harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { R _ { A } ( R _ { B } + D ) } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \, \Phi ^ { 2 } = { \frac { R _ { A } ( R _ { B } + D ) } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \, { \frac { \phi ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } } \, ,
L = \bar { \psi } i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi + { \bar { \psi } } \gamma ^ { \mu } ( B _ { \mu } + A _ { \mu } + \epsilon _ { \mu \nu } \partial ^ { \nu } \theta ) \psi + \partial ^ { \mu } \eta B _ { \mu } + \frac { 1 } { 2 \pi } \partial ^ { \mu } \theta \partial _ { \mu } \theta + \frac { 1 } { \pi } \epsilon ^ { \mu \nu } A _ { \mu } \partial _ { \nu } \theta \quad .
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ g ~ } } : \quad } & { { } g ^ { 7 } ( 1 ) = 1 , \; g ^ { 7 } ( 2 ) = 2 , \; g ^ { 7 } ( 3 ) = 2 , \; g ^ { 7 } ( 4 ) = 3 , \; g ^ { 7 } ( 5 ) = 3 , } \end{array}
\mathbf { F } _ { \nu } ^ { ( \alpha ) } = - \sum _ { l } \rho _ { l l } ^ { ( \alpha ) } \nabla _ { \nu } \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } + \sum _ { l , k } \rho _ { l k } ^ { ( \alpha ) } \Delta \epsilon _ { l k } ^ { ( \alpha ) } \mathbf { d } _ { \nu , l k } ^ { ( \alpha ) } C _ { k } ^ { ( \alpha ) } \, .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) _ { a } \otimes \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { D } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { a 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta L _ { \mathrm { r e s } } ( t \to \infty ) = - 2 \pi N _ { \varphi } \int } & { { } \mathrm { d } J _ { \mathrm { f } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \mathrm { d } \phi \, \int _ { 0 } ^ { I _ { + } ( \phi ) } \mathrm { d } I \, I } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \mu _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } ( \tilde { Q } ) - \mu ( \tilde { Q } ) ) ( x ) } & { \leq } & { \operatorname* { i n f } _ { \alpha } \parallel \Pi _ { { \cal F } ^ { ( 0 ) } ( { \cal R } ) } \left( \tilde { \phi } _ { x } - \sum _ { v \in { \cal R } ( d , J ) } \alpha _ { x } ( v ) \tilde { \phi } _ { v } \right) \parallel _ { \mu } \parallel \tilde { Q } _ { J , \beta _ { J } ^ { * } } - \tilde { Q } \parallel _ { \mu } } \\ & { = } & { O ( r ( d , J ) ^ { 2 } ) , } \end{array}
V ( \vec { p } \, ^ { \prime } , \vec { p } \, ) = \sqrt { \frac { M + m } { W ( \vec { p } \, ^ { \prime } ) } } { \cal V } ( \vec { p } \, ^ { \prime } , \vec { p } \, ) \sqrt { \frac { M + m } { W ( \vec { p } \, ) } } .
\sigma _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 8 } { \tau ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { [ \sin ( \frac { \omega \tau } { 2 } ) ] ^ { 4 } } { \omega ^ { 2 } } S _ { \mathrm { y } } ( \omega ) \mathrm { d } \omega .
