harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial \Phi } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \nabla \Phi \cdot \nabla \Phi + \eta = r \frac { f } { 2 } \left( \left( \frac { 1 + \alpha } { 2 } \right) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t - \theta \right) } + \left( \frac { 1 - \alpha } { 2 } \right) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( \Omega t + \theta \right) } \right) + c . c . \, .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 2 } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle } & { = { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) - { \gamma } { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) = ( 1 - { \gamma } ) { \mathcal { T } } _ { 1 } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) } \\ & { = ( 1 - { \gamma } ) \left( { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) + \frac { 1 } { \sqrt n } { \mathcal { W } } ( u _ { 1 } , v _ { 2 } , w _ { 2 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { R } _ { n } } \\ { = } & { \left[ \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \mathcal { K } _ { 0 } ^ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \mathcal { K } _ { \varepsilon } ^ { 2 \varepsilon } \mathcal { K } _ { 0 } ^ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \ldots , \mathcal { K } _ { \left( n - 1 \right) \varepsilon } ^ { n \varepsilon } \cdots \mathcal { K } _ { 0 } ^ { \varepsilon } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) \right] . } \end{array}
C ( x - x ^ { \prime } , z , z ^ { \prime } ) = \sum _ { ( n , j ) \in \mathcal { I } } \frac { \sigma _ { ( n , j ) } } { \ell } \, \mathrm { e } ^ { 2 i \pi n ( x - x ^ { \prime } ) / \ell } \Phi _ { ( n , j ) } ( z ) \Phi _ { ( n , j ) } ( z ^ { \prime } ) ^ { \ast } ,
\begin{array} { r l } { E } & { = h \nu + 2 h \nu \ldots = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } n _ { i } h \nu } \\ & { = N h \nu \left( 1 + \exp { \frac { - h \nu } { k T } } + \exp { \frac { - 2 h \nu } { k T } } + \ldots \right) } \\ & { = N h \nu \frac { 1 } { \exp { \frac { h \nu } { k T } } - 1 } \Rightarrow \frac { E } { N } = \bar { E } = \frac { h \nu } { \exp { \frac { h \nu } { k T } } - 1 } } \end{array}
\Gamma ( \{ m , m \} ) = \frac { 1 } { 9 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { \Xi _ { \{ m m \} } ^ { ( 1 ) } \Xi _ { \{ m m \} } ^ { ( 2 ) } } } \left( \begin{array} { l l l } { 4 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 2 } & { - 2 } \\ { 1 } & { - 2 } & { - 2 } \end{array} \right) + \frac { 1 } { \Xi _ { \{ m m \} } ^ { ( 2 ) } } \left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 2 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \end{array} \right) \right) .
\mu = + \mu _ { 0 } : \quad { \frac { g _ { Y M } ^ { 2 } } { 4 \pi } } = e ^ { \phi _ { 0 } ^ { + } } , \quad \quad \mu = - \mu _ { 0 } : \quad { \frac { g _ { Y M } ^ { 2 } } { 4 \pi } } = e ^ { \phi _ { 0 } ^ { - } } \ .
\boldsymbol { r } _ { i , j } ^ { t } = \left[ \left( \boldsymbol { p } _ { i } ^ { t } - \boldsymbol { p } _ { j } ^ { t } \right) , \ \lVert \boldsymbol { p } _ { i } ^ { t } - \boldsymbol { p } _ { j } ^ { t } \rVert \right]
\iint d \xi d \eta \; \alpha h ^ { 2 } q _ { t } = \frac { 1 } { 3 } \iint d \xi d \eta \; \left[ \alpha \frac { \partial ( \psi , q ) } { \partial ( \xi , \eta ) } + \psi \frac { \partial ( q , \alpha ) } { \partial ( \xi , \eta ) } + q \frac { \partial ( \alpha , \psi ) } { \partial ( \xi , \eta ) } \right] .
\Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } ^ { \prime } = [ \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } ] _ { \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } \rightarrow p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 2 } / 3 } .
