harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\displaystyle f _ { \pi } ^ { 2 } = \frac { N _ { c } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { x ( \Sigma - \frac { 1 } { 2 } x \Sigma ^ { \prime } ) \Sigma } { ( x + \Sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { n } = \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { l } = 0 } ^ { + \infty } \Lambda _ { n | k _ { l } , \ldots , k _ { 1 } } \hat { F } _ { k _ { l } } [ \eta ] \otimes \ldots \otimes \hat { F } _ { k _ { 1 } } [ \eta ] . } \end{array}
\operatorname* { P r } ( C _ { i } = c \mid C _ { 1 } , \ldots , C _ { i - 1 } ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \theta + | B | \alpha } { \theta + i - 1 } } } & { { \mathrm { i f ~ } } c \in { \mathrm { n e w ~ b l o c k } } , } \\ { { \frac { | b | - \alpha } { \theta + i - 1 } } } & { { \mathrm { i f ~ } } c \in b ; } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = \frac { P _ { \mathrm { n t h } } } { P _ { \mathrm { n t h } } + P _ { \mathrm { t h } } } } \\ & { = \frac { 1 / 3 \, \rho \sigma ^ { 2 } } { 1 / 3 \, \rho \sigma ^ { 2 } + \rho \, \mathrm { k _ { B } } \, T _ { \mathrm { m w } } / ( \mu \, m _ { \mathrm { P } } ) } } \\ & { = \biggl [ 1 + \underbrace { \frac { 3 \, \mathrm { k _ { B } } \, T _ { \mathrm { m w } } } { \mu \, m _ { \mathrm { P } } \, \sigma ^ { 2 } } } _ { = 1 / \beta } \biggr ] ^ { - 1 } , } \end{array}
p ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) = \frac { \alpha _ { 1 } ^ { \gamma _ { r } } } { \alpha _ { 1 } ^ { \gamma _ { r } } + ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } } \; , \; \; \; \; \; q ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) = \frac { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } } { ( 1 - \alpha _ { 1 } ) ^ { \gamma _ { p } } + ( ( 1 - \alpha _ { 2 } ) r ) ^ { \gamma _ { p } } } \; ,
\begin{array} { r l } { d _ { \phi _ { 1 } } } & { { } = \left( \frac { \omega _ { z } } { \omega _ { 0 } } + \frac { \tau \omega _ { * i } } { \omega _ { 0 } } \right) \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \frac { \omega _ { * i } } { \omega _ { z } } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 1 } } & { = \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { A } } \otimes \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { B } } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \rho _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] \otimes \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] , } \\ { \sigma _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \otimes \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \sigma _ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \otimes \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
T _ { 1 } ^ { ( \rho ) } ( 0 , \mu ) = \xi _ { \perp } ^ { ( \rho ) } ( 0 ) \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } \, C _ { F } \left( \ln \frac { m _ { b , \mathrm { p o l e } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } - 1 \right) + \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { \mathrm { s p } } ) } { 4 \pi } \, C _ { F } \, \frac { \Delta F _ { \perp } ( \mu _ { \mathrm { s p } } ) } { 2 \xi _ { \perp } ^ { ( \rho ) } ( 0 ) } \right] ,
e \boldsymbol { \beta } e ^ { j \omega R ( t ^ { \prime } ) / c } \rightarrow 1 / c \int \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \ \mathbf { J } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) e ^ { j \omega R ( t ^ { \prime } ) / c }
\mathbf { X } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( t ) } \\ { \theta _ { 1 } ( t ) } \\ { x _ { 2 } ( t ) } \\ { \theta _ { 2 } ( t ) } \end{array} \right] \, , \qquad \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ O ~ } } = \left[ \begin{array} { l } { X ( t ) } \\ { \Theta ( t ) } \end{array} \right] \, .
