harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } [ J ( \theta ) ^ { \eta m + \mu - 1 } E _ { \eta , \mu } ^ { m } ( a J ( \theta ) ^ { \eta } ) ] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( k + m ) ! a ^ { k } } { k ! \Gamma ( \eta k + \eta m + \mu ) } \frac { \Gamma ( \eta k + \eta m + \mu ) } { J ( s ) ^ { \eta k + \eta m + \mu } } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( k + m ) ! } { k ! } \frac { a ^ { k } } { J ( s ) ^ { \eta k + \eta m + \mu } } } \\ & { = J ( s ) ^ { - \eta m - \mu } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( k + m ) ! } { k ! } \bigg ( \frac { a } { J ( s ) ^ { \eta } } \bigg ) ^ { k } } \\ & { = J ( s ) ^ { - \eta m - \mu } D _ { \mathfrak { F } } ^ { m } \sum _ { k = m } ^ { \infty } \bigg ( \frac { a } { J ( s ) ^ { \eta } } \bigg ) ^ { k } } \\ & { = J ( s ) ^ { - \eta m - \mu } D _ { \mathfrak { F } } ^ { m } \frac { 1 } { ( 1 - \frac { a } { J ( s ) ^ { \eta } } ) } } \\ & { = J ( s ) ^ { - \eta m - \mu } \frac { m ! } { ( 1 - \frac { a } { J ( s ) ^ { \eta } } ) ^ { m + 1 } } } \\ & { = \frac { m ! J ( s ) ^ { \eta - \mu } } { ( J ( s ) ^ { \eta } - a ) ^ { m + 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { = \mathring { A } ^ { { \gamma _ { i } + \mathrm { i } \eta , \gamma _ { j } - 2 \mathrm { i } \eta } } + \mathcal { O } \big ( | \gamma _ { i } - \gamma _ { j } | + \eta \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | \gamma _ { i } + \gamma _ { j } | + \eta \big ) E _ { - } \, , } \\ { B ^ { * } } & { = \mathring { ( A ^ { * } ) } ^ { { \gamma _ { j } - 2 \mathrm { i } \eta , \gamma _ { i } + \mathrm { i } \eta } } + \mathcal { O } \big ( | \gamma _ { i } - \gamma _ { j } | + \eta \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | \gamma _ { i } + \gamma _ { j } | + \eta \big ) E _ { - } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi } & { : } & { \left( \begin{array} { l } { e _ { i } } \\ { e _ { i + 8 } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { - 1 / 2 } & { - \sqrt { 3 } / 2 } \\ { \sqrt { 3 } / 2 } & { - 1 / 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { e _ { i } } \\ { e _ { i + 8 } } \end{array} \right) } \\ { \epsilon } & { : } & { \left( \begin{array} { l } { e _ { i } } \\ { e _ { i + 8 } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { e _ { i } } \\ { e _ { i + 8 } } \end{array} \right) , \quad i = 1 , . . . , 7 } \end{array}
{ \bf X } ^ { ( 0 ) } = { \bf Y } _ { \mathrm { t m p } } ^ { ( 0 ) } { \bf X } ^ { ( 0 ) } { \bf X } ^ { ( 0 ) } ~ ~ \mathrm { ~ D ~ i ~ a ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ } \times \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ m ~ a ~ t ~ r ~ i ~ x ~ m ~ u ~ l ~ t ~ i ~ p ~ l ~ i ~ c ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ }
\mathcal { P } ( { \bf x } ; { \bf C } , \nu ) = \frac { \Gamma \left( ( \nu + n ) / 2 \right) } { \Gamma ( \nu / 2 ) \nu ^ { n / 2 } \pi ^ { n / 2 } \left| { \bf { C } } \right| ^ { 1 / 2 } } \left( 1 + \frac { 1 } { \nu } \bf { x } ^ { \prime } \bf { C } ^ { - 1 } \bf { x } \right) ^ { - \frac { n + \nu } { 2 } } .
