harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k + 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nu _ { x } \in \mathcal { M } _ { 1 } ^ { + } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \mathrm { ~ f o r ~ } \mu \mathrm { - a l m o s t ~ e v e r y ~ } x \in \Omega , } \\ & { \lambda \in \mathcal { M } ^ { + } ( e _ { F ^ { \prime } } \Omega ) , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { \nu _ { x } ^ { \infty } \in \mathcal { M } _ { 1 } ^ { + } ( \partial e _ { G ^ { \prime } } ( \mathbb { B } ^ { d } ) ) \mathrm { ~ f o r ~ } \lambda \mathrm { - a l m o s t ~ e v e r y ~ } x \in \overline { { \Omega } } . } \end{array}
\alpha ( u _ { 3 } ) ^ { - 1 } = ( 2 2 / 7 ) \alpha _ { \mathrm { G U T } } ^ { - 1 } - ( 1 0 / 2 1 ) \alpha _ { \mathrm { s t r o n g } } ( u _ { 3 } ) ^ { - 1 } \simeq ( 2 2 / 7 ) \alpha _ { \mathrm { G U T } } ^ { - 1 } \propto B ( \varphi ) ] \ .
{ \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { 1 } } \\ { \sigma _ { 2 } } \\ { \sigma _ { 3 } } \\ { \sigma _ { 4 } } \\ { \sigma _ { 5 } } \\ { \sigma _ { 6 } } \end{array} \right] } \, = \, { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } & { C _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { C _ { 1 2 } } & { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { C _ { 1 3 } } & { C _ { 1 3 } } & { C _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { C _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { C _ { 4 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { { \frac { C _ { 1 1 } - C _ { 1 2 } } { 2 } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 } } \\ { \varepsilon _ { 2 } } \\ { \varepsilon _ { 3 } } \\ { \varepsilon _ { 4 } } \\ { \varepsilon _ { 5 } } \\ { \varepsilon _ { 6 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial ( r n ^ { e } ) } e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } = } & { e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } i \left( \mathbb { 1 } + \left( - \frac { 1 } { r } e ^ { r V _ { n } } + \frac { 1 } { r } \right) V _ { n } + V _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { e f } J ^ { f } } \\ { = } & { e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } i \left( \mathbb { 1 } + \frac { 1 } { r } \left( 1 - \cos ( r ) \right) V _ { n } + \left( 1 - \frac { 1 } { r } \sin ( r ) \right) V _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { e f } J ^ { f } } \\ { = } & { e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } i \left( \delta ^ { e f } + \frac { 1 } { r } \left( 1 - \cos ( r ) \right) n ^ { d } \epsilon ^ { d e f } + \left( 1 - \frac { 1 } { r } \sin ( r ) \right) V _ { n } ^ { 2 } \left( n ^ { e } n ^ { f } - \delta ^ { e f } \right) \right) J ^ { f } } \\ { = } & { e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } i \left( \frac { 1 } { r } \sin ( r ) \delta ^ { e f } - \frac { 1 } { r } \left( 1 - \cos ( r ) \right) n ^ { d } \epsilon ^ { e d f } + \left( 1 - \frac { 1 } { r } \sin ( r ) \right) V _ { n } ^ { 2 } n ^ { e } n ^ { f } \right) J ^ { f } } \\ { = } & { : e ^ { i r n ^ { a } J ^ { a } } \mathcal { M } _ { r n } ^ { e f } J ^ { f } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \psi \frac { \partial C _ { A } } { \partial t } + q \frac { \partial C _ { A } } { \partial x } } & { { } = \psi D \frac { \partial ^ { 2 } C _ { A } } { \partial x ^ { 2 } } - \psi v _ { A } k _ { f , r } C _ { A } ^ { a _ { r } } , \qquad } & { ( x , t ) } & { { } \in [ 0 , 5 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { \psi \frac { \partial C _ { B } } { \partial t } + q \frac { \partial C _ { B } } { \partial x } } & { { } = \psi D \frac { \partial ^ { 2 } C _ { B } } { \partial x ^ { 2 } } - \psi v _ { B } k _ { f , r } C _ { A } ^ { a _ { r } } , \qquad } & { ( x , t ) } & { { } \in [ 0 , 5 ] \times [ 0 , 1 ] } \\ { C _ { A } ( x , 0 ) } & { { } = 1 , C _ { B } ( x , 0 ) = 0 , } & { x } & { { } \in [ 0 , 5 ] } \\ { C _ { A } ( 0 , t ) } & { { } = 1 , C _ { B } ( 0 , t ) = 0 , } & { t } & { { } \in [ 0 , 1 ] } \\ { \frac { \partial C _ { A } ( 5 , t ) } { \partial x } } & { { } = \frac { \partial C _ { B } ( 5 , t ) } { \partial x } = 0 , } & { t } & { { } \in [ 0 , 1 ] } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { G } _ { 1 } = } & { { } ~ \rho _ { 1 } \frac { 1 + \phi } { 2 } b y , } \\ { \mathscr { G } _ { 2 } = } & { { } ~ \rho _ { 2 } \frac { 1 - \phi } { 2 } b y , } \\ { \mathscr { G } = } & { { } ~ \mathscr { G } _ { 1 } + \mathscr { G } _ { 2 } = \bar { \mathscr { G } } = \rho b y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } - \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } = 4 w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \textbf { Q } _ { k , \sigma } f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) - \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \textbf { Q } _ { k , \sigma } \left( \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } + \mathbf { \widetilde { D } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \beta } _ { k } \in \left[ \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { ~ O ~ L ~ S ~ } \{ C I _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } } \} } , \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { ~ O ~ L ~ S ~ } \{ C I _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } } \} } \right] \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } 0 < \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { ~ O ~ L ~ S ~ } \{ C I _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } } \} } \mathrm { ~ o ~ r ~ } 0 > \hat { \beta } _ { k } ^ { \mathrm { ~ O ~ L ~ S ~ } \{ C I _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } } \} } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | G _ { \lambda } ( \boldsymbol { u } ) | \ \le \ C \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } ( 1 + u _ { i } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { \rho ( \boldsymbol { u } ) , } & { \gamma = \gamma _ { 0 } , } \\ { \rho ( u _ { 1 } , 0 ) , } & { \gamma > \gamma _ { 0 } , } \\ { \rho ( 0 , u _ { 2 } ) , } & { \gamma < \gamma _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
V _ { q } \left( x \right) = \pi L ^ { 2 } V _ { 0 } \exp \left( - \frac { q ^ { 2 } L ^ { 2 } } 4 \right) \exp \left( - \frac { \left( x - x _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } { C o v ( Z _ { l } , Z _ { k } ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } } F _ { Z , Z } ( x , y ) - \Phi ( x ) \Phi ( y ) \, d x \, d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ F _ { U U } ( u , v ) - F _ { U } ( u ) F _ { U } ( v ) \right\} \frac { 1 } { \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( u ) \} } \frac { 1 } { \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( v ) \} } \, d u \, d v } \\ & { \leq \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 } \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 } \left\{ F _ { U U } ( u , v ) - F _ { U } ( u ) F _ { U } ( v ) \right\} \frac { 1 } { \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( u ) \} } \frac { 1 } { \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( v ) \} } \, d u \, d v } \\ & { \, + \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \left\{ F _ { U U } ( u , v ) - F _ { U } ( u ) F _ { U } ( v ) \right\} \frac { 2 } { \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( u ) \} } \frac { 1 } { \phi \{ \Phi ^ { - 1 } ( v ) \} } \, d u \, d v . } \end{array}
R _ { \infty } = \frac { ( K _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } + S _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } - \sqrt { K _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } ^ { 2 } + 2 K _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } S _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } } ) } { S _ { \mathrm { ~ K ~ M ~ } } } .
\tilde { H } _ { E } \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { H ^ { \dagger } - E ^ { * } } \end{array} \right) \oplus \left( \begin{array} { c c } { H ^ { \dagger } + E ^ { * } } \end{array} \right) = H _ { E } \oplus H _ { - E } ,
\rho \left[ u \partial _ { r } { u } + w \partial _ { z } { u } - \frac { u ^ { 2 } } { r } \right] = - \partial _ { r } \Phi + \partial _ { r } { \sigma _ { r r } } + \partial _ { z } { \sigma _ { r z } } + \frac { 1 } { r } ( \sigma _ { r r } - \sigma _ { \theta \theta } ) ,
\mathbf { m } = \mathbf { B } ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { C \mathrm { S } _ { E } } \\ { \frac { \bar { u } } { \tau _ { d } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \frac { C \mathrm { S } _ { E } + a \bar { u } } { B + C } } \\ { \bar { u } } \end{array} \right] .
