harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { - 1 } f } & { \simeq ( F : | A | \to | B | ) \times ( \mathrm { p t } _ { F } : F \, \mathrm { p t } _ { A } = \mathrm { p t } _ { B } ) ) \times ( f = \Omega ( F , \mathrm { p t } _ { F } ) ) } \\ { ( a : | A | ) \to ( b : | B | ) \times C \, a \, b } & { \simeq ( F : | A | \to | B | ) \times ( a : | A | ) \to C \, a \, ( F \, a ) . } \end{array}
\mathrm { T r } \, \left[ \left( P e ^ { - i g \int _ { 0 } ^ { \beta } d t ^ { \prime } \, A _ { 0 } ( t ^ { \prime } , \vec { x } ) } \right) B ( 0 , \vec { x } ) \right] = \mathrm { T r } \, \left[ \left( P e ^ { - i g \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { 0 } + \beta } d t ^ { \prime } \, A _ { 0 } ( t ^ { \prime } , \vec { x } ) } \right) B ( x _ { 0 } , \vec { x } ) \right]
\begin{array} { r l } { f _ { 0 } ^ { k } ( x _ { j } ; V _ { q } ) ( w - e _ { k } ) } & { = \iota _ { q } ^ { w - e _ { k } , w } : H _ { q } ( X ^ { w - e _ { k } } ) \xrightarrow H _ { q } ( X ^ { w } ) , } \\ { f _ { 1 } ^ { k } ( x _ { j } ; V _ { q } ) ( w - e _ { k } ) } & { = \iota _ { q } ^ { w - e _ { j } - e _ { k } , w - e _ { j } } : H _ { q } ( X ^ { w - e _ { j } - e _ { k } } ) \xrightarrow H _ { q } ( X ^ { w - e _ { j } } ) . } \end{array}
\varphi ( { \bf x } ^ { \prime } , x _ { 0 } + \epsilon ) = \int d T \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 3 } { \bf x } \left( \Theta ( p ^ { 0 } ) \exp \left( - i p ^ { 0 } \epsilon + i { \bf p } ( { \bf x } ^ { \prime } - { \bf x } ) + i T ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \right) P ( \stackrel { \leftarrow } { \partial _ { 0 } } , \stackrel { \leftarrow } { \partial _ { k } } , \stackrel { \rightarrow } { \partial _ { 0 } } , \stackrel { \rightarrow } { \partial _ { k } } ) \varphi ( { \bf x } , x _ { 0 } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \gamma } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { N _ { 1 } ( n ) + N _ { 0 } ( n ) } { 2 n ( 2 n + 1 ) } } } \\ { \ln { \frac { 4 } { \pi } } } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { N _ { 1 } ( n ) - N _ { 0 } ( n ) } { 2 n ( 2 n + 1 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { j _ { l } h _ { l } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ j _ { l } ( u ) h _ { l } ( u ) \left( 1 + \frac { l ( l + 1 ) } { u ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \left( \frac { \partial } { \partial u } \left( u j _ { l } ( u ) \right) \frac { \partial } { \partial u } \left( u h _ { l } ( u ) \right) \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } } & { = \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \iint _ { \partial C _ { R } \cap S } U ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \frac { \partial G _ { 2 D } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } { \partial n } } \\ & { \quad - \frac { \partial U ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } { \partial n } G _ { 2 D } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \; d \boldsymbol { r ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { t _ { b } ^ { a } ( z ) : = } } & { { ~ ^ { t } ( t _ { b } ^ { a ( 0 ) } ( z ) , \cdots , t _ { b } ^ { a ( n - 1 ) } ( z ) ) , } } \\ { { t _ { b } ^ { a ( i ) } ( z ) : = } } & { { \left\{ \begin{array} { l l } { { \theta ^ { ( i ) } ( z + \delta - n w \bar { a } _ { j } ) ~ ~ } } & { { \mathrm { i f ~ b = a + \bar { \ e p s i l o n } _ { j } ~ , ~ } } } \\ { { 0 ~ ~ } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e , } } } \end{array} \right. } } \end{array}
