harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\boldsymbol { u } ( t , \boldsymbol { x } ) = \left[ \begin{array} { l } { \cos ( \pi x _ { 1 } ) \sin ( \pi x _ { 2 } ) \sin ( \pi x _ { 3 } ) } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \sin ( \pi x _ { 1 } ) \cos ( \pi x _ { 2 } ) \sin ( \pi x _ { 3 } ) } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \sin ( \pi x _ { 1 } ) \sin ( \pi x _ { 2 } ) \cos ( \pi x _ { 3 } ) } \end{array} \right]
H = \sum _ { a b } v ^ { a k } v ^ { b \ell } ( \delta _ { k } ^ { i } \delta _ { \ell } ^ { j } + \delta _ { k \ell } \delta ^ { i j } - \delta _ { k } ^ { j } \delta _ { \ell } ^ { i } ) \partial _ { a i } \partial _ { b j } L \, ,
\left( 1 + \lambda _ { j , i } \Delta t _ { * } \right) C _ { j , i } ^ { * } = C _ { j , i } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ v ~ } } + \gamma { j , i } \Delta t _ { * } \sum _ { g = 1 } ^ { G } \nu _ { g , i } ^ { d } \Sigma _ { f , g , i } \phi _ { g , i } ^ { * } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { \mathrm { C C } } ( t ) } & { { } = \langle \phi _ { 0 } \vert e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle } \\ { ( f _ { \mathrm { C C } } ( t ) ) _ { \mu } } & { { } = \langle \mu \vert e ^ { - \hat { T } } \hat { H } e ^ { \hat { T } } \vert \phi _ { 0 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial \phi _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega + \int _ { \Omega _ { n } } ( \textbf { u } \cdot \nabla \phi _ { n } ) \varphi _ { i } d \Omega } & { = - \int _ { \Omega _ { n } } \nabla \varphi _ { i } \cdot \textbf { a } _ { l } d \Omega + \oint _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { a } } _ { l } \cdot \widehat { \textbf { m } } \varphi _ { i } d S , } \\ { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial \psi _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega + \int _ { \Omega _ { n } } ( \textbf { u } \cdot \nabla \psi _ { n } ) \varphi _ { i } d \Omega } & { = 0 , } \end{array}
\partial _ { t } P = \left[ \frac { \hat { W } _ { R } ( s , h ) } { \tau _ { R } } + \frac { \hat { W } _ { U } ( r ) } { \tau _ { U } } + \frac { \hat { W } _ { S } ( u ) } { \tau _ { S } } + \frac { \hat { W } _ { H } } { \tau _ { H } } \right] P \; ,
Z _ { \nu } = \int d U \sum _ { m _ { 1 } = 0 } ^ { + \infty } \sum _ { m _ { 2 } = 0 } ^ { + \infty } \cdots \sum _ { m _ { N - 1 } = 0 } ^ { + \infty } \sum _ { n _ { N } = - \infty } ^ { + \infty } \operatorname * { d e t } ( I _ { n _ { j } + i - j } ( V \Sigma m ) ) \left( \operatorname * { d e t } U \right) ^ { \nu - n _ { N } } \chi _ { ( \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } , \cdots , \ell _ { N } ) } ( U ^ { \dagger } ) ,
\begin{array} { r l } { G _ { 3 , i } ^ { \beta } ( s , t , x , v ) } & { : = \Big ( \nabla _ { x } ( \partial _ { x } ^ { \beta } p ^ { \prime } ( \varrho ) ) ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot e _ { i } \Big ) \nabla _ { v } f ( t , x , v ) , } \\ { G _ { 4 , i } ^ { K , \beta } ( s , t , x , v ) } & { : = \Big ( \nabla _ { x } ( \partial _ { x } ^ { \overline { { K } } ^ { i } - \beta } \mathrm { J } _ { \varepsilon } \varrho ) ( s , x - ( t - s ) v ) \cdot \nabla _ { v } f ( t , x , v ) \Big ) e _ { i } , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { i \frac { d \psi _ { 1 } } { d t } } \\ { i \frac { d \psi _ { 2 } } { d t } } \\ { i \frac { d \psi _ { 3 } } { d t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { v _ { 1 } t + E _ { 1 } } & { \Delta _ { 1 2 } / 2 } & { \Delta _ { 1 3 } / 2 } \\ { \Delta _ { 1 2 } / 2 } & { v _ { 2 } t + E _ { 2 } } & { \Delta _ { 2 3 } / 2 } \\ { \Delta _ { 1 3 } / 2 } & { \Delta _ { 2 3 } / 2 } & { v _ { 3 } t + E _ { 3 } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \\ { \psi _ { 3 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { C _ { P , P } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) } & { { } = \left\langle \Psi _ { a } \left| \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 1 } ) \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t _ { 2 } ) \right| \Psi _ { a } \right\rangle } \end{array}
