harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { O } ( \phi ^ { 2 } ) } & { = - \epsilon H _ { t } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } + L _ { \epsilon } ( \phi ) } \\ { \implies \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } \tilde { O } ( \phi ^ { 2 } ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } } & { = - \epsilon \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } H _ { t } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } ( \Delta _ { t } \phi ) \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } } \\ & { - \epsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } H _ { t } \phi _ { t } \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } + \epsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { - \omega \epsilon \ln ( \epsilon ) } [ \phi _ { t t } - W ^ { \prime \prime } ( \overline { { g } } _ { \epsilon } ) \phi ] \dot { \overline { { g } } } _ { \epsilon } } \end{array}
S _ { \mathrm { C S } } = \kappa \int d ^ { 3 } x \/ \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \mathrm { t r } ( A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } - \frac { 2 } { 3 } { \it i } A _ { \mu } A _ { \nu } A _ { \rho } ) ,
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \int d \boldsymbol { k } _ { A } \int d \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \left[ \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ^ { * } \left( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \right) \tilde { \xi } _ { \lambda ^ { \prime } , \lambda } \left( \boldsymbol { \bar { k } } _ { B } ^ { \prime } , \boldsymbol { \bar { k } } _ { A } \right) + \tilde { \xi } _ { \lambda ^ { \prime } , \lambda } ^ { * } \left( \boldsymbol { \bar { k } } _ { B } ^ { \prime } , \boldsymbol { \bar { k } } _ { A } \right) \tilde { \xi } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \left( \boldsymbol { k } _ { A } , \boldsymbol { k } _ { B } ^ { \prime } \right) \right] , } \end{array}
\psi ( \mathbf { r } ) = \bar { \psi } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \eta _ { n } e ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { n } \cdot \mathbf { r } } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } = \sum _ { n = - N } ^ { N } \eta _ { n } e ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { n } \cdot \mathbf { r } } ,
\begin{array} { r l } { F ^ { \mathrm { d r } } ( \phi _ { i } ) } & { = F _ { 0 } ^ { \mathrm { d r } } \left[ 1 + \sum _ { n } ^ { \infty } A _ { n } \cos ( n \phi _ { i } ) + B _ { n } \sin ( n \phi _ { i } ) \right] , } \\ { \Gamma ( \phi _ { i } ) } & { = \Gamma _ { 0 } \left[ 1 + \sum _ { n } ^ { \infty } C _ { n } \cos ( n \phi _ { i } ) + D _ { n } \sin ( n \phi _ { i } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u ^ { \prime } \left( z \right) } & { { } = } & { \frac { \overline { { \alpha } } \left( 1 + \mu _ { \beta } \right) - \mu _ { \beta } z ^ { 2 } } { \alpha z ^ { 2 } } } \\ { u ^ { \prime \prime } \left( z \right) } & { { } = } & { - \frac { 2 \overline { { \alpha } } \left( 1 + \mu _ { \beta } \right) } { \alpha z ^ { 3 } } < 0 \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
{ \cal F } \Big ( \{ x , y \} \Big ) \; : = \; \prod _ { a = 1 } ^ { N } \Bigg | \frac { \prod _ { i , j = 1 } ^ { n _ { a } } \big ( \hat { x } _ { i } ^ { ( a ) } - \tilde { y } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) \big ( \tilde { x } _ { i } ^ { ( a ) } - \hat { y } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) } { \prod _ { i , j = 1 } ^ { n _ { a } } \big ( \hat { x } _ { i } ^ { ( a ) } - \tilde { x } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) \big ( \tilde { y } _ { i } ^ { ( a ) } - \hat { y } _ { j } ^ { ( a ) } \big ) } \Bigg | ^ { [ 1 - \frac { g } { \pi + g N } ] }
\begin{array} { r } { \left( \vert T ( x ( t ) , \hat { \theta } ( t ) ) \vert ^ { 2 } - \omega ^ { - 1 } \epsilon \left( \vert \theta \vert ^ { 2 } - r \right) ^ { + } \right) ^ { + } \leq \exp ( - 2 \omega t ) \left( \vert T ( x ( 0 ) , \hat { \theta } ( 0 ) ) \vert ^ { 2 } - \omega ^ { - 1 } \epsilon \left( \vert \theta \vert ^ { 2 } - r \right) ^ { + } \right) ^ { + } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \mathop { \mathbf { J } _ { \mathrm { u n c o } } ^ { ( \nu ) } } = } & { { } \left\langle | s | ^ { 2 } \right\rangle \left\langle | v | ^ { 2 } \right\rangle \left| \rho _ { \zeta , p \nu } \rho _ { \varepsilon , s \nu } - \rho _ { \varepsilon , p \nu } \rho _ { \zeta , s \nu } \right| ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { T r } \mathop { \mathbf { J } _ { \mathrm { u n c o } } ^ { ( \nu ) } } = } & { { } \left\langle | s | ^ { 2 } \right\rangle \left( | \rho _ { \zeta , p \nu } | ^ { 2 } + | \rho _ { \zeta , s \nu } | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\Psi _ { o u t } = { \left( \begin{array} { l } { B } \\ { C } \end{array} \right) } , \quad \Psi _ { i n } = { \left( \begin{array} { l } { A } \\ { D } \end{array} \right) } , \qquad S = { \left( \begin{array} { l l } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } } \end{array} \right) } .
