harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \omega ( y , t ) } & { = ( \omega _ { 0 } ( y _ { 1 } , 0 + , t ) + \omega _ { 0 } ( y _ { 1 } , 0 - , t ) ) 1 _ { \{ y \in \partial D \} } + \int _ { D } p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } p ^ { D } ( s , ( \xi _ { 1 } , 0 + ) , t , y ) \theta _ { + } ( \xi _ { 1 } , s ) \textrm { d } \xi _ { 1 } \textrm { d } s } \\ & { - \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } p ^ { D } ( s , ( \xi _ { 1 } , 0 - ) , t , y ) \theta _ { - } ( \xi _ { 1 } , s ) \textrm { d } \xi _ { 1 } \textrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \left( \frac { d } { d t } + i \frac { \left( \mathbf { P } + M \mathbf { g } t \right) ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right) a \left( e , \mathbf { P } , t \right) } & { = } & { \frac { \Omega } { 2 } f ^ { 2 } \left( t \right) \exp \left[ - i \delta t - i \phi \left( t \right) \right] a \left( g , \mathbf { P } - \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \\ { i \left( \frac { d } { d t } + i \frac { \left( \mathbf { P } + M \mathbf { g } t \right) ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right) a \left( g , \mathbf { P } , t \right) } & { = } & { \frac { \Omega ^ { \ast } } { 2 } f ^ { 2 } \left( t \right) \exp \left[ i \delta t + i \phi \left( t \right) \right] a \left( e , \mathbf { P } + \hbar \mathbf { k } , t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( z ) } & { = } & { \frac { 1 } { 1 - 1 / z } + \frac { z } { 2 } \frac { 1 } { 1 - z / 2 } } \\ & { = } & { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { z ^ { k } } + \frac { z } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { z } { 2 } \right) ^ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \bigg ( \frac { 1 } { z ^ { k } } + \frac { 1 } { 2 ^ { k + 1 } } z ^ { k + 1 } \bigg ) } \end{array}
\left[ D _ { \mu \nu } , \ D _ { \rho \lambda } \right] = \eta _ { \mu \rho } D _ { \nu \lambda } + \eta _ { \nu \lambda } D _ { \mu \rho } - \eta _ { \mu \lambda } D _ { \nu \rho } - \eta _ { \nu \rho } D _ { \mu \lambda } .
V _ { \beta } ( p ^ { \prime } , p ) = g ( \frac { p ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } ) \left( \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } { p ^ { \prime } } ^ { 2 i } \lambda _ { i j } p ^ { 2 j } \right) g ( \frac { p ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } ) .
\mathrm { e r f i } ( z ) = - \, \mathrm { i } \cdot \mathrm { e r f } ( \mathrm { i } z ) = \frac { 2 } { \mathrm { i } \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { i } z } \! d u \, \exp ( - \, u ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { A _ { \gamma } ^ { g _ { c } } ( F ) } & { : = \int _ { S ^ { n } } F P _ { 2 \gamma } ^ { g _ { c } } ( F ) d \sigma , \quad F \in W ^ { \gamma , 2 } ( S ^ { n } ) , } \\ { B _ { \gamma } ^ { g _ { c } } ( F ) } & { : = \int _ { S ^ { n } } | F | ^ { p } d \sigma , \quad p = \frac { 2 n } { n - 2 \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { t + 1 } = } & { \lambda _ { t } } \\ & { - \epsilon _ { t } \Bigg [ \frac { 1 } { \tilde { k } \tilde { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { \tilde { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { \tilde { n } } \frac { \nabla _ { \lambda } h ( \tilde { x } _ { t j } , \tilde { \phi } _ { t i } ( \tilde { x } _ { t j } ) , \nabla _ { x } \tilde { \phi } _ { t i } ( \tilde { x } _ { t j } ) , \dots ; \lambda _ { t } ) } { q ( \tilde { x } _ { t j } ) } } \\ & { - \frac { 1 } { k n } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \nabla _ { \lambda } h ( x _ { t j } , \phi _ { t i } ( x _ { t j } ) , \nabla _ { x } \phi _ { t i } ( x _ { t j } ) , \dots ; \lambda _ { t } ) } { q ( x _ { t j } ) } } \\ & { + \nabla _ { \lambda } H ( \lambda _ { t } ) \Bigg ] } \\ & { + \eta _ { t } , } \end{array}
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ \bigg ( B _ { 0 } + \frac { \delta _ { 0 } } { 4 } \bigg ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + \bigg ( B _ { 1 } + \frac { \delta _ { 1 } } { 4 } - \frac { \delta _ { 0 } } { 2 } \log { ( \bar { y } ) } \bigg ) \log ( n ) \quad ~ } & { { } } \\ { + \bigg ( B _ { 2 } - \frac { \delta _ { 1 } } { 2 } \log ( \bar { y } ) \bigg ) \bigg ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) \quad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \bigg [ \bigg ( A _ { 1 } + \frac { \delta _ { 2 } } { 4 } \bigg ) \log ( n ) + \bigg ( A _ { 2 } - \frac { \delta _ { 2 } } { 2 } \log ( \bar { y } ) \bigg ) \bigg ] \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) \quad } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array} \right.
