harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { H } = } & { { } \sum _ { p < q } \left[ J _ { z } ( \mathbf { r } _ { p q } ) \hat { \sigma } _ { p } ^ { z } \hat { \sigma } _ { q } ^ { z } + h _ { x } ( \mathbf { r } _ { p q } ) \hat { \sigma } _ { q } ^ { x } ( \mathbf { r } _ { p q } ) + h _ { z } ( \mathbf { r } _ { p q } ) \hat { \sigma } _ { q } ^ { z } \right] , } \\ { J _ { z } ( \mathbf { r } ) = } & { { } \frac { 1 } { 4 } \left( \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( \mathbf { r } ) - \tilde { V } _ { 1 2 } ^ { 1 2 } ( \mathbf { r } ) - \tilde { V } _ { 2 1 } ^ { 2 1 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 2 2 } ^ { 2 2 } ( \mathbf { r } ) \right) , } \\ { h _ { x } ( \mathbf { r } ) = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left( \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 1 2 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 2 1 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 1 2 } ^ { 1 1 } ( \mathbf { r } ) + \tilde { V } _ { 2 1 } ^ { 1 1 } ( \mathbf { r } ) \right. } \\ { h _ { z } ( \mathbf { r } ) = } & { { } \frac { 1 } { 4 } \left( \tilde { V } _ { 2 2 } ^ { 2 2 } ( \mathbf { r } ) - \tilde { V } _ { 1 1 } ^ { 1 1 } ( \mathbf { r } ) \right) , } \end{array}
\mathrm { e r r } _ { \mathrm { r } F } ( \widehat { \mathbf { A } ^ { - 1 } } ) ^ { 2 } \leqslant \frac { \| \mathbf { A } ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \mathbf { A } ^ { - 1 } \| _ { F } ^ { 2 } } \cdot \frac { N } { 2 } \cdot \left( \frac { \epsilon } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } ( \mathbf { A } ) } \right) ^ { 2 } \overset { \ddagger } { \leqslant } \frac { N \epsilon ^ { 2 } / 2 } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } ( \mathbf { A } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \frac { d N } { d t } } & { = - U _ { P } + \lambda G _ { Z } + \varepsilon D \; , } \\ { \frac { d P } { d t } } & { = U _ { P } - G _ { Z } - m _ { P } P \; , } \\ { \frac { d Z } { d t } } & { = \gamma G _ { z } - M _ { Z } ( Z ) \; , } \\ { \frac { d D } { d t } } & { = ( 1 - \gamma - \lambda ) G _ { Z } + m _ { P } P + M _ { Z } ( Z ) - \varepsilon D \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { I ( z ) = \left[ \int _ { t _ { m i n } } ^ { t _ { m a x } } d t \, \left| \psi ^ { ( t h ) } ( t , z ) \right| ^ { 2 } \right] ^ { - 1 / 2 } \left\{ \int _ { t _ { m i n } } ^ { t _ { m a x } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! d t \, \left[ \; \left| \psi ^ { ( t h ) } ( t , z ) \right| - \left| \psi ^ { ( n u m ) } ( t , z ) \right| \; \right] ^ { 2 } \right\} ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { i } ( \hat { T } _ { i } ) } & { \leq } & { C _ { i } ( \lceil T _ { i } ^ { \operatorname* { m a x } } \rceil ^ { ( \hat { R } _ { 1 } ) } ) } \\ & { \leq } & { C _ { i } ( ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot T _ { i } ^ { * } ) } \\ & { = } & { \frac { K _ { i } } { ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot T _ { i } ^ { * } } + ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot H _ { i } T _ { i } ^ { * } } \\ & { \leq } & { ( 1 + 2 \epsilon ) \cdot C _ { i } ( T _ { i } ^ { * } ) \ . } \end{array}
\psi ( \mathbf { x } ) = \sqrt { ( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } ) } - R _ { D } \left[ 1 + 0 . 1 5 \left( 3 \cos ^ { 2 } \left( \frac { x _ { 1 } } { \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } } } \right) - 1 \right) \right] ,
V _ { c e l l } = { U _ { e q } ^ { c } } ( c _ { s , c } \big | _ { r = R _ { c } } ) - { U _ { e q } ^ { a } } ( c _ { s , a } \big | _ { r = R _ { a } } ) + \eta _ { c } - \eta _ { a } + R _ { e l } I ,
