harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l r l } { \boldsymbol { T } ^ { 1 } = \boldsymbol { S } , } & & { \boldsymbol { T } ^ { 6 } = \boldsymbol { R } ^ { 2 } \boldsymbol { S } + \boldsymbol { S R } ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \boldsymbol { I } \cdot \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { S } \boldsymbol { R } ^ { 2 } \right) , } \\ { \boldsymbol { T } ^ { 2 } = \boldsymbol { S } \boldsymbol { R } - \boldsymbol { R } \boldsymbol { S } , } & & { \boldsymbol { T } ^ { 7 } = \boldsymbol { R } \boldsymbol { R } ^ { 2 } - \boldsymbol { R } ^ { 2 } \boldsymbol { S } \boldsymbol { R } , } \\ { \boldsymbol { T } ^ { 3 } = \boldsymbol { S } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \boldsymbol { I } \cdot \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { S } ^ { 2 } \right) , } & & { \boldsymbol { T } ^ { 8 } = \boldsymbol { S } \boldsymbol { R } \boldsymbol { S } ^ { 2 } - \boldsymbol { S } ^ { 2 } \boldsymbol { R S } , } \\ { \boldsymbol { T } ^ { 4 } = \boldsymbol { R } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \boldsymbol { I } \cdot \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { R } ^ { 2 } \right) , \qquad } & & { \boldsymbol { T } ^ { 9 } = \boldsymbol { R } ^ { 2 } \boldsymbol { S } ^ { 2 } + \boldsymbol { S } ^ { 2 } \boldsymbol { R } ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } \boldsymbol { I } \cdot \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { S } ^ { 2 } \boldsymbol { R } ^ { 2 } \right) , } \\ { \boldsymbol { T } ^ { 5 } = \boldsymbol { R } \boldsymbol { S } ^ { 2 } - \boldsymbol { S } ^ { 2 } \boldsymbol { R } , } & & { \boldsymbol { T } ^ { 1 0 } = \boldsymbol { R S } ^ { 2 } \boldsymbol { R } ^ { 2 } - \boldsymbol { R } ^ { 2 } \boldsymbol { S } ^ { 2 } \boldsymbol { R } , } \end{array} \right.
F ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \sum _ { n _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { n _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } f ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) z _ { 1 } ^ { - n _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { - n _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \| \boldsymbol { U } _ { k } \| _ { F } ^ { 2 } + \| \boldsymbol { V } _ { k } \| _ { F } ^ { 2 } } & { \leq \left( \frac { 1 } { \lambda } + 2 \sqrt { r } \right) \| \boldsymbol { X } - \boldsymbol { U } _ { 0 } \boldsymbol { U } _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } \| _ { F } ^ { 2 } + 2 \sqrt { r } \| \boldsymbol { X } \| _ { F } : = B _ { 0 } , } \\ { \| \boldsymbol { U } _ { k } \boldsymbol { V } _ { k } ^ { \mathrm { T } } \| _ { F } } & { \leq \| \boldsymbol { X } - \boldsymbol { U } _ { 0 } \boldsymbol { V } _ { 0 } ^ { \mathrm { T } } \| _ { F } + \| \boldsymbol { X } \| _ { F } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi ( \mathbf { q } , \omega ) = \frac { \chi _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } , \omega ) } { 1 - \left[ v ( q ) + K _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { q } ) \right] \chi _ { \mathrm { K S } } ( \mathbf { q } , \omega ) } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { 1 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { \hbar } ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { 2 } ) - \omega _ { p } + i \frac { \gamma _ { 2 } } { 2 } , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 1 - } } & { = } & { \frac { 1 } { \hbar } ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { - } ) + \omega _ { p } + \omega _ { C } + i \frac { \gamma } { 2 } , } \\ { \tilde { \epsilon } _ { 1 + } } & { = } & { \frac { 1 } { \hbar } ( \epsilon _ { 1 } - \epsilon _ { + } ) + \omega _ { p } + \omega _ { C } + i \frac { \gamma } { 2 } } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mathrm { s c a t } } ( \mathbf { r } ) = { \frac { k ^ { 4 } \alpha ^ { 2 } } { 6 \pi c n _ { 0 } ^ { 3 } \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } } } I ( \mathbf { r } ) { \hat { z } } = { \frac { 8 \pi n _ { 0 } k ^ { 4 } a ^ { 6 } } { 3 c } } \left( { \frac { m ^ { 2 } - 1 } { m ^ { 2 } + 2 } } \right) ^ { 2 } I ( \mathbf { r } ) { \hat { z } } .
