harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { p } \cdot { \dot { \mathbf { q } } } - H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) = \mathbf { P } \cdot { \dot { \mathbf { Q } } } - K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) + { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial t } } + { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial \mathbf { q } } } \cdot { \dot { \mathbf { q } } } + { \frac { \partial G _ { 1 } } { \partial \mathbf { Q } } } \cdot { \dot { \mathbf { Q } } }
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { 2 } = \frac { \hat { p } _ { x } ^ { 2 } + \hat { p } _ { y } ^ { 2 } } { 2 m } w _ { 2 } + \frac { m \omega _ { 2 } ^ { 2 } ( \hat { x } ^ { 2 } + \hat { y } ^ { 2 } ) } { 2 w _ { 2 } } + \omega _ { 2 } \hat { L } _ { z } , } \end{array}
{ \cal D } _ { \mu } \varphi _ { a } = \partial _ { \mu } \varphi _ { a } + i \frac { g } { 2 } \left( \vec { W } _ { \mu } . \vec { \lambda } \right) _ { a } ^ { b } \varphi _ { b } + i g ^ { \prime } N _ { \varphi } \varphi _ { a } B _ { \mu } ,
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial \Pi ( n , k ) } { \partial n } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 \left( k ^ { 2 } - n \right) ( n - 1 ) } } \left( E ( k ) + { \frac { 1 } { n } } \left( k ^ { 2 } - n \right) K ( k ) + { \frac { 1 } { n } } \left( n ^ { 2 } - k ^ { 2 } \right) \Pi ( n , k ) \right) } \\ { { \frac { \partial \Pi ( n , k ) } { \partial k } } } & { { } = { \frac { k } { n - k ^ { 2 } } } \left( { \frac { E ( k ) } { k ^ { 2 } - 1 } } + \Pi ( n , k ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | D } & { ( | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha } ) | ^ { p } = \alpha ^ { p } | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { p ( \alpha - 1 ) } | D G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { p } = } \\ & { = \alpha ^ { p } | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { p ( \alpha - 1 ) } \biggl | \frac { D v } { g ( G ^ { - 1 } ( v ) ) } \biggr | ^ { p } = 2 \frac { \frac { \alpha ^ { p } } { 2 } | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { p ( \alpha - 1 ) } } { 1 + \frac { \alpha ^ { p } } { 2 } | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { p ( \alpha - 1 ) } } | D v | ^ { p } \le 2 | D v | ^ { p } , } \end{array}
\bar { F } _ { i } = - \frac { \partial { \cal W } } { \partial \Phi _ { i } } = \left\{ \begin{array} { l } { { \lambda _ { 1 } ( \phi _ { 3 } ^ { 2 } - M ^ { 2 } ) \, , \, \, \, ~ ~ ~ ~ ~ ~ i = 1 \, , } } \\ { { \mu \phi _ { 3 } \, , \qquad ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ i = 2 \, , } } \\ { { 2 \lambda _ { 1 } \phi _ { 1 } \phi _ { 3 } + \mu \phi _ { 2 } \, , \, \, \, \, ~ ~ ~ i = 3 \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { C _ { r } } \frac { d \tau } { \tau - \tau _ { 0 } } } & { = \log \left( \tau - \tau _ { 0 } \right) \Big | _ { a } ^ { z _ { 1 } } + \log \left( \tau - \tau _ { 0 } \right) \Big | _ { z _ { 2 } } ^ { b } } \\ & { = \log ( b - \tau _ { 0 } ) - \log ( a - \tau _ { 0 } ) + \log ( z _ { 1 } - \tau _ { 0 } ) - \log ( z _ { 2 } - \tau _ { 0 } ) } \\ & { = \log ( b - \tau _ { 0 } ) - \log ( a - \tau _ { 0 } ) + \ln \left( \frac { \displaystyle \left\lvert z _ { 1 } - \tau _ { 0 } \right\rvert } { \displaystyle \left\lvert z _ { 2 } - \tau _ { 0 } \right\rvert } \right) + } \\ & { \quad \, \, i \left[ \arg ( z _ { 1 } - \tau _ { 0 } ) - \arg ( z _ { 2 } - \tau _ { 0 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } { \mathbf { I } } _ { N _ { T } } = { \mathbf { Y } } _ { N _ { T } \times N _ { T } } { \mathbf { V } } _ { N _ { T } } - { \mathbf { Y } } _ { N _ { T } \times N _ { R } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { R } } } & { { } } \\ { \quad \quad \quad \quad - { \mathbf { Y } } _ { N _ { T } \times N _ { S } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { S } } } \\ { { \mathbf { I } } _ { N _ { R } } = { \mathbf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } { \mathbf { V } } _ { N _ { T } } - { \mathbf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { R } } } & { { } } \\ { \quad \quad \quad \quad - { \mathbf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { S } } } \\ { { \mathbf { I } } _ { N _ { S } } = { \mathbf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { T } } { \mathbf { V } } _ { N _ { T } } - { \mathbf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { R } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { R } } } & { { } } \\ { \quad \quad \quad \quad - { \mathbf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \mathbf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } { \mathbf { I } } _ { N _ { S } } } \end{array}
{ \cal B } _ { P } = - i e ^ { 2 } \left\{ F ( q ^ { 2 } ) \left[ \frac { 2 p _ { f } \cdot \epsilon ^ { \ast } \, ( 2 p _ { i } + q ) \cdot \epsilon } { s - m _ { \pi } ^ { 2 } } + \frac { ( 2 p _ { f } - q ) \cdot \epsilon \, 2 p _ { i } \cdot \epsilon ^ { \ast } } { u - m _ { \pi } ^ { 2 } } \right] + 2 q \cdot \epsilon \, q \cdot \epsilon ^ { \ast } \frac { 1 - F ( q ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } } \right\} ,
\begin{array} { r l } { \underbrace { D _ { \alpha } ( L | | \overline { { M } } ) } _ { \mathrm { i n f o r m a t i o n ~ d i f f e r e n c e ~ f r o m ~ \overline { { M } } ~ t o ~ L ~ } } } & { = \underbrace { D _ { \alpha } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) } _ { \mathrm { i n f o r m a t i o n ~ d i f f e r e n c e ~ f r o m ~ M ^ { f ^ * } ~ t o ~ L ~ } } + \underbrace { D _ { \alpha } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) } _ { \mathrm { i n f o r m a t i o n ~ d i f f e r e n c e ~ f r o m ~ \overline { { M } } ~ t o ~ M ^ { f ^ * } ~ } } . } \end{array}
\left| e ^ { i t z } \right| = \left| e ^ { i t | z | ( \cos \varphi + i \sin \varphi ) } \right| = \left| e ^ { - t | z | \sin \varphi + i t | z | \cos \varphi } \right| = e ^ { - t | z | \sin \varphi } \leq 1 .
\langle \Delta ^ { + } ( p ^ { \prime } ) | J _ { a } ^ { \pi } ( 0 ) | N ^ { + } ( p ) \rangle = - \i \bar { u } _ { \Delta \mu } \, { \frac { G _ { \pi \mathrm { N } \Delta } ( q ^ { 2 } ) } { 2 M _ { N } } } \, q ^ { \mu } u _ { N } \, ,
