harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle x , f ^ { ( 1 ) } ( x ) \rangle _ { 2 } } & { = - a \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } [ ( 1 + a ) x _ { i } - x _ { i } ^ { 2 } ] \leq \frac { ( a - 1 ) ^ { 2 } } { 4 } \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { \langle x , f ^ { ( 2 ) } ( x ) \rangle _ { 2 } } & { = \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 4 } \leq \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , \quad \langle x , f ^ { ( 3 ) } ( x ) \rangle _ { 2 } = \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 4 } \leq \left\| x \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
F _ { \tiny \mathrm { d i v } } ^ { C } [ g , \beta , \mu ] = - { \frac { \eta } { 4 8 \kappa \beta ^ { 2 } } } \int _ { \Sigma } \left[ b f _ { 1 } + a \left( p _ { 1 } { \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } \beta ^ { 2 } } } { \cal P } + p _ { 2 } R + p _ { 3 } { \cal Q } \right) \right] ~ ~ ~ .
\mathcal { A } = \left[ \begin{array} { l l } { u _ { x } } & { \rho } \\ { \varsigma ^ { 2 } + \frac { \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } } { \rho } } & { u _ { x } + \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { \rho } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { n 3 } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathbb { V } \{ j ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathbb { V } \{ n _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 4 } ^ { a } } & { { } \approx \frac { ( \mu _ { u } + \mathcal { O } ( M ^ { 0 } ) ) + \sqrt { ( \rho ^ { 2 } a ^ { 2 } \nu _ { p } - \mu _ { u } ) ^ { 2 } + \mathcal { O } ( M ^ { - 1 } ) } } { 2 \rho } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { a } } & { { } \approx \frac { \rho a ^ { 2 } \nu _ { p } } { 2 } } \\ { \lambda _ { 4 } ^ { a } } & { { } \sim \mathcal { O } ( M ^ { - 1 } ) } \end{array}
\mathbf { L } ^ { \prime } = \mathbf { r } ^ { \prime } \times \mathbf { p } ^ { \prime } \, , \quad \mathbf { N } ^ { \prime } = { \frac { E ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } \mathbf { r } ^ { \prime } - t ^ { \prime } \mathbf { p } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } } & { { } = \frac { K _ { 0 } } { 2 \rho _ { 0 } \alpha ^ { 2 } } \left( \left( \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } \right) ^ { \alpha } - 1 \right) ^ { 2 } + \mathscr { E } _ { s } } \\ { p _ { \mathrm { r e f } } } & { { } = \rho ^ { 2 } \frac { \partial \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } } { \partial \rho } } \\ { G } & { { } = G _ { 0 } \left( \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } \right) ^ { \beta + 1 } } \end{array}
\frac { d N } { d y } = \frac { 1 } { \sigma _ { \mathrm { { i n } } } } \int d p _ { \perp } ^ { 2 } \frac { \alpha } { p _ { \perp } ^ { 2 } } \int ^ { p _ { \perp } ^ { 2 } } d k _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { A } ( x _ { 1 } , k _ { \perp } ^ { 2 } ) \phi _ { A } ( x _ { 2 } , ( p - k ) _ { \perp } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { \mathrm { L } } } { \partial t } } & { = } & { 2 \kappa _ { \mathrm { d i f f } } M _ { \mathrm { L } } ^ { \prime \prime } + 2 \bigg ( \frac { 4 \kappa _ { \mathrm { d i f f } } } { r } + \kappa _ { \mathrm { d i f f } } ^ { \prime } \bigg ) M _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } } \\ & { } & { + \frac { 4 } { r ^ { 2 } } \bigg ( T _ { \mathrm { N } } - T _ { \mathrm { L } } - r T _ { \mathrm { N } } ^ { \prime } - r T _ { \mathrm { L } } ^ { \prime } \bigg ) M _ { \mathrm { L } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ^ { * } \succeq 0 , ~ S ^ { * } \succeq 0 , ~ X ^ { 0 } \succ 0 , ~ S ^ { 0 } } & { \succ 0 , } \\ { X ^ { * } \bullet S ^ { * } } & { = 0 , } \\ { A _ { i } \bullet X ^ { * } } & { = b _ { i } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } ^ { * } A _ { i } ^ { \top } + S ^ { * } } & { = C , } \\ { A _ { i } \bullet X ^ { 0 } } & { = b _ { i } , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } ^ { 0 } A _ { i } ^ { \top } + S ^ { 0 } } & { = C . } \end{array}
{ \bf G } ( { \bf r } _ { i \alpha } - { \bf r } _ { j \beta } ) \rightarrow \mathcal { U } { \bf G } ( { \bf r } _ { i \alpha } - { \bf r } _ { j \beta } ) \mathcal { U } ^ { \dagger } = { \bf G } ( { \bf r } _ { i + 1 , \alpha } - { \bf r } _ { j + 1 , \beta } )
h _ { f } ^ { * } = \operatorname * { a r g \, m i n } _ { h \in \mathcal { S } _ { c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } } \sum _ { i } \ell ( h ( \mathbf { x } ^ { i } ) , y _ { f } ^ { i } ) \mathrm { ~ , ~ f ~ o ~ r ~ e ~ a ~ c ~ h ~ j ~ e ~ t ~ c ~ l ~ a ~ s ~ s ~ } f \in \{ g , q , t , W , Z \} ,
\begin{array} { r l } { n } & { \leq \left| \bigcup _ { C \in \mathcal { G } _ { 1 } } C \right| + \sum _ { i = 2 } ^ { s } \left| \left( \bigcup _ { C \in \mathcal { G } _ { i } } C \right) \setminus \left( \bigcup _ { C \in \mathcal { G } \setminus \mathcal { G } _ { i } } C \right) \right| } \\ { } & { \leq ( r + q _ { 1 } ) + \sum _ { i = 2 } ^ { s } [ r + q _ { i } - r ] } \\ { } & { = r + \sum _ { i = 1 } ^ { s } q _ { i } . } \end{array}
W _ { \zeta } ^ { q q } ( X , Z ) = \frac 1 { \zeta } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } B _ { q q } ( u , v ) \, \delta \left( \frac { X } { \zeta } - \bar { u } \frac { Z } { \zeta } - v ( 1 - \frac { Z } { \zeta } ) \right) \, \theta ( u + v \leq 1 ) \, d u \, d v \, .
E _ { \varepsilon } \left( \Omega , X \right) = 4 \pi + \frac { \gamma \varepsilon ^ { 3 } } { 2 } ( 1 + \varepsilon + \varepsilon ^ { 2 } ) - \left( \frac { 2 \pi h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } - \frac { \gamma h ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \right) \log { ( h ) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( \gamma \varepsilon ^ { 6 } , ( \gamma + 1 ) h ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } , \frac { h ^ { 4 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) } ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \psi _ { n _ { 1 } , s } = \sqrt { n _ { 1 } } \psi _ { n _ { 1 } - 1 , s - 1 } , \thinspace } & { { } A _ { 1 } ^ { \dagger } \psi _ { n _ { 1 } , s } = \sqrt { n _ { 1 } + 1 } \psi _ { n _ { 1 } + 1 , s + 1 } \thinspace , } \\ { A _ { 2 } \psi _ { n _ { 1 } , s } = \sqrt { s - n _ { 1 } } \psi _ { n _ { 1 } , s - 1 } , \thinspace } & { { } A _ { 2 } ^ { \dagger } \psi _ { n _ { 1 } , s } = \sqrt { s + 1 - n _ { 1 } } \psi _ { n _ { 1 } , s + 1 } \thinspace , } \end{array}
