harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
E _ { 0 } = \operatorname * { l i m } _ { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } \to \infty } { \frac { 1 } { ( \tau _ { 2 } - \tau _ { 1 } ) } } \ln \Bigg \{ { \frac { < w ( \tau _ { 1 } ) > } { < w ( \tau _ { 2 } ) > } } \Bigg \} \ .
\begin{array} { r l } & { ( ( F _ { 1 } ) _ { u _ { 1 } } , ( F _ { 2 } ) _ { u _ { 1 } } , ( F _ { 3 } ) _ { u _ { 1 } } , ( F _ { 4 } ) _ { u _ { 1 } } ) = ( e ^ { F _ { 4 } - u _ { 3 } } \sin \alpha ( u _ { 1 } ) , \, - e ^ { F _ { 4 } - u _ { 3 } } \cos \alpha ( u _ { 1 } ) , \, 0 , \, 0 ) , } \\ & { ( ( F _ { 1 } ) _ { u _ { 2 } } , ( F _ { 2 } ) _ { u _ { 2 } } , ( F _ { 3 } ) _ { u _ { 2 } } , ( F _ { 4 } ) _ { u _ { 2 } } ) = ( 0 , \, 0 , \, e ^ { - 2 ( F _ { 4 } - u _ { 3 } ) } , \, 0 ) , } \\ & { ( ( F _ { 1 } ) _ { u _ { 3 } } , ( F _ { 2 } ) _ { u _ { 3 } } , ( F _ { 3 } ) _ { u _ { 3 } } , ( F _ { 4 } ) _ { u _ { 3 } } ) = ( 0 , \, 0 , \, 0 , \, 1 ) . } \end{array}
W ( t , c , r , R _ { f } ) \approx \frac { 1 } { r } \frac { 1 } { 1 - R _ { f } \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } - R _ { f } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \left( \bar { i } ^ { - 1 } \left( \frac { \partial \bar { i } } { \partial \eta } \right) ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } \bar { i } } { \partial \eta ^ { 2 } } \right) } .
\begin{array} { r } { Q _ { + } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
S _ { 1 1 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 4 k _ { B } \mathcal { T } + \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) .
S = - m _ { f } \int d \tau { \frac { z ^ { 6 - p } } { Q _ { F } } } \left[ \sqrt { 1 - { \frac { Q _ { F } v _ { \parallel } ^ { 2 } } { z ^ { 6 - p } } } - { \frac { Q _ { p } Q _ { F } v _ { \perp } ^ { 2 } } { z ^ { 1 2 - 2 p } } } } - 1 \right] ,
\mathcal { M } \overset { ( 3 ) } { = } \exp ( [ \tau _ { 2 } , \cdot \, ] ) \exp ( [ \tau _ { 3 } , \cdot \, ] ) \exp ( [ \tau _ { 4 } , \cdot \, ] ) \exp ( [ \sigma _ { 2 } , \cdot \, ] ) \exp ( [ \sigma _ { 3 } , \cdot \, ] ) \exp ( [ \sigma _ { 4 } , \cdot \, ] ) .
\left( \begin{array} { c } { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x ^ { 1 } } ( p ) } \\ { \vdots } \\ { \frac { \partial f _ { k } } { \partial x ^ { 1 } } ( p ) } \end{array} \right) , \cdots , \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial x ^ { k } } ( p ) } \\ { \vdots } \\ { \frac { \partial f _ { k } } { \partial x ^ { k } } ( p ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { 1 } } & { { } = \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { 1 } { N } W _ { \mathrm { ~ F ~ e ~ r ~ m ~ i ~ } } ( s _ { i } \gets s _ { 1 } ) = \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { 1 } { N } \frac { 1 } { 1 + \exp ( \tau + ( \pi _ { i } - \pi _ { 1 } ) / \kappa ) } , } \\ { \mathcal { D } _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } W _ { \mathrm { ~ F ~ e ~ r ~ m ~ i ~ } } ( s _ { 1 } \gets s _ { j } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { 1 } { 1 + \exp ( \tau + ( \pi _ { 1 } - \pi _ { j } ) / \kappa ) } . } \end{array}
\mathcal { Q } _ { 0 } = \sigma \left\lbrace \mathcal { Q } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } } , \mathcal { Q } _ { 0 } ^ { \mathrm { o u t } } \right\rbrace = \sigma \lbrace \mathbf { w } _ { q } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { p } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } , \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \rbrace
\int _ { \Omega _ { e } } u _ { h } ^ { n + 1 } \textrm { d } x = \int _ { \Omega _ { e } } u _ { h } ^ { n } \textrm { d } x - \Delta t [ F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } - F _ { e - \frac { 1 } { 2 } } ]
\phi ( x , z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( A _ { m } ^ { ( 0 ) } \exp ( \mathrm { i } k _ { m } x ) + B _ { m } ^ { ( 0 ) } \exp ( - \mathrm { i } k _ { m } x ) ) \psi _ { m } ( z ) } & { x < 0 } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } ( A _ { m } ^ { ( 1 ) } \exp ( \mathrm { i } k _ { m } x ) + B _ { m } ^ { ( 1 ) } \exp ( - \mathrm { i } k _ { m } x ) ) \psi _ { m } ( z ) } & { x < 0 , } \end{array} \right.
