harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { h _ { 3 , 4 } | p _ { 0 } \rangle \otimes | R \rangle _ { 4 } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } ( | R G R \rangle - | G R R \rangle ) \otimes | B \rangle _ { 4 } } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } ( | B R R \rangle - | R B R \rangle ) \otimes | G \rangle _ { 4 } , } \\ { h _ { 4 , 2 } | p _ { 0 } \rangle \otimes | R \rangle _ { 4 } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } ( | G R R \rangle - | R R G \rangle ) \otimes | B \rangle _ { 4 } } \\ & { + \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } ( | R R B \rangle - | B R R \rangle ) \otimes | G \rangle _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \vec { v } ^ { \pm } ( r , \theta , z ) = \vec { \nabla } f ^ { \pm } ( r , \theta , z ) + \vec { \nabla } \times [ g ^ { \pm } ( r , \theta , z ) \hat { z } ] + r \partial _ { r } \left[ \vec { \nabla } h ^ { \pm } ( r , \theta , z ) \right] + \partial _ { z } h ^ { \pm } ( r , \theta , z ) \hat { z } , } \\ & { p ^ { \pm } ( r , \theta , z ) = - 2 \eta _ { \pm } \partial _ { z } ^ { 2 } h ^ { \pm } ( r , \theta , z ) , } \end{array}
{ \frac { d } { d \tau } } \left( { \frac { g _ { \mu \nu } \delta ^ { \mu } _ { \lambda } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } \delta ^ { \nu } _ { \lambda } } { 2 { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } } \right) = { \frac { g _ { \mu \nu , \lambda } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } { 2 { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } } } } } \qquad \qquad ( 2 )
\sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { r } \mathbf { y } ) \| \leq 2 C \, \widetilde { \eta } \, M _ { \widetilde { \eta } } \, \| \mathbf { y } \| _ { \infty } \leq 8 C ^ { 2 } \eta M _ { \widetilde { \eta } } \| \mathbf { y } \| _ { \infty } .
H ^ { \prime } ( t ) = - i \hbar \, \sum _ { m \neq n } \left[ \langle m ; t | e ^ { - i \alpha _ { m } ( t ) } \right] \frac { d } { d t } \left[ e ^ { i \alpha _ { n } ( t ) } | n ; t \rangle \right] \: | m ; 0 \rangle \langle n ; 0 | \; .
V _ { o u t } ( t ) = \mathcal { L } ^ { - 1 } ( t ) \Bigg \{ I _ { 0 } \frac { 1 - e ^ { - s t _ { c } } } { s } \frac { R _ { f } G _ { 0 } } { 1 + G _ { 0 } } \frac { ( 1 - s \tau _ { z } ) } { ( 1 + s \tau ) ^ { 2 } } \Bigg \} ~ ,
\begin{array} { r } { - \int _ { \partial \Omega } \lambda v _ { \parallel } ^ { 2 } \, d A = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { h } \frac { \eta } { L } \left( \frac { G R L } { 2 \eta } \right) ^ { 2 } d z R d \varphi = - \frac { \pi h G ^ { 2 } R ^ { 3 } L } { 2 \eta } . } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \left( \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } \right) _ { k } } = \frac { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } ( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } + \delta \mathbf { I } _ { k } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } ) - \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } ( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } - \delta \mathbf { I } _ { k } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } ) } { 2 \delta } ,
{ \cal N } _ { M } [ { \cal H } _ { \vec { x } } ] = { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { t } \phi _ { x } \partial _ { t } \phi _ { x } + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \vec { x } } \phi _ { \vec { x } } \partial _ { \vec { x } } \phi _ { \vec { x } } + { \cal N } _ { M } [ V ( \phi _ { \vec { x } } ) ] - { \frac { 1 } { 2 } } I _ { 0 } [ M ^ { 2 } ] + { \frac { 1 } { 4 } } M ^ { 2 } I _ { 1 } [ M ^ { 2 } ] \; ,
< V > = < - { \frac { \alpha _ { 0 } } { \beta ^ { 2 } } } \cos \beta \varphi > = - { \frac { \alpha _ { 0 } } { \beta ^ { 2 } } } \cos \beta \phi ~ ~ e ^ { - { \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 } } G ( x , x ) }
