harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { a } ( t ) = } & { p _ { a 0 } \mathsf { c } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) - \left( a x _ { a 0 } + p _ { c 0 } \right) \mathsf { s } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) } \\ { p _ { b } ( t ) = } & { p _ { b 0 } } \\ { p _ { c } ( t ) = } & { p _ { c 0 } } \\ { x _ { a } ( t ) = } & { \frac { \left( { r _ { \lambda _ { 0 } } } x _ { a 0 } + p _ { c 0 } \right) \mathsf { c } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) - p _ { c 0 } } { a } + p _ { a 0 } \mathsf { s } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) } \\ { x _ { b } ( t ) = } & { p _ { b 0 } t + x _ { b 0 } } \\ { x _ { c } ( t ) = } & { x _ { c 0 } + \frac { p _ { a 0 } ( 1 - \mathsf { c } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) ) - p _ { c 0 } t + ( { r _ { \lambda _ { 0 } } } x _ { a 0 } + p _ { c 0 } ) \mathsf { s } _ { r _ { \lambda _ { 0 } } } ( t ) } { a } } \end{array}
d s ^ { 2 } = - f ( r ) \, ( \, d t - 2 n ( \cos { \theta } + k ) \, d \phi \, ) ^ { 2 } \, + \, \frac { d r ^ { 2 } } { f ( r ) } \, + \, ( r ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) \, ( \, d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } { \theta } \, d \phi _ { e } ^ { 2 } ) ,
T = \left( \begin{array} { l l } { | \langle { \Psi _ { u } ^ { \mathrm { B o b } } } | \hat { U } | { \Psi _ { v } ^ { \mathrm { A l i c e } } } \rangle | ^ { 2 } } & { | \langle { \Psi _ { u } ^ { \mathrm { B o b } } } | \hat { U } | { \Phi _ { v } ^ { \mathrm { A l i c e } } } \rangle | ^ { 2 } } \\ { | \langle { \Phi _ { u } ^ { \mathrm { B o b } } } | \hat { U } | { \Psi _ { v } ^ { \mathrm { A l i c e } } } \rangle | ^ { 2 } } & { | \langle { \Phi _ { u } ^ { \mathrm { B o b } } } | \hat { U } | { \Phi _ { v } ^ { \mathrm { A l i c e } } } \rangle | ^ { 2 } } \end{array} \right) , \quad u , \, v = \{ 0 0 , \, 0 1 , \, 1 0 , \, 1 1 \} .
\sum _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } q } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + \frac { \partial q } { \partial x _ { j } } \left( \frac { \partial W } { \partial x _ { j } } + 2 \frac { \partial \ln R } { \partial x _ { j } } \right) = 0
\begin{array} { r l } { | \Psi \rangle = \sum _ { j } ( \alpha _ { j } a _ { j } ^ { \dag } + } & { \beta _ { j } b _ { j } ^ { \dag } ) | g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } g _ { 4 } \emptyset \rangle + ( \mathcal { C } _ { a } c _ { a } ^ { \dag } + \mathcal { C } _ { b } c _ { b } ^ { \dag } + \mathcal { D } _ { a } d _ { a } ^ { \dag } + \mathcal { D } _ { b } d _ { b } ^ { \dag } ) | g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } g _ { 4 } \emptyset \rangle } \\ & { + v _ { 1 } | s _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } g _ { 4 } \emptyset \rangle + v _ { 2 } | e _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } g _ { 4 } \emptyset \rangle + v _ { 3 } | g _ { 1 } e _ { 2 } g _ { 3 } g _ { 4 } \emptyset \rangle } \\ & { + v _ { 4 } | g _ { 1 } g _ { 2 } e _ { 3 } g _ { 4 } \emptyset \rangle + v _ { 5 } | g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } s _ { 4 } \emptyset \rangle + v _ { 6 } | g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } e _ { 4 } \emptyset \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Big [ } ( \nabla \times { \mathbf E } ) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { = - \frac { \partial } { \partial t } \left( { \big [ } { \mathbf B } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \big ] } \right) , } \\ { { \Big [ } ( \nabla \times { \mathbf E } ) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { = - \frac { \partial } { \partial t } \left( { \big [ } { \mathbf B } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \big ] } \right) = { 0 } , } \\ { { \Big [ } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { = { \Big [ } \frac { \mu _ { 0 } } { \eta } { \mathbf E } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } , } \\ { { \Big [ } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { = { \Big [ } \frac { \mu _ { 0 } } { \eta } { \mathbf E } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } , } \\ { { \Big [ } \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { = { \Big [ } { \mathbf E } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } = \mathbf { 0 } , } \\ { { \Big [ } \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { = { \Big [ } { \mathbf E } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } . } \end{array}
{ \cal R } ( u ) = \rho \left[ \begin{array} { c c c c } { { \sin ( \eta + u ) } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \sin u } } & { { \sin \eta } } & { { } } \\ { { } } & { { \sin \eta } } & { { \sin u } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { \sin ( \eta + u ) } } \end{array} \right] ~ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { \pi _ { a } ( k ) \in S } \frac { 1 } { ( \rho _ { k } ^ { a } + \delta _ { \pi _ { a } ( k ) , \pi _ { a } ( i ) } ^ { a } ) ^ { 2 } } + \sum _ { \pi _ { b } ( \mu ) \in S } \frac { 1 } { ( \rho _ { \mu } ^ { b } + \delta _ { \pi _ { b } ( \mu ) , \pi _ { a } ( i ) } ^ { b } ) ^ { 2 } } } & { \le \sum _ { \pi _ { a } ( k ) \in S } \frac { 1 } { ( \delta _ { \pi _ { a } ( k ) , \pi _ { a } ( i ) } ^ { a } ) ^ { 2 } } + \sum _ { \pi _ { b } ( \mu ) \in S } \frac { 1 } { ( \delta _ { \pi _ { b } ( \mu ) , \pi _ { a } ( i ) } ^ { b } ) ^ { 2 } } } \\ & { \le \frac { C } { \delta _ { \pi _ { a } ( i ) } ( S ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\alpha _ { F M V } = - \, \frac { 2 5 6 \pi } { 9 \sqrt { 2 } } \, \frac { G _ { 8 } \alpha _ { e m } F _ { \pi } } { | F ( 0 , 0 ) | } \, ( 2 h _ { V } + \ell _ { V } ) f _ { V } \eta \, \simeq \, - 1 . 2 2
\Pi _ { N } ( \mu ^ { 2 } \psi ) \approx \Tilde { S } \circ P , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \Tilde { S } _ { i j } = - \frac { i } { 2 } \sqrt { \frac { N } { 4 \pi } } ( s _ { i } + s _ { j } )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathcal { W } _ { p } ^ { p } ( \hat { F } _ { n , X } , F _ { X } ) \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } | \hat { F } _ { n , X } ^ { - 1 } ( u ) - F _ { X } ^ { - 1 } ( u ) | ^ { p } \mathrm { d } z \right] } \\ & { \leq ( 2 M ) ^ { p - 1 } \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } | \hat { F } _ { n , X } ^ { - 1 } ( u ) - F _ { X } ^ { - 1 } ( u ) | \mathrm { d } u \right] } \\ & { = ( 2 M ) ^ { p - 1 } \int _ { - M } ^ { M } \mathbb { E } \left[ | \hat { F } _ { n , X } ( z ) - F _ { X } ( z ) | \right] \mathrm { d } z . } \end{array}
P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) = P \left( \mathbf { Y } , X _ { 1 } , X _ { 2 } , . . . , X _ { n } \right) = P \left( \mathbf { Y } \mid X _ { 1 } , X _ { 2 } , . . . , X _ { n } \right) P \left( X _ { 1 } , X _ { 2 } , . . . , X _ { n } \right)
\begin{array} { r } { p _ { N ^ { \prime } } = \frac { N } { \ell _ { g , 1 } } \prod _ { n = 1 } ^ { N ^ { \prime } } \Big ( I - \frac { 1 } { \ell _ { g , 1 } \left| S _ { n } \right| } \sum _ { i = 1 } ^ { \left| S _ { n } \right| } \nabla _ { y y } ^ { 2 } g _ { i } ( x , y ; \zeta _ { i , n } ) \Big ) \frac { 1 } { \left| S _ { 0 } \right| } \sum _ { i \in S _ { 0 } } \nabla _ { y } f _ { i } ( x , y ; \xi _ { i , 0 } ) , } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \phi ) ( \partial ^ { \mu } \phi ) - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - { \frac { \lambda } { 4 ! } } \phi ^ { 4 } ,
