harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { \Delta T } { T } = \frac { T _ { \mathrm { e f f } } - T } { T } \approx 0 . 1 \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) \times } \\ { \left( \frac { I _ { \mathrm { L } } } { 1 0 ^ { 2 0 } \, \, \mathrm { W / c m ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 / 3 } \left( \frac { \lambda _ { p } } { 0 . 1 \, \, \mathrm { n m } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
2 E { \frac { d R } { d ^ { 3 } q } } = - { \frac { 2 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \; n _ { _ B } ( E ) \, \mathrm { I m } \, \Pi ^ { ^ { R A } } { } _ { \mu } { } ^ { \mu } ( E , { \vec { q } } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \int _ { | x | \leq \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } } d ( x ) ^ { 2 } d x } & { \leq \int _ { | x | \leq \alpha _ { n } ^ { 1 / 2 } h ^ { \delta _ { 0 } } } C \left( 1 + \left( \frac { d ( \zeta _ { n } ( x ) , \mathcal { T } _ { - } ) } { h ^ { \delta } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - 2 t } d x } \\ & { \leq C \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { J _ { i } } \left( 1 + \left( \frac { d ( \zeta _ { n } ( x ) , \mathcal { T } _ { - } ) } { h ^ { \delta } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - 2 t } d x } \\ & { \leq C \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \int _ { | x _ { i } - x | \leq 2 h ^ { \delta } } 1 d x + \int _ { | x _ { i } - x | > 2 h ^ { \delta } } \left( 1 + \left( \frac { \nu | x - x _ { i } | } { h ^ { \delta } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { - 2 t } d x \right) } \\ & { \leq C \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( 4 h ^ { \delta } + \int _ { | y | > 2 } \left( \frac { 1 } { 1 + ( \nu y ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 t } h ^ { \delta } d y \right) } \\ & { \leq C N h ^ { \delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 2 \sqrt { s } } { \mathbf { t } _ { k } } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) } & { = \sqrt { \mu s } \coth \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) } \\ & { \leq \sqrt { \mu s } \coth \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { 2 } \right) } \\ & { = \sqrt { \mu s } \coth \left( - \log \left( 1 - \sqrt { \mu s } \right) \right) } \\ & { = \sqrt { \mu s } \frac { 1 + e ^ { 2 \log \left( 1 - \sqrt { \mu s } \right) } } { 1 - e ^ { 2 \log \left( 1 - \sqrt { \mu s } \right) } } } \\ & { = \sqrt { \mu s } \frac { 1 + \left( 1 - \sqrt { \mu s } \right) ^ { 2 } } { 1 - \left( 1 - \sqrt { \mu s } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \leq 1 , } \end{array}
\Gamma _ { a } = \frac { a _ { 1 2 } + a _ { 1 1 } \Gamma } { 1 + a _ { 2 1 } \Gamma } \quad \Longrightarrow \quad a _ { 1 1 } \Gamma = \frac { \Gamma _ { a } - a _ { 1 2 } } { 1 - ( a _ { 2 1 } / a _ { 1 1 } ) \Gamma _ { a } } ,
