harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \| J ^ { m } ( | u | ^ { 2 p } \ u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \leq C _ { m } ( 2 t ) ^ { m } \left\| \partial _ { x } ^ { m } w \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| w \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 p } = C _ { m } \left\| J ^ { m } u \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 p } . } \end{array}
K ( \Phi , { \bar { \Phi } } ) = - \log \left( 2 ( h + { \bar { h } } ) - { \sum } _ { \alpha } ( { \Phi } ^ { \alpha } + { \bar { \Phi } } ^ { \alpha } ) ( { \partial h } _ { \alpha } + { \bar { \partial } } { h } _ { \alpha } ) \right)
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { } } & { { } } & { \frac { \partial { ( \epsilon \vec { E } ) } } { \partial { t } } = \frac { \vec { \nabla } \times \vec { H } } { \epsilon _ { 0 } } - \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } } ( \vec { J } _ { e } + \vec { J } _ { P I } + \vec { J } _ { K e r r } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { I \left( x ; n _ { \mathrm { e s - c a l } } \cdot c , n _ { \mathrm { e s - c a l } } \cdot d \right) = \Phi \left( x ; \frac { c } { c + d } , \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } } \cdot \frac { c d } { ( c + d ) ^ { 3 } } \right) + O \left( \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e s - c a l } } } \right) , \quad \mathrm { f o r ~ a n y ~ } x \in [ 0 , 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \psi _ { z } ^ { + } } & { { } = } & { - \frac { i } { \hbar } \Delta \mathrm { e } ^ { - \frac { i } { \hbar } \Delta t } \psi _ { z } + \mathrm { e } ^ { - \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } \psi _ { z } } \\ { \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { z } ^ { + } } & { { } = } & { - \frac { \Delta ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \Delta \mathrm { e } ^ { - \frac { i } { \hbar } \Delta t } \psi _ { z } - 2 \frac { i } { \hbar } \Delta \mathrm { e } ^ { - \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } \psi _ { z } + \mathrm { e } ^ { - \frac { i } { \hbar } \Delta t } \partial _ { t } ^ { 2 } \psi _ { z } . } \end{array}
\bigg \langle \exp \left( - \frac { ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) ( I ^ { Z _ { 1 } } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) ( I ^ { Z _ { 2 } } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) \bigg \rangle \neq \bigg \langle \exp \left( - \frac { ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) \bigg \rangle \bigg \langle ( I ^ { Z _ { 1 } } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) ( I ^ { Z _ { 2 } } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) \bigg \rangle ,
\begin{array} { r l } { \hat { m } ( \vec { r } ) = } & { \hat { m } _ { + } ( \vec { r } ) + \hat { m } _ { - } ( \vec { r } ) , } \\ { \hat { m } _ { + } ( \vec { r } ) = } & { m _ { 0 } \sum _ { \mu , j } \vec { d } _ { \mu j } ^ { * } \hat { \Pi } _ { j \mu } ( \vec { r } ) } \\ { \hat { m } _ { - } ( \vec { r } ) = } & { \hat { m } _ { + } ( \vec { r } ) ^ { \dagger } . } \end{array}
V _ { e f f } ( \phi , T ) \: = \frac { 1 } { 2 } a ( T ^ { 2 } - T _ { 1 } ^ { 2 } ) \phi ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } b T \phi ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } \lambda \phi ^ { 4 } \: ,
