harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { U \approx \left( 1 \! - \! \frac { \eta \ell _ { L } ^ { 2 } } { \eta _ { L } \ell _ { G } ^ { 2 } } \right) \frac { B ^ { 2 } I r _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \pi c ^ { 2 } \eta } \frac { ( p ^ { 2 } \! - \! 1 ) ^ { 2 } \! - \! 4 p ^ { 2 } \ln ^ { 2 } p } { 4 p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } \! - \! 1 ) } } \\ & { } & \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { I \ln p } { 2 \pi } \left( \frac { B ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \frac { v _ { g } ^ { 2 } \tau _ { L } } { 3 P _ { L } } + \tilde { R } \right) \! , } \end{array}
\gamma _ { t } = M t ^ { \frac \delta 4 } \eta _ { t } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } = t ^ { \frac \delta 4 } M L _ { t - 1 } ^ { - 1 } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \left( t ^ { - ( \frac 1 4 - \frac \delta 2 ) } \sqrt { 8 6 L _ { t - 1 } ^ { 2 } K ^ { 6 } t ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { s = 0 } ^ { t - 1 } \lVert \mathbf Q _ { s } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { Q N M } } ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) } & { { } = \frac { 2 | \mathbf { d } | ^ { 2 } } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \int _ { V _ { \mathrm { G } } } | \epsilon _ { \mathrm { I m } } ^ { \mathrm { G } } ( \mathbf { r } , \omega ) | } \end{array}
\left( { \frac { N _ { \tau } } { N _ { p } } } \right) _ { F e r m i l a b } \simeq 1 6 . 5 ~ \sin ^ { 2 } 2 \theta ~ ( \mathrm { k t o n } ~ 1 0 ^ { 1 9 } \, \mathrm { p o t } ) ^ { - 1 }
\left\{ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sigma _ { 1 , i } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) { \dot { q } } _ { i } + \zeta _ { 1 } ( q _ { 1 } , \dots , \dots , q _ { n } , t ) = 0 } \\ { \qquad \qquad \dots \dots \dots } \\ { \qquad \qquad \dots \dots \dots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sigma _ { k , i } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , t ) { \dot { q } } _ { i } + \zeta _ { k } ( q _ { 1 } , \dots , \dots , q _ { n } , t ) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { k } } & { = \int \Theta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } } d ^ { 3 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } } \\ & { \sim \int \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { \Omega _ { \mathrm { B Z } } } \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } \delta ( \epsilon _ { k ^ { \prime } } - \epsilon _ { k } - \Delta E ) A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { O } } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { A } } ) 4 \pi k ^ { \prime ^ { 2 } } d k ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { \hbar \Omega _ { \mathrm { B Z } } } \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { O } } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { A } } ) k ^ { \prime ^ { 2 } } \frac { d k ^ { \prime } } { d \epsilon _ { k ^ { \prime } } } } \\ & { \sim \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { \hbar \Omega _ { \mathrm { B Z } } } \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { O } } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { A } } ) \frac { k ^ { 3 } } { \epsilon _ { k } } } \\ & { \sim \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { \hbar } ( \frac { k } { k _ { \operatorname* { m a x } } } ) ^ { 3 } \big | g ^ { ( 2 ) } ( k _ { \operatorname* { m a x } } , k _ { \operatorname* { m a x } } ) \big | ^ { 2 } A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { \mathrm { O } } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { \mathrm { A } } ) \frac { 1 } { \epsilon _ { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \circ _ { y , x , x ^ { \prime } } } & { \colon ( q \mathbin { \blacktriangleleft } p ) ( y , x ) \otimes X ( x , x ^ { \prime } ) \to ( q \mathbin { \blacktriangleleft } p ) ( y , x ^ { \prime } ) } \\ { \circ _ { y ^ { \prime } , y , x } } & { \colon