harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { S _ { 1 } } & { { } = } & { x _ { 1 , 1 } + x _ { 2 , 1 } - x _ { 3 , 1 } - x _ { 4 , 1 } \; , } \\ { S _ { 2 } } & { { } = } & { x _ { 1 , 1 } - x _ { 2 , 1 } + x _ { 3 , 1 } - x _ { 4 , 1 } \; , } \\ { S _ { 3 } } & { { } = } & { x _ { 1 , 2 } + x _ { 2 , 2 } - x _ { 3 , 2 } - x _ { 4 , 2 } \; , } \\ { S _ { 4 } } & { { } = } & { x _ { 1 , 2 } - x _ { 2 , 2 } + x _ { 3 , 2 } - x _ { 4 , 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) ; p ( \mathbf { y } | \{ \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } \} ) } \\ & { = - 2 \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) p ( \mathbf { y } | \vec { \mathbf { x } } ) d \vec { \mathbf { x } } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ^ { 2 } ( \mathbf { y } | \mathbf { x } _ { 1 } ) d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } p ^ { 2 } ( \mathbf { y } | \vec { \mathbf { x } } ) d \vec { \mathbf { x } } d \mathbf { y } \right) } \\ & { = - 2 \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { y } ) p ( \vec { \mathbf { x } } , \mathbf { y } ) } { p ( \mathbf { x } _ { 1 } ) p ( \vec { \mathbf { x } } ) } d \vec { \mathbf { x } } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { y } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } \right) + \log \left( \int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \vec { \mathbf { x } } , \mathbf { y } ) } { p ^ { 2 } ( \vec { \mathbf { x } } ) } d \vec { \mathbf { x } } d \mathbf { y } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { k } [ \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { \frac { 2 ( 1 - \theta ) } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} + \frac { \gamma \theta - \rho } { ( \gamma - \kappa ) \theta } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \gamma \beta \theta } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} - \frac { \rho - 3 \lambda - 2 \kappa \beta - \kappa } { ( \gamma - \kappa ) \theta } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - \hat { z } ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 4 L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } - \frac { \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { 2 \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } } \\ { = } & { \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { \rho - \kappa \theta } { ( \gamma - \kappa ) \theta } \| \hat { z } ^ { k } - z ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \beta } { ( \gamma - \kappa ) \theta } \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} } \\ & { + \frac { 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \gamma \beta \theta } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} - \frac { \rho - 3 \lambda - 2 \kappa \beta - \kappa } { ( \gamma - \kappa ) \theta } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - \hat { z } ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { + \frac { 4 L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } - \frac { \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { 2 \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { W } : = } & { - ( a _ { 1 } ^ { 2 } + 4 a _ { 2 } ) ^ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 6 } + 4 a _ { 2 } a _ { 6 } - a _ { 1 } a _ { 3 } a _ { 4 } + a _ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } - a _ { 4 } ^ { 2 } ) - 8 ( 2 a _ { 4 } + a _ { 1 } a _ { 3 } ) ^ { 3 } } \\ & { - 2 7 ( a _ { 3 } ^ { 2 } + 4 a _ { 6 } ) ^ { 2 } + 9 ( a _ { 1 } ^ { 2 } + 4 a _ { 2 } ) ( 2 a _ { 4 } + a _ { 1 } a _ { 3 } ) ( a _ { 3 } ^ { 2 } + 4 a _ { 6 } ) \in F } \end{array}
\partial _ { \epsilon } \varphi _ { 0 t } ^ { v + \epsilon h } | _ { \epsilon = 0 } = \partial _ { v } \varphi _ { 0 t } ^ { v } h = \int _ { 0 } ^ { t } ( D \varphi _ { u t } ^ { v } h ( u ) ) \circ \varphi _ { 0 u } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) d u = \int _ { 0 } ^ { t } ( \mathrm { A d } _ { \varphi _ { u t } ^ { v } } h ( u ) ) \circ \varphi _ { 0 t } ^ { v } ( \textbf { x } _ { 0 } ) d u .
