harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
u _ { \alpha } ( \boldsymbol { y } ) = \int _ { \Gamma } u _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { y } ) t _ { \beta } ( \boldsymbol { x } ) \mathrm { d } \Gamma ( \boldsymbol { x } ) - \int _ { \Gamma } t _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { s } } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { y } ) u _ { \beta } ( \boldsymbol { x } ) \mathrm { d } \Gamma ( \boldsymbol { x } ) , \quad \boldsymbol { x } \in \Gamma , \quad \boldsymbol { y } \in \Omega , \quad \alpha , \beta = 1 , 2 .
{ \begin{array} { r l } { m { \frac { d } { d t } } \left\langle \Psi ( t ) \right| { \hat { x } } \left| \Psi ( t ) \right\rangle } & { = \left\langle \Psi ( t ) \right| { \hat { p } } \left| \Psi ( t ) \right\rangle , } \\ { { \frac { d } { d t } } \left\langle \Psi ( t ) \right| { \hat { p } } \left| \Psi ( t ) \right\rangle } & { = \left\langle \Psi ( t ) \right| - V ^ { \prime } ( { \hat { x } } ) \left| \Psi ( t ) \right\rangle . } \end{array} }
\sum _ { k = 1 } ^ { N } \frac { | a _ { k } | } { k + 1 } \leq \frac { \delta - 1 } { ( 1 - \varepsilon ) \bigl ( 1 - e ^ { - \eta _ { \infty } } \bigr ) } \operatorname* { l i m } _ { T \to + \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } { \left| { \sum _ { j = 1 } ^ { N } a _ { j } e ^ { 2 i \pi \lambda _ { j } t } } \right| } \, \mathrm { d } t .
+ \frac { 1 } { 2 } ( { \gamma } ^ { 0 } \otimes { \gamma } ^ { 0 } ) ( e _ { 1 } { \phi } _ { ( 1 ) } ^ { \mathrm { s e l f } } + e _ { 2 } { \phi } _ { ( 2 ) } ^ { \mathrm { s e l f } } ) - \frac { 1 } { 2 } e _ { 1 } b ( { \gamma } ^ { 1 } \otimes { \gamma } ^ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } e _ { 2 } b ( { \gamma } ^ { 0 } \otimes { \gamma } ^ { 1 } )
\begin{array} { r l } { I _ { d } \left( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { s } _ { 0 } \right) } & { = \left| \int P \left( \boldsymbol { x } \right) O \left( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { s } _ { 0 } \right) \exp \left[ - i 2 \pi \boldsymbol { q } \boldsymbol { x } \right] d \boldsymbol { x } \right| ^ { 2 } } \\ & { = \left| \tilde { P } \left( \boldsymbol { q } \right) \otimes \tilde { O } _ { \boldsymbol { s } _ { 0 } } \left( \boldsymbol { q } \right) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
G _ { M N } d x ^ { M } d x ^ { N } = - n ^ { 2 } ( t , y ) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + a ^ { 2 } ( t , y ) \gamma _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } + b ^ { 2 } ( t , y ) d y ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { { \frac { S ( z ) } { X ( z ) } } { \frac { Y ( z ) } { S ( z ) } } = { \frac { Y ( z ) } { X ( z ) } } } & { { } = { \frac { ( 1 - e ^ { - j \omega _ { 0 } } z ^ { - 1 } ) } { ( 1 - e ^ { + j \omega _ { 0 } } z ^ { - 1 } ) ( 1 - e ^ { - j \omega _ { 0 } } z ^ { - 1 } ) } } } \end{array}
\int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ^ { \prime } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ^ { \ast } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ^ { \prime } , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 } d f _ { 2 } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { D \Phi [ \kappa ( \mathbf { x } ) ] } & { { } = - \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega } \frac { d } { \kappa ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } \, \mathbf { q } ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \bullet \mathbf { q } ^ { ( f ) } ( \mathbf { x } ) \; \mathrm { d } \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { = \sum _ { m = - \frac { { M = 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M = 1 } } { 2 } } { \frac { { \partial { a _ { m } } ^ { * } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } { a _ { m } } ( r , \theta ) } } \\ & { = - j \frac { { 2 \pi r \cos \theta } } { \lambda } \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { \frac { { m { \varepsilon _ { T } } } } { { \sqrt { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } } , } \end{array}
\lbrace S _ { i } , S _ { j } \rbrace = \varepsilon _ { i j } ^ { \ \ k } S _ { k } , \ \, l b r a c e R _ { i } , S _ { j } \rbrace = \varepsilon _ { i j } ^ { \ \ k } R _ { k } , \ \, l b r a c e R _ { i } , R _ { j } \rbrace = - d ( M ) \varepsilon _ { i j } ^ { \ \ k } S _ { k } .
