harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left[ \begin{array} { l } { \dot { \varphi } } \\ { \dot { \vartheta } } \end{array} \right] = A \left[ \begin{array} { l } { { \varphi } } \\ { { \vartheta } } \end{array} \right] \; \; \mathrm { w h e r e } \; \; A = \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \, \mathrm { S } _ ( Z ) \, \lambda \left[ \begin{array} { l l } { - 2 \sin 2 \Phi ^ { \mathrm { c r i t } } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sin 2 \Phi ^ { \mathrm { c r i t } } } \end{array} \right] .
\left| \pi _ { \mathcal { C } } ( x ) - \frac { \# \mathcal { C } } { \# \mathcal { G } } \operatorname { L i } ( x ) \right| \leq \frac { \# \mathcal { C } } { \# \mathcal { G } } \sqrt { x } \left[ \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi } + \frac { 1 } { 4 \pi } + \frac { 6 } { \log { x } } \right) n _ { \mathbb { L } } + \left( \frac { 1 } { 2 \pi } + \frac { 3 } { \log { x } } \right) \log { | \Delta _ { \mathbb { L } } | } \right] .
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \, \sum _ { k = 1 } ^ { j } f ( j , k ) } & { = \sum _ { j , k } f ( j , k ) \, [ 1 \leq j \leq n ] \, [ 1 \leq k \leq j ] } \\ & { = \sum _ { j , k } f ( j , k ) \, [ 1 \leq k \leq j \leq n ] } \\ & { = \sum _ { j , k } f ( j , k ) \, [ 1 \leq k \leq n ] \, [ k \leq j \leq n ] } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \, \sum _ { j = k } ^ { n } f ( j , k ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { H ( \vec { J } , \mu , t ) = \left\langle \frac { \sin \left( \sqrt { \vec { J } ^ { 2 } \vec { \omega } ( 0 ) ^ { 2 } } \right) } { \sqrt { \vec { J } ^ { 2 } \vec { \omega } ( 0 ) ^ { 2 } } } \right\rangle _ { \mathbb E ( \mu ) } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - \vec { J } ^ { 2 } ) ^ { n } } { ( 2 n + 1 ) ! } \left\langle \vec { \omega } ( 0 ) ^ { 2 n } \right\rangle _ { \mathbb E ( \mu ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } \alpha _ { j } k ^ { [ M ] } ( \vec { x } ^ { i } , \vec { x } ^ { j } ) } & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \alpha _ { i } \alpha _ { j } \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \sum _ { m , m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } k _ { 0 } ( x _ { m } ^ { i } , x _ { m ^ { \prime } } ^ { j } ) } \\ & { = \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \sum _ { m , m ^ { \prime } = 1 } ^ { M } \alpha _ { i } \alpha _ { j } \frac { 1 } { M ^ { 2 } } k _ { 0 } ( x _ { m } ^ { i } , x _ { m ^ { \prime } } ^ { j } ) } \\ & { = \sum _ { ( i , m ) , ( j , m ^ { \prime } ) \in \mathcal { I } } \frac { \alpha _ { i } } { M } \frac { \alpha _ { j } } { M } k _ { 0 } ( x _ { m } ^ { i } , x _ { m ^ { \prime } } ^ { j } ) \geq 0 , } \end{array}
\frac { V _ { 1 } ( w ) } { V _ { 1 } ( w _ { 0 } ) } \approx 1 - 8 a _ { * } ^ { 2 } \rho _ { 1 * } ^ { 2 } z _ { * } + 1 6 a _ { * } ^ { 2 } ( 4 a _ { * } ^ { 2 } c _ { 1 * } - \rho _ { 1 * } ^ { 2 } ) z _ { * } ^ { 2 } \, .