\psi ^ { h } ( 1 , \eta ; k _ { 1 } ) = \sum _ { i , j = 1 } ^ { m + 1 } { \psi _ { i j k _ { 1 } } l _ { i } ( 1 ) l _ { j } ( \eta ) } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { m + 1 } { \psi _ { ( m + 1 ) j k _ { 1 } } l _ { j } ( \eta ) } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { L _ { e } = \frac { 6 } { \pi \chi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { v _ { p } / v _ { F } } u d u \int _ { 0 } ^ { \infty } z d z \operatorname { I m } \frac { 1 } { \varepsilon ( z , u ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { F } } ( i \omega _ { \alpha } ) = } & { { } \Omega _ { \alpha \beta } ^ { ( c ) } \overline { { F } } ( i \tau _ { \beta } ) } \\ { \underline { { F } } ( i \omega _ { \alpha } ) = } & { { } \Omega _ { \alpha \beta } ^ { ( s ) } \underline { { F } } ( i \tau _ { \beta } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g ) T _ { n } ( f ) T _ { n } ( \bar { f } ) T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { g } ) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) = } \\ & { \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) + L , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { u _ { n } ^ { 1 } ( y ) } } \\ { { u _ { n } ^ { 2 } ( y ) } } \end{array} \right) \propto \left( \begin{array} { c } { { \cos \left( \mu _ { n } y \right) + \frac { m _ { - } } { \mu _ { n } } \sin \left( \mu _ { n } y \right) } } \\ { { \frac { M _ { n } - m _ { + } } { \mu _ { n } } \sin \left( \mu _ { n } y \right) } } \end{array} \right)
\textrm { A } ( ^ { 3 } P _ { j } ) + \textrm { H } ( ^ { 2 } S _ { 1 / 2 } ) \rightarrow \textrm { A } ( ^ { 3 } P _ { j ^ { \prime } } ) + \textrm { H } ( ^ { 2 } S _ { 1 / 2 } ) \, ,
\tilde { \dot { Q } } ( 0 ) = - i \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \omega \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { D } } \sum _ { m = 1 } ^ { N _ { A } } \mathbf { E } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { A _ { m } } , \mathbf { r } _ { D _ { n } } , - \omega ) \cdot { \mathbf { p } } _ { A _ { m } } ( \omega )
{ \begin{array} { r l } { \Pi _ { u } ( g ( \phi , \theta , \psi ) ) } & { = \pm { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i { \frac { \phi } { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i { \frac { \phi } { 2 } } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { \cos { \frac { \theta } { 2 } } } & { i \sin { \frac { \theta } { 2 } } } \\ { i \sin { \frac { \theta } { 2 } } } & { \cos { \frac { \theta } { 2 } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i { \frac { \psi } { 2 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i { \frac { \psi } { 2 } } } } \end{array} \right) } } \\ & { = \pm { \left( \begin{array} { l l } { \cos { \frac { \theta } { 2 } } e ^ { i { \frac { \phi + \psi } { 2 } } } } & { i \sin { \frac { \theta } { 2 } } e ^ { i { \frac { \phi - \psi } { 2 } } } } \\ { i \sin { \frac { \theta } { 2 } } e ^ { - i { \frac { \phi - \psi } { 2 } } } } & { \cos { \frac { \theta } { 2 } } e ^ { - i { \frac { \phi + \psi } { 2 } } } } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\mathrm { V a r s } _ { m } = \{ q _ { m } , u _ { m } , v _ { m } , \frac { 1 } { 2 } | \mathbf { u } _ { m } | ^ { 2 } , \frac { 1 } { 2 } | \mathrm { c u r l } ( \mathbf { u } _ { m } ) | ^ { 2 } \}
