harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \ensuremath { \boldsymbol \nu } = ( \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { 1 } , \ldots , \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { L } ) , \; \; \ensuremath { \boldsymbol \nu } ^ { \ell } = ( c _ { x } ^ { \ell } , c _ { y } ^ { \ell } , a _ { 0 } ^ { \ell } , b _ { 1 } ^ { \ell } , a _ { 1 } ^ { \ell } , \ldots , b _ { Q } ^ { \ell } , a _ { Q } ^ { \ell } , \mu _ { \mathrm { i } } ^ { \ell } ) , \; \; \ell = 1 , \ldots , L , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { \mathrm { a } } = \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t } } } \left\| f _ { i } ^ { \mathrm { ( a ) } } - f _ { i } ^ { \mathrm { ( d ) } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t } } } \left\| f _ { i } ^ { \mathrm { ( d ) } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { D } _ { i } = c _ { i } ( D _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } \textbf { I } + D _ { \mathrm { ~ a ~ n ~ i ~ s ~ o ~ } } \textbf { f } _ { 0 } \otimes \textbf { f } _ { 0 } ) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \mathbf { h } _ { i } ( \mathbf { x } ) \in R T _ { p } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { n } _ { i } \cdot \mathbf { h } _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ^ { f } ) = \delta _ { i j } ,
\begin{array} { r l } { a _ { n m } } & { = 0 \quad \forall | m | \neq 1 , } \\ { b _ { n m } } & { = 0 \quad \forall | m | \neq 1 , } \\ { a _ { n , \pm 1 } } & { = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { \pm 1 } \mathbf { e } _ { \theta } \cdot \mathbf { M } _ { n , \mp 1 } ^ { ( 3 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) } \\ & { = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) \mathrm { i } Z _ { n } ^ { 0 } ( x _ { p } ) T _ { n , \mp 1 } ^ { 1 } ( \theta ) e ^ { 0 } } \\ & { = \sqrt { 6 \pi } \mathrm { i } h _ { n } ^ { ( 1 ) } ( x _ { p } ) \mu _ { n } \pi _ { n } ( \theta ) } \\ & { = \mathrm { i } \sqrt { \frac { 3 } { 8 } ( 2 n + 1 ) } \frac { \xi _ { n } ( x _ { p } ) } { x _ { p } } , } \\ { b _ { n , \pm 1 } } & { = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { \pm 1 } \mathbf { e } _ { \theta } \cdot \mathbf { N } _ { n , \mp 1 } ^ { ( 3 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) } \\ & { = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) Z _ { n } ^ { 2 } ( x _ { p } ) T _ { n , \mp 1 } ^ { 3 } ( \theta ) e ^ { 0 } } \\ & { = \mp \sqrt { 6 \pi } \frac { [ x _ { p } h _ { n } ^ { ( 1 ) } ( x _ { p } ) ] ^ { \prime } } { x _ { p } } \mu _ { n } \tau _ { n } ( \theta ) } \\ & { = \mp \sqrt { \frac { 3 } { 8 } ( 2 n + 1 ) } \frac { \xi _ { n } ^ { \prime } ( x _ { p } ) } { x _ { p } } . } \end{array}
( K _ { \mathrm { s } } - K _ { 0 } ) \frac { K _ { \mathrm { s } } + \frac { 4 } { 3 } G _ { \mathrm { s } } } { K _ { 0 } + \frac { 4 } { 3 } G _ { \mathrm { s } } } = \phi K _ { \mathrm { s } } P ^ { \mathrm { s p } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left| \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - 1 \right| \geq \varepsilon \right) } \\ & { \leq \frac { \frac { 1 } { T V ^ { a , b * } ( P ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } _ { P } \left[ \big | T V ^ { a , b * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \mid \mathcal { F } _ { t - 1 } \big ] - V ^ { a , b * } ( P ) \big | \right] } { \varepsilon } \to 0 . } \end{array}
