harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { i } _ { t } } & { = \sigma ( \boldsymbol { W } _ { i i } \boldsymbol { z } _ { t } + \boldsymbol { b } _ { i i } + \boldsymbol { W } _ { h i } \boldsymbol { h } _ { t - 1 } + \boldsymbol { b } _ { h i } ) } \\ { \boldsymbol { f } _ { t } } & { = \sigma ( \boldsymbol { W } _ { i f } \boldsymbol { z } _ { t } + \boldsymbol { b } _ { i f } + \boldsymbol { W } _ { h f } \boldsymbol { h } _ { t - 1 } + \boldsymbol { b } _ { h f } ) } \\ { \boldsymbol { o } _ { t } } & { = \sigma ( \boldsymbol { W } _ { i o } \boldsymbol { z } _ { t } + \boldsymbol { b } _ { i o } + \boldsymbol { W } _ { h o } \boldsymbol { h } _ { t - 1 } + \boldsymbol { b } _ { h o } ) } \\ { \boldsymbol { g } _ { t } } & { = \operatorname { t a n h } ( \boldsymbol { W } _ { i g } \boldsymbol { z } _ { t } + \boldsymbol { b } _ { i g } + \boldsymbol { W } _ { h g } \boldsymbol { h } _ { t - 1 } + \boldsymbol { b } _ { h g } ) } \\ { \boldsymbol { c } _ { t } } & { = \boldsymbol { f } _ { t } \odot \boldsymbol { c } _ { t - 1 } + \boldsymbol { i } _ { t } \odot \boldsymbol { g } _ { t } } \\ { \boldsymbol { h } _ { t } } & { = \boldsymbol { o } _ { t } \odot \operatorname { t a n h } ( \boldsymbol { c } _ { t } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { d } = \frac { i } { 2 } r } & { { } \left( \psi _ { s } \partial _ { \xi } \psi _ { s } ^ { * } - \psi _ { s } ^ { * } \partial _ { \xi } \psi _ { s } \right) + \frac { \delta } { 2 } r | \partial _ { r } \psi _ { s } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 3 } } P _ { 2 2 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 2 2 } \cos 2 \phi , ~ S _ { 2 2 } \sin 2 \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 9 . 9 8 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \cos 2 \phi , ~ 5 . 7 3 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \sin 2 \phi \Big \} . } \end{array}
\frac { - i \omega } { c } a _ { { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } 1 , i } = - \nabla _ { i } v _ { { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } 1 } ^ { \mathrm { A L D A } } ( { \bf r } ) + \frac { 1 } { n _ { 0 } ( { \bf r } ) } \sum _ { j } \frac { \partial \sigma _ { { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } , i j } ( { \bf r } , \omega ) } { \partial r _ { j } }
\phi _ { \triangle \omega } ( t , \rho , z ) = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \int d ^ { 2 } k ~ u _ { \omega , k } ( t , \rho ) e ^ { - i k _ { j } z ^ { j } } \tilde { \phi } _ { \triangle \omega } ( \omega ) \tilde { \varphi } ( k ) ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } ^ { \mathrm { M Z I } } = } & { \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { N L } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } | \mathrm { F E } _ { ( \mathrm { m a x } ) 2 , S } | ^ { 2 } | \mathrm { F E } _ { ( \mathrm { m a x } ) 2 , I } | ^ { 2 } } \\ & { \times | \mathrm { F E } _ { ( \mathrm { m a x } ) 1 , P } | ^ { 4 } \frac { \Gamma _ { 2 , S } \Gamma _ { 2 , I } } { \Gamma _ { 2 , S } + \Gamma _ { 2 , I } } \left( \omega _ { S } \omega _ { I } \right) \frac { L _ { \mathrm { M Z I } } ^ { 2 } } { 1 6 } \ , } \end{array}
\left( \mu \frac { \partial } { \partial \mu } + \beta \left( g ^ { 2 } \right) \frac { \partial } { \partial g ^ { 2 } } - \gamma _ { 2 } \left( g ^ { 2 } \right) \int d ^ { 2 } x J \frac { \delta } { \delta J } + \eta \left( g ^ { 2 } , \zeta \right) \frac { \partial } { \partial \zeta } \right) E = 0
