harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial K } { \partial \phi } } & { = \frac { K _ { D } + \phi \frac { \partial K _ { D } } { \partial \phi } - \frac { K _ { f } } { K _ { s } } \left( K _ { D } + ( 1 + \phi ) \frac { \partial K _ { D } } { \partial \phi } \right) } { \phi ( 1 + \Delta ) } - } \\ & { \frac { \left[ \phi K _ { D } + \left( 1 - \frac { ( 1 + \phi ) K _ { D } } { K _ { s } } \right) K _ { f } \right] \left( 1 + \Delta + \phi \frac { \partial \Delta } { \partial \phi } \right) } { \phi ^ { 2 } ( 1 + \Delta ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial G } { \partial \phi } } & { = \frac { \partial G _ { D } } { \partial \phi } , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial \phi } } & { = \rho _ { f } - \rho _ { s } , } \end{array} } \end{array}
\frac { D } { D t } \left( \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \cdot \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) = \frac { 8 } { 3 } k \frac { D k } { D t } + 4 \nu _ { t } ^ { 2 } \frac { D } { D t } \left( S _ { k l } S _ { k l } \right) + 8 S _ { k l } S _ { k l } \nu _ { t } \frac { D \nu _ { t } } { D t } .
r = 1 - \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \tilde { r } , \quad u = \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 1 / 3 } \tilde { u } , \quad h = \tilde { h } , \quad \mathcal { M } = \tilde { \mathcal { M } } , \quad m = \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 2 / 3 } \tilde { m }
\mathbf { A } \cdot \mathbf { B } = { \left( \begin{array} { l l l l } { A _ { 0 } } & { A _ { 1 } } & { A _ { 2 } } & { A _ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { B ^ { 0 } } \\ { B ^ { 1 } } \\ { B ^ { 2 } } \\ { B ^ { 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { B _ { 0 } } & { B _ { 1 } } & { B _ { 2 } } & { B _ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { A ^ { 0 } } \\ { A ^ { 1 } } \\ { A ^ { 2 } } \\ { A ^ { 3 } } \end{array} \right) }
C = \left( \frac { \lambda _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { r } } } { \lambda _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { r } } - \lambda _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { a } } } \right) { \left( \frac { \lambda _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { r } } } { \lambda _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { a } } } \right) } ^ { \frac { \lambda _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { a } } } { \lambda _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { r } } - \lambda _ { \mathrm { i j } } ^ { \mathrm { a } } } } .
\begin{array} { r l r } { \alpha ^ { M 1 } ( \omega ) } & { { } = } & { \alpha _ { S } ^ { M 1 } ( \omega ) + g _ { 2 } ( J _ { 0 } , M _ { 0 } ) \alpha _ { T } ^ { M 1 } ( \omega ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = a _ { c } \, \alpha } \\ { a _ { c } } & { { } \approx 0 . 4 2 7 4 7 { \frac { R ^ { 2 } \, T _ { c } ^ { 2 } } { P _ { c } } } } \\ { b } & { { } \approx 0 . 0 8 6 6 4 { \frac { R \, T _ { c } } { P _ { c } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | u | | _ { 1 } } & { = | | \sum _ { L } \phi _ { l } u | | _ { 1 } \leq \sum _ { L } | | \phi _ { l } u | | _ { 1 } } \\ & { \leq C _ { 0 } ( | | \phi _ { 0 } u | | _ { 0 } + | | P \phi _ { 0 } u | | _ { 0 } ) + \sum _ { L \setminus \{ 0 \} } C _ { l } ( | | \phi _ { l } u | | _ { 0 } + | | P \phi _ { l } u | | _ { 0 } ) } \\ & { \leq ( 2 n + 1 ) \operatorname* { m a x } \{ C _ { l } \} | | u | | _ { 0 } + \sum _ { L } C _ { l } ( | | \phi _ { l } P u | | _ { 0 } + | | \lbrack P , \phi _ { l } \cdot \rbrack u | | _ { 0 } ) } \\ & { \leq ( 2 n + 1 ) \operatorname* { m a x } \{ C _ { l } , | | \lbrack P , \phi _ { l } \cdot \rbrack | | _ { 0 , 0 } \} \left( | | u | | _ { 0 } + | | P u | | _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa ( t , \lambda _ { t } , T _ { 0 } , T _ { M } ) } & { = 2 \delta \left[ K _ { 1 } ( t , T _ { 0 } ) e ^ { \lambda _ { t } \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } / 2 } } { \theta _ { \lambda } } \right) } - 1 \right] \approx \delta K _ { 1 } ( t , T _ { 0 } ) \lambda _ { t } + K _ { 2 } ( t , T _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E } { \partial \alpha } } & { { } = - 2 t \cos 2 \alpha - U \cos 2 \beta \sin 2 \alpha - \mu \sin ( 2 \alpha - 2 \beta ) = 0 } \\ { \frac { \partial E } { \partial \beta } } & { { } = - 2 t \cos 2 \beta - U \cos 2 \alpha \sin 2 \beta + \mu \sin ( 2 \alpha - 2 \beta ) = 0 } \\ { \frac { \partial E } { \partial \mu } } & { { } = - \sin ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) + S ( S + 1 ) = 0 . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { \lambda \rightarrow \infty } \lambda ^ { n - 2 } \, \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } { \frac { P _ { r ; m , \vec { \mu } } ^ { ( n - 2 ) } ( \lambda ) } { ( \lambda - i \, r ) ^ { n - 1 } } } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { w \in \mu _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \mathbb { Z } } } e ^ { - 2 \pi \frac { y u } { \mathrm { I m } ( z ) ^ { 2 } } ( b ( v + v ^ { \prime } + w ) - a ( v ^ { \prime } ) \mathrm { R e } ( z ) ) ^ { 2 } } } & { = \frac { \mathrm { I m } ( z ) } { | b ( v _ { 0 } ) | \sqrt { 2 y u } } + \mathrm { o } ( \mathrm { I m } ( z ) / \sqrt { y u } ) } \\ & { = \frac { - \log | t | } { | b ( v _ { 0 } ) | 2 \pi \sqrt { 2 y u } } + \mathrm { o } ( ( - \log | t | ) / \sqrt { y u } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 1 1 } ^ { \prime } = M _ { j j } } & { = - \left[ D k _ { j } ^ { 2 } + i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { j } + \chi \right] , } \\ { M _ { 2 2 } ^ { \prime } = M _ { - j - j } } & { = - \left[ D k _ { j } ^ { 2 } - i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { j } + \chi \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { 1 } \cdot z } & { = [ a , z ] } \\ { g _ { 2 } \cdot z } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \tau _ { g , z } } & { z \in [ G ^ { \mp } , G ^ { \mp } ] } \\ { Q _ { g } z } & { z \in A ^ { \mp } } \\ { \hat { z } ( g ) } & { z \in \mathrm { I n S t r } ( G ^ { + } , G ^ { - } ) } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } & { \mathrm { w h e r e ~ } \hat { z } ( g ) = - ( z ( g ) ) _ { 2 } + \psi ( z ( g ) _ { 1 } , a ) } \\ { g _ { 3 } \cdot z } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { P _ { g } z } & { z \in [ G ^ { \mp } , G ^ { \mp } ] } \\ { T _ { g } z } & { z \in A ^ { \mp } } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \\ { g _ { 4 } \cdot z } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { g } z } & { z \in [ G ^ { \mp } , G ^ { \mp } ] } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } _ { \varepsilon } ] } { \mathscr E } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } { \mathscr D } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) d t \leq C _ { M } ( \varepsilon { \mathscr E } _ { - , 2 , i n } ^ { \varepsilon } + \varepsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d v \frac { 1 } { 2 } \frac { A _ { ( 0 ) } ^ { \prime } } { A _ { ( 0 ) } } = \left\{ \begin{array} { c c c } { { - \frac { 1 } { d - 2 } \frac { 1 } { R } } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } } } & { { R _ { 0 } \ll R \ll R _ { c } } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } } } & { { R \gg R _ { c } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { S _ { x ^ { \prime } } [ k ] = \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( C _ { x ^ { \prime } } ^ { n } e ^ { i \theta _ { x ^ { \prime } } ^ { n } } e ^ { i \omega ^ { n } t _ { 0 } } ) e ^ { i \omega ^ { n } k \delta } + n ( t _ { 0 } + k \delta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \mathcal { M } \right] } & { = 0 , } \\ { \left[ p + \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { \rho } \right] } & { = 0 , } \\ { \left[ \mathcal { M } \left( \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { 2 \rho ^ { 2 } } + \varepsilon + \frac { p } { \rho } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } j ^ { 2 } \right) + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho } \theta \; j \right] } & { = 0 , } \\ { \left[ \mathcal { M } \frac { j } { \rho } + \theta \right] } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { i } } & { = \big ( \frac { 1 } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } - \frac { 1 } { n \bar { N } } ) ^ { 2 } \frac { N _ { i } ^ { 3 } } { N _ { i } - 1 } \quad \mathrm { f o r ~ } i \in S _ { k } \, \, , \quad \mathrm { a n d ~ l e t } \, \, } \\ { \alpha _ { i m } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { n ^ { 2 } \bar { N } ^ { 2 } } } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } i \in S _ { k } , m \in S _ { \ell } , k \neq \ell } \\ { 2 \big ( \frac { 1 } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } - \frac { 1 } { n \bar { N } } ) ^ { 2 } } & { \quad \mathrm { ~ i f ~ } i , m \in S _ { k } } \end{array} \right. } \end{array}
| \rho \rangle = X _ { 1 } ( x ^ { 1 } ) | 0 \rangle + Y _ { 1 } ^ { a } ( x ^ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a } ^ { 1 } | 0 \rangle + Z _ { 1 } ( x ^ { 1 } ) \bar { \xi } _ { a } ^ { 1 } \bar { \xi } ^ { a 1 } | 0 \rangle .
\begin{array} { r l } { \Lambda } & { { } \leq \epsilon C \| \omega \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } + C \left[ \epsilon \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } \right) + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } + \epsilon ^ { \frac { p } { 2 - p } } \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p - 2 } } \right] \| u \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { I N T } } ( f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | P _ { \mathrm { I N T } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) | ^ { 2 } | \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) | ^ { 2 } d f _ { 1 } d f _ { 2 }
i ( \mathrm { S } \cdot \mathrm { D } , ( v \cdot u , \chi _ { + } ) ) , \ i ( v \cdot u , ( \mathrm { S } \cdot \mathrm { D } , \chi _ { + } ) ) , \i ( ( \mathrm { S } \cdot \mathrm { D } , v \cdot u ) , \chi _ { + } ) ; v \leftrightarrow \mathrm { S } .
f _ { 2 } ( \xi ) = \xi _ { 1 } + l _ { 1 } \sin ( \xi _ { 2 } ) + l _ { 2 } \sin ( \xi _ { 2 } + \xi _ { 3 } ) + l _ { 3 } \sin ( \xi _ { 2 } + \xi _ { 3 } + \xi _ { 4 } ) ,
\begin{array} { r l } & { E ^ { e c h o } ( x , t ) = A _ { 1 } A _ { 2 } \frac { e ^ { 3 } k _ { 1 } \tau v _ { F } } { 4 \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { k _ { 3 } } } f _ { 0 } ( 0 ) \times } \\ & { \times \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta \cos ( - k _ { 3 } x + ( k _ { 3 } t - k _ { 2 } \tau ) v _ { F } \cos \theta ) . } \end{array}
3 \hat { \eta } \frac { \partial \hat { h } } { \partial \hat { t } } = \frac { \partial } { \partial \hat { x } } \left[ \hat { h } ^ { k } \frac { \partial } { \partial \hat { x } } \left( \frac { \hat { A } } { \hat { h } ^ { 3 } } \left[ 1 - \frac { \hat { h } _ { U T F } } { \hat { h } } \right] - \hat { \gamma } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { h } } { \partial \hat { x } ^ { 2 } } \right) \right] ^ { 1 / n } .
