harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { g _ { l } g _ { r } } & { { } = g _ { a } | \Omega _ { b } | , } \\ { \theta \mp \phi _ { b } } & { { } = ( 2 k + 1 ) \pi , } \\ { \theta \neq p \pi , } & { { } \quad \phi _ { b } \neq q \pi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ F , G \} } & { { } = \left\langle \frac { \delta F } { \delta u } , \omega \times \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + \left\langle \frac { \delta F } { \delta D } , \nabla \cdot \frac { \delta G } { \delta u } \right\rangle + L \left[ \frac { \delta G } { \delta u } , \frac { \delta F } { \delta \theta } ; \theta \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \displaystyle { \frac { \partial V _ { 1 } } { \partial t } } + V _ { 1 } \displaystyle { \frac { \partial V _ { 1 } } { \partial x } } } & { = } & { - q V _ { 1 } - E _ { 1 } - B _ { 0 } \, V _ { 2 } , } \\ { \displaystyle { \frac { \partial V _ { 2 } } { \partial t } } + V _ { 1 } \displaystyle { \frac { \partial V _ { 2 } } { \partial x } } } & { = } & { - q V _ { 2 } + B _ { 0 } \, V _ { 1 } , } \\ { \displaystyle { \frac { \partial E _ { 1 } } { \partial t } } + V _ { 1 } \displaystyle { \frac { \partial E _ { 1 } } { \partial x } } } & { = } & { V _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int r ^ { 1 + \alpha } \frac { \Delta ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \left| \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } \! * \! W ( \widetilde { \partial } _ { r } \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ) \right| ^ { 2 } } & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r , \theta } \Big ( r ^ { 1 + \alpha } \lVert \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } \rVert _ { L _ { \omega , m } ^ { 1 } } \Big ) ^ { 2 } \int \frac { \Delta ^ { 2 } } { r ^ { 5 + \alpha } } \big ( | \widetilde { \partial } _ { r } W \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | ^ { 2 } + | [ W , \widetilde { \partial } _ { r } ] \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | ^ { 2 } \big ) , } \\ & { \lesssim \lVert \widehat { \mathbf { B } } _ { \mathcal { T } } ^ { r } \rVert _ { { \mathbb { W } [ { 1 + \alpha } ] } } ^ { 2 } \left( \mathcal { S } _ { 1 } ^ { W } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] + \int \frac { \Delta ^ { 2 } } { r ^ { 5 + \alpha } } | [ W , \widetilde { \partial } _ { r } ] \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } | ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } ( ( \partial _ { t } c ) ^ { n } - \delta _ { \tau } c _ { h } ^ { n } , \chi _ { h } ) _ { \Omega } } & { + a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \mu } ^ { n } - \boldsymbol { \mu } _ { h } ^ { n } , \boldsymbol { \chi } _ { h } ) = 0 , } \\ { ( \mu ^ { n } - \mu _ { h } ^ { n } , \phi _ { h } ) _ { \Omega } } & { = ( ( c ^ { n } ) ^ { 3 } - ( c _ { h } ^ { n } ) ^ { 3 } , \phi _ { h } ) _ { \Omega } - ( c ^ { n } - c _ { h } ^ { n - 1 } , \phi _ { h } ) _ { \Omega } + \kappa a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { c } ^ { n } - \boldsymbol { c } _ { h } ^ { n } , \boldsymbol { \phi } _ { h } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d p _ { \mathrm { 4 , 3 } } } { d t } = } & { ~ R _ { p } ( - p _ { \mathrm { 4 , 3 } } c _ { 4 , 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 3 ^ { \prime } } + p _ { \mathrm { 4 , 2 } } c _ { 4 , 2 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 2 ^ { \prime } } c _ { 4 , 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 2 ^ { \prime } } } \\ & { + p _ { \mathrm { 