harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { d \mathbf { P } _ { k } } { d t } } & { = } & { C _ { P } ( \mathbf { P } _ { k } ) ( J _ { k , k + 1 } ^ { R } - J _ { k - 1 , k } ^ { L } + \beta J _ { k } ^ { n c } ) , } \\ { \frac { d \mathbf { X } _ { k } } { d t } } & { = } & { - C _ { X } ( \mathbf { P } _ { k } ) ( J _ { k , k + 1 } ^ { R } + J _ { k - 1 , k } ^ { L } ) , } \end{array}
\alpha _ { j } ( A ) \equiv \sum _ { m _ { 1 } , \ldots , m _ { j } \neq 0 } \epsilon ^ { m _ { 1 } + \cdots + m _ { j } } \oint \frac { d t _ { 1 } } { 2 \pi i } \cdots \oint \frac { d t _ { j } } { 2 \pi i } \mathrm { e } ^ { - N ( \widetilde { \Phi } _ { m _ { 1 } } ( t _ { 1 } ) + \cdots + \widetilde { \Phi } _ { m _ { j } } ( t _ { j } ) ) } M _ { 1 2 } M _ { 2 3 } \cdots M _ { j 1 }
\begin{array} { r l } { \partial _ { \xi \xi } v ( \tau ( \xi _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) ) } & { = u _ { x x } \varphi _ { \xi } ^ { 2 } + 2 u _ { x y } \varphi _ { \xi } \psi _ { \xi } + u _ { y y } \psi _ { \xi } ^ { 2 } , } \\ { \partial _ { \xi \eta } v ( \tau ( \xi _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) ) } & { = u _ { x x } \varphi _ { \xi } \varphi _ { \eta } + u _ { x y } ( \varphi _ { \xi } \psi _ { \eta } + \varphi _ { \eta } \psi _ { \xi } ) + u _ { y y } \psi _ { \xi } \psi _ { \eta } , } \\ { \partial _ { \eta \eta } v ( \tau ( \xi _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) ) } & { = u _ { x x } \varphi _ { \eta } ^ { 2 } + 2 u _ { x y } \varphi _ { \eta } \psi _ { \eta } + u _ { y y } \psi _ { \eta } ^ { 2 } . } \end{array}
\left. { \frac { \partial p } { \partial z } } \right| _ { r = 0 } - \left. { \frac { \partial p } { \partial z } } \right| _ { r = r _ { \ast } } = - \rho \int _ { 0 } ^ { r _ { \ast } } \frac { \partial } { \partial z } \frac { ( u _ { \theta } ) ^ { 2 } } { r } d r .
\begin{array} { r l } { M ^ { \top } A _ { \ell } ^ { L L } } & { = A _ { \ell + 1 } ^ { R L } + ( d - 1 ) A _ { \ell - 1 } ^ { R L } } \\ { M ^ { \top } A _ { \ell } ^ { L R } } & { = A _ { \ell + 1 } ^ { R R } + ( d - 1 ) A _ { \ell - 1 } ^ { R R } } \\ { M A _ { \ell } ^ { R L } } & { = A _ { \ell + 1 } ^ { L L } + ( c - 1 ) A _ { \ell - 1 } ^ { L L } } \\ { M A _ { \ell } ^ { R R } } & { = A _ { \ell + 1 } ^ { L R } + ( c - 1 ) A _ { \ell - 1 } ^ { L R } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { I } ^ { \alpha } : U ^ { k } \to \mathbf { R } } \\ { u _ { I } ^ { \alpha } \left( j _ { p } ^ { r } \sigma \right) = \left. { \frac { \partial ^ { | I | } \sigma ^ { \alpha } } { \partial x ^ { I } } } \right| _ { p } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \overrightarrow { \lambda } = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \cos ( \theta _ { y } ) \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \phi _ { y } \right) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\frac { \Gamma ( B ^ { - } \rightarrow \rho ^ { 0 } l ^ { - } \bar { \nu } ) } { \Gamma ( B ^ { - } \rightarrow \omega l ^ { - } \bar { \nu } ) } = \left| \frac { 1 + \epsilon } { 1 - \epsilon ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } \approx 1 . 1 7 2
