harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { N _ { u } } & { = \langle \lvert \left( \mathbf { u } \cdot \boldsymbol { \nabla } \right) \mathbf { u } \rvert \rangle _ { \mathrm { L S } } = } & { \left( \sum _ { k \leq { K } } \lvert \left( \mathbf { k } \cdot \mathbf { u } ( \mathbf { k } ) \right) \mathbf { u } ( \mathbf { k } ) \rvert ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\Delta \left( S _ { i } , S _ { j } \right) = \sum _ { l \in S _ { i } \cup S _ { j } } \| \mathbf { x } _ { l } - \boldsymbol { \mu } _ { i + j } \| ^ { 2 } - \sum _ { l \in S _ { i } } \| \mathbf { x } _ { l } - \boldsymbol { \mu } _ { i } \| ^ { 2 } - \sum _ { l \in S _ { j } } \| \mathbf { x } _ { l } - \boldsymbol { \mu } _ { j } \| ^ { 2 } = \frac { \left| S _ { i } \right| \left| S _ { j } \right| } { \left| S _ { i } \right| + \left| S _ { j } \right| } \| \boldsymbol { \mu } _ { i } - \boldsymbol { \mu } _ { j } \| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r l r l } { \lambda _ { 1 } } & { = \lambda _ { 2 } = D q ^ { 2 } \left( - q ^ { 2 } w ^ { 2 } \phi _ { 0 } + \chi \phi _ { 0 } - 1 \right) } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \lambda _ { 3 } } & { = D q ^ { 2 } \left( - q ^ { 2 } w ^ { 2 } \phi _ { 0 } - 2 \chi \phi _ { 0 } + \frac { 1 } { 3 \phi _ { 0 } - 1 } \right) \; . } \end{array}
i \partial _ { t } \tilde { c } _ { a } ( t ) = ( \omega _ { a } - \omega _ { g } - \omega ) \tilde { c } _ { a } ( t ) + \mathcal { D } _ { g a } ^ { * } e ^ { i \omega t } \tilde { c } _ { g } ( t ) + \int d E \mathcal { V } _ { a E } \tilde { c } _ { E } ( t ) ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { X } } = } & { { } - \frac { 1 } { 3 } \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \int _ { - \infty } ^ { \tau } \mathrm { d } \tau _ { 1 } G _ { b u } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) H _ { u b } \left( k , \mathbf { X } ; \tau , \tau _ { 1 } , T \right) } \end{array}
\log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { n } , E ^ { d - 1 } \times \Omega \right) \right| = \left| \Delta _ { n } \right| h ( E ^ { d - 1 } \times \Omega ) + ( d - 1 ) ^ { 2 } \sum _ { i = r _ { n } + 1 } ^ { \infty } \frac { | \Delta _ { n } | } { d ^ { i - 1 } } \log | \mathcal { P } ( \mathbb { Z } _ { i } , \Omega ) | + o \left( a _ { n } | \Delta _ { n } | \right) ,
\begin{array} { r } { k ^ { - } ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) , T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) } { ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } + ( T ^ { 2 } ( y ) - T ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 } } , } \\ { k ^ { + } ( x , y ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) , T ^ { 2 } ( y ) + T ^ { 2 } ( x ) ) } { ( T ^ { 1 } ( y ) - T ^ { 1 } ( x ) ) ^ { 2 } + ( T ^ { 2 } ( y ) + T ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \natural } ( r _ { + } ) } & { = ( r _ { + } - M ) ( r _ { \natural } - r _ { + } ) ( \gamma _ { \natural } ^ { 2 } ( r _ { + } ) ) , } \\ { \partial _ { r } F _ { \natural } ( r _ { + } ) } & { = ( r _ { \natural } - M ) \gamma _ { \natural } ^ { 2 } ( r _ { + } ) } \\ { \partial _ { r } ^ { 2 } F _ { \natural } ( r _ { + } ) } & { = 2 ( r _ { \natural } - M ) ( r _ { \natural } + r _ { + } ) + ( 8 r _ { + } + 4 r _ { \natural } ) ( r _ { + } - M ) , } \\ { \partial _ { r } ^ { 3 } F _ { \natural } ( r _ { + } ) } & { = 2 ( r _ { \natural } - M ) + 1 6 ( r _ { + } - M ) + 8 r _ { + } + 4 r _ { \natural } , } \\ { \partial _ { r } ^ { 4 } F _ { \natural } ( r _ { + } ) } & { = 2 4 \, . } \end{array}
