harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { j ^ { \prime } ( S _ { \varepsilon } ( \ell _ { \varepsilon } ) ) ( S _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( \ell _ { \varepsilon } ) ( \delta \ell ) ) + ( \ell _ { \varepsilon } , \delta \ell ) _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) } + ( \ell _ { \varepsilon } - \bar { \ell } , \delta \ell ) _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \O ) ) } = 0 } \end{array}
\log C _ { \mathrm { c m } } = - \frac { \Delta x _ { f } ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { T } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \Delta p _ { f } \, \sigma _ { x } } { \hbar } \right) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { f _ { v } ^ { \prime } ( h . w _ { g } ) } & { = f _ { v } ^ { \prime } ( w _ { g h } - w _ { h } + a _ { g , h } w _ { 1 } ) } \\ & { = ( \sum _ { \Tilde { g h } \xrightarrow [ ] g h } w _ { \Tilde { g h } } - \sum _ { \Tilde { g } \xrightarrow [ ] 1 } w _ { \Tilde { g } } + e _ { g h } w _ { \Tilde { 1 } } ) - ( \sum _ { \Tilde { h } \xrightarrow [ ] h } w _ { \Tilde { h } } - \sum _ { \Tilde { g } \xrightarrow [ ] 1 } w _ { \Tilde { g } } + e _ { h } w _ { \Tilde { 1 } } ) + e a _ { g , h } w _ { \Tilde { 1 } } } \\ & { = \sum _ { \Tilde { g h } \xrightarrow [ ] g h } w _ { \Tilde { g h } } - \sum _ { \Tilde { h } \xrightarrow [ ] h } w _ { \Tilde { h } } + ( e _ { g h } - e _ { h } + e a _ { g , h } ) w _ { \Tilde { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { n n } ( \Omega ) \right\} } } & { = } & { - \frac { \pi \hbar e ^ { 2 } } { \Omega } \int d \omega \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( \hbar \omega ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( \hbar \omega - \hbar \Omega ) \right] } \\ & { \times } & { \int \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \mathrm { t r } \left[ v _ { n } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { n } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ^ { 2 } + 3 ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) + 1 8 + \frac { 1 } { 2 } ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) ( 2 ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) - ( n _ { 2 } + m _ { 2 } ) + 3 ) + 2 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) ^ { 2 } + 3 ( n _ { 1 } + m _ { 1 } ) + 1 8 + ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } ( n + m + 1 ) ^ { 2 } + 2 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 2 + 1 + 3 + 1 8 + 1 + 2 + 2 ) ( n + m + 1 ) ^ { 2 } } \\ & { = 2 9 ( n + m + 1 ) ^ { 2 } . } \end{array}
P = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { z ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \mathrm { ~ ~ ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ t ~ h ~ e ~ p ~ r ~ o ~ p ~ a ~ g ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ l ~ a ~ w ~ ~ ~ ~ ~ } Q \left( z + z ^ { \prime } \right) = P ~ Q \left( z \right) ~ P ^ { T } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } } & { = \sin \theta \cos \phi , } \\ { x _ { 2 } } & { = \sin \theta \sin \phi , } \\ { x _ { 3 } } & { = \cos \theta , } \\ { v _ { 1 } } & { = \widetilde { r } ( \cos \phi \cos \psi \cos \theta - \sin \phi \sin \psi ) , } \\ { v _ { 2 } } & { = \widetilde { r } ( \sin \phi \cos \psi \cos \theta + \cos \phi \sin \psi ) , } \\ { v _ { 3 } } & { = - \widetilde { r } \cos \psi \sin \theta . } \end{array} \right.