\begin{array} { r l r } & { } & { ( g ( f + D ) ) ^ { [ p ] } } \\ & { = } & { ( g f + g D ) ^ { [ p ] } = g ^ { p } f ^ { p } + ( g D ) ^ { [ p ] } + \delta _ { g D } ^ { p - 1 } ( g f ) } \\ & { = } & { g ^ { p } f ^ { p } + g ^ { p } D ^ { [ p ] } + \delta _ { g D } ^ { p - 1 } ( g ) D + \delta _ { g D } ^ { p - 1 } ( g f ) } \\ & { = } & { g ^ { p } f ^ { p } + g ^ { p } D ^ { [ p ] } + \delta _ { g D } ^ { p - 1 } ( g ) D + g ^ { p } \delta _ { D } ^ { p - 1 } ( f ) + \delta _ { g D } ^ { p - 1 } ( g ) f } \\ & { = } & { g ^ { p } ( f + D ) ^ { [ p ] } + \delta _ { g D } ^ { p - 1 } ( g ) ( f + D ) = g ^ { p } ( f + D ) ^ { [ p ] } + \delta _ { g ( f + D ) } ^ { p - 1 } ( g ) ( f + D ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \varphi - \operatorname* { m a x } \{ \varphi _ { 5 } , \varphi _ { 6 } \} > 0 \quad } & & { \mathrm { i n } \; \overline { { \Omega } } \setminus ( \mathcal { D } _ { \epsilon / 1 0 } ^ { 5 } \cup \mathcal { D } _ { \epsilon / 1 0 } ^ { 6 } ) \, , } \\ & { \partial _ { e _ { S _ { 2 j } } } ( \varphi _ { 2 } - \varphi ) < 0 \quad } & & { \mathrm { i n } \; \overline { { \Omega } } \setminus \mathcal { D } _ { \epsilon / 1 0 } ^ { j } \; \mathrm { f o r } \; j = 5 , 6 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon } & { { } < \frac { 1 } { \Omega } \int _ { R > R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } g _ { \mu \nu \kappa } d ^ { 3 } \mathbf { R } \lesssim \frac { 2 \pi R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { \Omega \theta _ { \nu \kappa \omega } } g _ { \mu \nu \kappa } < \tau . } \end{array}
\sigma = \sqrt { 2 \left( s + b \right) \ln { \left( \frac { \left( s + b \right) \left( b + \sigma _ { b } ^ { 2 } \right) } { b ^ { 2 } + \left( s + b \right) \sigma _ { b } ^ { 2 } } \right) } - 2 \frac { b ^ { 2 } } { \sigma _ { b } ^ { 2 } } \ln { \left( 1 + \frac { \sigma _ { b } ^ { 2 } s } { b \left( b + \sigma _ { b } ^ { 2 } \right) } \right) } }
\tilde { m } _ { N } ^ { \pm } : = \frac { M _ { N } } { N ^ { 2 } } = \sum _ { \tilde { w } ^ { + } \in \mathcal { W } } \sum _ { \tilde { w } ^ { - } \in \mathcal { W } } \int _ { \mathcal { O } } \tilde { w } ^ { \pm } \tilde { g } ( v , \tilde { w } ^ { - } , \tilde { w } ^ { + } , t ) \, d v \, \Delta { \tilde { w } ^ { - } } \, \Delta { \tilde { w } ^ { + } }
\begin{array} { r l } { B _ { \bar { t } _ { s } } - B _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \mu \gamma } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } B _ { t } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } F _ { t } + \frac { 9 \gamma } { \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } C _ { t } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } } \\ & { \qquad + \frac { 9 I \eta ^ { 2 } \gamma L ^ { 2 } } { \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } D _ { \ell } + \frac { 9 I \gamma ^ { 3 } L ^ { 2 } } { \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { \ell } ^ { 2 } G _ { \ell } } \\ & { \leq - \frac { \mu \gamma } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } B _ { t } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } F _ { t } + \frac { 9 \gamma } { \mu } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } C _ { t } + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 2 \mu \gamma } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } E _ { t } } \\ & { \qquad + \frac { 9 L ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \gamma } { 1 6 ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } \mu } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { \ell } D _ { \ell } + \frac { 9 L ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } } { 1 6 ^ { 2 } \hat { L } ^ { 2 } \mu } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { \ell } G _ { \ell } } \end{array}
