harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { 1 } \boxtimes \Lambda _ { 2 } ( w ( \vec { p } , \vec { q } ) ) = } & { \sum _ { \vec { x } , \vec { y } } \lambda _ { 0 } ( \vec { x } , \vec { y } ) w ( \vec { x } , \vec { y } ) \; , } \\ { \Lambda _ { 1 } ( w ( N g _ { 1 1 } \vec { p } , g _ { 0 0 } \vec { q } ) ) = } & { \sum _ { \vec { x } , \vec { y } } \lambda _ { 1 } ( \vec { x } , \vec { y } ) w ( \vec { x } , \vec { y } ) \; , } \\ { \Lambda _ { 2 } ( w ( - N g _ { 1 0 } \vec { p } , g _ { 0 1 } \vec { q } ) ) = } & { \sum _ { \vec { x } , \vec { y } } \lambda _ { 2 } ( \vec { x } , \vec { y } ) w ( \vec { x } , \vec { y } ) \; , } \end{array}
\dot { \omega } _ { I } = \sigma _ { I } \frac { d } { d t } \sum _ { p _ { I } } A r g ( \vec { x } - \vec { R } _ { p _ { I } } ) = \sigma _ { I } \sum _ { p _ { I } } \varepsilon _ { i j } \dot { R } _ { p _ { I } } ^ { i } \partial _ { j } \ln \mid \vec { x } - \vec { R } _ { p _ { I } } \mid \; \;
\langle \phi _ { 1 } ( z _ { 1 } , \bar { z } _ { 1 } ) \phi _ { 2 } ( z _ { 2 } , \bar { z } _ { 2 } ) \phi _ { 3 } ( z _ { 3 } , \bar { z } _ { 3 } ) \rangle = C _ { 1 2 3 } \frac { 1 } { z _ { 1 2 } ^ { h _ { 1 } + h _ { 2 } - h _ { 3 } } z _ { 2 3 } ^ { h _ { 2 } + h _ { 3 } - h _ { 1 } } z _ { 1 3 } ^ { h _ { 3 } + h _ { 1 } - h _ { 2 } } }
\delta ( b , v ) = - 2 \times { \frac { V _ { ( p ) } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d t } { t } } \; ( 2 \pi ^ { 2 } t ) ^ { - p / 2 } e ^ { - b ^ { 2 } t / 2 \pi } \ Z ( \epsilon , t ) \ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d ^ { 2 } f } { d u ^ { 2 } } ( u ( s ) ) } \\ & { \geq } & { 2 b _ { 2 } ( \delta ) + 6 b _ { 3 } ( \delta ) u ( s ) + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + N ( N - 1 ) ( 1 - 2 c ) u ( s ) ^ { N - 2 } l _ { \delta } ( 0 , 0 ) } \\ & { } & { - b _ { 2 } ( \delta ) - b _ { 3 } ( \delta ) u ( s ) - \cdots - b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 3 } - u ( s ) ^ { N - 2 } ( 1 + c ) l _ { \delta } ( 0 , 0 ) } \\ & { = } & { b _ { 2 } ( \delta ) + 5 b _ { 3 } ( \delta ) u ( s ) + \cdots + [ ( N - 1 ) ( N - 2 ) - 1 ] b _ { N - 1 } ( \delta ) u ( s ) ^ { N - 3 } } \\ & { } & { + [ N ( N - 1 ) ( 1 - 2 c ) - ( 1 + c ) ] u ( s ) ^ { N - 2 } l _ { \delta } ( 0 , 0 ) , } \end{array}
V ( 0 ) = - E ^ { 2 } , \; \; \; \; r _ { m } = M + \sqrt { M ^ { 2 } + E ^ { 2 } } > E , \; \; \; \; V ( r ) \propto r ^ { 2 } \; \; \mathrm { f o r } \; \; r > > ( M , E ) .
