harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } \bigcup E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } | { \cal Y } _ { t + 1 } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } { \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } \bigcup E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } = \frac { \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } | { \cal Y } _ { t + 1 } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } { \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } = \frac { \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } | { \cal Y } _ { t + 1 } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } { \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z ( s , \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } , f _ { 2 n , k , s } ) } & { = \int _ { G ( F ) \times G ( F ) \backslash G ( \mathbb { A } ) \times G ( \mathbb { A } ) } \int _ { U ( F ) \backslash U ( \mathbb { A } ) } \phi _ { 1 } ( g _ { 1 } ) \overline { { \phi _ { 2 } ( ^ { \iota } g _ { 2 } ) } } } \\ { \times } & { E ( u ( g _ { 1 } \times g _ { 2 } ) ; f _ { 2 n , k , s } ) \psi _ { U } ( u ) d u d g _ { 1 } d g _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \bf { H } } ( \hat { \bf { q } } , \hat { \bf { p } } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \hat { \bf { p } } ^ { \intercal } \hat { \bf { p } } + \frac { 1 } { 2 } \hat { \bf { q } } ^ { \intercal } \boldsymbol { K } \hat { \bf { q } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \hat { \bf { q } } ^ { \intercal } \boldsymbol { Y } \hat { \bf { p } } + \hat { \bf { p } } ^ { \intercal } \boldsymbol { Y } \hat { \bf { q } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } = - \frac { \partial E } { \partial F _ { i } } \Big | _ { { \bf F } = { \bf 0 } } \; , \; \alpha _ { i j } } & { = - \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial F _ { i } \partial F _ { j } } \Big | _ { { \bf F } = { \bf 0 } } \; , \; \beta _ { i j k } = - \frac { \partial ^ { 3 } E } { \partial F _ { i } \partial F _ { j } \partial F _ { k } } \Big | _ { { \bf F } = { \bf 0 } } \; , } \\ { \; \textrm { a n d } \; \; \gamma _ { i j k l } } & { = - \frac { \partial ^ { 4 } E } { \partial F _ { i } \partial F _ { j } \partial F _ { k } \partial F _ { l } } \Big | _ { { \bf F } = { \bf 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { U _ { j } H - U _ { j } ^ { * } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq \frac { 2 2 C _ { 0 } } { \sqrt { n } } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) + 2 \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon } & { { } : \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } f _ { i } ^ { ( 0 ) } = - 2 \beta f _ { i } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \varepsilon ^ { 2 } } & { { } : \partial _ { t } ^ { ( 2 ) } f _ { i } ^ { ( 0 ) } + \mathcal { D } _ { t } ^ { ( 1 ) } \left( 1 - \beta \right) f _ { i } ^ { ( 1 ) } = - 2 \beta f _ { i } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \texttt { S u m ( b ) } } & { : \sum _ { t = 1 - T } ^ { 0 } \phi _ { k } ^ { \mid t + \tau \mid } \phi _ { j } ^ { ( - t + \tau ) } ( T + t ) } \\ & { = T \phi _ { k } ^ { - \tau } \phi _ { j } ^ { \tau } \sum _ { t = 1 - T } ^ { - \tau } ( \phi _ { k } ^ { - 1 } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } } \\ & { + \phi _ { k } ^ { - \tau } \phi _ { j } ^ { \tau } \sum _ { t = 1 - T } ^ { - \tau } ( \phi _ { k } ^ { - 1 } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } \cdot t } \\ { + } & { T \phi _ { k } ^ { \tau } \phi _ { j } ^ { \tau } \sum _ { t = - \tau + 1 } ^ { 0 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } } \\ & { + \phi _ { k } ^ { \tau } \phi _ { j } ^ { \tau } \sum _ { t = - \tau + 1 } ^ { 0 } ( \phi _ { k } \phi _ { j } ^ { - 1 } ) ^ { t } \cdot t . } \end{array}
{ \cal B } \left[ ( B \to \phi X _ { s } ) _ { 2 } \right] = 6 . 1 \times 1 0 ^ { - 5 } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( \mathrm { Q C D ~ f a c t o r i z a t i o n + F e r m i ~ m o t i o n + } | { \bf k } _ { \phi } | \geq 2 . 0 ~ \mathrm { G e V } ) .
( M ^ { - 1 } ) _ { x _ { m } x _ { n } } = \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 { \pi } ) ^ { 4 } } \frac { 1 } { m + \frac { i } { a } \sum _ { \mu } { \gamma } _ { \mu } s i n ( a p _ { \mu } ) } e ^ { i p ( x _ { m } - x _ { n } ) } .
\begin{array} { r l } { 2 a ^ { 2 } \left[ \log ( 1 / a ^ { 2 } ) + { \frac { A } { a ( 1 - a ^ { 2 } ) } } + { \frac { B ( 1 - a ^ { 2 } ) } { ( 1 - a b ) ( b - a ) } } \right] Z ^ { \prime } ( 1 / a ) + A Z ^ { \prime \prime } ( 1 / a ) } & { { } = 0 , } \\ { 2 b ^ { 2 } \left[ \log ( 1 / b ^ { 2 } ) + { \frac { A ( 1 - b ^ { 2 } ) } { ( 1 - a b ) ( a - b ) } } + { \frac { B } { b ( 1 - b ^ { 2 } ) } } \right] Z ^ { \prime } ( 1 / b ) + B Z ^ { \prime \prime } ( 1 / b ) } & { { } = 0 . } \end{array}
F _ { s } \left( \begin{array} { l } { { { \bf a } _ { 1 } { \bf a } _ { + } } } \\ { { { \bf a } _ { 3 } { \bf a } _ { 4 } } } \end{array} \right) ( z , \bar { z } ) = z ^ { - 2 \Delta _ { + } } \sum _ { p = 0 , \pm 1 } M _ { p s } F _ { p } \left( \begin{array} { l } { { { \bf a } _ { 4 } { \bf a } _ { + } } } \\ { { { \bf a } _ { 3 } { \bf a } _ { 1 } } } \end{array} \right) ( 1 / z , 1 / \bar { z } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { p o t } } } & { = \sum _ { i , j \mathrm { ~ b o n d e d } } \sum _ { n = 2 } ^ { 4 } K _ { n , i j } ( r _ { i j } - r _ { 0 , i j } ) ^ { n } } \\ & { + \sum _ { i , j , k \mathrm { ~ b o n d e d } } \sum _ { n = 2 } ^ { 4 } K _ { n , i j k } ( \theta _ { i j k } - \theta _ { 0 , i j k } ) ^ { n } } \\ & { + \sum _ { i , j , k , l \mathrm { ~ b o n d e d } } \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } K _ { n , i j k l } ( 1 - \cos ( n \phi _ { i j k l } - \phi _ { n , i j k l } ) ) } \\ & { + \sum _ { i , j , k , l \mathrm { ~ b o n d e d } } K \left( \frac { \chi _ { i j k l } + \chi _ { k j l i } + \chi _ { l j i k } } { 3 } - \chi _ { 0 , i j k l } \right) } \\ & { + E _ { \mathrm { c r o s s } } } \\ & { + \sum _ { i , j \mathrm { ~ n o t ~ b o n d e d } } a _ { i j } \frac { q _ { i } q _ { j } } { r _ { i j } } } \\ & { + \sum _ { i , j \mathrm { ~ n o t ~ b o n d e d } } \epsilon _ { i j } \left( 2 \left( \frac { \sigma _ { i j } } { r _ { i j } } \right) ^ { 9 } - 3 \left( \frac { \sigma _ { i j } } { r _ { i j } } \right) ^ { 6 } \right) . } \end{array}
{ \cal H } _ { e f f } = \frac 1 2 ( \partial _ { i } C _ { j } ) ^ { 2 } - \Pi [ \Delta _ { \perp } ^ { d } ] ^ { - 1 } * \left[ \partial _ { i } j ^ { i } + \partial _ { - } j ^ { - } \right] - C _ { i } \left[ j ^ { i } - 2 \partial _ { i } [ \Delta _ { \perp } ^ { d } ] ^ { - 1 } * ( \partial _ { - } j ^ { - } + \partial _ { j } j ^ { j } ) \right] - C _ { - } j ^ { - } ,
\begin{array} { r l } { \Bar { \Phi } _ { r } ( x ) } & { \le \frac { \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) } { 2 } \left| x \right| ^ { 2 } + \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \frac { 5 } { 2 } \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) \right) \left| x \right| + \left\| \Phi \right\| _ { L ^ { \infty } \left( B _ { 1 } \left( \mathbf { 0 } \right) \right) } } \end{array}
\frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \leqslant \frac { a _ { 2 } } { a _ { 3 } } \frac { \sin \frac { \left( \beta + \nu \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( 2 \alpha + \beta - \nu \right) \pi } { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( \beta + \nu \right) \pi } { 2 } } { \cos \frac { \left( 2 \alpha + \beta - \nu \right) \pi } { 2 } } ,
\frac { \xi _ { a i } \mathrm { s e c h } ^ { 2 } \eta _ { a i } } { \xi _ { a i } ^ { 2 } ( \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \eta _ { a i } - 1 ) } \frac { d \eta _ { a i } } { d \lambda _ { a } } = - \lambda ^ { 2 } A _ { a } ^ { ( + ) } .
\begin{array} { c } { { b _ { i } = a _ { i } e ^ { - \sum _ { j } c _ { i j } N _ { j } } \sqrt { \frac { N _ { i } } { \varphi _ { i } ( n _ { i } ) } } , \quad \forall i \in S } } \\ { { N _ { i } = b _ { i } ^ { + } b _ { i } . } } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { { } } & { { } } & { { \nonumber } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. \begin{array} { l l l l } { { } } & { { } } & { { A d S _ { 3 } \times U ( 1 ) \rightarrow A d S _ { 3 } } } \\ { { } } & { { } } & { { \left( z _ { 1 } , z _ { 2 } \right) w = \left( z _ { 1 } w , z _ { 2 } w \right) } } \end{array} \right\} \rightarrow \left| z _ { 1 } w \right| ^ { 2 } - \left| z _ { 2 } w \right| ^ { 2 } = \left| z _ { 1 } \right| ^ { 2 } - \left| z _ { 2 } \right| ^ { 2 } = - l ^ { 2 } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle I ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } | \Delta V ( R , \omega , r ) | I , \gamma \rangle } & { { } = } & { \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \sum _ { \rho ^ { \prime } , \rho } \sum _ { j } \langle \rho ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } , j | \Delta V ( R , \omega , r ) | \rho , \kappa , j \rangle } \end{array}
\varphi ( \omega , y ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \frac { 1 } { y } \int _ { m } ^ { \infty } d t \Bigg ( \frac { 1 } { 2 t - y } \frac { e ^ { \beta t } + \omega } { e ^ { \beta t } - \omega } - \frac { 1 } { 2 t + y } \frac { e ^ { \beta ( t + y ) } + \omega } { e ^ { \beta ( t + y ) } - \omega } \Bigg ) + \mathrm { p . p . c . }
\begin{array} { r l } { \dot { r } _ { x } ( t ) } & { { } = v _ { c } \cos \theta ( t ) } \\ { \dot { r } _ { y } ( t ) } & { { } = v _ { c } \sin \theta ( t ) } \\ { \dot { \theta } ( t ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \tau _ { \theta } } } \eta _ { \theta } ( t ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \ln x } & { = \int _ { 1 } ^ { x } { \frac { 1 } { t } } \, d t = \int _ { 0 } ^ { x - 1 } { \frac { 1 } { 1 + u } } \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { x - 1 } ( 1 - u + u ^ { 2 } - u ^ { 3 } + \cdots ) \, d u } \\ & { = ( x - 1 ) - { \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } } + { \frac { ( x - 1 ) ^ { 3 } } { 3 } } - { \frac { ( x - 1 ) ^ { 4 } } { 4 } } + \cdots } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } ( x - 1 ) ^ { k } } { k } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \nu _ { i } ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \nu _ { P _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } = N \left( \Delta , \frac { \bar { \sigma } ^ { 2 } + \epsilon _ { 1 } ^ { \mathrm { v } } } { K } \right) , } & & { \quad i \in P _ { 1 } } \\ & { \nu _ { i } ^ { ( 0 ) } , } & & { \quad i \notin P _ { 1 } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( \Delta \omega ) = \Big \lvert \frac { 2 j \gamma _ { \mathrm { e 1 } } \gamma _ { \mathrm { e 2 } } } { j \gamma + j \gamma _ { \mathrm { c s t } } - \Delta \omega } \Big \rvert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { b } \\ { b } & { 1 } \end{array} \right) , \quad B = \frac { 1 } { \delta } \left( \begin{array} { l l } { v _ { 2 } ^ { - 2 } } & { b v _ { 1 } ^ { - 2 } } \\ { b v _ { 1 } ^ { - 2 } } & { v _ { 2 } ^ { - 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { R _ { x } ( \theta ) } & { = e ^ { ( - i \theta X / 2 ) } = \cos ( \theta / 2 ) I - i \sin ( \theta / 2 ) X = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta / 2 } & { - i \sin \theta / 2 } \\ { - i \sin \theta / 2 } & { \cos \theta / 2 } \end{array} \right] } } \\ { R _ { y } ( \theta ) } & { = e ^ { ( - i \theta Y / 2 ) } = \cos ( \theta / 2 ) I - i \sin ( \theta / 2 ) Y = { \left[ \begin{array} { l l } { \cos \theta / 2 } & { - \sin \theta / 2 } \\ { \sin \theta / 2 } & { \cos \theta / 2 } \end{array} \right] } } \\ { R _ { z } ( \theta ) } & { = e ^ { ( - i \theta Z / 2 ) } = \cos ( \theta / 2 ) I - i \sin ( \theta / 2 ) Z = { \left[ \begin{array} { l l } { e ^ { - i \theta / 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i \theta / 2 } } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { [ \partial _ { a } r ( a , v ) - \mu a ^ { - 1 } r ( a , v ) ] ( a - c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) + r ( a , v ) \geq 0 , \textup { a n d } \partial _ { a } r ( a , v ) \leq B a ^ { - 1 } r ( a , v ) , } & { \textup { i f } \mu > 0 ; } \\ { \partial _ { a } r ( a , v ) ( a - c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } ) + r ( a , v ) \geq 0 , \textup { a n d } \partial _ { a } r ( a , v ) \leq B a ^ { - 1 } r ( a , v ) , } & { \textup { i f } \mu \leq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c _ { h , j } - c _ { g , i } - c _ { h ^ { \prime } , j } + c _ { g ^ { \prime } , i } } \\ & { \equiv \frac { q } { 2 } ( a _ { \pi ( \beta - 2 ) } - b _ { \pi ( \beta - 2 ) } + a _ { \pi ( \beta ) } - b _ { \pi ( \beta ) } ) } \\ & { \quad + p _ { \pi ( \beta - 1 ) } ( 2 h _ { \pi ( \beta - 1 ) } - 2 g _ { \pi ( \beta - 1 ) } ) } \\ & { \equiv \frac { q } { 2 } ( a _ { \pi ( \beta ) } - b _ { \pi ( \beta ) } ) \equiv \frac { q } { 2 } \pmod q } \end{array}
r _ { n } \stackrel { n \to \infty } { = } K \, ( - \beta _ { 0 } ) ^ { n } \, n ! \, n ^ { 2 - \beta _ { 1 } / \beta _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } } = K \, ( - \beta _ { 0 } ) ^ { n } \, n ! \, n ^ { \{ 1 . 5 9 , 1 . 7 5 , 1 . 9 7 \} } ,
\left\vert \psi ( t ) \right\rangle = N ( t ) e ^ { - \frac { i \gamma \Lambda t \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } } { \sqrt { 1 + \Lambda ^ { 2 } t ^ { 2 } } } } e ^ { \frac { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } { \sqrt { 1 + \Lambda ^ { 2 } t ^ { 2 } } } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert A ( t ) \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { F u n } ( { \mathsf { B o r d } } ^ { H _ { 2 } } , { \mathsf { s A l g } } ^ { \mathrm { f d } } ) ^ { \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { R } \times B \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { F } } } & { = ( ( { \mathsf { s A l g } } ^ { \mathrm { f d } } ) ^ { H _ { 2 } } ) ^ { \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { R } \times B \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { F } } = ( { \mathsf { s A l g } } ^ { \mathrm { f d } } ) ^ { H _ { 2 } \rtimes ( \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { R } \times B \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { F } ) } \cong ( { \mathsf { s A l g } } ^ { \mathrm { f d } } ) ^ { O _ { 2 } \times G _ { b } } } \\ & { \cong ( ( { \mathsf { s A l g } } ^ { \mathrm { f d } } ) ^ { O _ { 2 } } ) ^ { G _ { b } } \cong { \mathsf { s t F r o b } } ^ { G _ { b } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varepsilon \{ \partial _ { t } + q \partial _ { t } \phi \} g _ { \alpha } + \{ v \cdot \nabla _ { x } - E \cdot \nabla _ { \xi } \} g _ { \alpha } + e ^ { \gamma \psi } \widetilde { \mathcal L } _ { \gamma , q } g _ { \alpha } + \mathcal M _ { q _ { \alpha } , F _ { + } } g _ { \alpha } } \\ & { \quad \quad - 4 \pi \gamma \xi \cdot \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a \frac { \mu _ { \gamma } } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } } } e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } } \\ & { \quad = - \varepsilon \frac { \partial _ { t } \{ \mu _ { \gamma } e ^ { \gamma \psi } \} } { \sqrt { \mu _ { q _ { \alpha } } e ^ { q _ { \alpha } \psi } } } - e ^ { \gamma \psi - \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } \mathcal M _ { q _ { \alpha } , F _ { + } } ( \mu _ { q _ { \alpha } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu _ { \gamma } ) + e ^ { \frac { q _ { \alpha } } { 2 } \phi } \Gamma _ { q _ { \alpha } } ( g _ { \alpha } , g _ { \alpha } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi } & { = \frac { 4 } { \pi } \left( \frac { 3 h _ { a } } { 2 \Omega ^ { 2 } } + \frac { h _ { a } } { \Omega ^ { 2 } } \ln { \left( \frac { \Omega } { \omega _ { 0 } } \right) } + \frac { h _ { b } } { \Omega ^ { 2 } } \left( \Omega - \omega _ { 0 } \right) - \frac { h _ { a } } { \Omega ^ { 2 } } \ln { \left( \frac { \omega _ { A C } + \Delta \omega _ { A C } / 2 } { \omega _ { A C } - \Delta \omega _ { A C } / 2 } \right) } - \frac { h _ { b } } { \Omega ^ { 2 } } \Delta \omega _ { A C } + \frac { h _ { b } } { \Omega } + \frac { h _ { p e a k } } { \Omega ^ { 2 } } \Delta \omega _ { A C } \right) } \\ & { \approx \frac { 4 } { \pi \Omega ^ { 2 } } \left( \frac { 3 h _ { a } } { 2 } + h _ { a } \ln { \left( \frac { \Omega } { \omega _ { 0 } } \right) } + h _ { p e a k } \Delta \omega _ { A C } \right) + \frac { 8 h _ { b } } { \pi \Omega } , } \end{array}
n ^ { S P } ( { \bf r } ) = \sum _ { { \bf k } n } Q _ { { \bf k } n } | \psi _ { { \bf k } n } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } + ( P _ { { \bf k } n } ^ { + } - P _ { { \bf k } n } ^ { - } ) | \psi _ { { \bf k } n } ^ { h } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } ,
\left( { \nabla _ { { \bf { X } } \mathrm { { I } } } , \frac { D } { D T _ { \mathrm { { I } } } } } \right) = \exp \left( { - i { \bf { k } } \cdot { \bf { U } } \tau } \right) \left( { \nabla _ { \bf { X } } , \frac { D } { D T } } \right) \exp \left( { i { \bf { k } } \cdot { \bf { U } } \tau } \right)
\begin{array} { l } { { \vec { a } \, ^ { \prime } ( u ) = c o s ( m u ) \hat { x } - s i n ( m u ) \hat { z } , } } \\ { { \vec { b } \, ^ { \prime } ( v ) = c o s ( n v ) ( c o s \Psi \hat { x } + s i n \Psi \hat { y } ) - s i n ( n v ) \hat { z } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathscr { C } ^ { ( \! L \! ) } ( \mathcal { N } _ { M P P } ) \! \leq \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \Biggl \{ \! H ( M ) \! + \! ( 2 ^ { n } - f ( 2 ^ { n } , \eta ) ) \! \! \operatorname* { m a x } _ { \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \left\{ \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { r _ { m a x } } } \! \! \! \! \! \! \! \! \pi ( m ) \right\} \Biggr \} } \\ { - n . } \end{array}
\left. \epsilon _ { p } \frac { \partial \Phi _ { \textrm { I I } } ( r ) } { \partial r } \right| _ { r = R + w } - \left. \epsilon _ { w } \frac { \partial \Phi _ { \textrm { I I I } } ( r ) } { \partial r } \right| _ { r = R + w } = \frac { \sigma _ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } } .
\operatorname* { d e t } \left( M _ { 1 1 } \right) = \sum _ { S } \operatorname* { d e t } \left( F _ { S } \right) \operatorname* { d e t } \left( F _ { S } ^ { T } \right) = \sum _ { S } \operatorname* { d e t } \left( F _ { S } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { E } & { = d _ { i } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } \cdot \left[ \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \perp } | \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } | ^ { 2 } \right] } \\ & { = d _ { i } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } \cdot \left[ ( \hat { \boldsymbol { z } } \times \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } ) \cdot \nabla _ { \perp } ( \hat { \boldsymbol { z } } \times \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } ) \right] . } \end{array}
s _ { 2 3 } \simeq - \sqrt { { \frac { m _ { s } } { m _ { b } } } } + e ^ { i \phi _ { 1 } } \sqrt { { \frac { m _ { c } } { m _ { t } } } } \qquad s _ { 1 3 } \simeq - \sqrt { { \frac { m _ { u } } { m _ { c } } } } e ^ { i \phi _ { 2 } } \cdot s _ { 2 3 } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal A _ { 1 } ^ { 1 } - \mathcal B _ { 1 } ^ { 1 } = } & { { } \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S } \\ { \mathcal A _ { 2 } ^ { 2 } - \mathcal B _ { 2 } ^ { 2 } = } & { { } \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } \otimes ( \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S ) + ( \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S ) \otimes \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } } \\ { \mathcal A _ { 3 } ^ { 3 } - \mathcal B _ { 3 } ^ { 3 } = } & { { } \ensuremath { \mathbb { I } _ { n Q \times n Q } } ^ { ( 2 ) } \otimes ( \mathcal F ^ { ( 1 ) } - S ) } \end{array}
y = \left[ \frac { 4 \times \Delta p } { \rho ^ { * } \times h \times t _ { a } } \right] \left( \frac { t ^ { 3 } } { 6 } \right) + C _ { 1 } \left( \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right) + C _ { 2 } ( t ) + C _ { 3 } ,
\alpha _ { 1 } \alpha _ { n 0 } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ , ~ H ~ W ~ G ~ } } = 3 2 \pi ^ { 2 } \frac { w _ { \mathrm { ~ x ~ } } w _ { \mathrm { ~ y ~ } } } { p _ { \mathrm { ~ x ~ } } h _ { 1 } } \bigg [ \frac { \cos ( k _ { n } ^ { \mathrm { ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } / 2 ) } { ( k _ { n } ^ { \mathrm { ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } w _ { \mathrm { ~ x ~ } } ) ^ { 2 } - \pi ^ { 2 } } \bigg ] ^ { 2 }
m _ { \eta ^ { \prime } , \eta } ^ { 2 } = ( m _ { \mathrm { K } } ^ { 2 } + { \tilde { m } } _ { \eta _ { 0 } } ^ { 2 } / 2 ) \pm { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { ( 2 m _ { \mathrm { K } } ^ { 2 } - 2 m _ { \pi } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 3 } } { \tilde { m } } _ { \eta _ { 0 } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + { \frac { 8 } { 9 } } { \tilde { m } } _ { \eta _ { 0 } } ^ { 4 } } .