\begin{array} { r } { \textrm { e } ^ { - q { \left( { \hat { a } } { \hat { b } } + { { \hat { a } } } ^ { + } { { \hat { b } } } ^ { + } + { { \hat { a } } } ^ { + } { \hat { a } } + { { \hat { b } } } ^ { + } { \hat { b } } + 1 \right) } } = \textrm { e } ^ { - \frac { q } { 1 + q } \, { { \hat { a } } } ^ { + } { { \hat { b } } } ^ { + } } } \\ { \times \, \textrm { e } ^ { - \ln ( 1 + q ) \, \left( { \hat { a } } ^ { + } { \hat { a } } + { \hat { b } } ^ { + } { \hat { b } } + 1 \right) } \textrm { e } ^ { - \frac { q } { 1 + q } \, { \hat { a } } { \hat { b } } } . } \end{array}
h _ { 2 } ( \boldsymbol { x } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) \geq h _ { 2 } ( \overline { { \boldsymbol { x } } } ^ { * } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) + \nabla _ { \boldsymbol { x } } h _ { 2 } ( \overline { { \boldsymbol { x } } } ^ { * } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) ^ { T } ( \boldsymbol { x } - \overline { { \boldsymbol { x } } } ^ { * } ) = h _ { 2 } ( \overline { { \boldsymbol { x } } } ^ { * } ; \boldsymbol { z } ^ { * } ) = 0 .
c _ { p } ^ { + } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = c _ { q } ^ { - } ( \widetilde { \gamma } , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) , \qquad p , q \geqslant N ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) .
f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { q } } } & { { \mathrm { i f ~ } } x = { \frac { p } { q } } \quad ( x { \mathrm { ~ i s ~ r a t i o n a l ) , ~ w i t h ~ } } p \in \mathbb { Z } { \mathrm { ~ a n d ~ } } q \in \mathbb { N } { \mathrm { ~ c o p r i m e } } } \\ { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x { \mathrm { ~ i s ~ i r r a t i o n a l . } } } \end{array} \right. }
{ \begin{array} { r l } { ( { \hat { p } } \psi ) ( r ) } & { = i \hbar \operatorname* { l i m } _ { a \to 0 } { \frac { ( { \hat { T } } ( a ) \psi ) ( r ) - \psi ( r ) } { a } } } \\ & { = i \hbar \operatorname* { l i m } _ { a \to 0 } { \frac { \psi ( r - a ) - \psi ( r ) } { a } } } \\ & { = - i \hbar { \frac { \partial } { \partial r } } \psi ( r ) } \end{array} }
g _ { R , i } ^ { ( T , S ) } ( t ) = { \widetilde K } _ { R } ^ { ( T , S ) } ~ f ( v ^ { ( T ) } ( t ) ) ~ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { S } } w _ { i j } ^ { ( T , S ) } ~ s _ { j } ^ { ( T , S ) } ( t ) .
