harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { o } _ { 0 } } & { = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \boldsymbol { o } _ { \pm } } & { = \left( \begin{array} { l } { 5 - 4 \lambda \pm \sqrt { 2 5 + 1 6 \lambda ( \lambda - 2 ) } } \\ { 5 - 4 \lambda \pm \sqrt { 2 5 + 1 6 \lambda ( \lambda - 2 ) } } \\ { 4 \sqrt { \lambda } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \rho _ { i } = g _ { i } \delta ^ { 4 } \left( x - z _ { i } \right) , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \rho _ { i j } = g _ { i j } \delta ^ { 4 } \left( x - z _ { i j } \right) , } } \\ { { 1 \leq j \leq l . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } } & { = } & { \frac { 2 \, \epsilon _ { f } ^ { D T } \, n _ { D } } { 3 \, k T _ { i } \, \left( n _ { p } + n _ { D } + n _ { T } + n _ { B } \right) } \, , } \\ { A _ { 2 } } & { = } & { \frac { 2 \, \epsilon _ { f } ^ { p B } \, n _ { p } } { 3 \, k T _ { i } \, \left( n _ { p } + n _ { D } + n _ { T } + n _ { B } \right) } } \end{array}
( { \mathrm { E q . ~ } } 3 ) \qquad E [ P ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) ] = p ^ { * } = { \mathrm { o p t i m a l ~ t i m e ~ a v e r a g e ~ p e n a l t y ~ f o r ~ t h e ~ p r o b l e m } }
{ \begin{array} { r l } { \int p ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) } & { | ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { n - 1 } ) ) f _ { k } ( x _ { k } ) } \\ & { \approx _ { N \uparrow \infty } \int { \widehat { p } } _ { b a c k w a r d } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) | ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { n - 1 } ) ) f _ { k } ( x _ { k } ) } \\ & { = \int { \widehat { p } } ( d x _ { n } | ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { n - 1 } ) ) { \widehat { p } } ( d x _ { n - 1 } | x _ { n } , ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { n - 1 } ) ) \cdots { \widehat { p } } ( d x _ { k } | x _ { k + 1 } , ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) ) f _ { k } ( x _ { k } ) } \\ & { = \underbrace { \left[ { \frac { 1 } { N } } , \cdots , { \frac { 1 } { N } } \right] } _ { N { \mathrm { ~ t i m e s } } } \mathbb { M } _ { n - 1 } \cdots \mathbb { M } _ { k } { \left[ \begin{array} { l } { f _ { k } ( \xi _ { k } ^ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { f _ { k } ( \xi _ { k } ^ { N } ) } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } } & { = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } + \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } \ \ ( 1 ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \rho \nu \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } \ \ ( 2 ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \rho } P _ { \nu } \ \ ( 3 ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } P _ { \nu } P _ { \rho } \ \ ( 4 ) } \\ & { = 0 . } \end{array}
f g ( x ) | _ { x \in B } = \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d y \; f ( x ) \delta ( x - y ) g ( y ) | _ { x \in B } + \int _ { - L / 2 } ^ { L / 2 } d x \; f ( x ) \delta ( x - y ) g ( y ) | _ { y \in B }
\begin{array} { r l } { Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { G } } } & { { } = Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { M } } + Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { N } } , } \\ { Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { M } } } & { { } = 0 , } \\ { Q _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathcal { N } } } & { { } = \frac { 1 } { 5 } \left( q _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } + q _ { \beta } \delta _ { \alpha \gamma } + q _ { \gamma } \delta _ { \alpha \beta } \right) . } \end{array}
\left. \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \widehat { A } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega t } \, \mathrm { d } t \right| _ { r = 0 } = \frac { \sqrt { \hbar \nu } } { c } \, \mathrm { i } \left( \widehat { a } _ { \nu } \cosh \zeta + \widehat { a } _ { - \nu } ^ { \dagger } \sinh \zeta \right) \, , \quad \nu = \frac { \omega } { H _ { 0 } } \, .
