harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
i \partial _ { t } \left( \begin{array} { c } { { \rho _ { 1 } } } \\ { { \rho _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { 1 } { 2 \mu _ { 1 } } \left( \bigtriangledown ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \right) + \mu _ { 1 } } } & { { - \frac { \partial _ { \phi } } { 2 \mu _ { 1 } r ^ { 2 } } } } \\ { { \frac { \partial _ { \phi } } { 2 \mu _ { 2 } r ^ { 2 } } } } & { { - \frac { 1 } { 2 \mu _ { 2 } } \left( \bigtriangledown ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \right) + \mu _ { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \rho _ { 1 } } } \\ { { \rho _ { 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l r } { v _ { \parallel f } - v _ { \parallel } = - \frac { v _ { \parallel } + u } { S } + \frac { v _ { \parallel f } + u _ { f } } { S } \sim \sqrt { \epsilon } v _ { t } } & { { } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \psi _ { f } - \psi = \frac { I } { \Omega } ( v _ { \parallel f } - v _ { \parallel } ) \sim \sqrt { \epsilon } \rho _ { p } R B _ { p } , } \end{array}
\begin{array} { r } { T ^ { H } \left[ \begin{array} { l l } { - A ^ { H } X - X A } & { - X B } \\ { - B ^ { H } X } & { 0 } \end{array} \right] T = \left[ \begin{array} { l l } { - \mathbf { A } ^ { H } X \mathbf { A } + X } & { - \mathbf { A } ^ { H } X \mathbf { B } } \\ { - \mathbf { B } ^ { H } X \mathbf { A } } & { - \mathbf { B } ^ { H } X \mathbf { B } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = } & { - g ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] , x _ { 3 } ) - ( - 1 ) ^ { x _ { 1 } x _ { 2 } } g ( x _ { 2 } , [ x _ { 1 } , x _ { 3 } ] ) + g ( x _ { 1 } , [ x _ { 2 } , x _ { 3 } ] ) } \\ & { } & { + ( - 1 ) ^ { x _ { 1 } g } [ x _ { 1 } , g ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ] - ( - 1 ) ^ { x _ { 2 } x _ { 1 } + x _ { 2 } g } [ x _ { 2 } , g ( x _ { 1 } , x _ { 3 } ) ] } \\ & { } & { - [ g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , x _ { 3 } ] . } \end{array}
\left. \frac { \partial ^ { 2 } \sigma } { \partial { \bf q } \partial { \bf q } ^ { T } } \right| _ { { \bf q } = { \bf 0 } } = v _ { 0 } { \bf P } { \bf Q } ^ { - 1 } = { \bf K } _ { t _ { 0 } } \, ,
\begin{array} { r l } { Y ( t ) = } & { \ b ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) ) d t + \sigma ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) ) d W ( t ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) , z ) \tilde { N } ( d t , d z ) } \\ & { + \gamma ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) ) d \tilde { \Phi } ( t ) , \qquad t \in [ 0 , T ] , } \\ { Y ( 0 ) = } & { \ y _ { 0 } \in \mathbb { R } ^ { N } , } \end{array}
v _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 . 0 0 0 2 4 2 2 - 0 . 1 8 7 2 0 5 5 i } \\ { 0 . 0 3 4 4 4 0 3 + 0 . 0 0 1 3 1 3 6 i } \\ { 0 . 9 8 1 7 1 5 9 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { P } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } [ \bar { V } \tilde { U } V ] \rangle _ { f } } & { = \left[ \frac { s \kappa _ { 0 } ( | \lambda | - | \lambda ^ { \prime } | ) ^ { 2 } } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } \ln \left( \frac { L } { a } \right) \mathcal { P } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } [ \bar { V } V ] \right. } \\ & { \left. + \langle \mathcal { P } _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } [ \bar { V } e ^ { i W _ { 1 } } V ] \rangle _ { f } ^ { \mathrm { ( n s ) } } \right] . } \end{array}
\bar { g } _ { n 0 } ( r , r ^ { \prime } , B _ { n } ) = - \frac { 4 Z \alpha \mu ^ { 2 } } { n } \Biggl [ e ^ { - \frac { x + x ^ { \prime } } { 2 } } \sum _ { m = 1 , m \neq n } ^ { \infty } \frac { L _ { m - 1 } ^ { 1 } ( x ) L _ { m - 1 } ^ { 1 } ( x ^ { \prime } ) } { m ( m - n ) } +
\begin{array} { r l } { \mathsf { K } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } } \\ { - \mathsf { P } } & { 0 } \end{array} \right) \mathsf { K } \dot { \mathbf { z } } = } & { \, \frac { 1 } { 2 } \mathsf { K } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { R } } } \\ { \mathsf { P } ^ { \mathcal { R } } } & { 0 } \end{array} \right) \mathsf { K } \dot { \mathbf { z } } + \nabla _ { z } H } \\ & { + \mathsf { K } ^ { T } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathsf { P } ^ { \mathcal { V } } } \\ { \mathsf { P } ^ { \mathcal { I } } } & { 0 } \end{array} \right) \boldsymbol { s } \, , } \end{array}
\zeta ( s , z ) = \frac { z ^ { 1 - s } } { s - 1 } + \frac { z ^ { - s } } { 2 } + \frac { s z ^ { - s } } { 2 \pi i } \sum _ { l \ne 0 } \frac 1 l U ( 1 , 1 - s : - 2 \pi i l z ) .
