harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \displaystyle ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { w } ) _ { \mathcal { T } _ { h } ^ { \prime } } = \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } ^ { \prime } } ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { w } ) _ { \tau } = \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } ^ { \prime } } \int _ { \tau } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { w } \mathrm { d } x , \quad \| \boldsymbol { v } \| _ { \mathcal { T } _ { h } ^ { \prime } } ^ { 2 } = ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { v } ) _ { \mathcal { T } _ { h } ^ { \prime } } , } \\ & { \displaystyle \langle \boldsymbol { v } , \boldsymbol { w } \rangle _ { \mathcal { E } _ { h } ^ { \prime } } = \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } ^ { \prime } } \langle \boldsymbol { v } , \boldsymbol { w } \rangle _ { e } = \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } ^ { \prime } } \int _ { e } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { w } \mathrm { d } s , \quad \| \boldsymbol { v } \| _ { \mathcal { E } _ { h } ^ { \prime } } ^ { 2 } = \langle \boldsymbol { v } , \boldsymbol { v } \rangle _ { \mathcal { E } _ { h } ^ { \prime } } . } \end{array}
\bar { B } \longleftarrow \left[ \begin{array} { l l l } { s _ { 1 } ^ { T } \bar { y _ { 1 } } } & { \dots } & { s _ { 1 } ^ { T } \bar { y } _ { m } } \\ { 0 } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { s _ { m } ^ { T } \bar { y } _ { m } } \end{array} \right] , \bar { C } \longleftarrow \left[ \begin{array} { l l l } { { s _ { 1 } ^ { T } \bar { y _ { 1 } } } } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { { s _ { m } ^ { T } } \bar { y _ { m } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { 0 0 } ( z ; \tau ) } & { { } = - i \int _ { i - \infty } ^ { i + \infty } e ^ { i \pi \tau u ^ { 2 } } { \frac { \cos ( 2 u z + \pi u ) } { \sin ( \pi u ) } } \mathrm { d } u ; } \\ { \vartheta _ { 0 1 } ( z ; \tau ) } & { { } = - i \int _ { i - \infty } ^ { i + \infty } e ^ { i \pi \tau u ^ { 2 } } { \frac { \cos ( 2 u z ) } { \sin ( \pi u ) } } \mathrm { d } u ; } \\ { \vartheta _ { 1 0 } ( z ; \tau ) } & { { } = - i e ^ { i z + { \frac { 1 } { 4 } } i \pi \tau } \int _ { i - \infty } ^ { i + \infty } e ^ { i \pi \tau u ^ { 2 } } { \frac { \cos ( 2 u z + \pi u + \pi \tau u ) } { \sin ( \pi u ) } } \mathrm { d } u ; } \\ { \vartheta _ { 1 1 } ( z ; \tau ) } & { { } = e ^ { i z + { \frac { 1 } { 4 } } i \pi \tau } \int _ { i - \infty } ^ { i + \infty } e ^ { i \pi \tau u ^ { 2 } } { \frac { \cos ( 2 u z + \pi \tau u ) } { \sin ( \pi u ) } } \mathrm { d } u . } \end{array}
\begin{array} { l } { f _ { s } ^ { + } = ( \cos ^ { 2 } { \theta } \cos ^ { 2 } { \phi } - \sin ^ { 2 } { \phi } ) \cos { 2 \psi } - ( \cos { \theta } \sin { 2 \phi } ) \sin { 2 \psi } , } \\ { f _ { c } ^ { + } = ( \cos ^ { 2 } { \theta } \sin ^ { 2 } { \phi } - \cos ^ { 2 } { \phi } ) \cos { 2 \psi } + ( \cos { \theta } \sin { 2 \phi } ) \sin { 2 \psi } , } \\ { f _ { s c } ^ { + } = \bigl ( \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \cos ^ { 2 } { \theta } ) \sin 2 { \phi } \bigr ) \cos { 2 \psi } + ( \cos { \theta } \cos { 2 \phi } ) \sin { 2 \psi } , } \\ { f _ { s } ^ { \times } = ( \cos ^ { 2 } { \theta } \cos ^ { 2 } { \phi } - \sin ^ { 2 } { \phi } ) \sin { 2 \psi } + ( \cos { \theta } \sin { 2 \phi } ) \cos { 2 \psi } , } \\ { f _ { c } ^ { \times } = ( \cos ^ { 2 } { \theta } \sin ^ { 2 } { \phi } - \cos ^ { 2 } { \phi } ) \sin { 2 \psi } - ( \cos { \theta } \sin { 2 \phi } ) \cos { 2 \psi } , } \\ { f _ { s c } ^ { \times } = \bigl ( \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \cos ^ { 2 } { \theta } ) \sin 2 { \phi } \bigr ) \sin { 2 \psi } - ( \cos { \theta } \cos { 2 \phi } ) \cos { 2 \psi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Delta } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { \Delta } \in \mathcal { D } } \; \mathcal { L } _ { \rho } ( \boldsymbol { \Delta } , \boldsymbol { \alpha } ^ { ( k ) } , \boldsymbol { Z } ^ { ( k ) } ) } \\ & { = \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { \Delta } \in \mathcal { D } } \; \Phi _ { 1 } ( \boldsymbol { \Delta } ) + \mu ^ { k \top } F ( \boldsymbol { \Delta } , \boldsymbol { \alpha } ^ { ( k ) } , \boldsymbol { Z } ^ { ( k ) } ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \left( \frac { \rho } { 2 } \right) \| F ( \boldsymbol { \Delta } , \boldsymbol { \alpha } ^ { ( k ) } , \boldsymbol { Z } ^ { ( k ) } ) \| ^ { 2 } , } \\ { \boldsymbol { \alpha } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } } \; \mathcal { L } _ { \rho } ( \boldsymbol { \Delta } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { Z } ^ { ( k ) } ) } \\ & { = \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } } \; \Phi _ { 2 } ( \boldsymbol { \alpha } ) + \mu ^ { k \top } F ( \boldsymbol { \Delta } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { Z } ^ { ( k ) } ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad + \left( \frac { \rho } { 2 } \right) \| F ( \boldsymbol { \Delta } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { \alpha } , \boldsymbol { Z } ^ { ( k ) } ) \| ^ { 2 } , } \\ { \boldsymbol { Z } ^ { ( k + 1 ) } } & { = \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { Z } \in \mathcal { Z } } \; \mathcal { L } _ { \rho } ( \boldsymbol { \Delta } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { \alpha } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { Z } ) } \\ & { = \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { Z } \in \mathcal { Z } } \; \Phi _ { 3 } ( \boldsymbol { Z } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { s } ^ { T } b _ { i } ( \boldsymbol { Z } ) + } \\ & { \quad \quad \quad \quad \mu ^ { k \top } ( F ( \boldsymbol { \Delta } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { \alpha } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { Z } ) ) + } \\ & { \quad \quad \quad \quad \left( \frac { \rho } { 2 } \right) \| F ( \boldsymbol { \Delta } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { \alpha } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { Z } ) \| ^ { 2 } , } \\ { \mu ^ { ( k + 1 ) } } & { = \mu ^ { ( k ) } + \rho ( F ( \boldsymbol { \Delta } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { \alpha } ^ { ( k + 1 ) } , \boldsymbol { Z } ^ { ( k + 1 ) } ) ) , } \end{array}
\mathbf { Y } _ { 1 : ( n - 1 ) } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } = [ \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) , \dots , \mathbf { y } ^ { \mathrm { ~ a ~ u ~ g ~ } } ( \mathbf { x } _ { n - 1 } ) ]
