frac { 3 } { 1 6 } } { \frac { \beta - \alpha } { \alpha } } F ( \phi ^ { 2 } ) \sqrt { z } \sqrt { z - { \frac { R } { 3 } } } } } & { { - { \frac { 1 } { 1 6 } } { \frac { 3 \alpha - \beta ^ { 2 } } { \alpha } } F ( \phi ^ { 2 } ) z + { \frac { 1 } { 8 } } V ( \phi ^ { 2 } ) } } & { { - { \frac { 3 } { 2 } } F ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) \phi \left( z - { \frac { R } { 3 } } \right) + \phi V ^ { \prime } } } \\ { { - { \frac { 3 } { 2 } } F ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) \sqrt { z } \sqrt { z - { \frac { R } { 3 } } } } } & { { - { \frac { 3 } { 2 } } F ^ { \prime } ( \phi ^ { 2 } ) \left( z - { \frac { R } { 3 } } \right) + \phi V ^ { \prime } } } & { { z + 2 V ^ { \prime } + 4 \phi ^ { 2 } V ^ { \prime \prime } - R ( 2 F ^ { \prime } + 4 \phi ^ { 2 } F ^ { \prime \prime } ) } } \end{array} \right) .
{ \frac { d L _ { \nu _ { \tau } } } { d t } } = - { \frac { 1 } { 4 \, \zeta ( 3 ) } } ~ \int d y \; y ^ { 2 } ~ f _ { e q } ^ { 0 } ( y ) \left\{ [ \Gamma _ { \tau s } - \overline { { { \Gamma } } } _ { \tau s } ] \; \left( 1 - z _ { s } ^ { + } \right) + [ \Gamma _ { \tau s } + \overline { { { \Gamma } } } _ { \tau s } ] \, \left( z _ { \tau } ^ { - } - z _ { s } ^ { - } \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb R } \bigg [ [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ^ { 2 } ] h ^ { 2 } - [ \mathscr { Q } , \mathscr { Q } h _ { x } ^ { 1 } ] h ^ { 1 } \bigg ] \widehat { h } \ d x \right| } & { { } \leq C \left( \left\| h ^ { 1 } \right\| _ { L ^ { \infty } } + \left\| h ^ { 2 } \right\| _ { L ^ { \infty } } \right) \left\| \widehat { h } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq C , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } ( x , t | x _ { 0 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \frac { D t } { x ^ { 2 } + D ^ { 2 } t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \pi } e ^ { - r t } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( r t ) ^ { n } } { ( n + 1 ) ! } \sum _ { m = 0 } ^ { n } \mathcal { C } _ { n , m } ^ { ( 1 ) } \frac { D c ^ { m } t } { ( x - c ^ { n } x _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \\ & { } & { \times \, _ { 3 } F _ { 2 } \left( 1 , 1 , \frac { 3 } { 2 } ; \frac { n } { 2 } + 1 , \frac { n } { 2 } + \frac { 3 } { 2 } ; \frac { - D ^ { 2 } c ^ { 2 m } t ^ { 2 } } { ( x - c ^ { n } x _ { 0 } ) ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda _ { 2 } = \left| \frac { 2 \left( - 2 \sqrt { 1 - L } \cos \theta _ { 0 } - L + 2 \right) } { 2 \sqrt { 1 - L } \Theta - ( 1 - L ) \cos \phi - L + 3 } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega ^ { 2 } } & { = } & { \Big [ \gamma _ { 0 } H _ { \mathrm { a } } + \frac { 2 A \gamma _ { 0 } } { \mu _ { 0 } M _ { \mathrm { s } } } k ^ { 2 } \Big ] \Big [ \gamma _ { 0 } \Big ( M _ { \mathrm { s } } + H _ { \mathrm { a } } \Big ) + \frac { 2 A \gamma _ { 0 } } { \mu _ { 0 } M _ { \mathrm { s } } } k ^ { 2 } \Big ] } \\ & { } & { - \gamma _ { 0 } ^ { 2 } M _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \cdot \xi ( k d ) \Big [ 1 - \xi ( k d ) + \frac { H _ { \mathrm { a } } } { M _ { \mathrm { s } } } + \frac { 2 A \gamma _ { 0 } } { \mu _ { 0 } M _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } k ^ { 2 } \Big ] \cos ^ { 2 } { \varphi } } \\ & { } & { + \gamma _ { 0 } ^ { 2 } M _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \cdot \xi ( k d ) \cdot [ 1 - \xi ( k d ) ] } \end{array}
G _ { \mu \nu } ^ { 1 1 } = e ^ { - \frac { 2 \phi } { 3 } } G _ { \mu \nu } ^ { \prime } = e ^ { - \frac { 2 \phi } { 3 } } \Pi _ { \mu } ^ { M } \Pi _ { \nu } ^ { N } \eta _ { M N } ,
\frac { E _ { \ell } \left( t \right) } { M \left( t \right) } \leq \mathcal { S } _ { 0 } \leq \frac { E _ { \ell } \left( t _ { 0 } \right) } { m \left( t _ { 0 } \right) } \mathrm { ~ \ \ a n d ~ \, ~ } \frac { E _ { \ell } \left( t _ { 0 } \right) } { M \left( t _ { 0 } \right) } \leq \mathcal { S } _ { 0 } \leq \frac { E _ { \ell } \left( t \right) } { m \left( t \right) } .
