harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { = } & { ( 1 + x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 3 } ) } \\ & { } & { ( 1 + x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 4 } ) ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 4 } ) } \\ & { } & { ( 1 + x ^ { 1 } y ^ { 3 } z ^ { 4 } ) ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } ) ( 1 + x ^ { 3 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } ) } \\ & { } & { ( 1 + x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 5 } ) ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } ) ( 1 + x ^ { 3 } y ^ { 4 } z ^ { 6 } ) ( 1 + x ^ { 4 } y ^ { 5 } z ^ { 6 } ) } \\ & { } & { ( 1 + x ^ { 1 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } ) ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 6 } ) ( 1 + x ^ { 3 } y ^ { 5 } z ^ { 6 } ) ( 1 + x ^ { 4 } y ^ { 5 } z ^ { 7 } ) ( 1 + x ^ { 5 } y ^ { 6 } z ^ { 7 } ) } \\ & { } & { ( 1 + x ^ { 1 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } ) ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 4 } z ^ { 6 } ) ( 1 + x ^ { 3 } y ^ { 4 } z ^ { 7 } ) ( 1 + x ^ { 4 } y ^ { 6 } z ^ { 7 } ) ( 1 + x ^ { 5 } y ^ { 6 } z ^ { 8 } ) ( 1 + x ^ { 6 } y ^ { 7 } z ^ { 8 } ) } \\ & { } & { ( 1 + x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 6 } ) ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 5 } z ^ { 6 } ) ( 1 + x ^ { 3 } y ^ { 5 } z ^ { 7 } ) ( 1 + x ^ { 4 } y ^ { 5 } z ^ { 8 } ) ( 1 + x ^ { 5 } y ^ { 7 } z ^ { 8 } ) ( 1 + x ^ { 6 } y ^ { 7 } z ^ { 9 } ) ( 1 + x ^ { 7 } y ^ { 8 } z ^ { 9 } ) } \\ & { } & { \textmd { e t c . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ^ { \lambda } ( { s } ; A ) } & { : = \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } G ^ { \lambda } \big ( { s } ( \tau , \cdot ) , \lambda \, \partial _ { \tau } { s } ( \tau , \cdot ) ; A _ { \tau } \big ) d \tau } \\ { \mathcal { G } _ { l o c } ^ { \lambda } ( { s } ; A ) } & { : = \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } G _ { l o c } ^ { \lambda } \big ( { s } ( \tau , \cdot ) , \lambda \, \partial _ { \tau } { s } ( \tau , \cdot ) ; A _ { \tau } \big ) d \tau } \\ { \mathcal { N } ^ { \lambda } ( { s } ; A , A ^ { \prime } ) } & { : = \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } N ^ { \lambda } \big ( { s } ( t , \cdot ) ; A _ { \tau } , A _ { \tau } ^ { \prime } \big ) d \tau } \\ { \mathcal { F } ^ { \lambda } ( { s } ; A ) } & { : = \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } F ^ { \lambda } \big ( { s } ( \tau , \cdot ) , \lambda \, \partial _ { \tau } { s } ( \tau , \cdot ) ; A _ { \tau } \big ) d \tau . } \end{array}
\left( \sum _ { i = 1 } ^ { \ensuremath { \hat { r } } } \ensuremath { \hat { \rho } } _ { i } \ensuremath { \widehat { N } } _ { i } \right) \to \left( \sum _ { i = 1 } ^ { r } \ensuremath { \hat { \rho } } _ { i } \ensuremath { \widehat { N } } _ { i } \right) \to \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ensuremath { \hat { \rho } } _ { i } \ensuremath { \widehat { N } } _ { i } \right) = N ( v ) ,
