harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \| r _ { 1 } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) \| } & { \le \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { 6 } H _ { f x } U ^ { 3 } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \le \frac { c _ { u } ^ { 3 } H _ { f x } } { 6 } \big ( \varepsilon \gamma { M _ { F } } \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| \big ) ^ { 3 / 2 } , } \\ { \| r _ { 2 } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) \| } & { \le \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } L _ { f t } U ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) + \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { 6 } H _ { f t } U ^ { 2 } ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) } \\ & { \le \frac { L _ { f t } } { 2 } \big ( \varepsilon ^ { 3 } \gamma { M _ { F } } \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| \big ) ^ { 1 / 2 } + \frac { H _ { f t } } { 6 } \big ( \varepsilon ^ { 2 } \gamma { M _ { F } } \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| \big ) , } \\ { \| r _ { 3 } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) \| } & { \le 2 \varepsilon ^ { 3 / 2 } L _ { 2 f } \sqrt { | S _ { 1 } | } \Big ( \sum _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) \in S _ { 2 } } \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { - 2 / 3 } \Big ) ^ { 3 / 4 } \| a ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| ^ { 3 / 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } L _ { 2 f } \| a ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \le 2 L _ { 2 f } \sqrt { | S _ { 1 } | } \Big ( \sum _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) \in S _ { 2 } } \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { - 2 / 3 } \Big ) ^ { 3 / 4 } \big ( \varepsilon \gamma { M _ { F } } \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| \big ) ^ { 3 / 2 } } \\ & { \qquad + \frac { L _ { 2 f } } { 2 } \big ( \varepsilon \gamma { M _ { F } } \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| \big ) ^ { 2 } . } \end{array}
Z ^ { - 1 } \langle 0 | F ^ { 2 } ( \Lambda ^ { 2 } ) | 0 \rangle _ { \mathrm { p e r t } } ^ { \overline { { \mathrm { M S } } } } = { \frac { 3 \Lambda ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } } } \left( 1 + \Big ( 2 0 . 8 7 + 1 . 2 5 \ln { \frac { Q ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } + 2 . 7 5 \ln ( Q ^ { 2 } a ^ { 2 } ) \Big ) { \frac { \alpha _ { s } ( a ) } { \pi } } + . . . \right)
\tilde { p } _ { 1 } ( k , \omega ) = - i \tilde { p } _ { 0 } ( k , \omega ) \int \frac { \mathrm { ~ d ~ } \omega ^ { \prime } \mathrm { ~ d ~ } k ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } k \tilde { v } ( k ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) \tilde { p } _ { 0 } ( k - k ^ { \prime } , \omega - \omega ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { \left\langle \left| \tilde { \alpha } ( \omega ) \right| ^ { 2 } \right\rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi \left( 1 + \omega ^ { 2 } \right) } \int \int e ^ { - i \omega ( t - t ^ { \prime } ) } \left\langle \zeta ( t ) \zeta ^ { * } ( t ^ { \prime } ) \right\rangle d t d t ^ { \prime } \, . } \\ & { = } & { \frac { T } { 2 \pi \left( 1 + \omega ^ { 2 } \right) } . } \end{array}
\left\langle \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } \right\rangle = \textbf { P } \widetilde { \textbf { f } } ^ { e q } = \textbf { U } \Rightarrow \textbf { P } \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } = I , \textbf { P } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = 0 , \textbf { P } \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = 0
