harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \psi _ { C } } & { { } = } & { r _ { C } ^ { l } , } \\ { q _ { C } } & { { } = } & { ( 2 l + 1 ) r _ { C } ^ { l - 1 } - 4 \pi G \rho _ { C } \frac { r _ { c } ^ { l } } { g _ { C } } , } \end{array}
\mathrm { R e } ( \frac { \varepsilon ^ { \prime } } { \varepsilon } ) = 1 2 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \left[ \frac { \eta \lambda ^ { 5 } A ^ { 2 } } { 1 . 7 \cdot 1 0 ^ { - 4 } } \right] \left[ \frac { 1 5 0 ~ M e V } { m _ { s } ( m _ { c } ) } \right] ^ { 2 } [ B _ { 6 } - Z ( x _ { t } ) B _ { 8 } ]
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } \rangle _ { n } = } & { { } } & { \frac { 1 } { ( k c ) ^ { n } } \sum _ { P e r m u t a t e : \tilde { t } _ { 1 } , \tilde { t } _ { 3 } , \tilde { t } _ { 5 } , \tilde { t } _ { 7 } } \int _ { \tilde { t } _ { 1 } < \tilde { t } _ { 3 } < \tilde { t } _ { 5 } < \tilde { t } _ { 7 } < k c T } d \tilde { t } _ { 1 } d \tilde { t } _ { 3 } d \tilde { t } _ { 5 } d \tilde { t } _ { 7 } e ^ { - \tilde { t } _ { 1 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 3 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 5 } } e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } C ( k c T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { n } } \\ { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle _ { n } } & { { } } & { = \frac { 4 ! C ^ { 2 } } { 6 ( k c ) ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { k c T } e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } \left( 1 - e ^ { - \tilde { t } _ { 7 } } \right) ^ { 3 } ( k c T - \tilde { t } _ { 7 } ) ^ { 2 n } d \tilde { t } _ { 7 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { { } = \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \mathcal { Z } _ { i j } [ \boldsymbol { \mathcal { O } } ] } \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left\{ \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \mathrm { s } } = \frac { \mu _ { 0 } l } { 2 \pi } \left[ \ln \left( \frac { 2 l } { r _ { \mathrm { G M D } } } \right) - 1 + \frac { r _ { \mathrm { A M D } } } { l } \right] , } \end{array}
\hat { P } _ { p r e d } ^ { s c a t } ( \textbf { x } _ { v r } ^ { \prime } , \textbf { x } _ { v s } ^ { \prime } , \delta m , \omega ) = \frac { \omega ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } } \int _ { \nu } \hat { G } _ { 0 } ( \textbf { x } _ { v r } ^ { \prime } , \textbf { x } , \omega ) \delta m ( \textbf { x } ) P _ { d f } ^ { i n c } ( \textbf { x } , \textbf { x } _ { v s } ^ { \prime } , \omega ) d \textbf { x } .
