harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S ( \mathbf { q } , \omega ) = \frac { 2 \pi N _ { \mathrm { n u c } } } { V } A ^ { 2 } | F _ { N } ( q ) | ^ { 2 } \, \delta \! \left( \omega - \frac { q ^ { 2 } } { 2 m _ { N } } \right) ,
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \varphi } \partial _ { m _ { \varphi } } p _ { \varphi } ( \theta , \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } = - \sin \theta \int _ { 0 } ^ { \varphi } \frac { U _ { \theta } ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } { 1 - U ^ { 2 } } + \epsilon k _ { 2 } \sin \theta \int \frac { ( m _ { \varphi } - m _ { \psi } U ) d ( \cos \varphi ^ { \prime } ) } { ( 1 - U ^ { 2 } ) \sqrt { 2 I _ { 2 } ( 1 - U ^ { 2 } ) ( E - b U ) - ( m _ { \varphi } - m _ { \psi } U ) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { u } } & { { } = \frac { \mathcal { F } _ { \nu + 1 } ( x ) \mathcal { F } _ { \nu - 1 } ( x ) - \mathcal { F } _ { \nu } ( x ) ^ { 2 } } { ( \nu + 1 ) \mathcal { F } _ { \nu + 1 } ( x ) \mathcal { F } _ { \nu - 1 } ( x ) - \nu \mathcal { F } _ { \nu } ( x ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\exp \left[ - 2 \frac { \gamma } { \sqrt { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 3 \pi } { 2 } + \arctan \frac { \gamma } { \sqrt { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } } \right) \right] = 1 0 ^ { - \delta } \, .
\langle \hat { A } \rangle \approx \frac { \sum _ { k } \overline { { W } } _ { k } ^ { m + n } s _ { k } ^ { 0 } \, \langle \hat { A } \rangle _ { k } } { \sum _ { k } \overline { { W } } _ { k } ^ { m + n } s _ { k } ^ { 0 } } \, ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \theta } = } & { \big ( m _ { x } , ~ m _ { y } , ~ I _ { z z } + J _ { z z } , ~ } \\ & { \boldsymbol { X } ^ { ( i ) } , ~ \boldsymbol { Y } ^ { ( i ) } , ~ \boldsymbol { N } ^ { ( i ) } , } \\ & { X _ { A 0 } , ~ X _ { A 1 } , ~ X _ { A 3 } , ~ X _ { A 5 } , } \\ & { Y _ { A 1 } , ~ Y _ { A 3 } , ~ Y _ { A 5 } , ~ N _ { A 1 } , ~ N _ { A 2 } , ~ X _ { A 3 } ~ \big ) \enspace . } \end{array}
{ \mathbf { Q } } _ { i j } ^ { - } = { \mathbf { Q } } _ { i } \left( \mathbf { x } _ { i j } , t ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } \Delta t \right) , \qquad \textnormal { a n d } \qquad { \mathbf { Q } } _ { i j } ^ { + } = { \mathbf { Q } } _ { j } \left( \mathbf { x } _ { i j } , t ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } \Delta t \right) .
