harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle \mathbf { v } _ { D } \cdot \nabla x \rangle = \frac { \int \mathrm { d } \zeta \; ( \mathbf { v } _ { D } \cdot \nabla x ) \frac { \mathrm { d } \ell } { \mathrm { d } \zeta } \left( 1 - \lambda \hat { B } - \frac { \Phi } { H } \right) ^ { - 1 / 2 } } { \int \mathrm { d } \zeta \frac { \mathrm { d } \ell } { \mathrm { d } \zeta } \left( 1 - \lambda \hat { B } - \frac { \Phi } { H } \right) ^ { - 1 / 2 } } .
\left( \begin{array} { c } { { \tilde { f } _ { 1 } } } \\ { { \tilde { f } _ { 2 } } } \end{array} \right) = U \left( \begin{array} { c } { { \tilde { f } _ { L } } } \\ { { \tilde { f } _ { R } } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c c } { { \cos \theta _ { f } e ^ { + i \phi } } } & { { \ \sin \theta _ { f } \ \ \ \ } } \\ { { \sin \theta _ { f } \ \ \ \ \ } } & { { - \cos \theta _ { f } e ^ { - i \phi } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \tilde { f } _ { L } } } \\ { { \tilde { f } _ { R } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \big | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \big | } & { \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) | \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin ^ { 2 } \big ( t \, \mathtt { M } _ { \theta _ { 0 } } ( r ) \big ) d t } \\ & { \leqslant C \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { | \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) | \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) t ^ { 2 } } { D ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } d t . } \end{array}
U _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { V _ { i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ c ( 0 , 1 ) < \xi , } \\ { X _ { i } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( Y ) = } & { \bigg [ \Lambda _ { R _ { 1 } } + \Lambda _ { Q _ { 0 } } \log { ( 1 + Y ) } + \frac { \Lambda _ { R _ { 0 } } } { Y ^ { 2 } } + \frac { \Lambda _ { R _ { 0 } } } { 4 } \log ^ { 2 } { ( 1 + Y ) } + } \\ & { - \Lambda _ { M _ { 1 } } \log { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } - \Lambda _ { L _ { 0 } } \log { ( 1 + Y ) } \log ^ { 2 } { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } \bigg ] \frac { ( 1 - Y ^ { 2 } ) } { Y } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { H } } & { = } & { \frac { ( a _ { 1 } K _ { 1 } - 1 ) q _ { 2 } r _ { 1 } + K _ { 1 } q _ { 1 } \alpha _ { 2 1 } } { 2 a _ { 1 } q _ { 2 } r _ { 1 } } } \\ & { } & { + \frac { \sqrt { 4 a _ { 1 } K _ { 1 } q _ { 2 } r _ { 1 } ( q _ { 2 } r _ { 1 } - q _ { 1 } r _ { 2 } ) + ( ( a _ { 1 } K _ { 1 } - 1 ) q _ { 2 } r _ { 1 } + K _ { 1 } q _ { 1 } \alpha _ { 2 1 } ) ^ { 2 } } } { 2 a _ { 1 } q _ { 2 } r _ { 1 } } } \\ & { < } & { \frac { ( a _ { 1 } K _ { 1 } - 1 ) q _ { 2 } r _ { 1 } + q _ { 1 } r _ { 2 } } { 2 a _ { 1 } q _ { 2 } r _ { 1 } } } \\ & { } & { + \frac { \sqrt { 4 a _ { 1 } K _ { 1 } q _ { 2 } r _ { 1 } ( q _ { 2 } r _ { 1 } - q _ { 1 } r _ { 2 } ) + ( ( a _ { 1 } K _ { 1 } - 1 ) q _ { 2 } r _ { 1 } + q _ { 1 } r _ { 2 } ) ^ { 2 } } } { 2 a _ { 1 } q _ { 2 } r _ { 1 } } } \\ & { = } & { \frac { ( a _ { 1 } K _ { 1 } - 1 ) q _ { 2 } r _ { 1 } + q _ { 1 } r _ { 2 } } { 2 a _ { 1 } q _ { 2 } r _ { 1 } } + \frac { ( a _ { 1 } K _ { 1 } + 1 ) q _ { 2 } r _ { 1 } - q _ { 1 } r _ { 2 } } { 2 a _ { 1 } q _ { 2 } r _ { 1 } } } \\ & { = } & { K _ { 1 } . } \end{array}