\frac { q u ^ { \prime } ( z ) } { 2 ( 1 + u ( z ) ) } = \frac { w \bar { f } ( z ) f ^ { \prime } ( z ) + w f ( z ) \bar { f } ^ { \prime } ( z ) - 2 z \bar { f } ^ { \prime } ( z ) f ^ { \prime } ( z ) } { ( f ( z ) - \bar { f } ( z ) ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { { 3 } { \bar { n } } _ { i } \ } & { { } = { \frac { \displaystyle \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { 1 } n _ { i } \ e ^ { - \beta ( n _ { i } \varepsilon _ { i } ) } \ \ Z _ { i } ( N - n _ { i } ) } { \displaystyle \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { 1 } e ^ { - \beta ( n _ { i } \varepsilon _ { i } ) } \qquad Z _ { i } ( N - n _ { i } ) } } } \end{array}
\mathcal M _ { 0 } ( t , k ) = n _ { \mathrm { i n } } ( k ) , \quad \mathcal M _ { n } ( t , k ) = \delta \sum _ { n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } = n - 1 } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal K ( \mathcal M _ { n _ { 1 } } ( t ^ { \prime } ) , \mathcal M _ { n _ { 2 } } ( t ^ { \prime } ) , \mathcal M _ { n _ { 3 } } ( t ^ { \prime } ) ) ( k ) \, \mathrm { d } t ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { \mathrm { s , L } } ( \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { \eta } \left[ \left( \mathbf { S } ^ { \mathrm { L } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] _ { \eta \mu } \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ( \mathbf { r } ) \sqrt { \frac { \omega _ { \eta } } { \omega _ { \mu } } } , } \\ { \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ^ { \mathrm { s , G } } ( \mathbf { r } ) } & { = \sum _ { \eta } \left[ \left( \mathbf { S } ^ { \mathrm { G } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] _ { \mu \eta } \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ( \mathbf { r } ) \sqrt { \frac { \omega _ { \eta } } { \omega _ { \mu } } } . } \end{array}
G ^ { + } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { D - 1 } { \mathbf k } } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \, e ^ { i { \mathbf k } ( { \mathbf x } - { \mathbf x ^ { \prime } } ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \sinh ( \pi \omega ) e ^ { - i \omega ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } Z _ { i \omega } ( \lambda \xi , \lambda a ) Z _ { i \omega } ^ { * } ( \lambda \xi ^ { \prime } , \lambda a ) .
f ( r , Z _ { 0 } ) = - 2 i \int _ { 0 } ^ { \omega - \alpha } d p \, \frac { p e ^ { - i p r } } { ( \omega ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \cosh ( \sqrt { \omega ^ { 2 } - p ^ { 2 } } \, Z _ { 0 } ) + i \sqrt { \frac { 2 } { \omega \alpha } } \, e ^ { - i \omega r } - \pi Z _ { 0 } e ^ { - i \omega r } .
\begin{array} { r l } { A ( X ) } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } q \mathrm { S i g n } ( \epsilon _ { i } ) ^ { q } \epsilon _ { i } ^ { q - 1 } \left\langle A _ { i } , X \right\rangle , } \\ { B ( X ) } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in \mathcal { S } _ { t } } 2 ^ { q - 2 } \binom { q } { 2 } | \epsilon _ { i } | ^ { q - 2 } \left\langle A _ { i } , X \right\rangle ^ { 2 } } \\ { C ( X ) } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \not \in \mathcal { S } _ { t } } q ( 2 t _ { 0 } ) ^ { q - 1 } | \left\langle A _ { i } , X \right\rangle | . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { T ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d } ) } & { = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { d } = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( x _ { 1 } - a _ { 1 } ) ^ { n _ { 1 } } \cdots ( x _ { d } - a _ { d } ) ^ { n _ { d } } } { n _ { 1 } ! \cdots n _ { d } ! } } \, \left( { \frac { \partial ^ { n _ { 1 } + \cdots + n _ { d } } f } { \partial x _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots \partial x _ { d } ^ { n _ { d } } } } \right) ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { d } ) } \\ & { = f ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { d } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { d } { \frac { \partial f ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { d } ) } { \partial x _ { j } } } ( x _ { j } - a _ { j } ) + { \frac { 1 } { 2 ! } } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \frac { \partial ^ { 2 } f ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { d } ) } { \partial x _ { j } \partial x _ { k } } } ( x _ { j } - a _ { j } ) ( x _ { k } - a _ { k } ) } \\ & { \qquad \qquad + { \frac { 1 } { 3 ! } } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { k = 1 } ^ { d } \sum _ { l = 1 } ^ { d } { \frac { \partial ^ { 3 } f ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { d } ) } { \partial x _ { j } \partial x _ { k } \partial x _ { l } } } ( x _ { j } - a _ { j } ) ( x _ { k } - a _ { k } ) ( x _ { l } - a _ { l } ) + \cdots } \end{array} }
