harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { W ^ { 2 } ( g _ { R } , \bar { g } _ { R } ) } & { \le 8 \big ( \int _ { \Omega \cap \{ \exists t \in [ 0 , 1 ] \; X ( t ) \in \partial B _ { R } \} } | x - y | ^ { 2 } d \pi + D \big ) , } \\ { \int _ { 2 } ^ { 3 } \int _ { \partial B _ { R } } \bar { g } _ { R } ^ { 2 } \, d R } & { \le 5 ^ { d - 1 } \kappa _ { \mu } ( 3 E + D ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ( x ) } & { = } & { 1 . 6 9 7 7 7 1 4 3 0 0 1 5 5 6 \times \sin \left\{ \sin \left[ 3 . 1 2 5 6 5 9 4 6 5 7 8 9 7 9 \times \exp \left( \frac { - 1 . 0 6 5 7 2 9 0 2 2 0 2 6 0 6 } { x ^ { 1 . 0 3 7 4 5 0 6 7 1 1 9 5 9 8 } } \right) \right] \right\} } \\ { f _ { 2 } ( x ) } & { = } & { 1 . 4 8 6 4 7 6 6 5 9 7 7 4 7 8 \times \sin \left\{ 3 . 1 1 7 2 3 2 5 6 1 1 1 1 4 5 \times \exp \left[ \frac { - 1 . 0 5 3 4 7 2 7 5 7 3 3 9 4 8 } { x } \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } a _ { \sigma } ( \phi , t ) } & { = \left( - \frac { \kappa } { 2 } - \sigma \Delta \Omega \right) a _ { \sigma } + i \sum _ { \mu } D _ { \mathrm { i n t } } ( \mu ) A _ { \sigma } ( \mu , t ) \mathrm { e } ^ { i \phi \mu } } \\ & { + i \gamma L \sum _ { \alpha , \beta } a _ { \alpha } a _ { \beta } ^ { * } a _ { \alpha - \beta + \sigma } } \\ & { + \delta _ { 0 } \sqrt { \kappa _ { \mathrm { e x t } } } F _ { 0 } \mathrm { e } ^ { ( i \delta \omega _ { 0 } t ) } + \delta _ { 1 } \sqrt { \kappa _ { \mathrm { e x t } } } F _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i ( \delta \omega _ { 1 } t + \mu _ { \mathrm { s p } } \phi ) } } \end{array}
\hat { \gamma } _ { i j } d \hat { x } ^ { i } d \hat { x } ^ { j } = \left( 1 + { \frac { \hat { k } } { 4 } } \delta _ { m n } \hat { x } ^ { m } \hat { x } ^ { n } \right) \delta _ { i j } d \hat { x } ^ { i } d \hat { x } ^ { j } = { \frac { d \hat { r } ^ { 2 } } { 1 - \hat { k } \hat { r } ^ { 2 } } } + \hat { r } ^ { 2 } \left( d \hat { \theta } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \hat { \theta } d \hat { \phi } ^ { 2 } \right) .
