harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { - i \hbar \mathrm { ~ \bf ~ D ~ } \psi } & { { } \equiv } & { \left( - i \hbar \nabla - q \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \right) \psi = S ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \left( - i \hbar \nabla - q \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ^ { \prime } \right) \psi ^ { \prime } = - i \hbar S ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \mathrm { ~ \bf ~ D ~ } ^ { \prime } \psi ^ { \prime } \; , } \\ { i \hbar D _ { 0 } \psi } & { { } \equiv } & { \left( i \hbar \frac { \partial } { \partial t } - q A _ { 0 } \right) \psi = S ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \left( i \hbar \frac { \partial } { \partial t } - q A _ { 0 } ^ { \; \prime } \right) \psi \ ^ { \prime } = i \hbar S ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) D _ { 0 } ^ { \; \prime } \psi ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E = E _ { 0 } } & { { } \left( \mathcal { U } _ { n } + \frac { \mathrm { i } \alpha } { \Theta } \left( \sqrt { n + 1 } \mathcal { U } _ { n + 1 } e ^ { - \mathrm { i } \Psi } + \sqrt { n } \mathcal { U } _ { n - 1 } e ^ { \mathrm { i } \Psi } \right) \right) e ^ { \mathrm { i } \omega t } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { 2 } { 3 } } \cdot { \frac { 2 } { 3 } } = { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 9 } } } & { ; } & { { \frac { 1 } { 3 } } \cdot { \frac { 2 } { 3 } } = { \frac { 1 } { 6 } } + { \frac { 1 } { 1 8 } } } \\ { { \frac { 2 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 3 } } = { \frac { 1 } { 6 } } + { \frac { 1 } { 1 8 } } } & { ; } & { { \frac { 2 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 6 } } = { \frac { 1 } { 1 2 } } + { \frac { 1 } { 3 6 } } } \\ { { \frac { 2 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 1 } { 3 } } } & { ; } & { { \frac { 1 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 1 } { 6 } } } \\ { { \frac { 1 } { 6 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 1 } { 1 2 } } } & { ; } & { { \frac { 1 } { 1 2 } } \cdot { \frac { 1 } { 2 } } = { \frac { 1 } { 2 4 } } } \\ { { \frac { 1 } { 9 } } \cdot { \frac { 2 } { 3 } } = { \frac { 1 } { 1 8 } } + { \frac { 1 } { 5 4 } } } & { ; } & { { \frac { 2 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 9 } } = { \frac { 1 } { 1 8 } } + { \frac { 1 } { 5 4 } } } \\ { { \frac { 1 } { 4 } } \cdot { \frac { 1 } { 5 } } = { \frac { 1 } { 2 0 } } } & { ; } & { { \frac { 2 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 7 } } = { \frac { 1 } { 1 4 } } + { \frac { 1 } { 4 2 } } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \frac { 1 } { 7 } } = { \frac { 1 } { 1 4 } } } & { ; } & { { \frac { 2 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 1 1 } } = { \frac { 1 } { 2 2 } } + { \frac { 1 } { 6 6 } } } \\ { { \frac { 1 } { 3 } } \cdot { \frac { 1 } { 1 1 } } = { \frac { 1 } { 3 3 } } } & { ; } & { { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \frac { 1 } { 1 1 } } = { \frac { 1 } { 2 2 } } } \\ { { \frac { 1 } { 4 } } \cdot { \frac { 1 } { 1 1 } } = { \frac { 1 } { 4 4 } } } & & \end{array} \right] }
