harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I ( \omega ) } & { = \frac { e ^ { 2 } E _ { \textrm { p } } ^ { 2 } } { 4 V ^ { 4 } \hbar ^ { 2 } m _ { e } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } } \sum _ { \alpha , \gamma } \sum _ { m } \left( D _ { u v , \alpha \alpha , \mathbf { k } } ^ { ( - m ) } D _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } , \gamma \gamma , \mathbf { k } } ^ { ( m ) } e ^ { i m \Omega \tau } \right. } \\ & { \left. + D _ { u v , \alpha \gamma , \mathbf { k } } ^ { ( - m ) } D _ { u ^ { \prime } v ^ { \prime } , \gamma \alpha , \mathbf { k } } ^ { ( m ) } e ^ { i [ \frac { E _ { \gamma \alpha \mathbf { k } } } { \hbar } + m \Omega ] \tau } \right) N _ { u , v , u ^ { \prime } , v ^ { \prime } , \mathbf { k } } ( e ^ { i \omega \tau } + e ^ { - i \omega \tau } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( \epsilon ^ { k + 1 } , X ^ { k + 1 } , y ^ { k + 1 } , Z ^ { k + 1 } ) \leq } & { \; [ 1 - 2 \sigma ( 1 - \delta ) \rho ^ { \ell _ { k } } ] \psi ( \epsilon ^ { k } , X ^ { k } , y ^ { k } , Z ^ { k } ) } \\ { \leq } & { \; [ 1 - 2 \sigma ( 1 - \delta ) \rho ^ { \ell } ] \psi ( \epsilon ^ { k } , X ^ { k } , y ^ { k } , Z ^ { k } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( H ^ { 0 } ( X | Y ^ { i + 1 } , m L ) , \lVert \cdot \rVert _ { m , q u o t } ) = \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( H ^ { 0 } ( X | ( c _ { i } m ) Y ^ { i + 1 } , m L ) , \lVert \cdot \rVert _ { m , q u o t } ) } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { k = 0 , \dots , c _ { i } m - 1 } \{ \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( H ^ { 0 } ( X | Y ^ { i } , m L - k A _ { i } ) , \lVert \cdot \rVert _ { m , s u b ( s _ { i } ^ { \otimes k } ) , q u o t } ) \} } \\ & { \geqslant \widehat { \mu } _ { \operatorname* { m i n } } ( H ^ { 0 } ( X | Y ^ { i } , m L ) , \lVert \cdot \rVert _ { m , q u o t } ) \geqslant S + T \cdot m } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { n } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } | x - x _ { 0 } | < \frac { 1 } { n ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \log \left( n \, | x - x _ { 0 } | \right) } { - \log n } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \le | x - x _ { 0 } | \le \frac { 1 } { n } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } | x - x _ { 0 } | > \frac { 1 } { n } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \widehat T } { } _ { l } [ \varphi ] \equiv \frac { 2 l - 1 } { 2 \pi i } \int _ { | z | < 1 } \varphi ( z , \bar { z } ) ( 1 - z \bar { z } ) ^ { 2 l - 2 } d z d \bar { z } = \varphi ( 0 , 0 ) + \frac { 1 } { 2 l } \left. \bigtriangleup \varphi ( z , \bar { z } ) \right| _ { \scriptstyle z = \bar { z } = 0 } + { \cal O } ( l ^ { - 2 } )
G ( \mathbf { x } ) = - \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { N } { 2 } } } ( \frac { m } { r } ) ^ { \frac { N } { 2 } - 1 } K _ { \frac { N } { 2 } - 1 } ( m r ) , \quad r \equiv | \mathbf { x } |
\begin{array} { c c c } { { \Sigma ( M ) } } & { { \stackrel { \partial } { \to } } } & { { L ( M ) } } \\ { { \cup } } & { { } } & { { \cup } } \\ { { \Sigma _ { Q } ( M ) } } & { { \stackrel { \partial } { \to } } } & { { L ( Q ) } } \end{array}
\chi _ { T } ( Q , \delta t ) = \frac { \langle c _ { 2 } ( Q , t , \delta t ) ^ { 2 } \rangle _ { t } - \langle c _ { 2 } ( Q , t , \delta t ) \rangle _ { t } ^ { 2 } } { \langle c _ { 2 } ( Q , t , \delta t = 0 ) \rangle _ { t } ^ { 2 } }
\nabla _ { n } ^ { 2 } = { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y _ { n } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z _ { n } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { B _ { \alpha } } & { { } = } & { \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau } \right) F _ { \alpha } \, , } \\ { C _ { \alpha \beta } } & { { } = } & { \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau } \right) \left\{ \mathrm { v } _ { \alpha } ^ { * } F _ { \beta } + F _ { \alpha } \mathrm { v } _ { \beta } ^ { * } + ( 1 - T ) \right. } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } V ( \varphi , R , x , \alpha , \theta ) = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } \frac { R } { \pi x } \exp \left\{ - R \sin \varphi - ( R / x ) ^ { \alpha } \cos \left( \alpha \left( \varphi + \frac { \pi } { 2 } \theta \right) \right) \right\}
L = T - V = \int \, \frac { d x \, d y } { ( 1 + r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \frac { \partial W } { \partial q ^ { i } } \frac { \partial \bar { W } } { \partial q ^ { j } } \dot { q } ^ { i } \dot { q } ^ { j } \, - 2 \pi .
