harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { d } { d t } } \left( \mathbf { P } _ { \mathrm { m e c h } } + \mathbf { P } _ { \mathrm { f i e l d } } \right) _ { i } = \iint _ { \sigma } \left( \sum _ { j } T _ { i j } n _ { j } \right) d \Sigma \, .
\begin{array} { r l } { \rho _ { j } = 1 . 0 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } \rho _ { \infty } = 1 . 0 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { T _ { j } = 1 . 0 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } T _ { \infty } = 1 . 0 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { U _ { j } = 1 . 4 \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } U _ { \infty } = 0 . 0 0 \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { R e _ { j } = 1 . 5 7 \times 1 0 ^ { 6 } \, \mathrm { ~ , ~ } } & { { } C _ { v } = 1 . 7 8 6 \, \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \mu _ { 1 } 2 ^ { n \alpha } \left( \delta ( v ^ { \prime } ) - \frac 1 2 ( \delta ( ( v ^ { \prime } ) _ { 2 ^ { - n } } ^ { i } ) + \delta ( ( v ^ { \prime } ) _ { - 2 ^ { - n } } ^ { i } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } + \mu _ { 2 } 2 ^ { n \alpha } \left( \delta ( v ^ { \prime \prime } ) - \frac 1 2 ( \delta ( ( v ^ { \prime \prime } ) _ { 2 ^ { - n } } ^ { i } ) + \delta ( ( v ^ { \prime \prime } ) _ { - 2 ^ { - n } } ^ { i } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { r = 1 } ^ { l } \nu _ { r } 2 ^ { \alpha n _ { r } } \left( \delta _ { x } ^ { j } ( w _ { r } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { j } ( w _ { r } ^ { - } ) + \delta _ { x } ^ { j } ( w _ { r } ^ { + } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } - \frac 1 2 \sum _ { r = 1 } ^ { l } \nu _ { r } 2 ^ { \alpha n _ { r } } \left( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( w _ { r } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( w _ { r } ^ { - } ) + \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( w _ { r } ^ { + } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } - \frac 1 2 \sum _ { r = 1 } ^ { l } \nu _ { r } 2 ^ { \alpha n _ { r } } \left( \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( w _ { r } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x _ { 2 } } ^ { j } ( w _ { r } ^ { - } ) + \delta _ { x _ { 1 } } ^ { j } ( w _ { r } ^ { + } ) ) \right) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } ^ { * } ( t ) } & { = x ^ { * } - ( x ^ { * } ) ^ { 3 } - \gamma x ^ { * } ( y ^ { * } ) ^ { 2 } + ( 1 + \epsilon ( x ^ { * } ) ^ { 2 } ) \theta _ { 1 } ^ { * } } \\ { \dot { y } ^ { * } ( t ) } & { = - ( 1 + ( x ^ { * } ) ^ { 2 } ) y ^ { * } + \theta _ { 2 } ^ { * } } \\ { \dot { p _ { 1 } } ^ { * } ( t ) } & { = p _ { 1 } ^ { * } ( 3 ( x ^ { * } ) ^ { 2 } + \gamma ( y ^ { * } ) ^ { 2 } - 2 \epsilon x ^ { * } \theta _ { 1 } ^ { * } - 1 ) + 2 p _ { 2 } x ^ { * } y ^ { * } + \frac { \partial { L } } { \partial { x } } } \\ { \dot { p _ { 2 } } ^ { * } ( t ) } & { = 2 p _ { 1 } ^ { * } \gamma x ^ { * } y ^ { * } + p _ { 2 } ^ { * } ( 1 + ( x ^ { * } ) ^ { 2 } ) - 2 \gamma y ^ { * } } \\ { \theta ^ { * } } & { = a r g m a x H \left( t , x ^ { * } ( t ) , p ^ { * } ( t ) , \theta ^ { * } ( t ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { P } } _ { - } ^ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } ( x , x ^ { \prime } ) ] \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x ^ { \prime } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \lambda \to ^ { + } 0 } \left[ \int _ { \Sigma } | u ^ { \lambda } - v | | \nu _ { t } | d \mathcal { H } ^ { d } + \int _ { A \cap \{ \mathfrak { t } ( ( \tau , z ) , \Sigma ) \leq \lambda \} } \frac { 1 } { \lambda } \Psi _ { 0 } \big ( \lambda \, \partial _ { \tau } u ^ { \lambda } ( \tau , z ) \big ) \ d \tau \, d z + \textup { T r } _ { \lambda } ( u ^ { \lambda } , v , A , \Sigma ) \right] = 0
\begin{array} { r l } & { z _ { j } ( t ) = w _ { j } ^ { P } ( t ) \frac { { b } _ { j } ^ { S B , M } ( \gamma _ { j } ( t ) ) ^ { 2 } \eta _ { P } + \frac { q _ { i } } { Q _ { M } } - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { Q _ { M } ^ { 2 } \zeta _ { i } ^ { M } ( { b } _ { i } ^ { S B , M } ( \gamma _ { i } ( t ) ) ) } } { \zeta _ { j } ^ { M } ( { b } _ { j } ^ { S B , M } ( \gamma _ { j } ( t ) ) ) - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { Q _ { M } ^ { 2 } \zeta _ { i } ^ { M } ( { b } _ { i } ^ { S B , M } ( \gamma _ { i } ( t ) ) ) } } - w _ { i } ^ { P } ( t ) \frac { \varepsilon } { Q _ { M } } \frac { { b } _ { i } ^ { S B , M } ( \gamma _ { i } ( t ) ) ^ { 2 } \eta _ { A } } { \zeta _ { i } ^ { M } ( { b } _ { i } ^ { S B , M } ( \gamma _ { i } ( t ) ) ) } \; , } \\ & { \gamma _ { j } ( t ) = \hat { m } _ { j } ( z _ { j } ( t ) , t ) \; , } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ i ~ d ~ e ~ n ~ t ~ } } ( x , y , t ) = E _ { 0 } ( x , y ) \sum _ { k = - K } ^ { K } a _ { k } \exp ( i 2 \pi t ( \nu _ { 0 } + k \Delta \nu ) ) \exp ( i \phi _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { \chi _ { t l } ( \mathbf { m } _ { b } , \mathbf { m } _ { m } ) = } & { \| \mathbf { R u } ( \mathbf { m } _ { b } ) - \mathbf { d } _ { b } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \mathbf { R u } ( \mathbf { m } _ { m } ) - \mathbf { d } _ { m } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + \delta \| \mathbf { m } _ { m } - \mathbf { m } _ { b } \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ( x ) } & { = \sum _ { v \in \mathcal V ( Q _ { w , 1 } ^ { d } ) } \Lambda _ { 1 } ^ { d } ( v , x ) \delta _ { V } ( v ) } \\ & { = \sum _ { u \in \{ 0 , 1 \} ^ { d - 1 } } \Lambda _ { 1 } ^ { d - 1 } ( \pi _ { d } ( w ) + u , \pi _ { d } ( x ) ) \Lambda _ { 1 } ^ { 1 } ( w _ { d } , x _ { d } ) \delta _ { V } ( w + u ^ { 0 } ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { u \in \{ 0 , 1 \} ^ { d - 1 } } \Lambda _ { 1 } ^ { d - 1 } ( \pi _ { d } ( w ) + u , \pi _ { d } ( x ) ) \Lambda _ { 1 } ^ { 1 } ( w _ { d } + 1 , x _ { d } ) \delta _ { V } ( w + u ^ { 1 } ) } \\ & { = \sum _ { u \in \{ 0 , 1 \} ^ { d - 1 } } \Lambda _ { 1 } ^ { d - 1 } ( \pi _ { d } ( w ) + u , \pi _ { d } ( x ) ) ( 1 - ( x _ { d } - w _ { d } ) ) \delta _ { V } ( w + u ^ { 0 } ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { u \in \{ 0 , 1 \} ^ { d - 1 } } \Lambda _ { 1 } ^ { d - 1 } ( \pi _ { d } ( w ) + u , \pi _ { d } ( x ) ) ( x _ { d } - w _ { d } ) \delta _ { V } ( w + u ^ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } ^ { k } } \mathbb { E } [ r _ { i } ^ { - \alpha } ] } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { B S } } \mathbb { E } [ r _ { i } ^ { - \alpha } ] - \mathbb { E } [ r _ { k } ^ { - \alpha } ] } \\ & { = ( \pi \lambda _ { B S } ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \left( \frac { \Gamma ( N _ { B S } + 1 - \frac { \alpha } { 2 } ) } { ( 1 - \frac { \alpha } { 2 } ) \Gamma ( N _ { B S } ) } \right. } \\ & { \left. - \frac { \Gamma ( k - \frac { \alpha } { 2 } ) } { \Gamma ( k ) } \right) . } \end{array}
