harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( n - 1 ) D _ { X } ^ { 2 } \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } = } & { \, ( n - 1 ) D _ { X } ^ { 2 } ( \Omega _ { h } ) _ { 2 i 2 i + 1 } + \sum _ { p = 0 } ^ { 2 n - 1 } D _ { X } ^ { 2 } u _ { p \overline { { p } } } + S _ { 1 } ( \partial \partial _ { J } u ) D _ { X } ^ { 2 } \Omega _ { 2 i 2 i + 1 } } \\ & { - ( D _ { X } ^ { 2 } u _ { 2 i \overline { { 2 i } } } + D _ { X } ^ { 2 } u _ { 2 i + 1 \overline { { 2 i + 1 } } } ) + u _ { i \overline { { k } } } D _ { X } ^ { 2 } J _ { j } ^ { \overline { { k } } } - u _ { j \overline { { k } } } D _ { X } ^ { 2 } J _ { i } ^ { \overline { { k } } } . } \end{array}
{ \left( \frac { \rho _ { \phi } } { \rho _ { B I } } \right) _ { e n d } } = { \frac { 3 \pi } { 6 4 } } \left( { \frac { 1 } { h _ { G W } ^ { 2 } \left( F _ { 1 } ( \alpha ) / F _ { 2 } ( \alpha ) \right) ^ { 2 } } } \right) \left( { \frac { \rho _ { g } } { \rho _ { B I } } } \right) _ { e q }
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 \pi r d r \left( \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) \right) ^ { * } \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) } \\ & { } & { = \hbar ^ { 2 } 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left( 2 ( 2 n - m + 1 ) - ( 2 n - m + 1 ) \right) } \\ & { } & { + \hbar ^ { 2 } ( 1 + 2 i k z ) \left( 2 ( n - m ) + m - ( 2 n - m + 1 ) \right) } \\ & { } & { + \hbar ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 2 n - m + 1 ) + \hbar ^ { 2 } 2 i k z + \hbar ^ { 2 } m } \\ & { } & { = \hbar ^ { 2 } \left( 2 \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n - m + 1 ) + \hbar ^ { 2 } ( m - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { e q } = \frac { \rho } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { ( \Vec { c } _ { i } - \Vec { u } ) ^ { 2 } } { 2 R T } } = } & { { } \frac { \rho } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { \Vec { c } _ { i } ^ { 2 } } { 2 R T } } e ^ { \frac { ( 2 \Vec { c } _ { i } \cdot \Vec { u } - \Vec { u } ^ { 2 } ) } { 2 R T } } } \\ { = } & { { } \frac { \rho } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { \Vec { c } _ { i } ^ { 2 } } { 2 R T } } e ^ { \frac { \Sigma _ { \mu = 1 } ^ { d } ( 2 c _ { i , \mu } u _ { \mu } - { u } _ { \mu } ^ { 2 } ) } { 2 R T } } } \\ { = } & { { } \frac { \rho } { ( 2 \pi R T ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { \Vec { c } _ { i } ^ { 2 } } { 2 R T } } \Pi _ { \mu = 1 } ^ { d } \Sigma _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } ( \frac { c _ { i , \mu } } { \sqrt { 2 R T } } ) ^ { k } H _ { k } ( \frac { u _ { \mu } } { \sqrt { 2 R T } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { d } ( v , h ) } & { = { \frac { \rho _ { d } \pi ^ { \frac { d - \ell } { 2 } } } { \Gamma ( { \frac { d - \ell } { 2 } } ) } } ( h + a _ { d } ) ^ { { \frac { d - \ell - 2 } { 2 } } } { \bf 1 } \big ( h + a _ { d } > 0 \big ) } \\ & { = { \frac { \rho _ { d } \pi ^ { \frac { d - \ell } { 2 } } } { \Gamma ( { \frac { d - \ell } { 2 } } ) } } a _ { d } ^ { \frac { d - \ell - 2 } { 2 } } \Big ( 1 + { \frac { h } { a _ { d } } } \Big ) ^ { { \frac { d - \ell - 2 } { 2 } } } { \bf 1 } \big ( h + a _ { d } > 0 \big ) } \\ & { = \Big ( 1 + { \frac { h } { a _ { d } } } \Big ) ^ { a _ { d } \cdot { \frac { d - \ell - 2 } { 2 a _ { d } } } } { \bf 1 } \big ( h + a _ { d } > 0 \big ) . } \end{array}
W _ { 1 / 2 } = \int { \cal D } { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } \exp \left[ - \int _ { 0 } ^ { 1 } d t \{ \left( M + i b ( { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } ) \right) \sqrt { \dot { { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } } ^ { 2 } } + i { \mathrm { \boldmath ~ a ~ } } \cdot \dot { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } + i { \mathrm { \boldmath ~ C ~ } } \cdot \dot { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } \} + \frac { i } { 2 } \Xi [ \frac { \dot { { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } } } { | \dot { { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } } | } ] \right] \; .