E _ { D } ( L _ { i } , a ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { D - 2 } L _ { i } \right) \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { D - 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } \dots \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { D - 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ ( k _ { 1 } ) ^ { 2 } + \dots + ( k _ { D - 2 } ) ^ { 2 } + \left( \frac { n \pi } { a } \right) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
\widetilde { \phi ^ { \prime } } ( k , \nu ) = 2 \pi \displaystyle \frac { \sinh \displaystyle \frac { \pi } { 2 } \left( \displaystyle \frac { p + 1 - 2 \nu } { p + 1 } \right) k } { \sinh \displaystyle \frac { \pi } { 2 } k }
\left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , L ] } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { 0 } } & { = - \frac { \omega } { 2 D } } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { L } } & { = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i n ~ } [ 0 , L ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { e ^ { i t \omega _ { H } } } & { \frac { \partial A _ { 1 } ( T , X ) } { \partial T } + \frac { \partial Z _ { 3 } ( t , T , X ) } { \partial t } } \\ & { = e ^ { i t \omega _ { H } } \bigg [ A _ { 1 } ( T , X ) + \frac { - i \left( \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } - 3 i \beta \sigma ( 6 \beta + \sigma ) \omega _ { H } + 2 ( 6 \beta - \sigma ) ( 3 \beta + \sigma ) \omega _ { H } ^ { 2 } \right) } { 3 6 \beta ^ { 2 } \omega _ { H } } \left| A _ { 1 } ( T , X ) \right| ^ { 2 } A _ { 1 } ( T , X ) } \\ & { \qquad \qquad + \frac { D ( - \beta \chi + 3 \beta + \sigma ) \nabla _ { X } ^ { 2 } A _ { 1 } ( T , X ) } { 3 \beta + \sigma } \bigg ] } \\ & { \quad + i \omega _ { H } Z _ { 3 } ( t , T , X ) + \frac { e ^ { - 2 i t \omega _ { H } } \left( \beta \sigma - 2 i ( 3 \beta + \sigma ) \omega _ { H } \right) A _ { 1 } ( T , X ) ^ { * } A _ { 2 } ( T , X ) ^ { * } } { \sqrt { 6 } \beta } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { 3 } } & { { } = \sqrt { 1 - R _ { 2 } } \hat { a } _ { 2 } + i \sqrt { R _ { 2 } } \hat { b } _ { 2 } } & { } \\ { \hat { b } _ { 3 } } & { { } = \sqrt { 1 - R _ { 2 } } \hat { b } _ { 2 } + i \sqrt { R _ { 2 } } \hat { a } _ { 2 } } & { } \end{array}
\mathrm { t r } \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { \mu } ) \big ) = \mathrm { t r } \big ( \mathrm { l i } ^ { \prime } ( \tilde { \mu } ) \big ) = \tilde { \mu } = E ( \mu _ { \Sigma } ) , \quad \forall \mu _ { \Sigma } \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) .
\begin{array} { r l } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \delta ( i ) ( 1 - T _ { i , i } ) = \operatorname* { l i m } _ { i \to \infty } \mu \frac { 1 - q _ { i + L } } { 1 - q _ { i } } + \nu \frac { 1 - q _ { i - 1 } } { 1 - q _ { i } } = \mu + \nu } \\ { \operatorname* { l i m } _ { i \to - \infty } \delta ( i ) ( 1 - T _ { i , i } ) = \mu \alpha ^ { L } + \nu \alpha ^ { - 1 } = \mu + \nu + d } \end{array} \right. } \\ { \Rightarrow } & { \operatorname* { s u p } _ { i \in \mathbb { Z } } \{ \delta ( i ) ( 1 - T _ { i , i } ) \} < \infty . } \end{array}
\{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \} _ { \mathrm { c . b . } } = ( \beta _ { 1 } I + \beta _ { 2 } P _ { 1 2 } ) + \{ \theta _ { 1 } [ \theta _ { 2 } , r ] \} + \beta _ { 3 } ( \theta _ { 1 } \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } \theta _ { 2 } ) \pm \sqrt { \alpha } ( \theta _ { 1 } P \theta _ { 2 } + \theta _ { 2 } P \theta _ { 1 } )
e _ { \hat { 0 } } ^ { \; \; \mu } e _ { \alpha } ^ { \; \; \nu } \left. \frac { \partial \Gamma _ { R } } { \partial g ^ { \mu \nu } } \right| _ { b _ { \mu \nu } } = - { \bar { e } } _ { \alpha } ^ { \; \; i } { e } _ { \hat { 0 } } ^ { \; \; 0 } \frac { \partial \Gamma _ { R } } { \partial v ^ { i } } ,