\scriptstyle { \begin{array} { l } { { \begin{array} { r l } { x ^ { 1 } } & { = \varrho \cos \varphi } \\ { x ^ { 4 } } & { = \varrho \sin \varphi } \end{array} } } \\ { { \boldsymbol { \downarrow } } } \\ { d s ^ { 2 } = \left( d \xi ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( d \xi ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( d \xi ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + \left( \xi ^ { 1 } \right) ^ { 2 } \left( d \xi ^ { 4 } \right) ^ { 2 } } \\ { \left( \xi ^ { ( 1 ) } = \varrho , \ \xi ^ { ( 2 ) } = x ^ { ( 2 ) } , \ \xi ^ { ( 3 ) } = x ^ { ( 3 ) } , \ \xi ^ { ( 4 ) } = \varphi \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \| F _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) - F _ { h } ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \| F _ { h } ^ { * } ( \cdot , z _ { h } ^ { \textit { r t } } ) - F _ { h } ^ { * } ( \cdot , z ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } } \\ & { \quad \lesssim h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \, \big ( 1 + \| \nabla F ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \sigma ( f ; s ) + \rho _ { p ^ { \prime } ( \cdot ) s , \Omega } ( f ) + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) ^ { s } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { M } } } { \mathcal { E } _ { l } ^ { \mathrm { i n } } } } & { = \frac { n S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) S _ { l } ( k _ { 0 } R ) - S _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) } { S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) - n S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ( k _ { 0 } R ) } \triangleq r _ { l } ^ { \mathrm { E } } } \\ { \frac { \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { M } } } { \mathcal { B } _ { l } ^ { \mathrm { i n } } } } & { = \frac { n ^ { - 1 } S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) S _ { l } ( k _ { 0 } R ) - S _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) } { S _ { l } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ^ { \prime } ( k _ { 0 } R ) - n ^ { - 1 } S _ { l } ^ { \prime } ( n k _ { 0 } R ) \xi _ { l } ( k _ { 0 } R ) } \triangleq r _ { l } ^ { \mathrm { B } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \rho } & { { } = \rho _ { \mathrm { T i } } \, \frac { A _ { \mathrm { T i } } } { A _ { \mathrm { t o t } } } \, , } & { \kappa _ { \mathrm { e } } } & { { } = \frac { \kappa _ { \mathrm { m } } \, \kappa _ { \mathrm { M a c r o } } } { \kappa _ { \mathrm { m } } - \kappa _ { \mathrm { M a c r o } } } \, , } & { \mu _ { \mathrm { e } } } & { { } = \frac { \mu _ { \mathrm { m } } \, \mu _ { \mathrm { M a c r o } } } { \mu _ { \mathrm { m } } - \mu _ { \mathrm { M a c r o } } } \, , } \\ { * \mu _ { \mathrm { e } } ^ { * } } & { { } = \frac { \mu _ { \mathrm { m } } ^ { * } \, \mu _ { \mathrm { M a c r o } } ^ { * } } { \mu _ { \mathrm { m } } ^ { * } - \mu _ { \mathrm { M a c r o } } ^ { * } } \, , } & { \kappa _ { \gamma } } & { { } = \frac { \kappa _ { \mathrm { e } } + \kappa _ { \mathrm { m } } } { \rho \, L _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } } & { \gamma _ { 1 } } & { { } = \frac { \mu _ { \mathrm { e } } + \mu _ { \mathrm { m } } } { \rho \, L _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \, , } \\ { * \gamma _ { 1 } ^ { * } } & { { } = \frac { \mu _ { \mathrm { e } } ^ { * } + \mu _ { \mathrm { m } } ^ { * } } { \rho \, L _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \omega _ { \mathrm { s s } } ^ { 2 } } \, , } & { \gamma _ { 2 } } & { { } = \frac { \mu _ { \mathrm { c } } } { \rho \, L _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \, \omega _ { \mathrm { r } } ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r c c c c c l } { \dot { s } } & { = } & { - k _ { 1 } e _ { 0 } s + ( k _ { 1 } s + k _ { - 1 } ) g ( s ) } & { + } & { ( k _ { - 1 } + k _ { 1 } s ) ( c - g ( s ) ) } & & \\ & { \leq } & { - \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } s } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s } } & { + } & { \cfrac { 1 } { \sqrt 2 } \frac { k _ { - 1 } + k _ { 1 } s } { ( k _ { - 1 } + k _ { 1 } s _ { 0 } ) } \frac { k _ { 1 } e _ { 0 } s _ { 0 } ( k _ { - 1 } + k _ { 1 } s _ { 0 } ) } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s _ { 0 } ) } \cdot \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } & & \\ & { \leq } & { - \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } s } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s } } & { + } & { \cfrac { 1 } { \sqrt 2 } k _ { 1 } e _ { 0 } s _ { 0 } \cdot \frac { k _ { - 1 } + k _ { 1 } s _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s _ { 0 } ) } \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } e _ { 0 } } { ( k _ { - 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } & { = } & { U ( s ) , } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { E W } } = { \overline { { Q } } } _ { L j } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } Q _ { L j } + { \overline { { u } } } _ { R j } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } u _ { R j } + { \overline { { d } } } _ { R j } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } d _ { R j } + { \overline { { \ell } } } _ { L j } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \ell _ { L j } + { \overline { { e } } } _ { R j } i \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } e _ { R j } - { \frac { 1 } { 4 } } W _ { a } ^ { \mu \nu } W _ { \mu \nu } ^ { a } - { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { \mu \nu } B _ { \mu \nu } ,
g \left( ( a + b { \sqrt { 2 } } ) + ( c + d { \sqrt { 2 } } ) { \sqrt { 3 } } \right) = ( a + b { \sqrt { 2 } } ) - ( c + d { \sqrt { 2 } } ) { \sqrt { 3 } } = a + b { \sqrt { 2 } } - c { \sqrt { 3 } } - d { \sqrt { 6 } } .
{ \cal P } _ { \delta \sigma _ { c } } = 2 \kappa ^ { 2 } \left[ { \frac { C ( r ) } { r _ { \pm } + ( 1 / 2 ) } } \right] ^ { 2 } \left( { \frac { \bar { H } _ { c } } { 2 \pi } } \right) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \psi _ { I C T } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } , t ) = \hat { U } \psi ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } , t ) = \exp \left( - \frac { i } { 2 \hbar } x ^ { i } ( t ) p _ { i } ( t ) \right) \exp \left( \frac { i } { \hbar } x ^ { i } p _ { i } ( t ) \right) \psi ( x _ { 1 } - x _ { 1 } ( t ) , \dots , x _ { n } - x _ { n } ( t ) , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { T } = \frac { \mathrm { P r } } { c _ { p } \mathrm { K n } } \frac { g } { k ^ { 2 } } + \frac { 4 } { 3 } \alpha _ { 0 } \mathrm { K n } ( h + \alpha _ { 0 } g ) . } \end{array}
\widetilde { \bigtriangleup } _ { \mu \nu } ^ { A } ( p ) = \bigtriangleup _ { \mu \nu } ^ { A } + \bigtriangleup _ { \mu \mu ^ { \prime } } ^ { A } V ^ { \lambda \sigma , \mu ^ { \prime } } \bigtriangleup _ { \lambda \sigma , \lambda ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { B } V ^ { \lambda ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } } \bigtriangleup _ { \nu ^ { \prime } \nu } ^ { A } + \cdots .