F _ { 0 E } = \frac { B _ { 0 } \beta _ { E } ( r ) } { 2 ^ { 5 } \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } m _ { E } \varepsilon _ { b } } \sqrt { ( 1 - \lambda _ { 0 } B _ { 0 } ) } \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \delta ( \lambda - \lambda _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { I I I } & { \le C \left( M _ { 0 , 0 } ^ { - 1 / 2 } + \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( 0 ) } M _ { 0 , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } M _ { \ell , 0 } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( \ell ) } M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } \right) } \\ & { \le C h _ { L } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } \left( w _ { 0 , 0 } ^ { - 1 / 2 } + \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( 0 ) } w _ { 0 , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } w _ { \ell , 0 } ^ { - 1 / 2 } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( \ell ) } w _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } \right) } \\ & { \le C \ensuremath { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { T S C } ^ { e } ( T ) } & { { } = } & { q _ { 0 } A n _ { t } ( T _ { 0 } ) { \int _ { 0 } ^ { w ( T ) } { \frac { x } { w ( T ) } } e _ { n } ( T , x ) f \left( T , x \right) } d x } \\ { e _ { n } } & { { } = } & { { \sigma _ { n } \cdot v _ { t h , n } \cdot N _ { C } \cdot \exp { \left( - { \frac { E _ { a } } { k _ { B } T } } \right) } } } \\ { e _ { p } } & { { } = } & { { \sigma _ { p } \cdot v _ { t h , p } \cdot N _ { V } \cdot \exp { \left( - { \frac { E _ { a } ^ { \prime } } { k _ { B } T } } \right) } } } \end{array}
m _ { H } ^ { 2 } \, J ( k ^ { 2 } ; m _ { H } ^ { 2 } , m _ { H } ^ { 2 } , m _ { H } ^ { 2 } , m _ { H } ^ { 2 } , m _ { H } ^ { 2 } ) = \sigma _ { a } ( k ^ { 2 } / m _ { H } ^ { 2 } ) + \sigma _ { b } ( k ^ { 2 } / m _ { H } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \rho \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + u _ { i } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { j } } \right) } & { = - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { x _ { j } } \left[ \mu \left( \frac { \partial u _ { i } } { \partial \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } \right) \right] + \sigma \kappa \delta _ { s } n _ { i } \, , } \\ { \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { R e } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } A \right] } & { = } & { - 8 m ^ { 6 } ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \left[ 1 + X _ { 2 } \cdot u ^ { 2 } \, - \, X _ { 4 } \cdot u ^ { 4 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 6 } ) \right] , } \\ { \mathrm { I m } \, \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } A \right] } & { = } & { - 3 2 m ^ { 6 } \cdot \frac { k \nu } { m ^ { 2 } } \cdot ( \sigma ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } ) \sigma ^ { 2 } \delta ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } \theta \, \cos \theta \cdot u ^ { 3 } \, + \, { \cal O } ( u ^ { 5 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { u } _ { 1 } } & { { } = \mathbf { v } _ { 1 } , } & { \mathbf { e } _ { 1 } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { 1 } } { \| \mathbf { u } _ { 1 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { 2 } } & { { } = \mathbf { v } _ { 2 } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \, ( \mathbf { v } _ { 2 } ) , } & { \mathbf { e } _ { 2 } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { 2 } } { \| \mathbf { u } _ { 2 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { 3 } } & { { } = \mathbf { v } _ { 3 } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \, ( \mathbf { v } _ { 3 } ) - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 2 } } \, ( \mathbf { v } _ { 3 } ) , } & { \mathbf { e } _ { 3 } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { 3 } } { \| \mathbf { u } _ { 3 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { 4 } } & { { } = \mathbf { v } _ { 4 } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \, ( \mathbf { v } _ { 4 } ) - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 2 } } \, ( \mathbf { v } _ { 4 } ) - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 