harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { P _ { 2 } ^ { \mathrm { g } } : \quad } & { g ^ { 7 } ( 1 ) = 1 , \; g ^ { 7 } ( 2 ) = 2 , \; g ^ { 7 } ( 3 ) = 2 , \; g ^ { 7 } ( 4 ) = 3 , \; g ^ { 7 } ( 5 ) = 3 , } \\ & { g ^ { 7 } ( 6 ) = 4 , \; g ^ { 7 } ( 7 ) = 4 , \; g ^ { 7 } ( 8 ) = 5 , \; g ^ { 7 } ( 9 ) = 5 , \; g ^ { 7 } ( 1 0 ) = 6 , } \\ & { g ^ { 7 } ( 1 1 ) = 6 , \; g ^ { 7 } ( 1 2 ) = 7 , \; g ^ { 7 } ( 1 3 ) = 7 , \; g ^ { 7 } ( 1 4 ) = 8 , \; } \\ & { g ^ { 7 } ( 1 5 ) = 8 , \; g ^ { 7 } ( 1 6 ) = 9 , \; g ^ { 7 } ( 1 7 ) = 9 , \; g ^ { 7 } ( 1 8 ) = 1 0 , } \\ & { g ^ { 7 } ( 1 9 ) = 1 0 , \; g ^ { 7 } ( 2 0 ) = 1 0 , \; g ^ { 7 } ( 2 1 ) = 1 1 , } \\ & { g ^ { 7 } ( 2 2 ) = 1 1 , \; g ^ { 7 } ( 2 3 ) = 1 2 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { m } ^ { 1 } } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } F \left( \operatorname* { m a x } \left( { a ^ { 1 } } , M _ { s } \right) , a \right) B ^ { 1 } ( X _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } \left( \operatorname* { m a x } \left( { a ^ { 1 } } , M _ { s } \right) - X _ { s } ^ { 1 } , a - X _ { s } ; t - s \right) d a \right] d s } \\ { I _ { 1 } ^ { 1 } } & { = \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } _ { \mathbb { P } } \left[ \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } F \left( \operatorname* { m a x } \left( M _ { s } , a ^ { 1 } \right) , a \right) B ^ { 1 } ( X _ { s } ) p _ { W ^ { * 1 } , W } ( a ^ { 1 } - { X _ { s } ^ { 1 } } , a - X _ { s } ; t - s ) d a \right] d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { f _ { 1 } ( t ) , \varrho _ { 1 } ( t ) } ( x , \gamma , \tau , k ) : = \frac { p ^ { \prime } ( \varrho _ { 1 } ( x ) ) \varrho _ { 1 } ( x ) } { 1 - \rho _ { f _ { 1 } } ( x ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \gamma + i \tau ) s } i k \cdot \left( \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f _ { 1 } \right) ( t , x , k s ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } ^ { ( 2 ) } ( \omega ^ { ( 2 ) } ) } & { = \frac { 1 } { \omega ^ { ( 2 ) } - \hat { \epsilon } } \circ \left[ \hat { h } ^ { \alpha _ { 2 } } , \hat { \rho } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) \right] A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { 2 } ) } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, + \frac { 1 } { \omega ^ { ( 2 ) } - \hat { \epsilon } } \circ \left[ \frac { 1 } { 2 } \hat { h } ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } , \hat { \rho } ^ { ( 0 ) } \right] A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { 1 } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { 2 } ) } \\ & { \equiv \left( \hat { \rho } _ { \hat { h } ^ { \alpha _ { 1 } } , \hat { h } ^ { \alpha _ { 2 } } } ^ { ( 2 ) } ( \omega ^ { ( 2 ) } ) + \hat { \rho } _ { \frac { 1 } { 2 } \hat { h } ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } } ^ { ( 1 ) } ( \omega ^ { ( 2 ) } ) \right) A _ { \alpha _ { 1 } } ( \omega _ { 1 } ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { 2 } ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D } { D t } \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime } \cdot \mathbf { b } ^ { \prime } \right\rangle = } & { { } - \boldsymbol { \mathcal { E } } \cdot \left( \left\langle \mathbf { W } \right\rangle + 2 \boldsymbol { \Omega } \right) - \left\langle u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } - b _ { i } ^ { \prime } b _ { j } ^ { \prime } \right\rangle \partial _ { j } \left\langle B \right\rangle _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \tau _ { t } } ( h ) } & { = h ( V ( \tau _ { t } ) ) - h ( V ( 0 ) ) - \int _ { 0 } ^ { \tau _ { t } } \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \left( V ( s ) \right) ^ { \frac { 4 a } { \sigma ^ { 2 } } - 1 } e ^ { - \frac { 4 b } { \sigma ^ { 2 } } V ( s ) } \mathcal A h ( V ( s ) ) d s } \\ & { = h ( X ( t ) ) - h ( x _ { 0 } ) - \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal A h ( X ( s ) ) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } u _ { t } ( x ) } & { = t \int _ { B _ { \frac { 1 } { 6 \sqrt { n } } } } \frac { 1 } { w _ { n } | x - \xi | ^ { n } } \left[ \frac { \left( x _ { 1 } - \xi _ { 1 } \right) ^ { 2 } } { | x - \xi | ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n } \right] \eta d \xi } \\ & { \geq t \frac { 2 ^ { n } } { 3 ^ { n } } \frac { 1 } { w _ { n } | x | ^ { n } } \int _ { B _ { \frac { 1 } { 1 2 \sqrt { n } } } } \left[ \left( \frac { 7 } { 6 } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n } \right] d \xi } \\ & { \geq \frac { t } { 3 6 ^ { n } n ^ { \frac { n } { 2 } } n ^ { 2 } } | x | ^ { - n } \geq \frac { t } { M ^ { n } n ^ { 2 } } | x | ^ { - n } . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } \ \operatorname { R e } \{ V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \} } { \mathrm { d } t } } = \operatorname { R e } \left\{ { \frac { \mathrm { d } \left( V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \right) } { \mathrm { d } t } } \right\} = \operatorname { R e } \left\{ i \omega V _ { c } \cdot e ^ { i \omega t } \right\}
\mathcal F _ { Q } = \frac { 2 ^ { p + 1 } } { p ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } z \sqrt { g } [ K | \nabla Q | ^ { 2 } + K ^ { \prime } | \bar { \nabla } Q | ^ { 2 } + \epsilon ^ { - 2 } ( 1 - 2 ^ { p } | Q | ^ { 2 } ) ^ { 2 } ] ,
S ( t ) = - \frac 4 3 \mu ^ { 2 } L _ { 0 } \frac { \sin ^ { 2 } \delta L _ { 0 } } { ( \delta L _ { 0 } ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } < \vec { b } ^ { 2 } ( t ^ { \prime } ) > S ( t ^ { \prime } ) ,
\mathbf { A } ( \mathbf { r } ) \equiv { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { V } { \frac { \nabla ^ { \prime } \times \mathbf { F } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \mathrm { d } V ^ { \prime } - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \oint _ { S } \mathbf { \hat { n } } ^ { \prime } \times { \frac { \mathbf { F } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \mathrm { d } S ^ { \prime }
{ \frac { d } { d s } } { \frac { \partial } { \partial { \dot { x } } ^ { \alpha } } } { \sqrt { \left| g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } \right| } } = { \frac { \partial } { \partial x ^ { \alpha } } } { \sqrt { \left| g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } \right| } } \ ,