U ( T ) \simeq \frac { \Delta n ^ { 2 } } { 8 } \, T { , } \; \; F ( T ) \simeq - \frac { \Delta n ^ { 2 } } { 8 } \, T \left[ \ln ( a T ) - c \right] { , } \; \; S ( T ) \simeq \frac { \Delta n ^ { 2 } } { 8 } \left[ \ln ( a T ) + c + 1 \right] { , }
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \left( 1 + 2 \varepsilon \right) } & { 3 } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { 3 } \left( 1 + 2 \varepsilon \right) \left( 1 + 3 \varepsilon \right) } & { 1 + 3 \varepsilon } \end{array} \right) \frac { d x } { x } } \\ & { } & { + \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 4 } } & { \frac { 1 } { 4 } \left( 1 + 2 \varepsilon \right) \left( 1 + 3 \varepsilon \right) } & { - \left( 1 + 2 \varepsilon \right) } \end{array} \right) \frac { d x } { x - 1 } } \\ & { } & { + \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 4 } } & { \frac { 1 } { 1 2 } \left( 1 + 2 \varepsilon \right) \left( 1 + 3 \varepsilon \right) } & { - \left( 1 + 2 \varepsilon \right) } \end{array} \right) \frac { d x } { x - 9 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big \| \sum _ { | \alpha | = m } \varepsilon _ { \alpha } c _ { \alpha } z ^ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { m } ( \ell _ { 2 } ^ { n } ) } } & { \leq \sqrt { | \Lambda ( m , n ) | } \, \bigg ( \sum _ { | \alpha | = m } | \varepsilon _ { \alpha } | ^ { 2 } \, | c _ { \alpha } | ^ { 2 } \, \, \frac { ( n - 1 ) ! \, \alpha ! } { ( n - 1 + m ) ! } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \sqrt { | \Lambda ( m , n ) | } \, \| P \| _ { L _ { 2 } ( \mathbb { S } _ { n } ) } \leq \sqrt { | \Lambda ( m , n ) | } \, \Big \| \sum _ { | \alpha | = m } c _ { \alpha } z ^ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { m } ( \ell _ { 2 } ^ { n } ) } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { x } _ { A } } { d t ^ { 2 } } } } & { = \mathbf { a } _ { A B } + \mathbf { a } _ { B } + 2 \ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } v _ { j } \ { \frac { d \mathbf { u } _ { j } } { d t } } + \ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } x _ { j } \ { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { u } _ { j } } { d t ^ { 2 } } } } \\ & { = \mathbf { \Omega \ \times } \left( \mathbf { \Omega \times X } _ { A B } \right) + \mathbf { a } _ { B } + 2 \ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } v _ { j } \ \mathbf { \Omega \times u _ { j } } \ + \ \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } x _ { j } \ { \boldsymbol { \Omega } } \times \left( { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { u } _ { j } \right) } \\ & { = \mathbf { \Omega \ \times } \left( \mathbf { \Omega \times X } _ { A B } \right) + \mathbf { a } _ { B } + 2 \ { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { v } _ { B } \ \ + \ { \boldsymbol { \Omega } } \times \left( { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { x } _ { B } \right) } \\ & { = \mathbf { \Omega \ \times } \left( \mathbf { \Omega \times } ( \mathbf { X } _ { A B } + \mathbf { x } _ { B } ) \right) + \mathbf { a } _ { B } + 2 \ { \boldsymbol { \Omega } } \times \mathbf { v } _ { B } \ \, , } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { f _ { z } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , \xi ^ { \prime } ) + \omega ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) ) + \gamma V _ { d } ( \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) , x ) } \\ & { \quad \leq f _ { z } ( v , \xi ^ { \prime } ) + \omega ( v ) + \gamma V _ { d } ( v , x ) - ( \gamma - \kappa ) V _ { d } ( v , \mathcal { A } ( z , x , \xi ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { + } ( \lambda ) - G _ { - } ( \lambda ) } & { = \frac { F _ { + } ( k ) } { ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } } - \frac { F _ { - } ( k ) } { ( \lambda + 1 ) ^ { 2 / 3 } } = \frac { F _ { + } ( k ) - F _ { - } ( 1 / k ) } { | \lambda + 1 | ^ { 2 / 3 } } } \\ & { = \frac { 1 } { | \lambda + 1 | ^ { 2 / 3 } } \bigg ( \mathbf { u } ^ { 3 } ( k ) \Delta _ { 3 } ( k ) \overline { { \mathbf { u } ^ { 1 } ( \bar { k } ) } } ^ { T } - \mathbf { u } ^ { 1 } ( 1 / k ) \Delta _ { 2 } ( 1 / k ) \overline { { \mathbf { u } ^ { 3 } ( 1 / \bar { k } ) } } ^ { T } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| ( 0 , 0 , \tilde { b } _ { 0 } { \boldsymbol { \tau } } h , \tilde { \mathbf { b } } _ { 1 } \partial _ { s } h \circ S _ { 0 } ^ { 0 } + \tilde { \mathbf { b } } _ { 2 } h \circ S _ { 0 } ^ { 0 } , a _ { 0 } h ) \| _ { \mathbb { F } ( T ) } \leq C T ^ { \alpha } \| ( \tilde { \mathbf { v } } , \tilde { p } , h ) \| _ { \mathbb { E } ( T ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal { R } _ { { \cal { S } } } } \left( { \cal { L } } \circ { { \cal { H } } _ { K } } \right) \le { \cal { R } _ { { \cal { S } } } } \left( { { \cal { H } } _ { K } } \right) = \frac { 2 \lambda _ { f } \sqrt { \mathrm { t r } K } } { N } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { z } } & { \leq } & { \Delta _ { 0 } + 3 0 1 n ^ { \frac { 3 } { 4 } } \cdot \log { n } + \sqrt { n } \left( \frac { 1 2 } { 1 0 } + 2 K \right) + 4 K \alpha ^ { 2 } \cdot n } \\ & { \leq } & { ( \beta + 4 K \alpha ^ { 2 } ) \cdot n + 1 + 3 0 1 n ^ { \frac { 3 } { 4 } } \cdot \log { n } + \sqrt { n } \left( \frac { 1 2 } { 1 0 } + 2 K \right) } \end{array}
\mathbf { H } _ { \ell } = - \frac { i } { \eta _ { \ell } } \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } \frac { i ^ { \nu } } { k _ { \ell } } \left[ c _ { \ell \nu } \mathbf { M } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ w ~ a ~ r ~ d ~ } ) } + d _ { \ell \nu } \mathbf { M } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ w ~ a ~ r ~ d ~ } ) } \right]
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } ^ { - \, \prime } } & { = - \mu _ { - } ^ { \prime } u ^ { - } - \mu _ { - } u _ { \lambda } ^ { - } + A _ { \lambda } u ^ { - } + A u _ { \lambda } ^ { - } } \\ { \tilde { \mathcal { U } } _ { \lambda } ^ { - \, \prime } } & { = \mu _ { - } ^ { \prime } \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } + \mu _ { - } \tilde { \mathcal { U } } _ { \lambda } ^ { - } + \tilde { A } _ { \lambda } \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } + \tilde { A } \tilde { \mathcal { U } } _ { \lambda } ^ { - } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int \Pi _ { j = 1 } ^ { n } d ^ { 4 } p _ { k } ^ { j } \, \tilde { \omega } \left( p _ { k } ^ { 1 } p _ { l } ^ { 1 } . . . p _ { k } ^ { n } p _ { l } ^ { n } | p _ { k } \right) } \\ & { \approx } & { \int \Pi _ { j = 1 } ^ { n } d ^ { 4 } p _ { k } ^ { j } d ^ { 4 } p _ { l } ^ { j } \, \omega _ { j } \left( p _ { k } ^ { j } p _ { l } ^ { j } | p _ { k } p _ { l } \right) \, , } \end{array}