\sum _ { i = 1 , 2 } | U _ { e i } | ^ { 2 } \leq a _ { e } ^ { 0 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \sum _ { i = 1 , 2 } | U _ { { \mu } i } | ^ { 2 } \geq 1 - a _ { \mu } ^ { 0 } \, ,
\mathring { A } _ { i } ^ { { i , j } } E _ { \sigma } = \big ( \mathring { A } _ { i } ^ { { i , j } } E _ { \sigma } \big ) ^ { \circ _ { j , j } } + \mathcal { O } \big ( | e _ { i } - \sigma e _ { j } | + | \eta _ { i } - \eta _ { j } | \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | e _ { i } - \sigma e _ { j } | + | \eta _ { i } - \eta _ { j } | \big ) E _ { - }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { e n t \rightarrow f } ( \eta , \beta ) = \frac { \pi } { k ^ { 2 } } \sum _ { \ell , m _ { \ell } } \sum _ { \ell ^ { \prime } , m _ { \ell } ^ { \prime } } \Big | } & { { } \cos \eta \ T _ { m _ { 1 A } m _ { 2 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } } \\ { + } & { { } \sin \eta \ T _ { m _ { 2 A } m _ { 1 B } \ell m _ { \ell } \rightarrow f \ell ^ { \prime } m _ { \ell } ^ { \prime } } \Big | ^ { 2 } , } \end{array}
{ \mathcal { S } } = \int \, \mathrm { d } ^ { 4 } x \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \varphi _ { i } \partial ^ { \mu } \varphi _ { i } - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \varphi _ { i } ^ { 2 } \right]
\vec { R } = [ \vec { R } _ { \Phi } ^ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } , \vec { R } _ { c } ^ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } , \vec { R } _ { \Phi } ^ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ] ^ { \mathrm { ~ T ~ } }
\begin{array} { r } { F ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } ) \leq F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + \frac { 1 } { \xi | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \Big [ G _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } , \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } ) - F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) - \frac { u } { 2 } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } \Big ] + \frac { M } { 2 | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } } \Big \| \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \Big \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal P } _ { + } } & { = } & { \frac { 2 c \Lambda \left( - c \sqrt { I _ { p } \left( 2 c ^ { 2 } - I _ { p } \right) } p _ { k 0 } - c ^ { 2 } \left( - 2 \varepsilon + I _ { p } \right) + 2 c ^ { 4 } - I _ { p } \varepsilon \right) + \sqrt { 2 \Lambda ( \varepsilon - c ^ { 2 } + I _ { p } ) } \left( \sqrt { - I _ { p } \left( - 2 c ^ { 2 } + I _ { p } \right) } + 2 c ^ { 2 } - I _ { p } \right) \left( \varepsilon + c \left( c + p _ { k 0 } \right) \right) } { 2 c ^ { 3 / 2 } \Lambda \left( 4 c ^ { 2 } - 2 I _ { p } \right) ^ { 3 / 4 } \sqrt { \varepsilon \left( c ^ { 2 } + \varepsilon \right) } } } \\ & { } & { + { \cal O } ( \sqrt { E _ { 0 } / E _ { a } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \partial \alpha / \partial { t } ) _ { \pi } = - \frac { ( \partial \pi / \partial { t } ) _ { \alpha } } { ( \partial \pi / \partial \alpha ) ) _ { t } } = \frac { B - 2 C D \alpha } { 2 C ( \alpha + D t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Bigg [ \int _ { \mathcal { D } } | U ( x ^ { \prime } ) U ( x ) T ^ { * } \varphi ( x ) | d x \Bigg ] } & { = \int _ { \mathcal { D } } | T ^ { * } \varphi ( x ) | \mathbb { E } [ | U ( x ) U ( x ^ { \prime } ) | ] d x } \\ & { \leq \int _ { \mathcal { D } } | T ^ { * } \varphi ( x ) | \mathbb { E } [ U ( x ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } \mathbb { E } [ U ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } d x } \\ & { \leq \sigma ( x ^ { \prime } ) \int _ { \mathcal { D } } | T ^ { * } \varphi ( x ) | \sigma ( x ) d x < + \infty } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { a } ^ { b } | g | ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { r } ( V - c ) + \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \frac { D V ^ { 2 } } { 4 ( V - c ) } \right] d r } \\ { + \int _ { a } ^ { b } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } ( V - c ) \right] | D g | ^ { 2 } d r = - \frac { 1 } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } ( V _ { I } - c ) D g _ { I } g _ { I } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m ! } } & { \sum _ { \alpha _ { l } , \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \in S _ { m } } \mathcal { O } _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) \prod _ { l = 1 } ^ { 3 } \delta ( \alpha _ { l } ^ { - 1 } \sigma _ { l } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \tau _ { l } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m ! } \sum _ { \alpha _ { l } , \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \in S _ { m } } \mathcal { O } _ { \mu _ { 1 } \alpha _ { 1 } \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } \alpha _ { 2 } \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } \alpha _ { 3 } \mu _ { 2 } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) \prod _ { l = 1 } ^ { 3 } \delta ( \alpha _ { l } ^ { - 1 } \sigma _ { l } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \tau _ { l } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m ! } \sum _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \in S _ { m } } \sum _ { \mu _ { 1 } ^ { - 1 } \tilde { \alpha } _ { l } \mu _ { 2 } ^ { - 1 } \in S _ { m } } \mathcal { O } _ { \tilde { \alpha } _ { 1 } , \tilde { \alpha } _ { 2 } , \tilde { \alpha } _ { 3 } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) \prod _ { l = 1 } ^ { 3 } \delta ( \mu _ { 2 } \tilde { \alpha } _ { l } ^ { - 1 } \mu _ { 1 } \sigma _ { l } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \tau _ { l } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m ! } \sum _ { \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \in S _ { m } } \sum _ { \tilde { \alpha } _ { l } \in S _ { m } } \mathcal { O } _ { \tilde { \alpha } _ { 1 } , \tilde { \alpha } _ { 2 } , \tilde { \alpha } _ { 3 } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) \prod _ { l = 1 } ^ { 3 } \delta ( \mu _ { 2 } \tilde { \alpha } _ { l } ^ { - 1 } \mu _ { 1 } \sigma _ { l } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \tau _ { l } ^ { - 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { ( m ! ) ^ { 3 } } \sum _ { \alpha _ { l } , \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \in S _ { m } } \mathcal { O } _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) \prod _ { l = 1 } ^ { 3 } \delta ( \mu _ { 2 } \alpha _ { l } ^ { - 1 } \mu _ { 1 } \sigma _ { l } \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } \tau _ { l } ^ { - 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } \mathbf u _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } ) + H ( q _ { h } ^ { , n + 1 } , \rho _ { h } ^ { n + 1 } ) - \chi \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla { \mathbf u } _ { h } ^ { n + 1 } ) } \\ & { \quad + \chi \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes ( \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } - \overline { { \mathbf v } } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) - \chi ( 1 - \chi ) \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla ( \overline { { \mathbf v } } _ { h } ^ { n + 1 } - { \mathbf v } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) = \boldsymbol { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { r , \textnormal { n o m } } ( \gamma , \alpha , } & { d _ { \mathcal { Y } } , \mathbf { L } , T , \zeta , x ^ { * } ) } \\ & { = \epsilon _ { r } ( \gamma , \alpha , d _ { \mathcal { Y } } , \mathbf { L } , T ) + \sum _ { i = 1 } ^ { T - 1 } \gamma ^ { i } \zeta + \biggl ( \sum _ { i = 1 } ^ { T - 2 } L _ { f } ^ { i } \sum _ { j = i + 1 } ^ { T - 1 } \gamma ^ { j } \biggr ) \, L _ { r } \, \operatorname* { m a x } _ { x } \| x ^ { * } - x \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { d = 1 0 : } } & { { \Gamma _ { M } } } & { { M = 1 , \cdots , 1 0 \, , } } \\ { { d = 1 1 : } } & { { { \tilde { \Gamma } } _ { \tilde { M } } } } & { { { \tilde { M } } = 1 , \cdots , 1 0 , 1 1 \, , } } \\ { { d = 1 2 : } } & { { { \hat { \Gamma } } _ { \hat { M } } } } & { { { \hat { M } } = 1 , \cdots , 1 0 , 1 1 , 1 2 \, . } } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( n ) } \, \mathrm { , } } & & \\ { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( l ) } } & { = } & { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( 0 ) } - } & { \alpha _ { l } { \Delta t } _ { ( i , j , k ) } { R H S } _ { ( i , j , k ) } ^ { ( l - 1 ) } \, } & { \, \, \, \, l = 1 , 2 \cdots 5 , } \\ { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( n + 1 ) } } & { = } & { Q _ { ( i , j k , ) } ^ { ( 5 ) } \, \mathrm { , } } & & \end{array}
A ( T ) : = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ S _ { t } ] d t = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { S _ { 0 } } { T [ ( r - q ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } + C ] } \left[ e ^ { T [ ( r - q ) + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } + C ] } - 1 \right] , } & { \quad r - q \neq 0 , } \\ { \frac { S _ { 0 } } { T [ \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } + C ] } \left[ e ^ { T [ \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } + C ] } - 1 \right] , } & { \quad r - q = 0 , } \end{array} \right.
