harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { 1 } { 4 \pi } } \left[ { \frac { \delta \left( t - { \frac { r } { c } } \right) } { r } } + \mu c \Theta ( c t - r ) { \frac { J _ { 1 } \left( \mu u \right) } { u } } \right] , \, u = { \sqrt { c ^ { 2 } t ^ { 2 } - r ^ { 2 } } }
\mathbf { U } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathbf { 0 } ^ { \textup { \textsf { T } } } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { F } } \end{array} \right] , \qquad \mathbf { F } = \mathbf { I } - 2 \frac { \vec { v } \vec { v } ^ { * } } { \vec { v } ^ { * } \vec { v } } , \qquad \mathbf { v } = \| \mathbf { x } \| \mathbf { e } _ { 1 } - \mathbf { x } .
\wedge ^ { \mathrm { s e c } } : \boldsymbol \Omega ^ { p } \times \boldsymbol \Omega ^ { p ^ { \prime } } \to \boldsymbol \Omega ^ { p + p ^ { \prime } } , \quad ( \boldsymbol \omega , \boldsymbol \omega ^ { \prime } ) \mapsto \boldsymbol \omega \wedge ^ { \mathrm { s e c } } \boldsymbol \omega ^ { \prime } : = \big [ \omega \wedge \omega ^ { \prime } \big ] ,
\left. \begin{array} { c c } { { \left\{ \begin{array} { c c } { { G _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 6 } } ^ { ( 6 ) } = } } & { { ( 6 \partial C ^ { ( 5 ) } - 6 0 \partial B C ^ { ( 3 ) } + 1 5 M B ^ { 3 } ) _ { [ \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 6 } ] } , } } \\ { { G _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 8 } } ^ { ( 8 ) } = } } & { { ( 8 \partial C ^ { ( 7 ) } - 1 6 8 \partial B C ^ { ( 5 ) } + 1 0 5 M B ^ { 4 } ) _ { [ \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 8 } ] } , } } \end{array} \right. } } & { { \left\{ \begin{array} { c c } { { \delta C _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 5 } } ^ { ( 5 ) } = } } & { { - 1 5 ( B ^ { 2 } \lambda ) _ { [ \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 5 } ] } , } } \\ { { \delta C _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 7 } } ^ { ( 7 ) } = } } & { { - 1 0 5 ( B ^ { 3 } \lambda ) _ { [ \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 7 } ] } . } } \end{array} \right. } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { k c _ { i } \leq \frac { 1 } { 2 } m a x \left| \frac { k ^ { 2 } r ^ { 2 } D V ^ { 2 } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right| ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
= { \frac { N \sum _ { i = 1 } ^ { N } e _ { X , i } e _ { Y , i } } { { \sqrt { N \sum _ { i = 1 } ^ { N } e _ { X , i } ^ { 2 } } } ~ { \sqrt { N \sum _ { i = 1 } ^ { N } e _ { Y , i } ^ { 2 } } } } } .