{ \hat { H } } \psi _ { s } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { d } { d r } r ^ { 2 } { \rho } ^ { \prime } \left( \begin{array} { c } { { \begin{array} { c c } { { - 1 - E _ { c } ^ { 2 } } } & { { E _ { c } ^ { 2 } } } \\ { { E _ { c } ^ { 2 } } } & { { 1 - E _ { c } ^ { 2 } } } \end{array} } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { d } { d r } r ^ { 2 } { \rho } ^ { \prime } \left( \begin{array} { c } { { - 1 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { X _ { 0 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \left[ \begin{array} { l } { + 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \right) } \\ { X _ { 1 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } \left( \left[ \begin{array} { l } { - 0 . 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right] \right) } \end{array}
R _ { \mu \tau } ( \epsilon _ { \mu \tau } , \epsilon _ { \mu \tau } ^ { \prime } ) = \frac { N _ { \bar { \nu } _ { \tau } } ^ { + } ( \epsilon _ { \mu \tau } , \epsilon _ { \mu \tau } ^ { \prime } ) } { N _ { \nu _ { \tau } } ^ { - } ( \epsilon _ { \mu \tau } , \epsilon _ { \mu \tau } ^ { \prime } ) } ,
t ( t - 1 ) ( t - 2 ) ( t ^ { 7 } - 1 2 t ^ { 6 } + 6 7 t ^ { 5 } - 2 3 0 t ^ { 4 } + 5 2 9 t ^ { 3 } - 8 1 4 t ^ { 2 } + 7 7 5 t - 3 5 2 )
\begin{array} { r l } { { \sf U } _ { C } \, { \sf H } ^ { \top } ( - k ) \, { \sf U } _ { C } ^ { - 1 } } & { = - { \sf H } ( k ) , } \\ { { \sf U } _ { C } \, { \sf D } ^ { \top } ( - k ) \, { \sf U } _ { C } ^ { - 1 } } & { = + { \sf D } ( k ) , } \\ { { \sf U } _ { C } \, { \sf P } ^ { \top } ( - k ) \, { \sf U } _ { C } ^ { - 1 } } & { = - { \sf P } ( k ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i j } } & { = \frac { \omega _ { i j } ^ { 3 } } { 3 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar c ^ { 3 } ( 2 J _ { i } + 1 ) } S _ { i j } , } \\ { R _ { i j } } & { = \frac { 1 } { 6 \varepsilon _ { 0 } \hbar ^ { 2 } ( 2 J _ { i } + 1 ) } \frac { 2 \hbar \omega _ { i j } ^ { 3 } } { \pi c ^ { 3 } } \frac { 1 } { e ^ { \hbar \omega _ { i j } / k _ { B } T } - 1 } S _ { i j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ i 2 k _ { 0 } \partial _ { z } + 2 ( \nabla _ { X } \cdot \nabla _ { X ^ { \prime } } ) + 2 k _ { 0 } ^ { 2 } \Phi ( \vec { x } , \vec { x } \, ^ { \prime } , z ) \right] s _ { \nu } ^ { \prime } = 0 , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \nu = 0 , \cdots , 3 } \end{array}
| p _ { ( L _ { 1 } , \cdots , L _ { i } ) } | ^ { 2 } - | p _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { i } ) } | ^ { 2 } = \zeta _ { ( L _ { 1 } , \cdots , L _ { i } ) - ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { i } ) }
\begin{array} { c c c c c c c c c c } { { \displaystyle { \cal L } _ { 0 } } } & { { = } } & { { c _ { 0 0 } v ^ { 2 } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal L } _ { 1 } } } & { { = } } & { { } } & { { } } & { { \displaystyle c _ { 1 1 } \frac { v ^ { 4 } } { r ^ { 7 } } } } & { { + } } & { { \displaystyle c _ { 1 2 } \frac { v ^ { 6 } } { r ^ { 1 1 } } } } & { { + } } & { { \displaystyle c _ { 1 3 } \frac { v ^ { 8 } } { r ^ { 1 5 } } } } & { { + \ \ldots } } \\ { { { \cal L } _ { 2 } } } & { { = } } & { { } } & { { } } & { { \displaystyle c _ { 2 1 } \frac { v ^ { 4 } } { r ^ { 1 0 } } } } & { { + } } & { { \displaystyle c _ { 2 2 } \frac { v ^ { 6 } } { r ^ { 1 4 } } } } & { { + } } & { { c _ { 2 3 } \displaystyle \frac { v ^ { 8 } } { r ^ { 1 8 } } } } & { { + \ \ldots } } \\ { { { \cal L } _ { 3 } } } & { { = } } & { { } } & { { } } & { { c _ { 3 1 } \displaystyle \frac { v ^ { 4 } } { r ^ { 1 3 } } } } & { { + } } & { { c _ { 3 2 } \displaystyle \frac { v ^ { 6 } } { r ^ { 1 7 } } } } & { { + } } & { { c _ { 3 3 } \displaystyle \frac { v ^ { 8 } } { r ^ { 2 1 } } } } & { { + \ \ldots } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \textbf { D } ( \textbf { k } , t , s ) = } & { { } \textbf { D } _ { \mu } ^ { \textbf { k } } - \textbf { D } _ { \| } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } } \\ { \textbf { D } _ { \mu } ^ { \textbf { k } } = } & { { } \mathbf { \Lambda } _ { c v } ^ { \textbf { k } } - \nabla _ { \textbf { k } } \beta _ { \mu } ^ { \textbf { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F _ { r e } ( d v ; e , r ) } & { { } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial e \, \partial r } \int \, \bar { u } ^ { ( e , r ) } ( v ) \, F ( d v ; e , r ) } \end{array}
