harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \| \tilde { f } \| _ { L ^ { \frac { p _ { 0 } q _ { 0 } } { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } } ( B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) ) } = \left( \int _ { B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) } | \tilde { f } | ^ { \frac { p _ { 0 } q _ { 0 } } { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } } \right) ^ { \frac { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } { p _ { 0 } q _ { 0 } } } } \\ & { \leq \left[ \left\| \left| \tilde { f } \varepsilon ^ { \frac { n - q _ { 0 } } { q _ { 0 } } } | \nabla \tilde { u } | ^ { \frac { 2 } { q _ { 0 } } - 1 } \right| ^ { \frac { p _ { 0 } q _ { 0 } } { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } } \right\| _ { L ^ { \frac { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } { p _ { 0 } } } ( B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) ) } \cdot \left\| \left( \varepsilon ^ { \frac { q _ { 0 } - n } { q _ { 0 } } } | \nabla \tilde { u } | ^ { 1 - \frac { 2 } { q _ { 0 } } } \right) ^ { \frac { p _ { 0 } q _ { 0 } } { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } } \right\| _ { L ^ { \frac { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } { q _ { 0 } - 2 } } ( B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) ) } \right] ^ { \frac { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } { p _ { 0 } q _ { 0 } } } } \\ & { \leq \left[ \Lambda _ { 0 } ^ { \frac { p _ { 0 } } { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } } \varepsilon ^ { \frac { ( q _ { 0 } - n ) p _ { 0 } } { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } } \cdot \left( \int _ { B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) } | \nabla \tilde { u } | ^ { p _ { 0 } } \right) ^ { \frac { q _ { 0 } - 2 } { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } } \right] ^ { \frac { p _ { 0 } + q _ { 0 } - 2 } { p _ { 0 } q _ { 0 } } } } \\ & { = \Lambda _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { q _ { 0 } } } \cdot \varepsilon ^ { \frac { q _ { 0 } - n } { q _ { 0 } } } \cdot \left( \int _ { B _ { 1 } ( x _ { 0 } ) } | \nabla \tilde { u } | ^ { p _ { 0 } } \right) ^ { \frac { q _ { 0 } - 2 } { p _ { 0 } q _ { 0 } } } } \\ & { \leq C ( c _ { 0 } , \Lambda _ { 0 } , q _ { 0 } , n ) \varepsilon ^ { \frac { q _ { 0 } - n } { q _ { 0 } } } \leq C ( c _ { 0 } , \Lambda _ { 0 } , q _ { 0 } , n ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { s } _ { t , j } ^ { ( \mathrm { t r a i n } , i ) } = \left( s _ { t , j } ^ { ( \mathrm { t r a i n } , i ) } - \mu _ { j } ^ { ( \mathrm { t r a i n } , i ) } \right) / \sigma _ { j } ^ { ( \mathrm { t r a i n } , i ) } } \\ & { \hat { s } _ { t , j } ^ { ( \mathrm { s i m } , i ) } = \left( s _ { t , j } ^ { ( \mathrm { s i m } , i ) } - \mu _ { j } ^ { ( \mathrm { t r a i n } , i ) } \right) / \sigma _ { j } ^ { ( \mathrm { t r a i n } , i ) } \enspace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \omega _ { l } \otimes i d ) \circ \omega _ { r } } & { = ( ( ( \delta \otimes i d ) \circ \Delta ) \otimes i d ) \circ ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( ( \delta \otimes i d ) \otimes i d ) \circ ( \Delta \otimes i d ) \circ ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( ( \delta \otimes i d ) \otimes i d ) \circ ( \Delta \otimes \delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( ( \delta \otimes i d ) \otimes i d ) \circ ( ( i d \otimes i d ) \otimes \delta ) \circ ( \Delta \otimes i d ) \circ \Delta } \\ & { = ( \delta \otimes ( i d \otimes i d ) ) \circ ( i d \otimes ( i d \otimes \delta ) ) \circ ( i d \otimes \Delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( \delta \otimes ( i d \otimes i d ) ) \circ ( i d \otimes ( ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta ) ) \circ \Delta } \\ & { = ( \delta \otimes ( ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta ) ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes ( ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta ) ) \circ ( \delta \otimes i d ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes \omega _ { r } ) \circ \omega _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \lambda ) } & { = } & { \lambda ^ { 3 } + \Omega _ { 2 } \lambda ^ { 2 } + \Omega _ { 1 } \lambda + \Omega _ { 0 } , } \\ { \mathrm { d o n d e } } \\ { \Omega _ { 2 } } & { = } & { M _ { 1 } + M _ { 2 } - A , } \\ { \Omega _ { 1 } } & { = } & { M _ { 1 } M _ { 2 } + B _ { 1 } C _ { 1 } + B _ { 2 } C _ { 2 } - A ( M _ { 1 } + M _ { 2 } ) , } \\ { \Omega _ { 0 } } & { = } & { B _ { 1 } C _ { 1 } M _ { 2 } + B _ { 2 } C _ { 2 } M _ { 1 } - A M _ { 1 } M _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ( t , x ) } & { { } : = \mathcal M ( ( | \nabla u | ^ { 2 } + | f | ^ { \frac 4 3 } ) \mathbf 1 _ { [ 0 , T ] \times \mathcal U _ { \delta } ( \partial \Omega , \Omega ) } ) ( t , x ) } \end{array}
\Phi _ { J _ { \mathbf { q } } } ( \mathbf { r } _ { i } , \mathbf { r } _ { j } ) = \sum _ { a , b } ^ { N } \sum _ { \mu , \nu } ^ { N _ { \mathrm { b a s i s } } ^ { J } } g _ { \mu , \nu } ^ { a , b } \Psi _ { a , \mu } ^ { J } ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { q } _ { a } ) \Psi _ { b , \nu } ^ { J } ( \mathbf { r } _ { j } - \mathbf { q } _ { b } ) ,
G \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
g = b ^ { 2 } \left[ A ^ { 2 } ( d \psi + \cos ( \theta _ { 1 } ) d \phi _ { 1 } + \cos ( \theta _ { 2 } ) d \phi _ { 2 } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } [ d \theta _ { i } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } ( \theta _ { i } ) d \phi _ { i } ^ { 2 } ] \right]
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial C _ { i } ^ { s } } { \partial t } = \nabla \cdot ( \frac { D _ { i } ^ { s } C _ { i } ^ { s } } { R T } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { s } ) , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega ^ { s } } \\ { - \nabla \cdot ( \varepsilon _ { 0 } \varepsilon _ { r } \nabla \phi ^ { s } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } z _ { i } F C _ { i } ^ { s } , } & { \mathrm { i n ~ } \Omega ^ { s } } \end{array} \right.
m _ { W } \, ( m _ { H } = 3 0 0 \; \mathrm { G e V } ) _ { \textstyle - 0 \; \mathrm { M e V } \, ( m _ { H } = 1 0 0 0 \; \mathrm { G e V } ) } ^ { \textstyle + 1 5 \; \mathrm { M e V } \, ( m _ { H } = 6 0 \; \mathrm { G e V } ) } \; .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 7 } + _ { 4 } + _ { 2 } } \\ & { = \alpha _ { 2 } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } - \delta ( j \leq m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { = \alpha _ { 2 } [ e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ] [ - 3 ] } \\ & { = \alpha _ { 2 } ( \delta _ { p , q } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { i , j } e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } ) [ - 3 ] , } \\ & { \quad _ { 2 } + _ { 3 } } \\ & { = \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] - \delta ( j > m - n ) \alpha _ { 2 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \eta \in F ^ { n , \delta } } | G ^ { n } \phi ( \eta ) - G \phi ( \eta ) | } \\ { \le } & { \operatorname* { s u p } _ { \eta \in F ^ { n , \delta } } \Big | n E _ { \eta } ^ { n } [ \phi ( Y ^ { n } ) - \phi ( \eta ) ] - n E _ { \eta } ^ { n } [ \phi ^ { \prime } ( \eta ) ( Y ^ { n } - \eta ) + \frac 1 2 \phi ^ { \prime \prime } ( \eta ) ( Y ^ { n } - \eta ) ^ { 2 } ] \Big | } \\ { \le } & { \frac { 1 } { 6 } \| \phi ^ { 3 } \| _ { \infty } E _ { \eta } ^ { n } [ | Y ^ { n } - \eta | ^ { 3 } ] \rightarrow 0 , \quad \mathrm { ~ a s ~ } n \rightarrow \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { E _ { \Delta x } } \left| g ( X ) ( \xi ) - g ( X _ { \Delta x } ) ( \xi ) \right| d \xi } & { = \! \int _ { E _ { \Delta x } \cap A } \left| g ( X ) ( \xi ) - g ( X _ { \Delta x } ) ( \xi ) \right| d \xi } \\ & { \quad + \int _ { E _ { \Delta x } \cap A ^ { c } } \left| g ( X ) ( \xi ) - g ( X _ { \Delta x } ) ( \xi ) \right| d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \epsilon a \pm } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { = \mp i { \cal E } _ { 0 } z _ { \epsilon b } \frac { h _ { a b } } { W } \exp [ - i \frac { t } { 2 } ( E _ { \epsilon } + \lambda _ { \pm } ) ] \frac { \sin [ \frac { t } { 2 } ( E _ { \epsilon } - \lambda _ { \pm } ) ] } { ( E _ { \epsilon } - \lambda _ { \pm } ) } , } \\ { U _ { \epsilon a \pm } ^ { ( 2 ) } ( t ) } & { = \mp i { \cal E } _ { 0 } ^ { 2 } z _ { \epsilon \neq b } \frac { ( \lambda _ { \pm } - h _ { b b } ) } { 2 W } \exp [ - i \frac { t } { 2 } ( E _ { \epsilon } + \lambda _ { \pm } ) ] \frac { \sin [ \frac { t } { 2 } ( E _ { \epsilon } - \lambda _ { \pm } ) ] } { ( E _ { \epsilon } - \lambda _ { \pm } ) } , } \end{array}
P _ { A B C } = \left( \begin{array} { l l } { - \frac 1 2 B ( \zeta \partial _ { x } + \partial _ { x } \zeta ) + A \partial _ { x } + \kappa \partial _ { x } ^ { 3 } } & { - \frac 1 2 B \sigma \partial _ { x } + C \partial _ { x } \sigma \zeta } \\ { - \frac 1 2 \partial _ { x } B \sigma + C \sigma \zeta \partial _ { x } } & { \partial _ { x } + C \sigma \partial _ { x } \sigma } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \alpha ( x , t ) = } & { z ( x , t ) - \int _ { 0 } ^ { x } { \phi } ( x , y ) z ( y , t ) d y } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { x } { \varphi } ( x , y ) w ( y , t ) d y - \gamma ( x ) { X } ( t ) , } \\ { \beta ( x , t ) = } & { w ( x , t ) - \int _ { 0 } ^ { x } { \Psi } ( x , y ) z ( y , t ) d y } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { x } { \Phi } ( x , y ) w ( y , t ) d y - \lambda ( x ) { X } ( t ) } \end{array}
\frac { R _ { 6 } } { R _ { 5 } } \sim 1 0 0 , \quad g \sim 2 \times 1 0 ^ { - 3 } , \quad 2 \pi R _ { 5 } M _ { P } \sim 1 0 ^ { 4 } , \quad \eta \sim 0 . 0 3 \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { P h y } = } & { \lambda _ { f l u i d } ( \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { x } } } ^ { f l u i d } + \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { y } } } ^ { f l u i d } + \mathcal { L } _ { P D E _ { c } } ^ { f l u i d } ) } \\ { + } & { \lambda _ { s o l i d } ( \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { x } } } ^ { s o l i d } + \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { y } } } ^ { s o l i d } + \mathcal { L } _ { P D E _ { c } } ^ { s o l i d } ) , } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \ \frac { \sin ( _ { n } \omega _ { l } t ) } { \left( \frac { \partial D } { \partial \omega } \right) _ { _ { n } \omega _ { l } } } \ _ { n } \mathbf { D } _ { l } ( _ { n } \mathbf { D } _ { l } ) _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \mathrm { R e } \int _ { - \infty } ^ { \infty } D ^ { - 1 } \mathbf { D } _ { l } ( \mathbf { D } _ { l } ) _ { 0 } e ^ { - i \omega t } \operatorname { d } \! \omega
{ \cal A } _ { 1 } + { \cal A } _ { 1 } ^ { \ast } = \sum _ { n } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } K { \mathfrak A } { \left( K \right) } \exp { \left\{ i { \left[ K s - \Omega _ { n } { \left( K \right) } \right] } \tau \right\} } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { p \mathrm { { P r } } } \frac { d } { d t } \| \hat { \omega } \| _ { p } ^ { p } } & { { } = - ( p - 1 ) \int _ { \Omega } | \nabla \hat { \omega } | ^ { 2 } | \hat { \omega } | ^ { p - 2 } - \mathrm { { R a } } \int _ { \Omega } T \partial _ { 1 } ( | \hat { \omega } | ^ { p - 2 } \hat { \omega } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left[ C _ { 1 } \| u _ { i } \| ^ { 2 } + \| w _ { i } \| ^ { 2 } + \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } \right] + \mu \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left[ C _ { 1 } \| u _ { i } \| ^ { 2 } + \| w _ { i } \| ^ { 2 } + \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } \right] } \\ { \leq } & { \, \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left[ C _ { 1 } \| u _ { i } \| ^ { 2 } + \| w _ { i } \| ^ { 2 } + \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } \right] + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left[ \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { q ^ { 2 } } { 2 r } \right) \| u _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { b } { 4 } \| w _ { i } \| ^ { 2 } + \frac { r } { 2 } \| \rho _ { i } \| ^ { 2 } \right] } \\ { \leq } & { \, 2 C _ { 1 } m \| \varphi \| ^ { 2 } + 2 C _ { 2 } m | \Omega | , \quad \mathrm { f o r } \; \; t \in I _ { m a x } = [ 0 , T _ { m a x } ) , } \end{array}
{ \frac { 1 } { N } } \ln ( { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) ) = ( \alpha - 1 ) { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln X _ { i } + ( \beta - 1 ) { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ln ( 1 - X _ { i } ) - \, \ln \mathrm { B } ( \alpha , \beta )
\frac { p _ { r } ^ { 2 } } { g _ { r r } } + \frac { p _ { \theta } ^ { 2 } } { g _ { \theta \theta } } + \frac { - { g ^ { \prime } } _ { t t } } { - \cal D } \left( p _ { \phi } + \frac { g _ { t \phi } + \Omega _ { 0 } g _ { \phi \phi } } { { g ^ { \prime } } _ { t t } } E \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 1 } { - { g ^ { \prime } } _ { t t } } E ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \eta ( N , \Theta ) } & { { } \approx a + b \left( \frac { N } { 1 0 ^ { 5 } } \right) \left[ 1 + c \left( \frac { \sigma _ { \mathrm { c o l l } } ( \Theta ) } { \overline { { \sigma } } _ { \mathrm { c o l l } } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathbb { E } \left[ K _ { 3 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge Q ( \eta , t ; 0 ) \omega ( \eta , 0 ) \right] \mathrm { d } \eta } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb { E } \left[ K _ { 3 } ( X _ { t } ^ { \eta } , x ) \wedge Q ( \eta , t ; s ) F ( X _ { s } ^ { \eta } , s ) \right] \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 0 } ( z , t ) = \frac { N _ { p h } } { N } P ( z , t ) g ( z , t ) \approx \frac { N _ { p h } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } p _ { i } \frac { \delta ( z - z _ { i } ( t ) ) } { J ( z ) } \; \; , } \\ { \delta f ( z , t ) = \frac { N _ { p h } } { N } W ( z , t ) g ( z , t ) \approx \frac { N _ { p h } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \frac { \delta ( z - z _ { i } ( t ) ) } { J ( z ) } \; \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \omega } ( t _ { 0 } ) } & { \simeq A _ { \omega } ( \omega t _ { 0 } ) ^ { \alpha + 1 / 2 } \frac { ( 1 / 2 \sqrt { v _ { f } / v _ { i } } ) ^ { \alpha } } { \Gamma ( \alpha + 1 ) } } \\ & { + B _ { \omega } ( \omega t _ { 0 } ) ^ { - \alpha + 1 / 2 } \frac { ( 1 / 2 \sqrt { v _ { f } / v _ { i } } ) ^ { - \alpha } } { \Gamma ( - \alpha + 1 ) } . } \end{array}
J _ { \mu } ^ { e m } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } J _ { \mu } ^ { ( \rho ) } + \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } } J _ { \mu } ^ { ( \omega ) } - \frac { 1 } { 3 } J _ { \mu } ^ { ( \phi ) } \; ,