\begin{array} { r l } { X _ { \Delta _ { 1 } } = } & { - \left( { { \eta _ { \mathrm { { 1 } } } } { \mathrm { + } } { D _ { 3 } } { \eta _ { \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } { \mathrm { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } { \eta _ { \mathrm { { 1 ^ { \prime } } } } } { \mathrm { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } { \eta _ { \mathrm { { 3 } } } } { \mathrm { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } { \eta _ { \mathrm { { 1 } } } } { \mathrm { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } { \eta _ { \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } } \right) } \\ { + } & { \left( { { \eta _ { { \mathrm { 1 ^ { \prime } } } } } \mathrm { { + } } { D _ { 2 ^ { \prime } } } { \eta _ { \mathrm { 3 } } } \mathrm { { + } } { D _ { 2 ^ { \prime } 2 } } { \eta _ { \mathrm { 1 } } } \mathrm { { + } } { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 } } { \eta _ { { \mathrm { 2 ^ { \prime } } } } } \mathrm { { + } } { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } { \eta _ { \mathrm { 1 } } } \mathrm { { + } } { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 } } { \eta _ { { \mathrm { 2 ^ { \prime } } } } } } \right) } \\ { - } & { \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } { \eta _ { \mathrm { { 1 ^ { \prime } } } } } { \mathrm { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } { \eta _ { \mathrm { { 3 } } } } { \mathrm { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } { \eta _ { \mathrm { { 1 } } } } { \mathrm { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } { \eta _ { \mathrm { { 2 ^ { \prime } } } } } } \right) } \\ { + } & { \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } } } { \eta _ { \mathrm { 1 } } } \mathrm { { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 } } { \eta _ { { \mathrm { 2 ^ { \prime } } } } } \mathrm { { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } { \eta _ { { \mathrm { 1 ^ { \prime } } } } } \mathrm { { + } } { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } { \eta _ { \mathrm { 3 } } } } \right) . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { x _ { B } + \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { y _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { \overline { { x } } _ { A } \mathrm { x _ { B } + \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { y _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } }
\left( \rho , u , p \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 . 8 5 7 , 2 . 6 2 9 , 1 0 . 3 3 3 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } - 5 \leq x < - 4 , } \\ { ( 1 + 0 . 2 \sin ( 5 ( x - 5 ) ) , 0 , 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } - 4 \leq x \leq 5 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { k = \left( \frac { a ^ { 2 } + r ^ { 2 } } { 2 \, { \left( a ^ { 2 } \cos \left( { \theta } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) } } \right) \frac { \partial } { \partial t } + \left( - \frac { a ^ { 2 } - 2 \, m r + r ^ { 2 } } { 2 \, { \left( a ^ { 2 } \cos \left( { \theta } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) } } \right) \frac { \partial } { \partial r } } \\ { + \frac { a } { 2 \, { \left( a ^ { 2 } \cos \left( { \theta } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) } } \frac { \partial } { \partial { \phi } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \mathrm { \bf ~ A } _ { T } } { \partial t } } & { = } & { - \mathrm { \bf ~ E } _ { T } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; , \; \; \frac { \partial \mathrm { \bf ~ A } _ { L } } { \partial t } = - \mathrm { \bf ~ E } _ { L } } \\ { \frac { \partial \mathrm { \bf ~ E } _ { T } } { \partial t } } & { = } & { c ^ { 2 } \nabla \times \nabla \times \mathrm { \bf ~ A } _ { T } - \frac { \mathrm { \bf ~ j } _ { T } } { \epsilon _ { 0 } } \; \; \; , \; \; \frac { \partial \mathrm { \bf ~ E } _ { L } } { \partial t } = - \frac { \mathrm { \bf ~ j } _ { L } } { \epsilon _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \ell _ { 1 } } ( y ) } & { = \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) \left| \frac { 1 } { l ( s , y ) } - 1 \right| \leq { \varepsilon } \Rightarrow P _ { S } ( s _ { y } ) \left| \frac { 1 } { l ( s _ { y } , y ) } - 1 \right| = P _ { S } ( s _ { y } ) \left( \frac { 1 } { \Psi ( y ) } - 1 \right) \leq { \varepsilon } , } \end{array}
E _ { m } ^ { \omega _ { l k } ^ { ( 0 ) } } ( t ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { t e ^ { - i \omega _ { l k } ^ { ( 0 ) } t } , } } & { { \quad \mathrm { f o r } \quad m = 0 } } \\ { { ( i / m ) \left[ e ^ { - i ( m + \omega _ { l k } ^ { ( 0 ) } ) t } - e ^ { - i \omega _ { l k } ^ { ( 0 ) } t } \right] , } } & { { \quad \mathrm { f o r } \quad m \neq 0 } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( \hat { { x } } _ { 0 } ) = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ldots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \operatorname* { m i n } \big \{ ( 1 - \varphi ) \| { x } - \hat { { x } } _ { 0 } \| ^ { 2 } , c \big \} } \\ & { \cdot \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( { x } - { \mu } ) ^ { \mathsf { T } } { \Sigma } ^ { - 1 } ( { x } - { \mu } ) \right) \mathrm { d } { x } } \\ { = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ldots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \operatorname* { m i n } \big \{ ( 1 - \varphi ) \| { z } \| ^ { 2 } , c \big \} \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } } \\ & { \cdot \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } ( { z } + \hat { { x } } _ { 0 } - { \mu } ) ^ { \mathsf { T } } { \Sigma } ^ { - 1 } ( { z } + \hat { { x } } _ { 0 } - { \mu } ) \right) \mathrm { d } { z } . } \end{array}
M _ { \mathrm { J } } = \left( { \frac { 3 7 5 k ^ { 3 } } { 4 \pi m ^ { 4 } G ^ { 3 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { T ^ { 3 } } { n } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { B } _ { ( i \to \alpha ) ; ( \beta \to j ) } ^ { N H } } & { { } = } & { \delta _ { j , i } ( 1 - \delta _ { \beta , \alpha } ) , } \\ { \mathcal { B } _ { ( \alpha \to i ) ; ( j \to \beta ) } ^ { H N } } & { { } = } & { p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } p _ { N } ^ { m _ { \alpha } - 1 } \delta _ { \alpha , \beta } ( 1 - \delta _ { i , j } ) , } \end{array}
\mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) = \mathbf { E } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , t ) + \mathbf { E } ^ { ( - ) } ( \mathbf { r } , t ) = \sum _ { i } \left( \boldsymbol { \mathcal { E } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } ) e ^ { - i \omega _ { i } t } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \right)
\begin{array} { r l } { \small \int _ { \Omega } \nabla \psi ^ { n + 1 } } & { \cdot \nabla \omega + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) \int _ { \Omega } \psi ^ { n + 1 } \cdot \omega = \int _ { \partial \Omega _ { o } } \left[ g _ { 1 } ^ { n + 1 } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) g _ { 2 } ^ { n + 1 } \right] \omega } \\ { + } & { \int _ { \partial \Omega _ { s } } \left[ g _ { 1 } ^ { n + 1 } + \left( \alpha + \frac { S } { \eta ^ { 2 } } \right) \left( - g _ { 3 } ^ { n + 1 } - \frac { \Theta ^ { \prime } ( \phi ^ { * , n + 1 } ) } { \lambda } \right) \right] \omega - \int _ { \Omega } Q _ { 1 } \omega + \int _ { \Omega } \nabla Q _ { 2 } \cdot \nabla \omega , \quad \forall \omega ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| k _ { \pm \rho } \frac { \partial \langle n _ { X } \rangle } { \partial k _ { \pm \rho } } \right| } & { \leq | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { S } \} | + | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { E S _ { 2 } } \} | } \\ & { ~ ~ ~ + | \mathrm { C o v } \{ n _ { X } , n _ { P } + n _ { E S _ { 2 } } \} | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { X } ( t ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { x _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - x _ { \mathbf { k } ( t ) } } { \mathbf { t } _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - t } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { x _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - x _ { \mathbf { k } ( t ) } } { s ^ { 1 / p } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { y _ { \mathbf { k } ( t ) } - x _ { \mathbf { k } ( t ) } } { s ^ { 1 / p } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { A _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - A _ { \mathbf { k } ( t ) } } { s ^ { 1 / p } A _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } } \left( z _ { \mathbf { k } ( t ) } - x _ { \mathbf { k } ( t ) } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { A \left( \mathbf { t } _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } \right) - A ( t ) } { s ^ { 1 / p } A \left( \mathbf { t } _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } \right) } \left( Z ( t ) - X ( t ) \right) } \\ & { = \frac { \dot { A } ( t ) } { A ( t ) } \left( Z ( t ) - X ( t ) \right) } \\ & { = p C ^ { 1 / p } \mu ^ { 1 / p } \coth _ { p } \left( C ^ { 1 / p } \mu ^ { 1 / p } t \right) \left( Z ( t ) - X ( t ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mu } _ { 1 } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { v \in S } \mu ( J _ { x } f _ { 1 } ( v ) ) = \operatorname* { m a x } \{ - 2 / 3 , \, 2 \} = 2 , } \\ { \hat { \mu } _ { 2 } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { v \in S } \mu ( J _ { x } f _ { 2 } ( v ) ) = \operatorname* { m a x } \{ 1 0 / 3 , \, - 1 \} = 1 0 / 3 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { \lambda _ { \pi } ^ { r } \leq x _ { h l } \quad \forall r \in T ^ { \prime } , \pi \in A ^ { r } , ( h , l ) \in x ( \pi ) } \\ & { \lambda _ { \pi } ^ { r } \leq ( 1 - x _ { h l } ) \quad \forall r \in T ^ { \prime } , \pi \in A ^ { r } , ( h , l ) \notin x ( \pi ) } \\ & { \lambda _ { \pi } ^ { r } \geq \sum _ { ( h , l ) \in x ( \pi ) } x _ { h l } ^ { r } - | x ( \pi ) | - \sum _ { ( h , l ) \notin x ( \pi ) } x _ { h l } ^ { r } + 1 \quad \forall r \in T ^ { \prime } , \pi \in A ^ { r } } \end{array}
{ \mathfrak { a } } { \mathfrak { b } } { \mathfrak { c } } { \mathfrak { d } } { \mathfrak { e } } { \mathfrak { f } } { \mathfrak { g } } { \mathfrak { h } } { \mathfrak { i } } { \mathfrak { j } } { \mathfrak { k } } { \mathfrak { l } } { \mathfrak { m } } { \mathfrak { n } } { \mathfrak { o } } { \mathfrak { p } } { \mathfrak { q } } { \mathfrak { r } } { \mathfrak { s } } { \mathfrak { t } } { \mathfrak { u } } { \mathfrak { v } } { \mathfrak { w } } { \mathfrak { x } } { \mathfrak { y } } { \mathfrak { z } }
