harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \overline { T } _ { 3 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 3 2 } \, x \, a ( - k n ) \bigg [ 4 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 3 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\mathbf { y } \, , \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { p } } \, , \frac { \partial \mathbf { y } } { \partial \mathbf { e } } \, , \mathbf { p } \, , \mathbf { e } \, , \mathbf { H } \, , \mathbf { E }
M ( { \hat { x } } ) \triangleq \operatorname { d i a g } ( m _ { 1 } ( { \hat { x } } ) , m _ { 2 } ( { \hat { x } } ) , \ldots , m _ { n } ( { \hat { x } } ) ) = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { m _ { 1 } ( { \hat { x } } ) } & { } & { } & { } & { } & { } \end{array} \right] }
{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { c } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { a x } \\ { c x } \end{array} \right] } } \\ { { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { b } \\ { d } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { b y } \\ { d y } \end{array} \right] } } \end{array} \right. } .
\nabla \bigl ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , k } ^ { - 1 } = \bigl ( \nabla X _ { m - 1 , k } \circ X _ { m - 1 , k } ^ { - 1 } \bigr ) \nabla T _ { m - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { n , { \delta } } ^ { \prime } } & { { } = \sqrt { \kappa _ { n } } e ^ { i \alpha _ { n } } \hat { a } _ { n , { \delta } } + \sqrt { 1 - \kappa _ { n } } \hat { e } _ { n , { \delta } } \, , } \\ { \hat { b } _ { n , { \delta } } ^ { \prime } } & { { } = \sqrt { \eta _ { n } } e ^ { i \beta _ { n } } \hat { b } _ { n , { \delta } } + \sqrt { 1 - \eta _ { n } } \hat { f } _ { n , { \delta } } \, , } \end{array}
\boldsymbol { \epsilon } = \left[ \begin{array} { c } { \partial _ { x _ { 1 } } v _ { 1 } } \\ { \partial _ { x _ { 2 } } v _ { 2 } } \\ { \partial _ { x _ { 2 } } v _ { 1 } + \partial _ { x _ { 1 } } v _ { 2 } } \end{array} \right] = \mathbf { B } \mathbf { u } ^ { E } = \left[ \boldsymbol { \partial } \mathbf { N } \right] \mathbf { u } ^ { E } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \boldsymbol { \partial } \varphi _ { 1 } } & { \boldsymbol { \partial } \varphi _ { 2 } } & { . . . } & { \boldsymbol { \partial } \varphi _ { n _ { d } } } \end{array} \right] \mathbf { u } ^ { E }
\begin{array} { r l } { X \cdot ( \bar { g } ( X , \xi ) \bar { g } ( X , N ) ) } & { = - \bar { g } ( Z , \xi ) \bar { g } ( X , A _ { N } \overset { * } { Z } ) - \bar { g } ( Z , N ) \bar { g } ( X , A _ { \xi } ^ { * } \overset { * } { Z } ) } \\ & { = - \bar { g } ( X , A _ { Z _ { N } } \overset { * } { Z } ) - \bar { g } ( X , A _ { Z _ { \xi } } ^ { * } \overset { * } { Z } ) } \\ & { = - \bar { g } ( X , A _ { Z ^ { \perp } } \overset { * } { Z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Theta _ { V } [ f ] ( x , k , t ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } V _ { w } ( x , k - { k ^ { \prime } } ) f ( x , k ^ { \prime } , t ) ~ \mathrm { d } k ^ { \prime } , } \\ { V _ { w } ( x , k ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } \hbar } \int _ { \mathbb { R } } \exp ( - \mathrm { i } k y ) \, \left[ V ( x + \frac { y } { 2 } ) - V ( x - \frac { y } { 2 } ) \right] \mathrm { d } y , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ~ } & { { } ~ } & { ~ \partial _ { \tau } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) = \beta _ { 1 } \Bigl ( \partial _ { \xi } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) \times \partial _ { \xi } ^ { \, 2 } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) \Bigr ) + } \\ { ~ ~ } & { { } + } & { \beta _ { 2 } \Bigl ( 2 \, \partial _ { \xi } ^ { \, 3 } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) + { 3 } \, \bigl \vert \, \partial _ { \xi } ^ { \, 2 } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) \bigr \vert ^ { \, 2 } \partial _ { \xi } { \boldsymbol { r } } ( \tau , \xi ) \Bigr ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { 0 } ^ { + } = ( 1 - c _ { 0 } ) \sum _ { j = 0 } ^ { q } { \binom { q } { j } } \left( \frac { 1 - v } { 2 - v } \right) ^ { q - j } \left( \frac { v } { 2 - v } \right) ^ { j } \times } \\ { \sum _ { k = 0 } ^ { q - j } { \binom { q - j } { k } } c _ { 0 } ^ { q - j - k } ( 1 - c _ { 0 } ) ^ { k } e _ { k , q } \times } \\ { \sum _ { l = 0 } ^ { j } { \binom { j } { l } } \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { j - l } { \binom { j - l } { m } } c _ { 1 } ^ { j - l - m } ( 1 - c _ { 1 } ) ^ { m } e _ { k , q } \right. \times } \\ { \left. \sum _ { m = 0 } ^ { j } { \binom { l } { m } } c _ { 2 } ^ { l - m } ( 1 - c _ { 2 } ) ^ { m } e _ { k , q } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \exp \left[ - \frac { i \pi } { 3 \hbar } \frac { \hat { L } _ { z } } { \hbar } \right] \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { ~ H ~ O ~ M ~ O ~ } } ( \mathbf { r } ) = \exp \left[ \mp \frac { i \pi } { 3 } \right] \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { ~ H ~ O ~ M ~ O ~ } } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \exp \left[ - \frac { i \pi } { 3 } \frac { \hat { L } _ { z } } { \hbar } \right] \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { ~ L ~ U ~ M ~ O ~ } } ( \mathbf { r } ) = \exp \left[ \mp \frac { 2 i \pi } { 3 } \right] \psi _ { \pm } ^ { \mathrm { ~ L ~ U ~ M ~ O ~ } } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
{ \cal O } ( T e r m 7 ) \propto \frac { 3 \overline { { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial f _ { \parallel } } { \partial x } \right) ^ { n } } } } { { \overline { { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } } } ^ { 2 } } }
| R _ { 0 } | = 0 . 7 0 7 , \quad | R _ { - 1 } | = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \sqrt { \frac { \cos \theta _ { \mathrm { i } } } { \cos \theta _ { - 1 } } } , \quad \arg ( R _ { 0 } ) = 0 .
P _ { \nu } ( \gamma ) = \frac { 1 } { \Gamma \left( \frac { \nu } { 2 } \right) } \left( \frac { \nu } { 2 < \gamma > } \right) \left( \frac { \nu \gamma } { 2 < \gamma > } \right) ^ { \frac { \nu } { 2 } - 1 } \exp \left( - \frac { \nu \gamma } { 2 < \gamma > } \right)
\mathrm { S y m } _ { k } ^ { n } ( L _ { m } ^ { ( i ) } ) \stackrel { \Delta } { \longrightarrow } \bigoplus _ { \substack { p + q = n \, p , q \ge 1 } } \mathrm { S y m } _ { k } ^ { p } ( L _ { m } ^ { ( i ) } ) \otimes _ { k } \mathrm { S y m } _ { k } ^ { q } ( L _ { m } ^ { ( i ) } ) \stackrel { [ - , - ] } { \longrightarrow } \mathrm { L i e } \{ 1 \} ( \mathrm { c o C o m m } ( L _ { m } ^ { ( i ) } ) ) \: .
\begin{array} { r l r } { \eta _ { i j k } } & { { } = } & { 3 \eta _ { T } \left\{ \left( 2 f _ { 1 } ^ { ( a ) } - f _ { 2 } ^ { ( d ) } \right) \varepsilon _ { i j k } + 2 f _ { 1 } ^ { ( a ) } \frac { \Omega _ { i } \Omega _ { n } } { \Omega ^ { 2 } } \varepsilon _ { j n k } \right\} } \end{array}
d s ^ { 2 } = - \mathrm { d } { \tau } ^ { 2 } + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \mathrm { d } { \chi } ^ { 2 } + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \chi } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \mathrm { d } { \theta } ^ { 2 } + \frac { \cosh \left( b { \tau } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \chi } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \theta } \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \mathrm { d } { \phi } ^ { 2 }
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d x \ g ( x ) \delta ( a x ) = { \frac { 1 } { - \left\vert a \right\vert } } \int _ { \infty } ^ { - \infty } d x ^ { \prime } \ g \left( { \frac { x ^ { \prime } } { a } } \right) \delta ( x ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { \left\vert a \right\vert } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { \prime } \ g \left( { \frac { x ^ { \prime } } { a } } \right) \delta ( x ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { \left\vert a \right\vert } } g ( 0 ) .
