harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { O S S } ^ { k } } & { = \left\| \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \| M ^ { k } \| _ { F } } \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { M ^ { k } } \\ { ( M ^ { k } ) ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \tilde { 0 } ^ { k } } \\ { \tilde { z } ^ { k } } \end{array} \right] - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \| M ^ { k } \| _ { F } } \left[ \begin{array} { l } { r _ { c } ^ { k } } \\ { 0 } \end{array} \right] \right\| _ { 2 } } \\ & { = \left\| \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \| M ^ { k } \| _ { F } } \left[ \begin{array} { l } { M ^ { k } \tilde { z } ^ { k } } \\ { ( M ^ { k } ) ^ { T } \tilde { 0 } ^ { k } } \end{array} \right] - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \| M ^ { k } \| _ { F } } \left[ \begin{array} { l } { r _ { c } ^ { k } } \\ { 0 } \end{array} \right] \right\| _ { 2 } } \\ & { \geq \left\| \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \| M ^ { k } \| _ { F } } M ^ { k } \tilde { z } ^ { k } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \| M ^ { k } \| _ { F } } r _ { c } ^ { k } \right\| _ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \| M ^ { k } \| _ { F } } \| M ^ { k } \tilde { z } ^ { k } - r _ { c } ^ { k } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigg | \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } } & { \frac { d \varepsilon _ { + } } { d r } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r ^ { \prime } \, d r \Bigg | } \\ { \leq } & { \: \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { \frac { 1 + q } { 2 } } \left| \frac { d \varepsilon _ { + } } { d r } ( r ) \right| \, d r \cdot \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq r \leq r _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { - \frac { 1 + q } { 2 } } \left| \int _ { 1 } ^ { r } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r ^ { \prime } \right| } \\ { \leq } & { \: \int _ { - \infty } ^ { r _ { * } ( r _ { 0 } ) } ( r - 1 ) ^ { \frac { q } { 2 } } \left| \frac { d \varepsilon _ { + } } { d r _ { * } } ( r _ { * } ) \right| \, d r _ { * } \cdot \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq r \leq r _ { 0 } } ( r - 1 ) ^ { - \frac { q } { 2 } } \left| \int _ { 1 } ^ { r } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r ^ { \prime } \right| } \end{array}
\begin{array} { r } { k ( L , \tau ) d \tau = \frac { P ^ { \mathrm { i n } } ( L ) \rho _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( \tau _ { 0 } | L , \tau ) } { R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) } d \tau \ . } \end{array}
\Gamma _ { n r } ( B ^ { - } \to \pi ^ { - } \pi ^ { + } K ^ { - } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { 3 2 m _ { B } ^ { 3 } } \int | { \cal M } _ { n r } | ^ { 2 } ~ d s ~ d t .