\omega _ { i , k } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { t - t _ { i } } { t _ { i + k } - t _ { i } } , \quad } & { t _ { i + k } \neq t _ { i } , } \\ { 0 , \quad } & { o t h e r w i s e . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i j } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } C _ { i j k \ell } ^ { u } e _ { k \ell } - \sum _ { p = 1 } ^ { n } M ^ { ( p ) } \alpha _ { i j } ^ { ( p ) } \zeta ^ { ( p ) } \, , } \\ { p _ { f } ^ { ( p ) } } & { { } = - M ^ { ( p ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { k \ell } ^ { ( p ) } e _ { k \ell } + M ^ { ( p ) } \zeta ^ { ( p ) } \, , } \end{array}
t \partial _ { t } \eta + \frac { \Gamma } { \nu } \, \Bigl \{ \phi \, , \frac { \eta } { 1 + \epsilon R } \Bigr \} - \sqrt { \frac { t } { \nu } } \Bigl ( \dot { \bar { r } } \, \partial _ { R } \eta + \dot { \bar { z } } \, \partial _ { Z } \eta \Bigr ) \, = \, \mathcal { L } \eta + \partial _ { R } \Bigl ( \frac { \epsilon \eta } { 1 + \epsilon R } \Bigr ) \, ,
\begin{array} { r l r } { A _ { \pm } ^ { ^ { ( \mathrm { I } ) } } } & { = } & { \mp \frac { c _ { _ 0 } } { 4 s } \ \frac { c k _ { - } \pm c _ { _ 0 } q k _ { + } } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { ( \mp c _ { _ 0 } a ) } , } \\ { A _ { + } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } & { = } & { - \frac { c _ { _ 0 } ^ { 2 } q } { 2 s } \ \frac { 1 } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { ( - c a ) } , } \\ { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I } ) } } } & { = } & { \frac { c _ { _ 0 } ^ { 2 } q } { 2 s } \ \frac { 1 - k _ { + } } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { ( c a ) } , } \\ { A _ { - } ^ { ^ { ( \mathrm { I I I } ) } } } & { = } & { - \frac { c _ { _ 0 } ^ { 2 } c q } { s ( c - c _ { _ 0 } q ) } \ \frac { 1 } { c k _ { - } \cosh { ( c _ { _ 0 } a ) } - c _ { _ 0 } q k _ { + } \sinh { ( c _ { _ 0 } a ) } } \ \exp { [ c _ { _ 0 } b + c ( b - a ) ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { i \kappa _ { c } \frac { h _ { \ell } ^ { ( + ) \prime } ( i \kappa _ { c } ) } { h _ { \ell } ^ { ( + ) } ( i \kappa _ { c } ) } = } \\ & { } & { \frac { ( D _ { + } ^ { 2 } - a _ { - } ) C _ { + } D _ { + } j _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { + } ) + a _ { c o } D _ { - } C _ { - } j _ { \ell } ^ { \prime } ( D _ { - } ) } { ( D _ { + } ^ { 2 } - a _ { - } ) C _ { + } j _ { \ell } ( D _ { + } ) + a _ { c o } C _ { - } j _ { \ell } ( D _ { - } ) } \; , } \end{array}
{ \frac { A _ { \gamma } ^ { \mathrm { p r o t o n } } } { A _ { \gamma } ^ { \mathrm { n e u t r o n } } } } = { \frac { d _ { 2 } ^ { \mathrm { p r o t o n } } } { d _ { 2 } ^ { \mathrm { n e u t r o n } } } } ~ ~ ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { K } & { \leq - \log _ { 2 } ( 1 - \eta _ { \mathrm { d } } \eta _ { \mathrm { a t m } } \eta _ { \mathrm { e f f } } ) } \\ & { = - \log _ { 2 } \left[ 1 - \eta _ { \mathrm { e f f } } \left( 1 - e ^ { - 2 a _ { R } ^ { 2 } / w _ { z } ^ { 2 } } \right) e ^ { - \alpha ( h ) z } \right] } \\ & { \simeq \frac { 2 \eta _ { \mathrm { e f f } } } { \ln 2 } \frac { a _ { R } ^ { 2 } } { w _ { z } ^ { 2 } } e ^ { - \alpha ( h ) z } , } \end{array}
S _ { 2 2 } = \left\langle \frac { 2 \pi } { H } \right\rangle \left\langle \frac { 2 \pi } { 3 } \right\rangle \left\langle \frac { 2 \pi } { H } + \frac { \pi } { 3 } \right\rangle \left\langle \frac { \pi } { 3 } - \frac { 4 \pi } { H } \right\rangle \left\langle \frac { \pi } { 3 } - \frac { 6 \pi } { H } \right\rangle \left\langle \frac { 4 \pi } { H } - \pi \right\rangle \left\langle \frac { 6 \pi } { H } - \pi \right\rangle \ ,
