harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\varepsilon \mathcal { D } _ { t } f _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { 2 } { \mathcal { D } _ { t } } ^ { 2 } f _ { i } + { O } ( \varepsilon ^ { 3 } ) = 2 \beta \left( f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } - f _ { i } \right) .
\frac { d q _ { \mu } } { d \tau } = \frac { 1 } { 2 } m \partial _ { \mu } a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } ( X ) - \frac { 2 \alpha } { 3 } m ( a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } \eta _ { e } ) ^ { 2 } q _ { \mu } .
{ \frac { d \rho } { d t } } = { \frac { \partial \rho } { \partial t } } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial \rho } { \partial q _ { i } } } { \dot { q } } _ { i } + { \frac { \partial \rho } { \partial p _ { i } } } { \dot { p } } _ { i } \right) = 0 .
d \langle \kappa _ { 1 } \rangle / d t \approx \langle \left( \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \cdot \boldsymbol { H } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \parallel } \right) \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { \perp } \rangle \approx \langle | \boldsymbol { \hat { e } } _ { 1 } \cdot \boldsymbol { H } \cdot \boldsymbol { \hat { e } } _ { 1 } | \rangle \beta
\left\{ \begin{array} { l l } { { \dot { q } } _ { m + 1 } = \alpha _ { 1 } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { m } , t ) } \\ { \dots } \\ { \dots } \\ { { \dot { q } } _ { n } = \alpha _ { k } ( q _ { 1 } , \dots , q _ { n } , { \dot { q } } _ { 1 } , \dots , { \dot { q } } _ { m } , t ) } \end{array} \right.
X _ { k } = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x _ { n } \cos \left[ { \frac { \pi } { N } } \left( n + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \left( k + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right] \quad \quad k = 0 , \dots , N - 1 .
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } ^ { n h _ { n } } } & { = \frac { \sigma } { \sqrt { n } } Z _ { 1 } + \operatorname* { m i n } \Big ( \epsilon _ { 1 } , M _ { 2 } ^ { n h _ { n } } \Big ) } \\ & { = \frac { \sigma } { \sqrt { n } } Z _ { 1 } + \operatorname* { m i n } \Big ( \epsilon _ { 1 } , \frac { \sigma } { \sqrt { n } } Z _ { 2 } + \operatorname* { m i n } \Big ( \epsilon _ { 2 } , M _ { 3 } ^ { n h _ { n } } \Big ) \Big ) } \\ & { = \frac { \sigma } { \sqrt { n } } Z _ { 1 } + \operatorname* { m i n } \bigg ( \ldots ~ \operatorname* { m i n } \bigg ( \epsilon _ { n h _ { n } - 2 } , \frac { \sigma } { \sqrt { n } } Z _ { n h _ { n } - 1 } + \operatorname* { m i n } \Big ( \epsilon _ { n h _ { n } - 1 } , \frac { \sigma } { \sqrt { n } } Z _ { n h _ { n } } + \epsilon _ { n h _ { n } } \Big ) \bigg ) \ldots \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n + 1 } ^ { \prime } } & { = H _ { n } ^ { \prime } + x ^ { n + 2 } \frac { \partial } { \partial \phi } T _ { n } ( H _ { n } , \phi _ { n } , x ) \phi _ { n } ^ { \prime } + \mathcal O ( x ^ { n + 3 } ) } \\ & { = x ^ { 3 } \Lambda _ { n } ( H _ { n } , x ) + x ^ { n + 2 } \overline { R } _ { n } ( H _ { n } , x ) + x ^ { n + 2 } \left\{ \widetilde R _ { n } ( H _ { n } , \phi _ { n } , x ) + \frac { \partial } { \partial \phi _ { n } } T _ { n } ( H _ { n } , \phi _ { n } , x ) \Omega _ { 0 } ( H _ { n } ) \right\} } \\ & { + \mathcal O ( x ^ { n + 3 } ) } \\ & { : = x ^ { 3 } \Lambda _ { n + 1 } ( H _ { n + 1 } , x ) + x ^ { n + 3 } R _ { n + \frac 1 2 } ( H _ { n + 1 } , \phi _ { n } , x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle t \rangle _ { n \, | \, n _ { 0 } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } t \, P _ { n } ^ { \mathrm { ~ F ~ P ~ } } ( t \, | \, n _ { 0 } ) \, \mathrm { ~ d ~ } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { p } ^ { \mathrm { P R } } ( E ( \alpha ) / K ) ^ { + , S ^ { \prime } } } & { : = \mathcal { L } _ { p } ^ { \mathrm { P R } } ( E ( \alpha ) / K ) ^ { + } \cdot \prod _ { w \in S ^ { \prime } } \mathcal { P } _ { w } ^ { + } ( \alpha ) , } \\ { \mathcal { L } _ { p } ^ { \mathrm { G r } } ( f ( \alpha ) / K ) ^ { \pm , S ^ { \prime } } } & { : = \mathcal { L } _ { p } ^ { \mathrm { G r } } ( f ( \alpha ) / K ) ^ { \pm } \cdot \prod _ { w \in S ^ { \prime } } \mathcal { P } _ { w } ^ { \pm } ( \alpha ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \tau } _ { i \rightarrow j } = p ^ { [ H ] } \left[ 1 - \prod _ { \ell \in \mathcal { N } ( i ) \backslash j } \left( 1 - \tau _ { \ell \rightarrow i } \right) \right] , } \\ { \tau _ { i \rightarrow j } = p ^ { [ N ] } \left[ 1 - \prod _ { \ell \in \mathcal { N } ( i ) \backslash j } \left( 1 - \hat { \tau } _ { \ell \rightarrow i } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| \frac { \lambda _ { 1 } ( \Sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } A \Sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) } { \lambda _ { m } ( \Sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } A \Sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) } \right| \leq \left| \frac { \lambda _ { 1 } ( A ) } { \lambda _ { m } ( A ) } \right| \frac { \lambda _ { 1 } ( \Sigma ) } { \lambda _ { m } ( \Sigma ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 7 2 p ( \theta ) = } & { { } \; 1 0 \sqrt { 5 \! - \! 4 \cos \theta } - 2 3 + \Big ( \, 7 + 6 \ln ( 4 / 2 7 ) - 2 \ln ( 1 \! - \! \cos \theta ) } \end{array}
1 - \frac { d q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \int _ { \epsilon ( k ) } ^ { 1 - \epsilon ( k ) } d z \sum _ { b , c } P _ { a \rightarrow b c } ( z ) \frac { \alpha _ { s } [ z ( 1 - z ) q ^ { 2 } ] } { 2 \pi } \; ,
\begin{array} { r l } { \bar { c } D \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } _ { t } ) ) + \bar { d } D ^ { 2 } \nabla ( \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } _ { t } ) } & { = \bar { c } \nabla ( D \nabla \! \cdot \! ( D \mathbf { u } _ { t } ) ) + \bar { d } \nabla ( D ^ { 2 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } _ { t } ) + O ( \beta ) } \\ & { = \bar { c } \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) ) + \bar { d } \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) ) + O ( \beta ) } \\ & { = B \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) ) + O ( \beta ) } \\ & { = c \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) ) + d \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) ) + O ( \beta ) } \\ & { = - c \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \eta ) ) + d \nabla ( \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) ) + O ( \beta ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( \bigg ( \frac { \partial } { \partial { t } } } & { { } + \omega _ { \nu } \bigg ) \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) + \omega _ { M } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) + \omega _ { C } ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \eta } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial } { \partial { t } } + \omega _ { \kappa } \right) } \end{array}
