harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Vert \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( g + \delta g ) - \mathcal { J } _ { 2 } ^ { \prime } ( g ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } = \Vert \delta \varphi ( \ell , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \leq \frac { \ell ^ { 3 } } { 3 } \Vert \delta \varphi _ { x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } h + \frac { \partial } { \partial x } ( h u ) + \frac { \partial } { \partial y } ( h v ) = 0 } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } ( h u ) + \frac { \partial } { \partial x } \left( \frac { ( h u ) ^ { 2 } } { h } + \frac { 1 } { 2 } g ( h ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) \right) + \frac { \partial } { \partial y } ( h u v ) = - g ( h + b ) \frac { \partial b } { \partial x } - \frac { g n ^ { 2 } \sqrt { ( h u ) ^ { 2 } + ( h v ) ^ { 2 } } } { h ^ { 7 / 3 } } ( h u ) } \\ & { \frac { \partial } { \partial t } ( h v ) + \frac { \partial } { \partial x } ( h u v ) + \frac { \partial } { \partial y } \left( \frac { ( h v ) ^ { 2 } } { h } + \frac { 1 } { 2 } g ( h ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) \right) = - g ( h + b ) \frac { \partial b } { \partial x } - \frac { g n ^ { 2 } \sqrt { ( h u ) ^ { 2 } + ( h v ) ^ { 2 } } } { h ^ { 7 / 3 } } ( h v ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( n , \vec { r } , \vec { \tau } , x | t ) P ( t ) } & { = } & { P ( x | n , \vec { r } , \vec { \tau } , t ) P ( n , \vec { r } , \vec { \tau } | t ) P ( t ) } \\ & { = } & { P ( x | n , \vec { r } , \vec { \tau } , t ) P ( n | \vec { r } , \vec { \tau } , t ) P ( \vec { r } , \vec { \tau } | t ) P ( t ) } \\ & { = } & { P ( x | n , \vec { r } , \vec { \tau } , t ) P ( n ) P ( \vec { r } | \vec { \tau } , t ) P ( \vec { \tau } | t ) P ( t ) } \\ & { = } & { P ( x | n , \vec { r } , \vec { \tau } , t ) P ( n ) P ( \vec { r } ) P ( t | \vec { \tau } ) P ( \vec { \tau } ) . } \end{array}
r _ { Q } ^ { 2 } = \Bigl [ \Bigl ( { \frac { m _ { d } } { m _ { Q } + m _ { d } } } \Bigr ) ^ { 2 } + { \frac { 2 b } { \pi ^ { 3 } m _ { Q } ^ { 2 } } } \zeta ( 3 ) \Bigr ] \langle r ^ { 2 } \rangle
\begin{array} { r l } & { P ( \mathrm { S u c c e s s ~ w i t h ~ \textbf { S t r a t e g y ~ 1 } ~ o n ~ f i r s t ~ r _ 2 ~ - ~ 1 ~ c a n d i d a t e s } ) } \\ & { \quad + P ( \mathrm { N o ~ s e l e c t i o n s ~ m a d e ~ w i t h ~ \textbf { S t r a t e g y ~ 1 } ~ } \cap \mathrm { ~ S u c c e s s ~ w i t h ~ \textbf { S t r a t e g y ~ 2 } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \Delta C _ { A } } \\ { \Delta C _ { B } } \end{array} \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { a _ { \Delta T , A } } & { a _ { \Delta T , B } } \\ { a _ { \Delta \epsilon , A } } & { a _ { \Delta \epsilon , B } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \Delta T } \\ { \Delta \epsilon } \end{array} \right) , } \end{array}
\xi _ { n } \frac { \partial f } { \partial x _ { n } } + \xi _ { t _ { 1 } } \frac { \partial f } { \partial x _ { t _ { 1 } } } + \xi _ { t _ { 2 } } \frac { \partial f } { \partial x _ { t _ { 2 } } } = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \mathcal { L } f .
