harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\iiint _ { T } \rho ^ { 4 } \sin \theta \, d \rho \, d \theta \, d \varphi = \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \varphi \, d \varphi \int _ { 0 } ^ { 4 } \rho ^ { 4 } d \rho \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { \pi } \sin \varphi \left[ { \frac { \rho ^ { 5 } } { 5 } } \right] _ { 0 } ^ { 4 } \, d \varphi = 2 \pi \left[ { \frac { \rho ^ { 5 } } { 5 } } \right] _ { 0 } ^ { 4 } { \Big [ } - \cos \varphi { \Big ] } _ { 0 } ^ { \pi } = { \frac { 4 0 9 6 \pi } { 5 } } .
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } = } & { \; \delta \varepsilon \left( - \beta S ( v + \alpha w ) + P \right) , } \\ { \delta \varepsilon v ^ { \prime } = } & { \; \delta \varepsilon \beta S ( v + \alpha w ) - \delta \varepsilon \gamma _ { 1 } v , } \\ { \delta u ^ { \prime } = } & { \; \delta \varepsilon ( \gamma _ { 1 } v - u ) , } \\ { P ^ { \prime } = } & { \; \delta \varepsilon ( 1 + u ( 1 - \delta ) - \nu \beta P ( v + \alpha w ) - ( S + \delta \varepsilon v + 2 P + \delta \varepsilon w ) ) , } \\ { \delta \varepsilon w ^ { \prime } = } & { \; \delta \varepsilon \nu \beta P ( v + \alpha w ) - \delta \varepsilon \gamma _ { 2 } w , } \end{array}
\delta : = \frac 1 4 ( q - 1 ) \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( 1 - \frac { 2 q + 1 } { 2 q + 2 } \beta \aftergroup \egroup \right) = \frac { ( q - 1 ) ^ { 2 } } { 4 ( q + 1 ) ( 4 q - 1 ) } \, .
{ [ } Q , { \{ } \overline { { { Q } } } , Q { \} } { ] } = { [ } { \{ } Q , \overline { { { Q } } } { \} } , Q { ] } - { [ } \overline { { { Q } } } , { \{ } Q , Q { \} } { ] } = { [ } { \{ } Q , \overline { { { Q } } } { \} } , Q { ] } ,
\begin{array} { r l } { \langle X \rangle } & { = \int N m _ { \mathrm { x y } } \mathrm { c o s } \left( \frac { 2 Z \chi t } { N } \right) P ( Z ) d Z = N m _ { \mathrm { x y } } \mathrm { e } ^ { - \frac { ( \chi t ) ^ { 2 } } { 2 N } } } \\ { \langle Z ^ { 2 } \rangle } & { = \int Z ^ { 2 } P ( Z ) d Z = \frac { N } { 4 } } \\ { \langle Z Y \rangle } & { = \langle Y Z \rangle = \int Z N m _ { \mathrm { x y } } \mathrm { s i n } \left( \frac { 2 Z \chi t } { N } \right) P ( Z ) d Z = \frac { 1 } { 2 } N m _ { \mathrm { x y } } \chi t ~ \mathrm { e } ^ { - \frac { ( \chi t ) ^ { 2 } } { 2 N } } , } \\ { \langle Y ^ { 2 } \rangle } & { = \mathrm { V a r } [ Y | Z ] + \int N ^ { 2 } m _ { \mathrm { x y } } ^ { 2 } \mathrm { s i n } ^ { 2 } \left( \frac { 2 Z \chi t } { N } \right) P ( Z ) d Z } \\ & { = \mathrm { V a r } [ Y | Z ] + \frac { 1 } { 2 } N ^ { 2 } m _ { \mathrm { x y } } ^ { 2 } [ 1 - \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 ( \chi t ) ^ { 2 } } { N } } ] . } \end{array}
\hat { h } _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) = \Big \langle ( 1 - x _ { k } ^ { 2 } ( \tau ) ) \frac { \Psi ( \tau ) } { N _ { t } } \Big ( \sum _ { j \in \mathcal { T } } J _ { k \ell } ^ { ( t o ) } ( \tau ) J _ { \ell j } ^ { ( o t ) } ( \tau ) x _ { j } ( \tau ) \Big ) \Big \rangle \,
