harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { ( - [ X _ { f } , R ] \lrcorner \Omega ) ( X ) } & { = \Omega ( [ R , X _ { f } ] , X ) } \\ & { = X \Omega ( R , X _ { f } ) - R \Omega ( X , X _ { f } ) + X _ { f } \Omega ( X , R ) - \Omega ( [ X , R ] , X _ { f } ) + \Omega ( [ X , X _ { f } ] , R ) } \\ & { = R \Omega ( X _ { f } , X ) + \Omega ( X _ { f } , [ X , R ] ) } \\ & { = R ( d f ( X ) - ( R f ) \eta ( X ) ) + d f ( [ X , R ] ) - ( R f ) \eta ( [ X , R ] ) } \\ & { = R ( d f ( X ) ) - ( R R f ) \eta ( X ) - ( R f ) R ( \eta ( X ) ) + X ( d f ( R ) ) - R ( d f ( X ) ) } \\ & { - ( R f ) ( X ( \eta ( R ) ) - R ( \eta ( X ) ) ) } \\ & { = - R R f \eta ( X ) + X ( R ( f ) ) } \\ & { = d ( R f ) ( X ) - ( R R f ) \eta ( X ) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { ( H ^ { n } ) _ { W } = H ^ { n } + \frac { 1 } { 2 4 } ( 2 n - 1 ) n ( n - 1 ) H ^ { n - 2 } } } \\ { { + \frac { 1 } { 5 7 6 0 } ( 2 0 n ^ { 2 } - 4 8 n + 7 ) \prod _ { k = 0 } ^ { 3 } ( n - k ) H ^ { n - 4 } } } \\ { { + \frac { 1 } { 2 9 0 3 0 4 0 } ( 2 8 0 n ^ { 3 } - 1 5 9 6 n ^ { 2 } + 1 8 7 4 n - 9 3 ) \prod _ { k = 0 } ^ { 5 } ( n - k ) H ^ { n - 6 } + . . . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \overline { { U _ { z } ^ { + } } } } { d r ^ { + } } - ( \overline { { u _ { r } u _ { z } } } ) ^ { + } = \frac { d \overline { { P ^ { + } } } } { d z ^ { + } } . r ^ { + } + C . } \end{array}
p ^ { \prime } ( t ) = p ( t ) { \Biggl [ } r _ { 1 } ( t ) - a _ { 1 1 } ( t ) p { \biggl ( } t - \tau _ { 1 1 } ( t ) { \biggr ) } - a _ { 1 2 } ( t ) P _ { 1 } { \biggl ( } t - \tau _ { 1 2 } ( t ) { \biggr ) } - a _ { 1 3 } ( t ) P _ { 2 } { \biggl ( } t - \tau _ { 1 3 } ( t ) { \biggr ) } { \Biggr ] }
\lambda \Delta _ { o _ { 1 } o _ { 2 } } ^ { f } = \sum _ { f ^ { \prime } o _ { 3 } o _ { 4 } } \mathcal V _ { f f ^ { \prime } } ^ { \{ o _ { i } \} } ( 0 ) \, \Delta _ { o _ { 3 } o _ { 4 } } ^ { f ^ { \prime } }
\sum _ { i = 1 } ^ { r } \Theta ( x - l H \alpha _ { i } ) - \sum _ { 1 \le i < j \le r } \Theta ( x - l H ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) ) + \cdots + ( - 1 ) ^ { r - 1 } \Theta ( x - l H \sum _ { i = 1 } ^ { r } \alpha _ { i } ) .
\left\langle \Omega _ { 2 } \right\rangle _ { \mathrm { s s } } = \frac { \Gamma } { 2 } \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z ( \partial _ { z } \phi _ { 0 } ) f ^ { ( 3 ) } ( \phi _ { 0 } ) \left\langle \rho _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle _ { \mathrm { s s } } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z ( \partial _ { z } \phi _ { 0 } ) ^ { 2 } } .
f _ { m } ^ { \prime \prime } \left[ \hat { \tau } \right] + \frac { \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { \tau _ { s } ^ { 2 } } \left( j _ { 1 , m } ^ { 2 } - \frac { \tau _ { s } ^ { 2 } } { \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \hat { \omega } ^ { 2 } \left[ \hat { \tau } \right] \right) f _ { m } \left[ \hat { \tau } \right] = - \frac { \tau _ { 1 } } { \tau _ { 2 } } p _ { m } \hat { \omega } ^ { \prime } \left[ \hat { \tau } \right] .
