harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \widehat { V ( { \bar { y } } _ { w } ) } } = { \frac { 1 } { { \hat { N } } ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( ( 1 - \pi _ { i } ) { \frac { y _ { i } - { \bar { y } } _ { w } } { \pi _ { i } } } \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ) ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } ^ { 2 } ( y _ { i } - { \bar { y } } _ { w } ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r l r l } & { a _ { 1 2 } = - \hat { r } _ { 1 } ( k ) , } & & { a _ { 1 3 } = - \frac { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } { f ( k ) } , } & & { a _ { 2 3 } = \frac { r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 2 } ( k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } , } \\ & { a _ { 2 1 } = - \hat { r } _ { 2 } ( k ) , } & & { a _ { 3 1 } = - \frac { r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) } { f ( k ) } , } & & { a _ { 3 2 } = \frac { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) - r _ { 1 } ( k ) r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) } { 1 + r _ { 1 } ( k ) r _ { 2 } ( k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | S _ { { \cal Q } , n } | } & { \le } & { { \frac { K ^ { n } } { n ! } } \sum _ { \{ Q _ { r } ^ { k } , { r = 0 } , \cdots , r _ { m a x } ; { k = 1 } , \cdots , c ( r ) \} , \atop { { \cal B } = \emptyset } } \sum _ { \underline { \tau } , { \cal T } } \sum _ { \{ { \sigma } \} } ^ { \prime } \prod _ { Q \in { \cal Q } } \chi _ { Q } ( \{ \sigma \} ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \ \Big [ \chi _ { i } ( { \sigma } ) e ^ { - [ l _ { i } ^ { 1 } + l _ { i } ^ { 2 } + l _ { i } ^ { 3 } + l _ { i } ^ { 4 } ] / 4 } \Big ] } \\ & { } & { \quad \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \gamma ^ { 2 - | e ( G _ { r } ^ { k } ) | / 2 } \ . } \end{array}
\langle f _ { s } ^ { ( \pm ) } \! \left( \textbf { r } , t \right) f _ { s ^ { \prime } } ^ { ( \pm ) * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle = \langle g _ { s } ^ { ( \pm ) } \! \left( \textbf { r } , t \right) g _ { s ^ { \prime } } ^ { ( \pm ) * } \! \left( \textbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \right) \rangle \approx \delta _ { s s ^ { \prime } } F ( \textbf { r } _ { \bot } - \textbf { r } _ { \bot } ^ { \prime } ) \delta ^ { ( c / \Delta \omega ) } \! \left( z - z ^ { \prime } \right) \delta ^ { ( \varepsilon ) } \! \left( t - t ^ { \prime } \right) ,
{ \cal S } _ { \Sigma } = \int d ^ { 3 } z \Biggl [ { \frac { \sqrt { g } } { l _ { 1 1 } ^ { 3 } } } - { \frac { i } { 3 ! } } \epsilon ^ { i j k } \partial _ { i } { \bf Z } ^ { M } \partial _ { j } { \bf Z } ^ { N } \partial _ { k } { \bf Z } ^ { P } C _ { M N P } ( X ( s ) , \Theta ( s ) ) \Biggr ] ,
T _ { \pm \pm } = \partial _ { \pm } X ^ { \mu } \partial _ { \pm } X _ { \mu } + \frac { i } { 2 } \psi _ { \pm } ^ { \mu j } \partial _ { \pm } \psi _ { \pm \mu , j } - \frac { i } { 2 } \phi _ { \pm } ^ { \mu k } \partial _ { \pm } \phi _ { \pm \mu , k }
\delta \sigma ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l } { \sigma _ { t } ^ { \prime } - \sigma _ { r } ^ { \prime } > 0 \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } | \sigma _ { t } ^ { \prime } | > | \sigma _ { r } ^ { \prime } | , } \\ { \sigma _ { r } ^ { \prime } - \sigma _ { t } ^ { \prime } < 0 \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } | \sigma _ { r } ^ { \prime } | > | \sigma _ { t } ^ { \prime } | . } \end{array} \right.