W _ { A D K } = \left| C _ { n ^ { * } l ^ { * } } \right| ^ { 2 } { \sqrt { \frac { 6 } { \pi } } } f _ { l m } E _ { i } \left( { \frac { 2 } { F } } \left( 2 E _ { i } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 n ^ { * } - | m | - { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - { \frac { 2 } { 3 F } } \left( 2 E _ { i } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }
\begin{array} { r } { \frac { \Bar { d } \; \overline { { \phi } } } { \Bar { d t } } = \frac { \partial \overline { { \phi } } } { \partial t } + \overline { { v } } _ { x } \frac { \partial \overline { { \phi } } } { \partial x } + \overline { { v } } _ { y } \frac { \partial \overline { { \phi } } } { \partial y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( g ^ { - ( k + 1 ) } ) } & { = q ( g ^ { - k } g ^ { - 1 } ) \overset { = } \beta _ { q } ( g ^ { - k } , g ^ { - 1 } ) q ( g ^ { - k } ) q ( g ^ { - 1 } ) = \beta _ { q } ( g , g ) ^ { k } g ( g ^ { - k } ) q ( g g _ { 0 } ) } \\ & { \overset { = } q ( g ^ { 2 } ) ^ { k } q ( g ) ^ { - 2 k } g ( g ^ { - k } ) q ( g g _ { 0 } ) } \\ & { \overset { , } { = } q ( g ) ^ { 3 k } q ( g g _ { 0 } ) ^ { k } q ( g ) ^ { - 2 k } q ( g g _ { 0 } ) ^ { k ^ { 2 } - \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) } q ( g ) ^ { \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) } q ( g g _ { 0 } ) } \\ & { = q ( g ) ^ { k + \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) } q ( g g _ { 0 } ) ^ { k + 1 + k ^ { 2 } - \textnormal { s u m } _ { < } ( k ) } } \\ & { = q ( g ) ^ { \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) } q ( g g _ { 0 } ) ^ { k + 1 + k ^ { 2 } - ( \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) - k ) } } \\ & { = q ( g ) ^ { \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) } q ( g g _ { 0 } ) ^ { ( k + 1 ) ^ { 2 } - \textnormal { s u m } _ { < } ( k + 1 ) } . } \end{array}
\Delta ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ; t ) = { \frac 1 { 2 \pi } } ~ \sqrt { { \frac \pi { i t } } } ~ \exp { \left( { \, f r a c { i ( q _ { 1 } - q _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 t } } - { \frac { i ( q _ { 1 } + q _ { 2 } ) t } 2 } - { \frac { i ~ t ^ { 3 } } { 1 2 } } \right) } .
\Sigma _ { L _ { j } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \phi ) = { \frac { 4 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } S _ { j } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \phi ) m _ { \phi } ^ { 2 } \! \left( \ln { \frac { m _ { \phi } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } } - 1 \right) \, ,
M _ { p l } ^ { 2 } = { M _ { X } ^ { 3 } } { \frac { k _ { 1 } } { \displaystyle { k _ { 1 } ^ { 2 } - ( k _ { 2 } + k _ { 3 } - k _ { c } ) ^ { 2 } } } } e ^ { - 2 \sigma ( y _ { 1 } ) } ~ . ~ \,
\mathcal { J } ^ { \mathrm { ~ \, ~ } } = \frac { k _ { + 1 } \, k _ { + 2 } } { k _ { - 1 } + k _ { + 2 } } \left[ a ^ { \alpha } \, f - \left( \frac { k _ { - 1 } k _ { - 2 } } { k _ { + 1 } k _ { + 2 } } \right) ~ a ^ { \beta } \, w \right] .
