harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { 2 + m ^ { 2 } u ^ { 2 } + 2 \cos ( m \omega ) - 2 m u ( \cos ( \omega ) + \cos ( ( m - 1 ) \omega ) ) } \\ & { = 2 + 2 \cos ( m \omega ) + [ m u - \{ \cos ( \omega ) + \cos ( ( m - 1 ) \omega ) \} ] ^ { 2 } - [ \cos ( \omega ) + \cos ( ( m - 1 ) \omega ) ] ^ { 2 } } \\ & { = 4 \cos ^ { 2 } \left[ \frac { m \omega } { 2 } \right] + [ m u - \{ \cos ( \omega ) + \cos ( ( m - 1 ) \omega ) \} ] ^ { 2 } - 4 \cos ^ { 2 } \left[ \frac { m \omega } { 2 } \right] \cos ^ { 2 } \left[ \frac { ( m - 2 ) \omega } { 2 } \right] } \\ & { = 4 \cos ^ { 2 } \left[ \frac { m \omega } { 2 } \right] \sin ^ { 2 } \left[ \frac { ( m - 2 ) \omega } { 2 } \right] + \left[ m u - 2 \cos \left( \frac { m \omega } { 2 } \right) \cos \left( \frac { ( 2 - m ) \omega } { 2 } \right) \right] ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \dot { a } = } & { - ( \kappa _ { a } - \mathrm { i } \Delta _ { a } ) \delta a - \mathrm { i } G _ { a b } \delta b + \mathcal { E } _ { p } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { p } t } , } \\ { \delta \dot { b } = } & { - ( \gamma _ { b } - \mathrm { i } \Delta _ { b } ^ { \prime } ) \delta b - \mathrm { i } \mathcal { X } _ { b } ^ { \prime } \delta _ { b } ^ { \dagger } - \mathrm { i } G _ { a b } \delta a + \Omega _ { b } - \mathrm { i } G _ { b c } ( \delta c ^ { \dagger } + \delta c ) , } \\ { \delta \dot { c } = } & { - ( \gamma _ { c } - \mathrm { i } \Delta _ { c } ^ { \prime } ) \delta c - \mathrm { i } \mathcal { X } _ { c } ^ { \prime } \delta c ^ { \dagger } - \mathrm { i } G _ { b c } ( \delta b ^ { \dagger } + \delta b ) + \Omega _ { c } , } \end{array}
p _ { \varphi } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \ p _ { i } ^ { 2 } - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \ p _ { i } \right) ^ { 2 } = 0 \, , \; \; \sum _ { i = 1 } ^ { d } \ p _ { i } = 1 \, .
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { s - p o l } } ^ { \mu \nu } } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - E _ { z } / c } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { B _ { y } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - B _ { x } } \\ { E _ { z } / c } & { - B _ { y } } & { B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { F _ { \mathrm { p - p o l } } ^ { \mu \nu } } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - E _ { x } / c } & { - E _ { y } / c } & { 0 } \\ { E _ { x } / c } & { 0 } & { - B _ { z } } & { 0 } \\ { E _ { y } / c } & { B _ { z } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathsf P ( V { = } f \mid L { = } f ) ~ } & { = ~ \frac { \mathsf P ( V { = } f , L { = } f ) } { \mathsf P ( L { = } f ) } } & & { \mathrm { b y ~ d e f i n i t i o n } } \\ & { = ~ \frac { \displaystyle \sum _ { m \in \{ f , t \} } \mathsf P ( V { = } f , L { = } f , M { = } m ) } { \mathsf P ( L { = } f ) } } & & { \mathrm { b y ~ L a w ~ o f ~ T o t a l ~ P r o b a b i l i t y } } \\ & { = ~ \frac { \displaystyle \sum _ { m \in \{ f , t \} } \mathsf P ( V { = } f \mid L { = } f , M { = } m ) ~ \mathsf P ( L { = } f ) ~ \mathsf P ( M { = } m ) } { \mathsf P ( L { = } f ) } } & & { \mathrm { b y ~ D A G ~ F a c t o r i s a t i o n } } \\ & { ~ ~ \vdots } \end{array}