\frac { d ^ { 3 } { \sigma } _ { N } ^ { B 1 } } { d \Omega _ { f } \, d \Omega _ { e } \, d E _ { f } } \simeq \frac { k _ { f } k _ { e } } { k _ { i } } \, | J _ { N } ( { \cal R } _ { q } ) | ^ { 2 } \left( \frac { d { \sigma } } { d \Omega _ { e } } \right) _ { e e } \left( 1 + \frac { 4 N \omega } { q ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 2 } | \psi _ { 1 s } ^ { ( 0 ) } ( q ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { P _ { 2 } ^ { ( N ) } } & { \simeq } & { P _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \; e ^ { - ( N - 1 ) \gamma T } \; \sin ^ { 2 } \left( \frac { N \theta } { 2 } \right) \sin ^ { - 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \frac { e ^ { - ( N - 1 ) \gamma T } } { 1 + \Omega _ { 0 c } ^ { 2 } / \Omega _ { 0 p } ^ { 2 } } \; \sin ^ { 2 } \left( \frac { N \theta } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varPsi ^ { i } ( \xi , T ) = } & { { } \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. 1 _ { \{ T < \zeta ( X ^ { \eta } ) \} } Q _ { j } ^ { i } ( \eta , T ; 0 ) \varPsi ^ { j } ( \eta , 0 ) \right| X _ { T } ^ { \eta } = \xi \right] p _ { \lambda , b } ( 0 , \eta , T , \xi ) \mathrm { d } \eta } \end{array}
{ \cal D } _ { \cal P } ( U ) \: = \: _ { \cal P } M o d \Big \{ \sum _ { \iota \in I } \, d _ { \iota } f _ { \iota } \: : \: \sum _ { \iota } \, f _ { \iota } \in { \cal P } ( U ) \Big \} \quad \subset \: { \cal D } _ { \cal P } ^ { 0 } ( U ) ,
\alpha \simeq \frac { 4 \pi N e ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { m c } \sum _ { j } \, \frac { f _ { j } \gamma _ { j } } { ( \omega _ { j } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \gamma _ { j } ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \kappa } & { { } = \kappa _ { 0 } + \left[ \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } \left( \kappa _ { 3 } - T _ { r } \right) \left( 1 - T _ { r } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \right] \left( 1 + T _ { r } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) \left( 0 . 7 - T _ { r } \right) } \\ { \kappa _ { 0 } } & { { } = 0 . 3 7 8 8 9 3 + 1 . 4 8 9 7 1 5 3 \, \omega - 0 . 1 7 1 3 1 8 4 8 \, \omega ^ { 2 } + 0 . 0 1 9 6 5 5 4 \, \omega ^ { 3 } } \end{array}
\mathrm { I m } \, \tilde { G } _ { d } ( m ^ { 2 } ) \simeq \frac { \pi } { 2 } \, \frac { \Omega _ { d } } { \pi ^ { d } } \, \frac { \left( m ^ { 2 } \right) ^ { d / 2 - 1 } M _ { P l } ^ { 2 } } { M ^ { 2 + d } } = \mathrm { I m } \, \tilde { G } _ { d } ( m ^ { 2 } ) _ { \mathrm { A D D } } \ .