2 m _ { i j } \equiv 2 m _ { 3 3 } + \left( \begin{array} { c c c } { { \alpha + \beta + \gamma + \delta } } & { { \alpha + \gamma + \delta } } & { { \alpha + \gamma } } \\ { { \beta + \gamma + \delta } } & { { \gamma + \delta } } & { { \gamma } } \\ { { \beta + \delta } } & { { \delta } } & { { 0 } } \end{array} \right) _ { i j } \qquad \mathrm { m o d } \ K ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ( \tau ) } & { { } = } & { - \sum _ { j , \sigma } \left[ t + ( - 1 ) ^ { j } \delta ( \tau ) \right] \left( \hat { c } _ { j \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j + 1 \sigma } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \right) } \end{array}
f _ { a } ( \nu , \nu _ { a } ) = \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } \sqrt { \nu - \nu _ { a } } \left( \frac { 3 } { 1 . 7 \, \nu _ { a } \langle \beta _ { a } ^ { 2 } \rangle } \right) ^ { 3 / 2 } e ^ { - \frac { 3 ( \nu - \nu _ { a } ) } { 1 . 7 \, \nu _ { a } \langle \beta _ { a } ^ { 2 } \rangle } }
\begin{array} { r } { I _ { 0 } ( \lambda ) = H _ { 0 } \exp { ( - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ) ( 1 + \frac { 1 } { \sqrt { ( 1 + \frac { 2 \phi } { c ^ { 2 } } ) } } ) ^ { 2 } } G ^ { \prime } ( \lambda ) } \\ { ( 1 + \cos { ( \frac { 4 m T \overrightarrow { R } . ( ( \overrightarrow { v } _ { 1 } + ( \overrightarrow { \Omega } \times \overrightarrow { R } ) ) \times \overrightarrow { \omega } ) } { c ^ { 2 } } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf P } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( [ Y _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \right) { \bf a } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] + [ M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] \right) { \bf a } _ { 2 } , } \\ { { \bf P } ^ { ( 4 ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } [ X _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ] ( { \bf a } _ { 1 } + { \bf a } _ { 2 } ) , } \\ { { \bf P } ^ { ( 6 ) } } & { = { \bf 0 } , } \end{array}
H _ { T R S W } ( \boldsymbol { m } , \eta , b ) = \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 \eta ^ { 2 } } | \boldsymbol { m } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \, \mathrm { F r } ^ { 2 } } ( 1 + \mathfrak { s } b ) ( \eta - 2 h ) \right) \, \eta \, d \mu .
\rho _ { 2 } \partial _ { t } ^ { 2 } \rho _ { 1 } - \rho _ { 1 } \partial _ { t } ^ { 2 } \rho _ { 2 } = \partial _ { t } \left( \rho _ { 2 } \partial _ { t } \rho _ { 1 } - \rho _ { 1 } \partial _ { t } \rho _ { 2 } \right)
\tilde { R } _ { z } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { \; \; \; 0 } } & { { \; 0 } } & { { \; \; \; 0 } } \\ { { 0 } } & { { \; \; \, \, \cos { \theta } } } & { { \sin { \theta } } } & { { \; \; \; 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \sin { \theta } } } & { { \cos { \theta } } } & { { \; \; \; 0 } } \\ { { 0 } } & { { \; \; \; 0 } } & { { \; 0 } } & { { \; \; \; 1 } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { ( r o t a t i o n ~ o p e r a t o r ~ f o r 4 - v e c t o r s ) . }