\overline { { \Delta I } } = A \left( \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( { \frac { - t } { \tau _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } } \right) - \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( { \frac { - t } { \tau _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } + \Delta \tau } } \right) \right)
\begin{array} { r l } & { \rho _ { L 2 } = \left( 1 - \frac { \gamma - 1 } { 4 \alpha \gamma } \varepsilon _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { 2 \alpha \left( 1 - \tau ^ { 2 } \right) } \right) ^ { 1 / ( \gamma - 1 ) } , } \\ & { v _ { \theta } = \varepsilon _ { 2 } \tau e ^ { \alpha \left( 1 - \tau ^ { 2 } \right) } , \quad p _ { L 2 } = \rho _ { L 2 } ^ { \gamma } , } \\ & { u _ { L 2 } = v _ { \theta } \sin \theta = v _ { \theta } ( y - y _ { c } ) / r , } \\ & { v _ { L 2 } = - v _ { \theta } \cos \theta = - v _ { \theta } ( x - x _ { c } ) / r , } \\ & { \tau = r / r _ { c } \mathrm { , } r = \sqrt { \left( x - x _ { c } \right) ^ { 2 } + \left( y - y _ { c } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle E _ { 1 } ( \omega , b ) \rightarrow i \, \frac { z e \omega } { c ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } \, \epsilon _ { r } ( \omega ) } \right] \, \frac { e ^ { - \lambda b } } { \sqrt { \lambda b } } } \\ { \displaystyle E _ { 2 } ( \omega , b ) \rightarrow \frac { z e } { v \, \epsilon _ { r } ( \omega ) } \, \sqrt { \frac { \lambda } { b } } \, e ^ { - \lambda b } } \\ { \displaystyle B _ { 3 } ( \omega , b ) \rightarrow \rho \, \epsilon _ { r } ( \omega ) \, E _ { 2 } ( \omega , b ) \, . } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \tau ^ { k - 1 - i } h _ { k } \sigma _ { i } ^ { k } = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \tau ^ { k - 1 - i } ( h _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { i - 1 } ^ { k - 1 } + h _ { k } \sigma _ { i } ^ { k - 1 } ) = \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } \tau ^ { k - 1 - i } h _ { k } ( - \tau \sigma _ { i - 1 } ^ { k - 1 } + \sigma _ { i } ^ { k - 1 } )
\begin{array} { r l } { \overline { { g } } _ { 1 } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { { } : = - ( w _ { 1 } + 1 ) x y + ( w _ { 2 } w _ { 7 } - w _ { 2 } ) x z + ( w _ { 1 } w _ { 3 } + r ) x } \\ { \overline { { g } } _ { 2 } ( x , y , z ; \mathbf { w } ) } & { { } : = ( w _ { 3 } - r ) x + ( w _ { 4 } - a ) y = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { S = \int d t ~ \frac 1 2 I _ { 1 } ( \dot { \theta } ^ { 2 } + \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ) + \frac 1 2 I _ { 3 } ( \dot { \psi } + \dot { \varphi } \cos \theta ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 - h ( p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { D } } } ) = ( 1 - p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { D } } } ) ( 1 - e _ { 1 } ) + p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { D } } } e _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | D ^ { 2 } u _ { k } ( 0 ) - D ^ { 2 } u ( 0 ) | } & { \le \| D ^ { 2 } ( u _ { k } - \tilde { u } ) \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 2 ^ { - k - 1 } } ) } } \\ & { \le C 2 ^ { 2 k } \| u _ { k } - \tilde { u } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 2 ^ { - k } } ) } } \\ & { = C 2 ^ { 2 k } \| u - \tilde { u } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial B _ { 2 ^ { - k } } ) } \to 0 \quad \textrm { a s } \quad k \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \| F ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } } & { = } & { O _ { p } \Big ( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { q _ { n } } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } \Big ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \| Q ^ { * } ( t ) \| _ { \infty } } & { = } & { O _ { p } \Big ( \kappa _ { n } ( q _ { n } + 1 ) e ^ { q _ { n } } \sqrt { \frac { \log N h _ { 2 } } { N h _ { 2 } } } \Big ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ a , b ] } \operatorname* { s u p } _ { \gamma ( t ) \in \mathcal { J } } \| F _ { \gamma } ( \eta _ { \gamma } ^ { * } ( t ) ) \| _ { \infty } } & { = } & { O _ { p } \Big ( ( q _ { n } + 1 ) e ^ { q _ { n } } \sqrt { \frac { \log n h _ { 1 } } { n h _ { 1 } } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } } & { { } = \frac { 1 - ( N - 1 ) \mathcal { P } _ { N - 1 , N } } { 2 \sqrt { N } } \sum _ { \Gamma _ { \aleph } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L _ { \aleph } M _ { \aleph } } C _ { S _ { A } \Sigma _ { A } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S _ { \aleph } \Sigma _ { \aleph } } \Psi _ { \aleph E _ { 1 } } ^ { - } ( x _ { 1 } \textrm { \, --- \, } x _ { N - 1 } ) \otimes { ^ { 2 } \phi _ { E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } } ( x _ { N } ) - } \end{array}
D _ { \mathrm { C B M } } ( r ) = D _ { 0 } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ r _ { 0 } \leq r \leq r _ { \mathrm { ~ o ~ v ~ } } , \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \nabla _ { T } = \nabla _ { \mathrm { r a d } } .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { W } } ( 0 , \mathbf { w } ) } & { = \langle 0 | \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { W } _ { n } - w _ { n } \bigr ) | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \cdots \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { M } \, \exp \left( - i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } w _ { n } \right) \langle 0 | e ^ { i \alpha _ { 1 } \hat { W } _ { 1 } } e ^ { i \alpha _ { 2 } \hat { W } _ { 2 } } \cdots e ^ { i \alpha _ { M } \hat { W } _ { M } } | 0 \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { 1 } \cdots \int _ { \mathbb { R } } \mathrm { d } \alpha _ { M } \, \exp \left( - i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } w _ { n } \right) \langle 0 | \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { W } _ { n } \right) | 0 \rangle , } \end{array}
D v ( x ) \in \underbrace { \bigcup _ { j = 0 } ^ { \infty } \overline { { \mathcal { U } } } _ { I + j } ^ { 1 } \cup \bigcup _ { j = 0 } ^ { \infty } \overline { { \mathcal { U } } } _ { I + j } ^ { 2 } \cup \bigcup _ { j = 0 } ^ { \infty } \overline { { \mathcal { V } } } _ { I + j } } _ { \qquad = : \tilde { K } _ { f } } \quad \mathrm { f o r ~ a . e . ~ } x \in \Omega .
\sum _ { T \in \mathcal { T } } \bigg ( \int _ { T } \frac { 1 } { 2 ( \nu + \nu _ { t } ) } \big ( \underline { { \underline { { \sigma } } } } _ { h } + 2 \nu _ { t } \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } \big ) : ( 2 \nu _ { t } \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) \: d \underline { { x } } - \int _ { T } \underline { { \underline { { g } } } } _ { h } : ( 2 \nu _ { t } \underline { { \underline { { l } } } } _ { h } ) \: d \underline { { x } } \bigg ) = 0 .
\begin{array} { r } { \sigma ( t ) = \int _ { 0 } ^ { t } \hat { g } ( t - \tau ) \frac { d \sigma _ { e } ( \tau ) } { d \tau } d \tau = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d \hat { g } ( t - \tau ) } { d \tau } \sigma _ { e } ( \tau ) d \tau = \int _ { 0 } ^ { t } \hat { m } ( t - \tau ) \sigma _ { e } ( \tau ) d \tau . } \end{array}
\hat { Q } Q ^ { H } w = \hat { Q } \Vert w \Vert _ { 2 } e _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \times } & { \times } & { \times } & { \times } & { \times } & { \times } \\ { \times } & { \times } & { \times } & { \times } & { \times } & { \times } \\ & { \times } & { \times } & { \times } & { \times } & { \times } \\ & & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ & & & { \times } & { \times } & { \times } \\ & & & & { \times } & { \times } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \times } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \times } \\ { \times } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] .
( \vec { w } - \vec { u } ) \cdot \vec { \nu } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \Gamma ( t ) , \qquad ( \vec { w } - \vec { u } ) \cdot \vec { n } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \mathscr { R } .
