harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 3 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 4 } } P _ { 3 1 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 3 1 } \cos \phi , ~ S _ { 3 1 } \sin \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 1 . 3 5 \times 1 0 ^ { - 1 5 } \cos \phi , ~ 1 . 6 5 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \sin \phi \Big \} , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 3 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 4 } } P _ { 3 2 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 3 2 } \cos 2 \phi , ~ S _ { 3 2 } \sin 2 \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 1 . 9 0 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \cos 2 \phi , ~ 1 . 3 0 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \sin 2 \phi \Big \} , } \\ { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 3 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 4 } } P _ { 3 3 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 3 3 } \cos 3 \phi , ~ S _ { 3 3 } \sin 3 \phi \Big \} } & { \lesssim } & { \Big \{ 6 . 1 0 \times 1 0 ^ { - 1 7 } \cos 3 \phi , ~ 1 . 2 1 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \sin 3 \phi \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \geq } & { S ^ { i j , \lambda \mu } \tilde { \eta } ^ { i j } \tilde { \eta } ^ { \lambda \mu } } \\ { = } & { \frac { \partial } { \partial b _ { l m } } ( G ^ { - 2 } \dot { G } ^ { p q } b _ { p i } b _ { j q } ) \frac { \partial b _ { l m } } { \partial h ^ { \lambda \mu } } \tilde { \eta } ^ { i j } \tilde { \eta } ^ { \lambda \mu } } \\ { = } & { - b _ { l \lambda } b _ { \mu m } ( - 2 G ^ { - 3 } \dot { G } ^ { l m } \dot { G } ^ { p q } b _ { p i } b _ { j q } + G ^ { - 2 } \ddot { G } ^ { p q , l m } b _ { p i } b _ { j q } + G ^ { - 2 } \dot { G } ^ { p q } \delta _ { p } ^ { l } \delta _ { i } ^ { m } b _ { j q } } \\ & { + G ^ { - 2 } \dot { G } ^ { p q } b _ { p i } \delta _ { j } ^ { l } \delta _ { q } ^ { m } ) \tilde { \eta } ^ { i j } \tilde { \eta } ^ { \lambda \mu } } \\ { = } & { 2 G ^ { - 3 } \dot { G } ^ { l m } \dot { G } ^ { p q } b _ { p i } b _ { j q } b _ { l \lambda } b _ { \mu m } \tilde { \eta } ^ { i j } \tilde { \eta } ^ { \lambda \mu } - G ^ { - 2 } \ddot { G } ^ { p q , l m } b _ { p i } b _ { j q } b _ { l \lambda } b _ { \mu m } \tilde { \eta } ^ { i j } \bar { \eta } ^ { \lambda \mu } } \\ & { - 2 G ^ { - 2 } \dot { G } ^ { p q } b _ { p i } b _ { j \lambda } b _ { \mu q } \tilde { \eta } ^ { i j } \tilde { \eta } ^ { \lambda \mu } } \end{array}
{ \bf 1 _ { A } } \otimes { \bf 1 _ { A } } = { \bf 1 _ { A } } , \quad { \bf 1 _ { A } } \otimes { \bf 1 _ { B } } = { \bf 1 _ { B } } , \quad { \bf 1 _ { B } } \otimes { \bf 1 _ { B } } = { \bf 1 _ { A } } ,
\bar { \lambda } _ { \theta } = - \frac { 2 \pi | \alpha | } { m } \frac { \Gamma ( 1 + | \alpha | ) \tan \theta - \Gamma ( 1 - | \alpha | ) \left( \frac { \mu r _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 2 | \alpha | } } { \Gamma ( 1 + | \alpha | ) \tan \theta + \Gamma ( 1 - | \alpha | ) \left( \frac { \mu r _ { 0 } } { 2 } \right) ^ { 2 | \alpha | } } .