\bar { C } ( \varpi , p ) = \frac { 2 D } { \varpi ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } p ^ { 4 } } \equiv \frac { D } { \nu ^ { 2 } p ^ { 4 } } \mathring { F } \left( \frac { \varpi } { \nu p ^ { 2 } } \right) \, , \quad \mathring { F } ( x ) = \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \tilde { d } _ { 2 } } & { { } = \frac { \delta } { 2 } , } \\ { \tilde { d } _ { 3 } } & { { } = \frac { 3 \delta ^ { 2 } - 1 } { 1 2 } , } \\ { \mathcal { L } } & { { } = - \frac { 2 f } { \pi } ( 1 - i \delta ) ^ { 2 } \frac { i \ln \sqrt { u ^ { 2 } + 1 } + \frac { \pi } { 2 } + \arctan ( u ) } { \left( 1 + \delta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } - 1 + \eta - i 2 \eta \arctan ( \delta ) , } \\ { \mathcal { N } } & { { } = \frac { 4 f } { \pi } \frac { ( 1 + i u ) ( 1 - i \delta ) } { ( 1 + u ^ { 2 } ) ( 1 + \delta ^ { 2 } ) } , } \\ { \zeta _ { 1 } } & { { } = \left( 1 + \frac { 2 } { \pi } \arctan ( u ) \right) , } \\ { \zeta _ { 2 } } & { { } = \frac { 4 } { \pi } \frac { 1 } { u ^ { 2 } + 1 } , } \\ { \zeta _ { 3 } } & { { } = - \frac { 1 + \delta ^ { 2 } } { \gamma } . } \end{array}
\mathcal { H } _ { 0 } = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { V _ { 1 } } & { J } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { J } & { V _ { 2 } } & { J } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { J } & { V _ { 3 } } & { . . . } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } & { . . . } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { J } & { V _ { M - 1 } } & { J } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { . . . } & { 0 } & { J } & { V _ { M } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { \cal S } _ { 0 } } & { { } = 2 A _ { 0 } + \sqrt { 2 A _ { 0 } } \left( \cos \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } + 2 \sin \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( b ) } \right) , } \\ { \hat { \cal S } _ { 1 } } & { { } = 2 A _ { 0 } \sin ( 2 \vartheta ) + \sqrt { 2 A _ { 0 } } \left( \sin \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } + 2 \cos \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( b ) } \right) , } \\ { \hat { \cal S } _ { 2 } } & { { } = \sqrt { 2 A _ { 0 } } \left( 2 \cos \vartheta \hat { P } _ { 1 } ^ { ( b ) } - 2 \sin \vartheta \hat { P } _ { 1 } ^ { ( a ) } \right) , } \\ { \hat { \cal S } _ { 3 } } & { { } = 2 A _ { 0 } \cos ( 2 \vartheta ) + \sqrt { 2 A _ { 0 } } \left( \cos \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } - 2 \sin \vartheta \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( b ) } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ F ~ i ~ n ~ d ~ } \phi \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ : ~ } } & { } \\ { \Delta \phi = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } { \Omega } _ { 0 } , } \\ { \phi = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { l v , e n d o } } } , { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { r v , e n d o } } } } \\ { \phi = 1 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { l v , e p i } } } , { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { r v , e p i } } } , { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { r v , e n d o - s e p } } } , } \\ { n _ { 0 _ { i } } \left( \nabla _ { 0 _ { i } } \phi \right) = 0 } & { \mathrm { ~ a ~ t ~ } { \Gamma } _ { 0 } ^ { \mathrm { { b a s e } } } , } \end{array} \right.
