harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \pi < \Phi _ { 0 } , \Phi _ { o } > } + \sum _ { \omega \neq 0 } \frac { 1 } { 4 \pi } \frac { \Phi _ { \omega } ( \sigma ) \: \Phi _ { \omega } ( \sigma ^ { \prime } ) } { < \Phi _ { \omega } , \Phi _ { \omega } > } = \delta ( \sigma - { \sigma ^ { \prime } } )
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) } & { { } = V _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( \underline { { R } } , \underline { { x } } ) + E _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ( R , x _ { c } ) \quad , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \Delta ( H _ { i } ) = H _ { i } \otimes 1 + 1 \otimes H _ { i } ~ , } } \\ { { \Delta ( X _ { i } ^ { - } ) = X _ { i } ^ { - } \otimes q _ { i } ^ { - H _ { i } } + q _ { i } ^ { H _ { i } } \otimes X _ { i } ^ { - } ~ , } } \\ { { \epsilon ( X _ { i } ^ { - } ) = 0 = \epsilon ( H _ { i } ) ~ , } } \\ { { S ( X _ { i } ^ { - } ) = - q _ { i } X _ { i } ^ { - } ~ , ~ ~ ~ ~ S ( H _ { i } ) = - H _ { i } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { D } { d t } \right| _ { t = 0 } J ( t ) } & { = \left. \frac { D } { \partial t } \frac { \partial } { \partial s } \right| _ { s = 0 , t = 0 } c _ { 3 } ( s , t ) = \left. \frac { D } { \partial s } \right| _ { s = 0 } \left. \frac { \partial } { \partial t } \right| _ { t = 0 } c _ { 3 } ( s , t ) } \\ & { = \left. \frac { D } { d s } \right| _ { s = 0 } \exp _ { x _ { 0 } } ^ { - 1 } ( c _ { 3 } ( s , 1 ) ) = \left. \frac { d } { d s } \right| _ { s = 0 } \exp _ { x _ { 0 } } ^ { - 1 } ( c _ { 3 } ( s , 1 ) ) } \\ & { = D \exp _ { x _ { 0 } } ^ { - 1 } \left( \left. \frac { d } { d s } \right| _ { s = 0 } c _ { 3 } ( s , 1 ) \right) = D \exp _ { x _ { 0 } } ^ { - 1 } \left( \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } ( z ) \right) } \\ & { = \frac { \partial \exp _ { x _ { 0 } } ^ { - 1 } } { \partial x ^ { j } } ( z ) . } \end{array}
Q ^ { + } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { L ^ { + } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad Q ^ { - } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { L ^ { - } } & { 0 } \end{array} \right) , \quad H _ { S S } = \left( \begin{array} { l l } { L ^ { + } L ^ { - } } & { 0 } \\ { 0 } & { L ^ { - } L ^ { + } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { H ^ { - } } & { 0 } \\ { 0 } & { H ^ { + } } \end{array} \right) ,
\vec { A } = \left( \begin{array} { l l l l } { - { \omega } } & { \rho k _ { v _ { A } } } & { \rho k _ { q } } & { 0 } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k _ { v _ { A } } } & { - { \omega } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { \rho } k _ { q } } & { 0 } & { - { \omega } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - { \omega } } \end{array} \right) \; ,
P _ { o u t } ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { k , m } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ t ~ h ~ e ~ m ~ - ~ N ~ N ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } ; } \\ { m ^ { k } e ^ { - m } / k ! } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ t ~ h ~ e ~ V ~ C ~ R ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { I _ { \partial D _ { i } } [ v _ { n } ] } & { = \frac { 1 } { \delta } \left( \frac { \mathrm { d } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { + } ( x _ { i } ^ { - } , \alpha ) - \frac { \mathrm { d } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { - } ( x _ { i } ^ { + } , \alpha ) \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { \delta } \int _ { x _ { i } ^ { - } } ^ { x _ { i } ^ { + } } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } ( x , \alpha ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = \frac { 1 } { \delta } \int _ { x _ { i } ^ { - } } ^ { x _ { i } ^ { + } } \frac { \rho _ { \mathrm { r } } ( \omega + n \Omega ) ^ { 2 } } { \kappa _ { \mathrm { r } } } v _ { i , n } ^ { * * } ( x , \alpha ) \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \eta ( x ) g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x \right) \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ( x ) ^ { 2 } g ( x ) \mathrm { d } x \right) = \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ( x ) \eta ( x ) g ( x ) \mathrm { d } x \right) \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } q ( x ) g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x \right)
\big \langle ( \vec { \mathfrak { x } } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \, \varkappa \, \vec { \nu } , ~ \vec { \eta } \, | \vec { x } _ { \alpha } | \big \rangle + \big \langle \vec { \eta } \cdot \vec { e } _ { 1 } , ~ | \vec { \mathfrak { x } } _ { \alpha } | \big \rangle + \big \langle ( \vec { \mathfrak { x } } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \vec { \mathfrak { x } } _ { \alpha } , ~ \vec { \eta } _ { \alpha } | \vec { x } _ { \alpha } | ^ { - 1 } \big \rangle = 0 \qquad \forall \ \vec { \eta } \in V _ { \partial } \, .
