harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathsf { W } } _ { c e } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \boldsymbol { \mathsf { C } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { P } } _ { u \theta } ^ { \Pi * } } & { - \boldsymbol { \mathsf { G } } ^ { \theta * } } \\ { \boldsymbol { \mathsf { D } } ^ { \rho * } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } \\ { \boldsymbol { \mathsf { P } } _ { \theta u } ^ { \theta * } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } \\ { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { N } } _ { \Pi } ^ { \rho * } } & { \boldsymbol { \mathsf { P } } _ { \Pi \theta } ^ { \theta * } } & { \boldsymbol { \mathsf { N } } _ { \Pi } ^ { \Pi * } } \end{array} \right] } \\ & { \approx \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial F _ { u } ^ { h } } { \partial \boldsymbol { u } ^ { h } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \frac { \partial F _ { u } ^ { h } } { \partial \theta ^ { h } } } & { \frac { \partial F _ { u } ^ { h } } { \partial \Pi ^ { h } } } \\ { \frac { \partial F _ { \rho } ^ { h } } { \partial \boldsymbol { u } ^ { h } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } \\ { \frac { \partial F _ { \theta } ^ { h } } { \partial \boldsymbol { u } ^ { h } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } \\ { \boldsymbol { \mathsf { 0 } } } & { \frac { \partial G _ { \Pi } ^ { h } } { \partial \rho ^ { h } } } & { \frac { \partial G _ { \Pi ^ { h } } } { \partial \theta ^ { h } } } & { \frac { \partial G _ { \Pi } ^ { h } } { \partial \Pi ^ { h } } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { x } ^ { \left( t \right) } } & { = } & { \frac { M _ { 1 2 } M _ { 2 3 } - M _ { 1 3 } M _ { 2 2 } } { M _ { 1 1 } M _ { 2 2 } - M _ { 1 2 } M _ { 2 1 } } } \\ { E _ { y } ^ { \left( t \right) } } & { = } & { \frac { M _ { 1 3 } M _ { 2 1 } - M _ { 1 1 } M _ { 2 3 } } { M _ { 1 1 } M _ { 2 2 } - M _ { 1 2 } M _ { 2 1 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Delta \varphi } & { = \varphi ( \alpha + \Delta \alpha ) - \varphi ( \alpha ) } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) \, d x - \int _ { a } ^ { b } f ( x , \alpha ) \, d x } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } \left( f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) - f ( x , \alpha ) \right) \, d x } \\ & { \leq \varepsilon ( b - a ) . } \end{array} }
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ - \Lambda _ { \mathrm { L } } \log { ( n ) } + \bigg ( \Lambda _ { \mathrm { L } } \log { ( 2 ) } - \Lambda _ { \mathrm { Q } } } & { } \\ { + \Big [ \Lambda _ { \mathrm { L } } - \frac { \Lambda _ { \mathrm { R } } } { 2 } \Big ] \log ( 1 + Y ) \bigg ) } & { \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { - \Lambda _ { \mathrm { R } } } & { \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + { \alpha _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } } ) } { [ 2 ( 1 + Y ) ] ^ { n / 2 + { \alpha _ { 0 } + 1 / 2 } } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
9 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ] + 1 8 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ]
\begin{array} { r l } { \mathbf { { v _ { I } } _ { n } } ( x , y , z ) = { } } & { { } \left( \sin { ( \beta ) } \left( v _ { 0 } + \frac { \partial \phi } { \partial z } ( x , y , z ) \right) - \cos { ( \beta ) } \frac { \partial \phi } { \partial y } ( x , y , z ) \right) \mathbf { e _ { n } } , } \end{array}
E _ { a x , a y } ( \vec { \rho } ) = M _ { x , y } ( \vec { \rho } ) \frac { E _ { 0 } } { \sqrt { 2 \pi \rho \tilde { k } _ { 0 } } } e ^ { - j k \rho \sin \theta _ { 0 } \cos ( \phi - \phi _ { 0 } ) }
J _ { z } = - \frac { c B _ { 0 } } { 4 \pi R _ { \mathrm { j } } } \left[ 1 - \operatorname { t a n h } \left( \frac { R - R _ { \mathrm { j } } } { \Delta } \right) - \frac { R } { 2 \Delta } \cosh ^ { - 2 } \left( \frac { R - R _ { \mathrm { j } } } { \Delta } \right) \right] .