\begin{array} { r l } { \left| { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } ( \langle Y _ { 1 } , \theta \rangle , \ldots , \langle Y _ { N } , \theta \rangle ) \right| } & { \leqslant \left| { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \left( \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } ( S _ { N } ) - { \mathbf E } \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } ( S _ { N } ) \right) \right| } \\ & { \qquad + \left| { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \cdot ( { \mathbf E } \operatorname { Q u a n t } _ { \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } ( S _ { N } ) - \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) ) \right| } \\ & { \qquad + { \mathbf E } _ { \rho _ { v } } \sqrt { \theta ^ { \top } \Sigma \theta } \cdot \Phi ^ { - 1 } ( 1 / 2 + \varepsilon ) } \\ & { = ( I ) + ( I I ) + ( I I I ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \; \delta _ { x } ^ { - } \left[ \left( \delta _ { x } ^ { + } \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { x } \right) U _ { \mathbf { x } } \right] - \; \delta _ { y } ^ { - } \left[ \left( \delta _ { y } ^ { + } \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } \right) V _ { \mathbf { x } } \right] = } \\ & { \left( \phi _ { i , j } - \phi _ { i , j - 1 } - \Psi _ { i , j - 1 } ^ { x } \right) U _ { i , j - 1 } - \left( \phi _ { i , j + 1 } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { x } \right) U _ { i , j } } \\ { + } & { \left( \phi _ { i , j } - \phi _ { i - 1 , j } - \Psi _ { i - 1 , j } ^ { y } \right) V _ { i - 1 , j } - \left( \phi _ { i + 1 , j } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } \right) V _ { i , j } = 0 , } \end{array}
i \frac { \partial } { \partial t } \varphi _ { m } ( \textbf { r } , t ) = \left[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + v _ { \mathrm { K S } } [ n ( \textbf { r } , t ) ] \right] \varphi _ { m } ( \textbf { r } , t )
T \mathrm { d } S = \frac { \hbar } { 2 \pi \lambda c } \vec { a } \cdot \mathrm { d } \vec { r } \enspace \enspace \mathrm { ~ ( ~ D ~ i ~ f ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ t ~ i ~ a ~ l ~ U ~ n ~ r ~ u ~ h ~ E ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ }
\hat { W } ( { \bf x } ) = - \frac { \pi } { 2 } \frac { e ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } \bar { \epsilon } } \left[ H _ { 0 } \left( \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } \right) - N _ { 0 } \left( \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } \right) \right]
A _ { j k } ( x + y ) = { \frac { \biggl | \begin{array} { l l } { { c _ { 2 } A _ { m k } ( x ) } } & { { c _ { 2 } A _ { m k } ( y ) } } \\ { { C _ { m k } ( x ) } } & { { C _ { m k } ( y ) } } \end{array} \biggr | } { \biggl | \begin{array} { l l } { { G _ { m k } ( x ) } } & { { G _ { m k } ( y ) } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \biggr | } } ,
C ( x , t ) = K _ { 0 } \frac { 1 } { t ^ { \frac { 7 } { 2 } } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { 3 } { 2 D } \frac { x ^ { 2 } } { t } + \frac { 1 } { 4 D ^ { 2 } } \frac { x ^ { 4 } } { t ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 1 2 0 D ^ { 3 } } \frac { x ^ { 6 } } { t ^ { 3 } } \right) .
p ( \mathbf x , 0 ) = \left( 2 \pi \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { - d / 2 } \exp \bigg [ - \frac { | \mathbf x - \pmb \mu | ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \bigg ] .
\begin{array} { r l } & { \nabla \phi _ { 0 } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( \kappa _ { n } - \kappa _ { i } ) z _ { i } \nabla c _ { i , 0 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i , 0 } } , } \\ & { \nabla \phi _ { 1 } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( \kappa _ { n } - \kappa _ { i } ) z _ { i } \nabla c _ { i , 1 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i , 0 } } + \frac { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( \kappa _ { n } - \kappa _ { i } ) z _ { i } \nabla c _ { i , 0 } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i , 1 } \right) } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } ( z _ { i } \kappa _ { i } - z _ { n } \kappa _ { n } ) z _ { i } c _ { i , 0 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } { \sf r } } { d \lambda ^ { 2 } } + \frac { 2 } { l } \frac { d \sf t } { d \lambda } \frac { d { \sf r } } { d \lambda } - \frac { J ^ { 2 } } { 4 } \frac { e ^ { - 4 { \sf t } / l } } { { \sf r } ^ { 3 } } = 0 \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { = \mathcal { J } ( u , \hat { u } ) - \underbrace { \int _ { \Omega } v _ { i } ( x ) \left( \mathcal { D } u - Y u \right) _ { i } } _ { \equiv \mathrm { I } } - \underbrace { \int _ { \partial \Omega } p _ { i } ( x ) \left( \sigma _ { i j } n _ { j } + \sigma n _ { i } \right) } _ { \equiv \mathrm { I I } } } \end{array}
\Delta [ { \bf z } ] = \left\{ \prod _ { t } \operatorname * { d e t } \left[ { \frac { 1 } { m } } ( 1 - \dot { \bf z } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } ( \delta ^ { h k } - { \dot { z } } ^ { h } { \dot { z } } ^ { k } ) \right] \right\} ^ { - \frac { 1 } { 2 } } .