\begin{array} { r l } { d _ { i + 1 } + D _ { i + 1 } } & { = d _ { i } + \delta _ { i + 1 } + D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { = d _ { i } + f _ { 9 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \left( - \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + 1 \right) } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { > d _ { i } + D _ { i } + f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ + \frac { - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { = d _ { i } + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) } \\ { } & { = \ell ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = A _ { ( \ell _ { 1 } n _ { 1 } ) ( \ell _ { 2 } n _ { 2 } ) ( \ell _ { 3 } n _ { 3 } ) } \left\{ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 } } & { \ell _ { 2 } } & { \ell _ { 3 } } \\ { m _ { 1 } } & { m _ { 2 } } & { m _ { 3 } } \end{array} \right\} ( J _ { \ell _ { 1 } , \ell _ { 2 } } ) _ { ( m _ { 1 } m _ { 2 } ) ( \ell m ) } ^ { - 1 } U _ { ( \ell m ( \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } n _ { 1 } n _ { 2 } ) ) } w _ { ( \ell _ { 3 } m _ { 3 } n _ { 3 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { P } = } & { - \Omega Q - \frac { \Gamma } { 2 } P + \sqrt { \Gamma } P _ { \mathrm { i n } } - 2 \sqrt { \Gamma C } X _ { \mathrm { i n } } } \\ & { - \frac { \Gamma G } { 2 } f ( t ) \circledast \left( - \left( Y _ { \mathrm { i n } } - \sqrt { \frac { 1 - \eta } { \eta } } Y _ { \mathrm { v } } \right) \frac { 1 } { 2 \sqrt { \Gamma C } } + Q \right) , } \end{array}
\times \frac { R _ { A s t r o } } { 0 . 9 y r ^ { - 1 } } \times \frac { f _ { B i o t e c h } } { 1 } \times \frac { \mathcal { L } _ { _ { I } } } { t _ { _ { I } } } \; G e V \; s ^ { - 1 } \; c m ^ { - 2 } ,
c _ { S M _ { k } } = c _ { S S U ( 2 ) _ { k } } + c _ { S S U ( 2 ) _ { 2 } } - c _ { S S U ( 2 ) _ { k + 2 } } = \frac { 3 } { 2 } \left( 1 - \frac { 8 } { k ( k + 2 ) } \right)
\begin{array} { r l } { \left\lVert \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rVert ^ { 2 } } & { = \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) \right\rVert ^ { 2 } - 2 \left\langle \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) , \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rangle + \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { = \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) \right\rVert ^ { 2 } + \frac { 2 } { \lambda _ { k } } \left\langle y _ { k + 1 } - y _ { k } , \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rangle + \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) - \nabla f \left( y _ { k } \right) \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { \leq \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) \right\rVert ^ { 2 } + \left( \frac { 2 L } { \lambda _ { k } } + L ^ { 2 } \right) \left\lVert y _ { k + 1 } - y _ { k } \right\rVert ^ { 2 } = \left( 1 + L \lambda _ { k } \right) ^ { 2 } \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) \right\rVert ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( 1 + L \lambda _ { k + 1 } \right) ^ { 2 } \left\lVert \nabla f \left( y _ { k + 1 } \right) \right\rVert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | w ( h ) | } & { \leq | w ( 2 ^ { k _ { 0 } } h ) | + | w ( 2 ^ { k _ { 0 } } h ) - w ( h ) | \leq 2 ^ { - k _ { 0 } } | h | ^ { - 1 } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb R ^ { d } ) } + C \| u \| _ { C _ { * } ^ { 1 } ( \mathbb R ^ { d } ) } \left| \log | h | \right| } \\ & { \leq C \left( \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb R ^ { d } ) } + \| u \| _ { C _ { * } ^ { 1 } ( \mathbb R ^ { d } ) } \right) \left( 1 + \left| \log | h | \right| \right) , } \end{array}