\mathbf { X } ( \omega ) = \operatorname { R e } { \left[ \begin{array} { l } { e ^ { - i \alpha } A \cosh \left( { \frac { \omega } { A } } \right) } \\ { i e ^ { - i \alpha } A \sinh \left( { \frac { \omega } { A } } \right) } \\ { e ^ { - i \alpha } \omega } \end{array} \right] } = \cos ( \alpha ) { \left[ \begin{array} { l } { A \cosh \left( { \frac { \operatorname { R e } ( \omega ) } { A } } \right) \cos \left( { \frac { \operatorname { I m } ( \omega ) } { A } } \right) } \\ { - A \cosh \left( { \frac { \operatorname { R e } ( \omega ) } { A } } \right) \sin \left( { \frac { \operatorname { I m } ( \omega ) } { A } } \right) } \\ { \operatorname { R e } ( \omega ) } \end{array} \right] } + \sin ( \alpha ) { \left[ \begin{array} { l } { A \sinh \left( { \frac { \operatorname { R e } ( \omega ) } { A } } \right) \sin \left( { \frac { \operatorname { I m } ( \omega ) } { A } } \right) } \\ { A \sinh \left( { \frac { \operatorname { R e } ( \omega ) } { A } } \right) \cos \left( { \frac { \operatorname { I m } ( \omega ) } { A } } \right) } \\ { \operatorname { I m } ( \omega ) } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \sum _ { j \not = i } \sum _ { \pm } \int _ { B _ { i } , \pm } \big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) ^ { \frac { 1 + \omega _ { 1 } ^ { \pm } } { \omega _ { 1 } ^ { \pm } - \beta _ { 1 } } } \Gamma ^ { ( \delta _ { i } - 1 ) \frac { 1 + \omega _ { 1 } ^ { \pm } } { \omega _ { 1 } ^ { \pm } - \beta _ { 1 } } } ( | \partial _ { j } u | ) } } \\ & { } & { \leq c \int _ { B } \big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) \, \mathrm { d } x \leq c \, . } \end{array}
\delta \Gamma = \beta \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } A _ { \mu } ( k ) A _ { \nu } ( - k ) \frac { \tilde { k } _ { \mu } \tilde { k } _ { \nu } } { ( \tilde { k } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \eta ^ { c } ( s , c , \Gamma ) } & { { } = \int _ { s _ { c } } ^ { s } \frac { \ensuremath { \partial } } { \ensuremath { \partial } c } \left( f _ { o } - f _ { a } \right) ( \zeta , c , \Gamma ) \frac { d p _ { c } } { d \zeta } ( \zeta , \Gamma ) d \zeta + \int _ { \Gamma _ { c } } ^ { \Gamma } \frac { \ensuremath { \partial } } { \ensuremath { \partial } c } \left( f _ { o } - f _ { a } \right) ( s , c , \xi ) \frac { d p _ { c } } { d \xi } ( s , \xi ) d \xi , } & { } \\ { \eta ^ { s } ( s , c , \Gamma ) } & { { } = \int _ { \Gamma _ { c } } ^ { \Gamma } \frac { \ensuremath { \partial } } { \ensuremath { \partial } s } \left( f _ { o } - f _ { a } \right) ( s , c , \xi ) \frac { d p _ { c } } { d \xi } ( s , \xi ) d \xi , } & { } \\ { \eta ^ { \Gamma } ( s , c , \Gamma ) } & { { } = \int _ { s _ { c } } ^ { s } \frac { \ensuremath { \partial } } { \ensuremath { \partial } \Gamma } \left( f _ { o } - f _ { a } \right) ( \zeta , c , \Gamma ) \frac { d p _ { c } } { d \zeta } ( \zeta , \Gamma ) d \zeta , } & { } \end{array}
I _ { 4 d } ^ { ( n ) } = \frac { - 2 p ^ { 2 } } { 4 M _ { W } ^ { 2 } } I _ { 2 } ^ { ( n ) } = \frac { - i \pi ^ { D / 2 } \Gamma \big ( 4 n + 1 - \frac { D } { 2 } \big ) p ^ { 2 } } { 2 \Gamma ( 4 n - 1 ) m _ { W } ^ { 8 n + 6 - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } B \bigg ( 1 - \frac { 1 } { r } , 4 n - 1 , 2 - \frac { D } { 2 } \bigg ) \, .
