harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f ( R ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \log _ { 1 0 } R } & { R \geq 0 . 1 \ \mathrm { m m \, h ^ { - 1 } } } \\ { \log _ { 1 0 } 0 . 0 2 } & { R < 0 . 1 \ \mathrm { m m \, h ^ { - 1 } } } \end{array} \right.
Q _ { p , e } = \Bigg [ \sum _ { n } 2 C _ { 2 _ { b e s t \_ f i t } } \overline { { \gamma } } _ { n _ { p , e } } ( k _ { \perp } ) \overline { { k } } _ { \perp n } \bigg ( \frac { b _ { k n } ^ { 3 } } { b _ { k i } ^ { 3 } } \bigg ) \delta ( \mathrm { l n } \overline { { k } } _ { \perp n } ) \Bigg ] \bigg ( \frac { k _ { 0 } } { k _ { \perp i } } \bigg ) \frac { C _ { 2 _ { b e s t \_ f i t } } ^ { - 3 } v _ { A } ^ { 3 } } { \rho _ { p } } .
\begin{array} { r l } { \| J ^ { 4 } } & { \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } \\ & { \leq C ( | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \big ( ( 1 + \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ) \| T _ { S } ( \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ) \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } } \\ & { \quad + \varepsilon ( R ) \| T _ { S } ( \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } ) \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { \gamma } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } \big ) , } \end{array}
n _ { k } = \frac { 1 } { 2 } \, \langle \, \frac { p _ { k } ^ { 2 } } { \omega _ { k } } + \omega _ { k } q _ { k } ^ { 2 } \, \rangle \approx \frac { { \cal B } _ { k } } { \omega _ { k } } + \frac { \omega _ { k } } { 1 6 { \cal A } _ { k } } - \frac { 1 } { 2 } \, ,
s _ { i j } ( R _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i j \in \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ e ~ n ~ t ~ } } \\ { \frac { 1 } { R _ { i j } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } i j \in \mathrm { ~ P ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } } \\ { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ i \in \mathrm { ~ P ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } \wedge j \in \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ e ~ n ~ t ~ } \mathrm { ~ o ~ r ~ } i \in \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ e ~ n ~ t ~ } \wedge j \in \mathrm { ~ P ~ r ~ o ~ b ~ e ~ } \mathrm { ~ : ~ } } & { } \\ { \frac { 1 } { R _ { i j } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } R _ { i j } \leq R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } \\ { \frac { 1 } { R _ { i j } } \left\{ \left( \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } \right) ^ { 3 } \left( - 6 \left( \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } \right) ^ { 2 } + 1 5 \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } { R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } - R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } } - 1 0 \right) + 1 \right\} , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } R _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } < R _ { i j } < R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } \\ { 0 , \ } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } R _ { i j } \geq R _ { \mathrm { ~ o ~ f ~ f ~ } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d \psi } { d Z } } & { = - 2 \frac { \zeta _ { 1 } } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } - 2 \frac { \zeta _ { 1 } } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } } - 2 \frac { \zeta _ { 2 } } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } } \\ & { - \frac { 7 } { 8 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } - \zeta _ { 3 } - a _ { 1 } \zeta _ { 2 } k _ { 0 } \vartheta _ { \tau } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 8 8 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 1 , X X } } \zeta _ { 5 } \left( - \frac { 6 