harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d ^ { 2 } f = \left( { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } ( d x ) ^ { 2 } + 2 { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x \partial y } } d x \, d y + { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial y ^ { 2 } } } ( d y ) ^ { 2 } \right) + { \frac { \partial f } { \partial x } } d ^ { 2 } x + { \frac { \partial f } { \partial y } } d ^ { 2 } y .
\left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 1 + \beta } ( I - \beta \Delta ) \circ } & { \nabla \circ } \\ { - \nabla \cdot \circ } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \frac { d J ^ { R } } { d \mathbf { f _ { s } } } } \\ { \pi } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { d J } { d \mathbf { f _ { s } } } } \\ { 0 } \end{array} \right) ,
\, [ K _ { y } + K _ { x } \cos ( \varphi ) ] - J _ { 0 } ( K _ { y } ) J _ { 2 } ( K _ { x } ) [ K _ { x } + K _ { y } \cos ( \varphi ) ] - J _ { 0 } ( K _ { x } ) J _ { 2 } ( K _ { y } ) [ K _ { y } \cos ( \varphi ) + K _ { x } \cos ( 2 \varphi ) ] \} \} / 2
\zeta _ { \mathrm i n t } ( s ) = - \zeta _ { 1 / 2 - | \alpha | } ^ { \mathrm ( i n t ) } ( s ) + \sum _ { \nu = 1 / 2 } ^ { \infty } \left[ \zeta _ { \nu + \alpha } ^ { \mathrm ( i n t ) } ( s ) + \zeta _ { \nu - \alpha } ^ { \mathrm ( i n t ) } ( s ) \right]
\hat { \nabla } _ { \mu } N ^ { \mu 0 } = ( { \delta _ { \epsilon _ { k } } \lambda } ) ^ { \dagger } ( \delta _ { \epsilon _ { k } } \lambda ) + ( { \delta _ { \epsilon _ { k } } \chi } ) ^ { \dagger } ( \delta _ { \epsilon _ { k } } \chi ) + \mathrm { f i e l d \; e q s . } = 0 \ .
J _ { 2 } ^ { 1 0 } M _ { 1 0 , 0 } + J _ { 2 } ^ { 7 } J _ { 3 } ^ { 2 } M _ { 7 , 2 } + J _ { 2 } ^ { 4 } J _ { 3 } ^ { 4 } M _ { 4 , 4 } + J _ { 2 } J _ { 3 } ^ { 6 } M _ { 1 , 6 }
\begin{array} { r l } { \left\| \mathrm { t r _ { 0 } } { \mathcal { V } } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { y _ { 0 } } y ^ { \alpha } \| \nabla \mathcal { V } ( y ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } d y } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { y _ { 0 } } y ^ { 2 + 3 \alpha } | \partial _ { y } \chi | ^ { 2 } \mathcal { U } ^ { 2 } d y d x + \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { y _ { 0 } } y ^ { \alpha } \Big | \int _ { y } ^ { \mathcal { Y } } { \tau ^ { \alpha } \mathcal { U } ( x , \tau ) \, d \tau } \Big | ^ { 2 } d y d x . } \end{array}
\langle \Delta \hat { q } ( t ) \rangle _ { f i } = \epsilon \, \langle \, p _ { f } \, | \, q _ { i } \, \rangle \, \frac { \partial H ( p _ { f } ) } { \partial p _ { f } } \exp \left( - i H ( p _ { f } ) \, T / \hbar \right) \, .
