harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { r _ { 1 } \cdot r _ { A } } & { { } = } & { r _ { 2 } \cdot r _ { A } ( = \rho ) , } \\ { m _ { 1 } \cdot r _ { A } } & { { } = } & { m _ { 2 } \cdot r _ { A } ( = \mu ) , } \\ { \left< { m _ { 1 } ^ { \perp } , m _ { 2 } ^ { \perp } } \right> } & { { } = } & { \left< { r _ { 1 } ^ { \perp } , r _ { 2 } ^ { \perp } } \right> , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \mathbf { p } } P _ { \mathbf { p } } ( \mathbf { y } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \sigma \in \mathcal { S } _ { N } } e ^ { - i p _ { \sigma ( i ) } } A _ { \sigma } \prod _ { i = 1 } ^ { N } e ^ { i p _ { \sigma ( i ) } y _ { i } } - N P _ { \mathbf { p } } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { \sigma : \sigma ( i ) = j } e ^ { - i p _ { j } } A _ { \sigma } \prod _ { i = 1 } ^ { N } e ^ { i p _ { \sigma ( i ) } y _ { i } } - N P _ { \mathbf { p } } } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { - i p _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { \sigma : \sigma ( i ) = j } A _ { \sigma } \prod _ { i = 1 } ^ { N } e ^ { i p _ { \sigma ( i ) } y _ { i } } - N P _ { \mathbf { p } } } \end{array}
f ( z _ { 2 } ) = \beta _ { x } ^ { - \alpha _ { x } } \beta _ { y } ^ { - \alpha _ { y } } z _ { 2 } ^ { \alpha _ { y } - 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \frac { z _ { 1 } ^ { \alpha _ { x } - \alpha _ { y } - 1 } e ^ { \frac { - z _ { 1 } } { \beta _ { x } } } e ^ { \frac { - z _ { 2 } / z _ { 1 } } { \beta _ { y } } } } { \Gamma ( \beta _ { x } ) \Gamma ( \beta _ { y } ) } d z _ { 1 } \right]
\begin{array} { r } { ~ R e ( P _ { y } ) = \frac { s a _ { 1 } } { 2 } \left[ \frac { - R \sin ( \omega t - \alpha _ { 1 } ) } { R ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ( P ) ( \omega _ { L } - \omega ) ^ { 2 } } \right. - } \\ { \left. \frac { Q ( P ) ( \omega _ { L } - \omega ) \cos ( \omega t - \alpha _ { 1 } ) } { R ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ( P ) ( \omega _ { L } - \omega ) ^ { 2 } } \right. . } \end{array}
V _ { i } = - { \frac { R _ { i j } ^ { - 1 } } { \partial _ { t } ^ { 2 } - \vec { \partial } ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } \left( { \frac { \partial _ { j } \partial _ { t } } { \vec { \partial } ^ { 2 } - M ^ { 2 } } } J _ { 0 } + J _ { j } \right) ~ ,
{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { c } \end{array} \right] } = 1 { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { c } \end{array} \right] } } \\ { { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { b } \\ { d } \end{array} \right] } = 3 { \left[ \begin{array} { l } { b } \\ { d } \end{array} \right] } } \end{array} \right. }
S _ { n } = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \cdots \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { n - 1 } } d t _ { n } \, K ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \dots , t _ { n } ) .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \boldsymbol \chi } { \partial \tau } - \omega ^ { - \alpha } \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle _ { \mathcal { I B } } + \omega ^ { - \alpha } \mathbf v _ { 0 } - \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot [ \mathbf D ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi ) ] + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \mathbf v _ { 0 } \cdot \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol \chi = 0 , } \end{array}
\overline { { \Delta } } _ { \mathrm { ~ S ~ J ~ L ~ } , L ^ { 2 } } = 0 \Leftrightarrow | x | _ { 2 } ^ { 2 } + | y | _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \langle x , y \rangle = 0 \Leftrightarrow x = y
\vec { N } ( \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } ) \equiv \frac { \vec { X } _ { , \sigma ^ { 1 } } ^ { r e s t } \times \vec { X } _ { , \sigma ^ { 2 } } ^ { r e s t } } { | \vec { X } _ { , \sigma ^ { 1 } } ^ { r e s t } \times \vec { X } _ { , \sigma ^ { 2 } } ^ { r e s t } | }
{ \frac { \left( x _ { 1 } + s u \right) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { \left( y _ { 1 } + s v \right) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 \ \quad \Longrightarrow \quad 2 s \left( { \frac { x _ { 1 } u } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y _ { 1 } v } { b ^ { 2 } } } \right) + s ^ { 2 } \left( { \frac { u ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { v ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) = 0 \ .