\begin{array} { r l } { \| Q ^ { K } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } \leq } & { \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta \right) ^ { K } \| Q ^ { 0 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \frac { \tau _ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \cdot \left( \frac { 2 \omega } { \lambda _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 3 \log ( 2 K / \delta ) } { N } } \right) . } \end{array}
\Gamma ( \bar { B } \to X _ { c } e \bar { \nu } ) = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } | V _ { c b } | ^ { 2 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } } \bigg ( { \frac { m _ { \Upsilon } } { 2 } } \bigg ) ^ { 5 } \, 0 . 5 3 3 \times \big [ 1 - 0 . 0 9 6 \epsilon - 0 . 0 2 9 _ { \mathrm { B L M } } \epsilon ^ { 2 } - ( 0 . 2 8 \lambda _ { 2 } + 0 . 1 2 \lambda _ { 1 } ) / \mathrm { G e V } ^ { 2 } \big ] \, ,
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } } & { = \frac { 2 \delta [ 1 + \sigma ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ] } { [ 1 + \sigma ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } ( \delta + z \delta _ { ( 1 ) } ) } , a _ { 4 } = \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ^ { 2 } ( \delta + z \delta _ { ( 1 ) } ) } , } \\ { a _ { 2 } } & { = \frac { - \delta ^ { 2 } } { [ 1 + \sigma ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ^ { 2 } ] ^ { 2 } ( \delta + z \delta _ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } } , a _ { 5 } = - \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ^ { 3 } } , } \\ { a _ { 3 } } & { = \frac { 2 \theta \delta _ { ( 1 ) } } { \rho ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ^ { 3 } ( \delta + z \delta _ { ( 1 ) } ) } , a _ { 6 } = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } ( 1 + \delta ) ^ { 2 } ( \delta + z \delta _ { ( 1 ) } ) } . } \end{array}
\frac { \hat { z } _ { \ast } ^ { \prime } } { \tilde { z } _ { \ast } ^ { \prime } } = \frac { C ( \lVert { \mathbf s } _ { \ast } - { \mathbf s } _ { 0 } \rVert , \tau _ { \ast } - \tau _ { 0 } ) \, C ( 0 , 0 ) } { C _ { \mathrm { S } } ( \lVert { \mathbf s } _ { \ast } - { \mathbf s } _ { 0 } \rVert ) \, C _ { \mathrm { T } } ( \tau _ { \ast } - \tau _ { 0 } ) } \, = Q _ { \mathrm { i n t } } ( \lVert { \mathbf s } _ { \ast } - { \mathbf s } _ { 0 } \rVert , \tau _ { \ast } - \tau _ { 0 } ) \, .
\gamma _ { \epsilon } ( y , y ^ { \prime } ) = \exp \left( ( f _ { \epsilon } ( y ) + g _ { \epsilon } ( y ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { 2 } \| y - y ^ { \prime } \| ^ { 2 } ) / \epsilon \right) d \mu _ { Y } ( y ) d \mu _ { Y ^ { \prime } } ( y ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { A _ { i } \doteq \; } & { I - P _ { n } ^ { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T } } V _ { n } ^ { - \mathrm { T } } Q _ { i } ^ { \mathrm { T } } P _ { n } ^ { - 1 } Q _ { i } V _ { n } ^ { - 1 } P _ { n } ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { B _ { i } \doteq \; } & { P _ { n } ^ { \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T } } V _ { n } ^ { - \mathrm { T } } Q _ { i } ^ { \mathrm { T } } P _ { n } ^ { - 1 } ( M _ { i } - Q _ { i } \widehat { \Theta } _ { n } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { I V } } ) } \\ { C _ { i } \doteq \; } & { - \Theta ^ { \mathrm { T } } Q _ { i } ^ { \mathrm { T } } P _ { n } ^ { - 1 } Q _ { i } \Theta + \Theta ^ { \mathrm { T } } Q _ { i } ^ { \mathrm { T } } P _ { n } ^ { - 1 } M _ { i } } \\ & { + M _ { i } ^ { \mathrm { T } } P _ { n } ^ { - 1 } Q _ { i } \Theta - M _ { i } ^ { \mathrm { T } } P _ { n } ^ { - 1 } M _ { i } . } \end{array}
\frac { d } { d t } { \cal F } _ { k } ( t ) = - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \int _ { { \cal M } _ { k } ^ { \prime } } d _ { x } \left( \omega e ^ { - \frac { 1 } { t } d _ { x } \omega } \right) = \, = - \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \int _ { { \cal M } _ { k } ^ { \prime } } d \left( \omega e ^ { - \frac { 1 } { t } d _ { x } \omega } \right) .
