harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Phi _ { \mathrm { d i v } } ( \omega , D ) = { \frac { \Gamma \left( 1 - \frac D 2 \right) } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } } \, \, { \frac { m ^ { D - 4 } } { \kappa } } \int _ { \Sigma } \left[ 2 \left( m ^ { 2 } - \left( \frac 1 6 - \xi \right) R \right) - { \frac { \omega ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } } { \cal P } \right] ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \bar { u } _ { 0 } ( \bar { r } , t ) } & { { } \; = } & { } & { { } \; \frac { 2 \sqrt { 2 \bar { r } } } { ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \bar { r } } ) } , } \\ { \bar { u } _ { 1 } ( \bar { r } , t ) } & { { } \; = } & { } & { { } \; \frac { 4 } { ( 1 - t ) } - \frac { 4 \bar { r } } { ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \bar { r } } ) } , } \\ { \bar { u } _ { 2 } ( \bar { r } , t ) } & { { } \; = } & { } & { { } \; \frac { 3 \bar { r } ^ { 3 / 2 } } { \sqrt { 2 } ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \bar { r } } ) } - \frac { 4 \sqrt { 2 \bar { r } } } { ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \bar { r } } ) } + \frac { \sqrt { 2 } \bar { r } ^ { 3 / 2 } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \bar { r } } } { ( 1 - t ) ( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \bar { r } } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta X _ { \mathrm { a c } } ^ { 2 } ( t ) \rangle } & { { } \simeq \frac { 1 6 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } ( \sigma \mathcal { Y } ) ^ { 2 } M \left( \sqrt { t / \tau _ { A } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { \le \alpha \frac { t _ { 1 } ^ { 2 } } { t _ { 0 } ^ { 2 } } \exp ( - \frac \kappa 3 t ^ { 2 } ( t - t _ { 1 } ) ) + \alpha \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } \exp ( - \frac \kappa 3 ( 1 + t ^ { 2 } ) ( t - \tau ) ) } \\ & { \le \alpha \frac { t _ { 1 } ^ { 2 } } { t _ { 0 } ^ { 2 } } \exp ( - \frac \kappa 3 t ^ { 2 } ( t - t _ { 1 } ) ) + \frac { 3 \alpha } { \frac \kappa 3 ( 1 + t ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { \ell } } & { { } = } & { \frac { Z _ { 2 } \psi _ { \ell } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) - Z _ { 1 } \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \ell } ( x _ { 2 } ) } { Z _ { 2 } \psi _ { \ell } ( x _ { 1 } ) \xi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) - Z _ { 1 } \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \xi _ { \ell } ( x _ { 2 } ) } } \\ { b _ { \ell } } & { { } = } & { \frac { Z _ { 2 } \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \ell } ( x _ { 2 } ) - Z _ { 1 } \psi _ { \ell } ( x _ { 1 } ) \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) } { Z _ { 2 } \psi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) \xi _ { \ell } ( x _ { 2 } ) - Z _ { 1 } \psi _ { \ell } ( x _ { 1 } ) \xi _ { \ell } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E x t } _ { R } ^ { i } \left( \bigoplus _ { \alpha } M _ { \alpha } , N \right) } & { \cong \prod _ { \alpha } \operatorname { E x t } _ { R } ^ { i } ( M _ { \alpha } , N ) } \\ { \operatorname { E x t } _ { R } ^ { i } \left( M , \prod _ { \alpha } N _ { \alpha } \right) } & { \cong \prod _ { \alpha } \operatorname { E x t } _ { R } ^ { i } ( M , N _ { \alpha } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } ( k _ { \mathcal { Y } } ) } & { { } = \sigma ^ { 2 } ( 2 L _ { m a x } ^ { i n t r a } + L _ { m a x } ^ { i n t e r } + L _ { m a x } ^ { r e p l i c a } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta _ { L G } } & { = \hat { \pi } ^ { W } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { W } , \gamma } ) + \hat { \pi } ^ { H } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { H } , \gamma } ) * \hat { \pi } ^ { W } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { W } , \gamma } ) } \\ { \zeta _ { L L } } & { = \hat { \pi } ^ { H } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { H } , \gamma } ) * \hat { \pi } ^ { W } ( \zeta _ { \bullet , \lambda _ { W } , \gamma } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { c } \frac { \partial I } { \partial t } + \frac { 1 } { \varepsilon } \vec { \Omega } \cdot \nabla I = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \sigma \left( \phi ^ { n + 1 } b ^ { n } - I \right) , } \\ & { \frac { 1 } { \beta ^ { n } } \frac { \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } } { \Delta t } = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } c \sigma _ { p } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { p } } \int _ { R } \int _ { s ^ { 2 } } \sigma I \mathrm { d } \Omega \mathrm { d } \nu - \phi ^ { n + 1 } \right) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma _ { , } ^ { \prime } q } = \frac { e ^ { 2 } } { h } \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } \sum _ { \gamma , \delta } \int d E \quad T r [ A _ { \gamma \delta } ^ { \rho \rho ^ { \prime } } ( \alpha , \sigma ) A _ { \delta \gamma } ^ { \rho ^ { \prime } \rho } ( \beta , \sigma ^ { \prime } ) ] } \\ { \times ( f _ { \gamma } ( E ) [ 1 - f _ { \delta } ( E ) ] + [ 1 - f _ { \gamma } ( E ) ] f _ { \delta } ( E ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta v + \omega ^ { 2 } \frac { \kappa ^ { - } ( x ) } { \rho ^ { - } ( x ) } v = 0 } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } v : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { C } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \omega \in \mathbb { C } , } \\ { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \Delta v + \omega ^ { 2 } \frac { \kappa ^ { + } ( x ) } { \rho ^ { + } ( x ) } v = 0 } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } v : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { C } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \omega \in \mathbb { C } , } \end{array}
m _ { h ^ { 0 } } ^ { 2 } \leq M _ { Z } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } 2 \beta + \frac { 3 \alpha m _ { t } ^ { 4 } } { 4 \pi s ^ { 2 } ( 1 - s ^ { 2 } ) M _ { Z } ^ { 2 } } \left\{ \ln \left( \frac { m _ { \tilde { t } _ { 1 } } ^ { 2 } m _ { \tilde { t } _ { 2 } } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 4 } } \right) + \Delta _ { \theta _ { t } } \right\}
\begin{array} { r } { \frac { \Delta I } { I } = 2 \frac { \Delta N } { N } + \frac { \int _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } d \omega [ F ^ { * } ( \omega ) - F ( \omega ) ] } { \int _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } d \omega F ( \omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { A } } _ { A } ^ { k } = } & { - k ^ { 2 } \bigg [ \! ( \alpha + \gamma k ^ { 2 } ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } + ( \kappa - \delta ) \mathcal { A } _ { B } ^ { k } - \frac { \epsilon } { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } + J ^ { k } \bigg ] } \\ & { + \xi _ { \mathcal { A } _ { A } ^ { k } } \, , } \\ { \dot { \mathcal { A } } _ { B } ^ { k } = } & { - \bigg [ \beta \mathcal { A } _ { B } ^ { k } + ( \kappa + \delta ) \mathcal { A } _ { A } ^ { k } - \frac { \epsilon } { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \bigg ] + \xi _ { \mathcal { A } _ { B } ^ { k } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { m u l t } ( n , \ell , m ) } & { = \sum _ { b