E _ { \mathrm { 2 b } } = \sum _ { i > j } ^ { N _ { \mathrm { a t o m s } } } \bigg ( A _ { i j } ^ { \alpha } e ^ { B _ { i j } ^ { \alpha } ( \mu _ { i j } ^ { \alpha } - R _ { i j } ) } - \frac { C _ { i j } ^ { \alpha } } { R _ { i j } ^ { 6 } } - \frac { D _ { i j } ^ { \alpha } } { R _ { i j } ^ { 8 } } \bigg ) \cdot f _ { \mathrm { c u t } } ( R _ { i j } )
\begin{array} { r l r } { \mathcal { U } _ { \mathrm { t r i v i a l } } } & { = } & { \mathrm { S p a n } \left\{ \mathbf { w } _ { 1 } , \dots , \mathbf { w } _ { r _ { \infty } - 1 } , \mathbf { u } _ { - 1 } , \mathbf { u } _ { 0 } \right\} } \\ { \mathcal { U } _ { \mathrm { i s o } } } & { = } & { \mathrm { S p a n } \left\{ \mathbf { u } _ { 1 } , \dots , \mathbf { u } _ { r _ { \infty } - 3 } \right\} } \end{array}
U _ { t h , e } = \frac { 3 } { 2 } \Delta x ^ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { z } } n _ { i , j , k } k _ { B } T _ { e , i , j , k }
\begin{array} { r l r l } & { \ln z _ { 1 , \star } = \ln | z _ { 1 , \star } | + i \arg z _ { 1 , \star } = \ln | z _ { 1 , \star } | + i \big ( \frac { \pi } { 2 } - \arg ( \omega k _ { 4 } ) \big ) , } & & { \arg ( \omega k _ { 4 } ) \in ( \frac { \pi } { 3 } , \frac { \pi } { 2 } ) , } \\ & { \ln z _ { 2 , \star } = \ln | z _ { 2 , \star } | + i \arg z _ { 2 , \star } = \ln | z _ { 2 , \star } | + i \big ( \frac { \pi } { 2 } - \arg ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \big ) , } & & { \arg ( \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) \in ( \frac { \pi } { 2 } , \frac { 2 \pi } { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) d s } & { = z _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } + ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } s } } { \alpha _ { k } } d s + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { - \alpha _ { k } ( s - u ) } \sqrt { 2 \alpha _ { k } } d W _ { k } ( u ) d s } \\ & { = z _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } + ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } s } } { \alpha _ { k } } d s + \sqrt { 2 \alpha _ { k } } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } ( t - s ) } } { \alpha _ { k } } d W _ { k } ( s ) ; } \end{array}
\hat { f } _ { p q } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma } \hat { a } _ { p _ { \sigma } } [ \hat { H } , \hat { a } _ { q _ { \sigma } } ^ { \dagger } ] - \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } [ \hat { H } , \hat { a } _ { q _ { \sigma } } ] = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma } \left( \hat { f } _ { p q \sigma } ^ { + } - \hat { f } _ { p q \sigma } ^ { - } \right) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \sigma } \hat { f } _ { p q \sigma }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { E } | \Delta U _ { n } ( e ) | ^ { 2 } \lambda ( d e ) d t \right\} } & { \geq \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { E } | \gamma ( e ) \Delta U _ { n } ( e ) | ^ { 2 } \lambda ( d e ) d t \right\} } \\ & { \geq \frac { 1 } { \Delta t _ { n } K _ { \gamma } ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \left| \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \int _ { E } \gamma ( e ) \Delta U _ { n } ( e ) \lambda ( d e ) d t \right| ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
R e = \frac { \rho _ { \mathrm { r e f } } u ^ { \prime } H } { \mu _ { 0 } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad u ^ { \prime } = \sqrt { \langle u _ { x } ^ { 2 } \rangle _ { V , t } + \langle u _ { y } ^ { 2 } \rangle _ { V , t } + \langle u _ { z } ^ { 2 } \rangle _ { V , t } } \, .
Q _ { v i s } ^ { 2 } = 4 E _ { v i s } E _ { \mu } \sin ^ { 2 } { \frac { \theta _ { \mu } } { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x _ { v i s } = { \frac { Q _ { v i s } ^ { 2 } } { 2 M _ { N } E _ { h a d } } } ,
S = S ^ { \tilde { l } } = ( S _ { 1 2 } - S _ { 2 1 } ) \sigma _ { 0 } \varepsilon _ { l l } L + B _ { \tau } ( S _ { 1 3 } - S _ { 3 1 } - S _ { 2 3 } + S _ { 3 2 } ) \sigma _ { 0 } \varepsilon _ { l \tau } L \ ,
\Delta E _ { m a g n } ^ { - } = \frac { Z \alpha } { 2 M } < { n } | { \bf p } \sum _ { - } \frac { | m > < m | } { E - E _ { m } + k } \frac { 4 \pi \mathrm { \boldmath ~ \ a l p h a _ { k } ~ } } { k } | { n } > + h . c . .