d \bar { s } _ { ( 4 ) } ^ { 2 } = - { \frac { \rho ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } } d t ^ { 2 } + { \frac { \ell ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } } d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + d \varphi ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Psi _ { u } ^ { c y c } } & { = \frac { 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } } { 1 + \operatorname* { m a x } \big [ \Lambda _ { i j } ( 1 + \Lambda _ { j k } ) \big ] } \, , } \\ { \Psi _ { l } ^ { c y c } } & { = ( 1 - \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } ) \left( \begin{array} { l } { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 3 1 } } , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 2 3 } \Lambda _ { 3 1 } } \big ] } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 2 } } , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 3 1 } \Lambda _ { 1 2 } } \big ] } \\ { \operatorname* { m i n } \big [ 1 , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 2 3 } } , \, \frac { 1 } { \Lambda _ { 1 2 } \Lambda _ { 2 3 } } \big ] } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\frac { \alpha _ { + } } { m } \simeq 1 . 8 \times 1 0 ^ { 6 } \simeq \frac { k } { m } , \qquad \frac { \alpha _ { - } } { m } \simeq 1 . 8 \times 1 0 ^ { 6 } \simeq \frac { k } { m } , \qquad \frac { \alpha _ { + } } { m } - \frac { \alpha _ { - } } { m } = 2 \delta \simeq 2 \sqrt { 2 } = 2 . 8 2 8 .
V _ { 1 } ( t ) = \exp \{ i { \frac { e } { \hbar c } } \int \int d ^ { 2 } x d ^ { 2 } x ^ { \prime } \sqrt { g ( x ) } J _ { 0 } ( x ) G ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } ) \partial _ { i } ^ { \prime } a _ { i } ^ { ( 1 ) } ( x ^ { \prime } ) \} .
\frac { \partial f _ { s } } { \partial t } + { \bf { v } } \cdot \nabla f _ { s } + \frac { q _ { s } } { m _ { s } } ( { \bf { E } } + { \bf { v } } \times { \bf { B } } ) \cdot \nabla _ { v } f _ { s } = C _ { i } \{ f _ { s } \} ,
p _ { 0 } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \quad } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ c _ { 2 } > 0 , } \\ { \frac { - 3 c _ { 3 } + \sqrt { 9 c _ { 3 } ^ { 2 } - 2 4 c _ { 2 } } } { 1 2 } , \quad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { a } = } & { { } \nabla ^ { 2 } a + \left\{ \begin{array} { l l } { - a } & { x \in [ - \ell , 0 ] } \\ { 2 m _ { 1 } b - a [ b _ { \infty } ( a ) + m _ { 2 } ] } & { x \in [ 0 , \ell ] } \end{array} \right. } \\ { \dot { b } = } & { { } \frac { b _ { \infty } ( a ) - b } { \tau } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \frac { q ^ { \prime } ( q ^ { \prime } - R _ { D } ) } { d ^ { \prime } ( R _ { D } - d ^ { \prime } ) } } } & { = } & { { \frac { q ( q - R _ { D } ) } { d ( R _ { D } - d ) } } \; { \frac { [ n R _ { D } + d ( n ^ { \prime } - n ) ] ^ { 2 } } { [ n R _ { D } + q ( n ^ { \prime } - n ) ] ^ { 2 } } } = { \frac { q ( q - R _ { D } ) } { d ( R _ { D } - d ) } } \; { \frac { d ^ { 2 } R _ { D } ^ { 2 } \left( \displaystyle { \frac { n ^ { \prime } } { d ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } } { q ^ { 2 } R _ { D } ^ { 2 } \left( \displaystyle { \frac { n ^ { \prime } } { q ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { { \frac { d q ^ { 2 } } { q d ^ { 2 } } } \; { \frac { q - R _ { D } } { R _ { D } - d } } \, . } \end{array}
M = \mu \left[ 1 + { \frac { v ^ { 2 } } { 2 ( 1 - v ^ { 2 } ) } } \right] \; , \; \; \; Q = { \frac { \mu v } { 1 - v ^ { 2 } } } \; , \; \; \; J = { \frac { \mu a } { \sqrt { 1 - v ^ { 2 } } } } \; .
