harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { D ^ { 2 } L ^ { i } ( x , a ) = \left( \begin{array} { l l } { D _ { x x } L ^ { i } ( x , a ) } & { D _ { x a } L ^ { i } ( x , a ) } \\ { D _ { a x } L ^ { i } ( x , a ) } & { D _ { a a } L ^ { i } ( x , a ) } \end{array} \right) \geq C _ { L } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { d \times d } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } x , a \in { \mathbb R } ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { P } } & { = - \gamma \left( P - P _ { \mathrm { t h } } \right) + \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P + \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + F _ { P } , } \\ { \dot { \phi } } & { = \Omega _ { 0 } + \frac { \alpha _ { H } } { 2 } \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) + F _ { \phi } , } \\ { \dot { N } } & { = \frac { \eta I } { q } - R \left( N \right) - \Gamma v _ { g } g \left( P , N \right) P - \Gamma v _ { g } g _ { \mathrm { s p } } \left( P , N \right) + F _ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \det \left( \mathbf { L } _ { k } ^ { \left( q \right) } \right) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { r } \det \left( \mathbf { L } _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) \right) , } \\ { \prod _ { \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \in \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } } \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { r } \prod _ { \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \in \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) } \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c ( r , \theta ) } & { = } & { c _ { 0 } + \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } a _ { \ell } ^ { c } \Big ( \frac { R } { r } \Big ) ^ { \ell + 1 } P _ { \ell } ( \cos \theta ) } \\ { c _ { B } ( r , \theta ) } & { = } & { \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } a _ { \ell } ^ { B } f _ { \ell } ^ { B } ( r ) P _ { \ell } ( \cos \theta ) } \\ { c _ { I } ( r , \theta ) } & { = } & { \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } a _ { \ell } ^ { I } f _ { \ell } ^ { I } ( r ) P _ { \ell } ( \cos \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \sigma } = \boldsymbol { c } \boldsymbol { s } ; \quad \boldsymbol { \Sigma } = \boldsymbol { C } \boldsymbol { S } - \boldsymbol { \chi } \boldsymbol { \Phi } ; \quad \boldsymbol { \Delta } = \boldsymbol { e S } + \boldsymbol { \Lambda } \boldsymbol { \Phi } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \psi | \psi \rangle } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \mathbf { x } ^ { \prime } \to \mathbf { x } } \langle 0 | \hat { \Phi } ( \mathbf { x } , z , t ) \hat { \Phi } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z , t ) | 0 \rangle } \end{array}
\delta \Gamma _ { \sf { a n o m . } } ^ { \sigma } = \frac { - 3 6 g ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } M ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y \; \delta ( x + y - 1 ) \Biggl \{ \epsilon m Q ^ { \sigma } \left[ \frac { 2 } { \epsilon } - \gamma + \ln \left( \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { \Delta } \right) \right] \Biggr \} .
\alpha ^ { \mu } \equiv \frac { 4 m _ { \mu } m _ { \pi } L } { m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { i \Gamma _ { \pi } m _ { \pi } } { 2 ( m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } ) } \right]
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { \mathcal { J } \mathcal { M } | \hat { s } _ { 3 , q } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } ^ { \prime } \mathcal { M } \rangle = } \\ & { \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { L , L ^ { \prime } } \delta _ { s , s ^ { \prime } } \delta _ { J , J ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { 2 \mathcal { J } - \mathcal { M } + J + 2 S ^ { \prime } + s + s _ { 3 } } \left[ \mathcal { J } , \mathcal { J } ^ { \prime } , S , S ^ { \prime } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left( \begin{array} { c c c } { \mathcal { J } } & { 1 } & { \mathcal { J } ^ { \prime } } \\ { \mathcal { M } } & { q } & { \mathcal { M } ^ { \prime } } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { c c c } { \mathcal { J } } & { 1 } & { \mathcal { J } } \\ { S ^ { \prime } } & { J } & { S } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { 1 } & { S ^ { \prime } } \\ { s ^ { \prime } } & { s _ { 3 } } & { s } \end{array} \right\} \sqrt { s _ { 3 } ( s _ { 3 } + 1 ) ( 2 s _ { 3 } + 1 ) } , } \end{array}
\Bigl ( \rho _ { p } \! + \! \frac { 1 } { 2 } \rho _ { f } \Bigr ) \frac { d \Delta \boldsymbol { v } } { d t } = - ( \rho _ { p } \! - \! \rho _ { f } ) \frac { d \boldsymbol { v _ { f } } } { d t } - \frac { 9 \mu } { 2 a ^ { 2 } } \Delta \boldsymbol { v } - C _ { d } \frac { 3 \rho _ { f } } { 8 a } | \Delta \boldsymbol { v } | \Delta \boldsymbol { v } , \qquad \Delta \boldsymbol { v } = \boldsymbol { v _ { p } } - \boldsymbol { v _ { f } } .
