harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \dot { \rho } + ( \nabla \ensuremath { \mathbf { j } } ) , } \\ { 0 } & { = \ensuremath { \dot { \mathbf { v } } _ { \mathrm { s } } } + \nabla \left( \frac { \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { s } } } ^ { 2 } } { 2 } + \mu \right) , } \\ { 0 } & { = \dot { \ensuremath { \mathbf { j } } } + \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { s } } } ( \nabla \ensuremath { \mathbf { j } } ) + ( \ensuremath { \mathbf { j } } \nabla ) \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { s } } } + \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } } ( \nabla \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { n } } } ) + ( \ensuremath { \mathbf { v } _ { \mathrm { n } } } \nabla ) \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } } + \nabla p , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } \rightarrow m _ { b _ { n } } ^ { 2 } } Z _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) \equiv \operatorname * { l i m } _ { \theta _ { 1 2 } \rightarrow \theta + \theta _ { 1 2 } ^ { b _ { n } } } Z _ { n } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = Z _ { n } ( \theta ) ~ .
Q _ { j k } ^ { ( i ) } = \frac { ( \widehat { K } ^ { ( i ) } ) ^ { 2 } \left| \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right| ^ { 2 } } { \xi ^ { 2 } \, \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { j } , \widehat { e } _ { j } \right\rangle \right) \right| \left| \Re \left( \left\langle L _ { \widehat { F } ^ { ( i ) } } \widehat { e } _ { k } , \widehat { e } _ { k } \right\rangle \right) \right| } .
D _ { i j } ^ { g } ( q ) = \frac { n ^ { 2 } q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } + i { \epsilon } } { \delta } ^ { \prime } ( q _ { - } ) { \pi } \mathrm { s g n } ( q _ { + } ) - i \frac { n _ { + } q _ { i } q _ { j } } { q ^ { 2 } + i { \epsilon } } { \delta } ( q _ { - } ) { \int } _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { + } \frac { 1 } { ( k _ { + } - a ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { h } & { = \frac { 1 } { i } \left[ \left( - r _ { 3 } \right) ^ { - \varepsilon } \; _ { 2 } F _ { 1 } \left( - 2 \varepsilon , - \varepsilon ; 1 - \varepsilon ; r _ { 3 } \right) - \left( - r _ { 3 } ^ { - 1 } \right) ^ { - \varepsilon } \; _ { 2 } F _ { 1 } \left( - 2 \varepsilon , - \varepsilon ; 1 - \varepsilon ; r _ { 3 } ^ { - 1 } \right) \right] } \end{array}
| \hat { A _ { 2 } } | ( t ) = \frac { | \hat { A _ { 2 } } | ( 0 ) e ^ { t } } { \sqrt { 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { 2 t } \right) } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { V _ { S W } } ( r , \theta ) = } & { { } V _ { 0 } ( 1 . 4 7 5 \mp 0 . 4 \operatorname { t a n h } [ 6 . 8 ( \theta - \frac { \pi } { 2 } ) \pm ( \frac { 1 5 \pi } { 1 8 0 } + \alpha ) ] ) } \end{array}
H _ { \beta \gamma } = \beta \delta _ { \beta , \gamma } , \quad D _ { \beta \gamma } = \delta _ { \beta , \gamma } D _ { \beta } , \quad D _ { \beta } = - i g \left( z ( \beta \cdot q ) + \sum _ { \kappa \in \Delta , \ \kappa \cdot \beta = 1 } z ( \kappa \cdot q ) \right) ,
