harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { | | u | | _ { 1 } } & { = | | \sum _ { L } \phi _ { l } u | | _ { 1 } \leq \sum _ { L } | | \phi _ { l } u | | _ { 1 } } \\ & { \leq C _ { 0 } ( | | \phi _ { 0 } u | | _ { 0 } + | | P \phi _ { 0 } u | | _ { 0 } ) + \sum _ { L \setminus \{ 0 \} } C _ { l } | | P \phi _ { l } u | | _ { 0 } } \\ & { \leq C _ { 0 } | | \phi _ { 0 } u | | _ { 0 } + \sum _ { L } C _ { l } ( | | \phi _ { l } P u | | _ { 0 } + | | \lbrack P , \phi _ { l } \cdot \rbrack u | | _ { 0 } ) } \\ & { \leq C _ { 0 } | | \phi _ { 0 } u | | _ { 0 } + \operatorname* { m a x } \{ C _ { l } \cdot | | \phi _ { l } | | _ { 0 , 0 } , 1 \} \cdot \left( \sum _ { L } | | P u | | _ { 0 } + | | [ P , \phi _ { l } \cdot ] u | | _ { 0 } \right) } \\ & { \leq C \left( | | P u | | _ { 0 } + | | \phi _ { 0 } u | | _ { 0 } + \sum _ { L } | | \lbrack P , \phi _ { l } \cdot \rbrack u | | _ { 0 } \right) , } \end{array}
s = \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } d \lambda { \sqrt { \left| d s ^ { 2 } \right| } } = \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } d \lambda { \sqrt { \left| g \left( { \frac { d q } { d \lambda } } , { \frac { d q } { d \lambda } } \right) \right| } } = \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } d \lambda { \sqrt { \left| g _ { i j } { \frac { d q ^ { i } } { d \lambda } } { \frac { d q ^ { j } } { d \lambda } } \right| } }
\begin{array} { r l } { \log Z _ { \beta } ( w , \lambda ) } & { = \operatorname { \mathbb { E } } _ { w \sim q _ { \phi } } \log Z _ { \beta } ( w , \lambda ) } \\ & { = \operatorname { \mathbb { E } } _ { w \sim q _ { \phi } } \log \left\{ \frac { \exp \left\{ - \beta H \left( w | \lambda \right) \right\} } { p _ { \beta } \left( w \vert \lambda \right) } \right\} } \\ & { = \operatorname { \mathbb { E } } _ { w \sim q _ { \phi } } \log \left\{ \frac { \exp \left\{ - \beta H \left( w \vert \lambda \right) \right\} } { q _ { \phi } ( w ) } \right\} + D _ { K L } \left( q _ { \phi } ( w ) \big \Vert p _ { \beta } \left( w \vert \lambda \right) \right) . } \end{array}
J _ { \mu 5 } ^ { \mathrm { N C } } \ = \ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \bar { u } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } u - \bar { d } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } u - \bar { s } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } s \right) ~ ~ ~ .
i \frac { \partial } { \partial s } \left[ \begin{array} { c } { \zeta _ { 1 } ( z ) } \\ { \zeta _ { 2 } ^ { \ast } ( z ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { a _ { 1 1 } ( \Omega ) } & { a _ { 1 2 } ( \Omega ) } \\ { a _ { 2 1 } ( \Omega ) } & { a _ { 2 2 } ( \Omega ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \zeta _ { 1 } ( z ) } \\ { \zeta _ { 2 } ^ { \ast } ( z ) } \end{array} \right] ,
{ \frac { 4 N g ^ { 2 } \mu ^ { \epsilon } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \epsilon } } \cdot { \frac { g } { 4 m ^ { 2 } } } k _ { \alpha } ^ { \prime } p _ { \beta } \sigma ^ { \alpha \beta } v ^ { \mu } T _ { a } .
n _ { 0 } = \frac { 4 \pi } { \sigma } \Gamma \left( \frac { 3 } { \sigma } \right) p _ { \mathrm { t h , } \sigma } ^ { 3 } \eta _ { \mathrm { m a x , } \sigma } , \quad E _ { \mathrm { G } } = \frac { \Gamma ( 5 / \sigma ) } { \Gamma ( 3 / \sigma ) } n _ { 0 } \frac { p _ { \mathrm { t h , } \sigma } ^ { 2 } } { 2 m } .
