harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\omega ^ { A } { } _ { C B } \, \vartheta ^ { C } - \frac { \mathsf { G } _ { A , B } } { 2 \mathsf { G } _ { A } \sqrt { \mathsf { G } _ { B } } } \, \vartheta ^ { A } = \xi ^ { A } { } _ { B C } \, \vartheta ^ { C } \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ ~ ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ } ~ A ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ B ) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \delta ^ { 2 } Z [ q ] } { \delta q ( x ) \delta q ( x ^ { \prime } ) } } & { = \frac { \delta } { \delta q ( x ^ { \prime } ) } \left\{ Z [ q ] ( S ^ { - 1 } q ) ( x ) \right\} } \\ & { = \frac { \delta Z [ q ] } { \delta q ( x ^ { \prime } ) } ( S ^ { - 1 } q ) ( x ) + Z [ q ] \frac { \delta } { \delta q ( x ^ { \prime } ) } ( S ^ { - 1 } q ) ( x ) } \\ & { = Z [ q ] ( S ^ { - 1 } q ) ( x ^ { \prime } ) ( S ^ { - 1 } q ) ( x ) + Z [ q ] \frac { \delta } { \delta q ( x ^ { \prime } ) } \int d x ^ { \prime \prime } \: S ^ { - 1 } ( x , x ^ { \prime \prime } ) q ( x ^ { \prime \prime } ) } \\ & { = Z [ q ] ( S ^ { - 1 } q ) ( x ^ { \prime } ) ( S ^ { - 1 } q ) ( x ) + Z [ q ] \int d x ^ { \prime \prime } \: S ^ { - 1 } ( x , x ^ { \prime \prime } ) \delta ( x ^ { \prime \prime } - x ^ { \prime } ) } \\ & { = Z [ q ] ( S ^ { - 1 } q ) ( x ^ { \prime } ) ( S ^ { - 1 } q ) ( x ) + Z [ q ] S ^ { - 1 } ( x , x ^ { \prime } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { r r } { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { r r } { { m } } & { { d } } \\ { { d } } & { { m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { r r } { { 1 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { m + d } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { d - m } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \lambda _ { \textsc { m i n } } ( B ) = \operatorname* { m i n } _ { x _ { * } \in \mathbb { R } ^ { d _ { * } } } \frac { x _ { * } ^ { T } B x _ { * } } { x _ { * } ^ { T } x _ { * } } = \operatorname* { m i n } _ { x _ { * } \in \mathbb { R } ^ { d _ { * } } } \frac { x _ { * } ^ { T } S A S ^ { T } x _ { * } } { x _ { * } ^ { T } S S ^ { T } x _ { * } } \ge \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { R } ^ { d } } \frac { x ^ { T } A x } { x ^ { T } x } = \lambda _ { \textsc { m i n } } ( A ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { + } } & { { } = \frac { \Phi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } { 2 \Phi _ { + } } } \\ { \alpha _ { - } } & { { } = \frac { \Phi _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } { 2 \Phi _ { - } } . } \end{array}
\frac { \partial L _ { t o t a l } } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } = \frac { \partial L _ { p } } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } + \frac { \partial L _ { T } } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } + \frac { \partial L _ { v _ { x } } } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } + \frac { \partial L _ { v _ { y } } } { \partial \boldsymbol { \Theta } _ { g } } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \Delta u ^ { 0 } + k _ { + } u ^ { 0 } = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } U _ { 0 } , } \\ & { \Delta u ^ { 0 } + k _ { - } u ^ { 0 } = 0 } & & { \mathrm { ~ i n ~ } \mathbb { R } ^ { 2 } \backslash \overline { { U _ { 0 } } } , } \\ & { u _ { + } ^ { 0 } = u _ { - } ^ { 0 } , \left. \frac { \partial u ^ { 0 } } { \partial x _ { 2 } } \right| _ { + } = \left. \frac { \partial u ^ { 0 } } { \partial x _ { 2 } } \right| _ { - } } & & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left| + x \right\rangle \leftrightarrow { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] } , \quad \left| - x \right\rangle \leftrightarrow { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] }
