harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { H } ^ { 2 } ( \Omega \cap \partial B _ { r } ( x _ { 0 } ) ) \geq \frac { 2 } { 5 } | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } | ^ { \frac { 2 } { 3 } } \geq \frac 2 5 | \Omega \cap B _ { r } ^ { c } ( x _ { 0 } ) | ^ { \frac { 2 } { 3 } } - { \frac { 8 \pi } { 1 5 } } N _ { \varepsilon } \varepsilon ^ { 3 } \geq \frac { 1 } { 5 } | \Omega \cap B _ { r } ^ { c } ( x _ { 0 } ) | ^ { \frac { 2 } { 3 } } , } \end{array}
{ \cal Z } _ { n } = \int \prod _ { i , j , k } ^ { n } d x _ { i } d y _ { j } d z _ { k } \int { \cal D } \phi { \cal D } \psi \left( \lambda \phi ( x _ { i } ) \psi ( y _ { j } ) \phi ( z _ { k } ) \right) ^ { n } e ^ { - \left( S _ { f r e e } ^ { E } \left[ \phi \right] + S _ { f r e e } ^ { E } \left[ \psi \right] \right) }
\| \dot { x } _ { \gamma _ { k } } - \dot { \bar { x } } \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \longrightarrow \infty } \| \dot { x } _ { \gamma _ { k } } ^ { n } - \dot { \bar { x } } \| _ { 2 } ^ { 2 } \; \; \mathrm { a n d } \; \; \| \dot { u } _ { \gamma _ { k } } - \dot { \bar { u } } \| _ { 2 } ^ { 2 } \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \longrightarrow \infty } \| \dot { u } _ { \gamma _ { k } } ^ { n } - \dot { \bar { u } } \| _ { 2 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \| u _ { j } ^ { \star } - \mathcal { F } ( \omega ^ { \star } \circ S _ { j } z ^ { \star } ) \| _ { 2 } } & { \leq \| u _ { j } ^ { \star } - u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } \| _ { 2 } + \| u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } - \mathcal { F } ( \omega ^ { \star } \circ S _ { j } z ^ { \star } ) \| _ { 2 } } \\ & { = \| u _ { j } ^ { \star } - u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } \| _ { 2 } + \left\| \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \left( \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } - \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } - 1 } \right) + \mathcal { F } ( \omega ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } ) - \mathcal { F } ( \omega ^ { \star } \circ S _ { j } z ^ { \star } ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \| u _ { j } ^ { \star } - u _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } \| _ { 2 } + \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \left\| \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } - \Lambda _ { j } ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } - 1 } \right\| _ { 2 } + \left\| \omega ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } \circ S _ { j } z ^ { t _ { k _ { \ell ^ { \prime } } } } - \omega ^ { \star } \circ S _ { j } z ^ { \star } \right\| _ { 2 } } \\ & { < 3 \epsilon } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] F _ { 1 } } & { = \sqrt { 2 } \cos ( y ) } \\ { F _ { 2 } } & { = 2 \cos ( n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 3 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 4 } } & { = \sqrt { 2 } \cos ( 2 y ) } \\ { F _ { 5 } } & { = 2 \cos ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 6 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 7 } } & { = 2 \cos ( 2 n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 8 } } & { = 2 \sin ( 2 n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 9 } } & { = 2 \cos ( 2 n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 1 0 } } & { = 2 \sin ( 2 n x ) \sin ( 2 y ) } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { r l } { [ c ] \phi _ { 1 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 2 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 2 y ) } \\ { \phi _ { 3 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 3 y ) } \\ { \phi _ { 4 } } & { = 2 \sin ( n x / 2 ) \sin ( 4 y ) } \\ { \phi _ { 5 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( y ) } \\ { \phi _ { 6 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { \phi _ { 7 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( 3 y ) } \\ { \phi _ { 8 } } & { = 2 \sin ( n x ) \sin ( 4 y ) } \end{array}