\hat { \mathbf { u } } _ { 2 j } = \hat { \mathbf { u } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i q X _ { 2 j } } = \hat { \mathbf { u } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha 2 j } \, , \qquad \hat { \mathbf { u } } _ { 2 j + 1 } = \hat { \mathbf { u } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i q X _ { 2 j + 1 } } = \hat { \mathbf { u } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 1 ) } \, ,
C _ { n , \ell } = { \frac { \widehat \alpha _ { s } ^ { n } \widehat n _ { f } ^ { \ell } } { ( N _ { C } ^ { 2 } - 1 ) ^ { \ell - n } } } \Sigma _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { n } } ( - 1 ) ^ { n - e _ { i } } ( N _ { C } ^ { 2 } ) ^ { \widetilde \omega _ { i } } ,
\begin{array} { r } { \bigg [ \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho } \left( - \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho ^ { 3 } } \right) - \frac { 2 } { 3 } \frac { U } { \rho } \cdot \left( \frac { 2 U } { 3 \rho ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { v - 2 U } { \rho T } - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { v - U } { T ^ { 2 } } \right) + \frac { v - U } { T } \right) } \\ { + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( - \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 3 } \frac { U \cdot ( v - U ) } { \rho T ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T ^ { 2 } } - \frac { | v - U | ^ { 2 } } { T ^ { 3 } } \right) + \left( - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { | v - U | ^ { 2 } } { 2 T ^ { 2 } } \right) \right) \bigg ] \mathcal { M } ( F ) . } \end{array}
\mathbf { R } _ { \phi } ^ { s } = \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { 1 _ { K } } ^ { 2 } } & { \hdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \hdots } & { \sigma _ { P _ { K } } ^ { 2 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \tilde { A } : = U _ { 1 } ^ { T } \hat { A } U _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { M _ { 1 } } & { M _ { 2 } P } \\ { ( M _ { 2 } P ) ^ { T } } & { P ^ { T } M _ { 3 } P } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { M _ { 1 } } & { A _ { 4 } } & { A _ { 5 } } \\ { A _ { 4 } ^ { T } } & { A _ { 3 } } & { 0 } \\ { A _ { 5 } ^ { T } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
+ \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { a = 1 } ^ { 4 } [ ( 2 _ { a } \alpha ^ { i } , 2 _ { a } \alpha ^ { i + 1 } ) + ( 2 _ { a } \alpha ^ { i } , 4 \alpha ^ { i + 1 } ) + ( \bar { 4 }
\begin{array} { r } { \mathrm { K } ^ { k } = \sum _ { l , l ^ { \prime } } \frac { q _ { l } ^ { 2 } + 2 q _ { l } q _ { l ^ { \prime } } } { 4 q _ { k } ^ { 2 } } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } \mathcal { A } _ { A } ^ { l } } \mathcal { A } _ { A } ^ { k - l ^ { \prime } - l } e ^ { i ( \theta _ { A } ^ { l } + \theta _ { A } ^ { l ^ { \prime } } + \theta _ { A } ^ { k - l ^ { \prime } - l } - { i \theta _ { A } ^ { k } } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { 0 } ^ { ( 2 , 1 , 0 , 0 ) } ( z ) } & { = - \frac { \left( \frac { 5 } { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } \left( U ^ { 2 } + 5 \right) ^ { 7 / 8 } } { 3 2 \, \sqrt { U } \left( 5 - U \right) ^ { 5 / 4 } } \, \log \frac { U ^ { 4 } \left( 5 - U \right) ^ { 1 0 } } { \left( U ^ { 2 } + 5 \right) ^ { 7 } } , } \\ { F _ { 0 } ^ { ( 1 , 1 , 1 , 0 ) } ( z ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 5 } { 2 } \right) ^ { 1 / 4 } \frac { \left( U ^ { 2 } + 5 \right) ^ { 7 / 8 } } { U ^ { 1 / 2 } \left( 5 + U \right) ^ { 5 / 4 } } \, \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \sqrt { \frac { 1 0 } { 5 + U } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \P \left( L ( t ) \in d x \right) \, = \, } & { q \P \left( \sigma ( x ) \leq t \right) d x } & { = : f _ { \phi } ^ { \mathrm { k } } ( x , t ) d x } \\ & { + \left( \int _ { 0 } ^ { t } \bar { \nu } _ { \phi } ( t - y ) g _ { \Phi } ( x , y ) d y \right) d x } & { = : f _ { \phi } ( x , t ) d x } \\ & { + \mathfrak { b } g _ { \phi } ( x , t ) d x } & { = : f _ { \phi } ^ { \mathrm { c } } ( x , t ) d x . } \end{array}