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { \beta } } } & { = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ( y _ { i } - { \bar { y } } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } } = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } { \frac { ( y _ { i } - { \bar { y } } ) } { ( x _ { i } - { \bar { x } } ) } } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { ( x _ { i } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( x _ { j } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } } } { \frac { ( y _ { i } - { \bar { y } } ) } { ( x _ { i } - { \bar { x } } ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { c } { d X _ { i } ( t ) = \big ( \begin{array} { c } { \frac { \partial \eta } { \partial P _ { i } } } \end{array} - \frac { 1 } { 2 } \kappa X _ { i } \big ) d t - \sqrt { \kappa T } d w _ { i } ^ { X } ( t ) , } \\ { \ \ d P _ { i } ( t ) = \big ( \begin{array} { c } { - \frac { \partial \eta } { \partial X _ { i } } } \end{array} - \frac { 1 } { 2 } \kappa P _ { i } \big ) d t + \sqrt { \kappa T } d w _ { i } ^ { P } ( t ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ z ^ { x } \right] \phi \left( z \right) \sim C _ { 2 } b z _ { c } ^ { - x } \cdot \frac { \sigma \left( x \right) } { x \log x } \left( \frac { 1 } { \Gamma } \right) ^ { ^ { \prime } } \left( a \right) \mathrm { ~ a ~ s ~ } x \rightarrow \infty \mathrm { ~ , ~ }
{ \frac { M _ { i j } ^ { l o o p } } { M _ { i j } ^ { t r e e } } } \sim { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } } { \frac { \tilde { \lambda } _ { i } \tilde { \lambda } _ { j } } { \xi _ { i } \xi _ { j } c _ { \beta } ^ { 2 } } } { \frac { m _ { \tau } ^ { 2 } \mu t _ { \beta } } { M _ { Z } m _ { \tilde { \tau } } ^ { 2 } } } \sim t _ { \beta }
( \alpha _ { 1 } / 2 ) \mathrm { V a r } \{ n _ { X } \} \leq | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { B } - n _ { C } \} | + | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { C } \} | \leq 3 \alpha _ { 1 } \mathrm { V a r } \{ n _ { X } \}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \left[ \| x _ { 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] } & { = } & { \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \omega \mathbb { E } \left[ \langle x _ { 0 } - x ^ { * } , F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \rangle \right] + \omega ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = } & { \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \omega \langle x _ { 0 } - x ^ { * } , F ( x _ { 0 } ) \rangle + \omega ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( x _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 2 } ^ { 3 } - [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 1 } ) - ( [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 1 } ^ { 3 } - [ X _ { \alpha } ^ { \delta } ] _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ & { \approx - ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( c _ { 1 } c _ { 2 } ( a _ { 1 } \phi ^ { \delta } - b _ { 1 } \xi ^ { \delta } ) + ( c _ { 1 } ) _ { y } ( a _ { 2 } \phi ^ { \delta } - b _ { 2 } \xi ^ { \delta } ) - ( a _ { 1 } ) _ { y y } \phi ^ { \delta } + ( b _ { 1 } ) _ { y y } \xi ^ { \delta } + ( c _ { 1 } ) _ { y y } X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) } \\ & { - ( \delta ^ { 3 } / 2 ) \left( \left( 2 c _ { 1 } ( c _ { 2 } ) _ { x } + ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } ) _ { y } \right) X _ { \alpha } ^ { \delta } + \left( c _ { 1 } ( a _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { 2 } ) + c _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } + b _ { 1 } ^ { 2 } ) + ( c _ { 2 } ) _ { x x } \right) X _ { \beta } ^ { \delta } \right) ( 0 ) . } \end{array}