\mathbf { H } \left( { \widehat { \theta \, } } \right) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 1 } ^ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 1 } \, \partial \theta _ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \dots } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 1 } \, \partial \theta _ { k } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } \\ { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 2 } \, \partial \theta _ { 1 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 2 } ^ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \dots } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 2 } \, \partial \theta _ { k } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { k } \, \partial \theta _ { 1 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { k } \, \partial \theta _ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \dots } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { k } ^ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } \end{array} \right] } ~ ,
\begin{array} { r l } { | \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { X } } f ( x ) - \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { X } } g ( x ) | } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { X } } | f ( x ) - g ( x ) | , } \\ { | \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } f ( x ) - \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathcal { X } } g ( x ) | } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { x \in \mathcal { X } } | f ( x ) - g ( x ) | . } \end{array}
S _ { 5 } = \int \! \! d ^ { 3 } x ~ \left( \alpha _ { a b c d e } \varphi _ { a } \varphi _ { b } \varphi _ { c } \varphi _ { d } \varphi _ { e } \right) , \quad S _ { 6 } = \int \! \! d ^ { 3 } x ~ \left( \alpha _ { a b c d e f } \varphi _ { a } \varphi _ { b } \varphi _ { c } \varphi _ { d } \varphi _ { e } \varphi _ { f } \right) ,
V ( \phi _ { 0 } ) = - \frac { 1 } { 5 4 } \frac { 1 } { g ^ { 2 } \bar { \kappa } ^ { 2 } } = - \frac { 2 ^ { 1 1 } } { 3 ^ { 1 0 } } \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \approx ( 0 . 6 8 ) \left( - \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } g ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r l } { H _ { \sigma } ^ { \gamma } } & { : = \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { t } \mathbb { E } _ { S _ { t } ^ { \sigma } , A _ { t } ^ { \sigma } } [ - \log ( \pi _ { s _ { t } , \alpha _ { t } } ) ] } \\ & { = \sum _ { t = 0 } ^ { \infty } \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } - ( \log \pi _ { s , \alpha } ) \pi _ { s , \alpha } \gamma ^ { t } \mathbb { P } [ S _ { t } ^ { \sigma } = s ] } \\ & { = \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } - ( \log \pi _ { s , \alpha } ) \pi _ { s , \alpha } \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s ) } \\ & { = \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } - \log \frac { \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) } { \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s ) } \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) , } \end{array}
\mathcal { L } = \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { V _ { \mathrm { \small ~ c } , r _ { i } } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ o b s } } } } \exp \frac { - [ V _ { \mathrm { \small ~ c } , r _ { i } } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ o b s } } - V _ { \mathrm { \small ~ c } , r _ { i } } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ m o d e l } } ( \hat { \theta } ) ] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { V _ { \mathrm { \small ~ c } , r _ { i } } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ o b s } } } ^ { 2 } } \, ,
\hat { A } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & & & \\ & { 1 } & & \\ & & { 1 } & \\ & & & { 1 } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l } { 2 } & & & \\ & { 1 } & { 1 } & \\ & & { 1 } & \\ & & & { 1 } \end{array} \right] .