\begin{array} { r l r } { a _ { i } ^ { \dagger } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { k i } c _ { A , k } ^ { \dagger } \dag b _ { i } ^ { \dagger } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { A } } \tilde { P } _ { k i } c _ { B , k } ^ { \dagger } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { l } = } & { 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , t i j } } \partial _ { i } \partial _ { k } \psi \epsilon _ { l k j } + 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , t t i } } \partial _ { t } \partial _ { k } \psi \epsilon _ { l k i } } \\ & { - \partial _ { \nu } \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , \nu t i } } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { l j i } + \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial ( \partial _ { t } \partial _ { i } \psi ) } \partial _ { j } \psi \epsilon _ { l j i } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } = r \cdot \sin \left( \left( i - \frac { N + 1 } { 2 } \right) \alpha \right) } \\ { y _ { i } = 0 } \\ { z _ { i } = r \cdot \cos \left( \left( i - \frac { N + 1 } { 2 } \right) \alpha \right) - r , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ( \theta ^ { ( + ) } ) = ( L _ { \downarrow } ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \frac { \omega ^ { ( + ) } } { \sigma ^ { \uparrow } } + x ^ { ( + ) } } \\ { \sin ( \theta ^ { ( - ) } ) = ( L _ { \uparrow } ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \frac { \omega ^ { ( - ) } } { \sigma ^ { \downarrow } } + x ^ { ( - ) } } \end{array} \right. \, , } \end{array}
( \tilde { \chi } ^ { * } , \tilde { \chi } ) \left( \begin{array} { c c } { { | M _ { \chi } | ^ { 2 } + H ^ { 2 } + \left| H \frac { \phi } { M _ { \mathrm { P l a n c k } } } \right| ^ { 2 } } } & { { M _ { \chi } ^ { * } H \frac { \phi } { M _ { \mathrm { P l a n c k } } } } } \\ { { M _ { \chi } H \frac { \phi ^ { * } } { M _ { \mathrm { P l a n c k } } } } } & { { | M _ { \chi } | ^ { 2 } + H ^ { 2 } + \left| H \frac { \phi } { M _ { \mathrm { P l a n c k } } } \right| ^ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \tilde { \chi } } } \\ { { \tilde { \chi } ^ { \dagger } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { H _ { k } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) } & { { } = \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { \phi ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) } & { { } = e ^ { q _ { 1 } - q _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { l } ( t ) \simeq \acute { s } _ { l } e ^ { - \frac { R _ { 0 } } { \Lambda _ { \mathrm { m a x } } } \sum _ { m = 0 } ^ { n } { k A _ { l m } p _ { m } [ r _ { m } ( t ) - \acute { r } _ { m } ] } } , } \end{array}
P _ { i j k l } ^ { S t r a i n } = \left( C _ { 2 } - 1 \right) \left( 2 \delta _ { i j } R _ { \underline { { i } } k } ^ { V } \delta _ { \underline { { i } } l } + 2 \delta _ { i j } \zeta _ { \underline { { i } } m k l } \frac { \partial u _ { \underline { { i } } } } { \partial x _ { m } } \right) + \frac { 2 } { 3 } \left( 1 - C _ { 2 } \right) \delta _ { i j } \left( \zeta _ { r s k l } \frac { \partial u _ { r } } { \partial x _ { s } } + R _ { k l } ^ { V } \right) ,
\begin{array} { r l } { [ c ] \alpha _ { 1 } - 1 } & { = - \frac { 2 } { \lambda } + \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 2 } - 1 } & { = - 1 - \frac { 1 } { \lambda } + \frac { 5 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 3 } - 1 } & { = - 2 - \frac { 2 } { \lambda } - \frac { 2 } { \lambda ^ { 2 } } + \frac { 8 } { \lambda ^ { 3 } } + \dots , } \\ { \alpha _ { 4 } - 1 } & { = \lambda - 1 + \frac { 5 } { \lambda } + \dots . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { R } } & { = } & { \mathcal { R } _ { f } \left( 1 - e ^ { - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( a _ { i } - b _ { i } ) \tilde { \mu } _ { i } + \Delta z \tilde { \mu } _ { e } } { R T } } \right) } \\ & { = } & { k _ { f , 0 } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \phi _ { p } - \phi ) } \left( \frac { C _ { e } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { \Delta z } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } e ^ { \frac { \Delta Z F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \phi _ { p } - \phi ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } } \\ & { = } & { k _ { f , 0 } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \Delta \phi ) } \left( \frac { C _ { e } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { \Delta z } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } e ^ { \frac { \Delta Z F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \Delta \phi ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } ( \boldsymbol { r } , t ) = \frac { A _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } \Bigg [ - \frac { 1 } { 4 } } & { { } \Bigg ( \cos \Big ( \mathrm { ~ u ~ } ( 1 - \frac { 1 } { \mathrm { ~ n ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } ) + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } \Big ) + \cos \Big ( \mathrm { ~ u ~ } ( 1 + \frac { 1 } { \mathrm { ~ n ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } ) + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } \Big ) - 2 \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \mathrm { ~ u ~ } + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) \Bigg ) \boldsymbol { e } _ { x } } \\ { - \frac { \epsilon \Lambda } { 4 } } & { { } \Bigg ( \sin \Big ( \mathrm { ~ u ~ } ( 1 - \frac { 1 } { \mathrm { ~ n ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } ) + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } \Big ) + \sin \Big ( \mathrm { ~ u ~ } ( 1 + \frac { 1 } { \mathrm { ~ n ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } ) + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } \Big ) - 2 \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \mathrm { ~ u ~ } + \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } ) \Bigg ) \boldsymbol { e } _ { y } \Bigg ] . } \end{array}
\mathcal { B } _ { n } ^ { ( s ) } [ u ] = 2 \mathcal { B } _ { n - 1 } ^ { ( s - 1 ) } [ u ^ { \prime } ] , \quad u ^ { \prime } = ( u _ { j } ^ { \prime } ) _ { j \in \mathbb { Z } } = ( u _ { j + 1 } ) _ { j \in \mathbb { Z } } .
\xi _ { 0 } ( \widehat { \mathrm { \boldmath ~ \ l a m b d a ~ } } ) = \mathrm { \frac { ~ 1 ~ } { ~ 2 ~ } } \left( \begin{array} { c } { { \dot { \imath } / 2 \; \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } \cdot \widehat { \mathrm { \boldmath ~ \ l a m b d a ~ } } q _ { h } } } \\ { { \dot { \imath } / 2 \; \mathrm { \boldmath ~ \ t a u ~ } \cdot \widehat { \mathrm { \boldmath ~ \ l a m b d a ~ } } q _ { h } } } \\ { { - \widehat { \mathrm { \boldmath ~ \ l a m b d a ~ } } \times \mathrm { \boldmath ~ \ p i ~ } _ { h } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \omega _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } } & { { } = 0 , \quad \omega _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } e , \quad \omega _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } e } \\ { \omega _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 3 } e , \quad \omega _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } = 0 , \quad \omega _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 1 } e } \\ { \omega _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } e , \quad \omega _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 1 } e , \quad \omega _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } = 0 } \end{array}
{ \frac { d f } { d t } } = \left( { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { f o r c e } } + \left( { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { d i f f } } + \left( { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { c o l l } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { 1 } ( T ) } & { : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { 0 } ) \cap W _ { q , 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) ) ^ { 2 } \cap _ { 0 } W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { q } ( \Omega ) ) ^ { 2 } , } \\ { \mathbb { E } _ { 2 } ( T ) } & { : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q , ( 0 ) } ^ { 1 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { 0 } ) ) \cap _ { 0 } W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; \dot { W } _ { q , ( 0 ) } ^ { - 1 } ( \Omega ) ) } \\ { \mathbb { E } _ { 3 } ( T ) } & { : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 3 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) \cap _ { 0 } W _ { q } ^ { 1 } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) , } \\ { \mathbb { F } _ { 1 } ( T ) } & { : = L ^ { q } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) ^ { 2 } , \quad \mathbb { F } _ { 2 } ( T ) : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 1 } ( \Omega \setminus \Gamma _ { 0 } ) ) , } \\ { \mathbb { F } _ { 3 } ( T ) } & { : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 - \frac 1 q } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \cap _ { 0 } W _ { q } ^ { \frac 1 2 - \frac 1 { 2 q } } ( 0 , T ; L ^ { q } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ^ { 2 } , \quad } \\ { \mathbb { F } _ { 4 } ( T ) } & { : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 1 - \frac 1 q } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \cap W _ { q } ^ { \frac 1 2 - \frac 1 { 2 q } } ( 0 , T ; L ^ { q } ( \Gamma _ { 0 } ) ) ^ { 2 } , \quad \mathbb { F } _ { 5 } ( T ) : = L ^ { q } ( 0 , T ; W _ { q } ^ { 2 - \frac 1 q } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { \bf l } \cdot \hat { \bf l } \rangle } & { { } = } & { \hbar ^ { 2 } \left( \frac { 2 } { 3 } \left( \frac { L } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n + | m | + 1 ) } \end{array}
S _ { l } ( \textbf { x } _ { l } , \textbf { x } _ { s } ) = \frac { 2 \partial _ { 3 , l } } { \rho ( \textbf { x } _ { l } ) } G ^ { - } ( \textbf { x } _ { l } , \textbf { x } _ { s } ) W ( \omega )
( a _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + a _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } ) + ( b _ { 1 } { \mathbf { e } } _ { 1 } + b _ { 2 } { \mathbf { e } } _ { 2 } ) = ( a _ { 1 } + b _ { 1 } ) { \mathbf { e } } _ { 1 } + ( a _ { 2 } + b _ { 2 } ) { \mathbf { e } } _ { 2 }
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ l ~ } } ( u ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } , t ) ) = f ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } , t ) - \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ n ~ l ~ } } ( u ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { x } } } } , t ) ) ,
F \simeq \left[ { \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } A ^ { 2 } \left( L ^ { 2 } + R ^ { 2 } \right) } { \pi \mu _ { 0 } L ^ { 2 } } } \right] \left[ { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { ( z + 2 L ) ^ { 2 } } } - { \frac { 2 } { ( z + L ) ^ { 2 } } } \right]
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } S _ { R } ( x ) \ d x \ = } & { \ \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } P ( n ; \mu ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } S _ { R } ^ { ( n ) } ( x ) \ d x } \\ { \ = } & { \ \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } P ( n ; \mu ) ( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + n \sigma _ { s } ^ { 2 } + ( Q _ { 0 } + n Q _ { s } ) ^ { 2 } ) } \\ { \ = } & { \ \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } P ( n ; \mu ) ( \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + n \sigma _ { s } ^ { 2 } + Q _ { 0 } ^ { 2 } + n ^ { 2 } Q _ { s } ^ { 2 } + 2 n Q _ { 0 } Q _ { s } ) } \\ { \ = } & { \ \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \mu \sigma _ { s } ^ { 2 } + Q _ { 0 } ^ { 2 } + \mu ( \mu + 1 ) Q _ { s } ^ { 2 } + 2 \mu Q _ { 0 } Q _ { s } } \\ { \ = } & { \ \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \mu \sigma _ { s } ^ { 2 } + \mu Q _ { s } ^ { 2 } + ( Q _ { 0 } + \mu Q _ { s } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\left[ { \frac { g _ { B } } { \pi } } ( B - 1 ) + B - { \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } \right] X ^ { 2 } + \left( { \frac { g _ { B } } { \pi } } - B + { \frac { 4 \sqrt { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } \right) X - { \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \pi ^ { 2 } } } = 0 .