d s _ { S U ( 2 ) \times U ( 1 ) } ^ { 2 } = M d { \bf x } ^ { 2 } + { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { M } } d \chi ^ { 2 } + k \left[ { \frac { d b ^ { 2 } } { b } } + b \left( d \alpha ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \alpha \, d \beta ^ { 2 } + ( d \gamma + \cos \alpha \, d \beta ) ^ { 2 } \right) \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { + \infty > u ( x _ { 0 } ) \geq C \int _ { \mathcal C _ { Q , \Sigma _ { 1 } } } G _ { \mathcal { C } } ^ { s } ( x _ { 0 } , y ) | y - P | ^ { a } u ^ { p } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { } & { \qquad \qquad \quad \, \, \, \, \geq C \int _ { \mathcal C _ { Q , \Sigma _ { 2 } } , \, | y - P | \geq R _ { 0 } + \frac { 4 \sigma _ { 2 } } { \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } } r + 1 } | y - P | ^ { a + p \kappa - \theta } \mathrm { d } y = + \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathsf { P } } } } & { { } = \frac { 1 } { 8 } k | \hat { \xi } | ^ { 2 } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } = \frac { 1 } { 8 } k \gamma ^ { 2 } | \hat { X } | ^ { 2 } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \forall p , q \in \ensuremath { \mathrm { ~ P ~ S ~ } } , \{ \hat { b } _ { p } , \hat { b } _ { q } ^ { \dagger } \} = \delta _ { p , q } \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \forall p , q \in \ensuremath { \mathrm { ~ N ~ S ~ } } , \{ \hat { d } _ { p } , \hat { d } _ { q } ^ { \dagger } \} = \delta _ { p , q } . \; \; } \end{array}
- S \int _ { 0 } ^ { t } \xi ( t - t ^ { \prime } ) U ( t ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } t ^ { \prime } = - S \int _ { 0 } ^ { t } \lambda ( t - t ^ { \prime } ) [ U ( t ^ { \prime } ) - u ( 0 , t ^ { \prime } ) ] \, \mathrm { d } t ^ { \prime }
{ \begin{array} { r l } { P _ { \ell } \left( \cosh \xi \right) } & { = { \sqrt { \frac { \xi } { \sinh \xi } } } I _ { 0 } \left( \left( \ell + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \xi \right) \left( 1 + { \mathcal { O } } \left( \ell ^ { - 1 } \right) \right) \, , } \\ { P _ { \ell } \left( { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \ell e } } } { \frac { ( 1 + e ) ^ { \frac { \ell + 1 } { 2 } } } { ( 1 - e ) ^ { \frac { \ell } { 2 } } } } + { \mathcal { O } } \left( \ell ^ { - 1 } \right) } \end{array} }
\omega _ { 0 } \circ \mathcal { X } _ { [ t , 0 ] } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { L _ { 0 } } \sum _ { | m | \leq \ell } \hat { \omega } _ { \ell , m } ^ { 0 } Y _ { \ell } ^ { m } \circ \mathcal { X } _ { [ t , 0 ] } = \sum _ { \ell ^ { \prime } = 0 } ^ { L _ { e } ( t ) } \sum _ { | m ^ { \prime } | \leq \ell ^ { \prime } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { L _ { 0 } } \sum _ { | m | \leq \ell } \hat { \omega } _ { \ell , m } ^ { 0 } b _ { \ell ^ { \prime } , m ^ { \prime } } ^ { \ell , m } ( t ) Y _ { \ell ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } } + \mathcal { R } ( \mathcal { X } _ { [ t , 0 ] } ) \, ,
