harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { K _ { p q r s } ^ { A } = \tilde { K } _ { p q r s } ^ { A } + \Delta P _ { p q } ^ { A } \Delta P _ { r s } ^ { A } - \frac { 1 } { 2 } \Delta P _ { p r } ^ { A } \Delta P _ { s q } ^ { A } } \end{array}
Q _ { \mathrm { g r a v } } ^ { 2 } = R ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \right) _ { T ^ { 2 } } + { \frac { 5 } { 3 6 N _ { V } } } \left( F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \right) _ { G _ { ( N _ { V } ) } } ~ .
W = \frac { 1 } { 2 } ( Y _ { u } ) _ { i j } 1 6 _ { i } 1 6 _ { j } 1 0 _ { u } + \frac { 1 } { 2 } ( Y _ { d } ) _ { i j } 1 6 _ { i } 1 6 _ { j } \frac { \langle 4 5 \rangle } { M _ { P l } } 1 0 _ { d } .
\left( a _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \alpha } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \beta } \right) \sigma \left( t \right) = \left( b _ { 1 } \, _ { 0 } \mathrm { I } _ { t } ^ { \mu } + a _ { 2 } \, _ { 0 } \mathrm { D } _ { t } ^ { \alpha + \beta - \mu } \right) \varepsilon \left( t \right) ,
\begin{array} { l l l l l l } { \cdots } & { 0 } & { E _ { 0 , 2 } ^ { 2 } } & { E _ { 1 , 2 } ^ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { E _ { 0 , 1 } ^ { 2 } } & { E _ { 1 , 1 } ^ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { E _ { 0 , 0 } ^ { 2 } } & { E _ { 1 , 0 } ^ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { E _ { 0 , - 1 } ^ { 2 } } & { E _ { 1 , - 1 } ^ { 2 } } & { 0 } & { \cdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ( { \bf R } ^ { \prime } , z _ { 0 } , t ) = \psi ^ { \mathrm { i n c } } ( { \bf R } ^ { \prime } , z _ { 0 } ) \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } J _ { \ell } \big [ 2 | \beta ( { \bf R } ^ { \prime } ) | \big ] \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \ell \mathrm { a r g } \{ - \beta ( { \bf R } ^ { \prime } ) \} } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( E _ { 0 } + \ell \hbar \omega ) t / \hbar } . } \end{array}
P _ { \alpha } ( s ) = \frac { C _ { \alpha } ( s ) F ( s ) } { 1 + G _ { \alpha } ( s ) C _ { \alpha } ( s ) F ( s ) } = \frac { k _ { \mathrm { P } } \left( s + \Gamma _ { \alpha } \right) } { s + k _ { \mathrm { P } } } ,
T = \frac { 1 } { \frac { \mu } { 2 } ( 1 - \delta ) n _ { L - 1 } } = \frac { 4 \delta } { K \mu ^ { 2 } ( 1 - \delta ) } \left( \frac { 2 \delta ( 1 - \gamma - \mu ) } { \mu ( 1 - \delta ) } \right) ^ { L - 2 } .
