harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 0 } & { = v ^ { \top } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \left( \begin{array} { l } { x ( t ) } \\ { u ( t ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x ( t ) } \\ { u ( t ) } \end{array} \right) ^ { \top } d t \right) v } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } v ^ { \top } \left( \begin{array} { l } { x ( t ) } \\ { u ( t ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x ( t ) } \\ { u ( t ) } \end{array} \right) ^ { \top } v d t . } \end{array}
\hat { Q } ^ { 2 } = Q _ { e } ^ { 2 } \cdot z ^ { \prime } , \quad \hat { y } = \frac { y _ { e } + z ^ { \prime } - 1 } { z ^ { \prime } } , \quad \hat { x } = \frac { x _ { e } y _ { e } z ^ { \prime } } { y _ { e } + z ^ { \prime } - 1 } ,
\delta ^ { \prime \prime } , \underline { { x } } \vdash \alpha ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) ^ { * } \phi ^ { \prime } ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) , \underline { { x } } ) = \alpha ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) ^ { * } \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( \beta ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) ^ { * } \phi ( \delta ^ { \prime \prime } , \underline { { x } } )
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) = \overline { { \mathcal { R } } } _ { i n t } \left( x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { \textup { L } , \tilde { G } } ( R e _ { \textup { p } } , \theta , \alpha , \tilde { G } ) = C _ { \textup { L } , \tilde { G } , \mathrm { ~ S ~ t ~ o ~ k ~ e ~ s ~ } } + C _ { \textup { L } , \tilde { G } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { h ^ { ( 5 ) } ( \rho , \theta ) = - \frac { \mathcal { E } _ { 2 \omega } \mathcal { E } _ { \omega } ^ { 4 } } { \sqrt { 2 } 2 k _ { \omega } ^ { 2 } } e ^ { - 5 \frac { \rho ^ { 2 } } { W _ { 0 } ^ { 2 } } } \left( \frac { \sqrt { 2 } } { W _ { 0 } } \right) ^ { 4 | \ell _ { \omega } | + | \ell _ { 2 \omega } | } } \\ & { } & { \rho ^ { 4 | \ell _ { \omega } | + | \ell _ { 2 \omega } | - 3 } \left( | \ell _ { \omega } | - m _ { \omega } \ell _ { \omega } - \frac { 2 \rho ^ { 2 } } { W _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { \left\{ \frac { | \ell _ { \omega } | - m _ { \omega } \ell _ { \omega } - 2 \frac { \rho ^ { 2 } } { W _ { 0 } ^ { 2 } } } { 2 k _ { \omega } } \left[ e ^ { i m _ { \omega } \theta } ( m _ { \omega } - m _ { 2 \omega } ) - \right. \right. } \\ & { } & { \left. e ^ { - i m _ { \omega } \theta } ( m _ { \omega } + m _ { 2 \omega } ) \right] } \\ & { } & { \left. + \frac { m _ { 2 \omega } } { k _ { 2 \omega } } ( | \ell _ { 2 \omega } | - m _ { 2 \omega } \ell _ { 2 \omega } - \frac { 2 \rho ^ { 2 } } { W _ { 0 } ^ { 2 } } ) e ^ { - i m _ { 2 \omega } \theta } \right\} } \\ & { } & { e ^ { i ( 2 \phi _ { \omega } - \phi _ { 2 \omega } ) } e ^ { i ( 2 \ell _ { \omega } + 2 m _ { \omega } - \ell _ { 2 \omega } ) \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { g s } } ( x , y ) } & { = \frac { 1 } { 2 } m \omega _ { x } ^ { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \omega _ { y } ^ { 2 } y ^ { 2 } } \\ { V _ { \mathrm { e s } } ( x , y ) } & { = \frac { 1 } { 2 } m \omega _ { x } ^ { 2 } ( x - x _ { e } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \omega _ { y } ^ { 2 } ( y - y _ { e } ) ^ { 2 } + V _ { 0 1 } , } \end{array}
\begin{array} { c l } { \left< { \mathcal { H } ^ { \left( 1 \right) } } \right> _ { \theta } } & { = \displaystyle \left< { V \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) + \delta _ { \nu } \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \psi _ { 3 } } + \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } } { \partial \theta } } \right> _ { \theta } } \end{array}
