harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { H } _ { \mathrm { ~ 3 ~ D ~ } } ( \mathbf { \check { q } } , \mathbf { \overline { { q } } } ) = \mathbf { H } ( \mathbf { \check { q } } , \mathbf { \overline { { q } } } ) + \mathbf { H } _ { z } ( \mathbf { \check { q } } , \mathbf { \overline { { q } } } )
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \Delta ^ { 2 } F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { 2 } } } } & { = { \frac { \Delta F ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } = { \frac { { \frac { \Delta F ( P _ { 1 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } - { \frac { \Delta F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } } { \Delta _ { 1 } P } } , } \\ & { = { \frac { { \frac { F ( P _ { 2 } ) - F ( P _ { 1 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } - { \frac { F ( P _ { 1 } ) - F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } } { \Delta _ { 1 } P } } , } \\ & { = { \frac { F ( P _ { 2 } ) - 2 F ( P _ { 1 } ) + F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { 2 } } } ; } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { { \frac { f _ { \beta } ( y / \beta ) } { \beta } } } & { = { \frac { 1 } { \beta } } { \frac { \beta ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha ) } } \left( { \frac { y } { \beta } } \right) ^ { - \alpha - 1 } \exp ( - y ) } \\ & { = { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) } } \left( y \right) ^ { - \alpha - 1 } \exp ( - y ) } \\ & { = f _ { \beta = 1 } ( y ) } \end{array} }
m _ { { \tilde { W } } _ { 1 } } \simeq \frac { 1 } { 3 } ~ m _ { { \tilde { g } } } ~ \mathrm { f o r } ~ \mu < 0 ; ~ m _ { { \tilde { W } } _ { 1 } } \simeq \frac { 1 } { 4 } ~ m _ { { \tilde { g } } } ~ \mathrm { f o r } ~ \mu > 0
\left< \delta u _ { L } ^ { 3 } ( r ) \right> = - \frac { 4 } { 5 } \epsilon _ { V } r , \ S _ { 3 } ^ { V } \equiv \left< \delta u _ { L } \Sigma _ { i } \delta u _ { i } ^ { 2 } \right> = - \frac { 4 } { 3 } \epsilon _ { V } r \ ,
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] } & { = } & { \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 3 } ^ { ( - 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] \right) } \\ & { } & { + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 3 } ^ { ( - 3 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] \right) } \\ & { } & { + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 1 } ^ { ( + 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 3 } ^ { ( + 1 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] \right) } \\ & { } & { + \left( \left[ \langle N | \hat { V } _ { 3 } \hat { R } _ { 3 } ^ { ( + 3 ) } \hat { V } _ { 3 } | N \rangle \right] \right) . } \end{array}
\textbf { U } = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u _ { j } } \\ { \rho E } \end{array} \right] , \textbf { G } _ { i } = \left[ \begin{array} { l } { \rho u _ { i } } \\ { \rho u _ { i } u _ { j } + p \delta _ { i j } } \\ { ( \rho E + p ) u _ { i } } \end{array} \right] , E = e + \frac { u _ { i } ^ { 2 } } { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a y } ( \hat { \mathbf { X } } ) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { \left( \mathbf { I } + \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) \right) \mathbf { y } } \\ { \mathbf { 0 } } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
m _ { t } ^ { 2 } \longrightarrow ( m _ { t } ^ { \mathrm { e f f . } } ) ^ { 2 } = m _ { t } ^ { 2 } + 2 S _ { 3 } ^ { 2 } m _ { t } ( m _ { Q } - m _ { t } ) + S _ { 3 } ^ { 2 } ( S _ { 2 } ^ { 2 } + S _ { 3 } ^ { 2 } - S _ { 2 } ^ { 2 } S _ { 3 } ^ { 2 } ) ( m _ { Q } - m _ { t } ) ^ { 2 } .
