harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { A _ { p , q } ^ { x x } = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha \mu \frac { ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { q } V _ { q } } & { p \neq q , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \\ { - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B _ { \delta } } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } \alpha \mu \frac { ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { q } V _ { q } } & { p = q , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \end{array} \right. } \\ & { A _ { p , q } ^ { x y } = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha \mu \frac { ( x _ { q } - x _ { p } ) ( y _ { q } - y _ { p } ) } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { q } V _ { q } } & { p \neq q , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \\ { - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B _ { \delta } } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } \alpha \mu \frac { ( x _ { q } - x _ { p } ) ( y _ { q } - y _ { p } ) } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { q } V _ { q } } & { p = q , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \end{array} \right. } \\ & { A _ { p , q } ^ { y x } = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha \mu \frac { ( y _ { q } - y _ { p } ) ( x _ { q } - x _ { p } ) } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { q } V _ { q } } & { p \neq q , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \\ { - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B _ { \delta } } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } \alpha \mu \frac { ( y _ { q } - y _ { p } ) ( x _ { q } - x _ { p } ) } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { q } V _ { q } } & { p = q , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \end{array} \right. } \\ & { A _ { p , q } ^ { y y } = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha \mu \frac { ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { q } V _ { q } } & { p \neq q , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \\ { - \sum _ { \mathbf { x } _ { q } \in \mathcal { B _ { \delta } } ( \mathbf { x } _ { p } ) \cap \Omega } \alpha \mu \frac { ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } } { ( ( x _ { q } - x _ { p } ) ^ { 2 } + ( y _ { q } - y _ { p } ) ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lambda _ { q } V _ { q } } & { p = q , \mathbf { x } _ { p } \in \Omega _ { s } } \end{array} \right. } \end{array}
( 1 + \Vert \hat { Z } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \approx ( 1 + \Vert \hat { T } _ { * } \Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { - \partial _ { x } \int F _ { x } d z + \partial _ { x } { \vec { C _ { 1 } } } ( x , y ) - \partial _ { y } \int F _ { y } d z } & { { } = F _ { z } } \\ { - \int \left( \partial _ { x } F _ { x } + \partial _ { y } F _ { y } \right) d z + \partial _ { x } { \vec { C _ { 1 } } } ( x , y ) } & { { } = F _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { x } ^ { i + 0 . 5 , j , k } } & { = \frac { h _ { z } ^ { i + 0 . 5 , j + 0 . 5 , k } - h _ { z } ^ { i + 0 . 5 , j - 0 . 5 , k } } { \Delta y } } \\ & { - \frac { h _ { y } ^ { i + 0 . 5 , j , k + 0 . 5 } - h _ { y } ^ { i + 0 . 5 , j , k - 0 . 5 } } { \Delta z } , } \\ { g _ { y } ^ { i , j + 0 . 5 , k } } & { = \frac { h _ { x } ^ { i , j + 0 . 5 , k + 0 . 5 } - h _ { x } ^ { i , j + 0 . 5 , k - 0 . 5 } } { \Delta z } } \\ & { - \frac { h _ { z } ^ { i + 0 . 5 , j + 0 . 5 , k } - h _ { z } ^ { i - 0 . 5 , j + 0 . 5 , k } } { \Delta x } , } \\ { g _ { z } ^ { i , j , k + 0 . 5 } } & { = \frac { h _ { y } ^ { i + 0 . 5 , j , k + 0 . 5 } - h _ { y } ^ { i - 0 . 5 , j , k + 0 . 5 } } { \Delta x } } \\ & { - \frac { h _ { x } ^ { i , j + 0 . 5 , k + 0 . 5 } - h _ { x } ^ { i , j - 0 . 5 , k + 0 . 5 } } { \Delta y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { E _ { 1 } ( 2 R e _ { L } ^ { * } ) + \ln ( 2 R e _ { L } ^ { * } ) - e ^ { - 2 R e _ { L } ^ { * } } + \gamma + 1 } { 2 R e _ { L } ^ { * } } + E _ { 1 } ( 2 R e _ { L } ^ { * } ) + \ln ( 2 R e _ { L } ^ { * } ) + \gamma - 2 \right) , } \\ { A ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { = A _ { A } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + A _ { B } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + 2 A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) \ln { ( 2 ) } , } \\ { A ^ { ( 4 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) } & { = 3 \ln { ( 2 ) } \left( A _ { A } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + A _ { B } ^ { ( 3 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) \right) + 3 A ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) \ln { ( 2 ) } ^ { 2 } - 0 . 6 3 6 R e _ { L } ^ { * 0 . 7 6 2 } , } \end{array}
A _ { 2 } \leq \frac { 1 } { \mathcal { N } ( \Delta \cdot S _ { K } , \mathbb { T } _ { n } ) } \operatorname* { m a x } _ { t , s \in \mathbb { T } _ { n } } \sum _ { \substack { u \in \mathbb { T } _ { n } \cap ( t + \Delta \cdot S _ { K } ) \, v \in \mathbb { T } _ { n } \cap ( s + \Delta \cdot S _ { K } ) } } \| C ( u - v ) \| _ { \mathrm { t r } } \cdot | V ( u ) | \cdot | V ( v ) | .
