harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A _ { \mathrm { n o n d e g } } = \sum _ { m ^ { i j k } } \mu ^ { \prime } \left( m ^ { i j k } \right) \frac { e ^ { - 2 \pi \sqrt { ( m ^ { i j k } ) ^ { 2 } } + 2 \pi i C _ { i j k } m ^ { i j k } } } { \sqrt { ( m ^ { i j k } ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { E _ { L } ^ { - } } \\ { E _ { L } ^ { + } } \end{array} \right) = \mathbf T \left( \begin{array} { l } { E _ { R } ^ { - } } \\ { E _ { R } ^ { + } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \boldsymbol { x } \left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \left( \left( \boldsymbol { s } _ { j , k } - \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } \right) + \left( \boldsymbol { t } _ { p , q } - \boldsymbol { t } _ { 0 , 0 } \right) \right) ) \right\vert \, d \boldsymbol { x } } \\ & { \qquad = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \boldsymbol { x } \left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert \, d \boldsymbol { x } + \left( \left( \boldsymbol { s } _ { j , k } - \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } \right) + \left( \boldsymbol { t } _ { p , q } - \boldsymbol { t } _ { 0 , 0 } \right) \right) \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert \, d \boldsymbol { x } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { P } & { = c _ { 0 } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { k } e ^ { - x } \ \mathrm { d } \ x \right) + c _ { 1 } e \left( \int _ { 1 } ^ { \infty } f _ { k } e ^ { - x } \ \mathrm { d } \ x \right) + c _ { 2 } e ^ { 2 } \left( \int _ { 2 } ^ { \infty } f _ { k } e ^ { - x } \ \mathrm { d } \ x \right) + \cdots + c _ { n } e ^ { n } \left( \int _ { n } ^ { \infty } f _ { k } e ^ { - x } \ \mathrm { d } \ x \right) } \\ { Q } & { = c _ { 1 } e \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } f _ { k } e ^ { - x } \ \mathrm { d } \ x \right) + c _ { 2 } e ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { 2 } f _ { k } e ^ { - x } \ \mathrm { d } \ x \right) + \cdots + c _ { n } e ^ { n } \left( \int _ { 0 } ^ { n } f _ { k } e ^ { - x } \ \mathrm { d } \ x \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { S p e c ( \mu , S ) } & { \sim \lbrack \underline { { \xi } } _ { 1 4 } , \overline { { \xi } } _ { 1 4 } ] \cup \left[ \frac { 1 } { P _ { 1 4 } } , \frac { 1 } { C _ { 1 4 } } \right] , } \\ { \left[ \underline { { \xi } } _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } , \overline { { \xi } } _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } \right] \cup \left[ \frac { 1 } { P _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } } , \frac { 1 } { C _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } } \right] } & { \subset S p e c ( \mu , S ) \subset \left[ \underline { { \xi } } _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } , \overline { { \xi } } _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } \right] \cup \left[ \frac { 1 } { P _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { s u p } } } , \frac { 1 } { C _ { 1 4 } ^ { \operatorname* { i n f } } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \| v _ { 1 } \| _ { H ^ { 2 } ( D _ { j } ^ { 2 } ) } } & { \leqslant C d _ { j } ^ { - 2 } \| v _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { j } ^ { 3 } ) } } \\ & { \leqslant C d _ { j } ^ { - 2 + \frac { N } 2 - \frac { N } { p _ { * } } } \| v _ { 1 } \| _ { L ^ { p _ { * } } ( D _ { j } ^ { 3 } ) } } & & { \mathrm { i f ~ p _ * > 2 ~ } } \\ & { \leqslant C d _ { j } ^ { - 1 + \frac { N } 2 - \frac { N } { p } } \| v _ { 1 } \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } } & & { \mathrm { f o r ~ \frac { N } { p _ * } = \frac { N } p - 1 ~ a n d ~ \mathrm { ~ \frac { 2 N } { N + 2 } ~ } < p < 2 ~ } } \\ & { } & & { \mathrm { s o ~ t h a t ~ p _ * > 2 ~ a n d ~ W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) \hookrightarrow ~ L ^ { p ^ * } ( \varOmega ) ~ } . } \end{array}