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \left( \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho ^ { N } ( t ^ { N } ) ) ^ { 2 } - \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho ( t ) ) ^ { 2 } \right) } & { { } = 2 \lambda \Re \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { t ^ { N } } \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( \rho ^ { N } - \rho ) \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } } \end{array}
a _ { m } = \frac { i \pi k ^ { 2 } } { 2 } \int d \Omega J _ { m } ( k r ) \frac { e ^ { - i m \phi } } { \sqrt { 2 \pi } } ( \epsilon ( { \bf x } ) - 1 ) E _ { z } ^ { * } ( { \bf x } ) d \Omega .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } f _ { 1 } + v \cdot \nabla _ { x } f _ { 1 } + f _ { 1 } = \Gamma ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) , \qquad f _ { 1 } ( 0 , x , v ) = f _ { 0 } ( x , v ) , } \\ & { \partial _ { t } f _ { 2 } + v \cdot \nabla _ { x } f _ { 2 } = ( \mathbf { P } f _ { 2 } - f _ { 2 } ) + \mathbf { P } f _ { 1 } , \qquad f _ { 2 } ( 0 , x , v ) = 0 , } \end{array}
\tilde { \Pi } ^ { H , \ell } = - \tau _ { i j } ^ { \ell } \partial _ { j } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } - \left[ \tau ^ { \ell } ( \omega _ { i } , u _ { j } ) - \tau ^ { \ell } ( u _ { i } , \omega _ { j } ) \right] \partial _ { j } \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } \ ,
\left( \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { B _ { 1 } \dagger } \right) = \left( \overline { { \hat { \mathbf { q } } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } } , \overline { { \hat { \mathbf { q } } } } _ { 1 } ^ { B _ { 1 } } \right)
\begin{array} { r l } { U _ { E } ( \mathbf { r } ) } & { = k _ { 0 } ^ { x } x ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { y } y ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { z } z ^ { 2 } + C _ { E } , } \\ { \widetilde { U } _ { E } ( \mathbf { r } ) } & { = k _ { 1 } ^ { x } x ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { y } y ^ { 2 } + k _ { 1 } ^ { z } z ^ { 2 } + \widetilde { C } _ { E } , } \\ { U _ { D , i } ( \mathbf { r } ) } & { = K _ { i } ^ { x } x ^ { 2 } + K _ { i } ^ { y } y ^ { 2 } + K _ { i } ^ { z } z ^ { 2 } + C _ { D , i } , } \end{array}
T _ { \pm } = \epsilon ^ { \mu _ { 1 } } ( p _ { 1 } h _ { 1 } ) \epsilon ^ { \mu _ { 2 } } ( p _ { 2 } h _ { 2 } ) \epsilon ^ { \mu _ { 3 } } ( p _ { 3 } h _ { 3 } ) { \cal F } _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } } ^ { ( \pm ) } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } ) \ ,
\mathbf { e } _ { x } = \frac { \mathbf { u } _ { 2 } - ( \mathbf { u } _ { 2 } \cdot \mathbf { n } ) \mathbf { n } } { \left\| \mathbf { u } _ { 2 } - ( \mathbf { u } _ { 2 } \cdot \mathbf { n } ) \mathbf { n } \right\| } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } \varepsilon } { \mathrm { d } z } } & { = } & { \frac { \mathrm { d } \varepsilon _ { c } } { \mathrm { d } z } + \frac { \mathrm { d } \varepsilon _ { o } } { \mathrm { d } z } } \\ & { = } & { - \frac { 4 \pi e ^ { 4 } n _ { e } } { m _ { e } c ^ { 2 } } \Gamma ( \varepsilon ) \ln { \Lambda _ { f } } - \eta e ^ { 2 } n _ { b } c \frac { 1 } { \sqrt { \Gamma ( \varepsilon ) } } , } \end{array}
P = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 / 4 } & { 1 / 4 } & { 0 } & { 1 / 4 } & { 1 / 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } .
\left\{ a _ { \mathbf { p } } ^ { r } , a _ { \mathbf { q } } ^ { s \dagger } \right\} = \left\{ b _ { \mathbf { p } } ^ { r } , b _ { \mathbf { q } } ^ { s \dagger } \right\} = ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ^ { 3 } ( \mathbf { p } - \mathbf { q } ) \delta ^ { r s } ,
\begin{array} { r l } { \theta _ { 5 ; 3 , 1 } } & { \colon ( x _ { 1 } , e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { 3 } , c _ { 1 , 0 } , c _ { 2 , 0 } , c _ { 3 , 0 } ) \to ( X , X , X , X , X , X , X ) \ \mathrm { ~ a n d } } \\ { \theta _ { 5 ; 3 , 2 } } & { \colon ( x _ { 1 } , e _ { 1 } , e _ { 2 } , e _ { 3 } , c _ { 1 , 0 } , c _ { 2 , 0 } , c _ { 3 , 0 } ) \to ( X , X , 1 , 1 , X , X , X ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { Q _ { 0 } } ( s | x _ { 0 } ) = } & { c _ { 1 } e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } - \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } c _ { 1 } ~ e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } + \frac { 1 } { s + r } \bigg ( 1 + } \\ & { \frac { r } { s + r + \alpha + \beta } \left[ \alpha \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { r } ) + ( s + r + \beta ) \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { r } ) \right] \bigg ) , } \\ { \tilde { Q _ { 1 } } ( s | x _ { 0 } ) = } & { ~ c _ { 1 } ~ e ^ { m _ { 1 } x _ { 0 } } + \bigg ( \frac { \beta } { \alpha } \bigg ) \frac { m _ { 1 } } { m _ { 2 } } c _ { 1 } ~ e ^ { m _ { 2 } x _ { 0 } } + \frac { 1 } { s + r } \bigg ( 1 + } \\ & { \frac { r } { s + r + \alpha + \beta } \left[ \beta \tilde { Q } _ { 0 } ( s | x _ { r } ) + ( s + r + \alpha ) \tilde { Q } _ { 1 } ( s | x _ { r } ) \right] \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w } & { = \widetilde { F } ^ { - 1 } ( w ) - \frac 1 { w + \frac 1 { w } + o \left( \frac 1 { w } \right) } - \frac { 2 } { w ^ { 3 } ( 1 + o ( 1 ) ) } + O \left( \frac 1 { w ^ { 5 } } \right) } \\ & { = \widetilde { F } ^ { - 1 } ( w ) - \frac 1 { w } - \frac 1 { w ^ { 3 } } + o \left( \frac 1 { w ^ { 3 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } _ { i } } & { = ( r _ { i } \cos \theta _ { i } , r _ { i } \sin \theta _ { i } ) , } \\ { \mathbf { p } _ { i } } & { = ( R _ { i } \cos \theta _ { i } - \frac { \Theta _ { i } } { r _ { i } } \sin \theta _ { i } , R _ { i } \sin \theta _ { i } + \frac { \Theta _ { i } } { r _ { i } } \cos \theta _ { i } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } [ \overline { { { q } } } ^ { p } ( x ) - \overline { { { q } } } ^ { n } ( x ) ] = \frac { 3 } { 5 } \int _ { 0 } ^ { 1 } [ \overline { { { u } } } ( x ) - \overline { { { d } } } ( x ) ]
T _ { a } = \left( \begin{array} { c c c } { { V _ { a } ^ { ( \mathrm { c ) } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { ( \omega V ^ { ( \mathrm { c ) } } ) _ { a } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { ( \omega ^ { 2 } V ^ { ( \mathrm { c ) } } ) _ { a } } } \end{array} \right)
H _ { g o n i h e d r i c } ^ { 3 d } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \vec { r } , \vec { \alpha } , \vec { b e t a } } \sigma _ { \vec { r } } \sigma _ { \vec { r } + \vec { \alpha } } \sigma _ { \vec { r } + \vec { \alpha } + \vec { \beta } } \sigma _ { \vec { r } + \vec { \beta } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle | y | \rangle - 2 c t \simeq 1 / c + O ( t ^ { - 3 / 2 } e ^ { - c ^ { 2 } t / 2 } ) \; , } \\ & { } & { \langle ( | y | - 2 c t ) ^ { 2 } \rangle _ { c } \simeq 4 t - 3 / c ^ { 2 } + O ( t ^ { - 1 / 2 } e ^ { - c ^ { 2 } t / 2 } ) \; , } \\ & { } & { \langle ( | y | - 2 c t ) ^ { 3 } \rangle _ { c } \simeq 1 4 / c ^ { 3 } + O ( t ^ { 1 / 2 } e ^ { - c ^ { 2 } t / 2 } ) \; , } \\ & { } & { \langle ( | y | - 2 c t ) ^ { 4 } \rangle _ { c } \simeq - 9 0 / c ^ { 4 } + O ( t ^ { 3 / 2 } e ^ { - c ^ { 2 } t / 2 } ) \; . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \hat { \lambda } _ { 1 } \pm i \hat { \lambda } _ { 2 } ) = e ^ { \pm i ( H _ { 4 } - \kappa + i \phi ) } ( z ) , \quad { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \hat { \lambda } _ { 3 } \pm i \hat { \lambda } _ { 4 } ) = e ^ { \pm i ( H _ { 5 } - \kappa + i \phi ) } ( z ) .
