harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \nabla \times \ensuremath { \boldsymbol { H } } } & { = } & { \ensuremath { \boldsymbol { J } } } \\ { \ensuremath { \boldsymbol { B } } } & { = } & { \nabla \times \ensuremath { \boldsymbol { A } } } \\ { \ensuremath { \boldsymbol { J } } } & { = } & { \sigma \ensuremath { \boldsymbol { E } } + \sigma \ensuremath { \boldsymbol { v } } \times \ensuremath { \boldsymbol { B } } + \ensuremath { \boldsymbol { J } } _ { e } } \\ { \ensuremath { \boldsymbol { B } } } & { = } & { \mu _ { 0 } \mu _ { r } \ensuremath { \boldsymbol { H } } } \end{array}
\frac { n _ { L } ( t ) } { s ( t ) } \sim 3 \left( \frac { 1 5 } { 8 } \right) ^ { 1 / 4 } \pi ^ { - 1 / 2 } g _ { * } ^ { - 1 / 4 } m _ { i n f l } ^ { - 1 } ~ \frac { \epsilon \Gamma _ { \nu ^ { c } } } { \Gamma _ { h } + \Gamma _ { \nu ^ { c } } } ~ \rho _ { r } ^ { - 3 / 4 } \rho _ { S } e ^ { \Gamma _ { h } t } ~ .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \tilde { m } } & { { } = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta \tilde { m } + \vec { s } \cdot \nabla \tilde { m } + \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot ( \tilde { m } \nabla \tilde { u } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 1 } } \check { q } _ { 1 } } & { = } & { = \frac { \check { p } _ { 1 } } { \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } } , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 1 } } \check { q } _ { 2 } } & { = } & { = - \frac { \check { p } _ { 2 } } { \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } } , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 1 } } \check { p } _ { 1 } } & { = } & { \frac { \check { p } _ { 1 } ^ { 2 } - \check { p } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( 5 \check { q } _ { 1 } ^ { 4 } + 4 \check { q } _ { 1 } ^ { 3 } \check { q } _ { 2 } + 3 \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } ^ { 3 } + \check { q } _ { 2 } ^ { 4 } \right) + \left( \check { q } _ { 1 } + \frac { \check { q } _ { 2 } } { 2 } \right) \tau _ { \infty , 1 } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \left( 3 \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 1 } \check { q } _ { 2 } + \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } \right) \tau _ { \infty , 2 } + \frac { 1 } { 8 } \tau _ { \infty , 2 } ^ { 2 } + t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \frac { \hbar } { 2 } , } \\ { \hbar \partial _ { \tau _ { \infty , 1 } } \check { p } _ { 2 } } & { = } & { - \frac { \check { p } _ { 1 } ^ { 2 } - \check { p } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 ( \check { q } _ { 1 } - \check { q } _ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \left( 5 \check { q } _ { 2 } ^ { 4 } + 4 \check { q } _ { 2 } ^ { 3 } \check { q } _ { 1 } + 3 \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 2 } \check { q } _ { 1 } ^ { 3 } + \check { q } _ { 1 } ^ { 4 } \right) + \left( \check { q } _ { 2 } + \frac { \check { q } _ { 1 } } { 2 } \right) \tau _ { \infty , 1 } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \left( 3 \check { q } _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \check { q } _ { 2 } \check { q } _ { 1 } + \check { q } _ { 1 } ^ { 2 } \right) \tau _ { \infty , 2 } + \frac { 1 } { 8 } \tau _ { \infty , 2 } ^ { 2 } + t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \frac { \hbar } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i n t } = - i \hbar \sum _ { n , q } } & { \left[ g _ { n q } \left( b _ { q } c _ { n } ^ { \dagger } v _ { n } + b _ { q } v _ { n } ^ { \dagger } c _ { n } \right) \right. } \\ & { \left. \, - g _ { n q } ^ { * } \left( b _ { q } ^ { \dagger } v _ { n } ^ { \dagger } c _ { n } + b _ { q } ^ { \dagger } c _ { n } ^ { \dagger } v _ { n } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( s ; \eta ) = } & { ( \eta X e ^ { X } - X - 1 ) \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} + s ( \eta e ^ { X } - 1 ) \mathbf { 1 } \{ X > s \} , } \\ { r ( s ; \eta ) = } & { \psi _ { 1 } ( X , \eta ) \frac { 1 } { \eta } \big ( 1 + \mathbb { E } \big [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] \big ) + \psi _ { 2 } ( X , \eta ) \big ( 1 + \mathbb { E } \big [ X \big ] + \mathbb { E } \big [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] + \mathbb { E } \big [ X ^ { 2 } \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \tilde { L } \tilde { \phi } } & { { } = \tilde { f } } & { \textnormal { i n } } & { { } [ 0 , \Gamma ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { \tilde { \phi } } & { { } = 0 } & { \textnormal { o n } } & { { } [ 0 , \Gamma ] \times \lbrace x _ { 2 } = 0 \rbrace \cup \lbrace x _ { 2 } = 1 \rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r } { { 3 } \begin{array} { r l } { \mathrm { 1 \textsuperscript { s t } ~ l a y e r : } } & { h _ { l + 1 } = \tilde { \sigma } _ { \mathrm { h } , w _ { \mathrm { h } } } \left( f , h _ { l } \right) : = \sigma _ { \mathrm { h } } \left( W _ { \mathrm { f } } f + W _ { \mathrm { h } } h _ { l } + b _ { \mathrm { h } } \right) , } \\ { \mathrm { 2 \textsuperscript { n d } ~ l a y e r : } } & { \quad \, \ell = \tilde { \sigma } _ { \mathrm { l } , w _ { \mathrm { l } } } \left( h _ { l + 1 } \right) \; \; : = \sigma _ { \mathrm { l } } \left( W _ { \mathrm { l } } h _ { l + 1 } + b _ { \mathrm { l } } \right) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { v } } _ { k } ^ { * } - \lambda _ { k } ^ { * } \frac { { { { \bf { h } } _ { k } } { \bf { h } } _ { k } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } { \bf { v } } _ { k } ^ { * } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \frac { { \lambda _ { i } ^ { * } { \gamma _ { i } } { { \bf { h } } _ { i } } { \bf { h } } _ { i } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } { \bf { v } } _ { k } ^ { * } = { \bf { 0 } } , \forall k , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { R _ { p } C \partial _ { t } \psi _ { d } } & { = \ell _ { p } ^ { 2 } \partial _ { z } ^ { 2 } \psi _ { d } \, , } & & { z \in [ 0 , \ell _ { p } ] \, , } \\ { \psi _ { d } ( z , 0 ) } & { = 0 \, , } \\ { \ell _ { p } \partial _ { z } \psi _ { d } ( 0 , t ) } & { = \frac { R _ { p } } { R _ { r } } [ \psi _ { d } ( 0 , t ) - \Psi ( t ) ] , } \\ { \psi _ { d } ( \ell _ { p } , t ) } & { = 0 \, . } \end{array}
\mathbf { M _ { P P } ^ { 2 } } = \left[ \begin{array} { c c } { { \displaystyle B _ { 0 } \mu _ { 0 } \frac { v _ { u } } { v _ { 0 } } - \mu _ { 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \mu _ { k } \frac { v _ { k } } { v _ { 0 } } + \frac { t _ { d } } { v _ { 0 } } } } & { { B _ { 0 } \mu _ { 0 } } } \\ { { B _ { 0 } \mu _ { 0 } } } & { { \displaystyle B _ { 0 } \mu _ { 0 } \frac { v _ { 0 } } { v _ { u } } + \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } B _ { k } \mu _ { k } \frac { v _ { k } } { v _ { u } } + \frac { t _ { u } } { v _ { u } } } } \end{array} \right]