{ \frac { \chi _ { X } } { \chi _ { T } \nabla _ { \mathrm { a d } } } } ( \nabla _ { X } - \nabla _ { X , \mathrm { c r i t } } ) = { \frac { 8 } { \mathrm { R a _ { T } } } } { \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { \mathrm { R o } ^ { 2 } } } = { \frac { 8 } { \mathrm { R a _ { T } } } } \mathrm { T a } ^ { 2 / 3 } \mathrm { P e } ^ { 2 / 3 } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { F i n d ~ } u \in H _ { D } ^ { 1 } ( \Omega ) : \quad \mathcal { C } ( u , v ) = F ( v ) , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } v \in H _ { D } ^ { 1 } ( \Omega ) , } \\ & { \mathrm { F i n d ~ } z \in H _ { D } ^ { 1 } ( \Omega ) : \quad \mathcal { C } ( v , z ) = G ( v ) , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } v \in H _ { D } ^ { 1 } ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathbf { D } } } & { ( x , y ) = } \\ & { \mathcal { R } _ { \psi ( x , y ) } \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } [ \theta _ { 1 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) ] ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } [ \theta _ { 2 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) ] ^ { 2 } } \end{array} \right) [ \mathcal { R } _ { \psi ( x , y ) } ] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial ( - \wedge \hat { \eta } ) | _ { \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } } = ( 2 j - 2 \bar { j } + 2 ) \mathrm { I d } _ { \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } } , } \\ & { \partial ( - \wedge \hat { \eta } ) | _ { \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } \epsilon } = ( 2 j - 2 \bar { j } ) \mathrm { I d } _ { \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } } . } \end{array}
{ Q _ { \alpha \beta } } = \kappa \frac { G } { 2 } \psi ( { \bf { x } } ) \sum _ { i } { w ( { { \left| { { { \bf { e } } _ { i } } } \right| } ^ { 2 } } ) } \left[ { \psi ( { \bf { x } } + { { \bf { e } } _ { i } } \Delta t ) - \psi ( { \bf { x } } ) } \right] { \mathrm { { e } } _ { i \alpha } } { e _ { i \beta } } ,
{ \frac { 1 } { N } } \ln ( { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta , a , c \mid Y ) ) = { \frac { \alpha - 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln ( Y _ { i } - a ) + { \frac { \beta - 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln ( c - Y _ { i } ) - \ln \mathrm { B } ( \alpha , \beta ) - ( \alpha + \beta - 1 ) \ln ( c - a )
\begin{array} { r l } & { \mathrm { F o r ~ } A = 0 , w = \{ \beta ( 0 ) , \alpha ( 0 ) , \alpha ( 0 ) , \alpha ( 0 ) \} , } \\ & { \mathrm { F o r ~ } A = 1 , w = \{ \beta ( 1 ) , \beta ( 1 ) , \alpha ( 1 ) , \alpha ( 1 ) , \alpha ( 1 ) , \alpha ( 1 ) , \alpha ( 1 ) , \alpha ( 1 ) \} , } \\ & { \mathrm { F o r ~ } A = 2 , w = \{ \beta ( 2 ) , \beta ( 2 ) , \beta ( 2 ) , \alpha ( 2 ) , \alpha ( 2 ) , \alpha ( 2 ) , \alpha ( 2 ) , \alpha ( 2 ) , \alpha ( 2 ) , \alpha ( 2 ) , \alpha ( 2 ) , \alpha ( 2 ) \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 1 } + \mathcal { F } _ { 2 } = \frac { \alpha _ { 2 } ( p + p _ { * 1 } ) + \alpha _ { 1 } ( p + p _ { * 2 } ) } { ( p + p _ { * 1 } ) ( p + p _ { * 2 } ) } - \frac { 1 } { \gamma c _ { V } \rho \theta } } \\ { = \frac { \gamma ( p + \alpha _ { 1 } p _ { * 2 } + \alpha _ { 2 } p _ { * 1 } ) - ( p + p _ { * 1 } ) ( p + p _ { * 2 } ) \frac { 1 } { c _ { V } \rho \theta } } { \gamma ( p + p _ { * 1 } ) ( p + p _ { * 2 } ) } . } \end{array}