\psi = \left[ 1 - \frac { \nu ^ { 3 } \cosh \left( \frac { 1 } { 2 } Q \sigma \tau \right) + i \nu \sigma \sin \left( \frac { 1 } { 2 } Q \sigma \tau \right) } { 2 \nu \cosh \left( \frac { 1 } { 2 } Q \sigma \tau \right) - \sigma \cos \left( \nu \sqrt { \frac { Q } { 2 P } } \xi \right) } \right] e ^ { i Q \tau } ,
\lambda _ { d } = c _ { 1 1 } \frac { \epsilon _ { X } ^ { 1 0 } } { \epsilon } ~ , ~ ~ ~ ~ \lambda _ { s } = c _ { 2 2 } \frac { \epsilon _ { X } ^ { 7 } } { \epsilon } ~ , ~ ~ ~ ~ \lambda _ { b } = c _ { 3 3 } \frac { \epsilon _ { X } ^ { 5 } } { \epsilon } ~ .
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \frac { \sigma _ { 1 } } { 2 \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \sigma _ { 1 } \varepsilon } { 4 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \\ { \hat { \Psi } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 \varepsilon } F ( \phi ) + \frac { \sigma _ { 2 } \varepsilon } { 4 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } , } \end{array}
B r = \frac { \Gamma _ { a _ { K K } \rightarrow 2 \gamma } } { \Gamma _ { a _ { K K } \rightarrow X } + \Gamma _ { a _ { K K } \rightarrow 2 \gamma } } \simeq \frac { \Gamma _ { a _ { K K } \rightarrow 2 \gamma } } { \Gamma _ { a _ { K K } \rightarrow X } } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } \alpha _ { s } x _ { s } ( 1 - 2 j _ { s } ) } & { = \sum _ { s = 1 } ^ { t - 1 } r _ { s } ^ { ( 1 ) } \leqslant \sqrt { \sum _ { s = 1 } ^ { t } \left\| r _ { s } \right\| _ { ( s ) } ^ { 2 } } , } \\ { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \alpha _ { t } ( \lambda _ { t } ^ { - 1 } x _ { t } - 1 ) ( 1 - 2 j _ { t } ) } & { = \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { t } ^ { ( 2 ) } \leqslant \frac { 1 } { \lambda _ { T } T } \sqrt { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left\| r _ { t } \right\| _ { ( t ) } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { s } _ { l } = \acute { s } _ { l } e ^ { - \frac { R _ { 0 } } { \Lambda _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { m = 0 } ^ { n } { k A _ { l m } p _ { m } ( \tilde { r } _ { m } - \acute { r } _ { m } ) } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | \mathbf { A } | } & { = { \left| \begin{array} { l l } { A ^ { 0 } + A ^ { 3 } } & { A ^ { 1 } - i A ^ { 2 } } \\ { A ^ { 1 } + i A ^ { 2 } } & { A ^ { 0 } - A ^ { 3 } } \end{array} \right| } } \\ & { = \left( A ^ { 0 } + A ^ { 3 } \right) \left( A ^ { 0 } - A ^ { 3 } \right) - \left( A ^ { 1 } - i A ^ { 2 } \right) \left( A ^ { 1 } + i A ^ { 2 } \right) } \\ & { = \left( A ^ { 0 } \right) ^ { 2 } - \left( A ^ { 1 } \right) ^ { 2 } - \left( A ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - \left( A ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { P ^ { i - 1 } = A ^ { \prime } P ^ { i } A + \bar { A } ^ { \prime } P ^ { 0 } \bar { A } + Q , } \\ & { = { A ^ { ( 2 ) } } ^ { \prime } P ^ { i + 1 } A ^ { ( 2 ) } + A ^ { \prime } \bar { A } ^ { \prime } P ^ { 0 } \bar { A } A + A ^ { \prime } Q A + \bar { A } ^ { \prime } P ^ { 0 } \bar { A } + Q , } \\ & { = { A ^ { ( d - i + 1 ) } } ^ { \prime } P ^ { d } A ^ { ( d - i + 1 ) } } \\ & { + \sum _ { k = 0 } ^ { d - i } A ^ { ( k ) ^ { \prime } } \bar { A } ^ { \prime } P ^ { 0 } \bar { A } A ^ { ( k ) } + \sum _ { k = 0 } ^ { d - i } { A ^ { ( k ) } } ^ { \prime } Q A ^ { ( k ) } . } \end{array}