\| [ \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { v 0 } ^ { \mathrm { i n } } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } \| ^ { 2 } = [ \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ( [ \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ) ^ { - 1 } [ \mathbf { C } _ { q 1 } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 1 } ^ { \mathrm { i n } }
\begin{array} { r l } { F ^ { * } = \operatorname* { m a x } _ { \mathbf w , \mathbf r \in \mathrm { I \! R } ^ { d } } \, } & { F ( \mathbf w , \mathbf r ) , \; } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o : } } & { } \\ & { \langle \mathbf g , \mathbf w \rangle \geq B , } \\ & { \| \mathbf r \| ^ { 2 } \leq R ^ { 2 } , } \\ & { \| \mathbf w \| ^ { 2 } \leq C ^ { 2 } . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { g ( 0 0 0 ) } \\ { g ( 0 0 1 ) } \\ { g ( 0 1 0 ) } \\ { g ( 0 1 1 ) } \\ { g ( 1 0 0 ) } \\ { g ( 1 0 1 ) } \\ { g ( 1 1 0 ) } \\ { g ( 1 1 1 ) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l } { 1 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } \\ { 1 } & & { 1 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } \\ { 1 } & & { 0 } & & { 1 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } \\ { 1 } & & { 1 } & & { 1 } & & { 1 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } \\ { 1 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 1 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 0 } \\ { 1 } & & { 1 } & & { 0 } & & { 0 } & & { 1 } & & { 1 } & & { 0 } & & { 0 } \\ { 1 } & & { 0 } & & { 1 } & & { 0 } & & { 1 } & & { 0 } & & { 1 } & & { 0 } \\ { 1 } & & { 1 } & & { 1 } & & { 1 } & & { 1 } & & { 1 } & & { 1 } & & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { f ( 0 0 0 ) } \\ { f ( 0 0 1 ) } \\ { f ( 0 1 0 ) } \\ { f ( 0 1 1 ) } \\ { f ( 1 0 0 ) } \\ { f ( 1 0 1 ) } \\ { f ( 1 1 0 ) } \\ { f ( 1 1 1 ) } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \langle \psi , B \psi \rangle = \int _ { \Omega } \Bar { \psi } B \psi } & { = \int _ { \Omega } \Bar { \psi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \psi + i u \cdot \nabla \psi + \mu \lvert \psi \rvert ^ { 2 } \psi \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \lVert \nabla \psi \rVert _ { L _ { x } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \lvert u \rvert ^ { 2 } \lvert \psi \rvert ^ { 2 } + \int _ { \Omega } i u \Bar { \psi } \cdot \nabla \psi + \mu \lVert \psi \rVert _ { L _ { x } ^ { 4 } } ^ { 4 } } \\ & { \ge \mu \lVert \psi \rVert _ { L _ { x } ^ { 4 } } ^ { 4 } \ge 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a , \mathrm { r e d } \, 2 } ^ { \mathrm { L + H } \, , \mathrm { L a L } } = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 4 \alpha ( \alpha Z ) ^ { 4 } } { 3 \pi n _ { a } ^ { 3 } } \left[ \left( \frac { 5 } { 6 } - 2 \log ( \alpha Z ) \right) \delta _ { l _ { a } 0 } - \log \beta _ { a } \right] - \frac { \alpha ( Z \alpha ) ^ { 4 } } { 2 \pi n _ { a } ^ { 3 } } \frac { \left( j _ { a } ( j _ { a } + 1 ) - l _ { a } ( l _ { a } + 1 ) - \frac { 3 } { 4 } \right) } { l _ { a } ( l _ { a } + 1 ) ( 2 l _ { a } + 1 ) } \right] } \\ { \times \left[ \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \sum _ { n _ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } \, k _ { 1 } ^ { 3 } \, n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 3 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 3 } } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle } { ( E _ { a } - E _ { n _ { 3 } } \pm k _ { 1 } ) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { Z _ { i j } } & { = \sum _ { T _ { i j } } \nu _ { \Psi _ { i } \to j } ( T _ { i j } ) \nu _ { \Psi _ { j } \to i } ( T _ { i j } ) } \\ & { = \sum _ { T _ { i j } } \nu _ { \Psi _ { i } \to j } ( T _ { i j } ) \mu _ { j \to \Psi _ { i } } ( T _ { i j } ) } \\ & { = \frac { 1 } { z _ { \Psi _ { i } \to j } } \sum _ { \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } } \Psi ( \{ T _ { i l } \} _ { l \in \partial i } ) \prod _ { l \in \partial i } \mu _ { l \to \Psi _ { i } } ( T _ { i l } ) } \\ & { = \frac { Z _ { \Psi _ { i } } } { z _ { \Psi _ { i } \to j } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { R } } } _ { i n t } \left( x ^ { \mu } + \delta x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) = \overline { { \mathcal { R } } } _ { i n t } \left( x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) \left( 1 - i \, \delta \overline { { \phi } } _ { i } \, J _ { i } \right) } \end{array}
P ^ { ( N _ { f } = 1 , \nu = 1 ) } ( \lambda , m ) = \frac { \lambda } { 2 } e ^ { - \lambda ^ { 2 } / 4 } \frac { 1 } { m I _ { 1 } ( m ) } \left[ t I _ { 2 } ( \lambda ) I _ { 3 } ( t ) - \lambda I _ { 2 } ( t ) I _ { 3 } ( \lambda ) \right] _ { t = \sqrt { \lambda ^ { 2 } + m ^ { 2 } } } \: .
\psi _ { 1 } ^ { L } = e ^ { i m \theta } u _ { m } ^ { L } ( r ) \chi _ { m } ^ { L } ( x ^ { \mu } ) , ~ \psi _ { 2 } ^ { L } = e ^ { i ( m + 1 - n ) \theta } v _ { m } ^ { L } ( r ) \chi _ { m } ^ { L } ( x ^ { \mu } ) ,
m i n | z _ { 1 } + z _ { 2 } + z _ { 3 } + z _ { 4 } | = \left\{ \begin{array} { l } { { | z _ { 3 } + z _ { 4 } | _ { m i n } - | z _ { 1 } + z _ { 2 } | _ { m a x } > 0 , } } \\ { { 0 , } } \\ { { | z _ { 1 } + z _ { 2 } | _ { m i n } - | z _ { 3 } + z _ { 4 } | _ { m a x } > 0 , } } \end{array} \right.