\begin{array} { r l } & { \left\{ \overline { { \mathbf { U } } } _ { i , j } \right\} ~ \to ~ \left\{ \bar { \mathbf { U } } _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { + } , \bar { \mathbf { U } } _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { - } \right\} \quad \mathrm { f o r ~ f i x e d ~ j ~ } , } \\ & { \left\{ \overline { { \mathbf { U } } } _ { i , j } \right\} ~ \to ~ \left\{ \bar { \mathbf { U } } _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { + } , \bar { \mathbf { U } } _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { - } \right\} \quad \mathrm { f o r ~ f i x e d ~ i ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { ' } ( \alpha ) = p _ { 1 } ( \delta _ { 1 } - \delta _ { 2 } ) } & { \bigg \{ W ^ { ' } ( \alpha \delta _ { 1 } + ( 1 - \alpha ) \delta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) } \\ & { \qquad \qquad - W ^ { ' } \left( \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) \delta _ { 1 } + ( 1 - \frac { p _ { 1 } } { p _ { 2 } } ( 1 - \alpha ) ) \delta _ { 2 } - \theta _ { 2 } \right) \bigg \} > 0 , } \end{array}
\mathcal { W } _ { p } ^ { p } ( \nu _ { k } , \tilde { \nu } _ { k } ) \leq \mathbb { E } \Vert x _ { k } - \tilde { x } _ { k } \Vert ^ { p } \leq ( \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) ) ^ { k } \mathbb { E } \Vert x _ { 0 } - \tilde { x } _ { 0 } \Vert ^ { p } = ( \hat { h } ^ { ( g ) } ( p ) ) ^ { k } \mathcal { W } _ { p } ^ { p } ( \nu _ { 0 } , \tilde { \nu } _ { 0 } ) .
F _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } \gets ( 1 - \alpha _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } ) F _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } ^ { \mathrm { ~ L ~ W ~ } } + \alpha _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } } f _ { { e + \frac { 1 } { 2 } } }
H = - \nabla _ { 1 } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 2 } - \nabla _ { 2 } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } + { \frac { 2 \beta } { | { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } | } } + \lambda | { \bf r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } |
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { 1 } + \frac { i } { 2 } \sum _ { j } \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \partial x _ { j } \partial q _ { j } } = \frac { i } { 2 } \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar } { \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } | \mathbf { q } | } \left\{ \ln { \left( \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } | \mathbf { q } | \right) } , \Pi _ { 0 } \right\} . } \end{array}
\Sigma ( p ) = - i e ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d k } { 2 \pi } \frac { ( 2 p - k ) ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) [ ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] } + i e ^ { 2 } \int _ { \infty } ^ { \infty } \frac { d k } { 2 \pi } \frac { 1 } { k ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { { \kappa } _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { 2 } ( { \bf { A } } _ { \alpha } \cdot { \bf { A } } _ { 3 , \beta } + { \bf { A } } _ { \beta } \cdot { \bf { A } } _ { 3 , \alpha } ) . } \end{array}
U = 1 - \frac { \langle \phi ^ { 4 } \rangle } { 3 \langle \phi ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } } , \ \ \ U _ { p } = 1 - \frac { \langle \phi _ { p } ^ { 4 } \rangle } { 3 \langle \phi _ { p } ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { D _ { 4 } ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } & { = \left\{ ( x _ { 0 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( x _ { 1 } + x _ { 3 } ) ^ { 2 } \right\} \left\{ ( x _ { 0 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ^ { 2 } \right\} } \\ & { \equiv ( x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { \equiv x _ { 0 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } \pmod { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \bigg ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( X _ { i } - \mathbb { E } X _ { i } ) \geq t \bigg ) \leq \exp \bigg ( - \frac { n t ^ { 2 } / 2 } { v ^ { 2 } + b t / 3 } \bigg ) \leq \exp \bigg ( - \frac { n t ^ { 2 } / 2 } { 2 \operatorname* { m a x } \{ v ^ { 2 } , ~ b t / 3 \} } \bigg ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } \bigg \{ \exp \bigg ( - \frac { n t ^ { 2 } } { 4 v ^ { 2 } } \bigg ) , ~ \exp \bigg ( - \frac { n t ^ { 2 } } { 4 b t / 3 } \bigg ) \bigg \} = \operatorname* { m a x } \bigg \{ \exp \bigg ( - \frac { n t ^ { 2 } } { 4 v ^ { 2 } } \bigg ) , ~ \exp \bigg ( - \frac { 3 n t } { 4 b } \bigg ) \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega _ { \pm } ( t ) } \left( [ \breve { \vec { u } } \cdot \nabla ] \breve { \vec { u } } \cdot \breve { \vec { \chi } } - [ \breve { \vec { u } } \cdot \nabla ] \breve { \vec { \chi } } \cdot \breve { \vec { u } } \right) \, \mathrm { d } V = 2 \pi \int _ { \mathcal { R } _ { \pm } ( t ) } \, \bigl ( [ \vec { u } \cdot \nabla _ { c } ] \vec { u } \cdot \vec { \chi } - [ \vec { u } \cdot \nabla _ { c } ] \vec { \chi } \cdot \vec { u } \bigr ) \, r \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } ( w ) } & { { } = \bigl ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } \bigr ) ^ { - 1 / 2 } \exp \left( - \frac { w ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) , } \\ { p _ { 0 } ( c ) } & { { } = \delta ( c ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( t , m | t > t _ { r } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { t \leq t _ { r } } \\ { \frac { S ( t , m ) } { S ( t _ { r } , m ) } } & { t > t _ { r } } \end{array} \right. } \end{array}
s _ { k } = { \frac { P _ { 2 k } } { 2 } } , \quad t _ { k } = { \frac { P _ { 2 k } + P _ { 2 k - 1 } - 1 } { 2 } } , \quad N _ { k } = \left( { \frac { P _ { 2 k } } { 2 } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { K L } } ( X _ { 1 } | | X _ { 2 } ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ; \alpha , \beta ) \ln \left( { \frac { f ( x ; \alpha , \beta ) } { f ( x ; \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } ) } } \right) \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ^ { \prime } } & { { } = \frac { 2 } { S _ { 0 } ^ { \prime } } \left\{ \left[ J _ { n - 1 } ^ { 2 } ( z ) + J _ { n + 1 } ^ { 2 } ( z ) - 2 J _ { n } ^ { 2 } ( z ) \right] + 4 \left( 1 - \frac { n ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } \right) J _ { n } ^ { 2 } ( z ) \right\} , } \\ { S _ { 2 } ^ { \prime } } & { { } = 0 , } \\ { S _ { 3 } ^ { \prime } } & { { } = \frac { S _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ l ~ a ~ s ~ e ~ r ~ } } } { S _ { 0 } ^ { \prime } } \left( 1 - s + \frac { 1 } { 1 - s } \right) \left[ 1 - \frac { 2 s } { s _ { n } ( 1 - s ) } \right] \left[ J _ { n - 1 } ^ { 2 } ( z ) - J _ { n + 1 } ^ { 2 } ( z ) \right] } \end{array}
\phi ^ { \alpha ( z , t ) } ( S ) = D _ { \mathrm { N } } ^ { ( \gamma _ { 4 1 } z ^ { 2 } + \gamma _ { 4 4 } t ^ { 2 } + \beta _ { 4 1 } z + \beta _ { 4 4 } t ) } \bigg \{ { \phi ( S ) \bigg \} } ,
\begin{array} { r } { Q _ { n = 1 } = ( \Delta P - I _ { 2 } ) / I _ { 1 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \\ { \mathrm { w h e r e } ~ ~ I _ { 1 } = - 2 4 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { ( h - R _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 3 h ^ { 2 } + 3 R _ { 0 } h + R _ { 0 } ^ { 2 } ) } d Z , } \\ { I _ { 2 } = - 2 4 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { U _ { s } ( Z ) h ^ { 2 } } { ( h - R _ { 0 } ) ^ { 2 } ( 3 h ^ { 2 } + 3 R _ { 0 } h + R _ { 0 } ^ { 2 } ) } d Z . } \end{array}
\delta V _ { H } [ \rho ] ( \mathbf { r } ) = { \frac { \delta V _ { H } [ \rho ] } { \delta \rho } } \delta \rho = { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } | } } \delta \rho ( \mathbf { r ^ { \prime } } )
| S _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } | ^ { 2 } = \big \lvert S _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { ( 0 ) } \big \rvert _ { \sim } ^ { 2 } + \big \lvert S _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { ( 1 , + ) } \big \rvert ^ { 2 } + \big \lvert S _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } ^ { ( 1 , - ) } \big \rvert ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \tilde { a } ^ { 4 } )
{ \cal Z } _ { \overline { { { \beta V } } } } ^ { \overline { { { \alpha V } } } } = { \overline { { Z } } } _ { \overline { { { \beta V } } } } ^ { \overline { { { \alpha V } } } } { \cal Y } _ { \overline { { { \beta V } } } } ^ { \overline { { { \alpha V } } } } ~ .