\left. \arctan \left( { \frac { 1 + \alpha } { 1 - \alpha } } \tan \left( { \frac { x } { 2 } } \right) \right) \right| _ { 0 } ^ { \pi } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { \pi } { 2 } } , } & { | \alpha | < 1 , } \\ { - { \frac { \pi } { 2 } } , } & { | \alpha | > 1 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { G _ { \lambda } ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { u } ) } & { : = } & { \frac { D _ { [ \lambda x _ { 1 } ] } ( u _ { 1 } / \lambda ^ { \gamma \upsilon _ { 2 } } ) \overline { { D _ { [ \lambda y _ { 1 } ] } ( u _ { 1 } / \lambda ^ { \gamma \upsilon _ { 2 } } ) } } } { \lambda ^ { 2 } } \cdot \frac { D _ { [ \lambda ^ { \gamma } x _ { 2 } ] } ( u _ { 2 } / \lambda ^ { \gamma } ) \overline { { D _ { [ \lambda ^ { \gamma } y _ { 2 } ] } ( u _ { 2 } / \lambda ^ { \gamma } ) } } } { \lambda ^ { 2 \gamma } } \cdot f _ { 0 } ( \boldsymbol { u } ) } \\ & { \to } & { x _ { 1 } y _ { 1 } \cdot \frac { ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { 2 } u _ { 2 } } ) ( 1 - \mathrm e ^ { - \mathrm i y _ { 2 } u _ { 2 } } ) } { | u _ { 2 } | ^ { 2 } } \cdot f _ { 0 } ( \boldsymbol { u } ) = : G ( \boldsymbol { u } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { k } } & { { } = v _ { 0 ; 0 } ^ { ( k ) } \langle \Uparrow | \hat { D } _ { 0 } | \Downarrow \rangle \langle \downarrow ^ { ( k ) } | \hat { d } _ { 0 } ^ { ( k ) } | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \nabla _ { x } \psi ( x , \lambda ) - \nabla _ { x } \psi ( x ^ { \prime } , \lambda ^ { \prime } ) \| } \\ & { = \| { \nabla F ( x ) } ^ { T } ( \lambda + \rho F ( x ) ) - { \nabla F ( x ^ { \prime } ) } ^ { T } ( \lambda ^ { \prime } + \rho F ( x ^ { \prime } ) ) \| } \\ & { = \left\| \Big ( { \nabla F ( x ) } - { \nabla F ( x ^ { \prime } ) } \Big ) ^ { T } \Big ( \lambda + \rho F ( x ) \Big ) + { \nabla F ( x ^ { \prime } ) } ^ { T } \Big ( \lambda - \lambda ^ { \prime } + \rho \big ( F ( x ) - F ( x ^ { \prime } ) \big ) \Big ) \right\| } \\ & { \leq \| { \nabla F ( x ) } - { \nabla F ( x ^ { \prime } ) } \| \| \lambda + \rho F ( x ) \| + \| { \nabla F ( x ^ { \prime } ) } \| \Big ( \| \lambda - \lambda ^ { \prime } \| + \rho \| F ( x ) - F ( x ^ { \prime } ) \| \Big ) } \\ & { { \overset { \mathrm { A s s . ~ } } { \leq } } \Big ( L _ { F } \| \lambda + \rho F ( x ) \| + \rho M _ { F } ^ { 2 } \Big ) \| x - x ^ { \prime } \| + M _ { F } \| \lambda - \lambda ^ { \prime } \| } \\ & { \leq \Big ( L _ { F } \| \lambda + \rho F ( x ) \| + M _ { F } ( 1 + \rho M _ { F } ) \Big ) \left\| \left( \begin{array} { l } { x } \\ { \lambda } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { \lambda ^ { \prime } } \end{array} \right) \right\| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x , \lambda } \{ L _ { \psi } ( x , \lambda ) \} \left\| \left( \begin{array} { l } { x } \\ { \lambda } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { \lambda ^ { \prime } } \end{array} \right) \right\| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial } { \partial \varepsilon } \right| _ { \varepsilon = 0 } f _ { e q } [ \phi + \varepsilon f ] } & { = \left. \frac { \partial } { \partial \varepsilon } \right| _ { \varepsilon = 0 } n \left( \frac { 2 \pi k _ { B } T } { m } \right) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \frac { m } { 2 k _ { B } T } | \mathbf { u } - \mathbf { v } | ^ { 2 } } } \\ & { = n _ { 0 } \left( \frac { 2 \pi k _ { B } } { m } \right) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - \frac { m } { 2 k _ { B } T _ { 0 } } | \mathbf { v } | ^ { 2 } } \left[ \frac { M _ { 0 } } { n _ { 0 } } + \frac { m } { 3 k _ { B } } \frac { \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } - 3 T _ { 0 } \frac { k _ { B } } { m } M _ { 0 } } { n _ { 0 } } \left( - \frac { 3 } { 2 } \right) T _ { 0 } ^ { - \frac { 5 } { 2 } } \right. } \\ & { \qquad + T _ { 0 } ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( - \frac { m } { 2 k _ { B } T _ { 0 } } \right) \left( - 2 \frac { \mathbf { M } _ { 1 } } { n _ { 0 } } \cdot \mathbf { v } \right) } \\ & { \qquad \left. + T _ { 0 } ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \frac { m } { 3 k _ { B } } \frac { \mathrm { t r a c e } \mathbf { M } _ { 2 } - 3 T _ { 0 } \frac { k _ { B } } { m } M _ { 0 } } { n _ { 0 } } | \mathbf { v } | ^ { 2 } \left( - \frac { m } { 2 k _ { B } } \right) ( - T _ { 0 } ^ { - 2 } ) \right] , } \end{array}
\hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { d } } = \frac { 1 } { 2 } \alpha n \rho _ { n } \left( \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \boldsymbol { \sigma } \hat { \varsigma } + \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \boldsymbol { \sigma } \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \tilde { \alpha } U _ { \mathrm { w } } \left( \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \boldsymbol { \sigma } \hat { \varsigma } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \underline { { \nabla } } _ { a } \hat { H } _ { s c } } & { { } = \sum _ { \lambda , k } ^ { 2 N _ { c } } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { k } } { \hbar } } \, g _ { k } \, Q _ { a } \, \underline { { e } } _ { \lambda k } \, x _ { \lambda k } \quad . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( n ) } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \delta _ { n } \, S ^ { ( n ) } ( { \bf r } ) \, \, { \hat { U } } ^ { ( n ) } ( { \bf r } ) , \, \, \, n = 1 , 2 } \\ { { \hat { U } } ^ { ( 1 ) } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 } | { \bf A } _ { 1 } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { 1 } ) } - \frac { i } { 3 } \bigg ( \left[ { \bf A } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf r } ) \times { \bf A } _ { 1 } ( { \bf r } ) \right] \cdot \frac { \hat { \bf F } } { F _ { g _ { 1 } } } \bigg ) , } \\ { { \hat { U } } ^ { ( 2 ) } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 } | { \bf A } _ { 2 } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } \, { \hat { P } } ^ { ( g _ { 2 } ) } - \frac { i } { 9 } \bigg ( \left[ { \bf A } _ { 2 } ^ { * } ( { \bf r } ) \times { \bf A } _ { 2 } ( { \bf r } ) \right] \cdot \frac { { \hat { \bf F } } } { F _ { g _ { 2 } } } \bigg ) , } \end{array}
\widehat { \mathcal { L } } [ \hat { \psi } _ { { ( 1 , 0 ) } } ] = - \frac { 1 } { \hat { y } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \widehat { \mathcal { L } } [ \hat { \psi } _ { ( 2 , 1 ) } ] = \frac { 1 } { \hat { y } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { K } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( t , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { \triangleq \frac { \sin \big ( ( 1 + t ) \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) + t f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D ^ { 2 } \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) , t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin ^ { 2 } \big ( t ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) ) \big ) \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) } \\ & { \quad \times \Big [ \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 2 } ( \varphi ) \big ) - \sin \big ( \theta _ { 0 } + f _ { 1 } ( \varphi ) \big ) \Big ] . } \end{array}
E _ { k } ^ { ( j ) } = \frac { 1 } { j ! } \left. \frac { \partial ^ { j } \, E _ { k } ( \lambda ) } { \partial \lambda ^ { j } } \right\vert _ { \lambda = 0 } \quad \mathrm { a n d } \quad \Psi _ { k } ^ { ( j ) } = \frac { 1 } { j ! } \left. \frac { \partial ^ { j } \, \Psi _ { k } ( \lambda ) } { \partial \lambda ^ { j } } \right\vert _ { \lambda = 0 } .
