harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { e ^ { - i \phi _ { \pm } ^ { R } } \cos \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \\ { \sin \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \end{array} \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \sqrt { \frac { h _ { + } ^ { * } } { h _ { + } } } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } \\ { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi _ { \pm } ^ { R } } \cos \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } & { \sin \frac { \theta _ { \pm } ^ { R } } { 2 } } \end{array} \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \sqrt { \frac { h _ { + } } { h _ { + } ^ { * } } } \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | } \end{array}
\frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } } { 4 } = \frac { \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 3 } + a _ { 4 } } { 2 } } { 2 } \geq \frac { \sqrt { a _ { 1 } a _ { 2 } } + \sqrt { a _ { 3 } a _ { 4 } } } { 2 } \geq \sqrt { \sqrt { a _ { 1 } a _ { 2 } } \sqrt { a _ { 3 } a _ { 4 } } } = \sqrt [ 4 ] { a _ { 1 } \cdots a _ { 4 } }
v _ { p } ^ { \pm } = \frac { 2 \ e ^ { - v _ { p } ^ { ( 1 ) } ( L - L _ { 0 } ) } } { 1 + \exp [ \mp \frac { d l _ { \pm } } { d t } / v _ { p } ^ { ( 2 ) } ] } v _ { p } ^ { ( 0 ) } ,
\begin{array} { r } { \overline { { L } } ( \tau ) = \frac { D ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \left( \Gamma \left( \frac { 2 \gamma } { D } + 3 \right) - \Gamma \left( \frac { 2 \gamma } { D } + 3 , \frac { 2 L _ { f } } { D \tau } \right) \right) + L _ { f } 2 ^ { \frac { 2 \gamma } { D } + 1 } e ^ { - \frac { 2 L _ { f } } { D \tau } } ( D \tau + 2 L _ { f } ) \left( \frac { D \tau } { L _ { f } } \right) ^ { - \frac { 2 \gamma } { D } } } { 2 \tau ( 2 \gamma + D ) \left( \Gamma \left( \frac { 2 \gamma } { D } + 1 \right) - \Gamma \left( \frac { 2 \gamma } { D } + 1 , \frac { 2 L _ { f } } { D \tau } \right) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathbf { p } ^ { n + 1 / 2 } - \mathbf { p } ^ { n - 1 / 2 } } { \Delta t } } & { = } & { \frac { q } { m } \left( \mathbf { E } ^ { n } + \frac { \mathbf { p } ^ { n } } { \gamma ^ { n } } \times \mathbf { B } ^ { n } \right) , } \\ { \frac { \mathbf { x } ^ { n + 1 } - \mathbf { x } ^ { n } } { \Delta t } } & { = } & { \mathbf { v } ^ { n + 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \tau } _ { f } = \left( \mu + \mu _ { t } \right) \boldsymbol { \epsilon } \left( \mathbf { v } \right) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \boldsymbol { \epsilon } \left( \mathbf { v } \right) = \left( { \nabla } { { \mathbf { v } } } + \left( { \nabla } { { \mathbf { v } } } \right) ^ { T } \right) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\frac { \partial \Delta \epsilon } { \partial z } = - \frac { \partial } { \partial z } \left[ ( 1 - \frac { z _ { 0 } } { z } ) \frac { k _ { 1 } t ^ { 2 } ( 1 + \nu ) } { 1 2 r ^ { 2 } } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 r ^ { 2 } } ( z ^ { 2 } - z _ { 0 } ^ { 2 } ) \right] = \frac { k _ { 1 } t ^ { 2 } ( 1 + \nu ) } { 1 2 r ^ { 2 } } \frac { z _ { 0 } } { z ^ { 2 } } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 r ^ { 2 } } z .
