harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \varphi ( \boldsymbol 0 ) = \langle \delta , \varphi \rangle = \langle T _ { \xi } , \varphi \rangle = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \varphi ( \boldsymbol v ) \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol v \boldsymbol x _ { j } } \, \mathrm { d } \boldsymbol v , \quad \varphi \in \mathscr S ( \mathbb R ^ { d } ) . } \end{array}
Q _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) = B _ { 2 } - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \log ( Y ) - \frac { A _ { 2 } } { 2 } \log ( 1 + Y ) + \frac { \delta _ { 2 } } { 4 } \log ( Y ) \log ( 1 + Y ) .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { l o s s y } ~ m , n } } & { = \sum _ { n _ { \mathrm { l o s s } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { k , l } K _ { m , k } ^ { ( n _ { \mathrm { l o s s } } ) } \rho _ { \mathrm { i n } ~ k , l } K _ { l , n } ^ { ( n _ { \mathrm { l o s s } } ) \dag } } \\ & { = \sum _ { n _ { \mathrm { l o s s } } = 0 } ^ { n _ { \mathrm { m a x } } } O ( \mu ^ { \frac { m } { 2 } } ) \rho _ { \mathrm { i n } ~ m + n _ { \mathrm { l o s s } } , n + n _ { \mathrm { l o s s } } } O ( \mu ^ { \frac { n } { 2 } } ) } \\ & { = O ( \mu ^ { \frac { m + n } { 2 } } ) , } \end{array}
\overline { { F _ { + } } } = \Bigl ( \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ^ { 4 } { \theta } \cos ^ { 2 } { 2 \psi } . d \psi \Bigr ) ^ { 1 / 2 } \sim \sin ^ { 2 } { \theta } .
\sigma _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } , \; \; \sigma _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] } , \; \; \sigma _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } & { g \left\langle \mathbf { h } , \frac { d \mathbf { h } } { d t } \right\rangle _ { \mathbf { M } } + g H \left\langle \mathbf { h } , \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { u } \right\rangle _ { \mathbf { M } } + g \alpha _ { h } \left( { h } _ { P + 1 } ^ { - } - { h } _ { 1 } ^ { + } \right) ^ { 2 } = 0 , } \\ & { H \left\langle \mathbf { u } , \frac { d \mathbf { u } } { d t } \right\rangle _ { \mathbf { M } } + g H \left\langle \mathbf { u } , \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { h } \right\rangle _ { \mathbf { M } } + \frac { H ^ { 3 } } { 6 } \frac { d } { d t } \| \widetilde { \mathbf { D } } \mathbf { u } \| _ { \mathbf { M } } ^ { 2 } + H \alpha _ { u } \left( { u } _ { P + 1 } ^ { - } - { u } _ { 1 } ^ { + } \right) ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( N ( l , n ) = 0 ) } & { \geq 1 - ( n - l + 1 ) \frac { 1 - ( q / p ) } { 1 - ( q / p ) ^ { l + 1 } } \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } - \frac { 2 \sqrt { p q } } { ( 1 - 2 \sqrt { p q } ) ^ { 2 } } ( 2 q ) ^ { l } } \\ & { \geq 1 - n \left( \frac { q } { p } \right) ^ { l } - \frac { 2 \sqrt { p q } } { ( 1 - 2 \sqrt { p q } ) ^ { 2 } } ( 2 q ) ^ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { } & { = \hat { \mathcal P } _ { x } ^ { \mathrm { H V } } | \alpha _ { \mathrm { H } } , \alpha _ { \mathrm { V } } \rangle } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta } { 2 } } \cos \alpha } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta } { 2 } } \sin \alpha \ } \end{array} \right) | \mathrm { i n p u t } \rangle , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { \psi _ { 1 , k } ( \tau ) } \\ { \psi _ { 2 , k } ( \tau ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { f ( s ) e ^ { - i \phi ( \tau , s ) } } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \delta , \underline { { u } } \vdash g ^ { \Sigma } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { u } } ) } & { \equiv \langle g _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \pi _ { 1 } \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { u } } ) , g _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , g _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \pi _ { 1 } \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { u } } ) , q _ { 1 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \pi _ { 1 } \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { u } } ) ^ { * } \pi _ { 2 } \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) ^ { * } \underline { { u } } ) \rangle } \\ & { = \langle \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ) , g _ { 2 } ( \textnormal { \texttt { g } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { g } } _ { n + 1 } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ) , ( \textnormal { \texttt { q } } ( \delta ) , \textnormal { \texttt { q } } _ { n + 1 } ( \delta , \pi _ { 1 } \underline { { u } } ) ) ^ { * } \pi _ { 2 } \underline { { u } } ) \rangle } \end{array}