\gamma _ { 1 } ( U \times S ^ { 2 } ) = \nu _ { q _ { 1 } } \left( \rho ^ { - 1 } ( U \times S ^ { 2 } ) \right) = \nu _ { q _ { 1 } } \left( \overline { { { q _ { 1 } } } } ^ { - 1 } ( U ) \cap \overline { { q _ { 2 } } } ^ { - 1 } ( S ^ { 2 } ) \right) = \nu _ { q _ { 1 } } \left( \overline { { { q _ { 1 } } } } ^ { - 1 } ( U ) \right) = \mu _ { q _ { 1 } } ( U )
\left. \begin{array} { c } { { \frac { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } L } { 2 E } \sim \frac { \Delta m _ { 3 2 } ^ { 2 } L } { 2 E } > > 1 } } \\ { { \frac { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } L } { 2 E } \sim 1 } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r } { \hat { \bf A } = \frac { - i } { \omega } \sqrt { \frac { \hbar \omega } { 2 \epsilon V } } \left( ( \hat { a } _ { \mathrm { H } } \mathrm { e } ^ { i \beta } - \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf x } + ( \hat { a } _ { \mathrm { V } } \mathrm { e } ^ { i \beta } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } ) \hat { \bf y } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { s ^ { A } ( k ) = \frac { s _ { 1 } ^ { A ( - 1 ) } } { k - 1 } + s _ { 1 } ^ { A ( 0 ) } + s _ { 1 } ^ { A ( 1 ) } ( k - 1 ) + \dots } & & { \mathrm { a s ~ } k \to 1 , } \\ & { s ^ { A } ( k ) = \frac { s _ { - 1 } ^ { A ( - 1 ) } } { k + 1 } + s _ { - 1 } ^ { A ( 0 ) } + s _ { - 1 } ^ { A ( 1 ) } ( k + 1 ) + \dots } & & { \mathrm { a s ~ } k \to - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x _ { 0 } , z _ { 0 } , ( N + 1 ) t _ { 0 } ) } & { { } = \iint F ( x , z ) \overline { { G _ { 2 D } ^ { t _ { 0 } } } } ( \rho _ { 0 } ) \; d x d z + \varepsilon } \end{array}
\lambda ^ { 0 ^ { \prime } } \varepsilon ^ { i j } \, \partial _ { i } x ^ { m } \, \left( \bar { \theta } _ { + } \gamma _ { m } \partial _ { i } \theta _ { + } - \bar { \theta } _ { - } \gamma _ { m } \partial _ { i } \theta _ { - } \right) . \nonumber
\begin{array} { r l } { \quad \frac { \mathrm { { d } } L } { { \mathrm { d } } x } = } & { \frac { ( g _ { 1 } + g _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( g _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } ( g _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \Big [ g _ { 1 } ^ { \prime } ( g _ { 2 } - 1 ) ( - 2 g _ { 1 } + g _ { 2 } + 2 ) } \\ & { + g _ { 2 } ^ { \prime } ( g _ { 1 } - 1 ) ( g _ { 1 } - 2 g _ { 2 } + 2 ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { r } _ { n } ( x ) } & { \equiv } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \{ P _ { n } \phi _ { j } ^ { * } ( Y - Q _ { n } ) \} \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { R _ { n , 1 } ( \phi _ { j } ^ { * } ) } & { \equiv } & { - P _ { 0 } \phi _ { j } ^ { * } \tilde { R } _ { 1 n , a } } \\ { \tilde { R } _ { 1 n , a } } & { \equiv } & { R _ { 1 n , a } / \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } } \\ { R _ { 1 n , a } } & { \equiv } & { m ( Q _ { n } ) ( x ) - m ( Q _ { 0 , n } ) ( x ) - ( m _ { Q _ { 0 , n } } ( 1 - m _ { Q _ { 0 , n } } ) ) ( x ) ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } \\ { R _ { n , 1 } ( x ) } & { \equiv } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } R _ { n , 1 } ( \phi _ { j } ^ { * } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { E _ { n } ( x ) } & { \equiv } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) } \\ { D _ { Q _ { 0 , n } , x } } & { \equiv } & { d _ { 0 , n } ^ { - 1 / 2 } \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } \phi _ { j } ^ { * } ( Y - { Q _ { 0 , n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { \widehat { \beta } _ { G } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } _ { G , G } \widehat { \beta } _ { G } - \beta _ { G } ^ { \intercal } \Sigma _ { G , G } \beta _ { G } = } & { 2 \widehat { \beta } _ { G } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } _ { G , G } ( \widehat { \beta } _ { G } - \beta _ { G } ) + \beta _ { G } ^ { \intercal } ( \widehat { \Sigma } _ { G , G } - \Sigma _ { G , G } ) \beta _ { G } } \\ & { - ( \widehat { \beta } _ { G } - \beta _ { G } ) ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } _ { G , G } ( \widehat { \beta } _ { G } - \beta _ { G } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ^ { ( n ) } ( t ; k \omega ) } & { = \int _ { - ( k + 1 ) \omega } ^ { - ( k - 1 ) \omega } \tilde { \mu } ^ { ( n ) } ( \omega ^ { \prime } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega ^ { \prime } t } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } } \\ & { + \int _ { ( k - 1 ) \omega } ^ { ( k + 1 ) \omega } \tilde { \mu } ^ { ( n ) } ( \omega ^ { \prime } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \omega ^ { \prime } t } \mathrm { d } \omega ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - X _ { t } ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { + } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) - \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - X _ { t } ) \Big ) \Big | } \\ { + } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \int \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - z ) d F _ { t } ( z ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { \le } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \operatorname* { s u p } _ { x \in A } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - X _ { t } ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { + } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \mathcal { K } _ { h } ( x - X _ { t } ) - \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - X _ { t } ) \Big ) \Big | } \\ { + } & { \operatorname* { m a x } _ { \rho \leqslant k \leq T - \widetilde { r } } \Big | \frac { 1 } { \sqrt { k } } \sum _ { t = \widetilde { r } + 1 } ^ { \widetilde { r } + k } \Big ( \int \mathcal { K } _ { h } ( x _ { i } - z ) d F _ { t } ( z ) - \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z ) d F _ { t } ( z ) \Big ) \Big | } \\ { = } & { I _ { 1 , 1 } + I _ { 1 , 2 } + I _ { 1 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho _ { k } \kappa _ { i , i + 1 } \rho _ { k } } & { = } & { \rho _ { i - 1 } y _ { i } \rho _ { i } \rho _ { i - 1 } } \\ & { = } & { \rho _ { i - 1 } y _ { i } \rho _ { i - 1 } ( \rho _ { i - 1 } \rho _ { i } \rho _ { i - 1 } ) } \\ & { = } & { \rho _ { i - 1 } ( y _ { i } \rho _ { i - 1 } \rho _ { i } ) \rho _ { i - 1 } \rho _ { i } } \\ & { = } & { \rho _ { i } \left( y _ { i - 1 } \rho _ { i - 1 } \right) \rho _ { i } } \\ & { = } & { \kappa _ { i - 1 , i + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \lvert m ( y ) \rvert } { y ^ { \alpha + 1 } } } & { \leq \frac { n ^ { 0 } ( y ) } { y ^ { \alpha } } \frac { \lvert \tilde { r } ( y ) - \tilde { r } ( 0 ) \rvert } { y } + \frac { \lvert \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) n ^ { 0 } ( y ) - f ( y ) { n ^ { 0 } } ^ { \prime } ( y ) \rvert } { y ^ { \alpha + 1 } } } \\ & { \leq \frac { n ^ { 0 } ( y ) } { y ^ { \alpha } } \lVert { \tilde { r } } ^ { \prime } \rVert _ { \infty } + \frac { \lvert C \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) y ^ { \alpha } - C \alpha f ^ { \prime } ( 0 ) y ^ { \alpha } + O ( y ^ { \alpha + 1 } ) \rvert } { y ^ { \alpha + 1 } } } \\ & { = \underset { y \to 0 ^ { + } } { O } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { C ( \tau ) = \sum _ { t = 1 } ^ { N } s ( t ) s ( t + \tau ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { \omega = 1 } ^ { N } | \hat { s } ( \omega ) | ^ { 2 } e ^ { - i 2 \pi \omega \tau / N } , } \\ & { } & { | \hat { s } ( \omega ) | ^ { 2 } = \sum _ { \tau = 1 } ^ { N } C ( \tau ) \, e ^ { i 2 \pi \omega \tau / N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \frac { i ( m - i ) } { \Gamma ( b + i + 1 ) \Gamma ( a - i + m + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { m - i } \frac { \Gamma ( a + j + m + 1 ) \Gamma ( b - j + m + 1 ) } { j \Gamma ( i + j + 1 ) \Gamma ( m - i - j + 1 ) } } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { \times \left( - \psi _ { 0 } ( a + b + 2 m + 2 ) - \psi _ { 0 } ( j + 1 ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { f } _ { \xi } : = - \boldsymbol { u } _ { \xi } \! \cdot \! \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = \left[ \begin{array} { l } { - \boldsymbol { u } _ { \xi } \! \cdot \! \boldsymbol { \nabla } u } \\ { - \boldsymbol { u } _ { \xi } \! \cdot \! \boldsymbol { \nabla } v } \\ { - \boldsymbol { u } _ { \xi } \! \cdot \! \boldsymbol { \nabla } w } \end{array} \right] \! = : \! \left[ \begin{array} { l } { f _ { x , \xi } } \\ { f _ { y , \xi } } \\ { f _ { z , \xi } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { z } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { z } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { z } ^ { h } } { \partial z ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { z } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { z } ^ { h } } { \partial y } + u _ { z } ^ { h } \frac { \partial u _ { z } ^ { h } } { \partial z } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial z } + \right. } \\ { \left. \frac { C _ { p e n } ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } ( u _ { z } ^ { h } - g _ { z } ) \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } ) = f _ { z } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } \in \partial \Omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { T } ( u _ { + } ) - \mathscr { T } ( u _ { - } ) = } & { \ - \Big ( z \partial _ { z } ^ { 2 } v + z \partial _ { z } v + \underbrace { ( \Delta _ { S } - \frac { x } { 2 } \cdot \nabla _ { S } + | A _ { S } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) v } _ { L _ { S } v } \Big ) } \\ & { \ + \bar { \mathcal { E } _ { 1 } } \cdot z \partial _ { z } ^ { 2 } v + ( \bar { \mathcal { E } _ { 2 } } + x ^ { S } ) \cdot \partial _ { z } \nabla v + \bar { \mathcal { E } _ { 3 } } \cdot \nabla ^ { 2 } v + \bar { \mathcal { E } _ { 4 } } \cdot z \partial _ { z } v + \bar { \mathcal { E } _ { 5 } } \cdot \nabla v + \bar { \mathcal { E } _ { 6 } } v ; } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \cal H } _ { F } } { \partial k _ { x } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { x } } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { x } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { x } } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { x } } } \end{array} \right) _ { 4 N _ { z } \times 4 N _ { z } } , ~ ~ \frac { \partial { \cal H } _ { F } } { \partial k _ { y } } = \left( \begin{array} { l l l l l } { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { y } } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { y } } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { y } } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \partial h _ { F } } { \partial k _ { y } } } \end{array} \right) _ { 4 N _ { z } \times 4 N _ { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { N } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { N } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { n , p , s , \eta , \varepsilon } t ^ { - ( \theta - \eta ) } \left( \lVert { a } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + t ^ { \varepsilon - \eta } \lVert { b } \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \right) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { j } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } N _ { i } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } \Omega _ { i j } ( 1 - \Omega _ { i j } ) + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } N _ { i } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } ( 1 - 2 \Omega _ { i j } ) Y _ { i j } } \\ & { \qquad - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { \xi _ { k } } { n _ { k } \bar { N } _ { k } ( N _ { i } - 1 ) } \sum _ { 1 \leq r \neq s \leq N _ { i } } Z _ { i j r } Z _ { i j s } . } \end{array}
\mathbf { \Gamma } _ { \mathrm { T E } } = ( \mathbf { Y } _ { \mathrm { t o t } } + \mathbf { Y } _ { 0 } ) ^ { - 1 } \cdot ( \mathbf { Y } _ { 0 } - \mathbf { Y } _ { \mathrm { t o t } } ) ,
\mathbf F _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathbf F ( \mathbf u _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } ) + \mathbf F ( \mathbf u _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } ) - \alpha _ { \mathbf u } \left( \mathbf F ( \mathbf u _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { + } ) - \mathbf F ( \mathbf u _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { - } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \delta } & { { } < 1 0 ^ { - 5 } } \\ { \Rightarrow r _ { c } } & { { } > \frac { \lambda } { 4 \pi \, \delta } \left( 1 - 2 \frac { \exp ( u ) - 1 } { u \, \exp ( u ) } \right) = 1 1 2 \mathrm { m } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { 1 } ( \cdot , y ) } & { : = M \big ( 1 + y _ { 1 } ^ { 2 } \big ) + \chi _ { 1 , 1 } y _ { 1 } ^ { 3 } + \chi _ { 1 , 2 } y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } , } \\ { N _ { 2 } ( \cdot , y ) } & { : = M \big [ 1 + ( 1 + y _ { 1 } ) y _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 3 } \big ] + \chi _ { 2 , 2 } y _ { 2 } ^ { 3 } . } \end{array}
j ^ { 0 } ( { \bf h } ) = \frac { e } { ( 1 - { \bf h } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } F _ { E } ( - \frac { 4 m ^ { 2 } { \bf h } ^ { 2 } } { ( 1 - { \bf h } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } ) , \qquad { \bf j } ( { \bf h } ) = 0
U = \left[ \begin{array} { c c c } { { \cos \phi } } & { { 0 } } & { { \sin \phi } } \\ { { - \sin \psi \sin \phi } } & { { - \cos \psi } } & { { \sin \psi \cos \phi } } \\ { { - \cos \psi \sin \phi } } & { { \sin \psi } } & { { \cos \psi \cos \phi } } \end{array} \right]
\rho _ { l } \left( \frac { \partial u _ { r } } { \partial t } + u _ { r } \frac { \partial u _ { r } } { \partial r } \right) = - \frac { \partial p _ { l } } { \partial r } + \mu _ { l } \left[ \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left( r \frac { \partial u _ { r } } { \partial r } \right) - \frac { u _ { r } } { r ^ { 2 } } \right] ,
c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } ^ { ( 1 ) } = c _ { \mathrm { N } V ^ { - } } ^ { * } - O ( { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } / { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } } } )
\begin{array} { r l } { \alpha ( \hbar \omega ) = \frac { \mathcal { A } } { \hbar \omega } \Bigg ( 2 R ^ { * } \sum _ { n } } & { \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \mathcal { G } \left( E _ { x _ { n } } - \hbar \omega \right) + } \\ & { \int _ { E _ { g } } ^ { \infty } \frac { \mathcal { G } \left( E - \hbar \omega \right) } { 1 - e ^ { - 2 \pi \sqrt { \frac { R ^ { * } } { E - E _ { g } } } } } d E \Bigg ) . } \end{array}