S = \frac { \mu _ { 3 } } { \sigma ^ { 3 } } , \quad \mu _ { 3 } = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \left( \frac { \delta n } { n } - \Biggl \langle \frac { \delta n } { n } \Biggr \rangle \right) ^ { 3 } ,
\begin{array} { r } { V _ { 5 } = - \frac { \tau } { \kappa } \left\lbrace \alpha _ { 1 } \left( \xi _ { 2 } q _ { 1 } - \xi _ { 1 } q _ { 2 } \right) + \alpha _ { 2 } \left( \xi _ { 2 } q _ { 3 } - \xi _ { 3 } q _ { 2 } \right) \right\rbrace \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ y ~ } ~ q = ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } . } \end{array}
{ N ^ { \prime } } _ { C S } ^ { p } = N _ { C S } ^ { p } + \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int \frac { d ^ { 3 } k } { 2 \omega _ { k } } \, \frac { i \beta m ^ { 2 } } { \omega _ { k } ( \omega _ { k } + \beta k ^ { 3 } ) } \mathrm { T r } \, \left[ \epsilon _ { 1 } ^ { p } ( k ) \epsilon _ { 2 } ^ { p * } ( k ) - \epsilon _ { 2 } ^ { p } ( k ) \epsilon _ { 1 } ^ { p * } ( k ) \right] \ ,
{ \cal L } = \int d ^ { 4 } \theta \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } \Lambda _ { U V } ^ { 2 } V ^ { 2 } | \phi ^ { 2 } | + ( \int d ^ { 2 } \theta \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } { \cal W } ^ { 2 } + \mathrm { h . c . } ) + \mathrm { g a u g e - f i x i n g } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ^ { ( - ) } ( \hbar ) \sim \mathcal { G } _ { 0 } ^ { ( - ) } ( \hbar ) } & { = A _ { N } \int _ { 0 } ^ { \tau } \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| e ^ { - S ( \tilde { \mathbf { q } } ( \eta ) ) / \hbar } \mathrm { d e t } ^ { \prime } \left( \frac { \mathbf { D } ^ { ( - ) } } { 2 \pi \hbar } \right) ^ { - 1 / 2 } \mathrm { d } \eta } \\ & { = A _ { N } \tau \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| e ^ { - S ^ { ( - ) } / \hbar } \mathrm { d e t } ^ { \prime } \left( \frac { \mathbf { D } ^ { ( - ) } } { 2 \pi \hbar } \right) ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { E } = } & { \rho \alpha _ { K T } \Big [ 2 \frac { \big < z ^ { * + 2 } \big > \big < z ^ { \infty + 2 } \big > \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { L _ { \infty } ^ { + } } + 2 \frac { \big < z ^ { * - 2 } \big > \big < z ^ { \infty - 2 } \big > \big < z ^ { \infty + 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { L _ { \infty } ^ { - } } + 2 \frac { \big < z ^ { * - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big < z ^ { * + 2 } \big > ^ { 2 } } { L _ { * } } } \\ & { + 2 \frac { \big < z ^ { * + 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big < z ^ { * - 2 } \big > ^ { 2 } } { L _ { * } } + 2 \frac { \big < z ^ { \infty + 2 } \big > ^ { 2 } \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { L _ { \infty } ^ { + } } + 2 \frac { \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { 2 } \big < z ^ { \infty + 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { L _ { \infty } ^ { - } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } } D _ { L N E } [ \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } : \boldsymbol { \xi } ] } \\ & { = \sum _ { i } \left[ \partial _ { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } } \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \log \cosh ( \tau \xi _ { i } ^ { \prime } ) - \partial _ { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } } \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \log \cosh ( \tau \xi _ { i } ) - \frac { 1 } { \tau } \partial _ { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } } ( \xi _ { i } ^ { \prime } - \xi _ { i } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { i } ) \right] } \\ & { = \sum _ { i } \partial _ { \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } } \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \log \cosh ( \tau \xi _ { i } ^ { \prime } ) - \frac { 1 } { \tau } \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { \xi } ) . } \end{array}
\chi ( H ) = \frac 4 9 \left[ \sin ^ { 2 } ( \frac { q - r } 2 ) + \sin ^ { 2 } ( \frac { q + r } 2 ) + 2 \sin ^ { 2 } ( \frac q 2 ) + 4 \sin ^ { 2 } ( \frac r 2 ) \right]
N = \frac { \left( \sqrt { q _ { 0 } ( 1 - q _ { 0 } ) } + \sqrt { q _ { 1 } ( 1 - q _ { 1 } ) } \right) ^ { 2 } } { \left| \mu _ { \mathrm { ~ E ~ } } ^ { ( 1 ) } - \mu _ { \mathrm { ~ E ~ } } ^ { ( 0 ) } \right| ^ { 2 } } \simeq 1 0 ^ { 3 } .
