harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \rho ^ { \prime } } { \bar { \rho } } } & { = \frac { p ^ { \prime } } { \bar { \gamma } \bar { p } } - \frac { s ^ { \prime } } { \bar { c } _ { p } } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \bar { \aleph } _ { 1 , i } + \bar { \psi } _ { 1 , i } + \bar { \phi } _ { 1 , i } \right) Y _ { i } ^ { \prime } - \bar { \Theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \mathbf { A } = \operatorname* { l i m } _ { V \to 0 } { \frac { \iint _ { \partial V } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { S } } { \iiint _ { V } d V } } } & { { } = { \frac { A _ { x } ( x + d x ) d y d z - A _ { x } ( x ) d y d z + A _ { y } ( y + d y ) d x d z - A _ { y } ( y ) d x d z + A _ { z } ( z + d z ) d x d y - A _ { z } ( z ) d x d y } { d x d y d z } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| \tilde { \sigma } _ { i , l } ( t ) - \sigma _ { i , l } ( t ) - \left( \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) T _ { h } ^ { l } ( t ) + \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) T _ { h } ^ { i } ( t ) \right) / ( 4 \sigma _ { i , l } ( t ) ) \right\| _ { q } } \\ & { = \left\| \frac { \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t ) \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) } { 2 \sigma _ { i , l } ( t ) } \frac { 2 \sigma _ { i , l } ( t ) } { \tilde { \sigma } _ { i , l } ( t ) + \sigma _ { i , l } ( t ) } - \left( \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) T _ { h } ^ { l } ( t ) / 2 + \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) T _ { h } ^ { i } ( t ) / 2 \right) / ( 2 \sigma _ { i , l } ( t ) ) \right\| _ { q } } \\ & { \leq \left\| \frac { \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t ) \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) T _ { h } ^ { l } ( t ) / 2 - \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) T _ { h } ^ { i } ( t ) / 2 } { \sigma _ { i , l } ( t ) } \frac { \sigma _ { i , l } ( t ) } { \tilde { \sigma } _ { i , l } ( t ) + \sigma _ { i , l } ( t ) } \right\| _ { q } } \\ & { + \left\| \frac { \sigma _ { i , l } ( t ) - \tilde { \sigma } _ { i , l } ( t ) } { \tilde { \sigma } _ { i , l } ( t ) + \sigma _ { i , l } ( t ) } \left( \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) T _ { h } ^ { l } ( t ) / 2 + \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) T _ { h } ^ { i } ( t ) / 2 \right) / ( 2 \sigma _ { i , l } ( t ) ) \right\| _ { q } } \\ & { \leq \left\| \frac { \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { i } ( t ) \tilde { \gamma } _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) - \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) T _ { h } ^ { l } ( t ) / 2 - \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) T _ { h } ^ { i } ( t ) / 2 } { \sigma _ { i , l } ( t ) } \right\| _ { q } } \\ & { + \left\| \frac { \sigma _ { i , l } ( t ) - \tilde { \sigma } _ { i , l } ( t ) } { \tilde { \sigma } _ { i , l } ( t ) + \sigma _ { i , l } ( t ) } \right\| _ { 2 q } \left\| \left( \gamma _ { 0 } ^ { i } ( t ) T _ { h } ^ { l } ( t ) + \gamma _ { 0 } ^ { l } ( t ) T _ { h } ^ { i } ( t ) \right) / ( 4 \sigma _ { i , l } ( t ) ) \right\| _ { 2 q } } \\ & { = O ( n ^ { \phi - 1 } b ^ { - 1 } h + b ^ { 3 } + n ^ { - 1 / 2 } h ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \textbf { H F L } } _ { d } ( T _ { 2 , 3 ; 2 , 4 } ) [ s _ { 1 } , s _ { 2 } ] } & { \cong \mathbb { F } _ { ( 0 ) } [ 2 , 2 ] \oplus \mathbb { F } _ { ( - 1 ) } [ 2 , 1 ] \oplus \mathbb { F } _ { ( - 1 ) } [ 1 , 2 ] \oplus \mathbb { F } _ { ( - 2 ) } [ 1 , 1 ] \oplus \mathbb { F } _ { ( - 2 ) } [ 0 , 0 ] \oplus \mathbb { F } _ { ( - 3 ) } [ 0 , 0 ] \: \oplus } \\ { \oplus \: } & { \mathbb { F } _ { ( - 6 ) } [ - 1 , - 1 ] \oplus \mathbb { F } _ { ( - 7 ) } [ - 2 , - 1 ] \oplus \mathbb { F } _ { ( - 7 ) } [ - 1 , - 2 ] \oplus \mathbb { F } _ { ( - 8 ) } [ - 2 , - 2 ] \: . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { j } ^ { i } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ^ { \alpha \beta } \left\{ \left( g ^ { h i } g _ { h j , \alpha } \right) _ { , \beta } - \left( g ^ { h i } g _ { m j } \Gamma _ { h \alpha } ^ { m } \right) _ { , \beta } - \gamma ^ { \alpha \beta } \left( \Gamma _ { j \alpha } ^ { i } \right) _ { , \beta } + \Gamma _ { \lambda \beta } ^ { i } \left[ g ^ { h \lambda } g _ { h j , \alpha } - g ^ { h \lambda } g _ { m j } \Gamma _ { h \alpha } ^ { m } - \Gamma _ { j \alpha } ^ { \lambda } \right] - \right. } \end{array}
\tau _ { s t } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { 4 } { 3 } \frac { \rho _ { s } d _ { s } } { \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | C _ { d } } \epsilon _ { g } ^ { 2 . 6 5 } , } & { \epsilon _ { g } > 0 . 8 , } \\ & { \frac { 1 } { 1 5 0 \frac { \epsilon _ { s } \mu _ { g } } { \epsilon _ { g } \rho _ { s } d _ { s } ^ { 2 } } + 1 . 7 5 \frac { \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | } { \rho _ { s } d _ { s } } } , } & { \epsilon _ { g } \le 0 . 8 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { H ( w ; x _ { 0 } , \theta ) = \int _ { 0 } ^ { T } d t \ \lVert \dot { \hat { x } } ( t ; w , x _ { 0 } ) - f ( \hat { x } ( t ; w , x _ { 0 } ) , t ; \theta ) \lVert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \omega v _ { 0 } + \vec { v } \vec { k } } } & { { = } } & { { \omega ^ { \prime } v _ { 0 } ^ { \prime } + \vec { v } ^ { \prime } \vec { k } ^ { \prime } } } \\ { { \omega \vec { v } + \vec { k } + \frac { \vec { k } \vec { v } } { 1 + v _ { 0 } } \vec { v } } } & { { = } } & { { \omega ^ { \prime } \vec { v } ^ { \prime } + \vec { k } ^ { \prime } + \frac { \vec { k ^ { \prime } } \vec { v ^ { \prime } } } { 1 + v _ { o } ^ { \prime } } \vec { v } ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { P ( k _ { + } c T , k _ { - } T , t ) } \\ & { = } & { e ^ { - k _ { + } c T ( 1 - t ) } e ^ { - k _ { - } T t } [ ( k _ { + } c T ) I _ { 0 } ( 2 \sqrt { k _ { + } c T t } \sqrt { k _ { - } T ( 1 - t ) } ) + ( k _ { - } T ) \frac { \sqrt { k _ { + } c T ( 1 - t ) } I _ { 1 } \left( 2 \sqrt { k _ { + } c T ( 1 - t ) } \sqrt { k _ { - } T t } \right) } { \sqrt { k _ { - } T t } } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { r } _ { e } = \left( 2 \sqrt { 2 \nu \xi } - \frac { \xi g \nu } { 2 } \cos ( \phi _ { 0 } ) , 0 , \xi \sqrt { 1 + \left[ \frac { g \nu } { 2 } \sin ( \phi _ { 0 } ) \right] ^ { 2 } } \right) ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega = - 1 + \frac { 4 ( \dot { F } H + \dot { H } F ) } { f ( 1 + \bar { G } ) - 1 2 F H ^ { 2 } ( 1 + \bar { G } ) - 4 \bar { G } ( \dot { F } H + \dot { H } F ) } . } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) = \frac { 1 } { 8 \pi \mu d ^ { 5 } } \left( - 3 \, \mathcal { I } \, ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { S } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { x } ) - 3 \, \mathbf { x } \; ( \mathbf { S } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { x } ) - 3 \, ( \mathbf { S } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { x } ) \; \mathbf { x } + \frac { 1 5 ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { S } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { x } ) \; \mathbf { x } \mathbf { x } } { d ^ { 2 } } \right) ,
