harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Theta ( r ) } & { = - \frac { r ^ { 4 } } { 7 0 } \int _ { r } ^ { \infty } \frac { \rho ( \tau ) } { \tau } ~ \mathrm { d } \tau + \frac { r ^ { 2 } } { 3 0 } \int _ { r } ^ { \infty } \tau \rho ( \tau ) ~ \mathrm { d } \tau } \\ & { + \frac { 1 } { r } \left( \frac { 1 } { 3 0 } \int _ { 1 } ^ { r } \tau ^ { 4 } \rho ( \tau ) ~ \mathrm { d } \tau + \frac { 1 } { 2 0 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { \rho ( \tau ) } { \tau } ~ \mathrm { d } \tau - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \tau \rho ( \tau ) ~ \mathrm { d } \tau \right) } \\ & { + \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \left( - \frac { 1 } { 7 0 } \int _ { 1 } ^ { r } \tau ^ { 6 } \rho ( \tau ) ~ \mathrm { d } \tau - \frac { 1 } { 2 8 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { \rho ( \tau ) } { \tau } ~ \mathrm { d } \tau \right. \left. + \frac { 1 } { 2 0 } \int _ { 1 } ^ { \infty } \tau \rho ( \tau ) ~ \mathrm { d } \tau \right) } \end{array}
\Omega _ { 0 } \big ( \vec { k } , \vec { x } + \frac { \partial \omega } { \partial \vec { k } } s , t + s \big ) = 2 \int d \vec { q } ^ { \prime } e ^ { i \vec { q } ^ { \prime } \cdot ( \vec { x } + \partial _ { \vec { k } } \omega s ) } \int _ { 2 , 4 \mathrm { ~ s ~ m ~ a ~ l ~ l ~ } } d \vec { k } _ { 2 } d \vec { k } _ { 4 } T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 4 } } b _ { \mathbf 2 } ^ { * } ( t + s ) b _ { \mathbf 4 } ( t + s ) \delta ( \vec { q } ^ { \prime } + \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 4 } )
a = \frac { \Delta B _ { 1 } ^ { \mathrm { F i D e L } } ( I ^ { * } , \mathrm { s g n } ( \frac { d I } { d t } ) ) - c } { e ^ { - \mathrm { s g n } ( \frac { d I } { d t } ) b ( I ^ { * } ) I ^ { * } } } .
U _ { \lambda } \left( p , s _ { p } \right) = \frac { \tau _ { u } ^ { \lambda } \left( p , s _ { p } \right) } { \sqrt { b _ { 0 } . \left( p + m _ { p } s _ { p } \right) } } U _ { - \lambda } \left( b _ { 0 } \right) ,
H = \frac { 2 \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } - \rho \rho ^ { \prime \prime } } { ( \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } = 1 - ( p + p ^ { \prime \prime } ) \varepsilon + o ( \varepsilon ) .
R ^ { ( 1 ) } ( \sqrt { \tau } ) = \frac { \displaystyle \frac { d \sigma ^ { ( 0 ) } } { d m } + \frac { d \sigma ^ { S + V , ( 1 ) } } { d m } } { \displaystyle \frac { d \sigma ^ { ( 0 ) } } { d m } + \frac { d \sigma ^ { ( 1 ) } } { d m } }
T _ { \mathrm { c o r o n a } } \sim \left( \frac { e ^ { 4 } \, m _ { e } ^ { 1 / 2 } } { m _ { p } ^ { 2 } } \, \frac { \rho _ { \mathrm { c o r o n a } } ^ { 1 / 2 } \, B _ { \mathrm { s u r f } } } { g } \right) ^ { 2 / 3 } = 4 . 6 \times 1 0 ^ { - 3 } \, \frac { \lambda ^ { 5 / 6 } \, m _ { e } ^ { 5 / 3 } } { \alpha ^ { 1 / 3 } \, m _ { p } ^ { 2 / 3 } }
\begin{array} { r } { C _ { 6 } = \frac { 3 2 } { 3 } \, \operatorname* { m a x } _ { \{ \zeta _ { n } \} } \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \big [ \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \zeta _ { n } ( r ) \, \exp ( - r ) \, r ^ { 4 } \, d r \big ] ^ { 4 } } { 1 - \int _ { 0 } ^ { \infty } \zeta _ { n } ( r ) \, [ ( 2 \, \zeta _ { n } ( r ) + 4 \, \zeta _ { n } ^ { \prime } ( r ) + r \, \zeta _ { n } ^ { \prime \prime } ( r ) ] \, r ^ { 3 } \, d r } \quad . } \end{array}