Y ( y ^ { \prime } , y ) \otimes ( q \mathbin { \blacktriangleleft } p ) ( y , x ) \to ( q \mathbin { \blacktriangleleft } p ) ( y ^ { \prime } , x ) } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { c h r g } } = \sum _ { \zeta = 1 } ^ { c } \left[ \beta _ { \zeta } ^ { \tt A } \left( \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt A } } - \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt A } } \right) + \beta _ { \zeta } ^ { \tt B } \left( \lambda _ { \zeta , f _ { \alpha } ^ { \tt B } } - \lambda _ { \zeta , i _ { \alpha } ^ { \tt B } } \right) \right] , \quad \mathrm { i f } \; \tilde { p } _ { \mathrm { F } } \neq 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { p ^ { - } } { p } } & { { } = \frac { p ^ { - } } { p ^ { - } + p ^ { + } } = \frac { P ( \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ ' ~ } \: \cap \: \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ - ~ ' ~ } ) } { P ( \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ ' ~ } ) } = P ( \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ - ~ ' ~ } \: | \: \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ ' ~ } ) , } \\ { \frac { p ^ { + } } { p } } & { { } = \frac { p ^ { + } } { p ^ { - } + p ^ { + } } = \frac { P ( \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ ' ~ } \: \cap \: \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ + ~ ' ~ } ) } { P ( \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ ' ~ } ) } = P ( \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ + ~ ' ~ } \: | \: \mathrm { ~ ` ~ l ~ i ~ n ~ k ~ ' ~ } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma ( \gamma + \omega _ { 0 } ) ^ { k } } & { = } & { \gamma ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k } + 2 k \omega _ { 0 } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k } } \\ & { + } & { 2 k \omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - 1 } + \gamma \sum _ { i = 2 } ^ { k } \binom { k } { i } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - i } ( 2 \omega _ { 0 } ) ^ { i } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \forall \, n \geq N _ { m } : \, \ln \left| \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } w _ { n + j } \right| } & { \leq } & { \left( \frac { 1 } { k + 1 } - \frac { 1 } { k + 2 } \right) \alpha _ { n + m } = \frac { \alpha _ { n } } { k + 1 } + \frac { \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } ( \alpha _ { n + j + 1 } - \alpha _ { n + j } ) } { k + 1 } - \frac { \alpha _ { n + m } } { k + 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { m } { k + 1 } \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } } ( \alpha _ { r + 1 } - \alpha _ { r } ) + \frac { \alpha _ { n } } { k + 1 } - \frac { \alpha _ { n + m } } { k + 2 } . } \end{array}
\left| \partial ^ { I } \Omega ^ { J } \psi _ { 0 1 } \right| \lesssim \frac { \chi ( { \frac { \langle t - r \rangle } { 2 r } } ) } { \langle t + r \rangle } \left( \sum _ { k + | \beta | \leq | I | + | J | } \left| ( \langle q \rangle \partial _ { q } ) ^ { k } \partial _ { \omega } ^ { \beta } F _ { 0 } ( q , \omega ) \right| + \frac { 1 } { \langle t + r \rangle } \left| ( \langle q \rangle \partial _ { q } ) ^ { k } \partial _ { \omega } ^ { \beta } F _ { 1 } ( q , \omega ) \right| \right) .
\begin{array} { r } { \langle \dot { A } _ { m } ( t ) \delta f _ { m } ( t ) \rangle = - \left( \frac { 8 r ^ { 2 } D } { 2 1 B _ { 0 } } + i m \frac { \mu D \tau _ { c } } { q B _ { 0 } \gamma } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } } \end{array}
\begin{array} { r } { D ( \psi , \epsilon ) : = t r a c e ( B ^ { \# } ( \psi , \epsilon ) ^ { - 1 } A ( \psi ) ) ^ { 2 } - 4 \operatorname* { d e t } ( B ^ { \# } ( \psi , \epsilon ) ^ { - 1 } A ( \psi ) ) = \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( B ^ { \# } ( \psi , \epsilon ) ) ^ { 2 } } \tilde { P } ( \psi , \epsilon ) } \end{array}