4 , 3 } } c _ { 4 , 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 3 ^ { \prime } } c _ { 4 , 3 \leftrightarrow 3 ^ { \prime } , 3 ^ { \prime } } ) - \Gamma _ { 1 } p _ { 4 , 3 } + \Gamma _ { 1 } / 1 6 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { v a c } } } & { = } & { - Z \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \ensuremath { \mathrm { d } } u } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { d } } k \; \frac { B _ { k } ^ { 2 } } { ( u ^ { 2 } + \varepsilon _ { k } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \phantom { x x x x x x x x x } } \\ & { } & { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \times \left[ z _ { 1 } ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) v _ { k } ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) + z _ { 2 } ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) w _ { k } ( \ensuremath { \mathrm { i } } u ) \right] , } \end{array}
\frac { d \langle L _ { 2 } \rangle } { d \tau } = \frac { d a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } } \langle L _ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } ^ { 2 } } \langle L _ { 1 } ^ { 2 } \rangle + b ( L _ { 0 } ) \ ,
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { s } \delta \phi _ { s } } & { = } & { i ( \Lambda _ { 0 } ^ { s } / 2 \omega _ { + } ) \beta _ { s + } \delta \phi _ { 0 } ^ { * } \delta \phi _ { + } - i ( \Lambda _ { 0 } ^ { s } / 2 \omega _ { - } ) \beta _ { s - } \delta \phi _ { 0 } \delta \phi _ { - } } \\ & { } & { - \epsilon _ { s } ^ { ( 2 ) } | \delta \phi _ { 0 } | ^ { 2 } \delta \phi _ { s } . } \end{array}
\frac { \partial v _ { 1 } } { \partial y _ { 1 } } , \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial y _ { 2 } } , \frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 1 } } \sim \epsilon ^ { - 1 / 2 } \, , \qquad \frac { \partial v _ { 2 } } { \partial y _ { 2 } } \sim O ( 1 ) \, .
( \sum _ { n = 1 } ^ { 1 5 } ( - 1 ) ^ { n } - 1 ) ( \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ) t r \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } F _ { \mu \nu } F _ { \alpha \beta } = - 2 ( \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ) t r \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } F _ { \mu \nu } F _ { \alpha \beta }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \epsilon } & { = - \partial _ { i } \pi ^ { i } , } \\ { \partial _ { t } \pi ^ { i } } & { = - v _ { \| } ^ { 2 } \partial ^ { i } \epsilon + D _ { \pi } ^ { \perp } \, \partial ^ { 2 } \pi ^ { i } + \left( D _ { \pi } ^ { \| } - D _ { \pi } ^ { \perp } \right) \partial ^ { i } \partial _ { k } \pi ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle T ^ { ( \alpha , r , \beta ) } \right\rangle = } & { \frac { 1 - \hat { \rho } ( r ) } { r ( 1 - \alpha \hat { \rho } ( r ) ) - r ( \beta + \alpha ( 1 - \beta ) ) ( 1 - \hat { \rho } ( r ) ) } } \\ { = } & { \frac { 1 - \hat { \rho } ( r ) } { r [ 1 - \alpha - \beta + \alpha \beta + \beta ( 1 - \alpha ) \hat { \rho } ( r ) ] } } \\ { = } & { \frac { 1 - \hat { \rho } ( r ) } { ( 1 - \alpha ) r [ 1 - \beta + \beta \hat { \rho } ( r ) ] } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { k } = \int _ { D _ { k } } \left[ \rho \psi - \frac { \epsilon _ { p } } { 2 } | \nabla \psi | ^ { 2 } \right] d x + \int _ { U _ { k } } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c } } q _ { j } c _ { j } ^ { k } \psi - \frac { \epsilon _ { s } } { 2 } | \nabla \psi | ^ { 2 } - \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c } } \mu _ { j } c _ { j } ^ { k } \right] d x , } \end{array}