V ( r ) ~ = ~ - ~ { \frac { m _ { 1 } ~ m _ { 2 } } { M _ { * } ^ { 3 } } } ~ \int { \frac { d ^ { 3 } ~ \vec { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } ~ { \frac { \exp ( ~ i ~ \vec { p } \cdot \vec { r } ~ ) } { 2 p ~ + ~ r _ { c } ~ { p } ^ { 2 } } } ~ ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \tilde { \mu } _ { t } ^ { N } , \mu _ { t } ) } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \tilde { \mu } _ { t } ^ { N } , \tilde { \mu } _ { N , t } ^ { N } ) + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \tilde { \mu } _ { N , t } ^ { N } , \mu _ { N , t } ) + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \mu _ { N , t } , \mu _ { t } ) } \\ & { = : I _ { 1 } + I _ { 2 } + I _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac 1 { \tau ^ { 2 } } \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { - 1 } & & & \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & & \\ & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ & & & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) + I _ { N + 1 \times N + 1 } \right) \left( \begin{array} { l } { d _ { i } ^ { 0 } } \\ { d _ { i } ^ { 1 } } \\ { d _ { i } ^ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { d _ { i } ^ { N - 1 } } \\ { d _ { i } ^ { N } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { - \partial _ { c _ { i } ^ { 0 } } b ( \beta _ { h } ^ { 0 } ) ( \rho _ { h } ^ { 0 } , \lambda _ { \rho , h } ^ { 1 } ) } \\ { - \partial _ { c _ { i } ^ { 1 } } b ( \beta _ { h } ^ { 1 } ) ( \rho _ { h } ^ { 1 } , \lambda _ { \rho , h } ^ { 2 } ) } \\ { - \partial _ { c _ { i } ^ { 2 } } b ( \beta _ { h } ^ { 2 } ) ( \rho _ { h } ^ { 2 } , \lambda _ { \rho , h } ^ { 3 } ) } \\ { \vdots } \\ { - \partial _ { c _ { i } ^ { N - 2 } } b ( \beta _ { h } ^ { N - 2 } ) ( \rho _ { h } ^ { N - 2 } , \lambda _ { \rho , h } ^ { N - 1 } ) } \\ { - \partial _ { c _ { i } ^ { N - 1 } } b ( \beta _ { h } ^ { N - 1 } ) ( \rho _ { h } ^ { N - 1 } , \lambda _ { \rho , h } ^ { N } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial p } { \partial t } } & { { } = - \bigg [ y \frac { \partial p } { \partial x } + a _ { 2 } p + ( a _ { 1 } x + a _ { 2 } y + a _ { 3 } x ^ { 3 } ) \frac { \partial p } { \partial y } \bigg ] + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial y ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textit { j } ( \omega ) \sim } & { { } \sum _ { \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } , t _ { r } , t _ { i } } g \left( \textrm { K } _ { 0 x } ^ { s t } , \textrm { K } _ { 0 y } ^ { s t } , t _ { r } , t _ { i } \right) \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 0 2 } ( \varphi ) [ h ] } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \nabla _ { z } ^ { 2 } H ( U _ { \zeta } ( i _ { \delta } ) ) [ h ] + R _ { 1 } ( \varphi ) } \\ & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \nabla _ { z } ^ { 2 } \mathcal { H } ( \Phi ^ { W B } ( U _ { \zeta } ( i _ { \delta } ) ) ) [ h ] + R _ { 1 } ( \varphi ) [ h ] + R _ { 2 } ( \varphi ) [ h ] + \varepsilon ^ { 2 } \nabla _ { z } ^ { 2 } \mathfrak { H } _ { 1 } ( v _ { \varepsilon } ( \theta _ { 0 } ( \varphi ) , y _ { \delta } ( \varphi ) ) ) [ h ] , } \end{array}
\left( m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } \right) _ { r a d } \sim \alpha _ { W } m _ { 0 } ^ { 2 } \left( { \frac { m _ { \tau } ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } } { m _ { W } ^ { 2 } } } \right) \sim 1 . 7 \times 1 0 ^ { - 5 } ~ m _ { 0 } ^ { 2 } ~ \mathrm { e V } ^ { 2 } .