\begin{array} { r } { { \mathbf { V } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - , \mu } = \mathcal { R } _ { \mathrm { W E N O } } ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j - 2 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j - 1 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + 1 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + 2 } ) , } \\ { { \mathbf { V } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + , \mu } = \mathcal { R } _ { \mathrm { W E N O } } ( \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + 3 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + 2 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j + 1 } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } , \overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j - 1 } ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathbf { X } _ { - } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \geq \| \iota _ { v } \mathbf { X } _ { - } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \iota _ { J v } \mathbf { X } _ { - } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } = 2 \| \iota _ { v } \mathbf { X } _ { - } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = 2 \| \mathbf { X } ( \iota _ { v } u ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } = 2 \| \mathbf { X } _ { + } ( \iota _ { v } u ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 \| \mathbf { X } _ { - } ( \iota _ { v } u ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \geq 2 \| \mathbf { X } _ { + } ( \iota _ { v } u ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } , } \end{array}
q ( x _ { B j } , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { n } \int ^ { k _ { \perp } ^ { 2 } < Q ^ { 2 } } \prod d ^ { 2 } k _ { \perp i } \int { \prod d x _ { i } } \vert \psi _ { n } ( x _ { i } , k _ { \perp i } , \lambda _ { i } ) \vert ^ { 2 } \delta ( x _ { q } = x _ { B j } ) \; ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { l } { \hat { u } _ { a } } \\ { \hat { v } _ { a } } \\ { \hat { u } _ { b } } \\ { \hat { v } _ { b } } \\ { \hat { u } _ { c } } \\ { \hat { v } _ { c } } \end{array} \right) = \mathbf { M } \left( \begin{array} { l } { \hat { u } _ { a } } \\ { \hat { v } _ { a } } \\ { \hat { u } _ { b } } \\ { \hat { v } _ { b } } \\ { \hat { u } _ { c } } \\ { \hat { v } _ { c } } \end{array} \right) + \sqrt { \alpha } \left( \begin{array} { l } { \hat { g } _ { a } } \\ { \hat { h } _ { a } } \\ { \hat { g } _ { b } } \\ { \hat { h } _ { b } } \\ { \hat { g } _ { c } } \\ { \hat { h } _ { c } } \end{array} \right) , } \end{array}
\rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } , \mathbf { r } ) = \left( \begin{array} { l l } { \rho _ { L L } ( \mathbf { r ^ { \prime } } , \mathbf { r } ) } & { \rho _ { L S } ( \mathbf { r ^ { \prime } } , \mathbf { r } ) } \\ { \rho _ { S L } ( \mathbf { r ^ { \prime } } , \mathbf { r } ) } & { \rho _ { S S } ( \mathbf { r ^ { \prime } } , \mathbf { r } ) } \end{array} \right) ,
{ \frac { u ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \alpha ~ \rho ^ { 1 2 } + \left( { \frac { u ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \cos ^ { 2 } \alpha - { \frac { u ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } \alpha - 1 \right) \rho ^ { 6 } - { \frac { u ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \cos ^ { 2 } \alpha = 0
{ \mathbf t } = \arg \operatorname* { m i n } _ { { \mathbf t } } \sum _ { k = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \textrm { r e p } } } \left( P ^ { n , j , k } ( { \mathbf t } ) - P _ { \textrm { e x p } } ^ { n , j , k } \right) ^ { 2 } , \quad \textrm { s u b j e c t t o } \sum _ { m , n = 0 } ^ { 3 ^ { 2 } - 1 } \chi _ { m n } ( { \mathbf t } ) B _ { m } ^ { \dagger } B _ { n } = I ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ( \rho _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } ) + \mathrm { d i v } \left( \rho _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \otimes \mathbf { v } _ { \alpha } \right) + \nabla p } & { } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \nu _ { \alpha } \left( 2 \mathbf { D } _ { \alpha } + \lambda _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) \right) - \rho _ { \alpha } \mathbf { b } } & { = ~ 0 , } \\ { \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } } & { = ~ 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { a } , \mathbf { b } ) _ { \boldsymbol { \xi } } } & { { } : = \mathbf { a } ^ { T } \boldsymbol { \xi } \mathbf { b } } \\ { | | \mathbf { a } | | _ { \boldsymbol { \xi } } ^ { 2 } } & { { } : = ( \mathbf { a } , \mathbf { a } ) _ { \boldsymbol { \xi } } } \end{array}