\int _ { t _ { 0 } ^ { - } } ^ { t _ { 0 } ^ { + } } \, \, d t \, \nabla \times \mathbf { H } \left( \mathbf { r } , t \right) = \int _ { t _ { 0 } ^ { - } } ^ { t _ { 0 } ^ { + } } d t \, \, \partial _ { t } \mathbf { D } \left( \mathbf { r } , t \right) = \mathbf { D } \left( \mathbf { r } , t _ { 0 } ^ { + } \right) - \mathbf { D } \left( \mathbf { r } , t _ { 0 } ^ { - } \right)
\frac { d \Gamma } { d m _ { \mu \bar { \mu } } } = \frac { d \Gamma ^ { \mathrm { { t r e e } } } } { d m _ { \mu \bar { \mu } } } + \frac { d \Gamma ^ { \mathrm { l o o p } } } { d m _ { \mu \bar { \mu } } } \, , \,
i \frac { d c } { d \varepsilon } = \frac { f ^ { 2 } \left( T + \varepsilon \right) } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { \Omega \exp \left\{ - i \left[ \nu \varepsilon + \phi \left( \mathbf { P } \right) \right] \right\} } \\ { \Omega ^ { \ast } \exp \left\{ i \left[ \nu \varepsilon + \phi \left( \mathbf { P } \right) \right] \right\} } & { 0 } \end{array} \right) c ,
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \ell } \Big ( \rho ( x ) \delta u _ { t t } + \mu ( x ) \delta u _ { t } + ( r ( x ) \delta u _ { x x } ) _ { x x } + ( \kappa ( x ) \delta u _ { x x t } ) _ { x x } \Big ) \phi ( x , t ) \ d x d t } \\ { - \int _ { 0 } ^ { T } \xi ( t ) \delta u ( \ell , t ) d t + \int _ { 0 } ^ { T } \delta g ( t ) \phi ( \ell , t ) d t = 0 . } \end{array}
\mathbf { R } _ { L } = [ A _ { 0 } ^ { ( - P ) } , C _ { 0 } ^ { ( - P ) } , A _ { 0 } ^ { ( - P + 1 ) } , C _ { 0 } ^ { ( - P + 1 ) } , \cdots , A _ { 0 } ^ { ( P ) } , C _ { 0 } ^ { ( P ) } ] ^ { T } ,
r = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - \bar { y } ) ( \hat { y } _ { i } - \overline { { \hat { y } } } ) } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } - \bar { y } ) ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \hat { y } _ { i } - \overline { { \hat { y } } } ) ^ { 2 } } } ,
\Gamma _ { * } ^ { \varepsilon } = \bigcup _ { \alpha } \Gamma _ { * } ^ { { \alpha } , \varepsilon } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Gamma _ { * } ^ { { \alpha } , \varepsilon } = \partial \Omega _ { * } ^ { { \alpha } , \varepsilon } \cap \overline { { \Omega _ { m } ^ { \varepsilon } } } \; .
