harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { U } ( n ) \supset \mathrm { S U } ( n ) } & { { } \supset \mathrm { O } ( n ) } \\ { \mathrm { U S p } ( 2 n ) } & { { } \supset \mathrm { O } ( n ) } \\ { \mathrm { G } _ { 2 } } & { { } \supset \mathrm { O } ( 3 ) } \\ { \mathrm { F } _ { 4 } } & { { } \supset \mathrm { O } ( 9 ) } \\ { \mathrm { E } _ { 6 } } & { { } \supset \mathrm { O } ( 1 0 ) } \\ { \mathrm { E } _ { 7 } } & { { } \supset \mathrm { O } ( 1 2 ) } \\ { \mathrm { E } _ { 8 } } & { { } \supset \mathrm { O } ( 1 6 ) } \end{array}
\mathcal { Q } _ { l } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) + \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d \tau _ { 2 } \, \varrho _ { l } \big ( \tau _ { 2 } ; \boldsymbol { \alpha } ^ { l - 1 } \big ) = 1 .
\it y _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ g ~ } } ^ { ( l ) } = W _ { \mathrm { ~ t ~ } } ^ { ( l ) } f _ { \mathrm { ~ N ~ } } ^ { ( l ) } ( W _ { \mathrm { ~ p ~ } } ^ { ( l ) } x _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ g ~ } } ^ { ( l ) } )
\partial _ { t } ( ( 1 - \phi ) { \rho } _ { f } ) + \mathrm { d i v } ( ( 1 - \phi ) { \rho } _ { f } { \bf u } ) = \mathrm { d i v } ( \kappa ( \phi ) { \rho } _ { f } { Q } ^ { \prime } ( { \rho } _ { f } ) \nabla { \rho } _ { f } ) .
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] \le f ( \mathcal T _ { T } ) + h ( \mathcal T _ { T } ) \cdot \left( \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] \right) ^ { \frac 3 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 2 b ) } ( \omega ) } & { = } & { \frac { \pi Z ^ { 3 } } { 3 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } q \; \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \left[ \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { \ensuremath { \mathrm { d } } E ^ { 2 } } \tilde { \rho } _ { 1 , \mathrm { W } } \left( Z q , \sqrt { 2 E } / Z \right) \right] _ { E = E ( \omega , q ) } , } \end{array}
\hat { L } ( - i \nabla ) = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \partial _ { z } } & { i \partial _ { y } } & { - i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i \partial _ { z } } & { 0 } & { - i \partial _ { x } } & { 0 } & { - i } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \partial _ { y } } & { i \partial _ { x } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { 0 } & { i \partial _ { z } } & { - i \partial _ { y } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - i \partial _ { z } } & { 0 } & { i \partial _ { x } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i \partial _ { y } } & { - i \partial _ { x } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { i \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \frac { \omega _ { c } } { c } } & { 0 } & { - i \frac { \beta ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \partial _ { x } } \\ { 0 } & { i \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i \frac { \omega _ { c } } { c } } & { 0 } & { 0 } & { - i \frac { \beta ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \partial _ { y } } \\ { 0 } & { 0 } & { i \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \frac { \beta ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \partial _ { z } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i \partial _ { x } } & { - i \partial _ { y } } & { - i \partial _ { z } } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \phi _ { d } ( k , \tau ) } & { { } \equiv - \int _ { 0 } ^ { \tau } v _ { k ^ { \prime } = k + E a ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } d \tau ^ { \prime } } \\ { \phi _ { g } ( k , \tau ) } & { { } \equiv \frac { \left. \varphi _ { k } \right| _ { k + E a \tau } ^ { k } } { 2 } . } \end{array}
\rho = \frac { \Pi _ { 1 } ( B ^ { 2 } E _ { 2 } ^ { 2 } - E _ { 1 } ^ { 2 } ) } { E _ { 1 } ( E _ { 2 } ^ { 2 } - 1 ) } - \frac { E _ { 1 } T _ { 2 } ^ { 2 } } { \Pi _ { 1 } ( E _ { 2 } ^ { 2 } - 1 ) } \frac { 1 } { 1 + ( 1 - u ^ { 2 } ) \sinh ^ { 2 } ( x / \zeta _ { B } ) } .
