harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left\| \mathbf { x } _ { i + 1 } - \mathbf { x } _ { \star } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = \left\| \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { \star } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { \left\| \mathbf { S } ^ { \top } \mathbf { B } \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { S } ^ { \top } \mathbf { b } \right\| _ { \infty } ^ { 2 } } { \left\| \left( \mathbf { S } ^ { \top } \mathbf { B } \right) _ { j _ { i } ^ { \star } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { \partial M _ { \mathrm { C L A S S } } } { \partial \phi _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) } = 2 \sum _ { \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } } \mathrm { I m } \left[ \Tilde { \psi } _ { \mathrm { C L A S S } } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } ) \Tilde { R } _ { \mathrm { i n } } ^ { \ast } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \right] .
\begin{array} { r } { \mathbf { n } \times \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } - \mathbf { n } \times \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = - \frac { p _ { c } } { \ell _ { 1 } } \frac { \partial p } { \partial x } + \mu \left[ \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { U } { \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { U } { \ell _ { 3 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } \right] , } \\ { 0 } & { = - \frac { p _ { c } } { \ell _ { 2 } } \frac { \partial p } { \partial y } + \mu \left[ \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 2 } ^ { 3 } } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 2 } \ell _ { 3 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial z ^ { 2 } } \right] , \quad \mathrm { a n d } } \\ { 0 } & { = - \frac { p _ { c } } { \ell _ { 3 } } \frac { \partial p } { \partial z } + \mu \left[ \frac { { \mathcal { D } } _ { c } \ell _ { 3 } } { \ell _ { 1 } ^ { 2 } \ell _ { 2 } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } \ell _ { 3 } } { \ell _ { 2 } ^ { 4 } } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { { \mathcal { D } } _ { c } } { \ell _ { 2 } ^ { 2 } \ell _ { 3 } } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial z ^ { 2 } } \right] } \end{array}
S = - 2 \pi R T \int d X ^ { 0 } \left[ 1 - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left( { \frac { d X _ { - k } ^ { I } } { d X ^ { 0 } } } { \frac { d X _ { k } ^ { I } } { d X ^ { 0 } } } - { \frac { k ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } X _ { - k } ^ { I } X _ { k } ^ { I } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \rVert T ( i _ { 0 } ) [ g ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert g \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } \rVert \mathfrak { I } _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \rVert g \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { \infty } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { 2 } - \Lambda _ { 1 } ) \phi _ { 0 } ( a _ { 0 } ) - ( \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - 1 ) \left( C _ { 2 } a _ { 1 } ^ { \Lambda _ { 1 } + 1 } a _ { 2 } ^ { \Lambda _ { 2 } + 1 } + D _ { 2 } a _ { 1 } ^ { \Lambda _ { 1 } + 1 } a _ { 2 } ^ { - \Lambda _ { 2 } + 1 } \right) } & { = 0 , } \\ { ( \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) ( C _ { i } + C _ { i + 2 } ) } & { = 0 , } \\ { \ ( \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) D _ { i } + ( \Lambda _ { 1 } - \Lambda _ { 2 } - i - 1 ) D _ { i + 2 } } & { = 0 , } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { k i n } } ^ { ( 0 ) } = e ^ { - \phi } k ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \sqrt { \dot { X } ^ { \mu } \dot { X } ^ { \nu } \bigl ( g _ { \mu \nu } - k ^ { 2 } A _ { \mu } ^ { ( 2 ) } A _ { \nu } ^ { ( 2 ) } \bigr ) - k ^ { 2 } { \dot { S } } ^ { 2 } - 2 k ^ { 2 } \dot { S } { \dot { X } } ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { ( 2 ) } } \, .