\chi _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } ( x ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } ( \chi _ { k } ^ { 2 } ) _ { \mathrm { m i n } } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Delta \chi _ { k } ^ { 2 } ( x ^ { k } ) \, .
\begin{array} { r l } { [ \theta C _ { i } + \mathrm { l n } ( P _ { i } f _ { i } ) ] } & { \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \\ & { < \left[ \theta C _ { i } + \mathrm { l n } \left( e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right) \right] \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \\ { \Rightarrow \ \ \ \ [ \theta C _ { i } + \mathrm { l n } ( P _ { i } f _ { i } ) ] } & { \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] } \\ & { < \mathrm { l n } \left( \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right) \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d a _ { 1 } } { d \tau } } & { { } = - ( c - \frac { 1 } { 2 n _ { c } } ) a _ { 1 } + a _ { 2 } \left[ 1 - a _ { 1 } ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { \sqrt { n _ { c } } } \sqrt { 1 - a _ { 1 } ^ { 2 } } w _ { 1 } \left( \tau \right) } \\ { \frac { d a _ { 2 } } { d \tau } } & { { } = - ( c - \frac { 1 } { 2 n _ { c } } ) a _ { 2 } + a _ { 1 } \left[ 1 - a _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { \sqrt { n _ { c } } } \sqrt { 1 - a _ { 2 } ^ { 2 } } w _ { 2 } \left( \tau \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } \langle V ( \tau ) , W ( \tau ) \rangle } & { = \langle \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } V ( \tau ) , W ( \tau ) \rangle + \langle V ( \tau ) , \nabla _ { \gamma ^ { \prime } ( \tau ) } W ( \tau ) \rangle } \\ & { = \langle \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle V ( \tau ) , \mathbf { a } ( \tau ) \rangle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle V ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle \mathbf { a } ( \tau ) , W ( \tau ) \rangle } \\ & { \quad \: + \langle V ( \tau ) , \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle W ( \tau ) , \mathbf { a } ( \tau ) \rangle \gamma ^ { \prime } ( \tau ) - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \langle W ( \tau ) , \gamma ^ { \prime } ( \tau ) \rangle \mathbf { a } ( \tau ) \rangle } \\ & { = 0 . } \end{array}
{ \cal W } = \epsilon _ { \alpha \beta \gamma } \Phi _ { \alpha } \chi _ { \beta } \chi _ { \gamma } + \chi _ { 1 } P ^ { 1 } { \widehat R } ^ { 1 } + { \widetilde \chi } _ { 1 } P ^ { 1 } R ^ { 1 } + { \widehat \chi } _ { 1 } { \widehat P } ^ { 1 } R ^ { 1 } + \dots ~ .