Q _ { 0 } = w _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 2 } , \quad M _ { 0 } = w _ { 0 } ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } , \quad F _ { 0 } = w _ { 0 } b _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 2 } , \quad B _ { 0 } = b _ { 0 } r _ { 0 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { m } ( t , x ) : = \phi _ { m } ( t , x ) - \phi _ { m - 1 } ( t , x ) = \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \hat { \zeta } _ { m , l _ { k } } ( t ) \zeta _ { m , k } ( t ) \psi _ { m , k } \bigl ( X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } ( t , x ) \bigr ) \, . } \end{array}
F ^ { \mu \lambda _ { 2 } \dots \lambda _ { p + 2 } } F _ { \nu \lambda _ { 2 } \dots \lambda _ { p + 2 } } = \bar { \delta } _ { \nu } ^ { \mu } ( p + 1 ) ! \ F _ { t y _ { 1 } \dots y _ { p } r } F ^ { t y _ { 1 } \dots y _ { p } r } = - \bar { \delta } _ { \nu } ^ { \mu } ( p + 1 ) ! \ e ^ { - 2 a \phi } { \frac { Q ^ { 2 } } { ( G r ) ^ { 2 ( d - 1 ) } } } ,
\mathbf { H } _ { \mathcal { I } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { 1 } } } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { 1 } } ^ { 2 } } & { \hdots } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { 1 } } ^ { k - 1 } } \\ { 1 } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { 2 } } } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { 2 } } ^ { 2 } } & { \hdots } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { 2 } } ^ { k - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { k } } } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { k } } ^ { 2 } } & { \hdots } & { \beta _ { \mathcal { I } _ { k } } ^ { k - 1 } } \end{array} \right) \in \mathbb { F } _ { q } ^ { k \times k } .
\frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 1 } } \\ { \varepsilon _ { 2 2 } } \\ { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { v _ { 3 } } \end{array} \right) , ~ ~ \frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 2 } } \\ { \varepsilon _ { 1 3 } } \\ { \varepsilon _ { 2 3 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { 0 } \\ { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } & { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } \\ { 0 } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } & { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { v _ { 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 \leftrightarrow N _ { x } } = } & { { } } & { \frac { v } { 2 } \sum _ { k } ^ { N _ { y } } [ \hat { \psi } _ { N _ { x } , k } ^ { \dag } ( \sigma _ { x } - i \sigma _ { y } ) \hat { \psi } _ { 1 , k } + \mathrm { H . c . } ] , } \\ { H _ { 1 \leftrightarrow N _ { y } } = } & { { } } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } ^ { N _ { x } } [ t _ { 1 } ( \hat { \psi } _ { j , N _ { y } } ^ { \dag } \hat { \psi } _ { j , 1 } + \mathrm { H . c . } ) - i t _ { 2 } ( i \hat { \psi } _ { j , N _ { y } } ^ { \dag } \sigma _ { y } \hat { \psi } _ { j , 1 } + \mathrm { H . c . } ) ] . } \end{array}
U _ { a } = ( q + Q _ { c } ) - ( a \mu _ { 1 } + c \mu _ { 2 } ) , V _ { a } = ( a \mu _ { 1 } + c \mu _ { 2 } ) - ( q - Q _ { c } ) , U _ { b } = ( q + Q _ { c } ) - ( b \mu _ { 2 } + c \mu _ { 1 } ) , V _ { b } = ( b \mu _ { 2 } + c \mu _ { 1 } ) - ( q - Q _ { c } ) , U _ { c } = ( q + Q _ { c } ) - ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) , V _ { c } = ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) - ( q - Q _ { c } )
\begin{array} { r l } { \left\langle j ^ { \mu } ( \omega ^ { ( n ) } ) \right\rangle = \, \, } & { { } \sigma ^ { \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } ( \omega ^ { ( n ) } ; \omega _ { 1 } , \hdots , \omega _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta g _ { \mathrm { r e c o i l } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s , ^ { 2 0 } \mathrm { N e } ^ { 9 + } ) } & { = - 1 . 0 9 2 ( 1 4 ) \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, , } \\ { \Delta g _ { \mathrm { r e c o i l } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s , ^ { 2 2 } \mathrm { N e } ^ { 9 + } ) } & { = - 1 . 0 9 2 ( 1 4 ) \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, . } \end{array}
\frac { \partial v } { \partial P } = - \frac { 1 } { \beta P ^ { 2 } } - \beta \left( \frac { m \sigma } { M } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { K _ { 0 } ^ { 2 } ( \beta M ) } { K _ { 1 } ^ { 2 } ( \beta M ) } \right] .