\varepsilon _ { \alpha \beta _ { 1 } \beta } M _ { \beta \beta _ { 1 } } ( { \pmb \xi } ) = \varepsilon _ { \alpha \beta _ { 1 } \beta } \int _ { { D _ { b } } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \beta _ { 1 } } \psi _ { \beta } ( { \pmb x } ) d V ( { \pmb x } ) = \varepsilon _ { \alpha \beta _ { 1 } \beta } \int _ { \partial D _ { b } } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { \beta _ { 1 } } { \sigma } _ { \beta \gamma } ( { \pmb x } ) \cdot { n } _ { \gamma } ( { \pmb x } ) \, d S
\Gamma _ { W Z W } = { \frac { 1 } { 2 4 \pi } } \int _ { B _ { 3 } } d ^ { 2 } x \ \varepsilon ^ { \mu \nu \lambda } { t r ( g ^ { - 1 } \partial _ { \mu } g g ^ { - 1 } \partial _ { \nu } g g ^ { - 1 } \partial _ { \lambda } g ) }
{ \cal L } _ { \mathrm { h y p . m a s s } } = - c \sigma ^ { \prime } \bar { \Psi } \Psi + c \sigma ^ { \prime } ( F _ { i } ^ { * } \phi ^ { i } + \phi _ { i } ^ { * } F ^ { i } ) - c k ^ { 2 } ( \sigma _ { 3 } ) _ { j } ^ { i } \phi _ { i } ^ { * } \phi ^ { j } ,
\begin{array} { r } { \dot { \phi } ^ { c } = v ^ { c } = \frac { \partial h _ { c } } { \partial q ^ { c } } \, , \qquad \dot { q } ^ { l } = i ^ { l } = \frac { \partial h _ { l } } { \partial \phi ^ { l } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H G _ { n , n } } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } & { = \mathrm { U _ { n } } ( x ^ { \prime } ) \mathrm { U _ { n } } ( y ^ { \prime } ) } \\ & { \approx \mathrm { H G _ { n , n } } + \theta \sqrt { n ( n + 1 ) } \Big ( \mathrm { H G _ { n - 1 , n + 1 } } - \mathrm { H G _ { n + 1 , n - 1 } } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } } & { { } \triangleq \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n } - ( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } + \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } ) } \end{array}
\mathbf { z } = \mathbf { H } \mathbf { r } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 4 } \\ { 2 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } | \mathbb { E } Y _ { 1 } | } & { = 0 , \qquad } & & { \mathrm { V a r } ( Y _ { 1 } ) \lesssim \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \, \| \theta \| _ { 3 } ^ { 6 } \lesssim \lambda _ { 1 } ^ { 4 } } \\ { | \mathbb { E } Y _ { 2 } | } & { = 0 , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Y _ { 2 } ) \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \lesssim | \tilde { \lambda } | \lambda _ { 1 } ^ { 3 } } \\ { | \mathbb { E } Y _ { 3 } | } & { = 0 , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Y _ { 3 } ) \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { | \mathbb { E } Y _ { 4 } | } & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 2 } \lambda _ { 1 } , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Y _ { 4 } ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { | \mathbb { E } Y _ { 5 } | } & { = 0 , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Y _ { 5 } ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 3 } \lambda _ { 1 } } \\ { | \mathbb { E } Y _ { 6 } | } & { = 0 , \quad } & & { \mathrm { V a r } ( Y _ { 6 } ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 1 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \theta \| _ { 1 } } \lesssim | \tilde { \lambda } | ^ { 6 } . } \end{array}
\alpha _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ d ~ o ~ e ~ s ~ n ~ o ~ t ~ c ~ o ~ n ~ t ~ a ~ i ~ n ~ p ~ h ~ a ~ s ~ e ~ } i , } \\ { ] 0 , 1 [ \, , } & { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ c ~ o ~ n ~ t ~ a ~ i ~ n ~ s ~ p ~ h ~ a ~ s ~ e ~ } i \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ p ~ h ~ a ~ s ~ e ~ s ~ } , } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ i ~ s ~ c ~ o ~ m ~ p ~ l ~ e ~ t ~ e ~ l ~ y ~ f ~ i ~ l ~ l ~ e ~ d ~ w ~ i ~ t ~ h ~ p ~ h ~ a ~ s ~ e ~ } i . } \end{array} \right.
