harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
A : = \left( \begin{array} { l l l } { - \bar { u } \partial _ { x } } & { - \bar { \rho } \partial _ { x } } & { 0 } \\ { - \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } \partial _ { x } } & { \lambda _ { 0 } \partial _ { x x } - \bar { u } \partial _ { x } } & { - R \partial _ { x } } \\ { 0 } & { - \frac { R \bar { \theta } } { c _ { 0 } } \partial _ { x } } & { \kappa _ { 0 } \partial _ { x x } - \bar { u } \partial _ { x } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \left[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right] \phi _ { \alpha } ( x ) + \int d \bar { x } \Sigma ( x , \bar { x } ) \phi _ { \alpha } ( \bar { x } ) = \varepsilon _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } \phi _ { \alpha } ( x ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \overline { { \mu } } \, \overline { { \nu } } } ( \theta ) = [ } & { { } E _ { | a , N , G = \overline { { \mu } } + N , g = n + \alpha \rangle } ( \theta ) } \\ { - } & { { } E _ { | b , N , G ^ { \prime } = \overline { { \nu } } + N , g ^ { \prime } = n + \beta \rangle } ( \theta ) ] / { \hbar } } \end{array}
( { T ^ { a } } ) _ { b c } = - i f ^ { a b c } , \; \; \; \; ( { \cal A } _ { 1 } T ^ { a } { \cal A } _ { 2 } ) = - i f ^ { a b c } { \cal A } _ { 1 } ^ { b } { \cal A } _ { 2 } ^ { c }
\hat { Q } \hat { H } \hat { Q } \, | \Psi _ { Q } \rangle + \Big [ \hat { Q } \hat { H } \hat { P } \, ( \mathcal { E } - \hat { P } \hat { H } \hat { P } ) ^ { - 1 } \, \hat { P } \hat { H } \hat { Q } \Big ] \, | \Psi _ { Q } \rangle = \mathcal { E } \, | \Psi _ { Q } \rangle ~ .
{ \cfrac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } + { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ ( I _ { 1 } ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } - { \boldsymbol { F } } ^ { T } \cdot { \boldsymbol { F } } ) + { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } ~ I _ { 3 } ~ { \boldsymbol { F } } ^ { - 1 } \cdot { \boldsymbol { F } } ^ { - T } ~ .
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb { R } } \int _ { \mathbb { R } } A \left( \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } d x _ { 1 } d x _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { \infty } A ( r ) e ^ { - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } } r d r = \int _ { 0 } ^ { \infty } A ( \sqrt { 2 r } ) e ^ { - r } d r < \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \theta \leftarrow \theta - \beta \frac { 1 } { N } \sum _ { i } \nabla _ { a } Q _ { t _ { n } } ( x , a ; \theta ^ { \prime } ) \vert _ { x = X _ { t _ { n } } ^ { i } , a = \alpha _ { t _ { n } } ( X _ { t _ { n } } ^ { i } ; \theta ) } \nabla _ { \theta } \alpha _ { t _ { n } } ( X _ { t _ { n } } ; \theta ) , } \\ & { \hat { \theta } ^ { \prime } \leftarrow \tau \theta ^ { \prime } + ( 1 - \tau ) \hat { \theta } ^ { \prime } , \quad \hat { \theta } \leftarrow \tau \theta + ( 1 - \tau ) \hat { \theta } , } \end{array}
\Delta _ { T } ( x , \tau ) = \Delta ^ { > } ( x , - i \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d p } { 2 \pi } e ^ { - \omega \tau } e ^ { i p x } \rho ( \omega , p ) ( 1 + f ( \omega ) ) .