\tilde { \mathbf { y } } ( x ) = \left( \begin{array} { l } { \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \tilde { \eta } _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \\ { \tilde { \eta } _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } \end{array} \right) , \quad \tilde { \mathsf { A } } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \gamma } { D } } & { \frac { - v + f + U ^ { [ i ] } } { D } } & { - \frac { \gamma } { D } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - \frac { \gamma } { D } } & { 0 } & { \frac { \gamma } { D } } & { \frac { v + f + U ^ { [ i ] } } { D } } \end{array} \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \tilde { \mathbf { b } } = \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { 0 } \\ { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } { - \nu \Delta \mathbf { v } _ { R } + \nabla q _ { R } = \mu _ { R } \nabla \phi _ { R } + \ensuremath { \operatorname { d i v } } \left( \mathbf { M } _ { R } \mathbf { F } _ { R } ^ { T } \right) + \nabla \mathbf { F } _ { R } \odot \mathbf { M } _ { R } , } \\ { \ensuremath { \operatorname { d i v } } \mathbf { v } _ { R } = 0 , } \\ { \frac { \partial \mathbf { F } _ { R } } { \partial t } + \left( \mathbf { v } _ { R } \cdot \nabla \right) \mathbf { F } _ { R } - ( \nabla \mathbf { v } _ { R } ) \mathbf { F } _ { R } + \gamma \mathbf { M } _ { R } = 0 , } \\ { \mathbf { M } _ { R } = \partial _ { \mathbf { F } _ { R } } w _ { R } ( \phi _ { R } , \mathbf { F } _ { R } ) - \lambda \Delta \mathbf { F } _ { R } , } \\ { \frac { \partial \phi _ { R } } { \partial t } + \mathbf { v } _ { R } \cdot \nabla \phi _ { R } - \ensuremath { \operatorname { d i v } } ( b ( \phi _ { R } ) \nabla \mu _ { R } ) = 0 , } \\ { \mu _ { R } = \psi ^ { \prime } ( \phi _ { R } ) - \Delta \phi _ { R } + \partial _ { \phi _ { R } } w _ { R } ( \phi _ { R } , \mathbf { F } _ { R } ) , } \end{array} \right.
\rho _ { \mathrm { s } } ( z ) \; = \; { \frac { z } { 4 \pi \beta } } \sqrt { { \frac { 1 + 6 \beta - z } { z - 1 + 2 \beta } } } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \; \; \beta \leq { \frac { 1 } { 2 } } \; .
\begin{array} { r } { a \sharp _ { \hbar } b ( z ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 d } } \int _ { \mathcal { Z } ^ { d } \times \mathcal { Z } ^ { d } } \big ( \mathcal { F } a \big ) ( w ^ { \prime } ) \big ( \mathcal { F } b \big ) ( w - w ^ { \prime } ) e ^ { \frac { i \hbar } { 2 } \{ w ^ { \prime } , w - w ^ { \prime } \} } e ^ { i z \cdot w } \kappa ( d w ^ { \prime } ) \kappa ( d w ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } _ { A } ^ { k } = } & { k ^ { 2 } \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \frac { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } ( \kappa - \delta ) + H ^ { k } + \xi _ { \theta _ { A } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \theta } _ { B } ^ { k } = } & { - k ^ { 2 } \sin ( \theta _ { A } ^ { k } - \theta _ { B } ^ { k } ) \frac { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } ( \kappa + \delta ) + \xi _ { \theta _ { B } ^ { 1 } } \, , } \end{array}
\Psi _ { 2 , 0 } = \frac { 1 } { 2 } \hat { \beta } - \frac { 1 } { 4 } \Psi _ { 1 , 0 } = - \frac { \Psi _ { 1 , 0 } } { 4 } \left( 1 - \frac { 2 \hat { \beta } } { \Psi _ { 1 , 0 } } \right) .
