harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) } & { = } & { - \sigma _ { 3 } \sigma _ { 3 } = - { \bf 1 } } \\ { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) } & { = } & { - \sigma _ { 1 } \sigma _ { 1 } = - { \bf 1 } } \\ { \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } = \pi ) \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } = \pi ) } & { = } & { - \sigma _ { 2 } \sigma _ { 2 } = - { \bf 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { x } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \boldsymbol { v } _ { p } \, , } \\ { V _ { p } \rho _ { p } \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { v } _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \boldsymbol { F } _ { D } = \frac { \pi } { 8 } d _ { p } ^ { 2 } \rho _ { f } C _ { D } | \boldsymbol { u } _ { f @ p } - \boldsymbol { v } _ { p } | ( \boldsymbol { u } _ { f @ p } - \boldsymbol { v } _ { p } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { n _ { 2 } } \mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } ( N - n _ { 2 } , n _ { 2 } ) \Big | _ { N = n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } + n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } , n _ { 2 } = n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } } } & { = 0 , } \\ { \mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } ( n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } , n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } ) } & { = \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\eta _ { \mathrm { i n h o m } } = \chi _ { \mathrm { i n h o m } } \cdot \frac { \Delta H _ { \mathrm { 2 9 8 } } ^ { \mathrm { 0 } } } { \bar { h } _ { \mathrm { t o t } } } \frac { e \cdot N _ { \mathrm { A } } } { M _ { \mathrm { C O 2 } } }
P _ { 1 } = - \imath \left( { M ^ { 1 } } _ { 2 } + { M ^ { 2 } } _ { 1 } \right) , \quad P _ { 2 } = { M ^ { 1 } } _ { 2 } - { M ^ { 2 } } _ { 1 } , \quad P _ { 3 } = - \imath \left( { M ^ { 1 } } _ { 1 } - { M ^ { 2 } } _ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { G } & \end{array} \right] } } & { \approx { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { H _ { 1 } H _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } G } & \end{array} \right] } = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { 1 } } & \\ & { V _ { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \Gamma _ { 1 } } & { U _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } B } \\ { \Sigma _ { 1 } } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { Y _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } } & \\ & { I } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { 1 } } & \\ & { V _ { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \Gamma _ { 1 } \Sigma _ { 1 } ^ { - 1 } } & { U _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } B } \\ { I } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \Sigma _ { 1 } Y _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } } & \\ & { I } \end{array} \right] } \\ & { \approx \left[ \begin{array} { l l } { U _ { 1 } } & \\ & { V _ { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \Gamma _ { 1 } \Sigma _ { 1 } ^ { - 1 } } & { \left( U _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } B \right) H _ { 2 } H _ { 2 } ^ { \mathrm T } \ } \\ { I } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \Sigma _ { 1 } Y _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } } & \\ & { I } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { 1 } Y _ { 2 } } & \\ & { V _ { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \Sigma _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } } & { \Gamma _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } } \\ { V _ { 2 } } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { V _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } \Sigma _ { 1 } Y _ { 1 } ^ { \mathrm { T } } } & \\ & { U _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { 1 } Y _ { 2 } } & \\ & { V _ { 1 } V _ { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { \Sigma _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } \Gamma _ { G } } & { \Gamma _ { 2 } ^ { \mathrm { T } } } \\ { \Gamma _ { G } } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { Y _ { 1 } \Sigma _ { 1 } V _ { 2 } \Gamma _ { G } ^ { - 1 } } & \\ & { U _ { 2 } } \end{array} \right] ^ { \mathrm { T } } } \\ & { \triangleq \left[ \begin{array} { l l } { Z } & \\ & { V } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { D _ { A } } & { D _ { B } } \\ { D _ { G } } & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { W } & \\ & { U } \end{array} \right] ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
\mathrm { H o l o g r a m } ( x , y ) = \mathrm { a b s } \left[ e ^ { i \, \mathrm { a r g } [ \psi _ { A } ] } + e ^ { i k _ { \mathrm { g } } x } \right] \times \frac { \mathrm { a b s } ( \psi _ { A } ) } { \mathrm { m a x } [ \mathrm { a b s } ( \psi _ { A } ) ] } ,
\begin{array} { r } { f ^ { N } ( { x } ) = \sum _ { k = - N } ^ { N } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( t ) e ^ { - i k { t } } \mathrm { d } { { t } } \right) e ^ { i { k } { x } } , } \end{array}
\Delta L _ { n , k } \frac { K } { 2 \alpha } = { \psi ^ { \prime } } _ { k } { W _ { n } } ^ { T } \left( { W _ { n } } { \psi _ { k } ^ { \prime } } ^ { T } - \, { \psi _ { k } } ^ { T } \right) { \psi _ { k } ^ { \prime } } { \psi _ { k } ^ { \prime } } ^ { T } + { W _ { n } } { \psi _ { k } ^ { \prime } } ^ { T } { \psi _ { k } ^ { \prime } } { \psi _ { k } ^ { \prime } } ^ { T } \left( { \psi _ { k } ^ { \prime } } { W _ { n } } ^ { T } - { \psi _ { k } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \ddot { x } _ { j } + \beta _ { 0 x j } \dot { x } _ { j } + \omega _ { 0 x j } ^ { 2 } x _ { j } + \frac { e } { m _ { e } } \sum _ { k \neq j } ^ { n } E _ { k j x } = C _ { j x } \mathrm { e x p } ( - \mathrm { i } \omega _ { e x } t ) , } \\ & { \ddot { y } _ { j } + \beta _ { 0 y j } \dot { y } _ { j } + \omega _ { 0 y j } ^ { 2 } y _ { 1 } + \frac { e } { m _ { e } } \sum _ { k \neq j } ^ { n } E _ { k j y } = C _ { j y } \mathrm { e x p } ( - \mathrm { i } \omega _ { e x } t ) , } \\ & { j = 1 , ~ 2 , ~ . . . , ~ n . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = - t \sum _ { \langle i j \rangle , \, \sigma } \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } - t ^ { \prime } \sum _ { \langle \langle i j \rangle \rangle , \, \sigma } \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } } \\ { + U \sum _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } - \mu \sum _ { i \sigma } \hat { n } _ { i \sigma } } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = \frac { D } { L } + \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha } } { \alpha + 2 } + \mathcal { O } \left( \frac { L ^ { 1 + 2 \alpha } } { D } \right) \qquad \alpha > - 1 