\langle | J ^ { s a } ( Z _ { 1 } ) K ^ { s b } ( Z _ { 2 } ) K ^ { s c } ( Z _ { 3 } ) | \rangle = \frac { - i \epsilon ^ { a b c } \theta _ { 1 2 3 } } { Z _ { 1 2 } ^ { 1 / 2 } Z _ { 3 1 } ^ { 1 / 2 } Z _ { 2 3 } ^ { 3 / 2 } }
\begin{array} { r } { \ln \rho _ { \theta } ( S | \overline { { q } } ) \geq \underbrace { \mathbb { E } _ { q _ { \phi } ( z | S , \overline { { q } } ) } \ln \rho _ { \theta } ( S | z , \overline { { q } } ) } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } - \underbrace { D _ { \mathrm { K L } } \left( q _ { \phi } ( z | S , \overline { { q } } ) | | \rho ( z ) \right) } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ g ~ u ~ l ~ a ~ r ~ i ~ z ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } = - \mathcal { L } _ { \mathrm { V A E } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( \theta _ { k } ) } & { { } = } & { \frac { \sin \theta _ { k } } { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } , } \\ { \bar { g } ( \theta _ { 0 } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \theta _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } } g ( \theta _ { k } ) d \theta = \frac { 1 } { \sqrt { 2 4 } \theta _ { 0 } } \left( \ln \left( \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } \right) - \ln \left( \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } \cos \theta _ { 0 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } \cos \theta _ { 0 } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { t _ { \mathrm { F P } } ( \omega ) = \frac { e ^ { - i \omega d _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) / c } } { \zeta ^ { 2 } + ( 1 - i \zeta ) ^ { 2 } e ^ { - 2 i \omega d _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) / c } } , } \end{array}
F ( g ) = \left( \begin{array} { l } { f ( u _ { 1 } , x ) - \sigma w _ { 1 } + J - k \operatorname { t a n h } ( \rho _ { 1 } ) u _ { 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } P ( u _ { j } - u _ { 1 } ) } \\ { a u _ { 1 } + c } \\ { q u _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { f ( u _ { m } , x ) - \sigma w _ { m } + J - k \operatorname { t a n h } ( \rho _ { m } ) u _ { m } + \sum _ { j = 1 } ^ { m } P ( u _ { j } - u _ { m } ) } \\ { a u _ { m } + c } \\ { q u _ { m } } \end{array} \right) : \Pi \longrightarrow E
\widehat { \Delta } _ { \mu \nu } ^ { - 1 } ( r , k ) \; \; \equiv \; \; \widehat { \Delta } _ { \mu \nu } ^ { - 1 } ( r , k ) \; \; - \; \; { \cal K } _ { \mu \nu } ^ { ( 2 ) } ( r , k ) \; \delta ( r ^ { 0 } - t _ { 0 } ) \; .
S = - \sum _ { I = 1 } ^ { K } \, \int d \tau _ { I } \, ( m _ { 0 } ^ { I } \, \sqrt { v _ { \mu } ^ { I } \, v _ { I } ^ { \mu } } + \mathrm { t r } \, Z _ { I } \lambda _ { I } ^ { - 1 } { \dot { \lambda } } _ { I } ) - \int d ^ { 4 } x \, \mathrm { t r } \, \bigl ( j _ { \mu } \, A ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \, F _ { \mu \nu } \, F ^ { \mu \nu } \bigr ) .
