harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \widetilde { \chi } _ { 0 } ^ { ( 2 , 2 ) } ( \boldsymbol { x } , Z ) = \frac { 1 } { 1 ! } \frac { 1 } { 2 ! } \frac { \Theta } { x ^ { 2 } } \left[ 2 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 2 \boldsymbol { x } , 2 Z ) - 2 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( \boldsymbol { x } , Z ) \right] \, , } \\ & { \widetilde { \chi } _ { 0 } ^ { ( 3 , 3 ) } ( \boldsymbol { x } , Z ) = \frac { 1 } { 2 ! } \frac { 1 } { 3 ! } \frac { \Theta ^ { 2 } } { x ^ { 4 } } \left[ 3 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 3 \boldsymbol { x } , 3 Z ) - 8 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 2 \boldsymbol { x } , 2 Z ) \right. } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left. + 5 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( \boldsymbol { x } , Z ) \right] \, , } \\ & { \widetilde { \chi } _ { 0 } ^ { ( 4 , 4 ) } ( \boldsymbol { x } , Z ) = \frac { 1 } { 3 ! } \frac { 1 } { 4 ! } \frac { \Theta ^ { 3 } } { x ^ { 6 } } \left[ 4 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 4 \boldsymbol { x } , 4 Z ) - 1 8 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 3 \boldsymbol { x } , 3 Z ) \right. } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left. + 2 8 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 2 \boldsymbol { x } , 2 Z ) - 1 4 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( \boldsymbol { x } , Z ) \right] \, , } \\ & { \widetilde { \chi } _ { 0 } ^ { ( 5 , 5 ) } ( \boldsymbol { x } , Z ) = \frac { 1 } { 4 ! } \frac { 1 } { 5 ! } \frac { \Theta ^ { 4 } } { x ^ { 8 } } \left[ 5 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 5 \boldsymbol { x } , 5 Z ) - 3 2 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 4 \boldsymbol { x } , 4 Z ) \right. } \\ & { \quad \left. + 8 1 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 3 \boldsymbol { x } , 3 Z ) - 9 6 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( 2 \boldsymbol { x } , 2 Z ) + 4 2 \widetilde { \chi } _ { 0 } ( \boldsymbol { x } , Z ) \right] . } \end{array}
\frac { C ^ { ( i ) } } { 2 } \left[ \left( \cot \alpha _ { i } \right) ^ { \frac { D - 1 } { 2 } } \left( \sin 2 \alpha _ { i } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } + D - 3 \right) G ^ { ( i ) } ( \alpha _ { i } ) \right] _ { \alpha _ { i } \rightarrow 0 } + ( D - 2 ) \left[ \frac { C ^ { ( j ) } \, G ^ { ( j ) } ( \theta _ { k } ) } { \left( \sin \theta _ { k } \cos \theta _ { k } \right) ^ { \frac { D - 1 } { 2 } } } + \frac { C ^ { ( k ) } \, G ^ { ( k ) } ( \theta _ { j } ) } { \left( \sin \theta _ { j } \cos \theta _ { j } \right) ^ { \frac { D - 1 } { 2 } } } \right] = 0 \, ,
m ^ { 2 } t r \ \gamma ^ { 5 } G _ { L } ( x , y ) = - m ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } e ^ { i k \cdot ( x - y ) } \epsilon ^ { \lambda \mu \rho \sigma } \frac { 1 } { ( m ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) ^ { 3 } } G _ { \lambda \mu } ( y ) G _ { \rho \sigma } ( y ) \ .