v ( k , u ) \bar { v } ( k , u ) = - ( \kappa + \gamma ^ { 5 } k \gamma ) \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { \gamma ^ { 5 } [ k \gamma , u \gamma ] } { 2 \sqrt { q ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } } } \right)
q _ { f } ( x , M _ { f } ^ { 2 } ) \equiv q _ { f } ( x ) - { \frac { 1 } { \epsilon } } { \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } } { \biggl ( { \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { M _ { f } ^ { 2 } } } \biggr ) } ^ { \epsilon } { \frac { \Gamma ( 1 - \epsilon ) } { \Gamma ( 1 - 2 \epsilon ) } } \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d z } { z } } q _ { f } ( x / z ) P _ { q q } ^ { + } ( z ) \; ,
\begin{array} { r l } { \mu ( x ^ { * } ) } & { = \Sigma _ { * } ( x ^ { * } , \boldsymbol { x } ) \Sigma ^ { - 1 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) \boldsymbol { y } , } \\ { \sigma ^ { 2 } ( x ^ { * } ) } & { = \Sigma _ { * * } ( x ^ { * } , x ^ { * } ) - \Sigma _ { * } ( x ^ { * } , \boldsymbol { x } ) \Sigma ^ { - 1 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) \left[ \Sigma _ { * } ( x ^ { * } , \boldsymbol { x } ) \right] ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r } { - \frac { A _ { 0 } } { 2 \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } \left[ v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } \right] \int _ { K } ( v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } ( x ) - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( x ) ) ^ { 2 } d x + \frac { A _ { 0 } } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } } \left[ \sum _ { i > 1 } \frac { v _ { i } ^ { A _ { 0 } } } { \lambda _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } - \lambda _ { i } ^ { A _ { 0 } } } \int _ { K ^ { 2 } } H ( x , y ) v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } ( x ) v _ { i } ^ { A _ { 0 } } ( y ) d x \, d y \right] } \end{array}
\Gamma _ { 3 , 0 } ^ { \L \L _ { 0 } } \left[ \Phi \right] = \int d ^ { 2 } \theta \int _ { p _ { 1 } , p _ { 2 } } \Phi ( \theta , p _ { 1 } ) \Phi ( \theta , p _ { 2 } ) \Phi ( \theta , - p _ { 1 } - p _ { 2 } ) G ^ { \L \L _ { 0 } } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ I ~ } } & { { } = \int _ { \Omega } \left( \alpha + \frac { \beta } { 2 } \right) \mathbf { v } \cdot \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) + \frac { \beta } { 2 } ( \mathbf { v } \cdot ( \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } ) - Y \mathbf { v } \cdot \mathbf { u } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ^ { \uparrow } \geq \frac { \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { i } w _ { i } ^ { k + 1 } } } { \sin ( \gamma ^ { ( + ) } ) \cos ( \gamma ^ { ( - ) } ) } \left\lVert \beta ^ { ( + ) } \right\rVert _ { w ^ { k + 1 } } } \\ { \sigma ^ { \downarrow } \geq \frac { \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { i } w _ { i } ^ { k - 1 } } } { \sin ( \gamma ^ { ( - ) } ) \cos ( \gamma ^ { ( + ) } ) } \left\lVert \beta ^ { ( - ) } \right\rVert _ { w ^ { k - 1 } } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 . 0 1 - b , ~ } & { \mathrm { i f } \quad x _ { 1 } \in [ 0 . 0 5 , 0 . 1 5 ] , } \\ { 1 - b , ~ } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \\ & { v _ { 1 } = v _ { 2 } = 0 , } \\ & { b = 0 . 8 \exp ( - 5 ( x _ { 1 } - 0 . 9 ) ^ { 2 } - 5 0 ( x _ { 2 } - 0 . 5 ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\partial _ { t } \widetilde { p _ { f } } = - c \Delta \widetilde { p _ { f } } \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \; \; c = p _ { \mathrm { a t m } } \frac { \kappa ( \phi ^ { 0 } ) } { 1 - \phi ^ { 0 } } .