\left. + 1 4 \pi ^ { 2 } h _ { 0 } M ^ { 2 } E _ { 0 } \Biggl ( \frac { W ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \Biggr ) L ^ { - 8 / 9 } - \frac { 1 } { 4 } ~ \frac { a ^ { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 9 } \pi \alpha _ { s } f _ { 0 } ^ { 2 } ~ \frac { a ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right\}
\Phi _ { n \varkappa } ^ { \mu } ( \vec { r } ) = \frac { 1 } { r } \left( \begin{array} { l } { G _ { n \varkappa } ( r ) \chi _ { \varkappa } ^ { \mu } } \\ { i F _ { n \varkappa } ( r ) \chi _ { - \varkappa } ^ { \mu } } \end{array} \right) ,
\int e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { \varrho } } \frac { 1 } { \vec { q } ^ { 2 } ( \vec { q } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) } \frac { d ^ { 2 } \vec { q } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 \pi \mu ^ { 2 } } \left[ \ln ( \varrho ) + K _ { 0 } ( | \mu | \varrho ) \right] ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } = O \left( \frac { \kappa ^ { 5 } } { T } + \left( \frac { \kappa ^ { 1 6 } } { T ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 3 } + \frac { \kappa ^ { 5 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } + \frac { G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } M } + G _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \end{array}
. T h i s i n d i c a t e s t h e s i g n i f i c a n c e o f p h y s i c a l p r o c e s s w i t h i n t h e d y n a m i c a l s y s t e m f o r t h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n t h e n o n - c o h e r e n t c o m p o n e n t s . F o r t h e s e p r o b l e m s , o n e m a y h a v e t o t a k e t h e t h i r d o r d e r c u m u l a n t s i n t o c o n s i d e r a t i o n , f o r e x a m p l e s e t t i n g t h e f o u r t h o r d e r c u m u l a n t t o z e r o
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } } & { = \rho _ { r } c ^ { 2 } \, g ^ { - 1 } ( T \Psi ) ^ { \star } \mathbf { H } ^ { - 1 } ( T \Psi ) \, g ^ { - 1 } + 2 g ^ { - 1 } ( T \Psi ) ^ { \star } \frac { \partial E } { \partial \mathbf { H } } ( T \Psi ) g ^ { - 1 } - \rho _ { r } c ^ { 2 } \, g ^ { - 1 } - E \, g ^ { - 1 } } \\ & { = \rho _ { r } c ^ { 2 } \left[ g ^ { - 1 } h g ^ { - 1 } - \, g ^ { - 1 } \right] + 2 g ^ { - 1 } ( T \Psi ) ^ { \star } \frac { \partial E } { \partial \mathbf { H } } ( T \Psi ) g ^ { - 1 } - E \, g ^ { - 1 } } \\ & { = \rho _ { r } c ^ { 2 } \mathbf { U } \otimes \mathbf { U } + 2 g ^ { - 1 } ( T \Psi ) ^ { \star } \frac { \partial E } { \partial \mathbf { H } } ( T \Psi ) g ^ { - 1 } - E \, g ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ x , y ] = - ( - 1 ) ^ { | x | | y | } [ y , x ] , } \\ & { \begin{array} { l } { ( - 1 ) ^ { | y | | z | } [ \alpha ( [ x , z ] ) , \alpha ( [ y , t ] ) } \\ { = [ [ [ x , y ] , \alpha ( z ) ] , \alpha ^ { 2 } ( t ) ] + ( - 1 ) ^ { | x | ( | y | + | z | + | t | ) } [ [ [ y , z ] , \alpha ( t ) ] , \alpha ^ { 2 } ( x ) ] } \\ { + ( - 1 ) ^ { ( | x | + | y | ) ( | z | + | t | ) } [ [ [ z , t ] , \alpha ( x ) ] , \alpha ^ { 2 } ( y ) ] + ( - 1 ) ^ { | t | ( | x | + | y | + | z | ) } [ [ [ t , x ] , \alpha ( y ) ] , \alpha ^ { 2 } ( z ) ] . } \end{array} } \end{array}
S _ { \mu \nu } ^ { \alpha } = { \frac { 1 } { 2 } } \Bigl ( \Gamma _ { \mu \nu } ^ { \alpha } - \Gamma _ { \nu \mu } ^ { \alpha } \Bigr ) = { \frac { 1 } { 2 } } \Bigl ( - \kappa _ { \mu ~ \nu } ^ { ~ \alpha } + \kappa _ { \nu ~ \mu } ^ { ~ \alpha } \Bigr ) \; .
\left| { \int _ { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } { { u _ { 0 } } ( \bf x ) } \mathrm d \sigma } \right| \leq \int _ { \Gamma _ { h } ^ { \pm } } { \left| { { u _ { 0 } } ( \bf x ) } \right| } \mathrm d \sigma \leq 2 \int _ { 0 } ^ { h } { { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau r } } } \mathrm d r \leq C \left( { \frac { 1 } { \tau } } + { \frac { 1 } { \tau } } { e ^ { - \alpha ^ { \prime } \tau h } } \right) .