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { u } ^ { \prime } ) _ { \omega } } & { { } = ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } , \mathbf { u } - \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } ) _ { \omega } = ( \mathbf { R } \bar { \mathbf { u } } , ( \mathbf { I } - \mathbf { R } \mathbf { W } ) \mathbf { u } ) _ { \omega } = \bar { \mathbf { u } } ^ { T } \mathbf { R } ^ { T } \boldsymbol { \omega } ( \mathbf { I } - \mathbf { R } \mathbf { W } ) \mathbf { u } } \end{array}
{ \cal L } _ { \mathrm { D u a l } } \approx \frac { \tau \kappa ^ { 2 } } { 2 } B _ { m } B ^ { m } - \frac { ( \tau \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 m } \epsilon ^ { m n p } B _ { m } \partial _ { n } B _ { p } + \tau \kappa ^ { 2 } O ( \kappa ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { \int _ { \hat { E } _ { 0 } - L } ^ { \hat { E } _ { 0 } + L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x = 1 - \int _ { - \infty } ^ { \hat { E } _ { 0 } - L } n _ { \sigma , i } ( x ) d x - \int _ { \hat { E } _ { 0 } + L } ^ { + \infty } n _ { \sigma , i } ( x ) d x . } \end{array}
\sigma _ { t } ^ { 2 } = \omega + \alpha _ { 1 } \epsilon _ { t - 1 } ^ { 2 } + \cdots + \alpha _ { q } \epsilon _ { t - q } ^ { 2 } + \beta _ { 1 } \sigma _ { t - 1 } ^ { 2 } + \cdots + \beta _ { p } \sigma _ { t - p } ^ { 2 } = \omega + \sum _ { i = 1 } ^ { q } \alpha _ { i } \epsilon _ { t - i } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { p } \beta _ { i } \sigma _ { t - i } ^ { 2 }
L = - \rho \, \left\{ \int _ { - h ( x , y ) } ^ { \zeta ( x , y , t ) } \left[ { \frac { \partial \Phi } { \partial t } } + \, { \frac { 1 } { 2 } } \left( \left( { \frac { \partial \Phi } { \partial x } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial \Phi } { \partial y } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { \partial \Phi } { \partial z } } \right) ^ { 2 } \right) \right] \; { \mathrm { d } } z \; + \, { \frac { 1 } { 2 } } \, g \, ( \zeta ^ { 2 } \, - \, h ^ { 2 } ) \right\} ,
\begin{array} { r l } { R _ { k } } & { = \ln \operatorname* { d e t } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { K } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { k , j } ^ { d } + { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M } \right) - \ln \operatorname* { d e t } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { K } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { k , j } ^ { d } + { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M } - { \frac { P _ { k } } { M } } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { k , k } ^ { d } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { K } { \frac { P _ { i } } { M } } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { i , k } ^ { d } + { \uppercase { \mathbf { I } } } _ { M } \right) ^ { - 1 } { \uppercase { \mathbf { R } } } _ { k , k } ^ { d } \right) , } \end{array}
\epsilon ^ { 2 } \, = \, \frac { \nu t } { r _ { 0 } ^ { 2 } } \, \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { \bar { r } ( t ) ^ { 2 } } \, = \, \frac { \delta t } { T _ { \mathrm { a d v } } } \, \frac { r _ { 0 } ^ { 2 } } { \bar { r } ( t ) ^ { 2 } } \, \approx \, \frac { \delta t } { T _ { \mathrm { a d v } } } \, ,
\begin{array} { r l } & { N ^ { ( \operatorname { e } ) } = \left\lfloor \frac { L } { \pi \hbar v _ { 1 } } \sqrt { \frac { U _ { 0 } } { 2 } \left( m + \frac { U _ { 0 } } { 2 } \right) } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor - \left\lfloor \frac { L } { \pi \hbar v _ { 1 } } \sqrt { \frac { U _ { 0 } } { 2 } \left( - m + \frac { U _ { 0 } } { 2 } \right) } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor + 1 , } \\ & { N ^ { ( \operatorname { o } ) } = \left\lfloor \frac { L } { \pi \hbar v _ { 1 } } \sqrt { \frac { U _ { 0 } } { 2 } \left( m + \frac { U _ { 0 } } { 2 } \right) } \right\rfloor - \left\lfloor \frac { L } { \pi \hbar v _ { 1 } } \sqrt { \frac { U _ { 0 } } { 2 } \left( - m + \frac { U _ { 0 } } { 2 } \right) } \right\rfloor + 1 , } \end{array}
G = \frac { 2 \pi \Gamma _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } { v _ { s } v _ { p } K _ { 0 x } ^ { \prime } } \left[ 1 + \cos \left( \frac { 4 \nu _ { p } ^ { 2 } \delta K _ { 0 x } ^ { \prime } } { K _ { 0 x } ^ { 2 } v _ { p } ^ { 2 } } \right) \right] .