C _ { \alpha \beta \gamma } ^ { ( 3 ) } = \frac { P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta , + \gamma ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta , + \gamma ) } } - P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( + \beta , - \gamma ) } } + P _ { \alpha } ^ { \scriptscriptstyle { ( - \beta , - \gamma ) } } } { 4 \xi ^ { 2 } } ,
\frac { \partial \hat { E } } { \partial z } = i \left( k _ { z } - \frac { \omega } { v _ { g } } \right) \hat { E } + \frac { \omega } { 2 \varepsilon _ { 0 } c ^ { 2 } k _ { z } } ( i \omega \hat { P } _ { g } - \hat { J } _ { p } - \hat { J } _ { i } ) ,
\hat { f } ( n _ { x } , n _ { y } ) \psi ( x , y ) = \sum _ { \hbar \omega _ { x } ( n _ { x } + \frac { 1 } { 2 } ) + \hbar \omega _ { y } ( n _ { y } + \frac { 1 } { 2 } ) = E } c _ { n _ { x } n _ { y } } f ( n _ { x } , n _ { y } ) \psi _ { n _ { x } } ( x ) \psi _ { n _ { y } } ( y ) \, .
\begin{array} { r l r } { t ^ { n } } & { = } & { t ^ { n } + \Delta t \, , } \\ { k T _ { i } ^ { n } } & { = } & { \frac { 2 \, \left( E _ { d } ^ { n } - \frac { 3 } { 2 } \pi L R ^ { 2 } n _ { e } k T _ { e } \right) } { 3 \, \pi \, L R ^ { 2 } \, \left( n _ { p } + n _ { D } + n _ { T } + n _ { B } \right) } \, , } \\ { k T _ { e } ^ { n } } & { = } & { b \, k T _ { i } ^ { n } } \\ { k T _ { Z } ^ { n } } & { = } & { c \, k T _ { i } ^ { n } \, , } \\ { u ^ { n } } & { = } & { \sqrt { \frac { 3 \, k T _ { Z } ^ { n } } { m _ { Z } } } \, , } \\ { \Delta \tau ^ { n } } & { = } & { \frac { R } { 4 \, u ^ { n } } \, , } \\ { E _ { d } ^ { n } } & { = } & { E _ { d } ^ { n } + \pi \, L R ^ { 2 } \, \Delta t \, \left[ a \, P _ { f } \left( k T _ { i } ^ { n } \right) - P _ { i e } \left( k T _ { i } ^ { n } , k T _ { e } ^ { n } \right) \right] \, , } \end{array}
T _ { \infty } = \left( \frac { Q _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } { \varepsilon \sigma _ { \mathrm { ~ S ~ B ~ } } 4 \pi \left( \frac { d } { 2 } \right) ^ { 2 } } + T _ { a } ^ { 4 } \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } .
\operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \widehat { \mathcal { H } } _ { ( i ) } ^ { - 1 } - \mathcal { H } _ { ( i ) } ^ { - 1 } \right\vert = O _ { p } \left( \frac { k _ { \theta , n } \ln \left( k _ { \theta , n } \right) \ln ( n ) } { \sqrt { n } } \right) = O _ { p } \left( \frac { k _ { \theta , n } \left( \ln ( n ) \right) ^ { 2 } } { \sqrt { n } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \frac { m - 1 } { 2 m } \log ( 1 - q _ { 1 } ) + \frac { 1 } { 2 m } \log [ 1 - m q _ { 0 } + ( m - 1 ) q _ { 1 } ] + \frac { q _ { 0 } } { 2 [ 1 - m q _ { 0 } + ( m - 1 ) q _ { 1 } ] } } \\ & { \simeq \frac { \beta } { 2 } \Big [ \frac { q _ { 0 } } { \chi + c _ { m } ( 1 - q _ { 0 } ) } + \frac { 1 } { c _ { m } } \log \Big ( \frac { \chi + c _ { m } ( 1 - q _ { 0 } ) } { \chi } \Big ) \Big ] . } \end{array}
T = T _ { W } + ( \frac { 3 \Theta } { h ^ { 2 } } - \frac { 3 T _ { W } } { h } + \frac { J } { 2 k } ) z + ( \frac { 3 T _ { W } } { 2 h ^ { 2 } } - \frac { 3 \Theta } { 2 h ^ { 3 } } - \frac { 3 J } { 4 k h } ) z ^ { 2 } .
