harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { W _ { 0 \alpha \beta } } & { = \frac { 3 } { 2 } \left( h _ { \alpha } h _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \right) \left( h _ { \mu } h _ { \nu } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \mu \nu } \right) W _ { \mu \nu } , } \\ { W _ { 1 \alpha \beta } } & { = \left( \delta _ { \alpha \mu } ^ { \perp } \delta _ { \beta \nu } ^ { \perp } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \alpha \beta } ^ { \perp } h _ { \mu } h _ { \nu } \right) W _ { \mu \nu } , } \\ { W _ { 2 \alpha \beta } } & { = \left( \delta _ { \alpha \mu } ^ { \perp } h _ { \beta } h _ { \nu } + \delta _ { \beta \nu } ^ { \perp } h _ { \alpha } h _ { \mu } \right) W _ { \mu \nu } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d S _ { z z } } { d t } } & { = } & { \frac { 4 } { 3 } G \frac { \partial u } { \partial z } + \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } G V b n _ { d } , } \\ { \frac { m _ { 0 } } { ( 1 - V ^ { 2 } / c _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \frac { d V } { d t } } & { = } & { - \frac { 3 b } { 4 } \left( \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } S _ { z z } \pm \frac { 2 } { 3 } Y \right) - \mu ( V , T ) V } \end{array}
J ( q ) = { \left( \begin{array} { l l l } { D _ { 1 } y ^ { 1 } ( q ) } & { \cdots } & { D _ { n } y ^ { 1 } ( q ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { D _ { 1 } y ^ { n } ( q ) } & { \cdots } & { D _ { n } y ^ { n } ( q ) } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { f ( x _ { t + 1 } ) - f ( x _ { t } ) } & { \le - \eta _ { t } \left\langle \nabla f ( x _ { t } ) , \xi _ { t } + \nabla f ( x _ { t } ) \right\rangle + \frac { L \eta _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert \xi _ { t } + \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } } \\ & { = - \eta _ { t } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } - \eta _ { t } \left\langle \nabla f ( x _ { t } ) , \xi _ { t } \right\rangle } \\ & { \quad + \frac { L \eta _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert \xi _ { t } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { L \eta _ { t } ^ { 2 } } { 2 } \left\Vert \nabla f ( x _ { t } ) \right\Vert ^ { 2 } + L \eta _ { t } ^ { 2 } \left\langle \nabla f ( x _ { t } ) , \xi _ { t } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { k = - 1 } ^ { 1 } \langle \Psi ^ { J M n } \vert { D _ { 0 k } ^ { 1 } } ^ { * } \mu ^ { \mathrm { B F } , ( 1 , k ) } \vert \Psi ^ { J ^ { \prime } M ^ { \prime } n ^ { \prime } } \rangle = } \\ { \sum _ { k = - 1 } ^ { 1 } \Big ( \sum _ { v , v ^ { \prime } } \langle v \vert \mu ^ { \mathrm { B F } , ( 1 , k ) } \vert v ^ { \prime } \rangle \sum _ { K , K ^ { \prime } } { C _ { K v } ^ { J n } } ^ { * } C _ { K ^ { \prime } v ^ { \prime } } ^ { J ^ { \prime } n ^ { \prime } } \langle J K M \vert { D _ { 0 k } ^ { 1 } } ^ { * } \vert J ^ { \prime } K ^ { \prime } M ^ { \prime } \rangle \Big ) , } \end{array}
\dot { p } _ { i } ^ { ( 1 , P ) } = \mathsf { K } _ { i j k l m } ^ { ( 1 ) } \mathsf { E } _ { j k } ^ { \infty } \mathsf { E } _ { l m } ^ { \infty } + \mathsf { K } _ { i j k l m } ^ { ( 2 ) } \mathsf { E } _ { j k } ^ { \infty } \mathsf { O } _ { l m } ^ { \infty } + \mathsf { K } _ { i j k l m } ^ { ( 3 ) } \mathsf { O } _ { j k } ^ { \infty } \mathsf { O } _ { l m } ^ { \infty } ,
B = - \frac { 3 \pi c ^ { 2 } } { 2 \omega _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 3 } } \left( \frac { \Gamma _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \omega _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } - \omega } + \frac { \Gamma _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { \omega _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } + \omega } \right)
\mathcal { G } _ { i , \lambda } ^ { \overline { { \lambda } } } f ^ { \lambda , ( 0 ) } = \mathcal { G } _ { i , \lambda } ^ { \overline { { \lambda } } } f ^ { \lambda , \mathrm { e q } } \Leftrightarrow f _ { i } ^ { \lambda , ( 0 ) } = f _ { i } ^ { \lambda , \mathrm { e q } } ,
