harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } ^ { \dagger } \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { j \beta } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = \sum _ { a = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { b = 1 } ^ { B { \nu } _ { j } } \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \left( [ \mathcal { R } _ { i } ] _ { a \alpha } f _ { i a } ^ { \dagger } \right) \left( [ \mathcal { R } _ { j } ] _ { \beta b } ^ { \dagger } f _ { j b } ^ { \phantom { \dagger } } \right) \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \qquad \forall \dag , i \neq j \dag , , \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } ^ { \dagger } \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { G } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { { \dagger } } \dag , \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] \dag , \hat { \mathcal { P } } _ { i } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { 3 } = } & { { } | \Upsilon | ^ { 2 } + | \Xi | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } \frac { 2 \sqrt { 1 - L } \Theta - ( 1 - L ) \cos \phi - 2 L + 4 } { 2 \sqrt { 1 - L } \Theta - ( 1 - L ) \cos \phi - L + 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \delta \mathscr { s } _ { ( \pmb { x } , i ) } } { \delta \mathscr { s } _ { ( \pmb { y } , j ) } } = \delta ( \pmb { x } - \pmb { y } ) \delta _ { i j } \Leftrightarrow \frac { \partial \mathscr { s } _ { i ^ { \prime } } } { \partial \mathscr { s } _ { j ^ { \prime } } } = \delta _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } f _ { n } ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } & { { } = \int _ { \mathcal { D } _ { n } } f ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { n } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \end{array}
{ \cal G } _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { l l } { { \tilde { g } _ { i j } + s ^ { A } s ^ { B } g ^ { M N } A _ { i M A } A _ { j N B } } } & { { g _ { i A } } } \\ { { g _ { j B } } } & { { g _ { A B } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathsf { L } _ { \kappa } } & { = \mathcal { L } _ { \kappa } ( \rho ) \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \, Y _ { 1 } ^ { \kappa } ( \eta , \phi ) , } \\ { \mathcal { L } _ { \kappa } ( \rho ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho + \frac { R } { 2 } } & { \kappa = 0 , } \\ { \sqrt { \rho ( \rho + R ) } } & { \kappa = \pm 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
C _ { i , j , k } ^ { ( n , d + 1 ) } - C _ { i , j , k } ^ { ( n , d ) } = \Delta F _ { d } + \int _ { t ^ { n } } ^ { t ^ { n + 1 } } \delta t \int _ { \Omega } H \frac { \partial u _ { d } } { \partial x _ { d } } d V = \Delta F _ { d } + \underbrace { c _ { d } \frac { \partial u _ { d } } { \partial x _ { d } } } _ { \mathrm { ~ D ~ i ~ l ~ a ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } }
{ \begin{array} { r l } { { \left[ \begin{array} { l } { w ^ { \prime } } \\ { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } } \end{array} \right] } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \cos ( \pi / 1 2 ) } & { 0 } & { 0 } & { \sin ( \pi / 1 2 ) } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \sin ( \pi / 1 2 ) } & { 0 } & { 0 } & { \cos ( \pi / 1 2 ) } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { w } \\ { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right] } } \\ & { \approx { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 . 9 6 5 9 3 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } & { 0 . 2 5 8 8 2 } \\ { 0 . 0 } & { 1 . 0 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } \\ { 0 . 0 } & { 0 . 0 } & { 1 . 0 } & { 0 . 0 } \\ { - 0 . 2 5 8 8 2 } & { 0 . 0 } & { 0 . 0 } & { 0 . 9 6 5 9 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { 1 . 0 } \\ { 1 . 0 } \\ { 1 . 0 } \\ { 1 . 0 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 . 2 2 4 7 5 } \\ { 1 . 0 0 0 0 0 } \\ { 1 . 0 0 0 0 0 } \\ { 0 . 7 0 7 1 1 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\hat { \rho } _ { l } \bigg ( \frac { \partial \mathbf { \hat { v } } } { \partial \hat { t } } + \mathbf { \hat { v } } \cdot \hat { \nabla } \mathbf { \hat { v } } \bigg ) = - \hat { \nabla } \hat { p } _ { l } + \hat { \eta } _ { l } \hat { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { \hat { v } } ,
\chi _ { i } ^ { N } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l c } { 1 , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad t \in ( ( i - 1 ) \Delta s , \, i \Delta s ) , } \\ { 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right\} , \quad i = 1 , \cdots , N .