\sigma ^ { 2 } = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } \biggl [ \Big \langle H \frac { e ^ { \lambda H } - e ^ { - \lambda H } } { 2 \lambda } \Big \rangle - \langle H \rangle \Big \langle \frac { e ^ { \lambda H } - e ^ { - \lambda H } } { 2 \lambda } \Big \rangle \biggr ] \, .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \ell x } ^ { - 2 } = \frac { \bar { \ell } ^ { 2 } } { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } } & { \left( 1 + \frac { { \tau _ { \mathrm { r } } } } { \tau _ { \ell } } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { { \tau _ { \mathrm { c } } } } { \tau _ { \ell } } \right) ^ { 2 } \bigg ( \frac { 1 } { X _ { T } f ( 1 - f ) ( 1 - p ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { R _ { T } p ( 1 - p ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } ) } + \frac { \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } { \bar { \ell } ^ { 2 } } \frac { 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { \ell } + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } } { ( 1 + { \tau _ { \mathrm { c } } } / \tau _ { \ell } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { \ell } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { c } } } ) } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial A } { \partial z } - \left( \sum _ { n \geqslant 2 } \beta _ { n } \frac { i ^ { n + 1 } } { n ! } \frac { \partial ^ { n } A } { \partial T ^ { n } } \right) = i \gamma _ { e f f } \left( 1 + \frac { i } { \omega _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial T } \right) ( \left( 1 - f _ { r } \right) } \\ { A | A | ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { 0 } } { \gamma _ { e f f } } f _ { r } A \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { r } ( \tau ) | A ( z , T - \tau ) | ^ { 2 } d \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bar { \mathcal { Z } } ^ { r } ( \beta ) } & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } e ^ { - \beta \Bar { U } _ { r } \left( x \right) } \mathrm { d } x } \\ & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } e ^ { - \beta \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } U ( x - y ) \rho _ { r } ( y ) \mathrm { d } y } \mathrm { d } x } \\ & { \le \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } e ^ { - \beta U ( x - y ) } \mathrm { d } x \rho _ { r } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { \le e ^ { \frac { 1 } { 2 } \beta b \log 3 } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } e ^ { - m \beta | x - y | ^ { 2 } / 3 } \mathrm { d } x \rho _ { r } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { = 3 ^ { \beta b / 2 } \left( 3 \pi / m \beta \right) ^ { d / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle \mathcal { H } _ { 2 } \left( \psi _ { 2 } , J _ { 2 } , \theta \right) } & { = \displaystyle \nu _ { x } J _ { 2 } + \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 3 , 0 , n } \cos { \left( 3 \psi _ { 2 } - n \theta + \xi _ { 3 , 0 , n } \right) } } } \\ & { \displaystyle + \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { g _ { 1 , 0 , n } \cos { \left( \psi _ { 2 } - n \theta + \xi _ { 1 , 0 , n } \right) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } + \Delta t ) } & { = \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ^ { - } ) + \Big ( v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) - v ^ { + } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) \Big ) \Big ( - \frac { n ^ { T } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ^ { - } ) } { n ^ { T } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) + \frac { \partial H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \partial t } } \Big ) } \\ & { = \Big ( I + \frac { ( v ^ { + } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) - v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) ) n ^ { T } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { n ^ { T } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) v ^ { - } ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) + \frac { \partial H ( t _ { 1 } , \textbf { x } _ { 1 } ) } { \partial t } } \Big ) \Delta \textbf { x } ( t _ { 1 } ^ { - } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { T } ( \beta , \sigma ) } & { { } = } & { t _ { 0 } + t _ { 1 } \, \sigma ^ { \tau _ { 1 } } \operatorname { t a n h } \left[ t _ { 2 } \, \beta \, \sigma ^ { \tau _ { 2 } } \right] } \end{array}
{ \it \mathcal { R } } ( \omega ) = \cot \left( \frac { \omega n } { c } L \right) - \frac { \omega V _ { 1 } } { c n } , \ \ \ \ { \it \mathcal { I } } ( \omega ) = \frac { \omega V _ { 1 } } { c n _ { 0 } } \cot { \left( \frac { \omega n } { c } L \right) } + \frac { 1 } { 2 } ( \frac { n } { n _ { 0 } } + \frac { n _ { 0 } } { n } ) - \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } n _ { 0 } n } \left( V _ { 1 } ^ { 2 } + V _ { 2 } ^ { 2 } \right) .