\begin{array} { r l } { x _ { \mathrm { h } } ( t _ { \mathrm { f } } / 2 ) } & { { } = 2 \, a \, _ { \mathrm { m a x } } / \Omega ^ { 2 } \, ( \cos ^ { 2 } ( \Omega \, t _ { \mathrm { f } } / 4 ) ) - \cos ( \Omega \, t _ { 1 } ) ) } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) = \left[ \begin{array} { l l } { M _ { 0 } + \frac { 2 m ( k _ { c } ^ { 2 } - k k _ { t } + I _ { m } k \omega ^ { 2 } ) } { k _ { c } ^ { 2 } - ( k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( k - m \omega ^ { 2 } ) } } & { \frac { 2 I _ { m } k _ { c } m \omega ^ { 2 } } { k _ { c } ^ { 2 } - ( k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( k - m \omega ^ { 2 } ) } } \\ { \frac { 2 I _ { m } k _ { c } m \omega ^ { 2 } } { k _ { c } ^ { 2 } - ( k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( k - m \omega ^ { 2 } ) } } & { I _ { 0 } + \frac { 2 I _ { m } ( k _ { c } ^ { 2 } - k k _ { t } + m k _ { t } \omega ^ { 2 } ) } { k _ { c } ^ { 2 } - ( k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( k - m \omega ^ { 2 } ) } } \end{array} \right] \, .
P _ { N + 1 } = \mathrm { d i a g } [ 1 , \exp ( \mathrm { i } q ^ { ( N ) } ( N + 1 ) W ] \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad Q _ { N + 1 } = \mathrm { d i a g } [ \exp ( \mathrm { i } q ^ { ( N ) } ( N + 1 ) W , 1 ] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } = } & { \mathcal { O } \Big ( \frac { ( f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ) + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \sqrt { K T } } + \frac { K ( \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } ) } { T } } \\ & { + \frac { L ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } } + \frac { \beta ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } } { K ^ { 1 / 2 } T ^ { 3 / 2 } ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } } \Big ) . } \end{array}
f _ { 3 } ^ { ( 6 ) } = \frac { i } { 1 8 } \left( \frac { d } { \phi d \phi } \right) f _ { 2 } ^ { ( 4 ) } = - \frac { i } { 1 4 4 } \left( \frac { d } { \phi d \phi } \right) ^ { 3 } f ^ { ( 0 ) } .
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\forall \, 1 \leq b < a \leq p , \quad \widehat { \mathfrak { i } } _ { X ( r ) } ( u _ { a } ) \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { X ( r ) } ( u _ { b } ) = q _ { a b } \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { X ( r ) } ( u _ { b } ) \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { X ( r ) } ( u _ { a } ) + \sum _ { s = 1 } ^ { b - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { p } \alpha _ { s t } ^ { a b } \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { X ( r ) } ( u _ { s } ) \, \widehat { \mathfrak { i } } _ { X ( r ) } ( u _ { t } )
\begin{array} { r l } { f _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } ^ { ( A ) } } & { = \sum _ { k } s _ { k } ^ { ( A ) } U _ { p _ { 1 } k } ^ { ( f ) } U _ { p _ { 2 } k } ^ { ( f ) } , } \\ { f _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { ( B ) } } & { = \sum _ { l } s _ { l } ^ { ( B ) } V _ { q _ { 1 } l } ^ { ( f ) } V _ { q _ { 2 } l } ^ { ( f ) } , } \\ { \kappa _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } ^ { ( A ) } } & { = \sum _ { k } \tilde { s } _ { k } ^ { ( A ) } { U } _ { p _ { 1 } k } ^ { ( \kappa ) } { U } _ { p _ { 2 } k } ^ { ( \kappa ) } , } \\ { \kappa _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { ( B ) } } & { = \sum _ { l } \tilde { s } _ { l } ^ { ( B ) } { V } _ { q _ { 1 } l } ^ { ( \kappa ) } { V } _ { q _ { 2 } l } ^ { ( \kappa ) } , } \end{array}
\operatorname { k } _ { \mu \mu ^ { \prime } } ^ { \lambda \sigma } = c _ { 0 } \operatorname { k } _ { \mu \mu ^ { \prime } } ^ { 0 , \lambda \sigma } + \, a \sum _ { \nu = 1 } ^ { \nu _ { \mathrm { m a x } } } \frac { b ^ { \nu } } { \nu ! } \operatorname { k } _ { \mu \mu ^ { \prime } } ^ { \nu , \lambda \sigma } ,