{ \mathcal D } _ { i } \, z ^ { \lambda ^ { R } } = \underline { { { { \lambda } _ { i } ^ { R } } } } \, z ^ { \lambda ^ { R } } + \sum _ { \mu < \lambda ^ { R } ; \mu ^ { + } \neq \lambda } a _ { \mu } \, z ^ { \mu } \, .
\begin{array} { r l } & { { { \bf { I } } _ { M } } - { { \bf { Y } } _ { k } } - \lambda _ { k } ^ { * } \frac { { { { \bf { h } } _ { k } } { \bf { h } } _ { k } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \frac { { \lambda _ { i } ^ { * } { \gamma _ { i } } { { \bf { h } } _ { i } } { \bf { h } } _ { i } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } = { \bf { 0 } } , \forall k , } \\ & { \mathrm { { T r } } \left( { { { \bf { Y } } _ { k } } { \bf { S } } _ { k } ^ { * } } \right) = 0 , \forall k . } \end{array}
\xi _ { i n } ^ { P } ( \vec { k } _ { i } ; \lambda _ { i } ) = \sqrt { 2 } { \frac { \sqrt { m _ { 1 } m _ { 2 } } } { \sqrt { { \cal M } ^ { 2 } ( \vec { k } _ { i } ) - ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } } } } { \overline { { u } } } ( \vec { k } _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ) \gamma _ { 5 } v ( \vec { k } _ { 2 } , \lambda _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { - \delta - \eta ~ ~ ~ ~ ~ } & { | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | > r \textnormal { f o r a n y } \mathbf x ^ { \prime } \in Q , } \\ { - \delta - \eta + \mathbf x ~ ~ ~ ~ ~ } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q \mathrm { ~ s . t . ~ } | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \le r \textnormal { a n d } \mathbf x \leq \mathbf x ^ { \prime } + \frac { r } { 2 } , } \\ { - \delta - \eta + r - \mathbf x ~ ~ ~ ~ ~ } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q \mathrm { ~ s . t . ~ } | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \le r \textnormal { a n d } \mathbf x > \mathbf x ^ { \prime } + \frac { r } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { L } } ^ { ( \eta ) } ( \tau ) } & { { } : = \langle L ^ { ( \eta ) } ( \tau ) \rangle \quad \mathrm { a n d } } \\ { \sigma _ { L } ^ { ( \eta ) 2 } ( \tau ) } & { { } : = \langle ( L ^ { ( \eta ) } ( \tau ) ) ^ { 2 } \rangle - \langle L ^ { ( \eta ) } ( \tau ) \rangle \ . } \end{array}
{ \textbf { x } } ( n ) - A ^ { n } { \textbf { x } } ( 0 ) = [ B \, \, A B \, \, \cdots \, \, A ^ { n - 1 } B ] [ { \textbf { u } } ^ { T } ( n - 1 ) \, \, { \textbf { u } } ^ { T } ( n - 2 ) \, \, \cdots \, \, { \textbf { u } } ^ { T } ( 0 ) ] ^ { T } .
\begin{array} { r } { \langle \hat { f } _ { k } ^ { \mathrm { \tiny ~ B } } ( t ) \hat { f } _ { k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { \tiny ~ B } } ( 0 ) \rangle _ { \mathrm { \tiny ~ B } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { k } e ^ { - \gamma _ { k } t } , } \\ { \langle \hat { f } _ { k } ^ { \dag \mathrm { \tiny ~ B } } ( 0 ) \hat { f } _ { k ^ { \prime } } ^ { \dag \mathrm { \tiny ~ B } } ( t ) \rangle _ { \mathrm { \tiny ~ B } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { k } ^ { * } e ^ { - \gamma _ { \bar { k } } t } , } \\ { \langle \hat { f } _ { \bar { k } } ^ { \dag \mathrm { \tiny ~ B } } ( 0 ) \hat { f } _ { \bar { k } ^ { \prime } } ^ { \dag \mathrm { \tiny ~ B } } ( t ) \rangle _ { \mathrm { \tiny ~ B } } = \delta _ { k k ^ { \prime } } \eta _ { \bar { k } } ^ { * } e ^ { - \gamma _ { k } t } , } \end{array}
\begin{array} { r } { B = B _ { u d } e ^ { - \varepsilon z } + \frac { g } { c _ { p d } T _ { 0 } } \left( e ^ { - \varepsilon z } \int _ { \xi = 0 } ^ { \xi = z } \varepsilon e ^ { \varepsilon \xi } h _ { 0 } d \xi - \left( 1 - e ^ { - \varepsilon z } \right) h _ { 0 } ^ { * } \right) } \\ { - \frac { g L _ { v , r } } { c _ { p d } T _ { 0 } } \left( q ^ { * } - q _ { 0 } ^ { * } \right) + e ^ { - \varepsilon z } \frac { g L _ { v , r } } { c _ { p d } T _ { 0 } } \left( q _ { u d } ^ { * } - q _ { 0 } ^ { * } \right) . } \end{array}