\begin{array} { l } { { \Gamma ( p < \mu ) = \displaystyle \frac { e ^ { 4 } p } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } \left[ 1 - \frac { 3 \mu ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \log \left( 1 - \frac { p ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) \right] \hfill } } \\ { { \Gamma ( p > \mu ) = \displaystyle \frac { e ^ { 4 } \mu ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 3 } p } \left[ 3 - \frac { 2 \mu } { 3 p } + \log \left( \frac { ( p - \mu ) p \mu } { ( p + \mu ) q _ { * } ^ { 2 } } \right) \right] . \hfill } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { \rho \boldsymbol { u } } ^ { x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } } } & { { } = \overline { { \boldsymbol { T } } } ^ { T } \cdot \boldsymbol { F } _ { \rho \boldsymbol { u } } ^ { x , y , z } \Rightarrow \left( \begin{array} { l } { F _ { x _ { 0 } } } \\ { F _ { y _ { 0 } } } \\ { F _ { z _ { 0 } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { i j } ( z ) } & { { } \triangleq \beta \int _ { h _ { m i n } } ^ { h _ { m a x } } p ( h ) I _ { i j } \left( \frac { z } { h } \right) d h , } \\ { \textrm { w h e r e } I _ { i j } \left( \frac { z } { h } \right) } & { { } \triangleq \int _ { - L / h } ^ { L / h } \int _ { - L / h } ^ { L / h } u _ { i } \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) u _ { j } \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) d \left( \frac { x } { h } \right) d \left( \frac { y } { h } \right) . } \end{array}
T _ { i } ( x ) = \frac { A _ { i } } { 2 \beta \sigma } \times e ^ { \frac { x - \nu } { \beta \sigma } \frac { 1 } { 2 \beta ^ { 2 } } } \times e r f c \left( \frac { x - \nu } { \sqrt { 2 } \pi } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \beta } \right)
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \hat { \phi } _ { 0 } } & { { } = \nabla \big ( \partial _ { t } d _ { \Gamma } + \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } = \nabla ( \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { \quad } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma , } \\ { \hat { \phi } _ { \frac { 1 } { 2 } } } & { { } = \nabla \big ( \partial _ { t } d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \hat { \mathbf { v } } _ { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \nabla d _ { \Gamma } - \hat { \phi } _ { 0 } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \Delta d _ { \Gamma } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } } & { \quad } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { \mathrm { A } } ( \omega , k _ { x } ) = \sum _ { i } | \langle P _ { i , k _ { x } } | \sum _ { k _ { y } } \hat { a } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } | G , 0 \rangle | ^ { 2 } e ^ { - \frac { ( \mathcal { E } _ { i , k _ { x } } - E _ { G } - \omega ) ^ { 2 } } { 2 \Gamma _ { c } ^ { 2 } } } , } \end{array}
R = \left( \begin{array} { c c c c } { { q } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \omega } } & { { 1 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { q } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \hat { D } ( \alpha _ { a m p } ) = \hat { S } _ { \pi } ^ { \dagger } ( r ) \hat { D } ( \alpha / 2 ) \hat { S } _ { \pi } ( r ) \hat { S } _ { 0 } ^ { \dagger } ( r ) \hat { D } ( \alpha / 2 ) \hat { S } _ { 0 } ( r ) , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \left( \boldsymbol { \hat { u } } - \boldsymbol { \tilde { \hat { u } } } \right) \left( \boldsymbol { \hat { u } } - \boldsymbol { \tilde { \hat { u } } } \right) ^ { H } \right] = \boldsymbol { S _ { u u } } - \boldsymbol { S _ { u y } } \boldsymbol { T _ { u } } ^ { H } - \boldsymbol { T _ { u } } \boldsymbol { S _ { u y } } ^ { H } + \boldsymbol { T _ { u } } \boldsymbol { S _ { y y , n } } \boldsymbol { T _ { u } } ^ { H } .