\operatorname { t r } \left( { a \! \! \! / } \right) = \operatorname { t r } \left( { a \! \! \! / } { b \! \! \! / } { c \! \! \! / } \right) = \operatorname { t r } \left( { a \! \! \! / } { b \! \! \! / } { c \! \! \! / } { d \! \! \! / } { e \! \! \! / } \right) = 0
R _ { \mu \nu } { } ^ { a b } ( \omega ) = 2 \partial _ { [ \mu } \omega _ { \nu ] } { } ^ { a b } - 2 \omega _ { [ \mu } { } ^ { [ a c } \omega _ { \nu ] c } { } ^ { b ] } , \quad R _ { a b } ( \omega ) \equiv R _ { a c } { } ^ { c } { } _ { b } ( \omega ) \, , \quad R ( \omega ) \equiv R _ { a } { } ^ { a } ( \omega ) \, .
B _ { 8 } = \left( \begin{array} { c c } { { P _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , B _ { 9 } = \left( \begin{array} { c c } { { Q _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , B _ { 7 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { b I } } \end{array} \right) .
\Big [ f ( \Omega , { \bf q } ) , f ^ { \dagger } ( \Omega ^ { \prime } , { \bf q } ^ { \prime } ) \Big ] = \big ( 1 - | R | ^ { 2 } \big ) \, \delta ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) \, \delta ( { \bf q } - { \bf q } ^ { \prime } )
\operatorname* { s u p } _ { \vec { x } , { \vec { x } ^ { \prime } } \in X ^ { M _ { j } } } | k ^ { [ M _ { j } ] } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) - k ( \hat { \mu } [ \vec { x } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } ^ { \prime } ] ) | \leq \frac { \epsilon _ { \ell } } { 3 ( | \alpha _ { 1 } ^ { ( { \ell } ) } | + \ldots + | \alpha _ { { N _ { \ell } } } ^ { ( { \ell } ) } | + 1 ) } ,
\left| \begin{array} { r l } { A _ { t } } & { = \frac { A B } { 2 L ^ { 2 } } ( d - 2 ) } \\ { L _ { t } } & { = - \frac { B } { L } = - 2 L \partial _ { B } \mathcal { E } } \\ { B _ { t } } & { = - \frac { 4 } { L ^ { 2 } } + 4 L ^ { 2 } - \frac { B ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } = 2 L \partial _ { L } \mathcal { E } } \\ { X _ { t } } & { = 2 \beta = \nabla _ { \beta } \mathcal { R } } \\ { \beta _ { t } } & { = - 2 X = - \nabla _ { X } \mathcal { R } } \\ { \gamma _ { t } } & { = | \beta | ^ { 2 } - | X | ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ L ~ o ~ s ~ s ~ } = } & { { } \frac { W _ { 1 } } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left[ u _ { \theta t } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) - v _ { \theta } ( x _ { i n t } ^ { n } , t _ { i n t } ^ { n } ) \right] ^ { 2 } } \end{array}
p ( \mathbf { x } _ { N \tau } \mid \mathbf { x } _ { 0 } ) = \langle \delta _ { \mathbf { x } _ { N \tau } } | T _ { \Omega } ^ { N } ( \tau ) | \delta _ { \mathbf { x } _ { 0 } } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { i } ^ { N } ( \tau ) \langle \delta _ { \mathbf { x } _ { N \tau } } | \phi _ { i } \rangle \langle \psi _ { i } | \delta _ { \mathbf { x } _ { 0 } } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { i } ^ { N } ( \tau ) \alpha _ { i } ( \mathbf { x } _ { N \tau } ) \beta _ { i } ( \mathbf { x } _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathcal { Z } ( z ) ^ { - 1 } } { d z } } & { { } = k \left( 1 + \epsilon ( z ) \mathcal { Z } ( z ) ^ { - 2 } \right) , } \\ { \mathcal { Z } ( 0 ) ^ { - 1 } } & { { } = i , } \\ { \mathcal { Z } ( L ) ^ { - 1 } } & { { } = - i , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } } & { = { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } ~ { \frac { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } { \partial I _ { 1 } } } + { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \frac { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } { \partial I _ { 1 } } } + { \frac { \partial W } { \partial J } } ~ { \frac { \partial J } { \partial I _ { 1 } } } } \\ & { = I _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } = J ^ { - 2 / 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } } \\ { { \frac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } } & { = { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } ~ { \frac { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } { \partial I _ { 2 } } } + { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \frac { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } { \partial I _ { 2 } } } + { \frac { \partial W } { \partial J } } ~ { \frac { \partial J } { \partial I _ { 2 } } } } \\ & { = I _ { 3 } ^ { - 2 / 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } = J ^ { - 4 / 3 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } } \\ { { \frac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } } & { = { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } ~ { \frac { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } { \partial I _ { 3 } } } + { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \frac { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } { \partial I _ { 3 } } } + { \frac { \partial W } { \partial J } } ~ { \frac { \partial J } { \partial I _ { 3 } } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 3 } } ~ I _ { 3 } ^ { - 4 / 3 } ~ I _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } - { \frac { 2 } { 3 } } ~ I _ { 3 } ^ { - 5 / 3 } ~ I _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } ~ I _ { 3 } ^ { - 1 / 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial J } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 3 } } ~ J ^ { - 8 / 3 } ~ J ^ { 2 / 3 } ~ { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } - { \frac { 2 } { 3 } } ~ J ^ { - 1 0 / 3 } ~ J ^ { 4 / 3 } ~ { \bar { I } } _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } ~ J ^ { - 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial J } } } \\ & { = - { \frac { 1 } { 3 } } ~ J ^ { - 2 } ~ \left( { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + 2 ~ { \bar { I } } _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } ~ J ^ { - 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial J } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta _ { t , i } } { \Delta _ { t , c } } } & { \lesssim \sqrt { A } } \\ { \frac { \Delta _ { t , c } } { \tau _ { r } / d } } & { \lesssim \sqrt { \frac { 2 \ln { 2 } } { 1 + A } } ( \mathrm { e r f } ^ { - 1 } ( 1 - e ) ) ^ { - 1 } } \\ { \frac { \Delta _ { f , c } } { \omega _ { r } / d } } & { \lesssim \tan ( \frac { \pi } { 2 } ( 1 - e ) ) ^ { - 1 } , } \end{array}
\rho _ { l } = 1 - { \frac { 2 m _ { \mu } + m _ { e } } { m _ { \tau } + m _ { \mu } + m _ { e } } } , \quad \cos \theta _ { l } = \i 3 \left( 1 + 2 { \frac { m _ { \mu } - m _ { e } } { m _ { \tau } - m _ { \mu } } } \right) .
\Delta ^ { 2 } \psi _ { 0 , k } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { k } \Delta \psi _ { 0 , k } ^ { ( 1 ) } = \textrm { W o } ^ { 2 } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \nabla ^ { \perp } \psi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } \cdot \nabla \Delta \overline { { \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } } } + \nabla ^ { \perp } \overline { { \psi _ { 1 , j } ^ { ( 0 ) } } } \cdot \nabla \Delta \psi _ { 1 , k - j } ^ { ( 0 ) } .
