harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
e ^ { - i \alpha N _ { o p } } \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) e ^ { i \alpha N _ { o p } } = e ^ { i \alpha } \hat { \psi } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \; \; , \; \; e ^ { - i \alpha N _ { o p } } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) e ^ { i \alpha N _ { o p } } = e ^ { - i \alpha } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r l } { \dot { x } } & { { } = - \mu _ { 1 } x + b _ { 1 } x z , } \\ { \dot { z } } & { { } = \mu _ { 2 } - x ^ { 2 } - z ^ { 2 } + b _ { 2 } z ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { z } = \frac { W _ { T } ^ { r } z + b _ { T } ^ { r } + \mu _ { c } } { 2 \sigma _ { c } } + \frac { W _ { T } ^ { p } z + b _ { T } ^ { p } + \mu _ { c } } { 2 \sigma _ { c } } = \frac { W _ { T } ^ { r } + W _ { T } ^ { p } } { 2 \sigma _ { c } } z + \frac { b _ { T } ^ { r } + b _ { T } ^ { p } - 2 \mu _ { c } } { 2 \sigma _ { c } } = \hat { W } z + \hat { b } . } \end{array}
d \phi = \bigg ( \frac { \partial \phi } { \partial t } + F _ { i j } \frac { \partial \phi } { \partial X _ { i j } } + \frac { 1 } { 2 } G _ { i j k l } G _ { p q k l } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial X _ { i j } X _ { p q } } \bigg ) d t + G _ { i j k l } \frac { \partial \phi } { \partial X _ { i j } } \; d W _ { k l }
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) } & { { } = \frac { b _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 1 - \left( \nu - \alpha \right) } } \frac { 1 + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } } { 1 + \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { \alpha + \beta } } + \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } \frac { 1 } { s ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big < k _ { 1 } \big > _ { u , \beta _ { S } } } & { { } = \frac { 3 } { 2 \beta _ { S } ( 1 - u ) } , } \\ { \frac { \big < ( \delta k _ { 1 } ) ^ { 2 } \big > _ { u , \beta _ { S } } } { \big < k _ { 1 } \big > _ { u , \beta _ { S } } ^ { 2 } } } & { { } = \frac { 2 + u } { 3 ( 1 - 2 u ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma \partial _ { \sigma } \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { e } ( b , \sigma ) \in \sigma ^ { 1 - \epsilon } L ^ { \infty } ( [ 0 , c _ { 0 } ) ; \mathcal { L } ( \mathcal { R } _ { 1 } , \widetilde { \mathcal { K } } _ { 1 } ) ) \subset \sigma ^ { \frac 3 2 - \epsilon - } H _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } ( [ 0 , c _ { 0 } ) ; \mathcal { L } ( \mathcal { R } _ { 1 } , \widetilde { \mathcal { K } } _ { 1 } ) ) , } \\ { \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { e } ( b , \sigma ) - \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { e } ( b , 0 ) \in \sigma ^ { 1 - \epsilon } L ^ { \infty } ( [ 0 , c _ { 0 } ) ; \mathcal { L } ( \mathcal { R } _ { 1 } , \widetilde { \mathcal { K } } _ { 1 } ) ) \subset \sigma ^ { \frac 3 2 - \epsilon - } H _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } ( [ 0 , c _ { 0 } ) ; \mathcal { L } ( \mathcal { R } _ { 1 } , \widetilde { \mathcal { K } } _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\epsilon _ { x } ^ { \mathrm { ~ N ~ } } = r _ { \mathrm { ~ i ~ } } \cdot \sqrt { \frac { \mathrm { ~ M ~ T ~ E ~ } _ { \mathrm { ~ i ~ } } } { \mathrm { ~ m ~ } _ { \mathrm { ~ e ~ } } \mathrm { ~ c ~ } ^ { 2 } } }
\frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } R ( x ) ^ { 2 } } \frac { d } { d x } \left[ R ( x ) ^ { 2 } \frac { d } { d x } \right] \varphi = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = \pm } q _ { i } c _ { i } ( x ) \mathrm { e } ^ { - W _ { i } ( x ) } ,
\frac { d } { d t } \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \rho ( \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } ) d V = - \Delta p A + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \mu \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } d V + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \sigma _ { 1 2 } \kappa \delta _ { \mathrm { { S } } } d V + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \rho \boldsymbol { g } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } d V .