{ \bf D } _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha } | _ { i } h ( x _ { o } ) = \left( D _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha _ { 1 } } | _ { i } \, h ( x _ { o } ) , \cdots , D _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha _ { n } } | _ { i } \, h ( x _ { o } ) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } ( x , y ) = \varprojlim _ { m } \frac { A ( x , y ; a ^ { m } , b ^ { m } ) } { ( x ; b ) ^ { m } ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { m } } , \quad \widehat { \mathcal { A } } ( x , y ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \frac { \widehat { A } ( x , y ; a ^ { m } , b ^ { m } ) } { ( x ; a ) ^ { m } ( y ; a ^ { \prime } ) ^ { m } } , } \\ { \mathcal { B } ( x , y ) = \varprojlim _ { m } \frac { B ( x , y ; a ^ { m } , b ^ { m } ) } { ( x | a ) ^ { m } ( y ; b ^ { \prime } ) ^ { m } } , \quad \widehat { \mathcal { B } } ( x , y ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \frac { \widehat { B } ( x , y ; a ^ { m } , b ^ { m } ) } { ( x ; b ) ^ { m } ( y ; a ^ { \prime } ) ^ { m } } , } \\ { \mathcal { C } ( x , y ) = \varprojlim _ { m } \frac { C ( x , y ; a ^ { m } , b ^ { m } ) } { ( x ; b ) ^ { m } ( y | a ^ { \prime } ) ^ { m } } , \quad \widehat { \mathcal { C } } ( x , y ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \frac { \widehat { C } ( x , y ; a ^ { m } , b ^ { m } ) } { ( x ; a ) ^ { m } ( y | b ^ { \prime } ) ^ { m } } , } \\ { \mathcal { D } ( x , y ) = \varprojlim _ { m } \frac { D ( x , y ; a ^ { m } , b ^ { m } ) } { ( x | a ) ^ { m } ( y | a ^ { \prime } ) ^ { m } } , \quad \widehat { \mathcal { D } } ( x , y ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \frac { \widehat { D } ( x , y ; a ^ { m } , b ^ { m } ) } { ( x | b ) ^ { m } ( y | b ^ { \prime } ) ^ { m } } . } \end{array}
| ( 1 / \beta _ { i } ^ { 0 } - 1 / \beta _ { j } ^ { 0 } ) | x < \sqrt { 2 ( ( \Delta x _ { i } / \beta _ { i } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \Delta x _ { j } / \beta _ { j } ^ { 0 } ) ^ { 2 } ) } ~ .
\begin{array} { r l } { D _ { r s } ^ { \mathrm { s a } } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha } D _ { r s } ^ { \alpha } } \\ { f _ { p q } ^ { \mathrm { s a } } } & { = h _ { p q } + \sum _ { r s } D _ { r s } ^ { \mathrm { s a } } \left[ ( p q | r s ) - \frac { 1 } { 2 } ( p r | q s ) \right] } \\ { \hat { F } ^ { \mathrm { s a } } } & { = \sum _ { p q } f _ { p q } ^ { \mathrm { s a } } \hat { E } _ { p q } } \end{array}
{ \bf M } = \frac { 1 } { \pi } \left( \begin{array} { c c c c } { \pi } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \pi } & { 0 } \\ { M _ { H } \mathbb { G } ^ { 0 } } & { M _ { H } \mathbb { G } ^ { 1 } } & { \mathbb { G } ^ { 2 } } & { \mathbb { G } ^ { 3 } } \\ { M _ { H } \mathbb { H } ^ { 0 } } & { M _ { H } \mathbb { H } ^ { 1 } } & { \mathbb { H } ^ { 2 } } & { \mathbb { H } ^ { 3 } } \end{array} \right) , \qquad { \bf M } ^ { - T } = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { \omega ^ { 0 } } & { 0 } & { M _ { H } \eta ^ { 0 } } \\ { 0 } & { \omega ^ { 1 } } & { 1 } & { M _ { H } \eta ^ { 1 } } \\ { 0 } & { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { M _ { H } \eta ^ { 2 } } \\ { 0 } & { \omega ^ { 3 } } & { 0 } & { M _ { H } \eta ^ { 3 } } \end{array} \right) ,