\sum _ { \mathbf { A } \in \mathbb { A } } P ( \mathbf { A } ) \langle \mathbf { C } \rangle _ { \mathbf { A } } ( \underline { { \psi } } ^ { * } ) = \langle \mathbf { C } \rangle ( \underline { { \psi } } ^ { * } ) = \mathbf { C ^ { * } }
M _ { r } a _ { i } = g _ { r } \vec { \beta } ^ { * } \cdot ( \vec { B } _ { 0 } ) _ { i } + q _ { r } \vec { \beta } ^ { * } \cdot ( \vec { E } _ { 0 } ) _ { i } + ( g _ { s } ) _ { r } \vec { \beta } ^ { * } \cdot ( \vec { H } _ { 0 } ) _ { i } \, \, .
\begin{array} { r } { d \left( \mathbf { w } _ { \tau ^ { \prime } } + \mathbf { w } _ { \tau } - \mathbf { w } _ { \sigma } , W _ { k } + \rho ( \Gamma _ { k } ) \right) = d \left( 0 , W _ { k } + \rho ( \Gamma _ { k } ) \right) } \\ { \gg \frac { n } { 2 } ( k + C ) \gg \frac { n } { 2 } \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \frac { 1 } { n } } \gg c \vert \Delta _ { \mathfrak { x } } \vert ^ { \frac { \kappa } { n } } = r } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \geq p ^ { r + s - 1 } ( 1 + 4 / s ) } e ^ { - \ell k / x } } & { \geq \exp \Big ( - \frac { \ell p ^ { r + s - 1 } } { x } \Big ( 1 + \frac { 4 } { s } \Big ) \Big ) \frac { e ^ { - \ell / x } } { 1 - e ^ { - \ell / x } } } \\ & { \geq \frac { x } { 2 L } \exp \Big ( - \Big ( \frac { L p ^ { r + s - 1 } } { x } + 1 \Big ) \Big ( 1 + \frac { 4 } { s } \Big ) \Big ) . } \end{array}
\overline { { { B } } } _ { \mu \nu } = B _ { \mu \nu } - A _ { \mu } ^ { i } A _ { \nu } ^ { j } B _ { i j } - A _ { [ \mu } ^ { i } ( \overline { { { B } } } _ { i \nu ] } - A _ { i } ^ { T } L \overline { { { A } } } _ { \nu ] } ) \ .
{ \left( \begin{array} { l l } { a } & { - b } \\ { b } & { \; \; a } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { c } & { - d } \\ { d } & { \; \; c } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { a c - b d } & { - a d - b c } \\ { b c + a d } & { \; \; - b d + a c } \end{array} \right) }
{ \left( \begin{array} { l } { r _ { x _ { 1 } } } \\ { r _ { x _ { 2 } } } \\ { r _ { x _ { 3 } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { a _ { 1 , x _ { 1 } } } & { a _ { 1 , x _ { 2 } } } & { a _ { 1 , x _ { 3 } } } \\ { a _ { 2 , x _ { 1 } } } & { a _ { 2 , x _ { 2 } } } & { a _ { 2 , x _ { 3 } } } \\ { a _ { d , x _ { 1 } } } & { a _ { d , x _ { 2 } } } & { a _ { d , x _ { d } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \rho _ { x _ { 1 } } } \\ { \rho _ { x _ { 2 } } } \\ { \rho _ { x _ { 3 } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } & { } & { C _ { ( 1 ) } = \widetilde { U } + \widehat { U } + \widehat { \widetilde { U } } + U , } \\ & { } & { C _ { ( 2 ) } = - ( \widetilde { U } \widehat { U } + \widetilde { U } \widehat { \widetilde { U } } + \widetilde { U } U + \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } + \widehat { U } U + \widehat { \widetilde { U } } U ) , } \\ & { } & { C _ { ( 3 ) } = \widetilde { U } \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } + \widetilde { U } \widehat { U } U + \widetilde { U } \widehat { \widetilde { U } } U + \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } U , } \\ & { } & { C _ { ( 4 ) } = - \widetilde { U } \widehat { U } \widehat { \widetilde { U } } U . } \end{array}
b = \frac { 1 } { 2 } \left\{ \frac { \langle z _ { 2 } \rangle ^ { ( v ) } } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } \frac { \langle n _ { 3 } \rangle ^ { ( e ) } } { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } + \frac { \langle z _ { 3 } \rangle ^ { ( v ) } } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } \frac { { \langle n _ { 2 } \rangle ^ { ( e ) } } ^ { 2 } } { { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } ^ { 2 } } \right\}
M [ \Gamma ] ^ { 2 } = - \frac { 2 4 } { f [ \Gamma ] ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { \Gamma ( q ) ^ { 2 } } { A ( q ) ^ { 2 } q ^ { 2 } + B ( q ) ^ { 2 } } + \frac { 9 } { f [ \Gamma ] ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \frac { \Gamma ( x ) ^ { 2 } } { D ( x ) } ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { C a r t e s i a n } : \quad \mathbf { F } : \hat { \Omega } \rightarrow \Omega , \quad \boldsymbol \eta \rightarrow \left( \begin{array} { l } { L _ { x } \eta _ { 1 } } \\ { L _ { y } \eta _ { 2 } } \\ { L _ { z } \eta _ { 3 } } \end{array} \right) = { \mathbf x } , } \\ & { \mathrm { C o l e l l a } : \quad \mathbf { F } : \hat { \Omega } \rightarrow \Omega , \quad \boldsymbol \eta \rightarrow \left( \begin{array} { l } { L _ { x } ( \eta _ { 1 } + \alpha \sin ( 2 \pi \eta _ { 1 } ) \sin ( 2 \pi \eta _ { 2 } ) ) } \\ { L _ { y } ( \eta _ { 2 } + \alpha \sin ( 2 \pi \eta _ { 2 } ) \sin ( 2 \pi \eta _ { 3 } ) ) } \\ { L _ { z } \eta _ { 3 } } \end{array} \right) = { \mathbf x } . } \end{array}
\lambda _ { 1 } \approx \lambda _ { u } \frac { 1 + K _ { 0 } ^ { 2 } / 2 } { 2 \gamma _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { K _ { 0 } ^ { 2 } \alpha ( D \eta _ { j } + { y _ { \beta } } _ { j } ) } { 1 + K _ { 0 } ^ { 2 } / 2 } - 2 \eta _ { j } \right] ,
\mathcal { M } _ { 3 / 2 } ^ { \mathcal { N } = 3 } = \frac { \mathrm { S U } ( 1 , 1 ) } { \mathrm { U } ( 1 ) } \times \frac { \mathrm { U S p } ( 3 , 3 ) } { \mathrm { S U } ( 3 ) \times \mathrm { U } ( 1 ) } ~ .
< W _ { 1 } W _ { 2 } W _ { 3 } > = \frac { < [ W _ { 1 } , [ W _ { 2 } , W _ { 3 } ] ] > } { ( p _ { 1 } - 2 m _ { 1 } ) ( p _ { 3 } + 2 m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } ) } + \frac { < [ W _ { 2 } , [ W _ { 1 } , W _ { 3 } ] ] > } { ( p _ { 2 } - 2 m _ { 2 } ) ( p _ { 3 } + 2 m _ { 1 } + 2 m _ { 2 } ) } .