\begin{array} { c } { \delta _ { 1 } ( x ) = A ( 1 + 0 . 0 3 \cdot \mathrm { s e c h } ( 1 5 x ) \cos ( 5 x ) ) , \qquad \delta _ { 2 } ( x ) = A ( 1 + 0 . 0 3 \cdot \mathrm { s e c h } ( 1 5 x ) ) , } \\ { \delta _ { 3 } ( x ) = A ( 1 + 0 . 0 3 \cdot e ^ { - 3 x ^ { 2 } } ) , \quad \delta _ { 4 } ( x ) = A ( 1 + 0 . 0 3 \cdot e ^ { - x ^ { 4 } } ) , \quad \delta _ { 5 } ( x ) = A ( 1 + 0 . 0 6 \cdot x \cdot e ^ { - x ^ { 4 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \operatorname { B T } \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } = } & { \left. \left( \lambda _ { 2 } { w } _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } { w } _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 4 } { w } _ { 4 } ^ { 2 } + \lambda _ { 5 } { w } _ { 5 } ^ { 2 } \right) \right| _ { x = x _ { R } } - \left. \left( \lambda _ { 2 } { w } _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } { w } _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 4 } { w } _ { 4 } ^ { 2 } + \lambda _ { 5 } { w } _ { 5 } ^ { 2 } \right) \right| _ { x = x _ { L } } . } \end{array}
\sigma _ { I I } = { \frac { 2 } { \kappa ^ { 2 } [ B _ { 0 } ( y _ { 0 } + y _ { * } ) ] ^ { 1 / 3 } ( y _ { 0 } + y _ { * } ) } } = { \frac { 2 } { \kappa ^ { 2 } ( B _ { 0 } y _ { 0 } ) ^ { 1 / 3 } y _ { 0 } e ^ { 4 n } } } > 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \theta _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \int \kappa ( \theta _ { t } , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \bigl ( \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ^ { \prime } ) - \log \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \bigr ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } } \\ & { = \int \kappa ( \theta _ { t } , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ^ { \prime } ) + \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \kappa ( \theta _ { t } , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { M } _ { x } = \rho _ { 0 } \otimes \tau _ { 0 } \otimes \sigma _ { 1 } \ \hat { m } _ { x } = - \mathrm { i } \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 7 } \hat { m } _ { x } , } \\ & { \mathcal { M } _ { y } = \rho _ { 0 } \otimes \tau _ { 1 } \otimes \sigma _ { 3 } \ \hat { m } _ { y } = - \mathrm { i } \Gamma _ { 3 } \Gamma _ { 7 } \hat { m } _ { y } , } \\ & { \mathcal { M } _ { z } = \rho _ { 1 } \otimes \tau _ { 3 } \otimes \sigma _ { 3 } \ \hat { m } _ { z } = - \mathrm { i } \Gamma _ { 5 } \Gamma _ { 7 } \hat { m } _ { z } , } \end{array}
\frac { \delta } { \delta \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) } \left[ \int \int F _ { e } ( X _ { g y } ) \left\{ \left( e ^ { 2 } \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } \frac { m _ { e } c ^ { 2 } } { 2 B ^ { 2 } ( X _ { g y } ) } \left| \nabla _ { \perp } \psi _ { 1 } ( X _ { g y } ) \right| ^ { 2 } \right) \right\} d t d \Omega _ { g y } \right]
\mathbf { u } ^ { \prime } = { \frac { 1 } { 1 - { \frac { \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } } } } \left[ { \frac { \mathbf { u } } { \gamma _ { \mathbf { v } } } } - \mathbf { v } + { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \gamma _ { \mathbf { v } } } { \gamma _ { \mathbf { v } } + 1 } } \left( \mathbf { u } \cdot \mathbf { v } \right) \mathbf { v } \right]
Q _ { v i s c } = \left\{ 3 \eta _ { 0 } h _ { x } ^ { 2 } h _ { z } ^ { 2 } + \eta _ { 2 } \left( \left( 1 - 2 h _ { x } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } h _ { x } ^ { 2 } h _ { z } ^ { 2 } \right) \right\} \left( \partial _ { z } V _ { x } \right) ^ { 2 } \, + \eta _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 } h _ { z } ^ { 2 } + h _ { x } ^ { 2 } \right) \left( \partial _ { y } V _ { x } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } } } & { { } \sim \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { \Omega _ { \mathrm { ~ B ~ Z ~ } } ^ { 2 } } \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } \delta ( \epsilon _ { k ^ { \prime } } - \epsilon _ { k } - \Delta E ) A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { ~ O ~ } } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { ~ A ~ } } ) \int \Big ( \frac { k _ { \operatorname* { m a x } } } { p } \Big ) ^ { 2 } d ^ { 3 } \boldsymbol { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Im \left( e ^ { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } \right) } & { = i \cos \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t \frac { 1 - \cos \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } { \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) } } \\ & { - i \sin \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t \frac { \sin \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) t } { \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } + \omega _ { \beta } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \| [ x , \chi _ { n } ( y ) ] \| _ { \tau } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \| [ \phi ( x ) , u _ { n } ( 1 \otimes y ) u _ { n } ^ { * } ] \| _ { \tau \otimes \tau } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \| u _ { n } [ x \otimes 1 , 1 \otimes y ] u _ { n } ^ { * } \| _ { \tau \otimes \tau } } \\ & { = 0 . } \end{array}
\mathrm { R E } _ { I } = \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \vert x \vert f ( x ) \, d x } { A _ { \operatorname* { m a x } } } = \frac { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } x \cdot \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \, d x } { A _ { \operatorname* { m a x } } } = \frac { 2 } { \sqrt { 2 \pi } } ( \frac { \sigma } { A _ { \operatorname* { m a x } } } )
\mathcal { L } = 7 \nabla _ { E } ^ { 2 } M - \frac { 6 3 } { 2 } ( \nabla _ { E } M ) ^ { 2 } - 4 2 \kappa ^ { 2 } e ^ { - 9 M } - \frac { 1 } { 2 \cdot 4 ! } e ^ { 2 1 M } F _ { 4 } ^ { 2 } \, .