\begin{array} { r l r } { V _ { A B C } ^ { 3 b } } & { { } = } & { E _ { A B C } - \sum _ { i < j } E _ { i j } + \sum _ { i } E _ { i } \, , } \\ { V _ { A B C D } ^ { 4 b } } & { { } = } & { E _ { A B C D } - \sum _ { i < j < k } E _ { i j k } + \sum _ { i < j } E _ { i j } - \sum _ { i } E _ { i } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \tan ^ { 2 } { \frac { E } { 2 } } } & { = { \frac { 1 - \cos E } { 1 + \cos E } } = { \frac { 1 - { \frac { \varepsilon + \cos \theta } { 1 + \varepsilon \cos \theta } } } { 1 + { \frac { \varepsilon + \cos \theta } { 1 + \varepsilon \cos \theta } } } } } \\ & { = { \frac { ( 1 + \varepsilon \cos \theta ) - ( \varepsilon + \cos \theta ) } { ( 1 + \varepsilon \cos \theta ) + ( \varepsilon + \cos \theta ) } } = { \frac { 1 - \varepsilon } { 1 + \varepsilon } } \cdot { \frac { 1 - \cos \theta } { 1 + \cos \theta } } = { \frac { 1 - \varepsilon } { 1 + \varepsilon } } \tan ^ { 2 } { \frac { \theta } { 2 } } . } \end{array} }
R _ { c v } ^ { c } = \frac { 2 \pi } { \hbar } \left( \frac { e | \vec { E } | } { 2 m _ { e } \omega } \right) ^ { 2 } \frac { \kappa \pi e ^ { \pi \kappa } } { \textrm { s i n h } ( \pi \kappa ) } | P _ { c v } | ^ { 2 } D _ { c v } ( E ) ,
\phi ( x _ { A \pm 1 } ) = \phi ( x _ { A } ) \pm \phi _ { , x } ( x _ { A } ) h + \phi _ { , x x } ( x _ { A } ) \frac { h ^ { 2 } } { 2 } \pm \phi _ { , x x x } ( x _ { A } ) \frac { h ^ { 3 } } { 6 } + \phi _ { , x x x x } ( x _ { A } ) \frac { h ^ { 4 } } { 2 4 } + O ( h ^ { 5 } ) .
\begin{array} { r l r } { \left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 2 } } & { = } & { \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \lambda + \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { g } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } { \lambda - q _ { j } } } \\ & { \overset { \lambda \to \infty } { = } } & { \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \lambda + \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { g } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } q _ { j } ^ { k - 1 } } { \lambda ^ { k } } } \\ & { \overset { \lambda \to X _ { s } } { = } } & { \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } ( \lambda - X _ { s } ) + \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } X _ { s } + \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { g } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } ( - 1 ) ^ { k } } { ( X _ { s } - q _ { j } ) ^ { k + 1 } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { k } } \\ & { \overset { \lambda \to X _ { s } } { = } } & { \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } X _ { s } + \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } - \sum _ { j = 1 } ^ { g } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } { q _ { j } - X _ { s } } + \left( \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } - \sum _ { j = 1 } ^ { g } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } { ( q _ { j } - X _ { s } ) ^ { 2 } } \right) ( \lambda - X _ { s } ) } \\ & { } & { - \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { g } \frac { \mu _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } { ( q _ { j } - X _ { s } ) ^ { k + 1 } } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { k } } \end{array}
\sqrt { \gamma _ { 1 } } \, \sqrt { \gamma _ { 2 } } \ C _ { \mathrm { t o t } } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) = 3 2 \, G _ { N } \, T ^ { 2 } \, ( \partial _ { + } \, X _ { 1 } ^ { \mu } \ \partial _ { + } \, X _ { 2 \mu } ) ( \partial _ { - } \, X _ { 1 } ^ { \nu } \ \partial _ { - } \, X _ { 2 \nu } ) \, .