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { D } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { ~ W ~ } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { { } = } & { - \left( \ensuremath { \mathbf { D } } ^ { 2 } V ( \ensuremath { \mathbf { q } } ) \right) \; \delta ^ { \prime } \! \left( \omega + E _ { 0 } - H ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \ell ; \Lambda ; S , \Sigma ; J , P , M | T _ { p } ^ { 1 } ( d ) } & { { } | \ell ^ { \prime } ; \Lambda ^ { \prime } ; S , \Sigma ^ { \prime } ; J ^ { \prime } , P ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\operatorname * { d e t } [ \gamma _ { 5 } ( \hat { D } + m ) ] ^ { 2 } = \int \exp \{ a ^ { 4 } \sum _ { x } \bar { \psi } ( x ) ( \hat { D } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \psi ( x ) \} d \bar { \psi } d \psi
\begin{array} { r l } { \dot { \sigma } ^ { a } } & { { } = \sum _ { a , a ^ { \prime } , c } W _ { a ^ { \prime } a } ^ { c } p \left( a ^ { \prime } , c \right) \mathrm { l n } \frac { W _ { a ^ { \prime } a } ^ { c } p \left( a ^ { \prime } , c \right) } { W _ { a a ^ { \prime } } ^ { c } p \left( a , c \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { m , n } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \sqrt { \pi } e ^ { \omega ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } + ( m - 1 ) \ell n | \omega | } , \ \omega > 0 \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \omega ^ { 2 } \gg 0 } \\ { e ^ { \omega ^ { 2 } - \psi ^ { 2 } } \left( \Gamma \left( \frac { m } { 2 } \right) M \left( \frac { 1 - m } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , - \omega ^ { 2 } \right) + 2 | \omega | \Gamma \left( \frac { m + 1 } { 2 } \right) M \left( 1 - \frac { m } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } , - \omega ^ { 2 } \right) \right) , \ \omega > 0 } \\ { \frac { e ^ { - \psi ^ { 2 } } } { \sqrt { \pi } } \Gamma \left( \frac { m } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { m + 1 } { 2 } \right) U \left( \frac { m } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } , \omega ^ { 2 } \right) , \ \omega < 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { \mathcal { X } } ^ { i } ( r ) = k _ { \mathcal { X } } ^ { i } ( 0 ) + r p _ { n o d e } \left( \frac { T _ { p } L - L _ { \lambda } k _ { \mathcal { X } } ^ { i } ( 0 ) } { L _ { \lambda } - 1 } \right) } \\ { + r p _ { t e l } \left( \frac { T _ { p } ( L _ { p } - 1 ) L - k _ { \mathcal { X } } ^ { i } ( 0 ) ( L _ { m a x } - L _ { \lambda } ) } { L _ { m a x } - \Delta L } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { y } = v _ { 0 } } & { + v _ { 1 } f \big ( w _ { 1 0 } + w _ { 1 1 } R + w _ { 2 1 } Z \big ) } \\ & { + v _ { 2 } f \big ( w _ { 2 0 } + w _ { 1 2 } R + w _ { 2 2 } Z \big ) } \\ & { + v _ { 3 } f \big ( w _ { 3 0 } + w _ { 1 3 } R + w _ { 2 3 } Z \big ) } \\ & { + v _ { 4 } f \big ( w _ { 4 0 } + w _ { 1 4 } R + w _ { 2 4 } Z \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 | | \mathfrak { R } ( \partial _ { i } , \partial _ { j } ) | | _ { \mathrm { o p } , t } } & { = \left| \left| \sum _ { k < l \leq 0 } \langle R _ { \partial _ { i } \partial _ { j } } ( e _ { k } ) , e _ { l } \rangle e _ { k } e _ { l } \right| \right| _ { \mathrm { o p } , t } } \\ & { \leq \sum _ { k < l \leq 0 } | \langle R _ { \partial _ { i } \partial _ { j } } ( e _ { k } ) , e _ { l } \rangle | \underbrace { | | e _ { k } e _ { l } \cdot | | _ { \mathrm { o p } , t } } _ { = 1 } } \\ & { \leq \sum _ { k < l \leq 0 } | | R _ { \partial _ { i } \partial _ { j } } | | _ { \mathrm { o p } , T M _ { t } } } \\ & { = \sum _ { k < l \leq 0 } 1 / 4 \cdot | | \lbrack ( \partial _ { j } g ) ^ { \mathrm { o p } } , ( \partial _ { i } g ) ^ { \mathrm { o p } } \rbrack | | _ { \mathrm { o p } , t } } \\ & { \leq 2 d ^ { 2 } | | ( \partial _ { i } g ) ^ { \mathrm { o p } } | | _ { \mathrm { o p } , t } | | ( \partial _ { j } g ) ^ { \mathrm { o p } } | | _ { \mathrm { o p } , t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { d I } { d \epsilon } \right) _ { b } } & { = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { d I } { d \epsilon } \right) _ { s p } \frac { Q } { 2 \pi \sigma _ { \perp } ^ { 2 } e } e ^ { - \frac { r _ { \beta } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \perp } ^ { 2 } } } r _ { \beta } d r _ { \beta } } \\ & { = \frac { I _ { \mathrm { t o t } , b } } { \epsilon _ { c , b } } S _ { b } \left( \frac { \epsilon } { \epsilon _ { c , b } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi _ { \mathrm { e m } } ^ { x y } = \frac { \left( 2 k _ { x } ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } \right) S _ { \mathrm { m e } } ^ { y z z x } } { 4 k _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { \left( \sqrt { k _ { 2 } k _ { z 1 } \eta _ { 1 } } \pm \sqrt { k _ { 1 } k _ { z 2 } \eta _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } { 2 j k _ { 0 } \left( k _ { 2 } k _ { z 1 } \eta _ { 1 } - k _ { 1 } k _ { z 2 } \eta _ { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \theta } _ { o p t } } & { = a r g \operatorname* { m a x } _ { \pmb { \theta } } l o g p ( \pmb { y } | \pmb { X } , \pmb { \theta } ) } \\ & { = a r g \operatorname* { m a x } _ { \pmb { \theta } } \Big \{ - \frac { 1 } { 2 } ( \pmb { y } - m ( \pmb { X } ) ) ^ { T } K _ { y } ^ { - 1 } ( \pmb { y } - m ( \pmb { X } ) ) - \frac { 1 } { 2 } l o g | K _ { y } ( \pmb { \theta } ) | - \frac { N _ { s } } { 2 } l o g ( 2 \pi ) \Big \} } \end{array}
P _ { i j } = \int _ { l = 0 } ^ { L } \left| \left< \nu _ { j } | \mathcal { D } _ { + } ( l , L ) \mathcal { D } _ { - } ( l ) | \nu _ { i } \right> \right| ^ { 2 } d l = \eta \frac { \alpha _ { i j } } { \alpha _ { i } } \left( 1 - e ^ { - \frac { \alpha _ { i } } { E _ { i } } L } \right) ,
F _ { i A } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { \lambda } \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left| \psi _ { \lambda } ( \vec { p } ) \right| ^ { 2 } z F _ { i } ^ { N ( A ) } ( \frac { x } { z } , Q ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { i \overline { { u } } _ { x } u _ { x t } + \overline { { u } } _ { x } u _ { x x x } = ( | u | ^ { 2 p } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } + \beta ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } ) _ { x } u \overline { { u } } _ { x } + | u | ^ { 2 p } | u _ { x } | ^ { 2 } + \beta | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } | u _ { x } | ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { \mathrm { X } \xrightarrow { \mathrm { r } } \emptyset \, , } \\ & { \mathrm { X } \xrightarrow { \mathrm { a } } Y \, , } \\ & { \mathrm { X } + \mathrm { X } \xrightarrow { \mathrm { b } } \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { Y } } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y } \quad p \in [ 0 , 1 ] \, , } \\ { \emptyset } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y } \quad 1 - p \in [ 0 , 1 ] \, , } \end{array} \right. \, , } \\ & { \emptyset \xrightarrow { \dot { \mathrm { d } } } \left\{ \begin{array} { l l } { \xi ^ { \mathrm { X } } \, \mathrm { X } \, , } \\ { \xi ^ { \mathrm { Y } } \, \mathrm { Y } \, , } \end{array} \right. \, . } \end{array} \right.