\partial ^ { \nu } { \mathcal { L } } = { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \mu } \phi _ { \alpha } ) } } \partial ^ { \nu } \partial _ { \mu } \phi _ { \alpha } + { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \phi _ { \alpha } } } \partial ^ { \nu } \phi _ { \alpha }
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } A _ { n } = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } { \frac { a _ { 0 } } { 5 } } \cdot \left( 8 - 3 \left( { \frac { 4 } { 9 } } \right) ^ { n } \right) = { \frac { 8 } { 5 } } \cdot a _ { 0 } \, ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial h _ { 3 } } { \partial t } = - \frac { \gamma h _ { 0 } ^ { 3 } } { 3 \mu } \frac { \partial ^ { 4 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 4 } } , } \\ & { h _ { 3 } ( 0 , t ) = N _ { 1 } ( t ) , \: h _ { 3 } ( L _ { x } , t ) = N _ { 2 } ( t ) , } \\ & { \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } ( 0 , t ) = \frac { \partial ^ { 3 } h _ { 3 } } { \partial x ^ { 3 } } ( L _ { x } , t ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } ) } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left[ \phi _ { A } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) \phi _ { B } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) - \phi _ { B } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) \phi _ { A } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { u } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \frac { ( u - 1 ) T } { L } \leq t \leq \frac { u T } { L } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ O ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , f ( 2 ^ { a } ( \cdot - x ) ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } \le C h ^ { 2 ( s - k ) } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { ( 1 + h | \xi | ) ^ { 2 t } ( \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sin ^ { 2 } ( h \xi _ { j } ) ) ^ { k } } { ( h ^ { 2 } + ( \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sin ^ { 2 } ( h \xi _ { j } ) ) ^ { 2 } ) ^ { s } | \xi | ^ { 2 k } ( 1 + | \xi | ) ^ { 2 r } } \, \mathrm { d } \xi
P ( \vec { x } _ { n } , \vec { x } _ { m } ) \approx \left[ 1 + \zeta \partial _ { \mu } \log N ( \vec { x } _ { n } ) ( x _ { m } ^ { \mu } - x _ { n } ^ { \mu } ) \right] G ( | \vec { x } _ { m } - \vec { x } _ { n } | ) .
\begin{array} { r } { \varepsilon = U ( x ) - \tilde { U } ( x ) = \left( 1 - M _ { \bar { U } } \right) A _ { \bar { U } } \sin \left( \frac { 2 \pi x } { \lambda _ { \bar { U } } } \right) + \ldots } \\ { f ( t ) \left( 1 - M _ { u ^ { \prime } } \right) A _ { u ^ { \prime } } \sin \left( \frac { 2 \pi x } { \lambda _ { u ^ { \prime } } } \right) = \varepsilon _ { \bar { U } } + \varepsilon _ { u ^ { \prime } } , } \end{array}
\Delta P ( x , y ) \; = \; \left( - \frac { 1 } { 8 } \: h ( x ) \: - \: \frac { 3 } { 8 } \: h ( y ) \right) P ( x , y ) \: - \: i \frac { \partial } { \partial y ^ { k } } \Delta P [ \gamma ^ { j } h _ { j } ^ { k } ] ( x , y ) \; \; \; ,
C _ { \bullet } ( X ) \otimes C ^ { \bullet } ( X ) { \overset { \Delta _ { * } \otimes \mathrm { I d } } { \longrightarrow } } C _ { \bullet } ( X ) \otimes C _ { \bullet } ( X ) \otimes C ^ { \bullet } ( X ) { \overset { \mathrm { I d } \otimes \varepsilon } { \longrightarrow } } C _ { \bullet } ( X )
\begin{array} { r l } { A ^ { \prime } ( x ) } & { { } = - { \frac { 1 } { W } } u _ { 2 } ( x ) f ( x ) , \; B ^ { \prime } ( x ) = { \frac { 1 } { W } } u _ { 1 } ( x ) f ( x ) } \\ { A ( x ) } & { { } = - \int { \frac { 1 } { W } } u _ { 2 } ( x ) f ( x ) \, \mathrm { d } x , \; B ( x ) = \int { \frac { 1 } { W } } u _ { 1 } ( x ) f ( x ) \, \mathrm { d } x } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { 2 { \mathrm { R e } } [ q - q _ { 0 } ] } \\ { | q - q _ { 0 } | } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { - { \frac { \kappa _ { n } ^ { ( + ) } } { n } } } \\ { 1 } & { - { \frac { \kappa _ { n + 1 } ^ { ( + ) } } { n + 1 } } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l } { ( n - 1 ) \kappa _ { n } ^ { ( - ) } } \\ { n \kappa _ { n + 1 } ^ { ( - ) } } \end{array} \right] } , \qquad \kappa ^ { \pm } \equiv { \frac { \langle \! \langle \Phi ^ { n \pm 1 } \rangle \! \rangle } { \langle \! \langle \Phi ^ { n } \rangle \! \rangle } } .