\begin{array} { r l } { | ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( t ) | } & { = \left| ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t - \tau ) e ^ { - \int _ { t - \tau } ^ { t } D ( r ) \, d r } + C _ { 0 } e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } \right| } \\ & { \leq \left| ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t - \tau ) \right| + | C _ { 0 } | e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } D ( r ) \, d r } } \end{array}
R _ { i j , l } ^ { n \rightarrow m } = \frac { [ \Omega _ { i j , l } ^ { n \rightarrow m } ] ^ { 2 } / \Gamma ^ { m \rightarrow n } } { 1 + 4 [ ( \Delta _ { l } - ( \delta _ { j } ^ { m } - \delta _ { i } ^ { n } ) - \mathbf { k } _ { l } \cdot \mathbf { v } ) / \Gamma ^ { m \rightarrow n } ) ] ^ { 2 } } ,
\ddot { \Tilde { x } } + ( \Tilde { \Gamma } _ { \mathrm { t h } } + \Tilde { \Gamma } _ { \mathrm { f d } } ) \dot { \Tilde { x } } + \Tilde { k } \Tilde { x } = \sqrt { 2 \Tilde { \Gamma } _ { \mathrm { t h } } } \xi ( \Tilde { t } ) .
\lambda = - \alpha \gamma _ { 1 , 7 _ { 3 } , ( 0 ) } \lambda \gamma _ { 1 , 7 _ { 5 } , ( 0 ) } ^ { - 1 } = - \alpha \gamma _ { 1 , 7 _ { 5 } , ( 0 ) } \lambda \gamma _ { 1 , 7 _ { 3 } , ( 0 ) } ^ { - 1 }
\frac { \mathrm { ~ d ~ } V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) } { \mathrm { ~ d ~ } t } = - \frac { 1 } { R C } \, V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) + \bigg ( \frac { I _ { \mathrm { ~ t ~ } } ( t ) } { C } + \frac { V _ { \mathrm { ~ B ~ } } } { R C } \bigg ) .
