harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { ( - 1 + \frac { 1 } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) y _ { o } \frac { d U _ { o 1 } } { d y _ { o } } - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { U _ { o 2 } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y _ { o } \frac { d U _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - 1 + \frac { 1 } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) } \\ { - R e _ { * } ^ { - 1 } U _ { o 3 } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { \kappa U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { d U _ { o _ { 3 } } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) } \\ { - 2 \frac { u _ { * } ^ { 3 } } { U _ { e } ^ { 3 } } U _ { o _ { 4 } } \big ( 1 + \frac { - 2 } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) + \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } \frac { d U _ { o _ { 4 } } } { d y _ { o } } \big ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { \frac { k U _ { e } } { u _ { x } } + 2 } \big ) } \\ { - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { U _ { o 1 } ^ { 2 } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } U _ { o 1 } \Big \{ \frac { d U _ { o 1 } } { d y _ { o } } ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { k \frac { u _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { U _ { o 2 } } { \kappa \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { d U _ { o 2 } } { d y _ { o } } ( - y _ { o } + \frac { y _ { o } } { k \frac { u _ { e } } { u _ { * } } + 2 } ) \Big \} } \\ { + \frac { u _ { * } } { U _ { e } } V _ { o } \frac { d U _ { o } } { d y _ { o } } } \\ { = - \frac { d \overline { { u v _ { o } } } } { d y _ { o } } + 2 \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \frac { ( \overline { { u _ { o } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o } ^ { 2 } } } ) } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } - \frac { u _ { * } } { U _ { e } } \big ( - y _ { o } + \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) \frac { d ( \overline { { u _ { o 1 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 1 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } - \frac { U _ { e } ^ { 2 } } { u _ { * } ^ { 2 } } \frac { ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } } \\ { - \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } \big ( - y _ { o } + \frac { 1 } { k \frac { U _ { e } } { u _ { * } } + 2 } \big ) \frac { d ( \overline { { u _ { o 2 } ^ { 2 } } } - \overline { { v _ { o 2 } ^ { 2 } } } ) } { d y _ { o } } + R e _ { * } ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { o } } { \partial y _ { o } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf r } _ { V e } } & { { } = { { \bf w } _ { V } } _ { e } ^ { \top } \left( \, \big \langle \hat { \bf N } _ { V } \, , \partial _ { { t } } { \bf U } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, + \big \langle \hat { \bf N } _ { V } ^ { - } \, , \overline { { { \bf F } } } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf B } _ { V x } \, , { \bf F } _ { 1 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle \hat { \bf B } _ { V y } \, , { \bf F } _ { 2 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \right. } \\ { { \bf r } _ { E e } } & { { } = { { \bf w } _ { E } } _ { e } ^ { \top } \left( \, \big \langle \hat { \bf N } _ { E } \, , { \bf E } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \, - \big \langle \hat { \bf N } _ { E } ^ { - } \, , \overline { { { \bf G } } } \, \cdot { { \bf n } } _ { e } \big \rangle _ { \Gamma _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { E x } \, , { \bf G } _ { 1 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle \hat { \bf B } _ { E y } \, , { \bf G } _ { 2 } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } \right) = { { \bf w } _ { E } } _ { e } ^ { \top } { \bf R } _ { E e } = { \bf 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { [ y _ { i } ] \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { \mathrm { l o g } _ { 2 } \left\lfloor \frac { d ^ { * } x _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { \lambda ^ { * } } [ y _ { i } ] } { \epsilon } + 1 \right\rfloor } = [ y _ { i } ] \frac { 1 } { \left\lfloor \frac { d ^ { * } x _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { \lambda ^ { * } } [ y _ { i } ] } { \epsilon } + 1 \right\rfloor } < [ y _ { i } ] \frac { 1 } { \frac { d ^ { * } x _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { \lambda ^ { * } } [ y _ { i } ] } { \epsilon } } = \frac { \epsilon } { d ^ { * } x _ { \operatorname* { m a x } } \sqrt { \lambda ^ { * } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( \pmb { \mathscr { s } } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 1 } \| < \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 2 } \| \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 3 } \| } \\ { 2 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 2 } \| < \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 1 } \| \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 3 } \| } \\ { 3 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 3 } \| < \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 1 } \| \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \| \pmb { \mathscr { s } } - \pmb { \sigma } ^ { 2 } \| } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { N } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } | k | ( | j | ^ { 2 \alpha - 2 } + | k | ^ { 2 \alpha - 2 } ) , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { N } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { N } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | k | | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ( | j _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | j _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { \alpha - 1 } ) , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { N } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } | k | ^ { 2 } | j | ^ { \alpha - 2 } ( | j | ^ { 2 \alpha - 1 } + | k | ^ { 2 \alpha - 1 } ) , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { N } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { N } ( j _ { 1 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | k | ^ { 2 } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 1 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 3 } , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { D } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } | k | ( | j | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { \alpha - 1 } ) , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { D } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 1 } ^ { D } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | k | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { D } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } | k | ^ { 2 } ( | j | + | k | ) ^ { 2 \alpha - 2 } , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { D } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { D } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | k | ^ { 2 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | + | k | ) ^ { \alpha - 1 } . } \end{array}
\frac { c _ { t } \left[ f _ { 0 } ^ { 2 } ( T _ { t } ) - f _ { 0 } ^ { 2 } ( T _ { 0 } ) \right] } { \left[ \frac { c _ { 2 } } { r ^ { 2 } } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 r ^ { 2 } } \right] } = 3 \sqrt [ 3 ] { \eta ^ { 2 } z _ { 0 } ^ { 2 } } - 2 \eta - z _ { 0 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { | \theta ^ { \prime } , \phi ^ { \prime } \rangle } & { } & { = { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } , \pi ) | \theta , \phi \rangle } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { 2 \Delta \phi - \phi } { 2 } } \cos \left( \frac { \pi - \theta } { 2 } \right) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { 2 \Delta \phi - \phi } { 2 } } \sin \left( \frac { \pi - \theta } { 2 } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { i } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } & { { } = \sum _ { j \neq i } \frac { x _ { i } x _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = \langle k _ { i } ^ { + } \rangle \quad \forall \: i , } \\ { k _ { i } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) } & { { } = \sum _ { j \neq i } \frac { y _ { i } y _ { j } } { 1 + x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } = \langle k _ { i } ^ { - } \rangle \quad \forall \: i , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { I } ^ { \prime } = } & { { } g \left[ \sum _ { b = 0 , 1 } \sum _ { s \in \{ \mathrm { L } , \mathrm { M } , \mathrm { R } \} } U _ { s } ^ { b } \hat { n } _ { s \uparrow } ^ { b } \hat { n } _ { s \downarrow } ^ { b } \right. } \end{array}
p _ { r } ^ { ( s ) } ( x ) = \frac { 1 } { 2 ( c ^ { 2 } ; c ^ { 2 } ) _ { \infty } } \sqrt { \frac { r } { D } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { c ^ { - n } } { ( c ^ { - 2 } ; c ^ { - 2 } ) _ { n } } e ^ { - \sqrt { r / D } \ c ^ { - n } | x | } ,
\begin{array} { r } { I ( \theta _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E ^ { \theta _ { 0 } } \left[ \left( \frac { \partial \hat { \epsilon } _ { i } ^ { \infty } } { \partial \theta } \right) ^ { t } \Sigma ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \hat { \epsilon } _ { i } ^ { \infty } } { \partial \theta } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { l } { { < \Omega _ { \alpha \beta } ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } > = < \overline { { { \Omega } } } _ { \alpha \beta } ^ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } > = \Lambda _ { L R } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ f o r } } \\ { { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left( \begin{array} { c c } { { \alpha ^ { \prime } } } & { { \beta ^ { \prime } } } \\ { { \alpha } } & { { \beta } } \end{array} \right) \subset \left( \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 2 } } \\ { { 1 } } & { { 2 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 3 } } \\ { { 1 } } & { { 3 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { { 2 } } & { { 3 } } \\ { { 2 } } & { { 3 } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c c } { { 4 } } & { { 5 } } \\ { { 4 } } & { { 5 } } \end{array} \right) \right) } } \\ { { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = 0 ~ ~ ~ ~ o t h e r w i s e } } \end{array}
{ ( t ^ { \beta } ) _ { B } } ^ { C } \, { ( t _ { \beta } ) _ { E } } ^ { F } = - \, \frac { 2 } { 3 } \, { \delta _ { B } } ^ { C } \, { \delta _ { E } } ^ { F } + 2 \, { \delta _ { B } } ^ { F } \, { \delta _ { E } } ^ { C } .