\nabla \left( \begin{array} { l } { { V } } \\ { { V _ { A B } } } \\ { { \bar { V } } } \\ { { \bar { V } ^ { A B } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } P _ { C D } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { P _ { A B } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } \bar { P } _ { A B C D } } } \\ { { 0 } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } \bar { P } ^ { C D } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \bar { P } ^ { A B } } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } P ^ { A B C D } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { V } } \\ { { V _ { C D } } } \\ { { \bar { V } } } \\ { { \bar { V } ^ { C D } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \alpha \left( { \mathbf { q } } \right) } & { = } & { { \gamma _ { B O } / ( 2 k _ { B } T ) } + { \Delta _ { 0 } } { \alpha ^ { { \mathrm { Q M C } } } } \left( { \mathbf { q } } \right) } \\ { \alpha _ { i , j } ^ { ^ { { \mathrm { Q M C } } } } \left( { \mathbf { q } } \right) } & { = } & { \left\langle { \left( { { \mathbf { f } _ { i } } \left( { \mathbf { q } } \right) - \left\langle { { \mathbf { f } _ { i } } \left( { \mathbf { q } } \right) } \right\rangle } \right) } \right\rangle \left\langle { \left( { { \mathbf { f } _ { j } } \left( { \mathbf { q } } \right) - \left\langle { { \mathbf { f } _ { j } } \left( { \mathbf { q } } \right) } \right\rangle } \right) } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( D J ( g ) , \varphi ) _ { U _ { a d } } \triangleq D J ( g ; \varphi ) = \int _ { 0 } ^ { T } \gamma \langle g , \varphi \rangle _ { \Gamma } + ( \theta ( g ) \nabla \rho ( g ) , L \varphi ) \, d t , \quad \forall \varphi \in U _ { a d } , } \end{array}
G _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right] .
\{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \} _ { \mathrm { c . b . } } = \beta _ { 1 } \left( P - \frac { 1 } { N } I \right) + \left\{ \theta _ { 1 } [ \theta _ { 2 } , r ] \right\} + \beta _ { 2 } \left( \theta _ { 1 } P \theta _ { 2 } + \theta _ { 2 } P \theta _ { 1 } - \frac { 2 } { N } \theta _ { 1 } \theta _ { 1 } - \frac { 2 } { N } \theta _ { 2 } \theta _ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { + } ^ { 2 } } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \ell \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } | ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i u } ) / u | ^ { 2 } | u | ^ { 1 - 2 H _ { j } ^ { + } } \mathrm d u , } & { \mu < \frac { \upsilon _ { 2 } } { \upsilon _ { 1 } } - \upsilon _ { 2 } , } \\ { \int _ { \mathbb { R } } \big | ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i v } ) / v \big | ^ { 2 } | v | ^ { 1 - 2 H _ { 2 } ^ { + } } \mathrm d v \times \int _ { \mathbb { R } } g _ { + } ( u , 1 ) \mathrm d u , } & { \mu > \frac { \upsilon _ { 2 } } { \upsilon _ { 1 } } - \upsilon _ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { l l l } { - c ^ { 2 } d \tau ^ { 2 } } & { = } & { - \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } } \end{array}
I _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } = - 1 6 D p ^ { 0 } \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 3 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \ddot { \alpha } _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) R ^ { 2 } \alpha _ { 1 } - \frac { 3 } { 2 } k _ { 2 } R ^ { 2 } \alpha _ { 2 } } & { = 0 , } \\ { I _ { 2 } \ddot { \alpha } _ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } k _ { 2 } R ^ { 2 } \alpha _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } k _ { 2 } R ^ { 2 } \alpha _ { 2 } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \prod _ { j \neq m } ( \lambda - x _ { j } ) } & { = } & { \frac { \underset { j = 1 } { \overset { g } { \prod } } ( \lambda - x _ { j } ) } { \lambda - x _ { m } } = \left( \sum _ { r = 0 } ^ { g } ( - 1 ) ^ { r } e _ { r } ( \{ x _ { 1 } , \dots , x _ { g } \} ) \lambda ^ { g - r } \right) \left( \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } x _ { m } ^ { s } \lambda ^ { - s - 1 } \right) } \\ & { = } & { \sum _ { r = 0 } ^ { g } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { r } e _ { r } ( \{ x _ { 1 } , \dots , x _ { g } \} ) x _ { m } ^ { s } \lambda ^ { g - r - s - 1 } } \end{array}
\left( \boldsymbol { J } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } \boldsymbol { J } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) ) + \mathbf { G } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \mathbf { G } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { T } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { J } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { T } \boldsymbol { \Psi } _ { \boldsymbol { \tau } } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { \theta ) } .