\begin{array} { r } { C ^ { - 1 } ( 1 + k ^ { 2 } \rho ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) \leq J _ { 1 } ( y ^ { \prime } , k ) ^ { 2 } + \pi ^ { 2 } J _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } \leq C ( 1 + k ^ { 2 } \rho ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta u _ { i } ^ { ( \Omega _ { B } ) } ( { \bf x } ) } & { { } = \int _ { \Omega _ { B } } d { \bf x _ { B } } H _ { i j k } ^ { ( 0 ) } ( { \bf x } , { \bf x _ { B } } ) \Delta c _ { j k l m } ( { \bf x _ { B } } ) \epsilon _ { l m } ( { \bf x _ { B } } ) \left[ 1 - e ^ { - \frac { l ^ { 2 } } { N _ { i } h ^ { 2 } } } \right] } \end{array}
{ \cal G } = \{ 1 , \Omega , ( - 1 ) ^ { F _ { L } } , ( - 1 ) ^ { F _ { R } } , ( - 1 ) ^ { F _ { s } } , \Omega ( - 1 ) ^ { F _ { L } } , \Omega ( - 1 ) ^ { F _ { R } } , \Omega ( - 1 ) ^ { F _ { s } } \}
\begin{array} { r } { \langle \hat { n } _ { \mathrm { { T } } } \rangle = \langle \hat { n } _ { a } ^ { \mathrm { { i n s i d e } } } \rangle + \langle \hat { n } _ { b } ^ { \mathrm { { i n s i d e } } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { e e } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) = \sum _ { i < j } c ( x _ { i } , x _ { j } ) , \quad \mathrm { ~ w h e r e ~ } m ( | x - y | ) \leq c ( x , y ) \leq M ( | x - y | ) \qquad \forall x , y \in \mathbb { R } ^ { 3 } } \\ { \mathrm { f o r ~ s o m e ~ } m , M : ( 0 , \infty ) \to [ 0 , \infty ) \mathrm { ~ d e c r e a s i n g ~ s u c h ~ t h a t ~ } \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } m ( t ) = + \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { Y } } ^ { k + 1 } = } & { \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \gamma _ { y } ( \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { Y } } } _ { R } ^ { k } ) = \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \gamma _ { y } ( \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - { \mathbf { C } } \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } ) } \\ { = } & { \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \gamma _ { y } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { C } } ) \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } . } \end{array}
0 = n _ { \mathrm { ~ v ~ } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \frac { \mathrm { d } T } { \mathrm { d } t } + \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } t } + n _ { \mathrm { ~ l ~ } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ l ~ } } } { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \frac { \mathrm { d } T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { \mathrm { d } t } + \nu _ { \mathrm { ~ l ~ } } \frac { \mathrm { d } n _ { \mathrm { ~ l ~ } } } { \mathrm { d } t } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb E ^ { \prime } \Bigl [ \Bigl ( \mathbb E _ { u , x , \delta } \Bigl [ \prod _ { k : | \xi _ { n + 1 , k } | \geq \varepsilon } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { n + 1 , k } ) s _ { n + 1 , k } \delta _ { n + 1 } ) \frac { \prod _ { i \le n } \prod _ { k \ge 1 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ) s _ { i , k } \delta _ { i } ) } { \mathbb E _ { u , x , \delta } \prod _ { i \le n } \prod _ { k \ge 1 } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { i , k } ) s _ { i , k } \delta _ { i } ) } \Bigr ] \Bigr ) ^ { r } \Bigr ] } \\ & { = \mathbb E ^ { \prime } \Bigl [ \Bigl ( \mathbb E _ { u , x , \delta } \Bigl [ \prod _ { k : | \xi _ { n + 1 , k } | \geq \varepsilon } ( 1 + \operatorname { t a n h } ( \beta \xi _ { n + 1 , k } ) s _ { n + 1 , k } \delta _ { n + 1 } ) \Bigr ] \Bigr ) ^ { r } \Bigr ] . } \end{array}
