harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tau } \widehat { t } } & { = \left( \nabla _ { s } v _ { t } - \kappa v _ { n } \right) \widehat { t } + \left( - \omega v _ { b } + \nabla _ { s } v _ { n } + \kappa v _ { t } \right) \widehat { n } + \left( \nabla _ { s } v _ { b } + \omega v _ { n } \right) \widehat { b } , } \\ { \partial _ { \tau } \widehat { n } } & { = \left( \omega v _ { b } - \frac { v _ { n } \nabla _ { s } \kappa } { \kappa } - 2 \nabla _ { s } v _ { n } + \frac { \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { t } } { \kappa } - \kappa v _ { t } \right) \widehat { t } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \kappa } \left( - { 2 \omega \nabla _ { s } v _ { b } } - { v _ { b } \nabla _ { s } \omega } - { \partial _ { \tau } \kappa } + { \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { n } } + { v _ { t } \nabla _ { s } \kappa } + 2 \kappa \nabla _ { s } v _ { t } - { \omega ^ { 2 } v _ { n } } - \kappa ^ { 2 } v _ { n } \right) \widehat { n } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \kappa } \left( { \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { b } } - { \omega ^ { 2 } v _ { b } } + { 2 \omega \nabla _ { s } v _ { n } } + { v _ { n } \nabla _ { s } \omega } + \kappa \omega v _ { t } \right) \widehat { b } , } \\ { \partial _ { \tau } \widehat { b } } & { = \left( - \nabla _ { s } v _ { b } - \omega v _ { n } \right) \widehat { t } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \kappa } \left( - { \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { b } } + { \omega ^ { 2 } v _ { b } } - { 2 \omega \nabla _ { s } v _ { n } } - { v _ { n } \nabla _ { s } \omega } - \kappa \omega v _ { t } \right) \widehat { n } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \kappa } \left( - { 2 \omega \nabla _ { s } v _ { b } } - { v _ { b } \nabla _ { s } \omega } - { \partial _ { \tau } \kappa } + { \nabla _ { s } ^ { 2 } v _ { n } } + { v _ { t } \nabla _ { s } \kappa } + 3 \kappa \nabla _ { s } v _ { t } - { \omega ^ { 2 } v _ { n } } - 2 \kappa ^ { 2 } v _ { n } \right) \widehat { b } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { G _ { k } ^ { i } \mid \mathcal { F } _ { k } } = \frac { n ^ { i } } [ \delta _ { k } ] \mathbb { E } _ { \Big ( J ^ { i } ( \hat { X } _ { k + 1 / 2 } ) - J ^ { i } ( \hat { X } _ { k - 1 / 2 } ) \Big ) u _ { k } ^ { i } \mid \mathcal { F } _ { k } } } \\ & { = \frac { n ^ { i } } { n ^ { i } } [ \delta _ { k } \Big ] \mathbb { E } _ { J ^ { i } ( \hat { X } _ { k + 1 / 2 } ) u _ { k } ^ { i } \mid \mathcal { F } _ { k } } - \frac { n ^ { i } } [ \delta _ { k } ] J ^ { i } ( \hat { X } _ { k - 1 / 2 } ) \mathbb { E } _ { u _ { k } ^ { i } } } \\ & { = \frac { n ^ { i } } [ \delta _ { k } ] \mathbb { E } _ { J ^ { i } ( \hat { X } _ { k + 1 / 2 } ) u _ { k } ^ { i } \mid \mathcal { F } _ { k } } . } \end{array}
W _ { n + 1 } = { W _ { n } } + 2 \alpha \frac { 1 } { K } \sum _ { k } ^ { K } \left( { \psi _ { k } ^ { \prime } } ^ { T } { \psi _ { k } ^ { \prime } } { W _ { n } } ^ { T } - { \psi _ { k } } ^ { T } { \psi _ { k } } \right) ,
{ \scriptsize G _ { t } ^ { \prime } : = \mathrm { c o k e r } ( Q _ { t } ^ { \prime } ) = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l } { { p _ { 1 } } } & { { p _ { 2 } } } & { { p _ { 3 } } } & { { p _ { 4 } } } & { { p _ { 5 } } } & { { p _ { 6 } } } & { { p _ { 7 } } } & { { p _ { 8 } } } & { { p _ { 9 } } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , }
\mathrm { R E } _ { n } = \operatorname* { m i n } _ { a \in \mathbb { R } } \frac { \int _ { a } ^ { \delta + a } \vert x \vert \cdot \frac { 1 } { \delta } \, d x } { \delta \cdot ( 2 ^ { { n } } - 1 ) } = \frac { 1 } { 2 ^ { { n + 2 } } - 4 } \approx 2 ^ { - ( n + 2 ) }
\mathcal { L } _ { 0 } = \sum _ { a = 1 } ^ { r } \biggl ( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \mu } \phi _ { a } \partial ^ { \mu } \phi _ { \bar { a } } - \frac { 1 } { 2 } m _ { a } ^ { 2 } \phi _ { a } \phi _ { \bar { a } } \biggr ) - \sum _ { n = 3 } ^ { + \infty } \frac { 1 } { n ! } \sum _ { a _ { 1 } , \dots , a _ { n } = 1 } ^ { r } C _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ^ { ( n ) } \phi _ { a _ { 1 } } \ldots \phi _ { a _ { n } } .