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { G } ^ { \tt S } ( \vec { x } ) } & { { } = } & { - k \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } \frac { 4 } { c ^ { 3 } } ( k _ { \epsilon } w _ { \mathrm { E } } ^ { \epsilon } ( \tau ^ { \prime } ) ) d \tau ^ { \prime } = - k \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } ( { \vec { S } } _ { \oplus } \cdot [ { \vec { k } } \times \vec { b } ] ) \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } \frac { d \tau ^ { \prime } } { r ^ { 3 } } = - k \frac { 2 G M _ { \oplus } } { c ^ { 3 } } \frac { ( { \vec { S } } _ { \oplus } \cdot [ { \vec { k } } \times \vec { m } ] ) } { b } \big ( \vec { k } \cdot ( \vec { n } - \vec { n } _ { 0 } ) \big ) . ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { m } _ { 2 } } & { = - \alpha [ ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 2 } - ( ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 3 } ^ { 3 } ) m _ { 2 } ] + ( \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 3 } ) m _ { 1 } m _ { 3 } + v _ { 2 } , } \\ { \dot { m } _ { 3 } } & { = - \alpha [ ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 3 } - ( ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 3 } ^ { 3 } ) m _ { 3 } ] - ( \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } ) m _ { 1 } m _ { 2 } + v _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { l c c l } { { } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 1 ) } } \\ { { \mid \mathrm { g r o u n d } > } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 1 ) } } & { { = } } & { { ( { \bf 1 , 2 , - 5 } ) _ { F } } } \\ { { } } & { { \Downarrow \beta _ { 6 } ^ { 5 - } } } \\ { { \mid \mathrm { 1 s t } > } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 1 ~ - 1 ~ 0 ) } } & { { = } } & { { ( { \bf \overline { { { 5 } } } , 1 , - 2 } ) _ { B } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \partial _ { x } ( e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } u ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| \partial _ { x } ( e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } v ) \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 } { ( p + 1 ) } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 2 \beta } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x \leq C t ^ { - 1 } . } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { i } { 2 } } { \overleftrightarrow { { \overline { { \Psi } } } \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \Psi } } - m ( \sigma ) { \overline { { \Psi } } } \Psi - U ( \sigma ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \sigma ) ^ { 2 } .
