harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { D a t a } : } & { = \alpha \mathcal { L } _ { B u l k } + \beta ( \mathcal { L } _ { B C } + \mathcal { L } _ { I C } ) + \gamma \mathcal { L } _ { I B } } \\ { \mathcal { L } _ { P h y } : } & { = \lambda ( \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { x } } } + \mathcal { L } _ { P D E _ { m _ { y } } } + \mathcal { L } _ { P D E _ { c } } ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 2 } } \Pi _ { \chi } ( 0 ) = - \frac { 3 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \mu } \mathrm { d } s s \left[ \frac { B ( s ) } { X ( s ) } \right] ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { D _ { 1 } \partial _ { x } \widetilde { \rho } _ { 1 } ( a _ { 1 } ^ { - } , s ) = - 2 \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | x _ { 0 } ) - \kappa _ { 1 } [ 2 \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) - 1 ] \Sigma _ { 1 } ( s ) , } \\ & { D _ { 2 } \partial _ { x } \widetilde { \rho } _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { + } , s ) = \kappa _ { 1 } [ 2 \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) - 1 ] \Sigma _ { 1 } ( s ) + 2 \kappa _ { 2 } \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 2 } ) \Sigma _ { 2 } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { k } \left| \frac { d } { d t } \left| \left\langle U _ { t } ^ { * } ( k _ { z } - k _ { 0 } ) , e _ { k } \right\rangle \right| ^ { 2 } \right| } & { = } & { \epsilon _ { k } \left| \frac { d } { d t } \left| ( \varphi _ { t } ( z ) ) ^ { \alpha ( k ) } - ( \varphi _ { t } ( 0 ) ) ^ { \alpha ( k ) } \right| ^ { 2 } \right| } \\ & { = } & { 2 \epsilon _ { k } \left| \Re \left( \frac { d } { d t } \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) ^ { \alpha ( k ) } \cdot \left( \overline { { \varphi _ { t } ( z ) } } \right) ^ { \alpha ( k ) } \right) \right| } \\ & { \leq } & { 2 \epsilon _ { k } \left| \frac { d } { d t } \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) ^ { \alpha ( k ) } \right| \cdot \left| \left( \overline { { \varphi _ { t } ( z ) } } \right) ^ { \alpha ( k ) } \right| } \\ & { < } & { 2 \epsilon _ { k } \rho ^ { | \alpha ( k ) | } \left| \frac { d } { d t } \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) ^ { \alpha ( k ) } \right| } \\ & { \leq } & { 2 \epsilon _ { k } \rho ^ { | \alpha ( k ) | } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \alpha _ { s } ( k ) \left| F ^ { ( s ) } \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) \right| \left| \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) _ { s } \right| ^ { \alpha _ { s } ( k ) - 1 } \prod _ { l = 1 , l \neq s } ^ { n } \left| \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) _ { l } \right| ^ { \alpha _ { l } ( k ) } } \\ & { < } & { 2 \epsilon _ { k } \rho ^ { 2 | \alpha ( k ) | - 1 } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \alpha _ { s } ( k ) \left| F ^ { ( s ) } \left( \varphi _ { t } ( z ) \right) \right| } \end{array}
\frac { 1 } { 4 \beta } F _ { \nu , \alpha \beta } ^ { \infty } ( x , y ) = - \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { d \alpha } { \alpha ^ { 2 } } j _ { \nu , \alpha \beta } ^ { \infty } ( \alpha x , y ) - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { d \alpha } { \alpha } \left( 1 - \frac { 1 } { \alpha } \right) x ^ { \rho } j _ { \rho , \alpha \beta } ^ { \infty } ( \alpha x , y )
\vert \Phi _ { m } \vert = \left( \frac { 1 2 8 } { 9 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { 2 } { m } \, \frac { \beta ^ { 2 } } { \vert \partial \Omega _ { \varphi } / \partial L \vert _ { L _ { \mathrm { C R } } } } .
