harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } & { L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( x ) = { \frac { n ^ { { \frac { \alpha } { 2 } } - { \frac { 1 } { 4 } } } } { \sqrt { \pi } } } { \frac { e ^ { \frac { x } { 2 } } } { x ^ { { \frac { \alpha } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } } } } \sin \left( 2 { \sqrt { n x } } - { \frac { \pi } { 2 } } \left( \alpha - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right) + O \left( n ^ { { \frac { \alpha } { 2 } } - { \frac { 3 } { 4 } } } \right) , } \\ & { L _ { n } ^ { ( \alpha ) } ( - x ) = { \frac { ( n + 1 ) ^ { { \frac { \alpha } { 2 } } - { \frac { 1 } { 4 } } } } { 2 { \sqrt { \pi } } } } { \frac { e ^ { - x / 2 } } { x ^ { { \frac { \alpha } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } } } } e ^ { 2 { \sqrt { x ( n + 1 ) } } } \cdot \left( 1 + O \left( { \frac { 1 } { \sqrt { n + 1 } } } \right) \right) , } \end{array} }
\psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } ( { \bf C } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi , \mathrm { ~ d ~ } ) = \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } ( E _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , E _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , E _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi , \mathrm { ~ d ~ } ) ,
\begin{array} { r l } { S ( f ) } & { = \Pi _ { - B _ { \mathrm { P L L } } , B _ { \mathrm { P L L } } } ( f ) \Pi _ { - B _ { \mathrm { F } } , B _ { \mathrm { F } } } ( f ) N ( f ) \approx \Pi _ { - B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } , B _ { \mathrm { F } } ^ { \mathrm { p } } } ( f ) N ( f ) , } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { \approx \int _ { - B _ { \mathrm { F } } } ^ { B _ { \mathrm { F } } } N ( f ) \mathrm { d } f . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \vert a \vert } ( x , t ) } & { \leq c _ { \varepsilon } \, \varphi _ { \vert b \vert } ( x , t ) + \varepsilon \, \vert F ( x , a ) - F ( x , b ) \vert ^ { 2 } \, , } \\ { ( \varphi _ { \vert a \vert } ) ^ { * } ( x , t ) } & { \leq c _ { \varepsilon } \, ( \varphi _ { \vert b \vert } ) ^ { * } ( x , t ) + \varepsilon \, \vert F ( x , a ) - F ( x , b ) \vert ^ { 2 } \, . } \end{array}
B _ { 9 8 } ^ { ( 2 ) } = B _ { 9 8 } , ~ B _ { t 8 } ^ { ( 2 ) } = B _ { t 8 } , ~ e ^ { { \Phi } _ { b } ^ { ( 1 0 ) } } = { { 1 + { \frac { C } { r ^ { 5 } } } } } ,
\begin{array} { r l } { g ( \delta ) } & { = g ( 0 ) + g ^ { \prime } ( 0 ) \cdot \delta + \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime \prime } ( u ) \cdot \delta ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \varepsilon r ^ { 2 } + \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \varepsilon r ^ { 2 } + \delta ^ { 2 } r ^ { 4 } \cdot T _ { r } \big ( \frac { 1 } { 1 - \delta } \big ) ^ { 2 } \bigg ) + \delta ^ { 2 } r ^ { 4 } \cdot T _ { r } \big ( \frac { 1 } { 1 - \delta } \big ) ^ { 2 } } \\ & { = \varepsilon r ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } r ^ { 4 } \cdot T _ { r } \big ( \frac { 1 } { 1 - \delta } \big ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { C } \leq \mathrm { d e t } \left( \mathrm { D } _ { v } \psi _ { s , t } ( x , v ) \right) } & { \leq C , } \\ { \underset { s , t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \, \left\Vert \partial _ { x , v } ^ { \alpha } \left( \psi _ { s , t } ( x , v ) - v \right) \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } ) } } & { \leq \varphi ( T ) \Lambda ( T , \mathrm { R } ) , \ \ \vert \alpha \vert \leq k , } \\ { \underset { s , t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \, \left\Vert \partial _ { x , v } ^ { \beta } \partial _ { s } \psi _ { s , t } ( x , v ) \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { d } ) } } & { \leq \varphi ( T ) \Lambda ( T , \mathrm { R } ) , \ \ \vert \beta \vert \leq k - 1 , } \end{array}