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k + 1 } } ^ { j _ { k } , j _ { k + 1 } } = \sum _ { i _ { k } , i _ { k + 1 } = 0 } ^ { d - 1 } \sum _ { \alpha _ { k } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { U _ { i _ { k } , i _ { k + 1 } } ^ { j _ { k } , j _ { k + 1 } } \lambda _ { \alpha _ { k - 1 } } ^ { [ k - 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k } } ^ { [ k ] i _ { k } } } \\ & { \lambda _ { \alpha _ { k } } ^ { [ k ] } \Gamma _ { \alpha _ { k } \alpha _ { k + 1 } } ^ { [ k + 1 ] i _ { k + 1 } } \lambda _ { \alpha _ { k + 1 } } ^ { [ k + 1 ] } . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \hat { \eta } } { \partial t ^ { 2 } } + \hat { \sigma } _ { n } \frac { \partial \hat { \eta } } { \partial t ^ { \prime } } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { f } { 1 + \Gamma } \cos { \Omega t ^ { \prime } } \right) \hat { \eta } = 0 .
I \left( S _ { a } , V _ { \mu } \right) = - T r \ln D + \int d _ { 4 } x \left( \frac 1 { 2 g _ { s } ^ { 2 } } S _ { a } ^ { 2 } + \frac 1 { 2 g _ { v } ^ { 2 } } V _ { \mu } ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ I ~ m ~ } \chi ( \omega _ { p } ) } & { { } = } & { \frac { \rho _ { N } \left| \boldsymbol d _ { 1 , 2 } \right| ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } \hbar } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \; \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } + i \sigma \Gamma \left( - i c _ { 2 } / ( \sqrt { 2 } \sigma ) \right) } , } \end{array}
\tilde { \psi } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) = \int d \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } \psi ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , - \mathbf { r } _ { 2 } ) \exp \left( - i \frac { 2 \pi } { \lambda f } \mathbf { r } _ { 1 } \cdot \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } \right) ,
{ \begin{array} { r l } { \nabla _ { x , y , \lambda } { \mathcal { L } } ( x , y , \lambda ) } & { = \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial x } } , { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial y } } , { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \lambda } } \right) } \\ & { = \left( 2 x y + 2 \lambda x , x ^ { 2 } + 2 \lambda y , x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 3 \right) ~ . } \end{array} }
\sum _ { A \neq 0 } \frac { d _ { k } ( A ) \, d _ { \widetilde { k } } ( A ) } { d _ { m - 1 } ^ { \prime } ( A ) \, d _ { m - 2 } ( A ) } = \delta _ { k \widetilde { k } } \, \frac { k ( k + 1 ) ( k - m + 1 ) ( k + m ) } { 2 ( 2 k + 1 ) }
D _ { \alpha } A ^ { a } = \partial _ { \alpha } A ^ { a } + R _ { \alpha \, b } ^ { a } \, A ^ { b } \qquad \mathrm { a n d } \qquad D _ { \alpha } A _ { a } = \partial _ { \alpha } A _ { a } - A _ { b } \, R _ { \alpha \, a } ^ { b } .