\oint _ { C } \mathbf { B } \cdot \mathrm { d } { \boldsymbol { l } } = \iint _ { S } \left( \mu _ { 0 } \mathbf { J } + \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } \right) \cdot \mathrm { d } \mathbf { S }
{ \tilde { W } } \gets - ( \theta _ { R } ^ { \mu } \theta _ { R } ^ { \nu } \mathsf { \tilde { a } } _ { \mu \nu } + \theta _ { R } ^ { \mu } \mathsf { \tilde { b } } _ { \mu } + \mathsf { \tilde { c } } ) + ( \theta _ { F } ^ { \mu } \theta _ { F } ^ { \nu } \mathsf { a } _ { \mu \nu } + \theta _ { F } ^ { \mu } \mathsf { b } _ { \mu } + \mathsf { c } )
\begin{array} { r l } { F _ { i } ^ { L F } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( F _ { i } \left( t , n - 1 ; \mathbf { g } \right) + F _ { i } \left( t , n ; \mathbf { g } \right) \right) } \\ & { \quad + \frac { \lambda _ { m } } { 2 } \left( M _ { i } ( t , n - 1 ; \mathbf { g } ) - M _ { i } ( t , n ; \mathbf { g } ) \right) } \\ { \lambda _ { m } } & { = \operatorname* { m a x } _ { p } \{ | \lambda _ { p } ( n - 1 ) | , | \lambda _ { p } ( n ) | \} } \\ { \lambda _ { p } ( n ) } & { = p \mathrm { t h ~ e i g n v a l u e ~ o f ~ } \frac { \partial F ( \mathbf { g } ) } { \partial M ( \mathbf { g } ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( { \mathrm { m o m e n t ~ a r m } } ) \times ( { \mathrm { a m o u n t ~ o f ~ i n e r t i a } } ) \times ( { \mathrm { a m o u n t ~ o f ~ d i s p l a c e m e n t } } ) } & { = { \mathrm { m o m e n t ~ o f ~ ( i n e r t i a ⋅ d i s p l a c e m e n t ) } } } \\ { { \mathrm { l e n g t h } } \times { \mathrm { m a s s } } \times { \mathrm { v e l o c i t y } } } & { = { \mathrm { m o m e n t ~ o f ~ m o m e n t u m } } } \\ { r \times m \times v } & { = L } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { N ( { \bf x } _ { 2 } ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } { ( \lambda _ { S } f ) ^ { 2 } } \, N _ { p } \int \d \Omega \, \left| F _ { S } \left( \Omega , \frac { 2 \pi } { \lambda _ { S } f } \, { \bf x } _ { 2 } \right) \right| ^ { 2 } \Big \{ 1 - | R | ^ { 2 } } \\ & { } & { + \Big | \exp \big [ i k _ { S } ( \Omega , { \bf q } ) L + i \varphi _ { S } ( \Omega ) \big ] + R ^ { * } \, \exp \big [ - i k _ { I } ( - \Omega , - { \bf q } ) L - i \varphi _ { I } ( - \Omega ) \big ] \Big | ^ { 2 } \Big \} , } \end{array}
M _ { K } = \left( \begin{array} { c c c c } { { f ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { - \chi f ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \chi f ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { f + \chi ^ { 2 } f ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) ,
\displaystyle \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } y _ { i } \right) ^ { 2 } = \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \sqrt i x _ { i } \right) \left( \frac { y _ { i } } { \sqrt i } \right) \right) ^ { 2 } \leqslant \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } i { x _ { i } } ^ { 2 } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { { y _ { i } } ^ { 2 } } i \right)
{ \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } } - b _ { 0 } \left( \partial _ { \parallel } { \bf b } - \nabla b _ { \parallel } \right) = - ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } - \nabla \left( \frac { { \bf b } ^ { 2 } } { 2 } \right) + ( { \bf b } \cdot \nabla ) { \bf b } + \frac { b _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } \rho _ { 1 } \left( \partial _ { \parallel } { \bf b } - \nabla b _ { \parallel } \right) \, ,
\bar { c _ { \nu } } ( 1 - \epsilon + 2 \eta ) , \; \; \; \; \; \bar { c _ { \nu } } ( 1 + \frac { 2 } { 3 } \delta + \frac { 1 } { 3 } \epsilon + 2 \eta ) , \; \; \; \; \; \bar { c _ { \nu } } ( 1 + 3 \bar { r } + \frac { 1 } { 3 } \delta + \frac { 2 } { 3 } \epsilon + 2 \eta ) . \; \; \; \; \;