\langle m _ { \nu } \rangle \equiv | \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } U _ { e j } ^ { 2 } m _ { j } | = | m _ { 1 } | U _ { e 1 } | ^ { 2 } + m _ { 2 } | U _ { e 2 } | ^ { 2 } e ^ { 2 i \beta } + m _ { 3 } | U _ { e 3 } | ^ { 2 } e ^ { 2 i \rho \prime } | .
\begin{array} { r l } { q _ { 0 , \Phi } ^ { \prime } } & { = \sum _ { w _ { 1 } \in \mathfrak { X } } \sum _ { w _ { 2 } \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w _ { 1 } ) p _ { W } ( w _ { 2 } ) [ 1 - p _ { Y | X } ( \Phi ^ { - 1 } ( w _ { 2 } ) | w _ { 1 } ) ] } \\ { q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } } & { = \sum _ { w \in \mathfrak { X } } p _ { W } ( w ) [ 1 - p _ { Y | W } ( \Phi ^ { - 1 } ( w ) | w ) ] } \end{array}
\Psi _ { C } ( \mathbf { r } _ { j } ) = c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } + c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } .
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r \, \dag } \left( x ^ { \prime \, m } , x ^ { \prime \, \mu } \right) \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r ^ { \prime } } \left( x ^ { \prime \, m } , x ^ { \prime \, \mu } \right) = \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r \, \dag } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) \, \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r ^ { \prime } } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) = \delta _ { r r ^ { \prime } } \; . } \end{array}
C = \frac { M } { \operatorname { R e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } + M \frac { \mathrm { d } \bar { c } } { \mathrm { ~ d } r } \frac { \mathrm { d } \bar { v } _ { z } } { \mathrm { ~ d } r } \right) \operatorname { R e a l } \left\{ \hat { c } \hat { v } _ { z } ^ { * } \right\} r \mathrm { d } r
\begin{array} { r l } { \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } } & { = \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } + c _ { \mathrm { s } } \right) ^ { 2 } + 3 k _ { \mathrm { a } } ( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } ) + 3 } , } \\ { \theta } & { = \arctan { \left( - \frac { q } { 2 } , \frac { \sqrt { \Delta [ P _ { \mathrm { a b } } ] } } { 6 \sqrt { 3 } } \right) } , } \\ { \Delta [ P _ { \mathrm { a b } } ] } & { = - 4 p ^ { 3 } - 2 7 q ^ { 2 } , } \\ { p } & { = - \frac { 1 } { 3 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } + c _ { \mathrm { s } } \right) ^ { 2 } - k _ { \mathrm { a } } \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) - 1 , } \\ { q } & { = \frac { 2 } { 2 7 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } + c _ { \mathrm { s } } \right) ^ { 3 } + \frac { k _ { \mathrm { a } } } { 3 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } + c _ { \mathrm { s } } \right) \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) - \frac { 2 k _ { \mathrm { a } } } { 3 } + \frac { c _ { \mathrm { b } } + c _ { \mathrm { s } } } { 3 } . } \end{array}
+ q ( { \tilde { d } } - 1 ) a _ { 1 } b _ { 1 } + r ( { \tilde { d } } - 1 ) b _ { 1 } f _ { 1 } + r q f _ { 1 } a _ { 1 } + \frac { \phi _ { 1 } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { h ^ { 2 } } { 4 } = 0 ;
M ^ { ( 1 5 , { \frac { 3 } { 2 } } ) } - M ^ { ( 3 , \frac { 1 } { 2 } ) } = { \frac { 3 } { 2 I _ { 1 } } } + { \frac { 1 } { 2 I _ { 2 } } } \simeq 4 6 0 \mathrm { G e V }
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { e m b } ^ { i } } & { { } = \sum _ { a , b = 1 } ^ { { \nu } _ { i } } \left[ \Lambda _ { i } \right] _ { a b } f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } + \sum _ { a = 1 } ^ { { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \left[ \mathcal { D } _ { i } ^ { 0 } \right] _ { a \alpha } c _ { i \alpha } ^ { \dagger } b _ { i a } ^ { \dagger } + \sum _ { a , b = 1 } ^ { { \nu } _ { i } } \left[ \Lambda _ { i } ^ { c } \right] _ { a b } b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } b _ { i a } ^ { \dagger } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Big | \left\langle A _ { 1 } + A _ { 2 } , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 2 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle \Big | \leq C _ { \rho , \kappa , \nu } \| u \| _ { s - 2 } \| u ^ { 1 } \| _ { s } ^ { 2 } \left\| \frac { \partial _ { x } ^ { s - 2 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\| \leq C _ { \rho , \kappa } ( 1 + \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) \| u \| _ { \widehat { s - 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbb P \left( \frac { M _ { N } } { \mathfrak d } > \mathfrak c _ { 1 } \right) \leqslant \frac { 1 } { \mathfrak u ^ { 2 } N ^ { 2 } } \mathrm { v a r } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( { \tt b } ( X _ { T } ^ { i } ) - { \tt b } ( X _ { 0 } ^ { i } ) ) \right) \leqslant \frac { 1 } { \mathfrak u ^ { 2 } N } \mathbb E [ ( { \tt b } ( X _ { T } ) - { \tt b } ( X _ { 0 } ) ) ^ { 2 } ] .