\begin{array} { r r r r r } { { X _ { 0 } } } & { { X _ { 1 } } } & { { X _ { 2 } } } & { { X _ { 3 } } } & { { X _ { 4 } } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 1 } } & { { - 1 } } \\ { { - 2 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array}
p _ { 0 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d } ) = p _ { 1 } ( x _ { 1 } ) p _ { 2 } ( x _ { 2 } | x _ { 1 } ) \cdots p _ { d } ( x _ { d } | x _ { 1 } , \ldots , x _ { d - 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { C } o v \Big ( } & { \sum _ { j \in J _ { n } } Z ( x _ { j } ^ { n } ) M ( I _ { j } ^ { n } ) , \sum _ { k \in \tilde { J } _ { m } } Z ( y _ { k } ^ { m } ) M ( E _ { k } ^ { m } ) \Big ) } \\ & { = \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in \tilde { J } _ { m } } \mathbb { E } ( Z ( x _ { j } ^ { n } ) Z ( y _ { k } ^ { m } ) ) \mathbb { E } ( M ( I _ { j } ^ { n } ) M ( E _ { k } ^ { m } ) ) + \mathbb { E } ( Z ( x _ { j } ^ { n } ) M ( E _ { k } ^ { m } ) ) \mathbb { E } ( Z ( y _ { k } ^ { m } ) M ( I _ { j } ^ { n } ) ) } \\ & { = \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in \tilde { J } _ { m } } C _ { Z } ( x _ { j } ^ { n } , y _ { k } ^ { m } ) C _ { M } ( I _ { j } ^ { n } \times E _ { k } ^ { m } ) + K _ { Z , M } ( x _ { j } ^ { n } , E _ { k } ^ { m } ) K _ { Z , M } ( y _ { k } ^ { m } , I _ { j } ^ { n } ) } \\ & { = \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in \tilde { J } _ { m } } C _ { Z } ( x _ { j } ^ { n } , y _ { k } ^ { m } ) C _ { M } ( I _ { j } ^ { n } \times E _ { k } ^ { m } ) + \sum _ { j \in J _ { n } } \sum _ { k \in \tilde { J } _ { m } } K _ { Z , M } ^ { ( 2 ) } ( ( x _ { j } ^ { n } , y _ { k } ^ { m } ) , I _ { j } ^ { n } \times E _ { k } ^ { m } ) . } \end{array}
\dot { E } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \dot { v } _ { 0 } - v _ { 1 } ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } = \left[ v _ { 0 } ^ { \prime } ( q _ { t } ) - v _ { 1 } ( q _ { t } ) \right] ^ { T } \cdot \dot { q } _ { t } .
N ( \alpha ) : = \left( \begin{array} { l l } { \alpha _ { + + } } & { \alpha _ { + - } } \\ { \alpha _ { - + } } & { \alpha _ { -- } } \end{array} \right) , N ( \beta ) : = \left( \begin{array} { l l } { \beta _ { + + } } & { \beta _ { + - } } \\ { \beta _ { - + } } & { \beta _ { -- } } \end{array} \right) , \mathscr { R } : = \left( \begin{array} { l l l l } { A } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { A ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { - 1 } } & { A - A ^ { - 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { A } \end{array} \right) .
\begin{array} { c } { { [ K _ { \mu } , K _ { \nu } ] = 0 \, , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ M _ { \mu \nu } , K _ { \lambda } ] = i ( \eta _ { \mu \lambda } K _ { \nu } - \eta _ { \nu \lambda } K _ { \mu } ) \, , } } \\ { { { } } } \\ { { \{ S ^ { a \alpha } , \bar { S } _ { b \beta } \} = 2 \delta ^ { a } { } _ { b } \gamma ^ { \mu } { } ^ { \alpha } { } _ { \beta } K _ { \mu } \, , } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ M _ { \mu \nu } , S ^ { a } ] = i \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { [ \mu } \gamma _ { \nu ] } S ^ { a } \, , } } \\ { { { } } } \\ { { { } [ { K } _ { \mu } , S ^ { a \alpha } ] = 0 \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { G : \ N ( G ) = k } \mathrm { O c c } _ { G , \mathcal { P } } ( z ) = P ^ { ( k ) } ( z ) } \\ & { \sum _ { G : \ N ( G ) = k } \mathrm { O c c } _ { G , \mathcal { P } ^ { \bullet } } ( z ) = ( P ^ { \bullet } ) ^ { ( k ) } ( z ) } \\ & { \sum _ { G : \ N ( G ) = k } \mathrm { O c c } _ { G , a , \mathcal { P } ^ { \bullet } } ( z ) = ( P ^ { \bullet } ) ^ { ( k - 1 ) } ( z ) } \end{array}