g _ { n , k } ( r ) = A \rho ^ { \gamma } e ^ { - \rho / 2 } \left( Z \alpha \rho L _ { n - | k | - 1 } ^ { ( 2 \gamma + 1 ) } ( \rho ) + ( \gamma - k ) { \frac { \gamma \mu c ^ { 2 } - k E } { \hbar c C } } L _ { n - | k | } ^ { ( 2 \gamma - 1 ) } ( \rho ) \right)
\begin{array} { r l } { V _ { n , l , \sigma = + 1 } } & { { } = \mathcal { E } \frac { \Omega _ { + } } { \omega } \sqrt { \frac { J } { \Omega } } J _ { l + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) } \\ { V _ { n , l , \sigma = - 1 } } & { { } = \mathcal { E } \frac { \Omega _ { - } } { \omega } \sqrt { \frac { D } { \Omega } } J _ { l - 1 + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l - 1 } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) } \\ { V _ { n , l , \sigma = 0 } } & { { } = \phi J _ { l + n } \left( k \sqrt { \frac { 2 D } { \Omega } } \right) J _ { l } \left( k \sqrt { \frac { 2 J } { \Omega } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { k _ { - 1 } ( \alpha _ { n - 1 } ) } { k _ { - 1 } ( \alpha _ { n } ) } } & { = } & { \frac { 2 \pi N _ { n - 1 } } { L _ { n - 1 } } \frac { L _ { n } } { 2 \pi N _ { n } } = \frac { 1 + \alpha _ { n - 1 } } { 1 + \alpha _ { n } } \, \frac { B + A \alpha _ { n } } { B + A \alpha _ { n - 1 } } \approx 1 } \\ { \frac { k _ { 0 } ( \alpha _ { n - 1 } ) } { k _ { 0 } ( \alpha _ { n } ) } } & { = } & { \frac { 2 \pi v _ { n - 1 } } { L _ { n - 1 } } \frac { L _ { n } } { 2 \pi \, v _ { n } } = \frac { B + A \alpha _ { n } } { B + A \alpha _ { n - 1 } } \approx 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \implies \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \sum \varphi _ { 1 } ( p _ { ( 0 ) } ^ { \lambda } ) \varphi _ { 2 } ( p _ { ( 1 ) } ^ { \lambda } ) } & { = 1 } \\ { \implies \operatorname* { l i m } _ { \lambda } ( \varphi _ { 1 } \star \varphi _ { 2 } ) ( p ^ { \lambda } ) } & { = 1 } \\ { \implies \operatorname* { l i m } _ { \lambda } \omega _ { \varphi _ { 1 } \star \varphi _ { 2 } } ( p ^ { \lambda } ) = \omega _ { \varphi _ { 1 } \star \varphi _ { 2 } } ( p ) } & { = 1 . } \end{array}
f _ { G } ( g ) = \frac { 5 \sqrt { 3 } \, \Big ( \frac { m _ { s } } { g _ { m a x } } \Big ) ^ { m _ { s } } { m _ { x } } ^ { m _ { x } } \phi _ { 3 d B } } { 6 \sqrt { 1 0 } \, \mathrm { { l n } } ( 1 0 ) \Gamma ( m _ { s } ) \Gamma ( m _ { x } ) \phi _ { A } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \frac { z } { g _ { m a x } } } ^ { \frac { z } { g _ { s } } } \frac { ( g \, z ) ^ { m _ { s } - 1 } e ^ { - \frac { m _ { s } g z } { g _ { m a x } } - m _ { x } x } x ^ { m _ { x } - 1 } } { \sqrt { { \mathrm { l o g } } _ { 1 0 } ( x g _ { m a x } / z ) } } \mathrm { d } x \, \mathrm { d } z .