\begin{array} { r } { J _ { a b } ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { , \; \mathrm { b o t h ~ } a \; \& \; b \mathrm { ~ e v e n ~ o r ~ o d d ~ ( ` s a m e ~ p a r i t y ' ) } } \\ { \int \mathrm { d } \tilde { x } \, \tilde { x } \, \tilde { \psi } _ { M } ( \tilde { x } ) \tilde { \psi } _ { m } ( \tilde { x } ) = \sqrt { \frac { M } { 2 } } \delta _ { m , M - 1 } } & { , \; a \; \& \; b \mathrm { ~ d i f f e r e n t ~ p a r i t y ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi \left( \boldsymbol { y } ^ { \ast } \right) } & { = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { x } } } \pi \left( \boldsymbol { y } ^ { \ast } \mid \boldsymbol { x } \right) \pi \left( \boldsymbol { x } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } } \\ { \pi \left( \boldsymbol { y } ^ { \ast } \mid \boldsymbol { y } \right) } & { = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { x } } } \pi \left( \boldsymbol { y } ^ { \ast } \mid \boldsymbol { x } \right) \pi \left( \boldsymbol { x } \mid \boldsymbol { y } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { T _ { j k } } { \bf f } \, d s = \int _ { T _ { j k } } \left[ { \bf f } ( { \bf x } _ { T } ) + \nabla { \bf f } _ { T } \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { T } ) + \frac { 1 } { 2 } ( { \bf x } - { \bf x } _ { T } ) ^ { t } \nabla ^ { 2 } { \bf f } _ { T } ( { \bf x } - { \bf x } _ { T } ) \right] d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { r } } & { = \frac { r } { R _ { 0 } } , } \\ { \hat { z } } & { = \frac { z } { L } , } \\ { \hat { v } _ { z } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) } & { = \frac { v _ { z } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) } { v _ { z } ^ { * } } , } \\ { \hat { v } _ { r } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) } & { = \frac { v _ { r } ( \hat { r } , \hat { z } , t ) } { v _ { r } ^ { * } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { + } ( G _ { i , j } ^ { + } | C _ { i , j + 1 } ^ { + } ) = \widehat { f } _ { j , n } ^ { - 1 } , \quad V a r ^ { + } ( G _ { i , j } ^ { + } | C _ { i , j + 1 } ^ { + } ) = \frac { \widehat { \sigma } _ { j , n } ^ { 2 } } { C _ { i , j + 1 } ^ { + } } , \quad j = 0 , \dots , I + n - 1 , \ i = - n , \dots , I - j - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \tilde { N } _ { S } | N \rangle = N p _ { S } , \; \langle \tilde { N } _ { B } | N \rangle = N p _ { B } , } \\ & { \sigma ^ { 2 } ( \tilde { N } _ { S } | N ) = \sigma ^ { 2 } ( \tilde { N } _ { B } | N ) = N q _ { S } q _ { B } / \delta ^ { 2 } , } \\ & { \textsf { c o v } ( \tilde { N } _ { S } , \tilde { N } _ { B } | N ) = - N q _ { S } q _ { B } / \delta ^ { 2 } \; \Longrightarrow \; \rho ( \tilde { N } _ { S } , \tilde { N } _ { B } | N ) = - 1 . } \end{array}
- { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( 6 + y \cdot \partial ) C _ { \mu \gamma } ^ { R ^ { \prime } } ( y ) = ( g _ { \mu \gamma } \partial ^ { 2 } - \partial _ { \mu } \partial _ { \gamma } ) \partial ^ { \lambda } \{ - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } y _ { \lambda } \Pi ^ { R ^ { \prime } } ( y ) \}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \| n ^ { T } w _ { t } \| < \epsilon ) } & { = \mathbb { P } ( \| n ^ { T } w _ { 0 } \| e ^ { z _ { t } + m } < \epsilon ) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { { t } } z _ { t } < \frac { 1 } { { t } } ( \log \epsilon / \| n ^ { T } w _ { 0 } \| - m ) \right) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \frac { z _ { t } } { t } < - \mathbb { E } _ { x } \log | 1 - \lambda h _ { t } | + o ( 1 ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ f _ { \theta } \left( \bar { X } _ { t } \right) \right] } & { \le f _ { \theta } ( x ) e ^ { - c _ { K } } + f _ { \theta } ( x ) e ^ { - t M } 1 _ { \bar { \cal C } _ { M } ^ { c } } ( x ) + f _ { \theta } ( x ) \exp \left( 4 t d \sigma ^ { 2 } \theta \bar { c } C _ { U , K } ( x ) - \frac { \theta t } { 6 } \left| \nabla U ( x ) \right| ^ { 2 } \right) 1 _ { \bar { \cal C } _ { M } } ( x ) } \\ & { \le f _ { \theta } ( x ) \left( e ^ { - c _ { K } } + e ^ { - t M } \right) + f _ { \theta } ( x ) \left( \exp \left( 4 t d \sigma ^ { 2 } \theta \bar { c } C _ { U , K } ( x ) - \frac { \theta t } { 6 } \left| \nabla U ( x ) \right| ^ { 2 } \right) - e ^ { - t M } \right) 1 _ { \bar { \cal C } _ { M } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta } { \delta P \left( { X } _ { i } \right) } } & { \Bigg \{ S \left( { X } _ { i } \right) + \beta _ { i } \bigg [ \int d X _ { i } P \left( { X } _ { i } \right) \int d { \mathbf { Y } } P ( \mathbf { Y } \mid { X } _ { i } ) \mathfrak { i } \left( { \mathbf { Y } } : { X } _ { i } \right) - \bar { I } \left( \mathbf { Y } : { X } _ { i } \right) \bigg ] } \\ & { - \beta _ { i } ^ { ' } \bigg [ \int P \left( { X } _ { i } \right) { X } _ { i } d X _ { i } - \Bar { X _ { i } } \bigg ] - \lambda _ { i } \bigg [ \int P \left( { X } _ { i } \right) d X _ { i } - 1 \bigg ] \Bigg \} = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { n } = \gamma _ { n } - \beta _ { n - 1 } d _ { n - 1 } + e _ { n - 1 } - e _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } , } \\ & { E _ { n } = c _ { n } - b _ { n - 1 } \sigma _ { n - 1 } + \tau _ { n - 1 } - \tau _ { n - 2 } - \frac { e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } } { e _ { n - 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( 3 / 2 , d / 2 + 1 , \kappa ) } & { = \frac { 1 } { B ( 3 / 2 , ( d - 1 ) / 2 ) } \int _ { - 1 } ^ { 1 } t ^ { 2 } e ^ { \kappa t ^ { 2 } } ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \, \mathrm { d } t } \\ & { = \frac { d \, \Gamma ( d / 2 ) } { \sqrt { \pi } \, \Gamma ( ( d - 1 ) / 2 ) } \int _ { - 1 } ^ { 1 } t ^ { 2 } e ^ { \kappa t ^ { 2 } } ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \, \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } ( t ) , t ) \le } & { P \Big ( x _ { \pi } \Big ( t _ { 0 } + \Big [ \frac { t - t _ { 0 } } { \varepsilon } \Big ] \varepsilon \Big ) , t _ { 0 } + \Big [ \frac { t - t _ { 0 } } { \varepsilon } \Big ] \varepsilon \Big ) } \\ & { + \Big | P ( x _ { \pi } ( t ) , t ) - P \Big ( x _ { \pi } \Big ( t _ { 0 } + \Big [ \frac { t - t _ { 0 } } { \varepsilon } \Big ] \varepsilon \Big ) , t _ { 0 } + \Big [ \frac { t - t _ { 0 } } { \varepsilon } \Big ] \varepsilon \Big ) \Big | } \\ { \le } & { P ^ { * } ( \rho , \lambda ) + L _ { P x } \Big \| x _ { \pi } ( t ) - x _ { \pi } \Big ( t _ { 0 } + \Big [ \frac { t - t _ { 0 } } { \varepsilon } \Big ] \varepsilon \Big ) \Big \| + L _ { P t } \varepsilon } \\ { \le } & { P ^ { * } ( \rho , \lambda ) + L _ { P x } \sqrt { L _ { P x } \varepsilon \gamma { M _ { F } } } e ^ { L _ { f x } \varepsilon } c _ { u } M _ { f } + L _ { P t } \varepsilon . } \end{array}