\begin{array} { r l } { ( B \phi ) ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \ln \Big ( 4 \sin ^ { 2 } \frac { t - \zeta } { 2 } \Big ) b _ { 1 } ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) \, \mathrm { d } \zeta + \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } b _ { 2 } ( t , \zeta ) \phi ( \zeta ) \, \mathrm { d } \zeta } \\ & { \overset { \mathrm { d e f } } { = } ( B _ { 1 } \phi ) ( t ) + ( B _ { 2 } \phi ) ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { X } \phi ^ { 2 } d \Gamma ( f , f ) } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { C } { \lambda ^ { 2 } } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { X } \phi ^ { 2 } ( x ) \fint _ { B ( x , r ) } \lambda ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { y \in B ( x , r ) } | f ( x ) - f ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ & { + \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { C } { \lambda ^ { 2 } } \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \int _ { X } \fint _ { B ( x , r ) } \operatorname* { s u p } _ { y \in B ( x , r ) } | \phi ( x ) - \phi ( y ) | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ & { \leq C \int _ { X } \phi ^ { 2 } ( \mathrm { L i p } f ) ^ { 2 } d \mu + \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { C } { \lambda ^ { 2 } } \int _ { X } ( \mathrm { L i p } \phi ) ^ { 2 } d \mu } \\ & { = C \int _ { X } \phi ^ { 2 } ( \mathrm { L i p } f ) ^ { 2 } d \mu } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { t } } & { \geq 2 \int _ { y ^ { \top } x > 0 } \frac { x ^ { \top } y } { \left\Vert x \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \left[ \frac { \phi \left( y \right) } { \rho _ { t } * \phi \left( y \right) } \right] ^ { 2 } y ^ { \top } x \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert y \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \mathrm { d } y } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { \left( x ^ { \top } y \right) ^ { 2 } } { \left\Vert x \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \left[ \frac { \phi \left( y \right) } { \rho _ { t } * \phi \left( y \right) } \right] ^ { 2 } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \left\Vert y \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } \right) \mathrm { d } y . } \end{array}
{ F + M _ { p m } \mathrm { g = 2 \left( { \frac { { E _ { \mathrm { g } } W _ { \mathrm { g } } D _ { \mathrm { g } } ^ { 3 } } } { { L _ { \mathrm { g } } ^ { 3 } } } } \right) Z + \left( { \frac { { E _ { \mathrm { g } } W _ { \mathrm { g } } D _ { \mathrm { g } } } } { { L _ { \mathrm { g } } ^ { 3 } } } } \right) { Z ^ { 3 } } + 2 \left( { \frac { { { \ s i g m a _ { 0 } } W _ { \mathrm { g } } D _ { \mathrm { g } } } } { { L _ { \mathrm { g } } } } } \right) Z } }
\begin{array} { r l } { C _ { q , b } ^ { - \frac { a } { b } } \left( t - t _ { 0 } \right) } & { \leq \left( 1 - \frac { a } { b } \right) \left[ \left[ A \left( t \right) \right] ^ { 1 - \frac { a } { b } } - \left[ A \left( t _ { 0 } \right) \right] ^ { 1 - \frac { 1 } { b } } \right] } \\ & { \leq \left[ A \left( t \right) \right] ^ { 1 - \frac { a } { b } } \leq \left[ C _ { q , b } \left[ \tau \left( t \right) \right] ^ { \frac { b } { q b + 1 } } \right] ^ { 1 - \frac { a } { b } } } \\ & { = C _ { q , b } ^ { \frac { b - a } { b } } \left[ \tau \left( t \right) \right] ^ { \frac { b - a } { q b + 1 } } , } \end{array}
S _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { - \frac { 1 + f ^ { 2 } } { 1 - f ^ { 2 } } } } & { { \frac { 2 f } { 1 - f ^ { 2 } } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \frac { 2 f } { 1 - f ^ { 2 } } } } & { { - \frac { 1 + f ^ { 2 } } { 1 - f ^ { 2 } } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } \end{array} \right) ~ ~ .
