harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { d \chi } { d r } ( r - 1 ) ^ { q + 2 } + q \chi ( r - 1 ) ^ { q + 1 } \right) \Re ( \overline { { u } } ^ { \sharp } \widetilde { X } u ^ { \sharp } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d \chi } { d r } ( r - 1 ) ^ { q + 2 } + q \chi ( r - 1 ) ^ { q + 1 } \right) \widetilde { X } ( | u ^ { \sharp } | ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \: \widetilde { X } \left( \left( \frac { d \chi } { d r } ( r - 1 ) ^ { q + 2 } + q \chi ( r - 1 ) ^ { q + 1 } \right) | u ^ { \sharp } | ^ { 2 } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { d ^ { 2 } \chi } { d r ^ { 2 } } ( r - 1 ) ^ { q + 2 } + ( 2 q + 2 ) \frac { d \chi } { d r } ( r - 1 ) ^ { q + 1 } + \chi q ( q + 1 ) ( r - 1 ) ^ { q } \right] | u ^ { \sharp } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \Vec { u } } ( \Vec { k } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { L } \int _ { 0 } ^ { L } \Vec { u } ( \Vec { r } ) e ^ { - i \Vec { k } \cdot \Vec { r } } d x ~ d y ~ d z \approx } \\ { \approx \frac { 1 } { N ^ { 3 } } \sum _ { p = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { q = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { r = 0 } ^ { N - 1 } u ( x _ { p } , y _ { q } , z _ { r } ) e ^ { - i k _ { x } x _ { p } } e ^ { - i k _ { y } y _ { q } } e ^ { - i k _ { z } z _ { r } } } \end{array} ,
\begin{array} { r l r } { \delta H } & { \equiv } & { H [ \pi ( x ) + \delta \pi ( x ) , \phi ( x ) + \delta \phi ( x ) ] - H [ \pi ( x ) , \phi ( x ) ] = } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { L } d x \left[ \pi ( x ) \delta \pi ( x ) + v ^ { 2 } \frac { \partial \phi ( x ) } { \partial x } \frac { \partial \delta \phi ( x ) } { \partial x } \right] \; \; + \; \; \mathrm { h i g h e r \; \; o r d e r \; \; t e r m s } } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { L } d x \left[ \pi ( x ) \delta \pi ( x ) - v ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \phi ( x ) } { \partial x ^ { 2 } } \delta \phi ( x ) \right] \; \; + \; \; \mathrm { h i g h e r \; \; o r d e r \; \; t e r m s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \tau | \mathbf { k } | } ( \zeta ) } & { : = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l l } { Z ( \zeta ) - \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | } & { 1 + \zeta Z ( \zeta ) } & { \frac { \zeta + ( \zeta ^ { 2 } - 1 ) Z ( \zeta ) } { \sqrt { 6 } } } \\ { 1 + \zeta Z ( \zeta ) } & { \zeta + \zeta ^ { 2 } Z ( \zeta ) - \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | } & { \frac { \zeta ^ { 2 } + ( \zeta ^ { 3 } - \zeta ) Z ( \zeta ) } { \sqrt { 6 } } } \\ { \frac { \zeta + ( \zeta ^ { 2 } - 1 ) Z ( \zeta ) } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { \zeta ^ { 2 } + ( \zeta ^ { 3 } - \zeta ) Z ( \zeta ) } { \sqrt { 6 } } } & { \frac { \zeta ^ { 3 } - \zeta + ( \zeta ^ { 4 } - 2 \zeta ^ { 2 } + 5 ) Z ( \zeta ) } { 6 } - \mathrm { i } \tau | \mathbf { k } | } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 6 } \left( \zeta + 6 \mathrm { i } | \mathbf { k } | ^ { 3 } \tau ^ { 3 } - \zeta ( \zeta ^ { 2 } + 5 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } ( \zeta ^ { 2 } + 3 ) | \mathbf { k } | \tau \right. } \\ & { \qquad \left. + Z ( \zeta ) ( \zeta ^ { 2 } - ( \zeta ^ { 4 } + 4 \zeta ^ { 2 } + 1 1 ) | \mathbf { k } | ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \zeta ^ { 3 } | \mathbf { k } | \tau - 5 ) - 4 \mathrm { i } Z ^ { 2 } ( \zeta ) ( ( \zeta ^ { 2 } + 1 ) | \mathbf { k } | \tau - \mathrm { i } \zeta ) \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \chi _ { \mathrm { e b } } ^ { K } = \chi _ { \mathrm { e } } ^ { R } \otimes \chi _ { \mathrm { b } } ^ { K } + \chi _ { \mathrm { e } } ^ { K } \otimes \chi _ { \mathrm { b } } ^ { A } + \chi _ { \mathrm { e } } ^ { R } \otimes \chi _ { \mathrm { b } } ^ { R } \otimes \chi _ { \mathrm { e b } } ^ { K } + ( \chi _ { \mathrm { e } } ^ { R } \otimes \chi _ { \mathrm { b } } ^ { K } + \chi _ { \mathrm { e } } ^ { K } \otimes \chi _ { \mathrm { b } } ^ { A } ) \otimes \chi _ { \mathrm { e b } } ^ { A } } \\ { \chi _ { \mathrm { e b } } ^ { R , A } = \chi _ { \mathrm { e } } ^ { R , A } \otimes \chi _ { \mathrm { b } } ^ { R , A } + \chi _ { \mathrm { e } } ^ { R , A } \otimes \chi _ { \mathrm { b } } ^ { R , A } \otimes \chi _ { \mathrm { e b } } ^ { R , A } } \end{array} \right. ,
\mathbf { M ^ { 2 } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { A } + \mathbf { B ( x y - { \frac { x } { y } } ) } } & { \mathbf { y B } } & { \mathbf { x B } } \\ { \mathbf { y B } } & { \mathbf { A + B ( { \frac { y } { x } } - { \frac { x } { y } } ) } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { x B } } & { \mathbf { B } } & { \mathbf { A } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \rho _ { r } } & { = \gamma _ { r } ^ { \Pi } \Pi , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mu } } & { = \gamma _ { r } ^ { n } n ^ { \mu } , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mu \nu } } & { = \gamma _ { r } ^ { \pi } \pi ^ { \mu \nu } , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mu \nu \alpha } } & { = \gamma _ { r } ^ { \Omega } \Omega ^ { \mu \nu \alpha } , } \\ { \rho _ { r } ^ { \mu \nu \alpha \beta } } & { = \gamma _ { r } ^ { \Theta } \Theta ^ { \mu \nu \alpha \beta } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } \mathbb { E } \| \nabla \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { k } ) \| ^ { 2 } \leq \frac { 2 ( \mathrm { e n v } _ { \psi } ^ { \eta } ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } \psi ) } { 1 - \eta ( \rho - \lambda ) } + \frac { \beta \theta } { \eta ( 1 - \eta ( \rho - \lambda ) ) } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \alpha _ { k } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \tau , i } ( Y _ { \tau _ { i } } ) } & { = \mathrm { T e n } _ { i } ( ( V _ { \tau _ { i } } ^ { 0 } \mathrm { M a t } _ { 0 } ( Y _ { \tau _ { i } } ) ) ^ { T } ) \in \mathcal { V } _ { \tau } , \ \mathrm { f o r } \ Y _ { \tau _ { i } } \in \mathcal { V } _ { \tau _ { i } } } \\ { \pi _ { \tau , i } ^ { \dagger } ( Z _ { \tau } ) } & { = \mathrm { T e n } _ { 0 } ( ( \mathrm { M a t } _ { i } ( Z _ { \tau } ) V _ { \tau _ { i } } ^ { 0 } ) ^ { T } ) \in \mathcal { V } _ { \tau _ { i } } , \ \mathrm { f o r } \ Z _ { \tau } \in \mathcal { V } _ { \tau } . } \end{array}
\partial _ { t } \hat { \nu } _ { t } ^ { N } = \eta _ { t } \mathrm { d i v } ( \hat { \nu } _ { t } ^ { N } \nabla _ { \theta } \mathcal { U } _ { \nu } ( \pi _ { t } ^ { N } , \nu _ { t } ^ { N } ; \theta ) ) , \quad \partial _ { t } \hat { \pi } _ { t } ^ { N } = - \eta _ { t } \mathrm { d i v } ( \hat { \pi } _ { t } ^ { N } ( 0 , \nabla _ { \tilde { z } } \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } ^ { N } , \nu _ { t } ^ { N } ; ( z , \tilde { z } ) ) ) )
\left\{ \begin{array} { c c c } { \frac { d \rho } { d p } } & { = } & { \frac { 1 } { c _ { K } ^ { 2 } ( s _ { K } , p ) } , } \\ { \frac { d u } { d p } } & { = } & { \mp \frac { 1 } { c _ { K } ( s _ { K } , p ) \rho ( p ) } , } \\ { \rho ( p _ { K } ) } & { = } & { \rho _ { K } , } \\ { u ( p _ { K } ) } & { = } & { u _ { K } , } \end{array} \right.