\xi ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) = \mathcal { N } \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } , t + \tau ) \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) e ^ { i m ( \varphi + \varphi ^ { \prime } ) } ,
E _ { T O T } \ \sim \ \underbrace { \frac { \beta ^ { 2 } { \cal A } } { \alpha R ^ { 2 } } } _ { E _ { c l a s s } } \ + \ \underbrace { \frac { \beta ^ { 2 } { \cal B } + \beta ^ { 4 } { \cal C } } { R ^ { 2 } } } _ { E _ { v a c u u m } } \ ,
\begin{array} { r } { \omega _ { \mathrm { ~ R ~ L ~ } } ^ { ( k , m ) } = \left( \frac { T } { \hat { R } _ { 0 } ^ { 3 } } \frac { k \left( k + 1 \right) \left( k - 1 \right) \left( k + 2 \right) } { \left( k + 1 \right) \rho ^ { \mathcal { I } } + \; k \rho ^ { \mathcal { O } } } \right) ^ { 1 / 2 } , k = 1 , 2 , 3 \ldots . } \end{array}
\left[ \phi _ { r , s } \right] \times \left[ \phi _ { r ^ { \prime } , s ^ { \prime } } \right] = \mathcal { N } _ { ( r , s ) , ( r ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) } ^ { ( r ^ { \prime \prime } , s ^ { \prime \prime } ) } \left[ \phi _ { r ^ { \prime \prime } , s ^ { \prime \prime } } \right]
\delta W = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { F } \cdot { \frac { \partial \mathbf { h } } { \partial q _ { i } } } \epsilon { \dot { q } } _ { i } \right) d t = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \mathbf { F } \cdot { \frac { \partial \mathbf { h } } { \partial q _ { i } } } \epsilon { \dot { q } } _ { i } ~ d t \right) .
\begin{array} { r l } { I ^ { ( n ) } } & { { } = \int d ^ { D } k \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } } \end{array} \, .
< A _ { 1 } | \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } = - \infty } ^ { + \infty } \hat { U } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) | A _ { 1 } ^ { \prime } > = \sum _ { r = 0 } ^ { k - 1 } \, < A _ { 1 } | r > < r | A _ { 1 } ^ { \prime } > \ \ \ .
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb R } \Lambda ^ { s } ( h h _ { x } ) \Lambda ^ { s } h \ d x \right| } & { \lesssim \left\| [ \Lambda ^ { s } , h ] h _ { x } \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| \Lambda ^ { s } h \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| h _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \Lambda ^ { s } h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \left\| h _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \Lambda ^ { s } h \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
U ( \phi ) \approx U _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 8 \kappa \phi _ { 0 } } { C ^ { 2 } } \right) ^ { \frac 1 2 \sqrt { K / \phi _ { 0 } } } e ^ { 2 \sqrt { K / \phi _ { 0 } } \, \phi } = \Lambda e ^ { 2 \chi \phi } ,
\operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } _ { 1 } \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | S | } } ( \pi _ { 1 } - \bar { \pi } _ { 1 } ) ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi _ { 1 } } J ^ { \pi } ( \mu ) \ge 0 , \ \operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } _ { 2 } \in \Delta ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } } ( \pi _ { 2 } - \bar { \pi } _ { 2 } ) ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi _ { 2 } } J ^ { \pi } ( \mu ) \ge 0
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } = \, } & { \frac { \alpha + \beta \mathrm { e r f } ( \gamma | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \\ & { + \frac { 1 - [ \alpha + \beta \mathrm { e r f } ( \gamma | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ) ] } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } . } \end{array}
H = \left\{ \left( { \begin{array} { l l } { e ^ { 2 \pi i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { 2 \pi i a \theta } } \end{array} } \right) : \, \theta \in \mathbb { R } \right\} \subset \mathbb { T } ^ { 2 } = \left\{ \left( { \begin{array} { l l } { e ^ { 2 \pi i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { 2 \pi i \phi } } \end{array} } \right) : \, \theta , \phi \in \mathbb { R } \right\} ,
A _ { \mu } ^ { k } = i { \frac { v ^ { 2 } } { 4 } } \mathrm { T r } \tau ^ { k } 2 i { \frac { 1 } { v } } \vec { \tau } \cdot \partial _ { \mu } \vec { \phi } + \cdots = - v \partial _ { \mu } \phi ^ { k } + \cdots \, .