\Omega _ { \mathrm { p r o p e r } ( \mathcal { P } ) } = \overline { { \mathbb { C } ( \mathbf { f } ) } } ^ { 3 } \setminus \mathbb { V } _ { \overline { { \mathbb { C } ( \mathbf { f } ) } } } \left( a _ { 1 } a _ { 2 } \left( a _ { 1 } - a _ { 2 } \right) \left( a _ { 1 } ^ { 6 } + a _ { 1 } ^ { 5 } a _ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 4 } a _ { 2 } ^ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 3 } a _ { 2 } ^ { 3 } + a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 4 } + a _ { 1 } a _ { 2 } ^ { 5 } + a _ { 2 } ^ { 6 } \right) a _ { 3 } \right) .
t ( 0 ) = 0 , \; \; t ( \tau _ { \mathrm { h o r } } ) = \infty , \; \; t ( \frac { \omega _ { 2 } } { 2 } ) = \frac { E l r _ { m } } { 2 \sqrt { M H _ { 2 } } \sqrt { r _ { m } ^ { 2 } - M l ^ { 2 } } } \frac { Z [ \epsilon , k ] } { \sqrt { r _ { m } ^ { 2 } ( 1 - k ^ { 2 } ) + k ^ { 2 } M l ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } & { \parallel \! \rho ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( p ) \hat { \gamma } _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } - \rho ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( p ) \! \parallel _ { 2 } } \\ { \le } & { \parallel \! \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \! \parallel _ { \infty } \parallel \! \rho ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( p ) \hat { \gamma } _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } - \rho ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( p ) \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \! \parallel _ { 2 } } \\ { \le } & { \parallel \! \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \! \parallel _ { \infty } \tau ( \rho ( p ) \hat { \gamma } _ { p } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } - 2 \rho ( p ) \hat { \gamma } _ { p } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } + \rho ( p ) \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } ) } \\ { = } & { \parallel \! \sigma _ { { { \mathrm { t r } } } } ^ { \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \! \parallel _ { \infty } \tau ( \rho ( p ) E _ { N } ( \rho ( p ) ) ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } - 2 \rho ( p ) E _ { N } ( \rho ( p ) ) ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } + \rho ( p ) \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ^ { - \frac { 1 } { p ^ { \prime } } } ) \to 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { T R } \left\lbrack \vec { E } \right\rbrack \left( \vec { r } , \omega \right) } & { = } & { \vec { E } ^ { \star } \left( \vec { r } , \omega \right) , } \\ { \mathrm { T R } \left\lbrack \vec { B } \right\rbrack \left( \vec { r } , \omega \right) } & { = } & { - \vec { B } ^ { \star } \left( \vec { r } , \omega \right) . } \end{array}
I _ { 2 } \; : = \; \frac { 1 } { N } \left[ \ln ( 2 L ) \; + \; \ln \left( \frac { e } { 2 } \sqrt { \frac { N } { \pi } } \right) \; + \; \mathrm { K } _ { 0 } \left( 2 L e \sqrt { \frac { N } { \pi } } \right) \; + \; \gamma \right] \; .
\begin{array} { r l } & { \big \| ( \tilde { \sigma } _ { t } \ast \varphi _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } ) - \varphi _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } \big \| _ { \textup { L } ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg | \frac { 1 } { t } \int _ { \mathbb { R } } \bigg ( \varphi _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } \Big ( x + u , y + \frac { u ^ { \beta } } { t ^ { \beta - 1 } } \Big ) - \varphi _ { \varrho ^ { - 1 } b _ { j } } ( x , y ) \bigg ) \psi \Big ( \frac { u } { t } \Big ) \, \textup { d } u \bigg | \, \textup { d } ( x , y ) } \\ & { \leqslant \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \frac { 1 } { t } \int _ { \mathbb { R } } \Big | \varphi _ { 1 } \Big ( x + \frac { u \varrho } { b _ { j } } , y + \frac { u ^ { \beta } \varrho } { b _ { j } t ^ { \beta - 1 } } \Big ) - \varphi _ { 1 } ( x , y ) \Big | \, \psi \Big ( \frac { u } { t } \Big ) \, \textup { d } u \, \textup { d } ( x , y ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W \left( \lambda _ { 0 } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) \right] _ { t = - \infty } ^ { t = - t _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) + \pi \right] _ { t = - t _ { 1 } } ^ { t = t _ { 1 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 \pi } \left[ \tan ^ { - 1 } \Lambda \left( t \right) \right] _ { t = t _ { 1 } } ^ { t = + \infty } } \\ & { = 0 . } \end{array}
{ \cal M } _ { ( n ) } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { M _ { Z } ^ { 2 } } } & { { M _ { Z Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \\ { { M _ { Z Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } } & { { M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { a _ { i } ^ { \dagger } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left[ X _ { i + 1 } ^ { \leftarrow } \otimes ( X _ { i } \otimes Z _ { i - 1 } - i Y _ { i } ) \right] , } \\ { a _ { i } } & { \equiv \frac { 1 } { 2 } \left[ X _ { i + 1 } ^ { \leftarrow } \otimes ( X _ { i } \otimes Z _ { i - 1 } + i Y _ { i } ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \left| \tilde { \alpha } ( \omega ) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \pi \left( 1 + \omega ^ { 2 } \right) } \int \int e ^ { - i \omega ( t - t ^ { \prime } ) } \left\langle \zeta ( t ) \zeta ^ { * } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle d t d t ^ { \prime } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { b } _ { k l m } } & { { } = } & { \frac { \nu _ { k k } \, \vec { b } _ { k k } + \nu _ { k l } \, \vec { b } _ { k l } + \nu _ { k m } \, \vec { b } _ { k m } } { \nu _ { k k } + \nu _ { k l } + \nu _ { k m } } \, , } \\ { \vec { b } _ { l m k } } & { { } = } & { \frac { \nu _ { l l } \, \vec { b } _ { l l } + \nu _ { l m } \vec { b } _ { l m } + \nu _ { l k } \, \vec { b } _ { l k } } { \nu _ { l l } + \nu _ { l m } + \nu _ { l k } } \, , } \\ { \vec { b } _ { m k l } } & { { } = } & { \frac { \nu _ { m m } \, \vec { b } _ { m m } + \nu _ { m k } \, \vec { b } _ { m k } + \nu _ { m l } \, \vec { b } _ { m l } } { \nu _ { m m } + \nu _ { m k } + \nu _ { m l } } } \end{array}
r \left( x ^ { - 1 } \right) \approx \frac { a _ { m + 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( x ^ { - 1 } - c _ { i } \right) } { b _ { m + 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \left( x ^ { - 1 } - d _ { j } \right) } = \frac { a _ { m + 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( 1 - c _ { i } x \right) } { b _ { m + 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \left( 1 - d _ { j } x \right) } \, ,
\begin{array} { r l } { Z \propto \langle W \rangle _ { \rho } } & { { } \propto \int _ { - \infty } ^ { \infty } W \times { \rho } \ \mathrm { d } x \mathrm { d } p \mathrm { d } { \bf { X } } \mathrm { d } { \bf { P } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T ^ { 1 } ( N ) \cdot T ^ { 1 } ( S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { K , K ^ { \prime } } \delta _ { N , N ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N ^ { \prime } + F _ { 1 } + G } \left\{ \begin{array} { c c c } { G ^ { \prime } } & { N ^ { \prime } } & { F _ { 1 } } \\ { N } & { G } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times \sqrt { N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G ^ { \prime } + S + 1 + I } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { G ^ { \prime } } & { I } \\ { G } & { S } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\cdot \partial _ { \mu _ { 1 } } X ^ { m _ { 1 } } \cdots \partial _ { \mu _ { 2 q - 2 k } } X ^ { m _ { 2 q - 2 k } } \cdot F _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \cdots F _ { \nu _ { 2 k - 1 } \nu _ { 2 k } } \quad .