\bar { k } _ { i n } ( y , m , \nu , R ) = \int _ { 0 } ^ { R } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \nu \sinh x d x d \psi \sum _ { k \leq m } \pi _ { k } ( y , \mathbf x , R , \nu ) = \int _ { 0 } ^ { R } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \nu \sinh x d x d \psi \frac { \Gamma ( m , \nu A ( | | \mathbf x - \mathbf y | | , x , R ) ) } { m ! } ,
u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { L A T } } = u _ { i } ^ { \mathrm { L A T } } + ( w _ { i + 1 } - w _ { i } ) - \left\lfloor \frac { w _ { i + 1 } - w _ { i } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } - \left\lfloor \frac { w _ { i } - u _ { i } ^ { \mathrm { L A T } } } { L _ { i } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor ( L _ { i + 1 } - L _ { i } ) \, .
m _ { 0 } ^ { 2 } ( \mathrm { f i r s t ~ g e n e r a t i o n } ) - m _ { 0 } ^ { 2 } ( \mathrm { s e c o n d ~ g e n e r a t i o n } ) \; \sim \; \delta m _ { q } ^ { 2 } \times { \frac { m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } { m _ { W } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \delta ( m \otimes s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \otimes n ) } & { = } & { d m \otimes s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \otimes n } \\ & { } & { \pm m _ { ( 0 ) } \otimes s ^ { - 1 } m _ { ( 1 ) } \vert s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \otimes n } \\ & { } & { \pm m \otimes d _ { \Omega } \Big ( s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \Big ) \otimes n } \\ & { } & { \pm m \otimes s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \otimes d n } \\ & { } & { \pm m \otimes s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } \vert s ^ { - 1 } n _ { ( 1 ) } \otimes n _ { ( 0 ) } , } \end{array}
\frac 1 2 M _ { S } { \bf \dot { a } } ^ { T } { \bf \dot { a } } = \frac 1 2 M _ { \mathrm { e f f } } \frac { 3 \alpha ^ { 2 } } { 2 \pi } { \bf \dot { a } } ^ { T } { \bf \dot { a } }
p _ { d } = \left( { \frac { e ^ { \sigma { \sqrt { \Delta t / 2 } } } - e ^ { ( r - q ) \Delta t / 2 } } { e ^ { \sigma { \sqrt { \Delta t / 2 } } } - e ^ { - \sigma { \sqrt { \Delta t / 2 } } } } } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \left< { \mathcal X } _ { i } \right> } & { \rightarrow } & { \Omega _ { p } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } ( - i ) \left[ C ( t , t ^ { \prime } ) - C ( t ^ { \prime } , t ) \right] \left[ e ^ { i \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } - \omega _ { p } t + \varphi \right) } + e ^ { - i \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } - \omega _ { p } t + \varphi \right) } \right] } \\ & { = } & { \Omega _ { p } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } ( - i ) \left[ C ( t ^ { \prime } ) - C ( - t ^ { \prime } ) \right] \left[ e ^ { i \left( - \omega _ { p } t ^ { \prime } + \varphi \right) } + e ^ { - i \left( - \omega _ { p } t ^ { \prime } + \varphi \right) } \right] } \\ & { = } & { \Omega _ { p } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } ( - i ) \left[ C ( t ^ { \prime } ) - C ( - t ^ { \prime } ) \right] \left[ e ^ { i \left( - \omega _ { p } t ^ { \prime } + \varphi \right) } + e ^ { - i \left( - \omega _ { p } t ^ { \prime } + \varphi \right) } \right] } \\ & { = } & { \Omega _ { p } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t ( - i ) \left[ C ( \omega _ { p } ) e ^ { i \varphi } - C ( - \omega _ { p } ) ^ { * } e ^ { - i \varphi } + C ( - \omega _ { p } ) e ^ { - i \varphi } - C ( \omega _ { p } ) ^ { * } e ^ { i \varphi } \right] } \\ & { = } & { \Omega _ { p } t _ { \mathrm { m } } ( - i ) \left[ C ( \omega _ { p } ) e ^ { i \varphi } - C ( - \omega _ { p } ) ^ { * } e ^ { - i \varphi } + C ( - \omega _ { p } ) e ^ { - i \varphi } - C ( \omega _ { p } ) ^ { * } e ^ { i \varphi } \right] . } \end{array}
X _ { f } = \frac { \partial f } { \partial p _ { i } } \frac { \partial } { \partial q ^ { i } } - \left( \frac { \partial f } { \partial q ^ { i } } + p _ { i } \frac { \partial f } { \partial z } \right) \frac { \partial } { \partial p _ { i } } + \left( p _ { i } \frac { \partial f } { \partial p _ { i } } - f \right) \frac { \partial } { \partial z } .