K _ { \check { r } } ^ { \; \check { s } } ( \tau , \vec { \sigma } _ { o } ) \, \frac { \partial \Sigma ^ { \check { u } } ( \tau , \vec { \sigma } _ { o } ) } { \partial \sigma _ { o } ^ { \check { s } } } = \delta _ { \check { r } } ^ { \check { u } } .
\left[ \begin{array} { l } { \delta \psi _ { 1 } } \\ { \delta \psi _ { 2 } } \\ { \delta \psi _ { 1 } ^ { * } } \\ { \delta \psi _ { 2 } ^ { * } } \end{array} \right] = \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i m \theta } \left[ \begin{array} { l } { u _ { 1 } e ^ { i \ell \theta } } \\ { u _ { 2 } } \\ { v _ { 1 } e ^ { - i \ell \theta } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right] ,
S = \int d ^ { 6 } x \left[ { \frac 1 6 } F _ { { \mu } { \nu } { \sigma } } ( A ) F ^ { { \mu } { \nu } { \sigma } } ( A ) + { \frac 1 2 } { \lambda } _ { { \mu } { \nu } } { \cal F } ^ { { \mu } { \rho } { \sigma } } ( A ) { { \cal F } ^ { \nu } } _ { { \rho } { \sigma } } ( A ) \right] ,
\frac { \Gamma _ { 1 } ^ { p / ^ { 7 } \mathrm { L i } } } { \Gamma _ { 1 } ^ { p } } \approx \left\{ \begin{array} { c } { { 0 . 7 9 } } \\ { { 0 . 7 8 } } \end{array} \right. \quad \mathrm { f o r } \quad \begin{array} { c } { { 0 \ge x \ge 1 } } \\ { { 0 . 1 \ge x \ge 1 } } \end{array} .
P _ { \overline { { { 0 } } } } = \int { \frac { d p _ { \overline { { { 1 } } } } d p _ { \overline { { { 2 } } } } d p _ { \overline { { { 3 } } } } } { \sqrt { - g } ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 p ^ { \overline { { { 0 } } } } } } \; { \frac { p _ { \overline { { { 0 } } } } } { 2 } } \Big [ a ^ { \dagger } ( p ) a ( p ) + a ( p ) a ^ { \dagger } ( p ) \Big ] .
\frac { \ddot { a } } { a } = \frac { - 4 \pi G } { 3 } \left( 5 P \left( 1 - 2 \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) + \rho \left( 1 - 4 \frac { \rho } { \rho _ { c } } \right) \right) + \frac { \Lambda } { 3 }
| V _ { c b } | = ( 4 1 . 9 \pm 0 . 8 _ { ( \mathrm { p e r t ) } } \pm 0 . 5 _ { ( m _ { b } ) } \pm 0 . 7 _ { ( \lambda _ { 1 } ) } ) \times 1 0 ^ { - 3 } \, \bigg ( { \frac { { \cal B } ( B \to X _ { c } \ell \bar { \nu } ) } { 0 . 1 0 5 } } \, { \frac { 1 . 6 \, \mathrm { p s } } { \tau _ { B } } } \bigg ) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { = \frac { \beta ^ { \alpha } } { \pi ^ { N } \Gamma ( \alpha ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } w ^ { N + \alpha - 1 } \mathrm { e } ^ { - ( t + \beta ) w } \, \mathrm { d } w } \\ & { = \frac { \beta ^ { \alpha } } { \pi ^ { N } \Gamma ( \alpha ) } \frac { \Gamma ( N + \alpha ) } { ( t + \beta ) ^ { N + \alpha } } . } \end{array}
q _ { 0 } ^ { 2 } = q _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { e f f } ^ { 2 } - \left( 2 n + 1 \right) Q \left( 1 + \delta _ { 1 } \right) - \left( 2 s + 1 \right) h \left( A + \delta _ { 2 } \right)
D _ { \pm } = - \frac { 1 } { 8 } \rho \frac { \left| z ^ { \mp } \right| \left| z ^ { \pm } \right| ^ { 2 } } { \lambda } = - \frac { \sqrt { \varepsilon ^ { \mp } } \varepsilon ^ { \pm } } { \sqrt { \rho } \lambda }
\frac { \mathrm { d } c ^ { 2 } } { \mathrm { d } \varphi _ { a b } } = \frac { c ^ { 2 } \sin ( \varphi _ { a b } ) \left( c ^ { 4 } - 2 c ^ { 2 } + 4 \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ( 1 - \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ) \right) } { \cos ( \varphi _ { a b } ) \left( 2 c ^ { 4 } - 3 c ^ { 2 } + 4 \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ( 1 - \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ) \right) + ( 1 - 2 c ^ { 2 } ) \sqrt { 4 \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ( 1 - \tilde { \gamma } _ { 1 1 } ) + c ^ { 2 } ( c ^ { 2 } - 2 ) } } \, ,