\begin{array} { r l } { \rho _ { \varepsilon } ( x , t ) } & { { } = \Big ( \nu \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { + } } { \partial ( \tau ^ { + } ) ^ { 2 } } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ^ { \prime \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) - \frac { \partial \theta _ { + } } { \partial t } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \left( \rho \boldsymbol { u } \right) + } & { \nabla ^ { \prime } \cdot \left( \rho \boldsymbol { u ^ { T } } \boldsymbol { u } - \boldsymbol { B ^ { T } } \boldsymbol { B } \right) + \nabla ^ { \prime } \left( P + B ^ { 2 } / 2 \right) } \\ { = } & { - \rho \boldsymbol { u } \frac { \partial _ { t } l } { l } - \rho \boldsymbol { u } \cdot \mathbb { D } - \left( \frac { \rho _ { C R } } { c } c \boldsymbol { E } + \frac { \boldsymbol { j } _ { C R } } { c } \times \boldsymbol { B } \right) , } \end{array}
{ \cal L } _ { g } = - { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { - g } g ^ { \alpha \beta } G _ { \alpha \beta } + { \frac { \tilde { Y } M \tilde { Y } } { 2 \sqrt { - g } ( \partial a ) ^ { 2 } } } - { \frac { \tilde { Y } L \, \partial Y \cdot \partial a } { 2 ( \partial a ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \psi _ { \mathrm { A } } } { \partial t } \approx } & { - \left( \frac { \kappa } { 2 } + i \delta \omega _ { \mathrm { A } } \right) \psi _ { \mathrm { A } } - \epsilon D _ { 1 } \frac { \partial \psi _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta } + i \frac { D _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta ^ { 2 } } } \\ & { + i G \psi _ { \mathrm { B } } + i g _ { \mathrm { N L } } \vert \psi _ { \mathrm { A } } \vert ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { A } } + F } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { c _ { 0 } ( \lambda , h , } & { G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) } \\ { : = } & { \left[ g _ { x } \Upsilon _ { 1 } ^ { n } ( A _ { 5 } , A _ { 1 } + A _ { 2 } G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) + A _ { 6 } \Upsilon _ { 0 } ^ { n } ( A _ { 5 } ) \Upsilon _ { 0 } ^ { n } ( A _ { 1 } + A _ { 2 } G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) \right] , } \\ { c _ { 1 } ( \lambda , h , } & { G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) : = A _ { 2 } c _ { 0 } ( \lambda , h , G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) , } \\ { L _ { 2 } ( \lambda , h , } & { G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) : = [ b _ { 0 } + \sigma _ { 0 } + \beta _ { 0 } + b _ { 0 } h ] c _ { 0 } ( \lambda , h , G ( u _ { t _ { n } , m - 1 } ^ { \pi } ) ) + [ e ^ { A _ { 5 } T } \vee 1 ] g _ { 0 } } \\ & { + \left[ f _ { 0 } + f _ { 0 } ( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } + \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \int _ { E } \gamma ( e ) ^ { 2 } \lambda ( d e ) ) h \right] \Upsilon _ { 0 } ^ { n } ( A _ { 5 } ) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( t ) } & { { } = \int _ { \cal D } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } _ { 1 } \int _ { \cal D } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } _ { 2 } \int \mathrm { d } t _ { 1 } \int \mathrm { d } t _ { 2 } \, \overline { { \overline { { D } } } } ( t ; { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) \cdot \cdot \, \overline { { \overline { { E } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; { \bf r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \log \left| L \left( \sigma + i \alpha t , \chi _ { 0 } \right) \right| \log \left| L \left( \sigma ^ { \prime } + i \beta t , \chi _ { 0 } \right) \right| } \\ { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \textnormal { R e } \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( k \left( \sigma + i \alpha t \right) \right) \textnormal { R e } \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( k \left( \sigma ^ { \prime } + i \beta t \right) \right) } { k ^ { 2 } } } \\ { + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k ^ { \prime } < k } \frac { \textnormal { R e } \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( k \left( \sigma + i \alpha t \right) \right) \textnormal { R e } \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( k ^ { \prime } \left( \sigma ^ { \prime } + i \beta t \right) \right) } { k k ^ { \prime } } } \end{array}
- \frac { 1 } { T } \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \int _ { \Phi ^ { t } ( \mathcal { M } ) } \nabla ( \Phi _ { * } ^ { t } v ) \cdot \nabla ( \Phi _ { * } ^ { t } \psi ) \ d \ell = \lambda \int _ { \mathcal { M } } v \psi \ d \ell \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \psi \in H ^ { 1 } ( \mathcal { M } ) \mathrm { ~ w i t h ~ } \psi = 0 \mathrm { ~ o n ~ \partial ~ \mathcal { M } ^ { D } ~ } .