P _ { 0 } [ M _ { 0 } ] = I _ { 1 } - M _ { 0 } ^ { 2 } I _ { 2 } + { \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \ln { \frac { M _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } ~ ,
\begin{array} { r l r } { d q } & { { } = } & { - \bigg ( b _ { i j } \mu _ { j i } + b _ { i j } \gamma _ { j i } + \frac { 1 } { 2 } D _ { i j k l } D _ { j i k l } \bigg ) d t ^ { \prime } - b _ { i j } D _ { j i m n } \; d W _ { m n } ^ { \prime } } \\ { d r } & { { } = } & { - \bigg ( b _ { i k } b _ { k j } \mu _ { j i } + b _ { i k } b _ { k j } \gamma _ { j i } + b _ { i j } D _ { j k m n } D _ { k i m n } \bigg ) d t ^ { \prime } - b _ { i j } b _ { j k } D _ { k i m n } \; d W _ { m n } ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \alpha \beta } ^ { ( 1 ) } } & { = - \mu _ { 0 } \left( \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) , } \\ { q _ { \alpha } ^ { ( 1 ) } } & { = - \frac { 1 5 R } { 4 } \mu _ { 0 } \partial _ { \alpha } T . } \end{array}
g ^ { ( 1 ) } = - \frac { \alpha _ { e } } { \pi } \frac { m ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \int ^ { 1 } \frac { d \alpha d \beta } { \alpha \beta } [ \alpha ( 1 - \alpha ) + \beta ( 1 - \beta ) ] \Theta \left( \alpha \beta - \frac { \mu ^ { 2 } } { s } \right)
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 4 \} \! \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 4 \} } \end{array} \right) \! , \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 2 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 3 \} \! \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 2 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 3 \} \! \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \! \{ 0 \sim 3 \} \! \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 2 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } ( - 1 ) ^ { f ( x ) + x \cdot y } = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } ( - 1 ) ^ { x \cdot s + x \cdot y } = { \frac { 1 } { 2 ^ { n } } } \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } ( - 1 ) ^ { x \cdot ( s \oplus y ) } = 1 { \mathrm { ~ i f ~ } } s \oplus y = { \vec { 0 } } , \, 0 { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } .
\| \boldsymbol { u } _ { f } - \boldsymbol { u } _ { f } ^ { * } \| / \| \boldsymbol { u } _ { f } ^ { * } \| \leqslant \epsilon _ { 0 } \exp \left( - \lambda x _ { \mathrm { ~ q ~ u ~ a ~ s ~ i ~ - ~ p ~ e ~ r ~ i ~ o ~ d ~ i ~ c ~ } } \right)
\| y \| _ { \mathcal { Y } } ^ { 2 } : = \int _ { 0 } ^ { T } \| y \| _ { Y } ^ { 2 } \mathrm { d t } , \quad \| y \| _ { \mathcal { Y } ^ { * } } ^ { 2 } : = \int _ { 0 } ^ { T } \| y \| _ { Y ^ { * } } ^ { 2 } \mathrm { d t } , \quad \| z \| _ { \mathcal { Z } } ^ { 2 } : = \int _ { 0 } ^ { T } \| z \| _ { Z } ^ { 2 } \mathrm { d t } , \quad \mathrm { a n d } \quad \| u \| _ { U } ^ { 2 } : = \int _ { 0 } ^ { T } \| u \| _ { U } ^ { 2 } \mathrm { d t } .
f _ { i , k } = \langle a _ { i , k } ^ { + } a _ { i , k } \rangle = \frac { 1 } { Z _ { \mathrm { g r . c a n } } } \mathrm { T r } \left\{ e ^ { - \beta ( H - \sum _ { i } \mu _ { i } N _ { i } ) } a _ { i , k } ^ { + } a _ { i , k } \right\} , \qquad Z _ { \mathrm { g r . c a n } } = \mathrm { T r } e ^ { - \beta ( H - \sum _ { i } \mu _ { i } N _ { i } ) }
\frac { \mathrm { d } m _ { \mathrm { ~ R ~ } } } { \mathrm { d } t } = - \dot { m } _ { \mathrm { ~ n ~ } } \Rightarrow m _ { \mathrm { ~ R ~ } } ( t ) = m _ { \mathrm { ~ R ~ , ~ 0 ~ } } - \dot { m } _ { \mathrm { ~ n ~ } } t