3 } } \, ( \mathbf { v } _ { 4 } ) , } & { \mathbf { e } _ { 4 } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { 4 } } { \| \mathbf { u } _ { 4 } \| } } } \\ { \mathbf { u } _ { k } } & { { } = \mathbf { v } _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { j } } \, ( \mathbf { v } _ { k } ) , } & { \mathbf { e } _ { k } } & { { } = { \frac { \mathbf { u } _ { k } } { \| \mathbf { u } _ { k } \| } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r } { { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { e } _ { 1 } ^ { \prime } ( s ) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { e } _ { n } ^ { \prime } ( s ) } \end{array} \right] } = } \end{array} } \| \mathbf { r } ^ { \prime } ( s ) \| \cdot { \begin{array} { r } { { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \chi _ { 1 } ( s ) } & { } & { 0 } \\ { - \chi _ { 1 } ( s ) } & { \ddots } & { \ddots } & { } \\ { 0 } & { } & { - \chi _ { n - 1 } ( s ) } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { e } _ { 1 } ( s ) } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { e } _ { n } ( s ) } \end{array} \right] } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { q ^ { k , \alpha } ( m , \tilde { x } , a , b ; s , x _ { 0 } ) } & { \leq \| B \| _ { \infty } { \mathbf 1 } _ { m > b > a ^ { 1 } } \frac { D } { \sqrt { t - s } \sqrt { 2 \pi ( t - s ) } ^ { d + 1 } } \exp [ - \frac { ( m - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { a } \| ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } ] } \\ & { \frac { C _ { T } } { \sqrt { 2 \pi s } ^ { d + 1 } } \exp [ - \frac { ( b - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 s } - \frac { ( b - a ^ { 1 } ) } { 4 s } - \frac { \| \tilde { x } _ { 0 } - \tilde { a } \| ^ { 2 } } { 4 s } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \sigma } _ { \mathrm { L A } } ( \omega ) = \sum _ { k \in \mathbb { P } } \operatorname { R e } \left( \frac { 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \right) \left( \frac { i \omega _ { k } ^ { + } } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } - \frac { ( i \omega _ { k } ^ { + } ) ^ { * } } { \omega - ( - \omega _ { k } ^ { + } ) ^ { * } } \right) } \end{array}
\frac { 2 } { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } \frac { 1 } { C _ { G _ { \delta } } } + \frac { 8 } { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } \frac { 1 } { C _ { G _ { \delta } } ^ { 2 } } + 4 \frac { 1 } { C _ { G _ { \delta } } } = \mathsf { a c v } _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { \mathsf P ( F \mid L ) } & { = \frac { \mathsf P ( F , L ) } { \mathsf P ( L ) } } \\ & { = \frac { \sum _ { B } \mathsf P ( F , B , L ) } { \mathsf P ( L ) } } \\ & { = \frac { \sum _ { B } \mathsf P ( F \mid B , L ) ~ \mathsf P ( B \mid L ) \mathsf P ( L ) } { \mathsf P ( L ) } } \\ & { = \sum _ { B } \mathsf P ( F \mid B , L ) ~ \mathsf P ( B \mid L ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \mathrm { b e s t ~ a r m } } & { \mathrm { ~ e l i m . ~ i n ~ p h a s e ~ 3 ~ t o ~ p h a s e ~ L } ) } \\ & { \le 2 \sum _ { l = 3 } ^ { L } \exp \left\{ - \frac { T _ { 1 } } { 8 } \frac { K ^ { 2 } } { 9 } \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 ( l - 1 ) } \frac { 2 ^ { L - l + 1 } } { 3 ^ { L - l + 2 } } D _ { L } ^ { 2 } \right\} } \\ & { \le 2 \sum _ { l = 3 } ^ { L } \exp \left\{ - \frac { T _ { 1 } K } { 4 8 } \left( \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { l } D _ { L } ^ { 2 } \right\} } \\ & { \le 2 ( L - 2 ) \exp \left\{ - \frac { T _ { 1 } } { 1 6 } D _ { L } ^ { 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { \tilde { t } } \tilde { \rho } + \underline { { \tilde { \nabla } } } \cdot ( \tilde { \rho } \underline { { \tilde { u } } } ) = 0 } \\ { \partial _ { \tilde { t } } ( \tilde { \rho } \tilde { u } ) + \underline { { \tilde { \nabla } } } \cdot ( \tilde { \rho } \underline { { \tilde { u } } } \, \underline { { \tilde { u } } } ) + \frac { 1 } { \tilde { M } ^ { 2 } } \underline { { \tilde { \nabla } } } \, \tilde { p } = 0 } \\ { \partial _ { \tilde { t } } \tilde { \rho } \tilde { e } + \underline { { \tilde { \nabla } } } \cdot ( \tilde { \rho } \underline { { \tilde { u } } } \tilde { h } ) = 0 } \end{array}
\bar { \Theta } ( u p ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \sum _ { \alpha = 1 , l = 1 } ^ { \alpha = 2 , l = 3 } h _ { l } ^ { \alpha } I m [ x _ { l } ^ { * } ] \lambda _ { \alpha } \frac { \kappa } { M }
\langle ~ \mathcal { M } ( { \boldsymbol x } ) ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle = \left\{ \begin{array} { l l } { \langle ~ \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( \mathcal { F } ( v ) ) ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle , \quad \mathrm { i f } \quad \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( \mathcal { F } ( v ) ) \neq { \boldsymbol p } _ { + } } \\ { 0 \le \langle ~ \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( \mathcal { F } ( v ) ) ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle , \quad \mathrm { i f } \quad \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( \mathcal { F } ( v ) ) = { \boldsymbol p } _ { + } } \end{array} \right. .
\phi _ { m n } ^ { 0 - 8 } : = \{ \phi _ { m n } , \phi _ { m , m + 1 , n , n } ^ { \pm } , \phi _ { m , m , n , n + 1 } ^ { \pm } , \phi _ { m , m + 1 , n , n + 1 } ^ { \pm } , \phi _ { m , m + 1 , n , n - 1 } ^ { \pm } \} ,
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( r , \theta ) } & { = \underbrace { \sum _ { n = - \infty } ^ { - 1 } A _ { n } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , n ) \ r ^ { \frac { n } { 2 } } } _ { \mathrm { s u p e r s i n g u l a r ~ t e r m s } } + \underbrace { A _ { 0 } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , 0 ) } _ { \mathrm { t r a n s l a t i o n s } } + \underbrace { A _ { 1 } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , 1 ) \sqrt { r } } _ { \mathrm { s i n g u l a r } } + \underbrace { \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } A _ { n } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , n ) \ r ^ { \frac { n } { 2 } } } _ { \mathrm { s u b s i n g u l a r ~ t e r m s } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { e e } } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { e l e c } } } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } \Bigg [ } & { \frac { \frac { 1 } { 2 } \big ( 1 + \delta _ { i j } ^ { \uparrow \downarrow } \big ) \, b _ { 1 } \, f _ { \mathrm { e e } } ( r _ { i j } ) } { 1 + b _ { 2 } \, f _ { \mathrm { e e } } ( r _ { i j } ) } } \\ & { + \sum _ { p = 2 } ^ { N _ { \mathrm { o r d } } ^ { b } } b _ { p + 1 } \, [ f _ { \mathrm { e e } } ( r _ { i j } ) ] ^ { p } - J _ { \mathrm { e e } , i j } ^ { \infty } \Bigg ] } \end{array}
{ I _ { W } } = { \frac { 1 } { 2 } } \: : \: \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { d } } \end{array} \right) _ { L } \left( \begin{array} { c } { { c } } \\ { { s } } \end{array} \right) _ { L } \left( \begin{array} { c } { { t } } \\ { { b } } \end{array} \right) _ { L } , I _ { W } = 0 \: : \: \left( \begin{array} { c c c c c } { { u _ { R } } } & { { c _ { R } } } & { { t _ { R } } } & { { t _ { L + R } ^ { \prime } } } & { { \cdots } } \\ { { d _ { R } } } & { { s _ { R } } } & { { b _ { R } } } & { { b _ { L + R } ^ { \prime } } } & { { \cdots } } \end{array} \right) \: .