\vec { E } _ { r } ^ { \prime } = - \frac { e _ { 0 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { \vec { R } _ { \vartheta \varphi } ^ { \prime } } { r ^ { 2 } \sin \vartheta } = - \frac { e _ { 0 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \frac { \vec { e } _ { 3 } } { r ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial G } { \partial s } } & { = } & { n s ^ { n - 1 } e ^ { - n r _ { 1 } t } \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { - n } + n s ^ { n } e ^ { - n r _ { 1 } t } \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { - ( n + 1 ) } \left( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } \right) } \\ & { = } & { \frac { n s ^ { n - 1 } e ^ { - n r _ { 1 } t } } { \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { n } } \big [ 1 + \frac { s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) } { 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) } \big ] } \\ & { = } & { \frac { n s ^ { n - 1 } e ^ { - n r _ { 1 } t } } { \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { ( n + 1 ) } } \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) + s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] } \\ & { = } & { \frac { n s ^ { n - 1 } e ^ { - n r _ { 1 } t } } { \left[ 1 - s ( 1 - e ^ { - r _ { 1 } t } ) \right] ^ { ( n + 1 ) } } , } \end{array}
\Lambda ^ { 0 } = ( \frac { \kappa } { 2 } \epsilon ^ { i j } F _ { i j } - \rho ) \dot { { \bar { c } } } - b \nabla ^ { 2 } { \bar { c } } - \frac { \kappa } { 2 } \epsilon ^ { i j } A _ { i } \partial _ { j } \dot { { \bar { c } } } ,
b = \frac { q _ { m } ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } ( 3 r _ { + } ^ { 4 } + \beta q _ { m } ^ { 2 } ) } { ( r _ { + } ^ { 4 } + \beta q _ { m } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ c = \frac { q _ { m } ^ { 2 } r _ { + } ^ { 2 } } { 2 ( r _ { + } ^ { 4 } + \beta q _ { m } ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { \eta \in \Omega _ { N } } c _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \tau _ { x } \overline { { \eta } } ) \nabla ^ { + } \eta ( x ) f ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ) } & { = - \frac 1 2 \sum _ { \eta \in \Omega _ { N } } c _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \tau _ { x } \overline { { \eta } } ) \nabla ^ { + } \eta ( x ) \nabla _ { x , x + 1 } f ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \eta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M ^ { \prime } ( t ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } \frac { h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t + \delta ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) } { \delta } = \operatorname* { l i m } _ { \delta \rightarrow 0 } \frac { h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t + \delta ) - h ( \overline { { x } } _ { t } , t ) \pm h ( \overline { { x } } _ { t + \delta } , t ) } { \delta } } \end{array}
\mathrm { \tilde { m } _ { H } ^ { 2 } = m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } + \frac { \Lambda ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ( 4 \lambda ^ { 2 } + 3 g ^ { 2 } + 9 g _ { W } ^ { 2 } - 2 4 Y _ { i j } ^ { f \, 2 } ) + \mathcal { O } ( \lambda ^ { 2 } , g ^ { \prime 4 } , g _ { W } ^ { 4 } , Y _ { i j } ^ { f \, 4 } ) \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \phi _ { \mathrm { a v e } , \eta } ( S ) = \frac { 1 } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } c ^ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } c ^ { k } \eta ( S ^ { k } ) , } \\ & { } & { \phi _ { \mathrm { v a r , \ e t a } } ( S ) = \frac { 1 } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } c ^ { k } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } c ^ { k } ( \eta ( S ^ { k } ) - \phi _ { \mathrm { a v e } , \eta } ( S ) ) ^ { 2 } , } \\ & { } & { \phi _ { \mathrm { s u m , \ e t a } } ( S ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } c ^ { k } \eta ( S ^ { k } ) , } \\ & { } & { \phi _ { \operatorname* { m a x } , \eta } ( S ) = \operatorname* { m a x } \{ \eta ( S ^ { 1 } ) , \ldots , \eta ( S ^ { K } ) \} , } \\ & { } & { \phi _ { \operatorname* { m i n } , \eta } ( S ) = \operatorname* { m i n } \{ \eta ( S ^ { 1 } ) , \ldots , \eta ( S ^ { K } ) \} . } \end{array}