Z _ { 2 \mathrm { i n s t } } \sim \frac { 1 } { N } [ \theta ( q q ^ { \prime } ) + \theta ( - q q ^ { \prime } ) \mathrm { e } ^ { \log ( q - q ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \log ( q + q ^ { \prime } ) ^ { 2 } } ] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \ell ( \hat { Z } , Z ^ { * } ) } & { \leq \frac { 1 } { n } \sum _ { j \in [ n ] } \sum _ { R \in \Pi _ { d } : R \neq I _ { d } } \left( \exp \left( - \left( 1 - C _ { 4 } \left( \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { n p } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + \left( \frac { 1 } { \log n } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) \right) _ { + } \frac { n p } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) + 1 2 d n ^ { - 1 0 } \right) + \mathbb { P } \left( \mathcal { F } ^ { \mathrm { c } } \right) } \\ & { \leq d ^ { d } \left( \exp \left( - \left( 1 - C _ { 4 } \left( \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { n p } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + \left( \frac { 1 } { \log n } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) \right) _ { + } \frac { n p } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) + 1 2 d n ^ { - 1 0 } \right) + 7 d n ^ { - 9 } } \\ & { \leq \exp \left( - \left( 1 - C _ { 5 } \left( \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { n p } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + \left( \frac { 1 } { \log n } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) \right) _ { + } \frac { n p } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) + 8 d n ^ { - 9 } } \\ & { \leq \exp \left( - \left( 1 - C _ { 5 } \left( \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { n p } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } + \left( \frac { 1 } { \log n } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) \right) \frac { n p } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) + 8 d n ^ { - 9 } , } \end{array}
b = \frac { 1 } { 4 \pi } \sum _ { j , m } \left( 2 j + 1 \right) \left( \begin{array} { c } { { b _ { + } \left( j , m ; r \right) D _ { + 1 , m } ^ { j } \left( \theta , \varphi \right) } } \\ { { b _ { 0 } \left( j , m ; r \right) D _ { 0 , m } ^ { j } \left( \theta , \varphi \right) } } \\ { { b _ { \tilde { o } } \left( j , m ; r \right) D _ { \tilde { o } , m } ^ { j } \left( \theta , \varphi \right) } } \\ { { b _ { - } \left( j , m ; r \right) D _ { - 1 , m } ^ { j } \left( \theta , \varphi \right) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , 0 ] } - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , 0 ] } \rVert _ { \infty } } & { = \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , 0 ] } - \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 1 } , 0 ] } \circ \mathcal { X } _ { [ \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ] } \cdot \dots \circ \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } \rVert _ { \infty } } \\ & { \leq \lVert ( \tilde { \varphi } _ { [ t _ { k } , 0 ] } - \mathcal { X } _ { [ \tau _ { k } , 0 ] } ) \circ \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } \rVert _ { \infty } + C _ { k } \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } \rVert _ { \infty } } \\ & { \leq \lVert \tilde { \varphi } _ { [ \tau _ { k } , 0 ] } - \mathcal { X } _ { [ \tau _ { k } , 0 ] } \rVert _ { \infty } + C _ { k } \lVert \tilde { \varphi } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } - \mathcal { X } _ { [ t _ { n } , \tau _ { k } ] } \rVert _ { \infty } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } + \{ \phi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \phi _ { 1 } \} } & { { } = v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } + \left\{ \psi _ { 1 } , \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \psi _ { 1 } \right\} , } \\ { \partial _ { t } \psi _ { 1 } + \{ \phi _ { 1 } , \psi _ { 1 } \} } & { { } = v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } \phi _ { 1 } , } \end{array}
m _ { n } ( \sigma ) = \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \rho \, \rho ^ { n + 1 } \theta ( \sigma - \sigma _ { \operatorname * { m i n } } ) \, \psi ( \rho , \sigma - M ^ { 2 } \rho ^ { 2 } ) ,
T _ { 0 } \ge \mathfrak { C } \varepsilon ^ { - 2 } \quad \textnormal { w i t h } \quad \mathfrak { C } = \operatorname* { m a x } \left( \sqrt { \gamma _ { 0 } \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 1 ) } } \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 1 ) } } } , \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 2 ) } } , \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 1 ) } } ( \kappa , \delta ) \gamma _ { 0 } ^ { 1 - \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } \right) .
