harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S ( t ) = \frac { E _ { 0 } } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } J } { J ^ { 2 } } e ^ { - E _ { 0 } / J } \left[ 3 - e ^ { 2 \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } J t } - 2 e ^ { - \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } J t } \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { H _ { 1 } ( \mathrm { L M o d } _ { 2 n + 1 } ^ { 1 } ) } \\ & { \cong } & { \left< h _ { i } \ ( 1 \leq i \leq 2 n - 1 ) , t _ { i , j } \ ( 1 \leq i < j \leq 2 n + 1 ) \middle | \mathrm { t h e ~ r e l a t i o n s ~ ( 2 ) , ~ ( 4 ) ~ ( a ) } \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { i } \ ( 1 \leq i \leq 2 n - 1 ) , t _ { i , i + 1 } \ ( 1 \leq i \leq 2 n ) \middle | \mathrm { t h e ~ r e l a t i o n s ~ ( 2 ) } \right> } \\ & { \cong } & { \left< h _ { 1 } , h _ { 2 } , t _ { 1 , 2 } \middle | \right> } \\ & { \cong } & { \mathbb { Z } [ h _ { 1 } ] \oplus \mathbb { Z } [ h _ { 2 } ] \oplus \mathbb { Z } [ t _ { 1 , 2 } ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { | B C | ^ { 2 } } & { = { \overrightarrow { B C } } \cdot { \overrightarrow { B C } } } \\ & { = \left( { \overrightarrow { B A } } + { \overrightarrow { A C } } \right) \cdot \left( { \overrightarrow { B A } } + { \overrightarrow { A C } } \right) } \\ & { = { \overrightarrow { B A } } \cdot { \overrightarrow { B A } } + { \overrightarrow { A C } } \cdot { \overrightarrow { A C } } - 2 { \overrightarrow { A B } } \cdot { \overrightarrow { A C } } } \\ & { = { \overrightarrow { A B } } \cdot { \overrightarrow { A B } } + { \overrightarrow { A C } } \cdot { \overrightarrow { A C } } } \\ & { = | A B | ^ { 2 } + | A C | ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { H ^ { \alpha } u ( t _ { j } ^ { n } ) \approx } & { { } \int _ { 0 } ^ { t ^ { n - 1 } } k _ { - \alpha } ( t _ { j } ^ { n } - s ) \Pi ^ { p } u ( s ) \ d x [ s ] } \\ { \approx } & { { } \sum _ { k = 1 } ^ { Q } w _ { k } \int _ { 0 } ^ { t ^ { n - 1 } } e ^ { - \lambda _ { k } ( t _ { j } ^ { n } - s ) } \Pi ^ { p } u ( s ) \ d x [ s ] } \\ { = } & { { } \sum _ { k = 1 } ^ { Q } w _ { k } e ^ { - \lambda _ { k } ( t _ { j } ^ { n } - t ^ { n - 1 } ) } \underbrace { \int _ { 0 } ^ { t ^ { n - 1 } } e ^ { - \lambda _ { k } ( t ^ { n - 1 } - s ) } \Pi ^ { p } u ( s ) \ d x [ s ] } _ { Y _ { k } ( t ^ { n - 1 } ) } } \\ { = } & { { } \sum _ { k = 1 } ^ { Q } w _ { k } e ^ { - \lambda _ { k } ( t _ { j } ^ { n } - t ^ { n - 1 } ) } Y _ { k } ( t ^ { n - 1 } ) = { } _ { F } H ^ { \alpha } u _ { j } ^ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { d _ { i } ( \phi _ { n } ^ { - 1 } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) = \mathfrak { M } _ { d _ { i } ( \tilde { \psi } _ { n } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 - 4 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { - \sigma _ { 1 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } ( \phi _ { n } ^ { - 1 } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) = \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } ( \tilde { \psi } _ { n } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } \varepsilon ^ { 3 - 4 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle - \frac { I _ { 2 3 } } { 2 } \sin \theta \, \frac { \sin 2 w } { r ^ { 3 } } \right\rangle _ { M , \varpi } = } & { } & \\ { \frac { m _ { 0 } R ^ { 5 } } { 3 2 i a ^ { 6 } } \sin ^ { 2 } \theta \sum _ { k } 2 K ( \omega - k n ) \Big [ \cos \theta \left( ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } - ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } \right) + \left( ( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } ) ^ { 2 } + ( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } ) ^ { 2 } \right) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } = } & { { \hat { G } } _ { 1 , 1 } \hat { \mathbf { B } } _ { 1 , 0 } \Psi _ { 0 } + { \hat { G } } _ { 1 , N } \hat { \mathbf { B } } _ { N , N + 1 } \Psi _ { N + 1 } \; , } \\ { \Psi _ { N } = } & { { \hat { G } } _ { N , 1 } \hat { \mathbf { B } } _ { 1 , 0 } \Psi _ { 0 } + { \hat { G } } _ { N , N } \hat { \mathbf { B } } _ { N , N + 1 } \Psi _ { N + 1 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { j + 1 } ^ { ( s ) } = } & { k _ { j } \gamma _ { j } ^ { ( s ) } - e _ { s } \lambda _ { j } + e _ { s } \lambda _ { j + 1 } = k _ { j } \frac { e _ { s } } { e _ { i } } \gamma _ { j } ^ { ( i ) } - \frac { e _ { s } } { e _ { i } } e _ { i } \lambda _ { j } + \frac { e _ { s } } { e _ { i } } e _ { i } \lambda _ { j + 1 } = } \\ { = } & { \frac { e _ { s } } { e _ { i } } \gamma _ { j + 1 } ^ { ( i ) } , \, j = 1 \ldots , i - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ x , B _ { i } ] = B _ { i } , \; [ y , A _ { i } ] = A _ { i } , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n , } \\ & { [ E _ { i } , B _ { k } ] = - B _ { k - 2 i } , \; \; k > 2 i , } \\ & { [ E _ { i } , A _ { k } ] = A _ { k + 2 i } , \; \; k + 2 i \leq 2 n , } \\ & { [ x , c _ { h } ] = c _ { h } , \; [ y , c _ { h } ] = - c _ { h } , \; \; \forall h = 3 , 5 , \ldots , n + 1 , } \\ & { [ x , b _ { h } ] = - b _ { h } , \; [ y , b _ { h } ] = b _ { h } , \; \; \forall h = n + 1 , n + 3 , \ldots , 2 n - 1 , } \\ & { [ A _ { i } , c _ { k } ] = ( - 1 ) ^ { i + 1 } B _ { k - i } , \; [ B _ { i } , b _ { k } ] = ( - 1 ) ^ { i + 1 } A _ { k - i } , \; \; 1 \leq k - i \leq n , } \\ & { [ c _ { k } , b _ { h } ] = E _ { h - k } , \; \; h - k \geq 1 , } \\ & { [ c _ { n + 1 } , b _ { n + 1 } ] = - x + y , } \\ & { [ E _ { 2 i } , c _ { h } ] = - 2 c _ { h - 2 i } , \; \; h - 2 i > 0 , } \\ & { [ E _ { 2 i } , b _ { h } ] = 2 b _ { h + 2 i } , \; \; h + 2 i \leq 2 n . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { \nu } ( 0 ) = 8 ( \log 4 \mathsf { R e } ) _ { + } A \nu | \partial \Omega | + 2 \nu ^ { \frac 4 3 } \left\lVert u ^ { \nu } ( 0 ) \right\rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { \frac 2 3 } , \qquad R _ { \nu } ( T ) \to 0 \mathrm { ~ a ~ s ~ } \nu \to 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \partial _ x O p ^ W ( \mathfrak { a } ) ~ i s ~ a ~ r e a l ~ o p e r a t o r ~ i f ~ \mathfrak { a } ( \varphi , x , \xi ) ~ = ~ \overline { { a } } ( \varphi , x , - \xi ) ~ } , } \\ & { \mathrm { ~ O p ^ W ( \mathfrak { a } ) ~ i s ~ a ~ s y m m e t r i c ~ o p e r a t o r ~ i f ~ \mathfrak { a } ( \varphi , x , \xi ) ~ = ~ \overline { { \mathfrak { a } } } ( \varphi , x , \xi ) ~ } , } \\ & { \mathrm { ~ \partial _ x O p ^ W ( \mathfrak { a } ) ~ i s ~ a ~ r e v e r s i b l e ~ o p e r a t o r ~ i f ~ \mathfrak { a } ( \varphi , x , \xi ) ~ = ~ \mathfrak { a } ( - \varphi , - x , - \xi ) ~ } . } \end{array}
[ \Delta ^ { F } ( x _ { 0 } ) , \Delta ^ { F } ( x _ { i } ) ] \ = \- \frac { i } { \kappa c } \Delta ^ { F } ( x _ { i } ) \, , \qquad [ \Delta ^ { F } ( x _ { i } ) , \Delta ^ { F } ( x _ { j } ) ] \ = \ 0 \, .
