harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma ( \epsilon ^ { \prime } ) = \sigma _ { 0 } \frac { \epsilon ^ { 2 } \, \Gamma _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } ) ^ { 2 } \, + \, \epsilon ^ { 2 } \, \Gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \, \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } } & { { } = { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial \mathbf { q } } } } \\ { \mathbf { P } } & { { } = - { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial \mathbf { Q } } } } \\ { K } & { { } = H + { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle { C ( x ) - C ( y ) } , { x - y } \rangle } \\ & { \quad = \langle { x - \mathrm { p r o x } _ { f } ^ { 1 } ( x ) - y + \mathrm { p r o x } _ { f } ^ { 1 } ( y ) } , { x - y } \rangle } \\ & { \quad = \| x - y \| _ { 2 } ^ { 2 } - \langle { \mathrm { p r o x } _ { f } ^ { 1 } ( x ) - \mathrm { p r o x } _ { f } ^ { 1 } ( y ) } , { x - y } \rangle } \\ & { \quad \geq \| x - y \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| \mathrm { p r o x } _ { f } ^ { 1 } ( x ) - \mathrm { p r o x } _ { f } ^ { 1 } ( y ) \| _ { 2 } \| x - y \| _ { 2 } } \\ & { \quad \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \omega \tilde { x } _ { 1 } ( \omega ) } & { = } & { - \tilde { x } _ { 1 } ( \omega ) + J _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { G } ( \omega ) \tilde { x } _ { 1 } ( \omega ) + \tilde { \nu } ( \omega ) + \tilde { \varepsilon } ( \omega ) } \\ { \Big [ i \omega + 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } \tilde { G } ( \omega ) \Big ] \tilde { x } _ { 1 } ( \omega ) } & { = } & { \tilde { \nu } ( \omega ) + \tilde { \varepsilon } ( \omega ) } \end{array}
F = \sum _ { i , j = 1 , 2 } { \frac { 1 } { 2 m } } | ( \nabla - i e A ) \psi _ { i } | ^ { 2 } + \alpha _ { i } | \psi _ { i } | ^ { 2 } + \beta _ { i } | \psi _ { i } | ^ { 4 } - \eta ( \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } ^ { * } + \psi _ { 1 } ^ { * } \psi _ { 2 } ) + \gamma [ ( \nabla - i e A ) \psi _ { 1 } \cdot ( \nabla + i e A ) \psi _ { 2 } ^ { * } + ( \nabla + i e A ) \psi _ { 1 } ^ { * } \cdot ( \nabla - i e A ) \psi _ { 2 } ] + \nu | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } | \psi _ { 2 } | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla \times A ) ^ { 2 }
{ \cal T } _ { n } ( v ) = \left. ( - i ) ^ { n } \frac { \partial ^ { n } } { \partial \tau ^ { n } } { \cal T } ( v , \tau ) \right| _ { \tau = 0 } = \int \! { \cal D } \underline { { { \alpha } } } \, ( \alpha _ { d } - \alpha _ { u } - v \alpha _ { g } ) ^ { n } { \cal T } ( \alpha _ { d } , \alpha _ { u } , \alpha _ { g } )
u _ { s } ^ { \dag } ( \vec { k } ) u _ { s ^ { \prime } } ( \vec { k } ) = \delta _ { s s ^ { \prime } } , \; v _ { s } ^ { \dag } ( \vec { k } ) v _ { s ^ { \prime } } ( \vec { k } ) = \delta _ { s s ^ { \prime } } , \; v _ { s } ^ { T } ( \vec { k } ) u _ { s ^ { \prime } } ( - \vec { k } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { i G ^ { \mu \nu } ( p ^ { 2 } ) } & { { } = \frac { - i g ^ { \mu \nu } } { p ^ { 2 } } \biggl [ \biggl ( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ) + \theta ( 0 ) - \theta ( p ^ { 2 } ) \biggr ] } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \mathbb { H } } ( \cdot ; x _ { 1 } , \ldots , x _ { 2 n } ; z _ { 1 } , \ldots , z _ { n - 1 } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { o n ~ } \cup _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { 2 i - 1 } , x _ { 2 i } ) , } \\ { - \lambda , } & { \mathrm { o n ~ } \cup _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( x _ { 2 i } , z _ { i } ) \cup ( x _ { 2 n } , \infty ) , } \\ { \lambda , } & { \mathrm { o n ~ } \cup _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } , x _ { 2 i + 1 } ) \cup ( - \infty , x _ { 1 } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { a d } _ { X } ) ^ { 0 } \dot { X } } & { { } = \dot { X } _ { i } E _ { i } } \\ { ( \mathrm { a d } _ { X } ) ^ { 1 } \dot { X } } & { { } = [ X , \dot { X } _ { i } E _ { i } ] } \\ { ( \mathrm { a d } _ { X } ) ^ { 2 } \dot { X } } & { { } = [ X , [ X , \dot { X } _ { i } E _ { i } ] ] } \end{array}