2 \int _ { \epsilon } ^ { \infty } \frac { d \tau _ { 2 } } { \tau _ { 2 } ^ { 3 / 2 } } e ^ { - \pi \tau _ { 2 } \left( \frac { R ^ { 2 } - R _ { 0 } ^ { 2 } } { R R _ { 0 } } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ^ { A _ { 0 } C _ { 0 } } \colon } & { ( \ldots , B _ { - a } , A _ { - a } , A _ { 0 } , C _ { 0 } , B _ { - c } , \ldots ) } \\ { \mathcal { C } ^ { C _ { c } B _ { c - d } } \colon } & { ( \ldots , C _ { c - b + d } , B _ { c - b } , C _ { c } , B _ { c - d } , C _ { b + c - d } , \ldots ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d E _ { \beta } ^ { Q } } { d x } = \frac { e _ { \alpha } ^ { 2 } } { 4 \pi { { \varepsilon } _ { 0 } } } \frac { k _ { \beta } ^ { 2 } } { 2 { { \tau } _ { \beta } } { { m } _ { \beta } } v _ { \alpha } ^ { 2 } } \sqrt { \frac { { { \tau } _ { \beta } } { { m } _ { \beta } } } { 2 \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d { { v } _ { \alpha \beta } } } \times [ 2 R e \psi ( 1 + i { { \eta } _ { \alpha \beta } } ) - l n \eta _ { \alpha \beta } ^ { 2 } ] \times } \\ & { \left\{ [ 1 + ( \frac { { { m } _ { \alpha } } } { { { m } _ { \beta } } } + 1 ) \frac { { { v } _ { \alpha } } } { { { v } _ { \alpha \beta } } } ( \frac { 1 } { { { \tau } _ { \beta } } { { m } _ { \beta } } { { v } _ { \alpha } } { { v } _ { \alpha \beta } } } - 1 ) ] \exp [ - \frac { 1 } { 2 } { { \tau } _ { \beta } } { { m } _ { \beta } } { { ( { { v } _ { \alpha } } - { { v } _ { \alpha \beta } } ) } ^ { 2 } } ] \right. } \\ & { \left. - [ 1 + ( \frac { { { m } _ { \alpha } } } { { { m } _ { \beta } } } + 1 ) \frac { { { v } _ { \alpha } } } { { { v } _ { \alpha \beta } } } ( \frac { 1 } { { { \tau } _ { \beta } } { { m } _ { \beta } } { { v } _ { \alpha } } { { v } _ { \alpha \beta } } } + 1 ) ] \exp [ - \frac { 1 } { 2 } { { \tau } _ { \beta } } { { m } _ { \beta } } { { ( { { v } _ { \alpha } } + { { v } _ { \alpha \beta } } ) } ^ { 2 } } ] \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { \mathrm { N e w t o n } } } & { { } = - { \frac { 1 } { 8 \pi G } } \cdot \| \nabla \phi \| ^ { 2 } } \\ { { \mathcal { L } } _ { \mathrm { A Q U A L } } } & { { } = - { \frac { 1 } { 8 \pi G } } \cdot a _ { 0 } ^ { 2 } F \left( { \frac { \| \nabla \phi \| ^ { 2 } } { a _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
( A - 5 I ) ^ { 2 } \mathbf { x } _ { 3 } = { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 2 } & { - 8 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x _ { 3 1 } } \\ { x _ { 3 2 } } \\ { x _ { 3 3 } } \\ { x _ { 3 4 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 2 x _ { 3 3 } - 8 x _ { 3 4 } } \\ { 4 x _ { 3 4 } } \\ { - 3 x _ { 3 4 } } \\ { x _ { 3 4 } } \end{array} \right) } \neq { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } .
{ \cal L _ { B C S } } = \psi _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( i \partial _ { t } - \epsilon ( p ) ) \psi _ { \uparrow } + \psi _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( i \partial _ { t } - \epsilon ( p ) ) \psi _ { \downarrow } - \lambda \psi _ { \uparrow } ^ { \dagger } \psi _ { \downarrow } ^ { \dagger } \psi _ { \downarrow } \psi _ { \uparrow } \, \, \, \, ,
\begin{array} { r l } { \langle \ell ; N , S , J , M | T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , N ) e ^ { - 2 i q \phi } } & { { } | \ell ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , J ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\Big [ - ( 4 - \eta _ { * } ) - \hat { p } \partial _ { \hat { p } } + ( 2 - \eta _ { * } ) { \hat { t } \partial _ { \hat { t } } } \Big ] \hat { C } _ { * } ( \hat { t } , \hat { p } ) = - \hat { p } ^ { 2 } \hat { C } _ { * } ( \hat { t } , \hat { p } ) \int _ { \omega } \frac { \cos ( \hat { \omega } \hat { t } ) - 1 } { \hat { \omega } ^ { 2 } } \hat { J } _ { * } ( \hat { \omega } ) \, .