\nu _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ - ~ i ~ z ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ - ~ i ~ z ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\dot { { \bf s } } = - \frac { \Gamma \Lambda } { 2 \pi } { \bf s } ^ { \prime } \times { \bf s } ^ { \prime \prime } + \alpha { \bf s ^ { \prime } } \times ( { \bf v } _ { \mathrm { n } } + \frac { \Gamma \Lambda } { 2 \pi } { \bf s } ^ { \prime } \times { \bf s } ^ { \prime \prime } ) - \alpha ^ { \prime } { \bf s ^ { \prime } } \times [ { \bf s } ^ { \prime } \times ( { \bf v } _ { \mathrm { n } } + \frac { \Gamma \Lambda } { 2 \pi } { \bf s } ^ { \prime } \times { \bf s } ^ { \prime \prime } ) ] , ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \left( \begin{array} { c } { \rho _ { 0 } \vec { v } } \\ { - \rho _ { 0 } \vec { \Omega } } \end{array} \right) } & { + \left( \begin{array} { c } { \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho _ { 0 } \vec { v } \otimes \vec { v } + \rho _ { 0 } R + \rho _ { 0 } \vec { \Omega } \otimes \vec { \Omega } \right] } \\ { - \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho _ { 0 } \vec { v } \otimes \vec { \Omega } + \rho _ { 0 } \vec { \Omega } \otimes \vec { v } \right] } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \rho _ { 0 } \nabla _ { X } g ( \vec { x } , z ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { ( i ) } } & { = | \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } + \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 1 } } | ^ { 2 } } \\ & { = \left[ | \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } | ^ { 2 } + \mathrm { R e } ( \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 1 } } ^ { * } ) \right] + \left[ | \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 1 } } | ^ { 2 } + \mathrm { R e } ( \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \alpha _ { 1 } } \tilde { W } _ { \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } , \alpha _ { 2 } } ^ { * } ) \right] , } \end{array}
Q = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 6 } & { 1 1 } & { 1 0 } & { 1 6 } & { 2 4 } & { 4 0 } & { 5 1 } & { 6 1 } \\ { 1 2 } & { 1 2 } & { 1 4 } & { 1 9 } & { 2 6 } & { 5 8 } & { 6 0 } & { 5 5 } \\ { 1 4 } & { 1 3 } & { 1 6 } & { 2 4 } & { 4 0 } & { 5 7 } & { 6 9 } & { 5 6 } \\ { 1 4 } & { 1 7 } & { 2 2 } & { 2 9 } & { 5 1 } & { 8 7 } & { 8 0 } & { 6 2 } \\ { 1 8 } & { 2 2 } & { 3 7 } & { 5 6 } & { 6 8 } & { 1 0 9 } & { 1 0 3 } & { 7 7 } \\ { 2 4 } & { 3 5 } & { 5 5 } & { 6 4 } & { 8 1 } & { 1 0 4 } & { 1 1 3 } & { 9 2 } \\ { 4 9 } & { 6 4 } & { 7 8 } & { 8 7 } & { 1 0 3 } & { 1 2 1 } & { 1 2 0 } & { 1 0 1 } \\ { 7 2 } & { 9 2 } & { 9 5 } & { 9 8 } & { 1 1 2 } & { 1 0 0 } & { 1 0 3 } & { 9 9 } \end{array} \right] } .
\left( { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ) } ( \mathbf { k } ) \right) ^ { m } \left( { a ^ { \dagger } } ^ { ( \mu ^ { \prime } ) } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \right) ^ { n } | 0 \rangle \propto \left| ( \mathbf { k } , \mu ) ^ { m } ; ( \mathbf { k } ^ { \prime } , \mu ^ { \prime } ) ^ { n } \right\rangle ,
A _ { \mathrm { F B } } = \frac { \hat { \sigma } ^ { F } ( \hat { s } ) - \hat { \sigma } ^ { B } ( \hat { s } ) } { \hat { \sigma } ^ { F } ( \hat { s } ) + \hat { \sigma } ^ { B } ( \hat { s } ) } ~ , \qquad \hat { \sigma } ^ { F \, ( B ) } ( \hat { s } ) = \int _ { - \hat { s } / 2 \, ( - \hat { s } ) } ^ { \, 0 \, ( - \hat { s } / 2 ) } d \hat { t } \; \frac { d \hat { \sigma } } { d \hat { t } } ( \hat { s } , \hat { t } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. \left\lvert Q _ { t , i } - Q _ { t - 1 , i } \right\rvert \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } & { = \mathbb E \left[ \left. \left( \left\lvert Q _ { t , i } - Q _ { t - 1 , i } \right\rvert ^ { \alpha } \right) ^ { \frac 1 \alpha } \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } \\ & { \stackrel { ( a ) } \le \left( \mathbb E \left[ \left. \left\lvert Q _ { t , i } - Q _ { t - 1 , i } \right\rvert ^ { \alpha } \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] \right) ^ { \frac 1 \alpha } } \\ & { \le \left( M ^ { \alpha } \right) ^ { \frac 1 \alpha } } \\ & { = M , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \theta } _ { 1 } } & { = ( a f - f \ell + h ) ^ { 2 } ( a ( f + v ) + h ) ^ { 2 } , } \\ { \tilde { \theta } _ { 2 } } & { = - ( a f + h ) ^ { 2 } ( h + ( a - \ell ) ( f + v ) ) ^ { 2 } , } \\ { \tilde { \theta } _ { 3 } } & { = h \ell ^ { 2 } v ^ { 2 } ( 2 a f + h ) - 2 h \ell v ( a f + h ) ( a f + h - f \ell ) - 2 h \ell a v ^ { 2 } ( a f + h ) . } \end{array}
c _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ^ { 2 } = v ^ { 2 } \frac { p + \left. \frac { \partial e _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } { \partial v } \right) _ { p } } { \left. \frac { \partial e _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } { \partial p } \right) _ { v } } \ne ( c ^ { 2 } ) _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } = c ^ { 2 } ( T , p , \mathbf { y _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } ( T , p ) ) .