\begin{array} { r l } { J _ { \sigma , \sigma } ( L ) } & { { } = \int _ { Q _ { L } ^ { D } - Q _ { L } ^ { D } } \int _ { | w _ { 1 } | } ^ { 2 d _ { 1 } L - | w _ { 1 } | } \frac { h ( p _ { L } | ( \tilde { w } _ { 1 } \mod 2 d _ { 1 } L , \pi _ { 1 } w ) | ) ^ { 2 } \prod _ { \ell \neq 1 } ( d _ { \ell } L - | w _ { \ell } | ) } { | w | } \frac { \mathrm { d } \tilde { w } _ { 1 } \mathrm { d } w } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { B r = \frac { \mu \kappa T _ { m } } { \rho _ { s } \mathcal { L } \, G \, R ^ { 3 } } , \quad M a = \frac { - ( \mathrm { d } \sigma / \mathrm { d } T ) \, G \, R ^ { 2 } } { 2 \mu \kappa } \left[ 1 - \frac { \mu ^ { \prime } } { \mu + \mu ^ { \prime } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { ( \ell _ { 1 } ^ { \prime } m _ { 1 } ^ { \prime } n _ { 1 } ^ { \prime } ) \ldots ( \ell _ { d } ^ { \prime } m _ { d } ^ { \prime } n _ { d } ^ { \prime } ) } } & { = \sum _ { ( \ell _ { 1 } m _ { 1 } n _ { 1 } ) \ldots } \ldots \tilde { T } _ { ( \ell _ { i - 1 } m _ { i - 1 } n _ { i - 1 } ) ( \ell _ { i } ^ { \prime } m _ { i } ^ { \prime } n _ { i } ^ { \prime } ) ( \ell _ { i } m _ { i } n _ { i } ) } ^ { i } } \\ & { \mathstrut \phantom { = \sum _ { ( \ell _ { 1 } m _ { 1 } n _ { 1 } ) \ldots } \ldots } \tilde { T } _ { ( \ell _ { i } m _ { i } n _ { i } ) ( \ell _ { i + 1 } ^ { \prime } m _ { i + 1 } ^ { \prime } n _ { i + 1 } ^ { \prime } ) ( \ell _ { i + 1 } m _ { i + 1 } n _ { i + 1 } ) } ^ { i + 1 } \ldots , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \frac { 1 } { 3 3 6 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 1 1 } } \left\{ { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \left[ { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } \left( 4 \left( 5 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \left( { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } \dot { \phi } _ { 0 } ^ { * } + 5 { \phi _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) - 4 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } \dot { \phi } _ { 1 } ^ { * } \left( - 2 1 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } + 1 4 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } \right. \right. \right. \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \left. \left. \left. + 2 4 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) + 3 \dot { \phi } _ { 2 } ^ { * } \left( - 4 2 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } + 2 2 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + 7 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } - 1 2 0 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right) \right) \right. \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \left. - \frac { 7 } { \sqrt { \Phi } W e } \mathrm { B } \left( 1 / 2 , 5 / 8 \right) ^ { 2 } \xi { R _ { 1 } ^ { * } } \left( 3 \sqrt { 6 } \sqrt { F r } { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } { R _ { 1 } ^ { * } } - 2 1 \sqrt { 6 } \sqrt { F r } { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right. \right. \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \left. \left. + 4 \sqrt { \Phi } W e { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 6 } \right) \right) - 1 1 2 0 { \phi _ { 0 } ^ { * } } { \phi _ { 1 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } \left( - 3 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } + { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } + 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) + 8 4 { \phi _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \left( - 1 2 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } \right. \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \left. + 6 7 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } - 9 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right) \right] + 8 4 { \phi _ { 2 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } \left[ 3 { \phi _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 0 } ^ { * } } \left( - 1 2 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } + 1 1 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } \right. \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. - 9 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right) + 2 { \phi _ { 1 } ^ { * } } ( { R _ { 0 } ^ { * } } - 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ) \left( - 9 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } + 3 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } + 4 6 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } \right) \right] + 1 8 { \phi _ { 2 } ^ { * } } ^ { 2 } \left[ - 1 4 8 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 2 } { R _ { 1 } ^ { * } } \right. } \\ & { } & { \left. \left. + 1 1 1 6 { R _ { 0 } ^ { * } } { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 2 } + 2 3 { R _ { 0 } ^ { * } } ^ { 3 } - 1 8 6 0 { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 3 } \right] \right\} } \\ & { } & { + O ( { R _ { 1 } ^ { * } } ^ { 4 } ) . } \end{array}
\sigma _ { a , b } ^ { d d } ( \bar { x } _ { a b } , r _ { 1 } , r _ { 2 } ) \; = \; \sigma _ { 0 } ^ { a , b } \left[ 1 - \exp \left( - { \frac { r _ { \mathrm { \small e f f } } ^ { 2 } } { 4 R _ { 0 } ^ { 2 } ( \bar { x } _ { a b } ) } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { { \mathrm { P r } } \left( \mathcal { E } \right) } & { = P \left( { E _ { 1 } ^ { c } \cup { { \left\{ { { E _ { m } } } \right\} } _ { m \ne 1 } } } \right) } \\ & { \leq P \left( { E _ { 1 } ^ { c } } \right) + P \left( { { { \left\{ { { E _ { m } } } \right\} } _ { m \ne 1 } } } \right) } \\ & { \leq \varepsilon + \sum _ { m \ne 1 } { P \left( { { E _ { m } } } \right) } } \\ & { \leq \varepsilon + \sum _ { m \ne 1 } { { 2 ^ { - n \left( { I \left( { X ; Y } \right) - 3 \varepsilon } \right) } } } } \\ & { = \varepsilon + \left( { { 2 ^ { n { R _ { s } } } } - 1 } \right) { 2 ^ { - n \left( { I \left( { X ; Y } \right) - 3 \varepsilon } \right) } } } \\ & { \leq \varepsilon + { 2 ^ { 3 n \varepsilon } } { 2 ^ { - n \left( { I \left( { X ; Y } \right) - { R _ { s } } } \right) } } } \\ & { \leq 2 \varepsilon , } \end{array}
\operatorname* { d e t } \, \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) = \operatorname* { d e t } \, \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) \, \cdot \, \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } \operatorname* { d e t } \, \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } )
\begin{array} { r } { c _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } } ^ { ( k ) } = \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ A ~ I ~ R ~ } , p } ^ { ( k ) } ] / \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } , p } ^ { ( k ) } ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \oint \frac { d \omega } { 2 \pi } e ^ { \imath \omega q r } } \\ & { } & { \left\langle \sigma _ { m } \sigma _ { n } e ^ { - \imath \omega \sum \sigma } \exp \left( \imath \exp \left( \imath \beta \sigma _ { n } \right) A _ { n , m } - \imath \exp \left( \imath \beta \sigma _ { m } \right) A _ { m , n + N } \right) \right\rangle _ { \sigma _ { l } = \pm 1 } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { s o n g c h u a n . z h a o n @ o u t l o o k . c o m } & { = s o n g c h u a n . z h a o n @ o u t l o o k . c o m } \\ { { T _ { i } } ( { h } ( t ) , t ) } & { = 1 } \\ { s o n g c h u a n . z h a o n @ o u t l o o k . c o m \Big \vert _ { x = h ( t ) } } & { = \frac 1 A \dot { h } } \\ { s o n g c h u a n . z h a o n @ o u t l o o k . c o m } & { = \frac B C s o n g c h u a n . z h a o n @ o u t l o o k . c o m } \\ { s o n g c h u a n . z h a o n @ o u t l o o k . c o m \Big \vert _ { x = 0 } } & { = C s o n g c h u a n . z h a o n @ o u t l o o k . c o m \Big \vert _ { x = 0 } } \\ { s o n g c h u a n . z h a o n @ o u t l o o k . c o m \Big \vert _ { x = - 1 } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { 2 \nu t } } & { \| \Lambda d ( t ; e _ { m } ) \| ^ { 2 } = \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } J _ { n } ^ { 2 } + \lambda _ { m } ^ { 2 } J _ { 0 } ^ { 2 } + 2 \lambda _ { m } ^ { 2 } \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { m } J _ { n } ^ { 2 } } \\ & { \quad + ( - 1 ) ^ { m - 1 } \lambda _ { m } ^ { 2 } \Big ( 2 \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } J _ { n } J _ { 2 m - n } + 2 J _ { 0 } J _ { 2 m } - 2 J _ { 0 } J _ { 2 m } - \sum _ { n = 1 } ^ { 2 m - 1 } ( - 1 ) ^ { n } J _ { n } J _ { 2 m - n } \Big ) } \\ & { = \lambda _ { m } ^ { 2 } ( 1 - J _ { m } ^ { 2 } ) } \\ & { \quad + ( - 1 ) ^ { m - 1 } \lambda _ { m } ^ { 2 } \Big ( \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } ( 2 - ( - 1 ) ^ { n } ) J _ { n } J _ { 2 m - n } + ( - 1 ) ^ { m - 1 } J _ { m } ^ { 2 } - \sum _ { n = m + 1 } ^ { 2 m - 1 } ( - 1 ) ^ { n } J _ { n } J _ { 2 m - n } \Big ) } \\ & { = \lambda _ { m } ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { m - 1 } \lambda _ { m } ^ { 2 } \Big ( \sum _ { n = 1 } ^ { m - 1 } ( 2 - ( - 1 ) ^ { n } ) J _ { n } J _ { 2 m - n } - \sum _ { n = m + 1 } ^ { 2 m - 1 } ( - 1 ) ^ { n } J _ { n } J _ { 2 m - n } \Big ) . } \end{array}
\mathbf { \hat { F } } _ { n } = \left[ \begin{array} { c } { \hat { F } _ { n } ^ { ( - P ) } } \\ { \hat { F } _ { n } ^ { ( - P + 1 ) } } \\ { \vdots } \\ { \hat { F } _ { n } ^ { ( P ) } } \end{array} \right] , \; \mathbf { D } _ { n } = \left[ \begin{array} { c c c c } { m _ { n } ( \omega - P \omega _ { m } ) ^ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { m _ { n } [ \omega + ( - P + 1 ) \omega _ { m } ] ^ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { m _ { n } ( \omega + P \omega _ { m } ) ^ { 2 } } \end{array} \right] .
\left( { \frac { \Phi _ { \alpha _ { 1 } } \cdots \Phi _ { \alpha _ { N - 2 } } { \cal B } _ { \beta _ { 1 } \dots \beta _ { N - 4 } } } { \Lambda ^ { 3 } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 N - 9 } } = \left( { \frac { \left[ \Phi _ { \alpha _ { 1 } } \cdots \Phi _ { \alpha _ { N - 2 } } { \cal B } _ { \beta _ { 1 } \dots \beta _ { N - 4 } } \right] ^ { 3 } } { \Lambda ^ { 9 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 N - 9 } } ~ .