\begin{array} { r } { E _ { 2 \mathrm { D } } ^ { \varphi } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle k _ { \parallel } ^ { - 9 } k _ { \perp } ^ { 3 } , } & { \displaystyle k _ { \parallel } \gtrsim k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } , } \\ { \displaystyle k _ { \perp } ^ { - 1 7 / 3 } k _ { \parallel } ^ { 4 } , } & { \displaystyle k _ { \parallel } \lesssim k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int ( \mathrm { r a d i a l \; p a r t ) } } & { = e \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } d r R _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ^ { * } ( r ) r R _ { n l } ( r ) } \\ { \int ( \mathrm { a n g u l a r \; p a r t ) } } & { = \int \; Y _ { l ^ { \prime } m ^ { \prime } } ^ { * } ( \theta , \phi ) Y _ { 1 \mu } ( \theta , \phi ) Y _ { l m } ( \theta , \phi ) \; \sin \theta d \theta d \phi } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( f _ { i } - \epsilon _ { i } \mp \omega ) | i ^ { P V \pm } \rangle } & { { } = } & { - d | i ^ { P V } \rangle - u _ { i } ^ { \pm } | i ^ { P V } \rangle - h _ { w } | i ^ { \pm } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { S E _ = } & { \mathrm { E } \left[ R _ { \mathrm { i n } } \right] = \mathrm { E } \left[ \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( 1 + A ^ { 2 } \, \mathcal { B } \, \Bar { \gamma } \right) \right] , } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( 1 + y ^ { 2 } \, \mathcal { B } \, \Bar { \gamma } \right) \mathrm { f } _ { A } ( y ) \mathrm { d } y . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { p ( \omega _ { t } ) } [ \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } | \omega _ { t } ) | | p ( \boldsymbol { z } ) ) ] } & { } & { = \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } , \omega _ { t } ) | | q ( \boldsymbol { z } ) p ( \omega _ { t } ) ) } \\ & { } & { + \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } ) | | \prod _ { j } q ( \boldsymbol { z } _ { j } ) ) } \\ & { } & { + \sum _ { j } \textbf { K L } ( q ( \boldsymbol { z } _ { j } ) | | p ( \boldsymbol { z } _ { j } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha / \beta } ^ { A } ( x , y ; a , b ) } & { = \kappa _ { a , b } ( \alpha / \beta ) \widehat { f } _ { \widehat { \alpha } / \widehat { \beta } } ^ { A } ( y , x ; - b , - a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { B } ( x , y ; a , b ) } & { = \kappa _ { a , b } ( \alpha / \beta ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { x _ { i } + y _ { i } } \widehat { f } _ { \widehat { \alpha } / \widehat { \beta } } ^ { B } ( y , x ; - b , - a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { C } ( x , y ; a , b ) } & { = \kappa _ { a , b } ( \alpha / \beta ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } + y _ { i } ) \widehat { f } _ { \widehat { \alpha } / \widehat { \beta } } ^ { C } ( y , x ; - b , - a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { D } ( x , y ; a , b ) } & { = \kappa _ { a , b } ( \alpha / \beta ) \widehat { f } _ { \widehat { \alpha } / \widehat { \beta } } ^ { D } ( y , x ; - b , - a ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B ( 2 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \sigma _ { o } \frac { \mathcal { E } } { | \mathcal { E } | } } & { \quad \mathrm { i f } \quad \gamma | \mathcal { E } | \ge \sigma _ { o } + \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { \frac { \mathcal { E } } { | \mathcal { E } | } \left( 2 \sigma _ { o } - \beta \left( \sigma _ { o } - \gamma | \mathcal { E } | + \frac { 1 } { 2 \beta } \right) ^ { 2 } \right) } & { \quad \mathrm { i f } \quad \sigma _ { o } - \frac { 1 } { 2 \beta } \le \gamma | \mathcal { E } | \le \sigma _ { o } + \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { 2 \gamma \, \mathcal { E } } & { \quad \mathrm { i f } \quad \gamma | \mathcal { E } | \le \sigma _ { o } - \frac { 1 } { 2 \beta } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { v } + ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { \nabla } ) \mathbf { v } } & { { } = - \frac { \nabla P } { \rho } + \frac { 1 } { \rho \mu } \left( \mathbf { \nabla } \times \mathbf { B } \right) \times \mathbf { B } + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { v } ~ , } \end{array}