\begin{array} { r l } { U _ { i n - p l a n e } = } & { { } \frac { K _ { \alpha } } { 2 } \oint { \left( \alpha ^ { 2 } + a _ { 3 } \alpha ^ { 3 } + a _ { 4 } \alpha ^ { 4 } \right) d A _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle { \boldsymbol v } , ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } { \boldsymbol u } \rangle = \sum _ { i , j } \left( ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } \right) _ { i j } v _ { i } u _ { j } } \\ & { \prec \left( \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i \neq j } \left| \left( ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } \right) _ { i j } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } + N ^ { - \phi } \operatorname* { m a x } _ { i , j } \left| \left( ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } \right) _ { i j } \right| } \\ & { \prec \left( \frac { 1 } { N } \| ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } \| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } + N ^ { - \phi } \| ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } X ^ { T } \| \prec N ^ { - \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { { \bf u } _ { 1 } , { \bf u } _ { 2 } } } & { \mathbb { E } _ { { \bf w } | { \bf x } } \! \! \left[ \! p _ { 1 } \! \! \sum _ { f = 1 } ^ { F } \! u _ { 1 f } \! - a \! \! \! \sum _ { \ell \in [ L ] } \! \! \! w _ { \ell } + p _ { 2 } \! \sum _ { f = 1 } ^ { F } \left[ \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \! u _ { 2 f \ell } - u _ { 1 f } \right] ^ { + } \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \sum _ { f = 1 } ^ { F } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \! c _ { f \ell } \: u _ { 2 f \ell } \bigg \vert { \bf x } = { \bf x } _ { 0 } \! \right] } \\ & { \mathrm { s . t . } \quad \sum _ { f = 1 } ^ { F } u _ { 2 f \ell } \geq w _ { \ell } , \quad \forall \ell \in [ L ] , \forall \boldsymbol { w } \in \mathcal { W } , } \end{array}
H ( t ) = \sum _ { \alpha } \Biggl [ \frac { 1 } { 2 } \pi _ { \alpha } ^ { 2 } ( t ) + \frac { 1 } { 2 } { \omega } _ { \alpha } ^ { 2 } ( t ) \phi _ { \alpha } ^ { 2 } ( t ) \Biggr ] + \frac { \lambda } { 4 ! } \Biggl [ \sum _ { \alpha } \phi _ { \alpha } ^ { 4 } ( t ) + 3 \sum _ { \alpha \neq \beta } \phi _ { \alpha } ^ { 2 } ( t ) \phi _ { \beta } ^ { 2 } ( t ) \Biggr ] ,
F _ { \pi } ( Q ^ { 2 } ) = \! \! \! \! \! \! \int _ { Q ^ { 2 } / ( s _ { 0 } ^ { \pi } + Q ^ { 2 } ) } ^ { 1 } \! d u \, \varphi _ { \pi } ( u , \mu ) e ^ { - \frac { ( 1 - u ) Q ^ { 2 } } { u M ^ { 2 } } } + F _ { \pi } ^ { ( t w 2 , \alpha _ { s } ) } ( Q ^ { 2 } ) + F _ { \pi } ^ { ( t w 4 , 6 ) } ( Q ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a ( \phi , t ) } & { = - \frac { \kappa } { 2 } a + i \sum _ { \mu } D _ { \mathrm { i n t } } ( \mu ) A ( \mu , t ) \mathrm { e } ^ { i \phi \mu } + i \gamma L | a | ^ { 2 } a } \\ & { + \sqrt { \kappa _ { \mathrm { e x t } } } F _ { 0 } \mathrm { e } ^ { ( i \delta \omega _ { 0 } t ) } + \sqrt { \kappa _ { \mathrm { e x t } } } F _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i ( \Delta \Omega t + \mu _ { \mathrm { s p } } \phi ) } } \end{array}
\nu _ { 3 } ^ { * } = \mu _ { m a x , P H } ^ { r e s p } \frac { S _ { D O C } ^ { * } } { K _ { P H , D O C } + S _ { D O C } ^ { * } } \frac { S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } { K _ { P H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { P H , I } ^ { i n } } { K _ { P H , I } ^ { i n } + I _ { 0 } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \psi _ { P H } ^ { * }
