harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { 1 = \tau ( \rho ( p ) ) \le \tau ( \rho ( p , \gamma _ { p } ) ) \le \tau _ { \mathcal M } ( 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { p } } \parallel \! \rho ( p , \gamma _ { p } ) \! \parallel _ { p } } \\ { \le } & { \tau _ { \mathcal M } ( 1 ) ^ { 1 - \frac { 1 } { p } } \parallel \! \rho ( p , \frac { 1 } { \tau _ { \mathcal M } ( 1 ) } ) \! \parallel _ { p } \le \tau _ { \mathcal M } ( 1 ) ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } \parallel \! \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \rho ( p ) \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \! \parallel _ { p } \to 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { d } _ { 0 } ^ { ( 1 , 0 ) [ 1 ] } } & { = - \frac { 3 } { 2 } } \\ { \tilde { d } _ { h } ^ { ( 1 , 0 ) [ 0 ] } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac 1 2 - \frac { 3 } { 2 } \gamma _ { E } - \frac { 1 } { 6 } \log ( 2 ) } & { \qquad h = 0 } \\ { \Gamma ( h ) \Big ( \left( 3 h + \frac { 3 } { 2 } \right) - ( - 1 ) ^ { h } \frac 1 2 + \frac { 1 } { 2 ^ { h } } \frac 1 2 \Big ) } & { \qquad h > 0 } \end{array} \right. } \\ { \tilde { d } _ { 0 } ^ { ( 0 , 1 ) [ 0 ] } } & { = \frac 1 6 + \frac 1 2 \Big ( \log ( 2 ) - \log ( 3 ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } } { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + \frac { 5 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } \le q _ { \mathrm { M } j } \le \frac { \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + \frac { 2 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } } , } \\ & { \frac { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } } { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + \frac { 5 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } \le \bar { p } _ { \mathrm { M } A } \le \frac { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } + \frac { 5 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \phi _ { n l } ( r ) } { d r ^ { 2 } } } & { { } = \frac { 2 } { r } \bigg [ \frac { l ( l + 1 ) } { 2 r } - Z + Y _ { \mu } ( n l ; r ) } \end{array}
\Gamma _ { C T P } ^ { \beta } [ h _ { \mu \nu } ^ { \pm } ] \ = \ S _ { g } ^ { d i v } [ h _ { \mu \nu } ^ { + } ] - S _ { g } ^ { d i v } [ h _ { \mu \nu } ^ { - } ] - { \frac { i } { 2 } } T r \{ \ln \bar { G } _ { a b } ^ { \beta } [ h _ { \mu \nu } ^ { \pm } ] \} ,
\begin{array} { r l r } { M _ { \sigma _ { P } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { 2 0 } } \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { 1 0 } } { \sigma _ { P _ { q } } } } \\ { M _ { \Delta \Phi } } & { { } = } & { \frac { 1 } { N _ { 2 0 } } \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { 2 0 } } { \sigma _ { \Delta \Phi _ { q } } } , } \end{array}
\mathrm { L o s s _ { B C } = \frac { 1 } { N _ { B C D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { B C D } } \left| \ t h e t a _ { B C } ( \mathbf { x } ^ { i } ) - \ t h e t a _ { L } ( \mathbf { x } ^ { i } ) \right| ^ { 2 } + \frac { 1 } { N _ { B C N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { B C N } } \left| q _ { B C } ( \mathbf { x } ^ { i } ) - q _ { L } ( \mathbf { x } ^ { i } ) \right| ^ { 2 } } ,
d ^ { \prime } ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x = y = a , } \\ { \frac { d ( x , y ) } { d ( x , a ) + d ( y , a ) + d ( x , y ) } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ; } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \tilde { \epsilon } _ { \boldsymbol { q } n } \equiv \frac { \omega _ { \boldsymbol { q } n } } { \omega _ { c } } + \frac { l _ { B } ^ { 2 } q ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } l _ { B } \boldsymbol { q } \cdot \overline { { \boldsymbol { \Xi } } } _ { b } , \; \; \; \tilde { \xi } _ { \boldsymbol { q } n } \equiv \frac { g _ { \boldsymbol { q } n } } { \omega _ { c } } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { \boldsymbol { q } n } } { \omega _ { c } } } \frac { 1 } { \frac { \omega _ { \boldsymbol { q } n } } { \omega _ { c } } + \frac { l _ { B } ^ { 2 } q ^ { 2 } } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \rho ^ { c } + \mathbf { \nabla } \cdot ( \rho ^ { c } \mathbf { u } ^ { c } ) = 0 , } \\ & { \partial _ { t } ( \rho ^ { c } \mathbf { u } ^ { c } ) + \mathbf { \nabla } \cdot ( \rho ^ { c } \mathbf { u } ^ { c } \mathbf { u } ^ { c } ) = - \mathbf { \nabla } \cdot \sigma ^ { t h } + \mathbf { F } ^ { v i s c , c } + \mathbf { \nabla } \cdot \sigma ^ { n e m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta _ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) = U _ { \mathrm { H V } } ^ { - 1 } \Delta _ { \mathrm { H V } } U _ { \mathrm { H V } } } \\ & { } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { 1 } & { i } \end{array} \right) \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } } } \end{array} \right) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { i } & { - i } \end{array} \right) } \\ & { } & { = \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { - i \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ { - i \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
M _ { { \tilde { C } } _ { 1 , 2 } } = { \frac { 1 } { 2 } } [ ( M _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } + 2 m _ { W } ^ { 2 } ) \mp \sqrt { ( M _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } + 2 m _ { W } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( M _ { 2 } \mu - m _ { W } ^ { 2 } \sin 2 \beta ) ^ { 2 } } ] \ .