\partial _ { i } G _ { j k } = \hat { D } _ { i } G _ { j k } = \hat { D } _ { i } ( e _ { j } ^ { a } e _ { k } ^ { a } ) = M _ { i j } ^ { l } e _ { l } ^ { a } e _ { k } ^ { a } + M _ { i k } ^ { l } e _ { l } ^ { a } e _ { j } ^ { a } = M _ { i j } ^ { l } G _ { k l } + M _ { i k } ^ { l } G _ { j l } .
\hat { U } _ { \textrm { p , I } } ( t , t _ { 0 } ) = \hat { 1 } + ( \frac { - i } { \hbar } ) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \hat { H } _ { \textrm { p , I } } ( t _ { 1 } )
\begin{array} { r l } & { \mathrm { m i n } _ { E _ { \alpha } \in \sigma ( H ) } | E - E _ { \alpha } | } \\ & { \le \| \Lambda U ^ { \dagger } | u \rangle - E U ^ { \dagger } | u \rangle \| _ { 2 } } \\ & { = \| ( \Lambda + R ) U ^ { \dagger } | u \rangle - E U ^ { \dagger } | u \rangle - R U ^ { \dagger } | u \rangle \| _ { 2 } } \\ & { \le \| ( \Lambda + R ) U ^ { \dagger } | u \rangle - E U ^ { \dagger } | u \rangle \| _ { 2 } + \| R U ^ { \dagger } | u \rangle \| _ { 2 } } \\ & { < \epsilon + \| R \| _ { 2 } } \\ & { < \epsilon + \| R \| _ { F } = \epsilon + \mathrm { d e p } _ { \mathrm { F } } ( H ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ( { \bf r } , t ) = \psi ^ { \mathrm { i n c } } ( { \bf r } , t ) \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } \alpha _ { \ell } ( { \bf r } ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \omega ( z - v t ) / v } , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \sum d x _ { i } ^ { 2 } - \sum d t _ { j } ^ { 2 } = \frac { d r ^ { 2 } } { 1 + r ^ { 2 } } + r ^ { 2 } d \Omega _ { p } ^ { 2 } - ( 1 + r ^ { 2 } ) d \theta ^ { 2 } .
t = { \frac { ( { \overline { { x } } } _ { 1 } - { \overline { { x } } } _ { 2 } ) - d _ { 0 } } { \sqrt { { \frac { s _ { 1 } ^ { 2 } } { n _ { 1 } } } + { \frac { s _ { 2 } ^ { 2 } } { n _ { 2 } } } } } } ,
\alpha _ { b b } \left( \tilde { k } \right) = \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } \delta \left( \tilde { k } - \tilde { k } _ { 0 } \right) - \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 2 } \tilde { \beta } _ { 2 } } { \tilde { k } ^ { 2 } - \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { b = f - a \in \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \cap ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) + \mathrm { Y } _ { \mathcal { N } } ) \subset \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \cap \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d I } { d t } } & { { } = \mathcal { F } _ { 1 } ( x ) - \mathcal { V } _ { 1 } ( x ) , } \\ { \frac { d Y } { d t } } & { { } = \mathcal { F } _ { 2 } ( x ) - \mathcal { V } _ { 2 } ( x ) , } \end{array}
\cos ( \theta ) = { \frac { ( \gamma _ { S V } - \gamma _ { S L } ) } { \gamma _ { L V } } } + { \frac { \kappa } { \gamma _ { L V } } } { \frac { 1 } { a } } - { \frac { \gamma } { 3 \gamma _ { L V } } } ( 2 + \cos ( \theta ) - 2 \cos ^ { 2 } ( \theta ) - \cos ^ { 3 } ( \theta ) )