\sigma ^ { \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } ( \mathbf { q } ) = \sigma _ { ( 0 ) } ^ { \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } + q _ { \nu } \sigma _ { ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } + \mathcal { O } ( \mathbf { q } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ , ~ }
H _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ - ~ c ~ a ~ v ~ } } ^ { \mathrm { ~ R ~ W ~ A ~ } } = g \sum _ { r } \left[ a c _ { 2 , r } ^ { \dagger } c _ { 1 , r } + a ^ { \dagger } c _ { 1 , r } ^ { \dagger } c _ { 2 , r } \right] ,
\mathrm { f o r ~ \ p s i ~ = ~ - \sqrt { \frac { \ p h i ^ { 2 } - 1 } { ~ 2 } } ~ } \quad : \qquad \Sigma _ { + } = \{ ( \phi ^ { 1 / 4 } , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 ) \} \; ,
\begin{array} { r l } { \Big \| \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } } & { \frac { 1 } { \tau _ { i } } \sum _ { \upsilon = 0 } ^ { \tau _ { i } - 1 } \big ( \Bar { h } _ { i } ^ { D } ( x _ { v } ^ { i } , y _ { + } ) - \bar { h } ^ { I } ( x ) \big ) - \nabla f ( x ) \Big \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \Big \| \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { \tau _ { i } } \sum _ { \upsilon = 0 } ^ { \tau _ { i } - 1 } \big ( \Bar { h } _ { i } ^ { D } ( x _ { v } ^ { i } , y _ { + } ) - \bar { h } ^ { I } ( x ) \big ) - \bar { \nabla } f ( x , y _ { + } ) + \bar { \nabla } f ( x , y _ { + } ) - \nabla f ( x ) \Big \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \Big \| \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { \tau _ { i } } \sum _ { \upsilon = 0 } ^ { \tau _ { i } - 1 } \big ( \Bar { h } _ { i } ^ { D } ( x _ { v } ^ { i } , y _ { + } ) - \bar { \nabla } f _ { i } ^ { D } ( x , y _ { + } ) \big ) - \bar { h } ^ { I } ( x ) + \bar { \nabla } f ^ { I } ( x , y _ { + } ) + \bar { \nabla } f ( x , y _ { + } ) - \nabla f ( x ) \Big \| ^ { 2 } } \\ { \overset { ( i ) } \leq } & { 3 \Big \| \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { \tau _ { i } } \sum _ { \upsilon = 0 } ^ { \tau _ { i } - 1 } \big ( \Bar { h } _ { i } ^ { D } ( x _ { v } ^ { i } , y _ { + } ) - \bar { \nabla } f _ { i } ^ { D } ( x , y _ { + } ) \big ) \| ^ { 2 } } \\ & { + 3 \Big \| \bar { h } ^ { I } ( x ) - \bar { \nabla } f ^ { I } ( x , y _ { + } ) \Big \| ^ { 2 } + 3 \| \bar { \nabla } f ( x , y _ { + } ) - \nabla f ( x ) \| ^ { 2 } } \\ { \overset { ( i i ) } \leq } & { \frac { 3 M _ { f } ^ { 2 } } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \frac { 1 } { \tau _ { i } } \sum _ { \upsilon = 0 } ^ { \tau _ { i } - 1 } \| x _ { \upsilon } ^ { i } - x \| ^ { 2 } + 3 M _ { f } ^ { 2 } \| y _ { + } - y ^ { \ast } \| ^ { 2 } + 3 \| \bar { h } ^ { I } ( x ) - \bar { \nabla } f ^ { I } ( x , y _ { + } ) \| ^ { 2 } } \end{array}
| I , I _ { z } , K > = \int \frac { d ^ { 4 } x } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { d \hat { T } } { \sqrt { 4 \pi } } e ^ { i K \cdot x } Y _ { I I _ { z } } ( \hat { T } ) ( e ^ { F ( x ) + G ( x ) } - 1 - F ( x ) - G ( x ) ) | 0 > .