V _ { \mathrm { { e f f } } } ( S ) = \kappa ^ { 2 } M ^ { 4 } \left[ 1 + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( \ell n \left( \frac { \kappa ^ { 2 } S ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) + \frac { 3 } { 2 } - \frac { S _ { c } ^ { 4 } } { 1 2 S ^ { 4 } } + \cdots \right) \right] ~ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \mathbf { x } ^ { - } , \mathbf { x } ^ { + } } ( \mathbf { u } ^ { - } , \mathbf { u } ^ { + } , \mathfrak { A } | _ { U ^ { c } } ) } & { \le \prod _ { i = 1 } ^ { k } \mathbb { P } _ { x _ { i } ^ { - } , x _ { i } ^ { + } } ( u _ { i } ^ { - } , u _ { i } ^ { + } , \mathfrak { A } _ { k + 1 } ) \le \prod _ { i = 1 } ^ { k } \mathbb { P } _ { x _ { i } ^ { - } , x _ { i } ^ { + } } ( u _ { i } ^ { - } , u _ { i } ^ { + } , - p - \zeta _ { m } ) . } \end{array}
\lambda _ { V } ^ { ( \mathrm { t f } ) } = \sum _ { k } | s _ { k } ^ { ( A ) } | + \sum _ { l } | s _ { l } ^ { ( B ) } | + \sum _ { t k l } | s _ { t } ^ { ( v ) } \alpha _ { t k } ^ { ( A _ { v } ) } \alpha _ { t l } ^ { ( B _ { v } ) } | .
\left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \beta _ { q _ { c } , i n } } { 1 + e ^ { \mu - \delta ( \mathbf { x } _ { q _ { c } , 1 } - \Delta _ { c } ) } } + \mathbf { x } _ { q _ { c } } - \Delta _ { c } = \frac { \beta _ { q _ { c } , o u t } } { 1 + e ^ { \mu - \delta \mathbf { x } _ { 0 } } } , } \\ { - \beta _ { q , i n } \delta e ^ { \mu - \delta ( \mathbf { x } _ { q _ { c } , 1 } - \Delta _ { c } ) } = ( 1 + e ^ { \mu - \delta ( \mathbf { x } _ { q _ { c } , 1 } - \Delta _ { c } ) } ) ^ { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { Q } \in \mathcal { B } _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb { P } } _ { N } ) } } } & { \mathbb { E } _ { \mathbb { Q } } \left[ \left( \zeta - \eta \right) ^ { 2 } \right] } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } } & { \mathbb { E } _ { \mathbb { Q } } \left[ \zeta \right] = \eta . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \frac { \partial P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } + \frac { \partial J _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \mathcal { J } _ { L \rightarrow R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } + \frac { \partial J _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } + \mathcal { J } _ { L \rightarrow R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( x , u ; \bar { w } ) } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \bar { u } _ { 0 } + \bar { k } _ { 0 } ( \bar { w } ) + \bar { K } _ { 0 } ( \bar { w } ) ( x _ { 0 } - \bar { x } _ { 0 } ) } & { - } & { u _ { 0 } } \\ { \bar { u } _ { 1 } + \bar { k } _ { 1 } ( \bar { w } ) + \bar { K } _ { 1 } ( \bar { w } ) ( x _ { 1 } - \bar { x } _ { 1 } ) } & { - } & { u _ { 1 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cos \theta _ { \mathrm { L } } } & { { } = } & { \frac { \xi } { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } } } \\ { \sin \theta _ { \mathrm { L } } } & { { } = } & { \frac { \Delta } { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } } , } \end{array}
\frac { d } { d t } \int _ { \mathcal { O } } \varphi ( v ) F ( v , t ) \, d v = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \int _ { \mathcal { O } } \left\langle ( \mathbf { w } ^ { + } ) ^ { T } \frac { \varphi ( v ^ { \prime } ) + \varphi ( v _ { \ast } ^ { \prime } ) } { 2 } - \frac { ( \mathbf { w } ^ { - } ) ^ { T } + ( \mathbf { w } ^ { + } ) ^ { T } } { 2 } \varphi ( v ) \right\rangle \mathbf { f } ( v , t ) \, d v .