\begin{array} { r l } { 2 u _ { 1 } - u _ { 2 } - u _ { 3 } = - ( v _ { 2 1 } + v _ { 3 1 } ) } & { \in [ 2 Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - Y _ { 3 } - ( B _ { 2 1 } + B _ { 3 1 } ) , 2 Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - Y _ { 3 } + ( B _ { 2 1 } + B _ { 3 1 } ) ] ; } \\ { 2 u _ { 2 } - u _ { 1 } - u _ { 3 } = v _ { 2 1 } - v _ { 3 2 } } & { \in [ 2 Y _ { 2 } - Y _ { 1 } - Y _ { 3 } - ( B _ { 2 1 } + B _ { 3 2 } ) , 2 Y _ { 2 } - Y _ { 1 } - Y _ { 3 } + ( B _ { 2 1 } + B _ { 3 2 } ) ] ; } \\ { 2 u _ { 3 } - u _ { 1 } - u _ { 2 } = v _ { 3 1 } + v _ { 3 2 } } & { \in [ 2 Y _ { 3 } - Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - ( B _ { 3 1 } + B _ { 3 2 } ) , 2 Y _ { 1 } - Y _ { 2 } - Y _ { 3 } + ( B _ { 3 1 } + B _ { 3 2 } ) ] . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { h _ { 2 } ( r ) } } \\ { { h _ { 3 } ( r ) } } \end{array} \right) = { \frac { 1 } { i \omega } } L \left( \begin{array} { c } { { h _ { 1 } ( r ) } } \\ { { h _ { 4 } ( r ) } } \end{array} \right)
S = S _ { 0 } + \int d t \Big \{ { \frac { 1 } { 2 } } h _ { M N } T ^ { M N } + J ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } ; a _ { 4 } } \partial _ { a _ { 4 } } C _ { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } + 3 0 M ^ { + - m _ { 1 } \ldots m _ { 4 } ; a } \partial _ { a } C _ { + - m _ { 1 } \ldots m _ { 4 } } ^ { ( 6 ) } \Big \}
\operatorname* { s u p } \{ \int _ { E } h \vert h \, \mathrm { b o u n d e d , ~ m e a s u r a b l e , ~ o f ~ f i n i t e ~ s u p p o r t , ~ a n d } \, 0 \leq h \leq \chi _ { A } f ^ { + } \, \mathrm { o n } \, E \} - \operatorname* { s u p } \{ \int _ { E } h \vert \tilde { h } \, \mathrm { b o u n d e d , ~ m e a s u r a b l e , ~ o f ~ f i n i t e ~ s u p p o r t , ~ a n d } \, 0 \leq \tilde { h } \leq \chi _ { A } f ^ { + } \, \mathrm { o n } \, E \}
T _ { \mu \nu } ^ { e f f } ( \phi ) = \phi _ { , \mu } \phi _ { , \nu } - \frac { 1 } { 2 } \overline { { { g } } } _ { \mu \nu } \phi _ { , \alpha } \phi _ { , \beta } \overline { { { g } } } ^ { \alpha \beta } + \overline { { { g } } } _ { \mu \nu } V _ { e f f } ( \phi ) , V _ { e f f } ( \phi ) = \frac { 1 } { 4 U ( \phi ) } ( V + M ) ^ { 2 } .
S _ { B H } ^ { q } = { \frac { A _ { h } } { 4 } } ( { \frac { 1 } { 1 2 \pi \epsilon ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 1 8 0 \pi M ^ { 2 } } } \log { \frac { \Sigma } { \epsilon } } ) ,
\phi ( \mathbf { x } , t ) = \phi _ { ( 0 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \varepsilon \phi _ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \varepsilon ^ { 2 } \phi _ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) + \ldots + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { k } ) .
\nu _ { e i } = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { 2 \pi } \frac { Z _ { a v } \, e ^ { 4 } \, m _ { e } \, n _ { e } } { ( m _ { e } \, k _ { B } \, T _ { e } ) ^ { 3 / 2 } } \ln { \Lambda } \, .
