harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \omega _ { p q } ^ { \prime } } & { { } = 1 / \varphi ( \eta _ { p } - \eta _ { q } ) , } \\ { \omega _ { p q } ^ { \prime \prime } } & { { } = 1 / \varphi ( \zeta _ { p } - \zeta _ { q } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \mathrm { h } } ( t ) } & { { } + \mathrm { i } \, \Omega ^ { - 1 } { \dot { x } } _ { \mathrm { h } } ( t ) = \exp [ - \mathrm { i } \Omega ( t - t _ { 0 } ) ] } \end{array}
k _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { { e } } \\ { { p } } \end{array} \right) \; \; \; k _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { { e } } \\ { { - p } } \end{array} \right) \; \; \; k _ { 3 } = \left( \begin{array} { c } { { - e } } \\ { { - p } } \end{array} \right) \; \; \; k _ { 4 } = \left( \begin{array} { c } { { - e } } \\ { { p } } \end{array} \right) .
G _ { a } ^ { j } ( { \bf b } ; t , z ) = { \frac { 1 } { 4 \pi X _ { A } P _ { \! A } ^ { + } } } \, \langle P _ { \! A } ^ { \prime } | T \left\{ { \cal A } ( { \bf b } ) \, F _ { a } ^ { + j } ( 0 , 0 , { \bf 0 } ) \right\} | P _ { \! A } \rangle \, .
\begin{array} { r } { \bar { m } _ { 3 1 } = m _ { 3 1 } \alpha _ { 2 1 } - m _ { 2 1 } \alpha _ { 3 2 } , ~ \bar { n } _ { 3 1 } = n _ { 3 1 } \alpha _ { 2 1 } - n _ { 2 1 } \alpha _ { 3 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { 2 } S _ { n } = } & { - \frac { \hbar ^ { 2 } \tau _ { n } } { \mu } ( { \bf P } - P _ { x } \hat { x } ) ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } } { \partial P _ { n } ^ { 2 } } \bar { P } ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } { \partial t _ { n } ^ { 2 } } \delta t ^ { 2 } } \\ & { + 2 \delta \tau \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } { \partial \tau _ { n } \partial t _ { n } } \delta t + \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } { \partial \tau _ { n } ^ { 2 } } \delta \tau ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \widehat { \gamma } _ { t + \varepsilon } ^ { 1 } , \ldots , \widehat { \gamma } _ { t + \varepsilon } ^ { h } \right] } & { { } \simeq \mathbf { g } ^ { - 1 } \left( \mathbf { g } _ { \mathcal { M } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) \right) } \end{array}
y ^ { 2 } = \prod _ { a = 1 } ^ { N _ { c } } ( x - \phi _ { a } ) ^ { 2 } + 4 h ( h + 1 ) \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } ( x - m _ { i } - 2 m _ { S } h ) , ~ ~ ~ N _ { f } = 2 N _ { c }
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad } & { \zeta } & { \in \Gamma _ { 1 } \cup \Gamma _ { 5 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { \zeta } & { \in \Gamma _ { 2 } \cup \Gamma _ { 6 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { \zeta } & { \in \Gamma _ { 3 } \cup \Gamma _ { 7 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { \zeta } & { \in \Gamma _ { 4 } \cup \Gamma _ { 8 } . } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \lambda _ { 0 } ; { \boldsymbol { \lambda } } } \left\{ \sum _ { j = 0 } ^ { n } \lambda _ { j } a _ { j } - \int \exp \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } \lambda _ { j } f _ { j } ( x ) \right) d x \right\} \quad \mathrm { s u b j e c t \; t o : \; \; } { \boldsymbol { \lambda } } \geq \mathbf { 0 }
\ddot { \tilde { x } } - 2 \omega \dot { \tilde { y } } - \omega ^ { 2 } \tilde { x } = - \frac { \mu _ { 1 } ( \tilde { x } + r _ { 1 } ) } { ( ( \tilde { x } + r _ { 1 } ) ^ { 2 } + { \tilde { y } } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } - \frac { \mu _ { 2 } ( \tilde { x } - r _ { 2 } ) } { ( ( \tilde { x } - r _ { 2 } ) ^ { 2 } + { \tilde { y } } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } ,
