harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \sum _ { i } ^ { N } m _ { i } \frac { \textbf { r } _ { i } ( t + \delta t / 2 ) - \textbf { r } _ { i } ( t ) } { \delta t } = \sum _ { i } ^ { N } \textbf { p } _ { i } ( t + \delta t / 2 ) = } \\ { \sum _ { i } ^ { N } \textbf { p } _ { i } ( t - \delta t / 2 ) + \delta t \sum _ { i , j \neq i } ^ { N } \textbf { f } _ { i j } ( t ) = \sum _ { i } ^ { N } \textbf { p } _ { i } ( t - \delta t / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { \xi } ( u , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi = u } \\ { ( 1 - p ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \xi = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
a _ { 8 } = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x ~ [ \Delta u ( x ) + \Delta \bar { u } ( x ) + \Delta d ( x ) + \Delta \bar { d } ( x ) - 2 \Delta s ( x ) - 2 \Delta \bar { s } ( x ) ] .
\begin{array} { r l } { - \sum _ { \tau \leq t < T } \frac { ( 1 - \alpha ) \gamma } { 8 } P _ { t + 1 } R _ { t - \tau } } & { + \sum _ { \tau \leq t < T } \frac { \gamma ^ { 2 } L } { 2 } \big ( ( \tau + 1 ) P _ { t + 1 } R _ { t } + \tau P _ { t + 1 } R _ { t - \tau } + 2 \sum _ { s = t - \tau } ^ { t - 1 } P _ { t + 1 } R _ { s } \big ) } \\ & { \leq - \sum _ { 0 \leq t < T - \tau } \frac { ( 1 - \alpha ) \gamma } { 8 } P _ { t + \tau + 1 } R _ { t } } \\ & { + \frac { \gamma ^ { 2 } L } { 2 } \left( ( \tau + 1 ) \sum _ { \tau \leq t < T } P _ { t + 1 } R _ { t } + \tau \sum _ { 0 \leq t < T - \tau } P _ { t + 1 } R _ { t } + 2 \tau \sum _ { t < T } R _ { t } P _ { t + \tau } \right) } \\ & { = - \sum _ { 0 \leq t < T - \tau } P _ { t + 1 } R _ { t } \gamma \Big ( \frac { ( 1 - \alpha ) } { 8 } P _ { \tau } - \frac { \gamma L } { 2 } ( 2 \tau + 1 + 2 \tau P _ { \tau - 1 } ) \Big ) } \\ & { + \frac { \gamma ^ { 2 } L } { 2 } \sum _ { T - \tau \leq t < T } \big ( ( \tau + 1 + 2 \tau P _ { \tau - 1 } ) \big ) P _ { t + 1 } R _ { t } } \\ & { \leq - \sum _ { 0 \leq t < T - \tau } \frac { ( 1 - \alpha ) \gamma } { 1 6 } P _ { t + \tau + 1 } R _ { t } } \\ & { + \quad \frac { ( 1 - \alpha ) \gamma } { 1 6 \beta } \sum _ { T - \tau \leq t < T } P _ { t + 1 } R _ { t } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta = } & { \frac { 1 } { 1 \! + \sqrt [ \gamma ] { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left[ \frac { 1 \! - \frac { 1 } { 1 \! + \sqrt [ \gamma ] { \overline { { \eta } } _ { 1 } } } \! + \frac { 1 } { 1 \! + \sqrt [ \gamma ] { \overline { { \eta } } _ { 2 } } } \! - \frac { \sqrt [ \gamma ] { \overline { { \eta } } _ { 3 } } } { 1 \! + \sqrt [ \gamma ] { \overline { { \eta } } _ { 3 } } } } { \frac { 1 } { 1 \! + \sqrt [ \gamma ] { \overline { { \eta } } _ { 1 } } } \! - \frac { 1 } { 1 \! + \sqrt [ \gamma ] { \overline { { \eta } } _ { 2 } } } \! + \frac { \sqrt [ \gamma ] { \overline { { \eta } } _ { 3 } } } { 1 \! + \sqrt [ \gamma ] { \overline { { \eta } } _ { 3 } } } } \right] ^ { \gamma } } } } \\ & { \! - \frac { 1 } { 1 \! + \sqrt [ \gamma ] { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \frac { 1 } { p \left( \frac { \nu _ { \alpha _ { i } } } { 1 \! - \nu _ { \alpha _ { i } } } \right) { ^ { \gamma } } \! + q \left( \frac { \nu _ { \alpha _ { j } } } { 1 \! - \nu _ { \alpha _ { j } } } \right) { ^ { \gamma } } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } + \delta b _ { \widetilde { \rho } } ) ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } y ) } & { = - ( \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } + \delta b _ { \widetilde { \rho } } ) ( \gamma _ { 2 } , y ) + ( \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } + \delta b _ { \widetilde { \rho } } ) ( \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } , y ) + ( \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } + \delta b _ { \widetilde { \rho } } ) ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) } \\ & { = ( \rho ^ { * } \chi _ { \mathbb { Z } } + \delta b _ { \widetilde { \rho } } ) ( \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathrm { e } } ^ { - \frac { A _ { 1 } } { g _ { \mathrm { s } } } } \, \mathsf { S } _ { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) \to ( 1 , 0 , 0 , 0 ) } \, \mathrm { D i s c } _ { \pi } Z ^ { ( 1 , 0 , 0 , 0 ) } = { \mathrm { e } } ^ { - \frac { A _ { 2 } } { g _ { \mathrm { s } } } } \, \mathsf { S } _ { ( 0 , 0 , 0 , 0 ) \to ( 1 , 0 , 0 , 0 ) } \, \mathsf { S } _ { ( 1 , 0 , 0 , 0 ) \to ( 0 , 0 , 1 , 0 ) } \, Z ^ { ( 0 , 0 , 1 , 0 ) } + \cdots . } \end{array}
- i P _ { \mu } \Gamma _ { 5 \mu } ^ { H } ( k ; P ) = { S } ^ { - 1 } ( k + P / 2 ) \gamma _ { 5 } \frac { T ^ { H } } { 2 } + \gamma _ { 5 } \frac { T ^ { H } } { 2 } { S } ^ { - 1 } ( k - P / 2 ) \, .
\Phi _ { i j } = \underbrace { - 2 C _ { R } \varepsilon b _ { i j } } _ { \Phi _ { i j } ^ { r } } \underbrace { - C _ { 2 } \left( P _ { i j } - \frac { 2 } { 3 } P _ { k } \delta _ { i j } \right) } _ { \Phi _ { i j } ^ { s } } ,
\begin{array} { r l } { | \partial ^ { l } \eta ( y ) | \lesssim } & { \ 2 ^ { \beta n } \lambda ^ { d + | l | } \sum _ { | k | = | l | } \frac { 1 } { k ! } \| \varphi \| _ { C ^ { | l | } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } | z - 2 y | ^ { | l | } | \partial _ { 2 } ^ { l } \mathsf { K } _ { n } ( x + \lambda z , x + 2 \lambda y ) | d z } \\ & { \quad + 2 ^ { \beta n } \lambda ^ { d + | l | } \sum _ { | k | \leq | l | - 1 } \frac { \| \varphi \| _ { C ^ { | l | } } } { k ! } \left| \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( z - 2 y ) ^ { k } \partial _ { 2 } ^ { l } \mathsf { K } _ { n } ( x + \lambda z , x + 2 \lambda y ) d z \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T _ { 0 } + T } Q _ { T _ { 0 } + t - 1 , i } ^ { 2 } } & { = M ^ { 2 } \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T _ { 0 } + T } \left( \frac { Q _ { T _ { 0 } + t - 1 , i } } M \right) ^ { 2 } } \\ & { \le M ^ { 2 } \left[ \frac 1 T \left( \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T _ { 0 } + T } \frac { Q _ { T _ { 0 } + t - 1 , i } } M \right) ^ { 2 } + T ^ { 3 } \right] } \\ & { = \frac 1 T \left( \sum _ { t = T _ { 0 } + 1 } ^ { T _ { 0 } + T } Q _ { T _ { 0 } + t - 1 , i } \right) ^ { 2 } + M ^ { 2 } T ^ { 3 } . } \end{array}
\langle V _ { \alpha _ { 1 } } V _ { \alpha _ { 2 } } V _ { \alpha _ { 3 } } \rangle = \left( C ^ { e v e n } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } ) + \eta \bar { \eta } C ^ { o d d } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } ) \right) \prod _ { i < j } | Z _ { i } - Z _ { j } | ^ { \delta _ { i j } }
A ( E ) = S \int _ { \theta _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \theta _ { \mathrm { m a x } } } 2 \pi \sin \theta \, d \theta \int _ { 0 } ^ { h _ { \mathrm { m a x } } } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho _ { \mathrm { w a t e r } } } \, e ^ { - h / H } \, { \cal P } ( E , \theta , h ) \, d h \ ,