\frac { \delta C _ { Q } ( \kappa ) } { \delta \sigma ( x ) } | _ { \sigma = 0 } = - 2 \lambda ^ { 2 } \sqrt { g ( x ) } \Psi _ { \kappa } ( x ) - 2 \int d \mu C _ { Q } ( \mu ) \Psi _ { \kappa } ( x ) \Psi _ { \mu } ( x ) \, \frac { \kappa ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } \sqrt { g ( x ) }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { J } ( \widetilde { u } ) } & { = } & { \frac { 1 } { p } \int _ { V } | \widetilde { u } | ^ { p } d \mu - \frac { 1 } { 2 } \int _ { V } | \nabla \widetilde { u } | ^ { 2 } d \mu } \\ & { = } & { \left( \int _ { V } h u _ { * } ^ { 2 } d \mu \right) ^ { - p / 2 } \frac { 1 } { p } \int _ { V } | { u } _ { * } | ^ { p } d \mu - \left( \int _ { V } h u _ { * } ^ { 2 } d \mu \right) ^ { - 1 } \frac { 1 } { 2 } \int _ { V } | \nabla { u } _ { * } | ^ { 2 } d \mu } \\ & { \geq } & { \left( \int _ { V } h u _ { * } ^ { 2 } d \mu \right) ^ { - 1 } J ( u _ { * } ) } \\ & { > } & { J ( u _ { * } ) = \Lambda _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \langle v \cdot E F _ { + } ^ { ( m - 2 , s ) } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - \langle E \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } F _ { + } - \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } ( E F _ { + } ) , \nabla _ { v } ( \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } ) \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| E \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + ( \| \nabla _ { x } E \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } , s - 1 ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } + \| E \| _ { H _ { x } ^ { s } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } , 0 ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ) \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - \frac { 3 } { 2 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } H _ { v } ^ { 1 } } } \\ & { \lesssim ( \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } , s - 1 ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 2 } , 0 ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } ) ( 1 + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ) } \end{array}
\mathrm { ~ K ~ L ~ } ( \mathcal N ( \boldsymbol \mu , \boldsymbol \Sigma ) \| \mathcal N ( \boldsymbol 0 , \boldsymbol I ) ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 1 0 } ( \boldsymbol \mu _ { i } ^ { 2 } + \boldsymbol \sigma _ { i } ^ { 2 } - \log \boldsymbol \sigma _ { i } - 1 )
\begin{array} { r l } { \tilde { U } _ { e } } & { { } = - \tilde { \alpha } e ^ { - t _ { e } / \tilde { \tau } _ { e c o n } } \Big [ \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } \, \left( \frac { 1 } { 1 / \tilde { \tau } _ { e c o n } + \eta } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb N } \| G _ { k } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) } } & { < \infty , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb N } \| G _ { k } \| _ { L ^ { q _ { 0 } } ( { \mathbb R } ^ { 3 } \setminus B _ { R } ) } } & { \rightarrow 0 \quad \mathrm { a s ~ } R \rightarrow \infty , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { k \in \mathbb N } \| G _ { k } ( \cdot - h ) - G _ { k } ( \cdot ) \| _ { L ^ { q _ { 0 } } ( { \mathbb R } ^ { 3 } ) } } & { \rightarrow 0 \quad \mathrm { a s ~ } | h | \rightarrow 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { h = a r g \operatorname* { m i n } _ { \hat { h } } \| \hat { h } - h \| _ { \Omega } = a r g \operatorname* { m i n } _ { \hat { h } } [ C _ { 1 } \| \nabla \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Omega } + C _ { 2 } \| \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Gamma - \Gamma _ { t } } + C _ { 3 } \| \hat { h } - g \phi \| _ { \Gamma _ { t } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \epsilon ( X ) } { \epsilon _ { 0 } } \biggl | _ { X \simeq \pm W / 2 } \simeq L _ { 0 } ( X ) = \frac { 1 } { F ( X ) } \ln \biggl [ \frac { 2 W } { \pi \xi } \cos \frac { \pi X } { W } \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { D O C } _ { 1 } ( 0 ) = \left| \frac { \sum _ { i i ^ { \prime } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \phi - \varphi _ { i ^ { \prime } } + \chi _ { i i ^ { \prime } } ) } J _ { 1 } ( 2 b _ { i i ^ { \prime } } ) } { \sum _ { i i ^ { \prime } } J _ { 0 } ( 2 b _ { i i ^ { \prime } } ) } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