n _ { j } = \frac { n _ { 1 } } { \sqrt { 1 + \left( \frac { \omega _ { c } ^ { ( 1 ) } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left( \left( \frac { L _ { x } ^ { ( j ) } } { L _ { x } ^ { ( 1 ) } } \right) ^ { 2 } - 1 \right) } }
\begin{array} { r } { \nabla _ { v } f ( t , x , v ) = e ^ { d ( t - s ) } \nabla _ { v } f ( s , \mathrm { Z } ^ { s ; t } ( x , v ) ) + \int _ { s } ^ { t } e ^ { d ( t - \tau ) } \left( \nabla _ { v } f ( \tau , \mathrm { Z } ^ { \tau ; t } ( x , v ) ) - \nabla _ { x } f ( \tau , \mathrm { Z } ^ { \tau ; t } ( x , v ) ) \right) \, \mathrm { d } \tau , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { ( 6 , 4 , 0 ) } ( z , q ) } & { = S _ { 1 3 } ( ( - 1 , 0 , 0 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) - S _ { 1 3 } ( ( 0 , 0 , 1 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) + q S _ { 1 3 } ( ( 0 , 1 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) } \\ & { + ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 0 ) | ( 0 , 1 , 1 ) ) - q ( 1 - z ) S _ { 1 3 } ( ( 1 , 0 , 1 ) | ( 1 , 1 , 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { s i n } ( n , m ) } & { { } = } & { \frac { 4 n \pi } { ( m + 2 ) T ^ { 2 } } \bigg [ { } _ { p } F _ { q } \bigg ( \frac { m + 2 } { 2 } ; \frac { 3 } { 2 } , \frac { m + 4 } { 2 } ; - \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } t _ { 2 } ^ { 2 } } { T ^ { 2 } } \bigg ) t _ { 2 } ^ { m + 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ \tilde { J } _ { t , m } : m \in [ \tilde { M } _ { t } ] \} ^ { c } } \\ & { } & { \cap ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + ( t - 1 \slash 2 ) L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } + t L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ] \cap \mathbb { N } ^ { * } , } \end{array}
N _ { 0 } ^ { e } ( \xi ) = \frac { \xi ^ { e + 1 } - \xi } { \xi ^ { e + 1 } - \xi ^ { e } } \, , \quad N _ { 1 } ^ { e } ( \xi ) = \frac { \xi - \xi ^ { e } } { \xi ^ { e + 1 } - \xi ^ { e } } \, , \quad N _ { 0 , \xi } ^ { e } ( \xi ) = \frac { - 1 } { \xi ^ { e + 1 } - \xi ^ { e } } \, , \quad N _ { 1 , \xi } ^ { e } ( \xi ) = \frac { 1 } { \xi ^ { e + 1 } - \xi ^ { e } } \, .
\begin{array} { r l } { B _ { \mathrm { s , e f f } } } & { { } = B _ { y } \cos \theta - B _ { x } \sin \theta , } \\ { B _ { \mathrm { g , e f f } } } & { { } = B _ { y } \sin \theta + B _ { x } \cos \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \mathrm { l . h . s . ~ o f ~ } = \int d \hat { \ensuremath { \mathbb P } } ( \hat { \omega } ) \exp \big \{ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \hat { \omega } ( A _ { i } ) ( \ln \mu [ e ^ { - g _ { i } } ] - \delta ) \big \} \, , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } \mathrm { r . h . s . ~ o f ~ } = \int d \hat { \ensuremath { \mathbb P } } ( \hat { \omega } ) \exp \big \{ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \hat { \omega } ( A _ { i } ) \{ \ln \mu [ e ^ { - g _ { i } } ] + \delta \} _ { - } \big \} \, . } \end{array}
\sigma _ { - , s } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \frac { \partial \phi _ { - , s } } { \partial x } = \sigma _ { + , s } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \frac { \partial \phi _ { + , s } } { \partial x } = 0 \qquad x = 0