\begin{array} { r l } { { \mathbf x } _ { 1 } } & { = A _ { 1 } ( s ) } \\ { { \mathbf x } _ { i } } & { = A _ { i } ( s , \textsc { G r a d } ( { \mathbf x } _ { 1 } , { \mathbf z } _ { 1 } ) , \textsc { G r a d } ( { \mathbf x } _ { 2 } , { \mathbf z } _ { 2 } ) , \dots , \textsc { G r a d } ( { \mathbf x } _ { i - 1 } , { \mathbf z } _ { i - 1 } ) ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial C _ { k } } { \partial t } ( z , t ) } & { = D _ { k } \frac { \partial ^ { 2 } C _ { k } } { \partial z ^ { 2 } } ( z , t ) } \\ & { + \textrm { G e n e r a t i o n } _ { k } ( z ) } \\ & { + \textrm { R e a c t i o n } _ { k } ( C _ { k } ( z , t ) \textrm { f o r e a c h } k \in \mathscr { K } ) } \\ & { + \textrm { D i s s o c i a t i o n } _ { k } ( C _ { k } ( z , t ) \textrm { f o r e a c h } k \in \mathscr { K } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { x } ^ { \mathrm { ~ g ~ r ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { - z x \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { v _ { y } ^ { \mathrm { ~ g ~ r ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { - z y \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } } , } \\ { v _ { z } ^ { \mathrm { ~ g ~ r ~ } } } & { { } = \frac { 1 } { 1 - \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 \omega ^ { 2 } } } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i i } ( t - \tau ) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } \frac { - 1 + \sqrt { 1 + \frac { a ^ { 2 } } { ( d / 4 ) ^ { 2 } ( \alpha + i ) ^ { 2 } ( t - \tau ) ^ { 2 } } } } { \sqrt { 1 + \frac { a ^ { 2 } } { ( d / 4 ) ^ { 2 } ( \alpha + i ) ^ { 2 } ( t - \tau ) ^ { 2 } } } } } \end{array}
S _ { 0 } ^ { L } \left[ A _ { \mu } ^ { a } , B _ { a } ^ { \mu \nu } \right] = \frac 1 2 \int d ^ { 4 } x \left( - B _ { a } ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { a } + A _ { \mu } ^ { a } A _ { a } ^ { \mu } \right) ,
f \rho > \frac { 3 a \zeta T } { \gamma } + \frac { ( 1 - \phi _ { 0 } ) ^ { 2 } a } { R ^ { 2 } } \left[ \frac { 3 T \eta ^ { \mathrm { p } } } { \gamma } + \frac { 3 } { 2 } K \phi _ { 0 } \right] \ .
\begin{array} { r l r } { R _ { t } ^ { d r o n e } } & { = } & { ( R _ { t z } ^ { d r o n e } ) _ { z \in { \cal Z } } = \mathrm { b i n a r y ~ v e c t o r ~ r e p r e s e n t i n g ~ t h e ~ p h y s i c a l ~ l o c a t i o n ~ o f ~ t h e ~ d r o n e } , } \\ { R _ { t } ^ { b a t t } } & { = } & { \mathrm { b a t t e r y ~ l e v e l ~ o f ~ d r o n e } , } \\ { U _ { t } } & { = } & { \mathrm { w i n d ~ s p e e d ~ a t ~ t i m e ~ t ~ } , } \\ { \phi _ { t } } & { = } & { \mathrm { w i n d ~ d i r e c t i o n ~ a t ~ t i m e ~ t ~ } , } \\ { { \cal Z } _ { t - 1 } ^ { e x t } } & { = } & { \mathrm { s e t ~ o f ~ e x t i n g u i s h e d ~ z o n e s ~ t h r o u g h ~ t i m e ~ t - 1 ~ } , } \\ { B _ { t } } & { = } & { \mathrm { b e l i e f ~ s t a t e ~ a t ~ t i m e ~ t ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 1 1 1 } ^ { ( 4 ) } } & { { } = 2 C _ { 1 1 1 2 } ^ { ( 4 ) } = 2 C _ { 1 1 2 2 } ^ { ( 4 ) } = 2 C _ { 1 1 5 5 } ^ { ( 4 ) } = 2 C _ { 1 2 6 6 } ^ { ( 4 ) } = 2 C _ { 4 4 4 4 } ^ { ( 4 ) } } \\ { C _ { 1 1 2 3 } ^ { ( 4 ) } } & { { } = C _ { 1 1 4 4 } ^ { ( 4 ) } = C _ { 1 2 5 5 } ^ { ( 4 ) } = C _ { 1 4 5 6 } ^ { ( 4 ) } = C _ { 4 4 5 5 } ^ { ( 4 ) } = 0 . } \end{array}