S _ { \hat { x } , \hat { x } } \big ( \omega _ { n } ^ { \mathrm { p o l e } } \big ) = \bigl | G _ { \mathrm { P S E } } \big ( \omega _ { n } ^ { \mathrm { p o l e } } \big ) \bigr | ^ { 2 } \, S _ { z , z } \big ( \omega _ { n } ^ { \mathrm { p o l e } } \big ) = \mathrm { S N R } \big ( \omega _ { n } ^ { \mathrm { p o l e } } \big ) \, S _ { \xi , \xi } \big ( \omega _ { n } ^ { \mathrm { p o l e } } \big ) = S _ { x , x } \big ( \omega _ { n } ^ { \mathrm { p o l e } } \big )
m ^ { 2 } ( { \Delta u } ^ { 2 } + { \Delta v } ^ { 2 } ) ( x ^ { 2 } - 2 \langle q \rangle x ) + m ^ { 2 } { \Delta q } ^ { 2 } \bigg ( v ^ { 2 } - 2 \langle v \rangle v - \frac { \hbar ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \frac { \partial _ { x } ^ { 2 } \sqrt { \rho } } { \sqrt { \rho } } \bigg ) + \lambda _ { 0 } ( t ) - \partial _ { t } \lambda _ { 1 } - v \partial _ { x } \lambda _ { 1 } \, = \, 0 \; \, .
\sigma _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } - p } \stackrel { > } { \sim } 1 \times 1 0 ^ { - 9 } \mathrm { p b } ; \, m _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } } \stackrel { < } { \sim } 1 4 0 \mathrm { G e V } ; \, \tan \beta = 6
{ \frac { 1 } { \hbar } } { \hat { S } } _ { z } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { s } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { s - 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { - ( s - 1 ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { - s } \end{array} \right] }
s _ { s } = \frac s { \sqrt { 1 - w ^ { 2 } } } = \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 5 c ^ { 3 } } \frac { \Theta ^ { 4 } } { \left[ 1 - w ^ { 2 } / c ^ { 2 } \right] ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { G _ { \gamma _ { c _ { \tau } } ( t ) } ( x ) } & { = - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \| x - y \| _ { 2 } ^ { r } \, \mathrm { d } ( c _ { \tau } t ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } \mathrm { I d } ) _ { \# } \eta ^ { * } ( y ) } \\ & { = t ^ { \frac { r } { 2 - r } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } K ( x t ^ { - \frac { 1 } { 2 - r } } , y ) \, \mathrm { d } ( c _ { \tau } \mathrm { I d } ) _ { \# } \eta ^ { * } ( y ) } \\ & { = t ^ { \frac { r } { 2 - r } } \biggl ( C _ { K , \tau } - \frac { t ^ { \frac { - 2 } { 2 - r } } } { 2 \tau } \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } \biggr ) } \\ & { = t ^ { \frac { r } { 2 - r } } C _ { K , \tau } - \frac { 1 } { 2 \tau t } \| x \| _ { 2 } ^ { 2 } , \quad x \in \mathrm { s u p p } ( \gamma _ { c _ { \tau } } ( t ) ) . } \end{array}
s _ { 1 } = s _ { 2 } ^ { * } = \frac { c } { \omega _ { B } \ell _ { B } ^ { 2 } } + \frac { i } { \ell _ { B } } \sqrt { 2 - \frac { c ^ { 2 } } { \ell _ { B } ^ { 2 } \omega _ { B } ^ { 2 } } - k ^ { 2 } \ell _ { B } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { K } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } } & { { } = } & { \tilde { \epsilon } _ { K , 0 } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } \times E _ { P } ^ { \mp } } \\ { E _ { P } ^ { \mp } } & { { } = } & { e ^ { i \pi ( P - 1 ) \frac { K \mp \nu _ { y } } { P } } \zeta _ { P } ( \frac { K \mp \nu _ { y } } { P } ) } \end{array}
\mathbf { x } \equiv [ C _ { O _ { 3 } } , C _ { N O } , C _ { N O _ { 2 } } , C _ { H C H O } , C _ { H O _ { 2 } } , C _ { H O _ { 2 } H } , C _ { O H } , C _ { O } , C _ { H N O _ { 3 } } , C _ { C O } , C _ { H _ { 2 } } ] \equiv [ C _ { 1 } , C _ { 2 } , \dots ] .