\begin{array} { r l r l } { \left[ E \right] } & { { } = \frac { k g \cdot m } { s ^ { 3 } \cdot A } \qquad } & { \left[ D \right] } & { { } = \frac { A \cdot s } { m ^ { 2 } } } \\ { \left[ B \right] } & { { } = \frac { k g } { s ^ { 2 } \cdot A } \qquad } & { \left[ H \right] } & { { } = \frac { A } { m } } \\ { \left[ A \right] } & { { } = \frac { k g \cdot m } { s ^ { 2 } \cdot A } } \\ { \left[ a \right] } & { { } = e V = 1 . 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \frac { k g \cdot m ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } } \\ { \left[ g _ { a \gamma \gamma } \right] } & { { } = \frac { 1 } { e V } } \\ { \epsilon _ { 0 } } & { { } = 8 . 8 6 \cdot 1 0 ^ { - 1 2 } \frac { A ^ { 2 } \cdot s ^ { 4 } } { k g \cdot m ^ { 3 } } \qquad } & { \mu _ { 0 } } & { { } = 1 . 2 6 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \frac { k g \cdot m ^ { 2 } } { s ^ { 2 } \cdot A ^ { 2 } \cdot m } } \\ { c } & { { } = 3 . 0 \cdot 1 0 ^ { 8 } \frac { m } { s } } \\ { a _ { B } } & { { } = 5 . 2 4 \cdot 1 0 ^ { - 1 1 } m } \\ { \hbar } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } } \end{array}
\delta ^ { \, \mathrm { \scriptsize ~ a n o m } } = \left[ \frac { \pi } { \alpha \, \Im \Sigma _ { 1 } ( M ^ { 2 } ) } \right] ^ { - 1 } \times 2 \times \left[ - \pi \frac { \Im \Sigma _ { 2 } ( M ^ { 2 } ) } { \Im \Sigma _ { 1 } ^ { 2 } ( M ^ { 2 } ) } \right] = - 2 \alpha \frac { \Im \Sigma _ { 2 } ( M ^ { 2 } ) } { \Im \Sigma _ { 1 } ( M ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l r } { \hat { H } = \sum _ { n } } & { { } } & { t _ { 2 } a _ { \mathrm { L E 1 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 1 } , n } + t _ { 1 } a _ { \mathrm { L E 1 } , n } ^ { \dagger } a _ { \mathrm { C T 2 } , n } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { 0 } ( v ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 3 } { 4 } } , } \\ { e _ { 1 } ( v ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 3 } { 4 } } v _ { 1 } , } \\ { e _ { 2 } ( v ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 3 } { 4 } } v _ { 2 } , } \\ { e _ { 3 } ( v ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 3 } { 4 } } v _ { 3 } , } \\ { e _ { 4 } ( v ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 3 } { 4 } } \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } - 3 } { \sqrt { 6 } } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - \gamma t } \left[ \delta ( c t - x ) + \delta ( c t + x ) + \Theta ( c t - | x | ) \left( { \frac { \gamma } { c } } I _ { 0 } \left( { \frac { \gamma u } { c } } \right) + { \frac { \gamma t } { u } } I _ { 1 } \left( { \frac { \gamma u } { c } } \right) \right) \right] , \, u = { \sqrt { c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } } }
\eta = \frac { q } { | \Omega | } \left( 1 - \textrm { n } _ { 0 } \right) - 2 \textrm { n } _ { 0 } ( 1 - \textrm { n } _ { 0 } ) \textrm { c o s } ^ { 2 } \varphi + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { q } { 2 | \Omega | } - 1 \right) ^ { 2 } \textrm { , }
E = E _ { 0 } \frac { w _ { 0 } } { w ( z ) } \exp \! \left( - \frac { r ^ { 2 } } { w ( z ) ^ { 2 } } \right) \exp \! \left( - \left( \frac { k z + c t } { c \tau } \right) ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| Q _ { 1 } J W ( P A P ) ^ { - 1 } P J W \| _ { L ^ { 2 } \to L ^ { 2 } } } & { = \mathcal { O } ( \omega ^ { - 1 / 2 } ) \mathrm { ~ a s ~ } \omega \to \infty , } \\ { \| Q _ { 1 } J W ( P A P ) ^ { - 1 } \| _ { L ^ { 2 } \to L ^ { 2 } } } & { = \mathcal { O } ( \omega ^ { - 1 / 2 } ) \mathrm { ~ a s ~ } \omega \to \infty } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Leftrightarrow } & { { } ~ \frac { 1 } { N } \left\langle - \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } ( \pi _ { i } - \pi _ { 1 } ) \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } - \frac { 1 } { N } \left\langle - \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } ( \pi _ { 1 } - \pi _ { j } ) \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } > 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { { } ~ \pi ^ { ( 0 ) } - \pi ^ { ( 1 ) } > 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { 3 , 1 , x } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) { v _ { i x } } } } \\ { M _ { 3 , 1 , y } ^ { e q } } & { { } = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } \left( { v _ { i x } ^ { 2 } + v _ { i y } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { 2 } } \right) { v _ { i y } } } } \end{array}
S ( a ; b _ { 1 } , \ldots , b _ { k - 1 } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( \mathrm { s i g n } \, a ) ^ { n } } { n ^ { | \, a | } } \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \sum _ { m _ { i } = 1 } ^ { n - 1 } \frac { ( \mathrm { s i g n } \, b _ { i } ) ^ { m _ { i } } } { m _ { i } ^ { | \, b _ { i } | } } \, .
\textstyle | \lambda ^ { N } - \lambda ^ { \star } | \le C ^ { \prime } \left( \frac { \log ( { \eta } ^ { - 1 } ) + \log N } { \sqrt { N } } \right) , \quad \| G ^ { N } - G ^ { \star } \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } \le C ^ { \prime } \left( \frac { \log ( { \eta } ^ { - 1 } ) + \log N } { \sqrt { N } } \right) ^ { \frac { 1 - 2 \alpha } { 3 - 2 \alpha } } .
\beta = \frac 1 { 1 + y } ; \, \, \, \alpha = m _ { 0 } L = \sqrt { \nu w _ { 1 } w _ { 2 } } ; \, \, \, z = L \Phi = \alpha ( 1 + x ) ; \, \, \, z _ { \mu } = L \Phi _ { \mu } = \alpha ( 1 + y ) .
\big \lVert \sum _ { k = 4 } ^ { k _ { 0 } } \mathcal { I } _ { 3 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \leq \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } t \lambda ^ { 2 } } { \tau _ { 0 } \hbar ^ { 2 } } \sum _ { k = 5 } ^ { k _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \big \lVert \tilde { \mathcal { I } } _ { 3 } ^ { \mathrm { d o b } } ( \beta , k , s _ { k + \beta + 1 } ; \hbar ) \varphi \big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, d s _ { k + \beta + 1 } ,
\psi _ { 2 } ( \lambda ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { c } { \frac { \mathsf { A } c _ { 1 } } { \mu } \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \left[ \frac { 2 \mathsf { A } \, \mu \, c _ { 1 } \sqrt { c _ { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { 2 \sqrt { c _ { 2 } } ( \pm \lambda + \lambda _ { 0 } ) } } { 1 + \left( \mathsf { A } ^ { 2 } \, c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } \, \mu ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { 2 \sqrt { c _ { 2 } } ( \pm \lambda + \lambda _ { 0 } ) } } \right] , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathsf { A } < 0 \, , } \\ { \frac { \mathsf { A } \, c _ { 1 } } { \mu } \Bigg \{ \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \left[ \frac { A \, c _ { 1 } + \left( A ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } \, \mu ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { \sqrt { c _ { 2 } } ( \pm \lambda + \lambda _ { 0 } ) } } { \sqrt { c _ { 2 } } \, \mu } \right] - \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \left[ \frac { A c _ { 1 } - \left( A ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } \, \mu ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { \sqrt { c _ { 2 } } ( \pm \lambda + \lambda _ { 0 } ) } } { \sqrt { c _ { 2 } } \mu } \right] \Bigg \} \, , \quad \mathsf { A } > 0 \, . } \end{array} } \end{array} \right.
