harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) | \leq \omega _ { k } \left( d _ { \mathrm { K R } } ^ { 2 } \left[ ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) , ( \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] , \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) \right] \right)
\left| S _ { \mathrm { ~ D ~ Q ~ } } ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) \right| = \frac { 8 \log 2 N E _ { 0 } / 3 } { \sqrt { \left( \omega _ { 2 } - 2 \omega _ { 0 } \right) ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } \left( \left( \omega _ { 3 } - \omega _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \right) }
T A ( t _ { 1 } ) A ( t _ { 2 } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { A ( t _ { 1 } ) A ( t _ { 2 } ) } & { t _ { 1 } > t _ { 2 } } \\ { A ( t _ { 2 } ) A ( t _ { 1 } ) } & { t _ { 2 } > t _ { 1 } } \end{array} \right. } ~ .
\begin{array} { r l r } { n _ { B } \, { \cal R } } & { { } \approx } & { \frac { n _ { B } \, b _ { p B \alpha } } { \nu _ { p e } \left( u _ { p e } \right) } \approx \frac { C _ { p e } \, \gamma _ { p e } ^ { 2 } \, u _ { \alpha } \, u _ { p e } ^ { 3 } } { \Lambda _ { p e } } \approx 4 \cdot 1 0 ^ { 2 6 } \, \mathrm { ~ m ~ } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 0 } = ( A _ { 0 } + \mathrm { d } A ) \sin \left( \Omega _ { 0 } t _ { 0 } + \varphi _ { 0 } + \mathrm { d } \varphi \right) } \\ { v _ { 0 } + \mathrm { d } v = ( A _ { 0 } + \mathrm { d } A ) \Omega _ { 0 } \cos \left( \Omega _ { 0 } t _ { 0 } + \varphi _ { 0 } + \mathrm { d } \varphi \right) \mathrm { ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \rVert \hat { \psi } \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert g \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { - 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) , } \end{array}
R _ { \mathrm { g } } ^ { 2 } \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { 1 } { N } } \left\langle \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { \mathrm { m e a n } } \right) ^ { 2 } \right\rangle
\begin{array} { r } { \Big \langle \frac { \rho _ { k } } { \rho } \mathcal { P } _ { k } \Big \rangle + \frac { \rho \varepsilon + p _ { + } } { \rho } \mathcal { P } = - \mathcal { P } \Big \langle \frac { \rho _ { k } \varepsilon _ { 0 k } } { \rho } \Big \rangle + \frac { \rho \varepsilon + p _ { + } } { \rho } \mathcal { P } } \\ { = \frac { ( \gamma - 1 ) p _ { + } + \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } + \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } } { \sqrt { d } } \frac { \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) + p _ { + } } { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { r _ { 0 } } { \sqrt { B \log ( n / \delta ) } } } & { = B ^ { - \frac { 1 } { 4 \alpha + 2 } } \cdot \bigg ( \frac { \sigma ^ { 2 } } { R ^ { 2 } n } \bigg ) ^ { \frac { \alpha } { 2 \alpha + 1 } } \cdot \frac { \log ^ { \frac { \alpha } { 2 \alpha + 1 } } ( \delta ^ { - 1 } \log n ) } { \sqrt { \log ( n / \delta ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \omega v \| _ { W ^ { 1 , p } ( \varOmega ) } } & { \leq C _ { p } \| A _ { h } v \nabla \omega \| _ { L ^ { p } ( \varOmega ) } + C _ { p } \| A _ { h } \nabla v \cdot \nabla \omega \| _ { L ^ { q } ( \varOmega ) } } \\ & { \leq \frac { C _ { p } } { d } \| v \| _ { L ^ { p } ( D _ { d } ) } + \frac { C _ { p } } { d } \| v \| _ { W ^ { 1 , q } ( D _ { d } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { 1 } ( v , z ) = \sum _ { j _ { 2 } + j _ { 3 } = j } F _ { - j , j _ { 2 } , j _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } v _ { j _ { 2 } } z _ { j _ { 3 } } e ^ { \mathrm { i } j x } , \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad K _ { 2 } ( v , v ) = \sum _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = j } F _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , - j } ^ { ( 3 ) } v _ { j _ { 1 } } v _ { j _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } j x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { S } ^ { ( 1 ) } = S _ { c c } ^ { ( 1 ) } \left[ \sin ^ { 2 } \phi _ { 1 } \, \hat { x } \hat { x } - \sin \phi _ { 1 } \cos \phi _ { 1 } \, ( \hat { x } \hat { y } + \hat { y } \hat { x } ) + \cos ^ { 2 } \phi _ { 1 } \, \hat { y } \hat { y } \right] } \\ { + \; S _ { d d } ^ { ( 1 ) } \left[ \cos ^ { 2 } \phi _ { 1 } \, \hat { x } \hat { x } + \sin \phi _ { 1 } \cos \phi _ { 1 } ( \hat { x } \hat { y } + \hat { y } \hat { x } ) + \sin ^ { 2 } \phi _ { 1 } \, \hat { y } \hat { y } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { d } _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } } & { { } = } & { \lambda _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } \left[ \epsilon _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } ^ { ( 2 ) } \left( \mathcal { W } _ { ( i + 1 , j , k ) } - \mathcal { W } _ { ( i , j , k ) } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { Y ( \zeta , t ) = d _ { 0 } ( \zeta , t ) ^ { - \frac { \tilde { \sigma } _ { 3 } } { 2 } } \tilde { r } ( k _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 4 } \tilde { \sigma } _ { 3 } } e ^ { - \frac { t } { 2 } \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , k _ { 1 } ) \tilde { \sigma } _ { 3 } } \big ( \frac { \mathcal { P } ( \zeta , \omega k _ { 1 } ) } { \mathcal { P } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k _ { 1 } ) } \big ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \sigma } _ { 3 } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { Z } _ { C } } & { = { \frac { 1 } { \omega C } } e ^ { - \mathbf { j } { \frac { \pi } { 2 } } } = \mathbf { j } \left( { - { \frac { 1 } { \omega C } } } \right) = \mathbf { j } X _ { C } } \\ { \mathbf { Z } _ { L } } & { = \omega L e ^ { \mathbf { j } { \frac { \pi } { 2 } } } = \mathbf { j } \omega L = \mathbf { j } X _ { L } \quad } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { H } & { = p u _ { t } - { \frac { u _ { t } ^ { 2 } } { x _ { t } } } - \lambda _ { t + 1 } u _ { t } } \\ { { \frac { \partial H } { \partial u _ { t } } } } & { = p - \lambda _ { t + 1 } - 2 { \frac { u _ { t } } { x _ { t } } } = 0 } \\ { \lambda _ { t + 1 } - \lambda _ { t } } & { = - { \frac { \partial H } { \partial x _ { t } } } = - \left( { \frac { u _ { t } } { x _ { t } } } \right) ^ { 2 } } \end{array} }
z _ { 2 } { \cal G } _ { f ^ { ( 2 ) } } ^ { [ M - 1 / M ] } ( z _ { 2 } ) = z _ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { M } { \tilde { \alpha } } _ { i } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \left( { \tilde { u } } _ { i } - u _ { 2 1 } \right) ^ { m } k _ { m } ( z _ { 2 } ) = z _ { 2 } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } k _ { m } ( z _ { 2 } ) \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { M } { \tilde { \alpha } } _ { i } \left( { \tilde { u } } _ { i } - u _ { 2 1 } \right) ^ { m } \right] \ .
