harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal U } ^ { \prime \prime } + { \frac { 2 } { r } } { \cal U } ^ { \prime } - \left( { \cal U } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 } } \, \left( h _ { 1 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } \left( h _ { 2 } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } ,
\tau \left( \frac { \partial \j _ { 0 } } { \partial t } + \frac { \partial \j _ { 0 } } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { u } _ { 0 } + \left( \frac { \partial \mathbf { u } _ { 0 } } { \partial \mathbf { x } } \right) ^ { T } \j _ { 0 } + \nabla \theta ( \rho _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) \right) = - ( \j _ { 0 } + \tau \j _ { 1 } ) + O ( \tau ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r } { R _ { p } \ddot { R } _ { p } } & { { } + } & { \frac { 3 } { 2 } { \dot { R } _ { p } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { \rho } \left[ P _ { p } - P _ { \infty } ( t ) \right] - P _ { s p } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( a _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } = 1 ) = \int _ { 0 } ^ { \pi } \frac { \sin ^ { D - 1 } \Delta \theta \, d \Delta \theta } { 1 + \left( \frac { R \Delta \theta } { ( \mu \kappa ^ { \prime } \kappa ) ^ { 1 / D } } \right) ^ { \beta } } } \end{array}
\begin{array} { r } { A = - m _ { \lambda } \left( \begin{array} { l l l l } { m _ { 1 } } & & & \\ & { m _ { 2 } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { m _ { N } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l l l } { m _ { 1 } ^ { 2 } } & { m _ { 1 } m _ { 2 } } & { \ldots } & { m _ { 1 } m _ { N } } \\ { m _ { 2 } m _ { 1 } } & { m _ { 2 } ^ { 2 } } & { \ldots } & { m _ { 2 } m _ { N } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { m _ { N } m _ { 1 } } & { m _ { N } m _ { 2 } } & { \ldots } & { m _ { N } ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma _ { _ X } } { d Z } } & { = 2 \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta _ { _ { X } } \sigma _ { _ X } + b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \sigma _ { _ X } + \frac { 1 5 } { 8 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { 0 } \zeta _ { 4 } \sigma _ { _ X } } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } a _ { 1 } \zeta _ { 2 } \left( - 7 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { \tau } ^ { 2 } \sigma _ { \tau } ^ { 2 } - \frac { 2 8 } { \sigma _ { \tau } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { _ X } } \\ & { + \frac { 1 } { 6 4 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 1 , X X } } \zeta _ { 5 } \left( 1 3 k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { _ { X } } ^ { 2 } \sigma _ { _ X } ^ { 2 } - \frac { 2 5 2 } { \sigma _ { _ X } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { _ X } } \\ & { + \frac { 1 5 } { 6 4 } A ^ { 2 } \sqrt { 2 } c _ { _ { 2 , Y Y } } \zeta _ { 6 } \left( - k _ { 0 } ^ { 2 } \vartheta _ { _ { Y } } ^ { 2 } \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } - \frac { 1 2 } { \sigma _ { _ Y } ^ { 2 } } \right) \sigma _ { _ X } , } \end{array}
\operatorname { r k } _ { \mathrm { M } _ { \pi } ( \mathrm { P } ) } ( H ) = \operatorname { r k } _ { \mathrm { M } _ { \pi } ( \mathrm { P } ) } ( H ^ { \mathrm { g e o } } ) + | H \setminus H ^ { \mathrm { g e o } } | \ge \operatorname { r k } _ { \mathrm { M } _ { \pi } ( \mathrm { P } ) } ( H ^ { \mathrm { g e o } } ) + | S | - | S \cap H ^ { \mathrm { g e o } } | .
C _ { p r o d } = m _ { E C } \cdot ( C C _ { E C } \cdot \frac { C R F + \gamma _ { p r o d } } { C F _ { p r o d } } + C _ { \mathrm { f e e d s t o c k } } ) \ [ \mathrm { U S D } \cdot y e a r ^ { - 1 } ] \, .