{ \begin{array} { r l } & { ~ ~ { \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } \mathrm { T r } [ \gamma ^ { \mu } ( \not p _ { 2 } + m ) \gamma ^ { \nu } ( \not p _ { 3 } + m ) ] \mathrm { T r } [ \gamma _ { \mu } ( \not p _ { 1 } + m ) \gamma _ { \nu } ( \not p _ { 4 } + m ) ] } \\ & { = { \frac { 3 2 } { u ^ { 2 } } } { \big ( } p _ { 1 2 } p _ { 3 4 } + p _ { 1 3 } p _ { 2 4 } - m ^ { 2 } p _ { 2 3 } - m ^ { 2 } p _ { 1 4 } + 2 m ^ { 4 } { \big ) } } \\ & { = { \frac { 8 } { u ^ { 2 } } } ( s ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 8 m ^ { 2 } ( s + t ) + 2 4 m ^ { 4 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mu _ { t } ( { \ddot { r } } - R { \ddot { \theta } } ) } & { { } = r { \dot { \theta } } ^ { 2 } + g ( \cos { \theta } - \mu ) } \\ { r { \ddot { \theta } } } & { { } = - 2 { \dot { r } } { \dot { \theta } } + R { \dot { \theta } } ^ { 2 } - g \sin { \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \left( \mathbf { I } - \mathbf { Q Q } ^ { T } \right) \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } \| _ { 2 } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { p \in \mathbb { P } _ { k - 1 } } \| \alpha _ { i } \mathbf { v } _ { i } - p ( \mathbf { A } ) \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } \mathbf { v } _ { j } \| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \hat { \delta q } _ { A } } { d t } } & { = } & { \omega _ { m } ^ { A } \hat { \delta p } _ { A } , } \\ { \frac { d \hat { \delta q } _ { B } } { d t } } & { = } & { \omega _ { m } ^ { B } \hat { \delta p } _ { B } , } \\ { \frac { d \hat { \delta p } _ { A } } { d t } } & { = } & { - \omega _ { m } ^ { A } \hat { \delta q } _ { A } - \gamma _ { m } ^ { A } \hat { \delta p } _ { A } + \mu _ { A } \hat { \delta X } _ { A } + \hat { I } _ { A } , } \\ { \frac { d \hat { \delta p } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \omega _ { m } ^ { B } \hat { \delta q } _ { B } - \gamma _ { m } ^ { B } \hat { \delta p } _ { B } + \mu _ { B } \hat { \delta X } _ { B } + \hat { I } _ { B } , } \\ { \frac { d \hat { \delta X } _ { A } } { d t } } & { = } & { - \kappa _ { A } \hat { \delta X } _ { A } + \Delta _ { A } \hat { \delta Y } _ { A } + \sqrt { 2 \kappa _ { A } } \hat { \delta X } _ { i n } ^ { A } - i \frac { J } { \sqrt { 2 } } ( \beta _ { s } - \beta _ { s } ^ { * } ) + J \hat { \delta Y } _ { B } , } \\ { \frac { d \hat { \delta X } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \kappa _ { B } \hat { \delta X } _ { B } + \Delta _ { B } \hat { \delta Y } _ { B } + \sqrt { 2 \kappa _ { B } } \hat { \delta X } _ { i n } ^ { B } - i \frac { J } { \sqrt { 2 } } ( \alpha _ { s } - \alpha _ { s } ^ { * } ) + J \hat { \delta Y } _ { A } , } \\ { \frac { d \hat { \delta Y } _ { A } } { d t } } & { = } & { - \kappa _ { A } \hat { \delta Y } _ { A } + \Delta _ { A } \hat { \delta X } _ { A } + \sqrt { 2 \kappa _ { A } } \hat { \delta Y } _ { i n } ^ { A } + S _ { A } \hat { \delta q } _ { A } - J ( \beta _ { s } + \beta _ { s } ^ { * } ) - J \hat { \delta X } _ { B } , } \\ { \frac { d \hat { \delta Y } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \kappa _ { B } \hat { \delta