w _ { i } ^ { n | 2 } = \sum _ { n ^ { \prime } = 2 } ^ { + \infty } b _ { 1 n n ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } T _ { i } ^ { n ^ { \prime } | 1 } = \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , n } \frac { \partial w _ { i j } ^ { 0 | 1 } } { \partial x _ { j } }
\begin{array} { r l } { \texttt { V a r } \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( i ) } \right) } & { = \texttt { V a r } \left( \sum _ { j \in \mathcal { F } _ { k } ^ { ( i ) } } r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \bigg | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( i ) } \right) \stackrel { ( * ) } { = } \underbrace { | \mathcal { F } _ { k } ^ { ( i ) } | } _ { \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } } ~ \texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \right) \, , } \\ { \Rightarrow \left( \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i + 1 ) } | \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } \right) } & { = \mathfrak { N } _ { k } ^ { ( i ) } ~ \texttt { V a r } \left( r _ { j } ^ { ( i + 1 ) } \right) \, . } \end{array}
\mathrm { I m } \, \sigma _ { x y } ( \omega ) = - \frac { \pi v ^ { 2 } } { 2 \hbar \omega } \frac { m v ^ { 2 } + b k ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } { v ^ { 2 } - 2 b ( m v ^ { 2 } - b \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } ) } \Theta ( \hbar \omega - 2 | m | v ^ { 2 } )
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } X _ { n } } & { = \operatorname* { i n f } \, \{ \, \operatorname* { s u p } \, \{ X _ { m } : m \in \{ n , n + 1 , \ldots \} \} : n \in \{ 1 , 2 , \dots \} \} } \\ & { = \bigcap _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( { \bigcup _ { m = n } ^ { \infty } } X _ { m } \right) \! . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { h \to 0 } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { d } } \mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , f ( \cdot - x ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } } & { < \infty , } \\ { \operatorname* { l i m s u p } _ { h \to 0 } \ \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb { N } } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { d } } \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le 2 ^ { d } - 1 } \mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , g _ { j } ( 2 ^ { a } ( \cdot - x ) ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } } & { \le \frac { C } { 2 ^ { 2 a ( d + t ^ { \prime } ) } } = \frac { C } { 2 ^ { a ( d + 2 s ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega > \omega _ { 0 } , r , \vee ) = } \\ & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega , r , / , | v _ { g } | ) + \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega , - r , / , | v _ { g } | ) \Big ) } \\ & { + i \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H T } \left\{ \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega , - r , / , v _ { g } ) - \tilde { S } _ { 2 1 f } ^ { y y } ( \omega , r , / , v _ { g } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { \mathrm { o u t } } \rangle = \bigg [ \bigg ( \frac { C ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 B ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) - 2 } - \frac { B ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) } { 2 } - \frac 1 2 \bigg ) a _ { 1 } ^ { \dagger } } & { } \\ { + \bigg ( \frac { C ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 B ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) - 2 } - \frac { B ( \phi _ { 1 } , \phi _ { 2 } ) } { 2 } + \frac 1 2 \bigg ) a _ { 2 } ^ { \dagger } } & { \bigg ] | 0 \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( x ^ { t + 1 } ) } & { \leq } & { f ( x ^ { t } ) + \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \rangle + \frac { L _ { f } } { 2 } \| x ^ { t + 1 } - x ^ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { f ( x ^ { t } ) - \gamma \langle \nabla f ( x ^ { t } ) , \nabla f _ { i } ( x ^ { t } ) \rangle + \frac { L _ { f } \gamma ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla f _ { i } ( x ^ { t } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
L _ { \mathrm { e } } = \frac { \left\{ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { R e } [ { \bf e } _ { s } ^ { \mathrm { T M , T E } } \times { \bf b } _ { s } ^ { \mathrm { T M , T E * } } ] \cdot \hat { e } _ { z } d x \right\} ^ { 2 } } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left| { \bf e } _ { s } ^ { \mathrm { T M , T E } } \right| ^ { 4 } d x } ,
\frac { \alpha _ { s } ( M _ { H } ^ { 2 } ) } { \pi } = \frac { 1 } { \beta _ { 0 } L } - \frac { \beta _ { 1 } \log L } { \beta _ { 0 } ^ { 3 } L ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \beta _ { 0 } ^ { 5 } L ^ { 3 } } ( \beta _ { 1 } ^ { 2 } \log ^ { 2 } L - \beta _ { 1 } ^ { 2 } \log L + \beta _ { 2 } \beta _ { 0 } - \beta _ { 1 } ^ { 2 } ) + O ( L ^ { - 4 } ) ,
\begin{array} { r l } { \vec { S } _ { \mathrm { p - p o l } } } & { = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( E _ { y } B _ { z } , - E _ { x } B _ { z } , 0 \right) ^ { \top } } \\ { \Rightarrow \vec { S } _ { \mathrm { p - p o l } } ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } ( E _ { y } ^ { \prime } B _ { z } ^ { \prime } , \underbrace { - E _ { x } ^ { \prime } B _ { z } ^ { \prime } } _ { = 0 } , 0 ) ^ { \top } } \\ & { = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \left( E _ { y } ^ { \prime } B _ { z } ^ { \prime } , 0 , 0 \right) ^ { \top } \; . } \end{array}
\langle \Delta \widetilde { X ^ { 2 } } ( u ) \rangle = \frac { 2 } { u ^ { 2 } } \widetilde { C _ { V } } ( u ) = \langle \Delta \widetilde { X _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } } ( u ) \rangle + \langle \Delta \widetilde { X _ { \mathrm { a c } } ^ { 2 } } ( u ) \rangle .
\begin{array} { r c l l c c c c } { { \mathrm { \underline { { { s e c t o r } } } } } } & { { { } } } & { { \mathrm { \underline { { { s t a t e } } } } } } & { { { } } } & { { { } } } & { { \mathrm { \underline { { { ~ R _ { 1 } ~ } } } } } } & { { \mathrm { \underline { { { ~ R _ { 2 } ~ } } } } } } & { { \mathrm { \underline { { { ~ R _ { 3 } ~ } } } } } } \\ { { \mathrm { N S } } } & { { { } } } & { { | 2 s _ { 3 } , 2 s _ { 4 } \rangle , } } & { { s _ { 3 } = s _ { 4 } } } & { { { } } } & { { + } } & { { + } } & { { - 2 i s _ { 3 } } } \\ { { \mathrm { R } } } & { { { } } } & { { | - , 2 s _ { 1 } , 2 s _ { 2 } \rangle , } } & { { s _ { 1 } = s _ { 2 } } } & { { { } } } & { { + } } & { { + } } & { { + 2 i s _ { 1 } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } x \alpha ( x ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { x = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - ( \lambda - \kappa _ { b } / \kappa _ { d } ) e ^ { - \kappa _ { d } t } - \kappa _ { b } / \kappa _ { d } \right\} \frac { ( ( \lambda - \kappa _ { b } / \kappa _ { d } ) e ^ { - \kappa _ { d } t } + \kappa _ { b } / \kappa _ { d } ) ^ { x + 1 } } { x ! } \kappa _ { E } e ^ { - \kappa _ { E } t } \mathrm d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \lambda - \kappa _ { b } / \kappa _ { d } ) \kappa _ { E } e ^ { - ( \kappa _ { d } + \kappa _ { E } ) t } + \frac { \kappa _ { b } \kappa _ { E } } { \kappa _ { d } } e ^ { - \kappa _ { E } t } \mathrm d t } \\ & { = \frac { ( \lambda - \kappa _ { b } / \kappa _ { d } ) \kappa _ { E } } { \kappa _ { d } + \kappa _ { E } } + \frac { \kappa _ { b } } { \kappa _ { d } } } \\ & { = \frac { \lambda \kappa _ { E } + \kappa _ { b } } { \kappa _ { d } + \kappa _ { E } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 0 = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \Omega } \theta u \cdot \nabla \eta + \int _ { \Omega } \theta u \cdot \nabla \theta - \int _ { \Omega } \theta \Delta \eta - \int _ { \Omega } \theta \Delta \theta . } \end{array}
g _ { \tilde { r } \tilde { r } } ( G _ { \tilde { r } } ^ { \tilde { r } } + G _ { \theta } ^ { \theta } ) = 1 6 \pi G \frac { m } { f } ( L _ { M } - g ^ { \tilde { r } \tilde { r } } \frac { \partial L _ { M } } { \partial g ^ { \tilde { r } \tilde { r } } } - g ^ { \theta \theta } \frac { \partial L _ { M } } { \partial g ^ { \theta \theta } } )
\begin{array} { r l } { \frac { \tilde { \epsilon } _ { A 2 } ^ { 2 } - \tilde { \epsilon } _ { A 1 } ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \Gamma _ { + } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \Delta _ { + } } { \omega _ { 0 } } \right) } \delta \hat { \phi } _ { z } } & { { } = - \alpha _ { \phi } \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \beta _ { \phi } \delta \hat { \psi } _ { z } , } \\ { \frac { \tilde { \epsilon } _ { A 2 } ^ { 2 } - \tilde { \epsilon } _ { A 1 } ^ { 2 } } { 4 \left( 1 - \Gamma _ { + } \right) ^ { 2 } \left( 1 + \frac { \Delta _ { + } } { \omega _ { 0 } } \right) } \delta \hat { \psi } _ { z } } & { { } = - \alpha _ { \psi } \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \beta _ { \psi } \delta \hat { \psi } _ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { \dot { m } } _ { \mathrm { f } } } & { = } & { \frac { 1 } { t _ { \mathrm { b u r n } } } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { b u r n } } } \left\vert \dot { m } _ { \mathrm { f } } ( t ) \right\vert \mathrm { d } t } \\ & { = } & { a \pi N \rho _ { \mathrm { f } } L _ { \mathrm { f } } \bigg [ \frac { R _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } - r _ { \mathrm { f , 0 } } ^ { 2 } } { R _ { \mathrm { f } } ^ { N } - r _ { \mathrm { f , 0 } } ^ { N } } \bigg ] \bigg ( \frac { \dot { m } _ { \mathrm { o } } } { \pi } \bigg ) ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla \, \ensuremath { p ^ { ( 0 , 1 ) } } = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { \underline { { u } } ^ { ( 0 ) } } + \nabla \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \underline { { \rho u } } ^ { ( 0 ) } } \ensuremath { \boldsymbol { \cdot } } \nabla \ensuremath { \underline { { u } } ^ { ( 0 ) } } = 0 } \\ { d _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 , 1 ) } } + \gamma \ensuremath { ( p \nabla \ensuremath { \boldsymbol { \cdot } } \underline { { u } } ) ^ { ( 0 , 1 ) } } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { i } = } & { { } D \Delta t \left( p _ { i } - \frac { f _ { i } } { 2 ( \nu - U ) } \right) + \xi _ { i } \sqrt { 2 D \Delta t } } \\ { \Delta p _ { i } = } & { { } \frac { f _ { i } } { 2 D } \frac { \sum _ { i } f _ { i } \Delta x _ { i } } { \sum _ { i } f _ { i } p _ { i } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { n } ( t ) = \frac { x _ { * } e ^ { - \rho \alpha t } } { 2 } + \left( \frac { k / \alpha } { 1 + \gamma } \right) } & { \Bigg [ \left( \frac { b _ { n } / \bar { b } } { 1 + \rho } \right) ( e ^ { \alpha t } - e ^ { - \rho \alpha t } ) } \\ & { \quad + \frac { \gamma } { \rho } ( 1 - e ^ { - \rho \alpha t } ) \Bigg ] . } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } x } { d y ^ { 3 } } = \frac { d } { d y } \frac { - y ^ { \prime \prime } } { ( y ^ { \prime } ) ^ { 3 } } = \frac { ( y ^ { \prime } ) ^ { 3 } ( - y ^ { \prime \prime \prime } ) - ( - y ^ { \prime \prime } ) 3 ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( y ^ { \prime \prime } ) } { ( ( y ^ { \prime } ) ^ { 3 } ) ^ { 2 } } = \frac { 3 ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } - ( y ^ { \prime } ) ^ { 3 } ( y ^ { \prime \prime \prime } ) } { ( y ^ { \prime } ) ^ { 6 } } = \frac { 3 ( y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } - y ^ { \prime } y ^ { \prime \prime \prime } } { ( y ^ { \prime } ) ^ { 4 } }
\Sigma _ { \mu \nu } \rightarrow \Sigma _ { \mu \nu \rho } = { \cal A } _ { \mu \nu \rho } ^ { F } - 8 { \cal A } _ { \mu \nu \rho } ^ { V } , \qquad \Xi _ { \mu \nu } \rightarrow \Xi _ { \mu \nu \rho } = { \cal A } _ { \mu \nu \rho } ^ { F } + { \frac { 1 6 } { 5 } } { \cal A } _ { \mu \nu \rho } ^ { V } ,
{ \mathbf { a } } = { \mathbf { \hat { z } } } - { \frac { \lambda } { 2 } } ( { \mathbf { \hat { x } } } + i { \mathbf { \hat { y } } } ) + { \frac { 1 } { 2 \lambda } } ( { \mathbf { \hat { x } } } - i { \mathbf { \hat { y } } } )
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d ^ { 2 } z ^ { * } } { { d t ^ { * } } ^ { 2 } } = f ( z ^ { * } , \rho ) } \\ { \frac { d ^ { 2 } \rho } { { d t ^ { * } } ^ { 2 } } = g ( z ^ { * } , \rho ) } \end{array} \right. \mathrm { w i t h } \ \ \left\{ \begin{array} { l l } { z ^ { * } | _ { t ^ { * } = 0 } = - z _ { 1 } = z _ { 0 } , \ \ \frac { d z ^ { * } } { d t ^ { * } } | _ { t ^ { * } = 0 } = 0 \, , } \\ { \rho | _ { t ^ { * } = 0 } = \rho _ { 1 } = \rho _ { 0 } , \ \ \frac { d \rho } { d t ^ { * } } | _ { t ^ { * } = 0 } = 0 \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \langle M _ { s } , M _ { I } | T _ { p } ^ { 2 } ( \vec { I } , \vec { s } ) | M _ { s } ^ { \prime } , M _ { I } ^ { \prime } \rangle = ( - 1 ) ^ { I - M _ { I } + s - M _ { s } - p } } \\ & { \times \sqrt { 5 I ( I + 1 ) ( 2 I + 1 ) s ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) } } \\ & { \times \sum _ { p ^ { \prime } = - 1 } ^ { + 1 } \left[ \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 2 } \\ { p ^ { \prime } } & { p - p ^ { \prime } } & { - p } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { I } & { 1 } & { I } \\ { - M _ { I } } & { p ^ { \prime } } & { M _ { I } ^ { \prime } } \end{array} \right) \right. } \\ & { \times \left. \left( \begin{array} { l l l } { s } & { 1 } & { s } \\ { - M _ { s } } & { p - p ^ { \prime } } & { M _ { s } ^ { \prime } } \end{array} \right) \right] , } \end{array}
{ \underline { { \boldsymbol { \chi } } } ^ { \prime } } ^ { - 1 } = - \frac { 1 } { \omega _ { p e } ^ { 2 } } \Big [ ( \omega ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } ) { \mathbf I } + i \omega ^ { \prime } \boldsymbol \Omega ^ { * } \times { \mathbf I } - \boldsymbol \Omega \boldsymbol \Omega \Big ] .