\hat { U } ( \mu , m _ { Q } ) = T _ { g } \, \exp \! \int _ { \displaystyle g _ { s } ( m _ { Q } ) } ^ { \displaystyle g _ { s } ( \mu ) } \! \mathrm { d } g \, { \frac { \hat { \gamma } ^ { t } ( g ) } { \beta ( g ) } } \, .
\begin{array} { r } { \ddot { \gamma } _ { 3 } + k ^ { 2 } \gamma _ { 3 } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 2 } ^ { 2 } } c , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad k ^ { 2 } \equiv \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } } { I _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { { \bf m } ^ { 2 } } { I _ { 2 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { T r } C _ { A } ^ { n } \rangle } & { = \sum _ { \{ i _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } , j _ { k } , j _ { k } ^ { \prime } \} = 1 } ^ { N / 2 } \delta _ { i _ { 1 } ^ { \prime } i _ { 1 } } \cdots \delta _ { i _ { n } ^ { \prime } i _ { n } } \delta _ { j _ { 2 } ^ { \prime } j _ { 1 } } \cdots \delta _ { j _ { n } ^ { \prime } j _ { n - 1 } } \delta _ { j _ { 1 } ^ { \prime } j _ { n } } \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { n } } \delta _ { i _ { 1 } , i _ { \sigma ( 1 ) } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { i _ { n } , i _ { \sigma ( n ) } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { 1 } , j _ { \tau ( 1 ) } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { j _ { n } , j _ { \tau ( n ) } ^ { \prime } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { U } } ( N , \sigma \tau ^ { - 1 } ) } \\ & { = \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { n } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { U } } ( N , \sigma \tau ^ { - 1 } ) \sum _ { \lbrace i _ { k } , j _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N / 2 } \delta _ { i _ { 1 } i _ { \sigma ( 1 ) } } \cdots \delta _ { i _ { n } i _ { \sigma ( n ) } } \delta _ { j _ { 2 } j _ { \tau ( 1 ) } } \cdots \delta _ { j _ { 1 } j _ { \tau ( n ) } } } \\ & { = \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { n } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { U } } ( N , \sigma \tau ^ { - 1 } ) \left( \frac { N } { 2 } \right) ^ { C ( \sigma ) + C ( \tau \eta ^ { - 1 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z a _ { E } ( l , m ) h _ { l } ( k r ) = - \frac { k } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \int Y _ { l m } ^ { * } ( \theta , \varphi ) { \bf r } \cdot { \bf E } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \mathrm { { J a c k } } } , } & { } & { a _ { M } ( l , m ) h _ { l } ( k r ) = \frac { k } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \int Y _ { l m } ^ { * } ( \theta , \varphi ) { \bf r } \cdot { \bf H } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \mathrm { { J a c k } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( 1 + x ) ( 1 + x ^ { 2 } ) ( 1 + x ^ { 4 } ) ( 1 + x ^ { 8 } ) ( 1 + x ^ { 1 6 } ) ( 1 + x ^ { 3 2 } ) \cdots } & { = } & { \frac { 1 } { 1 - x } , } \\ { ( 1 + x ^ { 2 } ) ( 1 + x ^ { 4 } ) ( 1 + x ^ { 8 } ) ( 1 + x ^ { 1 6 } ) ( 1 + x ^ { 3 2 } ) \cdots } & { = } & { \frac { 1 } { 1 - x ^ { 2 } } , } \\ { ( 1 + x ^ { 4 } ) ( 1 + x ^ { 8 } ) ( 1 + x ^ { 1 6 } ) ( 1 + x ^ { 3 2 } ) \cdots } & { = } & { \frac { 1 } { 1 - x ^ { 4 } } , } \\ { ( 1 + x ^ { 8 } ) ( 1 + x ^ { 1 6 } ) ( 1 + x ^ { 3 2 } ) \cdots } & { = } & { \frac { 1 } { 1 - x ^ { 8 } } , } \\ { ( 1 + x ^ { 1 6 } ) ( 1 + x ^ { 3 2 } ) \cdots } & { = } & { \frac { 1 } { 1 - x ^ { 1 6 } } , } \\ { e t c . } \end{array}
{ \frac { d h } { d t } } \sim { \frac { \beta \mathcal { P } _ { * } } { h } } \qquad \implies \qquad h ( t ) \sim \sqrt { 2 \beta \mathcal { P } _ { * } t } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ t ~ \to ~ \infty ~ } .
