harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \left| { { \mathbb E } \left( { { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } { { \bf { f } } _ { q , n } } } \right) } \right| ^ { 2 } } } \\ { = } & { { \left| { { \mathbb E } \left( { \left( { { \bf { \hat { h } } } _ { q , n } ^ { H } + { \bf { \bar { e } } } _ { q , n } ^ { H } } \right) \sqrt { { \lambda _ { q } } \left( { { L _ { t } } - Q } \right) } { { \bf { a } } _ { q } } } \right) } \right| ^ { 2 } } \mathrm { { = } } { \rho _ { q } ^ { 2 \left( { n - 1 } \right) } } { \lambda _ { q } } \left( { { L _ { t } } - Q } \right) , } \\ & { { \mathbb E } \left( { { { \left| { { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } { { \bf { f } } _ { n } } - { \mathbb E } \left( { { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } { { \bf { f } } _ { n } } } \right) } \right| } ^ { 2 } } } \right) } \\ { = } & { { \mathbb E } \left( { { { \left| { \left( { { \rho _ { q } ^ { n - 1 } } { \bf { \hat { h } } } _ { q , 1 } ^ { H } + { \bf { \bar { e } } } _ { q , n } ^ { H } } \right) \sqrt { { \lambda _ { q } } \left( { { L _ { t } } - Q } \right) } { { \bf { a } } _ { q } } } \right| } ^ { 2 } } } \right) - { \left| { { \mathbb E } \left( { { \bf { h } } _ { q , n } ^ { H } { { \bf { f } } _ { q , n } } } \right) } \right| ^ { 2 } } } \\ { = } & { { \lambda _ { q } } \left( { { L _ { t } } - Q } \right) \left( { { \beta _ { q } } - { \rho _ { q } ^ { 2 \left( { n - 1 } \right) } } { \lambda _ { q } } } \right) { \mathbb E } \left( { { { \left\| { { { \bf { a } } _ { q } } } \right\| } ^ { 2 } } } \right) = { { \beta _ { q } } - { \rho _ { q } ^ { 2 \left( { n - 1 } \right) } } { \lambda _ { q } } } , } \\ & { { \mathbb E } \left( { { { \left| { \left( { { \bf { \hat { h } } } _ { q , n } ^ { H } + { \bf { \bar { e } } } _ { q , n } ^ { H } } \right) { { \bf { f } } _ { i , n } } } \right| } ^ { 2 } } } \right) } \\ { = } & { { \mathbb E } \left( { { { \left| { { \rho _ { q } ^ { n - 1 } } { \bf { \hat { h } } } _ { q , 1 } ^ { H } \sqrt { { \lambda _ { i } } \left( { { L _ { t } } - Q } \right) } { { \bf { a } } _ { i } } } \right| } ^ { 2 } } } \right) + { \mathbb E } \left( { { { \left| { { \bf { \bar { e } } } _ { q , n } ^ { H } \sqrt { { \lambda _ { i } } \left( { { L _ { t } } - Q } \right) } { { \bf { a } } _ { i } } } \right| } ^ { 2 } } } \right) } \\ { = } & { { { \beta _ { q } } - { \rho _ { q } ^ { 2 \left( { n - 1 } \right) } } { \lambda _ { q } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| I ( C _ { \ell + 1 } ) \right| } & { = \left| C _ { \ell + 1 } \right| + \left| I ( C _ { \ell + 1 } ) \setminus C _ { \ell + 1 } \right| \leq \left| C _ { \ell } \right| - 1 + \left| I ( C _ { \ell } ) \setminus C _ { \ell } \right| } \\ & { < \left| I ( C _ { \ell } ) \setminus C _ { \ell } \right| + \left| C _ { \ell } \right| = \left| I ( C _ { \ell } ) \right| \, , } \end{array}
B ^ { \mathrm { T } } ( l _ { 3 } , l _ { 2 } , l _ { 1 } ) \; = \; e ^ { \pi i ( \Delta _ { l _ { 3 } } - \Delta _ { l _ { 2 } } - \Delta _ { l _ { 1 } } ) } , \qquad \Delta _ { l } = \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } + \Bigl ( \frac { l } { 4 \pi b } \Bigr ) ^ { 2 } .