\mathcal { F } \sigma _ { n } ^ { \prime } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \operatorname* { m i n } \{ \alpha _ { i } , \alpha _ { T ( i ) } ^ { \prime } \} \delta _ { \theta _ { i } ^ { \prime } } + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \alpha _ { T ( i ) } ^ { \prime } - \operatorname* { m i n } \{ \alpha _ { i } , \alpha _ { T ( i ) } ^ { \prime } ) \} \delta _ { \theta _ { i } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l r } { < \psi | \delta H | \psi > } & { = } & { \int d \mathrm { \bf ~ r } \left\{ \psi ^ { * } \left[ \frac { i q \hbar } { 2 m } ( \nabla \cdot \delta \mathrm { \bf ~ A } + \delta \mathrm { \bf ~ A } \cdot \nabla ) + \frac { q ^ { 2 } } { m } \delta \mathrm { \bf ~ A } \cdot \mathrm { \bf ~ A } \right] \psi \right. } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; - \left. g \frac { q } { 2 m } ( \psi ^ { * } \mathrm { \bf ~ s } _ { o p } \psi ) \cdot \left( \nabla \times \delta \mathrm { \bf ~ A } \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n } \geq \delta n ^ { 3 / 4 } ) \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n } \geq ( \delta / c _ { 2 } ) \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n } ] ) = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } \operatorname { \mathbb { P } } ( S _ { n } \geq \delta _ { 1 } \operatorname { \mathbb { E } } [ S _ { n } ] ) \geq 1 - \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \alpha } = } & { ~ \rho _ { \alpha } \left( \phi _ { \alpha } \tau _ { \alpha } + \hat { \psi } _ { \alpha } - \nabla \phi _ { \alpha } \cdot \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) , } \\ { \tau _ { \alpha } = } & { ~ \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } - \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) . } \end{array}
d _ { p , q } ^ { I } + d _ { p , q } ^ { I I } : T _ { n } ( C _ { \bullet , \bullet } ) _ { p } ^ { I } / T _ { n } ( C _ { \bullet , \bullet } ) _ { p + 1 } ^ { I } = C _ { p , q } \rightarrow T _ { n - 1 } ( C _ { \bullet , \bullet } ) _ { p } ^ { I } / T _ { n - 1 } ( C _ { \bullet , \bullet } ) _ { p + 1 } ^ { I } = C _ { p , q - 1 }
= \frac { \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } e c } { \Omega _ { e } } \int \int d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } \boldsymbol { \cdot } F _ { e } ( \textbf { x } ) \frac { 1 } { B ( \textbf { x } ) } \nabla _ { \perp } \left[ \frac { v _ { g y , \parallel } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } { A } _ { 1 \parallel } ( \textbf { x } ) \right] \hat { \chi } ( \textbf { x } ) d t d \Omega _ { g y } .
\begin{array} { r l r } { T _ { \mathrm { g } } } & { { } = } & { T _ { \mathrm { c } } \Leftrightarrow x _ { \mathrm { c } } = L \ln \left( \frac { T _ { \mathrm { p o s t } } - T _ { 0 } } { T _ { \mathrm { c } } - T _ { 0 } } \right) \simeq L . } \end{array}
{ \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial q ^ { i } } } = - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial q ^ { i } } } \quad , \quad { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p _ { i } } } = { \dot { q } } ^ { i } \quad , \quad { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial t } } = - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } } \ .
{ \cal Z } = \left< \int D { \bf B } _ { \mu } \exp \left\{ - \int d ^ { 4 } x \left[ \frac 1 4 { \bf F } _ { \mu \nu } ^ { 2 } - i { \bf B } _ { \mu } { \bf j } _ { \mu } ^ { M } \right] \right\} \right> _ { { \bf j } _ { \mu } ^ { M } } ,
\frac { d } { d x } \frac { \Gamma \left( x \right) } { x ^ { x - 1 } } = - \frac { \Gamma \left( x \right) } { x ^ { x } } \left( x + x \ln \left( x \right) - x \psi \left( x \right) - 1 \right) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( - 1 \right) ^ { n } \frac { d } { d x } { \binom { x } { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( - 1 \right) ^ { k } \frac { k ! } { k ^ { k } } { \binom { n } { k } } ,
\langle N _ { s } - N _ { \bar { s } } \rangle = \gamma _ { s } \left\{ \int g _ { s } \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } e ^ { - E / T } \right\} \int _ { R _ { \mathrm { f } } } d ^ { 3 } r \left[ \lambda _ { s } e ^ { \frac V { 3 T } } - \lambda _ { s } ^ { - 1 } e ^ { - \frac V { 3 T } } \right] \, .
{ \hat { F } } { \hat { F } } ^ { + } = \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ( \, \delta { \hat { A } } \delta { \hat { A } } ^ { + } ) + \gamma _ { 2 } ^ { 2 } ( \, \delta { \hat { B } } \delta { \hat { B } } ^ { + } ) + \gamma _ { 3 } ^ { 2 } ( \, \delta { \hat { C } } \delta { \hat { C } } ^ { + } ) + \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \, { \hat { C } } \, \sigma _ { 3 } + \gamma _ { 2 } \gamma _ { 3 } \, { \hat { C } } _ { 2 } \, \sigma _ { 1 } - \gamma _ { 1 } \gamma _ { 3 } \, { \hat { C } } _ { 3 } \, \sigma _ { 2 } ,
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } ( q ) = \langle q | \psi _ { 0 } \rangle } & { = \langle q | e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | \psi _ { 0 } \rangle = e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } q ^ { 2 } } \langle q | e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | 0 \rangle = e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } q ^ { 2 } } \langle 0 _ { q } | e ^ { \frac { i } { \hbar } q \hat { p } } \underbrace { e ^ { \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | \psi _ { 0 } \rangle } _ { \hat { p } ~ \mathrm { a n n i h i l a t e s ~ t h i s ~ s t a t e } } } \\ & { = e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } q ^ { 2 } } \langle 0 _ { q } | e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } \hat { q } ^ { 2 } } | \psi _ { 0 } \rangle = e ^ { - \frac { m \omega } { 2 \hbar } q ^ { 2 } } \langle 0 _ { q } | 0 \rangle . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l r l r l r } { { 7 } 2 x } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { y } & { { } } & { \; - \; } & { { } } & { z } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 0 } \\ { - 3 x } & { { } } & { \; - \; } & { { } } & { y } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { 2 z } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 0 } \\ { - 2 x } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { y } & { { } } & { \; + \; } & { { } } & { 2 z } & { { } } & { \; = \; } & { { } } & { 0 } \end{array} } \qquad
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \quad P _ { 0 } ^ { n } ( P _ { \xi , \Omega } ( \| h \| > M _ { n } ) / \delta _ { n } ^ { 2 } > \epsilon ) \, = } & { \, P _ { 0 } ^ { n } ( \{ P _ { \xi , \Omega } ( \| h \| > M _ { n } ) / \delta _ { n } ^ { 2 } > \epsilon \} \cap A _ { n , 1 } ) + o ( 1 ) } \\ & { \leq P _ { 0 } ^ { n } ( e ^ { - \tilde { c } _ { 1 } M _ { n } ^ { 2 } } / \delta _ { n } ^ { 2 } > \epsilon \mid A _ { n , 1 } ) + o ( 1 ) = o ( 1 ) , } \end{array} } \end{array}