harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { X _ { \mu \nu } ^ { \textrm { S F } , u , \vec { L } } = } & { { } \phantom { + } \frac { \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } } { | \vec { \rho } _ { \textrm { m } } | } \int \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \rho _ { \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \rho _ { \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) ~ \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r } \\ { - \int } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } \cdot } \\ { - \int } & { { } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \gamma _ { \downarrow \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \frac { f _ { \nabla } } { 2 } \frac { \left( \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } \cdot \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { m } } ^ { u } \right) \vec { \nabla } \rho _ { \textrm { p } } } { \Gamma } ~ \cdot } \\ { + \int } & { { } \left[ \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \tau _ { \uparrow } ^ { \textrm { S F } } } - \frac { \partial f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } } { \partial \tau _ { \downarrow } ^ { \textrm { S F } } } \right] \frac { f _ { \tau } } { 2 } \frac { \tau _ { \textrm { m } } ^ { u } } { | \vec { \tau } _ { \textrm { m } } | } \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } ( \vec { r } ) \right] \cdot \left[ \vec { \nabla } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } ( \vec { r } ) \right] \textrm { d } ^ { 3 } r . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle ( x ( t ) - x ( 0 ) ) ^ { 2 } \rangle } & { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { t } d \Delta \int _ { 0 } ^ { t - \Delta } d t ^ { \prime } \langle v ( t ^ { \prime } ) v ( t ^ { \prime } + \Delta ) \rangle } \\ & { \propto } & { 2 \int _ { 0 } ^ { t } d \Delta \int _ { 0 } ^ { t - \Delta } d t ^ { \prime } \langle v ^ { 2 } ( t ^ { \prime } ) \rangle \Delta ^ { 2 J - 2 } } \\ & { \propto } & { 2 \int _ { 0 } ^ { t } d \Delta \Delta ^ { 2 J - 2 } \int _ { 0 } ^ { t - \Delta } d t ^ { \prime } { t ^ { \prime } } ^ { 2 M - 1 } } \\ & { \propto } & { \frac { B ( 2 J - 1 , 2 M + 1 ) } { M } t ^ { 2 M + 2 J - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { r e s i d u a l } ( \gamma ) = | N _ { d a t a } ( \gamma ) - N _ { M + \kappa } ( \gamma ) | / \mathrm { m i n } ( N _ { d a t a } ( \gamma ) , N _ { M + \kappa } ( \gamma ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left[ i \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { A } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { A } ^ { \prime } \right) \hat { d } _ { \boldsymbol { k } _ { A } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { d } _ { \overline { { \boldsymbol { k } } } _ { A } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) + i \int d \boldsymbol { k } _ { B } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { k } _ { B } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \right) \hat { c } _ { \overline { { \boldsymbol { k } } } _ { B } , \lambda } ^ { \dagger } ( t ) \hat { c } _ { \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( t ) \right. } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left[ i \int d \boldsymbol { r } _ { A } \int d \boldsymbol { r } _ { A } ^ { \prime } \xi _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } _ { A } , \bar { \boldsymbol { r } } _ { A } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { d , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ) \hat { \psi } _ { d , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { A } ^ { \prime } ) + i \int d \boldsymbol { r } _ { B } \int d \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } \xi _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( \bar { \boldsymbol { r } } _ { B } , \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { c , \lambda } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ) \hat { \psi } _ { c , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { B } ^ { \prime } ) \right. } \end{array}
{ { \tilde { x } _ { L } } ^ { \alpha \beta } } { } ^ { \prime } = { { \tilde { x } _ { L } } ^ { \alpha \beta } } - \frac { i } { 4 } ( \varepsilon ^ { \alpha } { \tilde { \theta } } ^ { \beta } + \xi ^ { \alpha } \psi ^ { \beta } ( { \tilde { x } _ { L } } , { \tilde { \theta } } ) + \alpha \leftrightarrow \beta ) ,
