harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { A _ { 1 } ^ { \textrm { t r u e } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { - 0 . 5 5 } & { 0 . 3 } & { 0 . 6 5 } \\ { 0 . 0 6 } & { - 1 . 3 5 } & { 0 . 2 5 } \\ { 0 . 1 } & { 0 . 1 5 } & { 0 . 4 } \end{array} \right] } & { B _ { 1 } ^ { \textrm { t r u e } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 1 8 } & { 0 . 0 8 } \\ { 0 . 4 7 } & { 0 . 2 5 } \\ { m a t h b f { 0 } . 0 7 } & { 0 . 9 5 } \end{array} \right] } \\ { A _ { 2 } ^ { \textrm { t r u e } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 1 } & { 0 . 1 } & { 0 . 1 } \\ { 0 . 1 } & { - 1 . 9 } & { 0 . 1 5 } \\ { 0 . 1 } & { 0 . 1 } & { 0 . 6 } \end{array} \right] } & { B _ { 2 } ^ { \textrm { t r u e } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \\ { m a t h b f { 0 } } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 4 } } & { : = ( \Phi _ { 4 } ) ^ { - 1 } \circ \mathcal { L } ^ { 3 } \circ \Phi _ { 4 } } \\ & { = \omega \cdot \partial _ { \varphi } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \xi ) + \mathfrak { r } _ { - 2 , 1 } ( \varphi ) \right) + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 1 } ( \varphi ) + R _ { 4 } ( \varphi ) , } \end{array}
| \psi \rangle \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { x } } \\ { \psi _ { y } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \cos \theta \exp \left( i \alpha _ { x } \right) } \\ { \sin \theta \exp \left( i \alpha _ { y } \right) } \end{array} \right) }
H _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 m } p _ { x } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 m } p _ { y } ^ { 2 } + \frac { k _ { x } } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { k _ { y } } { 2 } y ^ { 2 } - E
\begin{array} { r l } { \mu _ { - x } u _ { i j } ^ { n , - x } + u _ { i j } ^ { \ast \ast { y x } } + \mu _ { + x } u _ { i j } ^ { n , + x } = } & { { } 2 \left( 2 u _ { i j } ^ { n } - ( \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { n , - y } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { n , + y } ) \right) } \\ { \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { n , - y } + u _ { i j } ^ { \ast \ast { y y } } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { n , + y } = } & { { } 2 \left( 2 u _ { i j } ^ { n } - ( \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { n , - y } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { n , + y } ) \right) } \end{array}
\ln \Gamma ( z ) = z \ln z - z + { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 2 \pi } { z } } + \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 \arctan \left( { \frac { t } { z } } \right) } { e ^ { 2 \pi t } - 1 } } \, \mathrm { { d } } t .
\begin{array} { r l } { \langle \psi _ { m , \textbf { k } } | \hat { \textbf { r } } _ { i } | \psi _ { n , \textbf { k } ^ { \prime } } \rangle } & { = \delta _ { m n } \left[ \delta ( \textbf { k } - \textbf { k } ^ { \prime } ) \textbf { d } _ { m m } ( { \textbf { k } } ) + i \nabla _ { \textbf { k } } \delta ( \textbf { k } - \textbf { k } ^ { \prime } ) \right] , } \\ { \langle \psi _ { m , \textbf { k } } | \hat { \textbf { r } } _ { e } | \psi _ { n , \textbf { k } ^ { \prime } } \rangle } & { = \left( 1 - \delta _ { m n } \right) \delta ( \textbf { k } - \textbf { k } ^ { \prime } ) \textbf { d } _ { m n } ( { \textbf { k } } ) . } \end{array}