\begin{array} { r l } { U ^ { * } ( s _ { 0 } ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \pi } } \, \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \gamma ^ { t } \, r \bigl ( s _ { t } ( \pi _ { 0 } , \ldots , \pi _ { t - 1 } ) , \pi _ { t } \bigr ) + \gamma ^ { T } U ^ { * } \bigl ( s _ { T } ( \pi _ { 0 } , \ldots , \pi _ { T - 1 } ) \bigr ) \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \gamma ^ { t } \, r \bigl ( s _ { t } ( \nu ^ { * } , \ldots , \nu ^ { * } ) , \nu ^ { * } \bigr ) + \gamma ^ { T } \, U ^ { * } \bigl ( s _ { T } ( \nu ^ { * } , \ldots , \nu ^ { * } ) \bigr ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega } & { _ u ^ { q G } ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q > 1 } } \\ & { = \frac { \sqrt { r \, \beta ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } \frac { \Gamma ( \frac { 1 } { 2 } ) \Gamma ( 2 r - \frac { 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( 2 r } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( r ) _ { k } \left( 2 r - \frac { 1 } { 2 } \right) _ { k } } { k ! \left( r + \frac { 1 } { 2 } \right) _ { k } } \left( - \frac { \Delta _ { t } ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { k } , } \end{array}
T _ { \alpha \beta } = \sum _ { k > j } I _ { \alpha \beta ; j k } ^ { \prime } \sin \frac { \Delta \tilde { m } _ { \nu k j } ^ { 2 } } { 2 E } L \quad ; \quad \bar { T } _ { \alpha \beta } = \sum _ { k > j } \bar { I } _ { \alpha \beta , j k } ^ { \prime } \sin \frac { \Delta \tilde { m } _ { \bar { \nu } k j } ^ { 2 } } { 2 E } L
\begin{array} { r l } & { = \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( F _ { - } ^ { \varepsilon } - \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } , F _ { + } ^ { \varepsilon } ) , G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle v \rangle ^ { m _ { 0 } } \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } , F _ { + } ^ { \varepsilon } ) , G ^ { ( m _ { 0 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { n } \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \\ { \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { J } _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ { \boldsymbol { M } ^ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } & { \boldsymbol { 0 } _ { r \times r } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { \sqrt { n } \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ { \boldsymbol { 0 } _ { r } } \end{array} \right] + o ( \sqrt { n } \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \Sigma } _ { 1 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \sqrt { n } \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \\ { \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \sqrt { n } \boldsymbol { U } _ { n , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) } \end{array} \right] + o ( \sqrt { n } \left\Vert \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } - \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } \boldsymbol { 1 } _ { r } ) , } \end{array}
y _ { i } = \, d _ { u _ { i } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \left( \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { i } + 1 } \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \xi \right) + \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { i } + 1 } M + \frac { \rho _ { i } } { \rho _ { i } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } M + \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { i } + 1 } M + d _ { e _ { j } , i } ^ { - \alpha _ { e } } \right) .