2 . 1 1 \left[ - \left( 2 + \gamma _ { m } ( \lambda ) \right) \frac { \partial } { \partial L } + \beta ( \lambda ) \frac { \partial } { \partial \lambda } - \left( 2 \gamma _ { \Gamma } ( \lambda ) + \gamma _ { m } ( \lambda ) \right) \right] B ( \lambda , L ) = 0 ,
{ \cal H } _ { C _ { n } } ^ { u n t w i s t e d } = { \frac { 1 } { 2 } } p ^ { 2 } + { \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { \alpha \in \Delta _ { s } } \wp ( \alpha \cdot q ) + { \frac { g _ { l } ^ { 2 } } { 4 } } \sum _ { \Xi \in \Delta _ { l } } \wp ( \Xi \cdot q ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w \, w _ { 1 } ) ( t ) } & { = w \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w _ { 1 } ) ( t ) + w _ { 1 } ( t ) \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w ) ( t ) - w ( t ) w _ { 1 } ( t ) \mathcal { N } _ { \theta } ( t ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } [ w ( t ) - w ( s ) ] [ w _ { 1 } ( t ) - w _ { 1 } ( s ) ] \frac { d } { d ( t - s ) } \mathcal { N } _ { \theta } ( t - s ) d s , } \\ { \frac { d \mathcal { N } _ { \theta } } { d t } ( t ) } & { \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ^ { \ast } ( \mu ; v , n _ { X } ) = } & { } & { \frac { - v + n _ { X } v + v ^ { 2 } + n _ { X } v ^ { 2 } - \mu + n _ { X } \mu + 4 v \mu + n _ { X } v \mu + 3 \mu ^ { 2 } } { 2 ( - v - n _ { X } v - 2 \mu ) } } \\ & { } & { - \frac { ( v + \mu ) \sqrt { 1 - 2 n _ { X } + n _ { X } ^ { 2 } + 2 v + 4 n _ { X } v + 2 n _ { X } ^ { 2 } v + v ^ { 2 } + 2 n _ { X } v ^ { 2 } + n _ { X } ^ { 2 } v ^ { 2 } + 2 \mu + 6 n _ { X } \mu + 2 v \mu + 2 n _ { X } v \mu + \mu ^ { 2 } } } { 2 ( - v - n _ { X } v - 2 \mu ) } . } \end{array}
\int D A \int \delta { \big ( } F ( A ) { \big ) } \operatorname* { d e t } \left( { \frac { \partial F } { \partial G } } \right) \, D G e ^ { i S } = \int D G \int \delta { \big ( } F ( A ) { \big ) } \operatorname* { d e t } \left( { \frac { \partial F } { \partial G } } \right) e ^ { i S }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d \alpha } } \varphi ( \alpha ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { - 2 \cos ( x ) + 2 \alpha } { 1 - 2 \alpha \cos ( x ) + \alpha ^ { 2 } } } d x } \\ & { = { \frac { 1 } { \alpha } } \int _ { 0 } ^ { \pi } \left( 1 - { \frac { 1 - \alpha ^ { 2 } } { 1 - 2 \alpha \cos ( x ) + \alpha ^ { 2 } } } \right) d x } \\ & { = \left. { \frac { \pi } { \alpha } } - { \frac { 2 } { \alpha } } \left\{ \arctan \left( { \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } } \tan \left( { \frac { x } { 2 } } \right) \right) \right\} \right| _ { 0 } ^ { \pi } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { I ( t ) } { I _ { 0 } } = \mathrm { e x p } \big [ - \alpha _ { \mathrm { V } } \cdot l \big ] = \mathrm { e x p } \big [ - \alpha _ { \mathrm { M } } \cdot \rho _ { \mathrm { a e r o s o l } } \cdot l \big ] = \mathrm { e x p } \left[ - K _ { \mathrm { e } } \cdot \frac { \rho _ { \mathrm { a e r o s o l } } } { \rho _ { \mathrm { p a r t } } } \cdot \frac { l } { \lambda _ { \mathrm { i n } } } \right] . } \end{array}