\begin{array} { r l r } { M ^ { \prime } ( \omega ) = \mathrm { R e } \{ M ( \omega ) \} } & { { } = } & { M _ { \infty } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { j } \frac { \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } { 1 + \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } , } \\ { M ^ { \prime \prime } ( \omega ) = \mathrm { I m } \{ M ( \omega ) \} } & { { } = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { j } \frac { \omega \tau _ { j } } { 1 + \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \psi } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \bar { \psi } ^ { \mathrm { I I } } = \frac { \kappa } { \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \kappa \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial S \bar { \phi } } { \partial \bar { t } } - \frac { \partial } { \partial \bar { z } } \biggl [ S \Bigl ( \bar { \phi } + \frac { 1 } { G I ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial \bar { z } } \Bigl \{ \frac { \eta _ { n } ( \bar { \phi } ) } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { \bar { \phi } } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } ) ^ { 1 / 2 } } T \Bigr \} \Bigr ) \biggr ] + \frac { \partial S \bar { \phi } \bar { v } _ { x } } { \partial \bar { x } } = 0 , } \\ & { } & { \bar { v } _ { x } ( \bar { z } ) = \frac { 1 } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } ) ^ { 1 / 4 } I } , \qquad I = \frac { 4 } { \pi } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \frac { S ( \bar { z } ) \, d \bar { z } } { \eta _ { s } ( \bar { \phi } ( \bar { z } ) ) ^ { 1 / 4 } } , \qquad S = \sqrt { 1 \! - \! 4 \bar { z } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } \bigg [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } \bigg ] = O \bigg ( \frac { \kappa ^ { 1 9 / 3 } I ^ { 3 / 2 } } { T } + \frac { \kappa ^ { 1 6 / 3 } } { ( b M T ) ^ { 2 / 3 } } + \kappa ^ { 3 } b ^ { 2 } M ^ { 2 } I ^ { 9 / 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } \bigg ) } \end{array}
[ \, \hat { \varphi } _ { m } - \frac { i \pi } { k m } \hat { \pi } _ { m } , \hat { \pi } _ { n } \, ] = \frac { i } { 2 \pi } \delta _ { m + n , 0 } - \frac { i \pi } { k m } \, \frac { k m } { 2 \pi ^ { 2 } } \, \delta _ { m + n , 0 } = 0
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { r } \frac { { \binom { k - 1 + i } { i } } } { { \binom { k + r + 1 } { r + 1 } } } } & { = \frac { { \binom { k + r } { r } } } { { \binom { k + r + 1 } { r + 1 } } } \cdot \sum _ { i = 0 } ^ { r - 1 } \frac { { \binom { k - 1 + i } { i } } } { { \binom { k + r } { r } } } + \frac { { \binom { k - 1 + r } { k - 1 } } } { { \binom { k + r + 1 } { k } } } } \\ & { \leq \frac { r + 1 } { k + r + 1 } \cdot \frac { r } { k + r } + \frac { ( r + 1 ) \cdot k } { ( k + r + 1 ) \cdot ( k + r ) } } \\ & { = \frac { r + 1 } { k + r + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { \gamma } f _ { 2 } ( y ) | } & { \lesssim \int _ { ( 2 B ) ^ { c } } { \frac { | f ( z ) | } { | y - z | ^ { n - \gamma } } } d z } \\ & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \int _ { 2 ^ { j + 1 } B \backslash 2 ^ { j } B } { \frac { | f ( z ) | } { | x - z | ^ { n - \gamma } } } d z } \\ & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { \gamma } { n } - 1 } \int _ { 2 ^ { j + 1 } B } | f ( z ) | d z } \\ & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { \gamma } { n } - 1 } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \| \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ^ { \prime } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { T _ { 1 } - \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } < t < T _ { 1 } + \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } } \arg p ( \zeta ( t ) ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } < T _ { 1 } - t \ll 1 / n } \arg g ( \zeta ) + \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { 1 / n \ll t - T _ { 1 } < \ln ^ { 2 } n / n ^ { 2 / 3 } } \arg g ( \zeta ) + C . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } } & { { } = } & { \psi _ { 2 } ^ { i , j } - i ^ { - \alpha } \xi _ { \alpha } ( \psi _ { 2 } ^ { i + 1 , j } - 2 \psi _ { 2 } ^ { i , j } + \psi _ { 2 } ^ { i - 1 , j } ) + i ^ { - \alpha } \beta _ { \alpha } ( V _ { 2 } ^ { j } \psi _ { 1 } ^ { i , j } + V _ { 2 } ^ { j + 1 } \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { a } _ { \pi } ( H _ { d } ( z ; t ) ) } & { = \prod _ { V \in \pi } \exp \left( - \frac { t | V | ( d - | V | ) } { 2 d } \right) } \\ & { = \exp \left\{ - \frac { t } { 2 d } \left( \sum _ { V \in \pi } d | V | - \sum _ { V \in \pi } | V | ^ { 2 } \right) \right\} } \\ & { = \exp \left( - \frac { t n } { 2 } \right) \exp \left( \frac { t } { 2 d } \sum _ { V \in \pi } | V | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\tilde { w } = - \tilde { \mathbf { u } } \cdot \tilde { \nabla } \tilde { D } - \int _ { - \tilde { D } } ^ { \tilde { z } } \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \mathbf { u } } - \tilde { \zeta } _ { \tilde { t } } \ .
\begin{array} { r l } { A } & { { } \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , G ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , G ) - \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B ) - \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B ) } \end{array}
c _ { 1 } ^ { \mathrm { E W } } = \xi \kappa _ { L } ^ { \prime b s } ( C _ { R } ^ { u } - C _ { R } ^ { d } ) \, , \qquad \widetilde c _ { 3 } ^ { \mathrm { E W } } = \xi \kappa _ { R } ^ { \prime b s } ( C _ { R } ^ { u } - C _ { R } ^ { d } ) \, , \qquad c _ { 3 } ^ { \mathrm { E W } } = \widetilde c _ { 1 } ^ { \mathrm { E W } } = 0 \, .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 3 - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { ( A , i ) + ( A , i + 1 ) } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { { \tilde { \mathrm { C } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } } } { \tilde { \mathrm { C } } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } } = 1 + \frac { { { G _ { h _ { l } h _ { l } } } \langle \Lambda \rangle { k ^ { 2 } \sigma _ { \mathrm { s c a } } } } } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } } . } \end{array}
A _ { I } ( s , t ) = { \frac { i } { \sqrt { 4 k _ { 1 0 } p _ { 0 } } } } \int \mathrm { d } x e ^ { i k _ { 1 } x } \theta ( x _ { 0 } ) \, \langle \pi ( k _ { 2 } ) | [ \eta _ { \pi } ( x ) , \eta _ { K } ( 0 ) ] | 0 \rangle \, ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \rho \sim \mathcal { D } ( t , p ) } \Big [ \left\| \mu ( p _ { | \rho } ) \right\| _ { 2 } \Big ] + \mathbb { E } _ { \rho \sim \mathcal { D } ( t + 1 , p ) } \Big [ \left\| \mu ( p _ { | \rho } ) \right\| _ { 2 } \Big ] \ge \frac { t } { n } \cdot \frac { \alpha } { m ^ { 7 . 5 } \cdot \mathrm { p o l y l o g } ( n m / \alpha ) } . } \end{array}