\boldsymbol { \overline { { B } } } ( r , \theta , t ) = \boldsymbol { B _ { \mathrm { p } } } + \boldsymbol { B _ { \mathrm { t } } } = \mathrm { ~ \boldmath ~ \nabla ~ } \times \left[ A ( r , \theta , t ) \boldsymbol { \hat { \phi } } \right] + B ( r , \theta , t ) \boldsymbol { \hat { \phi } } ,
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } = } & { ~ \omega _ { \mathrm { o p } } ( a ^ { \dagger } a + b ^ { \dagger } b ) + \omega _ { \mathrm { o p } } ( \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } + \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } + | 2 \rangle \langle 2 | } \\ & { ~ + | 3 \rangle \langle 3 | + 2 | 4 \rangle \langle 4 | ) , } \\ { H _ { \mathrm { I } } = } & { ~ g _ { A } ( a ^ { \dagger } D _ { A } + D _ { A } ^ { \dagger } a ) + g _ { B } ( b ^ { \dagger } D _ { B } + D _ { B } ^ { \dagger } b ) . } \end{array}
\phi _ { P } = \arctan \sqrt { \frac { m _ { \eta _ { N S } } ^ { 2 } - m _ { \eta } ^ { 2 } } { m _ { \eta ^ { \prime } } ^ { 2 } - m _ { \eta _ { N S } } ^ { 2 } } } = 4 1 . 8 4 ^ { 0 } ~ ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } P _ { N } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \nabla _ { \vec { x } _ { n } } H \cdot \nabla _ { \vec { p } _ { n } } P _ { N } - \nabla _ { \vec { p } _ { n } } H \cdot \nabla _ { \vec { x } _ { n } } P _ { N } \right) = \{ H , P _ { N } \} \, , } \end{array}
H _ { N N N } = \kappa \sum _ { i , j , k } [ \sqrt { i ( j + 1 ) } a _ { i - 1 j + 1 k } ^ { \dagger } a _ { i j k } + \sqrt { i ^ { \prime } ( j ^ { \prime } + 1 ) } b _ { i ^ { \prime } - 1 j ^ { \prime } + 1 k ^ { \prime } } ^ { \dagger } b _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } k ^ { \prime } } + H . c . ] ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \| ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { p } ) - ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ) \| _ { D G } ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) } } \\ & { } & { \quad = \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \vert \| _ { h } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { p } - \boldsymbol { p } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) } \\ & { } & { \quad \lesssim \| \vert \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { h } \vert \| _ { h } ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \boldsymbol { p } _ { h } ; \mathcal { T } _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P = } & { { } P _ { \mathrm { H _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { H e } } + P _ { \mathrm { O _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { S _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { N _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { C O _ { 2 } } } + P _ { \mathrm { C O } } } \end{array}
\overline { { { G } } } _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta ^ { \prime } , x ^ { 2 } \zeta _ { 2 n } ) ^ { \varepsilon ^ { \prime } \, \varepsilon _ { 2 n } } = \sigma \overline { { { G } } } _ { \sigma } ^ { ( n ) } ( \zeta _ { 2 n } , \zeta ^ { \prime } ) ^ { \varepsilon _ { 2 n } \, \varepsilon ^ { \prime } } \prod _ { j = 1 } ^ { 2 n - 1 } \frac { \zeta _ { 2 n } } { \zeta _ { j } } .
{ \begin{array} { r l } { Z = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k + 1 } } \sum _ { s \in S _ { k } , i _ { k + 1 } \geq 0 } } & { { } { \frac { 1 } { i _ { 1 } + j _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + j _ { k } + ( i _ { k + 1 } = 1 ) + ( j _ { k + 1 } = 0 ) } } { \frac { [ X ^ { ( i _ { 1 } ) } Y ^ { ( j _ { 1 } ) } \cdots X ^ { ( i _ { k } ) } Y ^ { ( j _ { k } ) } X ^ { ( i _ { k + 1 } = 1 ) } Y ^ { ( j _ { k + 1 } = 0 ) } ] } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! ( i _ { k + 1 } = 1 ) ! ( j _ { k + 1 } = 0 ) ! } } } \\ { + } & { { } { \frac { 1 } { i _ { 1 } + j _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + j _ { k } + i _ { k + 1 } + ( j _ { k + 1 } = 1 ) } } { \frac { [ X ^ { ( i _ { 1 } ) } Y ^ { ( j _ { 1 } ) } \cdots X ^ { ( i _ { k } ) } Y ^ { ( j _ { k } ) } X ^ { ( i _ { k + 1 } ) } Y ^ { ( j _ { k + 1 } = 1 ) } ] } { i _ { 1 } ! j _ { 1 } ! \cdots i _ { k } ! j _ { k } ! i _ { k + 1 } ! ( j _ { k + 1 } = 1 ) ! } } , \quad i _ { r } , j _ { r } \geq 0 , \quad i _ { r } + j _ { r } > 0 , \quad 1 \leq r \leq k } \end{array} } .