\langle \langle \ A _ { a } ^ { ( 0 ) \mu } ( X ) A _ { b } ^ { ( 0 ) \nu } ( Y ) \ \rangle \rangle = \int { \frac { d _ { 4 } P _ { 1 } } { ( 4 \pi ) ^ { 4 } } } \ e ^ { - i P _ { 1 } . ( X - Y ) } \delta _ { a b } \ i G _ { c } ^ { \mu \nu } ( P _ { 1 } )
u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , 0 ) = \left( 1 + \left( \frac { \gamma _ { p } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { p } } \right) ^ { \gamma _ { p } } \right) ^ { - 1 } < 1 \; , \; \; { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \; \; \; u _ { 2 } ( \bar { \alpha } , 1 ) = \left( 1 + \left( \frac { \gamma _ { r } } { \gamma _ { r } + \gamma _ { p } } \right) ^ { \gamma _ { p } } \right) ^ { - 1 } < 1 \; ,
\partial _ { t } \mathbb { E } \big [ \boldsymbol { u } \big ] + f _ { 0 } \mathbb { E } \big [ \boldsymbol { u } \big ] ^ { \perp } + g \boldsymbol { \nabla } \mathbb { E } \big [ \eta \big ] - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \mathbb { E } \big [ \boldsymbol { u } \big ] ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \pi , G } ^ { 3 } } & { = \frac { - 1 } { L ^ { 1 5 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 5 } \in P _ { F } } \iint e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 4 } ) } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 4 } - x _ { 2 } ) } e ^ { i k _ { 3 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } e ^ { i k _ { 4 } ( x _ { 3 } - x _ { 5 } ) } e ^ { i k _ { 5 } ( x _ { 5 } - x _ { 3 } ) } g _ { 4 5 } \, \textnormal { d } x _ { 4 } \, \textnormal { d } x _ { 5 } } \\ & { = \frac { - 1 } { L ^ { 1 2 } } \sum _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { 5 } \in P _ { F } } e ^ { i ( k _ { 1 } - k _ { 3 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 3 } - k _ { 2 } ) x _ { 2 } } e ^ { i ( k _ { 4 } - k _ { 5 } ) x _ { 3 } } \chi _ { ( k _ { 2 } - k _ { 1 } = k _ { 4 } - k _ { 5 } ) } \hat { g } ( k _ { 5 } - k _ { 4 } ) } \\ & { = O ( a ^ { 3 } \rho ^ { 4 } \log ( b / a ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 0 } } & { { } = } & { - 3 6 4 - 1 6 2 3 \kappa ^ { 2 } + 1 6 7 4 \kappa ^ { 4 } - 1 1 9 \kappa ^ { 6 } < 0 , \quad \forall \; \kappa ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] } \\ { \alpha _ { 1 } } & { { } = } & { 1 6 2 2 4 + 1 9 6 0 1 \kappa ^ { 2 } - 1 9 9 2 5 \kappa ^ { 4 } > 0 , \quad \forall \; \kappa \in [ 0 , 1 ] } \\ { \alpha _ { 2 } } & { { } = } & { - 1 8 ( 7 2 5 4 - 2 0 3 \kappa ^ { 2 } ) < 0 , \quad \forall \; \kappa \in [ 0 , 1 ] } \\ { \alpha _ { 3 } } & { { } = } & { 1 2 6 3 6 0 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U \Lambda ^ { - 1 } } \right\| } & { \leq \left\| { U _ { i \cdot } ^ { * } } \right\| + \left\| { U _ { i \cdot } ^ { * } } \right\| \left\| { \Lambda ^ { * } U ^ { * T } U - U ^ { * T } U \Lambda } \right\| \left\| { \Lambda ^ { - 1 } } \right\| + p \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| \left\| { \Lambda ^ { - 1 } } \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { K } = \left[ \begin{array} { c c c } { K _ { r \perp } } & { - K _ { A } } & { 0 } \\ { K _ { A } } & { K _ { \theta \perp } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { K _ { \parallel } } \end{array} \right] = } & { \underbrace { \left[ \begin{array} { c c c } { K _ { r \perp } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { K _ { \theta \perp } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { K _ { \parallel } } \end{array} \right] } _ { \mathbf { K ^ { S } } } } \\ & { + \underbrace { \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { - K _ { A } } & { 0 } \\ { K _ { A } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } _ { \mathbf { K ^ { A } } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \phi _ { 0 } ^ { * } ( 1 ) = - 0 . 2 1 \pm 0 . 0 1 , } & { \phi _ { 1 } ^ { * } ( 1 ) = 0 . 0 0 2 \pm 0 . 0 0 5 , } & { \phi _ { 2 } ^ { * } ( 1 ) = 0 . 0 0 0 4 \pm 0 . 0 0 0 5 , } \\ { R _ { 0 } ^ { * } ( 1 ) = 0 . 2 9 \pm 0 . 0 2 , } & { R _ { 1 } ^ { * } ( 1 ) = - 0 . 3 9 \pm 0 . 0 2 . } & { } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \bar { t } _ { \mu n } = } & { \bar { t } _ { \mu n } ^ { ( 0 ) } + \bar { t } _ { \mu n } ^ { ( 1 ) } + \bar { t } _ { \mu n } ^ { ( 2 ) } + \dots } \\ { = } & { \bar { t } _ { \mu n } ^ { ( 0 ) } + \int d \omega _ { 1 } Y _ { \mu n } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) e ^ { - i \omega _ { 1 } t } + \int d \omega _ { 1 } \int d \omega _ { 2 } Y _ { \mu n } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) e ^ { - i \omega _ { 1 } t - i \omega _ { 2 } t } + \dots } \end{array}
\hat { u } = ( \hat { u } _ { i } ) _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb P _ { \mathbb U _ { a d } } \Big ( ( \beta ^ { i } { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \hat { p } ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) \Big ) , \quad } & { i = 2 , \ldots , m } \\ { \mathbb P _ { \mathbb U _ { a d } } \Big ( - ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } \hat { p } ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) \Big ) , } & { i = m + 1 , \ldots , n , } \end{array} \right.