\frac { \partial L } { \partial \boldsymbol { w } } = \frac { \partial L } { \partial \operatorname { s i g n } ( \boldsymbol { w } ) } \cdot \mathbb { I } , \; \; \; \operatorname { w h e r e } \; \mathbb { I } : = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad | \boldsymbol { w } | \leq 1 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r c r l } { { h _ { 1 } ( r ) } } & { { = } } & { { - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } } & { { \log \, \left[ H _ { 1 7 } / H _ { 2 3 } \right] } } \\ { { h _ { 2 } ( r ) } } & { { = } } & { { - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } } & { { \log \, \left[ H _ { 2 4 } / H _ { 1 8 } \right] } } \\ { { h _ { 7 } ( r ) } } & { { = } } & { { - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } } } & { { \log \, \left[ H _ { 1 8 } \, H _ { 2 4 } / H _ { 1 7 } \, H _ { 2 3 } \right] } } \\ { { U ( r ) } } & { { = } } & { { - \frac { 1 } { 4 } } } & { { \log \left[ H _ { 1 7 } \, H _ { 1 8 } \, H _ { 2 3 } \, H _ { 2 4 } \right] } } \\ { { q ^ { 1 8 } ( r ) } } & { { = } } & { { - e _ { 1 8 } } } & { { H _ { 1 8 } ^ { - 2 } } } \\ { { q ^ { 2 3 } ( r ) } } & { { = } } & { { - e _ { 2 3 } } } & { { H _ { 2 3 } ^ { - 2 } } } \\ { { p ^ { 2 4 } } } & { { = } } & { { g ^ { 2 4 } } } & { { \null } } \\ { { p ^ { 1 7 } } } & { { = } } & { { g ^ { 1 7 } } } & { { \null } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \right] + \phi \omega ^ { - \gamma } \mathcal { K } ^ { \star } \mathrm { D a } ( 1 - \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } ^ { a } ) , } \end{array}
i s a L i p s c h i t z q u o t i e n t , t h e r e s u l t s t r i v i a l i z e , s i n c e i n t h i s c a s e b e i n g i n t r i n s i c a l l y L i p s c h i t z i s e q u i v a l e n t t o b e i n g a b i L i p s c h i t z e m b e d d i n g , s e e P r o p o s i t i o n ~ . I n t h e c o n t e x t o f g r o u p s , o n e h a s a L i p s c h i t z q u o t i e n t w h e n o n e t a k e s a n o r m a l s u b g r o u p
\Delta _ { \delta } = - \frac { f _ { v ^ { 2 } } } { f _ { D } } \frac { 1 + \alpha } { 2 } \frac { \nu _ { \mathrm { o p t } } ^ { i } } { | \nu _ { \mathrm { o p t } } | ^ { 2 } } \frac { 3 } { 2 } \Delta _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { 0 } ( t , \tau ) } { \partial t } } & { { } = \left[ - 1 + i ( | E _ { 0 } | ^ { 2 } - \Delta _ { \mathrm { e f f } } ) + i \hat { \beta } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \pi _ { g } } { d s } } & { { } = } & { - \alpha _ { g } \pi _ { g } + \alpha _ { l } \pi _ { l } , } \\ { \frac { d \pi _ { l } } { d s } } & { { } = } & { \alpha _ { g } \pi _ { g } - \alpha _ { l } \pi _ { l } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial B } { \partial t } } & { = } & { \beta \left( { \frac { \partial ^ { 2 } B } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } B } { \partial z ^ { 2 } } } \right) - \frac { \partial U } { \partial z } \gamma - \frac { \partial U } { \partial x } \gamma - \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial z ^ { 2 } } \frac { \partial \gamma } { \partial z } } \\ & { } & { - \frac { \partial U } { \partial z } \frac { \partial \gamma } { \partial z } - \frac { \partial U } { \partial x } \frac { \partial \gamma } { \partial x } - \frac { \partial U } { \partial z } \frac { \partial A } { \partial x } - \frac { \partial U } { \partial x } \frac { \partial A } { \partial z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { x } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } + \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) } \\ { \hat { S } _ { y } } & { { } = - \frac { i } { 2 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } - \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } ) } \\ { \hat { S } _ { z } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { c } _ { - 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { - 1 } - \hat { c } _ { 0 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \chi \smash [ t ] { \mathstrut } } _ { L G S } ( f ) } & { { } = h \operatorname* { m a x } _ { x \in \overline { { \Omega } } _ { h } } \Bigl ( G _ { h } [ \log f ] ( x ) \Bigr ) } \end{array}
\left. { { { \left\langle { { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } , \delta { \bf { \bar { v } } } } \right\rangle } _ { \bf { x } } } } \right| _ { 0 } ^ { T } = { \left\langle { { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } \left( T \right) , \delta { \bf { \bar { v } } } \left( T \right) } \right\rangle _ { \bf { x } } } - { \left\langle { { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } \left( 0 \right) , \delta { \bf { \bar { v } } } \left( 0 \right) } \right\rangle _ { \bf { x } } } = { \left\langle { { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } \left( T \right) , \delta { \bf { \bar { v } } } \left( T \right) } \right\rangle _ { \bf { x } } } ,
\frac { \Phi } { \mu ^ { 2 } } = \exp \left[ \frac { 1 1 } { 3 } - \frac { 2 \lambda } { \alpha ^ { 2 } \left( \frac { \gamma ^ { 2 } ( 4 \pi ) ^ { 2 } } { 2 \theta ^ { 4 } } - \frac { 8 \lambda } { \theta ^ { 2 } } \right) } \right] .