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( s ) = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } ( s ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } ) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } } { s ^ { 2 } } \, .
\ell _ { n } ^ { 2 } \vec { \kappa } _ { n } = \partial _ { x } ^ { 2 } \gamma _ { n } + \frac { 1 } { \gamma _ { n } ^ { ( 2 ) } } \left( \begin{array} { l } { - 2 \partial _ { x } \gamma _ { n } ^ { ( 1 ) } \partial _ { x } \gamma _ { n } ^ { ( 2 ) } } \\ { ( \partial _ { x } \gamma _ { n } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 2 } - ( \partial _ { x } \gamma _ { n } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left| \left\langle { \underline { { W G _ { 1 } B _ { 1 } G _ { 2 } B _ { 2 } } } } \right\rangle \right| ^ { 2 } } & { = \mathbb E \sum _ { a , b } \kappa _ { a , b } ^ { 1 , 1 } ( G _ { 1 } B _ { 1 } ) _ { b c } ( G _ { 2 } B _ { 2 } ) _ { c a } ( B _ { 2 } ^ { * } G _ { 2 } ^ { * } ) _ { a d } ( B _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } ) _ { d b } } \\ & { + \mathbb E \sum _ { a , b , c , d } \kappa _ { a , b } ^ { 1 , 1 } \kappa _ { c , d } ^ { 1 , 1 } ( G _ { 1 } B _ { 1 } G _ { 2 } ) _ { b d } ( G _ { 2 } B _ { 2 } ) _ { c a } ( B _ { 2 } ^ { * } G _ { 2 } ^ { * } B _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } ) _ { d b } ( G _ { 1 } ^ { * } ) _ { a c } } \\ & { + \mathbb E \sum _ { a , b , c , d } \kappa _ { a , b } ^ { 2 , 1 } \kappa _ { c , d } ^ { 1 , 1 } ( G _ { 1 } ) _ { b d } ( G _ { 1 } B _ { 1 } G _ { 2 } ) _ { c a } ( G _ { 2 } B _ { 2 } ) _ { b a } ( B _ { 2 } ^ { * } G _ { 2 } ^ { * } ) _ { d b } ( G _ { 2 } ^ { * } B _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } ) _ { a c } } \\ & { + \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathcal { B } _ { < } } } } & { \sum _ { \ell } ( | u | ^ { 2 } + | \omega | ^ { - 2 } | u ^ { \prime } | ^ { 2 } ) ( r ) \, d \widetilde { \omega } } \\ { \leq } & { \: C _ { m } B _ { \mathrm { h o m } } ^ { 4 } W _ { 0 } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } } \Delta ^ { \frac { 1 - \epsilon } { 2 } } r ^ { - 1 + \epsilon } r ^ { 2 } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau + \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 1 + \tau ) ^ { 1 + \delta } \Delta ^ { \frac { 1 - \epsilon } { 2 } } r ^ { - 1 + \epsilon } r ^ { 2 } | G | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mu _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 1 } v _ { \eta } ^ { 2 } + \lambda _ { 4 } v _ { \rho } ^ { 2 } + \lambda _ { 5 } v _ { \chi } ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 9 } v _ { H } ^ { 2 } + f _ { 1 } v _ { \eta } ^ { - 1 } v _ { \rho } v _ { \chi } = 0 , } } \\ { { \mu _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 2 } v _ { \rho } ^ { 2 } + \lambda _ { 4 } v _ { \eta } ^ { 2 } + \lambda _ { 6 } v _ { \chi } ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 1 0 } v _ { H } ^ { 2 } + f _ { 1 } v _ { \eta } v _ { \rho } ^ { - 1 } v _ { \chi } + f _ { 2 } v _ { \chi } v _ { H } v _ { \rho } ^ { - 1 } = 0 , } } \\ { { \mu _ { 3 } ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 3 } v _ { \chi } ^ { 2 } + \lambda _ { 5 } v _ { \eta } ^ { 2 } + \lambda _ { 6 } v _ { \rho } ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 1 1 } v _ { H } ^ { 2 } + f _ { 1 } v _ { \eta } v _ { \rho } v _ { \chi } ^ { - 1 } + f _ { 2 } v _ { \rho } v _ { H } v _ { \chi } ^ { - 1 } = 0 , } } \\ { { \mu _ { 4 } ^ { 2 } + 4 \lambda _ { 7 } v _ { H } ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 8 } v _ { H } ^ { 2 } + \lambda _ { 9 } v _ { \eta } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 0 } v _ { \rho } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 1 } v _ { \chi } ^ { 2 } + f _ { 2 } v _ { \rho } v _ { \chi } v _ { H } ^ { - 1 } = 0 , } } \\ { { f _ { 3 } v _ { \eta } ^ { 2 } - f _ { 4 } v _ { H } ^ { 2 } = 0 , } } \\ { { I m \, f _ { i } = 0 , \quad i = 1 , 2 , 3 , 4 , } } \end{array}
{ \frac { \varepsilon ^ { \prime } } { \varepsilon } } = - { \frac { \omega } { \sqrt { 2 } \vert \varepsilon \vert \mathrm { R e } A _ { 0 } } } ~ \left( \mathrm { I m } A _ { 0 } - { \frac { 1 } { \omega } } ~ \mathrm { I m } A _ { 2 } \right) ,
\beta ^ { - 1 / \alpha } { \Bigg ( } { \frac { \alpha ^ { 2 } + 2 \kappa ^ { 2 } ( \alpha - 1 ) } { 2 \kappa ^ { 2 } ( \alpha ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } ) } } { \sqrt { 1 + { \frac { 4 \kappa ^ { 2 } ( \alpha ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } ) ( \alpha - 1 ) ^ { 2 } } { [ \alpha ^ { 2 } + 2 \kappa ^ { 2 } ( \alpha - 1 ) ] ^ { 2 } } } } } - 1 { \Bigg ) } ^ { 1 / 2 \alpha }
\begin{array} { r l } { \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) } ( J _ { i } ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sigma _ { i } \otimes 1 _ { ( 1 ) } + 1 _ { ( 2 ) } \otimes J _ { i } ^ { ( 0 ) } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { i } } \\ { \pi _ { \left( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \right) } ( K _ { i } ) } & { { } = { \frac { i } { 2 } } \left( 1 _ { ( 2 ) } \otimes J _ { i } ^ { ( 0 ) } - \sigma _ { i } \otimes 1 _ { ( 1 ) } \right) = - { \frac { i } { 2 } } \sigma _ { i } } \\ { \pi _ { \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } ( J _ { i } ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( J _ { i } ^ { ( 0 ) } \otimes 1 _ { ( 2 ) } + 1 _ { ( 1 ) } \otimes \sigma _ { i } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { i } } \\ { \pi _ { \left( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \right) } ( K _ { i } ) } & { { } = { \frac { i } { 2 } } \left( 1 _ { ( 1 ) } \otimes \sigma _ { i } - J _ { i } ^ { ( 0 ) } \otimes 1 _ { ( 2 ) } \right) = { \frac { i } { 2 } } \sigma _ { i } } \end{array}
\mathrm { ~ T ~ S ~ E ~ } = \ln \sqrt { \frac { e ^ { 2 } + 9 + v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 + v _ { 0 } ^ { 2 } } } \; \; , \; \; \mathrm { ~ T ~ R ~ A ~ } = \cos { - 1 } \frac { e + 3 + v _ { 0 } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 + v _ { 0 } ^ { 2 } } \sqrt { e ^ { 2 } + 9 + v _ { 0 } ^ { 2 } } } .