{ { \bf { U } } _ { g } } = \frac { { \kappa \nabla { T _ { e } } } } { { 2 4 } } \int _ { { E _ { g - 1 } } / { k _ { B } } { T _ { e } } } ^ { { E _ { g } } / { k _ { B } } { T _ { e } } } { { \beta ^ { 4 } } { e ^ { - \beta } } d \beta } ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { p q s t } { ^ { 2 } B _ { 2 , j } ^ { p q ; s t } { \hat { a } } _ { p } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { q } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { t } ^ { } { \hat { a } } _ { s } ^ { } } } & { { } = } & { \sum _ { p q s t } { ^ { 2 } B _ { Q , j } ^ { s t ; p q } { \hat { a } } _ { s } ^ { } { \hat { a } } _ { t } ^ { } { \hat { a } } _ { q } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { p } ^ { \dagger } } } \\ { \sum _ { p q s t } { ^ { 2 } B _ { 3 , j } ^ { p q ; s t } { \hat { a } } _ { p } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { q } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { t } ^ { } { \hat { a } } _ { s } ^ { } } } & { { } = } & { \sum _ { p q s t } { ^ { 2 } B _ { G , j } ^ { p t ; s q } { \hat { a } } _ { p } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { t } ^ { } { \hat { a } } _ { q } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { s } } } \end{array}
\Phi _ { n + 1 } \left( z \right) : = { \bf E } \left( z ^ { X _ { n + 1 } } \right) = \phi _ { \beta } \left( z \right) \sum _ { x \geq 0 } { \bf P } \left( X _ { n } = x \right) \left( \overline { { \alpha } } ^ { x } z ^ { x } + \alpha \frac { 1 - \left( \overline { { \alpha } } z \right) ^ { x } } { 1 - \overline { { \alpha } } z } \right)
\beta _ { \pm } = \pm \alpha _ { \pm } \beta _ { n , m } = { \frac { p + q \pm ( n p - m q ) } { \sqrt { 2 p q } } } \rightarrow { \frac { ( 1 - n ) p + ( 1 + m ) q } { \sqrt { 2 p q } } } \beta _ { m i n } = { \frac { p + q \pm 1 } { \sqrt { 2 p q } } }
B R ( B _ { s } ^ { 0 } \to \bar { D ^ { * 0 } } \phi ) = 2 . 0 9 \times 1 0 ^ { - 5 } \; , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ B R ( \bar { B _ { s } ^ { 0 } } \to \bar { D ^ { * 0 } } \phi ) = 3 . 6 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \; .
T _ { \mathrm { W } } [ n ] = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 8 m } } \int { \frac { | \nabla n ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } } { n ( \mathbf { r } ) } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } .
\lambda _ { n l } = \frac { 2 \omega } { \pi ^ { 1 / 2 } } \frac { \langle \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } ) | \exp \bigl ( - \omega \, r ^ { 2 } \bigr ) | \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } ) \rangle } { \bigl \langle \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } ) \big | \exp \bigl ( - \frac { 1 } { 2 } \omega r ^ { 2 } \bigr ) T \exp \bigl ( \frac { 1 } { 2 } \omega r ^ { 2 } \bigr ) \big | \psi _ { n l m } ( \omega ; \vec { r } ) \bigr \rangle } = \frac { 2 \omega } { \pi ^ { 1 / 2 } } \frac { u _ { n l } } { t _ { n l } - v _ { n l } } \, ,
\begin{array} { r l r } { \langle w _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { \beta } - \langle w _ { i } \rangle _ { \beta } ^ { 2 } } & { { } = \int d ^ { 3 } w \left| \mu _ { \beta } ( \vec { w } ) \right| \, w _ { i } ^ { 2 } = \int d ^ { 3 } w \int \frac { d ^ { 3 } \xi } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi _ { i } ^ { 2 } } e ^ { - i \vec { \xi } \cdot \vec { w } } \right] F _ { \beta } ( \vec { \xi } ) } & { = - \left. \frac { \partial ^ { 2 } F _ { \beta } ( \vec { \xi } ) } { \partial \xi _ { i } ^ { 2 } } \right| _ { \vec { \xi } = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { Z _ { 3 } } ( Z ) } & { { } = \frac { \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sqrt { ( \log Z - C ) } - B } { A } \right) ^ { 2 } \right] } { 2 \sqrt { 2 \pi } A Z \sqrt { ( \log Z - C ) } } \qquad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } R > 0 , } \\ { p _ { Z _ { 4 } } ( Z ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } F Z } \exp \left[ - \frac { \left( \log Z - G \right) ^ { 2 } } { 2 F ^ { 2 } } \right] \qquad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } R \leq 0 . } \end{array}