\times \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d k } { k ^ { 2 } } \left[ - \frac { 1 } { 2 \pi } \mathrm { l o g } k \right] ^ { - \frac { d } { 2 } } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - k ^ { n } \right) ^ { 2 - d }
\begin{array} { r l } { \omega _ { + } - \omega _ { - } } & { = \omega _ { + } ^ { \prime } - \Delta \omega _ { + } - \omega _ { - } ^ { \prime } + \Delta \omega _ { - } } \\ & { = 2 p \zeta _ { 1 } + \hat { D } _ { \mathrm { i n t } } ( p ) - \hat { D } _ { \mathrm { i n t } } ( - p ) + \frac { \delta _ { - } } { t _ { \mathrm { R } } } - \frac { \delta _ { + } } { t _ { \mathrm { R } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { g } _ { 0 } ( { \alpha } ) } & { : = \frac { 1 } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 2 J _ { 1 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } \right) } { \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } { \alpha } J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) } \right] = - \frac { J _ { 2 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) } , } \\ { \mathfrak { g } _ { 1 } ( { \alpha } ) } & { : = - \frac { 2 J _ { 1 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) ^ { 2 } } { \mathrm { i } \alpha ^ { 2 } J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 3 / 2 } \alpha \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { { \cal M } _ { u } } { m _ { t } } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { \: n _ { 1 1 } } } } & { { \epsilon ^ { \: n _ { 1 2 } } } } & { { \epsilon ^ { \: n _ { 1 3 } } } } \\ { { \epsilon ^ { \: n _ { 2 1 } } } } & { { \epsilon ^ { \: n _ { 2 2 } } } } & { { \epsilon ^ { \: n _ { 2 3 } } } } \\ { { \epsilon ^ { \: n _ { 3 1 } } } } & { { \epsilon ^ { \: n _ { 3 2 } } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\| \Pi \| _ { \gamma , x } : = \operatorname* { s u p } _ { \zeta \in A \cap ( - \infty , \gamma ) } \operatorname* { s u p } _ { \tau \in T _ { \zeta } } \operatorname* { s u p } _ { \lambda < 1 } \operatorname* { s u p } _ { \phi \in \mathfrak { B } _ { r } } \frac { | \langle \Pi _ { x } \tau , \phi _ { x } ^ { \lambda } \rangle | } { | \tau | _ { \zeta } \lambda ^ { \zeta } } ,
{ \frac { \delta \bar { S } _ { f r e e } ^ { ( 0 ) } [ \phi ] } { \delta \phi ( \hat { x } ) } } = [ \hat { x } _ { \rho } ^ { \prime } , [ \hat { x } _ { \rho } ^ { \prime } , \phi ( \hat { x } ) ] ] = - \hat { \partial } _ { \rho } \hat { \partial } _ { \rho } \phi ( \hat { x } ) = 0 .
\begin{array} { r } { \frac { E _ { \mathrm { { i n t } , 1 } } } N \approx \frac { N } { 2 \pi \rho _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac 1 4 \ln \frac N { \pi \sqrt { e } \rho _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac 3 8 + 0 . 0 5 7 \right) } \\ { = \frac { \bar { n } } { 2 } \left( \frac 1 4 \ln \frac { \bar { n } } { \sqrt { e } } - \frac 3 8 + 0 . 0 5 7 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { \mathrm { F S } , n } = \frac { 2 \pi } { 3 \, n ^ { 3 } } \frac { Z ^ { 2 } \alpha } { a _ { 0 } ^ { 3 } } A ^ { 2 / 3 } r _ { p } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R \mathrm { p r } _ { X \times Z * } R \underline { { \Gamma } } _ { \Sigma } ( \Omega _ { X \times Y \times Z } ^ { \dim X \times Y \times Z - k } ( \log \mathrm { p r } _ { X \times Z } ^ { * } \Delta _ { X \times Y } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) ) } \\ & { \to R \underline { { \Gamma } } _ { P ( \Phi _ { X } , \Phi _ { Z } ) } \Omega _ { X \times Z } ^ { \dim X \times Z - k } ( \log \Delta _ { X \times Z } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { X } ) [ - \dim Z ] } \end{array}
L = { \frac { 1 } { 2 } } g _ { i j } ( z ) \left[ \dot { z } ^ { i } \dot { z } ^ { j } + i \bar { \psi } ^ { i } \gamma ^ { 0 } D _ { t } \psi ^ { j } \right] + { \frac { 1 } { 6 } } R _ { i j k l } ( \bar { \psi } ^ { i } \psi ^ { j } ) ( \bar { \psi } ^ { k } \psi ^ { l } )