\begin{array} { r l } { h _ { m , n } ( x ) = } & { \frac { \alpha ^ { m } } { ( m - 1 ) ! } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { n - m } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } t ^ { m - 1 } e ^ { - \frac { ( x - t - Q _ { n - m } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { n - m } ^ { 2 } } - \alpha t } H ( t ) d t } \\ { = } & { \frac { \alpha ^ { m } } { ( m - 1 ) ! } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { n - m } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } t ^ { m - 1 } e ^ { - \frac { ( x - t - Q _ { n - m } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { n - m } ^ { 2 } } - \alpha t } d t . } \end{array}
\left( \frac { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 3 } } { \hbar } \right) \alpha ^ { 3 } \tilde { F } _ { M } ( \tilde { r } ) = \frac { 3 } { 2 } \frac { \hbar ^ { 3 } } { m _ { e } ^ { 2 } c } \frac { N _ { \mu } ^ { 2 } } { \left( \frac { \hbar } { m _ { e } c } \right) ^ { 4 } \alpha ^ { - 4 } \tilde { r } ^ { 4 } } \alpha .
< \widetilde { \bf H } _ { 1 } | \widetilde { \bf H } _ { 2 } > \, = \int d ^ { 3 } { \bf r } \widetilde { \bf H } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf r } ) \cdot \widetilde { \bf H } _ { 2 } ( { \bf r } )
\gamma ( \mathbf { C _ { \eta _ { 1 } } } , \mathbf { C _ { \eta _ { 2 } } } ) ( u ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { L M } , } & { \eta _ { 1 } = \eta _ { 2 } \ \mathrm { a n d } \ u = 0 , } \\ { 0 , } & { \eta _ { 1 } = \eta _ { 2 } \ \mathrm { a n d } \ 0 < | u | < L , } \\ { 0 , } & { \eta _ { 1 } \neq \eta _ { 2 } \ \mathrm { a n d } \ | u | < L . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { C _ { n - i ( d + 1 ) } ( n ) } & { = \frac { n ! } { i ! ( n - i ( d + 1 ) ) ! } \frac { 1 } { \beta ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } , \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) } \times } \\ & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } t ^ { n } | t | ^ { 2 \mu _ { 1 } } \frac { ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } } { 1 - t } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { i } { \binom { i } { k } } ( - a ) ^ { i - k } ( \frac { b } { t ^ { d + 1 } } ) ^ { k } \right) d t , } \end{array}
C ( x , x ^ { \prime } ) = \mathbb { E } [ \left( { \mathbf { u } } ( x , t ) - { \mathbf { u } } _ { 0 } ( x ) \right) \left( { \mathbf { u } } ( x ^ { \prime } , t ) - { \mathbf { u } } _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) \right) ]
\begin{array} { r } { \left[ { \begin{array} { c } { \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { \rho ^ { 2 } T } } \\ { - \frac { U _ { 1 } U _ { 3 } } { \rho ^ { 4 } } + \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 3 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } T } \right) \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T } } \\ { - \frac { U _ { 2 } U _ { 3 } } { \rho ^ { 4 } } + \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 3 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } T } \right) \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T } } \\ { - \frac { U _ { 3 } ^ { 2 } } { \rho ^ { 4 } } - \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } T } \right) + \left( - \frac { U _ { 3 } } { \rho ^ { 3 } } + \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { \rho ^ { 2 } T } \right) \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T } } \\ { \frac { U _ { 3 } } { \rho } \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho ^ { 3 } } + \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { 2 U _ { 3 } } { 3 \rho ^ { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { v _ { 3 } - 2 U _ { 3 } } { \rho T } - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T ^ { 2 } } \right) + \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { T } \right) } \end{array} } \right] ^ { T } \mathcal { M } ( F ) . } \end{array}
\left. \frac { d } { d \phi } \log \mathrm { P r } ( z ) \right| _ { z = \hat { z } } = \frac { \hat { z } } { \hat { \phi } } - \frac { s - \hat { z } } { 1 - \hat { \phi } } = 0 \quad \Longrightarrow \quad \hat { \phi } = \frac { \hat { z } } { s } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { s } \hat { b } _ { i } } { s } .
