harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } - 2 \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } u _ { \xi } ^ { ( k ) } - 2 \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } u _ { \phi } ^ { ( k ) } + \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } = 0 ,
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } } & { { } = \cos \xi _ { 1 } \sin \eta } \\ { x _ { 1 } } & { { } = \sin \xi _ { 1 } \sin \eta } \\ { x _ { 2 } } & { { } = \cos \xi _ { 2 } \cos \eta } \\ { x _ { 3 } } & { { } = \sin \xi _ { 2 } \cos \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial u _ { n - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \prime } } { \partial t } + g \frac { \partial \zeta ^ { \prime } } { \partial x } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial p _ { n h , n } } { \partial x } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial p _ { n h , n - 1 } } { \partial x } = - U \frac { \partial u _ { n - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \prime } } { \partial x } , \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; n = 1 . . . N , } \\ & { \frac { \partial w _ { n } + w _ { n - 1 } } { \partial t } + 2 \frac { p _ { n h , n } - p _ { n h , n - 1 } } { \Delta z } = - U \frac { \partial w _ { n } + w _ { n - 1 } } { \partial x } , \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; n = 1 . . . N , } \\ & { \frac { \partial u _ { n - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \prime } } { \partial x } + \frac { w _ { n } - w _ { n - 1 } } { \Delta z } = 0 , \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; n = 1 . . . N , } \\ & { \frac { \partial \zeta ^ { \prime } } { \partial t } + \Delta z \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \partial u _ { n - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \prime } } { \partial x } = - U \frac { \zeta ^ { \prime } } { \partial x } . } \end{array}
w ^ { n | 2 } = \sum _ { n ^ { \prime } = 2 } ^ { + \infty } b _ { 0 n n ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } T ^ { n ^ { \prime } | 1 } = \gamma _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } \frac { \partial w _ { j } ^ { 1 | 1 } } { \partial x _ { j } }
\begin{array} { r l } { w _ { 0 } ^ { B U , n } ( t ) - \dot { w } ^ { B U , n } ( t ) \cdot x = } & { ~ w _ { n } ^ { A } ( t ) \cdot \left( A _ { 0 } x + \sum _ { n = 1 } ^ { N } A _ { n } { \alpha } ^ { \star , n } ( w _ { n } ^ { A } ( t ) ) \right) } \\ & { ~ - \frac 1 2 \mathrm { T r } \left[ \eta _ { n } w _ { n } ^ { A } ( t ) ( w _ { n } ^ { A } ( t ) ) ^ { \top } \bar { { \beta } } ^ { \star } ( \bar { { \beta } } ^ { \star } ) ^ { \top } \right] - C _ { n } ( { \alpha } ^ { \star } , { \beta } ^ { \star } , x ) \; , } \end{array}
\mathrm { d e t } \left( \begin{array} { c c } { { \mu ^ { 2 } + m _ { H _ { u } } ^ { 2 } } } & { { - B \mu } } \\ { { - B \mu } } & { { \mu ^ { 2 } + m _ { H _ { d } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) < 0 .
\mathrm { H } ( X ) = \operatorname { E } \left[ \log _ { b } \left( { \frac { 1 } { p ( X ) } } \right) \right] \leq \log _ { b } \left( \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { p ( X ) } } \right] \right) = \log _ { b } ( n )
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } ^ { m } B _ { 2 } ^ { n - m } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { M \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { \ell } } \\ { 0 } & { \lambda ^ { m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \lambda ^ { n - m } } & { M \sum _ { \ell = 0 } ^ { n - m - 1 } \lambda ^ { \ell } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { \lambda ^ { m } } & { M \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - 1 } \lambda ^ { \ell } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { m - n - 1 } \lambda ^ { \ell } \right) } \\ { 0 } & { \lambda ^ { n - m } } \end{array} \right) } \end{array}
\tan 2 \xi = \frac { - 2 c _ { \chi } ^ { } ( m _ { Z Z ^ { \prime } } ^ { 2 } + s _ { W } ^ { } s _ { \chi } ^ { } m _ { Z } ^ { 2 } ) } { m _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } - ( c _ { \chi } ^ { 2 } - s _ { W } ^ { 2 } s _ { \chi } ^ { 2 } ) m _ { Z } ^ { 2 } + 2 s _ { W } ^ { } s _ { \chi } ^ { } m _ { Z Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } ,
S = { \frac { 1 } { G _ { N } } } \int d ^ { 4 } x \left( R - { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } e ^ { - a \phi } F _ { 2 } ^ { 2 } \right) ,
m _ { \pi _ { 0 } } ^ { 2 } m _ { \eta } ^ { 2 } m _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } \ \propto \ M ( m _ { u } m _ { d } + m _ { u } m _ { s } + m _ { d } m _ { s } ) - m _ { u } ( m _ { d } - m _ { s } ) ^ { 2 } - m _ { d } ( m _ { u } - m _ { s } ) ^ { 2 } - m _ { s } ( m _ { u } - m _ { d } ) ^ { 2 }
r _ { 2 } \left[ \frac { d ^ { 2 } W _ { p e } } { d t d \gamma _ { \gamma } } ( \bar { \gamma } _ { \gamma } , \gamma _ { e } , \chi _ { e } ) \right] \leq \frac { d ^ { 2 } W _ { p e } } { d t d \gamma _ { \gamma } } ( \gamma _ { \gamma , \mathrm { ~ L ~ C ~ F ~ A ~ } } ^ { ( n ) } , \gamma _ { e } , \chi _ { e } ) .