0 { \longrightarrow } \Gamma _ { \! N } \stackrel { T _ { N } } { \longrightarrow } \Gamma _ { \! N - 1 } \stackrel { T _ { N - 1 } } { \longrightarrow } \dots \longrightarrow \Gamma _ { \! 1 } \stackrel { T _ { 1 } } { \longrightarrow } k e r ( T ) { \longrightarrow } 0
\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { i , j , k } \left\langle \frac { \delta V _ { i k } } { \delta \phi _ { k j } } \right\rangle _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } = - \frac { \Gamma \lambda ^ { 2 } } { N _ { t } ^ { 2 } } \sum _ { i , j , k } \delta _ { i j } = - \Gamma \lambda ^ { 2 } } \\ { \displaystyle \frac { 1 } { N _ { t } } \sum _ { i , j , k , l } \left\langle V _ { i k } \frac { \delta V _ { k l } } { \delta \phi _ { l j } } \right\rangle _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } = - \frac { \Gamma \lambda ^ { 2 } } { N _ { t } } \sum _ { i , j } \big \langle V _ { i j } \big \rangle \big | _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } } \end{array} \right.
\mathrm { ~ F ~ o ~ r ~ M ~ E ~ G ~ 6 ~ : ~ } \quad \left( \frac { \partial u } { \partial \xi } \right) _ { i } = \frac { 3 } { 4 } \left( u _ { i + 1 } + u _ { i - 1 } \right) - \frac { 3 } { 2 0 } \left( u _ { i + 2 } + u _ { i - 2 } \right) + \frac { 1 } { 6 0 } \left( u _ { i + 3 } + u _ { i - 3 } \right)
\begin{array} { r l } { T _ { \frac { \lambda _ { c , d } } { 2 r + 1 } } ^ { * } \circ T _ { \frac { \lambda _ { a , b } } { 2 r + 1 } } ^ { * } \Phi ( p , q ) } & { = e x p ( i \pi ( a ( q + \frac { d } { 2 r + 1 } ) - b ( p + \frac { c } { 2 r + 1 } ) ) } \\ & { \times e x p ( \frac { i } { 4 } \omega ( c \mu + d \lambda , p + q \tau ) ) \Phi ( p + \frac { a + c } { 2 r + 1 } , q + \frac { b + d } { 2 r + 1 } ) } \\ & { = e x p ( \frac { \pi i ( a d - b c ) } { 2 r + 1 } ) e x p ( \pi i ( ( a + c ) q - ( b + d ) p ) ) \Phi ( p + \frac { a + c } { 2 r + 1 } , q + \frac { b + d } { 2 r + 1 } ) } \\ & { = A ^ { a d - b c } T _ { \frac { \lambda _ { a + c , b + d } } { 2 r + 1 } } ^ { * } \Phi ( p , q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \bigg \| \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { E } S _ { t - s } f ( s , x ) q ( d s , d x ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] \leq } \\ & { C e ^ { 2 \alpha T } \mathbb { E } \bigg [ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { E } \| f ( s , x ) \| ^ { 2 } \beta ( d x ) d s \bigg ] . } \end{array}
\hat { S } ^ { 2 } = - 0 . 5 \hat { X _ { 0 } } \hat { X _ { 1 } } + 0 . 5 \hat { Y _ { 0 } } \hat { Y _ { 1 } } + 0 . 5 \hat { Z _ { 0 } } \hat { Z _ { 1 } } + 0 . 5 ,
I _ { i , j , k } = \left[ x _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , x _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \right] \times \left[ y _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , y _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \right] \times \left[ z _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , z _ { i + \frac { 1 } { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \Omega \nabla _ { 4 } X _ { K } - \Omega _ { K } \nabla _ { ( e _ { 4 } ) _ { K } } X _ { K } } & { = \left( \nabla _ { \Omega e _ { 