\delta a _ { k } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { k } } = \left( - \right) ^ { k } \partial ^ { [ i _ { 1 } } a _ { k - 1 } ^ { i _ { 2 } \cdots i _ { k } ] } , \; k = 1 , \cdots , n - 1 ,
G _ { 2 } ^ { \psi } \; + \; \frac { 1 } { 2 } \; G _ { 1 } ^ { \beta } \frac { \partial G _ { 1 } ^ { \psi } } { \partial z ^ { \beta } } \; = \; - \, \Psi _ { 1 } ^ { \prime } \; G _ { 1 } ^ { \psi } \; + \; \frac { c } { q } \, J _ { 0 } .
n _ { e } \left( x , y \right) = 1 - \delta _ { \mathrm { C } } \left( x , y \right) + i \beta _ { \mathrm { C } } \left( x , y \right) - \delta _ { \mathrm { X } } \left( x , y \right) + i \beta _ { \mathrm { X } } \left( x , y \right)
\begin{array} { r l } { \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t \right) } & { = \frac { 1 } { b _ { 2 } \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } } \left( \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \frac { a _ { 1 } \sin \left( \xi \pi \right) + a _ { 2 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi - \lambda \right) \pi \right) + a _ { 3 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi - \kappa \right) \pi \right) } { \left\vert \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \right. } \\ & { \quad + \left. \rho ^ { \alpha + \beta } \frac { a _ { 1 } \sin \left( \left( \xi + \alpha + \beta \right) \pi \right) + a _ { 2 } \rho ^ { \lambda } \sin \left( \left( \xi - \lambda + \alpha + \beta \right) \pi \right) + a _ { 3 } \rho ^ { \kappa } \sin \left( \left( \xi - \kappa + \alpha + \beta \right) \pi \right) } { \left\vert \rho ^ { \alpha + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( \alpha + \beta \right) \pi } + \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \right\vert ^ { 2 } } \right) \mathrm { e } ^ { - \rho t } \mathrm { d } \rho , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } [ \psi ] } & { = P _ { ( 1 ) , ( 0 ) } ^ { q _ { 1 } - q _ { 2 } } [ \psi ] \ldots P _ { ( 1 ^ { m - 1 } ) , ( 0 ) } ^ { q _ { m - 1 } - q _ { m } } [ \psi ] P _ { ( 1 ^ { m } ) , ( 0 ) } ^ { q _ { m } } [ \psi ] } \\ & { \times P _ { ( 0 ) , ( 1 ) } ^ { q _ { 1 } ^ { \prime } - q _ { 2 } ^ { \prime } } [ \psi ] \ldots P _ { ( 0 ) , ( 1 ^ { m ^ { \prime } - 1 } ) } ^ { q _ { m ^ { \prime } - 1 } ^ { \prime } - q _ { m ^ { \prime } } ^ { \prime } } [ \psi ] P _ { ( 0 ) , ( 1 ^ { m ^ { \prime } } ) } ^ { q _ { m ^ { \prime } } } [ \psi ] . } \end{array}
\delta _ { \mathrm { c u t } } ( t ) \simeq { \frac { \delta _ { i } \; \sqrt { \pi } \; M _ { \sigma } ^ { 2 } \; g ^ { 2 } \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } ( M ^ { 2 } - 4 M _ { \sigma } ^ { 2 } + { \frac { g ^ { 2 } \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } } ) ^ { 2 } } } { \frac { \cos ( 2 M _ { \sigma } t + { \frac { 3 \pi } { 4 } } ) } { ( M _ { \sigma } t ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } = } & { \alpha _ { 1 } F _ { \mathrm { p } } \left[ - 1 + 2 \alpha _ { 3 } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \left( \alpha _ { 2 } ^ { * } - \alpha _ { 2 } \right) \left( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } - G _ { 1 1 } G _ { 2 2 } \right) ^ { 2 } - \mathrm { i } \alpha _ { 3 } \left[ 2 \alpha _ { 1 } ^ { * } \left( G _ { 1 1 } ^ { 2 } + G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } \right) + \left( \alpha _ { 2 } ^ { * } - \alpha _ { 2 } \right) \left( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } + G _ { 2 2 } ^ { 2 } \right) \right] \right. } \\ & { \left. + \alpha _ { 3 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \left[ \alpha _ { 2 } G _ { 2 1 } - \alpha _ { 2 } ^ { * } \left( 2 G _ { 1 2 } + G _ { 2 1 } \right) \right] \left( G _ { 1 1 } + G _ { 2 2 } \right) J _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ^ { * } \alpha _ { 1 } ^ { * } J _ { 1 } ^ { 2 } \right] , } \\ { \mathcal { Y } = } & { - \left( 1 + \alpha _ { 2 } ^ { * } \alpha _ { 1 } ^ { * } J _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( 1 + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } J _ { 1 } ^ { 2 } \right) + \alpha _ { 3 } ^ { 2 } \left( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } - G _ { 1 1 } G _ { 2 2 } \right) ^ { 2 } \left( \left( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 1 } ^ { * } \right) \left( - \alpha _ { 2 } ^ { * } + \alpha _ { 2 } \right) + 4 \alpha _ { 2 } ^ { * } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } J _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \alpha _ { 3 } \left[ \mathrm { i } \left( ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 1 } ^ { * } ) \left( G _ { 1 1 } ^ { 2 } + G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } \right) - ( \alpha _ { 1 } ^ { * } - \alpha _ { 2 } ) ( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } + G _ { 2 2 } ^ { 2 } ) \right) - \left( \alpha _ { 2 } ^ { * } \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \right) \left( G _ { 1 2 } + G _ { 2 2 } \right) J _ { 1 } \right. } \\ & { \left. + \mathrm { i } \left[ - \alpha _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } \left( G _ { 1 1 } ^ { 2 } + G _ { 1 2 } G _ { 2 2 } \right) + \alpha _ { 2 } ^ { * } \left( \alpha _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \left( G _ { 1 1 } ^ { 2 } G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } \right) - \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \left( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } + G _ { 2 2 } ^ { 2 } \right) + \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } \left( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } + G _ { 2 2 } ^ { 2 } \right) \right) \right] J _ { 1 } ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. - 2 \alpha _ { 2 } ^ { * } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } \left( G _ { 1 2 } + G _ { 2 1 } \left( G _ { 1 1 } + G _ { 2 2 } \right) J _ { 1 } ^ { 3 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h ( x , y ) } & { = } & { \frac { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] x ^ { k } } { 1 - ( a x + b y + c x y ) } } \\ & { = } & { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] x ^ { k } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( a x + b y + c x y ) ^ { j } } \\ & { = } & { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] x ^ { k } ( a x + ( b + c x ) y ) ^ { j } } \\ & { = } & { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] x ^ { k } \sum _ { t = 0 } ^ { j } \binom { j } { t } ( a x ) ^ { j - t } ( b + c x ) ^ { t } y ^ { t } } \\ & { = } & { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] x ^ { k } \sum _ { t = 0 } ^ { j } \binom { j } { t } [ \sum _ { r = 0 } ^ { t } \binom { t } { r } b ^ { t - r } c ^ { t } x ^ { t } ] a ^ { j - t } x ^ { j - t } y ^ { t } } \\ & { = } & { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] x ^ { k } \sum _ { t = 0 } ^ { j } \sum _ { r = 0 } ^ { t } \binom { j } { t } \binom { t } { r } b ^ { t - r } c ^ { t } x ^ { t } a ^ { j - t } x ^ { j - t } y ^ { t } } \\ & { = } & { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] x ^ { k } \sum _ { t = 0 } ^ { j } \sum _ { r = 0 } ^ { t } \binom { j } { t } \binom { t } { r } a ^ { j - t } b ^ { t - r } c ^ { t } x ^ { j } y ^ { t } } \\ & { = } & { \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } [ \Psi ( k ) - a \Psi ( k - 1 ) ] \sum _ { t = 0 } ^ { j } \sum _ { r = 0 } ^ { t } \binom { j } { t } \binom { t } { r } a ^ { j - t } b ^ { t - r } c ^ { t } x ^ { j + k } y ^ { t } . } \end{array}
\mathrm { S N R } _ { \Pi } [ F _ { k } ^ { \mathrm { M C } } ] \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \frac { | \sum _ { \sigma \neq \sigma _ { 0 } } \mathcal { H } _ { \sigma \sigma _ { 0 } } | } { \sqrt { \sum _ { \sigma \neq \sigma _ { 0 } } | \mathcal { H } _ { \sigma \sigma _ { 0 } } | ^ { 2 } } } \sqrt { \varepsilon } \stackrel { \varepsilon \rightarrow 0 } { \longrightarrow } 0 , \quad \mathrm { S N R } _ { \Pi } [ S _ { k k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { M C } } ] \stackrel { \varepsilon \ll 1 } { \approx } \sqrt { ( 2 ^ { N } - 1 ) \varepsilon } \stackrel { \varepsilon \rightarrow 0 } { \longrightarrow } 0 .
\begin{array} { r l } & { \ z \left( \tilde { F } _ { \eta } ( x , z , u ^ { + } , \nabla u ^ { + } , z u _ { z } ^ { + } ) - \tilde { F } _ { \eta } ( x , z , u ^ { - } , \nabla u ^ { - } , z u _ { z } ^ { - } ) \right) } \\ { = } & { \ - \frac { X } { 2 } \cdot \nabla _ { S } v + ( H _ { S } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) v + \underbrace { \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { F } { E } \cdot ( 1 - g _ { p , \xi } ^ { i j } \xi _ { i } \xi _ { j } ) | _ { ( x , z , u ^ { s } , \nabla u ^ { s } , z \partial _ { z } u ^ { s } ) } \ d s \right) } _ { = : \ 1 + b } \cdot z v _ { z } + E _ { 2 } ( v ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \tilde { H } } { d t } } & { = \langle \frac { d \Psi } { d t } | H | \Psi \rangle + \langle \Psi | H | \frac { d \Psi } { d t } \rangle + \langle \Psi | \frac { d H } { d t } | \Psi \rangle } \\ & { = p \dot { p } + \omega _ { c } ^ { 2 } x \dot { x } + \frac { \hbar g } { 2 } \sqrt { \frac { 2 \omega _ { c } } { \hbar } } \dot { x } \langle \Psi | \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { + } + \hat { \sigma } _ { 1 } ^ { - } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { + } + \hat { \sigma } _ { 2 } ^ { - } | \Psi \rangle } \\ & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { c } _ { \mathrm { ~ A ~ I ~ R ~ } } ( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { F } _ { 2 } , \mu , \nu ) : = 2 \sqrt { 1 - \rho _ { \mu } \left( \mathcal { F } _ { 1 } , \mathcal { F } _ { 2 } \frac { \nu } { \mu } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { ( v _ { 0 } - v _ { c } ) ^ { 2 } } { 2 } = \frac { 1 } { 4 \pi m _ { i , d } } \frac { ( \alpha B _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 8 n _ { d } } + \frac { 1 } { m _ { i , d } } \frac { p _ { 2 } } { 4 n _ { d } } } \\ { \iff 2 n _ { d } m _ { i , d } ( v _ { 0 } - v _ { c } ) ^ { 2 } = p _ { 2 } + \frac { ( \alpha B _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 8 \pi } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i j } } & { { } = \langle \hat { H } ^ { 2 K - i - j } \rangle , } \\ { Y _ { i } } & { { } = \langle \hat { H } ^ { 2 K - i } \rangle , ~ ~ ( i , j = 1 , \cdots , K ) } \end{array}