\nabla ^ { 2 } f = { \frac { \partial } { \partial \xi ^ { j } } } \left( { \frac { \partial f } { \partial \xi ^ { k } } } g ^ { k j } \right) + { \frac { \partial f } { \partial \xi ^ { j } } } g ^ { j m } \Gamma _ { m n } ^ { n } = 0 ,
\begin{array} { r } { L ^ { \textsc { C l i p } } ( \theta ) = \mathbb { E } _ { \tau \sim \pi _ { \theta } } \Bigg [ \sum _ { { t = t _ { 0 } } } ^ { T } \mathrm { m i n } \big \lbrace r _ { t } ( \theta ) A ^ { \pi _ { \theta } } ( s _ { t } , a _ { t } ) ; } \\ { \mathrm { c l i p } ( r _ { t } ( \tau ) , 1 - \epsilon , 1 + \epsilon ) A ^ { \pi _ { \theta } } ( s _ { t } , a _ { t } ) \big \rbrace \Bigg ] ~ , } \end{array}
T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } = - T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ N ~ } } + T _ { 2 1 } ^ { \mathrm { ~ O ~ F ~ F ~ } } + 1 - e ^ { j \varphi }
\begin{array} { r } { \mathrm { i } \hbar \frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { d } t } G _ { \mathbf { p } \alpha } ^ { \gtrless } ( t ) = I _ { \mathbf { p } \alpha } ( t ) + I _ { \mathbf { p } \alpha } ^ { \dagger } ( t ) , \qquad I _ { \mathbf { p } \alpha } ( t ) = \pm \mathrm { i } \hbar Z _ { \alpha } \sum _ { \mathbf { k q } , \beta } Z _ { \beta } w _ { \mathbf { q } } ( t ) \, \mathcal { G } _ { \mathbf { k p q } } ^ { \beta \alpha } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { r } } & { { } = m { \ddot { r } } - m r { \dot { \varphi } } ^ { 2 } } \\ { F _ { \varphi } } & { { } = m r { \ddot { \varphi } } + 2 m { \dot { r } } { \dot { \varphi } } \ . } \end{array}
\| \Phi _ { \theta } - \theta - t \mu ( \Phi _ { r } ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq C ( u _ { * } ) t \sqrt { \| \frac { 1 } { r } u _ { r } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { \theta } - \mu \| _ { L ^ { 2 } } } .
\langle A + | A - \rangle \; = \; \operatorname * { d e t } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \, \langle v _ { + } ( \lambda ) | v _ { - } ( \lambda ^ { \prime } ) \rangle \; \; , \; \; \langle \pm | A \pm \rangle \; = \; \operatorname * { d e t } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \, \langle v _ { \pm } ^ { 0 } ( \lambda ) | v _ { \pm } ( \lambda ^ { \prime } ) \rangle \; ,
\mathbb { C } _ { [ \alpha \beta ] } ( a _ { [ \alpha \beta ] \gamma } ) \equiv \bigl [ \mathbb { G } _ { \alpha } , \mathbb { G } _ { \beta } \bigr ] - \sum _ { \gamma = 1 } ^ { N _ { g } } a _ { [ \alpha \beta ] \gamma } \mathbb { G } _ { \gamma } \, ,
\begin{array} { r } { \mathcal { N } ^ { - 1 } = \mathcal { Z } ^ { ( F ) } [ \boldsymbol { F } ] \equiv \int \! \! \mathscr { D } [ \boldsymbol { F } ] \exp ( - \beta _ { F } \Sigma [ \boldsymbol { F } ] ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { R _ { \mathrm { { Z F } } } } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { { \log } _ { 2 } } \left( { 1 + \frac { { { p _ { k } } { { \left| { { \bf { h } } _ { k } ^ { H } { { \bf { w } } _ { k } } } \right| } ^ { 2 } } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } \right) } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } { { { \log } _ { 2 } } \left( { 1 + \frac { { { p _ { k } } \rho _ { r , k } ^ { ^ 2 } \rho _ { g } ^ { ^ 2 } { { \left| { { \bf { \tilde { h } } } _ { k } ^ { H } { { \bf { w } } _ { k } } } \right| } ^ { 2 } } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } \right) } , } \end{array}