M _ { t } = \frac { \sum _ { y } y f ^ { I _ { t } ^ { ( n ) } \| X _ { 0 } , \ldots , X _ { m ( t ) } , X _ { n } = y } ( I _ { t } ^ { ( n ) } ) \mathbb { P } [ X _ { n } = y \| X _ { 0 } , \ldots , X _ { m ( t ) } ] } { \sum _ { y } f ^ { I _ { t } ^ { ( n ) } \| X _ { 0 } , \ldots , X _ { m ( t ) } , X _ { n } = y } ( I _ { t } ^ { ( n ) } ) \mathbb { P } [ X _ { n } = y \| X _ { 0 } , \ldots , X _ { m ( t ) } ] } .
\mathcal { S } ( \Delta ) \Big | _ { m _ { \mathrm { e x } } \rightarrow 0 } \underset { \sim } { \propto } \frac { \mathcal { S } ( \Delta ) \Big | _ { m _ { \mathrm { e x } } = 0 } } { \left( 1 + \frac { m _ { \mathrm { e x } } } { 2 \omega _ { \mathrm { r e c } } } \Delta \right) ^ { 3 / 2 } } .
\mathcal { H } = \sum _ { \langle i , j \rangle } \left[ J \ \textbf { S } _ { i } \cdot \textbf { S } _ { j } + \vec { D } \cdot ( \textbf { S } _ { i } \times \textbf { S } _ { j } ) \right] + \sum _ { \langle i , j \rangle _ { \perp } } J _ { \perp } \ \textbf { S } _ { i } \cdot \textbf { S } _ { j } + \sum _ { j } D _ { z } ( \textbf { S } _ { j } ^ { z } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { p _ { m } ( t ) } & { = p _ { r } ( t ) - I ( t ) \ast ( p _ { r } ( t ) - \alpha \Delta T ( t ) ) + 2 8 0 ~ \mathrm { p p m } } \\ & { = p _ { r } ( t ) - I ( t ) \ast p _ { r } ( t ) + \alpha I ( t ) \ast \Delta T ( t ) + 2 8 0 ~ \mathrm { p p m } } \\ & { = p _ { h } ( t ) + \alpha I ( t ) \ast \Delta T ( t ) + 2 8 0 ~ \mathrm { p p m } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d \rho _ { i } } { d t } } & { { } = 2 { \rho _ { i } } \sum _ { j } ( \textbf { v } - \textbf { v } ^ { * } ) \cdot V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } } \\ { \frac { d \textbf { v } _ { i } } { d t } } & { { } = - 2 \sum _ { j } \frac { { P } ^ { * } } { \rho _ { i } } V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + 2 \sum _ { j } \frac { \nu } { \rho _ { i } } \textbf { v } _ { i j } V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + \textbf { g } _ { i } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n _ { e } } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( n _ { e } \frac { 1 } { B } \mathbf { b } \times \nabla \phi \right) + \underbrace { \nabla \cdot { \frac { 1 } { e } \mathbf { j } _ { s h } } } _ { \texttt { s h e a t h \_ c l o s u r e } } } \\ { p _ { e } } & { { } = \underbrace { e n _ { e } T _ { e } } _ { \texttt { i s o t h e r m a l } } } \\ { \frac { \partial \Omega } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( \Omega \frac { 1 } { B } \mathbf { b } \times \nabla \phi \right) + \nabla \left( p _ { e } \nabla \times \frac { \mathbf { b } } { B } \right) + \underbrace { \nabla \cdot \mathbf { j } _ { s h } } _ { \texttt { s h e a t h \_ c l o s u r e } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { R } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } ) = U _ { \mathrm { H V } } ^ { - 1 } \mathcal { R } _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } ) U _ { \mathrm { H V } } } \\ & { } & { = \frac { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { 1 } & { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } & { - \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { i } & { - i } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \exp \left( - i \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { \exp \left( + i \frac { { \it \Delta \phi } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { q } ^ { a } [ \omega ] } & { = i \frac { \chi _ { d } ^ { - 1 } [ \omega ] \tilde { g } _ { c } a - \mathcal { G } \tilde { g } _ { c } d } { \chi _ { a } ^ { - 1 } [ \omega ] \chi _ { d } ^ { - 1 } [ \omega ] - \mathcal { G } ^ { 2 } } , } \\ { C _ { q } ^ { d } [ \omega ] } & { = i \frac { \chi _ { a } ^ { - 1 } [ \omega ] \tilde { g } _ { c } d - \mathcal { G } \tilde { g } _ { c } a } { \chi _ { a } ^ { - 1 } [ \omega ] \chi _ { d } ^ { - 1 } [ \omega ] - \mathcal { G } ^ { 2 } } . } \end{array}