\mathrm { M A E } [ \mathbf { x } , \mathbf { y } ( \boldsymbol { \lambda } ) ] = \frac { \| \mathbf { x } - \mathbf { y } ( \boldsymbol { \lambda } ) \| _ { 1 } } { m } = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } | x _ { i } - y _ { i } ( \boldsymbol { \lambda } ) | ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E _ { s c } } } & { { } \approx - \frac { \eta k } { 4 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k \rho } } \left[ I _ { 1 } e ^ { - j k \rho - j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } - j \frac { \pi } { 4 } } + I _ { 2 } e ^ { - j k \rho + j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } - j \frac { \pi } { 4 } } \right] \hat { z } = } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( s ) } & { = f ( x , u ) \big [ \frac { 1 } { 2 } ( s ^ { 2 } + 2 s ) u + ( s + 1 ) v \big ] + F ( x , u ) - F ( x , z ( s ) ) } \\ & { < f ( x , u ) \big [ \frac { 1 } { 2 } ( s ^ { 2 } + 2 s ) u + ( s + 1 ) v \big ] + \frac { 1 } { 2 } f ( x , u ) u - F ( x , z ( s ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( s + 1 ) ^ { 2 } f ( x , u ) u + ( s + 1 ) f ( x , u ) v - F ( x , z ( s ) ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( s + 1 ) ^ { 2 } f ( x , u ) u + ( s + 1 ) f ( x , u ) z - ( s + 1 ) ^ { 2 } f ( x , u ) u - F ( x , z ( s ) ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 2 } ( s + 1 ) ^ { 2 } f ( x , u ) u + ( s + 1 ) f ( x , u ) z - F ( x , z ( s ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { H ( w | \lambda ) = \beta ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { T } d t \ T ^ { - 1 } h _ { \beta } ( w , t | \lambda ) = \beta ^ { - 1 } \operatorname { \mathbb { E } } _ { t \sim \mathcal { U } ( [ 0 , T ] ) } \left[ h _ { \beta } \left( w , t | \lambda \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { k U _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } U _ { 1 } - U _ { 1 } ^ { 3 } - U _ { 2 } } & { = } & { 0 , } \\ { k U _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha / 2 } U _ { 2 } - U _ { 2 } ^ { 3 } - U _ { 1 } } & { = } & { 0 . } \end{array}
E _ { \mathrm { d i s p } } ^ { ( 2 ) } = - \frac { 8 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \sum _ { \substack { p > q , p ^ { \prime } > q ^ { \prime } \in A \, r > s , r ^ { \prime } > s ^ { \prime } \in B } } [ { \bf C } ^ { A } ( \omega ) ] _ { p q , p ^ { \prime } q ^ { \prime } } [ { \bf C } ^ { B } ( \omega ) ] _ { r s , r ^ { \prime } s ^ { \prime } } \ g _ { p q r s } g _ { p ^ { \prime } q ^ { \prime } r ^ { \prime } s ^ { \prime } } .