\begin{array} { r l } { Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i } , x _ { j } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i } , x _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j } ) - Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 1 } ) } \\ & { + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 2 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 1 } ) + Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \sin x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } } x ^ { 2 n + 1 } } & { } & { { } = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } } - \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x } \\ { \cos x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( 2 n ) ! } } x ^ { 2 n } } & { } & { { } = 1 - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } } - \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x } \\ { \tan x } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { B _ { 2 n } ( - 4 ) ^ { n } \left( 1 - 4 ^ { n } \right) } { ( 2 n ) ! } } x ^ { 2 n - 1 } } & { } & { { } = x + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { 2 x ^ { 5 } } { 1 5 } } + \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } | x | < { \frac { \pi } { 2 } } } \\ { \sec x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } E _ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } x ^ { 2 n } } & { } & { { } = 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { 5 x ^ { 4 } } { 2 4 } } + \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } | x | < { \frac { \pi } { 2 } } } \\ { \arcsin x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( 2 n ) ! } { 4 ^ { n } ( n ! ) ^ { 2 } ( 2 n + 1 ) } } x ^ { 2 n + 1 } } & { } & { { } = x + { \frac { x ^ { 3 } } { 6 } } + { \frac { 3 x ^ { 5 } } { 4 0 } } + \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } | x | \leq 1 } \\ { \operatorname { a r c c o s } x } & { { } = { \frac { \pi } { 2 } } - \arcsin x } \\ { \arctan x } & { { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } } x ^ { 2 n + 1 } } & { } & { { } = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } - \cdots } & { } & { { } { \mathrm { f o r ~ } } | x | \leq 1 , \ x \neq \pm i } \end{array}
\mathrm { L o g } _ { \textup { \bf f } } \, \colon \, H _ { \mathrm { I w } } ^ { 1 } ( { \mathbb { Q } _ { p } } ( \mu _ { p ^ { \infty } } ) , V _ { \textup { \bf f } } ^ { - } ) \stackrel { \sim } { \longrightarrow } { \bf D } ( V _ { \textup { \bf f } } ^ { - } ) { \, \widehat \otimes \, } _ { \mathbb { Z } _ { p } } \Lambda ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) \, , \qquad \Gamma _ { \textup { c y c } } : = \operatorname { G a l } ( { \mathbb { Q } _ { p } } ( \mu _ { p ^ { \infty } } ) / { \mathbb { Q } _ { p } } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \log } & { \ \mathcal { N } ( \epsilon ^ { \prime } , \mathcal { G } _ { C + 1 } ( \mathcal { F } ^ { C } , \varphi _ { C + 1 } \circ \mathcal { F } _ { C + 1 } ) , N ) } \\ & { \leq \log \mathcal { N } \left( \frac { \epsilon ^ { \prime } } { 2 ^ { a _ { C + 1 } } } , \mathcal { F } ^ { C } , N \right) } \\ & { \quad + \log \mathcal { N } \left( \frac { \epsilon ^ { \prime } } { 2 ^ { a _ { C + 1 } } } , \varphi _ { C + 1 } \circ \mathcal { F } _ { C + 1 } , N \right) , } \end{array}
{ \gamma } _ { < } M _ { < } \gamma _ { < } + { \gamma } _ { > } M _ { > } \gamma _ { > } + 2 { \gamma } _ { < } M _ { i } \gamma _ { > } = ( { \gamma } _ { > } + { \gamma } _ { < } M _ { i } M _ { > } ^ { - 1 } ) M _ { > } ( { \gamma } _ { > } - M _ { > } ^ { - 1 } M _ { i } ^ { T } { \gamma } _ { < } ) + { \gamma } _ { < } M _ { i } M _ { > } ^ { - 1 } M _ { i } ^ { T } \gamma _ { < } + { \gamma } _ { < } M _ { < } \gamma _ { < } ,
\begin{array} { r l r } { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } - A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \right) \cos \theta _ { \mathrm { i } } } & { { } - } & { \left( A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( L ) } } + A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( L ) } } \right) ( \eta / n _ { 1 } ) ^ { 2 } \sin \theta _ { \mathrm { i } } = } \\ { = A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \cos \theta _ { \mathrm { t } } } & { { } - } & { A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( L ) } } ( \eta / n _ { 2 } ) ^ { 2 } \sin \theta _ { \mathrm { t } } \, . } \end{array}
G _ { H } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac 1 { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ \frac 2 { \sigma ( x , x ^ { \prime } ) } - ( \xi + 1 / 6 ) R \ln \left[ \frac { \mu ^ { 2 } } 2 \sigma ( x , x ^ { \prime } ) \right] \right] \ .
L = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \Phi ) ( \partial ^ { \mu } \Phi ) + { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } + { \frac { \lambda _ { \Phi } } { 2 4 } } \Phi ^ { 4 } ~ ,
\begin{array} { r l } { \left| \Delta \Gamma _ { 2 } ^ { t + 1 } \right| } & { \leq \left| \Delta \Gamma _ { 2 j } ^ { t + 1 } \right| + \sum _ { i \in [ n ] \setminus \{ j \} } \left| \Delta \Gamma _ { 2 i } ^ { t + 1 } \right| \leq n ^ { 1 / 8 } \cdot \sqrt { \frac { n } { b } \cdot \log n } + n \cdot \sqrt { \frac { \log n } { b n } } \cdot n ^ { 1 / 8 } \leq n ^ { 1 / 4 } \cdot \sqrt { \frac { n } { b } \cdot \log n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) - } & { { } \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } = \left\Vert e ^ { t \mathcal { A } _ { U } } ( u - v ) + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } \left[ F _ { \rho } \circ \varphi _ { s } ^ { \rho } ( u ) - F _ { \rho } \circ \varphi _ { s } ^ { \rho } ( v ) \right] d s \right\Vert _ { V } } \end{array}
X ^ { \alpha \beta } = - \partial _ { \mu } \partial _ { \mu } \delta ^ { \alpha \beta } + r _ { 0 } \delta ^ { \alpha \beta } - 2 g _ { 0 } A _ { \mu } ^ { \alpha \beta } \partial _ { \mu } + v _ { 0 } T ^ { \alpha \beta } + w _ { 0 } S \delta ^ { \alpha \beta } + g _ { 0 } ^ { 2 } A _ { \mu } ^ { \beta \gamma } A _ { \mu } ^ { \alpha \gamma } .
\int \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { P } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } = \frac { \partial f _ { k , \sigma } ^ { \mu _ { \sigma } } } { \partial \epsilon _ { k , \sigma } } \left[ - 2 \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } + \eta _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } \right] \, .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( i ) } \, \, } & { } & { \tilde { R } _ { 0 } ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { 0 } ^ { 0 } \tilde { R } = 0 , } \\ & { } & { - \frac { \left( W ^ { \prime } + Z ^ { \prime } \right) A } { r C } + \frac { \left( 1 - W Z - \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \cot \theta ^ { 2 } \right) } { r ^ { 2 } C ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \frac { ( W + Z ) A } { r ^ { 2 } C } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) + 1 2 \lambda ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \ln 1 / x } \Bar Z [ \boldsymbol { U } ] = \alpha _ { s } \frac { 1 } { 2 } \frac { \delta } { \delta \boldsymbol { U } _ { u } } \Bar \chi _ { u v } [ \boldsymbol { U } ] \frac { \delta } { \delta \boldsymbol { U } _ { v } } \Bar Z [ \boldsymbol { U } ] \ .
\begin{array} { l l } { { \displaystyle \delta _ { \bf B } ^ { \prime } \bar { \eta } = i B ^ { \prime \prime } } } & { { \displaystyle \bar { \delta } _ { \bf B } ^ { \prime } \eta = - i B ^ { \prime \prime } - g \, ( \bar { \eta } \times \eta ) } } \\ { { \displaystyle \delta _ { \bf B } ^ { \prime } B ^ { \prime \prime } = 0 } } & { { \displaystyle \bar { \delta } _ { \bf B } B ^ { \prime \prime } = - g \, ( \bar { \eta } \times B ^ { \prime \prime } ) } } \end{array}
\left. \hat { F } _ { \alpha \beta } ^ { I } \right| _ { \mathrm { r e g } } = - \frac { 2 \, e _ { \alpha } ^ { a } \, \hat { \xi } _ { a b } ^ { + } \, e _ { \beta } ^ { b } } { \left( r ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \qquad \mathrm { o r } \qquad \left. \hat { F } _ { a b } ^ { I } \right| _ { \mathrm { r e g } } = - \frac { 2 \, \hat { \xi } _ { a b } ^ { + } } { \left( r ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \right) ^ { 2 } }
\frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \rho ^ { m } \, | \vec { U } ^ { m + 1 } | ^ { 2 } , ~ r \Bigr ) - \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \rho ^ { m - 1 } \, | \vec { U } ^ { m + 1 } \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t _ { m - 1 } ] ^ { - 1 } | ^ { 2 } , ~ r \Bigr ) = \Delta t \, \mathscr { B } ( \rho ^ { m } , \vec { W } ^ { m } ; | \vec { U } ^ { m + 1 } | ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal M _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ( p \sigma _ { j } ) \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { z - z _ { j } } } \\ { \mathcal N _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ( p \sigma _ { j } ) \int d ^ { 2 } z ( z \bar { z } ) ^ { - \chi } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { i } } } } \frac { 1 } { \bar { z } - \overline { { z _ { j } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { F } _ { 1 } ( k ) } & { = \mathrm { R e } \left[ \mathrm { e } ^ { \jmath \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert } \, \tilde { I } _ { + } ( k ) \right] = \cos ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) \, \mathrm { R e } \left[ \tilde { I } _ { + } ( k ) \right] - \sin ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) \, \mathrm { I m } \left[ \tilde { I } _ { + } ( k ) \right] , } \\ { \tilde { F } _ { 2 } ( k ) } & { = \frac { 1 } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \, \mathrm { I m } \left[ \mathrm { e } ^ { \jmath \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert } \, \tilde { I } _ { + } ( k ) \right] = \frac { \sin ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \mathrm { R e } \left[ \tilde { I } _ { + } ( k ) \right] + \frac { \cos ( \tilde { \omega } _ { d } \lvert \tau \rvert ) } { 2 \, \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \mathrm { I m } \left[ \tilde { I } _ { + } ( k ) \right] . } \end{array}
r _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } _ { \| } ) = \frac { | \mathbf { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { \sigma } ( \mathbf { k } _ { \| } ) | } { | \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma ^ { \prime } } | } = \frac { i k } { 2 A \varepsilon _ { 0 } } | \mathbf { e } _ { \sigma } \cdot \hat { \boldsymbol { \alpha } } _ { \mathrm { e f f } } \cdot \mathbf { e } _ { \sigma ^ { \prime } } |
\begin{array} { r l } & { \kappa _ { \mathrm { e f f } , 1 } = \kappa _ { 1 } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 1 } } , \quad \kappa _ { \mathrm { e f f } , 2 } = \frac { 1 0 } { 7 } \kappa _ { 2 } + \frac { 7 } { 1 0 } \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 2 } } \approx 1 . 4 2 8 6 \kappa _ { 2 } + 0 . 7 \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 2 } } , } \\ & { \kappa _ { \mathrm { e f f } , 3 } = \frac { 4 } { 7 } \kappa _ { 3 } + 4 \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 3 } } \approx 0 . 5 7 1 4 \kappa _ { 3 } + 4 \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } \kappa _ { 3 } } . } \end{array}
\mathcal P = \left\langle \left| \frac { \mathbf v _ { i } } { \| \mathbf v _ { i } \| } \right| \right\rangle _ { i \in 1 . . N } \mathrm { , ~ a n d } \ \mathcal M = \left\langle \left| \frac { \mathbf r _ { i } \times \mathbf v _ { i } } { \| \mathbf r _ { i } \| \| \mathbf v _ { i } \| } \right| \right\rangle _ { i \in 1 . . N , \| \mathbf r _ { i } \| < L }
\mu _ { 1 } = - \mathrm { T r } [ { \bf X } ^ { ( 1 ) } ] / \mathrm { T r } [ { \bf D } _ { \mu } ^ { ( 0 ) } ] ~ ~ \mathrm { ~ F ~ i ~ r ~ s ~ t ~ - ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ s ~ e ~ i ~ n ~ } \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ m ~ } \lambda { \bf F } ^ { ( 1 ) }
g _ { \mu \nu \kappa } \lesssim \frac { 2 ^ { l _ { \mu } } \pi ^ { 5 / 2 } N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } e ^ { - s ^ { * } } \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } ^ { 3 / 2 } ( \theta _ { \nu \kappa \omega } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) ^ { l _ { \mu \nu \kappa } - 2 } } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { l _ { \mu } + 3 / 2 } \alpha _ { \kappa } ^ { l _ { \kappa } + 3 / 2 } \alpha _ { \nu } ^ { l _ { \nu } } } f _ { l _ { \mu \nu \kappa } } ( \theta _ { \mu \nu \kappa \omega } ^ { - 1 } \theta _ { \nu \kappa \omega } ^ { 2 } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \overline { { F } } _ { a } : } & { \quad \sigma _ { b } \to ( - 1 ) ^ { a + b - 1 } \sigma _ { b } , \quad \tau _ { b } \to ( - 1 ) ^ { a + b - 1 } \tau _ { b } , \quad { C } _ { l , m } \to ( - 1 ) ^ { m } { C } _ { l , m } } \\ { \overline { { E } } : } & { \quad \sigma _ { b } \to \sigma _ { 3 - b } , \quad \tau _ { b } \to \tau _ { 3 - b } , \quad { C } _ { l , m } \to ( - 1 ) ^ { l } { C } _ { l , m } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ^ { \pm } } & { = ( 1 , y _ { \pm } ( 1 ) ) = \left( 1 , Y _ { \pm } \right) , } \\ { P _ { 2 } ^ { \pm } } & { = ( e ^ { \pm i c ( \alpha ) } , y _ { + } ( e ^ { \pm i c ( \alpha ) } ) ) = \left( Y _ { \pm } , 1 \right) , } \\ { P _ { 3 } ^ { \pm } } & { = ( e ^ { \pm i c ( \alpha ) } , y _ { - } ( e ^ { \pm i c ( \alpha ) } ) ) = \left( Y _ { \pm } , Y _ { \pm } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \rho } } _ { s } ( x , V ) = 2 \rho _ { b } - \frac { 1 } { \mathrm { P e } / V } \frac { 2 e \left( \sigma _ { 0 } \Delta R + \sigma ^ { \prime } R _ { \mathrm { b } } \right) } { k _ { \mathrm { B } } T R _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } } } \\ { \left( \frac { R _ { \mathrm { b } } ( 1 - x / L ) } { R ( x ) } - \frac { e ^ { - \mathrm { P e } \frac { ( 1 - x / L ) R _ { \mathrm { t } } } { R ( x ) } } - 1 } { e ^ { - \mathrm { P e } \frac { R _ { \mathrm { t } } } { R _ { \mathrm { b } } } } - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \left( F _ { i } ( x ) + b _ { i } ( x ) k ( x , \hat { \theta } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { i , j } \theta _ { j } \right) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { p } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) w _ { j } ( x , \hat { \theta } ) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { 1 } { \gamma _ { j } } ( \hat { \theta } _ { j } - \theta _ { j } ) w _ { j } ( x , \hat { \theta } ) \leq - \alpha \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } \quad \tilde { f } _ { 0 } { ( \textbf { x } ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 0 } } { \tilde { \beta } _ { i 0 } } ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } ^ { \alpha _ { 0 i j } } } \\ & { \mathrm { s . t . } } \\ & { \qquad \tilde { f } _ { k } { ( \textbf { x } ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } } { \tilde { \beta } _ { i k } } ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } ^ { \alpha _ { k i j } } \leq 1 , k = 1 , 2 , \ldots K , } \end{array}
\hat { P } = - \sum _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \sum _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 1 } } \hat { E } _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \hat { E } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { a n d } } & { = \lambda p . \lambda q . p \ q \ p } \\ { \operatorname { o r } } & { = \lambda p . \lambda q . p \ p \ q } \\ { \operatorname { n o t } _ { 1 } } & { = \lambda p . \lambda a . \lambda b . p \ b \ a } \\ { \operatorname { n o t } _ { 2 } } & { = \lambda p . p \ ( \lambda a . \lambda b . b ) \ ( \lambda a . \lambda b . a ) = \lambda p . p \operatorname { f a l s e } \operatorname { t r u e } } \\ { \operatorname { x o r } } & { = \lambda a . \lambda b . a \ ( \operatorname { n o t } \ b ) \ b } \\ { \operatorname { i f } } & { = \lambda p . \lambda a . \lambda b . p \ a \ b } \end{array} }
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { C } } ( 0 , \mathbf { c } ) } & { = \langle 0 | \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { C } _ { n } - c _ { n } \bigr ) | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \cdots \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { M } \, \exp \left( - i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } c _ { n } \right) \langle 0 | e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { C } _ { 1 } } e ^ { i \alpha _ { 2 } \hat { C } _ { 2 } } \cdots e ^ { i \alpha _ { M } \hat { C } _ { M } } | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \cdots \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { M } \, \exp \left( - i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } c _ { n } \right) \underbrace { \langle 0 | \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { C } _ { n } \right) | 0 \rangle } _ { = \, 1 } } \\ & { = \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta ( c _ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ^ { \prime } [ \varepsilon ] } & { { } = \int _ { t _ { 1 } + \varepsilon T } ^ { t _ { 2 } + \varepsilon T } L [ \mathbf { q } ^ { \prime } [ t ^ { \prime } ] , { \dot { \mathbf { q } } } ^ { \prime } [ t ^ { \prime } ] , t ^ { \prime } ] \, d t ^ { \prime } } \end{array}