f ^ { ( \pm ) } ( \nu ; k ; x ) = e ^ { \mp i k x } + e ^ { \mp i k x } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \frac { 1 } { \pi } ) ^ { n + 1 } \int _ { 1 } ^ { \infty } d \alpha _ { o } . . . \int _ { 1 } ^ { \infty } d \alpha _ { n } \frac { ( \prod _ { j = 0 } ^ { n - 1 } D ( \nu ; \alpha _ { j } ) e ^ { - 2 \alpha _ { j } x } ) } { [ \prod _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( \alpha _ { j } + \alpha _ { j + 1 } ) ] ( \alpha _ { o } \pm i k ) }
K [ H _ { E } , \rho = 1 ] ( \vec { u } \sigma ; \vec { u } _ { 0 } 0 ) = \exp ( i 4 e ^ { 2 } \sigma / \hbar ) { \bf k } ^ { o s c } \langle u _ { 1 } \sigma \vert u _ { 1 0 } 0 \rangle { \bf k } ^ { o s c } \langle u _ { 2 } \sigma \vert u _ { 2 0 } 0 \rangle
\begin{array} { r } { \int _ { B _ { 1 } ^ { n + 1 } ( 0 ) \cap A _ { \varepsilon } } \frac { 1 } { \varepsilon } W ( u _ { \varepsilon } ) d \mathcal H ^ { n + 1 } \leq \int _ { B _ { 1 } ^ { n } ( 0 ) } \int _ { A _ { \varepsilon } \cap \pi ^ { - 1 } ( y ) } \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } d \mathcal H ^ { 1 } d y \leq \frac { ( N - 1 ) \alpha \omega } { 2 } + C \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { F _ { 2 } ^ { ( E = 0 ) } \equiv F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } = } } \\ & { } & { \frac { D _ { - } ^ { ( 0 ) } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) } { j _ { \ell } ( D _ { - } ^ { ( 0 ) } ) } + F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \frac { a _ { c o } ^ { 2 } } { ( D _ { - } ^ { ( 0 ) 2 } - a _ { + } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } D _ { + } ^ { ( 0 ) } \frac { j _ { \ell + 1 } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) } { j _ { \ell } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) } } { 1 + F _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \frac { a _ { c o } ^ { 2 } } { ( D _ { -- } ^ { ( 0 ) 2 } a _ { + } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } } \; . } \end{array}
[ { \cal H } , { \cal P } _ { i } ] = 0 , \qquad [ { \cal P } _ { i } , { \cal P } _ { j } ] = 0 , \qquad [ { \cal H } , { \cal J } _ { i } ] = 0 , \qquad [ { \cal P } _ { i } , { \cal J } _ { k } ] = - \varepsilon _ { i k l } { \cal P } _ { l } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial K _ { D } } { \partial \phi } } & { { } = - K _ { s } \frac { 1 + c s } { ( 1 + c s \phi ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial \Delta } { \partial \phi } } & { { } = - \frac { K _ { f } } { K _ { s } \phi ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 1 } { 1 + c s \phi } \right) + \frac { K _ { f } ( 1 - \phi ) } { K _ { s } \phi } \frac { c s } { ( 1 + c s \phi ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial G _ { D } } { \partial \phi } } & { { } = - G _ { s } \frac { 1 + \frac { 3 } { 2 } c s } { ( 1 + \frac { 3 } { 2 } c s \phi ) ^ { 2 } } . } \end{array} } \end{array}
H _ { m m } = \frac { m } { 2 } \left[ ( - \omega _ { m m ^ { \prime } } \omega _ { m ^ { \prime } m } + \omega ^ { 2 } ) | q _ { m m ^ { \prime } } | ^ { 2 } + ( - \omega _ { m m " } \omega _ { m " m } + \omega ^ { 2 } ) | q _ { m m " } | ^ { 2 } \right] = m \omega ^ { 2 } ( | q _ { m m ^ { \prime } } | ^ { 2 } + | q _ { m m " } | ^ { 2 } ) .
