harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle S _ { 1 2 } \rangle } & { = \frac { 1 } { 4 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) } \Bigg \{ 3 A _ { 1 } \kappa ^ { 2 } \bigg ( - 2 C ^ { 4 } \kappa ^ { 2 } + C ^ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) ( - 2 } \\ & { + [ ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } ) + 2 ( - 1 + [ ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } ) \bigg ) + 2 A _ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) } \\ & { \bigg ( C ^ { 4 } ( \kappa ^ { 2 } + \kappa ^ { 4 } ) - ( 1 + \kappa ^ { 2 } ) ( - 1 + [ ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } ) + C ^ { 2 } ( 1 + \kappa ^ { 2 } ( 2 + \kappa ^ { 2 } } \\ & { - 2 [ ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } ) ) \bigg ) + A _ { 3 } \bigg ( 2 [ ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } + \kappa ^ { 2 } ( - 2 - 2 C ^ { 4 } \kappa ^ { 2 } } \\ & { + 2 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) [ ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } ) + C ^ { 2 } ( 1 + \kappa ^ { 2 } ) ( - 2 + [ ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } ) \bigg ) \Bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { - \left. \frac { d } { d s } s A ( z , s ) \cosh ( \sqrt { s / D } [ L - x ] ) \right| _ { s = 0 } = \frac { J _ { L } } { \nu z } \bigg \{ \frac { L ^ { 3 } \nu z } { 3 D ^ { 2 } } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { z } + \frac { L } { \nu z } + \frac { 2 L ^ { 2 } - [ L - x ] ^ { 2 } } { 2 D } - \frac { [ L - x ] ^ { 2 } L \nu z } { 2 D ^ { 2 } } \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { v } ) \approx \sum _ { k = 1 } ^ { N } \delta ^ { 3 } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } _ { k } ) \delta ^ { 3 } ( \boldsymbol { v } - \boldsymbol { v } _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \Theta } ^ { \mathrm { I } } = } & { { } ~ \displaystyle \int _ { \mathbb { R } } \bar { \Psi } ^ { \mathrm { I } } \left( \phi ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) \mathrm { d } \xi , } \\ { \bar { \Theta } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \displaystyle \int _ { \mathbb { R } } \bar { \Psi } ^ { \mathrm { I I } } \left( \phi ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) \mathrm { d } \xi , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { E } = J ^ { - 1 } \left( \xi _ { t } \overline { { Q } } + \xi _ { x } \overline { { E } } + \xi _ { y } \overline { { F } } + \xi _ { z } \overline { { G } } \right) \, \mathrm { , } } \\ { \hat { F } = J ^ { - 1 } \left( \eta _ { t } \overline { { Q } } + \eta _ { x } \overline { { E } } + \eta _ { y } \overline { { F } } + \eta _ { z } \overline { { G } } \right) \, \mathrm { , } } \\ { \hat { G } = J ^ { - 1 } \left( \zeta _ { t } \overline { { Q } } + \zeta _ { x } \overline { { E } } + \zeta _ { y } \overline { { F } } + \zeta _ { z } \overline { { G } } \right) \, \mathrm { . } } \end{array}
u _ { g } = - \frac { 2 \epsilon w } { \sqrt { 2 } } \left| \omega t - \left\lfloor \omega t + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor \right| ; \ \ v _ { g } = \frac { 2 \epsilon w } { \sqrt { 2 } } \left| \omega t - \left\lfloor \omega t + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor \right| ,
\begin{array} { r l } { { \bf Q } _ { 1 } } & { = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { h \sigma _ { 1 1 } / \rho } \\ { h \sigma _ { 2 1 } / \rho } \end{array} \right] \, , } \\ { \frac { \partial { \bf Q } _ { 1 } } { \partial { \bf V } _ { e } } } & { = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \sigma _ { 1 1 } / \rho } & { 0 } & { 0 } \\ { \sigma _ { 2 1 } / \rho } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \hat { \bf N } _ { V } \, , } \\ { \frac { \partial { \bf Q } _ { 1 } } { \partial { \bf E } _ { e } } } & { = \frac { h } { \rho } \left[ \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \partial \sigma _ { 1 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 1 1 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 1 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 2 1 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 