A _ { 2 \rightarrow 4 } = - g \, p _ { A } ^ { + } \, T _ { a ^ { \prime } a } ^ { c _ { 1 } } \, \delta _ { \lambda _ { A ^ { \prime } } \lambda _ { A } } \, \frac 1 { t _ { 1 } } \, \psi _ { d _ { 1 } d _ { 2 } c _ { 2 } c _ { 1 } } ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } \, \frac 1 { t _ { 2 } } \, g \, p _ { B } ^ { - } \, T _ { b ^ { \prime } b } ^ { c _ { 2 } } \, \delta _ { \lambda _ { B ^ { \prime } } \lambda _ { B } } \, ,
X ( \tau ) = c _ { 1 } e ^ { \left( \xi + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \right) \tau } P _ { 1 } ( \tau ) + c _ { 2 } e ^ { \left( - \xi + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i } \right) \tau } P _ { 2 } ( \tau ) .
\begin{array} { r l } { | I _ { 3 } | } & { \leqslant C \left| ( \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } ( \partial _ { x } K ) \big ( \varphi _ { 1 } + ( 1 - s ) ( \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } ) , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ( g ( \varphi _ { 1 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } d s \right| } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } + ( 1 - s ) ( \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } ) - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 } | \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } d s . } \end{array}
\int _ { \Gamma _ { 0 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 3 a } \cup \Gamma _ { 3 b } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 5 a } \cup \Gamma _ { 5 b } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 8 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s + \int _ { \Gamma _ { 9 } } \tilde { \epsilon } _ { c r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s = 0 ,
p _ { i } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { \operatorname { e } _ { i } ^ { \mathrm { T } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l r } { R _ { g l a s s } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 . 7 0 8 } \left( 2 \frac { 0 . 0 0 4 } { 0 . 8 } + \frac { 0 . 0 1 } { 0 . 0 2 5 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } } & { { } = } & { \int \int \int \Psi ( x , y , z ) \Psi _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } ( x , y , z ) \ d x \ d y \ d z } \end{array}
\textrm { d } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( s ) = \tilde { Q } _ { k } ^ { i } ( s ) q _ { j } ^ { k } ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s , \quad \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( 0 ) = \delta _ { i j }
\Phi _ { \mathrm { s m o o t h } } = \left( \left[ \left( \zeta \mp 1 \right) ^ { 2 } + \zeta ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \mp \zeta \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \Omega ^ { 2 } z ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathscr { S } _ { t } ^ { n } ( f ) } & { = - \frac { d } { d t } \mathscr { Q } _ { t } ^ { n } ( h ) + \mathscr { S } _ { t } ^ { n } \bigg ( \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 2 } } \Delta ^ { n } h _ { n } + \frac { 2 \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \mathscr { D } _ { n } h _ { n } \bigg ) + \frac { 2 \theta ( n ) } { n ^ { 2 } } \mathscr { Q } _ { t } ^ { n } ( \tilde { \mathscr { D } _ { n } } h _ { n } ) + o _ { n } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( s ) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( s ) - \frac { \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( s ) } { s } } & { { } = \left( s \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \frac { \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } } { s } \right) \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ( s ) } \end{array}
\chi _ { N } ^ { 2 } ( \mathbf { A } , \mathbf { t } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathop { d f } \frac { \left| \tilde { v } ( f ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { j } \mathrm { e } ^ { - i \omega t _ { j } } \tilde { s } _ { j } ( f ) \right| ^ { 2 } } { J ( f ) } ,