\begin{array} { r l r } { \eta ^ { k l } } & { \approx } & { \frac { n _ { l } \, \sigma _ { 0 } ^ { k l } \, \sum _ { s } \alpha _ { k } ^ { s } \, \int _ { 0 } ^ { t _ { C } } d t \, \left| g _ { k } ^ { s } ( t ) \right| _ { c } } { 1 + n _ { l } \, \sigma _ { 0 } ^ { k l } \, \sum _ { s } \alpha _ { k } ^ { s } \, \int _ { 0 } ^ { t _ { C } } d t \, \left| g _ { k } ^ { s } ( t ) \right| _ { c } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { x _ { k + 1 } - x _ { k } } { h } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \hat { \gamma _ { i } } ( { x _ { k + 1 / 2 } } ) \{ S , H \} _ { J _ { i } } ^ { d } J _ { i } \bar { \nabla } H ( x _ { k } , x _ { k + 1 } ) + \sum _ { \alpha = 1 } ^ { l } M _ { \alpha } \bar { \nabla } H ( x _ { k } , x _ { k + 1 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { j = 1 } ^ { \bar { k } } \widehat { \gamma _ { P o r t , j } } ( { x _ { k + 1 / 2 } } , u _ { k } ) \left[ \{ S _ { t o t } , H _ { t o t } \} _ { J _ { p o r t , g _ { j } } } ^ { d } \right] g _ { j } u _ { k } + \sum _ { \beta = 1 } ^ { \bar { l } } g _ { S , \beta } u _ { k } } \\ { y _ { k } } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { \bar { k } } \widehat { \gamma _ { P o r t , j } } ( { x _ { k + 1 / 2 } } , u _ { k } ) \left[ \{ S _ { t o t } , H _ { t o t } \} _ { J _ { p o r t , g _ { j } } } ^ { d } \right] g _ { j } ^ { \top } \bar { \nabla } H ( x _ { k } , x _ { k + 1 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { \beta = 1 } ^ { \bar { l } } g _ { S , \beta } ^ { \top } \bar { \nabla } H ( x _ { k } , x _ { k + 1 } ) } \end{array}
\Phi _ { 0 } \star \Phi _ { 0 } = e ^ { - K _ { L } ( \mathcal { I } ) } \star Q ( e ^ { K _ { L } ( \mathcal { I } ) } ) \star e ^ { - K _ { L } ( \mathcal { I } ) } \star Q ( e ^ { K _ { L } ( \mathcal { I } ) } ) \ .
\begin{array} { r l r } { { \cal O } _ { 9 \ell } = \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( \bar { s } \gamma _ { \mu } P _ { L } b ) ( \bar { \ell } \gamma ^ { \mu } \ell ) , } & { { } } & { { \cal O } _ { 9 ^ { \prime } \ell } = \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( \bar { s } \gamma _ { \mu } P _ { R } b ) ( \bar { \ell } \gamma ^ { \mu } \ell ) , } \\ { { \cal O } _ { 1 0 \ell } = \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( \bar { s } \gamma _ { \mu } P _ { L } b ) ( \bar { \ell } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \ell ) , } & { { } } & { { \cal O } _ { 1 0 ^ { \prime } \ell } = \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( \bar { s } \gamma _ { \mu } P _ { R } b ) ( \bar { \ell } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } \ell ) . } \end{array}
- 2 i p ^ { \mu } \partial _ { \mu } \, \tilde { G } _ { 1 2 } = \tilde { \Sigma } _ { 1 2 } \, \tilde { G } _ { 2 1 } - \tilde { G } _ { 1 2 } \, \tilde { \Sigma } _ { 2 1 } \, .