\begin{array} { r l } & { \jmath _ { X Y } ( x , y | R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) } \\ { * } & { = \log \frac { P _ { W | X Y } ^ { * } ( w | x , y ) } { P _ { W } ^ { * } ( w ) } + \xi _ { 1 } ^ { * } \log \frac { P _ { \hat { X } | X W } ^ { * } ( \hat { x } | x , w ) } { P _ { \hat { X } | W } ^ { * } ( \hat { x } | w ) } + \xi _ { 2 } ^ { * } \log \frac { P _ { \hat { Y } | Y W } ^ { * } ( \hat { y } | y , w ) } { P _ { \hat { Y } | W } ^ { * } ( \hat { y } | w ) } } \\ { * } & { \qquad - \xi _ { 1 } ^ { * } R _ { 1 } ^ { * } - \xi _ { 2 } ^ { * } R _ { 2 } ^ { * } + \lambda _ { 1 } ^ { * } ( d _ { 1 } ( x , \hat { x } ) - D _ { 1 } ) + \lambda _ { 2 } ^ { * } ( d _ { 2 } ( y , \hat { y } ) - D _ { 2 } ) . } \end{array}
\left( \mu _ { z } \right) _ { l , m ; l ^ { \prime } , m ^ { \prime } } = \mu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \phi \int _ { 0 } ^ { \pi } Y _ { l ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } } \left( \theta , \phi \right) ^ { * } \cos \theta \, Y _ { l } ^ { m } \, \left( \theta , \phi \right) \; \mathrm { d } \cos \theta .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha } \left( a _ { \alpha \alpha } | _ { \mathrm { P C S } } \right) } \\ { \lambda _ { 2 } } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { \beta \neq \alpha } \left( a _ { \beta \beta } | _ { \mathrm { P C S } } \right) } \\ { \lambda _ { 3 } } & { { } = - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } = \operatorname* { m i n } _ { \gamma \neq \alpha , \beta } \left( a _ { \gamma \gamma } | _ { \mathrm { P C S } } \right) \ \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial h _ { i } } \log \left( p ( \hat { y } | P _ { t } , h ) \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \hat { y } ^ { T } \bar { K } ^ { - 1 } \frac { \partial \bar { K } } { \partial h _ { i } } \bar { K } ^ { - 1 } \hat { y } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { t r } \left( \bar { K } ^ { - 1 } \frac { \partial \bar { K } } { \partial h _ { i } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( ( \alpha \alpha ^ { T } - \bar { K } ^ { - 1 } ) \frac { \partial \bar { K } } { \partial h _ { i } } \right) , \; \; \alpha = \bar { K } ^ { - 1 } \hat { y } , \; i = 0 , \dots , d . } \end{array}
\check { \tilde { R } } _ { 1 2 } ( u , v ) \check { R } _ { 2 3 } ^ { \iota _ { 1 } \iota _ { 2 } } ( u ) \check { \bar { R } } _ { 1 2 } ^ { \iota _ { 1 } } ( v ) = \check { \bar { R } } _ { 2 3 } ^ { \iota _ { 1 } \iota _ { 2 } } ( v ) \check { R } _ { 1 2 } ^ { \iota _ { 1 } } ( u ) \check { R } _ { 2 3 } ( u , v ) ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \operatorname { t r } \left[ \sum _ { i } Z _ { i } ( \sigma ( \beta , x ) - \sigma ( \beta , y ) ) \right] = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \left( \frac { e ^ { - \beta x _ { i } } } { e ^ { - \beta x _ { i } } + e ^ { + \beta x _ { i } } } - \frac { e ^ { - \beta y _ { i } } } { e ^ { - \beta y _ { i } } + e ^ { + \beta y _ { i } } } \right) . } \end{array}
\vec { u } ( z _ { e n d } ) = M \vec { u } ( z _ { s t a r t } ) , \; \; M = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 2 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - 4 } } & { { - 4 } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \{ ( \hat { \mathbf { v } } _ { i } , \mathbf { v } _ { i } ^ { \pm } , \mathbf { u } _ { i } , \mathbf { l } _ { i - 1 } , \hat { c } _ { i } , g _ { i - \frac { 3 } { 2 } } , d _ { i } , \hat { p } _ { i - 1 } , p _ { i } ^ { \pm } ) : 0 \leq i \leq k - \frac 1 2 \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P ( \underline { { \tau } } , \underline { { t } } | \mathcal { D } ) = \frac { 1 } { Z ( \mathcal { D } ) } \prod _ { i \in V } } & { { } \psi ^ { * } ( \tau _ { i } , \underline { { \tau } } _ { \partial _ { i } } ; x _ { i } ^ { 0 } , \{ s _ { j i } \} _ { j \in \partial i } ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left\vert \int _ { \mathfrak { s } _ { \mathbf { N } _ { t } } } ^ { t } d s f \left( \Phi _ { \pi \circ \theta ^ { \mathbf { N } _ { t } + \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { \mathcal { M } } \left( y _ { 0 } \right) \right) } } ^ { s - \mathfrak { s } _ { \mathbf { N } _ { t } } } \left( \mathfrak { x } _ { t } \right) \right) \right\vert } & { \leq \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left\Vert f \right\Vert _ { \infty } \frac { \mathfrak { l } _ { t } } { t } = } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \left\Vert f \right\Vert _ { \infty } \left( 1 - \frac { \mathfrak { s } _ { \mathbf { N } _ { t } } } { \mathbf { N } _ { t } } \frac { \mathbf { N } _ { t } } { t } \right) = 0 \; , \; \mathbb { P } \mathrm { - a . s . } \ , } \end{array}
\hat { \xi } _ { r } ( \omega ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \eta k _ { B } T } } \left[ \left( i \omega - \eta \right) \hat { v } ( \omega ) + \omega _ { 0 } ^ { 2 } \hat { u } ( \omega ) - \hat { F } ( \omega ) \right] \, .
