harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
D ^ { \ast } = \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { s g n } ( u ) \frac { \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial f } { \partial x } - \frac { \partial f / \partial x } { | \partial f / \partial x | } | \frac { \partial \overline { { f } } } { \partial x } - \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { s g n } ( u ) \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial f } { \partial x } | } { \frac { \partial \overline { { f } } } { \partial x } - \frac { \Delta x } { 2 } \mathrm { s g n } ( u ) \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } .
d q _ { i } ^ { \prime } d p _ { i } ^ { \prime } = d q _ { i } d p _ { i } \left[ 1 + \left( { \frac { \partial { \dot { q _ { i } } } } { \partial q _ { i } } } + { \frac { \partial { \dot { p _ { i } } } } { \partial p _ { i } } } \right) \delta t \right]
\begin{array} { r } { \frac { \partial Y } { \partial X } = \frac { \left[ X ( \tau ) / X _ { 0 } \right] ^ { \frac { M + 1 } { \frac { P } { 1 - P } - M } } } { 1 - ( M + 1 ) ( 1 - P ) } \left( \frac { Y _ { 0 } } { X _ { 0 } } + \frac { 1 } { 1 - P } \right) - \frac { 1 } { 1 - P } } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { \mathrm { m } } ^ { \prime } + p _ { \lambda } ^ { \prime } = { \cal F } _ { E } + { \cal F } _ { G } \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad { \cal F } _ { \mathrm { m } } + { \cal F } _ { \lambda } + { \cal F } _ { E } + { \cal F } _ { G } = 0 , \quad } \end{array}
\begin{array} { r } { R ^ { N } ( x _ { 2 } , \tau _ { 2 } ; x _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) = R ^ { N } ( x _ { 2 } , \tau _ { 2 } | x _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) \ R ^ { N } ( x _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) . } \end{array}
\mathbf { a } = \frac { \delta + \lambda } { 3 } , \; \; \mathbf { b } = - \frac { \theta + \lambda } { 3 } , \; \; \mathbf { c } = - \frac { \alpha + \delta - 1 } { 3 } , \; \; \mathbf { d } = \frac { \alpha + \theta } { 3 } \ .
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { S _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } \\ { S _ { 3 } } \end{array} \right) } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { \cos \theta _ { 3 } } & { - \sin \theta _ { 3 } } & { 0 } \\ { \sin \theta _ { 3 } } & { \cos \theta _ { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \cos \theta _ { 3 } } \\ { \sin \theta _ { 3 } } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathsf { W F R } } ^ { 2 } \left( \rho _ { 0 } , \rho _ { 1 } \right) } & { = \operatorname* { i n f } \bigg \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int \Big [ \left\Vert v _ { t } \right\Vert ^ { 2 } + \Big ( \alpha _ { t } - \int \alpha _ { t } \mathrm { d } \rho _ { t } \Big ) ^ { 2 } \Big ] \mathrm { d } \rho _ { t } \mathrm { d } t : \left( \rho _ { t } , v _ { t } , \alpha _ { t } \right) _ { 0 \leq t \leq 1 } } \\ & { \qquad \qquad \mathrm { s o l v e s ~ } \partial _ { t } \rho _ { t } = - \mathsf { d i v } ( \rho _ { t } v _ { t } ) + \rho _ { t } \alpha _ { t } \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lvert \langle v _ { 1 } + 1 | Q _ { 1 } | v _ { 1 } \rangle \right\lvert ^ { 2 } } & { { } = \frac { v _ { 1 } + 1 } { 2 } , } \\ { \left\lvert \langle v _ { 2 } + 1 , \ell \pm 1 | Q _ { 2 } | v _ { 2 } , \ell \rangle \right\lvert ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 4 } ( 1 + \delta _ { \ell , 0 } + \delta _ { \ell \pm 1 , 0 } - \delta _ { \ell , 0 } \delta _ { \ell \pm 1 , 0 } ) \left( \frac { v _ { 2 } \pm \ell } { 2 } + 1 \right) . } \end{array}
\Pi _ { 4 B } ^ { \mathrm { o } } ~ = ~ \frac { \pi ^ { 4 \mu } } { ( \mu - 1 ) ^ { 2 } \Gamma ^ { 4 } ( \mu ) } \left[ 3 \Theta + \frac { 1 } { ( \mu - 1 ) ^ { 2 } } \right]
G ( x ) = { \frac { 2 { B _ { 0 } } - { C _ { 1 } } + 2 ( { B _ { 1 } } - { C _ { 2 } } ) { \omega } + ( 2 { B _ { 2 } } - 3 { C _ { 3 } } ) { { \omega } ^ { 2 } } - 4 { C _ { 4 } } n { { \omega } ^ { 3 } } } { 4 { \sqrt { { C _ { 0 } } + { C _ { 1 } } { \omega } + { C _ { 2 } } { { \omega } ^ { 2 } } + { C _ { 3 } } { { \omega } ^ { 3 } } + { C _ { 4 } } { { \omega } ^ { 4 } } } } } } .