{ \dot { x } } _ { 1 } ( x _ { 2 } { \dot { x } } _ { 2 } + y _ { 2 } { \dot { y } } _ { 2 } ) - { \dot { x } } _ { 2 } ( x _ { 1 } { \dot { x } } _ { 1 } + y _ { 1 } { \dot { y } } _ { 1 } ) = 0
\begin{array} { r l l } { { \mathrm { I K , ~ T L } } } & { { : } } & { { \omega _ { 7 } = 0 } } \\ { { \mathrm { ~ F Z } } } & { { : } } & { { \mathrm { ~ v e r t e x ~ w e i g h t s ~ b e i n g ~ i n v a r i a n t ~ u n d e r ~ r e v e r s a l ~ o f ~ a l l ~ a r r o w s ~ a n d ~ } n = 2 . } } \end{array}
\hat { K } _ { i } ^ { \mathrm { H F } } ( \mathbf { x } ) \phi ( \mathbf { x } ) = \psi _ { i } ^ { \mathrm { H F } } ( \mathbf { x } ) \int \frac { \psi _ { i } ^ { \mathrm { H F } \ast } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \, \phi ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l r } { R _ { 1 n } ( { \phi } _ { j } ^ { * } ) } & { \equiv } & { P _ { 0 } \{ S _ { Q _ { n } } ( { \phi } _ { j } ^ { * } ) - S _ { Q _ { 0 , n } } ( { \phi } _ { j } ^ { * } ) \} - P _ { 0 } d S _ { Q _ { 0 , n } } ( \phi _ { j } ^ { * } ) ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) } \\ { - R _ { 3 , n } ( \phi _ { j } ^ { * } ) } & { \equiv } & { - P _ { 0 } d S _ { Q _ { 0 , n } } ( \phi _ { j } ^ { * } ) ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) - \langle \phi _ { j } ^ { * } , Q _ { n } - Q _ { 0 , n } \rangle _ { J _ { 0 , n } } . } \end{array}
e ^ { B } \left( \frac { 1 } { 2 } A ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 2 } B ^ { \prime \prime } + \frac { D _ { 1 } } { 4 } { A ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } { B ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( D _ { 1 } - 1 ) A ^ { \prime } B ^ { \prime } \right) = \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } ( \frac { 1 } { e ^ { 2 } } { P ^ { \prime } } ^ { 2 } + 2 v ^ { 2 } f ^ { 2 } P ^ { 2 } ) ~ .
+ \int d ^ { 2 } z \left( i \bar { c } ^ { a } D _ { \bar { z } } ^ { a b } c ^ { b } + A _ { \bar { z } } ^ { a } \pi ^ { a } - A _ { 0 } ^ { a } \Phi ^ { a } - i \bar { b } ^ { a } b ^ { a } - \epsilon ^ { a b c } A _ { 0 } ^ { a } c ^ { b } \bar { b } ^ { c } \right) \Biggr ]
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \xi _ { j } ( t , z ) \xi _ { j ^ { \prime } } ^ { \dag } ( t ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) \rangle = \Gamma _ { 0 } ( n _ { t h } + 1 ) \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta ( t - t ^ { \prime } ) \delta ( z - z ^ { \prime } ) \quad \quad } \\ & { } & { \langle \xi _ { j } ^ { \dag } ( t , z ) \xi _ { j ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) \rangle = \Gamma _ { 0 } n _ { t h } \delta _ { j j ^ { \prime } } \delta ( t - t ^ { \prime } ) \delta ( z - z ^ { \prime } ) } \end{array}
