harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( X , Y ) = \left( - y ^ { \prime } { \frac { { x ^ { \prime } } ^ { 2 } + { y ^ { \prime } } ^ { 2 } } { x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } - x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } } } \; , \; x ^ { \prime } { \frac { { x ^ { \prime } } ^ { 2 } + { y ^ { \prime } } ^ { 2 } } { x ^ { \prime } y ^ { \prime \prime } - x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { \tilde { C } _ { x x } ( t ) } & { { } \simeq \frac { \langle x ( 0 ) \ x ( t ) \ W \rangle _ { \rho } } { \langle W \rangle _ { \rho } } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \tilde { C } _ { n n } ( t ) } & { { } \simeq \frac { \langle A _ { n } ( 0 ) \ B _ { n } ( t ) \ W \rangle _ { \rho } } { \langle W \rangle _ { \rho } } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { 2 } } & { { } = \frac { 2 ( f I _ { 0 } - i f R _ { 0 } ) } { ( 1 + i \delta ) ^ { 2 } } - ( \eta _ { 2 } + i \theta _ { 2 } ) , } \\ { \Gamma _ { 2 } } & { { } = \gamma _ { 1 } \frac { 2 \sqrt { - 2 \eta _ { 2 } } } { 1 + i \delta } . } \end{array}
a _ { 2 } < \frac { 1 } { 4 } + \sqrt { \frac { 1 } { 4 } - a _ { 3 } } \; \; \; , \; \; \; \; \; a _ { 3 } < \frac { 1 } { 4 } - \left( a _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \; \; ;
\begin{array} { r l } & { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } \delta ( { { \bf q } _ { 1 } } + { { \bf q } _ { 2 } } ) \ ^ { 2 \! } { \cal F } ( { { \bf q } _ { 1 } } , { { \bf q } _ { 2 } } ) = \frac { \langle a _ { { \bf q } _ { 1 } } a _ { { \bf q } _ { 2 } } \rangle } { 2 ! } \, , \quad ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } \delta ( { { \bf q } _ { 1 } } + { { \bf q } _ { 2 } } + { { \bf q } _ { 3 } } ) \ ^ { 3 \! } { \cal F } ( { { \bf q } _ { 1 } } , { { \bf q } _ { 2 } } , { { \bf q } _ { 3 } } ) = \frac { \langle a _ { { \bf q } _ { 1 } } a _ { { \bf q } _ { 2 } } a _ { { \bf q } _ { 3 } } \rangle } { 3 ! } \, , } \\ & { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } \delta ( { { \bf q } _ { 1 } } + { { \bf q } _ { 2 } } + { { \bf q } _ { 3 } } + { { \bf q } _ { 4 } } ) \ ^ { 4 \! } { \cal F } ( { { \bf q } _ { 1 } } , { { \bf q } _ { 2 } } , { { \bf q } _ { 3 } } , { { \bf q } _ { 4 } } ) = \langle a _ { { \bf q } _ { 1 } } a _ { { \bf q } _ { 2 } } a _ { { \bf q } _ { 3 } } a _ { { \bf q } _ { 4 } } \rangle / ( 4 ! ) \, , } \\ & { ( 2 \pi ) ^ { d + 1 } \delta \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { n } { { \bf q } _ { j } } \Big ) \ ^ { n \! } { \cal F } ( { { \bf q } _ { 1 } } , \dots , { { \bf q } _ { n } } ) \= { \langle \prod _ { j = 1 } ^ { n } a _ { { \bf q } _ { j } } \rangle } / { ( n ! ) } , ~ ~ ~ n = 2 , 3 , \dots \, , \quad ^ { 2 } { \cal F } ( { \bf q } ) \= \, ^ { 2 } { \cal F } ( { \bf q } , - { \bf q } ) \ . } \end{array}
d s _ { D } ^ { 2 } = - d t ^ { 2 } + 4 \pi R ^ { 2 } ( t ) d x _ { i } ^ { 2 } + 4 \pi R _ { C } ^ { 2 } ( t ) d z _ { j } ^ { 2 } = a ( \eta ) ^ { 2 } [ - d \eta ^ { 2 } + d y ^ { 2 } ] + d s _ { D - 3 } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \Big \| \int _ { 0 } ^ { t } } & { T ( s ) B u ( s ) \, d s \Big \| _ { X } } \\ & { \leq M e ^ { - \lambda k \tau } h _ { t ^ { \prime } } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } \| u ( s + k \tau ) \| _ { U } ^ { q } d s \Big ) ^ { 1 / q } + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } M e ^ { - \lambda i \tau } h _ { \tau } \Big ( \int _ { 0 } ^ { \tau } \| u ( s + i \tau ) \| _ { U } ^ { q } d s \Big ) ^ { 1 / q } } \\ & { \leq M e ^ { - \lambda k \tau } h _ { \tau } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( s ) \| _ { U } ^ { q } d s \Big ) ^ { 1 / q } + \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } M e ^ { - \lambda i \tau } h _ { \tau } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( s ) \| _ { U } ^ { q } d s \Big ) ^ { 1 / q } } \\ & { \leq \sum _ { i = 0 } ^ { k } M e ^ { - \lambda i \tau } h _ { \tau } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( s ) \| _ { U } ^ { q } d s \Big ) ^ { 1 / q } } \\ & { \leq \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } M e ^ { - \lambda i \tau } h _ { \tau } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \| u ( s ) \| _ { U } ^ { q } d s \Big ) ^ { 1 / q } . } \end{array}
\Gamma [ \varphi _ { \Delta } , \varphi _ { c } ] = \frac { 1 } { i } \ln \int D \xi _ { 1 } P [ \xi _ { 1 } ] \int D \xi _ { 2 } P [ \xi _ { 2 } ] \exp \left\{ i S _ { \mathrm { e f f } } [ \varphi _ { \Delta } , \varphi _ { c } , \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ] \right\} \: ,
\begin{array} { r } { - \frac { \varepsilon _ { 0 } ^ { b } } { K ^ { \nu } } \left( \frac { \mathrm { D } ^ { s } p ^ { l } } { \mathrm { D } t } - \frac { \mathrm { D } ^ { s } p ^ { b } } { \mathrm { D } t } \right) - \nabla \cdot ( \frac { k ^ { \varepsilon } } { \mu ^ { l } } \mathbf { \nabla } p ^ { l } ) + ( 1 - \varepsilon ^ { b } ) \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \\ { \frac { \varepsilon _ { 0 } ^ { b } } { K ^ { \nu } } \left( \frac { \mathrm { D } ^ { s } p ^ { l } } { \mathrm { D } t } - \frac { \mathrm { D } ^ { s } p ^ { b } } { \mathrm { D } t } \right) - \nabla \cdot ( \frac { k ^ { b } } { \mu ^ { b } } \mathbf { \nabla } p ^ { b } ) + \varepsilon ^ { b } \nabla \cdot \mathbf { v ^ { s } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { f \colon \mathbb { R } } & { { } \to ( - \infty , b ) } \\ { x } & { { } \mapsto { \left\{ \begin{array} { l l } { x - { \frac { \pi } { 2 } } + b } & { { \mathrm { i f ~ } } x < 0 } \\ { \arctan x - { \frac { \pi } { 2 } } + b } & { { \mathrm { i f ~ } } x \geq 0 } \end{array} \right. } } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \mathbf { c } ^ { T } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { A } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { z } \\ { \mathbf { x } } \\ { \mathbf { s } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \mathbf { b } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \mathbb { N } } & { = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { N } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { N } ^ { T _ { 0 } } , } \\ { \mathbb { T } } & { = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { T } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { T } ^ { T _ { 0 } } , } \\ { \mathbb { U } } & { = \hat { p } _ { 0 , \psi } \mathbb { U } ^ { p _ { 0 } } + \hat { T } _ { 0 , \psi } \mathbb { U } ^ { T _ { 0 } } , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ e ~ a ~ s ~ y ~ - ~ a ~ x ~ i ~ s ~ } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \langle i , j \rangle } \left[ J _ { z } \hat { S } _ { i } ^ { z } \hat { S } _ { j } ^ { z } + J _ { \perp } \left( \hat { S } _ { i } ^ { x } \hat { S } _ { j } ^ { x } + \hat { S } _ { i } ^ { y } \hat { S } _ { j } ^ { y } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { G _ { \mathrm { p a } } ( t + 1 ) = } & { h \left( G _ { \mathrm { p a } } ( t ) \xi , \widehat { \beta } _ { t } ^ { d } k _ { i , t } ^ { \mathrm { o u t } } k _ { j , t } ^ { \mathrm { i n } } \right) } \\ & { + h \left( \xi - G _ { \mathrm { p a } } ( t ) \xi , \widehat { \beta } _ { t } ^ { b } k _ { i , t } ^ { \mathrm { o u t } } k _ { j , t } ^ { \mathrm { i n } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \| \partial _ { y } u _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \Big ( \| \partial _ { y } f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } + | k | \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } + | k | \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \psi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { m } ^ { s } } & { { } = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T _ { c } } g ( \xi ) \mathrm { s i n } ( 2 \pi m \xi / T _ { c } ) d \xi , } \\ { g _ { m } ^ { c } } & { { } = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T _ { c } } g ( \xi ) \mathrm { c o s } ( 2 \pi m \xi / T _ { c } ) d \xi , } \\ { g _ { 0 } } & { { } = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T _ { c } } g ( \xi ) d \xi , } \end{array}
\begin{array} { r } { \varphi ( z , \overline { { z } } ) = \log \lambda _ { j } ^ { 2 } - \log | z - \xi _ { i } | ^ { 2 } + { \frac { c _ { j } } { 2 \delta _ { j } } } ( z - \xi _ { j } ) + { \frac { \overline { { c _ { j } } } } { 2 \delta _ { j } } } ( \overline { { z } } - \overline { { \xi _ { j } } } ) + \mathcal { O } ( | z - \xi _ { j } | ^ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathbf { G } \mathbf { G } ^ { \prime } } ^ { n n } ( \mathbf { q } ) } & { = \chi _ { \mathbf { G } \mathbf { G } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } ) + \sum _ { \mathbf { G } _ { 1 } , \mathbf { G } _ { 2 } } \chi _ { \mathbf { G } \mathbf { G } _ { 1 } } ^ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } ) } \\ & { \times f _ { H x c , \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { G } _ { 2 } } ( \mathbf { q } ) \chi _ { \mathbf { G } _ { 2 } \mathbf { G } ^ { \prime } } ^ { n n } ( \mathbf { q } ) , } \\ { \chi _ { \mathbf { G } \mathbf { G } ^ { \prime } } ^ { S _ { z } S _ { z } } ( \mathbf { q } ) } & { = \chi _ { \mathbf { G } \mathbf { G } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } ) + \sum _ { \mathbf { G } _ { 1 } , \mathbf { G } _ { 2 } } \chi _ { \mathbf { G } \mathbf { G } _ { 1 } } ^ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } ) } \\ & { \times f _ { x c , \mathbf { G } _ { 1 } \mathbf { G } _ { 2 } } ^ { - } ( \mathbf { q } ) \chi _ { \mathbf { G } _ { 2 } \mathbf { G } ^ { \prime } } ^ { S _ { z } S _ { z } } ( \mathbf { q } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial U ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } ^ { + } } \bigg | _ { \mathbf { x } ^ { - } = 0 } } & { { } = \frac { \partial U _ { + } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } ^ { + } } \bigg | _ { \mathbf { x } ^ { - } = 0 } = } \end{array}
d \mathcal { M } = \bigg ( \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial r _ { + } } \bigg ) _ { Q , l _ { 0 } } d r _ { + } + \bigg ( \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial Q } \bigg ) _ { { r _ { + } } , l _ { 0 } } d Q + \bigg ( \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial l _ { 0 } } \bigg ) _ { r _ { + } , Q } d l _ { 0 } ,