I ( d , a , c ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x \; d x } { ( x ^ { 2 } + d ^ { 2 } ) + a ( x ^ { 2 } + d ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + c ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \left| \sum _ { i } c _ { i } F _ { f , y } \left( x _ { i } \right) \right| ^ { 2 } } & { = } & { \left| \sum _ { i } c _ { i } L \left( f \left( x _ { i } \right) , y \right) \right| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \left| \left\langle \sum _ { i } c _ { i } K _ { x _ { i } } , T _ { f } ^ { * } \left( L _ { y } \right) \right\rangle _ { \mathscr { H } _ { K } } \right| ^ { 2 } } \\ & { \underset { \mathrm { S c h w a r z } } { \leq } } & { \left\Vert \sum _ { i } c _ { i } K _ { x _ { i } } \right\Vert _ { \mathscr { H } _ { K } } ^ { 2 } \left\Vert T _ { f } ^ { * } \left( L _ { y } \right) \right\Vert _ { \mathscr { H } _ { K } } ^ { 2 } } \\ & { = } & { \sum _ { i } \sum _ { j } c _ { i } c _ { j } K \left( x _ { i } , x _ { j } \right) \left\Vert T _ { f } ^ { * } \left( L _ { y } \right) \right\Vert _ { \mathscr { H } _ { K } } ^ { 2 } . } \end{array}
X ( p ^ { 2 } ) = J _ { 1 1 } ( p ^ { 2 } ) \ ( M ^ { 2 } + J _ { 2 2 } ^ { L } ( p ^ { 2 } ) ) - p ^ { 2 } \ \left[ J _ { 1 2 } ( p ^ { 2 } ) \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \| f - \phi \| _ { 1 } } & { \leq \| f - h \| _ { 1 } + \| h - \phi \| _ { 1 } = \| f - h \| _ { 1 } + \int _ { \cup E _ { i } } | f - \phi | d \lambda } \\ & { = \| f - h \| _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \int _ { E _ { i } } | f - \phi | d \lambda } \\ & { = \| f - h \| _ { 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| h - \phi \| _ { L ^ { 1 } ( E _ { i } ) } } \\ & { \leq \frac { \epsilon } { 2 } + M . \frac { \epsilon } { 2 M } } \\ & { = \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \sigma } _ { s e } = \tilde { \sigma } _ { s m } } & { = \frac { 1 - \mathcal { A } e ^ { i \phi ( \omega ) } } { 1 + \mathcal { A } e ^ { i \phi ( \omega ) } } = \frac { 1 - e ^ { i [ \phi ( \omega ) - i \log \mathcal { A } ] } } { 1 + e ^ { i [ \phi ( \omega ) - i \log \mathcal { A } ] } } } \\ & { = - i \tan ( \frac { \phi ( \omega ) + i | \log \mathcal { A } | } { 2 } ) } \\ & { = - i \tan z ( \omega ) . } \end{array}
p _ { c } ^ { s } = \left\{ \begin{array} { l l } { \! \begin{array} { r l } { { 2 } } & { 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \phi < \phi _ { p l } } \\ & { E \frac { ( \phi - \phi _ { p l } ) ^ { 3 } } { ( \phi _ { r c p } - \phi ) ^ { 5 } } \quad \quad \quad \quad \phi \geq \phi _ { p l } , } \end{array} } \end{array} \right.