\operatorname* { l i m } _ { c \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big ( | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ^ { c } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ^ { \infty } ( t ) | ^ { 2 } + | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { c } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } ^ { \infty } ( t ) | ^ { 2 } \Big ) = 0 .
\begin{array} { r l r } { \rho _ { \textrm { m } } ^ { x } ( \vec { r } ) } & { = } & { \rho ^ { \alpha \beta } ( \vec { r } ) + \rho ^ { \beta \alpha } ( \vec { r } ) , } \\ { \rho _ { \textrm { m } } ^ { y } ( \vec { r } ) } & { = } & { \mathrm { i } \left( \rho ^ { \alpha \beta } ( \vec { r } ) - \rho ^ { \beta \alpha } ( \vec { r } ) \right) , } \\ { \rho _ { \textrm { m } } ^ { z } ( \vec { r } ) } & { = } & { \rho ^ { \alpha \alpha } ( \vec { r } ) - \rho ^ { \beta \beta } ( \vec { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \chi ^ { 2 } } ( L | | \overline { { M } } ) } & { = D _ { \chi ^ { 2 } } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) + D _ { \chi ^ { 2 } } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) , } \\ { D _ { \chi ^ { 2 } } ( \overline { { M } } | | L ) } & { = D _ { \chi ^ { 2 } } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) + D _ { \chi ^ { 2 } } ( M ^ { f } | | L ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { 1 } = \frac { I _ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \left[ I _ { 2 } \Omega _ { 2 } \dot { \gamma } _ { 3 } + ( c - m _ { 3 } \gamma _ { 3 } ) \Omega _ { 1 } \right] , \qquad \gamma _ { 2 } = \frac { I _ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } } \left[ - I _ { 2 } \Omega _ { 1 } \dot { \gamma } _ { 3 } + ( c - m _ { 3 } \gamma _ { 3 } ) \Omega _ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) } \\ & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) + \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } \delta \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } \delta \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } } \\ & { = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \delta \mathbf { U } _ { i - 1 , j } + \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } } \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j } } \\ & { + \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } \delta \mathbf { U } _ { i + 2 , j } } \end{array}
\delta \equiv < V _ { P } ^ { r 1 } > = \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } d r [ { \frac { - 3 } { 2 m ^ { 2 } } } { \frac { 4 \alpha _ { s } } { 3 } } { \frac { 1 } { r ^ { 3 } } } ( R ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } r ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { H ^ { i } ( ( \hat { { \mathbb Z } } ^ { \prime } ) ^ { r } , M ) = \varinjlim _ { ( n , p ) = 1 } H ^ { i } ( ( \hat { { \mathbb Z } } ^ { \prime } ) ^ { r } , M [ n ] ) = } & { \varinjlim _ { ( n , p ) = 1 } M [ n ] \otimes _ { { \mathbb Z } } ( \bigwedge ^ { i } X _ { r } ) } \\ { = } & { M ^ { \prime } \otimes _ { { \mathbb Z } } ( \bigwedge ^ { i } X _ { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { ( 2 + 2 \eta \tau _ { 1 } ) } \left[ \ln \frac { 1 } { 2 ( 1 + \eta \tau _ { 1 } ) \mathbf { C } _ { 3 } } + ( 1 + 2 \eta \tau _ { 1 } ) \ln \frac { 1 + 2 \eta \tau _ { 1 } } { 2 ( 1 + \eta \tau _ { 1 } ) \mathbf { C } _ { 4 } } \right] = - \frac { 1 } { 2 } \ln ( 4 \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } ) } \end{array}
a _ { f } ^ { N } = a _ { f } ^ { \prime } \displaystyle { \sqrt { \frac { s } { m _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } - s } } } ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ v _ { f } ^ { N } = v _ { f } ^ { \prime } \displaystyle { \sqrt { \frac { s } { m _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } - s } } } .