\dot { V } ( \tilde { y } , \tilde { \lambda } ) = - \tilde { y } ^ { T } \frac { \partial \tilde { f } ( y ) } { \partial y } + \tilde { y } ^ { T } \frac { \partial \tilde { f } ( y ^ { \star } ) } { \partial y } - \tilde { y } ^ { T } \mathcal { L } \tilde { y } < 0 .
\begin{array} { r l } { X ( t ) } & { { } = 1 + \epsilon X _ { 1 } ( t ) + \epsilon ^ { 2 } X _ { 2 } ( t ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) , } \\ { Y ( t ) } & { { } = 1 + \epsilon Y _ { 1 } ( t ) + \epsilon ^ { 2 } Y _ { 2 } ( t ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) . } \end{array}
\Omega ( \mathcal { L } ) = \int _ { \ell _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \ell _ { 1 } \int _ { \ell _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \ell _ { 2 } \cdots \int _ { \ell _ { \mathrm { m i n } } } ^ { \mathcal { L } } \mathrm { d } \ell _ { k } \, \delta ( \sum _ { i = 1 } ^ { k } \ell _ { i } - \mathcal { L } ) = \frac { ( \mathcal { L } - \mathcal { L } _ { \mathrm { m i n } } ) ^ { k - 1 } } { ( k - 1 ) ! }
\begin{array} { r } { \mathrm { p } K _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e f f } } \equiv \mathrm { p H } \left( \alpha = \frac { 1 } { 2 } \right) \stackrel { \mathrm { i d e a l } } { = } \mathrm { p } K _ { \mathrm { A } } + \Delta ^ { \mathrm { D o n } } . } \end{array}
\bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 0 } \bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} + \eta _ { 0 } \partial _ { Z } \phi _ { 0 } - \frac { { r _ { 0 } } } { \Gamma } \Bigl ( \dot { \bar { r } } _ { 0 } \, \partial _ { R } \eta _ { 0 } + \dot { \bar { z } } _ { 0 } \, \partial _ { Z } \eta _ { 0 } \Bigr ) \, = \, \delta \Bigl [ \partial _ { R } \eta _ { 0 } + \bigl ( \mathcal { L } - { \textstyle \frac 1 2 } \bigr ) \eta _ { 1 } - t \partial _ { t } \eta _ { 1 } \Bigr ] \, .
\begin{array} { r } { \vec { X } _ { a } \rightarrow \vec { X } _ { a } \left[ 1 + \int d \omega _ { 0 } \frac { \Delta X _ { a } ( \omega _ { 0 } ) } { X _ { a } } \cos ( \omega _ { 0 } t + \phi _ { 0 } ) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl | ( H ^ { t } } & { V ) ( x , y ) - ( \tilde { H } ^ { t } V ) ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr | } \\ & { = \Bigl | \operatorname* { m a x } _ { a } \Bigl \{ r ( x , y , a ) + \gamma \, \mathbb { E } [ ( H V ) ^ { t - 1 } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) ] \Bigr \} - \operatorname* { m a x } _ { \tilde { a } } \Bigl \{ r ( \tilde { x } , \tilde { y } , \tilde { a } ) + \gamma \, \mathbb { E } [ ( \tilde { H } V ) ^ { t - 1 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ^ { \prime } ) ] \Bigr \} \Bigr | } \\ & { \le L _ { r } \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + \gamma \operatorname* { m a x } _ { a } \mathbb { E } \bigl | ( H V ) ^ { t - 1 } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) - ( \tilde { H } V ) ^ { t - 1 } ( \tilde { x } , \tilde { y } ^ { \prime } ) \bigr | } \\ & { \le L _ { r } \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + \gamma \Bigl [ \phi _ { t - 1 , 1 } \, \bigl \| ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ^ { \prime } ) \bigr \| _ { 2 } + \phi _ { t - 1 , 2 } \, ( \alpha d _ { \mathcal { Y } } ) \Bigr ] } \\ & { \le L _ { r } \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + \gamma \Bigl [ \phi _ { t - 1 , 1 } \, \bigl ( L _ { f } \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + \alpha d _ { \mathcal { Y } } \bigr ) + \phi _ { t - 1 , 2 } \, ( \alpha d _ { \mathcal { Y } } ) \Bigr ] } \\ & { \le \bigl ( L _ { r } + \gamma L _ { f } \phi _ { t - 1 , 1 } \bigr ) \bigl \| ( x , y ) - ( \tilde { x } , \tilde { y } ) \bigr \| _ { 2 } + \bigl ( \gamma \phi _ { t - 1 , 1 } + \gamma \phi _ { t - 1 , 2 } \bigr ) ( \alpha d _ { \mathcal { Y } } ) , } \end{array}
E ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } F _ { 0 } ) ^ { 2 } } \left( \left( \frac { 2 \pi } { L _ { 1 } } n _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 2 \pi } { L _ { 2 } } n _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \langle C ^ { \prime } ( t ; T ) \rangle } & { { } = e ^ { - t } - \frac { 2 ( T + t ) } { ( T - t ) T ^ { 2 } } ( e ^ { - T } - 1 + T ) + \frac { 2 } { T ( T - t ) } [ 2 t - 1 + e ^ { - T } + e ^ { - t } - e ^ { t - T } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } ( t ) } & { { } = \phi _ { 1 } ( 0 ) - \frac { \mathrm { I m } ( b _ { 1 } ) } { 2 b _ { 0 } } \log \left[ 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { 2 t } \right) \right] } \\ { \phi _ { 2 } ( t ) } & { { } = \phi _ { 2 } ( 0 ) - \frac { \mathrm { I m } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \log \left[ 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { 2 t } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tan \left( \sum _ { i } \theta _ { i } \right) } & { { } = { \frac { \sin \left( \sum _ { i } \theta _ { i } \right) / \prod _ { i } \cos \theta _ { i } } { \cos \left( \sum _ { i } \theta _ { i } \right) / \prod _ { i } \cos \theta _ { i } } } } \\ { \cot \left( \sum _ { i } \theta _ { i } \right) } & { { } = { \frac { e _ { 0 } - e _ { 2 } + e _ { 4 } - \cdots } { e _ { 1 } - e _ { 3 } + e _ { 5 } - \cdots } } } \end{array}
- \frac { \textbf { B } ^ { * } } { m { B } _ { \parallel } ^ { * } } \boldsymbol { \cdot } \left( \mu _ { g y } \nabla _ { g y } B ( \textbf { X } _ { g y } ) + \varepsilon _ { \delta } e \nabla \left\langle \phi _ { 1 } \right\rangle - \varepsilon _ { \delta } \frac { e } { c } v _ { g y , \parallel } \left\langle \nabla { A } _ { 1 \parallel } \right\rangle \right) \partial _ { v _ { g y , \parallel } } F = 0 ,
\boldsymbol { B } = - \Delta _ { \perp } \psi ^ { \prime } \, \mathrm { e } _ { \rho } + \frac { 1 } { h _ { \phi } } \partial _ { \phi } \left( \frac { 1 } { h _ { \rho } } \partial _ { \rho } \psi ^ { \prime } \right) \, \mathrm { e } _ { \phi } + \frac { 1 } { h _ { s } } \partial _ { s } \left( \frac { 1 } { h _ { \rho } } \partial _ { \rho } \psi ^ { \prime } \right) \, \mathrm { e } _ { s } .
