harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \overline { { \mathcal { E } } } ( k , l ) = - \frac { 1 } { H } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } H _ { m } R e \Bigg ( } & { \widehat { \overline { { \psi } } } _ { m } ^ { * } \partial _ { t } \widehat { \overline { { q } } } _ { m } \Bigg ) = } \\ { \frac { 1 } { H } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } H _ { m } R e \Bigg ( } & { \underbrace { \widehat { \overline { { \psi } } } _ { m } ^ { * } \widehat { \nabla ( \overline { { \mathbf { u } _ { m } q _ { m } } } ) } } _ { \mathrm { e n e r g y ~ t r a n s f e r } } + \underbrace { \widehat { \overline { { \psi } } } _ { m } ^ { * } U _ { m } \widehat { \partial _ { x } \overline { { q } } } _ { m } } _ { \mathrm { e n e r g y ~ s o u r c e } } + \underbrace { \widehat { \overline { { \psi } } } _ { m } ^ { * } \delta _ { m , 2 } r _ { e k } \widehat { \nabla ^ { 2 } \overline { { \psi } } } _ { m } } _ { \mathrm { e n e r g y ~ d i s s i p a t i o n } } \Bigg ) . } \end{array}
\Phi _ { 3 } \equiv ( \phi _ { 3 } ^ { + } , \phi _ { 3 } ^ { 0 } ) \sim ( 1 , 2 , 1 ; - 1 / 2 , 1 ) , ~ ~ ~ ~ \Phi _ { 4 } \equiv ( \overline { { { \phi _ { 4 } ^ { 0 } } } } , - \phi _ { 4 } ^ { - } ) \sim ( 1 , 1 , 2 ; 1 / 2 , - 1 ) .
\frac { Z ( \lambda _ { k + 1 } ) } { Z ( \lambda _ { k } ) } = \sum _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } , C \in A } \mathbf { P } _ { s _ { 1 } , s _ { 2 } , C } ( \lambda _ { k } ) O _ { C } ( \lambda _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { w C _ { \varphi } ^ { N } ( x _ { N , k } ) } & { = w C _ { \varphi } ^ { N } ( e _ { k } ) } \\ & { \ \ + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] w C _ { \varphi } ^ { N } ( e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } ) } } \\ & { \ \ + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] w C _ { \varphi } ^ { N } ( e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } ) } } \\ & { = w _ { \varphi ^ { - N } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - ( N - 1 ) } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } e _ { \varphi ^ { - N } ( k ) } } \\ & { \ \ + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] \left[ w _ { \varphi ^ { n N - N } ( k ) } w _ { \varphi ^ { n N - ( N - 1 ) } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { n N - N } ( k ) } } } \\ & { \ \ + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] \left[ w _ { \varphi ^ { - n N - N } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - n N - ( N - 1 ) } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N - 1 } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - n N - N } ( k ) } } } \\ & { = w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - N } ( k ) } e _ { \varphi ^ { - N } ( k ) } + e _ { k } } \\ & { \ \ + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { ( n - 1 ) N - 1 } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { ( n - 1 ) N } ( k ) } } } \\ & { \ \ + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - ( n + 1 ) N } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - ( n + 1 ) N } ( k ) } } } \\ & { = e _ { k } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \left[ \frac { 1 } { w _ { k } w _ { \varphi ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { n N - 1 } ( k ) } } \right] e _ { \varphi ^ { n N } ( k ) } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \left[ w _ { \varphi ^ { - 1 } ( k ) } w _ { \varphi ^ { - 2 } ( k ) } \cdots w _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } \right] e _ { \varphi ^ { - n N } ( k ) } } } \\ & { = x _ { N , k } . } \end{array}
P ( f _ { k } ) = \frac { \left< | \hat { x } ( f _ { k } ) | ^ { 2 } \right> } { T _ { \mathrm { s } } } = \frac { \Delta t ^ { 2 } } { T _ { \mathrm { s } } } \left< | \mathrm { { F F T } \{ \{ \tilde { x } _ { j } \} _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } \} _ { k } | ^ { 2 } } \right> \ \ \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \ \ f _ { k } = \frac { k } { T _ { \mathrm { s } } } \ \ \ \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ k = 0 , 1 , 2 , \ldots , ( N _ { \mathrm { s } } - 1 ) / 2 \, ,
f ( x ) * g ( x ) \equiv \operatorname * { l i m } _ { y \rightarrow x } \exp \left( - \frac { i } { 2 } \theta ^ { \mu \nu } \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } \frac { \partial } { \partial y ^ { \nu } } \right) f ( x ) g ( y )
\sqrt { 2 } i h _ { 2 3 } ^ { \prime } ( 1 - { \frac { 3 } { 2 } } z ) \left[ - H _ { u } ( u _ { 2 } u _ { 3 } ^ { c } + u _ { 3 } u _ { 2 } ^ { c } + \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } ^ { c } + \nu _ { 3 } \nu _ { 2 } ^ { c } ) + H _ { d } ( d _ { 2 } d _ { 3 } ^ { c } + d _ { 3 } d _ { 2 } ^ { c } + e _ { 2 } e _ { 3 } ^ { c } + e _ { 3 } e _ { 2 } ^ { c } ) \right] ~ .