\begin{array} { r l } { { \scriptstyle \hat { S } _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } } } & { { } { \scriptstyle = g - b ^ { ( 0 ) } \coth ( ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) h ) ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) + \tau ^ { ( 0 ) } ( j _ { 1 } + k j _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
M \simeq 4 \pi \sqrt { \frac { 3 } { \rho } } \simeq 0 . 0 6 6 M _ { \odot } \left( \frac { T } { \mathrm { G e V } } \right) ^ { - 2 } \left( \frac { g _ { * } } { 5 0 } \right) ^ { { - 1 / 2 } } ,
\sum _ { k , l } [ \mathbf { O } ] _ { i k } [ \mathbf { A } ] _ { k l } [ \mathbf { O } ^ { \mathrm { T } } ] _ { l j } = \sum _ { k , l } [ \mathbf { O } ] _ { i k } [ \mathbf { O } ] _ { j l } [ \mathbf { A } ] _ { k l } = [ \mathbf { D } ] _ { i j }
V _ { x y } ( t ) = \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } \sin { ( \omega t ) } \cdot { \left( 1 - \frac { \left( H _ { x } - H _ { \mathrm { d l } } \sin { ( \omega t ) } \right) ^ { 2 } } { 2 H _ { k } ^ { 2 } } \right) } .
\centering \begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 1 } ^ { \prime } = } & { g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { x _ { 1 } ^ { \prime } ( ( 1 - x _ { 1 } ^ { \prime } ) ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - x _ { 1 } ^ { \prime } ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) - y _ { 1 } ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { y _ { 1 } } = } & { h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { y _ { 1 } ( - x _ { 1 } ^ { \prime } ( - \epsilon - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) - y _ { 1 } ( - \epsilon - y _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } + z _ { 1 } ) + ( 1 - y _ { 1 } ) ( - \epsilon + b x _ { 1 } ^ { \prime } + ( b - \beta ) ( - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } + z _ { 1 } ) ) ) } \\ { \dot { z _ { 1 } } = } & { f ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) + g ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) + h ( z _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } - y _ { 1 } , x _ { 1 } ^ { \prime } , y _ { 1 } ) } \\ { = } & { x _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon ( - 1 + 2 x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ) + ( - 1 + x _ { 1 } ^ { \prime } + b x _ { 1 } ^ { \prime } + b y _ { 1 } ) ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - \beta ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } ) ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + } \\ & { y _ { 1 } ( ( - 1 + y _ { 1 } ) ( \epsilon + b ( y _ { 1 } - z _ { 1 } ) - \beta ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + x _ { 1 } ^ { \prime } ( \epsilon + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) + y _ { 1 } ( \epsilon + y _ { 1 } + x _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ) + } \\ & { ( x _ { 1 } ^ { \prime } + y _ { 1 } - z _ { 1 } ) ( \epsilon + ( 1 - b + \beta + x _ { 1 } ^ { \prime } ) y _ { 1 } ^ { 2 } - \epsilon z _ { 1 } + ( - 1 + z _ { 1 } ) z _ { 1 } + y _ { 1 } ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { \prime } ( 1 + \beta - z _ { 1 } ) + ( - 2 + b - \beta ) z _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta \tilde { v } _ { 0 } = \tilde { v } _ { 1 } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & { \mathrm { i n } \, \, \mathcal C _ { k } , } \\ { \cdots , } \\ { - \Delta \tilde { v } _ { s - 2 } = \tilde { v } _ { s - 1 } } & { \mathrm { i n } \, \, \mathcal C _ { k } , } \\ { - \Delta \tilde { v } _ { s - 1 } = h ( \bar { x } ) \tilde { v } _ { 0 } ^ { p } } & { \mathrm { i n } \, \, \mathcal C _ { k } , } \\ { 0 < \tilde { v } _ { 0 } , \ldots , \tilde { v } _ { s - 1 } \leq 1 } & { \mathrm { i n } \, \, \mathcal C _ { k } , } \\ { \tilde { v } _ { 0 } = \cdots = \tilde { v } _ { s - 1 } = 0 } & { \mathrm { o n } \, \, \partial \mathcal C _ { k } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } ) + \frac { \partial } { \partial r _ { \alpha } } ( \rho ^ { \sigma } E _ { T } ^ { \sigma } + p ^ { \sigma } ) u _ { \alpha } ^ { \sigma } + \frac { \partial } { \partial r _ { \beta } } [ u _ { \beta } ^ { \sigma } ( P _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } + U _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } ) } \\ & { - \kappa ^ { \sigma } \frac { \partial T ^ { \sigma } } { \partial r _ { \alpha } } + Y _ { \alpha } ^ { \sigma } ] = - \frac { \rho ^ { \sigma } } { \tau ^ { \sigma } } [ \frac { D ( T ^ { \sigma } - T ) } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma 2 } - u _ { \alpha } ^ { 2 } ) ] . } \end{array} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \eta _ { 2 n } ( s ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n } { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } } { k ^ { s } } } } \\ & { = 1 - { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } - { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + \dots + { \frac { ( - 1 ) ^ { 2 n - 1 } } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } } \\ & { = 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + \dots + { \frac { 1 } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } - 2 \left( { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + \dots + { \frac { 1 } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } \right) } \\ & { = \left( 1 - { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } \right) \zeta _ { 2 n } ( s ) + { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } \left( { \frac { 1 } { { ( n + 1 ) } ^ { s } } } + \dots + { \frac { 1 } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } \right) } \\ & { = \left( 1 - { \frac { 2 } { 2 ^ { s } } } \right) \zeta _ { 2 n } ( s ) + { \frac { 2 n } { { ( 2 n ) } ^ { s } } } \, { \frac { 1 } { n } } \, \left( { \frac { 1 } { { ( 1 + 1 / n ) } ^ { s } } } + \dots + { \frac { 1 } { { ( 1 + n / n ) } ^ { s } } } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { + } ^ { 2 } \Sigma _ { 1 1 } ^ { S u n , d o m } ( \tilde { k } _ { e } , \lambda ) = 4 i \lambda ^ { 2 } \int d x _ { + } d x _ { - } \int \frac { d k _ { 1 , 0 } d q _ { 1 , - } d k _ { 2 , 0 } d q _ { 2 , - } d q _ { 3 , - } } { \sin \pi q _ { 1 , - } \sin \pi q _ { 2 , - } \sin \pi q _ { 3 , - } } x _ { + } ^ { 2 } } \\ & { } & { \quad \times e ^ { ( \frac { k _ { 1 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 1 , - } } + \frac { k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 2 , - } } + \frac { \pi T - k _ { 1 , 0 } - k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 3 , - } } ) x _ { + } } e ^ { i x _ { - } [ q _ { 1 , - } + q _ { 2 , - } - q _ { 3 , - } ] } } \\ & { } & { \quad \times \Big [ \chi ( x _ { + } > 0 ) \chi ( \frac { k _ { 1 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 1 , - } } < 0 ) \chi ( \frac { k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 2 , - } } < 0 ) \chi ( \frac { \pi T - k _ { 1 , 0 } - k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 3 , - } } < 0 ) } \\ & { } & { \quad - \chi ( x _ { + } < 0 ) \chi ( \frac { k _ { 1 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 1 , - } } > 0 ) \chi ( \frac { k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 2 , - } } > 0 ) \chi ( \frac { \pi T - k _ { 1 , 0 } - k _ { 2 , 0 } } { \pi \sin \pi q _ { 3 , - } } > 0 ) \Big ] . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } + \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \rho _ { c } ^ { n + 1 } \hat { \mathbf { u } } _ { c } = } & { { } \rho _ { c } ^ { n } \mathbf { u } _ { c } ^ { n } - \Delta t \sum _ { f } \mathbf { u } _ { c } ^ { n } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \rho _ { k } ^ { n } \alpha _ { k } ^ { n } \right) A _ { f } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \forall \, 1 \leq b < a \leq p , \quad x _ { a } \diamond x _ { b } = q _ { a b } x _ { b } \diamond x _ { a } + \sum _ { s = 1 } ^ { b - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { p } \alpha _ { s t } ^ { a b } x _ { s } \diamond x _ { t } } \\ & { \forall \, p + 1 \leq b < a \leq 2 p , \quad x _ { a } \diamond x _ { b } = q _ { a b } x _ { b } \diamond x _ { a } + \sum _ { s = 1 } ^ { b - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { p } \alpha _ { s t } ^ { a b } x _ { s } \diamond x _ { t } } \\ & { \forall \, 1 \leq b \leq p < a \leq 2 p , \quad x _ { a } \diamond x _ { b } = q _ { a b } ^ { \prime } x _ { b } \diamond x _ { a } + \sum _ { s = 1 } ^ { b - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { p } \lambda _ { s t } ^ { a b } x _ { s } \diamond x _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( \hat { \mathcal { L } } _ { \mathbf { k } } ) } & { = - \frac { 1 } { \tau } - \sigma \left( \mathrm { i } \mathcal { S } _ { k } - \frac { 1 } { \tau } \mathbb { P } _ { 5 } \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { \tau } - \frac { 1 } { \tau } \sigma \left( \mathrm { i } \tau \mathcal { S } _ { k } - \mathbb { P } _ { 5 } \right) . } \end{array}
\sigma _ { E , \mathrm { D E } } ^ { 2 } = \underbrace { \vphantom { \sum _ { i \in \mathrm { m e m b e r s } } } N _ { \mathrm { e n s e m b l e } } \sigma _ { E , \mathrm { H O S } } ^ { 2 } } _ { \mathrm { e p i s t e m i c } } + \underbrace { N _ { \mathrm { e n s e m b l e } } ^ { - 1 } \sum _ { i \in \mathrm { m e m b e r s } } \sigma _ { E , i } ^ { 2 } } _ { \mathrm { a l e a t o r i c } }
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { x } \cdot \overline { { \overline { { \mathbf { \alpha } } } } } _ { \mathrm { m e } } \cdot \sigma _ { x } + \overline { { \overline { { \mathbf { \alpha } } } } } _ { \mathrm { m e } } = 0 , } \\ { \sigma _ { z } \cdot \overline { { \overline { { \mathbf { \alpha } } } } } _ { \mathrm { m e } } \cdot \sigma _ { z } + \overline { { \overline { { \mathbf { \alpha } } } } } _ { \mathrm { m e } } = 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { V _ { 0 } = V _ { 0 } ^ { \prime } ~ , } \\ & { P _ { 0 } ^ { + } = P _ { 0 } ^ { + \prime } ~ , } \\ & { L _ { 2 0 } ^ { + } = L _ { 2 0 } ^ { + \prime } ~ , } \\ & { W _ { 2 0 } ^ { + } = W _ { 2 0 } ^ { + \prime } ~ , } \\ & { W _ { 2 0 } ^ { i + } = W _ { 2 0 } ^ { i + \prime } ~ , } \\ & { N _ { 2 0 } ^ { + } = N _ { 2 0 } ^ { + \prime } ~ , } \\ & { N _ { 2 0 } ^ { i + } = N _ { 2 0 } ^ { i + \prime } ~ . } \end{array}
\lambda = \frac { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } { { \bar { S } } _ { i j } } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } } { { { { \left( { \bar { u } _ { k } ^ { \dag } \bar { u } _ { k } ^ { \dag } } \right) } ^ { 2 } } } } = \frac { { \bar { u } _ { i } ^ { \dag } { { \bar { S } } _ { i j } } \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } } { { 4 { { \overline { { \mathcal E } } } ^ { \dag } } ^ { 2 } } } .