4 8 } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } - 4 0 1 k _ { 0 } \vartheta _ { _ { X } } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 8 8 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 2 , Y Y } } \zeta _ { 6 } \left( - \frac { 6 4 8 } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } } - 4 0 1 k _ { 0 } \vartheta _ { _ { Y } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! \! } & { R _ { \mathrm { l b } } ( { \cal D } _ { \cal A } ; { \bf q } ) \triangleq } \\ { \! \! \! \! } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi : { \cal I } _ { | { \cal D } _ { \cal A } | } \rightarrow { \cal D } _ { \cal A } } \! \sum _ { s = 0 } ^ { A - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { \widetilde { N } ( { \bf d } _ { \cal A } ) } \! \! \! \binom { A - i } { s } q _ { \pi ( i ) } ^ { s } ( 1 \! - \! q _ { \pi ( i ) } ) ^ { A - s } F _ { \pi ( i ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \bf x } } & { { } = } & { \left. \nabla \left\langle e ^ { i { \bf p } \cdot { \bf x } } \right\rangle \right\rvert _ { { \bf p } = { \boldsymbol 0 } } , } \\ { C _ { { \bf x } { \bf x } } } & { { } = } & { \left. \nabla _ { p } \otimes \nabla _ { p } \left\langle e ^ { i { \bf p } \cdot ( { \bf x } - C _ { \bf x } ) } \right\rangle \right\rvert _ { { \bf p } = { \boldsymbol 0 } } } \\ { C _ { { \bf x } { \bf x } { \bf x } } } & { { } = } & { \left. \nabla _ { p } \otimes \nabla _ { p } \otimes \nabla _ { p } \left\langle e ^ { i { \bf p } \cdot ( { \bf x } - C _ { \bf x } ) } \right\rangle \right\rvert _ { { \bf p } = { \boldsymbol 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i \omega { n _ { \perp } } + i k { j _ { \| } } } & { = - i ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } * _ { k } \! \left( k \tilde { A } _ { t } ^ { \perp } + \omega \tilde { A } _ { \| } \right) - \ell { j _ { \perp } ^ { \ell } } , } \\ { i \omega { n } _ { \| } } & { = - i \omega \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { A } _ { \perp } } + \ell j _ { \| } ^ { \ell } , } \\ { i k { n _ { \| } } } & { = - i k \tilde { c } _ { \phi } { * _ { k } \tilde { A } _ { \perp } } + \ell { n _ { \ell } ^ { \perp } } , } \end{array}
\frac { \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { * } } { \mu _ { g } } = \frac { T ( t ) } { T _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ } } } = \frac { 2 h } { \pi \mu _ { g } \Omega R ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { R } \frac { \mu ^ { * } \Omega } { h } { r ^ { * } } ^ { 3 } \, \mathrm { d } r ^ { * } \, \mathrm { d } \theta ~ ~ ~ ~ \longrightarrow ~ ~ ~ ~ \mu _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \frac { 2 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mu { r } ^ { 3 } \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf f } _ { 0 } ( t ) } { \partial t } } & { = } & { { \bf f } _ { 0 } ( t ) { \bf Q } ^ { [ 0 , 0 ] } + { \bf f } _ { 1 } ( t ) { \bf Q } ^ { [ 1 , 0 ] } , } \\ { \frac { \partial { \bf f } _ { n } ( t ) } { \partial t } } & { = } & { { \bf f } _ { n } ( t ) { \bf Q } ^ { [ n , n ] } + { \bf f } _ { n - 1 } ( t ) { \bf Q } ^ { [ n - 1 , n ] } + { \bf f } _ { n + 1 } ( t ) { \bf Q } ^ { [ n + 1 , n ] } , } \\ & { } & { \quad \mathrm { ~ f o r ~ } n = 1 , \ldots , N - 1 , } \\ { \frac { \partial { \bf f } _ { N } ( t ) } { \partial t } } & { = } & { { \bf f } _ { N } ( t ) { \bf Q } ^ { [ N , N ] } + { \bf f } _ { N - 1 } ( t ) { \bf Q } ^ { [ N - 1 , N ] } , } \end{array}
\Delta _ { 2 } = \left| \begin{array} { l l } { - S _ { - 1 } ^ { 2 } } & { e ^ { \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } } } \\ { - S _ { - 1 } ^ { 3 } } & { - S _ { - 2 } ^ { 3 } } \end{array} \right| = S _ { - 1 } ^ { 2 } S _ { - 2 } ^ { 3 } + S _ { - 1 } ^ { 3 } e ^ { \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } } .
\mathrm { \bf \hat { H } } _ { \mathrm { m o l } } = \mathrm { \bf \hat { H } } _ { \mathrm { e l } } + \mathrm { \bf \hat { H } } _ { \mathrm { r o t } } + \mathrm { \bf \hat { H } } _ { \mathrm { h f s } } + \mathrm { \bf \hat { H } } _ { \mathrm { e x t } } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t r } ( J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) ) } & { = } & { \bar { a } _ { 1 1 } < 0 , } \\ { \mathrm { d e t } ( J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) ) } & { = } & { - \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } = \frac { r ^ { * } ( 1 - r ^ { * } ) ( 1 + u ) } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } ( \frac { u } { 1 + u } ) ^ { M } ( \frac { 1 } { 1 + u } ) ^ { N - M + 1 } b > 0 . } \end{array}
{ { \cfrac { d } { d t } } \left( \int _ { \Omega } \rho ~ \eta ~ { \mathrm { d V } } \right) \geq \int _ { \partial \Omega } \rho ~ \eta ~ ( u _ { n } - \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } ) ~ { \mathrm { d A } } - \int _ { \partial \Omega } { \cfrac { \mathbf { q } \cdot \mathbf { n } } { T } } ~ { \mathrm { d A } } + \int _ { \Omega } { \cfrac { \rho ~ s } { T } } ~ { \mathrm { d V } } . }
\begin{array} { r l } { | \theta , \phi \rangle \rangle _ { j } } & { \equiv \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \left( e _ { j } ^ { \dag } \cos \frac { \theta } { 2 } + e ^ { i \phi } g _ { j } ^ { \dag } \sin \frac { \theta } { 2 } \right) ^ { N } | \mathrm { v a c } \rangle } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N } \sqrt { \binom { N } { k } } \cos ^ { k } ( \frac { \theta } { 2 } ) \sin ^ { N - k } ( \frac { \theta } { 2 } ) e ^ { i ( N - k ) \phi } | k \rangle _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { p 1 } } \end{array} \right) e ^ { - i \omega _ { p 1 } ( t - t _ { 0 } ) } , } & { \quad \mathrm { i f ~ t < t _ 0 ~ } } \\ { S _ { p p } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { p 2 } } \end{array} \right) e ^ { - i \omega _ { p 2 } ( t - t _ { 0 } ) } + S _ { h p } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \chi _ { h 2 } } \end{array} \right) e ^ { - i \omega _ { h 2 } ( t - t _ { 0 } ) } , } & { \quad \mathrm { i f ~ t \ge ~ t _ 0 ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\langle \mu ( 0 1 0 ) , \Lambda , \ell , \Sigma , P \, { | } \, \tilde { A } ( 0 0 0 ) , \Lambda ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } = 0 , \Sigma ^ { \prime } , P ^ { \prime } = \pm 1 / 2 \rangle = \delta _ { \Lambda , - \Lambda ^ { \prime } } \delta _ { \ell , \Lambda ^ { \prime } } \delta _ { \Sigma , - \Sigma ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { P - 1 / 2 }
{ } ( \partial _ { \tau } + k _ { 2 } ) \mu ( \tau ) = \Gamma ^ { 1 , 0 } ( \tau ) + \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \, \Sigma ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) + \sum _ { j \geq 2 } \Omega ^ { 1 , j } ( \tau )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial t } + \mathbb { P } _ { S } \left( ( u \cdot \nabla ) u \right) + f u ^ { \perp } + g \nabla ( D + b ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial D } { \partial t } + \nabla \cdot ( D u ) } & { { } = 0 , } \end{array}
\nabla _ { \mu } \epsilon _ { A } \equiv \Bigl ( \partial _ { \mu } - \frac { 1 } { 4 } \omega _ { \mu } ^ { a b } \, \gamma _ { a b } + \mathrm { i } \, \frac { 1 } { 2 } Q _ { \mu } \Bigr ) \epsilon _ { A }