\Omega = \frac { \phi _ { e } ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + r _ { 0 } ^ { 2 } \left( n ^ { 2 } - r _ { 0 } ^ { 2 } \right) \left( 2 \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 \right) } { 4 r _ { 0 } ^ { 3 } } - \frac { r _ { 0 } ^ { 4 } + 3 n ^ { 4 } } { 4 L ^ { 2 } r _ { 0 } }
\begin{array} { r l } { Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i } , y _ { j } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 1 } ) . } \\ { Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i - 1 } , y _ { j } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 1 } ) . } \\ { Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i } , y _ { j - 1 } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 1 } , x _ { j - 2 } ) . } \\ { Q _ { V ^ { * } } ( y _ { i - 1 } , y _ { j - 1 } ) } & { = Q _ { V ^ { * } } ( x _ { i - 2 } , x _ { j - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r ( t ) } & { { } = r _ { d } + ( r _ { 0 } - r _ { d } ) \cos \left( \sqrt { \frac { V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } { \mu } } t \right) + \frac { p _ { 0 } } { \sqrt { \mu V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } } \sin \left( \sqrt { \frac { V ^ { \prime \prime } ( r _ { c } ) } { \mu } } t \right) } \end{array}
\delta \gamma = \frac { 2 \lambda _ { c } ( 1 - \gamma _ { 0 } ) [ 1 + b ( 1 - \gamma _ { 0 } ) ( 1 + \lambda _ { c } ) ] } { ( 1 - \gamma _ { 0 } ) ^ { 3 } \chi _ { 0 } ^ { \prime \prime } ( \gamma _ { 0 } ) ( 1 + \lambda _ { c } ) - 2 \lambda _ { c } } = \frac { \lambda _ { c } ( 1 . 8 5 + 0 . 5 9 1 \lambda _ { c } ) } { 1 2 + 1 0 \lambda _ { c } } .
\mathbf { J _ { \mathrm { { r a d } } } } ( \mathbf { k } _ { \mathrm { { r a d } } } ) = \mathbf { J _ { \mathrm { { r a d } } } } ( - \mathbf { k } _ { \mathrm { { r a d } } } ) , ~ ~ \mathrm { { I } } _ { \mathrm { { r a d } } } ( \mathbf { k } _ { \mathrm { { r a d } } } ) = \mathrm { { I } } _ { \mathrm { { r a d } } } ( - \mathbf { k } _ { \mathrm { { r a d } } } ) .
\begin{array} { r } { \underbrace { \sigma _ { n } } _ { 1 0 ^ { - 3 } } \ \lesssim \ \underbrace { \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \, u } _ { 5 \times 1 0 ^ { - 3 } } \ \lesssim \ \underbrace { 4 \, \sigma _ { \operatorname* { m a x } } \, u } _ { 2 \times 1 0 ^ { - 2 } } \ \lesssim \ \underbrace { \sigma _ { n - 1 } } _ { 1 0 ^ { - 1 } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathbf { r } } } } & { = \sin \theta \left( \cos \varphi { \hat { \mathbf { x } } } + \sin \varphi { \hat { \mathbf { y } } } \right) + \cos \theta { \hat { \mathbf { z } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } & { = \cos \theta \left( \cos \varphi { \hat { \mathbf { x } } } + \sin \varphi { \hat { \mathbf { y } } } \right) - \sin \theta { \hat { \mathbf { z } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } & { = - \sin \varphi { \hat { \mathbf { x } } } + \cos \varphi { \hat { \mathbf { y } } } } \end{array} }
\operatorname* { l i m } _ { c _ { 1 } \to \infty \mathrm { ~ o r ~ } w _ { 1 } \to \infty } \frac { \phi ^ { \mathrm { H } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ) \phi ^ { \mathrm { H } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ) } { \phi ^ { \mathrm { H } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } ) \phi ^ { \mathrm { H } } ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ) } = 0 .