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \sin ( t ) } { t } } d t = } & { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \lambda { \frac { \pi } { 2 } } } { \frac { \sin ( t ) } { t } } d t } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { \sin ( \lambda x ) } { x } } d x } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { \sin ( \lambda x ) } { \sin ( x ) } } d x } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { \sin ( ( 2 n + 1 ) x ) } { \sin ( x ) } } d x } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } D _ { n } ( x ) d x = { \frac { \pi } { 2 } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { P ( E _ { n , i } \cap \{ | J _ { i } ^ { * } | \geq 1 \} ) } & { \leq 1 \wedge \left( \frac { C _ { f } a _ { i } } { f _ { * } } \sum _ { j = 1 } ^ { a _ { i } } E \left[ \frac { \mathcal { D } _ { i , j } } { S _ { \kappa _ { i } ( j ) - 1 } } \right] \right) \leq 1 \wedge \left( \frac { C _ { f } \mu a _ { i } ^ { 2 } } { f _ { * } ( i - 1 ) } \right) } \\ & { \leq 1 ( i = 1 ) + \frac { 2 C _ { f } \mu i ^ { - 2 \delta } } { f _ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { * } = ( \frac { \partial } { \partial x } , \frac { \partial } { \partial z } ) = ( \frac { \partial } { \partial x } + \frac { y } { \phi } \phi _ { x } \frac { \partial } { \partial y } , \phi \frac { \partial } { \partial y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { y } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { { } = } & { \frac { 2 q \beta } { r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { s } \frac { Q _ { 1 } ( u ) } { W _ { 0 } ^ { I } } K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u ) \sin \left( u \xi / r _ { c } \right) | _ { u = u _ { 1 , s } } , } \\ { E _ { x } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { { } = } & { \frac { 2 q } { r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { s } Q _ { 1 } ( u ) \left[ \frac { \beta ^ { 2 } } { W _ { 0 } ^ { I } } K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u ) - \frac { \gamma _ { 0 } / ( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } ) } { I _ { 1 } ( \gamma _ { 0 } u ) } \right] \sin \left( u \xi / r _ { c } \right) | _ { u = u _ { 1 , s } } , } \\ { E _ { z } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { { } = } & { - \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { s } \frac { \gamma _ { 0 } Q _ { 0 } ( u ) } { \varepsilon _ { 0 } W _ { 1 } ^ { I } } K _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } u ) \cos \left( u \xi / r _ { c } \right) | _ { u = u _ { 0 , s } } . } \end{array}
G _ { l ^ { \prime } L l } ^ { m ^ { \prime } M m } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } { \phi } \int _ { 0 } ^ { \pi } s i n ( \theta ) \mathrm { d } { \theta } { Y _ { l ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } } } ( \theta , \phi ) Y _ { L } ^ { M } ( \theta , \phi ) Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi )
\Gamma _ { H } ( q , P ) = - { \frac { 4 } { 3 } } i ( 2 \pi ) ^ { - 4 } \int d ^ { 4 } q ^ { \prime } D _ { \mu \nu } ( q - q ^ { \prime } ) \gamma _ { F } ( q ^ { \prime } + P / 2 ) \Gamma _ { H } ( q ^ { \prime } , P ) S _ { F } ( q ^ { \prime } - P / 2 ) \gamma _ { \nu }
\begin{array} { r l r } & { } & { P \bigg ( X _ { t } \in \cdot \bigg | \bigcap _ { n = 1 } ^ { \infty } \sigma ( Y _ { ( - \infty , t ] } , U _ { ( - \infty , t - 1 ] } ) \vee \sigma ( \pi _ { ( - \infty , - n ] } ) \bigg ) } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = P ( X _ { t } \in \cdot | \sigma ( Y _ { ( - \infty , t ] } , U _ { ( - \infty , t - 1 ] } ) ) } \end{array}
\langle { \mathcal O } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) { \mathcal O } ( x _ { 2 } ) { \mathcal O } ^ { \prime } ( x _ { 3 } ) { \mathcal O } ( x _ { 4 } ) \rangle = \frac { 1 } { x _ { 1 3 } ^ { 8 } x _ { 2 4 } ^ { 8 } } F ( s , t )
{ \cal L } = \frac { 1 } { 8 } T ^ { \mu \nu , \alpha } T _ { \mu \nu , \alpha } + \frac { a _ { 1 } } { 2 } T ^ { \mu \nu , \alpha } T _ { \mu \alpha , \nu } + \frac { a _ { 2 } } { 2 } T ^ { \mu } T _ { \mu }
\begin{array} { r l } { \langle \widetilde { \Psi } | \sigma _ { z } | \widetilde { \Psi } \rangle } & { = \left\langle \sigma _ { z } \right\rangle \cos ( 2 \Omega _ { \mathrm { R 0 } } t _ { \mathrm { R } } ) } \\ & { + ( \left\langle \sigma _ { y } \right\rangle \cos \Delta \varphi + \left\langle \sigma _ { x } \right\rangle \sin \Delta \varphi ) \sin ( 2 \Omega _ { \mathrm { R 0 } } t _ { \mathrm { R } } ) . } \end{array}