B _ { a b } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) = \Bigl [ \delta ( \tau _ { 1 } - \tau _ { a } ) - \delta ( \tau _ { 1 } - \tau _ { b } ) \Bigr ] \Bigl [ \delta ( \tau _ { a } - \tau _ { 2 } ) - \delta ( \tau _ { b } - \tau _ { 2 } ) \Bigr ] \quad
p _ { B _ { \alpha } ^ { \circ } } \bigl ( R _ { f } ^ { t } ( y ) \bigr ) = \operatorname* { s u p } _ { e ^ { \prime } \in B _ { \alpha } ^ { \circ } } \bigl | y \bigl ( R _ { f } ( e ^ { \prime } ) \bigr ) \bigr | = \operatorname* { s u p } _ { x \in R _ { f } ( B _ { \alpha } ^ { \circ } ) } | y ( x ) | \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in K _ { \alpha } } | y ( x ) |
\begin{array} { l l l } { [ \mathcal { D } \mathbf { a } ( \mathbf { u } _ { \mathrm { B } , h } ^ { m - 1 } ) ( \mathbf { u } _ { h } ^ { m } ) , { \mathbf { v } } _ { h } ] + [ \mathbf { b } ( { \mathbf { v } } _ { h } ) , ( p _ { h } ^ { m } , \lambda _ { h } ^ { m } ) ] } & { = } & { [ \mathbf { f } , { \mathbf { v } } _ { h } ] + \mathtt { F } \, ( \mathrm { p } - 2 ) \, ( | \mathbf { u } _ { \mathrm { B } , h } ^ { m - 1 } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } _ { \mathrm { B } , h } ^ { m - 1 } , { \mathbf { v } } _ { \mathrm { B } , h } ) _ { \mathrm { B } } \, , } \\ { [ \mathbf { b } ( \mathbf { u } _ { h } ^ { m } ) , ( q _ { h } , \xi _ { h } ) ] } & { = } & { [ \mathbf { g } , ( q _ { h } , \xi _ { h } ) ] \, , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { { \cal T } _ { z z } = T _ { z z } ^ { g r a v } + { \frac { 1 } { 2 } } T _ { z z } ^ { g h } , } } & { { { \cal J } _ { z } = J _ { z } ^ { g r a v } + { \frac { 1 } { 2 } } J _ { z } ^ { g h } , } } \\ { { { \cal G } _ { + z } = { G } _ { + z } ^ { g r a v } + { \frac { 1 } { 2 } } { G } _ { + z } ^ { g h } , } } & { { { \cal G } _ { - z } = G _ { - z } ^ { g r a v } + { \frac { 1 } { 2 } } G _ { - z } ^ { g h } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d \ddot { \theta } _ { 1 } ( t ) = } & { - \frac { 1 } { d _ { 1 } ( t ) } \biggl ( d _ { 2 } ( t ) \ddot { \theta } _ { 2 } ( t ) + \phi _ { 1 } ( t ) \biggr ) , } \\ { d \ddot { \theta } _ { 2 } ( t ) = } & { \frac { 1 } { m _ { 2 } \ell _ { c _ { 2 } } ^ { 2 } + I _ { 2 } - \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) } { d _ { 1 } ( t ) } } \biggl ( d a ( t ) + d W ( t ) + \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } ( t ) } { d _ { 1 } ( t ) } \phi _ { 1 } ( t ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad - m _ { 2 } \ell _ { 1 } \ell _ { c _ { 2 } } \dot { \theta } _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } \sin \theta _ { 2 } ( t ) - \phi _ { 2 } ( t ) \biggr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \kappa ^ { ( { \bf I I I } ) } ( \lambda ) } & { = } & { 1 7 2 8 \tan \left( \frac { 3 \pi } { 4 } + \frac { \pi \lambda } { 1 2 } \right) } \\ & { \times } & { \frac { \Gamma \left( \frac { 7 } { 1 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 6 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( 1 - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 2 } { 3 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 3 } { 1 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 7 } { 1 2 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 6 } + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( 1 + \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( - \frac { 1 } { 3 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 1 2 } - \frac { \lambda } { 1 2 } \right) } } \end{array}
\mathbf { a } _ { 1 } = \mathbf { a } _ { 0 } + \left[ \mathbf { A } \left( \bar { \mathbf { a } } , \bar { t } \right) + \underline { { \mathbf { B } } } \left( \bar { \mathbf { a } } , \bar { t } \right) \cdot \mathbf { w } \right] \, \Delta t \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { { W } } _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) = } & { ( x _ { 1 } - i y _ { 1 } ) ( x _ { 2 } + i y _ { 2 } ) e ^ { - r _ { 1 } ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } e ^ { - r _ { 2 } ^ { 2 } / 2 \sigma ^ { 2 } } } \\ & { \int \tilde { \mu } _ { 0 } ( \textbf { K } ) e ^ { i \textbf { K } \cdot { \textbf { R } } } d ^ { 2 } K } \end{array}
\varepsilon ( k , \omega ) = 1 - \frac { e ^ { 2 } } { 2 k \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { k } } \int \int \frac { p d p d \theta } { { \bf k } \cdot { \bf v } - \omega } { \bf k } \cdot \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial \bf p } .