\begin{array} { r l } { S _ { n } ( \chi , b ) = } & { \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \lambda , x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \sum _ { u \in \mathbb { F } _ { q } } \psi \left( u \left( x _ { 1 } + \cdots + x _ { n + 1 } - \lambda \right) \right) \chi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \chi _ { n + 1 } ( x _ { n + 1 } ) } \\ & { \times \psi \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) \sum _ { \chi } \chi \left( \frac { x _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } } { b } \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \lambda \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \sum _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \chi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \chi _ { n + 1 } ( x _ { n + 1 } ) \psi \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) \sum _ { \chi } \chi \left( \frac { x _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } } { b } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \lambda \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \sum _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \sum _ { u \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \psi \left( u \left( x _ { 1 } + \cdots + x _ { n + 1 } - \lambda \right) \right) } \\ & { \quad \times \chi _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \cdots \chi _ { n + 1 } ( x _ { n + 1 } ) \psi \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) \sum _ { \chi } \chi \left( \frac { x _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } } { b } \right) } \\ { = } & { S _ { 1 } + S _ { 2 } . } \end{array}
\sigma ( 1 - { \cal P } _ { \geq } ) \sigma ^ { * } = \sigma \, { \cal P } _ { < } \, \sigma ^ { * } = \frac 1 { 2 \pi } \sum _ { n \leq k + 1 } e ^ { i n \theta } \left\langle e ^ { i n \theta } , \ \cdot \ \right\rangle = { \cal P } _ { \leq }
C _ { \alpha , \kappa } = \left( 1 + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } ^ { \frac { 2 ( p - 1 ) } { p - 2 } } \right) \operatorname* { m a x } \left\lbrace 1 , \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \right\rbrace
g = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 + { \frac { 1 } { 4 } } \eta \eta ^ { \diamond } } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } \eta } } & { { { \frac { 1 } { 2 } } \eta ^ { \diamond } } } \\ { { - { \frac { 1 } { 2 } } ( a \eta ^ { \diamond } - b ^ { \diamond } \eta ) } } & { { a ( 1 - { \frac { 1 } { 8 } } \eta \eta ^ { \diamond } ) } } & { { - b ^ { \diamond } ( 1 - { \frac { 1 } { 8 } } \eta \eta ^ { \diamond } ) } } \\ { { - { \frac { 1 } { 2 } } ( b \eta ^ { \diamond } + a ^ { \diamond } \eta ) } } & { { b ( 1 - { \frac { 1 } { 8 } } \eta \eta ^ { \diamond } ) } } & { { a ^ { \diamond } ( 1 - { \frac { 1 } { 8 } } \eta \eta ^ { \diamond } ) } } \end{array} \right)
A ( E , \nabla ) = \left( \mu _ { 2 } ( E ) - \frac { i } { 2 \pi } \frac { \left( \mu _ { 1 } ( E ) ^ { + } + \left( \iota ( \theta ) \mu _ { 2 } ( E ) \right) ^ { + } \right) ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } ( E ) + \iota ( \theta ) \mu _ { 1 } ( E ) + \frac { 1 } { 2 } \iota ( \theta ) ^ { 2 } \mu _ { 2 } ( E ) } \right) [ T ] ,