( L ^ { p ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ( \mathbb { R } ^ { n } ) : = \left\{ f \in L _ { l o c } ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) : \| f \| _ { ( L ^ { p ( \cdot ) } , L ^ { q } ) ( \mathbb { R } ^ { n } ) } : = \left\| \| f \chi _ { B ( \cdot , 1 ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( { \mathbb R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( { \mathbb R } ^ { n } ) } < \infty \right\} .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left[ \left. { \sf s g n } \! \left( \sum _ { m \in \mathcal { M } _ { n } ^ { t } } { \sf T o p K S i g n } \left( g _ { m , n } ^ { t } \right) \right) \neq { \sf s i g n } \! \left( { \bar { g } } _ { n } ^ { t } \right) \right| M _ { n } ^ { t } = U \right] } \\ & { \leq \left[ 4 ( 1 - { p } _ { m , n } ^ { t } ) { p } _ { m , n } ^ { t } \right] ^ { \frac { U } { 2 } } . } \end{array}
\left( { \frac { m } { n } } \right) \left( { \frac { n } { m } } \right) = ( - 1 ) ^ { { \frac { m - 1 } { 2 } } \cdot { \frac { n - 1 } { 2 } } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } n \equiv 1 { \pmod { 4 } } { \mathrm { ~ o r ~ } } m \equiv 1 { \pmod { 4 } } , } \\ { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } n \equiv m \equiv 3 { \pmod { 4 } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mu } ( W _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } ) } & { = \sum _ { 1 \leq r \leq l } e _ { i , j } ^ { ( r ) } t ^ { s } , } \\ { \widetilde { \mu } ( W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { s } ) } & { = \sum _ { r = 1 } ^ { n } s \gamma _ { r } e _ { i , j } ^ { ( r ) } t ^ { s - 1 } + \sum _ { s \in \mathbb { Z } } \sum _ { r _ { 1 } < r _ { 2 } } \sum _ { 1 \leq u \leq q _ { l } } e _ { u , j } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { - s } e _ { i , u } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { s } } \\ & { \quad - \sum _ { s \in \mathbb { Z } } \sum _ { r _ { 1 } < r _ { 2 } } \sum _ { q _ { l } < u \leq q _ { r _ { 2 } } } e _ { i , u } ^ { ( r _ { 1 } ) } t ^ { - s } e _ { u , j } ^ { ( r _ { 2 } ) } t ^ { s } } \\ & { \quad - \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { r \geq 0 } \sum _ { 1 \leq u \leq q _ { r } } ( e _ { u , j } ^ { ( r ) } t ^ { - s - 1 } e _ { i , u } ^ { ( r ) } t ^ { s + 1 } + e _ { i , u } ^ { ( r ) } t ^ { - s } e _ { u , j } ^ { ( r ) } t ^ { s } ) . } \end{array}
D _ { \mu \nu , \lambda \sigma } ( k , p ) = \eta _ { \mu \nu } k _ { \sigma } p _ { \lambda } - \left[ \eta _ { \mu \sigma } k _ { \nu } p _ { \lambda } + \eta _ { \mu \lambda } k _ { \sigma } p _ { \nu } - \eta _ { \lambda \sigma } k _ { \mu } p _ { \nu } + ( \mu \leftrightarrow \nu ) \right] ,
\sum _ { i \in \mathcal { I } } d _ { i } \stackrel { = } \sum _ { i \in \mathcal { I } } d _ { i } \sum _ { j \in \mathcal { J } } \sum _ { k \in \mathcal { K } } x _ { i j k } = \sum _ { j \in \mathcal { J } } \sum _ { k \in \mathcal { K } } \sum _ { i \in \mathcal { I } } d _ { i } x _ { i j k } \stackrel { \leq } \sum _ { j \in \mathcal { J } } \sum _ { k \in \mathcal { K } } p _ { k } y _ { j k }
\widetilde { H } ^ { ( 1 / 2 ) } = D ^ { \dag ( 1 / 2 ) } ( { \bf n } ) { H } ^ { ( 1 / 2 ) } D ^ { ( 1 / 2 ) } ( { \bf n } ) , \quad \widetilde { \bf P } ^ { ( 1 / 2 ) } = D ^ { \dag ( 1 / 2 ) } ( { \bf n } ) { \bf P } ^ { ( 1 / 2 ) } D ^ { ( 1 / 2 ) } ( { \bf n } ) .