\frac { \partial t _ { s } } { \partial t _ { c } } = \frac { \alpha \Bigg [ e ^ { - \frac { T _ { p e a k } } { \tau } } \Bigg ( \frac { \partial B } { \partial t _ { c } } \frac { T _ { p e a k } } { \tau } + \frac { \partial C } { \partial t _ { c } } \Bigg ) \Bigg ] - e ^ { - \frac { t _ { s } } { \tau } } \Bigg ( \frac { \partial B } { \partial t _ { c } } \frac { t _ { s } } { \tau } + \frac { \partial C } { \partial t _ { c } } \Bigg ) } { V ^ { ' } ( t _ { s } ) } ~ ,
\delta m ^ { 2 } = { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } \int { \frac { d ^ { 3 } \vec { q } \: d q _ { 0 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \: { \frac { g ^ { \mu \nu } T _ { \mu \nu } ( \vec { q } , i q _ { 0 } ) } { q _ { 0 } ^ { 2 } + { \vec { q } } ^ { \; 2 } } } \ \ .
| \kappa , \Omega \rangle ( z ) = \sqrt { A _ { 1 } ( \kappa ) } \, \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } V _ { m - 1 } ^ { ( 1 ) } ( \kappa ) \, \frac { z ^ { m } } { m } \equiv \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \langle \kappa , 1 | m - 1 , 1 \rangle \, \frac { z ^ { m } } { \sqrt { m } } .
{ \cal E } _ { 0 } ( J , q ) = 2 \mathrm { R e } \, \frac { \sum _ { j = 0 } ^ { J } ( - i ) ^ { j } ( 2 j + 5 ) \epsilon ( j ) { \mit \Upsilon } _ { j } } { \sum _ { j = 0 } ^ { J } ( - i ) ^ { j } ( 2 j + 5 ) { \mit \Upsilon } _ { j } } + 3 ,
\small \frac { - \pi } { 2 } < \theta _ { t } < \left\{ \begin{array} { r c r } { \sin ^ { - 1 } ( 2 \sin \theta _ { i } - 1 ) } & { 0 < \theta _ { i } < \sin ^ { - 1 } ( 1 / 3 ) } \\ { \sin ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \sin \theta _ { i } - \frac { 1 } { 2 } \right) } & { \sin ^ { - 1 } ( 1 / 3 ) < \theta _ { i } < \frac { \pi } { 2 } } \end{array} \right.