Z = \int e ^ { { \bar { \psi } } M \psi + { \bar { \eta } } \psi + { \bar { \psi } } \eta } \, D { \bar { \psi } } \, D \psi = \int e ^ { \left( { \bar { \psi } } + { \bar { \eta } } M ^ { - 1 } \right) M \left( \psi + M ^ { - 1 } \eta \right) - { \bar { \eta } } M ^ { - 1 } \eta } \, D { \bar { \psi } } \, D \psi = \mathrm { D e t } ( M ) e ^ { - { \bar { \eta } } M ^ { - 1 } \eta } \, ,
\begin{array} { r } { X _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { p } } ^ { 1 \dotsc p } = \sum _ { 1 \leq i _ { 1 } < \dotsc < i _ { p } \leq n } \left( U ^ { - 1 } \right) _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { p } } ^ { 1 \dotsc p } \ \ D _ { 1 \dotsc p } ^ { 1 \dotsc p } \ \left( V ^ { - 1 } \right) _ { 1 \dotsc p } ^ { 1 \dotsc p } = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { p } d _ { i } \right) \sum _ { 1 \leq i _ { 1 } < \dotsc < i _ { p } \leq n } \left( U ^ { - 1 } \right) _ { i _ { 1 } \dotsc i _ { p } } ^ { 1 \dotsc p } \ \ \left( V ^ { - 1 } \right) _ { 1 \dotsc p } ^ { 1 \dotsc p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta } T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { a } ] \rVert _ { s } ^ { 2 } } & { \le _ { s } \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta } T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { a } ] \rVert _ { H _ { x } ^ { s } L _ { \varphi } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta } T _ { \mathfrak { p } _ { 2 } } [ \mathfrak { a } ] \rVert _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { 2 } } \\ & { \le \sum _ { \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } = \eta } C _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \left( \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { L _ { \varphi } ^ { 2 } } ^ { 2 } \langle k \rangle ^ { 2 s } + \rVert \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 1 } } \widehat { \mathfrak { a } } ( \cdot , k , \xi ) \partial _ { \xi } ^ { \eta _ { 2 } } e ^ { \mathrm { i } A ( \cdot , k , \xi ) } \rVert _ { H _ { \varphi } ^ { s } } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\tilde { s } _ { b } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , x _ { s - t _ { 2 } } ] = ( 1 - x _ { s - t _ { 2 } } ) ( s - t _ { 2 } ) + \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { t _ { 1 } + t _ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \rho _ { 0 } } & { { } = } & { [ 1 . 4 6 k ^ { 2 } I _ { 0 } ( z ) ] ^ { - 3 / 5 } , } \\ { I _ { 0 } ( z ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { z } \mathrm { ~ d ~ } \xi \left( 1 - \frac { \xi } { z } \right) ^ { 5 / 3 } C _ { n } ^ { 2 } ( h ( \xi , \theta ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } ) } & { = } & { x ^ { 4 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \frac { 4 ^ { \pi ( i + 1 ) + \cdots + \pi ( 2 ) } } { 4 } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { 4 - 2 i } } \\ & { } & { \left[ \left( 2 \beta _ { i 1 } \frac { y } { x } + \gamma _ { i } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { 2 } \right) W _ { ( \mathcal { C } _ { i } , \pi ) } ( x , x ; \mathbb { P } ) + \left( 2 \left( \frac { y } { x } \right) L W _ { \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \pi } ^ { 1 } + \left( \frac { y } { x } \right) ^ { 2 } L W _ { \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \pi } ^ { 2 } \right) x ^ { 4 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { f } ( t ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { f ( t ) , \ \ } & & { t \in [ 0 , T _ { \varepsilon } ^ { \star } ] , } \\ & { \chi _ { \delta } ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) f ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) + \chi _ { \delta } ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { f } } \partial _ { t } ^ { k } f ( T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) \frac { ( t - T _ { \varepsilon } ^ { \star } ) ^ { k } } { k ! } , \ \ } & & { t \geq T _ { \varepsilon } ^ { \star } , } \\ & { \chi _ { \delta } ( - t ) f ^ { \mathrm { i n } } + \chi _ { \delta } ( - t ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { f } } \partial _ { t } ^ { k } f ( 0 ) \frac { t ^ { k } } { k ! } , \ \ } & & { t \leq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( E _ { x } \right) _ { i } ^ { n } = \left( E _ { x } \right) _ { 0 } ^ { n } + \sum _ { s } \frac { q _ { s } } { \epsilon _ { 0 } } \sum _ { j = 0 } ^ { i - 1 } n _ { j + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } , s } ^ { n } \Delta x = \left( E _ { x } \right) _ { 0 } ^ { n } + \sum _ { s } \frac { q _ { s } } { \epsilon _ { 0 } } \int _ { x _ { 0 } } ^ { x _ { i } } \tilde { n } _ { s } ^ { n } \mathrm { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { \mathcal { X } } } [ \mathrm { R H S ~ o f ~ ( ) } ] } & { \lesssim \widehat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { S } } ( \boldsymbol { \mathcal { G } } ) + \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } x _ { \ell } \right) \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } \left[ 1 + ( C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } + C _ { k } C _ { \sigma } + C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { k } C _ { \sigma } ^ { M + 1 } ) x _ { \ell } \right] \left( \frac { 1 } { n } \right) ^ { \frac { 1 } { \hat { d } + 1 } } } \\ & { + \left( \rho \prod _ { \ell = 0 } ^ { L } \left[ 1 + ( C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { \sigma } ^ { M } + C _ { k } C _ { \sigma } + C _ { w } ^ { M + 1 } C _ { k } C _ { \sigma } ^ { M + 1 } ) x _ { \ell } \right] C _ { a } + R _ { u } \right) \sqrt { \frac { 2 \delta } { n } } , } \end{array}
k _ { j y } ( \mathbf { r } _ { 1 } + l \mathbf { e } _ { x } , \mathbf { r } _ { 2 } + l \mathbf { e } _ { x } ) \approx \frac { 1 } { 2 l } \arcsin \frac { I _ { j L } - I _ { j R } } { I _ { j L } + I _ { j R } } .
( { \overline { { \sigma v } } } ) _ { D T } = 3 . 6 8 * 1 0 ^ { - 1 2 } * T ^ { - 2 / 3 } * e ^ { - 1 9 . 9 4 T ^ { - 1 / 3 } } { \frac { { \mathrm { ~ c m } } ^ { 3 } } { \mathrm { s e c } } }
\begin{array} { r l r } { \overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { v } ) } & { = } & { \sum _ { ( i , j ) = ( \lambda , \eta _ { l } ) , \atop 1 \leq l \leq r } W _ { i j } ^ { \boldsymbol { u v } } + ( \lambda - 1 ) t M _ { w } } \\ & { = } & { \sum _ { ( i , j ) = ( \lambda , \eta _ { l } ) , \atop 1 \leq l \leq r } W _ { i j } ^ { \boldsymbol { u v } } + \left( d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { u } ) - 1 \right) t M _ { w } } \\ & { \geq } & { d _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( C _ { 2 } ) + \left( d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( C _ { 1 } ) - 1 \right) t M _ { w } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { U _ { l } M ^ { l } U _ { l } ^ { - 1 } = \mathrm { d i a g } [ m _ { e } , m _ { \mu } , m _ { \tau } ] , } } \\ { { U _ { \nu } M ^ { \nu } U _ { \nu } ^ { - 1 } = \mathrm { d i a g } [ m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } ] . } } \end{array}
\bigg ( \frac { \delta v } { v } \bigg ) ^ { \xi _ { W } } \ = \ \frac { g _ { w } } { 2 M _ { W } } \, \frac { ( \Gamma ^ { H } ) ^ { \xi _ { W } } } { M _ { H } ^ { 2 } } \ = \ \frac { \alpha _ { w } } { 1 6 \pi } \, \xi _ { W } \, \Big ( \, 1 \: + \: B _ { 0 } ( 0 , \xi _ { W } M _ { W } ^ { 2 } , \xi _ { W } M _ { W } ^ { 2 } ) \, \Big ) \, .