P _ { n } = 2 \pi \, \left( \alpha \, \frac { \eta ^ { 2 } } { M _ { P } } \right) ^ { 2 } \, \int \frac { d ^ { 3 } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } \, 2 E } \, E \, \left| a _ { n } \right| ^ { 2 } \, \delta \left( E - 4 \pi n / L \right) \, \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { T } ^ { \prime } p } & { = \mathbf { T } p + ( - \epsilon p _ { i _ { 1 } } + \delta p _ { i _ { 2 } } ) \left( v _ { r } - v _ { r ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \mathbf { T } p + ( - \epsilon \theta _ { i _ { 1 } } q _ { i _ { 1 } } + \delta \theta _ { i _ { 2 } } q _ { i _ { 2 } } ) \left( v _ { r } - v _ { r ^ { \prime } } \right) } \\ & { = \mathbf { T } p + \epsilon q _ { i _ { 1 } } ( - \theta _ { i _ { 1 } } + \theta _ { i _ { 2 } } ) \left( v _ { r } - v _ { r ^ { \prime } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos ( \gamma _ { i } ) } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } ( \gamma _ { i } ) } } } , } \\ { \sin ( \gamma _ { i } ) } & { { } = { \frac { \tan ( \gamma _ { i } ) } { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } ( \gamma _ { i } ) } } } , } \end{array}
G _ { m } ( x _ { 1 } , . . . , x _ { m } ) = \pi ^ { - \frac { D } { 2 } } \int _ { \bf { R } _ { D } } d ^ { D } y \prod _ { i = i } ^ { m } ( ( y - x _ { i } ) ^ { 2 } ) ^ { - \alpha _ { i } }
( \Delta E / E ) ^ { 2 } = ( \delta _ { \mathrm { ~ s ~ c ~ } } ) ^ { 2 } + ( \Delta N / N _ { e { \mathrm { - } } h } ) ^ { 2 } + ( \Delta _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } / N _ { e { \mathrm { - } } h } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } | \langle 0 | a _ { j _ { 2 } } ( t ) a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } ( 0 ) | 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } | \langle 0 | e ^ { \mathcal { L } ( \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ e ^ { \mathcal { L } ( 2 \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ . . . [ e ^ { \mathcal { L } ( t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) ] ] . . . ] ] | j _ { 1 } \rangle | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } | T r [ e ^ { \mathcal { L } ( \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ e ^ { \mathcal { L } ( 2 \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ . . . [ e ^ { \mathcal { L } ( t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) ] ] . . . ] ] | j _ { 1 } \rangle \langle 0 | ] | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } | T r [ a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) e ^ { \mathcal { L } ( t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ . . . [ e ^ { \mathcal { L } ( 2 \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ e ^ { \mathcal { L } ( \Delta t ) ^ { \dagger } \Delta t } [ | j _ { 1 } \rangle \langle 0 | ] ] ] . . . ] ] | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } | T r [ a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) e ^ { - i H _ { e f f } ( t ) \Delta t } . . . e ^ { - i H _ { e f f } ( 2 \Delta t ) \Delta t } e ^ { - i H _ { e f f } ( \Delta t ) \Delta t } | j _ { 1 } \rangle \langle 0 | ] | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } | T r [ e ^ { - i H _ { e f f } ( t ) \Delta t } . . . e ^ { - i H _ { e f f } ( 2 \Delta t ) \Delta t } e ^ { - i H _ { e f f } ( \Delta t ) \Delta t } | j _ { 1 } \rangle \langle 0 | a _ { j _ { 2 } } ( 0 ) ] | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } | \langle j _ { 2 } | e ^ { - i H _ { e f f } ( t ) \Delta t } . . . e ^ { - i H _ { e f f } ( 2 \Delta t ) \Delta t } e ^ { - i H _ { e f f } ( \Delta t ) \Delta t } | j _ { 1 } \rangle | ^ { 2 } . } \end{array}