\partial _ { c } d _ { ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) } \mathscr { G } : \mathbb { R } \times B _ { r , \mathbf { m } } ^ { 1 + \alpha } \times B _ { r , \mathbf { m } } ^ { 1 + \alpha } \rightarrow \mathcal { L } ( X _ { \mathbf { m } } ^ { 1 + \alpha } \times X _ { \mathbf { m } } ^ { 1 + \alpha } , Y _ { \mathbf { m } } ^ { \alpha } \times Y _ { \mathbf { m } } ^ { \alpha } )
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \Big | \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) p \left\langle D ^ { \alpha } \partial _ { z } \sigma ( u _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p - 2 } d W \Big | } \\ { \leq } & { C _ { p , \kappa } \mathbb E \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { 2 ( p - 1 ) } ( 1 + \| u _ { n } \| + \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ) ^ { 2 } d t ^ { \prime } \Big ) ^ { \frac 1 2 } } \\ { \leq } & { \frac 1 2 \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , t ] } \| D ^ { \alpha } v _ { n } \| ^ { p } + C _ { p , \kappa } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { t } ( 1 + \| u _ { n } \| ^ { p } + \| v _ { n } \| _ { \widetilde H ^ { s } } ^ { p } ) d t ^ { \prime } . } \end{array}
\left. \frac { 1 } { \sqrt { n } } \boldsymbol { U } _ { n } ^ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) \right\vert _ { \boldsymbol { \theta = \theta } _ { 0 } \boldsymbol { + } n ^ { - 1 / 2 } \boldsymbol { d } } \underset { n \rightarrow \infty } { \overset { \mathcal { L } } { \longrightarrow } } \mathcal { N } \left( - \boldsymbol { J } _ { \tau } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) \boldsymbol { l } , \mathrm { ~ } \boldsymbol { K } _ { \tau } \left( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k + 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k - 3 + 2 i , 4 k - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 2 k - 4 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 5 + 2 i , 4 k + 2 - 2 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 3 , 1 } } \end{array}
{ \mathbb J } = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \tilde { u } _ { y } } { \partial \tilde { y } } } & { \frac { \partial \tilde { u } _ { y } } { \partial \theta } } \\ { \frac { \partial \tilde { \omega } } { \partial \tilde { y } } } & { \frac { \partial \tilde { \omega } } { \partial \theta } } \end{array} \right] _ { \tilde { y } _ { \ast } , \theta _ { \ast } }
\gamma ^ { 0 } = \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right] ~ , ~ ~ ~ \gamma ^ { 3 } = \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right] ~ , ~ ~ ~ \gamma ^ { i } = \left[ \begin{array} { c c } { { - i \epsilon ^ { i j } \sigma _ { j } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { i \epsilon ^ { i j } \sigma _ { j } } } \end{array} \right] .
\tilde { \mathbf { u } } _ { \theta } = \tilde { \mathbf { u } } _ { a } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \left( \theta ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right) \tilde { \nabla } ( \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \mathbf { u } } _ { a } ) - \sigma ^ { 2 } \left( \theta - \frac { 1 } { 2 } \right) \tilde { \nabla } \tilde { \zeta } _ { \tilde { t } } + O ( \sigma ^ { 4 } , \varepsilon \sigma ^ { 2 } , \beta \sigma ^ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r } { X _ { t } ^ { n , i } = \xi ^ { i } + \int _ { 0 } ^ { t } \alpha ^ { n , i } ( s , \mathbf { X } _ { s } ^ { n } ) d s + W _ { t } ^ { i } , } \\ { \overline { { X } } _ { t } ^ { n , i } = \xi ^ { i } + \int _ { 0 } ^ { t } \overline { { \alpha } } ^ { n , i } ( s , \overline { { X } } _ { s } ^ { n , i } ) d s + W _ { t } ^ { i } . } \end{array}