\frac { \mu _ { 2 0 } ^ { \mathrm { H } } } { { d _ { t } } } \frac { \partial } { \partial c } \phi _ { \mathbf { c } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { c } ) \approx - B _ { 1 } \phi _ { \mathbf { c } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { c } ) ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { \mathrm { K , 0 , s t r } } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } } & { \approx } & { \frac { 1 + K } { 4 \pi } \sqrt { 2 I _ { y } } ( g _ { f } ^ { \prime } + g _ { d } ^ { \prime } e ^ { i \frac { \mp \nu _ { \mathrm { s t r } } } { P M ^ { \prime } } \pi } ) E _ { M ^ { \prime } } ^ { ' \mp } } \\ { E _ { M ^ { \prime } } ^ { ' \mp } } & { = } & { e ^ { i \pi ( M ^ { \prime } - 1 ) \frac { \mp \nu _ { y , \mathrm { s t r } } } { P M ^ { \prime } } } \zeta _ { M ^ { \prime } } ( \frac { \mp \nu _ { y , \mathrm { s t r } } } { P M ^ { \prime } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \mathrm { l o c a l } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } } } & { = \rho _ { w } q _ { i - \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { L M B E _ { i } } & { = { m _ { \mathrm { l o c a l } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } - { m _ { \mathrm { l o c a l } } } _ { i - \frac { 1 } { 2 } } \quad \forall i = 1 , 2 , \cdots , N C e l l s , } \\ { G M B E } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N C e l l s } L M B E _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int { \psi { { g } _ { 0 } } d \Xi = { { Q } _ { 0 } } = } \int _ { u > 0 } { \psi { { g } _ { l } } d \Xi + } \int _ { u < 0 } { \psi { { g } _ { r } } d \Xi } , } \\ & { \left\langle { { { \bar { a } } } _ { 1 } } \right\rangle = \frac { \partial { { Q } _ { 0 } } } { \partial { { \mathbf { n } } _ { x } } } = \int _ { u > 0 } { \psi a _ { 1 } ^ { l } { { g } _ { l } } d \Xi + } \int _ { u < 0 } { \psi a _ { 1 } ^ { r } { { g } _ { r } } d \Xi } , } \\ & { \left\langle { { { \bar { a } } } _ { 2 } } \right\rangle = \frac { \partial { { Q } _ { 0 } } } { \partial { { \mathbf { n } } _ { y } } } = \int _ { u > 0 } { \psi a _ { 2 } ^ { l } { { g } _ { l } } d \Xi + } \int _ { u < 0 } { \psi a _ { 2 } ^ { r } { { g } _ { r } } d \Xi } , } \\ & { \left\langle a _ { 1 } ^ { k } u + a _ { 2 } ^ { k } v + { { A } ^ { k } } \right\rangle = 0 , \left\langle { { { \bar { a } } } _ { 1 } } u + { { { \bar { a } } } _ { 2 } } v + \bar { A } \right\rangle = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { y _ { 3 , \mathrm { m i n } } } ( k ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 0 , } & { \mathrm { i f ~ } d _ { 1 } ( k _ { 0 } ) < 1 0 } \\ { 1 5 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , \quad f _ { y _ { 3 , \mathrm { m a x } } } ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 5 , } & { \mathrm { i f ~ } d _ { 1 } ( k _ { 0 } ) < 1 0 } \\ { 2 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\theta _ { F } = \frac { 1 } { 2 } A r g \left[ \frac { 2 + a \tilde { \sigma } _ { x x } \left( \rho + \rho ^ { - 1 } \right) + i a \sqrt { 4 \sigma _ { x y } ^ { 2 } - \tilde { \sigma } _ { x x } ^ { 2 } \left( \rho - \rho ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } } { 2 + a \tilde { \sigma } _ { x x } \left( \rho + \rho ^ { - 1 } \right) - i a \sqrt { 4 \sigma _ { x y } ^ { 2 } - \tilde { \sigma } _ { x x } ^ { 2 } \left( \rho - \rho ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } } } \right] \, ,
M _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } = p _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 0 } , \quad p _ { 0 } = 0 , \quad \boldsymbol { v } _ { 0 } = ( 1 , 0 , 0 ) ^ { T } , \quad \boldsymbol { w } _ { 0 } = ( 1 , 0 , 0 )