C _ { 1 } = \frac { \left\langle N _ { i j } ^ { 2 } \right\rangle \left\langle L _ { i j } M _ { i j } \right\rangle - \left\langle M _ { i j } N _ { i j } \right\rangle \left\langle L _ { i j } N _ { i j } \right\rangle } { \left\langle N _ { i j } ^ { 2 } \right\rangle \left\langle M _ { i j } ^ { 2 } \right\rangle - \left\langle M _ { i j } N _ { i j } \right\rangle ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { f ( x _ { 0 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } ( x _ { 2 } - x _ { j } ) \right) f _ { x } [ 0 , 1 , \dots , i ] } & { = f ( x _ { 0 } ) + ( x _ { 2 } - x _ { 0 } ) f _ { x } [ 0 , 1 ] + ( x _ { 2 } - x _ { 0 } ) ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) f _ { x } [ 0 , 1 , 2 ] } \\ & { = f ( x _ { 0 } ) + ( x _ { 2 } - x _ { 0 } ) f _ { x } [ 0 , 1 ] + ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \left( f _ { x } [ 1 , 2 ] - f _ { x } [ 0 , 1 ] \right) } \\ & { = f ( x _ { 0 } ) + \left( ( x _ { 2 } - x _ { 0 } ) - ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \right) f _ { x } [ 0 , 1 ] + ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) f _ { x } [ 1 , 2 ] } \\ & { = f ( x _ { 0 } ) + ( x _ { 1 } - x _ { 0 } ) f _ { x } [ 0 , 1 ] + ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) f _ { x } [ 1 , 2 ] } \\ & { = f ( x _ { 0 } ) + \left( f ( x _ { 1 } ) - f ( x _ { 0 } ) \right) + \left( f ( x _ { 2 } ) - f ( x _ { 1 } ) \right) } \\ & { = f ( x _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { M } u _ { 2 } ( \Phi ( t ) ) v _ { * } ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) \Phi _ { 1 } ( t ) \mathrm { d } x \right| } & { { } \leq 2 \pi \| v _ { * } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| { \psi } - \psi _ { * } \| _ { W ^ { 1 , 1 } } } \end{array}
M ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 2 . 8 } } & { { - 1 . 0 } } & { { - 5 . 8 } } & { { 4 . 3 } } \\ { { - 1 . 0 } } & { { 0 . 7 7 } } & { { 2 . 6 } } & { { - 2 . 0 } } \\ { { - 5 . 8 } } & { { 2 . 6 } } & { { 9 1 . } } & { { 6 . 7 } } \\ { { 4 . 3 } } & { { - 2 . 0 } } & { { 6 . 7 } } & { { 2 0 . } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l } { \rVert v _ { \varepsilon } - \bar { v } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \\ { \rVert d _ { i } ( v _ { \varepsilon } - \bar { v } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \end{array}
\widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } = \frac { U _ { i } } { 2 } + \frac { G _ { i } } { 2 \widetilde { \lambda } _ { i } } , \ \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } = \frac { U _ { i } } { 2 } - \frac { G _ { i } } { 2 \widetilde { \lambda } _ { i } } ; \ \widetilde { \lambda } _ { i } = \sqrt { \lambda _ { i } ^ { 2 } + \frac { ( \delta \lambda _ { i } ) ^ { 2 } } { 3 } }
\begin{array} { r } { A _ { i + j - 1 } ^ { i } = \sum _ { r = 1 } ^ { i } \overset { i \mathrm { ~ f a c t o r s } } { \overbrace { \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } \otimes \cdots \otimes \underset { \underset { r \mathrm { t h ~ p o s i t i o n } } { \uparrow } } { F ^ { ( j ) } } \otimes \cdots \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { Q \times Q } } } } . } \end{array}
L = - T \eta _ { i \bar { j } } ( { \partial } _ { \tau } X ^ { i } { \partial } _ { \bar { \tau } } { \bar { X } } ^ { \bar { j } } + { \partial } _ { \bar { \tau } } X ^ { i } { \partial } _ { \tau } { \bar { X } } ^ { \bar { j } } ) ,
\begin{array} { r l } & { | A | - \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } ] } \right| - | Z _ { B } | = \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \left| Z _ { ( \frac { 2 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 } ] } ^ { 1 ( 2 ) } \right| + \left| Z _ { ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } ] , G } \right| } \\ & { \leqslant \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \frac { n } { 6 } + 5 } \\ & { \, \, \, \, \, \, - \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| + \operatorname* { m i n } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| \right) , 3 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 0 ( 3 ) } \right| , 3 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| \right) } \\ & { \, \, \, \, \, \, + \frac { n } { 1 2 } + 3 - \operatorname* { m a x } \bigg ( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| \bigg ) } \\ & { \leqslant \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| + \frac { n } { 4 } + 8 - \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right| = \frac { n } { 4 } + 8 , } \end{array}