\mathcal { \hat { T } } = \zeta _ { T } \sqrt { 2 } K n \frac { \partial \hat { \theta } } { \partial \hat { x } _ { k } } n _ { k } + \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \frac { 2 - \chi } { \chi } \frac { 2 \eta _ { \mathrm { T J } } } { 4 + \delta } \frac { K n } { \operatorname* { P r } } \frac { \partial \hat { \sigma } _ { k r } } { \partial \hat { x } _ { r } } n _ { k } - \eta ^ { 1 } \hat { \sigma } _ { i j } n _ { i } n _ { j } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } } & { \geq \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } ( \imath ( X _ { i } | P _ { X } ) - H ( P _ { X } ) ) \geq \sqrt { n \mathrm { V } ( P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { n } ^ { \prime } ) \Big \} - \frac { 1 } { n } } \\ & { \geq \varepsilon . } \end{array}
\chi _ { \theta ^ { \flat } } ( g ) = \left\{ \begin{array} { l l } { q - 1 , } & { \mathrm { i f ~ } g \sim \mathbf { Z } ( k _ { \mathbf { F } } ) , } \\ { - 1 , } & { \mathrm { i f ~ } g \sim \mathbf { Z } ( k _ { \mathbf { F } } ) \mathbf { N } ( k _ { \mathbf { F } } ) - \mathbf { Z } ( k _ { \mathbf { F } } ) , } \\ { - \theta ^ { \flat } ( y ) - \theta ^ { \flat } ( y ^ { \iota } ) , } & { \mathrm { i f ~ } g \sim k _ { \mathbf { E } } - k _ { \mathbf { F } } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
m _ { \overline { { { H } } } } ^ { 2 } \sim \frac { \alpha _ { 1 } } { 8 \pi } \left[ \mu _ { D } ^ { 2 } \; \ln \left( 1 + \frac { m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } { \mu _ { D } ^ { 2 } } \right) + m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } \; \ln \left( \frac { \mu _ { D } ^ { 2 } + m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } + m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } \right) - \mu ^ { 2 } \; \ln \left( 1 + \frac { m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) \right] \; .
\begin{array} { r l r } { | \overline { { \Psi } } _ { v } \rangle } & { { } = } & { | \Psi _ { v } ^ { ( 0 , 0 ) } \rangle + \lambda _ { 2 } | \Psi _ { v } ^ { ( 1 , 0 ) } \rangle + \lambda _ { 3 } | \tilde { \Psi } _ { v } ^ { ( 0 , 1 ) } \rangle } \end{array}
\left( - \frac { h ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } M _ { 1 } } \bigtriangledown _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { h ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } M _ { 2 } } \bigtriangledown _ { 2 } ^ { 2 } + V _ { n } ( r ) \right) \psi _ { \mathrm { v i b - r o t } } = E _ { t } \psi _ { \mathrm { v i b - r o t } } ~ ,
\begin{array} { r l } { d _ { V ^ { \prime } } ^ { \mathcal { H } ^ { \prime \prime } } ( v _ { 0 } ) } & { \leqslant 2 \cdot \frac { b ^ { 2 } } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \left( m - 1 - 2 b \right) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 2 } b ^ { 2 } - ( m - 1 ) b + \frac { 1 } { 4 } ( m - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \leqslant \frac { 3 } { 2 } \left( \left( \frac { 1 } { 2 } - 8 \beta \right) m \right) ^ { 2 } - ( m - 1 ) \cdot \left( \frac { 1 } { 2 } - 8 \beta \right) m + \frac { 1 } { 4 } ( m - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \frac { 1 } { 8 } - 4 \beta + 9 6 \beta ^ { 2 } \right) m ^ { 2 } - 8 \beta m + \frac { 1 } { 4 } < \left( \frac { 1 } { 8 } - 3 \beta \right) m ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x _ { 2 } , t _ { 2 } ) } & { = \int _ { { \mathbb R } } \left[ \frac { k ( x _ { 2 } - y , t _ { 2 } - \tau ) } { k ( x _ { 1 } - y , t _ { 1 } - \tau ) } \right] k ( x _ { 1 } - y , t _ { 1 } - \tau ) u ( y , \tau ) { \, \mathrm { d } } y } \\ & { \geq \left( \frac { t _ { 1 } - \tau } { t _ { 2 } - \tau } \right) \frac { 1 } { 1 + \frac { | x _ { 2 } - x _ { 1 } | ^ { 2 } } { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ^ { 2 } } } u ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } Q _ { T } } { \mathrm { d } P _ { T } } \left( a , X ^ { P } \right) } \\ & { = \exp \left( - \frac { \beta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle \left( b ^ { P } - b ^ { Q } \right) \left( t , a , X ^ { P } \right) , \mathrm { d } B _ { t } \right\rangle + \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } \left| \left( b ^ { P } - b ^ { Q } \right) \left( t , a , X ^ { P } \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right) . } \end{array}
V _ { C K M } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \lambda } } & { { \lambda ^ { 3 } } } \\ { { \lambda } } & { { 1 } } & { { \lambda ^ { 2 } } } \\ { { \lambda ^ { 3 } } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) .