H ^ { M B } = b _ { 1 } ^ { ( 3 ) } + \sum _ { i } ^ { N _ { 3 } } \left( w _ { 1 i } ^ { ( 3 ) } \sigma \left( b _ { i } ^ { ( 2 ) } + \sum _ { j } ^ { N _ { 2 } } \left( w _ { i j } ^ { ( 2 ) } \sigma \left( b _ { k } ^ { ( 1 ) } + \sum _ { k } ^ { N _ { 1 } } \left( w _ { j k } ^ { ( 1 ) } P I P _ { k } \right) \right) \right) \right) \right)
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \rho = 1 0 0 0 0 U _ { \tt r a n d } + 1 0 ^ { - 1 0 } , } \\ { v = 0 . 0 0 1 U _ { \tt r a n d } , } \\ { p = 1 0 U _ { \tt r a n d } + 1 0 ^ { - 1 0 } , } \\ { \gamma = 1 . 0 0 0 1 + 0 . 9 9 9 9 U _ { \tt r a n d } . } \end{array} \right. } \end{array}
M _ { i j } = \left( \begin{array} { l l } { { - I _ { p + 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { I _ { 7 - p } } } \end{array} \right) , \ \ \ M _ { \dot { a } b } = i \left( \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \dots \gamma ^ { p + 1 } \right) _ { \dot { a } b } , \ \ \ M _ { a \dot { b } } = i \left( \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \dots \gamma ^ { p + 1 } \right) _ { a \dot { b } }
\alpha = - I \{ { G _ { \mathrm { { S } } } , H _ { u u } } \} + I \{ { G _ { \mathrm { { S } } } , H _ { b b } } \} - I \{ { G _ { \mathrm { { A } } } , H _ { u b } } \} + I \{ { G _ { \mathrm { { A } } } , H _ { b u } } \} ,
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { i } } { d t } } & { { } = \frac { 1 } { k _ { i } ( t ) } \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) \, , } \\ { \frac { d w _ { i j } } { d t } } & { { } = \varepsilon \Big ( \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, f _ { i j } ^ { + } ( w _ { i j } ) + \big ( 1 - \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \big ) \, f _ { i j } ^ { - } ( w _ { i j } ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } } & { { } = { \frac { q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } { \left( 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \theta \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } { \frac { \mathbf { { \hat { r } } ^ { \prime } } } { | \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 2 } } } } \\ { \mathbf { H } } & { { } = \mathbf { v } \times \mathbf { D } } \\ { \mathbf { B } } & { { } = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } \times \mathbf { E } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { u } _ { n } } & { = \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( u , u ) - \gamma _ { u } ( k _ { n } ) u _ { n } + f _ { n } ^ { ( a ) } } \\ { \dot { P } _ { n } } & { = \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( u , P ) + \frac { i } { 3 } w \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( P , P ) - \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( P , u ) - \gamma _ { P } ( k _ { n } ) P _ { n } - \Gamma P _ { n } . } \end{array}
{ \frac { \partial l } { \partial \sigma ^ { 2 } } } = - { \frac { n } { 2 \sigma ^ { 2 } } } + { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - \mu \right) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 4 } } } + { \frac { 2 \mu } { \sigma ^ { 4 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { x _ { i } e ^ { - { \frac { 2 \mu x _ { i } } { \sigma ^ { 2 } } } } } { 1 + e ^ { - { \frac { 2 \mu x _ { i } } { \sigma ^ { 2 } } } } } }
\begin{array} { r l } { g _ { 0 } ( \mathrm { G r a m } _ { g _ { 0 } } ( g ) v _ { 1 } , v _ { 2 } ) } & { = g _ { 0 } ( { g _ { 0 } } _ { \sharp } \circ g ^ { \flat } v _ { 1 } , v _ { 2 } ) = g ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) = g ( v _ { 2 } , v _ { 1 } ) } \\ & { = \dots = g _ { 0 } ( \mathrm { G r a m } _ { g _ { 0 } } ( g ) v _ { 2 } , v _ { 1 } ) } \\ & { = g _ { 0 } ( v _ { 1 } , \mathrm { G r a m } _ { g _ { 0 } } ( g ) v _ { 2 } ) . } \end{array}
L \left( \vec { \alpha } \right) \mathcal { F } \left[ M \left( \vec { x } \right) \mathcal { F } \left[ b _ { k l } \left( \vec { \alpha } \right) \right] \right] = a \left( 1 - \delta _ { 0 k } \right) b _ { k l } \left( \vec { \alpha } \right) .