\begin{array} { r l } { \sqrt { n } \bar { \Delta } _ { n } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } H ^ { - 1 } U ^ { \top } \nu _ { k } } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } ^ { n } U ^ { \top } \nu _ { k } + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } B _ { k } ^ { n } [ R ( y _ { k } ) + \zeta _ { k } - U ^ { \top } E _ { k } ] + O \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) : = \mathbb { E } \left[ \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) | \mathcal { F } ^ { k } \right] } \\ { = } & { \nabla _ { x } f ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \mathbb { E } \bigg [ \frac { N } { l _ { g , 1 } } \prod _ { l = 1 } ^ { N _ { i } } \Big ( I - \frac { 1 } { \ell _ { g , 1 } } \nabla _ { y y } ^ { 2 } g _ { C _ { i } ^ { l } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ; \zeta ^ { i , l } ) \Big ) \Big | \mathcal { F } ^ { k } \bigg ] \nabla _ { y } f ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K u r t } \left[ U - V \right] } & { = \frac { 1 } { \sigma _ { U - V } ^ { 4 } } [ \sigma _ { U } ^ { 4 } \mathbb { K } \left[ U , U , U , U \right] - 4 \sigma _ { U } ^ { 3 } \sigma _ { V } \mathbb { K } \left[ U , U , U , V \right] } \\ & { + 6 \sigma _ { U } ^ { 2 } \sigma _ { V } ^ { 2 } \mathbb { K } \left[ U , U , V , V \right] - 4 \sigma _ { U } \sigma _ { V } ^ { 3 } \mathbb { K } \left[ U , V , V , V \right] + \sigma _ { V } ^ { 4 } \mathbb { K } \left[ V , V , V , V \right] ] } \end{array}
\overset { \vartriangle } { \vec { A } } \stackrel { \mathrm { ~ d ~ e ~ f ~ } } { = } \frac { D } { D t } \vec { A } + \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) \cdot \vec { A } + \vec { A } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } .
\mathcal { H } _ { p , 0 } ^ { n } ( H _ { h , 0 } ^ { n } , E _ { h , 0 } ^ { n } ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { c _ { H } } { \Delta x } \int _ { t _ { n - \frac { 1 } { 2 } } } ^ { t _ { n } } \int _ { S _ { 0 , p } ^ { \mathcal { H } } } Z ^ { 2 } ( H _ { h , 0 } ^ { n } - H ^ { * } ) ^ { 2 } + ( E _ { h , 0 } ^ { n } - E ^ { * } ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t .
\frac { 1 } { D _ { \Delta } ( - p ) D _ { e } ( p ) } = \frac { 1 } { 2 ( m _ { p } + m _ { e } ) \left[ p ^ { 2 } - \frac { m _ { e } ( M ^ { 2 } - m _ { p } ^ { 2 } ) } { m _ { p } } + i \varepsilon \right] } \left[ \frac { 2 m _ { p } } { D _ { \Delta } ( - p ) } + \frac { 2 m _ { e } } { D _ { e } ( p ) } \right] .
\tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n + 1 } = \frac { { { \xi _ { N - 2 } } + \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { { 2 \delta \tilde { t } } } \tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n } + V \Delta \varepsilon ( \tilde { T } _ { N - 1 } ^ { n + 1 } ) \delta \tilde { x } } } { { 1 - { \alpha _ { N - 2 } } + \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { { 2 \delta \tilde { t } } } - Q \frac { { \delta { { \tilde { x } } ^ { 2 } } } } { 2 } } } .