1 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 1 2 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 1 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 2 2 } } } \\ { \frac { \partial \sigma _ { 2 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 1 1 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 2 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 2 1 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 2 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 1 2 } } } & { \frac { \partial \sigma _ { 2 1 } } { \partial \mathcal { E } _ { 2 2 } } } \end{array} \right] \hat { \bf N } _ { E } \, , } \end{array}
f r o m Q w 2 B \left[ \left( 1 - \frac { w N } { 6 } B \right) - Q ^ { 2 } B \left( 1 - \frac { ( w - 2 ) N } { 6 } B \right) \right] = \left[ 1 - \frac { ( w + 2 ) N } { 6 } B \right] \Lambda ,
{ \left( \begin{array} { l } { w _ { 1 } } \\ { w _ { 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { z _ { 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { a z _ { 1 } + b z _ { 2 } } \\ { c z _ { 1 } + d z _ { 2 } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \alpha } & { = a \varepsilon + b ( 1 - \varepsilon ) = a \varepsilon + ( 1 - \varepsilon ) \big ( c \cdot \frac { n - N } { n - 2 N } - a \cdot \frac { N } { n - 2 N } \big ) } \\ & { = a \bigg ( \frac { N } { n } - ( 1 - \varepsilon ) \frac { N } { n - 2 N } \bigg ) + ( 1 - \varepsilon ) \cdot \frac { n - N } { n - 2 N } \cdot c = - a \cdot \frac { N ^ { 2 } } { n ( n - 2 N ) } + ( 1 - \varepsilon ) \cdot \frac { n - N } { n - 2 N } \cdot c \sim c . , } \end{array}
\begin{array} { r } { v _ { \theta } ^ { S t k } [ \theta , z ] = G _ { \theta \theta } \cos \alpha _ { 0 } + G _ { \theta z } \sin \alpha _ { 0 } } \\ { v _ { z } ^ { S t k } [ \theta , z ] = G _ { z \theta } \cos \alpha _ { 0 } + G _ { z z } \sin \alpha _ { 0 } , } \end{array}
\phi _ { K ^ { * } } ( x ) = \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } f _ { K ^ { * } } x ( 1 - x ) [ 1 + 0 . 6 ( 1 - 2 x ) + 0 . 0 6 ( 5 ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } - 1 ) ] \; ,
\begin{array} { r } { \sum _ { j = - K } ^ { K } \left( \mathcal { G } ^ { n , j } - \delta \mathcal { T } ^ { k ^ { n } , \alpha } \times \mathcal { V } ^ { n , j } \right) \mathbf { w } _ { j } = \mathbf { 0 } , \quad \forall \, n , \, - K \leq n \leq K , } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \rho } \left( B _ { \mu \nu } ^ { a } ( x ) R _ { \lambda \rho } ^ { a } ( x ) + \phi ^ { a b } ( x ) ( B _ { \mu \nu } ^ { a } B _ { \lambda \rho } ^ { b } - \frac { 1 } { 3 } \delta ^ { a b } B _ { \mu \nu } ^ { c } B _ { \lambda \rho } ^ { c } ) \right) \ .
\begin{array} { r l } & { W ( t , \omega ) = W ^ { ( 1 ) } ( t , \omega ) + W ^ { ( 2 ) } ( t , \omega ) } \\ & { = \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \iint _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } d t _ { 2 } \left\langle \Psi _ { a } \left| \hat { H } _ { \textrm { p , I } } \left( t _ { 1 } \right) \hat { H } _ { \textrm { p , I } } \left( t _ { 2 } \right) \right| \Psi _ { a } \right\rangle + 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { d \left( \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } ( \Lambda ) } \right) } { d \left( \ln { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { \lambda _ { P } ^ { 2 } } } \right) } } } & { { } = } & { \beta _ { 0 } + { \beta _ { 1 } } \, g _ { 0 } ^ { 2 } + { \frac { \beta _ { 1 } ^ { 2 } } { \beta _ { 0 } } } \, g _ { 0 } ^ { 4 } + \dots } \end{array}
\frac { { \mathscr Z } _ { \beta \alpha , \ldots , \beta \alpha } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } \simeq \frac { G _ { 2 } \left( \ell + 1 \right) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell / 2 } } \left( - \frac { \cot ^ { 2 } \left( \frac { \pi m } { p } \right) - \cot ^ { 2 } \left( \frac { \pi n } { q } \right) } { 4 \, \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( m , n ) \left( p ^ { 2 } - q ^ { 2 } \right) } \right) ^ { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } } { \mathrm { e } } ^ { - \ell \, \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } ( m , n ) } + \cdots .