\frac { \partial \hat { A } _ { 1 } } { \partial C } = \frac { - 1 } { \lambda \mathcal { A } ^ { 2 } } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \hat { A } _ { 1 } } { \partial E } = \frac { - 1 } { \lambda \mathcal { A } ^ { 2 } } \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial \hat { A } _ { 1 } } { \partial \kappa } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { \nu _ { k l } \left( u _ { k l } \right) } & { { } \approx } & { \frac { n _ { l } } { C _ { k l } \, \gamma _ { k l } ^ { 2 } \, u _ { k l } ^ { 3 } } \, \Lambda _ { k l } \, , } \\ { \Lambda _ { k l } } & { { } \approx } & { \ln \left( \frac { u _ { k l } ^ { 2 } + B } { B } \right) - \frac { u _ { k l } ^ { 2 } } { u _ { k l } ^ { 2 } + B } \, , } \\ { C _ { k l } } & { { } = } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } } { q _ { k } ^ { 2 } q _ { l } ^ { 2 } } \, , } \\ { m _ { k l } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( t , x , y ) } & { = \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \chi _ { | k | > c t + \kappa } \, \left( \frac { | k | - c t } { | k | } \right) ^ { H + d - \frac { 1 } { 2 } } \widehat { \varphi } \left( \frac { | k | - c t } { | k | } k \right) e ^ { - i 2 \pi \left( \frac { | k | - c t } { | k | } \right) k \cdot y + i 2 \pi k \cdot x } \, d k } \\ & { = \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \left( \frac { | k | } { | k | + c t } \right) ^ { H + \frac { 1 } { 2 } } \widehat { \varphi } ( k ) \, e ^ { i 2 \pi \left( \frac { | k | + c t } { | k | } \right) k \cdot x - i 2 \pi k \cdot y } \, d k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x \sim \mathcal { A } } \left[ F ( x ) \right] - F ( x ^ { \star } ) } & { \le \mu \left( r ( x ^ { \star } ) - r ( x ) \right) + d + G D \cdot o \left( \operatorname* { m i n } \left( \frac 1 { \log d } , \sqrt { \frac { d } { k \log ^ { 3 } ( d k ) } } \right) \right) } \\ & { = O ( d ) + o \left( \frac { G D } { \log d } \operatorname* { m i n } \left( 1 , \sqrt { \frac { d } { k \log ( d k ) } } \right) \right) . } \end{array}
\chi _ { l } ^ { ( k ) } ( q ) = { \frac { 1 } { \eta ( \tau ) ^ { 3 } } } \cdot 2 ( k + 2 ) \sum _ { m = \infty } ^ { \infty } \left( m + { \frac { l + 1 } { 2 ( k + 2 ) } } \right) \exp \left( 2 \pi i ( k + 2 ) \tau \left( m + { \frac { l + 1 } { 2 ( k + 2 ) } } \right) ^ { 2 } \right) ,
- \frac { \partial ^ { 2 } } { { \partial u } ^ { 2 } } \: { \bf C } = \left\{ \frac { r } { 8 } \: \nabla _ { \alpha } v \nabla _ { \mu } v \: m _ { \beta } m _ { \nu } R ^ { \alpha \beta \mu \nu } \right\} \Biggl | _ { { \cal I } ^ { + } } \; .
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \left| f ( \theta , \varphi ) - \sum _ { \ell = 0 } ^ { N } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } f _ { \ell } ^ { m } Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta , \varphi ) \right| ^ { 2 } \sin \theta \, d \theta \, d \varphi = 0 .
\begin{array} { r l } { H ^ { p } ( \nabla u _ { t } ) } & { = \eta H ^ { p } \left( \frac { t u ^ { p } } { \eta } \frac { \nabla u } { u } + \frac { ( 1 - t ) U ^ { p } } { \eta } \frac { \nabla U } { U } \right) } \\ & { \leqslant \eta \left[ \frac { t u ^ { p } } { \eta } H \left( \frac { \nabla u } { u } \right) + ( 1 - t ) \frac { U ^ { p } } { \eta } H \left( \frac { \nabla U } { U } \right) \right] ^ { p } } \\ & { \leqslant \eta \left[ \frac { t u ^ { p } } { \eta } H ^ { p } \left( \frac { \nabla u } { u } \right) + ( 1 - t ) \frac { U ^ { p } } { \eta } H ^ { p } \left( \frac { \nabla U } { U } \right) \right] } \\ & { = t H ^ { p } ( \nabla u ) + ( 1 - t ) H ^ { p } ( \nabla U ) . } \end{array}