\tilde { S } _ { 2 } [ \delta b _ { i } ] = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } g _ { o } ^ { 2 } \alpha ^ { \, \prime \, \frac { p + 1 } { 2 } } } \int \frac { d ^ { p + 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { p + 1 } } \; \frac { k _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 } \delta b _ { i } ( - k ) \delta b ^ { i } ( k )
\frac { 2 v ^ { \prime } } { v ^ { 3 } } = 2 ( \Delta ^ { - 1 } ) + O ( 1 ) , \quad W _ { \pm } \left( \frac { 2 a r } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \right) = O ( \Delta ^ { 1 / 2 } ) , \quad W _ { \pm } \left( \frac { v ^ { \prime } } { v ^ { 2 } } \right) = O ( \Delta ^ { - 1 } ) , \quad v ^ { 2 } W _ { \pm } \left( \frac { V _ { 1 } } { v ^ { 2 } } \right) = O ( \Delta ^ { 3 / 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \! \left( Y _ { E } > \zeta _ { 1 } ( n , y ) \log n \mid X _ { E } > \log n \right) } \\ & { \underset { n \to \infty } { \sim } \frac { \exp \left\lbrace \frac { 2 \rho ^ { 2 } - \rho \left( \sqrt { \zeta _ { 1 } } + 1 / \sqrt { \zeta _ { 1 } } \right) } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \log \left( 4 \pi \log n \right) + \frac { 1 - \rho / \sqrt { \zeta _ { 1 } } } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \log \zeta _ { 1 } + ( 1 - \kappa ( \zeta _ { 1 } , 1 ) ) \log n \right\rbrace } { { ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } ^ { - 3 / 2 } ( \sqrt { \zeta _ { 1 } } - \rho ) ( 1 - \rho \sqrt { \zeta _ { 1 } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { H } } & { { } = } & { \sum _ { i } \left[ \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } - \sum _ { A } \frac { Z _ { A } } { | \vec { r } _ { i } - \vec { R } _ { A } | } \right] + \sum _ { i > j } \frac { 1 } { | \vec { r } _ { i } - \vec { r } _ { j } | } + } \\ { V _ { \textsc { C A P } } } & { { } = } & { - i \sum _ { \alpha i } b _ { \alpha } \, \theta ( r _ { i } - R _ { \alpha } ) \, ( r _ { i } - R _ { \alpha } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { E M D } ^ { ( \beta , R ) } ( \mathcal { E } , \mathcal { E } ^ { \prime } ) = \operatorname* { m i n } _ { \pi _ { i j } \geq 0 } \left[ \frac { 1 } { \beta R ^ { \beta } } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \pi _ { i j } \, d _ { i j } ^ { \beta } \right] + | \Delta E _ { \mathrm { t o t } } | , } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \pi _ { i j } \leq E _ { j } ^ { \prime } , \quad \sum _ { j = 1 } ^ { N } \pi _ { i j } \leq E _ { i } , \quad \sum _ { j = 1 } ^ { N } \pi _ { i j } = \operatorname* { m i n } ( E _ { \mathrm { t o t } } , E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \omega ] = \frac { ( \sqrt { \eta } - 1 / \sqrt { \eta } ) ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \bar { S } _ { q q } ^ { 0 } [ \omega ] } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } [ \omega ] = \frac { \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { ( \sqrt { \eta } - 1 / \sqrt { \eta } ) ^ { 2 } } \bar { S } _ { p p } ^ { 0 } [ \omega ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { 2 } ( \rho , \phi , t ) = \frac { N } { b } \left( \frac { \rho } { b \rho _ { H } } \right) ^ { | l | } \mathcal { L } _ { n } ^ { | l | } \left[ \frac { 2 \rho ^ { 2 } } { b ^ { 2 } \rho _ { H } ^ { 2 } } \right] \exp \left[ - \frac { \rho ^ { 2 } } { b ^ { 2 } \rho _ { H } ^ { 2 } } \right] \times } \\ & { \exp \left[ - i l \omega _ { 0 } t + i l \phi + { \frac { i m } { 2 } \frac { \dot { b } } { b } \rho ^ { 2 } } - i ( \varepsilon _ { \perp } - \omega _ { 0 } l ) \int \frac { d t } { b ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { a } ( h ) } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i \langle h , \xi \rangle } \frac { \cos ( a | \xi | ) } { | \xi | ^ { 2 } } d \xi = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } e ^ { i r \langle h , \gamma \rangle } \frac { \cos ( a r ) } { r ^ { 2 } } r ^ { 2 } \sin \theta d \theta d \phi d r } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \cos ( a r ) \int _ { S ( 0 , 1 ) } e ^ { i r | h | \langle \gamma , \gamma _ { h } \rangle } d \Omega d r } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { l ; i } d X _ { r } ^ { l ; j } - \int _ { s } ^ { t } X _ { s , r } ^ { m ; i } d X _ { r } ^ { m ; j } \right) ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \mathbb { E } \left( ( X _ { s , t } ^ { l ; i } - X _ { s , t } ^ { m ; i } ) ( X _ { s , t } ^ { l ; i } + X _ { s , t } ^ { m ; i } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \preceq \mathbb { E } ( X _ { s , t } ^ { l ; i } - X _ { s , t } ^ { m ; i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } ( X _ { s , t } ^ { l ; i } + X _ { s , t } ^ { m ; i } ) ^ { 2 } } \\ & { \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \rho ^ { \prime } - v a r ; [ s , t ] ^ { 2 } } { \left\lVert { R _ { X } } \right\rVert } _ { \rho - v a r ; [ s , t ] \times [ s , t ] } } \\ & { \preceq { \left\lVert { R _ { X ^ { l } - X ^ { m } } } \right\rVert } _ { \infty ; [ 0 , 1 ] ^ { 2 } } ^ { \frac { \rho ^ { \prime } - \rho } { \rho ^ { \prime } } } \left| t - s \right| ^ { \frac { 2 } { \rho ^ { \prime } } } . } \end{array}
f ^ { \gamma ( P ^ { 2 } ) } ( x , Q ^ { 2 } = \tilde { P } ^ { 2 } ) = f _ { \mathrm { { h a d } } } ^ { \gamma ( P ^ { 2 } ) } ( x , \tilde { P } ^ { 2 } ) = \eta ( P ^ { 2 } ) f _ { \mathrm { h a d } } ^ { \gamma } ( x , \tilde { P } ^ { 2 } )
\phi ( \mathbf { x } , 0 ) = \frac { ( x - x _ { c } ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { ( y - y _ { c } ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { ( z - z _ { c } ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - 1 \quad ,
V _ { t + 1 } ( N _ { i , j } ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f } } \, \, U _ { t + 1 } ( N _ { i , j } ) > 3 } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f } } \, \, U _ { t + 1 } ( N _ { i , j } ) < 0 } \\ { V _ { t } ( N _ { i , j } ) } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } , } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l } { x _ { i } ^ { j + 1 } } & { { } = x _ { i } ^ { j } + \Delta t c ( x _ { i } ^ { j } ) \tilde { V } \left( \frac { L } { x _ { i + 1 } ^ { j } - x _ { i } ^ { j } } , \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { n } } \frac { \partial \psi _ { n } } { \partial t } \varphi _ { i } d \Omega } & { { } + \int _ { \Omega _ { n } } ( \textbf { u } _ { n } \cdot \nabla \psi _ { n } ) \varphi _ { i } d \Omega - \int _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { m } } \cdot \widetilde { ( \textbf { u } _ { n } \psi _ { n } ) } \varphi _ { i } d S + \int _ { \partial \Omega _ { n } } \widehat { \textbf { m } } \cdot \widehat { ( \textbf { u } _ { n } \psi _ { n } ) } \varphi _ { i } d S = 0 ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { b < } ^ { b > } ( k _ { 0 } ) } & { { } = - d _ { i } \sum _ { | \textit { \textbf { k } } | \leq k _ { 0 } } \sum _ { | \textit { \textbf { p } } | > k _ { 0 } } \Im \left[ \left( \textit { \textbf { p } } \cdot \textit { \textbf { j } } _ { \textit { \textbf { q } } } \right) \left( \textit { \textbf { b } } _ { \textit { \textbf { p } } } \cdot \textit { \textbf { b } } _ { \textit { \textbf { k } } } \right) \right] , } \\ { \Pi _ { b < } ^ { j < } ( k _ { 0 } ) } & { { } = d _ { i } \sum _ { | \textit { \textbf { k } } | \leq k _ { 0 } } \sum _ { | \textit { \textbf { p } } | \leq k _ { 0 } } \Im \left[ \left( \textit { \textbf { p } } \cdot \textit { \textbf { b } } _ { \textit { \textbf { q } } } \right) \left( \textit { \textbf { j } } _ { \textit { \textbf { p } } } \cdot \textit { \textbf { b } } _ { \textit { \textbf { k } } } \right) \right] , } \\ { \Pi _ { b < } ^ { j > } ( k _ { 0 } ) } & { { } = d _ { i } \sum _ { | \textit { \textbf { k } } | \leq k _ { 0 } } \sum _ { | \textit { \textbf { p } } | > k _ { 0 } } \Im \left[ \left( \textit { \textbf { p } } \cdot \textit { \textbf { b } } _ { \textit { \textbf { q } } } \right) \left( \textit { \textbf { j } } _ { \textit { \textbf { p } } } \cdot \textit { \textbf { b } } _ { \textit { \textbf { k } } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { x } [ \rho _ { L } ] } & { { } \approx - \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } p _ { L } ^ { 6 } } { 4 p _ { F } ^ { 6 } } \biggr ( J _ { \textnormal { i d } , \textnormal { i d } } ( L ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } J _ { \sigma _ { j } , \sigma _ { j } } ( L ) - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \bigr ( J _ { \textnormal { i d } , \sigma _ { j } } ( L ) + J _ { \sigma _ { j } , \textnormal { i d } } ( L ) \bigr ) \biggr ) } \end{array}
I _ { \mathrm { R a m a n } } ( \omega _ { s } ) \propto \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - j ( \omega _ { I } - \omega _ { s } ) t } \iint _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! \! \! d x _ { 0 } d p _ { 0 } \left( \widehat { \rho } \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) \right) _ { W } [ x _ { 0 } , p _ { 0 } ] \left( \left( \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) \right) ( t ) \right) _ { W } [ x _ { 0 } , p _ { 0 } ] \; d t ,
\begin{array} { r l r } { { \hat { \sigma } } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \frac { \cos ^ { 2 } ( k z ) \, s _ { 2 } } { 2 s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) + 4 s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { 1 } ) } \, , } \\ { { \hat { \sigma } } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { \frac { \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) \, s _ { 1 } } { 2 s _ { 1 } \cos ^ { 2 } ( k z + \Delta \phi ) + 4 s _ { 2 } \cos ^ { 2 } ( k z ) } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { 2 } ) } \, , } \end{array}
\frac { 1 } { N } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } f ( k _ { j } ^ { \mathrm { v a c } } ) \Big ( \int _ { - a } ^ { k _ { j } ^ { \mathrm { v a c } } } 2 \pi \varrho _ { \mathsf { s } , N } ( w ^ { \prime } ) \mathrm { d } w ^ { \prime } - a \Big ) \to \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } w f ( w ) \varrho _ { \mathsf { s } } ( w ) \Big ( \int _ { - a } ^ { w } 2 \pi \varrho _ { \mathsf { s } } ( w ^ { \prime } ) \mathrm { d } w ^ { \prime } - a \Big )
| 0 \rangle = \Psi _ { \frac { \beta } { 2 } } ^ { \dagger } | - \beta \rangle = \Psi _ { \frac { \beta } { 2 } } ^ { \dagger } \Psi _ { \frac { 3 \beta } { 2 } } ^ { \dagger } \cdot \cdot \cdot | - \infty \rangle = \prod _ { i = 0 } ^ { \infty } \Psi _ { - m _ { i } ^ { 0 } } ^ { + } | - \infty \rangle