\begin{array} { r l } { \langle ( x - x ( t ) ) ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { \hbar } { 2 m \omega _ { \perp } } + \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( \sin ^ { 2 } ( \omega _ { \perp } t ) - \exp \left( - 2 m ( \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \omega _ { \perp } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \omega _ { z } ) / \hbar \right) \cos ^ { 2 } ( \omega _ { \perp } t ) \right) , } \\ { \langle ( y - y ( t ) ) ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { \hbar } { 2 m \omega _ { \perp } } + \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { c } } { 2 } t \right) \left( \sin ^ { 2 } ( \omega _ { \perp } t ) - \exp \left( - 2 m ( \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \omega _ { \perp } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \omega _ { z } ) / \hbar \right) \cos ^ { 2 } ( \omega _ { \perp } t ) \right) , } \\ { \langle ( z - z ( t ) ) ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { \hbar } { 2 m \omega _ { z } } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \left( \sin ^ { 2 } ( \omega _ { z } t ) - \exp \left( - 2 m ( \lambda _ { \perp } ^ { 2 } \omega _ { \perp } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \omega _ { z } ) / \hbar \right) \cos ^ { 2 } ( \omega _ { z } t ) \right) . } \end{array}
\mathcal { L } _ { t o t a l } = \underbrace { \sum _ { c = 1 } ^ { C } \Vert F _ { u } S _ { c } d _ { \theta } - m _ { c } \Vert _ { 2 } ^ { 2 } } _ { \mathcal { L } _ { D C } } + \lambda _ { S } \underbrace { \Vert T V _ { t } ( d _ { \theta } ) \Vert _ { 1 } } _ { \mathcal { L } _ { T V } } + \lambda _ { L } \underbrace { \Vert d _ { \theta } \Vert _ { * } } _ { \mathcal { L } _ { L R } } .
\begin{array} { r l } { v _ { z } ( r , z ) } & { { } = 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ \ } \quad r = a \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ \ } \quad | z | \leq L , } \\ { \frac { \partial v _ { z } } { \partial r } } & { { } = 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ \ } \quad r = a + h ( z , t ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ \ } \quad | z | \leq L . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { 0 } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { p } \mathbf { A } _ { k } \mathbf { \Gamma } ( - k \tau ) + \mathbf { U } \; \; \; \mathrm { ~ f o r ~ } i = 0 } \\ { \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { i } ) \; = \sum _ { k = 1 } ^ { p } \mathbf { A } _ { k } \mathbf { \Gamma } ( i - k \tau ) \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ f o r ~ } i \neq 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { q ( x , t ) = } & { \; \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } k \, m _ { 1 3 } ( x , t , k ) } \\ { = } & { \; c _ { 2 } e ^ { \theta _ { 1 3 } ( x , t , k _ { 0 } ) } m _ { 1 1 } ( x , t , k _ { 0 } ) + \omega ^ { 2 } c _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 2 } ( x , t , k _ { 0 } ) } m _ { 1 2 } ( x , t , \omega ^ { 2 } k _ { 0 } ) } \\ & { + \overline { { c _ { 2 } e ^ { \theta _ { 1 3 } ( x , t , k _ { 0 } ) } } } m _ { 1 2 } ( x , t , \bar { k } _ { 0 } ) + \omega \overline { { c _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 2 } ( x , t , k _ { 0 } ) } } } m _ { 1 1 } ( x , t , \omega \bar { k } _ { 0 } ) , } \end{array}