\rho _ { \mathrm { l } } \left\{ - 2 R _ { \mathrm { b } } / R _ { \mathrm { d } } + R _ { \mathrm { b } } ^ { 4 } / \left( 2 R _ { \mathrm { d } } ^ { 4 } \right) \right\} \left( \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } / \mathrm { d } t \right) ^ { 2 }
{ \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n - 1 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 4 n } ( 1 - x ) ^ { 4 n } \, d x < { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n - 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 4 n } ( 1 - x ) ^ { 4 n } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x < { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n - 2 } } } \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 4 n } ( 1 - x ) ^ { 4 n } \, d x ,
\begin{array} { r l } & { \rho ( p , u ; t = 0 ) = \sum _ { m , n } \frac { e ^ { - \left( \frac { m a } { D } \right) ^ { 2 } } e ^ { - \left( \frac { n a } { D } \right) ^ { 2 } } } { \sum _ { j } e ^ { - 2 \left( \frac { j a } { D } \right) ^ { 2 } } } e ^ { - i m \left( p + \frac { u } { 2 } \right) } e ^ { i n \left( p - \frac { u } { 2 } \right) } } \\ { = } & { \frac { e ^ { - \frac { ( D / a ) ^ { 2 } } { 4 } \left( 2 p ^ { 2 } + \frac { u ^ { 2 } } { 2 } \right) } } { \sum _ { j } e ^ { - 2 \left( \frac { j } { ( D / a ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } } \sum _ { m } e ^ { - \frac { 1 } { ( D / a ) ^ { 2 } } \left( m + \frac { i ( D / a ) ^ { 2 } p } { 2 } + \frac { i ( D / a ) ^ { 2 } u } { 4 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \quad \cdot \sum _ { n } e ^ { - \frac { 1 } { ( D / a ) ^ { 2 } } \left( n + \frac { i ( D / a ) ^ { 2 } p } { 2 } - \frac { i ( D / a ) ^ { 2 } u } { 4 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \sqrt { 2 \pi ( D / a ) ^ { 2 } } e ^ { - \frac { ( D / a ) ^ { 2 } } { 4 } \left( 2 p ^ { 2 } + \frac { u ^ { 2 } } { 2 } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { c c c c c c c } { \boxed { 1 } } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } & & & \\ { 1 } & { - 3 } & & & { 1 } & & \\ & { 1 } & { - 1 } & & & { 1 } & \\ & { 1 } & & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c } { \boxed { - 2 } } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } & & \\ { 1 } & { - 1 } & & & { 1 } & \\ { 1 } & & & & & { 1 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c } { \boxed { 1 } } & { 1 } & { - 1 } & { - 2 } & \\ { - 1 } & { 1 } & { - 1 } & & { - 2 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c } & { 2 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 2 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \gamma _ { m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \kappa ( 1 + 2 N ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \kappa ( 1 + 2 N ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } \end{array} \right) , \quad \quad F 2 = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 2 M \kappa } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 M \kappa } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { F 3 } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 2 M \kappa } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 M \kappa } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { F 4 } & { = } & { \left( \begin{array} { l l l l l l } { \kappa ( 1 + 2 N ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \kappa ( 1 + 2 N ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { s m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { s m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { s m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \gamma _ { s m } ( 1 + 2 \bar { n } ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { 1 } { \overline { { F } } } = \left\{ 1 + \frac { 1 } { 2 } \left[ \alpha + \langle \tau \rangle \beta + \left( 1 - \langle \tau \rangle \right) m - 2 \langle \sqrt { \tau } \rangle \gamma \right] \right\} ,
R ( t ) = \Big | e ^ { - { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } t } e ^ { - i m _ { 1 } t } { \frac { b } { \sqrt { 2 } } } + { \frac { I ( t ) } { < \pi \pi | H _ { w } | K _ { 1 } ^ { \enspace - } > \sqrt { 2 } } } \Big | ^ { 2 } ,
\int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \bar { \Phi } _ { f } ( q _ { f } , P _ { f } ) S ( p _ { + } ) \Gamma _ { m } ( p _ { - } , p _ { + } ) S ( p _ { - } ) \Phi _ { P } ( q , P _ { i } ) D ( p _ { d } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { a _ { n } } \\ { b _ { n } } \end{array} \right] } & { { } \propto B \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] \quad , \quad \left[ \begin{array} { l } { a _ { k } } \\ { b _ { k } } \end{array} \right] \propto B \left[ \begin{array} { l } { a _ { k + 1 } } \\ { b _ { k + 1 } } \end{array} \right] \, , } \end{array}
- g \, J _ { s } ^ { 0 1 } ( \hat { a } _ { s \sigma } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { s \sigma ^ { \prime } } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { s \sigma } ^ { 1 } \hat { a } _ { s \sigma ^ { \prime } } ^ { 0 } )
\nabla _ { x _ { t } } \log { p _ { t } ( x _ { t } | E _ { y } ) } = \frac { \tilde { D } _ { \theta , \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ } } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - \hat { x } _ { t } } { s _ { t } \sigma _ { t } ^ { 2 } } .