\mathcal { F } _ { \mathrm { ~ ( ~ B ~ ) ~ } } : \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( B ) \leftrightarrow \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( B )
\begin{array} { r l } { \tilde { h } _ { s } ^ { \mathrm { e v e n } } } & { = \lambda ^ { a _ { \mathrm { e } } } \: h _ { s } ^ { \mathrm { e v e n } } ( x / \lambda ^ { a _ { \perp } } , y / \lambda ^ { a _ { \perp } } , z / \lambda ^ { a _ { \parallel } } , t / \lambda ^ { a _ { t } } ) , } \\ { \tilde { h } _ { s } ^ { \mathrm { o d d } } } & { = \lambda ^ { a _ { \mathrm { o } } } \: h _ { s } ^ { \mathrm { o d d } } ( x / \lambda ^ { a _ { \perp } } , y / \lambda ^ { a _ { \perp } } , z / \lambda ^ { a _ { \parallel } } , t / \lambda ^ { a _ { t } } ) , } \\ { \tilde { \phi } } & { = \lambda ^ { a _ { \mathrm { e } } } \: \phi ( x / \lambda ^ { a _ { \perp } } , y / \lambda ^ { a _ { \perp } } , z / \lambda ^ { a _ { \parallel } } , t / \lambda ^ { a _ { t } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \parallel \theta ^ { * } \parallel ^ { 2 } } & { = } & { \langle \theta ^ { * } , \theta ^ { * } \rangle } \\ & { = } & { \langle L ^ { \dagger } ( \omega + d ) , L ^ { \dagger } ( \omega + d ) \rangle } \\ & { = } & { \sum _ { j = 2 } ^ { N } \lambda _ { j } ^ { - 2 } \langle v _ { j } , \omega + d \rangle ^ { 2 } . } \end{array}
S _ { E } = \int d ^ { D } x \, \left[ \frac { 1 } { 2 m _ { 0 } } \partial _ { M } \Psi ^ { \dagger } \partial _ { M } \Psi - \mu _ { 0 } \, \Psi ^ { \dagger } \Psi + \frac { 1 } { 2 } b \left( \Psi ^ { \dagger } \Psi \right) ^ { 2 } \right] \; .
\operatorname* { d e t } ( A ) = \sum _ { \tau \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \tau ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { i , \tau ( i ) } = \sum _ { \sigma \in S _ { n } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } a _ { \sigma ( i ) , i } ,
\begin{array} { l c l } { { \sigma } } & { { = } } & { { { \displaystyle \int } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { ( 4 ) } ( p _ { 1 } + p _ { 2 } - p _ { 3 } - p _ { 4 } - P ) \frac { 1 } { 4 \sqrt { ( p _ { 1 } \cdot p _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 4 } } } \frac { 1 } { 4 } \sum | { \cal M } | ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { { \displaystyle p } } _ { 3 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { 3 } } \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { { \displaystyle p } } _ { 4 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { 4 } } \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { { \displaystyle P } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { R } } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tan \varphi _ { M N } = \frac { Z _ { L } } { r } = \frac { 1 } { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } = \sqrt { 3 } = \tan \frac { \pi } { 3 } } \\ & { \Rightarrow \varphi _ { u _ { M N } } - \varphi _ { i } = \frac { \pi } { 3 } \Rightarrow \varphi _ { u _ { M N } } = \varphi _ { i } + \frac { \pi } { 3 } = \frac { \pi } { 2 } ( \mathrm { r a d } ) } \end{array}
\mathrm { w i t h ~ } \; \; \; \omega _ { l , m , n } \equiv \sqrt { \Biggl ( \frac { \alpha _ { m } ^ { ( l ) } } R \Biggr ) ^ { 2 } + \Biggl ( \frac { n \pi } { 2 L } \Biggr ) ^ { 2 } } \; \; ,