\begin{array} { r l } { ( A _ { c } - K _ { c } H ) ^ { \top } P + P ( A _ { c } - K _ { c } H ) } & { \leq a _ { c } P } \\ { ( A _ { d } - K _ { d } H ) ^ { \top } P ( A _ { d } - K _ { d } H ) } & { \leq e ^ { a _ { d } } P } \\ { a _ { c } t + a _ { d } j \leq M - \beta ( t + j ) \qquad \forall ( t , j ) \in } & { \mathbb { R } _ { \geq 0 } \times \mathbb { N } _ { \geq 0 } . } \end{array}
u ( z , t ) = \frac { 3 P _ { A } } { 3 K + 4 G } \Bigg [ ( h - z ) + \gamma \alpha \sum _ { n = 1 , 3 } ^ { \infty } E _ { 1 - \beta , 1 } \left( - { \frac { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \bar { \lambda } t ^ { 1 - \beta } } { 4 h ^ { 2 } } } \right) \frac { 8 h } { ( n \pi ) ^ { 2 } } \bigg \{ ( - 1 ) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \sin \frac { n \pi z } { 2 h } - 1 \bigg \} \Bigg ]
K _ { x } \left( t \right) = \log { M _ { x } \left( t \right) } = \left( { \frac { \sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 } } + \mu t \right) + \log { \left\lbrace 1 - \Phi \left( - { \frac { \mu } { \sigma } } - \sigma t \right) + e ^ { { \frac { \sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 } } - \mu t } \left[ 1 - \Phi \left( { \frac { \mu } { \sigma } } - \sigma t \right) \right] \right\rbrace }
\begin{array} { r } { q _ { w } = C l \left( \frac { \partial q _ { b } } { \partial r } \right) _ { r = R } - \gamma l ^ { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } q _ { b } } { \partial r ^ { 2 } } \right) _ { r = R } } \end{array}
\mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } = \frac { \int \mathrm { { C D } } _ { \mathrm { { t o t } } } ( { \bf r } ) d S } { \int \mathrm { { C D } } _ { \mathrm { { i n c } } } ( { \bf r } ) d S } = 1 + \frac { \int \mathrm { { C } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d S + \int \mathrm { { C } } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d S } { \int \mathrm { { C } } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) d S } ,
\begin{array} { r l } { ( f _ { 1 } ^ { \prime } \times f _ { 2 } ^ { \prime } \times f _ { 3 } ^ { \prime } ) \, } & { ( f _ { 1 } \times \, 1 \, \times \, 1 \, ) } \\ { ( \, 1 \; \times f _ { 2 } ^ { \prime } \times f _ { 3 } ^ { \prime } ) \, } & { ( f _ { 1 } \times f _ { 2 } \times \, 1 \, ) } \\ { ( \, 1 \; \times \, 1 \; \times f _ { 3 } ^ { \prime } ) \, } & { ( f _ { 1 } \times f _ { 2 } \times f _ { 3 } ) . } \end{array}
\int _ { \mathbb R ^ { 3 } } \delta ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z - \rho ) ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } ) \, | \nabla ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( z - \rho ) ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } ) | \, d x d y d z = \, 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \delta ( r ( r - 2 \rho \cos \theta ) ) \, 2 \sqrt { r ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } - 2 \rho r \cos \theta } \; r ^ { 2 } \sin \theta \, d r d \theta .