\frac { \partial I _ { \mathrm { C o M } y } } { \partial x _ { p } } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \psi _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { r } ) \psi _ { \mathrm { i n } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \frac { \partial } { \partial x _ { p } } \frac { \partial } { \partial y } \phi ( x + x _ { p } , y + y _ { p } ) d ^ { 2 } \mathbf { r }
( i j | A ) ^ { L } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( i j | A ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | ( i j | A ) | \ge \frac { \varepsilon ^ { \prime } } { N _ { \mathrm { e } } } \{ | ( i j | A ) | \} _ { j } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\hat { \zeta } ( \mathbf { k } ) = \hat { \zeta } ^ { * } ( - \mathbf { k } ) , ~ \hat { \zeta } ( - \mathbf { k } ) = \hat { \zeta } ^ { * } ( \mathbf { k } ) , ~ \hat { \psi } ( \mathbf { k } ) = \hat { \psi } ^ { * } ( - \mathbf { k } ) , ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ \hat { \psi } ( - \mathbf { k } ) = \hat { \psi } ^ { * } ( \mathbf { k } ) ,
\begin{array} { r l } { | U _ { t } ( x ) - U _ { t } ( x ^ { \prime } ) | } & { \le \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \int _ { t } ^ { T } \left\vert V \left( Z _ { s } ^ { t , x , u _ { n } ( s ) } \right) - V \left( Z _ { s } ^ { t , x ^ { \prime } , u _ { n } ( s ) } \right) \right\vert \, d s \right. } \\ & { \quad + \left. \left\vert S \left( Z _ { T } ^ { t , x , u _ { n } ( t ) } \right) - S \left( Z _ { T } ^ { t , x ^ { \prime } , u _ { n } ( t ) } \right) \right\vert \right] } \\ & { \le \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left[ \| V ^ { \prime } \| _ { \infty } \int _ { t } ^ { T } \left\vert Z _ { s } ^ { t , x , u _ { n } ( s ) } - Z _ { s } ^ { t , x ^ { \prime } , u _ { n } ( s ) } \right\vert \, d s \right. } \\ & { \quad + \left. \| S ^ { \prime } \| _ { \infty } \left\vert Z _ { T } ^ { t , x , u _ { n } ( t ) } - Z _ { T } ^ { t , x ^ { \prime } , u _ { n } ( t ) } \right\vert \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { H } _ { \alpha } } & { : = \left\{ ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ^ { \prime } ) , \ \forall \boldsymbol { x } ^ { \prime } \in \mathbb { B } : \sqrt { ( x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } ^ { \prime } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } \leq \delta \right\} \ , } \\ { \mathbb { H } _ { 3 } } & { : = \left\{ x _ { 3 } ^ { \prime } , \ \forall \boldsymbol { x } ^ { \prime } \in \mathbb { B } : \sqrt { ( x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } ^ { \prime } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } } \leq \delta \right\} . } \end{array}
N _ { \rho } = \left. \frac { T _ { 0 } } { \Lambda _ { 0 } } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial T } \right) _ { \rho } \right\vert _ { T = T _ { 0 } } + \left( \frac { \lambda _ { F } } { \lambda } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \left| \frac { f _ { i } ( x ) } { 1 + | x | } \Big ( 1 + | x | + ( | y | - | x | ) \Big ) - f _ { i } ( y ) \right| = } & { \left| f _ { i } ( x ) - f _ { i } ( y ) + \frac { f _ { i } ( x ) } { 1 + | x | } ( | y | - | x | ) \right| } \\ { \leq } & { | f _ { i } ( x ) - f _ { i } ( y ) | + \frac { | f _ { i } ( x ) | } { 1 + | x | } | x - y | \leq 2 | x - y | . } \end{array}
P ( \overline { { { \nu } } } _ { e } \rightarrow \overline { { { \nu } } } _ { e } ) \simeq 1 - 4 | V _ { 2 e } | ^ { 2 } | V _ { 3 e } | ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( 1 . 2 7 \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L _ { \mathrm { C h o o z } } } { E _ { \mathrm { C h o o z } } } \right) - 2 | V _ { 1 e } | ^ { 2 } \left( 1 - | V _ { 1 e } | ^ { 2 } \right) \; ,