\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \approx { \frac { b - a } { n } } \left( { \frac { f ( a ) } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \left( f \left( a + k { \frac { b - a } { n } } \right) \right) + { \frac { f ( b ) } { 2 } } \right) ,
\left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta \tilde { u } _ { k } = K _ { \tilde { u } _ { k } } e ^ { 2 \tilde { u } _ { k } } \geqslant e ^ { 2 \tilde { u } _ { k } } } & { \mathrm { o n ~ } \mathbb { B } _ { 1 } } \\ { \partial _ { n } \tilde { u } _ { k } + 1 \geqslant c e ^ { \tilde { u } _ { k } } } & { \mathrm { o n ~ } \mathbb S _ { 1 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r c c c l } { \operatorname { g r a d } f } & { \equiv } & { \nabla f } & { = } & { \left( d f \right) ^ { \sharp } } \\ { \operatorname { d i v } F } & { \equiv } & { \nabla \cdot F } & { = } & { { \star d { \star } ( F ^ { \flat } ) } } \\ { \operatorname { c u r l } F } & { \equiv } & { \nabla \times F } & { = } & { \left( { \star } d ( F ^ { \flat } ) \right) ^ { \sharp } } \\ { \Delta f } & { \equiv } & { \nabla ^ { 2 } f } & { = } & { { \star } d { \star } d f } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { \langle { \cal E } _ { m , n } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \, ( v _ { a } ^ { 2 } - v _ { b } ^ { 2 } ) \delta _ { m n } , } } & { { } } & { { \langle { \cal H } _ { m , n } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \, ( [ v _ { a } ^ { D } ] ^ { 2 } - [ v _ { b } ^ { D } ] ^ { 2 } ) \delta _ { m n } , } } \\ { { \langle \tilde { \cal H } _ { m , n } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \, ( v _ { a } ^ { 2 } - v _ { b } ^ { 2 } ) \delta _ { m n } , } } & { { } } & { { \langle \tilde { \cal E } _ { m , n } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \, ( [ v _ { a } ^ { D } ] ^ { 2 } - [ v _ { b } ^ { D } ] ^ { 2 } ) \delta _ { m n } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { C _ { \textup { s c } } L ^ { 2 } } { \lambda } \cdot \frac d { \beta ^ { 2 } T _ { 2 } ^ { 2 } } \cdot \frac { C _ { \textup { b a } } \log ^ { 3 } \kappa } { \lambda r ^ { 2 } } \le C _ { \textup { s c } } C _ { \textup { b a } } ^ { 3 } \cdot \frac { \kappa ^ { 2 } d } { \beta ^ { 2 } \log \kappa } \cdot \frac 1 K \cdot \frac 1 { T _ { 2 } ^ { 2 } } \le \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { C _ { \textup { s c } } L ^ { 2 } } { \lambda } \cdot \frac 1 { T _ { 2 } } \cdot \frac { C _ { \textup { b a } } \log ^ { 3 } \kappa } { \lambda r ^ { 2 } } \le C _ { \textup { s c } } C _ { \textup { b a } } ^ { 3 } \cdot \frac { \kappa ^ { 2 } } { \log \kappa } \cdot \frac 1 K \cdot \frac 1 { T _ { 2 } } \le \frac { 1 } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( ( F _ { 1 } ) _ { u _ { 1 } } , ( F _ { 2 } ) _ { u _ { 1 } } , ( F _ { 3 } ) _ { u _ { 1 } } , ( F _ { 4 } ) _ { u _ { 1 } } ) = ( e ^ { F _ { 4 } } \lambda ( u _ { 3 } ) , \, 0 , \, 0 , \, 0 ) , } \\ & { ( ( F _ { 1 } ) _ { u _ { 2 } } , ( F _ { 2 } ) _ { u _ { 2 } } , ( F _ { 3 } ) _ { u _ { 2 } } , ( F _ { 4 } ) _ { u _ { 2 } } ) = ( 0 , \, e ^ { F _ { 4 } } \lambda ( u _ { 3 } ) , \, 0 , \, 0 ) , } \\ & { ( ( F _ { 1 } ) _ { u _ { 3 } } , ( F _ { 2 } ) _ { u _ { 3 } } , ( F _ { 3 } ) _ { u _ { 3 } } , ( F _ { 4 } ) _ { u _ { 3 } } ) = ( 0 , \, 0 , \, e ^ { - 2 F _ { 4 } } \sin \beta ( u _ { 3 } ) , \, - \cos \beta ( u _ { 3 } ) ) . } \end{array}
\int \int \int \textbf { B } _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } ( \nabla \times \hat { \chi } _ { 1 } ) d V = \int \int \int \hat { \chi } _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } ( \nabla \times \textbf { B } _ { 1 } ) d V - \oint ( \textbf { B } _ { 1 } \times \hat { \chi } _ { 1 } ) \boldsymbol { \cdot } d S .