\mathbf { Q } _ { 1 } ( \mathbf { P } , t ) = - \frac { \Gamma } { 4 \pi } \int _ { \mathcal { L } } \frac { \left( \mathbf { P } - \mathbf { X } ( s ^ { \prime } , t ) \right) \times \mathbf { d s } ^ { \prime } } { \left| \mathbf { P } - \mathbf { X } ( s ^ { \prime } , t ) \right| ^ { 3 } }
\nabla ^ { 2 } \phi = 0 , ~ \frac { \partial \phi } { \partial \boldsymbol { \mathrm { n } } } = \left\{ \begin{array} { l l } { [ ( \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x _ { p } } ) \times \boldsymbol { \mathrm { n } } ] \cdot \boldsymbol { \mathrm { e _ { z } } } ~ ~ \mathrm { o n ~ a i r f o i l } } \\ { 0 ~ ~ \mathrm { o n ~ o u t e r ~ b o u n d a r y } } \end{array} \right. ,
\zeta \left( \dot { \mathbf { r } } _ { i } - \mathbf { v } ( \mathbf { r } _ { i } ) \right) = \mathbf { F } _ { i } \equiv - \partial _ { \mathbf { r } _ { i } } E ( \boldsymbol { a } ) , \quad i = 0 , 1 , 2 .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } & { { } \theta ( x , t _ { k } ) = \frac { T _ { w } } { \pi } \left( \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } + ( L + x _ { 1 } ) ^ { 2 } } - \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } ^ { 2 } + ( L - x _ { 1 } ) ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \varphi } ( R , \theta ) } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } I _ { s } \sin \ \theta _ { s } } { 2 \sqrt { i \sigma _ { e } \mu _ { 0 } \omega R R _ { 0 } } } } \\ { C _ { n } } & { { } = \frac { 2 n + 1 } { n ( n + 1 ) } \left( \frac { R _ { 0 } } { R _ { s } } \right) ^ { n } \frac { P _ { n } ^ { 1 } \left( \cos \theta _ { s } \right) } { I _ { n - \frac { 1 } { 2 } } \left( R _ { 0 } \sqrt { i \sigma _ { e } \mu _ { 0 } \omega } \right) } , } \end{array}
\eta \left\{ \eta _ { b } E + { \frac { P x } { v } } \right\} = \left\{ W C _ { r r 1 } + N C _ { r r 2 } v + { \frac { 1 } { 2 } } \rho C _ { d } A v ^ { 2 } \right\} x + W h + { \frac { N _ { a } W v ^ { 2 } } { 2 g } }
W = \frac { 2 \mu } { \alpha ^ { 2 } } \left\{ \lambda _ { 1 } ^ { \alpha } + \lambda _ { 2 } ^ { \alpha } + \lambda _ { 3 } ^ { \alpha } - 3 + \frac { 1 } { \beta } ( J ^ { - \alpha \beta } - 1 ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { < | \psi _ { u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) | \leq | \alpha _ { 1 } | + \rho | \alpha _ { 2 } | + | \alpha _ { 3 } | + \rho | \alpha _ { 4 } | } \\ { 0 } & { < | \psi _ { u } ^ { \lambda } ( T , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) | \leq + \rho ( | \alpha _ { 2 } | + | \alpha _ { 4 } | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | M _ { x } ( \mathfrak { q } ) - M _ { \varphi , x } ( \mathfrak { q } ) | _ { m , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega ) } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 4 } + \varepsilon ^ { 2 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } , } \\ & { | d _ { i } ( M _ { x } ( \mathfrak { q } ) - M _ { \varphi , x } ( \mathfrak { q } ) ( i _ { 0 } ) ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s , \eta _ { 0 } } \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 2 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