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname { e v } : M \otimes _ { B } \operatorname { H O M } _ { A } ( M , A ) \to A \quad \operatorname { e v } ( m \otimes f ) = ( - 1 ) ^ { | m | | f | } f ( m ) } \\ & { \operatorname { e v } : \operatorname { H O M } _ { B } ( M , B ) \otimes _ { A } M \to B \quad \operatorname { e v } ( g \otimes m ) = g ( m ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d P _ { f } } { d P _ { g } } ( Y ) } & { = \exp \bigg ( n \int \big ( f ( x ) - g ( x ) \big ) \, d Y _ { x } - \frac n 2 \| f \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac n 2 \| g \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { = \exp \bigg ( \sqrt { n } \int \big ( f ( x ) - g ( x ) \big ) \, d W _ { x } + \frac { n } { 2 } \big \| f - g \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { = \exp \bigg ( \sqrt { n } \big \| f - g \big \| _ { 2 } \xi + \frac { n } { 2 } \big \| f - g \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h } & { { } = { \frac { 1 } { 1 + x { \sqrt { x } } } } + { \frac { h _ { \infty } q } { 1 + q } } } \\ { q } & { { } = { \frac { 2 0 } { 4 7 } } x ^ { \sqrt { \frac { 3 1 } { 2 6 } } } } \\ { h _ { \infty } } & { { } = { \frac { ( 1 - G ) ( G ^ { 2 } - 6 G + 1 2 ) } { 3 G ( 2 - G ) ^ { 2 } b } } } \\ { b } & { { } = { \sqrt { \frac { 2 ( 1 - G ) } { G ( 2 - G ) } } } } \\ { G } & { { } = e ^ { - \gamma } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \cdot \bigl ( \boldsymbol { \Gamma _ { D } } \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \Bar { p } \bigr ) } = \boldsymbol { \nabla _ { \scriptscriptstyle X } } \cdot \bigl [ \theta \bigl ( \boldsymbol { \Gamma _ { C M } } \boldsymbol { U _ { m } } + \boldsymbol { \Gamma _ { C 1 } } \boldsymbol { U _ { 1 } } \bigr ) \bigr ] + { \frac { \partial \left( \bar { \rho } _ { e } \theta H \right) } { \partial \tau } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \vec { G } _ { k i } \vec { \boldsymbol { x } } ( k ) \right] + \lambda _ { k i } \mathrm { S t d } \left( \vec { G } _ { k i } \vec { \boldsymbol { x } } ( k ) \right) } & { \leq h _ { k i } } \\ { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sum _ { i = 1 } ^ { q _ { k } } \frac { 4 } { 9 ( \lambda _ { k i } ^ { 2 } + 1 ) } } & { \leq \alpha } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \beta _ { n } = \phi ^ { ( + ) } i ^ { n - n _ { + } ^ { \beta } } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \alpha _ { n } = \phi ^ { ( + ) } i ^ { n - n _ { + } ^ { \alpha } } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ( r i g h t ) } } \\ & { } & { \beta _ { n } = \phi ^ { ( - ) } ( - i ) ^ { n - n _ { - } ^ { \beta } } , ~ \alpha _ { n } = \phi ^ { ( - ) } ( - i ) ^ { n - n _ { - } ^ { \alpha } } , ~ ~ ~ \mathrm { ( l e f t ) } } \end{array}
\phi ( x ) = \int _ { | k | \le \Lambda } { \frac { d ^ { d - 1 } k } { ( 2 \pi ) ^ { d - 1 } } } \, { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \omega _ { k } } } } ( a _ { k } + a _ { - k } ^ { \dagger } ) \cdot \exp ( i k x )
\begin{array} { r } { F _ { w , 2 } ( Z _ { t \wedge \varrho _ { r } } ) \leq F _ { w , 2 } ( z ) + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t \wedge \varrho _ { r } } \Delta _ { \Sigma } F _ { w , 2 } ( Z _ { s } ) { \mathrm d } s + M _ { \varrho _ { r } \wedge t } + \leq F _ { w , 2 } ( z ) + t C _ { 0 } ^ { \prime } + M _ { \varrho _ { r } \wedge t } . } \end{array}