S _ { F F } ^ { \mathrm { Q } } ( \nu ) = \hbar | \chi _ { m } ( \omega _ { 0 } ) | \left[ \frac { 1 } { | \chi _ { m } ( \nu ) | ^ { 2 } } + \frac { 1 } { | \chi _ { m } ( \omega _ { 0 } ) | ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ^ { < } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = i \sum _ { n } \rho _ { n } \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) c _ { j } ( t ) | n \rangle } \\ & { = i \sum _ { n } \rho _ { n } \langle n | e ^ { i t ^ { \prime } \mathcal { H } } c _ { i } ^ { \dagger } e ^ { i ( t - t ^ { \prime } ) \mathcal { H } } c _ { j } e ^ { - i t \mathcal { H } } | n \rangle } \\ & { = i \sum _ { n n ^ { \prime } } \rho _ { n } \langle n | c _ { i } ^ { \dagger } | n ^ { \prime } \rangle \langle n ^ { \prime } | c _ { j } | n \rangle e ^ { i ( t - t ^ { \prime } ) ( E _ { n ^ { \prime } } - E _ { n } ) } } \\ { G _ { i j } ^ { > } ( t , t ^ { \prime } ) } & { = - i \sum _ { n n ^ { \prime } } \rho _ { n } \langle n | c _ { i } | n ^ { \prime } \rangle \langle n ^ { \prime } | c _ { j } ^ { \dagger } | n \rangle e ^ { i ( t - t ^ { \prime } ) ( E _ { n } - E _ { n ^ { \prime } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \binom { n } { k } } p ^ { k } q ^ { n - k } } & { { } \simeq { \sqrt { \frac { 1 } { 2 \pi n { \frac { k } { n } } \left( 1 - { \frac { k } { n } } \right) } } } \left( { \frac { n p } { k } } \right) ^ { k } \left( { \frac { n q } { n - k } } \right) ^ { n - k } } \end{array}
\left( \sqrt { \frac { 2 l + 1 } { 2 l + 2 } } \widehat { P } ^ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { l } } ( x ) \gamma _ { 5 } \left[ \delta _ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { l } } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { l } } - \frac { 1 } { 2 j + 1 } \sum _ { i = 1 } ^ { l } \gamma _ { \nu _ { i } } ( \gamma ^ { \mu _ { i } } - v ^ { \mu _ { i } } - \frac { i \overleftarrow { d ^ { \mu _ { i } } } } { m _ { M _ { j } } } ) \delta _ { \nu _ { 1 } \cdots \widehat { \nu } _ { i } \cdots \nu _ { l } } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \widehat { \mu } _ { i } \cdots \mu _ { l } } \right] + \widehat { P } ^ { * \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { l + 1 } } ( x ) \gamma _ { \mu _ { l + 1 } } \right) ,
R _ { \nu _ { a } } = 0 , \; \; R _ { e } = R _ { \mu } = 2 \, s _ { W } ^ { 2 } , \quad R _ { \tau } = R _ { T } = - 1 + 2 \, s _ { W } ^ { 2 } , \quad R _ { N _ { 1 } } = R _ { N _ { 2 } } = 0 .
{ \begin{array} { r l } { \int \operatorname { p d f } _ { \mathrm { M J } } ( \mathbf { p } ) \mathrm { d } p _ { 1 } \cdots \mathrm { d } p _ { d } } & { \propto \int e ^ { - { \frac { E ( \mathbf { p } ) } { k _ { \mathrm { B } } T } } } \mathrm { d } p _ { 1 } \cdots \mathrm { d } p _ { d } } \\ & { = \int e ^ { - { \frac { E ( \gamma \Omega _ { d } ) } { k _ { \mathrm { B } } T } } } \mathrm { d } \Omega _ { d } p ^ { d - 1 } \mathrm { d } p } \\ & { = \int _ { \Omega _ { d } } e ^ { - { \frac { E ( \gamma \Omega _ { d } ) } { k _ { \mathrm { B } } T } } } \, \left( p ( \gamma ) ^ { d - 1 } { \frac { \mathrm { d } p ( \gamma ) } { \mathrm { d } \gamma } } \right) \mathrm { d } \Omega _ { d } \mathrm { d } \gamma } \end{array} }
X ^ { i } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { \tau ^ { i } } } & { { { \bf 0 } } } \\ { { { \bf 0 } } } & { { \tau ^ { i T } } } \end{array} \right) \ , \qquad i = 1 , 2 , 3 \ ,
{ \check { \omega } } ^ { r } ( \theta ^ { \alpha } , \dot { \theta } ^ { \alpha } ) = - { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { r u v } [ R ^ { T } \dot { R } ] ^ { u v } ( \theta ^ { \alpha } , \dot { \theta } ^ { \alpha } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { r u v } [ { \dot { R } } ^ { T } R ] ^ { u v } ( \theta ^ { \alpha } , \dot { \theta } ^ { \alpha } ) .