\begin{array} { r l } { \mathbf { c } ^ { t } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \mathbf { c } _ { k } ^ { t } } \\ & { \leq 2 ( 1 + \frac { 1 } { a } ) \frac { \eta _ { l } ^ { 2 } } { \gamma } \sum _ { k ^ { ' } = 0 } ^ { K - 1 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { k ^ { ' } - 1 } \gamma _ { k } \right) \Bigl ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } + 4 8 \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + 8 0 L ^ { 2 } \mathbf { c } ^ { t } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { m \gamma } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) \Bigr ) } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 ( 1 + \frac { 1 } { a } ) \eta _ { l } ^ { 2 } \sum _ { k ^ { ' } = 0 } ^ { K - 1 } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \right) \Bigl ( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } + 4 8 \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + 8 0 L ^ { 2 } \mathbf { c } ^ { t } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { m \gamma } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) \Bigr ) } \\ & { = 2 ( 1 + \frac { 1 } { a } ) \eta _ { l } ^ { 2 } K \left( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } + 4 8 \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { m \gamma } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) \right) } \\ & { \quad + 1 6 0 ( 1 + \frac { 1 } { a } ) \eta _ { l } ^ { 2 } L ^ { 2 } K \mathbf { c } ^ { t } . } \end{array}
T _ { m } ^ { ( r + { \frac { \epsilon - 1 } { 2 } } ) } ( u ) = \sum _ { ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \ldots , \zeta ^ { ( m ) } ) \in S p i n _ { m } ^ { \epsilon } } \prod _ { i = 1 } ^ { m } s p ( \zeta ^ { ( i ) } ; u - m + 2 i - 1 ) .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( t ) } & { : = 2 \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } f _ { 2 } ( \cdot , u ) u _ { 2 } \, d x d r , } \\ { I _ { 2 } ( t ) } & { : = \sum _ { n \geq 1 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } \Big ( | g _ { n , 2 } ( \cdot , u ) | ^ { 2 } + 2 \sum _ { n \geq 1 } | ( b _ { n , 2 } \cdot \nabla ) u _ { 2 } | | g _ { n , 2 } ( \cdot , u ) | \Big ) \, d x d r . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { F } _ { - } ^ { ( b ) } } & { { } = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { r _ { b } } \frac { r ^ { 3 } } { r _ { b } ^ { 3 } } \, g _ { b , - } ( r ) f _ { b , - } ( r ) d r , } \\ { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( b ) } } & { { } = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { r _ { b } } g _ { b , - } ( r ) f _ { b , - } ( r ) d r , } \\ { \mathcal { G } _ { b } } & { { } = } & { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( b ) } + \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { r _ { b } } ^ { \infty } g _ { + } ( r ) f _ { + } ( r ) d r . } \end{array}
P = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \frac { 2 } { { \mathrm { r i g h t } } - { \mathrm { l e f t } } } } } & { 0 } & { 0 } & { - { \frac { { \mathrm { r i g h t } } + { \mathrm { l e f t } } } { { \mathrm { r i g h t } } - { \mathrm { l e f t } } } } } \\ { 0 } & { { \frac { 2 } { { \mathrm { t o p } } - { \mathrm { b o t t o m } } } } } & { 0 } & { - { \frac { { \mathrm { t o p } } + { \mathrm { b o t t o m } } } { { \mathrm { t o p } } - { \mathrm { b o t t o m } } } } } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { - 2 } { { \mathrm { f a r } } - { \mathrm { n e a r } } } } } & { - { \frac { { \mathrm { f a r } } + { \mathrm { n e a r } } } { { \mathrm { f a r } } - { \mathrm { n e a r } } } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { i \hbar \frac { \partial \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) } { \partial t } } & { = } & { \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) + \int V ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , t ) \, d ^ { 3 } r ^ { \prime } \; \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) } \\ { - i \hbar \frac { \partial \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) } { \partial t } } & { = } & { \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } + U ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right] \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) + \int V ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , t ) \hat { \psi } ( \mathrm { \bf ~ r } ^ { \prime } , t ) \, d ^ { 3 } r ^ { \prime } \; \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } , t ) } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \Tilde { P } ^ { m } ( x _ { 2 } , \omega ) - \Tilde { P } ^ { m } ( x _ { 1 } , \omega ) e ^ { - \gamma ( \omega ) ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } } \\ { \Tilde { P } ^ { m } ( x _ { 1 } , \omega ) - \Tilde { P } ^ { m } ( x _ { 2 } , \omega ) e ^ { \gamma ( \omega ) ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } } \end{array} \right] \sim \mathcal { N } ( \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l } { \sigma ^ { 2 } } \\ { \sigma ^ { 2 } } \end{array} \right] )
\begin{array} { r l } { H } & { = \sum _ { p q } \: \tilde { h } _ { p q } \: \mathbf { P } _ { p } ^ { \dagger } \mathbf { P } _ { q } \: \hat { \Phi } _ { p q } } \\ & { + \sum _ { p q r s } \: \tilde { v } _ { p q r s } \: \mathbf { P } _ { p } ^ { \dagger } \mathbf { P } _ { q } ^ { \dagger } \mathbf { P } _ { s } \mathbf { P } _ { r } \: \hat { \Phi } _ { p q s r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \underset { \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } , \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } , \sigma } { \mathrm { m a x i m i z e } } \: \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } - \log \frac { \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) } { \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s ) } \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad + \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } ( \theta ^ { k } ) ^ { \mathrm { T } } \phi ( s , \alpha ) \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) , } \\ & { \displaystyle \mathrm { s u b j e c t \ t o } \quad - , } \\ & { \displaystyle \forall ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } , \; \; \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s ) \geq 0 , \; \; \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) \geq 0 , } \\ & { \displaystyle \forall ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } , \; \; \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s ) = \sum _ { \alpha \in \mathcal { A } } \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { H } _ { 0 } } & { = \mathrm { P r } \Big [ \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { s } } = 1 , \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t x } } = 1 , h _ { t + 1 } = 0 \Big ] } \\ & { = \mathrm { P r } \Big [ \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { s } } = 1 , \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t x } } = 1 \Big ] \mathrm { P r } \Big [ h _ { t + 1 } = 0 \Big ] } \\ { { H } _ { 1 } } & { = \mathrm { P r } \Big [ \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { s } } = 1 , \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t x } } = 1 , h _ { t + 1 } = 1 \Big ] } \\ & { = \mathrm { P r } \Big [ \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { s } } = 1 , \alpha _ { t + 1 } ^ { \mathrm { t x } } = 1 \Big ] \mathrm { P r } \Big [ h _ { t + 1 } = 1 \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in \left[ T \right] } Y _ { t } \right) \left( 1 + \log \frac { y _ { T + 1 } } { y _ { 1 } } \right) \geq } & { T \left( \frac { y _ { 1 } } { y _ { T + 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { T } } } \\ { \Rightarrow \operatorname* { m a x } _ { t \in \left[ T \right] } Y _ { t } \geq } & { \frac { T } { \left( \frac { y _ { T + 1 } } { y _ { 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { T } } \left( 1 + \log \frac { y _ { T + 1 } } { y _ { 1 } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \rho _ { i i } ^ { ( 1 ) } ( t ) = - 2 \sum _ { l } \vec { d } _ { i l } \cdot \vec { E } ( t ) \, \mathrm { I m } \left( \rho _ { l i } ^ { ( 1 ) } ( t ) \right) + \Gamma _ { i i } ^ { ( 1 ) } ( t ) , } \end{array}
\frac { G _ { \mu \nu } } { \alpha ^ { \prime } } = \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } } H ^ { - 1 / 2 } \eta _ { \mu \nu } \ , \quad G _ { O S } ^ { 2 } = g H ^ { \frac { 3 - p } { 4 } } \ , \quad \Theta ^ { 0 1 } = \alpha _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } \ ,