harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \langle \mathrm { T r } ( a ^ { T } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a a ^ { \dagger } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a ^ { * } a ^ { T } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a a ^ { \dagger } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a ^ { * } a ^ { T } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a a ^ { \dagger } ( I _ { N / 2 } \otimes \sigma _ { y } ) a ^ { * } ) \rangle } \\ { = } & { \sum _ { \lbrace i _ { k } , j _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } , j _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N } s ( i _ { 1 } ) s ( i _ { 3 } ) s ( i _ { 5 } ) s ( i _ { 2 } ^ { \prime } ) s ( i _ { 4 } ^ { \prime } ) s ( i _ { 6 } ^ { \prime } ) \delta _ { i _ { 1 } p ( i _ { 2 } ) } \delta _ { i _ { 3 } p ( i _ { 4 } ) } \delta _ { i _ { 5 } p ( i _ { 6 } ) } \delta _ { i _ { 1 } ^ { \prime } p ( i _ { 2 } ^ { \prime } ) } \delta _ { i _ { 3 } ^ { \prime } p ( i _ { 4 } ^ { \prime } ) } \delta _ { i _ { 5 } ^ { \prime } p ( i _ { 6 } ^ { \prime } ) } \left( \delta _ { j _ { 2 } j _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { 3 } j _ { 2 } ^ { \prime } } \cdots \delta _ { j _ { 6 } j _ { 5 } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { 1 } j _ { 6 } ^ { \prime } } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left[ \int d f f _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \cdots f _ { i _ { 6 } j _ { 6 } } f _ { i _ { 1 } ^ { \prime } j _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { * } \cdots f _ { i _ { 6 } ^ { \prime } j _ { 6 } ^ { \prime } } ^ { * } \right] } \\ { = } & { \sum _ { \lbrace i _ { k } , j _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } , j _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { m } s ( i _ { 2 k - 1 } ) s ( i _ { 2 k } ^ { \prime } ) \delta _ { i _ { 2 k - 1 } p ( i _ { 2 k } ) } \delta _ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } p ( i _ { 2 k } ^ { \prime } ) } \right) \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { j _ { k } j _ { k - 1 } ^ { \prime } } \right) \left[ \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { 2 m } } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { i _ { k } , i _ { \sigma ( k ) } ^ { \prime } } \delta _ { j _ { k } , j _ { \tau ( k ) } ^ { \prime } } \right) \mathrm { W g } ^ { \mathrm { U } } ( N , \sigma \tau ^ { - 1 } ) \right] } \\ { = } & { \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { 2 m } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { U } } ( N , \sigma \tau ^ { - 1 } ) } \\ & { \times \left[ \sum _ { \lbrace i _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { m } s ( i _ { 2 k - 1 } ) s ( i _ { 2 k } ^ { \prime } ) \delta _ { i _ { 2 k - 1 } p ( i _ { 2 k } ) } \delta _ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } p ( i _ { 2 k } ^ { \prime } ) } \right) \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { i _ { k } , i _ { \sigma ( k ) } ^ { \prime } } \right) \right] \left[ \sum _ { \lbrace j _ { k } , j _ { k } ^ { \prime } \rbrace = 1 } ^ { N } \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { j _ { k } j _ { k - 1 } ^ { \prime } } \right) \left( \prod _ { k = 1 } ^ { 2 m } \delta _ { j _ { k } , j _ { \tau ( k ) } ^ { \prime } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \hat { w } } \mathcal { P } _ { W } ( \ell ( W , \hat { w } ) \geq \rho ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { \hat { w } } ( 1 - \mathcal { P } _ { W } ( \ell ( W , \hat { w } ) \leq \rho ) ) } \\ & { = 1 - \operatorname* { m a x } _ { \hat { w } } \mathcal { P } _ { W } ( \ell ( W , \hat { w } ) \leq \rho ) } \\ & { = 1 - L _ { W } ( \rho ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { i } ( U ) } & { \equiv } & { \ln U _ { i } + \frac { ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) - ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) } { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) } \ln U _ { 1 } } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; + \frac { ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) - ( \lambda _ { 1 } + \phi _ { 0 } ) ( \lambda _ { 2 } + \phi _ { 0 } ) } { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) ( \lambda _ { i } + \phi _ { 0 } ) } \ln U _ { 2 } } \end{array}
W _ { \delta } = - { \frac { \eta } { 1 6 \pi ^ { 3 / 2 } } } \left[ m ^ { 3 } a _ { 0 } \Gamma ( - 3 / 2 , m ^ { 2 } \delta ) + m a _ { 1 } \Gamma ( - 1 / 2 , m ^ { 2 } \delta ) + \pi ^ { 1 / 2 } { \frac { 1 } { m } } a _ { 2 } + O ( m ^ { - 3 } ) \right] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { g _ { c } ( j ) : } & { = 2 \int _ { - c \sqrt { 1 - j ^ { 2 } } } ^ { c \sqrt { 1 - j ^ { 2 } } } \frac { \sqrt { ( c ^ { 2 } ( 1 - j ^ { 2 } ) - z ^ { 2 } ) ( c ^ { 4 } + ( 1 - c ^ { 2 } ) z ^ { 2 } ) } } { c ( c ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } \, d z } \\ & { = 4 \int _ { 0 } ^ { c \sqrt { 1 - j ^ { 2 } } } \frac { \sqrt { ( c ^ { 2 } ( 1 - j ^ { 2 } ) - z ^ { 2 } ) ( c ^ { 4 } + ( 1 - c ^ { 2 } ) z ^ { 2 } ) } } { c ( c ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } \, d z } \end{array}
\tilde { W } _ { j } ( x ) = \begin{array} { r l } { ( z _ { j } + M _ { j j } ) \, U _ { \dagger } ( y _ { j } ) + \dots } & { \mathrm { ~ i n ~ } \mathcal { L } _ { j } \mathrm { ~ a s ~ } z _ { j } \to + \infty } \\ { M _ { j k } \, U _ { \dagger } ( y _ { k } ) + \dots } & { \mathrm { ~ i n ~ } \mathcal { L } _ { k } \mathrm { ~ a s ~ } z _ { k } \to + \infty , \quad k \ne j . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \Big \lVert \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( f ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } f ( y _ { k } ) ) \Big \rVert } & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \frac { d ( \gamma _ { k } ( M ) , y _ { k } ) } { d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } \Big \lVert \delta _ { 1 / d ( \gamma _ { k } ( M ) , y _ { k } ) } ( f ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } f ( y _ { k } ) ) \Big \rVert } \\ { \leq } & { ( 1 + C ) \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \Big \lVert \delta _ { 1 / d ( \gamma _ { k } ( M ) , y _ { k } ) } ( f ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } f ( y _ { k } ) ) \Big \rVert . } \end{array}
D ^ { \alpha } { f } ( t ) = ( \Delta t ) ^ { - \alpha } \sum _ { j = 0 } ^ { n } c _ { j + 1 } ( \alpha ) f ^ { n + 1 - j } = ( \Delta t ) ^ { - \alpha } \left[ f ^ { 1 } | \dots | f ^ { n + 1 } \right] \left( \begin{array} { l } { c _ { n + 1 } ( \alpha ) } \\ { \vdots } \\ { c _ { 1 } ( \alpha ) } \end{array} \right)
4 ( 2 - a ^ { 2 } z ) ^ { 2 } + ( D - 1 ) a ^ { 2 } z ( 2 - a ^ { 2 } z ) ^ { 2 } + 4 k ^ { 2 } z ( 4 - a ^ { 2 } z ) = \xi z ( 4 - a ^ { 2 } z ) ( 2 - a ^ { 2 } z ) ^ { 2 }
f _ { 2 } ( u , z ) = - \frac { \pi } { 8 \Theta z } \log \frac { 1 + \exp \left( { \mu } / { T } - \Theta ( u + z ) ^ { 2 } \right) } { 1 + \exp \left( { \mu } / { T } - \Theta ( u - z ) ^ { 2 } \right) } .
B _ { n } ^ { ( q ) } = \left( \begin{array} { l l l l l } { A _ { 1 } ^ { ( q ) } } & { * } & { * } & { \hdots } & { * } \\ { 0 } & { A _ { 2 } ^ { ( q ) } } & { * } & { \hdots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { A _ { 3 } ^ { ( q ) } } & { \hdots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { * } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { A _ { n } ^ { ( q ) } } \end{array} \right) .
T _ { i j } ^ { \left( 2 \right) } = \overline { { u _ { i } ^ { * } u _ { j } ^ { * } } } - \overline { { u _ { i } ^ { * } } } \; \overline { { u _ { j } ^ { * } } } = G \otimes \left[ { \left( { H \otimes { { \bar { u } } _ { i } } } \right) \left( { H \otimes { { \bar { u } } _ { j } } } \right) } \right] - \left[ { G \otimes \left( { H \otimes { { \bar { u } } _ { i } } } \right) } \right] \; \left[ { G \otimes \left( { H \otimes { { \bar { u } } _ { j } } } \right) } \right] .
{ \vec { v } } _ { \mathrm { B | A } } = { \frac { { \vec { v } } _ { \mathrm { B } } - { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } } { 1 - { \frac { { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } { \vec { v } } _ { \mathrm { B } } } { c ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } { \dot { q } } & { { } = v } \\ { \dot { v } } & { { } = - ( I _ { 3 n \times 3 n } + \mathcal { L } ) v - \mathcal { L } ^ { 2 } q - g ( q ) \frac { \partial g ( q ) } { \partial q } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { j } \int _ { I _ { j } } u _ { j } ( x , t ) ^ { 2 } d x = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { j } \int _ { I _ { j } } ( \sum _ { k } a _ { j k } \psi _ { k } ) ( \sum _ { k ^ { \prime } } a _ { j k ^ { \prime } } \psi _ { k } ^ { \prime } ) \mathop { d x } } \\ { = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \sum _ { j } \sum _ { k } a _ { j k } ^ { 2 } ( t ) \langle \psi _ { k } | \psi _ { k } \rangle \Delta x _ { j } = \sum _ { j } \sum _ { k } a _ { j k } \dot { a } _ { j k } \langle \psi _ { k } | \psi _ { k } \rangle \Delta x _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } , i } = \mathbf { T } _ { i } + \sum _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } } \frac { \operatorname { S i m } \big ( \mathbf { T } _ { i } , \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { K } } \big ) } { \sum _ { \mathbf { s ^ { \prime } } \in \mathcal { D } } \operatorname { S i m } \big ( \mathbf { T } _ { i } , \boldsymbol { x } ( \mathbf { s ^ { \prime } } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { K } } \big ) } \left( \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { V } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { 2 } = \langle \underbrace { e ^ { - T _ { * } ^ { \dagger } } e ^ { - T _ { * } } } _ { A ( t _ { * } ) ^ { - 1 } } \underbrace { ( H - E _ { * } ) } _ { B } \underbrace { e ^ { T _ { * } } \Delta T \phi _ { 0 } } _ { u } , e ^ { T _ { * } } \Delta T \phi _ { 0 } \rangle = \langle A ( t _ { * } ) ^ { - 1 } B u , u \rangle = : \langle B u , u \rangle _ { A ( t _ { * } ) ^ { - 1 } } } \end{array}
K _ { 1 } \left( x , y \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left| x \right| \wedge \left| y \right| = \operatorname* { m i n } \left( \left| x \right| , \left| y \right| \right) } & { \mathrm { i f } \; x y \geq 0 \; \mathrm { ( s o ~ s a m e ~ s i g n ) } } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ \ensuremath { x y < 0 , } ~ s o ~ o p p o s i t e ~ s i g n . } } \end{array} \right.
\chi ^ { a b } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( - 1 \right) ^ { n } \, \left( \Lambda ^ { n } \right) ^ { a b } + W ^ { a c } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( - 1 \right) ^ { n } \, \left( \Lambda ^ { n } \right) ^ { c b } \, ,
\psi ^ { \prime } ( \tau , \vec { x } ) = e ^ { i e \chi ( \tau , \vec { x } ) } \psi ( \tau , x ) { } ~ ~ , ~ \bar { \psi } ^ { \prime } ( \tau , \vec { x } ) = e ^ { - i e \chi ( \tau , \vec { x } ) } \bar { \psi } ( \tau , x )
\begin{array} { r l } { \Omega _ { s a } ( v ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { { p _ { s , a } \in \mathcal { P } _ { s , a } } , r _ { s , a } \in \mathcal { R } _ { s , a } } \Bigm [ r _ { s , a } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } } p _ { s , a } ( s ^ { \prime } ) v ( s ^ { \prime } ) \Bigm ] } \\ { = } & { \operatorname* { m i n } _ { r _ { s , a } \in \mathcal { R } _ { s , a } } r _ { s , a } + \gamma \operatorname* { m i n } _ { { p _ { s , a } \in \mathcal { P } _ { s a } } } \sum _ { s ^ { \prime } } p _ { s , a } ( s ^ { \prime } ) v ( s ^ { \prime } ) } \\ & { = - \alpha _ { s , a } + \gamma \operatorname* { m i n } _ { \lVert p _ { s a } \rVert _ { p } \leq \beta _ { s , a } , \sum _ { s ^ { \prime } } p _ { s a } ( s ^ { \prime } ) = 0 } \langle p _ { s , a } , v \rangle , } \\ { = } & { - \alpha _ { s , a } - \gamma \beta _ { s , a } \kappa _ { q } ( v ) , \qquad \mathrm { ( f r o m ~ l e m m a ~ ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle M _ { y z } ^ { ( i ) } \rangle } & { = } & { [ z - c ( t - t _ { m } ^ { \prime } ) ] \langle T _ { x z } \rangle - ( x - x _ { m } ) \langle T _ { z z } \rangle } \\ & { = } & { - c ( t ^ { \prime } - t _ { m } ^ { \prime } ) \langle T _ { x z } \rangle - ( x - x _ { m } ) \langle T _ { z z } \rangle \, , } \\ { \langle M _ { y z } ^ { ( e ) } \rangle } & { = } & { c ( t - t _ { m } ^ { \prime } ) \langle T _ { x z } \rangle - x _ { m } \langle T _ { z z } \rangle } \\ & { = } & { [ z + c ( t ^ { \prime } - t _ { m } ^ { \prime } ) ] \langle T _ { x z } \rangle - x _ { m } \langle T _ { z z } \rangle \, , } \end{array}
\rho _ { r } ( Q _ { j } , Q _ { j } ^ { \prime } , t ) = \int \Pi _ { \alpha = 1 } ^ { N } d q _ { \alpha } d q _ { \alpha } ^ { \prime } \exp \frac { i } { \hbar } [ S ( Q ) + S _ { C } ( Q , q _ { \alpha } ) + S _ { B } ( q _ { \alpha } ) - S ( Q ^ { \prime } ) - S _ { C } ( Q ^ { \prime } , q _ { \alpha } ^ { \prime } ) - S _ { B } ( q _ { \alpha } ^ { \prime } ) ] .
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { - 1 } { 2 } [ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , [ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \hat { H } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) ] ] + i [ \hat { K } ^ { ( 2 ) } , \hat { H } _ { 0 } + \hat { V } ( t ) ] } \\ { + } & { { } \frac { - 1 } { \omega } \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 3 ) } + \frac { - i } { 2 \omega } [ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 2 ) } ] + \frac { - i } { 2 \omega } [ \hat { K } ^ { ( 2 ) } , \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 1 ) } ] } \\ { + } & { { } \frac { 1 } { 6 \omega } [ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , [ \hat { K } ^ { ( 1 ) } , \partial _ { t } \hat { K } ^ { ( 1 ) } ] . } \end{array}
F ^ { \mathrm { ~ d ~ r ~ } } ( \phi _ { i } ) = \Gamma ( \phi _ { t } ) v _ { i } + \sum _ { j } \mathbf { t } ( \phi _ { i } ) \cdot \mathbf { \Gamma } ( \phi _ { i } , \phi _ { j } ) \cdot \mathbf { t } ( \phi _ { j } ) v _ { j } .
\frac { e } { c } \, { \bf B } ^ { * } \; = \; \frac { e } { c } \, { \bf B } \; + \; \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf P } _ { 0 } \; - \; J \, \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, { \bf R } ^ { * } ,
s _ { 2 } = \frac { 3 g \left[ 3 + 6 \tilde { \delta } + 2 \chi - 3 g ( 3 \tilde { \delta } + 2 \chi + 3 ) + 3 g ^ { 2 } ( \tilde { \delta } + \chi + 3 ) - 3 g ^ { 3 } \right] } { 2 \chi ^ { 3 } ( g - \chi ) ^ { 2 } } ;
\begin{array} { r l r } { w _ { i \rightarrow \alpha } } & { = } & { \left[ 1 - \prod _ { \beta \in N ( i ) \setminus \alpha } ( 1 - v _ { \beta \rightarrow i } ) \right] , } \\ { v _ { \alpha \rightarrow i } } & { = } & { p _ { H } ^ { [ m ] } p _ { N } ^ { m _ { \alpha } - 1 } \left[ 1 - \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } ( 1 - w _ { j \rightarrow \alpha } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d N ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma _ { F C } N ( t ) + \beta _ { F C } U ( t ) ^ { 2 } } \\ { \frac { d \theta ( t ) } { d t } } & { { } = - \gamma _ { t h } \theta ( t ) + \beta _ { t h } \left( \kappa _ { l i n } + \sigma _ { S i } v _ { g } N ( t ) + \alpha _ { T P A } U ( t ) \right) U ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { ( n _ { h } ^ { m + 1 } , c _ { h } ^ { m + 1 } ) _ { h } } & { + } & { \displaystyle \lambda ( n _ { h } ^ { m + 1 } , \log \frac { n _ { h } ^ { m + 1 } } { \bar { n } _ { h } ^ { 0 } } ) _ { h } } \\ & { \le } & { \displaystyle ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } ) ( n _ { h } ^ { m + 1 } , \log \frac { n _ { h } ^ { m + 1 } } { \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } } ) _ { h } } \\ & & { \displaystyle + \mu ( \delta + \frac { 1 + \lambda } { 8 \chi _ { \Omega } } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + M \mu \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + \frac { M } { \mu } \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \le } & { \displaystyle ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } ) \Big \{ 4 ( \delta + \frac { 1 + \lambda } { 8 \chi _ { \Omega } } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| \nabla i _ { h } ( \log ( \phi _ { h } + 1 ) ) \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { + 4 M \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } } \\ & & { + ( M - \log \bar { n } _ { h } ^ { 0 } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \Big \} } \\ & & { \displaystyle - ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \log \bar { n } _ { h } ^ { 0 } } \\ & & { \displaystyle + \mu ( \delta + \frac { 1 + \lambda } { 8 \chi _ { \Omega } } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + M \mu \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + \frac { M } { \mu } \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \le } & { \displaystyle 4 ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } ) ( \delta + \frac { 1 + \lambda } { 8 \chi _ { \Omega } } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| \nabla i _ { h } ( \log ( n _ { h } ^ { m + 1 } + 1 ) ) \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + 4 ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } ) M \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 3 } } \\ & & { \displaystyle + M ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & & { \displaystyle + \mu ( \delta + \frac { 1 + \lambda } { 8 \chi _ { \Omega } } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { { \boldsymbol L } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + M \mu \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \| c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & & { \displaystyle + \frac { M } { \mu } \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & & { \displaystyle - 2 ( \lambda + \frac { 1 } { \mu } ) \| n _ { h } ^ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( \Omega ) } \log _ { - } \bar { n } _ { h } ^ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 2 } : = } & { { } \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast 1 } \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Gamma ) , } \\ { \mathcal { E } _ { 2 } : = } & { { } \mathring { \mathfrak { B } } ^ { ( n - 1 ) } \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Gamma ) , } \end{array}
E _ { Q } - E = { \frac { 1 } { 2 } } \int d x ^ { 1 } \left[ { \frac { e ^ { 2 } } { \pi + a e ^ { 2 } } } \chi ^ { 2 } + ( { \frac { e ^ { 2 } } { \pi + a e ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } \chi ( \partial _ { 1 } ^ { 2 } - { \frac { e ^ { 2 } } { \pi + a e ^ { 2 } } } ) ^ { - 1 } \chi \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sin ( \omega _ { 0 } ) } \int _ { l ( \delta ) } ^ { u ( \delta ) } \displaystyle \left\lvert \frac { \varphi ( \alpha _ { \delta } ( t ) ) - \varphi ( \alpha _ { \delta } ( 0 ) ) } { \alpha _ { \delta } ( t ) - \alpha _ { \delta } ( 0 ) } \right\rvert \, d t } & { \leq \frac { A M } { \sin ( \omega _ { 0 } ) } \int _ { l ( \delta ) } ^ { u ( \delta ) } \frac { d t } { \displaystyle \left\lvert t \right\rvert ^ { 1 - \lambda } } . } \end{array}
R _ { k } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 ~ } & { ~ 0 } \\ { 0 ~ } & { ~ \exp \Big ( \frac { 2 \pi i } { 2 ^ { k } } \Big ) } \end{array} \right] , ~ ~ ~ ~ R _ { \theta } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 ~ } & { ~ 0 } \\ { 0 ~ } & { ~ e ^ { i \theta } } \end{array} \right]
\Omega _ { \mathrm { + } } = \frac { 1 } { k } \frac { \partial } { \partial k } \left( \frac { \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } \left( \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 3 } + \epsilon _ { \mathrm { + } } \right) } { 2 \epsilon _ { \mathrm { { d } } } ^ { 2 } \left( 2 \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 2 } - 1 \right) + 2 \epsilon _ { \mathrm { { m } } } \left( \epsilon _ { \mathrm { + } } ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \left( \tilde { u } ^ { ( 0 ) } , \tilde { v } ^ { ( 0 ) } , \tilde { w } ^ { ( 0 ) } , \tilde { \pi } ^ { ( 2 + \alpha ) } \right) = - \frac { i m \omega } { k _ { h } ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } } \tilde { b } ^ { ( 1 + \alpha ) } \left( k , l , - \frac { k _ { h } ^ { 2 } } { m } , \frac { \omega R } { c _ { p } \bar { \theta } ^ { ( 0 ) } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l l } { { \Pi ^ { \mu \nu , a b } ( x , y ) } } & { { = } } & { { \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \Pi ^ { \mu \nu , a b } ( p ) \exp ( - i p ( x - y ) ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { - i g ^ { 2 } C _ { A } \frac 1 { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 1 } { 3 } \delta ^ { a b } ( g ^ { \mu \nu } \partial ^ { 2 } - \partial ^ { \mu } \partial ^ { \nu } ) H ( x - y ) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \mathrm { p h o t } } ( t _ { \mathrm { b } } ) = \theta ( t _ { \mathrm { b } } - \tau _ { \mathrm { d } } ) \left\{ 1 - \exp \left[ - \frac { \Xi ( t _ { \mathrm { b } } ) } { \tau _ { \mathrm { p h o t } } } \right] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \gamma ^ { \varepsilon } e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) ( \psi ^ { \varepsilon } - \phi ^ { 0 } ) } \\ & { \quad = n _ { + } ^ { \varepsilon } - n _ { + } ^ { 0 } + e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ( e ^ { \beta \phi ^ { 0 } - \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } - 1 - ( \beta \phi ^ { 0 } - \gamma \psi ^ { \varepsilon } ) + ( \beta - \gamma ^ { \varepsilon } ) ( \phi ^ { 0 } - \psi ^ { \varepsilon } ) ) } \\ & { \quad \quad + ( \beta - \gamma ^ { \varepsilon } ) e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } \psi ^ { \varepsilon } . } \end{array}
\ln ( \frac { 1 } { \omega } ) \geq \operatorname* { m i n } \left( \ln ( 2 ) , \frac { 1 - \frac { \Lambda - E _ { 1 } } { \Lambda - E _ { 0 } } } { 4 } \right) = \frac { 1 - \frac { \Lambda - E _ { 1 } } { \Lambda - E _ { 0 } } } { 4 } .
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { 2 } \{ U _ { n , \varepsilon } ( \alpha , \beta ) - U _ { n , \varepsilon } ( \alpha _ { 0 } , \beta ) \} } & { = n \sum _ { k = 1 } ^ { n } \big ( P _ { k } ( \theta ) - P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) \big ) ^ { \top } \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \big ( P _ { k } ( \theta ) + P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) \big ) } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg [ \Big ( b \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta _ { 0 } \right) - b \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta \right) \Big ) ^ { \top } } \\ & { \quad \Xi _ { k - 1 } ^ { - 1 } ( \beta ) \bigg \{ 2 \Big ( \Delta _ { k } X - \frac { 1 } { n } b \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta _ { 0 } \right) \Big ) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { n } \Big ( b \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta _ { 0 } \right) - b \left( X _ { t _ { k - 1 } } , H _ { n } ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , \theta \right) \Big ) \bigg \} \bigg ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( A - 3 I ) \mathbf { v } _ { \lambda = 3 } } & { = { \left[ \begin{array} { l l } { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } } \\ { - 1 v _ { 1 } + 1 v _ { 2 } } & { = 0 ; } \\ { 1 v _ { 1 } - 1 v _ { 2 } } & { = 0 } \end{array} }
\hat { R } ^ { \mathrm { I P } } = \sum _ { i } r _ { i } \hat { a } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j { a } } { r } _ { i j } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dag } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } + \dots ~ = \hat { R } _ { 1 h } + \hat { R } _ { 2 h 1 p } + \dots ~
{ \cal L } = \lambda _ { i j k } \left[ \tilde { \nu } _ { L } ^ { i } \bar { e } _ { R } ^ { k } e _ { L } ^ { j } + \tilde { e } _ { L } ^ { j } \bar { e } _ { R } ^ { k } \nu _ { L } ^ { i } + \left( \tilde { e } _ { R } ^ { k } \right) ^ { * } \left( \bar { \nu } _ { L } ^ { i } \right) ^ { c } e _ { L } ^ { j } - ( i \leftrightarrow j ) \right] + \mathrm { h . c . }