\begin{array} { r l r } { D _ { i j k l } D _ { i j k l } } & { { } = } & { \bigg ( \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \bigg ) \bigg ( \frac { K _ { i j k l } } { A ^ { 3 / 2 } } - b _ { i j } b _ { p q } \frac { K _ { p q k l } } { A ^ { 3 / 2 } } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \frac { \varepsilon \pi \dot { \gamma } } { \sqrt { \gamma } } \| | \nabla _ { x } | ^ { - 1 } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + 4 \pi \sqrt { \gamma } \varepsilon \langle \partial _ { t } ( e ^ { \gamma \psi } ) , a \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } | } & { \lesssim \varepsilon ( 1 + | \dot { \gamma } | + \| \partial _ { t } \psi \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } ) \| a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon ( 1 + \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ) \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { 2 } + \varepsilon \| g _ { \alpha } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \operatorname* { m i n } \left( \frac { \beta ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } \right) - 1 \leq x \leq - \operatorname* { m a x } \left( \frac { \beta ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } \right) + 1 \, , } \end{array}
S _ { \mathrm { A r 3 9 } } = ( 0 . 9 6 4 \pm 0 . 0 0 1 _ { \mathrm { s t a t } } \pm 0 . 0 2 4 _ { \mathrm { s y s } } ) \, \textrm { B q / k g } _ { \mathrm { a t m A r } } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ^ { \prime } \in G } L ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ^ { \prime } ) = L ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ) = \operatorname* { i n f } _ { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ^ { \prime } \in \mathrm { ~ \mathbb { R } ~ } ^ { n } } L ( \mathrm { \boldmath ~ u ~ } ^ { \prime } , \mathrm { \boldmath ~ y ~ } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \pm \ddot { Z } \mp \frac { A \textrm { s e c h } ^ { 2 } ( \frac { z - z _ { 0 } } { L } ) } { L ( A \operatorname { t a n h } ( \frac { z - z _ { 0 } } { L } ) + B ) } \dot { Z } - \left( - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } + k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } \right) Z } \\ { - \left( A \operatorname { t a n h } ( \frac { z - z _ { 0 } } { L } ) + B \right) Z = 0 , } \end{array}
\mathbf { j } _ { m , n } ^ { \kappa } ( t ) : = \frac { 2 \pi ^ { 2 } a _ { m } ^ { 2 } \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { n ! } \biggl ( \frac { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \kappa } \biggr ) ^ { \! n } \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \zeta _ { m , k } ( t ) \partial _ { t } ^ { n } \zeta _ { m , k } ( t ) \bigl ( { \mathbf { 1 } } _ { \{ k \in 4 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 \} } { \mathbf { e } } _ { 2 } \otimes { \mathbf { e } } _ { 2 } + { \mathbf { 1 } } _ { \{ k \in 4 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 3 \} } { \mathbf { e } } _ { 1 } \otimes { \mathbf { e } } _ { 1 } \bigr )
\small \begin{array} { r } { I ( f ^ { 0 } ( x , y ) , W ) = \mathrm { D i f f M o d } ( \mathrm { D i f f M o d } ( \mathrm { D i f f M o d } ( \mathrm { D i f f M o d } } \\ { ( \mathrm { D i f f M o d } ( f ^ { 0 } ( x , y ) , W _ { 1 } ( x , y ) ) , W _ { 2 } ( x , y ) ) , } \\ { W _ { 3 } ( x , y ) ) , W _ { 4 } ( x , y ) ) , W _ { 5 } ( x , y ) ) } \end{array}
\displaystyle \Phi \left( n , x \right) = f _ { 1 } \ln \frac { n \left( x + 1 \right) + 1 } { n \left( x + 1 \right) - 1 } + f _ { 2 } \ln \frac { n \left( x - 1 \right) + 1 } { n \left( x - 1 \right) - 1 } + f _ { 3 } \ln \frac { n \left( x - 1 \right) - 1 } { n \left( x + 1 \right) - 1 } + f _ { 4 }
\begin{array} { r l } { \Xi _ { 2 } } & { = \hat { \delta } _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } } { | p _ { 2 } - p _ { 1 } | } = \hat { \delta } _ { 2 } - \frac { m _ { 1 } } { | p _ { 2 } | } \geq \frac 1 2 \hat { \delta } _ { 2 } } \\ { \Xi _ { 1 , 2 } } & { = \hat { \delta } _ { 1 } - \frac { m _ { 2 } } { | p _ { 1 } - p _ { 2 } | } = \hat { \delta } _ { 1 } - \frac { m _ { 2 } } { | p _ { 2 } | } \geq \frac 1 2 \hat { \delta } _ { 1 } . } \end{array}
\mathbf { q } ( \mathbf { x } , 0 ) = [ \rho , u , v , w , B _ { x } , B _ { y } , B _ { z } , P ] ^ { T } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { q } _ { c } , \quad \mathrm { i f } \ r ^ { \prime } \leq 0 . 1 5 , } \\ { \mathbf { q } _ { l } , \quad \mathrm { e l s e \ i f } \ x \leq 0 . 6 , } \\ { \mathbf { q } _ { r } , \quad \mathrm { e l s e } , } \end{array} \right.