{ \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 2 } \\ { 3 } & { 4 } \end{array} \right] } \otimes { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 5 } \\ { 6 } & { 7 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 5 } \\ { 6 } & { 7 } \end{array} \right] } } & { 2 { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 5 } \\ { 6 } & { 7 } \end{array} \right] } } \\ { 3 { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 5 } \\ { 6 } & { 7 } \end{array} \right] } } & { 4 { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 5 } \\ { 6 } & { 7 } \end{array} \right] } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 \times 0 } & { 1 \times 5 } & { 2 \times 0 } & { 2 \times 5 } \\ { 1 \times 6 } & { 1 \times 7 } & { 2 \times 6 } & { 2 \times 7 } \\ { 3 \times 0 } & { 3 \times 5 } & { 4 \times 0 } & { 4 \times 5 } \\ { 3 \times 6 } & { 3 \times 7 } & { 4 \times 6 } & { 4 \times 7 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 5 } & { 0 } & { 1 0 } \\ { 6 } & { 7 } & { 1 2 } & { 1 4 } \\ { 0 } & { 1 5 } & { 0 } & { 2 0 } \\ { 1 8 } & { 2 1 } & { 2 4 } & { 2 8 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { P _ { A } ( \nu , p ^ { * } , \gamma ) } & { = } & { \frac { \exp ( - \nu ) } { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \nu ^ { n } } { n ! } \left[ ( 1 - ( 1 - p ^ { * } ) ^ { n } \right] \cdot } \\ & { } & { \cdot \left[ 1 - ( 1 - \gamma ) ^ { ( n - 1 ) } \right] } \\ & { = } & { 1 - \frac { \exp ( - \gamma \nu ) } { 1 - \gamma } \frac { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ( 1 - \gamma ) ) } { 1 - \exp ( - p ^ { * } \nu ) } . } \end{array}
i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { l } { c _ { 1 } ( t ) } \\ { c _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { H _ { 1 1 } ( t ) } & { H _ { 1 2 } ( t ) } \\ { H _ { 2 1 } ( t ) } & { H _ { 2 2 } ( t ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { c _ { 1 } ( t ) } \\ { c _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right)
- { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) } { N \partial \alpha ^ { 2 } } } = \operatorname { v a r } [ \ln ( X ) ] = \psi _ { 1 } ( \alpha ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) = { \mathcal { I } } _ { \alpha , \alpha } = \operatorname { E } \left[ - { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) } { N \partial \alpha ^ { 2 } } } \right] = \ln \operatorname { v a r } _ { G X }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Pi } _ { i + 1 } } & { = \boldsymbol { \Pi } _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { \nabla } V _ { i } \Delta t \left( \frac { V _ { i } } { E } + \frac { E } { V _ { i } } \right) , } \\ { \boldsymbol { \Theta } _ { i + 1 } } & { = \boldsymbol { \Theta } _ { i } + \boldsymbol { \Pi } _ { i + 1 } \Delta t \frac { V _ { i } } { E } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { d _ { \Lambda } - 1 } = 0 , } \\ & { ( \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) ( C _ { i } + C _ { i + 2 } ) = 0 , ~ ( \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) ( C _ { i } + C _ { i + 2 } ) = 0 , } \\ & { ( \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) D _ { i } + ( \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) D _ { i + 2 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \mathrm { s t } } ^ { \mathrm { f a r } } } & { = } & { \frac { 2 a _ { R } ^ { 2 } } { \varpi _ { \mathrm { s t } } ^ { 2 } } , } \\ { \Lambda _ { n } ( x ) } & { = } & { e ^ { - 2 x } I _ { n } ( 2 x ) , } \\ { \gamma } & { = } & { \frac { 4 \tau _ { \mathrm { s t } } ^ { \mathrm { f a r } } \Lambda _ { 1 } \left( \tau _ { \mathrm { s t } } ^ { \mathrm { f a r } } \right) } { 1 - \Lambda _ { 0 } \left( \tau _ { \mathrm { s t } } ^ { \mathrm { f a r } } \right) } \left[ \log \left( \frac { 2 \tau _ { \mathrm { s t } } } { 1 - \Lambda _ { 0 } \left( \tau _ { \mathrm { s t } } ^ { \mathrm { f a r } } \right) } \right) \right] ^ { - 1 } , } \\ { q _ { 0 } } & { = } & { a _ { R } \left[ \log \left( \frac { 2 \tau _ { \mathrm { s t } } } { 1 - \Lambda _ { 0 } \left( \tau _ { \mathrm { s t } } ^ { \mathrm { f a r } } \right) } \right) \right] ^ { - 1 / \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \rho _ { k + 1 } ) } & { \sim \sum _ { p = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \frac { \| x _ { p , k + 1 } - x _ { p , k } \| ^ { 2 } + ( \beta _ { p , k + 1 } ^ { - 1 / 2 } - \beta _ { p , k } ^ { - 1 / 2 } ) ^ { 2 } } { t _ { k + 1 } - t _ { k } } \, m _ { p } } \\ & { + \sum _ { p = 1 } ^ { n } \kappa \log \Big ( \frac { \rho _ { k + 1 } ( x _ { p , k + 1 } ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, m _ { p } \to \operatorname* { m i n } ! } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { s } ( \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } , \mu ^ { n + 1 } ) } & { = ( \Delta _ { h } \mu ^ { n + 1 } , \mu ^ { n + 1 } ) - ( \nabla _ { h } \cdot ( A _ { h } \phi ^ { n } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } ) , \mu ^ { n + 1 } ) } \\ & { = - \| \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - ( \nabla _ { h } \cdot ( A _ { h } \phi ^ { n } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } ) , \mu ^ { n + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , G a } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } } \sum _ { P } ( - 1 ) ^ { P } \sum _ { n } ^ { \varepsilon _ { n } = \varepsilon _ { a } } \left\{ \langle a | U | a \rangle \left[ \langle a b _ { 1 } | I ^ { \prime \prime } ( \Delta _ { a b } ) | b _ { 2 } n \rangle \langle n b _ { 2 } | I ( \Delta _ { b _ { 2 } P b _ { 1 } } ) | P a P b _ { 1 } \rangle \right. \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( b ) } & { { } = \sin ( \delta _ { \mathrm { N G P } } ) \sin ( \delta ) + \cos ( \delta _ { \mathrm { N G P } } ) \cos ( \delta ) \cos ( \alpha - \alpha _ { \mathrm { N G P } } ) } \\ { \cos ( b ) \sin ( l _ { \mathrm { N C P } } - l ) } & { { } = \cos ( \delta ) \sin ( \alpha - \alpha _ { \mathrm { N G P } } ) } \\ { \cos ( b ) \cos ( l _ { \mathrm { N C P } } - l ) } & { { } = \cos ( \delta _ { \mathrm { N G P } } ) \sin ( \delta ) - \sin ( \delta _ { \mathrm { N G P } } ) \cos ( \delta ) \cos ( \alpha - \alpha _ { \mathrm { N G P } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 2 } ( t , \Omega ) = } & { { } - \frac { \Omega ^ { 2 } } { 2 \Gamma } \sum _ { l = 1 } ^ { N } \left( \prod _ { k = l + 1 } ^ { N } \exp \left( - \frac { \Omega ^ { 2 } } { \Gamma } \tau _ { k } \right) \right) } \end{array}
t _ { 1 } = { \frac { { \frac { 1 } { 2 } } 9 h } { 2 m _ { \mathrm { e } } c ^ { 2 } \alpha ^ { 6 } ( \pi ^ { 2 } - 9 ) } } = 1 3 8 . 6 ~ \mathrm { n s } .
