harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { R \left( \left( \begin{array} { c c c } { m } & { 0 } \\ { n } & { 0 } \end{array} \right) \right) = } & { \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c c c } { m } & { 0 } \\ { n } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { m } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim { \bf V } _ { 3 } ( { \mathcal T } _ { { A } } ) } & { = 3 \dim P _ { 3 } ( { \mathcal T } _ { { A } } ) = 3 ( V _ { A } + 2 E _ { A } + F _ { A } ) = 3 ( V + 2 E + F + 1 5 T ) } \\ & { \approx ( 2 8 . 5 \overline { { e } } - 4 8 ) V , } \\ { \dim \Pi _ { 2 } ( { \mathcal T } _ { { A } } ) } & { = 1 0 T _ { A } = 4 0 T \approx ( 2 0 \overline { { e } } - 4 0 ) V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon _ { m , l , k } ^ { ( \alpha , \sigma ) } } & { = e ^ { i m \phi } \, \widetilde { s } ( t ) ^ { \left| m \right| + \sigma } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { l } P _ { l } ^ { ( \alpha , \alpha ) } ( \eta ) Q _ { k } ^ { \left( \alpha , \alpha , 2 l + 2 \alpha + 1 , \left| m \right| + \sigma ; \, \widetilde { h } , \, \widetilde { s } \right) } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal M = } \\ & { \left[ \begin{array} { l l l } { \beta + G + \frac 1 { T _ { 1 } } } & { \alpha \tilde { \bar { P } } _ { T } ^ { * } / 2 } & { \alpha \tilde { \bar { P } } _ { T } / 2 } \\ { - \alpha \tilde { \bar { P } } _ { T } } & { \beta + \frac 1 { T _ { 2 } } + i ( \omega - \omega _ { s } ) } & { 0 } \\ { - \alpha \tilde { \bar { P } } _ { T } ^ { * } } & { 0 } & { \beta + \frac 1 { T _ { 2 } } - i ( \omega - \omega _ { s } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
t ( \tau ) = E \alpha ^ { \prime } \tau + l \; \mathrm { a r c t h } [ \frac { E } { \sqrt { E ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \mathrm { t h } ( \frac { \alpha ^ { \prime } \sqrt { E ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { l } \tau ) ] .
\mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \otimes \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] _ { p , q } = \left( \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] \otimes \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] \right) _ { p , q } + \pmb { \mathscr { V } } _ { p , j _ { i } , q } ^ { ( i ) } ,
\frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } ( \mu ) } + C _ { A } \log g ^ { 2 } ( \mu ) = \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { g ^ { 2 } ( M ) } + C _ { A } \log g ^ { 2 } ( M ) + b _ { 0 } \log \frac { \mu } { M } - \sum _ { f } T _ { f } \log Z _ { f } ( \mu , M ) ,
( \Pi ) _ { \mu , 1 } = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \theta } \left\{ \zeta ( \alpha , \alpha ) \psi _ { \mu , j , \alpha } \phi _ { \alpha , j } + \sum _ { \beta = 1 } ^ { \alpha - 1 } \zeta ( \alpha , \beta ) ( \psi _ { \mu , j , \alpha } \phi _ { \beta , j } + \psi _ { \mu , j , \beta } \phi _ { \alpha , j } ) - \rho _ { \mu , j , \alpha } \right\} ,
S _ { M } [ \overline { { { \psi } } } , \psi ] \; = \; - \sum _ { f = 1 } ^ { N } m ^ { ( f ) } \int d ^ { 2 } x \; \chi _ { \Lambda } ( x ) \; \overline { { { \psi } } } ^ { ( f ) } ( x ) \psi ^ { ( f ) } ( x ) \; .
\begin{array} { r l } { D _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { A } } & { { } = D _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } ^ { A } , } \\ { d _ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { A } } & { { } = d _ { \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 3 } } ^ { A } = d _ { \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { A } = d _ { \textsc { p } _ { 4 } \textsc { p } _ { 3 } \textsc { p } _ { 2 } \textsc { p } _ { 1 } } ^ { A } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { a } _ { \mathrm { t o t , S M M } } ^ { \mathrm { J } } } & { { } = a _ { 1 } ^ { \mathrm { J } } \frac { 1 + r _ { 1 1 , \mathrm { b o t } } \mathrm { e } ^ { i 2 h _ { \mathrm { b } } \beta _ { 1 } } } { 1 - r _ { 1 1 , \mathrm { b o t } } r _ { 1 1 , \mathrm { t o p } } \mathrm { e } ^ { i 2 h _ { \mathrm { t o t a l } } \beta _ { 1 } } } } \end{array} ,
\mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } ( \lambda ( g , \alpha ) ) \approx \left( \frac { \partial \lambda } { \partial f } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } ( f ( g , \alpha ) ) + \left( \frac { \partial \lambda } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } ( \phi ( g ) ) .