\Delta S = \int _ { \xi ^ { e q . } } ^ { \xi } d S = S ( \xi ) - S ( \xi ^ { e q . } ) \ \ ; \ \ \Delta _ { e } S = \int _ { \xi ^ { e q . } } ^ { \xi } d _ { e } S \ \ ; \ \ \Delta _ { I } S = \int _ { \xi ^ { e q . } } ^ { \xi } d _ { I } S
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { M } _ { e } \, { \mathrm { G r a d } _ { h } } \, p _ { h } ) ^ { T } \, \mathbf { v } _ { h } } & { { } = - ( \mathbb { M } _ { n } \, p _ { h } ) ^ { T } \, \widetilde { \mathrm { D i v } _ { h } } \, \mathbf { v } _ { h } , } \\ { ( \mathbb { M } _ { c } \, { \mathrm { D i v } _ { h } } \, \mathbf { u } _ { h } ) ^ { T } \, p _ { h } } & { { } = - ( \mathbb { M } _ { f } \, \mathbf { u } _ { h } ) ^ { T } \, \widetilde { \mathrm { G r a d } _ { h } } \, p _ { h } , } \\ { ( \mathbb { M } _ { f } \, { \mathrm { C u r l } _ { h } } \, \mathbf { u } _ { h } ) ^ { T } \, \mathbf { v } _ { h } } & { { } = ( \mathbb { M } _ { e } \, \mathbf { u } _ { h } ) ^ { T } \, \widetilde { \mathrm { C u r l } _ { h } } \, \mathbf { v } _ { h } . } \end{array}
\mathbf { a } = { \left[ \begin{array} { l } { b _ { x } } \\ { b _ { y } } \\ { b _ { z } } \end{array} \right] } \times { \left[ \begin{array} { l } { c _ { x } } \\ { c _ { y } } \\ { c _ { z } } \end{array} \right] } .
\vec { E } _ { a } ( \vec { x } _ { 2 } ) = - \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \frac { \partial _ { t } \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R } .
1 = \cos ( \theta ) = \frac { \vec { k } \cdot \vec { n } } { \vert \vec { k } \vert \vert \vec { n } \vert } = \frac { \vec { k } ^ { \prime } \cdot \vec { n } ^ { \prime } } { \vert \vec { k } ^ { \prime } \vert \vert \vec { n } ^ { \prime } \vert } .
\begin{array} { r l } & { \left( \left( \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| ( 1 - \overline { { p } } ( 4 ) _ { 1 } - \overline { { p } } ( 4 ) _ { 2 } - t ) - \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } t \right) \overline { { q } } ( n - 2 ) _ { 2 } \right. } \\ & { \left. + \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( n - 2 ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( n - 2 ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 2 } } \end{array} \right| ( ( 1 - \overline { { p } } ( 4 ) _ { 1 } - \overline { { p } } ( 4 ) _ { 2 } - t ) \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } - \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } t ) \right) } \\ { = } & { \left( \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( n - 2 ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( n - 2 ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 2 } } \end{array} \right| ( 1 - \overline { { p } } ( 4 ) _ { 1 } - \overline { { p } } ( 4 ) _ { 2 } - t ) - \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } t \right) \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N _ { i } - N _ { i - 1 } } \sum _ { j = N _ { i - 1 } + 1 } ^ { N _ { i } } | x _ { 2 } [ j ] | ^ { 2 } \leq P _ { 2 , i } , i \in \{ 1 , 2 \} , } \\ & { \frac { N _ { 1 } } { N _ { 2 } } P _ { 2 , 1 } + \frac { N _ { 2 } - N _ { 1 } } { N _ { 2 } } P _ { 2 , 2 } = P _ { 2 } , } \\ & { \frac { N _ { 1 } } { N _ { 2 } } ( P _ { 1 } + P _ { 2 , 1 } ) + \frac { N _ { 2 } - N _ { 1 } } { N _ { 2 } } P _ { 2 , 2 } = P , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, g _ { 1 , \ell } ^ { \gamma ( P ^ { 2 } ) } ( x , Q ^ { 2 } ) = 0 - \frac { 3 \alpha } { 2 \pi } \sum _ { q = u , d , s } e _ { q } ^ { 4 } + { \cal { O } } \left( \alpha \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) \right)
