harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\tilde { G } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \tau ) - \tilde { f } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , - \tau ) = \int _ { - \infty } ^ { \tau } \tilde { R } ^ { \cup } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 , S } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { f } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } .
\operatorname { e r f } ( x ) \approx 1 - { \frac { 1 } { ( 1 + a _ { 1 } x + a _ { 2 } x ^ { 2 } + a _ { 3 } x ^ { 3 } + a _ { 4 } x ^ { 4 } ) ^ { 4 } } } , \qquad x \geq 0
\begin{array} { r l } { r _ { b } ( z ^ { t + 1 } ) } & { = r _ { b } ( x ^ { t + 1 } ) + \beta _ { t + 1 } ( r _ { b } ( x ^ { t + 1 } ) - r _ { b } ( x ^ { t } ) ) } \\ & { = r _ { b } ( x ^ { t + 1 } ) + \beta _ { t + 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { ( 1 - \sin ( \alpha _ { t } ) ) \tau _ { t } } \right) r _ { b } ( x ^ { t + 1 } ) . } \end{array}
\left\lfloor { \frac { m } { n } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { 2 m } { n } } \right\rfloor + \dots + \left\lfloor { \frac { ( n - 1 ) m } { n } } \right\rfloor = \left\lfloor { \frac { n } { m } } \right\rfloor + \left\lfloor { \frac { 2 n } { m } } \right\rfloor + \dots + \left\lfloor { \frac { ( m - 1 ) n } { m } } \right\rfloor .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathcal { A } } ( \mathbf { k } ) \equiv \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { m , n } ( \mathbf { k } ) = - \mathrm { i } \left< u _ { \mathbf { k } , m } \vphantom { \nabla _ { \mathbf { k } } } \vphantom { u _ { \mathbf { k } , n } } \left| \nabla _ { \mathbf { k } } \vphantom { u _ { \mathbf { k } , m } } \vphantom { u _ { \mathbf { k } , n } } \right| u _ { \mathbf { k } , n } \vphantom { u _ { \mathbf { k } , m } } \vphantom { \nabla _ { \mathbf { k } } } \right> . } \end{array}
\lambda _ { 2 } : = \frac { 1 } { 2 t } \ln \left[ \xi 1 ( t ) ^ { 2 } + { \left( \frac { \d } { d t } \xi 1 ( t ) \right) } ^ { 2 } + { \left( \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } \xi 1 ( t ) \right) } ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { J } & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } | \nabla u ^ { q } | ^ { 2 } + \frac { ( 2 q - 1 ) ^ { 2 } } { 4 q ^ { 2 } \epsilon } \left\| S \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , \infty ) } \int _ { \Omega } u ^ { 2 q } | \nabla v | ^ { 2 } } \\ & { \leq \epsilon \int _ { \Omega } | \nabla u ^ { q } | ^ { 2 } + \frac { ( 2 q - 1 ) ^ { 2 } } { 4 q ^ { 2 } \epsilon } \left\| S \right\| _ { L ^ { \infty } ( 0 , \infty ) } c _ { 2 } \int _ { \Omega } u ^ { 2 q } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \omega _ { 1 } - \omega ) ( \omega _ { 2 } - \omega ) ( \omega _ { 3 } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { 3 } - \omega ) = } \\ { \kappa _ { 2 3 } ^ { 2 } ( \omega _ { 1 } - \omega ) + \kappa _ { 1 3 } ^ { 2 } ( \omega _ { 2 } - \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { u } \mathcal I [ \bar { u } ] } & { { } \doteq \ell ( \mu _ { T } ) - \ \ell ( \bar { \mu } _ { T } ) } \\ { = \int _ { 0 } ^ { T } } & { { } \! \! \partial _ { t } \big [ \ell \left( ( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { 0 , t } ) _ { \sharp } \vartheta \right) - \ell \left( ( \bar { X } _ { t , T } \circ \bar { X } _ { 0 , t } ) _ { \sharp } \vartheta \right) \big ] \d t . } \end{array}
