\begin{array} { r l } & { \psi _ { \pm , m } ^ { ( a ) } \psi _ { \pm , n } ^ { ( b ) } = \psi _ { \pm , n } ^ { ( b ) } \psi _ { \pm , m } ^ { ( a ) } , } \\ & { } \\ & { ~ ~ H _ { 2 } ^ { 2 M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } C \psi _ { + , m + 2 } ^ { ( a ) } \psi _ { - , n } ^ { ( b ) } - H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { 2 A _ { a b } } + C ^ { 2 } \right) \psi _ { + , m + 1 } ^ { ( a ) } \psi _ { - , n - 1 } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } C \psi _ { + , m } ^ { ( a ) } \psi _ { - , n - 2 } ^ { ( b ) } } \\ & { = H _ { 2 } ^ { 2 M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } C \psi _ { - , n } ^ { ( b ) } \psi _ { + , m + 2 } ^ { ( a ) } - H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { 2 A _ { a b } } C ^ { 2 } + 1 \right) \psi _ { - , n - 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { + , m + 1 } ^ { ( a ) } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } C \psi _ { - , n - 2 } ^ { ( b ) } \psi _ { + , m } ^ { ( a ) } , } \\ & { } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } C ^ { 1 / 2 } \psi _ { + , m + 1 } ^ { ( a ) } e _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } \psi _ { + , m } ^ { ( a ) } e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } C ^ { 1 / 2 } e _ { n } ^ { ( b ) } \psi _ { + , m + 1 } ^ { ( a ) } - e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { + , m } ^ { ( a ) } , } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } C ^ { - 1 / 2 } \psi _ { - , m } ^ { ( a ) } e _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } \psi _ { - , m + 1 } ^ { ( a ) } e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } C ^ { - 1 / 2 } e _ { n } ^ { ( b ) } \psi _ { - , m } ^ { ( a ) } - e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { - , m + 1 } ^ { ( a ) } , } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } C ^ { - 1 / 2 } \psi _ { + , m + 1 } ^ { ( a ) } f _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } \psi _ { + , m } ^ { ( a ) } f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } C ^ { - 1 / 2 } f _ { n } ^ { ( b ) } \psi _ { + , m + 1 } ^ { ( a ) } - f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { + , m } ^ { ( a ) } , } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } C ^ { 1 / 2 } \psi _ { - , m } ^ { ( a ) } f _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } \psi _ { - , m + 1 } ^ { ( a ) } f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } C ^ { 1 / 2 } f _ { n } ^ { ( b ) } \psi _ { - , m } ^ { ( a ) } - f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } \psi _ { - , m + 1 } ^ { ( a ) } , } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } e _ { m + 1 } ^ { ( a ) } e _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } e _ { m } ^ { ( a ) } e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = ( - 1 ) ^ { | a | | b | } \left( H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { A _ { a b } } e _ { n } ^ { ( b ) } e _ { m + 1 } ^ { ( a ) } - e _ { n + 1 } ^ { ( b ) } e _ { m } ^ { ( a ) } \right) , } \\ & { H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } f _ { m + 1 } ^ { ( a ) } f _ { n } ^ { ( b ) } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } f _ { m } ^ { ( a ) } f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } = ( - 1 ) ^ { | a | | b | } \left( H _ { 2 } ^ { M _ { a b } } H _ { 1 } ^ { - A _ { a b } } f _ { n } ^ { ( b ) } f _ { m + 1 } ^ { ( a ) } - f _ { n + 1 } ^ { ( b ) } f _ { m } ^ { ( a ) } \right) , } \\ & { \left[ e _ { m } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right\} = - \delta _ { a b } \left( C ^ { ( m - n ) / 2 } \psi _ { + , m + n } ^ { ( a ) } - C ^ { - ( m - n ) / 2 } \psi _ { - , - m - n } ^ { ( a ) } \right) . } \end{array}