{ \bf \Omega } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { 4 i - 4 } , x _ { 4 i - 3 } ^ { + } , x _ { 4 i - 2 } ^ { + } , x _ { 4 i - 1 } ^ { + } , x _ { 4 i } ^ { + } , x _ { 4 i + 1 } , \ldots , x _ { N } ) = { \bf \Omega } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { N } ) \, , \nonumber
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x _ { 2 } + \partial _ { T } X } & { = \varepsilon _ { \mathrm { w } } \big [ \mathrm { s } _ ( Z ) \cos ( X - t ) \, z _ { 1 } - \mathrm { c } _ ( Z ) \sin ( X - t ) \, x _ { 1 } \big ] } \\ & { \qquad - ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \sin \Phi \cos \Phi \sin ^ { 2 } \Theta , } \\ { \partial _ { t } y _ { 2 } + \partial _ { T } Y } & { = - ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos \Phi \cos \Theta \sin \Theta , } \\ { \partial _ { t } z _ { 2 } + \partial _ { T } Z } & { = \varepsilon _ { \mathrm { w } } \big [ \mathrm { s } _ ( Z ) \cos ( X - t ) \, x _ { 1 } + \mathrm { c } _ ( Z ) \sin ( X - t ) \, z _ { 1 } \big ] } \\ & { \qquad - [ v _ { { \mathrm { s } } \bot } + ( v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } ) \cos ^ { 2 } \Phi \sin ^ { 2 } \Theta ] , } \\ { \partial _ { t } { \phi _ { 2 } } + \partial _ { T } \Phi } & { = \lambda \, \varepsilon _ { \mathrm { w } } \bigg [ \mathrm { s } _ ( Z ) \big [ - 2 \sin { 2 \Phi } \cos ( X - t ) \, \phi _ { 1 } } \\ & { \qquad \qquad \quad - \sin ( X - t ) ( \sin { 2 \Phi } \, z _ { 1 } + \cos { 2 \Phi } \, x _ { 1 } ) \big ] } \\ & { \qquad \qquad \quad + \mathrm { c } _ ( Z ) \big [ - 2 \cos { 2 \Phi } \sin ( X - t ) \, \phi _ { 1 } } \\ & { \qquad \qquad \quad + \cos ( X - t ) ( \cos { 2 \Phi } z _ { 1 } - \sin { 2 \Phi } \, x _ { 1 } ) \big ] \bigg ] , } \\ { \partial _ { t } { \theta _ { 2 } } + \partial _ { T } \Theta } & { = \frac { 1 } { 2 } \lambda \, \varepsilon _ { \mathrm { w } } \bigg [ \mathrm { s } _ ( Z ) \big [ 2 \cos ( X - t ) ( \cos { 2 \Theta } \sin { 2 \Phi } \, \theta _ { 1 } + \sin { 2 \Theta } \cos { 2 \Phi } \, \phi _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad \quad - \sin { 2 \Theta } \sin ( X - t ) ( \sin { 2 \Phi } \, x _ { 1 } - \cos { 2 \Phi } \, z _ { 1 } ) \big ] } \\ & { \qquad \qquad \quad + \mathrm { c } _ ( Z ) \big [ 2 \sin ( X - t ) ( \sin { 2 \Theta } \sin { 2 \Phi } \, \phi _ { 1 } - \cos { 2 \Theta } \cos { 2 \Phi } \, \theta _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad \quad + \sin { 2 \Theta } \cos ( X - t ) ( \cos { 2 \Phi } \, x _ { 1 } + \sin { 2 \Phi } \, z _ { 1 } ) \big ] \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \eta ^ { n } = - \frac { ( \Lambda ^ { - 2 } \theta ( g ^ { n } ) , z ) ( T ) + \gamma \int _ { 0 } ^ { T } \langle g ^ { n } , d ^ { n } \rangle _ { \Gamma } d t } { ( \Lambda ^ { - 2 } z , z ) ( T ) + \gamma \int _ { 0 } ^ { T } \langle d ^ { n } , d ^ { n } \rangle _ { \Gamma } d t } = - \frac { ( D J ( g ^ { n } ) , d ^ { n } ) _ { U _ { a d } } } { ( \Lambda ^ { - 2 } z , z ) ( T ) + \gamma \int _ { 0 } ^ { T } \langle d ^ { n } , d ^ { n } \rangle _ { \Gamma } d t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \lambda _ { j } = } & { { } \log _ { 1 0 } \left( | \lambda _ { j } - \varepsilon _ { \mathrm { r e f } , j } | / \varepsilon _ { \mathrm { r e f } , j } \right) } \\ { \Delta \varepsilon _ { j } = } & { { } \log _ { 1 0 } \left( | \varepsilon _ { j , - } - \varepsilon _ { \mathrm { r e f } , j } | / \varepsilon _ { \mathrm { r e f } , j } \right) , } \end{array}