\mathcal { B } _ { a n } \left( \hat { M } ^ { 2 l } \right) = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { t _ { i } } \left( \overline { { \hat { M } ^ { 2 l } } } ( t _ { i } ) - \hat { M } _ { a n } ^ { 2 l } ( t _ { i } ) \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } _ { \mathcal { D } } \left[ f ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } f \right] } & { \leq \frac { 4 B ^ { 2 } } { 2 \gamma } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sqrt { 2 } } { \gamma } - \frac { 1 } { \gamma } \right) 4 B ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 2 } \frac { 4 B ^ { 2 } } { 2 \gamma \sqrt { t } } + \frac { \gamma G ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \frac { 1 } { \sqrt { t + 1 } } } \\ & { \leq \frac { 3 B ^ { 2 } } { \gamma } + \frac { B ^ { 2 } } { \gamma } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { \sqrt { t } } + \frac { \gamma G ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { \sqrt { t } } } \\ & { \leq \frac { 3 B ^ { 2 } } { \gamma } + \left( \frac { B ^ { 2 } } { \gamma } + \frac { \gamma G ^ { 2 } } { 2 } \right) 2 \left( \sqrt { T } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal N } _ { a t } ^ { ( 2 ) } ( - \omega _ { 1 } , \omega _ { m } , \mathbf { q } ) } & { { } = } & { ( 1 + { \cal P ^ { \prime } } _ { 1 m } ) \sum _ { j , l = 1 } ^ { 3 } \varepsilon _ { 1 j } ^ { * } \varepsilon _ { m l } \left[ \langle w _ { j , 1 0 0 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } ) | F ( \mathbf { q } ) | { w } _ { l , 1 0 0 } ( \Omega _ { m } ^ { + } ) \rangle \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { \rho } _ { \textrm { m } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) = \textrm { T r } \left[ \vec { \boldsymbol { \sigma } } \boldsymbol { \rho } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) \right] = \sum _ { \vec { L } } \textrm { T r } \left[ \vec { \boldsymbol { \sigma } } \boldsymbol { \rho } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } , \vec { r } \, ^ { \prime } ) \right] } \end{array}
V _ { t h } = V ( t _ { s } ) = \frac { 1 } { C _ { D } } \Bigg ( \int _ { 0 } ^ { t _ { s } } \frac { Q _ { i n } v _ { e } } { d } \theta \Big ( \frac { x } { v _ { e } } - t ^ { \prime } \Big ) d t ^ { \prime } + \int _ { 0 } ^ { t _ { s } } \frac { Q _ { i n } v _ { h } } { d } \theta \Big ( \frac { d - x } { v _ { h } } - t ^ { \prime } \Big ) d t ^ { \prime } \Bigg ) .