\begin{array} { r } { v _ { 1 } x ^ { 2 } v _ { 2 } y ^ { 2 } v _ { 3 } , \; v _ { 1 } x x _ { 1 } x v _ { 2 } y x _ { 2 } y v _ { 3 } , \; v _ { 1 } x y ^ { 2 } x v _ { 2 } , \; v _ { 1 } x x _ { 1 } x v _ { 2 } y ^ { 2 } v _ { 3 } , \; v _ { 1 } y ^ { 2 } v _ { 2 } x x _ { 1 } x v _ { 3 } , \; v _ { 1 } x y x y v _ { 2 } , \; v _ { 1 } x y x _ { 1 } y x v _ { 2 } } \end{array}
C _ { 1 } ^ { g } ( x , Q ^ { 2 } ) = \frac { C _ { 2 q } ^ { g } ( x , Q ^ { 2 } ) + \frac { y ^ { 2 } } { 1 + ( 1 - y ) ^ { 2 } } C _ { L q } ^ { g } ( x , Q ^ { 2 } ) } { x f ( x , Q ^ { 2 } ) } \, ,
\ensuremath { n _ { s } } ( 2 \ensuremath { N _ { v a r } } ^ { 2 } \ensuremath { n _ { p } } + \ensuremath { n _ { p } } \ensuremath { N _ { v a r } } + 2 \ensuremath { N _ { v a r } } \ensuremath { n _ { p } } ^ { 2 } - \ensuremath { n _ { p } } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \beta _ { 1 } } & { = - \frac { \Delta + \sqrt { \Delta ^ { 2 } + t ^ { 2 } + 2 \Delta u } + u } { t + u } , \; y _ { 1 } = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ^ { T } , } \\ { \beta _ { 2 } } & { = \frac { \Delta - \sqrt { \Delta ^ { 2 } + t ^ { 2 } + 2 \Delta u } + u } { t - u } , \; y _ { 2 } = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) ^ { T } , } \\ { \beta _ { 3 } } & { = \frac { \Delta - \sqrt { \Delta ^ { 2 } + t ^ { 2 } + 2 \Delta u } + u } { t + u } , \; y _ { 3 } = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ^ { T } , } \\ { \beta _ { 4 } } & { = \frac { \Delta + \sqrt { \Delta ^ { 2 } + t ^ { 2 } + 2 \Delta u } + u } { t - u } , \; y _ { 4 } = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) ^ { T } , } \\ { \beta _ { 5 } } & { = \frac { i \gamma + 2 \Delta - \sqrt { 4 t ^ { 2 } + ( 2 \Delta + i \gamma ) ( i \gamma + 2 \Delta + 4 u ) } + 2 u } { 2 ( t - u ) } , \; y _ { 5 } = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ^ { T } , } \\ { \beta _ { 6 } } & { = - \frac { i \gamma + 2 \Delta + \sqrt { 4 ( t - u ) ( t + u ) + ( i \gamma + 2 \Delta + 2 u ) ^ { 2 } } + 2 u } { 2 ( t + u ) } , \; y _ { 6 } = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) ^ { T } , } \\ { \beta _ { 7 } } & { = \frac { i \gamma + 2 \Delta + \sqrt { 4 t ^ { 2 } + ( 2 \Delta + i \gamma ) ( i \gamma + 2 \Delta + 4 u ) } + 2 u } { 2 ( t - u ) } , \; y _ { 7 } = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) ^ { T } , } \\ { \beta _ { 8 } } & { = \frac { - i \gamma - 2 \Delta + \sqrt { 4 ( t - u ) ( t + u ) + ( i \gamma + 2 \Delta + 2 u ) ^ { 2 } } - 2 u } { 2 ( t + u ) } , \; y _ { 8 } = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) ^ { T } . } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] = \sqrt { \frac { \mathcal { I } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } ( \sigma , \eta ) ] } } = \sqrt { \frac { \mathcal { I } ^ { 2 } } { 2 \mathcal { I } - \mathcal { I } ^ { 2 } } } \stackrel { \mathcal { I } \ll 1 } { \sim } \sqrt { \mathcal { I } } ,
\operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \langle x \rangle } & { \langle p \rangle } \\ { \langle x \rangle } & { \langle x \star x \rangle } & { \langle x \star p \rangle } \\ { \langle p \rangle } & { \langle p \star x \rangle } & { \langle p \star p \rangle } \end{array} \right] } = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { \langle x \rangle } & { \langle p \rangle } \\ { \langle x \rangle } & { \langle x ^ { 2 } \rangle } & { \left\langle x p + { \frac { i \hbar } { 2 } } \right\rangle } \\ { \langle p \rangle } & { \left\langle x p - { \frac { i \hbar } { 2 } } \right\rangle } & { \langle p ^ { 2 } \rangle } \end{array} \right] } \geq 0 ~ ,