\partial ^ { 2 } \phi _ { n } - m ^ { 2 } \phi _ { n - 1 } = - \frac { 1 } { 6 } \sum _ { \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } + \nu _ { 3 } = n } \phi _ { \nu _ { 1 } } \phi _ { \nu _ { 2 } } \phi _ { \nu _ { 3 } } .
\begin{array} { r l } { d u _ { i } - \normalfont { \mathrm { d i v } } ( a _ { i } \cdot \nabla u _ { i } ) \, d t } & { = f _ { i } ( \cdot , u ) \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( 0 ) } & { = u _ { i , 0 } , } \end{array}
\phi _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) ^ { * } \phi _ { \nu } ^ { \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) \approx \sum _ { P } u _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } u _ { \nu } ^ { \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } _ { P } ) e ^ { i \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } } \xi _ { P } ^ { [ n n ] } ( \mathbf { r } )
\left\vert \frac { 1 } { p ! } \sum _ { \substack { ( \pi , G ) \in \mathcal { L } _ { p } ^ { 2 } \, \nu ( \pi , G ) + \nu ^ { * } ( \pi , G ) = \nu _ { 0 } \, k ( \pi , G ) = k _ { 0 } } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 2 } \right\vert \leq C \rho ^ { 2 } ( C s ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { k _ { 0 } } ( C a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { k _ { 0 } + \nu _ { 0 } } .
\hat { \Lambda } = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { \gamma + \Gamma \rho _ { 0 ^ { \prime } , 0 ^ { \prime } } } { 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \gamma + \Gamma \rho _ { 0 ^ { \prime } , 0 ^ { \prime } } } { 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \gamma + \Gamma \rho _ { 0 ^ { \prime } , 0 ^ { \prime } } } { 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) .
< \psi \left( R \right) \psi \left( 0 \right) \omega \left( f _ { 1 } \right) \ldots > ~ = ~ \sum _ { N } { < 0 | \psi \left( R \right) | \Delta + N > < \Delta + N | \psi \left( 0 \right) \omega \left( f _ { 1 } \right) \ldots | 0 > }
b ( \tilde { \Delta } , \tilde { \Omega } , \tilde { \gamma } ) : = \mathrm { D i s c } _ { E } ( f ) = c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } - 4 c _ { 0 } c _ { 2 } ^ { 3 } - 4 c _ { 1 } ^ { 3 } + 1 8 c _ { 0 } c _ { 1 } c _ { 2 } - 2 7 c _ { 0 } ^ { 2 } = 0 ,
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { j } ^ { \prime } ) _ { i } ^ { ( 1 ) } } & { \in \pi _ { 7 , 2 - i } ( \alpha _ { i } g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ) , } \\ { ( \partial _ { j } ^ { \prime } ) _ { i } ^ { ( 2 ) } } & { \in \pi _ { 1 5 , 2 - i } ( \beta _ { i } g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ^ { \otimes { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b c } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { = } & { \Big \{ \Big ( 4 m _ { a } m _ { b } m _ { c } + 3 k _ { a } k _ { b } m _ { c } \Big ) \frac { 1 } { b } \Big ( \frac { 2 } { r \big ( r + ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 3 } } \Big ) + } \\ & { + } & { 3 \Big ( 3 k _ { a } k _ { b } m _ { c } - m _ { a } m _ { b } m _ { c } \Big ) b \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 5 } } + 3 \Big ( 3 k _ { a } m _ { b } m _ { c } - k _ { a } k _ { b } k _ { c } \Big ) \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } + \frac { 5 k _ { a } k _ { b } k _ { c } } { r ^ { 3 } } \Big \} \Big | _ { r _ { 0 } } ^ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { i } ^ { * } = } & { T \sum _ { j = 1 } ^ { n } A _ { i j } x _ { j } ^ { * } x _ { i } ^ { * } + T \sum _ { j = 1 } ^ { n } A _ { i j } y _ { i } y _ { j } x _ { j } ^ { * } x _ { i } ^ { * } } \\ & { + T _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } A _ { i j } ^ { 2 } y _ { i } y _ { j } x _ { j } ^ { * } x _ { i } ^ { * } + T _ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } A _ { i j } ^ { 2 } x _ { j } ^ { * } x _ { i } ^ { * } . } \end{array}
{ \cal C } _ { k } ^ { \prime \prime } + \biggl [ \frac { k ^ { 2 } } { 1 + r ^ { 2 } } \biggl ( 1 + r ^ { 2 } \frac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \biggr ) - \frac { { \cal G } ^ { \prime \prime } } { { \cal G } } \biggr ] { \cal C } _ { k } = 0
\sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { x , y \in \mathcal { M } } \bigg \vert \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \phi _ { k } ( x ) \phi _ { k } ( y ) \bigg \vert \lesssim \log \log ( n ) .