\begin{array} { r l r } & { } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( 1 - 2 ^ { - 1 } R _ { i } ^ { - 2 } \| \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } \| ^ { 2 } + \delta _ { 1 i } ) W _ { i } + n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } ( W _ { i } ^ { \top } \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } ) W _ { i } } \\ & { = } & { n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 1 } ( 1 - 2 ^ { - 1 } R _ { i } ^ { - 2 } \| \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } \| ^ { 2 } + \delta _ { 1 i } ) \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } + n ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } R _ { i } ^ { - 2 } ( W _ { i } ^ { \top } \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } ) \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } \, , } \end{array}
\operatorname* { d e t } L _ { \infty } = \frac { 1 } { 4 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 r _ { \infty } - 4 } + \left( \frac { 1 } { 4 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 2 } t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 4 } \right) \lambda ^ { 2 r _ { \infty } - 5 } + O \left( \lambda ^ { 2 r _ { \infty } - 6 } \right)
Z = z ^ { \frac { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } { 2 \beta } } ( 1 - z ) ^ { \frac { \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } } { 2 \beta } } \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { z } \! \! \! \mathrm { d } x _ { i } \! \! \prod _ { i = N _ { 1 } + 1 } ^ { N _ { 1 } + N _ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \! \mathrm { d } x _ { i } \prod _ { i < j } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 \beta } \prod _ { i } x _ { i } ^ { \alpha _ { 1 } } ( x _ { i } - z ) ^ { \alpha _ { 2 } } ( x _ { i } - 1 ) ^ { \alpha _ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { Q } _ { 0 } ^ { h } } & { = c _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } + c _ { 3 } e ^ { m _ { 3 } x _ { 0 } } - \frac { \alpha } { \beta } c _ { 4 } e ^ { m _ { 4 } x _ { 0 } } , } \\ { \tilde { Q } _ { 1 } ^ { h } } & { = c _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } + c _ { 2 } e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } + c _ { 3 } e ^ { m _ { 3 } x _ { 0 } } + c _ { 4 } e ^ { m _ { 4 } x _ { 0 } } . } \end{array}
\frac { d ^ { p - 2 } } { \partial x _ { i _ { 1 } } ^ { p - 2 } } \frac { \partial ^ { p - 3 } } { \partial x _ { i _ { 2 } } ^ { p - 3 } } \dots \frac { \partial } { \partial x _ { i _ { p - 2 } } } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots ) \biggr | _ { x _ { i _ { 1 } } = x _ { i _ { 2 } } = \dots = x _ { i _ { p - 2 } } = x _ { i _ { p - 1 } } } = 0 .
\hat { \alpha } = ( \mathrm { c o s } \phi \, \mathrm { s i n } \theta \, \mathrm { s i n } \gamma , \, \mathrm { s i n } \phi \, \mathrm { s i n } \theta \, \mathrm { s i n } \gamma , \, \mathrm { c o s } \theta \, \mathrm { s i n } \gamma , \, \mathrm { c o s } \gamma ) ^ { \top }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { J } _ { t } \circ J _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { \mathrm { d } \hat { J } _ { t } } { \mathrm { d } t } \circ J _ { t } + \hat { J } _ { t } \circ \frac { \mathrm { d } \hat { J } _ { t } } { \mathrm { d } t } } \\ & { = Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime \prime } } \circ \left( \hat { H } _ { t } \circ J _ { t } + \hat { J } _ { t } \circ H _ { t } \right) + \left( \hat { H } _ { t } \circ J _ { t } + \hat { J } _ { t } \circ H _ { t } \right) \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { i j } } & { = \frac { \partial p ^ { m } } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial p ^ { n } } { \partial x ^ { j } } g _ { m n } , } \\ { D _ { a } ^ { i j } } & { = \frac { \partial x ^ { i } } { \partial p ^ { m } } \frac { \partial x ^ { j } } { \partial p ^ { n } } D ^ { m n } , } \\ { A _ { a } ^ { i } } & { = \frac { \partial x ^ { i } } { \partial p ^ { m } } A ^ { m } . } \end{array}
k \partial _ { k } \Gamma _ { k } { \big [ } \Phi , { \bar { \Phi } } { \big ] } = { \frac { 1 } { 2 } } \, { \mathrm { S T r } } { \Big [ } { \big ( } \Gamma _ { k } ^ { ( 2 ) } { \big [ } \Phi , { \bar { \Phi } } { \big ] } + { \mathcal { R } } _ { k } [ { \bar { \Phi } } ] { \big ) } ^ { - 1 } k \partial _ { k } { \mathcal { R } } _ { k } [ { \bar { \Phi } } ] { \Big ] } .