{ \hat { \boldsymbol { \beta } } } = ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { Z } ( \mathbf { Z } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { Z } ) ^ { - 1 } \mathbf { Z } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } ) ^ { - 1 } \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { Z } ( \mathbf { Z } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { Z } ) ^ { - 1 } \mathbf { Z } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { y } .
\frac { 1 } { \alpha ( \mu ^ { 2 } ) } \frac { d \alpha ( \mu ^ { 2 } ) } { d \ln \mu ^ { 2 } } = - \beta ( \alpha ) = - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \beta _ { n } \Big ( \frac { \alpha ( \mu ^ { 2 } ) } { 4 \pi } \Big ) ^ { n + 1 } ,
\mathrm { F W H M } ( f ) = \operatorname* { i n f } \big \{ x > x _ { \mathrm { m a x } } : | f ( x ) | < \frac { 1 } { 2 } | f ( x _ { \mathrm { m a x } } ) | \big \} - \operatorname* { s u p } \big \{ x < x _ { \mathrm { m a x } } : | f ( x ) | < \frac { 1 } { 2 } | f ( x _ { \mathrm { m a x } } ) | \big \} .
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } [ \Omega ] } & { = \frac { \sqrt { \eta } + G e ^ { i \Omega \tau } } { 1 + G \sqrt { \eta } e ^ { i \Omega \tau } } = \frac { \sqrt { \eta } + e ^ { i \Omega \tau } / \sqrt { \eta } } { 1 + e ^ { i \Omega \tau } } , } \\ { H _ { \mathrm { G } } [ \Omega ] } & { = \frac { \sqrt { G ^ { 2 } - 1 } \sqrt { 1 - \eta } } { 1 + G \sqrt { \eta } e ^ { i \Omega \tau } } = \frac { 1 / \sqrt { \eta } - \sqrt { \eta } } { 1 + e ^ { i \Omega \tau } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< S _ { \epsilon , 1 } ^ { ( 2 a ) } \right> _ { c } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \left( 4 \pi i \right) } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d q _ { 0 } \int d ^ { 4 } x _ { 2 } \int d ^ { 4 } x _ { 1 } e ^ { - \epsilon \left( \left| t _ { 2 } \right| + \left| t _ { 1 } \right| \right) } e ^ { - i q _ { 0 } \left( t _ { 2 } - t _ { 1 } \right) } \frac { e ^ { - b x _ { 2 1 } } } { 4 \pi x _ { 2 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 3 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { { } \sim \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } } ( X _ { t } ^ { \eta } ) \varLambda _ { 2 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge \hat { \omega } ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } } \quad } & { \mathbb { F } _ { f \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { U } _ { 0 } , c ( \mathbf { x } , \mathbf { U } ) \right) } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \mathbb { G } \! \left[ _ 0 \right] { g _ { 0 } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { U } _ { 0 } , c ( \mathbf { x } , \mathbf { U } ) \right) } \preccurlyeq \mathbf { 0 } } \\ & { \mathbb { G } _ { i } \! \left[ g _ { i } \left( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { U } _ { 0 } , \mathbf { U } _ { i } , c _ { i } ( \mathbf { x } , \mathbf { U } ) \right) \right] \preccurlyeq \mathbf { 0 } , \forall i \in \mathcal { I } } \end{array}
\left( { \frac { \dot { R } } { R } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } } } - { \frac { A ( R ) } { R ^ { 2 } } } + X + { \frac { \ell ^ { 2 } } { 4 } } X ^ { 2 } .
\xi ^ { m * } ( x ) = \pi _ { m - 6 } ^ { \perp } ( x ) + 2 i e \int d ^ { \, 3 } y \, \partial _ { m - 6 } ^ { x } \nabla ^ { - 2 } \pi _ { \psi } ( y ) \, \psi ( y ) \; , m = 7 , 8 , 9 \; .