\begin{array} { r l r l r l } { p _ { 0 } } & { { } = \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 0 } } , } & { \mu _ { 0 } J \delta } & { { } = 2 B _ { 0 } , } & { J } & { { } = n e \gamma _ { 0 } v _ { 0 } = e n _ { 0 } v _ { 0 } , } \\ { p _ { 0 } } & { { } = P _ { + } + P _ { - } , } & { P _ { + } } & { { } = n _ { + } T _ { + } = n _ { 0 } T , } & { P _ { - } } & { { } = n _ { - } T _ { - } = \frac { \xi } { \gamma _ { 0 } } n _ { 0 } T , } \end{array}
\| \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \tau E _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } ] - \tau E _ { h } [ \mathbf { y } _ { h } ^ { M } ] \, { \le c _ { Z } } \tau | \log h _ { \operatorname* { m i n } } | \psi _ { 2 } ( c _ { \alpha } ) \| \delta \mathbf { y } _ { h } ^ { M + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \rho \sqrt { d } ( c _ { s } ^ { 2 } - \gamma ( \gamma - 1 ) c _ { V } \theta ) } \\ { = \gamma [ R \rho \theta p _ { + } + p _ { + } ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) + p _ { * 1 } p _ { * 2 } } \\ { - ( p _ { + } - p _ { - } ) R \rho \theta ] } \\ { = \gamma [ ( R \rho \theta + \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle ) ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) + p _ { * 1 } p _ { * 2 } + p _ { - } R \rho \theta ] } \\ { = \gamma [ R \rho \theta ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } + p _ { - } ) } \\ { - \langle \alpha _ { k } p _ { * k } \rangle ( \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) + p _ { * 1 } p _ { * 2 } ] . } \end{array}
A _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { j } , } & { \mathrm { w . p . ~ } s \left( p _ { i } q _ { j } + \frac { 1 - p _ { i } } { K } \right) , } \\ { h _ { j } , } & { \mathrm { w . p . ~ } s \left( p _ { i } ( 1 - q _ { j } ) + \frac { 1 - p _ { i } } { K } \right) , } \\ { b \in [ K ] \backslash \{ g _ { j } , h _ { j } \} , } & { \mathrm { w . p . ~ } s \left( \frac { 1 - p _ { i } } { K } \right) , } \\ { 0 , } & { \mathrm { w . p . ~ } 1 - s . } \end{array} \right.
= \mathcal { R } T _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ b ~ } } \left[ \frac { V d p \left( V \right) } { d t } + p \left( V \right) \frac { d V } { d t } \right] = \frac { 1 } { \mathcal { R } T _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ b ~ } } } \frac { d V } { d t } \left[ p \left( V \right) + \frac { V d p \left( V \right) } { d V } \right]
{ \left[ \begin{array} { l l l l } { S _ { 1 } } & { S _ { 2 } } & { \cdots } & { S _ { \nu } } \\ { S _ { 2 } } & { S _ { 3 } } & { \cdots } & { S _ { \nu + 1 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { S _ { \nu } } & { S _ { \nu + 1 } } & { \cdots } & { S _ { 2 \nu - 1 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \Lambda _ { \nu } } \\ { \Lambda _ { \nu - 1 } } \\ { \vdots } \\ { \Lambda _ { 1 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { - S _ { \nu + 1 } } \\ { - S _ { \nu + 2 } } \\ { \vdots } \\ { - S _ { \nu + \nu } } \end{array} \right] }
S _ { s L } = \mathrm { c o n s t } \left[ \sum _ { i , j \neq i } \frac { ( 1 - \alpha _ { i } ) ( 1 - \alpha _ { j } ) } { ( 2 \alpha _ { i } - 1 ) } \ln ( { \bf z } _ { i j } { \bar { \bf z } } _ { i j } ) + \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 } \sum _ { i } \left( 2 \alpha _ { i } - 1 - \frac { 1 } { 2 \alpha _ { i } - 1 } \right) + F [ \alpha ] \right] .
{ \frac { N _ { 0 } } { \alpha N _ { e } \eta ^ { 2 } } } = c ^ { \mathrm { r o u n d } } + ( c ^ { \mathrm { f l a t } } - c ^ { \mathrm { r o u n d } } ) { \frac { 2 } { \pi } } \arctan \left[ 0 . 1 9 1 \left( { \frac { \sigma _ { x } } { \sigma _ { y } } } - 1 \right) \right] \ .
\xi = \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { a _ { 5 } a _ { 6 } } = x ^ { - 1 } , \qquad \eta = \frac { a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { 2 } a _ { 5 } a _ { 6 } } { a _ { 0 } ^ { 8 } } = x y ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { E } ( b , h ) = W ( 0 , \sqrt { 4 \emph { b } } ) / 2 - W ( h \sqrt { 4 \emph { b } } , 0 ) I _ { 0 } ( \sqrt { 4 b } ) } \\ & { } & { + \sqrt { b } / h \big [ 1 - { \frac { \sqrt { b } } { 8 h } } + { \frac { b } { 4 } } + { \frac { 1 } { 2 h \sqrt { b } } } - { \frac { 3 } { 8 h ^ { 2 } } } \big ] \times { \frac { \exp ( - 2 h \sqrt { b } ) } { 2 } } } \end{array}
\tan ( \theta _ { c } / 2 ) = \sqrt { \frac { \lambda _ { 2 } x _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } x _ { 2 } } } , \ \ \ \ \ \, \ \ \ \, t a n ( \theta _ { c } ^ { \prime } / 2 ) = \sqrt { \frac { \chi _ { 2 } x _ { 1 } } { \chi _ { 1 } x _ { 2 } } } .