Y } _ { B } + \Delta _ { B } \hat { \delta X } _ { B } + \sqrt { 2 \kappa _ { B } } \hat { \delta Y } _ { i n } ^ { B } + S _ { B } \hat { \delta q } _ { B } - J ( \alpha _ { s } + \alpha _ { s } ^ { * } ) - J \hat { \delta X } _ { A } , } \\ { \frac { d \hat { \delta Q } _ { A } } { d t } } & { = } & { - \Omega _ { A } \hat { \delta P } _ { A } - \gamma _ { s m } ^ { A } \hat { \delta Q } _ { A } + \hat { I } _ { 2 m } ^ { A } , } \\ { \frac { d \hat { \delta Q } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \Omega _ { B } \hat { \delta P } _ { B } - \gamma _ { s m } ^ { B } \hat { \delta Q } _ { B } + \hat { I } _ { 2 m } ^ { B } , } \\ { \frac { d \hat { \delta P } _ { A } } { d t } } & { = } & { - \nu _ { A } + \Omega _ { A } \hat { \delta Q } _ { A } + \mu _ { A } \hat { \delta X } _ { A } - \gamma _ { s m } ^ { A } \hat { \delta P } _ { A } + \hat { I } _ { 1 m } ^ { A } , } \\ { \frac { d \hat { \delta P } _ { B } } { d t } } & { = } & { - \nu _ { B } + \Omega _ { B } \hat { \delta Q } _ { B } + \mu _ { B } \hat { \delta X } _ { B } - \gamma _ { s m } ^ { B } \hat { \delta P } _ { B } + \hat { I } _ { 1 m } ^ { B } . } \end{array}
\mathbf { b } ^ { i } \cdot \mathbf { b } _ { j } = \delta _ { j } ^ { i } \quad \Rightarrow \quad \mathbf { b } ^ { 1 } \cdot \mathbf { b } _ { 1 } = 1 , ~ \mathbf { b } ^ { 1 } \cdot \mathbf { b } _ { 2 } = \mathbf { b } ^ { 1 } \cdot \mathbf { b } _ { 3 } = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf { b } ^ { 1 } = A ~ ( \mathbf { b } _ { 2 } \times \mathbf { b } _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { p _ { i } ^ { n } ( t ) } & { = \left( \Lambda _ { i } ^ { n } \right) ^ { - 1 } \left( \lambda _ { i } ^ { n } ( t ) \right) } \\ & { = \left( \Lambda _ { i } ^ { n } \right) ^ { - 1 } \left( n \lambda _ { i } ^ { * } + \sqrt { n } q ( t ) \right) } \\ & { = \Lambda _ { i } ^ { - 1 } \left( \lambda _ { i } ^ { * } + \frac { q ( t ) } { \sqrt { n } } \right) , } \end{array}
I _ { n } ( \Delta ; \varepsilon ) = \int _ { z _ { 1 } ( \Delta ) } ^ { z _ { 2 } ( \Delta ) } \frac { z ^ { n } } { H _ { \varepsilon } ^ { + } ( f _ { \Delta } ( z ) ) } d z = \int _ { z _ { 1 } ( \Delta ) } ^ { z _ { 2 } ( \Delta ) } \frac { ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) ) z ^ { n } } { \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) ) } } d z ,
- 2 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} - \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \}
\mathrm { D e t ^ { \prime } } _ { P } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \Bigl [ - { \partial } _ { \tau } ^ { 2 } + 2 i e F { \partial } _ { \tau } \Bigr ] = { \lbrack 4 \pi T \rbrack } ^ { - { \frac { D } { 2 } } } \mathrm { D e t ^ { \prime } } _ { P } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \Bigl [ { \bf I } - 2 i e F { { \partial } _ { \tau } } ^ { - 1 } \Bigr ] \quad
{ \bar { E } } _ { \mathrm { r e f } } = \frac 1 { n _ { \mathrm { o p t } } } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \mathrm { o p t } } } \frac { \hat { H } ( { \bf R } _ { n } ) \Psi _ { \mathrm { S J } } ( { \bf R } _ { n } ) } { \Psi _ { \mathrm { S J } } ( { \bf R } _ { n } ) } \; .