\begin{array} { r l } { B } & { { } = B _ { m } + ( B _ { M } - B _ { m } ) \mathrm { ~ c ~ n ~ } ^ { 2 } \left( \sqrt { \frac { B _ { M } - B _ { X } } { 2 } } ( x - c t ) , m \right) , } \\ { m } & { { } = \frac { B _ { M } - B _ { m } } { B _ { M } - B _ { X } } , \quad 0 \leq m \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { R _ { n } ^ { \prime } ( 0 ) _ { i , j } ( d ^ { ( \nu ) } j + c ^ { ( \nu ) } ) ( \nu + j + 1 ) + { R _ { n } ^ { \prime } ( 0 ) } _ { i ( j - 1 ) } { ( ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } ) ^ { \ast } } _ { ( j - 1 ) j } } \\ & { } & { - ( { R _ { n } ( 0 ) } _ { i , j } A _ { j ( j - 1 ) } { ( ( \Delta ^ { ( \nu ) } ) ^ { - 1 } A \Delta ^ { ( \nu + 1 ) } ) ^ { \ast } } _ { ( j - 1 ) , j } = n ( d ^ { ( \nu ) } ( J - N - 1 ) - c ^ { ( \nu ) } ) R ( n , 0 ) _ { i , j } . } \end{array}
\psi _ { 1 } \rightarrow \psi _ { 1 } \, \frac { | \overline { { { \beta } } } g + \overline { { { \alpha } } } | ^ { ( 4 b - 2 ) } } { ( \overline { { { \beta } } } g + \overline { { { \alpha } } } ) ^ { ( 4 b + 4 c - 2 ) } } ~ ~ ,
I _ { \gamma \delta } ( k , E ) = \int _ { k } ^ { \infty } \frac { ( x - k E ) ^ { \delta - 1 } } { x ^ { \gamma } } \: K _ { \frac { \delta - 3 } { 2 } } ^ { 2 } \left( \frac { x - k E } { 2 } \right) \: d x .
\left( \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ H F } } \right) ^ { 4 / 3 } = f ^ { 2 } \left( \frac { 1 + \sigma } { b } - \Delta T _ { t } ^ { \mathrm { \scriptsize ~ H F } } \right) ^ { 4 / 3 } \eta _ { \mathrm { \scriptsize ~ m a x } } ^ { - 1 / 3 } + \frac { H ^ { * } } { c } \frac { 1 - f ^ { 3 } } { 3 \left( 1 - f \right) } \left( b \frac { R a } { R a _ { c r } } \right) ^ { 1 / 3 } ,
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d x } { ( a _ { z } + b _ { z } x ) ^ { 3 / 2 } ( a _ { y } + b _ { y } x ) ^ { 1 / 2 } } = \frac { 2 } { a _ { z } \sqrt { b _ { z } b _ { y } } + b _ { z } \sqrt { a _ { z } a _ { y } } } .
\begin{array} { r l } & { - \langle v , \nabla _ { x } \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert \Big ) \rangle = } \\ & { = - \mu ( x , v ) \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert - \nabla \psi ( x ) \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert } \\ & { \quad + \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mathrm { s i g n } ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ) \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle } \\ & { = - \mu ( x , v ) \Big ( - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert + \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \left( \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert + \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mathrm { s i g n } ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ) \right) \Big ) } \\ & { = - \mu ( x , v ) \Big ( - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert + \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle 2 \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert \Big ) } \\ & { = \mu ( x , v ) \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert \big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } - 2 \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho \nabla \varepsilon - \frac { p } { \rho } \nabla \rho = \nabla ( \rho \varepsilon ) - \frac { \rho \varepsilon + p } { \rho } \nabla \rho } \\ { = \nabla ( \rho \varepsilon ) - ( \gamma c _ { V } \theta + \varepsilon _ { 0 } ) \nabla \rho . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { f } ^ { \star } \! } & { = } & { \! \underset { \mathbf { f } } { \mathsf { a r g m i n } } \! \left\{ \frac { 1 } { 2 } \! \parallel \mathcal { C } \mathcal { R } \mathcal { D } _ { B } { \mathbf { f } } - \mathbf { g } ^ { [ \mathcal { M } ] } \parallel _ { 2 } ^ { 2 } \right\} } \\ & { } & { \mathrm { s . t . } \quad | | \mathcal { D } _ { x } { \mathbf { f } } | | _ { 1 } \! \le \! t _ { x } , \, \, | | \mathcal { D } _ { y } { \mathbf { f } } | | _ { 1 } \! \le \! t _ { y } , \, \, | | \mathcal { D } _ { z } { \mathbf { f } } | | _ { 1 } \! \le \! t _ { z } , \, \, | | \mathcal { D } _ { B } { \mathbf { f } } | | _ { 1 } \! \le \! t _ { B } , \, \, f _ { i } \! \ge \! 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ^ { f } c } & { = \frac { ( ( p _ { i } ^ { s } - 1 ) p ^ { n - s _ { i } } + ( p ^ { n - s _ { i } } - 1 ) ) ( q ^ { t _ { i } } - 1 ) } { p ^ { s _ { i } } - 1 } + 1 } \\ & { = p ^ { n - s _ { i } } q ^ { t _ { i } } + \frac { ( p ^ { n - s _ { i } } - 1 ) ( q ^ { t _ { i } } - 1 ) } { p ^ { s _ { i } } - 1 } + 1 - p ^ { n - s _ { i } } } \\ & { = p ^ { n - s _ { i } } q ^ { t _ { i } } - \frac { ( p ^ { s _ { i } } - q ^ { t _ { i } } ) ( p ^ { n - s _ { i } } - 1 ) } { p ^ { s _ { i } } - 1 } . } \end{array}
e _ { a } ^ { \mu } = \frac { \partial x ^ { \mu } } { \partial u ^ { a } } = Y _ { , a } ^ { \mu } + \xi ^ { i } K _ { a } ^ { i b } Y _ { , b } ^ { \mu } + \epsilon ^ { i j } \omega _ { a } \xi ^ { i } n _ { j } ^ { \mu } .
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } d \, \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \kappa ( \mathbf { x } ) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \, \mathrm { d } \Omega - \int _ { \Sigma } \chi \, \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { g r a d } \left[ \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) \right] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Gamma } \\ { = \int _ { \Omega } f ( \mathbf { x } ) \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) \mathrm { d } \Omega - \int _ { \Omega } h _ { T } \left( \vartheta ^ { ( r ) } ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \right) ^ { 2 } \mathrm { d } \Omega } \end{array}
A _ { G } = { \frac { \frac { \partial \Delta G } { \partial t } } { \frac { \partial G } { \partial t } } } = \Biggl [ { \frac { \Delta P _ { G q } \otimes \Delta q + \Delta P _ { G G } \otimes ( A _ { G } \cdot G ) } { P _ { G q } \otimes q + P _ { G G } \otimes G } } \Biggr ] .
\sum _ { \stackrel { m _ { 1 } , m _ { 2 } , \ldots , m _ { \nu - 2 } = 0 } { m _ { i } \equiv V _ { i , r } ^ { \pm } ( m o d 2 ) } } ^ { \infty } \frac { q ^ { \frac { \vec { m } ^ { t } C \vec { m } } { 4 } } } { ( q , q ) _ { m _ { \nu - 2 } } } \prod _ { i = 1 } ^ { \nu - 3 } \left[ \begin{array} { c } { { \frac { 1 } { 2 } ( K _ { \nu - 2 } \cdot \vec { m } ) _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i , b ^ { \pm } } } } \\ { { m _ { i } } } \end{array} \right] _ { q } =