\sum _ { k = 0 } ^ { n } \Theta _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } = r _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } S _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } \left( c _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } - c _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k + 1 } \right) + S _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { n } c _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { n } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf B } } & { { } = } & { \frac { 1 } { v _ { 0 } } \frac { e _ { 0 } } { 2 } \left( - ( \Psi \hat { a } _ { \mathrm { V } } + \Psi ^ { * } \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } ) , \Psi \hat { a } _ { \mathrm { H } } + \Psi ^ { * } \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } , \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \mu _ { i } } \bigg ( \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \hat { A } _ { \varphi } ) } { \partial r } \bigg ) \bigg | _ { r = r _ { i } ^ { - } } - \frac { 1 } { \mu _ { i + 1 } } \bigg ( \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \hat { A } _ { \varphi } ) } { \partial r } \bigg ) \bigg | _ { r = r _ { i } ^ { + } } } & { = - \frac { n I _ { 0 } } { l } \delta _ { i 2 } + i \frac { \omega _ { 0 } } \alpha _ { 0 } { \pi } ( \theta _ { i + 1 } - \theta _ { i } ) \hat { A } _ { z } ( r _ { i } , \omega ) , } \\ { \frac { 1 } { \mu _ { i } } \bigg ( \frac { \partial \hat { A } _ { z } } { \partial r } \bigg ) \bigg | _ { r = r _ { i } ^ { - } } - \frac { 1 } { \mu _ { i + 1 } } \bigg ( \frac { \partial \hat { A } _ { z } } { \partial r } \bigg ) \bigg | _ { r = r _ { i } ^ { + } } } & { = - i \frac { \omega _ { 0 } } \alpha _ { 0 } { \pi } ( \theta _ { i + 1 } - \theta _ { i } ) \hat { A } _ { \varphi } ( r _ { i } , \omega ) , } \end{array}
B T = { \left. { { { \left\langle { { \bf { \bar { F } } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { t } } } \right| _ { \Gamma } } + \left. { { { \left\langle { { \bf { \bar { v } } } , { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } \right\rangle } _ { \bf { x } } } } \right| _ { 0 } ^ { T }
\begin{array} { r l } { F ( \mathbf { a } , x , y ) = \, } & { ( ( a _ { 1 } ^ { 5 } + a _ { 2 } ^ { 5 } + 3 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 1 } a _ { 2 } ) y ^ { 2 } + ( 2 a _ { 1 } ^ { 3 } a _ { 2 } + ( - 9 a _ { 2 } - 1 ) a _ { 1 } ^ { 2 } + 3 a _ { 1 } - 6 a _ { 2 } ^ { 4 } + a _ { 2 } ^ { 3 } ) y + a _ { 2 } ^ { 2 } ( a _ { 1 } + 9 a _ { 2 } - 3 ) ) x ^ { 3 } } \\ & { + ( ( - 3 a _ { 1 } ^ { 3 } a _ { 2 } ^ { 2 } - 6 a _ { 1 } ^ { 4 } + 3 a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } - 6 a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 2 } ) y ^ { 2 } + 9 ( ( a _ { 2 } + 2 / 9 ) a _ { 1 } ^ { 2 } + ( - ( 8 a _ { 2 } ) / 9 - 1 ) a _ { 1 } - a _ { 2 } ^ { 3 } / 9 + 2 a _ { 2 } + 2 / 9 ) a _ { 1 } y } \\ & { + 3 ( a _ { 1 } - 2 / 3 ) a _ { 2 } ^ { 2 } ) x ^ { 2 } - 3 ( ( ( a _ { 2 } - 4 ) a _ { 1 } - 2 a _ { 2 } ^ { 2 } ) a _ { 1 } y + a _ { 1 } ^ { 3 } / 3 - 3 a _ { 1 } ^ { 2 } + ( 6 a _ { 2 } + 4 / 3 ) a _ { 1 } - ( 8 a _ { 2 } ) / 3 ) a _ { 1 } x y } \\ & { + ( ( a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } - 8 ) y - 3 a _ { 1 } ^ { 2 } + 2 a _ { 1 } ) a _ { 1 } ^ { 2 } y } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { \Gamma ^ { \mu } = \left( \begin{array} { c c } { { \gamma ^ { \mu } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \gamma ^ { \mu } } } \end{array} \right) \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ \Gamma ^ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ \Sigma ^ { 4 