\begin{array} { r } { \| \mathbf { w } _ { 1 } \| _ { H ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } \leq C ( R ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } + C ( R , M ) \ensuremath { \varepsilon } ^ { N + \frac { 1 } { 4 } } ( T ^ { \frac 1 2 } + \ensuremath { \varepsilon } ^ { \frac 1 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { a b s } = \frac { k _ { 0 } } { \epsilon _ { 0 } w _ { E } ^ { t o t } } I m \left\{ \mathbf { p } _ { 1 } \cdot \left( \hat { \alpha } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { p } _ { 1 } \right) ^ { * } + \mathbf { p } _ { 2 } \cdot \left( \hat { \alpha } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { p } _ { 2 } \right) ^ { * } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \Psi _ { \textrm { 1 , a l t } } ( A ) \right\rangle } & { = \left( \sum _ { k _ { d } , k _ { d - 1 } = 1 } ^ { N } A _ { d k _ { d } } A _ { d - 1 k _ { d - 1 } } \hat { a } _ { k _ { d } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { d - 1 } } ^ { \dagger } \right) \ldots \left( \sum _ { k _ { 2 } , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { 2 k _ { 1 } } A _ { 1 k _ { 1 } } \hat { a } _ { k _ { 2 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } \right) | \textrm { v a c } \rangle } \\ & { = \sum _ { k _ { d } , \ldots , k _ { 1 } = 1 } ^ { N } A _ { d k _ { d } } \ldots A _ { 1 k _ { 1 } } \hat { a } _ { k _ { d } } ^ { \dagger } \ldots \hat { a } _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } | \textrm { v a c } \rangle . } \end{array}
\tau _ { i j } = \mu \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) - \frac { 2 \mu } { 3 } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { k } } \delta _ { i j } , \ q _ { i } = - K \frac { \partial T } { \partial x _ { i } }
\begin{array} { r l r } { \sum _ { A B } p _ { A B } } & { { } = } & { 1 , } \\ { \sum _ { A } p _ { A A _ { 2 } } } & { { } = } & { \sum _ { A } p _ { A _ { 1 } A } = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( x _ { 1 } | \mathbf { y } ; t ) = \prod _ { i = 1 } ^ { N } ( e ^ { - t \alpha _ { i } } ) ( \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } ) ^ { - y _ { 1 } } \alpha _ { 1 } ^ { x _ { 1 } } \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } } \\ { \times } & { \left| \begin{array} { l l l l l } { F _ { 1 , 1 } ( x _ { 1 } - y _ { 1 } , t ) } & { \alpha _ { 2 } ^ { x _ { 1 } + 1 } F _ { 1 , 3 } ( x _ { 1 } + 1 - y _ { 1 } , t ) } & { F _ { 1 , 4 } ( x _ { 1 } + 2 - y _ { 1 } , t ) } & { \ldots } & { F _ { 1 , N } ( x _ { 1 } + N - 1 - y _ { 1 } , t ) } \\ { F _ { 2 , 1 } ( x _ { 1 } - y _ { 2 } , t ) } & { \alpha _ { 2 } ^ { x _ { 1 } + 1 } F _ { 2 , 3 } ( x _ { 1 } + 1 - y _ { 2 } , t ) } & { F _ { 2 , 4 } ( x _ { 1 } + 2 - y _ { 2 } , t ) } & { \ldots } & { F _ { 2 , N } ( x _ { 1 } + N - 1 - y _ { 2 } , t ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } \\ { F _ { N , 1 } ( x _ { 1 } - y _ { N } , t ) } & { \alpha _ { 2 } ^ { x _ { 1 } + 1 } F _ { N , 3 } ( x _ { 1 } + 1 - y _ { N } , t ) } & { F _ { N , 4 } ( x _ { 1 } + 3 - y _ { N } , t ) } & { \ldots } & { F _ { N , N } ( x _ { 1 } + N - 1 - y _ { N } , t ) } \end{array} \right| } \end{array}
{ \bf F } ^ { - 1 } \{ { \bf F } \{ { \pmb { \psi } } _ { T } \} ^ { * } \circ { \bf F } \{ { \bf v } _ { T } \} \} = \left[ { \pmb { \psi } } _ { 1 } \star { \bf v } _ { 1 } \biggr \rvert \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } { \pmb { \psi } } _ { s } \star { \bf v } _ { s } \biggr \rvert \sum _ { s = 1 } ^ { 3 } { \pmb { \psi } } _ { s } \star { \bf v } _ { s } \biggr \rvert \sum _ { s = 2 } ^ { 3 } { \pmb { \psi } } _ { s } \star { \bf v } _ { s } \biggr \rvert { \pmb { \psi } } _ { 3 } \star { \bf v } _ { 3 } \right]
{ \frac { \partial } { \partial x ^ { \sigma } } } \left\{ { \frac { \partial L } { \partial { \varphi ^ { A } } _ { , \sigma } } } { \bar { \delta } } \varphi ^ { A } + L \left( \varphi ^ { A } , { \varphi ^ { A } } _ { , \nu } , x ^ { \mu } \right) \delta x ^ { \sigma } \right\} = 0 \, .