i \hbar c \partial _ { y } E = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } E + \hbar c \left[ \frac { k ( 1 - n _ { e } ^ { 2 } ) } { 2 } + \frac { 4 \xi \Delta _ { t } } { L \left( 1 + 4 \Delta _ { t } ^ { 2 } \right) } \right] E ,
\boldsymbol f ( \boldsymbol x _ { t } ) = \boldsymbol y _ { t } = \left\{ \begin{array} { c l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ \boldsymbol x _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \approx 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ \boldsymbol x _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } \not \approx 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \exists 0 < s < 1 : \quad \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + \delta { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } ) + \delta { \boldsymbol { \theta } } \cdot \frac { \partial \mathcal { H } ^ { - 1 } } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + s \delta { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ { \frac { \partial \mathcal { H } ^ { - 1 } } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } } & { = - \mathcal { H } ^ { - 1 } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } \mathcal { H } ^ { - 1 } } \\ { \lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + \delta { \boldsymbol { \theta } } ) \rVert } & { \leq \lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } ) \rVert + \lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + s \delta { \boldsymbol { \theta } } ) \rVert ^ { 2 } L \lVert \delta { \boldsymbol { \theta } } \rVert } \\ & { \leq m ^ { - 1 } + \lVert \mathcal { H } ^ { - 1 } ( { \boldsymbol { \theta } } ^ { * } + s \delta { \boldsymbol { \theta } } ) \rVert ^ { 2 } \frac { m } { 4 } , } \end{array}
\forall t \geqslant 0 , \quad \forall x \in \mathbb { T } , \quad \partial _ { t } F _ { k } \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) + \partial _ { t } z _ { k } ( t , x ) \cdot \nabla F _ { k } \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) = 0 .
\frac { d f ( t ) } { d t } \Psi ( \Theta ) + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { b f ( t ) } \frac { d f ( t ) } { d t } \frac { d \Psi ( \Theta ) } { d \Theta } X + \Gamma f ( t ) \Psi ( \Theta ) = 0 .
h ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle u ( \theta ) \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } \right) , \quad } & { \displaystyle 0 \le \theta \le \frac { \pi } { 3 } } \\ { \displaystyle 1 + u ( \theta ) \cdot \left( 0 , - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) , \quad } & { \displaystyle \frac { \pi } { 3 } \le \theta \le \frac { 2 \pi } { 3 } } \\ { \displaystyle u ( \theta ) \cdot \left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } \right) , \quad } & { \displaystyle \frac { 2 \pi } { 3 } \le \theta \le \pi } \\ { \displaystyle 1 + u ( \theta ) \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } \right) , \quad } & { \displaystyle \pi \le \theta \le \frac { 4 \pi } { 3 } } \\ { \displaystyle u ( \theta ) \cdot \left( 0 , - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \right) , \quad } & { \displaystyle \frac { 4 \pi } { 3 } \le \theta \le \frac { 5 \pi } { 3 } } \\ { \displaystyle 1 + u ( \theta ) \cdot \left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } \right) , \quad } & { \displaystyle \frac { 5 \pi } { 3 } \le \theta \le 2 \pi . } \end{array} \right.