\begin{array} { r l } { \partial _ { w } \ensuremath { \mathcal { N } } ^ { r } ( x , t ) = } & { \int _ { M } \left\{ ( \partial _ { w } b ) H \phi ^ { r } + b ( \partial _ { w } H ) \phi ^ { r } \right\} d V _ { 0 } } \\ { = } & { \int _ { M } \left\{ - ( \partial _ { w } H ) \phi ^ { r } + b ( \partial _ { w } H ) \phi ^ { r } \right\} d V _ { 0 } = : I + I I , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos \theta _ { 1 3 } = } & { \frac { \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 3 } ^ { 2 } - \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 3 } \sigma _ { 1 3 } } } \\ { \cos \theta _ { 1 2 } = } & { \frac { \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } - \sigma _ { 1 3 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 2 } \sigma _ { 2 3 } } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } V } { \mathrm { d } t } } & { { } = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \Delta V \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \sqrt { 1 - 4 \rho } ( V - V _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) ^ { 2 } + } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \frac { | \xi - s | } { s _ { 0 } } } & { \leq } & { \varepsilon _ { S S l } \cdot \frac { 1 } { q } \log \left( 1 + \cfrac { 1 } { q } \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \varepsilon _ { L } ; } \\ { \frac { | \xi - s | } { s _ { 0 } } } & { \leq } & { \varepsilon _ { S S l } \cdot \frac { 1 } { q } \log \left( 1 + \cfrac { 1 } { q } \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \varepsilon _ { W } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in [ - \pi , \pi ] ^ { d } } \Big ( \mathbb { E } \left\Vert \hat { f } _ { n } ( \theta ) - f ( \theta ) \right\Vert _ { \mathrm { H S } } ^ { 2 } \Big ) ^ { 1 / 2 } = \mathcal { O } \left( B _ { 1 } ( \Delta _ { n } ) + B _ { 2 } ( \Delta _ { n } ) + \frac { \Delta _ { n } ^ { d / 2 } } { \sqrt { | \mathbb T _ { n } | } } \right) , \ \mathrm { a s } \ n \to \infty . } \end{array}
- k _ { 0 } ^ { 2 } + { \vec { k } } ^ { 2 } + \omega _ { p } ^ { 2 } { \frac { \left( k _ { 0 } ^ { 2 } - \omega _ { p } ^ { 2 } \right) } { \left( k _ { 0 } ^ { 2 } - \omega _ { H } ^ { 2 } \right) } } = 0 ,
- \frac { 1 } { 4 } \operatorname * { d e t } \left( e _ { M } ^ { A } \right) e ^ { - \phi } T r \left( G _ { M N } G _ { P Q } g ^ { M N } g ^ { P Q } \right) = - \frac { e } { 4 } e _ { \stackrel { . } { 0 } } ^ { 0 } e ^ { - \phi } T r \left( G _ { a b } G _ { a b } - 2 G _ { a 0 } G _ { a 0 } \right)
\left( \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } \right) ^ { 4 / 3 } = f ^ { 2 } \left( \frac { 1 + \sigma } { b } - \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ H ~ F ~ } } \right) ^ { 4 / 3 } \eta _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { - 1 / 3 } + \frac { H ^ { * } } { c } \frac { 1 - f ^ { 3 } } { 3 \left( 1 - f \right) } \left( b \frac { R a } { R a _ { c r } } \right) ^ { 1 / 3 } ,
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { z } } & { = } & { \sigma _ { z } = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \\ { \alpha _ { x } } & { = } & { \sigma _ { x } \cos \phi + \sigma _ { y } \sin \phi = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \mathrm { e } ^ { - i \phi } } \\ { \mathrm { e } ^ { i \phi } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\left( e ^ { 2 \lambda r _ { c } } - \frac { M _ { 0 } \pi } { \lambda ^ { 2 } } \right) \left( e ^ { 2 \lambda r _ { c } } - \frac { M _ { 2 } \pi } { \lambda ^ { 2 } } \right) = \left( e ^ { 2 \lambda r _ { c } } - \frac { M _ { 1 } \pi } { \lambda ^ { 2 } } \right) \left( e ^ { 2 \lambda r _ { c } } - \frac { \tilde { M } _ { 1 } \pi } { \lambda ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { T _ { \frac { \lambda _ { a , b } } { 2 r + 1 } } ^ { * } \Phi ( p , q ) } & { = e x p ( \frac { i } { 4 } \omega ( a \mu + b \lambda , p + q \tau ) ) \Phi ( p + \frac { a } { 2 r + 1 } , q + \frac { b } { 2 r + 1 } ) } \\ & { = e x p ( i \pi ( a q - b p ) ) \Phi ( p + \frac { a } { 2 r + 1 } , q + \frac { b } { 2 r + 1 } ) , } \end{array}