\Delta \varphi = \mathrm { A r g } \Bigg ( \frac { \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } ( \tau + T _ { \mathrm { r } } ) } { \widetilde { S } _ { 0 } ^ { ( \mathrm { i n t } ) } ( \tau ) } \Bigg ) = \omega _ { 0 } T _ { \mathrm { r } } + \underbrace { \omega _ { \mathrm { r } } T _ { \mathrm { r } } } _ { \mathrm { ~ 2 ~ \uppi ~ } } \, .
\mathring { \nabla } _ { i } \psi _ { j k l } \ = \ \psi _ { i j k l } - 2 \mathring { R } _ { i ( j k } { } ^ { m } \psi _ { l ) m } - \frac 1 2 \psi _ { m } \mathring { \nabla } _ { ( j } \mathring { R } _ { | i | k l ) } { } ^ { m } ~ .
x _ { 1 } ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { M } ) x _ { 2 } ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { M } ) { \overset { \underset { \mathrm { F T } } { } } { \longleftrightarrow } } { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \cdots \int _ { - \pi } ^ { \pi } X _ { 1 } ( \theta _ { 1 } , \ldots , \theta _ { M } ) X _ { 2 } ( \omega _ { 1 } - \theta _ { 1 } , \ldots , \omega _ { M } - \theta _ { M } ) \, d \theta _ { 1 } \cdots d \theta _ { M }
\begin{array} { r l } { S _ { n } } & { = \left( \sum _ { 1 \leq i , j \leq | \mathbb { B } | } \sum _ { | s - l | < \theta _ { n } } + \sum _ { 1 \leq i , j \leq | \mathbb { B } | } \sum _ { | s - l | \geq \theta _ { n } } \right) \lambda _ { i , j } ^ { * } ( s , l ) ( 1 - \lambda _ { i , j } ^ { * , 2 } ( s , l ) ) ^ { - 1 / 2 } \exp \left\{ - \frac { x ^ { 2 } } { 1 + \lambda _ { i , j } ^ { * } ( s , l ) } \right\} } \\ & { : = S _ { n , 1 } + S _ { n , 2 } , } \end{array}
[ \hat { a } _ { \textsc { p } } ^ { \dagger } , \hat { b } _ { \textsc { q } } ] = [ \hat { a } _ { \textsc { p } } , \hat { b } _ { \textsc { q } } ^ { \dagger } ] = [ \hat { a } _ { \textsc { p } } ^ { \dagger } , \hat { b } _ { \textsc { q } } ^ { \dagger } ] = [ \hat { a } _ { \textsc { p } } , \hat { b } _ { \textsc { q } } ] = 0
[ \widetilde { \Pi } _ { x } , \hat { \Pi } _ { x } ] = [ \widetilde { \Pi } _ { y } , \hat { \Pi } _ { y } ] , [ \widetilde { \Pi } _ { x } , \hat { \Pi } _ { y } ] , [ \widetilde { \Pi } _ { y } , \hat { \Pi } _ { x } ] = 0
\left( { \frac { \partial T } { \partial y } } \right) _ { x } \left( { \frac { \partial S } { \partial x } } \right) _ { y } - \left( { \frac { \partial P } { \partial y } } \right) _ { x } \left( { \frac { \partial V } { \partial x } } \right) _ { y } = \left( { \frac { \partial T } { \partial x } } \right) _ { y } \left( { \frac { \partial S } { \partial y } } \right) _ { x } - \left( { \frac { \partial P } { \partial x } } \right) _ { y } \left( { \frac { \partial V } { \partial y } } \right) _ { x }