\xi = V / c = \sqrt { 4 \pi \epsilon _ { 0 } G m _ { e } m _ { p } } v _ { B } / q _ { e } = \sqrt { G m _ { e } m _ { p } / 4 \pi \epsilon _ { 0 } } q _ { e } / \hbar c \cong 1 . 5 3 2 2 \times 1 0 ^ { - 2 2 }
\begin{array} { r l } { H _ { 2 } ( t ) } & { { } = \sum _ { \nu = 1 } ^ { 3 } \bigg [ \frac { 1 } { 2 } \alpha b _ { \nu } ^ { \dagger } b _ { \nu } ( b _ { \nu } ^ { \dagger } b _ { \nu } - 1 ) + a ^ { ( \nu ) } ( t ) ( b _ { \nu } + b _ { \nu } ^ { \dagger } ) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = i \sum _ { n } \rho _ { n } \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) c _ { j } ( t ) | n \rangle } \\ { G _ { i j } ^ { > } ( t , t ^ { \prime } ) } & { { } = - i \sum _ { n n ^ { \prime } } \rho _ { n } \langle n | c _ { i } | n ^ { \prime } \rangle \langle n ^ { \prime } | c _ { j } ^ { \dagger } | n \rangle e ^ { i ( t - t ^ { \prime } ) ( E _ { n } - E _ { n ^ { \prime } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \sf T } _ { \mathrm { g c } } P _ { \mathrm { g c } \Theta } } & { { } = } & { \frac { q } { c } \, \psi \; + \; \epsilon \, \frac { q } { c } \left( \Psi _ { 1 } + G _ { 1 } ^ { \psi } \right) \; - \; \epsilon ^ { 2 } \; J } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta S _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } & { { } = \int _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } ( - ) ^ { q } \delta A \wedge \tilde { F } + ( - 1 ) ^ { p q + q } \, \delta \tilde { A } \wedge F } \end{array}
u = - { \frac { 1 } { 4 \sqrt \pi } } { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } } \left( { \frac { \pi } { a } } \right) ^ { d + 1 } \Gamma \left( - { \frac { d + 1 } { 2 } } \right) \zeta ( - d - 1 ) .
\begin{array} { r l } { \Psi } & { { } = C _ { m } ( \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 0 } ) ^ { m } \exp \left[ - \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } | \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right] \exp \left[ \mathcal { Z } ^ { * } \mathcal { Z } _ { 0 } - \mathcal { Z } \mathcal { Z } _ { 0 } ^ { * } \right] \exp \left[ i \alpha | \mathcal { Z } - \mathcal { Z } _ { 0 } | ^ { 2 } \right] } \end{array}
\mathbf { C } ( x , y , z ) = \left( \begin{array} { c c c c } { e ^ { - 2 i \pi z } \cos ( 2 \pi y ) } & { 0 } & { 0 } & { - i e ^ { - 2 i \pi z } \sin ( 2 \pi y ) } \\ { 0 } & { e ^ { 2 i \pi z } \cos ( 2 \pi x ) } & { - i e ^ { 2 i \pi z } \sin ( 2 \pi x ) } & { 0 } \\ { 0 } & { - i e ^ { 2 i \pi z } \sin ( 2 \pi x ) } & { e ^ { 2 i \pi z } \cos ( 2 \pi x ) } & { 0 } \\ { - i e ^ { - 2 i \pi z } \sin ( 2 \pi y ) } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { - 2 i \pi z } \cos ( 2 \pi y ) } \end{array} \right) \, .
\hat { \psi } _ { ( 2 , 0 ) } ( \hat { y } ) = \frac { \log ^ { 2 } { ( \hat { y } ) } } { 8 } + \log { ( \hat { y } ) } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { a _ { k } } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { b _ { k } } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k } } .