\begin{array} { r } { \overline { { u } } _ { i } ^ { \left( m \right) } = r \frac { d ^ { 2 } } { d + 1 } x _ { i } ^ { ( m + 2 ) } + r \frac { 2 d } { d + 1 } x _ { i } ^ { ( m + 1 ) } + \left[ r \frac { 1 } { d + 1 } - ( d + 1 ) \right] x _ { i } ^ { ( m ) } . } \end{array}
n _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ m ~ } } = \vec { k } \cdot \vec { n } + \vec { n } \cdot \dot { \vec { k } } \mathrm { d } t + \vec { k } \cdot \dot { \vec { n } } \mathrm { d } t + \mathcal { O } ( \mathrm { d } t ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \tau _ { \Lambda } ^ { * } ( Z ) v _ { k } ^ { * } } & { = ( - \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } ) v _ { k } ^ { * } , \quad \tau _ { \Lambda } ^ { * } ( X ) v _ { k } ^ { * } = ( k + 1 ) v _ { k + 1 } ^ { * } , } \\ { \tau _ { \Lambda } ^ { * } ( H ) v _ { k } ^ { * } } & { = ( 2 k - d _ { \Lambda } ) v _ { k } ^ { * } , \quad \tau _ { \Lambda } ^ { * } ( \overline { { X } } ) v _ { k } ^ { * } = ( d _ { \Lambda } + 1 - k ) v _ { k - 1 } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { f _ { 3 - k } } \mathscr { G } _ { k } ( c , f _ { 1 } , f _ { 2 } ) [ h _ { 3 - k } ] ( \varphi ) } & { { } = \frac { 1 } { \sin \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) \big ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \big ( d _ { f _ { 3 - k } } \Psi _ { p , 2 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} [ h _ { 3 - k } ] \big ) \big ( \theta _ { k } + f _ { k } ( \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) . } \end{array}
w _ { q } = { \frac { p _ { q } } { \rho _ { q } } } = { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } { \dot { Q } } ^ { 2 } - V ( Q ) } { { \frac { 1 } { 2 } } { \dot { Q } } ^ { 2 } + V ( Q ) } }
I ^ { \mathrm { s c a } } ( \theta ) = \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow \infty } r \langle \mathbf { S } ^ { \mathrm { s c a } } \rangle = \frac { 1 } { 2 Z _ { o } p _ { z } ^ { 2 } } | F _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } ( \theta ) | ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { R _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } ^ { \mathrm { C h } } H _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } ^ { \mathrm { C h } } H _ { i } + \frac { 1 } { 2 } H _ { i } ^ { \Bar { k } l } H _ { j \Bar { k } l } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } H _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } H _ { i } + \frac { 1 } { 2 } H _ { i } ^ { \Bar { k } l } H _ { j \Bar { k } l } , } \\ { R _ { \Bar { \imath } j } } & { = - R _ { \Bar { \imath } j } ^ { \mathrm { C h } } + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \Bar { \imath } } ^ { \mathrm { C h } } H _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } ^ { \mathrm { C h } } H _ { \Bar { \imath } } + \frac { 1 } { 2 } H _ { \Bar { \imath } j } ^ { k } H _ { k } - \frac { 1 } { 2 } H _ { \Bar { \imath } j } ^ { \Bar { k } } H _ { \Bar { k } } - \frac { 1 } { 2 } H _ { \Bar { \imath } } ^ { \Bar { k } l } H _ { j \Bar { k } l } + \frac { 1 } { 4 } H _ { \Bar { \imath } } ^ { \Bar { k } \Bar { l } } H _ { j \Bar { k } \Bar { l } } } \\ & { = - R _ { \Bar { \imath } j } ^ { \mathrm { C h } } + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \Bar { \imath } } H _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { j } H _ { \Bar { \imath } } - \frac { 1 } { 2 } H _ { \Bar { \imath } } ^ { \Bar { k } l } H _ { j \Bar { k } l } + \frac { 1 } { 4 } H _ { \Bar { \imath } } ^ { \Bar { k } \Bar { l } } H _ { j \Bar { k } \Bar { l } } . } \end{array}
