harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mu _ { \phi } ( \mathbb H ) = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \varepsilon ^ { \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 } } \int _ { \mathbb H } e ^ { \gamma \phi _ { \varepsilon } ( z ) } d ^ { 2 } z \qquad \mathrm { a n d } \qquad \nu _ { \phi } ( \mathbb R ) = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \varepsilon ^ { \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } } \int _ { \mathbb R } e ^ { \frac { \gamma } { 2 } \phi _ { \varepsilon } ( z ) } d z .
\{ K \} ( z ) \{ K \} ( w ) = { \frac { c _ { g / u ( 1 ) ^ { d } } } { 2 ( z - w ) ^ { 4 } } } + { \frac { 2 \{ K \} ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } } + { { \frac { \partial _ { w } \{ K \} ( w ) } { z - w } } } ,
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { s u p } _ { { \bf v } \in { \bf V } } \frac { b ( \boldsymbol \lambda , { \bf v } ) } { | | { \bf v } | | _ { { \bf V } } } } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { { \bf v } \in { { \bf V } } } \frac { \sum _ { i } < \lambda _ { i } , v _ { i } - v _ { \gamma } > _ { \gamma } } { | | { \bf v } | | _ { { \bf V } } } \geq \frac { 1 } { 2 } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { v _ { 1 } \in V ^ { 1 } } \frac { < \lambda _ { 1 } , v _ { 1 } > _ { \gamma } } { | | v _ { 1 } | | _ { 1 , \Omega _ { 1 } } } + \operatorname* { s u p } _ { v _ { 2 } \in V ^ { 2 } } \frac { < \lambda _ { 2 } , v _ { 2 } > _ { \gamma } } { | | v _ { 2 } | | _ { 1 , \Omega _ { 2 } } } \Big ) } \\ & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { v _ { 1 } \in H _ { 0 , \partial \Omega _ { 1 } \backslash \gamma } ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } \frac { < \lambda _ { 1 } , v _ { 1 } > _ { \gamma } } { | | v _ { 1 } | | _ { 1 , \Omega _ { 1 } } } + \operatorname* { s u p } _ { v _ { 2 } \in H _ { 0 , \partial \Omega _ { 2 } \backslash \gamma } ^ { 1 } ( \Omega _ { 2 } ) } \frac { < \lambda _ { 2 } , v _ { 2 } > _ { \gamma } } { | | v _ { 2 } | | _ { 1 , \Omega _ { 2 } } } \Big ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( \| \lambda _ { 1 } \| _ { - 1 / 2 , \gamma } + \| \lambda _ { 2 } \| _ { - 1 / 2 , \gamma } \Big ) \geq \frac { 1 } { 2 } \| \boldsymbol \lambda \| _ { \boldsymbol \Lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + ( \lambda _ { 2 } ^ { * } - \lambda _ { 2 } ) ( \mathbf { P } ) _ { 1 2 } , } \\ & { } & { \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } + ( \lambda _ { 2 } ^ { * } - \lambda _ { 2 } ) ( \mathbf { P } ) _ { 1 3 } , } \\ & { } & { \psi _ { 2 } ^ { ( 3 ) } = \psi _ { 1 } ^ { ( 3 ) } + ( \lambda _ { 2 } ^ { * } - \lambda _ { 2 } ) ( \mathbf { P } ) _ { 1 4 } . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } ( \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } ) = \mathbf { A } \cdot \nabla ^ { 2 } \mathbf { B } - \mathbf { B } \cdot \nabla ^ { 2 } \! \mathbf { A } + 2 \nabla \cdot ( ( \mathbf { B } \cdot \nabla ) \mathbf { A } + \mathbf { B } \times ( \nabla \times \mathbf { A } ) )
I ( 0 , z ) = { \frac { P _ { 0 } } { \pi } } \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 } { \frac { \left[ - ( - 2 ) ( 2 r ) e ^ { - 2 r ^ { 2 } / w ^ { 2 } ( z ) } \right] } { w ^ { 2 } ( z ) ( 2 r ) } } = { \frac { 2 P _ { 0 } } { \pi w ^ { 2 } ( z ) } } .
0 \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 2 n + 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 2 n + 2 } \, d x = { \frac { 1 } { 2 n + 3 } } \; \rightarrow 0 { \mathrm { ~ a s ~ } } n \rightarrow \infty .