F ( \mathbf { B } ) = \frac { \mathbb { 1 } ^ { \top } \left[ ( \mathbf { B B } ^ { \top } ) \odot \mathbf { N } + ( \mathbb { 1 } \mathbb { 1 } ^ { \top } - \mathbf { B B } ^ { \top } ) \odot \mathbf { P } \right] \mathbb { 1 } } { \mathbb { 1 } ^ { \top } | \mathbf { A } | \mathbb { 1 } }
h _ { n + 1 } = \left\{ \begin{array} { r l r } & { h _ { n } - \tau } & { \mathrm { i f ~ } \varphi ( h _ { n } - \tau ) < \psi ( h _ { n } - \tau ) , } \\ & { \operatorname* { i n f } \left\{ \begin{array} { l } { t \geq t _ { 1 } - \tau : \varphi ( h ) \geq \psi ( h ) } \\ { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } h \in [ t , h _ { n } - \tau ] } \end{array} \right\} } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \partial \boldsymbol { U } } { \partial t } + \nabla \cdot \boldsymbol { F } ^ { \mathrm { c } } - \nabla \cdot \left( \mu _ { \mathrm { t o t } } ^ { 1 } \boldsymbol { F } ^ { \mathrm { v } 1 } + \mu _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } \boldsymbol { F } ^ { \mathrm { v } 2 } \right) = 0 } \\ { \boldsymbol { U } = \left[ \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho \boldsymbol { v } } \\ { \rho E } \end{array} \right] , \boldsymbol { F } ^ { \mathrm { c } } = \left[ \begin{array} { c } { \rho \boldsymbol { v } } \\ { \rho \boldsymbol { v } \otimes \boldsymbol { v } + p \boldsymbol { I } } \\ { \rho E \boldsymbol { v } + p \boldsymbol { v } } \end{array} \right] , \boldsymbol { F } ^ { \mathrm { v } 1 } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \boldsymbol { \tau } } \\ { \boldsymbol { \tau } \cdot \boldsymbol { v } } \end{array} \right] , \boldsymbol { F } ^ { \mathrm { v } 2 } = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { c _ { p } \nabla T } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \emph { I I } = \frac { 2 K } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \mathbb { E } \| - \eta \Big ( } & { \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ( i ) + \delta _ { i , k - 1 } ) - \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ) } \\ & { + \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k - 1 } ) - \nabla f _ { i } ( \mathbf { x } ^ { t } ) + \nabla f _ { i } ( \mathbf { x } ^ { t } ) - \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ) + \nabla f ( \mathbf { x } ^ { t } ) \Big ) \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \sqrt { w _ { 2 } } } { m } \Re { \psi _ { 2 } ^ { * } \vec { \hat { p } _ { 2 } } \psi _ { 2 } } = \frac { \sqrt { w _ { 2 } } } { \sqrt { w _ { 1 } } } \frac { 1 } { b ^ { 3 } } \frac { 1 } { m } \Re { \sqrt { w _ { 1 } } \psi _ { 1 } ^ { * } \vec { \hat { p } _ { 1 } } \psi _ { 1 } } + \frac { \sqrt { w _ { 2 } } } { \sqrt { w _ { 1 } } } \frac { 1 } { m b } | \psi _ { 1 } | ^ { 2 } \textnormal { \boldmath G } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle n \rangle _ { \mathrm { e f f } } ^ { + } } & { { } = \frac { \Gamma _ { m } n _ { \mathrm { t h } } } { \Gamma _ { m , \mathrm { e f f } } ^ { r } } - \left( \frac { 2 \kappa ^ { \mathrm { e x t } } } { \kappa } \right) \frac { 1 + C / 2 } { 1 + C } n _ { \phi } ^ { \mathrm { p h o t o n } } , } \\ { \langle n \rangle _ { \mathrm { e f f } } ^ { - } } & { { } = \frac { \Gamma _ { m } n _ { \mathrm { t h } } } { \Gamma _ { m , \mathrm { e f f } } ^ { b } } + \frac { C } { 1 - C } + \left( \frac { 2 \kappa ^ { \mathrm { e x t } } } { \kappa } \right) \frac { 1 - C / 2 } { 1 - C } n _ { \phi } ^ { \mathrm { p h o t o n } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { { } \propto R ( P ^ { 0 } - P ^ { 1 } ) \propto ( \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \hat { x } _ { i } \hat { y } _ { i } \sin - \phi _ { i } ) } \\ { \left( \begin{array} { l } { P ^ { 0 } } \\ { P ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } \propto \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \hat { x } _ { i } - \sin \phi _ { i } \hat { y } _ { i } ) ^ { 2 } + ( \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } ) ^ { 2 } + ( \hat { x } _ { i } + \sin \phi _ { i } \hat { y } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array} .