\nabla ^ { * } \cdot \boldsymbol u ^ { * } = 0 ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ \rho \frac { D \boldsymbol { u } ^ { * } } { D t ^ { * } } = - \nabla ^ { * } p ^ { * } + \mu ^ { * } { \nabla ^ { * } } ^ { 2 } \boldsymbol u ^ { * } + \nabla ^ { * } \mu ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } \boldsymbol u ^ { * } + \nabla ^ { * } \mu ^ { * } \cdot \left( \nabla ^ { * } \boldsymbol u ^ { * } \right) ^ { \mathsf { T } } ,
\begin{array} { r l } & { k ^ { 2 } \partial _ { \tau } \xi _ { \textbf { k } } ^ { ( n ) } + n ^ { 2 } \left( k ^ { 2 } / \bar { \nu } _ { e i } + \gamma \right) \xi _ { \textbf { k } } ^ { ( n ) } - } \\ & { \! \! - \bar { \rho } _ { i } ^ { 2 } \Gamma \! \! \int \! \! \frac { d q _ { u } d q _ { v } } { 2 \pi } \left( k _ { u } q _ { v } \! - \! k _ { v } q _ { u } \right) q ^ { 2 } \Big [ \frac { \xi _ { \textbf { k } - \textbf { q } } ^ { ( n ) } } { q ^ { 2 } } + \frac { \xi _ { \textbf { q } } ^ { ( n ) } } { ( \textbf { k } - \textbf { q } ) ^ { 2 } } \Big ] = 0 \, . } \end{array}
\nabla ^ { 2 } \Phi - ( \partial \Phi ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } { \cal R } = { \frac { 1 } { 8 } } \left( { \frac { \Lambda \rho _ { \perp } } { \sqrt { - g } } } \right) e ^ { + \Phi } V ( T ) \sqrt { - A } ,
\begin{array} { r l } { \| x \| ^ { \frac { r } { 2 } } \frac { 2 \pi ^ { ( d - 1 ) / 2 } } { \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) } \mathrm { B } ( \frac 1 2 , \frac { d - 1 } { 2 } ) a _ { 0 } ( \frac { r } { 2 } , \frac { d - 2 } { 2 } ) } & { = \| x \| ^ { \frac { r } { 2 } } \frac { 2 \pi ^ { ( d - 1 ) / 2 } } { \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) } \frac { \pi ^ { 1 / 2 } \Gamma ( \frac { d - 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } a _ { 0 } ( \frac { r } { 2 } , \frac { d - 2 } { 2 } ) } \\ & { = \| x \| ^ { \frac { r } { 2 } } \frac { 2 \pi ^ { d / 2 } } { \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } a _ { 0 } ( \frac { r } { 2 } , \frac { d - 2 } { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { f f } } } & { { } = \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { f 0 } } \sigma _ { i j } \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { f 0 } } , } \\ { E _ { \mathrm { f f } } } & { { } = \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { f 0 } } E _ { i j } ^ { \phantom { } } \mathrm { e } _ { j } ^ { \mathrm { f 0 } } , } \\ { E _ { \mathrm { c l } } } & { { } = \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { c 0 } } E _ { i j } ^ { \phantom { } } \mathrm { e } _ { j } ^ { l \mathrm { 0 } } , } \end{array}
\mathcal { L } = \frac { 1 } { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } - \partial _ { y } T | _ { y = 0 } \; d x + \frac { 1 } { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { 1 } m ( x , y ) \left( - \nabla ^ { \perp } \psi \cdot \nabla T - \nabla ^ { 2 } T \right) d x \, d y + \lambda \left( \mathrm { P e } ^ { 2 } - \frac { 1 } { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L x } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \nabla ^ { 2 } \psi \right) ^ { 2 } d x \, d y \right) .
\begin{array} { r l } { \left\| \Xi _ { L } \right\| ^ { 2 } \leq } & { 2 \ell ^ { 2 } \| \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { x } } ^ { \ast } \| ^ { 2 } + 4 \Big ( c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \Big ) \| \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { x } } _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 6 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathscr { A } \left( \lambda \mathscr { U } ( k ) + \left( 1 - \lambda \right) \tilde { \mathscr { U } } ( k ) \right) \left( \lambda \mathscr { X } _ { 1 } ( k ) + \left( 1 - \lambda \right) \mathscr { X } _ { 2 } ( k ) \right) } \\ { + } & { \lambda \mathscr { U } ( k ) + \left( 1 - \lambda \right) \tilde { \mathscr { U } } ( k ) \neq \lambda \mathscr { X } _ { 1 } ( k + 1 ) + \left( 1 - \lambda \right) \mathscr { X } _ { 2 } ( k + 1 ) } \end{array}