[ \mathbf { M } ] = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { M } _ { \rho } } \\ { \mathbf { M } _ { e } } \\ { \mathbf { M } _ { \epsilon } } \\ { \mathbf { M } _ { J _ { x } } } \\ { \mathbf { M } _ { q _ { x } } } \\ { \mathbf { M } _ { J _ { y } } } \\ { \mathbf { M } _ { q _ { y } } } \\ { \mathbf { M } _ { p _ { x x } } } \\ { \mathbf { M } _ { p _ { x y } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 4 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } \\ { 4 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 2 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { [ c ] } & { { } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \mathbf { i } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 ( n _ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } , } \end{array} \quad \quad \begin{array} { r l } { [ c ] } & { { } \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 n _ { \operatorname* { m a x } } , } \end{array}
- t r \biggl [ \Phi _ { m n } ( \bar { y } , y ) \bar { \Gamma } _ { A } S _ { n m } ( y , \bar { y } ) \biggr ] t r \biggl [ \Gamma _ { A } \Phi _ { a b } ( x , \bar { x } ) S _ { b a } ( \bar { x } , x ) \biggr ] \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \tilde { F } _ { b } } & { = - \frac { \mathbf { Q } } { \rho _ { b } ^ { 4 } } \Big ( ( r ^ { 2 } - a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta ) d r \wedge ( d t - a \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ) \Big ) } \\ & { \quad + \frac { \mathbf { Q } r } { \rho _ { b } ^ { 4 } } \Big ( 2 a \cos \theta \sin \theta \, d \theta \wedge ( a \, d t - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d \varphi ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \alpha } } & { { } = - \left( \mathrm { i } \Delta + \frac { \kappa } { 2 } \right) \alpha - \mathrm { i } \epsilon , } \\ { \dot { q } _ { i } ^ { \mathrm { s } } } & { { } = \Omega _ { i } p _ { i } ^ { \mathrm { s } } , } \\ { \dot { p } _ { i } ^ { \mathrm { s } } } & { { } = - \Omega _ { i } q _ { i } ^ { \mathrm { s } } - \gamma _ { i } p _ { i } ^ { \mathrm { s } } - g _ { i } | \alpha | ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal { F } } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } q ( x , Q ^ { 2 } ) I \otimes I + \frac { 1 } { 2 } \delta q ( x , Q ^ { 2 } ) \sigma _ { 3 } \otimes \sigma _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { T } q ( x , Q ^ { 2 } ) ( \sigma _ { + } \otimes \sigma _ { - } \, + \, \sigma _ { - } \otimes \sigma _ { + } ) \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } ( z ) } & { = \mathbf { x _ { i } } ( z ) + \mathbf { x _ { r } } ( z ) = \left[ \mathbb { 1 } + \mathbf { S } ( z ) \right] \cdot \mathbf { x _ { i } } ( z ) , } \\ { \mathbf { y } ( z ) } & { = \frac { \mathbf { x _ { i } } ( z ) - \mathbf { x _ { r } } ( z ) } { Z _ { 0 } } = \left[ \mathbb { 1 } - \mathbf { S } ( z ) \right] \cdot \frac { \mathbf { x _ { i } } ( z ) } { Z _ { 0 } } . } \end{array}
\Phi _ { k } ( t ) = e ^ { ( \nu - 2 ) H _ { 0 } t } \left[ a _ { k } \; H _ { \beta } ^ { ( 1 ) } \left( \frac { k e ^ { - H _ { 0 } t } } { H _ { 0 } } \right) + b _ { k } \; H _ { \beta } ^ { ( 2 ) } \left( \frac { k e ^ { - H _ { 0 } t } } { H _ { 0 } } \right) \right] \; ; \; \beta = \nu - 1 \; .