\tilde { k } _ { \mathrm { V S C } } \approx \frac { 2 \pi } { 3 } \cdot N g _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { c } } n ( \omega _ { 0 } ) \cdot \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega ~ \delta ( \omega - \omega _ { \mathrm { c } } ) G ( \omega - \omega _ { 0 } ) = \frac { 2 \pi } { 3 } \cdot N g _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { c } } \cdot G ( \omega _ { \mathrm { c } } - \omega _ { 0 } ) \cdot e ^ { - \beta \hbar \omega _ { 0 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \alpha = \hat { \alpha } + q \; , \; \; \beta = \hat { \beta } + p } \\ & { } & { \partial _ { 1 } \hat { \beta } \partial _ { 2 } \hat { \alpha } - \partial _ { 2 } \hat { \beta } \partial _ { 1 } \hat { \alpha } \equiv k \Rightarrow \partial _ { j } \hat { \beta } \partial _ { l } \hat { \alpha } - \partial _ { l } \hat { \beta } \partial _ { j } \hat { \alpha } = k \epsilon _ { j l } } \\ & { } & { B = \rho _ { 0 } + \delta b \; , E _ { i } = \delta e _ { i } } \\ & { } & { A _ { \mu } = \hat { A } _ { \mu } + \delta A _ { \mu } \; , \; \; \; \hat { A } _ { 0 } = 0 } \\ & { \Rightarrow } & { \partial _ { 1 } \hat { A } _ { 2 } - \partial _ { 2 } \hat { A } _ { 1 } = \rho _ { 0 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R e ( M _ { 1 1 } ) } & { = - [ D k _ { r } ^ { 2 } + \chi ] - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { 2 \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) , } \\ { I m ( M _ { 1 1 } ) } & { = - \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { r } - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { 2 \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Theta _ { r } - \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Gamma _ { r } ) , } \\ { R e ( M _ { 1 2 } ) } & { = - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { 2 \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( - \mathcal { P } _ { r } \Gamma _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Theta _ { r } ) , } \\ { I m ( M _ { 1 2 } ) } & { = - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { r } } { 2 \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \mathcal { P } _ { r } \Theta _ { r } + \tilde { \mathcal { P } } _ { r } \Gamma _ { r } ) . } \end{array}
{ N _ { E } } ( u ) = 6 4 \left( { 3 + \cos \left[ u \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { L ^ { 2 } } s _ { a } ^ { 2 } } } { { { u ^ { 2 } } { c ^ { 4 } } } } + 3 2 \left( { 3 + 2 \cos \left[ u \right] } \right) \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \times \frac { { { u ^ { 2 } } s _ { x } ^ { 2 } } } { { { L ^ { 2 } } } } ,
\centering \rho ^ { i } ( \textbf { r } ) = \sum _ { j } \exp \left[ \frac { - | \textbf { r } - \textbf { r } _ { i j } | ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right] f _ { r c u t } ( | \textbf { r } - \textbf { r } _ { i j } | ) ,
\begin{array} { r l r } { x \oplus _ { \mathbb { X } } y } & { { } = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) + f _ { \mathbb { X } } ( y ) \big ) , } \\ { x \ominus _ { \mathbb { X } } y } & { { } = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) - f _ { \mathbb { X } } ( y ) \big ) , } \\ { x \odot _ { \mathbb { X } } y } & { { } = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) \cdot f _ { \mathbb { X } } ( y ) \big ) , } \\ { x \oslash _ { \mathbb { X } } y } & { { } = } & { g _ { \mathbb { X } } \big ( f _ { \mathbb { X } } ( x ) / f _ { \mathbb { X } } ( y ) \big ) . } \end{array}
\mathcal { D } _ { 3 } ^ { R } = \mathrm { I d } + O \left[ \begin{array} { c c c c } { \beta \epsilon ^ { 2 } \chi } & { \epsilon ^ { 2 } } & { \beta \epsilon ^ { 2 } \chi } & { \frac { \beta } { \chi } } \\ { \beta \chi } & { \epsilon } & { \beta \chi } & { \beta ^ { 2 } } \\ { \frac { \beta } { \chi } } & { \frac { \epsilon } { \chi ^ { 2 } } } & { \frac { \beta } { \chi } } & { \frac { \beta } { \chi ^ { 2 } } } \\ { \beta \chi } & { \epsilon } & { \beta \chi } & { \beta ^ { 2 } } \end{array} \right] .