\frac { \left( 1 + \gamma _ { 1 } \mathrm { M a } _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \mathrm { M a } _ { 1 } ^ { 2 } \left[ \gamma _ { 1 } / \left( \gamma _ { 1 } - 1 \right) + \left( \gamma _ { 1 } \mathrm { M a } _ { 1 } ^ { 2 } \right) / 2 \right] } = \frac { \left( 1 + \gamma _ { 2 } \mathrm { M a } _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \gamma _ { 2 } \mathrm { M a } _ { 2 } ^ { 2 } \left[ \gamma _ { 2 } / \left( \gamma _ { 2 } - 1 \right) + \left( \gamma _ { 2 } \mathrm { M a } _ { 2 } ^ { 2 } \right) / 2 \right] } ,
\begin{array} { r l } { \vec { \hat { f } } _ { i } ^ { c } } & { { } = \sum _ { ( l _ { j } , l _ { k } ) \in \mathcal C _ { i } } \left( \frac { \partial b ( x , \hat { d } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ y ~ } } ) } { \partial x } \Big | _ { x = \| \vec { r } _ { l _ { j } } - \vec { r } _ { l _ { k } } \| } \right) \frac { \vec { r } _ { l _ { k } } - \vec { r } _ { l _ { j } } } { \| \vec { r } _ { l _ { j } } - \vec { r } _ { l _ { k } } \| } , } \\ { \vec { \hat { t } } _ { i j } ^ { c } } & { { } = \sum _ { ( l _ { j } , l _ { k } ) \in \mathcal C _ { i } } \left( \frac { \partial b ( x , \hat { d } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ y ~ } } ) } { \partial x } \Big | _ { x = \| \vec { r } _ { l _ { j } } - \vec { r } _ { l _ { k } } \| } \right) \left( \frac { \left( \vec { r } _ { l _ { k } } - \vec { r } _ { l _ { j } } \right) } { \| \vec { r } _ { l _ { j } } - \vec { r } _ { l _ { k } } \| } \times \left( \vec { r } _ { l _ { j } } - \vec { x } _ { j } \right) \right) , } \\ { \vec { \hat { t } } _ { i k } ^ { c } } & { { } = \sum _ { ( l _ { j } , l _ { k } ) \in \mathcal C _ { i } } \left( \frac { \partial b ( x , \hat { d } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ y ~ } } ) } { \partial x } \Big | _ { x = \| \vec { r } _ { l _ { j } } - \vec { r } _ { l _ { k } } \| } \right) \left( \frac { \left( \vec { r } _ { l _ { j } } - \vec { r } _ { l _ { k } } \right) } { \| \vec { r } _ { l _ { j } } - \vec { r } _ { l _ { k } } \| } \times \left( \vec { r } _ { l _ { k } } - \vec { x } _ { k } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { h } _ { \vec { i } } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } = \frac { 2 \, A } { \mu _ { 0 } \, M _ { s , \vec { i } } } \; \sum _ { \mathrm { ~ k ~ = ~ x ~ , ~ y ~ , ~ z ~ } } \frac { \vec { m } _ { \vec { i } + \vec { e } _ { k } } - 2 \, \vec { m } _ { \vec { i } } + \vec { m } _ { \vec { i } - \vec { e } _ { k } } } { \Delta _ { k } ^ { 2 } } } \end{array}
S _ { e f f } = \int \left( - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n } ( \partial _ { \mu } b _ { \rho \sigma } ^ { n } \partial ^ { \mu } b ^ { n , \rho \sigma } + { m _ { n } ^ { 2 } } b _ { \rho \sigma } ^ { n } b ^ { n , \rho \sigma } ) - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi \right) d x .