B ( B ^ { - } \rightarrow J / \psi \pi ^ { - } ) _ { \mathrm { t o t a l } } \simeq \Biggl | { \frac { U _ { c d } } { U _ { c s } } } \Biggr | ^ { 2 } B ( B ^ { - } \rightarrow J / \psi K ^ { - } ) _ { \mathrm { t o t a l } }
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } F ( t , x , T , X ) } { \mathrm { d } t } } & { = \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial t } + \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial T } \frac { \partial T } { \partial t } = \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial t } + \epsilon ^ { 2 } \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial T } } \\ { \frac { \mathrm { d } F ( t , x , T , X ) } { \mathrm { d } x } } & { = \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial x } + \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial X } \frac { \partial X } { \partial x } = \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial x } + \epsilon \frac { \partial F ( t , x , T , X ) } { \partial X } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { x \in \mathbb { R } ^ { n } , y \in \mathbb { R } ^ { m } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & { \quad \underbrace { f ( x ) + \delta _ { \mathcal { X } } ( x ) } _ { : = \overline { { f } } ( x ) } + \underbrace { g ( y ) + \delta _ { \mathcal { Y } } ( y ) } _ { : = \overline { { g } } ( y ) } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \quad A x + B y = c , } \end{array}
S _ { \epsilon , g } ^ { ( j ) } = \frac { \left( - i g \right) ^ { j } } { j ! } \int d ^ { 4 } x _ { j } \ldots \int d ^ { 4 } x _ { 1 } e ^ { - \epsilon \left| t _ { j } \right| } \ldots e ^ { - \epsilon \left| t _ { 1 } \right| } T \left[ H _ { I } \left( x _ { j } \right) \ldots H _ { I } \left( x _ { 1 } \right) \right] .
\begin{array} { r } { u ( t ) ^ { 2 } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \mathcal { C } _ { i } } \left( \nabla _ { \mathbf { \Psi } } H \cdot \mathbf { n } \right) \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \, \textup { d } \mathbf { x } \right) ^ { - 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Gamma _ { i } ^ { + } } w _ { i } ^ { 2 } \left( \nabla _ { \mathbf { \Psi } } H \cdot \mathbf { n } \right) \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \, \textup { d } \mathbf { x } . } \end{array}
S = \frac i { 8 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { \Sigma } \left( g _ { i j } - B _ { i j } \right) \partial x ^ { i } \bar { \partial } x ^ { j } \, d ^ { 2 } z - 2 \pi \int \Phi R ^ { ( 2 ) } \, d ^ { 2 } z + \ldots ,
u _ { n , \mathbf { k } } = u _ { n , 0 } + { \frac { \hbar } { m } } \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } { \frac { \langle u _ { n , 0 } | \mathbf { k } \cdot \mathbf { p } | u _ { n ^ { \prime } , 0 } \rangle } { E _ { n , 0 } - E _ { n ^ { \prime } , 0 } } } u _ { n ^ { \prime } , 0 }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } [ A T _ { \epsilon } ( u _ { N } ( t ) , z _ { N } ( t ) ) ] + \int _ { 0 } ^ { T } | | \Delta u _ { N } ( s ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } + | | \Delta z _ { N } ( s ) | | _ { L ^ { 2 } ( U ) } ^ { 2 } d s \lesssim } \\ & { \lesssim C + \int _ { 0 } ^ { T } | | \nabla u _ { N } ( s ) | | _ { L ^ { 4 } ( U ) } ^ { 4 } + | | \nabla z _ { N } ( s ) | | _ { L ^ { 4 } ( U ) } ^ { 4 } d s . } \end{array}
\mathrm { v a r } \left( { \hat { A } } _ { 2 } \right) = \mathrm { v a r } \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x [ n ] \right) { \overset { \mathrm { i n d e p e n d e n c e } } { = } } { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \mathrm { v a r } ( x [ n ] ) \right] = { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \left[ N \sigma ^ { 2 } \right] = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { N } }
U _ { t } ^ { p h } ( h , h ^ { \prime } ) = \left( \frac { l } { i \hbar t } \right) ^ { r / 2 } \sum _ { \hat { s } \in W _ { A } } ( \kappa ( h ) \kappa ( \hat { s } h ^ { \prime } ) ) ^ { - 1 } \exp \left( \frac { i \pi l ( h - \hat { s } h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \hbar t } + i t E _ { 0 } \right) \ ,
\mathbf { b } _ { m } \times \mathbf { b } _ { n } = { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial q ^ { m } } } \times { \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial q ^ { n } } } = { \frac { \partial ( x _ { p } \mathbf { e } _ { p } ) } { \partial q ^ { m } } } \times { \frac { \partial ( x _ { q } \mathbf { e } _ { q } ) } { \partial q ^ { n } } } = { \frac { \partial x _ { p } } { \partial q ^ { m } } } { \frac { \partial x _ { q } } { \partial q ^ { n } } } \mathbf { e } _ { p } \times \mathbf { e } _ { q } = \varepsilon _ { i p q } { \frac { \partial x _ { p } } { \partial q ^ { m } } } { \frac { \partial x _ { q } } { \partial q ^ { n } } } \mathbf { e } _ { i } .