I m { \cal M } ( ^ { 3 } D _ { 1 } ) _ { N R Q C D } = \frac { I m f _ { 1 } ( ^ { 3 } D _ { 1 } ) } { m ^ { 6 } } + [ I m f _ { 8 } ( ^ { 3 } P _ { 0 } ) \frac { 2 0 C _ { F } \alpha _ { s } } { 2 7 m ^ { 6 } N _ { c } \pi } + I m f _ { 8 } ( ^ { 3 } P _ { 2 } ) \frac { C _ { F } \alpha _ { s } } { 2 7 m ^ { 6 } N _ { c } \pi } ] ( - \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { I R } } + \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { U V } } ) ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \rho } \bigg ( \nu ( \theta _ { 0 } ) \big ( \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } - ( \mathbf { u } _ { 1 } d _ { \Gamma } + \mathbf { u } _ { 0 } d _ { 1 } ) \eta ^ { \prime } \big ) \bigg ) = 2 \theta _ { 0 } ^ { \prime } \theta _ { 0 } ^ { \prime \prime } \nabla d _ { 1 } + \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \partial _ { t } d _ { \Gamma } + \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \cdot \nabla d _ { \Gamma } \partial _ { \rho } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } } \\ & { \quad - \partial _ { \rho } \big ( 2 \nu ( \theta _ { 0 } ) D \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \big ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } - \operatorname { d i v } \big ( 2 \nu ( \theta _ { 0 } ) D _ { d } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \big ) + \partial _ { \rho } \big ( \nu ( \theta _ { 0 } ) \operatorname { d i v } \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \big ) \nabla d _ { \Gamma } } \\ & { \quad + \sum _ { i \in \{ - 1 , - \frac { 1 } { 2 } , 0 \} } \partial _ { \rho } \hat { p } _ { i } \nabla d _ { - i } + \mathbb { A } _ { 0 } + \nabla \hat { p } _ { - 1 } + \big ( \nu ( \theta _ { 0 } ) \eta ^ { \prime } \big ) ^ { \prime } \big ( \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { u } _ { 0 } \rho \big ) + \mathbf { l } _ { 0 } d _ { \Gamma } \eta ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { n } ^ { - 1 } ( g _ { n } ) T _ { n } ( f _ { 1 } ) } & { = T _ { n } ^ { - 1 } ( g _ { n } ) \left[ T _ { n } ( g _ { n } ) T _ { n } \left( \frac { f _ { 1 } } { g _ { n } } \right) + L _ { 1 } \right] } \\ & { = T _ { n } \left( \frac { f _ { 1 } } { g _ { n } } \right) + L _ { 2 } = T _ { n } \left( h _ { 1 } \frac { g } { g _ { n } } \right) + L _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { 0 } = \frac { \cos { \gamma } \: ( 1 + \sqrt { 1 - C _ { T } } ) } { \sqrt { 2 } ( 2 . 3 2 I _ { 0 } + 0 . 1 5 4 ( 1 - \sqrt { 1 - C _ { T } } ) ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Z _ { 1 } ( \zeta , t ) : = \frac { Y _ { 1 } m _ { 1 } ^ { X , ( 1 ) } Y _ { 1 } ^ { - 1 } } { - i \omega k _ { 4 } z _ { 1 , \star } \sqrt { t } } = \frac { 1 } { - i \omega k _ { 4 } z _ { 1 , \star } \sqrt { t } } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \frac { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } d _ { 1 , 0 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } { e ^ { t \Phi _ { 3 1 } ( \zeta , \omega k _ { 4 } ) } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } e ^ { t \Phi _ { 3 1 } ( \zeta , \omega k _ { 4 } ) } } { d _ { 1 , 0 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ & { Z _ { 2 } ( \zeta , t ) : = \frac { Y _ { 2 } m _ { 1 } ^ { X , ( 2 ) } Y _ { 2 } ^ { - 1 } } { - i \omega ^ { 2 } k _ { 2 } z _ { 2 , \star } \sqrt { t } } = \frac { 1 } { - i \omega ^ { 2 } k _ { 2 } z _ { 2 , \star } \sqrt { t } } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } d _ { 2 , 0 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } { e ^ { t \Phi _ { 3 2 } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } } } \\ { 0 } & { \frac { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } e ^ { t \Phi _ { 3 2 } ( \zeta , \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) } } { d _ { 2 , 0 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } } } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathcal { I } = \mathbb { E } _ { \chi ^ { \prime } } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma , \eta ) w ( \sigma , \eta ) ] , \quad \chi ^ { \prime } ( \sigma , \eta ) = \frac { | \mathcal { I } _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma , \eta ) | \chi ( \sigma , \eta ) } { \mathbb { E } _ { \chi } [ | \mathcal { I } _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma , \eta ) | ] } ,
m R _ { 4 } ^ { 0 } \{ X V _ { 1 a } ^ { 0 } \} = R _ { 1 } ^ { 0 } \{ X I I I _ { 2 } ^ { 0 } \} - \frac { g } { 2 } R _ { 3 } ^ { 0 } \{ V I _ { b } ^ { 0 } \} ,
\begin{array} { r l } { \beta } & { = \int _ { a } ^ { \infty } \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { 2 } d f _ { + } ^ { \prime } ( x ) } \\ & { = f _ { + } ^ { \prime } ( x ) \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { 2 } | _ { a } ^ { \infty } - \int _ { a } ^ { \infty } f _ { + } ^ { \prime } ( x ) ( x - a ) d x } \\ & { = \int _ { a } ^ { \infty } - f _ { + } ^ { \prime } ( x ) ( x - a ) d x } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } ( \mathbf { F } ) } & { = \nabla \cdot \mathbf { F } } \\ & { = \left( { \frac { \partial } { \partial u } } , { \frac { \partial } { \partial x } } , { \frac { \partial } { \partial y } } , { \frac { \partial } { \partial z } } , \dots \right) \cdot ( F _ { u } , F _ { x } , F _ { y } , F _ { z } , \dots ) } \\ & { = \left( { \frac { \partial F _ { u } } { \partial u } } + { \frac { \partial F _ { x } } { \partial x } } + { \frac { \partial F _ { y } } { \partial y } } + { \frac { \partial F _ { z } } { \partial z } } + \cdots \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \eta _ { ( 0 ) } + \nabla \cdot \left( \left( \eta _ { 0 } - b \right) \, \mathbf { v } _ { 0 } \right) } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { t } \mathbf { q } _ { ( 0 ) } + \nabla \cdot \left( \mathbf { v } _ { ( 0 ) } \otimes \mathbf { q } _ { ( 0 ) } \right) + \eta _ { ( 2 ) } \nabla \eta _ { ( 0 ) } + \eta _ { ( 1 ) } \nabla \eta _ { ( 1 ) } + \left( \eta _ { ( 0 ) } - b \right) \nabla \eta _ { ( 2 ) } } & { { } = \mathbf { 0 } . } \end{array}
\mathbf { L } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - J _ { z } } & { J _ { y } } \\ { J _ { z } } & { 0 } & { - J _ { x } } \\ { - J _ { y } } & { J _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) \leftrightarrow \mathbf { J } = ( J _ { x } , J _ { y } , J _ { z } ) .