\rho _ { i } = \operatorname* { l i m } _ { l \rightarrow \infty } { \frac { m _ { i l } } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } m _ { k l } } } = \operatorname* { l i m } _ { l \rightarrow \infty } { \frac { \lambda ^ { 2 l } \psi _ { i } ^ { 2 } b } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \lambda ^ { 2 l } \psi _ { k } ^ { 2 } b } } = \operatorname* { l i m } _ { l \rightarrow \infty } { \frac { \psi _ { i } ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \psi _ { k } ^ { 2 } } } = { \frac { \psi _ { i } ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \psi _ { k } ^ { 2 } } } = { \frac { \psi _ { i } ^ { 2 } } { \| \psi \| _ { 2 } ^ { 2 } } }
\delta _ { \beta } ^ { \alpha } \delta _ { \delta } ^ { \gamma } = { \frac { 1 } { 3 } } \delta _ { \delta } ^ { \alpha } \delta _ { \beta } ^ { \gamma } + { \frac { 1 } { 2 } } \lambda _ { \delta } ^ { \alpha } \cdot \lambda _ { \beta } ^ { \gamma }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \left| \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \operatorname* { m a x } _ { j \in \mathcal { T } _ { n } } \sqrt { n b _ { k } ^ { i , l } } | \tilde { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) | / \tilde { \Gamma } _ { k } ^ { i , l } ( t _ { j } ) \leq x \right) - \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \tilde { \mathbf Z } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \right| } \\ & { = O ( ( n b ) ^ { - ( 1 - 1 1 \iota ) / 8 } + ( \sqrt { n b } c _ { n } / \delta ) ^ { q } + \Theta \left( \delta , n | \mathbb { B } | \right) + ( q _ { n } ^ { \prime } ) ^ { - q } ) , } \end{array}
\mathbf { a } \otimes \mathbf { b } = \mathbf { a } \mathbf { b } ^ { \intercal } = { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } b _ { 1 } } & { a _ { 1 } b _ { 2 } } & { a _ { 1 } b _ { 3 } } \\ { a _ { 2 } b _ { 1 } } & { a _ { 2 } b _ { 2 } } & { a _ { 2 } b _ { 3 } } \\ { a _ { 3 } b _ { 1 } } & { a _ { 3 } b _ { 2 } } & { a _ { 3 } b _ { 3 } } \end{array} \right] } \, ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l } { a _ { 0 , 0 } } & { } & { 0 } & { } & { a _ { 2 , 0 } } & { } & { 0 } & { } & { a _ { 4 , 0 } } & { \cdots } & { 0 } & { } & { } & { a _ { m - 1 , 0 } } & { } \end{array} \right] \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { K L } \Big ( Q ( X _ { 0 : T } ) | | \mathrm { P } ( X _ { 0 : T } | \hat { f } ) \Big ) } & { = E _ { { Q } } \left[ \mathrm { l n } \left( \frac { d { Q } ( X _ { 0 : T } ) } { d { P } \left( X _ { 0 : T } \vert \hat { f } \right) } \right) \right] } \\ & { = E _ { { Q } } \left[ \left( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } { { \| \hat { f } ( X _ { t } ) - g ( X _ { t } , t ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } } \mathrm { d } t } + \int _ { 0 } ^ { T } { \frac { \hat { f } ( X _ { t } ) - g ( X _ { t } , t ) } { { \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { d } W _ { t } } \right) \right] } \\ & { = E _ { { Q } } \left[ \left( - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } { { \| \hat { f } ( X _ { t } ) - g ( X _ { t } , t ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } } \mathrm { d } t } + V _ { T } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \int \| g ( x , t ) - \hat { f } ( x ) \| _ { \sigma ^ { 2 } } ^ { 2 } \, q _ { t } ( x ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t + \mathfrak { C } , } \end{array}
\frac { d \rho } { d t } = \frac { 1 } { i \hbar } \left( \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { q } } & { { 0 } } \end{array} \right) \rho \left( \begin{array} { c c } { { q ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { q ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c c } { { q ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { q ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } } \end{array} \right) \rho \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { q } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right) ,
\operatorname { R i c } _ { \alpha \beta } = \mathcal { R } ^ { \gamma } { } _ { \alpha } ( \mathbf { e } _ { \gamma } , \mathbf { e } _ { \beta } ) = \mathcal { R } ^ { 1 } { } _ { \alpha } ( \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { e } _ { \beta } ) + \mathcal { R } ^ { 2 } { } _ { \alpha } ( \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { e } _ { \beta } ) \, .
