harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Phi _ { i } = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c } { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i - 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i + 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , N } ^ { ( 1 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \sigma _ { 2 } \mathbf { g } _ { i , 1 , 2 } ^ { ( 2 ) } ( h _ { 1 } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { D } \mathbf { g } _ { i , N - D + 1 , \ldots , N } ^ { ( D ) } ( h _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & & & & & & & & { \vdots } \\ { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { M } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i - 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { M } ) } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , i + 1 } ^ { ( 1 ) } ( h _ { M } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { 1 } \mathbf { g } _ { i , N } ^ { ( 1 ) } ( h _ { M } ) } & { \sigma _ { 2 } \mathbf { g } _ { i , 1 , 2 } ^ { ( 2 ) } ( h _ { M } ) } & { \ldots } & { \sigma _ { D } \mathbf { g } _ { i , N - D + 1 , \ldots , N } ^ { ( D ) } ( h _ { M } ) } \end{array} \right]
\boldsymbol { E } _ { \mathrm { A N E } } ( I _ { + x } ) = Q _ { s } \mu _ { 0 } M _ { s } \left( \begin{array} { l } { m _ { x } } \\ { m _ { y } } \\ { m _ { z } } \end{array} \right) \times \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \partial _ { z } T } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { m _ { y } \partial _ { z } T } \\ { - m _ { x } \partial _ { z } T } \\ { 0 } \end{array} \right) .
\langle f \vert \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) \vert i \rangle = \frac { j } { \hbar } \sum _ { b } \sum _ { n } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - \Gamma \tau } e ^ { j \omega _ { I } \tau } \left< f \middle | \widehat { M _ { s } } \middle | n \right> e ^ { - \frac { j } { \hbar } E _ { n } \tau } \left< n \middle | \widehat { M _ { I } } \middle | i \right> e ^ { \frac { j } { \hbar } E _ { i } \tau } \, d \tau .
\int _ { 0 } ^ { S _ { \textrm { m a x } } } d S _ { 1 } \langle S _ { 2 } | \hat { H } _ { 2 } | S _ { 1 } \rangle f ( S _ { 1 } ) = E \int _ { 0 } ^ { S _ { \textrm { m a x } } } d S _ { 1 } \langle S _ { 2 } | S _ { 1 } \rangle f ( S _ { 1 } )
\begin{array} { r l r } & { } & { \psi ( x , x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { p \rightarrow 0 } ( \ln { p } + \gamma ) ^ { 2 } \left( h ( x , x _ { 0 } ; p ) - H _ { 0 } - \frac { H _ { 1 } ( x , x _ { 0 } ) } { \ln { p } + \gamma } \right) , } \\ & { } & { H _ { 1 } ( x , x _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { p \rightarrow 0 } ( \ln { p } + \gamma ) \left( h ( x , x _ { 0 } ; p ) - H _ { 0 } \right) , } \\ & { } & { H _ { 0 } = \operatorname* { l i m } _ { p \rightarrow 0 } h ( x , x _ { 0 } ; p ) , } \\ & { } & { h ( x , x _ { 0 } ; p ) = 4 \pi ^ { 2 } \cdot \frac { v ( x , x _ { 0 } ; p ) - g _ { 0 } ( x , x _ { 0 } ; p ) } { ( 1 + \gamma ( \ln { p } ) ^ { - 1 } ) ^ { 2 } p ^ { 2 } \ln { p } } , } \\ & { } & { g _ { 0 } ( x , x _ { 0 } ; p ) = - \frac { 1 } { \pi } \left( 1 + \frac { \gamma } { \ln { p } } + \frac { 1 } { \ln { p } } \ln { | x - x _ { 0 } | } + | x - x _ { 0 } | ^ { 2 } p ^ { 2 } \right) + } \\ & { } & { + \left( \frac { p ^ { 2 } | x - x _ { 0 } | ^ { 2 } } { \ln { p } } \ln { | x - x _ { 0 } | } + ( \gamma - 1 ) \frac { p ^ { 2 } | x - x _ { 0 } | ^ { 2 } } { \ln { p } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \dot { \psi } | \hat { A } ( \psi ) \psi \rangle } & { { } = \langle \hat { A } ( \psi ) \psi | \dot { \psi } \rangle ^ { \ast } = i \hbar ^ { - 1 } \langle \hat { A } ( \psi ) \psi | \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \psi ) \psi \rangle ^ { \ast } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda } & { = \frac { 1 } { A } \left( \bar { K } - \int _ { M } f \mathrm { e } ^ { 2 u } d \mu _ { \bar { g } } \right) \le - \frac { 1 } { A } \int _ { M } f \mathrm { e } ^ { 2 u } d \mu _ { \bar { g } } } \\ & { = \frac { 1 } { A } \left( E _ { f } ( u ) - \frac 1 2 \int _ { M } ( | \nabla _ { \bar { g } } u | _ { \bar { g } } ^ { 2 } + 2 \bar { K } u ) d \mu _ { \bar { g } } \right) \le \frac { 1 } { A } \left( E _ { f } ( u ) + | \bar { K } | \bar { u } \right) } \\ & { \le \frac { \varepsilon } { 2 } + \frac { | \bar { K } | } { 2 } \frac { \log ( A ) } { A } < \varepsilon , } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta n = \delta n \, e ^ { \textrm { i } ( k x - \omega t ) } , \qquad \delta v = \delta v \, e ^ { \textrm { i } ( k x - \omega t ) } , \qquad \delta E = \delta E \, e ^ { \textrm { i } ( k x - \omega t ) } , } \end{array}
\Delta \xi = \int _ { \Delta _ { * } } ^ { \Delta _ { \# } } \! \! \frac { \varepsilon \, s _ { - \varepsilon } \: d \Delta } { \sqrt { \bar { \gamma } ^ { 2 } ( \Delta ; Z ) - \mu ^ { 2 } } } = \displaystyle \int _ { \Delta _ { * } } ^ { \Delta _ { \# } } \! \! d \Delta \left[ \frac { \varepsilon \bar { \gamma } ( \Delta ; Z ) } { \sqrt { \bar { \gamma } ^ { 2 } ( \Delta ; Z ) - \mu ^ { 2 } } } - 1 \right]
\begin{array} { r l } { R _ { i j } } & { = R _ { i j } ^ { W } + \tilde { R } _ { i j } } \\ { R _ { i j } ^ { W } } & { = \frac { 1 } { W ^ { 2 } } \left[ W \left( \tilde { D } _ { i } \tilde { D } _ { j } W + \tilde { \gamma } _ { i j } \tilde { D } _ { l } \tilde { D } ^ { l } W \right) - 2 \tilde { \gamma } _ { i j } \tilde { D } ^ { l } W \tilde { D } _ { l } W \right] } \\ { \tilde { R } _ { i j } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \gamma } ^ { l m } \partial _ { i } \partial _ { j } \tilde { \gamma } _ { l m } + \tilde { \gamma } _ { k ( i } \partial _ { j ) } \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { k } + \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { k } \tilde { \Gamma } _ { ( i j ) k } } \\ & { \; \; \; \; + \tilde { \gamma } ^ { l m } \left( 2 \tilde { \Gamma } _ { l ( i } ^ { k } \tilde { \Gamma } _ { j ) k m } + \tilde { \Gamma } _ { i m } ^ { k } \tilde { \Gamma } _ { k l j } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( \mathbf { x } , t ) } & { { } = 2 j _ { c } \tilde { U } ( t ) \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { p } } \chi _ { a } ( \lvert \mathbf { x } - \mathbf { R } _ { i } \rvert ) } \end{array}
{ \cal A } _ { \mathrm { C P } } ^ { ( + ) } \equiv \frac { | A ( B ^ { + } \to J / \psi K ^ { + } ) | ^ { 2 } - | A ( B ^ { - } \to J / \psi K ^ { - } ) | ^ { 2 } } { | A ( B ^ { + } \to J / \psi K ^ { + } ) | ^ { 2 } + | A ( B ^ { - } \to J / \psi K ^ { - } ) | ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { X _ { t } ^ { \prime } - X _ { t } } & { \ge X _ { t _ { m + 1 } } ^ { \prime } - X _ { t _ { m + 1 } } } \\ & { = \Delta _ { m } ^ { \prime } - \Delta _ { m } + X _ { t _ { m } } ^ { \prime } - X _ { t _ { m } } } \\ & { \ge 2 ^ { m / 2 } / m ^ { 2 } + X _ { t _ { N } } ^ { \prime } - X _ { t _ { N } } } \\ & { \ge \sqrt t \cdot e ^ { - 5 C \log \log t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } | \nabla ^ { 2 } \mathcal { N } ( \mathbf { x } ) - \nabla ^ { 2 } \phi ( \mathbf { x } ) | ^ { 2 } \, d \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } & { \leq 2 \int _ { \Omega } \left( | | \nabla \mathcal { N } ( \mathbf { x } ) | | ^ { a } + | | \nabla \phi ( \mathbf { x } ) | | ^ { b } \right) | | \nabla \mathcal { N } ( \mathbf { x } ) - \nabla \phi ( \mathbf { x } ) | | ^ { 2 } \, d \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } \\ & { \leq 2 \left[ \int _ { \Omega } \left( | | \nabla \mathcal { N } ( \mathbf { x } ) | | ^ { a } + | | \nabla \phi ( \mathbf { x } ) | | ^ { b } \right) ^ { p } \, d \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \right] ^ { \frac { 1 } { p } } \left[ \int _ { \Omega } | | \nabla \mathcal { N } ( \mathbf { x } ) - \nabla \phi ( \mathbf { x } ) | | ^ { 2 q } \, d \nu _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \right] ^ { \frac { 1 } { q } } } \end{array}
\vec { f } _ { D } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \rho \cdot \frac { C _ { D } \cdot A _ { r e f } } { m } \cdot | \vec { v } _ { r e l } | ^ { 2 } \cdot \frac { \vec { v } _ { r e l } } { | \vec { v } _ { r e l } | } ,
\begin{array} { r l r } { f _ { z } } & { { } = } & { \Lambda _ { z } ^ { ( 1 ) } \left[ 2 a _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { i n c } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] } \end{array}
\pi _ { i } ^ { - 1 } ( x ) = \left\{ V _ { i } \subset { E _ { - i } } _ { | _ { x } } \; \middle | \; \exists \, ( x _ { n } ) \in M _ { \mathrm { r e g } , \mathfrak F } ^ { \mathbb { N } } , \, \mathrm { s u c h ~ t h a t } , \, \; \mathrm { i m } ( \mathrm { d } _ { x _ { n } } ^ { ( i + 1 ) } ) \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } V _ { i } \; a s \; x _ { n } \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } x \right\} .
H ^ { 0 } = 2 [ ( p _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) + ( p _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ] _ { p _ { 0 } = \mu } \, \, = \, \, P _ { 0 } ^ { 2 } - 2 ( E _ { 1 } ^ { 2 } + E _ { 2 } ^ { 2 } ) + 4 \mu ^ { 2 } ,
w _ { a } ( { \pmb x } ) = \frac { 1 } { 8 \pi \mu } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { M _ { \alpha \, { \pmb \alpha } _ { n } } ( { \pmb \xi } ) } { n ! } \nabla _ { { \pmb \alpha } _ { n } } S _ { a \, \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } )
{ \bf J } _ { \mu } ^ { \mathcal { H } ^ { + } } [ \mathbf { U } _ { - } ] = \chi _ { \widetilde { \delta } } \left( \mathbf { T } _ { \mu \nu } [ \mathbf { U } _ { - } ] T ^ { \nu } + \frac { c M ^ { \alpha } } { r ^ { 1 + \alpha } } \nabla _ { \mu } \left| \mathbf { U } _ { - } \right| ^ { 2 } - \nabla _ { \mu } \left( \frac { c M ^ { \alpha } } { r ^ { 1 + \alpha } } \right) \left| \mathbf { U } _ { - } \right| ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \Delta x ^ { i } } & { = x ^ { i } - x _ { 0 } ^ { i } = \sum _ { a = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { a } x _ { a } ^ { i } ( t ) } \\ & { = \int _ { - T } ^ { + T } \ensuremath { \operatorname { d } \! t \ u ^ { i } ( y , t ) + \int _ { - T } } ^ { + T } \ensuremath { \operatorname { d } \! t \int _ { - T } } ^ { t } \ensuremath { \operatorname { d } \! t ^ { \prime } \, u ( y , t ^ { \prime } ) \cdot \nabla u ^ { i } } ( y , t ) + \mathcal { O } ( u ^ { 3 } ) } \end{array}
j \, = \, { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad k \, = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { \; ~ 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } \, , \quad i \, = \, { \left[ \begin{array} { l l } { \; ~ 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] } ~ .