S = \int \mathrm { d } ^ { 4 } x { \sqrt { - { \tilde { g } } } } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } \left[ { \tilde { R } } - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \tilde { \nabla } } { \tilde { \Phi } } \right) ^ { 2 } - { \tilde { V } } ( { \tilde { \Phi } } ) \right]
\begin{array} { r l } { \underline { { \pi } } _ { V + n \sigma } ^ { C _ { 2 } } ( K ( \underline { { Z / 2 } } , V ) ) ( C _ { 2 } / C _ { 2 } ) } & { = \pi _ { V + n \sigma } ^ { C _ { 2 } } ( K ( \underline { { Z / 2 } } , V ) ) } \\ & { \cong \tilde { H } _ { V + n \sigma } ^ { C _ { 2 } } ( S ^ { V } ; \underline { { Z / 2 } } ) } \\ & { \cong \tilde { H } _ { n \sigma } ^ { C _ { 2 } } ( S ^ { 0 , 0 } ; \underline { { Z / 2 } } ) } \\ & { \cong H _ { n \sigma } ^ { C _ { 2 } } ( \ast ; \underline { { Z / 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \mathrm { X } ^ { s ; t } ( x , v ) = \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) , \qquad \mathrm { X } ^ { t ; t } ( x , v ) = x , } \\ & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } s } \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) = - \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) + E _ { \varepsilon } ( s , \mathrm { X } ^ { s ; t } ( x , v ) , \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) ) , \qquad \mathrm { V } ^ { t ; t } ( x , v ) = v , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle u _ { n - 1 } ^ { * < } ( t ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( t ) \right\rangle } & { { } = } & { u _ { n - 1 } ^ { * < } ( t ) \left\langle u _ { n + 1 } ^ { > } ( t ) \right\rangle = 0 , } \\ { \left\langle u _ { n - 2 } ^ { < } ( t ) u _ { n - 1 } ^ { < } ( t ) \right\rangle } & { { } = } & { u _ { n - 2 } ^ { < } ( t ) u _ { n - 1 } ^ { < } ( t ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \alpha \prime _ { i } ( \mu \prime ) } = \frac { 1 } { \alpha _ { i } ( \mu ) } + \beta _ { 0 } \ln \frac { \mu \prime } { \mu } + \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } \ln \frac { 1 / \alpha \prime _ { i } ( \mu \prime ) + \beta _ { 1 } / \beta _ { 0 } } { 1 / \alpha _ { i } ( \mu ) + \beta _ { 1 } / \beta _ { 0 } }
\begin{array} { r l } & { \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { S E } } = \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { L } } + \Delta E _ { a } ^ { \mathrm { H } } } \\ & { = \frac { 4 \alpha ( Z \alpha ) ^ { 4 } } { 3 \pi n _ { a } ^ { 3 } } \left[ \left( \frac { 5 } { 6 } - 2 \log ( \alpha Z ) \right) \delta _ { l _ { a } 0 } - \log \beta _ { a } \right] } \\ & { - \frac { \alpha } { 2 \pi } \frac { ( Z \alpha ) ^ { 4 } } { n _ { a } ^ { 3 } } \frac { \left( j _ { a } ( j _ { a } + 1 ) - l _ { a } ( l _ { a } + 1 ) - 3 / 4 \right) } { l _ { a } ( l _ { a } + 1 ) ( 2 l _ { a } + 1 ) } . } \end{array}
S _ { 2 1 } = - \frac { \kappa } { i ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { c } ) + i \frac { ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { d } ) g ^ { 2 } + ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { w } ) g _ { c } ^ { 2 } + 2 g g _ { c } g _ { d } } { g _ { d } ^ { 2 } - ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { d } ) ( \omega _ { p } - \tilde { \omega } _ { w } ) } } .