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ n ~ s ~ o ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ 6 ~ + ~ 1 ~ 0 ~ ) ~ } } = \gamma ( \cos \nu T ^ { [ 6 ] } + \sin \nu T ^ { [ 1 0 ] } ) . } \end{array}
\Gamma _ { 0 } ^ { M } ( k ) = i \int { \frac { d ^ { 4 } u } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \hat { I } _ { a b } \big ( k - u , { \frac { k + u } { 2 } } , { \frac { k + u } { 2 } } \big ) \sigma ^ { a } \hat { H } ( u ) \Gamma _ { 0 } ^ { M } ( u ) \hat { H } ( u ) \sigma ^ { b } \ .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } _ { \mathrm { n n } } = i \langle b _ { j } ^ { \dagger } b _ { i } - b _ { j } b _ { i } ^ { \dagger } \rangle , } \\ & { \mathcal { J } _ { \mathrm { n n n } } = 2 g i e ^ { \pm 2 \pi / 3 i } \langle ( 1 - n _ { i j } ) ( b _ { j } ^ { \dagger } b _ { i } - b _ { j } b _ { i } ^ { \dagger } ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { d } ^ { f } } & { = \mathbf { d } ^ { s } } & & { \mathrm { o n ~ } \Gamma ^ { f s } ~ ~ \forall t \ge 0 ~ , } \\ { \mathbf { T } ^ { f } \cdot \mathbf { n } ^ { f } } & { = - \mathbf { T } ^ { s } \cdot \mathbf { n } ^ { s } } & & { \mathrm { o n ~ } \Gamma ^ { f s } ~ ~ \forall t \ge 0 ~ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \varphi ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } d V ^ { \prime } , } \\ & { \mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int { \frac { \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } d V ^ { \prime } , } \end{array} }
L _ { n } ^ { ( j ) } ( p _ { i _ { 1 } } , \ldots , p _ { i _ { k } } ) = \{ p _ { 1 + j } , p _ { 2 + j } , \ldots , p _ { i _ { 1 } - 1 + j } , p _ { i _ { 1 } + 1 + j } , \ldots , p _ { i _ { k } - 1 + j } , p _ { i _ { k } + 1 + j } , \ldots p _ { n + j } \} .
\bigl [ \begin{array} { l } { Y _ { 1 , t } } \\ { Y _ { 2 , t } } \end{array} \bigr ] = \bigl [ \begin{array} { l } { \varphi _ { 1 , 1 } } \\ { \varphi _ { 2 , 1 } } \end{array} \bigr ] + \bigl [ \begin{array} { l l } { \phi _ { 1 , 1 } } & { \phi _ { 1 , 2 } } \\ { \phi _ { 2 , 1 } } & { \phi _ { 2 , 2 } } \end{array} \bigr ] \bigl [ \begin{array} { l } { Y _ { 1 , t - 1 } } \\ { Y _ { 2 , t - 1 } } \end{array} \bigr ] + \bigl [ \begin{array} { l } { \epsilon _ { 1 , t } } \\ { \epsilon _ { 2 , t } } \end{array} \bigr ] ,
\begin{array} { r l } & { 1 + \frac { 2 e ^ { - \beta \hbar \omega } \left( e ^ { - \beta \hbar \omega } - 1 \right) } { 1 - e ^ { - 2 \beta \hbar \omega } } = 1 + \frac { 2 t ( t - 1 ) } { 1 - t ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { t ^ { 2 } - 2 t + 1 } { 1 - t ^ { 2 } } = \frac { 1 - t } { 1 + t } = \frac { 1 - e ^ { - \beta \hbar \omega } } { 1 + e ^ { - \beta \hbar \omega } } } \\ & { = \operatorname { t a n h } \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { E _ { x } ^ { t } } \\ { E _ { y } ^ { t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { T _ { x x } } \\ { T _ { y x } } \end{array} \right) E _ { x } ^ { i } ; ~ ~ \left( \begin{array} { l } { E _ { x } ^ { r } } \\ { E _ { y } ^ { r } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { R _ { x x } } \\ { R _ { y x } } \end{array} \right) E _ { x } ^ { i } \ .