{ \frac { ( \delta E _ { b \bar { b } } ) _ { m _ { c } } ^ { ( 1 ) } - ( \delta E _ { b \bar { b } } ) _ { m _ { c } \to \infty } ^ { ( 1 ) } } { ( \delta E _ { b \bar { b } } ) _ { m _ { c } } ^ { ( 1 ) } } } \sim - { \frac { 1 } { \bar { \rho } ^ { 2 l + 2 } } } { \frac { 1 } { 2 \psi ( n + l + 1 ) - 2 \psi ( 1 ) + 5 / 3 } } .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { b } - \Phi _ { a } } & { = \int _ { a } ^ { b } \frac { \mathrm { d } J _ { t } } { \mathrm { d } t } \, d t } \\ { \Psi - \Phi } & { = \int _ { a } ^ { b } \left( Q _ { \mathcal { E } } \circ H _ { t } + H _ { t } \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } \right) d t } \\ & { = Q _ { \mathcal { E } } \circ \left( \int _ { a } ^ { b } H _ { t } \, d t \right) + \left( \int _ { a } ^ { b } H _ { t } \, d t \right) \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \left( \frac { q ( r _ { c } ) r _ { c } ^ { 2 } } { 2 } - \left[ \frac { r ^ { 3 } } { 3 } \int _ { r ^ { \prime } } ^ { \infty } \frac { q ( s ) } { s ^ { 2 } } d s \right] _ { 0 } ^ { r _ { c } } - \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } \frac { r ^ { 3 } } { 3 } \frac { q ( r ^ { \prime } ) } { r ^ { 2 } } d r ^ { \prime } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \left( \frac { q ( r _ { c } ) r _ { c } ^ { 2 } } { 2 } - \left[ \frac { r ^ { 3 } q ( r _ { c } ) } { 3 } \int _ { r ^ { \prime } } ^ { \infty } \frac { 1 } { s ^ { 2 } } d s \right] _ { 0 } ^ { r _ { c } } - \frac { 1 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } r ^ { \prime } q ( r ^ { \prime } ) d r ^ { \prime } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } \left( \frac { q ( r _ { c } ) r _ { c } ^ { 2 } } { 2 } - \left[ \frac { r ^ { 3 } q ( r _ { c } ) } { 3 r ^ { \prime } } \right] _ { 0 } ^ { r _ { c } } - \frac { 1 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } r ^ { \prime } q ( r ^ { \prime } ) d r ^ { \prime } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 6 \epsilon _ { 0 } } \left( q ( r _ { c } ) r _ { c } ^ { 2 } - 2 \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } r ^ { \prime } q ( r ^ { \prime } ) d r ^ { \prime } \right) } \\ & { = \frac { Q } { 6 \epsilon _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } ^ { \prime } , s _ { 2 } } } { \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } & { { } = \operatorname* { d e t } [ \mathbb { I } + \left[ G ^ { s _ { 1 } } ( \Theta , \tau ) \mathbf { r } ^ { - 1 } \Delta G ^ { s _ { 1 } } ( \tau , \Theta ) \right] _ { C } \left[ 2 G _ { C } ^ { s _ { 2 } } ( \Theta ) - \mathbb { I } \right] [ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } ] ^ { - 1 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { C } { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \| Q _ { j - 1 } Q _ { j } ^ { - 1 } - I _ { d } \| } & { = \frac { 1 } { n } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 1 } } \ldots \; + \sum _ { j = N _ { 1 } + 1 } ^ { n } \ldots \right] \le \frac { N _ { 1 } } { n } \frac { C K } { 2 } + \frac { n - N _ { 1 } } { n } \frac { \varepsilon } { 2 } \le \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { e ^ { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } + | z | ^ { 2 } } { 1 + | z | ^ { 2 } } \right) ^ { 2 s } = \left( \frac { e ^ { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } + e ^ { 2 \ln ( | z | ) } } { e ^ { \ln ( 1 + | z | ^ { 2 } ) } } \right) ^ { 2 s } } \\ & { = \left( \frac { e ^ { \frac { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } { 2 } + \ln ( | z | ) } \left( e ^ { \frac { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } { 2 } - \ln ( | z | ) } + e ^ { - \frac { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } { 2 } + \ln ( | z | ) } \right) } { e ^ { \ln ( 1 + | z | ^ { 2 } ) } } \right) ^ { 2 s } } \\ & { = \left( \frac { e ^ { \frac { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } { 2 } + \ln ( | z | ) } 2 \cosh \left( \frac { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } { 2 } - \ln ( | z | ) \right) } { e ^ { \ln ( 1 + | z | ^ { 2 } ) } } \right) ^ { 2 s } } \\ & { = \left( e ^ { \frac { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } { 2 } + \ln ( \frac { | z | } { 1 + | z | ^ { 2 } } ) + \ln \left( 2 \cosh \left( \frac { \beta g \mu _ { B } B _ { z } } { 2 } - \ln ( | z | ) \right) \right) } \right) ^ { 2 s } , } \end{array}
\lambda ( \xi ) = C ^ { \prime } \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } + \left( \frac { B ^ { \prime } } { D ^ { \prime 2 } } - \frac { A ^ { \prime } F ^ { \prime } } { D ^ { \prime 3 } \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } \right) f ( \xi ) ^ { 2 } + \left( \frac { A ^ { \prime } } { D ^ { \prime } } \right) \frac { d f ( \xi ) } { d \xi } .