\frac 1 { \Gamma _ { 0 } } \frac { d \Gamma _ { \mathrm { L O } } ^ { \mathrm { d i r } } } { d z } = \frac { 2 - z } { z } + \frac { z ( 1 - z ) } { ( 2 - z ) ^ { 2 } } + 2 \frac { 1 - z } { z ^ { 2 } } \ln ( 1 - z ) - 2 \frac { ( 1 - z ) ^ { 2 } } { ( 2 - z ) ^ { 3 } } \ln ( 1 - z ) ,
E _ { | 2 } \left( m , \lambda \right) = 2 \frac V { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p p ^ { 2 } \sqrt { E _ { i } ^ { 2 } \left( p , m , l \right) } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \boldsymbol { w } } _ { j } } & { { } = \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } - \mathsf { P } ( \mathcal { N } ^ { \prime } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } ] ) ^ { \top } \mathsf { Q } ^ { - 1 } ( \mathcal { N } [ \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i } ] - \mathsf { y } _ { j } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ) } \\ { \boldsymbol { w } _ { j } ^ { i + 1 } } & { { } = \tilde { \boldsymbol { w } } _ { j } + \mathsf { K } ( \mathsf { y } _ { j } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } - \mathsf { H } \tilde { \boldsymbol { w } } _ { j } ) } \\ { \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathsf { K } } & { { } = \mathsf { P H } ^ { \top } ( \mathsf { H P H } ^ { \top } + \mathsf { R } ) ^ { - 1 } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
{ \cal R } _ { z \doteq z _ { n } = \cdots = z _ { 0 } } F = \mathrm { R e s } _ { z = z _ { 0 } } { \cal R } _ { z _ { n } = \cdots = z _ { 0 } } \partial _ { \bar { z } } ^ { - 1 } F - \sum _ { i = 0 } ^ { N } { \cal R } _ { z _ { n } = \cdots = z _ { 0 } } \mathrm { R e s } _ { z = z _ { i } } \partial _ { \bar { z } } ^ { - 1 } F .
\begin{array} { r l } & { \left[ \lambda _ { 2 } + q ( \lambda _ { 2 } ) - q _ { 2 } ( \lambda _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle ^ { 2 } q _ { 3 } ( \lambda _ { 2 } ) \right] \langle v _ { 2 } , y _ { s } \rangle = } \\ & { { \mathcal { S } } ( u _ { 2 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) - { \gamma } \langle u _ { 1 } , u _ { 2 } \rangle \left[ { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , y _ { s } , w _ { 2 } ) - \langle v _ { 1 } , y _ { s } \rangle \langle w _ { 1 } , w _ { 2 } \rangle r _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ) \right] } \end{array}
M _ { \alpha } ^ { ( q , l ) } \simeq \frac { G _ { \alpha } ^ { ( q , l ) } v _ { \alpha } } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right] \ , \qquad ( \alpha = u , d ) \ ,
\begin{array} { r l } { A } & { { } = 2 q ^ { 2 } \left( c _ { 1 } ^ { + } - c _ { 1 } ^ { - } + c _ { 2 } ^ { + } - c _ { 2 } ^ { - } \right) + \alpha ^ { 2 } \left( c _ { 2 } ^ { + } - c _ { 2 } ^ { - } \right) \, , } \\ { B } & { { } = 2 q Q \left( c _ { 2 } ^ { + } + c _ { 2 } ^ { - } \right) + \left( 2 q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) \left( c _ { 1 } ^ { + } + c _ { 1 } ^ { - } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { v , x } ( p ( x ) ) } & { \leq f _ { v , x } ( p ( a ^ { - 1 } x ) ) } & { \mathrm { a p p l y i n g ~ L e m m a ~ t o ~ } a ^ { - 1 } } \\ & { = f _ { v , a x } ( p ( x ) ) } & { \mathrm { c h a n g i n g ~ v a r i a b l e s ~ } x \mapsto a x \mathrm { ~ t h r o u g h o u t } } \\ & { \leq f _ { v , a x } ( p ( a x ) ) } & { \mathrm { a p p l y i n g ~ L e m m a ~ t o ~ } a } \\ & { = f _ { v , x } ( p ( x ) ) } & { \mathrm { c h a n g i n g ~ v a r i a b l e s ~ } x \mapsto a ^ { - 1 } x \mathrm { ~ t h r o u g h o u t } , } \end{array}
H = \left( \frac { L } { r _ { > } } \right) ^ { 4 } \left[ 1 + \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { 2 l } ( 2 l + 1 ) \left( \frac { r _ { < } } { r _ { > } } \right) ^ { 2 l } Y ^ { 2 l } ( \Omega _ { 5 } ) \right]
\mathbf P _ { 0 \leq i < n } \left( \begin{array} { l } { \mu ^ { x , i } \mathrm { ~ i s ~ } ( V _ { i } , \varepsilon ^ { \prime } , m ) \mathrm { - s a t u r a t e d ~ a n d ~ } } \\ { \nu ^ { y , i } \mathrm { ~ i s ~ } ( V _ { i } , \varepsilon ^ { \prime } ) \mathrm { - c o n c e n t r a t e d } } \end{array} \right) > 1 - \varepsilon ^ { \prime } .