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal M _ { q , G } h _ { 1 } , h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { \varepsilon } \langle ( \Phi _ { i j } * G ) | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } ( \partial _ { \xi _ { i } } - \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 1 } , ( \partial _ { \xi _ { j } } + \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - \langle ( \partial _ { v _ { i } } \Phi _ { i j } * G ) | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } h _ { 1 } , ( \partial _ { \xi _ { j } } + \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \varepsilon } \langle ( \Phi _ { i j } * G ) | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } \partial _ { \xi _ { i } } h _ { 1 } , \partial _ { \xi _ { j } } h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { \varepsilon } \langle ( \Phi _ { i j } * G ) | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } \xi _ { i } \xi _ { j } h _ { 1 } , h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \\ & { \quad - \langle ( \partial _ { v _ { i } } \Phi _ { i j } * G ) | _ { v = \frac { \xi } { \varepsilon } } h _ { 1 } , ( \partial _ { \xi _ { j } } + \frac { q \xi _ { i } } { 2 } ) h _ { 1 } \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { t ( \sqrt { s } a ) \sum _ { j = 1 } ^ { s } \| \theta _ { j } - \theta _ { 0 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { s } \big \| E _ { \theta _ { j } } \big [ \widetilde \theta ^ { ( 1 ) } \big ] - E _ { \theta _ { 0 } } \big [ \widetilde \theta ^ { ( 1 ) } \big ] \big \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \ell = 1 , \ldots , s } \sum _ { j = 1 } ^ { s } \big | e ^ { \langle \theta _ { \ell } - \theta _ { 0 } , \theta _ { j } - \theta _ { 0 } \rangle } - 1 \big | \sum _ { i = 1 } ^ { s } \operatorname { V a r } _ { \theta _ { 0 } } \big ( \widetilde \theta _ { i } ^ { ( 1 ) } \big ) . } \end{array}
\| \Psi \| _ { C ^ { 1 + \alpha } ( { \mathcal { D } _ { \rho } \cap B _ { R } } ) } \le C \left( \| \partial _ { \zeta } f \| _ { L ^ { \infty } ( { \mathcal { D } _ { \rho } \cap B _ { R } } ) } ^ { 2 } + \| \Psi \| _ { L ^ { \infty } ( { \mathcal { D } _ { \rho } \cap B _ { R } } ) } \right) \le C \left( \| \partial _ { \zeta } f \| _ { L ^ { \infty } ( { \mathcal { D } _ { \rho } \cap B _ { R } } ) } ^ { 2 } + 1 \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathrm { e x p } \left( \frac { - i N \Gamma _ { 1 D } } { 2 } \frac { 1 } { z + \Delta + i \Gamma ^ { \prime } / 2 } - i z t \right) = e ^ { \left( i \Delta - \frac { \Gamma ^ { \prime } } { 2 } \right) t } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \left( - i \left( z + \Delta + i \frac { \Gamma ^ { \prime } } { 2 } \right) \sqrt { \frac { 2 t } { N \Gamma _ { 1 D } } } \right) ^ { m } J _ { m } \left( \sqrt { 2 N \Gamma _ { 1 D } t } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \left\langle ( x _ { i } ( t ) - \bar { x } ( t ) ) ^ { 2 } \right\rangle } , } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { N } \mathrm { t r a c e } \left( \left\langle ( U ^ { T } \vec { x } ( t ) ^ { T } ) ( \vec { x } ( t ) U ) \right\rangle \right) , } \\ & { = \frac { 1 } { N } \mathrm { t r a c e } \left( U ^ { T } \Omega U \right) , } \\ & { = \frac { 1 } { N } \mathrm { t r a c e } \left( \Omega _ { U } \right) , } \end{array}