\int d ^ { 3 } { \bf x } \ T r \bigg \{ \psi ^ { \dagger } \big [ 1 + 4 \gamma _ { 1 0 } \gamma _ { 2 0 } P _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \partial V } { \partial P ^ { 2 } } \big ] \psi \bigg \} \ = \ 2 P _ { 0 } \ .
{ \cal A } _ { \mu \nu } ^ { \prime } = d _ { \mu } a _ { \nu } ^ { \prime } - d _ { \nu } a _ { \mu } ^ { \prime } - i [ a _ { \mu } ^ { \prime } , v _ { \nu } ^ { \prime } ] - i [ v _ { \mu } ^ { \prime } , a _ { \nu } ^ { \prime } ] .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { A , B , F } L : n _ { 1 } - L + A ( 2 J + 1 ) + B ( - J - 2 n _ { 2 } ) + F n _ { 1 } - 4 F n _ { 2 } ^ { 2 } + F ( - 2 n _ { 1 } n _ { 2 } + n _ { 2 } ) \in S o S . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H o m } _ { \mathscr { C } } ( \mathcal { M } \otimes \mathcal { A } , \mathcal { M } ) } & { \cong \mathrm { H o m } _ { \mathscr { D } _ { 1 } \boxtimes \mathscr { D } _ { 2 } } \big ( ( \mathcal { N } _ { 1 } \boxtimes \mathcal { N } _ { 2 } ) \otimes _ { \boxtimes } ( \mathcal { B } _ { 1 } \boxtimes \mathcal { B } _ { 2 } ) , \mathcal { N } _ { 1 } \boxtimes \mathcal { N } _ { 2 } \big ) } \\ & { = \mathrm { H o m } _ { \mathscr { D } _ { 1 } \boxtimes \mathscr { D } _ { 2 } } \big ( ( \mathcal { N } _ { 1 } \otimes \mathcal { B } _ { 1 } ) \boxtimes ( \mathcal { N } _ { 2 } \otimes \mathcal { B } _ { 2 } ) , \mathcal { N } _ { 1 } \boxtimes \mathcal { N } _ { 2 } \big ) } \\ & { = \mathrm { H o m } _ { \mathscr { D } _ { 1 } } \big ( \mathcal { N } _ { 1 } \otimes \mathcal { B } _ { 1 } , \mathcal { N } _ { 1 } \big ) \otimes \mathrm { H o m } _ { \mathscr { D } _ { 2 } } \big ( \mathcal { N } _ { 2 } \otimes \mathcal { B } _ { 2 } , \mathcal { N } _ { 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { W } } \{ f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ) \} \geq f _ { \ell _ { q } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) - f _ { \ell _ { q } } ( \widehat \mathbf { W } ) \geq \frac { q t _ { 0 } ^ { q } } { 3 ( q + 1 ) } \cdot \sqrt { \frac { k - r } { d _ { 2 } } } \cdot \sqrt { \frac { p p _ { 0 } } { s d _ { 1 } d _ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \alpha _ { 1 } } { d t } } & { = - \gamma _ { 1 } \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } \frac { \kappa \epsilon _ { 2 } } { \gamma _ { 2 } } \left[ 1 - \frac { \kappa } { 2 \epsilon _ { 2 } } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } \right] + \sqrt { \frac { \kappa \epsilon _ { 2 } } { \gamma _ { 2 } } - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { 2 } } \alpha _ { 1 } ^ { 2 } } w _ { 1 } \left( t \right) } \\ { \frac { d \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } } { d t } } & { = - \gamma _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { \dagger } + \alpha _ { 1 } \frac { \kappa \epsilon _ { 2 } } { \gamma _ { 2 } } \left[ 1 - \frac { \kappa } { 2 \epsilon _ { 2 } } \alpha _ { 1 } ^ { \dagger 2 } \right] + \sqrt { \frac { \kappa \epsilon _ { 2 } } { \gamma _ { 2 } } - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 \gamma _ { 2 } } \alpha _ { 1 } ^ { \dagger 2 } } w _ { 1 } \left( t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( t ) } & { : = \int _ { \Omega } \left[ | \partial _ { t } \psi ( x , t ) | ^ { 2 } + | ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 4 } } \psi ( x , t ) | ^ { 2 } + \beta | \psi ( x , t ) | ^ { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 p } } { p + 1 } | \psi ( x , t ) | ^ { 2 p + 2 } \right] \textrm { d } x } \\ & { \equiv \int _ { \Omega } \left[ | \psi _ { 1 } ( x ) | ^ { 2 } + | ( - \Delta ) ^ { \frac { \alpha } { 4 } } \psi _ { 0 } ( x ) | ^ { 2 } + \beta | \psi _ { 0 } ( x ) | ^ { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 p } } { p + 1 } | \psi _ { 0 } ( x ) | ^ { 2 