\begin{array} { r l } & { p _ { 0 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) = \frac { 1 } { 3 } { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } - \frac { 7 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + \frac { 1 1 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i } } , p _ { 0 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) = - \frac { 1 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i - 2 } } + \frac { 5 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + \frac { 1 } { 3 } { { { \bar { Q } } } _ { i } } , } \\ & { p _ { 1 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) = - \frac { 1 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + \frac { 5 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i } } + \frac { 1 } { 3 } { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } , p _ { 1 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) = \frac { 1 } { 3 } { { { \bar { Q } } } _ { i - 1 } } + \frac { 5 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i } } - \frac { 1 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } , } \\ & { p _ { 2 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i + 1 / 2 } } \right) = \frac { 1 } { 3 } { { { \bar { Q } } } _ { i } } + \frac { 5 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } - \frac { 1 } { 3 } { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } , p _ { 2 } ^ { r 3 } \left( { { x } _ { i - 1 / 2 } } \right) = \frac { 1 1 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i } } - \frac { 7 } { 6 } { { { \bar { Q } } } _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 3 } { { { \bar { Q } } } _ { i + 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { \mathrm { T L S } } ^ { 3 \omega _ { 1 } - 2 \omega _ { 2 } } = - i \frac { \chi ^ { 2 } ( \omega _ { c } ) } { F _ { c } \, | \chi ( \omega _ { c } ) | ^ { 2 } } \sum _ { n } \frac { \hbar } { 4 T _ { 1 } ^ { ( n ) } } \, \Psi ^ { 3 \omega _ { 1 } - 2 \omega _ { 2 } } ( \xi ^ { ( n ) } ) , } \\ & { \Psi ^ { 3 \omega _ { 1 } - 2 \omega _ { 2 } } ( \xi ) = \{ 1 6 - 8 \xi + ( \xi - 1 6 ) \sqrt { 1 + \xi } } \\ & { + 1 5 \sqrt { \xi } \log [ \sqrt { \xi } + \sqrt { \xi + 1 } ] \} / 4 \xi } \end{array}
f _ { \mathbf { x } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) = { \frac { 2 } { ( 2 \pi ) ^ { k / 2 } | { \boldsymbol { \Sigma } } | ^ { 0 . 5 } } } \left( { \frac { \mathbf { x } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } \mathbf { x } } { 2 } } \right) ^ { v / 2 } K _ { v } \left( { \sqrt { 2 \mathbf { x } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } \mathbf { x } } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { V _ { p } ^ { \mathrm { l i n e a r } } \sim R e _ { p } \left[ \beta ^ { 2 } ( \mathrm { o u t e r } ) + \beta \gamma ( \mathrm { o u t e r } ) + \lambda \gamma \beta ( \mathrm { i n n e r } ) + \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } ( \mathrm { o u t e r } ) \right] , } \\ & { V _ { p } ^ { \mathrm { n o n - l i n e a r } } \sim R e _ { p } \, \lambda \beta \gamma ( \mathrm { i n n e r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbf { X } ( t + 1 ) - \mathbf { X } ( t ) = \mathbf { V } ( t + 1 ) , } \\ & { } & { \mathbf { V } ( t + 1 ) = v _ { 0 } \Theta \! \left( \mathbf { V } ( t ) - \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) \right) \! , \quad \mathrm { e q u i v a l e n t l y , ~ } } \\ & { } & { \mathbf { X } ( t + 1 ) - \mathbf { X } ( t ) \! = \! v _ { 0 } \Theta \! \left( \mathbf { X } ( t ) - \mathbf { X } ( t \! - \! 1 ) \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) \right) \! . \quad \quad } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \psi ^ { j } ( \textbf { x } ^ { j } , t ) } { \partial t } = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } \Delta _ { j } - G m _ { j } \sum _ { \underset { k \neq j } { k = 1 } } ^ { N } \frac { m _ { k } } { \mid \textbf { x } ^ { j } - X _ { \hbar } ^ { k } ( t - \tau ^ { k } ( \textbf { x } ^ { j } , t ) \mid } \right) \psi ^ { j } ( \textbf { x } ^ { j } , t )
S = \frac { \tau ( \bar { t } - [ D ^ { - 1 } ] ) } { \tau ( \bar { t } ) } : = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { p _ { n } ( - \tilde { \partial } ) \tau ( \bar { t } ) } { \tau ( \bar { t } ) } D ^ { - n } .