\begin{array} { r } { \dot { x } _ { N } ^ { i } ( t ) = \dot { R } _ { i j } x _ { N } ^ { j } ( 0 ) = - \hat { \omega } _ { i j } ( t ) x _ { N } ^ { j } ( t ) = \epsilon _ { i k j } \omega _ { k } ( t ) x _ { N } ^ { j } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } = \left( \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } F ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) + \gamma \left( \widehat { F } _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k - 1 ) } - \frac { 1 } { p / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p / 2 } F ^ { ( k - 1 ) } ( \xi _ { i } ) \right) , \qquad \widehat { F } _ { \mathrm { ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( 0 ) } = \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( 0 ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 ) = } & { - x _ { 2 } - \frac { x _ { 1 } ^ { 3 } } { 2 4 } - \frac { 1 } { 6 } x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { x _ { 2 } ^ { 5 } } { 1 8 } + \frac { 1 } { 7 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 1 4 4 } x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } + \dots \, , } \\ { u _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 ) = } & { \frac { x _ { 1 } } { 2 } - \frac { x _ { 2 } ^ { 3 } } { 6 } - \frac { 1 } { 1 2 } x _ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { x _ { 1 } ^ { 5 } } { 2 8 8 } - \frac { 1 } { 1 4 4 } x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 3 } - \frac { 1 } { 3 6 } x _ { 2 } ^ { 4 } x _ { 1 } + \dots \, . } \end{array}
\hat { \mathcal { L } } _ { \mathbf q g } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \mathcal L } _ { { \mathbf q g } } ^ { ( \mathrm { e } ) } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ { 1 \le { g } \le n _ { \mathbf { q } g } } , } \\ { \hat { \mathcal L } _ { { \mathbf q g ^ { \prime } } } ^ { ( \mathrm { o } ) } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ { n _ { \mathbf { q } g } + 1 \leq { g } \le { 2 n _ { \mathbf { q } g } } } , } \end{array} \right.