\begin{array} { r l } { | \hat { \varphi } ( x + 2 k y , y ) \, \hat { \psi } ( x , y ) - \hat { \varphi } ( x + 2 k y , 0 ) \, \hat { \psi } ( x , 0 ) | } & { = | \hat { \varphi } ( t , y ) \, \hat { \psi } ( x , y ) - \hat { \varphi } ( t , y ) \, \hat { \psi } ( x , 0 ) + \hat { \varphi } ( t , y ) \, \hat { \psi } ( x , 0 ) - \hat { \varphi } ( t , 0 ) \, \hat { \psi } ( x , 0 ) | } \\ & { = | \hat { \varphi } ( t , y ) | | \hat { \psi } ( x , y ) - \hat { \psi } ( x , 0 ) | + | \hat { \psi } ( x , 0 ) | | \hat { \varphi } ( t , y ) - \hat { \varphi } ( t , 0 ) | } \\ & { \leq \hat { \varphi } _ { \mathrm { m a x } } | y | ^ { a } + \hat { \psi } _ { \mathrm { m a x } } | y | ^ { a } } \\ & { \leq c _ { 3 } k ^ { - a } \to 0 , } \end{array}
f _ { \pm } ( J ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad J < J _ { \mathrm { O P R } } , } \\ { \pm \sqrt { 2 J _ { \mathrm { O P R } } \left( J - J _ { \mathrm { O P \mathrm { R } } } \right) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad J \geq J _ { \mathrm { O P R } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { { } = \langle \mathcal { A } ^ { 0 } ( t _ { * } ^ { 0 } + r ^ { 0 } ) , r ^ { 0 } \rangle + C _ { \mathrm { S M } } ^ { 0 } \langle t _ { * } ^ { \perp } + r ^ { \perp } - t _ { * } ^ { \perp } , r ^ { \perp } \rangle _ { \mathbb { V } } } \end{array}
E _ { \mathrm { X C } } \left[ \rho _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) \right] = \int _ { \mathrm { U C } } f ^ { \mathrm { X C } } \left[ \rho _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) , \gamma _ { \uparrow \uparrow , \uparrow \downarrow , \downarrow \downarrow } ( \vec { r } ) , \tau _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) \right] ~ \textrm { d } ^ { 3 } r ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \lesssim \left( \frac { v ^ { \frac { \zeta } { \alpha } - 1 } } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta + j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } \right] \bar { p } _ { \alpha } ^ { q ^ { \prime } } ( t - s , x - y ) , } \\ { I _ { 3 } } & { \lesssim \left( \frac { v ^ { \frac { \zeta } { \alpha } - 1 } } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { \zeta + k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d q ^ { \prime } } { \alpha p } } } \right] \bar { p } _ { \alpha } ^ { q ^ { \prime } } ( t - s , x - y ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { i n t } } ^ { \ell } = { \frac { e a } { c _ { W } } } ( \overline { { { \mu } } } \gamma ^ { \mu } \tau + \overline { { { \tau } } } \gamma ^ { \mu } \mu ) Z _ { \mu } ^ { \prime } \nonumber \, + { \frac { e a } { 2 c _ { W } } } ( \overline { { { \nu } } } _ { \mu } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \nu _ { \tau } + \overline { { { \nu } } } _ { \tau } \gamma ^ { \mu } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \nu _ { \mu } ) Z _ { \mu } ^ { \prime } .