harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { a r c c o s } ( x ) } & { = \arcsin \left( { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \right) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } 0 \leq x \leq 1 { \mathrm { ~ , ~ f r o m ~ w h i c h ~ y o u ~ g e t ~ } } } \\ { \operatorname { a r c c o s } } & { \left( { \frac { 1 - x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 2 } } } \right) = \arcsin \left( { \frac { 2 x } { 1 + x ^ { 2 } } } \right) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } 0 \leq x \leq 1 } \\ { \arcsin } & { \left( { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \right) = { \frac { \pi } { 2 } } - \operatorname { s g n } ( x ) \arcsin ( x ) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { a r c c o s } \left( 2 x ^ { 2 } - 1 \right) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } 0 \leq x \leq 1 } \\ { \arcsin ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { a r c c o s } \left( 1 - 2 x ^ { 2 } \right) \, , { \mathrm { ~ i f ~ } } 0 \leq x \leq 1 } \\ { \arcsin ( x ) } & { = \arctan \left( { \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( x ) } & { = \arctan \left( { \frac { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } { x } } \right) } \\ { \arctan ( x ) } & { = \arcsin \left( { \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } \right) } \\ { \operatorname { a r c c o t } ( x ) } & { = \operatorname { a r c c o s } \left( { \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } \right) } \end{array} }
G _ { j } ^ { I ^ { \prime } , I } \equiv F _ { n _ { \mathrm { m a x } } , j } ^ { I ^ { \prime } , I } = \sum _ { n } \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \Delta V _ { n , j } ^ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \langle I ^ { \prime } | n , \kappa ^ { \prime } \rangle \langle n , \kappa | I \rangle = \langle I ^ { \prime } , j | \Delta V ( R , \omega , r ) | I , j \rangle
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { a } | _ { m , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ( 1 + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } ) , } \\ { \rVert d _ { i } \mathfrak { a } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { m , s , \eta _ { 0 } } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\left[ \partial _ { t } \frac { \partial } { \partial \left( \partial _ { t } \phi \right) } + \boldsymbol { \nabla } \cdot \frac { \partial } { \partial \left( \boldsymbol { \nabla } \phi \right) } - \frac { \partial } { \partial \phi } \right] \mathcal { L } _ { c } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \lambda [ v ^ { * } , v ] } & { = ( v ^ { * } ) ^ { \top } J _ { D } A J _ { D } v \ \mathrm { s g n } \big ( [ v ^ { * } , v ] \big ) } \\ & { = ( A J _ { D } v ^ { * } ) ^ { \top } J _ { D } v \ \mathrm { s g n } \big ( [ v ^ { * } , v ] \big ) } \\ & { = \mathrm { s g n } \big ( [ v ^ { * } , v ] \big ) \lambda ^ { * } v ^ { H } J _ { D } v \ \mathrm { s g n } \big ( [ v ^ { * } , v ] \big ) = \lambda ^ { * } [ v ^ { * } , v ] } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f _ { i } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial f _ { i } ^ { \prime } } } \right) = 0 } \end{array}
s = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { t e ^ { i \theta } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i r e ^ { i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \phi _ { 1 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \phi _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { t e ^ { i \theta } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - i r e ^ { i \theta } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - i r e ^ { i \theta } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { t e ^ { i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { e ^ { i \phi _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { e ^ { i \phi _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i r e ^ { i \theta } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { t e ^ { i \theta } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right)