H _ { m } \left( \frac b s \right) = E _ { r , c ( \mathcal S _ { m } ) } \left( \frac b s \right) \sum _ { \substack { d _ { 1 } , d _ { 2 } | Q \, 1 < d _ { i } } } \frac { \mu ( d _ { 1 } ) \mu ( d _ { 2 } ) } { \phi ( d _ { 1 } ) \phi ( d _ { 2 } ) } \sum _ { \substack { e _ { 1 } , e _ { 2 } \, 1 \le e _ { i } \le d _ { i } \, ( e _ { i } , d _ { i } ) = 1 \, \frac { e _ { 1 } } { d _ { 1 } } + \frac { e _ { 2 } } { d _ { 2 } } = \frac b s \bmod 1 } } 1 .
\begin{array} { r l } { \left( A _ { 5 7 } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 5 } \right) \Bigg [ } & { { } \frac { \partial } { \partial x _ { n } } \left( u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { t _ { 1 } } } \left( u _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } \right) } \end{array}
\mathbf { J } = { \left[ \begin{array} { l l l } { { \cfrac { \partial x _ { 1 } } { \partial q ^ { 1 } } } } & { { \cfrac { \partial x _ { 1 } } { \partial q ^ { 2 } } } } & { { \cfrac { \partial x _ { 1 } } { \partial q ^ { 3 } } } } \\ { { \cfrac { \partial x _ { 2 } } { \partial q ^ { 1 } } } } & { { \cfrac { \partial x _ { 2 } } { \partial q ^ { 2 } } } } & { { \cfrac { \partial x _ { 2 } } { \partial q ^ { 3 } } } } \\ { { \cfrac { \partial x _ { 3 } } { \partial q ^ { 1 } } } } & { { \cfrac { \partial x _ { 3 } } { \partial q ^ { 2 } } } } & { { \cfrac { \partial x _ { 3 } } { \partial q ^ { 3 } } } } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { J } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { { \cfrac { \partial q ^ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \cfrac { \partial q ^ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } } & { { \cfrac { \partial q ^ { 1 } } { \partial x _ { 3 } } } } \\ { { \cfrac { \partial q ^ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \cfrac { \partial q ^ { 2 } } { \partial x _ { 2 } } } } & { { \cfrac { \partial q ^ { 2 } } { \partial x _ { 3 } } } } \\ { { \cfrac { \partial q ^ { 3 } } { \partial x _ { 1 } } } } & { { \cfrac { \partial q ^ { 3 } } { \partial x _ { 2 } } } } & { { \cfrac { \partial q ^ { 3 } } { \partial x _ { 3 } } } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r l } { { 1 9 } } & { e _ { a } } & { ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } ) = } & { a ^ { q } ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } ) - a ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } ) , } \\ & { e _ { b } } & { ( \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } ) = } & { b ^ { q } \big ( \mathbf { E } _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { H } _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } \big ) - b \big ( \mathbf { E } _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { H } _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { J } _ { h _ { \mathrm { M S } } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal T } _ { 1 1 } } & { = } & { \Big ( - { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } C _ { 2 0 } + 2 C _ { 2 2 } \Big ) R ^ { 2 } , \qquad { \cal T } _ { 1 2 } = 2 S _ { 2 2 } R ^ { 2 } , } \\ { { \cal T } _ { 2 2 } } & { = } & { \Big ( - { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } C _ { 2 0 } - 2 C _ { 2 2 } \Big ) R ^ { 2 } , \qquad { \cal T } _ { 1 3 } = C _ { 2 1 } R ^ { 2 } , } \\ { { \cal T } _ { 3 3 } } & { = } & { { \textstyle \frac { 2 } { 3 } } C _ { 2 0 } R ^ { 2 } , \qquad \qquad \qquad \quad ~ ~ { \cal T } _ { 2 3 } = S _ { 2 1 } R ^ { 2 } , } \end{array}
\mathrm { d i s t } _ { { \mathscr { D } _ { \mu } ( M ) } } ( \varphi , \mathrm { i d } ) \leq \mathscr { L } [ \{ \gamma _ { \tau } \} _ { \tau \in [ 0 , 1 ] } ] \leq T \left( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \| \dot { \gamma } _ { \tau / T } ( \cdot ) \| _ { L ^ { 2 } ( M ) } ^ { 2 } \mathrm { d } t \right) ^ { 1 / 2 } \leq T \sqrt { \mathsf { E } }
{ \frac { 1 } { 4 } } { \frac { \partial v ( x ) } { \partial x } } \Bigg \vert _ { x = x ^ { * } } = { \frac { 1 } { G } } - { \mathrm { e } } ^ { - x ^ { * } } + x ^ { * } E _ { 1 } ( x ^ { * } ) - { \frac { 3 \alpha ( \Lambda ) } { 8 ( 3 \pi - \alpha ( \Lambda ) \ln x ^ { * } ) x ^ { * } } } = 0
A { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) } = \mathbf { a } _ { 1 } , \quad A { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) } = \mathbf { a } _ { 2 } , \quad \ldots , \quad A { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right) } = \mathbf { a } _ { n } .