\begin{array} { r l } { A _ { 2 } } & { = \int _ { \{ 0 < u \leq \frac { 1 } { m } \} } | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { s } \psi } \\ & { \leq \lVert | \partial _ { x } u _ { n } - \partial _ { x } u | ^ { s } \psi \rVert _ { L ^ { 2 / s } ( Q _ { T } ) } \lVert \chi _ { \{ 0 < u \leq \frac { 1 } { m } \} } \rVert _ { L ^ { \frac { 2 } { 2 - s } } ( Q _ { T } ) } } \\ & { \leq C \lVert \chi _ { \{ 0 < u \leq \frac { 1 } { m } \} } \rVert _ { L ^ { \frac { 2 } { 2 - s } } ( Q _ { T } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e r f ( u ) = } & { { } \pm 1 + \Sigma _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { d ^ { n } e r f ( u ) } { d u } \frac { u ^ { n } } { n ! } } \\ { = } & { { } \pm 1 + \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { d ^ { n + 1 } e r f ( u ) } { d u } \frac { u ^ { n + 1 } } { { n + 1 } ! } } \\ { = } & { { } \pm 1 + \Sigma _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } ( - 1 ) ^ { n } H _ { n } ( u ) e ^ { - u ^ { 2 } } \frac { u ^ { n + 1 } } { { n + 1 } ! } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial u _ { 1 i } } { \partial W _ { i j k } } \simeq \frac { - 1 } { \sqrt n } v _ { 1 j } w _ { 1 k } R _ { i i } ^ { 1 1 } ( \lambda _ { 1 } ) , \quad \frac { \partial v _ { 1 j } } { \partial W _ { i j k } } \simeq \frac { - 1 } { \sqrt n } u _ { 1 i } w _ { 1 k } R _ { j j } ^ { 2 2 } ( \lambda _ { 1 } ) , \quad \frac { \partial w _ { 1 k } } { \partial W _ { i j k } } \simeq \frac { - 1 } { \sqrt n } u _ { 1 i } v _ { 1 j } R _ { k k } ^ { 3 3 } ( \lambda _ { 1 } ) } \end{array}
\tilde { F } ( \tilde { c } _ { p } ) = \left. \left( \tilde { c } _ { p } ^ { 3 } + \frac { i K k } { \rho \theta } \frac { \partial \theta } { \partial \eta } \tilde { c } _ { p } ^ { 2 } - \frac { \partial p } { \partial \rho } \tilde { c } _ { p } - \frac { i K k } { \rho \theta } \left( \frac { \partial p } { \partial \rho } \frac { \partial \theta } { \partial \eta } - \frac { \partial p } { \partial \eta } \frac { \partial \theta } { \partial \rho } \right) \right) \right\vert _ { \tilde { \mathbf { V } } = \tilde { \mathbf { V } } _ { 0 } } .
{ \begin{array} { r l } { R } & { = T * 9 \Leftrightarrow } \\ { R } & { = ( 1 0 - 1 ) * T \Leftrightarrow } \\ { R } & { = 1 0 ^ { n } * ( c _ { n } - 1 ) + 1 0 ^ { n } + 1 0 ^ { n - 1 } * ( c _ { n - 1 } - 1 ) + 1 0 ^ { n - 1 } + \ldots + 1 0 ^ { 1 } * ( c _ { 1 } - 1 ) + 1 0 ^ { 1 } } \\ & { - ( 1 0 ^ { n - 1 } * c _ { n } + 1 0 ^ { n - 2 } * c _ { n - 1 } + \ldots + 1 0 ^ { 1 } * c _ { 2 } + 1 0 ^ { 0 } * c _ { 1 } ) \Leftrightarrow \vdots { \mathrm { ~ s e e ~ p r o o f ~ o f ~ m e t h o d ~ 4 } } } \\ { R } & { = 1 0 ^ { n } * ( c _ { n } - 1 ) + 1 0 ^ { n - 1 } * ( 9 - c _ { n } + c _ { n - 1 } ) + 1 0 ^ { n - 2 } * ( 9 - c _ { n - 1 } + c _ { n - 2 } ) + \ldots + 1 0 ^ { 1 } * ( 9 - c _ { 2 } + c _ { 1 } ) + 1 0 ^ { 0 } * ( 1 0 - c _ { 1 } ) } \\ & { Q E D } \end{array} }
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial \alpha _ { i } ( t ) } = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { j \neq i } \int \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { j \neq i } \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} + O _ { p } \big ( ( e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) \big ) , } \\ { - \frac { \partial F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial \beta _ { j } ( t ) } = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ( s - t ) \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} d s } \\ { = } & { \frac { 1 } { n - 1 } \exp \{ \alpha _ { i } ( t ) + \beta _ { j } ( t ) + Z _ { i j } ( t ) ^ { \top } \gamma ( t ) \} + O _ { p } \big ( ( e ^ { q _ { n } } h ^ { 2 } ) \big ) ~ ~ ( j \neq i ) , } \\ { - \frac { \partial F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial \alpha _ { j } ( t ) } = } & { 0 ~ ~ ( j \neq i ) , ~ ~ ~ - \frac { \partial F _ { i , \gamma } ( \eta ( t ) ) } { \partial \beta _ { i } ( t ) } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { r _ { 0 } } & { q _ { 0 } } \\ { p _ { - 1 } } & { r _ { - 1 } } \end{array} \right) , \quad E _ { n } = \left( \begin{array} { l l } { r _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { r _ { - n - 1 } } \end{array} \right) , \quad n \geq 1 , } \\ { D _ { n } } & { = \left( \begin{array} { l l } { p _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { q _ { - n - 1 } } \end{array} \right) , \quad n \geq 0 , \quad F _ { n } = \left( \begin{array} { l l } { q _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { p _ { - n - 1 } } \end{array} \right) , \quad n \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { Y } } & { { } = } & { \left( \frac { 4 \Gamma C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left| \chi ( \omega ) \right| ^ { 2 } \left( \left| f ( \omega ) \right| ^ { 2 } + 1 \right) \mathrm { d } \omega \right) ^ { 1 / 2 } } \\ { g _ { X } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { g _ { \mathrm { Y } } } \frac { 8 \Gamma C } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \Im { ( \phi ( \omega ) ) \Im { ( f ( \omega ) ) } } d \omega . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } { a _ { 0 } } & { = k + r + w + 1 , } & { a _ { 1 } } & { = k + s + u , } & { a _ { 2 } } & { = k - r - w - 1 , } & { a _ { 3 } } & { = k - s - u - 1 , } \\ { a _ { 4 } } & { = k + r + v , } & { a _ { 5 } } & { = k + s + t , } & { a _ { 6 } } & { = k - r - v - 1 , } & { a _ { 7 } } & { = k - s - t - 1 , } \\ { a _ { 8 } } & { = k + r - w , } & { a _ { 9 } } & { = k + s - u , } & { a _ { 1 0 } } & { = k - r + w , } & { a _ { 1 1 } } & { = k - s + u , } \\ { a _ { 1 2 } } & { = k + r - v , } & { a _ { 1 3 } } & { = k + s - t , } & { a _ { 1 4 } } & { = k - r + v , } & { a _ { 1 5 } } & { = k - s + t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 2 } \le } & { \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( \kappa + 1 ) ) \le } & { \frac { 3 } { 2 } } \\ { - 1 \le } & { 0 \le \frac { 1 } { 2 } ( \sqrt { \frac { \Delta t } { \tau } } C _ { 1 } ( \kappa + 1 ) ) \le } & { 1 } \\ { C _ { 1 } ( \kappa + 1 ) < } & { \sqrt { 2 } < } & { 2 \sqrt { \frac { \tau } { \Delta t } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { P _ { 1 1 } } & { P _ { 1 2 } } & { P _ { 1 3 } } & { P _ { 1 p } } \\ { P _ { 2 1 } } & { P _ { 2 2 } } & { P _ { 2 3 } } & { P _ { 2 p } } \\ { P _ { 3 1 } } & { P _ { 3 1 } } & { P _ { 3 2 } } & { P _ { 3 3 } } \\ { P _ { p 1 } } & { P _ { p 2 } } & { P _ { p 3 } } & { P _ { p p } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \eta _ { 1 } } \\ { \eta _ { 2 } } \\ { \eta _ { 3 } } \\ { \eta _ { p } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Vert f _ { 1 } \cdots f _ { \ell } \Vert _ { C ^ { m , \theta } } } & { \leq \ell ^ { m + 1 } \Vert f _ { 1 } \Vert _ { C ^ { m , \theta } } \cdots \Vert f _ { \ell } \Vert _ { C ^ { m , \theta } } , } \\ { \ell ^ { m + 1 } } & { \leq C _ { 0 , m } \ell ! , } \\ { \Vert \zeta ( s - v _ { j } ) \Vert _ { C ^ { m , \theta } } } & { \leq C _ { 0 , m } \Vert \zeta \Vert _ { C ^ { m , \theta } } ( 1 + \Vert v _ { j } \Vert _ { C ^ { m , \theta } } ) ^ { m } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \hat { e } } _ { 1 1 } = \hat { e } _ { 1 2 } + 3 \omega _ { o } \left( e _ { 1 } - \hat { e } _ { 1 1 } \right) } \\ { \dot { \hat { e } } _ { 1 2 } = \hat { e } _ { 1 3 } + 3 { \omega _ { o } } ^ { 2 } \left( e _ { 1 } - \hat { e } _ { 1 1 } \right) + b u } \\ { \dot { \hat { e } } _ { 1 3 } = { \omega _ { o } } ^ { 3 } \left( e _ { 1 } - \hat { e } _ { 1 1 } \right) } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \Phi _ { j } ^ { p } } & { \le \Phi _ { j - 1 } ^ { p } + p \Phi _ { j - 1 } ^ { p - 1 } \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left[ A _ { j } + B _ { j } \right] } \\ & { + p ( p - 1 ) \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - t ) \mathbb { E } _ { \xi _ { i , j } } \left[ \left( \Phi _ { j - 1 } + t ( A _ { j } + B _ { j } ) \right) ^ { p - 2 } \left( A _ { j } + B _ { j } \right) ^ { 2 } \right] \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \psi _ { z } ^ { - } } & { { } = } & { + \frac { i } { \hbar } \Delta \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \psi _ { z } + \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } \psi _ { z } } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { z } ^ { - } } & { { } = } & { - \frac { \Delta ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \Delta \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \psi _ { z } + 2 \frac { i } { \hbar } \Delta \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } \psi _ { z } + \mathrm { e } ^ { + \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { n } ( V _ { m } ) = \frac { 0 . 1 - 0 . 0 1 ( V _ { m } - V _ { 0 } ) } { e ^ { 1 - 0 . 1 ( V _ { m } - V _ { 0 } ) } - 1 } , \qquad \beta _ { n } ( V _ { m } ) = 0 . 1 2 5 e ^ { - ( V _ { m } - V _ { 0 } ) / 8 0 } , } \\ & { \alpha _ { m } ( V _ { m } ) = \frac { 2 . 5 - 0 . 1 ( V _ { m } - V _ { 0 } ) } { e ^ { 2 . 5 - 0 . 1 ( V _ { m } - V _ { 0 } ) } - 1 } , \qquad \beta _ { m } ( V _ { m } ) = 4 . 0 e ^ { - ( V _ { m } - V _ { 0 } ) / 8 0 } , } \\ & { \alpha _ { h } ( V _ { m } ) = 0 . 0 7 e ^ { - ( V _ { m } - V _ { 0 } ) / 2 0 } , \qquad \ \ \ \ \beta _ { h } ( V _ { m } ) = \frac { 1 } { 1 + e ^ { 3 - 0 . 1 ( V _ { m } - V _ { 0 } ) } } . } \end{array}
\mathbf { x } _ { m } ^ { ( l ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left( \mathbf { z } _ { m } ^ { ( l ) } - ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { z } _ { - m } ^ { ( l ) } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m < 0 } \\ { \mathbf { z } _ { 0 } ^ { ( l ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m = 0 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \mathbf { z } _ { m } ^ { ( l ) } + ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { z } _ { - m } ^ { ( l ) } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m > 0 } \end{array} \right.
\sum _ { s p i n s } [ \bar { u } _ { B } ( k _ { 2 } ) M u _ { A } ( k _ { 1 } ) ] [ \bar { u } _ { A } ( k _ { 2 } ) M ^ { \prime } u _ { B } ( k _ { 1 } ) ] ^ { \dagger } = \mathrm { T r } [ M \rho _ { A B } ( k _ { 1 } ) \bar { M } ^ { ' \dagger } \hat { k } _ { 2 } ]