{ \cal T } _ { \alpha } = [ \bar { C } _ { \alpha } , \Omega ] = T _ { \alpha } + C ^ { \dagger \beta } U _ { \beta \alpha } ^ { \gamma } \bar { C } _ { \gamma } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \alpha } } + \bar { U } _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } \bar { C } _ { \gamma } C ^ { \beta } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \beta } } + \bar { C } _ { \gamma } ^ { \dagger } \bar { U } _ { \beta \alpha } ^ { \dagger \gamma } C ^ { \beta } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \alpha } } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial } { \partial a } } \left( \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta a \to 0 } { \frac { 1 } { \Delta a } } \left[ \int _ { a + \Delta a } ^ { b } f ( x ) \, d x - \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta a \to 0 } { \frac { 1 } { \Delta a } } \int _ { a + \Delta a } ^ { a } f ( x ) \, d x } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \Delta a \to 0 } { \frac { 1 } { \Delta a } } \left[ - f ( a ) \Delta a + O \left( \Delta a ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = - f ( a ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } } & { { } = \mathbf { x } _ { t _ { i } } + \Delta t \, \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) + \sqrt { \Delta t } \, g ( t _ { i } ) \, z _ { t _ { i } } } \\ { \mathbf { x } _ { t _ { i - 1 } } } & { { } = \mathbf { x } _ { t _ { i } } - \Delta t \, \left[ \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) - g ( t _ { i } ) ^ { 2 } \, \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t _ { i } } \right] + \sqrt { \Delta t } \, g ( { t _ { i } } ) \, z _ { t _ { i } } ^ { \prime } , } \end{array}
\nu _ { F } - \nu _ { F - 1 } = A F + B \frac { \frac { 3 } { 2 } F ( F ^ { 2 } - I ( I + 1 ) - J ( J + 1 ) + \frac { 1 } { 2 } ) } { I ( 2 I - 1 ) J ( 2 J - 1 ) } ,
p = \left( \frac { A _ { \varepsilon } } { R T } + \frac { \kappa _ { \mathrm { e f f } } } { 3 } \right) ^ { - 1 } \left[ \Xi + \Xi ^ { 2 } \left( \frac { A _ { \varepsilon } } { R T } + \frac { \kappa _ { \mathrm { e f f } } } { 3 } \right) ^ { - 1 } \left[ \frac { B - b } { R T } - \frac { \kappa _ { \mathrm { e f f } } } { 3 } \left( 1 + \frac { B } { A _ { \varepsilon } } \right) \right] + \Xi ^ { 3 } \left( \cdots \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { Z } _ { \mathbf { a } } \mathcal { U } \rangle _ { 0 } } & { { } = n _ { \mathbf { a } } C \left[ J _ { \mathbf { a } } \cos \Phi + \left( 1 - K _ { \mathbf { a } } \right) \sin \Phi \right] } \\ { J _ { \mathbf { a } } } & { { } = \cos ( \theta _ { \mathrm { i n } } ) T \sum _ { \mathbf { b } \neq \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \Re \left( V _ { \mathbf { b a } } \right) + \mathcal { O } ( \Gamma \gamma T ^ { 2 } ) } \\ { K _ { \mathbf { a } } } & { { } = \frac { \Gamma T } { 2 } + \mathcal { O } ( \Gamma \gamma T ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { s . t . ~ } } & { - , } \\ & { \lambda _ { j e } ^ { s } \in [ 0 , 1 ] , } & { \forall j \in P , \forall e \in E , s = 0 , 1 , } \\ & { X _ { j } \in \mathbb { R } ^ { d } , } & { \forall j \in P , } \\ & { z _ { j e } \in \{ 0 , 1 \} , } & { \forall j \in P , \forall e \in E , } \\ & { \xi _ { j e \ell } ^ { s } \in \{ 0 , 1 \} , } & { \forall j \in P , \forall e \in E , \forall \ell \in Q \cup \{ 2 p \} , s = 0 , 1 , } \\ & { w _ { e \ell } \in \{ 0 , 1 \} , } & { \forall e \in E , \forall \ell \in Q . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { \mathrm { ~ Q ~ D ~ - ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } = } & { { } \hbar \Delta \omega _ { x - l } \left( \vert x _ { H } \rangle \langle x _ { H } \vert + \vert x _ { V } \rangle \langle x _ { V } \vert \right) } \\ { + } & { { } ( \hbar 2 \Delta \omega _ { x - l } - E _ { B } ) \vert x x \rangle \langle x x \vert } \\ { + } & { { } \hbar \Delta \omega _ { c - l } \left( \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } + \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } \right) } \\ { + } & { { } \hat { H } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ p ~ l ~ . ~ } } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ o ~ n ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle u _ { n , \mathbf { k } + \frac { \mathbf { q } } { 2 } } \right\vert \hat { v } _ { \mathbf { k } } ^ { \mu } \left\vert u _ { m , \mathbf { k } - \frac { \mathbf { q } } { 2 } } \right\rangle } & { { } = - \frac { i } { 2 } q _ { \nu } \left\{ \hat { A } _ { \mathbf { k } } ^ { \nu } , \hat { v } _ { \mathbf { k } } ^ { \mu } \right\} _ { n m } } \end{array}