\mathrm { p v } \int \cot \Big ( \frac { z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) f ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } = \int \cot \Big ( \frac { z ( e ) - z ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) \frac { f ( e ^ { \prime } ) z _ { e } ( e ) - f ( e ) z _ { e } ( e ^ { \prime } ) } { z _ { e } ( e ) } \, \mathrm { d } e ^ { \prime } \, ,
\begin{array} { r l } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { W B R M } } ( \omega ) } & { = \sum _ { j , j ^ { \prime } } \sum _ { \mathbf { k } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } s f _ { j , j ^ { \prime } } ( \textbf { k } , t , s ) e ^ { - i \Phi _ { j , j ^ { \prime } } ( \textbf { k } , t , s ) + i \omega t } , } \\ { f _ { j , j ^ { \prime } } ( \textbf { k } , t , s ) } & { = \omega \left| \tilde { w } _ { v } \right| ^ { 2 } \left| a _ { j } ( t ) \right| \left[ \textbf { d } _ { \mu } ^ { k } \right] ^ { * } \left| a _ { j ^ { \prime } } ( s ) \right| \textbf { F } ( s ) \cdot \textbf { d } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } , } \\ { \Phi _ { j , j ^ { \prime } } ( \textbf { k } , t , s ) } & { = \int _ { s } ^ { t } E _ { c } \textbf { ( } \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) \textbf { ) } \mathrm { d } t ^ { \prime } + \varphi _ { a _ { j } } ( t ) - \textbf { k } \cdot \textbf { x } _ { j } - \varphi _ { a _ { j ^ { \prime } } } ( s ) + \kappa ( \textbf { k } , t , s ) \cdot \textbf { x } _ { j ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } [ v _ { i } ( x ) , v _ { \mathrm { w } } ( x ) ] } & { = \frac { 1 } { 2 } \int \left[ \sum _ { i } \rho _ { i } \left[ \xi _ { i } ( v _ { i } - v _ { \mathrm { w } } ) ^ { 2 } + \lambda _ { i } v _ { i } ^ { 2 } \right] \pi R ( x ) ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } v _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } 2 \pi R ( x ) \right] d x } \\ & { + \frac { d } { d t } \int \sum _ { i } \rho _ { i } \mu _ { i } \pi R ( x ) ^ { 2 } d x - \int p ( x ) \frac { d } { d x } \left[ \pi R ( x ) ^ { 2 } v _ { \mathrm { w } } \right] d x , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { | [ N ] _ { q } | ^ { 2 } } \sum _ { n \equiv a \pmod { q } } ( f \ast f ) ( n ) - \frac { 1 } { \varphi ( q ) ^ { 2 } } ( g \ast g ) ( a ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \pmod { q } } \left( \left( \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right) ^ { 2 } - \left( \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right) ^ { 2 } \right) \chi ( a ) . } \end{array} } \end{array}
\mathbf { I } _ { R } = [ A _ { N } ^ { ( - P ) } , C _ { N } ^ { ( - P ) } , A _ { N } ^ { ( - P + 1 ) } , C _ { N } ^ { ( - P + 1 ) } , \cdots , A _ { N } ^ { ( P ) } , C _ { N } ^ { ( P ) } ] ^ { T } ,
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { 4 \pi } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \left[ 1 + \tau D _ { r } n ( n + 1 ) \right] Y _ { n } ^ { m } + \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { E } = J ^ { - 1 } \left( \xi _ { t } \overline { { Q } } + \xi _ { x } \overline { { E } } + \xi _ { y } \overline { { F } } + \xi _ { z } \overline { { G } } \right) \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { F } = J ^ { - 1 } \left( \eta _ { t } \overline { { Q } } + \eta _ { x } \overline { { E } } + \eta _ { y } \overline { { F } } + \eta _ { z } \overline { { G } } \right) \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { G } = J ^ { - 1 } \left( \zeta _ { t } \overline { { Q } } + \zeta _ { x } \overline { { E } } + \zeta _ { y } \overline { { F } } + \zeta _ { z } \overline { { G } } \right) \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { p } } _ { 0 } } & { { } = \frac { 2 \pi a ^ { 2 } J _ { 0 z } ^ { 2 } ( 0 ) } { c ^ { 2 } \left( \alpha _ { J } + 1 \right) } \Bigg [ \frac { \left( 1 - x ^ { 2 } \right) ^ { \alpha _ { J } + 1 } } { 2 \left( \alpha _ { J } + 1 \right) } { _ 2 } F _ { 1 } \left( 1 , \alpha _ { J } + 1 , \alpha _ { J } + 2 , 1 - x ^ { 2 } \right) } \end{array}
\mathcal { H } ( \{ S _ { i } \} ) = \frac { \xi } { 2 x _ { T } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { M } ( S _ { i } + q _ { i } ) ( S _ { j } + q _ { j } ) e ^ { - | i - j | / \xi } \equiv \frac { 1 } { 2 x _ { T } } ( S + q ) ^ { T } C ( S + q ) .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c } } = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j } ^ { \mathrm { o c c . } } \iint d \mathbf { r } d \mathbf { r } ^ { \prime } \phi _ { i } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \phi _ { j } ^ { * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \frac { \alpha ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } \phi _ { j } ( \mathbf { r } ) \phi _ { i } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \varepsilon _ { \mathrm { r } } - 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { r } } + 2 } } & { = } & { A _ { \varepsilon } \rho \left( 1 + b \rho + c \rho ^ { 2 } + d \rho ^ { 3 } + \ldots \right) } \\ & { = } & { \rho \left( A _ { \varepsilon } + B _ { \varepsilon } \rho + C _ { \varepsilon } \rho ^ { 2 } + D _ { \varepsilon } \rho ^ { 3 } + \ldots \right) . } \end{array}
\widetilde { E } ^ { z } ( t , Z ) = 4 \pi e \left\{ \widetilde { N } [ z _ { e } ( t , Z ) ] - \widetilde { N } ( Z ) \right\} , \qquad \hat { E } ^ { z } ( \xi , Z ) = 4 \pi e \left\{ \widetilde { N } [ \hat { z } _ { e } ( \xi , Z ) ] - \widetilde { N } ( Z ) \right\} ,
\begin{array} { r l r } { ~ f _ { 1 } ( \omega ) } & { = } & { \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } a _ { m } \frac { ( \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } ) ^ { 2 } } + b _ { 1 } , } \\ { f _ { 2 } ( \omega ) } & { = } & { \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } c _ { m } \frac { ( \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } ) ^ { 2 } ( \omega - \omega _ { 0 } ) } { ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \frac { \Gamma _ { m } } { 2 } ) ^ { 2 } } + b _ { 2 } . } \end{array}
\Vert [ \hat { \nu } ( { \bf k } , \lambda ) ] _ { 1 1 } \Vert : = \operatorname* { s u p } _ { { \bf k } } | [ \hat { \nu } ( { \bf k } , \lambda ) ] _ { 1 1 } | \le \operatorname* { s u p } _ { { \bf k } } \sum _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } | [ ( 1 + \hat { R } ) \hat { \Sigma } ^ { r } ( { \bf k } , \lambda ) ] _ { 1 1 } | \le 2 \operatorname* { s u p } _ { { \bf k } } \sum _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } | [ \hat { \Sigma } ^ { r } ( { \bf k } , \lambda ) ] _ { 1 1 } | .