\left. - \frac { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } { \sigma _ { i j } } \right| _ { \zeta ^ { ( 2 ) } = 0 , \, p _ { f } ^ { ( 1 ) } = 0 } \equiv \frac { 1 } { 3 } B _ { i j } ^ { ( 2 ) } : = \frac { b _ { i j } ^ { ( 2 ) } } { a _ { 3 3 } } \, , \qquad \left. \frac { e _ { i j } } { \sigma _ { k \ell } } \right| _ { \zeta ^ { ( 1 ) } = 0 , \, p _ { f } ^ { ( 2 ) } = 0 } \equiv S _ { i j k \ell } ^ { u \, \, ( 1 ) } : = S _ { i j k \ell } - \frac { 1 } { 3 } b _ { i j } ^ { ( 1 ) } B _ { k \ell } ^ { ( 1 ) }
\rho ^ { 2 } \le \frac { r ^ { 4 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 4 } } \left( 1 - 2 \frac { r ^ { 2 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \right) e ^ { - 2 r ^ { 2 } / \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \lessapprox 0 . 0 2 ,
S ~ = ~ \int ~ d ^ { 4 } x ( { \alpha ^ { 2 } } ( \partial _ { \mu } { \bf n } ) ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } ( { \bf n } . \partial _ { \mu } { \bf n } ~ \times ~ \partial _ { \nu } { \bf n } ) ^ { 2 } ~ + \nu ( 1 ~ - ~ n _ { 3 } ) )
f _ { k } ^ { ( D ) } ( \Omega ^ { ( { D } ) } ) = - \Gamma _ { { D } } ( k ) \left[ \left( \lambda \, \mu ^ { \epsilon } \right) ^ { - 1 } + { \mathcal G } _ { { D } } ^ { ( + ) } ( { \bf 0 } ; k ) \right] ^ { - 1 } \; .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { L } \mathbb { E } _ { 0 } [ N _ { i } ( T ) ] \cdot d \big ( \mu _ { i } ^ { ( 0 ) } , \mu _ { i } ^ { ( j ) } \big ) \ge \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { E } \in \mathcal { H } _ { 0 } ( T ) } d \big ( \mathbb { P } _ { 0 } ( \mathcal { E } ) , ~ \mathbb { P } _ { j } ( \mathcal { E } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ { \bf v } _ { k } \right\} \in \mathrm { s p a n } ^ { \perp } \left\{ { \bf K } _ { 0 } { { \bf f } } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) , ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) ^ { 1 } { \bf K } _ { 0 } { { \bf f } } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) , \right. } \\ & { \left. ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) ^ { 2 } { \bf K } _ { 0 } { { \bf f } } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) , ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) ^ { 3 } { \bf K } _ { 0 } { { \bf f } } ( { \bf n } ^ { ( 0 ) } ) , \ldots \right\} , } \end{array}
\left( 1 - 2 n _ { l } \frac { \chi } { f ^ { 2 } } \hbar \lambda _ { \infty } \right) \left( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \vec { \pi } \cdot \partial ^ { \mu } \vec { \pi } - \frac { 1 } { 2 } \chi \vec { \pi } \cdot \vec { \pi } \right) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \eta ^ { 0 } \partial ^ { \mu } \eta ^ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - 2 n _ { l } \frac { \chi } { f ^ { 2 } } \hbar \lambda _ { \infty } \right) \chi ( \eta ^ { 0 } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { M } \Big [ \mathcal { P } _ { A ^ { \prime } } [ p ^ { \prime } ( a ) ] \Big ] } & { = } & { \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { \prime } } \exp \Big ( t \, p ( a | a ^ { \prime } ) \Big ) p ( a ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { \prime } } \exp \Big ( t \, \delta _ { a , a ^ { \prime } } \Big ) p ( a ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \exp \Big ( t \cdot 1 \Big ) p ( a ) + \sum _ { a ^ { \prime } \neq a } \exp \Big ( t \cdot 0 \Big ) p ( a ^ { \prime } ) } \\ & { = } & { \exp ( t ) p ( a ) + ( 1 - p ( a ) ) } \\ & { = } & { \exp ( t ) p + q , } \end{array}