4 } } - \nabla _ { \Omega _ { K } ( e _ { 4 } ) _ { K } } \right) X _ { K } + \left( \nabla _ { \Omega _ { K } ( e _ { 4 } ) _ { K } } - ( \nabla _ { K } ) _ { \Omega _ { K } ( e _ { 4 } ) _ { K } } \right) X _ { K } } \\ & { = ( \nabla - \nabla _ { K } ) _ { { \partial } _ { \underline { { u } } } } X _ { K } } \\ & { = \widecheck { J } \cdot { \bf O } _ { q } ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 1 } } & { = \mathrm { L N } ( w ) | F ( \bar { x } _ { k } ) } \\ { w _ { 2 } } & { = \mathrm { M H A } ( w _ { 1 } , w _ { 1 } , w _ { 1 } ) } \\ { w _ { 3 } } & { = w + \mathrm { L i n e a r } ( w _ { 2 } ) } \\ { w _ { 4 } } & { = \mathrm { L N } ( w _ { 3 } ) } \\ { w _ { 5 } } & { = \mathrm { M L P } ( w _ { 4 } ) } \\ { w _ { 6 } } & { = w _ { 3 } + w _ { 5 } } \end{array}
T _ { 1 } ^ { 2 } = { \frac { T _ { o } ^ { 2 } } { 1 - 9 E ^ { 2 } / 8 \lambda _ { T _ { 1 } } D } } \ , \ \, p h i _ { 1 } = { \frac { 3 E T } { 2 \lambda _ { T } } } \ .
\begin{array} { r l } { \left( \omega \overset { . } { _ { 1 } } \right) ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \right) e ^ { 2 } , } \\ { \left( \omega \overset { . } { _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \right) e ^ { 2 } , } \\ { \left( \omega \overset { . } { _ { 3 } } \right) ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) e ^ { 2 } , } \end{array}
T = \left( \big \vert \nu _ { 1 } \big \rangle , \ldots , \big \vert \nu _ { n _ { k } ^ { \left( n \right) } } \big \rangle , \big \vert \eta _ { n _ { k } ^ { \left( n \right) } + 1 } \big \rangle , \ldots , \big \vert \eta _ { N _ { k } ^ { \left( n \right) } } \big \rangle \right)
\begin{array} { r l } { H _ { \textrm { s } } ( t ) } & { { } = \sum _ { i , j } \sum _ { a , b = d _ { y z } , d _ { z x } , d _ { x y } } \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } [ t _ { i j } ^ { a b } ( t ) - \mu \delta _ { i , j } \delta _ { a , b } ] c _ { i a \sigma } ^ { \dagger } c _ { j b \sigma } } \end{array}
- 3 \le X _ { 1 , i } Y _ { 1 , i ^ { \prime } } - X _ { 2 , j } ( 1 - Y _ { 2 , j ^ { \prime } } ) - ( 1 - X _ { 3 , k } ) Y _ { 3 , k ^ { \prime } } - X _ { 4 , l } Y _ { 4 , l ^ { \prime } } \le 1
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } } & { { } = \sum _ { i } \left( A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right) \underbrace { \left( \frac { \partial A ( c _ { k } ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } \right) - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \right) } _ { \Psi } } \end{array}
k _ { \perp } ^ { 2 } \frac { m _ { i } } { B _ { p } ^ { 2 } } + \frac { q _ { e } ^ { 2 } } { m _ { e } v _ { t e 0 } ^ { 2 } } \frac { n _ { e 0 } ( z , t ) } { n _ { i 0 } ( z , t ) } \left[ 1 + \frac { \omega } { \sqrt { 2 } v _ { t e 0 } k _ { \parallel } } Z \left( \frac { \omega } { \sqrt { 2 } v _ { t e 0 } k _ { \parallel } } \right) \right] = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { 1 \leq i < j \leq n + 2 } ( - 1 ) ^ { i + j - 1 } \Bar { \Phi } _ { n } ( [ x _ { i } , x _ { j } ] _ { \mathfrak { g } } , x _ { 1 } , \ldots , \widehat { x } _ { i j } , \ldots , x _ { n + 2 } ) } & { = [ Q , \Bar { \Phi } _ { n + 1 } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n + 2 } ) ] \, + } & \\ { \sum _ { \tiny { \begin{array} { c } { i + j = n } \\ { i \leq j } \\ { \sigma \in \mathfrak { S } _ { i + 1 , j + 1 } } \end{array} } } \epsilon ( \sigma ) [ \Bar { \Phi } _ { i } ( x _ { \sigma ( 1 ) } } & { , \ldots , x _ { \sigma ( i + 1 ) } ) , \Bar { \Phi } _ { j } ( x _ { \sigma ( i + 2 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( n + 2 ) } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \tilde { \mathcal { J } } _ { 0 } \tilde { e } ^ { 1 } , \tilde { e } ^ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } } + \langle \tilde { e } ^ { 1 } , \tilde { \mathcal { J } } _ { 0 } \tilde { e } ^ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } } = \langle e _ { \partial , e ^ { 2 } } , f _ { \partial , e ^ { 1 } } \rangle _ { 2 } + \langle e _ { \partial , e ^ { 1 } } , f _ { \partial , e ^ { 2 } } \rangle _ { 2 } - f _ { I , e ^ { 1 } } e _ { I , e ^ { 2 } } - f _ { I , e ^ { 2 } } e _ { I , e ^ { 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { c r } \left( t \right) } & { { } = \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { t ^ { \beta + \nu } } { \Gamma \left( 1 + \beta + \nu \right) } + \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } - \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) \frac { t ^ { \nu - \alpha } } { \Gamma \left( 1 + \nu - \alpha \right) } } \end{array}
\begin{array} { c } { { D ^ { B } H ^ { A } = 0 , \qquad \qquad D ^ { B } D ^ { A } \Phi _ { A } = [ H ^ { A } , \Phi _ { B } ] , } } \\ { { D ^ { A } K ^ { B } = 0 , \qquad \qquad D ^ { A } D ^ { B } \Phi _ { B } = [ K ^ { B } , \Phi _ { A } ] . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { _ { Y S 9 4 } } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { v _ { d } \leq v _ { c } } \\ { \operatorname* { m i n } ( \alpha ( \frac { v _ { d } } { v _ { c } } - 1 ) ^ { 2 } , \eta _ { m a x } ) , } & { v _ { d } > v _ { c } } \end{array} \right. , } \end{array}
+ 0 . 0 2 6 + 2 . 4 4 6 \times 1 0 ^ { - 4 } \alpha + 2 . 6 7 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \alpha ^ { 2 } - 1 . 5 0 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \alpha ^ { 3 } + 4 . 7 6 7 \times 1 0 ^ { - 9 } \alpha ^ { 4 }
\begin{array} { r l r } { P _ { \mu } \overset \leftrightarrow { \Lambda } ( A _ { \mathrm { ~ W ~ } } \overset \leftrightarrow { \Lambda } P _ { \mu } ) } & { { } = } & { - { \nabla } _ { \b { p } } P _ { \mu } \cdot { \nabla } _ { \b { q } } ( { \nabla } _ { \b { q } } A _ { \mathrm { ~ W ~ } } \cdot { \nabla } _ { \b { p } } P _ { \mu } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg | \mathbb { E } \{ X _ { i } ( t ) \} - \frac { 2 } { r _ { 0 } n } \sum _ { j \in \mathcal { V } _ { r \mathcal { C } _ { i } } } X _ { j } ( 0 ) \bigg | = o _ { n } ( 1 ) . } \end{array}
C _ { G ^ { 2 } } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { Q ^ { 2 } } C _ { F } \frac { N _ { F } } { N _ { A } } \frac { 1 } { 4 } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \biggl [ 1 + \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \biggl ( \frac { 3 } { 2 } C _ { A } + \frac { 3 } { 4 } C _ { F } \biggr ) + O ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \biggr ] .