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P R E P A R E } \vert 0 \rangle ^ { \otimes \log ( L ) } \mapsto \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sqrt { \frac { \omega _ { l } } { \lambda } } \vert \ell \rangle \equiv \vert \mathcal { L } \rangle } \\ & { \mathrm { S E L E C T } \vert \ell \rangle \vert \psi \rangle \mapsto \vert \ell \rangle U _ { \ell } \vert \psi \rangle } \\ & { \lambda = \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \omega _ { \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mu \nu } ( \underline { { r } } , \underline { { r } } ^ { \prime } ; \underline { { R } } ) } & { { } = \Psi _ { \mu } ^ { ( e ) } ( \underline { { r } } ; \underline { { R } } ) \, \Psi _ { \nu } ^ { ( e ) \star } ( \underline { { r } } ^ { \prime } ; \underline { { R } } ) \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sigma _ { h ^ { * } } ^ { 2 } } } & { { } = \sum _ { i } \frac { T ( \eta J _ { i } ) ^ { 2 } } { 4 \cosh ^ { 2 } ( \frac { \eta J _ { i } h _ { \textrm { t r u e } } + \epsilon } { 2 } ) } \equiv \frac { T } { \sigma _ { h _ { \textrm { t r u e } } } ^ { 2 } } . } \end{array}
\hat { \hat { V } } ( r ; \lambda , \lambda _ { 1 } ) = \hat { V } - 2 [ l n ( \hat { I } _ { 1 } + \lambda _ { 1 } ) ] ^ { \prime \prime } = \hat { V } - \frac { 4 \hat { u } _ { 1 } \hat { u } _ { 1 } ^ { \prime } } { \hat { I } _ { 1 } + \lambda _ { 1 } } + \frac { 2 \hat { u } _ { 1 } ^ { 4 } } { ( \hat { I } _ { 1 } + \lambda _ { 1 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal X } _ { i } = \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \; \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } ( t ) i e ^ { i \omega _ { p } t } + h . c . , } \\ { \hat { \mathcal P } _ { 2 , 1 } ^ { ( i ) } ( t ) \equiv \hat { U } ^ { \dagger } ( t ) \left( \left| 2 \right> _ { i } \left< 1 \right| + \left| 1 \right> _ { i } \left< 2 \right| \right) \hat { U } ( t ) , } \end{array}
h _ { e } ^ { R x } ( \theta , r ; \zeta ) = \frac { 4 \pi r E _ { \theta } ( { \bf r } ; \zeta ) e ^ { j k r } } { j \zeta \eta I ( 0 ; \zeta ) } L = \frac { - 2 L F _ { e } ( { \bf r } ; \zeta ) } { \zeta F _ { e l } ( \zeta ) } .
\left( \begin{array} { c c } { { m _ { \tilde { \tau } _ { L } } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } \cos 2 \beta ( - \frac { 1 } { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) } } & { { v Y _ { \tau } ( A _ { \tau } \cos \beta - \mu \sin \beta ) } } \\ { { v Y _ { \tau } ( A _ { \tau } \cos \beta - \mu \sin \beta ) } } & { { m _ { \tilde { \tau } _ { R } } ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } \cos 2 \beta \sin ^ { 2 } \theta _ { W } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { d = \big [ ( \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } + 2 ( \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } + \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } ) + 1 \big ] \Delta _ { * } ^ { 2 } } \\ { + 2 c _ { V } \rho \theta \big [ ( \alpha _ { 2 } \sigma ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 1 } \sigma ^ { ( 2 ) } ) ( \gamma - 1 ) + \sigma ^ { ( 1 ) } - \sigma ^ { ( 2 ) } \big ] \Delta _ { * } } \\ { + ( ( \gamma - 1 ) c _ { V } \rho \theta ) ^ { 2 } > 0 , } \end{array}
\psi _ { \bar { n } } ( t ) = { \frac { 2 \varepsilon } { \omega _ { \bar { n } } - \omega _ { n } } } \left( { \exp \left( { { { i \omega _ { n } t } \mathord { \left/ { \vphantom { { i \omega _ { n } t } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } \right) - \exp \left( { { { i \omega _ { \bar { n } } t } \mathord { \left/ { \vphantom { { i \omega _ { \bar { n } } t } 2 } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } 2 } } \right) } \right) \ .