\Pi ^ { H , \ell } = \Pi _ { s , S S } ^ { \ell } + \Pi _ { s , \Omega \Omega } ^ { \ell } + \Pi _ { s , S \Omega } ^ { \ell } + \Pi _ { m , S S } ^ { \ell } + \Pi _ { m , \Omega \Omega } ^ { \ell } + \Pi _ { m , S \Omega } ^ { \ell } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { k , r = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } \sum _ { { \tilde { \alpha } } \in \mathbb { N } ^ { r } } \sum _ { n = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( k , r ) } \sum _ { \sigma ^ { 1 } \in \mathcal { A } ( k , n ) } \sum _ { \sigma ^ { 2 } \in \mathcal { A } ( r , n ) } = \sum _ { k , r = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } \sum _ { { \tilde { \alpha } } \in \mathbb { N } ^ { r } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k , r = n } ^ { \infty } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k } } \sum _ { { \tilde { \alpha } } \in \mathbb { N } ^ { r } } \sum _ { \sigma ^ { 1 } \in \mathcal { A } ( k , n ) } \sum _ { \sigma ^ { 2 } \in \mathcal { A } ( r , n ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi + t - \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } t ^ { 2 } , } & { \xi < 0 , } \\ { \bar { y } ( \xi ) + \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) t } \\ { \quad + \frac { \pi } { 1 6 } \left( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - 4 \pi - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) \right) t ^ { 2 } , } & { 0 \leq \xi < 4 + 2 \pi ^ { 2 } , } \\ { \xi - 2 \pi ^ { 2 } + t + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } t ^ { 2 } , } & { 4 + 2 \pi ^ { 2 } \leq \xi , } \end{array} \right. } \\ { U ( t , \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } t , } & { \xi < 0 , } \\ { \cos ( \pi \bar { y } ( \xi ) ) } \\ { \quad + \frac { \pi } { 8 } \left( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) - 4 \pi - \sin ( 2 \pi \bar { y } ( \xi ) ) \right) t , } & { 0 \leq \xi < 4 + 2 \pi ^ { 2 } , } \\ { 1 + \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } t , } & { 4 + 2 \pi ^ { 2 } \leq \xi , } \end{array} \right. } \\ { V ( t , \xi ) } & { = H ( t , \xi ) = V _ { 0 } ( \xi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \hbar \partial _ { t } \Psi _ { \alpha } } & { { } = } & { \Big ( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { \alpha } } \nabla ^ { 2 } + g _ { \alpha \alpha } | \Psi _ { \alpha } | ^ { 2 } + g _ { \alpha \beta } | \Psi _ { \beta } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { n } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { R _ { n } ^ { [ 2 ] } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { R _ { n } ^ { [ 3 ] } } \end{array} \right] \times \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { 4 } \otimes b _ { 1 , 1 } ^ { [ n ] } } & { \dotsc } & { I _ { 4 } \otimes b _ { 1 , 3 } ^ { [ n ] } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { I _ { 4 } \otimes b _ { 3 , 1 } ^ { [ n ] } } & { \dotsc } & { I _ { 4 } \otimes b _ { 3 , 3 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 , 1 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 1 , 1 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } R _ { n } ^ { [ 1 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 , 2 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 1 , 2 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } R _ { n } ^ { [ 1 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 1 , 3 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 1 , 3 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } } \\ { R _ { n } ^ { [ 2 