\begin{array} { r l r } { I _ { 0 } ^ { 1 } } & { = } & { \sum _ { i } q _ { i } { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { 0 } ^ { 1 } , } \\ { I _ { 1 } ^ { 0 } } & { = } & { \sum _ { i } q _ { i } \left( { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { 1 } ^ { 0 } + { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 0 } \right) , } \\ { I _ { 0 } ^ { 3 } } & { = } & { \sum _ { i } q _ { i } \left( { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { 0 } ^ { 3 } + { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 3 } ( Q _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 3 } \right) , } \\ { I _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { \sum _ { i } q _ { i } \left( { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { 1 } ^ { 2 } + { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 2 } ( Q _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 3 } ( Q _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } Q _ { 1 } ^ { 0 } \right) , } \\ { I _ { 2 } ^ { 1 } } & { = } & { \sum _ { i } q _ { i } \left( { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { 2 } ^ { 1 } + { J _ { i } } _ { 2 } ^ { 1 } Q _ { 0 } ^ { 1 } + 2 { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 2 } Q _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { 1 } ^ { 0 } + { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 3 } Q _ { 0 } ^ { 1 } ( Q _ { 1 } ^ { 0 } ) ^ { 2 } \right) , } \\ { I _ { 3 } ^ { 0 } } & { = } & { \sum _ { i } q _ { i } \left( { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 1 } Q _ { 3 } ^ { 0 } + { J _ { i } } _ { 3 } ^ { 0 } + 3 { J _ { i } } _ { 2 } ^ { 1 } Q _ { 1 } ^ { 0 } + 3 { J _ { i } } _ { 1 } ^ { 2 } ( Q _ { 1 } ^ { 0 } ) ^ { 2 } + { J _ { i } } _ { 0 } ^ { 3 } ( Q _ { 1 } ^ { 0 } ) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
\mathcal { E } _ { x , \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ i ~ n ~ e ~ d ~ } } ^ { i j k } = - 2 \frac { \partial ^ { 3 } \phi } { \partial x ^ { 3 } } \! \left( x _ { i } , y _ { j } , \tau _ { k } \right) \frac { \Delta x } { h ^ { 2 } } + O \! \left( h ^ { - 4 } \Delta x ^ { 3 } \right) .
\begin{array} { r l r } { G _ { i j } } & { = } & { G _ { i r } G _ { r j } } \\ & { = } & { \phi _ { i n } \ensuremath { \phi _ { n r } ^ { \scriptscriptstyle \dag } } \phi _ { r n ^ { \prime } } \ensuremath { \phi _ { n ^ { \prime } j } ^ { \scriptscriptstyle \dag } } } \\ & { = } & { \phi _ { i n } F _ { n n ^ { \prime } } \ensuremath { \phi _ { n ^ { \prime } j } ^ { \scriptscriptstyle \dag } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma = } & { \operatorname* { P r } ( 2 ^ { X ( n ) } > w _ { u . b . } ) + \ldots + \operatorname* { P r } ( 2 ^ { X ( n ) } > k _ { m a x } \cdot w _ { u . b . } ) } \\ { = } & { \operatorname* { P r } ( X ( n ) > \log { ( w _ { u . b . } ) } ) + \ldots + \operatorname* { P r } ( X ( n ) > \log { \left( k _ { m a x } \cdot w _ { u . b . } \right) } ) } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { m a x } } \operatorname* { P r } ( X ( n ) > \log { ( k \cdot w _ { u . b . } ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Big | \sum _ { \gamma \in \Xi ( G ^ { \angle } ) } \varepsilon _ { \gamma } ( t _ { * * } ^ { \angle } ) _ { \gamma } \langle \Phi _ { \gamma } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } } ) ^ { \dag } \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } e ^ { T _ { * } ^ { 1 } } \Phi _ { 0 } } \Big | + \Big | \langle ( \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 1 } ) - \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) ) \Phi _ { 0 } , \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } \rangle ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } } ) ^ { \dag } \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } e ^ { T _ { * } ^ { 1 } } \Phi _ { 0 } } \Big | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 1 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \Big | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) } \\ & { = E ^ { * } \left( \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 2 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \right) E ^ { * } \left( F _ { I - i , I + n - 1 } ^ { * 2 } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , C _ { I - i , i } ^ { * } , \ldots , C _ { I - i , I + n - 1 } ^ { * } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) \Big | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) } \\ & { = E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 2 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \left( \frac { \widehat \sigma _ { I + n - 1 , n } ^ { 2 } } { C _ { I - i , I + n - 1 } ^ { * } } + \widehat f _ { I + n - 1 , n } ^ { * 2 } \right) | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) } \\ & { = E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 2 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \frac { 1 } { C _ { I - i , I + n - 1 } ^ { * } } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) \widehat \sigma _ { I + n - 1 , n } ^ { 2 } + E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 2 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \Big | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) \widehat f _ { I + n - 1 , n } ^ { * 2 } } \\ & { = E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 2 } F _ { I - i , j } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) \frac { \widehat \sigma _ { I + n - 1 , n } ^ { 2 } } { C _ { I - i , i } } + E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 2 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \Big | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) \widehat f _ { I + n - 1 , n } ^ { 2 * } } \\ & { = \frac { \prod _ { j = i } ^ { I + n - 2 } \widehat f _ { j , n } ^ { * } \widehat \sigma _ { I + n - 1 , n } ^ { 2 } } { C _ { I - i , i } } + E ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { I + n - 2 } F _ { I - i , j } ^ { * 2 } \Big | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } \right) \widehat f _ { I + n - 1 , n } ^ { * 2 } . } \end{array}
p _ { r } ^ { ( s ) } ( x ) = \frac { 1 } { ( c ^ { \alpha } ; c ^ { \alpha } ) _ { \infty } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( c ^ { - \alpha } ; c ^ { - \alpha } ) _ { n } } \frac { 1 } { \alpha | x | } H _ { 2 , 3 } ^ { 2 , 1 } \left[ \frac { \lambda ^ { 1 / \alpha } | x | } { c ^ { n } } \left| \begin{array} { l l } { ( 1 , 1 / \alpha ) , ( 1 , 1 / 2 ) } \\ { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 1 / \alpha ) , ( 1 , 1 / 2 ) } \end{array} \right. \right] ,
\begin{array} { r l } & { \nabla \pi _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \left( \tilde { \rho } _ { \alpha } \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) = } \\ & { \nabla \left( \phi _ { \alpha } \mu _ { \alpha } - \hat { \Psi } _ { \alpha } \right) + \mathrm { d i v } \left( \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) = } \\ & { \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } + \nabla \phi _ { \alpha } \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } - \nabla \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) - \nabla \hat { \Psi } _ { \alpha } } \\ & { + \nabla \phi _ { \alpha } \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) + \left( \mathbf { H } \phi _ { \alpha } \right) \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } = } \\ & { \phi _ { \alpha } \nabla \mu _ { \alpha } - \nabla \hat { \Psi } _ { \alpha } + \nabla \phi _ { \alpha } \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } + \left( \mathbf { H } \phi _ { \alpha } \right) \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 2 } } & { = x R e L U \left( + s i g n ( a ) + s i g n ( b ) \right) } \\ { n _ { 8 } } & { = x R e L U \left( - s i g n ( a ) - s i g n ( b ) \right) } \\ { n _ { 1 7 } } & { = x R e L U \left( + s i g n ( a ) + s i g n ( b ) \right) } \\ { n _ { 6 5 } } & { = x R e L U \left( - s i g n ( a ) - s i g n ( b ) \right) } \\ { n _ { 1 1 1 } } & { = x R e L U \left( + s i g n ( a ) - s i g n ( b ) \right) } \\ { n _ { 1 1 3 } } & { = y R e L U \left( - s i g n ( a ) + s i g n ( b ) \right) } \\ { n _ { 1 2 0 } } & { = x R e L U \left( + s i g n ( a ) - s i g n ( b ) \right) } \end{array}
S = - { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int d \tau d \sigma \left( ( U ^ { ' } ) ^ { 2 } + \frac { U ^ { 4 } L ^ { 2 } } { d _ { 3 } e ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } + { \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } \int d \tau A _ { 0 } \big \vert _ { \sigma = 0 } ^ { \pi } \, .