\begin{array} { r } { - \mu \operatorname { d i s t } ( x _ { t + 1 } , S ) + \frac { 1 } { 2 \alpha _ { t } } \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t } , S ) \geq \left( \frac { 1 } { 2 \alpha _ { t } } - \frac { \rho } { 2 } \right) \operatorname { d i s t } ^ { 2 } ( x _ { t + 1 } , S ) + \left( \frac { 1 } { 2 \alpha _ { t } } - \frac { L _ { g } } { 2 } \right) \left\Vert x _ { t } - x _ { t + 1 } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta t } m _ { s } ^ { * } \left( p _ { j } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) - p _ { j + 1 } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) , z ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) + a _ { s } ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p _ { j } ^ { \mathcal { N } } ( \boldsymbol { \mu } ) ; \boldsymbol { \mu } \right) = - \big ( y _ { j } ^ { \mathcal { N } } - y _ { d _ { j } } , z ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \big ) _ { s } \quad \forall z ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } , } \end{array}
\psi ( \theta _ { \mathrm { i n } } ) = \frac { 2 \pi } { \lambda } \left\langle \sqrt { f ^ { 2 } + ( y - f \tan { \theta _ { \mathrm { i n } } } ) ^ { 2 } } + y \sin { \theta _ { \mathrm { i n } } } \right\rangle _ { y } \equiv \psi _ { 0 } ( \theta _ { \mathrm { i n } } ) ,
\hat { H } = - \frac { 1 } { 2 \mu R } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial R ^ { 2 } } R + \frac { \hat { l } ^ { 2 } } { 2 \mu R ^ { 2 } } + \hat { V } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } + \hat { H } _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ o ~ m ~ } } + \hat { V } _ { \mathrm { ~ m ~ d ~ d ~ } } ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \boldsymbol { U } } & { { } = 0 } \\ { \frac { \partial w } { \partial t } + \boldsymbol { U } \cdot \nabla w } & { { } = \nu \nabla ^ { 2 } w + f } \\ { w | _ { t = 0 } } & { { } = w _ { 0 } , } \end{array}
\xi \equiv \frac { 1 } { \sqrt { m _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \infty ) } } \simeq \frac { 1 } { m - m _ { c } } \frac { \lambda S _ { F } ( 0 ) } { 8 } \left. \frac { v _ { i } } { v _ { f } } \right| _ { c } ^ { 3 / 2 } .
\begin{array} { r l } { \Delta \approx } & { D _ { x } ^ { + } D _ { x } ^ { - } + D _ { y } ^ { + } D _ { y } ^ { - } + D _ { z } ^ { + } D _ { z } ^ { - } } \\ { = } & { - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { x } \Delta x ) ) ^ { 2 } } { \Delta x ^ { 2 } } - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { y } \Delta y ) ) ^ { 2 } } { \Delta y ^ { 2 } } - \frac { ( 2 \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { z } \Delta z ) ) ^ { 2 } } { \Delta z ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { m } | _ { m , 0 , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , \eta _ { 0 } } 1 , } \\ { | \mathfrak { r } | _ { m , 0 , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 7 - 4 b } , \quad | d _ { i } \mathfrak { r } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , 0 , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , \eta _ { 0 } } \varepsilon \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } , , } \\ { | \tilde { \mathfrak { q } } | _ { m , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , \quad | d _ { i } ( \tilde { \mathfrak { q } } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 2 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\widehat { V P } _ { \mathrm { s } } ^ { ( m ) } = \widehat { V P } _ { A } ^ { ( m ) } + \widehat { V P } _ { B } ^ { ( m ) } + \widehat { V P } _ { 1 \mathrm { m } } ^ { ( m ) } + \widehat { V P } _ { 1 \ell } ^ { ( m ) } + \widehat { V P } _ { 2 } ^ { ( m ) } + \widehat { V P } _ { 3 } ^ { ( m ) } + \widehat { V P } _ { 4 } ^ { ( m ) } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( \mathcal { T } ^ { \star } \cap \mathcal { T } _ { N } ^ { \prime } ) } p _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \star } ( \lambda ) \le \sum _ { \lambda \in \mathcal { V } ( \mathcal { T } ^ { \star } ) } p _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \star } ( \lambda ) \le n - | \mathcal { T } ^ { \star } | , } \end{array}
{ \begin{array} { l c l } { { \tilde { x } } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } ) = x ( 2 n _ { 1 } , 2 n _ { 2 } , 2 n _ { 3 } ) } \\ { { \tilde { x } } ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , N - n _ { 3 } - 1 ) = x ( 2 n _ { 1 } , 2 n _ { 2 } , 2 n _ { 3 } + 1 ) } \\ { { \tilde { x } } ( n _ { 1 } , N - n _ { 2 } - 1 , n _ { 3 } ) = x ( 2 n _ { 1 } , 2 n _ { 2 } + 1 , 2 n _ { 3 } ) } \\ { { \tilde { x } } ( n _ { 1 } , N - n _ { 2 } - 1 , N - n _ { 3 } - 1 ) = x ( 2 n _ { 1 } , 2 n _ { 2 } + 1 , 2 n _ { 3 } + 1 ) } \\ { { \tilde { x } } ( N - n _ { 1 } - 1 , n _ { 2 } , n _ { 3 } ) = x ( 2 n _ { 1 } + 1 , 2 n _ { 2 } , 2 n _ { 3 } ) } \\ { { \tilde { x } } ( N - n _ { 1 } - 1 , n _ { 2 } , N - n _ { 3 } - 1 ) = x ( 2 n _ { 1 } + 1 , 2 n _ { 2 } , 2 n _ { 3 } + 1 ) } \\ { { \tilde { x } } ( N - n _ { 1 } - 1 , N - n _ { 2 } - 1 , n _ { 3 } ) = x ( 2 n _ { 1 } + 1 , 2 n _ { 2 } + 1 , 2 n _ { 3 } ) } \\ { { \tilde { x } } ( N - n _ { 1 } - 1 , N - n _ { 2 } - 1 , N - n _ { 3 } - 1 ) = x ( 2 n _ { 1 } + 1 , 2 n _ { 2 } + 1 , 2 n _ { 3 } + 1 ) } \end{array} }
E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma \gamma _ { + } } ] - E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma \gamma _ { - } } ] \geq \gamma _ { + } E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] - \gamma _ { - } E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { \gamma } ] \, .