\hat { \bf C } _ { 0 0 } ( \alpha , \beta ) = A \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } ( \lambda _ { x } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } + \lambda _ { z } ^ { 2 } \beta ^ { 2 } ) \right] { \bf C } _ { 0 0 } ^ { y } \mathrm { ~ . ~ }
z = { \frac { 1 } { 8 } } K ^ { 2 } ( k ) \left( k ^ { 2 } { \sin } ^ { 2 } \theta + { k ^ { \prime } } ^ { 2 } ( 1 + { \sin } ^ { 2 } \theta { \sin } ^ { 2 } \psi ) - 2 { \frac { E ( k ) } { K ( k ) } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \Big ( \mu ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \Big ) \, \Big ( d \, \mathrm { d i v } \big [ \kappa ( \mathbf { x } ) \mathrm { g r a d } [ \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) ] \big ] - h _ { T } \, \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \Big ) \, \mathrm { d } \Omega } \\ & { = - \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) \, h _ { T } \, \Big ( \mu ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \Big ) \, \mathrm { d } \Omega } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { f _ { 0 } } \int _ { \Omega \setminus \Sigma } \Big ( \mu ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \Big ) \, d \, \mathrm { d i v } \big [ \kappa ( \mathbf { x } ) \mathrm { g r a d } [ \vartheta ^ { \# } ( \mathbf { x } ; \chi ) ] \big ] \, \mathrm { d } \Omega } \end{array}
p _ { \varphi s } = M _ { s } R \mathbf { v } \cdot \mathbf { e } _ { \varphi } + \frac { Z _ { s } e } { c } \psi ( \mathbf { r } , \varepsilon ^ { k } t ) \equiv \frac { Z _ { s } e } { c } \psi _ { \ast s } .
\begin{array} { r l } { \left\| \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] \right\| _ { X } } & { = \operatorname* { s u p } _ { ( x , u ) \neq 0 , \| ( x , u ) \| _ { X } = 1 } \left\| \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { u } \end{array} \right] \right\| _ { X } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { ( x , u ) \neq 0 , \| ( X ^ { \frac { 1 } { 2 } } x , u ) \| = 1 } \left\| \left[ \begin{array} { l l } { X ^ { \frac { 1 } { 2 } } A } & { X ^ { \frac { 1 } { 2 } } B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { u } \end{array} \right] \right\| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { ( x , u ) \neq 0 , \| ( X ^ { \frac { 1 } { 2 } } x , u ) \| = 1 } \left\| \left[ \begin{array} { l l } { X ^ { \frac { 1 } { 2 } } A X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } & { X ^ { \frac { 1 } { 2 } } B } \\ { C X ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } & { D } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { X ^ { \frac { 1 } { 2 } } x } \\ { u } \end{array} \right] \right\| } \\ & { = \left\| \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { A } } & { \widetilde { B } } \\ { \widetilde { C } } & { D } \end{array} \right] \right\| . } \end{array}
m { \frac { d ^ { 2 } x ^ { \beta } } { d \tau ^ { 2 } } } ( \delta ^ { \alpha } { } _ { \beta } + \mu ^ { 2 } \mathrm { D } _ { \beta \mu } g ^ { \mu \alpha } ) + { \frac { d x ^ { \nu } } { d \tau } } { \frac { d x ^ { \lambda } } { d \tau } } \left( \Gamma _ { \nu \lambda } { } ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \mu ^ { 2 } g ^ { \alpha \gamma } ( \partial _ { \gamma } \mathrm { D } _ { \nu \lambda } - \partial _ { \nu } \mathrm { D } _ { \gamma \lambda } - \partial _ { \lambda } \mathrm { D } _ { \gamma \nu } ) \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { { 2 } \left( e ^ { - T } + e ^ { ( T - L ) } \right) \left( \frac { e ^ { L } } { e ^ { L } - 1 } \right) } & { { } = \frac { e ^ { \left( - T + \frac { L } { 2 } \right) } + e ^ { \left( T - \frac { L } { 2 } \right) } } { e ^ { \frac { L } { 2 } } - e ^ { - \frac { L } { 2 } } } } \end{array}