\left. \varepsilon _ { \mathrm { A } } ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \Gamma _ { 0 } } { \partial z } \right| _ { z \to 0 ^ { + } } - \left. \varepsilon _ { \mathrm { B } } ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \Gamma _ { 0 } } { \partial z } \right| _ { z \to 0 ^ { - } } = - 4 \pi e ^ { 2 } \Pi _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } ) .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) - \nabla \cdot ( \nu \nabla \mathbf { u } ) + \nabla \left( \frac { p } { \rho _ { 0 } } \right) } & { { } = 0 , \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { F } \times ( 0 , T ] , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { u } } & { { } = 0 , \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { F } \times ( 0 , T ] , } \\ { \mathbf { u } } & { { } = \textbf { 0 } , \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { B } , } \\ { \mathbf { u } } & { { } = \mathbf { g } , \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { I N } , } \\ { \nu \nabla \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } - p \mathbf { n } } & { { } = \textbf { 0 } , \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma _ { O U T } , } \end{array}
P _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { { \gamma _ { a } ^ { 0 } E _ { 2 } ^ { R } - \gamma _ { a } p _ { a } ^ { R } \cos \theta _ { a } } } \\ { { - p _ { a } ^ { R } \sin \theta _ { a } \cos \phi _ { a } } } \\ { { - p _ { a } ^ { R } \sin \theta _ { a } \sin \phi _ { a } } } \\ { { - \gamma _ { a } ^ { 0 } p _ { a } ^ { R } \cos \theta _ { a } + \gamma _ { a } E _ { 2 } ^ { R } } } \end{array} \right)
N _ { i } = \frac { N } { L ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { E _ { m a x } } d E \int _ { E _ { r } ^ { m i n } } ^ { E _ { r } ^ { m a x } } d E _ { r } \phi ( E ) \sigma _ { \nu _ { \beta } } R ( E , E _ { r } ) P _ { \alpha \beta } ( E ) \epsilon ( E _ { r } ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { J } _ { 1 \alpha } ( \nu g _ { 1 } + ( 1 - \nu ) g _ { 2 } ) } & { = } & { \mathcal { J } _ { 1 } ( \nu g _ { 1 } + ( 1 - \nu ) g _ { 2 } ) + \frac { \alpha } { 2 } \Vert \nu g _ { 1 } ^ { \prime } + ( 1 - \nu ) g _ { 2 } ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ & { < } & { \nu \mathcal { J } _ { 1 \alpha } ( g _ { 1 } ) + ( 1 - \nu ) \mathcal { J } _ { 1 \alpha } ( g _ { 2 } ) , \forall \ g _ { 1 } , g _ { 2 } \in \mathcal { G } _ { 1 } , \nu \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega _ { q _ { i } | p _ { Z } } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( z , k _ { i } | u ) : = \bar { \alpha } \log \frac { q _ { Z } ( z ) } { p _ { Z } ( z ) } } \\ & { + \alpha \left[ { \mu } \log \frac { q _ { Z | U } ( z | u ) } { p _ { Z } ( z ) } \right. \left. + \bar { \mu } \log \frac { 1 } { q _ { K _ { i } | U } ( k _ { i } | u ) } \right] , } \\ & { \Omega ^ { ( \mu , \alpha ) } ( q _ { i } | p _ { Z } ) : = - \log \mathrm { E } _ { q } \left[ \exp \left\{ - \omega _ { q _ { i } | p _ { Z } } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( Z , K _ { i } | U ) \right\} \right] , } \\ & { \Omega ^ { ( \mu , \alpha ) } ( p _ { Z K _ { i } } ) : = \operatorname* { m i n } _ { \scriptstyle \atop { \scriptstyle q _ { i } \in { { \cal Q } } ( p _ { K _ { i } | Z } ) } } \Omega ^ { ( \mu , \alpha ) } ( q _ { i } | p _ { Z } ) , } \\ & { F ^ { ( \mu , \alpha ) } ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { i } | p _ { Z K _ { i } } ) } \\ & { : = \frac { \Omega _ { i } ^ { ( \mu , \alpha ) } ( p _ { K _ { i } } , W ) - \alpha ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { i } ) } { 2 + \alpha \bar { \mu } } , } \\ & { F ( R _ { \cal A } , R _ { i } | p _ { Z K _ { i } } ) } \\ & { : = \operatorname* { s u p } _ { ( \mu , \alpha ) \in [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } F ^ { ( \mu , \alpha ) } ( { \mu } R _ { \cal A } + \bar { \mu } R _ { i } | p _ { Z K _ { i } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \omega , a ) = } & { \frac { \pi \mathrm { c s c h } ( \pi \omega ) \Gamma ( - i \omega ) } { 2 i \Gamma ( i \omega ) } \times } \\ & { \left[ \frac { 2 ^ { 2 i \omega } \pi a } { \Gamma \left( \frac { 3 } { 4 } - \frac { i \omega } { 2 } \right) ^ { 4 } } + \frac { 2 } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - i \omega \right) ^ { 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r ^ { n + 1 } } & { { } = } & { r ^ { n } + \frac { 1 } { \alpha } \left[ \Delta { t } \, f ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } ( \beta ^ { n } + \beta ^ { n + 1 } ) \right] \, , } \end{array}
\mathcal { F } _ { x } \left\{ \frac { \partial } { \partial z } G _ { 2 D } ^ { - } \right\} ( \alpha , z - z ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 } \exp ( i ( k ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } | z - z ^ { \prime } | )
\begin{array} { r l r } { R _ { 1 } } & { = } & { \int _ { 2 \pi } f _ { r } \left( 0 , 0 ; \theta _ { r } , \phi _ { r } \right) \mathrm { d } \Omega _ { r } , } \\ { R } & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \int _ { 2 \pi } \int _ { 2 \pi } f _ { r } \left( \theta _ { i } , \phi _ { i } ; \theta _ { r } , \phi _ { r } \right) \mathrm { d } \Omega _ { r } \mathrm { d } \Omega _ { i } . } \end{array}
\frac { M _ { \mathrm { a t m } } } { M } = 0 . 0 2 6 ~ \left( \frac { P } { 1 0 ^ { 4 } \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ } } \right) \left( \frac { R } { 1 . 6 ~ R _ { \oplus } } \frac { \rho } { 2 . 0 \mathrm { ~ g ~ c ~ m ~ } ^ { - 3 } } \right) ^ { - 2 } .
\begin{array} { r l } { \pi ( A _ { t } ( \xi - \lambda ) ) - \pi ( A _ { t } ( \xi ) ) } & { \leq \theta \lambda \frac { \Phi _ { t } ( \xi - \lambda ) } { 1 + ( \xi - \lambda ) w _ { t } } \leq \theta \lambda \frac { \Phi _ { t } ( - x _ { t } ) } { 1 - x _ { t } w _ { t } } } \\ & { = ( \lambda \theta + o ( 1 ) ) \Phi _ { t } ( - x _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z ( r ) = } & { { } \underbrace { \frac { r ^ { 2 } } { R \left( 1 + \sqrt { 1 - ( 1 + \kappa ) r ^ { 2 } / R ^ { 2 } } \right) } + \alpha _ { 2 } r ^ { 2 } + \alpha _ { 4 } r ^ { 4 } + \cdots } _ { a s p h e r i c a l } } \end{array}
D _ { \gamma } - D _ { \beta } = - i g \left( z ( \gamma \cdot q ) - z ( \beta \cdot q ) + \sum _ { \kappa \cdot \gamma = 1 } z ( \kappa \cdot q ) - \sum _ { \kappa ^ { \prime } \cdot \beta = 1 } z ( \kappa ^ { \prime } \cdot q ) \right) .
\textnormal { V T } = \nu \frac { \partial } { \partial t } \left( \Delta ^ { 2 } w \right) + \nabla _ { h } ^ { 2 } ( \kappa \Delta b ) + f \nu \frac { \partial ^ { 2 } ( \Delta u ) } { \partial y \partial z } - f \nu \frac { \partial ^ { 2 } ( \Delta v ) } { \partial x \partial z } .
\mathcal { L } ( \theta ) = \frac { 1 } { N } \left( \sum _ { x \in \mathcal { X } } \| \mathcal { N } _ { \theta } ( C ^ { \prime } x ) - x \| ^ { 2 } + \lambda \| C ^ { \prime } \mathcal { N } _ { \theta } ( C ^ { \prime } x ) - C ^ { \prime } x \| ^ { 2 } \right) .
