harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { A _ { i } ^ { k } \left( \epsilon \right) = \frac { 4 } { 3 \pi \Gamma } \Omega _ { i } \lVert \boldsymbol { \mu } _ { i } \rVert ^ { 2 } \frac { 1 } { 1 + 4 \left( \frac { \epsilon - \Omega _ { i } } { \Gamma } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\left| k _ { \pm \rho } \frac { \partial \langle n _ { i } \rangle _ { \Gamma } } { \partial k _ { \pm \rho } } \right| \leq \sum _ { \sigma \in \mathcal { R } ^ { \prime } } \left| \sum _ { j \in \mathcal { S } } ( \mathsf { S } ^ { \prime } ) _ { \sigma j } ^ { - 1 } \mathrm { C o v } _ { \Gamma } \{ n _ { i } , n _ { j } \} \right|
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { r ^ { q _ { j } - 1 } } { ( b _ { j } + r ^ { 2 } / 2 ) ^ { a _ { j } + q _ { j } / 2 } } \, d r } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } 2 ^ { \frac { q _ { j } } { 2 } } b _ { j } ^ { - a _ { j } } ( \tan \alpha ) ^ { q _ { j } - 1 } ( \sec \alpha ) ^ { 2 - q _ { j } - 2 a _ { j } } \, d \alpha } \\ & { = 2 ^ { \frac { q _ { j } } { 2 } } b _ { j } ^ { - a _ { j } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \tan \alpha \big ( \frac { \sin \alpha } { \cos \alpha } \big ) ^ { q _ { j } - 2 } ( \sec \alpha ) ^ { 2 - q _ { j } - 2 a _ { j } } \, d \alpha } \\ & { \le 2 ^ { \frac { q _ { j } } { 2 } } b _ { j } ^ { - a _ { j } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \tan \alpha ( \sec \alpha ) ^ { - 2 a _ { j } } \, d \alpha = \frac { 2 ^ { \frac { q _ { j } } { 2 } - 1 } b _ { j } ^ { - a _ { j } } } { a _ { j } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { \prime \, m } , x ^ { \prime \, \mu } \right) = U _ { i n t } \left( x ^ { \prime \, m } , x ^ { m } ; x ^ { \prime \, \mu } , x ^ { \mu } \right) \widetilde { \psi } _ { i n t } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } \gamma ^ { 2 } ( \bar { \Lambda } ^ { \mu \nu } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \nu } \bar { \Lambda } ^ { \nu \mu } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \bar { \Lambda } _ { \mu \nu } D _ { \mu \nu \rho \sigma } \bar { \Lambda } ^ { \rho \sigma } ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tilde { E } _ { j } ( \lambda ) } = \frac { 1 } { E _ { j } ( \lambda ) } + \frac { 1 } { \tilde { E } _ { j - 1 } ( \lambda ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { j } \frac { 1 } { E _ { k } ( \lambda ) } + \frac { 1 } { \tilde { E } _ { 0 } ( \lambda ) } = \sum _ { k = 0 } ^ { j } \frac { 1 } { E _ { k } ( \lambda ) } + \sum _ { \mu \prec \lambda } \frac { 1 } { e ( \mu ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { t o t } ( - \omega _ { \tau } , \omega _ { t } ; T ) = [ \alpha ( - \omega _ { \tau } , \omega _ { t } ) - i \beta ( - \omega _ { \tau } , \omega _ { t } ) ] ( e ^ { i \omega _ { v } T } e ^ { - \gamma _ { e } T } ( 1 - \kappa ) + e ^ { - i \omega _ { v } T } e ^ { - \gamma _ { g } T } ) . } \end{array}
\Omega f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \frac { q ^ { 2 ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ) + 1 } + q ^ { - 2 ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) + 1 } } { ( q - q ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } f ( x , y ) .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { t } [ Q _ { t z } ] } & { = } & { \eta _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { Q } , } \\ { \mathbb { E } _ { t } [ H _ { t z } ] } & { = } & { \eta _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { H } , } \\ { \mathbb { E } _ { t } [ D _ { t z } ] } & { = } & { \eta _ { z } \bar { p } _ { t z } ^ { D } , } \\ { \mathbb { E } _ { t } [ Q _ { t z } H _ { t z } ] } & { = } & { \eta _ { z } ( \eta _ { z } - 1 ) \bar { p } _ { t z } ^ { Q } \bar { p } _ { t z } ^ { H } . } \end{array}
\underset { i = 0 } { \overset { \lambda _ { 2 } } { \sum } } { \binom { \mu _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \ell - a _ { 1 } } { \mu _ { 1 } + \ell - a _ { 1 } + i } } \mathbf X _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } - a _ { 2 } + a _ { 1 } - i , a _ { 1 } ) ( x _ { \theta } ^ { - } \otimes t ) ^ { \mu _ { 1 } + \ell - a _ { 1 } + i } ( x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { \lambda _ { 2 } - i } = 0 ,