e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau } \to \breve { 0 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau } \to \breve { 0 } \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ } \quad \tau _ { c } \to \infty .
\operatorname * { l i m } _ { q \to \infty } { \cal S } ( \underline { { { q } } } ) = - { \frac { 3 T ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 3 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d | { \bf k } | \, \ln ( 1 { - } e ^ { - \beta E _ { k } } ) \; .
\begin{array} { r l r } { \dot { f } } & { { } = } & { \frac { \partial f } { \partial q _ { a b } } \left( \widehat { q } _ { a b } - q _ { a d } w _ { d b } - q _ { d b } w _ { d a } \right) + \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } q _ { a b } } \bigg [ \nabla _ { c } \widehat { q } _ { a b } + 2 \epsilon _ { a d } q _ { d b } \zeta _ { c } } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta f _ { 2 } \propto A _ { 1 } A _ { 2 } \sin k _ { 1 } ( x - v _ { x } t ) \cos k _ { 2 } ( x - v _ { x } ( t - \tau ) ) } \\ { = \frac { 1 } { 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } \sin ( ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) x - ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) v _ { x } t + k _ { 2 } v _ { x } \tau ) } \\ { + \frac { 1 } { 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } \sin ( ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) x - ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) v _ { x } t - k _ { 2 } v _ { x } \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \widehat M } f d \mu \circ \widehat \pi } & { = \int _ { K } f d \mu \circ \widehat \pi + \int _ { g \cdot K } f d \mu \circ \widehat \pi } \\ & { = \int _ { M } f \circ ( \widehat \pi _ { K } ) ^ { - 1 } d \mu + \int _ { M } f \circ ( g \cdot \widehat \pi _ { K } ) ^ { - 1 } d \mu } \\ & { = \int _ { M } \left( \sum _ { y \in \widehat \pi ^ { - 1 } ( x ) } f ( x ) \right) d \mu ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | F _ { q _ { 1 } } ( \boldsymbol { x } ) | } & { = | \ln \langle \boldsymbol { s } ^ { [ q _ { 1 } ] } , \exp ( - r B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { n } ) \rangle | } \\ & { = - \ln \sum _ { m \in \mathcal { M } ( 1 , 2 ) ^ { c } } s _ { m } ^ { [ q _ { 1 } ] } \exp ( - r ( B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { n } ) _ { m } ) } \\ & { \ge c _ { 1 } r - \ln \sum _ { m \in \mathcal { M } ( 1 , 2 ) ^ { c } } s _ { m } ^ { [ q _ { 1 } ] } } \\ & { = c _ { 1 } r . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } = \sqrt { G ^ { 2 } \sigma _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } } ^ { 2 } \kappa _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ l ~ } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ g ~ } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { I _ { N , j } } & { = \sum _ { k _ { 1 } < . . . < k _ { j } } ^ { N } \sum _ { \delta \in S _ { N - j } \backslash \{ k _ { j } \} } \prod _ { k \in \{ k _ { j } \} } \left( \sum _ { l \not \in \{ k _ { j } \} } M _ { k l } \frac { x _ { l } } { x _ { k } } \right) \prod _ { n \not \in \{ k _ { j } \} } M _ { n , \delta ( n ) } , } \\ { I _ { N , N - 1 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } M _ { i i } \prod _ { l \neq i } M _ { l i } \frac { x _ { i } } { x _ { l } } , } \end{array}
\left( \Gamma _ { q ^ { 2 } } ( x ) \Gamma _ { q ^ { 2 } } ( 1 - x ) \right) ^ { - 1 } = { \frac { q ^ { 2 x ( 1 - x ) } } { \left( q ^ { - 2 } ; q ^ { - 2 } \right) _ { \infty } ^ { 3 } \left( q ^ { 2 } - 1 \right) } } \vartheta _ { 4 } \left( { \frac { 1 } { 2 i } } ( 1 - 2 x ) \log q , { \frac { 1 } { q } } \right) .