f \, \in \, \mathcal { Y } _ { 1 } ^ { \prime } \, \subset \, \mathop { \mathrm { K e r } } ( \Lambda ) ^ { \perp } \, , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ e ~ q ~ u ~ i ~ v ~ a ~ l ~ e ~ n ~ t ~ l ~ y ~ } \quad \int _ { 0 } ^ { \infty } a ( \rho ) \rho ^ { 2 } \, \mathrm { d } \rho \, = \, 0 \, .
{ } \Omega ^ { 1 , 2 } ( \tau ) = - \alpha k _ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \left( \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + 2 \alpha k _ { 3 } R ^ { 2 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right) ^ { - 1 } \mu ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \dot { Q } _ { \textrm { J } } } & { { } = I ^ { 2 } R _ { \textrm { C } } } \\ { \dot { Q } _ { \textrm { R } } } & { { } = \frac { I } { F } \left( \overline { { T _ { \textrm { o u t } } ^ { + } } } \Delta S ^ { + } + \overline { { T _ { \textrm { o u t } } ^ { - } } } \Delta S ^ { - } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \alpha , \tilde { \alpha } ) = } & { \prod _ { i = 1 } ^ { n } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } } ( q _ { \kappa ( i ) } + l _ { i } ^ { \kappa } ( \boldsymbol { q } ) , q _ { \kappa ( i ) - 1 } + l _ { i } ^ { \kappa } ( \boldsymbol { q } ) , \boldsymbol { \eta } ) \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } } ( q _ { i } , q _ { i - 1 } , \boldsymbol { \xi } ) } } } \\ & { \times \prod _ { i = 0 } ^ { n } \prod _ { m = \sigma _ { i } ^ { 2 } + 1 } ^ { \sigma _ { i + 1 } ^ { 2 } - 1 } \overline { { \hat { \mathcal { V } } _ { \tilde { \alpha } _ { m } } ( q _ { i } , q _ { i } , \boldsymbol { \xi } ) } } \prod _ { m = \sigma _ { i } ^ { 1 } + 1 } ^ { \sigma _ { i + 1 } ^ { 1 } - 1 } \hat { \mathcal { V } } _ { \alpha _ { m } } ( q _ { \kappa ( i ) } + l _ { i } ^ { \kappa } ( \boldsymbol { q } ) , q _ { \kappa ( i ) } + l _ { i } ^ { \kappa } ( \boldsymbol { q } ) , \boldsymbol { \eta } ) . } \end{array}
M _ { \psi \pi ^ { 0 } \omega } = \frac { M _ { \psi \rho } M _ { \rho ^ { 0 } \pi ^ { 0 } \omega } } { m _ { \psi } ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } } + \frac { M _ { \omega \rho } M _ { \psi \pi ^ { 0 } \rho ^ { 0 } } } { m _ { \omega } ^ { 2 } - m _ { \rho } ^ { 2 } } + \frac { M _ { \pi \eta } M _ { \psi \eta \omega } } { m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \eta } ^ { 2 } } \simeq 0 . 0 0 0 7 \mathrm { ~ G e V } ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { r ^ { \prime } } & { = r v , } \\ { \mathbf { s } ^ { \prime } } & { = \mathbf { w } , } \\ { v ^ { \prime } } & { = | \mathbf { w } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } + \bar { V } ( \mathbf { s } ) , } \\ { \mathbf { w } ^ { \prime } } & { = - \frac { 1 } { 2 } v \mathbf { w } - | \mathbf { w } | ^ { 2 } \mathbf { s } - \nabla \bar { V } ( \mathbf { s } ) - \bar { V } ( \mathbf { s } ) \mathbf { s } . } \end{array} \right. } \end{array}