\begin{array} { r l } { G ^ { X _ { 1 } } ( x ) } & { : = ( X _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + 4 c X _ { 1 } + \left( 1 + 9 / ( 4 x ^ { 2 } ) \right) ( X _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \left( ( 2 / x ) X _ { 2 } - 4 c x \right) X _ { 1 } ^ { \prime } , } \\ { H ^ { Y } ( y ) } & { : = ( Y ^ { \prime } - 2 c y ) ^ { 2 } + ( Y - c y ^ { 2 } + 2 c ) ^ { 2 } - 4 c ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { k \ell } ^ { ( n ) } } & { { } = \sum _ { i , j } ( - 1 ) ^ { j } \binom { j + \ell } { j } S _ { i j } ^ { ( n ) } \overline { { g } } _ { i , k , j + \ell } ^ { ( n ) } , } \end{array}
d \lambda = \omega { \frac { 1 } { v _ { \mathrm { r e l } } / A } } \cdot { \frac { d p _ { 1 } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) } } \cdot { \frac { d ^ { 2 } \vec { k } ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } s ^ { 2 } - 4 t ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) = } & { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 1 } 4 \cdot 3 6 ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ( 3 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) + 3 6 ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } } \\ & { + 1 6 c _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 2 } ( 3 - \alpha ) ^ { 3 } + 7 2 c _ { 1 } ^ { 3 } c _ { 3 } ( 3 - \alpha ) ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) + 2 1 6 c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) ) } \\ & { + 8 c _ { 2 } ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) ( 2 - \alpha ) ^ { 2 } ) } \\ { = } & { 4 ^ { 2 } \cdot 3 6 ^ { 2 } ( 3 c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } + 3 2 c _ { 1 } ^ { 4 } c _ { 2 } + 4 c _ { 2 } ^ { 3 } ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 2 } s ^ { 2 } - 4 t ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) = } & { 0 } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \alpha \to 3 } s ^ { 2 } - 4 t ^ { 3 } ( 3 - \alpha ) = } & { 4 ^ { 2 } \cdot 3 6 ^ { 4 } \cdot c _ { 3 } ^ { 2 } . } \end{array}
< x _ { f } = 0 \vert \exp ( - H _ { h o } T ) \vert x _ { i } = 0 > = N ( T ) \left\{ D e t \left[ - { \frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } } + \nu ^ { 2 } \right] \right\} ^ { - 1 / 2 }
\begin{array} { l } { { \chi ( { \{ n _ { r } \} } _ { 1 } ^ { N } ; { \{ m _ { r } \} } _ { 1 } ^ { M } ; { \{ q _ { r } \} } _ { 1 } ^ { Q } ; { \{ t _ { r } \} } _ { 1 } ^ { T } ; { \{ \nu _ { r } \} } _ { 1 } ^ { 4 } ) = { ( \hat { b } _ { N } ^ { 1 1 } ) } ^ { n _ { \scriptscriptstyle N } } \cdots { ( \hat { b } _ { 1 } ^ { 1 1 } ) } ^ { n _ { 1 } } \cdot } } \\ { { \cdot { ( \hat { b } _ { M } ^ { 1 2 } ) } ^ { m _ { \scriptscriptstyle M } } \cdots { ( \hat { b } _ { 1 } ^ { 1 2 } ) } ^ { m _ { 1 } } \cdot { ( \hat { b } _ { Q } ^ { 2 1 } ) } ^ { q _ { \scriptscriptstyle Q } } \cdots { ( \hat { b } _ { 1 } ^ { 2 1 } ) } ^ { q _ { 1 } } \cdot \cdot { ( \hat { b } _ { T } ^ { 2 2 } ) } ^ { t _ { \scriptscriptstyle T } } \cdots { ( \hat { b } _ { 1 } ^ { 2 2 } ) } ^ { t _ { 1 } } \chi ^ { 0 } ( \nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , \nu _ { 4 } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { H ^ { ( n , l ) } } ( t ) } & { = \mathbb { E } [ e ^ { t H ^ { ( n , l ) } } ] = \mathbb { E } [ e ^ { t ( \Bar { H } + \frac { 2 \gamma T ^ { ( N ) } } { \theta \Bar { F } } } e ^ { t I ^ { ( n , l ) } } e ^ { - t I ^ { ( n , l - 1 ) } } ] } \\ & { = e ^ { t ( \Bar { H } + \frac { 2 \gamma T ^ { ( N ) } } { \theta \Bar { F } } } \mathbb { E } [ e ^ { t I ^ { ( n , l ) } } ] \mathbb { E } [ e ^ { - t I ^ { ( n , l - 1 ) } } ] } \\ & { = e ^ { t ( \Bar { H } + \frac { 2 \gamma T ^ { ( N ) } } { \theta \Bar { F } } } e ^ { \gamma T ^ { ( n ) } ( \frac { \theta } { \theta - t } - 1 ) } e ^ { \gamma T ^ { ( n ) } ( \frac { \theta } { \theta + t } - 1 ) } } \\ & { = e ^ { t ( \Bar { H } + \frac { 2 \gamma T ^ { ( N ) } } { \theta \Bar { F } } ) } e ^ { \gamma T ^ { ( n ) } ( \frac { 2 t ^ { 2 } } { \theta ^ { 2 } - t ^ { 2 } } ) } } \end{array}
S ^ { S P } [ \hat { \rho } _ { \bf k } ^ { \eta } ; \overline { { \tau } } _ { \bf k } ] = \sum _ { \bf k } S _ { \bf k } ^ { \eta } [ \hat { \rho } _ { \bf k } ^ { l } ] + S ^ { F D } [ \hat { \rho } _ { \bf k } ^ { h + } ] - S _ { \bf k } ^ { \eta } ( \hat { \rho } _ { \bf k } ^ { h - } ) ,
\Omega _ { \partial _ { k } , \bar { \partial } _ { k } ^ { * } } ^ { \, ^ { \bullet , \bullet } } ( { \mathcal A } ) \ = \ \displaystyle \bigoplus _ { p , q } \, O m e g a _ { \partial _ { k } , \bar { \partial } _ { k } ^ { * } } ^ { \ p , q } ( { \mathcal A } ) \ ,
K ( t ) = \int d ^ { 4 } x \int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \omega _ { n } ^ { 2 } t - k ^ { 2 } t } \left( T \, \exp - \int V ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right) _ { n n } .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { : = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathcal { U } } \big ( \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) _ { 1 } ) \theta \left( \mathcal { R } \Lambda \right) ( x ) } \\ & { + \underbrace { \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) \theta \left( \mathcal { R } \left( - F ( \zeta _ { \epsilon } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) _ { 1 } ) , \zeta _ { \epsilon } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) _ { 2 } ) ) - \mu \zeta _ { \epsilon } ( ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s ) ) _ { 1 } ) \right) \right) ( x ) } _ { = 0 } \big ) d x d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathcal { U } } \eta _ { \epsilon } ^ { \prime } ( u _ { \epsilon } ^ { \theta } ( s , x ) ) \theta \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \mathcal { S } ( t ) e ^ { - \theta t } \Lambda ( x ) d t \right) d x d s \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \gamma \in P _ { k n } ( F ) \backslash \mathrm { S p } _ { 2 k n } ( F ) } \int _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } ^ { 0 } ( \mathbb { A } ) } \int _ { U _ { 2 } ( F ) \backslash U _ { 2 } ( \mathbb { A } ) } \theta _ { \psi , k n ^ { 2 } } ^ { \Phi } ( l _ { T } ^ { 0 } ( u _ { b } u ) i _ { T } ^ { 0 } ( 1 , \gamma g ) ) } \\ { \times } & { \int _ { U _ { 1 } ( F ) \backslash U _ { 1 } ( \mathbb { A } ) } f _ { 2 n , k , s } ( w _ { 0 } u _ { 1 } u _ { b } u \widetilde { \gamma g } ) \psi _ { 1 } ( u _ { 1 } ) \psi _ { 0 } ( u ) d u _ { 1 } d u _ { b } d u , } \end{array}
{ \Gamma _ { S } } ^ { e x p } = 7 . 4 \times 1 0 ^ { - 1 2 } ( \mathrm { M e V } ) \: \: , \: \: { \Gamma _ { L } } ^ { e x p } = 1 . 3 \times 1 0 ^ { - 1 4 } ( \mathrm { M e V } ) \: ,
b _ { n } = \sum _ { m = n } ^ { 2 n } ( - 1 ) ^ { n - m } { \frac { \Gamma \left( - { \frac { d - 1 } { 2 } } + m \right) } { \Gamma \left( - { \frac { d - 1 } { 2 } } + n \right) } } b _ { 2 ( m - n ) , m } .