\begin{array} { r l } { \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { 3 } ( 0 , \sigma \wedge T ; L ^ { 3 } ( \mathbb { T } ^ { 4 } ) ) } } & { \lesssim \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { 3 } ( 0 , \sigma ; H ^ { 2 / 3 } ( \mathbb { T } ^ { 4 } ) ) } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \sigma \wedge T ) } \| u _ { 1 } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { 4 } ) } + \| u _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , \sigma \wedge T ; H ^ { 1 } ( \mathbb { T } ^ { 4 } ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { - 1 } , \quad } & { t = 0 , } \\ { \frac { 1 } { 2 t } \lambda _ { [ - 1 , - 1 + 2 t ] } , } & { 0 \le t \le \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 t } \lambda _ { [ - 1 , 0 ] } + ( 1 - \frac { 1 } { 2 t } ) \delta _ { 0 } , } & { \frac { 1 } { 2 } < t . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { 1 \leq a _ { 1 } , \ldots , a _ { n _ { k } - m _ { k - 1 } } \leq B } \Big ( \frac { 1 } { q _ { l _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n _ { k } - m _ { k - 1 } } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 \big ( s ( \mathcal { A } _ { B } , \xi + \varepsilon , \tau ( i ) ) - \varepsilon \big ) } } \\ { \geq } & { \sum _ { 1 \leq a _ { 1 } , \ldots , a _ { n _ { k } - m _ { k - 1 } } \leq B } \Big ( \frac { 1 } { q _ { l _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n _ { k } - m _ { k - 1 } } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 s _ { l _ { k } } ( \mathcal { A } _ { B } , \xi + \varepsilon , \tau ( i ) ) - \varepsilon } } \\ { \geq } & { \sum _ { 1 \leq a _ { 1 } , \ldots , a _ { l _ { k } - \lfloor l _ { k } ( \xi + \epsilon ) \rfloor } \leq B } \Big ( \frac { 1 } { q _ { l _ { k } } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { l _ { k } - \lfloor l _ { k } ( \xi + \varepsilon ) \rfloor } , i , \ldots , i ) } \Big ) ^ { 2 s _ { l _ { k } } ( \mathcal { A } _ { B } , \xi + \varepsilon , { \tau ( i ) } ) - \varepsilon } } \\ { \geq } & { \Big ( \frac { 1 } { q _ { l _ { k } } ( B , \ldots , B ) } \Big ) ^ { - \varepsilon } \geq \tau ( B ) ^ { l _ { k } \varepsilon } \geq 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal L } ( \cdot ) } & { = - i \cosh ( r ) [ \hat { H } , ( \cdot ) ] + \cosh ^ { 2 } ( 2 r ) \mathcal D _ { a } ( \cdot ) } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } \sinh ^ { 2 } ( 2 r ) \left[ \hat { a } ^ { \dagger 2 } + \hat { a } ^ { 2 } , [ \hat { a } ^ { \dagger 2 } + \hat { a } ^ { 2 } , ( \cdot ) ] \right] } \\ & { + \mathcal D _ { \beta } ( \cdot ) . } \end{array}
\Omega _ { 1 } = | \alpha | { \frac { V } { \lambda ^ { 2 } } } { \frac { 1 \pm 1 } { 2 } } 4 x ^ { 2 } \left[ { \frac { \pm z e ^ { - x } } { 1 \mp z e ^ { - x } } } \right] ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { s ^ { \ast } \left( v _ { i } ( t ) , \Delta v _ { \mathrm { e f f } } ( t ) \right) = s _ { 0 } + \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , T v _ { i } ( t ) + \frac { v _ { i } ( t ) \Delta v _ { \mathrm { e f f } } ( t ) } { 2 \sqrt { a b } } \right\} } \end{array}
\hat { \sigma } ^ { g g \rightarrow h \bar { h } } ( \hat { s } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) \equiv { \frac { 1 } { 2 } } ( \hat { \sigma } _ { + + } ^ { g g \rightarrow h \bar { h } } + \hat { \sigma } _ { + - } ^ { g g \rightarrow h \bar { h } } ) = { \frac { \pi \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 1 6 \hat { s } } } [ ( 1 1 - 6 \beta ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 3 } } \beta ^ { 4 } ) \ln { \frac { 1 + \beta } { 1 - \beta } } + { \frac { 1 } { 3 } } \beta ( 3 1 \beta ^ { 2 } - 5 9 ) ] \quad .