T ( 2 u ) T ( 2 u + \frac { \pi } { 2 } ) = \frac { { \cos } ^ { 2 ( N + 1 ) } ( 2 u ) - { \sin } ^ { 2 ( N + 1 ) } ( 2 u ) } { \cos ( 4 u ) } \frac { 2 ^ { N + 2 } { ( - 1 ) } ^ { L } } { ( { { \sin } ( 2 u ) { \cos } ( 2 u ) ) } ^ { N } }
\begin{array} { r } { H ( \mathbf { k } ) = \left[ \begin{array} { l l l l } { m } & { 0 } & { \lambda } & { c _ { \mathbf { k } } } \\ { 0 } & { - m ^ { * } } & { c _ { \mathbf { k } } ^ { * } } & { - \lambda } \\ { \lambda } & { c _ { \mathbf { k } } } & { m ^ { * } } & { 0 } \\ { c _ { \mathbf { k } } ^ { * } } & { - \lambda } & { 0 } & { - m } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B = } & { ( \alpha D + ( 1 - \alpha ) A ) ^ { 2 } - \alpha n ( \alpha D + ( 1 - \alpha ) A ) + 2 ( 2 \alpha - 1 ) ( n - 2 ) I _ { n } } \\ { = } & { \alpha ^ { 2 } D ^ { 2 } + ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } A ^ { 2 } + \alpha ( 1 - \alpha ) D A + \alpha ( 1 - \alpha ) A D - \alpha ^ { 2 } n D - \left( \alpha n - \alpha ^ { 2 } n \right) A } \\ & { + 2 ( 2 \alpha - 1 ) ( n - 2 ) I _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( t ^ { 2 } ) } & { = } & { \frac { r _ { k } \int _ { \theta } ^ { 0 } \Big [ \frac { \ln w - \ln \theta ^ { \prime } } { r _ { k } } \Big ] ^ { 2 } w ^ { n } ( 1 - w ) ^ { x - n } \Big ( - \frac { d w } { r _ { k } w } \Big ) } { B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \int _ { 0 } ^ { \theta } \left( \ln w - \ln \theta ^ { \prime } \right) ^ { 2 } w ^ { n - 1 } ( 1 - w ) ^ { x - n } d w } { { r _ { k } } ^ { 2 } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \int _ { 0 } ^ { \theta } \left( \ln w \right) ^ { 2 } w ^ { n - 1 } ( 1 - w ) ^ { x - n } d w - 2 \ln \theta ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \theta } \ln w \: w ^ { n - 1 } ( 1 - w ) ^ { x - n } d w } { { r _ { k } } ^ { 2 } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } + } \\ & { } & { \frac { ( \ln \theta ^ { \prime } ) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \theta } \: w ^ { n - 1 } ( 1 - w ) ^ { x - n } d w } { { r _ { k } } ^ { 2 } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial n ^ { 2 } } + 2 \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial n \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } - 2 \ln \theta ^ { \prime } \Big ( \frac { \partial } { \partial n } + \frac { \partial } { \partial x } \Big ) \Big ) B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } { { r _ { k } } ^ { 2 } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } + \frac { ( \ln \theta ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { { r _ { k } } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial n ^ { 2 } } + 2 \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial n \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \Big ) B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } { { r _ { k } } ^ { 2 } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } + \frac { 2 \ln \theta ^ { \prime } \Gamma ( n ) ^ { 2 } { \theta } ^ { n } \: _ { 3 } \tilde { F } _ { 2 } ( n , n , n - x ; n + 1 , n + 1 ; \theta ) } { r _ { k } ^ { 2 } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } + } \\ & { } & { \frac { \ln \theta ^ { \prime } \ln \frac { \theta ^ { \prime } } { { \theta } ^ { 2 } } } { r _ { k } ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \frac { \Big ( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial n ^ { 2 } } + 2 \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial n \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \Big ) B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } { { r _ { k } } ^ { 2 } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } + \frac { 2 \ln \theta ^ { \prime } \Gamma ( n ) ^ { 2 } { \theta } ^ { n } \: _ { 3 } \tilde { F } _ { 2 } ( n , n , n - x ; n + 1 , n + 1 ; \theta ) } { r _ { k } ^ { 2 } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } + } \\ & { } & { \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } \right] ^ { 2 } - \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \frac { r _ { i } \tau _ { i } } { r _ { k } } \right] ^ { 2 } , } \end{array}
e ( \mathbf { u } , v \j , \eta , v ) = \frac { 1 } { 2 } \left\vert \left\vert \mathbf { u } \right\vert \right\vert ^ { 2 } + \frac { \alpha ( 1 / v ) } { 2 v } \left\vert \left\vert v \j \right\vert \right\vert ^ { 2 } + \varepsilon ( v , \eta ) .