B _ { \varphi } ^ { h f } = - \frac { E _ { 0 } ^ { h f } } { J _ { 1 } \left( p _ { 0 1 } \right) } \frac { \omega \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } } { k _ { \perp } } J _ { 1 } ^ { \prime } \left( k _ { \perp } r \right) \sin \varphi _ { p } ( t ) ,
| u _ { m } | \sim \mathcal { A } _ { m } [ u ] \sim u _ { 0 } \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { h _ { \operatorname* { m a x } } } = u _ { 0 } 2 ^ { - m h _ { \operatorname* { m a x } } } .
\begin{array} { r l r } { Q _ { 0 } } & { = } & { \left( 1 - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } B _ { 0 } ^ { 2 } \right) \left[ \chi ( \theta ) - 1 - ( \chi ( \theta ) + 1 ) \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \right] + } \\ & { + } & { \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \, \sin ^ { 2 } \theta \left[ ( 2 \chi ( \theta ) - 1 ) \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } } { \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } - ( 2 \chi ( \theta ) - 1 ) \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \, \frac { \omega ^ { 2 } } { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } \, \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { c } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \right] \, , } \end{array}
\int _ { B ( 0 , R ) } \xi ^ { 2 k } | \hat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } \ d \xi \leq R ^ { 2 k } \int _ { \mathbb { R } } | \hat { f } ( \xi ) | ^ { 2 } \ d \xi = R ^ { 2 k } \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { S } & { \big ( ( E _ { 0 } - z - H ) ^ { - 1 } + ( E _ { 0 } + z - H ) ^ { - 1 } \big ) S ^ { * } v _ { \mathcal { P } } ( r ) } \\ & { = \frac { N } { \sqrt { N ! } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 ( N - 1 ) } } \overline { { \Psi _ { 0 } } } ( r , r _ { 2 } , \dots , r _ { N } ) } \\ & { \qquad \sum _ { \sigma \in S _ { N } } ( - 1 ) ^ { \sigma } \left[ ( \epsilon _ { \sigma ( j ) } - z - h ) ^ { - 1 } + ( \epsilon _ { \sigma ( j ) } + z - h ) ^ { - 1 } \right] \big ( v _ { \mathcal { P } } ( r ) \psi _ { \sigma ( 1 ) } ( r ) \big ) \prod _ { k \geq 2 } \psi _ { \sigma ( k ) } ( r _ { k } ) \, \mathrm { d } r _ { 2 } \dots \, \mathrm { d } r _ { N } } \\ & { \qquad - \Big \langle \Psi _ { 0 } , \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { \sigma \in S _ { N } } ( - 1 ) ^ { \sigma } \left[ ( \epsilon _ { \sigma ( j ) } - z - h ) ^ { - 1 } + ( \epsilon _ { \sigma ( j ) } + z - h ) ^ { - 1 } \right] v _ { \mathcal { P } } ( r _ { j } ) \prod _ { k = 1 } ^ { N } \psi _ { \sigma ( k ) } ( r _ { k } ) \Big \rangle \rho _ { 0 } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Bigl \langle \frac { \delta \tilde { \mathcal { E } } } { \delta \tilde { \rho } } , \tilde { \sigma } \Bigr \rangle = \int \frac { \delta \tilde { \mathcal { E } } } { \delta \tilde { \rho } } ( \tilde { \theta } ) \tilde { \sigma } ( \tilde { \theta } ) \mathrm { d } \tilde { \theta } = \int \frac { \delta \tilde { \mathcal { E } } } { \delta \tilde { \rho } } ( \varphi ( \theta ) ) \sigma ( \theta ) \mathrm { d } \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } v M [ f ] \, d v } & { = c \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } v \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v - u _ { f } | ^ { 2 } \le \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } } \, d v } \\ & { = c \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( v + u _ { f } ) \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } - | v | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v | ^ { 2 } \le \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } } \, d v } \\ & { = c u _ { f } \left( \frac { 2 \gamma } { \gamma - 1 } \rho _ { f } ^ { \gamma - 1 } \right) ^ { \frac { n + d } { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( 1 - | v | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \mathbf { 1 } _ { | v | ^ { 2 } \le 1 } \, d v } \\ & { = \rho _ { f } u _ { f } . } \end{array}
K = H \otimes I = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] } \otimes { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 } ( v _ { 1 } ) ^ { 2 } = : V _ { 1 } \in \mathbb { C } , } \\ { \delta _ { 2 } ( v _ { 2 } ) ^ { 2 } = : V _ { 2 } \in \mathbb { C } , } \end{array}
\frac { Z _ { 3 } } { Z _ { \lambda } \lambda } \, \langle \, \partial A _ { x } ^ { a } \, \partial A _ { y } ^ { b } \, \rangle \, = \, \widetilde Z _ { 3 } \, \Big ( ( 1 - \frac \alpha 2 ) \, \langle \, i ( \partial D _ { r } c ) _ { x } ^ { a } \, \bar { c } _ { y } ^ { b } \, \rangle \, + \, \frac \alpha 2 \, \langle \, c _ { y } ^ { b } \, i ( \partial D _ { r } \bar { c } ) _ { x } ^ { a } \, \rangle \Big ) \; .