b _ { 2 } = 3 \, { \delta } ^ { 2 } - 3 \, { \displaystyle \frac { { \delta } ^ { 2 } } { { \omega } } } + 6 \, { { \delta } _ { 1 } } + 7 \, { \displaystyle \frac { { { \delta } _ { 1 } } } { { \omega } } } + 4 \, { \displaystyle \frac { { \delta } \, { { \omega } _ { 1 } } } { { \omega } ^ { 2 } } } + 6 \, { \displaystyle \frac { { \delta } \, { { \omega } _ { 1 } } } { { \omega } } } - { \displaystyle \frac { { { \delta } _ { 1 } } \, { { \omega } _ { 1 } } } { { \delta } \, { \omega } ^ { 2 } } } \; ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = e B = e P ^ { - 1 } P B = e P ^ { - 1 } P B Q = e P ^ { - 1 } C } \\ & { = ( e _ { 1 } + e _ { 2 } + ( 1 - x ) e _ { 3 } \quad e _ { 2 } + 2 e _ { 3 } \quad e _ { 3 } ) \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { x } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { x ^ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - D L ^ { - 1 } F _ { m , \leq K } = } & { 2 ^ { \frac { J } { 2 } } D \left[ \underset { \ell \in \{ 2 , 4 , \ldots , K \} } { \sum } \ \frac { 1 } { \ell } I _ { \ell } \left( s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } \right) \right] } \\ { = } & { 2 ^ { \frac { J } { 2 } } \underset { \ell \in \{ 2 , 4 , \ldots , K \} } { \sum } \ I _ { \ell - 1 } \left( s _ { 2 ^ { J } t _ { m } , j _ { m } } ^ { ( \ell ) } \right) . } \end{array}
E _ { \mathrm { f r e e } } ( \mathbf { x } , t ) = \sum _ { n } { \frac { E _ { n } ^ { \mathrm { r e t } } ( \mathbf { x } , t ) - E _ { n } ^ { \mathrm { a d v } } ( \mathbf { x } , t ) } { 2 } } = 0
\mathbf P _ { 1 } ( t = 0 ) = ( \sin ( \pi / 1 5 ) , 0 , \cos ( \pi / 1 5 ) ) , \mathbf P _ { 2 } ( t = 0 ) = ( \sin ( \pi / 1 6 ) , 0 , \cos ( \pi / 1 6 ) )
\Lambda _ { m , n } = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { m - 1 } \tilde { \mu } _ { m } ^ { \mathrm { ( s ) } } \rho _ { 0 m } \mathrm { ~ i ~ f ~ } n = m - 1 , } \\ { \alpha _ { m } \left( \tilde { \mu } _ { m } ^ { \mathrm { ( p ) } } - \tilde { \mu } _ { m } ^ { \mathrm { ( s ) } } \right) \rho _ { 0 m } \mathrm { ~ i ~ f ~ } n = m , } \\ { - \alpha _ { m + 1 } \tilde { \mu } _ { m } ^ { \mathrm { ( p ) } } \rho _ { 0 m } m \mathrm { ~ i ~ f ~ } n = m + 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { N } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } f _ { L d G } ( \gamma = 2 . 7 ) d x , \quad \mathrm { f r o m ~ E q . ~ : } } \\ & { = \frac { 2 L } { 3 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \frac { d S } { d x } \right) ^ { 2 } d x , \quad \mathrm { u s i n g ~ E q . ~ ~ a g a i n : } } \\ & { = - \frac { 2 } { 3 } \sqrt { \frac { A _ { 0 } L } { 1 0 } } \left( S ^ { 3 } - \frac { S ^ { 2 } } { 2 } \right\vert _ { 0 } ^ { S _ { N } } , \quad \mathrm { b u t ~ } S _ { N } = 1 / 3 } \\ & { = \frac { \sqrt { A _ { 0 } L } } { 8 1 \sqrt { 1 0 } } . } \end{array}
\left( \omega ^ { g _ { 1 } , h _ { 1 } } \right) \, \left( \omega ^ { h _ { 1 } , g _ { 1 } } \right) ^ { - 1 } \, \left( \omega ^ { g _ { 2 } , h _ { 2 } } \right) \, \left( \omega ^ { h _ { 2 } , g _ { 2 } } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r } { R _ { \parallel } ( \theta ) = \left| \frac { n _ { 1 } \sqrt { 1 - \left( \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \sin \theta \right) ^ { 2 } } - n _ { 2 } \cos \theta } { n _ { 1 } \sqrt { 1 - \left( \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \sin \theta \right) ^ { 2 } } + n _ { 2 } \cos \theta } \right| ^ { 2 } } \end{array}
\Delta ( p _ { \perp } ^ { 2 } ) \equiv \left( \frac { d \sigma _ { 2 } } { d p _ { \perp } ^ { 2 } } + \frac { d \sigma _ { 1 } ^ { ( 4 ) } } { d p _ { \perp } ^ { 2 } } \right) \left/ \frac { d \sigma _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } { d p _ { \perp } ^ { 2 } } \right.