M ( \mathbf { p } ) = - i \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } e ^ { i S ( \mathbf { p } , t ) } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } d ( \mathbf { p } , t ^ { \prime } ) e ^ { i S ( \mathbf { p } , t ^ { \prime } ) } ,
\bar { D } \left( p , P \right) : = G _ { 0 } ^ { - 1 } \left( p _ { 1 } \right) G _ { 0 } ^ { - 1 } \left( p _ { 2 } \right) , \quad p _ { 1 } : = \alpha P + p , \quad p _ { 2 } : = ( 1 - \alpha ) P - p ,
\begin{array} { r l } { ( u ^ { \nu } , \bar { u } ) ( { \xi ^ { \nu } } ) } & { = ( u ^ { \nu } ( { \xi ^ { \nu } } ) , \bar { u } ( { \xi ^ { \nu } } ) - \bar { u } ( 0 ) ) + ( u ^ { \nu } ( { \xi ^ { \nu } } ) - \bar { u } ( { \xi ^ { \nu } } ) , \bar { u } ( 0 ) ) } \\ & { \qquad + ( \bar { u } ( { \xi ^ { \nu } } ) - \bar { u } ( 0 ) , \bar { u } ( 0 ) ) + \left\lVert \bar { u } ( 0 ) \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \to \left\lVert \bar { u } ( 0 ) \right\rVert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R = } & { { } g ^ { 0 0 } R _ { 0 0 } + g ^ { i i } R _ { i i } } \\ { = } & { { } - 3 g ^ { 0 0 } \frac { \ddot { a } } { a } - 3 g ^ { 0 0 } \bigg [ \frac { \ddot { a } } { a } + 2 \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } \bigg ] - g ^ { i i } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } - g ^ { i i } \frac { \partial _ { j } ^ { 2 } R } { R } + 2 g ^ { i i } ( \frac { \partial _ { i } R } { R } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { { } - 6 \, g ^ { 0 0 } \bigg [ \frac { \ddot { a } } { a } + \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } \bigg ] - 4 \, g ^ { i i } \frac { \partial _ { i } ^ { 2 } R } { R } + 2 \, g ^ { i i } ( \frac { \partial _ { i } R } { R } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \texttt A } { \mathcal G } { \texttt A } ) _ { i i } } & { = \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha } { \texttt A } _ { i \alpha } R _ { \alpha \alpha } { \texttt A } _ { i \alpha } + z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } \sum _ { \alpha \neq \beta } { \texttt A } _ { i \alpha } H _ { i \alpha } H _ { i \beta } { \texttt A } _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = w _ { \texttt A } \mathfrak { s } ( z ) + w _ { { \texttt A } { \texttt B } } ^ { 2 } z s ( z ) \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
| f _ { x } ( \theta , \phi ) | = \sqrt { | l _ { 1 } | ^ { 2 } + | l _ { 2 } | ^ { 2 } } ; \ | f _ { y } ( \theta , \phi ) | = \sqrt { | l _ { 3 } | ^ { 2 } + | l _ { 4 } | ^ { 2 } }
\left( \begin{array} { c } { { u _ { 1 L } ^ { \prime } } } \\ { { u _ { 2 L } ^ { \prime \prime } } } \\ { { u _ { 3 L } ^ { \prime \prime } } } \end{array} \right) = { \cal O } _ { L } ^ { u } \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { c } } \\ { { t } } \end{array} \right) _ { L } , \qquad \left( \begin{array} { c } { { U _ { 1 R } ^ { \prime \prime } } } \\ { { U _ { 2 R } ^ { \prime \prime } } } \\ { { U _ { 3 R } ^ { \prime \prime } } } \end{array} \right) = { \cal O } _ { R } ^ { u } \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { c } } \\ { { t } } \end{array} \right) _ { R }
\frac { \partial ^ { 2 } c _ { \ell } } { \partial \zeta ^ { 2 } } \cong \frac { { \left( c _ { \ell } \right) } _ { j + 1 } ^ { n } - 2 { \left( c _ { \ell } \right) } _ { j } ^ { n } + { \left( c _ { \ell } \right) } _ { j - 1 } ^ { n } } { { \left( \triangle \zeta \right) } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \ell = 1 , 2