\begin{array} { r l } { \textbf { u } } & { = \mathrm { R e } [ ( \hat { u } _ { x } ( t ) \cos ( k _ { z } z ) , \hat { u } _ { y } ( t ) \cos ( k _ { z } z ) , \hat { u } _ { z } ( t ) \sin ( k _ { z } z ) ) \, \exp ^ { i \textbf { k } _ { \perp } ( t ) \cdot \textbf { x } } ] , } \\ { p } & { = \mathrm { R e } [ \hat { p } ( t ) \cos ( k _ { z } z ) \, \exp ^ { i \textbf { k } _ { \perp } ( t ) \cdot \textbf { x } } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 6 } ( n ) q ^ { n } } & { \equiv \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } \left( \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 7 } } - q \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 3 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 6 } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 9 } } \right) } \\ & { = \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 2 } } { ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 1 0 } } - q \frac { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ^ { 4 } ( q ^ { 1 2 } ; q ^ { 1 2 } ) _ { \infty } ^ { 6 } } { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 6 } ; q ^ { 6 } ) _ { \infty } ^ { 1 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } \int _ { a } ^ { x } \tilde { g } ( t ) d t f ( x ) \rightarrow 0 , \ \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } - ( x - a ) | \operatorname* { m i n } _ { x \geq a } g ( x ) | f ( x ) \rightarrow 0 } \\ { \implies } & { \ \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } \tilde { G } ( x ) f ( x ) \rightarrow 0 , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } \int _ { a } ^ { x } \int _ { a } ^ { v } \tilde { g } ( u ) d u d v f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \rightarrow 0 , \ \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } - \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { 2 } | \operatorname* { m i n } _ { x \geq a } g ( x ) | f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \rightarrow 0 } \\ { \implies } & { \ \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } G ( x ) f ( x ) \rightarrow 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K _ { 0 , \mathrm { a u x } } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ , \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) } \\ & { = K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 1 ^ { \prime \prime } } ^ ) K _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime } } ^ ; \mathbf { r } _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ , t _ { 2 ^ { \prime \prime } } ^ ) } \end{array}
| Z _ { 1 } | ^ { 2 } = 2 | \Gamma _ { 1 } + i \Gamma _ { 2 } | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } | e ^ { \phi } ( n _ { 1 } - \bar { \lambda } m _ { 1 } ) + i e ^ { \phi } ( n _ { 2 } - \bar { \lambda } m _ { 2 } ) | ^ { 2 } \ .
\Psi = { \frac { 1 } { 4 } } \, \bigl [ \, \Psi ( 1 _ { + } , 2 _ { + } ) + \eta _ { - + } \, \Psi ( 1 _ { - } , 2 _ { + } ) + \eta _ { + - } \, \Psi ( 1 _ { + } , 2 _ { - } ) + \eta _ { -- } \, \Psi ( 1 _ { - } , 2 _ { - } ) \, \bigr ]
{ \bf \bar { R } } ^ { A B } = \left[ \begin{array} { c c } { { R ^ { a b } + \frac { 1 } { l ^ { 2 } } e ^ { a } e ^ { b } } } & { { T ^ { a } / l } } \\ { { - T ^ { b } / l } } & { { 0 } } \end{array} \right] ,
\int d q _ { j } \, \exp \left[ - \epsilon \frac { 1 } { 2 } { q _ { j } } ^ { 2 } + q _ { j } ( \Delta K _ { j } + \Delta p _ { j } ) \right] = \sqrt { \frac { 2 \pi } { \epsilon } } \exp \left[ - \frac { ( \Delta p _ { j } + \Delta K _ { j } ) ^ { 2 } } { \epsilon } \right] \, .
\begin{array} { r l } { c ^ { \dagger } c b } & { = ( \underbrace { \langle c ^ { \dagger } c \rangle } _ { \mathrm { m e a n } } + \underbrace { c ^ { \dagger } c - \langle c ^ { \dagger } c \rangle } _ { \mathrm { F l u c t u a t i o n s } } ) \cdot b , } \\ & { = \langle c ^ { \dagger } c \rangle \cdot b + ( c ^ { \dagger } c - \langle c ^ { \dagger } c \rangle ) \cdot b , } \\ & { \approx \langle c ^ { \dagger } c \rangle b . } \end{array}
\langle a \rangle = \frac { 1 } { h } \sqrt { \frac { g } { \lambda } } \, m \, \, \, \, \, \, \mathrm { ~ a n d ~ } \, \, \, \, \, \, \langle \xi _ { \pm } \rangle = \frac { 1 } { h } \, m \, \, \, .