\tilde { \Sigma } _ { i j } ^ { \mathrm { a d } } ( t ) = - \sum _ { m n } \delta \tilde { W } _ { i m j n } ^ { R } \rho _ { m n } ( t ) + \frac { 1 } { 2 } \Re \sum _ { m n } \delta \tilde { W } _ { i m j n } ^ { R } \delta _ { m n } ~ ,
\begin{array} { r l } & { O _ { 1 } ^ { - } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } \exp \left[ ( \ln n ) \left( x \frac { d } { d x } + S _ { 0 } \right) \right] , } \\ & { O _ { 1 } ^ { + } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n ^ { 2 } } \exp \left[ ( \ln n ) \left( - x \frac { d } { d x } + S _ { 0 } + 1 \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal G } & { : = \left\{ x \in ( \mathbb { Z } ^ { d } ) ^ { 2 m } : \{ \mathscr { C } _ { 0 } ^ { I } = U ^ { I } , \mathcal X _ { 0 } = x \} \subseteq \{ \mathscr { C } _ { 1 } ^ { I } = V ^ { I } \} \, \, \mathrm { a n d } \, \, \mathbb { P } _ { U ^ { I } } ( \mathcal X _ { 0 } = x ) > 0 \right\} , } \\ { \mathcal H } & { : = \left\{ x \in ( \mathbb { Z } ^ { d } ) ^ { 2 m } : \{ \mathscr { D } _ { 0 } ^ { I } = U ^ { I } , \mathcal Y _ { 0 } = x \} \subseteq \{ \mathscr { D } _ { 1 } ^ { I } = V ^ { I } \} \, \, \mathrm { a n d } \, \, \mathbb { P } _ { U ^ { I } } ( \mathcal Y _ { 0 } = x ) > 0 \right\} . } \end{array}
\operatorname* { m i n } { f _ { S H 1 } } = 2 \sigma _ { 0 , r } \frac { 1 + \Gamma } { \omega _ { 0 } } = 2 \sigma _ { 0 , r } \sqrt { \frac { 1 + \Gamma } { \left( g / R \right) m \operatorname { t a n h } { m h / R } } } \approx 2 \sigma _ { 0 , r } \sqrt { \frac { R } { g } \left( \frac { 1 } { m } + \frac { \gamma } { \rho g R ^ { 2 } } m \right) } ,
\begin{array} { r l r } { \| e _ { H } ^ { l + 1 } \| _ { 1 } } & { \lesssim } & { \operatorname* { s u p } _ { v _ { H } \in V _ { H } } \frac { B ( u _ { h } ^ { l + 1 , 1 } ; e _ { H } ^ { l + 1 } , v _ { H } ) } { \| v _ { H } \| _ { 1 } } } \\ & { \lesssim } & { \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 } + \| E _ { l + 2 } \| _ { 1 } } \\ & { \lesssim } & { \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 } + ( \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 , \infty } + \| e _ { H } ^ { l + 1 } \| _ { 1 , \infty } ) ( \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 } + \| e _ { H } ^ { l + 1 } \| _ { 1 } ) } \\ & { \lesssim } & { \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 } + ( \mid \log h \mid H ^ { 2 } + H ) ( \| E _ { l + 1 } \| _ { 1 } + \| e _ { H } ^ { l + 1 } \| _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \cos \theta _ { m a x } = \frac { \gamma + \sigma } { 4 b } - \sqrt { ( 1 + \frac { \gamma + \sigma } { 4 b } ) ^ { 2 } - \frac { \gamma } { b } } , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \delta = I _ { 2 } \dot { \theta } _ { 0 } ^ { 2 } = 0 , 3 6 7 2 \times 1 0 ^ { - 4 } . } \end{array}