D ^ { + + } f ^ { ( p ) } ( u ^ { \pm } ) = 0 \ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array} { l } { { f ^ { ( p ) } = 0 \ \ \mathrm { i f } \ \ p < 0 \; ; } } \\ { { f ^ { ( p ) } = u _ { i _ { 1 } } ^ { + } \ldots u _ { i _ { p } } ^ { + } f ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { p } } \ \ \mathrm { i f } \ \ p \geq 0 \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \gamma _ { i , k } = \frac { \phi _ { k } p _ { \mathcal N } ( x _ { i } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) } { \sum _ { k } ^ { K } \phi _ { k } p _ { \mathcal N } ( x _ { i } , \mu _ { k } , \Lambda _ { k } ) + \phi _ { K + 1 } p _ { \mathcal { U } } ( x _ { i } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \left| { \mathcal I } ^ { \alpha , k } [ p ] ( m , x ; t ) \right| } { C _ { d , B } } \leq \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } } N ( p ; s , x _ { 0 } ) { \mathbf 1 } _ { m > b > x _ { 0 } ^ { 1 } } \frac { e ^ { - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x _ { 0 } } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { ( 2 \pi t ) ^ { d } } } \frac { e ^ { - \frac { ( m - b ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { ( m - x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } } } { \sqrt { 2 \pi ( t - s ) ^ { 2 } { s } } } e ^ { - \frac { ( b - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } } d b d s . } \end{array}
\left( { \frac { A ( q , p ) } { 4 } } \right) _ { N = 8 } = \pi \left( { | ( \sum _ { i } | Z _ { i } | ^ { 4 } - 2 \sum _ { i > j } | Z _ { i } | ^ { 2 } | Z _ { j } | ^ { 2 } + 8 | Z _ { 1 } Z _ { 2 } Z _ { 3 } Z _ { 4 } | } ) | \right) ^ { 1 / 2 } \ ,
\begin{array} { r } { m _ { A A } = m _ { B B } = m _ { C C } = - \frac { 2 \Omega ^ { 2 } } { \omega } ( - \eta e ) ^ { - \eta } \Gamma ( \eta , 0 , - \eta ) } \\ { m _ { B A } = m _ { C A } = m _ { C B } = - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \omega } ( - \eta e / 4 ) ^ { - \eta } \Gamma ( \eta , 0 , - \eta / 4 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 3 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 3 } } k r _ { g } \bigg \{ \Big \{ \Big ( { \cal T } _ { 1 1 1 } ^ { \prime } - 3 { \cal T } _ { 1 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \cos 3 \phi _ { \xi } + \Big ( 3 { \cal T } _ { 1 1 2 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \sin 3 \phi _ { \xi } \Big \} \Big \{ \frac { 1 } { b } \Big ( \frac { 1 } { r \big ( r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { 2 r ^ { 3 } } \Big ) - { \textstyle \frac { 3 } { 8 } } b \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } \Big \} + } \end{array}
= { \frac { R \, T _ { \mathrm { r } } T _ { \mathrm { c } } } { V _ { \mathrm { c } } \left( V _ { \mathrm { r } } - { \frac { \Omega _ { b } \, R T _ { \mathrm { c } } } { P _ { \mathrm { c } } V _ { \mathrm { c } } } } \right) } } - { \frac { { \frac { \Omega _ { a } \, R ^ { 2 } T _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { c } } } } \alpha \left( \omega , T _ { \mathrm { r } } \right) } { V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \left( V _ { \mathrm { r } } + { \frac { \Omega _ { b } \, R T _ { \mathrm { c } } } { P _ { \mathrm { c } } V _ { \mathrm { c } } } } \right) } } = { \frac { R \, T _ { \mathrm { r } } T _ { \mathrm { c } } } { V _ { \mathrm { c } } \left( V _ { \mathrm { r } } - { \frac { \Omega _ { b } } { Z _ { \mathrm { c } } } } \right) } } - { \frac { { \frac { \Omega _ { a } \, R ^ { 2 } T _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { c } } } } \alpha \left( \omega , T _ { \mathrm { r } } \right) } { V _ { \mathrm { r } } V _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \left( V _ { \mathrm { r } } + { \frac { \Omega _ { b } } { Z _ { \mathrm { c } } } } \right) } }
T _ { \mu \nu } | _ { \mathrm { \scriptsize ~ P W } } \; \; = \; \; - \frac { 2 } { ( r q ) } \biggl [ r _ { \mu } q _ { \nu } + q _ { \mu } r _ { \nu } - g _ { \mu \nu } ( r q ) + r _ { \mu } r _ { \nu } \biggr ] \; \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { D ( \alpha ) } { \alpha - 1 } \, d \alpha \ ,
\begin{array} { r } { q \left( \{ u _ { 0 } , \ldots , u _ { M } \} \right) = P ( u _ { 0 } ) \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { M } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( s _ { i } - s _ { i - 1 } ) } } e ^ { - \left( u _ { i } - u _ { i - 1 } - u _ { i - 1 } ^ { 2 } ( s _ { i } - s _ { i - 1 } ) \right) ^ { 2 } / \left( 2 \left( s _ { i } - s _ { i - 1 } \right) \right) } \right] } \end{array}
\varepsilon \sim ( m _ { \pi } ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) A ^ { 2 } \sim 2 5 \ \Biggl ( \frac { A } { f _ { \pi } } \Biggr ) ^ { 2 } ~ \mathrm { M e V } / \mathrm { f m } ^ { 3 } \ .