\begin{array} { r } { l m \partial _ { t } q + q = - \left( \frac { l } { T ^ { 2 } } + \frac { \textrm { d } l _ { 2 } ( T ) } { \textrm { d } T } \partial _ { x } q \right) \partial _ { x } T + l l _ { 2 } ( T ) \partial _ { x x } q . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ( \gamma ) = \left\{ \begin{array} { l l } { s ( \gamma ) \rtimes \operatorname { i d } _ { R ^ { \theta ( g ) } } } & { \Gamma ( \gamma ) = 1 } \\ { ( \operatorname { i d } _ { c } \rtimes ( \operatorname { i d } _ { R ^ { \theta ( g ) } } \otimes ( - 1 ) ^ { F } ) ) ( s ( \gamma ) \rtimes \operatorname { i d } _ { R ^ { \theta ( g ) } } ) } & { \Gamma ( \gamma ) = c . } \end{array} \right. } \end{array}
\Delta { H } _ { \Theta } = T _ { 1 } \Delta { S } _ { \Theta } = - T _ { 1 } \Delta [ ( \partial { F _ { \Theta } } / \partial { t } ) _ { m } ] = \frac { 1 } { 2 } \Delta [ T _ { 1 } b _ { 2 } m ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { 2 \int _ { \Omega } \theta u \cdot \nabla \eta } & { = \frac { 1 } { \delta } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { h ( y _ { 1 } ) + \delta } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \theta u \cdot n _ { - } \ d y _ { 2 } \ d y _ { 1 } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \delta } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \int _ { 1 + h ( y _ { 1 } ) - \delta } ^ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \theta u \cdot n _ { - } \ d y _ { 2 } \ d y _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \nabla _ { X } \phi _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } & { { } = \nabla _ { X } \phi ( \vec { x } , z , \omega ) } \\ { \frac { 1 } { k _ { 0 } } \left\langle \nabla _ { X } \phi _ { m } ( \vec { x } , z , \omega ) \right\rangle } & { { } = \vec { v } _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial t } + \textbf { u } \cdot \nabla \phi _ { 1 } } & { = \nabla \cdot \textbf { a } _ { 1 } , } \\ { \frac { \partial \psi } { \partial t } + \textbf { u } \cdot \nabla \psi } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } \textbf { u } ) } & { = \nabla \cdot \textbf { R } _ { 1 } , } \\ { \frac { \partial \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } \textbf { u } ) } & { = \nabla \cdot \textbf { R } _ { 2 } , } \\ { \frac { \partial \rho \textbf { u } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \textbf { u } \otimes \textbf { u } + P \mathbb { I } ) } & { = \nabla \cdot ( \textbf { f } \otimes \textbf { u } ) + \nabla \cdot \boldsymbol { \tau } + \sigma \kappa \widehat { \textbf { n } } \delta _ { \Gamma } + \rho \textbf { g } , } \\ { \frac { \partial \rho E } { \partial t } + \nabla \cdot ( ( \rho E + P ) \textbf { u } ) } & { = \nabla \cdot ( \textbf { f } k ) + \sum _ { l = 1 } ^ { 2 } \nabla \cdot ( \rho _ { l } H _ { l } \textbf { a } _ { l } ) + \nabla \cdot ( \boldsymbol { \tau } \cdot \textbf { u } ) } \\ & { + \sigma \kappa \textbf { u } \cdot \widehat { \textbf { n } } \delta _ { \Gamma } + \rho \textbf { g } \cdot \textbf { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { N } _ { ( j , p , d ) } = } & { { } - { ( \omega _ { p } - \omega _ { d } ) k _ { j } m _ { j } } \left[ \left( U _ { p } \bar { U } _ { d } ( k _ { j } ) + U _ { p } \bar { V } _ { d } l _ { p } - V _ { p } \bar { U } _ { d } l _ { d } + U _ { p } m _ { p } - m _ { d } \bar { U } _ { d } \right) \right] } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { - g } } { \cal L } = \frac { 1 } { 2 \kappa } R - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \phi \cdot \partial _ { \nu } \phi - \frac { 1 } { 2 } \exp ( - 2 \frac { \phi } { f _ { \phi } } ) g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } a \cdot \partial _ { \nu } a