H = \frac { \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N } \left( \frac { p _ { k } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { k } } + V _ { k } ( x _ { k } ) \right) } { \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N } c _ { k } ( x _ { k } ) }
\begin{array} { r l } { \hat { u } ( \xi ^ { k } , t ) } & { = \hat { u } ( \xi ^ { k } , 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { F } ( \mathbb { P } ( u , \nabla ) u ) ( \xi ^ { k } , \tau ) d \tau } \\ & { = 2 ^ { - k s } { \bf c } _ { 0 } + t \mathcal { F } ( \mathbb { P } ( u _ { 0 } , \nabla ) u _ { 0 } ) ( \xi ^ { k } ) } \\ & { \qquad + \int _ { 0 } ^ { t } \left( \mathcal { F } ( \mathbb { P } ( u , \nabla ) u ) ( \xi ^ { k } , \tau ) - \mathcal { F } ( \mathbb { P } ( u _ { 0 } , \nabla ) u _ { 0 } ) ( \xi ^ { k } ) \right) d \tau . } \end{array}
{ \cal Q } _ { N } ( \vartheta ) = \mathop { \operatorname * { l i m } } _ { \eta \rightarrow 0 } \frac { 1 } { i } \log \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( \vartheta + i \eta ) } } { ( - 1 ) ^ { \delta } + e ^ { - i Z _ { N } ( \vartheta - i \eta ) } } = Z _ { N } ( \vartheta ) \bmod 2 \pi \: ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { R _ { \mathrm { e f f } } } { R _ { 0 } } = \frac { \hbar ^ { 2 } } { \mu R _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { a _ { \mathrm { t w } } } { R _ { 0 } } \right) ^ { 2 \ell } } } \\ & { } & { \times \frac { 1 } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } \bigg [ \frac { k _ { o } ^ { 2 } } { E } \frac { 1 } { 2 \ell + 3 } \left( 1 + \frac { 1 } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } - \frac { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } { 2 \ell - 1 } \right) - \frac { F _ { 2 } ^ { \prime ( 0 ) } } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } \bigg ] . } \end{array}
\frac { B ( q ^ { 2 } ) } { q ^ { 2 } A ( q ^ { 2 } ) ^ { 2 } + B ( q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \, \frac { 1 } { i K ^ { \prime } + \Sigma ( K ^ { \prime } ) } + O \left( \frac { 1 } { m _ { R } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \sum _ { j _ { i } = 1 } ^ { n _ { i } } \Bigg ( \mu ; } & { \left( \nu _ { 1 } ; ( v _ { 1 , 1 } , 0 ) , \hdots , ( v _ { 1 , n _ { 1 } } , 0 ) \right) , \hdots , \left( \nu _ { i } ; ( v _ { i , 1 } , 0 ) , \hdots , ( 0 , v _ { i , j _ { i } } ) , \hdots , ( v _ { i , n _ { i } } , 0 ) \right) , \hdots } \\ & { \hdots \left( \nu _ { k } ; ( v _ { k , 1 } , 0 ) , \hdots , ( v _ { k , n _ { k } } , 0 ) \right) \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \Sigma } _ { x _ { k + 1 } } } & { = \bar { A } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \bar { A } ^ { \top } + \bar { A } \bar { \Sigma } _ { u x _ { k } } ^ { \top } \bar { B } ^ { \top } + \bar { B } \bar { \Sigma } _ { u x _ { k } } \bar { A } ^ { \top } + \bar { B } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \bar { B } ^ { \top } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( \tilde { A } _ { j } \bar { \Sigma } _ { x _ { k } } \tilde { A } _ { j } ^ { \top } + \tilde { A } _ { j } \bar { \Sigma } _ { u x _ { k } } ^ { \top } \tilde { B } _ { j } ^ { \top } + \tilde { B } _ { j } \bar { \Sigma } _ { u x _ { k } } \tilde { A } _ { j } ^ { \top } } \\ & { + \tilde { B } _ { j } \bar { \Sigma } _ { u _ { k } } \tilde { B } _ { j } ^ { \top } + \bar { \Sigma } _ { j k } ) } \\ { \succeq \Sigma _ { x _ { k + 1 } } } & { = \bar { A } \Sigma _ { x _ { k } } \bar { A } ^ { \top } + \bar { A } \Sigma _ { x _ { k } u _ { k } } \bar { B } ^ { \top } + \bar { B } \Sigma _ { x _ { k } u _ { k } } ^ { \top } \bar { A } ^ { \top } + \bar { B } \Sigma _ { u _ { k } } \bar { B } ^ { \top } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( \tilde { A } _ { j } \Sigma _ { x _ { k } } \tilde { A } _ { j } ^ { \top } + \tilde { A } _ { j } \Sigma _ { x _ { k } u _ { k } } \tilde { B } _ { j } ^ { \top } + \tilde { B } _ { j } \Sigma _ { x _ { k } u _ { k } } ^ { \top } \tilde { A } _ { j } ^ { \top } } \\ & { + \tilde { B } _ { j } \Sigma _ { u _ { k } } \tilde { B } _ { j } ^ { \top } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { m } ( \tilde { A } _ { j } \bar { x } _ { k } + \tilde { B } _ { j } \bar { u } _ { k } + \tilde { d } _ { j } ) ( \tilde { A } _ { j } \bar { x } _ { k } } \\ & { + \tilde { B } _ { j } \bar { u } _ { k } + \tilde { d } _ { j } ) ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { 0 \leq \vert \beta \vert \leq \ell } \Vert \left[ \partial _ { x } ^ { \beta } , u \cdot \nabla _ { x } + B ^ { u , f } \right] \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } } & { \leq \sum _ { 0 \leq \vert \beta \vert \leq \ell } \Vert \left[ \partial _ { x } ^ { \beta } , u \cdot \right] ( \nabla _ { x } \varrho ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } + \sum _ { 0 \leq \vert \beta \vert \leq \ell } \Vert \left[ \partial _ { x } ^ { \beta } , B ^ { u , f } \right] ( \varrho ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \Vert \nabla _ { x } u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert \nabla _ { x } \varrho \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell - 1 } } + \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \Vert \nabla _ { x } \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \Vert \nabla _ { x } B ^ { u , f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell - 1 } } + \Vert B ^ { u , f } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } } \\ & { \lesssim \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } + \Vert B ^ { u , f } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \Xi } _ { \alpha , i i ^ { \prime } } ^ { c } } & { { } = \sum _ { k } A _ { i k \alpha } \tilde { g } _ { k \alpha } ^ { c } B _ { k \alpha i ^ { \prime } } + \frac { 1 } { 2 i } \sum _ { k } \frac { \partial \tilde { g } _ { k \alpha } ^ { c } } { \partial \omega } \left( \frac { d A _ { i k \alpha } } { d T } B _ { k \alpha i ^ { \prime } } - A _ { i k \alpha } \frac { d B _ { k \alpha i ^ { \prime } } } { d T } \right) + . . . = \tilde { \Xi } _ { ( 0 ) , \alpha , i i ^ { \prime } } ^ { c } + \tilde { \Xi } _ { ( 1 ) , \alpha , i i ^ { \prime } } ^ { c } + . . . , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { u } _ { n } } & { = - \gamma _ { u } ( k _ { n } ) u _ { n } + i \zeta k _ { n } P _ { n } ^ { 2 } } \\ { \dot { P } _ { n } } & { = \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon _ { f } ) } ( u , P ) + \frac { i } { 3 } w \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon _ { f } ) } ( P , P ) - \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon _ { b } ) } ( P , u ) - \gamma _ { P } ( k _ { n } ) P _ { n } - \Gamma P _ { n } + \delta _ { n , n _ { B } } | P _ { n } | ^ { - 1 } P _ { n } P _ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { \frac { { \left( q _ { 1 } + w _ { 1 } \right) } ^ { 2 } } { 2 C _ { 1 } } + \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 C _ { 2 } } + \frac { { \left( q _ { 3 } + w _ { 1 } \right) } ^ { 2 } } { 2 C _ { 3 } } } \\ & { + \frac { { \left( w _ { 2 } + \phi _ { 2 } \right) } ^ { 2 } } { 2 L _ { 1 } } + \frac { { \left( w _ { 2 } + \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } \right) } ^ { 2 } } { 2 L _ { 2 } } + \frac { w _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 L _ { 3 } } . } \end{array}
\zeta ^ { \alpha \beta } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \zeta ^ { \alpha \beta } + \zeta ^ { \beta \alpha } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \zeta ^ { \alpha \beta } - \zeta ^ { \beta \alpha } \right) \; \; .