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { \sim P ( n ) + \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } b _ { j } ( n ) P ^ { ( j ) } ( n ) } \\ { * [ 1 m m ] } & { = P ( n ) - \frac { n } { 2 } P ^ { \prime \prime } ( n ) + \frac { n } { 3 } P ^ { \prime \prime \prime } ( n ) + \left( \frac { n ^ { 2 } } { 8 } - \frac { n } { 4 } \right) P ^ { ( 4 ) } ( n ) } \\ { * [ 1 m m ] } & { \quad \qquad + \left( - \frac { n ^ { 2 } } { 6 } + \frac { n } { 5 } \right) P ^ { ( 5 ) } ( n ) + \left( - \frac { n ^ { 3 } } { 4 8 } + \frac { 1 3 n ^ { 2 } } { 7 2 } - \frac { n } { 6 } \right) P ^ { ( 6 ) } ( n ) + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { m } } & { = } & { \frac 1 2 \int _ { \mathcal { V } } d ^ { 3 } \vec { r } \; \left[ \vec { r } \wedge \vec { j } \left( \vec { r } \right) \right] \, , } \\ { Q _ { i j } } & { = } & { \frac { i } { \omega } \int _ { \mathcal { V } } d ^ { 3 } \vec { r } \left[ 3 \left( x _ { i } j _ { j } + x _ { j } j _ { i } \right) - 2 \delta _ { i j } \vec { r } \cdot \vec { j } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { B } ( \rho , z , \phi ) } & { = } & { B ( \rho , z ) \hat { \phi } } \\ { \vec { E } ( \rho , z , \phi ) } & { = } & { { \frac { i } { \omega } } \left[ \left( { \frac { \partial B ( \rho , z ) } { \partial \rho } } + { \frac { B ( \rho , z ) } { \rho } } \right) \hat { z } - { \frac { \partial B ( \rho , z ) } { \partial z } } \hat { \rho } \right] } \end{array}
B _ { 3 / 2 } = \frac { \alpha \, \sqrt \pi } { 6 4 \, R } , \quad B _ { 2 } = \frac { 4 \, \alpha } { 3 1 5 \, R ^ { 2 } } , \quad B _ { 5 / 2 } = \frac { 3 7 \, \alpha \, \sqrt \pi } { 2 ^ { 1 3 } } \, { . }
\mathbb { E } \Big [ \Big ( ( - s \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { P } _ { s + t } ( \mu ^ { n } - \rho ) ( x ) \Big ) ^ { 2 } \Big ] \lesssim \frac { \zeta ( s , t ) } { n } ( 1 + \log ^ { \frac { 1 } { \eta } } ( n ) s ^ { \frac { 1 } { 2 \log ( n ) } } \zeta ( s , t ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \log ( n ) } } ) \quad \mathrm { f o r ~ a n y ~ s \in ~ ( 0 , \infty ) ~ , }
\leq \; \int \prod _ { a = 1 } ^ { N - 3 } \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { a } } d ^ { D } z _ { i } ^ { ( a ) } \prod _ { b < c } ^ { N - 3 } \bigg | \; f ^ { ( b , c ) } \bigg | \; \prod _ { d = 1 } ^ { N - 3 } \Big | \! \Big | \! \Big | f ^ { ( d , N - 2 ) } \Big | \! \Big | \! \Big | _ { N - 2 } \Big | \! \Big | \! \Big | f ^ { ( d , N - 1 ) } \Big | \! \Big | \! \Big | _ { N - 1 } \Big | \! \Big | \! \Big | f ^ { ( d , N ) } \Big | \! \Big | \! \Big | _ { N }
