\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \left| \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } f \left( X _ { t _ { k - 1 } } ^ { \varepsilon } , H _ { n } \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ^ { \varepsilon } \big ) , \theta \right) - \int _ { 0 } ^ { 1 } f \left( X _ { s } ^ { 0 } , H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) , \theta \right) \, \mathrm { d } s \right| } \\ { = } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ f \left( Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } , H _ { n } \big ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } \big ) , \theta \right) - f \left( X _ { s } ^ { 0 } , H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) , \theta \right) \right\} \, \mathrm { d } s \right| } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big | ( \triangledown _ { x } f ) ^ { \top } \left( X _ { s } ^ { 0 } + u \left( Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } - X _ { s } ^ { 0 } \right) , H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) + u \left( H _ { n } \big ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } \big ) - H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) \right) , \theta \right) } \\ & { \quad \cdot \left( Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } - X _ { s } ^ { 0 } \right) + ( \triangledown _ { y } f ) ^ { \top } \left( X _ { s } ^ { 0 } + u \left( Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } - X _ { s } ^ { 0 } \right) , H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) + u \left( H _ { n } \big ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } \big ) - H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) \right) , \theta \right) } \\ & { \quad \cdot \left( H _ { n } \big ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } \big ) - H \big ( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \big ) \right) \Big | \, \mathrm { d } u \, \mathrm { d } s } \\ { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } C \left\{ 1 + \left| X _ { s } ^ { 0 } \right| + \left| Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } \right| + \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \left( \left\| X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \right\| _ { \infty } + \left\| Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } \right\| _ { \infty } \right) \right\} ^ { \lambda } \Big ( \left| Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } - X _ { s } ^ { 0 } \right| } \\ & { \quad + \left| H _ { n } \big ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } \big ) - H \big ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } \big ) \right| + \mu \left( \left[ 0 , \delta \right] \right) \left\| Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } - X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \right\| _ { \infty } \Big ) \, \mathrm { d } s } \\ { \leq } & { ~ C \Big ( 1 + \big ( 1 + \mu ( [ 0 , \delta ] ) \big ) \big ( \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq s \leq 1 } | X _ { s } ^ { 0 } | + \operatorname* { s u p } _ { - \delta \leq s \leq 1 } | Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } | \big ) \Big ) ^ { \lambda } \Big \{ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq 1 } | Y _ { s } ^ { n , \varepsilon } - X _ { s } ^ { 0 } | } \\ & { \quad + \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq 1 } | H _ { n } ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } ) - H ( Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } ) | + \mu ( [ 0 , \delta ] ) \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq s \leq 1 } \| Y _ { s - \cdot } ^ { n , \varepsilon } - X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \| _ { \infty } \Big \} } \\ { \xrightarrow { P } } & { 0 , } \end{array}