{ \mathrm { b i n d } } \colon A ^ { * } \to ( A \to B ^ { * } ) \to B ^ { * } = l \mapsto f \mapsto { \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathrm { n i l } } } & { { \mathrm { i f } } \ l = { \mathrm { n i l } } } \\ { { \mathrm { a p p e n d } } \, ( f \, a ) \, ( { \mathrm { b i n d } } \, l ^ { \prime } \, f ) } & { { \mathrm { i f } } \ l = { \mathrm { c o n s } } \, a \, l ^ { \prime } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { E n } } } & { = \left( \frac { X _ { \mathrm { M g } } } { \rho _ { \mathrm { M g } } } + \frac { X _ { \mathrm { S i } } } { \rho _ { \mathrm { S i } } } + \frac { X _ { \mathrm { O } } } { \rho _ { \mathrm { O } } } \right) ^ { - 1 } } \\ { \rho _ { \mathrm { E n } } } & { = \left( \frac { 0 . 2 } { 0 . 0 4 3 1 } + \frac { 0 . 2 } { 0 . 0 4 9 9 } + \frac { 0 . 6 } { 0 . 0 4 2 9 } \right) ^ { - 1 } \; \mathrm { a t ~ A } ^ { - 3 } } \\ & { = \; 0 . 0 4 4 2 \; \mathrm { a t ~ A } ^ { - 3 } } \\ & { = 1 . 4 7 \; \mathrm { g ~ c m } ^ { - 3 } , } \end{array}
V ( S ) = { \frac { K } { 1 - \lambda _ { 2 } } } \left( { \frac { \lambda _ { 2 } - 1 } { \lambda _ { 2 } } } \right) ^ { \lambda _ { 2 } } \left( { \frac { S } { K } } \right) ^ { \lambda _ { 2 } }
q _ { \alpha } ^ { * } \delta C _ { \alpha \beta } ^ { i } \partial _ { x _ { i } } c _ { \beta } = q _ { \alpha } ^ { * } \delta q _ { \kappa } \frac { \partial C _ { \alpha \beta } ^ { i } } { \partial q _ { \kappa } } \partial _ { x _ { i } } c _ { \beta }
\begin{array} { r l } { \tau _ { f / b } ^ { \mathrm { n c } } } & { { } = \biggl [ \tau _ { 0 } ^ { \mathrm { n c } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } \bigl [ \tau _ { 0 } ^ { \mathrm { n c } } M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { n c } } ( M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { n c } , + } + M _ { 1 1 } ^ { \mathrm { n c } , - } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \underline { { \underline { { \mathbf { \Pi } } } } } _ { s } } & { = } & { \kappa \rho _ { s } ^ { \Gamma } \left[ 1 - \alpha _ { s } A \right] \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } - \alpha _ { s } C \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \underline { { \underline { { \mathbf { I } } } } } } \\ & { } & { - 2 \alpha _ { s } C \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \varepsilon _ { n } ^ { ( r ) } } & { \approx } & { \frac { 1 } { 2 } \bigg | \varepsilon _ { n } \Big ( c _ { F } ( r _ { N } + \delta r _ { N } , a _ { F } ) , a _ { F } \Big ) } \\ & { } & { - \varepsilon _ { n } \Big ( c _ { F } ( r _ { N } - \delta r _ { N } , a _ { F } ) , a _ { F } \Big ) \bigg | , } \\ { \delta \varepsilon _ { n } ^ { ( a ) } } & { \approx } & { \frac { 1 } { 2 } \bigg | \varepsilon _ { n } \Big ( c _ { F } ( r _ { N } , a _ { F } + \delta a _ { F } ) , a _ { F } + \delta a _ { F } \Big ) } \\ & { } & { - \varepsilon _ { n } \Big ( c _ { F } ( r _ { N } , a _ { F } - \delta a _ { F } ) , a _ { F } - \delta a _ { F } \Big ) \bigg | , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { I M S E } = \frac { 1 } { 1 0 0 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { 1 0 0 0 } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \tilde { \beta } ^ { ( k ) } ( t ) - \hat { \beta } ( t ) \right\} ^ { 2 } \mathrm { d } t \right] ^ { 1 / 2 } , } \\ & { } & { \mathrm { R P S E } = \frac { 1 } { 1 0 0 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { 1 0 0 0 } \left[ \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { i } ( t ) \tilde { \beta } ^ { ( k ) } ( t ) \mathrm { d } t - \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { i } ( t ) \hat { \beta } ( t ) \mathrm { d } t \right) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \textrm { d } t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \textrm { d } t ^ { \prime \prime } C ( t ^ { \prime \prime } ) } & { { } . } \end{array}