\begin{array} { r l r } { \left( p \left( q A \left( t \right) \right) \right) / A _ { 0 } } & { = } & { \left( p \left( q \left( A \left( t \right) / A _ { 0 } \cdot A _ { 0 } \right) / A _ { 0 } \cdot A _ { 0 } \right) \right) / A _ { 0 } } \\ & { = } & { p \circ _ { A _ { 0 } } \left( q \circ _ { A _ { 0 } } \left( A \left( t \right) / A _ { 0 } \right) \right) } \\ { \left( \left( p \circ _ { A _ { 0 } } q \right) \cdot A \left( t \right) \right) / A _ { 0 } } & { = } & { \left( p \circ _ { A _ { 0 } } q \right) \circ _ { A _ { 0 } } \left( A \left( t \right) / A _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { i } = \frac { \partial \phi ^ { ( l ) } } { \partial x _ { i } } + e _ { 3 i j } \frac { \partial \psi ^ { ( l ) } } { \partial x _ { j } } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega ^ { ( l ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { Z \simeq \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { N } e ^ { - \beta \frac { p ^ { 2 } } { 2 m } } e ^ { - \beta { \bf { V } } ( x ) } \right] \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial \phi _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { + \int _ { \Omega _ { n } } ( \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \phi _ { n } ) \varphi _ { i } d \Omega - \int _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { m } } \cdot \widetilde { ( \textbf { u } _ { n } \phi _ { n } ) } \varphi _ { i } d S + \int _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { m } } \cdot \widehat { ( \textbf { u } _ { n } \phi _ { n } ) } \varphi _ { i } d S = } \\ & { = - \int _ { \Omega _ { n } } \nabla \varphi _ { i } \cdot \textbf { a } _ { 1 } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { a } } _ { 1 } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { n } ( \gamma , u , v ) } & { = \prod _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \boldsymbol \Gamma \left[ \frac { \gamma _ { 2 m - 1 } - \mathrm { i } v , \bar { \gamma } _ { 2 m } + \mathrm { i } \bar { v } } { \gamma _ { 2 m - 1 } - \mathrm { i } u , \bar { \gamma } _ { 2 m } + \mathrm { i } \bar { u } } \right] = \prod _ { m = 1 } ^ { n - 1 } \boldsymbol \Gamma \left[ \frac { \bar { \gamma } _ { 2 m - 1 } - \mathrm { i } \bar { v } , \gamma _ { 2 m } + \mathrm { i } v } { \bar { \gamma } _ { 2 m - 1 } - \mathrm { i } \bar { u } , \gamma _ { 2 m } + \mathrm { i } u } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { \psi } f ( x , s ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { s } } \int f ( t ) \overline { { \psi \bigg ( \frac { t - x } { s } \bigg ) } } \, \mathrm { d } t } \\ & { = \langle f , \psi _ { ( x , s ) } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ & { = \big [ f \ast \overline { { \psi \left( - \bullet / s \right) } } \big ] ( x ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } } & { { } = v \, { \bf t } \ , } \\ { { \boldsymbol \Omega } } & { { } = \frac { \gamma _ { 1 1 } ^ { \, r } } { a } \, { \bf n } + \frac { \gamma _ { 1 1 } ^ { \, i } } { a } \, { \bf b } + \frac { \gamma _ { 1 0 } ^ { \, r } } { a } \, { \bf t } \, . } \end{array}
\mathrm { i } \partial _ { t } u = ( \frac { 1 } { 2 } - \mathrm { i } \beta ) ( - \partial _ { x } ^ { 2 } ) u + \mathrm { i } \delta u + ( \gamma + \mathrm { i } \varepsilon ) | u | ^ { 2 } u + ( - \nu + \mathrm { i } \mu ) | u | ^ { 4 } u ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \nabla \times \mathbf { E } ^ { \prime } - \mathrm { i } \omega ^ { \prime } \mu \mathbf { H } ^ { \prime } = - \mathbf { M } ^ { \prime } } \\ { - \nabla \times \mathbf { H } ^ { \prime } - \mathrm { i } \omega ^ { \prime } \varepsilon \mathbf { E } ^ { \prime } = - \mathbf { J } ^ { \prime } } \end{array} \right.