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 } ( \mathrm { L M o d } _ { 4 , \ast } ) } & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , t _ { 1 , 2 } , t _ { 2 , 3 } , t _ { 1 , 3 } \middle | t _ { 1 , 2 } = t _ { 2 , 3 } , t _ { 1 , 3 } = h _ { 1 } ^ { 2 } , t _ { 1 , 3 } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , t _ { 1 , 2 } \middle | h _ { 1 } ^ { 2 } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \mathbb { Z } [ t _ { 1 , 2 } ] \oplus \mathbb { Z } _ { 2 } [ h _ { 1 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { + } ( t ) } & { { } = \frac { 2 \mathcal { M } } { D _ { L } } \left( \pi f _ { 0 } ( t ) \right) ^ { 2 / 3 } \left( 1 + \cos ^ { 2 } \iota \right) \cos { \psi ( t ) } , } \\ { h _ { \times } ( t ) } & { { } = - \frac { 4 \mathcal { M } } { D _ { L } } \left( \pi f _ { 0 } ( t ) \right) ^ { 2 / 3 } \cos { \iota } \sin { \psi ( t ) } , } \end{array}
d _ { T V } \left( \eta ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) , x , i } , T _ { D } \eta _ { k ^ { \prime } ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) + N _ { \varepsilon } , [ x , i ] } ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } \right) = d _ { T V } \left( \eta _ { x , i } ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } , \eta _ { k ^ { \prime } ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) + N _ { \varepsilon } , [ x , i ] } ^ { ( T ^ { n ^ { \prime } } \omega ) } \right) < \delta
\begin{array} { r l r } { \Omega } & { = } & { - \frac { 1 } { \beta } \ln \Xi , } \\ { U } & { = } & { - \frac { \partial } { \partial \beta } \ln \Xi = \Omega + \beta \frac { \partial \Omega } { \partial \beta } , } \\ { S } & { = } & { \frac { U - \Omega } { T } = \frac { \beta } { T } \frac { \partial \Omega } { \partial \beta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { H F } } [ \rho _ { 0 } ] = } & { \sum _ { i } f _ { i } \varepsilon _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \iint \frac { \rho _ { 0 } ( { \bf r } ) \rho _ { 0 } ( { \bf r ^ { \prime } } ) } { \vert { \bf r - r ^ { \prime } } \vert } d { \bf r } d { \bf r ^ { \prime } } } \\ & { + E _ { \mathrm { x c } } [ \rho _ { 0 } ] - \int V _ { \mathrm { x c } } [ \rho _ { 0 } ] ( { \bf r } ) \rho _ { 0 } ( { \bf r } ) d { \bf r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { X _ { 1 } = \bigl \{ s e ^ { \frac { i \pi } { 4 } } \, \big | \, 0 \leq s < \infty \bigr \} , } & & { X _ { 2 } = \bigl \{ s e ^ { \frac { 3 i \pi } { 4 } } \, \big | \, 0 \leq s < \infty \bigr \} , } \\ & { X _ { 3 } = \bigl \{ s e ^ { - \frac { 3 i \pi } { 4 } } \, \big | \, 0 \leq s < \infty \bigr \} , } & & { X _ { 4 } = \bigl \{ s e ^ { - \frac { i \pi } { 4 } } \, \big | \, 0 \leq s < \infty \bigr \} , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \frac { \partial C _ { i } ^ { s } } { \partial t } = \nabla \cdot ( D _ { i } ^ { s } ( \nabla C _ { i } ^ { s } + z _ { i } C _ { i } ^ { s } \nabla \phi ^ { s } ) ) , } \\ { - \nabla \cdot ( \delta ^ { 2 } \nabla \phi ^ { s } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } z _ { i } C _ { i } ^ { s } , } \end{array} \right.