{ \bf E } _ { l o c } ( { \bf r } ) = { \bf E } ( { \bf r } ) + \frac { { \bf P } } { 3 \varepsilon _ { 0 } } = { \bf E } ( { \bf r } ) \left( 1 + \frac { \varepsilon ( { \bf r } ) - 1 } { 3 } \right) = \frac { \varepsilon ( { \bf r } ) + 2 } { 3 } \, { \bf E } ( { \bf r } ) .
\sim \; \frac { C _ { 2 } } { C _ { 1 } } \; \frac { ( m _ { D } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) } { ( m _ { B } ^ { 2 } - m _ { D } ^ { 2 } ) } \; \frac { f _ { B } } { f _ { \pi } } \; \frac { F ^ { D \rightarrow \pi } ( m _ { B } ^ { 2 } ) } { F ^ { B \rightarrow D } ( m _ { \pi } ^ { 2 } ) } \approx \; 0 . 0 3 \; \frac { f _ { B } } { f _ { \pi } } \; \frac { F ^ { D \rightarrow \pi } ( m _ { B } ^ { 2 } ) } { F ^ { B \rightarrow D } ( m _ { \pi } ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { l } { \Phi _ { g , n } \bigl ( \overset { V } { M } ( g + l ) \bigr ) = \Lambda _ { 0 , n - l } \, \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } ( g + l ) \, \overset { V } { L } { ^ { ( - ) } } ( g + l ) ^ { - 1 } \Lambda _ { 0 , n - l } ^ { - 1 } , } \\ { \Phi _ { g , n } \bigl ( \overset { V } { A } ( k ) \bigr ) = \Lambda _ { g - k , n } \, \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } ( k ) \overset { V } { L } { ^ { ( - ) } } ( k ) ^ { - 1 } \, \Lambda _ { g - k , n } ^ { - 1 } , } \\ { \Phi _ { g , n } \bigl ( \overset { V } { B } ( k ) \bigr ) = \Lambda _ { g - k , n } \, \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } ( k ) \, \overset { V } { T } ( k ) \, \overset { V } { L } { ^ { ( - ) } } ( k ) ^ { - 1 } \, \Lambda _ { g - k , n } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { c c c } { \displaystyle { a _ { 3 } = - \frac { ( 1 - 2 \overline { { c } } ) } { 2 \, \overline { { c } } ^ { \, 2 } ( 1 - \overline { { c } } ) ^ { 2 } } \, T , \qquad a _ { 4 } = \frac { ( 1 - 3 \overline { { c } } + 3 \overline { { c } } ^ { \, 2 } ) } { 3 \, \overline { { c } } ^ { \, 3 } ( 1 - \overline { { c } } ) ^ { 3 } } \, T . } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( v \cdot \nabla \theta , \rho ) = \langle v \cdot n , \theta \rho \rangle _ { \Gamma } - ( \nabla \cdot v , \theta \rho ) - ( \theta , v \cdot \nabla \rho ) = - ( \theta , v \cdot \nabla \rho ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D = \left[ \begin{array} { l l l l l } { | } & { | } & & { | } & { | } \\ { M _ { 1 , 1 } M _ { 1 , 2 } M _ { 1 , 3 } } & { M _ { 1 , 1 } M _ { 1 , 2 } M _ { 2 , 3 } } & { \cdots } & { M _ { 3 , 1 } M _ { 3 , 2 } M _ { 2 , 3 } } & { M _ { 3 , 1 } M _ { 3 , 2 } M _ { 3 , 3 } } \\ { | } & { | } & & { | } & { | } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { N \times 9 ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { e ^ { - r t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n } q _ { n } ( x , t | x _ { 0 } ) = } \\ & { } & { \qquad = e ^ { - r t } q _ { 0 } ( x , t | x _ { 0 } ) + r \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } e ^ { - r t ^ { \prime } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } y e ^ { - r ( t - t ^ { \prime } ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n } q _ { n } ( y , t - t ^ { \prime } | x _ { 0 } ) p _ { 0 } ( x , t ^ { \prime } | c y ) } \\ & { } & { \qquad = e ^ { - r t } q _ { 0 } ( x , t | x _ { 0 } ) + r e ^ { - r t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n } \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } y q _ { n } ( y , t - t ^ { \prime } | x _ { 0 } ) p _ { 0 } ( x , t ^ { \prime } | c y ) } \\ & { } & { \qquad = e ^ { - r t } q _ { 0 } ( x , t | x _ { 0 } ) + e ^ { - r t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n + 1 } q _ { n + 1 } ( x , t | x _ { 0 } ) } \\ & { } & { \qquad = e ^ { - r t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { n } q _ { n } ( x , t | x _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau \partial _ { t t } T + \partial _ { t } T = \alpha _ { 1 } \Delta T + \alpha _ { 2 } \partial _ { t } \Delta T + \frac { Q _ { v } } { \rho c _ { v } } + \frac { \tau } { \rho c _ { v } } \partial _ { t } Q _ { v } , \quad \alpha _ { 1 , 2 } = \frac { \hat { \lambda } _ { 1 , 2 } } { \rho c _ { v } } , \quad \hat { \lambda } _ { 1 , 2 } = \frac { \lambda _ { 1 , 2 } } { T ^ { 2 } } . } \end{array}
\tau _ { a c c } ^ { i n t } = \frac { 1 } { 2 } + \operatorname* { l i m } _ { \tau _ { \mathrm { m a x } } \rightarrow \infty } \sum _ { \tau = 1 } ^ { \tau _ { \mathrm { m a x } } } \frac { \rho _ { a c c } ( \tau ) } { \rho _ { a c c } ( 0 ) } \approx \frac { 1 } { 2 } + \operatorname* { l i m } _ { \tau _ { \mathrm { m a x } } \rightarrow \infty } \sum _ { \tau = 1 } ^ { \tau _ { \mathrm { m a x } } } \widehat { \rho ( \tau ) / \rho ( 0 ) } _ { a c c }
\begin{array} { r l r } { \parallel \epsilon _ { 1 , J } \tilde { D } _ { \beta _ { J } } ^ { * } \parallel _ { 1 } } & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 1 } J ^ { - 2 } ) C ( J ) ^ { - 1 } \parallel D _ { \beta _ { J } } ^ { * } \parallel _ { 1 } } \\ & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 2 } J ^ { - 2 } ) O ( J ^ { 2 } r ( d , J ) ) } \\ & { = } & { O ( C ( J ) ^ { - 2 } r ( d , J ) ) . } \end{array}
\hat { I } _ { 0 , 2 } ( 4 - 2 \epsilon , M ^ { 2 } ) = \frac { i } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( \frac { M ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } \right) ^ { - \epsilon } \Gamma ( \epsilon ) \, .