S _ { i n t } = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \frac { p ^ { 2 } } { p - 1 } \left[ \frac { 2 \pi p \ln p } { p ^ { 2 } - 1 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { D - 1 } y \sum _ { \ell = 3 } ^ { p + 1 } \frac { p \ ! } { \ell \ ! ( p + 1 - \ell ) ! } \sum _ { n _ { 1 } } \cdots \sum _ { n _ { \ell } } A _ { n _ { 1 } n _ { 2 } \dots n _ { \ell } } \prod _ { i = 1 } ^ { \ell } \psi _ { n _ { i } } ( y ) ,
\begin{array} { r l } { E _ { z } } & { \simeq \frac { A } { \Gamma \left( \nu + 1 \right) } \left( \frac { x _ { \nu n } } { 2 } \right) \left( x _ { \nu 1 } \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu } } \\ { E _ { \rho } } & { \simeq \frac { A a p \pi } { \Gamma \left( \nu + 1 \right) d } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu n } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu n } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { E _ { \phi } } & { \simeq - \frac { i A p \pi a } { \Gamma ( \nu + 1 ) d } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu n } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu n } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { H _ { \rho } } & { \simeq - \frac { A \omega \epsilon a } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu n } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu n } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \\ { H _ { \phi } } & { \simeq - \frac { i A \omega \epsilon a } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \frac { \nu } { \left( x _ { \nu n } \right) ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { \nu n } } { 2 } \right) ^ { \nu } \left( \frac { \rho } { a } \right) ^ { \nu - 1 } } \end{array}
m _ { t } ( { m _ { t } } ) = [ h _ { t } + 5 3 9 . 1 7 ~ { \frac { M _ { X } ^ { 2 } } { M _ { \Sigma } ^ { 2 } } } ~ f _ { t } ] ~ v _ { 2 } ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ m _ { t } ^ { p o l e } = m _ { t } ( m _ { t } ) ~ [ 1 + { \frac { 4 } { 3 \pi } } \alpha _ { s } ] .
K _ { 1 x } ^ { 4 } = d x ^ { 2 } d y ~ \vert ~ ~ A _ { 4 } ~ ~ ( B _ { 2 } - t A _ { 2 } ) ~ ~ ( B _ { 3 } - t A _ { 3 } ) ~ ~ ( B _ { 4 } ) ~ ~ \vert = d x ^ { 2 } d y ~ \kappa ~ \gamma _ { 1 } ~ ( t v + u )
\begin{array} { r l } { h ^ { \prime } } & { = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } ( - h a d _ { w } ) ^ { p } h , } \\ { \delta ^ { \prime } } & { = \delta _ { S } + \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } b ( - a d _ { w } h ) ^ { p } a d _ { w } a , } \\ { a ^ { \prime } } & { = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } ( - h a d _ { w } ) ^ { p } a , } \\ { b ^ { \prime } } & { = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } b ( - a d _ { w } h ) ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } ^ { \prime } = \sum _ { m = 0 } ^ { N _ { \mathrm { m } } - 1 } \left( \boldsymbol { A } _ { m } ( t ) \cos ( \boldsymbol { k } _ { m } \cdot \boldsymbol { x } ) + \boldsymbol { B } _ { m } ( t ) \sin ( \boldsymbol { k } _ { m } \cdot \boldsymbol { x } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \Lambda _ { 1 } = [ 1 , 0 , 0 , 0 ] } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { S U ( 3 ) } } & { { } } & { { S O ( 8 ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \left| \frac 1 2 \frac 1 2 1 \right\rangle } } & { { \longleftrightarrow } } & { { \left| 0 i 0 0 \right\rangle } } \\ { { \left| \frac 1 2 \frac { - 1 } 2 1 \right\rangle } } & { { \longleftrightarrow } } & { { \left| 0 0 i 0 \right\rangle } } \\ { { \left| 1 1 0 \right\rangle } } & { { \longleftrightarrow } } & { { \left| i 0 0 0 \right\rangle } } \\ { { \left| 1 0 0 \right\rangle } } & { { \longleftrightarrow } } & { { \frac 1 { \sqrt { 2 } } \left( \left| 0 0 0 - i \right\rangle - \left| 0 0 0 i \right\rangle \right) } } \\ { { \left| 1 - 1 0 \right\rangle } } & { { \longleftrightarrow } } & { { \left| - i 0 0 0 \right\rangle } } \\ { { \left| 0 0 0 \right\rangle } } & { { \longleftrightarrow } } & { { \frac 1 { \sqrt { 2 } } \left( \left| 0 0 0 - i \right\rangle + \left| 0 0 0 i \right\rangle \right) } } \\ { { \left| \frac 1 2 \frac 1 2 - 1 \right\rangle } } & { { \longleftrightarrow } } & { { \left| 0 0 - i 0 \right\rangle } } \\ { { \left| \frac 1 2 \frac { - 1 } 2 - 1 \right\rangle } } & { { \longleftrightarrow } } & { { \left| 0 - i 0 0 \right\rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { n - 1 } } \langle \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } , { \Psi } _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rangle } & { = \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \langle u , \mathrm { d } { \Psi } \rangle - \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \langle \mathbf { \delta } u , { \Psi } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 0 } ( c _ { o } + \vec { c } \cdot \vec { n } ) } & { \le \sum _ { i } \operatorname* { m a x } _ { 0 \le x _ { i } \le 1 } \alpha _ { i } x _ { i } ( c _ { 0 } + \eta _ { i } \vec { c } \cdot \hat { n } _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { i } \operatorname* { m a x } [ \alpha _ { i } ( c _ { 0 } + \eta _ { i } \vec { c } \cdot \hat { n } _ { i } ) , 0 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { d } { d t } \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { M _ { 3 } \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \ M _ { 6 } \left( \| v ^ { k } - v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq } & { \ M _ { 7 } \left( \| v ^ { k } - v ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\left( { \frac { W _ { 0 } ( x ) } { x } } \right) ^ { r } = e ^ { - r W _ { 0 } ( x ) } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { r \left( n + r \right) ^ { n - 1 } } { n ! } } \left( - x \right) ^ { n } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { 2 } x } { d t ^ { 2 } } } } & { = f ( x ) } \\ { { \frac { d } { d x } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { - 2 } \right) } & { = f ( x ) } \\ { \left( { \frac { d t } { d x } } \right) ^ { - 2 } } & { = 2 \int f ( x ) d x + C _ { 1 } } \\ { { \frac { d t } { d x } } } & { = \pm { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \int f ( x ) d x + C _ { 1 } } } } } \\ { t + C _ { 2 } } & { = \pm \int { \frac { d x } { \sqrt { 2 \int f ( x ) d x + C _ { 1 } } } } } \end{array} }
\# T _ { ( m _ { 1 } , \dots , m _ { k } ) } ^ { ( l _ { 1 } , \dots , l _ { M - ( k - 1 ) } ) } = \sum _ { \substack { I \subset [ M - ( k - 1 ) ] \, | I | = m _ { 1 } } } \left( \prod _ { i \in I } l _ { i } \right) \# T _ { ( m _ { 2 } , \dots , m _ { k } ) } ^ { ( l _ { 1 } ^ { \prime } , \dots , l _ { m _ { 2 } + \cdots + m _ { k } - ( k - 1 ) } ^ { \prime } ) } ,
\begin{array} { r l } { \psi _ { i } ( r , \theta ) } & { { } = b ^ { 2 } V \left( A \, \frac { r } { b } + B \left( \frac { r } { b } \right) ^ { 2 } + C \left( \frac { r } { b } \right) ^ { 4 } + D \, \frac { b } { r } \right) \sin ^ { 2 } \theta \, , } \\ { \psi ( r , \theta ) } & { { } = b ^ { 2 } V \left( E \, \frac { r } { b } + G \left( \frac { r } { b } \right) ^ { 2 } + H \, \frac { b } { r } \right) \sin ^ { 2 } \theta \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { \mathrm { g e o m } } } & { = \int _ { S ( \gamma ) } d \, \widetilde { \alpha } = \int _ { S ( \gamma ) } \left[ \mathcal { R } _ { t } ^ { E } ( \mathbf { e } _ { E } , \mathbf { e } _ { t } ) + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \, \mathcal { R } _ { \psi _ { j } } ^ { p _ { j } } ( \mathbf { e } _ { p _ { j } } , \mathbf { e } _ { \psi _ { j } } ) \right] } \\ & { = - \int _ { S ( \gamma ) } \left[ \frac { 1 } { \mathsf { A } } d E \wedge \, d t + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \frac { 1 } { \mathsf { A } } d p _ { j } \wedge \, d \psi _ { j } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { H } _ { \mathrm { k i n } } } & { { } = } & { \sum _ { k } { n _ { k } \int \tilde { \phi } _ { k } ^ { * } \frac { \left( - i \nabla + { \bf A } ( t ) \right) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { \phi } _ { k } \ \mathrm { d } { \bf x } } , } \\ { \tilde { H } _ { \mathrm { e x t } } } & { { } = } & { \int { \mathcal { V } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ( { \bf x } ) \tilde { \rho } ( { \bf x } ) \ \mathrm { d } { \bf x } } , } \end{array}
\tilde { f } _ { l } ^ { ( \beta ) } = \frac { 1 } { \dot { R } ^ { ( \beta ) } } \left[ - \epsilon _ { l } ^ { ( \beta ) } + \frac { 1 } { N _ { t r } } \sum _ { \alpha } f _ { l } ^ { ( \alpha ) } \dot { R } ^ { ( \alpha ) } + \epsilon _ { l } ^ { ( \alpha ) } \right]
\mathcal { N } ( \mathbf { x } ( t ) , \mathbf { y } ( t ) ) : = \eta \left( \left. \mathcal { P } _ { c } \{ \mathbf { x } ( t ) \} \right| _ { \mathbf { x } ( t ) \in \mathcal { U } ( \mathbf { y } ( t ) ) } - \mathbf { y } ( t ) \right) ,
\bar { F } _ { 4 \, 1 } ^ { 4 } ( i ) = - \frac { 2 1 } { 6 4 } \sqrt { 1 0 } ( \sin i ) ^ { 3 } \cos i - \frac { 2 1 } { 6 4 } \sqrt { 1 0 } ( \sin i ) ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R _ { k , j } ( \tau ) ] } & { { } = \mathbb { E } [ C _ { k , j } ( \tau ) ] + \delta _ { k , j } \phi _ { k } ^ { \tau } - \phi _ { k } ^ { \tau } \mathbb { E } [ C _ { k , j } ( 0 ) ] } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \hat { \gamma } } ( \boldsymbol { \theta } ) ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathcal { D } } } \int _ { \Omega } \biggl ( \hat { \gamma } _ { i } ( \boldsymbol { \theta } ; \boldsymbol { x } ) - \gamma _ { \mathcal { M } _ { i } } ( \boldsymbol { x } ) \biggr ) ^ { 2 } d \Omega
\begin{array} { r l } { \sum _ { e _ { j } = 0 } ^ { \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } } \frac { ( - 1 ) ^ { e _ { j } } q ^ { - ( s - \epsilon + 1 ) e _ { j } - \binom { \lambda _ { j } + e _ { j } } { 2 } - \epsilon ( \lambda _ { j } + e _ { j } ) } } { \eta ( e _ { j } ) \eta ( \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } - e _ { j } ) } } & { = q ^ { - \binom { \lambda _ { j } } { 2 } - \epsilon \lambda _ { j } } \sum _ { e _ { j } = 0 } ^ { \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } } \frac { ( - q ^ { - s - 1 - \lambda _ { j } } ) ^ { e _ { j } } q ^ { - \binom { e _ { j } } { 2 } } } { \eta ( e _ { j } ) \eta ( \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } - e _ { j } ) } } \\ & { = \frac { q ^ { - \binom { \lambda _ { j } } { 2 } - \epsilon \lambda _ { j } } } { \eta ( \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } ) } \prod _ { i = 0 } ^ { \lambda _ { j - 1 } - \lambda _ { j } - 1 } ( 1 - q ^ { - s - 1 - \lambda _ { j } - i } ) } \end{array}
\hat { P } ^ { \hat { a } \hat { b } \hat { c } } \equiv \hat { \cal H } ^ { \hat { a } \hat { b } \hat { d } } \hat { C } _ { \hat { d } } ^ { \hat { c } } = { \frac { 1 } { K } } \, \left[ ( 1 + { \frac { 1 } { 1 2 } } \hat { { \cal H } } ^ { 2 } ) \, \hat { \cal H } ^ { \hat { a } \hat { b } \hat { c } } - \, { \frac { 1 } { 4 } } ( \hat { { \cal H } } ^ { 3 } ) ^ { \hat { a } \hat { b } \hat { c } } \right] \, .