[ a _ { n } ^ { \mu } ( s ) , { a _ { m } ^ { \nu } } ^ { \dagger } ( s ) ] = \delta _ { n m } \eta ^ { \mu \nu } , ~ ~ ~ ~ [ c _ { n } ^ { \mu } ( s ) , { c _ { m } ^ { \nu } } ^ { \dagger } ( s ) ] = \delta _ { n m } \eta ^ { \mu \nu } .
\begin{array} { r l } { \| \omega \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } \leq \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } | \kappa | u _ { \tau } ^ { 2 } \leq \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } \alpha u _ { \tau } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { U _ { g } / m ^ { 4 } } } & { { = } } & { { \displaystyle + 6 D _ { m } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 1 } + p ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) D ( k _ { 2 } + p ) D _ { m } ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ( 1 + K _ { 1 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + 4 D _ { m } ( k _ { 1 } ) D ( k _ { 1 } + p ) D ( k _ { 2 } + p ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) D ( k _ { 1 } + k _ { 2 } + p ) K _ { 1 2 } , } } \end{array}
\tilde { \psi } \left( x \right) = \int \frac { d ^ { 3 } { \bf k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } e ^ { i { \bf k } \cdot \mathbf { x } } \, \sum _ { r } \left[ u _ { r } \left( k , \eta \right) \, a _ { r } \left( k \right) + v _ { r } \left( k , \eta \right) b _ { r } ^ { \dagger } \left( - k \right) \right] \, ,
n _ { L } \simeq \epsilon ~ M _ { 1 } \tilde { N } _ { o } ^ { 2 } \left[ { \frac { a ( t = M _ { 1 } ^ { - 1 } ) } { a ( t = \Gamma _ { \tilde { N } } ^ { - 1 } ) } } \right] ^ { 3 } = { \frac { \epsilon ~ \tilde { N } _ { o } ^ { 2 } ~ \Gamma _ { \psi } ^ { 1 / 2 } ~ \Gamma _ { \tilde { N } } ^ { 3 / 2 } } { M _ { 1 } } } ~ .
\begin{array} { r l } { D ^ { 3 } ( U ^ { 2 } ) + D ^ { 2 } ( 2 \Delta U + 2 U J ) } & { { } + D \left( \Delta ^ { 2 } + \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + J ^ { 2 } + 2 \Delta J \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle I ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } | \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \big [ B _ { M } ( r _ { k } ) - B _ { M } ( \bar { r } ) \big ] \hat { l } _ { k } ^ { 2 } \bigg ] | I , \gamma \rangle } & { = } & { \sum _ { \kappa ^ { \prime } , \kappa } \sum _ { \rho } \bigg [ \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \langle \kappa ^ { \prime } | \hat { l } _ { k } ^ { 2 } | \kappa \rangle \langle \gamma ^ { \prime } | \Delta B ( k ) | \gamma \rangle \bigg ] } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \times \langle I ^ { \prime } | \rho , \kappa ^ { \prime } \rangle \langle \rho , \kappa | I \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( + 1 ) } } & { = } & { \sum _ { S ( + 1 ) } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { S ( + 1 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S ( + 1 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } } & { = } & { \sum _ { S ( - 1 ) } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { S ( - 1 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { S ( - 1 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { W } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } v g } \\ { M _ { Z } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } v { \sqrt { g ^ { 2 } + { g ^ { \prime } } ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\{ \frac { \partial } { \partial { t } } + \boldsymbol { v } \cdot \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { r } } \right\} f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { p } , t ) = \frac { \imath } { \hbar } \int \, \frac { d ^ { 3 } \lambda { d } ^ { 3 } \bar { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \exp { \left[ \imath \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { \bar { p } } \right) \cdot \boldsymbol { \lambda } \right] } } \\ & { \, \, \, \left[ U _ { \mathrm { e x t } } \left( \boldsymbol { r } + \frac { \hbar } { 2 } \boldsymbol { \lambda } , t \right) - U _ { \mathrm { e x t } } \left( \boldsymbol { r } - \frac { \hbar } { 2 } \boldsymbol { \lambda } , t \right) \right] f ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \bar { p } } , t ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } ( \rho _ { A } \varsigma _ { A } ) + \mathrm { { d i v } } \bigg ( \rho _ { A } \varsigma _ { A } v _ { A } - \frac { q _ { A } } { \theta _ { A } } \bigg ) = \frac { e _ { D _ { A } } } { \theta _ { A } } + \frac { q _ { A } \cdot { \mathrm { g r a d } } \theta _ { A } } { \theta _ { A } ^ { 2 } } , } \\ { \partial _ { t } ( \rho _ { B } \varsigma _ { B } ) + \mathrm { { d i v } } \bigg ( \rho _ { B } \varsigma _ { B } v _ { B } - \frac { q _ { B } } { \theta _ { B } } \bigg ) = \frac { e _ { D _ { B } } } { \theta _ { B } } + \frac { q _ { B } \cdot { \mathrm { g r a d } } \theta _ { B } } { \theta _ { B } ^ { 2 } } , } \\ { D _ { t } ^ { N } ( \rho _ { S } \varsigma _ { S } ) + \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } \bigg ( \rho _ { S } \varsigma _ { S } v _ { S } - \frac { q _ { S } } { \theta _ { S } } \bigg ) = \frac { e _ { D _ { S } } } { \theta _ { S } } + \frac { q _ { S } \cdot { \mathrm { g r a d } } _ { \Gamma } \theta _ { S } } { \theta _ { S } ^ { 2 } } + \frac { q _ { B } \cdot n _ { \Gamma } - q _ { A } \cdot n _ { \Gamma } } { \theta _ { S } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 0 } ( k ) } & { \to \bar { a } \, \frac { s + y ^ { 2 } ( 1 - s ) ( 2 - s ) } { 1 + y ^ { 2 } ( 1 - s ) ^ { 2 } } , } \\ { \beta _ { 0 } ( k ) } & { \to y \, \frac { 1 + ( 1 - s ) ^ { 2 } } { 1 + y ^ { 2 } ( 1 - s ) ^ { 2 } } \, \bar { a } , } \\ { \alpha _ { 1 } ( k ) } & { \to - 2 \bar { a } _ { 1 } \, ( k \bar { a } ) ^ { 2 } \, \frac { y ^ { 2 } s + ( s - 1 ) ( s - 2 ) } { y ^ { 2 } s ^ { 2 } + ( s - 2 ) ^ { 2 } } , } \\ { \beta _ { 1 } ( k ) } & { \to - 2 \bar { a } _ { 1 } \, ( k \bar { a } ) ^ { 2 } \, \frac { y ( 2 s - s ^ { 2 } - 2 ) } { y ^ { 2 } s ^ { 2 } + ( s - 2 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\Delta \langle q _ { T } ^ { 2 } \rangle = \left( \frac { 4 \pi ^ { 2 } \alpha _ { s } } { 3 } \right) \cdot \frac { \sum _ { q } \, e _ { q } ^ { 2 } \int d x ^ { \prime } \, \phi _ { \bar { q } / h } ( x ^ { \prime } ) \, T _ { q / A } ^ { ( I ) } ( \tau / x ^ { \prime } ) / x ^ { \prime } } { \sum _ { q } \, e _ { q } ^ { 2 } \int d x ^ { \prime } \, \phi _ { \bar { q } / h } ( x ^ { \prime } ) \, \phi _ { q / A } ( \tau / x ) / x ^ { \prime } } \ .