\begin{array} { r } { \overline { { u ^ { \textnormal { E } } } } = \frac { 1 } { T ^ { \textnormal { E } } } \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { E } } } u ( x , t ) \, d t = \frac { c } { T ^ { \textnormal { E } } } \epsilon \int _ { 0 } ^ { T ^ { \textnormal { E } } } \cos ( k x - \omega t ) \, d t = 0 . } \end{array}
W _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { C N _ { i j } - P _ { i j } } { 4 } , } & { \mathrm { i f } \quad k _ { i } \ge 1 , \; k _ { j } \ge 1 \mathrm { ~ a n d ~ } ( i , j ) \notin E , } \\ { P _ { i j } , } & { \mathrm { i f } \quad k _ { i } = 1 \mathrm { ~ o r ~ } k _ { j } = 1 , \mathrm { ~ a n d ~ } ( i , j ) \in E , } \\ { 2 C N _ { i j } + P _ { i j } , } & { \mathrm { i f } \quad k _ { i } > 1 \mathrm { ~ a n d ~ } k _ { j } > 1 , \mathrm { ~ a n d ~ } ( i , j ) \in E , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { k } } & { = \Bar { \mathbf { E } } _ { k } + \Delta \mathbf { E } _ { k } , \quad \| \Delta \mathbf { E } _ { k } \| _ { F } \leq \epsilon _ { \mathbf { E } _ { k } } , \forall k \in \mathcal { K } , } \\ { \mathbf { d } _ { k } } & { = \Bar { \mathbf { d } } _ { k } + \Delta \mathbf { d } _ { k } , \quad \| \Delta \mathbf { d } _ { k } \| _ { 2 } \leq \epsilon _ { \mathbf { d } _ { k } } , \forall k \in \mathcal { K } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { a _ { 0 } } & { = m + k + 1 , } & { a _ { 1 } } & { = m + l , } & { a _ { 2 } } & { = m - k , } & { a _ { 3 } } & { = m - l , } \\ { a _ { 4 } } & { = m - k + 1 , } & { a _ { 5 } } & { = m - l , } & { a _ { 6 } } & { = m + k + 1 , } & { a _ { 7 } } & { = m + l + 1 , } \\ { a _ { 8 } } & { = m + k , } & { a _ { 9 } } & { = m + l , } & { a _ { 1 0 } } & { = m - k - 1 , } & { a _ { 1 1 } } & { = m - l , } \\ { a _ { 1 2 } } & { = m - k , } & { a _ { 1 3 } } & { = m - l , } & { a _ { 1 4 } } & { = m + k + 1 , } & { a _ { 1 5 } } & { = m + l . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \omega \| _ { p } } & { { } \leq C \left[ \| \omega _ { 0 } \| _ { p } + \left( 1 + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p - 2 } } \right) \| u _ { 0 } \| _ { 2 } + C _ { \alpha , \kappa } \mathrm { { R a } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { - 4 \pi a _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } \rho _ { \mathrm { d } } L _ { \mathrm { b o i l } } \left( \frac { \mathrm { d } a _ { \mathrm { d } } } { \mathrm { d } x } \right) _ { \mathrm { b o i l } } = \frac { 4 \pi a _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { d } } } ( \Gamma - \Lambda _ { \mathrm { r a d } } - \Lambda _ { \mathrm { e v a p } } ) , } \end{array}
K _ { I } ^ { \prime } ( \theta ) = \ell ^ { \prime } \; \; \frac { \textrm { s n } \left[ \frac { \textbf { K } } { i \pi } \left( \theta - i \frac { \pi } { 2 } \right) \right] } { \textrm { c n } \left[ \frac { \textbf { K } } { i \pi } \left( \theta - i \frac { \pi } { 2 } \right) \right] \textrm { d n } \left[ \frac { \textbf { K } } { i \pi } \left( \theta - i \frac { \pi } { 2 } \right) \right] } \, \, \, .