\begin{array} { r l } { a _ { h } ( v , w ) } & { = ( c _ { h } v , w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } + ( b _ { h } \cdot \nabla _ { \Gamma _ { h } } v , w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } - ( \{ b _ { h } ; n _ { E } \} [ v ] , \{ w \} ) _ { \mathcal { E } _ { h } } + \frac { 1 } { 2 } ( | \{ b _ { h } ; n _ { E } \} | [ v ] , [ w ] ) _ { \mathcal { E } _ { h } } } \\ & { = ( v , ( c _ { h } - \nabla _ { \Gamma _ { h } } \cdot b _ { h } ) w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } - ( v , b _ { h } \cdot \nabla _ { \Gamma _ { h } } w ) _ { \mathcal { K } _ { h } } + ( \{ b _ { h } ; n _ { E } \} \{ v \} , [ w ] ) _ { \mathcal { E } _ { h } } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 2 } ( | \{ b _ { h } ; n _ { E } \} | [ v ] , [ w ] ) _ { \mathcal { E } _ { h } } + ( \{ v w \} , [ b _ { h } ; n _ { E } ] ) _ { \mathcal { E } _ { h } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big [ \delta _ { 0 } \log { ( n ) } + \delta _ { 1 } \Big ] } & { { } \Gamma \Big ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 0 } \Big ) \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \delta _ { 2 } } & { { } \Gamma \Big ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 1 } \Big ) \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp \left[ i \int _ { 0 } ^ { t } d \tau \mathcal { C } ( \tau ) \right] } & { { } = e ^ { i \left( \Delta _ { d } + i \kappa / 2 \right) t } \exp \left[ i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle } { 2 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \right] \exp \left[ - i \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \Delta _ { a } \omega _ { z } } \left[ \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { x } \right\rangle \sin \left( \omega _ { z } t \right) + \left\langle \tilde { \hat { J } } _ { y } \right\rangle \cos \left( \omega _ { z } t \right) \right] \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( { \bf R } , z _ { 1 } ) } & { { } = \int \frac { d ^ { 2 } { \bf Q } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \bf Q } \cdot { \bf R } + \mathrm { i } q _ { z } ( z _ { 1 } - z _ { 0 } ) } \int d ^ { 2 } { \bf R } ^ { \prime } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } { \bf Q } \cdot { \bf R } ^ { \prime } } \psi ( { \bf R } ^ { \prime } , z _ { 0 } ) } \end{array}
\bar { c } _ { 1 } = c _ { 1 } \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( a - b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( c - b ) } + c _ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 - c ) \Gamma ( a - b ) } { \Gamma ( a - c + 1 ) \Gamma ( 1 - b ) } = 0 ,
d s ^ { 2 } = e ^ { \sigma } ( u ( \rho , a ) d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } d \phi ^ { 2 } + \sum _ { i , j = 1 } ^ { d - 2 } ( \gamma _ { i j } ( \theta ) + h _ { i j } ( \theta ) \rho ^ { 2 } ) d \theta ^ { i } d \theta ^ { j } + . . . ) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r } { ( M _ { \gamma } ( \ell ) ) _ { \gamma \in \Gamma } \mapsto \left( - M _ { w _ { k } ^ { \underline { { i } } } s _ { k + 1 } \omega _ { k + 1 } } - M _ { w _ { k } ^ { \underline { { i } } } \omega _ { k + 1 } } + \sum _ { j \neq i _ { k + 1 } } a _ { j , i _ { k + 1 } } M _ { w _ { k + 1 } ^ { \underline { { i } } } \omega _ { j } } \right) _ { k = 0 } ^ { m - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { H } } = \langle \overline { { \psi } } _ { a } | \Gamma _ { 0 } ^ { \mathrm { R } } ( p , p ) V | \psi _ { a } \rangle } \\ { = \langle \overline { { \psi } } _ { a } | F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma _ { 0 } V + \frac { \mathrm { i } } { 2 } F _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \sigma _ { 0 \nu } q ^ { \nu } V | \psi _ { a } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { n = 0 , \ldots , N } \| \tilde { u } ^ { n } - \phi _ { h } \tilde { w } _ { h } ^ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) } \leqslant C h ^ { k + 1 / 2 } \| f - \partial _ { t } \tilde { u } \| _ { C ( [ 0 , T ] , H ^ { k - 1 } ( \Omega _ { h } ) ) } , } \\ & { \left( \Delta t \sum _ { n = 1 } ^ { N } | \tilde { u } ^ { n } - \phi _ { h } \tilde { w } _ { h } ^ { n } | _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { h } ) } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leqslant C h ^ { k } \| f - \partial _ { t } \tilde { u } \| _ { C ( [ 0 , T ] , H ^ { k - 1 } ( \Omega _ { h } ) ) } . } \end{array}
r = \sum _ { a , b = 1 } ^ { 3 } \left[ A ^ { N / 2 } \right] _ { a , b } , \qquad \qquad 2 s = \mathrm { T r } \, A ^ { N } - \sum _ { a , b = 1 } ^ { 3 } \left[ A ^ { N / 2 } \right] _ { a , b }
P _ { e _ { \mu } } = | - 2 i U _ { 2 3 } ^ { * } U _ { 1 3 } s i n x e ^ { - i x } + t a n \psi e ^ { 2 i \varphi } ( 1 - 2 i | U _ { 1 3 } | ^ { 2 } s i n x e ^ { - i x } ) | ^ { 2 } ,
\cos { \frac { 1 3 \pi } { 6 0 } } = \cos 3 9 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 1 6 } } \left[ 2 \left( 1 + { \sqrt { 3 } } \right) { \sqrt { 5 - { \sqrt { 5 } } } } + { \sqrt { 2 } } \left( { \sqrt { 3 } } - 1 \right) \left( { \sqrt { 5 } } + 1 \right) \right]
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { A _ { 1 1 } } & { A _ { 1 2 } } & { \cdots } & { A _ { 1 n } } \\ { A _ { 2 1 } } & { A _ { 2 2 } } & { \cdots } & { A _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { A _ { n 1 } } & { A _ { n 2 } } & { \cdots } & { A _ { n n } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { v _ { 1 } } \\ { v _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { v _ { n } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { w _ { n } } \end{array} \right] }
E _ { g s } = \textbf { p } \cdot \textbf { c } _ { * } = - e \oint _ { \scriptstyle \partial \, \Sigma } \textbf { E } \, d \textbf { l } = \oint _ { \scriptstyle \partial \, \Sigma } \textbf { F } _ { i } \, d \textbf { l } ,
\mathbb { X } _ { \ell } ^ { \pm } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \pm i \sigma _ { m ( \ell ) } / 2 \eta _ { 0 } } \\ { \mp i \sigma _ { e ( \ell ) } \eta _ { 0 } / 2 } & { 1 } \end{array} \right)
0 = - \Delta p 2 \pi r \, d r + 2 \pi \mu \, d r \, \Delta x { \frac { d v } { d r } } + 2 \pi r \mu \, d r \, \Delta x { \frac { d ^ { 2 } v } { d r ^ { 2 } } } + 2 \pi \mu ( d r ) ^ { 2 } \, \Delta x { \frac { d ^ { 2 } v } { d r ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial p _ { b } ( x , E , t ) } { \partial t } = } & { - p _ { b } ( x , E , t ) e ^ { - \beta E } + p _ { u } ( x , t ) \rho ( E ) , } \\ { \frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial p _ { u } ( x , t ) } { \partial t } = } & { \frac { D _ { 0 } } { \Gamma _ { 0 } } \frac { \partial ^ { 2 } p _ { u } ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } - p _ { u } ( x , t ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \infty } d E p _ { b } ( x , E , t ) e ^ { - \beta E } , } \end{array}