s = { \frac { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + ( x x ^ { \prime } + y y ^ { \prime } ) ( x y x ^ { \prime } y ^ { \prime } - { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } ) } { 2 { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r l } { \textbf A _ { \ast } ( b ) } & { \leq \int _ { t _ { 0 } } ^ { b } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( \| x - \psi ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } + \| \hat { u } _ { ( a , b , \mu ^ { 0 } ) } ( t , x ) - u ^ { ( \sigma ) } \| ^ { 2 } \right) d \hat { \mu } _ { ( a , b , \mu ^ { 0 } ) } ( t , x ) \, d t } \\ & { \leq \textbf V ( t _ { 0 } , \, b , \, \hat { \mu } ^ { 0 } ) } \\ & { \leq \frac { \mathcal C _ { 0 } ^ { 2 } } { \lambda ( b - a ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \| x - \psi ^ { ( \sigma ) } \| \, d \mu ( a , x ) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { \pi \Delta _ { \alpha \beta } } } \left[ 1 - { \frac { 1 } { 3 } } ( \pi \Delta _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } \right] = { \frac { 1 + ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } B ) ^ { 2 } q _ { \alpha } q _ { \beta } } { ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } B ) ( q _ { \alpha } - q _ { \beta } ) } } ~ ,
F _ { c l } ( \geq E _ { f } , R , \theta ) = D _ { 0 } E _ { 0 } ^ { c r } ( \theta ) e ^ { - \beta R \gamma } ( E _ { f } + y ) ^ { - \gamma } \mathrm { B } ( \gamma , 1 ) \, { _ 2 \mathrm { F } _ { 1 } } ( \gamma , \gamma , \gamma + 1 , z ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) } { \partial t } = } & { \left[ - \gamma _ { \mathrm { r } } - R \left( | \Psi _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) | ^ { 2 } + | \Psi _ { \mp } ( \mathbf { r } , t ) | ^ { 2 } \right) \right] n _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) } \\ & { + P _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) \, . } \end{array}
A _ { \mu \nu \lambda } = \{ \begin{array} { l } { { \frac { H } { 4 } \epsilon _ { a _ { 1 } b _ { 1 } c _ { 1 } d _ { 1 } } Q _ { 1 } ^ { d _ { 1 } } } } \\ { { \frac { H } { 4 } \epsilon _ { a _ { 2 } b _ { 2 } c _ { 2 } d _ { 2 } } Q _ { 2 } ^ { d _ { 2 } } } } \end{array} .
\textit { L o s s } = \frac { \| u ^ { * } - u \| _ { 2 } } { \| u \| _ { 2 } } , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \| \mathbf { A } \| _ { 2 } = \frac { 1 } { n } \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left| \mathbf { A } _ { \mathbf { k } } \right| ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \hat { x } ^ { T } \rangle } & { = \int V ^ { \prime } ( q _ { t } + x ) \otimes x ^ { T } \rho ( x ) d ^ { D } x } \\ & { = - \int \nabla V ( q _ { t } + x ) \otimes \nabla ^ { T } \rho ( x ) d ^ { D } x \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) } \\ & { = \int \rho ( x ) \nabla \otimes \nabla ^ { T } V ( q _ { t } + x ) d ^ { D } x \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) } \\ & { = \left\langle \nabla \otimes \nabla ^ { T } V \right\rangle \cdot \operatorname { C o v } ( \hat { q } ) . } \end{array}
\frac \lambda 4 G _ { 1 } \left( x , x \right) G \left( x , x ^ { \prime } \right) = \frac \lambda 4 \int \frac { d ^ { 4 } p } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } \frac { d ^ { 4 } q } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } e ^ { i p u } G _ { 1 } \left( x , q \right) G \left( X , p \right)