\sum _ { \tau \in T } D _ { R } ( \tau ) = \frac { 1 } { d _ { R } } \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } \chi _ { R } ( \tau ) \mathrm { { \bf ~ 1 } } _ { R } \qquad \mathrm { \ c i t e { T u n g } l e m m a ~ t o ~ t h . 3 . 7 }
\phi \in \Phi = ( \Theta _ { l , 0 } ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } , \psi _ { \tilde { \beta } } ^ { ' } , \psi _ { \tilde { \beta } } ^ { * ^ { \prime } } , \psi _ { \tilde { \gamma } } ^ { ' } , \psi _ { \tilde { \gamma } } ^ { * ^ { \prime } } , \psi _ { \tilde { \nu } } ^ { ' } , \psi _ { \tilde { \nu } } ^ { * ^ { \prime } } ) ^ { \prime }
\boldsymbol { B _ { z } } ( \boldsymbol { r } ) \approx \frac { k R ^ { 2 } } { 4 } \frac { ( 2 z ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } ) } { ( \rho ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } \, \hat { \boldsymbol { z } } \, \, .
{ \frac { \partial } { \partial z } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \partial } { \partial x } } - i { \frac { \partial } { \partial y } } \right) \quad , \quad { \frac { \partial } { \partial { \bar { z } } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \partial } { \partial x } } + i { \frac { \partial } { \partial y } } \right) \ .
\begin{array} { r l } { a } & { = - \Im [ \left( r _ { j } ^ { * } - \bar { r _ { j } ^ { * } } \right) ] } \\ { b } & { = - \Im [ \left( \bar { r _ { j } ^ { * } } p _ { j } ^ { * } - r _ { j } ^ { * } \bar { p _ { j } ^ { * } } \right) ] } \\ { c } & { = - \Re [ \left( \bar { p _ { j } ^ { * } } + p _ { j } ^ { * } \right) ] } \\ { d } & { = | p _ { j } ^ { * } | ^ { 2 } } \end{array}
\hat { P } = - \mathrm { s i g n } ( \lambda ) \hbar \rho _ { 0 } ^ { 2 } \left[ 2 \mathrm { a r c t g } \sqrt { { \frac { v _ { m a x . } } { v } } - 1 } + { \frac { 4 } { 3 } } \left( { \frac { v } { v _ { m a x . } } } \right) \sqrt { \left( { \frac { v _ { m a x . } } { v } } - 1 \right) ^ { 3 } } - \sqrt { { \frac { v _ { m a x . } } { v } } - 1 } \right] ,
\sigma _ { r } = H e a v i s i d e \left( x _ { r } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \ \left( x _ { r } > 0 \right) } \\ { 0 , } & { \ \left( x _ { r } \leq 0 \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { ( r _ { x } , r _ { y } , r _ { z } ) = \frac { 1 } { 1 + | \mathcal { Z } | ^ { 2 } } \left( 2 \mathrm { R e } \left[ \mathcal { Z } \right] , 2 \mathrm { I m } \left[ \mathcal { Z } \right] , | \mathcal { Z } | ^ { 2 } - 1 \right) . } \end{array}
{ \cal P } _ { \alpha \beta } ( x , b , Q v ) = \int { \frac { d y ^ { - } } { 2 \pi } } \, e ^ { i x Q y ^ { - } } < 0 | \, T \left( q _ { \alpha } ( y ) \, \bar { q } _ { \beta } ( 0 ) \right) | \pi ( Q v ) > \Big | _ { y = y ^ { - } v ^ { \prime } + b \eta } ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } ( \rho k ) + \sum _ { i } \partial _ { x _ { i } } \left( \rho ( k + \phi ) v _ { i } + p v _ { i } - \sum _ { j } { \Pi _ { i j } v _ { j } } \right) = \phi \sum _ { i } \partial _ { x _ { i } } ( \rho v _ { i } ) + \sum _ { i } p \partial _ { x _ { i } } v _ { i } - \sum _ { i j } \Pi _ { i j } \partial _ { x _ { i } } v _ { j } \, . } \end{array}