S = \int d t \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - B \partial _ { 0 } \tilde { \mu } - \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } \tilde { A } _ { \rho } \right] \; ,
T ^ { c } \bigl ( A _ { 1 } ( x _ { 1 } ) . . . A _ { n } ( x _ { n } ) \bigr ) = ( A _ { \pi 1 } ( x _ { \pi 1 } ) \times _ { \hbar } . . . \times _ { \hbar } A _ { \pi n } ( x _ { \pi n } ) ) ^ { c } = { \cal O } ( \hbar ^ { n - 1 } ) .
\begin{array} { r l r } { P ( s _ { 0 , i } | \epsilon , \delta , \ldots ) } & { \propto } & { \exp [ ( s _ { 0 , i } - a _ { i } - b _ { i } - c _ { i } ) ] / ( 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ { P ( s _ { B , i } | \epsilon , \delta , \ldots ) } & { \propto } & { \exp [ ( s _ { B , i } - ( 1 - \epsilon ) a _ { i } - ( 1 - \delta ) b _ { i } - c _ { i } ) ] / ( 2 \sigma _ { B } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { U } ( x , t ) = M _ { \bar { U } } \bar { U } ( x ) + M _ { u ^ { \prime } } u ^ { \prime } ( x , t ) } \\ { = M _ { \bar { U } } A _ { \bar { U } } \sin \left( \frac { 2 \pi x } { \lambda _ { \bar { U } } } \right) + f ( t ) M _ { u ^ { \prime } } A _ { u ^ { \prime } } \sin \left( \frac { 2 \pi x } { \lambda _ { u ^ { \prime } } } \right) . } \end{array}
\frac { \partial I ( \theta _ { o } , \lambda _ { o } ) } { \partial p _ { i } } = \frac { 1 } { Z _ { o } p _ { z } ^ { 2 } } \Re \left\{ \left( F _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } \right) ^ { * } \frac { \partial F _ { z } ^ { \mathrm { s c a } } } { \partial p _ { i } } \right\}
T _ { \underline { { { A } } } \ \ \underline { { { B } } } \dot { A } } ^ { \ \ \dot { A } \ \ \ \dot { D } } H _ { \dot { D } \underline { { { C } } } } = - \frac { i } { 1 2 } \left( \nabla _ { \underline { { { A } } } } G _ { \underline { { { B } } } } ^ { \ \ \dot { D } } \right) \overline { { { R } } } \chi _ { \underline { { { C } } } \dot { D } }
V _ { \mathrm { n o i s e } } = \left( \begin{array} { c c } { V _ { \mathrm { Q Q , \, o p t i c a l \, n o i s e } } + V _ { \mathrm { Q Q , \, m e c h a n i c a l \, n o i s e } } } & { V _ { \mathrm { Q _ { \mathrm { { n o i s e } } } \, P _ { \mathrm { n o i s e } } } } } \\ { V _ { \mathrm { P _ { \mathrm { { n o i s e } } } \, Q _ { \mathrm { n o i s e } } } } } & { V _ { \mathrm { P P , \, o p t i c a l \, n o i s e } } + V _ { \mathrm { P P , \, m e c h a n i c a l \, n o i s e } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { = \sum _ { y } ( \lambda p ^ { \prime } ( y | x ) + \bar { \lambda } p ^ { \prime \prime } ( y | x ) ) \sum _ { u \in \mathcal { W } } \frac { \lambda p ^ { \prime } ( y | x ) p _ { W | X Y } ( u | x , y ) } { \lambda p ^ { \prime } ( y | x ) + \bar { \lambda } p ^ { \prime \prime } ( y | x ) } } \\ & { = \sum _ { y } ( \lambda p ^ { \prime } ( y | x ) + \bar { \lambda } p ^ { \prime \prime } ( y | x ) ) \frac { \lambda p ^ { \prime } ( y | x ) } { \lambda p ^ { \prime } ( y | x ) + \bar { \lambda } p ^ { \prime \prime } ( y | x ) } } \\ & { = \lambda , \ \forall x \in \mathcal { X } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { o p t } } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) = } & { \left| \frac { H _ { X Y } ( \omega ) } { H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ & { + \left| \frac { 1 - \sqrt { \kappa } H _ { X X } ( \omega ) } { \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) } \right| ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( \Bar { m } \Bar { k } \frac { n } { \Bar { k } } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \Bar { k } } \frac { 1 } { j } \right) + ( n - \Bar { m } \Bar { k } ) n \right) } & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( \frac { k ( k - 1 ) } { \Bar { k } ( \Bar { k } - 1 ) } n \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \Bar { k } } \frac { 1 } { j } \right) + ( n - \frac { k ( k - 1 ) } { \Bar { k } ( \Bar { k } - 1 ) } \Bar { k } ) n \right) } \\ & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( \frac { k ( k - 1 ) } { \Bar { k } ( \Bar { k } - 1 ) } n \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { \Bar { k } } \frac { j - 1 } { j } \right) + n ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( n \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { j - 1 } { j } \right) + n ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { \lambda _ { s } } { \lambda } \left( n \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { j } \right) + ( n - k ) n \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \alpha } u ( t _ { j } ^ { n } ) \approx } & { \int _ { 0 } ^ { t ^ { n - 1 } } k _ { - \alpha } ( t _ { j } ^ { n } - s ) \Pi ^ { p } u ( s ) \ d x [ s ] } \\ { \approx } & { \sum _ { k = 1 } ^ { Q } w _ { k } \int _ { 0 } ^ { t ^ { n - 1 } } e ^ { - \lambda _ { k } ( t _ { j } ^ { n } - s ) } \Pi ^ { p } u ( s ) \ d x [ s ] } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { Q } w _ { k } e ^ { - \lambda _ { k } ( t _ { j } ^ { n } - t ^ { n - 1 } ) } \underbrace { \int _ { 0 } ^ { t ^ { n - 1 } } e ^ { - \lambda _ { k } ( t ^ { n - 1 } - s ) } \Pi ^ { p } u ( s ) \ d x [ s ] } _ { Y _ { k } ( t ^ { n - 1 } ) } } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { Q } w _ { k } e ^ { - \lambda _ { k } ( t _ { j } ^ { n } - t ^ { n - 1 } ) } Y _ { k } ( t ^ { n - 1 } ) = _ { F } H ^ { \alpha } u _ { j } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \circ ( \Phi \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } - Q _ { \mathcal { E } } \circ \Phi ) ^ { ( n + 1 ) } } \\ { = \left( ( \Phi \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } - Q _ { \mathcal { E } } \circ \Phi ) ^ { ( n + 1 ) } \otimes \Phi ^ { ( 0 ) } + \Phi ^ { ( 0 ) } \otimes ( \Phi \circ Q _ { \mathcal { E } ^ { \prime } } - Q _ { \mathcal { E } } \circ \Phi ) ^ { ( n + 1 ) } \right) \circ \Delta ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r } { - v _ { 0 } ^ { 2 } = 2 v _ { 0 } \frac { [ 1 - \tilde { \beta } - \cos ( 2 \pi w ) ] \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } + H \langle R \rangle _ { t } } { \sqrt { 2 \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } ( 1 - \tilde { \beta } ) [ 1 - \cos ( 2 \pi w ) ] + \tilde { \beta } ^ { 2 } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } - 2 \tilde { \beta } H + H ^ { 2 } } } = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \tilde { \beta } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } + 2 H \langle R \rangle _ { t } } { \sqrt { 1 - \tilde { \beta } + \frac { \tilde { \beta } ^ { 2 } \langle R \rangle _ { t } ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { 2 \tilde { \beta } H } { v _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { H ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } } } . } \end{array}
2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta \alpha _ { i } \lambda _ { i } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta \alpha _ { i } \lambda _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \alpha _ { i } - 1 ) ( \delta \lambda _ { i } - \delta \lambda _ { 0 } ) = \delta \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \alpha _ { i } - 1 ) ( \lambda _ { i } - \lambda _ { 0 } ) \right] .
