harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \frac { d \Vec { q } } { d t } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - \omega _ { 1 } } & { - \omega _ { 2 } } & { - \omega _ { 3 } } \\ { \omega _ { 1 } } & { 0 } & { \omega _ { 3 } } & { - \omega _ { 2 } } \\ { \omega _ { 2 } } & { - \omega _ { 3 } } & { 0 } & { \omega _ { 1 } } \\ { \omega _ { 3 } } & { \omega _ { 2 } } & { - \omega _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c c } { q _ { 0 } } \\ { q _ { 1 } } \\ { q _ { 2 } } \\ { q _ { 3 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol S = \left[ \begin{array} { c c c } { \cos \left( \varphi _ { { z } } \right) } & { - \sin \left( \varphi _ { { z } } \right) } & { 0 } \\ { \sin \left( \varphi _ { { z } } \right) } & { \cos \left( \varphi _ { { z } } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} { c c c } { \cos \left( \varphi _ { { y } } \right) } & { - \sin \left( \varphi _ { { y } } \right) } & { 0 } \\ { \sin \left( \varphi _ { { y } } \right) } & { \cos \left( \varphi _ { { y } } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} { c c c } { \cos \left( \varphi _ { { x } } \right) } & { - \sin \left( \varphi _ { { x } } \right) } & { 0 } \\ { \sin \left( \varphi _ { { x } } \right) } & { \cos \left( \varphi _ { { x } } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } \\ { \& \mathrm { w i t h } } \\ & { \boldsymbol { \dot { S } } = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { - \omega _ { { z } } } & { \omega _ { { y } } } \\ { \omega _ { { z } } } & { 0 } & { - \omega _ { { x } } } \\ { - \omega _ { { y } } } & { \omega _ { { x } } } & { 0 } \end{array} \right] \boldsymbol S \, } \\ & { \Rightarrow } \\ & { \left[ \begin{array} { l } { \omega _ { x } } \\ { \omega _ { y } } \\ { \omega _ { z } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { \cos \left( \varphi _ { { z } } \right) \cos \left( \varphi _ { { y } } \right) } & { - \sin \left( \varphi _ { { z } } \right) } & { 0 } \\ { \sin \left( \varphi _ { { z } } \right) \cos \left( \varphi _ { { y } } \right) } & { \cos \left( \varphi _ { { z } } \right) } & { 0 } \\ { - \sin \left( \varphi _ { { y } } \right) } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} { l } { \dot { \varphi } _ { x } } \\ { \dot { \varphi } _ { y } } \\ { \dot { \varphi } _ { z } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } \, d \phi , } \\ { \frac { L } { 2 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } \, d \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { n } \rangle } & { { } = \sum _ { \lambda } \left( \sinh \xi _ { \lambda } \right) ^ { 2 } } \\ { p _ { \mathrm { t r i g } } } & { { } = 1 - \sum _ { \lambda } \mathrm { s e c h } \, \xi _ { \lambda } } \end{array}
P _ { \mu \nu \sigma , \kappa \lambda \sigma ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) = i \Theta ( \tau ) G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { > } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { < } ( - i \tau ) + i \Theta ( - \tau ) G _ { \mu \kappa , \sigma \sigma ^ { \prime } } ^ { < } ( i \tau ) G _ { \nu \lambda , \sigma ^ { \prime } \sigma } ^ { > } ( - i \tau ) \; .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } \mathbf { b } } & { = ( a _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + a _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } ) ( b _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + b _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } ) } \\ & { = a _ { 1 } b _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } \mathbf { e } _ { 1 } + a _ { 1 } b _ { 2 } \mathbf { e } _ { 1 } \mathbf { e } _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } \mathbf { e } _ { 2 } \mathbf { e } _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } \mathbf { e } _ { 2 } } \\ & { = a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 } \mathbf { e } _ { 2 } . } \end{array} }
\psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , t ) = e ^ { i \pi / 4 } \chi ( x _ { 1 } - \delta , x _ { 2 } + \delta , x _ { 3 } , t ) + e ^ { - i \pi / 4 } \chi ( x _ { 1 } + \delta , x _ { 2 } - \delta , x _ { 3 } , t )
\overline { { C ( N , N _ { 0 } , \alpha , \beta ) } } = \left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { \Gamma ( N _ { 0 } ) \Gamma ( N - \alpha ) } { \Gamma ( N _ { 0 } - \alpha ) \Gamma ( N ) } \quad \mathrm { ( U C ) } , } \\ & { \frac { \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } { 2 } ) \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) - \alpha } { 2 } + N - N _ { 0 } ) } { \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) - \alpha } { 2 } ) \Gamma ( \frac { N _ { 0 } ( N _ { 0 } - 1 ) } { 2 } + N - N _ { 0 } ) } \quad \mathrm { ( P A ) } , } \end{array} \right.