{ \bf A } = \left( \begin{array} { l l l } { \cos \theta \cos \phi } & { \cos \theta \sin \phi } & { - \sin \theta } \\ { - \sin \phi } & { \cos \phi } & { 0 } \\ { \sin \theta \cos \phi } & { \sin \theta \sin \phi } & { \cos \theta } \end{array} \right) .
{ \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } ^ { * } \; \; a _ { 2 } ^ { * } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } = a _ { 1 } ^ { * } a _ { 1 } + a _ { 2 } ^ { * } a _ { 2 } = 1
\begin{array} { r l r } & { } & { F _ { i j } = 4 \langle \Phi _ { i } | \Phi _ { j } \rangle - 4 \langle \Phi | \Phi _ { i } \rangle \, \langle \Phi | \Phi _ { j } \rangle } \\ & { } & { = 4 \sum _ { k } \, \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { i } } \right) \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { j } } \right) } \\ & { } & { \times \Big \{ \langle \alpha | a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } \, a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } | \alpha \rangle - \Big [ \langle \alpha | a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } | \alpha \rangle \Big ] ^ { 2 } \Big \} } \\ & { } & { = \sum _ { k } \, \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { i } } \right) \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { j } } \right) \langle \left( \Delta N _ { k } \right) ^ { 2 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { m } ^ { \ell } ( \overline { { \upsilon } } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } a _ { m } ^ { \ell } ( \mathbf { v } ( \overline { { \upsilon } } ) + s \mathbf { u } ( \upsilon _ { 3 } , \upsilon _ { 4 } ) ) \mathop { d s } } \end{array}
A = { \left[ \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } & { a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { n n } } \end{array} \right] } , \qquad \mathbf { x } = { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { n } } \end{array} \right] } , \qquad \mathbf { b } = { \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { b _ { n } } \end{array} \right] } .
\lambda = \left\{ \begin{array} { l } { { 1 } } \\ { { - 1 } } \end{array} \right. ~ ~ \mathrm { f o r ~ g l u o n s , } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \lambda = \left\{ \begin{array} { l } { { 1 / 2 } } \\ { { - 1 / 2 } } \end{array} \right. ~ ~ \mathrm { f o r ~ q u a r k s . }
\begin{array} { r l } & { \Big [ - 2 i \omega _ { L } \frac { \partial } { \partial \tau } - 2 v _ { g } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi \partial \tau } - c ^ { 2 } \Delta _ { \perp } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } } \\ & { - ( c ^ { 2 } - v _ { g } ^ { 2 } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi ^ { 2 } } + \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } \left( \delta n _ { 0 } + \delta n - n _ { 0 } | a | ^ { 2 } / 4 \right) \Big ] a = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sum ( a _ { i } + x _ { i } ) ^ { 2 } } { \sum a _ { i } ^ { 2 } } } & { = 1 + 2 \frac { \sum a _ { i } x _ { i } } { \sum a _ { i } ^ { 2 } } + \frac { \sum x _ { i } ^ { 2 } } { \sum a _ { i } ^ { 2 } } } \\ & { = 1 + 2 \frac { O ( | a | | x | ) } { | a | ^ { 2 } } + \frac { | x | ^ { 2 } } { | a | ^ { 2 } } } \\ & { = 1 + O \left( \frac { | x | } { | a | } \right) + O \left( \frac { | x | ^ { 2 } } { | a | ^ { 2 } } \right) . } \end{array}