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } \frac { | k | } { \operatorname* { m i n } \left\{ | j | , | k | \right\} } ( | j | + | k | ) ^ { \alpha - 1 } , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 1 } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | \left( \frac { | k | } { \operatorname* { m i n } \left\{ | j _ { 1 } | , | j _ { 2 } | , | k | \right\} } \right) ^ { 2 } \left( \frac { ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 2 } } { ( | j _ { 1 } | + | k | ) ^ { \alpha - 1 } ( | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { \alpha - 1 } } \right) , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } \left( \frac { | k | } { \operatorname* { m i n } \left\{ | j | , | k | \right\} } \right) ^ { 2 } | j | ^ { \alpha - 2 } ( | j | + | k | ) , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 2 } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | \left( \frac { | k | } { \operatorname* { m i n } \left\{ | j _ { 1 } | , | j _ { 2 } | , | k | \right\} } \right) ^ { 4 } \left( \frac { ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { 4 \alpha - 3 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 3 } } { ( | j _ { 1 } | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 2 } ( | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { W } ^ { \epsilon } } & { = Q _ { W } - 2 \pi [ G _ { - } , \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Phi , \cdot ) ] = Q _ { W } + { \epsilon } \; 2 \pi i \frac { \partial \Phi } { \partial Y _ { k } } \frac { \partial } { \partial \psi _ { \Phi } ^ { k } } } \\ & { = Q + 2 \pi i \frac { \partial W } { \partial Y _ { k } } \frac { \partial } { \partial \psi _ { \Phi } ^ { k } } + 2 \pi i { \epsilon } \; \frac { \partial \Phi } { \partial Y _ { k } } \frac { \partial } { \partial \psi _ { \Phi } ^ { k } } = Q _ { W ^ { \epsilon } } . } \end{array}
E _ { t o t } ^ { G P P } = E _ { t o t } ^ { D F T } - \alpha \cdot E _ { x c } ^ { D F T } + \alpha \cdot \Sigma ^ { G P P } = E _ { t o t } ^ { D F T } - \alpha \cdot E _ { x c } ^ { D F T } + \alpha \cdot \frac 1 2 \sum _ { i } \left[ \epsilon _ { i } ^ { G W } - \epsilon _ { i } ^ { D F T } + V _ { i } ^ { x c } \right]
\begin{array} { r } { \frac { \partial ( \delta \phi _ { \mathrm { ~ d ~ f ~ } } ) } { \partial \phi } \equiv 0 | _ { \phi = \frac { \pi } { 2 } } , \frac { \partial ( \delta \phi _ { \mathrm { ~ d ~ f ~ } } ) } { \partial R _ { 2 } } \equiv 0 | _ { R _ { 2 } = 0 . 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = - \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } f ( \widehat { L } ) \, P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } D ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { | \, | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } \, | \ | u ^ { k } - u ^ { j } | } } \\ & { \leq } & { | u ^ { k } - u ^ { j } | ^ { 2 } \ | \, | u ^ { k } | ^ { p - 1 } + | u ^ { k } | ^ { p - 2 } | u ^ { j } | + | u ^ { k } | ^ { p - 3 } | u ^ { j } | ^ { 2 } + \cdots + | u ^ { j } | ^ { p - 1 } \, | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ^ { \prime } ( x ) } & { { } = \left( \int _ { t _ { 1 } } ^ { b ( x ) } { \frac { \partial f } { \partial x } } ( x , t ) d t + f \left( x , b ( x ) \right) b ^ { \prime } ( x ) \right) - \left( \int _ { t _ { 1 } } ^ { a ( x ) } { \frac { \partial f } { \partial x } } ( x , t ) d t + f \left( x , a ( x ) \right) a ^ { \prime } ( x ) \right) } \end{array}
( f ^ { ( \alpha ) } ) _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { p + 1 } } = ( \phi _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ) _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { p + 1 } } ( f ^ { ( \alpha ^ { \prime } ) } ) _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { p + 1 } }