{ \cal V } _ { { \cal Q } _ { \mathrm { R } } } ^ { ( 1 ) \dagger } { \cal M } _ { \cal Q } { \cal V } _ { { \cal Q } _ { \mathrm { L } } } ^ { ( 1 ) } = \left( \begin{array} { c c } { { M _ { q } ^ { ( 1 ) } } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { M _ { Q } ^ { ( 1 ) } } } \end{array} \right) .
\psi ^ { T } ( \rho , w ) \equiv { \frac { 1 + \rho } { \sqrt \rho } } \exp \left( { \frac { \ln ^ { 2 } \rho } { 2 \ln w } } \right) \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( 1 + w ^ { n } \rho ) ( 1 + w ^ { n } / \rho ) } { ( 1 - w ^ { n } ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r } { \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } \Bigg | \{ A _ { j k } \} _ { k \neq j } , \Delta ^ { ( j ) } \stackrel { d } { = } E \left( \sum _ { k \neq j } A _ { j k } ( \Delta _ { k } ^ { ( j ) } ) ^ { \top } \Delta _ { k } ^ { ( j ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Bigg | \{ A _ { j k } \} _ { k \neq j } , \Delta ^ { ( j ) } } \end{array}
V _ { P Q } = - \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } | \Vec { P } | ^ { 2 } | \Vec { Q } | ^ { 2 } { - } \frac { \gamma _ { 2 } } { 2 } ( \Vec { P } \cdot \Vec { Q } ) ^ { 2 } { - } \frac { \gamma _ { 3 } } { 2 } \sum _ { i } P _ { i } ^ { 2 } Q _ { i } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { b _ { i , j } ^ { ( k ) } } & { = \hat { a } _ { i , j } ^ { ( m ) } + \sum _ { \ell = k } ^ { m - 1 } \hat { a } _ { i , \ell } ^ { ( \ell ) } \hat { a } _ { \ell , j } ^ { ( \ell ) } / \hat { a } _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } } \\ & { = \big [ \hat { a } _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } - s _ { i , m - 1 } \hat { a } _ { m - 1 , j } ^ { ( m - 1 ) } ( 1 + \theta _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } ) \big ] ( 1 + \phi _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } ) } \\ & { \quad + \hat { a } _ { m - 1 , j } ^ { ( m - 1 ) } \big ( s _ { i , m - 1 } - \varphi _ { i , m - 1 } \hat { a } _ { i , m - 1 } ^ { ( m - 1 ) } / \hat { a } _ { m - 1 , m - 1 } ^ { ( m - 1 ) } \big ) + \sum _ { \ell = k } ^ { m - 2 } \hat { a } _ { i , \ell } ^ { ( \ell ) } \hat { a } _ { \ell , j } ^ { ( \ell ) } / \hat { a } _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } } \\ & { = \bigg [ \phi _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } \hat { a } _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } - s _ { i , m - 1 } \hat { a } _ { m - 1 , j } ^ { ( m - 1 ) } ( \theta _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } + \phi _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } + \theta _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } \phi _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } ) } \\ & { \quad - \hat { a } _ { m - 1 , j } ^ { ( m - 1 ) } \varphi _ { i , m - 1 } \hat { a } _ { i , m - 1 } ^ { ( m - 1 ) } / \hat { a } _ { m - 1 , m - 1 } ^ { ( m - 1 ) } \bigg ] + \bigg [ \hat { a } _ { i , j } ^ { ( m - 1 ) } + \sum _ { \ell = k } ^ { m - 2 } \hat { a } _ { i , \ell } ^ { ( \ell ) } \hat { a } _ { \ell , j } ^ { ( \ell ) } / \hat { a } _ { \ell , \ell } ^ { ( \ell ) } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial P _ { 1 } ( x , p , t ) } { \partial t } = \frac { \Gamma } { \hbar } \Re ( \tilde { f } ( E ( x ) , t ) ) P _ { 0 } ( x , p , t ) - \frac { \Gamma } { \hbar } ( 1 - \Re ( \tilde { f } ( E ( x ) , t ) ) ) P _ { 1 } ( x , p , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } } & { \leq } & { \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { \beta ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } } \| g ( \theta ^ { k } ) \| ^ { 2 } - 2 \beta ( 1 - \gamma ) \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - 2 ( 1 - \gamma ) \beta + \frac { 4 \beta ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } } \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J ^ { \pi } ( \rho ) - J ^ { \pi ^ { * } } ( \rho ) } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } \{ | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } , \frac { 1 } { ( 1 - \gamma ) \pi _ { 1 } ^ { L B } } | | \frac { d _ { \rho ^ { \pi ^ { * } } } ^ { \pi ^ { * } } } { \mu ^ { P } } | | _ { \infty } \} \operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } } ( \pi - \bar { \pi } ) ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi } J ^ { \pi } ( \mu ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Sigma _ { e x p } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 6 . 4 } & { 0 } & { 0 } & { - 1 . 9 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 5 . 2 } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 3 6 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 . 4 } & { 0 } & { 0 } & { - 0 . 4 2 } \\ { - 1 . 9 } & { 0 } & { 0 } & { 1 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 0 . 3 6 } & { 0 } & { 0 } & { 1 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 0 . 4 2 } & { 0 } & { 0 } & { 6 . 4 } \end{array} \right) \times 1 0 ^ { - 3 } } \end{array}
\frac { 1 } { h ^ { 4 } } \left[ \frac { \partial h } { \partial \xi _ { 1 } } \frac { \partial h } { \partial \xi _ { 1 } } + \frac { \partial h } { \partial \xi _ { 2 } } \frac { \partial h } { \partial \xi _ { 2 } } - h \left( \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial \xi _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } h } { \partial \xi _ { 2 } ^ { 2 } } \right) \right] = 1
Z = \frac { 1 } { n ! } \left\{ \begin{array} { l } { { u \, ( \partial \bar { \partial } u ) ^ { n - 2 } \, \partial \bar { \partial } \ln \mu , } } \\ { { \ln \mu \, ( \partial \bar { \partial } u ) ^ { n - 1 } , } } \\ { { \bar { \partial } u \, ( \partial \bar { \partial } u ) ^ { n - 1 } \, \partial \ln \mu , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\lVert \mathbf { z } _ { k } ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } & { = \left\lVert \left( \hat { P } E _ { T } ^ { \theta } \mathbf { z } _ { k - 1 } \right) ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { \leq \left\lVert \left( \hat { P } E _ { T } ^ { \theta } \mathbf { z } _ { k - 1 } ^ { \parallel } \right) ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } + \left\lVert \left( \hat { P } E _ { T } ^ { \theta } \mathbf { z } _ { k - 1 } ^ { \perp } \right) ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { = \left\lVert \hat { P } \left( E _ { T } ^ { \theta } \mathbf { z } _ { k - 1 } ^ { \parallel } \right) ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } + \left\lVert \hat { P } \left( E _ { T } ^ { \theta } \mathbf { z } _ { k - 1 } ^ { \perp } \right) ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { \leq \lambda \left\lVert \left( E _ { T } ^ { \theta } \mathbf { z } _ { k - 1 } ^ { \parallel } \right) ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } + \lambda \left\lVert \left( E _ { T } ^ { \theta } \mathbf { z } _ { k - 1 } ^ { \perp } \right) ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { \leq \lambda \alpha _ { 2 } \left\lVert \mathbf { z } _ { k - 1 } ^ { \parallel } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } + \lambda \alpha _ { 3 } \left\lVert \mathbf { z } _ { k - 1 } ^ { \perp } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { \leq \left( \lambda \alpha _ { 2 } + ( \lambda \alpha _ { 2 } ) ( \lambda \alpha _ { 3 } ) + \dots + ( \lambda \alpha _ { 2 } ) ( \lambda \alpha _ { 3 } ) ^ { k - 1 } \right) \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq k } \left\lVert \mathbf { z } _ { j } ^ { \parallel } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } } \\ & { \leq \frac { \lambda \alpha _ { 2 } } { 1 - \lambda \alpha _ { 3 } } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq k } \left\lVert \mathbf { z } _ { j } ^ { \parallel } \right\rVert _ { \boldsymbol \pi } , } \end{array}
\mathsf { E } ( \mathsf { f } ) = \mathsf { C } \left( \mathrm { 1 } - \rho _ { \mathsf { f } } \right) \, , \quad \mathrm { w h e r e } \quad \mathsf { C } _ { i j } = \partial _ { x } G ( x _ { i } - x _ { j } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \left( \rho _ { \mathsf { f } } \right) _ { i } = \frac { 1 } { n _ { v } } \sum _ { j } \mathsf { f } _ { i j } \, ,
\tilde { f } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , - \tau ) = \tilde { f } _ { d } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } , - \tau ) - \tilde { w } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 , S } ) \int _ { - \infty } ^ { \tau } \tilde { R } ^ { \cup } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , S } , x _ { 3 } , \tau - \tau ^ { \prime } ) \tilde { f } ( { \bf s } _ { H } , x _ { 3 , F } , x _ { 3 } , \tau ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tau ^ { \prime } ,
\psi _ { - 2 q } ^ { 2 - } = - \frac { i } { 2 } \nabla _ { - } \chi _ { q } ^ { 2 } , \ \psi _ { + 2 q } ^ { 2 - } = - \frac { i } { 4 } \Omega _ { + } ^ { - 2 i } \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \chi _ { \dot { q } } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { p \left( Y _ { a b } \mid \mu , \sigma , \theta \right) } & { \approx \mathsf { B e t a B i n o m i a l } \left( Y _ { a b } \mid t _ { a b } , \alpha _ { a b } , \beta _ { a b } \right) , } \\ { \mathrm { w h e r e ~ } t _ { a b } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { a } ( n _ { a } - 1 ) } & { \mathrm { i f ~ } a = b } \\ { n _ { a } n _ { b } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\rho _ { m , n } ^ { A } ( t ) = \frac { 1 } { P _ { m , n } ( t ) } \left( \begin{array} { c c } { \left| A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) \right| ^ { 2 } + \left| A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) \right| ^ { 2 } } & { A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) ^ { * } + A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) ^ { * } } \\ { A _ { m , n } ^ { ( 0 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) ^ { * } + A _ { m , n } ^ { ( 2 ) } ( t ) A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) ^ { * } } & { \left| A _ { m , n } ^ { ( 1 ) } ( t ) \right| ^ { 2 } + \left| A _ { m , n } ^ { ( 3 ) } ( t ) \right| ^ { 2 } } \end{array} \right)