{ E } _ { i , r e a c } ( \mathbf { x } _ { k } ) = - \frac { \partial \phi _ { r e a c } } { \partial x _ { i } } \approx - \frac { \phi _ { r e a c } ( \mathbf { x } _ { k } + h \mathbf { e } _ { i } ) - \phi _ { r e a c } ( \mathbf { x } _ { k } - h \mathbf { e } _ { i } ) } { 2 h }
\hat { \mathbf { G } } ^ { 0 } = \left[ \begin{array} { c c c } { g _ { \parallel } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { g _ { \perp } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { g _ { \perp } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \mathrm { I } _ { P D } = \frac { \mathrm { i } k w _ { 0 } ^ { 2 } m _ { S } \epsilon \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 } \left( n ^ { 2 } + m ^ { 2 } + n + m + 2 \right) \left( e ^ { 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } - e ^ { - 2 \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \right) } \end{array}
| q _ { x _ { 0 } } , q _ { x _ { 1 } } , \cdots , q _ { x _ { n _ { x } - 1 } } | q _ { v _ { 0 } } , q _ { v _ { 1 } } , \cdots , q _ { v _ { n _ { v } - 1 } } | q _ { a } \rangle .
\begin{array} { r } { | n \rangle \! \rangle _ { \mathrm { O B C } } = \sqrt { \frac { 2 } { L + 1 } } \left( \begin{array} { l } { r ^ { - 1 } \sin { \left( \frac { n \pi } { L + 1 } \right) } } \\ { r ^ { - 2 } \sin { \left( \frac { n \pi } { L + 1 } \times 2 \right) } } \\ { \vdots } \\ { r ^ { - L + 1 } \sin { \left( \frac { n \pi } { L + 1 } \times ( L - 1 ) \right) } } \\ { r ^ { - L } \sin { \left( \frac { n \pi } { L + 1 } \times L \right) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { = \sum _ { p , q \geq 0 } \sum _ { a } \mathbf { A } ^ { a } [ p , q ] t _ { a } w _ { 1 } ^ { p } w _ { 2 } ^ { q } , } \\ { \mathbf { B } } & { = \sum _ { p , q \geq 0 } \sum _ { a } \frac { ( p + q + 1 ) ! } { p ! q ! } \mathbf { B } _ { a } [ p , q ] t ^ { a } \bar { w } _ { 1 } ^ { p } \bar { w } _ { 2 } ^ { q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { \omega _ { 0 } Z _ { 1 } } - C _ { 1 2 } = 6 . 3 5 2 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { \omega _ { 0 } Z _ { 2 } } - C _ { 1 2 } - C _ { 2 3 } = 0 . 9 9 3 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 3 } } & { { } = \frac { 1 } { \omega _ { 0 } Z _ { 3 } } - C _ { 2 3 } - C _ { 3 4 } = 1 . 0 5 8 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 4 } } & { { } = \frac { 1 } { \omega _ { 0 } Z _ { 4 } } - C _ { 3 4 } = 1 . 6 8 0 \, \mathrm { p F } . } \end{array}
M _ { \nu } = \left( \begin{array} { c c c } { { ( \epsilon ^ { \prime } ) ^ { 2 } a _ { 1 1 } } } & { { \epsilon \epsilon ^ { \prime } a _ { 1 2 } } } & { { \epsilon ^ { \prime } a _ { 1 3 } } } \\ { { \epsilon \epsilon ^ { \prime } a _ { 1 2 } } } & { { \epsilon ^ { 2 } a _ { 2 2 } } } & { { \epsilon a _ { 2 3 } } } \\ { { \epsilon ^ { \prime } a _ { 1 3 } } } & { { \epsilon a _ { 2 3 } } } & { { a _ { 3 3 } } } \end{array} \right) .