\mathcal { G } \mathrm { r a p h } _ { 1 } ( - ) , \mathcal { G } \mathrm { r a p h } _ { * } ^ { \theta } ( - ) , \mathcal { G } \mathrm { r a p h } _ { * } ( - ) , \mathcal { G } \mathrm { r a p h } ^ { \theta } ( - ) , \mathcal { G } \mathrm { r a p h } ( - ) : \mathsf { ( s ) B r } ^ { \chi } \to \mathsf { G r } ( \mathbb { Q } [ \chi ^ { \pm 1 } ] \mathrm { - } \mathsf { m o d } )
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } _ { n , \theta } [ t _ { i , \theta } | Z _ { 1 : i - 1 } ] = \int _ { \mathcal Z } t _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) q _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) \nu _ { Z _ { 1 : i - 1 } } ( d z ) } \\ & { \quad = \int _ { \mathcal Z } \int _ { \mathcal X } s _ { \theta } ( x ) \frac { q _ { i } ( z | x , z _ { 1 : i - 1 } ) p _ { \theta } ( x ) } { q _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) } \mu ( d x ) q _ { i , \theta } ( z | Z _ { 1 : i - 1 } ) \nu _ { Z _ { 1 : i - 1 } } ( d z ) = { \mathbb E } _ { \theta } [ s _ { \theta } ] = 0 } \end{array}
\mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) \in \mathbb { U } = \lbrace \forall t \geq 0 : \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) \in W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ) ^ { d } ; \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) = \overline { { \mathbf { u } } } ( \mathbf { x } , t ) \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Gamma ^ { u } \rbrace
\mathcal { L } _ { Z } ^ { \mathit { l i g h t } } = - \frac { g } { 2 \cos \theta _ { w } } Z _ { \mu } \overline { { { l } } } _ { L i } ^ { m } [ \delta _ { i k } ( 1 - 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { w } ) - \beta _ { i k } ] \gamma ^ { \mu } l _ { L k } ^ { m } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x _ { t + 1 } ( \eta ) = x _ { t } ( \eta ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } K ( \eta , \xi _ { j } , \gamma _ { 1 } ) e ^ { \displaystyle r _ { 1 } - x _ { t } ( \xi _ { j } ) + d h ( x _ { t } ( \xi _ { j } ) , y _ { t } ( \xi _ { j } ) ) } } \\ { \displaystyle y _ { t + 1 } ( \eta ) = y _ { t } ( \eta ) \sum _ { j = 1 } ^ { N } K _ { 2 } ( \eta , \xi _ { j } , \gamma _ { 2 } ) e ^ { \displaystyle r _ { 2 } - y _ { t } ( \xi _ { j } ) - \frac { m } { a + y _ { t } ( \xi _ { j } ) } - h ( x _ { t } ( \xi _ { j } ) , y _ { t } ( \xi _ { j } ) ) } } \end{array} \right. \; .