m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } | H _ { 1 } | ^ { 2 } + m _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } | H _ { 2 } | ^ { 2 } - m _ { 1 2 } ^ { 2 } ( H _ { 1 } H _ { 2 } + h . c . ) + \frac { g ^ { 2 } } { 2 } ( H _ { 1 } ^ { \dagger } \vec { \tau } H _ { 1 } + H _ { 2 } ^ { \dagger } \vec { \tau } H _ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } } { 2 } ( H _ { 1 } ^ { \dagger } H _ { 1 } - H _ { 2 } ^ { \dagger } H _ { 2 } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { u ^ { r e } ( x , t ) } & { = } & { - \int _ { { \mathbb R } ^ { 2 } } G ( x , t ; \, y ^ { * } ) * \partial _ { t } f ( y , t ) \, d y } \\ & { = } & { - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { B _ { R } ^ { + } \backslash \overline { { D } } } G ( x - y ^ { * } , t - \tau ) \partial \tau f ( y , \tau ) \, d y d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \cal L } ( { \bf R , { \dot { R } } , n , { \dot { n } } } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { I } M _ { I } \vert { \bf R } _ { I } \vert ^ { 2 } - { \cal U } _ { \mathrm { B O } } ^ { ( 2 ) } ( { \bf R , n } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \mu \sum _ { I } { \dot { \eta } } _ { I L } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \mu \omega ^ { 2 } \sum _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } \left( \eta _ { I L } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - n _ { I L } \right) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \times T _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } \times \left( \eta _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - n _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } \right) . } \end{array}
\Phi _ { N P } ^ { t } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
{ \frac { \pi } { 4 } } { N } ^ { 1 / 2 } , \ { \frac { \pi } { 4 } } \left( { \frac { N } { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } , \ { \frac { \pi } { 4 } } \left( { \frac { N } { 4 } } \right) ^ { 1 / 2 } , \ \ldots , \ { \frac { \pi } { 4 } } { \sqrt { \frac { N } { 2 ^ { k } } } } , \ \ldots
\ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } \cdot ( ( \ensuremath { \boldsymbol { I } } + \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } \ensuremath { \boldsymbol { u } } _ { 0 } ) ( \ensuremath { \boldsymbol { I } } + \ensuremath { \boldsymbol { \nabla } } \ensuremath { \boldsymbol { u } } _ { 0 } ) ^ { T } ) ^ { \prime } = 0 , ~ ~ r \leq 1 ; ~ ~ ~ \ensuremath { \mathrm { \boldmath ~ u ~ } } _ { 0 } | _ { r = \zeta } = 0
\begin{array} { r l r } & { } & { | \frac { \partial } { \partial { x _ { 1 , 0 } } } [ C ^ { r ^ { e } } ( x , x _ { 1 } ) ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } | \le K _ { 4 } \gamma ^ { - 2 r ^ { e } } e ^ { - d ^ { \alpha } ( x , x _ { 1 } ) } , } \\ & { } & { | \frac { \partial } { \partial { x _ { 1 } ^ { ( a ) } } } \frac { \partial } { \partial { x _ { 1 } ^ { ( b ) } } } [ C ^ { r ^ { e } } ( x , x _ { 1 } ) ] _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } | \le K _ { 5 } \gamma ^ { - 2 r ^ { e } } e ^ { - d ^ { \alpha } ( x , x _ { 1 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { 1 } \overline { { \xi } } _ { 2 } \left( \overline { { \xi } } \cdot \overline { { q } } \right) = - \alpha _ { 2 } \overline { { \xi } } _ { 3 } \left( \overline { { \xi } } \cdot \overline { { q } } \right) , \quad \alpha _ { 1 } \overline { { \xi } } _ { 1 } \left( \overline { { \xi } } \cdot \overline { { q } } \right) = 0 , \quad \alpha _ { 2 } \overline { { \xi } } _ { 1 } \left( \overline { { \xi } } \cdot \overline { { q } } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \left[ \partial _ { x } \frac { 1 } { \varepsilon ( x , y ) } \partial _ { x } + \partial _ { y } \frac { 1 } { \varepsilon ( x , y ) } \partial _ { y } \right] \mathcal { H } _ { z } ( x , y ) } & { = \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathcal { H } _ { z } ( x , y ) , } \\ { - \frac { 1 } { \varepsilon ( x , y ) } \left( \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { y } ^ { 2 } \right) \mathcal { E } _ { z } ( x , y ) } & { = \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathcal { E } _ { z } ( x , y ) . } \end{array}
{ \bf \tau } ( E ) = \frac { 1 } { \operatorname * { d e t } { \bf \tau } ^ { - 1 } } \left( \begin{array} { c c } { { - \frac { C } { C _ { 2 } ^ { 2 } } - I _ { 5 } - 2 \mu E I _ { 3 } - 4 \mu ^ { 2 } E ^ { 2 } I ( E ) } } & { { I _ { 3 } + 2 \mu E \, I ( E ) - \frac { 1 } { C _ { 2 } } } } \\ { { I _ { 3 } + 2 \mu E \, I ( E ) - \frac { 1 } { C _ { 2 } } } } & { { - I ( E ) } } \end{array} \right) ,
L _ { p } ^ { 2 } > 0 . 6 1 6 \sqrt { I _ { 1 4 } } \lambda _ { \mu m } L _ { n } ^ { 2 } \frac { ( 1 - 2 \omega _ { p } / \omega _ { 0 } ) \sqrt { 2 - 2 \omega _ { p } / \omega _ { 0 } - \omega _ { p } ^ { 2 } / \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } { ( 1 - \omega _ { p } / \omega _ { 0 } ) \omega _ { p } ^ { 2 } / \omega _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { { \sf T x c [ 3 ] } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 3 } { 4 } \, b ( - k n ) \, x y ^ { 2 } X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } - X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { c d } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = } & { { } \frac { \left\langle \Psi _ { \mathrm { o u t } } \mid \hat { \psi } _ { d } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { c } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { c } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { d } ( \boldsymbol { r } ) \mid \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle } { \left\langle \Psi _ { \mathrm { o u t } } \mid \hat { \psi } _ { d } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { d } ( \boldsymbol { r } ) \mid \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle \left\langle \Psi _ { \mathrm { o u t } } \mid \hat { \psi } _ { c } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { c } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \mid \Psi _ { \mathrm { o u t } } \right\rangle } } \\ { = } & { { } \frac { | \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } | \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } + | \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } | \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } - \left\{ \eta _ { A } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ) \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ) \eta _ { B } ^ { * } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) e ^ { - i [ \Phi _ { A } ( \boldsymbol { r } ) - \Phi _ { B } ( \bar { \boldsymbol { r } } ) + \Phi _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) - \Phi _ { A } ( \bar { \boldsymbol { r } } ^ { \prime } ) ] } + \mathrm { c . c . } \right\} } { \left[ \left| \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } + \left| \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } \right] \left[ \left| \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } + \left| \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { q ^ { 2 n } \cdot \binom { q + 1 - ( \sqrt { q } + 1 ) } { \frac { q + 1 } { 2 } - ( \sqrt { q } + 1 ) } } { \binom { q + 1 } { \frac { q + 1 } { 2 } } } } & { = q ^ { 2 n } \cdot \prod _ { j = 0 } ^ { \sqrt { q } } \frac { \frac { q + 1 } { 2 } - j } { q + 1 - j } \leq \frac { q ^ { 2 n } } { 2 ^ { \sqrt { q } } } } \\ & { = \exp ( 2 n \log q - \sqrt { q } \log 2 ) \leq \exp ( 2 ( \log q ) ^ { 2 } - \sqrt { q } \log 2 ) , } \end{array}