\sin \left( { \frac { \pi } { 2 4 } } \right) = \sin \left( 7 . 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 3 } } } } } } = { \frac { 1 } { 4 } } { \sqrt { 8 - 2 { \sqrt { 6 } } - 2 { \sqrt { 2 } } } }
C _ { X } ( \tau ) = c \left\{ \mathrm { E } [ \hat { Y } _ { \tau } ^ { + } + \varphi ( \hat { Y } _ { \tau } ^ { + } ) ] - \mathrm { E } [ \hat { Y } _ { \tau } ^ { - } + \varphi ( \hat { Y } _ { \tau } ^ { - } ) ] \right\} ,
\begin{array} { r l } { U _ { \epsilon a \pm } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { { } = \mp i { \cal E } _ { 0 } z _ { \epsilon b } \frac { h _ { a b } } { W } \exp [ - i \frac { t } { 2 } ( E _ { \epsilon } + \lambda _ { \pm } ) ] \frac { \sin [ \frac { t } { 2 } ( E _ { \epsilon } - \lambda _ { \pm } ) ] } { ( E _ { \epsilon } - \lambda _ { \pm } ) } , } \\ { U _ { \epsilon a \pm } ^ { ( 2 ) } ( t ) } & { { } = \mp i { \cal E } _ { 0 } ^ { 2 } z _ { \epsilon \neq b } \frac { ( \lambda _ { \pm } - h _ { b b } ) } { 2 W } \exp [ - i \frac { t } { 2 } ( E _ { \epsilon } + \lambda _ { \pm } ) ] \frac { \sin [ \frac { t } { 2 } ( E _ { \epsilon } - \lambda _ { \pm } ) ] } { ( E _ { \epsilon } - \lambda _ { \pm } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { t } } & { = \mathbb { P } \big ( X _ { 0 - } \le \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } ( - B _ { s } + \Lambda _ { s } ) \big ) } \\ & { \le \mathbb { P } \left( X _ { 0 - } \le \Lambda _ { t } \right) + \mathbb { P } \Big ( \{ \Lambda _ { t } < X _ { 0 - } \} \cap \big \{ X _ { 0 - } \le \operatorname* { s u p } _ { 0 \le s \le t } ( - B _ { s } + \Lambda _ { s } ) \big \} \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { \bf d } ( t ) } & { { } = } & { \int { ( \rho ^ { \uparrow } + \rho ^ { \downarrow } ) ( - \nabla \mathcal { V } _ { \mathrm { e x t } } - \nabla \mathcal { V } _ { \mathrm { H } } ) \ \mathrm { d } { \bf x } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 4 } \} } \\ & { = } & { { \mathbb { E } } \left\{ \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { p } \Gamma _ { j \ell } U _ { i , \ell } \right) ^ { 4 } \right\} } \\ & { = } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { p } \Gamma _ { j \ell } ^ { 4 } { \mathbb { E } } ( U _ { i , \ell } ^ { 4 } ) + 6 \sum _ { 1 \leq \ell _ { 1 } \neq \ell _ { 2 } \leq p } \Gamma _ { j \ell _ { 1 } } ^ { 2 } \Gamma _ { j \ell _ { 2 } } ^ { 2 } { \mathbb { E } } ( U _ { i , \ell _ { 1 } } ^ { 2 } ) { \mathbb { E } } ( U _ { i , \ell _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \\ & { \lesssim } & { \omega _ { j j } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \ensuremath { \mathscr { K } } } } & { = \operatorname* { s u p } _ { x _ { a } , x _ { b } \in \ensuremath { \mathscr { X } } } \sqrt { \ensuremath { \mathscr { K } } ( x _ { a } , x _ { b } ) } } \\ & { \leq \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { E / 2 } \operatorname* { m a x } \{ \lambda _ { i } , , \lambda _ { i + E / 2 } \} } < + \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf d } _ { 0 } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } } & { { } = a _ { m - 1 , m - 1 } d _ { 0 , m - 1 } } \\ { { \bf d } _ { 1 } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } } & { { } = a _ { m - 1 , m - 1 } d _ { 1 , m - 1 } } \\ { { \bf d } _ { 2 } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } } & { { } = a _ { m - 1 , m - 1 } d _ { 2 , m - 1 } } \\ { \vdots } \\ { { \bf d } _ { k - 1 } ^ { T } { \bf a } _ { m - 1 } } & { { } = a _ { m - 1 , m - 1 } d _ { k - 1 , m - 1 } } \end{array}
v _ { i } ( p ^ { + } ) = \frac { i N _ { c } g ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int d k ^ { + } d k ^ { - } \frac { \cal P } { ( p ^ { + } - k ^ { + } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { k ^ { -- } \frac { m _ { i } ^ { 2 } } { k ^ { + } } - v _ { i } ( k ^ { + } ) + i \epsilon ~ \mathrm { s g n } ( k ^ { + } ) } .