\begin{array} { r l r } { \hat { r } \, | \, ^ { \infty } \! G ( \tau ) \} } & { = } & { \hat { r } \left[ H ( \tau ) e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau } - H ( - \tau ) \hat { e } ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau } \right] \hat { r } \hat { r } \hat { \kappa } \hat { r } \hat { r } | 0 ) } \\ & { = } & { \left[ H ( \tau ) e ^ { - ( \hat { r } \hat { \kappa } _ { \bf u } \hat { r } ) \tau } - H ( - \tau ) \hat { e } ^ { - ( \hat { r } \hat { \kappa } _ { \bf d } \hat { r } ) \tau } \right] \left[ - \hat { \kappa } \right] | 0 ) } \\ & { = } & { \left[ H ( - \tau ) e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau } - H ( \tau ) e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau } \right] \hat { \kappa } | 0 ) } \\ & { = } & { | \, ^ { \infty } \! G ( - \tau ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi \left( \vec { r } \right) } & { { } = \frac { i \, n _ { a t } \left( \vec { r } \right) \Gamma \sigma \lambda _ { P } / 4 \pi } { \frac { \Gamma } { 2 } - i ( \Delta _ { P } - \delta _ { 1 } ) + \frac { \Omega _ { C , e f f } ^ { 2 } / 4 } { \gamma - i \left[ \Delta _ { P } + \Delta _ { C } - \delta _ { 2 } - \delta _ { S t a r k } \left( \vec { r } \right) \right] } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \xi } _ { x } = \left( y _ { \eta } z \right) _ { \zeta } - \left( y _ { \zeta } z \right) _ { \eta } , \quad \hat { \xi } _ { y } = \left( z _ { \eta } x \right) _ { \zeta } - \left( z _ { \zeta } x \right) _ { \eta } , \quad \hat { \xi } _ { z } = \left( x _ { \eta } y \right) _ { \zeta } - \left( x _ { \zeta } y \right) _ { \eta } , } \\ & { \hat { \eta } _ { x } = \left( y _ { \zeta } z \right) _ { \xi } - \left( y _ { \xi } z \right) _ { \zeta } , \quad \hat { \eta } _ { y } = \left( z _ { \zeta } x \right) _ { \xi } - \left( z _ { \xi } x \right) _ { \zeta } , \quad \hat { \eta } _ { z } = \left( x _ { \zeta } y \right) _ { \xi } - \left( x _ { \xi } y \right) _ { \zeta } , } \\ & { \hat { \zeta } _ { x } = \left( y _ { \xi } z \right) _ { \eta } - \left( y _ { \eta } z \right) _ { \xi } , \quad \hat { \zeta } _ { y } = \left( z _ { \xi } x \right) _ { \eta } - \left( z _ { \eta } x \right) _ { \xi } , \quad \hat { \zeta } _ { z } = \left( x _ { \xi } y \right) _ { \eta } - \left( x _ { \eta } y \right) _ { \xi } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { K } = - \bar { \rho } \left\langle u _ { i } ^ { \prime \prime } u _ { j } ^ { \prime \prime } \right\rangle \frac { \partial \left\langle u _ { i } \right\rangle } { \partial x _ { j } } = \underbrace { - \bar { \rho } \left\langle u ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } \right\rangle \left( \frac { \partial \langle u \rangle } { \partial y } + \frac { \partial \langle v \rangle } { \partial x } \right) } _ { P _ { s } } } \\ { \underbrace { - \bar { \rho } \left\langle u ^ { \prime \prime } u ^ { \prime \prime } \right\rangle \frac { \partial \langle u \rangle } { \partial x } } _ { P _ { x } } \underbrace { - \bar { \rho } \left\langle v ^ { \prime \prime } v ^ { \prime \prime } \right\rangle \frac { \partial \langle v \rangle } { \partial y } } _ { P _ { y } } } \\ { - \bar { \rho } \langle u ^ { \prime \prime } w ^ { \prime \prime } \rangle \left( \frac { \partial \langle u \rangle } { \partial z } + \frac { \partial \langle w \rangle } { \partial x } \right) - } \\ { \bar { \rho } \langle v ^ { \prime \prime } w ^ { \prime \prime } \rangle \left( \frac { \partial \langle v \rangle } { \partial z } + \frac { \partial \langle w \rangle } { \partial y } \right) - \bar { \rho } \langle w ^ { \prime \prime } w ^ { \prime \prime } \rangle \frac { \partial \langle w \rangle } { \partial z } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda ( q , \tilde { T } , \eta ) } & { { } \sim } & { \frac { e ^ { - x \sqrt { t } - \eta ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi x } \sqrt [ 4 ] { 1 + ( q / x ) ^ { 2 } } } \exp ( g ( q , x ) ) , } \\ { g ( q , x ) } & { { } = } & { q \frac { \tilde { \beta } } { 2 } - q \, \mathrm { a r s i n h } \left( \frac { q } { x } \right) + \sqrt { x ^ { 2 } + q ^ { 2 } } . } \end{array}
\sin { 2 ( \delta _ { 0 } ^ { 0 } - \delta _ { 1 } ^ { 1 } ) } = 2 \sqrt { 1 - \displaystyle \frac { 4 M _ { \pi } ^ { 2 } } { s } } \; ( a _ { 0 } ^ { 0 } + q ^ { 2 } b ) ~ .