\begin{array} { r l } { Z : } & { = ( 1 - s ) ^ { - 1 } \int _ { M } | \nabla b | ^ { 2 } \langle \nabla b , \nabla \phi ^ { r } \rangle e ^ { s b } \, d v _ { t } \le 2 \int _ { M } | \nabla b | ^ { 3 } | \nabla \phi ^ { r } | e ^ { s b } \, d v _ { t } } \\ & { \le \frac { 1 } { 4 } \int _ { M } | \nabla b | ^ { 4 } \phi ^ { r } e ^ { s b } \, d v _ { t } + 4 \int _ { M } | \nabla b | ^ { 2 } | \nabla \phi ^ { r } | ^ { 2 } ( \phi ^ { r } ) ^ { - 1 } e ^ { s b } \, d v _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } A ( t ) } & { = \frac { 1 } { 3 } A ( t ) + R _ { 0 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { \mu } ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { \leq \frac { 1 } { 3 } A ( t ) - \frac { R _ { 0 } } { 2 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { \mu + 1 } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta . } \end{array}
\xi _ { f l a t } ( c ) = \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { 1 } { \sqrt { \cosh ( x + c ) } } \rightarrow \xi _ { f l a t } ( 0 ) = \sqrt { \frac { 8 } { \pi } } \left( \Gamma ( \frac { 5 } { 4 } ) \right) ^ { 2 } \simeq 1 . 3 1 1 .
\begin{array} { r } { \Vert \partial _ { t } \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { \infty } ) } \lesssim \Vert \partial _ { t } \rho _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { s } ) } \lesssim \Vert j _ { f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 + s } ) } \lesssim \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { 1 + s } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \left[ D ^ { \frac { 2 } { 2 - \beta } } \right] c ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + \mathrm { V a r } \left[ D ^ { \frac { 1 } { 2 - \beta } } \right] M _ { 1 } ( \tau ) M _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) \ . } \end{array}
v _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 . 7 0 7 3 } \\ { 0 . 0 7 2 7 8 + 0 . 7 0 3 2 i } \\ { 0 . 0 0 4 2 + 0 . 0 0 0 7 i } \end{array} \right) }
i \alpha ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta ~ \mathrm { T r } ~ { \cal P } \left( U [ A ] ~ \delta _ { 1 } A _ { a } \partial _ { \theta } \overline { { { X } } } ^ { a } \right) + i \alpha ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta ~ \mathrm { T r } ~ { \cal P } \left( U [ A ] ~ \delta _ { 2 } A _ { a } \partial _ { \theta } \overline { { { X } } } ^ { a } \right)
w ( z ) \simeq \frac { c _ { 0 } + c _ { 1 } z + c _ { 2 } z ^ { 2 } + c _ { 3 } z ^ { 3 } } { 1 + d _ { 1 } z + d _ { 2 } z ^ { 2 } + d _ { 3 } z ^ { 3 } + d _ { 4 } z ^ { 4 } } ,
{ \frac { 2 r _ { s } ( B _ { 1 } , B _ { 2 } ) } { 1 + r _ { s } ^ { 2 } ( B _ { 1 } , B _ { 2 } ) } } = - a _ { \psi K _ { S } } { \frac { 1 + x _ { d } ^ { 2 } } { x _ { d } } } \, ,
\int r ^ { 1 + \alpha } \left| v ^ { 2 } W \left( c \varepsilon \rho ^ { 2 } \left( \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { \widetilde { \tau } } * ( - i \omega \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) \right) \right) \right| ^ { 2 } \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \left\lVert \mathbf { B } _ { \mathcal { T } } \right\rVert _ { [ \alpha ] } ^ { 2 } \left( \mathcal { S } _ { 1 } ^ { W } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \! + \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { P } } \left( n ^ { - 1 / 2 } \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } W _ { i } \leq t + \eta _ { n } L _ { n , p } \right) \leq { \mathbb { P } } ( G \leq t + \eta _ { n } L _ { n p } ) + O \left( \left\{ n ^ { - 1 } \log ^ { 5 } ( n p ) \right\} ^ { 1 / 6 } \right) } \\ & { \leq } & { { \mathbb { P } } ( G \leq t ) + O \{ \eta _ { n } L _ { n p } \log ^ { 1 / 2 } ( p ) \} + O \left( \left\{ n ^ { - 1 } \log ^ { 5 } ( n p ) \right\} ^ { 1 / 6 } \right) \, , } \end{array}
\mathbf { A } ^ { ( i ) } = \left( 1 + \frac { d t } { \tau ^ { ( i ) } } \right) ^ { - 1 } \, \left( \mathbf { A } _ { o l d } ^ { ( i ) } + \frac { d t } { \tau ^ { ( i ) } } \bar { \mathbf { C } } ^ { - 1 } \right) .