\begin{array} { r l } { Q _ { 3 } } & { \preceq \| \widetilde { S } _ { 0 , n } ( E _ { 3 , n } B _ { 1 , n } - E _ { 3 } B _ { 1 } ) \varphi \| _ { p + 2 } + \| ( \widetilde { S } _ { 0 , n } - \widetilde { S } _ { 0 } ) ( E _ { 3 } B _ { 1 } \varphi - P _ { n } E _ { 3 } B _ { 1 } \varphi ) \| _ { p + 2 } } \\ & { \preceq \| ( E _ { 3 , n } B _ { 1 , n } - E _ { 3 } B _ { 1 } ) \varphi \| _ { p + 1 } + \| E _ { 3 } B _ { 1 } \varphi - P _ { n } E _ { 3 } B _ { 1 } \varphi \| _ { p + 1 } } \\ & { \preceq \| ( B _ { 1 , n } - B _ { 1 } ) \varphi \| _ { p + 1 } + \frac { 1 } { n } \| E _ { 3 } B _ { 1 } \varphi \| _ { p + 2 } } \\ & { \preceq \frac { 1 } { n } \| \varphi \| _ { p } + \frac { 1 } { n } \| \varphi \| _ { p } \preceq \frac { 1 } { n } \| \varphi \| _ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| U ^ { j + k } - U ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } } & { \leq \| U ^ { j + k } - U _ { \delta } ^ { j + k } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } + \| U _ { \delta } ^ { j + k } - U _ { \delta } ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } + \| U ^ { j } - U _ { \delta } ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } } \\ & { \leq 2 L _ { u _ { 0 } } \delta ^ { a } + C L _ { u _ { 0 } } ^ { p - 1 } \delta ^ { ( a - 1 ) ( p - 2 ) + a - 2 } t _ { k } + \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } t _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { \textbf { k } , \varphi } = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha + \frac { - b _ { 1 } + \sqrt { b _ { 1 } ^ { 2 } - 4 a _ { 1 } c _ { 1 } } } { 2 a _ { 1 } } , } & { \textup { i f } \varphi \textup { i s e v e n , } } \\ { \alpha + \frac { - b _ { 2 } + \sqrt { b _ { 2 } ^ { 2 } - 4 a _ { 2 } c _ { 2 } } } { 2 a _ { 2 } } , } & { \textup { i f } \varphi \textup { i s o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { { \varrho } ^ { 2 } = | e ( t _ { n } ) | ^ { 4 } \leq C \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq n } \left\{ \displaystyle \frac { k _ { i } ^ { 2 \operatorname* { m i n } \{ r _ { i } - 2 , s \} + 2 } } { r _ { i } ^ { 2 ( s + 1 ) } } \right\} \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 2 } + \| e \| _ { H ^ { 2 } ( 0 , t _ { n } ) } \| e \| _ { H ^ { 1 } ( 0 , t _ { n } ) } ^ { 3 } \right) | e ( t _ { n } ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { d } { d \eta } \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { f } \\ { \mathcal { U } } \\ { \mathcal { V } } \\ { \mathfrak { F } } \\ { \mathfrak { U } } \\ { \mathfrak { V } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { \mathcal { U } } \\ { \mathcal { V } } \\ { \frac { ( - \mathcal { V } ) ^ { ( 2 - \alpha ) } f } { \alpha ( \alpha + 1 ) } } \\ { \mathfrak { U } } \\ { \mathfrak { V } } \\ { ( \alpha - 2 ) \mathfrak { V } \frac { ( - \mathcal { V } ) ^ { ( 1 - \alpha ) } } { \alpha ( \alpha + 1 ) } f + \frac { ( - \mathcal { V } ) ^ { ( 2 - \alpha ) } } { \alpha ( \alpha + 1 ) } \mathfrak { F } } \end{array} \right] , ~ ~ \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { f } \\ { \mathcal { U } } \\ { \mathcal { V } } \\ { \mathfrak { F } } \\ { \mathfrak { U } } \\ { \mathfrak { V } } \end{array} \right] _ { \eta = 0 } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c } { 0 } \\ { 1 } \\ { \kappa ^ { \gamma } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] .