y = f ( x , z ) = \frac { h } { 2 } e ^ { - \left( x / x _ { 0 } \right) ^ { 2 } } \left\{ 1 + \mathrm { e r f } \left[ \left( \frac { L } { 2 } - 2 z _ { 0 } - | z | \right) / z _ { 0 } \right] \right\} ~ ,
S = \left[ \begin{array} { l l l } { a } & { } & { - b ^ { * } } \\ { b } & { } & { a ^ { * } } \end{array} \right] , \quad ( a , b ) \in \mathbb { C } ^ { 2 } , \quad | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } = 1
F ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { 1 } { \Delta k _ { h } ~ \Delta k _ { z } } \mathop { \sum \sum } _ { \substack { k _ { h } \leq k _ { h } ^ { \prime } < k _ { h } + \Delta k _ { h } \, k _ { z } \leq | k _ { z } ^ { \prime } | < k _ { z } + \Delta k _ { z } } } ~ F _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r l } & { \hat { f } ( 1 ) = \hat { h } ( 1 ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \, \int d 2 \, X _ { i } ^ { * } ( 2 ) \, \tilde { K } _ { 1 2 } \, \left( 1 - \hat { P } _ { 1 2 } \right) \, \Phi _ { i } ( 2 ) } \\ & { \quad + \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \, \int d 2 \, \int d 3 \, X _ { i } ^ { * } ( 2 ) \, X _ { j } ^ { * } ( 3 ) \, \tilde { L } _ { 1 2 3 } } \\ & { \quad \quad \times \left( 1 + \hat { P } _ { 2 3 1 } + \hat { P } _ { 3 1 2 } - \hat { P } _ { 1 3 2 } - \hat { P } _ { 2 1 3 } - \hat { P } _ { 3 2 1 } \right) \, \Phi _ { i } ( 2 ) \, \Phi _ { j } ( 3 ) \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { N a } } & { = q _ { A l } = q _ { S i } = 1 / 7 } \\ { q _ { O } } & { = 4 / 7 } \\ { E s _ { N a } } & { = 1 . 1 1 \, \mathrm { e V } } \\ { E s _ { A l } } & { = 3 . 4 1 \, \mathrm { e V } } \\ { E s _ { S i } } & { = 4 . 6 6 \, \mathrm { e V } } \\ { E s _ { O } } & { = 2 . 5 8 \, \mathrm { e V } \Rightarrow E s _ { a v g } = 2 . 7 9 \, \mathrm { e V } } \\ { E s _ { O } } & { = 6 . 5 0 \, \mathrm { e V } \Rightarrow E s _ { a v g } = 5 . 0 3 \, \mathrm { e V } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { P _ { i } \frac { e ^ { - \theta C _ { j } ^ { t } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \ , \ } & { \ \mathrm { i f } \ \ i \neq j } \\ & { ( 1 - P _ { i } ) + P _ { i } \frac { e ^ { - \theta C _ { j } ^ { t } } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \ , \ } & { \ \mathrm { i f } \ \ i = j } \end{array}
R _ { \mathrm { e m } } = \int \int d ^ { 3 } r \, d ^ { 3 } r ^ { \prime } \, \rho _ { \mathrm { e } } ( { \bf r } ) \rho _ { \mathrm { m } } ( { \bf r } ^ { \prime } ) | { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } | \ .
\begin{array} { r l } { h _ { F } } & { { } \! = \! \left\{ \! m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } + 2 { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a ) + \cos ( k _ { y } a ) \right] \! \right\} \gamma _ { 0 } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \gamma _ { x } \! + \! { \cal J } _ { 0 } ( A ( z ) a ) \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \gamma _ { y } } \\ { T _ { z } } & { { } \! = \! t _ { z } \gamma _ { 0 } \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \gamma _ { z } , ~ ~ T _ { z } ^ { \dagger } \! = \! t _ { z } \gamma _ { 0 } \! + \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \gamma _ { z } . } \end{array}
\hat { \mathcal { G } } = \lvert \hat { \mathcal { G } } \rvert e ^ { \imath \omega } \approx e ^ { ( \beta \Delta t ) } \quad \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad \hat { u } ^ { n + 1 } = \hat { \mathcal { G } } \cdot \hat { u } ^ { n } \ .