\frac { \eta _ { \chi } } { M ^ { 2 } } \bar { \psi _ { L } ^ { 3 } } \chi _ { R } \, \bar { \chi _ { R } } \psi _ { L } ^ { 3 } + \frac { \eta _ { b } } { M ^ { 2 } } \bar { \psi _ { L } ^ { 3 } } b _ { R } \, \bar { b _ { R } } \psi _ { L } ^ { 3 } ~ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { H } _ { S } } { \hbar } } & { = J _ { z } \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Z } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Z } + J \left( \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { X } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { X } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Y } \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Y } \right) } \\ & { \quad + \delta E _ { 0 } + \frac { \delta \zeta } { 2 } \left( \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { Z } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { Z } \right) \; , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } A _ { \varphi } } { \partial \rho ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial A _ { \varphi } } { \partial \rho } - \frac { A _ { \varphi } } { \rho ^ { 2 } } - \gamma C _ { 2 } \bigg ( A _ { \varphi } + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \rho } A _ { \varphi } ( \rho ^ { \prime } ) \rho ^ { \prime } d \rho ^ { \prime } \bigg ) = m _ { C S } \gamma e \lambda K _ { 1 } ( \lambda \rho ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \tilde { Q } _ { \lambda } | z ] } & { = \int _ { - \pi } ^ { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \tilde { Q } _ { \lambda } ( u ) \ d \tilde { Q } _ { \lambda } ( u ) \ \delta _ { u - z } ( d u ) } \\ { \mathbb { V } [ \tilde { Q } _ { \lambda } | z ] } & { = \int _ { - \pi } ^ { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( \tilde { Q } _ { \lambda } ( u ) - \mathbb { E } [ \tilde { Q } _ { \lambda } | z ] \right) ^ { 2 } \ d \tilde { Q } _ { \lambda } ( u ) \ \delta _ { u - z } ( d u ) } \end{array}
I = m \left( \mathbf { x } ^ { \textsf { T } } \mathbf { x } - \mathbf { \hat { n } } ^ { \textsf { T } } \mathbf { x } \mathbf { x } ^ { \textsf { T } } \mathbf { \hat { n } } \right) = m \cdot \mathbf { \hat { n } } ^ { \textsf { T } } \left( \mathbf { x } ^ { \textsf { T } } \mathbf { x } \cdot \mathbf { E _ { 3 } } - \mathbf { x } \mathbf { x } ^ { \textsf { T } } \right) \mathbf { \hat { n } } ,
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } c _ { n } ^ { + } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } + \frac { \omega _ { S } } { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 2 } } { 2 } \right) } , \qquad \textnormal { a n d } \qquad \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } c _ { n } ^ { - } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = \widetilde { \gamma } - \frac { \omega _ { N } } { 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } \right) } \cdot
n ^ { 1 / 2 } \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \theta } } H _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) - \left( \tau + 1 \right) \boldsymbol { J } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { \theta } ) n ^ { 1 / 2 } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { G } ^ { \tau } - \boldsymbol { \theta } ) + \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \theta } ) n ^ { 1 / 2 } \boldsymbol { \lambda } _ { n } + o _ { p } ( 1 ) = \boldsymbol { 0 } _ { p } .