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( x ) Q _ { 1 } ( y ) + P _ { 2 } ( x ) Q _ { 2 } ( y ) \, { \frac { d y } { d x } } } & { { } = 0 } \\ { P _ { 1 } ( x ) Q _ { 1 } ( y ) \, d x + P _ { 2 } ( x ) Q _ { 2 } ( y ) \, d y } & { { } = 0 } \end{array}
H \left[ \frac { x } { ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } \right] = \frac { x ^ { 2 } - a b } { ( a + b ) ( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } , \; ( a , b > 0 ) ,
\Xi = 2 \, \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \, { \Omega } \right) ^ { 2 } \cos \left( \frac { 1 } { 2 } \, { \tau } \right) ^ { 2 } - 2 \, \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \, { \Omega } \right) ^ { 2 } \sin \left( \frac { 1 } { 2 } \, { \tau } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { S ^ { u } = } & { { \nu } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ { \overline { { d ^ { r } } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } & { \overline { { d ^ { g } } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + \overline { { d ^ { b } } } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ { u ^ { r } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } & { u ^ { g } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + u ^ { b } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } + } \\ & { e ^ { + } { \alpha _ { 3 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 2 } ^ { \dagger } } { \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } \omega \omega ^ { \dagger } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d x _ { 1 } ( t ) } & { = \Big [ \frac { x _ { 2 } ( t ) - 2 x _ { 1 } ( t ) } { h ^ { 2 } } + \frac { u _ { 1 } ( t ) } { h ^ { 2 } } + \mathfrak { f } ( x _ { 1 } ( t ) ) \Big ] d t + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \mathfrak g _ { i } ( \zeta _ { 1 } ) x _ { 1 } ( t - ) d M _ { i } ( t ) , } \\ { d x _ { j } ( t ) } & { = \Big [ \frac { x _ { j + 1 } ( t ) - 2 x _ { j } ( t ) + x _ { j - 1 } ( t ) } { h ^ { 2 } } + \mathfrak { f } ( x _ { j } ( t ) ) \Big ] d t + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \mathfrak g _ { i } ( \zeta _ { j } ) x _ { j } ( t - ) d M _ { i } ( t ) , } \\ { d x _ { n } ( t ) } & { = \Big [ \frac { - 2 x _ { n } ( t ) + x _ { n - 1 } ( t ) } { h ^ { 2 } } + \frac { u _ { 2 } ( t ) } { h ^ { 2 } } + \mathfrak { f } ( x _ { n } ( t ) ) \Big ] d t + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \mathfrak g _ { i } ( \zeta _ { n } ) x _ { n } ( t - ) d M _ { i } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { * } & { { } C _ { 2 } ( t ) = } & { \frac { k _ { i n } k ^ { t r a n s } } { v _ { e } } \times } \\ { * } & { { } } & { \times \left[ v ( e ^ { k _ { e l } t ^ { \prime } } - 1 ) e ^ { - k _ { e l } t } - u ( e ^ { k _ { e p } t ^ { \prime } } - 1 ) e ^ { - k _ { e p } t } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( x - t ) \left( \sum _ { i = 0 } ^ { n } \beta _ { n , i } x ^ { n - i } \right) } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { n } \sigma ( \beta _ { n , i } ) x ^ { n + 1 - i } + \sum _ { j = 0 } ^ { n } ( \delta ( \beta _ { n , j } ) - t ( \beta _ { n , j } ) ) x ^ { n - j } } \\ & { = x ^ { n + 1 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \sigma ( \beta _ { n , i } ) + \delta ( \beta _ { n , i - 1 } ) - t \beta _ { n , i - 1 } ) x ^ { n + 1 - i } + ( \delta ( \beta _ { n , n } ) - t \beta _ { n , n } ) , } \end{array}
\exp ( X ) \, \exp ( Y ) = \exp \left( X + Y + { \frac { 1 } { 2 } } [ X , Y ] + { \frac { 1 } { 1 2 } } [ \, [ X , Y ] , Y ] - { \frac { 1 } { 1 2 } } [ \, [ X , Y ] , X ] - \cdots \right) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \zeta } _ { \sigma } ( x , t ) } & { } & { = - \gamma \sum _ { i } \sigma \sigma _ { i } ( t ) \delta ( x _ { i } ( t ) - x ) + \sigma \sqrt { N } \zeta ( x , t ) } \\ & { } & { = - \gamma \sum _ { i } \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , \sigma } \delta ( x _ { i } ( t ) - x ) + \gamma \sum _ { i } \delta _ { \sigma _ { i } ( t ) , - \sigma } \delta ( x _ { i } ( t ) - x ) + \sigma \sqrt { N } \zeta ( x , t ) } \\ & { } & { = - \gamma N \rho _ { \sigma } ( x , t ) + \gamma N \rho _ { - \sigma } ( x , t ) + \sigma \sqrt { N } \zeta ( x , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { \geq \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } - a C \left( \left( \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { \qquad - a ^ { 2 } { \mathrm { R a } } ^ { 2 } \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle + \left( \frac { 5 b } { 8 \mathrm { { R a } } } - C \delta ^ { 6 } a ^ { - 1 } \right) \langle | \nabla u | ^ { 2 } \rangle + \frac { b } { 2 { \mathrm { R a } } } \langle ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \rangle _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { J } [ \mathbf { \Psi } ] } & { { } = } & { \sum _ { \{ \mathbf { J } ( 0 ) \} } \cdots \sum _ { \{ \mathbf { J } ( T ) \} } \int D \big [ h \hat { h } \big ] \exp \left\{ \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \sum _ { k \neq j } A _ { k j } ( \tau ) \right\} } \\ { A _ { k j } ( \tau ) } & { { } = } & { i \hat { h } _ { k j } \big ( h _ { k j } - \theta _ { k j } \big ) + J _ { k j } ( \tau + 1 ) \big ( \Psi _ { k j } ( \tau + 1 ) + \beta h _ { k j } ( \tau ) \big ) - \ln \big ( 2 \mathrm { c o s h } \, [ \beta h _ { k j } ( \tau ) ] \big ) } \end{array}
( \bar { B } _ { i ^ { \prime } k j } + \bar { B } _ { j k i ^ { \prime } } ) \, B _ { i j k } = - 2 \bar { B } _ { i ^ { \prime } j k } \, B _ { i j k } + \bar { B } _ { k j i ^ { \prime } } \, B _ { i j k } = - \bar { B } _ { i ^ { \prime } j k } \, B _ { k j i } + \bar { B } _ { k j i ^ { \prime } } \, B _ { i j k } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { r \in \mathbb { R } _ { - } ^ { d } } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { t } - r \right\| _ { ( T ) } } & { = \operatorname* { m i n } _ { r ^ { ( 1 ) } , \dots , r ^ { ( d ) } \leqslant 0 } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { d } ( \mu _ { T } ^ { ( i ) } ) ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { t } ^ { ( i ) } - r ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \geqslant \operatorname* { m i n } _ { r ^ { ( i _ { 0 } ) } \leqslant 0 } \mu _ { T } ^ { ( i _ { 0 } ) } \left| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { t } ^ { ( i _ { 0 } ) } - r ^ { ( i _ { 0 } ) } \right| } \\ & { \geqslant \frac { \mu _ { T } ^ { ( i _ { 0 } ) } } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { t } ^ { ( i _ { 0 } ) } . } \end{array}
[ { \cal D } g _ { \mu \nu } ^ { \perp } ] = [ \mathrm { d e t } \langle \phi _ { i } \vert \phi _ { j } \rangle _ { _ T } ] ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \mathrm { d e t } \langle f _ { i } \vert \phi _ { j } \rangle _ { _ T } \, \prod _ { j } d m _ { j }
- { \frac { 1 } { 4 } } \mathrm { t r } ( J \nabla _ { \mu } N J \nabla ^ { \mu } N ) = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \widetilde \nabla \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 \phi } ( \widetilde \nabla \sigma ) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \| \nabla F ( { \mathbf x } ) \| } & { \le \frac { 1 } { | \gamma _ { i } | } \left\| \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma _ { i } } \nabla F ( \mathbf { y } ) \right\| + \frac { J } { 2 | \gamma | } \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma _ { i } } \| \mathbf { y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { | \gamma _ { i } | } \left( \left\| \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma _ { i } } \nabla F ( \mathbf { y } ) \right\| + V \sum _ { \mathbf { y } \in \gamma _ { i } } \| \mathbf { y } - { \mathbf x } \| ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigl [ \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] } & { { } = \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigl [ \hat { \phi } ^ { \dagger } ( \mathbf { x } , z ) , \, \hat { \phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) \Bigr ] } \end{array}
P ( t ) = \sum _ { m , n } { { \mu } _ { m n } { \rho } _ { n m } } = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 N _ { t } } { { \mu } _ { j } \left( { \rho } _ { j } ^ { \omega } e ^ { - i \omega t } + { \rho } _ { j } ^ { - \omega } e ^ { i \omega t } \right) } .
\frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ d ~ } x ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { k _ { 0 } } { 2 \kappa } \chi \right) H _ { z } + k _ { 0 } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \kappa } { k _ { 0 } } \chi \right) H _ { z } - \mathrm { ~ i ~ } k _ { z } \frac { \mathrm { ~ d ~ } H _ { x } } { \mathrm { ~ d ~ } x } = 0 .
\lambda { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } - { \varepsilon } _ { 1 } { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime \prime } + \left( c - \int _ { 0 } ^ { 1 } H _ { { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime } ( s { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime } ) d s \right) { \mathcal V } _ { { \varepsilon } _ { 1 } , { \varepsilon } _ { 2 } } ^ { \prime } = { \Theta } + H _ { { \varepsilon } _ { 2 } } ( 0 ) .
- \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } \, G _ { 0 } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) , \qquad G _ { 0 } ( 0 , \tau ^ { \prime } ) = G _ { 0 } ( \beta , \tau ^ { \prime } ) = 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta \omega ( \xi ; L _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } } ) } { \omega _ { L } } } & { { } = - L _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } } \frac { 2 c ^ { 2 } } { \omega _ { L } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } \left\langle \frac { \partial } { \partial \xi } \frac { \delta n ( r , \xi ; | a _ { s } | ^ { 2 } ) } { \Delta n } \right\rangle _ { \perp } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \operatorname* { s u p } _ { k } | ( K _ { k } ^ { \prime } - L _ { k } ^ { \prime } ) * f | \| _ { \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } ) } ^ { 2 } \leq \operatorname* { s u p } _ { \beta } \ \sum _ { k } | \widehat { K _ { k } ^ { \prime } } ( \beta ) - \widehat { L _ { k } ^ { \prime } } ( \beta ) | ^ { 2 } \cdot \| f \| _ { \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } ) } ^ { 2 } \leq \mathbf { C } _ { d } \cdot \| f \| _ { \ell ^ { 2 } ( \mathbb { Z } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\cos \theta _ { 1 , i } = \frac { ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i + 1 } ) } ) \cdot ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i + 1 } ) } ) } { | ( \vec { z } ^ { ( k ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i + 1 } ) } ) | | ( \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i } ) } - \vec { z } ^ { ( \mathrm { ~ P ~ } _ { i + 1 } ) } ) | } ,
\begin{array} { r } { Z _ { 1 } = { \small \bigg ( \begin{array} { l l } { B _ { 1 } } & { \hat { I } _ { 1 } } \\ { \hat { I } _ { 1 } ^ { \prime } } & { R _ { 1 } } \end{array} \bigg ) } \normalsize \ , \quad Z _ { 2 } = { \small \bigg ( \begin{array} { l l } { B _ { 2 } } & { \hat { I } _ { 2 } ^ { \prime } } \\ { \hat { I } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } \end{array} \bigg ) } \normalsize \ , \quad Z _ { 3 } = { \small \bigg ( \begin{array} { l l } { B _ { 3 } } & { \hat { I } _ { 3 } ^ { \prime } } \\ { \hat { I } _ { 3 } } & { R _ { 3 } } \end{array} \bigg ) } \normalsize \qquad \mathrm { a n d } \qquad Z _ { 4 } = { \small \bigg ( \begin{array} { l l } { B _ { 4 } } & { \hat { I } _ { 4 } ^ { \prime } } \\ { \hat { I } _ { 4 } } & { R _ { 4 } } \end{array} \bigg ) } \normalsize \ , } \end{array}
m _ { p h y s . } ^ { 2 } = m ^ { 2 } + g ^ { 2 } \delta m _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { { \cal M } _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { \infty } d { \cal M } ^ { 2 } \frac { f _ { \lambda _ { 0 } } ^ { 2 } } { { \cal M } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } = m ^ { 2 } + g ^ { 2 } \delta \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } \; .