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } E _ { j } ( t ) = \left[ \frac { \hbar \omega } { \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { b g } } \frac { Z _ { Q D } ^ { a c t } } { V } g _ { j } ( 2 \rho ( t ) - 1 ) - \kappa _ { j } \right] ( 1 + i \alpha ) E _ { j } ( t ) + D _ { s t } \cdot \xi ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } \rho ( t ) = - \sum _ { j \in \{ A , B \} } g _ { j } [ 2 \rho ( t ) - 1 ] \left| E _ { j } ( t ) \right| ^ { 2 } - \frac { \rho ( t ) } { \tau _ { s p } } + S ^ { i n } n _ { r } ( t ) [ 1 - \rho ( t ) ] , } \\ { \frac { d } { d t } n _ { r } ( t ) = \frac { \eta } { e _ { 0 } A _ { e f f } } \left( I - I _ { P } \right) - S ^ { i n } n _ { r } ( t ) \frac { 2 Z _ { Q D } ^ { a c t } } { A _ { e f f } } [ 1 - \rho ( t ) ] } \\ { - S ^ { i n } \frac { 2 Z _ { Q D } ^ { i n a c } } { A _ { e f f } } \frac { \rho ^ { i n a c } } { \tau _ { s p } } - \frac { n _ { r } ( t ) } { \tau _ { r } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \tilde { E } _ { u } } \\ { \tilde { E } _ { v } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { V ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) } & { = \left( \begin{array} { l l } { V _ { i ^ { \mathrm { T M } } } ^ { \mathrm { T M } } } & { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V _ { i ^ { \mathrm { T M } } } ^ { \mathrm { T E } } } & { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) } \\ & { = - \left( \begin{array} { l l } { V _ { i ^ { \mathrm { T M } } } ^ { \mathrm { T M } } } & { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V _ { i ^ { \mathrm { T M } } } ^ { \mathrm { T E } } } & { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \tilde { J } _ { u } } \\ { \tilde { J } _ { v } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 2 } ^ { d } \ensuremath { \mathbb { E } \left[ \left\vert C _ { 5 } ( x _ { i } ^ { d } , Z _ { 1 , i } ^ { d } , \sigma _ { d } ) \right\vert \right] } } & { \leq \sum _ { i = 2 } ^ { d } d ^ { - 5 / 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { E } \left[ p ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) \right] } + d ^ { - 1 } \right) } \\ & { \leq d ^ { - 3 / 2 } \left( \ensuremath { \mathbb { E } \left[ p ( X _ { 0 , 1 } ^ { d } ) \right] } + 1 \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \big [ \mathbf { p a t t } ( \boldsymbol { \hat { \beta } } _ { n } ) = \mathbf { p a t t } ( \beta ^ { 0 } ) \big ] \underset { n \rightarrow \infty } { \longrightarrow } \mathbb { P } \big [ \boldsymbol { \hat { u } } \in \langle U _ { \beta ^ { 0 } } \rangle \big ] = \mathbb { P } \big [ Z \in \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( 0 ) \big ] , } \\ & { Z \sim \mathcal { N } ( C ^ { 1 / 2 } P C ^ { - 1 / 2 } \Lambda _ { 0 } , \sigma ^ { 2 } C ^ { 1 / 2 } ( I - P ) C ^ { 1 / 2 } ) , } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \gamma \in \Gamma ( S ^ { 2 } ) } \int _ { M } \hat { q _ { 1 } } ( x ) \hat { q _ { 2 } } ( x ) \langle \overline { { q _ { 1 } } } ( x ) , \overline { { q _ { 2 } } } ( x ) \rangle d m \geq \operatorname* { s u p } _ { ( A , B ) \in \mathcal { A } } \sum _ { i = 1 } ^ { t _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { t _ { 0 } } \sqrt { A _ { i j } B _ { i j } } \langle u _ { i } , v _ { j } \rangle .
\frac { \mathrm { d } ^ { 2 } W ^ { \pm } } { \mathrm { d } f \mathrm { d } \zeta } = \frac { \alpha m } { \sqrt { 3 } \pi } \delta \left[ 1 + \zeta ^ { 2 / 3 } \left( \frac { f } { 1 - f } + \frac { 1 - f } { f } - S _ { 1 } \right) \right] K _ { 1 / 3 } ( \delta \zeta ) .