1 \wedge \exp \left( \frac { \log P ( \boldsymbol \uprho ^ { \prime } , \vec { w } _ { t } \, | \, \mathcal I ) - \log P ( \boldsymbol \uprho _ { t } , \vec { w } _ { t } \, | \, \mathcal I ) + \log g ( \boldsymbol \uprho _ { t } | \boldsymbol \uprho ^ { \prime } ) - \log g ( \boldsymbol \uprho ^ { \prime } | \boldsymbol \uprho _ { t } ) } { T ( t ) } \right) ,
\begin{array} { l } { H = H _ { 0 } + H _ { 1 } + H _ { 2 } + . . . , } \\ { \mathcal { L } H _ { 0 } = \Phi ^ { ( 2 ) } , } \\ { \mathcal { L } H _ { n + 1 } = \mathcal { M } H _ { n } \textrm { ( n = 0 , 1 , 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { \mu \nu } } & { { } = ( \epsilon + P ) u ^ { \mu } u ^ { \nu } + P \, g ^ { \mu \nu } - r ^ { \mu \nu } } \\ { J } & { { } = u \wedge n - \tilde { c } _ { \phi } \, { * \tilde { \mu } } + { \cal J } , } \\ { L } & { { } = u \wedge n _ { \ell } + ( - ) ^ { p } \tilde { c } _ { \phi } { * \tilde { \mu } _ { \psi } } + { \cal L } , } \end{array}
[ \, A _ { { \sf G I } \, i } ^ { { \gamma } } ( { \bf { r } } ) \, { \textstyle \frac { { \lambda } ^ { \gamma } } { 2 } } \, ] = V _ { \cal { C } } ( { \bf { r } } ) \, [ \, A _ { i } ^ { \gamma } ( { \bf { r } } ) \, { \textstyle \frac { \lambda ^ { \gamma } } { 2 } } \, ] \, V _ { \cal { C } } ^ { - 1 } ( { \bf { r } } ) + { \textstyle \frac { i } { g } } \, V _ { \cal { C } } ( { \bf { r } } ) \, \partial _ { i } V _ { \cal { C } } ^ { - 1 } ( { \bf { r } } ) \, ,
\mathbf { A } = \frac { 1 } { \Delta t } \left[ \begin{array} { l l l l } { - \gamma \Delta t } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 / C _ { 1 } } & { - ( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } ) / C _ { 1 } } & { \kappa _ { 2 } / C _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \kappa _ { 2 } / C _ { 2 } } & { - ( \kappa _ { 2 } + \epsilon \kappa _ { 3 } ) / C _ { 2 } } & { \epsilon \kappa _ { 3 } / C _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \kappa _ { 3 } / C _ { 3 } } & { - \kappa _ { 3 } / C _ { 3 } } \end{array} \right]
\left\{ \begin{array} { l } { \left. D \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial x ^ { 2 } } \right| _ { h _ { x } } = \frac { D _ { e } \frac { \Phi _ { i + 1 , j } - \Phi _ { i , j } } { h x } - D _ { w } \frac { \Phi _ { i , j } - \Phi _ { i - 1 , j } } { h _ { x } } } { h _ { x } } } \\ { \left. D \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial y ^ { 2 } } \right| _ { h _ { y } } = \frac { D _ { n } \frac { \Phi _ { i , j + 1 } - \Phi _ { i , j } } { h y } - D _ { s } \frac { \Phi _ { i , j } - \Phi _ { i , j - 1 } } { h _ { y } } } { h _ { y } } , } \end{array} \right.
C _ { n } = { \frac { C _ { n - 1 } } { 3 } } \cup \left( { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { C _ { n - 1 } } { 3 } } \right) { \mathrm { ~ f o r ~ } } n \geq 1 , { \mathrm { ~ a n d ~ } } C _ { 0 } = [ 0 , 1 ] .
\begin{array} { r l } { \phi _ { \delta _ { 1 } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \{ B \cdot \delta _ { 1 } \} = - \frac { \omega _ { B } \delta } { \Omega ^ { 2 } } \left( 2 \epsilon _ { 1 } + ( 2 \pi - 4 ) \epsilon _ { 2 } \right) , } \\ { \phi _ { \delta _ { 2 } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \{ B \cdot \delta _ { 2 } \} = - \frac { \omega _ { B } \delta } { \Omega ^ { 2 } } \left( 2 \epsilon _ { 2 } + ( 2 \pi - 4 ) \epsilon _ { 1 } \right) . } \end{array}
\langle r ^ { 2 n } \rangle = \left( \frac { 2 } { m \Omega _ { B } } \right) ^ { n } \sum _ { \ell = 0 , 2 , 4 , . . . } ^ { n } \mathcal { C } _ { \ell } ^ { n } \mathcal { C } _ { \ell / 2 } ^ { \ell } \left( D + J \right) ^ { n - \ell } \left( D J \right) ^ { \ell / 2 } .
\frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial t } } + \left( { \frac { { \partial \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \bar { u } _ { j } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { i } } } } } \right) { { \bar { u } } _ { j } } + \frac { { \partial { { \bar { p } } ^ { \dag } } } } { { \partial { x _ { i } } } } + \nu \frac { { { \partial ^ { 2 } } \bar { u } _ { i } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \tau _ { i j } ^ { \dag } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial J } } { { \partial { { \bar { u } } _ { i } } } } = 0 ,
\left< \phi ^ { 2 } ( x ) \right> _ { \mu ^ { 2 } } = \frac { a ^ { 2 - N } } { 2 ^ { N - 1 } \pi ^ { N / 2 } \Gamma \left( \frac N 2 \right) } \sum _ { n = 0 } ^ { \frac N 2 - 1 } c _ { 2 n + 1 } ^ { N } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( - a ^ { 2 } b ) ^ { n } \left( d _ { n } - \ln ( b / \mu ^ { 2 } ) \right) - 2 H _ { n } ( 1 ; a \sqrt b ) \right] .
\begin{array} { r l } { \Bar { \Phi } _ { r } ( x ) } & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \Phi \left( x - y \right) \rho _ { r } \left( y \right) \mathrm { d } y } \\ & { = \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( \Phi \left( - y \right) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\langle \nabla \Phi \left( - y + t \left( x - y \right) \right) , x \right\rangle \mathrm { d } t \right) \rho _ { r } \left( y \right) \mathrm { d } y } \\ & { \le \int _ { \mathbf { R } ^ { d } } \left( \Phi \left( - y \right) + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \left| \nabla \Phi ( \mathbf { 0 } ) \right| + \omega _ { \nabla \Phi } \left( 1 \right) \left( 1 + \left| - ( 1 + t ) y + t x \right| \right) \right) \left| x \right| \mathrm { d } t \right) \rho _ { r } \left( y \right) \mathrm { d } y } \\ & { \le \left\| \Phi \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ( \mathbf { 0 } ) ) } + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \left| \nabla \Phi ( \mathbf { 0 } ) \right| + \omega _ { \nabla \Phi } \left( 1 \right) \left( 1 + ( 1 + t ) + t \left| x \right| \right) \right) \left| x \right| \mathrm { d } t } \\ & { \le \frac { \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) } { 2 } \left| x \right| ^ { 2 } + \left( \left| \nabla \Phi \left( \mathbf { 0 } \right) \right| + \frac { 5 } { 2 } \omega _ { \nabla \Phi } ( 1 ) \right) \left| x \right| + \left\| \Phi \right\| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ( \mathbf { 0 } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \pm } } & { { } = \frac { \hat { I } _ { \pm } } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \mu \epsilon ^ { \prime } + \left( \frac { \mu \Sigma } { 2 \omega } \right) ^ { 2 } } \; , } \\ { \hat { I } _ { \pm } } & { { } = \sqrt { \sqrt { 1 + \left( \frac { \mu \epsilon ^ { \prime \prime } } { \mu \epsilon ^ { \prime } + \mu ^ { 2 } \Sigma ^ { 2 } / ( 4 \omega ^ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } } \pm 1 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta \Theta _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } : = \delta \Theta _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } + \frac { 2 } { \gamma } \delta \mathrm { e } _ { I } \wedge \mathrm { e } _ { J } \wedge \delta \mathcal { C } ^ { I J } - \frac { 1 } { \gamma } \delta \mathrm { d } ( \mathrm { e } _ { I } \wedge \delta \mathrm { e } ^ { I } ) , } \\ & { \delta \overline { { \theta } } _ { \mathtt { H M S } } ^ { \mathtt { ( t ) } } : = \delta \overline { { \theta } } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( t ) } } - \frac { 1 } { \gamma } \delta \overline { { \mathrm { e } } } ^ { I } \wedge \delta \overline { { \mathrm { e } } } _ { I } . } \end{array}