\begin{array} { r l } { Z ^ { - 1 } } & { \propto \prod _ { n = 1 } ^ { N } \left| \begin{array} { l l } { \zeta ^ { n } - 1 + \frac { \beta \lambda } { N } } & { \frac { \beta \Delta } { N } } \\ { \frac { \beta \Delta } { N } } & { \zeta ^ { - n } - 1 + \frac { \beta \lambda } { N } } \end{array} \right| } \\ & { \propto \prod _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \left( 1 - \frac { \beta \lambda } { N } \right) ^ { 2 } + 1 - \frac { \beta \Delta } { N } ^ { 2 } - 2 \left( 1 - \frac { \beta \lambda } { N } \right) \cos \frac { 2 \pi n } { N } \right] } \\ & { \propto \left( 1 - \frac { \beta \lambda } { N } \right) ^ { N } \prod _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { \beta \lambda } { N } \right) + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 - \frac { \beta \Delta } { N } ^ { 2 } } { 1 - \frac { \beta \lambda } { N } } - \cos \frac { 2 \pi n } { N } \right] } \end{array}
+ 1 8 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } - \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 3 } \} \right| ^ { 2 } - 9 | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} | ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } - 4 | \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} | ^ { 2 } - 8 | \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 }
\mathbf { W } = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { \kappa } { 4 \pi } } } & { \sqrt { \frac { \kappa } { 4 \pi } } } \\ { \sqrt { \frac { \widetilde \Gamma ( 0 ) } { 2 \pi } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { \frac { \widetilde \Gamma ( 0 ) } { 2 \pi } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r l r } { v _ { \parallel f } - v _ { \parallel } = - \frac { v _ { \parallel } + u } { S } + \frac { v _ { \parallel f } + u _ { f } } { S } \sim \sqrt { \epsilon } v _ { t } } & { } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \psi _ { f } - \psi = \frac { I } { \Omega } ( v _ { \parallel f } - v _ { \parallel } ) \sim \sqrt { \epsilon } \rho _ { p } R B _ { p } , } \end{array}
\overline { { { A } } } ^ { ( N - 1 , M ) } = \Bigl ( A _ { m n } ^ { ( N - 1 , M ) } \Bigr ) _ { N - 1 \ge m , n \ge M - 1 } , \quad \underline { { { A } } } ^ { ( N , M + 1 ) } = \Bigl ( A _ { m n } ^ { ( N , M + 1 ) } \Bigr ) _ { N + 1 \ge m , n \ge M + 1 } .
\begin{array} { r l } { \hat { \bf \cal I } ( \sigma ) = } & { \int { \bf \cal I } ( t ) \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma t } \, d t = \int { \bf \cal S } ( t ) \, { \bf \cal I } ^ { B } ( t ) \, { \bf \cal S } ( t ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma t } \, d t } \\ { = } & { \int \int k _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) \, { \bf \cal S } ( t ) \, { \bf \cal I } _ { p } ^ { B } ( t ^ { \prime } ) \, { \bf \cal S } ( t ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma t } \, d t ^ { \prime } d t } \\ { = } & { \int \int k _ { 2 } ( \tau ) \, { \bf \cal S } ( t ^ { \prime } + \tau ) \, { \bf \cal I } _ { p } ^ { B } ( t ^ { \prime } ) \, { \bf \cal S } ( t ^ { \prime } + \tau ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma ( t ^ { \prime } + \tau ) } \, d t ^ { \prime } d \tau \ . } \end{array}
( { \textsf { S } } ( { \textsf { K } } m ) ( { \textsf { S } } { \textsf { I } } { \textsf { I } } ) ( { \textsf { S } } ( { \textsf { S } } ( { \textsf { K } } m ) ( { \textsf { S } } { \textsf { I } } { \textsf { I } } ) ) ( { \textsf { K } } Z ) ) ( { \textsf { K } } Z ( { \textsf { S } } ( { \textsf { S } } ( { \textsf { K } } m ) ( { \textsf { S } } { \textsf { I } } { \textsf { I } } ) ) ( { \textsf { K } } Z ) ) ) )
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } = O \left( \frac { \kappa ^ { 5 } } { T } + \left( \frac { \kappa ^ { 1 6 } } { T ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } + \frac { \kappa ^ { 5 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } M } + G _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \end{array}
{ \mathcal A } ( { \bf r } ) = - \frac { 1 } { 2 } ( d - 2 ) \, V ( { \bf r } ) + \frac { 1 } { 2 } \, { \bf \nabla } \! \cdot \! \left\{ { \bf r } \, V ( { \bf r } ) \right\} \; .