| \Psi _ { \ell } ( s ) \rangle = e ^ { - i \Omega _ { \ell } ( s ) } \left[ | \ell ( s ) \rangle + \frac { 1 } { T } \sum _ { m \neq \ell } \frac { i \langle \widetilde { m } ( s ) | \dot { \ell } ( s ) \rangle } { \Delta _ { m \ell } ( s ) } | m ( s ) \rangle \right] - \frac { 1 } { T } \sum _ { m \neq \ell } e ^ { - i \Omega _ { m } ( s ) } \frac { i \langle \widetilde { m } ( 0 ) | \dot { \ell } ( 0 ) \rangle } { \Delta _ { m \ell } ( 0 ) } | m ( s ) \rangle ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ u _ { 1 i } W _ { i j k } Q _ { j k } ^ { 2 3 } \right] \simeq \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ u _ { 1 i } \frac { \partial Q _ { j k } ^ { 2 3 } } { \partial W _ { i j k } } \right] = - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ ( u _ { 1 i } u _ { 2 i } - \gamma \kappa u _ { 1 i } ^ { 2 } ) Q _ { j j } ^ { 2 2 } Q _ { k k } ^ { 3 3 } \right] \xrightarrow [ n \to \infty ] \kappa ( \gamma - 1 ) q _ { 2 } ( z ) q _ { 3 } ( z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( \mathcal { N } _ { \theta } * w _ { 1 } w ) ( t ) = } & { \underset { \varepsilon \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { 1 } { \varepsilon } \Big [ \int _ { 0 } ^ { t + \varepsilon } \mathcal { N } _ { \theta } ( t + \varepsilon - s ) [ w _ { 1 } ( s ) - w _ { 1 } ( t ) ] [ w ( s ) - w ( t ) ] d s } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { N } _ { \theta } ( t - s ) [ w _ { 1 } ( s ) - w _ { 1 } ( t ) ] [ w ( s ) - w ( t ) ] d s \Big ] } \\ & { + w _ { 1 } ( t ) \underset { \varepsilon \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { 1 } { \varepsilon } \Big [ \int _ { 0 } ^ { t + \varepsilon } \mathcal { N } _ { \theta } ( t + \varepsilon - s ) w ( s ) d s - \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { N } _ { \theta } ( t - s ) w ( s ) d s \Big ] } \\ & { + w ( t ) \underset { \varepsilon \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { 1 } { \varepsilon } \Big [ \int _ { 0 } ^ { t + \varepsilon } \mathcal { N } _ { \theta } ( t + \varepsilon - s ) w _ { 1 } ( s ) d s - \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { N } _ { \theta } ( t - s ) w _ { 1 } ( s ) d s \Big ] } \\ & { - w _ { 1 } ( t ) w ( t ) \underset { \varepsilon \to 0 } { \operatorname* { l i m } } \frac { 1 } { \varepsilon } \Big [ \int _ { 0 } ^ { t + \varepsilon } \mathcal { N } _ { \theta } ( t + \varepsilon - s ) d s - \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { N } _ { \theta } ( t - s ) d s \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \operatorname* { m a x } _ { { \tilde { { \Phi } } } } \quad { \mathcal { R } } \{ { \tilde { { \Phi } } } ^ { \mathrm H } { \bf e } \} - \tilde { { \Phi } } ^ { \mathrm H } { \mathbf { F } } \tilde { { \Phi } } } & \\ & { \quad \mathrm { s . t . } \quad \quad { { \tilde { { \Phi } } } } ^ { \mathrm H } { \mathbf { J } } { { \tilde { { \Phi } } } } \leqslant P _ { \mathrm { R I S } } ^ { \mathrm { a c t } } , } \\ & { \quad \quad \quad \quad { { \tilde { { \Phi } } } } ^ { \mathrm H } { \mathbf { R } } _ { i } { { \tilde { { \Phi } } } } \! + \! 2 { \mathcal { R } } \! \{ { { \tilde { { \Phi } } } } ^ { \mathrm H } { \bf { r } } _ { i } \} \! \geqslant \! \tilde { P _ { { i } } } , i \! \in \! \{ 1 , \cdots , K _ { E } \} , } \end{array}
\delta _ { 1 } ^ { ( k ) } = \tilde { M } ^ { - 1 } r ^ { ( k ) } , \quad \delta _ { 2 } ^ { ( k ) } = \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } - \delta _ { 1 } ^ { ( k - 1 ) } , \quad \delta _ { 1 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } = \hat { M } ^ { - 1 } r ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \delta _ { 2 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } = \delta _ { 1 } ^ { ( k + \frac { 1 } { 2 } ) } - \delta _ { 1 } ^ { ( ( k - 1 ) + \frac { 1 } { 2 } ) }