\sigma _ { d } ( \bar { r } ; b , ; \beta , x _ { \cal P } ) = \int _ { c - i \infty } ^ { c + i \infty } \frac { d \gamma } { 2 \pi i } \, b a r { r } ^ { 2 - \gamma } \ \tilde { \sigma } _ { d } ( \gamma ; b ; \beta , x _ { \cal P } )
\Sigma _ { t s } = n _ { \beta } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { N } } ^ { \pi } \frac { b _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \frac { 1 } { \sin ^ { 4 } ( \theta / 2 ) } \sin \theta \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \varphi .
\| \mathcal { A } - \widehat { \mathcal { A } } \| _ { F } \leq \sum _ { n = 1 } ^ { N } \| ( \mathcal { A } \times _ { 1 } { \bf Q } _ { 1 } ^ { \top } \times _ { 2 } \mathbf { Q } _ { 2 } ^ { \top } \dots \times _ { n - 1 } \mathbf { Q } _ { n - 1 } ^ { \top } ) \times _ { n } ( \mathbf { I } _ { I _ { n } } - { \bf Q } _ { n } { \bf Q } _ { n } ^ { \top } ) \| _ { F } .
\begin{array} { r } { \operatorname { \mathbb P } \left( \left| \frac 1 n \sum _ { i = 1 } ^ { n } [ W _ { i } - \operatorname { \mathbb E } [ W _ { i } ] ] \right| > t \right) \le 2 \exp \left( - c \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { t ^ { 2 } } { K _ { 1 } ^ { 4 } ( 1 + M r _ { n } ) ^ { 2 } } , \frac { t } { K _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + M r _ { n } ) } \right\} \right) . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { s o f t } } = - \left( m _ { 0 } ^ { 2 } \right) _ { i j } C _ { i } ^ { * } C _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( m _ { 1 / 2 } \right) _ { j } \lambda _ { j } \lambda _ { j } + \mathrm { h . c . } \right] - \left[ \frac { 1 } { 6 } A _ { i j k } C _ { i } C _ { j } C _ { k } + B \mu H _ { 1 } H _ { 2 } + \mathrm { h . c . } \right]
\alpha _ { 1 } \alpha _ { n 0 } ^ { \mathrm { T E , ~ H W G } } = 3 2 \pi ^ { 2 } \frac { w _ { \mathrm { x } } w _ { \mathrm { y } } } { p _ { \mathrm { x } } h _ { 1 } } \bigg [ \frac { \cos ( k _ { n } ^ { \mathrm { ( H W G ) } } w _ { \mathrm { x } } / 2 ) } { ( k _ { n } ^ { \mathrm { ( H W G ) } } w _ { \mathrm { x } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } \bigg ] ^ { 2 }
\widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) \xrightarrow { \textup { r e s } _ { p } } H ^ { 1 } ( G _ { p } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) \xrightarrow { \partial _ { \textup { \bf f } } ^ { 1 } } \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { 0 } ) \, \qquad \qquad [ x _ { p } ] \mapsto [ ( 0 , 0 , x _ { p } ) ] \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 - q ^ { \lambda ^ { N } ( T ) _ { I } + p _ { I } - ( \lambda ^ { N } ( T ) _ { J } + p _ { J } + 1 ) } t ^ { J - I + 1 } } { 1 - q ^ { \lambda ^ { N } ( T ) _ { I } + p _ { I } - ( \lambda ^ { N } ( T ) _ { J } + p _ { J } ) } t ^ { J - I } } } & { = \frac { 1 - q ^ { N - \lambda _ { l - I + 1 } + p _ { I } - ( N - \lambda _ { l - J + 1 } + p _ { J } + 1 ) } t ^ { J - I + 1 } } { 1 - q ^ { N - \lambda _ { l - I + 1 } + p _ { I } - ( N - \lambda _ { l - J + 1 } + p _ { J } ) } t ^ { J - I } } } \\ & { = \frac { 1 - q ^ { \lambda _ { l - J + 1 } - \lambda _ { l - I + 1 } + p _ { I } - p _ { J } - 1 } t ^ { J - I + 1 } } { 1 - q ^ { \lambda _ { l - J + 1 } - \lambda _ { l - I + 1 } + p _ { I } - p _ { J } } t ^ { J - I } } } \\ { ( \mathrm { c h a n g e ~ t h e ~ v a r i a b l e s ~ } J = l + 1 - i , I = l + 1 - j ) \qquad } & { = \frac { 1 - q ^ { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } + p _ { l + 1 - j } - p _ { l + 1 - i } - 1 } t ^ { j - i + 1 } } { 1 - q ^ { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } + p _ { l + 1 - j } - p _ { l + 1 - i } } t ^ { j - i } } } \\ { ( p _ { l + 1 - i } = s - q _ { i } , p _ { l + 1 - j } = s - q _ { j } ) \qquad } & { = \frac { 1 - q ^ { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } + q _ { i } - q _ { j } - 1 } t ^ { j - i + 1 } } { 1 - q ^ { \lambda _ { i } - \lambda _ { j } + q _ { i } - q _ { j } } t ^ { j - i } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \textbf { v } } = \frac { \textbf { u } ( \textbf { x } ) - \textbf { v } } { \textrm { S t } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \dot { \textbf { x } } = \textbf { v } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { z } ( \mathbf { q } , r , \mathbf { w } , d ) : = \Big \lbrace ( \mathbf { x } , \mathbf { u } ) } & { \mid x _ { 0 } = \hat { x } } \\ { x _ { k + 1 } } & { = f _ { k } ( x _ { k } , u _ { k } , w _ { k } , d ) } \\ { u _ { k } } & { = \pi _ { k } ( x _ { 0 } , \ldots , x _ { k } ; q _ { 0 } , \ldots , q _ { k } , r ) } \\ { k } & { = 0 , 1 , \ldots , N - 1 \Big \rbrace . } \end{array}
\{ \underline { { Q } } _ { \underline { { \alpha } } } , \underline { { Q } } _ { \underline { { \beta } } } \} = 2 i P _ { \underline { { a } } } ( C \Gamma ^ { \underline { { a } } } ) _ { \underline { { \alpha } } \underline { { \beta } } } , \quad [ \underline { { Q } } _ { \underline { { \alpha } } } , P _ { \underline { { a } } } ] = 0 .