S _ { \mathrm { b o s o n } } = \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left\{ - \frac { 1 } { 4 } ( F _ { \mu \nu } ^ { a } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \vert D _ { \mu } \Phi ^ { a } \vert ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 2 } \left( \vert \Phi ^ { a } \vert ^ { 2 } - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right\} ,
[ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { T R E - T } } = [ [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { T T } } \ [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } \ [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { E T } } ] ^ { T }
( C ^ { - 1 } ) ^ { \alpha \beta } ( C ^ { - 1 } ) ^ { \gamma \delta } - ( \Gamma _ { \dot { a } } C ^ { - 1 } ) ^ { \alpha \beta } ( \Gamma ^ { \dot { a } } C ^ { - 1 } ) ^ { \gamma \delta } \; , \; C _ { \alpha \beta } C _ { \gamma \delta } - ( C \Gamma _ { \dot { a } } ) _ { \alpha \beta } ( C \Gamma ^ { \dot { a } } ) _ { \gamma \delta }
\frac { d \hat { b } _ { 1 } ( t ) } { d t } = \frac { i } { \hslash } \left( \hat { H } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 1 } ( t ) - \hat { b } _ { 1 } ( t ) \hat { H } \right) = \frac { i } { \hslash } \left( \hat { H } ^ { \dagger } ( t ) - \hat { H } ( t ) \right) \hat { b } _ { 1 }
\frac { d } { d t } \left( \int _ { \Omega } z _ { n } ^ { 2 l + 2 } \right) \leq C _ { 1 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , T ) \int _ { \Omega } z _ { n } ^ { 2 l + 2 } + C _ { 2 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , T ) \int _ { \Omega } | z _ { n } | ^ { 2 l + 1 }
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ^ { * } } & { { } \sim \frac { K } { \vert \lambda _ { 0 } + \bar { \lambda } _ { 1 } \vert } \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \lambda _ { 0 } , \lambda _ { 1 } \rightarrow 0 , } \end{array}
\mathbf { A } ^ { \prime } \cdot \mathbf { B } ^ { \prime } = - { A ^ { \prime } } ^ { 0 } { B ^ { \prime } } ^ { 0 } + { A ^ { \prime } } ^ { 1 } { B ^ { \prime } } ^ { 1 } + { A ^ { \prime } } ^ { 2 } { B ^ { \prime } } ^ { 2 } + { A ^ { \prime } } ^ { 3 } { B ^ { \prime } } ^ { 3 } = - C ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { p ( \phi _ { k } | \phi _ { < k } ) } & { { } = \frac { { \displaystyle \sum _ { \phi _ { N } , \dots \phi _ { k + 1 } } } \exp \left( - \beta J { \displaystyle \sum _ { l = k } ^ { N } } \phi _ { l } { \displaystyle \sum _ { \mu } } \phi _ { l - \hat { \mu } } \right) } { { \displaystyle \sum _ { \phi _ { N } , \dots \phi _ { k } } } \exp \left( - \beta J { \displaystyle \sum _ { l = k } ^ { N } } \phi _ { l } { \displaystyle \sum _ { \mu } } \phi _ { l - \hat { \mu } } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \Theta } ^ { \mathrm { I } } = } & { ~ \displaystyle \int _ { \mathbb { R } } \bar { \Psi } ^ { \mathrm { I } } \left( \phi ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) \mathrm { d } \xi , } \\ { \bar { \Theta } ^ { \mathrm { I I } } = } & { ~ \displaystyle \int _ { \mathbb { R } } \bar { \Psi } ^ { \mathrm { I I } } \left( \phi ^ { \mathrm { e q } } ( \xi ) \right) \mathrm { d } \xi , } \end{array}
{ \kappa _ { \phi } } = \nabla \cdot { \bf { n } } = \frac { 1 } { { \left| { \nabla \phi } \right| } } \left[ { { \nabla ^ { 2 } } \phi - \frac { { \left( { \nabla \phi \cdot \nabla } \right) \left| { \nabla \phi } \right| } } { { \left| { \nabla \phi } \right| } } } \right] .