( \mathrm { P A D P - F S } ) \qquad \operatorname* { m a x } \quad \sum _ { i \in \mathcal { N } } N _ { i } \cdot \Big [ \mu ^ { P A X } \cdot \big ( u _ { i 0 } + \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } ( u _ { i r } + \alpha _ { i } \cdot p _ { r } ) \big ) + \mu ^ { R E V } \cdot \sum _ { r \in \mathcal { R } _ { i } } p _ { r } \cdot s _ { i r } - \mu ^ { V M T } \cdot ( \Delta _ { i 0 } \cdot s _ { i 0 } ) \Big ]
\sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { \tau } ^ { 2 } \| R _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \lesssim C _ { 2 } \Big ( \left\| ( \boldsymbol { u } , p ) - ( \boldsymbol { u } _ { h } , p _ { h } ) \right\| _ { \mathrm { D G } } ^ { 2 } + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { \tau } ^ { 2 } \left\| \boldsymbol { f } - \boldsymbol { f } _ { h } \right\| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ^ { 2 } } & { = \left[ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { 2 } S _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 0 } + E _ { 1 } S _ { 2 } T _ { 0 } } & { 0 } \\ { T _ { 0 } E _ { 2 } S _ { 2 } - E _ { 2 } S _ { 2 } T _ { 0 } } & { \frac { 1 } { 2 } E _ { 1 } S _ { 0 } S _ { 0 } + T _ { 0 } E _ { 1 } S _ { 2 } } \end{array} \right] + \mathcal { J } _ { 1 } } \\ & { \quad + \left[ \begin{array} { c c } { I + S _ { 0 } T _ { 0 } } & { 0 } \\ { 0 } & { I + T _ { 0 } S _ { 0 } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \xi ^ { n } \tilde { \nabla } _ { n } \xi ^ { a } = \mathbf { 0 } } & { \Leftrightarrow } & { \xi ^ { n } \nabla _ { n } \xi ^ { a } = - \nabla ^ { a } } & { \Leftrightarrow } & { \xi ^ { n } \check { \nabla } _ { n } \xi ^ { a } = - \varphi ^ { a } - \hat { F } ^ { a } _ { n } \xi ^ { n } = - F ^ { a } _ { n } \xi ^ { n } . } \end{array}
P ^ { \mu i } ( \xi _ { 0 i } ) = \sum _ { \scriptstyle n = - \infty \atop n \neq 0 } ^ { \infty } \sqrt { | n | } \alpha _ { n } ^ { \mu i } ( \xi _ { 0 i } ) ^ { - n - 1 } + \alpha _ { 0 } ^ { \mu i } ( \xi _ { 0 i } ) ^ { - 1 }
\begin{array} { l c l } { { Z _ { j n l m } \left( v \right) } } & { { = } } & { { Z _ { j n l m } ^ { \left( + \right) } \left( v \right) + Z _ { j n l m } ^ { \left( - \right) } \left( v \right) } } \\ { { \ } } & { { = } } & { { \int _ { 0 } ^ { + \infty } d \omega ^ { \prime } \, \frac { e ^ { - i \omega ^ { \prime } v } } { \sqrt { \omega ^ { \prime } } } \hat { Z } _ { j n l m } \left( \omega ^ { \prime } \right) } } \\ { { \ } } & { { + } } & { { \int _ { 0 } ^ { + \infty } d \omega ^ { \prime } \, \frac { e ^ { i \omega ^ { \prime } v } } { \sqrt { \omega ^ { \prime } } } \hat { Z } _ { j n l m } \left( \omega ^ { \prime } \right) \left( - e ^ { - { \frac { \pi \omega _ { j } } { \kappa } } } \right) \; . } } \end{array}
\overline { { \ell } } ( z ) : = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left( \overline { K } _ { t } ( 0 , e ^ { - t } z ) - t \right) = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \int _ { 0 } ^ { t } ( \kappa ( e ^ { s ^ { \prime } - t } z ) - 1 ) \mathrm { d } s = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \kappa ( e ^ { \frac { \eta _ { 1 } } { \eta _ { 2 } } - u } z ) - 1 ) \mathrm { d } u ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial } { \partial t } \left[ \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \epsilon \left( c _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u ^ { 3 } \right] + \frac { \partial } { \partial x } \left[ 2 u ^ { 3 } + u u _ { x x } - \frac { 1 } { 2 } u _ { x } ^ { 2 } + \epsilon \left( \frac { 1 } { 4 } c _ { 1 } u ^ { 4 } \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. \mathrm + \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } u ^ { 2 } u _ { x x } + c _ { 4 } u u _ { x x x x } - c _ { 4 } u _ { x } u _ { x x x } + \frac { 1 } { 2 } c _ { 4 } u _ { x x } ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } \left( c _ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } c _ { 2 } \right) u ^ { 4 } \right) \right] = 0 , } \end{array}