r \ne a : \quad \frac { v ^ { 2 } ( r ) } { c ^ { 2 } } = \frac { G } { c ^ { 2 } } \cdot 2 m \cdot \frac { 1 } { \pi a } \cdot \frac { r } { L } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \, \cos \phi \, \mathrm { a s i n h } \, \left( \frac { L } { \sqrt { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 2 a r \cos \phi } } \right) ,
\beta = I \{ { G _ { \mathrm { { S } } } , Q _ { u u } } \} + I \{ { G _ { \mathrm { { S } } } , Q _ { b b } } \} - I \{ { G _ { \mathrm { { A } } } , Q _ { u b } } \} - I \{ { G _ { \mathrm { { A } } } , Q _ { b u } } \} ,
J _ { 1 } = \frac { 2 \, \pi ^ { 2 } \, m _ { 1 } ^ { 2 } \, Y _ { 0 } } { Y _ { \mu } Y ^ { \mu } } H _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \left( \mathrm { s i g n } ( \sigma ) m _ { 1 } \sqrt { Y _ { \mu } Y ^ { \mu } \, } \right) \; .
\frac { d N } { d t } = \frac { 1 } { 2 \tau _ { B ^ { 0 } } } \exp ( - \frac { | \Delta t | } { \tau _ { B ^ { 0 } } } ) ( 1 - \eta _ { C P } \sin 2 \phi _ { 1 } \sin ( \Delta m _ { d } \Delta t ) )
\left\{ N _ { \mathrm { r a d } } , d , L , N _ { \mathrm { s p e c } } ^ { \mathrm { r a n k } } , N _ { \mathrm { r a d } } ^ { \mathrm { r a n k } } , N _ { \mathrm { e t t } } ^ { \mathrm { r a n k } } \right\}
{ \mathrm { s . t . } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } \left( x , y \right) = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 2 2 5 } \\ { g _ { 2 } \left( x , y \right) = x - 3 y + 1 0 \leq 0 } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \mathbf { w _ { 1 } } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 0 , } & { 0 , } & { 1 } \end{array} \right) ^ { T } , } \\ { \mathbf { w _ { 2 , 3 } } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { c ( c \pm \sqrt { c ^ { 2 } - 4 ( 1 - m _ { 0 } ) ^ { 2 } } ) } { 2 \lambda m _ { 0 } ( m _ { 0 } - 1 ) } , } & { \frac { c ( c ^ { 2 } \pm c \sqrt { c ^ { 2 } - 4 ( 1 - m _ { 0 } ) ^ { 2 } } - 2 ( 1 - m _ { 0 } ) ^ { 2 } ) } { 2 \lambda m _ { 0 } ( 1 - m _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } & { 1 } \end{array} \right) ^ { T } , } \end{array}
r = \operatorname* { s u p } _ { x > 0 } \operatorname* { i n f } _ { y > 0 } { \frac { y ^ { \top } A x } { y ^ { \top } x } } = \operatorname* { i n f } _ { x > 0 } \operatorname* { s u p } _ { y > 0 } { \frac { y ^ { \top } A x } { y ^ { \top } x } } = \operatorname* { i n f } _ { x > 0 } \operatorname* { s u p } _ { y > 0 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } y _ { i } a _ { i j } x _ { j } / \sum _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } x _ { i } .