\begin{array} { r } { \tilde { X } = - \frac { 1 } { 2 } ~ \tilde { g } ^ { a b } ~ \tilde { \nabla } _ { a } \tilde { \phi } \tilde { \nabla } _ { b } \tilde { \phi } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 2 \omega + 3 } { 1 6 \pi } \right) \frac { g ^ { a b } } { \phi } \nabla _ { a } \left( \ln { \phi } \right) \nabla _ { b } \left( \ln { \phi } \right) = \left( \frac { 2 \omega + 3 } { 1 6 \pi \phi } \right) X _ { J } ~ . } \end{array}
u _ { i } = \left( \mathbf { \widetilde { h } } _ { i } ^ { T } \mathbf { A } _ { i } ^ { - 1 } + \mathbf { \widetilde { g } } _ { i } ^ { T } \mathbf { \widetilde { A } } _ { i } ^ { - 1 } \mathbf { A } _ { \widetilde { b } _ { i } } \mathbf { A } _ { i } ^ { - 1 } \right) \mathbf { d } _ { i } + \tilde { f } _ { i } .
\begin{array} { r l } { | X \uppsi _ { m } ^ { \mathrm { c o n v } } | ^ { 2 } ( \tau , r , \theta , \varphi ) \leq } & { \: C \int _ { 0 } ^ { \infty } ( r - 1 ) ^ { 2 } | X \psi _ { m } | ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } , r , \theta , \varphi ) \, d \tau ^ { \prime } + C \int _ { 0 } ^ { 2 } | X \psi _ { m } | ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } , r , \theta , \varphi ) \, d \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \tilde { u } _ { n } , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { a } \frac { 1 } { n } \left( \partial _ { t } \eta \right) d x d t + \left( u _ { n } + \frac { 1 } { n } , \partial _ { t } \eta \right) _ { Q _ { T } } + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \frac { 1 } { n } h \left( \partial _ { t } \eta \right) d x d t , } \\ { \left( \gamma \tilde { u } _ { n } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } } & { = 0 + \left( \gamma ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) \partial _ { x } u _ { n } , \partial _ { x } \eta \right) _ { Q _ { T } } + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \gamma \left( \frac { 1 } { n } h \right) \left( \frac { 1 } { n } \partial _ { x } h \right) \left( \partial _ { x } \eta \right) d x d t , } \\ { \left( \gamma \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } } & { = 0 + \left( \gamma \left( \partial _ { x } u _ { n } \right) ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } } + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \left[ \gamma \left( \frac { 1 } { n } \partial _ { x } h \right) ^ { 2 } \eta \right] d x d t , } \\ { \left( \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } } & { = 0 + \left( \left( \partial _ { x } \gamma \right) ( u _ { n } + \frac { 1 } { n } ) \partial _ { x } u _ { n } , \eta \right) _ { Q _ { T } } + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \left[ \frac { \partial _ { x } \gamma } { 2 } \left( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \partial _ { x } h ^ { 2 } \right) \eta \right] d x d t , } \\ { \left( g _ { 0 } \tilde { u } _ { n } , \eta \right) _ { Q _ { T } ^ { * } } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { 1 } { n } g _ { 0 } \eta \right) d x d t + \left( g _ { 0 } \left( u _ { n } + \frac { 1 } { n } \right) , \eta \right) _ { Q _ { T } } + \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { b } ^ { + \infty } \left( g _ { 0 } \frac { 1 } { n } h \eta \right) d x d t , } \\ { \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega ^ { * } } } & { = 0 + \left( \varphi _ { 0 } , \eta ( x , 0 ) \right) _ { \Omega } + 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle A f , g \right\rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \mathcal { X } } ) } } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \sum _ { x \in \mathcal { X } } A f ( x ) g ( x ) = \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \sum _ { x \in \mathcal { X } } p ( a ) f ( a \cdot x ) g ( x ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \sum _ { x \in \mathcal { X } } p ( a ) f ( a \cdot x ) g ( a ^ { - 1 } \cdot a \cdot x ) = \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \sum _ { x \in \mathcal { X } } p ( a ) f ( x ) g ( a ^ { - 1 } \cdot x ) } \\ & { = \left\langle f , x \mapsto p ( a ) g ( a ^ { - 1 } \cdot x ) \right\rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \mathcal { X } } ) } . } \\ & { = \left\langle f , A ^ { \top } g \right\rangle _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { \Xi } ) } . } \end{array}