c _ { i } ( t ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega t } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } c _ { i , n } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \Omega t } , \quad V _ { i } ( t ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega t } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int _ { x _ { i } ^ { - } } ^ { x _ { i } ^ { + } } v _ { n } ( x ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } n \Omega t } .
\begin{array} { r l } { \left| \left\{ j \in { \mathbb { N } } \ ; \ J _ { k , j } = i - k \right\} \right| } & { = \left| \left\{ j \in { \mathbb { N } } \ ; \ s _ { k } ( i ) \le t _ { k } ( j ) < s _ { k } ( i + 1 ) \right\} \right| } \\ & { = \left| \left\{ j \in { \mathbb { N } } \ ; \ s _ { k } ( i ) \le \tau _ { k } ( j ) < s _ { k } ( i + 1 ) \right\} \right| } \\ & { = \zeta _ { k } ( i ) } \\ & { = \tilde { \zeta } _ { k } ( i ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { R } ^ { \dag } \left( x \right) \, \overrightarrow { \sigma } \, \Phi _ { R } \left( x \right) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { \Phi _ { r } ^ { \dag } } & { \Phi _ { r ^ { \prime } } ^ { \dag } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \overrightarrow { \sigma } \, } & { 0 } \\ { 0 } & { \overrightarrow { \sigma } \, } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \Phi _ { r } } \\ { \Phi _ { r ^ { \prime } } } \end{array} \right) } \end{array}
G = \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \mathbb { C } _ { 1 1 } - \mathbb { C } _ { 1 2 } + 3 \mathbb { C } _ { 4 4 } } { 5 } + \frac { 5 \mathbb { C } _ { 4 4 } \left( \mathbb { C } _ { 1 1 } - \mathbb { C } _ { 1 2 } \right) } { 4 \mathbb { C } _ { 4 4 } + 3 \left( \mathbb { C } _ { 1 1 } - \mathbb { C } _ { 1 2 } \right) } \right]
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ^ { ( N ) } ( t ) = } & { \mathbb { E } [ u _ { N } ( t , Z ) ] } \\ { = } & { \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ - \gamma t + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( c _ { k } Z _ { i } g _ { k } ( t ) + c _ { k } ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) d s + c _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) ^ { 2 } d s \right) \right\} \right] } \\ { = } & { \exp \left\{ - \gamma t + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( c _ { k } ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) d s + c _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) ^ { 2 } d s \right) \right\} \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } Z _ { i } g _ { k } ( t ) \right\} \right] } \\ { = } & { \exp \left\{ - \gamma t + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( \frac { c _ { k } ^ { 2 } g _ { k } ( t ) ^ { 2 } } { 2 } + c _ { k } ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) d s + c _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) ^ { 2 } d s \right) \right\} } \\ { = } & { \exp \left\{ - \gamma t + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left[ c _ { k } ^ { 2 } \left( \frac { g _ { k } ( t ) ^ { 2 } } { 2 } - \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) d s + \alpha _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) ^ { 2 } d s \right) + c _ { k } d _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) d s \right] \right\} } \\ { = } & { \exp \left\{ - \gamma t + \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } d _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } g _ { k } ( s ) d s \right\} . } \end{array}