p + 2 } \right] \textrm { d } x } \\ & { = E ( 0 ) , \quad t \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \prod _ { d | N } \prod _ { ( n , \ell ) > 0 } \left( 1 - ( q ^ { n } \zeta ^ { \ell } ) ^ { d } \right) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , \ell ) } } \\ { = } & { \prod _ { d | N } \left[ \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \Big ( 1 - q ^ { d n } \Big ) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , 0 ) } \cdot \prod _ { \ell > 0 } \left( ( 1 - \zeta ^ { - d \ell } ) \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \Big ( 1 - q ^ { d n } \zeta ^ { d \ell } \Big ) \Big ( 1 - q ^ { d n } \zeta ^ { - d \ell } \Big ) \right) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , \ell ) } \right] } \\ { = } & { \prod _ { d | N } \left[ \Big ( q ^ { - \frac { d } { 2 4 } } \eta ( d \tau ) \Big ) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , 0 ) } \cdot \prod _ { \ell > 0 } \left( q ^ { - \frac { d } { 1 2 } } \zeta ^ { - \frac { d \ell } { 2 } } \frac { \vartheta ( d \tau , d ( \ell , \mathfrak { z } ) ) } { \eta ( d \tau ) } \right) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , \ell ) } \right] } \\ { = } & { q ^ { - \hat { A } } \zeta ^ { - \hat { B } } \cdot \prod _ { d | N } \left( \eta ( d \tau ) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , 0 ) } \prod _ { \ell > 0 } \left( \frac { \vartheta ( d \tau , d ( \ell , \mathfrak { z } ) ) } { \eta ( d \tau ) } \right) ^ { \mathrm { m u l t } _ { d } ( 0 , \ell ) } \right) , } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { d } } [ N _ { \bf p } ^ { l } ] = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Gamma _ { \mathrm { d } } ^ { ( 2 n + 1 ) } [ N _ { \bf p } ^ { l } ] , \; \; \Gamma _ { \mathrm { i } } [ N _ { \bf p } ^ { l } ] = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Gamma _ { \mathrm { i } } ^ { ( 2 n + 1 ) } [ N _ { \bf p } ^ { l } ] ,
\begin{array} { r } { - \frac { 1 } { \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 0 } } \varepsilon \nabla \nabla \cdot \varepsilon \mathbf { A } _ { \parallel } = \lambda _ { \parallel } \varepsilon \mathbf { A } _ { \parallel } . } \end{array}
[ q ^ { \prime } ] = \frac { - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sqrt { 1 - 6 | q | ^ { 2 } } } { - 1 - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sqrt { 1 - 6 | q | ^ { 2 } } } [ q ] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \dim \mathcal { L } _ { \mathbb F } } & { = { \binom { N + k } { N } } - { \binom { n + k d } { n } } - \left( { \binom { N + k - 2 } { N } } - { \binom { n + k - 2 } { n } } \right) - 1 } \\ { \dim \hat { \mathcal { L } } _ { \mathbb F } } & { = { \binom { N + k } { N } } - { \binom { n + k d } { n } } - \left( { \binom { N + k - 1 } { N } } - { \binom { n + k - 1 } { n } } \right) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \sigma _ { i } } & { = ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) ( v _ { i } \ldots v _ { 2 } ) \sigma _ { 1 } ( v _ { 2 } \ldots v _ { i } ) ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 2 , \ldots , n - 1 , } \\ { \gamma _ { i } } & { = ( v _ { i - 1 } \ldots v _ { 1 } ) \gamma _ { 1 } ( v _ { 1 } \ldots v _ { i - 1 } ) } & { \mathrm { ~ f o r ~ } } & { i = 2 , \ldots , n . } \end{array}
\begin{array} { r } { \ell \approx \left( n _ { 1 } \sigma _ { 1 } + n _ { 2 } \sigma _ { 2 } + n _ { 3 } \sigma _ { 3 } \right) ^ { - 1 } \sim 2 0 0 ~ \mu \mathrm { ~ m ~ } } \end{array}
\widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } = \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ) , \qquad \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ^ { - 1 } = \widetilde { \mathbf { R } } _ { 1 } ^ { - 1 } ( \mathbf { U } _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } } ) .