\int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { 1 } \} } \mathcal { E } _ { 2 } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq ( \tau + 1 ) ^ { 1 - \epsilon - \delta } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { 1 } \} } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq C ( 1 + \tau ) ^ { - \nu _ { m } + \eta } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] .
\int _ { x } ^ { \infty } { \frac { \mathrm { d } t } { t \left( t ^ { 2 } - 1 \right) \log t } } = \int _ { x } ^ { \infty } { \frac { 1 } { t \log t } } \left( \sum _ { m } t ^ { - 2 m } \right) \, \mathrm { d } t = \sum _ { m } \int _ { x } ^ { \infty } { \frac { t ^ { - 2 m } } { t \log t } } \, \mathrm { d } t \, \, { \overset { ( u = t ^ { - 2 m } ) } { = } } - \sum _ { m } \operatorname { l i } ( x ^ { - 2 m } )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { [ \mathcal { T } ( n , \alpha , \tilde { \alpha } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \mathrm { i d } ) ] = \frac { \left( \rho ( 2 \pi ) ^ { d } \right) ^ { 2 k - n } } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { d } \hbar ^ { n } } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { | \alpha | + | \tilde { \alpha } | } } \int \delta ( p _ { k } - q _ { k } ) \Lambda _ { n } ( \boldsymbol { p } , \boldsymbol { q } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \mathrm { i d } ) \prod _ { i = 1 } ^ { \tilde { a } _ { k } } e ^ { - i \frac { 1 } { 2 } \tilde { t } _ { i } \xi _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { \times \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , t ] } ( \boldsymbol { s } _ { 1 , k } ^ { + } + \hbar \boldsymbol { t } _ { 1 , a _ { k } } ^ { + } ) \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , t ] } ( \boldsymbol { \tilde { s } } _ { 1 , k } ^ { + } + \hbar \boldsymbol { \tilde { t } } _ { 1 , \tilde { a } _ { k } } ^ { + } ) \prod _ { i = 1 } ^ { a _ { k } } e ^ { i \frac { 1 } { 2 } t _ { i } \eta _ { i } ^ { 2 } } \prod _ { m = 1 } ^ { k } \Big \{ e ^ { i \hbar ^ { - 1 } s _ { m } \frac { 1 } { 2 } p _ { m } ^ { 2 } } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( p _ { m } , p _ { m - 1 } , \boldsymbol { \eta } ) e ^ { - i \hbar ^ { - 1 } \tilde { s } _ { m } \frac { 1 } { 2 } q _ { m } ^ { 2 } } } \\ & { \times \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( q _ { m } , q _ { m - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } \Big \} e ^ { i \hbar ^ { - 1 } ( t - \boldsymbol { s } _ { 1 , k } ^ { + } - \hbar \boldsymbol { t } _ { 1 , a _ { k } } ^ { + } ) \frac { 1 } { 2 } p _ { 0 } ^ { 2 } } e ^ { - i \hbar ^ { - 1 } ( t - \boldsymbol { \tilde { s } } _ { 1 , k } ^ { + } - \hbar \boldsymbol { \tilde { t } } _ { 1 , \tilde { a } _ { k } } ^ { + } ) \frac { 1 } { 2 } q _ { 0 } ^ { 2 } } \hat { \varphi } ( \frac { p _ { 0 } } { \hbar } ) \hat { \varphi } ( \frac { q _ { 0 } } { \hbar } ) \, d \boldsymbol { \eta } d \boldsymbol { p } \boldsymbol { \xi } d \boldsymbol { q } d \boldsymbol { t } d \boldsymbol { s } d \boldsymbol { \tilde { t } } d \boldsymbol { \tilde { s } } . } \end{array}
{ \vec { y } } _ { n } = C ^ { n } \, { \vec { y } } _ { 0 } = a _ { 1 } \, \lambda _ { 1 } ^ { n } \, { \vec { e } } _ { 1 } + a _ { 2 } \, \lambda _ { 2 } ^ { n } \, { \vec { e } } _ { 2 } + \cdots + a _ { n } \, \lambda _ { n } ^ { n } \, { \vec { e } } _ { n }
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { \mathrm { a c t i v e } } } & { { } = V P _ { 0 , \mathrm { a c t i v e } } + \widehat { V P } _ { A , \mathrm { a c t i v e } } + \widehat { V P } _ { B , \mathrm { a c t i v e } } + \widehat { V P } _ { 1 m , \mathrm { a c t i v e } } } \end{array}
R ( \phi ) = 8 \pi r _ { e q } ^ { 3 } \frac { 2 ( \phi ^ { 2 } + 1 ) ( \phi ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } { 3 \phi \left[ ( 2 t ^ { 2 } - 1 ) \ln \left( t + ( t ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 0 . 5 } ) - t ( t ^ { 2 } - 1 ) ^ { 0 . 5 } \right] }
- 2 \ln \frac { 2 } { 1 - \cos \theta _ { k _ { 2 } p _ { 2 } } } = - 2 \ln \frac { 2 } { 1 + \cos \theta } = 2 \ln \left( \cos ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } \right) \; .