k ^ { 2 } \sim \frac { \omega ( \omega + i \, \nu _ { \mathrm { c n } } ) } { a _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad k ^ { 2 } \sim \frac { \omega ( \omega + i \, \nu _ { \mathrm { c n } } ) } { c _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } \sec ^ { 2 } \alpha ,
\begin{array} { r l } { \beta _ { i j j } ^ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } } ( \omega ) } & { { } = \beta _ { i j j } ( - 2 \omega , \omega , \omega ) , } \\ { \beta _ { i j j } ^ { \mathrm { ~ O ~ R ~ } } ( \omega ) } & { { } = \beta _ { i j j } ( 0 , \omega , - \omega ) , } \\ { \gamma _ { i j j j } ^ { \mathrm { ~ T ~ H ~ G ~ } } ( \omega ) } & { { } = \gamma _ { i j j j } ( - 3 \omega ; \omega , \omega , \omega ) , } \\ { \gamma _ { i j j j } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ W ~ M ~ } } ( \omega ) } & { { } = \gamma _ { i j j j } ( - \omega ; \omega , \omega , - \omega ) , } \\ { \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { ~ F ~ H ~ G ~ } } ( \omega ) } & { { } = \delta _ { i j j j } ( - 4 \omega ; \omega , \omega , \omega , \omega ) , } \\ { \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { ~ H ~ S ~ H ~ G ~ } } ( \omega ) } & { { } = \delta _ { i j j j } ( - 2 \omega ; \omega , \omega , \omega , - \omega ) , } \\ { \delta _ { i j j j j } ^ { \mathrm { ~ H ~ O ~ R ~ } } ( \omega ) } & { { } = \delta _ { i j j j } ( 0 ; \omega , \omega , - \omega , - \omega ) . } \end{array}
J _ { n } = - \frac 1 4 \left( \omega ^ { 2 } \bar { Z } ^ { 2 } + \bar { \omega } ^ { 2 } Z ^ { 2 } \right) + \partial B \bar { Z } + \bar { \partial } B Z - B ^ { 2 } + \frac n 2 \bar { \partial } \partial B \sigma _ { 3 } ,
\begin{array} { r l } { \Tilde { I } ( x , h , t ) = { } } & { { } - \int _ { v _ { a } } ^ { v _ { b } } \int _ { u _ { a } } ^ { u _ { b } } \frac { t } { \left( ( x - v ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } + ( h - u ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v } \\ { = { } } & { { } F _ { u _ { a } , v _ { a } } ( x , h , t ) - F _ { u _ { b } , v _ { a } } ( x , h , t ) - F _ { u _ { a } , v _ { b } } ( x , h , t ) + F _ { u _ { b } , v _ { b } } ( x , h , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \rho } , \eta } } & { \quad \eta } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad \mathbf { f } ^ { \intercal } \mathbf { u } ^ { j } - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \widetilde { w } _ { i } ^ { j } ( \rho _ { i } - \rho _ { i } ^ { j } ) \leq \eta , \quad \forall j \in \mathcal { P } ( k ) } \\ & { \quad \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \frac { \rho _ { i } } { n _ { \rho } } = V } \\ & { \quad \boldsymbol { \rho } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \rho } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \left( \frac 5 2 , 1 , 1 , \frac 1 2 \middle | \frac 5 2 , 1 , \frac 5 2 \right) \right| } & { = 2 > 0 } \\ { \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \left( \frac 5 2 , 1 , 1 , \frac 1 2 \middle | \frac 1 2 , 3 , \frac 5 2 \right) \right| } & { = \left| \mathcal { M } _ { 0 , 4 } \left( \frac 5 2 , 1 , 1 , \frac 1 2 \middle | \frac 5 2 , 3 , \frac 1 2 \right) \right| = 1 > - 2 \ . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { y : \ } & { \rho \left( { \partial _ { t } u _ { y } } + u _ { x } { \partial _ { x } u _ { y } } + u _ { y } { \partial _ { y } u _ { y } } + u _ { z } { \partial _ { z } u _ { y } } \right) } \\ & { \quad = - { \partial _ { y } p } + \mu \left( { \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { y } } + { \partial _ { y } ^ { 2 } u _ { y } } + { \partial _ { z } ^ { 2 } u _ { y } } \right) + { \frac { 1 } { 3 } } \mu \ \partial _ { y } \left( { \partial _ { x } u _ { x } } + { \partial _ { y } u _ { y } } + { \partial _ { z } u _ { z } } \right) + \rho g _ { y } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \delta \mathcal { E } _ { m } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( P _ { m } ^ { 2 } ( n T + \delta t _ { n , 2 } ) + X _ { m } ^ { 2 } ( n T + \delta t _ { n , 2 } ) \right) } \end{array}
\| \theta \| _ { ( H ^ { 1 } ( \Omega ) ) ^ { \prime } } = ( \Lambda ^ { - 1 } \theta , \Lambda ^ { - 1 } \theta ) ^ { 1 / 2 } = ( \Lambda ^ { - 2 } \theta , \theta ) ^ { 1 / 2 } = ( f , \theta ) ^ { 1 / 2 } .