\begin{array} { r l } { \zeta ^ { 2 } } & { + \frac { \zeta } { 2 n ^ { 2 } } \left( 4 S ^ { 2 } - n ^ { 2 } ( 4 - 3 \beta S ) - 4 S ( S + n ^ { 2 } \beta ) \cos ( k _ { z } \Delta z ) \right) } \\ & { + \frac { \zeta S \beta } { 2 } \left( \cos ( 2 k _ { z } \Delta z ) + 2 i \sin ( k _ { z } \Delta z ) - i \sin ( 2 k _ { z } \Delta z ) \right) } \\ & { + e ^ { - i k _ { z } \Delta z } [ 1 - S \beta ( 1 - \cos ( k _ { z } \Delta z ) ) ] [ S \beta + ( S \beta - 1 ) \cos ( k _ { z } \Delta z ) - i \sin ( k _ { z } \Delta z ) ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } } & { ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) } \\ & { = { f } _ { \mathrm { l o } , \omega _ { 1 } } ( 0 ) { f } _ { \mathrm { l o } , \omega _ { 2 } } ( 0 ) { f } _ { \mathrm { u p } , \omega _ { 3 } } ( 0 ) { f } _ { \mathrm { u p } , \omega _ { 4 } } ( 0 ) \mathcal { J } _ { \mathrm { s p a t i a l } } ^ { \mathrm { D C } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { O ( \sqrt { K L T \ln T } ) + K \left( \sum _ { i \in E } O \left( \frac { K } { ( \Delta ^ { \mathrm { v } } ) ^ { 2 } } \ln \frac { T } { \delta } \right) + O \sum _ { i \in E } \left( \frac { Q K } { ( \Delta ^ { \mathrm { v } } ) ^ { 2 } } \ln T \right) \right) } \\ & { = O ( \sqrt { K L T \ln T } ) + O \left( \frac { L K ^ { 2 } } { ( \Delta ^ { \mathrm { v } } ) ^ { 2 } } \ln \frac { 1 } { \delta } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \mathsf { T } } d \widetilde { \tau } \int _ { \widetilde { \Sigma } _ { \widetilde { \tau } } } r ^ { 2 } d r \sin \theta d \theta d \widetilde { \phi } \left\{ \frac { | T \Psi | ^ { 2 } + | \widetilde { \partial } _ { r } \Psi | ^ { 2 } } { r ^ { 1 + \alpha } } + \frac { | \widetilde { \partial } _ { \theta } \Psi | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } | \Phi \Psi | ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } + \frac { | \Psi | ^ { 2 } } { r ^ { 3 + \alpha } } \right\} \leq C E _ { 0 } ^ { 1 } [ \Psi ] \, } \end{array}
B ( K _ { L } \rightarrow \pi ^ { 0 } \nu \overline { { { \nu } } } ) _ { S M } = 4 . 2 5 \times 1 0 ^ { - 1 0 } \left[ \frac { \bar { m } _ { t } ( m _ { t } ) } { 1 7 0 G e V } \right] ^ { 2 . 3 } \left[ \frac { \Im m ( \lambda _ { t } ) } { \lambda ^ { 5 } } \right] ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \mathbb P \left( \bigcap _ { N = 1 } ^ { \infty } \bigcup _ { n = N } ^ { \infty } \left\lbrace \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tilde { \tau } _ { n } \wedge \tilde { \tau } _ { n + 1 } ] } \| u ^ { j _ { n } } - u ^ { j _ { n + 1 } } \| _ { s , j _ { l + 1 } } \geq 2 ^ { - ( n + 2 ) } \right\rbrace \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { \sum _ { I , J , K , Q } \sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } f _ { l } ( A , A ^ { \dagger } ; \vec { i } , \vec { j } , \vec { k } , \vec { q } ; \sigma _ { 1 } ) \delta _ { j _ { \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { i _ { 1 } } \delta _ { k _ { \gamma ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { q _ { 1 } } \dots \dots \delta _ { j _ { \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } ) } } ^ { i _ { \mathbf { m } } } \delta _ { k _ { \gamma ^ { - 1 } ( \mathbf { m } ) } } ^ { q _ { \mathbf { m } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } } & { = \frac { A } { R _ { 1 } \rho _ { 0 } } \exp \left( { - R _ { 1 } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } } \right) + \frac { B } { R _ { 2 } \rho _ { 0 } } \exp \left( { - R _ { 2 } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } } \right) } \\ { p _ { \mathrm { r e f } } } & { = A \exp \left( { - R _ { 1 } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } } \right) + B \exp \left( { - R _ { 2 } \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } } \right) } \end{array}