d s _ { 1 0 } ^ { 2 } = \tilde { f } _ { + + } ^ { - \alpha } ( d x _ { / / } ^ { 2 } + d \rho ^ { * 2 } ) + \tilde { f } _ { + } ^ { - 2 / ( 7 - p ) } \tilde { f } _ { + + } ^ { \beta _ { + } } \rho ^ { 2 } d \Omega _ { 8 - p } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \langle n ^ { \prime } l ^ { \prime } s ^ { \prime } j ^ { \prime } m ^ { \prime } | r _ { 1 q } | n l s j m \rangle = \qquad } \\ { \delta _ { s ^ { \prime } s } ( - 1 ) ^ { j + l ^ { \prime } + s - 1 } ( - 1 ) ^ { j ^ { \prime } - m ^ { \prime } } \sqrt { ( 2 j ^ { \prime } + 1 ) ( 2 j + 1 ) } } \\ { \times \left( \begin{array} { l l l } { j ^ { \prime } } & { 1 } & { j } \\ { - m ^ { \prime } } & { q } & { m } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { l l l } { l } & { s } & { j } \\ { j ^ { \prime } } & { 1 } & { j } \end{array} \right\} \langle n ^ { \prime } l ^ { \prime } | | r | | n l \rangle . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { J } } _ { x } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { { \boldsymbol { J } } _ { y } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { - i } & { 0 } \\ { i } & { 0 } & { - i } \\ { 0 } & { i } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { { \boldsymbol { J } } _ { z } } & { = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { T } _ { 2 } } & { = \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X } & { { } = \varepsilon _ { 1 } } \\ { M } & { { } = b _ { 0 } + b _ { 1 } X + \varepsilon _ { 2 } } \\ { Y } & { { } = c _ { 0 } + c _ { 1 } X + c _ { 2 } M + c _ { 3 } X M + \varepsilon _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \frac { L R ^ { 2 } } { \epsilon _ { \textup { o p t } } K ^ { 2 } \log ^ { 2 } n } \frac { \sqrt { d K \log ^ { 5 } ( n / \delta ) } } { n \epsilon } \lesssim \frac { \epsilon _ { \textup { o p t } } } { L \sqrt { d } \log ^ { 2 } ( \frac { \log n } { \delta } ) } } \\ { \Leftrightarrow } & { ~ L ^ { 2 } R ^ { 2 } \frac { \sqrt { d \log ^ { 5 } ( n / \delta ) } } { n \epsilon } \lesssim \epsilon _ { \textup { o p t } } ^ { 2 } \cdot K ^ { 3 / 2 } = O ( 1 ) \epsilon _ { \textup { o p t } } L R \sqrt { d } \log ^ { 2 } ( n / \delta ) } \\ { \Leftrightarrow } & { ~ L R \frac { \sqrt { d \log ( n / \delta ) } } { n \epsilon } \lesssim \epsilon _ { \textup { o p t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \langle u ^ { k } - u ^ { * } + m ( u ^ { k + 1 } - u ^ { k } ) , x ^ { k + 1 } - z ^ { k } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { N } \langle A Y ^ { k } - A Y ^ { * } + m A ( Y ^ { k + 1 } - Y ^ { k } ) , x ^ { k + 1 } - x ^ { k } - \theta ( x ^ { k } - x ^ { k - 1 } ) \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { N } \langle A Y ^ { k + 1 } - A Y ^ { * } , x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \rangle - \frac { \theta } { N } \langle A Y ^ { k } - A Y ^ { * } , x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \rangle } \\ & { \quad + \frac { m - 1 } { N } \langle A Y ^ { k + 1 } - A Y ^ { k } , x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \rangle + \frac { m \theta } { N } \langle A Y ^ { k + 1 } - A Y ^ { k } , x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \rangle , } \end{array}