\begin{array} { r l } { \ddot { \xi } } & { = 0 ; \qquad \xi ( 0 ) = x _ { n } , \quad \dot { \xi } ( 0 ) = v _ { n } ^ { x } } \\ { \ddot { \eta } } & { = - G ; \qquad \eta ( 0 ) = y _ { n } , \quad \dot { \eta } ( 0 ) = v _ { n } ^ { y } , } \\ { \Psi } & { = A \cos ( 2 \pi T ) \cos ( 2 \pi \xi ) + \gamma \cos ( 2 \pi [ 2 T - \varphi ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Omega _ { \alpha \beta } ( \theta , 0 ^ { + } ) = \frac { - \imath \gamma } { \nu } P _ { \alpha \beta } ( \theta ) ; } \\ & { } & { P _ { \alpha \beta } ( \theta ) = \Delta P _ { \alpha } ( \theta ) P _ { \beta } ( \theta ) - \{ \alpha \leftrightarrow \beta \} ; } \\ & { } & { P _ { \alpha } ( \theta ) \equiv \frac { P _ { \alpha } ( \theta ^ { + } ) + P _ { \alpha } ( \theta ^ { - } ) } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( b , \sigma ) } & { = ( \widehat { L _ { b } } ( \sigma ) \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { \widetilde { R } _ { 0 0 } ( b , \sigma ) } & { \widetilde { R } _ { 0 1 } ( b , \sigma ) } & { \widetilde { R } _ { 0 2 } ( b , \sigma ) } \\ { \sigma ^ { - 1 } \widetilde { R } _ { 1 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { - 2 } \widetilde { R } _ { 1 1 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { - 1 } \widetilde { R } _ { 1 2 } ( b , \sigma ) } \\ { \widetilde { R } _ { 2 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { - 1 } \widetilde { R } _ { 2 1 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { - 1 } \widetilde { R } _ { 2 2 } ( b , \sigma ) } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l } { \widetilde { R } _ { 0 0 } ( b , \sigma ) } & { \widetilde { R } _ { 0 1 } ( b , \sigma ) } & { \widetilde { R } _ { 0 2 } ( b , \sigma ) } \\ { \sigma ^ { - 1 } \widetilde { R } _ { 1 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { - 2 } \big ( \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { R } _ { 1 1 } ^ { e } ( b , \sigma ) \big ) } & { \sigma ^ { - 1 } \widetilde { R } _ { 1 2 } ( b , \sigma ) } \\ { \widetilde { R } _ { 2 0 } ( b , \sigma ) } & { \sigma ^ { - 1 } \big ( \widetilde { R } _ { 2 1 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { R } _ { 2 1 } ^ { e } ( b , \sigma ) \big ) } & { \sigma ^ { - 1 } \big ( \widetilde { R } _ { 2 2 } ^ { 0 } ( b ) + \sigma \widetilde { R } _ { 2 2 } ^ { e } ( b , \sigma ) \big ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d U _ { F } } { d L } \Big | _ { c } = 0 \implies \frac { d { U _ { s } } _ { 0 } } { d L } \Big | _ { c } + \frac { d U _ { e x } } { d L } \Big | _ { c } = 0 , } \\ { o r , ~ - \, \frac { d { U _ { s } } _ { 0 } } { d L } \Big | _ { c } = \frac { d U _ { e x } } { d L } \Big | _ { c } = 2 \Gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( \mathbf { r } _ { i } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { j } ^ { \downarrow } ) } & { = \sum _ { \gamma } \sigma _ { \gamma } ( U \mathbf { h } _ { i } ^ { L \uparrow } ) _ { \gamma } ( V \mathbf { h } _ { j } ^ { L \downarrow } ) _ { \gamma } } \\ & { = \sum _ { \gamma } \sigma _ { \gamma } ( \tilde { \mathbf { h } } _ { i } ^ { L \uparrow } \odot \tilde { \mathbf { h } } _ { j } ^ { L \downarrow } ) _ { \gamma } , } \end{array}