\left\langle \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ } } ^ { \rightarrow \mathrm { ~ B ~ o ~ b ~ } } \right\rangle _ { \varphi } = \mathrm { ~ t ~ r ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ } } \left\langle \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ E ~ } } ^ { \rightarrow \mathrm { ~ B ~ o ~ b ~ } } \right\rangle _ { \varphi }
\int d ^ { 2 } k K _ { v i r t } ( { \bf q } , { \bf k } ) \varphi ( y , { \bf k } ) = - { \frac { { \bf q } ^ { 2 } } { 2 } } \int d ^ { 2 } k { \frac { 1 } { { \bf k } ^ { 2 } ( { \bf q } - { \bf k } ) ^ { 2 } } } \varphi ( y , { \bf q } )
{ \frac { \alpha _ { s } ( k ^ { 2 } ) } { 2 \pi } } \int _ { k _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { k ^ { 2 } } { \frac { d k ^ { \prime 2 } } { k ^ { \prime 2 } } } \left[ { \frac { 1 1 } { 2 } } - { \frac { N _ { F } } { 3 } } + 6 l n ( 1 - x ^ { \prime } ) \right] f _ { g } ( x ^ { \prime } , k ^ { \prime 2 } )
W _ { q } ^ { 2 } = q ^ { 2 } + V ^ { \prime \prime } + { \frac { 5 } { 1 6 } } \left[ \left( { \frac { V ^ { \prime \prime \prime } } { q ^ { 2 } + V ^ { \prime \prime } } } \right) ^ { 2 } - { \frac { V ^ { \prime \prime \prime \prime } } { 4 ( q ^ { 2 } + V ^ { \prime \prime } ) } } \right] \dot { \phi } ^ { 2 } - { \frac { V ^ { \prime \prime \prime } } { 4 ( q ^ { 2 } + V ^ { \prime \prime } ) } } \ddot { \phi } + \ldots ,
\begin{array} { r l } { R ( \widetilde g + h ( \widetilde g ) ) } & { = R ( ( 1 - \psi ) g _ { S } ^ { \widetilde m } + \psi g _ { S } ^ { m } ) + L _ { g _ { \psi } } ( \psi \widehat h + h ( \widetilde g ) ) + \mathcal Q _ { g _ { \psi } } ( \psi \widehat h + h ( \widetilde g ) ) } \\ & { = R ( ( 1 - \psi ) g _ { S } ^ { \widetilde m } + \psi g _ { S } ^ { m } ) + L _ { g _ { S } ^ { m } } ( \psi \widehat h + h ( \widetilde g ) ) } \\ & { \qquad + ( L _ { g _ { \psi } } - L _ { g _ { S } ^ { m } } ) ( \psi \widehat h + h ( \widetilde g ) ) + \mathcal Q _ { g _ { \psi } } ( \psi \widehat h + h ( \widetilde g ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 N } } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 N } } \; B _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } \end{array}
\epsilon ^ { a b } \partial _ { a } \Pi _ { \mu \nu } \partial _ { b } x ^ { \nu } = 0 \ , \qquad \Pi _ { \mu \nu } \equiv { \frac { \partial L } { \partial \dot { x } ^ { \mu \nu } } } = m ^ { 2 } { \frac { \dot { x } _ { \mu \nu } } { \sqrt { - \gamma ( { \xi } ) } } } \ ,