a _ { S } ( k ) \, a _ { S } ^ { \dagger } ( k ^ { \prime } ) - \sum _ { l , l ^ { \prime } \in { \cal I } } { \hat { \cal R } } \left( k ^ { \prime } , l ; k , l ^ { \prime } \right) a _ { S } ^ { \dagger } ( l ^ { \prime } ) \, a _ { S } ( l ) = \delta _ { k \; k ^ { \prime } } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } } & { = 2 \mathbf { F } \frac { \partial \rho _ { 0 } \varphi } { \partial \mathbf { C } } } \\ & { = \lambda _ { \mathrm { c h } } ^ { - 2 } \mathbf { F } \mathbf { F } _ { \mathrm { p l } } ^ { - \mathrm { T } } \mathbf { F } _ { \mathrm { p l } } ^ { - 1 } \left( \lambda _ { \mathrm { S i } } \operatorname { t r } ( \mathbf { E } _ { \mathrm { e l } } ) \mathbf { I d } + 2 G _ { \mathrm { S i } } \mathbf { E } _ { \mathrm { e l } } \right) , } \end{array}
\left\Vert \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ T ~ R ~ } } \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ R ~ R ~ } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \right\Vert _ { 2 } < 1
\hat { H } _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { - \frac { d } { 2 } } & { 0 } & { t _ { 2 } } & { t _ { 1 } } & { t _ { 1 } ^ { \prime } e ^ { - i k } } & { t _ { 2 } ^ { \prime } e ^ { - i k } } \\ { 0 } & { - \frac { d } { 2 } } & { t _ { 1 } } & { t _ { 2 } } & { t _ { 2 } ^ { \prime } } & { t _ { 1 } ^ { \prime } } \\ { t _ { 2 } } & { t _ { 1 } } & { \frac { d } { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { t _ { 1 } } & { t _ { 2 } } & { 0 } & { \frac { d } { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { t _ { 1 } ^ { \prime } e ^ { i k } } & { t _ { 2 } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { d } { 2 } } & { 0 } \\ { t _ { 2 } ^ { \prime } e ^ { i k } } & { t _ { 1 } ^ { \prime } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { d } { 2 } } \end{array} \right)
\epsilon ^ { - 1 } \left( q , \omega ; Q _ { 2 } \right) = 1 + \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } \left( \omega + Q _ { 2 } \right) } { \omega \left( \omega ^ { 2 } - \omega _ { 2 } ^ { 2 } \left( q \right) \right) + Q _ { 2 } \left( \omega ^ { 2 } - \omega _ { 1 } ^ { 2 } \left( q \right) \right) } \ ,
\begin{array} { r } { \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ) } \\ { \mathbf { t } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = 2 \mu \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ^ { s } ) + \lambda \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \mathbf { \epsilon } ( \mathbf { u } ^ { s } ) ) \mathbf { I _ { d } } } \end{array}
\frac { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + V _ { 1 } ( x ) - m \right) } { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + V _ { 2 } ( x ) - m \right) }
\begin{array} { r } { \chi \sim \big \vert \boldsymbol { q } ^ { l } \big \vert ^ { 2 } \frac { \big \vert \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } { \big \vert \hat { e } _ { \perp } { \cdot } \partial _ { \lambda _ { 1 } } \hat { e } _ { 1 } ( 0 ) \big \vert ^ { 2 } } \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { a s } ~ \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l l } & { x _ { \mathrm { p e n d } } = x + \ell \sin \theta } & { \quad \Rightarrow \quad { \dot { x } } _ { \mathrm { p e n d } } = { \dot { x } } + \ell { \dot { \theta } } \cos \theta } \\ & { y _ { \mathrm { p e n d } } = - \ell \cos \theta } & { \quad \Rightarrow \quad { \dot { y } } _ { \mathrm { p e n d } } = \ell { \dot { \theta } } \sin \theta \, . } \end{array} }
\Sigma _ { k } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { \sin r } } & { { \mathrm { f o r ~ k = 1 ~ } \, , } } \\ { { r } } & { { \mathrm { f o r ~ k = 0 ~ } \, , } } \\ { { \sinh r } } & { { \mathrm { f o r ~ k = - 1 ~ } \, , } } \end{array} \right.