\pi _ { 0 } ( x ) = \sum _ { n } { \frac { 1 } { n } } \, \mu ( n ) \, f ( x ^ { 1 / n } ) = f ( x ) - { \frac { 1 } { 2 } } \, f ( x ^ { 1 / 2 } ) - { \frac { 1 } { 3 } } \, f ( x ^ { 1 / 3 } ) - { \frac { 1 } { 5 } } \, f ( x ^ { 1 / 5 } ) + { \frac { 1 } { 6 } } \, f ( x ^ { 1 / 6 } ) - \cdots ,
\begin{array} { r l } { \bar { \mu } ( u ) ( Y _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } ) } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { k = 1 } ^ { M } G _ { \theta _ { k } } ( u ) ( Y _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } ) , } \\ { \bar { \sigma } _ { e } ( u ) ( Y _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } ) } & { { } = \frac { 1 } { M } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \left( G _ { \theta _ { k } } ( u ) ( Y _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } ) - \bar { \mu } ( u ) ( Y _ { \mathrm { ~ t ~ e ~ s ~ t ~ } } ) \right) . } \end{array}
\left| \sqrt { \frac { m _ { u } } { m _ { t } } } \left( 2 C _ { 1 2 } + C _ { 2 2 } V _ { c d } \right) - \left( \frac { \Delta I } { I } \right) V _ { t d } \left( C _ { 1 2 } + C _ { 2 2 } ( L _ { u } ^ { + } ) _ { 1 2 } \right) \right| ^ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r l } { \bigg | A _ { y 1 } - A _ { y 2 } \bigg | } & { { } = \bigg | \frac { R m L } { 2 } \bigg | } \\ { \bigg | B _ { y 1 } - B _ { y 2 } \bigg | } & { { } = \bigg | R L - \frac { R m L } { 2 } - \frac { R ( L - m L ) ^ { 2 } } { 2 m L } \bigg | } \\ { \bigg | C _ { y 1 } - C _ { y 2 } \bigg | } & { { } = \bigg | \frac { ( L - m L ) ^ { 2 } R } { 2 m L } \bigg | } \end{array}
\tilde { u } ( \gamma ^ { 1 } ) = \tilde { u } ( \gamma _ { B _ { n } } ^ { 1 } + \gamma _ { B _ { n } ^ { c } } ^ { 1 } ) = \tilde { u } _ { B _ { n } , \gamma _ { B _ { n } ^ { c } } ^ { 1 } } ( \gamma _ { B _ { n } } ^ { 1 } ) = C _ { \eta , B _ { n } } ^ { k } = \tilde { u } _ { B _ { n } , \gamma _ { B _ { n } ^ { c } } ^ { 1 } } ( \gamma _ { B _ { n } } ^ { 2 } ) = \tilde { u } _ { B _ { n } , \gamma _ { B _ { n } ^ { c } } ^ { 2 } } ( \gamma _ { B _ { n } } ^ { 2 } ) = \tilde { u } ( \gamma ^ { 2 } ) .
\| \mathbf { \tilde { f } } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; V ( \Omega ) ^ { \prime } ) } \leq \| \mathbf { f } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; V ( \Omega ) ^ { \prime } ) } + C \left( \| \mathbf { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ) } + \| \partial _ { t } \mathbf { u } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; V ( \Omega ) ^ { \prime } ) } \right)
( { \frac { \delta \tilde { \Gamma } } { \delta A } } , { \frac { \delta \tilde { \Gamma } } { \delta K } } ) + ( { \frac { \delta \tilde { \Gamma } } { \delta c } } , { \frac { \delta \tilde { \Gamma } } { \delta L } } ) + { \frac { \delta \tilde { \Gamma } } { \delta V } } \cdot { \frac { \delta \tilde { \Gamma } } { \delta M } } = 0 .