{ \frac { 1 } { z + u + \xi - i \varepsilon } } \; \times \; { \frac { 1 } { z - u - \xi + i \varepsilon } } = \mathrm { P } \left\lbrack \vphantom { { \frac { 1 } { z + u + \xi - i \varepsilon } } } { \frac { 1 } { 2 z } } \right\rbrack \left\lbrack { \frac { 1 } { z + u + \xi - i \varepsilon } } + { \frac { 1 } { z - u - \xi + i \varepsilon } } \right\rbrack
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { \mathrm { s c a t t } } } & { = } & { \kappa _ { R , \mathrm { s c a t t } } = \frac { 8 \pi } { 3 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } m c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 0 ^ { 4 } ~ Z ^ { * } } { A [ \mathrm { g } ] } \mathcal { N } _ { A } } \\ & { \approx } & { 0 . 6 6 5 ~ 1 0 ^ { - 2 4 } \frac { Z ^ { * } \mathcal { N } _ { A } } { A [ \mathrm { g } ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla \mathbf { v } + ( \nabla \mathbf { v } ) ^ { T } \right) , } \\ { \mathbf { A } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 2 } \left( \nabla \mathbf { J } + ( \nabla \mathbf { J } ) ^ { T } \right) , } \\ { \mathbf { B } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { J } \otimes \nabla \phi + \nabla \phi \otimes \mathbf { J } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { C } _ { - 1 } = i \omega _ { 1 } C _ { - 1 } + \eta e ^ { i \Omega t } C _ { 0 } , } \\ & { } & { \dot { C } _ { 0 } = i \omega _ { 0 } C _ { 0 } + \eta \left( e ^ { - i \Omega t } C _ { - 1 } + e ^ { i \Omega t } C _ { 1 } \right) , } \\ & { } & { \dot { C } _ { 1 } = i \omega _ { 1 } C _ { 1 } + \eta e ^ { - i \Omega t } C _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big [ L ( Y ) \log { ( n ) } + Q ( Y ) \Big ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { [ \chi ( Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ { R ( Y ) \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 1 } ) } { [ \chi ( Y ) ] ^ { n / 2 + \alpha _ { 1 } } } } & { \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array}
2 l \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( \mathbb { J } \left( t , \eta \right) \right) = \frac { 1 } { 2 l } \left( \mathbb { E } \left( \left( 2 l \mathbb { J } \left( t , \eta \right) \right) ^ { 2 } \right) - \mathbb { E } \left( 2 l \mathbb { J } \left( t , \eta \right) \right) ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { | ( - H _ { \rho } ^ { s } ) \oplus ( H _ { \rho } ^ { s } ) ^ { * } | ^ { 2 } \; \geq \; } & { \pi _ { \rho } ( ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) G _ { \rho } ( D ) ^ { 2 } ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) { \pi _ { \rho } ^ { * } } } \\ { \; = \; } & { \pi _ { \rho } G _ { \rho } ( D ) | ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } | ^ { 2 } G _ { \rho } ( D ) { \pi _ { \rho } ^ { * } } } \\ & { \, + \, \pi _ { \rho } ( ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) G _ { \rho } ( D ) [ G _ { \rho } ( D ) , ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) ] { \pi _ { \rho } ^ { * } } } \\ & { \, + \, \pi _ { \rho } [ ( ( - H ^ { s } ) ^ { * } \oplus H ^ { s } ) , G _ { \rho } ( D ) ] ( ( - H ^ { s } ) \oplus ( H ^ { s } ) ^ { * } ) G _ { \rho } ( D ) { \pi _ { \rho } ^ { * } } } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) E ^ { 4 } - 8 ( 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) E ^ { 3 } K + 6 ( 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) E ^ { 2 } K ^ { 2 } - 2 ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) E K ^ { 3 } + ( 2 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ( 1 - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } K ^ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { h } ( \rho ^ { n } , \rho ^ { n } ) = \sum _ { M } \tau _ { M } \left\Vert \kappa _ { M } \nabla \rho ^ { n } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( M ) } ^ { 2 } \leq 4 \sum _ { M } \tau _ { M } \left\Vert \nabla \rho ^ { n } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( M ) } ^ { 2 } } \\ { \leq C \tau _ { \operatorname* { m a x } } h ^ { 2 m } \left\Vert c \right\Vert _ { L ^ { \infty } \left( H ^ { m + 1 } ( D ) \right) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { m ( { \varepsilon } , \psi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { m _ { 0 } } & { \mathrm { C a s e ~ 1 } } \\ { \varepsilon m _ { 0 } } & { \mathrm { C a s e ~ 2 } } \\ { \frac { m _ { 1 } } { \varepsilon } ( 1 - \psi ^ { 2 } ) _ { + } } & { \mathrm { C a s e ~ 3 } } \\ { m _ { 1 } ( 1 - \psi ^ { 2 } ) _ { + } } & { \mathrm { C a s e ~ 4 } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { F } _ { \mathrm { b e n d } } = \frac { \delta E _ { \mathrm { b e n d } } } { \delta \phi } \frac { \nabla \phi } { \epsilon | \nabla \phi | ^ { 2 } } = \frac { \kappa } { \epsilon ^ { 2 } } \left( \epsilon \nabla ^ { 2 } - \frac { 1 } { \epsilon } G ^ { \prime \prime } \right) \left( \epsilon \nabla ^ { 2 } \phi - \frac { 1 } { \epsilon } G ^ { \prime } \right) \frac { \nabla \phi } { | \nabla \phi | ^ { 2 } } . } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { e f f } } ^ { B B } + i \Delta _ { \mathrm { e f f } } ^ { B B } = \Gamma _ { 0 } + i \Delta _ { 0 } + \frac { \omega _ { D } ^ { 2 } } { 2 \nu _ { \vec { v } } } - \frac { 3 \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \nu _ { v ^ { 2 } } } + \frac { 3 \Delta _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \nu _ { v ^ { 2 } } } - i \frac { 3 \Gamma _ { 2 } \Delta _ { 2 } } { \nu _ { v ^ { 2 } } } .
v ^ { - \langle \hat { P ^ { \prime } } + \hat { Q ^ { \prime } } , \hat { P ^ { \prime } } + \hat { Q ^ { \prime } } \rangle } \zeta _ { K _ { P ^ { \prime } } \oplus K _ { Q ^ { \prime } } ^ { * } , M _ { s ^ { \prime } \bullet } } ^ { K _ { P ^ { \prime } } \oplus K _ { Q ^ { \prime } } ^ { * } \oplus M _ { s ^ { \prime } \bullet } } ( v ) \in { \mathcal Z }
{ \vec { y } } _ { i + 1 } = { \left( \begin{array} { l } { y _ { i + 1 } } \\ { y _ { i + 1 } ^ { \prime } } \\ { \vdots } \\ { y _ { i + 1 } ^ { ( N - 1 ) } } \\ { y _ { i + 1 } ^ { ( N ) } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { y _ { i } + h \cdot y _ { i } ^ { \prime } } \\ { y _ { i } ^ { \prime } + h \cdot y _ { i } ^ { \prime \prime } } \\ { \vdots } \\ { y _ { i } ^ { ( N - 1 ) } + h \cdot y _ { i } ^ { ( N ) } } \\ { y _ { i } ^ { ( N ) } + h \cdot f \left( t _ { i } , y _ { i } , y _ { i } ^ { \prime } , \ldots , y _ { i } ^ { ( N ) } \right) } \end{array} \right) }
\Im m \ \epsilon _ { q u a r k } ( s ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \vartheta ( s - 4 \kappa _ { i } ^ { 2 } ) \left( \frac { \alpha _ { s } } { 1 2 } \right) \left[ 1 + \frac { 2 \kappa _ { i } ^ { 2 } } { s } \right] \sqrt { \left[ 1 - \frac { 4 \kappa _ { i } ^ { 2 } } { s } \right] }