9 : { \bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 1 4 } } { \bigg ) } S = 1 \; \; \; ; \; \; \; 1 0 : { \bigg ( } { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 2 8 } } { \bigg ) } S = { \frac { 1 } { 2 } } \; \; \; ; \; \; \; 1 1 : { \frac { 1 } { 7 } } S = { \frac { 1 } { 4 } }
x ( t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ \operatorname* { l i m } _ { r \to 0 ^ { + } } \left( { \frac { t ^ { { \frac { 2 } { 3 } } n } } { n ! } } { \frac { \mathrm { d } ^ { \, n - 1 } } { \mathrm { d } r ^ { \, n - 1 } } } \! \left( r ^ { n } \left( { \frac { 3 } { 2 } } { \Big ( } \sin ^ { - 1 } ( { \sqrt { r } } ) - { \sqrt { r - r ^ { 2 } } } { \Big ) } \right) ^ { \! - { \frac { 2 } { 3 } } n } \right) \right) \right]
f _ { 0 } \, ( s ) \, = \, \frac { 1 } { d _ { 0 } \, \Lambda _ { 0 } \, + \, d _ { 1 } \, \sqrt { s } \, + \, d _ { 2 } \, \frac { s } { \Lambda _ { 0 } } \, + \, . . . } \, \, ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { 1 } \left[ W \right] } & { \geq \sum _ { \{ a , b , c \} \subset V _ { C } } \frac { P _ { 1 } ( a \leftrightarrow b , b \leftrightarrow c , c \leftrightarrow a ) } { w _ { a } w _ { b } w _ { c } } } \\ & { \geq \left( \frac { w _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu k } \right) ^ { 2 } \sum _ { \{ a , b , c \} \subset V _ { C } } \frac { 1 } { w _ { a } w _ { b } w _ { c } } } \\ & { = \left( \frac { w _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu k } \right) ^ { 2 } \Theta ( k ^ { 3 } ) } \\ & { = \Theta ( k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M ( { \bf k } ) = m _ { 0 } - \frac { 2 B _ { 1 } } { a _ { z } ^ { 2 } } [ 1 - \cos ( k _ { z } a _ { z } ) ] - \frac { 2 B _ { 2 } } { a _ { x } ^ { 2 } } [ 1 - \cos ( k _ { x } a _ { x } ) ] - \frac { 2 B _ { 2 } } { a _ { y } ^ { 2 } } [ 1 - \cos ( k _ { y } a _ { y } ) ] , } \\ & { \tilde { k } _ { \pm } = \frac { 1 } { a _ { x } } \sin ( k _ { x } a _ { x } ) \pm \frac { i } { a _ { y } } \sin ( k _ { y } a _ { y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ( \widehat { L } ) } & { = \frac { 2 \lambda } { D ( \widehat { L } ) } \; e ^ { \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } d \widehat { L ^ { \prime } } } \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } d \widehat { L ^ { \prime } } \; e ^ { - \int ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) } { D ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) } d \widehat { L ^ { \prime \prime } } } \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L ^ { \prime } } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime \prime } } \right) \ . } \end{array}
\frac { \partial k _ { s } ( \xi , T ) } { \partial \xi } = \bigg ( 2 \pi - \frac { \pi \xi } { E ( \xi ) } \frac { \partial E ( \xi ) } { \partial \xi } \bigg ) \bigg [ \frac { 0 . 