\boldsymbol { M } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { I } } & { \boldsymbol { Z } } \\ { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } & { \boldsymbol { Z } } \end{array} \right] \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \lambda ( Q _ { 0 } \cup \cdots \cup Q _ { i ^ { \prime } } ) } & { \leq \lambda ( Q _ { 0 } \cup \cdots \cup Q _ { i } ) + \lambda ( Q _ { 0 } \cup \cdots \cup Q _ { i ^ { \prime } } \cup Q _ { i + 2 } \cup \cdots ) } \\ & { \quad - \lambda ( Q _ { 0 } \cup \cdots \cup Q _ { i } \cup Q _ { i + 2 } \cup \cdots ) } \\ & { = \lambda ( Q _ { 0 } \cup \cdots \cup Q _ { i } ) < k - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { S + } } & { = } & { \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } \, | \, \mathcal { T } ) } \\ { p _ { S - } } & { = } & { \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } \, | \, \bar { \mathcal { T } } ) } \\ { p _ { B + } } & { = } & { \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { H } } \, | \, \mathcal { T } ) \, = \, 1 - p _ { S + } } \\ { p _ { B - } } & { = } & { \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { H } } \, | \, \bar { \mathcal { T } } ) \, = \, 1 - p _ { S - } } \end{array}
3 \nu ( \beta - \alpha ) = ( \alpha + \beta - 2 k / \nu ^ { 2 } ) \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \rho _ { b } , ~ ~ 6 \nu ( \alpha + \beta ) = ( \alpha - \beta ) \kappa _ { 5 } ^ { 2 } ( \rho _ { b } + 3 p _ { b } ) .
\operatorname* { d e t } \left( \boldsymbol { S } _ { \mathrm { r a w } } \right) = S _ { 1 1 } ^ { \mathrm { r a w } } S _ { 2 2 } ^ { \mathrm { r a w } } - S _ { 1 2 } ^ { \mathrm { r a w } } S _ { 2 1 } ^ { \mathrm { r a w } }
S = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int d ^ { 1 0 } x \left( e ^ { - 2 \Phi } \left( R + 4 \left( \partial \Phi \right) ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 \left( p + 2 \right) ! } F _ { p + 2 } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \arg [ G _ { p } ^ { ( x ) } ( \theta _ { 1 } ) ] = \arctan \left[ \frac { x \left( k _ { p } \delta - k _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } \right) } { \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( x ) } } \right] , } \\ { \arg [ G _ { p } ^ { ( y ) } ( \theta _ { 1 } ) ] = \arctan \left[ \frac { x \left( q _ { p } \delta - q _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } \right) } { \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } } \right] . } \end{array}
\psi = \left( \begin{array} { l } { { M _ { 1 } \left( t \right) \, \, \, \, e ^ { i \, F _ { 1 } \left( q , t \right) } } } \\ { { M _ { 2 } \left( t \right) \, \, \, \, e ^ { i \, F _ { 2 } \left( q , t \right) } } } \end{array} \right) . \,
x _ { j } = \left( d _ { u _ { k } , r } ^ { - \alpha _ { r } } d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \varrho ^ { 2 } \left( \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } \left( M + \rho \left( \kappa \right) ^ { 2 } \xi \right) + \frac { \rho _ { e _ { j } } } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } M + \frac { \rho _ { k } } { \rho _ { k } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } M + \frac { 1 } { \rho _ { e _ { j } } + 1 } \frac { 1 } { \rho _ { k } + 1 } M \right) + d _ { e _ { j } , r } ^ { - \alpha _ { e } } \right)
\begin{array} { r l } & { I ( \widetilde { C } _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } \widetilde { C } _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } , M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ; X _ { 1 } ^ { n } X _ { 2 } ^ { n } ) } \\ & { \leq \left. \left. \left. \! \! \! D \left( p _ { K _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } K _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } \right| \right| p _ { V _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } V _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } } \right| p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( 1 + \tau \frac { \partial } { \partial t } + a _ { E } \eta _ { T } \nabla ^ { 2 } \right) \overline { { \boldsymbol { \mathcal { E } } } } } & { { } = } & { \overline { { \boldsymbol { \mathcal { E } } } } ^ { ( 0 ) } , } \\ { \overline { { \boldsymbol { \mathcal { E } } } } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { \alpha _ { i j } \overline { { B } } _ { j } + \eta _ { i j k } \partial _ { k } \overline { { B } } _ { j } } \end{array}