harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } = H _ { \mathrm { t J } } - \frac { 4 t _ { p } ^ { 2 } } { U _ { s p } } \sum _ { i \sigma } n _ { p i \sigma } - \frac { t _ { s } ^ { 2 } } { U _ { s p } } \sum _ { \langle i j \rangle \sigma \sigma ^ { \prime } } \left( n _ { s i \sigma } n _ { p j \sigma ^ { \prime } } + n _ { s j \sigma } n _ { p i \sigma ^ { \prime } } \right) .
A _ { \mu } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } ( x ^ { \lambda } - y ^ { \lambda } ) F _ { \lambda \mu } ( y ) + \frac { 1 } { 3 } ( x ^ { \lambda } - y ^ { \lambda } ) ( x ^ { \sigma } - y ^ { \sigma } ) \partial _ { \sigma } F _ { \lambda \mu } ( y ) + \ldots
\begin{array} { r } { R _ { I , n } ^ { * } - \widehat { R } _ { I , n } | \left( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { D } _ { I , n } \right) = ( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat R _ { I , n } ) _ { 1 } + ( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat R _ { I , n } ) _ { 2 } | \left( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { D } _ { I , n } \right) \overset { d } { \longrightarrow } \mathcal { G } _ { 1 } | \mathcal { Q } _ { I , \infty } } \end{array}
( \rho , \mathbf { v } , \mathbf { B } , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 0 , - ( y - 0 . 5 ) / r _ { 1 } , ( x - 0 . 5 ) / r _ { 1 } , 0 , 2 . 5 / \sqrt { 4 \pi } , 0 , 0 , 0 . 5 ) , } & { r \leq r _ { 1 } , } \\ { ( 1 + 9 \phi , - \phi ( y - 0 . 5 ) / r , \phi ( x - 0 . 5 ) / r , 0 , 2 . 5 / \sqrt { 4 \pi } , 0 , 0 , 0 . 5 ) , } & { r _ { 1 } < r \leq r _ { 2 } , } \\ { ( 1 , 0 , 0 , 0 , 2 . 5 / \sqrt { 4 \pi } , 0 , 0 , 0 . 5 ) , } & { r _ { 2 } < r , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; 1 + a - b ; z ) } & { { } = ( 1 - z ) ^ { - a } \; _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { a } { 2 } } , { \frac { 1 + a } { 2 } } - b ; 1 + a - b ; - { \frac { 4 z } { ( 1 - z ) ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \cos \varphi } & { = { \frac { ( \mathbf { u } _ { 1 } \times \mathbf { u } _ { 2 } ) \cdot ( \mathbf { u } _ { 2 } \times \mathbf { u } _ { 3 } ) } { | \mathbf { u } _ { 1 } \times \mathbf { u } _ { 2 } | \, | \mathbf { u } _ { 2 } \times \mathbf { u } _ { 3 } | } } } \\ { \sin \varphi } & { = { \frac { \mathbf { u } _ { 2 } \cdot ( ( \mathbf { u } _ { 1 } \times \mathbf { u } _ { 2 } ) \times ( \mathbf { u } _ { 2 } \times \mathbf { u } _ { 3 } ) ) } { | \mathbf { u } _ { 2 } | \, | \mathbf { u } _ { 1 } \times \mathbf { u } _ { 2 } | \, | \mathbf { u } _ { 2 } \times \mathbf { u } _ { 3 } | } } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \! \! \! \frac { \big ( \mathrm { a d j } \bar { T } ^ { T } \mathrm { a d j } T ^ { T } \big ) _ { 1 1 } } { \vert \operatorname* { d e t } T \vert ^ { 2 } } \sim \frac { 1 } { \big \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } \, , ~ \mathrm { a s } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 , } \end{array}
\mathcal { H } _ { \mathrm { ~ N ~ L ~ } } = - \frac { 1 } { 4 \varepsilon _ { 0 } } \int d \textbf { r } \Gamma _ { 3 } ^ { i j l m } ( \textbf { r } ) D ^ { i } ( \textbf { r } ) D ^ { j } ( \textbf { r } ) D ^ { l } ( \textbf { r } ) D ^ { m } ( \textbf { r } ) \ ,
\frac { H ^ { 2 } } { H _ { 0 } ^ { 2 } } = \Omega _ { \mathrm { r a d } } a ^ { - 4 } + \Omega _ { M } a ^ { - 3 } + \Omega _ { k } a ^ { - 2 } + \Omega _ { \Lambda } a ^ { - 3 ( 1 + w ) } ,