\frac { n _ { B } } { s } = \epsilon g _ { * } ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { 4 g ^ { 2 } } { \lambda _ { \phi } } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \frac { \langle \left( \delta X ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \rangle _ { 0 } } { M _ { X } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha i } R _ { i \beta } { \texttt A } _ { i \beta } } & { = z ^ { 2 } s ( z ) ^ { 2 } \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } \sum _ { \alpha \neq \beta } ( H _ { i \alpha } ) ^ { 2 } H _ { i \beta } { \texttt A } _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { = z ^ { 2 } s ( z ) ^ { 2 } \mathfrak { s } ( z ) ^ { 2 } w _ { { \texttt A } { \texttt B } } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { K L } ( p _ { 0 } \, | | \, p _ { \theta } ^ { \mathrm { S D E } } ) \leq \mathcal { J } _ { \mathrm { S M } } ( \theta ; g ( \cdot ) ^ { 2 } ) + \mathrm { K L } ( p _ { T } \, | | \, \pi ) } \end{array}
Q = Q | _ { 0 } + \xi ^ { i } { \cal L } _ { i } Q | _ { 0 } + \frac 1 2 \xi ^ { i } \xi ^ { j } { \cal L } _ { i } { \cal L } _ { j } Q | _ { 0 } + \frac 1 6 \xi ^ { i } \xi ^ { j } \xi ^ { k } { \cal L } _ { i } { \cal L } _ { j } { \cal L } _ { k } Q | _ { 0 } + \ldots
m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 4 } = - \frac { 1 } { 6 4 } g ^ { 2 } ( v _ { 1 } ^ { 2 } - v _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( g ^ { 2 } - 8 m _ { 3 } ^ { 2 } / ( v _ { 1 } v _ { 2 } ) )
e _ { 3 } ^ { \mu } ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { k ^ { 0 } \vec { k } } { \sqrt { k ^ { 2 } } | \vec { k } | } , } } & { { i f \; \; \mu = 1 , 2 , 3 ; } } \\ { { \frac { | \vec { k } | } { \sqrt { k ^ { 2 } } } , } } & { { i f \; \; \mu = 0 } } \end{array} \right.
m _ { s } n _ { s } \frac { \partial \vec { v } _ { 1 s } } { \partial t } \times \vec { B } _ { 0 } = q _ { s } n _ { s } \left[ - \vec { v } _ { 1 \perp s } B _ { 0 } ^ { 2 } \right] - \vec { \nabla } p _ { s } \times \vec { B } _ { 1 }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \operatorname* { s u p } _ { t \wedge T _ { j } \leq s < t \wedge T _ { j + 1 } } | X _ { s } ^ { \mu } - X _ { s } ^ { \nu } | ^ { \beta } \bigm | \mathcal { G } \right) } & { \leq K ^ { j + 2 } \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { t \wedge T _ { n + 1 } } W _ { \beta } ^ { 2 } ( \mu _ { s } , \nu _ { s } ) \, d s \right) ^ { \frac { \beta } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } W _ { \beta } ^ { \beta } ( \mu _ { T _ { k } } , \nu _ { T _ { k } } ) \right] . } \end{array}
\hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, .