{ M } _ { u } = \frac { v _ { 1 } } { \sqrt 2 } { Y } _ { 1 } ^ { u } + \frac { v _ { 2 } e ^ { i \vartheta } } { \sqrt 2 } { Y } _ { 2 } ^ { u } , \qquad { M } _ { d } = \frac { v _ { 1 } } { \sqrt 2 } { Y } _ { 1 } ^ { d } + \frac { v _ { 2 } e ^ { i \vartheta } } { \sqrt 2 } { Y } _ { 2 } ^ { d } .
| | u _ { \mathrm { h o r } } | | _ { L _ { r _ { * } } ^ { \infty } ( - \infty , - | m | | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } x _ { 0 } ) } + | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } | | u _ { \mathrm { h o r } } ^ { \prime } | | _ { L _ { r _ { * } } ^ { \infty } ( - \infty , - | m | | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } x _ { 0 } ) } \leq B _ { \mathrm { h o m } } .
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { N } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } , \textbf { u } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } ) ) } & { = f ( \boldsymbol { x } ) } & & { \boldsymbol { x } \in \mathcal { D } , } \\ { \mathfrak { b } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } , \textbf { u } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { k } ) ) } & { = g ( \boldsymbol { x } ) } & & { \boldsymbol { x } \in \partial \mathcal { D } , } \end{array}
A _ { L L } \approx \frac { \Delta g ( x _ { 1 } ) } { g ( x _ { 1 } ) } \, \cdot \, \Bigg [ \frac { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \left[ \Delta q ( x _ { 2 } ) + \Delta \bar { q } ( x _ { 2 } ) \right] } { \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } \left[ q ( x _ { 2 } ) + \bar { q } ( x _ { 2 } ) \right] } \Bigg ] \, \cdot \, \hat { a } _ { L L } ( g q \rightarrow \gamma q ) + ( 1 \leftrightarrow 2 ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { D \rho } { D t } + \rho \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \rho u } { A } \frac { d A } { d x } } & { = { \Dot { S } _ { m } } , } \\ { \frac { D u } { D t } + \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial p } { \partial x } } & { = { \Dot { S } _ { M } } , } \\ { T \frac { D s } { D t } } & { = { \Dot { S } _ { s } } , } \\ { \frac { D Y _ { i } } { D t } } & { = \Dot { S _ { Y } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { + } ( d ) } & { = \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 1 } ^ { d } } } ( 0 , R _ { t } ) \cap A _ { d } } \operatorname* { s u p } _ { x _ { t } \in \mathcal { B } _ { 1 } ( 0 , R _ { t } ) } \left( \frac { \lambda _ { t } } { 2 } \right) ^ { d } e ^ { - \lambda _ { t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } w _ { t } - R _ { t } \right) } \mathrm { d } w _ { t } } \\ & { = \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 1 } ^ { d - 1 } } } ( 0 , R _ { t } ) \cap A _ { d } } \left( \frac { \lambda _ { t } } { 2 } \right) ^ { d - 1 } e ^ { - \lambda _ { t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } w _ { t } - R _ { t } \right) } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { t } } { 2 } e ^ { - \lambda _ { t } w _ { d } } \mathrm { d } w _ { d } \right) \mathrm { d } w ^ { d - 1 } } \\ & { \quad + \int _ { { \mathcal { B } _ { 1 } ^ { d - 1 } } ( 0 , R _ { t } ) \cap A _ { d } } \left( \frac { \lambda _ { t } } { 2 } \right) ^ { d - 1 } e ^ { - \lambda _ { t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } w _ { t } - R _ { t } \right) } \left( \int _ { R _ { t } - \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } w _ { i } } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { t } } { 2 } e ^ { - \lambda _ { t } w _ { d } } \mathrm { d } w _ { d } \right) \mathrm { d } w ^ { d - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } h _ { + } ( d - 1 ) + \int _ { { \mathcal { B } _ { 1 } ^ { d - 1 } } ( 0 , R _ { t } ) \cap A _ { d } } \left( \frac { \lambda _ { t } } { 2 } \right) ^ { d - 1 } e ^ { - \lambda _ { t } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d - 1 } w _ { t } - R _ { t } \right) } \left( \frac { 1 } { 2 } e ^ { - \lambda _ { t } ( R _ { t } - \sum _ { i = 1 } ^ { d } w _ { i } ) } \right) \mathrm { d } w ^ { d - 1 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } h _ { + } ( d - 1 ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \lambda _ { t } } { 2 } \right) ^ { d - 1 } \frac { V _ { 1 } ( d - 1 , R _ { t } ) } { 2 ^ { d - 1 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } h _ { + } ( d - 1 ) + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \lambda _ { t } R _ { t } } { 2 } \right) ^ { d - 1 } \frac { 1 } { ( d - 1 ) ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ j ~ e ~ t ~ } } } & { { } = \frac { u _ { \mathrm { ~ j ~ e ~ t ~ } } d } { \nu _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ s ~ } } } , } \\ { C _ { D } } & { { } = \frac { F _ { D } } { p _ { d } S _ { d } } , } \\ { p _ { d } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \rho _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ s ~ } } u _ { \mathrm { ~ j ~ e ~ t ~ } } ^ { 2 } , } \\ { S _ { d } } & { { } = \pi \left( \frac { d } { 2 } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D } & { = \frac { \Gamma _ { l } } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { \lvert \alpha _ { 2 } \rvert ^ { 2 } } & { - \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } ^ { * } } & { \lvert \alpha _ { 1 } \rvert ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lvert \alpha _ { 2 } \rvert ^ { 2 } } & { - \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } ^ { * } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } & { \lvert \alpha _ { 1 } \rvert ^ { 2 } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \frac { \sqrt { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( x _ { i } - \langle x _ { i } \rangle ) ^ { 2 } } } { \langle x _ { i } \rangle \langle k \rangle } , } \end{array}
\Lambda _ { 1 } \left( \mathcal { U } _ { \Theta } , \partial _ { x } \mathcal { U } _ { \Theta } \right) : = \sum _ { k = 1 } ^ { D } \frac { 1 } { 1 + \alpha _ { k } \mathopen | \partial _ { x } \mathcal { U } _ { \Theta , k } \mathclose | ^ { \beta _ { k } } } ,
y = A _ { 0 } + { \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { \operatorname { f r a c } ( f t ) < 0 . 5 } \\ { - A _ { 1 } } & { \operatorname { f r a c } ( f t ) > 0 . 5 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { s i g } } } & { = \epsilon ^ { 2 } m _ { A ^ { \prime } } ^ { 3 } \iint \frac { \mathrm { d } f \mathrm { d } f ^ { \prime } } { 8 \pi ^ { 3 } } \frac { f \, \rho _ { \mathrm { D M } } \, \mathcal { F } _ { \mathrm { D M } } \left( f \right) \, \delta ( f - f ^ { \prime } ) } { ( f ^ { 2 } - f _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \left( f f _ { 0 } / Q _ { L } \right) ^ { 2 } } \, V \, \frac { C } { 3 } } \\ & { \approx \frac { Q _ { L } } { 8 \pi f _ { 0 } } \epsilon ^ { 2 } m _ { A ^ { \prime } } ^ { 2 } \, V \, \frac { C } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { D M } } \, \mathcal { F } _ { \mathrm { D M } } ( f _ { 0 } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sec x } & { = \cosh u } \\ { \tan x } & { = \sinh u } \\ { \sec ^ { 2 } x \, d x } & { = \cosh u \, d u { \mathrm { ~ o r ~ } } \sec x \tan x \, d x = \sinh u \, d u } \\ { \sec x \, d x } & { = \, d u { \mathrm { ~ o r ~ } } d x = \operatorname { s e c h } u \, d u } \\ { u } & { = \operatorname { a r c o s h } ( \sec x ) = \operatorname { a r s i n h } ( \tan x ) = \ln | \sec x + \tan x | } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { F ^ { p } ( s _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , \tau ) } & { { } = } & { W ^ { p , p } ( s _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , \tau ) - \frac { s _ { 3 , 0 } } { \rho _ { 0 } } W ^ { p , v } ( s _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 3 , F } , \tau ) , } \end{array}