d | ( n , \ell , m , N _ { g } ) } \frac { \mu ( b ) } { b d } \mathrm { T r } \Big ( ( \hat { g } ) ^ { ( d , \hat { n } _ { g } ) } \big | \widetilde { E } _ { ( n m / ( b ^ { 2 } d ^ { 2 } ) , \ell / b d , 1 ) } \Big ) } \\ & { = \sum _ { b d | ( n , \ell , m , N _ { g } ) } \frac { \mu ( b ) } { b d } \mathrm { T r } \Big ( ( \hat { g } ) ^ { ( d , \hat { n } _ { g } ) } \big | \widetilde { E } _ { ( n / b d , \ell / b d , m / b d ) } \Big ) } \\ & { = \sum _ { b d | ( n , \ell , m , N _ { g } ) } \frac { \mu ( b ) } { b d } \mathrm { T r } \Big ( ( \hat { g } ) ^ { ( d , \hat { n } _ { g } ) } \big | \widetilde { E } _ { \alpha / b d } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( w ( 0 , e ) \leq \frac { c } { T ^ { p + 5 } } \right) } & { \leq C \exp \left( - c \left( \ln T \right) ^ { \frac { r } { r - 2 } } \right) + C \exp \left( - c T ^ { \frac { r } { r - 1 } } \right) + C ( T ^ { 2 } + 1 ) \exp \left( - c T \right) } \\ & { \leq C \exp \left( - c \left( \ln T \right) ^ { \frac { r } { r - 2 } } \right) . } \end{array}
t _ { p p } = \left. \frac { E _ { t , s _ { N } } } { E _ { i , p _ { 1 } } } \right\vert _ { E _ { i , s _ { 1 } } = 0 } = Q _ { 3 3 } + \frac { Q _ { 3 2 } ( Q _ { 2 4 } Q _ { 4 3 } - Q _ { 2 3 } Q _ { 4 4 } ) + Q _ { 3 4 } ( Q _ { 2 3 } Q _ { 4 2 } - Q _ { 2 2 } Q _ { 4 3 } ) } { Q _ { 2 2 } Q _ { 4 4 } - Q _ { 2 4 } Q _ { 4 2 } } ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \vphantom { f ^ { 2 } } u _ { 2 } } & { = u _ { 4 } } & & { = u _ { 1 } + \ell _ { 1 2 } \sin { \theta } _ { 1 } } & & { = u _ { 3 } - \ell _ { 3 2 } \sin { \theta } _ { 2 } \, , } \\ { v _ { 1 } } & { = v _ { 3 } } & & { = v _ { 2 } + \ell _ { 1 2 } \cos { \theta } _ { 1 } } & & { = v _ { 4 } - \ell _ { 3 2 } \cos { \theta } _ { 2 } \, . } \end{array}
m _ { k } ^ { 2 } = 8 g ^ { 2 } v ^ { 2 } \left( \sin \frac { k \pi } { 2 N } \pm 2 \frac { | \epsilon _ { F } | } { N } \cos ^ { 2 } \frac { k \pi } { 2 N } \right) \sin \frac { k \pi } { 2 N } \qquad k = 1 , \ldots , N - 1 \; .
\nabla ^ { 2 } \mathbf { E } = \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { E } } { \partial t ^ { 2 } } + \mu _ { 0 } \sigma \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } + \mu _ { 0 } \frac { \partial \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \partial t } .
\begin{array} { r l r } { \beta _ { \mathrm { a } } ( T ) } & { { } = } & { 2 B + 2 ( \gamma _ { 0 } - 1 ) T \frac { \mathrm { d } B } { \mathrm { d } T } + \frac { ( \gamma _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } } { \gamma _ { 0 } } T ^ { 2 } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } B } { \mathrm { d } T ^ { 2 } } } \\ { R T \gamma _ { \mathrm { a } } ( T ) } & { { } = } & { \left( \frac { \gamma _ { 0 } - 1 } { \gamma _ { 0 } } Q ^ { 2 } - \beta _ { \mathrm { a } } ( T ) B ( T ) \right) + \frac { 2 \gamma _ { 0 } + 1 } { \gamma _ { 0 } } C + } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r _ { 4 } = - \frac { \displaystyle \sum _ { 2 } ^ { 3 } \mathcal { G } _ { 4 , j } ^ { ( 4 ) } v _ { j - 1 } } { \nu _ { 4 } } , ~ ~ r _ { 1 } = \frac { \mathcal { G } _ { 1 , 4 } r _ { 4 } - \displaystyle \sum _ { 2 } ^ { 3 } \mathcal { G } _ { 1 , j } v _ { j - 1 } } { \mathcal { G } _ { 1 , 1 } } , } \\ & { r _ { j } = v _ { j - 1 } , \quad \mathrm { f o r } \quad j = 2 , 3 . } \end{array}
M _ { \tilde { d } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { { ( M _ { \tilde { d } } ^ { 2 } ) _ { L L } } } & { { ( M _ { \tilde { d } } ^ { 2 } ) _ { L R } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { ( M _ { \tilde { d } } ^ { 2 } ) _ { R L } } } & { { ( M _ { \tilde { d } } ^ { 2 } ) _ { R R } } } \end{array} \right) . \nonumber