\mathbf { m } _ { \mathbb H , 0 } \ltimes \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W _ { 1 } ; \cdot , \ell ) \times \mathrm { Q D } _ { 0 , 1 } ( \gamma , \beta _ { W } ; \ell ) d \ell \right) = C \cdot \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W _ { 1 } + W } , 0 ) } ( d \phi ) \times \mathrm { S L E } _ { \kappa , 0 } ^ { \mathrm { b u b b l e } } ( W , W _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { A = } & { I ( r _ { s } ) r _ { s } \cosh ( m r _ { s } ) } \\ & { - \frac 1 m \left[ I ( r _ { s } ) + I ^ { \prime } ( r _ { s } ) r _ { s } \right] \sinh ( m r _ { s } ) \, , } \\ { D = } & { - \frac { e ^ { - m r _ { s } } } { 2 m } \left[ I ( r _ { s } ) ( 1 + m r _ { s } ) + I ^ { \prime } ( r _ { s } ) r _ { s } \right] \, . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } { \mathbf { x } [ k + 1 ] } & { = } & { e ^ { { \mathbf { A } } T } \mathbf { x } [ k ] + \left( \int _ { 0 } ^ { T } e ^ { { \mathbf { A } } v } d v \right) \mathbf { B } \mathbf { u } [ k ] } \\ & { = } & { \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ! } } ( { \mathbf { A } } T ) ^ { k } \right) \mathbf { x } [ k ] + \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { k ! } } { \mathbf { A } } ^ { k - 1 } T ^ { k } \right) \mathbf { B } \mathbf { u } [ k ] , } \end{array} }
\nabla ^ { 2 } ( e ^ { i q \Lambda / \hbar } \psi ) = e ^ { i q \Lambda / \hbar } \nabla ^ { 2 } \psi + \frac { 2 i q } { \hbar } e ^ { i q \Lambda / \hbar } ( \nabla \Lambda ) ( \nabla \psi ) + \psi \frac { i q } { \hbar } e ^ { i q \Lambda / \hbar } \nabla ^ { 2 } \Lambda - \frac { q ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \psi e ^ { i q \Lambda / \hbar } ( \nabla \Lambda ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rangle \; = \; \frac { 1 } { c _ { 3 } ^ { 2 } \Delta { t } ^ { 4 } } \langle ( r ^ { n + 1 } - r ^ { n } ) ^ { 4 } \rangle } \\ & { } & { = \; \frac { 2 } { c _ { 3 } ^ { 2 } \Delta { t } ^ { 4 } } ( \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } \rangle - 2 \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle } \\ & { } & { + \; 3 \langle r ^ { n } r ^ { n } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \rangle - 2 \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } r ^ { n + 1 } \rangle ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phantom { \; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \left\{ \mu _ { 0 } \tilde { H _ { k } } \partial _ { t } \mathrm { d } _ { \rho } H _ { k } + \tilde { H _ { k } } ( \nabla \times \mathrm { d } _ { \rho } \mathbf { E } ) _ { k } \right\} } & { { } = 0 . } \end{array}
\omega = \frac { v _ { t h , i } } { R } \sqrt { \left( \frac { 7 } { 4 } + \tau \right) \left( \frac { 2 } { k ^ { 2 } + 1 } \right) } \left[ 1 - s _ { k } \frac { k ^ { 2 } } { 4 k ^ { 2 } + 4 } - \epsilon ^ { 2 } \frac { 9 k ^ { 2 } + 3 } { 8 k ^ { 2 } + 8 } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \mathsf { S } _ { k } ^ { l } } & { = } & { \{ i \in \{ 1 , \dots , N _ { l } \} : I _ { k } ^ { l } ( i ) = I _ { k } ^ { l - 1 } ( i ) = I _ { k } ^ { l , a } ( i ) , I _ { k - 1 } ^ { l } \circ I _ { k } ^ { l } ( i ) = I _ { k - 1 } ^ { l - 1 } \circ I _ { k } ^ { l - 1 } ( i ) = I _ { k - 1 } ^ { l , a } \circ I _ { k } ^ { l , a } ( i ) , \dots , } \\ & { } & { I _ { 1 } ^ { l } \circ I _ { 2 } ^ { l } \circ \cdots \circ I _ { k } ^ { l } ( i ) = I _ { 1 } ^ { l - 1 } \circ I _ { 2 } ^ { l - 1 } \circ \cdots \circ I _ { k } ^ { l - 1 } ( i ) = I _ { 1 } ^ { l , a } \circ I _ { 2 } ^ { l , a } \circ \cdots \circ I _ { k } ^ { l , a } ( i ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { \mathrm { a c t i v e } } \to N \frac { { P _ { { \mathrm { B S } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } { \pi ^ { 2 } } \varrho _ { f } ^ { 2 } \varrho _ { g } ^ { 2 } } } { { 1 6 \left( { P _ { \mathrm { A } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } \sigma _ { v } ^ { 2 } \varrho _ { f } ^ { 2 } + P _ { { \mathrm { B S } } } ^ { { \operatorname* { m a x } } } { \sigma ^ { 2 } } \varrho _ { g } ^ { 2 } + { \sigma ^ { 2 } } \sigma _ { v } ^ { 2 } } \right) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] } \\ & { \le \mathbb E \left\{ 9 M ( 1 + C _ { V } ) T ^ { \frac 1 4 - \frac \delta 2 } ( 3 \ln T + \ln K ) \sqrt { 8 6 M ^ { 2 } K ^ { 6 } T ^ { \frac 3 2 } + \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } } + 4 M ^ { 2 } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { 3 \odot _ { \mathbb { X } } P _ { 1 _ { 1 } 0 _ { 2 } } ( \theta ) \ominus _ { \mathbb { X } } P _ { 1 _ { 1 } 0 _ { 2 } } ( 3 \theta ) = 1 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { l e } ^ { e q } } & { { } \approx } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, m _ { l } \, m _ { e } } { Z _ { l } ^ { 2 } \, q _ { e } ^ { 4 } \, n _ { e } \, \ln \Lambda \left( n _ { l } , n _ { e } \right) } \, \left( \frac { k T _ { i } } { m _ { l } } + \frac { k T _ { e } } { m _ { e } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \end{array}
d s _ { ( 1 0 ) } ^ { 2 } = e ^ { \frac 2 3 \phi } \left[ d x ^ { a } \, d x ^ { b } \, \eta _ { a b } + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \kappa | u | ^ { 2 } + u _ { 0 } } } } \left( d u ^ { i } + \epsilon ^ { i j k } \tilde { A } ^ { j } u ^ { k } \right) ^ { 2 } + \sqrt { 2 \kappa | u | ^ { 2 } + u _ { 0 } } \; d \tilde { s } _ { 3 } \right]
\langle M _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 2 } ^ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { 2 } \langle M _ { 1 } ^ { 4 } + M _ { 2 } ^ { 4 } \rangle - \frac { 1 } { 4 } \langle M _ { 1 } ^ { 2 } + M _ { 2 } ^ { 2 } \rangle ^ { 2 }
\log \left[ \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } ( I _ { 0 } ) ) / \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ B ~ B ~ } } ( I _ { 0 } ^ { * } ) ) \right] \sim p ( \hbar \omega ) \log [ I _ { 0 } / I _ { 0 } ^ { * } ] ,
\begin{array} { r l } { G _ { n } } & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } N _ { k } - \frac { 1 } { n } \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { a _ { k } \mu _ { k } } M _ { k } = \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } N _ { k } - \frac { 1 } { n } \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { a _ { k } \mu _ { k } } \sum _ { l = 1 } ^ { k } a _ { l } \epsilon _ { l } . } \end{array}