\begin{array} { r l } { R _ { x x } ( \tau ) = } & { \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \{ \mathrm { c o s } [ \Omega _ { 0 } \tau + \varphi ( t + \tau ) - \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t - \mathrm { c o s } [ 2 \Omega _ { 0 } t + \Omega _ { 0 } \tau + \varphi ( t + \tau ) + \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t \} } \\ { = } & { \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { c o s } [ \Omega _ { 0 } \tau + \varphi ( t + \tau ) - \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t } \\ { = } & { \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { c o s } ( \Omega _ { 0 } \tau ) \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { c o s } [ \varphi ( t + \tau ) - \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t } \\ & { - \frac { A _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } \mathrm { s i n } ( \Omega _ { 0 } \tau ) \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \mathrm { s i n } [ \varphi ( t + \tau ) - \varphi ( t ) ] \mathrm { d } t \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { \mathrm { L R } } ^ { \dagger } \sigma _ { 1 } M _ { \mathrm { L R } } } & { = } & { ( + i \sigma _ { 2 } ) \sigma _ { 1 } ( - i \sigma _ { 2 } ) = \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } = - \sigma _ { 1 } = - \sigma _ { 1 } ^ { * } } \\ { M _ { \mathrm { L R } } ^ { \dagger } \sigma _ { 2 } M _ { \mathrm { L R } } } & { = } & { ( + i \sigma _ { 2 } ) \sigma _ { 2 } ( - i \sigma _ { 2 } ) = \sigma _ { 2 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 2 } = + \sigma _ { 2 } = - \sigma _ { 2 } ^ { * } } \\ { M _ { \mathrm { L R } } ^ { \dagger } \sigma _ { 3 } M _ { \mathrm { L R } } } & { = } & { ( + i \sigma _ { 2 } ) \sigma _ { 3 } ( - i \sigma _ { 2 } ) = \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } \sigma _ { 2 } = - \sigma _ { 3 } = - \sigma _ { 3 } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( r ) } & { { } = \frac n { m ^ { 3 } r } \left[ \sinh ( m r ) - m r \right] \, , } \\ { I ^ { \prime } ( r ) } & { { } = - \frac n { m ^ { 3 } r ^ { 2 } } \left[ \sinh ( m r ) - m r \cosh ( m r ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { { } = \left( \cos \frac { \psi } { 2 } , \pm \sin \frac { \psi } { 2 } \right) ^ { T } , } \\ { u _ { 2 } } & { { } = \left( \mp \sin \frac { \psi } { 2 } , \cos \frac { \psi } { 2 } \right) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \mathcal { L } ^ { ( A ) } } { d v _ { \alpha } } } & { = \sum _ { n ^ { \prime } \ne 0 } \left[ \mathbf { C } ^ { \dagger } ( \mathbf { I \otimes W _ { \alpha } ^ { ( n ^ { \prime } ) } \otimes I } ) \mathbf { C ^ { ( n ^ { \prime } ) } } \right] \times \left[ \mathbf { C ^ { ( n ^ { \prime } ) \dagger } } \left( \mathbf { H ^ { ( A ) } } + \mathbf { \mathcal { E } _ { 0 } ^ { ( A ) } } + 2 \lambda \left( \mathbf { I \otimes ( \rho _ { \mathbb { E } _ { A } } - \rho _ { \mathbb { C } _ { B } } ) \otimes I } \right) \right) \mathbf { C } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { 1 } ^ { \mathrm { ( d h ) } } = \sum _ { l \neq 0 } \frac { 1 } { l } \mathcal { A } _ { \bf e } ^ { ( l ) } \mathcal { B } _ { \bf e } ^ { ( - l ) } , \; \; I _ { 1 } ^ { \mathrm { ( d h ) ^ { \prime } } } = \sum _ { l \neq 0 } \frac { 1 } { l } \mathcal { A } _ { - \bf e } ^ { ( l ) } \mathcal { B } _ { - \bf e } ^ { ( - l ) } , } \\ { I _ { 2 } ^ { \mathrm { ( d h ) } } = \sum _ { l \neq 0 } \frac { 1 } { l } \mathcal { A } _ { \bf e } ^ { ( l ) } \mathcal { B } _ { - \bf e } ^ { ( - l ) } , \; \; I _ { 2 } ^ { \mathrm { ( d h ) ^ { \prime } } } = \sum _ { l \neq 0 } \frac { 1 } { l } \mathcal { A } _ { - \bf e } ^ { ( l ) } \mathcal { B } _ { \bf e } ^ { ( - l ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \boldsymbol { f } ( \mathbf { x } ) - \boldsymbol { f } ( \mathbf { y } ) \| _ { p } \leq K _ { 1 } \| \mathbf { x } - \mathbf { y } \| _ { p } , \ \forall \mathbf { x } , \mathbf { y } \in \mathbb { R } ^ { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { l e f t \; s i d e } } & { : \; \; \rho _ { L } = \bar { \rho } _ { \mathrm { w } } / r _ { s } ^ { 2 } , \; a _ { L } = a _ { \mathrm { w } } , \; p _ { L } = a _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \rho _ { L } / \gamma , \; v _ { L } = v _ { \mathrm { w } } ( { \mathrm { \boldmath ~ \hat { r } ~ \unboldmath } } \cdot { \mathrm { \boldmath ~ \hat { d } ~ \unboldmath } } ) ; } \\ { \mathrm { r i g h t \; s i d e } } & { : \; \; \rho _ { R } = \bar { \rho } _ { \mathrm { a } } / r _ { s } ^ { 2 } , \; a _ { R } = a _ { \mathrm { a } } , \; p _ { R } = a _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } \rho _ { R } / \gamma , \; v _ { R } = 0 \ . } \end{array}
\prod _ { \alpha } { \frac { \sinh { \frac { 1 } { 2 } } ( y _ { i } - u _ { \alpha } - i \gamma ) } { \sinh { \frac { 1 } { 2 } } ( y _ { i } - u _ { \alpha } + i \gamma ) } } = \prod _ { j } { \frac { \sinh { \frac { 1 } { 2 } } ( y _ { i } - y _ { j } - 2 i \gamma ) } { \sinh { \frac { 1 } { 2 } } ( y _ { i } - y _ { j } + 2 i \gamma ) } } { \frac { \sinh { \frac { 1 } { 2 } } ( y _ { i } - y _ { j } + i \gamma ) } { \sinh { \frac { 1 } { 2 } } ( y _ { i } - y _ { j } - i \gamma ) } }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } = O \left( \frac { \kappa ^ { 8 } } { T } + \left( \frac { \kappa ^ { 1 2 } } { T ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } + \frac { \kappa ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } M } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } M } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D ( \bar { \gamma } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \omega _ { A B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) } \\ & { = D ( \bar { \gamma } _ { B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \omega _ { B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) } \\ & { = D ( \bar { \rho } _ { B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \omega _ { B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \pi _ { \omega _ { i } } ( \eta _ { i } = { \eta } _ { \pm } | x _ { i } ) = { \frac { e ^ { A _ { \omega _ { i } ^ { \pm } } ( x _ { i } ) } } { e ^ { A _ { \omega _ { i } ^ { + } } ( x _ { i } ) } + e ^ { A _ { \omega _ { i } ^ { - } } ( x _ { i } ) } } } , \quad \overline { { \eta } } : = \eta _ { + } , \quad \underline { { \eta } } : = \eta _ { - } } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \\ { 1 } \\ { - 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) , \qquad W _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \beta } & { - \beta } & { \beta } & { - \beta } & { \cdots } & { \beta } & { - \beta } \end{array} \right) , \qquad \mathrm { a n d } \qquad W _ { 3 } = W _ { 1 } W _ { 2 } , } \end{array}