{ j _ { d } } _ { 1 } = { j _ { d } } _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } , \quad { j _ { d } } _ { 2 } = { j _ { d } } _ { 2 } ^ { \prime } , \quad { j _ { d } } _ { 3 } = { j _ { d } } _ { 2 } ^ { \prime \prime } , \quad { j _ { d } } _ { 1 } ^ { \prime } = { j _ { d } } _ { 3 } ^ { \prime \prime \prime } , \quad { j _ { d } } _ { 3 } ^ { \prime } = { j _ { d } } _ { 3 } ^ { \prime \prime } , \quad { j _ { d } } _ { 1 } ^ { \prime \prime } = { j _ { d } } _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime } ,
\begin{array} { r l } & { \mathop { \mathbb { E } } \| \bar { e } _ { x } ^ { K } \| ^ { 2 } + \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { n } \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { K } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \exp ( - \frac { \alpha \mu } { 2 } K ) ( a _ { 0 } + \alpha ^ { 2 } a ^ { \star } ) + a _ { 1 } \alpha + a _ { 2 } \alpha ^ { 2 } + a _ { 3 } \alpha ^ { 3 } } \\ & { \leq \tilde { \mathcal { O } } \left( \frac { a _ { 1 } } { \mu K } + \frac { a _ { 2 } } { \mu ^ { 2 } K ^ { 2 } } + \frac { a _ { 3 } } { \mu ^ { 3 } K ^ { 3 } } + ( a _ { 0 } + \frac { a ^ { \star } } { \underline { { \alpha } } ^ { 2 } } ) \exp \left[ - \frac { K } { \underline { { \alpha } } } \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { 0 } ^ { f } ( t , x , s , y ) } & { : = } & { \phi \big ( A ^ { f } ( t , s , y ) , y - x \big ) , \quad \mathrm { w i t h ~ } A ^ { f } ( t , s , y ) : = \int _ { t } ^ { s } \Sigma ^ { f } ( u , y ) ^ { 2 } \mathrm { d } u , ~ ~ \phi ( u , z ) : = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi u } } e ^ { \frac { - z ^ { 2 } } { 2 u } } , } \\ { G _ { f } ( t , x , s , y ) } & { : = } & { \frac 1 2 \big ( \Sigma ^ { f } ( t , x ) ^ { 2 } - \Sigma ^ { f } ( t , y ) ^ { 2 } \big ) \partial _ { x x } ^ { 2 } g _ { 0 } ^ { f } ( t , x , s , y ) + B ^ { f } ( t , x ) \partial _ { x } g _ { 0 } ^ { f } ( t , x , s , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { M } ( z , x , w ^ { P } ( t ) , 0 ) = \nabla _ { b } \bar { f } _ { n } ( \beta ^ { \star , - n } , b ) \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad 2 ( \nabla _ { b } \bar { f } _ { n } ) ^ { - 1 } ( \beta ^ { \star , - n } , \mathcal { M } ( z , x , w ^ { P } ( t ) , 0 ) ) = \bar { \beta } \bar { \beta } ^ { \top } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { a } _ { h } ^ { 0 } = { \mathbf a } ^ { \top } { \mathbf \Lambda } ^ { 0 } , } \\ & { ( \hat { \mathbf a } _ { h } ^ { 1 } ) ^ { \top } = ( \underbrace { a _ { 1 , 0 } , \cdots , a _ { 1 , N _ { 1 } ^ { 1 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 1 } ^ { \top } } , \underbrace { a _ { 2 , 0 } , \cdots , a _ { 2 , N _ { 2 } ^ { 1 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 2 } ^ { \top } } , \underbrace { a _ { 3 , 0 } , \cdots , a _ { 3 , N _ { 3 } ^ { 1 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 3 } ^ { \top } } ) \left( \begin{array} { l l l } { { \mathbf \Lambda } _ { 1 } ^ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \mathbf \Lambda } _ { 2 } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \mathbf \Lambda } _ { 3 } ^ { 1 } } \end{array} \right) = : { \mathbf a } ^ { \top } \mathbb { \Lambda } ^ { 1 } , } \\ & { ( \hat { \mathbf a } _ { h } ^ { 2 } ) ^ { \top } = ( \underbrace { a _ { 1 , 0 } , \cdots , a _ { 1 , N _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 1 } ^ { \top } } , \underbrace { a _ { 2 , 0 } , \cdots , a _ { 2 , N _ { 2 } ^ { 2 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 2 } ^ { \top } } , \underbrace { a _ { 3 , 0 } , \cdots , a _ { 3 , N _ { 3 } ^ { 2 } - 1 } } _ { = : { \mathbf a } _ { 3 } ^ { \top } } ) \left( \begin{array} { l l l } { { \mathbf \Lambda } _ { 1 } ^ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \mathbf \Lambda } _ { 2 } ^ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \mathbf \Lambda } _ { 3 } ^ { 1 } } \end{array} \right) = : { \mathbf a } ^ { \top } \mathbb { \Lambda } ^ { 2 } , } \\ & { \hat { a } _ { h } ^ { 3 } = { \mathbf a } ^ { \top } { \mathbf \Lambda } ^ { 3 } , } \end{array}