\operatorname { A C C } ( c , \tau ) = \frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } \frac { \sum _ { w , h } W \cdot \frac { \cos ( \alpha _ { w , h } ) } { \sum _ { w ^ { \prime } = 1 } ^ { W } \cos ( \alpha _ { w ^ { \prime } , h } ) } ( x _ { c , w , h } ^ { i + \tau } - C _ { c , w , h } ^ { i + \tau } ) ( \hat { x } _ { c , w , h } ^ { i + \tau } - C _ { c , w , h } ^ { i + \tau } ) } { \sqrt { \sum _ { w , h } W \cdot \frac { \cos ( \alpha _ { w , h } ) } { \sum _ { w ^ { \prime } = 1 } ^ { W } \cos ( \alpha _ { w ^ { \prime } , h } ) } ( x _ { c , w , h } ^ { i + \tau } - C _ { c , w , h } ^ { i + \tau } ) ^ { 2 } \sum _ { w , h } W \cdot \frac { \cos ( \alpha _ { w , h } ) } { \sum _ { w ^ { \prime } = 1 } ^ { W } \cos ( \alpha _ { w ^ { \prime } , h } ) } ( \hat { x } _ { c , w , h } ^ { i + \tau } - C _ { c , w , h } ^ { i + \tau } ) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x } \sigma _ { p } } & { { } = { \frac { \hbar } { 2 } } { \sqrt { \left( \cos ^ { 2 } { ( \omega t ) } + { \frac { \Omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } { ( \omega t ) } \right) \left( \cos ^ { 2 } { ( \omega t ) } + { \frac { \omega ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } { ( \omega t ) } \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r } { A ^ { 2 } + C ^ { 2 } - B ^ { 2 } - D ^ { 2 } = u ^ { 2 } + v ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } / 4 + v \cos k _ { x } [ ( u + \gamma / 2 ) \sqrt { | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } | } + ( u - \gamma / 2 ) \sqrt { | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } | } ] } \end{array}
\hat { Q } _ { L , o u t } ^ { } ( \phi ) = \left[ 1 + \chi _ { S } ^ { } \Gamma _ { S } ^ { } \sin { ( 2 \phi ) } \right] \hat { Q } _ { L , i n } ^ { } ( \phi ) + 2 \chi _ { S } ^ { } \Gamma _ { S } ^ { } \cos ^ { 2 } { ( \phi ) } \hat { Q } _ { L , i n } ( \phi _ { \bot } ) + \sqrt { 2 \Gamma _ { S } ^ { } \gamma _ { S } ^ { } } \chi _ { S } ^ { } \cos { ( \phi ) } \hat { \zeta } .
F ( l ) = \left( \frac { d } { d l / s } \right) ^ { ( d + 3 ) / 2 } { \frac { \left[ \sqrt { \left( \frac { l } { s } \right) ^ { 2 } + 1 } - { \frac { l } { s } } \right] ^ { ( d - 1 ) / 2 } } { \sqrt { \left( \frac { l } { s } \right) ^ { 2 } + 1 } } } .
\hat { \mathcal { H } } _ { \mathrm { S E } } = \sum _ { k = 1 } ^ { N } { - \frac { \Delta _ { { \bf x } _ { k } } } { 2 } } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \hat { \mathcal { V } } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf x } _ { k } ) } + \sum _ { k < l } ^ { N } { \hat { \mathcal { V } } _ { \mathrm { e e } } ( { \bf x } _ { k } - { \bf x } _ { l } ) } ,