\Psi ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { \mathrm { r } } e ^ { i k x } + A _ { \mathrm { l } } e ^ { - i k x } } & { x < - a , } \\ { B _ { \mathrm { r } } e ^ { \kappa x } + B _ { \mathrm { l } } e ^ { - \kappa x } } & { | x | \leq a , } \\ { C _ { \mathrm { r } } e ^ { i k x } + C _ { \mathrm { l } } e ^ { - i k x } } & { x > a . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( \Psi _ { 1 } - q I ) } & { = \operatorname* { d e t } \Big ( \big ( X ^ { 2 } - q I \big ) \big ( S ^ { 2 } - q I \big ) - \theta ^ { 2 } \mu ^ { 2 } E ^ { 2 } \Big ) } \\ & { = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( \big ( x _ { i } ^ { 2 } - q \big ) \big ( s _ { i } ^ { 2 } - q \big ) - \theta ^ { 2 } \mu ^ { 2 } E _ { i i } ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
R _ { i \alpha , i \beta } = R _ { i i } \left( \begin{array} { l l l l } { q _ { 1 } P _ { 1 } } & { p _ { i 1 , i 2 } } & { p _ { i 1 , i 3 } } & { p _ { i 1 , i 4 } } \\ { p _ { i 1 , i 2 } } & { q _ { 2 } P _ { 2 } } & { p _ { i 2 , i 3 } } & { p _ { i 2 , i 4 } } \\ { p _ { i 1 , i 3 } } & { p _ { i 2 , i 3 } } & { q _ { 3 } P _ { 3 } } & { p _ { i 3 , i 4 } } \\ { p _ { i 1 , i 4 } } & { p _ { i 2 , i 4 } } & { p _ { i 3 , i 4 } } & { q _ { 4 } P _ { 4 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { H _ { ( 6 , 3 , 1 ) } ( z , q ) } & { - H _ { ( 7 , 3 , 0 ) } ( q z , q ) - H _ { ( 6 , 2 , 2 ) } ( q z , q ) - H _ { ( 5 , 4 , 1 ) } ( q z , q ) + ( 1 - q z ) H _ { ( 7 , 2 , 1 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) } \\ & { + ( 1 - q z ) H _ { ( 6 , 4 , 0 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) + ( 1 - q z ) H _ { ( 5 , 3 , 2 ) } ( q ^ { 2 } z , q ) - ( 1 - q z ) ( 1 - q ^ { 2 } z ) H _ { ( 6 , 3 , 1 ) } ( q ^ { 3 } z , q ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { { \Psi ^ { \gamma \delta } } } & { { = } } & { { \sum _ { \lambda \rho } u _ { \lambda } ^ { \gamma } { \bar { u } _ { \lambda } ^ { \alpha } } \Gamma ^ { \alpha \beta } ( u _ { \rho } ^ { \delta } { \bar { u } _ { \rho } ^ { \beta } } ) ^ { T } } } \\ { { } } & { { = } } & { { \sum _ { \lambda \rho } { \bar { u } _ { \lambda } ^ { \alpha } } \Gamma ^ { \alpha \beta } ( { \bar { u } _ { \rho } ^ { \beta } } ) ^ { T } ( u _ { \lambda } ^ { \gamma } \otimes u _ { \rho } ^ { \delta } ) } } \end{array}
\biggl \langle \hat { \Psi } _ { s _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \mathbf { r } ) \hat { \Psi } _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \hat { \Psi } _ { s _ { 2 } ^ { \prime } } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \hat { \Psi } _ { s _ { 2 } } ( \mathbf { r } ) \biggr \rangle = \biggl \langle \hat { \Psi } _ { s _ { 1 } } ^ { \dagger } ( \mathbf { r } ) \hat { \Psi } _ { s _ { 2 } } ( \mathbf { r } ) \biggr \rangle \biggl \langle \hat { \Psi } _ { s _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \hat { \Psi } _ { s _ { 2 } ^ { \prime } } ( \mathbf { r ^ { \prime } } ) \biggr \rangle -
\tilde { P } _ { i } = P _ { i } / \bar { P } , \qquad \bar { P } = \left( \prod _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { i _ { \mathrm { m a x } } } P _ { i ^ { \prime } } \right) ^ { \frac 1 { i _ { \mathrm { m a x } } } } .