P = | \psi _ { \mathrm { { f i r s t } } } + \psi _ { \mathrm { { s e c o n d } } } | ^ { 2 } = | \psi _ { \mathrm { { f i r s t } } } | ^ { 2 } + | \psi _ { \mathrm { { s e c o n d } } } | ^ { 2 } + 2 | \psi _ { \mathrm { { f i r s t } } } | | \psi _ { \mathrm { { s e c o n d } } } | \cos ( \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { [ \sigma _ { z } ^ { 2 } ] _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } } & { { } = \frac { \sigma _ { z } ^ { 2 } } { V _ { 0 } m } \left( V _ { 0 } m + 2 \sqrt { V _ { 0 } m \ln \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } ^ { - 1 } } + 2 \ln \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } ^ { - 1 } \right) } \\ { = } & { { } \sigma _ { z } ^ { 2 } + \sigma _ { z } ^ { 2 } \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { V _ { 0 } m } } \sqrt { 2 \ln \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { m } \right) } \\ { \simeq } & { { } \sigma _ { z } ^ { 2 } + \sigma _ { z } ^ { 2 } \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { V _ { 0 } m } } \sqrt { 2 \ln \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } } , } \end{array}
\Delta _ { F } ( x - x ^ { \prime } ) \Rightarrow \delta ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { \prime } ) \int _ { - \operatorname * { i n f } } ^ { \operatorname * { i n f } } \Delta _ { F } ( { \bf x - x ^ { \prime } } , x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { \prime } ) d ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { - \int _ { 0 } ^ { \pi } { y _ { 2 , z z } ( z ) u _ { 2 } ( z ) d z } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } { y _ { 2 , z } ( z ) \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial z } ( z ) d z } } \\ & { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { \pi } { \left| y _ { 2 , z } ( z ) \right| \left| \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial z } ( z ) \right| d z } } \\ & { \leq } & { \frac { \omega } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \Big | y _ { 2 , z } ( z ) \Big | ^ { 4 } d z } + \frac { 1 } { \omega ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \frac { 3 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \Big | \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial z } ( z ) \Big | ^ { \frac { 4 } { 3 } } d z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { t } - F ( \Lambda _ { t } ) } & { \le \mathbb { P } \big ( \{ \Lambda _ { t } < X _ { 0 - } \} \cap \{ X _ { 0 - } - \Lambda _ { t } \le \sqrt { t } \, | \mathcal { N } | \} \big ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( x \le \sqrt { t } \, | \mathcal { N } | ) \, \mathbb { P } ( X _ { 0 - } - \Lambda _ { t } \in \mathrm { d } x ) } \\ & { \le \sqrt { 2 t / \pi } , } \end{array}
\mu ( I ) - F ( I ) = \frac { 3 ( \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) } { 2 } \Big ( \frac { \ln ( 1 + I / I _ { 0 } ) } { I / I _ { 0 } } - \frac { 1 } { 1 + I / I _ { 0 } } \Big ) > 0 .