\mathrm { l . h . s . \ o f \ ( \ r e f { t h 1 } ) } \ \leq \int _ { \alpha _ { 0 } } ^ { \alpha } d \alpha _ { s } \int d ^ { \, 4 } p \, \Bigl \{ \, e ^ { \, - \alpha _ { s } p ^ { 2 } } \, \alpha _ { s } ^ { \, - 2 l + s + 1 + \frac { \vert \omega \vert } { 2 } } \, P _ { 2 } ( \, \vert \log ( \alpha _ { s } ) \vert \, )
\begin{array} { r l } { \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \tilde { \theta } _ { m } } & { { } = \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) T _ { m - 1 } + \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \! \! ( \partial _ { t } \xi _ { m , k } \tilde { \Chi } _ { m , k } ) \cdot \nabla \bigl ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { p _ { s , 4 j - 7 } } ( \mathbf d ) = \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 7 } } ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 6 } } \mathbf w _ { 0 } ^ { n _ { s , 4 j - 5 } } ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 4 } } \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 2 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \theta } ( z ) : = { \mathbb E } [ s _ { \theta } ( X ) | Z = z ] } & { = \int _ { \mathcal X } s _ { \theta } ( x ) \frac { q ( z | x ) p _ { \theta } ( x ) } { { q } _ { \theta } ( z ) } \mu ( d x ) } \\ & { = \frac { 1 } { { q } _ { \theta } ( z ) } \int _ { \mathcal X } q ( z | x ) \dot { p } _ { \theta } ( x ) \mu ( d x ) } \end{array}
M ( t _ { * * } ^ { 1 } ) \| t _ { * * } ^ { \angle } \| _ { \mathbb { V } } \| \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } ( e ^ { T _ { * * } ^ { 0 } } ) ^ { \dag } \Pi _ { \mathfrak { V } ^ { \angle } } e ^ { T _ { * } ^ { 1 } } \Phi _ { 0 } \| _ { \mathfrak { H } ^ { 1 } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } \left[ \langle N | Q _ { i } ^ { 2 } Q _ { j } ^ { 2 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { i } | Q _ { i } ^ { 2 } | n _ { i } \rangle \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \} } } \\ & { } & { \, \, \, \, \, \times \, \frac { \sum _ { n _ { j } = 0 } ^ { \infty } \langle n _ { j } | Q _ { j } ^ { 2 } | n _ { j } \rangle \exp \{ - \beta ( n _ { j } + 1 / 2 ) \omega _ { j } \} } { \sum _ { n _ { j } = 0 } ^ { \infty } \exp \{ - \beta ( n _ { j } + 1 / 2 ) \omega _ { j } \} } } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } \left[ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \right] \left[ \langle Q _ { j } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \right] } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } F _ { i i j j } \frac { f _ { i } + 1 / 2 } { \omega _ { i } } \frac { f _ { j } + 1 / 2 } { \omega _ { j } } } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j } ^ { i \neq j } \tilde { F } _ { i i j j } ( f _ { i } + 1 / 2 ) ( f _ { j } + 1 / 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { k } } & { = t _ { 1 k } + t _ { 2 k } + t _ { 3 k } } \\ & { = \frac { y _ { 1 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) } { f _ { k } } + \operatorname* { m a x } \left\{ \frac { Z ( \mathcal S _ { k } ) } { r _ { k } + a _ { k } } , \frac { K _ { 0 } } { a _ { 0 } } \right\} + \frac { y _ { 2 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) } { g _ { k } } . } \end{array}
\nu ( J ^ { ( \delta _ { 1 } , \cdots , \delta _ { r - 1 } ) } ( \phi ) - J ^ { ( \delta _ { 1 } , \cdots , \delta _ { r - 1 } ) } ( \phi ^ { \prime } ) ) \geqslant \frac { \sum _ { 1 \leqslant \ell \neq j \leqslant r - 1 } \delta _ { \ell } } { g . c . d . ( q ^ { r } - 1 , q ^ { j } - 1 ) } \sum _ { n \geqslant 1 } \# \mathrm { I s o } _ { W / \mu ^ { n } W } ( \phi , \phi ^ { \prime } ) .