\omega _ { - } ^ { \psi } = \left( \begin{array} { c c } { { \Sigma _ { - } ^ { ( 1 ) } - \chi } } & { { ( \Sigma _ { - } ^ { ( 1 ) } - \chi ) \, \chi - \chi \, \Sigma _ { - } ^ { ( 2 ) } + \partial _ { - } \chi } } \\ { { I _ { n } } } & { { \Sigma _ { - } ^ { ( 2 ) } + \chi } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t r } ( J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) ) } & { { } = } & { \bar { a } _ { 1 1 } = 0 , } \\ { \mathrm { d e t } ( J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) ) } & { { } = } & { - \bar { a } _ { 1 2 } \bar { a } _ { 2 1 } = \frac { r ^ { * } ( 1 - r ^ { * } ) ( 1 + u ) } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } ( \frac { u } { 1 + u } ) ^ { M } ( \frac { 1 } { 1 + u } ) ^ { N - M + 1 } b > 0 . } \end{array}
u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) \approx \sum _ { P } u _ { i } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } u _ { j } ^ { \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } _ { P } ) \xi _ { P } ^ { [ o o ] } ( \mathbf { r } )
d \Sigma ^ { 2 } = - \left( 1 - \frac { 2 M } { r } \right) d t ^ { 2 } + \left( r ^ { 2 } ( \theta ^ { ' } ) ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { 2 M } { r } \right) ^ { - 1 } \right) d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \; d \phi ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { | \partial _ { t } } & { D _ { t } ^ { ( \alpha , \beta ) } ( n , m ) | \le \frac { C } { | n - m | ^ { 2 } } \Big ( t ^ { 2 } [ | I _ { t } ^ { ( \alpha + 3 , \beta + 2 , \alpha , \beta , \alpha + 4 , \beta + 2 ) } { ( n - 2 , m ) } | } \\ & { + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 4 , \beta + 2 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } | + | I _ { t } ^ { ( \alpha { + 1 } , \beta , \alpha + 2 , \beta + 2 , \alpha + 4 , \beta + 2 ) } { ( n , m - 2 ) } | ] } \\ & { t [ | I _ { t } ^ { ( \alpha + 3 , \beta + 2 , \alpha , \beta , \alpha + 3 , \beta + 2 ) } { ( n - 2 , m ) } | + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 3 , \beta + 2 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } | } \\ & { + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta , \alpha + 2 , \beta + 2 , \alpha + 3 , \beta + 2 ) } { ( n , m - 2 ) } | + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 4 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } | } \\ & { + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 3 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } | ] } \\ & { + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 2 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } | + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 3 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } | } \\ & { + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 1 , \beta , \alpha + 2 , \beta + 2 , \alpha + 2 , \beta + 2 ) } { ( n , m - 2 ) } | + | I _ { t } ^ { ( \alpha + 2 , \beta + 1 , \alpha + 1 , \beta + 1 , \alpha + 2 , \beta + 1 ) } { ( n - 1 , m - 1 ) } | \Big ) . } \end{array}
M ^ { 2 } \delta ^ { a b } = \Pi _ { 0 0 } ^ { a b } ( 0 ) = \Pi _ { \mu \mu } ^ { a b } ( 0 ) = g ^ { 2 } \delta ^ { a b } \left[ C _ { \mathrm { A } } ( d - 2 ) ^ { 2 } \mathrm { ~ \sum ~ } \! \! \! \! \! \! \int _ { Q } \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } - 4 S _ { \mathrm { F } } ( d - 2 ) \mathrm { ~ \sum ~ } \! \! \! \! \! \! \int _ { \{ Q \} } \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } \right] \, .