\langle : \bar { q } q : \rangle _ { \mu } = ( - ) t r _ { \gamma C } [ G _ { 0 } ( x , 0 ) ] | _ { x = 0 } = ( - ) \frac { 1 2 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \mu } d s s \frac { B ( s ) } { s A ^ { 2 } ( s ) + B ^ { 2 } ( s ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { p \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p } } & { { } \leq \frac { p - 1 } { 2 } \left( \mathrm { { R a } } ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 2 } { p } } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p - 2 } - \int _ { \Omega } | \nabla \hat { \omega } | ^ { 2 } | \hat { \omega } | ^ { p - 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf B } } & { { } = } & { \frac { 1 } { v } \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 \epsilon V } } \left( ( \hat { a } _ { \mathrm { H } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf y } - ( \hat { a } _ { \mathrm { V } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf x } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { 1 } } & { { } = \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } } \end{array}
{ \frac { \Delta \widehat \sigma } { \widehat \sigma } } ^ { \mathrm { E W } } \propto \left( { \frac { \lambda _ { t } } { 4 \pi } } \right) ^ { 2 } \, , \qquad { \frac { \Delta \widehat \sigma } { \widehat \sigma } } ^ { \mathrm { Q C D } } \propto \left( { \frac { \alpha _ { s } } { 4 \pi } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \langle \bar { I } ^ { 2 } ( T ) \rangle } & { { } = \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime \prime } \, \langle I ( t ^ { \prime } ) I ( t ^ { \prime \prime } ) \rangle = \frac { 2 } { T ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } d t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } \, e ^ { - ( t ^ { \prime } - t ^ { \prime \prime } ) } = \frac { 2 } { T ^ { 2 } } ( e ^ { - T } - 1 + T ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sinh ( x + y ) } & { = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y } \\ { \cosh ( x + y ) } & { = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y } \\ { \operatorname { t a n h } ( x + y ) } & { = { \frac { \operatorname { t a n h } x + \operatorname { t a n h } y } { 1 + \operatorname { t a n h } x \operatorname { t a n h } y } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \rho = \partial _ { \phi _ { 2 } } J ( \phi _ { 2 } ) = - \partial _ { \phi _ { 2 } } \left[ F ( \phi _ { 2 } ) \rho \right] + \partial _ { \phi _ { 2 } } ^ { 2 } \left[ D ( \phi _ { 2 } ) \rho \right] , } \end{array}
u _ { i } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } ) = \int d { \bf x } G _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf s } ) M _ { j k } \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \delta ( { \bf x } - { \bf s } ) e ^ { i \omega t _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } = } & { \left\{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + \frac { \sin ^ { 2 } | \mathbf { r } | } { | \mathbf { r } | ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { - r _ { 3 } } & { r _ { 2 } } \\ { r _ { 3 } } & { 0 } & { - r _ { 1 } } \\ { - r _ { 2 } } & { r _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right] \right. } \\ & { \left. - \frac { | \mathbf { r } | - \sin | \mathbf { r } | \cos | \mathbf { r } | } { | \mathbf { r } | ^ { 3 } } \left[ \begin{array} { c c c } { r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } & { - r _ { 1 } r _ { 2 } } & { - r _ { 1 } r _ { 3 } } \\ { - r _ { 1 } r _ { 2 } } & { r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 3 } ^ { 2 } } & { - r _ { 2 } r _ { 3 } } \\ { - r _ { 1 } r _ { 3 } } & { - r _ { 2 } r _ { 3 } } & { r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { z } ^ { \mathrm { c o s } } ( \mathbf { x } \: | \: \omega ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \widetilde { E } ( \omega ) ( e ^ { i ( k _ { x } x + k _ { y } y - \omega t ) } + e ^ { i ( - k _ { x } x + k _ { y } y - \omega t ) } ) } \\ & { = \widetilde { E } ( \omega ) \cos ( k _ { x } x ) e ^ { + i ( k _ { y } y - \omega t ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | - \langle \Delta ( w ^ { * } \lambda ) , w ^ { * } \lambda \rangle | } & { = } & { | \langle * \langle \nabla ^ { \pi } \partial ^ { \pi } w , \partial ^ { \pi } w \rangle , w ^ { * } \lambda \rangle | } \\ & { \leq } & { | \nabla ^ { \pi } \partial ^ { \pi } w | | d w | ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 c } | \nabla ^ { \pi } \partial ^ { \pi } w | ^ { 2 } + \frac { c } { 2 } | d w | ^ { 4 } . } \end{array}