\begin{array} { r l } { S _ { N } = - \frac { 1 } { 2 } } & { \sum _ { i , j , k } T _ { i j k } T _ { i j k } } \\ { + } & { \frac { t N ^ { - \alpha } } { 6 } \sum _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , b _ { 3 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } , c _ { 3 } } T _ { a _ { 1 } b _ { 1 } c _ { 1 } } T _ { a _ { 1 } b _ { 2 } c _ { 2 } } T _ { a _ { 2 } b _ { 1 } c _ { 2 } } T _ { a _ { 3 } b _ { 3 } c _ { 1 } } T _ { a _ { 3 } b _ { 2 } c _ { 3 } } T _ { a _ { 2 } b _ { 3 } c _ { 3 } } \mathrm { , } } \\ { S _ { N } = - \frac { 1 } { 2 } } & { \sum _ { i , j , k } T _ { i j k } T _ { i j k } + \frac { t N ^ { - \alpha } } { 6 } I _ { p } ( T ) \mathrm { . } } \end{array}
H ( \zeta ) = \frac { 1 } { N } \int _ { - 1 } ^ { \zeta } \Bigg [ \tilde { R } _ { 1 } ^ { 2 } - M \left( \frac { P \left( \frac { \zeta ^ { \prime } } { q } , q \right) P \left( \frac { \zeta ^ { \prime } } { q } , q \right) } { P \left( \frac { \zeta ^ { \prime } } { a } , q \right) P \left( \frac { \zeta ^ { \prime } } { \bar { a } } , q \right) } \right) ^ { 1 / 2 } \Bigg ] \frac { \mathrm { d } \zeta ^ { \prime } } { \zeta } ,
\lambda = b ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c c } { { ( i / 2 ) \partial \varepsilon } } & { { \varepsilon } } \\ { { ( 1 / k ) \varepsilon L + ( 1 / 2 ) \partial ^ { 2 } \varepsilon } } & { { - ( i / 2 ) \partial \varepsilon } } \end{array} \right) b
\begin{array} { r } { \sqrt { \frac { h _ { 1 } } { n } } \bigg [ \widehat S ( t _ { 1 } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( u - t _ { 1 } ) d \widetilde { \mathcal { M } } ( u ) - \widehat S ( t _ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( u - t _ { 2 } ) d \widetilde { \mathcal { M } } ( u ) \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { D } \! \langle \nabla F ( { \mathbf x } ) , c { \mathbf v } + { \mathbf w } \rangle \, \mathrm { d } { \mathbf x } } & { = \int _ { D } \! \langle \nabla F ( { \mathbf x } ) , c { \mathbf v } \rangle + \langle \nabla F ( { \mathbf x } ) , { \mathbf w } \rangle \, \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { = \int _ { D } \! c \langle \nabla F ( { \mathbf x } ) , { \mathbf v } \rangle + \langle \nabla F ( { \mathbf x } ) , { \mathbf w } \rangle \, \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { = c \int _ { D } \! \langle \nabla F ( { \mathbf x } ) , { \mathbf v } \rangle \, \mathrm { d } { \mathbf x } + \int _ { D } \! \langle \nabla F ( { \mathbf x } ) , { \mathbf w } \rangle \, \mathrm { d } { \mathbf x } ~ . } \end{array}
{ \frac { \alpha } { \pi } } < F _ { \mu \nu } ^ { a } F _ { \mu \nu } ^ { a } > = N M ^ { 4 } { \frac { 1 } { 2 } } \left( - { \frac { 1 } { 4 0 \pi ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } } \right) = { \frac { N } { 1 2 0 \pi ^ { 2 } } } M ^ { 4 } = 0 . 0 0 8 ~ G e v ^ { 4 }
\Sigma = m + \frac { 4 g ^ { 2 } } { \beta } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int ^ { \Lambda } \frac { d ^ { d } { \bf q } } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { \Sigma } { { \bf q } ^ { 2 } + ( \rho - \bar { \omega } _ { n } ) ^ { 2 } + \Sigma ^ { 2 } } ,
\zeta \left( \frac { 1 } { 2 } + i \left( \rho - \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } \right) \right) \zeta \left( \frac { 1 } { 2 } - i \left( \rho + \rho _ { 0 } \pm \frac { \omega } { 2 } \right) \right) = 0 .