\Delta v \approx v _ { \mathrm { { e f f } } } \sum _ { j = 1 } ^ { j = N } { \frac { \phi / N } { 1 - j \phi / N } } = v _ { \mathrm { { e f f } } } \sum _ { j = 1 } ^ { j = N } { \frac { \Delta x } { 1 - x _ { j } } }
\kappa = E \left[ Z ^ { 4 } \right] = \operatorname { v a r } \left[ Z ^ { 2 } \right] + \left[ E \left[ Z ^ { 2 } \right] \right] ^ { 2 } = \operatorname { v a r } \left[ Z ^ { 2 } \right] + [ \operatorname { v a r } [ Z ] ] ^ { 2 } = \operatorname { v a r } \left[ Z ^ { 2 } \right] + 1
\begin{array} { r l } { \Psi _ { i } ( \underline { { r } } , \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } & { { } = \sum _ { \mu } \phi _ { i \mu } ^ { ( n ) } ( \underline { { R } } ) \, \Psi _ { \mu } ^ { ( p ) } ( \underline { { r } } , \underline { { x } } ; \underline { { R } } ) \quad , } \end{array}
\varphi \left( \mathcal { Q } ^ { i , l } , \mathcal { K } ^ { i , l } \right) = \operatorname { s o f t m a x } \left( \frac { \mathcal { Q } ^ { i , l } ( \mathcal { K } ^ { i , l } ) ^ { T } } { \sqrt { d _ { k } } } \right)
\begin{array} { r l } { \mathrm { x } _ { 2 } ( \Phi _ { x } ) \pi _ { \lambda } ( A - \lambda I ) ^ { l } ( L - A ) } & { = \bigg ( x \mathrm { w } _ { j } \pi _ { \lambda } + \mathrm { w } _ { j } \sum _ { j = 0 } ^ { d _ { \lambda } - 1 } { \binom { - 1 } { j } } ( \lambda - 1 ) ^ { - 1 - j } N _ { \lambda } ^ { j } \bigg ) N _ { \lambda } ^ { l } \pi _ { \lambda } ( L - A ) } \\ & { = \mathrm { w } _ { j } \big ( x + ( \lambda - 1 ) ^ { - 1 } \big ) N _ { \lambda } ^ { l } \pi _ { \lambda } ( L - A ) \neq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } ( \hat { \phi } - \phi ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq c \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( \frac { 1 } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } - \frac { 1 } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + c \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( \frac { V _ { T } } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } - \frac { V _ { T } } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + c \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } - \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad + c \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \left( \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } { \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } - \frac { \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \, J ^ { \lambda } * s \leq } & { \ s \, J ^ { \lambda } * s + ( \mathfrak { s } - s ) \, ( J ^ { \lambda } * s - J ^ { \lambda } * { s } ^ { b + } ) } \\ { = } & { \ \mathfrak { s } \, ( J ^ { \lambda } * s - J ^ { \lambda } * s ^ { b + } ) + s \, J ^ { \lambda } * s ^ { b + } } \\ { = } & { \ \mathfrak { s } \, ( J ^ { \lambda } * s ^ { b - } - \hat { J ^ { \lambda } } \, \mathfrak { s } ) + s ^ { b + } \, J ^ { \lambda } * s ^ { b + } } \\ { = } & { \ s ^ { b - } \, J ^ { \lambda } * s ^ { b - } + s ^ { b + } \, J ^ { \lambda } * s ^ { b + } - \hat { J ^ { \lambda } } \mathfrak { s } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A ( z , t ) = F ( z , t ) \, \cos \left( \sqrt { \frac { 6 \beta _ { 2 } } { | \beta _ { 4 } | } } t \right) \, e ^ { - i \beta _ { 0 } z } , \quad \mathrm { w i t h } \quad F ( z , t ) = \sqrt { \frac { 8 \beta _ { 2 } } { 3 \gamma t _ { 0 } ^ { 2 } } } \, \mathrm { { s e c h } } \left( \frac { t } { t _ { 0 } } \right) \, e ^ { i \kappa z } , \quad \mathrm { a n d } \quad \kappa = \frac { \beta _ { 2 } } { t _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E [ { U ^ { n } } ] = } & { \frac { \Gamma ( \alpha _ { 1 } + n ) ^ { 2 } \Gamma ( \beta _ { 1 } + n ) ^ { 2 } } { \Gamma ( \alpha _ { 1 } ) ^ { 2 } \Gamma ( \beta _ { 1 } ) ^ { 2 } } ( \alpha _ { 1 } \beta _ { 1 } ) ^ { - 2 n } } \\ & { \cdot _ { 2 } F _ { 1 } ( - n , - n ; \alpha _ { 1 } ; \rho _ { \alpha } ) _ { 2 } F _ { 1 } ( - n , - n ; \beta _ { 1 } ; \rho _ { \beta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( x , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { \Delta x ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 3 } } \right) ^ { 1 / 4 } \int \! d k \, \exp [ \mathrm { i } k x - \Delta x ^ { 2 } ( k - k _ { 0 } ) ^ { 2 } - \mathrm { i } c | k | t ] } \end{array}
F ^ { \prime \prime } - 3 A ^ { \prime } F ^ { \prime } - 4 A ^ { \prime \prime } F - 2 \frac { \phi _ { 0 } ^ { \prime \prime } } { \phi _ { 0 } ^ { \prime } } F ^ { \prime } + 4 \frac { \phi _ { 0 } ^ { \prime \prime } } { \phi _ { 0 } ^ { \prime } } A ^ { \prime } F = - m ^ { 2 } F .
\begin{array} { r l } { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle = } & { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + c _ { \eta } \cdot ( I _ { 1 } + I _ { 2 } ) } \\ { = } & { ~ \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle + c _ { \eta } \cdot I _ { 2 } } \\ { \ge } & { - c _ { \eta } \cdot \bigg ( 1 + \frac { \sigma } { c _ { \eta } } + \sigma t \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \bigg ) - c _ { \eta } \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } } \\ { = } & { ~ - c _ { \eta } \cdot \bigg ( 1 + \frac { \sigma } { c _ { \eta } } + \sigma ( t + 1 ) \cdot \sqrt { \frac { ( 1 + r ^ { 2 } ) \log q } { | \mathcal { D } | } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \gamma ^ { 2 } } h ( \gamma ) = \frac { 1 } { \sqrt { T } } \left( \frac { 2 \left( f ^ { 0 } - f ^ { \star } \right) } { M \gamma ^ { 3 } } \sqrt { \lVert \mathbf { L } \rVert _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 \epsilon \gamma ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \lVert \boldsymbol { \sigma } \rVert _ { 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \Big ( - e _ { v } ^ { 2 } \wedge i _ { ( \ast e _ { v } ^ { 1 } ) ^ { \sharp } } d v + ( - 1 ) ^ { n - 1 } d \big ( e _ { v } ^ { 1 } \wedge \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } ) \big ) + e _ { v } ^ { 2 } \wedge f _ { v } ^ { 1 } \Big ) } \\ & { + \int _ { \partial \Omega } ( - 1 ) ^ { n } \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge \mathrm { t r } ( e _ { v } ^ { 2 } ) + \int _ { \Sigma } e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } = 0 , } \end{array}
\tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n + 1 } = \frac { { { \xi _ { N - 2 } } + \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { { 2 \delta \tilde { t } } } \tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n } } } { { 1 - { \alpha _ { N - 2 } } + \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { { 2 \delta \tilde { t } } } - \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { 2 } Q } } .