\begin{array} { r l } & { D _ { ( g , F ) } \left( \delta _ { g } F \right) ( \dot { g } , \dot { F } ) = \delta _ { g } \dot { F } + \dot { g } ^ { \nu \alpha } \nabla _ { \alpha } F _ { \nu \mu } + g ^ { \nu \alpha } \left( \dot { \Gamma } _ { \alpha \nu } ^ { \kappa } ( \dot { g } ) F _ { \kappa \mu } + \dot { \Gamma } _ { \alpha \mu } ^ { \kappa } ( \dot { g } ) F _ { \nu \kappa } \right) } \\ & { \quad = \delta _ { g } \dot { F } + \dot { g } ^ { \nu \alpha } \nabla _ { \alpha } F _ { \nu \mu } + g ^ { \kappa \lambda } \nabla ^ { \alpha } ( \dot { g } _ { \alpha \lambda } - \frac 1 2 g ^ { \nu \alpha } \dot { g } _ { \alpha \nu } g _ { \alpha \lambda } ) F _ { \kappa \mu } + \frac 1 2 ( \nabla ^ { \nu } \dot { g } _ { ~ \mu } ^ { \kappa } - \nabla ^ { \kappa } \dot { g } _ { ~ \mu } ^ { \nu } ) F _ { \nu \kappa } } \\ & { \quad = \delta _ { g } \dot { F } + \dot { g } ^ { \nu \alpha } \nabla _ { \alpha } F _ { \nu \mu } - ( \delta _ { g } G _ { g } \dot { g } ) ^ { \kappa } F _ { \kappa \mu } + \frac 1 2 ( \nabla ^ { \nu } \dot { g } _ { ~ \mu } ^ { \kappa } - \nabla ^ { \kappa } \dot { g } _ { ~ \mu } ^ { \nu } ) F _ { \nu \kappa } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \delta _ { 1 2 } A _ { 1 2 } a _ { 1 2 } + \beta _ { 1 2 } D _ { 1 2 } c _ { 1 2 } = a _ { 1 2 } D _ { 1 2 } \alpha _ { 1 2 } + c _ { 1 2 } A _ { 1 1 } \beta _ { 1 2 } } \\ & { } & { \alpha _ { 1 2 } C _ { 1 2 } a _ { 1 1 } = a _ { 1 2 } D _ { 1 2 } \gamma _ { 1 2 } + c _ { 1 2 } A _ { 1 1 } \delta _ { 1 2 } } \\ & { } & { \delta _ { 1 2 } A _ { 1 2 } b _ { 1 2 } + \beta _ { 1 2 } D _ { 1 2 } a _ { 1 2 } = a _ { 1 2 } B _ { 1 2 } \alpha _ { 1 1 } } \\ & { } & { \alpha _ { 1 2 } A _ { 1 1 } a _ { 1 2 } + \gamma _ { 1 2 } A _ { 1 2 } b _ { 1 2 } = a _ { 1 1 } \alpha _ { 1 1 } A _ { 1 2 } } \\ & { } & { \alpha _ { 1 2 } A _ { 1 1 } c _ { 1 2 } + \gamma _ { 1 2 } A _ { 1 2 } a _ { 1 2 } = a _ { 1 1 } C _ { 1 2 } \delta _ { 1 2 } } \\ & { } & { \gamma _ { 1 2 } C _ { 1 2 } a _ { 1 1 } = a _ { 1 1 } C _ { 1 2 } \gamma _ { 1 2 } \quad ( * ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r c l } { \displaystyle \mathrm { d } s ^ { 2 } = Z _ { 0 } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \eta ^ { 2 } - \big [ a ^ { \ast } \left( \eta \right) R ^ { \ast } \left( x _ { \ast } , y _ { \ast } , z _ { \ast } \right) \big ] ^ { 2 } \left( \mathrm { d } x _ { \ast } ^ { \, 2 } + \mathrm { d } y _ { \ast } ^ { \, 2 } + \mathrm { d } z _ { \ast } ^ { \, 2 } \right) . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| \Phi _ { 1 } ( t ) - x _ { 1 } - v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) t \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { { } = 2 \int _ { M } ( u _ { 1 } ( \Phi ( t ) ) - v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) ) ( \Phi _ { 1 } ( t ) - x _ { 1 } - t v _ { * } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) ) \mathrm { d } x } \end{array}
\left[ \frac { \partial } { \partial x } \right] ^ { p } \boldsymbol { a } \left( \boldsymbol { x } \right) = \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { d / 2 } } \int d \boldsymbol { x } e ^ { i \boldsymbol { k } \cdot \boldsymbol { x } } \left[ D _ { x } \left( \boldsymbol { k } \right) \right] ^ { p } \tilde { \boldsymbol { a } } \left( \boldsymbol { k } \right) .
\omega _ { \mathrm { f , s l } } ^ { 2 } = { \frac { k ^ { 2 } \left( v _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } + v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \right) } { 2 } } \left( 1 \pm { \sqrt { 1 - { \frac { 4 k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \left( v _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } + v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } } } \right) .