q _ { c } ( a , r ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } a ^ { 4 } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { ' } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d z \chi _ { \mu } ( z / a ) F _ { m } ^ { ( q ) } ( z , x ) } , \quad r < a , \quad q = \varepsilon , p _ { i } ,
\begin{array} { r l } & { | E ( \Tilde { u } _ { n } ) - E ( \Tilde { u } _ { n } + R _ { n } ) | } \\ { \leq } & { \left| ( \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( \Tilde { u } _ { n } ) , R _ { n } ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \right| + \frac { 1 + C _ { 3 } ^ { 2 } V _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { 3 \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \left\Vert \Tilde { u } _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \beta C _ { 1 } ^ { 4 } \left\Vert \Tilde { u } _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } + \frac { \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 } \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 4 } } \\ { \leq } & { \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left( \left\Vert \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( \Tilde { u } _ { n } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \frac { 1 + C _ { 3 } ^ { 2 } V _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \right. } \\ & { \quad \left. + \frac { 3 \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 2 } \left\Vert \Tilde { u } _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \beta C _ { 1 } ^ { 4 } \left\Vert \Tilde { u } _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { \beta C _ { 1 } ^ { 4 } } { 4 } \left\Vert R _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } \right) } \\ { \leq } & { \alpha _ { n } ^ { 2 } C _ { R } \left\Vert g _ { n } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta } & { \sim q ( \theta ) , } \\ { E ^ { \mathrm { o b s } } ( x ) } & { \sim \mathcal { N } \left( E _ { \theta } ( x ) , \sigma _ { \theta , E } ^ { 2 } ( x ) \right) , } \\ { \vec { F } _ { i } ^ { \mathrm { o b s } } ( x ) } & { \sim \mathcal { N } \left( - \frac { \partial E _ { \theta } } { \partial \vec { r } _ { i } } ( x ) , \mathbf { I } \sigma _ { \theta , F _ { i } } ^ { 2 } ( x ) \right) \ . } \end{array}
Y _ { J _ { 2 } , n _ { 2 } } ^ { + } ( 1 ) W _ { J _ { 3 } , n _ { 3 } } ^ { + } ( x ) = \frac { 1 } { 1 - x } f _ { J _ { 2 } n _ { 2 } , J _ { 3 } n _ { 3 } } ^ { J _ { 2 } + J _ { 3 } - 1 , n _ { 2 } + n _ { 3 } } Y _ { J _ { 2 } + J _ { 3 } - 1 , n _ { 2 } + n _ { 3 } } ^ { + } ( 1 ) + r e g u l a r ~ t e r m s
\omega \, f _ { \omega } ( \vec { q } _ { a \perp } , \vec { q } _ { b \perp } ) \, = { \frac { 1 } { 2 } } \, \delta ( \vec { q } _ { a \perp } - \vec { q } _ { b \perp } ) \, + \, { \frac { \bar { \alpha } _ { s } } { \pi } } \int { \frac { d ^ { 2 } \vec { k } _ { \perp } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } } \, K ( \vec { q } _ { a \perp } , \vec { q } _ { b \perp } , \vec { k } _ { \perp } ) \, ,
\begin{array} { r } { \mathbb { A } _ { k } = - q _ { k } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } } & { \kappa - \delta } \\ { \kappa + \delta } & { \beta } \end{array} \right) \, } \end{array}
\sigma _ { 1 , 2 } ( s ) = \frac { 1 } { 2 } \eta s i n 2 \delta _ { 1 , 2 } M _ { 1 , 2 } ^ { 0 } ( s ) + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \eta ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } c o s ( \delta _ { 1 } + \delta _ { 2 } ) M _ { 2 , 1 } ^ { 0 } ( s )
A \left( m \right) = A \left( \alpha , \beta \right) = \frac { \Theta \left( R - r \left( \alpha , \beta \right) \right) } { \pi R ^ { 2 } } = \frac { \Theta \left( R - \sqrt { \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } } \right) } { \pi R ^ { 2 } } ,
0 = - { \frac { r ^ { 2 } } { c } } { \frac { d \varphi } { d \tau } } \delta \varphi - \int { { \frac { d } { d q } } \left[ - { \frac { r ^ { 2 } } { c } } { \frac { d \varphi } { d \tau } } \right] \delta \varphi d q } \, .
{ \begin{array} { r l } & { \int ( A + B \, x ) ( a + b \, x ) ^ { m } ( c + d \, x ) ^ { n } ( e + f \, x ) ^ { p } d x = { \frac { B ( a + b \, x ) ^ { m } ( c + d \, x ) ^ { n + 1 } ( e + f \, x ) ^ { p + 1 } } { d \, f ( m + n + p + 2 ) } } \, + \, { \frac { 1 } { d \, f ( m + n + p + 2 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int ( A \, a \, d \, f ( m + n + p + 2 ) - B ( b \, c \, e \, m + a ( d \, e ( n + 1 ) + c \, f ( p + 1 ) ) ) + ( A \, b \, d \, f ( m + n + p + 2 ) + B ( a \, d \, f \, m - b ( d \, e ( m + n + 1 ) + c \, f ( m + p + 1 ) ) ) ) x ) ( a + b \, x ) ^ { m - 1 } ( c + d \, x ) ^ { n } ( e + f \, x ) ^ { p } d x } \end{array} }