\begin{array} { r l } { \Bar { P _ { \mathrm { r } } } } & { = \frac { P _ { \mathrm { A } } f ^ { 2 } b ^ { 2 } } { C } \sum _ { c = 1 } ^ { C } \underbrace { \Big | \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { j ( \overbrace { \mu _ { c , n } + \omega _ { n } + \frac { 2 \pi d _ { n } } { \lambda } } ^ { \zeta _ { c , n } } ) } \Big | ^ { 2 } } _ { Q _ { c } } , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } { v } _ { 1 x s } } { \partial t ^ { 2 } } = - \frac { q _ { s } ^ { 2 } } { m _ { s } ^ { 2 } } { v } _ { 1 x s } - \frac { q _ { s } } { m _ { s } ^ { 2 } n _ { s } } \left( \vec { \nabla } p _ { s } \times \vec { B } _ { 1 } \right) _ { x }
\begin{array} { r l } { N _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) } & { = E _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) + E _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , - t ) \quad } \\ { R _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) } & { = E _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , t ) - E _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( x , - t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { I I } } & { = \int _ { \partial \Omega } p _ { i } ( x ) \left( \sigma _ { i j } n _ { j } + \sigma n _ { i } \right) } \\ & { = \int _ { \partial \Omega } p _ { i } \left( \left( \alpha \delta _ { i j } u _ { k k } + \frac { \beta } { 2 } ( \partial _ { j } u _ { i } + \partial _ { i } u _ { j } ) \right) n _ { j } + \sigma n _ { i } \right) } \\ & { = \int _ { \partial \Omega } \alpha ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) ( \mathbf { p } \cdot \mathbf { n } ) + \frac { \beta } { 2 } ( p _ { i } \nabla u _ { i } ) \cdot \mathbf { n } + n _ { j } ( \mathbf { p } \cdot \nabla ) u _ { j } ) + \sigma \mathbf { p } \cdot \mathbf { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \alpha } ( L | | \overline { { M } } ) + D _ { \alpha } ( L _ { \pi } | | \overline { { M } } ) } & { = 2 D _ { \alpha } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) + 2 D _ { \alpha } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) , } \\ { D _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | L ) + D _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | L _ { \pi } ) } & { = 2 D _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) + 2 D _ { \alpha } ( M ^ { f } | | L ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { \delta A _ { m } = \sigma _ { m n } A _ { n } + m \lambda _ { m } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \delta V _ { m n } = { \cal D } \sigma _ { m n } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \delta B _ { m } = 2 \partial \lambda _ { m } + 2 \partial \sigma _ { m n } A _ { n } + m \sigma _ { m n } B _ { n } \, , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma | _ { ( \kappa + \alpha A _ { 1 } , \kappa + \alpha A _ { 2 } ] \times ( \kappa + \gamma B _ { 1 } , \kappa + \gamma B _ { 2 } ] } ) } \\ & { \geq } & { \sum _ { l = 1 } ^ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } L I S ( \sigma | _ { ( \kappa + \alpha x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \alpha x _ { l } ( \Gamma ) ] \times ( \kappa + \gamma y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \gamma y _ { l } ( \Gamma ) ] } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { L _ { f } \equiv { \underline { { \int _ { a } ^ { b } } } } f ( x ) \, \mathrm { d } x } & { { } \quad U _ { f } \equiv { \overline { { \int _ { a } ^ { b } } } } f ( x ) \, \mathrm { d } x } \end{array} } ,
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { 2 } N _ { \pm } ^ { ( 2 ) } ( \epsilon ) } & { = \frac { \pi } { 4 } \pm \epsilon + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } + \tilde { O } ( \epsilon ^ { \tilde { w } _ { 2 } } ) \, , } \\ { \epsilon ^ { 3 } N _ { \pm } ^ { ( 3 ) } ( \epsilon ) } & { = \frac { \pi } { 6 } \pm \frac { 3 \pi } { 8 } \epsilon + \frac { 3 } { 4 } \epsilon ^ { 2 } \pm \frac { \epsilon ^ { 3 } } { 8 } + \tilde { O } ( \epsilon ^ { \tilde { w } _ { 3 } } ) \, , } \end{array}
2 \pi ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, f ^ { 2 } ( y ) [ y / t ( y ) ] \left( \sqrt { 1 + z y / t ^ { 2 } ( y ) } + 1 \right) ^ { - 1 } \qquad \mathrm { f o r } \quad z > 0 \, .