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 1 } = - n _ { * } + \displaystyle \frac { ( 1 - \eta ) ^ { 2 } \sigma \Phi n _ { * } p _ { * } } { \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) n _ { * } + \xi p _ { * } \right] ^ { 2 } } , \, \, \, a _ { 2 1 } = \displaystyle \frac { \theta ( 1 - \eta ) p _ { * } ^ { 2 } } { \left[ ( 1 - \eta ) n _ { * } + \nu \right] ^ { 2 } } > 0 } \\ { a _ { 1 2 } = - \displaystyle \frac { \mu \rho n _ { * } } { ( 1 + \rho n _ { * } ) ^ { 2 } } - \displaystyle \frac { \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) n _ { * } \right] ( 1 - \eta ) \Phi n _ { * } } { \left[ 1 + \sigma ( 1 - \eta ) n _ { * } + \xi p _ { * } \right] ^ { 2 } } < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } & { r _ { 1 } ( k ) = r _ { 1 } ( 0 ) + r _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) k + \frac { 1 } { 2 } r _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( 0 ) k ^ { 2 } + \cdots , } & & { k \to 0 , \ k > 0 , } \\ & { r _ { 2 } ( k ) = r _ { 2 } ( 0 ) + r _ { 2 } ^ { \prime } ( 0 ) k + \frac { 1 } { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( 0 ) k ^ { 2 } + \cdots , } & & { k \to 0 , \ k < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { B } } & { { } = \operatorname* { m i n } { \{ 2 \exp ( - 9 \alpha _ { g } ^ { 2 } ) , 1 . 0 \} } , \ \ \ \alpha _ { g } = 0 . 2 5 - d _ { w } / h _ { \operatorname* { m a x } } } \\ { f _ { e } } & { { } = \operatorname* { m a x } { \{ ( f _ { e 1 } - 1 ) , 0 \} } f _ { e 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { \rho } ^ { \left( n \right) } = \frac { \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } } { \operatorname { t r } \left( \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } \right) } = \frac { \sum _ { \lambda ^ { \left( n \right) } } \exp \left( - \tau \lambda ^ { \left( n \right) } \right) \big \vert \lambda ^ { \left( n \right) } \big \rangle \big \langle \lambda ^ { \left( n \right) } \big \vert } { \sum _ { \lambda ^ { \left( n \right) } } \exp \left( - \tau \lambda ^ { \left( n \right) } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { s _ { \tilde { \beta } , t } } & { = } & { \frac { \Delta C _ { t - 1 } - \lambda _ { 1 , t - 1 } } { \lambda _ { 1 , t - 1 } } } \\ { s _ { \tilde { \gamma } , t } } & { = } & { \frac { \Delta R _ { t - 1 } - \lambda _ { 2 , t - 1 } } { \lambda _ { 2 , t - 1 } } \frac { 1 } { ( 1 - \gamma _ { t } ) } } \\ { s _ { \tilde { \nu } , t } } & { = } & { \frac { \Delta D _ { t - 1 } - \lambda _ { 3 , t - 1 } } { \lambda _ { 3 , t - 1 } } \frac { 1 } { ( 1 - \nu _ { t } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \rho , v } { \mathrm { m i n } } \quad } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \left\lVert v ( t , x ) \right\rVert ^ { 2 } \rho ( t , x ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho v ) = 0 , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , \quad \rho ( T , x ) = \rho _ { 1 } ( x ) } \end{array}
S _ { r } = \int d ^ { 4 } x \left\{ { \cal L } _ { r } ( r _ { \mathrm { s t } } ) + \frac { a } { 2 G ^ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n } \mathrm { t r } \left[ F _ { \alpha \beta } ^ { n } ( r _ { \mathrm { s t } } ) \right] \right\}
W \supset \lambda _ { 3 3 } { \bf 1 0 } _ { 3 } \overline { { { { \bf 5 } } } } _ { 3 } \overline { { { { \bf 5 } } } } _ { H } + M \overline { { { { \bf 5 } } } } ^ { \prime } { \bf 5 } ^ { \prime } + \lambda _ { 2 } \overline { { { { \bf 5 } } } } _ { 2 } { \bf 5 } ^ { \prime } { \bf 2 4 } _ { H } + \lambda _ { 3 } { \bf 1 0 } _ { 3 } \overline { { { { \bf 5 } } } } ^ { \prime } \overline { { { { \bf 5 } } } } _ { H }