p ( x _ { k + 1 } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) \approx _ { N \uparrow \infty } \int p ( x _ { k + 1 } | x _ { k } ^ { \prime } ) { \frac { p ( y _ { k } | x _ { k } ^ { \prime } ) { \widehat { p } } ( d x _ { k } ^ { \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } { \int p ( y _ { k } | x _ { k } ^ { \prime \prime } ) { \widehat { p } } ( d x _ { k } ^ { \prime \prime } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } }
^ 1 ( \sigma _ { s } \overline { { \pi _ { x } } } ) ^ { 1 } ( \pi _ { y } \overline { { \sigma _ { s } ^ { * } } } ) ^ { 1 } ( \overline { { \sigma _ { s } } } \pi _ { x } ) ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { y } } } \sigma _ { s } ^ { * } )
{ \cal L } _ { M } = \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi ( x ) \partial ^ { \mu } \phi ( x ) - \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 0 } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } ) \phi ^ { 2 } ( x ) .
\begin{array} { r } { \mu _ { t _ { i - 1 } } ^ { t _ { i } , \mathrm { S D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) = \mathbf { x } _ { t _ { i } } - \Delta t \, \left[ \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - g ( t _ { i } ) ^ { 2 } s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , t _ { i } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { c f } } ( \boldsymbol { \rho } , z ) } & { \propto \left[ A \otimes U _ { \mathrm { w f } } \right] I _ { \mathrm { e x } } ( \boldsymbol { \rho } , z ) } \\ & { = \int d \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } A ( \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } ) U _ { \mathrm { w f } } ( \boldsymbol { \rho } ^ { \prime } - \boldsymbol { \rho } , z ) I _ { \mathrm { e x } } ( \boldsymbol { \rho } , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } W } & { = \frac { 1 } { 3 } \alpha W K + \beta ^ { i } \partial _ { i } W - \frac { 1 } { 3 } W \partial _ { i } \beta ^ { i } } \\ { \partial _ { t } \tilde { \gamma } _ { i j } } & { = - 2 \alpha \tilde { A } _ { i j } + 2 \tilde { \gamma } _ { k ( i } \partial _ { j ) } \beta ^ { k } - \frac { 2 } { 3 } \tilde { \gamma } _ { i j } \partial _ { k } \beta ^ { k } + \beta ^ { k } \partial _ { k } \tilde { \gamma } _ { i j } } \\ { \partial _ { t } K } & { = - D _ { i } D ^ { i } \alpha + \alpha \left( R + 2 D _ { i } Z ^ { i } + K ^ { 2 } - 2 \Theta K \right) - 3 \alpha \kappa _ { 1 } ( 1 + \kappa _ { 2 } ) \Theta } \\ & { + 4 \pi \alpha ( S - 3 \rho _ { \mathrm { A D M } } ) + \beta ^ { i } \partial _ { i } K } \\ { \partial _ { t } \tilde { A } _ { i j } } & { = W ^ { 2 } \left[ - D _ { i } D _ { j } \alpha + \alpha \left( R _ { i j } + 2 D _ { ( i } Z _ { j ) } - 8 \pi S _ { i j } \right) \right] ^ { \mathrm { t f } } + \alpha \left[ \left( K - 2 \Theta \right) \tilde { A } _ { i j } \right. } \\ & { \left. \; \; \; - 2 \tilde { A } _ { i k } \tilde { A } _ { j } ^ { k } \right] + 2 \tilde { A } _ { k ( i } \partial _ { j ) } \beta ^ { k } - \frac { 2 } { 3 } \tilde { A } _ { i j } \partial _ { k } \beta ^ { k } + \beta ^ { k } \partial _ { k } \tilde { A } _ { i j } } \\ { \partial _ { t } \Theta } & { = \frac { 1 } { 2 } \alpha \left[ R + 2 D _ { i } Z ^ { i } - \tilde { A } _ { i j } \tilde { A } ^ { i j } + \frac { 2 } { 3 } K ^ { 2 } - 2 \Theta K - 1 6 \pi \rho _ { \mathrm { A D M } } \right. } \\ & { \left. \phantom { \frac { 0 } { 0 } } \; \; - 2 \kappa _ { 1 } ( 2 + \kappa _ { 2 } ) \Theta \right] - Z ^ { i } \partial _ { i } \alpha + \beta ^ { i } \partial _ { i } \Theta } \\ { \partial _ { t } \tilde { \Gamma } ^ { i } } & { = \tilde { \gamma } ^ { j k } \partial _ { j } \partial _ { k } \beta ^ { i } + \frac { 1 } { 3 } \tilde { \gamma } ^ { i j } \partial _ { j } \partial _ { k } \beta ^ { k } - 2 \tilde { A } ^ { i j } \partial _ { j } \alpha + 2 \alpha \left[ \tilde { \Gamma } _ { j k } ^ { i } \tilde { A } ^ { j k } - 3 \tilde { A } ^ { i j } \frac { \partial _ { j } W } { W } \right. } \\ & { \left. \; \; \; - \frac { 2 } { 3 } \tilde { \gamma } ^ { i j } \partial _ { j } K - 8 \pi \tilde { \gamma } ^ { i j } S _ { j } \right] + 2 \tilde { \gamma } ^ { i k } \left[ \alpha \partial _ { k } \Theta - \Theta \partial _ { k } \alpha - \frac { 2 } { 3 } \alpha K Z _ { k } \right] } \\ & { \; \; \; + \frac { 2 } { 3 } \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { i } \partial _ { j } \beta ^ { j } - \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { j } \partial _ { j } \beta ^ { i } + 2 \kappa _ { 3 } \left[ \frac { 2 } { 3 } \tilde { \gamma } ^ { i j } Z _ { j } \partial _ { k } \beta ^ { k } - \tilde { \gamma } ^ { j k } Z _ { j } \partial _ { k } \beta ^ { i } \right] } \\ & { \; \; \; - 2 \alpha \kappa _ { 1 } \tilde { \gamma } ^ { i j } Z _ { j } + \beta ^ { j } \partial _ { j } \tilde { \Gamma } ^ { i } . } \end{array}
S S ^ { \star } = \frac { 1 } { 1 + \frac { \Im f . { \frac { 2 } { R ^ { 2 } } } } { ( 1 - \frac { 1 } { R ^ { 2 } } ) ^ { 2 } } } \simeq 1 - \frac { 2 \Im f } { \frac { R ^ { 2 } } { ( 1 - \frac { 1 } { R ^ { 2 } } ) ^ { 2 } } } \simeq 1 - \frac { 4 \bigg ( \frac { \sin \pi \beta } { R } \bigg ) ^ { 2 } } { ( 1 - \frac { 1 } { R ^ { 2 } } ) ^ { 2 } }
U _ { G } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { c c c } { { \cos \varphi } } & { { 0 } } & { { \sin \varphi } } \\ { { - \sin \psi \sin \varphi } } & { { \cos \psi } } & { { \sin \psi \cos \varphi } } \\ { { - \cos \psi \sin \varphi } } & { { - \sin \psi } } & { { \cos \psi \cos \varphi } } \end{array} \right) ,
\hat { \bf A } _ { \perp } ( { \bf r } ) \approx \hat { \bf A } _ { \perp } = \sum _ { \bf k } \frac { \hat { { \mathcal { \mathrm { e } } } } _ { \bf k } } { \omega _ { \bf k } } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \bf k } } { 2 \varepsilon _ { 0 } \mathcal { V } } } ( \hat { a } _ { \bf k } + \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } ) ,
\mathscr { B } ( \rho ^ { m } , \vec { W } ^ { m } ; \varphi ) = \frac { 1 } { 2 \Delta t } \int _ { t _ { m } } ^ { t _ { m + 1 } } \Bigl ( \rho ^ { m } \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t ] ^ { - 1 } \nabla \cdot [ r \, \vec { W } ^ { m } \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t ] ^ { - 1 } ] , ~ \varphi \circ \mathcal { \vec { A } } ^ { m } [ t ] ^ { - 1 } \Bigr ) \, \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 1 } { | B | } \int _ { B } | b ( x ) - b _ { B _ { z _ { 0 } } } | d x } \\ & { = t ^ { - n - \gamma } \int _ { B } \int _ { B _ { z _ { 0 } } } s ( x ) ( b ( x ) - b ( y ) ) | x - y | ^ { \gamma - n } \left( \frac { | x - y | } { t } \right) ^ { n - \gamma } \chi _ { B } ( x ) \chi _ { B _ { z _ { 0 } } } ( y ) d y d x } \\ & { = t ^ { - n - \gamma } \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { n } } a _ { m } \int _ { B } \int _ { B _ { z _ { 0 } } } s ( x ) ( b ( x ) - b ( y ) ) | x - y | ^ { \gamma - n } e ^ { - 2 i m \cdot \frac { y } { t } } \chi _ { B _ { z _ { 0 } } } ( y ) d y \times e ^ { 2 i m \cdot \frac { x } { t } } \chi _ { B } ( x ) d x } \\ & { \leq t ^ { - n - \gamma } \sum _ { m \in \mathbb { Z } ^ { n } } | a _ { m } | \int _ { B } | [ b , I _ { \gamma } ] ( e ^ { - 2 i m \cdot \frac { \cdot } { t } } \chi _ { B _ { z _ { 0 } } } ) ( x ) \times s ( x ) ( e ^ { 2 i m \cdot \frac { \cdot } { t } } \chi _ { B } ) ( x ) | d x . } \end{array}
\{ \mathfrak { s } _ { \overline { G } _ { 1 } } ^ { k } ( i _ { 1 } , \dots , i _ { k } ) _ { i ^ { \prime } , l - 1 } : i ^ { \prime } \in N _ { \overline { G } _ { 1 } } ( i ) \} ^ { \# } = \{ \mathfrak { s } _ { \overline { G } _ { 2 } } ^ { k } ( j _ { 1 } , \dots , j _ { k } ) _ { j ^ { \prime } , l - 1 } : j ^ { \prime } \in N _ { \overline { G } _ { 2 } } ( j ) \} ^ { \# }
G _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \ldots \, \alpha _ { n } } ^ { ( n ) } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \; \; = \; \; \left. \frac { 1 } { Z _ { P } [ 0 ] } \; \frac { \delta } { i \, \delta { \cal K } ^ { ( n ) } } Z _ { P } [ { \cal K } ] \right| _ { { \cal K } = 0 } \; \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \alpha _ { i } \; = \pm \; ,
\left\langle { a ( x , x ^ { 5 } ) a ( y , y ^ { 5 } ) } \right\rangle = \int _ { k 5 } { \frac { i } { k ^ { 2 } - ( k ^ { 5 } ) ^ { 2 } } } \, e ^ { - i k \cdot ( x - y ) } ( e ^ { i k ^ { 5 } ( x ^ { 5 } - y ^ { 5 } ) } + P e ^ { i k ^ { 5 } ( x ^ { 5 } + y ^ { 5 } ) } ) \ ,
A ( R e _ { \tau } ) = \int _ { 0 } ^ { a / \delta } \frac { \Phi _ { u u } ( k _ { x } ) } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \mathrm { d } ( k _ { x } ) = \int _ { 0 } ^ { a } \frac { \Phi _ { u u } ( k _ { x } \delta ) } { \delta u _ { \tau } ^ { 2 } } \mathrm { d } ( k _ { x } \delta ) \sim O ( a ^ { 2 } )
R = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad Q = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { R } \\ { R } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \mathbf { s } _ { t } = ( \hat { \mathbf { J } } _ { t } ^ { s } , \hat { \mathbf { M } } _ { t } ^ { s } ) , \quad \mathbf { s } _ { x } = ( \hat { J } _ { x } ^ { s } , \hat { M } _ { x } ^ { s } )
\int u _ { \boldsymbol { k } m ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) * } ( \boldsymbol { r } ) \varepsilon ( \boldsymbol { r } ) u _ { \boldsymbol { k } m } ^ { ( 0 ) } ( \boldsymbol { r } ) \mathrm { d } ^ { 2 } \boldsymbol { r } = \delta _ { m ^ { \prime } m } ,
\begin{array} { r l } { | ( I } & { - \Pi _ { n } ) d _ { i } ( \mathcal { F } _ { \omega } ) ( i _ { n } ) T ( i _ { n } ) ) \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } N _ { n } ^ { - \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } \overset \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 4 } } . } \end{array}
\mathbf { Y } ( \boldsymbol { l } ) = \langle \delta \mathbf { u } \lvert \delta \mathbf { u } \rvert ^ { 2 } + \delta \mathbf { u } \lvert \delta \mathbf { b } \rvert ^ { 2 } - 2 \delta \mathbf { b } ( \delta \mathbf { u } \cdot \delta \mathbf { b } ) \rangle _ { r }