\xi _ { n } ( x ) = \frac { 1 } { 2 ^ { n } n ! } \left( \frac { 1 } { \pi R ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } H _ { n } \left( \frac { x } { R } \right) e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 R ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { e l } } ( E ) } & { = \frac { 2 \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { l m l ^ { \prime } m ^ { \prime } } \left| S _ { 1 l m } ^ { 1 l ^ { \prime } m ^ { \prime } } - \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } , } \\ { \sigma _ { \mathrm { i n } } ( E ) } & { = \frac { 2 \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { l m l ^ { \prime } m ^ { \prime } } \left( \delta _ { l l ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } - \left| S _ { 1 l m } ^ { 1 l ^ { \prime } m ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( \vec { f } ^ { t } ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \theta C _ { i } ^ { t } + \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( P _ { i } ^ { t } f _ { i } ^ { t } ) + 1 ] \left[ - P _ { i } ^ { t } f _ { i } ^ { t } + e ^ { - \theta C _ { i } ^ { t } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } ^ { t } f _ { k } ^ { t } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } ^ { t } } } \right] } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l } { R } & { v } & { a } \\ { 0 } & { 1 } & { s } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { t } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { R x + v t + a } \\ { t + s } \\ { 1 } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb Q \in \mathbb B _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) } \; \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( \theta , Z ) \right] = \operatorname* { i n f } _ { \lambda \geq 0 } \; \lambda \varepsilon + \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } } \left[ \ell _ { c } ( \theta , \lambda , \widehat Z ) \right] } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \mathfrak { F } _ { \phi } ) } { \varepsilon ^ { - V _ { \phi } } } < \infty , \qquad \mathbb { E } [ \bar { F } _ { \phi } ( \mathbf { Z } ) ^ { 2 } ] < \infty , \qquad \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { \log N _ { U } ( \varepsilon , \widehat { \mathfrak { F } } _ { \phi , n } ) } { \varepsilon ^ { - V _ { \phi } } } = O _ { \mathbb { P } } ( 1 ) ,
F _ { \mathrm { P } } ^ { \mathrm { P C A C } } ( q ^ { 2 } ) = \frac { m _ { \mu } ( M _ { ^ 3 \mathrm { H e } } + M _ { ^ 3 \mathrm { H } } ) } { m _ { \pi } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \, F _ { \mathrm { A } } ( q ^ { 2 } ) \ \,
\begin{array} { r l r } { | R _ { N , n } - R _ { N } | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } } } & { = } & { | ( \Phi _ { N } \circ \dots \circ \Phi _ { N } ) ( R _ { N , 0 } ) - R _ { N } | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } } } \\ & { \leqslant } & { \frac { \mathfrak c ^ { n } } { 1 - \mathfrak c } | \Phi _ { N } ( 0 ) | \mathbf 1 _ { \Omega _ { N } } \leqslant \mathfrak c _ { 2 } \mathfrak c ^ { n } \quad \mathrm { w i t h } \quad \mathfrak c _ { 2 } = \frac { \mathfrak c _ { 1 } } { 1 - \mathfrak c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon \approx 2 . 8 \times 1 0 ^ { - 1 6 } } & { { } \left( \frac { 1 0 ^ { 1 0 } } { Q _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { \xi } { 1 0 0 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \left( \frac { 4 \, \textrm { L } } { V } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { 0 . 5 } { C } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \iiint _ { V } d ^ { 3 } l \mathbf { J } ( \mathbf { l } ) \times { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { l } } { | \mathbf { r } - \mathbf { l } | ^ { 3 } } }
\frac { \partial M _ { k } } { \partial t } = \frac { \gamma } { 5 } \bigg ( k ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } M _ { k } } { \partial k ^ { 2 } } - 2 k \frac { \partial M _ { k } } { \partial k } + 6 M _ { k } \bigg ) - 2 \eta k ^ { 2 } M _ { k } ,
\Gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( \theta \neq 0 ) = - \frac { i } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } x \varepsilon ^ { \mu \nu \lambda } [ \kappa + N \mathrm { s g n } ( \kappa ) ] \mathrm { T r } ( A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \lambda } ) .