\begin{array} { r l } { ( \mathfrak { a } \star \mathfrak { b } ) ( x , \xi ) } & { = \left\{ \mathfrak { a } , \mathfrak { b } \right\} _ { x } + r _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } , } \\ { \left\{ \mathfrak { a } , \mathfrak { b } \right\} _ { x } } & { : = \mathfrak { a } \partial _ { x } \mathfrak { b } - \mathfrak { b } \partial _ { x } \mathfrak { a } + \xi \left\{ \mathfrak { a } , \mathfrak { b } \right\} = \partial _ { \xi } ( \xi \mathfrak { a } ) \partial _ { x } \mathfrak { b } - \partial _ { x } \mathfrak { a } \partial _ { \xi } ( \xi \mathfrak { b } ) \in \mathcal { S } ^ { m + m ^ { \prime } } , } \\ { r _ { \mathfrak { a } , \mathfrak { b } } } & { : = \left( \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } } ^ { 1 } + \sigma _ { \mathfrak { a } , \partial _ { x } \mathfrak { b } } ^ { 2 } ) + \mathrm { i } \sigma _ { \mathfrak { a } , \xi \mathfrak { b } } ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 1 } { 2 } ( \sigma _ { \mathfrak { b } , \partial _ { x } \mathfrak { a } } ^ { 1 } + \sigma _ { \mathfrak { b } , \partial _ { x } \mathfrak { a } } ^ { 2 } ) + \mathrm { i } \sigma _ { \mathfrak { b } , \xi \mathfrak { a } } ^ { 2 } \right) \in \mathcal { S } ^ { m + m ^ { \prime } - 2 } , } \end{array}
c _ { \alpha } ^ { N _ { \mathrm { l a } } - i + 1 } = \mathrm { A c t } \left( \sum _ { \beta } W _ { \alpha \beta } ^ { N _ { \mathrm { l a } } - i } ( c _ { \beta } ^ { N _ { \mathrm { l a } } - i } + c _ { \beta } ^ { i } ) + b _ { \alpha } ^ { N _ { \mathrm { l a } } - 1 } \right) ,
\begin{array} { r l } { I I } & { = \int _ { \mathbb { R } } ( 1 + v ^ { 2 } ) M [ f ] \, d v + \int _ { \mathbb { R } } ( 1 + v ^ { 2 } ) M [ g ] \, d v - 2 \int _ { u _ { g } - \frac { 1 } { 2 } \rho _ { g } } ^ { u _ { f } + \frac { 1 } { 2 } \rho _ { f } } ( 1 + v ^ { 2 } ) \, d v } \\ & { = \rho _ { f } + \frac 1 3 \left\{ \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { f } - \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } \right\} + \rho _ { g } + \frac 1 3 \left\{ \left( u _ { g } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } \right\} } \\ & { \quad - 2 \left( u _ { f } - u _ { g } + \frac { \rho _ { f } + \rho _ { g } } { 2 } \right) - \frac 2 3 \left\{ \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } \right\} } \\ & { = 2 \left( u _ { g } - u _ { f } \right) + \frac { 1 } { 3 } \left\{ \left( u _ { g } + \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { f } + \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } + \left( u _ { g } - \frac { \rho _ { g } } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( u _ { f } - \frac { \rho _ { f } } { 2 } \right) ^ { 3 } \right\} . } \end{array}
\tan ( \delta ) = { \frac { \varepsilon ^ { \prime \prime } } { \varepsilon ^ { \prime } } } = { \frac { \left( \varepsilon _ { s } - \varepsilon _ { \infty } \right) \omega \tau } { \varepsilon _ { s } + \varepsilon _ { \infty } \omega ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \delta } & { { } = \frac { 1 } { 2 } B ^ { * } D ^ { * } ( S _ { c } - 1 ) } \\ { \gamma } & { { } = \leavevmode { F ^ { * } ( t _ { 0 } ) B ^ { * } S _ { c } } \, , } \end{array}
\frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { 2 \pi } = \frac { 2 } { \beta _ { 0 } \ln Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \ln \ln Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } { \ln Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } \right) \; ,
\chi _ { - } = \nu _ { - } \eta \gamma _ { - } \gamma _ { - } ^ { \prime - 1 } \eta ^ { \prime - 1 } \nu _ { - } ^ { \prime - 1 } \eta ^ { \prime } \gamma _ { - } ^ { \prime } \gamma _ { - } ^ { - 1 } \eta ^ { - 1 } , \qquad \psi _ { - } = \eta \gamma _ { - } \gamma _ { - } ^ { \prime - 1 } \eta ^ { \prime - 1 } .