\hat { \mathbf { v } } _ { 2 j } = \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i q X _ { 2 j } } = \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \alpha 2 j } \, , \qquad \hat { \mathbf { v } } _ { 2 j + 1 } = \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i q X _ { 2 j + 1 } } = \hat { \mathbf { v } } _ { 1 } \mathrm { e } ^ { i \alpha ( 2 j + 1 ) } \, ,
\overline { { { G } } } = \mathrm { I m ~ l o g ~ } \Omega ^ { ( 5 ) } | _ { \overline { { { L } } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } ( \overline { { { \theta _ { i } } } } + \pi ) = ( \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \overline { { { \theta _ { i } } } } ) + \pi
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { j } } & { = } & { | \{ t \in \{ 1 , 2 , \ldots , q \} \ : \ j \in \mathfrak { u } _ { t } ^ { c } \} | , } \\ { \beta _ { j } } & { = } & { | \{ t \in \{ 1 , 2 , \ldots , q \} \ : \ j \in \mathfrak { v } _ { t } \} | , } \\ { \gamma _ { j } } & { = } & { | \{ t \in \{ 1 , 2 , \ldots , q \} \ : \ j \in \mathfrak { u } \setminus \mathfrak { v } _ { t } \} | . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \tilde { v _ { z } } ^ { ( 3 ) } } { \partial t ^ { 2 } } + \omega _ { c } ^ { 2 } \tilde { v _ { z } } ^ { ( 3 ) } = \frac { e } { m } \left[ - \frac { \partial } { \partial t } ( \tilde { v _ { x } } ^ { ( 2 ) } B _ { m w y } ) + \omega _ { c } \tilde { v _ { x } } ^ { ( 2 ) } B _ { m w z } \right]
H _ { o p } = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } r \left[ \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot \nabla \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) + U _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \hat { \psi } _ { \sigma ^ { \prime } } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \right]
\begin{array} { r l r } { f \left( x \right) } & { : } & { = { \bf E } \left( X _ { n + 1 } - x \mid X _ { n } = x \right) = { \bf E } \left( S \left( x \right) \right) - x + { \bf E } \left( \beta \right) = - x \left( 1 - \mu _ { \nu } \right) + { \bf E } \left( \beta \right) } \\ { \sigma ^ { 2 } \left( x \right) } & { : } & { = \sigma ^ { 2 } \left( \left( X _ { n + 1 } - x \right) \mid X _ { n } = x \right) = \sigma ^ { 2 } \left( S \left( x \right) \right) + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) = x \sigma ^ { 2 } \left( \nu \right) + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) } \\ & { \sim } & { x \sigma ^ { 2 } \left( \nu \right) \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty \mathrm { i f ~ } \sigma ^ { 2 } \left( \nu \right) < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { l _ { 2 } \mathrm { - e r r o r } = \frac { \sqrt { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e v } } | u ( z _ { n } ) - u _ { \theta } ( z _ { n } ) | ^ { 2 } } } { \sqrt { \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e v } } u ( z _ { n } ) ^ { 2 } } } = \frac { \sqrt { \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e v } } | u ( z _ { n } ) - u _ { \theta } ( z _ { n } ) | ^ { 2 } \right) / N _ { e v } } } { \sqrt { \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e v } } u ( z _ { n } ) ^ { 2 } \right) / N _ { e v } } } , } \\ & { l _ { \infty } \mathrm { - e r r o r } = \frac { \operatorname* { m a x } \{ | u ( z _ { n } ) - u _ { \theta } ( z _ { n } ) | \} _ { n = 1 } ^ { N _ { e v } } } { \sqrt { \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { e v } } u ( z _ { n } ) ^ { 2 } \right) / N _ { e v } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A } _ { k } } & { = { \textbf { h } } _ { k } ^ { H } { \textbf { w } } _ { k } = \sum _ { i \in \mathcal { I } } { \textbf { h } } _ { i , k } ^ { H } \textbf { w } _ { i , k } , } \\ { \mathrm { B } _ { k } } & { = \delta ^ { 2 } + \sum _ { k ^ { \prime } \in \mathcal { K } } \left| { \textbf { h } } _ { k } ^ { H } \textbf { w } _ { k ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } = \delta ^ { 2 } + \sum _ { k ^ { \prime } \in \mathcal { K } } \left| \sum _ { i \in \mathcal { I } } { \textbf { h } } _ { i , k } ^ { H } \textbf { w } _ { i , k ^ { \prime } } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\Delta K = m \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \ddot { \mathbf { X } } } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } d t = { \frac { m } { 2 } } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { d } { d t } } ( { \dot { \mathbf { X } } } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } ) d t = { \frac { m } { 2 } } { \dot { \mathbf { X } } } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } ( t _ { 2 } ) - { \frac { m } { 2 } } { \dot { \mathbf { X } } } \cdot { \dot { \mathbf { X } } } ( t _ { 1 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } m \Delta \mathbf { v ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { - \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) \left\{ \left( \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma - 1 } } { \gamma - 1 } - a _ { j } ^ { n } \right) \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) d y \right\} d x } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x } } \\ & { - \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma - 1 } } { \gamma - 1 } \int _ { - \infty } ^ { x _ { j - 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x + \frac { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) \left\{ \int _ { - \infty } ^ { x _ { j - 1 } } \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma } } { \gamma } d y \right\} d x } { \displaystyle \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x } } \\ { = } & { A _ { 1 } + A _ { 2 } - A _ { 3 } + A _ { 4 } . } \end{array}
B ( N , N ^ { \prime } ) = \int \left( \underset { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } \in \mathbb { Z } / \tilde { N } ^ { \prime } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } 1 _ { [ N ^ { \prime } ] } ( n ) \cdot \xi _ { N ^ { \prime } , R ( m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) } ^ { s , e } \right) \cdot \left( \underset { ( m , n ) \in \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } G ^ { * } \left( 1 _ { [ N ] } ( n ) \cdot \xi _ { N , R ( m , n ) } \right) \right) d \lambda
d s ^ { 2 } = \left( 1 - \frac { D ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d t ^ { 2 } - \left( 1 - \frac { D ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \vec { x } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { H _ { 1 1 } \pmb { x _ { v } } } & { \approx 2 ( \Delta t \Delta x \Delta y \Delta z ) \mathrm { d i a g } ( \pmb { \rho } ^ { T } M ) + 2 \beta ( \Delta x \Delta y \Delta z ) ( J _ { \pmb { v } } ^ { m } ) ^ { T } J _ { \pmb { v } } ^ { m } \pmb { x _ { v } } , } \\ { H _ { 2 2 } \pmb { x _ { r } } } & { \approx 2 \alpha ( \Delta t \Delta x \Delta y \Delta z ) \mathrm { d i a g } ( \pmb { \rho } \odot \pmb { \chi } ) + 2 \beta ( \Delta x \Delta y \Delta z ) ( J _ { \pmb { r } } ^ { m } ) ^ { T } J _ { \pmb { r } } ^ { m } \pmb { x _ { r } } , } \\ { H _ { 1 2 } \pmb { x _ { r } } } & { \approx 2 \beta ( \Delta x \Delta y \Delta z ) ( J _ { \pmb { v } } ^ { m } ) ^ { T } J _ { \pmb { r } } ^ { m } \pmb { x _ { r } } , } \\ { H _ { 2 1 } \pmb { x _ { v } } } & { \approx 2 \beta ( \Delta x \Delta y \Delta z ) ( J _ { \pmb { r } } ^ { m } ) ^ { T } J _ { \pmb { v } } ^ { m } \pmb { x _ { v } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { X _ { 1 } ^ { n } } ( x _ { 1 } ^ { n } ) } & { { } = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { 1 } { \Gamma ( \alpha ) \beta ^ { \alpha } } } \right) x _ { i } ^ { \alpha - 1 } e ^ { ( - 1 / \beta ) x _ { i } } } \end{array}
\int _ { \Omega _ { x } , \Omega _ { t } } C ( x , x ^ { \prime } , t , t ^ { \prime } ) { \mathbf { u } } _ { i } ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } d t ^ { \prime } = \sigma _ { i } ^ { 2 } { \mathbf { u } } _ { i } ( x , t ) ,
\tau = \mathrm { { i } } { \frac { { } _ { 2 } F _ { 1 } { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } ; 1 ; 1 - z { \bigr ) } } { { } _ { 2 } F _ { 1 } { \bigl ( } { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } ; 1 ; z { \bigr ) } } }
\nu _ { i o n } ( t ) = \frac { N _ { i o n } ( t ) - N _ { i o n } ( t _ { 0 } ) } { K | \vec { v } ( t ) | ( t - t _ { 0 } ) } \, \, \textup { a n d } \, \, \nu _ { a t t } ( t ) = \frac { N _ { a t t } ( t ) - N _ { a t t } ( t _ { 0 } ) } { K | \vec { v } ( t ) | ( t - t _ { 0 } ) }