\begin{array} { r l } & { \int \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } \Big ( \frac { d K Q _ { j } } { d K Q _ { 0 } } - 1 \Big ) \bigg ) ^ { 2 } \, d K Q _ { 0 } } \\ & { \leq \iint k ( y , x ) \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } \frac { ( q _ { j } ( x ) - q _ { 0 } ( x ) ) } { q _ { 0 } ( x ) } \bigg ) ^ { 2 } q _ { 0 } ( x ) \, d \nu ( x ) \, d \mu ( y ) } \\ & { = \int \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } \Big ( \frac { q _ { j } ( x ) } { q _ { 0 } ( x ) } - 1 \Big ) \bigg ) ^ { 2 } q _ { 0 } ( x ) \, d \nu ( x ) } \\ & { = \int \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { M } v _ { j } \Big ( \frac { d Q _ { j } } { d Q _ { 0 } } - 1 \Big ) \bigg ) ^ { 2 } \, d Q _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { c } _ { 2 } K ^ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } K E + \tilde { c } _ { 0 } E ^ { 2 } } & { = \frac { 4 8 \sigma ^ { 2 } \beta ^ { 2 } ( \beta + 2 ) } { d _ { 1 } ^ { 2 } } \Big [ \hat { c } _ { 4 } K ^ { 4 } + \hat { c } _ { 3 } K ^ { 3 } E + \hat { c } _ { 1 } K E ^ { 3 } + \hat { c } _ { 0 } E ^ { 4 } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { A } _ { j } \left( \vec { r } \right) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \phi _ { 2 } } d \Phi } & { \Big [ \gamma D ( \Phi ) + 2 \gamma r \cos { \Phi } \sinh ^ { - 1 } { \beta _ { 1 } ( \Phi ) } } \\ & { + \big ( r ^ { 2 } - r ^ { 2 } \cos { 2 \Phi } \sinh ^ { - 1 } { \beta _ { 2 } ( \Phi ) } \big ) } \\ & { - r ^ { 2 } \sin { 2 \Phi } \tan ^ { - 1 } { \beta _ { 3 } ( \Phi ) } \Big ] \left\{ \begin{array} { l l } & { - \sin { \Phi } , } \\ & { \cos { \Phi } , } \end{array} \right. } \\ & { j = r , \phi , } \end{array}
\left\lbrace \overline { { u } } _ { 0 } , \, \overline { { v } } _ { 0 } , \, \overline { { w } } _ { 0 } , \, \overline { { \tau } } _ { 0 } , \, \overline { { p } } _ { 0 } \right\rbrace = \left( \widehat { w } ^ { \infty } + \frac { \mathrm { i } k _ { z } \widehat { v } ^ { \infty } } { \gamma } \right) \left\lbrace \frac { \mathrm { i } k _ { z } } { k _ { x } } \overline { { u } } , \, \mathrm { i } k _ { z } \sqrt { \frac { 2 \overline { { x } } } { k _ { x } \mathrm { R } _ { \lambda } } } \overline { { v } } , \, \overline { { w } } , \, \frac { \mathrm { i } k _ { z } } { k _ { x } } \overline { { \tau } } , \, \mathrm { i } \kappa _ { z } \sqrt { \frac { k _ { x } } { \mathrm { R } _ { \lambda } } } \overline { { p } } \right\rbrace ,
A _ { m } ( 4 , 1 ) = 1 , 1 , 4 , 2 2 , 1 4 0 , 9 6 9 , 7 0 8 4 , 5 3 8 2 0 , 4 2 0 7 3 2 , 3 3 6 2 2 6 0 , \ldots
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u } { \partial x } } & { { } = \frac { 1 } { { \rho } ^ { 2 } } \left[ { \rho } \frac { \partial \rho u } { \partial x } - { \rho } { u } \frac { \partial \rho } { \partial x } \right] , \frac { \partial v } { \partial x } = \frac { 1 } { { \rho } ^ { 2 } } \left[ { \rho } \frac { \partial \rho v } { \partial x } - { \rho } { v } \frac { \partial \rho } { \partial x } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { j } ( U ^ { ( j ) } H ^ { ( j ) } - U ^ { * } ) \Lambda ^ { - 1 } } & { = \left( ( A _ { j } \otimes I _ { d } ) + \sigma ( A _ { j } \otimes J _ { d } ) \circ W _ { j } \right) ( U ^ { ( j ) } H ^ { ( j ) } - U ^ { * } ) \Lambda ^ { - 1 } } \\ & { = \underbrace { \sum _ { k \neq j } A _ { j k } ( U _ { k } ^ { ( j ) } H ^ { ( j ) } - U _ { k } ^ { * } ) \Lambda ^ { - 1 } } _ { = : F _ { j 1 } } + \underbrace { \sigma \sum _ { k \neq j } A _ { j k } W _ { j k } ( U _ { k } ^ { ( j ) } H ^ { ( j ) } - U _ { k } ^ { * } ) \Lambda ^ { - 1 } } _ { = : F _ { j 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { r } { 2 M } - 1 } \mathrm { e } ^ { r / 4 M } \sinh \Big ( \frac { t } { 4 M } \Big ) , } & { r > 2 M ; } \\ { \sqrt { 1 - \frac { r } { 2 M } } \mathrm { e } ^ { r / 4 M } \cosh \Big ( \frac { t } { 4 M } \Big ) , } & { r < 2 M ; } \end{array} \right. } \\ { X } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { r } { 2 M } - 1 } \mathrm { e } ^ { r / 4 M } \cosh \Big ( \frac { t } { 4 M } \Big ) , } & { r > 2 M ; } \\ { \sqrt { 1 - \frac { r } { 2 M } } \mathrm { e } ^ { r / 4 M } \sinh \Big ( \frac { t } { 4 M } \Big ) , } & { r < 2 M ; } \end{array} \right. } \\ { \theta } & { = \theta ; } \\ { \phi } & { = \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { i } ^ { T } \mathbf { v } _ { j } } & { = ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { i } + \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { T } ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { j } + \mathbf { v } _ { j } ^ { \prime } ) = \bar { \mathbf { v } } _ { i } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { R } \bar { \mathbf { v } } _ { j } + \bar { \mathbf { v } } _ { i } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { v } _ { j } ^ { \prime } + \bar { \mathbf { v } } _ { j } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } + ( \mathbf { v } _ { i } ^ { \prime } ) ^ { T } \mathbf { v } _ { j } ^ { \prime } = \delta _ { i j } , } \end{array}
\rho _ { \textbf { G } , p q } = \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } } \int \mathrm { ~ d ~ } ^ { 3 } ( \textbf { r } ) \; e ^ { i \textbf { G } \textbf { r } } \; \phi _ { p } ^ { * } ( \textbf { r } ) \phi _ { q } ( \textbf { r } ) ~ ,
( \Delta a ) _ { \mu } ^ { \gamma K K } ( d = 2 ) = \frac { \alpha } { 3 \pi } ( \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { 3 } + 2 \pi l n \frac { M _ { s t r } } { M _ { R } } ) \frac { m _ { \mu } ^ { 2 } } { M _ { R } ^ { 2 } }
J _ { y } ^ { ( i ) } = \int \langle M _ { y z } ^ { ( i ) } \rangle d \vec { x } _ { \perp } d t ^ { \prime } , \quad J _ { y } ^ { ( e ) } = \int \langle M _ { y z } ^ { ( e ) } \rangle d \vec { x } _ { \perp } d t ^ { \prime } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial p _ { j } } \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } \frac { \partial v _ { 0 } } { \partial p _ { i } } \right) } & { = \frac { 1 } { \cos ^ { 2 } \psi _ { 0 } } \left( \bar { \bf f } _ { j } \cdot \left( \frac { \partial ^ { 2 } { \cal H } _ { t } } { \partial \bar { \bf w } \partial \bar { \bf w } ^ { T } } - v _ { 0 } ^ { 2 } \bar { \bf I } \right) \bar { \bf f } _ { i } \right. } \\ & { + \left. 2 v _ { 0 } ^ { 2 } \left( \bar { \bf f } _ { j } \cdot \hat { \bf n } \right) \left( \bar { \bf f } _ { i } \cdot \hat { \bf n } \right) \right) \, . } \end{array}
\mathbf { U } _ { K } ^ { \star \star } = \mathbf { U } _ { K } ^ { \star } + \frac { 1 } { S ^ { \star } - S _ { K } ^ { s } } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \sigma _ { K , 2 1 } ^ { \star \star } - \sigma _ { K , 2 1 } } \\ { \sigma _ { K , 3 1 } ^ { \star \star } - \sigma _ { K , 3 1 } } \\ { v _ { K } ^ { \star \star } \sigma _ { K , 2 1 } ^ { \star \star } - v _ { K } \sigma _ { K , 2 1 } + w _ { K } ^ { \star \star } \sigma _ { K , 3 1 } ^ { \star \star } - w _ { K } \sigma _ { K , 3 1 } } \\ { 0 } \\ { \overline { { V } } _ { e , K , 1 1 } ^ { \star } ( v _ { K } ^ { \star \star } - v _ { K } ) } \\ { \overline { { V } } _ { e , K , 1 1 } ^ { \star } ( w _ { K } ^ { \star \star } - w _ { K } ) } \\ { 0 } \\ { \overline { { V } } _ { e , K , 1 2 } ^ { \star } ( v _ { K } ^ { \star \star } - v _ { K } ) } \\ { \overline { { V } } _ { e , K , 1 2 } ^ { \star } ( w _ { K } ^ { \star \star } - w _ { K } ) } \\ { 0 } \\ { \overline { { V } } _ { e , K , 1 3 } ^ { \star } ( v _ { K } ^ { \star \star } - v _ { K } ) } \\ { \overline { { V } } _ { e , K , 1 3 } ^ { \star } ( w _ { K } ^ { \star \star } - w _ { K } ) } \\ { 0 } \end{array} \right)