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta r _ { B Y } ^ { ( \alpha ) } ( S E , M _ { \zeta } = 0 , \Lambda = + \infty ) _ { \zeta } - \Delta r _ { S M } ^ { ( \alpha ) } ( S E , M _ { H } = 1 2 5 . 2 5 \ G e V , \Lambda = + \infty ) _ { H } } \\ & { } & { = - 6 6 . 4 7 3 \times 1 0 ^ { - 4 } , } \\ & { } & { \Delta r _ { B Y } ^ { ( \alpha ) } ( S E , M _ { \zeta } = 0 , \Lambda = 3 2 0 . 5 6 8 \ G e V ) _ { \zeta } } \\ & { } & { - \Delta r _ { S M } ^ { ( \alpha ) } ( S E , M _ { H } = 1 2 5 . 2 5 \ G e V , \Lambda = 3 2 0 . 5 6 8 \ G e V ) _ { H } = - 6 6 . 6 0 6 \times 1 0 ^ { - 4 } . } \end{array}
F _ { m } = \frac { 1 } { m d } \sqrt { \frac { m _ { t } ( m _ { t } I _ { A } - m ^ { 2 } d ^ { 2 } ) ( \bar { M } _ { w } + m g d \sin \theta _ { \mathrm { m } } ) } { \mu \sin 2 ( \theta _ { \mathrm { m } } - \beta ) } }
c = \operatorname* { d e t } { \left( \begin{array} { l l l } { z _ { 1 } } & { w _ { 1 } } & { 1 } \\ { z _ { 2 } } & { w _ { 2 } } & { 1 } \\ { z _ { 3 } } & { w _ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { I } _ { 1 , 0 } - \mathbf { I } _ { 0 , 1 } = \frac { 2 } { Q } } & { \Bigg [ \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { 2 L } - \frac { \mathrm { i } \sin ( \sqrt { Q } \tau ) } { 2 \sqrt { Q } } \left[ \mathbf { e } _ { j } , \mathbf { e } _ { j + 1 } \right] } \\ & { + \frac { ( - 1 ) ^ { j } \sin ^ { 2 } ( \sqrt { Q } \tau / 2 ) } { \sqrt { Q } } \left\{ \mathbf { e } _ { j } , \mathbf { e } _ { j + 1 } \right\} \Big ) + \frac { \mathrm { i } \sin ( \sqrt { Q } \tau ) } { \sqrt { Q } } L \Bigg ] . } \end{array}
\mathbf { M } : = { D } { \mathbf { u } } ^ { L } + { D } \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { x } } - \alpha ^ { 2 } N \nabla _ { \epsilon { \mathbf { x } } } \phi = : \mathbf { m } - \mathbf { p } \, , \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathbf { m } : = { D } { \mathbf { u } } ^ { L } + { D } \boldsymbol { \Omega } \times { \mathbf { x } } \, , \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { p } : = \alpha ^ { 2 } N \nabla _ { \epsilon { \mathbf { x } } } \phi \, .
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \alpha } } & { { } = } & { \omega _ { 1 } - \omega _ { e _ { \alpha } g _ { 1 } } , \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, \alpha = 1 , 2 , 3 } \\ { \Delta _ { \alpha } } & { { } = } & { \omega _ { 2 } - \omega _ { e _ { \alpha } g _ { 2 } } , \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, \alpha = 4 , 5 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { L ( [ x , y ] ) } { H ^ { \frac { 1 } { m } } } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | \dot { \alpha } ( t ) | } { \delta ( \alpha ( t ) ) ^ { \frac { 1 } { m } } } d t \lesssim \int _ { 0 } ^ { 1 } K ( \alpha ( t ) , \dot { \alpha } ( t ) ) d t = d _ { K } ( x , y ) } \\ & { \leq \log \left( 1 + \frac { A | x - y | } { \sqrt { \delta _ { \Omega } ( x ) \delta _ { \Omega } ( y ) } } \right) \lesssim \frac { | x - y | } { \sqrt { \delta ( x ) \delta ( y ) } } , } \end{array}
( 1 + S _ { f f } ) ^ { 2 } ( \mathrm { I m } M _ { f } ) ^ { 2 } + ( 1 - S _ { f f } ) ^ { 2 } ( \mathrm { R e } M _ { f } ) ^ { 2 } = ( 1 - S _ { f f } ^ { 2 } ) \overline { { { | M _ { f ^ { \prime } } ^ { 2 } | } } } .