\begin{array} { r l } { \overline { { p } } _ { 0 } } & { = \frac { 2 \pi a ^ { 2 } J _ { 0 z } ^ { 2 } ( 0 ) } { c ^ { 2 } \left( \alpha _ { J } + 1 \right) } \Bigg [ \frac { \left( 1 - x ^ { 2 } \right) ^ { \alpha _ { J } + 1 } } { 2 \left( \alpha _ { J } + 1 \right) } { _ 2 } F _ { 1 } \left( 1 , \alpha _ { J } + 1 , \alpha _ { J } + 2 , 1 - x ^ { 2 } \right) } \\ & { - \frac { \left( 1 - x ^ { 2 } \right) ^ { 2 \alpha _ { J } + 2 } } { 4 \left( \alpha _ { J } + 1 \right) } { _ 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 2 \alpha _ { J } + 2 , 2 \alpha _ { J } + 3 , 1 - x ^ { 2 } \right) \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \kappa } \frac { \partial } { \partial \kappa } \left[ \kappa \frac { \partial \tilde { E } _ { 1 } ^ { z } } { \partial \kappa } \right] - \frac { \tilde { E } _ { 1 } ^ { z } } { \kappa ^ { 2 } } = - \frac { 2 \nu g r _ { b } } { \kappa } \frac { \partial } { \partial \kappa } \left\{ \frac { 2 \kappa ^ { 2 } - 1 } { 2 \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } } \theta ( \kappa - 1 ) \right\} . } \end{array}
\frac { S _ { 3 } } { C _ { 3 } } = \left| \frac { U _ { 1 2 } } { U _ { 1 1 } } \right| \quad \Rightarrow \quad \theta _ { 1 2 } \equiv \theta _ { 3 } = \arctan \frac { S _ { 3 } } { C _ { 3 } } = \arctan \left| \frac { U _ { 1 2 } } { U _ { 1 1 } } \right| ,
\begin{array} { r l r } { \| \nabla S _ { h } \psi \| _ { 0 , \tau } \lesssim \| \nabla \psi \| _ { 0 , \omega _ { \tau } } , } & { } & { \forall \tau \in \mathcal { T } _ { h } , } \\ { \| \psi - S _ { h } \psi \| _ { 0 , \tau } \lesssim h _ { \tau } \| \nabla \psi \| _ { 0 , \omega _ { \tau } } , } & { } & { \forall \tau \in \mathcal { T } _ { h } , } \\ { \| \psi - S _ { h } \psi \| _ { 0 , e } \lesssim h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \nabla \psi \| _ { 0 , \omega _ { e } } , } & { } & { \forall e \in \mathcal { E } _ { h } , } \end{array}
f _ { e s c } ( E , E _ { n } ) = \frac { 1 } { 2 } e r f c ( 1 - \frac { ( E _ { n } + Q ) - E } { A _ { 3 } } ) ( A _ { 1 } A _ { 4 } e ^ { - \frac { ( E _ { n } + Q ) - E } { A _ { 5 } } } + A _ { 6 } e ^ { - \frac { ( E _ { n } + Q ) - E } { A _ { 7 } } } )
A = \int _ { \Sigma } d \xi ^ { 1 } \wedge d \xi ^ { 2 } \left\{ \big ( \mathrm { d e t } [ \partial _ { a } ( X + \delta y ) . \partial _ { b } ( X + \delta y ) ] \big ) ^ { 1 / 2 } + \big ( \mathrm { d e t } [ \partial _ { a } ( X - \delta y ) . \partial _ { b } ( X - \delta y ) ] \big ) ^ { 1 / 2 } \right\}
\left\{ \begin{array} { r l r } & { \partial _ { t } u ( x , t ) - \alpha ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } u ( x , t ) = 0 , \qquad } & { x \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] , t \in [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x _ { 0 } , t ) = g _ { 1 } ( t ) , } & { t \in [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x _ { 1 } , t ) = g _ { 2 } ( t ) , } & { t \in [ 0 , T ] , } \\ & { u ( x , 0 ) = h ( x ) , } & { x \in [ x _ { 0 } , x _ { 1 } ] , } \end{array} \right.
p _ { 3 } ^ { r 5 } \left( x \right) = { { \gamma } _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { { { \gamma } _ { 3 } } } p _ { 3 } ^ { r 5 } \left( x \right) - \sum _ { 0 } ^ { 2 } { \frac { { { \gamma } _ { k } } } { { { \gamma } _ { 3 } } } p _ { k } ^ { r 3 } \left( x \right) } \right) + \sum _ { 0 } ^ { 2 } { { { \gamma } _ { k } } p _ { k } ^ { r 3 } \left( x \right) } , { { r } _ { 1 } } \ne 0 ,
\tan \alpha _ { e f f } = \frac { - ( M _ { A } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } - \lambda _ { t } ) \ \tan \beta } { M _ { Z } ^ { 2 } + M _ { A } ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \beta + \sigma _ { t } \tan \beta - ( 1 + \tan ^ { 2 } \beta ) \ M _ { h ^ { 0 } , e f f } ^ { 2 } } \ ,
\mathrm { T _ { 1 1 1 } , T _ { 1 1 2 } , T _ { 1 2 1 } , T _ { 1 2 2 } , T _ { 2 1 1 } , T _ { 2 1 2 } , T _ { 2 2 1 } , T _ { 2 2 2 } }