{ \bf K } _ { \mathrm { P C } , j i } = \int _ { \Theta } { \bf K } \left( \theta \right) \Gamma _ { i } \left( \theta \right) \Gamma _ { j } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) , \quad { \bf F } _ { \mathrm { P C } , j } = \int _ { \Theta } { \bf F } \left( \theta \right) \Gamma _ { j } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ^ { D } [ f ] } & { = \mathcal { E } ^ { \mathbb { R } ^ { d } } [ f ] = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac 1 t \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } p ( t , x , y ) f ( x ) [ f ( x ) - f ( y ) ] \, d y \, d x } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac 1 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } [ f ( y ) - f ( x ) ] ^ { 2 } p ( t , x , y ) / t \, d y \, d x } \\ & { = \frac 1 2 \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } [ f ( y ) - f ( x ) ] ^ { 2 } \nu ( y - x ) \, d y \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \sum _ { n _ { 0 } , n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( Q _ { i , n _ { 0 } } ^ { 2 } + Q _ { j , n _ { 1 } } ^ { 2 } ) \right) \right) _ { i , j = 1 , \dots , d } ^ { \odot - 1 } } \\ & { = \left( \sum _ { n _ { 0 } = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } Q _ { i , n _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } Q _ { j , n _ { 1 } } ^ { 2 } \right) \right) _ { i , j = 1 , \dots , d } ^ { \odot - 1 } = Q Q ^ { \prime } \succcurlyeq 0 } \end{array}
\alpha Q ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { M _ { \gamma } ^ { 2 } } + \frac { 2 \alpha } { 3 \pi M _ { \gamma } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) - \frac { 5 1 7 \alpha } { 1 6 0 \pi M _ { f } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right) \right) \ .
\sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - { \bar { X } } ) ^ { 2 } = { \left\Vert \begin{array} { l } { X _ { 1 } - { \bar { X } } } \\ { \vdots } \\ { X _ { n } - { \bar { X } } } \end{array} \right\Vert } ^ { 2 } .
\delta _ { 2 } = \frac { M _ { Z } ^ { 2 } ( 1 - \sin 2 \beta ) } { 2 \mu } \lbrack \frac { \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } { ( \mu + M _ { 1 } ) } + \frac { \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } { ( \mu + M _ { 2 } ) } \rbrack
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \big [ \mathcal { T } ( \beta , k , \sigma , \alpha , \tilde { \alpha } ; \hbar ) \big ] = \frac { ( 2 \pi ) ^ { ( 2 k - 2 - n ) d } \hbar ( \rho \hbar ) ^ { 2 k - 2 - n } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { | \alpha | + | \tilde { \alpha } | } } f ( \boldsymbol { s } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) \int \Lambda _ { n } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \sigma ) \hat { \varphi } ( \frac { p _ { 0 } } { \hbar } ) \overline { { \hat { \varphi } ( \frac { q _ { 0 } } { \hbar } ) } } } \\ { \times } & { \delta ( \frac { t _ { 0 } } { \hbar } - \boldsymbol { s } _ { 0 , k + \beta } ^ { + } - \tilde { s } _ { k + \beta + 1 } - \boldsymbol { t } _ { 1 , a _ { k + \beta } } ^ { + } ) \delta ( \frac { t _ { 0 } } { \hbar } - \boldsymbol { \tilde { s } } _ { 1 , k + \beta + 1 } ^ { + } - \boldsymbol { \tilde { t } } _ { 1 , a _ { k + \beta } } ^ { + } ) \mathcal { P } _ { \beta } ( p _ { k - 2 } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { s } ) \mathcal { P } _ { \beta } ( q _ { k - 2 } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) } \\ { \times } & { e ^ { i s _ { k - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { p } _ { - 2 } + \tilde { p } _ { - 1 } ) ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { k - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { q } _ { - 2 } + \tilde { q } _ { - 1 } ) ^ { 2 } } e ^ { i s _ { k - 3 } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { k - 3 } + \tilde { p } _ { \beta } + \pi _ { \beta } ( \boldsymbol { \tilde { p } } ) ) ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { k - 3 } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { k - 3 } + \tilde { q } _ { \beta } + \pi _ { \beta } ( \boldsymbol { \tilde { q } } ) ) ^ { 2 } } \prod _ { i = 1 } ^ { a _ { k + \beta } } e ^ { i t _ { i } \frac { 1 } { 2 } \eta _ { i } ^ { 2 } } } \\ { \times } & { \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { a } _ { k + \beta } } e ^ { - i \tilde { t } _ { i } \frac { 1 } { 2 } \xi _ { i } ^ { 2 } } \prod _ { m = 0 } ^ { k _ { 1 } - 4 } e ^ { i s _ { m } \frac { 1 } { 2 } ( p _ { m } + \tilde { \pi } _ { m } ( \tilde { p } _ { \beta } ) ) ^ { 2 } } e ^ { - i \tilde { s } _ { m } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { m } + \tilde { \pi } _ { m } ( \tilde { q } _ { \beta } ) ) ^ { 2 } } \mathcal { G } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { \tilde { p } } , \boldsymbol { \tilde { q } } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ) d \boldsymbol { \eta } d \boldsymbol { \xi } d \boldsymbol { p } d \boldsymbol { q } d \boldsymbol { \tilde { p } } d \boldsymbol { \tilde { q } } d \boldsymbol { t } d \boldsymbol { \tilde { t } } d \boldsymbol { s } d \boldsymbol { \tilde { s } } , } \end{array}
G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, w z \right) = w ^ { b _ { q } } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( w - 1 ) ^ { h } } { h ! } } \; G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { b _ { 1 } , \dots , b _ { q - 1 } , b _ { q } + h } \end{array} } \; \right| \, z \right) , \quad m
\begin{array} { r } { m ( L ) = \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha + 1 } \right) L ^ { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 1 + \alpha } } \left( - \frac { 2 \gamma } { 1 + \alpha } \right) ^ { \frac { \alpha } { \alpha + 1 } } e ^ { - \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha } } { 1 + \alpha } } \ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \chi ( \omega _ { C } ^ { \otimes n } ) } & { = h ^ { 0 } \left( C , \omega _ { C } ^ { \otimes n } \right) - h ^ { 0 } \left( C , \omega _ { C } \otimes \left( \omega _ { C } ^ { \otimes n } \right) ^ { \vee } \right) } \\ & { = h ^ { 0 } \left( C , \omega _ { C } ^ { \otimes n } \right) - h ^ { 0 } \left( C , \left( \omega _ { C } ^ { \otimes ( n - 1 ) } \right) ^ { \vee } \right) } \end{array} }
C ( t ) = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { ( \langle I _ { k } ^ { 2 } \rangle - \langle I _ { k } \rangle ^ { 2 } ) } { \langle I ( 0 ) ^ { 2 } \rangle - \langle I ( 0 ) \rangle ^ { 2 } } \exp ( - t / \tau _ { k } ) .
S = { \frac { N ^ { \frac { 1 } { 2 } } G _ { F } V _ { c b } V _ { B } V _ { D } } { 2 \pi } } \int { \frac { d ^ { 3 } p _ { b } } { 2 E _ { u } } } | \phi ^ { * } ( p _ { u } ) \psi ( t _ { u } ) | ^ { \frac { 1 } { 2 } } M
\begin{array} { r l r } { M } & { { } = } & { \frac { 3 \chi \lambda _ { \perp } ^ { 4 } a ^ { 6 } } { 4 \varepsilon } \left( a ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
H = \hbar \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \frac { \Omega _ { p } } { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { p } } { 2 } } & { - \Delta _ { p } } & { \frac { \Omega _ { c } } { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \Omega _ { c } } { 2 } } & { - \Delta _ { p } - \Delta _ { c } } & { \frac { \Omega _ { 1 } + e ^ { - i S ( t ) } \Omega _ { 2 } } { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { 1 } + e ^ { + i S ( t ) } \Omega _ { 2 } } { 2 } } & { - \Delta _ { p } - \Delta _ { c } - \Delta _ { 1 } } \end{array} \right] ,
\frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { \sigma } \sqrt { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \| \widehat { \pmb { b } _ { i } ^ { \bot } } - \pmb { b } _ { i } ^ { \bot } \| ^ { 2 } } } } ,
\nabla \cdot \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } = \left( \binom { \frac { \partial } { \partial R } p _ { s } + \frac { 2 \alpha _ { s } F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } } { R } } { - \frac { 1 } { R } \frac { \partial } { \partial R } \left( 2 \alpha _ { s } F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } R \right) } , 0 , \frac { \partial } { \partial z } p _ { s } \right) .