\mathcal { L } _ { c } = \frac { 1 } { N _ { z } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { z } } \exp \left( - \epsilon \sum _ { k = 1 } ^ { i - 1 } \mathcal { L } \left( z _ { k } , \boldsymbol { \theta } \right) \right) \mathcal { L } \left( z _ { i } , \boldsymbol { \theta } \right) ,
\left( \begin{array} { c } { { \phi ^ { 0 } } } \\ { { \chi ^ { 0 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \cos \beta } } & { { \sin \beta } } \\ { { - \sin \beta } } & { { \cos \beta } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 } ^ { 0 \prime } } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { 0 \prime } } } \end{array} \right) , \; \; ( \tan \beta \equiv \frac { v _ { u } } { v _ { d } } )
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } u = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { u _ { j } } { L _ { j } ^ { 2 } } } & { \left\{ | y _ { j } | ^ { 2 } \left( i \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } - \frac { B _ { j } ( L _ { j } ) _ { s } } { 2 L _ { j } } + \frac { ( B _ { j } ) _ { s } } { 4 } \right) \right. } \\ & { \quad + y _ { j } \cdot \left( - L _ { j } ( \beta _ { j } ) _ { s } + i \frac { ( X _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } } ( X _ { j } ) _ { s } \right) } \\ & { \quad \left. + i \frac { ( A _ { j } ) _ { s } } { A _ { j } } - i \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } + \beta \cdot ( X _ { j } ) _ { s } - ( \gamma _ { j } ) _ { s } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ^ { 2 } \tau - c ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } \tau } & { { } = 0 } \\ { ( \partial _ { t } \tau ) ^ { 2 } - c ^ { 2 } ( \partial _ { x } \tau ) ^ { 2 } } & { { } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mu , i } } & { = \sum _ { ( \mu _ { s } , \ldots , \mu _ { 2 } ) \in \Sigma _ { \mu } } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 3 } } ^ { \mu _ { 2 } - 1 } \cdots [ a ] _ { \mu _ { s } } ^ { \mu _ { s - 1 } - 1 } \prod _ { \nu = 2 } ^ { s } h _ { \alpha - \mu _ { \nu - 1 } + \mu _ { \nu } } ( \lambda _ { \mu _ { \nu } } , \ldots , \lambda _ { \mu _ { \nu - 1 } } ) } \\ & { \cdot \sum _ { i = i _ { 1 } > i _ { 2 } > \cdots > i _ { s } \geq 1 } \prod _ { \nu = 1 } ^ { s - 1 } \frac { [ \lambda _ { \mu _ { \nu } } ^ { \alpha } - \lambda _ { x } ] _ { i _ { \nu + 1 } + 1 } ^ { i _ { \nu } - 1 } } { [ a ] _ { i _ { \nu + 1 } } ^ { i _ { \nu } - 1 } } \cdot \gamma _ { 1 , i _ { s } } . } \\ & { = \sum _ { ( \mu _ { s } , \ldots , \mu _ { 2 } ) \in \Sigma _ { \mu } } \prod _ { \nu = 2 } ^ { s } h _ { \alpha - \mu _ { \nu - 1 } + \mu _ { \nu } } ( \lambda _ { \mu _ { \nu } } , \ldots , \lambda _ { \mu _ { \nu - 1 } } ) } \\ & { \cdot \sum _ { i = i _ { 1 } > i _ { 2 } > \cdots > i _ { s } \geq 1 } \frac { [ a ] _ { 1 } ^ { \mu - 1 } } { [ a ] _ { i _ { s } } ^ { i - 1 } } \prod _ { \nu = 1 } ^ { s - 1 } [ \lambda _ { \mu _ { \nu } } ^ { \alpha } - \lambda _ { x } ] _ { i _ { \nu + 1 } + 1 } ^ { i _ { \nu } - 1 } \frac { \zeta _ { m } ^ { \epsilon } [ \lambda _ { 1 } ^ { \alpha } - \lambda _ { x } ] _ { 1 } ^ { i _ { s } - 1 } } { [ a ] _ { 1 } ^ { i _ { s } - 1 } } } \\ & { = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sum _ { ( \mu _ { s } , \ldots , \mu _ { 2 } ) \in \Sigma _ { \mu } } \prod _ { \nu = 2 } ^ { s } \! \! h _ { \alpha - \mu _ { \nu - 1 } + \mu _ { \nu } } ( \lambda _ { \mu _ { \nu } } , \ldots , \lambda _ { \mu _ { \nu - 1 } } ) \frac { [ a ] _ { 1 } ^ { \mu - 1 } } { [ a ] _ { 1 } ^ { i - 1 } } \zeta _ { m } ^ { \epsilon } \! \! \! \sum _ { i = i _ { 1 } > i _ { 2 } > \cdots > i _ { s } \geq 1 } \prod _ { \nu = 1 } ^ { s } [ \lambda _ { \mu _ { \nu } } ^ { \alpha } - \lambda _ { x } ] _ { i _ { \nu + 1 } + 1 } ^ { i _ { \nu } - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { L } _ { \mathfrak { p } } ^ { \mathrm { B D P } } ( f / K , \chi ) ( \phi ( \gamma _ { - } ) - 1 ) ^ { 2 } } & { = \frac { \Omega _ { p } ^ { 4 j } } { \Omega _ { K } ^ { 4 j } } \cdot \frac { \Gamma ( r + j ) \Gamma ( j + 1 - r ) \phi ( \mathfrak { N } ^ { - 1 } ) } { 4 ( 2 \pi ) ^ { 2 j + 1 } \sqrt { D _ { K } } ^ { 2 j - 1 } } \cdot e _ { \mathfrak { p } } ( f , \chi \phi ) \cdot L ( f / K , \chi \phi , r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { f } = \biggl [ \frac { 2 \tau _ { x ^ { * } y ^ { * } } ^ { * } } { \rho ^ { * } ( U ^ { * } ) ^ { 2 } } \biggr ] \biggl | _ { y ^ { * } = 0 } } & { { } = 2 \textrm { R e } ^ { - 1 / 2 } ( \tau _ { x y } ) | _ { y = 0 } } \end{array}
d t _ { \pm } = \gamma \left( d t ^ { \prime } \pm { \frac { \mathbf { v } \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \right) \approx { \frac { n } { c } } d \ell \pm { \frac { \mathbf { v } } { c ^ { 2 } } } \cdot d \mathbf { x }
\begin{array} { r l } { ( d _ { 0 } - d _ { 2 } ) + ( d _ { 1 } - d _ { 3 } ) } & { \equiv ( d _ { 0 } - d _ { 2 } ) ( d _ { 5 } - d _ { 7 } ) + ( d _ { 1 } - d _ { 3 } ) ( d _ { 4 } - d _ { 6 } ) } \\ & { \equiv ( d _ { 0 } + d _ { 2 } ) ( d _ { 5 } + d _ { 7 } ) + ( d _ { 1 } + d _ { 3 } ) ( d _ { 4 } + d _ { 6 } ) } \\ & { \qquad + 2 ( d _ { 0 } d _ { 7 } + d _ { 2 } d _ { 5 } + d _ { 4 } d _ { 3 } + d _ { 6 } d _ { 1 } ) } \\ & { \equiv d + ( b _ { 0 } b _ { 3 } + b _ { 2 } b _ { 1 } ) - ( c _ { 0 } c _ { 3 } + c _ { 2 } c _ { 1 } ) } \\ & { \equiv 2 \pmod { 4 } } \end{array}