H _ { \mathrm { l i q } } = \frac { \Phi _ { R } ^ { \mathrm { l i q } } } { \Phi _ { I } ^ { \mathrm { l i q } } } = \left( \frac { \Phi _ { R } ^ { \mathrm { l i q } } } { \Phi _ { I } ^ { \mathrm { a i r } } } \right) \mathcal { M } _ { \mathrm { i n c } } \left( n _ { \mathrm { S i O _ { 2 } } } , n _ { \mathrm { l i q } } \right) ,
X _ { 2 } = { \frac { 2 X } { 1 - X ^ { 2 } - Y ^ { 2 } } } \cos \tilde { r } _ { - } \phi + { \frac { 2 Y } { 1 - X ^ { 2 } - Y ^ { 2 } } } \sin \tilde { r } _ { - } \phi ,
\frac { \mathrm { d } { \mathbf { U } } _ { i , j } } { \mathrm { ~ d } t } = - \frac { 1 } { \left| \Omega _ { i , j } \right| } \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } \mathcal { L } _ { k } \mathbf { F } _ { k } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { i j } ^ { B } } & { : = \{ ( x _ { i } , x _ { j } , w _ { i j } ) \: : \: 0 \leq w _ { i j } \leq x _ { i } , \: x _ { i } + x _ { j } - 1 \leq w _ { i j } \leq x _ { j } \} , } \\ { \mathcal { M } _ { k } ^ { Q } } & { : = \{ ( x _ { k } , w _ { k k } ) \: : \: x _ { k } ^ { 2 } \leq w _ { k k } \leq x _ { k } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \hat { a } _ { o u t } } & { = \tau \, \hat { a } _ { i n } + \kappa \, \hat { r } _ { L } ^ { c c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { 0 } ^ { c c w } } & & { = - \kappa \, \hat { a } _ { i n } + \tau \, \hat { r } _ { L } ^ { c c w } , } \\ { \hat { b } _ { o u t } } & { = \tau \, \hat { b } _ { i n } + \kappa \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c c w } } & & { = - \kappa \, \hat { b } _ { i n } + \tau \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c c w } . } \end{array}
c = { \frac { - d } { D } } { \left| \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } } & { y _ { 1 } } & { 1 } \\ { x _ { 2 } } & { y _ { 2 } } & { 1 } \\ { x _ { 3 } } & { y _ { 3 } } & { 1 } \end{array} \right| } .
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 1 } = \langle \rho \rangle , \quad \rho _ { 2 } = \rho ^ { * } , \quad \rho _ { 3 } = \langle \rho \zeta ^ { 2 } + 2 \rho \alpha \rangle , \quad \mu _ { 1 } = \langle \mu \rangle , } \\ & { \mu _ { 2 } = \langle \mu \sigma \rangle , \quad \mu _ { 3 } = \langle \mu \zeta ^ { 2 } \rangle , \quad \mu _ { 4 } = \langle \mu \sigma \zeta ^ { 2 } \rangle , \quad \mu _ { 5 } = \mu ^ { * } = \frac { \langle k \rangle ^ { 2 } } { \langle k ^ { 2 } / \mu \rangle } . } \end{array}
\frac { 1 } { g _ { a } ^ { 2 } ( M _ { u } ) } = \frac { 1 } { g _ { a } ^ { 2 } { ( M _ { Z } ) } } - \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left[ b _ { a } \ln \frac { M _ { u } } { M _ { Z } } + \tilde { b } _ { a } \ln \frac { M _ { u } } { m _ { t } } + ( d _ { a } + e _ { a } ) \ln \frac { M _ { u } } { M _ { i } } \right] \; ,
\sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \pi _ { i } ^ { \left[ 1 \right] } p _ { i j } ^ { \left[ 1 \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( \substack { - \left( T ^ { \left[ 1 \right] } - \tau _ { j j } ^ { \left[ 1 \right] } \right) w _ { j \ell } ^ { \left[ 1 \right] } c \, + \left( T ^ { \left[ 1 \right] } - \tau _ { j \ell } ^ { \left[ 1 \right] } \right) w _ { \ell j } ^ { \left[ 1 \right] } b } \right) > \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { N } \pi _ { i } ^ { \left[ 1 \right] } p _ { i j } ^ { \left[ 1 \right] } p _ { i k } ^ { \left[ 1 \right] } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } \left( \substack { - \left( T ^ { \left[ 1 \right] } - \tau _ { j k } ^ { \left[ 1 \right] } \right) w _ { k \ell } ^ { \left[ 1 \right] } c \, + \left( T ^ { \left[ 1 \right] } - \tau _ { j \ell } ^ { \left[ 1 \right] } \right) w _ { \ell k } ^ { \left[ 1 \right] } b } \right) .