5 e \, \sim \frac { 3 2 i } { p ^ { 2 } q _ { 1 } ^ { 2 } q _ { 2 } ^ { 4 } } \ q _ { 1 \mu } \, \epsilon _ { \alpha \nu q _ { 1 } q _ { 2 } } \qquad , \quad 5 f \, \sim \frac { 3 2 i } { p ^ { 4 } q _ { 1 } ^ { 2 } q _ { 2 } ^ { 2 } } \ q _ { 1 \mu } \, \epsilon _ { \alpha \nu q _ { 1 } q _ { 2 } } , \nonumber \,
\begin{array} { r l } { 2 k ^ { \infty } } & { = \langle g ^ { \infty } \rvert \hat { \Gamma } \rvert \rho _ { e q } g ^ { \infty } \rangle / \langle g ^ { \infty } \rvert \rho _ { e q } g ^ { \infty } \rangle = } \\ & { = D \langle { g ^ { \infty } } ^ { \prime } \rvert \rho _ { e q } { g ^ { \infty } } ^ { \prime } \rangle / \langle g ^ { \infty } \rvert \rho _ { e q } g ^ { \infty } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { N } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) = \frac { R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) } { \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { \infty } P ^ { \mathrm { i n } } ( L _ { f } ) \int _ { \tau } ^ { \infty } d \tau _ { f } \rho _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( \tau _ { 0 } | L _ { f } , \tau _ { f } ) } \ . } \end{array}
\begin{array} { r } { T ( f ) = \left( \begin{array} { l l l l l } { c _ { 0 } } & { c _ { 1 } } & { c _ { 2 } } & { \dots } & { } \\ { c _ { - 1 } } & { c _ { 0 } } & { c _ { 1 } } & { \ddots } \\ { c _ { - 2 } } & { c _ { - 1 } } & { c _ { 0 } } & { \ddots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } \end{array} \right) . } \end{array}
\left[ L _ { + } , L _ { - } \right] = 2 \hbar L _ { 0 } \; , \; \; \; \left[ L _ { 0 } , L _ { - } \right] = - \hbar L _ { - } \; , \; \; \; \left[ L _ { 0 } , L _ { + } \right] = \hbar L _ { + } \; ,
\begin{array} { r l } { { \bf K } _ { \mathrm { W I N } , k } } & { { } = \sum _ { i = 0 } ^ { m } \left[ \int _ { \Theta } \xi _ { i } \left( \theta \right) \lambda _ { k } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) \right] { \bf K } _ { i } , } \\ { { \bf F } _ { \mathrm { W I N } , k } } & { { } = \int _ { \Theta } { \bf F } \left( \theta \right) \lambda _ { k } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) - \sum _ { i = 0 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \left[ \int _ { \Theta } \xi _ { i } \left( \theta \right) \lambda _ { j } \left( \theta \right) \lambda _ { k } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) \right] { \bf K } _ { i } { \bf d } _ { \mathrm { W I N } , j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overset { V } { C } } & { = \overset { V } { C } ( 1 ) \ldots \overset { V } { C } ( g ) \overset { V } { M } ( g + 1 ) \ldots \overset { V } { M } ( g + n ) } \\ & { = v _ { V } ^ { 2 g } \ \prod _ { i = 1 } ^ { g } \ [ \overset { V } { B } ( i ) , \overset { V } { A } ( i ) { ^ { - 1 } } ] \ \prod _ { j = 1 } ^ { n } \ \overset { V } { M } ( g + j ) \in \mathcal { L } _ { g , n } ( H ) \otimes \mathrm { E n d } ( V ) . } \end{array}
\Gamma ( \Xi _ { b } ^ { - } ) - \Gamma ( \Xi _ { b } ^ { 0 } ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { b } ^ { 2 } } { 4 \pi } | V _ { c b } | ^ { 2 } | V _ { u d } | ^ { 2 } [ \langle \Xi _ { b } ^ { - } | P ^ { b d } | \Xi _ { b } ^ { - } \rangle - \langle \Xi _ { b } ^ { 0 } | P ^ { b u } | \Xi _ { b } ^ { 0 } \rangle ] \, .