\begin{array} { r l } { P _ { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { c r e a } } } & { { } = \operatorname* { m i n } \left\{ 1 , \frac { N _ { \mathrm { s e g } } h ^ { 2 } } { N _ { \mathrm { s e g } } ^ { \prime } u ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } \right\} } \end{array}
K _ { \mathrm { d i r e c t } } ( r , \phi ; r , \phi ; t ) = { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } \alpha t } } \int _ { A + B } { \frac { d \delta } { 1 - e ^ { - { \frac { i \delta } { \alpha } } } } } e ^ { - { \frac { r ^ { 2 } } { 2 t } } ( 1 - \cos \delta ) } \quad - ( \mathrm { t h e ~ p o l e ~ a t ~ \ d e l t a = 0 ~ } )
\partial _ { t } P = \left[ \frac { \hat { W } _ { U } ( r ) } { \tau _ { U } } + \frac { \hat { W } _ { R } ( s , h ) } { \tau _ { R } } + \frac { \hat { W } _ { S } ( u ) } { \tau _ { S } } + \frac { \hat { W } _ { H } } { \tau _ { H } } \right] P ,
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { n m } = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { e } _ { p } \cdot \mathbf { M } _ { n , - m } ^ { ( 3 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) } \\ { b _ { n m } = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { e } _ { p } \cdot \mathbf { N } _ { n , - m } ^ { ( 3 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) } \\ { e _ { n m } = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { e } _ { p } \cdot \mathbf { M } _ { n , - m } ^ { ( 1 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) } \\ { f _ { n m } = \sqrt { 6 \pi } ( - 1 ) ^ { m } \mathbf { e } _ { p } \cdot \mathbf { N } _ { n , - m } ^ { ( 1 ) } ( k _ { M } , \mathbf { R } _ { p } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sigma _ { x } ^ { \prime } = \langle u _ { 2 } , C ^ { \prime } u _ { 2 } \rangle \quad \sigma _ { y } ^ { \prime } = \langle u _ { 1 } , C ^ { \prime } u _ { 1 } \rangle \quad \tau _ { x y } ^ { \prime } = - \langle u _ { 1 } , C ^ { \prime } u _ { 2 } \rangle } \\ { \epsilon _ { x } ^ { \prime } = \langle e _ { 1 } ^ { \prime } , E ^ { \prime } e _ { 1 } ^ { \prime } \rangle \quad \epsilon _ { y } ^ { \prime } = \langle e _ { 2 } ^ { \prime } , E ^ { \prime } e _ { 2 } ^ { \prime } \rangle \quad \gamma _ { x y } ^ { \prime } = 2 \langle e _ { 1 } ^ { \prime } , E ^ { \prime } e _ { 2 } ^ { \prime } \rangle } \end{array}
\frac { d N _ { Q } ( j ) } { d t } = n _ { Q , \mathrm { L R } } ( t ) V _ { \mathrm { e } } ( j ) \nu ( n _ { \mathrm { H e } } ( t ) ) f _ { 2 } ( j ) ) - \frac { \nu ( n _ { \mathrm { H e } } ( t ) ) } { k _ { Q \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { H e } } ( j ) } N _ { Q } ( j ) - \frac { \beta _ { Q \mathrm { ~ - ~ } Q } } { V _ { \mathrm { e } } ( j ) } N _ { Q } ^ { 2 } ( j ) - \Gamma _ { \mathrm { R R } } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \| S ^ { * } ( t ) \widetilde V ^ { * } ( t ) S ^ { * } ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } } \\ & { \le } & { \| ( S ^ { * } ( t ) \widetilde V ^ { * } ( t ) - q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } \mathbb { I } ) S ^ { * } ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } + q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } \| S ^ { * } ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } } \\ & { \le } & { \| ( S _ { 0 } ( t ) \widetilde V ( t ) - q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } \mathbb { I } ) \| _ { \operatorname* { m a x } } \times \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le 2 n - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } | s _ { k j } ^ { * } ( t ) | + q _ { n } e ^ { 2 q _ { n } } \| S ^ { * } ( t ) \| _ { \operatorname* { m a x } } } \\ & { = } & { O ( q _ { n } e ^ { 3 q _ { n } } ) . } \end{array}