\begin{array} { r l } { ( \frac { \cos ^ { 2 } u } { \cos ( \theta _ { * } \sin u ) } ) ^ { \prime } } & { = \frac { \cos u } { \cos ^ { 2 } ( \theta _ { * } \sin u ) } [ \theta _ { * } \cos ^ { 2 } u \sin ( \theta _ { * } \sin u ) - 2 \sin u \cos ( \theta _ { * } \sin u ) ] } \\ & { \le \frac { \cos u } { \cos ^ { 2 } ( \theta _ { * } \sin u ) } 2 [ \cos u \sin ( \theta _ { * } \sin u ) - \sin u \cos ( \theta _ { * } \sin u ) ] } \\ & { = \frac { \cos u } { \cos ^ { 2 } ( \theta _ { * } \sin u ) } 2 [ \sin ( \theta _ { * } \sin u - u ) ] \le 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \lambda ( t ) - \eta \rVert _ { Y } ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \alpha t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert \dot { \lambda } ( t ) \rVert _ { Y } ^ { 2 } } & { = \mathcal { O } \big ( t ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \alpha t } \big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \end{array}
h ( T , p ) = p \sum _ { k } \frac { k p ( k ) } { \langle k \rangle } \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } \binom { k - 1 } { n } T ^ { k - n - 1 } ( 1 - T ) ^ { n } \prod _ { i = 0 } ^ { n } [ 1 - f ( \alpha , b , i ) ] - T .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { R F } } & { { } = 2 k _ { 0 } n _ { 1 } \left( h + \mathbf { m } _ { r } \cdot \mathbf { r } + \Delta H \right) , } \\ { \Phi _ { R B _ { j } } } & { { } = 2 k _ { 0 } [ ( n _ { 1 } - j n _ { 2 } ) h + ( n _ { 1 } \mathbf { m } _ { r } - j n _ { 2 } \mathbf { m } _ { b } ) \cdot \mathbf { r } + n _ { 1 } \Delta H ] , } \\ { \Phi _ { F B _ { j } } } & { { } = 2 k _ { 0 } n _ { 2 } [ j h + j \mathbf { m } _ { b } \cdot \mathbf { r } ] , } \\ { \Phi _ { B _ { \ell } B _ { j } } } & { { } = 2 k _ { 0 } n _ { 2 } [ ( \ell - j ) h + ( \ell - j ) \mathbf { m } _ { b } \cdot \mathbf { r } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \Delta x } ( \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \xi \in [ \hat { \xi } _ { 3 j } , \hat { \xi } _ { 3 j + 1 } ] , } \\ { \tau _ { 3 j + \frac { 3 } { 2 } } , } & { \xi \in ( \hat { \xi } _ { 3 j + 1 } , \hat { \xi } _ { 3 j + 2 } ] , } \\ { \tau _ { 3 j + \frac { 5 } { 2 } } , } & { \xi \in ( \hat { \xi } _ { 3 j + 2 } , \hat { \xi } _ { 3 j + 3 } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( 2 \Delta \phi ) } \\ { \sin ( 2 \Delta \phi ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \hbar N \left( \begin{array} { c } { \cos ( 4 \Delta { \it \Psi } ) } \\ { \sin ( 4 \Delta { \it \Psi } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { A , B = 1 } ^ { N _ { c } } W _ { [ A B ] } W _ { [ A B ] } , \ T ^ { i j } = \sum _ { A = 1 } ^ { N _ { c } } Q _ { A } ^ { i } Q _ { A } ^ { j } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { l } _ { \mathrm { i n f } } ( i ) : = } & { \ln \left( \frac { \operatorname* { P r } ( u _ { i } = 0 | \boldsymbol { y } ) } { \operatorname* { P r } ( u _ { i } = 1 | \boldsymbol { y } ) } \right) } \\ { \stackrel { ( a ) } { = } } & { \ln \left( \frac { \sum _ { \boldsymbol { s } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { 0 } } \exp \left( - | | \boldsymbol { y } - \boldsymbol { s } | | _ { 2 } ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } \right) } { \sum _ { \boldsymbol { s } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { 1 } } \exp \left( - | | \boldsymbol { y } - \boldsymbol { s } | | _ { 2 } ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } \right) } \right) } \\ { \stackrel { ( b ) } { \approx } } & { \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \operatorname * { m i n } _ { \boldsymbol { c } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { 1 } } | | \boldsymbol { y } - \boldsymbol { s } | | _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \operatorname * { m i n } _ { \boldsymbol { c } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { 0 } } | | \boldsymbol { y } - \boldsymbol { s } | | _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\dot { L } = [ L , M ] \Longleftrightarrow \dot { Q } = P , \quad \dot { P } = - m ^ { 2 } \left( \sum _ { \alpha \in \Pi } \exp ( { \alpha \cdot Q } ) \alpha + \exp ( { \alpha _ { 0 } \cdot Q } ) \alpha _ { 0 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } } & { = } & { \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \varepsilon } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } } & { = } & { \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \mu } \right) ^ { \mathrm { T } } , } \\ { \stackrel { \leftrightarrow } { \nu } } & { = } & { - \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \xi } \right) ^ { \mathrm { T } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \Phi _ { \Delta t } ^ { n + 1 } - \Phi _ { \Delta t } ^ { n } } { s } = - \nabla \cdot ( \Phi _ { N } ^ { n } \boldsymbol { U } _ { \Delta t } ^ { n + 1 } + \Phi _ { \Delta t } ^ { n } \boldsymbol { U } _ { N } ^ { n + 1 } ) + \Delta \mathcal { V } _ { \Delta t } ^ { n + 1 } - ( G _ { \phi } ^ { ( 0 ) } ) ^ { n } + O ( s ) , } \\ & { } & { \mathcal { V } _ { \Delta t } ^ { n + 1 } = \frac { \Phi _ { \Delta t } ^ { n + 1 } } { 1 + \Phi _ { N } ^ { n + 1 } } + \frac { \Phi _ { \Delta t } ^ { n + 1 } } { 1 - \Phi _ { N } ^ { n + 1 } } - \theta _ { 0 } \Phi _ { \Delta t } ^ { n } - \varepsilon ^ { 2 } \Delta \Phi _ { \Delta t } ^ { n + 1 } , } \\ & { } & { ( - \Delta + I ) \boldsymbol { U } _ { \Delta t } ^ { n + 1 } = - \nabla P _ { \Delta t } ^ { n + 1 } - \gamma ( \Phi _ { N } ^ { n } \nabla \mathcal { V } _ { \Delta t } ^ { n + 1 } + \Phi _ { \Delta t } ^ { n } \nabla \mathcal { V } _ { N } ^ { n + 1 } ) - ( G _ { v } ^ { ( 0 ) } ) ^ { n } + O ( s ) , } \\ & { } & { \nabla \cdot \boldsymbol { U } _ { \Delta t } ^ { n + 1 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta U _ { i , c } ^ { * } = } \\ & { \Delta t { { \left[ - \frac { \partial \left( { { { \bar { u } } } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } + \frac { \Delta t } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { \partial } { \partial { { x } _ { i } } } \left( \frac { \partial \left( { { { \bar { u } } } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } \right) \right] } ^ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hbar \omega \left( \begin{array} { c } { \chi _ { \uparrow } } \\ { \chi _ { \downarrow } } \end{array} \right) } & { = } & { - \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - \xi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \chi _ { \uparrow } } \\ { \chi _ { \downarrow } } \end{array} \right) } \\ { \hbar \omega \left( \begin{array} { c } { \chi _ { \uparrow } } \\ { \chi _ { \downarrow } } \end{array} \right) } & { = } & { + \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { \Delta } \\ { \Delta } & { - \xi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \chi _ { \uparrow } } \\ { \chi _ { \downarrow } } \end{array} \right) , } \end{array}
E _ { k } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { R _ { s } } \rho ^ { 2 } \dot { \Phi } ^ { 2 } \, d \rho , \; E _ { s } = 2 \pi \int _ { 0 } ^ { R _ { s } } \rho ^ { 2 } ( \Phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } \, d \rho
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { A _ { k } ^ { i } } { \Delta t } } \\ & { = } & { n _ { l } ^ { j } \, u _ { k } ^ { i } \, \int d \Omega _ { \psi } \, \left( p _ { k } ^ { \, ^ { \prime } i } - p _ { k } ^ { \, i } \right) \, \sigma _ { C } ^ { k l } \left( u _ { k } ^ { i } , \psi \right) } \\ & { = } & { - \nu _ { k l } ^ { i j } \left( u _ { k } ^ { i } \right) \, p _ { k } ^ { \, i } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { V } _ { 1 } ^ { k } ( s _ { 1 } ^ { k } ) - V _ { 1 } ^ { \pi ^ { k } } ( s _ { 1 } ^ { k } ) } \\ & { \leq \sum _ { h = 1 } ^ { H } E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } \Big [ b _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } \\ & { \quad \quad \quad + O C E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) ) - O C E _ { s _ { h + 1 } ^ { k } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) } ^ { u } ( \hat { V } _ { h + 1 } ^ { k } ( s _ { h + 1 } ^ { k } ) ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { p } \sum _ { r = 1 } ^ { p - 1 } L _ { r , j } | r - j | c ( r , j ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { p } \sum _ { k = 0 } ^ { p - 2 } \frac { k ^ { 2 } \{ 1 { - } ( - 1 ) ^ { k - l } \} ^ { 2 } L _ { k , l } | k - l | } { \pi ^ { 2 } ( k - l ) ^ { 2 } ( k + l ) ^ { 2 } } = \mathcal { O } \{ \log ( p ) p ^ { - 1 } \} , } \end{array}
\bar { E } _ { 2 } ^ { i n c } = \bar { E } _ { 1 } ^ { i n c } \cdot e ^ { j k d \cos ( \theta ) } = \left[ \begin{array} { l } { \dots , 0 , 1 , 0 , \dots } \end{array} \right] \cdot e ^ { j k d \cos ( \theta ) }