\begin{array} { r l } & { n R \overset { ( a ) } { \leq } I ( M ; Y _ { 1 } ^ { n } , Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { = H ( Y _ { 1 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } | Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ) + I ( Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } ; M ) - H ( Y _ { 1 } ^ { n } , S _ { 1 } ^ { n } | Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } , M ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \sum _ { i = 1 } ^ { n } H ( Y _ { 1 , i } , S _ { 1 , i } | Y _ { 2 , i } , S _ { 2 , i } ) + \delta _ { n } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } H ( S _ { 1 , i } | Y _ { 1 } ^ { n } , Y _ { 2 } ^ { n } , S _ { 2 } ^ { n } , M , S _ { 1 } ^ { i - 1 } , X _ { i } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \overset { ( c ) } { = } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \Big ( H ( Y _ { 1 , i } , S _ { 1 , i } | Y _ { 2 , i } , S _ { 2 , i } ) - H ( S _ { 1 , i } | Y _ { 1 , i } , Y _ { 2 , i } , S _ { 2 , i } , X _ { i } ) + \epsilon _ { n } \Big ) + \delta _ { n } } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial t } = - \frac { \partial } { \partial \mathbf { J } } \cdot \left[ \frac { \left\langle \delta \mathbf { J } \right\rangle } { \delta t } F - \frac { \partial } { \partial \mathbf { J } } \cdot \frac { \left\langle \delta \mathbf { J \otimes } \delta \mathbf { J } \right\rangle } { 2 \delta t } F \right]
M _ { i j k } = \lambda _ { 1 } \underbrace { \epsilon _ { i j k } } _ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 1 ~ } } + \lambda _ { 2 } \underbrace { \delta _ { i 1 } \epsilon _ { j k 1 } } _ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 2 ~ } } + \lambda _ { 3 } \underbrace { \delta _ { j 1 } \epsilon _ { i k 1 } } _ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 3 ~ } } + \lambda _ { 4 } \underbrace { \delta _ { k 1 } \epsilon _ { i j 1 } } _ { \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 4 ~ } }
\int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \int _ { \frac { | \frac x t - \eta | ^ { 2 } } { 2 ( 1 - \frac x t \cdot \eta ) } } ^ { 1 } | A | + | B | + | C _ { 1 } | + | C _ { 2 } | + | D | \, d \lambda d \sigma ( \eta ) \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \left( 1 - \frac r t \right) ^ { - 1 } + \varepsilon ^ { 3 } \left( 1 - \frac r t \right) ^ { - 1 + \delta } t ^ { \delta } .