T _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { c _ { { s n } } \mathbf { k } ^ { T } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \nu _ { { d n } } \mathbf { I } } & { 0 } & { 0 } \\ { - i ( \alpha - 1 ) \nu _ { { L } } } & { 0 } & { i ( \alpha - 1 ) \nu _ { { L } } } & { c _ { { s n } } \mathbf { k } ^ { T } } \\ { - \frac { \epsilon Z c _ { { I A } } ^ { 2 } } { c _ { { s n } } } \mathbf { k } } & { i \nu _ { { i d } } } & { \frac { \left( c _ { { I A } } ^ { 2 } + c _ { { s i } } ^ { 2 } \right) } { c _ { { s n } } } \mathbf { k } } & { - i \left( \left( 1 - A _ { W } \right) \nu _ { { L } } + \nu _ { { i d } } + \nu _ { { i n } } \right) \mathbf { I } } \end{array} \right) , \ \ \ T _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \epsilon ^ { 2 } Z ^ { 2 } c _ { { I A } } ^ { 2 } } { c _ { { s n } } } \mathbf { k } } & { - i \nu _ { { i d } } \mathbf { I } } & { - \frac { \epsilon Z c _ { { I A } } ^ { 2 } } { c _ { { s n } } } \mathbf { k } } & { i \nu _ { { i d } } \mathbf { I } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \int _ { \bf \Pi _ { 0 } } ^ { \bf \Pi _ { 1 } } \left( \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { i } ) - \mathrm { T r } ( \mathcal { A } _ { j } ) \right) = \int _ { \bf \Pi _ { 0 } } ^ { \bf \Pi _ { 1 } } \mathrm { T r } ( g _ { i j } ^ { \dagger } ) d g _ { i j } = \left. \ln \operatorname* { d e t } g _ { i j } \right| _ { \bf \Pi _ { 0 } } ^ { \bf \Pi _ { 1 } } , } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d x { \frac { \mathrm { c o s } { k _ { y } x } } { \mathrm { c o s h } ^ { 2 } ( x / 2 ) } } = { \frac { 4 k _ { y } \pi } { \mathrm { s i n h } ( k _ { y } \pi / H _ { 5 } ) } } ,
\forall \, 1 \leq b < a \leq p , \quad \widehat { \mathfrak { i } } _ { A ( r ) } ( u _ { a } ) \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { B ( r ) } ( u _ { b } ) = q _ { a b } ^ { \prime } \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { B ( r ) } ( u _ { b } ) \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { A ( r ) } ( u _ { a } ) + \sum _ { s = 1 } ^ { b - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { p } \lambda _ { s t } ^ { a b } \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { B ( r ) } ( u _ { s } ) \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { A ( r ) } ( u _ { t } )
\begin{array} { c } { { Q = \mid \langle ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } ^ { ( 1 ) } { \bf n } ) \otimes ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } ^ { ( 2 ) } { \bf m } ) \rangle + \langle ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } ^ { ( 1 ) } { \bf n } ) \otimes ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } ^ { ( 2 ) } { \bf m } ^ { \prime } ) \rangle + } } \\ { { + \langle ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } ^ { ( 1 ) } { \bf n } ^ { \prime } \otimes ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } ^ { ( 2 ) } { \bf m } ) \rangle - \langle ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } ^ { ( 1 ) } { \bf n } ^ { \prime } ) \otimes ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } } ^ { ( 2 ) } { \bf m } ^ { \prime } ) \rangle \mid \le 2 , } } \end{array}
\frac { 2 ^ { k - 1 } \binom { d } { k } } { k \cdot 2 ^ { \frac { k } { 2 } + 1 } \cdot ( \frac { 3 } { 2 } ) ^ { d } } \sim \frac { 2 ^ { \frac { k } { 2 } - 2 } } { k } \sqrt { \frac { d } { 2 \pi k ( d - k ) } } \frac { d ^ { d } } { k ^ { k } ( d - k ) ^ { d - k } ( \frac { 3 } { 2 } ) ^ { d } } \geq \frac { C } { d \sqrt { d } } \bigg ( h \bigg ( \frac { k } { d } \bigg ) \bigg ) ^ { d } > \frac { C } { d \sqrt { d } } 1 . 0 1 ^ { d } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { M ^ { \pm } } _ { 5 , a } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = N _ { c } \frac { e _ { 1 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { 1 } } \gamma ^ { \mu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { 1 } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { 2 } } \gamma ^ { \nu } \right] } \\ & { } & { + N _ { c } \frac { e _ { 2 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { \mathrm { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { 2 } } \gamma ^ { \nu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { 1 } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { 2 } } \gamma ^ { \mu } \right] . } \end{array}
I _ { 2 } ( z _ { 0 } ; a _ { 1 } ) = { \frac { 3 a _ { 1 } } { 4 } } \Big ( \ln ( 1 + z _ { 0 } ) + 2 [ ( 1 + z _ { 0 } ) ^ { - 1 } - 1 ] - { \frac { 1 } { 2 } } [ ( 1 + z _ { 0 } ) ^ { - 2 } - 1 ] \Big ) .