\displaystyle { \times \left( 1 - \frac { a _ { 2 0 } } { 1 6 } + \frac { a _ { 0 2 } } { 2 } + \frac { a _ { 1 1 } } { 2 } \right) - \frac { 7 } { 4 } \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \kappa \theta } \left( 1 + \frac { 1 2 9 } { 1 1 2 } a _ { 2 0 } \right) - \frac { 5 } { 4 } \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { 2 3 } { 8 0 } a _ { 2 0 } + \frac { 3 } { 4 } a _ { 1 1 } \right) + \frac { \overline { { \beta } } ^ { 2 } } { \kappa \theta } \left[ 2 \overline { { \alpha } } ( 1 - \overline { { \alpha } } ) + 3 \overline { { \beta } } ( 1 - \overline { { \beta } } ) \right] }
\begin{array} { r } { d \theta _ { \alpha _ { i } ^ { k } } \geq \frac { - \left( m _ { i } ^ { k } + d \dot { \psi } _ { i } ^ { k } + \frac { \partial \alpha _ { i } ^ { k } ( \psi _ { i } ^ { k } ) } { \partial \psi _ { i } ^ { k } } d \psi _ { i } ^ { k } \right) } { \frac { \partial \alpha _ { i } ^ { k } ( \psi _ { i } ^ { k } ) } { \partial \theta _ { \alpha _ { i } ^ { k } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( u ) } & { \geq \| u \| ^ { h _ { 2 } } - ( C _ { 1 } { \epsilon } ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 \psi _ { 1 } } + C _ { 1 } c _ { \epsilon } ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 h _ { 1 } ^ { * } / l } ) } \\ & { \geq \| u \| ^ { h _ { 2 } } \left( 1 - \frac { C _ { 1 } { \epsilon } ^ { 2 } } { \| u \| ^ { h _ { 2 } - 2 \psi _ { 1 } } } \right) - C _ { 1 } c _ { \epsilon } ^ { 2 } \| u \| ^ { 2 h _ { 1 } ^ { * } / l } . } \end{array}
\phi ( \xi ) = \phi _ { i } + \left( \frac { \partial \phi } { \partial \xi } \right) _ { i } \left( \xi - \xi _ { i } \right) + 3 \kappa \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial \xi ^ { 2 } } \right) _ { i } \left[ \left( \xi - \xi _ { i } \right) ^ { 2 } - \frac { \Delta \xi _ { i } ^ { 2 } } { 1 2 } \right] \quad \mathrm { f o r } \quad \xi _ { i - \frac { 1 } { 2 } } \le \xi \le \xi _ { i + \frac { 1 } { 2 } }
H _ { \mathrm { R W A } } = \frac { \hbar } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & & { \begin{array} { l } { \Omega _ { 1 } e ^ { - i \delta _ { \delta } t / 2 } } \\ { + \Omega _ { 2 } e ^ { i ( \delta _ { \delta } t / 2 + \Phi ) } } \end{array} } \\ { \begin{array} { l } { \Omega _ { 1 } ^ { * } e ^ { i \delta _ { \delta } t / 2 } } \\ { + \Omega _ { 2 } ^ { * } e ^ { - i ( \delta _ { \delta } t / 2 + \Phi ) } } \end{array} } & & { - \Sigma _ { \delta } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \bar { F } ^ { \prime \prime } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ( \varepsilon , \gamma ) ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma } } \\ & { = \frac { \partial \bar { F } ^ { \prime \prime } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } \frac { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } { \partial \gamma } + \frac { \partial \bar { F } ^ { \prime \prime } ( \hat { \varepsilon } _ { S } ; \varepsilon , \gamma ) } { \partial \gamma } } \\ & { = D V ^ { \ast } \kappa _ { E } \Bigg [ \left( \frac { 1 } { \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } - \frac { \hat { \varepsilon } _ { S } - \varepsilon } { ( \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad \times \left( - 2 b _ { \varepsilon } \gamma \frac { \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } \right) } \\ & { \qquad \qquad \quad - 2 b _ { \varepsilon } \gamma \frac { \hat { \varepsilon } _ { S } - \varepsilon } { ( \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \Bigg ] } \\ & { = - 2 D V ^ { \ast } \kappa _ { E } b _ { \varepsilon } \gamma \frac { \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } } { ( \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } } \\ & { \qquad \times \Big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } - \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } \Big ] } \\ & { = - 4 D V ^ { \ast } \kappa _ { E } b _ { \varepsilon } \gamma \frac { \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } } { ( \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H G _ { n , n } } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } & { { } \overset { \theta } { \Longrightarrow } \mathrm { H G _ { n , n } } ( \cos \theta x ^ { \prime } + \sin \theta y ^ { \prime } , - \sin \theta x ^ { \prime } + \cos \theta y ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { n } = \frac { 1 } { 3 } \left[ \begin{array} { c c c } { \delta _ { j } + \delta _ { k } + \delta _ { l } } & { \delta _ { j } + \delta _ { k } e ^ { i \phi } + \delta _ { l } e ^ { - i \phi } } & { \delta _ { j } + \delta _ { k } e ^ { 2 i \phi } + \delta _ { l } e ^ { - 2 i \phi } } \\ { \delta _ { j } + \delta _ { k } e ^ { - i \phi } + \delta _ { l } e ^ { i \phi } } & { \delta _ { j } + \delta _ { k } + \delta _ { l } } & { \delta _ { j } + \delta _ { k } e ^ { i \phi } + \delta _ { l } e ^ { - i \phi } } \\ { \delta _ { j } + \delta _ { k } e ^ { - 2 i \phi } + \delta _ { l } e ^ { 2 i \phi } } & { \delta _ { j } + \delta _ { k } e ^ { - i \phi } + \delta _ { l } e ^ { i \phi } } & { \delta _ { j } + \delta _ { k } + \delta _ { l } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow e } } ( \mathbf { W } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 2 } ~ { \Big ( } \mathbf { e } _ { R } \cdot ( \mathbf { W } _ { i + 1 , j , k } + \mathbf { W } _ { i , j , k } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { R } , } \\ { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow e } } ( \mathbf { W } ) _ { i , j + \frac { 1 } { 2 } , k } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 2 } ~ { \Big ( } \mathbf { e } _ { \phi } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j + 1 , k } + \mathbf { W } _ { i , j , k } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { \phi } , } \\ { { \mathcal { R } } _ { \mathrm { v \rightarrow e } } ( \mathbf { W } ) _ { i , j , k + \frac { 1 } { 2 } } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 2 } ~ { \Big ( } \mathbf { e } _ { Z } \cdot ( \mathbf { W } _ { i , j , k + 1 } + \mathbf { W } _ { i , j , k } ) { \Big ) } \mathbf { e } _ { Z } , } \end{array}
\mathrm { \boldmath ~ H ~ } = \left( \begin{array} { c c } { { \mu + \cos { \theta _ { R } } \, \frac { \Delta \mu } { 2 } \ } } & { { e ^ { - i \phi _ { R } } \sin { \theta _ { R } } \, \frac { \Delta \mu } { 2 } } } \\ { { * [ 2 m m ] e ^ { i \phi _ { R } } \sin { \theta _ { R } } \, \frac { \Delta \mu } { 2 } \ } } & { { \mu - \cos { \theta _ { R } } \, \frac { \Delta \mu } { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , s ) \phi ^ { \prime \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) 1 _ { \{ y _ { 2 } \geq 0 \} } \textrm { d } \xi } \\ { = \nu \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \partial } { \partial n ^ { + } } p ^ { D } ( s , ( \tau ^ { + } , 0 + ) , t , y ) \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , s ) \textrm { d } \tau ^ { + } , } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d x x ^ { 2 n } e ^ { - b x ^ { 2 } } = 2 \sqrt { \pi } \frac { \left( 2 n \right) ! } { n ! } \left( \frac { 1 } { 2 \sqrt { b } } \right) ^ { 2 n + 1 } .