\psi ( r ) = \frac { 1 } { 2 } \cot ^ { - 1 } \left( \frac { ( \zeta + 1 ) \left[ \lambda ^ { 3 } - \tau ^ { 2 } r ^ { 2 } - 1 \right] + ( \zeta - 1 ) \left[ \lambda ^ { 3 } - \tau ^ { 2 } r ^ { 2 } + 1 \right] \cos ( 2 \psi _ { 0 } ) + 2 ( \zeta - 1 ) \tau r \sin ( 2 \psi _ { 0 } ) } { 2 \lambda ^ { 3 / 2 } \left[ ( \zeta - 1 ) \sin ( 2 \psi _ { 0 } ) - ( \zeta + 1 ) \tau r - ( \zeta - 1 ) \tau r \cos ( 2 \psi _ { 0 } ) \right] } \right) ,
\begin{array} { r } { \widetilde \Gamma _ { \lambda \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \tilde { a } _ { \lambda \nu } + \partial _ { \nu } \tilde { a } _ { \mu \lambda } - \partial _ { \lambda } \tilde { a } _ { \mu \nu } \right) = \Gamma _ { \lambda \mu \nu } + b _ { \lambda } \partial _ { ( \mu } b _ { \nu ) } - b _ { \mu } \partial _ { [ \lambda } b _ { \nu ] } - b _ { \nu } \partial _ { [ \lambda } b _ { \mu ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sin ( \theta _ { 2 } ) } \partial _ { \varphi } \Big ( \partial _ { \theta } \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta _ { 2 } ) h _ { 2 } \Big ) } & { = - \left( \frac { \omega _ { S } \cot \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } { \sin ( \theta _ { 2 } ) } + \widetilde { \gamma } \right) \partial _ { \varphi } h _ { 2 } } \\ & { = - \left( \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \widetilde { \gamma } \right) \partial _ { \varphi } h _ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } + \widetilde { \gamma } \right) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathbf { m } n h _ { n } ^ { ( 2 ) } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) . } \end{array}
h ^ { \mu } ( P , q ) = 0 \quad \left\{ \begin{array} { l } { { \mathrm { i f } \quad q ^ { 2 } \geq m _ { 0 } ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad q ^ { 0 } \geq 0 } } \\ { { \mathrm { i f } \quad 2 P q + q ^ { 2 } \leq 0 } } \\ { { \mathrm { i f } \quad ( P + q ) ^ { 0 } \leq 0 } } \end{array} \right. \,
\left[ \left( H _ { \mathrm { ~ e ~ r ~ i ~ } } ^ { i l } ( \mathbf { q } _ { 1 } ) + H _ { \mathrm { ~ e ~ r ~ i ~ } } ^ { i l } ( - \mathbf { q } _ { 1 } ) \right) H _ { \mathrm { ~ a ~ m ~ p ~ } } ^ { i l } ( \mathbf { q } _ { 1 } ) \right] - \left[ H _ { \mathrm { ~ e ~ r ~ i ~ } } ^ { i l } ( - \mathbf { q } _ { 1 } ) \left( H _ { \mathrm { ~ a ~ m ~ p ~ } } ^ { i l } ( \mathbf { q } _ { 1 } ) - H _ { \mathrm { ~ a ~ m ~ p ~ } } ^ { i l } ( - \mathbf { q } _ { 1 } ) \right) \right] .
f _ { 1 } ( s _ { m } ) = ( ( 1 - \varrho + s _ { m } ) ^ { 2 } - 4 s _ { m } ) ^ { 3 / 2 } ~ , \qquad \quad \varrho = \frac { M _ { K } ^ { 2 } } { M _ { B } ^ { 2 } } ~ .