e _ { j i } \left( \mathbf { x } , \beta \right) = \frac { 1 } { N } p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } + \delta \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } ^ { j i } \left( \beta \right) x _ { k } + O \left( \delta ^ { 2 } \right)
\mathrm { ~ \bf ~ { ~ D ~ } ~ } _ { B } = \left( \begin{array} { l l l } { \dot { \varepsilon } _ { B } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \dot { \varepsilon } _ { B } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 2 \dot { \varepsilon } _ { B } } \end{array} \right) .
{ \boldsymbol { \Sigma } } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { { \operatorname { V a r } \left( X _ { 1 ( 1 ) } \right) } } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 1 ) } , X _ { 1 ( 2 ) } \right) } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 1 ) } , X _ { 1 ( 3 ) } \right) } & { \cdots } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 1 ) } , X _ { 1 ( k ) } \right) } \\ { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 2 ) } , X _ { 1 ( 1 ) } \right) } & { \operatorname { V a r } \left( X _ { 1 ( 2 ) } \right) } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 2 ) } , X _ { 1 ( 3 ) } \right) } & { \cdots } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 2 ) } , X _ { 1 ( k ) } \right) } \\ { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 3 ) } , X _ { 1 ( 1 ) } \right) } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 3 ) } , X _ { 1 ( 2 ) } \right) } & { \operatorname { V a r } \left( X _ { 1 ( 3 ) } \right) } & { \cdots } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( 3 ) } , X _ { 1 ( k ) } \right) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( k ) } , X _ { 1 ( 1 ) } \right) } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( k ) } , X _ { 1 ( 2 ) } \right) } & { \operatorname { C o v } \left( X _ { 1 ( k ) } , X _ { 1 ( 3 ) } \right) } & { \cdots } & { \operatorname { V a r } \left( X _ { 1 ( k ) } \right) } \end{array} \right] } ~ .
L _ { B I - \textrm { t y p e } } \approx \mathcal { F } + \frac { ( 1 - p ) } { p } \, \frac { c ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \frac { \mathcal { F } ^ { 2 } } { 2 } + \zeta \, \frac { c ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \frac { \mathcal { G } ^ { 2 } } { 2 } \, ,
\begin{array} { r l r } { x } & { { } = } & { \frac { 1 } { \left[ 1 + \exp ( \dot { S } _ { \bf k } ^ { \eta } ( x ) ) \right] \left[ 1 + B _ { \bf k } \exp \left( A \dot { S } _ { \bf k } ^ { \eta } ( x ) \right) \right] } , } \end{array}
S _ { 1 1 } ( f ) = \frac { ( Q _ { \mathrm { e } , n } - Q _ { \mathrm { i } , n } ) / Q _ { \mathrm { e } , n } + 2 i Q _ { \mathrm { i } , n } ( f - f _ { n } ) / f } { ( Q _ { \mathrm { e } , n } + Q _ { \mathrm { i } , n } ) / Q _ { \mathrm { e } , n } + 2 i Q _ { \mathrm { i } , n } ( f - f _ { n } ) / f }