\begin{array} { c c l } { H _ { j , p } ^ { \mathrm { i n t } } } & { = } & { - { \boldsymbol { \upmu } } _ { j } ^ { \mathrm { T D M } } ( { \bf { R } } _ { j } ) \cdot { \bf { u } } _ { \mathrm { c a v } } \sqrt { \frac { \hslash \omega _ { \mathrm { c a v } } ( 2 \pi p / L _ { z } ) } { 2 \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { c a v } } } } \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } ( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { a } _ { p } e ^ { i 2 \pi p z _ { j } / L _ { z } } ) \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle } \\ & { = } & { - { \boldsymbol { \upmu } } _ { j } ^ { \mathrm { T D M } } ( { \bf { R } } _ { j } ) \cdot { \bf { u } } _ { \mathrm { c a v } } \sqrt { \frac { \hslash \omega _ { \mathrm { c a v } } ( 2 \pi p / L _ { z } ) } { 2 \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { c a v } } } } e ^ { i 2 \pi p z _ { j } / L _ { z } } } \end{array}
\boldsymbol { A } = \left[ \begin{array} { c c c c } { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { 1 } { R e } { \left( \nu _ { T } \left( \boldsymbol { \Delta } + \boldsymbol { r } ^ { - 2 } \right) + \boldsymbol { E } \right) } } & { - \boldsymbol { D } \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { 1 } { R e } { i \alpha { \nu _ { T } } ^ { \prime } } } & { \boldsymbol { Z } } & { - i \alpha \boldsymbol { I } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { 1 } { R e } { \left( { \nu _ { T } \boldsymbol { \Delta } } + { 2 \boldsymbol { E } } \right) } } & { - { \frac { 1 } { R e } \boldsymbol { F } } } & { - \boldsymbol { D } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \frac { 1 } { R e } { \left( \boldsymbol { F } + { i \beta { \nu _ { T } } ^ { \prime } \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } \right) } } & { - i \alpha \boldsymbol { \bar { U } } + \frac { 1 } { R e } \left( { \nu _ { T } \boldsymbol { \Delta } } + \boldsymbol { G } \right) } & { - i \beta \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } \\ { i \alpha \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { D } + \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } & { i \beta \boldsymbol { r } ^ { - 1 } } & { \boldsymbol { Z } } \end{array} \right] \mathrm { . }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \mathcal { D } \Phi + \tilde { \rho } _ { i } ^ { 2 } ( \partial _ { u } \Phi \partial _ { v } \mathcal { D } \Phi } & { - \partial _ { v } \Phi \partial _ { u } \mathcal { D } \Phi ) = } \\ & { = \partial _ { \parallel } ^ { 2 } \left( ( 1 / \bar { \nu } _ { e i } ) D \Phi - \gamma \Phi \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = u _ { r r } + \frac { 2 } { r } u _ { r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } [ u _ { \phi \phi } + \cot ( \phi ) u _ { \phi } + \csc ^ { 2 } ( \phi ) u _ { \theta \theta } ] } \\ { 0 } & { = w ^ { \prime \prime } v + \frac { 2 } { r } w ^ { \prime } v + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } [ w v _ { \phi \phi } + \cot ( \phi ) w v _ { \phi } + \csc ^ { 2 } ( \phi ) w v _ { \theta \theta } ] } \\ { \frac { r ^ { 2 } } { w } ( - w ^ { \prime \prime } - \frac { 2 } { r } w ^ { \prime } ) } & { = \frac { 1 } { v } [ v _ { \phi \phi } + \cot ( \phi ) v _ { \phi } + \csc ^ { 2 } ( \phi ) v _ { \theta \theta } ] = - \lambda } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu , \nu } ^ { R } ( X _ { l } A _ { l } ) ) ^ { \dagger } } & { = \sum _ { \sigma \in S _ { \mathbf { m } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \nu , \mu } ^ { R } \sigma \right) \mathcal { O } _ { \sigma ^ { - 1 } } ( A _ { l } ^ { \dagger } X _ { l } ^ { \dagger } ) } \\ & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in S _ { \mathbf { m } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \nu , \mu } ^ { R } \tilde { \sigma } ^ { - 1 } \right) \mathcal { O } _ { \tilde { \sigma } } ( A _ { l } ^ { \dagger } X _ { l } ^ { \dagger } ) } \\ & { = \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \nu , \mu } ^ { R } ( A _ { l } ^ { \dagger } X _ { l } ^ { \dagger } ) \, . } \end{array}