C _ { \perp } ( k , t ) \equiv \frac { \langle j _ { \perp } ^ { \ast } ( k , 0 ) j _ { \perp } ( k , t ) \rangle } { \langle j _ { \perp } ^ { \ast } ( k , 0 ) j _ { \perp } ( k , 0 ) \rangle } = \exp ( - \nu k ^ { 2 } t ) ,
\| ( \boldsymbol { u } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } , \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { \boldsymbol { U } \times \boldsymbol { Q } } = ( \| \boldsymbol { u } - \tilde { \boldsymbol { u } } _ { h } \| _ { c u r l , \Omega } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } \| _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \lesssim \| \tilde { \ell } _ { 1 } \| _ { \boldsymbol { Q } ^ { * } } + \| \tilde { \ell } _ { 2 } \| _ { \boldsymbol { U } ^ { * } } ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { m } \dot { R } } & { = \frac { \gamma } { \pi \tau _ { m } } + 2 R V - \hat { g } _ { \mathrm { s y n } } R S \; , } \\ { \tau _ { m } \dot { V } } & { = V ^ { 2 } - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + \hat { g } _ { \mathrm { s y n } } S \big [ E _ { \mathrm { s y n } } - V \big ] + I _ { 0 } \; , } \\ { \tau _ { d } \dot { S } } & { = - S + U , \; } \\ { \tau _ { r } \dot { U } } & { = - U + P _ { r , \varphi , \psi } ( R , V ) \; ; } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { - d _ { 0 } \widetilde { S } _ { x x } + \widetilde { S } _ { x } = f ( 1 - \widetilde { S } ) u + g ( 1 - \widetilde { S } ) v } \\ { - d _ { 1 } u _ { x x } + u _ { x } = f ( 1 - \widetilde { S } ) u + \beta ( u , v ) v - \frac { 1 } { y _ { u } } \alpha ( u , v ) u } \\ { - d _ { 2 } v _ { x x } + v _ { x } = g ( 1 - \widetilde { S } ) v + \alpha ( u , v ) u - \frac { 1 } { y _ { v } } \beta ( u , v ) v } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { u _ { i } ^ { \mathcal { G } } = \frac { x _ { i } } { \prod _ { j \in \mathfrak { c h } ( i ) } ( 1 - u _ { j } ^ { \mathcal { G } } ) } \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad w _ { i } ^ { \mathcal { G } } = \frac { y _ { i } } { \prod _ { j \in \mathfrak { c h } ( i ) } ( 1 + w _ { j } ^ { \mathcal { G } } ) } , \quad i \in V . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } } & { = \frac { 1 - ( N - 1 ) \mathcal { P } _ { N - 1 , N } } { 2 \sqrt { N } } \sum _ { \Gamma _ { \aleph } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L _ { \aleph } M _ { \aleph } } C _ { S _ { A } \Sigma _ { A } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S _ { \aleph } \Sigma _ { \aleph } } \Psi _ { \aleph E _ { 1 } } ^ { - } ( x _ { 1 } \textrm { \, --- \, } x _ { N - 1 } ) \otimes { ^ { 2 } \phi _ { E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { - } } ( x _ { N } ) - } \\ & { - \frac { 1 - ( N - 1 ) \mathcal { P } _ { N - 1 , N } } { 2 \sqrt { N } } \sum _ { \Gamma _ { \beth } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { L _ { \beth } M _ { \beth } } C _ { S _ { A } \Sigma _ { A } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } } ^ { S _ { \beth } \Sigma _ { \beth } } \Psi _ { \beth E _ { 2 } } ^ { - } ( x _ { 1 } \textrm { \, --- \, } x _ { N - 1 } ) \otimes { ^ { 2 } \phi _ { E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } } ^ { - } } ( x _ { N } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 1 } h ( x , \boldsymbol { y } ) } & { = \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 1 } g ( x , \boldsymbol { y } - \gamma F ( x , \boldsymbol { y } ) ) } \\ & { ~ ~ ~ - \gamma \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 2 } g ( x , \boldsymbol { y } - \gamma F ( x , \boldsymbol { y } ) ) \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 1 } F ( x , \boldsymbol { y } ) , } \\ { \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 2 } h ( x , \boldsymbol { y } ) } & { = \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 2 } g ( x , \boldsymbol { y } - \gamma F ( x , \boldsymbol { y } ) ) ( I - \gamma \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 2 } F ( x , \boldsymbol { y } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { r } _ { n } ( x ) } & { \equiv } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \{ P _ { n } S _ { Q _ { n } } ( \phi _ { j } ^ { * } ) \} \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { R _ { 1 , n } ( \phi ) } & { \equiv } & { P _ { 0 } \{ S _ { Q _ { n } } ( \phi ) - S _ { Q _ { 0 , n } } ( \phi ) \} - P _ { 0 } d S _ { Q _ { 0 , n } } ( \phi ) ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) } \\ { R _ { 2 , n } ( \phi ) } & { \equiv } & { P _ { 0 } d S _ { Q _ { 0 , n } } ( \phi ) ( Q _ { n } - \Pi _ { J _ { 0 , n } } ( Q _ { n } ) ) } \\ { - R _ { 3 , n } ( \phi ) } & { \equiv } & { - P _ { 0 } d S _ { Q _ { 0 , n } } ( \phi ) ( \Pi _ { J _ { 0 , n } } ( Q _ { n } ) - Q _ { 0 , n } ) - \langle \phi , \Pi _ { J _ { 0 , n } } ( Q _ { n } ) - Q _ { 0 , n } \rangle _ { J _ { 0 , n } } } \\ { E _ { n } ( x ) } & { \equiv } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) ( S _ { Q _ { n } } - S _ { Q _ { 0 , n } } ) ( { \phi } _ { j } ^ { * } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { \bar { R } _ { n } ( x ) } & { \equiv } & { \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } R _ { m , n } ( \phi _ { j } ^ { * } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { R _ { n } ( x ) } & { \equiv } & { - \tilde { r } _ { n } ( x ) + \bar { R } _ { n } ( x ) - E _ { n } ( x ) } \\ { D _ { Q _ { 0 , n } , x } } & { \equiv } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } S _ { Q _ { 0 , n } } \left( { \phi } _ { j } ^ { * } \right) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { \Sigma _ { 0 } ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) } & { \equiv } & { P _ { 0 } S _ { Q _ { 0 , n } } \left( { \phi } _ { j _ { 1 } } ^ { * } \right) S _ { Q _ { 0 , n } } \left( { \phi } _ { j _ { 2 } } ^ { * } \right) . } \end{array}
Q _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } V _ { i } ^ { \beta } \Gamma ( \Delta P _ { i j } ) , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } P _ { i } > P _ { j } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } V _ { j } ^ { \beta } \Gamma ( \Delta P _ { i j } ) , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } P _ { i } < P _ { j } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { y } \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \eta s - a + \theta ^ { * } ( s ) \right) \, d s \right\} } & { = \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { y } \frac { 2 } { \sigma ^ { 2 } } \left( \eta s - a + \frac { \hat { \alpha } } { 2 } v ( s ) \right) \, d s \right\} } \\ & { = \exp \left\{ - \frac { \eta y ^ { 2 } - a y } { \sigma ^ { 2 } } \right\} \exp \left\{ - \frac { \hat { \alpha } } { \sigma ^ { 2 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { k } v ( s ) \, d s + \int _ { k } ^ { y } v ( s ) \, d y \right] \right\} } \\ & { \le \exp \left\{ - \frac { \eta y ^ { 2 } - a y } { \sigma ^ { 2 } } \right\} \exp \left\{ \frac { \hat { \alpha } } { \sigma ^ { 2 } } r k \right\} , } \end{array}