\operatorname { k } _ { \mu \mu ^ { \prime } } ^ { \nu , \lambda } ( A _ { i } , A _ { i ^ { \prime } } ) = \int D _ { \mu \mu ^ { \prime } } ^ { \lambda } ( \hat { R } ) ^ { * } \, \operatorname { k } ^ { \nu } ( A _ { i } , \hat { R } A _ { i ^ { \prime } } ) \, d \hat { R } ,
\begin{array} { r l r } { { \bf v } } & { = } & { ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } ) = \langle \hat { \bf v } \rangle } \\ & { = } & { ( \lambda _ { 4 } / 2 , \lambda _ { 5 } / 2 , v _ { 3 } ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
( \widehat { l _ { d } } ) ^ { - 1 } = \frac { T _ { b } ^ { \circ } - T _ { u } } { T _ { b } - T _ { u } } \frac { | \nabla T | _ { T _ { 0 } } } { | \nabla T | _ { T _ { 0 } } ^ { \circ } }
\mu _ { 1 } = \mu _ { 0 } \left( 1 + { \frac { \ln \left[ \left( \pi / 3 0 \right) \left( \mu _ { 0 } / m _ { P l } \right) ^ { 2 } \right] } { \ln \left( g _ { 0 } ^ { 2 } \right) } } \right) ^ { - 1 / 4 } .
\begin{array} { r l } { q _ { \theta } } & { = \int \mathbf { N } ^ { T } \left( k _ { A } \left( N _ { L } - \mathbf { N } _ { L } \mathbf { C } _ { L } \right) \mathbf { N } _ { \theta } \mathbf { \uptheta } - k _ { A } ^ { \prime } \mathbf { N } _ { L } \mathbf { C } _ { L } \left( 1 - \mathbf { N } _ { \theta } \mathbf { \uptheta } \right) \right) \; \mathrm { d } \Gamma = \mathbf { 0 } } \\ { q _ { L } } & { = - \int \mathbf { N } ^ { T } \left( k _ { A } \left( N _ { L } - \mathbf { N } _ { L } \mathbf { C } _ { L } \right) \mathbf { N } _ { \theta } \mathbf { \uptheta } - k _ { A } ^ { \prime } \mathbf { N } _ { L } \mathbf { C } _ { L } \left( 1 - \mathbf { N } _ { \theta } \mathbf { \uptheta } \right) \right) \; \mathrm { d } \Gamma = \mathbf { 0 } } \end{array}
S _ { H } = - { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x \int d ^ { p - 4 } z \sqrt { g _ { \mathrm { b r a n e } } } \left[ e ^ { 2 A } ( \nabla _ { \mu } H ) ^ { 2 } + M _ { H } ^ { 2 } e ^ { 4 A } H ^ { 2 } \right] \, ,
M _ { u } \, = \, m _ { t } \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { x } } \\ { { 0 } } & { { x } } & { { 0 } } \\ { { x } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
p ( V _ { t } , \mu ) d V _ { t } d \mu = \frac { v _ { r } \sigma _ { 0 } ( v _ { r } ) \frac { \beta ^ { 3 } } { \pi ^ { \frac { 3 } { 2 } } } V _ { t } ^ { 2 } e ^ { - \beta ^ { 2 } V _ { t } ^ { 2 } } 2 \pi } { v _ { n } \sigma _ { T } ( v _ { n } ) } d V _ { t } d \mu
H _ { q g } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 \pi } \, C _ { F } \left[ \frac { \hat { s } ^ { 2 } + \hat { t } ^ { 2 } } { - \hat { u } \, Q ^ { 2 } } \right] \, \delta \left( \hat { s } + \hat { t } + \hat { u } - Q ^ { 2 } \right) ,
{ \left( \begin{array} { l l } { c } & { d } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { c } & { d } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } ^ { - 1 } = { \left( \begin{array} { l l } { a } & { ( 1 - a ) d + b c } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \, ,
\begin{array} { r l } { D ( \rho _ { \ast } , \rho _ { \ast N } ) } & { { } = D ( \rho _ { \ast } , \mathcal { N } ^ { - 1 } \rho _ { \ast } ) = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \left\vert ( 1 - \mathcal { N } ^ { - 1 } ) \rho _ { \ast } \right\vert } \end{array}
\vec { \nu } _ { d } = - \vec { \nu } _ { i } \enskip \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \enskip \vec { \nu } _ { i } = ( \nu _ { i } , 0 ) \enskip \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \enskip \nu _ { i } = \frac { \sin \theta _ { 0 } ^ { i } } { \lambda }