E _ { 1 1 } ( \mathbf { x , } t ) = - \partial _ { 2 } \partial _ { 2 } E ( \mathbf { x , } t ) , \ E _ { 2 2 } ( \mathbf { x , } t ) = - \partial _ { 1 } \partial _ { 1 } E ( \mathbf { x , } t ) ,
\tilde { \phi } _ { p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) = 2 \pi \left( \tilde { c } _ { j , k } ( p , q ) + \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot \boldsymbol { \xi } + \tilde { \eta } _ { j , k , p , q } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } \, ,
P _ { e e } ^ { \mathrm { L B L ~ a t ~ r e a c } } = 1 - 4 s _ { 1 2 } ^ { 2 } c _ { 1 2 } ^ { 2 } c _ { 1 3 } ^ { 4 } S _ { s u n } ^ { 2 } - 4 s _ { 1 3 } ^ { 2 } c _ { 1 3 } ^ { 2 } S _ { a t m } ^ { 2 }
A _ { p } = \frac { 3 \sqrt { 2 \pi } l _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \left( \frac { l _ { 0 } ^ { 3 } } { V _ { p } } + \frac { k _ { e } l _ { 0 } } { 2 } - 0 . 0 6 5 5 5 3 \right) ^ { - 1 }
d \bar { s } ^ { 2 } = - { \frac { N ^ { 2 } ( R ) } { \bar { N } ^ { 2 } ( R ) } } N _ { 0 } ^ { 2 } ( r ) d t ^ { 2 } + \bar { N } ^ { - 2 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l r } { \sigma ( \omega ) } & { = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \sum _ { \mu \in \{ x , y , z \} } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \langle \Psi _ { 0 } \vert } \hat { P } _ { \mu } \ensuremath { \vert \Psi _ { n } \rangle } \ensuremath { \langle \Psi _ { n } \vert } \delta ( \omega + E _ { 0 } - \hat { H } ) \hat { P } _ { \mu } \ensuremath { \vert \Psi _ { 0 } \rangle } } \\ & { = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \sum _ { \mu \in \{ x , y , z \} } \ensuremath { \langle \Psi _ { 0 } \vert } \hat { P } _ { \mu } \delta ( \omega + E _ { 0 } - \hat { H } ) \hat { P } _ { \mu } \ensuremath { \vert \Psi _ { 0 } \rangle } } \\ & { = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \ensuremath { \mathrm { T r } } [ \hat { B } \; \hat { \rho } _ { 0 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \boldsymbol { S } _ { D } \rangle ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) = \big | \sum _ { \alpha } \boldsymbol { E } ^ { \prime ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } _ { \alpha } , \omega ) \big | ^ { 2 } \, \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ e ~ } ~ } _ { r } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { T } _ { 2 } \times \mathbf { T } _ { 1 } p , \mathbf { T } _ { 2 } \times \mathbf { T } _ { 1 } q \right) } & { = \left( \left( \sum _ { i } \alpha _ { i } \mathbf { H } _ { i } \right) \times \mathbf { T } _ { 1 } p , \left( \sum _ { i } \alpha _ { i } \mathbf { H } _ { i } \right) \times \mathbf { T } _ { 1 } q \right) } \\ & { = \sum _ { i } \alpha _ { i } \left( \mathbf { H } _ { i } \times \mathbf { T } _ { 1 } p , \mathbf { H } _ { i } \times \mathbf { T } _ { 1 } q \right) } \\ & { = \sum _ { i } \alpha _ { i } \left( \mathbf { H } _ { i } \left( \mathbf { T } _ { 1 } p \right) , \mathbf { H } _ { i } \left( \mathbf { T } _ { 1 } q \right) \right) } \\ & { = \sum _ { i } \alpha _ { i } \left( \mathbf { H } _ { i } \left( \sum _ { j } \beta _ { j } \mathbf { L } _ { j } p \right) , \mathbf { H } _ { i } \left( \sum _ { j } \beta _ { j } \mathbf { L } _ { j } q \right) \right) } \\ & { = \sum _ { i } \alpha _ { i } \left( \sum _ { j } \beta _ { j } \mathbf { H } _ { i } \times \mathbf { L } _ { j } p , \sum _ { j } \beta _ { j } \mathbf { H } _ { i } \times \mathbf { L } _ { j } q \right) } \\ & { = \sum _ { i } \sum _ { j } \alpha _ { i } \beta _ { j } \left( \mathbf { H } _ { i } \times \mathbf { L } _ { j } p , \mathbf { H } _ { i } \times \mathbf { L } _ { j } q \right) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { e = \displaystyle \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } x _ { 1 } ( a _ { 1 } Z - a _ { 1 } ^ { - 1 } Z ^ { - 1 } ) X ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { f = \displaystyle \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } x _ { 1 } ^ { - 1 } ( a _ { 2 } Z ^ { - 1 } - a _ { 2 } ^ { - 1 } Z ) X ^ { - 1 } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { t = \displaystyle \frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } Z ^ { 2 } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , - w } ( x ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } D _ { x } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { x , \omega , k } ^ { ( r ) } | _ { z = z _ { r } } = E _ { x , \omega , k } ^ { ( r + 1 ) } | _ { z = z _ { r } } , } \\ { \frac { \epsilon _ { r + 1 } } { \lambda _ { r + 1 , k } ^ { 2 } } \frac { d E _ { x , \omega , k } ^ { ( r + 1 ) } } { d z } \Big | _ { z = z _ { r } } \! - \! \frac { \epsilon _ { r } } { \lambda _ { r , k } ^ { 2 } } \frac { d E _ { x , \omega , k } ^ { ( r ) } } { d z } \Big | _ { z = z _ { r } } \! = } \\ { = \frac { 4 \pi i } { \omega } [ j _ { \omega , k } ^ { G } \delta _ { r , 0 } + j _ { \omega , k } ^ { 2 D } \delta _ { r , 1 } ] . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { E _ { t x } } \\ { H _ { t y } } \\ { E _ { t y } } \\ { H _ { t x } } \end{array} \right) _ { z = L } = \mathbf M \left( \begin{array} { c } { E _ { 0 x } + E _ { r x } } \\ { H _ { 0 y } + H _ { r y } } \\ { E _ { 0 y } + E _ { r y } } \\ { H _ { 0 x } + H _ { r x } } \end{array} \right) _ { z = 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { R } = - \frac { \mathcal { G } m _ { 1 } m _ { 2 } } { 8 a _ { 2 } } } & { \bigg [ I _ { 1 } ^ { 2 } \cos { ( ( p + 2 ) \lambda _ { 2 } - p \lambda _ { 1 } - 2 \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { - 2 I _ { 1 } I _ { 2 } \cos { ( ( p + 2 ) \lambda _ { 2 } - p \lambda _ { 1 } - \Omega _ { 2 } - \Omega _ { 1 } ) } } \\ & { + I _ { 2 } ^ { 2 } \cos { ( ( p + 2 ) \lambda _ { 2 } - p \lambda _ { 1 } - 2 \Omega _ { 2 } ) } \bigg ] \alpha b _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { ( p + 1 ) } ( \alpha ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { d c } } } & { { } = e ^ { - 2 i \phi } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a a } } + e ^ { - i \phi } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a b } } } \end{array}
\frac { \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \psi ( 2 S ) \pi ^ { + } ) } { \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \psi \pi ^ { + } ) } = \frac { \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \eta _ { c } ( 2 S ) \pi ^ { + } ) } { \mathrm { B R } ^ { \mathrm { H S } } ( B _ { c } ^ { + } \to \eta _ { c } \pi ^ { + } ) } \approx 0 . 3 6 \; ,
M _ { C } ( s _ { c } ) = \left. e ^ { \tilde { H } _ { C } \left( \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } \right) t } P ( 0 , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } \, , \qquad M _ { D } ( s _ { d } ) = \left. e ^ { \tilde { H } _ { D } \left( \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } \right) t } P ( 0 , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } \, .