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { i , j } ^ { c } ( t ) } & { { } = \log \frac { X _ { i , j } ^ { c } ( t ) } { X _ { i , j } ^ { c } ( t - 1 ) } } \\ { \hat { Y } _ { j } ^ { c } ( t ) } & { { } = \log \frac { Y _ { j } ^ { c } ( t ) } { Y _ { j } ^ { c } ( t - 1 ) } . } \end{array}
M _ { 0 } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 2 \lambda _ { 1 } v _ { \eta } ^ { 2 } - \frac { A } { \sqrt 2 v _ { \eta } ^ { 2 } } } } & { { \lambda _ { 4 } v _ { \eta } v _ { \rho } + \frac { A } { \sqrt 2 v _ { \eta } v _ { \rho } } } } & { { \lambda _ { 5 } v _ { \eta } v _ { \chi } + \frac { A } { \sqrt 2 v _ { \eta } v _ { \chi } } } } \\ { { } } & { { 2 \lambda _ { 2 } v _ { \rho } ^ { 2 } - \frac { A } { \sqrt 2 v _ { \rho } ^ { 2 } } } } & { { \lambda _ { 6 } v _ { \rho } v _ { \chi } + \frac { A } { \sqrt 2 v _ { \rho } v _ { \chi } } } } \\ { { } } & { { } } & { { 2 \lambda _ { 3 } v _ { \chi } ^ { 2 } - \frac { A } { \sqrt 2 v _ { \chi } ^ { 2 } } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { x _ { i } ( t + 1 ) } & { = \frac { x _ { i } ( t ) + ( x _ { j } ( t ) + c ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) } { 2 + | L _ { i j } ( t ) | } } \\ & { \geq \frac { x _ { i } ( t ) + ( x _ { j } ( t ) + c ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) + c ) } { 2 + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ { x _ { j } ( t + 1 ) } & { = \frac { ( x _ { i } ( t ) - c ) + x _ { j } ( t ) + | L _ { i j } ( t ) | ( \overline { { L _ { i j } } } ( t ) + c ) + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | ( \overline { { L _ { j i } ^ { \prime } } } ( t ) + c ) } { 2 + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \\ { x _ { i } ( t + 1 ) - x _ { j } ( t + 1 ) } & { \geq \frac { 2 c } { 2 + | L _ { i j } ( t ) | + | L _ { j i } ^ { \prime } ( t ) | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { T r } C _ { A , \mathrm { C h } } \rangle } & { = \langle \mathrm { T r } I \rangle = \frac { N } { 2 } , } \\ { \langle \mathrm { T r } C _ { A , \mathrm { C h } } ^ { 2 } \rangle } & { = \frac { 1 } { 2 } \langle \mathrm { T r } ( I + A ^ { T } A ^ { * } ) \rangle = \frac { 3 } { 8 } N , } \\ { \langle \mathrm { T r } C _ { A , \mathrm { C h } } ^ { 3 } \rangle } & { = \frac { 1 } { 4 } \langle \mathrm { T r } ( I + 3 A ^ { T } A ^ { * } ) \rangle = \frac { 5 } { 1 6 } N , } \\ { \langle \mathrm { T r } C _ { A , \mathrm { C h } } ^ { 4 } \rangle } & { = \frac { 1 } { 8 } \langle \mathrm { T r } ( I + 6 A ^ { T } A ^ { * } + ( A ^ { T } A ^ { * } ) ^ { 2 } ) \rangle = \frac { 3 5 } { 1 2 8 } N + O ( 1 ) , } \\ { \langle \mathrm { T r } C _ { A , \mathrm { C h } } ^ { 5 } \rangle } & { = \frac { 1 } { 1 6 } \langle \mathrm { T r } ( I + 1 0 A ^ { T } A ^ { * } + 5 ( A ^ { T } A ^ { * } ) ^ { 2 } ) \rangle = \frac { 6 3 } { 2 5 6 } N + O ( 1 ) , } \\ { \langle \mathrm { T r } C _ { A , \mathrm { C h } } ^ { 6 } \rangle } & { = \frac { 1 } { 3 2 } \langle \mathrm { T r } ( I + 1 5 ( A ^ { T } A ^ { * } ) + 1 5 ( A ^ { T } A ^ { * } ) ^ { 2 } + ( A ^ { T } A ^ { * } ) ^ { 3 } ) \rangle = \frac { 2 3 1 } { 1 0 2 4 } N + O ( 1 ) . } \end{array}
\textit { F } \textsubscript { ~ \textit { E } } ( r ) = A _ { C } e ^ { - ( \frac { r } { R _ { C } } ) ^ { 2 } } + A _ { T } \frac { 2 r ^ { \alpha } \mathrm { R } _ { T } ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } + \mathrm { R } _ { T } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \delta ^ { \epsilon } } & { \leq \mu \big ( B ( 1 ) \cap H _ { \theta } ( K , \delta ^ { - \sigma + \zeta } , [ \delta , 1 ] ) \big ) } \\ & { \leq \mu \big ( B ( 1 ) \cap H _ { \theta } ( K , \bar { \delta } ^ { - \sigma + \bar { \zeta } } , [ \bar { \delta } , 5 ] ) \big ) } \\ & { \qquad + C \delta ^ { - 2 \epsilon } \mu \big ( B ( 4 ) \cap H _ { \theta } ( K , \left( \delta / \bar { \delta } \right) ^ { - \sigma } , [ 4 \delta , 4 \bar { \delta } ] ) \big ) . } \end{array}
\left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| \geqslant \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } \right| } { 3 } = \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| } { 3 } + \frac { 2 \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| } { 3 }
{ \begin{array} { r l r l r l } { { 3 } r _ { 1 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 6 - ( \beta _ { 1 } + 1 \beta _ { 2 } ) , } & { } \\ { r _ { 2 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 5 - ( \beta _ { 1 } + 2 \beta _ { 2 } ) , } & { } \\ { r _ { 3 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 7 - ( \beta _ { 1 } + 3 \beta _ { 2 } ) , } & { } \\ { r _ { 4 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 1 0 - ( \beta _ { 1 } + 4 \beta _ { 2 } ) . } & { } \end{array} }
{ \frac { \Delta \varepsilon } { 2 } } = { \frac { \sigma _ { \mathrm { f } } ^ { \prime } } { E } } ( 2 N _ { \mathrm { f } } ) ^ { b } + \varepsilon _ { \mathrm { f } } ^ { \prime } ( 2 N _ { \mathrm { f } } ) ^ { c }
| \Phi ( \tau + \Delta \tau ) \rangle = \prod _ { \alpha } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \frac { x _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { \sqrt { - \Delta \tau } x _ { \alpha } L _ { \alpha } } d x _ { \alpha } | \Phi ( \tau ) \rangle = \int d \mathbf { x } P ( \mathbf { x } ) \hat { B } ( \mathbf { x } ) | \Phi ( \tau ) \rangle ,
E ( \boldsymbol { X } ) = \sum _ { i > j + 1 } V _ { \mathrm { N B } } ( r _ { i , j } ) + \sum _ { i } V _ { \mathrm { B } } ( r _ { i , i + 1 } ) + \sum _ { l } V _ { \mathrm { b e n d } } ( \theta _ { l } ) ,
d \rho ( g ) = \frac { d ^ { 3 } { \bf g } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } g ^ { 0 } } = \frac { d ^ { 3 } { \bf p } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } m ^ { 2 } \omega ( { \bf p } ) }
I _ { \mathrm { ~ c ~ C ~ o ~ M ~ } } ( \mathbf { r } _ { p } ) = \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } y } ( \mathbf { r } _ { p } ) - \frac { \partial } { \partial y _ { 0 } } I _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ M ~ } x } ( \mathbf { r } _ { p } ) = 0
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } } & { { } = Z _ { 1 1 } I _ { 1 } + Z _ { 1 2 } I _ { 2 } = Z _ { 1 1 } I _ { 1 } - Z _ { 1 2 } { \frac { Z _ { 2 1 } } { Z _ { 2 2 } } } \, I _ { 1 } } \end{array}