m _ { O S S F } ^ { m e a s } = m _ { \tilde { \chi } _ { 2 } ^ { 0 } } - m _ { \tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } } = 5 2 . 9 _ { - 0 . 3 } ^ { + 0 . 1 } \mathrm { \ G e V ~ . }
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \partial } } } & { { } = \left( { \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } } , \, - { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } , \, - { \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } } , \, - { \frac { \partial } { \partial x _ { 3 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { { e ^ { \tilde { h } ^ { 0 } } = e ^ { - h ^ { 0 } } \bigl [ \sin ^ { 2 } t \bigl ( 1 + ( h ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( h ^ { 2 } ) ^ { 2 } \bigr ) \bigr ] + e ^ { h ^ { 0 } } \cos ^ { 2 } t + 2 ( \cos t \sin t ) h ^ { 2 } } } \\ { { \tilde { h } ^ { 1 } = h ^ { 1 } } } \\ { { \tilde { h } ^ { 2 } = \cos t \sin t \bigl [ e ^ { - h ^ { 0 } } \bigl ( 1 + ( h ^ { 1 } ) ^ { 2 } + ( h ^ { 2 } ) ^ { 2 } \bigr ) - e ^ { h ^ { 0 } } \bigr ] + ( \cos ^ { 2 } t - \sin ^ { 2 } t ) h ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { m _ { 2 } - m _ { 1 } + 1 } } e ^ { - \hbar ^ { - \frac { 4 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } ( s _ { m _ { 1 } } - s _ { m _ { 2 } } ) } \, d \boldsymbol { s } = \frac { 1 } { ( m _ { 2 } - m _ { 1 } - 1 ) ! } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { 2 } } ( s _ { m _ { 2 } } , s _ { m _ { 1 } } ) ( s _ { m _ { 1 } } - s _ { m _ { 2 } } ) ^ { m _ { 2 } - m _ { 1 } - 1 } e ^ { - \hbar ^ { \frac { 4 } { 7 } } \frac { 1 } { 2 } s _ { m _ { 1 } } } \, d \boldsymbol { s } . } \end{array}
( d s ) ^ { 2 } = - { \frac { { \tilde { M } } ^ { 2 } } { - 2 { \tilde { M } } t } } [ d t ^ { 2 } - d x ^ { 2 } ] = - [ d \tau ^ { 2 } - ( { \frac { \tilde { M } } { - \tau } } ) ^ { 2 } d x ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a y } ( \hat { \mathbf { X } } ) } & { = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { \left( \mathbf { I } + \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) \right) \mathbf { y } } \\ { \mathbf { 0 } } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { 2 \sigma \, \mathbf { d c a y } _ { \tilde { \mathbf { x } } } ^ { - T } \mathbf { y } } \\ { \mathbf { 0 } } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\sin { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } + 2 . 4 7 4 \right) } + 4 . 7 0 3 \cos { \left( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } - 0 . 7 4 3
\left. + \frac { \sigma _ { ( s _ { i } ^ { \prime } ) + 1 } ^ { ( i ) } } { \lambda _ { s _ { i } ^ { \prime } + 1 } ^ { ( i ) } } + \cdots \frac { \sigma _ { s _ { i } } ^ { ( i ) } } { \lambda _ { s _ { i } } ^ { ( i ) } } + \underbrace { { \bf 1 } + \cdots + { \bf 1 } } _ { t _ { i } ^ { ( 1 ) } } + \underbrace { ( ( \bf 1 ) ) + \cdots + ( ( 1 ) ) } _ { t _ { i } ^ { ( 2 ) } } \right)
\begin{array} { r l r } { \mathrm { t r } [ \{ { \mathbb { E } } ( Q _ { 0 } ) \} ^ { 2 } ] } & { = } & { p ^ { - 1 } \{ { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 1 } ) \} ^ { 2 } \mathrm { t r } \left\{ \left( { \mathbb { E } } \left[ \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} \{ \Gamma S ( U _ { i } ) \} ^ { \top } \right] \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 1 - \delta } } \end{array}