\centering \begin{array} { r l } & { E _ { k j x } \cong \frac { - N _ { k } e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R _ { k j } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { 3 \left( \Delta X _ { k j } \right) ^ { 2 } } { R _ { k j } ^ { 2 } } - 1 \right) \left( \frac { x _ { k } } { R _ { k j } } + \frac { \dot { x } _ { k } } { c } \right) - \frac { \left( \Delta Y _ { k j } \right) ^ { 2 } } { R _ { k j } c ^ { 2 } } \ddot { x } _ { k } + 3 \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } ^ { 3 } } y _ { k } + 3 \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } ^ { 2 } c } \dot { y } _ { k } + \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } c ^ { 2 } } \ddot { y } _ { k } \right] , } \\ & { E _ { k j y } \cong \frac { - N _ { k } e } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } R _ { k j } ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { 3 \left( \Delta Y _ { k j } \right) ^ { 2 } } { R _ { k j } ^ { 2 } } - 1 \right) \left( \frac { y _ { k } } { R _ { k j } } + \frac { \dot { y } _ { k } } { c } \right) - \frac { \left( \Delta X _ { k j } \right) ^ { 2 } } { R _ { k j } c ^ { 2 } } \ddot { y } _ { k } + 3 \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } ^ { 3 } } x _ { k } + 3 \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } ^ { 2 } c } \dot { x } _ { k } + \frac { \Delta X _ { k j } \Delta Y _ { k j } } { R _ { k j } c ^ { 2 } } \ddot { x } _ { k } \right] , } \\ & { j = 1 , ~ 2 , ~ . . . , ~ n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { 2 0 } ^ { - 2 } } & { { } = \frac { 3 } { 4 } \sqrt { \frac { 5 } { 6 \pi } } \sin ^ { 2 } \theta , } \\ { Y _ { 2 2 } ^ { - 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } \sqrt { \frac { 5 } { \pi } } \left( 1 + \cos \theta \right) ^ { 2 } e ^ { 2 i \pi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \{ R _ { [ \imath ] , k } \} } & { \approx \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \! \! \bigg ( \! 1 \! + \! \frac { P _ { k } L _ { k , \mathrm { S } } ^ { 2 } L _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } ( 1 \! + \! \kappa ) ^ { 2 } } \bigg [ \kappa ^ { 2 } \mathrm { T r } ( \mathbf { \hat { H } } _ { k , \mathrm { S } } \mathbf { \hat { H } } _ { k , \mathrm { S } } ^ { H } \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ) \! + \! \kappa \mathrm { T r } ( \mathbf { \hat { G } } _ { \mathrm { r } } \mathbf { \hat { G } } _ { \mathrm { r } } ^ { H } \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ) + } \\ { \kappa } & { M _ { \mathrm { r } } \mathrm { T r } \left( \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \hat { h } } _ { k , \mathrm { S } } ^ { H } ) \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } \mathrm { d i a g } ( \mathbf { \hat { h } } _ { k , \mathrm { S } } ) \right) + M _ { \mathrm { r } } \mathrm { T r } ( \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } ) \bigg ] \bigg ) . } \end{array}
\mathcal { X } _ { [ t _ { n } , 0 ] } = \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 1 } , 0 ] } \circ \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ] } \circ \dots \circ \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } \in \underbrace { \mathcal { V } _ { h } \circ \mathcal { V } _ { h } \dots \circ \mathcal { V } _ { h } } _ { \mathrm { ~ n _ c ~ t i m e s } } \, .