= \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} \right\} + { \mathrm { T r } } \left\{ { \hat { \Pi } } _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho ^ { \otimes n } \right\}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { T } } } & { = \frac { \hbar f } { 2 \sqrt { N } } \left( \hat { a } e ^ { - i \phi _ { \mathrm { O D F } } } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \phi _ { \mathrm { O D F } } } \right) \sum _ { i } ^ { N } \hat { \sigma } _ { i } ^ { z } } \\ & { - \hbar \delta \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + i \hbar \frac { g } { 2 } ( \hat { a } ^ { 2 } e ^ { - i \theta } - \hat { a } ^ { \dagger 2 } e ^ { i \theta } ) . } \end{array}
c = \sqrt [ 3 ] { \frac { | \Omega _ { 1 } | + \frac { 4 \pi } { 3 } \varepsilon ^ { 3 } } { | \Omega _ { 1 } | - | \Omega _ { 1 } \cap B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) | + \frac { 4 \pi } { 3 } \varepsilon ^ { 3 } } } \leq \sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 1 - 8 \varepsilon ^ { 3 } } } < 1 + 3 \varepsilon ^ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 5 } ^ { c } \right| \ \underset { r _ { i } \in \mathbb { N } } { = } \ } & { \frac 1 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } r _ { i } ^ { 4 } + 2 \sum _ { i < j } r _ { i } ^ { 2 } r _ { j } ^ { 2 } - \frac 5 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } r _ { i } ^ { 2 } + 2 \ , } \\ { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 5 } ^ { c } \right| \ \underset { r _ { 1 } , r _ { 2 } \in \mathbb { N } + \frac 1 2 } { = } \ } & { \frac 1 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \left\lfloor r _ { i } ^ { 2 } \right\rfloor ^ { 2 } + 2 \sum _ { i < j } \left\lfloor r _ { i } ^ { 2 } \right\rfloor \left\lfloor r _ { j } ^ { 2 } \right\rfloor - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left\lfloor r _ { i } ^ { 2 } \right\rfloor - \frac 1 2 \sum _ { i = 3 } ^ { 5 } r _ { i } ^ { 2 } \ , } \\ { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 5 } ^ { c } \right| \ \underset { r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } , r _ { 4 } \in \mathbb { N } + \frac 1 2 } { = } \ } & { \frac 1 2 \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \left\lfloor r _ { i } ^ { 2 } \right\rfloor ^ { 2 } + 2 \sum _ { i < j } \left\lfloor r _ { i } ^ { 2 } \right\rfloor \left\lfloor r _ { j } ^ { 2 } \right\rfloor - \frac 1 2 r _ { 5 } ^ { 2 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \dot { \mathbf r } } } & { = } & { P e _ { s } \hat { \mathbf n } + P e _ { f } \mathbf { \hat { u } ( \hat { r } ) } + \sqrt { 2 \hat { D } _ { T } } \; \hat { \xi } _ { r } } \\ { \hat { \dot { \phi } } } & { = } & { \hat { \Omega } _ { 0 } + \hat { \Omega } _ { f } ( \mathbf r ) + \sqrt { 2 } \; \hat { \xi } _ { \phi } } \end{array}
\vec { Q } = \frac { \partial \left( \rho \vec { u } _ { S T } ^ { \prime } \right) } { \partial t } \approx \frac { 3 \left( { \rho \vec { u } _ { S T } ^ { \prime } } - \rho \vec { u } ^ { n } \right) - \left( \rho \vec { u } ^ { n } - \rho \vec { u } ^ { n - 1 } \right) } { 2 \Delta t } \ .