\rho ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 . 7 8 \times 1 0 ^ { - 3 } ~ \mathrm { g } / \mathrm { c m } ^ { 3 } } & { 0 ~ \mathrm { m m } < x \leq 0 . 1 5 ~ \mathrm { m m } , } \\ { 1 6 . 6 5 \mathrm { g } / ~ \mathrm { c m } ^ { 3 } } & { 0 . 1 5 ~ \mathrm { m m } < x \leq 0 . 3 5 ~ \mathrm { m m } , } \\ { 2 . 2 0 4 \mathrm { g } / ~ \mathrm { c m } ^ { 3 } } & { 0 . 3 5 ~ \mathrm { m m } < x \leq 0 . 6 0 ~ \mathrm { m m } , } \\ { 1 . 7 8 \times 1 0 ^ { - 3 } ~ \mathrm { g } / \mathrm { c m } ^ { 3 } } & { 0 . 6 0 ~ \mathrm { m m } < x \leq 1 ~ \mathrm { m m } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { \bar { f } x \sec ( \bar { f } t ) - \bar { f } x \tan ( \bar { f } t ) + y \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tan ( \bar { f } t ) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \sec ( \bar { f } t ) \right] , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { - \bar { f } x , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { \frac { h _ { 0 } } { \bar { f } } \left[ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \tan ( \bar { f } t ) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \sec ( \bar { f } t ) \right] . } \end{array}
\delta \mathcal { B } _ { 1 2 , \widehat { \boldsymbol { \sigma } } } \left[ ( \mathbf { c } _ { 1 } \cdot \mathbf { w } _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \mathbf { c } _ { 2 } \cdot \mathbf { w } _ { 2 } ) ^ { 2 } \right]
\left( \mathbf { I } + 9 \mathbf { \Omega } \right) \mathbf { u } _ { p } ^ { n + 1 } - \left( \mathbf { I } - 1 9 \mathbf { \Omega } \right) \mathbf { u } _ { p } ^ { n } + 5 \mathbf { \Omega } \mathbf { u } _ { p } ^ { n - 1 } - \mathbf { \Omega } \mathbf { u } _ { p } ^ { n - 2 } = 0
\begin{array} { r l r } { N _ { j k } ^ { 0 } ( m , n ) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { m + j - 1 } \\ { j + k - 1 } \end{array} \right) \delta _ { m + n , 0 } , } \\ { N _ { j k } ^ { l } ( m , n ) } & { = } & { \sum _ { s = 0 } ^ { j + k - l - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { s } } { ( j + k - l - 1 ) ! ( 2 l ) _ { j + k - l - 1 } } \left( \begin{array} { c c } { j + k - l - 1 } \\ { s } \end{array} \right) \times } \\ & { } & { [ j + m - 1 ] _ { j + k - l - 1 - s } [ j - m - 1 ] _ { s } [ k + n - 1 ] _ { s } [ k - n - 1 ] _ { j + k - l - 1 - s } , } \end{array}
\frac { \sigma _ { b } ^ { 2 } } { \bar { b } ^ { 2 } } \ge \frac { \alpha / k } { \beta ( 2 - \beta ) } \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - \beta ) [ \beta + ( 1 - 2 \beta ) \ln 2 ] } & { \beta \le 1 / 2 } \\ { c ( 2 \beta ^ { 2 } - 4 \beta + 1 ) \ln ( 1 - \beta ) } & { \beta > 1 / 2 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { Q _ { y z } \propto Q _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { y z y } H _ { y } = - \alpha _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { ' y z y } H _ { y } , } \\ { S _ { x z } \propto S _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { x z x } E _ { x } = - \alpha _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { ' x z x } E _ { x } , } \end{array}
L ( x , \Xi ) = \left| \begin{array} { c c c c c } { - 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { \xi _ { 1 } } \\ { 0 } & { - 1 } & { \cdots } & { 0 } & { \xi _ { 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - 1 } & { \xi _ { n } } \\ { \xi _ { 1 } } & { \xi _ { 2 } } & { \cdots } & { \xi _ { n } } & { 0 } \end{array} \right| = ( - 1 ) ^ { n } ( \xi _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots \xi _ { n } ^ { 2 } ) = ( - 1 ) ^ { n } | \Xi | ^ { 2 } \, ,
d s ^ { 2 } = - \frac { t ^ { 2 } } { ( t ^ { 2 } + r _ { - } ^ { 2 } ) ( t ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } ) } d t ^ { 2 } + t ^ { 2 } ( d \phi + \frac { r _ { + } r _ { - } } { t ^ { 2 } } d r ) ^ { 2 } + \frac { ( t ^ { 2 } + r _ { - } ^ { 2 } ) ( t ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } ) } { t ^ { 2 } } d r ^ { 2 } .