\bar { U } ^ { \mu } ( s _ { 0 } , \boldsymbol { \pi } ) = \mathbb { E } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { k T } R ( s _ { k } , \mu ( s _ { k } ) , \boldsymbol { \pi } ) \, \Bigr | \, s _ { 0 } = s \right] = \mathbb { E } \bigl [ R ( s _ { 0 } , \mu ( s _ { 0 } ) , \boldsymbol { \pi } ) + \gamma ^ { T } \, \bar { U } ^ { \mu } ( s _ { T } , \boldsymbol { \pi } ) \bigr ] ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { L } } & { = \left( x p _ { y } - y p _ { x } \right) \mathbf { e } _ { x } \wedge \mathbf { e } _ { y } + \left( y p _ { z } - z p _ { y } \right) \mathbf { e } _ { y } \wedge \mathbf { e } _ { z } + \left( z p _ { x } - x p _ { z } \right) \mathbf { e } _ { z } \wedge \mathbf { e } _ { x } } \\ & { = L _ { x y } \mathbf { e } _ { x } \wedge \mathbf { e } _ { y } + L _ { y z } \mathbf { e } _ { y } \wedge \mathbf { e } _ { z } + L _ { z x } \mathbf { e } _ { z } \wedge \mathbf { e } _ { x } \, , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Bigl \{ \{ ( i _ { 1 i } , \alpha _ { 1 i } ) \in X | \alpha _ { 1 i } = \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { X } ) \} \cap \{ ( i _ { 2 i } , \alpha _ { 2 i } ) \in Y | \alpha _ { 2 i } = \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { X } ) \} \Bigl \} \: \cup } \\ { \Bigl \{ \{ ( i _ { 1 i } , \alpha _ { 1 i } ) \in X | \alpha _ { 1 i } = \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { Y } ) \} \cap \{ ( i _ { 2 i } , \alpha _ { 2 i } ) \in Y | \alpha _ { 2 i } = \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { Y } ) \} \Bigl \} \: \neq \emptyset \: \mathrm { a n d } } \\ { \{ ( i _ { 1 i } , \alpha _ { 1 i } ) \in X | \alpha _ { 1 i } < \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { X } ) \} \: \neq \: \{ ( i _ { 2 i } , \alpha _ { 2 i } ) \in Y | \alpha _ { 2 i } < \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { X } ) \} \: \mathrm { a n d } } \\ { \{ ( i _ { 1 i } , \alpha _ { 1 i } ) \in X | \alpha _ { 1 i } < \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { Y } ) \} \: \neq \: \{ ( i _ { 2 i } , \alpha _ { 2 i } ) \in Y | \alpha _ { 2 i } < \alpha _ { \operatorname* { m a x } } ^ { Y } ) \} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { r _ { x y } } & { = { \frac { \sum x _ { i } y _ { i } - n { \bar { x } } { \bar { y } } } { n s _ { x } ^ { \prime } s _ { y } ^ { \prime } } } } \\ & { = { \frac { n \sum x _ { i } y _ { i } - \sum x _ { i } \sum y _ { i } } { { \sqrt { n \sum x _ { i } ^ { 2 } - ( \sum x _ { i } ) ^ { 2 } } } ~ { \sqrt { n \sum y _ { i } ^ { 2 } - ( \sum y _ { i } ) ^ { 2 } } } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } + \Big \Vert \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] \Big \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } } & { \leq C \underset { 0 \leq s , t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \Vert G ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { p } } \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } . } \end{array}
\int _ { z _ { 1 } } M _ { i z } d \vec { x } _ { \perp } d t - \int _ { z _ { 2 } } M _ { i z } d \vec { x } _ { \perp } d t = \left. \int _ { V } j _ { i } d V \right] _ { t = - \infty } ^ { t = \infty } \, .