\left\{ \begin{array} { l } { D g ^ { - 1 } \in B ^ { + } } \\ { g C \in B ^ { + } } \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( \begin{array} { l l } { c _ { + + } } & { c _ { - + } } \\ { - d _ { -- } } & { d _ { - + } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { g _ { - + } } \\ { g _ { -- } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\mathcal { S ( } \Sigma \mathcal { ) = } \int d ^ { 4 } x \frac { \delta \Sigma } { \delta \varphi ^ { i } } \frac { \delta \Sigma } { \delta \varphi ^ { * i } } \; + \; \frac 1 2 C _ { \; A B } ^ { C } \varepsilon ^ { A } \varepsilon ^ { B } \frac { \partial \Sigma } { \partial \varepsilon ^ { C } } \; ,
\begin{array} { r l } & { p ( f ( x _ { \ast } ) | \mathbf { X } , \mathbf { y } , x _ { \ast } ) \sim \mathcal { N } ( \mu ( x _ { \ast } ) , \sigma ^ { 2 } ( x _ { \ast } ) ) } \\ & { \sigma ^ { 2 } ( x _ { \ast } ) = K ( x _ { \ast } , x _ { \ast } ) - K ( x _ { \ast } , \mathbf { X } ) ^ { \top } \left( K ( \mathbf { X } , \mathbf { X } ) + \sigma _ { e } ^ { 2 } \mathbf ( I ) \right) ^ { - 1 } K ( x _ { \ast } , \mathbf { X } ) } \\ & { K = \left( k ( x _ { i } , x _ { j } ) \right) _ { i , j = 1 . . N } } \\ & { k ( x _ { i } , x _ { j } ) = \sigma ^ { 2 } \left( 1 + \sqrt { 3 } \frac { | x _ { i } - x _ { j } | } { l } \right) \exp \left( - \sqrt { 3 } \frac { | x _ { i } - x _ { j } | } { l } \right) } \end{array}
\hat { I } ( m , q ) = 2 \pi \sigma r _ { s } ^ { 2 } \sqrt { V ( r _ { s } ) } \beta _ { H } - \frac { q ^ { 2 } } { r _ { s } r _ { + } } ( r _ { s } - r _ { H } ) \beta _ { H } - \frac { ( r _ { s } ^ { 3 } - r _ { H } ^ { 3 } ) \beta _ { H } } { \l ^ { 2 } } \quad .
\omega ^ { 4 } - \left( \bar { \omega } _ { p } ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } \right) \, \omega ^ { 2 } + \bar { \omega } _ { p } ^ { 2 } \, \omega _ { c } ^ { 2 } \, \cos ^ { 2 } \theta = 0 \, ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { C } ( \omega ) } & { { } = } & { 2 \pi \int d q \, \delta ( \omega - \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } = 2 \pi \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { C } \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } \rho _ { { \bf k } } ( \omega ) , } \\ { \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { X } ( \omega ) } & { { } = } & { 2 \pi \int d q \, \delta ( \omega - \omega _ { { \bf k } , q } ^ { E } ) \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } = 2 \pi \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { X } \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } \rho _ { { \bf k } } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { \Pi _ { C } = \frac { x - y r + ( z + \rho ) \sigma } { 1 + \rho } } \\ { \Pi _ { D } = \frac { ( 1 + r ) x + ( z + \rho ) \sigma } { 1 + \rho } } \\ { \Pi _ { L } = \sigma } \end{array} .
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ^ { \sigma } ( t _ { 0 } ) } & { = - \frac { 1 } { \mathrm { i } \hbar } \delta _ { i j } n _ { i } ^ { \sigma } , } \\ { \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { \lambda , \sigma } ( t _ { 0 } ) } } } & { = 0 , } \\ { \overline { { \Delta G _ { i j } ^ { \lambda , \sigma } ( t _ { 0 } ) ( \Delta G _ { l k } ^ { \lambda , \sigma ^ { \prime } } ( t _ { 0 } ) ) ^ { * } } } } & { = \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \delta _ { i l } \delta _ { j k } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta _ { n _ { j } ^ { \sigma } , 1 } \delta _ { n _ { i } ^ { \sigma } , 0 } \, . } \end{array}