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 2 , 1 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 2 , 1 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } R _ { n } ^ { [ 2 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 2 , 2 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 2 , 2 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } R _ { n } ^ { [ 2 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 2 , 3 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 2 , 3 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } } \\ { R _ { n } ^ { [ 3 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 3 , 1 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 3 , 1 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } R _ { n } ^ { [ 3 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 3 , 2 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 3 , 2 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } R _ { n } ^ { [ 3 ] } \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 3 , 3 } ^ { [ n ] } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { b _ { 3 , 3 } ^ { [ n ] } } \end{array} \right] _ { 4 \ell \times 4 \ell } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta E _ { 1 } } & { = \frac { m _ { e } B } { M } \frac { 1 } { a _ { 0 } } + \frac { \alpha B } { M _ { \gamma } } \frac { 2 } { a _ { 0 } ^ { 2 } } , } \\ { \delta E _ { 2 } } & { = \frac { m _ { e } B } { M } \frac { 1 } { 4 a _ { 0 } } + \frac { \alpha B } { M _ { \gamma } } \frac { 4 } { a _ { 0 } ^ { 2 } } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } \sum _ { j } ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } m \omega ^ { 2 } \sum _ { k } Q _ { k } Q _ { - k } ( 2 - e ^ { i k a } - e ^ { - i k a } ) = { \frac { 1 } { 2 } } m \sum _ { k } { \omega _ { k } } ^ { 2 } Q _ { k } Q _ { - k } ~ ,
\{ \omega _ { j } ^ { ( { \cal Q } ) } ( \underline { { { x } } } ) , \omega _ { j ^ { \prime } } ^ { ( { \cal Q } ) } ( \underline { { { y } } } \} _ { D } = - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta ( x ^ { \perp } - y ^ { \perp } ) G ^ { { \cal Q } } ( x ^ { - } - y ^ { - } )
\begin{array} { r } { \hat { \theta } _ { 1 } + \frac { q } { L e } \hat { c } _ { 1 } = { T } _ { 1 - } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 1 - } + \eta \frac { d } { d z } \left( { T } _ { 0 } + \frac { q } { L e } { Y } _ { 0 } \right) \Big | _ { - } . } \end{array}
\mathbf { m } ^ { ( \mathrm { ~ e ~ q ~ } ) } = \rho \left[ 1 , \ - 2 + 3 \left| \mathbf { u } _ { f } \right| ^ { 2 } , \ 1 - 3 \left| \mathbf { u } _ { f } \right| ^ { 2 } , \ u _ { f } , - u _ { f } , \ v _ { f } , \ - v _ { f } , \ 2 u _ { f } ^ { 2 } - v _ { f } ^ { 2 } , \ u _ { f } v _ { f } \right] ^ { T }
\begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( w , \bar { \nu } ) : = } & { - \displaystyle \frac { 1 } { 2 p _ { M } } w + 4 p _ { M } \bar { \nu } ^ { 2 } \qquad w \in C _ { w } } \\ { g ^ { \prime } ( w , \bar { \nu } ) : = } & { \Big [ 1 - \displaystyle \frac { 1 } { 2 p _ { M } } \Big ] w + c \bar { \nu } ^ { 2 } \qquad w \in D _ { w } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { i } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma z ( 1 + \eta z ) ^ { - 2 } } & { , i = 1 } \\ { z ( 1 - \alpha z ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { , i = 2 } \\ { z ( 1 - z ) ^ { - 1 } ( 1 + \beta z ) ^ { - 1 } } & { , i = 3 } \\ { ( A - B ) ^ { - 1 } \log ( ( 1 + A z ) / ( 1 + B z ) ) } & { , i = 4 , } \end{array} \right. } \end{array}
\xi ( r , \theta , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi i t } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \, r ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta ^ { \prime } \, \exp \bigg [ \frac { i ( r ^ { 2 } + r ^ { \prime \, 2 } ) } { 2 t } \bigg ] \exp \big ( - i r r ^ { \prime } \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) / t \big ) \, \xi ( r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } , 0 )