\epsilon _ { n } = g + \hbar v _ { F } k \cos { \left\{ \frac { 1 } { 3 } \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ c ~ o ~ s ~ } { \left[ \frac { \cos { ( 3 \varphi ) } } { \sqrt { 2 } } \right] } - \frac { 2 \pi ( 1 - n ) } { 3 } \right\} } ,
\begin{array} { r l r } { Q _ { i } } & { { } = } & { \left( 2 \omega _ { i } \right) ^ { - 1 / 2 } \left( \hat { a } _ { i } + \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \right) , } \\ { - i \frac { \partial } { \partial Q _ { i } } } & { { } = } & { i \left( \frac { \omega _ { i } } { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } - \hat { a } _ { i } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { n + 1 } ( x , y , t ) = } & { E ^ { - 1 } \bigg \{ v E \bigg ( \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } \int _ { 0 } ^ { y } K ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x , y , t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } \bigg ) \bigg \} } \end{array}
\begin{array} { r } { N ^ { \prime } = 4 \pi G r \sigma _ { \mathrm { m } } ( r ) , \qquad M _ { \mathrm { t o t } } ( r ) = M _ { \Lambda } + M _ { \mathrm { m } } ^ { \rho } + M _ { \mathrm { m } } ^ { p } + \frac { 4 } { 3 } M _ { E } + \frac { 1 6 \pi } { 3 } r ^ { 3 } \int _ { r } ^ { \infty } \d u \frac { \rho _ { E } ( u ) } { u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Hat { u } ( x , t _ { k + 1 } ) } & { = \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D } A _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \left\{ t _ { k } < \zeta ( X ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \right\} } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \right] } \\ & { + \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D } A _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \sum _ { l = 0 } ^ { k } h G _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } ; t _ { l } } \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t _ { k } - t _ { l } < \zeta ( X ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { l } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \right] } \\ & { + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D _ { b } ^ { - } } h _ { 1 } h _ { 2 } \sum _ { l = 0 } ^ { k } h \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t _ { k } - t _ { l } < \zeta ( X ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \theta _ { - } ( X _ { t _ { l } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { l } ) \phi ^ { \prime \prime } ( X _ { t _ { l } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } / \varepsilon ) \right] } \\ & { + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) \in D _ { b } ^ { + } } h _ { 1 } h _ { 2 } \sum _ { l = 0 } ^ { k } h \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ t _ { k } - t _ { l } < \zeta ( X ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } \circ \tau _ { t _ { k } } ) \} } K _ { \delta } ( x , X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } ) \theta _ { + } ( X _ { t _ { l } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , t _ { l } ) \phi ^ { \prime \prime } ( X _ { t _ { l } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } / \varepsilon ) \right] , } \end{array}
\hat { V } _ { \mathrm { a t o m - m o l } } ^ { ( k ) } = \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \frac { \hat { \vec { D } } \cdot \hat { \vec { d } } ^ { ( k ) } - 3 \left( \hat { \vec { D } } \cdot \vec { e } _ { k } \right) \left( \hat { \vec { d } } ^ { ( k ) } \cdot \vec { e } _ { k } \right) } { | R _ { k } | ^ { 3 } } .
T = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } v _ { k } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } m _ { k } { \frac { d \mathbf { r } _ { k } } { d t } } \cdot { \frac { d \mathbf { r } _ { k } } { d t } } .
I ^ { ( f ) } = - \frac { c } { 8 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, r \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s } \left[ \left( 1 + \delta _ { 0 n } \right) E _ { 1 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) H _ { 2 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) + \left( 1 - \delta _ { 0 n } \right) E _ { 2 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) H _ { 1 , n } ^ { \mathrm { ( P ) } } \left( u \right) \right] _ { u = u _ { n , s } } .
\sin ^ { 2 } \theta _ { W } ( M _ { Z } ) = 0 . 2 3 2 4 - 1 0 ^ { - 7 } \left( M _ { t } ^ { 2 } - ( 1 3 8 \; \; { \mathrm { G e V } } ) ^ { 2 } \right) { \mathrm { G e V } } ^ { - 2 } \pm 0 . 0 0 3 \; .
\begin{array} { r l } { \dot { V } } & { = 2 X ^ { \top } P ( F X + \mathcal { L } \zeta ) } \\ & { \phantom { = } \, + 2 \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) \left\{ - \lambda _ { n } w _ { n } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { n } \right> - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< D _ { \gamma _ { k } } \frac { d } { d t } u _ { k } , \psi _ { n } \right> \right\} w _ { n } } \\ & { = \tilde { X } ^ { \top } \left( \begin{array} { l l } { F ^ { \top } P + P F } & { P \mathcal { L } } \\ { \mathcal { L } ^ { \top } P } & { 0 } \end{array} \right) \tilde { X } - 2 \sum _ { n \geq N + 1 } \lambda _ { n } ( \lambda _ { n } + \nu ) w _ { n } ^ { 2 } } \\ & { \phantom { = } \; + 2 \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { n } \right> w _ { n } - 2 \sum _ { n \geq N + 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< D _ { \gamma _ { k } } \frac { d } { d t } u _ { k } , \psi _ { n } \right> w _ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T _ { 2 q } ^ { 2 } ( N , N ) e ^ { - 2 i q \phi } | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { G , G ^ { \prime } } \delta _ { N , N ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - K } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 2 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 2 q } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times \frac { 1 } { 2 \sqrt { 6 } } \sqrt { ( 2 N - 1 ) ( 2 N ) ( 2 N + 1 ) ( 2 N + 2 ) ( 2 N + 3 ) } } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \Psi } _ { a i } ^ { ( n + 1 ) } [ { \Lambda } _ { a i } ^ { ( n + 1 ) } ] \equiv \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int \ { \Lambda } _ { a i } ^ { ( n + 1 ) } { \Psi } _ { a i } ^ { ( n + 1 ) }
\epsilon _ { \it { e f f } } ^ { - 1 } = \frac { 1 - \psi } { 2 \epsilon ^ { - } } + \frac { 1 + \psi } { 2 \epsilon ^ { + } } + \frac { \left( 1 - \psi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \delta C _ { m } } ,