\begin{array} { r l } { - \dot { \theta } \sin \theta } & { = \frac { 1 } { 2 } \sigma ( \bar { n } , \bar { n } ) g ( \bar { n } , n ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma ( n , n ) g ( n , \bar { n } ) - \sigma ( \bar { n } , n ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sigma ( \bar { n } , \bar { n } \cos \theta - n ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma ( n \cos \theta - \bar { n } , n ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sigma ( \bar { n } , \bar { \tau } \sin \theta ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma ( - \tau \sin \theta , n ) . } \end{array}
\beta \mu _ { \mathrm { { L R } } } ^ { \mathrm { { e x } } } [ P ( \varepsilon \; | \; \phi ( r ; \lambda _ { G } ) ) ] = \beta \langle \varepsilon \rangle _ { \mathrm { { V d w } , \ p h i ( \ l a m b d a _ { G } ) } } + \beta ^ { 2 } \frac { \sigma _ { \mathrm { { V d w } , \ p h i ( \ l a m b d a _ { G } ) } } ^ { 2 } } { 2 } + \beta \int _ { 0 } ^ { 1 } \biggl < \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { A t o m s } } q _ { n } \psi _ { n } ( \gamma q _ { n } ) \biggr > _ { \phi ( \lambda _ { G } ) } d \gamma
2 \pi = \int _ { - \pi / 2 + \varepsilon } ^ { - \pi / 2 + \varepsilon ^ { * } } - h _ { a , b , c } ( \psi ) d \psi + ( 2 n - 1 ) \int _ { - \pi / 2 + \varepsilon ^ { * } } ^ { \pi / 2 - \varepsilon ^ { * } } h _ { a , b , c } ( \psi ) d \psi + \int _ { \pi / 2 - \varepsilon ^ { * } } ^ { \pi / 2 - \varepsilon } - h _ { a , b , c } ( \psi ) d \psi ,
a \, e ^ { i \omega } \approx \left( \frac { 1 + a _ { 2 } ^ { \mathrm { r e s } } / a _ { 2 } ^ { \pi \pi } \, { \cal M } _ { \mathrm { r e s } } } { 1 + { \cal M } _ { \mathrm { r e s } } } \right) a _ { \pi \pi } \, e ^ { i \omega _ { \pi \pi } } ,
\begin{array} { r l r } { d _ { 1 } } & { = } & { - E _ { l } } \\ { d _ { 2 } } & { = } & { \frac { E _ { l } } { 2 R _ { a } } \frac { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } } { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \left[ 2 \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 - \xi _ { 0 } ^ { 2 } \right] } \\ & { = } & { \frac { E _ { l } } { R _ { m } } } \\ { d _ { 3 } } & { = } & { - \frac { 4 } { 3 } \frac { E _ { l } } { R _ { m } ^ { 2 } } \frac { \left[ 3 + 4 \eta _ { 0 } ^ { 4 } + \xi _ { 0 } ^ { 4 } - 2 \eta _ { 0 } ^ { 2 } ( 3 + \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) \right] } { ( 1 + \xi _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \eta _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = } & { - \frac { 4 } { 3 } \frac { E _ { l } } { R _ { m } ^ { 2 } } \left[ 1 - 2 \frac { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) ( 1 - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) } { ( 1 + \xi _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \eta _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { = } & { - \frac { 4 } { 3 } \frac { E _ { l } } { R _ { m } ^ { 2 } } \left[ 1 - \cal { C } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { \mathrm { s e c } } = \bigg [ \log _ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { \xi \beta _ { 2 , k } ^ { 2 } P M ^ { 2 } / \sum _ { j = 1 } ^ { K } \beta _ { 2 , j } } { \xi P \delta \sum _ { i \neq k } \beta _ { 2 , i } \mathrm { t r } ( \mathbf { R } _ { \mathrm { B } , k } \mathbf { R } _ { \mathrm { B } , i } ) + \sigma _ { k } ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { - \log _ { 2 } \bigg ( 1 + \frac { \xi M _ { \mathrm { E } } ( M - K ) \mathrm { t r } \big ( { \bf R } _ { \mathrm { B } , k } { \bf R } _ { \mathrm { B , E } } \big ) } { ( 1 - \xi ) M ( M - K - M _ { \mathrm { E } } ) \sum _ { j = 1 } ^ { K } \beta _ { 2 , j } } \bigg ) \bigg ] ^ { + } , } \end{array}