\begin{array} { r } { \boldsymbol C _ { 1 t } = \left( \begin{array} { c c c } { - \beta ( \delta _ { D } + 2 \delta _ { E } ) - \delta _ { D } \sigma } & { \beta ( \delta _ { E } - \delta _ { D } ) } & { \beta ( \delta _ { E } - \delta _ { D } ) } \\ { \beta ( \delta _ { E } - \delta _ { D } ) } & { - \beta ( \delta _ { D } + 2 \delta _ { E } ) - \delta _ { D } \sigma } & { \beta ( \delta _ { E } - \delta _ { D } ) } \\ { \beta ( \delta _ { E } - \delta _ { D } ) } & { \beta ( \delta _ { E } - \delta _ { D } ) } & { - \beta ( \delta _ { D } + 2 \delta _ { E } ) - \delta _ { D } \sigma } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { H } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( u _ { R } + u _ { L } \right) , } \\ { u _ { V } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( u _ { R } - u _ { L } \right) , } \\ { u _ { D } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( e ^ { i \pi / 4 } u _ { R } + e ^ { - i \pi / 4 } u _ { L } \right) , } \\ { u _ { A } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( e ^ { i \pi / 4 } u _ { R } - e ^ { - i \pi / 4 } u _ { L } \right) . } \end{array}
S _ { i j } \left( \theta - \frac { i \pi } { h } \right) S _ { i j } \left( \theta + \frac { i \pi } { h } \right) = \prod _ { l = 1 } ^ { r } S _ { i l } \left( \theta \right) ^ { I _ { l j } } \qquad \theta \neq 0 \, \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { i } ^ { l \alpha } } & { = \left( \mathbf { h } _ { i } ^ { l \alpha } , \mathbf { g } ^ { l \uparrow } , \mathbf { g } ^ { l \downarrow } , \mathbf { g } _ { i } ^ { l \alpha \uparrow } , \mathbf { g } _ { i } ^ { l \alpha \downarrow } \right) , } \\ { \mathbf { g } ^ { l \uparrow } } & { = \frac { 1 } { N ^ { \uparrow } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \uparrow } } \mathbf { h } _ { j } ^ { l \uparrow } , \quad \mathbf { g } ^ { l \downarrow } = \frac { 1 } { N ^ { \downarrow } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \downarrow } } \mathbf { h } _ { j } ^ { l \downarrow } , } \\ { \mathbf { g } _ { i } ^ { l \alpha \uparrow } } & { = \frac { 1 } { N ^ { \uparrow } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \uparrow } } \mathbf { h } _ { i j } ^ { l \alpha \uparrow } , \quad \mathbf { g } _ { i } ^ { l \alpha \downarrow } = \frac { 1 } { N ^ { \downarrow } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \downarrow } } \mathbf { h } _ { i j } ^ { l \alpha \downarrow } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { i j } } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( 2 j + 1 ) ! ! } \int d K E _ { \mathbf { k } } ^ { i - 2 j } b _ { \mathbf { k } } ^ { j } f _ { 0 \mathbf { k } } , } \\ { J _ { i j } } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { ( 2 j + 1 ) ! ! } \int d K E _ { \mathbf { k } } ^ { i - 2 j } b _ { \mathbf { k } } ^ { j } f _ { 0 \mathbf { k } } \tilde { f } _ { 0 \mathbf { k } } , } \\ { G _ { i j } } & { = J _ { i 0 } J _ { j 0 } - J _ { i - 1 , 0 } J _ { j + 1 , 0 } , } \\ { D _ { i j } } & { = J _ { i + 1 , j } J _ { i - 1 , j } - ( J _ { i j } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i } ( n ) } & { = ( f _ { i - 1 } * [ h ] _ { \uparrow 2 ^ { i - 1 } } ) ( n ) , } \\ { F _ { i } ( n ) } & { = ( f _ { i } * [ q _ { 1 2 } ] _ { \uparrow 2 ^ { i } } ) ( n ) , } \\ { W _ { f } ( \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } } { 2 ^ { i + j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } , n ) } & { = \sqrt { \frac { \tilde { w } _ { \mathrm { m a x } } \Delta x } { 2 ^ { i + j / N _ { \mathrm { s u b s } } } } } ( F _ { i } * [ q _ { j } ] _ { \uparrow 2 ^ { i } } ) ( n ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { | V _ { t s } | } } & { { \approx } } & { { A \, \lambda ^ { 2 } = 0 . 0 3 9 5 \pm 0 . 0 0 1 9 \, , } } \\ { { | V _ { t d } | } } & { { \approx } } & { { A \, \lambda ^ { 3 } \sqrt { ( 1 - \rho ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } = 0 . 0 0 4 \sim 0 . 0 1 3 \, . } } \end{array}
{ \cal D } _ { 2 } = \frac { 1 } { 1 + b a _ { 2 } ( e ^ { t } ) } \cdot \frac { d } { d t } \equiv \frac { d } { d \tau } \; ; \; \; \; \tau = t + b \int _ { 0 } ^ { t } a ( e ^ { t ^ { \prime } } ) d t ^ { \prime } \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { \Omega } p _ { q ^ { * } } ( G _ { i } , \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } ) \ln \left[ 1 - ( 1 - q ^ { * } ) \, \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } \cdot C ( G _ { i } ) \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } p _ { q ^ { * } } ( G _ { m } ^ { * } , \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } ) \ln \left[ 1 - ( 1 - q ^ { * } ) \, \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } \cdot C ( G _ { m } ) \right] . } \end{array}
\frac { W _ { \mathrm { P 2 P } } ( N _ { t } ^ { \kappa } + \delta N ) } { W _ { \mathrm { P 2 P } } ( N _ { t } ^ { \kappa } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \quad \mathrm { f o r ~ } \delta N _ { \mathrm { f } } = 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \quad \mathrm { f o r ~ } \delta N _ { \mathrm { f } } \to 0 , } \\ { 2 \quad \mathrm { f o r ~ } \delta N _ { \mathrm { f } } = \frac { N _ { 0 } } { 2 } . } \end{array} \right.