\langle u \rangle _ { n } ^ { k } = - H _ { a } ( x _ { n } ) \frac { ( h _ { n } ^ { k } ) ^ { 2 } } { 3 \eta _ { n } ^ { k } } \frac { \langle P \rangle _ { n + 1 } ^ { k } - \langle P \rangle _ { n - 1 } ^ { k } } { 2 \Delta r } ,
\begin{array} { r l } { n _ { \pm } ( z ) } & { { } = 1 + \frac { z } { L _ { 1 } } + \frac { z ^ { 2 } } { L _ { 2 } ^ { 2 } } \pm i \frac { c } { 2 \omega L _ { 1 } } \left( 1 + \frac { 2 L _ { 1 } z } { L _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \varphi } \bigg [ \int _ { - \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } - \sum _ { i = 2 } ^ { m } x _ { i } ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } - \sum _ { i = 2 } ^ { m } x _ { i } ^ { 2 } } } \frac { ( 1 - \varphi ) \| x \| ^ { 2 } - c } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } { x } ^ { \mathsf { T } } { \Sigma } ^ { - 1 } { x } \right) \mathrm { d } { x } _ { 1 } \bigg ] } \\ & { = \int _ { - \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } - \sum _ { i = 2 } ^ { m } x _ { i } ^ { 2 } } } ^ { \sqrt { \frac { c } { 1 - \varphi } - \sum _ { i = 2 } ^ { m } x _ { i } ^ { 2 } } } \frac { - \| x \| ^ { 2 } } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } { x } ^ { \mathsf { T } } { \Sigma } ^ { - 1 } { x } \right) \mathrm { d } { x } _ { 1 } . } \end{array}
\tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( x ; 0 ) = \left( \begin{array} { l } { \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + } ( x ; 0 ) } \\ { \tilde { \mathcal { Y } } _ { 2 } ^ { + } ( x ; 0 ) } \\ { \tilde { \mathcal { Y } } _ { 3 } ^ { + } ( x ; 0 ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + } ( x ; 0 ) } \\ { \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + \, \prime } ( x ; 0 ) } \\ { \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + \, \prime \prime } ( x ; 0 ) + a ( x ) \tilde { \mathcal { Y } } _ { 1 } ^ { + } ( x ; 0 ) } \end{array} \right) = k _ { + } \left( \begin{array} { l } { \bar { u } ( x ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ) + a ( x ) \bar { u } ( x ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { m _ { j } } ^ { m _ { j + 1 } } \left[ \frac { \tilde { Q } ( \varepsilon ^ { 2 } \Phi _ { \varepsilon } ^ { \prime } ) } { \varepsilon ^ { 3 } } + \frac { F ( \Phi _ { \varepsilon } ) } \varepsilon \right] \, d x } & { = \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { m _ { j } } ^ { m _ { j + 1 } } \left[ \Phi ^ { \prime } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( \Phi _ { \varepsilon } ) ) ) \right] \, d x } \\ & { = \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { \Phi _ { \varepsilon } ( m _ { j } ) } ^ { \Phi _ { \varepsilon } ( m _ { j + 1 } ) } \left[ Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \right] \, d s < c _ { \varepsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) ) = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \operatorname* { s u p } _ { x : \| x \| = 1 } x ^ { \prime } D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) x \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } v ^ { \prime } B v , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! J { \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } } J \left[ \rule { 0 cm } { 7 mm } g _ { 0 } ^ { 2 } \right. } & { + } & { \left. { \frac { g _ { 0 } ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( \Delta \beta _ { 0 } \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } \right) + a \right) \right] } \\ { \mathrm { w h e r e \ } \Delta \beta _ { 0 } } & { = } & { - \frac 2 3 n _ { f } \mathrm { \qquad ~ a n d \ } a = \frac { 1 0 } 9 \, n _ { f } } \end{array}