E _ { q , \pm } / J = \pm \frac { 4 \cos ^ { 2 } \left( \frac { q - \theta } { 2 } \right) } { \sqrt { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { q - \theta } { 2 } \right) - \cos ^ { 2 } \frac { q } { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { N _ { 0 } } & { { } = } & { \left( 1 - \eta _ { 0 } + \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \right) N _ { 0 } ^ { 0 } \approx N _ { 0 } ^ { 0 } \, , } \\ { N _ { 1 } } & { { } = } & { \mu _ { 0 } \left( 1 - \frac { \eta _ { 0 } } { 2 } - \frac { \eta _ { 1 } } { 2 } \right) N _ { 0 } \approx \mu _ { 0 } N _ { 0 } \, , } \\ { N _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } } { 2 } N _ { 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { n \ell } - s _ { n \ell } \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } \sum _ { \ell ^ { \prime } = - \infty } ^ { \infty } e ^ { j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) \phi _ { n n ^ { \prime } } } } & { { } H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) b _ { n ^ { \prime } \ell ^ { \prime } } } \end{array}
\hat { p } _ { \mu } ^ { ( 2 ) } = \hat { Z } _ { 2 } \hat { Z } _ { 4 } \hat { Z } _ { 6 } \ldots \hat { Z } _ { 2 \mu - 2 } \hat { X } _ { 2 \mu - 1 } \hat { X } _ { 2 \mu }
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \mu } \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) } & { = } & { \frac { \partial \overline { { \phi } } _ { i } } { \partial x ^ { \mu } } \frac { \partial } { \partial \overline { { \phi } } _ { i } } \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) } \\ & { = } & { - i \, A _ { \mu } ^ { i } \overline { { J } } _ { i } \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) } \end{array}
e ^ { i \hat { \Gamma } [ \vec { \varphi } _ { 1 } , \vec { \varphi } _ { 2 } ] } = \langle T _ { C } \mathrm { e x p } \left[ \frac { i } { \delta } \int d ^ { \, 4 } x \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left\{ ( - ) ^ { j - 1 } { \cal L } ^ { \prime } ( \vec { \phi } _ { j } ( x ) + \vec { \varphi } _ { j } ( x ) ) - \frac { \delta \hat { \Gamma } [ \vec { \varphi } _ { 1 } , \vec { \varphi } _ { 2 } ] } { \delta \vec { \varphi } _ { j } ( x ) } \cdot \vec { \phi } _ { j } ( x ) \right\} \right] \rangle ,
\left( \begin{array} { c c c c } { { \langle 1 | H | 1 \rangle } } & { { \langle 1 | H | 2 \rangle } } & { { \ldots } } & { { \langle 1 | H | N \rangle } } \\ { { \langle 2 | H | 1 \rangle } } & { { \langle 2 | H | 2 \rangle } } & { { \ldots } } & { { \langle 2 | H | N \rangle } } \\ { { \vdots } } & { { } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { \langle N | H | 1 \rangle } } & { { \langle N | H | 2 \rangle } } & { { \ldots } } & { { \langle N | H | N \rangle } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \langle 1 | \psi \rangle } } \\ { { \langle 2 | \psi \rangle } } \\ { { \vdots } } \\ { { \langle N | \psi \rangle } } \end{array} \right) = M ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { { \langle 1 | \psi \rangle } } \\ { { \langle 2 | \psi \rangle } } \\ { { \vdots } } \\ { { \langle N | \psi \rangle } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } { | B _ { q } ^ { p } \rangle } & { { } = \sqrt { \frac { B _ { q - 1 } ^ { p - 1 } } { B _ { q } ^ { p } } } \: \eta _ { M - p + 1 } ^ { N - q + 1 } \: | B _ { q - 1 } ^ { p - 1 } \rangle | 1 \rangle } \end{array}
\Theta _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } P _ { n } > P _ { m } ~ \forall \, m \neq n } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { - \frac { \kappa } { 2 | \mathcal { S } | | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } \le - \epsilon _ { 1 } \overset { ( a ) } { \le } \frac { \partial L _ { \kappa } ( \theta ) } { \partial \theta _ { 1 } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } } & { = \mu ( s ) \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ( - A ^ { \pi ^ { \theta } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ) - \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | } ( \frac { 1 } { | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } - \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ) } \\ & { \overset { ( b ) } { \le } - \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | } ( \frac { 1 } { | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } - \pi _ { 1 } ^ { \theta } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ) } \end{array}