\left( f \star g \right) \star h - f \star \left( g \star h \right) = \frac { 1 } { 6 } \left( \alpha ^ { i \ell } \partial _ { \ell } \alpha ^ { j k } + \alpha ^ { j \ell } \partial _ { \ell } \alpha ^ { k i } + \alpha ^ { k \ell } \partial _ { \ell } \alpha ^ { i j } \right) \left( \partial _ { i } f \partial _ { j } g \partial _ { k } h \right) + \mathcal { O } ( \alpha ^ { 3 } ) .
\big [ \partial _ { t } + v _ { 0 } \hat { n } ( \theta ) \cdot \partial _ { \vec { r } } + \Gamma \mathrm { s i n } ( \beta - \theta ) \, \partial _ { \theta } + v _ { 0 } \hat { n } ( \beta ) \cdot \partial _ { \vec { z } } + \Gamma \mathrm { s i n } ( \theta - \beta ) \, \partial _ { \beta } \big ] \, P _ { 2 } = 2 \Gamma P _ { 2 } \, \mathrm { c o s } ( \beta - \theta )
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } - \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\bar { \rho _ { \mathrm { s } } } ( \zeta ) \; \approx \; 4 \beta \left[ 1 + k ^ { 2 } \left( \ln { \frac { 4 } { k ^ { \prime } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) + O ( k ^ { 2 } ) \right] \left[ \zeta \ln { \frac { 1 + \zeta } { 1 - \zeta } } + k ^ { 2 } \left( \ln { \frac { 4 } { k ^ { \prime } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \frac { \zeta ^ { 2 } } { 1 - \zeta ^ { 2 } } } + O ( k ^ { 2 } ) \right] \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d n _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { - n _ { k } \, \sum _ { l = 1 } ^ { N } n _ { l } \, u _ { k l } \, \int d \Omega _ { \psi } \, \frac { d \sigma _ { R } ^ { k l } \left( u _ { k l } , \psi \right) } { d \Omega _ { \psi } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { D ( \delta , { \varepsilon } , x ) } R _ { \alpha ^ { * } } ( 1 - \cos ( s \chi ) ) \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { | s | ( x - { \varepsilon } ) ^ { \alpha ^ { * } - \alpha } } & { \alpha ^ { * } < \alpha } \\ { | s | ( x + { \varepsilon } ) ^ { \alpha ^ { * } - \alpha } } & { \alpha ^ { * } \geq \alpha . } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { { \left. \oint \sqrt { h } \ e ^ { i k \cdot X } \ \right| _ { k ^ { 2 } = - 2 } \, , } } \\ { { \left. \oint \sqrt { h } \ k \cdot \psi e ^ { i k \cdot X } \ \right| _ { k ^ { 2 } = - 1 } \, , } } \end{array} \right.
E = { \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x + { \frac { 1 } { 6 0 } } x ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 1 4 0 0 } } x ^ { 5 } + { \frac { 1 } { 2 5 2 0 0 } } x ^ { 7 } + { \frac { 4 3 } { 1 7 2 4 8 0 0 0 } } x ^ { 9 } + { \frac { 1 2 1 3 } { 7 2 0 7 2 0 0 0 0 0 } } x ^ { 1 1 } + { \frac { 1 5 1 4 3 9 } { 1 2 7 1 3 5 0 0 8 0 0 0 0 0 } } x ^ { 1 3 } \cdots \ | \ x = ( 6 M ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } , } & { \epsilon = 1 } \\ { \displaystyle { \frac { 1 } { 1 - \epsilon } } M - { \frac { \epsilon } { ( 1 - \epsilon ) ^ { 4 } } } { \frac { M ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { ( 9 \epsilon ^ { 2 } + \epsilon ) } { ( 1 - \epsilon ) ^ { 7 } } } { \frac { M ^ { 5 } } { 5 ! } } - { \frac { ( 2 2 5 \epsilon ^ { 3 } + 5 4 \epsilon ^ { 2 } + \epsilon ) } { ( 1 - \epsilon ) ^ { 1 0 } } } { \frac { M ^ { 7 } } { 7 ! } } + { \frac { ( 1 1 0 2 5 \epsilon ^ { 4 } + 4 1 3 1 \epsilon ^ { 3 } + 2 4 3 \epsilon ^ { 2 } + \epsilon ) } { ( 1 - \epsilon ) ^ { 1 3 } } } { \frac { M ^ { 9 } } { 9 ! } } \cdots , } & { \epsilon \neq 1 } \end{array} \right. }