\begin{array} { r l } { \Xi _ { k } f ( x ) } & { = \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \int \widehat { \chi _ { k } } ( \xi ) \hat { f } ( \xi + \theta _ { n } ) e ( \xi x ) \ d \xi } \\ & { \qquad = \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \big ( \chi _ { k } * ( \mathrm { M o d } _ { - \theta _ { n } } f ) \big ) ( x ) } \\ & { \qquad \qquad = \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \big ( \chi _ { k } * ( \chi * \mathrm { M o d } _ { - \theta _ { n } } f ) \big ) ( x ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad = \mathrel { \mathop : } \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot ( \chi _ { k } * f _ { \theta _ { n } } ) ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial \mu } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { \frac { ( 1 - \rho ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial \rho } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { \frac { n \rho } { 1 - \rho ^ { 2 } } + \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ( x _ { i - 1 } - \mu ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } \\ { \frac { \partial } { \partial \gamma ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { - \frac { n } { 2 \gamma ^ { 2 } } + \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 4 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \langle \tilde { \rho } _ { N } - \sigma _ { N } , v \rangle | } & { = \frac { 3 } { N 4 \pi R ^ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { B _ { i } } \left( v ( x ) - \fint _ { Q _ { i } } v ( z ) { \mathrm { d } } z \right) \mathrm { d } x } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } | B _ { i } | ^ { 1 - \frac 1 { p _ { * } } } \| \nabla v \| _ { L ^ { p } ( Q _ { i } ) } \lesssim \frac { 1 } { r ^ { 3 } } r ^ { 3 ( 1 - \frac 1 { p _ { * } } ) } N ^ { 1 - \frac 1 p - ( 1 - \frac 1 { p _ { * } } ) } \| \nabla v \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { r ^ { \frac { 3 } { p _ { * } } } } N ^ { \frac 1 { p _ { * } } - \frac 1 p } \| \nabla v \| _ { L ^ { p } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } _ { s } \boldsymbol { \cdot } { \boldsymbol { \sigma } ^ { ( 0 ) } } } & { = \boldsymbol { \nabla } _ { s } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { u } ^ { ( 0 ) } = 0 } \\ { \boldsymbol { \nabla } _ { s } \boldsymbol { \cdot } { \boldsymbol { \sigma } ^ { ( 1 ) } } } & { = \boldsymbol { \nabla } _ { s } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 } } & { = \{ \gamma : \ell ( \gamma ) > M \, \, \, \textrm { a n d } \, \, \, | \gamma | \subset B ( 0 , \sqrt { M } ) \} } \\ { \Gamma _ { 2 } } & { = \{ \gamma : | \gamma | \cap \partial B ( 0 , 1 ) \neq \emptyset \, \, \, \textrm { a n d } \, \, \, | \gamma | \cap \partial B ( 0 , \sqrt { M } ) \neq \emptyset \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { x ^ { \prime } } \in B D ( \mathcal { Y } ) , \qquad \int _ { \mathcal { Y } } \mu _ { x ^ { \prime } } ( y ) \, d y = 0 , \qquad | E _ { y } \mu _ { x ^ { \prime } } | ( \mathcal { Y } ) \neq 0 , } \\ { \kappa _ { x ^ { \prime } } \in B H ( \mathcal { Y } ) , \qquad \int _ { \mathcal { Y } } \kappa _ { x ^ { \prime } } ( y ) \, d y = 0 , \qquad | D _ { y } ^ { 2 } \kappa _ { x ^ { \prime } } | ( \mathcal { Y } ) \neq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \phi ^ { r } } | _ { \mathsf { D } _ { \mathsf { f d } } } : \mathsf { D } _ { \mathsf { f d } } ^ { ( \triangle , \ell ) } \to \mathsf { D } _ { \mathsf { f d } } ^ { ( \triangle , \ell ) } , \quad F _ { \phi ^ { r } } | _ { \mathsf { p e r } } : \mathsf { p e r } ^ { ( \triangle , \ell ) } \to \mathsf { p e r } ^ { ( \triangle , \ell ) } . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l l l c } { a x ^ { 2 } } & { + } & { b x } & { + } & { c } & { = } & { 0 } \\ { 4 a ^ { 2 } x ^ { 2 } } & { + } & { 4 a b x } & { + } & { 4 a c } & { = } & { 0 } \\ { 4 a ^ { 2 } x ^ { 2 } } & { + } & { 4 a b x } & & & { = } & { - 4 a c } \\ { 4 a ^ { 2 } x ^ { 2 } } & { + } & { 4 a b x } & { + } & { b ^ { 2 } } & { = } & { b ^ { 2 } - 4 a c } \\ & & { ( 2 a x + b ) ^ { 2 } } & & & { = } & { b ^ { 2 } - 4 a c } \\ { { \mathrm { ~ ( v a l i d ~ i f ~ } } b ^ { 2 } - 4 a c { \mathrm { ~ i s ~ p o s i t i v e ) } } } & & { 2 a x + b } & & & { = } & { \pm { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } } \\ & & { 2 a x } & & & { = } & { - b \pm { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } } \\ & & & & { x } & { = } & { { \frac { - b \pm { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } } { 2 a } } \, . } \\ { \, } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { S _ { I } ( \rho _ { 1 } ^ { \prime } | \rho _ { 0 } ) + S _ { I } ( \rho _ { 1 } | \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) } & { = } & { S _ { I } ( \rho _ { 0 } ) - S _ { I } ( \rho _ { 1 } ) - \beta W } \\ { \xrightarrow { R \rightarrow \infty } \qquad - \beta W } & { = } & { S _ { I } ( \rho _ { 0 } ) - S _ { I } ( \rho _ { 1 } ) - \beta W } \\ { \rightarrow \qquad S _ { I } ( \rho _ { 0 } ) } & { = } & { S _ { I } ( \rho _ { 1 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \hat { H } ^ { \ell } [ s ] } & { = - \sum _ { s } \frac { k _ { s } ^ { \ell } } { N } \log _ { 2 } \frac { k _ { s } ^ { \ell } } { N } , } \\ { \hat { H } ^ { \ell } [ k ] } & { = - \sum _ { k } \frac { k m _ { k } ^ { \ell } } { N } \log _ { 2 } \frac { k m _ { k } ^ { \ell } } { N } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( \Delta ) } & { = \left| s _ { 1 2 , 1 } s _ { 2 1 , 1 } + s _ { 1 1 , 1 } \right| ^ { 2 } \left| 1 - \frac { s _ { 1 2 , 1 } s _ { 2 1 , 1 } } { s _ { 1 2 , 1 } s _ { 2 1 , 1 } + s _ { 1 1 , 1 } } \frac { \kappa ^ { \mathrm { e x t 1 } } } { \kappa / 2 - i \Delta } \right| ^ { 2 } } \\ & { = R _ { 1 , \Delta \gg \kappa } \left| 1 - S ^ { \prime } e ^ { - i \phi } \frac { \kappa ^ { \mathrm { e x t 1 } } } { \kappa / 2 - i \Delta } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P \left( \sum _ { j = 1 } ^ { m } B _ { j } \geq \frac { m } { 2 } \right) } & { \leq e ^ { - \operatorname* { s u p } _ { \lambda \geq 0 } \left\{ \frac { \lambda m } { 2 } - \ln \mathbb E \left[ e ^ { \lambda \sum _ { j = 1 } ^ { m } B _ { j } } \right] \right\} } = e ^ { - m \operatorname* { s u p } _ { \lambda \geq 0 } \left\{ \frac { \lambda } { 2 } - \ln ( p e ^ { \lambda } + 1 - p ) \right\} } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { W } ( s ) = } & { { } \lambda \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \left( \hat { n } _ { i } \tilde { w } _ { i + 1 } ^ { 0 \to 1 } ( s ) + \tilde { w } _ { i } ^ { 0 \to 1 } ( s ) \hat { n } _ { i + 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { P } , V _ { W } , V _ { L } \in \rho ^ { 2 } \mathrm { D i f f } _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } ( \bar { X } ) , \quad Q _ { P } , Q _ { W } , Q _ { L } \in \rho ^ { 2 } \mathrm { D i f f } _ { \mathrm { s c } } ^ { 1 } ( \bar { X } ) , \quad \widehat { \mathcal { P } _ { b , \gamma } } ( 0 ) , \widehat { \mathcal { W } _ { b , \gamma } } ( 0 ) , \widehat { L _ { b , \gamma } } ( 0 ) \in \rho ^ { 2 } \mathrm { D i f f } _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } ( \bar { X } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { B A } = m _ { C A } } & { { } = } & { - \Omega ^ { 2 } e ^ { - 2 \frac { \kappa ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega n + 2 \kappa ^ { 2 } / \omega } \frac { \left[ \kappa ^ { 2 } / ( 2 \omega ^ { 2 } ) \right] ^ { n } } { n ! } ; } \\ { m _ { B B } = m _ { C C } } & { { } = } & { - 2 \Omega ^ { 2 } e ^ { - 2 \frac { \kappa ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } , n _ { 4 } = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ( n _ { 1 } + n _ { 2 } + n _ { 3 } + n _ { 4 } ) + 2 \kappa ^ { 2 } / \omega } \frac { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 1 } } } { n _ { 1 } ! } \frac { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 2 } } } { n _ { 2 } ! } \frac { \left( \frac { 3 \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 3 } } } { n _ { 3 } ! } \frac { \left( \frac { 3 \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 4 } } } { n _ { 4 } ! } ; } \\ { m _ { C B } } & { { } = } & { - \Omega ^ { 2 } e ^ { - 2 \frac { \kappa ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \omega ( n _ { 1 } + n _ { 2 } ) + 2 \kappa ^ { 2 } / \omega } \frac { \left( - \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 1 } } } { n _ { 1 } ! } \frac { \left( \frac { 3 \kappa ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } \right) ^ { n _ { 3 } } } { n _ { 3 } ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } & { { } = X _ { 1 } + X _ { 2 } , } \\ { e _ { 2 } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) } & { { } = X _ { 1 } X _ { 2 } . \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 1 1 } } & { = { \frac { \left( - 4 \eta - 8 \right) \psi + 6 \eta } { \left( \eta + 2 \right) \eta } } } \\ { B _ { 1 2 } } & { = { \frac { \left( - 6 \eta - 6 \right) \psi + 3 \eta ^ { 2 } + 6 \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 2 } } } } \\ { B _ { 1 3 } } & { = { \frac { \left( - 1 2 \, \eta - 1 8 \right) \psi + 3 \, { \eta } ^ { 2 } + 1 8 \, \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 3 } } } } \\ { B _ { 2 1 } } & { = { \frac { \left( 6 \, \eta + 1 2 \right) \psi - 1 2 \, \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 2 } } } } \\ { B _ { 2 2 } } & { = { \frac { \left( 1 2 \, \eta + 1 2 \right) \psi - 6 \, { \eta } ^ { 2 } - 1 2 \, \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 3 } } } } \\ { B _ { 2 3 } } & { = { \frac { \left( 2 4 \, \eta + 3 6 \right) \ln \left( \eta + 1 \right) - 6 \, { \eta } ^ { 