\left( \frac { \Omega + \sigma _ { 1 , i } / 2 } { \omega _ { 0 } } - 1 \right) = \frac { f ^ { 2 } } { 1 2 \left( 1 + \Gamma \right) ^ { 2 } } \pm \frac { 1 } { 8 \left( 1 + \Gamma \right) ^ { 2 } } \sqrt { f ^ { 4 } - \left( \frac { 4 \sigma _ { 1 , r } \left( 1 + \Gamma \right) ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { e q } ( \mathbf { r } , t ) = } & { { } \omega _ { i } \rho \left[ 1 + \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { v } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { v } \mathbf { v } : ( \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { i } - \mathbf { I } ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { E } [ p _ { i _ { \mathrm { D } } A _ { \mathrm { O } } } ^ { \prime } ] } & { = p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ( \underbrace { a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G C } } - a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B C } } } _ { = : \Delta f _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { C } } } ) + a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B C } } \quad ( = : f _ { A _ { O } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ) ) , } \\ { \textrm { V a r } [ p _ { i _ { \mathrm { D } } A _ { \mathrm { O } } } ^ { \prime } ] } & { = \frac { p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G C } } ( 1 - a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G C } } ) + ( 1 - p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ) a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B C } } ( 1 - a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B C } } ) } { N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } } = \frac { e _ { 2 } ( 1 - e _ { 2 } ) } { N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } } \quad ( = : \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) . } \end{array}
{ \cal { L } } _ { \mu \rightarrow e + \gamma } ^ { e f f } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ ( \bar { \mu } ^ { \dagger } \bar { \sigma } ^ { \alpha \beta } e ^ { \dagger } ) A _ { l } + ( \mu \sigma ^ { \alpha \beta } \bar { e } ) A _ { r } \right\} F _ { \alpha \beta }
F _ { 3 } \big ( \{ \bar { x } \} , \{ p \} , t \big ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \frac { \dot { f } _ { 2 } ( t ) } { 4 c ( t ) } \, \bar { x } _ { i } ^ { 2 } - \sqrt { f _ { 2 } ( t ) } \, \bar { x } _ { i } p _ { i } \right] \, .
( \gamma _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 2 } } ) \, g _ { 2 } ^ { * } ( \gamma _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } } ) \: = \: ( \gamma _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } g _ { 2 } } ) \, \omega ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) _ { \alpha } \, \omega ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) _ { \beta } ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ~ \hat { H } _ { \mathrm { I } } ( t ) = } \\ { = 2 \pi A \int _ { - L / 2 } ^ { + L / 2 } d z \int d \omega _ { o } \int d \omega _ { e } \hat { a } _ { o } ^ { ( + ) } \hat { a } _ { e } ^ { ( + ) } \alpha ( \omega _ { o } + \omega _ { e } ) } \\ { e ^ { - i \{ [ k _ { o } ( \omega _ { o } ) + k _ { e } ( \omega _ { e } ) - k _ { p } ( \omega _ { p } ) ] z \} } + c . c . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { a \in c _ { j } H } g ( a ) } & { = \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { a \in A \cap c _ { j } H } g ( a ) + \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { a \in A ^ { c } \cap c _ { j } H } g ( a ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \cdot \varepsilon \varphi ( q ) \cdot \left( 1 + \frac { \varepsilon } { 1 0 } \right) + \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \cdot \frac { \varphi ( q ) } { Y } \cdot \frac { \varepsilon } { 1 0 } \leq \frac { 2 \varepsilon ^ { 1 / 2 } } { Y } . } \end{array}
{ \cal G } _ { \mathrm { r e l } } = \frac { 4 \pi \kappa } { e ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { a } \, d a ^ { 2 } + a \sum _ { s = 1 } ^ { 4 N - 1 } \sigma _ { s } \sigma _ { s } \right] .