h _ { 0 } ^ { + } ( m _ { 1 } ) = 4 \pi | V _ { \mathbf { p } _ { 1 } , \mathbf { p } _ { 2 } } ^ { \mathbf { p } } | _ { \parallel ^ { + } , m ^ { + } } ^ { 2 } \, f _ { p 1 2 , \parallel ^ { + } , m ^ { + } } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \rho \frac { \partial { u _ { x } } } { \partial x } + u _ { x } \frac { \partial { \rho } } { \partial x } = 0 , \qquad } \\ { \frac { \partial { u _ { x } } } { \partial t } + u _ { x } \, \frac { \partial { u _ { x } } } { \partial x } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial { P } } { \partial x } \qquad } \\ { - \frac { 1 } { 8 \pi \rho } \frac { \partial { H _ { y } ^ { 2 } } } { \partial x } + \frac { 1 } { 4 \pi c \rho } \left( \frac { \partial { E _ { z } } } { \partial t } \cdot H _ { y } \right) , } \\ { \rho T \left[ \frac { \partial { s } } { \partial t } + u _ { x } \frac { \partial { s } } { \partial x } \right] = \frac { \nu _ { m } } { 4 \pi } \left( \frac { \partial { H _ { y } } } { \partial x } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { \mathrm { H F } , \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } , \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 2 } ) = \rho _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 1 } ) \rho _ { \phi , \mathrm { W } } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { W } } _ { 1 } + \overline { { W } } _ { 2 } + \overline { { W } } _ { 3 } } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l l } { a - a ^ { 2 } } & { - a b } & { a - c - a ^ { 2 } } \\ { - a b } & { b - b ^ { 2 } } & { - a b } \\ { a - c - a ^ { 2 } } & { - a b } & { a - a b ^ { 2 } } \end{array} \right] \otimes I _ { k } + \left[ \begin{array} { l l l } { c - a ^ { 2 } } & { a - c - a b } & { - a ^ { 2 } } \\ { a - c - a b } & { d - b ^ { 2 } } & { a - c - a b } \\ { - a ^ { 2 } } & { a - c - a b } & { c - a ^ { 2 } } \end{array} \right] \otimes ( J _ { k } - I _ { k } ) } \\ { = } & { \overline { { W } } - w _ { k } ( a , b ) ( w _ { k } ( a , b ) ) ^ { \top } , } \end{array}
I _ { I R } ( \rho ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \tilde { C } } \frac { d s } { s } e ^ { \rho / s } F ( s ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \tilde { C } } \frac { d s } { s } e ^ { \rho / s } \tilde { F } ( s ^ { a } ) = \frac { k } { 2 \pi i } \int _ { \tilde { C } ^ { \prime } } \frac { d s } { s } e ^ { ( \frac { \tilde { \rho } } { s } ) ^ { k } } \tilde { F } ( s ) ,
\begin{array} { r } { S = \int d t ~ \frac 1 2 \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } \dot { \bf x } _ { N } ^ { 2 } + \frac 1 2 \sum _ { A , B = 1 } ^ { 3 } \lambda _ { A B } \left[ ( { \bf x } _ { A } , { \bf x } _ { B } ) - a _ { A B } \right] + \sum _ { A = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \beta = 4 } ^ { n } \lambda _ { A \beta } \left[ ( { \bf x } _ { A } , { \bf x } _ { \beta } ) - a _ { A \beta } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d N _ { f } } { d t } = k _ { \mathrm { o n } } - ( k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } + k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ y _ { c } ) N _ { f } , } \\ { \frac { d N _ { b } } { d t } = k _ { \mathrm { o n } } - ( k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ y _ { c } ) N _ { b } . } \end{array}
P = \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { b } & { c } \end{array} \right] , \qquad \mathrm { a n d } \qquad \Omega ( i , j ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { i } \theta _ { j } \cdot a , } & { \qquad \mathrm { i f ~ i , ~ j ~ \in ~ { \cal ~ C } _ 1 ~ } , } \\ { \theta _ { i } \theta _ { j } \cdot c , } & { \qquad \mathrm { i f ~ i , ~ j ~ \in ~ { \cal ~ C } _ 0 ~ } , } \\ { \theta _ { i } \theta _ { j } \cdot b , } & { \qquad \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { M _ { n } ^ { \varphi } : = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left[ \mathbb { E } \left( \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) ) | \mathcal { F } _ { n \delta } \right) - \mathbb { E } \left( \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) ) \right) \right] } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) ) + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( P _ { k + 1 } ^ { N , \delta } \bar { \varphi } ( \xi _ { N , \delta } ^ { n } ( \xi _ { 0 } ) ) - P _ { k } ^ { N , \delta } \bar { \varphi } ( \xi _ { 0 } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) = l n \left( \frac { V _ { 0 } } { \kappa + 1 } + \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 ( \kappa + 1 ) } Q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { \omega _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 ( \kappa + 1 ) } Q _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { \kappa } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ( z ) } & { { } = } & { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 z + \frac { 2 } { z + \frac { 3 } { z + \dots } } } = \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { \pi } } \frac { e ^ { - z ^ { 2 } } } { 1 - \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( z \right) } - \sqrt { 2 } z . } \end{array}
\operatorname { A l t } ( \omega ) ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) = { \frac { 1 } { k ! } } \sum _ { \sigma \in S _ { k } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) \, \omega ( x _ { \sigma ( 1 ) } , \ldots , x _ { \sigma ( k ) } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { d e x p } _ { \mathbf { x } } ^ { - 1 } } & { = \mathbf { I } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \mathbf { x } } + \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 2 } \cot \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 2 } \right) \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } } \\ & { = \mathbf { I } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \mathbf { x } } + \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \mathrm { s i n c } \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { \mathrm { s i n c } ^ { 2 } \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 2 } } \right) \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } } \\ & { = \mathbf { I } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \mathbf { x } } + \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \cos \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 2 } } { \mathrm { s i n c } \frac { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert } { 2 } } \right) \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } = \mathbf { I } - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \mathbf { x } } + \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } \left( 1 - \gamma \right) \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \Phi } } _ { j - 1 , i } ^ { r } } & { \geq e ^ { \alpha _ { 2 } \cdot v ^ { j - 1 } \cdot ( z _ { j - 1 } + \frac { 2 v } { \alpha _ { 2 } } - z _ { j - 1 } ) ^ { + } } } \\ & { = e ^ { \alpha _ { 2 } \cdot v ^ { j - 1 } \cdot \frac { 2 v } { \alpha _ { 2 } } } } \\ & { = e ^ { 2 v ^ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Zeta ( s , \Psi , \beta ) } & { : = \int _ { \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbb { A } ) } \Psi ( g ) \beta ( g ) \lvert \cdot \rvert [ \operatorname* { d e t } g ] _ { \mathbb { A } } ^ { s + 1 / 2 } \mathrm { d } ^ { \times } g } \\ & { = \int _ { 1 } ^ { \infty } \left[ \int _ { ( \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbf { F } ) \backslash G ^ { 1 } ) ^ { 2 } } \sum _ { \xi \in \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbf { F } ) } \Psi ( h _ { 2 } ^ { - 1 } \xi z ( t ) h _ { 1 } ) \cdot e _ { 1 } ( h _ { 1 } ) e 2 ( h _ { 2 } ) \mathrm { d } ^ { \times } h _ { 1 } \mathrm { d } ^ { \times } h _ { 2 } \right] t ^ { 2 s + 1 } \mathrm { d } ^ { \times } t } \\ & { \quad + \int _ { 1 } ^ { \infty } \left[ \int _ { ( \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbf { F } ) \backslash G ^ { 1 } ) ^ { 2 } } \sum _ { \xi \in \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbf { F } ) } \widehat { \Psi } ( h _ { 1 } ^ { - 1 } \xi z ( t ) h _ { 2 } ) \cdot e _ { 1 } ( h _ { 1 } ) e _ { 2 } ( h _ { 2 } ) \mathrm { d } ^ { \times } h _ { 1 } \mathrm { d } ^ { \times } h _ { 2 } \right] t ^ { 3 - 2 s } \mathrm { d } ^ { \times } t } \\ & { = \int _ { \mathrm { G L } _ { 2 } ( \mathbb { A } ) } \widehat { \Psi } ( g ) \widecheck { \beta } ( g ) \lvert \cdot \rvert [ \operatorname* { d e t } g ] _ { \mathbb { A } } ^ { 3 / 2 - s } \mathrm { d } ^ { \times } g = \Zeta ( 1 - s , \widehat { \Psi } , \widecheck { \beta } ) , } \end{array}