L < \frac { 2 } { | \widetilde { \Delta } _ { 3 1 } | } \simeq \frac { 2 } { \mathrm { M a x } \left( \frac { | \delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } | } { 2 E } \sin 2 \theta _ { 3 } , \ 2 E | \phi \delta \gamma | \right) } ,
\begin{array} { r l } { e _ { i j } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } \sigma _ { k \ell } + \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( 1 ) } B _ { i j } ^ { ( 1 ) } p _ { f } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( 2 ) } B _ { i j } ^ { ( 2 ) } p _ { f } ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( 1 ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } B _ { k \ell } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { k \ell } + S ^ { ( 1 ) } p _ { f } ^ { ( 1 ) } + S ^ { ( 1 , 2 ) } p _ { f } ^ { ( 2 ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } S ^ { ( 2 ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } B _ { k \ell } ^ { ( 2 ) } \sigma _ { k \ell } + S ^ { ( 1 , 2 ) } p _ { f } ^ { ( 1 ) } + S ^ { ( 2 ) } p _ { f } ^ { ( 2 ) } \, , } \end{array}
{ \widetilde { Z } } [ { \widetilde { J } } ] = \int { \mathcal { D } } { \widetilde { \phi } } e ^ { - \int d ^ { 4 } p \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \left( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } \right) { \widetilde { \phi } } ^ { 2 } + { \frac { \lambda } { 4 ! } } { \widetilde { \phi } } ^ { 4 } - { \widetilde { J } } { \widetilde { \phi } } \right] } .
\Big \langle e _ { i _ { 1 } , d _ { 1 } } \cdots e _ { i _ { n } , d _ { n } } , R \Big \rangle = \int _ { | z _ { 1 } | \gg \dots \gg | z _ { n } | } \frac { z _ { 1 } ^ { d _ { 1 } } \dots z _ { n } ^ { d _ { n } } R ( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } ) } { \prod _ { 1 \leq a < b \leq n } \zeta _ { i _ { b } i _ { a } } \left( \frac { z _ { b } } { z _ { a } } \right) } \prod _ { a = 1 } ^ { n } D z _ { a }
\tilde { M } _ { - \alpha , \beta } ^ { ( p , q ) } = - \tilde { M } _ { \alpha , \beta } ^ { ( p , q ) } , \; \; \tilde { M } _ { \alpha + 2 K , \beta } ^ { ( p , q ) } = \tilde { M } _ { \alpha , \beta } ^ { ( p , q ) }
H = \mathrm { T r } \left\{ \frac { 1 } { 2 \mu } \, \Pi _ { i } ^ { 2 } - \frac { \mu } { 2 R ^ { 2 } } \, ( X ^ { i } ) ^ { 2 } - \frac { \mu } { 4 g ^ { 2 } R ^ { 4 } } \, [ X ^ { i } , X ^ { j } ] ^ { 2 } + \cdots \right\}
\begin{array} { r l } { \langle f , \mathbf { p } _ { \chi } ^ { \prime } | \Delta H _ { \chi T } | i , \mathbf { p } _ { \chi } \rangle } & { \equiv \! \int \! \frac { d ^ { 3 } \mathbf { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \langle \mathbf { p } _ { \chi } ^ { \prime } | \mathcal { O } _ { \chi } ( \mathbf { q } ) | \mathbf { p } _ { \chi } \rangle \times \langle f | \mathcal { O } _ { T } ( \mathbf { q } ) | i \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { V } \sqrt { \frac { \pi \bar { \sigma } ( q ) } { \mu _ { \chi } ^ { 2 } } } \langle f | \mathcal { O } _ { T } ( \mathbf { q } ) | i \rangle , } \end{array}
\phi _ { [ \omega , l , m _ { 1 } , m _ { 2 } ] } ( x ) = \sqrt { 2 \pi \omega ^ { 3 } } \cdot ( \omega r ) ^ { - 1 } J _ { l + 1 } ( \omega r ) Y _ { m _ { 1 } m _ { 2 } } ^ { ( l ) }
\left\{ \begin{array} { l l } { { K _ { i _ { p } } ( - i 2 \mu \rho ) = \frac { \pi i } { 2 } e ^ { - \pi p / 2 } H _ { i p } ^ { ( 1 ) } ( 2 \mu \rho ) } } & { { } } \\ { { I _ { i _ { p } } ( - i 2 \mu \rho ) = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \pi p / 2 } [ H _ { i _ { p } } ^ { ( 1 ) } ( 2 \mu \rho ) + H _ { i _ { p } } ^ { ( 2 ) } ( 2 \mu \rho ) ] } } \end{array} \right.