\gamma _ { 0 } ( x ) = \frac { 4 \kappa ( x ) \delta ^ { 2 } s _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \delta ^ { 2 } s _ { 2 } ^ { 2 } + ( V _ { e y } ( x ) - \delta c _ { 2 } ) ^ { 2 } } \; .
+ \left| \begin{array} { l l l l } { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { 1 } & { - 2 } & { 0 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 3 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { 1 } & { - 3 } \\ { \left( \frac { 1 - y ^ { 4 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 3 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { \left( \frac { 1 - y ^ { 2 } } { 1 - y } \right) ^ { 4 } } & { 1 } \end{array} \right| \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } + e t c .
F ( x ) = x \, K _ { 1 } ( x ) \ \left\{ \begin{array} { l c l l c l l } { { } } & { { \sim } } & { { \sqrt { \pi / ( 2 \, x ) } \exp ( - x ) } } & { { \mathrm { \ f o r \ } } } & { { x } } & { { \rightarrow + \infty , \nonumber } } \\ { { } } & { { = } } & { { 1 } } & { { \mathrm { \ f o r \ } } } & { { x } } & { { = 0 \, . \nonumber } } \end{array} \right.
\psi ( t , z ) = e ^ { 2 \pi i \zeta ( z ) } \sum _ { \alpha \in S _ { n } } w _ { \sigma , c } ( t , \alpha _ { 1 } ( z ) , \cdots , \alpha _ { r } ( z ) ) f _ { c ( \sigma ( 1 ) ) } \cdots f _ { c ( \sigma ( n ) ) } v _ { \Lambda }
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { \tilde { u } ^ { e } } - \frac { 1 } { 2 \mu } ( \vec { \nabla } \tilde { u } ^ { e } ) ^ { 2 } - \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { u } ^ { e } - \gamma \tilde { u } ^ { e } ( x ) - \lambda - \Tilde { V } [ \tilde { m } ^ { e } ] } & { = 0 , } \\ { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \tilde { m } ^ { e } + \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot ( \tilde { m } ^ { e } \nabla \tilde { u } ^ { e } ) + \vec { s } \cdot \vec { \nabla } \tilde { m } } & { = 0 . } \end{array}
l ( \Phi ) = \sqrt { ( r _ { c o l l e c t o r } \cos ( \Phi ) - y _ { r a c e t r a c k } ) ^ { 2 } + \left( r _ { c o l l e c t o r } \sin ( \Phi ) \right) ^ { 2 } + z _ { c o l l e c t o r } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \theta ( x , t ) = } & { { } 1 _ { \{ x _ { 2 } = 0 \} } \theta _ { 0 } ( x _ { 1 } ) + \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } p _ { \kappa } ( 0 , \eta , t , x ) \hat { \theta } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta } \end{array}
{ \mathrm { v a r i a n c e } } = { \frac { ( n - s + { \frac { 1 } { 2 } } ) ( s + { \frac { 1 } { 2 } } ) } { ( 2 + n ) ( 1 + n ) ^ { 2 } } } , { \mathrm { ~ w h i c h ~ f o r ~ } } s = { \frac { n } { 2 } } { \mathrm { ~ r e s u l t s ~ i n ~ v a r } } = { \frac { 1 } { 8 + 4 n } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) } & { { } + \frac { \partial ( p ^ { \sigma } \delta _ { \alpha \beta } + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } + \frac { \partial ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } } \end{array} } \end{array}
E = m _ { 0 } c ^ { 2 } \left[ 1 + { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { p } { m _ { 0 } c } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 8 } } \left( { \frac { p } { m _ { 0 } c } } \right) ^ { 4 } + \cdots \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 \eta _ { t } \left\langle \xi _ { t } ^ { b } , \frac { x _ { * } - x _ { t } } { \mathfrak { D } _ { t } } \right\rangle } & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 \eta _ { t } \left\Vert \xi _ { t } ^ { b } \right\Vert \frac { d _ { t } } { \mathfrak { D } _ { t } } \overset { ( a ) } { \leq } \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } 2 \cdot \eta _ { t } \cdot 2 \sigma ^ { p } M _ { t } ^ { 1 - p } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \frac { 4 ( \sigma / M ) ^ { p } \alpha } { t } \leq 4 ( \sigma / M ) ^ { p } \alpha \log ( e \tau ) } \end{array}
H = \hat { \gamma } ^ { 5 } { D } _ { s } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { V \pi ^ { * } \frac { \textstyle 1 } { \textstyle \sqrt { V } } } } \\ { { \sqrt { V } \pi } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, .