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial P _ { \perp 1 } } { \partial t } } & { { } = } & { P _ { \perp 1 } \bigg ( i \Delta \omega - \frac { 1 } { T _ { 2 } } \bigg ) + i \gamma B _ { L } e ^ { i \phi } e ^ { - t / T _ { 1 } } , } \\ { \frac { \partial P _ { \perp 2 } } { \partial t } } & { { } = } & { P _ { \perp 2 } \bigg ( i \Delta \omega - \frac { 1 } { T _ { 2 } } \bigg ) + i \gamma B _ { R } e ^ { - i \phi } e ^ { - t / T _ { 1 } } . } \end{array}
\rho _ { t } ^ { ( ( B _ { 1 } , W _ { 1 } ) , \ldots , ( B _ { k } , W _ { k } ) ) } = \sum _ { \substack { \pi \in \mathcal { S } _ { \cup _ { \ell } B _ { \ell } } \, \tau \in \mathcal { S } _ { \cup _ { \ell } W _ { \ell } } } } ( - 1 ) ^ { \pi } ( - 1 ) ^ { \tau } \chi _ { ( ( \pi , \tau , \cup _ { \ell } G _ { \ell } ) \textnormal { l i n k e d } ) } \prod _ { i \in \cup _ { \ell } B _ { \ell } } \gamma _ { \uparrow } ( x _ { i } - x _ { \pi ( i ) } ) \prod _ { j \in \cup _ { \ell } W _ { \ell } } \gamma _ { \downarrow } ( y _ { j } - y _ { \tau ( j ) } )
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } } & { { } = \big | \mathbf { M _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \big | = - M _ { 1 2 } ^ { 2 } ( \omega ) + M _ { 1 1 } ( \omega ) M _ { 2 2 } ( \omega ) \, , } \\ { Q _ { 2 } } & { { } = b ^ { \pm } ( - K _ { t } M _ { 1 1 } ( \omega ) + 2 K _ { c } M _ { 1 2 } ( \omega ) - K M _ { 2 2 } ( \omega ) ) \, , } \\ { Q _ { 3 } } & { { } = ( b ^ { \pm } ) ^ { 2 } \big | \mathbf { K _ { \mathrm { ~ G ~ } } } \big | = - ( b ^ { \pm } ) ^ { 2 } ( K _ { c } ^ { 2 } - K K _ { t } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { { \bf v _ { e } ^ { ( 1 ) } } = \frac { 1 } { \omega _ { c e } } \{ \left[ \frac { \partial } { \partial t } + ( { \bf v _ { E } } + { \bf v _ { \nabla B } } ) \cdot \nabla \right] { \bf v } _ { e } ^ { ( 0 ) } + \frac { 1 } { m _ { e } n _ { e } } \nabla \times \left[ \frac { p _ { e } } { 2 \omega _ { c e } } ( \nabla \cdot { \bf v _ { e } ^ { ( 0 ) } } ) { \bf b } \right] } \\ { + \frac { 1 } { m _ { e } n _ { e } } \nabla \left[ \frac { p _ { e } } { 2 \omega _ { d e } } { \bf b } \cdot ( \nabla \times { \bf v _ { e } ^ { ( 0 ) } } ) \right] \} \times { \bf b } } \end{array} } \end{array}
\| A [ f ] \| _ { L ^ { \infty } } \le C \| f \| _ { L ^ { 1 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } \frac { p - \frac { 3 } { 2 } } { p - 1 } } \| f \| _ { L ^ { p } } ^ { \frac { 1 } { 3 } \frac { p } { p - 1 } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \| \nabla a [ f ] \| _ { L ^ { 3 } } \le C \| f \| _ { L ^ { 1 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } \frac { p - \frac { 3 } { 2 } } { p - 1 } } \| f \| _ { L ^ { p } } ^ { \frac { 1 } { 3 } \frac { p } { p - 1 } } .