\Sigma _ { p p } ^ { G 3 W 2 } ( \epsilon _ { p } ) = \sum _ { i } ^ { o c c } \sum _ { a b } ^ { v i r t } \frac { W ( i \omega = 0 ) _ { p a i b } W ( i \omega = 0 ) _ { a i b p } } { \epsilon _ { a } + \epsilon _ { b } - \epsilon _ { i } - \epsilon _ { p } } - \sum _ { i j } ^ { o c c } \sum _ { a } ^ { v i r t } \frac { W ( i \omega = 0 ) _ { p i a j } W ( i \omega = 0 ) _ { i a j p } } { \epsilon _ { a } - \epsilon _ { i } - \epsilon _ { j } + \epsilon _ { p } } \; ,
\mathbf { D } ( \zeta ) = 2 ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { D _ { - { \beta } - 1 } ( i \zeta ) } & { D _ { { \beta } } ( \zeta ) } \\ { i D _ { - { \beta } - 1 } ^ { \prime } ( i \zeta ) } & { D _ { { \beta } } ^ { \prime } ( \zeta ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \frac { \pi } { 2 } ( { \beta } + 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { f ( \ell _ { 1 1 } , \ell _ { 1 2 } , \ell _ { 2 1 } , \ell _ { 2 2 } ) = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ ( q ^ { 2 } - 3 q ) + ( r ^ { 2 } - 3 r ) - ( \ell _ { 1 1 } + \ell _ { 1 2 } ) ^ { 2 } - ( \ell _ { 2 1 } + \ell _ { 2 2 } ) ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + 2 ( \ell _ { 1 1 } \ell _ { 1 2 } + \ell _ { 2 1 } \ell _ { 2 2 } ) + ( \ell _ { 1 1 } + \ell _ { 1 2 } + \ell _ { 2 1 } + \ell _ { 2 2 } ) \right] . } \end{array}
\Delta S _ { \mathrm { ~ S ~ E ~ P ~ } } = . 0 5 3 \, \frac { \alpha ^ { 1 9 / 2 } \, \beta ^ { 3 / 2 } } { f _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ e ~ n ~ } } \lambda ^ { 6 9 / 2 0 } \, \gamma ^ { 4 } } \, \left( \frac { \alpha ^ { 5 / 2 } \, \gamma ^ { 1 / 3 } } { \lambda ^ { 1 7 / 2 0 } \, \beta ^ { 1 / 1 2 } } \right) ^ { k _ { \mathrm { ~ S ~ E ~ P ~ } } }
\begin{array} { r l } { P ( \Delta ) } & { { } = \frac { \exp \left( - \frac { ( \sqrt { \Delta ^ { 2 } - J ^ { 2 } } - \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) + \exp \left( - \frac { ( \sqrt { \Delta ^ { 2 } - J ^ { 2 } } + \omega _ { e g } ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { D } ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { 4 \pi } \sigma _ { D } \Delta ^ { - 1 } \sqrt { \Delta ^ { 2 } - J ^ { 2 } } } . } \end{array}
V _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { M W } } = \frac { \mathcal { G } _ { \alpha \beta } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi ~ r \sin \theta ~ e ^ { - m _ { \alpha \beta } ^ { \prime } r } \times \left\{ \begin{array} { l l l } { n _ { e , \mathrm { M W } } ( r , \theta , \phi ) } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = e , \mu ~ \mathrm { o r } ~ e , \tau } \\ { n _ { n , \mathrm { M W } } ( r , \theta , \phi ) } & { , } & { \mathrm { f o r } ~ \alpha , \beta = \mu , \tau } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l r l } { H _ { 0 } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 0 } } { \d x ^ { 3 } } } & { { } = B _ { 0 } ^ { 2 } x } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad ( 0 , 1 ) } \end{array}