\iint _ { \mathcal { A } ^ { \star } } | ( 1 - \widetilde { \chi } _ { 1 } ) r \mathcal { P } _ { \chi _ { \sharp } } W ^ { \sharp } { \widehat { u } } | ^ { 2 } \lesssim \mathcal { S } _ { 1 } ^ { \sharp } [ { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } \lesssim \mathcal { S } [ { \widehat { u } } ] _ { m } ^ { \omega } + \mathcal { N } _ { \sharp } [ H , H ] _ { m } ^ { \omega } \, ,
\begin{array} { r l } { \Vert G _ { 4 , i } ^ { \overline { { I } } ^ { i } , \beta } ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { \ell + 1 } } } & { \lesssim C _ { T } \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 2 } ) } \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { m - 1 } ) } . } \end{array}
\sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \partial _ { j } \frac { 1 } { \rho ^ { \prime } } \partial _ { j } P = \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { \Delta t } \Bigg ( \partial _ { j } u _ { j } ^ { * } - \partial _ { j } u _ { j } ^ { n + 1 } \Bigg ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \partial _ { j } \mathrm { S } _ { \partial _ { j } P } ^ { \Gamma } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \partial _ { j } \mathrm { S } _ { \partial _ { j } P } ^ { \mathrm { O } }
\begin{array} { r l } & { [ \mathcal { L } _ { B } ^ { * } , [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] ] \mu ( x , v ) = - \lambda _ { r } \mathcal { L } _ { B } ^ { * } \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \Big ) + [ \mathcal { L } _ { R } ^ { * } , \mathcal { L } _ { D } ^ { * } ] \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \Big ) } \\ & { = - \lambda _ { r } \Big ( \langle R ( x ) v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ) } \\ & { \quad + \lambda _ { r } \nu ( v ) \Big ( \langle v , \nabla _ { x } \int ( \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , y ) ) d y \rangle - \int \langle y , \nabla _ { x } ( \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , y ) ) \rangle d y \Big ) } \\ & { = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \Big ( \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ) } \\ & { \quad - \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \Big ( \int ( \langle y , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) y \rangle - \langle y , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } ) \nu ( d y ) \Big ) } \\ & { = \lambda _ { r } \mu ( x , v ) \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \Big ( \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) + \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ) } \\ & { \quad + b \, \textnormal { t r } \big ( \nabla \psi ( x ) ( \nabla \psi ( x ) ) ^ { T } - \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) \big ) \Big ) . } \end{array}
- \frac { 1 } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } d ^ { 2 } \sigma \sqrt { g } g ^ { \alpha \beta } \, T r \left( \ \phi ^ { - 1 } \partial _ { \alpha } \phi \, \phi ^ { - 1 } \partial _ { \beta } \phi \ \right) \ .
{ \begin{array} { r l } { E _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) } & { = { \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla \cdot \left( i \mathbf { k } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) \right) + U ( \mathbf { x } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) } \\ { E _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) } & { = { \frac { - \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left( i \mathbf { k } \cdot \left( i \mathbf { k } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) \right) + i \mathbf { k } \cdot e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) + e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla ^ { 2 } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) \right) + U ( \mathbf { x } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) } \\ { E _ { \mathbf { k } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) } & { = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left( \mathbf { k } ^ { 2 } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) - 2 i \mathbf { k } \cdot e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) - e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } \nabla ^ { 2 } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) \right) + U ( \mathbf { x } ) e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { x } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) } \\ { E _ { \mathbf { k } } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) } & { = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \left( - i \nabla + \mathbf { k } \right) ^ { 2 } u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) + U ( \mathbf { x } ) u _ { \mathbf { k } } ( \mathbf { x } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } w ( k _ { 2 } ) } & { = a ( k _ { 3 } ) w ( k _ { 3 } ) - a ( k _ { 1 } ) \frac 1 2 ( u _ { 3 } + u _ { 2 } ) - j ( k _ { 2 } ) } \\ & { \le \frac { c } \eta ( \tilde { w } ( 3 ) + 2 \tilde { w } ( 1 ) + 2 c _ { 1 } ^ { \ast } ( \frac s \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } - 1 } + 2 c _ { 2 } ^ { \ast } ( \frac s \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } - 1 } ) + 2 e ^ { - \frac 1 2 \kappa \eta \xi ( s - \tilde { s } _ { 0 } ) } j ( k _ { 2 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + 4 \frac { 1 } { \beta \kappa \xi \eta } \tilde { w } ( 2 ) } \\ { w ( k _ { 2 } ) } & { \le w ( k _ { 2 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac 4 { \kappa \xi \eta } j ( k _ { 2 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + c ( \tilde { w } ( 3 ) + 2 \tilde { w } ( 1 ) + 2 c _ { 1 } ^ { \ast } + \frac 1 { c ^ { 2 } } c _ { 2 } ^ { \ast } ) + 4 \frac { 1 } { \beta \kappa \xi } \tilde { w } ( 2 ) } \\ & { < \tilde { w } ( 2 ) . } \end{array}