\mathrm { S N R } = \sigma _ { x | \eta } ^ { 2 } / \sigma _ { x | L } ^ { 2 } = \kappa ^ { 2 } N \tau _ { m } ^ { 2 } \sigma _ { v } ^ { 2 } \frac { 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { v } } + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } } { ( 1 + { \tau _ { \mathrm { m } } } / { \tau _ { v } } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / \tau _ { v } ) ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } ) } \bigg / \left( \frac { 1 } { N X _ { \mathrm { T } } f ( 1 - f ) ( 1 - p ) ^ { 2 } } + \frac { \tilde { \alpha } } { R _ { \mathrm { T } } ( 1 + { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } ) } \right) ,
\left( \partial _ { \mu } 1 \otimes 1 + \frac { 1 } { 4 } \epsilon _ { \alpha \beta \delta } \omega _ { \mu } ^ { \alpha \beta } 1 \otimes \gamma ^ { \delta } + \frac { i } { 2 } A _ { \mu } ^ { c } \sigma _ { c } \otimes 1 - \frac { 1 } { 2 \ell } e _ { \mu \alpha } 1 \otimes \gamma ^ { \alpha } \right) \varepsilon _ { r } = 0 \, ,
\left\langle { { { \overline { { \mathcal E } } } ^ { \dag } } } \right\rangle \left( t \right) \approx \left\langle { { { \overline { { \mathcal E } } } ^ { \dag } } } \right\rangle \left( T \right) \exp \left[ { 2 { { \left| \lambda \right| } _ { \infty } } { { \left\| { \bf { q } } \right\| } _ { \infty } } \left( { T - t } \right) } \right] , \; \; t \in \left[ { 0 , T } \right] .
\left\langle v \textbf { f } \right\rangle = \left\langle v ( \textbf { f } ^ { e q } + \epsilon \textbf { f } ^ { \epsilon } ) \right\rangle = \textbf { W } \Rightarrow \left\langle v \textbf { f } ^ { \epsilon } \right\rangle = \frac { \textbf { W } - \textbf { G } } { \epsilon }
\begin{array} { r } { \sigma _ { O P } \in \{ { ( \sigma _ { h } ) } _ { i _ { \alpha } j _ { \beta } } ^ { a _ { \alpha } u _ { \beta } } , { ( \sigma _ { h } ) } _ { i _ { \beta } j _ { \alpha } } ^ { a _ { \beta } u _ { \alpha } } ; { ( \sigma _ { p } ) } _ { i _ { \alpha } v _ { \beta } } ^ { a _ { \alpha } b _ { \beta } } , { ( \sigma _ { p } ) } _ { i _ { \beta } v _ { \alpha } } ^ { a _ { \beta } b _ { \alpha } } \} } \end{array}
S _ { \mathcal { A } } ( \omega ) = \omega ^ { 4 } \cdot \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - i \omega t } \langle \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ^ { \dagger } ( t ) \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } ( 0 ) \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } \mathrm { ~ d ~ } t ]
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \mathcal { R } \left( \int a ( \omega ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \psi } \mathrm { d } \omega \right) , } \\ { \zeta ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { x } , t ) = ~ } & { \mathcal { R } \left\{ \iint a _ { 1 } a _ { 2 } \left[ { \hat { A } } _ { 1 2 } ^ { + } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } + \psi _ { 2 } ) } + { \hat { A } } _ { 1 2 } ^ { - } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \psi _ { 1 } - \psi _ { 2 } ) } \right] \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \right\} . } \end{array}
\delta \rho - { \bar { \delta } } \sigma = \rho ( { \bar { \alpha } } + \beta ) - \sigma ( 3 \alpha - { \bar { \beta } } ) + ( \rho - { \bar { \rho } } ) \tau + ( \mu - { \bar { \mu } } ) \kappa - \Psi _ { 1 } + \Phi _ { 0 1 } \, ,