( \mathbf { a } \ \mathbf { b } \ \mathbf { c } ) = ( \mathbf { c } \ \mathbf { a } \ \mathbf { b } ) = ( \mathbf { b } \ \mathbf { c } \ \mathbf { a } ) = - ( \mathbf { a } \ \mathbf { c } \ \mathbf { b } ) = - ( \mathbf { b } \ \mathbf { a } \ \mathbf { c } ) = - ( \mathbf { c } \ \mathbf { b } \ \mathbf { a } ) .
{ \begin{array} { r l } { S } & { = - \left( n _ { \mathrm { s } } - n _ { \mathrm { \bar { s } } } \right) , } \\ { C } & { = + \left( n _ { \mathrm { c } } - n _ { \mathrm { \bar { c } } } \right) , } \\ { B ^ { \prime } } & { = - \left( n _ { \mathrm { b } } - n _ { \mathrm { \bar { b } } } \right) , } \\ { T } & { = + \left( n _ { \mathrm { t } } - n _ { \mathrm { \bar { t } } } \right) , } \end{array} }
\mathbf { G } = \frac { \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) } { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, d p _ { 2 } \otimes d p _ { 2 } + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d \psi _ { 2 } \otimes d \psi _ { 2 } \, .
E ^ { a } = d X ^ { a } - i d \Theta ^ { I \alpha } \sigma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { a } \bar { \Theta } ^ { I \dot { \alpha } } + i \Theta ^ { I \alpha } \sigma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { a } d \bar { \Theta } ^ { I \dot { \alpha } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \langle X ^ { ( N ) } ( t ) , X ^ { ( N ) } ( t ) \rangle } & { = \sum _ { | s _ { 1 } | \le N } \sum _ { | s _ { 2 } | \le N } \mathbb { E } \langle A _ { s _ { 1 } } \epsilon _ { t - s _ { 1 } } , A _ { s _ { 2 } } \epsilon _ { t - s _ { 2 } } \rangle } \\ & { = \sum _ { | s | \le N } \mathbb { E } \langle A _ { s } \epsilon _ { t - s } , A _ { s } \epsilon _ { t - s } \rangle = \sum _ { | s | \le N } \mathbb { E } \langle \epsilon _ { t - s } , A _ { s } ^ { \star } A _ { s } \epsilon _ { t - s } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \Big \vert \delta \mathcal { J } _ { 2 } ( g ) - \int _ { 0 } ^ { T } \varphi ( \ell , t ) \delta g ( t ) d t \Big \vert = \frac { 1 } { 2 } \Vert r ( 0 ) \delta u _ { x x } ( 0 , . ) + \kappa ( 0 ) \delta u _ { x x t } ( 0 , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } } \\ & { \leq } & { \frac { C _ { 7 } ^ { 2 } } { 2 } \Big ( \Vert \delta u _ { t t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } + \Vert \delta u _ { t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } + \Vert \delta g \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq } & { C _ { 8 } ^ { 2 } \Vert \delta g \Vert _ { H ^ { 1 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } , } \end{array}
( \rho , u , v , p ) ( \boldsymbol { r } , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 1 , 0 , 0 , 1 \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left| \boldsymbol { r } \right| \leqslant 0 . 5 , } \\ { \left( 0 . 1 2 5 , 0 , 0 , 0 . 1 \right) , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
T ^ { \mu \nu } ( x ) = { \frac { 2 } { \sqrt { - g ( x ) } } } { \frac { \delta } { \delta g _ { \mu \nu } ( x ) } } { \mathcal { S } } _ { \mathrm { M a x w e l l } } = { \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } } \left( F _ { { \mathrm { ~ } } \lambda } ^ { \mu } ( x ) F ^ { \nu \lambda } ( x ) - { \frac { 1 } { 4 } } g ^ { \mu \nu } ( x ) F _ { \rho \sigma } ( x ) F ^ { \rho \sigma } ( x ) \right)