\begin{array} { r l r } { \langle T _ { x z } \rangle } & { { } = } & { \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 k _ { 0 } } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \{ \psi ^ { \star } \partial _ { x } \psi \} = \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 k _ { 0 } } A ^ { 2 } \partial _ { x } \Phi , } \\ { \langle T _ { z z } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { 0 } | \psi | ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { 0 } A ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha = \frac { A } { \gamma } + C k _ { 3 } \gamma , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad A \equiv \frac { b } { I _ { 3 } } = \frac { a \mu L } { I _ { 3 } } > 0 , \quad C \equiv \frac { I _ { 2 } - I _ { 3 } } { I _ { 3 } } . } \end{array}
D _ { m } = \frac { \rho _ { 0 } b _ { 0 } { u _ { 0 } } ^ { 2 } } { g H ^ { 2 } ( \rho _ { d } - \rho _ { l } ) } = \frac { b _ { 0 } { u _ { 0 } } ^ { 2 } } { g H ^ { 2 } ( \frac { T _ { 0 } } { T _ { d } } - \frac { T _ { 0 } } { T _ { l } } ) }
R _ { k } ( z ) = \sum _ { j = k + 1 } ^ { \infty } { \frac { ( z - c ) ^ { j } } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) } { ( w - c ) ^ { j + 1 } } } \, d w = { \frac { ( z - c ) ^ { k + 1 } } { 2 \pi i } } \int _ { \gamma } { \frac { f ( w ) \, d w } { ( w - c ) ^ { k + 1 } ( w - z ) } } , \qquad z \in W .
g ( q ) = g _ { i j } ( q ) \, d q ^ { i } \, d q ^ { j } = 2 \int \, \frac { d x \, d y } { ( 1 + r ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \frac { \partial W } { \partial q ^ { i } } \frac { \partial \bar { W } } { \partial q ^ { j } } \, d q ^ { i } \, d q ^ { j }
i \frac { \partial A } { \partial z } - \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial t ^ { 2 } } + \gamma | A | ^ { 2 } A = i \int _ { - \infty } ^ { \infty } g _ { F B } ( \omega ) \tilde { A } ( z , \omega ) e ^ { - i \omega t } d \omega - i \kappa \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } { | A ( z , t ) | ^ { 2 } d t } \right) A
\displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\| \frac { \partial f } { \partial I _ { i } } \right\| _ { G , \rho } \left\| \frac { \partial g } { \partial \phi _ { i } } \right\| _ { G , \rho } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\| \frac { \partial f } { \partial \phi _ { i } } \right\| _ { G , \rho } \left\| \frac { \partial g } { \partial I _ { i } } \right\| _ { G , \rho }
\begin{array} { r l } { \varrho _ { f } \left( \partial _ { t } \mathbf { u } + ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } \right) - \mathrm { d i v } \, \mathbb { T } ( \mathbf { u } , p ) = 0 , } & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega _ { \eta } } \\ { \mathrm { d i v } \, \mathbf { u } = 0 , } & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega _ { \eta } , } \\ { \mathbf { u } = 0 , } & { \quad \mathrm { ~ o n ~ } ( 0 , T ) \times \Gamma _ { D } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial { T } } { \partial t } \, + \, ( { \bf v } \, \overrightarrow { \nabla } ) \, { T } \, = \, \chi \, \Delta T + \, \frac { 1 } { \rho _ { 0 } \, c _ { p } } \, \sigma _ { i k } ^ { \prime } \partial _ { k } v _ { i } \ , \ \ } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { N } = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { D } | \Sigma | ^ { 1 / 2 } } \prod _ { i } ^ { 2 D } \exp ( - \frac { | y _ { i } | ^ { 2 } } { 2 \lambda _ { i } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { c _ { m } ( k ) } { ( 2 m + 1 ) } } & { = } & { \frac { P _ { m } ( \cos \theta _ { 0 } ) } { m ( m + 1 ) } + \sin \theta _ { 0 } P _ { m } ( \cos \theta _ { 0 } ) \times } \\ & { } & { \sum _ { \ell = 1 , 3 , \ldots } ^ { \infty } c _ { \ell } ( k ) P _ { \ell } ( \cos \theta _ { 0 } ) \ell ( \ell + 1 ) g _ { m \ell } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { c y c } R \left( T \left( X , Y \right) , Z \right) } & { = \sum _ { c y c } R \left( \nabla _ { X } Y - \nabla _ { Y } X - \left[ X , Y \right] , Z \right) \mathrm { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } } \\ & { = \sum _ { c y c } \left( R \left( \nabla _ { X } Y , Z \right) + R \left( Z , \nabla _ { Y } X \right) - R \left( \left[ X , Y \right] , Z \right) \right) . } \end{array}
\{ x ^ { \mu } , p _ { \nu } \} _ { \scriptscriptstyle { P B } } = \delta _ { \nu } ^ { \mu } \, \ \{ \psi _ { a } , \psi _ { b } \} _ { \scriptscriptstyle { P B } } = - i \delta _ { a b } \, \ \{ x ^ { \mu } , \psi _ { a } \} _ { \scriptscriptstyle { P B } } = 0 .
\begin{array} { r } { \tilde { \pi } ( S _ { n + 1 } | O _ { 1 : n + 1 } ) = \sum _ { m = 1 } ^ { M } w _ { n + 1 } ^ { ( m ) } \delta _ { s _ { n + 1 } } ^ { ( m ) } } \\ { \tilde { w } _ { n + 1 } ^ { ( m ) } = p ( O _ { n + 1 } | \tilde { s } _ { n + 1 } ^ { ( m ) } ) w _ { n } ^ { ( m ) } } \\ { w _ { n + 1 } ^ { ( m ) } = \tilde { w } _ { n + 1 } ^ { ( m ) } / \sum _ { n = 1 } ^ { M } \tilde { w } _ { n + 1 } ^ { ( m ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } p _ { i _ { \mathrm { D } } A _ { \mathrm { O } } } ^ { \prime } \sim { \cal B } ( N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } , a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { G D } } ) + { \cal B } ( N \rho _ { A _ { \mathrm { O } } } ( 1 - p _ { i _ { \mathrm { R } } A _ { \mathrm { O } } } ) , a _ { A _ { \mathrm { O } } } ^ { \mathrm { B D } } ) . } \end{array}
\hat { \nabla } _ { \hat { \mu } } \hat { F } _ { ( \hat { d } ) } { } ^ { \hat { \mu } \hat { \rho } _ { 1 } \cdots \hat { \rho } _ { d } } + { \textstyle \frac { 2 \chi } { \sqrt { | \hat { g } | } } } \sum _ { n } \mu _ { n } { \displaystyle \int } d ^ { d } \xi _ { n } \epsilon ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { d } } \partial _ { i _ { 1 } } \hat { X } ^ { \hat { \mu } _ { 1 } } \cdots \partial _ { i _ { d } } \hat { X } ^ { \hat { \mu } _ { d } } \delta ^ { \hat { d } } ( \hat { x } - \hat { X } _ { n } ) = 0 \, ,
X _ { k l } ( \tau ) = J _ { k l } ^ { ( t o ) } ( \tau ) \frac { \Psi _ { k l } ( \tau ) + \beta h _ { k l } ^ { ( t o ) } ( \tau ) } { \sqrt { N _ { t } } } + J _ { l k } ^ { ( o t ) } ( \tau ) \frac { \Psi _ { l k } ( \tau ) + \beta h _ { l k } ^ { ( o t ) } ( \tau ) } { \sqrt { N _ { t } } }
\exp \left( i e \eta [ x _ { \perp } ; \pi ] \right) a _ { - } ( x _ { \perp } ) \exp \left( - i e \eta [ x _ { \perp } ; \pi ] \right) = a _ { - } ( x _ { \perp } ) - \frac { e } { 2 L } { \cal G } _ { ( \perp ) } [ x _ { \perp } , x _ { \perp } ; 0 ] .