\begin{array} { r l } & { K ( z , \zeta ) = - \frac { w ( z ) \left( w ( z ) - 1 \right) } { \pi } \quad \times } \\ & { \quad \bigg ( \frac { \dot { \mu } ( \zeta ) \left( \partial _ { \zeta } w ( \zeta ) \right) ^ { 2 } } { w ( \zeta ) \left( w ( \zeta ) - 1 \right) \left( w ( \zeta ) - w ( z ) \right) } } \\ & { \quad + \frac { \overline { { \dot { \mu } ( \zeta ) } } \, \overline { { \left( \partial _ { \zeta } w ( \zeta ) \right) } } ^ { 2 } } { \overline { { w ( \zeta ) } } \left( 1 - \overline { { w ( \zeta ) } } \right) \left( 1 - \overline { { w ( \zeta ) } } \, w ( z ) \right) } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( \mathcal { L } _ { 2 } ^ { \theta } ) } & { = \left( D ( \mathcal { L } _ { 2 } ^ { 0 } ) , D ( \mathcal { L } _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) \right) _ { 2 \theta } } \\ & { = ( L ^ { 2 } , H _ { 0 } ^ { 2 } ) _ { 2 \theta } } \\ & { = H _ { 0 } ^ { ( 1 - 2 \theta ) 0 + ( 2 \theta ) 2 } } \\ & { = H _ { 0 } ^ { 4 \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r o b } ( F _ { i } ) } & { = \mathrm { P r o b } ( S \cap U _ { i } = \emptyset ) = \frac { { \binom { n - | U _ { i } | } { s } } } { { \binom { n } { s } } } } \\ & { = \frac { ( n - | U _ { i } | ) ( n - | U _ { i } | - 1 ) \cdots ( n - | U _ { i } | - s + 1 ) } { n ( n - 1 ) \cdots ( n - s + 1 ) } \leq \left( 1 - \frac { | U _ { i } | } { n } \right) ^ { s } } \\ & { \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 d } \right) ^ { s } \leq \left( 1 - \frac { 1 } { 2 d } \right) ^ { 3 \ell \log { k } } } \\ & { \leq \left( \frac 2 3 \right) ^ { 3 \log { k } } \leq \frac { 1 } { 5 k } , \mathrm { ~ f o r ~ } i \in [ k ] \mathrm { ~ a n d ~ } d \geq 2 . } \end{array}
F _ { 1 } ^ { ( 2 , 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) = - \frac { 1 } { 8 \left( A ^ { \prime } ( z ) \right) ^ { 2 } } \left( u _ { 1 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 2 , 0 ) } ( z ) + \frac { \partial _ { z } u _ { 0 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 2 , 0 ) } ( z ) } { A ^ { \prime } ( z ) } - \frac { 3 } { 2 } \frac { A ^ { \prime \prime } ( z ) } { \left( A ^ { \prime } ( z ) \right) ^ { 2 } } \, u _ { 0 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 2 , 0 ) } ( z ) \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { S } Q d ^ { 2 } r } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi / n _ { p } } d \zeta n Q } \\ & { \approx \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { p } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \theta } n _ { \zeta } } \Delta \theta _ { j } \Delta \zeta _ { j } n _ { j } Q _ { j } . } \end{array}
\sum _ { t = i } ^ { j - 1 } ( L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { t } ) + L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { t + 1 } ) ) - ( j - i ) d + ( d + 1 ) = L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { i } ) + L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { j } ) + 2 \sum _ { t = i + 1 } ^ { j - 1 } L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { t } ) - ( j - i - 1 ) d + 1 \leq L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { i } ) + L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { j } ) + ( j - i - 1 ) ( 2 \alpha - ( d - 1 ) ) - ( j - i - 1 ) + 1 \leq L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { i } ) + L _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { j } ) = d _ { T _ { D _ { k } } } ( u _ { i } , u _ { j } )