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { e v } } } & { = Q _ { 0 } \left[ \alpha _ { 2 } ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } ) ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } ) + 1 - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right] , } \\ { \tau } & { = \tau _ { 0 } \left[ \alpha _ { 2 } ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } ) ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { i } } ) + 1 - \mathcal { R } _ { \mathrm { H } } \right] ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M ( H , H _ { r } ) = \alpha + \beta _ { 1 } \cdot H + \beta _ { 2 } \cdot H _ { r } + } \\ { + \beta _ { 3 } \cdot H ^ { 2 } + \beta _ { 4 } \cdot H _ { r } ^ { 2 } + \beta _ { 5 } \cdot H \cdot H _ { r } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathrm { \bf ~ L } } _ { f i e l d } } & { = } & { \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, \sum _ { i } \hat { E } _ { i } ( \mathrm { \bf ~ r } \times \nabla ) \hat { A } _ { i } } \\ { \hat { \mathrm { \bf ~ S } } _ { f i e l d } } & { = } & { \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, [ \mathrm { \bf ~ E } _ { o p } \times \mathrm { \bf ~ A } _ { o p } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \phi } _ { b } ^ { \mathcal { O } } = 0 , \quad \hat { \eta } ( s , \psi , \hat { t } ) = 0 , \quad \hat { P } _ { b } ^ { \mathcal { O } } = - \frac { 2 T } { \hat { R } _ { 0 } } , } \end{array}
\mathbb { J } _ { B } ^ { \mu } : = \left( \begin{array} { c c c c } { \lambda _ { \mu _ { 1 } } I } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { \mu _ { 2 } } I } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \lambda _ { \mu _ { l _ { 0 } } } I } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c c c c } { ( \mathcal { K } _ { B _ { 1 } } ^ { 0 } ) ^ { * } } & { \nu _ { 1 } \cdot \nabla \mathcal { S } _ { B _ { 2 } } ^ { 0 } } & { \cdots } & { \nu _ { 1 } \cdot \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l _ { 0 } } } ^ { 0 } } \\ { \nu _ { 2 } \cdot \nabla \mathcal { S } _ { B _ { 1 } } ^ { 0 } } & { ( \mathcal { K } _ { B _ { 2 } } ^ { 0 } ) ^ { * } } & { \cdots } & { \nu _ { 2 } \cdot \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l _ { 0 } } } ^ { 0 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \nu _ { l _ { 0 } } \cdot \nabla \mathcal { S } _ { B _ { 1 } } ^ { 0 } } & { \nu _ { l _ { 0 } } \cdot \nabla \mathcal { S } _ { B _ { 2 } } ^ { 0 } } & { \cdots } & { ( \mathcal { K } _ { B _ { l _ { 0 } } } ^ { 0 } ) ^ { * } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { [ F S L - P S U ~ p r i v a c y ] } \quad I ( Y _ { \Gamma } ; A _ { U , 1 } ^ { \langle \mathcal { C } _ { j } \rangle , ( j ) } , A _ { U , 2 } ^ { \langle \theta _ { [ 2 ] } \rangle , ( j ) } , \mathcal { R } _ { S } | \sum _ { i \in [ C ] } Y _ { k } ^ { \langle i \rangle } > 0 , \forall k \in \Gamma ) = 0 , \quad \forall j } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \| \Delta \xi ( \mathbf { x } ) \| \rightarrow 0 } \; \frac { \Phi [ \xi ( \mathbf { x } ) + \Delta \xi ( \mathbf { x } ) ] - \Phi [ \xi ( \mathbf { x } ) ] - D \Phi [ \xi ( \mathbf { x } ) ] \bullet \Delta \xi ( \mathbf { x } ) } { \| \Delta \xi ( \mathbf { x } ) \| } = 0 } \end{array}
F _ { \lambda } = \sum _ { \lambda _ { 0 } , . . . , \lambda _ { k - 1 } } d \rho _ { \lambda _ { 0 } } \wedge d \rho _ { \lambda _ { 1 } } \wedge . . . \wedge d \rho _ { \lambda _ { k - 1 } } \wedge d \log g _ { \lambda \lambda _ { 0 } \lambda _ { 1 } . . . \lambda _ { k - 1 } }
\begin{array} { r } { P ( \omega , \omega _ { a } ) = \frac { t X _ { a } X _ { \mathrm { D M } } \beta } { \sqrt { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega _ { a } L } { c } ) + r ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + 4 \frac { 1 + ( 1 + r ) \cos ( \frac { \omega L } { 2 c } ) } { 1 + 2 r \cos ( \frac { \omega L } { c } ) + r ^ { 2 } } } \, , } \end{array}
\delta E _ { c } ^ { m } = \int _ { \Omega } \frac { \overline { { \rho } } \delta { \mathbf { \overline { { v } } } } ^ { b } \cdot \delta { \mathbf { \overline { { v } } } } ^ { m } } { 2 } d \Omega , \; \delta E _ { p } ^ { m } = \int _ { \Omega } \frac { \delta \overline { { p } } ^ { b } \delta \overline { { p } } ^ { m } } { 2 \gamma \overline { { p } } } d \Omega , \; \delta E _ { s } ^ { m } = \frac { \gamma ( \gamma - 1 ) M ^ { 4 } } { 2 } \int _ { \Omega } \overline { { p } } \delta { { \overline { { s } } } } ^ { b } \delta { { \overline { { s } } } } ^ { m } d \Omega .