F _ { + } ^ { B \to \eta } ( q ^ { 2 } ) = \cos \phi \; F _ { + } ^ { B \to \pi } ( q ^ { 2 } ) , ~ ~ ~ ~ ~ F _ { + } ^ { B \to \eta ^ { \prime } } ( q ^ { 2 } ) = \sin \phi \; F _ { + } ^ { B \to \pi } ( q ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \delta _ { f } H ( w , f ) [ i f ] } & { = \frac 1 2 \operatorname { R e } \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \left[ | U | ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } | f | ^ { 2 } \right] \overline { f } f _ { \zeta } \, d \zeta } \\ & { = \frac 1 2 \operatorname { R e } \left( \int _ { \partial \mathcal { D } _ { \rho } } \mathcal { F } _ { 2 } \overline { f } f _ { \zeta } \, d \zeta - \sum _ { k } \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \left( \Omega ^ { 2 } | f | ^ { 2 } - q _ { k } ^ { 2 } \right) \overline { f } f _ { \zeta } \, d \zeta \right) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { x _ { R , i } } \\ { y _ { R , i } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \cos { \alpha _ { i } } } & { - \sin { \alpha _ { i } } } \\ { \sin { \alpha _ { i } } } & { \cos { \alpha _ { i } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { x _ { i } - x _ { c } } \\ { y _ { i } - y _ { c } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { b _ { 0 } \left( 4 b _ { 0 } - 3 \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } \left( b _ { 0 } ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) \right) = 2 \bigl ( b _ { 0 } \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) + \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) - 2 b _ { 0 } ^ { 2 } \bigr ) ^ { 2 } ( 2 b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) ) } \\ & { ( 4 b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) ) ^ { 2 } ( \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) - b _ { 0 } ) = - 2 \bigl [ \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) - 2 b _ { 0 } \bigr ] ^ { 2 } ( 2 b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ( { \bf r } , t ) } & { { } = N \sum _ { \sigma , \sigma _ { 2 } . . \sigma _ { N } } \int d ^ { 3 } r _ { 2 } . . r _ { N } \vert \Psi ( { \bf r } \sigma , { \bf r } _ { 2 } \sigma _ { 2 } . . { \bf r } _ { N } \sigma _ { N } ) \vert ^ { 2 } } \end{array}
+ O \big [ q _ { 0 } | z | R R ^ { \prime } / f ^ { 2 } = 2 \pi | z | R R ^ { \prime } / f ^ { 2 } \lambda _ { e } \lesssim 2 \pi g ( | z | / f ) ( R ^ { \prime } / { R _ { \mathrm { m a x } } } ) \le 2 \pi g ( | z | / f ) \ll 1 \big ]
\psi _ { n \ell m } ( r , \theta , \varphi ) = { \sqrt { \left( { \frac { 2 } { n a _ { 0 } } } \right) ^ { 3 } { \frac { ( n - \ell - 1 ) ! } { 2 n [ ( n + \ell ) ! ] } } } } e ^ { - r / n a _ { 0 } } \left( { \frac { 2 r } { n a _ { 0 } } } \right) ^ { \ell } L _ { n - \ell - 1 } ^ { 2 \ell + 1 } \left( { \frac { 2 r } { n a _ { 0 } } } \right) \cdot Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta , \varphi )
\begin{array} { r } { q _ { r } ( r = 0 , z , t ) = \partial _ { r } T | _ { r = 0 } = 0 , \quad T ( r = 1 , z , t ) = 0 , \quad q _ { z } ( r , z = 0 , t ) = \partial _ { z } T | _ { z = 0 } = 0 , \quad T ( r , z = 1 , t ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \hat { H } _ { \mathrm { M } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } } \left[ ( \hat { p } _ { \bf k } - \lambda _ { \mathrm { c } } \hat { \Pi } _ { \mathbf { k } } ) ^ { 2 } + ( \omega _ { \bf k } \hat { q } _ { \bf k } + \lambda _ { \mathrm { c } } \hat { \mathcal { S } } _ { \mathbf { k } } ) ^ { 2 } \right] + \hat { H } _ { \mathrm { l o s s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { x \in q ^ { - 1 } \left( u \right) } \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n + k } \left( x , \omega \right) } & { = \operatorname* { s u p } _ { \left( x , \omega ^ { \prime } \right) \in Q ^ { - 1 } \left( u , \omega \right) } \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n + k } \left( x , \omega ^ { \prime } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \left( x , \omega ^ { \prime } \right) \in Q ^ { - 1 } \left( \mathbf { T } ^ { k } \left( u , \omega \right) \right) } \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \left( x , \omega ^ { \prime } \right) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \left( x , \omega ^ { \prime } \right) \in \left\{ \left( y , \omega ^ { \prime \prime } \right) \in \mathcal { M } \times \Omega \ : \ Q \left( y , \omega ^ { \prime \prime } \right) = \mathbf { T } ^ { k } \left( u , \omega \right) \right\} } \psi \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n } \left( x , \omega ^ { \prime } \right) } \end{array}
\omega _ { x } ^ { ( 1 ) } = - 9 6 \cdot 1 6 \pi ^ { 2 } { \frac { x ^ { 2 } m ^ { 2 } \, d m } { ( x + 2 m ) ^ { 5 } } } , \quad \quad \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega _ { r } ^ { ( 1 ) } = - 1 6 \pi ^ { 2 } .