S ( x , z ) = \sum _ { n = - 5 0 } ^ { 5 0 } s _ { n } \sqrt { \varsigma _ { n } } \, \exp \, i \left\lbrack \frac { 2 \pi n } { \ell } x + \left( \frac { 2 \pi n } { \ell } \right) ^ { 2 } \frac { z } { 2 } \right\rbrack ,
\beta ( D _ { \mathrm { { L } } } \oplus \delta _ { \mathrm { { R } } } ) = i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m { \mathsf { C } } \qquad \beta ( \delta _ { \mathrm { { L } } } \oplus D _ { \mathrm { { R } } } ) = i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } + m { \mathsf { C } }
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathscr { U } ( K - 1 ) } { \partial \omega _ { K - 1 } } } \\ { \approx } & { - \mathscr { A } ( \mathscr { U } ( K - 1 ) ) e ( k _ { 0 } ) } \\ { = } & { - \mathscr { A } ( \mathscr { U } ( K - 1 ) ) e ( k _ { 0 } ) - \mathscr { U } ( K - 1 ) + \mathscr { U } ( K - 1 ) } \\ { = } & { - \tilde { \mathscr { X } } ( K ) + \mathscr { U } ( K - 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log M } & { = - \log \underline { { g } } ( n , \sigma ^ { 2 } + b _ { n } ) + \log \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \log n \bigg ) } \\ & { = n \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \log \frac { \sigma ^ { 2 } } { D } + \frac { b _ { n } } { 2 \sigma ^ { 2 } } + O \bigg ( \frac { \log n } { n } \bigg ) \bigg ) } \\ & { = \frac { n } { 2 } \log \frac { \sigma ^ { 2 } } { D } + \sqrt { n \mathrm { V } ( \sigma ^ { 2 } , \zeta ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon ) + O ( \log n ) , } \end{array}
a _ { j + g } ^ { q ( i ) } = - \frac { u _ { Q } \left< \phi _ { 0 } \right> A _ { j , j } ^ { \alpha , S } } { v _ { Q } \left< \psi _ { - g } \right> A _ { j , j + g } ^ { \alpha , R } } a _ { j } ^ { q ( i ) } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { \phi } } & { = \frac { \sqrt [ 6 ] { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) ^ { 2 } } + \frac { 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 3 \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) } } \\ & { + \frac { 1 0 0 \ 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 9 \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 9 } \sqrt [ 3 ] { 2 } \sqrt [ 3 ] { 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } - 5 4 \zeta ^ { 2 } - 5 0 0 } + \frac { 1 } { 9 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } p ^ { \boxtimes _ { d } m } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { d } , } & { \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) < 1 , } \\ { x ^ { d } - d x ^ { d - 1 } , } & { \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \widetilde { a } _ { 2 } ( p ) < 1 , } \\ { ( x - 1 ) ^ { d } , } & { \widetilde { a } _ { 1 } ( p ) = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \widetilde { a } _ { 2 } ( p ) = 1 . } \end{array} \right. } \end{array}
< p | J _ { \mu } ^ { ( \beta ) V } | n > = \overline { { \psi } } _ { p } \left[ f _ { 1 } ( k ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + f _ { 2 } ( k ^ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } k ^ { \nu } + f _ { 3 } ( k ^ { 2 } ) k _ { \mu } \right] \psi _ { n } ,
\begin{array} { r l } { P ( C _ { n + 1 , ( w _ { 1 } , \dots , w _ { h } ) } ( X _ { 1 } ^ { n + 1 } ) = t ) } & { = P ( C _ { n + 1 , ( w _ { 1 } , \dots , w _ { h } ) } ( 0 X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) + P ( C _ { n + 1 , ( w _ { 1 } , \dots , w _ { h } ) } ( 1 X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) } \\ & { = p P ( C _ { n , ( w _ { 1 } , \dots , w _ { h } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) + q P ( D _ { n , ( m _ { 1 } , \dots , m _ { h } ) } ( X _ { 1 } ^ { n } ) = t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \omega } F _ { k } } & { = 2 ( \xi _ { k } + W _ { k - 1 } ) , } \\ { \mathrm { V a r } _ { \omega } F _ { k } } & { = 8 \sum _ { j < k } \Pi _ { j + 1 , k - 1 } \left( \xi _ { j + 1 } W _ { j } ^ { 2 } + \xi _ { j + 1 } ^ { 2 } W _ { j } + \frac { 1 } { 3 } ( \xi _ { j + 1 } ^ { 3 } - \xi _ { j + 1 } ) \right) } \\ & { - 4 W _ { k - 1 } ^ { 2 } + ( - 1 4 \xi _ { k } + 1 0 ) W _ { k - 1 } - 4 \xi _ { k } ^ { 2 } + 4 \xi _ { k } } \end{array}