\begin{array} { r } { \mathbb { C } _ { 1 } : \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } \} \xrightarrow { C D } \mathbb { H } _ { 1 } : \{ e _ { 0 } , e _ { 1 } , e _ { 4 } , e _ { 5 } \} , } \\ { \mathbb { C } _ { 2 } : \{ e _ { 0 } , e _ { 2 } \} \xrightarrow { C D } \mathbb { H } _ { 2 } : \{ e _ { 0 } , e _ { 2 } , e _ { 4 } , e _ { 6 } \} , } \\ { \mathbb { C } _ { 3 } : \{ e _ { 0 } , e _ { 3 } \} \xrightarrow { C D } \mathbb { H } _ { 3 } : \{ e _ { 0 } , e _ { 3 } , e _ { 4 } , e _ { 7 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \bf D } _ { \mathrm { d p } } = \hbar ^ { 2 } \left( \nabla g \right) ^ { 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } \Gamma } { | Q | ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 4 \Delta _ { a } g ^ { 2 } } { \Gamma } \frac { \Delta _ { c } \Gamma + \Delta _ { a } \kappa } { | Q | ^ { 2 } } \right) \, , } \\ & { D _ { \mathrm { S E } } = \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } g ^ { 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } \Gamma } { | Q | ^ { 2 } } \, , } \end{array}
{ \cal Z } ( a _ { 1 } , a _ { 2 } , \dots , a _ { N } ) ~ = ~ \int \prod _ { \mu } { \cal D } P ^ { \mu } e ^ { \sum _ { i } [ a _ { i } \sum _ { \mu } ( p _ { i } ^ { \mu } ) ^ { 2 } ] } \prod _ { \mu ; i , j } \delta ( ( 1 - D _ { i j } ) P _ { i j } ^ { \mu } ) \prod _ { \mu ; i } \delta ( \sum _ { j } P _ { i j } ^ { \mu } ) ~ ~ ,
\nabla { \cal U } ^ { i \alpha } \equiv d { \cal U } ^ { i \alpha } + { \frac { 1 } { 2 } } \omega ^ { x } ( \epsilon \sigma _ { x } \epsilon ^ { - 1 } ) _ { j } ^ { i } \wedge { \cal U } ^ { j \alpha } + \Delta ^ { \alpha \beta } \wedge { \cal U } ^ { i \gamma } C _ { \beta \gamma } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { { } = \rho _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } | \mathbf { x } _ { 1 } ) , } \\ { \Gamma _ { X } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } | \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { { } = \Gamma _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } | \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } ) = \Gamma _ { X } ( \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { x } _ { 1 } | \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) = \Gamma _ { X } ^ { * } ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { \prime } , \mathbf { x } _ { 1 } ^ { \prime } | \mathbf { x } _ { 2 } , \mathbf { x } _ { 1 } ) . } \end{array}
\int _ { \theta = 0 } ^ { \pi } \mathrm { e x p } ( i k x \mathrm { c o s } \theta ) ( \mathrm { s i n } \theta ) ^ { N - 2 } d \theta = \sqrt { \pi } \Gamma ( \frac { N - 1 } { 2 } ) { } _ { 0 } \tilde { \Gamma } _ { 1 } ( \frac { N } { 2 } , - \frac { ( k x ) ^ { 2 } } { 4 } ) ,
\displaystyle \cosh ^ { 2 } ( d _ { 1 2 } ) = \, \frac { ( \boldsymbol { p } _ { 1 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } \, } \boldsymbol { p } _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( { \boldsymbol { p } _ { 1 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } \, } \boldsymbol { p } _ { 1 } ) } ( { \boldsymbol { p } _ { 2 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } \, } \boldsymbol { p } _ { 2 } } ) } \, = \textrm { s g n } ( { P _ { 1 } } ) \, \textrm { s g n } ( { P _ { 2 } } ) \, ( P _ { 1 } ^ { \, \circ } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } \, } P _ { 2 } ^ { \, \circ } ) ^ { 2 } \, \; \; \; ( * * ) .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { \mathrm { e l } } } & { { } = } & { \sum _ { l , m } \sigma _ { \mathrm { e l } } ^ { l m } = \frac { \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { l , m } | 1 - S _ { l m , l m } ( k ) | ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { \mathrm { r } } } & { { } = } & { \sum _ { l , m } \sigma _ { \mathrm { r } } ^ { l m } = \frac { \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { l , m } [ 1 - | S _ { l m , l m } ( k ) | ^ { 2 } ] } \end{array}