\begin{array} { r } { \overline { { \mathbf { U } } } _ { i j } ^ { \Delta t } \cdot \mathbf { n } _ { 1 } > ( \widehat { \omega } _ { 1 } - \lambda ) \left[ \frac { \lambda _ { 1 } } { \lambda } \left( { \bf \Pi } _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } \right) \cdot \mathbf { n } _ { 1 } + \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda } \left( { \bf \Pi } _ { i , j - \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } + { \bf \Pi } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } \right) \cdot \mathbf { n } _ { 1 } \right] > 0 , } \end{array}
\left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \mathbf { r } ^ { 2 } } } + V ( \mathbf { r } ) + { \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } a _ { s } } { m } } \vert \psi ( \mathbf { r } ) \vert ^ { 2 } \right) \psi ( \mathbf { r } ) = \mu \psi ( \mathbf { r } ) ,
\sinh ^ { - 1 } x = { \cfrac { x } { 1 + { \cfrac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 - x ^ { 2 } + { \cfrac { 2 \cdot 3 ( 3 x ) ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 - ( 3 x ) ^ { 2 } + { \cfrac { 4 \cdot 5 ( 5 x ^ { 2 } ) } { 6 \cdot 7 - ( 5 x ^ { 2 } ) + \ddots } } } } } } } }
\frac { \partial f _ { i } } { \partial t } + \textbf { v } \cdot \frac { \partial f _ { i } } { \partial \textbf { r } } - \frac { q _ { i } } { m _ { i } } ( \textbf { E } + { \textbf { v } \times \textbf { B } } ) \cdot \frac { \partial f _ { i } } { \partial \textbf { v } } = \frac { \partial f _ { i } } { \partial t } | _ { \mathrm { i , i ; ~ i , e } } ,
\mathbf { r } ( 0 ) + \left( { \frac { s ^ { 2 } \kappa ( 0 ) } { 2 } } + { \frac { s ^ { 3 } \kappa ^ { \prime } ( 0 ) } { 6 } } \right) \mathbf { N } ( 0 ) + \left( { \frac { s ^ { 3 } \kappa ( 0 ) \tau ( 0 ) } { 6 } } \right) \mathbf { B } ( 0 ) + o ( s ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { g ^ { ( 2 ) } ( \tau ) } & { = \frac { | t _ { \omega } ^ { 2 } + \eta ^ { 4 } e ^ { 4 i \beta } T ( \omega , \tau ) | ^ { 2 } } { | t _ { \omega } ^ { 2 } | ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { | ( R + i q \eta ^ { - 2 } e ^ { - 2 i \beta } ) ^ { 2 } \bar { t } _ { \omega } ^ { 2 } + T ( \omega , \tau ) | ^ { 2 } } { | ( R + i q \eta ^ { - 2 } e ^ { - 2 i \beta } ) ^ { 2 } \bar { t } _ { \omega } ^ { 2 } | ^ { 2 } } , } \end{array}
\int x ^ { m } \operatorname { a r s e c h } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \operatorname { a r s e c h } ( a x ) } { m + 1 } } + { \frac { 1 } { m + 1 } } \int { \frac { x ^ { m } } { ( 1 + a x ) { \sqrt { \frac { 1 - a x } { 1 + a x } } } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\varepsilon u = ( - \frac { \partial ^ { 2 } } { 2 m } + g \partial _ { 3 } a \sigma _ { 3 } ) u \quad \left( \ \varepsilon v = ( - \frac { \partial ^ { 2 } } { 2 m } - g \partial _ { 3 } a \sigma _ { 3 } ) v \ \right)
\widehat { L } ( \lambda ) = \frac { 1 } { \sin \gamma } \left( \begin{array} { c c } { { \sinh [ \gamma ( \lambda + \mathrm { i } S ^ { 3 } ) ] } } & { { \mathrm { i } \, S ^ { - } \sin \gamma } } \\ { { \mathrm { i } \, S ^ { + } \sin \gamma } } & { { \sinh [ \gamma ( \lambda - \mathrm { i } S ^ { 3 } ) ] } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { D } ( \varphi , x , \xi ) } & { : = \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } \in S } D _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( \xi ) \overline { { v } } _ { j _ { 1 } } ( \varphi , x ) \overline { { v } } _ { j _ { 2 } } ( \varphi , x ) , } \\ { D _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( \xi ) } & { : = \frac { 9 } { \pi ^ { 2 } } \left( \xi + \frac { j _ { 2 } - j _ { 1 } } { 2 } \right) H _ { 3 , j _ { 2 } , \xi - \frac { j _ { 1 } + j _ { 2 } } 2 , - ( \xi + \frac { j _ { 2 } - j _ { 1 } } 2 ) } H _ { 3 , j _ { 1 } , \xi + \frac { j _ { 2 } - j _ { 1 } } 2 , - ( \xi + \frac { j _ { 1 } + j _ { 2 } } 2 ) } } \\ & { \times \left( \frac { 1 } { \lambda _ { \alpha } ( j _ { 1 } ) + \lambda _ { \alpha } ( \xi + \frac { j _ { 2 } - j _ { 1 } } 2 ) - \lambda _ { \alpha } ( \xi + \frac { j _ { 1 } + j _ { 2 } } 2 ) ) } - \frac { 1 } { \lambda _ { \alpha } ( j _ { 2 } ) + \lambda _ { \alpha } ( \xi - \frac { j _ { 1 } + j _ { 2 } } 2 ) - \lambda _ { \alpha } ( \xi + \frac { j _ { 2 } - j _ { 1 } } 2 ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ^ { a \circ } } & { : = \{ ( x ^ { \prime } , \alpha ) \in ( K ^ { + } \setminus \ell ( K ^ { + } ) ) \times \mathbb { R } _ { + } \mid \forall \, y \in \mathrm { i c o r } \, K : \; x ^ { \prime } ( y ) - \alpha \psi ( y ) > 0 \} , } \\ { K ^ { a \# } } & { : = \{ ( x ^ { \prime } , \alpha ) \in K ^ { \# } \times \mathbb { R } _ { + } \mid \forall \, y \in K \setminus \{ 0 \} : \; x ^ { \prime } ( y ) - \alpha \psi ( y ) > 0 \} , } \\ { K ^ { a \& } } & { : = \{ ( x ^ { \prime } , \alpha ) \in K ^ { \& } \times \mathbb { R } _ { + } \mid \forall \, y \in K \setminus \ell ( K ) : \; x ^ { \prime } ( y ) - \alpha \psi ( y ) > 0 \} . } \end{array}
( E _ { \widetilde { \gamma } } ) \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \Omega ( t , \theta , \varphi ) + U ( t , \theta , \varphi ) \cdot \nabla \big ( \Omega ( t , \theta , \varphi ) - 2 \widetilde { \gamma } \cos ( \theta ) \big ) = 0 , } \\ { U ( t , \theta , \varphi ) = \nabla ^ { \perp } \Psi ( t , \theta , \varphi ) , } \\ { \Delta \Psi ( t , \theta , \varphi ) = \Omega ( t , \theta , \varphi ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( x , + 1 ) = f _ { 2 } ( x , - 1 ) } & { = \frac { \lambda _ { r } } { 7 } \left( \frac { 1 } { \Gamma ( 5 / 4 ) } - 4 x ^ { 7 } \textnormal { s i g n } ( x ) \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \Gamma ( 3 / 4 ) } { \Gamma ( 1 / 4 ) } - x ^ { 2 } \right) } \\ & { \quad + \frac { \lambda _ { r } ^ { 2 } } { 8 } \left( \frac { 1 } { 4 } - x ^ { 4 } \right) . } \end{array}
\frac { \mathcal { Q } [ \{ e ^ { \tau D _ { 1 } } u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , \{ e ^ { \tau D _ { 2 } } v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ e ^ { \tau D _ { 3 } } w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ] } { | \operatorname* { d e t } \{ e ^ { \tau D _ { 1 } } u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } | ^ { \frac { s } { d _ { 1 } } } | \operatorname* { d e t } \{ e ^ { \tau D _ { 2 } } v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } | ^ { \frac { s } { k } } | \operatorname* { d e t } \{ e ^ { \tau D _ { 3 } } w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } | ^ { \frac { s } { d } } } \rightarrow 0
f ( x , t ) = 4 \tan ^ { - 1 } \left[ \frac { v \sinh ( \frac { \mu ( x - x _ { 0 } ) } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } } } ) } { \cosh ( \frac { ( \mu v ( t - t _ { 0 } ) ) } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } } } ) } \right] ,
\begin{array} { r l r } { { \hat { \boldsymbol D } } ( \boldsymbol r , t ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } \boldsymbol r ^ { \prime } \frac { \boldsymbol f ( \boldsymbol r ^ { \prime } , t - \left| \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } \right| / c ) } { \left| \boldsymbol r - \boldsymbol r ^ { \prime } \right| } , } \end{array}