3 7 6 E ( \xi , T ) } { \varrho ( T ) } \bigg ] ^ { - 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { M _ { 3 } ( 1 ) } & { = Q _ { M _ { 2 } } + W _ { M _ { 2 } } , } \\ { Q _ { M _ { 2 } } } & { = O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , \le \mathtt { N } _ { \alpha } } ) , \quad \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , \le \mathtt { N } _ { \alpha } } : = \sum _ { n = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } \frac { 1 } { n ! } \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n } , } \\ { \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , 0 } } & { : = \mathfrak { p } _ { M _ { 2 } } , \quad \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n } : = \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , n - 1 } \star \mathfrak { a } , \mathrm { ~ f o r ~ n = 1 , \ldots , ~ \mathtt { N } _ \alpha ~ } , } \\ { W _ { M _ { 2 } } } & { = \frac { 1 } { \mathtt { N } _ { \alpha } ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Psi _ { 3 } ( 1 - t ) ^ { T } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , \mathtt { N } _ { \alpha } } \star \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( 1 - t ) t ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ^ { n + 1 } } & { { } = A ^ { n } - \Delta t \, \tilde { b } _ { 1 } \, \partial _ { x } ( A u ^ { ( 1 ) } ) - \Delta t \, \boldsymbol { \hat { \tilde { b } } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \\ { ( A u ) ^ { n + 1 } } & { { } = ( A u ) ^ { n } - \Delta t \, \tilde { b } _ { 1 } \, \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \boldsymbol { \hat { \tilde { b } } } ^ { T } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } ^ { 2 } } ) } \\ { p ^ { n + 1 } } & { { } = p ^ { n } - \Delta t \, b _ { 1 } E _ { 0 } G ( A ^ { ( 1 ) } ) \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } - \Delta t \, \boldsymbol { \hat { b } } ^ { T } E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } \end{array}
D _ { \mu } ^ { A C } J ^ { \mu \, C } = \partial _ { \mu } J ^ { \mu \, A } - { \frac { i g } { 2 } } d ^ { A B C } [ A _ { \mu } ^ { B } , J ^ { \mu \, C } ] _ { \mathrm { M } } + { \frac { g } { 2 } } \, f ^ { A B C } \{ A _ { \mu } ^ { B } , J ^ { \mu \, C } \} _ { \mathrm { M } } = 0
\begin{array} { r l } { \ell } & { = \log \Big ( \prod _ { i = 1 } ^ { N } f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } , c _ { i } | x _ { i } ) \Big ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Bigg \{ 1 _ { ( c _ { i } = 0 ) } \Big [ \log ( \Delta _ { i } ) + \log ( f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } | x _ { i } , c _ { i } = 0 ) ) \Big ] + 1 _ { ( c _ { i } = 1 ) } \Big [ \log ( 1 - \Delta _ { i } ) + \log ( f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } , r _ { i } | x _ { i } , c _ { i } = 1 ) ) \Big ] \Bigg \} , } \end{array}
\frac { 1 } { K } \sum _ { j } ^ { K } \{ c _ { j } \underline { { f } } \otimes \underline { { m } } _ { j } \} = \underline { { f } } \otimes \frac { 1 } { K } \sum _ { i } ^ { N } c _ { j } \underline { { m } } _ { j }
\begin{array} { r l r } { W _ { \Phi } ( G , G ^ { \prime } ) } & { \lesssim } & { \delta + \operatorname* { m a x } \biggr \{ \frac { ( d \bar { \theta } ) ^ { 5 / 4 } } { M ^ { 1 / 4 } } + C \delta ^ { 5 / 4 } / M ^ { 1 / 4 } , \frac { M } { ( \log ( c / ( h ( p _ { G } , p _ { G _ { 0 } } ) \exp ( \alpha ^ { 2 } d \delta ^ { - 4 } ) M ^ { d / 2 } ) ) ) ^ { 1 / \beta } } \biggr \} } \\ & { \leq } & { \delta + \frac { ( d \bar { \theta } ) ^ { 5 / 4 } } { M ^ { 1 / 4 } } + C \delta ^ { 5 / 4 } / M ^ { 1 / 4 } + \frac { M } { ( \log ( c / ( h ( p _ { G } , p _ { G _ { 0 } } ) \exp ( \alpha ^ { 2 } d \delta ^ { - 4 } ) M ^ { d / 2 } ) ) ) ^ { 1 / \beta } } . } \end{array}
e ^ { { i T _ { a } \theta _ { R } ^ { a } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) } } e ^ { { i T _ { a } \theta _ { L } ^ { a } \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) } } e ^ { i \gamma _ { 5 } \varphi ( x ) } = e ^ { i \gamma _ { 5 } \varphi ^ { \prime } ( x ) } e ^ { i T _ { a } \theta _ { V } ^ { a } ( \varphi ( x ) ) } ,