\begin{array} { r l } { \tilde { B } _ { \eta } ( u , v ) = } & { \mu \int _ { D _ { h } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \nabla \tilde { u } _ { j } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } ^ { \top } \nabla \bar { \tilde { v } } _ { j } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } } } \, \mathrm { d } y } \\ & { + ( \lambda + \mu ) \int _ { D _ { h } } ( \nabla \tilde { u } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } ) ( \nabla \bar { \tilde { v } } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } ^ { - 1 } } ^ { \top } ) \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } } } \, \mathrm { d } y } \\ & { - \omega ^ { 2 } \int _ { D _ { h } } \tilde { u } \cdot \bar { \tilde { v } } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } } } \, \mathrm { d } y - \int _ { \Gamma _ { h } } \mathcal { T } \tilde { u } \cdot \bar { \tilde { v } } \, \mathrm { d } s ( y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 \leq g ( - \delta ) = g ( 0 ) - g ^ { \prime } ( 0 ) \cdot \delta + \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime \prime } ( u ) \cdot \delta ^ { 2 } , } \\ & { \implies g ^ { \prime } ( 0 ) \leq \frac { g ( 0 ) } { \delta } + \frac { 1 } { 2 } | g ^ { \prime \prime } ( u ) | \cdot \delta \leq \frac { \varepsilon r ^ { 2 } } { 2 \delta } + \frac { 1 } { 2 } | g ^ { \prime \prime } ( u ) | \cdot \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta \! = \! i ) \underset { y ^ { t } \in \cup _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i , n ) } } { \sum V _ { i } ( y ^ { t } ) } \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } \! = \! y ^ { t } \mid \theta = i ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta \! = \! i ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \underset { y ^ { t } \in \mathcal { Y } _ { \epsilon } ^ { ( i , n ) } } { \sum V _ { i } } ( y ^ { t } ) \operatorname* { P r } ( Y ^ { t } \! = \! y ^ { t } \mid \theta \! = \! i ) \, . } \end{array}
\operatorname { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { B } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \mathbf { A } \mathbf { B } \right) _ { i i } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } b _ { j i } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { m } b _ { j i } a _ { i j } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \mathbf { B } \mathbf { A } \right) _ { j j } = \operatorname { t r } ( \mathbf { B } \mathbf { A } ) .
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { u } ^ { q G } \left( \Delta _ { u } ; q < 1 \right) = \frac { \sqrt { \beta ^ { q G } } } { \sqrt { 1 - q } \ { C ^ { q G } } ^ { 2 } } \left( 1 - \sqrt { ( 1 - q ) \beta ^ { q G } \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { 4 } } \right) } \\ & { \times \left( 1 - { ( 1 - q ) \beta ^ { q G } \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { 4 } } \right) ^ { \frac { 2 } { 1 - q } } B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 - q } { 1 - q } \right) } \\ & { \times \ _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { - 1 } { 1 - q } , \frac { 1 } { 2 } ; \frac { 5 - 3 q } { 2 - 2 q } ; \left( \frac { 1 - \sqrt { ( 1 - q ) \beta ^ { q G } \Delta _ { u } ^ { 2 } / 4 } } { 1 + \sqrt { ( 1 - q ) \beta ^ { q G } \Delta _ { u } ^ { 2 } / 4 } } \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\Delta _ { N } ^ { + } = \frac { \pi } { \Gamma ^ { 2 } ( 1 - \epsilon ) } \left( 2 \int _ { 0 } ^ { a } \frac { d r } { a } \left( \frac { r } { a } \right) ^ { 2 N + 1 } e ^ { 2 e \varphi } + \frac { 1 } { \epsilon - 1 } \right) \left( \frac { k a } { 2 } \right) ^ { 2 - 2 \epsilon } + O ( k a ) ^ { 4 - 4 \epsilon } ,
\left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 } ^ { j } } } \\ { { \psi _ { 2 } ^ { j } } } \end{array} \right) _ { r \to \infty } = \left( \begin{array} { c } { { i ^ { j } J _ { j } \left( \tilde { r } \right) + f _ { j } \frac { e ^ { i \tilde { r } } } { \sqrt { r } } } } \\ { { D _ { 2 } i ^ { j } J _ { j + 1 } \left( \tilde { r } \right) + \frac { 1 } { i } D _ { 2 } f _ { j } \frac { e ^ { i \tilde { r } } } { \sqrt { r } } } } \end{array} \right)
\mathrm { P S F } ( \mathbf { o _ { p } } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } u _ { i } \cdot \sigma ( | ( \mathbf { o _ { p } } - \mathbf { o _ { i } } ) \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { x } | / L ) \cdot \sigma ( | ( \mathbf { o _ { p } } - \mathbf { o _ { i } } ) \cdot \hat { \mathbf { e } } _ { y } | / L ) ,
\operatorname* { s u p } _ { x ( \cdot ) \in B ( 0 , L ) } \int _ { 0 } ^ { L } \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x ( z ) , z ) \vert ^ { 2 } \, d z = \int _ { 0 } ^ { L } \vert S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( x _ { \mathrm { i n s t } } ( z ) , z ) \vert ^ { 2 } \, d z .