\begin{array} { r l } { P _ { m } ( { \bf x } ) } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( d _ { i } + \| { \bf x } \| - \| { \bf a } _ { i } - { \bf x } \| ) ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( f _ { i } ( { \bf x } ^ { o } ) - f _ { i } ( { \bf x } ) + r _ { i } ) ^ { 2 } } \\ & { \rightarrow \| f ( { \bf x } ^ { o } ) - f ( { \bf x } ) \| _ { t } ^ { 2 } + \left\langle f ( { \bf x } ^ { o } ) - f ( { \bf x } ) , r \right\rangle _ { t } + \| r \| _ { t } ^ { 2 } } \\ & { = P ( { \bf x } ) , } \end{array}
\textbf { F } _ { i j } ^ { d - d } = \frac { 3 } { r ^ { 5 } } \left[ \left( \textbf { m } _ { i } \cdot \textbf { m } _ { j } \right) \textbf { r } - \frac { 5 } { r ^ { 2 } } \left( \textbf { m } _ { i } \cdot \textbf { r } \right) \left( \textbf { m } _ { j } \cdot \textbf { r } \right) \textbf { r } + \left( \textbf { m } _ { j } \cdot \textbf { r } \right) \textbf { m } _ { i } + \left( \textbf { m } _ { i } \cdot \textbf { r } \right) \textbf { m } _ { j } \right]
- \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } u \sum _ { n = - \infty , n \neq 0 } ^ { \infty } X _ { - n } ^ { 1 } X _ { n } ^ { 1 } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \tau u X ^ { 1 } ( \tau ) X ^ { 1 } ( \tau ) \ ,
\begin{array} { r l } { \binom { n } { n _ { 1 } , \dots , n _ { t } } } & { \leq \binom { n } { \frac { n } { t } , \dots , \frac { n } { t } } } \\ & { \leq \frac { \sqrt { 2 \pi n } ( \frac { n } { e } ) ^ { n } e ^ { \frac { 1 } { 1 2 n } } } { ( \sqrt { 2 \pi \frac { n } { t } } ( \frac { n } { e t } ) ^ { \frac { n } { t } } e ^ { \frac { 1 } { 1 2 \frac { n } { t } + 1 } } ) ^ { t } } } \\ & { = \frac { \sqrt { 2 \pi n } ( \frac { n } { e } ) ^ { n } e ^ { \frac { 1 } { 1 2 n } } } { \sqrt { 2 \pi \frac { n } { t } } ^ { t } ( \frac { n } { e } ) ^ { n } \frac { 1 } { t ^ { n } } e ^ { \frac { t } { 1 2 \frac { n } { t } + 1 } } } } \\ & { = \sqrt { \frac { t ^ { t } } { ( 2 \pi ) ^ { t - 1 } } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { t - 1 } } } \cdot e ^ { g ( n ) } \cdot t ^ { n } } \\ & { \leq \sqrt { \frac { t ^ { t } } { ( 2 \pi ) ^ { t - 1 } } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { t - 1 } } } \cdot 2 ^ { n | \tau | } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { s _ { n } } \int _ { \Omega } Z _ { y _ { n } , \bar { y } } ^ { ( 2 ) } \cdot \nabla \varphi w _ { n } \, \mathrm { d } x } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { \Omega } \mathbb { 1 } _ { \{ \bar { y } = \bar { t } , y _ { n } \in ( \bar { t } - \delta , \bar { t } ) \cup ( \bar { t } , \bar { t } + \delta ) \} } a ^ { \prime } ( \bar { t } ; \hat { w } _ { n } ) \nabla \hat { w } _ { n } \cdot \nabla \varphi \, \mathrm { d } x } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \int _ { \Omega } \mathbb { 1 } _ { \{ \bar { y } = \bar { t } \} } a ^ { \prime } ( \bar { t } ; \hat { w } _ { n } ) \nabla \hat { w } _ { n } \cdot \nabla \varphi \, \mathrm { d } x , } \end{array}
\alpha _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ M ~ , ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } = \bigg [ \frac { k _ { m } ^ { \mathrm { ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } } { k _ { n m } ^ { \mathrm { ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } } \bigg ] ^ { 2 } \alpha _ { n m } ^ { \mathrm { ~ T ~ E ~ , ~ ( ~ H ~ W ~ G ~ ) ~ } } \, .