\begin{array} { r l } { S _ { l , m } ( \mathcal { M } _ { 1 } ( \kappa ) [ P \Psi _ { 0 } ] ) } & { = \mathrm { O p } _ { 1 } ( x ^ { l } ) \mathcal { M } _ { 1 } ( d _ { \rho _ { 0 } } F ) \mathrm { O p } _ { 1 } ( ( - \xi ) ^ { m } ) \mathcal { M } _ { 1 } ( \kappa ) [ P \Psi _ { 0 } ] ) } \\ & { = \mathcal { M } _ { 1 } ( d _ { \rho _ { 0 } } F \circ \kappa ) \mathrm { O p } _ { 1 } \left( ( x \circ ( d F ( \rho _ { 0 } ) \circ \kappa ) ^ { l } \right) \mathrm { O p } _ { 1 } \left( ( - \xi \circ \kappa ) ^ { m } \right) [ P \Psi _ { 0 } ] ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { \mathrm { e l } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { e l } } } & { = \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } - i \sum _ { u , \alpha } e \Bigg [ \int _ { 0 } ^ { { \bf R } _ { u } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( s ) d s \Bigg ] \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } - i \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } e \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) \Bigg [ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d { \bf r } \Phi _ { u , \alpha } ( { \bf r } ) ( { \bf r } - { \bf R } _ { u } ) \Phi _ { u , \alpha ^ { \prime } } ( { \bf r } ) \Bigg ] \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } } \\ & { = \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } - i \sum _ { u , \alpha } e \bar { \boldsymbol \chi } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } - i \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { L } ^ { \mathrm { M L } } \left( \left( \mathbb { E } _ { \delta } ( \varphi ) - E _ { L } ( \varphi ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad \le | \mathbb { E } _ { \delta } ( \varphi ) - \mathbb { E } _ { L } ( \varphi ) | } \\ & { \quad \quad + \left| \mathbb { E } _ { L } ( \varphi ) - \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \mathbb { E } _ { \ell } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ) - \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ) + \mathbb { E } _ { 0 } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( 0 ) } ) \right) \right| } \\ & { \quad \quad + \mathcal { E } _ { L } ^ { \mathrm { M L } } \left( \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \mathbb { E } _ { \ell } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ) - \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( \ell ) } ) + \mathbb { E } _ { 0 } ( \varphi _ { L ^ { \prime } ( 0 ) } ) - E _ { L } ( \varphi ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad = I + I I + I I I . } \end{array}
\sum _ { l = 1 } ^ { N _ { t } } Q _ { l } = \mathcal { O } \left( \frac { \mathrm { p o l y } ( \log N _ { v } ) N _ { t } } { \delta } \left( t _ { \operatorname* { m a x } } + \log ( 1 / \varepsilon ) \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \Delta \varphi ( \tau ) } & { = \int _ { r ( - \tau ) } ^ { r ( \tau ) } \frac { d \varphi } { d r } d r = \int _ { r _ { 2 } } ^ { r ( - \tau ) } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { b ^ { 2 } } - \frac { W ( r ) } { l ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } d r + \int _ { r _ { 2 } } ^ { r ( \tau ) } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { b ^ { 2 } } - \frac { W ( r ) } { l ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } d r . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ e d g e ~ } j \rightarrow i \mathrm { ~ m e s s a g e : ~ } } & { \mathbf { m } _ { i j } ^ { n } = \phi _ { \theta } \left( \left[ { \bf X } _ { i } ^ { n - 1 } , { \bf X } _ { j } ^ { n - 1 } , \mathbf { u } _ { i } ^ { k - K : k } - \mathbf { u } _ { j } ^ { k - K : k } , x _ { i } - x _ { j } , \eta \right] \right) , } \\ { \mathrm { ~ n o d e ~ } i \mathrm { ~ u p d a t e : ~ } } & { \mathbf { F } _ { \theta } ( \mathbf { X } ^ { n - 1 } , \mathcal { G } ) _ { i } = \psi _ { \theta } \left( \left[ { \bf X } _ { i } ^ { n - 1 } , \sum _ { j \in \mathcal { N } ( i ) } \mathbf { m } _ { i j } ^ { n } , \eta \right] \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { H _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma ) } { H _ { 1 } ( \gamma ) } } & { = - \frac { \mathrm { s n } ( \gamma , k ) \mathrm { d n } ( \gamma , k ) } { \mathrm { c n } ( \gamma , k ) } + Z ( \gamma ) , } \\ { \frac { \Theta _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma ) } { \Theta _ { 1 } ( \gamma ) } } & { = - \frac { k ^ { 2 } \mathrm { s n } ( \gamma , k ) \mathrm { c n } ( \gamma , k ) } { \mathrm { d n } ( \gamma , k ) } + Z ( \gamma ) , } \end{array}
\mathrm { m e a s } ( \tilde { G } _ { q - 1 } \setminus \tilde { G } _ { q } ) \leq \frac { 1 } { | \operatorname* { d e t } ( \frac { \partial u ^ { ( q - 1 ) } } { \partial I } ( I ) ) | } \mathrm { m e a s } ( \overbrace { \tilde { F } _ { q - 1 } } ^ { u ^ { ( q - 1 ) } ( \tilde { G } _ { q - 1 } ) } \setminus ( \overbrace { \tilde { F } _ { q } - \varepsilon _ { q - 1 } ) } ^ { u ^ { ( q - 1 ) } ( \tilde { G } _ { q } ) } ) .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( [ \partial _ { x ^ { k } } F . \Sigma ^ { 1 , k } . p _ { V } ] ( m , m , \tilde { x } ; s ) + { \| A ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) \| ^ { 2 } } \partial _ { m } F ( m , m , \tilde { x } ) { p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; s ) } \right) d m d \tilde { x } d s = } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( [ F . \partial _ { x ^ { k } } ( \Sigma ^ { 1 , k } p _ { V } ) ] ( m , m , \tilde { x } ; s ) + \partial _ { m } ( \| A ^ { 1 } \| ^ { 2 } p _ { V } ) ( m , m , \tilde { x } ; s ) \right) d m d \tilde { x } d s } \end{array}
H _ { \Delta } ( \textbf { r } , \textbf { H } ) = H ( \textbf { r } , \textbf { H } ) + \sum _ { i } V _ { i } \cos \left( \frac { 2 \pi z _ { i } } { N | a | } + \phi \right) c _ { i } ^ { \dagger } ( \textbf { r } ) c _ { i } ( \textbf { r } ) ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { a } ^ { b } \left[ ( \lambda + 2 \mu ) \rho Y ^ { \prime } ( \rho ) + \lambda Y ( \rho ) + \lambda \frac { \pi k } { h } \, \rho Z ( \rho ) \right] H ^ { \prime } ( \rho ) \, d \rho } \\ & { \quad + \int _ { a } ^ { b } \left[ \lambda Y ^ { \prime } ( \rho ) + ( \lambda + 2 \mu ) \frac { Y ( \rho ) } { \rho } + \mu \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \rho Y ( \rho ) - \mu \frac { \pi k } { h } \, \rho Z ^ { \prime } ( \rho ) + \lambda \frac { \pi k } { h } \, Z ( \rho ) \right] H ( \rho ) \, d \rho } \\ & { \quad + \int _ { a } ^ { b } \left[ \mu \rho Z ^ { \prime } ( \rho ) - \mu \frac { \pi k } { h } \, \rho Y ( \rho ) \right] K ^ { \prime } ( \rho ) \, d \rho + \int _ { a } ^ { b } \left[ ( \lambda + 2 \mu ) \frac { \pi ^ { 2 } k ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \rho Z ( \rho ) + \lambda \frac { \pi k } { h } \, \rho Y ^ { \prime } ( \rho ) + \lambda \frac { \pi k } { h } \, Y ( \rho ) \right] K ( \rho ) \, d \rho } \\ & { \quad = \int _ { a } ^ { b } \rho \Psi _ { k } ( \rho ) K ( \rho ) \, d \rho } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \psi ^ { \prime } ( t , x ) } } & { { = } } & { { e ^ { - i e \epsilon ( t , x ) } \psi ( t , x ) = e ^ { - i \frac { 2 \pi k } { L } x } \psi ( t , x ) \ , } } \\ { { { A ^ { 1 } } ^ { \prime } ( t , x ) } } & { { = } } & { { A ^ { 1 } ( t , x ) - \partial _ { 1 } \epsilon ( t , x ) = A ^ { 1 } ( t , x ) - \frac { 2 \pi k } { e L } \ , } } \\ { { \pi _ { 1 } ^ { \prime } ( t , x ) } } & { { = } } & { { \pi _ { 1 } ( t , x ) \ , \ } } \\ { { { A ^ { 0 } } ^ { \prime } ( t , x ) } } & { { = } } & { { A ^ { 0 } ( t , x ) + \partial _ { 0 } \epsilon ( t , x ) = A ^ { 0 } ( t , x ) \ . } } \end{array}
e _ { s } ( T ) = e _ { \mathrm { r e f } } \left( \frac { T } { T _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { \frac { c _ { p v } - c _ { l } } { R _ { v } } } \exp \left[ \frac { L _ { \mathrm { r e f } } - ( c _ { p v } - c _ { l } ) T _ { \mathrm { r e f } } } { R _ { v } } \left( \frac { 1 } { T _ { \mathrm { r e f } } } - \frac { 1 } { T } \right) \right] ,
\frac { 2 C _ { 1 } C _ { 2 } } { \pi } { \cal B } \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { \lambda + m + 1 } { 2 } \right) { \cal B } \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { \lambda + n + 1 } { 2 } \right) { \sigma } _ { 1 } ^ { \frac { \lambda + m + 1 } { 2 } } { \sigma } _ { 2 } ^ { \frac { \lambda + n + 1 } { 2 } } \leq
\begin{array} { r } { \sigma _ { 1 } = | | s i n ( x _ { c } + c t ) | | | | c o s ( k \Delta x ) f ( x _ { c } + k \Delta x ) | | , } \\ { \sigma _ { 2 } = | | c o s ( x _ { c } + c t ) | | | | s i n ( k \Delta x ) f ( x _ { c } + k \Delta x ) | | } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \sin \theta = { \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } } , \quad \cos \theta = { \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } , \quad d \theta = { \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } } \, d t , } \\ & { \tan \theta = { \frac { \sin \theta } { \cos \theta } } = { \frac { 2 t } { 1 - t ^ { 2 } } } , \quad \sec \theta = { \frac { 1 } { \cos \theta } } = { \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 1 - t ^ { 2 } } } , } \\ & { \sec \theta + \tan \theta = { \frac { 1 + 2 t + t ^ { 2 } } { 1 - t ^ { 2 } } } = { \frac { 1 + t } { 1 - t } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = \int _ { a } ^ { x } f ( u ) \, d u } \\ { F ( x ) } & { = g ( x ) - g ( a ) } \\ { \frac { \partial F } { \partial x } } & { = \frac { d } { d x } \left[ g ( x ) - g ( a ) \right] } \\ { \frac { \partial F } { \partial x } } & { = \frac { d g } { d x } - 0 } \\ { \frac { \partial F } { \partial x } } & { = f ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { \bar { H } + d + 1 } ^ { k } = \tilde { s } _ { g } ) } \\ & { = \sum _ { h = 1 + d } ^ { \bar { H } + d } p P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { h } ^ { k } \in \mathcal { L } ) + 1 \{ h = h ^ { * } \} P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { h } ^ { k } = s ^ { * } , a _ { h } ^ { k } = a ^ { * } ) \epsilon } \\ & { = p + \epsilon \cdot P _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ( s _ { h ^ { * } } ^ { k } = s ^ { * } , a _ { h ^ { * } } ^ { k } = a ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C o v ^ { * } \left( ( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat R _ { I , n } ^ { * } ) _ { 1 } , \sqrt { I + n + 1 } ( R _ { I , n } ^ { * } - \widehat R _ { I , n } ^ { * } ) _ { 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ { = } & { C o v ^ { * } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , j } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } { \widehat f } _ { j , n } ^ { * } \right) , \sqrt { I + n + 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { I + n } C _ { I - i , i } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } { \widehat f } _ { j , n } ^ { * } - \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ { = } & { \sqrt { I + n + 1 } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 0 } ^ { I + n } E ^ { * } \left( C _ { I - i _ { 1 } , i _ { 1 } } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i _ { 1 } , j _ { 1 } } ^ { * } - \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } { \widehat f } _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } \right) C _ { I - i _ { 2 } , i _ { 2 } } \left( \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } { \widehat f } _ { j _ { 2 } } ^ { * } - \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { j _ { 2 } , n } \right) | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ { = } & { 0 } \end{array}
\bar { \mathbf { a } } = \frac { 0 } { \gamma _ { v } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { - \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } - \frac { 0 } { v ^ { 2 } \gamma _ { v } ^ { 3 } \left( 1 - \frac { - \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } + \frac { 0 } { v ^ { 2 } \gamma _ { v } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { - \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } = 0 .
L _ { s e l f i n t } ^ { f e r m } = 3 \left[ \frac { 1 } { b } \left( \frac { m ( h - b ) } { 4 M ( k - b ) } \overline { { { \Psi } } } ^ { \prime } \Psi ^ { \prime } \right) ^ { 4 } e ^ { 2 \alpha \bar { \phi } / M _ { p } } \right] ^ { 1 / 3 } .
\frac { ( \delta m _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \delta m _ { j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 1 6 \sigma _ { m } ^ { 2 } E _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { ( \delta m _ { i j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 3 2 \sigma _ { m } ^ { 2 } E _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { ( \delta m _ { i } ^ { 2 } + \delta m _ { j } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 3 2 \sigma _ { m } ^ { 2 } E _ { 0 } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \frac { d \beta } { d z } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! d t | \psi _ { s } ( t , z ) | ^ { 2 } - \beta \partial _ { z } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! d t | \psi _ { s } ( t , z ) | ^ { 2 } } \\ & { } & { = i \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! d t \, \left[ \partial _ { t } \psi _ { s } ^ { * } ( t , z ) \partial _ { z } \psi _ { s } ( t , z ) - \partial _ { t } \psi _ { s } ( t , z ) \partial _ { z } \psi _ { s } ^ { * } ( t , z ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb E F _ { N } = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb E F _ { N , \varepsilon } ^ { \mathrm { \tiny ~ P V B } } = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \operatorname* { i n f } _ { \sigma \in \mathcal { M } _ { \varepsilon } } Q _ { \varepsilon } ( \sigma ) . } \end{array}