\rho _ { \mathrm { t } } ^ { ( A _ { 1 } , \ldots , A _ { k } ) } = \sum _ { \pi \in \mathcal { S } _ { \cup A _ { \ell } } } ( - 1 ) ^ { \pi } \prod _ { j \in \cup A _ { \ell } } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { j } ; x _ { \pi ( j ) } ) - \sum _ { \pi \in \mathcal { S } _ { \cup A _ { \ell } } } ( - 1 ) ^ { \pi } \chi _ { \left( ( \pi , \cup G _ { \ell } ) \textnormal { n o t l i n k e d } \right) } \prod _ { j \in \cup A _ { \ell } } \gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x _ { j } ; x _ { \pi ( j ) } ) .
\begin{array} { r l } { \triangle _ { Y } \mu ^ { * } ( X ) } & { = \mu ^ { * } ( X \| Y ) - \mu ^ { * } ( X ) } \\ & { = \sqrt [ N + M ] { \prod X \prod Y } - \sqrt [ N ] { \prod X } } \\ & { = ( \sqrt [ N ] { \prod X } ) ^ { \frac { N } { N + M } } ( \sqrt [ M ] { \prod Y } ) ^ { \frac { M } { N + M } } - \sqrt [ N ] { \prod X } } \\ & { = ( \mu ^ { * } ( X ) ) ^ { \frac { N } { N + M } } ( \mu ^ { * } ( Y ) ) ^ { \frac { M } { N + M } } - \mu ^ { * } ( X ) } \\ & { = \mu ^ { * } ( X ) ( \mu ^ { * } ( X ) ^ { \frac { - M } { N + M } } \mu ^ { * } ( Y ) ^ { \frac { M } { N + M } } - 1 ) . } \end{array}
\xi _ { 1 } + \xi _ { 2 } - 1 - \frac { \zeta _ { c } ^ { 2 } } { 6 } \Big ( \xi _ { 1 } ^ { 3 } + \xi _ { 2 } ^ { 3 } - 1 \Big ) = O ( \zeta _ { c } ^ { 4 } ) ,
v _ { \mathrm { b } } = { \frac { m _ { \mathrm { a } } u _ { \mathrm { a } } + m _ { \mathrm { b } } u _ { \mathrm { b } } + m _ { \mathrm { a } } C _ { R } ( u _ { \mathrm { a } } - u _ { \mathrm { b } } ) } { m _ { \mathrm { a } } + m _ { \mathrm { b } } } }
\begin{array} { r l } { \bigl [ \underset { \vphantom { \bigl [ } k } { \hat { A } } , \, \bigl [ \underset { \vphantom { \bigl [ } k - 1 } { \hat { A } } , \, \ldots \bigl [ \underset { \vphantom { \bigl [ } 2 } { \hat { A } } , \, \bigl [ \underset { \vphantom { \bigl [ } 1 } { \hat { A } } , \, \hat { B } \bigr ] \bigr ] \ldots \bigr ] \bigr ] } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { k } \hat { \phi } _ { n \nu } ^ { \dagger } , \qquad ( k = 1 , 2 , \ldots , D ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { o r b } } & { { } = } & { \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 k } \left[ \mathcal { E } _ { 0 x } ^ { 2 } ( \partial _ { \phi } \Phi _ { x } ) + \mathcal { E } _ { 0 y } ^ { 2 } ( \partial _ { \phi } \Phi _ { y } ) \right] } \end{array}
\hat { P } _ { \textrm { I } } ( t ) = \hat { U } _ { \textrm { d } } ^ { \dagger } ( t , t _ { 0 } ) \left( \hat { \mathbf { e } } _ { \textrm { p } } \cdot \hat { \mathbf { P } } \right) \hat { U } _ { \textrm { d } } ( t , t _ { 0 } )
\left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { 1 - R _ { 1 } ^ { 2 } } \cos ( R _ { 2 } ) } \\ { \sqrt { 1 - R _ { 1 } ^ { 2 } } \sin ( R _ { 2 } ) } \\ { R _ { 1 } } \end{array} \right) \, ,
e ^ { W } = { \frac { 4 f _ { \eta } ( \eta ) \overline { { { f } } } _ { \overline { { { \eta } } } } ( \overline { { { \eta } } } ) } { [ 1 + f ( \eta ) \overline { { { f } } } ( \overline { { { \eta } } } ) ] ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \| \nabla y ^ { * } ( x ) \| } & { = \| - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \Big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \Big ) ^ { - 1 } \| } \\ & { \leq \| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \| \| \big ( \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ) ^ { - 1 } \| \leq \frac { C _ { g x y } } { \mu } . } \end{array}