r _ { 2 } ( x ) = \sum _ { g = 1 } ^ { G } \frac { 1 } { \sqrt { n _ { g } } } \| \{ x _ { i } : i \in \mathcal { I } _ { g } \} \| _ { 2 } = \sum _ { g = 1 } ^ { G } \sqrt { \frac { 1 } { n _ { g } } \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { g } } x _ { i } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { - \ln H ( \textbf { x } ) } & { = \Lambda ( E \setminus [ 0 , \textbf { x } ] ) = \Lambda \left( \bigcup _ { g = 1 } ^ { G } A _ { g } ( \textbf { x } ) \right) } \\ & { = \sum _ { g = 1 } ^ { G } \Lambda ( A _ { g } ( \textbf { x } ) ) + \sum _ { g = 2 } ^ { G } ( - 1 ) ^ { g + 1 } \sum _ { 1 \leq i _ { 1 } < i _ { 2 } < \dots < i _ { l } \leq G } \Lambda ( A _ { i _ { 1 } } ( \textbf { x } ) \cap \dots \cap A _ { i _ { l } } ( \textbf { x } ) ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { i n } ^ { \dagger } } \\ { \hat { b } _ { i n } ^ { \dagger } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { B _ { 1 } } \\ { A _ { 2 } } & { B _ { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { o u t } ^ { \dagger } } \\ { \hat { b } _ { o u t } ^ { \dagger } } \end{array} \right) .
\frac { d } { d t } { \cal E } _ { \epsilon } ^ { 1 } ( \theta ) ( t ) + \left( \frac { \alpha } { 2 } - \epsilon \right) \| \theta ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { \epsilon } { 2 } \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } \theta \| ^ { 2 } \leq \left( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { \epsilon } { \lambda _ { 1 } } \right) \| \eta ^ { \prime \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \alpha \left( 1 + \frac { \epsilon } { \lambda _ { 1 } } \right) \| \eta ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } .
\left| \begin{array} { l } { M } \end{array} \right| = \left[ i \omega + \frac { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } { L } \right] \left[ i \omega + \frac { ( 1 - \mathscr { L } ) } { \tau _ { 0 } } \right] + \frac { \mathscr { L } G } { L } \frac { R _ { 0 } ( 2 + \beta ) } { C } .
\frac { \left( e _ { j } ^ { ( \alpha ) } \cdot e _ { l } ^ { ( \alpha ) } \right) _ { C } } { | e _ { j } ^ { ( \alpha ) } | _ { C } \; | e _ { l } ^ { ( \alpha ) } | _ { C } } = \frac { C _ { j l } } { \sqrt { C _ { j j } \; C _ { l l } } } = c _ { j l } \equiv \cos \tau _ { j l } .
\begin{array} { r l } { \textbf { Q } ( L _ { x } , y , z , t ) } & { { } = \textbf { Q } ( R _ { x } , y , z , t ) , } \\ { \textbf { Q } ( x , L _ { y } , z , t ) } & { { } = \textbf { Q } ( x , R _ { y } , z , t ) , } \\ { \textbf { Q } ( x , y , R _ { z } , t ) } & { { } = \textbf { Q } ( x , y , R _ { z } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } ) ^ { \frac { j - i + 1 } { 2 } } h _ { j - 1 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { = } & { ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } ) ^ { \frac { j - i - 1 } { 2 } } \underline { { ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } h _ { j - 1 } ) h _ { j - 3 } } } h _ { j - 5 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { \overset { \mathrm { ( 1 ) ( a ) } } { \underset { \mathrm { ( 2 ) ( c ) } } { = } } } & { ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } ) ^ { \frac { j - i - 1 } { 2 } } h _ { j - 1 } ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } h _ { j - 1 } ) h _ { j - 5 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { = } & { ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } ) ^ { \frac { j - i - 3 } { 2 } } \underline { { ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } h _ { j - 1 } ) ^ { 2 } h _ { j - 5 } } } h _ { j - 7 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { \overset { \mathrm { ( 1 ) ( a ) } } { \underset { \mathrm { ( 2 ) ( c ) } } { = } } } & { ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } ) ^ { \frac { j - i - 5 } { 2 } } ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } h _ { j - 1 } ) ^ { 3 } h _ { j - 7 } \cdots h _ { i + 2 } h _ { i } } \\ & { \vdots } & \\ & { \overset { \mathrm { ( 1 ) ( a ) } } { \underset { \mathrm { ( 2 ) ( c ) } } { = } } } & { ( h _ { i } h _ { i + 1 } \cdots h _ { j - 2 } h _ { j - 1 } ) ^ { \frac { j - i + 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { q } ( n _ { x } , y , n _ { z } ) } & { = \frac { 1 } { N _ { x } N _ { z } } \sum _ { ( I , K ) = ( 1 , 1 ) } ^ { ( N _ { x } , N _ { z } ) } q ( x _ { I } , y , z _ { K } ) \exp [ - 2 \pi \mathrm { i } ( n _ { x } x _ { I } / L _ { x } + n _ { z } z _ { K } / L _ { z } ) ] , } \\ { q ( x _ { I } , y , z _ { K } ) } & { = \sum _ { ( n _ { x } , n _ { z } ) = ( - N _ { x } / 2 , - N _ { z } / 2 ) } ^ { ( N _ { x } / 2 - 1 , N _ { z } / 2 - 1 ) } \tilde { q } ( n _ { x } , y , n _ { z } ) \exp [ 2 \pi \mathrm { i } ( n _ { x } x _ { I } / L _ { x } + n _ { z } z _ { K } / L _ { z } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { s } ( n ) = \frac { S _ { p a r } } { v _ { s } } - \frac { n B } { v _ { s } } \partial _ { s } \left( \frac { v _ { s } } { B } \right) } \\ { m _ { i } v _ { s } ^ { 2 } \partial _ { s } ( n ) + n B \partial _ { s } \left( \frac { m v _ { s } ^ { 2 } } { B } \right) = - T ^ { * } \partial _ { s } ( n ) } \\ { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - n B \partial _ { s } \left( \frac { T } { B } \right) - \frac { n T ^ { * } } { B } \partial _ { s } ( B ) + S _ { m o m } } \end{array}
S ( p ( z ) ) = \left( \begin{array} { c c c c } { p _ { 1 } } & { \cdots } & { p _ { n _ { 1 } - 1 } } & { p _ { n _ { 1 } } } \\ { \vdots } & { . \cdot } & { . \cdot } & { 0 } \\ { p _ { n _ { 1 } - 1 } } & { . \cdot } & { . \cdot } & { \vdots } \\ { p _ { n _ { 1 } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { l l l l } { { | U _ { 1 2 } ^ { d } | = \frac { \sqrt 3 } 2 \: | \frac { r _ { d } } { q _ { d } } | } } & { { } } & { { } } & { { | U _ { 2 3 } ^ { d } | = \sqrt 2 \: \frac { m _ { s } } { m _ { b } } } } \\ { { | U _ { 1 3 } ^ { d } | = | U _ { 1 2 } ^ { d } | | U _ { 2 3 } ^ { d } | / 2 } } & { { } } & { { } } & { { | U _ { 3 1 } ^ { d } | = 3 \: | U _ { 1 3 } ^ { d } | } } \end{array}
\Lambda _ { \gamma } e ^ { - 2 \beta _ { \pi } } \Delta _ { \pi } = \Lambda _ { \gamma } e ^ { 2 \pi \gamma } \textit { \textbf { I } } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \beta _ { 0 } } \Delta _ { 0 } = \Lambda _ { \gamma } e ^ { - 2 \beta _ { 0 } } \Delta _ { 0 } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { - 5 . 4 3 7 9 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 6 8 . 8 8 1 6 x ^ { 2 } y z + 0 . 1 4 5 7 5 6 x ^ { 3 } y + 3 7 . 1 6 2 2 x ^ { 2 } y + 4 6 8 . 6 6 5 x ^ { 2 } z ^ { 2 } } \\ & { } & { + 1 8 . 6 3 8 x ^ { 3 } z - 4 2 1 . 2 9 9 x ^ { 2 } z + 0 . 1 1 5 2 8 5 x ^ { 4 } - 5 . 8 8 3 2 6 x ^ { 3 } + 5 . 2 9 6 9 5 x ^ { 2 } - 2 1 . 4 0 9 3 x y ^ { 2 } z } \\ & { } & { - 0 . 6 1 0 5 0 2 x y ^ { 3 } + 1 6 3 . 1 5 x y ^ { 2 } + 1 1 . 3 5 4 8 x y z ^ { 2 } + 2 1 8 0 . 1 3 x y z - 6 8 4 . 8 6 9 x y + 1 8 0 1 . 8 8 x z ^ { 3 } } \\ & { } & { - 1 2 4 0 3 . 1 x z ^ { 2 } + 1 6 4 . 9 3 x z - 7 8 5 . 7 3 6 y ^ { 2 } z ^ { 2 } - 3 4 . 