J _ { | x _ { 0 } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { - \beta } & { 0 } & { \delta \varepsilon } & { - \beta \alpha } \\ { 0 } & { \beta - \gamma _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \beta \alpha } \\ { 0 } & { \gamma _ { 1 } } & { - \varepsilon } & { 0 } & { 0 } \\ { - \delta \varepsilon } & { - \delta \varepsilon } & { \varepsilon - \delta \varepsilon } & { - 2 \delta \varepsilon } & { - \delta \varepsilon } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \gamma _ { 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \dots \to H _ { n } ( h ( S _ { i - 1 } ) ) \to H _ { n } ( N _ { i + 1 } , N _ { i - 1 } ) \to H _ { n } ( h ( S _ { i } ) ) \to H _ { n - 1 } ( h ( S _ { i - 1 } ) ) \to \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { \hat { b } _ { 1 } } \\ { \hat { b } _ { 2 } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \hat { a } _ { 1 } } \\ { \hat { a } _ { 2 } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { \hat { n } _ { 1 } } \\ { \hat { n } _ { 2 } } \end{array} \right) , } \\ { \hat { \mathsf b } } & { { } = { \mathsf S } \hat { \mathsf a } + \hat { \mathsf n } , } \end{array}
{ \cal L } _ { g . f . } \; = \; \frac { b ^ { 2 } } { 2 \lambda } + b \cdot \partial _ { \mu } \theta ^ { \mu } \; \; \; , \; \; \; { \cal L } _ { g h } \; = \; - i \partial _ { \mu } { \bar { c } } \cdot D ^ { \mu } c \; ,
\begin{array} { r } { \theta _ { 1 j } = \theta _ { 2 j } + 2 \pi N \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \theta _ { 1 j } = \theta _ { 2 j } + ( 2 N + 1 ) \pi , } \\ { \theta _ { 3 j } = \theta _ { 4 j } + 2 \pi N \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \theta _ { 3 j } = \theta _ { 4 j } + ( 2 N + 1 ) \pi , } \end{array}
\lambda = { \frac { 1 } { \nu } } \cdot c = { \frac { h } { E } } \cdot c \approx { \frac { \; 4 . 1 3 5 \, 6 7 \cdot 1 0 ^ { - 1 5 } \ \mathrm { e V } \cdot { \mathrm { s } } \; } { 5 . 8 7 4 \, 3 3 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \ \mathrm { e V } } } \, \cdot \, 2 . 9 9 7 \, 9 2 \cdot 1 0 ^ { 8 } \ \mathrm { m } \cdot \mathrm { s } ^ { - 1 } \approx 0 . 2 1 1 \, 0 6 \ \mathrm { m } = 2 1 . 1 0 6 \ \mathrm { c m }
\begin{array} { r c l } { { A _ { \ell + } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( A _ { 1 / 2 , 1 / 2 } ^ { J } + A _ { - 1 / 2 , 1 / 2 } ^ { J } ) , } } \\ { { A _ { ( \ell + 1 ) - } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( A _ { 1 / 2 , 1 / 2 } ^ { J } - A _ { - 1 / 2 , 1 / 2 } ^ { J } ) , } } \\ { { B _ { \ell + } } } & { { = } } & { { \sqrt { \frac { 2 } { \ell ( \ell + 2 ) } } ( A _ { 1 / 2 , 3 / 2 } ^ { J } + A _ { - 1 / 2 , 3 / 2 } ^ { J } ) , } } \\ { { B _ { ( \ell + 1 ) - } } } & { { = } } & { { - \sqrt { \frac { 2 } { \ell ( \ell + 2 ) } } ( A _ { 1 / 2 , 3 / 2 } ^ { J } - A _ { - 1 / 2 , 3 / 2 } ^ { J } ) , } } \\ { { C _ { \ell + } } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( A _ { - 1 / 2 , - 1 / 2 } ^ { J } + A _ { 1 / 2 , - 1 / 2 } ^ { J } ) , } } \\ { { C _ { ( \ell + 1 ) - } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( A _ { - 1 / 2 , - 1 / 2 } ^ { J } - A _ { 1 / 2 , - 1 / 2 } ^ { J } ) } } \end{array}