( \boldsymbol { U } _ { k + 1 } , \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { k + 1 } , \cdots , \boldsymbol { v } _ { i - 1 } ^ { k + 1 } , \boldsymbol { v } _ { i } ^ { k } , \cdots , \boldsymbol { v } _ { r } ^ { k } ) \rightarrow ( \boldsymbol { U } _ { k + 1 } , \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { k + 1 } , \cdots , \boldsymbol { v } _ { i } ^ { k + 1 } , \boldsymbol { v } _ { i + 1 } ^ { k } , \cdots , \boldsymbol { v } _ { r } ^ { k } )
\begin{array} { r l } { \frac { 1 + | w - \rho | ^ { 2 } } { 1 + | w + \rho | ^ { 2 } } } & { = \frac { ( w - \rho ) ( w ^ { \prime } - \rho ^ { \prime } ) } { ( w + \rho ) ( w ^ { \prime } + \rho ^ { \prime } ) } = \frac { \big ( ( w - \rho ) ^ { 2 } \big ) ^ { \prime } } { \big ( | w + \rho | ^ { 2 } \big ) ^ { \prime } } } \\ & { = \frac { \left( t _ { 2 } - { \tau } \right) ^ { 2 } } { \left( t _ { 1 } - { \tau } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { 1 } - \hat { y } ( \tau ) } { x _ { 2 } - \hat { y } ( \tau ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta ( r , t ) = } & { { } } & { a _ { 0 } ( r ) + a _ { 1 } ( r ) \cos ( 2 \pi f t ) + b _ { 1 } ( r ) \sin ( 2 \pi f t ) + a _ { 2 } ( r ) \cos ( 4 \pi f t ) + b _ { 2 } ( r ) \sin ( 4 \pi f t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { = i \int d \vec { k } _ { 2 } d \vec { q } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \big [ B ^ { * } ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } - \vec { q } / 2 ) \langle b _ { \mathbf 2 } ^ { * } b _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 } \rangle - B ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } + \vec { q } / 2 ) \langle b _ { \mathbf 2 } b _ { \vec { k } - \vec { q } / 2 } ^ { * } \rangle \big ] } \\ & { = i \int d \vec { k } _ { 2 } d \vec { q } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \big [ B ( \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 2 } ) \langle b _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 } b _ { \mathbf 2 } ^ { * } \rangle - B ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } + \vec { q } / 2 ) \langle b _ { \mathbf 2 } b _ { \vec { k } - \vec { q } / 2 } ^ { * } \rangle \big ] . } \end{array}
\Phi _ { i j } ^ { S } = \int _ { V } C _ { 2 } \left[ \left( R _ { i m } ^ { V } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { m } } + R _ { j m } ^ { V } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { m } } - \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { i m } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { m } } - \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { j m } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { m } } \right) - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } R _ { r s } ^ { V } \frac { \partial u _ { r } } { \partial x _ { s } } \right] d V ,
6 \xi ^ { 3 } = b _ { i j } b _ { j k } b _ { k i } = - \frac { \left( \zeta _ { i j m n } \frac { \partial u _ { n } } { \partial x _ { m } } \right) \cdot \left( \zeta _ { j k m n } \frac { \partial u _ { n } } { \partial x _ { m } } \right) \cdot \left( \zeta _ { k i m n } \frac { \partial u _ { n } } { \partial x _ { m } } \right) } { 8 k ^ { 3 } } .