\begin{array} { r } { d s ^ { 2 } = - N ^ { 2 } d t ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( N ^ { \varphi } d t + d \varphi \right) ^ { 2 } + \frac { d r ^ { 2 } } { \hat { f } _ { E } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \tau } } & { = \mathcal { F } _ { \tau } ^ { ( 1 ) } + ( s _ { 2 2 } + s _ { 3 1 } + s _ { 4 1 } + s _ { 1 1 1 } ) \otimes e _ { \rho ( { 1 } ) } + s _ { 3 1 } \otimes ( e _ { \rho ( { 1 1 } ) } + e _ { \rho ( { 2 } ) } ) } \\ & { \qquad \quad + s _ { 2 1 } \otimes ( e _ { \rho ( { 1 1 1 } ) } + e _ { \rho ( { 3 } ) } + e _ { \rho ( { 2 1 } ) } + e _ { \rho ( { 2 2 } ) } ) } \\ & { \qquad \quad + s _ { 1 1 } \otimes ( e _ { \rho ( { 2 1 1 } ) } + e _ { \rho ( { 3 1 } ) } + e _ { \rho ( { 4 } ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { * } ( G \times Q ) \times V ^ { * } \rightarrow \mathfrak { g } ^ { * } \times T ^ { * } Q \times V ^ { * } \, , \quad ( g , \alpha , q , p , a _ { 0 } ) \rightarrow ( m , n , \pi , a ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf w ( \mathbf y ^ { n } ) } & { = \mathbf w ( \mathbf y ^ { * } ) + \mathbf w ( s ^ { n } \bar { \mathbf y } ) = \left( 2 \varphi ( - \Delta t \lambda ) \lambda - 2 \lambda - \lambda ^ { 2 } \Delta t \varphi ( - \Delta t \lambda ) \right) s ^ { n } \bar { \mathbf y } } \\ & { = \frac { 1 } { \Delta t } \left( 2 ( 1 - e ^ { \Delta t \lambda } ) - 2 \Delta t \lambda - \Delta t \lambda ( 1 - e ^ { \Delta t \lambda } ) \right) s ^ { n } \bar { \mathbf y } } \\ & { = \frac { 1 } { \Delta t } \left( 2 - 3 \Delta t \lambda + e ^ { \Delta t \lambda } ( \Delta t \lambda - 2 ) \right) s ^ { n } \bar { \mathbf y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \pi \mathrm { i \, } \sigma _ { s r } \left( t \right) + 2 \pi \mathrm { i \, } \sigma _ { s r } ^ { \left( \mathrm { N P } \right) } \left( t \right) + } & { \int _ { \pi } ^ { 0 } \frac { 1 } { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \sigma } \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { \left( s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi } \\ { + } & { \int _ { 0 } ^ { - \pi } \frac { 1 } { \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } { \phi _ { \sigma } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) } \mathrm { e } ^ { \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } + r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \right) t } \mathrm { i } r \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \varphi } \mathrm { d } \varphi = 0 , } \end{array}
- \partial _ { u } ( r ^ { 2 } A _ { r } ) - \partial _ { r } ( r ^ { 2 } A _ { u } ) + \partial _ { r } ( r ^ { 2 } A _ { r } ) + \gamma ^ { z \bar { z } } ( \partial _ { z } A _ { \bar { z } } + \partial _ { \bar { z } } A _ { z } ) = 0
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { P S } } = } & { { } \frac { 1 } { 4 \pi \hat { \eta } ^ { \mathrm { e } } } ( \mathbf { I } - \mathbf { g } ) \cdot \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { P S } } - \frac { 1 } { 8 \pi \hat { \eta } ^ { \mathrm { e } } } \frac { \hat { \lambda } } { 1 + \hat { \lambda } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ln ( \| \Lambda x \| ) \leqslant \operatorname* { l i m i n f } _ { \nu \to 0 ^ { + } } \frac { \tau _ { \eta } ^ { \nu } } { 1 / \nu } \leqslant \operatorname* { l i m s u p } _ { \nu \to 0 ^ { + } } \frac { \tau _ { \eta } ^ { \nu } } { 1 / \nu } \leqslant \ln \Big ( { \sqrt { 2 } } ( \| \Lambda x \| + \mathbb { E } [ \| \Lambda \mathcal { G } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta ( \iota ( a ) ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \overline { { \iota } } ( \overline { { s _ { n } } } ) ^ { 1 / q ^ { n } } \right) ^ { \# } \pi ^ { n } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \left( \overline { { \iota } } ( \overline { { s _ { n } } } ) _ { m } \right) ^ { \wedge , q ^ { m - n } } \pi ^ { n } } \\ & { \equiv \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { k } \left( \overline { { \iota } } ( \overline { { s _ { n } } } ) _ { k + m } \right) ^ { \wedge , q ^ { k + m - n } } \pi ^ { n } \pmod { \pi ^ { k + 1 } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } w _ { k } \left( \left( \overline { { \iota } } ( \overline { { s _ { 0 } } } ) _ { k + m } \right) ^ { \wedge , q ^ { m } } , \dots , \left( \overline { { \iota } } ( \overline { { s _ { k } } } ) _ { k + m } \right) ^ { \wedge , q ^ { m } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 4 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] + \left[ \langle N | \hat { V } _ { 4 } \hat { R } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } \hat { V } _ { 4 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { F _ { i j k k } F _ { i j l l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { j } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { j } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { k } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { l } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \Big ] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } } \frac { F _ { i j k l } F _ { i j k l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } + \omega _ { l } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { j } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { j } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { k } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { k } \rangle _ { 1 } \Big ] \Big [ \langle Q _ { l } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { l } \rangle _ { - 1 } \Big ] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i j k k } \tilde { F } _ { i j l l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } } { ( f _ { i } + 1 ) } { ( f _ { j } + 1 ) } { ( f _ { k } + 1 / 2 ) } { ( f _ { l } + 1 / 2 ) } + \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i , j , k , l } ^ { \mathrm { d e n o m . } \neq 0 } \frac { \tilde { F } _ { i j k l } \tilde { F } _ { i j k l } } { - \omega _ { i } - \omega _ { j } - \omega _ { k } + \omega _ { l } } { ( f _ { i } + 1 ) } { ( f _ { j } + 1 ) } { ( f _ { k } + 1 ) } f _ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos 2 \theta } & { { } = \frac { W _ { 1 } - \sqrt { W _ { 1 } ^ { 2 } - 8 W _ { 2 } } } { 4 } } \\ { W _ { 3 } = r ^ { 2 } + r ^ { - 2 } } & { { } = \frac { W _ { 1 } + \sqrt { W _ { 1 } ^ { 2 } - 8 W _ { 2 } } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 1 } ) = } & { { } \delta ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ^ { \prime } ) \int d x \, V ( x _ { 1 } - x ) n ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( x ) } \end{array}
p _ { 1 } = \frac { b ( l - k + 1 ) ^ { 2 } } { l } , p _ { 2 } = \frac { b ( k + 1 ) ^ { 2 } } { l } , p _ { 3 } = \frac { b ( l - k ) ^ { 2 } } { l } , p _ { 4 } = \frac { b k ^ { 2 } } { l }
\begin{array} { r l r } { K _ { 1 y } ^ { 1 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( u ~ \kappa ^ { 2 } + 2 \gamma _ { 1 } ~ u ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ t ~ v ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ u ~ E _ { c } - \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( 1 + t ^ { 2 } ) ~ u ) } \\ { K _ { 1 y } ^ { 2 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( \gamma ~ \kappa ~ v + 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 1 y } ^ { 3 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ v ~ ( t ~ v + u ) + \kappa ~ u ) } \\ { K _ { 1 y } ^ { 4 } } & { { } = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ \kappa ~ ( t ~ v + u ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { x } } & { = d - \frac { ( r _ { b } - r ) \Big ( d ^ { 2 } + ( r _ { b } - r ) ^ { 2 } - ( r _ { a } - r ) ^ { 2 } \Big ) } { 2 d ( r _ { b } - r ) } , } \\ { O _ { y } } & { = ( r _ { b } - r ) \sqrt { 1 - \Big ( \frac { d ^ { 2 } + ( r _ { b } - r ) ^ { 2 } - ( r _ { a } - r ) ^ { 2 } } { 2 d ( r _ { b } - r ) } \Big ) ^ { 2 } } . } \end{array}
A _ { \mu } = \frac { 1 } { ( 1 + 4 t ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \left( t W _ { \mu } ^ { 3 } - \frac { t } { \sqrt 3 } W _ { \mu } ^ { 8 } - \frac { 2 \sqrt 6 } { 3 } t W _ { \mu } ^ { 1 5 } + B _ { \mu } \right) ,