\begin{array} { r l r } { \bar { E } _ { 1 2 } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { 2 \pi \rho \frac { C _ { 9 } } { R ^ { 6 } } \frac { 4 } { 3 } } \\ { \bar { E _ { 1 2 } ^ { * } } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { 2 \pi \rho \frac { C _ { 9 } ^ { * } } { R ^ { 6 } } \frac { 4 } { 9 } ( 4 - 3 \log [ ( R ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) / \sigma ^ { 2 } ] ) \mathrm { ~ f o r ~ } m = 0 } \\ { \bar { E _ { 1 2 } ^ { * } } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { 2 \pi \rho \frac { C _ { 9 } ^ { * } } { R ^ { 6 } } \frac { 2 } { 9 } ( - 1 + 3 \log [ ( R ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) / \sigma ^ { 2 } ] ) \mathrm { ~ f o r ~ } m = \pm 1 } \end{array}
\frac { \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | T + V _ { \textrm { C o u l o m b } } | \, \psi _ { n } \rangle } { \langle \psi _ { n } ^ { ( 0 ) } | \psi _ { n } \rangle } + \frac { \langle \psi _ { n } | \Sigma | \psi _ { n } \rangle } { \langle \psi _ { n } | \psi _ { n } \rangle } = \widetilde { E } _ { n }
\begin{array} { r l r } { s ^ { i j } } & { = } & { \frac { P ^ { i j } - Q ^ { i j } } 3 \varepsilon + \frac { 4 S - 5 A } { 3 0 } u ^ { i j } + R ^ { i j k l } u _ { k l } + } \\ & { } & { \frac 2 7 \left( P ^ { i n } g ^ { j m } + P ^ { j n } g ^ { i m } - \frac 2 3 P ^ { m n } g ^ { i j } \right) u _ { m n } + \left( Q ^ { i n } g ^ { j m } + Q ^ { j n } g ^ { i m } - \frac 2 3 Q ^ { m n } g ^ { i j } \right) u _ { m n } . } \end{array}
\epsilon _ { S M } ^ { 2 } = \frac { 3 } { 1 6 } \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 2 } \left( \frac { m _ { \tau } } { m _ { W } } \right) ^ { 4 } \left\{ \ell n \left( \frac { m _ { \tau } ^ { 2 } } { m _ { W } ^ { 2 } } \right) \right\} ^ { 2 } \left( U _ { \tau j } \ U _ { \tau i } ^ { * } \right) ^ { 2 }
\mathsf { A C V } ^ { 2 } \bar { P } _ { \mathrm { o p t } } = \frac { 1 } { \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } \frac { \zeta } { ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { n _ { 1 } ^ { \mathrm { o p t } } } + \frac { \zeta } { n _ { 2 } ^ { \mathrm { o p t } } } \right) .