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { e ^ { 2 \pi i n t } } { n } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } e ^ { 2 \pi i n t } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \left( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right) \sum _ { m = 1 } ^ { n } e ^ { 2 \pi i m t } } \\ & { = \frac { \sin \left( \pi N t \right) } { N \sin \left( \pi t \right) } e ^ { i \pi ( N + 1 ) t } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { n + 1 } \frac { \sin \left( \pi n t \right) } { n \sin \left( \pi t \right) } e ^ { i \pi ( n + 1 ) t } } \\ & { = \frac { \sin \left( \pi N t \right) } { N \sin \left( \pi t \right) } e ^ { i \pi ( N + 1 ) t } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { n + 1 } \frac { \sin \left( \pi n t \right) } { n \sin \left( \pi t \right) } \left( e ^ { i \pi ( n + 1 ) t } - 1 \right) + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { n + 1 } \frac { \sin \left( \pi n t \right) } { n \sin \left( \pi t \right) } } \\ & { = I + I \! I + I \! I \! I . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( \vec { x } ) } & { = \frac { 1 } { \Delta x ^ { 3 } } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { p } } \frac { 1 } { 2 } M _ { i } \vec { v } _ { p } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } m _ { i } n _ { i } ( \vec { x } ) \frac { 1 } { N _ { p } } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { p } } v _ { p } ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } m _ { i } \int \vec { v } ^ { 2 } \; f _ { i } ( \vec { x } , \vec { v } ) \; d ^ { 3 } \vec { v } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } m _ { i } n _ { i } ( \vec { x } ) \left[ \vec { V _ { i } } ( \vec { x } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { n _ { i } } \int ( \vec { v } - \vec { V } _ { i } ( \vec { x } ) ) ^ { 2 } \; f _ { i } ( \vec { x } , \vec { v } ) \; d ^ { 3 } \vec { v } \right] } \\ & { = u _ { k , i } + u _ { t h , i } } \end{array}
{ \frac { \cot { \frac { A } { 2 } } } { s - a } } = { \frac { \cot { \frac { B } { 2 } } } { s - b } } = { \frac { \cot { \frac { C } { 2 } } } { s - c } } = { \frac { 1 } { \zeta } } ~ .
\frac { \alpha d } { 6 R } = \frac { 1 . 3 4 \mathrm { C a } ^ { * 2 / 3 } } { 1 + 2 . 5 3 \mathrm { G o } ^ { 1 . 8 5 } / \left[ 1 + 1 . 7 9 \mathrm { G o } ^ { 0 . 8 5 } \right] } ,
j _ { m } = { \frac { 1 0 0 0 \times ( 1 . 5 \times 1 0 ^ { - 3 } ) } { \pi \times ( 2 \times 1 0 ^ { - 2 } ) ^ { 2 } \times 2 } } = { \frac { 3 } { 1 6 \pi } } \times 1 0 ^ { 4 }
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } : } & { { } \quad \quad \int _ { \Omega } v \nabla ^ { 2 } u = \int _ { \Omega } u \nabla ^ { 2 } v + \int _ { \partial \Omega } \left( v ( \nabla u ) - u ( \nabla v ) \right) \cdot \mathbf { n } d s \ } \\ { G _ { 2 } : } & { { } \quad \quad \int _ { \Omega } v \left( \nabla \cdot \mathbf { u } \right) = - \int _ { \Omega } \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \right) v + \int _ { \partial \Omega } v ( \mathbf { u } \cdot \mathbf { n } ) d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { C } = \sigma \left( \left[ \begin{array} { l } { r _ { \mathrm { C C } } } \\ { r _ { \mathrm { C D } } } \\ { r _ { \mathrm { D C } } } \\ { r _ { \mathrm { D D } } } \end{array} \right] , \beta \right) , \; \; \mathrm { w h e r e } \; \; \mathbf { C } _ { \mathrm { C C } } } & { { } = \frac { \exp ( \beta r _ { \mathrm { C C } } ) } { \sum _ { i } \exp ( \beta r _ { i } ) } } \\ { \ln \mathbf { C } _ { \mathrm { C C } } } & { { } = \beta r _ { \mathrm { C C } } - \ln \left( \sum _ { i } \exp ( \beta r _ { i } ) \right) } \\ { \implies \ln \mathbf { C } } & { { } \propto \beta \left[ \begin{array} { l } { r _ { \mathrm { C C } } } \\ { r _ { \mathrm { C D } } } \\ { r _ { \mathrm { D C } } } \\ { r _ { \mathrm { D D } } } \end{array} \right] } \end{array}