\sum _ { B = 1 } ^ { N } \frac { \mathsf { G } _ { A , B } } { 2 \mathsf { G } _ { A } \sqrt { \mathsf { G } _ { B } } } \, \vartheta ^ { B } \wedge \vartheta ^ { A } + \omega ^ { A } { } _ { C B } \, \vartheta ^ { C } \wedge \vartheta ^ { B } = 0 \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ ~ ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ } ~ A ) \, ,
\operatorname* { l i m } _ { t _ { f } \to \infty } \frac { 1 } { t _ { f } } \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } g ( F ^ { t } ( \u _ { 0 } ) ) d t = \int _ { \u \in B } g ( \u ) \rho _ { B } ( \u ) d u \qquad \forall \u _ { 0 } \in B
\times \sum _ { Q } { \binom { K } { Q } } \biggl ( D _ { S + K - Q } E _ { A } ^ { P } E _ { C } ^ { L } ( f ) D _ { J - R - S + M + L + N + P + Q } E _ { D } ^ { M } ( g ) - ( F \leftrightarrow G ) \biggr ) \Biggr ]
H = \sum _ { j = 1 } ^ { l } k _ { j } H _ { R _ { j } } ~ ~ , ~ ~ H _ { R _ { j } } = \Pi _ { i = 1 } ^ { \ell } ( a _ { s _ { i } } ^ { \dagger } ) ^ { \beta _ { i j } } \cdot \Pi _ { i = 1 } ^ { \ell } a _ { s _ { i } } ^ { \alpha _ { i j } } - \Pi _ { i = 1 } ^ { \ell } ( a _ { s _ { i } } ^ { \dagger } ) ^ { \alpha _ { i j } } \cdot \Pi _ { i = 1 } ^ { \ell } a _ { s _ { i } } ^ { \alpha _ { i j } } ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } = } & { \left[ \begin{array} { l l } { \left. \frac { \partial f } { \partial | \hat { A _ { 1 } } | } \right| _ { F } } & { \left. \frac { \partial f } { \partial | \hat { A _ { 2 } } | } \right| _ { F } } \\ { \left. \frac { \partial g } { \partial | \hat { A _ { 1 } } | } \right| _ { F } } & { \left. \frac { \partial g } { \partial | \hat { A _ { 2 } } | } \right| _ { F } } \end{array} \right] = \left( \begin{array} { l l } { 1 - 3 b _ { 0 } ( | \hat { A _ { 1 } } | ^ { F } ) ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) ( | \hat { A _ { 2 } } | ^ { F } ) ^ { 2 } } & { - 2 \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) | \hat { A _ { 1 } } | ^ { F } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { F } } \\ { - 2 \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) | \hat { A _ { 1 } } | ^ { F } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { F } } & { 1 - 3 b _ { 0 } ( | \hat { A _ { 2 } } | ^ { F } ) ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) ( | \hat { A _ { 1 } } | ^ { F } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { { } = } & { \frac { 9 \Bar { \tau } } { 1 0 } \bigg [ z ^ { 2 } \bigl ( \frac { 3 \gamma _ { 0 } } { 1 0 } + \frac { 1 3 } { 1 3 5 } \bigl ) \partial _ { z } ^ { 2 } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } + z \bigl ( \frac { 9 \gamma _ { 0 } } { 5 } + \frac { 7 8 } { 1 3 5 } \bigl ) \partial _ { z } \tilde { M } _ { \mathrm { L } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \left\| u _ { n } - \int _ { 0 } ^ { \cdot } \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u _ { n } ) d W \right\| _ { W ^ { 1 , 2 } ( 0 , T ; \mathcal D _ { s - 2 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq C _ { T , s , \kappa } \Big ( 1 + \| u _ { 0 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| u _ { n } ( t ) \| _ { \tilde { s } } ^ { 4 } \Big ) < \infty . } \end{array}
\mathbf { H } _ { k + 1 } = \left( I - \gamma _ { k } y _ { k } s _ { k } ^ { \mathsf { T } } \right) \mathbf { H } _ { k } \left( I - \gamma _ { k } s _ { k } y _ { k } ^ { \mathsf { T } } \right) + \gamma _ { k } y _ { k } y _ { k } ^ { \mathsf { T } } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u ( t , x ) - \nu \Delta u ( t , x ) + ( u \cdot \nabla ) u ( t , x ) + \nabla p ( t , x ) = F ( t , x ) , } \\ { \nabla \cdot u ( t , x ) = 0 , } \\ { u ( 0 , x ) = u _ { 0 } ( x ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { k _ { \mathrm { ~ E ~ } } ( x ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - x ^ { 2 } } & { , | x | \leq 1 } \\ { 0 } & { , | x | > 1 ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } } & { { } ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q < 1 , \Delta _ { u } \ge 0 } = 2 \frac { \sqrt { r \, \beta ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \Delta _ { t } ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 2 r } } \end{array}