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { 2 } } & { = } & { \sum _ { \mathcal { N } _ { 1 } = 0 } ^ { k _ { C } - 1 } ( k _ { I } - 1 ) ( k _ { C } - 1 ) \beta \mathcal { N } _ { 1 } P ( \mathcal { N } _ { 1 } ) P ( \neg D | \mathcal { N } _ { 1 } ) , } \\ & { = } & { ( 1 - f ) ( 1 - \beta f ) ^ { k _ { C } - 2 } ( k _ { I } - 1 ) ( k _ { C } - 1 ) ^ { 2 } \beta ^ { 2 } . } \end{array}
( { \cal Q } + \tilde { \cal Q } ) | B ; p , 1 \rangle = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } : ( \tilde { l } _ { m } - { l } _ { - m } ) \tilde { c } _ { m } : | B ; p , 1 \rangle = 0 \, .
{ \frac { 1 } { A } } d _ { 2 } ( f ( x ) , f ( y ) ) - B \leq d _ { 1 } ( x , y ) \leq A d _ { 2 } ( f ( x ) , f ( y ) ) + B \quad { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } \quad x , y \in M _ { 1 }
\begin{array} { r c l } { { [ e , f ^ { ( k ) } ] } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { [ k ] } [ e , f ] f ^ { ( k - 1 ) } + \frac { 1 } { [ k ] } f [ e , f ^ { ( k - 1 ) } ] } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { [ k - 1 ] ! } { [ k ] ! } [ e , f ] f ^ { ( k - 1 ) } + \frac { [ k - 2 ] ! } { [ k ] ! } f [ e , f ] f ^ { ( k - 2 ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + \frac { [ k - 2 ] ! } { [ k ] ! } f ^ { 2 } [ e , f ^ { ( k - 2 ) } ] } } \\ { { } } & { { \vdots } } & { { } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { k } \frac { [ k - i ] ! } { [ k ] ! } \left( f \right) ^ { i } [ e , f ] f ^ { ( k - i ) } } } \\ { { } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { f ^ { ( k - 1 ) } } { [ k ] ( q - q ^ { - 1 } ) } \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( q ^ { - 2 ( k - i ) } t - q ^ { 2 ( k - i ) } t ^ { - 1 } ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { f ^ { ( k - 1 ) } \displaystyle \frac { q ^ { - k + 1 } t - q ^ { k - 1 } t ^ { - 1 } } { q - q ^ { - 1 } } ~ ~ ~ ~ ( k \geq 1 ) ~ , } } \end{array}
- \frac { 1 } { 4 } \gamma P ^ { ( - ) } \partial _ { \pm } \phi - \frac { 1 } { 4 } \gamma ^ { 2 } \partial _ { \pm } ^ { 2 } \phi = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \pm } { \bf f } ) ^ { 2 }
+ \ P _ { 2 } ( 1 - \cos \theta ) ( \partial y _ { 1 } { \bar { \partial } } \varphi - { \bar { \partial } } y _ { 1 } \partial \varphi ) , \ \ \ \ \ \ z \equiv - \ln { \frac { r } { Q _ { 2 } } } \to \infty \ .
Z ( s ) = \frac { 1 + \Gamma ( s ) } { 1 - \Gamma ( s ) } = \frac { D ( s ) + R ( s ) } { D ( s ) - R ( s ) } = \frac { 2 . 0 s ^ { 4 } + 6 . 2 6 2 s ^ { 3 } + 1 3 . 5 3 s ^ { 2 } + 1 9 . 0 9 s + 1 2 . 6 5 } { 2 . 9 0 4 s ^ { 3 } + 9 . 0 4 9 s ^ { 2 } + 1 4 . 8 9 s + 1 1 . 4 5 } .