\begin{array} { r } { T _ { I C C D 1 } = \frac { i } { 2 } \exp ( i ( 2 l \alpha + \pi ) ) \left| l \right\rangle + \frac { i } { 2 } \exp ( i \pi ) \left| l \right\rangle } \\ { T _ { I C C D 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \exp ( i ( 2 l \alpha + \pi ) ) \left| l \right\rangle + \frac { 1 } { 2 } \exp ( i \pi ) \left| l \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { \theta } = \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { ~ L ~ a ~ t ~ e ~ n ~ t ~ T ~ o ~ C ~ o ~ o ~ r ~ d ~ } } } \circ \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { ~ S ~ o ~ l ~ v ~ e ~ } } } \circ \mathcal { F } _ { \theta _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ o ~ r ~ d ~ T ~ o ~ L ~ a ~ t ~ e ~ n ~ t ~ } } } , } \end{array}
\Psi _ { q } ( a _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ } } ) = \frac { a _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ } } } { a _ { \mathrm { ~ c ~ r ~ o ~ s ~ s ~ } } } \frac { \sin ( 2 \pi q ) } { 2 \pi } + A _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ c ~ a ~ y ~ } } D ^ { - } ( a _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ } } ) \frac { \cos ( 2 \pi q ) } { { 2 \pi } } ,
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { D } { - \frac { 2 L ^ { \alpha + 1 } \gamma } { \alpha D + D } \, _ { 1 } F _ { 1 } ( 1 ; 1 + \frac { 1 } { 1 + \alpha } ; - \frac { 2 L ^ { \alpha + 1 } \gamma } { \alpha D + D } ) } \qquad } & { \mathrm { f o r } \ \alpha > - 1 + \epsilon } \\ { \frac { 2 \gamma } { L } - \frac { \alpha D } { L } \qquad } & { \mathrm { f o r } \ - 1 + \epsilon < \alpha < - 1 - \epsilon } \\ { \frac { - D ( 1 + \alpha ) } { - \frac { 2 L ^ { \alpha + 1 } \gamma } { \alpha D + D } \, U ( 1 ; 1 + \frac { 1 } { 1 + \alpha } ; - \frac { 2 L ^ { \alpha + 1 } \gamma } { \alpha D + D } ) } \qquad } & { \mathrm { f o r } \ - 1 - \epsilon < \alpha < - 1 - \epsilon \ . } \end{array} \right. } \end{array}
e ^ { -- } = d \xi ^ { m } e _ { m } ^ { -- } ( \xi , \eta ( \xi ) ) + d \eta ^ { q } ( \xi ) e _ { q } ^ { -- } ( \xi , \eta ( \xi ) ) = d \xi ^ { m } ( e _ { m } ^ { -- } ( \xi , \eta ( \xi ) ) + \partial _ { m } \eta ^ { q } ( \xi ) e _ { q } ^ { -- } ( \xi , \eta ( \xi ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } } & { = 0 = - \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) } \\ & { + \cos \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) - 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) - e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { C } _ { \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } } ( a , b ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { a , \quad a = b , } \\ { \left( \frac { \phi _ { 1 } ^ { \prime } } { \phi _ { 2 } ^ { \prime } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \phi _ { 1 } ( b ) - \phi _ { 1 } ( a ) } { \phi _ { 2 } ( b ) - \phi _ { 2 } ( a ) } \right) , \quad a \neq b . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { 0 } ( z , t ) \approx - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \partial _ { z } \rho ( z , r = R , t ) \ = - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \partial _ { z } \left[ \frac { p ( z , t ) } { \pi R ^ { 2 } ( z ) } \right] , } \end{array}
\{ \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } , \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \dagger } \} = \delta _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } \; \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; \; \; \{ \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } , \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \dagger } \} = \delta _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { d v + \theta _ { \rho } ( \| u \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( u \partial _ { x } v + w \partial _ { z } v ) d t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \theta _ { \rho } ( \| u \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { z } \sigma ( u ) d W , } \\ & { v ( 0 ) = \partial _ { z } u _ { 0 } . } \end{array}
g G ( k ^ { 2 } ) \, = \, { \frac { 8 \pi \sigma } { k ^ { 2 } } } + g F ( k ^ { 2 } ) \quad , \qquad g F ( k ^ { 2 } ) = a _ { 0 0 } \left( k ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } \right) ^ { \gamma } + \ldots \quad .
{ \frac { d ^ { 2 } \sigma } { d y d \rho } } = \alpha ^ { 4 } { \frac { 2 } { 3 \pi } } ( Z \lambda _ { e } ) ^ { 2 } { \frac { 1 - y } { y } } \Biggl ( \phi _ { e } + { \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { m _ { l } ^ { 2 } } } \phi _ { l } \Biggr ) \ .