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { I N T } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ^ { \prime } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ^ { \ast } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ^ { \prime } , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 } d f _ { 2 } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \iff } & { { } \left( \frac { M _ { A } } { R _ { n } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { v _ { c } } { v _ { 0 } } \right) ^ { 2 } = \alpha ^ { 2 } + \beta _ { 2 } - \beta _ { d } \ , } \end{array}
\hat { \vec { k } } _ { \mathrm { m a x } } ^ { \mathrm { p w } } = { ( m \hat { \vec { k } } _ { 1 } + ( 3 - m ) \hat { \vec { k } } _ { 2 } ) / | m \hat { \vec { k } } _ { 1 } + ( 3 - m ) \hat { \vec { k } } _ { 2 } | }
\begin{array} { r } { \partial _ { t } ^ { \ell } \bigl ( \nabla X _ { m } ^ { - 1 } \circ X _ { m } \bigr ) = \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \mathscr { D } _ { t , m } ^ { \ell } \nabla X _ { m } ^ { - 1 } \aftergroup \egroup \right) \circ X _ { m } = \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \bigl [ \mathscr { D } _ { t , m } ^ { \ell } , \nabla \bigr ] X _ { m } ^ { - 1 } \aftergroup \egroup \right) \circ X _ { m } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { \mathrm { c o n } } ( \mathbf { q } ) = \frac { 2 \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } } { 3 } \mathbf { I } , } \\ { \mathbf { B } _ { \mathrm { d i p } } ( \mathbf { q } ) = \frac { \mu _ { r } \mu _ { 0 } \gamma _ { I } } { 3 } \frac { q ^ { 2 } \mathbf { I } - 3 ( \mathbf { I } \cdot \mathbf { q } ) \mathbf { q } } { q ^ { 2 } } . } \end{array}
[ \tilde { \cal R } _ { \mu } , \tilde { \cal R } _ { \nu } ] = - i \epsilon _ { \mu \nu \lambda } \tilde { \cal R } { } ^ { \lambda } , \quad [ \tilde { \cal R } _ { \mu } , \tilde { \cal R } _ { \nu } ] _ { { } _ { + } } = - \frac { 1 } { 2 } \Pi _ { - } \eta _ { \mu \nu } , \quad [ \tilde { \cal R } _ { \mu } , \Pi _ { - } ] = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = } & { E _ { 1 } + \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } \sigma _ { z } ^ { \prime } + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi _ { \nu } ( \cdot ) : = e ^ { - \nu ( X ) } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \nu ^ { \odot k } \bigl ( \cdot \cap { { \mathbf \Upsilon } ^ { k } ( X ) } \bigr ) = e ^ { - \nu ( X ) } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } ( { \sf P } _ { k } ) _ { \# } \nu ^ { \otimes k } \bigl ( \cdot \cap { { \mathbf \Upsilon } ^ { k } ( X ) } \bigr ) \, \, \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { c } _ { j , n _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } = \bar { c } _ { j , i _ { 0 } } ^ { ( i _ { 0 } ) } } & { : = \operatorname* { m a x } _ { 0 \le m \le i _ { 0 } } \left\{ \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { j } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - j } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { m } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - m } ^ { \leftarrow } ( t ) } \right\} } \\ & { \ge \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { b _ { j } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { i _ { 0 } - j } ^ { \leftarrow } ( t ) } { b _ { i _ { 0 } - 1 } ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) \leftarrow } ( t ) b _ { 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { ( t ^ { \alpha } \ell ( t ) ) ^ { j } \cdot t ^ { ( i _ { 0 } - j ) ( \alpha + \gamma ) } } { ( t ^ { \alpha } \ell ( t ) ) ^ { ( i _ { 0 } - 1 ) } \cdot t ^ { \alpha } \ell ( t ) } = \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \hat { \omega } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t } \| ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } \bigg \| ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \big ( \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t - 1 } \big ) + \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } , \mathcal { B } _ { y } ) } \\ & { \qquad - ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , \mathcal { B } _ { y } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + \frac { 1 } { I } ) ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \omega } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + ( 1 + I ) \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } , \mathcal { B } _ { y } ) } \\ & { \qquad - ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \bigg ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } g ^ { ( j ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( j ) } , \mathcal { B } _ { y } ) \bigg ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( x ( t ) , \eta ) - L ( \xi , \lambda ( t ) ) } & { = \mathcal { O } \big ( t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \alpha t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert ( \dot { x } ( t ) , \dot { \lambda } ( t ) ) \rVert ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \alpha t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert ( x ( t ) , \lambda ( t ) ) - ( \xi , \eta ) \rVert ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \alpha t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { i g _ { W } ^ { 2 } } { 2 ^ { 2 n + D } \sqrt { \pi ^ { D } } M _ { W } ^ { 8 n + 2 - D } } \bigg \{ \frac { \Gamma \big ( 4 n + 2 - \frac { D } { 2 } \big ) } { \Gamma ( 4 n ) } \bigg ( D + \frac { p ^ { 4 } } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \bigg ) \int _ { 0 } ^ { 1 } B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } , 4 n , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime } ( x ) } & { { } = V _ { 1 } + V _ { 2 } \cdot x , } \\ { V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime \prime } ( x ) } & { { } = V _ { 2 } . } \end{array}
\langle 0 | ( m _ { s } \bar { s } s ) ( \mu ) | 0 \rangle = \langle 0 | m _ { s } \bar { s } s ^ { N O } | 0 \rangle - \frac { 3 } { 7 \pi } \frac { m _ { s } ^ { 4 } ( \mu ) } { \alpha _ { s } ( \mu ) } \, .