[ p _ { 1 , 2 } p _ { 3 } p _ { 7 } p _ { 6 } ] , \quad [ p _ { 1 , 2 } p _ { 4 } p _ { 1 0 } p _ { 9 } ] , \quad [ p _ { 6 , 7 } p _ { 2 } p _ { 1 } p _ { 3 } ] , \quad [ p _ { 9 , 1 0 } p _ { 2 } p _ { 1 } p _ { 4 } ] .
\Pi _ { c t _ { 2 } } = \frac { 4 i g ^ { 4 } C _ { A } T _ { F } \; q ^ { 2 } \zeta ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } } { 3 ( 4 \pi ) ^ { 4 } \epsilon ( n - 1 ) } \left( \left( \frac { 7 } { 2 } - 3 n \right) \frac { \Gamma \left( \frac { \epsilon } { 2 } \right) \Gamma ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \epsilon } { 2 } \right) } { \Gamma \left( 2 - \epsilon \right) } + \left( n - \frac { 3 } { 2 } \right) \frac { \Gamma \left( 1 + \frac { \epsilon } { 2 } \right) \Gamma \left( 1 - \frac { \epsilon } { 2 } \right) \Gamma \left( - \frac { \epsilon } { 2 } \right) } { \Gamma \left( 1 - \epsilon \right) } \right)
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \left( \begin{array} { c } { \rho _ { 0 } \vec { v } } \\ { - \rho _ { 0 } \vec { \Omega } } \end{array} \right) } & { { } + \left( \begin{array} { c } { \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho _ { 0 } \vec { v } \otimes \vec { v } + \rho _ { 0 } R + \rho _ { 0 } \vec { \Omega } \otimes \vec { \Omega } \right] } \\ { - \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho _ { 0 } \vec { v } \otimes \vec { \Omega } + \rho _ { 0 } \vec { \Omega } \otimes \vec { v } \right] } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \rho _ { 0 } \nabla _ { X } g ( \vec { x } , z ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f ( t , \mathbf { r } , \mathbf { v } ) + \mathbf { v } \cdot \nabla f ( t , \mathbf { r } , \mathbf { v } ) + } & { { } } \\ { \frac { q } { m } \left[ \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) + \mathbf { v } \times \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) \right] \cdot \nabla _ { v } f ( t , \mathbf { r } , \mathbf { v } ) = } & { { } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sin ( 4 \theta ) = \frac { { 4 { J _ { 1 3 } } } } { { a _ { 1 } ^ { 3 } { a _ { 2 } } \left( { 3 { I _ { 2 2 } } - { I _ { 4 0 } } } \right) } } , } \\ { \sin ( 4 \theta ) = \frac { { 4 { J _ { 3 1 } } } } { { { a _ { 1 } } a _ { 2 } ^ { 3 } \left( { { I _ { 4 0 } } - 3 { I _ { 2 2 } } } \right) } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l r } { { q = \frac { 1 } { 2 R } \sqrt { ( \lambda _ { \rho } + 2 \mu ^ { 2 } R ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { p } ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } R ^ { 4 } - \lambda _ { p } ) } } } } & { { } } \\ { { } } & { { \mathrm { ( s e e ~ 3 . 1 4 ) } } } \\ { { \Delta = R \sqrt { ( \lambda _ { p } + 2 \mu ^ { 2 } R ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { p } ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } R ^ { 4 } - \lambda _ { p } } ) \frac { 1 } { ( \mu ^ { 4 } R ^ { 4 } - \lambda _ { p } ) } } } } & { { } } \end{array} \right.
f _ { i } ^ { p } ( x , Q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int d \eta e ^ { - i \eta x } ~ _ { p } \langle k s | \Big [ \overline { { { \psi } } } ( \xi ^ { - } ) \Gamma _ { i } \psi ( 0 ) \mp h . c . \Big ] | k s \rangle _ { p } \, .