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } - 2 | \mathbb { V } _ { f } | } & { = 2 \frac { | \mathbb { S } _ { d - 2 } | } { | \mathbb { S } _ { d - 1 } | } \rho _ { f } \sum _ { i = 1 } ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } ( d - ( 2 j + 1 ) ) } { \prod _ { j = 1 } ^ { i } ( d - 2 j ) } ( \sin ^ { d - ( 2 i + 1 ) } \theta _ { f } ) \cos \theta _ { f } + \frac { 2 } { \pi } \rho _ { f } \arcsin \left( \frac { r _ { f } ^ { 2 } + U _ { f , g } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } } { 2 r _ { f } U _ { f , g } } \right) } \\ & { \le C _ { d } \left( \rho _ { f } \cos \theta _ { f } + \rho _ { f } \arcsin \left( \frac { r _ { f } ^ { 2 } + U _ { f , g } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } } { 2 r _ { f } U _ { f , g } } \right) \right) } \\ & { \le C \rho _ { f } \frac { r _ { f } ^ { 2 } + U _ { f , g } ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } } { 2 r _ { f } U _ { f , g } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { c ^ { \top } y ^ { * } = \operatorname* { m a x } \ } & { b ^ { \top } \alpha - \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } P _ { D G _ { i } , \operatorname* { m a x } } ^ { t } \beta _ { D G _ { i } , t } } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { ( A ^ { \prime } ) ^ { \top } \alpha = c , } \\ & { a _ { D G _ { i } } ^ { \top } \alpha - \beta _ { D G _ { i } , t } = 0 } & & { \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { \beta _ { D G _ { i } , t } + \gamma _ { i , t } = \operatorname* { m a x } \{ r _ { i } ^ { + , t } , r _ { i } ^ { - , t } , p _ { s l } ^ { t } \} - \operatorname* { m i n } \{ f _ { i } ^ { + } , f _ { i } ^ { - } \} } & & { \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { \beta _ { D G _ { i } , t } - \delta _ { i , t } = p _ { s l } ^ { t } - f _ { i } ^ { + } } & & { \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T , } \\ & { \alpha , \beta , \gamma , \delta \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \sum _ { k = 3 } ^ { n } \sum _ { l = 3 } ^ { k } \vartheta _ { k - l } b _ { l - 1 } \big \langle \triangledown _ { \tau } e ^ { 1 } , e ^ { k } \big \rangle } & { = - \sum _ { k = 3 } ^ { n } \vartheta _ { k - 3 } b _ { 2 } \big \langle \triangledown _ { \tau } e ^ { 1 } , e ^ { k } \big \rangle \le \frac { 1 } { 3 \tau } \sum _ { k = 3 } ^ { n } | \vartheta _ { k - 3 } | \| \triangledown _ { \tau } e ^ { 1 } \| \| e ^ { k } \| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 1 } ( q _ { B } ) } & { = } & { \frac { \lvert \chi ^ { ( B ) } ( q _ { B } ) \rvert ^ { 2 } } { q _ { B } ^ { 4 - D } } \mathcal { S } _ { D } \frac { \pi } { 4 } \csc \left( \frac { D \pi } { 2 } \right) ( 2 - D ) } \\ & { \times } & { \left( \frac { \mathcal { A } + 2 } { 4 \mathcal { A } } \right) ^ { D / 2 - 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \phi _ { * } L _ { X } ) ( g ) ( q ) } & { = } & { \phi _ { * } ( L _ { X } ( \phi ^ { * } g ) ) ( q ) } \\ & { = } & { L _ { X } ( \phi ^ { * } g ) ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) } \\ & { = } & { D ( \phi ^ { * } g ) ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) ( X ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) ) } \\ & { = } & { D ( g \circ \phi ) ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) ( X ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) ) } \\ & { = } & { D g ( q ) \circ D \phi ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) ( X ( \phi ^ { - 1 } ( q ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { l } } & { \leq } & { 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 2 5 } + \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - ( | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L - 2 L ^ { - 1 } ) _ { + } ^ { 2 } + 4 L ^ { - 1 } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) . } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \beta _ { n } \, \left[ ( g \bar { \theta } ) ^ { n } \right] ^ { a b } + \Omega ^ { a b } + \Omega ^ { a c } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \beta _ { n } \, \left[ ( g \bar { \theta } ) ^ { n } \right] ^ { c b } = 0 \, .
x _ { i } ^ { * } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , m ) = \arg \operatorname* { m a x } \{ \, \! u ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) { \mathrm { ~ } } : { \mathrm { ~ } } p _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 2 } x _ { 2 } = m \} { \mathrm { ~ f o r ~ } } i = 1 , 2 .
R _ { k , j } ( \tau ) = \frac { \delta \langle x _ { k } ( \tau ) \rangle } { \delta x _ { j } ( 0 ) } = - \Big \langle x _ { k } ( \tau ) \frac { \partial \ln \rho ( \boldsymbol { x } ) } { \partial x _ { j } } \Big | _ { \boldsymbol { x } ( 0 ) } \Big \rangle .
G = \left\{ \left( \begin{array} { c c c } { \alpha _ { 1 } } & { t _ { o } } & { t _ { 1 } } \\ { 0 } & { \alpha _ { 2 } } & { w } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha _ { 3 } } \end{array} \right) \ \mathrm { w h e r e } \ \begin{array} { l l } { \alpha _ { i } \neq 0 } & { \mathrm { i f } \ \mathbb { K } = \mathbb { C } } \\ { \alpha _ { i } > 0 } & { \mathrm { i f } \ \mathbb { K } = \mathbb { R } } \end{array} \ \ \mathrm { a n d } \ \ v \in V , t _ { i } \in S _ { i } \ \right\}
\begin{array} { r l } { \mathbf { w } _ { n , k } ^ { \mathrm { R Q } } } & { = \arg \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { w } _ { n , k } } \frac { \mathbf { w } _ { n , k } ^ { H } \mathbf { h } _ { n , n , k } \mathbf { h } _ { n , n , k } ^ { H } \mathbf { w } _ { n , k } } { \mathbf { w } _ { n , k } ^ { H } \left( \sum _ { ( m , j ) } \alpha _ { m , j } \mathbf { h } _ { n , m , j } \mathbf { h } _ { n , m , j } ^ { H } + \mu _ { n } \mathbf { I } \right) \mathbf { w } _ { n , k } } } \\ & { = \arg \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { w } _ { n , k } } \frac { | \mathbf { h } _ { n , n , k } ^ { H } \mathbf { w } _ { n , k } | ^ { 2 } } { \sum _ { ( m , j ) } \alpha _ { m , j } | \mathbf { h } _ { n , m , j } ^ { H } \mathbf { w } _ { n , k } | ^ { 2 } + \mu _ { n } \| \mathbf { w } _ { n , k } \| ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } \cap \mathcal { C } _ { l } \cap \mathcal { E } _ { l } ) = \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } \cap \mathcal { C } _ { l } \cap \mathcal { E } _ { l } | \mathcal { B } _ { l } ) ] } \\ & { \leq } & { \exp ( - 2 \beta _ { n } ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ^ { 2 } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \hat { r } _ { L } ^ { c c w } } & { = \sqrt { \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c c w } + \sqrt { 1 - \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { L } ^ { c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c w } } & & { = \sqrt { \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { L } ^ { c w } - \sqrt { 1 - \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , + } ^ { c c w } , } \\ { \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c c w } } & { = \sqrt { \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { 0 } ^ { c c w } + \sqrt { 1 - \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c w } , \; \; \; \; \; \; \; \; \hat { r } _ { 0 } ^ { c w } } & & { = \sqrt { \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { \frac { L } { 2 } , - } ^ { c w } - \sqrt { 1 - \gamma } \, e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \, \hat { r } _ { 0 } ^ { c c w } . } \end{array}
\frac { d \mathbf { \widetilde { S } } } { d t } = \exp \left( - t \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf c } } \\ { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 2 } } } & { \mathbf 0 } \\ { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( t \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 1 } } } & { \vec { \mathbf c } } \\ { \mathbf 0 } & { 0 } \end{array} \right] \right) \mathbf { \widetilde S } ( t )
\begin{array} { r l r } { \hat { \sigma } _ { 1 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \sigma } _ { 2 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \hat { \sigma } _ { 3 } } & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \odot \vec { \theta } _ { t } \rangle } & { = \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + \langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } ^ { \prime } , \vec { \theta } _ { t } - \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle } \\ & { \le \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \rVert _ { \infty } \cdot \lVert \vec { \theta } _ { t } - \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rVert _ { 1 } } \\ & { \le \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + L _ { t - 1 } t \cdot M t ^ { \frac \delta 4 } \cdot 2 K \beta _ { t } } \\ & { = \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + 2 L _ { t - 1 } M t ^ { \frac \delta 4 - 3 } } \\ & { \le \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } ^ { \prime } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle + 2 L _ { t - 1 } M t ^ { - 2 } . } \end{array}
H _ { \tilde { X } ( 0 1 0 ) } = B ( \vec { N } ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) + \gamma ( \vec { N } \cdot \vec { S } - N _ { z } S _ { z } ) + \gamma _ { G } N _ { z } S _ { z } + \frac { p _ { G } } { 2 } \left( N _ { + } S _ { + } e ^ { - i 2 \phi } + N _ { - } S _ { - } e ^ { i 2 \phi } \right) - \frac { q _ { G } } { 2 } \left( N _ { + } ^ { 2 } e ^ { - i 2 \phi } + N _ { - } ^ { 2 } e ^ { i 2 \phi } \right) .
\begin{array} { r } { \chi _ { ( i t ) _ { \epsilon } , j } \rightarrow \chi _ { i _ { \epsilon } } \left( l _ { j } ^ { \parallel } , l _ { j } ^ { \perp } , \theta _ { \epsilon } \right) \cdot H _ { \mathrm { ~ T ~ O ~ F ~ } } \left[ l _ { j } ^ { \parallel } , ( l _ { 0 } ^ { \parallel } ) _ { \epsilon } \right] \cdot \left[ H _ { Z } ^ { \mathrm { ~ C ~ R ~ T ~ } } ( z _ { j } , l _ { j } ^ { \parallel } ) * H _ { Z } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ l ~ x ~ } } ( z _ { j } , l _ { j } ^ { \parallel } , i _ { \epsilon } , \theta _ { \epsilon } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { i } ( 0 , \underline { { A } } _ { \partial i } ) = } & { { } \prod _ { j \in \partial i } \left( \delta _ { A _ { j } } ^ { 0 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } \delta _ { A _ { j } } ^ { j ^ { t } } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { t } } \right) , } \end{array}