\begin{array} { r l } { \dot { \varphi _ { p } } = \gamma ^ { - 1 } \left\{ \left[ \gamma _ { 0 } - \gamma + b ( \xi ) \right] + \right. } & { \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { k _ { \perp } ^ { * } } u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \left. \times J _ { 1 } ^ { \prime } \left( k _ { \perp } ^ { * } r ^ { * } \right) \sin \varphi _ { p } \right\} } \end{array}
\operatorname { V a r } _ { H } ( X ) = \operatorname { E } _ { G } { \bigl [ } \operatorname { V a r } _ { F } ( X | \theta ) { \bigr ] } + \operatorname { V a r } _ { G } { \bigl ( } \operatorname { E } _ { F } [ X | \theta ] { \bigr ) }
\hat { U } _ { 1 / 3 } ^ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 1 } } e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 2 } } e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 3 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 2 } } e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 3 } } e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 3 } } e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 1 } } e ^ { - \frac { i } { 3 } \hat { H } _ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { x _ { \mathrm { r e a l } } } & { = } & { \sum _ { \alpha = 0 } ^ { 3 } \sum _ { \beta = 0 } ^ { 3 } P _ { \alpha \beta } x _ { \mathrm { p i x e l } } ^ { \alpha } y _ { \mathrm { p i x e l } } ^ { \beta } , } \\ { y _ { \mathrm { r e a l } } } & { = } & { \sum _ { \alpha = 0 } ^ { 3 } \sum _ { \beta = 0 } ^ { 3 } Q _ { \alpha \beta } x _ { \mathrm { p i x e l } } ^ { \alpha } y _ { \mathrm { p i x e l } } ^ { \beta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { L } _ { f b } \sim \hat { t } ^ { 2 } } & { { } \quad \mathrm { f o r } \ \hat { t } \ll 1 \, , } \\ { \hat { L } _ { f b } \sim \exp ( 4 \hat { t } ) } & { { } \quad \mathrm { f o r } \ \hat { t } \gg 1 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M S E _ { u } } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { u } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { u } } \| u _ { \boldsymbol { \theta } } ( x _ { u } ^ { i } , t _ { u } ^ { i } ) - u ^ { i } \| ^ { 2 } } \\ { M S E _ { r } } & { = } & { \frac { 1 } { N _ { r } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { r } } \| \mathcal { R } ( u _ { \boldsymbol { \theta } } ( x _ { r } ^ { i } , t _ { r } ^ { i } ) \| ^ { 2 } \, \, \, } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w ( \mathcal { S } _ { m } ) } & { = } & { \sigma ^ { - 2 } \| ( P _ { \widetilde { X } } - P _ { \widetilde { X } _ { m } } ) Y \| _ { 2 } ^ { 2 } \sim \chi _ { \hat { r } - r _ { m } } ^ { 2 } ( \lambda ) , } \\ { \lambda } & { = } & { \sigma ^ { - 2 } \| ( I - P _ { m } ) \widetilde { X } \gamma ^ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \hat { h } } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { x } ) } & { = \sum _ { { k _ { y } } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } } + \sum _ { k _ { y } } { g _ { \boldsymbol k } } \big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } } + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } } \hat { d } _ { k _ { x } } ^ { \dagger } \big ) \sin ( { k _ { y } } Y _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { n } = } & { ~ U _ { n } ^ { - 1 } ( R _ { 0 } ^ { n } ) - \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { m } } ( z ( t ) ) + \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \gamma ( t ) ) d t + \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { T r } \left[ ( \gamma ^ { n } ( t ) + \eta _ { n } z ^ { n } ( t ) ( z ^ { n } ( t ) ) ^ { \top } ) d \langle X \rangle _ { t } \right] } \\ & { ~ + \int _ { 0 } ^ { T } d \left( z ^ { n } ( t ) \cdot X _ { t } \right) + \int _ { 0 } ^ { T } ( X _ { 0 } - X _ { t } ) \cdot \left( \dot { z } ^ { n } ( t ) - c _ { n } ^ { 0 } + ( A _ { 0 } z ^ { n } ( t ) ) \right) d t - \int _ { 0 } ^ { T } X _ { 0 } \cdot \left( \dot { z } ^ { n } ( t ) - c _ { n } ^ { 0 } + ( A _ { 0 } z ^ { n } ( t ) ) \right) d t \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } I } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { l } \frac { \mathrm { d } \hat { \mathbf { y } } \times ( \mathbf { r } - \mathbf { y } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { y } | ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { k } ( t ) \| } & { \leq \beta \left\| \psi ^ { ( \sigma ) } - \psi _ { k } ( t ) \right\| + \frac { C _ { P } } { N } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left( \| \psi _ { k } ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| + \| \psi _ { l } ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| \right) } \\ & { = ( \beta + C _ { P } ) \left\| \psi ^ { ( \sigma ) } - \psi _ { k } ( t ) \right\| + \frac { C _ { P } } { N } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \, \| \psi _ { l } ( t ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| , } \end{array}