{ \cal L } _ { + + } ^ { + + } ( \Lambda ) = { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda _ { + } ^ { i } [ \delta ^ { i j } D ^ { + + } + ( V ^ { + + } ) ^ { i j } ] \Lambda _ { + } ^ { j } + \Lambda _ { + } ^ { + Y ^ { \prime } } [ { \frac { 1 } { 2 } } ( V ) _ { Y ^ { \prime } Z ^ { \prime } } \Lambda _ { + } ^ { + Z ^ { \prime } } + ( V ^ { + + } ) _ { Y ^ { \prime } } ^ { - i } \Lambda _ { + } ^ { i } + m \Phi _ { + Y ^ { \prime } } ^ { + } ] \; ,
\begin{array} { r l } & { \delta _ { \xi } ^ { k } - D _ { t } \delta _ { \eta } ^ { k + 1 } = ( \xi _ { h } ^ { k } - { \mathcal { R } _ { h } ^ { s } } \xi ^ { k } ) - ( D _ { t } \eta _ { h } ^ { k + 1 } - D _ { t } { \mathcal { R } _ { h } ^ { s } } \eta ^ { k + 1 } ) } \\ & { = D _ { t } { \mathcal { R } _ { h } ^ { s } } \eta ^ { k + 1 } - { \mathcal { R } _ { h } ^ { s } } \xi ^ { k } = { \mathcal { R } _ { h } ^ { s } } ( D _ { t } \eta ^ { k + 1 } - \partial _ { t } \eta ^ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { C ^ { \alpha } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \frac { 1 } { \ell _ { N ( N + 1 ) } } + \frac { 1 } { \ell _ { 1 2 } } } & { - \frac { 1 } { \ell _ { 1 2 } } } & & & { - \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \alpha L } } { \ell _ { N ( N + 1 ) } } } \\ { - \frac { 1 } { \ell _ { 1 2 } } } & { \frac { 1 } { \ell _ { 1 2 } } + \frac { 1 } { \ell _ { 2 3 } } } & { - \frac { 1 } { \ell _ { 2 3 } } } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { \ddots } & { \ddots } & { - \frac { 1 } { \ell _ { { ( N - 1 ) N } } } } \\ { - \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha L } } { \ell _ { N ( N + 1 ) } } } & & & { - \frac { 1 } { \ell _ { ( N - 1 ) N } } } & { \frac { 1 } { \ell _ { ( N - 1 ) N } } + \frac { 1 } { \ell _ { N ( N + 1 ) } } } \end{array} \right] . } \end{array}
I ( \Delta ) = \frac { 1 } { 3 } v + \left( \frac { 1 9 } { 2 4 } + \frac { 1 } { 2 } \ln v \right) v ^ { 2 } + \left( \frac { 7 7 } { 3 0 } + 2 \ln v \right) v ^ { 3 } + \ldots
{ \frac { \Gamma _ { 1 } \vdash \Delta _ { 1 } \mid \dots \mid \Gamma _ { n } \vdash \Delta _ { n } \mid \Omega \vdash A \qquad \Sigma _ { 1 } \vdash \Pi _ { 1 } \mid \dots \mid \Sigma _ { m } \vdash \Pi _ { m } \mid \Theta \vdash B } { \Gamma _ { 1 } \vdash \Delta _ { 1 } \mid \dots \mid \Gamma _ { n } \vdash \Delta _ { n } \mid \Sigma _ { 1 } \vdash \Pi _ { 1 } \mid \dots \mid \Sigma _ { m } \vdash \Pi _ { m } \mid \Omega \vdash B \mid \Theta \vdash A } }