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { z _ { 0 } } ^ { + \infty } | u ( z ) | ^ { 2 } z ^ { - 2 \alpha - 3 } \ d z } \\ { \leq } & { \ C ( \Lambda ) \int _ { z _ { 0 } } ^ { + \infty } z ^ { 2 ( \mu - \alpha - 1 ) - 1 } ( \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } | f ( s ) | s ^ { - \mu } \ d s + | c _ { 0 } | z _ { 0 } ^ { - \mu } ) ^ { 2 } \ d z } \\ { \leq } & { \ C ( \Lambda ) \int _ { z _ { 0 } } ^ { + \infty } z ^ { 2 ( \mu - \alpha - 1 ) - 1 } \left( ( \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } | f ( s ) | ^ { 2 } s ^ { - \mu - \alpha } \ d s ) ( \int _ { z _ { 0 } } ^ { z } s ^ { - \mu + \alpha } \ d s ) + c _ { 0 } ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { - 2 \mu } \right) \ d z } \\ { \leq } & { \ \frac { C ( \Lambda ) } { ( \alpha + 1 - \mu ) ^ { 2 } } \int _ { z _ { 0 } } ^ { + \infty } | f ( s ) | ^ { 2 } s ^ { - 2 \alpha - 1 } \ d s + \frac { C ( \Lambda ) } { \alpha + 1 - \mu } c _ { 0 } ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { - 2 \alpha - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial a } { \partial t } } & { = } & { \left( \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } a - \left\Vert \left( \left( V \left( \mathbf { x } \right) + 2 0 0 \left| a \right| ^ { 2 } \right) + 0 . 6 i \cdot \left( \mathbf { x } \times \nabla \right) \right) a \right\Vert \right) } \\ { V \left( \mathbf { x } \right) } & { = } & { 0 . 3 5 \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) } \\ { \left\Vert b \left( \mathbf { x } \right) \right\Vert } & { = } & { \frac { b \left( \mathbf { x } \right) } { \int \left| b \right| ^ { 2 } d \mathbf { x } } \, . } \end{array}
\alpha \leq \frac { 1 } { 1 2 C } , \ \gamma \leq \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { \sqrt { \alpha } } { 2 \sqrt { C } } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { \alpha ^ { 2 } ( 1 - \lambda _ { 2 } ) } { 1 7 2 8 C } \right\} , \ \eta = \sqrt { \frac { n } { K } } , \ K \geq \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { 1 2 L ^ { 2 } n } { \alpha } , \frac { 2 5 6 n L ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } } \right\} .
\begin{array} { r l } { \bf { a } _ { c c } } & { = D _ { c } D _ { c } \bf { x } ( t ) = D _ { c } { \bf v } , } \\ { \bf { a } _ { s s } } & { = D _ { s } D _ { s } \bf { x } ( t ) = D _ { s } { \bf u } , } \\ { \bf { a } _ { c s } } & { = D _ { c } D _ { s } \bf { x } ( t ) = D _ { c } { \bf u } , } \\ { \bf { a } _ { s c } } & { = D _ { s } D _ { c } \bf { x } ( t ) = D _ { s } { \bf v } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { - t G } \mathfrak { M } ^ { n - 1 } M ^ { n _ { 0 } } A _ { q } B _ { q } ^ { \prime } E _ { t } } & { = \sum _ { ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n - 1 } ) \in \mathcal { A } ^ { n - 1 } } e ^ { - t G } M ^ { n _ { 0 } } A _ { q _ { n - 1 } } \dots M ^ { n _ { 0 } } A _ { q _ { 1 } } M ^ { n _ { 0 } } A _ { q } B _ { q } ^ { \prime } E _ { t } } \\ & { = \sum _ { ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } ) \in \mathcal { A } ^ { n } } A _ { q _ { n } } e ^ { - t G } M ^ { n _ { 0 } } A _ { q _ { n - 1 } } \dots M ^ { n _ { 0 } } A _ { q _ { 1 } } M ^ { n _ { 0 } } A _ { q } B _ { q } ^ { \prime } E _ { t } + O ( h ^ { \infty } ) } \\ & { = \sum _ { ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } ) \in \mathcal { A } ^ { n } } A _ { q _ { n } } e ^ { - t G } B _ { q _ { n } } ^ { \prime } M _ { q _ { n } , q _ { n - 1 } } \dots M _ { q _ { 2 } , q _ { 1 } } M _ { q _ { 1 } , q } E _ { t } + O ( h ^ { \infty } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 2 k } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) ^ { k } \frac { \partial ^ { k } } { \partial \theta _ { i } ^ { k } ( \tau ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } } & { { } = \langle ( \tilde { \phi } _ { i } ( \tau _ { + } ) + 1 ) ^ { k } \phi _ { i } ^ { k } ( \tau ) \rangle } \end{array}