\varrho ( \zeta ) = \left( \pi \rho ( 0 ) \right) ^ { 2 } | \zeta | \left( J _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 \pi \rho ( 0 ) \zeta ) + J _ { 1 } ^ { 2 } ( 2 \pi \rho ( 0 ) \zeta ) \right)
f _ { \mathrm { o m } } ( \rho _ { i } , \eta _ { i } , \alpha _ { i } ) = \big [ B _ { \mathrm { e q } } ( \rho _ { i } , \eta _ { i } , \alpha _ { i } ) - B ( \rho _ { i } , \eta _ { i } ) \big ] w ( \eta _ { i } )
\left[ \begin{array} { l } { p _ { x } ^ { 1 } } \\ { p _ { x } ^ { 2 } } \end{array} \right] = \alpha _ { 0 } \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { - \omega + \omega _ { 1 } - i \Gamma _ { 1 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } } & { - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } } \\ { - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 2 } } & { - \omega + \omega _ { 2 } - i \Gamma _ { 2 } / 2 - \tilde { S } _ { x x } ^ { 1 1 } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \left[ \begin{array} { l } { E _ { x } ^ { 1 } } \\ { E _ { x } ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } \\ { * } & { \leq \operatorname* { P r } \left\{ R _ { 1 , n } < R ( \hat { T } _ { X ^ { n } } , D _ { 1 } ) ~ \mathrm { o r } ~ R _ { 1 , n } + R _ { 2 , n } < \mathsf { R } ( R _ { 1 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { X ^ { n } } ) \right\} } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \Big \{ R _ { 1 , n } < R ( \hat { T } _ { X ^ { n } } , D _ { 1 } ) ~ \mathrm { o r } ~ R _ { 1 , n } + R _ { 2 , n } < \mathsf { R } ( R _ { 1 , n } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | \hat { T } _ { X ^ { n } } ) , } \\ { * } & { \qquad \qquad \mathrm { a n d ~ } \hat { T } _ { X ^ { n } } \in \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X } ) \Big \} + \operatorname* { P r } \left\{ \hat { T } _ { X ^ { n } } \notin \mathcal { A } _ { n } ( P _ { X } ) \right\} } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \bigg \{ R _ { 1 } ^ { * } + \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) + O \left( \eta _ { n } \right) ~ \mathrm { o r } } \\ { * } & { \qquad \quad R _ { 1 } ^ { * } + R _ { 2 } ^ { * } + \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , R _ { 1 } ^ { * } ) - \xi ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } + O ( \eta _ { n } ) \bigg \} + \frac { 2 | \mathcal { X } | } { n ^ { 2 } } } \\ & { = \operatorname* { P r } \bigg \{ R _ { 1 } ^ { * } + \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , D _ { 1 } | P _ { X } ) + O \left( \eta _ { n } \right) ~ \mathrm { o r } ~ } \\ { * } & { \qquad \quad R _ { 1 } ^ { * } + R _ { 2 } ^ { * } + \xi ^ { * } \frac { L _ { 1 } } { \sqrt { n } } + \frac { L _ { 2 } } { \sqrt { n } } < \frac { 1 } { n } \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , R _ { 1 } ^ { * } ) + O ( \eta _ { n } ) \bigg \} + \frac { 2 | \mathcal { X } | } { n ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \times { \bf B } } & { + } & { \left( \frac { { \bf E } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - { \bf B } ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { B _ { c } ^ { 2 } } \left[ \xi _ { 1 } \left( \nabla \times { \bf B } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } \right) - \frac { 1 } { 2 } \frac { \xi _ { 3 } } { c } \left( \nabla \times { \bf E } + \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } \right) \right] = } \\ & { = } & { \mu _ { 0 } \, { \bf j } + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial { \bf E } } { \partial t } \, . } \end{array}
{ \cal H } _ { R E } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } { \frac { g _ { | \rho | } | \rho | ^ { 2 } } { ( \rho \cdot q _ { 0 } ) ^ { 2 } } } ( 1 - \hat { \cal P } _ { \rho } ) - { \cal A } _ { R E } + c o n s t .
V _ { R e \ll 1 } \approx c _ { 1 } \frac { \gamma _ { \mathrm { ~ B ~ } } - \gamma _ { \mathrm { ~ A ~ } } } { \mu } \, ( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - c _ { 2 } t _ { \mathrm { ~ d ~ } } / \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ v ~ } } } ) .
\frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { s } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { s } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } = - H ^ { \coth } \bigg [ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } \bigg ] + C _ { 1 } , \qquad \qquad \frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { b } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { b } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } } { J ^ { \mathrm { b } } } = H ^ { \operatorname { c s c h } } \bigg [ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } \bigg ] + C _ { 1 } .
\psi _ { a , b } ^ { ( 2 ) } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { | x + \chi | } ^ { 3 / 2 } K _ { \alpha _ { a , b } } \left( { \left( \eta \left| \tilde { E } \right| \right) } ^ { 1 / 2 } { ( x + \chi ) } ^ { 2 } \right) } & { \tilde { E } < 0 } \\ { { | x + \chi | } ^ { 3 / 2 } H _ { \alpha _ { a , b } } ^ { ( 1 ) } \left( { \left( \eta \tilde { E } \right) } ^ { 1 / 2 } { ( x + \chi ) } ^ { 2 } \right) } & { \tilde { E } > 0 } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \rho } _ { 1 2 D } ( \omega _ { p } ) } & { { } = } & { \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } + i \sigma \Gamma \left( - i c _ { 2 } / ( \sqrt { 2 } \sigma ) \right) } , } \end{array}
\tau = { \mathrm { c o n s t a n t } } \pm i { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { c } } \left( \ln \left( { \sqrt { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } } + { \sqrt { { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } - 1 } } \right) + { \sqrt { { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } \left( { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } - 1 \right) } } \right) .