v _ { b | c } ^ { - } ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) = \int _ { \mathbb { S } _ { 0 } } v _ { b | c } ^ { + } ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { R } ^ { \prime } , t ) * R _ { b } ( \mathbf { x } _ { R } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) d \mathbf { x } _ { R } ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { E _ { x } } & { { } = \sqrt { ( E _ { \mathrm { ~ b ~ e ~ a ~ m ~ } } + E _ { \mathrm { ~ t ~ g ~ t ~ } } - E _ { 1 } - E _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( \vec { P } _ { \mathrm { ~ b ~ e ~ a ~ m ~ } } - \vec { P } _ { 1 } - \vec { P } _ { 2 } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { i } ^ { ( 1 ) } = - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { k _ { i j } ^ { ( 1 ) } } { \mu } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } } { \partial { x _ { j } } } - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { k _ { i j } ^ { ( 1 , 2 ) } } { \mu } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } } { \partial { x _ { j } } } \, , } \\ { q _ { i } ^ { ( 2 ) } = - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { k _ { i j } ^ { ( 2 ) } } { \mu } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( 2 ) } } } { \partial { x _ { j } } } - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \frac { k _ { i j } ^ { ( 2 , 1 ) } } { \mu } \frac { \partial { p _ { f } ^ { ( 1 ) } } } { \partial { x _ { j } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ^ { * } } & { = \frac { \nu } { \gamma + \nu } \left( 1 - \frac { \gamma } { \beta ( I ^ { * } ) } \right) \, , } \\ { S ^ { * } } & { = \frac { \gamma } { \beta ( I ^ { * } ) } \, , } \\ { R ^ { * } } & { = \frac { \gamma } { \nu } I ^ { * } \, , } \\ { h ^ { * } } & { = h ^ { * } = I ^ { * } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { Y } _ { \tau } ( \boldsymbol { \theta } ) } & { = } & { a \mathrm { ~ } \frac { \tau } { 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \tau / 2 } \left\{ - t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \boldsymbol { \theta } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. \exp \left( - \frac { \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { Y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { Y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right) + b \mathrm { ~ } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \boldsymbol { \theta } } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \mathrm { ~ } \exp \left( - \frac { \tau } { 2 } \left( \boldsymbol { Y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { Y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right) \right. } \\ & { } & { \left[ 2 \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \boldsymbol { \theta } } \right) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \left( \boldsymbol { Y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right. } \\ & { } & { \left. \left. + \left( \boldsymbol { Y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) ^ { T } \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \boldsymbol { \theta } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \right) \left( \boldsymbol { Y } - \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \right] \right\} , } \end{array}
\sigma _ { x | b _ { n } } ^ { 2 } = \frac { e ^ { - 2 \rho \alpha t } } { \rho ( \rho + 1 ) } \Bigg [ x _ { 0 } ( \rho + \rho ^ { 2 } ) ( e ^ { \rho \alpha t } - 1 ) + \frac { k } { \alpha } \frac { \gamma } { 1 + \gamma } ( 1 + \rho ) e ^ { \rho \alpha t } ( e ^ { \rho \alpha t } - 1 ) + \rho b _ { n } \frac { k } { \alpha } \frac { 1 } { ( 1 + \gamma ) } e ^ { \rho \alpha t } ( e ^ { ( \rho + 1 ) \alpha t } - 1 ) \Bigg ] .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { F } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { k } } & { { } = \sum _ { k = 2 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \mathbf { F } _ { j k } \cdot \mathbf { r } _ { k } + \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { j = k + 1 } ^ { N } \mathbf { F } _ { j k } \cdot \mathbf { r } _ { k } } \end{array}
( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } \omega \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } = ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } \frac { m ^ { \prime } \omega } { m } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } + ( \widetilde { \chi } _ { 1 } ) _ { m } ^ { \omega } \frac { m ^ { \prime \prime } \! \omega } { m } \widetilde { f } _ { m } ^ { \omega } ,