H _ { \infty } ^ { 2 } \equiv \frac { \kappa _ { 4 } ^ { 2 } } { 3 } \, \Lambda _ { 4 } < \frac { 1 } { 4 \omega _ { 4 } M } = \frac { 3 \pi M _ { 5 } ^ { 3 } } { 3 2 M } \, ,
( \rho , \mathbf { v } , \mathbf { B } , p ) = ( 1 , - 1 1 . 2 5 3 6 , 0 , 0 , 0 , 0 . 5 6 4 1 8 9 5 8 , 0 . 5 6 4 1 8 9 5 8 , 1 ) .
\eta = \frac { W _ { L } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } \left( 2 \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } ( \sigma , W _ { L } ) \right) ^ { 2 } \left( 2 \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a _ { m } ( \sigma , 1 ) \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { k } } } & { = \left( \cos \phi \sin \theta , \sin \phi \sin \theta , \cos \theta \right) , } \\ { \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } } & { = \left( - \sin \phi , \cos \phi , 0 \right) , } \\ { \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } } & { = \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \times \hat { \mathbf { k } } = \left( \cos \phi \cos \theta , \sin \phi \cos \theta , - \sin \theta \right) . } \end{array}
G ( \vartheta ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d k \, e ^ { i k \vartheta } \frac { \sinh \frac { \pi ( p - 1 ) k } { 2 } } { 2 \sinh \frac { \pi p k } { 2 } \, \cosh \frac { \pi k } { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { \operatorname { V a r } _ { \tilde { \pi } ^ { ( k ) } } \left[ \widehat { F } _ { \mathrm { I S M F } , p } ^ { ( k ) } \right] = c _ { \mathrm { I S M F } } ^ { ( k ) } \operatorname { V a r } _ { \pi ^ { ( k ) } } [ \widehat { F } _ { \mathrm { M C } , p } ^ { ( k ) } ] , \quad c _ { \mathrm { I S M F } } ^ { ( k ) } = c _ { \mathrm { M F } } ( \widetilde { F } ^ { ( k ) } , \widetilde { G } ^ { ( k ) } , \tilde { \pi } ^ { ( k ) } ) \times c _ { \mathrm { I S } } ^ { ( k ) } } \end{array}
V \frac { \partial U } { \partial y } = \frac { \nu } { \delta } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } u _ { * } V _ { i } \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { \nu } \frac { \partial U _ { i } } { \partial y ^ { + } } , \ \ \frac { \delta _ { \nu } } { u _ { * } ^ { 2 } } V \frac { \partial U } { \partial y } = \frac { \nu } { \delta U _ { e } } V _ { i } \frac { \partial U _ { i } } { \partial y ^ { + } } .
\Delta = \alpha ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + ( 1 - \alpha \rho ) \left( \frac { 2 \mu } { \rho } \right) ^ { 2 } = \frac { \rho ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \mu ^ { 2 } - 4 \alpha \rho \mu ^ { 2 } + 4 \mu ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } = \left( \frac { 2 \mu - \alpha \rho \mu } { \rho } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 2 \mu ( 1 - \alpha \rho ) } { \rho } \right) ^ { 2 } > 0 .