I \equiv { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } , \ X \equiv { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } , \ Y \equiv { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] } , \ Z \equiv { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \left[ \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \right) + \frac { \partial } { \partial \phi } \left( \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \frac { \partial U _ { z } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } \right) \right] } & { = \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } \frac { \partial P ^ { ( k ) } } { \partial z } , } \\ { - \frac { \partial P ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { \rho _ { k } } { \mathrm { F r } } H _ { \xi } \frac { \sinh \xi \sin \phi } { \cosh \xi - \cos \phi } } & { = 0 , } \\ { - \frac { \partial P ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + \frac { \rho _ { k } } { \mathrm { F r } } H _ { \phi } \frac { \bigl ( 1 - \cosh \xi \cos \phi \bigr ) } { \cosh \xi - \cos \phi } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta g _ { \mathrm { r e l . , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } \left( 1 s , ^ { 2 0 } \mathrm { N e } ^ { 9 + } \right) } & { = - 1 . 1 3 3 ( 1 4 ) \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, , } \\ { \Delta g _ { \mathrm { r e l . , f n s } } ^ { \mathrm { h a d . } } \left( 1 s , ^ { 2 2 } \mathrm { N e } ^ { 9 + } \right) } & { = - 1 . 1 3 3 ( 1 5 ) \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 1 } ( x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { x } f _ { 1 } ( s ) d s = \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } f _ { 1 } ( s ) d s + \int _ { t _ { 1 } } ^ { x } f _ { 1 } ( s ) d s \le F _ { 1 } ( t _ { 1 } ) + \int _ { t _ { 1 } } ^ { x } k f _ { 2 } ( k s ) d s \le F _ { 1 } ( t _ { 1 } ) + k \int _ { 0 } ^ { x } f _ { 2 } ( k s ) d s } \\ & { = F _ { 1 } ( t _ { 1 } ) + k \int _ { 0 } ^ { k x } f _ { 2 } ( u ) \frac { d u } { k } = F _ { 1 } ( t _ { 1 } ) + F _ { 2 } ( k x ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( t ) } \\ { x _ { 2 } ( t ) } \\ { c _ { l } ( t ) } \\ { \overline { { c } } _ { l } ( t ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \mathbf { d } ( t ) } & { 0 } & { 0 } \\ { - \mathbf { d } ^ { \ast } ( t ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \delta _ { x _ { 1 } } H ( x , c _ { l } , \overline { { c } } _ { l } ) ( t ) } \\ { \delta _ { x _ { 2 } } H ( x , c _ { l } , \overline { { c } } _ { l } ) ( t ) } \\ { \delta _ { c _ { l } } H ( x , c _ { l } , \overline { { c } } _ { l } ) ( t ) } \\ { \delta _ { \overline { { c } } _ { l } } H ( x , c _ { l } , \overline { { c } } _ { l } ) ( t ) } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l l } { ( c _ { l } x _ { 1 } ) ( t ) } & { ( \overline { { c } } _ { l } x _ { 1 } ) ( t ) } \\ { ( c _ { l } x _ { 2 } ) ( t ) } & { ( \overline { { c } } _ { l } x _ { 2 } ) ( t ) } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \partial _ { z } \left[ \begin{array} { l } { c _ { l } ( t ) } \\ { \overline { { c } } _ { l } ( t ) } \end{array} \right] \dot { l } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \frac { d ^ { 2 } \check { \theta } _ { 1 } } { d \xi ^ { 2 } } + b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \left( \check { v } _ { 0 } \frac { d \check { p } _ { 0 } } { d \xi } + \nu \left( \frac { d \check { v } _ { 0 } } { d \xi } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
P \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, \frac { k ^ { n } } { 2 \mu E - k ^ { 2 } } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, k ^ { n - 2 } + 2 \mu E \, P \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, \frac { k ^ { n - 2 } } { 2 \mu E - k ^ { 2 } } ,
S _ { n } ( Q ) \equiv - \frac { \beta } { 4 } + \frac { \beta } { 2 n } \sum _ { \alpha < \alpha ^ { \prime } } Q _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { n \beta } \log { \textrm { T r } \exp { \left[ \beta ^ { 2 } \sum _ { \alpha < \alpha ^ { \prime } } Q _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } \sigma ^ { \alpha } \sigma ^ { \alpha ^ { \prime } } \right] } } .