A _ { 0 } ^ { ( i ) } ( m \xi ) = \int _ { m \xi } ^ { \infty } d y \, y ^ { 3 } ( y ^ { 2 } - m ^ { 2 } \xi ^ { 2 } ) ^ { ( D - 3 ) / 2 } F ^ { ( i ) } [ K _ { \omega } ( y ) ] | _ { \omega = 0 } .
\begin{array} { r l } { \dot { V } _ { u } ( y ) } & { \leq 2 \Big ( \frac { \omega } { 2 } - c \Big ) \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } V ( y ) - 2 \int _ { 0 } ^ { L } \eta \left( \left| y _ { z } ( z ) \right| ^ { \! 2 } \right) \! d z + \frac { 1 } { \omega } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ^ { 2 } } \\ & { = 2 \Big ( \frac { \omega } { 2 } - c \Big ) \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } V ( y ) - 2 \int _ { 0 } ^ { L } \xi \left( \left| y _ { z } ( z ) \right| ^ { \! 2 } \right) \! d z } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + 2 \left( c - \epsilon \right) \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { L } \left| y _ { z } ( z ) \right| ^ { \! 2 } d z + \frac { 1 } { \omega } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \Big ( \frac { \omega } { 2 } { - } \epsilon \Big ) \frac { \pi ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } V ( y ) - 2 \hat { \alpha } ( V ( y ) ) + \frac { 1 } { \omega } \| v \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , L ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\left| \mathcal { A } \right| = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \frac { \alpha _ { E M } m _ { B _ { d ^ { \prime } } } f _ { B _ { d ^ { \prime } } } } { 4 \pi \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } \left| \xi _ { t } \left[ \left( m _ { B _ { d ^ { \prime } } } C _ { S } \right) \bar { \ell } \ell + \left( m _ { B _ { d ^ { \prime } } } C _ { P } - \frac { 2 m _ { \ell } } { m _ { B _ { d ^ { \prime } } } } C _ { A } \right) \bar { \ell } \gamma _ { 5 } \ell \right] \right| .