\rho _ { Q E D } = \frac { \exp [ - \beta \int d ^ { 3 } x ( T _ { Q E D } ^ { 0 0 } ( x ) - \mu e \overline { { { \Psi } } } \gamma ^ { 0 } \Psi ) ] } { { \mathrm { t r } } \exp [ - \beta \int d ^ { 3 } x ( T _ { Q E D } ^ { 0 0 } ( x ) - \mu e \overline { { { \Psi } } } \gamma ^ { 0 } \Psi ) ] } \ ,
{ { E } ^ { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } } ( k , t = 0 ) = \frac { { { a } _ { s } } } { 2 } \frac { U _ { 0 } ^ { 2 } } { { { k } _ { p } } } { { \left( \frac { k } { { { k } _ { p } } } \right) } ^ { 2 s + 1 } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - ( s + \frac { 1 } { 2 } ) { { \left( \frac { k } { { { k } _ { p } } } \right) } ^ { 2 } } \right] , { { a } _ { s } } = \frac { { { ( 2 s + 1 ) } ^ { s + 1 } } } { { { 2 } ^ { s } } s ! } ,
\int _ { \Sigma _ { \tau _ { n } } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 2 } | L ( r ^ { 2 } L ) K \widehat { \psi } _ { | m | \geq 2 } | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq C ( 1 + \tau _ { n } ) ^ { - 1 } \left[ \int _ { \Sigma _ { 0 } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r | L ( r ^ { 2 } L ) ^ { 2 } K \widehat { \psi } _ { | m | \geq 2 } | ^ { 2 } \, d \sigma d r + D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] \right] .
{ \begin{array} { r l } { C ( S _ { t } , t ) } & { = N ( d _ { + } ) S _ { t } - N ( d _ { - } ) K e ^ { - r ( T - t ) } } \\ { d _ { + } } & { = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { T - t } } } } \left[ \ln \left( { \frac { S _ { t } } { K } } \right) + \left( r + { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } } \right) ( T - t ) \right] } \\ { d _ { - } } & { = d _ { + } - \sigma { \sqrt { T - t } } } \end{array} }
\varphi _ { 1 } \left( u , t \right) = \exp \left\{ \frac { i } { \hbar } \intop _ { - \infty } ^ { t } G ^ { 2 } \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } \right\} \varphi _ { 2 } \left( u , t \right)
\begin{array} { r } { \mathsf { g } _ { i j } ^ { N } = \mathsf { f } _ { i j } ^ { N } - \mathsf { f } _ { i j } ^ { \mathrm { e q } } \, , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ e ~ q ~ u ~ i ~ v ~ a ~ l ~ e ~ n ~ t ~ l ~ y ~ } \quad \mathsf { g } ^ { N } = \mathsf { f } ^ { N } - \mathsf { f } ^ { \mathrm { e q } } \, . } \end{array}
\, \, { \boldsymbol { \sigma } } = 2 \mu \, { \boldsymbol { \varepsilon } } + \lambda \, { \mathrm { t r } } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } ) \, { \boldsymbol { I } } + \lambda ^ { \prime } \, { \boldsymbol { \varepsilon } } \cdot { \boldsymbol { \varepsilon } } \,
d ^ { 2 } P = 4 \beta ^ { 2 } \frac { e ^ { \beta ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) } } { \left( e ^ { \beta M _ { 1 } } + e ^ { \beta M _ { 2 } } \right) ^ { 3 } } d M _ { 1 } d M _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { a c } \rho ( t ) = } & { { } - i [ H _ { a } + H _ { c } , \rho ( t ) ] - \frac { \gamma _ { e g } + \gamma _ { e s } } { 2 } \{ | e \rangle \langle e | , \rho ( t ) \} } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } & { m _ { X } ( t ) = m _ { X } ( t + \tau ) } & & { { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } \tau , t \in \mathbb { R } } \\ & { m _ { Y } ( t ) = m _ { Y } ( t + \tau ) } & & { { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } \tau , t \in \mathbb { R } } \\ & { K _ { X X } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = K _ { X X } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } , 0 ) } & & { { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } t _ { 1 } , t _ { 2 } \in \mathbb { R } } \\ & { K _ { Y Y } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = K _ { Y Y } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } , 0 ) } & & { { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } t _ { 1 } , t _ { 2 } \in \mathbb { R } } \\ & { K _ { X Y } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = K _ { X Y } ( t _ { 1 } - t _ { 2 } , 0 ) } & & { { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } t _ { 1 } , t _ { 2 } \in \mathbb { R } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Delta t _ { \mathrm { e x t } } | \lambda \sim } & { { } \mathrm { E x p o n e n t i a l } \left( \Delta t _ { \mathrm { e x t } } ; \lambda \right) , } \\ { \Delta t _ { \mathrm { I R F } } | \tau _ { \mathrm { I R F } } , \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } \sim } & { { } \mathrm { G a u s s i a n } ( \Delta t _ { \mathrm { I R F } } ; \tau _ { \mathrm { I R F } } , \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } ) , } \\ { n | N \sim } & { { } \mathrm { C a t e g o r i c a l } ( A _ { 0 } , . . . , A _ { N } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p = \frac { 1 } { 2 } ( p _ { o } + p _ { a } ) } & { { } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { s _ { c } } ^ { s } ( f _ { o } - f _ { a } ) ( \zeta , c , \Gamma ) \frac { d p _ { c } } { d \zeta } ( \zeta , \Gamma ) d \zeta + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Gamma _ { c } } ^ { \Gamma } ( f _ { o } - f _ { a } ) ( s , c , \xi ) \frac { d p _ { c } } { d \xi } ( s , \xi ) d \xi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { \ell } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { - k r _ { g } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } { \cal I } _ { a _ { 1 } . . . a _ { \ell } } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) . } \end{array}
\eta _ { \mathrm { t } } = { \frac { \mathrm { a c t u a l ~ t u r b i n e ~ w o r k } } { \mathrm { i s e n t r o p i c ~ t u r b i n e ~ w o r k } } } = { \frac { W _ { a } } { W _ { s } } } \cong { \frac { h _ { 1 } - h _ { 2 a } } { h _ { 1 } - h _ { 2 s } } } .
\begin{array} { r } { \lVert \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \mathrm { B } _ { p , p } ^ { s - \frac { 1 } { p } } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { p , s , n } \lVert u \rVert _ { { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \check { h } _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] \leq \frac { 1 + \tilde { \lambda } _ { 2 } } { 2 } \left\Vert \check { h } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + 4 C \gamma \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] + 4 \eta ^ { 2 } n \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 4 \eta ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } \left\Vert \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } + \frac { 4 \eta ^ { 2 } } { ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k + 1 } ^ { \intercal } ) - \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { k } ^ { \intercal } ) \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } \\ & { \leq \left( \frac { 1 + \tilde { \lambda } _ { 2 } } { 2 } + \frac { 8 \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } \right) \left\Vert \check { h } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + 4 C \gamma \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] + 4 \eta ^ { 2 } n \sigma ^ { 2 } + \frac { 4 \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } n } { ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \frac { \eta } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } g _ { i , k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } \\ & { \leq \left( \frac { 1 + \tilde { \lambda } _ { 2 } } { 2 } + \frac { 8 \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } + \frac { 1 6 \eta ^ { 4 } L ^ { 4 } } { ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) \left\Vert \check { h } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + 4 C \gamma \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] } \\ & { \quad + \left( 4 n + \frac { 4 \eta ^ { 2 } L ^ { 2 } } { ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 8 n \eta ^ { 4 } L ^ { 2 } } { ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 3 + \tilde { \lambda } _ { 2 } } { 4 } \left\Vert \check { h } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } + 4 \gamma C \mathbb { E } \left[ \left\Vert \mathbf { y } _ { k } - H _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \middle | \mathcal { G } _ { k } \right] + 5 n \eta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } + \frac { 8 n \eta ^ { 4 } L ^ { 2 } } { ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \left\Vert \nabla f ( \bar { x } _ { k } ) \right\Vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P = \left( \begin{array} { l l l l } { \cos ^ { 2 } ( \phi ) } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } \sin ( 2 \phi ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos ^ { 2 } ( \phi ) } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } \sin ( 2 \phi ) } \\ { \frac { 1 } { 2 } \sin ( 2 \phi ) } & { 0 } & { \sin ^ { 2 } ( \phi ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } \sin ( 2 \phi ) } & { 0 } & { \sin ^ { 2 } ( \phi ) } \end{array} \right) . } \end{array}
P _ { R } ^ { \prime } = ( \; \; \; { \rho } \frac { \breve { m } } { 2 } \; \; \; + ( \; \; G _ { \bot } \; \; - \; \; B _ { \bot } + \frac { 1 } { 4 } A _ { \bot } ^ { t } C _ { \bot } A _ { \bot } ) { \breve { n } } - \; \; \frac { 1 } { 2 } A _ { \bot } ^ { t } C _ { \bot } { \breve { l } } , 0 ) = ( p _ { R } ^ { \prime } , \; 0 ) .
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ( 0 , 0 ) = p _ { 1 3 } \frac { \partial ^ { p + 1 } k _ { \delta } } { \partial u ^ { p + 1 } } ( 0 , 0 ) = p _ { 1 3 } ( p + 1 ) ! b _ { p + 1 } ( \delta ) } \\ { \frac { \partial ^ { p } B } { \partial u ^ { p } } ( 0 , 0 ) = p _ { 2 3 } \frac { \partial ^ { p + 1 } k _ { \delta } } { \partial u ^ { p + 1 } } ( 0 , 0 ) = p _ { 2 3 } ( p + 1 ) ! b _ { p + 1 } ( \delta ) . } \end{array}
\overline { { \mathcal { S } \mathrm { ~ o ~ l ~ } } } : = \{ \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } \in \mathcal { S } \mathrm { ~ o ~ l ~ } \ \backslash \ [ \mathbf { G } , \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } ] \in \left[ \mathbf { T } _ { \mathfrak { u } } \mathbb { P } _ { L } \right] ^ { v } \forall \mathbf { G } \in \mathcal { G } \} .
\mathbf { q } ( \mathbf { x } , 0 ) = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { u } \\ { v } \\ { B _ { x } } \\ { B _ { y } } \\ { P } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 2 5 / ( 3 6 \pi ) } \\ { - \sin ( 2 \pi y ) } \\ { \phantom { - } \sin ( 2 \pi x ) } \\ { \phantom { - } \sin ( 2 \pi y ) / \sqrt { 4 \pi } } \\ { - \sin ( 4 \pi x ) / \sqrt { 4 \pi } } \\ { 5 / ( 1 2 \pi ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } _ { e \in \mathit { E } } | \delta _ { e , 1 } | } & { = } & { \operatorname* { s u p } _ { e \in \mathit { E } } \left| \frac { x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) ( P _ { \mathit { F } } + \Delta _ { e } ^ { T } ) Y } { \{ x _ { e } ^ { T } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \} ^ { 1 / 2 } } \right| } \\ & { \leq } & { \| Y \| _ { 2 } \{ \operatorname* { m a x } _ { e \in \mathit { E } } \| \Delta _ { e } \| _ { 2 } + R ( Y , X _ { \mathit { F } } ) \} } \\ & { \leq } & { \| Y \| _ { 2 } \left\{ c ^ { \prime } R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) + R ( Y , X _ { \mathit { F } } ) \right\} } \end{array}