\overline { { ( 1 - \mathscr { D } ^ { \xi } ) p ^ { \xi } \, d ^ { 3 } X } } = \overline { { ( \mathscr { J } - { D } ) p ^ { \xi } \, d ^ { 3 } x } } = \left( \overline { { \mathscr { J } p ^ { \xi } } } - { D } \overline { { p ^ { \xi } } } \right) \, d ^ { 3 } x
\begin{array} { r } { \frac { Q ^ { \prime \prime } ( z ) } { Q ( z ) } - \frac { Q ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 } } { Q ( z ) ^ { 2 } } = \frac { A ^ { \prime \prime } ( z ) } { A ( z ) } - \frac { A ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 } } { A ( z ) ^ { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \left( \frac { B _ { i } ^ { \prime \prime } ( z ) } { B _ { i } ( z ) } - \frac { B _ { i } ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 } } { B _ { i } ( z ) ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\left| \hat { \lambda } _ { k } ^ { n } \right| = \operatorname* { m a x } \left\lbrace \left| 2 \mathbf { v } _ { k } ^ { n } \cdot \mathbf { n } - \sqrt { g h _ { k } ^ { n } } \right| , \left| 2 \mathbf { v } _ { k } ^ { n } \cdot \mathbf { n } \right| , \left| 2 \mathbf { v } _ { k } ^ { n } \cdot \mathbf { n } + \sqrt { g h _ { k } ^ { n } } \right| \right\rbrace ,
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 2 } } { d t } } & { = \frac { 1 } { k _ { 2 } } \Big ( w _ { 2 1 } \, \phi ( | x _ { 2 } - x _ { 1 } | ) \, ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) + w _ { 2 3 } \, \phi ( | x _ { 2 } - x _ { 3 } | ) \, ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) \Big ) \, , } \\ & { \leq \frac { 1 } { k _ { 2 } } w _ { 2 3 } \, \phi ( | x _ { 2 } - x _ { 3 } | ) \, ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) \, , } \\ & { \leq M t \, ( x _ { 3 } - x _ { 2 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { x } } = \mathbf { F } _ { o } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { p } ) \, , \dot { \mathbf { y } } = \mathbf { F } _ { h } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \mathbf { p } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { 0 a } } & { = \ell _ { a A } \mu _ { 0 A } , } \\ { \alpha _ { a b } ( f _ { \omega } ) } & { = \ell _ { a A } \ell _ { b B } \alpha _ { A B } ( f _ { \omega } ) , } \\ { \alpha _ { a b , c } ( f _ { \omega } ) } & { = \ell _ { a A } \ell _ { b B } \ell _ { c C } \alpha _ { A B , C } ( f _ { \omega } ) , } \end{array}
( \tilde { D } _ { \lambda } { \cal F } ^ { \mu \nu } ) _ { 0 0 0 0 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( L _ { \lambda } ) _ { 1 } ( { \cal F } ^ { \mu \nu } ) _ { 1 } ( L _ { \lambda } ^ { \dagger } ) _ { 1 } + ( { \cal F } ^ { \mu \nu } ) _ { 0 } \right] ,
S E _ { I I } = ( S E _ { f } - \Delta S E _ { r l x } ) + \Delta S E _ { I I } = \gamma \pi \left( \frac { D _ { m a x , I I } ^ { 2 } } { 4 } + \frac 2 3 \frac { D _ { 0 } ^ { 3 } } { D _ { m a x , I I } } \right) ,
\begin{array} { r l } { u _ { i } ^ { > } \left( m , \omega \right) = } & { \; u _ { i } ^ { > } \left( x , y , z , m , t , \omega \right) } \\ { = } & { \int \hat { u } _ { i } \left( x , y , m ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } \right) \delta \left( | \omega ^ { \prime } | - \omega \right) \Theta \left( | m ^ { \prime } | - | m | \right) } \\ & { \qquad \qquad e ^ { 2 \pi \textrm { \fontfamily { c m t t } \selectfont i } ( m ^ { \prime } z - \omega ^ { \prime } t ) } d m ^ { \prime } d \omega ^ { \prime } \quad \textrm { , } } \end{array}