| \Phi \rangle = \Bigl ( 1 - \frac { \partial ^ { I } } { \partial ^ { + } } \alpha ^ { + } \bar { \alpha } ^ { I } + \frac { d - s - 2 } { \hat { \partial } ^ { + } } \alpha ^ { + } \bar { \alpha } ^ { z } \Bigr ) | \Phi _ { p h } \rangle \, ,
Q _ { \chi \chi } ^ { p l } ( \chi ) = \frac { N _ { l } ( p ) } { p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } + 1 ) } ( \sinh \chi ) ^ { l - 2 } \left( \frac { - 1 } { \sinh \chi } \frac { d } { d \chi } \right) ^ { l + 1 } ( \cos p \chi )
\sum _ { k , k ^ { \prime } } f _ { k k ^ { \prime } } \delta n _ { k } \delta n _ { k ^ { \prime } } = { \frac { 2 p _ { \mathrm { { F } } } ^ { 4 } } { ( 2 \pi ) ^ { 6 } } } \int d ^ { 2 } { \hat { k } } d ^ { 2 } { \hat { k ^ { \prime } } } ( p _ { \mathrm { { F } } } ^ { \prime } ( { \hat { k } } ) - p _ { \mathrm { { F } } } ) ( p _ { \mathrm { { F } } } ^ { \prime } ( { \hat { k ^ { \prime } } } ) _ { \mathrm { { F } } } ) f _ { p _ { \mathrm { { F } } } { \hat { k } } , p _ { \mathrm { { F } } } { \hat { k ^ { \prime } } } }
\begin{array} { r l } { { \cal L } ( d _ { i } | \Lambda ) } & { { } = \int d \theta p ( d _ { i } , \theta | \Lambda ) = \int d \theta { \cal L } ( d _ { i } | \theta ) p ( \theta | \Lambda ) } \\ { P _ { \mathrm { d e t } } ( \Lambda ) } & { { } = \int d d \int d \theta p ( d , \theta | \Lambda ) \Theta ( \rho ( d ) - \rho _ { * } ) } \end{array}
\cos \theta ( \Psi ^ { ( n ) } , \Upsilon _ { 0 } ) \geq \operatorname* { m i n } \big ( 1 - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } , \cos \theta ( \Psi ^ { ( 0 ) } , \Upsilon _ { 0 } ) \big ) \geq \frac { 7 } { 8 } \cos \theta ( \Psi ^ { ( 0 ) } , \Upsilon _ { 0 } )
{ \begin{array} { r l } { \ln ( \ln u ) } & { = \ln \left( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } n a | t | ^ { \alpha } \ln | t | \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \ln \left( n a | t | ^ { \alpha } \ln | t | \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \ln ( n a ) + \alpha \ln | t | + \ln ( \ln | t | ) \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mu ^ { \mathbb { N } } ( \mathrm { D e n s e } ) } & { \geq 1 - \sum _ { i \in \mathbb { N } } \mu ^ { \mathbb { N } } ( \{ ( x _ { n } ) _ { n } \in X ^ { \mathbb { N } } : x _ { n } \not \in D _ { i } , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } n \in \mathbb { N } \} ) } \\ & { = 1 - \sum _ { i \in \mathbb { N } } \left( \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( 1 - \mu ( D _ { i } ) ) ^ { n } \right) = 1 . } \end{array}
\rho _ { S N } C _ { S N } \delta \frac { \partial T _ { c } } { \partial t } = \dot { m } _ { c } ( \frac { v ^ { 2 } } { 2 } + { \hat { h } } _ { g } - { \hat { h } } _ { s } ) + \frac { 1 } { D _ { 1 } } N u \cdot k _ { g } ( T _ { g } - T _ { s } ) - q _ { c o n } .
\frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \mathbf { A } - \left( \boldsymbol { \nabla } \mathbf { u } \cdot \mathbf { A } + \mathbf { A } \cdot \boldsymbol { \nabla } \mathbf { u } ^ { T } \right) = - \frac { 1 } { \tau } \left( \frac { \mathbf { A } } { 1 - \frac { \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) } { L ^ { 2 } } } - \mathbf { I } \right) .