\mathbf { A } _ { \nu } ( \mathbf { r } ) = \left[ { \frac { { \mu _ { 0 } } } { { 4 \pi } } } \right] \int \frac { { \boldsymbol \mu _ { \nu } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \times ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 3 } } \, d ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { = G - k _ { 1 } n - k _ { 2 } ( n p - n _ { i } ^ { 2 } ) - C _ { n T } + E _ { n T } } \\ { \frac { \partial p } { \partial t } } & { = G - k _ { 1 } n - k _ { 2 } ( n p - n _ { i } ^ { 2 } ) } \\ { \frac { \partial n _ { T } } { \partial t } } & { = C _ { n T } - E _ { n T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \hat { \rho } _ { 1 } \hat { v } _ { 0 } + \hat { \rho } _ { 0 } \hat { v } _ { 1 } , } \\ { 0 } & { { } = - \frac { d \hat { p } _ { 1 } } { d \eta } + b ^ { 2 } \nu \frac { d ^ { 2 } \hat { v } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } , } \\ { 0 } & { { } = \frac { d ^ { 2 } \hat { \theta } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } + q \hat { \Lambda } _ { 0 } \hat { \rho } _ { 0 } \hat { c } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } } , } \\ { 0 } & { { } = \frac { 1 } { L e } \frac { d ^ { 2 } \hat { c } _ { 1 } } { d \eta ^ { 2 } } - \hat { \Lambda } _ { 0 } \hat { \rho } _ { 0 } \hat { c } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { \hat { \theta } _ { 1 } } , } \\ { \hat { p } _ { 1 } } & { { } = \hat { \rho } _ { 1 } \hat { \theta } _ { 0 } + \hat { \rho } _ { 0 } \hat { \theta } _ { 1 } . } \end{array}
A ( \alpha , \beta ) _ { \scriptsize C P } = \frac { P ( \overline { { { \nu } } } _ { \alpha } \rightarrow \overline { { { \nu } } } _ { \beta } ) - P ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) } { P ( \overline { { { \nu } } } _ { \alpha } \rightarrow \overline { { { \nu } } } _ { \beta } ) + P ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ) } .
\begin{array} { r } { \beta \mu ^ { \mathrm { { e x } } } = \underbrace { - \ln p _ { 0 } [ \phi ] } _ { \mathrm { P a c k i n g } } + \underbrace { \beta \mu _ { \mathrm { { L R } } } ^ { \mathrm { e x } } [ P ( \varepsilon \; | \; \phi ) ] } _ { \mathrm { L o n g - r a n g e } } + \underbrace { \ln x _ { 0 } [ \phi ] } _ { \mathrm { C h e m i s t r y } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } ( - \infty ) } & { = N _ { p r e } \, , } \\ { n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } ( \infty ) } & { = N _ { p o s t } \, , } \\ { { \frac { d n _ { n u c } ^ { ( 0 ) } } { d \tau } } ( \pm \infty ) } & { = { \frac { d n _ { p r e } ^ { ( 0 ) } } { d t } } ( t _ { 0 } ) = { \frac { d n _ { p o s t } ^ { ( 0 ) } } { d t } } ( t _ { 0 } ) = 0 } \end{array}
{ \mathrm { T r } } \left\{ \left( I - \Pi _ { 1 } \cdots \Pi _ { N } \cdots \Pi _ { 1 } \right) \rho \right\} \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \mathrm { T r } } \left\{ \left( I - \Pi _ { i } \right) \rho \right\} ,
\begin{array} { r l r } { R ^ { ( 0 ) } \! } & { = } & { \! \frac { \alpha \, m ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { \prime } } \sum _ { n \geq n _ { 0 } } ^ { \infty } \int _ { 1 } ^ { u _ { n } } \! \! \! \frac { d u } { u \sqrt { u ( u - 1 ) } } \big [ 2 J _ { n } ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } \\ & { \times } & { \! \big ( J _ { n + 1 } ^ { 2 } + J _ { n - 1 } ^ { 2 } - 2 J _ { n } ^ { 2 } \big ) ( 2 u - 1 ) + \mathcal { O } ( \tilde { \xi } ^ { \, 2 } ) \big ] , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \tilde { T } _ { 1 } } & { } & { } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { d } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right) = \lambda _ { d } \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { d } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { d } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \psi = \psi _ { 0 } , \quad \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad \cos ^ { 2 } \psi _ { 0 } = \frac { I _ { ( 1 - 3 ) } } { I _ { ( 1 - 2 ) } } = \frac { I _ { 2 } ( I _ { 3 } - I _ { 1 } ) } { I _ { 3 } ( I _ { 2 } - I _ { 1 } ) } = \frac { g _ { 1 } ^ { 2 } - g _ { 3 } ^ { 2 } } { g _ { 1 } ^ { 2 } - g _ { 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