\{ \chi _ { 2 n \pm 1 } , \chi _ { 2 n } \} = \chi _ { 2 n \pm 1 } \chi _ { 2 n } \qquad \{ \chi _ { j } , \chi _ { i } \} = 0 \mathrm { ~ i f ~ } | j - i | \not \equiv 1 \pmod { N }
\frac { H } { J } \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } = \frac { H } { J } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } | | \mathbf { v } _ { i } | | _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { H } { J } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } = \frac { H } { J } \mathbf { c } ^ { T } \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol { \lambda } ) \mathbf { c } ,
\sum _ { \{ \delta \} } \int _ { { \cal C } / \Gamma } d x ~ k ( x , \gamma [ x ] ) = \sum _ { \delta \neq { \bf 1 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \beta \in \Gamma / \Gamma ^ { ( \delta ) } } \int _ { \beta [ { \cal C } / \Gamma ] } d x ~ k _ { 0 } ( x , \delta ^ { n } [ x ] ) ~ + ~ \int _ { { \cal C } / \Gamma } d x ~ k _ { 0 } ( x , x ) ,
\begin{array} { r l r } { H _ { H } } & { { } = } & { - J _ { L L } \, \sum _ { a \neq b = 1 } ^ { 4 } \, \vec { Q } _ { L i } \vec { Q } _ { L j } - J _ { L R } \, \sum _ { a \neq b = 1 } ^ { 4 } \, \vec { Q } _ { L i } \vec { Q } _ { R j } - J _ { R R } \, \sum _ { a \neq b = 1 } ^ { 4 } \, \vec { Q } _ { R i } \vec { Q } _ { R j } } \end{array}
\frac { d p _ { j } } { d t } = - 2 p _ { j } \left[ \Gamma _ { + , j } \left( p _ { j } \right) - \Gamma _ { - , j } \left( p _ { j } \right) \right] + 2 K _ { e } p _ { j } \cos \left( \omega _ { e } t + 2 \hat { \phi } _ { j } \right) + 2 \sum _ { j , j ^ { \prime } } \Omega _ { j , j ^ { \prime } } \sqrt { p _ { j } p _ { j ^ { \prime } } } \cos \left( \hat { \phi } _ { j } - \hat { \phi } _ { j ^ { \prime } } - \beta _ { j , j ^ { \prime } } \right)
i = \bar { i } + \frac { \partial i } { \partial R _ { f } } \bigg \lvert _ { R _ { f } = 0 } R _ { f } + \mathcal { O } ( R _ { f } ^ { 2 } ) = \bar { i } + i R _ { f } \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } + \mathcal { O } ( R _ { f } ^ { 2 } ) ,
L _ { \mu \nu } ^ { k } ( R ) = \sum _ { l = 0 } ^ { k } \left( \begin{array} { l } { l _ { \mu } } \\ { l } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { l _ { \nu } } \\ { k - l } \end{array} \right) \big ( \frac { \alpha _ { \nu } R } { \alpha _ { \mu \nu } } \big ) ^ { l _ { \mu } - l } \big ( \frac { - \alpha _ { \mu } R } { \alpha _ { \mu \nu } } \big ) ^ { l _ { \nu } + l - k } ,
\begin{array} { r l r } { S } & { = } & { \int _ { \mathbb { R } \times \Sigma } \! d t d ^ { n - 1 } x \Big ( \tilde { \pi } ^ { a b } \dot { q } _ { a b } + \tilde { \Pi } ^ { I J } \dot { Y } _ { I J } - 2 N ^ { a } \tilde { \mathcal { C } } _ { a } - N \tilde { \mathcal { C } } } \\ & { } & { - \Lambda _ { I J } \tilde { \mathcal { G } } ^ { I J } - \tilde { \rho } ^ { I J } Y _ { I J } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \widehat T } = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname { c o n v } \{ ( 0 , 0 ) ^ { \top } , ( 1 , 0 ) ^ { \top } , ( 0 , 1 ) ^ { \top } \} , } & { n = 2 , } \\ { \operatorname { c o n v } \{ ( 0 , 0 , 0 ) ^ { \top } , ( 1 , 0 , 0 ) ^ { \top } , ( 0 , 1 , 0 ) ^ { \top } , ( 0 , 0 , 1 ) ^ { \top } \} , } & { n = 3 . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \mathrm { d } W _ { n } ^ { \gamma } } { \mathrm { d } s } = - \alpha m \left\{ J _ { n } ^ { 2 } ( z ) + \frac { a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } { 2 } \left[ 1 + \frac { s ^ { 2 } } { 2 ( 1 - s ) } \right] \left[ 2 J _ { n } ^ { 2 } ( z ) - J _ { n - 1 } ^ { 2 } ( z ) - J _ { n + 1 } ^ { 2 } ( z ) \right] \right\}