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } }
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { I o n ; M o t i o n } } } & { { } = g \left( a ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { + } } + \sigma _ { \mathrm { - } } a \right) , } \\ { H _ { \mathrm { M o t i o n ; R e s e r v o i r 1 } } } & { { } = \sum _ { \mathrm { q } } g _ { \mathrm { q } } \left[ c _ { \mathrm { q } } ^ { \dagger } a e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } + a ^ { \dagger } c _ { \mathrm { q } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { q } } ) t } \right] , } \\ { H _ { \mathrm { I o n ; R e s e r v o i r 2 } } } & { { } = \sum _ { \mathrm { k } } g _ { \mathrm { k } } \left[ \sigma _ { \mathrm { + } } b _ { \mathrm { k } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } + b _ { \mathrm { k } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { - } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { k } } ) t } \right] , } \\ { H _ { \mathrm { \ k e t { 1 } \ b r a { 1 } ; R e s e r v o i r 3 } } } & { { } = \sum _ { \mathrm { l } } g _ { \mathrm { l } } \left[ \sigma _ { \mathrm { e } } ^ { \dagger } d _ { \mathrm { l } } e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { l } } ) t } + d _ { \mathrm { l } } ^ { \dagger } \sigma _ { \mathrm { e } } e ^ { - i ( \omega - \omega _ { \mathrm { l } } ) t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \mathrm { s c a t } } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = E _ { 0 } \sum _ { n , m } c _ { n m } \mathbf { M } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) + d _ { n m } \mathbf { N } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) , } \\ { \mathbf { E _ { \mathrm { i n c } } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = E _ { 0 } \sum _ { n , m } e _ { n m } \mathbf { M } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) + f _ { n m } \mathbf { N } _ { n m } ^ { ( 3 ) } ( k , \mathbf { r } ) , } \end{array}
\theta _ { \pm } ( x _ { 1 } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \left. \frac { \partial } { \partial x _ { 2 } } u ^ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) \right| _ { x _ { 2 } = 0 \pm } } & { \textrm { f o r } x _ { 1 } \geq 0 , } \\ { 0 } & { \textrm { f o r } x _ { 1 } < 0 . } \end{array} \right.
\mathbf { F } = { \frac { 3 \mu _ { 0 } } { 4 \pi | \mathbf { r } | ^ { 4 } } } \left[ ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { m } _ { 1 } ) \times \mathbf { m } _ { 2 } + ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { m } _ { 2 } ) \times \mathbf { m } _ { 1 } - 2 { \hat { \mathbf { r } } } ( \mathbf { m } _ { 1 } \cdot \mathbf { m } _ { 2 } ) + 5 { \hat { \mathbf { r } } } ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { m } _ { 1 } ) \cdot ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { m } _ { 2 } ) \right] .
\overline { { u v } } = u _ { * } ^ { 2 } \Big \{ - 1 + A _ { u v } y _ { o } + B _ { u v } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y _ { o } + A _ { u v } \frac { u _ { * } } { U _ { e } } y _ { o } \ln y _ { o } + C _ { u v } R e _ { * } ^ { - 1 } y _ { o } ^ { - 1 } + A _ { u v } \frac { u _ { * } ^ { 2 } } { U _ { e } ^ { 2 } } y _ { o } \ln ^ { 2 } y _ { o } + . . . \Big \} ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mu _ { n } ^ { k } ( t ) + \textnormal { d i v } _ { x } ( v _ { n } ^ { k } ( t ) \mu _ { n } ^ { k } ( t ) ) = 0 \quad \mathrm { i n ~ \big [ ~ \frac { k T } { n } , \frac { ( k + 1 ) T } { n } ~ \big ] ~ \times ~ \mathbb { R } ^ d ~ } , } \\ & { \mu _ { n } ^ { k } ( \frac { k T } { n } ) = \mu _ { n } ^ { k - 1 } \big ( \frac { k T } { n } \big ) . } \end{array}