\epsilon ^ { 3 } c \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } } { \partial \tilde { z } \partial \tilde { t } } = \epsilon ^ { 3 } \frac { \beta } { c ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \tilde { u } } { \partial \tilde { t } } \right) ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } } { \partial \tilde { t } ^ { 2 } } + \epsilon \frac { \tau } { 2 } \frac { \partial ^ { 3 } \tilde { u } } { \partial \tilde { t } ^ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { | | t _ { i , i + 1 } ( . ) | | _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ) } } & { \leq 2 \left( 1 + \frac { D } { h _ { i + 1 } } \right) \left[ \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 2 } } { \kappa _ { i + 1 } } } \left( 1 + \frac { D } { h _ { i + 2 } } \right) \left( e ^ { - 2 Q _ { ( i + 1 ) / 2 } } + e ^ { - 2 Q _ { ( i + 1 ) / 2 , i + 2 } } \right) \right. } \\ & { \left. \kern - \nulldelimiterspace + \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } \left( 1 + \frac { D } { h _ { i } } \right) \left( e ^ { - 2 Q _ { ( i + 1 ) / 2 } } + e ^ { - 2 Q _ { ( i + 1 ) / 2 , i } } \right) \right] = : W _ { i , i + 1 } , } \\ { | | t _ { i , i + 2 } ( . ) | | _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ) } } & { \leq 4 \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 2 } } { \kappa _ { i + 1 } } } \left( 1 + \frac { D } { h _ { i + 1 } } \right) \left( 1 + \frac { D } { h _ { i + 2 } } \right) \left( e ^ { - ( Q _ { i + 1 } + Q _ { i + 2 } ) } \right) = : W _ { i , i + 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { \pm } ( z , t ) } & { { } = n _ { \pm } ^ { ( 0 ) } + v n _ { \pm } ^ { ( 1 ) } ( z , t ) + v ^ { 2 } n _ { \pm } ^ { ( 2 ) } ( z , t ) + } \\ { \rho ( z , t ) } & { { } = v \rho ^ { ( 1 ) } ( z , t ) + v ^ { 3 } \rho ^ { ( 3 ) } ( z , t ) + O ( v ^ { 5 } ) } \\ { \phi ( z , t ) } & { { } = v \phi ^ { ( 1 ) } ( z , t ) + v ^ { 3 } \phi ^ { ( 3 ) } ( z , t ) + O ( v ^ { 5 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \phi _ { i } ( v , w , c ) f _ { i } ( v , w , c , t ) d c d w d v } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \iint _ { 0 } ^ { 1 } \iint _ { 0 } ^ { 1 } \iint _ { 0 } ^ { + \infty } B _ { i j } G ( c , c _ { * } ) \left[ \phi _ { i } ( v ^ { \prime } , w ^ { \prime } , c ) - \phi _ { i } ( v , w , c ) \right] f _ { i } ( v , w , c , t ) f _ { j } ( v _ { * } , w _ { * } , c _ { * } , t ) d c d c _ { * } d w d w _ { * } d v d v _ { * } } \end{array}
\rho _ { \mathrm { I } } ( t ) = \sum _ { n } p _ { n } ( t ) | \psi _ { n , { \mathrm { I } } } ( t ) \rangle \langle \psi _ { n , { \mathrm { I } } } ( t ) | = \sum _ { n } p _ { n } ( t ) e ^ { i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t / \hbar } | \psi _ { n , { \mathrm { S } } } ( t ) \rangle \langle \psi _ { n , { \mathrm { S } } } ( t ) | e ^ { - i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t / \hbar } = e ^ { i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t / \hbar } \rho _ { \mathrm { S } } ( t ) e ^ { - i H _ { 0 , { \mathrm { S } } } t / \hbar } .