\begin{array} { r l } & { B _ { z } ( r _ { 1 } < r < r _ { 2 } , t ) = \frac { \mu _ { 0 } } { l } \Big ( n I _ { 0 } ( t ) + I _ { \mathrm { H a l l } , 2 } ^ { \varphi } ( t ) \Big ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad + \mathcal { O } \Big ( \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { i } } \Big ) ^ { 2 } + ( r _ { 2 } \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \omega _ { 0 } ) ^ { 3 } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } } & { = } & { \frac { \tau _ { 0 } } { 2 } \sum _ { j \in \mathcal { N } ( k ) } \tilde { b } _ { j k } ^ { 2 } \, , } \\ { T _ { 2 } } & { = } & { - \tau _ { 0 } \sum _ { \alpha , \beta } \sum _ { i , j , l \in \mathcal { N } ( k ) } \tilde { b } _ { i k } \tilde { b } _ { j k } \tilde { b } _ { l k } \frac { u _ { \alpha , i } u _ { \beta , j } u _ { \alpha , l } u _ { \beta , l } } { \lambda _ { \alpha } + \lambda _ { \beta } } \, . } \end{array}
\operatorname { e r f } ^ { - 1 } x \approx \operatorname { s g n } x \cdot { \sqrt { { \sqrt { \left( { \frac { 2 } { \pi a } } + { \frac { \ln \left( 1 - x ^ { 2 } \right) } { 2 } } \right) ^ { 2 } - { \frac { \ln \left( 1 - x ^ { 2 } \right) } { a } } } } - \left( { \frac { 2 } { \pi a } } + { \frac { \ln \left( 1 - x ^ { 2 } \right) } { 2 } } \right) } } .
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { = - i \sqrt { 3 } \frac { \partial } { \partial x } \bigg ( \hat { n } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ( x , t ) + \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } ^ { \angle } k ( \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , k ) ^ { - 1 } - 1 ) \bigg ) } \\ & { = - i \sqrt { 3 } \frac { \partial } { \partial x } \hat { n } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ( x , t ) + O ( t ^ { - 1 } ) , \qquad t \to \infty , } \end{array}
f ( \eta ) = K _ { 0 } \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \left( 1 - \frac { 1 } { D } \eta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 2 D ^ { 2 } } \eta ^ { 4 } \right) .
\frac { 1 } { g _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } = \frac { ( x _ { \alpha + 1 } ^ { 4 } - x _ { \alpha } ^ { 4 } ) ( x _ { \alpha ^ { \prime } + 1 } ^ { 6 } - x _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { 6 } ) } { g _ { s } } .
C _ { 1 1 } \left| \Phi _ { r } ^ { a } \right> = \beta _ { r r ^ { \prime } } \, C _ { 1 2 } C _ { 2 2 } \left| \Phi _ { r ^ { \prime } } ^ { a } \right> = \beta _ { r r ^ { \prime } } \, C _ { 1 2 } \left| \Phi _ { r ^ { \prime } } ^ { a } \right>
\begin{array} { r l r } { l . h . s . } & { { } = } & { \sum _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } \delta _ { l ^ { \prime \prime } l ^ { \prime } } \delta _ { m ^ { \prime \prime } m ^ { \prime } } \left( - \frac { 1 } { 2 r } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } r + \frac { l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } + V _ { e f f } ( r ) - \epsilon _ { i } + i \omega \right) u _ { i \mu , l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( r , i \omega ) } \\ { r . h . s . } & { { } = } & { [ \epsilon _ { i } ^ { ( 1 ) } \delta _ { l ^ { \prime \prime } l } \delta _ { m ^ { \prime \prime } m } - G _ { l ^ { \prime \prime } L l } ^ { m ^ { \prime \prime } M m } V _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( r ) ] u _ { i , l } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { \mathcal { S } } } \\ { \vec { \mathbf S } } \\ { 1 } \end{array} \right] } & { = \left( \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { A _ { 1 } } \otimes \mathbf { 1 } + \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf c } \otimes \mathbf { 1 } + \mathbf { 1 } \otimes \vec { \mathbf c } } & { \mathbf 0 } \\ { \mathbf 0 } & { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf c } } \\ { \mathbf 0 } & { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \right. } \\ & { + \left. \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { A _ { 2 } } \otimes \mathbf { 1 } + \mathbf { 1 } \otimes \mathbf { A _ { 2 } } } & { \mathbf 0 } & { \mathbf 0 } \\ { \mathbf 0 } & { \mathbf { A _ { 2 } } } & { \mathbf 0 } \\ { \mathbf 0 } & { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { S } } \\ { \vec { \mathbf S } } \\ { 1 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { \hbar } ^ { 1 } ( \Sigma ( \mathbf { w } ^ { 1 } ) , \Sigma ( \mathbf { w } ^ { 0 } ) ) \sigma _ { \hbar } ( \mathbf { w } ^ { 1 } , \delta ^ { 1 } ) \sigma _ { \hbar } ( \mathbf { w } ^ { 0 } , \delta ^ { 0 } ) = \sigma _ { \hbar } ( \mathbf { w } ^ { 1 } , \mathbf { w } ^ { 0 } , \delta ^ { 1 } \triangleleft _ { 0 } ^ { n } \delta ^ { 0 } ) . } \end{array}
\sigma _ { p p } ^ { \mathrm { b h } } ( s ) = \sum _ { i j } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } d x _ { 2 } \, \frac { f _ { i } ( x _ { 1 } , \mu ) f _ { j } ( x _ { 2 } , \mu ) + f _ { i } ( x _ { 2 } , \mu ) f _ { j } ( x _ { 1 } , \mu ) } { 1 + \delta _ { i j } } \, \hat { \sigma } _ { i j } ^ { \mathrm { b h } } ( x _ { 1 } x _ { 2 } s ) \, ,
M = \frac { L ^ { d - 1 } \omega _ { s + 1 } s } { 2 \kappa ^ { 2 } } \sum _ { I } \sigma ^ { ( I ) } \left( \sum _ { a c } Q _ { a c } ^ { ( I ) } + \sum _ { b c } P _ { b c } ^ { ( I ) } \right) ,
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \omega ^ { \lambda _ { 0 } } ( x ) = u _ { \lambda _ { 0 } } ( x ) - u ( x ) } \\ & { > } & { \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda _ { 0 } } ( 0 ) } \left( K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x ^ { \lambda _ { 0 } } , y ^ { \lambda _ { 0 } } ) - K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x , y ^ { \lambda _ { 0 } } ) \right) \left( f ( y , u _ { \lambda _ { 0 } } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { s h } \frac { \rho _ { \mathbb { B } ^ { n } } ( x , y ) } { 2 } = \frac { 2 d } { 1 - d ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } = \frac { E ^ { 2 } - 1 } { 2 E \sqrt { 1 - m _ { 1 } ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 - m _ { 1 } ^ { 2 } } } \, \mathrm { s h } \frac { h _ { \mathbb { B } ^ { n } } ( x , y ) } { 2 } . } \end{array}
\varepsilon _ { \mathrm { ~ r ~ h ~ o ~ } } = \varepsilon _ { r } + \frac { 1 } { \varepsilon _ { \scriptscriptstyle 0 } } \left( \frac { \sigma _ { a 1 } \Delta N _ { 1 } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { a 1 } ^ { 2 } + i \omega \Delta \omega _ { a 1 } } + \frac { \sigma _ { a 2 } \Delta N _ { 2 } } { \omega ^ { 2 } - \omega _ { a 2 } ^ { 2 } + i \omega \Delta \omega _ { a 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \left[ \left( \frac { \Delta I } { I } \right) _ { 2 } - 2 \frac { \Delta N } { N } \right] = } & { { } } & { \frac { G ( \sigma , ( \Delta \omega ) _ { 2 } ) } { [ G ( \sigma , ( \Delta \omega ) _ { 2 } ) - G ( \sigma , ( \Delta \omega ) _ { 1 } ) ] } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C L } ( A ) } & { = \bigcup \left\lbrace \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { 1 } } \lambda _ { j 1 } v _ { 1 } + . . . + \sum _ { j = 1 } ^ { r _ { n } } \lambda _ { j n } v _ { n } : \{ v _ { 1 } , . . . , v _ { n } \} \subseteq A , \, \lambda _ { i j } \in F , \, r _ { 1 } , . . . , r _ { n } \in \mathbb N \right\rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { 3 j + \frac { 3 } { 2 } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 2 } { D u _ { 2 j } \mp q _ { 2 j } } , } & { \mathrm { i f ~ } D u _ { 2 j } \mp q _ { 2 j } < 0 , } \\ { \infty , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ { \tau _ { 3 j + \frac { 5 } { 2 } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 2 } { D u _ { 2 j } \pm q _ { 2 j } } , } & { \mathrm { i f ~ } D u _ { 2 j } \pm q _ { 2 j } < 0 , } \\ { \infty , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \xi } { \xi + 1 } \frac { \eta _ { \L } ^ { 2 } e ^ { - \left( 1 + \frac { \mu _ { B } } { \eta _ { \L } } ( b - a ) \right) } } { ( b - a ) \mu _ { \L } \mu _ { P _ { 1 } } } } & { \mathrm { i f } ~ \varepsilon _ { 0 } \leq \varepsilon _ { 1 } } \\ { \frac { 2 \xi \eta _ { K } \eta _ { \L } ^ { 2 } e ^ { - \left( 1 + \frac { \mu _ { B } } { \eta _ { \L } } ( b - a ) \right) } } { ( b - a ) \mu _ { \L } \left( \mu _ { P _ { 1 } } \eta _ { K } + 2 \xi \eta _ { \L } \mu _ { \Psi } \right) } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \exp \{ - \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } \mathbf { r } \int \mathrm { d } \mathbf { r ^ { ' } } \hat { \rho } _ { \mathrm { c } } ( \mathbf { r } ) C ( \mathbf { r } , \mathbf { r ^ { ' } } ) \hat { \rho } _ { \mathrm { c } } ( \mathbf { r ^ { ' } } ) \} = } \\ & { \mathcal { N } _ { \psi } \int \mathrm { D } \psi \exp \left\{ \int \mathrm { d } \mathbf { r } \left[ \frac { 1 } { 2 } \epsilon ( \mathbf { r } ) | \nabla \psi ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } - \left( z _ { + } \hat { c } _ { + } ( \mathbf { r } ) - z _ { - } \hat { c } _ { - } ( \mathbf { r } ) - \frac { \alpha } { v } \hat { \phi } _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) \right) i \psi ( \mathbf { r } ) \right] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin 1 0 ^ { \circ } \sin 6 0 ^ { \circ } } & { = ( \cos 5 0 ^ { \circ } - \cos 7 0 ^ { \circ } ) / 2 } \\ & { = ( \sin 4 0 ^ { \circ } - \sin 2 0 ^ { \circ } ) / 2 } \\ & { = \frac { \sin 2 0 ^ { \circ } } { 2 } ( 2 \cos 2 0 ^ { \circ } - 1 ) } \\ & { = \sin 2 0 ^ { \circ } ( \cos 2 0 ^ { \circ } - \sin 3 0 ^ { \circ } ) } \\ & { = \sin 2 0 ^ { \circ } ( \sin 7 0 ^ { \circ } - \sin 3 0 ^ { \circ } ) } \\ & { = 2 \sin 2 0 ^ { \circ } \sin 2 0 ^ { \circ } \cos 5 0 ^ { \circ } . } \end{array}
\omega ( \delta ^ { \prime \prime } ) \equiv \alpha ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) \bullet \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( \beta ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) : \textnormal { \texttt { c } } ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) = \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime } ( f ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime } ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) )
\begin{array} { r l } { g ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathscr { T } _ { \pmb { x } } > 2 9 0 [ K ] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}