\frac { 1 } { ( a + \epsilon + c ) ^ { 2 } } \operatorname * { d e t } \left( \begin{array} { l l } { { c } } & { { b } } \\ { { b } } & { { a + \epsilon } } \end{array} \right) \ \sim \ \frac { m _ { \nu _ { 2 } } } { m _ { \nu _ { 3 } } } \, .
\begin{array} { r l } { { 2 } - 1 } & { = D \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \left( v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \mathrm { d } \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } - \gamma \left( \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) - \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) \right) , } \\ { - 1 } & { = D \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + \left( - v - f - U ^ { [ i ] } \right) \frac { \mathrm { d } \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } - \gamma \left( \tau _ { L } ^ { [ i ] } ( x ) - \tau _ { R } ^ { [ i ] } ( x ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { } & { - } & { \frac { \beta \Delta t } { 2 \Delta x ^ { 2 } } \left\lbrace \alpha ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ q ( x _ { j + 1 } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right] \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \alpha ( x _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left[ q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j - 1 } , t ^ { n } ) \right] \right\rbrace } \\ & { = } & { - } & { \frac { \beta \Delta t } { 2 \Delta x ^ { 2 } } \left[ \alpha ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left( q ( x _ { j } , t ^ { n } ) + \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x + \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \frac { 1 } { 6 } \partial ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + \mathcal { O } ( \Delta x ^ { 4 } ) - q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right) \right. } \\ & { } & { - } & { \left. \alpha ( x _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \left( \phantom { \frac { b } { b } } \! \! \! q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - q ( x _ { j } , t ^ { n } ) - \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x \right. \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \left. \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 6 } \partial ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 3 } + \mathcal { O } ( \Delta x ^ { 4 } ) \right) \right] } \\ & { = } & { - } & { \frac { \beta \Delta t } { 2 \Delta x } \left[ \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \left( \alpha ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) - \alpha ( x _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \right) \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \frac { 1 } { 2 } \partial _ { x } ^ { ( 2 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x \left( \alpha ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) + \alpha ( x _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \right) \right. } \\ & { } & { + } & { \left. \frac { 1 } { 6 } \partial _ { x } ^ { ( 3 ) } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \Delta x ^ { 2 } \left( \alpha ( x _ { j + \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) - \alpha ( x _ { j - \frac { 1 } { 2 } } , t ^ { n } ) \right) + \mathcal { O } ( \Delta x ^ { 3 } ) \right] } \\ & { = } & { - } & { \frac { \beta \Delta t } { 2 } \partial _ { x } \left( \alpha ( x _ { j } , t ^ { n } ) \partial _ { x } q ( x _ { j } , t ^ { n } ) \right) + \mathcal { O } ( \Delta x ^ { 2 } ) + \mathcal { O } ( \Delta x \Delta t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \mathsf { F R } } ^ { 2 } \left( \rho _ { 0 } , \rho _ { 1 } \right) } & { = \operatorname* { i n f } \bigg \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int \Big [ \Big ( \alpha _ { t } - \int \alpha _ { t } \mathrm { d } \rho _ { t } \Big ) ^ { 2 } \Big ] \mathrm { d } \rho _ { t } \mathrm { d } t : ~ \left( \rho _ { t } , \alpha _ { t } \right) _ { t \in [ 0 , 1 ] } \, \mathrm { s o l v e s } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \partial _ { t } \rho _ { t } = \rho _ { t } \Big ( \alpha _ { t } - \int \alpha _ { t } \mathrm { d } \rho _ { t } \Big ) \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d p _ { \mathrm { ~ 4 ~ , ~ 3 ~ } } } { d t } = } & { { } ~ R _ { p } ( - p _ { \mathrm { ~ 4 ~ , ~ 3 ~ } } c _ { 4 , 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 