0 \to \mathbb { S } _ { \underline { { M } } , \underline { { A } } , \underline { { N } } } ^ { \underline { { \alpha } } \cdot \underline { { \beta } } } \to \mathbb { S } _ { \underline { { M } } , \underline { { A } } } ^ { \underline { { \alpha } } } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { \underline { { A } } , \underline { { N } } } ^ { \underline { { \beta } } } \to \mathbb { S } _ { \underline { { M } } , \underline { { A } } , \underline { { N } } } ^ { \underline { { \alpha } } \odot \underline { { \beta } } } \to 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { \Pi } } & { = - \frac { 3 } { m ^ { 2 } } \frac { D _ { 3 0 } } { J _ { 2 0 } D _ { 2 0 } + J _ { 3 0 } G _ { 1 2 } + J _ { 4 0 } D _ { 1 0 } } , } \\ { \mathcal { B } _ { \Pi } } & { = - \frac { 3 } { m ^ { 2 } } \frac { G _ { 2 3 } } { J _ { 2 0 } D _ { 2 0 } + J _ { 3 0 } G _ { 1 2 } + J _ { 4 0 } D _ { 1 0 } } , } \\ { \mathcal { C } _ { \Pi } } & { = - \frac { 3 } { m ^ { 2 } } \frac { D _ { 2 0 } } { J _ { 2 0 } D _ { 2 0 } + J _ { 3 0 } G _ { 1 2 } + J _ { 4 0 } D _ { 1 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( Z _ { i } = 1 | \sigma _ { 0 } ) = e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - \alpha _ { s } ) ( \sigma _ { 0 } ( i ) - s _ { 2 } ^ { \prime } ) _ { + } } - e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - \alpha _ { s } ) ( \sigma _ { 0 } ( i ) - s _ { 1 } ^ { \prime } ) _ { + } } } \\ & { \leq } & { 1 - e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - \alpha _ { s } ) ( ( \sigma _ { 0 } ( i ) - s _ { 1 } ^ { \prime } ) _ { + } - ( \sigma _ { 0 } ( i ) - s _ { 2 } ^ { \prime } ) _ { + } ) } \leq 1 - e ^ { - 2 \beta _ { n } ( i - \alpha _ { s } ) ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } ) } } \\ & { \leq } & { 2 \beta _ { n } ( i - \alpha _ { s } ) ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } ) \leq 2 \beta _ { n } ( L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + 1 ) ( L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ) } \\ & { \leq } & { 4 L ^ { 2 } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta S _ { \mathrm { t o t } } } & { = \int _ { \mathrm { b u l k } } ( - ) ^ { q } \delta A \wedge \tilde { F } + ( - ) ^ { p q + q } \delta \tilde { A } \wedge F } \\ & { \qquad \qquad - \ell \delta \Phi \wedge \tilde { F } _ { \psi } + ( - ) ^ { p q + p + q } \delta \tilde { A } _ { \psi } \wedge \ell \Xi } \\ & { \qquad + \int \delta A \wedge \star J + \delta \tilde { A } \wedge \star \tilde { J } } \\ & { \qquad \qquad + \ell \delta \Phi \wedge \star L + \tilde { \ell } \delta \tilde { A } _ { \psi } \wedge \star \tilde { J } _ { \psi } , } \end{array}
e ^ { j ( \theta _ { 1 } n _ { 1 } + \cdots + \theta _ { M } n _ { M } ) } x ( n _ { 1 } - a _ { 1 } , \ldots , n _ { M } - a _ { M } ) { \overset { \underset { \mathrm { F T } } { } } { \longleftrightarrow } } X ( \omega _ { 1 } - \theta _ { 1 } , \ldots , \omega _ { M } - \theta _ { M } )
\frac { d _ { 0 } \delta F } { d t } \; = \; e \left( \widehat { \sf z } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \delta \Phi + c ^ { - 1 } \partial \delta A _ { \| } / \partial t \right) \; \frac { \partial F _ { 0 } } { \partial P _ { \| } } ,
\frac { \partial \phi ^ { l } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \phi ^ { l } \mathbf { u } ) = - \frac { \phi ^ { l } } { \rho ^ { l } } \frac { \partial \rho ^ { l } } { \partial t } - \frac { \phi ^ { l } } { \rho ^ { l } } \mathbf { u } \cdot \nabla \rho ^ { l }
\begin{array} { r l } { w _ { i } ( \operatorname* { d e t } A _ { 1 } ) = w _ { i } ( \delta - \sigma ( \delta ) + \sigma ^ { 2 } ( \delta ) - \sigma ^ { 3 } ( \delta ) ) } & { \geq \operatorname* { m i n } \{ w _ { i } ( \delta ) , w _ { i } ( \sigma ( \delta ) ) , w _ { i } ( \sigma ^ { 2 } ( \delta ) ) , w _ { i } ( \sigma ^ { 3 } ( \delta ) ) \} } \\ & { = \operatorname* { m i n } \{ e _ { 1 } - 2 { \mathfrak a } , e _ { 2 } - 3 { \mathfrak a } , e _ { 3 } - 2 { \mathfrak a } , e _ { 4 } + { \mathfrak a } \} , } \end{array}