\begin{array} { r l r l } & { \Leftarrow x ( \tilde { b } _ { \bar { t } } - \Delta _ { \bar { t } } ^ { + } ) + z _ { \bar { t } } + p _ { y } ( \bar { t } ) - y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } \geq 0 } & & { \forall \bar { t } \in T _ { N } , } \\ & { \Leftarrow x ( \tilde { b } _ { \bar { t } + \delta _ { N } } - \Delta _ { \bar { t } } ^ { - } ) + z _ { \bar { t } } + p _ { y } ( \bar { t } + \delta _ { N } ) - y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } \geq 0 } & & { \forall \bar { t } \in T _ { N } \setminus \{ M \} . } \end{array}
\frac { d \Gamma } { d \omega } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } | V _ { c b } | ^ { 2 } } { 4 8 \pi ^ { 3 } } M _ { 1 } M _ { 2 } ^ { 2 } \sqrt { \omega ^ { 2 } - 1 } ( 1 + r ^ { 2 } - 2 r \omega ) | H _ { o } ^ { D } ( \omega ) | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \bar { U } ^ { j } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 0 _ { M _ { C } ^ { j } \times M _ { C } ^ { j } } } & & \\ & { - \displaystyle { \bigoplus _ { p = 1 } ^ { m _ { P } ^ { j } } } i \sigma _ { y } u _ { p } ^ { j } } & \\ & & { I _ { M _ { V } ^ { j } } } \end{array} \right) , } \\ { \bar { V } ^ { j } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { I _ { M _ { C } ^ { j } } } & & \\ & { \displaystyle { \bigoplus _ { p = 1 } ^ { m _ { P } ^ { j } } } I _ { 2 } v _ { p } ^ { j } } & \\ & & { 0 _ { M _ { V } ^ { j } \times M _ { V } ^ { j } } } \end{array} \right) . } \end{array}
H _ { n } ( r _ { i } , \theta _ { i } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { - 2 \mathrm { i } \overline { { h } } } { ( 2 ( s - k _ { 1 } ) \overline { { h } } ) ^ { 2 } - ( n \pi ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { s - \kappa _ { n } } } \mathrm { e } ^ { ( - i s \cos \theta _ { i } - \gamma _ { n } \sin \theta _ { i } ) r _ { i } } \mathrm { d } \, s
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \left( \frac { 3 } { 2 \beta } - \frac { 3 } { 2 \gamma ^ { \varepsilon } } \right) } \\ & { \quad = \frac { d } { d t } \left( \iint _ { \mathbf T ^ { 3 } \times \mathbf R ^ { 3 } } \frac { | v | ^ { 2 } } { 2 } ( F _ { + } ^ { \varepsilon } - F _ { + } ^ { 0 } ) d x d v + \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { \mathbf T ^ { 3 } } \nabla _ { x } ( \psi ^ { \varepsilon } - \phi ^ { 0 } ) \cdot \nabla _ { x } ( \psi ^ { \varepsilon } + \phi ^ { 0 } ) d x \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { A \gtrsim \left( \frac { 3 \, n \, a _ { 0 } } { \pi \, \alpha \, r _ { p } ^ { 2 } \, m _ { \mathrm { n u c l e o n } } } \right) ^ { 3 / 1 1 } \sim 8 6 \left( \frac { n } { 6 } \right) ^ { 3 / 1 1 } . } \end{array}
\frac { I ^ { - } } { I ^ { 0 } + I ^ { - } } = \frac { c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } n _ { e } ^ { - } k _ { e g } ^ { - } } { c _ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } n _ { e } ^ { 0 } k _ { e g } ^ { 0 } + c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } n _ { e } ^ { - } k _ { e g } ^ { - } }
\begin{array} { r } { g _ { T _ { 0 } + \tau , i } \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 , i } S _ { T _ { 0 } + \tau , i } } & { \mathrm { i f ~ } Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 , i } S _ { T _ { 0 } + \tau , i } \le m ^ { \frac \delta 3 } M Q _ { T _ { 0 } , i } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. . } \end{array}