d \alpha ^ { 2 } \wedge * ( e _ { a } \wedge e _ { b } ) + \alpha ^ { 2 } * ( e _ { a } \wedge e _ { b } \wedge e _ { c } ) \wedge T ^ { c } + 2 \alpha ^ { 2 } Q \wedge * ( e _ { a } \wedge e _ { b } ) = 0 .
\Delta S \propto \int d ^ { 4 } x \, n _ { s } m v _ { \theta } ^ { 2 } \propto \ell \Delta t \left( n _ { s } / m \right) \int d ^ { 2 } x \, r ^ { - 2 } \sim \left( \ell \Delta t / \ell _ { P } ^ { 2 } \right) \log \left( R _ { 0 } / a _ { 0 } \right) \sim \ell \Delta t / \ell _ { P } ^ { 2 }
\tilde { \Omega } _ { s } ( t , f , k _ { s } ) \equiv \left| \mathcal { F } \left( \hat { \Omega } ( x ( s ) , y ( s ) , t , f ) \right) \right| = \left| \int \hat { \Omega } ( x ( s ) , y ( s ) , t , f ) e ^ { - i k _ { s } s } d s \right|
\begin{array} { r } { \nu ^ { 2 } = \frac { 2 } { N _ { \mathrm { ~ m ~ } } } = \frac { 2 \tau _ { c } } { N \rho \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \approx \frac { 2 } { N \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { V } ^ { U T } = \, } & { \frac { 1 } { 2 } \Lambda _ { 1 2 } \big ( 1 - \Lambda _ { 2 3 } \big ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \Lambda _ { 1 3 } + \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } \big ) \big ( 1 - \frac { 2 } { 3 } \Lambda _ { 2 3 } \big ) } \\ & { + \frac { 1 } { 6 } \Lambda _ { 1 3 } \Lambda _ { 2 3 } + \big ( 1 - \Lambda _ { 2 3 } + \frac { 1 } { 2 } \Lambda _ { 2 3 } \big ) \big ( 1 - \Lambda _ { 1 2 } - \Lambda _ { 1 3 } \big ) \, ; } \\ & { \quad \Lambda _ { 2 3 } < 1 \, , \, \Lambda _ { 1 2 } + \Lambda _ { 1 3 } < 1 \, . } \end{array}
J _ { N C } ^ { \mu } = 2 \sum _ { f } g _ { L } ^ { f } \overline { { f } } \left[ \frac { 1 + \gamma ^ { 5 } } { 2 } \right] \gamma ^ { \mu } \left[ \frac { 1 - \gamma ^ { 5 } } { 2 } \right] f + g _ { R } ^ { f } \overline { { f } } \left[ \frac { 1 - \gamma ^ { 5 } } { 2 } \right] \gamma ^ { \mu } \left[ \frac { 1 + \gamma ^ { 5 } } { 2 } \right] f
g _ { 1 } ( i j ) = \sqrt { Z _ { i } Z _ { j } } \left[ \alpha _ { i j } + { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } } \sum _ { k } \beta _ { i j } ^ { k } m _ { k } ^ { 2 } \ln { \frac { m _ { k } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right]
\left\{ \begin{array} { l l } { u \in C ^ { 0 } \left( \Bar { \Omega } \times ( 0 , T _ { \mathrm { m a x } } ) \right) \cap C ^ { 2 , 1 } \left( \Bar { \Omega } \times ( 0 , T _ { \mathrm { m a x } } ) \right) \mathrm { ~ a n d } } \\ { v \in \bigcap _ { q > 2 } C ^ { 0 } \left( [ 0 , T _ { \mathrm { m a x } } ) ; W ^ { 1 , q } ( \Omega ) \right) \cap C ^ { 2 , 1 } \left( \Bar { \Omega } \times ( 0 , T _ { \mathrm { m a x } } ) \right) } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathcal { G } ( \alpha ) e ^ { - \Delta t / \tau _ { \mathrm { { o t } } } } = \frac { \mathcal { T } _ { 2 } } { \mathcal { T } _ { 3 } } \, , } \\ { \quad \quad \frac { k _ { B } T } { \kappa } \mathcal { F } ( \alpha ) = \frac { \mathcal { T } _ { 1 } - \frac { \mathcal { T } _ { 2 } ^ { 2 } } { \mathcal { T } _ { 3 } } } { 1 - \left( \frac { \mathcal { T } _ { 2 } } { \mathcal { T } _ { 3 } } \right) ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad ( \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( 0 ) } \alpha _ { 2 } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { = \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } [ e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] + \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] [ e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ] } \\ & { \quad + 2 \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] ( e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { \quad + \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 2 ] + \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] [ e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ] } \\ & { \quad + 2 \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] ( e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { = \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } ( \delta _ { x , i } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } ) [ - 2 ] + \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ( \delta _ { x , i } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { p , j } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { \quad + 2 \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] ( \alpha _ { 1 } \delta _ { p , j } \delta _ { x , i } \alpha _ { 1 } + \delta _ { p , x } \delta _ { i , j } ) } \\ & { \quad + \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } ( \delta _ { q , i } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { x , j } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } ) [ - 2 ] + \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] ( \delta _ { q , i } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { x , j } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { \quad + 2 \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] ( \alpha _ { 1 } \delta _ { q , i } \delta _ { x , j } + \delta _ { x , q } \delta _ { i , j } ) } \\ & { = 0 - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] + 0 - \delta _ { p , j } \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , x } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + 0 + 0 } \\ & { \quad + \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { \quad + \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \sum _ { x \leq m - n } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } - \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + 2 \delta _ { q , i } \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } e _ { p , x } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] + 2 \delta _ { i , j } \delta ( q \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 3 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ^ { i } ( x , y ; a ) } & { = - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } ( y ) ( x - a ) b ^ { j } ( x , y ) - \frac 1 2 \sum _ { j , k = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } y ^ { k } } ^ { i } ( y ) ( x - a ) \Sigma ^ { j k } ( x , y ) , } \\ { \psi _ { l } ^ { i } ( x , y ; a ) } & { = - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { y ^ { j } } ^ { i } ( y ) ( x - a ) \sigma _ { l } ^ { j } ( x , y ) , \quad i = 1 , \dots , n , \ l = 1 , \dots , m . } \end{array}
M _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { - 5 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 5 } \end{array} \right]
H ( \ensuremath { \mathbf Ḋ q Ḍ } ( 0 ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) , \ensuremath { \mathbf Ḋ p Ḍ } ( 0 ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) = H ( \ensuremath { \mathbf Ḋ q Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) , \ensuremath { \mathbf Ḋ p Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } )
\begin{array} { r l } & { f ( g ( x ) ) = } \\ & { f ( g ( x ^ { \prime } ) + g _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) ( x - x ^ { \prime } ) + . . . + g _ { n } ( x ^ { \prime } ) ( x - x ^ { \prime } ) ^ { n } + O ( x - x ^ { \prime } ) ^ { n + 1 } ) = } \\ & { f ( g ( x ^ { \prime } ) ) + f _ { 1 } ( g ( x ^ { \prime } ) ) h ( x , x ^ { \prime } ) + f _ { 2 } ( g ( x ^ { \prime } ) ) h ( x , x ^ { \prime } ) ^ { 2 } + . . . + f _ { n } ( g ( x ^ { \prime } ) ) ( x - x ^ { \prime } ) ^ { n } + O ( h ( x , x ^ { \prime } ) ^ { n + 1 } ) = } \\ & { f ( g ( x ^ { \prime } ) ) + b _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) ( x - x ^ { \prime } ) + \cdots + b _ { n } ( x ^ { \prime } ) ( x - x ^ { \prime } ) ^ { n } + O ( x ^ { n + 1 } ) + O ( h ( x , x ^ { \prime } ) ^ { n + 1 } ) } \end{array}
R ^ { E S } = \int _ { E _ { 0 } } \, ~ \sigma _ { \nu _ { e } e } ( E ) \, ~ \Phi _ { \nu _ { e } } ( E ) \, d \, E + \int _ { E _ { 0 } } \, ~ \sigma _ { \nu _ { \mu } e } ( E ) \, ~ \sum _ { l = \mu , \tau } \Phi _ { \nu _ { l } } ( E ) \, d \, E \, ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ x _ { k + 1 } ] = \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) \mathbb { E } [ x _ { k } ] } \\ & { \quad + ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] + \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) , } \\ & { \mathbb { E } [ x _ { k + 1 } ] ^ { 2 } = \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ x _ { k } ] ^ { 2 } } \\ & { \quad + ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ^ { 2 } + \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) \mathbb { E } [ x _ { k } ] \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] } \\ & { \quad + 2 \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) } \\ & { \quad \times \mathbb { E } [ x _ { k } ] + 2 ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] , } \\ & { \mathbb { E } [ \big ( x _ { k + 1 } - \mathbb { E } [ x _ { k + 1 } ] \big ) ^ { 2 } ] = \big ( a _ { k } + \sum _ { j \in - i } b _ { k } ^ { j } \eta _ { k } ^ { j } \big ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ ( x _ { k } - \mathbb { E } [ x _ { k } ] ) ^ { 2 } ] } \\ & { \quad + ( b _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ ( u _ { k } ^ { i } - \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ) ^ { 2 } ] + ( \sigma _ { k } ) ^ { 2 } \mathbb { E } [ ( w _ { k } ) ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \{ \tilde { \bf L } _ { 1 } ^ { \pm } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) \} ^ { * } } & { { } = } & { { \bf J } _ { 1 1 } { \tilde { \bar { \bf L } } } _ { 1 } ^ { \mp } ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) { \bf K } _ { 1 2 } , } \\ { \{ \tilde { \bf L } _ { 2 } ^ { \pm } ( { \bf s } , x _ { 3 } ) \} ^ { * } } & { { } = } & { { \bf J } _ { 2 2 } { \tilde { \bar { \bf L } } } _ { 2 } ^ { \mp } ( - { \bf s } , x _ { 3 } ) { \bf K } _ { 1 2 } , } \end{array}
F _ { \pi } ^ { 2 } \; \; \sim \; \; \int _ { k ^ { 2 } < \bar { \rho } ^ { - 2 } } \! \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { M ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \; \; \sim \; \; M ^ { 2 } \log M \bar { \rho } \; \; \sim \; \; \left( \frac { \bar { \rho } } { \bar { R } } \right) ^ { 4 } \log \left( \frac { \bar { \rho } } { \bar { R } } \right) \bar { \rho } ^ { - 2 } .