\Sigma _ { p q } ^ { \mathrm { ~ c ~ , ~ o ~ u ~ t ~ } } ( \omega ) = \sum _ { j k } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \sum _ { i } \frac { \langle p i | | j k \rangle \langle q i | | j k \rangle } { \omega + \epsilon _ { i } - ( \epsilon _ { j } + \epsilon _ { k } ) - i \eta } + \sum _ { b c } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \sum _ { a } \frac { \langle p a | | b c \rangle \langle q a | | b c \rangle } { \omega + \epsilon _ { a } - ( \epsilon _ { b } + \epsilon _ { c } ) + i \eta } ,
D [ u ] \ll \mathcal { H } _ { \alpha } ^ { s } \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad s = \operatorname* { m i n } \left( d \frac { r - 2 } { r } , - 1 + d \frac { r - 3 } { r } + \alpha , - 2 + d \frac { r - 2 } { r } + \alpha \right) ,
\begin{array} { r l } { \infty > P ( \Phi _ { \beta , P ( \beta \phi ) } ) } & { \geq h ( \hat { \mu } _ { \beta \phi } ) + \int ( \Phi _ { \beta } - P ( \beta \phi ) R ) \mathrm { d } \hat { \mu } _ { \beta \phi } } \\ & { = \left( F _ { \beta \phi } ( \mu _ { \beta \phi } ) + P ( \beta \phi ) - P ( \beta \phi ) \right) \int R \mathrm { d } \hat { \mu } _ { \beta \phi } = 0 . } \end{array}
{ \cal L } _ { V } = - \frac { 1 } { 4 } T r [ ( V _ { \mu \nu } ) ^ { 2 } ] - \frac { v ^ { 2 } } { 4 } T r [ ( \alpha _ { L \mu } - \alpha _ { R \mu } ) ^ { 2 } ] - a \frac { v ^ { 2 } } { 4 } T r [ ( \alpha _ { L \mu } + \alpha _ { R \mu } ) ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { c c c } { { x _ { 1 2 } ^ { A } = x _ { 1 } ^ { A } - x _ { 2 } ^ { A } - i \bar { \theta } _ { 2 i } \gamma ^ { A } \theta _ { 1 } ^ { i } - i \bar { \tilde { \theta } } _ { 2 \tilde { \imath } } \tilde { \gamma } ^ { A } \tilde { \theta } _ { 1 } ^ { \tilde { \imath } } ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ \theta _ { 1 2 } ^ { i } = \theta _ { 1 } ^ { i } - \theta _ { 2 } ^ { i } ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ \tilde { \theta } _ { 1 2 } ^ { \tilde { \imath } } = \tilde { \theta } _ { 1 } ^ { \tilde { \imath } } - \tilde { \theta } _ { 2 } ^ { \tilde { \imath } } } } \end{array}
L _ { n } ( u ) = u + i ( \vec { \sigma } \cdot \vec { S } _ { n } ) = \left( \begin{array} { c c } { { u + i S _ { n } ^ { 0 } } } & { { i S _ { n } ^ { - } } } \\ { { i S _ { n } ^ { + } } } & { { u - i S _ { n } ^ { 0 } } } \end{array} \right) \, .
\hat { \Gamma } : = \Gamma d \xi ^ { 2 } d \xi ^ { 3 } d \xi ^ { 4 } d \xi ^ { 5 } = \frac { - i } { \sqrt { h } } \frac { 1 } { 4 ! } d Z ^ { A } d Z ^ { B } d Z ^ { C } d Z ^ { D } \Gamma _ { + - A B C D } K ~ ,
\begin{array} { r l r l } { \mathbf { j } ^ { 2 } | j \, m \rangle } & { { } = \hbar ^ { 2 } j ( j + 1 ) | j \, m \rangle , } & { j } & { { } \in \{ 0 , { \frac { 1 } { 2 } } , 1 , { \frac { 3 } { 2 } } , \ldots \} } \\ { \mathrm { j _ { z } } | j \, m \rangle } & { { } = \hbar m | j \, m \rangle , } & { m } & { { } \in \{ - j , - j + 1 , \ldots , j \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \cos [ \omega ( \tau _ { n } - 2 t _ { n } ) ] = \frac { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) + \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - \xi } { \alpha ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) - \beta ^ { 2 } ( \omega \tau _ { n } ) } , } \end{array}
{ \cal L } _ { E } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial \phi } { \partial \tau } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { \boldmath ~ \nabla ~ } \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 ! } \phi ^ { 4 } + J \phi + c . t . ,