{ \begin{array} { r l } & { \mathbf { r } _ { 0 } : = \mathbf { b } - \mathbf { A x } _ { 0 } } \\ & { { \mathrm { i f ~ } } \mathbf { r } _ { 0 } { \mathrm { ~ i s ~ s u f f i c i e n t l y ~ s m a l l , ~ t h e n ~ r e t u r n ~ } } \mathbf { x } _ { 0 } { \mathrm { ~ a s ~ t h e ~ r e s u l t } } } \\ & { \mathbf { p } _ { 0 } : = \mathbf { r } _ { 0 } } \\ & { k : = 0 } \\ & { { \mathrm { r e p e a t } } } \\ & { \qquad \alpha _ { k } : = { \frac { \mathbf { r } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { k } } { \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { A p } _ { k } } } } \\ & { \qquad \mathbf { x } _ { k + 1 } : = \mathbf { x } _ { k } + \alpha _ { k } \mathbf { p } _ { k } } \\ & { \qquad \mathbf { r } _ { k + 1 } : = \mathbf { r } _ { k } - \alpha _ { k } \mathbf { A p } _ { k } } \\ & { \qquad { \mathrm { i f ~ } } \mathbf { r } _ { k + 1 } { \mathrm { ~ i s ~ s u f f i c i e n t l y ~ s m a l l , ~ t h e n ~ e x i t ~ l o o p } } } \\ & { \qquad \beta _ { k } : = { \frac { \mathbf { r } _ { k + 1 } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { k + 1 } } { \mathbf { r } _ { k } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { r } _ { k } } } } \\ & { \qquad \mathbf { p } _ { k + 1 } : = \mathbf { r } _ { k + 1 } + \beta _ { k } \mathbf { p } _ { k } } \\ & { \qquad k : = k + 1 } \\ & { { \mathrm { e n d ~ r e p e a t } } } \\ & { { \mathrm { r e t u r n ~ } } \mathbf { x } _ { k + 1 } { \mathrm { ~ a s ~ t h e ~ r e s u l t } } } \end{array} }
{ \frac { d ^ { 2 } \tilde { V } } { d \sigma d \sigma } } = { \frac { 1 } { \lambda _ { R } ( \sigma ) } } = { \frac { 1 } { \lambda } } - \int { \frac { d p } { 2 \pi } } { \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } } } + { \frac { 1 } { \pi } } ~ .
\Gamma ( N \rightarrow H \nu _ { l } ) = \frac { \mid \Omega _ { N \nu _ { l } } \mid ^ { 2 } } { 8 \sqrt { 2 } \pi } \frac { G _ { F } } { m _ { N } } ( m _ { N } ^ { 2 } - m _ { H } ^ { 2 } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( r r ) } } = \sum _ { f = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } ( k , n ) } \binom { k } { f } } & { { } \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] ^ { f } \left[ 1 - \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] ^ { k - f } } \end{array}
e ^ { - \frac { \Delta \tau } { 2 } ( \sum _ { \alpha } L _ { \alpha } ^ { 2 } ) } = \prod _ { \alpha } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { x _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { \sqrt { - \Delta \tau } x _ { \alpha } L _ { \alpha } } d x _ { \alpha } } + \mathcal { O } ( \Delta \tau ^ { 2 } ) .