\begin{array} { r l r } { Y ( g ^ { 0 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { 1 , } \\ { Y ( g ^ { 1 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { ( \sqrt { 2 } + 1 ) / 2 = 1 . 2 0 7 1 1 , } \\ { Y ( g ^ { 2 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { 1 . 3 9 6 0 2 , } \\ { Y ( g ^ { 3 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { 1 . 4 8 6 6 9 , } \\ { Y ( g ^ { 4 } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { 1 . 4 9 9 7 8 , } \\ { Y ( g ^ { \infty } , \pi / 4 ) } & { { } = } & { 1 . 5 . } \end{array}
U _ { E } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \frac { \xi \psi ^ { 2 } X } { T } } } & { { \frac { \xi ^ { 3 } } { X } } } \\ { { - W \psi } } & { { \frac { W T } { \xi \psi X } } } & { { \frac { 1 } { X } } } \\ { { \frac { \xi \psi ^ { 2 } } { T } } } & { { - \frac { 1 } { X } } } & { { \frac { W T } { \xi \psi X } } } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 . 0 2 1 } } & { { 6 . 4 \times 1 0 ^ { - 4 } } } \\ { { - 0 . 0 1 6 } } & { { 0 . 7 5 } } & { { 0 . 6 6 } } \\ { { 0 . 0 1 4 } } & { { - 0 . 6 6 } } & { { 0 . 7 5 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \langle M ^ { N , a ^ { \prime } } - M ^ { N , a } \rangle _ { t } = } & { \frac { N ^ { 2 } } { N ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { x , y \in V } \big ( \eta _ { s } ^ { N , a ^ { \prime } } ( x ) - \eta _ { s } ^ { N , a } ( x ) \big ) \, r ( x , y ) \left( G _ { N } ^ { \lambda } ( y / N ) - G _ { N } ^ { \lambda } ( x / N ) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } s } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { x \in V } b \big ( \eta _ { s } ^ { N , a ^ { \prime } } ( x ) - \eta _ { s } ^ { N , a } ( x ) \big ) G _ { N } ^ { \lambda } ( x / N ) ^ { 2 } \mathrm { d } s \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { q q } ( \vec { k } , t ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } S _ { q q } ( \vec { k } , \omega ) e ^ { - i \omega t } \, \mathrm { d } \omega \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \gamma } ^ { 1 / 2 } ( G _ { r , \gamma } ^ { \mathrm { R R R } } - \widehat { G } _ { r , \gamma } ^ { \mathrm { R R R } } ) = } & { ( C _ { \gamma } ^ { 1 / 2 } \widehat { C } _ { \gamma } ^ { - 1 } C _ { \gamma } ^ { 1 / 2 } ) \cdot } \\ & { \left( C _ { \gamma } ^ { - 1 / 2 } ( \widehat { C } - C ) G _ { r , \gamma } ^ { \mathrm { R R R } } + C _ { \gamma } ^ { - 1 / 2 } ( \widehat { T } - T ) \widehat { P } _ { r } + B ( \widehat { P } _ { r } - P _ { r } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } ( p _ { k } ) } & { { } = } & { S _ { 0 } ( p _ { k 0 } ) - \frac { 2 \kappa \lambda \left( \lambda ^ { 2 } + 2 \right) } { \sqrt { 1 2 - 3 \lambda ^ { 2 } } \left( \lambda ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 2 } } \frac { ( p _ { k } - p _ { k 0 } ) ^ { 2 } } { E _ { 0 } } . } \\ { S _ { 1 } ( p _ { k } ) } & { { } = } & { S _ { 1 } ( p _ { k 0 } ) + \frac { 2 \sqrt { - \lambda ^ { 4 } + 5 \lambda ^ { 2 } - 4 } \left( 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } + \lambda - 2 } { \lambda } \right) } { ( \lambda ^ { 2 } + 1 ) \kappa } ( p - p _ { k 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 3 } \Phi _ { 4 } = \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } \Phi _ { 4 } h - \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 3 } \Phi _ { 4 } + \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 0 } \Phi _ { 4 } + \Phi _ { 4 } ^ { - 1 } R _ { 3 } \Phi _ { 4 } , } \end{array}
\widetilde { V } _ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { r } , t ) = V ( \mathbf { r } ) - \frac { \omega ^ { 2 } } { 2 } \, ( \mathbf { e } _ { z } \times \mathbf { r } ) ^ { 2 } + \mathbf { r } \cdot \widetilde { \mathbf { F } } ( t ) .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { i i } ^ { a b } + R _ { i i } ^ { a b } } & { = \varepsilon _ { a } + \varepsilon _ { b } - 2 \varepsilon _ { i } + 2 E _ { c } ^ { \mathrm { I P } , i } } \\ & { \qquad = 2 E ^ { \mathrm { I P } , i } + 2 E _ { c } ^ { \mathrm { I P } , i } - E ^ { \mathrm { E A } , a } - E ^ { \mathrm { E A } , b } } \end{array}
{ \hat { z } } \times { \bf E } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } = 0 ) = { \bf 0 } \; \; \; \; \; \; \; { \hat { z } } \cdot { \bf B } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } = 0 ) = 0 .
\begin{array} { r l } { ( 2 A ^ { 1 } - A ^ { 2 } } & { - A ^ { 3 } - A ^ { 4 } + A ^ { 5 } , - A ^ { 1 } + 2 A ^ { 2 } - A ^ { 3 } - A ^ { 4 } + A ^ { 5 } ) } \\ & { = ( 4 s _ { 1 } - 2 s _ { 2 } , - 2 s _ { 1 } + 4 s _ { 2 } ) , \quad ( 4 s _ { 1 } - 2 s _ { 2 } , - 2 s _ { 1 } - 2 s _ { 2 } ) , \ \mathrm { ~ a n d ~ } \ ( - 2 s _ { 1 } - 2 s _ { 2 } , 4 s _ { 1 } - 2 s _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol C _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c c } { - \beta ^ { 2 } - 6 \beta \mu - 2 \mu \sigma } & { - \beta ^ { 2 } + \beta ( \zeta + 3 \mu ) + \mu \sigma } & { - \beta ^ { 2 } - \beta ( \zeta - 3 \mu + \sigma ) + \mu \sigma } \\ { - \beta ^ { 2 } - \beta ( \zeta - 3 \mu + \sigma ) + \mu \sigma } & { - \beta ^ { 2 } - 6 \beta \mu - 2 \mu \sigma } & { - \beta ^ { 2 } + \beta ( \zeta + 3 \mu ) + \mu \sigma } \\ { - \beta ^ { 2 } + \beta ( \zeta + 3 \mu ) + \mu \sigma } & { - \beta ^ { 2 } - \beta ( \zeta - 3 \mu + \sigma ) + \mu \sigma } & { - \beta ^ { 2 } - 6 \beta \mu - 2 \mu \sigma } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { = \mathbb { E } \left[ \langle u _ { T } ^ { G , h } - u _ { T } ^ { \hat { G } } , p _ { T } \rangle _ { H } \right] + \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Lambda } l ( t , x , u _ { t } ^ { G , h } ( x ) ) - l ( t , x , u _ { t } ^ { \hat { G } } ( x ) ) d x \, d t \right] } \\ & { \quad + \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| P _ { h } G ( t , u _ { t } ^ { G , h } ) \| _ { H } ^ { 2 } - \| \hat { G } ( t , u _ { t } ^ { \hat { G } } ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] } \\ { T _ { 2 } } & { = \mathbb { E } \left[ \int _ { \Lambda } m ( x , u _ { T } ^ { G , h } ( x ) ) - m ( x , u _ { T } ^ { \hat { G } } ( x ) ) d x \right] - \mathbb { E } \left[ \langle u _ { T } ^ { G , h } - u _ { t } ^ { \hat { G } } , D \mathcal { M } ( u _ { T } ^ { \hat { G } } ) \rangle _ { H } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { { \hat { c } _ { v } } ( c _ { 0 } z ) ^ { 4 } } { 3 \Omega ^ { 2 } \left( 1 + { \hat { c } _ { v } } \right) ^ { 2 } \hat { \tau } _ { \Pi } } \left\{ - 3 ( 1 + { \hat { c } _ { v } } ) - \mathrm { i } \Omega \left( 3 + 7 { \hat { c } _ { v } } + 5 { \hat { c } _ { v } } \hat { \tau } _ { \Pi } \right) + 9 \Omega ^ { 2 } { \hat { c } _ { v } } \hat { \tau } _ { \Pi } \right\} } \\ & { + \frac { ( c _ { 0 } z ) ^ { 2 } } { 3 \Omega ^ { 3 } ( 1 + { \hat { c } _ { v } } ) ^ { 2 } \hat { \tau } _ { q } \hat { \tau } _ { \Pi } } \left\{ - 3 \mathrm { i } \left( 1 + { \hat { c } _ { v } } \right) ^ { 2 } + \right. } \\ & { \ \quad + \Omega \left( 1 + { \hat { c } _ { v } } \right) \left[ 3 + 7 { \hat { c } _ { v } } + 5 { \hat { c } _ { v } } \hat { \tau } _ { \Pi } + 6 \left( 1 + { \hat { c } _ { v } } \right) \hat { \tau } _ { q } \right] + } \\ & { \ \quad + \mathrm { i } \Omega ^ { 2 } \left[ 2 \left( 3 + 1 0 { \hat { c } _ { v } } + 5 { \hat { c } _ { v } } ^ { 2 } \right) \hat { \tau } _ { q } + 9 { \hat { c } _ { v } } \left( 1 + { \hat { c } _ { v } } \right) \right. \hat { \tau } _ { \Pi } + \left. { \hat { c } _ { v } } \left( 1 3 + 8 { \hat { c } _ { v } } \right) \hat { \tau } _ { q } \hat { \tau } _ { \Pi } \right] + } \\ & { \ \quad - 3 \Omega ^ { 3 } { \hat { c } _ { v } } \left( 7 + 4 { \hat { c } _ { v } } \right) \hat { \tau } _ { \Pi } \hat { \tau } _ { q } \Big \} } \\ & { + \frac { ( \Omega - \mathrm { i } ) ( \hat { \tau } _ { \Pi } \Omega - \mathrm { i } ) ( \hat { \tau } _ { q } \Omega - \mathrm { i } ) } { \Omega ^ { 3 } \hat { \tau } _ { \Pi } \hat { \tau } _ { q } } = 0 } \end{array}
p \left( x , z , t \right) = e ^ { \mu _ { F } t } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \tilde { p } _ { n } \left( x , z \right) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( n + \alpha / \Omega \right) t } = e ^ { \mu _ { F } t } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \tilde { p } _ { n } \left( x , z \right) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \xi _ { n } t } ,
\begin{array} { r } { f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { W } } \{ f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ) \} \geq f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) - f _ { \ell _ { q } } ( \widehat \mathbf { W } ) \geq \frac { q t _ { 0 } ^ { q } } { 2 ( q + 1 ) } \cdot { p p _ { 0 } } \cdot \gamma , } \end{array}