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Delta x } = } & { \sqrt { \left( \frac { \partial \Delta x } { \partial \bar { \rho } } \sigma _ { \bar { \rho } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \Delta x } { \partial a _ { 0 } } \sigma _ { a _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } } \\ & { \overline { { + \left( \frac { \partial \Delta x } { \partial \Delta \beta ^ { * } } \sigma _ { \Delta \beta ^ { * } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial \Delta x } { \partial t _ { m } } \sigma _ { t _ { m } } \right) ^ { 2 } } } . } \end{array}
\mathbf { a } = \frac { \bar { \mathbf { a } } } { \gamma _ { v } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \mathbf { v } \cdot \bar { \mathbf { u } } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } - \frac { ( \bar { \mathbf { a } } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { v } ( \gamma _ { v } - 1 ) } { v ^ { 2 } \gamma _ { v } ^ { 3 } \left( 1 - \frac { \mathbf { v } \cdot \bar { \mathbf { u } } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } + \frac { ( \bar { \mathbf { a } } \cdot \mathbf { v } ) \bar { \mathbf { u } } } { v ^ { 2 } \gamma _ { v } ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \mathbf { v } \cdot \bar { \mathbf { u } } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 } } ,
\centering \lambda _ { i } ^ { t + \Delta t } = \frac { \sqrt { 2 - 2 \cdot K ^ { S O A P } ( i ^ { t } , i ^ { t + \Delta t } ) } } { \Delta t } \propto \frac { \sqrt { 2 - 2 \textbf { p } _ { i } ^ { t } \textbf { p } _ { i } ^ { t + \Delta t } } } { \Delta t } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } } & { \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 2 } \; e ^ { - t _ { 2 } H } \; { \epsilon } V _ { \Psi } \; e ^ { - t H } e ^ { t _ { 2 } H } = \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 2 } \; e ^ { - t _ { 2 } H } \; { \epsilon } V _ { \Psi } \cdot \Pi _ { 0 } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 2 } \; e ^ { - t _ { 2 } H } { \epsilon } V _ { \Psi } \sum v _ { k } ^ { 0 } { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } = \sum \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 2 } \; e ^ { - t _ { 2 } H } G _ { + } G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v _ { k } ^ { 0 } ) { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } } \\ & { \approx \sum \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 2 } \; e ^ { - t _ { 2 } H } G _ { + } G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v _ { k } ^ { 0 } ) { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } = \sum K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v _ { k } ^ { 0 } ) { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } } \\ & { = \sum { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } \; { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J } & { = \left| \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial q _ { 0 } } { \partial \eta } } & { \frac { \partial q _ { 0 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial q _ { 0 } } { \partial x _ { 2 } } } & { \dots } \\ { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial \eta } } & { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } } & { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x _ { 2 } } } & { \dots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right| } \\ & { = \left| \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial q _ { 0 } } { \partial \eta } } & { C _ { 0 1 } ( \eta ) } & { C _ { 0 2 } ( \eta ) } & { \dots } \\ { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial \eta } } & { C _ { 1 1 } ( \eta ) } & { C _ { 1 2 } ( \eta ) } & { \dots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right| } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { \mathrm { Y } } = } & { - \lambda _ { u } ^ { i \, j } { \frac { \ \phi ^ { 0 } - i \phi ^ { 3 } \ } { \sqrt { 2 \ } } } { \overline { { u } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } u _ { \mathrm { R } } ^ { j } + \lambda _ { u } ^ { i \, j } { \frac { \ \phi ^ { 1 } - i \phi ^ { 2 } \ } { \sqrt { 2 \ } } } { \overline { { d } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } u _ { \mathrm { R } } ^ { j } } \\ & { - \lambda _ { d } ^ { i \, j } { \frac { \ \phi ^ { 0 } + i \phi ^ { 3 } \ } { \sqrt { 2 \ } } } { \overline { { d } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } d _ { \mathrm { R } } ^ { j } - \lambda _ { d } ^ { i \, j } { \frac { \ \phi ^ { 1 } + i \phi ^ { 2 } \ } { \sqrt { 2 \ } } } { \overline { { u } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } d _ { \mathrm { R } } ^ { j } } \\ & { - \lambda _ { e } ^ { i \, j } { \frac { \ \phi ^ { 0 } + i \phi ^ { 3 } \ } { \sqrt { 2 \ } } } { \overline { { e } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } e _ { \mathrm { R } } ^ { j } - \lambda _ { e } ^ { i \, j } { \frac { \ \phi ^ { 1 } + i \phi ^ { 2 } \ } { \sqrt { 2 \ } } } { \overline { { \nu } } } _ { \mathrm { L } } ^ { i } e _ { \mathrm { R } } ^ { j } + { \textrm { h . c . } } \ , } \end{array} }
\gamma _ { a _ { 0 } b _ { 0 } } ^ { 0 } \psi _ { b _ { 0 } } \rightarrow ( i ^ { n } ) \gamma _ { a _ { n } a _ { n - 1 } } ^ { \mu _ { n } } \gamma _ { a _ { n - 1 } a _ { n - 2 } } ^ { \mu _ { n - 1 } } \cdots \gamma _ { a _ { 1 } a _ { 0 } } ^ { \mu _ { 1 } } \partial _ { \mu _ { n } } \partial _ { \mu _ { n - 1 } } \cdots \partial _ { \mu _ { 1 } } \gamma _ { a _ { 0 } b _ { 0 } } ^ { 0 } \psi _ { b _ { 0 } } \, .
P ^ { \prime } ( x , \xi , \epsilon ) = { \frac { ( x ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } ) } { x ( 1 - \xi ^ { 2 } ) } } \left[ { \frac { 2 \xi } { ( x - \xi ) ( 1 + \xi ) } } + { \frac { 4 } { 1 - x + i \epsilon } } \right] \ .
\varphi _ { \mathrm { P M } } ( \theta _ { 1 } ) = \arg [ G _ { p } ^ { ( \pm ) } ( \theta _ { 1 } ) ] = \pm k _ { p } ( \eta ) \left( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } \right) - \frac { \omega } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } .
\begin{array} { r l r } { \beta _ { 0 } } & { { } = } & { 2 ( 1 3 8 4 + 1 6 9 8 x ^ { 2 } - 1 4 6 1 x ^ { 4 } - 1 1 x ^ { 6 } ) > 0 , \quad \forall \; x ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] \; , } \\ { \beta _ { 1 } } & { { } = } & { 4 1 9 9 + 8 2 6 x ^ { 2 } - 5 5 3 x ^ { 4 } > 0 , \quad \forall \; x ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] \; , } \\ { \beta _ { 2 } } & { { } = } & { 6 ( 1 7 9 + 8 x ^ { 2 } - 5 x ^ { 4 } ) > 0 , \quad \forall \; x ^ { 2 } \in [ 0 , 1 ] \; , } \\ { \beta _ { 3 } } & { { } = } & { 7 2 \; . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \hat { a } _ { i } ( t ) } } \\ { { \hat { a } _ { i } ^ { \dag } ( t ) } } \end{array} \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c } { { \alpha _ { i j } ( t ) } } & { { \beta _ { i j } ( t ) } } \\ { { \beta _ { i j } ^ { \ast } ( t ) } } & { { \alpha _ { i j } ^ { \ast } ( t ) } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \hat { a } _ { j } } } \\ { { \hat { a } _ { j } ^ { \dag } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\lbrack D _ { z , \, x ^ { 2 } } - g \vert S ( x , z ) \vert ^ { 2 } \right\rbrack \varphi ( x , z ) = 0 \ \mathrm { w