\int x \operatorname { a r c c o s } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 2 } \operatorname { a r c c o s } ( a x ) } { 2 } } - { \frac { \operatorname { a r c c o s } ( a x ) } { 4 \, a ^ { 2 } } } - { \frac { x { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } { 4 \, a } } + C
{ \begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { C } { \frac { f ( w ) } { w - z } } \, \mathrm { d } w } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { C } { \frac { f ( w ) } { ( w - a ) - ( z - a ) } } \, \mathrm { d } w } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { C } { \frac { 1 } { w - a } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - { \frac { z - a } { w - a } } } } f ( w ) \, \mathrm { d } w } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { C } { \frac { 1 } { w - a } } \cdot { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { z - a } { w - a } } \right) ^ { n } } f ( w ) \, \mathrm { d } w } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { C } { \frac { ( z - a ) ^ { n } } { ( w - a ) ^ { n + 1 } } } f ( w ) \, \mathrm { d } w . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { E } & { = T _ { 0 } ( \phi ) \chi _ { \delta } \phi _ { s _ { i } } + [ L _ { \epsilon } , \chi _ { \delta } \partial _ { s _ { i } } ] ( \phi ) + \chi _ { \delta } R _ { \omega , \epsilon } } \\ { T _ { 0 } ( \phi ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } W ^ { \prime \prime \prime } ( \overline { { g } } _ { \epsilon } ) \phi - 3 \phi ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C R { B _ { \theta } } } & { \approx \frac { 1 } { { 2 \gamma L } } \frac { { 3 { \lambda ^ { 2 } } } } { { { \pi ^ { 2 } } N \left( { d _ { R } ^ { 2 } { { \left( { \frac { r } { { R - r } } } \right) } ^ { 2 } } ( { N ^ { 2 } } - 1 ) + d _ { T } ^ { 2 } { M ^ { 2 } } } \right) } } , } \\ { C R { B _ { r } } } & { = \frac { 1 } { { 2 \gamma L } } \frac { M } { { N p - \frac { N } { M } { { \left| q \right| } ^ { 2 } } } } \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { c } { d \boldsymbol { \Psi } \left( \mathit { t } \right) / d \mathit { t } = \mathbf { \underline { { M } } } _ { \mathrm { c } } \left( \mathit { t } \right) \boldsymbol { \Psi } \left( \mathit { t } \right) + \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { - \ddot { v } _ { s } } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { \underline { { M } } } _ { \mathrm { c } } \left( \mathit { t } \right) = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { - \omega _ { 0 } ^ { 2 } } & { - 2 \alpha \left( \mathit { t } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
( V _ { 1 } ) ^ { 2 } n _ { 1 } \bar { n } _ { 1 } = ( V _ { 2 } ) ^ { 2 } n _ { 2 } \bar { n } _ { 2 } = ( V _ { 3 } ) ^ { 2 } n _ { 3 } \bar { n } _ { 3 } = ( V _ { 4 } ) ^ { 2 } n _ { 4 } \bar { n } _ { 4 } \ ,
\Omega = { \sqrt { \operatorname* { d e t } \left( { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \mathbf { v } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \end{array} \right] } ^ { T } { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \mathbf { v } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \end{array} \right] } \right) } } \, ,
S _ { n + 2 } ( 1 ) = \sum _ { t \in \mathbb { Z } _ { p } / \{ 0 , 1 \} } S _ { n } ( t ) S _ { 2 } ( 1 - t ) + S _ { n } ( 1 ) S _ { 2 } ( 0 ) + S _ { n } ( 0 ) S _ { 2 } ( 1 ) = \sum _ { t \in \mathbb { Z } _ { p } / \{ 0 , 1 \} } \left( { \frac { t } { p } } \right) S _ { n } ( 1 ) \left( - \left( { \frac { - 1 } { p } } \right) \right) + S _ { n } ( 1 ) \left( { \frac { - 1 } { p } } \right) ( p - 1 ) = S _ { n } ( 1 ) \left( { \frac { - 1 } { p } } \right) p .