\mathbf { M } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { L _ { K } } & { \mathrel { \mathop : } = \iint \lVert K ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \rVert \, e ^ { - \varrho _ { K } ( \tau _ { 1 } + \tau _ { 2 } ) } \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 1 } } \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 2 } } < \infty } \\ { \ell _ { K } } & { \mathrel { \mathop : } = \operatorname* { s u p } _ { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \in \mathbb { R } } \int \left\| K ( t - \tau _ { 1 } , t - \tau _ { 2 } ) \right\| e ^ { - \varrho _ { K } ( 2 t - \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) } \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 1 } } \mathop { \mathrm { d } \tau _ { 2 } } < \infty } \end{array}
\int \cos ^ { n } a x \, d x = { \frac { \cos ^ { n - 1 } a x \sin a x } { n a } } + { \frac { n - 1 } { n } } \int \cos ^ { n - 2 } a x \, d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n > 0 { \mathrm { ) } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial v _ { 1 } ( x , z , t ) } { \partial t } } & { = - \frac { 1 } { \rho ( x , z ) } \frac { \partial \sigma ( x , z , t ) } { \partial x } , } \\ { \frac { \partial v _ { 3 } ( x , z , t ) } { \partial t } } & { = - \frac { 1 } { \rho ( x , z ) } \frac { \partial \sigma ( x , z , t ) } { \partial z } , } \\ { \frac { \partial \sigma ( x , z , t ) } { \partial t } } & { = - \rho ( x , z ) c _ { P } ^ { 2 } ( x , z ) \left( \frac { \partial v _ { 1 } ( x , z , t ) } { \partial x } + \frac { \partial v _ { 3 } ( x , z , t ) } { \partial z } \right) . } \end{array}
T _ { S N O } ^ { t h } = \sum _ { \alpha } \int _ { E _ { \nu _ { m i n } } } ^ { E _ { \nu _ { m a x } } } d E _ { \nu } \int d E _ { T } \int _ { E _ { A _ { t h } } } d E _ { A } \; \rho ( E _ { A } , E _ { T } ) \; X _ { \alpha } \; \phi _ { \alpha } ( E _ { \nu } ) \; < P _ { e e } ( E _ { \nu } ) > _ { \alpha } \; \sigma ^ { C C } .
\begin{array} { r l } & { L _ { \mathrm { d i v } } ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { 3 } ) : = \overline { { \{ \mathbf { u } \in C _ { c } ^ { \infty } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { 3 } ) : \, \mathrm { d i v } \mathbf { u } = 0 \; \mathrm { i n } \; \Omega \} } } ^ { | | \cdot | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } } , } \\ & { H _ { 0 , \mathrm { d i v } } ^ { 1 } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { 3 } ) : = \overline { { \{ \mathbf { u } \in C _ { c } ^ { \infty } ( \Omega , \mathbb { R } ^ { 3 } ) : \, \mathrm { d i v } \mathbf { u } = 0 \; \mathrm { i n } \; \Omega \} } } ^ { | | \cdot | | _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } } . } \end{array}
\delta I = \sum _ { k } \delta t ^ { k } \int d t \{ \bar { Q } _ { \beta } , [ \bar { Q } _ { \beta } , \phi _ { k } ] \} + \sum _ { k } \delta \bar { t } ^ { k } \int d t \{ Q _ { \beta } , [ Q _ { \beta } , \bar { \phi } _ { k } ] \} ,
E _ { + } ^ { \prime ( a ) } ( t ) = \sum _ { \mathbf { k } , s } \cos { \vartheta _ { \mathbf { k } , s } } \left[ \mathscr { E } _ { \mathbf { k } } a _ { \mathbf { k } , s } ( 0 ) e ^ { - i \omega _ { \mathbf { k } } t + i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } _ { a } } + i \frac { \omega _ { \mathbf { k } } \mu } { 2 \varepsilon _ { 0 } V } \cos { \vartheta _ { \mathbf { k } , s } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \sum _ { b \neq a } e ^ { - i \omega _ { \mathbf { k } } \left( t - t ^ { \prime } \right) + i \mathbf { k } \cdot \left( \mathbf { r } _ { a } - \mathbf { r } _ { b } \right) } \sigma _ { - } ^ { ( b ) } ( t ^ { \prime } ) \right] .
X _ { k } ^ { j } ( t ) = { \frac { \alpha _ { k } ^ { j } } { \sqrt { 2 \omega } } } \, e ^ { - i \int _ { 0 } ^ { t } \omega d t } + { \frac { \beta _ { k } ^ { j } } { \sqrt { 2 \omega } } } \, e ^ { + i \int _ { 0 } ^ { t } \omega d t } \ ,
\begin{array} { r l } { A } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 4 } ) } } \\ { \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 4 } ) } } \\ { \frac { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } } & { \frac { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 4 } ) } } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) a _ { U } ( \theta , U _ { 4 } ) } \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } \\ { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } & { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } \\ { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } & { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\mathbf { I } _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \end{array} \right] } , \ \mathbf { I } _ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } , \ \ldots , \ \mathbf { I } _ { n } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 1 } \end{array} \right] }