\hat { H } = \left( \begin{array} { l l } { E _ { C } - i \hbar \gamma _ { C } } & { \frac { \hbar } { 2 } \Omega _ { R } } \\ { \frac { \hbar } { 2 } \Omega _ { R } } & { E _ { X } - i \hbar \gamma _ { X } } \end{array} \right) ,
\left( \begin{array} { l } { x ^ { 0 } } \\ { x ^ { 1 } } \\ { x ^ { 2 } } \\ { x ^ { 3 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { - \beta \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { - \beta \gamma } & { \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x ^ { 0 } } \\ { x ^ { 1 } } \\ { x ^ { 2 } } \\ { x ^ { 3 } } \end{array} \right)
\nabla _ { \theta } E ( \theta ) = \mathbb { E } _ { p ( \mathbf { r } ) } [ E _ { L } ( \mathbf { r } ) - \mathbb { E } _ { p ( \mathbf { r } ) } E _ { L } ( \mathbf { r } ) ] \textup { l o g } | \psi _ { \theta } ( \mathbf { r } ) | ]
\begin{array} { r l } { \langle \alpha + d _ { 0 } f ^ { \prime \prime } , \alpha + d _ { 0 } f ^ { \prime \prime } \rangle _ { q } } & { = ( \alpha + d _ { 0 } f ^ { \prime \prime } ) ^ { t } W _ { 0 } ^ { t } W _ { 0 } ( \alpha + d _ { 0 } f ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = ( W _ { 0 } \alpha + W _ { 0 } d _ { 0 } f ^ { \prime \prime } ) ^ { t } ( W _ { 0 } \alpha + W _ { 0 } d _ { 0 } f ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = \| W _ { 0 } \alpha + W _ { 0 } d _ { 0 } f ^ { \prime \prime } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { N } ) \approx \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l } { \varphi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \varphi _ { N } ( x _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \varphi _ { 1 } ( x _ { N } ) } & { \cdots } & { \varphi _ { N } ( x _ { N } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
A _ { i } = \frac { 1 } { 1 / \eta } \times \frac { P _ { 2 } ( s _ { i } ) } { P _ { 1 } ^ { \prime } ( s _ { i } ) } = \frac { ( s _ { i } + \omega _ { 1 } ) \ldots ( s _ { i } + \omega _ { n } ) } { \prod _ { j \ne i } ^ { n + 1 } ( s _ { i } - s _ { j } ) } > 0 ,
\begin{array} { r l } & { u _ { 1 } ( x , y , z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { + \infty } \varphi _ { k } ^ { 1 } ( x , y ) \cos \left( \frac \pi h \, k z \right) \, , \qquad \quad u _ { 2 } ( x , y , z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { + \infty } \varphi _ { k } ^ { 2 } ( x , y ) \cos \left( \frac \pi h \, k z \right) \, , } \\ & { u _ { 3 } ( x , y , z ) = \sum _ { k = 0 } ^ { + \infty } \varphi _ { k } ^ { 3 } ( x , y ) \sin \left( \frac \pi h \, k z \right) \, . } \end{array}
( { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } ) _ { k l m n } = { \frac { 1 } { h } } \left[ ( { \cal A } _ { \nu } ) _ { k l m + 1 n + 1 } - ( { \cal A } _ { \nu } ) _ { k l m n + 1 } - ( { \cal A } _ { \mu } ) _ { k l m + 1 n + 1 } + ( { \cal A } _ { \mu } ) _ { k l m + 1 n } \right] .