\begin{array} { r } { \left[ k ^ { 0 } + ( m _ { 1 } - 2 l _ { 1 } + n _ { 1 } - 2 j _ { 1 } ) \omega \right] ^ { 2 } + \left[ k ^ { 0 } + ( m _ { 2 } - 2 l _ { 2 } + n _ { 2 } - 2 j _ { 2 } ) \omega \right] ^ { 2 } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { E _ { x } ^ { o } } \\ { E _ { y } ^ { o } } \\ { E _ { z } ^ { o } } \end{array} \right] _ { A } = A i ^ { m + 1 } \exp ( i m \phi ) \int _ { 0 } ^ { \theta _ { \operatorname* { m a x } } } f _ { \omega } ( \theta ) \cos ^ { 1 / 2 } \theta \sin ^ { 2 } \theta \exp ( i k z \cos \theta ) } \\ { \left[ \begin{array} { l } { i \left( J _ { m + 1 } + J _ { m - 1 } \right) \cos \phi - \left( J _ { m + 1 } - J _ { m - 1 } \right) \sin \phi } \\ { i \left( J _ { m + 1 } + J _ { m - 1 } \right) \sin \phi + \left( J _ { m + 1 } - J _ { m - 1 } \right) \cos \phi \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 } \end{array} \right] d \theta } \end{array}
\begin{array} { r } { \le C _ { 2 } C _ { 3 } \lambda _ { \varepsilon } ^ { \delta } \int _ { 0 } ^ { t } \lambda _ { \varepsilon } ^ { - s } e ^ { - r _ { 0 } ( t - s ) } d s + \delta ^ { \prime } \le 2 C _ { 2 } C _ { 3 } \lambda _ { \varepsilon } ^ { - t } \int _ { 0 } ^ { t } ( \lambda _ { \varepsilon } e ^ { - r _ { 0 } } ) ^ { t - s } d s + \delta ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } ( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } ) \mathbf { A } \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } } \\ & { = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { A } \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } } \\ & { = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } } \\ & { = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } \, , } \end{array}
f _ { 0 } ( a , t ) = 2 \sum _ { \alpha \in \mathbf { C } } \frac { \sinh ( b a _ { \alpha } t ) \, \sinh ( ( b a _ { \alpha } - 2 b Q _ { \alpha } ) t ) } { \sinh 2 t \sinh ( \alpha ^ { 2 } b ^ { 2 } t ) \, \sinh ( ( 1 + b ^ { 2 } ) 2 h t ) } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N , T \to \infty } \mathbb { P } ( \mathcal { T } _ { i } ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { N , T \to \infty } \underset { \to 1 } { \underbrace { \mathbb { P } ( \mathcal { T } _ { i } \vert \mathcal { P } \bigcap \mathcal { Q } \bigcap \mathcal { R } _ { i } \bigcap \mathcal { S } _ { i } ) } } \times \underset { \to 1 } { \underbrace { \mathbb { P } ( \mathcal { P } \bigcap \mathcal { Q } \bigcap \mathcal { R } _ { i } \bigcap \mathcal { S } _ { i } ) } } } \\ { + } & { \underset { \leq 1 } { \underbrace { \mathbb { P } ( \mathcal { T } _ { i } \vert \mathcal { P } ^ { c } \bigcup \mathcal { Q } ^ { C } \bigcup \mathcal { R } _ { i } ^ { c } \bigcup \mathcal { S } _ { i } ^ { c } ) } } \times \underset { \to 0 } { \underbrace { \mathbb { P } ( \mathcal { P } ^ { c } \bigcup \mathcal { Q } ^ { C } \bigcup \mathcal { R } _ { i } ^ { c } \bigcup \mathcal { S } _ { i } ^ { c } ) } } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { B } _ { t , t } = O \left( t \int _ { 0 } ^ { \infty } g ( z ) \mathrm { d } z \right) , } \\ & { g \left( \frac { n } { t } \right) \sim b _ { n } \left( \frac { d ^ { 2 } + 1 } { d ^ { 2 } } \right) ^ { n } } \\ & { g ( z ) = \left( \frac { d ^ { 2 } } { d ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { z t } \frac { 1 } { t \sqrt { 2 \pi t } } \frac { ( 2 - z ) ^ { ( 2 - z ) t } } { ( 1 - z ) ^ { ( 1 - z ) t } } \left( 4 + 2 z + O ( z ^ { 2 } ) \right) } \end{array}
S _ { D 1 } \le \frac { ( 2 n + 1 ) e ^ { - ( \gamma + a ) n } } { \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma + a } { 2 } } \right) ^ { 2 n + 1 } } \sum _ { 0 \le j \le n } \frac { \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j - n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { ( \gamma + b ) j } } { \left( j - n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { c c l } { | \Psi ^ { \mathrm { p h o } } ( z _ { j } , t ) \rangle } & { = } & { \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { m o d e } } } c _ { m } ( t ) \times \mathcal { F T } ^ { - 1 } \left[ \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } ( \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } ) | \psi ^ { m } \rangle \right] } \\ & { = } & { \sum _ { m } ^ { N + n _ { \mathrm { m o d e } } } c _ { m } ( t ) \frac { 1 } { \sqrt N } \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \alpha _ { p } ^ { m } e ^ { i 2 \pi z _ { j } p } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\tilde { \omega } _ { \pm } = \frac { i } { 2 } \gamma + \sqrt { \Omega ^ { 2 } + \frac { 2 } { m } \left( K - \sqrt { K ^ { 2 } - \bar { K } ^ { 2 } } \cos \theta \right) - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { j } } & { { } = \sin ^ { - 1 } \Big [ \frac { \cos \tau } { ( \kappa ^ { 2 } - ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) \cos ^ { 2 } \tau ) ^ { 1 / 2 } } \Big ] , } \\ { \theta _ { j } } & { { } = \cos ^ { - 1 } \Big [ \frac { 1 } { ( 1 + C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } - C ^ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) \cos ^ { 2 } \tau ) ^ { 1 / 2 } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { \mathrm { L } } } & { = } & { \sqrt { { \mathcal N } } \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \\ { \alpha _ { \mathrm { R } } } & { = } & { \sqrt { { \mathcal N } } \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) . } \end{array}
\frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \widehat { X } = ( \mathcal { L } - \widehat { \lambda } ) \frac { \partial \widehat { X } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } + \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \widehat { X } .
\begin{array} { r } { U _ { k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = \left( 1 - \overline { { \alpha } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right) ^ { - 1 } \left[ f _ { q } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \left( Q _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , Q _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , W ^ { q } , \overline { { \gamma } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \gamma } } _ { q k } ^ { \mathrm { o u t } } \right) - \overline { { \alpha } } _ { q k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } Q _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] , } \\ { V _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } = \left( 1 - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right) ^ { - 1 } \left[ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \left( P _ { k } ^ { \mathrm { i n } } , P _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } , W ^ { p } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \right) - \overline { { \alpha } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } P _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] , } \end{array}
\boldsymbol { \mathcal { A } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathcal { A } ^ { ( 0 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 2 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 3 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 2 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 3 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 2 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 2 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 2 2 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 2 3 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 3 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 3 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 3 2 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] , \quad \boldsymbol { \mathcal { L } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 3 ) } } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 3 ) } } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] , \quad \boldsymbol { f } = \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { f ^ { ( 1 ) } } \\ { f ^ { ( 2 ) } } \\ { f ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { ( O F ) \quad \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { q } , \boldsymbol { z } } \quad } & { W T ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { z } ) + I V T ( \boldsymbol { z } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { O _ { l , t , t ^ { \prime } } ( \boldsymbol { z } ) \leq K _ { l , t } \quad \forall l \in \mathcal { L } , t \in \mathcal { T } , t ^ { \prime } = t , t + 1 , . . . , T _ { l , t } } \\ & { \sum _ { \{ t ^ { \prime } : t ^ { \mathrm { m i n } } \leq t ^ { \prime } + \Delta _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , 1 } \leq t \} } z _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , 1 } \leq \sum _ { t ^ { \prime } = t ^ { \mathrm { m i n } } } ^ { t } \left( f _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r } + q _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r } \right) \quad \forall ( u , v , r ) \in \mathcal { F } , t \in \mathcal { T } } \\ & { \sum _ { \{ t ^ { \prime } : t ^ { \mathrm { m i n } } \leq t ^ { \prime } + \Delta _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i } \leq t \} } z _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i } \leq \sum _ { \{ t ^ { \prime } : t ^ { \mathrm { m i n } } \leq t ^ { \prime } + \delta _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i - 1 } \leq t \} } z _ { t ^ { \prime } } ^ { u , v , r , i - 1 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \forall ( u , v , r ) \in \mathcal { F } , i \in \mathcal { I } ^ { ( u , v , r ) } \setminus \{ 1 \} , t \in \mathcal { T } } \\ & { \sum _ { r \in \mathcal { R } ^ { u , v } } q _ { t } ^ { u , v , r } + f _ { t } ^ { u , v , r } = d _ { t } ^ { u , v } \quad \forall ( u , v ) \in \mathcal { W } , t \in \mathcal { T } } \\ & { z _ { t } ^ { u , v , r , i } = \hat { z } _ { t } ^ { u , v , r , i } \quad \forall ( u , v , r , i , t ) \in \Omega _ { 1 } } \\ & { z _ { t } ^ { u , v , r , i } \geq 0 \quad \forall t \in \mathcal { T } , ( u , v , r ) \in \mathcal { F } , i \in \mathcal { I } ^ { u , v , r } } \\ & { q _ { t } ^ { u , v , r } \geq 0 \quad \forall t \in \mathcal { T } , ( u , v , r ) \in \mathcal { F } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { I m } ( z - a ) ( \overline { { z } } - b ) = 0 } \\ & { \iff } & { ( z - a ) ( \overline { { z } } - b ) \in \mathbb R } \\ & { \iff } & { ( z - a ) ( \overline { { z } } - b ) = \overline { { ( z - a ) ( \overline { { z } } - b ) } } } \\ & { \iff } & { ( \overline { { a } } - b ) z - ( a - \overline { { b } } ) \overline { { z } } + a b - \overline { { a } } \overline { { b } } = 0 } \end{array}
\dot { y } _ { 1 } = - \frac { 3 } { 2 } \frac { \mathcal { D } _ { 1 } } { \Gamma _ { 1 } ^ { 1 3 } } \left( 2 \mathrm { i } p + \overline { { n } } _ { 1 } \tau \right) y _ { 1 } + 3 \mathrm { i } ( p + 2 ) \frac { \mathcal { D } _ { 2 } } { \Gamma _ { 2 } ^ { 1 3 } } \, y _ { 1 } \ ,
{ \vec { e } } _ { 0 } = \partial _ { t } , \; { \vec { e } } _ { 1 } = \partial _ { z } , \; { \vec { e } } _ { 2 } = \partial _ { r } , \; { \vec { e } } _ { 3 } = { \frac { { \sqrt { 2 } } \omega } { \sinh ( { \sqrt { 2 } } \omega r ) } } \, \partial _ { \varphi } - { \frac { { \sqrt { 2 } } \sinh ( { \sqrt { 2 } } \omega r ) } { 1 + \cosh ( { \sqrt { 2 } } \omega r ) } } \, \partial _ { t }
\partial _ { + } \Phi = - { \frac { 1 } { 2 } } \frac { \partial _ { + } e ^ { - 2 \Phi } } { e ^ { - 2 \Phi } } = - { \frac { 1 } { 2 x _ { 0 } ^ { + } } } - \frac { \Delta } { 2 x _ { 0 } ^ { + } x ^ { - } } \; ,
S = \int d ^ { D } x \left( \bar { \psi } _ { \alpha } ^ { a } ( \delta _ { \alpha \beta } \vec { \gamma } \cdot \vec { \nabla } + \phi _ { \alpha \beta } ) \psi _ { \beta } ^ { a } + \frac { N } { 2 \lambda } \mathrm { t r } _ { F } \phi ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \lvert u ( v , \cdot , \cdot ) - u ( w , \cdot , \cdot ) \rvert ^ { p - 2 } \big ( u ( v , \cdot , \cdot ) - u ( w , \cdot , \cdot ) \big ) } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \le 2 ^ { p - 1 } \big ( u _ { + } ^ { p - 1 } ( v , \cdot , \cdot ) + u _ { - } ^ { p - 1 } ( w , \cdot , \cdot ) \big ) - u _ { + } ^ { p - 1 } ( w , \cdot , \cdot ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Delta _ { i } = } & { \sum _ { s = 1 } ^ { ( B { \nu } _ { i } ) ^ { 2 } } \left[ d _ { i } ^ { 0 } \right] _ { s } ^ { t } \left[ h _ { i } \right] _ { s } \dag \Lambda _ { i } = } & { \sum _ { s = 1 } ^ { ( B { \nu } _ { i } ) ^ { 2 } } \left[ l _ { i } \right] _ { s } \left[ h _ { i } \right] _ { s } \dag \Lambda _ { i } ^ { c } = } & { \sum _ { s = 1 } ^ { ( B { \nu } _ { i } ) ^ { 2 } } \left[ l _ { i } ^ { c } \right] _ { s } \left[ h _ { i } \right] _ { s } \dag , , } \end{array}