F _ { \triangle } = - \frac { m _ { Q } ^ { 2 } } { \hat { s } } \left[ \log \left( \frac { m _ { Q } ^ { 2 } } { \hat { s } } \right) + i \pi \right] ^ { 2 } + { \cal O } \left( \frac { m _ { Q } ^ { 2 } } { \hat { s } } \right)
m _ { i l } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( A ^ { l } \right) _ { j i } \left( A ^ { l } \right) _ { i k } \approx \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( \lambda ^ { l } \psi \psi ^ { \top } \right) _ { j i } \left( \lambda ^ { l } \psi \psi ^ { \top } \right) _ { i k } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda ^ { 2 l } \psi _ { j } \psi _ { i } \psi _ { i } \psi _ { k } = \lambda ^ { 2 l } \psi _ { i } ^ { 2 } \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \psi _ { j } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \psi _ { k } } _ { = : b }
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Phi } _ { i } ( t ) = } & { ( \phi _ { i , j } ( \boldsymbol { x } _ { i , q } , t ) , ) \in \mathbb { R } ^ { Q _ { x } \times J _ { n } } , \quad \mathbf { \Phi } _ { i , 0 } = \mathbf { \Phi } _ { i } ( t _ { i , 0 } ) , \quad \mathbf { \Phi } _ { i , 1 } = \mathbf { \Phi } _ { i } ( t _ { i , Q _ { t } } ) , } \\ { \mathbf { L } _ { i } ( t ) = } & { ( \mathcal { L } \phi _ { i , j } ( \boldsymbol { x } _ { i , q } , t ) , ) \in \mathbb { R } ^ { Q _ { x } \times J _ { n } } , \quad \mathbf { L } _ { i } = [ \mathbf { L } _ { i } ( t _ { i , 0 } ) ^ { \top } , \cdots , \mathbf { L } _ { i } ( t _ { i , Q _ { t } - 1 } ) ^ { \top } ] ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widecheck A \varepsilon ^ { 2 } \leq \mathbf { E } _ { 0 , y } | U _ { \widecheck \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } | ^ { 2 } } & { = 2 \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \widecheck \tau ^ { \varepsilon } } U _ { s } ^ { \varepsilon } \Big ( b ^ { 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) + \varphi ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) \, \mathrm { d } s } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m } \mathbf { E } _ { 0 , y } \int _ { 0 } ^ { \widecheck \tau ^ { \varepsilon } } \Big ( \sigma _ { l } ^ { 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) + \varphi _ { l } ^ { \varepsilon , 0 } ( X _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s \wedge \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq 2 \widecheck A \varepsilon \delta _ { 2 } \mathbf { E } _ { 0 , y } \widecheck \tau ^ { \varepsilon } + 3 \sum _ { l = 1 } ^ { m } \| \sigma _ { l } ^ { 0 } \| _ { \infty } ^ { 2 } \cdot \mathbf { E } _ { 0 , y } \widecheck \tau ^ { \varepsilon } } \end{array}
\mathbf { W } : = \left( \begin{array} { l l l } { | } & & { | } \\ { \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } _ { 1 } \otimes \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } _ { 1 } } & { \dots } & { \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } _ { n _ { Ḋ } \mathrm Ḋ s Ḍ Ḍ } \otimes \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } _ { n _ { Ḋ } \mathrm Ḋ s Ḍ Ḍ } } \\ { | } & & { | } \end{array} \right) \in \mathbb { R } ^ { r ( 2 r + 1 ) \times n _ { Ḋ } \mathrm Ḋ s Ḍ Ḍ } .