{ \mathcal M } _ { \mu \nu } ( k ) = \delta _ { \mu \nu } \, - \, \frac { k _ { \mu } t _ { \nu } + k _ { \mu } } { k t } \, + \, t ^ { 2 } \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { ( k t ) ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } } & { \simeq \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { { \mathcal C } _ { m n } } \mathrm { d } x \, \exp \Bigg ( { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x ) + { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x ) + \cdots \Bigg ) = } \\ & { \simeq \frac { 1 } { \sqrt { - 2 \pi \, \partial _ { x } ^ { 2 } { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x _ { m n } ) } } \, { \mathrm { e } } ^ { { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x _ { m n } ) } \, \exp \left( { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x _ { m n } ) \right) + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { h } } _ { k } ^ { H } { \left( { { { \bf { I } } _ { M } } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \frac { { \lambda _ { i } ^ { * } { \gamma _ { i } } { { \bf { h } } _ { i } } { \bf { h } } _ { i } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } } \right) ^ { - 1 } } { { \bf { h } } _ { k } } \frac { { \lambda _ { k } ^ { * } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } = 1 , \forall k . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { D } _ { x } ^ { \dagger } ( - \theta _ { \mathrm { L } } ) H _ { \mathrm { L } } \mathcal { D } _ { x } ( - \theta _ { \mathrm { L } } ) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { - i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { - i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { - i \Delta } \\ { i \Delta } & { - \xi } \end{array} \right) } \\ & { } & { \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { i \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \xi \cos \theta _ { \mathrm { L } } + \Delta \sin \theta _ { \mathrm { L } } } & { i \xi \sin \theta _ { \mathrm { L } } - i \Delta \cos \theta _ { \mathrm { L } } } \\ { - i \xi \sin \theta _ { \mathrm { L } } + i \Delta \cos \theta _ { \mathrm { L } } } & { - \xi \cos \theta _ { \mathrm { L } } - \Delta \sin \theta _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathcal { T } } ^ { ( 2 ) } } & { = \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi _ { \mathcal { T } } ^ { ( 3 ) } } & { = \left( [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] , [ K _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi _ { \mathcal { T } } ^ { ( 4 ) } } & { = \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ M _ { 1 } ^ { ( 4 ) } ] , [ M _ { 2 } ^ { ( 4 ) } ] ; N \right) , } \\ { \chi _ { \mathcal { T } } ^ { ( 6 ) } } & { = \left( [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] , [ K _ { 1 } ^ { ( 3 ) } ] ; N \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ( \Delta ) \Big | _ { m _ { \mathrm { e x } } = 0 } } & { \propto e ^ { \beta \mu } e ^ { - \hbar \beta \Delta ^ { 2 } / 4 \omega _ { \mathrm { r e c } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } x \ x ^ { 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } } \\ & { \propto \frac { \sqrt { \pi } } { 4 } e ^ { \beta \mu } e ^ { - \hbar \beta \Delta ^ { 2 } / 4 \omega _ { \mathrm { r e c } } } . } \end{array}
T ( r , t ) \approx \frac { p _ { 0 } } { \sqrt [ 4 ] { 2 } \kappa l } \sqrt { \frac { \mu _ { \omega } } { 2 \pi r } } e ^ { - r / \mu } \cos \left( \frac { r } { \mu _ { \omega } } - \omega t + \frac { \pi } { 8 } \right)