\begin{array} { r l } { a ^ { * } ( \bar { \kappa } _ { c , w _ { 1 } \cdots w _ { r } } ) } & { = \sum _ { I \sqcup J = \{ 1 , 2 , \ldots , r \} } \left( \sum _ { S \sqcup T = I } w _ { S } \times \kappa _ { c , w _ { T } } \right) \cdot ( - 1 ) ^ { | J | } \prod _ { j \in J } ( w _ { j } \times 1 + \frac { 1 } { \chi } 1 \times \kappa _ { e , w _ { j } } ) } \\ & { = \sum _ { S \sqcup T \sqcup U \sqcup V = \{ 1 , 2 , \ldots , r \} } ( - 1 ) ^ { | U | } w _ { S \sqcup U } \times \left( \kappa _ { c , w _ { T } } \cdot \prod _ { v \in V } ( - \frac { 1 } { \chi } \kappa _ { e , w _ { v } } ) \right) . } \end{array}
A = { \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 1 2 } } \\ { A _ { 2 1 } } & { A _ { 2 2 } } \end{array} \right] } , \quad B = { \left[ \begin{array} { l l } { B _ { 1 1 } } & { B _ { 1 2 } } \\ { B _ { 2 1 } } & { B _ { 2 2 } } \end{array} \right] } , \quad C = { \left[ \begin{array} { l l } { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } \\ { C _ { 2 1 } } & { C _ { 2 2 } } \end{array} \right] } , \quad
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \theta } _ { n + 1 } } & { = P _ { \Theta } ( \boldsymbol { \theta } _ { n } + \mu _ { 1 } \nabla _ { \boldsymbol { \theta } } f ( \boldsymbol { \theta } _ { n } , \mathbf { Q } _ { n } ; \mathbf { F } _ { 1 } , \mathbf { F } _ { 2 } , \mathbf { F } _ { 3 } ) ) } \\ { \mathbf { Q } _ { n + 1 } } & { = P _ { \mathcal { Q } } ( \mathbf { Q } _ { n } + \mu _ { 2 } \nabla _ { \mathbf { Q } } f ( \boldsymbol { \theta } _ { n + 1 } , \mathbf { Q } _ { n } ; \mathbf { F } _ { 1 } , \mathbf { F } _ { 2 } , \mathbf { F } _ { 3 } ) ) } \end{array}
\frac { \partial u _ { j } } { \partial \lambda _ { i } } = \delta _ { i j } \Big ( \nu N + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \phi _ { \mathrm { c a } } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { i } ) \Big ) - ( 1 - \delta _ { i j } ) \phi _ { \mathrm { c a } } ( \lambda _ { j } - \lambda _ { i } ) = N \big ( \Lambda _ { i , j } ^ { \circ } + N ^ { - 1 } \Lambda _ { i , j } ^ { \bot } \big ) ,
\begin{array} { r } { \vec { \mathcal { E } } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( k _ { x } , k _ { y } , \zeta > 0 ) = \vec { \mathcal { E } } _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ \, ~ s ~ } } ( k _ { x } , k _ { y } , \zeta = 0 ) \, e ^ { i k _ { z } \zeta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x _ { t } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \| \Gamma _ { \mathcal { X } } \big ( x _ { t - 1 } - \eta Q ( \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) ) \big ) - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \| \big ( x _ { t - 1 } - \eta Q ( \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) ) \big ) - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { = \| x _ { t - 1 } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \eta Q ( \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \eta ( x _ { t - 1 } - x ^ { * } ) ^ { T } Q ( \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) ) } \\ & { = \| x _ { t - 1 } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \eta Q ( \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \eta ( x _ { t - 1 } - x ^ { * } ) ^ { T } \big ( Q ( \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) ) - \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) \big ) } \\ & { \quad - 2 \eta ( x _ { t - 1 } - x ^ { * } ) ^ { T } \hat { g } ( x _ { t - 1 } ) , } \end{array}
\mathbf { R } _ { \phi } ^ { s } = \frac { K } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } & { \hdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \hdots } & { \sigma _ { P } ^ { 2 } } \end{array} \right]
\eta = \frac { \kappa ^ { 2 / 5 } ( \nu ^ { 6 / 5 } - 1 ) - ( \nu ^ { 6 / 5 } - 1 ) } { \nu ^ { 6 / 5 } ( \kappa ^ { 2 / 5 } - 1 ) } = 1 - \nu ^ { - 6 / 5 } .