| \Phi _ { i n } > = \prod _ { p > m } | \Phi _ { p } ^ { a } > \otimes \; | \Phi _ { p } ^ { b } > \; \otimes \; \prod _ { q < m } \; | \Phi _ { q ; i n } ^ { a } > \otimes \; | \Phi _ { q ; i n } ^ { b } >
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \hat { \epsilon } _ { 1 } ( k ) = \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \frac { 1 } { k } \log ( k + 1 ) ^ { | \mathcal { S } | | \mathcal { X } | | \mathcal { Z } | } \overset { ( a ) } { = } | \mathcal { S } | | \mathcal { X } | | \mathcal { Z } | \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \frac { 1 } { k } \log ( k + 1 ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { A } } N _ { \mathrm { A } } \approx \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle , } \\ { N _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { B } } N _ { \mathrm { B } } \approx \langle \sigma _ { \mathrm { X X } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle , } \\ { N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { A } } N _ { \mathrm { A } } \approx \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { A A } } \rangle , } \\ { N _ { \mathrm { Y } } ^ { \mathrm { B } } N _ { \mathrm { B } } \approx \langle \sigma _ { \mathrm { Y Y } } \tau _ { \mathrm { B B } } \rangle , } \end{array}
\hat { A } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = c _ { 2 , 1 } \hat { P } _ { 1 } + c _ { 2 , 2 } \hat { P } _ { 2 } , \quad \hat { A } _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = c _ { 2 , 3 } \hat { P } _ { 3 } ,
\frac { \Delta z _ { 2 } } { \Delta z _ { 1 } } = \frac { 3 k _ { \mathrm { l o w e r } } } { - m _ { 1 } \omega _ { \pm } ^ { 2 } + 3 ( k _ { \mathrm { l o w e r } } + k _ { \mathrm { u p p e r } } ) } .
\langle \, X \, [ \, \phi \, , \, \phi ^ { \ast } \, ] \, \rangle _ { _ J } \, \, = \, \, \int \, { \cal D } \phi \, X \, \, \, e x p { \frac { i } { \hbar } } \, \{ S [ \phi \, , \, \phi ^ { \ast } \, ] \, + \, J ^ { A } \, \phi ^ { A } \, \, \}
\chi _ { _ { \Delta = \frac { n } { 2 } } } ( z ) \equiv \mathrm { T r } _ { \Delta = \frac { n } { 2 } } ( z ^ { L _ { F } ( 0 ) } ) = \frac { u ^ { n } ( 1 - u ^ { 2 } ) } { 1 - 2 u ^ { 2 } }
\mu _ { \mathrm { I } } ( \eta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 n } } \biggl \vert \frac { \eta } { \eta _ { \mathrm { i } } } \biggr \vert ^ { 1 / 2 } \cos \biggl ( \frac { 2 \pi } { \epsilon } \ln \biggl \vert \frac { \eta } { \eta _ { \mathrm { i } } } \biggr \vert \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { \Sigma } u _ { i } } & { = 0 \mathrm { ~ o n ~ } \hat { \mathcal D } _ { r _ { 0 } , r _ { 1 } , h ^ { \prime } } \setminus \partial \hat { \mathcal D } _ { r _ { 0 } , r _ { 1 } , h ^ { \prime } } ; } \\ { u _ { i } } & { = f _ { i } , \mathrm { ~ o n ~ } \partial \hat { \mathcal D } _ { r _ { 0 } , r _ { 1 } , h ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf { b } } ^ { \prime } } { \partial t } } & { + } & { ( { \bf { U } } \cdot \nabla ) { \bf { b } } ^ { \prime } = - ( { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { B } } + ( { \bf { B } } \cdot \nabla ) { \bf { u } } ^ { \prime } + ( { \bf { b } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { U } } } \\ & { - } & { ( { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { b } } ^ { \prime } + ( { \bf { b } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { u } } ^ { \prime } + \langle { ( { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle - \langle { ( { \bf { b } } ^ { \prime } \cdot \nabla ) { \bf { u } } ^ { \prime } } \rangle + \eta \nabla ^ { 2 } { \bf { b } } ^ { \prime } } \end{array}
\frac { \bar { r } | \dot { \tilde { z } } ( t ) | } { \Gamma } \, \lesssim \, \bigl ( \delta \beta _ { \epsilon } \, \mathfrak { R } _ { \epsilon } + \delta ^ { 2 } \bigr ) \, , \qquad \mathrm { ~ h ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } \qquad | \tilde { z } ( t ) | \, \lesssim \, \epsilon ^ { 2 } \bar { r } ( t ) \bigl ( \delta + \beta _ { \epsilon } \, \mathfrak { R } _ { \epsilon } \bigr ) \, .