\begin{array} { r } { ( \nabla _ { y } \cdot \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } ) _ { k } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \left[ \frac { \partial } { \partial y _ { j } } ( \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } ) _ { k i } \frac { \partial T _ { j } } { \partial x _ { i } } \right] + ( \mathbf { J } _ { T } \mathbf { D } \nabla _ { y } \cdot \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } ) _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { i j } ^ { 2 } ( a _ { L } v _ { K } ^ { i } v _ { M } ^ { j } ) } & { = \partial _ { j } ( \partial _ { i } a _ { L } v _ { K } ^ { i } v _ { M } ^ { j } ) + \partial _ { j } ( a _ { L } v _ { K } ^ { i } \partial _ { i } v _ { M } ^ { j } ) } \\ & { = \partial _ { j } ( \partial _ { i } a _ { L } v _ { K } ^ { i } v _ { M } ^ { j } ) + \partial _ { j } a _ { L } v _ { K } ^ { i } \partial _ { i } v _ { M } ^ { j } + a _ { L } \partial _ { j } v _ { K } ^ { i } \partial _ { i } v _ { M } ^ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { C _ { \alpha } C _ { \beta } } \right\rangle } & { { } = C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } , } \\ { \left\langle { C _ { \alpha } C _ { \beta } C _ { \gamma } } \right\rangle } & { { } = C _ { \alpha } C _ { \beta } C _ { \gamma } - \frac { 1 } { 5 } C ^ { 2 } \left( C _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } + C _ { \beta } \delta _ { \alpha \gamma } + C _ { \gamma } \delta _ { \alpha \beta } \right) , } \\ { \left\langle { C _ { \alpha } C _ { \beta } C _ { \gamma } C _ { \lambda } } \right\rangle } & { { } = C _ { \alpha } C _ { \beta } C _ { \gamma } C _ { \lambda } - \frac { C ^ { 4 } } { 1 5 } \left( \delta _ { \alpha \beta } \delta _ { \gamma \lambda } + \delta _ { \alpha \lambda } \delta _ { \beta \gamma } + \delta _ { \alpha \gamma } \delta _ { \beta \lambda } \right) . } \end{array}
\lambda _ { h 2 } = \lambda _ { h 2 } ^ { ( 0 ) } + k ^ { - 2 } \lambda _ { h 2 } ^ { ( 2 ) } g _ { h } ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } + k ^ { - 4 } \lambda _ { h 2 } ^ { ( 4 ) } g _ { h } ^ { \mu \nu } g _ { h } ^ { \rho \sigma } \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \partial _ { \rho } \partial _ { \sigma } + \ldots
\begin{array} { r l r } { M ( \textbf { p } ) } & { \propto } & { - i \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \sum _ { s } \bigg \{ \operatorname* { d e t } \bigg [ \frac { \partial \mathbf { q } _ { s } ( t ) } { \partial \mathbf { r } _ { s } ( t _ { 0 , s } ) } \bigg ] \bigg \} ^ { - 1 / 2 } e ^ { i S ( \textbf { q } _ { s } , \textbf { r } _ { s } , t _ { 0 , s } , t ) ) } } \\ & { } & { \times \mathcal { C } ( t _ { 0 , s } ) \sum _ { a } \left\langle \mathbf { q } _ { s } ( t _ { 0 , s } ) + \mathbf { A } ( t _ { 0 , s } ) \right. | \textbf { r } \cdot \textbf { E } ( t _ { 0 , s } ) | \psi _ { a } \rangle } \\ & { } & { \times { c _ { a } } \left[ e ^ { i \textbf { p } \cdot \textbf { R } / 2 } + ( - 1 ) ^ { l _ { a } } e ^ { - i \textbf { p } \cdot \textbf { R } / 2 } \right] , \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \mu \nu , \uparrow \uparrow } = } & { { } \sum _ { p } b _ { p \uparrow \mu } A _ { p p } b _ { p \uparrow \nu } ^ { * } + \sum _ { \bar { p } } b _ { \bar { p } \uparrow \mu } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \uparrow \nu } ^ { * } = \sum _ { \bar { p } } b _ { \bar { p } \downarrow \mu } ^ { * } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \downarrow \nu } + \sum _ { p } b _ { p \downarrow \mu } ^ { * } A _ { p p } b _ { p \downarrow \nu } = - A _ { \mu \nu , \downarrow \downarrow } ^ { * } } \\ { A _ { \mu \nu , \downarrow \uparrow } = } & { { } \sum _ { p } b _ { p \downarrow \mu } A _ { p p } b _ { p \uparrow \nu } ^ { * } + \sum _ { \bar { p } } b _ { \bar { p } \downarrow \mu } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \uparrow \nu } ^ { * } = - \sum _ { p } b _ { \bar { p } \uparrow \mu } ^ { * } A _ { \bar { p } \bar { p } } b _ { \bar { p } \downarrow \nu } - \sum _ { \bar { p } } b _ { p \uparrow \mu } ^ { * } A _ { p p } b _ { p \downarrow \nu } = A _ { \mu \nu , \uparrow \downarrow } ^ { * } \; . } \end{array}