\ddot { q } _ { n n ^ { \prime } } ^ { l } + \omega _ { l n ^ { \prime } } ^ { 2 } ( t ) q _ { n n ^ { \prime } } ^ { l } = 2 h \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \dot { q } _ { n p } ^ { l } a _ { p n ^ { \prime } } ^ { l } + \dot { h } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } q _ { n p } ^ { l } a _ { p n ^ { \prime } } ^ { l } + h ^ { 2 } \sum _ { p , s = 1 } ^ { \infty } q _ { n p } ^ { l } a _ { p s } ^ { l } a _ { n ^ { \prime } s } ^ { l } .
L _ { e } = \left( \frac { v _ { p } } { v _ { r } } \right) ^ { 3 } \mathrm { l n } ( \Lambda _ { f } ) \simeq \left( \frac { v _ { p } } { v _ { F } } \right) ^ { 3 } \mathrm { l n } ( \Lambda _ { f } ) ,
A _ { i } ^ { N V } ( x ) = 2 \pi ( \frac { \tau _ { 3 } } { 2 i } ) \epsilon _ { i j 3 } \partial _ { j } \{ \int _ { 0 } ^ { \infty } d z _ { 3 } + \int _ { 0 } ^ { - \infty } d z _ { 3 } \} \Delta _ { m } ( x - z ) .
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } } & { \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \approx } \frac { 3 D _ { \alpha } + 9 D _ { \beta } ^ { 2 } } { 1 - ( 3 D _ { \alpha } + 9 D _ { \beta } ^ { 2 } ) } \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \sim } \frac { 1 } { 2 M _ { T , c } K \sqrt { 1 - \frac { t } { t _ { c } } } } \mathrm { , } } \\ { B _ { 2 _ { L } } } & { \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \approx } B _ { 2 _ { L } ^ { * } } = 3 D _ { \beta _ { L } } B _ { 1 } \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \sim } \frac { M _ { T , c } - 1 } { M _ { T , c } K \sqrt { 1 - \frac { t } { t _ { c } } } } \mathrm { , } } \\ { B _ { 2 _ { R } } } & { \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \approx } B _ { 2 _ { R } ^ { * } } = 3 D _ { \beta _ { R } } B _ { 1 } \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \sim } \frac { M _ { T , c } - 1 } { M _ { T , c } K \sqrt { 1 - \frac { t } { t _ { c } } } } \mathrm { , } } \\ { B _ { 3 } } & { \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \approx } B _ { 3 ^ { * } } = 9 D _ { \beta _ { L } } D _ { \beta _ { R } } B _ { 1 } \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \sim } \frac { ( M _ { T , c } - 1 ) ^ { 2 } } { M _ { T , c } K \sqrt { 1 - \frac { t } { t _ { c } } } } \mathrm { . } } \end{array}
m _ { D } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } ( \kappa v _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 1 - \frac { m _ { C W } ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } + m _ { C W } ^ { 2 } } ) \ \ \ \sim \ \ \ 1 0 ^ { - 6 } \ e V
\bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ b ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ L ~ O ~ } } : = \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } , ~ \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ , ~ b ~ c ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } : = \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + \Theta _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } .
\begin{array} { r l } & { Q _ { \mathrm { M } + j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } + j } = 0 \quad ( j = 2 , \cdots , j _ { \operatorname* { m a x } } ) , } \\ & { \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } + 1 } } ^ { \infty } ( Q _ { \mathrm { M } + j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } + j } ) \le \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ & { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ( Q _ { \mathrm { M } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } - j } ) \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ & { \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } + 1 } } ^ { \infty } ( Q _ { \mathrm { M } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } - j } ) \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { a } _ { i } ( p ^ { \boxtimes _ { d } m } ) = \widetilde { a } _ { i } ( p ) ^ { m } \xrightarrow { m \rightarrow \infty } \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \widetilde { a } _ { i } ( p ) < 1 , } \\ { 1 , } & { \widetilde { a } _ { i } ( p ) = 1 , } \\ { \infty , } & { \widetilde { a } _ { i } ( p ) > 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
S ^ { - 1 } ( p ) = S _ { 0 } ^ { - 1 } ( p ) - g ^ { 2 } C _ { F } i \int { \frac { d ^ { n } q } { ( 2 \pi ) ^ { n } } } \Gamma _ { \mu } ( p , q ) S ( p - q ) \gamma _ { \nu } D _ { \mu \nu } ^ { 0 } ( q ) ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname { a r g m i n } _ { \boldsymbol { \Delta } } \ \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { p } - 1 } \lambda _ { \delta } \| \delta ( \tau ) \| ^ { 2 } + \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { p } - 1 } \lambda _ { \Delta \delta } \| \delta ( \tau ) - \delta ( \tau - 1 ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \mu ^ { k \top } A \boldsymbol { \Delta } + \left( \frac { \rho } { 2 } \right) \| A \boldsymbol { \Delta } - c _ { \boldsymbol { \Delta } } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } , } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \; \; \; \delta ( \tau ) \in [ \delta _ { \operatorname* { m i n } } , \delta _ { \operatorname* { m a x } } ] , } \end{array}
\mathrm { c o e f f . \; o f } \; \mathrm { t r } \left( \lambda ^ { d _ { 0 } } \lambda ^ { d _ { 1 } } \lambda ^ { d _ { 2 } } \lambda ^ { d } \lambda ^ { d ^ { \prime } } \right) = - \mathrm { c o e f f . \; o f } \; \mathrm { t r } \left( \lambda ^ { d _ { 0 } } \lambda ^ { d _ { 1 } } \lambda ^ { d _ { 2 } } \lambda ^ { d ^ { \prime } } \lambda ^ { d } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { E _ { f l u x } ( k ) } & { { } = \mathfrak { R } \left( - \Pi ( k ) ^ { * } \hat { \bar { \psi } } \right) \, , } \\ { Z _ { f l u x } ( k ) } & { { } = \mathfrak { R } \left( - \Pi ( k ) ^ { * } \hat { \bar { \omega } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { L } _ { D K ^ { - } } } & { { } = \{ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } : \hat { \mathbf { n } } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } < 0 , \hat { \mathbf { n } } ^ { D K } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } > 0 \} , } \\ { \mathbb { L } _ { 1 ^ { - } D } } & { { } = \{ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } : \hat { \mathbf { n } } ^ { + } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } < 0 , \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } > 0 \} , } \end{array}
\| w _ { i } ( t ) \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } + \frac { \nu _ { i } q _ { 0 } ( q _ { 0 } - 1 ) } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } - 2 } | \nabla w _ { i } | ^ { 2 } \, d x d s \leq \| w _ { 0 } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } + C _ { 0 } \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } J _ { j } \, d s + M ( t ) ,
\int \cosh ^ { n } a x \, d x = { \frac { 1 } { a n } } ( \sinh a x ) ( \cosh ^ { n - 1 } a x ) + { \frac { n - 1 } { n } } \int \cosh ^ { n - 2 } a x \, d x \qquad { \mathrm { ( f o r ~ } } n > 0 { \mathrm { ) } }
H = m _ { Q } + V ( { \bf { r } } ) + \frac { { \bf { k } } ^ { 2 } } { 2 m _ { Q } } + g \frac { { \bf { \sigma } } \cdot { \bf { B } } } { 2 m _ { Q } } + O \biggl ( \frac { 1 } { m _ { Q } ^ { 2 } } \biggr ) \; ,