E _ { n } ^ { ( 3 ) } = \sum _ { k \neq n } \sum _ { m \neq n } { \frac { \langle n ^ { ( 0 ) } | V | m ^ { ( 0 ) } \rangle \langle m ^ { ( 0 ) } | V | k ^ { ( 0 ) } \rangle \langle k ^ { ( 0 ) } | V | n ^ { ( 0 ) } \rangle } { \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { m } ^ { ( 0 ) } \right) \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { k } ^ { ( 0 ) } \right) } } - \langle n ^ { ( 0 ) } | V | n ^ { ( 0 ) } \rangle \sum _ { m \neq n } { \frac { | \langle n ^ { ( 0 ) } | V | m ^ { ( 0 ) } \rangle | ^ { 2 } } { \left( E _ { n } ^ { ( 0 ) } - E _ { m } ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } } .
\int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \: \varphi _ { n } ( x ) \varphi _ { k } ( x ) \; = \; \delta _ { n k } \; , \qquad \; \sum _ { n } \, \varphi _ { n } ( x ) \varphi _ { n } ( y ) \; = \; \delta ( x - y ) \; .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \underset { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } { \operatorname* { m a x } } \gamma _ { \kappa } ^ { 2 } ( b ) } { 2 \textsc { K L } ( \kappa , 0 ) } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \kappa ^ { 2 } \lambda _ { m } } { \cfrac { 2 \kappa ^ { 2 } } { \nu _ { d } ( m ) } \left( 1 - \cfrac { 1 } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \right) + O ( \kappa ^ { 3 } ) } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \cfrac { \lambda _ { m } } { \cfrac { 2 } { \nu _ { d } ( m ) } \left( 1 - \cfrac { 1 } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \right) + O ( \kappa ) } = \frac { \lambda _ { m } } { \cfrac { 2 } { \nu _ { d } ( m ) } \left( 1 - \cfrac { 1 } { 2 } \right) } = \lambda _ { m } \nu _ { d } ( m ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) } \left[ | | s _ { \theta } ( \tilde { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } , t _ { i } ) - \frac { 1 } { \Delta t \, g ^ { 2 } ( t _ { i } ) } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } - \tilde { \mathbf { x } } _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { n o i s e } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { d } t } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \psi \left[ - U \frac { \partial \psi } { \partial z } + \frac { \lambda } { 2 } \psi \right] _ { z = 0 } \! \! \! \! \! \! \! R \cos \theta \, \textrm { d } \theta \, \, + U \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } | \nabla \psi | ^ { 2 } \cos \theta + \frac { \partial \psi } { \partial x } \frac { \partial \psi } { \partial r } \right] R \, \textrm { d } \theta \, \textrm { d } z ,
\begin{array} { r l } { | \phi \rangle = } & { { } \prod _ { { \bf k } } \left[ u _ { { \bf k } } + v _ { { \bf k } } \hat { c } _ { { \bf k } \mathrm { \uparrow } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { \bf - k } \mathrm { \downarrow } } ^ { \dagger } \right] | 0 \rangle , } \end{array}
\Delta _ { n , P } ^ { w } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \, g _ { \operatorname* { m a x } , P } ^ { w } \, \varepsilon _ { n } ^ { F , P } + 3 \, \varepsilon _ { G , P } ^ { w } , \quad } & { F _ { 0 } = \mathrm { u n i f } ( 0 , 1 ) } \\ { 2 \, g _ { \operatorname* { m a x } , P } ^ { w } / | \Phi ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { n } ^ { F , P } ) | + 4 L \, \varepsilon _ { n } ^ { F , P } + 3 \, \varepsilon _ { G , P } ^ { w } + 1 / B _ { n } , \quad } & { F _ { 0 } = \mathcal { N } ( 0 , 1 ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { B _ { 5 2 } ( t ) = } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } \Big [ ( \widehat { \eta } _ { k , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { k } ^ { * } ( t ) ) \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } \xi _ { i j } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } { \partial \eta _ { k } ( t ) \partial \eta ( t ) ^ { \top } } \times \{ \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \} \Big ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } \xi _ { i j } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } { \partial \eta _ { i } ^ { 2 } ( t ) } [ \widehat { \eta } _ { i , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { i } ^ { * } ( t ) ] ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 , i \neq j } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } \xi _ { i j } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } { \partial \eta _ { n + j } ^ { 2 } ( t ) } [ \widehat { \eta } _ { n + j , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { n + j } ^ { * } ( t ) ] ^ { 2 } } \\ & { + \sqrt { \frac { h _ { 2 } } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } \frac { \partial ^ { 2 } \xi _ { i j } ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } { \partial \eta _ { i } ( t ) \partial \eta _ { n + j } ( t ) } [ \widehat { \eta } _ { i , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { i } ^ { * } ( t ) ] [ \widehat { \eta } _ { n + j , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { n + j } ^ { * } ( t ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { 3 } \mathcal { E } _ { 0 } + \partial _ { 2 } \mathcal { E } _ { 1 } = } & { - i \frac { 3 \delta } { 2 } \omega _ { 1 } ^ { 3 } \partial _ { 0 } ^ { 2 } \mathcal { E } _ { 0 } + \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \omega _ { 1 } ^ { 3 } \partial _ { 0 } ^ { 3 } \mathcal { E } _ { 0 } } \\ & { + [ \mathcal { N } \mathcal { D } - \omega _ { 1 } L _ { 2 } ] \mathcal { E } _ { 0 } + \left[ - i \delta \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { 0 } ^ { 2 } - L _ { 2 } \right] \mathcal { E } _ { 1 } + \Gamma _ { 3 } + \omega _ { 1 } \Gamma _ { 2 } , } \end{array}
\; _ { 1 } \psi _ { 1 } \left[ { \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} } ; q , z \right] = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { ( a ; q ) _ { n } } { ( b ; q ) _ { n } } } z ^ { n } = { \frac { ( b / a , q , q / a z , a z ; q ) _ { \infty } } { ( b , b / a z , q / a , z ; q ) _ { \infty } } }
\begin{array} { r l } { \rho ( T , x ) = } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( \frac { 1 } { 2 } \| x - x _ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { \| x - y \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( \frac { 1 } { 2 } \| z - x _ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { \| z - y \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } d z } \rho _ { 0 } ( y ) d y } \\ { = } & { \frac { 1 } { { ( 4 \pi \beta \frac { T } { T + 1 } } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - \frac { 1 } { 4 \beta \frac { T } { T + 1 } } ( x - \frac { \frac { y } { T } + x _ { 0 } } { \frac { 1 } { T } + 1 } ) ^ { 2 } } \rho _ { 0 } ( y ) d y . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \phi _ { \mu , \nu } ( E ) P = } & { { } - { \frac { \partial P } { \partial z _ { 1 } } } \left( E _ { 1 1 } z _ { 1 } + E _ { 1 2 } z _ { 2 } \right) - { \frac { \partial P } { \partial z _ { 2 } } } \left( E _ { 2 1 } z _ { 1 } + E _ { 2 2 } z _ { 2 } \right) } \end{array} } , \quad E \in { \mathfrak { s l } } ( 2 , \mathbf { C } ) .
\| \psi - \psi _ { * } \| _ { 2 } : = \operatorname* { s u p } _ { T \in \mathbb { R } } \Big | \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \| \psi ( t ) - \psi _ { * } \| _ { L ^ { 1 } ( M ) } \mathrm { d } t + \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \| \nabla ^ { \perp } \psi ( t ) - \nabla ^ { \perp } \psi _ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( M ) } \mathrm { d } t \Big | .