\prod _ { f } \operatorname * { d e t } ( R - i m _ { f } ) = \int \prod _ { f } D \phi _ { f } \mathrm { e x p } \left[ - \sum _ { f } { \phi _ { f } ^ { i } } ^ { * } ( R - i m _ { f } ) _ { i j } \phi _ { f } ^ { j } \right]
\begin{array} { r l r } { \delta J } & { = } & { g ^ { \mathrm { T } } \delta q - { q ^ { * } } ^ { \mathrm { T } } \underbrace { \left( E _ { \mathrm { l i n } } \delta q - \delta s \right) } _ { = 0 } } \\ & { = } & { { q ^ { * } } ^ { \mathrm { T } } \delta s + \delta q ^ { \mathrm { T } } \left( g - E _ { \mathrm { l i n } } ^ { \mathrm { T } } q ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { i j } } & { { } = 2 \omega _ { i } ^ { 2 } \delta _ { i , j } + \frac { 2 } { 3 } \omega _ { i } \omega _ { j } , } \\ { \Gamma _ { i j } } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } { \cal V } _ { \mathrm { h y } } } { 5 N k _ { B } T _ { 0 } } \omega _ { i } M _ { i j } ( \Theta ) \omega _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } g ( x _ { 0 } ) - \mathbf { E } _ { x _ { 1 } } g ( x _ { 1 } ) | } & { \leq | \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } g ( x _ { 0 } ) - \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } h ( x _ { 0 } ) | } \\ & { + | \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } h ( x _ { 0 } ) - \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } h ( x _ { 1 } ) | } \\ & { + | \mathbf { E } _ { x _ { 1 } } h ( x _ { 1 } ) - \mathbf { E } _ { x _ { 1 } } g ( x _ { 1 } ) | } \\ & { \leq \mathbf { E } _ { x _ { 0 } } | g ( x _ { 0 } ) - h ( x _ { 0 } ) | } \\ & { + | \langle h , \mu _ { p } - \mu _ { q } \rangle | _ { \mathcal { H } } } \\ & { + \mathbf { E } _ { x _ { 1 } } | h ( x _ { 1 } ) - g ( x _ { 1 } ) | } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { m u t \to r e s } } } & { = H ^ { \ast } h ^ { \ast } \widetilde { P } ^ { \prime } ( G , G ) + H ^ { \ast } ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ^ { \prime } ( G , B ) } \\ & { \quad + ( 1 \! - \! H ^ { \ast } ) h ^ { \ast } \widetilde { P } ^ { \prime } ( B , G ) + ( 1 \! - \! H ^ { \ast } ) ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ^ { \prime } ( B , B ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 0 } \left( x , y \right) } & { = \psi _ { 0 } \left( x \right) \psi _ { 0 } \left( y \right) , } \\ { \Psi _ { 1 } \left( x , y \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \psi _ { 0 } \left( x \right) \psi _ { 1 } \left( y \right) + \psi _ { 1 } \left( x \right) \psi _ { 0 } \left( y \right) \right] , } \\ { \Psi _ { 2 } \left( x , y \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \psi _ { 0 } \left( x \right) \psi _ { 2 } \left( y \right) + \psi _ { 2 } \left( x \right) \psi _ { 0 } \left( y \right) \right] , } \\ { \Psi _ { 3 } \left( x , y \right) } & { = \psi _ { 1 } \left( x \right) \psi _ { 1 } \left( y \right) , } \end{array}
\vartheta _ { \mathrm { s h i f t } } \approx 3 \sin \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) / ( 5 + 1 0 \cos \left( \frac { \vartheta _ { \mathrm { c o l l } } } { 2 } \right) - 4 \cos { \vartheta _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ l ~ l ~ } } } )
\sin \alpha = { \frac { O } { H } } , \, \cos \alpha = { \frac { A } { H } } , \, \tan \alpha = { \frac { O } { A } } , \, \sec \alpha = { \frac { H } { A } } , \, \cot \alpha = { \frac { A } { O } } , \, \csc \alpha = { \frac { H } { O } } .
F _ { A , N } ^ { \mathrm { N C } } \ = \ { \frac { 1 } { 2 } } ( { } ^ { u - d } F _ { A } ^ { p + n } \pm { } ^ { u - d } F _ { A } ^ { p - n } ) - { \frac { 1 } { 2 } } S _ { A } ~ ~ .