\frac { \partial \mathcal { C } \left( \boldsymbol { r } , f , \boldsymbol { g } \right) } { \partial f ^ { * } } = \left( \frac { \partial \mathcal { C } \left( \boldsymbol { r } , f , \boldsymbol { g } \right) } { \partial f } \right) ^ { * } ,
\frac { 4 \wp ( z ) ( h _ { 0 } \wp + \beta _ { 1 } h _ { 0 } ^ { 2 } + 2 \gamma _ { 1 } h _ { 0 } + \delta _ { 1 } ) + 2 \wp _ { z } ( z ) \sqrt { R _ { 1 } ( h _ { 0 } ) } + h _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 \alpha _ { 1 } \delta _ { 1 } - 2 \beta _ { 1 } \gamma _ { 1 } ) + h _ { 0 } ( 4 \beta _ { 1 } \delta _ { 1 } - 5 \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ) - 2 \gamma _ { 1 } \delta _ { 1 } } { ( 2 \wp ( z ) - \gamma _ { 1 } - 2 \beta _ { 1 } h _ { 0 } - \alpha _ { 1 } h _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { \alpha _ { 1 } } { 2 } R _ { 1 } ( h _ { 0 } ) } ,
i \mathcal { L } z = \{ z , H \} = \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \partial H } { \partial p _ { j } } \frac { \partial z } { \partial q _ { j } } - \frac { \partial H } { \partial q _ { j } } \frac { \partial z } { \partial p _ { j } } \right)
( a - c ) \; \delta \Lambda | \partial _ { x } g | ^ { 2 } | _ { x = \overline { { \Lambda } } } - b ( \partial _ { x } g | _ { x = \overline { { \Lambda } } } - k ) ^ { 2 } \delta \Lambda - 2 b \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { \partial _ { x } ^ { 2 } \overline { { h } } \; \delta h \; \mathrm { d } x } - 2 b ( \partial _ { x } \overline { { h } } \; \delta h ) | _ { x = \overline { { \Lambda } } } = \lambda \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { \delta h \; \mathrm { d } x } .
S ^ { i i } ( \theta ) = \left( \begin{array} { c c c } { { ( 2 ) _ { \theta } } } & { { ( 3 ) _ { \theta } ( 1 ) _ { \theta } } } & { { - ( 2 ) _ { \theta } } } \\ { { ( 3 ) _ { \theta } ( 1 ) _ { \theta } } } & { { ( 2 ) _ { \theta } ^ { 2 } } } & { { ( 3 ) _ { \theta } ( 1 ) _ { \theta } } } \\ { { - ( 2 ) _ { \theta } } } & { { ( 3 ) _ { \theta } ( 1 ) _ { \theta } } } & { { ( 2 ) _ { \theta } } } \end{array} \right)
\Delta { \cal L } _ { 3 D } = { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } } \left( { \frac { N + 4 } { 9 } } O _ { 1 } + { \frac { 4 } { 9 } } O _ { 2 } \right) .
{ \begin{array} { r l } { e _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = p _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) , } \\ { 2 e _ { 2 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = e _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) p _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) - p _ { 2 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) , } \\ { 3 e _ { 3 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) } & { = e _ { 2 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) p _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) - e _ { 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) p _ { 2 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) + p _ { 3 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) . } \end{array} }
W _ { M S S M R N } \: = \: f _ { \nu } ^ { i j } \: H _ { 2 } \, \overline { { { N _ { i } } } } \, L _ { j } \: + \: f _ { e } ^ { i j } \, H _ { 1 } \, \overline { { { E _ { i } } } } \, L _ { j } \: + \: \frac { 1 } { 2 } \, M _ { \nu } ^ { i j } \, \overline { { { N _ { i } } } } \, N _ { j }
\hat { \mathrm { \bf ~ P } } = \hat { \mathrm { \bf ~ P } } _ { \mathrm { m a t t e r } } + \hat { \mathrm { \bf ~ P } } _ { \mathrm { f i e l d } } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } + \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \int d ^ { 3 } r \left\{ \hat { E } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \nabla \hat { A } _ { j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + h . c . \right\}
L = { \frac { 1 } { 4 } } \int d ^ { 2 } \theta \left( { \frac { 1 } { g ^ { 2 } ( M ) } } + { \frac { b _ { 0 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \log { \frac { M } { \mu } } \right) W ^ { a } W ^ { a } + h . c . + \int d ^ { 4 } \theta \sum _ { i } Z _ { i } ( \mu , M ) \Phi _ { i } ^ { \dagger } e ^ { 2 V _ { i } } \Phi _ { i } \, ,