V _ { r \to r _ { - } } ^ { I N } ( r ^ { * } , \epsilon , Q ) \simeq 2 ( 2 f ^ { \prime } ( y _ { - } ) y _ { - } + 1 ) f ^ { \prime } ( y _ { - } ) \exp ( - \kappa _ { - } r ^ { * } ) , ~ ~ ~ r ^ { * } \to \infty ( r \to r _ { - } ) .
e ^ { 3 } = 1 + { \cfrac { 6 } { - 1 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 6 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 1 0 + { \cfrac { 3 ^ { 2 } } { 1 4 + \ddots \, } } } } } } } } = 1 3 + { \cfrac { 5 4 } { 7 + { \cfrac { 9 } { 1 4 + { \cfrac { 9 } { 1 8 + { \cfrac { 9 } { 2 2 + \ddots \, } } } } } } } }
\Delta _ { 0 } \eta ( z ) = - 2 \pi _ { z } ^ { \bar { z } } \pi _ { \bar { z } } ^ { z } e ^ { - 2 \sigma ( z ) } ( e ^ { - \eta ( z ) } - 1 ) = - e ^ { - 2 \tilde { \sigma } } ( e ^ { - \eta ( z ) } - 1 )
{ \begin{array} { r l r l } { k _ { 0 } } & { = 1 } \\ { k _ { \lambda } k _ { \mu } } & { = k _ { \lambda + \mu } } \\ { k _ { \lambda } e _ { i } k _ { \lambda } ^ { - 1 } } & { = q ^ { ( \lambda , \alpha _ { i } ) } e _ { i } } \\ { k _ { \lambda } f _ { i } k _ { \lambda } ^ { - 1 } } & { = q ^ { - ( \lambda , \alpha _ { i } ) } f _ { i } } \\ { \left[ e _ { i } , f _ { j } \right] } & { = \delta _ { i j } { \frac { k _ { i } - k _ { i } ^ { - 1 } } { q _ { i } - q _ { i } ^ { - 1 } } } } & & { k _ { i } = k _ { \alpha _ { i } } , q _ { i } = q ^ { { \frac { 1 } { 2 } } ( \alpha _ { i } , \alpha _ { i } ) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n } \Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } ( \xi ^ { ( n ) } ) / T _ { 1 } ^ { ( n ) } = \rho \langle \Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } \rangle / T _ { 1 } , } \\ & { \langle \Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } \rangle = \int d \omega ^ { ( n ) } \Psi ^ { 2 \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } ( \bar { \xi } ^ { ( n ) } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathcal { C } ( \rho ) } \frac { H ( z ) } { z - \omega } d z \xrightarrow [ \rho \rightarrow \infty ] { } \int _ { \mathcal { C } ( \rho ) } \frac { H ( z ) } { z - a } d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { \alpha } ( E ) = } & { { } \frac { A f _ { \alpha } } { 2 \gamma _ { \alpha } } \exp \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { \alpha } ^ { 2 } } \pm \frac { E - \mu } { \gamma _ { \alpha } } \right) \mathrm { e r f c } \left( \frac { \sigma } { \sqrt { 2 } \gamma _ { \alpha } } \pm \frac { E - \mu } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ( i i ) } \, \, } & { } & { \tilde { R } _ { 1 } ^ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 1 } \tilde { R } = 0 , } \\ & { } & { \frac { ( W + Z ) U } { r C A } + \frac { 1 - W Z - \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \cot \theta ^ { 2 } } { r ^ { 2 } C ^ { 2 } } + 1 2 \lambda ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\times \left\{ \mathcal { P } ^ { \prime } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } , t \right) + i f _ { c } \left( \mathbf { k , k } ^ { \prime } \right) \mathcal { P } ^ { \prime \prime } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } \right) - i f _ { s } \left( \mathbf { k , k } ^ { \prime } \right) \mathcal { N } \left( \mathbf { k } ^ { \prime } , t \right) \right\} .