\begin{array} { r l } & { ( \sqrt { a + b } + \sqrt { b + c } + \sqrt { c + a } ) ^ { 2 } } \\ { \le } & { \left( \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { a + b } { \frac 1 2 a + \frac 1 2 b + \frac { 3 - 2 \sqrt { 2 } } { 2 } c ( a + b ) - ( 3 - 2 \sqrt { 2 } ) a b + \frac 1 3 k _ { 0 } a b c } \right) } \\ & { \qquad \times \left( \sum _ { \mathrm { c y c } } \left( \frac 1 2 a + \frac 1 2 b + \frac { 3 - 2 \sqrt { 2 } } { 2 } c ( a + b ) - ( 3 - 2 \sqrt { 2 } ) a b + \frac 1 3 k _ { 0 } a b c \right) \right) } \\ { = } & { \left( \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { a + b } { \frac 1 2 a + \frac 1 2 b + \frac { 3 - 2 \sqrt { 2 } } { 2 } c ( a + b ) - ( 3 - 2 \sqrt { 2 } ) a b + \frac 1 3 k _ { 0 } a b c } \right) ( a + b + c + k _ { 0 } a b c ) . } \end{array}
\psi _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H O } } ( x , y ) = H _ { n _ { x } } \left( \sqrt { \frac { m \Omega } { \hbar } } x \right) H _ { n _ { y } } \left( \sqrt { \frac { m \Omega } { \hbar } } y \right) \exp \left[ - \frac { m \Omega ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) } { 2 \hbar } \right] .
\ddot { x } = - 2 x y ^ { 2 } + { \frac { ( p _ { \alpha } ^ { 2 } + p _ { \beta } ^ { 2 } ) x ( x ^ { 4 } + 1 0 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 y ^ { 4 } ) - 2 p _ { \alpha } p _ { \beta } y ( y ^ { 4 } + 1 0 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x ^ { 4 } ) } { \left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) ^ { 4 } } }
{ \begin{array} { r l } { m _ { 1 } } & { = c ^ { d _ { p } } { \bmod { p } } = 2 7 9 0 ^ { 5 3 } { \bmod { 6 } } 1 = 4 , } \\ { m _ { 2 } } & { = c ^ { d _ { q } } { \bmod { q } } = 2 7 9 0 ^ { 4 9 } { \bmod { 5 } } 3 = 1 2 , } \\ { h } & { = ( q _ { \mathrm { i n v } } \times ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) ) { \bmod { p } } = ( 3 8 \times - 8 ) { \bmod { 6 } } 1 = 1 , } \\ { m } & { = m _ { 2 } + h \times q = 1 2 + 1 \times 5 3 = 6 5 . } \end{array} }
\frac { 1 } { 2 } \sum _ { r , s = 1 } ^ { 3 } p ^ { ( r ) } \cdot p ^ { ( s ) } \left( V _ { 3 } ^ { \left[ r s \right] } \right) _ { 0 0 } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r , s = 1 } ^ { 3 } p ^ { ( r ) } \cdot p ^ { ( s ) } \mathcal { C }
\displaystyle _ { r + 1 } V _ { r } ( a _ { 1 } ; a _ { 6 } , a _ { 7 } , . . . a _ { r + 1 } ; q , p ; z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { \theta ( a _ { 1 } q ^ { 2 n } ; p ) } { \theta ( a _ { 1 } ; p ) } } { \frac { ( a _ { 1 } , a _ { 6 } , a _ { 7 } , . . . , a _ { r + 1 } ; q ; p ) _ { n } } { ( q , a _ { 1 } q / a _ { 6 } , a _ { 1 } q / a _ { 7 } , . . . , a _ { 1 } q / a _ { r + 1 } ; q , p ) _ { n } } } ( q z ) ^ { n }
\delta W = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf { F } _ { i } \right) \cdot { \dot { \mathbf { d } } } \delta t + \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \mathbf { X } _ { i } - \mathbf { d } \right) \times \mathbf { F } _ { i } \right) \cdot { \boldsymbol { \omega } } \delta t = \left( \mathbf { F } \cdot { \dot { \mathbf { d } } } + \mathbf { T } \cdot { \boldsymbol { \omega } } \right) \delta t ,
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } = } & { - 2 d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left( \nabla ^ { 2 } \varphi ( \nabla w , \nabla \overline { { w } } ) + \frac { 1 } { 2 } \nabla \varphi \cdot \nabla ( | \nabla w | ^ { 2 } ) \right) \, d x d t } \\ { = } & { - 2 d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \nabla ^ { 2 } \varphi ( \nabla w , \nabla \overline { { w } } ) \, d x d t + d ^ { 2 } s \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \Delta \varphi | \nabla w | ^ { 2 } \, d x d t } \\ & { - d ^ { 2 } s \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \partial \Omega } \partial _ { \nu } \varphi | \nabla w | ^ { 2 } d \sigma d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } } & { \frac { \delta \beta _ { \mathrm { N L } } - \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } { 2 \beta \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } } \\ { - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } } & { \frac { - \delta \beta _ { \mathrm { N L } } - \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } { 2 \beta \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { S _ { a } ^ { ( N ) } } } & { { } \approx \sqrt { \frac { \hbar \Omega } { N m } \gamma \left( 2 \bar { n } ^ { m } + 1 \right) } \approx \sqrt { \frac { S _ { a } } { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { \frac { d x } { d t } } \\ { - y } \end{array} \right) = } & { \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { k } \gamma _ { i } \left( x , \frac { \partial H } { \partial x } \right) \left\{ S , H \right\} _ { J _ { i } } \left( \begin{array} { c c } { J _ { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \sum _ { \alpha = 1 } ^ { l } \left( \begin{array} { c c } { M _ { \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \right. } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { \bar { k } } \gamma _ { \textrm { p o r t } , j } \left( x , \frac { \partial H } { \partial x } , u \right) \left\{ S _ { \textrm { t o t } } , H _ { \textrm { t o t } } \right\} _ { J _ { \textrm { p o r t } , g _ { j } } } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { g _ { j } } \\ { - g _ { j } ^ { \top } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { \left. + \sum _ { \beta = 1 } ^ { \bar { l } } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { g _ { S \beta } } \\ { - g _ { S \beta } ^ { \top } } & { 0 } \end{array} \right) \right] \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial H } { \partial x } } \\ { u } \end{array} \right) } \end{array}
( \alpha , \beta ; i , j ) = J ~ { \left[ \begin{array} { l l l } { \; ~ ~ 0 } & { \; ~ ~ 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { \; ~ ~ 0 } & { \; ~ ~ 1 } \\ { \; ~ ~ 1 } & { - 1 } & { \; ~ ~ 0 } \end{array} \right] } _ { \alpha \beta } \otimes { \left[ \begin{array} { l l l } { \; ~ ~ 0 } & { \; ~ ~ 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { \; ~ ~ 0 } & { \; ~ ~ 1 } \\ { \; ~ ~ 1 } & { - 1 } & { \; ~ ~ 0 } \end{array} \right] } _ { i j } \; ,
\begin{array} { r l r } { t _ { h } } & { = } & { \left( \frac { L _ { p } ( ( 2 n ) ! ) } { Q } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 n } } } \\ & { = } & { \left( L _ { p } ( 2 n ) ! \left( \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } } { ( \prod _ { j = 1 } ^ { n - 1 } k _ { j } ) \sum _ { j = 1 } ^ { n } m _ { j } g } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 n } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 1 } ) { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma S ( U _ { i } ) \| ^ { - 1 } \} } \\ & { = } & { { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 1 } \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 1 } \| U _ { i } \| ) } \\ & { = } & { { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 1 } \| U _ { i } \| ) } \\ & { = } & { { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 1 } \| U _ { i } \| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \} + { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 1 } \| U _ { i } \| { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { \{ p + \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \} ^ { 1 / 2 } { \mathbb { E } } \{ R _ { i } ^ { - 1 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \} + \{ { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 4 } ) \} ^ { 1 / 4 } \{ { \mathbb { E } } \| U _ { i } \| ^ { 4 } \} ^ { 1 / 4 } \{ { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \} ^ { 1 / 2 } } \\ & { \lesssim } & { \{ p + \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \} ^ { 1 / 2 } { \mathbb { E } } ( R _ { i } ^ { - 1 } ) + \zeta _ { 4 } ^ { 1 / 4 } \times p ^ { 1 / 2 } \times c _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } / 2 \} } \\ & { \lesssim } & { \zeta _ { 1 } p ^ { 1 / 2 } \, , } \end{array}
g _ { \mathrm { e f f } } ( T ) = \frac { M _ { \mathrm { F e } } ( T ) - M _ { \mathrm { T m } } ( T ) } { g _ { \mathrm { F e } } ^ { - 1 } M _ { \mathrm { F e } } ( T ) - g _ { \mathrm { T m } } ^ { - 1 } M _ { \mathrm { T m } } ( T ) } .