\begin{array} { r l } { \int ( s g ^ { * } + t m ^ { * } + 1 ) ^ { - 2 } \mathrm { d } H ( s , t ) } & { \geq \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { R _ { n - 1 } - R _ { n } } ( s g ^ { * } + t m ^ { * } + 1 ) ^ { - 2 } \mathrm { d } H ( s , t ) } \\ & { \geq \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } H ( R _ { n - 1 } - R _ { n } ) M ^ { 2 } 2 ^ { 2 n } } \\ & { \geq M ^ { 2 } \sum _ { n = N _ { 0 } + 1 } ^ { \infty } H ( R _ { n } ) 2 ^ { 2 n } } \\ & { \geq M ^ { 2 } \sum _ { n = N _ { 0 } + 1 } ^ { \infty } 4 ^ { - n } \alpha 2 ^ { 2 n } = \infty . } \end{array}
\mu = { \mu _ { r e f } } { \left( { \frac { { { T _ { t r } } } } { { { T _ { r e f } } } } } \right) ^ { { 3 \mathord { \left/ { \vphantom { 3 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } } \frac { { { T _ { r e f } } + { C _ { s } } } } { { { T _ { t r } } + { C _ { s } } } } ,
L _ { c } ( \lambda , \hbar ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \frac { \underset { i = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - q _ { i } ) } { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { r _ { s } } } } \\ { \frac { \underset { s = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { r _ { s } } } { \underset { i = 1 } { \overset { n } { \prod } } ( \lambda - q _ { i } ) } L _ { 2 , 1 } ( \lambda , \hbar ) } & { P _ { 1 } ( \lambda ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { f ( x - \eta g ( x ) ) } & { \leq f ( x ) + \langle \nabla f ( x ) , - \eta g ( x ) \rangle + \frac { L } { 2 } \| \eta g ( x ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq f ( x ) + \langle \nabla f ( x ) , - \eta \nabla f ( x ) - \eta [ g ( x ) - \nabla f ( x ) ] \rangle + \frac { L \eta ^ { 2 } } { 2 } [ \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } + \| g ( x ) - \nabla f ( x ) \| _ { 2 } ] ^ { 2 } } \\ & { \leq f ( x ) - \eta \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \eta \delta \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } + \frac { L \eta ^ { 2 } } { 2 } [ \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \delta \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } + \delta ^ { 2 } ] } \\ & { = f ( x ) + \eta \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigg [ - \bigg ( 1 - \frac { L \eta } { 2 } \bigg ) + ( 1 + L \eta ) \frac { \delta } { \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } } + \frac { L \eta } { 2 } \bigg ( \frac { \delta } { \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq f ( x ) + \eta \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigg [ - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 \delta } { \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { \delta } { \| \nabla f ( x ) \| _ { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } H _ { i } ( t ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } H \big ( { u } _ { h i } ^ { - } ( b _ { i } , t ) , { u } _ { h j } ^ { + } ( a _ { j } , t ) , \alpha _ { j , i } \big ) } \\ & { = \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } H \big ( { u } _ { h i } ^ { - } ( b _ { i } , t ) , { u } _ { h j } ^ { + } ( a _ { j } , t ) , \alpha _ { j , i } \big ) = \sum _ { j = n + 1 } ^ { n + m } H _ { j } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { 1 } } & { = } & { \sqrt { ( 1 + \beta l _ { 1 } ) ( 1 + \beta l _ { 2 } ) + 4 \alpha ( 1 2 k _ { 1 } k _ { 2 } - 8 ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) + l _ { 1 } l _ { 2 } ) - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } , } \\ { B _ { 2 } } & { = } & { \sqrt { ( 1 + \beta l _ { 1 } ) ( 1 + \beta l _ { 2 } ) - 4 \alpha ( 1 2 k _ { 1 } k _ { 2 } + 8 ( k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 2 } ^ { 2 } ) - l _ { 2 } l _ { 2 } ) - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { s } ( r _ { s } ) : = } & { \frac { C _ { t } } { r _ { s } ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 1 0 } \big ( \frac { 9 \pi } { 4 } \big ) ^ { 2 / 3 } r _ { s } ^ { - 2 } = 1 . 1 0 4 9 5 r _ { s } ^ { - 2 } \; , } \\ { \epsilon _ { \mathrm { x } } ( r _ { s } ) : = } & { \frac { - C _ { x } } { r _ { s } } = - \frac { 3 } { 4 \pi } \big ( \frac { 9 \pi } { 4 } \big ) ^ { 1 / 3 } r _ { s } ^ { - 1 } = - 0 . 4 5 8 1 6 5 r _ { s } ^ { - 1 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | e ( t _ { n } ) | + | e ^ { \prime } ( t _ { n } ) | \le } & { C \displaystyle \frac { k ^ { \operatorname* { m i n } \{ r - 2 , s \} + 1 } } { r ^ { s + 1 } } \displaystyle \frac { k ^ { \operatorname* { m i n } \{ r , s \} - 1 } } { r ^ { s - 1 } } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( 0 , t _ { n } ) } + C \Big ( \displaystyle \frac { k } { r } \Big ) ^ { \frac 3 2 } \displaystyle \frac { k ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r , s \} - 2 } } { r ^ { 2 s - 2 } } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } } \\ { \le } & { C \displaystyle \frac { k ^ { \operatorname* { m i n } \{ r - 2 , s - \frac 1 2 \} + \operatorname* { m i n } \{ r , s \} } } { r ^ { 2 s - \frac 1 2 } } \| u \| _ { H ^ { s + 1 } ( 0 , t _ { n } ) } . } \end{array}
R _ { 4 m n } - \frac { 1 } { 2 } g _ { m n } R _ { 4 } = g ^ { p q } F _ { m p ( A ) } F _ { n q ( A ) } - \frac { 1 } { 4 } g _ { m n } g ^ { p r } g ^ { q s } F _ { p q ( A ) } F _ { r s ( A ) }
\begin{array} { r l } { ( e _ { n } , \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u _ { n } ) ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } = } & { E ( u ^ { * } ) - E ( u _ { n } ) - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( | \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + V | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) } \\ & { - \int _ { \Omega } \left( \frac { 3 \beta } { 2 } | u _ { n } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta u _ { n } e _ { n } ^ { 3 } + \frac { \beta } { 4 } | e _ { n } | ^ { 4 } - \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
L _ { D } { \big [ } \rho _ { S } ( t ) { \big ] } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { M } b _ { \alpha \beta } { \Big ( } { \big [ } \mathbf { F } _ { \alpha } , \rho _ { S } ( t ) \mathbf { F } _ { \beta } ^ { \dagger } { \big ] } + { \big [ } \mathbf { F } _ { \alpha } \rho _ { S } ( t ) , \mathbf { F } _ { \beta } ^ { \dagger } { \big ] } { \Big ) } .