{ \cal L } _ { W W V } = - i g _ { V } \left\{ { ( W _ { \mu \nu } ^ { \dagger } W ^ { \mu } V ^ { \nu } - W _ { \mu } ^ { \dagger } V _ { \nu } W ^ { \mu \nu } ) + \kappa _ { V } W _ { \mu } ^ { \dagger } W _ { \nu } F ^ { \mu \nu } - { \frac { \lambda _ { V } } { M _ { W } ^ { 2 } } } W _ { \lambda \mu } ^ { \dagger } W _ { \nu } ^ { \mu } F ^ { \nu \lambda } } \right\}
a _ { \epsilon , n } = \frac { 1 } { n } \log \left\langle \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) , E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ( E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } \hat { P } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ) ^ { n - 1 } E _ { T _ { \epsilon } } ^ { \theta / 2 } ( \mathbf { 1 } \otimes \operatorname { v e c } ( I _ { d } ) ) \right\rangle _ { \boldsymbol \pi }
{ \begin{array} { r l } { U _ { x } } & { = { \frac { 1 } { D } } \left[ ( A _ { x } ^ { 2 } + A _ { y } ^ { 2 } ) ( B _ { y } - C _ { y } ) + ( B _ { x } ^ { 2 } + B _ { y } ^ { 2 } ) ( C _ { y } - A _ { y } ) + ( C _ { x } ^ { 2 } + C _ { y } ^ { 2 } ) ( A _ { y } - B _ { y } ) \right] } \\ { U _ { y } } & { = { \frac { 1 } { D } } \left[ ( A _ { x } ^ { 2 } + A _ { y } ^ { 2 } ) ( C _ { x } - B _ { x } ) + ( B _ { x } ^ { 2 } + B _ { y } ^ { 2 } ) ( A _ { x } - C _ { x } ) + ( C _ { x } ^ { 2 } + C _ { y } ^ { 2 } ) ( B _ { x } - A _ { x } ) \right] } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { i + 1 , i } ^ { ( n ) } } & { { } = \mathbf { q } _ { i + 1 } ^ { \dagger } \mathbf { d } ^ { n } \mathbf { q } _ { i } = \mathbf { C } _ { i } ^ { - 1 } \left[ \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( n + 1 ) } - \mathbf { M } _ { i } \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( n ) } - \mathbf { C } _ { i - 1 } ^ { \dagger } \mathbf { S } _ { i - 1 , i } ^ { ( n ) } \right] , } \\ { \mathbf { S } _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( n ) } } & { { } = \mathbf { q } _ { i + 1 } ^ { \dagger } \mathbf { d } ^ { n } \mathbf { q } _ { i + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda - I = } & { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 . 6 2 } & { 0 . 1 2 } & { - 0 . 1 4 } & { - 2 . 1 2 } & { - 0 . 6 3 } & { - 0 . 1 4 } \\ { - 1 . 7 6 } & { 1 . 7 3 } & { 2 . 5 7 } & { - 3 . 2 9 } & { - 4 . 4 9 } & { - 1 . 8 4 } \\ { - 1 . 7 6 } & { 1 . 7 3 } & { 2 . 5 7 } & { - 3 . 2 9 } & { - 4 . 4 9 } & { - 1 . 8 4 } \\ { 0 . 8 3 } & { - 0 . 3 6 } & { - 0 . 9 8 } & { 2 . 3 6 } & { 2 . 0 5 } & { 0 . 7 8 } \\ { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { - 1 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } \\ { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } & { - 1 . 0 0 } & { 0 . 0 0 } \end{array} \right] , } \\ { \Sigma = } & { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 . 5 2 } & { - 0 . 1 0 } & { 0 . 2 0 } & { 0 . 4 1 } & { - 0 . 0 8 } & { - 0 . 0 5 } \\ { 0 . 0 8 } & { 0 . 6 2 } & { - 0 . 3 0 } & { 0 . 5 4 } & { 0 . 5 9 } & { 0 . 1 9 } \\ { 0 . 0 8 } & { - 0 . 3 8 } & { 0 . 7 0 } & { 0 . 5 4 } & { 0 . 5 9 } & { 0 . 1 9 } \\ { - 0 . 0 5 } & { - 0 . 0 1 } & { 0 . 0 7 } & { 0 . 2 2 } & { - 0 . 3 2 } & { - 0 . 0 8 } \\ { - 0 . 0 5 } & { - 0 . 0 1 } & { 0 . 0 7 } & { 0 . 2 2 } & { 0 . 6 8 } & { - 0 . 0 8 } \\ { - 0 . 0 5 } & { - 0 . 0 1 } & { 0 . 0 7 } & { 0 . 2 2 } & { 0 . 6 8 } & { 0 . 9 2 } \end{array} \right] , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { R \to \infty } N ( \omega ) = \frac { 2 \alpha _ { s } \, C _ { R } } { \pi } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \omega } } \, , \qquad \mathrm { f o r } \, \quad \omega < \omega _ { c } \, .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mu } j _ { 5 } ^ { \mu } = } & { \frac { \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } } { 4 \pi ^ { 2 } } \left( \lambda _ { \nu \alpha } ^ { 2 } \lambda _ { \sigma \beta } ^ { 2 } \nabla _ { \mu } j ^ { \alpha } \nabla _ { \rho } j ^ { \beta } - 2 e \lambda _ { \sigma \alpha } ^ { 2 } \nabla _ { \mu } A _ { \nu } \nabla _ { \rho } j ^ { \alpha } \right) } \\ & { + \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } F _ { \mu \nu } F _ { \rho \sigma } + \frac { 1 } { 3 8 4 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } R _ { \mu \nu } ^ { \ \ \ \alpha \beta } R _ { \rho \sigma \alpha \beta } . } \end{array}