M \gets \lceil 3 2 c _ { 2 } ^ { 2 } \eta ^ { - 1 } \sqrt { \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } } \cdot \operatorname* { m a x } ( 2 w ^ { 2 } \epsilon ^ { - 2 } \ln \left( 6 \delta ^ { - 1 } \right) , \ln \left( 3 \delta ^ { - 1 } \right) ) \rceil
\begin{array} { r l } { \hat { I } _ { \mathrm { o u t , e } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ ( \hat { X } _ { e } ( - \omega _ { n } ) + \hat { X } _ { e } ( \omega _ { n } + 2 \Omega _ { \mathrm { I F } } ) + i ( - \hat { P } _ { e } ( - \omega _ { n } ) + \hat { P } _ { e } ( \omega _ { n } + 2 \Omega _ { \mathrm { I F } } ) ) ] , } \\ { \hat { I } _ { \mathrm { o u t , o } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } [ \hat { X } _ { o } ( - \omega _ { n } - 2 \Omega _ { \mathrm { I F } } ) + \hat { X } _ { o } ( \omega _ { n } ) + i ( - \hat { P } _ { o } ( - \omega _ { n } - 2 \Omega _ { \mathrm { I F } } ) + \hat { P } _ { o } ( \omega _ { n } ) ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { + , j } = 0 . 7 3 \Bigg ( \frac { 1 - \sqrt { 1 - C _ { T } } } { 2 } \Bigg ) ^ { 0 . 8 3 2 5 } I _ { 0 } ^ { 0 . 0 3 2 5 } x ^ { - 0 . 3 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { c = \frac { 1 2 \zeta ( 6 \beta - \sigma ) ( \sigma + \zeta ) + \sigma ^ { 2 } ( 2 4 \beta - \sigma ) } { 3 \sqrt { 3 } \sigma ( 6 \beta + \sigma ) ( \sigma + 2 \zeta ) } \; . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } \, { \frac { \cos \theta - 1 } { \theta } } \ = \ \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } \, { \frac { - \sin ^ { 2 } \theta } { \theta ( \cos \theta + 1 ) } } \ = \ \left( - \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } { \frac { \sin \theta } { \theta } } \right) \! \left( \operatorname* { l i m } _ { \theta \to 0 } \, { \frac { \sin \theta } { \cos \theta + 1 } } \right) \ = \ ( - 1 ) \left( { \frac { 0 } { 2 } } \right) = 0 \, .
\alpha = \frac { V _ { m } } { 4 \pi } \frac { \varepsilon ( \omega ) - 1 } { 1 + [ \varepsilon ( \omega ) - 1 ] \left( L - i \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 \lambda ^ { 3 } } V _ { m } \right) } ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { u _ { c } ^ { \prime \prime } ( x ) } \\ { u _ { o } ^ { \prime \prime } ( x ) } \end{array} \right) = A \left( \begin{array} { c } { u _ { c } ( x ) } \\ { u _ { o } ( x ) } \end{array} \right) \; , } \end{array}
C D _ { k \omega } = m a x \left( 2 \frac { 1 } { \sigma _ { \omega _ { 2 } } \overline { { \omega } } } \frac { \partial \overline { { k } } } { \partial x _ { j } } \frac { \partial \overline { { \omega } } } { \partial x _ { j } } , 1 0 ^ { - 2 0 } \right) .
[ \hat { x } ^ { i } , \hat { x } ^ { j } ] = i \hbar \Theta ^ { i j } , \quad [ \hat { x } ^ { i } , \hat { p } _ { j } ] = i \hbar \delta _ { j } ^ { i } , \quad [ \hat { p } _ { i } , \hat { p } _ { j } ] = 0 .