V ( z , { \overline { { z } } } ) = { \tilde { V } } ( z , { \overline { { z } } } ) \exp ( i \sum _ { a } H _ { a } \rho _ { a } ( { \overline { { z } } } ) + i \sum _ { I } Q ^ { I } \phi ^ { I } ( { \overline { { z } } } ) + i \sum _ { A } Q ^ { A } \varphi ^ { A } ( z ) ) \exp ( i k _ { \mu } { \cal X } ^ { \mu } ( z , { \overline { { z } } } ) ) ~ ,
\begin{array} { r l } { \exp { ( \frac { \alpha _ { 0 } + \alpha _ { m a x } } { \alpha _ { d } } ) } } & { { } = \frac { K } { ( 1 - K ) ^ { 2 } } ( \frac { 2 c _ { 1 } } { \omega _ { c } \alpha _ { d } } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { - \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { - \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { 0 } \\ { 1 } & { - \beta \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { \beta \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { - \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { 1 } \\ { 0 } & { \beta \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { - \beta \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { k } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { r _ { - } } \\ { c _ { - } ^ { + } } \\ { c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - 2 i \mathbf { K } \cdot \mathbf { r } _ { j } } } \\ { t _ { - } \mathrm { e } ^ { - 2 i \mathbf { K } \cdot \mathbf { r } _ { j } } } \end{array} \right) = 0 } \end{array}
\mathcal { M } _ { a n . } ^ { ( 1 ) } ( b _ { 0 } ^ { 2 } , t , u ) = \mathcal { M } _ { a n . } ^ { ( 1 ) } ( s = 4 m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } , t = 0 , u = 0 ) + O ( \alpha ^ { 2 } ) .
g ( \mathbf { y } ) = f { \Big ( } H ^ { - 1 } ( \mathbf { y } ) { \Big ) } \left\vert \operatorname* { d e t } \left[ { \frac { d H ^ { - 1 } ( \mathbf { z } ) } { d \mathbf { z } } } { \Bigg \vert } _ { \mathbf { z } = \mathbf { y } } \right] \right\vert
{ H ^ { 3 D } = 0 . 6 5 9 \cdot \frac { B _ { R } } { \sigma \sqrt [ 3 ] { Y } } - 1 . 4 0 5 \cdot \frac { G _ { V } } { A _ { W } } \cdot \log { R _ { X } } - 0 . 0 4 2 \cdot \frac { F r } { R _ { N } \log { e l } } - 1 2 . 2 2 1 }
{ \mathrm { ~ R ~ M ~ E ~ } } = \left< \alpha \, J | | \hat { Q } _ { z z } | | \alpha \, J \right> = \frac { \left< \alpha \, J \, M _ { J } | \hat { Q } _ { z z } | \alpha \, J \, M _ { J } \right> \, \sqrt { 2 J + 1 } } { \left< J \, 2 \, M _ { J } \, 0 | J \, 2 \, J \, M _ { J } \right> }
\Delta D _ { \mathrm { r e n } } ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } } \, w _ { D } ( \tau _ { L } ) = { \frac { 8 } { \beta _ { 0 } } } \, { \frac { \Lambda _ { \mathrm { V } } ^ { 4 } } { Q ^ { 4 } } } - { \frac { 1 6 } { 3 \beta _ { 0 } } } \, \bigg ( \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \Lambda _ { \mathrm { V } } ^ { 2 } } } + { \frac { 3 } { 2 } } \bigg ) \, { \frac { \Lambda _ { \mathrm { V } } ^ { 6 } } { Q ^ { 6 } } } + O ( Q ^ { - 8 } ) \, .