F ( c _ { p } ) = \left. \left( c _ { p } ^ { 4 } + \frac { i } { k \tau } c _ { p } ^ { 3 } - \left( \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \frac { \partial \theta } { \partial \eta } + \frac { \partial p } { \partial \rho } \right) c _ { p } ^ { 2 } - \frac { i } { k \tau } \frac { \partial p } { \partial \rho } c _ { p } + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \left( \frac { \partial p } { \partial \rho } \frac { \partial \theta } { \partial \eta } - \frac { \partial p } { \partial \eta } \frac { \partial \theta } { \partial \rho } \right) \right) \right\vert _ { \mathbf { U } = \mathbf { U } _ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { \psi _ { -- } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = } & { { } \gamma _ { \mathrm { 1 D } } \sum _ { i j } s _ { i } ^ { + } ( \omega _ { 1 } ) s _ { j } ^ { + } ( \omega _ { 2 } ) [ \delta _ { i j } + ( M \Sigma ) _ { i j } ] g _ { j } } \end{array}
\frac { \Gamma ( K _ { L } \to \pi ^ { 0 } \gamma \gamma ) } { \Gamma ( K _ { S } \to \gamma \gamma ) } \stackrel { \mathrm { P C A C } } { = } \frac { ( m _ { \sigma } \Gamma _ { \sigma } ) ^ { 2 } } { m _ { K } ^ { 6 } } \frac { ( 1 . 7 \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { G e V } ^ { 4 } ) } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } = 1 1 . 6 \times 1 0 ^ { - 4 } ,
G _ { \mu \nu } = - \Lambda g _ { \mu \nu } + \kappa ^ { 2 } T _ { \mu \nu } + \widetilde { \kappa } ^ { 4 } S _ { \mu \nu } - { \cal E } _ { \mu \nu } \equiv \kappa ^ { 2 } T _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { t o t } } \, ,
\begin{array} { r l } & { { \mathbb E } \left[ F ( M _ { t } , X _ { t } ) \right] = { \mathbb E } \left[ F ( X _ { 0 } ^ { 1 } , X _ { 0 } ) \right] + \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } \left[ { \mathcal L } \left( F \right) ( M _ { s } , X _ { s } ) \right] d s } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } { \mathbb E } \left[ \partial _ { m } F ( X _ { s } ^ { 1 } , { X _ { s } } ) \frac { p _ { V } ( X _ { s } ^ { 1 } , { X _ { s } } ; s ) } { p _ { X } ( X _ { s } ; s ) } \right] d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { 2 } I _ { i } ( s , z ) = - R e \Omega \bigg ( \frac { 2 ( z - z _ { d } ) } { d ^ { 2 } } + \lambda _ { i } \bigg ) \exp \bigg ( \displaystyle \frac { - ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) \exp ( - \lambda _ { i } z ) } \end{array}
A _ { L , T } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z \int d ^ { 2 } \vec { r } \ \Psi _ { V } ^ { * L , T } ( r , z ) \ \sigma _ { q \bar { q } - p } ( Q , W , r ) \, P s i _ { \gamma } ^ { L , T } ( Q , r , z )
\begin{array} { r l } & { \mathcal { C } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) = \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } ( \zeta _ { 0 } ) ^ { - 2 } ( \mathcal { C } _ { 1 } + \mathcal { C } _ { 2 } + \mathcal { C } _ { 3 } + \mathcal { C } _ { 4 } ) ( \zeta ^ { ( i ) } , \zeta ^ { ( j ) } , \zeta ^ { ( k ) } , \zeta ^ { ( l ) } ) } \\ { = } & { \sum _ { ( i , j , k , l ) \in \Sigma ( 4 ) } - ( 4 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( j ) } } + { \zeta ^ { ( k ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( j ) } + \zeta ^ { ( k ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } \beta _ { 2 } ^ { 3 } + } \\ & { \quad \quad \quad + ( 3 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( l ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( k ) } } + { \zeta ^ { ( l ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + 2 \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( i ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( j ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } } { | { \zeta ^ { ( i ) } } + { \zeta ^ { ( j ) } } + { \zeta ^ { ( k ) } } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } - \beta _ { 4 } } \end{array}