\begin{array} { r l } & { { \mathcal { L } _ { S ( A D O ) } } = - i ( H \otimes { { I } _ { n } } - { { I } _ { n } } \otimes H ) } \\ & { = - i \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - { { H } _ { 1 2 } } } & { { { H } _ { 1 2 } } } & { 0 } \\ { - { { H } _ { 2 1 } } } & { { { H } _ { 1 1 } } - { { H } _ { 2 2 } } } & { 0 } & { { { H } _ { 1 2 } } } \\ { { { H } _ { 2 1 } } } & { 0 } & { { { H } _ { 2 2 } } - { { H } _ { 1 1 } } } & { - { { H } _ { 1 2 } } } \\ { 0 } & { { { H } _ { 2 1 } } } & { - { { H } _ { 2 1 } } } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { L } ^ { ( \gamma ) } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { { } = D \; \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } \left( \frac { \operatorname* { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } { \operatorname* { m a x } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } \right) ^ { \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \; \langle \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } ( \operatorname* { m i n } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ) \rangle } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } \quad } & { ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in \complement _ { V ^ { n } } A } & & { \iff \neg [ ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in A ] } \\ & { } & & { \iff \neg \psi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) } \\ & { } & & { \iff \phi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , { \vec { Y } } ) . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { { \gamma } _ { \mathrm { A } } ^ { \star } } { { \gamma } _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { m i d } } } } & { \! = \! } & { \frac { C _ { a } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( J - 1 ) } + C _ { t } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( J - 1 ) } + \sigma ^ { 2 } } { C _ { a } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { 2 ( J - l _ { 1 } ^ { \star } ) } + C _ { t } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { 2 ( l _ { 1 } ^ { \star } - 1 ) } + \sigma ^ { 2 } } } \\ & { { \geq } \! } & { \frac { C _ { a } + C _ { t } + \sigma ^ { 2 } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( 1 - J ) } } { C _ { a } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( 1 - J ) } \! + \! C _ { t } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( J - 1 ) } \! + \! \sigma ^ { 2 } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( 1 - J ) } } } \\ & { \overset { \sigma ^ { 2 } \rightarrow 0 } { \longrightarrow } } & { ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { ( 1 - J ) } \Big ( 1 + \frac { C _ { a } - C _ { a } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { 2 ( 1 - J ) } } { C _ { a } ( N _ { p } \kappa _ { I } ) ^ { 2 ( 1 - J ) } + C _ { t } } \Big ) , } \end{array}
\partial _ { r _ { \perp } } ^ { 2 } \Psi + ( \partial _ { r _ { \perp } } \Psi ) ^ { 2 } - p _ { w } ^ { 2 } - p _ { a } ^ { 2 } { \frac { \hat { r } _ { A } } { r _ { \perp } } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } q _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { i } p _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { i } p _ { j } q _ { i } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) , } \end{array}
S _ { \mathrm { N B I } } = - \frac { \alpha } { 4 } \mathrm { T r } \left( Y ^ { - 1 } [ A _ { \mu } , A _ { \nu } ] ^ { 2 } \right) + V ( Y ) - \frac { \alpha } { 2 } \mathrm { T r } ~ ( \bar { \psi } \Gamma ^ { \mu } [ A _ { \mu } , \psi ] ) ,
H _ { f } = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \left[ \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ^ { 2 } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { \nabla u _ { i } ^ { + } ( { \mathbf x } ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \nabla u _ { i } ^ { - } ( { \mathbf x } ) \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } { \mathbf x } \in e , \; i = 1 , 2 . } \end{array}
\lambda _ { 1 } = \lambda _ { L } + \alpha ^ { 2 } \lambda _ { S } , \quad \lambda _ { 2 } = \lambda _ { S } - \alpha ^ { 2 } \lambda _ { L } , \quad \frac { \lambda _ { 1 } ^ { C P } - \lambda _ { 2 } ^ { C P } } { \lambda _ { L } - \lambda _ { S } } = \frac { 1 - \alpha ^ { 2 } } { 1 + \alpha ^ { 2 } }