\frac { \partial M } { \partial \boldsymbol { \Tilde { a } } } = - 2 \mathrm { I m } \left\{ \left[ \left( \left( 1 + \ln \frac { \boldsymbol { I } } { I _ { 0 } } \right) \otimes \boldsymbol { \psi ^ { * } } \right) \Tilde { \boldsymbol { \psi } } \right] \otimes e ^ { i \boldsymbol { \theta } } \right\} \boldsymbol { \Omega } ,
\begin{array} { l } { \displaystyle \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { \alpha , \beta } \\ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } \end{array} \right| z , w \right) \, = \, } \\ { \, = \, \frac 1 { ( 1 - z ) ^ { \alpha } } \, \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { \alpha , \gamma _ { 1 } - \beta } \\ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } } \end{array} \right| \frac z { z - 1 } , \frac w { 1 - z } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \bf \cal I } ( \sigma ) = } & { \int \int k _ { 2 } ( \tau ) \, { \bf \cal S } ( \tau ) \, { \bf \cal I } _ { p } ( t ^ { \prime } ) \, { \bf \cal S } ( \tau ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma ( t ^ { \prime } + \tau ) } \, d t ^ { \prime } d \tau } \\ { = } & { \int k _ { 2 } ( \tau ) \, { \bf \cal S } ( \tau ) \, \hat { \bf \cal I } _ { p } ( \sigma ) \, { \bf \cal S } ( \tau ) ^ { T } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \sigma \tau } \, d \tau \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q ^ { + } = W ^ { Q , + } \hat { h } ^ { z } , K ^ { + } = W ^ { K , + } \hat { h } ^ { z } , } \\ { Q ^ { - } = W ^ { Q , - } \hat { h } ^ { z } , K ^ { - } = W ^ { K , - } \hat { h } ^ { z } , } \\ { W ^ { + } = \mathrm { S o f t M a x } ( \frac { Q ^ { + } ( K ^ { + } ) ^ { T } } { \sqrt { d } } ) , } \\ { W ^ { - } = \mathrm { S o f t M a x } ( \frac { Q ^ { - } ( K ^ { - } ) ^ { T } } { \sqrt { d } } ) , } \end{array}
\mathcal { D } = - \mathcal { F } \dot { \xi } + \varpi _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ } } \dot { \mathrm { ~ d ~ } } + \nabla \mu ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \cdot { \bf M } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ b ~ } } \nabla \mu ^ { \mathrm { ~ e ~ } } \ge 0 ,
\begin{array} { r l } { - \frac { d \epsilon } { d t } } & { = \frac { 1 } { t + M r _ { 0 } } \left[ \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } } { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } + ( M - 1 ) \frac { \epsilon ^ { \beta } } { ( M - 1 ) ^ { \beta } } } - ( 1 - \epsilon ) \right] = } \\ & { = \frac { 1 } { t + M r _ { 0 } } \left[ \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } - ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta + 1 } - \frac { \epsilon ^ { \beta } ( 1 - \epsilon ) } { ( M - 1 ) ^ { \beta - 1 } } } { ( 1 - \epsilon ) ^ { \beta } + \frac { \epsilon ^ { \beta } } { ( M - 1 ) ^ { \beta - 1 } } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { c } } \left( R _ { n j } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \left[ 1 - \left( 1 - \frac { R _ { n j } ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \right] } & { \mathrm { f o r } \ R _ { n j } < R _ { \mathrm { c } } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { j } } h ( x ) g ( f ( x ) ) \mathrm { d } x } \\ { = } & { \left[ \frac { h ( x ) } { f ^ { \prime } ( x ) } G ( f ( x ) ) \right] _ { x _ { i } } ^ { x _ { j } } - \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { j } } \frac { h ^ { \prime } ( x ) } { f ^ { \prime } ( x ) } G ( f ( x ) ) \mathrm { d } x } \\ { = } & { ( x _ { j } - x _ { i } ) \frac { h _ { j } G ( f _ { j } ) - h _ { i } G ( f _ { i } ) } { f _ { j } - f _ { i } } - } \\ & { \frac { ( x _ { j } - x _ { i } ) ( h _ { j } - h _ { i } ) } { ( f _ { j } - f _ { i } ) ^ { 2 } } \left( \mathcal { G } ( f _ { j } ) - \mathcal { G } ( f _ { i } ) \right) } \end{array}