\chi _ { \boldsymbol { p } } ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - \dot { \iota } ( E _ { \boldsymbol { p } } t - \boldsymbol { p \cdot r } ) } e ^ { - \dot { \iota } \Gamma ( \boldsymbol { r } , t ) } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \delta G _ { b \sigma a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ) } { \delta A _ { \textrm { p r o b } } ^ { x } ( t ^ { \prime } ) } } \\ { = } & { - \sum _ { c , d } \sum _ { \sigma ^ { \prime } } v _ { c d \sigma ^ { \prime } } ^ { ( \textrm { C } ) x } ( \mathbf { k } , t ^ { \prime } ) \Bigl [ G _ { b \sigma c \sigma ^ { \prime } } ^ { \textrm { R } } ( \mathbf { k } ; t , t ^ { \prime } ) G _ { d \sigma ^ { \prime } a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t ^ { \prime } , t ) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + G _ { b \sigma c \sigma ^ { \prime } } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ^ { \prime } ) G _ { d \sigma ^ { \prime } a \sigma } ^ { \textrm { A } } ( \mathbf { k } ; t ^ { \prime } , t ) \Bigr ] , } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \omega } \partial _ { \omega } \Bigg | \left( \frac { h _ { \sharp } ( \omega , 1 ) - h _ { 0 } } { v } \right) \Bigg | = \left| \partial _ { \lambda } \left( \frac { h _ { \sharp } - h _ { 0 } } { v } \right) \right| = \left| \partial _ { \lambda } \eta \partial _ { \eta } \left( \frac { h _ { \sharp } - h _ { 0 } } { v } \right) \right| \lesssim \left| \partial _ { \eta } \left( \frac { h _ { \sharp } - h _ { 0 } } { v } \right) \right|
p _ { \mathrm { 1 x } } [ T ( t ) ] \equiv \int _ { T ( t _ { \mathrm { m a x } } ) } ^ { T ( 0 ) } d T \, p _ { \mathrm { 1 x } } \big ( T ; T ( t ) \big ) = \int _ { T ( t _ { \mathrm { m a x } } ) } ^ { T ( 0 ) } d T \, p _ { \mathrm { f i r s t - n u c } } \big ( T ; T ( t ) \big ) \times p _ { \mathrm { n o - s e c - n u c } } \big ( T ; T ( t ) \big ) .