\begin{array} { r l } & { L _ { \mathtt { E H } } ( \mathrm { e } ) : = L _ { \mathtt { E H } } ( g = \mathrm { T r } ( \mathrm { e } \otimes \mathrm { e } ) ) , } \\ & { \overline { { \ell } } _ { \mathtt { G H Y } } ( \mathrm { e } ) : = \overline { { \ell } } _ { \mathtt { G H Y } } ( g = \mathrm { T r } ( \mathrm { e } \otimes \mathrm { e } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad ~ \Delta ( \boldsymbol { \Theta } ( t ) ) + V \mathbb { E } \left[ \hat { f } ( t ) | \boldsymbol { \Theta } ( t ) \right] } \\ & { \le \sum _ { j } \mathbb { E } [ h _ { j } ^ { F } ( t ) | \boldsymbol { \Theta } ( t ) ] \mathbb { E } \left[ \left( \hat { a } _ { j } ( t ) - \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } \hat { m } _ { j i } ( t ) \right) | ~ \boldsymbol { \Theta } ( t ) \right] } \\ & { \quad + \sum _ { i } \mathbb { E } [ h _ { i } ^ { B } ( t ) | \boldsymbol { \Theta } ( t ) ] \mathbb { E } \left[ \left( \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } \hat { m } _ { j i } ( t ) - \hat { e } _ { i } ( t ) \right) | ~ \boldsymbol { \Theta } ( t ) \right] } \\ & { \quad + \sum _ { i } \mathbb { E } [ l _ { i } ( t ) | \boldsymbol { \Theta } ( t ) ] \mathbb { E } \left[ \left( \eta _ { \mathrm { c } } \hat { c } _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } \hat { d } _ { i } ( t ) \right) | ~ \boldsymbol { \Theta } ( t ) \right] } \\ & { \quad + V \mathbb { E } \left[ \hat { f } ( t ) | \boldsymbol { \Theta } ( t ) \right] + N _ { 1 } + N _ { 2 } + N _ { 3 } } \\ & { \le \sum _ { j } \mathbb { E } [ h _ { j } ^ { F } ( t ) | \boldsymbol { \Theta } ( t ) ] \mathbb { E } \left[ \left( a _ { j } ^ { * } ( t ) - \sum _ { i \in \Omega _ { j } ^ { F } } m _ { i j } ^ { * } ( t ) \right) \right] } \\ & { \quad + \sum _ { i } \mathbb { E } [ h _ { i } ^ { B } ( t ) | \boldsymbol { \Theta } ( t ) ] \mathbb { E } \left[ \left( \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } m _ { i j } ^ { * } ( t ) - e _ { i } ^ { * } ( t ) \right) \right] } \\ & { \quad + \sum _ { i } \mathbb { E } [ l _ { i } ( t ) | \boldsymbol { \Theta } ( t ) ] \mathbb { E } \left[ \left( \eta _ { \mathrm { c } } c _ { i } ^ { * } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } d _ { i } ^ { * } ( t ) \right) \right] } \\ & { \quad + V \mathbb { E } \left[ f ^ { * } ( t ) \right] + N _ { 1 } + N _ { 2 } + N _ { 3 } } \end{array}
\boldsymbol { T } _ { \boldsymbol { u } } ^ { \mathrm { T R M E } } = \boldsymbol { \tilde { \Psi } } \boldsymbol { \tilde { \Sigma } ^ { 2 } } \boldsymbol { \tilde { \Psi } } _ { \boldsymbol { y } } ^ { H } \left( \boldsymbol { \tilde { \Psi } _ { y } } \boldsymbol { \tilde { \Sigma } ^ { 2 } } \boldsymbol { \tilde { \Psi } } _ { \boldsymbol { y } } ^ { H } + \boldsymbol { \tilde { S } _ { n n } } \right) ^ { - 1 } .
x ^ { - } = { \frac { 4 e } { a m ( 1 - c ) } } { \frac { ( 1 + { \frac { \lambda ( 1 - c ) } { 2 } } ( x ^ { + } - x _ { 0 } ^ { + } ) ) } { ( x ^ { + } + { \frac { \lambda ( 1 - c ) x _ { 0 } ^ { + } } { 2 } } ( x ^ { + } - x _ { 0 } ^ { + } ) ) } }
\begin{array} { r l r } { R _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) } & { { } = } & { \left| \cos \left( 2 \pi \frac { \Delta U ( t ) } { U _ { \lambda / 4 } } \right) \cos \left( 2 \alpha \right) - \frac { 1 } { 2 } \sin \left( 2 \pi \frac { \Delta U ( t ) } { U _ { \lambda / 4 } } \right) \sin \left( 4 \alpha \right) \right. } \end{array}