\frac { \partial \hat { p } } { \partial c _ { k , \ell } } = \frac { 2 A _ { k } ^ { 2 } } { L _ { k } ^ { 2 } } \left( x _ { \ell } - c _ { k , \ell } \right) \exp \left[ - \frac { | \mathbf x - \mathbf c _ { k } | ^ { 2 } } { L _ { k } ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { ( \mathrm { g r a d e ~ a n o m a l y } ) _ { g } } & { = \mathrm { G P E } _ { g } - \mathrm { G P A O } _ { g } } \\ & { = ( \mathrm { G P E } _ { p } - b ) - ( \mathrm { G P A O } _ { p } - b ) } \\ & { = \mathrm { G P E } _ { p } - \mathrm { G P A O } _ { p } = ( \mathrm { g r a d e ~ a n o m a l y } ) _ { p } , } \end{array}
f _ { N S } ( x , Q ^ { 2 } ) = e _ { q } ^ { 2 } \Bigl \{ \delta ( 1 - x ) + \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { \mu ^ { 2 } } ^ { s _ { m } } A ( t , \beta ) \frac { d t } { t } \; \Bigr \} \; ,
2 4 8 = ( 2 4 , 1 ) \oplus ( 1 , 2 4 ) \oplus ( 1 0 , 5 ) \oplus ( \bar { 1 0 } , \bar { 5 } ) \oplus ( 5 , \bar { 1 0 } ) \oplus ( \bar { 5 } , 1 0 )
\left\langle \xi _ { \phi } \left( t \right) \xi _ { \phi } \left( t ^ { \prime } \right) \right\rangle \approx \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } ^ { 2 } \overline { { P } } ^ { 2 } } \left( \sigma _ { \mathrm { m e a s } } ^ { 2 } \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) - \left\langle \sin { \left( \Phi \left( t \right) + \Phi \left( t ^ { \prime } \right) \right) } \right\rangle \left\langle \xi _ { I } \left( t ^ { \prime } \right) \xi _ { Q } \left( t \right) \right\rangle \right) .
\begin{array} { r l } & { \tilde { \psi } _ { 0 } \left( \frac { r } { \tilde { r } _ { b } } \right) = a _ { 1 } - \frac { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 8 } - \frac { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \log \left( 2 \frac { r } { \tilde { r } _ { b } } \right) + \mathcal { O } \left[ \frac { \tilde { r } _ { b } } { r } \right] , } \\ & { \tilde { \psi } _ { 1 } \left( \frac { r } { \tilde { r } _ { b } } \right) = b _ { 1 } \frac { r } { \tilde { r } _ { b } } - \frac { g \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 1 6 } r - \frac { g \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 8 } r \log \left( 2 \frac { r } { \tilde { r } _ { b } } \right) + \mathcal { O } \left[ \frac { \tilde { r } _ { b } } { r } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \sum _ { i \in [ M ] } \left( g _ { i , t } ( \theta _ { t } ) - \bar { g } ( \theta _ { t } ) \right) \right\Vert ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \Vert \sum _ { i \in [ M ] } Y _ { i , t } \Vert ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \sum _ { i \in [ M ] } \mathbb { E } \left[ \Vert Y _ { i , t } \Vert ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] \right] } \\ & { \overset { ( a ) } = M \left( \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \Vert Y _ { i , t } \Vert ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] \right] \right) } \\ & { = M \left( \mathbb { E } \left[ \Vert Y _ { i , t } \Vert ^ { 2 } \right] \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { L } } ( \tau ) = \frac { \sqrt { 2 } \sqrt { D \tau } \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + 2 \right) } { \Gamma \left( \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } = } & { e ^ { 2 \tilde { L } + \tilde { a } } [ ( \tilde { a } + 1 ) \cos { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } - \tilde { a } \sin { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } - ( 2 \tilde { a } + 1 ) \cos { \tilde { a } } + \sin { \tilde { a } } ] } \\ & { + e ^ { 3 \tilde { a } } [ ( \tilde { a } - 1 ) \sin { \tilde { a } } + \tilde { a } \cos { \tilde { a } } ] } \\ { B _ { 2 } = } & { e ^ { 2 \tilde { L } + \tilde { a } } [ \tilde { a } \cos { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } + ( \tilde { a } + 1 ) \sin { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } - \cos { \tilde { a } } - ( 2 \tilde { a } + 1 ) \sin { \tilde { a } } ] } \\ & { + e ^ { 3 \tilde { a } } [ ( 1 - \tilde { a } ) \cos { \tilde { a } } + \tilde { a } \sin { \tilde { a } } ] } \\ { B _ { 3 } = } & { e ^ { 2 \tilde { L } + 3 \tilde { a } } [ - \tilde { a } \cos { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } + ( \tilde { a } - 1 ) \sin { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } - \cos { \tilde { a } } + ( 1 - 2 \tilde { a } ) \sin { \tilde { a } } ] } \\ & { + e ^ { 4 \tilde { L } + \tilde { a } } [ ( \tilde { a } + 1 ) \cos { \tilde { a } } + \tilde { a } \sin { \tilde { a } } ] } \\ { B 4 = } & { e ^ { 2 \tilde { L } + 3 \tilde { a } } [ ( \tilde { a } - 1 ) \cos { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } + \tilde { a } \sin { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } + ( 1 - 2 \tilde { a } ) \cos { \tilde { a } } + \sin { \tilde { a } } ] } \\ & { + e ^ { 4 \tilde { L } + \tilde { a } } [ \tilde { a } \cos { \tilde { a } } - ( \tilde { a } + 1 ) \sin { \tilde { a } } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle x _ { 1 } , x _ { 2 } , X | \Psi \rangle = \delta ( x _ { 1 } - X ) \delta ( x _ { 2 } + d - X ) \frac { e ^ { i K _ { 0 } X } } { \sqrt { 2 \pi } } } \\ { \langle k _ { 1 } , k _ { 2 } , X | \Psi \rangle = \frac { e ^ { i ( K _ { 0 } - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) X } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } e ^ { i k _ { 2 } d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } ) } & { { } = \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { N } ^ { T } [ \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { N N } + \sigma _ { n } ^ { - 2 } \boldsymbol { \mathbf { \mathbb { 1 } } } ] ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { y } } } \\ { \Sigma ^ { 2 } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } ) } & { { } = k - \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { N } ^ { T } [ \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { N N } + \sigma _ { n } ^ { - 2 } \boldsymbol { \mathbf { \mathbb { 1 } } } ] ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { N } , } \end{array}
\Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \textnormal { H S } } \leq \Vert r _ { A } ( x , [ \xi ] ) \langle \xi \rangle ^ { - m r / 2 + ( \rho - \delta ) } \Vert _ { \textnormal { o p } } \Vert \langle \xi \rangle ^ { m r / 2 - ( \rho - \delta ) } I _ { d _ { \xi } } \Vert _ { \textnormal { H S } } \lesssim d _ { \xi } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \langle \xi \rangle ^ { \frac { m r } { 2 } - ( \rho - \delta ) } .
- r ^ { 2 s - 1 } { \frac { \Gamma ( 1 - s ) \sin ( \pi / \alpha ) } { \Gamma ( s ) 8 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( \cosh y / \alpha - \cos \pi / \alpha ) ( \cosh ^ { 2 } y / 2 ) ^ { 1 - s } } } d y
\begin{array} { r l r } & { } & { S _ { p p } = \frac { \chi _ { p 1 } - \chi _ { h 2 } } { \chi _ { p 2 } - \chi _ { h 2 } } = \frac { \nu _ { 2 } } { 2 \Omega _ { 2 } } \left( \frac { \Omega _ { 1 } - \mu _ { 1 } } { \nu _ { 1 } } + \frac { \Omega _ { 2 } + \mu _ { 2 } } { \nu _ { 2 } } \right) , } \\ & { } & { S _ { h p } = \frac { \chi _ { p 2 } - \chi _ { p 1 } } { \chi _ { p 2 } - \chi _ { h 2 } } = \frac { \nu _ { 2 } } { 2 \Omega _ { 2 } } \left( - \frac { \Omega _ { 1 } - \mu _ { 1 } } { \nu _ { 1 } } + \frac { \Omega _ { 2 } - \mu _ { 2 } } { \nu _ { 2 } } \right) . } \end{array}
H _ { e f f } ( d s Z ) = - { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } g ^ { 3 } c o s \theta _ { W } V _ { l s } V _ { l d } ^ { * } F _ { A } ( x _ { l } ) Z ^ { \mu } \bar { d } \gamma _ { \mu } { \frac { 1 - \gamma _ { 5 } } { 2 } } s + H . C . \; ,
\left( { \xi _ { \hat { \varepsilon } ^ { \prime } , \tilde { \mu } } } _ { 3 } + { \xi _ { \hat { \mu } , \tilde { \mu } } } _ { 3 } \right) { \chi _ { \hat { \varepsilon } , \tilde { \mu } } } _ { 3 } = \left( { \xi _ { \hat { \varepsilon } , \tilde { \mu } } } _ { 3 } + { \xi _ { \hat { \mu } , \tilde { \mu } } } _ { 3 } \right) { \chi _ { \hat { \varepsilon } ^ { \prime } , \tilde { \mu } } } _ { 3 } , \quad \mathrm { a t } \ x _ { 3 } = 0 .