{ \tilde { \cal O } } \left( r _ { Q } \left( \frac { 1 } { \delta } + \frac { L _ { f } } { \lambda } + \frac { L } { n \lambda } + \frac { \sqrt { 1 - \delta } ( \sqrt { L _ { f } { \bar { L } } } + \sqrt { \delta L _ { f } L } ) } { \delta \lambda } + \frac { \sqrt { 1 - \delta } ( \sqrt { \bar { L } } + \sqrt { \delta L } ) } { \delta \sqrt { \lambda } } \right) \log \frac { 1 } { \epsilon } \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ^ { \left( 0 \right) } } & { { } \equiv \delta _ { \nu } J , } \\ { \mathcal { H } ^ { ( 1 ) } } & { { } \equiv V ( \psi _ { 3 } , J , \theta ) + \delta _ { \nu } \frac { \partial F ^ { \left( 1 \right) } } { \partial \psi _ { 3 } } + \frac { \partial F ^ { \left( 1 \right) } } { \partial \theta } , } \\ { \mathcal { H } ^ { \left( 2 \right) } } & { { } \equiv \frac { \partial V ( \psi _ { 3 } , J , \theta ) } { \partial J } \frac { \partial F ^ { \left( 1 \right) } } { \partial \psi _ { 3 } } + \delta _ { \nu } \frac { \partial F ^ { \left( 2 \right) } } { \partial \psi _ { 3 } } + \frac { \partial F ^ { \left( 2 \right) } } { \partial \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v - ( A X + B Y ) \mathbf { 1 } _ { n } - E \mathbf { 1 } _ { e } \in \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { n } } \\ & { \gamma \mathbf { 1 } _ { q } - ( C X + D Y ) \mathbf { 1 } _ { n } - F \mathbf { 1 } _ { e } \in \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { q } } \\ & { C X + D Y \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } ^ { q \times n } } \\ & { A X + B Y \in \mathbb { R } _ { \geq 0 } ^ { n \times n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { c o l , i } } \triangleq \operatorname* { P r } ( X _ { i } ^ { n } \in A _ { \epsilon } ^ { ( n ) } ( X ) \mathrm { ~ a n d ~ } \exists { z } ^ { \hat { k } } \in A _ { \epsilon } ( X ^ { \hat { k } } | Y _ { t } ^ { k } , \hat { S } ^ { \hat { k } } ) \mathrm { ~ w h i c h ~ i s ~ a ~ s u b s e q u e n c e ~ o f ~ } X _ { i } ^ { n } . ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } ^ { 2 } } & { = 1 , } \\ { \rho _ { i } ^ { 2 } } & { = 1 \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 1 , } \\ { \rho _ { i } \rho _ { j } } & { = \rho _ { j } \rho _ { i } \quad \textrm { f o r } \quad | i - j | \geq 2 , } \\ { \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } } & { = \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \quad \textrm { f o r } \quad 1 \le i \le n - 2 , } \\ { \rho _ { i } y _ { 1 } } & { = y _ { 1 } \rho _ { i } \quad \textrm { f o r } \quad i \geq 3 , } \\ { ( y _ { 1 } \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } y _ { 1 } \rho _ { 2 } \rho _ { 1 } ) ^ { 3 } } & { = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { e f f R } = ( 1 - a _ { n } ) ( 1 - r _ { n } ) F _ { n } ( \sum { A _ { i } I _ { i } \tau _ { i } } ) + ( 1 - a _ { f } ) ( 1 - r _ { f } ) \times ( 1 - F _ { p } ) ( 1 - r _ { n } ) ( 1 - F _ { n } ) ( \sum { A _ { i } I _ { i } \tau _ { i } } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { a r e a l ~ v e l o c i t y } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } { \frac { \mathbf { r } ( t ) \times \mathbf { r } ( t + \Delta t ) } { 2 \Delta t } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } { \frac { \mathbf { r } ( t ) \times { \bigl ( } \mathbf { r } ( t ) + \mathbf { r } \, ^ { \prime } ( t ) \Delta t { \bigr ) } } { 2 \Delta t } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta t \rightarrow 0 } { \frac { \mathbf { r } ( t ) \times \mathbf { r } \, ^ { \prime } ( t ) } { 2 } } \left( { \frac { \Delta t } { \Delta t } } \right) } \\ & { = { \frac { \mathbf { r } ( t ) \times \mathbf { r } \, ^ { \prime } ( t ) } { 2 } } . } \end{array} }