\begin{array} { r l } { ( _ { A } \mathfrak { V } _ { [ g ] } \oplus _ { A } \mathfrak { V } _ { [ g ] } ^ { \vee } ) \times ( _ { A } \mathfrak { V } _ { [ g ] } \oplus _ { A } \mathfrak { V } _ { [ g ] } ^ { \vee } ) } & { \to k _ { F } } \\ { \big ( ( v _ { 1 } , w _ { 1 } ) , ( v _ { 2 } , w _ { 2 } ) \big ) } & { \mapsto \langle v _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle - \langle v _ { 2 } , w _ { 1 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underbrace { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) } _ { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ e ~ n ~ s ~ e ~ m ~ b ~ l ~ e ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } ~ } } } & { { } = \left[ ( \sigma _ { L } ^ { ( \eta ) } ) ^ { 2 } ( \tau ) \right] + \left[ ( \overline { { L } } ^ { ( \eta ) } ) ^ { 2 } ( \tau ) \right] - \left[ \overline { { L } } ^ { ( \eta ) } ( \tau ) \right] ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { - ( a + b \alpha ) } & { = - a + ( - b ) \alpha } \\ { ( a + b \alpha ) + ( c + d \alpha ) } & { = ( a + c ) + ( b + d ) \alpha } \\ { ( a + b \alpha ) ( c + d \alpha ) } & { = ( a c + r b d ) + ( a d + b c ) \alpha } \\ { ( a + b \alpha ) ^ { - 1 } } & { = a ( a ^ { 2 } - r b ^ { 2 } ) ^ { - 1 } + ( - b ) ( a ^ { 2 } - r b ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \alpha } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , S ) e ^ { - 2 i q \phi } | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N ^ { \prime } + F _ { 1 } ^ { \prime } + G } \left\{ \begin{array} { c c c } { G ^ { \prime } } & { N ^ { \prime } } & { F _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { N } & { G } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G ^ { \prime } + S + 1 + I } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { G ^ { \prime } } & { I } \\ { G } & { S } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \\ & { \times \sqrt { 5 } \left\{ \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { N } & { N ^ { \prime } } & { N ^ { \prime } } \end{array} \right\} \sqrt { N ^ { \prime } ( N ^ { \prime } + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - K } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 2 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 2 q } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } } \end{array}
\overline { { \mathsf { W } } } = \hat { \mathsf { W } } _ { 0 } + \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { w } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { O } } + \mathrm { c . c . } \, , \qquad \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { w } } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } \, , \qquad \hat { \mathsf { W } } _ { 0 } = - \frac { 1 } { 4 } \mathbf { F } _ { \mathrm { I } } ^ { \dagger } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { I } } \, .
\sum _ { \pi ( 1 , 2 , . . . n ) } \mathrm { T r } \Big [ H ^ { ( 1 ) } H ^ { ( l _ { \pi ( 1 ) } ) } . . . . . H ^ { ( l _ { \pi ( n ) } ) } \Big ] \frac { 1 } { \tilde { x } _ { 0 } - \tilde { x } _ { \pi ( 1 ) } } \frac { 1 } { \tilde { x } _ { \pi ( 1 ) } - \tilde { x } _ { \pi ( 2 ) } } . . . . . \frac { 1 } { \tilde { x } _ { \pi ( n ) } - \tilde { x } _ { 0 } } \; .
\rho _ { 1 } \! = \! \frac { \sigma ^ { 2 } C _ { t } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( J \! - \! 1 ) } ( ( 1 - N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( J \! - \! 1 ) } ) ( 1 - N _ { a } ) } { C _ { t } ^ { 2 } N _ { a } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { 3 ( J \! - \! 1 ) } \! + \! C _ { t } \sigma ^ { 2 } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( J \! - \! 1 ) } ( N _ { a } \! + \! ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( J \! - \! 1 ) } ) \! + \! \sigma ^ { 4 } }
\begin{array} { r l } { I ( x , y , z ) = { } } & { { } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( \sin { ( \beta ) } z - \cos { ( \beta ) } y ) \Omega ( u , v ) } { \left( ( x - v ) ^ { 2 } + ( y - u \sin { ( \beta ) } ) ^ { 2 } + ( z - u \cos { ( \beta ) } ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v . } \end{array}