S = \int \operatorname { T r } \partial _ { \mu } A _ { \nu } \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } + f _ { j k } ^ { i } \partial ^ { \nu } A _ { i } ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { j } A _ { \nu } ^ { k } + f _ { j r } ^ { i } f _ { k l } ^ { r } A _ { i } A _ { j } A ^ { k } A ^ { l } + \operatorname { T r } \partial _ { \mu } { \bar { \eta } } \partial ^ { \mu } \eta + { \bar { \eta } } A _ { j } \eta
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } } & { = } & { \frac { D _ { - } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { - } ) } { j _ { \ell } ( D _ { - } ) } - i \kappa _ { c } \frac { h _ { \ell + 1 } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } { h _ { \ell } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } } { D _ { + } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { + } ) } { j _ { \ell } ( D _ { + } ) } - i \kappa _ { c } \frac { h _ { \ell + 1 } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } { h _ { \ell } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } } } \\ & { = } & { \frac { D _ { - } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { - } ) } { j _ { \ell } ( D _ { - } ) } - \kappa _ { c } \frac { K _ { \ell + \frac { 3 } { 2 } } ( \kappa _ { c } ) } { K _ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ( \kappa _ { c } ) } } { D _ { + } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { + } ) } { j _ { \ell } ( D _ { + } ) } - \kappa _ { c } \frac { K _ { \ell + \frac { 3 } { 2 } } ( \kappa _ { c } ) } { K _ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ( \kappa _ { c } ) } } , } \end{array}
u _ { \rho } ( s _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \; g \, \rho \, ( z _ { 0 } - z ) \int _ { \pi / 2 } ^ { 3 \pi / 2 } \frac { ( 1 - 2 \cos ^ { 2 } \theta ) \, ( 2 \, d \theta ) } { { R _ { 2 } } ^ { 3 } \bigg ( 1 - \, k ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta \, \bigg ) ^ { 3 / 2 } } \, d s
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \quad } & { \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sum _ { j = 0 } ^ { n } t _ { i j } x _ { i j } } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \sum _ { i = 0 } ^ { n } x _ { i j } = 1 \quad \forall j \in V \setminus \{ v _ { o } , v _ { d } \} } \\ & { \sum _ { j = 0 } ^ { n } x _ { i j } = 1 \quad \forall i \in V \setminus \{ v _ { o } , v _ { d } \} } \\ & { \sum _ { j \in V } x _ { v _ { o } j } = \sum _ { i \in V } x _ { i v _ { d } } = 1 } \\ & { \sum _ { j \in V } x _ { v _ { d } j } = \sum _ { i \in V } x _ { i v _ { o } } = 0 } \\ & { \sum _ { i \in S } \sum _ { j \notin S } x _ { i j } \geq 1 \quad \forall S \subset V , S \neq \emptyset , V } \\ & { \sum _ { i \notin S } \sum _ { j \in S } x _ { i j } \geq 1 \quad \forall S \subset V , S \neq \emptyset , V } \\ & { x _ { i i } = 0 \quad \forall i \in V } \\ & { x _ { i j } \in \{ 0 , 1 \} \quad \forall i , j \in V } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \leq \gamma d _ { i , j } + \pi _ { j } + \mu _ { i } + \sigma _ { i , j } ~ \bot ~ x _ { i , j } \geq 0 } & { , ~ \forall i , j } \\ { 0 \leq ( 1 - \gamma ) \phi _ { i } + \mu _ { i } + \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = i + 1 } ^ { M } \left( \eta _ { i , l } - \tau _ { i , l } \right) ~ ~ ~ ~ } & { } \\ { - \frac { 1 } { \lambda _ { i } } \sum _ { l = 1 } ^ { i - 1 } \left( \eta _ { l , i } - \tau _ { l , i } \right) + \frac { \nu _ { i } } { \lambda _ { i } } ~ \bot ~ q _ { i } \geq 0 } & { , ~ \forall i . } \end{array}