\operatorname* { m i n } _ { G } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \Big ( \gamma _ { 1 } \mathbb { E } \big [ ( 1 - D _ { i } ( x , \hat { y } _ { i } ) ) ^ { 2 } \big ] + \mathcal { L } _ { \textit { c o n t , i } } \Big )
\left\{ \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } \right\} = \left\{ { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 3 } \\ { - 9 } \\ { 9 } \\ { - 3 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 5 } \\ { 3 0 } \\ { - 1 } \\ { - 4 5 } \end{array} \right) } \right\} , \left\{ \mathbf { y } _ { 1 } , \mathbf { y } _ { 2 } , \mathbf { y } _ { 3 } \right\} = \left\{ { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 9 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 3 } \\ { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { - 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \right\} .
\mathbf { H } _ { \ell } : = \{ f : S ^ { n - 1 } \to \mathbb { C } \, \mid \, { \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } } p \in \mathbf { A } _ { \ell } , \, f ( \mathbf { x } ) = p ( \mathbf { x } ) { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \mathbf { x } \in S ^ { n - 1 } \} .
\begin{array} { r } { 2 = 2 \varepsilon ^ { 3 } - \sqrt { \varepsilon ^ { 2 } - h ^ { 2 } } ( 2 \varepsilon ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) + \frac { h ( c ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) } { 2 } \sqrt { 1 - \left( \frac { 2 h ^ { 2 } - c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } - } \\ { a ^ { 2 } c F \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) + ( 2 c ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) + 3 a c ^ { 2 } ) E \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
{ \frac { d L _ { \nu _ { \alpha } } } { d t } } \simeq { \frac { - 3 \beta ^ { 2 } } { 1 6 } } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t ^ { \prime } - t ) / \omega _ { 0 } } \left( \cos \left[ \int _ { t } ^ { t ^ { \prime } } \lambda d t ^ { \prime \prime } \right] - \cos \left[ \int _ { t } ^ { t ^ { \prime } } \bar { \lambda } d t ^ { \prime \prime } \right] \right) d t ^ { \prime } ,
\mathrm { d e t } \left( \underline { { \boldsymbol { \Phi } } } \right) = e ^ { j s \pi } e ^ { \left( \mathrm { I m } \left( \omega _ { 1 } \right) + \mathrm { I m } \left( \omega _ { 2 } \right) \right) T _ { \mathrm { m } } }
\begin{array} { r } { \Phi ( { \boldsymbol x } ) = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } M _ { i j } ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } x _ { i } ^ { p + 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } u _ { i } x _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
\; \; \; \; \; \left\{ \begin{array} { l } { { R \, x _ { 1 } ^ { \prime } \, x _ { 2 } = c ^ { - 1 } \, x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } } \\ { { R \, x _ { 1 } ^ { \prime } \, d x _ { 2 } = c \, d x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } } \\ { { R \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \, x _ { 2 } = c ^ { - 1 } \, x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } - \lambda \, d x _ { 1 } \, x _ { 2 } ^ { \prime } \, , } } \\ { { R \, d x _ { 1 } ^ { \prime } \, d x _ { 2 } = - c \, d x _ { 1 } \, d x _ { 2 } ^ { \prime } \, ; } } \end{array} \right.