H _ { n m y } \approx \frac { 1 } { 2 \mu ^ { 2 } } ( 1 - y ) \frac { \sin ^ { 2 } ( \pi n y ) } { \pi ^ { 2 } } \left[ \frac { v ( \mu , y ) \mu ^ { 2 } y } { \omega _ { 1 m } \omega _ { 3 n } } \right] .
\begin{array} { l } { { { \mathcal D } _ { V } f = V ^ { a } \nabla _ { a } f + \frac { n - 2 } { 2 n } ( \nabla _ { a } V ^ { a } ) f } } \\ { { \delta _ { V } f = V ^ { a } \nabla _ { a } f + \frac { n + 2 } { 2 n } ( \nabla _ { a } V ^ { a } ) f . } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle E \bigl ( d _ { \mathrm { ~ X ~ - ~ M ~ A ~ } } ( \mathbf { x } ) \bigr ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } ( \boldsymbol { \eta } ( \mathbf { x } ) ) E \bigl ( d _ { k } ( \mathbf { x } ) \bigr ) } \\ { \displaystyle V a r \bigl ( d _ { \mathrm { ~ X ~ - ~ M ~ A ~ } } ( \mathbf { x } ) \bigr ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } w _ { k } ^ { 2 } ( \boldsymbol { \eta } ( \mathbf { x } ) ) V a r \bigl ( d _ { k } ( \mathbf { x } ) \bigr ) } \end{array} \right.
{ \cal Z } = 1 + \sum _ { N = 1 } ^ { \infty } \frac { \zeta ^ { N } } { N ! } \left( \prod _ { a = 1 } ^ { N } \int d ^ { 3 } z _ { a } \sum _ { \alpha _ { a } = \pm 1 , \pm 2 , \pm 3 } ^ { } \right) \exp \left[ - \frac { g _ { m } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { a < b } ^ { } \frac { \vec { q } _ { \alpha _ { a } } \vec { q } _ { \alpha _ { b } } } { \left| \vec { z } _ { a } - \vec { z } _ { b } \right| } \right] .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } u \nabla \cdot \left( \theta \phi \right) = } & { - \int _ { \Omega _ { \mathrm { t } } \setminus ( U _ { 0 , r } \cup U _ { 1 , r } ) } ( \theta \phi ) \cdot d [ D u ] - \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { U _ { i , r } } ( \theta \phi ) \cdot d [ D u ] - ( - 1 ) ^ { i } \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i } } \theta ( i - T _ { r } u ) \phi \cdot \nu _ { \Sigma _ { i } } \, d \mathcal H ^ { 2 } } \\ & { - ( - 1 ) ^ { i } \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i , r } } \theta ( T _ { r } u - \widetilde { T } _ { r } u ) \phi \cdot \nu _ { i , r } \, d \mathcal H ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \int _ { \Omega _ { \mathrm { t } } \setminus ( U _ { 0 , r } \cup U _ { 1 , r } ) } \theta d | D u ( x ) | + \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { U _ { i , r } } \theta d | D u ( x ) | + \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i } } \theta | i - T _ { r } u | \, d \mathcal H ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { i = 0 , 1 } \int _ { \Sigma _ { i , r } } \theta \left| T _ { r } u - \widetilde { T } _ { r } u \right| \, d \mathcal H ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { \star J } } & { { } = c _ { \phi } \tilde { F } + ( - ) ^ { q + 1 } \ell \, { \star L } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } _ { \psi } } } & { { } = ( - ) ^ { p + 1 } \tilde { c } _ { \phi } \ell \Xi + ( - ) ^ { p } \ell \, { \star \tilde { J } } , } \\ { \mathrm { d } { \star L } } & { { } = ( - ) ^ { q } c _ { \phi } \tilde { F } _ { \psi } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } } } & { { } = \tilde { c } _ { \phi } F , } \end{array}