\begin{array} { r l } { S _ { d , T } } & { { } = \frac { 1 } { \rho C _ { p } | \nabla T | } \left[ \nabla \cdot ( \lambda ^ { \prime } \nabla T ) + \rho \nabla T \cdot \sum _ { k } ^ { } ( \mathcal { D } _ { k } C _ { p , k } \nabla Y _ { k } ) - \sum _ { k } ^ { } h _ { k } \dot { \omega } _ { k } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { | u | \ge t ^ { 1 / 2 } } \! \operatorname* { m a x } \{ t ^ { 1 / 2 } , | u | \} ^ { - d _ { 2 } } t ^ { - 1 / 2 } \, d v _ { I _ { 2 } } ( u ) } & { = t ^ { - 1 / 2 } \int _ { | u | \ge t ^ { 1 / 2 } } \! | u | ^ { - d _ { 2 } } \, d v _ { I _ { 2 } } ( u ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { c t ^ { - 1 / 2 } \int _ { t ^ { 1 / 2 } } ^ { 1 } \! r ^ { - 1 } \, d r } & { \mathrm { i f ~ } d _ { 2 } \ge 1 } \\ { c t ^ { - 1 / 2 } } & { \mathrm { i f ~ } d _ { 2 } = 0 } \end{array} \right. } \\ & { \le c t ^ { - 1 / 2 } \log ( 1 / t ) , } \end{array}
I _ { 2 } ( \omega , \omega ^ { \prime } ) = - \frac { d } { d s } \left( s g ( s ) \int _ { \Gamma } \frac { d z } { 2 \pi i } z ^ { s } \frac { \operatorname { t a n h } ( \omega - z ) } { \omega ^ { \prime } - 2 z } \right) _ { s = 0 } \, ,
\sigma _ { s } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { * 2 } { } \, ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } } } ) \left( ^ 1 ( \overline { { \pi _ { x } } } \pi _ { x } ^ { * } ) - { } ^ { 1 } ( \overline { { \pi _ { y } } } \pi _ { y } ^ { * } ) \right)
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } } & { { } = \epsilon _ { 2 } ( t ) \psi _ { 1 } + \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } \right) \psi _ { 1 } + \hat { H } _ { 1 } \psi _ { 1 } + \langle \psi _ { 2 } | \hat { V } | \psi _ { 2 } \rangle \psi _ { 1 } , } \\ { i \hbar \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t } } & { { } = \epsilon _ { 1 } ( t ) \psi _ { 2 } + \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } \right) \psi _ { 2 } + \hat { H } _ { 2 } \psi _ { 2 } + \langle \psi _ { 1 } | \hat { V } | \psi _ { 1 } \rangle \psi _ { 2 } , } \\ { \epsilon _ { 1 } ( t ) } & { { } = - i \hbar \langle \psi _ { 1 } | \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } \rangle + \langle \psi _ { 1 } | \hat { H } _ { 1 } | \psi _ { 1 } \rangle , } \\ { \epsilon _ { 2 } ( t ) } & { { } = - i \hbar \langle \psi _ { 2 } | \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t } \rangle + \langle \psi _ { 2 } | \hat { H } _ { 2 } | \psi _ { 2 } \rangle . } \end{array}
0 . 9 9 9 \ldots = 9 \left( { \frac { 1 } { 1 0 } } \right) + 9 \left( { \frac { 1 } { 1 0 } } \right) ^ { 2 } + 9 \left( { \frac { 1 } { 1 0 } } \right) ^ { 3 } + \cdots = { \frac { 9 \left( { \frac { 1 } { 1 0 } } \right) } { 1 - { \frac { 1 } { 1 0 } } } } = 1 .