0 8 9 7 y ^ { 3 } z + 4 3 7 . 2 1 9 y ^ { 2 } z + 0 . 3 9 3 7 1 1 y ^ { 4 } } \\ & { } & { - 0 . 2 4 4 7 7 2 y ^ { 3 } + 1 4 9 . y ^ { 2 } - 8 4 . 6 7 6 3 y z ^ { 3 } + 3 9 2 2 . 4 y z ^ { 2 } + 1 3 0 2 . 8 2 y z \textbf { - 6 8 7 . 5 3 y } } \\ & { } & { + 1 8 1 2 5 . 8 z ^ { 4 } - 3 3 0 1 . 8 5 z ^ { 3 } - 1 3 8 2 5 . 1 z ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ i ~ l ~ } } } & { { } = q ^ { 2 } \frac { M } { R ^ { 3 } } \boldsymbol { \hat { r } } - \frac { 2 q ^ { 2 } } { 3 } \frac { d } { d t } \left( \boldsymbol { \nabla } \Phi \right) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \left( \rho _ { L 1 } \rho _ { L 2 } , u _ { L 1 } + u _ { L 2 } , v _ { L 1 } + v _ { L 2 } , p _ { L 1 } p _ { L 2 } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { x < 0 . 5 \mathrm { ~ m } , } \\ { \left( \rho _ { R } , u _ { R } , v _ { R } , p _ { R } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { x \geq 0 . 5 \mathrm { ~ m } . } \end{array} \right.
K = { \frac { 1 } { \rho \nu } } = { \frac { { \bigl ( } 1 - e ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi { \bigr ) } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 4 } { \bigl ( } 1 - e ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta { \bigr ) } ^ { 2 } } } .
\frac { \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \Big | _ { y ^ { + } = c } = C + B ( R e _ { \tau } ) \left[ \ln R e _ { \tau } + \ln \left( \frac { b } { a } \right) \right] + O ( a ^ { 2 } ) ,
\int \coth ^ { n } a x \, d x = - { \frac { 1 } { a ( n - 1 ) } } \coth ^ { n - 1 } a x + \int \coth ^ { n - 2 } a x \, d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n \neq 1 { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { d _ { * } ( a ^ { \prime } , \Gamma _ { 2 } ( c s ) ) } & { = d _ { * } \left( \gamma _ { S } ( p , a ) \left( \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } T \right) , \gamma _ { S } ( p , b ) \left( \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } S \right) \right) } \\ & { \leq \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } \cdot E d _ { * } ( \gamma _ { S } ( p , a ) ( T ) , \gamma _ { S } ( p , b ) ( S ) ) + C } \\ & { = \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } \cdot E d _ { * } ( a , b ) + C } \\ & { \leq \frac { c c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } c _ { 1 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } \cdot E d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) + C } \\ & { \leq c \cdot E d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) + C . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { ( \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) ^ { 2 } } \right] = \mathbb { E } \left[ \prod _ { i \neq 0 } \Bigg ( 1 + \frac { \eta / F } { 1 - \frac { \eta } { F } + \frac { D _ { i } ^ { \alpha } } { \theta R _ { i } ^ { \alpha \epsilon } r ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) } } } \Bigg ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \! \! \mathbb { E } \Bigg [ \! \prod _ { i \neq 0 } \! \int _ { 0 } ^ { D _ { i } } \! \! \bigg ( \! 1 \! + \! \frac { \eta / F } { 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } \! \! + \! \! \frac { D _ { i } ^ { \alpha } u ^ { \! - \! \alpha \epsilon } } { \theta r ^ { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) } } } \! \bigg ) ^ { \! 