A _ { \beta { \pmb \beta } _ { n } } \mathcal { F } _ { \alpha \beta { \pmb \beta } _ { n } } u _ { \alpha } ( { \pmb \xi } ) = - \frac { [ { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb u } ] + [ { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb w } ] } { 8 \pi \mu } = - \frac { [ { \pmb w } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } ) , { \pmb v } ] } { 8 \pi \mu }
\begin{array} { r } { \underset { j \rightarrow \infty } { \underline { { \operatorname* { l i m } } } } j ^ { - 1 } d _ { \textup { W } } ( U ^ { A } [ j ] X _ { 1 } , U ^ { A } [ j ] X _ { 2 } ) \geq \underset { j \rightarrow \infty } { \underline { { \operatorname* { l i m } } } } \left| \frac { \ln \sigma _ { 1 , j } } { j } - \frac { \ln \sigma _ { 2 , j } } { j } \right| = \frac { 1 } { 2 } ( \ln 2 ) \left| \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( + 2 \xi , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \ ( - 2 \xi , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + 2 \xi , + \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \ ( - 2 \xi , + \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + 2 \xi , - \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \ ( - 2 \xi , - \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + \xi , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 ) , \ ( - \xi , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 ) , } \\ & { } & { ( + \xi , 0 , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 ) , \ ( - \xi , 0 , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 ) , } \\ & { } & { ( 0 , 0 , 0 , + \xi , + \xi , + \xi ) , \ ( 0 , 0 , 0 , - \xi , + \xi , + \xi ) , } \\ & { } & { ( 0 , 0 , 0 , + 2 \xi , 0 , 0 ) , \ ( 0 , 0 , 0 , + \xi , + 2 \xi , 0 ) , } \\ & { } & { ( 0 , + \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) , \ ( 0 , - \xi , 0 , 0 , 0 , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } _ { \mathrm { r e f l } } } & { { } = \Bigg ( - \mathcal { U } _ { n } + \frac { \mathrm { i } m } { 2 } \bigg ( \mathcal { U } _ { n } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + \mathcal { U } _ { n } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \bigg ) - \frac { \mathrm { i } \alpha } { \Theta } \bigg ( \mathcal { U } _ { n + 1 } \sqrt { n + 1 } + } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { } \left( { \varphi _ { n } ( X ) > \frac { n } { m } t } \right) } & { = \mathbb { P } _ { } \left( { \frac { X ^ { 2 } } { 2 } - X > \frac { n } { m } t + c , X > 0 } \right) + \mathbb { P } _ { } \left( { X \leq - \sqrt { \frac { 2 n } { m } t + 2 c + 1 } } \right) } \\ & { = \mathbb { P } _ { } \left( { X > 1 + \sqrt { \frac { 2 n } { m } t + 2 c + 1 } } \right) + \mathbb { P } _ { } \left( { X \leq - \sqrt { \frac { 2 n } { m } t + 2 c + 1 } } \right) . } \end{array}
\mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ( \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ) } } } } } } } } } }
i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } \Psi ( \mathbf { r } , t ) = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } \nabla ^ { 2 } \Psi ( \mathbf { r } , t ) + V ( \mathbf { r } , t ) \Psi ( \mathbf { r } , t )