\begin{array} { r l r } { \Delta \omega _ { \mathrm { r t } } } & { = } & { \delta _ { n - 1 } + n d T _ { \mathrm { s } } = d T _ { \mathrm { s } } \frac { 1 } { g ^ { \prime } } , } \\ { \Delta \omega _ { \mathrm { p p } } } & { = } & { \delta _ { n - 1 } + ( n - 1 ) d T _ { \mathrm { s } } = d T _ { \mathrm { s } } \frac { 1 - g ^ { \prime } } { g ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 1 } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \; , } \\ { K _ { i } } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } x _ { i } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \; , \; i \in \{ 1 , 2 \} \; , } \\ { K _ { i j } } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } x _ { 1 } x _ { 2 } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \begin{array} { l } { { \bf J } _ { 1 1 } \{ { \tilde { \bar { \bf F } } } ^ { - } ( - { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } \\ { { \bf J } _ { 1 1 } \{ { \tilde { \bar { \bf F } } } ^ { + } ( - { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) \} ^ { * } { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { \boldsymbol { y } } = f ( \boldsymbol { x } \boldsymbol { W } _ { 1 } + \boldsymbol { b } ) \boldsymbol { W } _ { 2 } , } \\ & { E ^ { \boldsymbol { W } _ { 1 } , \boldsymbol { W } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { Y } ) = \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | | \boldsymbol { y } _ { i } - \widehat { \boldsymbol { y } } _ { i } | | ^ { 2 } , } \\ & { \mathcal { L } ( \boldsymbol { W } _ { 1 } , \boldsymbol { W } _ { 2 } , \boldsymbol { b } ) \equiv E ^ { \boldsymbol { W } _ { 1 } , \boldsymbol { W } _ { 2 } , \boldsymbol { b } } ( \boldsymbol { X } , \boldsymbol { Y } ) + \lambda _ { 1 } | | \boldsymbol { W } _ { 1 } | | ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } | | \boldsymbol { W } _ { 2 } | | ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } | | \boldsymbol { b } | | ^ { 2 } } \end{array}
N _ { \gamma } ( z , z _ { 0 } ) = \frac { \lambda _ { R R E A } \lambda _ { - } } { \lambda _ { \gamma } ( \lambda _ { - } + \lambda _ { R R E A } ) } \cdot \left( e ^ { \frac { z - z _ { 0 } } { \lambda _ { R R E A } } } - 1 \right)
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \overline { { \epsilon } } _ { r } \! \! = \! \! \{ 1 . 5 7 , 1 . 5 8 , 1 . 9 3 , 2 . 8 8 , 4 . 2 6 , 4 . 5 1 , 3 . 6 7 \} \! \! \!
L _ { k } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } { \left( \frac { 1 } { t } \ln { \left[ \frac { \vec { w } _ { k } \left( t \right) } { \vec { w } _ { k } \left( 0 \right) } \right] } \right) } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } { \left( \frac { 1 } { t } \ln { \left[ \vec { r } _ { k } \left( t \right) \right] } \right) } ,
\begin{array} { c l } { \displaystyle \alpha _ { 0 } } & { \displaystyle = - \displaystyle \frac { 2 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \frac { L } { 2 } } { \int _ { 0 } ^ { \frac { L } { 2 } } { m _ { 1 } ( s ^ { \prime } ) m _ { 1 } ( s ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \\ & { \displaystyle \left[ \left\{ \cot { 3 \pi \nu _ { x } } \left( \cos { 3 \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right) } + \cos { 3 \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } \right) + \sin { 3 \left| \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right| } \right. \right. } \\ & { \left. \left. + \sin { 3 \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } \right\} + 3 \left\{ \cot { \pi \nu _ { x } } \left( \cos { \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right) } + \cos { \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } \right) \right. \right. } \\ & { \displaystyle \left. \left. + \sin { \left| \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right| } + \sin { \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } \right\} \right] d s ^ { \prime } d s , } \end{array}