harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { X _ { \theta } ^ { \mathrm { O s c } } } & { = F _ { \theta } \left( H _ { \mathrm { O s c } } \right) \partial _ { t } + \lambda \partial _ { \theta } \, , } \\ { X _ { \sigma } ^ { \mathrm { O s c } } } & { = F _ { \sigma } \left( H _ { \mathrm { O s c } } \right) \partial _ { t } + \sigma ( 1 - \sigma ) \partial _ { \sigma } \, , } \end{array}
v _ { 1 0 0 } = - \frac { 1 } { c _ { 0 0 0 } } \frac { \partial c _ { 0 0 0 } } { \partial y } + \frac { 4 z ^ { 2 } - 1 } { 8 } \frac { \partial p _ { 1 1 0 } } { \partial y } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } \pm \gamma _ { \mathrm { C D C } } = 0 } & { \mathrm { i f } \, \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { D K ^ { \pm } } , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } \pm \gamma _ { \mathrm { C D C } } = 0 } & { \mathrm { i f } \, \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { 1 ^ { \pm } D } , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \cdot \hat { \mathbf { n } } ^ { 2 ^ { \pm } K ^ { \pm } } \mp \gamma _ { \mathrm { C D C } } = 0 } & { \mathrm { i f } \, \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } _ { 2 ^ { \pm } K ^ { \pm } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { | D ( E ) | } & { { } } & { = \sqrt { \frac { 3 c } { 4 \mathrm { \ p i } ^ { 2 } E } \sigma ( E ) } , } \\ { \mathrm { R e } \{ \ln [ D ( E ) ] \} } & { { } } & { = \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \sigma ( E ) / E \right] + \mathrm { c o n s t . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { n } \bar { \Delta } _ { n } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } H ^ { - 1 } U ^ { \top } \nu _ { k } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } ^ { n } U ^ { \top } \nu _ { k } ^ { ( 1 ) } + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } B _ { k } ^ { n } [ R ( y _ { k } ) + \zeta _ { k } - U ^ { \top } E _ { k } + \nu _ { k } ^ { ( 2 ) } ( x _ { k } ) ] + O \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) . } \end{array}
E _ { \mathrm { f r e e } } ^ { ( \ell ) } ( \beta ) = g _ { \mathrm { \tiny ~ T ~ } } \, \frac { \hbar ^ { 2 } } { m _ { q } } \beta ^ { 2 } + g _ { \mathrm { \tiny ~ V ~ } } \, \frac { \sigma } { \beta } \, ,
\frac { 3 \eta ^ { \prime } } { 4 \Gamma ^ { \prime } } \frac { ( 1 - \beta ^ { 2 } ) \kappa _ { M } N g ^ { 2 } } { \alpha \beta ^ { 2 } N _ { e } ( g ^ { 4 } + f ^ { 2 } / 8 ) ^ { 2 } } > 1 .
R ( \underline { { \theta } } , \underline { { \delta } } ) = E _ { \underline { { \theta } } } [ L ( \underline { { \theta } } , \underline { { \delta } } ) ] = p _ { 1 } E _ { \underline { { \theta } } } [ W _ { 1 } ( \delta _ { 1 } ( \underline { { X } } ) - \theta _ { 1 } ) ] + p _ { 2 } E _ { \underline { { \theta } } } [ W _ { 2 } ( \delta _ { 2 } ( \underline { { X } } ) - \theta _ { 2 } ) ] , \; \; \underline { { \theta } } \in \Theta _ { 0 } .