D _ { \; \; \gamma _ { 0 } } ^ { \alpha _ { 0 } } = \delta _ { \; \; \gamma _ { 0 } } ^ { \alpha _ { 0 } } - Z _ { \; \; \alpha _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 0 } } \bar { D } _ { \; \; \gamma _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 1 } } A _ { \gamma _ { 0 } } ^ { \; \; \gamma _ { 1 } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 1 } = \Delta u _ { 1 } - \chi \nabla \cdot ( u _ { 1 } \nabla u _ { 2 } ) - \xi \nabla \cdot ( u _ { 1 } \nabla u _ { 3 } ) + \mu \, u _ { 1 } ( r - u _ { 1 } - u _ { 3 } ) , } \\ { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 2 } = \frac { 1 } { \sigma } \Delta u _ { 2 } - \frac { 1 } { \sigma } ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) , } \\ { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 3 } = - u _ { 2 } \, u _ { 3 } + \eta \, u _ { 3 } ( 1 - u _ { 1 } - u _ { 3 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ^ { 0 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } e Z _ { i } \; z _ { i } } \\ { C _ { 1 } ^ { 1 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } e Z _ { i } \; x _ { i } } \\ { S _ { 1 } ^ { 1 } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } e Z _ { i } \; y _ { i } } \\ { C _ { 2 } ^ { 0 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } e Z _ { i } \; ( 3 z _ { i } ^ { 2 } - r _ { i } ^ { 2 } ) } \\ { C _ { 2 } ^ { 1 } } & { { } = { \sqrt { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } e Z _ { i } \; z _ { i } x _ { i } } \\ { C _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = { \frac { 1 } { 3 } } { \sqrt { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } e Z _ { i } \; ( x _ { i } ^ { 2 } - y _ { i } ^ { 2 } ) } \\ { S _ { 2 } ^ { 1 } } & { { } = { \sqrt { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } e Z _ { i } \; z _ { i } y _ { i } } \\ { S _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = { \frac { 2 } { 3 } } { \sqrt { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } e Z _ { i } \; x _ { i } y _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A ( \omega ) } & { { } \simeq } & { \mathrm { R e } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { i \omega t } \langle 0 | \hat { D } ^ { \dagger } \hat { a } e ^ { - i \hat { H } _ { V U } t } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { D } | 0 \rangle \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \left[ \begin{array} { l } { + 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \\ { X _ { 1 } } & { \sim \mathrm { N o r m a l } \left( \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( K G _ { - } v , w ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \int _ { 0 } ^ { T } d t \; g \left( e ^ { - t H } G _ { + } G _ { - } v , w \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \int _ { 0 } ^ { T } d t \; g \left( G _ { + } G _ { - } v , e ^ { - t H } w \right) = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \int _ { 0 } ^ { T } d t \; g \left( v , G _ { + } G _ { - } e ^ { - t H } w \right) } \\ & { = g ( v , K G _ { - } w ) . } \end{array}