T ( t ) = - 2 \Delta T \frac { t ^ { 3 } } { \Delta t ^ { 3 } } + 3 \Delta T \left( - \frac { \tau } { \Delta t } + 1 \right) \frac { t ^ { 2 } } { \Delta t ^ { 2 } } + 3 \Delta T \frac { \tau t } { \Delta t ^ { 2 } } + T _ { \mathrm { R } } + T _ { i } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { 1 , 2 } ( V _ { \mathrm { ~ t ~ } } ) } & { { } = \sqrt { \omega _ { 1 , 2 } ^ { 2 } ( 0 ) + T _ { 1 , 2 } ( 2 V _ { 0 } V _ { \mathrm { ~ t ~ } } - V _ { \mathrm { ~ t ~ } } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { N } _ { k } } & { = \frac { r } { N } \left\{ \left[ k - 1 + \left( \frac { 1 } { r } - 2 \right) \right] N _ { k - 1 } - \left[ k + \left( \frac { 1 } { r } - 2 \right) \right] N _ { k } \right\} + \delta _ { k , 1 } } \\ & { \equiv \frac { 1 } { A } \Big \{ \left( k - 1 + \lambda \right) N _ { k - 1 } - \left( k + \lambda \right) N _ { k } \Big \} + \delta _ { k , 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \overline { { z _ { v , i } ( t ) } } = } & { { } \int _ { 0 } ^ { L _ { S } } \gamma _ { S } ( e ^ { \prime } ) \frac 1 { 2 L \mathrm { i } } \cot \Big ( \frac { z _ { v , i } - z _ { S } ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } + \int _ { 0 } ^ { L _ { B } } \gamma _ { B } ( e ^ { \prime } ) \frac 1 { 2 L \mathrm { i } } \cot \Big ( \frac { z _ { v , i } - z _ { B } ( e ^ { \prime } ) } { L / \pi } \Big ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | 1 1 \rangle , } \\ { F _ { 1 } | 1 1 \rangle } & { = | 0 1 \rangle , } \\ { \sigma F _ { 1 } | 1 1 \rangle } & { = | 1 0 \rangle , } \\ { F _ { 2 } | 1 1 \rangle } & { = | \mathrm { - } 1 1 \rangle - | 1 \mathrm { - } 1 \rangle , } \\ { F _ { 1 } \sigma F _ { 1 } | 1 1 \rangle } & { = | 0 0 \rangle + | \mathrm { - } 1 1 \rangle , } \\ { F _ { 1 } F _ { 2 } | 1 1 \rangle } & { = | 0 \mathrm { - } 1 \rangle , } \\ { \sigma F _ { 1 } F _ { 2 } | 1 1 \rangle } & { = | \mathrm { - } 1 0 \rangle , } \\ { F _ { 2 } ^ { 2 } | 1 1 \rangle } & { = | \mathrm { - } 1 \mathrm { - } 1 \rangle . } \end{array}
k _ { m a x } \; \eta _ { m a x } \ll \left[ \frac { C N \alpha ^ { 3 } } { 2 4 ^ { 2 } c ^ { 2 } } \left( \frac { T _ { c } } { T _ { E W } } \right) ^ { 4 } \left( \frac { T _ { E W } } { M _ { * } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - 1 / 5 } \; .
\begin{array} { r l r } { E _ { f } ^ { k l } } & { { } \approx } & { \frac { 4 \pi \, \epsilon _ { f } ^ { k l } } { 3 \, m _ { k } \, \rho _ { k } ^ { 2 } } \, \frac { \left( \rho _ { k } \, R _ { k l } \right) ^ { 4 } } { H _ { k l } \left( k T , u _ { k l } ^ { s } \right) + \rho _ { k } \, R _ { k l } } \, , } \end{array}