\begin{array} { r } { F _ { L L S } ( t ) = \left\vert \frac { \mathrm { T r } [ \rho ( t ) ~ \rho _ { S _ { 0 } } ] } { \sqrt { \mathrm { T r } [ \rho ^ { 2 } ( t ) ] ~ \mathrm { T r } [ \rho _ { S _ { 0 } } ^ { 2 } ] } } \right\vert } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { t } ^ { \varepsilon } ( \phi ) = } & { \; \varepsilon ^ { 2 } \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } \phi ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \mathscr { Z } _ { t } ^ { \varepsilon } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) - \varepsilon ^ { 2 } \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } \phi ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \mathscr { Z } _ { 0 } ^ { \varepsilon } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \varepsilon ^ { 2 } \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) \phi ^ { \prime \prime } ( \varepsilon ^ { 2 } x ) d s } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { - 2 } \left[ \sqrt { \frac { q } { p } } \phi ( 0 ) - \phi ( - \varepsilon ^ { 2 } ) \right] \int _ { 0 } ^ { t } \mathscr { Z } _ { s } ^ { \varepsilon } ( 0 ) d s + \mathfrak { E } _ { 1 } ( \varepsilon ) , } \end{array}
\langle N \rangle = k _ { \mathrm { { B } } } T { \frac { 1 } { \mathcal { Z } } } \left( { \frac { \partial { \mathcal { Z } } } { \partial \mu } } \right) _ { V , T } = { \frac { 1 } { \exp { \big ( } ( \varepsilon - \mu ) / k _ { \mathrm { { B } } } T { \big ) } + 1 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { G U } ( A ; B ) : = } & { \{ g \in \mathrm { G L } ( \mathcal { T } ( \mathcal { H } _ { A } \otimes \mathcal { H } _ { B } ) ) \mid g ( \cdot ) : = U ^ { \dag } ( \cdot ) U , } \\ & { U \ \mathrm { i s ~ a ~ u n i t a r y ~ m a t r i x ~ o n ~ \mathcal { H } _ A \otimes \mathcal { H } _ B ~ } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { < \int _ { U } \frac { \Phi _ { 1 } ( x ) | x | ^ { \beta _ { 0 } } \ensuremath { \mathrm { d } } x } { \left( R _ { 2 } - | x | \right) ^ { \beta _ { 2 } } \left( | x | - R _ { 1 } \right) ^ { \beta _ { 1 } } } = 2 \pi \int _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } \frac { Z ( r ) r ^ { \beta _ { 0 } + 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } r } { \left( R _ { 2 } - r \right) ^ { \beta _ { 2 } } \left( r - R _ { 1 } \right) ^ { \beta _ { 1 } } } \le 2 \pi \times C \times I , } \end{array}
u _ { 4 } = \frac { x _ { 1 3 } ^ { \prime } x _ { 2 4 } ^ { \prime } } { \omega x _ { 1 4 } ^ { \prime } x _ { 2 3 } ^ { \prime } } = \frac { x _ { 1 3 } ^ { \prime \prime } x _ { 2 4 } ^ { \prime \prime } } { \omega x _ { 1 4 } ^ { \prime \prime } x _ { 2 3 } ^ { \prime \prime } } , ~ ~ u _ { 5 } = \frac { x _ { 4 } ^ { \prime } } { x _ { 3 } ^ { \prime } } = \frac { x _ { 1 3 } ^ { \prime \prime \prime } x _ { 2 4 } ^ { \prime \prime \prime } } { \omega x _ { 1 4 } ^ { \prime \prime \prime } x _ { 2 3 } ^ { \prime \prime \prime } } , ~ ~ ~ ~ u _ { 6 } = \frac { x _ { 4 } ^ { \prime \prime } } { x _ { 3 } ^ { \prime \prime } } = \frac { x _ { 4 } ^ { \prime \prime \prime } } { x _ { 3 } ^ { \prime \prime \prime } } . ~
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } u ( t , x ) d \Omega } & { = \int _ { 0 } ^ { t } F _ { \mathrm { i n } } ( t ) d t } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { t } g ( t , x _ { 0 } = 0 ) ^ { m } \nabla u | _ { x = x _ { 0 } } d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } ( m t ) ( m t ) ^ { 1 / m - 1 } d t } \\ & { = m ^ { 1 / m } \int _ { 0 } ^ { t } t ^ { 1 / m } d t } \\ & { = \frac { m ^ { 1 + 1 / m } } { m + 1 } t ^ { 1 + 1 / m } , } \end{array}
\tilde { C } ( \bar { k } , \bar { p } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { - 2 i \bar { k } \, \delta ( \bar { k } + \bar { p } ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \delta ( 0 ) } } \\ { { 0 } } & { { \delta ( 0 ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, .