2 } - 3 6 \, \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 4 } } } } \\ { B _ { 3 1 } } & { = { \frac { \left( - 1 2 \, \eta - 1 8 \right) \psi + 3 \, { \eta } ^ { 2 } + 1 8 \eta } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 3 } } } } \\ { B _ { 3 2 } } & { = - \frac 3 2 \, { \frac { \left( \left( 2 \eta + 2 \right) \psi + { \eta } ^ { 2 } - 2 \, \eta \right) \left( \left( - 2 \eta - 2 \right) \psi + { \eta } ^ { 2 } + 2 \eta \right) } { \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 5 } } } } \\ { B _ { 3 3 } } & { = { \frac { 1 2 \, \left( \eta + 1 \right) ^ { 2 } \psi ^ { 2 } + \left( - 7 2 { \eta } ^ { 2 } - 9 6 \, \eta \right) \psi - 3 \, { \eta } ^ { 2 } \left( { \eta } ^ { 2 } - 4 \, \eta - 2 8 \right) } { 2 \left( \eta + 2 \right) { \eta } ^ { 6 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { w _ { ( A , B ) } ( t _ { 1 } ) w _ { ( A , B ) } ( t _ { 1 } ) ^ { \top } - w _ { ( A , B ) } ( t _ { 2 } ) w _ { ( A , B ) } ( t _ { 2 } ) ^ { \top } } \\ { = \left[ \begin{array} { l } { I _ { n } } \\ { A ^ { \top } } \\ { B ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { \top } \! \! \! \! } & { \left( \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t _ { 1 } ) } \\ { - x ( t _ { 1 } ) \! } \\ { - u ( t _ { 1 } ) \! } \end{array} \right) \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t _ { 1 } ) } \\ { - x ( t _ { 1 } ) \! } \\ { - u ( t _ { 1 } ) \! } \end{array} \right) ^ { \! \! \top } \! \! - \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t _ { 2 } ) } \\ { - x ( t _ { 2 } ) \! } \\ { - u ( t _ { 2 } ) \! } \end{array} \right) \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t _ { 2 } ) } \\ { - x ( t _ { 2 } ) \! } \\ { - u ( t _ { 2 } ) \! } \end{array} \right) ^ { \! \! \top } \right) \! \! \left[ \begin{array} { l } { I _ { n } } \\ { A ^ { \top } } \\ { B ^ { \top } } \end{array} \right] } \\ { \leqslant \lambda } & { \left( \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t _ { 1 } ) } \\ { - x ( t _ { 1 } ) \! } \\ { - u ( t _ { 1 } ) \! } \end{array} \right) \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t _ { 1 } ) } \\ { - x ( t _ { 1 } ) \! } \\ { - u ( t _ { 1 } ) \! } \end{array} \right) ^ { \! \! \top } \! \! - \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t _ { 2 } ) } \\ { - x ( t _ { 2 } ) \! } \\ { - u ( t _ { 2 } ) \! } \end{array} \right) \! \! \left( \begin{array} { l } { \dot { x } ( t _ { 2 } ) } \\ { - x ( t _ { 2 } ) \! } \\ { - u ( t _ { 2 } ) \! } \end{array} \right) ^ { \! \! \top } \right) . } \end{array}
\varepsilon _ { \nu \tau } p ^ { \tau } ( p _ { \rho } p _ { \sigma } - g _ { \rho \sigma } p ^ { 2 } ) = \varepsilon _ { \rho \tau } p ^ { \tau } ( p _ { \nu } p _ { \sigma } - g _ { \nu \sigma } p ^ { 2 } ) = \varepsilon _ { \sigma \tau } p ^ { \tau } ( p _ { \nu } p _ { \rho } - g _ { \nu \rho } p ^ { 2 } )