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ T ~ } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ D ~ } ~ } } } } ^ { - 1 } ( { \bf x } ) { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) { { { { \mathrm { ~ \boldmath ~ { ~ \cal ~ D ~ } ~ } } } } } ( { \bf x } _ { F } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle v ^ { k } \left( \mathbf { x } \right) \left( v ^ { k } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \right) ^ { * } \right\rangle } & { = \frac { 1 } { \left[ 2 \pi \right] ^ { ( d - 1 ) } } \int e ^ { i ( \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } - \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { x } ^ { \prime } ) } \left\langle \tilde { v } ^ { k } \left( \mathbf { k } \right) \tilde { v } ^ { k } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right\rangle d \mathbf { k } d \mathbf { k } ^ { \prime } } \\ & { = \frac { 1 } { \left[ 2 \pi \right] ^ { ( d - 1 ) } } \int e ^ { i ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } ) \cdot \mathbf { k } } d \mathbf { k } } \\ & { = \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \tau } } & { { } ( r > \lfloor \tau \rfloor + 2 ) = 0 \, , } \\ { P _ { \tau } } & { { } ( r = \lfloor \tau \rfloor + 2 ) } \\ { P _ { \tau } } & { { } ( r = \lfloor \tau \rfloor + 1 ) } \\ { P _ { \tau } } & { { } ( r = \lfloor \tau \rfloor ) } \\ { P _ { \tau } } & { { } ( r = \lfloor \tau \rfloor - 1 ) } \\ { P _ { \tau } } & { { } ( r < \lfloor \tau \rfloor - 1 ) = 0 \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { V A R } ( S ) = } & { { \frac { 2 ( 1 7 2 8 - 2 4 - 1 9 2 ) + 3 ( 1 4 4 - 1 6 - 4 8 ) + 6 0 } { 1 8 } } } \\ & { + { \frac { ( 2 4 - 4 8 + 2 4 ) ( 1 9 2 - 1 4 4 + 2 4 ) } { 9 \times 1 2 \times 1 1 \times 1 0 } } } \\ & { + { \frac { ( 1 6 - 1 2 ) ( 4 8 - 1 2 ) } { 2 \times 1 2 \times 1 1 } } } \\ & { = 1 8 5 . 2 1 2 } \end{array} }
3 9 \cdot 1 2 5 \cdot 7 = \frac { 5 T } { 7 } \cdots \cdots ( 1 ) \, ( A ) \mathrm { ~ g i v e s ~ } 1 3 \cdot 1 7 5 \cdot 8 = \frac { 2 T } { 7 } \, ( B ) \mathrm { ~ g i v e s ~ } 1 3 \cdot 2 1 4 \cdot 8 = \frac { 2 T } { 7 } \, ( C ) \mathrm { ~ g i v e s ~ } 1 3 \cdot 2 7 1 \cdot 8 = \frac { 2 T } { 7 } \, ( D ) \mathrm { ~ g i v e s ~ } 1 3 \cdot 3 0 0 \cdot 8 = \frac { 2 T } { 7 }
f _ { M B } ^ { 3 D } ( \textbf { v } ) d v ^ { 3 } = \left( \frac { m } { 2 \pi { } k _ { B } T } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \exp \left( - \frac { m | v | ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } \right) d v ^ { 3 } \, \, \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } } & { = \mathbb { E } _ { \mathbf { x _ { 0 } } } \mathbb { E } _ { t } \mathbb { E } _ { \mathbf { x _ { t } } } \left[ a ( t ) \lVert \mathbf { s } _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } , t ) - \nabla _ { x _ { t } } \log p ( \mathbf { x } _ { t } | \mathbf { x } _ { 0 } ) \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { - v N _ { z } } & { { } = v _ { z } N _ { x } - v _ { x } N _ { z } = \left( \mathbf { v } \times \mathbf { N } \right) _ { y } } \\ { v N _ { y } } & { { } = v _ { x } N _ { y } - v _ { y } N _ { x } = \left( \mathbf { v } \times \mathbf { N } \right) _ { z } } \end{array}
c a n b e e a s i l y r e l a t e d v i a t h e r e m a r k a b l e s h o r t c u t p u t f o r w a r d b y P e s c h e l . T h e s h o r t c u t m a k e s u s e o f t w o i n s i g h t s : ( 1 ) T h e r e d u c e d s t a t e
