\begin{array} { r l } & { \varepsilon ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } \partial \alpha _ { j } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) } \\ { = } & { - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } \partial \alpha _ { j } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \Big \{ P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) + \frac { 1 } { n } \Big ( b ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta _ { 0 } ) - b ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta ) \Big ) \Big \} } \\ & { + \frac { 2 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { j } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) , } \\ & { \frac { \varepsilon } { \sqrt { n } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } \partial \beta _ { j } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) } \\ { = } & { - \frac { 2 \varepsilon ^ { - 1 } } { \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Bigg \{ \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \alpha _ { i } \partial \beta _ { j } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) + \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ) \Bigg \} \times } \\ & { \quad \Big \{ P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) + \frac { 1 } { n } \Big ( b ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta _ { 0 } ) - b ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta ) \Big ) \Big \} } \\ & { + \frac { 2 \varepsilon ^ { - 1 } } { n \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) } \\ & { \frac { 1 } { n } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } \log \operatorname* { d e t } \Xi _ { k - 1 } ( \beta ) } \\ & { - \frac { 2 \varepsilon ^ { - 1 } } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \Bigg \{ \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) + \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ) } \\ & { \quad + \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ) \Bigg \} \Big \{ P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) + \frac { 1 } { n } \Big ( b ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta _ { 0 } ) - b ( X _ { t _ { k - 1 } } , H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta ) \Big ) \Big \} } \\ & { + \frac { 2 \varepsilon ^ { - 1 } } { n ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } b ( X _ { t _ { k - 1 } } , X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } , \theta ) \bigg ) } \\ & { + \varepsilon ^ { - 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \big ( P _ { k } ( \theta ) \big ) ^ { \top } \bigg ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { i } \partial \beta _ { j } } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg ) P _ { k } ( \theta ) . } \end{array}