\tau ( n , k , s ) = \tau _ { 1 } + i \tau _ { 2 } ~ , ~ ~ \tau _ { 1 } ( k , s ) = \frac { s } { k } ~ , ~ ~ \tau _ { 2 } ( k , n ) = \frac { n \beta R ^ { + } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } \cdot \sqrt { 2 } k }
\begin{array} { r l } { \small \textbf { T } } & { = \frac { 1 } { \rho ^ { n + 1 } } \left[ f ^ { n + 1 } - \lambda ( \psi ^ { n + 1 } - \alpha \phi ^ { n + 1 } ) \nabla \phi ^ { n + 1 } - \frac { \epsilon ^ { \prime } ( \phi ^ { n + 1 } ) } { 2 } \left| \textbf { E } \right| ^ { 2 } \nabla \phi ^ { n + 1 } + \nabla \mu ^ { n + 1 } \cdot \mathcal { D } ( \textbf { u } ^ { * , n + 1 } ) \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. - \Tilde { \textbf { J } } ^ { n + 1 } \cdot \nabla \textbf { u } ^ { * , n + 1 } \right] + \frac { \hat { u } } { \Delta t } - \textbf { N } ( \textbf { u } ^ { * , n + 1 } ) + \left( \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } - \frac { 1 } { \rho ^ { n + 1 } } \right) \nabla P ^ { * , n + 1 } . } \end{array}
\frac { \delta } { \delta \{ D _ { \alpha } \} _ { n } B _ { \mu \nu } ^ { c } } \Delta _ { 0 b } ^ { \rho } ( x ) = \{ D _ { \alpha } \} _ { n } g F _ { \mu \nu } ^ { c } ( x ) X _ { \rho } ( A , g F ) ^ { - } + \{ D _ { \alpha } \} _ { n } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \eta } g F _ { \lambda \eta } ^ { c } ( x ) X _ { \rho } ( A , g F ) ^ { + }
\frac { d V _ { ( 4 ) } } { d m _ { \eta } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \: \left( \frac { \alpha } { 2 } \right) ^ { p } \: \left( I _ { 0 } + I _ { f } \right) ^ { p } \: \frac { 1 } { p ! } \: \left( \frac { \partial } { \partial m _ { \eta } ^ { 2 } } \right) ^ { p } \left( I _ { 0 } + I _ { f } \right) .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } \left( \mathbf { r } , t \right) } & { = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int { \frac { \mathbf { j } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \, \mathrm { d } V ^ { \prime } , } \\ { \psi \left( \mathbf { r } , t \right) } & { = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int { \frac { \rho \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } \, \mathrm { d } V ^ { \prime } , } \end{array} }
L _ { B I - \textrm { t y p e } } = \frac { \beta ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { c ^ { 2 } } { p \beta ^ { 2 } } \, \mathcal { F } - \frac { c ^ { 4 } } { 2 p \beta ^ { 4 } } \, \zeta \, \mathcal { G } ^ { 2 } \right) ^ { p } \, \right] \, ,
\begin{array} { r } { \hat { f } ( k _ { 1 } , r _ { 2 } , k _ { 3 } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d r _ { 1 } d r _ { 3 } \, \, e ^ { \iota ( k _ { 1 } r _ { 1 } + k _ { 3 } r _ { 3 } ) } \, \, f ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { R E } R = n _ { R E } \left( 0 \right) R _ { 0 } \left[ 1 - \bar { \psi ^ { * } } ^ { 2 } + \left( \bar { \psi ^ { * } } - \bar { \psi ^ { * } } ^ { 2 } \right) ^ { m } \right] ^ { n } . } \end{array}
\ { \Biggl | } x + { \frac { b } { \ 2 a \ } } { \Biggr | } = { \sqrt { \ \left( { \frac { b } { \ 2 a \ } } \right) ^ { 2 } - { \frac { \ c \ } { a } } ~ ~ } } \qquad \mathrm { ~ i f ~ } \quad x + { \frac { b } { \ 2 a \ } } \in \mathbb { R } \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \left( { \frac { b } { \ 2 a \ } } \right) ^ { 2 } - { \frac { \ c \ } { a } } \geq 0 ~ .