\langle \chi ( t ) \rangle \, = \, \chi _ { 0 } \, \exp \left( - \frac { t } { \tau } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \langle \chi ^ { 2 } ( t = \infty ) \rangle \, = \, \frac { 1 } { 2 } \, D \, \tau .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 1 0 } ^ { ( c ) } ( R , x _ { c } ) } & { { } = \frac { \sqrt { 2 \, \hbar \omega _ { c } ^ { 3 } } } { d _ { 3 0 } } \, \eta \, \frac { \mathcal { D } _ { 1 0 } ( R , x _ { c } ) } { \Delta E _ { 1 0 } ^ { ( e c ) } ( R , x _ { c } ) } \quad , } \end{array}
P _ { F } = \left( \begin{array} { c c c } { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \pi ^ { 0 } + \sum _ { j } \frac { x _ { j } } { \sqrt { 2 } } j } } & { { \pi ^ { + } } } & { { K ^ { + } } } \\ { { \pi ^ { - } } } & { { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \pi ^ { 0 } + \sum _ { j } \frac { x _ { j } } { \sqrt { 2 } } j } } & { { K ^ { 0 } } } \\ { { K ^ { - } } } & { { \overline { { { K ^ { 0 } } } } } } & { { \sum _ { j } y _ { j } j } } \end{array} \right) ,
m ( { f _ { - } ^ { + } } { { f _ { - } ^ { + } } } ^ { \dagger } + { g _ { - } ^ { + } } { { g _ { - } ^ { + } } } ^ { \dagger } ) \gamma ^ { 4 } = m { \cosh { ( w ) } } \gamma ^ { 4 } - m { \cosh { ( w ) } } n ^ { k } \gamma ^ { k } .
\begin{array} { r l } { Q ^ { \alpha } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } & { \overset { ( a ) } { = } C ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 2 } + e _ { ( s _ { 1 } , \eta _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } ^ { \mathsf T } ( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \gamma ^ { n } \tilde { P } ( \alpha ) ^ { n } ) \bar { c } } \\ & { = C ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 2 } + e _ { ( s _ { 1 } , \eta _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } ^ { \mathsf T } ( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { n } \tilde { P } ( \alpha ) ^ { n } ) \bar { c } - \bar { c } ( s _ { 1 } , \eta _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } C ( s _ { 1 } , a _ { 1 } ) + \gamma \lambda \eta _ { 2 } + e _ { ( s _ { 1 } , \eta _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } ^ { \mathsf T } M ( \alpha ) \bar { c } - \bar { c } ( s _ { 1 } , \eta _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { U = \frac { 1 } { h ( x ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle u ( \mathbf { x } ) \rangle \mathrm { d } z , \ \ V = \frac { 1 } { h ( x ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle v ( \mathbf { x } ) \rangle \mathrm { d } z , \ \ W = \frac { 1 } { h ( x ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle w ( \mathbf { x } ) \rangle \mathrm { d } z , \ \ \Phi = \frac { 1 } { h ( x ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \langle \phi ( \mathbf { x } ) \rangle \mathrm { d } z , \ \ } \end{array}
\chi _ { 1 , i } ^ { ( 2 , 2 k + 3 ) } ( q ) = \chi _ { 1 , 2 k + 3 - i } ^ { ( 2 , 2 k + 3 ) } ( q ) = \displaystyle \sum _ { n _ { 1 } \geq \cdots \geq n _ { k } \geq 0 } \frac { q ^ { n _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + n _ { k } ^ { 2 } + n _ { i } + \cdots + n _ { k } } } { ( q ) _ { n _ { 1 } - n _ { 2 } } \cdots ( q ) _ { n _ { k - 1 } - n _ { k } } ( q ) _ { n _ { k } } } ,