\rho ( t ) = { \frac { \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } ( t ) \right| ^ { 3 } } { \sqrt { \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } ( t ) \right| ^ { 2 } \, \left| { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime } ( t ) \right| ^ { 2 } - { \big ( } { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime } ( t ) \cdot { \boldsymbol { \gamma } } ^ { \prime \prime } ( t ) { \big ) } ^ { 2 } } } } \, ,
\begin{array} { r } { n _ { q } ^ { s } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 0 } ( q ) \times 1 \times h = h f _ { 0 } ( q ) } & { \mathrm { ~ H ~ - ~ q ~ t ~ \geq ~ h ~ } } \\ { f _ { 0 } ( q ) \times 1 \times ( H - q t ) = ( H - q t ) f _ { 0 } ( q ) } & { \mathrm { ~ 0 ~ < ~ H ~ - ~ q ~ t ~ < ~ h ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ H ~ - ~ q ~ t ~ \leq ~ 0 ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varphi ( x , x ) = \frac { d _ { 2 } } { { q _ { 1 } } + { q _ { 2 } } } , } \\ & { { q _ { 2 } } \varphi ( x , 0 ) + { q _ { 1 } } p \phi ( x , 0 ) = { \gamma } ( x ) B , } \\ & { \Psi ( x , x ) = \frac { - d _ { 3 } } { { q _ { 1 } } + { q _ { 2 } } } , } \\ & { { q _ { 2 } } \Phi ( x , 0 ) + { q _ { 1 } } p \Psi ( x , 0 ) = \lambda ( x ) B , } \\ & { { \lambda ( 0 ) = K ^ { T } } , } \\ & { { { \gamma } ( 0 ) = C - p K ^ { T } } , } \end{array}
\Im [ c _ { m } ( t + \Delta t ) ] = \Im [ c _ { m } ( t ) ] \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } | \alpha _ { p } ^ { m } ( t ) | ^ { 2 } \Delta t \right]
\begin{array} { r } { P ^ { \mathrm { f w } } ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } = 0 ) = \sqrt { \frac { \gamma } { \pi D ( 1 - e ^ { - 2 \gamma t } ) } } \left( e ^ { - \frac { \gamma \left( \widehat { L } - \widehat { L } _ { 0 } e ^ { - \gamma t } \right) ^ { 2 } } { D \left( 1 - e ^ { - 2 \gamma t } \right) } } - e ^ { - \frac { \gamma \left( \widehat { L } + \widehat { L } _ { 0 } e ^ { - \gamma t } \right) ^ { 2 } } { D \left( 1 - e ^ { - 2 \gamma t } \right) } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } _ { \varepsilon } ] } \widetilde { \mathscr E } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } \widetilde { \mathscr D } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) d t \leq C _ { M } ( \varepsilon \delta ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\langle { \cal R } _ { c } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \rangle _ { \mathrm { l o o p s } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { s } ^ { \infty } d t _ { 2 } { \cal R } _ { c } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } ) { \cal W } _ { c } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ; s ) = 6 D s p _ { l } \alpha _ { l } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \int _ { s } ^ { \infty } d t _ { 2 } \left( 1 - \frac { s } { t _ { 1 } + t _ { 2 } } \right) e ^ { - \alpha _ { l } ( t _ { 1 } + t _ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { U ^ { N + l - i } \bigl ( f ^ { i } ( x ) \bigr ) } & { \subseteq B _ { d } \bigl ( f ^ { i } ( x ) , K \Lambda ^ { - N - l + i } \bigr ) } \\ & { \subseteq B _ { d } \bigl ( f ^ { i } ( x ) , 2 K ^ { 2 } \delta \Lambda ^ { \kappa - l + 1 + i } \bigr ) \subseteq B _ { d } \bigl ( f ^ { i } ( x ) , 2 K ^ { 2 } \delta _ { 2 } \Lambda ^ { \kappa + 1 } \bigr ) . } \end{array}