\left( 1 - { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } \right) \zeta ( s ) = 1 + { \frac { 1 } { 3 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 5 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 7 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 9 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 1 1 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 1 3 ^ { s } } } + \ldots
\begin{array} { r l } & { \sqrt { F } \cot \sqrt { F } L + m = \alpha _ { 0 } \eta } \\ & { \Longrightarrow - \alpha _ { 0 } \eta = - \sqrt { F } \cot \sqrt { F } L - m < \frac { F } { \pi - \sqrt { F } L } - m } \\ & { \Longrightarrow \alpha _ { 0 } < \frac { - \eta } { m } \alpha _ { 0 } < \frac { F } { ( \pi - \sqrt { F } L ) m } - 1 } \\ & { \Longrightarrow m ( \alpha _ { 0 } + 1 ) < \frac { F } { \pi - \sqrt { F } L } } \\ & { \Longrightarrow \sqrt { F } > \frac { \pi } { ( m \alpha _ { 0 } + m ) ^ { - 1 } + L } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { \gamma } _ { A B } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { V { I } } & { \sqrt { { { T } _ { 2 } } \left( { { V } ^ { 2 } } - 1 \right) } { { \sigma } _ { z } } } \\ { \sqrt { { { T } _ { 2 } } \left( { { V } ^ { 2 } } - 1 \right) } { { \sigma } _ { z } } } & { { { T } _ { 2 } } \left( V + { { \xi } _ { E } } \mathrm { + } { { \chi } _ { l i n e } } \right) { I } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } ) } & { = - \frac { 1 } { \pi } \Im \sum _ { \lambda = x , y , z } \mu _ { \lambda , i a } \langle \Psi _ { 0 } | \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { a } | A _ { \lambda } ( \omega _ { e x } ) \rangle , } \\ { \sigma _ { i a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) } & { = - \frac { 1 6 \pi \omega _ { e m } ^ { 3 } \omega _ { e x } } { 9 c ^ { 4 } } \sum _ { \rho , \lambda = x , y , z } \sum _ { j b } \mu _ { \rho , i b } \mu _ { \lambda , j a } \Im \langle A _ { j a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } ) | \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } | B _ { \rho \lambda } ( \omega _ { e x } , \omega _ { e m } ) \rangle , } \end{array}
V _ { 1 } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta \theta _ { 1 } \to 0 } \frac { Z ( C _ { g } ^ { \prime } , C _ { w } ^ { \prime } , T + \Delta \theta _ { 1 } \Phi _ { 1 } ) - Z ( C _ { g } ^ { \prime } , C _ { w } , T ) } { \Delta \theta _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { \beta ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( a + \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left( a + \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 2 - \beta ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left( a + \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 3 - \beta ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( a + \dotsi } \right. } \right) } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \left( a + \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 1 + \beta ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left( a + \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 2 + \beta ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left( a + \frac { q ^ { 2 } / 4 } { ( 3 + \beta ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } ( a + \dotsi } \right. } \right) } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } a } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \bar { x } } & { \sim \mathsf E X } & & { \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { 1 } { g } ( H + \mu g ) } \\ { \overline { { x ^ { 2 } } } } & { \sim \mathsf E X ^ { 2 } } & & { \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { 1 } { g ^ { 2 } } ( H ^ { 2 } + ( 1 + 2 \mu g ) H + ( \mu g ) ^ { 2 } + ( \sigma g ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \widehat { n } \cdot \widehat { t } _ { i } } & { = 0 \implies \nabla \widehat { n } \cdot \widehat { t } _ { i } = - \nabla \widehat { t } _ { i } \cdot \widehat { n } , } & { \widehat { t } _ { i } \cdot \widehat { t } _ { j } } & { = 0 \implies \nabla \widehat { t } _ { i } \cdot \widehat { t } _ { j } = - \nabla \widehat { t } _ { j } \cdot \widehat { t } _ { i } . } \end{array}
\mu ( \tilde { h } _ { i } ) = \left( \frac { { \| \tilde { h } _ { i } \| } _ { 1 } / { \| \tilde { h } _ { i } \| } _ { 2 } } { { \| \rho _ { c } \| } _ { 1 } / { \| \rho _ { c } \| } _ { 2 } } \right) ^ { 2 } .