H \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - d \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( s \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } { I _ { 4 } } & { = } & { 2 a _ { 2 } a _ { 3 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } C _ { n - 1 } C _ { n + 1 } / \mathrm { d e n r 1 . } , } \\ { I _ { 5 } } & { = } & { 2 a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n - 1 } ^ { 2 } C _ { n } C _ { n + 1 } / \mathrm { d e n r 1 . } , } \\ { I _ { 6 } } & { = } & { - 2 a _ { 1 } ^ { 2 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n + 1 } C _ { n + 2 } / \mathrm { d e n r 2 . } , } \\ { I _ { 7 } } & { = } & { - 2 a _ { 1 } a _ { 2 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n } C _ { n + 2 } / \mathrm { d e n r 2 . } , } \\ { I _ { 8 } } & { = } & { - 2 a _ { 1 } a _ { 3 } k _ { n } ^ { 2 } C _ { n } C _ { n + 1 } / \mathrm { d e n r 2 . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ^ { \prime } ( z ) } & { { } = \sum _ { n \geq 0 } ( n + 1 ) g _ { n + 1 } z ^ { n } } \\ { z \cdot G ^ { \prime } ( z ) } & { { } = \sum _ { n \geq 0 } n g _ { n } z ^ { n } } \\ { \int _ { 0 } ^ { z } G ( t ) \, d t } & { { } = \sum _ { n \geq 1 } { \frac { g _ { n - 1 } } { n } } z ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ T ~ R ~ } \left\lbrack \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { S } } \right\rbrack } & { { } = } & { \stackrel { \leftrightarrow } { \sigma } _ { z } \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { S } ^ { \star } } \right) ^ { - 1 } \stackrel { \leftrightarrow } { \sigma } _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { z \in \mathbb { R } } \left( \mathfrak { H } ( t _ { i } , x ; t _ { j } , z ) + \mathfrak { H } ( t _ { j } , z ; t _ { k } , y ) \right) } \\ { = } & { \operatorname* { m a x } _ { z \in [ - M , M ] } \left( \mathfrak { H } ( t _ { i } , x ; t _ { j } , z ) + \mathfrak { H } ( t _ { j } , z ; t _ { k } , y ) \right) } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { - 1 / 3 } \log \int _ { - M } ^ { M } \exp \big [ 2 ^ { - 1 / 3 } T ^ { 1 / 3 } \big ( \mathfrak { H } ^ { T } ( t _ { i } , x ; t _ { j } , z ) + \mathfrak { H } ^ { T } ( t _ { j } , z ; t _ { k } , y ) \big ) \big ] \, d z } \\ { \leq } & { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \mathfrak { H } ^ { T } ( t _ { i } , x ; t _ { k } , y ) - 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { - 1 / 3 } \log ( 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { 2 / 3 } ) = \mathfrak { H } ( t _ { i } , x ; t _ { k } , y ) . } \end{array}
\left[ L _ { j } ^ { c h } , L _ { k } ^ { c h } \right] = ( k - j ) L _ { j + k } ^ { c h } , \qquad \left[ \overline { { L } } _ { j } ^ { c h } , \overline { { L } } _ { k } ^ { c h } \right] = ( k - j ) \overline { { L } } _ { j + k } ^ { c h } , \qquad \left[ L _ { j } ^ { c h } , \overline { { L } } _ { k } ^ { c h } \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { E ^ { * } \left( \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } \widehat { f } _ { k , n } ^ { * } \right) \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } \widehat { f } _ { l , n } ^ { * 2 } \right) \right) } & { = \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } E ^ { * } \left( \widehat { f } _ { k , n } ^ { * } \right) \right) \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } E ^ { * } \left( \widehat { f } _ { l , n } ^ { * 2 } \right) \right) } \\ & { = \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } \widehat { f } _ { k , n } \right) \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } \left( \frac { \widehat \sigma _ { l , n } ^ { 2 } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - l - 1 } C _ { k , l } } + \widehat { f } _ { l , n } ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { = \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } \widehat { f } _ { k , n } \right) \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } \widehat { f } _ { l , n } ^ { 2 } \right) + O _ { P } \left( \frac { 1 } { I + n } \right) } \end{array}