{ \cal L } _ { \pi N \Delta } ^ { ( 1 ) } = g _ { \pi N \Delta } \left\{ \bar { \psi } _ { i } ^ { \mu } \; \Theta _ { \mu \alpha } ( z _ { 0 } ) \; w _ { i } ^ { \alpha } \; \psi _ { N } + \bar { \psi } _ { N } \; w _ { i } ^ { \alpha \dagger } \; \Theta _ { \alpha \mu } ( z _ { 0 } ) \; \psi _ { i } ^ { \mu } \right\}
\begin{array} { r l } { { 6 ( F ^ { n } - S _ { u v , 2 } ^ { n } ) } } & { = { \cal O } ( T e r m 3 ) ^ { n } + { \cal O } ( T e r m 4 ) ^ { n } | _ { r ^ { 3 } } + { \cal O } ( T e r m 5 ) ^ { n } | _ { r ^ { 3 } } + { \cal O } ( T e r m 6 ) ^ { n } + { \cal O } ( T e r m 7 ) ^ { n } , } \\ { { 6 ( 1 - S _ { u v , 2 } ^ { s } / S _ { 4 } ^ { s } ) F ^ { s } } } & { = { \cal O } ( T e r m 3 ) ^ { s } + { \cal O } ( T e r m 4 ) ^ { s } | _ { r ^ { 3 } } + { \cal O } ( T e r m 5 ) ^ { s } | _ { r ^ { 3 } } + { \cal O } ( T e r m 6 ) ^ { s } + { \cal O } ( T e r m 7 ) ^ { s } , } \end{array}
\Phi ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 \epsilon \left[ \left( \frac { D } { x } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { D } { x } \right) ^ { 6 } \right] + \epsilon } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \leq 2 ^ { \frac { 1 } { 6 } } D \, , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x > 2 ^ { \frac { 1 } { 6 } } D } \end{array} \right.
\frac { \partial \hat { E } _ { y } } { \partial t } = - \frac { k _ { y } ^ { 2 } \hat { { j } } } { \epsilon ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } ) } - \frac { \hat { E } _ { y } } { \tau }
\mathcal { P } _ { c } ( \gamma ) = \sum _ { k = 0 } ^ { m _ { s } - 1 } \int _ { 0 } ^ { R _ { L } } \frac { ( - s ) ^ { k } } { k ! } { \Bigg [ \frac { \partial ^ { k } \mathcal { L } _ { I _ { t o t } } ( s | r _ { 1 } ) } { \partial { s ^ { k } } } \Bigg ] } _ { s = \frac { m _ { s } \gamma r _ { 1 } ^ { \alpha _ { L } } } { p \, K \, g _ { m a x } ^ { 2 } } } f _ { r _ { 1 } } ( r _ { 1 } ) \mathrm { d } r _ { 1 } ,
\begin{array} { r } { \omega \in [ \omega _ { a } - \pi f _ { s } ; \omega _ { a } - \frac { 2 \pi } { T _ { \mathrm { o b s } } } ] \cup [ \omega _ { a } + \frac { 2 \pi } { T _ { \mathrm { o b s } } } ; \omega _ { a } + \pi f _ { s } ] \, . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial \Phi } { \partial r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \theta ^ { 2 } } = \frac { R e P r } { 2 } \left( u \frac { \partial \Phi } { \partial r } + \frac { v } { r } \frac { \partial \Phi } { \partial \theta } + \frac { \partial \Phi } { \partial t } \right) .
l _ { i } ^ { q } \Phi _ { q } ^ { \alpha } = l _ { i } ^ { q } \partial _ { q } \varphi ^ { \alpha } ( x ) ~ ~ ~ \Rightarrow ~ ~ ~ \Phi _ { q } ^ { \alpha } = l _ { q } \Phi ^ { \alpha } + \partial _ { q } \varphi ^ { \alpha } ( x ) .
\begin{array} { r l } { \big ( { \cal L } _ { \mathtt m } f , f \big ) _ { L ^ { 2 } } } & { \lesssim \| \partial _ { y } f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| Q _ { \mathtt m } \| _ { L ^ { \infty } } \| f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \lesssim \| \partial _ { y } f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \, , } \\ { \| \partial _ { y } f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \lesssim \big ( { \cal L } _ { \mathtt m } f , f \big ) _ { L ^ { 2 } } + | \big ( Q _ { \mathtt m } f , f \big ) _ { L ^ { 2 } } | \lesssim \big ( { \cal L } _ { \mathtt m } f , f \big ) _ { L ^ { 2 } } + \| f \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \lesssim \big ( { \cal L } _ { \mathtt m } f , f \big ) _ { L ^ { 2 } } \, . } \end{array}