{ \cal V } _ { R C } = { \frac { 1 } { 2 } } \omega ^ { 2 } q ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } { \frac { g _ { | \rho | } ^ { 2 } | \rho | ^ { 2 } } { ( \rho \cdot q ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \widehat { u } _ { n } = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \sum _ { q } u _ { q } e ^ { - i q n } , ~ \widehat { u } _ { q } = \sqrt { \frac { \hbar } { 2 M \omega _ { q } } } \left( \widehat { a } _ { q } ^ { \dagger } + \widehat { a } _ { - q } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) q _ { e q , a } ( \mathbf { r } _ { b } ) = I _ { 1 } q _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { b } ) + I _ { 2 } q _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { b } ) } \end{array}
p _ { b } ( d _ { e } , d _ { \mu } ) = \frac { L _ { \mathrm { o s c } } ( d _ { e } , d _ { \mu } ) \, \ell _ { \mathrm { u d } } ( d _ { e } , d _ { \mu } ) \, \ell _ { \mathrm { C H } } ( d _ { e } ) \, R ( d _ { e } , d _ { \mu } ) } { \int d d _ { e } ^ { \prime } \int d d _ { \mu } ^ { \prime } \, L _ { \mathrm { o s c } } ( d _ { e } ^ { \prime } , d _ { \mu } ^ { \prime } ) \, \ell _ { \mathrm { u d } } ( d _ { e } ^ { \prime } , d _ { \mu } ^ { \prime } ) \, \ell _ { \mathrm { C H } } ( d _ { e } ^ { \prime } ) \, R ( d _ { e } ^ { \prime } , d _ { \mu } ^ { \prime } ) } \, .
\begin{array} { r l } { e _ { i j } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } \sigma _ { k \ell } + b _ { i j } ^ { ( 1 ) } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { 0 } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } b _ { i j } ^ { ( 1 ) } \sigma _ { i j } + a _ { 2 2 } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, , } \\ { \zeta ^ { ( 2 ) } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } b _ { i j } ^ { ( 2 ) } \sigma _ { i j } + a _ { 2 3 } p _ { f } ^ { ( 1 ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } \phi _ { n l } ( r ) } { d r ^ { 2 } } } & { = \frac { 2 } { r } \bigg [ \frac { l ( l + 1 ) } { 2 r } - Z + Y _ { \mu } ( n l ; r ) } \\ & { + ( 1 - \alpha - \beta ) r V _ { \mathrm { F R } } ^ { \mathrm { { D F A } } } ( r ) } \\ & { + \beta r V _ { \mathrm { S R } } ^ { \mathrm { D F A } } ( r ) + r V _ { \mathrm { c } } ^ { \mathrm { D F A } } ( r ) \bigg ] \phi _ { n l } ( r ) } \\ & { + \frac { 2 } { r } \bigg [ ( \alpha + \beta ) X _ { \mathrm { { F R } } } ( n l ; r ) - \beta X _ { \mathrm { S R } } ( n l ; r ) \bigg ] } \\ & { + \epsilon _ { n l } \phi _ { n l } ( r ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \xi \in V ( \mathbf { Q } ) / L } \varphi _ { f } ( \xi ) } & { = \sum _ { v \in V ( \mathbf { A } _ { f } ) / L _ { \varphi _ { f } } } \varphi _ { f } ( v ) } \\ & { = \frac { 1 } { \mathrm { v o l } ( L _ { \varphi _ { f } } ) } \sum _ { v \in V ( \mathbf { A } _ { f } ) / L _ { \varphi _ { f } } } \int _ { L _ { \varphi _ { f } } } \varphi _ { f } ( v + u ) d u } \\ & { = \frac { 1 } { \mathrm { v o l } ( L _ { \varphi _ { f } } ) } \int _ { V ( \mathbf { A } _ { f } ) } \varphi _ { f } ( v ) d v } \\ & { = \frac { 1 } { \mathrm { v o l } ( L _ { \varphi _ { f } } ) } \widehat { \varphi } _ { f } ( 0 ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { l l } { B _ { \mathrm { X } _ { \mathrm { c } } } \cos \xi + B _ { \mathrm { Y } _ { \mathrm { c } } } \sin \eta \cos \zeta + B _ { \mathrm { X } _ { 0 } } } & { = B \sin \theta \cos \varphi } \\ { B _ { Y _ { \mathrm { c } } } \cos \eta \cos \zeta + B _ { \mathrm { Y } _ { 0 } } } & { = B \sin \theta \sin \varphi } \\ { B _ { \mathrm { X } _ { \mathrm { c } } } \sin \xi + B _ { \mathrm { Y } _ { \mathrm { c } } } \sin \zeta + B _ { \mathrm { Z } _ { \mathrm { c } } } + B _ { \mathrm { Z } _ { 0 } } } & { = B \cos \theta } \end{array}