\centering \begin{array} { r l } { \mu ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } ) } & { = \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { M M } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M N } \boldsymbol { \mathbf { y } } } \\ { \Sigma ^ { 2 } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } ) } & { = k - \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M M } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } + \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { M M } \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } \left( Y _ { t o t } \leq \mathbb { E } Y _ { t o t } ( 1 - \epsilon ) \right) } & { \leq } & { \frac { v a r ( Y _ { t o t } ) } { \epsilon ^ { 2 } ( \mathbb { E } Y _ { t o t } ) ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { \mathbb { E } Y _ { t o t } } + \left( e ^ { 4 \lambda r _ { 0 } } - 1 \right) ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { \leq } & { \frac { C } { n ^ { 2 } p } + \left( e ^ { 4 \lambda r _ { 0 } } - 1 \right) ( 1 + o ( 1 ) ) } \\ & { \leq } & { \frac { C } { n ^ { 2 } p } + 2 \left( e ^ { 4 \lambda r _ { 0 } } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { { \textbf P } } = \mathbf { { F } } { \textbf P } \mathbf { { F } } ^ { T } \stackrel { ! } { = } \hat { { \textbf Q } } = \mathbf { { F } } ^ { - T } { \textbf Q } \mathbf { { F } } ^ { - 1 } \stackrel { ! } { = } \mathrm { d i a g } ( \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { n } ) \in { \mathbb R } ^ { n \times n } , } \end{array}
\mathscr { C } _ { \ell } : = \{ C ( w _ { i , j } ^ { \ell } , \alpha _ { i , j } ^ { \ell } ) : \alpha _ { i , j } ^ { \ell } \leq \ell ^ { - 1 } , \, w _ { i , j } ^ { \ell } \in C ( e _ { i } , \sigma _ { i } ) \cap \mathbb { S } ^ { n _ { 1 } - 1 } , \, \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } i = 1 , \ldots , n _ { 1 } \mathrm { ~ a n d ~ } j \in \mathbb { N } \} ,
\begin{array} { r l } { ( C _ { i j k l } F _ { l ^ { \prime } l } F _ { j ^ { \prime } j } ) _ { , j ^ { \prime } } ( A _ { k , l ^ { \prime } } + \mathrm { i } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k } ) + C _ { i j k l } F _ { l ^ { \prime } l } F _ { j ^ { \prime } j } ( A _ { k , l ^ { \prime } j ^ { \prime } } + \mathrm { i } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k , l ^ { \prime } } + \mathrm { i } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k , j ^ { \prime } } } & { - A _ { k } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } \\ & { + \rho \omega ^ { 2 } \delta _ { i k } A _ { k } = 0 , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 0 = - \frac { \partial p } { \partial z } + \mu \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial v _ { z } } { \partial r } \right) , } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r v _ { r } ) } { \partial r } + \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } = 0 . } \end{array} \right.
{ \cal P } _ { n } ^ { \pm } ( \beta ) = N _ { \pm } ^ { 2 } ( \beta ) \left[ | T _ { n } ( \beta ) | ^ { 2 } + | T _ { n } ( - \beta ) | ^ { 2 } { \pm } \left( T _ { n } ^ { * } ( \beta ) T _ { n } ( - \beta ) + T _ { n } ( \beta ) T _ { n } ^ { * } ( - \beta ) \right) \right] .
\begin{array} { r } { d _ { i } \textbf { u } _ { \perp , i } = \sqrt { \frac { \tau _ { i } \beta _ { e } } { 2 \sigma _ { i } } } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } { \mathcal F } _ { e q _ { i } } \textbf { v } _ { \perp } \delta { \mathcal F } _ { i } } \end{array}
0 \rightarrow \mathfrak { S } _ { \mathrm { s t r , \mathrm { r e l } } } \rightarrow \mathfrak { S } _ { \mathrm { o r d , \mathrm { r e l } } } \rightarrow \mathrm { H } _ { \mathrm { o r d } } ^ { 1 } ( K _ { v } , T _ { p } E _ { \bullet } ( \alpha ) \otimes \Lambda _ { K } ^ { + } ) \rightarrow \mathfrak { X } _ { \mathrm { G r } } ( \alpha ^ { - 1 } ) \rightarrow \mathfrak { X } _ { \mathrm { o r d , \mathrm { s t r } } } ( \alpha ^ { - 1 } ) \rightarrow 0 .