V _ { \theta } = { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \left[ { \frac { { \cal I } _ { K } } { z _ { < } ^ { 4 } } } + { \frac { { \cal I } _ { I } } { z _ { > } ^ { 4 } } } + { \frac { { \cal V } ( \tau ) } { z _ { > } ^ { 4 } } } \right] + { \frac { \beta _ { 4 } ( \beta \theta + 1 ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 1 } { z _ { + } ^ { 4 } } } \ln \left( { \frac { z _ { + } } { z _ { 0 } } } \right) + { \frac { 1 } { z _ { - } ^ { 4 } } } \ln \left( { \frac { z _ { - } } { z _ { 0 } } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { L _ { X F } ^ { \prime } } & { { } = \operatorname { R e } \int _ { \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { 3 N } } \Bigg ( i \sqrt { \mu } \Omega ^ { * } \partial _ { t ^ { \prime } } \Omega ^ { \prime } + | \Omega ^ { \prime } | ^ { 2 } \left\langle \phi ^ { \prime } \mid i \sqrt { \mu } \partial _ { t ^ { \prime } } \phi ^ { \prime } - \hat { H } _ { e } ^ { \prime } \phi ^ { \prime } \right\rangle } \end{array}
\Bigg [ 0 , - \frac { 2 2 6 8 \alpha ^ { 3 } + 1 1 \alpha z ^ { 4 } + 3 6 0 \alpha ^ { 2 } z ^ { 2 } \pm \sqrt { \alpha ^ { 2 } \left( 1 0 4 9 7 6 \alpha ^ { 4 } - 2 3 z ^ { 8 } - 7 2 0 \alpha z ^ { 6 } - 7 1 2 8 \alpha ^ { 2 } z ^ { 4 } - 4 6 6 5 6 \alpha ^ { 3 } z ^ { 2 } \right) } } { 6 4 8 \alpha ^ { 3 } + 6 \alpha z ^ { 4 } + 1 4 4 \alpha ^ { 2 } z ^ { 2 } } \Bigg ] ,
\mathbf { v } ^ { * } \approx { \pmb { \mu } } = \mathbf { m } ^ { * } + ( \mathbf { K } ^ { * } ) ^ { \mathrm { T } } ( \mathbf { K } + \sigma _ { N } ^ { 2 } { \bf { I } } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { v } - \mathbf { m } ) ,
\ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ \tilde { ~ } { ~ B ~ } ~ } } = \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ \tilde { ~ } { ~ B ~ } ~ } } _ { \perp } = \nabla \times \left( A _ { \parallel } \ensuremath { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ b ~ } ~ } } _ { 0 } \right) .
\left\langle \psi \right\vert \hat { b } _ { 1 } \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \left\vert \psi \right\rangle = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta \partial \beta ^ { \ast } } e ^ { \frac { | \beta | ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } } = \frac { 1 - \gamma ^ { 2 } + \left\vert \beta \right\vert ^ { 2 } } { \left( 1 - \gamma ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } e ^ { \frac { | \beta | ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } } .
k _ { z } = \sqrt { k _ { \mathrm { m } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } - k _ { x } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } - k _ { y } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } ( | \widetilde { Y } _ { i } | ^ { 3 } ) \le \frac { \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) } { \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \mathrm { ~ P ~ A ~ } : n } & { { } = \frac { c _ { 1 } - 1 } { c _ { 1 } } } & { Q _ { 1 } } & { { } = - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } } & { A _ { 1 } } & { { } = c _ { 1 } \exp ( c _ { 0 } / c _ { 1 } ) } \\ { \mathrm { ~ P ~ C ~ } : n } & { { } = \frac { c _ { 1 } - 1 } { c _ { 1 } } } & { m } & { { } = - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } } & { A _ { 2 } } & { { } = c _ { 1 } \exp ( c _ { 0 } / c _ { 1 } ) } \\ { \mathrm { ~ C ~ M ~ } : n } & { { } = \frac { c _ { 1 } - 1 } { c _ { 1 } } } & { Q _ { 3 } } & { { } = - \frac { c _ { 2 } } { c _ { 1 } } } & { A _ { 3 } } & { { } = c _ { 1 } \exp ( c _ { 0 } / c _ { 1 } ) } \end{array}
\mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { \pi G _ { h _ { l } h _ { l } } } { \lambda ^ { 2 } } \langle \Lambda \rangle { \sigma } _ { \mathrm { { s c a } } } \underbrace { \longrightarrow } _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ s ~ s ~ l ~ e ~ s ~ s ~ } } \mathit { f } _ { \mathrm { { C D } } } \sim 1 + \frac { \pi G _ { h _ { l } h _ { l } } } { \lambda ^ { 2 } } \langle \Lambda \rangle { \sigma } _ { \mathrm { { e x t } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { x \frac { d u } { d x } = x \left[ ( 2 - p ) \frac { x ^ { 1 - p } y ^ { p } } { y ^ { \prime } } + p x ^ { 2 - p } y ^ { p - 1 } - \frac { x ^ { 2 - p } y ^ { p } } { y ^ { \prime \, 2 } } y ^ { \prime \prime } \right] = } \\ & { } & { ( 2 - p ) \frac { x ^ { 2 - p } y ^ { p } } { y \prime } + p x ^ { 3 - p } y ^ { p - 1 } - \frac { x ^ { 2 ( 2 - p ) } y ^ { 2 p } } { y ^ { \prime \, 2 } } = ( 2 - p ) u + p u v - u ^ { 2 } . } \end{array}
\frac { \partial T _ { H } } { \partial y _ { + } } = \frac { \sqrt [ 3 ] { b } ( 1 4 y _ { + } ^ { 3 } - 4 y _ { + } ^ { 6 } - 1 ) } { \sqrt [ 3 ] { 4 } \pi l ^ { 2 } ( 2 y _ { + } ^ { 3 } + 1 ) ^ { 3 } } .
f ( z ) = \frac { e ^ { - z / \lambda _ { p } } } { \lambda _ { p } } \left[ 1 + A _ { h } ( x ) \int _ { 0 } ^ { z } \frac { d y } { \lambda _ { p } } w _ { z } ( y ) \right] e ^ { - z ^ { \prime } ( z , \theta ) / \lambda _ { s } }
\begin{array} { r l r } { \hat { V } } & { = } & { \sum _ { \mu \nu } \Delta D _ { \mu \nu } | \chi _ { \mu } \rangle \langle \chi _ { \nu } | } \\ & { = } & { \sum _ { k } \pm v _ { k } | \phi _ { \pm k } \rangle \langle \phi _ { \pm k } | } \\ & { = } & { \sum _ { k } \sum _ { \mu \nu } v _ { k } ( z _ { \mu , k } ^ { * } z _ { \nu , k } - z _ { \mu , - k } ^ { * } z _ { \nu , - k } ) | \chi _ { \mu } \rangle \langle \chi _ { \nu } | } \\ & { = } & { \sum _ { \mu \nu } ( \sum _ { k } \Delta D _ { \mu \nu } ^ { k } ) | \chi _ { \mu } \rangle \langle \chi _ { \nu } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { A } ^ { - 1 } } & { { } = E - \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \left( \tilde { D } - \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \right) ^ { - 1 } \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } = E - F J ^ { - 1 } H } \end{array}
\frac { ( v _ { \parallel f } + u _ { f } ) ^ { 2 } } { 2 } \leq \left. \left\lbrace S _ { f } \left[ \left( \mu B _ { f } - v _ { \parallel f } u _ { f } \right) \left( \frac { B } { B _ { f } } - 1 \right) + \frac { Z e } { m } ( \phi _ { \theta } - \phi _ { \theta f } ) \right] \right\rbrace \right\rvert _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } .
H _ { m } ( t ) = \left( \begin{array} { l l } { \displaystyle m _ { e } c ^ { 2 } + V _ { \mathrm { n u c l } } ( r ) + e F z \quad } & { c \, D _ { m } } \\ { - c \, D _ { m } } & { - m _ { e } c ^ { 2 } + V _ { \mathrm { n u c l } } ( r ) + e F z } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { 2 } \Big ( { \vec { k } } \cdot ( { \vec { n } } - { \vec { n } } _ { 0 } ) \Big ) } & { \simeq } & { { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \Big ( 1 + \frac { R _ { \oplus } } { R _ { \oplus } + h } \Big ) \frac { h } { R _ { \oplus } + h } \simeq { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}