\begin{array} { r l } { \left[ 1 + \frac { L _ { 2 } \epsilon } { \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } \cos \left( \frac { \Phi _ { 1 } } { \Phi _ { 0 } } \right) \right] \dot { \Phi } _ { 1 } } & { = h _ { 3 } ^ { \prime } ( - Q ) \, , } \\ { \dot { Q } } & { = \frac { \epsilon } { \Phi _ { 0 } } \sin \left( \frac { \Phi _ { 1 } } { \Phi _ { 0 } } \right) \, . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Gamma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pm } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cap \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \pm } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left| \phi _ { k } ^ { i } - \tilde { \phi } _ { k } ^ { i } \right| ^ { 2 } = \frac { 1 } { T ^ { 2 } ( \lambda ^ { i } ) ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left| \sum _ { j = 0 } ^ { \lambda _ { i } } \left( c _ { j , k } ^ { i } - \tilde { c } _ { j , k } ^ { i } \right) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { x } ( t ) } & { = \sum _ { i } \Biggl \{ \frac { c _ { i } \sqrt { \dot { \gamma } - \omega _ { i } } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { \omega _ { i } } } p _ { i x } ( 0 ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } t } - e ^ { \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) + \Bigl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } Q _ { x } ( 0 ) + \frac { c _ { i } } { 4 } q _ { i x } ( 0 ) + \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } p _ { y } ( 0 ) \Bigr ] \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } + e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) } \\ & { + \Bigl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } } Q _ { x } ( 0 ) + \frac { c _ { i } } { 4 } q _ { i x } ( 0 ) - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } p _ { i y } ( 0 ) \Bigr ] \Bigl ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } + e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) - \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } ^ { 2 } } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } p _ { i x } ( 0 ) e ^ { \lambda _ { 4 } t } } \\ & { + \Biggl [ \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } ) } } Q _ { y } ( 0 ) - \frac { c _ { i } \sqrt { \omega _ { i } ( \dot { \gamma } - \omega _ { i } } ) } { 4 \omega _ { i } } q _ { i y } ( 0 ) \Biggr ] \Bigr ( e ^ { \lambda _ { 2 } t } - e ^ { - \lambda _ { 2 } t } \Bigr ) } \\ & { + \Biggl [ - \frac { c _ { i } ^ { 2 } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } Q _ { y } ( 0 ) + \frac { c _ { i } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } } ) } { \omega _ { i } } q _ { i y } ( 0 ) \Biggr ] \Bigr ( e ^ { \lambda _ { 4 } t } - e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Bigr ) } \\ & { - c _ { i } \frac { \dot { \gamma } + \omega _ { i } } { 4 \omega _ { i } \sqrt { - \omega _ { i } ( \dot { \gamma } + \omega _ { i } ) } } p _ { i x } ( 0 ) e ^ { - \lambda _ { 4 } t } \Biggr \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } [ f _ { q } ] : = } & { { } - \frac { 1 } { n [ f _ { q } ] } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \operatorname* { m a x } ( q , q ^ { \prime } ) } V ( q , q ^ { \prime } ) \frac { { q ^ { \prime } } ^ { 2 } d q ^ { \prime } } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } \; , } \end{array}