\begin{array} { r } { \alpha = \frac { \omega } { \sigma } \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } = \frac { \tau _ { s } } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \frac { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { V _ { s } } = \left( \frac { 4 } { 1 - 4 \rho } \right) ^ { 1 / 6 } \frac { 1 } { \nu ^ { 4 / 3 } } \frac { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta V } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } [ M _ { 1 } E _ { \pm } M _ { 2 } ] } & { = \big ( 1 \mp \langle M _ { 1 } E _ { \pm } M _ { 2 } E _ { \pm } \rangle \big ) M _ { 1 } E _ { \pm } M _ { 2 } } \\ { \mathcal { B } ^ { * } [ E _ { \pm } ] } & { = \big ( 1 \mp \langle M _ { 1 } ^ { * } E _ { \pm } M _ { 2 } ^ { * } E _ { \pm } \rangle \big ) E _ { \pm } \, . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 k } \| c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 k } \| c _ { h } ^ { m } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 k } \| c _ { h } ^ { m + 1 } - c _ { h } ^ { m } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| c _ { h } ^ { m + 1 } \| _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = ( n _ { h } ^ { m + 1 } , c _ { h } ^ { m + 1 } ) _ { h } .
\begin{array} { r } { \mathbf { M } _ { C } = \left[ \begin{array} { l l } { t _ { 1 } } & { r _ { 1 } } \\ { r _ { 2 } } & { t _ { 2 } } \end{array} \right] = e ^ { i \tau } \left[ \begin{array} { l l } { \cos \sigma } & { i \sin \sigma } \\ { i \sin \sigma } & { \cos \sigma } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { 2 D } ^ { \prime } = } & { { } \int d ^ { 2 } \vec { r } \Big [ \sum _ { s = \uparrow , \downarrow } | \vec { r } s \rangle \bigr ( - \frac { \hbar ^ { 2 } \vec { \nabla } ^ { 2 } } { 2 m } + V ( \vec { r } ) + \frac { \delta } { 2 } ( \sigma _ { z } ) _ { s s } \bigr ) \langle \vec { r } s | } \end{array}
E _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { 0 } = m \omega ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { m ^ { 2 } \omega ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } + \frac { \theta ^ { 2 } } { 4 \hbar ^ { 4 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( n _ { x } + n _ { y } + 1 \right) - \frac { m \omega ^ { 2 } \theta } { 2 } \left( n _ { x } - n _ { y } \right) .