\operatorname* { l i m } _ { K \rightarrow \infty } \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } [ \tau _ { t } \wedge \tau _ { t } ^ { K } - t ] = \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } [ \tau _ { t } - t ] , \qquad \operatorname* { l i m } _ { K \rightarrow \infty } \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ \int _ { \tau _ { t } \wedge \tau _ { t } ^ { K } } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s \right] = \mathbb { E } _ { X _ { t } = x } \left[ \int _ { \tau _ { t } } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s \right] .
\begin{array} { r l r } { { H _ { C } } } & { { } = } & { \int { { d ^ { 3 } } x } \left[ \, { { \Pi _ { i } } { \partial ^ { i } } { a _ { 0 } } + \frac { { { { \bf \Pi } ^ { 2 } } } } { { 2 \, { c _ { 1 } } } } + \frac { { { c _ { 1 } } } } { 2 } \, { { \bf b } ^ { 2 } } - \frac { { { d _ { 1 } } } } { 2 } \, { { \left( { { \bf B } _ { 0 } \cdot { \bf b } } \right) } ^ { 2 } } } \, \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { k } } & { = r _ { 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi ( k - 1 ) } { N _ { \mathrm { b a t h } } } \right) \cos \left( \beta \right) , } \\ { Y _ { k } } & { = - r _ { 0 } \sin \left( \frac { 2 \pi ( k - 1 ) } { N _ { \mathrm { b a t h } } } \right) , } \\ { Z _ { k } } & { = r _ { 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi ( k - 1 ) } { N _ { \mathrm { b a t h } } } \right) \sin \left( \beta \right) . } \end{array}
\Phi ^ { B ( P T ) } = - \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d y } { y M ^ { 2 } } e ^ { - { y Q ^ { 2 } } / { \bar { y } M ^ { 2 } } } \left\{ e ^ { { y q ^ { 2 } } / { M ^ { 2 } } } \ln { \left( \frac { y \bar { y } q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) } \right\} .
0 = \partial ^ { \beta } \Lambda _ { \rho } = \frac { \partial \Lambda _ { \rho } } { \partial ( \partial _ { \alpha } \mathbb { A } _ { \gamma } ) } \partial ^ { \beta } ( \partial _ { \alpha } \mathbb { A } _ { \gamma } ) + \frac { \partial \Lambda _ { \rho } } { \partial \mathbb { A } _ { \gamma } } \partial ^ { \beta } \mathbb { A } _ { \gamma } = \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial ^ { \beta } \partial _ { \alpha } \mathbb { A } _ { \gamma } - J ^ { \gamma } \partial ^ { \beta } \mathbb { A } _ { \gamma } = \partial _ { \alpha } \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial ^ { \beta } \mathbb { A } _ { \gamma }
{ \begin{array} { r l } & { \left[ { \hat { H } } , 1 - { \frac { i \mathbf { x } \cdot { \hat { \mathbf { p } } } } { N \hbar } } \right] = 0 } \\ & { \Rightarrow [ { \hat { H } } , { \hat { \mathbf { p } } } ] = 0 } \\ & { \Rightarrow { \frac { d } { d t } } \langle { \hat { \mathbf { p } } } \rangle = { \frac { i } { \hbar } } [ { \hat { H } } , { \hat { \mathbf { p } } } ] = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { P _ { n e a r } ( \vec { x } _ { f } , \vec { x } _ { i } ) } & { { } = } & { \langle \vec { x } _ { f } | \Psi _ { D S } \rangle \langle \Psi _ { D S } | \vec { x } _ { i } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { \lambda \mu } ^ { \nu } ( q , t ) = \psi _ { T } ( q , t ) \cdot \prod _ { ( j , k , m ) \ - \mathrm { a d m i s s i b l e } } \left( \frac { X _ { k } - q ^ { - a ( j , k , m ) + b ( j , k , m ) - 1 } t X _ { j } } { X _ { k } - q ^ { - a ( j , k , m ) + b ( j , k , m ) } X _ { j } } \cdot \frac { X _ { k } - q ^ { - a ( j , k , m ) } t ^ { - 1 } X _ { j } } { X _ { k } - q ^ { - a ( j , k , m ) - 1 } X _ { j } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \bf s } } _ { j } = { \bf s } _ { j } + \frac { 1 } { 4 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) ^ { t } \nabla ^ { 2 } { \bf s } _ { j } ( { \bf x } _ { i } - { \bf x } _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { s } _ { i } \right] } & { { } = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \Biggl \{ \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \hat { h } _ { i } ^ { t } e ^ { - \mathrm { i } s _ { i } ^ { t } \hat { h } _ { i } ^ { t } } \left[ \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } \right) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) + \delta \left( \hat { h } _ { i } ^ { t } \right) \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert f \rVert _ { ( \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { J } } ) ) _ { \theta , q } } \leqslant \frac { 1 + \theta } { \theta } \left( \int _ { 0 } ^ { + \infty } \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { J } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { J } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } ^ { q } \frac { \mathrm { d } t } { t } \right) ^ { \frac { 1 } { q } } \mathrm { . } } \end{array}
\omega _ { 0 } ( k ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d { k ^ { \prime } } ^ { 2 } } { { k ^ { \prime } } ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \tilde { \alpha } _ { s } ( \operatorname * { m a x } ( k ^ { 2 } , { k ^ { \prime } } ^ { 2 } ) ) \left[ \operatorname * { m i n } \left( \frac { k } { k ^ { \prime } } , \frac { k ^ { \prime } } { k } \right) \right] ^ { \omega _ { 0 } ( k ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \| x _ { \bar { k } } - \bar { x } \| } & { \leq \| x _ { k _ { 0 } } - \bar { x } \| + \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { \bar { k } - 1 } \| x _ { k } - x _ { k + 1 } \| } \\ & { \leq \| x _ { k _ { 0 } } - \bar { x } \| + \frac { \kappa + \rho _ { \operatorname* { m a x } } } { \sigma \zeta } \sum _ { k = k _ { 0 } } ^ { \bar { k } - 1 } \big ( \psi \big ( \varphi ( x _ { k } ) - \varphi ( \bar { x } ) \big ) - \psi \big ( \varphi ( x _ { k + 1 } ) - \varphi ( \bar { x } ) \big ) \big ) } \\ & { \leq \| x _ { k _ { 0 } } - \bar { x } \| + \frac { \kappa + \rho _ { \operatorname* { m a x } } } { \sigma \zeta } \psi \big ( \varphi ( x _ { k _ { 0 } } ) - \varphi ( \bar { x } ) \big ) \leq \eta , } \end{array}
\left( - \frac { 1 } { 2 L } \left( \frac { \partial } { \partial c } \right) ^ { 2 } + \frac { e ^ { 2 } L } { 2 \pi } \left( \frac { 2 \pi N } { e L } - c \right) ^ { 2 } \right) F _ { N } ( c ) = { \cal E } _ { N , 0 } \, F _ { N } ( c )
\begin{array} { r l } & { V a r ^ { * } ( B _ { 3 , K , I , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } ) } \\ { = } & { ( I + n + 1 ) \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } C _ { I - i _ { 1 } , i _ { 1 } } C _ { I - i _ { 2 } , i _ { 2 } } C o v ^ { * } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } , \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } | \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } \right) } \\ { \leq } & { 2 ( I + n + 1 ) \sum _ { i _ { 2 } = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \sum _ { i _ { 1 } = K + 1 } ^ { i _ { 2 } } C _ { I - i _ { 1 } , i _ { 1 } } C _ { I - i _ { 2 } , i _ { 2 } } C o v ^ { * } \left( \prod _ { j _ { 1 } = i _ { 1 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 1 } , n } ^ { * } , \prod _ { j _ { 2 } = i _ { 2 } } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { j _ { 2 } , n } ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle x - z , ( 1 + a ) ( x ^ { \circ 2 } - z ^ { \circ 2 } ) - ( x ^ { \circ 3 } - z ^ { \circ 3 } ) \rangle _ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } [ ( 1 + a ) ( x _ { i } ^ { 3 } - z _ { i } x _ { i } ^ { 2 } - x _ { i } z _ { i } ^ { 2 } + z _ { i } ^ { 3 } ) - x _ { i } ^ { 4 } + x _ { i } z _ { i } ^ { 3 } + z _ { i } x _ { i } ^ { 3 } - z _ { i } ^ { 4 } ] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - z _ { i } ) ^ { 2 } [ ( 1 + a ) ( x _ { i } + z _ { i } ) - x _ { i } ^ { 2 } - z _ { i } ^ { 2 } - x _ { i } z _ { i } ] \leq \frac { ( 1 + a ) ^ { 2 } } { 3 } \left\| x - z \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
S _ { x y } = - 2 \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } \left( H _ { \mathrm { d l } } \frac { H _ { x } } { { H _ { k } } ^ { 2 } } \mp H _ { \mathrm { f l } } \frac { H _ { y } } { { H _ { k } } ^ { 2 } } \right) + \mathcal { O } [ H _ { x } ] ^ { 2 } + \mathcal { O } [ H _ { y } ] ^ { 2 } .
\mathcal { S } _ { b } = \frac { \mathcal { G } \mu _ { 2 } m _ { 1 } m _ { 2 } \beta _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } } \alpha _ { 0 } b _ { \frac { 3 } { 2 } } ^ { ( 1 ) } ( \alpha _ { 0 } )
\operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } \} } } \mathfrak { L } _ { \tau } = \operatorname* { i n f } _ { \substack { \{ \lambda _ { m } \} \, \{ \mu _ { k , m } \} } } \operatorname* { s u p } _ { \{ \mathfrak { m } _ { k , m } ^ { + } \} } \mathfrak { L } _ { \tau } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { a } } _ { n } } & { = \mathcal { P } \left( \Delta t \right) \cdot \left[ \mathbf { a } _ { n } \right] } \\ { \Delta \mathbf { a } _ { n } } & { = \Delta t \mathcal { D } \left[ \tilde { \mathbf { a } } _ { n } + \Delta \mathbf { a } _ { n } , t _ { n } \right] } \\ { \mathbf { a } _ { n + 1 } } & { = \tilde { \mathbf { a } } _ { n } + \Delta \mathbf { a } _ { n } } \end{array} } \end{array}
| Z _ { 1 } | ^ { 2 } - | Z _ { 2 } | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { ( Z _ { i j } \bar { Z } ^ { i j } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } | \epsilon ^ { i j k l } Z _ { i j } Z _ { k l } | ^ { 2 } }
\mathcal { N } _ { t h } ( \rho ) = \frac { 1 } { \lambda _ { T } ^ { 3 } } \mathrm { L i } _ { 3 / 2 } \left( e ^ { \frac { - 1 } { k _ { B } T } ( \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } | \rho ^ { 2 } - R _ { T F } ^ { 2 } | + \frac { 8 \pi a _ { b b } } { m } \mathcal { N } _ { t h } ( \rho ) ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { \bf ~ E } _ { 1 } } & { : = \mathrm { \bf ~ E } _ { \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = l _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = l _ { 2 } } \left[ \chi _ { \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ^ { \prime } ) , l _ { 1 } } \right] , } \\ { \mathrm { \bf ~ E } _ { 2 } } & { : = \mathrm { \bf ~ E } _ { \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = l _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = l _ { 2 } } \left[ \chi _ { \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ^ { \prime } ) , l _ { 2 } } \right] , } \\ { \mathrm { \bf ~ E } _ { 1 2 } } & { : = \mathrm { \bf ~ E } _ { \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ) = l _ { 1 } , \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ) = l _ { 2 } } \left[ \chi _ { \varphi _ { 1 } ( k _ { 1 } ^ { \prime } ) , l _ { 1 } } \chi _ { \varphi _ { 2 } ( k _ { 2 } ^ { \prime } ) , l _ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi [ \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] } & { { } \to } & { \Psi [ \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] \approx \Psi [ \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] + \int d ^ { 3 } r \, \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \frac { \delta \Psi [ \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ] } { \delta \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } = } \end{array}
\alpha ^ { ( 3 ) } \left( \omega , I \right) = - \hslash \omega \sqrt { \frac { \mu _ { 0 } } { \epsilon _ { r } } } \frac { 4 I } { 2 \epsilon _ { 0 } n _ { r } c } \frac { \sigma _ { \nu } \Gamma _ { 2 1 } \left\vert M _ { 2 1 } \right\vert ^ { 4 } } { \left[ \left( \Delta E - \hslash \omega \right) ^ { 2 } + \left( \hslash \Gamma _ { 2 1 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } }
\left( i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } - q \phi \right) \psi = \left[ { \frac { 1 } { 2 m } } { ( { \boldsymbol { \sigma } } \cdot ( \mathbf { p } - q \mathbf { A } ) ) } ^ { 2 } \right] \psi \quad \Leftrightarrow \quad { \hat { H } } = { \frac { 1 } { 2 m } } { ( { \boldsymbol { \sigma } } \cdot ( \mathbf { p } - q \mathbf { A } ) ) } ^ { 2 } + q \phi
\begin{array} { r } { c _ { 2 } = - \frac { 4 a ^ { 2 } \hat { \beta } } { ( 1 6 - B o ) \Gamma } , } \\ { \textrm { a n d } c _ { 3 } = - 4 a ^ { \sqrt { B o } - 4 } c _ { 2 } / \sqrt { B o } - 2 a ^ { \sqrt { B o } - 2 } c _ { 1 } / \sqrt { B o } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { i } ^ { ( 0 ) } } & { = \mathcal { Q } _ { i j , k } ^ { R } \varepsilon _ { j k l } \Bigl \{ \left[ \mathbb { A } ^ { R } p _ { l } p _ { m } + \mathbb { B } ^ { R } ( \delta _ { l m } - p _ { l } p _ { m } ) \right] \Delta \Omega _ { m } } \\ & { \! \! \! \! \! \! + \mathbb { C } ^ { R } \varepsilon _ { l m n } p _ { m } \mathsf { E } _ { n o } ^ { \infty } p _ { o } \Bigr \} } \\ & { \! \! \! \! \! \! + \left( \mathcal { Q } _ { i j , k } ^ { S } + \chi \mathcal { Q } _ { i j , l l k } ^ { Q } \right) \Bigl \{ \left[ \mathbb { A } ^ { S } { \mathsf { p } _ { j k l m } ^ { A } } + \mathbb { B } ^ { S } { \mathsf { p } _ { j k l m } ^ { B } } + \mathbb { C } ^ { S } { \mathsf { p } _ { j k l m } ^ { C } } \right] \mathsf { E } _ { l m } ^ { \infty } } \\ & { \! \! \! \! \! \! - \mathbb { C } ^ { R } \left( \varepsilon _ { j l m } p _ { k } p _ { m } + \varepsilon _ { k l m } p _ { j } p _ { m } \right) \Delta \Omega _ { l } \Bigr \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { P } _ { x } } & { { } = } & { \hat { P } _ { y } = 0 } \\ { \hat { P } _ { z } } & { { } = } & { \hbar k \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) , } \end{array}
\vec { E } _ { b } ( \vec { x } _ { 2 } ) = - k \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \vec { \nabla } _ { \vec { x } _ { 2 } } \left( \frac { \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) } { R } \right) , \qquad k \equiv \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \simeq 9 \cdot 1 0 ^ { 9 } .