2 } \frac { \frac { 5 } { 2 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u \exp { ( \! - \! \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u ^ { 2 } ) } \mathrm { d } u } { 1 \! - \! \exp { ( \! - \! \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi D _ { i } ^ { 2 } ) } } \Bigg ] } \\ & { = \! \! \mathbb { E } \Bigg [ \exp \! \bigg ( 2 \pi \lambda _ { \mathrm { s } } \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \kappa } \! \! \Big ( 2 \! + \! \frac { \eta / F } { 1 \! - \! \frac { \eta } { F } \! + \! \frac { D _ { i } ^ { \alpha } u ^ { - \alpha \epsilon } } { \theta r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } } } \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \times \frac { \frac { \eta } { F } \! \! \cdot \! \! \frac { 5 } { 2 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u \exp { ( - \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi u ^ { 2 } ) } \mathrm { d } u \kappa \mathrm { d } \kappa } { ( 1 \! - \! \frac { \eta } { F } \! + \! \frac { \kappa ^ { \alpha } u ^ { - \alpha \epsilon } } { \theta r ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) } } ) ( 1 \! - \! \exp { ( - \frac { 5 } { 4 } \lambda _ { \mathrm { d } } \pi \kappa ^ { 2 } ) } ) } \bigg ) \! \Bigg ] } \\ & { = \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \exp { \! \Bigg ( \! \! \! - \! \! z \! \! + \! \! \frac { 4 } { 5 } \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \! z ^ { 2 } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \! \frac { \frac { \eta } { F } q e ^ { \! - \! z s q } \big ( 2 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } \! \! + \! \! \frac { 2 q ^ { \frac { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) } { 2 } } } { \theta s ^ { \frac { \alpha \epsilon } { 2 } } } \big ) \mathrm { d } s \mathrm { d } q } { \big ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } \! + \! \frac { q ^ { \frac { \alpha ( 1 \! - \! \epsilon ) } { 2 } } } { \theta s ^ { \frac { \alpha \epsilon } { 2 } } } \big ) ^ { 2 } \big ( 1 \! - \! e ^ { - z q } \big ) } \! \Bigg ) } \! \mathrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - \Gamma \, \partial _ { \theta } \big [ a ( | \vec { r } - \vec { z } | ) \, \mathrm { s i n } ( \beta - \theta ) \, P _ { 2 } \big ] } \\ & { } & { \approx \Gamma \, \partial _ { \beta } \big [ a ( | \vec { r } - \vec { z } | ) \, \mathrm { s i n } ( \theta - \beta ) \, P _ { 2 } \big ] + v _ { 0 } \left[ \hat { n } ( \theta ) \cdot \partial _ { \vec { r } } + \hat { n } ( \beta ) \cdot \partial _ { \vec { z } } \right] P _ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { m , \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { j } w _ { m } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) } , } \\ { w _ { m } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) = \frac { 1 } { V _ { \mathrm { c e l l } } } \int _ { \mathrm { B Z } } u _ { m , \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { j } \right) } \mathrm { d } \mathbf { k } . } \end{array}
V ( r ) = - { \frac { \pi } { 2 r _ { 0 } } } \left[ { \mathrm { H } } _ { 0 } \left( { \frac { \kappa r } { r _ { 0 } } } \right) - Y _ { 0 } \left( { \frac { \kappa r } { r _ { 0 } } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { c _ { ( 0 , 0 ) , 0 } ( \tau ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { d \operatorname { m o d } N } f _ { ( d , 0 ) , 0 } ( \tau ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { d \operatorname { m o d } N } \sum _ { n \in \mathbb Z } \phi _ { g , d } ( n , 0 ) q ^ { n } } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { d \operatorname { m o d } N } \frac { \theta _ { \xi _ { d } , \gamma _ { d } ( 0 ) } ( \tau ) } { \eta _ { g ^ { d } } ( \tau ) } = \frac { 1 } { N } \sum _ { d \operatorname { m o d } N } \frac { \theta _ { \Lambda ^ { g , d } } ( \tau ) } { \eta _ { g ^ { d } } ( \tau ) } } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { d | N } \varphi ( N / d ) \frac { \theta _ { \Lambda ^ { g , d } } ( \tau ) } { \eta _ { g ^ { d } } ( \tau ) } = \sum _ { k | N } \sum _ { d | k } \frac { \mu ( k / d ) } { k } \frac { \theta _ { \Lambda ^ { g , d } } ( \tau ) } { \eta _ { g ^ { d } } ( \tau ) } , } \end{array}
{ \cal K } [ A ; U _ { 2 } , U _ { 1 } ] = \sum _ { R } \chi _ { R } ( U _ { 1 } ) \chi _ { R } ^ { \dagger } ( U _ { 2 } ) \exp \Bigl [ - \frac { g ^ { 2 } A } { 4 } C _ { 2 } ( R ) \Bigr ] ,
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m a x } \ } & { b ^ { \top } \alpha - \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } P _ { D G _ { i } , \operatorname* { m a x } } ^ { t } \beta _ { D G _ { i } , t } } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { ( A ^ { \prime } ) ^ { \top } \alpha = c , } \\ & { a _ { D G _ { i } } ^ { \top } \alpha - \beta _ { D G _ { i } , t } = 0 } & & { \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { \beta _ { D G _ { i } , t } + \gamma _ { i , t } = \beta _ { i , t } ^ { + } } & & { \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { \beta _ { D G _ { i } , t } - \delta _ { i , t } = \beta _ { i , t } ^ { - } } & & { \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { A _ { \Omega } ^ { \top } P _ { D G , \operatorname* { m a x } } + \eta = b _ { \Omega } , } \\ & { \alpha , \beta , \gamma , P _ { D G , \operatorname* { m a x } } , \delta , \eta \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \xi _ { x } = J \left( y _ { \eta } z _ { \zeta } - y _ { \zeta } z _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } & { \xi _ { y } = J \left( z _ { \eta } x _ { \zeta } - z _ { \zeta } x _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } & { \xi _ { z } = J \left( x _ { \eta } y _ { \zeta } - x _ { \zeta } y _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } \\ { \eta _ { x } = J \left( y _ { \eta } z _ { \xi } - y _ { \xi } z _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } & { \eta _ { y } = J \left( z _ { \eta } x _ { \xi } - z _ { \xi } x _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } & { \eta _ { z } = J \left( x _ { \eta } y _ { \xi } - x _ { \xi } y _ { \eta } \right) \, \mathrm { , } } \\ { \zeta _ { x } = J \left( y _ { \xi } z _ { \eta } - y _ { \eta } z _ { \xi } \right) \, \mathrm { , } } & { \zeta _ { y } = J \left( z _ { \xi } x _ { \eta } - z _ { \eta } x _ { \xi } \right) \, \mathrm { , } } & { \zeta _ { z } = J \left( x _ { \xi } y _ { \eta } - x _ { \eta } y _ { \xi } \right) \, \mathrm { , } } \\ { \xi _ { t } = - x _ { \mathcal { T } } \xi _ { x } - y _ { \mathcal { T } } \xi _ { y } - z _ { \mathcal { T } } \xi _ { z } \, \mathrm { , } } & { \eta _ { t } = - x _ { \mathcal { T } } \eta _ { x } - y _ { \mathcal { T } } \eta _ { y } - z _ { \mathcal { T } } \eta _ { z } \, \mathrm { , } } & { \zeta _ { t } = - x _ { \mathcal { T } } \zeta _ { x } - y _ { \mathcal { T } } \zeta _ { y } - z _ { \mathcal { T } } \zeta _ { z } \, \mathrm { . } } \end{array}
p ( \beta | { \bf n } ) = \frac { p ( \beta ) } { p ( { \bf n } ) } p ( { \bf n } | \beta ) \; , \qquad p ( { \bf n } | \beta ) = \int d \boldsymbol { \rho } \, p ( { \bf n } | \beta , \boldsymbol { \rho } ) p ( \boldsymbol { \rho } | \beta ) ~ .