\begin{array} { r l } { R _ { i j k } ^ { l } } & { = \frac { \partial \Gamma _ { i k } ^ { l } } { \partial x ^ { j } } - \frac { \partial \Gamma _ { j i } ^ { l } } { \partial x ^ { k } } + \sum _ { n } \Gamma _ { j n } ^ { l } \Gamma _ { i k } ^ { n } - \sum _ { n } \Gamma _ { k n } ^ { l } \Gamma _ { i j } ^ { n } , } \\ { R _ { n i j k } } & { = \sum _ { l } R _ { i j k } ^ { l } g _ { l n } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \delta \mathcal { J } _ { 1 } ( g ) = \int _ { 0 } ^ { T } \left[ u ( \ell , t ; g ) - \nu ( t ) \right] \delta u ( \ell , t ) d t + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \delta u ( \ell , t ) ^ { 2 } d t , } } \\ { \lefteqn { \delta \mathcal { J } _ { 2 } ( g ) = \int _ { 0 } ^ { T } \Big ( r ( 0 ) u _ { x x } ( 0 , t ; g ) + \kappa ( 0 ) u _ { x x t } ( 0 , t ; g ) + \omega ( t ) \Big ) \Big ( r ( 0 ) \delta u _ { x x } ( 0 , t ) } } \\ & { } & { + \kappa ( 0 ) \delta u _ { x x t } ( 0 , t ) \Big ) d t + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \Big ( r ( 0 ) \delta u _ { x x } ( 0 , t ) + \kappa ( 0 ) \delta u _ { x x t } ( 0 , t ) \Big ) ^ { 2 } d t , ~ ~ } \end{array}
f _ { d c } ^ { a } \tilde { f } _ { a } ^ { r s } = \tilde { f } _ { c } ^ { a s } f _ { d a } ^ { r } + \tilde { f } _ { c } ^ { r a } f _ { d a } ^ { s } - \tilde { f } _ { d } ^ { a s } f _ { c a } ^ { r } - \tilde { f } _ { d } ^ { r a } f _ { c a } ^ { s } .
{ \begin{array} { r l } { d _ { m } ( 1 ) - d _ { m } ( 0 ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { n \neq m } d _ { n } \langle \psi _ { m } | { \dot { \psi } } _ { n } \rangle e ^ { i T ( \theta _ { n } - \theta _ { m } ) - i ( \gamma _ { m } - \gamma _ { n } ) } d \lambda } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { n \neq m } ( d _ { n } - d _ { n } ( 0 ) ) \langle \psi _ { m } | { \dot { \psi } } _ { n } \rangle e ^ { i T ( \theta _ { n } - \theta _ { m } ) - i ( \gamma _ { m } - \gamma _ { n } ) } d \lambda - \int _ { 0 } ^ { 1 } \sum _ { n \neq m } d _ { n } ( 0 ) \langle \psi _ { m } | { \dot { \psi } } _ { n } \rangle e ^ { i T ( \theta _ { n } - \theta _ { m } ) - i ( \gamma _ { m } - \gamma _ { n } ) } d \lambda } \end{array} }
\begin{array} { r l } { e ^ { 2 \nu t } \| \Lambda d ( t ; e _ { m } ) \| ^ { 2 } } & { = \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Big ( J _ { | n - m | } ( 2 t ) + ( - 1 ) ^ { m - 1 } J _ { n + m } ( 2 t ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \leqslant 2 \lambda _ { m } ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Big ( J _ { | n - m | } ^ { 2 } ( 2 t ) + J _ { n + m } ^ { 2 } ( 2 t ) \Big ) } \\ & { \leqslant 2 \lambda _ { m } ^ { 2 } \Big ( 1 - J _ { m } ^ { 2 } ( 2 t ) \Big ) \leqslant 2 \lambda _ { m } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu } & { { } = \frac { \mathcal { V } } { 2 k _ { B } T } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { d } { d t } \left\langle \left[ \frac { m } { \mathcal { V } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } [ v _ { n , i } ( t ) r _ { n , j } ( t ) - v _ { n , i } ( 0 ) r _ { n , j } ( 0 ) ] \right] ^ { 2 } \right\rangle } \\ { \mu _ { b } } & { { } = \frac { \mathcal { V } } { k _ { B } T } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { d } { d t } \left\langle \left[ \frac { m } { 3 \mathcal { V } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } [ \vec { v } _ { n } ( t ) \cdot \vec { r } _ { n } ( t ) - \vec { v } _ { n } ( 0 ) \cdot \vec { r } _ { n } ( 0 ) ] - P _ { e q } t \right] ^ { 2 } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { i j } } & { { } = \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial u _ { j } } { \partial x _ { i } } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { i j } \frac { \partial u _ { k } } { \partial x _ { k } } } \end{array}