\begin{array} { c c } { T _ { b 2 } ^ { B C } T _ { b 2 } ^ { B D } , \quad T _ { b 2 } ^ { B D } T _ { b 2 } ^ { C D } , \quad T _ { b 2 } ^ { C D } T _ { b 2 } ^ { B C } , \quad T _ { b 2 } ^ { B D } T _ { b 2 } ^ { B C } , \quad T _ { b 2 } ^ { C D } T _ { b 2 } ^ { B D } , \quad T _ { b 2 } ^ { B C } T _ { b 2 } ^ { C D } } \\ { T _ { b 2 } ^ { A C } T _ { b 2 } ^ { A D } , \quad T _ { b 2 } ^ { A D } T _ { b 2 } ^ { C D } , \quad T _ { b 2 } ^ { C D } T _ { b 2 } ^ { A C } , \quad T _ { b 2 } ^ { A D } T _ { b 2 } ^ { A C } , \quad T _ { b 2 } ^ { C D } T _ { b 2 } ^ { A D } , \quad T _ { b 2 } ^ { A C } T _ { b 2 } ^ { C D } } \\ { T _ { b 2 } ^ { A B } T _ { b 2 } ^ { A D } , \quad T _ { b 2 } ^ { A D } T _ { b 2 } ^ { B D } , \quad T _ { b 2 } ^ { B D } T _ { b 2 } ^ { A B } , \quad T _ { b 2 } ^ { A D } T _ { b 2 } ^ { A B } , \quad T _ { b 2 } ^ { B D } T _ { b 2 } ^ { A D } , \quad T _ { b 2 } ^ { A B } T _ { b 2 } ^ { B D } } \\ { T _ { b 2 } ^ { A B } T _ { b 2 } ^ { A C } , \quad T _ { b 2 } ^ { A C } T _ { b 2 } ^ { B C } , \quad T _ { b 2 } ^ { B C } T _ { b 2 } ^ { A B } , \quad T _ { b 2 } ^ { A C } T _ { b 2 } ^ { A B } , \quad T _ { b 2 } ^ { B C } T _ { b 2 } ^ { A C } , \quad T _ { b 2 } ^ { A B } T _ { b 2 } ^ { B C } } \end{array}
d ^ { 2 } ( x ^ { i } d x ^ { k } ) = d ^ { 2 } x ^ { i } d x ^ { k } + ( 1 + j ) d x ^ { i } d ^ { 2 } x ^ { k } = d ^ { 2 } x ^ { i } d x ^ { k } - d ^ { 2 } x ^ { k } d x ^ { i } ;
\langle K _ { a } ^ { \ast } ( k _ { 1 } , \varepsilon ) | { \overline { { { s } } } } \gamma _ { \mu } s | K _ { b } ( k _ { 2 } ) \rangle = \frac { F _ { K K ^ { \ast } } ^ { ( s ) } ( q ^ { 2 } ) } { m _ { K ^ { \ast } } }
\begin{array} { r l r } { c ( s ) } & { = } & { \mathbb { E } \Big [ \overline { { B } } ^ { \mu , c } \Big ( s , R _ { s } ^ { 0 , X _ { 0 } } \Big ) \Big ] - \int _ { c _ { 0 } ( s ) } ^ { 1 } \mathbb { E } \Big [ \overline { { B } } ^ { \mu , c } \Big ( s , R _ { s } ^ { c _ { 0 } ^ { - 1 } ( u ) , 0 } \Big ) \Big ] \mathrm { d } u , \quad \mathrm { f o r ~ a . e . } ~ s \in [ 0 , T ] , } \end{array}
\left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \sigma | ^ { p \beta } | \partial _ { \sigma } \Psi ( t - r , \sigma ) | ^ { p } d \sigma \right] ^ { 1 / p } \leq \sqrt { 2 ^ { 5 \beta - 1 } \nu ^ { \beta - 1 } } ( t - r ) ^ { \frac { \beta - 1 } { 2 } } 2 ^ { \frac { 1 } { 2 p } } \| \Psi ( t - r , \cdot ) \| _ { L ^ { p } } .
A _ { i k } ^ { N P } = \delta U _ { i j } ( U _ { M N S } ^ { \dagger } ) _ { j k } = \left( U _ { M N S } \widetilde { R } _ { 1 4 } ^ { \dagger } \widetilde { R } _ { 2 4 } ^ { \dagger } R _ { 3 4 } ^ { \dagger } U _ { M N S } ^ { \dagger } \right) _ { i k } - \delta _ { i k } .