\mathbf { e } ^ { 2 } ( \mathbf { y } , t ) = \mathbf { a } ^ { P } ( t ) - \mathbf { a } ^ { P } ( 0 ) - \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { f } ( \mathbf { y } , \mathbf { a } ^ { P } ( \tau ) ) d \tau
\begin{array} { r l } { A _ { f i } ^ { \mathrm { P N C } } } & { = \ensuremath { \langle 7 S _ { 1 / 2 } ^ { \prime } , \, F _ { f } M _ { f } | } - \mathbfcal { E } _ { L } \cdot { \v { D } } \ensuremath { | 6 S _ { 1 / 2 } ^ { \prime } , \, F _ { i } M _ { i } \rangle } } \\ & { = i \mathrm { I m } ( E 1 _ { \mathrm { P N C } } ) \mathbfcal { E } _ { L } \cdot \ensuremath { \langle F _ { f } M _ { F _ { f } } | } \ensuremath { \boldsymbol { \sigma } } \ensuremath { | F _ { i } M _ { F _ { i } } \rangle } \, , } \end{array}
\boldsymbol { v } _ { i } ^ { t } = \varepsilon _ { \boldsymbol { \Theta } } ^ { v } \left( \boldsymbol { x } _ { i } ^ { t } \right) , \, \ \boldsymbol { e } _ { i , j } ^ { t } = \varepsilon _ { \boldsymbol { \Theta } } ^ { e } \left( \boldsymbol { r } _ { i , j } ^ { t } \right)
\begin{array} { r } { \boldsymbol v _ { \boldsymbol k } ( t ) = \boldsymbol v _ { \boldsymbol k } ^ { \mathrm { l o c a l } } ( t ) + \boldsymbol v _ { \boldsymbol k } ^ { \mathrm { n o n l o c a l } } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle = \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \delta \phi _ { \mathrm { t } } ) \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 2 } } , \delta \phi _ { \mathrm { p } } ) | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathtt { A } ( \xi _ { 1 } ) - \mathtt { A } ( \xi _ { 2 } ) | } & { \overset \ge | C _ { 1 } | | \xi _ { 1 } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } - \xi _ { 2 } | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } | - | m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi _ { 1 } ) - m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi _ { 2 } ) | } \\ & { \overset { \ge } | C _ { 1 } | | \xi _ { 1 } | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } - \xi _ { 2 } | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } | - C _ { 2 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( \mathtt { M } ^ { 1 - \alpha } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 1 } + \mathtt { M } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ) } \\ & { \overset { , } \ge \frac { | C _ { 1 } | c _ { \alpha } } { 2 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } ) - C _ { 2 } \mathtt { M } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } } \\ & { \ge \frac { | C _ { 1 } | c _ { \alpha } } { 2 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } ) - \frac { C _ { 2 } \mathtt { M } } { | \xi _ { 1 } | } ( | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } ) } \\ & { \overset { , } \ge \frac { | C _ { 1 } | c _ { \alpha } } { 4 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | ^ { \alpha - 1 } + | \xi _ { 2 } | ^ { \alpha - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 2 4 } ^ { \downarrow \downarrow , s h } = \frac { - 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } ( f _ { \gamma } - f _ { a } ) ( f _ { \delta } - f _ { b } ) } } \\ { { \times T r ( S _ { 2 \gamma } ^ { \downarrow \rho \dagger } s _ { 2 \delta } ^ { \downarrow \rho ^ { \prime } \dagger } s _ { 4 \delta } ^ { \downarrow \rho ^ { \prime } \dagger } s _ { 4 \gamma } ^ { \downarrow \rho } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 1 } } & { { } = \left( 0 , 1 \right) , \, } \\ { \mathbf { k } _ { 2 } } & { { } = \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right) , \, } \\ { \mathbf { k } _ { 3 } } & { { } = \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { \mathrm { ~ A ~ C ~ } } ( x ) } & { { } \approx - \frac { \omega _ { q } } { \Delta ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 , 2 } \sum _ { j = + , - } | \Omega _ { i } ^ { j } ( x ) | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 2 } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) } & { = \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \left[ v _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) - \sigma _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) \right] - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) } \\ & { = \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } v _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) - \sum _ { i \in \mathcal { I } _ { k } } \sigma _ { i } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) - \sum _ { j \in \mathcal { J } } c _ { j } ( \mathbf { a } _ { k } ^ { * } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - H _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \tilde { \alpha } _ { t + 1 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \| \mathcal { S } _ { [ \mu , L _ { g } ] } \big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - H _ { t } \| ^ { 2 } + 2 \tilde { \alpha } _ { t + 1 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 4 ( 1 - \tilde { \alpha } _ { t + 1 } ) ^ { 2 } L _ { g y y } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) . } \end{array}