H _ { \hat { \mu } \hat { \nu } \hat { \rho } } = { \frac { 1 } { 6 \sqrt { - G } } } G _ { \hat { \mu } \hat { \mu } ^ { \prime } } G _ { \hat { \nu } \hat { \nu } ^ { \prime } } G _ { \hat { \rho } \hat { \rho } ^ { \prime } } \epsilon ^ { \hat { \mu } ^ { \prime } \hat { \nu } ^ { \prime } \hat { \rho } ^ { \prime } \hat { \lambda } \hat { \sigma } \hat { \eta } } H _ { \hat { \lambda } \hat { \sigma } \hat { \eta } } ,
\begin{array} { r l } { { \hat { h } } _ { \mathrm { G T C } } } & { ( k _ { x } ) = \sum _ { { k _ { y } \in \mathcal { K } _ { c } } } \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \omega _ { c } ( { k _ { x } , k _ { y } } ) + \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y } } } \\ { + } & { \sum _ { k _ { y ^ { \prime } } \in { \mathcal { N } _ { c } } } \sum _ { k _ { y } \in { \mathcal { K } _ { c } } } \Omega ( { k _ { y } , k _ { y ^ { \prime } } } ) \big ( \hat { a } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y ^ { \prime } } } + \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y ^ { \prime } } } ^ { \dagger } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { d } { d x } \left[ \pi R ( x ) ^ { 2 } v _ { \mathrm { w } } ( x ) \right] = 0 , } & { } & \\ { - \frac { d } { d x } \left[ \pi R ( x ) ^ { 2 } \rho _ { i } ( x ) v _ { i } ( x ) \right] = 0 , } & { } & \\ { - \frac { d p ( x ) } { d x } - \sum _ { i = \pm } \rho _ { i } ( x ) \xi _ { i } ( x ) [ v _ { \mathrm { w } } ( x ) - v _ { i } ( x ) ] \qquad } & { } & \\ { - \frac { 2 \lambda _ { 0 } ( x ) } { R ( x ) } v _ { \mathrm { w } } ( x ) = 0 , } & { } & \\ { - \frac { d \mu _ { i } } { d x } - \xi _ { i } ( x ) [ v _ { i } ( x ) - v _ { \mathrm { w } } ( x ) ] - \lambda _ { i } ( x ) v _ { i } ( x ) = 0 , } & { } & \\ { \frac { 1 } { R ( x ) ^ { 2 } } \frac { d } { d x } \left[ \varepsilon \varepsilon _ { 0 } R ( x ) ^ { 2 } \frac { d } { d x } \psi ( x ) \right] = - e \sum _ { i = \pm } q _ { i } \rho _ { i } ( x ) , } & { } & \end{array}
A _ { n r } = { \frac { 4 ( 2 - \delta _ { n 0 } ) } { a ^ { 2 } } } \, \, { \frac { \sinh k _ { n r } ( L - z _ { 0 } ) } { \sinh 2 k _ { n r } L } } \, \, { \frac { J _ { n } ( k _ { n r } \rho _ { 0 } ) } { k _ { n r } [ J _ { n + 1 } ( k _ { n r } a ) ] ^ { 2 } } }
\sigma _ { \mathrm { t } } = \sqrt { \sigma _ { \mathrm { t w } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { T D C } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { s e n s } } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { e j } } ^ { 2 } } ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \widehat b ( t ) = } & { \frac { h _ { 1 } } { 2 N } \bigg [ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \sum _ { j \neq i } Z _ { i j } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ^ { 2 } ( s - t ) d N _ { i j } ( s ) } { \sum _ { j \neq i } \exp \{ \widehat \pi _ { i j } ( t ) \} } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \sum _ { i \neq j } Z _ { i j } ( t ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ^ { 2 } ( s - t ) d N _ { i j } ( s ) } { \sum _ { i \neq j } \exp \{ \widehat \pi _ { i j } ( t ) \} } \bigg ] , } \\ { \widehat H _ { Q } ( t ) = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j \neq i } Z _ { i j } ( t ) ^ { \otimes 2 } e ^ { \widehat \pi _ { i j } ( t ) } - \widehat