\begin{array} { r } { { x _ { p } } _ { 0 } \sim \mathcal { U } \left[ { { x _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , \ { { x _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] , \ \ \ { y _ { p } } _ { 0 } \sim \mathcal { U } \left[ { { y _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , \ { { y _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] , } \\ { { u _ { p } } _ { 0 } \sim \mathcal { U } \left[ { { u _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , \ { { u _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] , \ \ \ { v _ { p } } _ { 0 } \sim \mathcal { U } \left[ { { v _ { p } } _ { 0 } } _ { m i n } , \ { { v _ { p } } _ { 0 } } _ { m a x } \right] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { \varPhi } _ { k + 1 } = \mathbf { \varPhi } _ { k } - \underline { { \underline { { J } } } } ^ { - 1 } ( \mathbf { \varPhi } _ { k } ) \mathbf { F } ( \mathbf { \varPhi } _ { k } ) } \\ { \mathbf { \varPhi } _ { 0 } : \mathrm { I n i t i a l \, g u e s s } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { c _ { 0 } } \\ { c _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { k - 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k } } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + 1 } } \\ { \vdots } \\ { c _ { ( m - 1 ) \times k + ( k - 1 ) } } \end{array} \right] = { \bf X } \left[ \begin{array} { l } { d _ { 0 , 0 } } \\ { d _ { 1 , 0 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , 0 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { 0 , m - 1 } } \\ { d _ { 1 , m - 1 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { k - 1 , m - 1 } } \end{array} \right] } \end{array}
f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) = \left( \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } + e ^ { - ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } - \mu _ { \sigma } \textbf { I } _ { m _ { k , \sigma } } ) / k _ { B } T } \right) ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { A } & { { } \approx \frac { \pi } { 4 } \left( { d _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ a ~ t ~ } } } ^ { 2 } - { d _ { \mathrm { ~ p ~ c ~ } } } ^ { 2 } \right) } \\ { A _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ a ~ t ~ } } } & { { } = \frac { \pi } { 4 } \left( { d _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ a ~ t ~ } } } ^ { 2 } - { d _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } } ^ { 2 } \right) } \\ { A _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } } & { { } \approx \frac { \pi } { 4 } \left( { d _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } } ^ { 2 } - { d _ { \mathrm { ~ p ~ c ~ } } } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\frac { 1 } { \ell _ { s } ( \omega ) } p ( \boldsymbol { \mathbf { u } } , \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } , \omega ) = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \widetilde { \Gamma } ( k _ { r } \boldsymbol { \mathbf { u } } , k _ { 0 } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } , k _ { 0 } \boldsymbol { \mathbf { u } } , k _ { 0 } \boldsymbol { \mathbf { u } } ^ { \prime } , \omega )
\begin{array} { r l } { \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \hat { \mathcal { G } } \Phi ( x _ { s } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } & { { } = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \Phi ( x _ { s } ) ( x _ { l } ) \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \Phi ( x _ { l } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } \\ { \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \hat { \mathcal { A } ^ { t } } \Phi ( x _ { s } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } & { { } = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \Phi ( x _ { s } ) ( x _ { l + 1 } ) \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \Phi ( x _ { l } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } \\ { \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \hat { \mathcal { A } ^ { L } } \Phi ( x _ { s } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } & { { } = \frac { 1 } { m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } ( \mathcal { L } \Phi ( x _ { s } ) ) ( x _ { l } ) \left\langle \Phi ( x _ { r } ) , \, \Phi ( x _ { l } ) \right\rangle _ { \mathbb { H } } } \end{array}
\begin{array} { r } { q = \frac { ( \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 2 } ) \cos \frac { \psi } { 2 } \sin \frac { \psi } { 2 } \cos \delta } { \varepsilon _ { 1 } \cos ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } + \varepsilon _ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } } . } \end{array}
\bar { A } _ { { L } } - \delta _ { 0 } \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , \qquad \bar { A } _ { { Q } } - \delta _ { 1 } \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } = - \frac { \gamma } { \sqrt { 2 } } , \qquad \bar { A } _ { { R } } - \delta _ { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } .
C ^ { \prime } \left( | \Omega _ { i } | - \frac { 4 \pi } { 3 } \varepsilon ^ { 3 } \right) < \frac { 1 } { 2 } \left( \sqrt [ 3 ] { 3 6 \pi } | \Omega _ { i } | ^ { \frac { 2 } { 3 } } - 4 \pi \varepsilon ^ { 2 } \right) .
\left[ { \frac { d n _ { s } ( \omega | D ) } { d \omega } } \right] _ { \tiny \mathrm { d i v } } = { \frac { \Gamma \left( 1 - \frac D 2 \right) } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } } \, \, { \frac { m ^ { D - 4 } } { \kappa } } \, \, \int _ { \Sigma } \left[ 2 \left( m ^ { 2 } - \left( \frac 1 6 - \xi \right) R \right) - { \frac { \omega ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } } { \cal P } \right] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \lambda } \big ( \lambda ^ { - \alpha } ( 1 - \lambda ) ^ { - \beta } \big ) \, = \, \frac { - \alpha ( 1 - \lambda ) + \beta \lambda } { \lambda ^ { \alpha + 1 } ( 1 - \lambda ) ^ { \beta + 1 } } \, = \, \frac { ( \alpha + \beta ) \lambda - \alpha } { \lambda ^ { \alpha + 1 } ( 1 - \lambda ) ^ { \beta + 1 } } \, , } \end{array}
{ \bf Q } = { \dot { \bf X } } ^ { ( \mathsf { M } ) } , \qquad { \bf X } ^ { ( \mathsf { M } ) } = ( M _ { 1 } x _ { 1 } , M _ { 1 } y _ { 1 } , M _ { 1 } , z _ { 1 } , \dots , M _ { N } x _ { N } , M _ { N } y _ { N } , M _ { N } z _ { N } )
\begin{array} { r l } & { d _ { E } ( ( i , y ) , ( j , y ^ { \prime } ) ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { d _ { C _ { n } } ( i , j ) + d _ { Y } ( y , y ^ { \prime } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ t h e ~ s h o r t e s t ~ p a t h ~ d o s e ~ n o t ~ c o n t a i n ~ t h e ~ e d g e ~ } \{ 1 , n \} , } \\ { d _ { C _ { n } } ( i , j ) + d _ { Y } ( y , \theta y ^ { \prime } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ t h e ~ s h o r t e s t ~ p a t h ~ c o n t a i n s ~ t h e ~ e d g e ~ } \{ 1 , n \} . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } | \gamma ^ { \varepsilon } ( t ) - \beta ( t ) | + \| \psi ^ { \varepsilon } ( t ) - \phi ^ { 0 } ( t ) \| _ { H _ { x } ^ { s + 1 } } } & { \leq C _ { M } } \\ & { \leq \frac { C _ { M } } { \alpha } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i } } ( \theta \phi ) \cdot d [ D u ] + \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i , r } } ( \theta \phi ) \cdot d [ D u ] = } & { { } ( - 1 ) ^ { i } \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i } } \theta ( i - T _ { r } u ) \phi \cdot \nu _ { \Sigma _ { i } } \, d \mathcal H ^ { 2 } } \end{array}
[ D , H ] _ { \mathrm { r e g u l a r } } = - i \hbar H \; , \; \; \; \; \; [ K , H ] _ { \mathrm { r e g u l a r } } = - 2 i \hbar D \; , \; \; \; \; \; [ D , K ] _ { \mathrm { r e g u l a r } } = i \hbar K \; .