\omega _ { y } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial } { \partial z } \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \psi } { \partial z } \quad \mathrm { a n d } \quad j _ { y } = - \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial z ^ { 2 } } \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \left[ \hat { C } _ { 1 } , \hat { \lambda } _ { j } \right] } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } , \hat { \lambda } _ { j } \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { j } - \hat { \lambda } _ { j } \hat { \lambda } _ { i } ^ { 2 } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \hat { \lambda } _ { i } ( \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { j } ) - ( \hat { \lambda } _ { j } - \hat { \lambda } _ { i } ) \hat { \lambda } _ { i } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \hat { \lambda } _ { i } [ \hat { \lambda } _ { i } , \hat { \lambda } _ { j } ] - [ \hat { \lambda } _ { j } , \hat { \lambda } _ { i } ] \hat { \lambda } _ { i } \right) } \\ & { = } & { \frac { 2 i } { 4 } \sum _ { i k } ( C _ { i j k } \hat { \lambda } _ { i } \hat { \lambda } _ { k } - C _ { j i k } \hat { \lambda } _ { k } \hat { \lambda } _ { i } ) } \\ & { = 0 , } \end{array}
U _ { m } ( z , t ) = \sum _ { \ell } C _ { m \ell } ( t ) \, \exp \left[ i \left( \kappa _ { m } + K _ { \ell } \right) z \right] , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad m \in ( 1 , 2 ) , ~ \ell \in \mathbb { Z } .
\begin{array} { r l } { \int _ { | x | \leq r ( \rho ) } } & { \frac { ( f _ { \rho } ( x ) ) ^ { 2 } } { | x | ^ { 2 } } d x = \int _ { 0 } ^ { r ( \rho ) } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } | f _ { \rho } ( r \omega ) | ^ { 2 } d \omega d r = \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( r f _ { \rho } ^ { 2 } ) | _ { r = 0 } ^ { r = r ( \rho ) } d \omega - 2 \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r ( \rho ) } r f _ { \rho } \, \partial _ { r } f _ { \rho } \, d r d \omega } \\ & { \ \ \leq r ( \rho ) \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } f _ { \rho } ^ { 2 } | _ { r = r ( \rho ) } d \omega + \frac 1 2 \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r ( \rho ) } \frac { | f _ { \rho } | ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } r ^ { 2 } d r d \omega + 2 \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { r ( \rho ) } | \partial _ { r } f _ { \rho } | ^ { 2 } r ^ { 2 } d r d \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { i , j } \left[ 1 + \tau D _ { r } i ( i + 1 ) \right] + \; \; } & { { } } \\ { \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } \sum _ { n = 1 } ^ { 1 0 0 } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } } & { { } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { p } = } \\ { - } & { { } \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } C _ { 0 , 0 } \int _ { S } \overline { { Y _ { i } ^ { j } } } \mathcal { H } ( Y _ { 0 } ^ { 0 } ) \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { p } . , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ^ { p m } ( r , \theta , \xi , \eta ) } & { = \alpha ^ { p m } ( \xi ) \ast \left( \exp [ - i \tilde { k } _ { k } ^ { p m } ( k ) \eta ] \right) _ { \xi } \mathrm { L G } _ { p m } ( r , \theta ) } \\ & { \approx \alpha ^ { p m } ( \xi + \tilde { k } _ { 0 } ^ { p m } \eta / k _ { L } ) \exp ( - i \tilde { k } _ { 0 } ^ { p m } \eta ) \mathrm { L G } _ { p m } ( r , \theta ) \, , } \\ { \tilde { k } _ { 0 } ^ { p m } / k _ { L } } & { = \frac { \omega _ { p 0 } ^ { 2 } } { 2 k _ { L } ^ { 2 } c ^ { 2 } } + ( 2 p + | m | + 1 ) \frac { 2 } { k _ { L } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { { \partial \left( \rho \bf { u } \right) } } { { \partial t } } + \nabla \cdot \left( { \rho { \bf { u u } } + p { \bf { I } } } \right) = - \nabla \cdot { \bf { P } } ^ { \prime } + { \bf { j } } \times { \bf { B } } ,