\langle \boldsymbol { \varepsilon } ^ { * } \cdot { \mathbf { w } } _ { n l m } ( \Omega _ { n } ^ { - } ) | \frac { \exp { ( i \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } ) } } { 2 \pi ^ { 2 } q ^ { 2 } } | \psi _ { 1 0 0 } \rangle = - \frac { i ^ { l } } { { \pi } ^ { 3 / 2 } q ^ { 2 } } \left[ \sqrt { \frac { l } { 2 l + 1 } } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l - 1 , b } ( \Omega _ { n } ^ { - } , q ) + \sqrt { \frac { l + 1 } { 2 l + 1 } } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l + 1 , b } ( \Omega _ { n } ^ { - } , q ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \{ C _ { n } , G \} } & { { } = \left\langle \underbrace { n q \nabla ^ { \perp } q ^ { n - 1 } } _ { = ( n - 1 ) \nabla ^ { \perp } q ^ { n } } , \frac { \delta G } { \delta u } ^ { \perp } \right\rangle } \end{array}
\centering \begin{array} { r l } { W _ { 1 0 } ( \alpha ) } & { { } = W _ { 0 1 } ( \alpha ) = ( 1 - e ^ { i \alpha } ) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { k } ( \Theta ) J _ { k - 1 } ( \Theta ) } \\ { W _ { 0 0 } ( \alpha ) } & { { } = J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) + ( 1 + e ^ { i \alpha } ) \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) } { 2 } } \\ { W _ { 1 1 } ( \alpha ) } & { { } = e ^ { i \alpha } J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) + ( 1 + e ^ { i \alpha } ) \frac { 1 - J _ { 0 } ^ { 2 } ( \Theta ) } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \mathbf { v } _ { D } \cdot \nabla \psi \rangle = + \frac { 1 } { q } \left( \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial \alpha } \right) _ { H , \mu , \psi } \Bigg / \left( \frac { \partial \mathcal { J } } { \partial H } \right) _ { \mu , \psi , \alpha } . } \end{array}
G _ { s } ( r , \theta , y ) = \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k M x / \beta ^ { 2 } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { - k _ { 3 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \chi _ { n } y } } { \sqrt { k _ { 1 } + \kappa _ { n } } } \left[ \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { E _ { n } ( s ) } { ( s - k _ { 1 } ) } \frac { 1 } { \sqrt { s - \kappa _ { n } } } \mathrm { e } ^ { ( - i s \cos \theta - \gamma _ { n } \sin \theta ) r } \mathrm { d } \, s \right] ,
x = - { \frac { a _ { 3 } } { 4 a _ { 4 } } } + { \frac { \pm _ { 1 } { \sqrt { 2 m } } \pm _ { 2 } { \sqrt { - \left( 2 p + 2 m \pm _ { 1 } { \frac { { \sqrt { 2 } } q } { \sqrt { m } } } \right) } } } { 2 } } .
K S ( r _ { i } | r _ { 0 } ) = \mathbf { K S } \left( \left\langle R g ( r _ { i } ) \right\rangle , \left\langle R g ( r _ { 0 } ) \right\rangle \right) = \operatorname* { s u p } _ { R g } \left| F _ { \left\langle R g ( r _ { i } ) \right\rangle } - F _ { \left\langle R g ( r _ { 0 } ) \right\rangle } \right|
V _ { h } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ v \in V | \; \mathrm { ~ v | _ T ~ i s ~ l i n e a r ~ f o r ~ a l l ~ K \in \mathcal { K } _ h ~ } \} , } & { \quad \mathrm { i f ~ \mathcal { K } _ h ~ c o n s i s t s ~ o f ~ s i m p l i c e s } , } \\ { \{ v \in V | \; \mathrm { ~ v | _ T ~ i s ~ d ~ - l i n e a r ~ f o r ~ a l l ~ K \in \mathcal { K } _ h ~ } \} , } & { \quad \mathrm { i f ~ \mathcal { K } _ h ~ c o n s i s t s ~ o f ~ p a r a l l e l o t o p e s } . } \end{array} \right.
\dot { Q } _ { \sigma , \mathrm { c o l l , i n t e r } } = ( 1 / n _ { \sigma } ) \int ( 1 / 2 ) m _ { \sigma } v _ { \sigma } ^ { \prime 2 } \sum _ { \sigma ^ { \prime } } C _ { \mathrm { i n t e r } } [ f _ { \sigma } , f _ { \sigma ^ { \prime } } ] d ^ { 3 } v
\frac { P _ { \lambda } ^ { ( a , b , c , d ) } ( q ^ { \mu } t ^ { \rho ^ { * } } ) } { P _ { \lambda } ^ { ( a , b , c , d ) } ( t ^ { \rho ^ { * } } ) } = \frac { P _ { \mu } ^ { ( a ^ { * } , b ^ { * } , c ^ { * } , d ^ { * } ) } ( q ^ { \lambda } t ^ { \rho } ) } { P _ { \mu } ^ { ( a ^ { * } , b ^ { * } , c ^ { * } , d ^ { * } ) } ( t ^ { \rho } ) } .