V _ { \widehat \gamma , \widehat \eta } ( t ) \widehat S ( t ) \widehat V _ { \widehat \eta , \widehat \gamma } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int y ^ { \prime } \, d x } & { { } = \int f ^ { \prime } ( x ) \, d x = f ( x ) + C _ { 0 } = y + C _ { 0 } } \\ { \int y \, d x } & { { } = \int f ( x ) \, d x = F ( x ) + C _ { 1 } } \\ { \iint y \, d x ^ { 2 } } & { { } = \int \left( \int y \, d x \right) d x = \int _ { X \times X } f ( x ) \, d x = \int F ( x ) \, d x = g ( x ) + C _ { 2 } } \\ { \underbrace { \int \dots \int } _ { \! \! n } y \, \underbrace { d x \dots d x } _ { n } } & { { } = \int _ { \underbrace { X \times \cdots \times X } _ { n } } f ( x ) \, d x = \int s ( x ) \, d x = S ( x ) + C _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { i } ( \sigma _ { i } , \Delta t ) = \operatorname* { l i m } _ { d t \rightarrow 0 } ( 1 - w _ { i } ( \sigma _ { i } ) d t ) ^ { \Delta t / d t } = e ^ { - w _ { i } ( \sigma _ { i } ) \Delta t } , } \\ & { P _ { i } ( \sigma _ { i } , \Delta t ) = 1 - e ^ { - w _ { i } ( \sigma _ { i } ) \Delta t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log L } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ n ~ s ~ } } } \Biggl [ n _ { i } \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } } w _ { 0 } ( T _ { j } ) w _ { 1 } ( R _ { j } | T _ { j } , \theta ) \mathbb { I } _ { i } ( R _ { j } ) \right) } \end{array}
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 2 } - f _ { 1 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } - f _ { 2 } ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { \textbf { M } ^ { - 1 } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \mathrm { d i a g } \left( \pmb { \alpha } \right) } \\ { \textbf { Z } ^ { - 1 } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \mathrm { d i a g } \left( \pmb { \psi } \right) } \\ { \textbf { M } ^ { ( 1 / 2 ) } \textbf { M } ^ { ( 1 / 2 ) \mathrm { T } } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \textbf { M } } \\ { \textbf { Z } ^ { ( 1 / 2 ) } \textbf { Z } ^ { ( 1 / 2 ) \mathrm { T } } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \textbf { Z } } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( f ^ { 0 } ( x , y ) , W ) = \mathrm { D i f f M o d } ( \mathrm { D i f f M o d } ( \mathrm { D i f f M o d } ( \mathrm { D i f f M o d } } \\ { ( \mathrm { D i f f M o d } ( f ^ { 0 } ( x , y ) , W _ { 1 } ( x , y ) ) , W _ { 2 } ( x , y ) ) , } \\ { W _ { 3 } ( x , y ) ) , W _ { 4 } ( x , y ) ) , W _ { 5 } ( x , y ) ) } \end{array}
2 \nabla _ { \mathbf { Y } } \cdot \left( \sigma _ { 1 2 } \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } , t \right) P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right) + \sigma _ { 2 2 } \left( \mathbf { X } \right) \nabla _ { \mathbf { Y } } \left( P \left( \mathbf { Y } , t \mid \mathbf { X } \right) \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } _ { i } ^ { \mathrm { t 0 } } = \frac { \partial x _ { i } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \xi } \left\| \frac { \partial x _ { j } ^ { \mathrm { e l l } } } { \partial \xi } \right\| ^ { - 1 } } & { { } = \left( \mathrm { c o s h } ( \xi ) \mathrm { s i n } ( \theta ) \mathrm { c o s } ( \phi ) e _ { i } ^ { \mathrm { x } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { R } _ { \Gamma , l ; \delta } } & { : = } & { ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } x _ { l - 1 } ( \Gamma ) - \delta \beta _ { n } ^ { - 1 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } x _ { l } ( \Gamma ) + \delta \beta _ { n } ^ { - 1 } ] } \\ & { } & { \times ( ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - \delta \beta _ { n } ^ { - 1 } , ( s - 1 ) L \beta _ { n } ^ { - 1 } + L \beta _ { n } ^ { - 1 } y _ { l } ( \Gamma ) + \delta \beta _ { n } ^ { - 1 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \pi _ { 2 } } _ { \# } \pi ( A ) = \mathcal U _ { \partial B _ { 1 } ( 0 ) } ( B ) \tilde { \nu } ( [ a , b ] ) } & { = \int _ { [ 0 , \infty ) } \int _ { \partial B _ { r } ( 0 ) } 1 _ { [ a , b ] } ( r ) 1 _ { B } ( x / r ) \, \mathrm { d } \mathcal U _ { \partial B _ { r } ( 0 ) } ( x ) \, \mathrm { d } \tilde { \nu } ( r ) } \\ & { = \int _ { [ 0 , \infty ) } \int _ { \partial B _ { r } ( 0 ) } 1 _ { A } ( x ) \mathrm { d } U _ { \partial B _ { r } ( 0 ) } ( x ) \mathrm { d } \tilde { \nu } ( r ) = \nu ( A ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { h _ { i } ^ { 0 } = \phi _ { \theta } ( x _ { i } ) } \\ { h _ { i } ^ { t } = \sigma \left( \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { i } | } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \kappa _ { \Theta } ( e _ { i j } ^ { t } ) h _ { j } ^ { t - 1 } \right) + h _ { i } ^ { t - 1 } , \qquad t = 1 , \, \dots , \, T - 1 } \\ { h _ { i } = h _ { i } ^ { T } = \psi _ { \gamma } \left( \frac { 1 } { | \mathcal { N } _ { i } | } \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \kappa _ { \Theta } ( e _ { i j } ^ { T - 1 } ) h _ { j } ^ { T - 1 } + h _ { i } ^ { T - 1 } \right) } \end{array} \right. } \end{array}
\left< \frac { \partial \tilde { q } } { \partial t } , \Phi _ { i } \right> _ { \Omega } + \left< \frac { \partial \tilde { F } _ { j } } { \partial \xi _ { j } } , \Phi _ { i } \right> _ { \Omega } = \left< \frac { \partial \tilde { F } _ { j } ^ { v i s } } { \partial \xi _ { j } } , \Phi _ { i } \right> _ { \Omega }
\mathfrak { C } = \gamma ^ { 2 } \frac { \left( e ^ { - \Gamma _ { 1 } \tau } - e ^ { - \Gamma _ { 2 } \tau } \cos ( \omega \tau ) \right) \left( \omega \Gamma _ { y z } - \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { z x } + \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { z x } \right) + e ^ { - \Gamma _ { 2 } \tau } \left( \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { y z } - \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { y z } + \omega \Gamma _ { z x } \right) \sin ( \omega \tau ) } { 2 \left( \omega ^ { 2 } + \left( \Gamma _ { 1 } - \Gamma _ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) }
{ \begin{array} { r l } { U ( x , z ) } & { = { \hat { f } } \left[ a \left[ \operatorname { r e c t } \left( { \frac { x - S / 2 } { W } } \right) + \operatorname { r e c t } \left( { \frac { x + S / 2 } { W } } \right) \right] \right] } \\ & { = 2 W \left[ e ^ { - i \pi S x / \lambda z } + e ^ { i \pi S x / \lambda z } \right] { \frac { \sin { \frac { \pi W x } { \lambda z } } } { \frac { \pi W x } { \lambda z } } } } \\ & { = 2 a \cos { \frac { \pi S x } { \lambda z } } W \operatorname { s i n c } { \frac { \pi W x } { \lambda z } } } \end{array} }