\langle \hat { \phi } ^ { 2 } \rangle = { \frac { b ( m ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } ~ ~ , ~ ~ \langle \hat { \bar { \psi } } \hat { \psi } \rangle = 4 m \langle \hat { \phi } ^ { 2 } \rangle ~ ~ , ~ ~ \langle \hat { V } _ { \mu } \hat { V } ^ { \mu } \rangle = 3 \langle \hat { \phi } ^ { 2 } \rangle ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { \| I _ { 1 } \| _ { X _ { c } } } & { \leq \frac { ( 1 + \kappa ) ^ { 1 / 2 } } { ( 1 - \kappa ) ^ { 1 / 2 } } \| \gamma _ { n - 1 } P _ { \gamma _ { n - 1 } } ^ { + } P _ { \gamma } ^ { + } | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } \| _ { \sigma _ { 1 } } \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } ( P _ { \gamma _ { n - 1 } } ^ { + } - P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } - d P _ { \gamma _ { n - 2 } } ^ { + } ( \gamma _ { n - 1 } - \gamma _ { n - 2 } ) ) \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } } \\ & { \leq \frac { \pi ^ { 2 } ( 1 + \kappa ) ^ { 3 / 2 } } { 8 ( 1 - \kappa ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 3 / 2 } } \frac { \alpha _ { c } ^ { 2 } } { c ^ { 3 } } \| \gamma _ { n - 1 } - \gamma _ { n - 2 } \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } \| \gamma _ { n - 1 } | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } \| _ { \sigma _ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { m i n i m i z e ~ : ~ } \quad } & { \tau ~ \textrm { b y v a r y i n g } H _ { L S } ^ { ( L ) } , ~ \Gamma ^ { ( L ) } , } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ : ~ } \quad } & { H _ { L S } ^ { ( L ) } \mathrm { ~ i s ~ h e r m i t i a n , } } \\ & { \mathrm { T r } ( \Gamma ^ { ( L ) } ) = 1 , ~ ~ \Gamma ^ { ( L ) } \geq 0 , } \end{array}
\phi _ { R } ( t ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { } } & { { - \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { R } ( t ) \qquad \mathrm { ~ ~ ~ f o r ~ p o s i t i v e ~ s i g n a t u r e } \; , } } \\ { { } } & { { - \frac { \pi } { 2 } \left[ \alpha _ { R } ( t ) - 1 \right] \mathrm { ~ f o r ~ n e g a t i v e ~ s i g n a t u r e } \; . } } \end{array} \right. \right.
Q _ { \lambda } ^ { \mu } ( z ) = { \frac { { \sqrt { \pi } } \ \Gamma ( \lambda + \mu + 1 ) } { 2 ^ { \lambda + 1 } \Gamma ( \lambda + 3 / 2 ) } } { \frac { 1 } { z ^ { \lambda + \mu + 1 } } } ( 1 - z ^ { 2 } ) ^ { \mu / 2 } \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { \lambda + \mu + 1 } { 2 } } , { \frac { \lambda + \mu + 2 } { 2 } } ; \lambda + { \frac { 3 } { 2 } } ; { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } \right)
\begin{array} { r l r } { \Omega } & { { } \equiv } & { \sqrt { \frac { m \, \rho _ { 0 } \, R ^ { 3 } } { 8 \, \gamma } } \; \omega } \\ { \Lambda } & { { } \equiv } & { \frac { \hbar } { \sqrt { 8 \gamma R ^ { 5 } m \rho _ { 0 } } } \, { \cal L } } \end{array}