\langle \mathcal { N } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) \mathcal { N } _ { j } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \rangle = \delta _ { i j } \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } ) \delta ( t - t ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } & { \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta e ^ { i \phi } } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } } \\ { = \, } & { \operatorname { t r } \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta e ^ { i \phi } } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \prod _ { j = n } ^ { 1 } \exp \left( \frac { \theta e ^ { - i \phi } } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right] } \\ { = \, } & { \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ^ { \top } \left( \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta e ^ { i \phi } } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \otimes \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta e ^ { - i \phi } } { 2 } F _ { j } ( s _ { j } ) \right) \right) \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) } \end{array}
\hat { \Delta } _ { \mu } = - { \frac { g } { \pi } } \epsilon _ { \mu \nu } [ \hat { A } ^ { \nu } + { \frac { g } { 2 } } \theta _ { \alpha \beta } \hat { A } ^ { \alpha } ( 2 \partial ^ { \beta } \hat { A } ^ { \nu } - \partial ^ { \nu } \hat { A } ^ { \beta } ) ] ,
\begin{array} { r l } { \Big [ D _ { + , \tau } \Big ( \int _ { 0 } ^ { \tau } \sigma ( \| u ( t } & { + s ) \| _ { U } ) d s \Big ) \Big ] _ { \tau = 0 } = \Big [ D _ { + , \tau } \Big ( \int _ { t } ^ { t + \tau } \sigma ( \| u ( s ) \| _ { U } ) d s \Big ) \Big ] _ { \tau = 0 } } \\ & { = \Big [ D _ { + , \tau } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t + \tau } \sigma ( \| u ( s ) \| _ { U } ) d s \Big ) \Big ] _ { \tau = 0 } = D _ { + , t } \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } \sigma ( \| u ( s ) \| _ { U } ) d s \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { i j + 1 } } & { = } & { g _ { i i } f ( x _ { i j } , a _ { i } ) + \frac { 1 } { N } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { N } g _ { i i ^ { \prime } } f ( x _ { i ^ { \prime } j } , a _ { i ^ { \prime } } ) } \\ { g _ { i i ^ { \prime } } } & { = } & { ( 1 - c ) \delta _ { i i ^ { \prime } } + c \epsilon _ { i i ^ { \prime } } } \\ { a _ { i } } & { = } & { a + ( 1 - a ) \epsilon _ { i } } \\ { f ( x , a ) } & { = } & { 1 - a x ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u ^ { ( 1 ) } = x ^ { 2 } ( 2 - x ^ { 2 } ) + 4 x y ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 ) + z ^ { 2 } ( 3 z ^ { 2 } - 6 x ^ { 2 } - 2 ) , } \\ { u ^ { ( 2 ) } = x ^ { 2 } ( 3 x ^ { 2 } - 6 y ^ { 2 } - 1 ) + y ^ { 2 } ( 1 - y ^ { 2 } ) , } \\ { u ^ { ( 3 ) } = 4 z x ( z ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 1 ) , } \\ { \; \quad p = 8 y ( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) + 8 x ( 3 z ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I _ { y } } & { { } = { \frac { 1 } { 1 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } y _ { i + 1 } - x _ { i + 1 } y _ { i } \right) \left( x _ { i } ^ { 2 } + x _ { i } x _ { i + 1 } + x _ { i + 1 } ^ { 2 } \right) } \\ { I _ { x } } & { { } = { \frac { 1 } { 1 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } y _ { i + 1 } - x _ { i + 1 } y _ { i } \right) \left( y _ { i } ^ { 2 } + y _ { i } y _ { i + 1 } + y _ { i + 1 } ^ { 2 } \right) } \\ { I _ { x y } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } y _ { i + 1 } - x _ { i + 1 } y _ { i } \right) \left( x _ { i } y _ { i + 1 } + 2 x _ { i } y _ { i } + 2 x _ { i + 1 } y _ { i + 1 } + x _ { i + 1 } y _ { i } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle f _ { i } ^ { - 1 } g ^ { + } , f _ { i } g ^ { - } \rangle _ { \mathrm { c h } } ^ { \omega ( s , \nu ) } \, = \, \langle g ^ { + } , g ^ { - } \rangle _ { \mathrm { c h } } ^ { \omega ( s + { e } _ { i } , \nu ) } , \ \ \ \langle x _ { j } g ^ { + } , x _ { j } ^ { - 1 } g ^ { - } \rangle _ { \mathrm { c h } } ^ { \omega ( s , \nu ) } \, = \, \langle g ^ { + } , g ^ { - } \rangle _ { \mathrm { c h } } ^ { \omega ( s , \nu + { e } _ { j } ) } , } \end{array}