\mathcal { D } _ { \Phi } ^ { \mathcal { N } } ( \mathbf { \Sigma } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { q } } \frac { \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { \Sigma } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { x } \right) } { ( 2 \pi ) ^ { q / 2 } \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left| \mathbf { \Sigma } _ { i i } \right| ^ { 1 / 2 } } \Phi \left( \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { k } \left| \mathbf { \Sigma } _ { i i } \right| ^ { 1 / 2 } } { \left| \mathbf { \Sigma } \right| ^ { 1 / 2 } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { B } ^ { - 1 } \mathbf { x } \right) \right) d \mathbf { x } ,
\begin{array} { r } { F _ { T + h } = l _ { T } + h b _ { T } + s _ { T + h - m ( k + 1 ) } } \\ { l _ { T } = \alpha ( y _ { T } - s _ { T - m } ) + ( 1 - \alpha ) ( l _ { T - 1 } + b _ { T - 1 } ) } \\ { b _ { T } = \beta ( l _ { T } - l _ { T - 1 } ) + ( 1 - \beta ) b _ { T - 1 } } \\ { s _ { T } = \gamma ( F _ { T } - l _ { T - 1 } - b _ { T - 1 } ) + ( 1 - \gamma ) s _ { T - m } , } \end{array}
G _ { \psi } ( p ; u , v ) \equiv \frac { 1 } { u } G _ { \psi } ( p ) \left( 1 + \frac { v - 1 } { u } t ^ { \Delta } + \frac { ( v - 1 ) ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } t ^ { 2 \Delta } + \ldots \right) .
- i \operatorname * { l i m } _ { \theta _ { a b } \rightarrow i \varphi } ( \theta _ { a b } - i \varphi ) ^ { 2 } S _ { a b } ( \theta ) = ( \Gamma _ { a d } ^ { c } \Gamma _ { b \bar { d } } ^ { e } ) ^ { 2 } S _ { c e } ( i \gamma ) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( \tilde { Z } _ { 4 a } ) } & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \bigg ( \sum _ { i k \ell t } \big [ \beta _ { k } ^ { 2 } ( \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } + \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } ) + \beta _ { k } \beta _ { t } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } ^ { 2 } + \beta _ { k } \beta _ { t } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } + \beta _ { k } \beta _ { t } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } ^ { 2 } \big ] + \sum _ { i k \ell t i ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } \big [ \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } \theta _ { i ^ { \prime } } \theta _ { \ell ^ { \prime } } ^ { 2 } + \beta _ { k } \beta _ { t } \theta _ { i } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { t } ^ { 2 } \theta _ { i ^ { \prime } } \theta _ { \ell ^ { \prime } } ^ { 2 } \big ] \bigg ) } \\ & { \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \big ( \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 1 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 3 } + } \\ & { \quad \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } \big ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 6 } } { \| \theta \| _ { 1 } } . } \end{array}
[ D _ { \mu } , D _ { \nu } ] = - i F _ { \mu \nu } ^ { + a } J _ { a } ^ { + } - i F _ { \mu \nu } ^ { - a } J _ { a } ^ { - } = - i F _ { \mu \nu } ^ { + } [ A ^ { + } ] - i F _ { \mu \nu } ^ { - } [ A ^ { - } ]
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } ( \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { p } } ) = \frac { \partial \mathbf { F } _ { \mathbf { h } } } { \partial \mathbf { y } } \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { p } } + \frac { \partial \mathbf { F } _ { \mathbf { h } } } { \partial \mathbf { p } } - \alpha \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { p } } } \\ & { \frac { d } { d t } ( \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { e } } ) = \frac { \partial \mathbf { F } _ { \mathbf { h } } } { \partial \mathbf { y } } \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { e } } + 1 - \alpha \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { e } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta = } & { \widetilde { \eta } ( \mathbf { e } ) } \\ { = } & { \underline { { \eta } } + ( \overline { { \eta } } - \underline { { \eta } } ) \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n _ { \eta } } } \right) e _ { 0 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \eta } } \frac { \overline { { \eta } } - \underline { { \eta } } } { 2 ^ { i } } e _ { i } } \\ & { \quad \mathbf { e } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \eta } + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \hat { l } _ { + } \hat { l } _ { - } } { \hbar ^ { 2 } } } & { = } & { \hbar \mathrm { e } ^ { i \phi } \left( z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } - r \partial _ { z } \right) } \\ & { } & { \hbar \mathrm { e } ^ { - i \phi } \left( - z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } + r \partial _ { z } \right) } \\ & { = } & { z \left( - z \partial _ { r } ^ { 2 } - \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } i \partial _ { \phi } + \frac { z } { r } i \partial _ { r } \partial _ { \phi } + \partial _ { z } + r \partial _ { r } \partial _ { z } \right) } \\ & { } & { + \frac { z } { r } i \left( - z \partial _ { \phi } \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi ^ { 2 } } + r \partial _ { \phi } \partial _ { z } \right) } \\ & { } & { + \frac { z } { r } i ( - i ) \left( - z \partial _ { r } + \frac { z } { r } i \partial _ { \phi } + r \partial _ { z } \right) } \\ & { } & { - r \left( - \partial _ { r } - z \partial _ { z } \partial _ { r } + \frac { i } { r } \partial _ { \phi } + \frac { z } { r } i \partial _ { z } \partial _ { \phi } + r \partial _ { z } ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { - z ^ { 2 } \partial _ { r } ^ { 2 } - \frac { z ^ { 2 } } { r } \partial _ { r } - \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \partial _ { \phi } ^ { 2 } } \\ & { } & { + ( 1 + 2 z \partial _ { z } ) r \partial _ { r } - r ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } + 2 z \partial _ { z } - i \partial _ { \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \delta A } { d t } = } & { ( \alpha \bar { P } _ { z , L C } - 1 / T _ { 2 } ) \delta A + \epsilon \delta B / 2 + \alpha A _ { L C , \pm } \delta \bar { P } _ { z } , } \\ { \frac { d \delta B } { d t } = } & { - \epsilon \delta A / 2 - \delta B / T _ { 2 } , } \\ { \frac { d \delta \bar { P } _ { z } } { d t } = } & { - \alpha A _ { L C , \pm } \delta A / 2 - ( 1 / T _ { 1 } + G ) \delta \bar { P } _ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \boldsymbol { s } _ { t _ { 0 } } ^ { ( \mathrm { s i m } , i ) } } & { = \boldsymbol { s } _ { t _ { 0 } } ^ { ( \mathrm { i n p u t } , i ) } } \\ { \boldsymbol { a } _ { t } ^ { ( \mathrm { s i m } ) } } & { = \boldsymbol { a } _ { t } ^ { ( \mathrm { i n p u t } , i ) } } \\ { \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { ( \mathrm { s i m } , i ) } } & { = \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { ( \mathrm { i n p u t } , i ) } \enspace . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \parallel } ^ { \mathrm { L R } } ( r ) } & { = } & { \frac { \alpha _ { \mathrm { C l _ { 2 } } } + 4 \alpha _ { \mathrm { C l } } ^ { 2 } / r ^ { 3 } } { 1 - 4 \alpha _ { \mathrm { C l } } ^ { 2 } / r ^ { 6 } } , } \\ & { } & \\ { \alpha _ { \bot } ^ { \mathrm { L R } } ( r ) } & { = } & { \frac { \alpha _ { \mathrm { C l _ { 2 } } } - 2 \alpha _ { \mathrm { C l } } ^ { 2 } / r ^ { 3 } } { 1 - \alpha _ { \mathrm { C l } } ^ { 2 } / r ^ { 6 } } , } \end{array}
\tilde { f } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { t } \tilde { R } ^ { \cap } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , F } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { f } ^ { - } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } t ^ { \prime } .