\Delta _ { 1 } ^ { - } ( p _ { 4 } ) \approx 2 \Delta _ { 2 } ^ { - } ( p _ { 4 } ) = - 2 \Delta _ { 3 } ^ { - } ( p _ { 4 } ) \approx 2 \Delta _ { ( \bar { 3 } , \bar { 3 } ) } ^ { - } ( p _ { 4 } ) ,
\mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { b } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) = T _ { 2 } \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { \alpha } _ { T _ { 1 } } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) \, , \, \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { a } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } ) = T _ { 2 } \mathrm { H a m } ^ { ( \mathbf { \alpha } _ { T _ { 2 } } ) } ( \hat { \mathbf { q } } , \hat { \mathbf { p } } )
\begin{array} { r l r } { \delta \mathbf { B } _ { o b s } } & { } & { = \langle | \delta B _ { k , \parallel } \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \cdot ( \mathbf { \hat { k } } \times ( \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \times \mathbf { \hat { k } } ) ) - } \\ & { } & { \delta B _ { k , { \perp 2 } } \hat { \mathbf { e } } _ { \perp 2 } \cdot ( \mathbf { \hat { k } } \times ( \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \times \mathbf { \hat { k } } ) ) | \rangle . } \end{array}
j ^ { \mu } = - e _ { 0 } c \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int d \tau _ { i } \frac { d X ^ { \mu } ( \tau _ { i } ) } { d \tau _ { i } } \, \delta ^ { 4 } ( x - X ( \tau _ { i } ) ) = ( c \rho , { \mathbf j } ) .
{ \frac { d } { d \ln Q ^ { 2 } } } \Biggl [ \Delta \Sigma - { \frac { 3 \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } \, \Delta g ( Q ^ { 2 } ) \Biggl ] = - \gamma ( \alpha _ { s } ) \Biggl [ \Delta \Sigma - { \frac { 3 \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } \, \Delta g ( Q ^ { 2 } ) \Biggl ]
\rho ( \omega ) = \epsilon ( \omega ) \left[ \pi \, { \frac { N ^ { 2 } g _ { \pi } ^ { 2 } ( T ) } { g ^ { 4 } } } \delta ( \omega ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) + \theta ( \omega ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } ( T ) ) \, \rho _ { \mathrm { c o n t } } ( \omega ) \right] \, ,
\begin{array} { l c l } { \operatorname { A } ( 0 , n ) } & { = } & { n + 1 } \\ { \operatorname { A } ( m + 1 , 0 ) } & { = } & { \operatorname { A } ( m , 1 ) } \\ { \operatorname { A } ( m + 1 , n + 1 ) } & { = } & { \operatorname { A } ( m , \operatorname { A } ( m + 1 , n ) ) } \end{array}
( \xi _ { t } , \xi ^ { * } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \Vert \xi - P _ { h } ^ { l - 1 } \xi \Vert _ { 0 , \tau _ { i } } ^ { 2 } \le a _ { h } ^ { S V } ( \eta , \xi ^ { * } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { l = 0 } ^ { k } \frac { \sigma _ { i } ^ { l } } { h _ { i } } \left( u _ { I } - P _ { h } ^ { l - 1 } u _ { I } , \xi ^ { * } \right) _ { i } .
\frac { \partial A } { \partial p _ { i } } \dot { \textbf { x } } + A \frac { \partial \dot { \textbf { x } } } { \partial p _ { i } } + \frac { \partial B } { \partial p _ { i } } \textbf { x } + B \frac { \partial \textbf { x } } { \partial p _ { i } } = \frac { \partial \textbf { s } } { \partial p _ { i } } .
\begin{array} { r } { h ^ { \mathrm { S M S } } = \sum _ { i _ { 1 } \neq i _ { 2 } , k _ { 1 } \neq k _ { 2 } } ^ { \varepsilon _ { i _ { 1 } } , \varepsilon _ { i _ { 2 } } , \varepsilon _ { k _ { 1 } } , \varepsilon _ { k _ { 2 } } > 0 } | \psi _ { i _ { 1 } } \psi _ { i _ { 2 } } \rangle \langle \psi _ { i _ { 1 } } \psi _ { i _ { 2 } } | \frac { 1 } { 2 } \Big [ R ( \varepsilon _ { i _ { 1 } } - \varepsilon _ { k _ { 1 } } ) + R ( \varepsilon _ { i _ { 2 } } - \varepsilon _ { k _ { 2 } } ) \Big ] | \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } \rangle \langle \psi _ { k _ { 1 } } \psi _ { k _ { 2 } } | \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( \sigma ) } & { { } = \int _ { C } f ( z ) e ^ { \sigma g ( z _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma g ^ { \prime \prime } ( z _ { s } ) ( z - z _ { s } ) ^ { 2 } + . . . } \mathrm { d } z , } \end{array}