I _ { \phi } = \{ i \in \{ 2 , \ldots , n \} : a _ { i } \neq 0 \} = \{ j _ { 1 } , \ldots , j _ { k - 2 } \} = \left\{ \begin{array} { l l } { \{ i _ { 3 } , \ldots , i _ { \ell } \} } & { \mathrm { i f ~ a _ 0 \neq ~ 0 ~ , ~ a _ 1 \neq ~ 0 ~ , } } \\ { \{ i _ { 2 } , \ldots , i _ { \ell } \} } & { \mathrm { i f ~ a _ 0 = 0 ~ a n d ~ a _ 1 \neq ~ 0 ~ , } } \\ { \{ i _ { 2 } , \ldots , i _ { \ell } \} } & { \mathrm { i f ~ a _ 0 \neq ~ 0 ~ a n d ~ a _ 1 = ~ 0 ~ , } } \\ { \{ i _ { 1 } , \ldots , i _ { \ell } \} } & { \mathrm { i f ~ a _ 0 = 0 ~ a n d ~ a _ 1 = 0 ~ , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \omega _ { k } ^ { \pm } } & { { } = \Omega - \frac { \Phi _ { 1 } } { 2 \Phi _ { 2 } } \pm \sqrt { \left( \frac { \Phi _ { 1 } } { 2 \Phi _ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \Phi _ { 2 } } \left[ ( 2 k + 1 ) \pi - \Phi _ { 0 } - i | \log \mathcal { A } | \right] } } \end{array}
\overline { { d } } ^ { \mathrm { \, m a s s } } N d ^ { \mathrm { m a s s } } = \overline { { d } } N _ { 1 1 } d + \overline { { d } } N _ { 1 2 } s + \overline { { s } } N _ { 2 1 } d + \overline { { s } } N _ { 2 2 } s ~ ~ ~ .
( x _ { k } - x _ { j } ) \in \Big [ \prod _ { j _ { 0 } = 1 } ^ { \ell + 1 } \prod _ { k _ { 0 } = k + 1 } ^ { \ell + m + 1 } x _ { \mathrm { F } _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } \Big ] \Big [ \prod _ { j _ { 0 } = \ell + 2 } ^ { j + 1 } \prod _ { k _ { 0 } = k + 1 } ^ { N + 2 } x _ { \mathrm { F } _ { j _ { 0 } , k _ { 0 } } } \Big ] C ^ { \infty } ( K _ { \ell , m , n } ; \mathbb { R } ^ { + } ) .
\begin{array} { r } { \tilde { k } \, d _ { 0 \lambda } ^ { 1 } ( \tilde { \theta } ) = \frac { \lambda \tilde { k } } { \sqrt { 2 } } \sin ( \tilde { \theta } ) = \frac { \lambda k } { \sqrt { 2 } } \sin ( \theta ) = k \, d _ { 0 \lambda } ^ { 1 } ( \theta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 1 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 1 ] } | | | _ { 1 } + | | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ 2 ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ 2 ] } | | | _ { 1 } \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \Big ( | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } ) ^ { + } | | _ { \infty } + | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } \Big ) } \\ { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \Big ( | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } | | _ { F } + | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } \Big ) } \\ { \leq } & { \frac { 3 2 \lambda ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) } { c } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) = \dot { \mathrm { H } } _ { \mathfrak { t } , \sigma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \oplus \dot { \mathrm { H } } _ { \gamma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\beta ^ { - 1 } ( b , u , v ) = 1 + \frac { 1 } { ( k - 1 ) ( v - u - 2 ) } \left[ \frac { b - 1 } { b + 1 } ( u + 2 ) - \frac { b + 1 } { b - 1 } ( v - 2 ) - \frac { 2 } { k - 1 } \right] \; .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( X _ { m , k } \geq \frac { A } { 4 \sqrt { i } } \right) } & { \geq \mathbb { P } \left( X _ { m , k } \geq A \cdot \frac { 1 } { 4 \sqrt { i k } } \mathbb { E } \left[ X _ { m , k } k \right] \right) } \\ & { \geq \left( 1 - \frac { A } { 4 \sqrt { i k } } \right) ^ { 2 } \frac { m } { m + 1 } \frac { ( 2 k - 1 ) \Gamma ( k ) ^ { 2 } } { 2 ( k - 1 ) \Gamma \left( ( 2 k - 1 ) / 2 \right) \Gamma \left( ( 2 k + 1 ) / 2 \right) } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { A } { 2 \sqrt { i k } } \right) ^ { 2 } \underset { A \leq \sqrt { i k } } { \geq } \frac { 1 } { 8 } , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { { \bf k } \to 0 } \left( \frac { 1 } { | { \bf k } | ^ { 2 } } \delta _ { \alpha \beta } - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { B _ { L } ^ { \alpha \beta } ( { \bf k } , \omega ) } { \omega } \right) = ( m _ { E } ^ { - 2 } ) _ { \alpha \beta } .