\boxed { a _ { \ell } = b _ { \ell } = i \sigma c _ { \ell } \Longleftrightarrow \begin{array} { l r } { \psi _ { \ell } ( m _ { R } x ) \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x ) = - \sigma \psi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( m _ { R } x ) . } \\ { \psi _ { \ell } ( m _ { L } x ) \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x ) = \sigma \psi _ { \ell } ( x ) \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( m _ { L } x ) . } \end{array} }
{ \frac { \frac { L _ { 1 } } { 2 \ell } } { \frac { L _ { 2 } } { 2 \ell } } } \approx 4 { \left( { \frac { L _ { 2 } } { L _ { 1 } } } \right) } ^ { 2 } \Rightarrow { \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } } \approx 4 { \left( { \frac { L _ { 2 } } { L _ { 1 } } } \right) } ^ { 2 } \Rightarrow { \frac { L _ { 1 } } { L _ { 2 } } } \approx { \sqrt [ { 3 } ] { 4 } }
\begin{array} { r } { F = \left[ \frac { J _ { 1 } / 2 } { 1 + e ^ { J _ { 1 } / 2 } } \right] \sum _ { l } l G _ { c } ( l ) - \ln \left[ \frac { \Omega ~ ! } { \displaystyle \prod _ { l } G _ { c } ( l ) ! } \right] + \lambda \left( N _ { c } - \sum _ { l } l G _ { c } ( l ) \right) + \gamma \left( \Omega - \sum _ { l } G _ { c } ( l ) \right) } \end{array}
{ \bf F } ^ { \dagger } \, \left( { \bf F } \, { \pmb { \psi } } _ { T } ^ { * } \circ { \bf F } \, { \bf v } _ { T } \right) = \left[ \psi _ { 1 } \star { \bf v } _ { 1 } \biggr \rvert \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \psi _ { j } \star { \bf v } _ { j } \biggr \rvert \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \psi _ { j } \star { \bf v } _ { j } \biggr \rvert \sum _ { j = 2 } ^ { 3 } \psi _ { j } \star { \bf v } _ { j } \biggr \rvert \psi _ { 3 } \star { \bf v } _ { 3 } \right]
\begin{array} { r l } { \int _ { B ( x , R ) } d \Gamma ( f , f ) } & { \leq C \operatorname* { l i m i n f } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { t } \int _ { X } \fint _ { B ( x , \delta t ^ { 1 / d _ { w } } ) } \phi _ { x } ( z ) ( f ( z ) - f ( y ) ) ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { \le C \operatorname* { l i m i n f } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { t } \int _ { B ( x , \Lambda R ) } \fint _ { B ( z , \delta t ^ { 1 / d _ { w } } ) } ( f ( z ) - f ( y ) ) ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { = C \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r ^ { d _ { w } } } \int _ { B ( x , \Lambda R ) } \fint _ { B ( z , r ) } ( f ( z ) - f ( y ) ) ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { = C \operatorname* { l i m i n f } _ { r \to 0 ^ { + } } E _ { d _ { w } / 2 , B ( x , \Lambda R ) } ( f , r ) . } \end{array}
R _ { n } \equiv R _ { n } ^ { ( 1 0 ) } = { \frac { 1 0 ^ { n } - 1 } { 1 0 - 1 } } = { \frac { 1 0 ^ { n } - 1 } { 9 } } \qquad { \mathrm { f o r ~ } } n \geq 1 .