D _ { F } ( x - y ) \equiv \langle 0 | T \{ \phi ( x ) \phi ( y ) \} | 0 \rangle = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { i } { p _ { \mu } p ^ { \mu } - m ^ { 2 } + i \epsilon } } e ^ { - i p _ { \mu } ( x ^ { \mu } - y ^ { \mu } ) } .
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } } & { = k \cdot \left( \frac { s - \ell } { n - \ell } \right) ^ { \ell } = 8 \cdot \left( \frac { 1 7 6 } { 2 4 8 } \right) ^ { 8 } = 0 . 5 1 4 7 \ldots , } \\ { F _ { 2 } } & { = 1 - k \cdot \left( \frac { s - \ell } { n - \ell } \right) ^ { \ell } = 1 - 8 \cdot \left( \frac { 1 7 6 } { 2 4 8 } \right) ^ { 8 } = 0 . 4 8 5 2 \ldots } \end{array}
Z _ { I } ( z ) = A _ { 0 } e ^ { i z \sqrt { - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } + k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + B } } + B _ { 0 } e ^ { - i z \sqrt { - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } + k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + B } } ,
\chi _ { k _ { 1 } } ( n _ { 1 } , a _ { 1 } ) \chi _ { k _ { 2 } } ( n _ { 2 } , a _ { 2 } ) \chi _ { k _ { 3 } } ( n _ { 3 } , a _ { 3 } ) = e ^ { i { \vec { k } } \cdot { \vec { \tau } } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial \triangle \psi ^ { [ 2 ] } } { \partial t } - \nu \triangle \triangle \psi ^ { [ 2 ] } = \frac { \partial \psi ^ { [ 1 ] } } { \partial x } \frac { \partial \triangle \psi ^ { [ 1 ] } } { \partial z } - \frac { \partial \psi ^ { [ 1 ] } } { \partial z } \frac { \partial \triangle \psi ^ { [ 1 ] } } { \partial x } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m _ { t } = m _ { \star } + e ^ { - t } \Bigl ( ( 1 - e ^ { - t } ) C _ { \star } ^ { - 1 } + e ^ { - t } C _ { 0 } ^ { - 1 } \Bigr ) ^ { - 1 } C _ { 0 } ^ { - 1 } \bigl ( m _ { 0 } - m _ { \star } \bigr ) , } \\ & { C _ { t } ^ { - 1 } = C _ { \star } ^ { - 1 } + e ^ { - t } \bigl ( C _ { 0 } ^ { - 1 } - C _ { \star } ^ { - 1 } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall w : c _ { \mathcal { F } _ { 2 } } ( w ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { c _ { \mathcal { F } _ { 1 } } ( u ) - k } & { \mathrm { i f } ~ w = u } \\ { c _ { \mathcal { F } _ { 1 } } ( v ) + 1 } & { \mathrm { i f } ~ w = v } \\ { c _ { \mathcal { F } _ { 1 } } ( w ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { \forall x , y : \mathcal { F } _ { 2 } ( x , y ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { F } _ { 1 } ( u , v ) - 1 } & { \mathrm { i f } ~ ( x , y ) = ( u , v ) } \\ { \mathcal { F } _ { 1 } ( x , y ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \alpha , \tilde { \alpha } ) = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { n } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } } ( q _ { \kappa ( i ) } + l _ { i } ^ { \kappa } ( \boldsymbol { q } ) , q _ { \kappa ( i ) - 1 } + l _ { i } ^ { \kappa } ( \boldsymbol { q } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } } ( q _ { i } , q _ { i - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { i = 0 } ^ { n } \prod _ { m = \sigma _ { i } ^ { 1 } + 1 } ^ { \sigma _ { i + 1 } ^ { 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( q _ { \kappa ( i ) } + l _ { i } ^ { \kappa } ( \boldsymbol { q } ) , q _ { \kappa ( i ) } + l _ { i } ^ { \kappa } ( \boldsymbol { q } ) , \boldsymbol { \eta } ) \prod _ { m = \sigma _ { i } ^ { 2 } + 1 } ^ { \sigma _ { i + 1 } ^ { 2 } - 1 } \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( q _ { i } , q _ { i } , \boldsymbol { \xi } ) } } . } \end{array}