\sum _ { j \in [ t + 1 ] \setminus \{ i \} } \sum _ { c , d \in \mathbb { Z } _ { m _ { \pi ( j ) } } } \left( \mu _ { \pi ( j ) } ^ { c , d } \left( p _ { | \rho ( \pi , y ) } \right) \right) ^ { 2 } \leq \sum _ { j \in [ t + 1 ] \setminus \{ i \} } \sum _ { c , d \in \mathbb { Z } _ { m _ { \pi ( j ) } } } \sum _ { a \in \mathbb { Z } _ { m _ { \pi ( i ) } } } \operatorname* { P r } ( a ) \cdot \left( \mu _ { \pi ( j ) } ^ { c , d } \left( p _ { | \rho ( \pi _ { - i } , y ^ { ( \pi ( i ) ) \to a } ) } \right) \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ^ { N } ( t , x ) - \rho ^ { N } ( t , x ) } & { = \rho _ { 0 } ^ { N } \left( y _ { n } ^ { N } ( t , x ) \right) + \int _ { 0 } ^ { t } \Psi _ { n } ^ { N } \left( \tau , y _ { n } ^ { N } ( t - \tau , x ) \right) d \tau } \\ & { \quad - \rho _ { 0 } ^ { N } \left( y ^ { N } ( t , x ) \right) - \int _ { 0 } ^ { t } \Psi ^ { N } \left( \tau , y ^ { N } ( t - \tau , x ) \right) d \tau , } \end{array}
\left( - \frac 1 2 \; \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial q ^ { 2 } } + \frac 1 2 \, k ( t ) \, q ^ { 2 } + f ( t ) \, q \right) \Phi ( q , t ) = i \frac \partial { \partial t } \Phi ( q , t )
\begin{array} { r l } { \Delta _ { x } u } & { = \frac { A } { L ^ { 3 } } e ^ { i \gamma + i L \beta \cdot y - i \frac { B } { 4 } | y | ^ { 2 } } v } \\ & { \quad \times \left[ \Delta _ { y } v + i \left( 2 L \beta - B y \right) \cdot \nabla v + \left( - i \frac { B } { 2 } d - L ^ { 2 } | \beta | ^ { 2 } + L B \beta \cdot y - \frac { B ^ { 2 } } { 4 } | y | ^ { 2 } \right) v \right] . } \end{array}
{ \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial } { \partial t } } I _ { \nu } + { \hat { \Omega } } \cdot \nabla I _ { \nu } + ( k _ { \nu , s } + k _ { \nu , a } ) I _ { \nu } = j _ { \nu } + { \frac { 1 } { 4 \pi } } k _ { \nu , s } \int _ { \Omega } I _ { \nu } d \Omega
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { A } } ^ { L } ( u , v ) } & { = - \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \nabla ^ { \top } \phi _ { u } ( x _ { l } ) a ( x _ { l } ) \nabla \phi _ { v } ( x _ { l } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \omega _ { u } ^ { \top } a ( x _ { l } ) \omega _ { v } \, e ^ { i x _ { l } ^ { \top } \omega _ { u } } e ^ { - i x _ { l } ^ { \top } \omega _ { v } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb J _ { 1 } } & { \approx } & { \left( \begin{array} { r r r r } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) = { \mathbb O } _ { 1 2 } , } \\ { \mathbb J _ { 2 } } & { \approx } & { \left( \begin{array} { r r r r } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) = { \mathbb O } _ { 3 4 } , } \end{array}
k _ { 0 } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \sqrt { \frac { 3 e ^ { 2 } \rho } { 2 \varepsilon _ { 0 } E _ { \mathrm { F } } } } } = { \sqrt { \frac { m e ^ { 2 } k _ { \mathrm { F } } } { \varepsilon _ { 0 } \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 1 } v _ { g , n } } & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p } \int _ { 0 } ^ { p } \frac { ( 1 - 2 x ) } { x ( 1 - x ) } \left( \sum _ { n \geq 1 } \alpha _ { n } [ x ( 1 - x ) ] ^ { n } \right) \left( \sum _ { n \geq g - 1 } \gamma _ { n , g - 1 } [ x ( 1 - x ) ] ^ { n } \right) d x , } \\ & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p } \int _ { 0 } ^ { p } \frac { ( 1 - 2 x ) } { x ( 1 - x ) } \left( \sum _ { n \geq 1 } \alpha _ { n } [ x ( 1 - x ) ] ^ { n } \right) ^ { g - 2 } \left( \sum _ { n \geq 2 } \alpha _ { n - 1 } [ x ( 1 - x ) ] ^ { n } \right) d x , } \\ & { = \frac { 2 ^ { g - 1 } } { p } \int _ { 0 } ^ { p } ( 1 - 2 x ) x ^ { g - 1 } d x , } \\ & { = ( 2 p ) ^ { g - 1 } \left( \frac { 1 } { g } - \frac { 2 p } { g + 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } \equiv p ( \vec { y } | \mathcal { M } ) } & { { } = \int _ { \Theta } p ( \ensuremath { \vec { \theta } } , \vec { y } | \mathcal { M } ) \mathrm { d } \ensuremath { \vec { \theta } } } \end{array}