\begin{array} { r l } { U } & { { } \equiv \left( 1 - \frac { k _ { \parallel } v _ { \parallel } ^ { \prime } } { \omega } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial v _ { \perp } ^ { \prime } } + \frac { k _ { \parallel } v _ { \perp } ^ { \prime } } { \omega } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial v _ { \parallel } ^ { \prime } } } \\ { z } & { { } \equiv \frac { k _ { \perp } v _ { \perp } ^ { \prime } } { \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x _ { 0 } ) - u ( \gamma ( - t ) ) } & { \leq \int _ { - t } ^ { 0 } \big [ L \bigl ( \gamma ( s ) , \dot { \gamma } ( s ) , \varphi ( \gamma ( s ) ) \bigr ) + c \big ] \, \mathrm { d } s } \\ & { \leq \int _ { - t } ^ { 0 } \big [ L \bigl ( \gamma ( s ) , \dot { \gamma } ( s ) , \psi ( \gamma ( - s ) ) \bigr ) + c \big ] \, \mathrm { d } s } \\ & { = w ( x _ { 0 } ) - w ( \gamma ( - t ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \Lambda _ { 0 } , q _ { 0 } ) \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { r } ) } { r ^ { n } } \right) } & { \geq \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { s } ) } { s ^ { n } } \right) - C ( \Lambda _ { 0 } , q _ { 0 } ) - C \int _ { s } ^ { r } \frac { \xi _ { + } ( B _ { \rho } ) } { \rho ^ { n + 1 } } } \\ & { \geq \left( \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { s } ) } { s ^ { n } } \right) - C ( \Lambda _ { 0 } , q _ { 0 } ) - C \int _ { s } ^ { r } \rho ^ { p _ { 3 } \gamma - n - 1 } \mu _ { \varepsilon } ( B _ { 2 \rho } ( x ) ) d \rho } \\ & { - C _ { \beta } \varepsilon \int _ { s } ^ { r } \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \left( \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) d \rho } \\ & { - \int _ { s } ^ { r } \tilde { C } _ { \beta } \varepsilon \rho ^ { \gamma - 2 } \left( 1 + \int _ { \{ | u _ { \varepsilon } | \geq 1 \} \cap B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } W ^ { \prime } ( u _ { \varepsilon } ) ^ { 2 } \right) d \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \{ } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \zeta ^ { 2 } } \frac { d } { d \zeta } ( \zeta ^ { 2 } \frac { d } { d \zeta } ) + \frac { 1 } { 2 } \zeta ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } u - \mu ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \langle 2 \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \xi _ { j } - \overleftarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } \Phi _ { j } , f ( \eta ) \bigg \rangle _ { L ^ { 2 } ( \nu _ { n } ) } } & { = 2 \sum _ { j \in \mathbb { Z } } E _ { \nu _ { n } } [ F _ { j } ( \xi _ { j } - \xi _ { j - 1 } ) f ] } \\ & { = 2 \sum _ { j \in \mathbb { Z } } E _ { \nu _ { n } } [ F _ { j + 1 } \overline { { \xi } } _ { j } ( \nabla _ { j , j + 1 } f ( \eta ) ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } ( x ) } & { \le \sum _ { q = 1 } ^ { \# A _ { 0 } } ( q d _ { n } ) ^ { - s } \mu _ { n } ( I _ { n , j } ) \lesssim r _ { n } ^ { - 2 } r _ { n } \lambda ^ { - n } \lambda ^ { n s } \sum _ { q = 1 } ^ { \# A _ { 0 } } q ^ { - s } } \\ & { \le r _ { n } ^ { - 1 } \lambda ^ { n ( s - 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \# A _ { 0 } } u ^ { - s } \, \mathrm { d } u \le r _ { n } ^ { - 1 } \lambda ^ { n ( s - 1 ) } ( r _ { n } S _ { k } ) ^ { 1 - s } } \\ & { \lesssim r _ { n } ^ { - s } \lambda ^ { \frac { n } { 2 } ( s - 1 ) } = e ^ { n \{ \alpha s + \frac { 1 } { 2 } \log \lambda ( s - 1 ) \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Lambda } \left\vert \sum _ { k \in P _ { F } ^ { \sigma } } e ^ { i k x } \right\vert \, \textnormal { d } x } & { \leq C s _ { \sigma } ( \log N _ { \sigma } ) ^ { 3 } \leq C s ( \log N ) ^ { 3 } , } \\ { \int _ { \Lambda } \left\vert \sum _ { k \in P _ { F } ^ { \sigma } } k ^ { j } e ^ { i k x } \right\vert \, \textnormal { d } x } & { \leq C s _ { \sigma } \rho _ { \sigma } ^ { 1 / 3 } ( \log N _ { \sigma } ) ^ { 3 } \leq C s \rho ^ { 1 / 3 } ( \log N ) ^ { 3 } , } \\ { \int _ { \Lambda } \left\vert \sum _ { k \in P _ { F } ^ { \sigma } } k ^ { j } k ^ { j ^ { \prime } } e ^ { i k x } \right\vert \, \textnormal { d } x } & { \leq C s _ { \sigma } \rho _ { \sigma } ^ { 2 / 3 } ( \log N _ { \sigma } ) ^ { 4 } \leq C s \rho ^ { 2 / 3 } ( \log N ) ^ { 4 } , } \end{array}