i \hbar \frac { \partial \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) } { \partial t } = \sum _ { \sigma ^ { \prime } } h _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) + \int V ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \sum _ { \sigma ^ { \prime } } \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , t ) d ^ { 3 } r ^ { \prime } \, \hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } , t )
\begin{array} { r l } { \widehat { s } _ { 0 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } & { = \widehat { W } _ { X X } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) + \widehat { W } _ { Y Y } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } \\ { \widehat { s } _ { 1 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } & { = \widehat { W } _ { X X } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) - \widehat { W } _ { Y Y } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } \\ { \widehat { s } _ { 2 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } & { = \widehat { W } _ { X Y } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) + \widehat { W } _ { Y X } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } \\ { \widehat { s } _ { 3 } \, ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) } & { = i \left( \widehat { W } _ { X Y } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) - \widehat { W } _ { Y X } ( \vec { x } , \vec { \xi } , z , \omega ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle p q | r s \rangle = \int \mathrm { d } \mathbf r \mathrm { d } \mathbf r ^ { \prime } \phi _ { p } ^ { * } ( \mathbf r ) \phi _ { q } ^ { * } ( \mathbf r ^ { \prime } ) \frac { 1 } { | \mathbf r - \mathbf r ^ { \prime } | } \phi _ { r } ( \mathbf r ) \phi _ { s } ( \mathbf r ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \log { J } = \sum _ { j , k } \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \partial q _ { j } \partial q _ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x _ { j } \partial x _ { k } } + \sum _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \partial x _ { j } \partial q _ { j } } . } \end{array}
\Gamma _ { T , L } ( p , M _ { V } ) = \frac { 4 g ^ { 2 } } 9 \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, i { \cal D } ( p - q ) \, \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } - \epsilon _ { q } ^ { 2 } - M _ { V } ^ { 2 } / 4 } { ( q _ { 0 } ^ { 2 } - \epsilon _ { q } ^ { 2 } + M _ { V } ^ { 2 } / 4 ) ^ { 2 } - M _ { V } ^ { 2 } \, q _ { 0 } ^ { 2 } } \, \Gamma _ { T , L } ( q , M _ { V } ) \; ,
\begin{array} { r l } { g _ { \tilde { C } } ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } } & { = \left[ \tilde { A } - 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \right] ^ { - 1 } } \\ & { = \tilde { A } ^ { - 1 } \left[ \mathbb { I } - 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \tilde { A } ^ { - 1 } \right] ^ { - 1 } } \\ & { = \tilde { A } ^ { - 1 } \left[ \mathbb { I } + 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } \left( \mathbb { I } - 2 G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \tilde { A } ^ { - 1 } G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } \right) ^ { - 1 } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \tilde { A } ^ { - 1 } \right] } \\ & { = \tilde { A } ^ { - 1 } + 2 \tilde { A } ^ { - 1 } G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } \left( 1 - 2 G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \tilde { A } ^ { - 1 } G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } \right) ^ { - 1 } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \tilde { A } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { \mathrm { T r S e g 1 } } } & { = \phi _ { \mathrm { C C _ { 1 } } } + \phi _ { \mathrm { C _ { 1 } D } } + \phi _ { \mathrm { D D _ { 1 } } } = 3 \times \phi _ { \mathrm { s e c t } } } \\ { \phi _ { \mathrm { T r S e g 3 } } } & { = \phi _ { \mathrm { P P _ { 1 } } } + \phi _ { \mathrm { P _ { 1 } Q } } + \phi _ { \mathrm { Q Q _ { 1 } } } = 3 \times \phi _ { \mathrm { s e c t } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \mu _ { \b { u } } ( r _ { { \epsilon } } ( \delta ) ) } & { = r _ { \mu _ { \b { u } } ( { \epsilon } ) } ( \mu _ { \b { u } } ( \delta ) ) \ } & { { a n d } } & { } & { \ \mu _ { \b { u } } ( l _ { { \epsilon } } ( \delta ) ) } & { = l _ { \mu _ { \b { u } } ( { \epsilon } ) } ( \mu _ { \b { u } } ( \delta ) ) ; } \\ { \tau ^ { i } ( r _ { { \epsilon } } ( \delta ) ) } & { = r _ { \tau ^ { i } { \epsilon } } ( \tau ^ { i } \delta ) \ } & { { a n d } } & { } & { \ \tau ^ { i } ( l _ { { \epsilon } } ( \delta ) ) } & { = l _ { \tau ^ { i } { \epsilon } } ( \tau ^ { i } \delta ) . } \end{array}
\lambda _ { 2 } ( 1 , 1 ^ { \prime } ; 2 , 2 ^ { \prime } ) = \gamma _ { 2 } ( 1 , 1 ^ { \prime } ; 2 , 2 ^ { \prime } ) - \gamma _ { 1 } ( 1 , 1 ^ { \prime } ) \gamma _ { 1 } ( 2 , 2 ^ { \prime } )