{ \begin{array} { r l } { x ( \theta , \varphi ) } & { = ( R + r \cos \theta ) \cos { \varphi } } \\ { y ( \theta , \varphi ) } & { = ( R + r \cos \theta ) \sin { \varphi } } \\ { z ( \theta , \varphi ) } & { = r \sin \theta \cos \left( { \frac { \varphi } { 2 } } \right) } \\ { w ( \theta , \varphi ) } & { = r \sin \theta \sin \left( { \frac { \varphi } { 2 } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \underset { \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } , \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } , \sigma } { \mathrm { m a x i m i z e } } \: \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } - \log \frac { \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) } { \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s ) } \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) + \sum _ { ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } } \mathcal { R } ^ { \theta ^ { k } } ( s , \alpha ) \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) } \\ & { \displaystyle \mathrm { s u b j e c t \ t o } \quad - , } \\ & { \displaystyle \forall ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } , \; \; \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s ) \geq 0 , \; \; \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) \geq 0 , } \\ & { \displaystyle \forall ( s , \alpha ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } , \; \; \mu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s ) = \sum _ { \alpha \in \mathcal { A } } \nu _ { \sigma } ^ { \gamma } ( s , \alpha ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , e _ { 2 1 } , e _ { 2 2 } ) } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( e _ { 1 1 } , - e _ { 2 1 } ) - [ e _ { 1 1 } , - e _ { 1 2 } ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( - e _ { 2 1 } , e _ { 2 2 } ) + \mu _ { 1 } ( e _ { 2 1 } , 0 ) + [ - e _ { 1 2 } , e _ { 2 2 } ] + [ e _ { 2 1 } , 0 ] } \\ & { = } & { 0 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { r _ { \mathrm { o u t e r } } } & { = { \frac { a ^ { 2 } } { r _ { s } } } \left( 1 + { \sqrt { 1 - { \frac { 3 r _ { s } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } } \right) } \\ { r _ { \mathrm { i n n e r } } } & { = { \frac { a ^ { 2 } } { r _ { s } } } \left( 1 - { \sqrt { 1 - { \frac { 3 r _ { s } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } } \right) = { \frac { 3 a ^ { 2 } } { r _ { \mathrm { o u t e r } } } } , } \end{array} }
\operatorname* { s u p } _ { \gamma } \operatorname* { l i m s u p } _ { X \to \infty } \left| \mathbb { E } _ { n \leq X } ^ { \log } f ( \lfloor p \theta n + \beta \rfloor ) f ( \frac { q \lfloor p \theta n + \beta \rfloor + r } { p } ) e ( \gamma n ) 1 _ { B } ( n ) 1 _ { q \lfloor p \theta n + \beta \rfloor + r \equiv 0 \, \, \operatorname { m o d } \, p } \right| = 0 .
\begin{array} { r l } { - K _ { \mathcal { F } ^ { \prime } / B } \cdot C ^ { \prime } + ( \dim ( \mathcal { F } ^ { \prime } ) - 1 ) ( 1 - g ( B ) ) } & { = \dim ( N _ { \mathcal { F } } ) } \\ & { \geq \dim ( M _ { \mathcal { Z } } ) - T ^ { + } - T } \\ & { \geq - K _ { \mathcal { Z } ^ { \prime } / B } \cdot \mu _ { * } ^ { \prime } C ^ { \prime } + ( \dim ( \mathcal { Z } ^ { \prime } ) - 1 ) ( 1 - g ( B ) ) - T ^ { + } - T } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \tilde { \mathcal { E } } _ { p , q } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert } & { \leq 2 \pi \left\| \mathcal { F } ( I ) \right\| _ { L ^ { 1 } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } \left\| ( \tilde { \eta } _ { j , k , p , q } - \tilde { \eta } _ { 0 , 0 , 0 , 0 } ) + ( \zeta _ { p , q } - \zeta _ { 0 , 0 } ) \right\| _ { L ^ { \infty } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } } \\ & { \qquad + \left\| \gamma _ { p , q } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } + \left\| \gamma _ { 0 , 0 } \right\| _ { L ^ { 1 } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { j l } } & { { } = J _ { j l } ^ { e f } - \mathrm { i } \frac { \Gamma _ { j l } ^ { e f } } { 2 } , B _ { j l } = J _ { j l } ^ { e g } - \mathrm { i } \frac { \Gamma _ { j l } ^ { e g } } { 2 } , C _ { j l } = J _ { j l } ^ { e h } - \mathrm { i } \frac { \Gamma _ { j l } ^ { e h } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { N _ { l k } ^ { 2 } ( t ) } { D _ { l k } } \lesssim e ^ { C n \alpha _ { n } ( \sigma _ { l } ^ { 2 } + f _ { 0 , l k } ^ { 2 } ) } \int _ { [ - 1 ; 1 ] ^ { C } } e ^ { t u \sigma _ { l } } e ^ { - \frac { n \alpha _ { n } } { 2 } ( \sigma _ { l } u - f _ { 0 , l k } ) ^ { 2 } + \sqrt { \alpha _ { n } } \varepsilon _ { l k } ( \sqrt { n \alpha _ { n } } ( \sigma _ { l } u - f _ { 0 , l k } ) - \zeta _ { l } ) } \varphi ( u ) d u . } \end{array}
\delta S = \frac { 1 } { 4 \pi } \, \mathrm { I m } \, \, \left\{ - \frac { i } { 2 4 } \int \! \! d ^ { 1 2 } z \ D ^ { \alpha { \mathbf j } } L _ { { \mathbf i } { \mathbf j } } D _ { \alpha } ^ { \mathbf i } { \cal F } - 3 \int \! \! d ^ { 8 } z _ { + } \sigma { \cal A } { \cal A } _ { D } - \frac { i } { 4 8 } \int \! \! d ^ { 1 2 } z \ ( H - { \bar { H } } ) { \bar { \cal A } } { \cal A } _ { D } \right\} .