{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { a - 1 } & { 2 } \end{array} \right] } ^ { n } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { U _ { n } } \\ { U _ { n + 1 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r c c c l } { \mathbf { F } ( t + \Delta t ) } & { = } & { F ( t ) } & { + } & { \mathbf { F } _ { \Delta } } \\ { \mathbf { V } ( t + \Delta t ) } & { = } & { V ( t ) } & { + } & { \mathbf { V } _ { \Delta } } \\ { \mathbf { N } ^ { \star } ( t + \Delta t ) } & { = } & { N ^ { \star } ( t ) } & { + } & { \mathbf { N } _ { \Delta } ^ { \star } , } \end{array}
( e ^ { - 2 \phi } ) _ { \mathrm { f i x } } = { \frac { | q _ { 0 } q _ { 1 } + p ^ { 0 } p ^ { 1 } | } { ( q _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } \qquad ( a ) _ { \mathrm { f i x } } = { \frac { p ^ { 1 } q _ { 1 } - q _ { 0 } p ^ { 0 } } { ( q _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( p ^ { 0 } ) ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| { \bf X } ^ { t } - { \bf P } { \bf X } ^ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq ( \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \lambda ^ { t - 1 - j } ( \lambda ^ { ( Q - 1 ) ( t - 1 - j ) } + \frac { 1 } { m ^ { Q - 1 } } ) \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \lambda ^ { t - 1 - j } ( \lambda ^ { ( Q - 1 ) ( t - 1 - j ) } + \frac { 1 } { m ^ { Q - 1 } } ) \mathbb { E } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| ^ { 2 } ) } \\ & { \leq ( \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } ( \lambda ^ { Q ( t - 1 - j ) } + \frac { \lambda ^ { t - 1 - j } } { m ^ { Q - 1 } } ) \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } ( \lambda ^ { Q ( t - 1 - j ) } + \frac { \lambda ^ { t - 1 - j } } { m ^ { Q - 1 } } ) \mathbb { E } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| ^ { 2 } ) } \\ & { \leq \mathbb { E } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| ^ { 2 } \Big ( \frac { 1 } { ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } m ^ { 2 ( Q - 1 ) } } + \frac { 1 } { ( 1 - \lambda ^ { Q } ) ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha _ { 0 } } \big \{ { e ^ { i \omega t } \big \} } = e ^ { i ( \omega t + \frac { \pi \alpha _ { 0 } } { 2 } ) } = e ^ { i ( \omega t + \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { \mathrm { R } } + i \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { \mathrm { I } } ) } = e ^ { ( - \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { \mathrm { I } } ) } e ^ { i ( \omega t + \frac { \pi } { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { \mathrm { R } } ) } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { p } ( v _ { \pm } ) = \Delta v _ { \pm } + ( p - 2 ) \partial _ { n n } v _ { \pm } = 0 , \qquad } & { \mathrm { i n } \quad B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \pm } , } \\ { \alpha _ { \infty } ^ { p } \partial _ { n } v _ { + } = \beta _ { \infty } ^ { p } \partial _ { n } v _ { - } , \qquad } & { \mathrm { o n } \quad B _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \pm } \cap \{ x _ { n } = 0 \} , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } { u _ { b , j } \frac { \partial g _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } } r _ { 1 , i } } \mathrm { d } x _ { j } = u _ { b , j } g _ { 1 , i } r _ { 1 , i } \Big | _ { x _ { j } = x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } - \int _ { x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } { \frac { \partial ( u _ { b , j } r _ { 1 , i } ) } { \partial x _ { j } } g _ { 1 , i } } \mathrm { d } x _ { j } , } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { \dot { \varpi } = \frac { { \cal E } _ { 0 } } { e ^ { 2 } \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 1 6 } \, a ( - k n ) \bigg [ 2 e ^ { 2 } ( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } ) ^ { 2 } + e ^ { 2 } X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) + 2 e \, X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 1 } + X _ { k } ^ { - 3 , 1 } \right) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { C K } _ { f } = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \int _ { \mathbb { R } } | \dot { \mathrm { A } } _ { k } ( t , \eta ) | \mathrm { A } _ { k } ( t , \eta ) | \widehat { f } _ { k } ( t , \eta ) | ^ { 2 } d \eta . } \end{array}