3 ^ { \prime } } + p _ { \mathrm { ~ 4 ~ , ~ 2 ~ } } c _ { 4 , 2 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 2 ^ { \prime } } c _ { 4 , 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 2 ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \tau } _ { k } | \bar { g } _ { k } ^ { T } \bar { d } _ { k } | \leq \ } & { \frac { \operatorname* { m a x } \{ \kappa _ { H } , \kappa _ { y } \} } { \kappa _ { l } } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \bar { \tau } _ { k } \left( 1 + \kappa _ { H } \zeta ^ { - 1 } \right) \| \bar { g } _ { k } - \nabla f _ { k } \| \| \bar { d } _ { k } \| } \\ { \leq \ } & { \frac { \operatorname* { m a x } \{ \kappa _ { H } , \kappa _ { y } \} } { \kappa _ { l } } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \bar { \tau } _ { k } \left( 1 + \kappa _ { H } \zeta ^ { - 1 } \right) \epsilon _ { g } \| \bar { d } _ { k } \| } \\ { \leq \ } & { \frac { \operatorname* { m a x } \{ \kappa _ { H } , \kappa _ { y } \} } { \kappa _ { l } } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \frac { \sqrt { \bar { \tau } _ { k } } \left( 1 + \kappa _ { H } \zeta ^ { - 1 } \right) } { \sqrt { \kappa _ { l } } } \epsilon _ { g } \sqrt { \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) } } \\ { \leq \ } & { \frac { \operatorname* { m a x } \{ \kappa _ { H } , \kappa _ { y } \} + 1 } { \kappa _ { l } } \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) + \frac { \bar { \tau } _ { k } \left( 1 + \kappa _ { H } \zeta ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } { 4 } \epsilon _ { g } ^ { 2 } , } \end{array}
( m _ { 1 } ; m _ { 2 } , m _ { 3 } , m _ { 4 } ; n ^ { 2 } , n ^ { 3 } , n ^ { 4 } ; n ^ { 1 } ) = ( m ; m ^ { 3 4 } , m ^ { 4 2 } , m ^ { 2 3 } ; m ^ { 1 2 } , m ^ { 1 3 } , m ^ { 1 4 } ; m ^ { 1 2 3 4 } ) \ .
\Phi _ { p } ( y ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } { l ^ { 2 } \tau _ { 2 } } \sum _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } < \psi | e ^ { \frac { 2 i \pi } { l } ( j _ { 1 } ( \hat { y _ { 1 } } - y _ { 1 } ) + \frac { j _ { 2 } - \tau _ { 1 } j _ { 1 } } { \tau _ { 2 } } ( \hat { y _ { 2 } } - y _ { 2 } ) } | \psi >
1 + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 9 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + { \frac { 1 } { 2 5 } } + \cdots = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } .
{ \frac { { \sqrt { \kappa ( \mathbf { A } ) } } - 1 } { { \sqrt { \kappa ( \mathbf { A } ) } } + 1 } } \approx 1 - { \frac { 2 } { \sqrt { \kappa ( \mathbf { A } ) } } } \quad { \mathrm { f o r } } \quad \kappa ( \mathbf { A } ) \gg 1 \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { B _ { n } = \Bigg \langle \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \ldots , \sigma _ { n - 1 } ~ \mid ~ \sigma _ { i } \sigma _ { j } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } \quad \textrm { f o r } \quad | i - j | \ge 2 , \quad \sigma _ { i } \sigma _ { j } \sigma _ { i } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } \sigma _ { j } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | = 1 \Bigg \rangle . } \\ & { } & { T _ { n } = \Bigg \langle s _ { 1 } , s _ { 2 } , \ldots , s _ { n - 1 } ~ \mid ~ s _ { i } ^ { 2 } = 1 \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 1 , \quad s _ { i } s _ { j } = s _ { j } s _ { i } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | \geq 2 \Bigg \rangle . } \\ & { } & { L _ { n } = \Bigg \langle y _ { 1 } , y _ { 2 } , \ldots , y _ { n - 1 } ~ \mid ~ y _ { i } ^ { 2 } = 1 \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 1 , \quad y _ { i } y _ { j } y _ { i } = y _ { j } y _ { i } y _ { j } \quad \mathrm { f o r } \quad | i - j | = 1 \Bigg \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } , t ) = - \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } f ( \widehat { L } ) P ( \widehat { L } , t ) + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left\| ( \tilde { \rho } _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \rho _ { k } ^ { i , l } ( t ) - \vartheta _ { k } ^ { i , l } ( t ) ) \mathbf 1 ( \bar { B } _ { n } ^ { \prime } ) \right\| _ { q } = O ( n ^ { \phi - 1 } b ^ { - 1 } h + b ^ { 3 } + n ^ { - 1 / 2 } h ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i , j } \int _ { \Omega } ( \partial _ { i } w _ { j } ) ^ { 2 } d x = \int _ { \partial \Omega } w _ { j } \partial _ { i } w _ { j } d S _ { i } - \int _ { \Omega } w _ { j } \Delta w _ { j } d x . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle Y ( \rho ) = \sum _ { n = - 1 } ^ { + \infty } a _ { n } \, \rho ^ { n } + ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } b _ { n } \, \rho ^ { n } } \, , } \\ { { \displaystyle Z ( \rho ) = \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } c _ { n } \, \rho ^ { n } + ( \ln \rho ) \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } d _ { n } \, \rho ^ { n } } \, . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } F _ { p } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { p } ^ { * } + \cos \phi , } \\ { 0 } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } F _ { q } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { q } ^ { * } - \sin \phi , } \\ { 0 } & { { } = T _ { i } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) U _ { p } ^ { * } U _ { q } ^ { * } + T _ { \Omega } ^ { * } ( R e _ { \Omega } ^ { * } , \chi ) \Omega _ { r } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \theta _ { 2 5 } } \Big ( M _ { 2 } ^ { \frac { \gamma - 1 } { \gamma + 1 } } ( M _ { 2 } ^ { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } - M _ { 5 } ^ { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } ) \Big ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d Y _ { s } = } & { \exp \left( - \int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \tau } , \tau ) \, d \tau \right) \, \left( - V ( X _ { s } , s ) u ( X _ { s } , s ) + f ( X _ { s } , s ) + \mu ( X _ { s } , s ) { \frac { \partial u } { \partial X } } + { \frac { \partial u } { \partial s } } + { \frac { 1 } { 2 } } \sigma ^ { 2 } ( X _ { s } , s ) { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial X ^ { 2 } } } \right) \, d s } \\ & { + \exp \left( - \int _ { t } ^ { s } V ( X _ { \tau } , \tau ) \, d \tau \right) \sigma ( X , s ) { \frac { \partial u } { \partial X } } \, d W . } \end{array} }
S p r e a d ( c , \tau ) = \frac { 1 } { \mid D \mid } \sum _ { t _ { 0 } \in D } \sqrt { \frac { 1 } { H \times W } \sum _ { i = 1 } ^ { H } \sum _ { j = 1 } ^ { W } a _ { i } v a r ( \hat { X } _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } ) }
\delta \left[ \beta _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } \right] = \Gamma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \delta \left[ n _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } ^ { 2 } \right] + \Gamma _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \delta \left[ n _ { \mathrm { ~ c ~ l ~ a ~ d ~ } } ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { x _ { k + 1 } = } & { x _ { k } + t _ { s } v _ { k } \cos { \theta _ { k } } , \quad y _ { k + 1 } = y _ { k } + t _ { s } v _ { k } \sin { \theta _ { k } } , } \\ { \theta _ { k + 1 } = } & { \theta _ { k } + t _ { s } \frac { v _ { k } } { L } \tan { \delta _ { k } } , \quad v _ { k + 1 } = v _ { k } + t _ { s } a _ { k } , } \\ { \delta _ { k + 1 } = } & { \delta _ { k } + t _ { s } \omega _ { k } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { K } ^ { } } & { { } \sim \mathcal { N } ( 0 , 1 0 ^ { 5 } ) \, , \quad \sigma _ { K } ^ { } \sim \mathrm { I n v { - } \Gamma } ( 1 , 1 ) \, , } \\ { \mu _ { C } ^ { } } & { { } \sim \mathcal { N } ( 0 , 1 0 ^ { 5 } ) \, , \quad \sigma _ { C } ^ { } \sim \mathrm { I n v { - } \Gamma } ( 1 , 1 ) \, , } \\ { \mu _ { A } ^ { } } & { { } \sim \mathcal { N } ( 0 , 1 0 ^ { 5 } ) \, , \quad \sigma _ { A } ^ { } \sim \mathrm { I n v { - } \Gamma } ( 1 , 1 ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { V : = \left( \begin{array} { l l } { V _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { 2 } } \end{array} \right) , \quad V ^ { d e f } : = \left( \begin{array} { l l } { V _ { 1 } ^ { d e f } } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { 2 } ^ { d e f } } \end{array} \right) . } \end{array}
A _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { j t } \mathrm { ~ f o r ~ } t \in [ T ] } & { \mathrm { w . p . ~ } s \left( p _ { i } q _ { j t } + \frac { 1 - p _ { i } } { K } \right) ; } \\ { \mathrm { e a c h ~ } b \in [ K ] \backslash \{ g _ { j 1 } , \dots , g _ { j T } \} } & { \mathrm { w . p . ~ } s \left( p _ { i } ( 1 - \sum _ { t = 1 } ^ { T } q _ { j t } ) + \frac { 1 - p _ { i } } { K } \right) ; } \\ { 0 , } & { \mathrm { w . p . ~ } 1 - s , } \end{array} \right.