\vec { F } _ { 2 1 } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \int d ^ { 3 } x _ { 1 } d ^ { 3 } x _ { 2 } \left( \vec { J } _ { 2 } ( \vec { x } _ { 2 } , t ) \cdot \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) \right) \frac { \hat { R } } { R ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \operatorname* { s u p } _ { 0 \le t \le T } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } H _ { 3 } ( s ) d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \lesssim \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } \bigg ( \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \Tilde { \mathscr { F } } _ { n } h ) _ { j } ^ { 2 } + \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \Tilde { \mathscr { E } } _ { n } h ) _ { j } ^ { 2 } \bigg ) + \frac { T } { \theta ( n ) n ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \Tilde { \mathscr { E } } _ { n } h ) _ { j } ^ { 2 } + \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( h _ { j , j } ) ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \quad \le \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 4 } } \bigg ( \sum _ { j , j ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } ( \mathscr { F } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } ^ { 2 } + \sum _ { j , j ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } ^ { 2 } \bigg ) + \frac { T } { \theta ( n ) n ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { j , j ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } ( \mathscr { E } _ { n } h ) _ { j , j ^ { \prime } } ^ { 2 } + \sum _ { j , j ^ { \prime } \in \mathbb { Z } } h _ { j , j ^ { \prime } } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \quad \lesssim \frac { T ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \bigg ( \| \mathscr { F } _ { n } h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } + \| \mathscr { E } _ { n } h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \bigg ) + \frac { T } { \theta ( n ) } \bigg ( \| \mathscr { E } _ { n } h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } + \| h \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \bigg ) . } \end{array}
\left\| f \right\| _ { L ^ { \infty } } \leq C \left( 1 + \left\| f \right\| _ { \mathrm { ~ B ~ M ~ O ~ } } \big [ 1 + \displaystyle \log ( 1 + \left\| f \right\| _ { H ^ { s } ( \mathbb R ) } ) \big ] \right) ,
C = 1 + \left[ \frac { 2 J _ { 1 } ( q _ { T } R ) } { q _ { T } R } \right] ^ { 2 } \times \frac { 1 + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha _ { 1 } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } ) ( 1 + \alpha _ { 2 } ^ { 2 } \tau _ { 0 } ^ { 2 } ) } ~ ,
\begin{array} { r l } & { \Re \int _ { | \xi | \le k _ { s } } M ( \xi ) \hat { u } ( \xi , H ) \cdot \bar { \hat { u } } ( \xi , H ) \, \mathrm { d } \xi \le C \int _ { | \xi | \le k _ { s } } \| M \| | \hat { u } ( \xi , H ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \le C \omega k _ { s } ^ { 2 } \int _ { | \xi | \le k _ { s } } ( | P _ { H } | ^ { 2 } + | S _ { H } | ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } \xi = C \omega k _ { s } ^ { 2 } ( \| \phi \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { H } ) } ^ { 2 } + \| \psi \| _ { L ^ { 2 } ( \Gamma _ { H } ) } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { O c c } _ { \tilde { P _ { 4 } } , \mathcal { P } ^ { \bullet } } ( z ) = \sum _ { n \in \mathbb { N } } \sum _ { H \in \mathcal { R } _ { \mathcal { P } _ { n } ^ { \bullet } } } \sum _ { H ^ { \prime } \sim H } \frac { \mathrm { O c c } _ { \tilde { P _ { 4 } } } ( H ) z ^ { N ( H ) - 4 } } { N ( H ) ! } = \sum _ { n \in \mathbb { N } } \sum _ { H \in \mathcal { R } _ { \mathcal { P } _ { n } } } \frac { \mathrm { O c c } _ { \tilde { P _ { 4 } } } ( H ) z ^ { N ( H ) - 4 } } { | \mathrm { A u t } ( H ) | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( | \mathbf { u } | ^ { 2 } ) _ { \mathrm { c e l l } } = \frac { 1 } { 3 } } & { { } \left( u _ { i - } ^ { 2 } + u _ { i - } u _ { i + } + u _ { i + } ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( i \omega _ { n } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \beta } \, d \tau \, e ^ { i \omega _ { n } \tau } \mathcal { G } ( \tau ) , } \\ { G ^ { \mathrm { R } } ( \omega ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \eta \rightarrow + 0 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d t \, e ^ { i \omega t - \eta t } G ^ { \mathrm { R } } ( t ) \ \ \ ( \eta > 0 ) , } \end{array}
- \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial \tau ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial \sigma ^ { 2 } } + \frac { 1 } { N - 2 } \Omega ^ { 2 } \left( - ^ { 2 } R + R _ { \mu \nu } E _ { a } ^ { \mu } E ^ { \nu a } \right) F = 0
T _ { c , ( 2 ) } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } + V _ { c , ( 2 ) } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } + U _ { c , ( 2 ) } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } = E _ { c , ( 2 ) } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } }
\begin{array} { r l } { H _ { S } = \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \frac { \omega _ { 0 } ^ { ( \ell ) } } { 2 } { \sigma } _ { z } ^ { ( \ell ) } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { N - 1 } g _ { \ell } \big ( } & { { \sigma } _ { x } ^ { ( \ell ) } { \sigma } _ { x } ^ { ( \ell + 1 ) } + { \sigma } _ { y } ^ { ( \ell ) } { \sigma } _ { y } ^ { ( \ell + 1 ) } } \\ & { + \Delta _ { \ell } { \sigma } _ { z } ^ { ( \ell ) } { \sigma } _ { z } ^ { ( \ell + 1 ) } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \left| G ( x , a _ { i \eta } ) - \nabla \Bar { U } _ { r ^ { \prime } } ( x ) \right| ^ { 2 } \right] } & { \le \frac { 1 } { N _ { B } } \mathbf { E } \left[ \left| \frac { U _ { \lambda _ { i , j } } \left( x + r ^ { \prime } \zeta _ { i , j } \right) - U _ { \lambda _ { i , j } } \left( x \right) } { r ^ { \prime } } \frac { 4 \zeta _ { i , j } } { ( 1 - | \zeta _ { i , j } | ^ { 2 } ) } \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { N N _ { B } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \int \left| \frac { U _ { \ell } \left( x + r ^ { \prime } z \right) - U _ { \ell } \left( x \right) } { r ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } \frac { \left| \nabla \rho ( z ) \right| ^ { 2 } } { \rho ( z ) } \mathrm { d } z } \\ & { \le \frac { 1 } { N _ { B } } d ( d + 4 ) \operatorname* { m a x } _ { \ell = 1 , \ldots , N } \left( 9 \left\| \nabla U _ { \ell } \right\| _ { \mathbb { M } } ^ { 2 } + 4 \left( \Hat { \omega } ( 1 ) \right) ^ { 2 } \left| x \right| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { R o t } ( \theta ) \, \operatorname { R o t } ( \phi ) } & { = \operatorname { R o t } ( \theta + \phi ) , } \\ { \operatorname { R e f } ( \theta ) \, \operatorname { R e f } ( \phi ) } & { = \operatorname { R o t } ( 2 \theta - 2 \phi ) , } \\ { \operatorname { R o t } ( \theta ) \, \operatorname { R e f } ( \phi ) } & { = \operatorname { R e f } ( \phi + { \frac { 1 } { 2 } } \theta ) , } \\ { \operatorname { R e f } ( \phi ) \, \operatorname { R o t } ( \theta ) } & { = \operatorname { R e f } ( \phi - { \frac { 1 } { 2 } } \theta ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \left( I d - \ell ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d c _ { s } ^ { 2 } } \right) \nabla \mathcal { J } _ { 2 } } & { = \nabla ^ { L ^ { 2 } } \mathcal { \mathcal { J } } _ { 2 } } & { \qquad } & { \textrm { f o r } \ c _ { s } \in ( 0 , c _ { s , m a x } ) , } \\ { \nabla { \mathcal { J } } _ { 2 } } & { = 0 } & { \qquad } & { \textrm { a t } \ c _ { s } = 0 , c _ { s , m a x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta ( C _ { 1 } ) + 2 \delta ( S _ { 3 } ) + 2 \delta ( D _ { 8 } ) + \delta ( A _ { 4 } ) = 2 \delta ( C _ { 2 } ) + \delta ( C _ { 3 } ) + \delta ( N ) + 2 \delta ( S _ { 4 } ) , } \\ & { \delta ( C _ { 1 } ) + 3 \delta ( A _ { 4 } ) = 3 \delta ( C _ { 3 } ) + \delta ( N ) , } \\ & { \delta ( Z _ { 2 } ) + 2 \delta ( D _ { 8 } ) = \delta ( N ) + \delta ( V _ { 4 } ) + \delta ( C _ { 4 } ) , } \\ & { \delta ( C _ { 1 } ) + 2 \delta ( S _ { 3 } ) = 2 \delta ( C _ { 2 } ) + \delta ( C _ { 3 } ) , } \\ & { \delta ( C _ { 1 } ) + 2 \delta ( V _ { 4 } ) = 2 \delta ( C _ { 2 } ) + \delta ( Z _ { 2 } ) , } \\ & { \delta ( C _ { 1 } ) + 2 \delta ( N ) = 3 \delta ( Z _ { 2 } ) . } \end{array}
M _ { i \bar { \jmath } } = q _ { i } ( q _ { i } \bar { q } _ { i } ) ^ { p _ { v } } ( q _ { j } \bar { q } _ { j } ) ^ { \bar { p } _ { v } } \bar { q } _ { j } ( q _ { k } \bar { q } _ { k } ) ^ { p _ { 1 } } ( q _ { l } \bar { q } _ { l } ) ^ { p _ { 2 } } ( x \bar { x } ) ^ { n _ { x } } \ldots
\frac { \partial u _ { 5 } } { \partial C } = \frac { \partial k _ { 3 } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial u _ { 5 } } { \partial E } = \frac { \partial k _ { 3 } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial u _ { 5 } } { \partial \kappa } = 0 ,
\begin{array} { r } { m ^ { + } = - \frac { 4 \, \kappa ( \omega - \omega _ { a } + i \eta _ { a } ) \, h ^ { + } } { \Omega ^ { 2 } - 4 ( \omega - \omega _ { a } + i \eta _ { a } ) ( \omega - \omega _ { m } + i \eta _ { m } ) } , } \\ { u ^ { + } = - \frac { 2 \, \kappa \Omega \, h ^ { + } } { \Omega ^ { 2 } - 4 ( \omega - \omega _ { a } + i \eta _ { a } ) ( \omega - \omega _ { m } + i \eta _ { m } ) } . } \end{array}
\Xi _ { a } ^ { \mu } = \partial _ { a } ( B N ^ { \mu } ) - \partial _ { a } ( \epsilon ^ { b } \partial _ { b } X ^ { \mu } ) + B \partial _ { a } \partial _ { b } X ^ { \nu } \frac { \partial N ^ { \mu } } { \partial ( \partial _ { b } X ^ { \nu } ) }
\begin{array} { r l r } { c _ { 1 } } & { = } & { R ^ { T } \lambda _ { j _ { 1 } } \alpha _ { j _ { 1 } } e _ { j _ { 1 } } + \ldots + R ^ { T } \lambda _ { j _ { s } } \alpha _ { j _ { s } } e _ { j _ { s } } , } \\ { 0 } & { = } & { ( D ^ { \perp } ) ^ { T } \left( \lambda _ { j _ { 1 } } \alpha _ { j _ { 1 } } e _ { j _ { 1 } } + \ldots + \lambda _ { j _ { s } } \alpha _ { j _ { s } } e _ { j _ { s } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 1 } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname { p d f } _ { \mathrm { M J } } ( \mathbf { p } ; \theta ) \mathrm { d } p _ { 1 } \cdots \mathrm { d } p _ { d } } \\ & { = N \, { \frac { 1 } { 2 } } B _ { d } ( m c ) ^ { d } \, \int _ { 1 } ^ { \infty } e ^ { - { \frac { \gamma } { \theta } } } ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) ^ { { \frac { d } { 2 } } - 1 } \mathrm { d } ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) } \\ & { = N \, { \frac { 1 } { 2 } } B _ { d } \left( { \frac { d } { 2 } } \right) ^ { - 1 } ( m c ) ^ { d } \theta ^ { - 1 } \, \int _ { 1 } ^ { \infty } e ^ { \frac { \gamma } { \theta } } ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) ^ { \frac { d } { 2 } } \mathrm { d } \gamma } \\ & { = N \, { \frac { 1 } { 2 } } B _ { d } \left( { \frac { d } { 2 } } \right) ^ { - 1 } ( m c ) ^ { d } \theta ^ { - 1 } \, I _ { d } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { x ( 1 - } & { x ) \left( Q _ { n } ^ { \eta } ( x ) \right) ^ { \prime \prime } + \left( 1 + \varepsilon \left( \alpha + \frac { 2 t ( \beta + t ) } { \alpha + \beta + 2 t } \right) - x ( 2 + \varepsilon ( \alpha + \beta + 2 t ) ) \right) \left( Q _ { n } ^ { \eta } ( x ) \right) ^ { \prime } } \\ & { + \left( - \beta ( 1 + \varepsilon ) + 2 \varepsilon t \left( - 1 + \frac { \beta + t } { \alpha + \beta + 2 t } \right) \right) \left( Q _ { n } ^ { \eta + \varepsilon } ( x ) \right) ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \varepsilon ) ( \alpha + \beta + 2 t ) Q _ { n } ^ { \eta } ( x ) = \lambda _ { n } ^ { \pm } Q _ { n } ^ { \eta } ( x ) , \quad n \in \mathbb { Z } , } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { A } = \sigma _ { A } + | 1 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 4 | , } \\ { D _ { B } = \sigma _ { B } + | 1 \rangle \langle 3 | + | 2 \rangle \langle 4 | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { 1 1 } } & { = E { \tilde { \eta } } _ { 0 0 } , } \\ { \chi _ { 1 2 } } & { = E ( { \tilde { \eta } } _ { 0 1 } - { \tilde { \eta } } _ { 1 0 } ) , } \\ { \chi _ { 1 3 } } & { = E ( { \tilde { \eta } } _ { 0 2 } - { \tilde { \eta } } _ { 1 1 } + { \tilde { \eta } } _ { 2 0 } ) , } \\ { \dots } \\ { \chi _ { 2 2 } } & { = E A { \tilde { \eta } } _ { 0 0 } , } \\ { \chi _ { 2 3 } } & { = - E A ( { \tilde { \eta } } _ { 0 1 } - { \tilde { \eta } } _ { 1 0 } ) , } \\ { \chi _ { 2 4 } } & { = E A ( { \tilde { \eta } } _ { 0 2 } - { \tilde { \eta } } _ { 1 1 } + { \tilde { \eta } } _ { 2 0 } ) , } \\ { \dots } \\ { \chi _ { 3 3 } } & { = E A ^ { 2 } { \tilde { \eta } } _ { 0 0 } , } \\ { \chi _ { 3 4 } } & { = E A ^ { 2 } ( { \tilde { \eta } } _ { 0 1 } - { \tilde { \eta } } _ { 1 0 } ) , } \\ { \chi _ { 3 5 } } & { = E A ^ { 2 } ( { \tilde { \eta } } _ { 0 2 } - { \tilde { \eta } } _ { 1 1 } + { \tilde { \eta } } _ { 2 0 } ) , } \\ { \dots } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { \mathrm { r a d } } } & { = } & { - \frac { I } { 2 c } \frac { n _ { 2 } ^ { 2 } - n _ { 1 } ^ { 2 } } { n _ { 2 } } \frac { \cos \theta _ { \mathrm { i } } } { \cos \theta _ { \mathrm { t } } } \left[ ( \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } + \cos ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { t } } ) T _ { \mathrm { p } } \cos ^ { 2 } \alpha \right. } \\ & { } & { \left. + T _ { \mathrm { s } } \sin ^ { 2 } \alpha \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 1 } , \, s _ { 2 } \in I _ { \epsilon } } & { : = \left[ - \sqrt { \frac { h - h _ { 0 } } { 2 \omega _ { p } } } - \epsilon , \sqrt { \frac { h - h _ { 0 } } { 2 \omega _ { p } } } + \epsilon \right] } \\ { s _ { 3 } , \, s _ { 4 } \in J _ { \epsilon } } & { : = \left[ - \sqrt { \frac { h - h _ { 0 } } { 2 \omega _ { v } } } - \epsilon , \sqrt { \frac { h - h _ { 0 } } { 2 \omega _ { v } } } + \epsilon \right] , } \end{array}