i t h } \ \varphi ( x , 0 ) = 1 , } \\ & { } & { \left\lbrack D _ { z , \, x ^ { 2 } } + g \vert S ( x , z ) \vert ^ { 2 } \right\rbrack \tilde { \varphi } ( x , z ) = - 2 i \lambda \varphi ( 0 , L ) \delta ( x ) \delta ( z - L ) \ \mathrm { w i t h } \ \tilde { \varphi } ( x , L ^ { + } ) = 0 , } \\ & { } & { \left\lbrack D _ { z , \, x ^ { 2 } } ^ { \ast } + g \vert S ( x , z ) \vert ^ { 2 } \right\rbrack \tilde { \vartheta } ( x , z ) = - 2 i \lambda \varphi ^ { \ast } ( 0 , L ) \delta ( x ) \delta ( z - L ) \ \mathrm { w i t h } \ \tilde { \vartheta } ( x , L ^ { + } ) = 0 , } \end{array}
l A _ { 1 } + n B _ { 1 } = l U _ { l } ^ { n } S t r \left( \ldots \phi ^ { j _ { l } } \ldots \underbrace { \partial _ { a _ { l } } \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } } \ldots \right) + n U _ { l } ^ { n } S t r \left( \ldots \phi ^ { j _ { l } } \ldots \underbrace { \phi ^ { i _ { n } } \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } } \ldots \partial _ { a _ { l } } \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } \ldots \right)
\begin{array} { r } { ( \hbar \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } - 2 ( \hbar \delta w _ { 0 } ) ( 2 n + | m | + 1 ) ( \hbar \omega _ { 0 } ) - ( \hbar v _ { 0 } k ) ^ { 2 } = 0 . } \end{array}
\frac { 1 } { \Delta x \Delta v } \partial _ { \mathsf { H } _ { i } } \mathsf { J } = \frac { 1 } { \Delta x \Delta v } \frac { \partial \mathsf { L } } { \partial \mathsf { H } _ { i } } = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { \Delta t } { \Delta v } \sum _ { j } \left[ \mathsf { f } _ { i , j + \mathrm { n } ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) + 1 } ^ { n , \star } - \mathsf { f } _ { i , j + \mathrm { n } ( 2 \mathsf { E } _ { i } ^ { n , \star } + 2 \mathsf { H } _ { i } ) } ^ { n , \star } \right] \mathsf { g } _ { i j } ^ { n , \star \star } \, ,
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \mathrm { c h } } _ { z } : K _ { \widetilde { T } } ( \mathscr { X } _ { \zeta } ) } & { \longrightarrow } & { \bigoplus _ { v \in \mathrm { B o x } ( \mathbf { \Sigma } _ { \zeta } ) } H _ { \widetilde { T } } ^ { * } ( \mathscr { X } _ { \zeta , v } ; \mathbb { C } ) \otimes _ { \mathbb { C } [ \lambda ] } \mathbb { C } [ \lambda ] ( ( z ^ { - 1 } ) ) \mathbf { 1 } _ { v } , } \\ { \mathcal { E } } & { \mapsto } & { \sum _ { v \in \mathrm { B o x } ( \mathbf { \Sigma } _ { \zeta } ) } \widetilde { \mathrm { c h } } _ { z } ( \mathcal { E } ) _ { v } \mathbf { 1 } _ { v } , } \end{array}
\partial _ { 4 } \sigma = - k \, s i g n ( x ^ { 4 } ) , \quad \frac { \partial ^ { 2 } \sigma } { \partial { x ^ { 4 } } ^ { 2 } } = - 2 k ( \delta ( x ^ { 4 } ) - \delta ( x ^ { 4 } - R ) ) \equiv - 2 k \tilde { \delta } .
\left( \underline { { \underline { { { \tau } } } } } ^ { 0 } + \epsilon \underline { { \underline { { { \tau } } } } } ^ { 1 } \right) \cdot \left( { \bf n } ^ { 0 } + \epsilon { \bf n } ^ { 1 } \right) = - \left( \kappa ^ { 0 } + \epsilon \kappa ^ { 1 } \right) \left( { \bf n } ^ { 0 } + \epsilon { \bf n } ^ { 1 } \right) \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \ r = \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ^ { 0 } + \epsilon \eta ^ { 1 } ,
s _ { e } ^ { N } \, : \, C \left( G _ { e } \wr _ { * } S _ { N } ^ { + } \right) \rightarrow C \left( G _ { s ( e ) } \wr _ { * } S _ { N } ^ { + } \right) \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } s _ { e } ^ { N } \circ \nu _ { i } = \nu _ { i } \circ s _ { e } , \, \, s _ { e } ^ { N } \vert _ { C ( S _ { N } ^ { + } ) } = \mathrm { i d } , \, \, \forall i .