\begin{array} { r l } { \widehat { \Pi } _ { n } ( s ) } & { = \frac { 1 } { s } \exp \left[ - \sqrt { \frac { 2 s n ^ { 2 } } { h ( n ) } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { \frac { h ( n ) } { h ( u n ) } } \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { \frac { s n ^ { 2 } } { 2 h ( n ) } u ^ { 2 } } \sqrt { \frac { h ( n ) } { h ( u n ) } } \right) d u \right] } \\ & { = \frac { 1 } { s } \exp \left[ - \sqrt { 2 s n ^ { 2 - a } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { u ^ { a / 2 } } \operatorname { t a n h } \left( \sqrt { \frac { s n ^ { 2 - a } } { 2 } u ^ { 2 - a } } \right) d u \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } 0 \leq ~ } & { X _ { i j , u v } + X _ { j k , u v } - X _ { i k , u v } } & & { } & & { \forall i < j < k , u < v } \\ & { X _ { i j , u v } + X _ { j k , u v } - X _ { i k , u v } } & & { \leq x _ { u v } } & & { \forall i < j < k , u < v } \\ { 0 \leq ~ } & { x _ { i j } + x _ { j k } - x _ { i k } - X _ { i j , u v } - X _ { j k , u v } + X _ { i k , u v } } & & { } & & { \forall i < j < k , u < v } \\ & { x _ { i j } + x _ { j k } - x _ { i k } - X _ { i j , u v } - X _ { j k , u v } + X _ { i k , u v } } & & { \leq 1 - x _ { u v } \quad } & & { \forall i < j < k , u < v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { t } - \langle g ^ { t } \rangle _ { \psi } \xrightarrow { | w _ { f } | \rightarrow \infty } } & { - \frac { I r } { \Omega R } \cos { \theta } \frac { u ^ { 2 } + \mu B - Z e R \phi _ { c } / ( m r ) } { w } \mathcal { D } f _ { M } ( v _ { \parallel } = - u ) \sim \epsilon \frac { v _ { t } } { w } f _ { M } . } \end{array}
| h ^ { I , J } ( \rho , y ) | \lesssim C _ { b } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \rho ^ { - 2 + 2 \delta } ( \rho / t ) ^ { 2 } + C _ { b } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \rho ^ { - 2 + 5 \delta } ( \rho / t ) ^ { \frac 7 2 + 4 \delta } + C _ { b } \varepsilon \rho ^ { - 2 + \delta } ( \rho / t ) ^ { \frac 3 2 } + C _ { b } ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \rho ^ { - 1 + 3 c _ { k - 1 } \varepsilon } ( \rho / t ) ^ { \frac 7 2 - \delta + 2 c _ { k - 1 } \varepsilon }
\begin{array} { r l r } { \frac { d N } { d t } } & { { } = } & { 2 k _ { \mathrm { o n } } - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \ N - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ y _ { c } \ \Delta N , } \\ { \frac { d \Delta N } { d t } } & { { } = } & { - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \Delta N - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ N y _ { c } , } \end{array}