\lambda { \frac { d \left\langle f ( x ( t ) ) \right\rangle } { d t } } = \left\langle f ^ { \prime } ( x ( t ) ) \lambda { \frac { d x } { d t } } \right\rangle = \left\langle - f ^ { \prime } ( x ( t ) ) { \frac { \partial V } { \partial x } } + f ^ { \prime } ( x ( t ) ) \eta ( t ) \right\rangle .
\begin{array} { r } { \phi ( r _ { i j } ; \lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 4 a \left( \left( \frac { b } { r _ { i j } - \lambda + \sqrt [ 6 ] { 2 } b } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { b } { r _ { i j } - \lambda + \sqrt [ 6 ] { 2 } b } \right) ^ { 6 } \right) + a , } & { r _ { i j } < \lambda } \\ { 0 , } & { r _ { i j } \ge \lambda } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { W ^ { p , p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \Re \{ F ^ { p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \} , } \\ & { } & { W ^ { p , v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = - i \omega \rho _ { 0 } { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } _ { F } ) \Im \{ F ^ { p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \} , } \\ & { } & { W ^ { v , p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = i \Im \{ F ^ { v } \bigr ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \} , } \\ & { } & { W ^ { v , v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = - \omega \rho _ { 0 } { \cal H } _ { 1 } ^ { - 1 } ( { \bf x } _ { F } ) \Re \{ F ^ { v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) \} . } \end{array}
\hat { H } _ { E M } = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d \mathbf { r } \left[ \hat { \mathbf { E } } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) + c ^ { 2 } \hat { \mathbf { B } } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) \right] .
U = \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int | \psi _ { p z } ( r _ { 1 } ) | ^ { 2 } \frac { 1 } { | r _ { 1 } - r _ { 2 } | } | \psi _ { p z } ( r _ { 2 } ) | ^ { 2 } d ^ { 3 } r _ { 1 } d ^ { 3 } r _ { 2 }
\begin{array} { r l } { { t _ { d i } } = } & { \hat { t } _ { d i } \left( \frac { k _ { B } T _ { i } } U \right) ^ { 2 } \frac 1 { \ln ( \Lambda ) } \left( 1 + a _ { C } \left( \frac { | { u _ { d } } - { u _ { i } } | } c _ { s i } \right) ^ { 3 } \right) } \\ { \zeta _ { s i } = } & { 1 + 2 ( \gamma _ { i } - 1 ) \Gamma - \frac { 3 ( \gamma _ { i } - 1 ) } { 2 ( 1 + a _ { C } \hat { w } _ { i } ^ { 3 } ) } - \frac { 1 - ( 3 - 2 \Gamma ) ( \gamma _ { i } - 1 ) } { 2 \ln { \Lambda } } } \\ { \zeta _ { w i } = } & { - \frac { 3 a _ { C } \hat { w } _ { i } ^ { 3 } } { 1 + a _ { C } \hat { w } _ { i } ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { O ( t ) } & { = \langle \Psi _ { 0 } | e ^ { i \hat { \mathcal { F } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } t } \hat { O } e ^ { - i \hat { \mathcal { F } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } t } | \Psi _ { 0 } \rangle } \\ & { = \langle \Psi _ { 0 } | \hat { \mathcal { F } } e ^ { i \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } t } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } \hat { O } \hat { \mathcal { F } } e ^ { - i \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } t } \hat { \mathcal { F } } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } \rangle . } \end{array}