\int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \int | \lambda \epsilon ( t , \lambda x ) | ^ { 4 } d x d t \lesssim \| \epsilon ( t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 4 } \lesssim \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + \frac { 1 } { \lambda ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \| \epsilon ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 4 } .
T _ { a } T _ { b } = { \frac { 1 } { 2 n } } \delta _ { a b } I _ { n } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { c = 1 } ^ { n ^ { 2 } - 1 } \left( i f _ { a b c } + d _ { a b c } \right) T _ { c }
\delta u \equiv \frac 4 3 \int _ { - \infty } ^ { \infty } H ( x ) \, \d x = 1 . 0 9 \, , \qquad \delta d \equiv - \frac 1 3 \int _ { - \infty } ^ { \infty } H ( x ) \, \d x = - 0 . 2 7 \, ,
( \boldsymbol { \mathcal { B } } + \gamma \boldsymbol { \mathcal { A } } ^ { - 1 } ) \theta \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] = \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 2 } { v \Delta t } \boldsymbol { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \frac { \Delta x } { 2 } \frac { 1 } { v \Delta t }
- \mathrm { \sin ^ { - 1 } \left( \frac { \ l a m b d a _ { n } } { 2 d } \right) } < \Delta \mathrm { ~ F ~ O ~ V ~ } < \mathrm { \sin ^ { - 1 } \left( \frac { \ l a m b d a _ { n } } { 2 d } \right) } ,
C ( \delta ^ { \mu \nu } - 2 \frac { x _ { 1 2 } ^ { \mu } x _ { 1 2 } ^ { \nu } } { x _ { 1 2 } ^ { 2 } } ) ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ^ { - \delta } P _ { Y } ^ { I _ { 1 } . . . J _ { r } }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mathbf { v } _ { A } + \mathbf { v } _ { A } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { A } - \operatorname { d i v } ( 2 \nu ( c _ { A } ) D \mathbf { v } _ { A } ) + \nabla p _ { A } } \\ & { = \zeta ( d _ { \Gamma } ) \left( \partial _ { t } \mathbf { v } _ { A } ^ { i n } + \mathbf { v } _ { A } ^ { i n } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { A } ^ { i n } - \operatorname { d i v } ( 2 \nu ( c _ { A } ^ { i n } ) D \mathbf { v } _ { A } ^ { i n } ) + \nabla p _ { A } ^ { i n } \right) } \\ & { \quad + ( 1 - \zeta ( d _ { \Gamma } ) ) \sum _ { \pm } \left( \partial _ { t } \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } + \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } - \operatorname { d i v } ( 2 \nu ( c _ { A } ^ { \pm } ) D \mathbf { v } _ { A } ^ { \pm } ) + \nabla p _ { A } ^ { \pm } \right) \chi _ { \pm } + O ( \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { ( - 1 ) ^ { | \gamma | } \prod _ { p = 1 } ^ { | \gamma | } \frac { a _ { i _ { p } s ( i _ { p } ) } } { a _ { i _ { p } t ( i _ { p } ) } } = ( - 1 ) ^ { | \gamma ^ { \prime } | } \prod _ { q = 1 } ^ { | \gamma ^ { \prime } | } \frac { a _ { i _ { q } ^ { \prime } s ( i _ { q } ^ { \prime } ) } } { a _ { i _ { q } ^ { \prime } t ( i _ { q } ^ { \prime } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | K _ { 1 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { \leqslant C \big | ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ( \varphi ) - ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ( \varphi ^ { \prime } ) \big | \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 } } \\ & { \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { C ^ { 1 + \alpha } ( \mathbb { T } ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } } \end{array}
M _ { 4 } ^ { g } = \kappa ^ { 2 } ( 4 s t u ) ^ { - 1 } t _ { 8 } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 8 } } t _ { 8 } ^ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { 8 } } R _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } R _ { \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } R _ { \mu _ { 5 } \mu _ { 6 } \nu _ { 5 } \nu _ { 6 } } R _ { \mu _ { 7 } \mu _ { 8 } \nu _ { 7 } \nu _ { 8 } } \equiv ( s t u ) ^ { - 1 } L _ { 4 } ^ { g } ,