T ( Y \mid X ) = \left\{ \begin{array} { c l } { { \frac { 1 } { 4 \pi A } } } & { { \mathrm { i f } ~ \frac { \chi } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \sin ( 2 \chi ) < A } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mu ( t - t ^ { \prime } ) = } & { \sum _ { i } \Biggl [ \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { i } ^ { 2 } } ( t - t ^ { \prime } ) \cos ( \omega _ { i } ( t - t ^ { \prime } ) ) } \\ & { - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } ^ { 3 } } \sin ( \omega _ { i } ( t - t ^ { \prime } ) ) \Biggr ] . } \end{array}
\hat { \phi } _ { \mathrm { p } } = \hat { \phi } _ { \mathrm { p 1 } } + \hat { \phi } _ { \mathrm { p 2 } } = v _ { \mathrm { p } } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { N } \mathrm { d } s \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { j } ( s ) )
\{ \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ P ~ a ~ r ~ } _ { 1 } \} \rightarrow \{ \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ P ~ a ~ r ~ } _ { 2 } \} \equiv \{ \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ P ~ a ~ r ~ } _ { 1 } \} \rightarrow \{ \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } _ { 2 } , \mathrm { ~ P ~ a ~ r ~ } _ { 2 } \}
\begin{array} { r } { { \overline { { \beta } } } ( x ) = \frac { \int _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \theta , x = 0 } } ^ { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \theta , x } } \beta ( \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \theta , x } ) { \: } d \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \theta , x } } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \theta , x } - \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \theta , x = 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { k } ^ { \left( n \right) } T = \operatorname { d i a g } \left( \left[ \mathbf { F } _ { k + 1 } ^ { \left( n \right) } , \mathbf { 0 } \right] \right) , } \end{array}
\tilde { \Phi } _ { n + 1 } ( i \tilde { \mathcal { L } } z ) = 2 i \tilde { \mathcal { L } } \tilde { \Phi } _ { n } ( i \tilde { \mathcal { L } } z ) + \tilde { \Phi } _ { n - 1 } ( i \tilde { \mathcal { L } } z ) .
\begin{array} { r l r } { \left\{ \Phi _ { D } ^ { ( 0 ) } \right\} } & { { } = } & { \left\{ \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} \cup \left\{ \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} \cup \left\{ \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \gamma _ { 1 } } [ \rho L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) ] } & { = L _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 2 } - h _ { 1 } ) + L _ { \gamma _ { 1 } } ( \rho ( L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } - L _ { \gamma _ { 2 } } ^ { * } ) ( f _ { 2 } ) ) } \\ & { = ( b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) ) \zeta f ^ { m } + R ( \gamma _ { 1 } ) - R ( \gamma _ { 2 } ) + \mathcal Q _ { \gamma _ { 1 } } ( h _ { 1 } ) - \mathcal Q _ { \gamma _ { 2 } } ( h _ { 2 } ) } \\ & { \qquad + ( L _ { \gamma _ { 1 } } - L _ { \gamma _ { 2 } } ) ( h _ { 2 } ) + L _ { \gamma _ { 1 } } [ \rho ( L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } - L _ { \gamma _ { 2 } } ^ { * } ) ( f _ { 2 } ) ] } \\ & { = : ( b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) ) \zeta f ^ { m } + \mathcal E _ { 1 } + L _ { \gamma _ { 1 } } [ \rho ( L _ { \gamma _ { 1 } } ^ { * } - L _ { \gamma _ { 2 } } ^ { * } ) ( f _ { 2 } ) ] } \\ & { = : ( b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) ) \zeta f ^ { m } + \mathscr E _ { 1 } + \mathcal E _ { 2 } = : ( b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) ) \zeta f ^ { m } + \mathscr E . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { F _ { S } ( x , Q ^ { 2 } ) = Q ^ { 2 } \left[ \right. A \left( \frac { a } { a + Q ^ { 2 } } \right) ^ { \alpha } + B \left( \frac { a } { a + Q ^ { 2 } } \right) ^ { \beta } \log { \left( \frac { Q ^ { 2 } } { x } \right) } + } } \\ { { C \left( \frac { a } { a + Q ^ { 2 } } \right) ^ { \gamma } \log ^ { 2 } { \left( \frac { Q ^ { 2 } } { x } \right) } \left. \right] ( 1 - x ) ^ { n ( Q ^ { 2 } ) + 4 } \ . } } \end{array}
A ( x , p ) \star B ( x , p ) = e ^ { \kappa ( \partial _ { x } \partial _ { \widetilde { p } } { ~ } - { ~ } \partial _ { p } \partial _ { \widetilde { x } } ) } A ( x , p ) B ( { \widetilde { x } } , { \widetilde { p } } ) \Big | _ { { \widetilde { x } = x } , { \widetilde { p } = p } } .
t ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 - \sqrt { ( 4 - 2 x ) } , \quad } & { 0 \leq x < 3 / 2 } \\ { x - \frac { 1 } { 2 } , \quad } & { 3 / 2 \leq x < m - 5 / 2 } \\ { m - 4 + \sqrt { 4 - 2 ( m - 1 - x ) } , \quad } & { m - 5 / 2 \leq x < m - 1 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \hat { x } _ { E } : = \frac { \hat { x } _ { \alpha } + \hat { x } _ { \beta } } { \sqrt { 2 } } \; , \quad \hat { p } _ { E } : = \frac { \hat { p } _ { \alpha } - \hat { p } _ { \beta } } { \sqrt { 2 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf u \mathbf u ^ { \mathrm T } + \frac 1 n \mathbf 1 _ { n } \mathbf 1 _ { n } ^ { \mathrm T } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { ( a ^ { 2 } + \frac 1 n ) \mathbf J _ { k } } & { \mathbf O _ { k \times ( n - k ) } } \\ { \mathbf O _ { ( n - k ) \times k } } & { ( b ^ { 2 } + \frac 1 n ) \mathbf J _ { ( n - k ) } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { \frac 1 k \mathbf J _ { k } } & { \mathbf O _ { k \times ( n - k ) } } \\ { \mathbf O _ { ( n - k ) \times k } } & { \frac { 1 } { n - k } \mathbf J _ { ( n - k ) } } \end{array} \right] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Pi _ { l } ( p ) = \displaystyle \sum _ { \alpha , \gamma } \big \vert \Pi _ { p } ( \gamma \vert \alpha , p ) \big \vert , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \vert \alpha - \gamma \vert < 2 5 } \\ { \Pi _ { n } ( p ) = \displaystyle \sum _ { \alpha , \gamma } \big \vert \Pi _ { p } ( \gamma \vert \alpha , p ) \big \vert , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \vert \alpha - \gamma \vert \ge 2 5 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { F _ { i } ^ { L F } \left( t + \frac { \Delta t } { 2 } , n - \frac { 1 } { 2 } ; \mathbf { g } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( F _ { i } \left( t , n - 1 ; \mathbf { g } \right) + F _ { i } \left( t , n ; \mathbf { g } \right) \right) } \\ { \lambda _ { m } } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { p } \{ | \lambda _ { p } ( n - 1 ) | , | \lambda _ { p } ( n ) | \} } \\ { \lambda _ { p } ( n ) } & { { } = p \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ i ~ g ~ n ~ v ~ a ~ l ~ u ~ e ~ o ~ f ~ } \frac { \partial F ( \mathbf { g } ) } { \partial M ( \mathbf { g } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { f } = \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { f } } & { { } = \psi _ { f } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } D _ { \mu } \psi _ { f } } \\ { S _ { b } = \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { b } } & { { } = \psi _ { b } ^ { \dagger } i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } D _ { \mu } \psi _ { b } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { k } = S _ { k } / I _ { k } , \ \gamma _ { \mathrm { E } } = S _ { \mathrm { E } } / I _ { \mathrm { E } } , \ S _ { k } = \xi P \big [ \mathrm { t r } ( \mathbf { R } _ { k } ) \big ] ^ { 2 } , } \\ & { I _ { k } = \xi P \sum _ { i \neq k } \mathrm { t r } ( \mathbf { R } _ { k } \mathbf { R } _ { i } ) + \sigma _ { k } ^ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } ( { \bf R } _ { j } ) , } \\ & { S _ { \mathrm { E } } = \xi M M _ { \mathrm { E } } ( M - K ) \mathrm { t r } \big ( { \bf R } _ { k } ( { \bf R } _ { \mathrm { E } } + \beta _ { 3 } { \bf R } _ { \mathrm { B , E } } ) \big ) , } \\ & { I _ { \mathrm { E } } = ( 1 - \xi ) ( M - K - M _ { \mathrm { E } } ) \mathrm { t r } ( { \bf R } _ { \mathrm { E } } + \beta _ { 3 } { \bf R } _ { \mathrm { B , E } } ) \sum _ { j = 1 } ^ { K } \mathrm { t r } ( { \bf R } _ { j } ) , } \end{array}