( \tilde { \psi } ^ { [ M ] } ) _ { x } ^ { \lambda 2 ^ { M } } = ( \tilde { \tilde { \psi } } ^ { [ M ] } ) _ { y } ^ { \lambda 2 ^ { M + 1 } } \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \tilde { \tilde { \psi } } ^ { [ M ] } = \tilde { \tilde { \psi } } ^ { [ M , y , x , \lambda ] } : = ( \tilde { \psi } ^ { [ M ] } ) _ { \frac { x - y } { \lambda 2 ^ { M + 1 } } } ^ { \frac { 1 } { 2 } }
\begin{array} { r l } { \tilde { f } _ { \mathrm { f s } } } & { { } = \left( 1 - r _ { \mathrm { f s } } \right) \mathcal { G } _ { 1 0 } + r _ { \mathrm { f s } } f ^ { \mathrm { e q } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 t } } & { = } & { \frac { \phi _ { 0 t } } { c } = A _ { 0 i } , } \\ { A _ { 0 r } } & { = } & { \frac { \phi _ { 0 r } } { c } = 0 , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { \cos \theta _ { i } - \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } { \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 t } } & { = } & { \overline { { A } } _ { 0 i } \frac { 2 \cos \theta _ { i } } { \cos \theta _ { i } + \sqrt { n ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } \theta _ { i } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \bigg [ \lambda _ { i } ^ { 4 } } & { { } - \lambda _ { i } ^ { 2 } ( s R e + 2 ) + ( 1 + s R e ) \bigg ] C _ { i } ( s ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \mathscr { E } _ { i } ( s ) \bigg [ ( D + \lambda _ { i } ) ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ Q _ { n } \Lambda ^ { n } ( T ) Q _ { n } \left( \phi _ { 1 } \otimes \cdots \otimes \phi _ { n } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } Q _ { n } \Lambda ^ { n } ( T ) \left( \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } } \phi _ { \pi _ { 1 } ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes \phi _ { \pi _ { 1 } ( n ) } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } Q _ { n } \left( \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } } T \phi _ { \pi _ { 1 } ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes T \phi _ { \pi _ { 1 } ( n ) } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } } T \phi _ { \pi _ { 1 } ( 1 ) } \wedge \cdots \wedge T \phi _ { \pi _ { 1 } ( n ) } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \frac { 1 } { \sqrt { n ! } } \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } \sum _ { \pi _ { 2 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } } T \phi _ { \pi _ { 2 } \pi _ { 1 } ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes T \phi _ { \pi _ { 2 } \pi _ { 1 } ( n ) } } \\ & { = \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } T \phi _ { \pi ( 1 ) } \otimes \cdots \otimes T \phi _ { \pi ( n ) } } \\ & { = \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \int _ { a } ^ { b } \int _ { c } ^ { d } K ( x _ { 1 1 } , x _ { 2 1 } , y _ { 1 1 } , y _ { 2 1 } ) \phi _ { \pi ( 1 ) } ( y _ { 1 1 } , y _ { 2 1 } ) \mathrm { d } y _ { 1 1 } \mathrm { d } y _ { 2 1 } \cdots } \\ & { ~ ~ ~ ~ \int _ { a } ^ { b } \int _ { c } ^ { d } K ( x _ { 1 n } , x _ { 2 n } , y _ { 1 n } , y _ { 2 n } ) \phi _ { \pi ( n ) } ( y _ { 1 n } , y _ { 2 n } ) \mathrm { d } y _ { 1 n } \mathrm { d } y _ { 2 n } } \\ & { = \int _ { ( ( a , b ) \times ( c , d ) ) ^ { n } } \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } K ( x _ { 1 1 } , x _ { 2 1 } , y _ { 1 \pi ( 1 ) } , y _ { 2 \pi ( 1 ) } ) \cdots K ( x _ { 1 n } , x _ { 2 