\begin{array} { r l } { f ( s ) ^ { 2 } } & { = 2 A _ { 1 } s + s ^ { 2 } ( A _ { 2 } - 1 ) + A _ { 4 } = ( A _ { 2 } - 1 ) \left( s + \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } - 1 } \right) ^ { 2 } + A _ { 4 } ^ { \prime } , } \\ { g ( t ) ^ { 2 } } & { = - 2 A _ { 1 } t / A _ { 2 } + t ^ { 2 } ( 1 / A _ { 2 } - 1 ) + A _ { 5 } = \frac { 1 - A _ { 2 } } { A _ { 2 } } \left( t + \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } - 1 } \right) ^ { 2 } + A _ { 5 } ^ { \prime } . } \end{array}
L = \frac { 1 } { 8 } \, T _ { ( \mu \nu ) \sigma } T ^ { ( \mu \nu ) \sigma } + \frac { 1 } { 4 } T _ { ( \mu \nu ) \sigma } T ^ { ( \mu \sigma ) \nu } + \frac { 1 } { 2 } T _ { ( \mu \nu ) \sigma } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \partial _ { \alpha } h _ { \; \beta } ^ { \sigma } + h ^ { \alpha \beta } \Theta _ { \alpha \beta } \ ,
\begin{array} { r } { S ( { \bf k } + { \cal K } ) \ge \frac { [ ( { \bf k } + { \cal K } ) \cdot { \bf e } _ { t } ] ^ { 2 } | \rho ( { \cal K } ) | } { ( { \bf k } \cdot { \bf e } _ { t } ) + D _ { t t } ( { \bf k } ) } ~ ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Delta _ { i } = } & { { } \sum _ { s = 1 } ^ { ( B { \nu } _ { i } ) ^ { 2 } } \left[ d _ { i } ^ { 0 } \right] _ { s } { } ^ { t } \left[ h _ { i } \right] _ { s } \dag \Lambda _ { i } = } & { \sum _ { s = 1 } ^ { ( B { \nu } _ { i } ) ^ { 2 } } \left[ l _ { i } \right] _ { s } \left[ h _ { i } \right] _ { s } \dag \Lambda _ { i } ^ { c } = } & { { } \sum _ { s = 1 } ^ { ( B { \nu } _ { i } ) ^ { 2 } } \left[ l _ { i } ^ { c } \right] _ { s } \left[ h _ { i } \right] _ { s } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { k } ( x , y , z ) = } & { { } \frac { 1 } { 2 \pi } \bigg \{ \arctan \left[ \frac { ( x _ { k 2 } - x ) ( z _ { k 2 } - z ) } { y \sqrt { y ^ { 2 } + ( x _ { k 2 } - x ) ^ { 2 } + ( z _ { k 2 } - z ) ^ { 2 } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vert \psi ( t ) \rangle } & { { } } & { = \left[ \cos \left( \frac { \Omega _ { \delta } } { 2 } \Delta t \right) - i \frac { \delta } { \Omega _ { \delta } } \sin \left( \frac { \Omega _ { \delta } } { 2 } \Delta t \right) \right] e ^ { i \frac { \delta } { 2 } \Delta t } \vert g \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { k + 1 } } & { = \frac { q _ { k } + \sigma ( A \widetilde { x } _ { k } - y ) } { 1 + \sigma } , } \\ { x _ { k + 1 } } & { = \mathrm { p r o x } _ { R , \lambda \tau } \left( x _ { k } - \tau A ^ { * } q _ { k + 1 } \right) , } \\ { \widetilde { x } _ { k + 1 } } & { = x _ { k + 1 } + \alpha ( x _ { k + 1 } - x _ { k } ) , } \end{array}
\lambda _ { T } \approx 2 7 \ln \frac { T } { \mu } - \frac { 2 7 } { 8 \pi } { \cal E } \left( \frac { 1 } { \lambda _ { T } } , \ln \frac { T } { \mu } \right) ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ T \rightarrow \infty .