\phi ( i ) = \alpha \sum _ { j } \left( \theta \frac { w _ { i j } } { s _ { j } ^ { \mathrm { o u t } } } + ( 1 - \theta ) \frac { a _ { i j } } { d _ { j } ^ { \mathrm { o u t } } } \right) \phi ( i ) + \frac { 1 - \alpha } { n } ,
\xi ^ { * } = \left( \begin{array} { l } { B ^ { * } } \\ { \alpha _ { \mathrm { G D D } } ^ { * } } \\ { \alpha _ { \mathrm { T O D } } ^ { * } } \\ { \alpha _ { \mathrm { F O D } } ^ { * } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { - 2 6 7 . 4 2 2 \ p s ^ { 2 } } \\ { + 2 . 3 8 4 \ p s ^ { 3 } } \\ { - 9 5 4 . 8 9 \ p s ^ { 4 } } \end{array} \right) .
\sigma _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right] , \; \; \ \ \ \sigma _ { 2 } = \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right] , \; \; \; \sigma _ { 3 } = \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n ^ { 2 \tau } \sigma _ { n } ^ { \tau } \delta ^ { \tau } } \operatorname* { m a x } \{ o ( n ^ { 4 \tau / \tilde { s } } p ^ { 4 \tau / \tilde { s } - 1 } ) , o ( n ^ { \tau } p ^ { - 1 } ) \} = o \Big ( \frac { n ^ { ( s + 2 ) \tau / \tilde { s } } p ^ { - 1 } } { n ^ { 2 \tau } \sigma _ { n } ^ { \tau } \delta ^ { \tau } } \Big ) = o ( ( n + p ) ^ { ( 2 - \tilde { s } ) / \tilde { s } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { x _ { n + 1 } } \\ { p _ { x , n + 1 } } \\ { y _ { n + 1 } } \\ { p _ { y , n + 1 } } \end{array} \right) } & { { } = R ( \omega _ { x , n } , \omega _ { y , n } ) \times } \\ { \times } & { { } \left( \begin{array} { c } { x _ { n } } \\ { p _ { x , n } + x _ { n } ^ { 2 } - y _ { n } ^ { 2 } + \mu \left( x _ { n } ^ { 3 } - 3 x _ { n } y _ { n } ^ { 3 } \right) } \\ { y _ { n } } \\ { p _ { y , n } - 2 x _ { n } y _ { n } + \mu \left( y _ { n } ^ { 3 } - 3 y _ { n } x _ { n } ^ { 3 } \right) } \end{array} \right) \, , } \end{array}
W _ { H } = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } ( V ^ { a } - Q ^ { a } ) ( V ^ { b } - Q ^ { b } ) \left[ \frac { 2 } { N } \delta ^ { a b } + d ^ { a b c } Q ^ { c } - Q ^ { a } Q ^ { b } \right] .
\nabla _ { \mathbf { p } } \mathrm { g } ( \hat { \mathbf { b } } , \mathbf { p } ) = \mathrm { g } _ { \mathbf { p } } + \mathrm { g } _ { \hat { \mathbf { b } } } \hat { \mathbf { b } } _ { \mathbf { p } }
{ \cal Z } = \int { \cal D } l { \cal D } x \delta [ \langle l ^ { - 1 } \partial l , T ^ { a } \rangle E _ { a b } ^ { 0 } + \partial x ^ { \alpha } F _ { \alpha b } ^ { L } - \langle l ^ { - 1 } \partial l , T _ { b } \rangle ] e ^ { - I [ l , x ] } ,