\begin{array} { r } { \Gamma _ { A , B } \equiv \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } { r } \, \vert \phi _ { A , B } ^ { 1 , * } ( { r } ) \vert ^ { 2 } = \pi \vert \mathcal { A } _ { A , B } ^ { 1 , * } \vert ^ { 2 } \, , } \end{array}
S = \! \int d ^ { d } x \left\{ i \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \psi + { \frac { \lambda } { 2 N } } \left[ ( \overline { { { \psi } } } \psi ) ^ { 2 } + ( \overline { { { \psi } } } i \gamma _ { 5 } \psi ) ^ { 2 } \right] \right\} ,
J ( Z _ { u } ) \bullet _ { \hbar } J ( Z _ { v } ) = Z _ { u } \bullet _ { \hbar } ^ { z } Z _ { v } + \sum _ { i } y ^ { i } ( Z _ { \partial _ { i } u } \bullet _ { \hbar } ^ { z } Z _ { v } + Z _ { u } \bullet _ { \hbar } ^ { z } Z _ { \partial _ { i } v } ) + \cdots \; , \quad \forall u , v \in N _ { 1 } .
\frac { I _ { 1 1 } ^ { p } } { m R ^ { 2 } } = - \frac { m _ { 0 } } { m } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 3 } \left( \hat { x } _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right) \ , \quad \frac { I _ { 1 2 } ^ { p } } { m R ^ { 2 } } = - \frac { m _ { 0 } } { m } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 3 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 2 } \ ,
\begin{array} { r } { \bar { { \mathcal { H } } } = \frac { 1 } { 2 } ( P _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ^ { 2 } ) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } ) + \frac { \lambda } { 2 } ( P _ { 1 } Q _ { 2 } - P _ { 2 } Q _ { 1 } ) } \\ { + V _ { 0 } + \frac { V _ { 1 } } { 2 } Q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { V _ { 2 } } { 2 } Q _ { 2 } ^ { 2 } + U ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \, , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { y \to 0 } \left[ \phi _ { n } ^ { 1 } ( y ) \, \chi _ { n } ^ { 1 } ( y ) - \rho \, \phi _ { n } ^ { 2 } ( y ) \, \chi _ { n } ^ { 2 } ( y ) \right] = \phi _ { n } ^ { 1 } ( 0 ) \, \chi _ { n } ^ { 1 } ( 0 ) - \rho \, \phi _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \, \chi _ { n } ^ { 2 } ( 0 )
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { Q } _ { L i } } { d t } } & { = } & { i N _ { T } ( \vec { Q } _ { L i } - \vec { Q } _ { 0 } ) + N _ { H } ( \vec { Q } _ { L i } \times \vec { Q } _ { 0 } ) } \\ & { } & { + 2 N _ { D } \{ - ( \vec { Q } _ { L i } \times \vec { Q } _ { 0 } ) + i ( - ( \vec { Q } _ { L i } - \vec { Q } _ { 0 } ) + ( ( \vec { Q } _ { L i } - \vec { Q } _ { 0 } ) \vec { Q } _ { 0 } ) \vec { Q } _ { 0 } ] \} } \\ & { = } & { i N _ { T } \vec { \delta } _ { L i } + N _ { H } ( \vec { \delta } _ { L i } \times \vec { Q } _ { 0 } ) + 2 N _ { D } \{ - ( \vec { \delta } _ { L i } \times \vec { Q } _ { 0 } ) + i ( - \vec { \delta } _ { L i } + ( ( \vec { \delta } _ { L i } \vec { Q } _ { 0 } ) \vec { Q } _ { 0 } ) ] \} } \end{array}