\mathcal { V } _ { m } ^ { \prime } ( t ) \triangleq \{ v _ { m } ^ { s } ( t + 1 ) , \varphi _ { m } ( t ) | v _ { m } ^ { s } ( t + 1 ) \in \mathcal { V } ^ { s } , \varphi _ { m } ( t ) \in \varPhi , ( \varphi _ { m } ( t - 1 ) - \triangle \varphi _ { \operatorname* { m a x } } ) \textrm { m o d } 2 \pi \leq \varphi _ { m } ( t ) \leq ( \varphi _ { m } ( t - 1 ) + \triangle \varphi _ { \operatorname* { m a x } } ) \textrm { m o d } 2 \pi \}
T _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } F _ { X } \left( \frac { T ^ { \prime \prime } } { P _ { t } l _ { 0 } } \right) - \frac { 1 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \frac { T ^ { \prime \prime } } { P _ { t } l _ { 0 } } } \mathrm { \normalfont ~ I m } \left[ \phi _ { I } ( q | r _ { 0 } , \theta _ { 0 } ) \exp \left( - j q \frac { x P _ { t } l _ { 0 } } { T } \right) \, e ^ { j q \sigma ^ { 2 } } \right] e ^ { - x } d x \, q ^ { - 1 } d q .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle a \right\rangle = } & { \left\langle \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial a ^ { 2 } } a \, \right\rangle = 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left\langle a ^ { 2 } \right\rangle = } & { \left\langle \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial a ^ { 2 } } a ^ { 2 } \, \right\rangle = 1 . } \end{array}
{ \widetilde { g } } ^ { a b } \equiv { \left[ \begin{array} { l l } { g ^ { \mu \nu } } & { - A ^ { \mu } } \\ { - A ^ { \nu } } & { g _ { \alpha \beta } A ^ { \alpha } A ^ { \beta } + { \frac { 1 } { \phi ^ { 2 } } } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } & { \frac { \Phi _ { i , j } ^ { n + 1 } - \Phi _ { i , j } ^ { n } } { \Delta t } + \frac { ( \Phi ^ { n + 1 } u ) _ { e } - ( \Phi ^ { n + 1 } u ) _ { w } } { h _ { x } } + \frac { ( \Phi ^ { n + 1 } v ) _ { n } - ( \Phi ^ { n + 1 } v ) _ { s } } { h _ { y } } } \\ & { = \frac { D _ { e } \frac { \Phi _ { i + 1 , j } ^ { n + 1 } - \Phi _ { i , j } ^ { n + 1 } } { h x } - D _ { w } \frac { \Phi _ { i , j } ^ { n + 1 } - \Phi _ { i - 1 , j } ^ { n + 1 } } { h _ { x } } } { h _ { x } } + \frac { D _ { n } \frac { \Phi _ { i , j + 1 } ^ { n + 1 } - \Phi _ { i , j } ^ { n + 1 } } { h y } - D _ { s } \frac { \Phi _ { i , j } ^ { n + 1 } - \Phi _ { i , j - 1 } ^ { n + 1 } } { h _ { y } } } { h _ { y } } + S ( \Phi _ { i , j } ^ { n + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| J _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } } & { = } & { \| \phi \| _ { 0 , e } + \| [ \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) ] _ { e } \| _ { 0 , e } } \\ & { \lesssim } & { C _ { 1 } \sum _ { i = 1 , 2 } \Big ( h _ { e } ^ { 1 / 2 } \left( \| R _ { 3 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau _ { i } } + \| \nabla \cdot \left( \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau _ { i } } \right) \Big . } \\ & { } & { \Big . + h _ { e } ^ { - 1 / 2 } \left( \left\| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau _ { i } } + \left\| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau _ { i } } \right) \Big ) . } \end{array}