0 = \operatorname { d i v } T = T ^ { \mu \nu } { } _ { ; \nu } = \nabla _ { \nu } T ^ { \mu \nu } = T ^ { \mu \nu } { } _ { , \nu } + \Gamma ^ { \mu } { } _ { \sigma \nu } T ^ { \sigma \nu } + \Gamma ^ { \nu } { } _ { \sigma \nu } T ^ { \mu \sigma }
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { 2 S } ^ { ( N L ) } } & { = } & { \Delta E _ { 2 S } ^ { ( T o t ) } - \Delta E _ { 2 S } ^ { ( L o c ) } } \\ & { = } & { - \biggl [ \frac { \alpha ^ { 4 } m ^ { 3 } } { 2 M _ { \gamma } ^ { 2 } } + \frac { 1 1 \alpha ^ { 5 } m ^ { 3 } } { 2 4 \pi M _ { f } ^ { 2 } } + \frac { 4 \alpha ^ { 7 } m ^ { 3 } } { 1 5 \pi M _ { \gamma } ^ { 2 } } \biggr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \delta } ( x _ { t + 1 } ) } & { \le f _ { \delta } ( x _ { t } ) + \nabla f _ { \delta } ( x _ { t } ) ^ { \top } ( x _ { t + 1 } - x _ { t } ) + \frac { L _ { \delta } } { 2 } \Vert x _ { t + 1 } - x _ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = f _ { \delta } ( x _ { t } ) - \eta \nabla f _ { \delta } ( x _ { t } ) ^ { \top } v _ { t } + \frac { L _ { \delta } \eta ^ { 2 } } { 2 } \Vert v _ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { = f _ { \delta } ( x _ { t } ) - \frac { \eta } { 2 } \Vert \nabla f _ { \delta } ( x _ { t } ) \Vert ^ { 2 } - \left( \frac { \eta } { 2 } - \frac { L _ { \delta } \eta ^ { 2 } } { 2 } \right) \Vert v _ { t } \Vert ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \Vert v _ { t } - \nabla f _ { \delta } ( x _ { t } ) \Vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { p q } : = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Psi _ { p } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \left( - \frac { 1 } { 2 } \Delta - V _ { \mathrm { n u c } } \right) \Psi _ { q } ( \mathbf { x } ) \; d \mathbf { x } , } \\ { h _ { p q r s } : = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Psi _ { p } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \Psi _ { r } ^ { * } ( \mathbf { y } ) \left( \frac { 1 } { | \mathbf { x } - \mathbf { y } | } \right) \Psi _ { q } ( \mathbf { x } ) \Psi _ { s } ( \mathbf { y } ) \; d \mathbf { x } d \mathbf { y } , } \end{array}
\sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \int d \tau \, d ^ { d - 2 } x ^ { i } \left( \epsilon ^ { 2 } \partial _ { \tau } \phi _ { n } ^ { * } \partial _ { \tau } \phi _ { n } ^ { \vphantom x } + \frac { 2 i n } { R } \phi _ { n } ^ { * } \partial _ { \tau } \phi _ { n } ^ { \vphantom x } - \partial _ { i } \phi _ { n } ^ { * } \partial _ { i } \phi _ { n } ^ { \vphantom x } - M ^ { 2 } \phi ^ { * } \phi \right) \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } } & { = \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { h } \sum _ { j = 1 } ^ { m } a _ { i j } ^ { ( l , k ) } \mathbf { W } _ { \mathrm { S N } } ^ { ( l ) } \mathbf { L N } ( \mathbf { p } _ { j } ^ { ( l ) } ) ~ , } \\ { \mathbf { p } _ { i } ^ { ( L ) } } & { = \mathbf { h } _ { x } ^ { \mathrm { L N } } \left( \mathbf { L N } ( \mathbf { \bigcirc } _ { l = 0 } ^ { L } ( \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } + \mathcal { F } _ { \mathrm { S N } } [ \mathbf { L N } ( \mathbf { p } _ { i } ^ { ( l ) } ) ] ) ) \right) ~ , } \end{array}
\mu = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 0 1 \, } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x _ { 1 } < 0 , } \\ { 0 . 0 0 1 \, } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x _ { 1 } > 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { V _ { F } ( j ) \geq - \rho \bar { A } ( 2 ( } & { j - j _ { o } ) + 1 ) \times \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } } \left[ \bigg | \int _ { t _ { j } } ^ { s } A ( u , j ) \zeta ( u , j ) d u \bigg | ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + \sum _ { k = j _ { o } } ^ { j - 1 } \left| \int _ { t _ { k } } ^ { t _ { k + 1 } } A ( u , k ) \zeta ( u , k ) d u \right| ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + \sum _ { k = j _ { o } } ^ { j - 1 } \left| B ( t _ { k + 1 } , k ) \zeta ( t _ { k + 1 } , k ) \right| ^ { 2 } \right] d s } \\ & { + \frac { \rho } { 1 + \rho } \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } } \left| A ( s , j ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \zeta _ { o } \right| ^ { 2 } d s . } \end{array}