\epsilon _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } \mu _ { 4 } } \epsilon _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } \eta ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } } \eta ^ { \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } \eta ^ { \mu _ { 3 } \nu _ { 3 } } \eta ^ { \mu _ { 4 } \nu _ { 4 } } = - 2 4 \, ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = } & { \left( c ^ { 2 } + \frac { \lambda + \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \right) \frac { \partial } { \partial x } \left[ \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x } + \frac { \partial v ^ { \prime } } { \partial y } + \frac { \partial w ^ { \prime } } { \partial z } \right] + \frac { \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \nabla ^ { 2 } u ^ { \prime } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } v ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = } & { \left( c ^ { 2 } + \frac { \lambda + \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \right) \frac { \partial } { \partial y } \left[ \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x } + \frac { \partial v ^ { \prime } } { \partial y } + \frac { \partial w ^ { \prime } } { \partial z } \right] + \frac { \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \nabla ^ { 2 } v ^ { \prime } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } w ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = } & { \left( c ^ { 2 } + \frac { \lambda + \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \right) \frac { \partial } { \partial z } \left[ \frac { \partial u ^ { \prime } } { \partial x } + \frac { \partial v ^ { \prime } } { \partial y } + \frac { \partial w ^ { \prime } } { \partial z } \right] + \frac { \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \nabla ^ { 2 } w ^ { \prime } } \end{array}
T _ { n } ( x , y , t ) = \sigma _ { h } ( y ) - \frac { E ^ { \prime } } { 8 \pi } \int _ { A ( t ) } \frac { w ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) \, \mathrm { d } x ^ { \prime } \, \mathrm { d } y ^ { \prime } } { \left[ ( x ^ { \prime } - x ) ^ { 2 } + ( y ^ { \prime } - y ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { { \bf ~ O } } ( \mathrm { { \bf ~ R } } , t _ { n } + h ) = \mathrm { { \bf ~ O } } ( \mathrm { { \bf ~ R } } , n + 1 ) = \mathrm { { \bf ~ O } } ( \mathrm { { \bf ~ R } } , n ) } \\ & { } & { + \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n } + h } d t ^ { \prime } \, \biggl \{ F _ { \mathrm { { \bf ~ R } } } ( { \mathrm { { \bf ~ S } } } ( \mathrm { { \bf ~ r } } , t ^ { \prime } ) , \theta ) + [ { \cal F } ( \mathrm { { \bf ~ R } } , t ^ { \prime } ) , 0 ] \biggr \} , } \end{array}
\Delta _ { C } ^ { D } \left( x \right) = U _ { A C } ^ { B D } \frac { \delta W \left[ \Delta \right] } { \delta \Delta _ { B } ^ { A } \left( x \right) } = \Delta _ { C } ^ { D } \left( x \right) G _ { B } ^ { A } \left( x , x \right)
\begin{array} { r l } { \mathscr { R } _ { n + 1 } ^ { u } \left( w _ { j } , u _ { l } , l ^ { \mathrm { c } } , p ^ { \mathrm { l v } } , p ^ { \mathrm { r v } } , t ^ { n + 1 } \right) } & { { } = \int \frac { \partial w _ { j } } { \partial x _ { 0 _ { k } } } \ S _ { k i } ^ { \mathrm { p a s } } \left( u _ { l } \right) F _ { k i } ^ { \phantom { } } \ \mathrm { ~ d ~ } { \Omega _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ^ { 2 } \Vert \widehat { g } _ { \alpha } ^ { \prime } - g _ { \alpha } ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { T ^ { 4 } \ell ^ { 6 } } { 1 8 r _ { 0 } \kappa _ { 0 } } \exp ( T ) ( 1 + T ) \Vert \delta \xi ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { T ^ { 4 } \ell ^ { 6 } } { 9 r _ { 0 } \kappa _ { 0 } } \exp ( T ) ( 1 + T ) \Big [ \Vert \delta u _ { t } ( \ell , . ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } + \Vert \delta \nu ^ { \prime } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}