\begin{array} { r } { { \mathbf { F _ { s } } } _ { ( i - \frac { 1 } { 2 } , j ) } = \sigma \kappa _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } \left( \nabla C \right) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( S _ { 1 } ^ { z } ) } \\ { M _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( S _ { 1 } ^ { z } \cos \theta _ { B } + S _ { 1 } ^ { y } \sin \theta _ { B } ) } \\ { M _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( S _ { 2 } ^ { z } \cos \frac { \theta _ { B } } { 2 } + S _ { 2 } ^ { y } \sin \frac { \theta _ { B } } { 2 } ) } \\ { M _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } ( S _ { 2 } ^ { z } \cos \frac { \theta _ { B } } { 2 } - S _ { 2 } ^ { y } \sin \frac { \theta _ { B } } { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \forall k \leq k _ { 0 } } & { : \quad \mathcal { P } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ) \leq ( 1 - 2 p ) n ^ { \alpha } } \\ { \forall k > k _ { 0 } } & { : \quad \mathcal { P } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ) \leq \frac { 2 n } { k } + \frac { k - 1 } { k } ( 1 - p ) n ^ { \alpha } } \\ { \forall k } & { : \quad \mathcal { P } ^ { ( k ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ^ { c } ) \leq \frac { 2 n } { k } + \frac { k - 1 } { k } p n ^ { \alpha } } \\ { \forall k \leq n } & { : \quad \mathcal { Q } ^ { ( k + 1 ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ) \geq \frac { k } { k + 1 } ( 1 - p ) n ^ { \alpha } } \\ { \forall k \leq n } & { : \quad \mathcal { Q } ^ { ( k + 1 ) } ( \mathcal { N } _ { n , p , d } ^ { c } ) \geq \frac { k } { k + 1 } p n ^ { \alpha } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - { \overline { { y } } } + { \hat { y } } _ { i } - { \hat { y } } _ { i } ) ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) + \underbrace { ( y _ { i } - { \hat { y } } _ { i } ) } _ { { \hat { \varepsilon } } _ { i } } ) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + 2 { \hat { \varepsilon } } _ { i } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) + { \hat { \varepsilon } } _ { i } ^ { 2 } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } ^ { 2 } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } ^ { 2 } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } ( { \hat { \beta } } _ { 0 } + { \hat { \beta } } _ { 1 } x _ { i 1 } + \cdots + { \hat { \beta } } _ { p } x _ { i p } - { \overline { { y } } } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } ^ { 2 } + 2 ( { \hat { \beta } } _ { 0 } - { \overline { { y } } } ) \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } } _ { 0 } + 2 { \hat { \beta } } _ { 1 } \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } x _ { i 1 } } _ { 0 } + \cdots + 2 { \hat { \beta } } _ { p } \underbrace { \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } x _ { i p } } _ { 0 } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \hat { y } } _ { i } - { \bar { y } } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \hat { \varepsilon } } _ { i } ^ { 2 } = \mathrm { E S S } + \mathrm { R S S } } \end{array} }