e T _ { \mu \nu } = { \tilde { \overline { { \Psi } } } _ { L _ { 0 } } } { \gamma _ { \mu } } i \left( D _ { \nu } - \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \alpha \nu } ^ { \alpha } \right) { \tilde { \Psi } } _ { L _ { 0 } } - \frac { i } { 2 } g _ { \mu \nu } \partial _ { \alpha } ( { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L _ { 0 } } \gamma ^ { \alpha } { \tilde { \Psi } _ { L _ { 0 } } } ) . \nonumber \,
i \dot { \Psi } [ \eta ] = \sum _ { \vec { k } } \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \frac { \delta ^ { 2 } } { \delta \vec { \eta } _ { \vec { k } } \delta \vec { \eta } _ { - \vec { k } } } + \omega _ { k } ^ { 2 } ( t ) \; \vec { \eta } _ { \vec { k } } \cdot \vec { \eta } _ { - \vec { k } } \right] \Psi [ \eta ]
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \hat { \Phi } ^ { n + 1 } - \hat { \Phi } ^ { n } } { s } = - \nabla _ { h } \cdot ( A _ { h } \hat { \Phi } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } ) + \Delta _ { h } \hat { \mathcal { V } } ^ { n + 1 } + \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } , } \\ & { } & { \hat { \mathcal { V } } ^ { n + 1 } = \ln ( 1 + \hat { \Phi } ^ { n + 1 } ) - \ln ( 1 - \hat { \Phi } ^ { n + 1 } ) - \theta _ { 0 } \hat { \Phi } ^ { n } - \varepsilon ^ { 2 } \Delta _ { h } \hat { \Phi } ^ { n + 1 } , } \\ & { } & { ( - \Delta _ { h } + I ) \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } = - \nabla _ { h } \hat { P } ^ { n + 1 } - \gamma ( A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \hat { \mathcal { V } } ^ { n + 1 } ) + \tau _ { v } ^ { n + 1 } , } \\ & { } & { \nabla _ { h } \cdot \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d y ( s ) } { d s } } & { = \frac { p } { 3 } \left[ y ( 0 ) ^ { \frac { 3 } { p } } + \sum _ { k = 3 } ^ { p } \left( \frac { k } { p } \int _ { 0 } ^ { s } c _ { k } ( t ) d t \right) ^ { \frac { 3 } { k } } \right] ^ { \frac { p } { 3 } - 1 } \cdot \sum _ { k = 3 } ^ { p } \frac { 3 } { k } \left( \frac { k } { p } \int _ { 0 } ^ { s } c _ { k } ( t ) d t \right) ^ { \frac { 3 } { k } - 1 } \cdot \frac { k } { p } c _ { k } ( s ) } \\ & { \ge \sum _ { k = 3 } ^ { p } c _ { k } ( s ) \left[ y ( 0 ) ^ { \frac { 3 } { p } } + \sum _ { k = 3 } ^ { p } \left( \frac { k } { p } \int _ { 0 } ^ { s } c _ { k } ( t ) d t \right) ^ { \frac { 3 } { k } } \right] ^ { \frac { p - k } { 3 } } } \\ & { = \sum _ { k = 3 } ^ { p } c _ { k } ( s ) y ( s ) ^ { \frac { p - k } { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J ( z , \tilde { \eta } _ { \gamma } ) } & { = \varepsilon \int _ { - \varepsilon ^ { - 1 } } ^ { T } \left[ Q ^ { \prime \prime } ( \varepsilon z ^ { \prime } ( t ) ) z ^ { \prime \prime } ( t ) ^ { 2 } + F ^ { \prime \prime } ( z ( t ) ) z ^ { \prime } ( t ) ^ { 2 } \right] \, d t } \\ & { \qquad + 2 \varepsilon \gamma \int _ { - \varepsilon ^ { - 1 } } ^ { T } \left[ Q ^ { \prime \prime } ( \varepsilon z ^ { \prime } ( t ) ) z ^ { \prime \prime } ( t ) \eta _ { 1 } ^ { \prime } ( t ) + F ^ { \prime \prime } ( z ( t ) ) z ^ { \prime } ( t ) \eta _ { 1 } ( t ) \right] \, d t + \varepsilon \mathcal { O } ( \gamma ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega _ { h } } \nabla v _ { h } \cdot \nabla \textbf { u } _ { h } ^ { n + 1 } + \frac { \gamma _ { 0 } } { \nu _ { m } \Delta t } \int _ { \Omega _ { h } } \textbf { u } _ { h } ^ { n + 1 } v _ { h } = \frac { 1 } { \nu _ { m } } \int _ { \Omega _ { h } } \left( \textbf { T } _ { h } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla P _ { h } ^ { n + 1 } \right) v _ { h } } \end{array}
( \mathbf { \nabla \times f } ) _ { 3 } = \frac { \partial f _ { s , 2 } } { \partial x } - \frac { \partial f _ { s , 1 } } { \partial y } + \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) 2 \nu _ { t } S _ { 1 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x \partial y } \left( 2 \nu _ { t } ( S _ { 2 2 } - S _ { 1 1 } ) \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb M _ { p - 1 , p } ^ { s } = | | m _ { k l } ( p - 1 , p ) | | , \quad k , l = 1 , \ldots N ^ { s } , } \\ & { } & { m _ { k l } ( p - 1 , p ) = \exp \left( - \frac { \pi } { \lambda _ { \epsilon } ^ { 2 } } \left[ \mathbf r _ { l \, p } ^ { s } - \mathbf r _ { k \, ( p - 1 ) } ^ { s } \right] ^ { 2 } \right) \, . } \end{array}
\int d U \Upsilon _ { \bar { \tau } \sigma } ( U , U ^ { \dagger } ) \Upsilon _ { \bar { \tau } ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ( U , U ^ { \dagger } ) = \delta _ { T _ { \sigma } , T _ { \tau ^ { \prime } } } \delta _ { T _ { \sigma ^ { \prime } } , T _ { \tau } } C _ { \sigma } C _ { \tau } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d E } { d t } } & { = } & { - \int _ { \Omega } \left\{ \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { D _ { i } C _ { i } } { R T } | \nabla \tilde { \mu } _ { i } | ^ { 2 } + R T \mathcal { R } \ln \left( \frac { \mathcal { R } _ { f } } { \mathcal { R } _ { r } } \right) \right\} d x - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \partial \Omega } g _ { i } | \tilde { \mu } _ { i } - \tilde { \mu } _ { i , e x } | ^ { 2 } d S } \\ & { } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { \partial \Omega } g _ { i } \tilde { \mu } _ { i , e x } ( \tilde { \mu } _ { i } - \tilde { \mu } _ { i , e x } ) d S } \\ & { = } & { - \Delta + \mathcal { P } _ { E , \partial \Omega } . } \end{array}