D _ { + + } ^ { ( C P V ) a b } ( x ) = D _ { + + } ^ { ( C P V ) } ( x ) \delta ^ { a b } = - { \frac { i \delta ^ { a b } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \int d ^ { 2 } k \, e ^ { i k x } { \frac { \partial } { \partial k _ { - } } } C P V \left( { \frac { 1 } { k _ { - } } } \right) = - { \frac { i \delta ^ { a b } } { 2 } } | x ^ { - } | \delta ( x ^ { + } ) \ ,
\begin{array} { r } { \frac { \rho } { \epsilon } \int _ { \nu } \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \frac { \partial \mathbf { u ^ { \prime } } } { \partial t } d \nu = - \int _ { s } p _ { m } ^ { \prime } \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \mathbf { n } d s - \frac { \mu } { \kappa } \int _ { \nu } \mathbf { u ^ { \prime } } ^ { * } \cdot \mathbf { u ^ { \prime } } d \nu , } \end{array}
\langle \mathbf { u } _ { 1 } , \mathbf { u } _ { 2 } \rangle = \left\langle { \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 1 } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { - 2 / 5 } \\ { 6 / 5 } \end{array} \right) } \right\rangle = - { \frac { 6 } { 5 } } + { \frac { 6 } { 5 } } = 0 ,
{ \frac { m _ { \tau } ^ { 2 } } { N _ { c } m _ { f } ^ { 2 } } } { \frac { \mathrm { B r } ( H ^ { 0 } \to f f ) } { \mathrm { B r } ( H ^ { 0 } \to \tau \tau ) } } \ = \ r _ { f , H } ^ { 2 } ( m _ { H ^ { 0 } } ^ { 2 } ) ~ \left\{ 1 ~ , ~ \tan ^ { 2 } \alpha \cot ^ { 2 } \beta \right\} \, ,
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \bf ~ P } } & { = } & { \sum _ { a = 1 } ^ { N } \mathrm { \bf ~ p } _ { a } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } ( - i \hbar \nabla _ { \mathrm { \bf ~ r } _ { a } } ) \; \; , \; \; \rho ( \mathrm { \bf ~ r } ) = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) } \\ { \mathrm { \bf ~ j } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { a = 1 } ^ { N } [ \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) ( - i \hbar \nabla _ { \mathrm { \bf ~ r } _ { a } } ) + ( - i \hbar \nabla _ { \mathrm { \bf ~ r } _ { a } } ) \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) ] } \end{array}
\operatorname { V a r } \big ( \partial _ { \hat { U } _ { j } } \sum _ { i } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle \big ) \sim \frac { 4 } { m ^ { 2 } d ^ { 4 } } \big [ \operatorname { T r } ( \hat { h } ^ { 2 } ) + 2 \operatorname { T r } ( \operatorname { T r } _ { 1 } ^ { 2 } \hat { h } ) \big ]
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( { \frac { m { \dot { \mathbf { x } } } } { \sqrt { 1 - { \frac { { \dot { \mathbf { x } } } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } } \right) } & { = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } ( \mathbf { p } - q \mathbf { A } ) = { \dot { \mathbf { p } } } - q { \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } } - q ( { \dot { \mathbf { x } } } \cdot \nabla ) \mathbf { A } } \\ & { = q { \boldsymbol { \nabla } } ( { \dot { \mathbf { x } } } \cdot \mathbf { A } ) - q { \boldsymbol { \nabla } } \varphi - q { \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } } - q ( { \dot { \mathbf { x } } } \cdot \nabla ) \mathbf { A } } \\ & { = q \mathbf { E } + q { \dot { \mathbf { x } } } \times \mathbf { B } } \end{array} }