b _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi \left( p _ { i } \right) } & { 1 \leq i \leq 8 , } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial x } \left( p _ { i - 8 } \right) } & { 9 \leq i \leq 1 6 , } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial y } \left( p _ { i - 1 6 } \right) } & { 1 7 \leq i \leq 2 4 , } \\ { \frac { \partial \phi } { \partial \tau } \left( p _ { i - 2 4 } \right) } & { 2 5 \leq i \leq 3 2 , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x \partial y } \left( p _ { i - 3 2 } \right) } & { 3 3 \leq i \leq 4 0 , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial y \partial \tau } \left( p _ { i - 4 0 } \right) } & { 4 1 \leq i \leq 4 8 , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x \partial \tau } \left( p _ { i - 4 8 } \right) } & { 4 9 \leq i \leq 5 6 , } \\ { \frac { \partial ^ { 3 } \phi } { \partial x \partial y \partial \tau } \left( p _ { i - 5 6 } \right) } & { 5 7 \leq i \leq 6 4 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \bar { \tau } ( r _ { 2 } ) } & { = } & { \frac { 1 } { r _ { 2 } } \int _ { r _ { 2 } } ^ { 2 r _ { 2 } } \tau ( s ) d s = \frac { 1 } { r _ { 2 } } \int _ { r _ { 1 } } ^ { 2 r _ { 1 } } \tau \Big ( \frac { r _ { 2 } } { r _ { 1 } } w \Big ) \frac { r _ { 2 } } { r _ { 1 } } d w } \\ & { > } & { \frac { 1 } { r _ { 1 } } \int _ { r _ { 1 } } ^ { 2 r _ { 1 } } \tau ( w ) d w = \bar { \tau } ( r _ { 1 } ) , } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \frac { s _ { v , \mathrm { r e l } } } { n } \right) = k _ { B } \left( \frac { T _ { \parallel } - T _ { \perp } } { 2 T _ { \perp } + T _ { \parallel } } \right) \left( \frac { 1 } { T _ { \perp } } \frac { d T _ { \perp } } { d t } - \frac { 1 } { T _ { \parallel } } \frac { d T _ { \parallel } } { d t } \right) .