d \rightarrow a \pi ^ { - } + a u + \frac { a } { 2 } \pi ^ { 0 } + \frac { a } { 2 } d = \frac { 5 a } { 4 } u + \frac { 7 a } { 4 } d + \frac { 5 a } { 4 } \bar { u } + \frac { a } { 4 } \bar { d } \ \ \ .
{ \mathbf { J } } = { \mathbf { L } } + { \mathbf { S } } = { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } + { \mathbf { S } } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N - 1 } { \mathbf { X } } _ { \alpha } \times { \mathbf { P } } _ { \alpha } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } { \mathbf { r } } _ { i } \times { \mathbf { p } } _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { e } } { \mathbf { S } } _ { i } ,
\underline { { \hat { f } } } = \{ \underline { { f } } \} - \frac { U } { 2 } \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \Delta \rho } \\ { \Delta \rho u } \\ { \Delta \rho v } \\ { \Delta \rho k } \end{array} \right) } \end{array} - \delta U \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { \rho k } \end{array} \right) } \end{array} - \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { \delta p \, n _ { x } } \\ { \delta p \, n _ { y } } \\ { \frac { \gamma \delta ( p U ) } { \gamma - 1 } } \end{array} \right) } \end{array}
\left\| \int _ { \phi _ { \alpha } } P ( \phi _ { \alpha } | r _ { \alpha } ) \Delta _ { \alpha } ^ { \mathrm { c o h } } d \phi _ { \alpha } \right\| = f ( x , y , r _ { \alpha } ) \left\| - \int _ { \phi _ { \alpha } } P ( \phi _ { \alpha } | r _ { \alpha } ) \left| \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \middle > \middle < \sqrt { \tau _ { x , y } } \alpha _ { \mathrm { c o h } } \right| d \phi _ { \alpha } \right\| .
\begin{array} { r l } { N ( x , t ) } & { = \Gamma ( t - t _ { 0 } ) N ( x , t _ { 0 } ) + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \Gamma ( t - s ) [ b ( x ) - \mu N ( x , s ) N ^ { * } ( x , s ) + \nu N ^ { * } ( x , s ) ] d s } \\ & { \le M e ^ { \alpha ( t - t _ { 0 } ) } \| N ( \cdot , t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \Gamma ( t - s ) [ b ( x ) + \nu N ^ { * } ( x , s ) ] d s } \\ & { = M e ^ { \alpha ( t - t _ { 0 } ) } \| N ( \cdot , t _ { 0 } ) \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \int _ { \Omega } G ( x , y , t - s ) [ b ( y ) + \nu N ^ { * } ( y , s ) ] d y d s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \leq \frac { ( 1 + 4 I ) \tau ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { y } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \nabla _ { y } f ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad + ( 1 + \frac { 1 } { 4 I } ) \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| ( I - \tau \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) ) u _ { t } ^ { ( m ) } - \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } ( I - \tau \nabla _ { y ^ { 2 } } g ^ { ( j ) } ( x _ { t } ^ { ( j ) } , y _ { t } ^ { ( j ) } ) ) u _ { t } ^ { ( j ) } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
S = \sqrt { \frac { 2 } { N } } \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 / \sqrt { 2 } } & { \cos \frac { 1 \pi / 2 } { N } } & { \cos \frac { 1 \pi } { N } } & { \cdots } \\ { 1 / \sqrt { 2 } } & { \cos \frac { 3 \pi / 2 } { N } } & { \cos \frac { 3 \pi } { N } } & { \cdots } \\ { 1 / \sqrt { 2 } } & { \cos \frac { 5 \pi / 2 } { N } } & { \cos \frac { 5 \pi } { N } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \end{array} \right] ,