\hat { T _ { n } } = T _ { n } / T ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } ~ , ~ ~ ~ \hat { F _ { 1 } } = F _ { 1 } / T ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } ~ , ~ ~ ~ \hat { Q _ { 1 } } = Q _ { 1 } / \left( D _ { 1 } c _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } / l _ { 0 } ^ { 2 } \right) ~ , ~ ~ ~ \hat { Q _ { 2 } } = Q _ { 2 } / \left( D _ { 2 } c _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } / l _ { 0 } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ \psi ( x ) \nabla _ { i } \psi ( x ) ] = \operatorname* { l i m } _ { y \rightarrow x } \mathbb { E } [ \nabla _ { i } ^ { ( x ) } \psi ( x ) \psi ( y ) ] = \operatorname* { l i m } _ { y \rightarrow x } f ( x , y ) d \left( \frac { \| x - y \| } { \alpha \lambda ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { \| x - y \| ^ { 2 } } { 2 \alpha \lambda ^ { 2 } } \right) ^ { - \alpha - 1 } = 0 } \end{array}
\left( D \partial _ { t } ^ { 2 } \! - \! \Delta _ { \perp } \! - \! 2 i k \partial _ { z } \! + \! \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } } { D v ^ { 2 } } \! + g | \phi | ^ { 2 } \right) \phi ( { \boldsymbol { r } } _ { \perp } , z , t ) \! = \! 0 ,
\begin{array} { r } { \int _ { R } u _ { t t } ^ { D } ( \mathbf x , t ) \phi _ { j } ( \mathbf x ) d \mathbf x + \int _ { R } c ( \mathbf x ) ^ { 2 } \nabla u ^ { D } ( \mathbf x , t ) \phi _ { j } ( \mathbf x ) d \mathbf x - \int _ { \partial R \setminus \Sigma } c ^ { 2 } { \frac { \partial u ^ { D } } { \partial \mathbf n } } \phi _ { j } ( \mathbf x ) d S _ { \mathbf x } } \\ { = \tilde { f } ( t ) \int R \tilde { G } ( \mathbf x ) \phi _ { j } ( \mathbf x ) d \mathbf x , } \end{array}
\mathrm { F l u x _ { s u n } ( \it t , f ) = \mathrm { \frac { M o d e l _ { c a l } ( \it f ) } { M o d e l _ { c a l } ( \it f ) } { O b s _ { c a l } ( \it f ) } \times \mathrm { O b s _ { s u n } ( \it t , f ) . } } }
\begin{array} { r l r } { A ( \rho ) } & { = } & { \frac { \displaystyle \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + \rho ^ { n } ) ^ { 2 } } { \displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \rho ^ { n ( n - 1 ) / 2 } } , } \\ { s ( \zeta , \rho ) } & { = } & { \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \rho ^ { n ( n - 1 ) / 2 } \zeta ^ { n } . } \end{array}
C _ { 2 } \; : = \; \Big \langle \prod _ { b = 1 } ^ { N } \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { b } } \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( x _ { i } ^ { ( b ) } ) P _ { + } \psi ^ { ( b ) } ( x _ { i } ^ { ( b ) } ) \prod _ { i = 1 } ^ { m _ { b } } \overline { { { \psi } } } ^ { ( b ) } ( y _ { i } ^ { ( b ) } ) P _ { - } \psi ^ { ( b ) } ( y _ { i } ^ { ( b ) } ) \Big \rangle _ { 0 }
P _ { i j } ^ { M } = - \underbrace { \int _ { V } \left( R _ { i m } ^ { V } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { m } } + R _ { j m } ^ { V } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { m } } \right) d V } _ { \mathbf { H } _ { 1 } } + \underbrace { \int _ { V } \left( \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { i m } \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { m } } + \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { j m } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { m } } \right) d V } _ { \mathbf { H } _ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \mathrm { K } _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { K } _ { 0 } ( x ) + \mathrm { K } _ { 2 } ( x ) \right) , \quad \mathrm { Y } _ { 1 } ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { Y } _ { 0 } ( x ) - \mathrm { Y } _ { 2 } ( x ) \right) , \quad \mathrm { a n d } \quad \mathrm { H } _ { - 1 } ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { \pi x } + \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { H } _ { - 2 } ( x ) - \mathrm { H } _ { 0 } ( x ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } } & { { } = \mathbf { M } _ { 0 , 0 } - \mathbf { M } _ { 0 } ^ { T } \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { M } _ { 0 } } \\ { \mathbf { C } } & { { } = \mathbf { M } _ { 1 , 0 } - \mathbf { M } _ { 0 } ^ { * T } \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { M } _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { n | k } ^ { \mathrm { ( i i ) } } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } } & { { } } \\ { \times \sum _ { l = k - n + 1 } ^ { k } } & { { } \binom { k } { l } \left[ B _ { n \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , ( n + 1 ) \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( l + 1 , k - l + 1 \right) \right. } \end{array}
p \left( \begin{array} { l } { G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { G _ { - } } \\ { H _ { + } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { - \nu k ^ { 2 } } & { k ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { i k \tilde { B } _ { 0 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } k ( 1 - k ^ { 2 } ) } & { - \nu ( 1 + k ^ { 2 } ) } & { i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) } \\ { \frac { 1 } { 2 } i k \tilde { B } _ { 0 } } & { i B _ { 0 } ( 1 + k ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { - \eta ( 1 + k ^ { 2 } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { G _ { 0 } ^ { \prime } } \\ { G _ { - } } \\ { H _ { + } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { l _ { E } ^ { 0 } } & { = l _ { E } \sin \varphi _ { 1 } \sin \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } \cos \varphi _ { D - 1 } } \\ { l _ { E } ^ { 1 } } & { = l _ { E } \sin \varphi _ { 1 } \sin \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } \sin \varphi _ { D - 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { l _ { E } ^ { n - 3 } } & { = l _ { E } \sin \varphi _ { 1 } \sin \varphi _ { 2 } \cos \phi _ { 3 } } \\ { l _ { E } ^ { n - 2 } } & { = l _ { E } \sin \varphi _ { 1 } \cos \varphi _ { 2 } } \\ { l _ { E } ^ { n - 1 } } & { = l _ { E } \cos \varphi _ { 1 } \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { L _ { \kappa , \rho } } & { ( H ^ { s } ) ^ { * } L _ { \kappa , \rho } ( H ^ { s } ) } \\ & { = \; \kappa ^ { 2 } D _ { \rho } ^ { 2 } \; + \; | ( - H _ { \rho } ^ { s } ) \oplus ( H _ { \rho } ^ { s } ) ^ { * } | ^ { 2 } \; + \; \kappa \big ( D _ { \rho } ( ( - H _ { \rho } ^ { s } ) \oplus ( H _ { \rho } ^ { s } ) ^ { * } ) + ( ( - H _ { \rho } ^ { s } ) ^ { * } \oplus H _ { \rho } ^ { s } ) D _ { \rho } \big ) } \\ & { = \; \kappa ^ { 2 } \pi _ { \rho } D ^ { 2 } \pi _ { \rho } ^ { * } \; + \; \pi _ { \rho } ( ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) { \bf 1 } _ { \rho } ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) \pi _ { \rho ^ { \prime } } ^ { * } \; + \; \kappa \pi _ { \rho } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { [ H , D _ { 0 } ] ^ { * } } \\ { [ H , D _ { 0 } ] } & { 0 } \end{array} \right) \pi _ { \rho } ^ { * } \; , } \end{array}