n } , y _ { 1 \pi ( n ) } , y _ { 2 \pi ( n ) } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ \phi _ { 1 } ( y _ { 1 1 } , y _ { 2 1 } ) \cdots \phi _ { n } ( y _ { 1 n } , y _ { 2 n } ) \mathrm { d } y _ { 1 1 } \cdots \mathrm { d } y _ { 2 n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \psi } ( t , z ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathbf { i } } \int _ { \gamma - i \infty } ^ { \gamma + i \infty } \exp { ( s t ) } d s \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } ( s ) z ) } \Bigg [ \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s ) \Bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma q ^ { n _ { i } - n _ { j } } \varepsilon ^ { - 1 / 2 } Q ^ { n _ { j } - n _ { i } } ( z _ { i } , z _ { j } ) } & { \longrightarrow \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } v \, e ^ { q ^ { 1 / 2 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) v ^ { 2 } - q ^ { 1 / 4 } ( u _ { i } - u _ { j } ) v } , } \end{array}
\Delta = ( m _ { 1 } \Lambda _ { 2 } - m _ { 2 } \Lambda _ { 1 } ) ^ { 2 } + 4 m _ { 1 } m _ { 2 } \Lambda _ { 3 } ^ { 2 } - 4 m _ { 3 } ( m _ { 1 } \Lambda _ { 2 } \Lambda _ { 3 } + m _ { 2 } \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 3 } - m _ { 3 } \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } ) ~ .
\begin{array} { r l } { P ( \mathbf { s } _ { t } ) } & { = \mathbb { E } _ { P ( \mathbf { s } _ { t - 1 } ) } \left[ P ( \mathbf { s } _ { t } | \mathbf { s } _ { t - 1 } , \mathbf { u } _ { t - 1 } , \mathbf { B } ) \right] } \\ & { \approx \mathbb { E } _ { Q ( \mathbf { s } _ { t - 1 } ; \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t - 1 } } ) } \left[ P ( \mathbf { s } _ { t } | \mathbf { s } _ { t - 1 } , \mathbf { u } _ { t - 1 } , \mathbf { B } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { \mathrm { o u t e r } } \sim 1 - \epsilon \log { ( \epsilon ) } + \epsilon \bigg [ - \frac { \log { ( \hat { y } ) } } { 2 } + \frac { 1 } { 4 \hat { y } } + \cdots \bigg ] + \frac { \epsilon ^ { 2 } \log ^ { 2 } { ( \epsilon ) } } { 2 } \qquad \qquad \qquad \quad } \\ { + \epsilon ^ { 2 } \log { ( \epsilon ) } \bigg [ \frac { \log { ( \hat { y } ) } } { 2 } - \frac { 1 } { 4 \hat { y } } + \cdots \bigg ] + \epsilon ^ { 2 } \bigg [ \frac { \log ^ { 2 } { ( \hat { y } ) } } { 8 } - \frac { \log { ( \hat { y } ) } } { 8 \hat { y } } + \frac { 1 } { 8 \hat { y } } + \cdots \bigg ] + \cdots . } \end{array}
\textstyle \partial _ { \hat { U } _ { j } } \sum _ { i = 1 } ^ { L - 1 } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle \stackrel { } { = } \sum _ { i = 1 } ^ { j } \hat { g } _ { i } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \hat { g } _ { i } \stackrel { } { = } \operatorname { T r } _ { M _ { i } } \big ( \hat { Y } _ { i } \tilde { U } _ { j } \hat { X } _ { i } - \tilde { U } _ { j } \hat { X } _ { i } \tilde { U } _ { j } ^ { \dag } \hat { Y } _ { i } \tilde { U } _ { j } \big ) ,
\begin{array} { r l } { Q } & { = 4 \pi R ^ { 2 } \left( - \varepsilon _ { \mathrm { i n } } \varepsilon _ { 0 } \left. \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } \right| _ { r = R - 0 } + \sigma _ { R } \right) } \\ & { = - 4 \pi R ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } \varepsilon _ { 0 } \left. \frac { d \psi ^ { \mathrm { e q } } } { d r } \right| _ { r = R + 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = D \; \left[ \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \right] \; c ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } \\ & { + D \; \left[ \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \right] \; \left( 1 - \frac { \left[ \gamma ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } \right] } { \left[ \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \right] } \left[ \gamma ^ { \frac { \beta - 1 } { 1 - \alpha } } \right] \right) h ( \alpha , \beta ) \times } \\ & { \qquad \times \frac { 1 } { 2 } \left( \langle \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle \left( \frac { \tau ^ { \prime } } { \tau } \right) ^ { \frac { \beta - \alpha } { 1 - \alpha } } + \langle \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle \left( \frac { \tau } { \tau ^ { \prime } } \right) ^ { \frac { \beta - \alpha } { 1 - \alpha } } \right) } \\ & { + \mathrm { V a r } \left[ \gamma ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } \right] \tilde { L } _ { 0 } ( \tau ) \; \tilde { L } _ { 0 } ( \tau ^ { \prime } ) } \end{array}
\varepsilon ( t ) = \frac { \sum _ { n = 0 } ^ { \frac { N } { 2 } } \left| ( c _ { n } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - ( c _ { n } ) ^ { 2 } \right| } { \sum _ { n = 0 } ^ { \frac { N } { 2 } } | c _ { n } ^ { \prime } | ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \textbf { S } ^ { 1 , 1 } ( \mathcal { T } _ { h } ) : = \{ \textbf { u } \in \textbf { H } ^ { 1 } ( \Omega ) \qquad : \qquad \textbf { u } | _ { T } \in \textbf { P } _ { 1 } ( T ) \quad \forall T \in \mathcal { T } _ { h } \} , } \\ { S ^ { 1 , 1 } ( \mathcal { T } _ { h } ) : = \{ u \in H ^ { 1 } ( \Omega ) \qquad : \qquad u | _ { T } \in P _ { 1 } ( T ) \quad \forall T \in \mathcal { T } _ { h } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { D } _ { x y } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) } \\ & { } & { = { \bf 1 } \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) - i \sigma _ { 3 } \cos \left( { \it \Delta \phi } \right) \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ & { } & { - i \sigma _ { 1 } \sin \left( { \it \Delta \phi } \right) \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ & { } & { = \cos ( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } ) { \bf 1 } - i \sin ( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } ) \left( \begin{array} { c c } { \cos ( { \it \Delta \phi } ) } & { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } \\ { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } & { - \cos ( { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } \Phi ( u ) \cdot \nabla u \, d x } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } \Phi _ { k } ( u ) \frac { \partial u } { \partial x _ { k } } \, d x = \sum _ { k = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } \frac { \partial } { \partial x _ { k } } ( G _ { k } ( u ) ) \, d x } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { d } \left\{ \int _ { \partial \Omega } G _ { k } ( u ) \cdot 1 \, d S - \int _ { \Omega } G _ { k } ( u ) \cdot 0 \, d x \right\} = 0 . } \end{array}
b = { \frac { 2 } { 3 } } { \sqrt { - m _ { b } ^ { 2 } + 2 m _ { a } ^ { 2 } + 2 m _ { c } ^ { 2 } } } = { \sqrt { 2 ( a ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) - 4 m _ { b } ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { a ^ { 2 } } { 2 } } - c ^ { 2 } + 2 m _ { a } ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { c ^ { 2 } } { 2 } } - a ^ { 2 } + 2 m _ { c } ^ { 2 } } } ,
P _ { \mathrm { c } } ( d ) = - \frac { k _ { b } T } { \pi } \overset { \infty } { \underset { n = 0 } { \sum } } ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \infty } k _ { \Vert } k _ { 3 } d k _ { \Vert } \underset { \alpha = s , p } { \sum } \frac { r _ { 1 } ^ { \alpha } r _ { 2 } ^ { \alpha } e ^ { - 2 k _ { 3 } a } } { 1 - r _ { 1 } ^ { \alpha } r _ { 2 } ^ { \alpha } e ^ { - 2 k _ { 3 } a } } ,