\alpha _ { i } ^ { S } ( \omega ) = \frac { 2 } { 3 ( 2 J _ { i } + 1 ) } \sum _ { n } \frac { ( E _ { n } - E _ { i } ) | \langle n | | D | | i \rangle | ^ { 2 } } { ( E _ { n } - E _ { i } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } }
P _ { \mathrm { t r i g } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathop { d E _ { T } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathop { d E ^ { \prime } } \Theta ( E _ { T } - \delta ) \varepsilon ( E ^ { \prime } , E _ { T } , E _ { 0 } ) P ( E ^ { \prime } , E _ { T } | E _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { z } _ { k + 1 } \right\Vert ^ { 2 } \right] } & { \leq \left( 1 - \frac { 3 } { 2 } \eta _ { k } \mu \right) \mathbb { E } \left[ \left\Vert \bar { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { 3 \eta _ { k } L ^ { 2 } } { n \mu } \mathbb { E } \left[ \left\Vert \check { z } _ { k } \right\Vert ^ { 2 } \right] + \frac { \eta _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { v } \cdot \nabla c _ { 2 } - D _ { 2 } \nabla ^ { 2 } c _ { 2 } } & { { } = - j _ { - , t o t } / F } & { } \\ { - \sigma _ { - , l } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { - , l } } & { { } = j _ { - , t o t } } & { \qquad ( x , y , S O C ) \in \Omega _ { - } \times \mathcal { T } } \\ { - \sigma _ { - , s } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { - , s } } & { { } = - j _ { - , t o t } } & { } \\ { \vec { v } \cdot \nabla c _ { 4 } - D _ { 4 } \nabla ^ { 2 } c _ { 4 } } & { { } = - j _ { + , t o t } / F } & { } \\ { - \sigma _ { + , l } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { + , l } } & { { } = j _ { + , t o t } } & { \qquad ( x , y , S O C ) \in \Omega _ { + } \times \mathcal { T } } \\ { - \sigma _ { + , s } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \nabla ^ { 2 } \phi _ { + , s } } & { { } = - j _ { + , t o t } } & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta _ { l p } } & { = } & { \sqrt { k ^ { 2 } n _ { \mathrm { c o } } ^ { 2 } - \frac { 2 k n _ { \mathrm { c o } } ( | l | + 2 p + 1 ) } { b } } } \\ & { = } & { k n _ { \mathrm { c o } } - \frac { | l | + 2 p + 1 } b - \frac { ( | l | + 2 p + 1 ) ^ { 2 } } { 2 k n _ { \mathrm { c o } } b ^ { 2 } } - \dots \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda \widetilde { \mathcal { V } } ( s _ { \alpha } ( T _ { r } ( \alpha ) ) ) } & { = \widetilde { \Theta } ( s _ { \alpha } ( T _ { r } ( \alpha ) ) ) - L ( c ) } \\ & { = { \Theta } ( 0 ) + s _ { \alpha } ( T _ { r } ( \alpha ) ) \lambda L ^ { \prime } ( c ) - L ( c ) } \\ & { = { \Theta } ( 0 ) + r s _ { - } ( \lambda , c ) \lambda L ^ { \prime } ( c ) - L ( c ) } \\ & { \geqslant ( 1 - r ) { \Theta } _ { 0 , \operatorname* { m a x } } ( c ) + 2 r { \Theta } _ { 0 , \operatorname* { m a x } } ( c ) - L ( c ) > 0 , } \end{array}