D _ { H } ^ { - 1 } ( k ^ { 2 } ) ~ = ~ ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( 1 + \int { \frac { 1 } { k ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } - i \epsilon } } \lambda ( \mu ^ { 2 } ) d \mu ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { Q _ { 2 } ^ { M \prime } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } ( N - i ) \tau \right) } \\ & { \times \left( 1 - \exp \left( - \left( \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } + \mathrm { i } \delta \right) \tau \right) \right) } \\ & { \times \exp \left( - \mathrm { i } \delta ( N - i ) \left( T + \tau \right) \right) \exp \left( - \mathrm { i } \Delta \delta \Delta t + \mathrm { i } \Delta \Phi \right) , } \end{array}
- k _ { 0 } ^ { * } ( 1 - c ) \left( a _ { + } \frac { d \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } } ( - \eta _ { f } , \lambda ) + c \frac { d \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } } ( \eta _ { f } , \lambda ) \right)
\mathrm { ~ H _ { n m } ^ { \{ { \bf ~ R } \} } ( 0 , 0 ) ~ } = \left( \frac { R _ { 1 1 } ^ { n } R _ { 2 2 } ^ { m } } { 2 ^ { n + m } } \right) ^ { \frac 1 2 } \sum _ { l = 0 } ^ { \left[ \frac { \mu _ { n m } } 2 \right] } \frac { ( - 1 ) ^ { \frac { n + m } 2 } n ! m ! } { l ! \left( \mu _ { n m } - 2 l \right) ! \left( \frac { | n - m | } 2 + l \right) ! } ( 2 r ) ^ { \mu _ { n m } - 2 l } ,
\omega _ { 0 } = { \frac { \bar { \alpha } _ { s } } { \pi } } \int { \frac { d ^ { 2 } \vec { k } _ { \perp } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } } \left[ \theta ( \mu ^ { 2 } - k _ { \perp } ^ { 2 } ) \, - \, { \frac { q _ { a \perp } ^ { 2 } } { \vec { k } _ { \perp } ^ { 2 } + ( \vec { q } _ { a \perp } + \vec { k } _ { \perp } ) ^ { 2 } } } \right] \simeq { \bar { \alpha } _ { s } } \, \ln \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { q _ { a \perp } ^ { 2 } } } \right) \, .
F _ { 2 } ( \bar { r } , t ) = v _ { t } ^ { ( 0 ) } - \bar { \nu } \left[ \frac { 1 } { \bar { r } } \left( \bar { r } v _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } - \frac { v ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \mathrm { i f ~ K ~ \leq ~ \frac { h } { a } ~ } , } & { \qquad \gamma _ { k } = \frac { 1 } { h } , } \\ { \mathrm { i f ~ K ~ > ~ \frac { h } { a } ~ a n d ~ k ~ < ~ k _ 0 ~ } , } & { \qquad \gamma _ { k } = \frac { 1 } { h } , } \\ { \mathrm { i f ~ K ~ > ~ \frac { h } { a } ~ a n d ~ k ~ \geq ~ k _ 0 ~ } , } & { \qquad \gamma _ { k } = \frac { 2 } { a ( \kappa + k - k _ { 0 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { s } } ( \tau _ { \mathrm { s } } ) = \big ( 2 ( \gamma + 1 ) \tau _ { \mathrm { s } } h ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { s } } ( \tau _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } - 1 ) h ^ { \prime } - 2 h \big ) h ^ { \prime } > \tilde { f } _ { \mathrm { s } } ( \tau _ { \mathrm { s } } ) h ^ { \prime } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau _ { 0 } = 0 . 8 5 0 3 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \varsigma = 0 . 8 7 9 8 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \Lambda - \theta ( t ) \, \frac { S ( t ) } { N ( t ) } - ( \mathcal { V } + \mu ) \, S ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } V ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \mathcal { V } \, S ( t ) - \theta ( t ) \, \kappa \, \frac { S ( t ) } { N ( t ) } - \mu \, V ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } I ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \theta ( t ) \, \bigl ( 1 + \kappa \bigr ) \frac { S ( t ) } { N ( t ) } - \bigl ( \eta + \omega _ { 1 } + \mu \bigr ) \, I ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } H ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \eta \, I ( t ) - ( \omega _ { 2 } + \mu ) \, H ( t ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } R ( t ) } { \mathrm { d } t } } & { = \omega _ { 1 } \, I ( t ) + \omega _ { 2 } \, H ( t ) - \mu \, R ( t ) \, . } \end{array}
N _ { B } = i ( 2 \pi ) ^ { p + 1 } g ^ { N } \delta ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \bf p } _ { i } ) ( 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } l ) ^ { - ( p + 1 ) / 2 } \mathrm { d e t } ( { \bf 1 } + { \bf B } ) \prod _ { i = 1 } ^ { N } \int d s _ { i } { \sqrt { g } } \quad .