\begin{array} { r l } { \xi } & { { } = ( - ) ^ { p q + p + q } \frac { 1 } { f _ { s } } { * \tilde { \mu } } + ( - ) ^ { p + 1 } \frac { c _ { \phi } } { \chi } u \wedge { * \tilde { \xi } } , } \\ { \mathrm { d } V } & { { } = - ( - ) ^ { p q + q } \tilde { \chi } _ { \ell } \, { * \tilde { \mu } _ { \ell } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { V a r } _ { X _ { \sim i } } \left[ \mathbb { E } _ { X _ { i } } \left[ Y _ { k } \right] \right] } & { = \mathbb { E } _ { X _ { \sim i } } \left[ \left( \sigma _ { Y _ { k } } \boldsymbol { \phi } _ { k } ^ { \mathrm { r o w } } \mathbf { A } \mathbb { E } \left[ \boldsymbol { \Psi } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { X _ { \sim i } } \left[ \left( \sum _ { \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } ^ { \star } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \prime } } \sigma _ { Y _ { k } } \phi _ { k j } a _ { j , \boldsymbol { \alpha } } \mathbb { E } \left[ \boldsymbol { \Psi } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | R w | ^ { 2 } \, d x d t + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } | R _ { \Gamma } w | ^ { 2 } \, d \sigma d t } \\ { \leqslant } & { C \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left( s ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \theta ^ { 2 } | w | ^ { 2 } + | \nabla w | ^ { 2 } \right) \, d x d t } \\ & { + C \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \left( s ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \theta ^ { 2 } | w | ^ { 2 } + | \partial _ { \nu } w | ^ { 2 } + | \nabla _ { \Gamma } w | ^ { 2 } \right) \, d \sigma d t . } \end{array}
B _ { 0 } e ^ { - { \frac { \rho } { \alpha } } } d u \wedge ( d \gamma - { \frac { 1 } { 2 } } d \theta + { \frac { 1 } { 2 q } } \partial _ { \rho } q d \rho ) = - { \frac { 1 } { 2 } } V
\begin{array} { r } { \frac { \partial x ^ { a } } { \partial x ^ { b } } = \delta _ { b } ^ { a } = \Big \{ { \hat { \partial } } _ { b } + k _ { b } \frac { \partial } { \partial \tau } \Big \} \Big \{ b ^ { a } + k ^ { a } \tau + { \cal O } ( r _ { g } ) \Big \} = \hat { \partial } _ { b } b ^ { a } + k ^ { a } k _ { b } + { \cal O } ( r _ { g } ) . } \end{array}
N _ { \mathrm { I C D ( 2 h \ n u ) } } \approx \frac { ( P _ { \mathrm { 1 } } \times P _ { \mathrm { e x c } } ) ^ { 2 } } { P _ { \mathrm { 1 } } } = P _ { \mathrm { e x c } } ^ { 2 } \times P _ { \mathrm { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \gamma _ { p q } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } E _ { p q } \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } } \\ { \Gamma _ { p q r s } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { { } = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } e _ { p q r s } \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } , } \end{array}
\bar { g } _ { \pm } ( t ) = \sin { \frac { \theta } { 2 } } \cos { \frac { \theta } { 2 } } \ [ e ^ { ( i \Delta m - { \frac { \Delta \Gamma } { 2 } } ) { \frac { t } { 2 } } } - e ^ { - ( i \Delta m - { \frac { \Delta \Gamma } { 2 } } ) { \frac { t } { 2 } } } ] \ e ^ { \pm i \phi } \ ;
{ \begin{array} { r l } { { 3 } \mathbf { a } } & { = { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } } \\ & { = { \frac { d v } { d t } } \mathbf { u } _ { \mathrm { t } } + v ( t ) { \frac { d \mathbf { u } _ { \mathrm { t } } } { d t } } } \\ & { = { \frac { d v } { d t } } \mathbf { u } _ { \mathrm { t } } + { \frac { v ^ { 2 } } { r } } \mathbf { u } _ { \mathrm { n } } \ , } \end{array} }
{ { \mathcal { E } } _ { \mu \nu } } = - { { \left( { \frac { \tilde { \kappa } } { \kappa } } \right) } ^ { 4 } } \left[ { \mathcal { U } } \left( { u _ { \mu } } { u _ { \nu } } + { \frac { 1 } { 3 } } { h _ { \mu \nu } } \right) + { { \mathcal { P } } _ { \mu \nu } } + { { \mathcal { Q } } _ { \mu } } { u _ { \nu } } + { { \mathcal { Q } } _ { \nu } } { u _ { \mu } } \right] ,
\overline { { U } } = \frac { 1 } { H } \int _ { y = 0 } ^ { H } \langle U \rangle \mathrm { d } y = - \frac { \mathrm { ~ d ~ } p } { \mathrm { ~ d ~ } x } \frac { H ( H + 3 \lambda _ { x } ) } { 3 \mu } .
N _ { \mathrm { m } } ( r _ { L 0 } ) = f _ { c } \frac { Q H ^ { 2 } \nu ( r _ { L 0 } ) } { \langle { v _ { \parallel } } \rangle ^ { 2 } } = f _ { c } \frac { Q H ^ { 2 } } { \langle { v _ { \parallel } } \rangle l _ { \mathrm { B } } } \int ^ { K _ { \mathrm { m a x } } } P ( K _ { \perp } ) \mathrm { d } K _ { \perp } ,