\begin{array} { r l } { [ \partial _ { t _ { i } } , f _ { j } ] } & { = \sum _ { \alpha } [ \partial _ { t _ { i } } , h ^ { - 1 / 2 } ( t ) _ { v } a _ { \alpha , j } ( v ) \partial _ { y _ { \alpha } } ] } \\ & { = \sum _ { \alpha } \partial _ { t _ { i } } a _ { \alpha , j } ( v ) + a _ { \alpha , j } [ \partial _ { t _ { i } } , h ^ { - 1 / 2 } ( t ) _ { v } \partial _ { y _ { \alpha } } ] } \\ & { = 0 + \sum _ { \alpha } a _ { \alpha , j } ( 0 , t _ { 0 } ) \cdot ( - 1 / 2 \partial _ { t _ { i } } h ( t ) | _ { ( 0 , t _ { 0 } ) } \cdot \partial _ { y _ { \alpha } } ) } \\ & { = - 1 / 2 ( \partial _ { t _ { i } } h ) ( 0 , t _ { 0 } ) \partial _ { y _ { j } } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \lambda ^ { - 1 } \, \sum _ { i , \, j = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } \cap { S } _ { \lambda } ^ { n - 1 } ( 0 ) } v \, x ^ { i } \, \big [ ( \partial _ { j } g ) ( e _ { i } , e _ { j } ) - ( \partial _ { i } g ) ( e _ { j } , e _ { j } ) \big ] \, \mathrm { d } \mu ( \bar { g } ) = 0
\begin{array} { r l r l } & { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega k } ) + r _ { 2 } ( \omega k ) + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \frac { 1 } { k } ) = 0 , } & & { k \in \partial \mathbb { D } \setminus \{ \omega , - \omega \} , } \\ & { r _ { 2 } ( k ) = \tilde { r } ( k ) \overline { { r _ { 1 } ( \bar { k } ^ { - 1 } ) } } , \qquad \tilde { r } ( k ) : = \frac { \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { 1 - \omega ^ { 2 } k ^ { 2 } } , } & & { k \in \hat { \Gamma } _ { 4 } \setminus \{ 0 , \omega ^ { 2 } , - \omega ^ { 2 } \} , } \\ & { r _ { 1 } ( 1 ) = r _ { 1 } ( - 1 ) = 1 , \qquad r _ { 2 } ( 1 ) = r _ { 2 } ( - 1 ) = - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( t ^ { n + 1 } ) = } & { { } 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } , } \\ { C _ { 2 } ( t ^ { n + 1 } ) = } & { { } - \frac { \varepsilon } { \sigma } \left( 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } \right) + \frac { c } { \varepsilon } t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } + \frac { c ^ { 2 } \sigma } { 2 \varepsilon ^ { 3 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } , } \\ { C _ { 3 } ( t ^ { n + 1 } ) = } & { { } - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c \sigma } \left( 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } \right) + t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } + \frac { c \sigma } { 2 \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n - \frac 1 2 } } { \Delta t } = } \\ & { \phantom { m m m } - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j + \frac 1 2 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta x } - \frac { ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n } } { \Delta y } \right) } \\ & { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n } } { \Delta t } = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } } { \Delta y } } \\ & { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + \frac 1 2 } } { \Delta x } } \end{array}
\overline { { { M } } } _ { n } ^ { 2 } = \left\{ \begin{array} { c } { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } _ { R } } ^ { 2 } \, f o r \, n = 0 } } \\ { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { s } R } ^ { 2 } \, f o r \, n = 1 , 2 } } \\ { { \overline { { { m } } } _ { \widetilde { b } _ { L } } ^ { 2 } \, f o r \, n = 3 } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { g _ { l } } & { { } = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { b } | } , } \\ { g _ { r } } & { { } = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } \Omega _ { b } | } , } \\ { g _ { a } } & { { } = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } | } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \mathbb { E } \bigg ( \bigg ( \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) - \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y \bigg ) \bigg ( \varphi ( Y _ { t } ^ { j , \tau } ) - \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y \bigg ) \bigg ) } \\ & { \quad = \frac { 2 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \mathbb { E } \bigg ( \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \varphi ( Y _ { t } ^ { j , \tau } ) - \varphi ( Y _ { t } ^ { i , \tau } ) \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y } \\ & { \quad \quad - \varphi ( Y _ { t } ^ { j , \tau } ) \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y + \bigg ( \int _ { \mathbb { R } } \rho _ { t } ^ { \tau } ( y ) \varphi ( y ) \, \mathrm { d } y \bigg ) ^ { 2 } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ^ { k + 1 } = } & { \frac { 1 } { 1 + \tau } \mathsf { P r o j } _ { + } \left( X ^ { k } + \tau C - \tau \left( y _ { 1 } ^ { k } \mathbf { e } _ { n } ^ { \mathsf { T } } + \mathbf { e } _ { n } ( y _ { 2 } ^ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \right) \right) , } \\ { a ^ { k + 1 } = } & { \mathbf { e } _ { n } ^ { \mathsf { T } } ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) \mathbf { e } _ { n } + n + \theta , } \\ { y ^ { k + 1 } = } & { y ^ { k } + \frac { 1 } { \gamma \tau ( n + \theta ) } \left( \begin{array} { l } { ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) \mathbf { e } _ { n } } \\ { ( 2 X ^ { k + 1 } - X ^ { k } ) ^ { \mathsf { T } } \mathbf { e } _ { n } } \end{array} \right) - \frac { a ^ { k + 1 } } { \gamma \tau ( n + \theta ) ( 2 n + \theta ) } \mathbf { e } _ { 2 n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } = - \mathfrak { e } _ { n } \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } } & { = ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { 1 \leqslant \ell _ { 1 } < \ldots < \ell _ { k - 1 } < n } u _ { \ell _ { 1 } \ell _ { 2 } \ldots \ell _ { k - 1 } n } ( \cdot , 0 ) \, \mathrm { d } x _ { \ell _ { 1 } } \wedge \ldots \wedge \mathrm { d } x _ { \ell _ { k - 1 } } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { I ^ { \prime } \in \mathcal { I } _ { n - 1 } ^ { k - 1 } } u _ { I ^ { \prime } , n } ( \cdot , 0 ) \, \mathrm { d } x _ { I ^ { \prime } } \mathrm { . ~ } } \end{array}
{ \frac { R _ { s } ^ { 2 } } { 4 ( k - 2 ) ^ { 2 } } } \biggl ( 4 ( k - 2 ) { \hat { N } } - { \hat { N } } ^ { 2 } + 4 { \hat { N } } - 4 C _ { 2 , U ( k - 2 ) } \biggr )
\sum _ { j = 1 } ^ { N _ { p } } q _ { j } ^ { s } = q _ { 0 } ^ { s } , \qquad \Delta p _ { p } = \frac { \rho _ { f } ( q _ { j } ^ { s } ) ^ { 2 } } { 2 C _ { j } ^ { 2 } A _ { j } ^ { 2 } } , \qquad j = 1 . . N _ { p } .
2 u c _ { i } ^ { r } < 0 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \sqrt { ( \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } - u ) ^ { 2 } + 4 u c _ { i } ^ { r } ( \bar { \beta } - \alpha ) } < | u - \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } |
\left\{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \; \; } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } x _ { i } + y _ { i } } \\ { s . t . \; \; } & { x _ { i } + y _ { i } \leq 1 \quad \forall i } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } d _ { i } ( x _ { i } - y _ { i } ) = d _ { n } } \\ & { 0 \leq x _ { i } , y _ { i } \leq 1 \quad \forall i } \\ & { x _ { i } , y _ { i } \in \mathbb { Z } \quad \forall i . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \alpha \| \tilde { v } \| ^ { 2 } \right) + \alpha \varepsilon \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } } & { = - \alpha \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { u } \tilde { v } _ { x } \mathrm { d } x + \big ( \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } - \alpha \varepsilon \beta _ { x } \big ) \| \tilde { v } \| ^ { 2 } - \alpha \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 \varepsilon \beta \beta _ { x } + \beta _ { t } ) \tilde { v } \mathrm { d } x . } \end{array}
U ^ { ( 0 ) } ( \mu , M _ { W } ) = V \left[ \left( \frac { a _ { s } ( \mu ) } { a _ { s } ( M _ { w } ) } \right) ^ { - \gamma _ { i } ^ { ( 0 ) } / ( 2 \beta _ { 0 } ) } \right] _ { \mathrm { d i a g } } V ^ { - 1 } ,
B I ( h ) = \frac { \frac { 1 } { h ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { h } \sum _ { j = 1 } ^ { h } \frac { 1 } { \Vert z _ { i } - z _ { j } \Vert ^ { 2 } } + \frac { 1 } { ( n - h ) ^ { 2 } } \sum _ { i = h + 1 } ^ { n } \sum _ { j = h + 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \Vert z _ { i } - z _ { j } \Vert ^ { 2 } } } { \frac { 2 } { h ( n - h ) } \sum _ { i = 1 } ^ { h } \sum _ { j = h + 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \Vert z _ { i } - z _ { j } \Vert ^ { 2 } } } .