\frac { \partial } { \partial t } \int _ { V } R _ { i j } ^ { V } d V + \oint _ { A } n _ { m } u _ { m } R _ { i j } ^ { V } d A = P _ { i j } ^ { M } + D _ { i j } ^ { M } + \Phi _ { R , i j } ^ { M } + \Phi _ { S , i j } ^ { M } + P _ { k , i j } ^ { M } + D _ { k , i j } ^ { M } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x _ { 2 } } & { { } = - \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \frac { \cos 2 ( X - t ) } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } , } \\ { \partial _ { t } y _ { 2 } } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { t } z _ { 2 } } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { t } { \phi _ { 2 } } } & { { } = - \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \mathrm { S } _ { } ( Z ) \lambda ^ { 2 } \cos 2 ( X - t ) \cos { 4 \Phi } + \lambda ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \mathrm { C } _ { } ( Z ) \sin 2 ( X - t ) \sin { 4 \Phi } } \\ { \partial _ { t } { \theta _ { 2 } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 } \lambda \, \frac { \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { \cosh ^ { 2 } k h } \bigg [ \lambda \sin 2 ( X - t ) \sin { 4 \Theta } \, ( 1 + \cos { 4 \Theta } \cosh 2 ( Z + k h ) ) } \end{array}
\psi _ { 4 } = - \frac { \log ( 1 + Y ) } { 8 ( 1 + Y ) } - \frac { Y } { 8 ( 1 + Y ) } + \frac { \log ^ { 4 } ( 1 + Y ) } { 3 8 4 } + \frac { \log ^ { 2 } ( 1 + Y ) } { 8 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \lambda _ { 4 } = \frac { 1 } { 4 } .
C ( A _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ M ~ C ~ } } ) = \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \ell } } C _ { \ell , i } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } N _ { \ell } C _ { \ell } = \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } N _ { \ell } \cdot \mathcal { O } \left( M _ { \ell } ^ { c } \right) .
\xi _ { \mathrm { i n e l } } ^ { k n } ( w ) \; = \; \frac { 2 \sqrt { z } } { 1 + z } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } t \; \Psi _ { H _ { Q } } ^ { ( k ) } \left( \frac { t } { \sqrt { z } } \right) \Psi _ { H _ { Q } } ^ { ( n ) } \left( \sqrt { z } t \right) \; .
A ( \varphi _ { i } , \chi _ { i } = 0 \chi ; \varphi _ { f } , \chi _ { f } = 0 ) = \int _ { \varphi _ { i } } ^ { \varphi _ { f } } D \varphi \int _ { 0 } ^ { 0 } D \chi \exp \left[ i S \right] .
\operatorname* { l i m } _ { R \rightarrow \infty } S _ { I } ( \rho _ { 1 } ^ { \prime } | \rho _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { R \rightarrow \infty } S _ { I } ( \rho _ { 0 } | \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) = 0 .
\begin{array} { r } { \mathbf { t } ^ { t o t } = \mathbf { t } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } - ( 1 - \zeta ) p ^ { l } \mathbf { I _ { d } } - \zeta p ^ { b } \mathbf { I _ { d } } } \\ { \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ) } \\ { \mathbf { t } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = 2 \mu \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ^ { s } ) + \lambda \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ^ { s } ) ) \mathbf { I _ { d } } } \\ { \zeta = \varepsilon _ { 0 } ^ { b } \left( 1 - 2 \frac { p ^ { l } - p ^ { b } } { K ^ { \nu } } \right) } \end{array}
J _ { \chi } ( \lambda , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z ( \lambda , t ) Q ( \lambda , t ) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } Z ( \lambda , t ) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in \partial D ( \lambda _ { 0 } , \delta ) , } \\ { Z ( \lambda , t ) P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) J _ { S } \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } Z ( \lambda , t ) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in \tilde { \gamma } _ { \pm 1 } . } \end{array} \right.
\Vec { N } ^ { L } ( p , \Theta ) = \int _ { - \ell } ^ { 0 } p \hat { p } \times \frac { I ( p ) } { c } \Delta \Vec { k } ^ { L } d p \quad \& \quad \Vec { N } ^ { R } ( p , \Theta ) = \int _ { 0 } ^ { \ell } p \hat { p } \times \frac { I ( p ) } { c } \Delta \Vec { k } ^ { R } d p