\begin{array} { r } { F ( b ) = 2 . 8 4 + 4 . 9 2 6 \: b , b < 0 . 7 5 5 } \\ { 0 . 0 3 7 1 + 7 . 5 1 \sqrt { b } , b \ge 0 . 7 5 5 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \lambda \left( \frac { \partial w } { \partial x } \right) ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) J \eta - \frac { 1 } { 2 } \lambda \left( \frac { \partial w } { \partial y } \right) ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) J \zeta } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \lambda \left( \frac { \partial w } { \partial x } \right) ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) \zeta - \frac { 1 } { 2 } \lambda \left( \frac { \partial w } { \partial y } \right) ( { \mathcal L } _ { R _ { \lambda } } J ) J \zeta } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = } & { - \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { A \sigma } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { \sqrt { - A } } \right) - \frac { \sqrt { A + B } } { A } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B } } { \sqrt { - A } } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \left[ W \right] } & { = \mathbb { C } \left[ Y _ { p } , Y _ { p } \right] + \mathbb { C } \left[ Y _ { n } , Y _ { n } \right] - 2 \cdot \mathbb { C } \left[ Y _ { p } , Y _ { n } \right] = \pmb { \hat { \Sigma } } _ { ( 1 , 1 ) } + \pmb { \hat { \Sigma } } _ { ( 2 , 2 ) } - 2 \cdot \pmb { \hat { \Sigma } } _ { ( 1 , 2 ) } } \\ & { = \mathrm { e x p } \left( 2 \mu _ { p } + \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) \cdot \left( e x p \left( \sigma _ { p } ^ { 2 } \right) - 1 \right) + \mathrm { e x p } \left( 2 \mu _ { n } + \sigma _ { n } ^ { 2 } \right) \cdot \left( e x p \left( \sigma _ { n } ^ { 2 } \right) - 1 \right) } \\ & { - 2 \mathrm { e x p } \left( \mu _ { p } + \mu _ { n } + \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { p } ^ { 2 } + \sigma _ { n } ^ { 2 } ) \right) \cdot \left( \mathrm { e x p } \left( \sigma _ { p } \sigma _ { n } \rho _ { p n } \right) - 1 \right) } \end{array}
g _ { L } = m _ { L } \, e ^ { \omega _ { 3 } \delta } , \quad \begin{array} { l l l l } { { g _ { S } } } & { { = \left\{ \begin{array} { l c } { { m _ { S } \, e ^ { \omega _ { 3 } \delta } / \sqrt 2 , } } & { { \mathrm { u n t w i s t e d ~ p o t e n t i a l } , } } \\ { { m _ { S } \, e ^ { 2 \omega _ { 3 } \delta } / 2 \sqrt 2 , } } & { { \mathrm { t w i s t e d ~ p o t e n t i a l } , } } \end{array} \right\} } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { v = \rho ^ { \vee } , } } \\ { { g _ { S } } } & { { = \left\{ \begin{array} { l c } { { m _ { S } \, e ^ { \omega _ { 3 } \delta / 2 } / \sqrt 2 , } } & { { \mathrm { u n t w i s t e d ~ p o t e n t i a l } , } } \\ { { m _ { S } \, e ^ { \omega _ { 3 } \delta } / 2 \sqrt 2 , } } & { { \mathrm { t w i s t e d ~ p o t e n t i a l } , } } \end{array} \right\} } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { v = \rho . } } \end{array}
m _ { i } ( t ) = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \nu _ { i } a _ { i } v _ { i } ^ { \mathrm { s d } } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } - \sum _ { j } ^ { N _ { \mathrm { e q } } ( t _ { j } \leq t ) } a _ { i } s _ { i , j } ( t _ { j } )