\begin{array} { r l } { J _ { 0 } ( \alpha _ { s } ) } & { = e ^ { - b _ { s } / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { L _ { n } \left( v _ { \perp } ^ { 2 } / 2 \right) } { n \mathrm { ! } } \left( \frac { b _ { s } } { 2 } \right) ^ { n } , } \\ { 2 \frac { J _ { 1 } ( \alpha _ { s } ) } { \alpha _ { s } } } & { = e ^ { - b _ { s } / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { L _ { n } ^ { ( 1 ) } \left( v _ { \perp } ^ { 2 } / 2 \right) } { ( n + 1 ) \mathrm { ! } } \left( \frac { b _ { s } } { 2 } \right) ^ { n } , } \end{array}
z ( \lambda | \lambda _ { j } ) = M \left( \sum _ { h = 1 } ^ { N _ { h } } e ^ { \pm \lambda _ { h } } - \sum _ { c = 1 } ^ { N _ { c } } e ^ { \pm \lambda _ { c } } + \Theta ( 1 - p ) \sum _ { w } e ^ { \pm \lambda _ { w } } \left( 1 + e ^ { \mp i \pi ( p + 1 ) \mathrm { s i g n } ( \Im m \lambda _ { w } ) } \right) - 2 \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s } } e ^ { \pm \lambda _ { s } } \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { \alpha } ( \theta ) \left( \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } G ( t ^ { \alpha } \theta , x + z - y ) G ( t ^ { \alpha } , x ) d x \right) d \theta \right] u _ { 0 } ( y ) d y } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { \alpha } ( \theta ) G \left( t ^ { \alpha } ( 1 + \theta ) , z - y \right) d \theta \right] u _ { 0 } ( y ) d y } \\ & { \ge C \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { \alpha } ( \theta ) \left( 1 + \theta \right) ^ { - N / 2 } d \theta \right) t ^ { - \alpha N / 2 } \int _ { B ( z ; \rho ) } \exp \left( - \frac { | z - y | ^ { 2 } } { 4 t ^ { \alpha } } \right) u _ { 0 } ( y ) d y } \\ & { \ge C \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } h _ { \alpha } ( \theta ) \left( 1 + \theta \right) ^ { - N / 2 } d \theta \right) t ^ { - \alpha N / 2 } M . } \end{array}
H _ { \mathrm { M } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! d k \sum _ { \{ M , N \} } \sum _ { A , B } \omega _ { k } \cdot a _ { k \{ M , N \} } ^ { A \dagger } a _ { k \{ M , N \} } ^ { B } \cdot ( - ) ^ { \sum _ { n } M _ { n } } \eta _ { A B } \ ,
\Gamma _ { r e g } [ V ] = - i \sum _ { i } c _ { i } \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } \int \, d z _ { 1 } \dots d z _ { n } v ( z _ { 1 } ) \star \bar { D } ^ { 2 } D ^ { 2 } G ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \star \dots \star v ( z _ { n } ) \star \bar { D } ^ { 2 } D ^ { 2 } G ( z _ { n } , z _ { 1 } ) ,
{ \frac { 3 2 \pi ^ { 3 } } { \alpha ^ { \prime } \kappa ^ { 2 } } } \cdot { \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } \cdot { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } \cdot \kappa ^ { 2 } \tau _ { 3 } = 4 \pi ^ { 2 } \tau _ { 3 } \cdot { \frac { 2 } { \alpha ^ { \prime } } } .