\begin{array} { r } { ( M _ { E } , M _ { \mathrm { m } } ^ { \rho } , M _ { \mathrm { m } } ^ { p } ) = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { r } \d u \, u ^ { 2 } ( \rho _ { E } , \rho _ { \mathrm { m } } , p _ { \mathrm { m } } ) , \quad M _ { \Lambda } = \frac { 4 \pi } { 3 } \rho _ { \Lambda } r ^ { 3 } = \frac { \Lambda ^ { 2 } r ^ { 3 } } { 6 G } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , z ) } & { = 2 \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( \pi x ) \ \mathrm { s i n } ( 2 \pi y ) \ \mathrm { s i n } ( 2 \pi z ) \ \mathrm { c o s } \Bigg ( \frac { \pi } { T } t \Bigg ) } \\ { v ( x , y , z ) } & { = - \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( \pi y ) \ \mathrm { s i n } ( 2 \pi x ) \ \mathrm { s i n } ( 2 \pi z ) \ \mathrm { c o s } \Bigg ( \frac { \pi } { T } t \Bigg ) } \\ { w ( x , y , z ) } & { = - \mathrm { s i n } ^ { 2 } ( \pi z ) \ \mathrm { s i n } ( 2 \pi x ) \ \mathrm { s i n } ( 2 \pi y ) \ \mathrm { c o s } \Bigg ( \frac { \pi } { T } t \Bigg ) } \end{array}
\ddot { \zeta } + \frac { \dot { m } } { m } \dot { \zeta } - \frac { 1 } { 4 m ^ { 2 } \zeta ^ { 3 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \lambda _ { 2 n } ( t ) } { 2 ^ { k - 1 } ( k - 1 ) ! ( 2 n - 2 k ) ! } q _ { c } ^ { 2 n - 2 k } [ \hbar \zeta ^ { 2 } \coth ( \frac { \beta \omega _ { 0 } } { 2 } ) ] ^ { k - 1 } \zeta = 0 .
\begin{array} { r l r l r l r } & { } & { \tilde { \gamma } _ { \mathrm { b l } } = \gamma _ { \mathrm { b l } } / \gamma , \quad } & { } & { \tilde { l } = N \ell _ { k } / h _ { p } , \quad } & { } & { \tilde { T } = \frac { h _ { p } ^ { 3 } k _ { B } T } { A _ { 0 } \ell _ { K } ^ { 3 } } , } \\ & { } & { \tilde { M } = \frac { 3 M \gamma h _ { p } \eta } { A _ { 0 } } , \quad } & { } & { \tilde { U } = \frac { 3 U h _ { p } ^ { 3 } \eta \sqrt { \gamma } } { \sqrt { A _ { 0 } } ^ { 3 } } , \quad } & { } & { \tilde { D } = \frac { 3 \eta D } { h _ { p } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A t t e n t i o n } \left( Q , K , V \right) } & { { } = \mathrm { s o f t m a x } \left( \frac { Q K ^ { \mathrm { T } } } { \sqrt { d _ { \mathrm { H } } / h } } + M \right) V , } \end{array}
Y ( L _ { - n _ { 1 } - 2 } L _ { - n _ { 2 } - 2 } . . . L _ { - n _ { k } - 2 } | 0 \rangle , z ) \equiv { \frac { 1 } { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! . . n _ { k } ! } } : \partial ^ { n _ { 1 } } L ( z ) \partial ^ { n _ { 2 } } L ( z ) . . . \partial ^ { n _ { k } } L ( z ) :
\begin{array} { r l r l } & { e ^ { - \frac { \alpha \pi i \sigma _ { 3 } } { 2 } } , } & { \zeta } & { \in \Lambda _ { 1 } \cup \Lambda _ { 2 } , } \\ & { e ^ { \frac { \alpha \pi i \sigma _ { 3 } } { 2 } } , } & { \zeta } & { \in \Lambda _ { 3 } \cup \Lambda _ { 4 } , } \\ & { e ^ { \frac { \alpha \pi i \sigma _ { 3 } } { 2 } } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 3 } , } & { \zeta } & { \in \Lambda _ { 5 } \cup \Lambda _ { 6 } , } \\ & { e ^ { - \frac { \alpha \pi i \sigma _ { 3 } } { 2 } } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 3 } , } & { \zeta } & { \in \Lambda _ { 7 } \cup \Lambda _ { 8 } . } \end{array}
h ( \Lambda ) ^ { 2 } = { \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } } { 2 1 \ln ( \Lambda _ { T C } ^ { 2 } / m _ { s } ^ { 2 } ) + 9 \ln ( m _ { s } ^ { 2 } / m _ { s f } ^ { 2 } ) } } .