{ \begin{array} { r l r l } & { } & { h ( g _ { 1 } ) } & { = h ( g _ { 2 } ) } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { h ( g _ { 1 } ) \cdot h ( g _ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { = e _ { H } } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { h \left( g _ { 1 } \circ g _ { 2 } ^ { - 1 } \right) } & { = e _ { H } , \ \ker ( h ) = \{ e _ { G } \} } \\ { \Rightarrow } & { } & { g _ { 1 } \circ g _ { 2 } ^ { - 1 } } & { = e _ { G } } \\ { \Leftrightarrow } & { } & { g _ { 1 } } & { = g _ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { { \mathrm P } ( ( Y _ { 1 } \wedge Y _ { 2 } ) \vee ( Y _ { 2 } \wedge Y _ { 3 } ) < Z _ { i } < ( Y _ { 1 } \vee Y _ { 2 } ) \wedge ( Y _ { 2 } \vee Y _ { 3 } ) , } \\ & { Y _ { 1 } \wedge Y _ { 2 } < Z _ { j } < Y _ { 1 } \vee Y _ { 2 } , Z _ { j } > Y _ { 2 } \vee Y _ { 3 } ~ \mathrm { o r } ~ Z _ { j } < Y _ { 2 } \wedge Y _ { 3 } ) = 1 / 6 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { \theta } \Psi \{ f \} ) ( \theta , \varphi ) = } & { { } \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) } \frac { \partial _ { \theta } D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) } { D ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ( O u t p u t ) } } & { { } \propto \frac { 1 - \cos \delta \phi _ { \mathrm { P C C } } ( 1 - \mathcal { L } _ { \mathrm { P C C } } ^ { ' } ) r ( \Omega ) } { 2 } } \end{array}
\Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } = 7 . 5 9 \pm 0 . 2 1 \cdot 1 0 ^ { - 5 } \, { \mathrm { e V } } ^ { 2 } , \, \, \tan ^ { 2 } \theta _ { 1 2 } = 0 . 4 7 _ { - 0 . 0 5 } ^ { + 0 . 0 6 }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } u } w ( u ; y ) } & { = - \Big ( D \mathbf { e } ^ { u \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( \cdot ) ) \Big ) ^ { - 1 } \varphi ( \mathbf { e } ^ { u \varphi ( \cdot , r , z ) } ( X _ { r - } ( \cdot ) ) , r , z ) \circ w ( u ; y ) , } \\ { w ( 0 ; y ) } & { = y , \quad u \in [ 0 , 1 ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf F } _ { i } \equiv - { \bf \nabla } _ { i } \mathcal { H } + \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf \hat { n } } \times { \bf Z } _ { i } + \sqrt { \kappa T } { \bf n } _ { i } ( t ) . } \end{array}
L _ { C } ^ { ( R R ) } ( r , \left[ r \right] ) = \frac { 2 q ^ { 2 } } { c } \frac { d r } { d s } ^ { \mu } \int _ { 1 } ^ { 2 } d r _ { \mu } ^ { \prime } \delta ( \widetilde { R } ^ { \mu } \widetilde { R } _ { \mu } - \sigma ^ { 2 } ) ,
\boldsymbol { U } ^ { s } = \boldsymbol { U } + \boldsymbol { U } _ { s } ^ { 1 } \cdot \boldsymbol { \tau } _ { s } ^ { 1 } + \boldsymbol { U } _ { s } ^ { 2 } \cdot \boldsymbol { \tau } _ { s } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { { } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { 3 \varepsilon ^ { 4 } } { 8 } \int _ { \Omega } | \nabla u | ^ { 2 } ( x , t ) \mathrm { d } x + \frac { 3 } { 8 } \varepsilon ^ { \frac { 9 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | \Delta u | ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } t } \end{array}