W _ { \varepsilon } ( y , t ) = \int _ { D } p ( 0 , \xi , t , y ) W _ { \varepsilon } ( \xi , 0 ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ( s , \xi , t , y ) g _ { \varepsilon } ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s
\begin{array} { r } { v _ { \theta } ^ { d i p o l e } [ \theta , z ] = \kappa \left( \frac { \cos \alpha _ { 0 } } { R } ~ \partial _ { \theta _ { 0 } } + \sin \alpha _ { 0 } ~ \partial _ { z _ { 0 } } \right) v _ { \theta } ^ { S t k } [ \theta - \theta _ { 0 } , z - z _ { 0 } ] } \\ { v _ { z } ^ { d i p o l e } [ \theta , z ] = \kappa \left( \frac { \cos \alpha _ { 0 } } { R } ~ \partial _ { \theta _ { 0 } } + \sin \alpha _ { 0 } ~ \partial _ { z _ { 0 } } \right) v _ { z } ^ { S t k } [ \theta - \theta _ { 0 } , z - z _ { 0 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 2 c } ^ { ( 1 ) } } & { = - 2 4 0 i D p ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int d \Omega _ { D } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { l _ { E } ^ { D - 1 } x y ( y + s ) ^ { 2 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } } \\ & { = - 2 4 0 i D p ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int \cdots \int d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { D - 1 } \sin ^ { D - 2 } \varphi _ { 1 } \sin ^ { D - 3 } \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { D - 2 } } \\ & { \quad \times \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x y ( y + s ) ^ { 2 } l _ { E } ^ { D - 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega _ { \eta } ( x ) } & { : = } & { 2 \frac { \eta - x } { \eta ^ { 2 } } \chi _ { [ 0 , \eta ] } ( x ) , } \\ { \omega _ { \eta , \delta } ( x ) } & { : = } & { \frac { 1 } { \eta ^ { 6 } } \frac { 1 6 } { 5 \pi } \left( \eta ^ { 2 } - ( x - \delta ) ^ { 2 } \right) ^ { 5 / 2 } \chi _ { [ - \eta + \delta , \eta + \delta ] } ( x ) , } \end{array}
P _ { \mathrm { ~ g ~ } } ( \tilde { x } _ { t + \Delta t } | x _ { t } ) * \mathcal { N } ( 0 , \sigma ) \approx P _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( x _ { t + \Delta t } | x _ { t } ) * \mathcal { N } ( 0 , \sigma ) ,
\psi _ { J = 0 } = 0 . 9 9 8 4 \phi ( 7 p _ { 1 / 2 } ^ { 2 } p _ { 3 / 2 } ^ { 2 } ) + 0 . 0 5 7 \phi ( 7 p _ { 3 / 2 } ^ { 1 } p _ { 3 / 2 } ^ { 3 } )
\begin{array} { l l } { \prod _ { y \in S ( x ) } \sum _ { j \in \Phi } \exp \left[ - \beta ( \epsilon + J ) \left( 1 - \delta _ { 0 , j } \right) + h _ { j , y } \right] = a ( x ) \exp \, ( h _ { 0 , x } ) , } \\ { \prod _ { y \in S ( x ) } \sum _ { j \in \Phi \setminus \{ 0 \} } \exp \left[ - \beta \epsilon \left( 1 - \delta _ { 0 , j } \right) + h _ { j , y } \right] = a ( x ) \exp \, ( h _ { 1 , x } ) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { y \to \infty } \mathbb { P } \left( \frac { Y _ { t - i , j } - \alpha _ { i , j } y } { y ^ { \beta _ { i , j } } } \leq x \ \Big | \ Y _ { t - k , 1 } = y \right) = H _ { i , j } ( x ) ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho \left( u \right) d u } & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \, \Im \int _ { 0 } ^ { \infty } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( - u \right) d u } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \, \Im \int _ { - \infty } ^ { 0 } W _ { 0 } ^ { \prime } \left( v \right) d v } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow - \infty } \Im \left[ W _ { 0 } \left( 0 \right) - W _ { 0 } \left( t \right) \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow - \infty } \Im \left[ W _ { 0 } \left( t \right) \right] . } \end{array}