{ \frac { d } { d \tau } } \zeta ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) = \lbrace \zeta ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) , H _ { D } \rbrace = - \lambda ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) - { \dot { x } } _ { s } ^ { \mu } ( \tau ) - { \dot { b } } _ { \check { r } } ^ { \mu } ( \tau ) \sigma ^ { \check { r } } \approx 0 ,
W _ { M _ { N } } = \frac { y _ { i j } ^ { N } } { M _ { * } } H _ { \overline { { { 1 6 } } } } H _ { \overline { { { 1 6 } } } } { \bf 1 6 } _ { i } { \bf 1 6 } _ { j } \delta ( x _ { 5 } ) \delta ( x _ { 6 } ) ,
\begin{array} { r l } & { K L \left( \Phi \| \tilde { \Phi } \right) } \\ { = } & { \int _ { \mathcal { I } } \Phi ( e ^ { i \theta } ) \log \frac { \Phi ( e ^ { i \theta } ) } { \tilde { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) } d \theta } \\ { = } & { - H \left[ \Phi \right] - \int _ { \mathcal { I } } \Phi ( e ^ { i \theta } ) \log \tilde { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) d \theta } \end{array}
\Delta N = \frac { \Delta f } { f } \left( 4 \pi V \left( \frac { f } { c } \right) ^ { 3 } + \frac { \pi } { 2 } S \left( \frac { f } { c } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } L \frac { f } { c } \right) \, ,
\mathcal { C } _ { \Omega } ^ { I _ { k - 1 } ^ { \mathrm { o r } } } ( p ) = - \sum _ { i \notin I _ { k - 1 } } \sum _ { m _ { i } \ge 0 } \mathcal { C } _ { \iota _ { f } \Omega } ^ { I _ { k } ^ { \mathrm { o r } } } ( \{ p + [ 0 , N ] f \} \cap \pi _ { m _ { i } } ^ { i } ) + \mathcal { C } _ { \Omega } ^ { I _ { k - 1 } ^ { \mathrm { o r } } } ( p + N f ) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } v _ { x } ( \mathbf { x } , t ) = \partial _ { x } p ( \mathbf { x } , t ) , } \\ { \partial _ { t } v _ { z } ( \mathbf { x } , t ) = \partial _ { z } p ( \mathbf { x } , t ) , } \\ { \partial _ { t } p ( \mathbf { x } , t ) = c ^ { 2 } ( x ) \left( \partial _ { x } v _ { x } ( x , t ) + \partial _ { z } v _ { z } ( \mathbf { x } , t ) + s ( \mathbf { x } , t ) \right) , } \end{array} \right.
\frac { E _ { \mathrm { Y } ^ { \prime } } } { E _ { \mathrm { X } ^ { \prime } } } = \mathrm { e } ^ { \phi _ { \mathrm { A A _ { 1 } } } + \phi _ { \mathrm { A _ { 1 } B } } } = \mathrm { e } ^ { - j \beta _ { 0 } ( l _ { \mathrm { A A _ { 1 } } } + l _ { \mathrm { A _ { 1 } B } } ) }
\begin{array} { r l } { w \left( \mathbf { k } \right) } & { { } = \tilde { w } \left( \mathbf { k } \right) \exp \left( - \left| \mathbf { k } \right| ^ { 2 } \right) } \\ { v \left( \mathbf { k } \right) } & { { } = \tilde { v } \left( \mathbf { k } \right) \exp \left( - \left| \mathbf { k } \right| ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } _ { \partial } } & { = [ \, L _ { \partial } \; | \; L _ { \partial } ^ { \prime } \; | \; L _ { \partial } ^ { \prime \prime } \, ] \in \mathcal { M } _ { 2 k \times 3 N } ( \mathbb { Z } ) , } \\ { L _ { \partial } } & { = G _ { \partial } ^ { \prime \prime } - G _ { \partial } ^ { \prime } , \quad L _ { \partial } ^ { \prime } = G _ { \partial } - G _ { \partial } ^ { \prime \prime } , \quad L _ { \partial } ^ { \prime \prime } = G _ { \partial } ^ { \prime } - G _ { \partial } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = \frac { w _ { q } } { N _ { S } } \mathrm { S W M S E } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { t } | \boldsymbol { \theta } _ { B } , \boldsymbol { \theta } _ { X } ) + \frac { w _ { c 1 } } { N _ { S } } C _ { 1 } ( \boldsymbol { \theta } _ { B } , \boldsymbol { \theta } _ { X } ) } \\ & { + \frac { w _ { c 2 } } { N _ { S } } C _ { 2 } ( \boldsymbol { \theta } _ { X } ) + C _ { 3 } ( \boldsymbol { \theta } _ { X } ) + C _ { a d d } ( \boldsymbol { \theta } _ { X } ) } \end{array}