\Im \mathrm { ~ E ~ } = \iint \mathrm { ~ I ~ m ~ } ( E _ { \mathrm { p } } / E _ { 0 } ) \; d A \approx \iint \phi ( 1 + E _ { \mathrm { p } } / E _ { 0 } ) \; d A = \frac { 2 \pi } { \lambda } V \Delta n ,
f _ { i } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad | \omega - \omega _ { i } | < L _ { i } , } \\ { 0 , \quad o t h e r s , } \end{array} \right. = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad | k - k _ { i } | < L _ { i } / v , } \\ { 0 , \quad o t h e r s . } \end{array} \right.
I _ { 0 \to 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) , \mathrm { S T } } / I _ { 0 \to 1 } ^ { ( \bar { \nu } ) , \mathrm { A l b r e c h t } } = \frac { 1 } { \xi ^ { 4 } } \left| \int _ { 0 } ^ { \infty } t e ^ { - t ^ { 2 } / 2 + i t / \xi } d t \right| ^ { 2 } = 1 , \qquad \xi \rightarrow 0
\frac { d \sigma _ { \mathrm { p o l } } } { d \Omega } = \pi M p ( Z e ) ^ { 2 } \mathrm { R e } \, a \left\{ \bar { \alpha } _ { n } \sin \frac { \theta } { 2 } - \frac { e ^ { 2 } \kappa _ { n } ^ { 2 } } { 2 M ^ { 3 } } \left( 1 - \sin \frac { \theta } { 2 } \right) \right\}
\begin{array} { r } { \frac { I _ { 2 } } { 2 } \dot { \theta } ^ { 2 } + \frac { m _ { \psi } ^ { 2 } } { I _ { 2 } ( 1 + \cos \theta ) } + b \cos \theta = E = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } , \qquad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \quad E = \frac 1 2 [ I _ { 2 } \dot { \theta } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { m _ { \psi } ^ { 2 } } { I _ { 2 } } ] + b . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| [ \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \xi - \sigma + \delta ) - \partial _ { \sigma } \Psi ( t , \xi - \sigma ) ] h _ { \epsilon } ( \sigma ) \right| = \left| \int _ { \xi - \sigma } ^ { \xi - \sigma + \delta } \partial _ { \mu } ^ { 2 } \Psi ( t , \mu ) h _ { \epsilon } ( \sigma ) d \mu \right| } \\ & { \leq \int _ { \xi - \sigma } ^ { \xi - \sigma + \delta } | \partial _ { \mu } ^ { 2 } \Psi ( t , \mu ) ( h _ { \epsilon } ( \sigma ) - h _ { \epsilon } ( \xi - \mu ) ) | d \mu + \int _ { \xi - \sigma } ^ { \xi - \sigma + \delta } | \partial _ { \mu } ^ { 2 } \Psi ( t , \mu ) h _ { \epsilon } ( \xi - \mu ) | d \mu } \\ & { \leq \frac { 4 } { \nu t } \int _ { \xi - \sigma } ^ { \xi - \sigma + \delta } \Psi \left( t , \frac { \mu } { 2 } \right) \left[ | \sigma - \xi + \mu | ^ { \beta } + | \xi | ^ { \beta } + ( \nu t ) ^ { \beta / 2 } \right] d \mu \leq \frac { 4 ( 1 + | \xi | ^ { \beta } + ( \nu t ) ^ { \beta / 2 } ) } { \nu t } \int _ { \xi - \sigma } ^ { \xi - \sigma + \delta } \Psi \left( t , \frac { \mu } { 2 } \right) d \mu , } \end{array}