\bar { f } \left( \xi , \gamma , \mathcal { A } \right) = \left( \frac { \xi } { \gamma + \mathcal { A } } \right) ^ { d - 1 } \left[ 1 + 0 . 3 \left( 1 - \frac { \xi - \mathcal { A } } { \gamma } \right) \left( \frac { \mathcal { A } } { \gamma + \mathcal { A } } \right) ^ { 4 } \right]
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } ^ { ( 2 ) } ( \omega ^ { ( 2 ) } ) } & { { } = \frac { 1 } { \omega ^ { ( 2 ) } - \hat { \epsilon } } \circ \left[ \hat { h } ^ { \alpha _ { 2 } } , \hat { \rho } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) \right] A _ { \alpha _ { 2 } } ( \omega _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { u } _ { j } = } & { { } a _ { j } \exp \left[ - \frac { ( \tau - \xi _ { j } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { j } ^ { 2 } } \right] \exp \left[ i ( d _ { j } ( \tau - \xi _ { j } ) ^ { 2 } + c _ { j } ( \tau - \xi _ { j } ) + b _ { j } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( L _ { 1 } - \sigma _ { \parallel , 1 } k _ { \parallel } ^ { 2 } ) ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 1 f } ) = } \\ & { \frac { 2 } { c } \mathbf { b } \times \mathbf { \kappa } \cdot p - \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { 4 \pi \Omega _ { i } ^ { 2 } } ( \mathbf { v } _ { E 0 } \cdot \nabla \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 0 f } + \mathbf { v } _ { E 0 f } \cdot \nabla \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 0 } ) } \\ & { \sim \frac { n e } { \omega _ { i } \delta _ { b } } \left[ \frac { \delta n } { n } \frac { 2 c _ { s } ^ { 2 } } { R } + \frac { e \phi _ { 0 } } { T _ { e } } \left( \frac { \rho _ { s } ^ { 2 } } { L _ { f } ^ { 2 } } + \frac { \rho _ { s } ^ { 2 } } { \delta _ { b } ^ { 2 } } \right) \frac { e E _ { 0 f } } { m _ { i } } \right] } \end{array}
{ \cal O } _ { r } ( \mid \psi > r ) = ( { \cal O } _ { 1 } + { \cal O } _ { 2 } \mid i + { \cal O } _ { 3 } \mid j + { \cal O } _ { 4 } \mid k ) ( \mid \psi > r ) = ( { \cal O } _ { r } \mid \psi > ) r \; \; ,
\left( \begin{array} { l l } { \hbar \Omega + { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } + A _ { 0 } ^ { 2 } \right) } + 1 } & { { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } + A _ { 0 } ^ { 2 } \right) } } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } + A _ { 0 } ^ { 2 } \right) } } & { \hbar \Omega - { \frac { 1 } { 2 } } { \left( \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } + A _ { 0 } ^ { 2 } \right) } - 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { B } & { { } = } & { ( \delta _ { \mu \nu } q ^ { 2 } - q _ { \mu } q _ { \nu } ) I , } \\ { I } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, x ( 1 - x ) \int { \frac { d ^ { \, 4 } p / ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { [ p ^ { 2 } - m ^ { 2 } + q ^ { 2 } x ( 1 - x ) ] ^ { 2 } } } } \end{array}
V ( \tilde { \phi } ) = { \frac { 1 } { 2 } } g _ { A } ^ { 2 } G \xi _ { A } ^ { 2 } + { \frac { k ^ { 4 } \vert \tilde { \phi } _ { c } \vert ^ { 4 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \ln { \frac { k ^ { 2 } \vert \tilde { \phi } \vert ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } .
- M _ { 1 } - { \frac { p _ { 8 } n _ { 8 } } { 3 } } - { \frac { p _ { 3 } n _ { 3 } } { 2 } } - { \frac { p _ { 1 } n _ { 1 } } { 6 } } = \mathrm { e v e n } \ \mathrm { i n t e g e r }