{ \begin{array} { r l } { L _ { \alpha } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { \pi } } \Re \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { i t x } e ^ { - q | t | ^ { \alpha } } \, d t \right] } \\ & { = { \frac { 2 } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \operatorname { R e } ( q ) \, t ^ { \alpha } } \sin ( t x ) \sin ( - \operatorname { I m } ( q ) \, t ^ { \alpha } ) \, d t , { \mathrm { ~ o r ~ } } } \\ & { = { \frac { 2 } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - { \mathrm { R e } } ( q ) \, t ^ { \alpha } } \cos ( t x ) \cos ( \operatorname { I m } ( q ) \, t ^ { \alpha } ) \, d t . } \end{array} }
R _ { + } = \left( \begin{array} { c c c c } { { q } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { ( q - q ^ { - 1 } ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { q } } \end{array} \right) ,
{ \begin{array} { r l } { ( \operatorname { c u r l } \mathbf { A } ) _ { \phi } } & { = \operatorname* { l i m } _ { S ^ { \perp { \boldsymbol { \hat { \phi } } } } \to 0 } { \frac { \int _ { \partial S } \mathbf { A } \cdot d \mathbf { \ell } } { \iint _ { S } d S } } } \\ & { = { \frac { A _ { z } ( \rho ) \, d z - A _ { z } ( \rho + d \rho ) \, d z + A _ { \rho } ( z + d z ) \, d \rho - A _ { \rho } ( z ) \, d \rho } { d \rho \, d z } } } \\ & { = - { \frac { \partial A _ { z } } { \partial \rho } } + { \frac { \partial A _ { \rho } } { \partial z } } } \end{array} }
\begin{array} { l l } { s t a y i n g : } & { \begin{array} { l } { \alpha = \{ \alpha _ { C G } , \alpha _ { D G } , \alpha _ { C B } , \alpha _ { D B } \} = ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) } \\ { \beta = \{ \beta _ { G } , \beta _ { B } \} = ( 1 , 0 ) } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ^ { \sigma } } & { = \frac { \sigma _ { \alpha \beta } } { 2 p } \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) , } \\ { \mathcal { G } ^ { q } } & { = \frac { q _ { \alpha } C _ { \alpha } } { p v _ { T } } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 5 } - 1 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \mathrm { K } _ { G _ { 4 , i } ^ { \overline { { I } } ^ { i } , \beta } } ^ { \mathrm { f r e e } } \left[ \partial _ { x } ^ { \beta } p ^ { \prime } ( \varrho ) \right] \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } } & { \leq \underset { 0 \leq s , t \leq T } { \operatorname* { s u p } } \Vert G _ { 4 , i } ^ { \overline { { I } } ^ { i } , \beta } ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { \ell + 1 } } \left\Vert p ^ { \prime } ( \varrho ) \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \tau _ { n } , \Phi _ { n } } \quad \left\| G ( f , \theta ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { s . t . \quad \theta = \left\{ \begin{array} { l l } { - \theta _ { 0 } } & { f \in [ \frac { - B } { 2 } , 0 ) } \\ { \theta _ { 0 } } & { f \in [ 0 , \frac { B } { 2 } ] } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; t , y + d ) - \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; t , y ) \right| \geq K d ^ { 1 / 2 } \right) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { \tau T } ( 0 , 0 ; 1 , \tau ^ { - 2 / 3 } d ) - \mathfrak { H } ^ { \tau T } ( 0 , 0 ; 1 , 0 ) \right| \geq \tau ^ { - 1 / 3 } K d ^ { 1 / 2 } - 2 \tau ^ { - 4 / 3 } | z | d \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ( D I C ) } { d t } } & { = - C _ { P } \frac { d P } { d t } - C _ { Z } \frac { d Z } { d t } - C _ { D } \frac { d D } { d t } - \gamma _ { c } C _ { P } U _ { P } \; , } \\ { \frac { d ( T A ) } { d t } } & { = - \frac { 1 } { \rho _ { w } } \frac { d N } { d t } - \frac { 2 \gamma _ { c } C _ { P } U _ { P } } { \rho _ { w } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { f _ { 2 } } \circ \widetilde { f _ { 2 } } ( \widetilde { x } ) } & { = } & { H _ { f _ { 1 } } ( \widetilde { f _ { 2 } } ( \widetilde { x } ) ) + w = H _ { f _ { 1 } } ( \widetilde { f _ { 1 } } ( \widetilde { x } ) - v ) + w } \\ & { = } & { H _ { f _ { 1 } } \circ \widetilde { f _ { 1 } } ( \widetilde { x } ) - v + w = A \circ H _ { f _ { 1 } } ( \widetilde { x } ) - v + w } \\ & { = } & { A ( H _ { f _ { 1 } } ( \widetilde { x } ) + w ) - A w + w - v = A \circ H _ { f _ { 2 } } ( \widetilde { x } ) - ( A - \textit { I d } ) ^ { - 1 } ( w ) - v } \\ & { = } & { A \circ H _ { f _ { 2 } } ( \widetilde { x } ) } \end{array}
\vec { U } = \left[ E _ { x } ^ { \mathrm { e x t } } ( y _ { 0 } , - h ) , E _ { x } ^ { \mathrm { e x t } } ( y _ { 1 } , - h ) , \cdots , E _ { x } ^ { \mathrm { e x t } } ( y _ { N - 1 } , - h ) \right] ^ { \mathrm { T } }