\begin{array} { r l } { C _ { R } ( f ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { \forall x , x \neq x ^ { \prime } } \left\lvert \mathrm { S } 1 1 ( f , x ) - \mathrm { S } 1 1 ( f , x ^ { \prime } ) \right\rvert , } \\ { C _ { T } ( f ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { \forall x , x \neq x ^ { \prime } } \left\lvert \mathrm { S } 2 1 ( f , x ) - \mathrm { S } 2 1 ( f , x ^ { \prime } ) \right\rvert , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert f \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , \mathtt { S } } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert g \rVert _ { s + 2 \mu _ { \mathtt { p } , 1 } + 2 \tau + 1 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + 2 \mu _ { \mathtt { p } , 1 } + 2 \tau + 1 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g \rVert _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } , 1 } + 2 \tau + 1 } \right) } \\ & { \overset = \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert g \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { \mathtt { p } , 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 0 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { \mathrm { 2 D } } ( x , x ^ { \prime } ) } & { { } \approx } \\ { \frac { \alpha ( x ) \alpha ( x ^ { \prime } ) } { 2 i } } & { { } \sqrt { \frac { 1 } { k ( x ) k ( x ^ { \prime } ) A ( x ^ { \prime } ) A ( x ) } } \exp [ - i \! \! \! \! \! \! \! \int _ { \operatorname* { m i n } ( x , x ^ { \prime } ) } ^ { \operatorname* { m a x } ( x , x ^ { \prime } ) } \! \! \! \! \! \! \! { k ( \hat { x } ) d \hat { x } } ] , } \end{array}
F ( x _ { t } ) = P _ { 0 } + P _ { X } \, X _ { 0 } ( x _ { t } ) + P _ { Y } \, Y _ { 0 } ( x _ { t } ) + P _ { Z } \, Z _ { 0 } ( x _ { t } ) + P _ { E } \, E _ { 0 } ( x _ { t } ) \, ,
\begin{array} { r } { b \alpha p _ { r } - a l _ { i } > 0 ( \mathrm { ~ a ~ s ~ p ~ r ~ o ~ d ~ u ~ c ~ t ~ o ~ f ~ e ~ i ~ g ~ e ~ n ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ s ~ } ) } \\ { \Rightarrow - u ( 1 - c _ { i } ^ { r } i ^ { * } ) + b \left( 1 + \frac { \alpha p _ { r } } { l _ { i } } \right) > 0 } \\ { \Rightarrow b c _ { i } ^ { r } - u ( 1 - c _ { i } ^ { r } i ^ { * } ) > 0 . } \end{array}
\cos \psi ( \hat { \bf n } ) = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( c _ { i } ( \bar { \bf x } ) n _ { i } ) ^ { 2 } } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( c _ { i } ^ { 2 } ( \bar { \bf x } ) n _ { i } ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { j } - \hat { G } ^ { ( T ) } ( \hat { \Delta } _ { j } ) } & { { } \leq ( \Gamma _ { j } - { G } ( \hat { \Delta } _ { j } ) ) + | { G } ( \hat { \Delta } _ { j } ) - { G } ^ { ( T ) } ( \hat { \Delta } _ { j } ) | + ( | { G } ^ { ( T ) } ( \hat { \Delta } _ { j } ) - \hat { G } ^ { ( T ) } ( \hat { \Delta } _ { j } ) | } \end{array}
T _ { + p \pm 2 } ^ { - \dot { q } } = - \frac { \chi } { 2 } \tilde { \gamma } _ { \dot { q } p } ^ { i } \Omega _ { \pm 2 } ^ { - 2 i } + \frac 1 2 \tilde { \gamma } _ { \dot { q } q } ^ { i } \Omega _ { + p } ^ { - 2 i } \psi _ { \pm 2 q } ^ { 2 + } ,
A _ { \mu } ^ { a } ( k ) \, = \, \frac { i ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { g } \, \frac { \overline { { { \eta } } } _ { a \mu \nu } \, k _ { \nu } } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \, \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 } \, ( k \rho ) ^ { 2 } \, K _ { 2 } ( k \rho ) \right] .
\left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - H _ { 0 } \right) \left| n ^ { ( 1 ) } \right\rangle = \sum _ { k \neq n } \left| k ^ { ( 0 ) } \right\rangle \left\langle k ^ { ( 0 ) } \right| V \left| n ^ { ( 0 ) } \right\rangle .
\begin{array} { r } { \underline { { \tilde { \nabla } } } \, \tilde { p } _ { 0 } = 0 } \\ { \partial _ { \tau } ( \tilde { \rho } \tilde { u } ) _ { 0 } + \underline { { \tilde { \nabla } } } \, \tilde { p } _ { 1 } = 0 } \\ { \partial _ { \tau } ( \tilde { \rho } \tilde { u } ) _ { 1 } + \partial _ { \tilde { t } } ( \tilde { \rho } \tilde { u } ) _ { 0 } + \underline { { \tilde { \nabla } } } \cdot ( \tilde { \rho } \underline { { \tilde { u } } } \, \underline { { \tilde { u } } } ) _ { 0 } + \underline { { \tilde { \nabla } } } \, \tilde { p } _ { 2 } = 0 } \end{array}