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \frac { ( \mathbf { P } + \Delta \mathbf { P } ) ^ { 2 } } { 2 \mu } + \sum _ { n } ^ { F } \frac { 1 } { 2 } \left( p _ { n } ^ { 2 } + x _ { n } ^ { 2 } - \gamma \right) E _ { n } ( \mathbf { R } ) } \end{array}
\rho _ { w } E = \underbrace { \frac { \Delta } { \lambda _ { w } \left( \Delta + \gamma ^ { * } \right) } Q } _ { \rho _ { w } E _ { e } } + \underbrace { \frac { \gamma ^ { * } } { \Delta + \gamma ^ { * } } E _ { A } } _ { \rho _ { w } E _ { d } } ,
\begin{array} { r l } { r ( \omega ) } & { = \left[ \mathbb { I } - i V _ { \mathrm { L S } } G ( \omega ) V _ { \mathrm { L S } } ^ { \dagger } \right] ^ { - 1 } \left[ \mathbb { I } + i V _ { \mathrm { L S } } G ( \omega ) V _ { \mathrm { L S } } ^ { \dagger } \right] } \\ & { \equiv \frac { \mathbb { I } + i V _ { \mathrm { L S } } G ( \omega ) V _ { \mathrm { L S } } ^ { \dagger } } { \mathbb { I } - i V _ { \mathrm { L S } } G ( \omega ) V _ { \mathrm { L S } } ^ { \dagger } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial \varepsilon _ { p } c _ { 1 } } { \partial t } + \vec { \nabla } \cdot ( c _ { 1 } \vec { u } ) = \Vec { \nabla } \cdot ( \mathfrak { D } _ { c } \vec { \nabla } c _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \Big ( \Big | \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \phi ( [ \hat { \mathbf { x } } _ { 1 k } ] _ { i } , [ \mathbf { x } _ { 0 } ] _ { i } ) - \mathbb { E } \{ \phi ( \hat { X } _ { 1 k } , X _ { 0 } ) \} \Big | \geq \epsilon \Big ) \leq C ^ { \prime } C _ { k } e ^ { - c ^ { \prime } c _ { k } N \epsilon ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { x ^ { 3 } \sqrt { ( x ^ { 2 } - 2 x + \alpha ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) } \frac { d } { d x } w _ { \alpha , \beta , \lambda } ( x ) } \\ & { = } & { - 2 \alpha \beta \lambda \sqrt { ( x ^ { 2 } - 2 x + \alpha ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) } + x ^ { 2 } ( x - \alpha ^ { 2 } ) - ( x ^ { 2 } - 3 x + 2 \alpha ^ { 2 } ) \lambda ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { \prime \prime \prime \prime } + \left( i \frac { \omega } { \nu } - 2 k ^ { 2 } \right) f ^ { \prime \prime } - \left( i \frac { \omega } { \nu } - k ^ { 2 } \right) k ^ { 2 } f = 0 \; . } \end{array}
\langle \hat { e } _ { n } \rangle = \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle \equiv \langle \hat { e } \rangle \qquad \mathrm { a n d } \qquad \langle \hat { \sigma } _ { n } ^ { \pm } \rangle = \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { \pm } \rangle \equiv \langle \hat { \sigma } ^ { \pm } \rangle .