\begin{array} { r l } { { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } } & { = \int \mathrm { d } \mathbf { x } _ { i } \mathrm { d } \mathbf { x } _ { j } \; \phi _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { i } ) \phi _ { \textsc { p } _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { i } ) v _ { i j } \phi _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { j } ) \phi _ { \textsc { q } _ { 2 } } ( \mathbf { x } _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t + 1 ) | _ { k _ { 1 } } - g ( t ) | _ { k _ { 1 } } } & { = \frac { g ( t ) | _ { k _ { 1 } } - g ( t ) | _ { k _ { 2 } } } { k _ { 1 } - k _ { 2 } } - \frac { g ( t ) | _ { j _ { 1 } } - g ( t ) | _ { j _ { 2 } } } { j _ { 1 } - j _ { 2 } } } \\ { g ( 0 ) | _ { k _ { 1 } } } & { = \delta - \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { w } ) ^ { \top } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \mathcal { E } \tilde { \beta } } I _ { a b c d } } & { { } = \left[ J _ { a b } ^ { ( 2 ) } \delta _ { c d } - J _ { a b } ^ { ( 1 ) } J _ { c d } ^ { ( 1 ) } \right] + [ a \leftrightarrow d \; \& \; b \leftrightarrow c ] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i } \tilde { F } _ { i } \left( \hat { a } _ { i } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \right) } & { { } = } & { \sum _ { i } \tilde { F } _ { i } \{ \hat { a } _ { i } \} + \sum _ { i } \tilde { F } _ { i } \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \} , } \end{array}
A _ { L } = \frac { 1 } { \sqrt { v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { r c c } { { - v _ { 2 } } } & { { v _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { v _ { 1 } } } & { { v _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \sqrt { v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } } } } \end{array} \right)
\left( \gamma ^ { \mu } i \partial _ { \mu } - \gamma ^ { \mu } e A _ { \mu } - m \right) \widetilde { \psi } = \left( \gamma _ { + } i \partial _ { + } + \gamma _ { - } ( i \partial _ { - } - e A _ { - } ) - \widetilde { \gamma } \cdot \widetilde { k } - m \right) \widetilde { \psi } \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } = } & { - ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } - 2 \boldsymbol { \Omega } \times \boldsymbol { u } - \nabla \Phi - c _ { p } \theta \nabla \Pi , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial t } = } & { - \nabla \cdot ( \rho \boldsymbol { u } ) , } \\ { \frac { \partial \theta } { \partial t } = } & { - \boldsymbol { u } \cdot \nabla \theta , } \\ { \Pi ^ { \frac { 1 - \kappa } { \kappa } } = } & { \frac { R } { p _ { 0 } } \rho \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { f } _ { 1 } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ) = } & { { } \tilde { f } _ { 1 , d } ^ { + } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ) + } \\ { \tilde { \theta } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } ) \int _ { - \infty } ^ { \tau } } & { { } \tilde { R } ^ { \cup } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , S } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { f } _ { 1 } ^ { - } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , F } , - \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } _ { x } = \frac { \left( \alpha \beta D ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) \mathrm { ~ \boldmath ~ j ~ } _ { x } - G D \left( \alpha - \beta \right) \mathrm { ~ \boldmath ~ j ~ } _ { y } } { \left( \alpha D \right) ^ { 2 } + G ^ { 2 } } , } \\ { \mathrm { ~ \boldmath ~ v ~ } _ { y } = \frac { G D \left( \alpha - \beta \right) \mathrm { ~ \boldmath ~ j ~ } _ { x } + \left( \alpha \beta D ^ { 2 } + G ^ { 2 } \right) \mathrm { ~ \boldmath ~ j ~ } _ { y } } { \left( \alpha D \right) ^ { 2 } + G ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { s } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = \frac { \partial \mathbf { s } } { \partial \mathbf { u } ^ { \prime } } \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { u } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } t } = \mathbf { T } \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { u } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } t } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } \oplus ( \mathbb { Z } / r _ { 0 } \mathbb { Z } ) ^ { 2 } } & { \cong \bigoplus _ { i = 1 } ^ { n + m } \mathbb { Z } / d _ { i } \mathbb { Z } } \\ & { \cong \bigoplus _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { Z } / d _ { i } ^ { \prime } \mathbb { Z } \oplus \bigoplus _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { Z } / d _ { i } ^ { \prime \prime } \mathbb { Z } } \\ & { \cong \mathcal { K } ^ { \prime } \oplus ( \mathbb { Z } / r _ { 0 } ^ { \prime } \mathbb { Z } ) ^ { 2 } \oplus \mathcal { K } ^ { \prime \prime } \oplus ( \mathbb { Z } / r _ { 0 } ^ { \prime \prime } \mathbb { Z } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \quad } & { { } \sqrt { 2 } R e y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) , \quad } & { m > 0 } \\ { \quad } & { { } y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) , \quad } & { m = 0 } \\ { \quad } & { { } - \sqrt { 2 } I m y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) , \quad } & { m < 0 } \end{array}
V _ { \omega } = V _ { 0 } \left[ 1 + \alpha \Delta T _ { \mathrm { ~ h ~ , ~ d ~ c ~ } } + \beta \Delta T _ { \mathrm { ~ h ~ , ~ d ~ c ~ } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \alpha + 2 \beta \Delta T _ { \mathrm { ~ h ~ , ~ d ~ c ~ } } ) T _ { 2 \omega } + \frac { \beta } { 2 } | T _ { \mathrm { ~ h ~ } , 2 \omega } | ^ { 2 } \right] { , }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { 2 } \vert \tilde { T } ( x , y , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } \right) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \left( F _ { i } ( x ) + b _ { i } ( x ) y + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { i , j } \theta _ { j } \right) } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { p } ( T ( x , \hat { \theta } ) ) ^ { \prime } \frac { \partial T } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) \tilde { w } ( x , y , \hat { \theta } ) - ( y - k ( x , \hat { \theta } ) ) \sum _ { j = 1 } ^ { p } \frac { \partial k } { \partial \hat { \theta } _ { j } } ( x , \hat { \theta } ) \tilde { w } _ { j } ( x , y , \hat { \theta } ) } \\ & { + ( y - k ( x , \hat { \theta } ) ) \left( f ( x , y ) + g ( x , y ) \tilde { k } ( x , y , \hat { \theta } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) \theta _ { j } \right) } \\ & { - ( y - k ( x , \hat { \theta } ) ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } \left( F _ { i } ( x ) + b _ { i } ( x ) y + \sum _ { j = 1 } ^ { p } \varphi _ { i , j } ( x ) \theta _ { j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \| J _ { t } ^ { * } - \hat { J } _ { t } ( \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } & { \leq \bigl \| J _ { t } ^ { * } - \hat { J } _ { t } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } ) \bigr \| _ { \infty } + \bigl \| \hat { J } _ { t } ( \bar { \boldsymbol { \omega } } _ { t } ) - \hat { J } _ { t } ( \boldsymbol { \omega } _ { t } ^ { * } ) \bigr \| _ { \infty } } \\ & { \leq \varepsilon ^ { \prime } \biggl ( 1 + \frac { \gamma + 1 } { \gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } ( \gamma ^ { \prime } ) ^ { i } \biggr ) } \\ & { = \varepsilon ^ { \prime } \biggl ( 1 + \frac { \gamma + 1 } { \gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { T - t } ( \kappa \gamma ) ^ { i } \biggr ) } \\ & { = \varepsilon ^ { \prime } \biggl ( 1 + \frac { \gamma + 1 } { \gamma } \frac { \kappa \gamma - ( \kappa \gamma ) ^ { T } } { 1 - \kappa \gamma } \biggr ) } \\ & { = \varepsilon ^ { \prime } \biggl ( \frac { 1 + \kappa } { 1 - \kappa \gamma } - \frac { ( \kappa \gamma ) ^ { T } ( 1 + \gamma ) } { \gamma - \kappa \gamma ^ { 2 } } \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d \Bigl ( e ^ { t } \int _ { \mathcal { L } } \frac { 1 } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p } } d x \Bigr ) = e ^ { t } \int _ { \mathcal { L } } \frac { 1 } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p } } d x } \\ { + } & { e ^ { t } \int _ { \mathcal { L } } \frac { - p } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p + 1 } } \Bigl [ k _ { 1 } \triangle S _ { n } ( t , x ) + \Lambda ( x ) - \mu _ { 1 } ( x ) S _ { n } ( t , x ) } \\ { - } & { \alpha ( x ) \frac { S _ { n } ( t , x ) I _ { n } ( t , x ) } { S _ { n } ( t , x ) + I _ { n } ( t , x ) + E _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) } + \beta ( x ) R _ { n } ( t , x ) + k _ { 4 } \triangle R _ { n } ( t , x ) } \\ { - } & { \mu _ { 4 } ( x ) R _ { n } ( t , x ) + \gamma ( x ) I _ { n } ( t , x ) - \beta ( x ) R _ { n } ( t , x ) \Bigr ] d x d t } \\ { + } & { e ^ { t } \int _ { \mathcal { L } } \frac { - p } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p + 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { a _ { k , 1 } } e _ { k } ( x ) S _ { n } ( t , x ) d x d B _ { k , 1 } ( t ) } \\ { + } & { e ^ { t } \int _ { \mathcal { L } } \frac { - p } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p + 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { a _ { k , 4 } } e _ { k } ( x ) R _ { n } ( t , x ) d x d B _ { k , 4 } ( t ) } \\ { + } & { \frac { e ^ { t } } { 2 } \int _ { \mathcal { L } } \frac { p ( p + 1 ) \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k , 1 } } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p + 2 } } e _ { k } ^ { 2 } ( x ) S _ { n } ^ { 2 } ( t , x ) d x d t } \\ { + } & { \frac { e ^ { t } } { 2 } \int _ { \mathcal { L } } \frac { p ( p + 1 ) \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k , 4 } } { ( S _ { n } ( t , x ) + R _ { n } ( t , x ) + \epsilon ) ^ { p + 2 } } e _ { k } ^ { 2 } ( x ) R _ { n } ^ { 2 } ( t , x ) d x d t . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { k _ { 1 } } & { \cdots } & { k _ { p + 1 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { v _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { v } _ { p + 1 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { v _ { 1 } } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { p + 1 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { k _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { k _ { p + 1 } } \end{array} \right] } = \mathbf { k } ^ { \operatorname { T } } { \mathcal { H } } \mathbf { k } = \lambda \mathbf { k } ^ { \operatorname { T } } \mathbf { k } > 0
e _ { 1 } ^ { ( a + 1 ) } e _ { 0 } ^ { ( a ) } - ( - 1 ) ^ { | a | | a + 1 | } H _ { 1 } ^ { A _ { a , a + 1 } } e _ { 0 } ^ { ( a ) } e _ { 1 } ^ { ( a + 1 ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a , a + 1 } } \left( e _ { 0 } ^ { ( a + 1 ) } e _ { 1 } ^ { ( a ) } - ( - 1 ) ^ { | a | | a + 1 | } H _ { 1 } ^ { A _ { a , a + 1 } } e _ { 1 } ^ { ( a ) } e _ { 0 } ^ { ( a + 1 ) } \right) .
\mathrm { { \sf M } _ { H ^ { 0 } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 2 \ l a m b d a _ { 1 } v ^ { 2 } } } & { { 2 \ l a m b d a _ { 2 } v v ^ { \prime } } } \\ { { 2 \ l a m b d a _ { 2 } v v ^ { \prime } } } & { { 2 \ l a m b d a _ { 1 } { v ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) . }
\begin{array} { r } { s \langle \hat { x } ( 0 , s ) \rangle _ { 0 } \approx \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle A \frac { \sin \pi \alpha } { \pi \alpha } \frac { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } { s ^ { 1 + \alpha } } + A \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \frac { s ^ { \alpha - 1 } } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s > s ^ { * } } \\ { \displaystyle \frac { L ^ { 2 } } { 2 A } \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \frac { s ^ { \alpha - 1 } } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s < s ^ { * } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d s } \Big \lvert _ { s = 0 } \Big ( \star _ { g + s \dot { g } } \big ( F _ { \theta } + s ( \dot { F } _ { \theta } + c F _ { \theta + \frac { \pi } { 2 } } ) \big ) \Big ) } & { = \frac { d } { d s } \Big \lvert _ { s = 0 } \Big ( \star _ { g + s \dot { g } } \big ( F _ { \theta } + s \dot { F } _ { \theta } \big ) \Big ) + c \star _ { g } F _ { \theta + \frac { \pi } { 2 } } } \\ & { = \cos ( \theta ) \frac { d } { d s } \Big \lvert _ { s = 0 } \Big ( \star _ { g + s \dot { g } } ( F + s \dot { F } ) \Big ) - \sin ( \theta ) \dot { F } + c \star _ { g } F _ { \theta + \frac { \pi } { 2 } } } \end{array}
\left. \frac { \partial A _ { 2 \omega } ^ { \mathrm { g } } } { \partial t } \right| _ { t = 0 } = A _ { 2 \omega } ^ { \mathrm { s } } M \iint d k _ { x } d k _ { y } \frac { k _ { y } ^ { 2 } } { \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } } | \hat { j } _ { \mathrm { m o d e } } | ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } z } { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + \Delta k ^ { 2 } } + \frac { 1 - e ^ { - \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } z } e ^ { - i \Delta k z } } { 2 ( \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } + i \Delta k ) ^ { 2 } } \right)