\mathcal { A } = ( ( \left\{ y _ { 0 } \cdot y _ { i } \right\} _ { i = 1 } ^ { s } , \left\{ ( y _ { i } + \sum _ { k = i + 1 } ^ { s } b _ { k , i } y _ { k } ) \cdot ( y _ { j } + \sum _ { l = j + 1 } ^ { s } b _ { l , j } y _ { l } ) \right\} _ { \substack { i , j = 1 \, i \neq j } } ^ { s } , \left\{ ( y _ { i } ) ^ { n } + ( ( - 1 ) ^ { n } + \# \left\{ j \right\} _ { j \rightarrow i } ) ( y _ { 0 } ) ^ { n } \right\} _ { i = 1 } ^ { s } ) )
I ^ { \mathrm { e q } } = \frac { \beta _ { 0 } \nu } { \nu + \gamma } \left( \frac { 1 - m _ { \mathrm { m a x } } - \frac { 1 } { R _ { 0 } } } { \beta _ { 0 } ( 1 - m _ { \mathrm { m a x } } ) } \right)
\Psi _ { \tau } \left( y _ { i } , \theta \right) = \frac { \tau + 1 } { 2 \left( 2 \pi \theta \right) ^ { \frac { \tau } { 2 } } \theta ^ { 2 } } \left\{ \left( - 2 \theta ^ { 2 } + y _ { i } ^ { 2 } \right) \exp \left( - \frac { \tau } { 2 \theta } \left( y _ { i } - \theta \right) ^ { 2 } \right) + \frac { \tau \theta } { \left( 1 + \tau \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right\}
P ^ { - 1 } \! A P \ = \ \left[ { \begin{array} { r r r } { 1 } & { \, 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \! \! \! \! - 1 } \end{array} } \right] ^ { - 1 } \left[ { \begin{array} { r r r } { 0 } & { 1 } & { \! \! \! - 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { \! \! \! - 1 } & { 3 } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { r r r } { 1 } & { \, 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { \! \! \! \! - 1 } \end{array} } \right] \ = \ { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right] } \ = \ D .
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ) _ { \lambda } } & { = \bigl \{ \varphi \in \mathcal { L } _ { 0 , 1 } \, \big | \, \forall \, \nu \in P , \: \: \mathrm { c o a d } ^ { r } ( K _ { \nu } ) ( \varphi ) = q ^ { ( \lambda , \nu ) } \varphi \bigr \} , } \\ { ( U _ { q } ) _ { \lambda } } & { = \bigl \{ x \in U _ { q } \, \big | \, \forall \, \nu \in P , \: \: \mathrm { a d } ^ { r } ( K _ { \nu } ) ( x ) = q ^ { ( \lambda , \nu ) } x \bigr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 0 0 } ^ { \mathrm { P D } } \big | _ { \vec { x } = ( x , 0 , 0 ) } } & { { } = \frac { 1 - \cos ( x \omega _ { g } c _ { \vartheta } ) } { \omega _ { g } ^ { 2 } c _ { \vartheta } ^ { 2 } } \, ( \partial _ { 0 } ) ^ { 2 } h _ { 1 1 } ^ { \mathrm { T T } } \big | _ { \vec { x } = ( 0 , 0 , 0 ) } \, , } \\ { h _ { 0 1 } ^ { \mathrm { P D } } \big | _ { \vec { x } = ( x , 0 , 0 ) } } & { { } = h _ { 1 1 } ^ { \mathrm { P D } } \big | _ { \vec { x } = ( x , 0 , 0 ) } = 0 \, . } \end{array}
D = \operatorname * { d e t } \left( \begin{array} { c c } { { g _ { t t } } } & { { \lambda D _ { t } \Phi ^ { J } \nonumber } } \\ { { - \lambda D _ { t } \Phi ^ { I } } } & { { g ^ { I J } + i \lambda [ \Phi ^ { I } , \Phi ^ { J } ] \nonumber } } \end{array} \right) = \operatorname * { d e t } \left( \begin{array} { c c c } { { D _ { t t } } } & { { D _ { t j } } } & { { D _ { t b } } } \\ { { D _ { i t } } } & { { D _ { i j } } } & { { D _ { i b } } } \\ { { D _ { a t } } } & { { D _ { a j } } } & { { D _ { a b } } } \end{array} \right) \ ,
\Delta M _ { F , A d v e c t i o n } + \Delta M _ { F , P G F } = \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { F 0 } ^ { 2 } H _ { F } W \left[ 2 - \beta _ { l o c a l } ( 0 ) ^ { 2 } - \beta _ { l o c a l } ( L ) ^ { 2 } \right] .