S _ { j } ( p ) = i [ { \frac { \Lambda _ { j } ^ { + } ( p _ { t } ) } { p _ { l } - W _ { j } + i \epsilon } } + { \frac { \Lambda _ { j } ^ { - } ( p _ { t } ) } { p _ { l } + W _ { j } - i \epsilon } } ] \rlap / v \; \; \; \; \; ( j = 1 , 2 )
\begin{array} { r l r } { \left\langle w _ { i } ^ { x } \left( t , \mathbf { x } \right) w _ { j } ^ { x } \left( t , \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = } & { \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) \delta _ { i j } } \\ { \left\langle \tilde { w } _ { i } ^ { k } \left( t , \mathbf { k } \right) \tilde { w } _ { j } ^ { k } \left( t , \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = } & { \delta \left( \mathbf { k } - \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) \delta _ { i j } } \\ { \left\langle \tilde { w } _ { i } ^ { k f } \left( t , \mathbf { k } \right) \tilde { w } _ { j } ^ { k f } \left( t ^ { \prime } , \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { = } & { \left\langle f _ { i } ^ { ( n ) } \left( \tilde { \mathbf { w } } ^ { k } \left( t , \mathbf { k } \right) \right) f _ { j } ^ { ( n ) } \left( \tilde { \mathbf { w } } ^ { k } \left( t ^ { \prime } , \mathbf { k } ^ { \prime } \right) \right) \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta _ { h } ^ { \prime } I _ { m } = \mathrm { R e } \left[ 2 i k \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { \mathrm { L O } } ^ { * } a _ { j } ( \mathrm { H G } _ { 0 0 } | \hat { h } | \mathrm { H G } _ { j } ) \right] } \\ & { = \mathrm { R e } \left[ 2 i k \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { \mathrm { L O } } ^ { * } a _ { j } \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle h ( x , y ) \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { j } \rangle \right] . } \end{array}
\mathrm { A E } _ { j } = \frac { 1 } { M _ { j , \mathrm { r e f } } } \int { \mu _ { j , \mathrm { r e f } } ( \mathbf { r } ) \Delta \mu _ { j } ^ { 1 } [ \mathrm { S S T } ( \mathbf { r } , t ) ] } \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } .
\begin{array} { r l } & { H ^ { 1 } ( t , \hat { Y } ( t - ) , u _ { 1 } ^ { * } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) , \hat { p } ^ { 1 } ( t ) , \hat { q } ^ { 1 } ( t ) , \hat { r } ^ { 1 } ( t , \cdot ) , \hat { w } ^ { 1 } ( t ) , \alpha ( t - ) ) } \\ & { \quad = \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in U _ { 1 } } H ^ { 1 } ( t , \hat { Y } ( t - ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ^ { * } ( t ) , \hat { p } ^ { 1 } ( t ) , \hat { q } ^ { 1 } ( t ) , \hat { r } ^ { 1 } ( t , \cdot ) , \hat { w } ^ { 1 } ( t ) , \alpha ( t - ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } } R _ { 1 } ^ { p } ( \theta ^ { * } ) = \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle ) Y X _ { i } \right] + p \mathbb { E } _ { X , Y } [ Y X _ { i } ] } \\ & { = p \mathbb { E } _ { X , Y } [ Y X _ { i } ] } \\ & { + \mathbb { E } _ { X , Y } \left[ \left( \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) + ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime } } ( \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) + \frac { ( \langle Y X , \theta ^ { * } \rangle - \langle Y X , \hat { \theta } ^ { 1 } \rangle ) ^ { 2 } } { 2 } \tilde { l } ^ { 1 ^ { \prime \prime \prime } } ( c _ { ( X , Y ) } ^ { 1 } ) \right) Y X _ { i } \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a \times b } } & { = { \left| \begin{array} { l l } { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right| } \mathbf { i } - { \left| \begin{array} { l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 3 } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right| } \mathbf { j } + { \left| \begin{array} { l l } { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } \end{array} \right| } \mathbf { k } } \\ & { = ( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) \mathbf { i } - ( a _ { 1 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 1 } ) \mathbf { j } + ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { k } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \lambda ( E ; \{ p \} ) = p _ { 0 } \frac { 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { m } p _ { i } E ^ { \alpha _ { i } } } { 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { n } p _ { i + m } E ^ { \beta _ { i } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t \leq \ } & { ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \frac { 4 } { \beta _ { k } \gamma _ { k } ^ { 2 } } \left( \frac { \beta _ { k } ^ { 2 } } { 2 } + 2 \gamma _ { k } ^ { 2 } \right) + 4 ( \alpha _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { \beta _ { k } } \left( \gamma _ { k } ^ { 2 } + \frac { \beta _ { k } ^ { 4 } } { 1 6 \gamma _ { k } ^ { 2 } } \right) } \\ & { + \frac { 2 } { \beta _ { k } \gamma _ { k } ^ { 2 } } \left( 2 \frac { \beta _ { k } ^ { 2 } } { 4 } + 2 \gamma _ { k } ^ { 2 } \right) T \int _ { 0 } ^ { T } f _ { k } ^ { 2 } ( s ) \, \mathrm d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ x _ { 0 } | x _ { t } ] } & { { } = D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } [ x _ { 0 } | x _ { t } ] = \sigma _ { t } ^ { 2 } \nabla _ { \hat { x } _ { t } } D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi ( k , t ) } & { { } = } & { \left( \frac { 2 \Delta x ^ { 2 } } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \! \left( - \, \Delta x ^ { 2 } k ^ { 2 } \right) \exp \! \left( - \, \mathrm { i } c \sqrt { k ^ { 2 } + ( m c / \hbar ) ^ { 2 } } t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( S _ { t } , t ) } & { { } = N ( d _ { 1 } ) S _ { t } - N ( d _ { 2 } ) P V ( K ) } \\ { d _ { 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { \sigma { \sqrt { T - t } } } } \left[ \ln \left( { \frac { S _ { t } } { K } } \right) + \left( r + { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } } \right) ( T - t ) \right] } \\ { d _ { 2 } } & { { } = d _ { 1 } - \sigma { \sqrt { T - t } } } \\ { P V ( K ) } & { { } = K e ^ { - r ( T - t ) } } \end{array}
U ^ { ( 3 ) } = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 2 } } } & { { s _ { 1 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - { s _ { 1 2 } } / { \sqrt { 2 } } } } & { { \; \, { c _ { 1 2 } } / { \sqrt { 2 } } } } & { { 1 / \sqrt { 2 } } } \\ { { \; \, { s _ { 1 2 } } / { \sqrt { 2 } } } } & { { - { c _ { 1 2 } } / { \sqrt { 2 } } } } & { { 1 / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l r } { H _ { \gamma , 0 } } & { = } & { i \left[ ( u + v \cos k _ { x } ) \sigma _ { x } + v \sin k _ { x } \sigma _ { y } + t _ { 1 } \cos k _ { y } \sigma _ { 0 } \right] \tau _ { z } } \\ & { } & { - ( \gamma / 2 + t _ { 2 } \sin k _ { y } ) \sigma _ { y } \tau _ { 0 } , } \\ { H _ { g , 0 } } & { = } & { i H _ { g , \mathrm { 2 D } } \tau _ { z } . } \end{array}