\hat { X } ^ { k } = X ^ { k } , \quad \hat { X } ^ { 9 } = Y , \quad \hat { X } ^ { 1 0 } = i A , \quad \hat { x } ^ { k } = x ^ { k } , \quad \hat { x } ^ { 9 } = y , \quad \hat { x } ^ { 1 0 } = i y ,
\begin{array} { r } { \hat { { \cal F } } _ { p j } ( z , t ) = \frac { g _ { p j } ^ { \ast } N } { c } \frac { \left( \omega + d _ { 3 j } \right) \hat { F } _ { 4 j } ( z , t ) - \Omega _ { c } \hat { F } _ { 3 j } ( z , t ) } { D ( \omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } \sigma _ { \alpha \beta } = } & { { } - p \left( \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) - \left( \sigma _ { \alpha \gamma } \partial _ { \gamma } u _ { \beta } + \sigma _ { \beta \gamma } \partial _ { \gamma } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \sigma _ { \mu \nu } \partial _ { \nu } u _ { \mu } \right) } \\ { D _ { t } q _ { \alpha } } & { { } = - q _ { \alpha } \partial _ { \beta } u _ { \beta } - q _ { \beta } \partial _ { \beta } u _ { \alpha } + \frac { 5 } { 2 } R T \partial _ { \alpha } p + \frac { 5 } { 2 } R T \partial _ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } + \frac { 1 } { \rho } \sigma _ { \alpha \beta } \partial _ { \beta } p + \frac { 1 } { \rho } \sigma _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } \sigma _ { \gamma \beta } } \end{array}
U ^ { \gamma _ { 5 } } \; = \; \exp { i \pi ^ { a } \lambda ^ { a } \gamma _ { 5 } } \; = \; \frac { 1 + \gamma _ { 5 } } { 2 } U \; + \; \frac { 1 - \gamma _ { 5 } } { 2 } U ^ { \dagger } .
\begin{array} { r l } { \lVert \boldsymbol { \Lambda } - \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } \rVert ^ { 2 } } & { = \lVert \boldsymbol { \Lambda } \rVert ^ { 2 } + \lVert \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } \rVert ^ { 2 } } \\ & { \phantom { = } - 2 \lVert \boldsymbol { \Lambda } \rVert \lVert \boldsymbol { \Lambda } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } \rVert \cos \angle ( \hat { \boldsymbol { \Lambda } } , \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { \mathrm { C D C ^ { - } } } ) , } \end{array}
\operatorname { E L B O } \left( \phi , \psi \vert y \right) = - \operatorname { \mathbb { E } } _ { w \sim q _ { \phi } , \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ H _ { \beta } ( y , w , \lambda ) \right] + \mathbb { H } \left[ q _ { \phi } \right] + \mathbb { H } \left[ q _ { \psi } \right] - \mathbb { E } _ { \lambda \sim q _ { \psi } } \left[ \log \left( Z _ { \beta } \left( \lambda \right) \right) \right] .
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { s p } ^ { r } \left( x ^ { m } , x ^ { \mu } \right) = U _ { s p } \left( x ^ { m } , x _ { 0 } ^ { m } ; x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) \widetilde { \psi } _ { s p } ^ { r } \left( x _ { 0 } ^ { m } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) \; . } \end{array}