A _ { 1 } = \frac { d } { d r } ( \frac { ( \epsilon - V + m ) } { d k } ) ( \frac { d } { d r } + \frac { l - 1 } { r } ) - \mu E ) + ( \epsilon - V + m ) ( \Omega _ { 0 } - \mu ^ { 2 } E ^ { 2 } + 2 \mu E \frac { d } { d r } + \mu E \frac { 1 } { r } )
\begin{array} { r l r l r l r l } { \eta } & { > \frac { h + 1 } { h - 1 } , } & { h } & { > 1 , } & { \mathrm { a n d } } & { } & { \frac { - ( \eta - 1 ) ^ { 2 } ( 1 + 2 \psi ) h ^ { 2 } + 2 \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) \left( 1 + \psi \right) h + 8 u ( \psi + 1 ) - 1 6 \eta \psi } { \phi _ { 0 } \left( 1 6 \eta + ( \eta - 1 ) ^ { 2 } h ^ { 2 } \right) } } & { < \chi < \frac { 1 } { \phi _ { 0 } } \; , } \end{array}
\hat { \rho } _ { \mathrm { F D H F } } ( \beta ) = \frac { 1 } { \sum _ { i } e ^ { - \beta F _ { i i } ^ { ( 0 ) } } } \sum _ { i } e ^ { - \beta F _ { i i } ^ { ( 0 ) } } | D _ { i } \rangle \langle D _ { i } | ,
\ln \left( \frac { \mu _ { F } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } / z } \right) \approx \ln \left( \frac { - ( t + u ) / z } { Q ^ { 2 } / z } \right) = \ln \left( \frac { - ( t + u ) } { Q ^ { 2 } } \right) \, ,
\begin{array} { r } { e _ { x } ( r , \phi ) \propto \frac { \theta \left[ J _ { 0 } \left( \xi \right) + ( \gamma \theta ) ^ { 2 } \cos ( 2 \phi ) J _ { 2 } \left( \xi \right) \right] } { ( 1 + ( \gamma \theta ) ^ { 2 } ) ^ { 4 } } , } \end{array}
\tilde { T } _ { i } = p r _ { 2 } ^ { ! } \circ ( \int _ { p r _ { 2 } ^ { - 1 } } ) \circ ( \otimes s _ { i } ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( \lambda + 2 \rho ) ( H _ { i } ) } ) \circ ( p r _ { 1 } ^ { \ast } \otimes p r _ { 1 } ^ { \ast } ) .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \widetilde { J } } } { \partial x } } & { { } = } & { \delta ( x ) - ( s + \gamma ) { \widetilde P } , } \\ { v ^ { 2 } \frac { \partial { \widetilde P } } { \partial x } } & { { } = } & { - ( s + \alpha + \gamma ) { \widetilde J } , } \\ { { \widetilde P } _ { _ B } } & { { } = } & { \frac { \gamma } { s } { \widetilde P } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \partial _ { t } \tilde { u } _ { n } , \psi \right) _ { Q _ { T } } + \left( \tilde { u } _ { n } ^ { 1 - \delta } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \gamma \partial _ { x } \psi \right) _ { Q _ { T } } + ( - \delta ) \left( \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , \gamma \psi \right) _ { Q _ { T } } } \\ { = } & { - \left( \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) ^ { 2 } , \gamma \psi \right) _ { Q _ { T } } - \left( \tilde { u } _ { n } ^ { 1 - \delta } \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } , \psi \partial _ { x } \gamma \right) _ { Q _ { T } } + \left( \tilde { u } _ { n } ^ { - \delta } \left( \tilde { u } _ { n } - \frac { 1 } { n } \right) , \psi g _ { 0 } \right) _ { Q _ { T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 1 } \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) = \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \big [ } & { { } \nabla _ { 1 } \, u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } \end{array}
H \equiv c \vec { \alpha } \cdot \vec { p } + e A _ { 0 } + e \vec { \alpha } \cdot \vec { A } + m c ^ { 2 } \beta - i \frac { 3 \hbar c } { 2 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { a } ( - \sigma ^ { - 1 } ) _ { , a } \, { , }