\Delta t _ { \mathrm { ~ W ~ C ~ S ~ P ~ H ~ } } = C r \cdot \operatorname* { m i n } \left\lbrace \operatorname* { m i n } _ { \forall i \in \mathbb { P } } \left[ \sqrt { \frac { h } { \vert \mathbf { f } _ { i } \vert } } \right] \, , \: \: \: \operatorname* { m i n } _ { \forall i \in \mathbb { P } } \left[ \frac { h } { c _ { 0 } + \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left( \frac { h \mathbf { u } _ { i j } \cdot \mathbf { r } _ { i j } } { \vert \mathbf { r } _ { i j } \vert ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \right) } \right] \right\rbrace \, ,
e ^ { - 2 A _ { + } - \alpha _ { + } ^ { ( 0 ) } } \bar { \tau } _ { + ( T ) } ^ { [ 0 ] } + e ^ { - 2 A _ { -- } \alpha _ { - } ^ { ( 0 ) } } \bar { \tau } _ { - ( T ) } ^ { [ 0 ] } = 0 .
a _ { 1 } = \frac { \mathrm { i } \gamma _ { r } ^ { e } / 2 } { \left( \omega - \omega _ { 0 e } \right) + \mathrm { i } ( \gamma _ { n r } ^ { e } + \gamma _ { r } ^ { e } ) / 2 } , \quad \mathrm { w i t h } \, \, \, \mathrm { t a n } \theta _ { \mathrm { E } 1 } = \frac { 2 \left( \omega - \omega _ { 0 e } \right) } { \gamma _ { r } ^ { e } } \, \, \mathrm { a n d } \, \, \mathrm { t a n } \theta _ { \mathrm { E } 1 } ^ { \prime } = \frac { \gamma _ { n r } ^ { e } } { \gamma _ { r } ^ { e } } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \overline { { G _ { B z } } } = } & { - \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \frac { e } { m } \partial _ { t } \left[ \left. \left\langle \delta L _ { g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 } } { \partial \mathcal { E } } \right| _ { \bar { \psi } } \right] } } + \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \frac { R B _ { \phi } } { B _ { 0 } } \left\langle \delta A _ { \| g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial } { \partial \bar { \psi } } \partial _ { t } \bar { F } _ { 0 } } } + \left. \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \left[ C _ { g } + \mathcal { S } \right] } } \right| _ { z } } \\ & { - \left[ \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \left( \delta \dot { \psi } _ { z } \partial _ { \psi } + \delta \dot { \theta } _ { z } \partial _ { \theta } + \delta \dot { \mathcal { E } } _ { z } \partial _ { \mathcal { E } } \right) \delta F _ { z } } } \right] } \\ & { - \frac { 1 } { \tau _ { b } } \frac { \partial } { \partial \psi } \left[ \tau _ { b } \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \delta \dot { \psi } \delta F } } \right] _ { z } - \frac { 1 } { \tau _ { b } } \frac { \partial } { \partial \mathcal { E } } \left[ \tau _ { b } \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \delta \dot { \mathcal { E } } \delta F } } \right] _ { z } } \end{array}
\rho _ { M } ( \lambda ) = \frac { 1 } { \pi } ( 2 g \lambda ^ { 2 } + 2 + m ^ { 2 } g ) \sqrt { m ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } \ \ \ \ \ \ \mathrm { w i t h } \ \ m ^ { 2 } = \frac { 2 } { 3 g } ( \sqrt { 1 + 3 g } - 1 )
S = \int d x ^ { + } d x ^ { - } d \theta ^ { + } d \theta ^ { - } \; \left( D _ { + } \Phi D _ { - } \Phi + D _ { + } \Xi D _ { - } \Lambda + D _ { + } \Lambda D _ { - } \Xi + 2 e ^ { \Phi } + 2 e ^ { \Lambda - \Phi } \right)