P _ { \ell } ( \mathbf { x } \cdot \mathbf { y } ) = { \frac { 4 \pi } { 2 \ell + 1 } } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } Y _ { \ell m } ( \mathbf { y } ) \, Y _ { \ell m } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \quad \forall \, \ell \in \mathbb { N } _ { 0 } \; \forall \, \mathbf { x } , \mathbf { y } \in \mathbb { R } ^ { 3 } \colon \; \| \mathbf { x } \| _ { 2 } = \| \mathbf { y } \| _ { 2 } = 1 \, ,
\hat { v } ^ { y } = i \, \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \dagger } \cdot \left[ \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { ~ o ~ } } \, , \, \hat { r } ^ { y } \right] \cdot \hat { \mathcal { U } } _ { k } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \hat { \mathrm { ~ E ~ } } ^ { 2 } \psi = \frac { 1 } { c ^ { 2 } \, \big ( u ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } \big ) } \, \Big \{ \, ( 1 + \xi ^ { 2 } ) \, \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \xi ^ { 2 } } + ( 1 - u ^ { 2 } ) \, \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial u ^ { 2 } } \, \Big \} \, . \ \ \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T ^ { 1 } ( I _ { H } ) \cdot T ^ { 1 } ( S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { K , K ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { F _ { 1 } ^ { \prime } + F + I _ { H } } \left\{ \begin{array} { c c c } { I _ { H } } & { F _ { 1 } ^ { \prime } } & { F } \\ { F _ { 1 } } & { I _ { H } } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { I _ { H } ( I _ { H } + 1 ) ( 2 I _ { H } + 1 ) } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { F _ { 1 } + N + 1 + G ^ { \prime } } \sqrt { ( 2 F _ { 1 } + 1 ) ( 2 F _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { G ^ { \prime } } & { F _ { 1 } ^ { \prime } } & { N } \\ { F _ { 1 } } & { G } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G + I + 1 + S } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { G ^ { \prime } } & { I } \\ { G } & { S } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\epsilon \left( \bar { C } ^ { 2 } \right) = 1 , \; g h \left( \bar { C } ^ { 2 } \right) = - 1 , \; \epsilon \left( \bar { C } ^ { 1 } \right) = 1 , \; g h \left( \bar { C } ^ { 1 } \right) = 1 .
\begin{array} { r l } { \left| M ( t ) - M ( s ) \right| } & { { } = \left\{ \begin{array} { c c } { h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) - h ( \overline { { x } } _ { s } , s ) \mathrm { ~ i ~ f ~ } M ( t ) > M ( s ) } \\ { h ( \overline { { x } } _ { s } , s ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) \mathrm { ~ i ~ f ~ } M ( s ) > M ( t ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { - \left( \varepsilon \partial _ { t } \vec { A } , \partial _ { t } \vec { v } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + \left( \sigma \partial _ { t } \vec { A } , \vec { v } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + \left( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } , \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { v } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } = \left( \vec { j } _ { a } , \vec { v } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } - \left( \varepsilon \vec { \psi } , \vec { v } ( 0 , \cdot ) \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \end{array}