\begin{array} { r l } { | } & { \frac { \Delta _ { 1 2 } \mathfrak { c } _ { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } } } { | \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } | } | _ { m + m ^ { \prime } , s , \eta _ { 0 } } } \\ & { \quad \le _ { \nu , m , m ^ { \prime } , s , \eta } | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } | \mathfrak { b } | _ { m , s + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } } \\ & { \quad \ + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } | \mathfrak { b } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } | \mathfrak { b } | _ { m , s + \mu , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } } \\ & { \quad \le ( | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } ) ( | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } ) } \\ & { \ + ( | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { a } | _ { m , s _ { 0 } + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } ) ( | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s + \mu , \eta } ^ { \mathrm { l i p } } + | \mathfrak { b } | _ { m ^ { \prime } , s + \mu , \eta } ^ { \operatorname* { s u p } } ) . } \end{array}
\epsilon _ { c r } \left( t \right) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \varepsilon _ { c r } \left( t \right) + \varepsilon _ { c r } ^ { \left( g \right) } \delta \left( t \right) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \varepsilon _ { c r } \left( t \right) ,
\begin{array} { r } { - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } U _ { o } R e _ { * } ^ { - 1 } U _ { o _ { 3 } } \big ( 1 + \frac { 2 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } U _ { o } R e _ { * } ^ { - 1 } U _ { o _ { 3 } } \frac { d U _ { o _ { 3 } } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { k \frac { U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { F } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) : } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } - \mathbf { \boldsymbol { 1 } } \otimes \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } + \Delta t _ { n } ( \mathbf { \boldsymbol { A } } \otimes \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { I } } } ) \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { f } } } ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { U } } } ) = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } , } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n + 1 } } & { = \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { s } . } \end{array}
\hat { h } _ { i } ^ { \mathrm { P Z } } ( f ) = \hat { h } ^ { \mathrm { D F T } } ( f ) - \hat { v } _ { \mathrm { H x c } } ^ { \mathrm { D F T } } \left[ f \vert \varphi _ { i } ( \mathbf { r } ) \vert ^ { 2 } \right]
\Gamma ( \tilde { \nu } ) = \frac { S ( h , \tilde { \nu } ) - e _ { \mathrm { d } } ( h , \tilde { \nu } ) } { \left[ S ( h , \tilde { \nu } ) - e _ { \mathrm { d } } ( h , \tilde { \nu } ) \right] e _ { \mathrm { s } } ( h , \tilde { \nu } ) + e _ { \mathrm { r } } ( h , \tilde { \nu } ) } .
U = 2 \int _ { \omega _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \infty } D \left( \omega \right) \frac { \hbar \omega } { \exp \left( \frac { \hbar \omega } { k _ { B } T } \right) - 1 } ~ \mathrm { d } \omega \, , \, \, D \left( \omega \right) = \frac { L ^ { 2 } \omega } { 2 \pi c ^ { 2 } } \, , \, \, \omega _ { \operatorname* { m i n } } = \frac { \sqrt { 2 } \pi c } { L } \, .
H _ { i n t } ^ { a s } = - { \displaystyle \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \int d ^ { 3 } \vec { p } \, \frac { p _ { \mu } } { p _ { 0 } } \rho ( \vec { p } ) \int \frac { d ^ { 3 } \vec { k } } { \sqrt { 2 k _ { 0 } } } [ a _ { \mu } ( \vec { k } ) e ^ { - i ( p k / p _ { 0 } ) t } + a _ { \mu } ^ { \dagger } ( \vec { k } ) e ^ { i ( p k / p _ { 0 } ) t } ] \, \, ,
\nabla _ { \boldsymbol { x } } h _ { 1 } ( \boldsymbol { x } ^ { * } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) ^ { T } ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x } ^ { * } ) = \frac { ( b - 1 ) ( Q _ { b } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) } { ( a b - c ^ { 2 } ) \mu _ { 1 } ^ { 2 } } x _ { 1 } + \frac { ( a - 1 ) ( Q _ { a } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) } { ( a b - c ^ { 2 } ) \mu _ { 2 } ^ { 2 } } x _ { 2 } .
\begin{array} { r } { \prod _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \frac { ( t ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i } e _ { j } } } { ( q ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i } e _ { j } } } \cdot \frac { ( t ; q ) _ { e _ { i + 1 } } ( q ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i + 1 } e _ { j } } } { ( t ; q ) _ { \sum _ { j = 1 } ^ { i + 1 } e _ { j } } ( q ; q ) _ { e _ { i + 1 } } } = \frac { ( q ; q ) _ { n } } { ( t ; q ) _ { n } } \cdot \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { ( t ; q ) _ { e _ { i } } } { ( q ; q ) _ { e _ { i } } } . } \end{array}
B _ { l m } = - \frac { C _ { l m } r _ { 0 } ^ { 2 + l } r _ { 1 } ^ { 1 + 2 l } } { r _ { 1 } ^ { 1 + 2 l } + l ( r _ { 0 } ^ { 1 + 2 l } + r _ { 1 } ^ { 1 + 2 l } ) } .