\emph W _ { j + 1 } = ( I - \frac { \bar { y } _ { j } s _ { j } ^ { T } } { s _ { j } ^ { T } \bar { y } _ { j } } ) ^ { T } \emph W _ { j } ( I - \frac { \bar { y } _ { j } s _ { j } ^ { T } } { s _ { j } ^ { T } \bar { y } _ { j } } ) + \frac { s _ { j } s _ { j } ^ { T } } { s _ { j } ^ { T } \bar { y } _ { j } } = E _ { j } ^ { T } \emph W _ { j } E _ { j } + \varrho _ { j } { s _ { j } s _ { j } ^ { T } } ,
\begin{array} { r l } { \beta ^ { 0 G } ( t _ { d } ) = } & { \gamma ^ { 2 } D _ { 0 } \sqrt { \frac { \pi e } { 2 } } \tau _ { c } \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } e ^ { \frac { \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } } { 2 \tau _ { c } ^ { 2 } } } \left[ 4 \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha t _ { d } } { \sqrt { 2 } \tau _ { c } } \right) \right. } \\ & { - 2 e ^ { \frac { t _ { d } } { 2 \tau _ { c } } } \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha t _ { d } / \tau _ { c } + 1 / ( 2 \alpha ) } { \sqrt { 2 } } \right) } \\ & { - 2 e ^ { - \frac { T } { 2 \tau } } \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha t _ { d } / \tau _ { c } - 1 / ( 2 \alpha ) } { \sqrt { 2 } } \right) } \\ & { - e ^ { \frac { t _ { d } } { 4 \tau _ { c } } } \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha T / \tau _ { c } + 1 / ( 4 \alpha ) } { \sqrt { 2 } } \right) } \\ & { - e ^ { - \frac { t _ { d } } { 4 \tau _ { c } } } \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha t _ { d } / \tau _ { c } - 1 / ( 4 \alpha ) } { \sqrt { 2 } } \right) } \\ & { + e ^ { \frac { 3 t _ { d } } { 4 \tau _ { c } } } \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha t _ { d } / \tau _ { c } + 3 / ( 4 \alpha ) } { \sqrt { 2 } } \right) } \\ & { \left. + e ^ { - \frac { 3 t _ { d } } { 4 \tau _ { c } } } \textrm { e r f c } \left( \frac { \alpha t _ { d } / \tau _ { c } - 3 / ( 4 \alpha ) } { \sqrt { 2 } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { A } } & { = \sum _ { k } \tilde { s } _ { k } ^ { ( A ) } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 1 } - \sum _ { t k l } s _ { t } ^ { ( A _ { 2 } ) } \alpha _ { t k } ^ { ( A _ { 2 } ) } \alpha _ { t l } ^ { ( A _ { 2 } ) } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 1 } \tilde { \gamma } _ { l \tau , 0 } \tilde { \gamma } _ { l \tau , 1 } , } \\ { \widehat { V P } _ { B } } & { = \sum _ { k } \tilde { s } _ { k } ^ { ( B ) } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 1 } - \sum _ { t k l } s _ { t } ^ { ( B _ { 2 } ) } \alpha _ { t k } ^ { ( B _ { 2 } ) } \alpha _ { t l } ^ { ( B _ { 2 } ) } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 1 } \tilde { \gamma } _ { l \tau , 0 } \tilde { \gamma } _ { l \tau , 1 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { Q _ { 5 } } } \\ { { Q _ { 6 } \cos \theta _ { 6 R } - b \sin \theta _ { 6 R } } } \end{array} \right) _ { R } , ~ ~ ~ \left( \begin{array} { c } { { t } } \\ { { b \cos \theta _ { 6 L } - Q _ { 6 } \sin \theta _ { 6 L } } } \end{array} \right) _ { L } ,
{ \frac { \partial v _ { i } } { \partial t } } + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial v _ { i } } { \partial x _ { j } } } v _ { j } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } } + \nu \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } { \frac { \partial ^ { 2 } v _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } } + f _ { i } ( { \boldsymbol { x } } , t ) .
\frac { \arctan ^ { 2 } ( \frac { a } { b } + \sqrt { 1 + \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } ) } { b ^ { 2 } } + \frac { \arctan ^ { 2 } ( \frac { b } { a } + \sqrt { 1 + \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } ) } { a ^ { 2 } } \ \leq \ \lambda _ { 1 } ( a , b ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } \ \leq \ \frac { 5 \pi ^ { 2 } } { 2 } \left( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \right) \, .