harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left| \mathbb { E } _ { x } [ \mathcal { Y } ( f ) ] - \pi ( f ) \right| ^ { 2 } \lesssim _ { r , \delta } \mathfrak { C } _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 1 ) } \sum _ { j = 0 } ^ { J } \frac { 1 } { T _ { j } ^ { 2 } } + \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 1 ) } } \gamma _ { J } \quad \textnormal { w i t h } \quad \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 1 ) } } = \frac { L } { \underline { { c } } ^ { \frac { 2 } { 1 - \delta } } \wedge \underline { { c } } } \bar { \Psi } ^ { 1 + 3 r + \frac { 2 \delta r } { 1 - \delta } } .
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \mathrm { d } q } { \sqrt { a ^ { 2 } + q ^ { 2 } } } \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \sqrt { a ^ { 2 } + q ^ { 2 } } } + 1 } = - \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { a } { \pi } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { C } + O ( a ^ { 2 } ) \ .
\langle \tilde { p } _ { 2 } ( k , \omega ) \rangle = \tilde { p } _ { 0 } ( k , \omega ) \left( \int \frac { \mathrm { ~ d ~ } k ^ { \prime } \mathrm { ~ d ~ } \omega ^ { \prime } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } k ( k - k ^ { \prime } ) \tilde { p } _ { 0 } ( k - k ^ { \prime } , \omega - \omega ^ { \prime } ) \frac { S ( k ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) } { h _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \tilde { p } _ { 0 } ( k , \omega ) .
\begin{array} { r l r } { p _ { j } ( t _ { k } + \Delta t / 2 ) } & { { } : = } & { p _ { j } ( t _ { k } ) - \frac { \Delta t } { 2 } A _ { j } ^ { ( 1 ) } ( q _ { 1 } ( t _ { k } ) , \dots , q _ { M } ( t _ { k } ) ) } \\ { q _ { j } ( t _ { k + 1 } ) } & { { } : = } & { q _ { j } ( t _ { k } ) + \Delta t \frac { 1 } { m _ { j } } p _ { j } ( t _ { k } + \Delta t / 2 ) } \\ { p _ { j } ( t _ { k + 1 } ) } & { { } : = } & { p _ { j } ( t _ { k } + \Delta t / 2 ) - \frac { \Delta t } { 2 } A _ { j } ^ { ( 1 ) } ( q _ { 1 } ( t _ { k + 1 } ) , \dots , q _ { M } ( t _ { k + 1 } ) ) } \end{array}
G _ { N _ { s } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m , n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \tilde { M } _ { N _ { s } m n } \Delta \tilde { r } _ { m } \Delta \tilde { r } _ { n } } + \tilde { w } _ { N _ { s } } \varepsilon + \frac { 1 } { 2 } \tilde { B } _ { N _ { s } } ^ { ( 2 ) } \gamma ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \dot { p } _ { \theta } = - \frac { [ p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta ] [ p _ { \psi } - p _ { \varphi } \cos \theta ] } { I _ { 1 } \sin ^ { 3 } \theta } , } \\ { \dot { p } _ { \varphi } = 0 , \quad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \quad p _ { \varphi } = m _ { \varphi } = c o n s t , } \\ { \dot { p } _ { \psi } = 0 , \quad \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ n ~ } \quad p _ { \psi } = m _ { \psi } = c o n s t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { x x } ( 0 ) } & { = \frac { k _ { B } T k _ { y } } { k _ { x } k _ { y } - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } } + \frac { \mathcal { F } ^ { 2 } \tau _ { a } k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \mu _ { x } \mu _ { y } ( w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } + w _ { r } ^ { y } \tau _ { a } + 1 ) } { ( k _ { x } k _ { y } - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } ) ( w _ { r } ^ { x } + w _ { r } ^ { y } ) \left( ( 1 + w _ { r } ^ { y } \tau _ { a } ) ( 1 + w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } ) - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \, \mu _ { x } \mu _ { y } \tau _ { a } ^ { 2 } \right) } \, , } \\ { C _ { y y } ( 0 ) } & { = \frac { k _ { B } T k _ { x } } { k _ { x } k _ { y } - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } } + \frac { \mathcal { F } ^ { 2 } \tau _ { a } \mu _ { y } \left( k _ { x } ( w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } + 1 ) ( w _ { r } ^ { x } + w _ { r } ^ { y } ) - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \mu _ { y } \right) } { ( k _ { x } k _ { y } - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } ) ( w _ { r } ^ { x } + w _ { r } ^ { y } ) \left( ( 1 + w _ { r } ^ { y } \tau _ { a } ) ( 1 + w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } ) - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \, \mu _ { x } \mu _ { y } \tau _ { a } ^ { 2 } \right) } \, , } \\ { C _ { f f } ( 0 ) } & { = \mathcal { F } ^ { 2 } \, , } \\ { C _ { x y } ( 0 ) } & { = \frac { k _ { B } T k _ { \mathrm { i n t } } } { k _ { x } k _ { y } - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } } + \frac { \mathcal { F } ^ { 2 } \tau _ { a } k _ { \mathrm { i n t } } w _ { r } ^ { x } \mu _ { y } ( w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } + w _ { r } ^ { y } \tau _ { a } + 1 ) } { ( k _ { x } k _ { y } - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } ) ( w _ { r } ^ { x } + w _ { r } ^ { y } ) \left( ( 1 + w _ { r } ^ { y } \tau _ { a } ) ( 1 + w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } ) - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \, \mu _ { x } \mu _ { y } \tau _ { a } ^ { 2 } \right) } \, , } \\ { C _ { x f } ( 0 ) } & { = \frac { \mathcal { F } ^ { 2 } \tau _ { a } ^ { 2 } k _ { \mathrm { i n t } } \mu _ { x } \mu _ { y } } { ( 1 + w _ { r } ^ { y } \tau _ { a } ) ( 1 + w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } ) - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \, \mu _ { x } \mu _ { y } \tau _ { a } ^ { 2 } } \, , } \\ { C _ { y f } ( 0 ) } & { = \frac { \mathcal { F } ^ { 2 } \tau _ { a } \mu _ { y } ( w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } + 1 ) } { ( 1 + w _ { r } ^ { y } \tau _ { a } ) ( 1 + w _ { r } ^ { x } \tau _ { a } ) - k _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \, \mu _ { x } \mu _ { y } \tau _ { a } ^ { 2 } } \, } \end{array}
{ \cal S } ( M , M _ { H } , M _ { \mu } ) = \left[ 1 - \left( { \frac { M _ { H } } M } - { \frac { M _ { \mu } } M } \right) ^ { 2 } \right] \left[ 1 - \left( { \frac { M _ { H } } M } + { \frac { M _ { \mu } } M } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( 1 - \Phi _ { v } ) \rho _ { g } E _ { g } } { \partial t } } & { + \nabla \mathbf { \cdot } \left[ ( 1 - \Phi _ { v } ) \rho _ { g } \textbf { u } _ { g } ( E _ { g } + p _ { g } ) \right] + \nabla \mathbf { \cdot } \left[ ( 1 - \Phi _ { v } ) \textbf { u } _ { g } \mathbf { \cdot } ( \textbf { R } _ { g } - \mathbf { \sigma } _ { g } ) \right] } \\ & { = - ( 1 - \Phi _ { v } ) \nabla \mathbf { \cdot } \textbf { q } _ { g } + p _ { g } \frac { \partial \Phi _ { v } } { \partial t } + \mathbf { \sigma } _ { g } \mathbf { : } \nabla \left( \Phi _ { v } \textbf { u } _ { p } \right) + \textbf { u } _ { p } \mathbf { \cdot } \textbf { F } _ { p } + Q _ { p } , } \end{array}
n _ { e } = n _ { e , b k } + n _ { e 0 } \exp \left( - \frac { \operatorname* { m a x } \left( z - z _ { 0 } , 0 \right) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } - \frac { r ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \left\| { B _ { j } } \right\| _ { \mathrm { o p } } } & { \leq 1 1 C _ { 0 } \left( \left( \frac { 2 2 C _ { 0 } } { \sqrt n } \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) + 2 \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + 2 \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) } \\ & { \leq 2 2 C _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } + \left\| { F _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { F _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 1 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } + \left\| { G _ { j 2 } } \right\| _ { \mathrm { o p } } \right) \left( \frac { 1 + \sigma \sqrt { d } } { \sqrt { n p } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { a } \wedge \mathbf { b } = ( a _ { 1 } b _ { 2 } - a _ { 2 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 2 } + ( a _ { 1 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 3 } + ( a _ { 1 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 1 } ) \mathbf { e } _ { 1 4 } + ( a _ { 2 } b _ { 3 } - a _ { 3 } b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 3 } } \\ { + ( a _ { 2 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 2 } ) \mathbf { e } _ { 2 4 } + ( a _ { 3 } b _ { 4 } - a _ { 4 } b _ { 3 } ) \mathbf { e } _ { 3 4 } . } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { J } } = { \frac { c _ { s } } { ( G \rho ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \approx 0 . 4 { \mathrm { ~ p c } } \cdot { \frac { c _ { s } } { 0 . 2 { \mathrm { ~ k m ~ s } } ^ { - 1 } } } \cdot \left( { \frac { n } { 1 0 ^ { 3 } { \mathrm { ~ c m } } ^ { - 3 } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } .
L _ { E K } = \mathcal { F } + \frac { 2 } { 4 5 } \, \frac { \alpha ^ { 2 } } { m ^ { 4 } } \, \frac { \hbar ^ { 3 } \varepsilon _ { 0 } } { c ^ { 3 } } \left( 4 \mathcal { F } ^ { 2 } + 7 \mathcal { G } ^ { 2 } \right) \, ,
\delta \phi _ { A } = \frac { \partial } { \partial \xi _ { A } } \phi ( x ^ { \gamma } ; \xi _ { B } ] \; \; \; , \; \; \; \delta A _ { \beta } ^ { ( A ) } = \frac { \partial } { \partial \xi _ { A } } A _ { \beta } ( x ^ { \gamma } ; \xi _ { B } ] \; \; .
\epsilon _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { s } } \prod _ { j = 1 } ^ { s } D ^ { n _ { j } } { \bf X } ^ { \mu _ { j } } \quad \mathrm { s u c h ~ t h a t } \quad \sum _ { j = 1 } ^ { s } n _ { j } = n , \quad n = 1 , 2 , 3 , . . .
\Phi = \oint _ { C } \mathrm { \bf ~ A } \cdot d \mathrm { \bf ~ r } = \oint _ { C } \nabla \xi ( \mathrm { \bf ~ r } ) \cdot d \mathrm { \bf ~ r } = \int _ { \mathrm { \bf ~ r } _ { i } } ^ { \mathrm { \bf ~ r } _ { f } } \nabla \xi \cdot d \mathrm { \bf ~ r } = \xi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { f } ) - \xi ( \mathrm { \bf ~ r } _ { i } ) \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \mathrm { \bf ~ r } _ { f } = \mathrm { \bf ~ r } _ { i } \; .
\mathcal { F } _ { \lambda } ^ { p , q } ( f ) = | { \mathrm { D } } _ { p } ^ { 2 } f | ( \Omega ) + \lambda \Vert ( f ( x _ { i } ) - y _ { i } ) _ { i } \Vert _ { \ell ^ { q } } = \operatorname* { l i m } _ { r \searrow 0 } | { \mathrm { D } } _ { p } ^ { 2 } f | \bigg ( \Omega \setminus \bigcup _ { i = 1 } ^ { N } \bar { B } _ { r } ( x _ { i } ) \bigg ) + \lambda \Vert ( f ( x _ { i } ) - y _ { i } ) _ { i } \Vert _ { \ell ^ { q } } .
\simeq \frac { 1 } { \epsilon } \left[ \frac { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } ) ^ { \epsilon - 1 } } { ( \vec { k } ^ { 2 } ) ^ { \epsilon } } + \frac { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { k } ^ { 2 } ) ^ { \epsilon - 1 } } { ( \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } ) ^ { \epsilon } } + \frac { ( \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } \vec { k } ^ { 2 } ) ^ { \epsilon - 1 } } { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ) ^ { \epsilon } } \right] \; ,
{ \begin{array} { r l } { ( x ) _ { m + n } } & { = ( x ) _ { m } ( x - m ) _ { n } = ( x ) _ { n } ( x - n ) _ { m } } \\ { x ^ { ( m + n ) } } & { = x ^ { ( m ) } ( x + m ) ^ { ( n ) } = x ^ { ( n ) } ( x + n ) ^ { ( m ) } } \\ { x ^ { ( - n ) } } & { = { \frac { \Gamma ( x - n ) } { \Gamma ( x ) } } = { \frac { ( x - n - 1 ) ! } { ( x - 1 ) ! } } = { \frac { 1 } { ( x - n ) ^ { ( n ) } } } = { \frac { 1 } { ( x - 1 ) _ { n } } } = { \frac { 1 } { ( x - 1 ) ( x - 2 ) \cdots ( x - n ) } } = ( - n ) ! { \binom { x - n - 1 } { - n } } } \\ { ( x ) _ { - n } } & { = { \frac { \Gamma ( x + 1 ) } { \Gamma ( x + n - 1 ) } } = { \frac { x ! } { ( x + n ) ! } } = { \frac { 1 } { ( x + n ) _ { n } } } = { \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { ( n ) } } } = { \frac { 1 } { ( x + 1 ) ( x + 2 ) \cdots ( x + n ) } } = ( - n ) ! { \binom { x } { - n } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i \pm \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i , j , k ) } + { \mathbf { E } _ { e } } _ { ( i \pm 1 , j , k ) } \right) - J ^ { - 1 } \mathbf { d } _ { ( i \pm \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } \, \mathrm { , } } \\ { { \mathbf { F } _ { e } } _ { ( i , j \pm \frac { 1 } { 2 } , k ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbf { F } _ { e } } _ { ( i , j , k ) } + { \mathbf { F } _ { e } } _ { ( i , j \pm 1 , k ) } \right) - J ^ { - 1 } \mathbf { d } _ { ( i , j \pm \frac { 1 } { 2 } , k ) } \, \mathrm { , } } \\ { { \mathbf { G } _ { e } } _ { ( i , j , k \pm \frac { 1 } { 2 } ) } = \frac { 1 } { 2 } \left( { \mathbf { G } _ { e } } _ { ( i , j , k ) } + { \mathbf { G } _ { e } } _ { ( i , j , k \pm 1 ) } \right) - J ^ { - 1 } \mathbf { d } _ { ( i , j , k \pm \frac { 1 } { 2 } ) } \, \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } \int D \hat { \boldsymbol { h } } _ { i } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \left\{ \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } ) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right] \right. } \\ & { \qquad \left. + \delta ( \hat { h } _ { i } ^ { t } - \mathrm { i } ) \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right] \right\} \prod _ { t } \left\{ e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \left( - \mathrm { i } \hat { h } _ { i } ^ { t } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } \right) } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } ) \right\} } \\ & { = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t } \left\{ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right) + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , R } \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } \right) \right. } \\ & { \qquad \left. + \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , S } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , I } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \right] e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } } \right\} \prod _ { t } \left\{ e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } } p ( \mathcal { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { v } ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } , y ^ { \bullet } \right) } & { { } = - \mathrm { i } \frac { \mathrm { d } \widetilde { p } ^ { \bullet } } { \mathrm { d } y ^ { \bullet } } \left[ 1 - \frac { J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } r ^ { \bullet } \right) } { J _ { 0 } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) } \right] , } \\ { \widetilde { \tau } ^ { \bullet } \left( r ^ { \bullet } , y ^ { \bullet } \right) } & { { } = \left( \gamma - 1 \right) \mathrm { H e } ^ { 2 } \widetilde { p } ^ { \bullet } \left[ 1 - \frac { J _ { 0 } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } K _ { v } r ^ { \bullet } \right) } { J _ { 0 } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } \right) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x } & { = } & { \sqrt { \frac { 2 } { m \Omega _ { B } } } \left( \sqrt { D } \cos \theta - \sqrt { J } \cos \varphi \right) , } \\ { y } & { = } & { \sqrt { \frac { 2 } { m \Omega _ { B } } } \left( \sqrt { D } \sin \theta + \sqrt { J } \sin \varphi \right) , } \\ { p _ { x } } & { = } & { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } m \Omega _ { B } } \left( - \sqrt { D } \sin \theta + \sqrt { J } \sin \varphi \right) , } \\ { p _ { y } } & { = } & { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } m \Omega _ { B } } \left( \sqrt { D } \cos \theta + \sqrt { J } \cos \varphi \right) . } \end{array}
\Delta G - \Delta G _ { 0 } = { \cal R } T \ln { \left( \frac { \Psi _ { \mathrm { C O } } \Psi _ { \mathrm { H _ { 2 } } } ^ { 3 } } { \Psi _ { \mathrm { C H _ { 4 } } } \Psi _ { \mathrm { H _ { 2 } O } } } \right) } .
\frac { \varepsilon } 3 C ^ { i j k l } g _ { i j } g _ { k l } = \frac { \varepsilon } 3 \left( { } ^ { ( 1 ) } S ^ { i j k l } g _ { i j } g _ { k l } + { } ^ { ( 1 ) } \! A ^ { i j k l } g _ { i j } g _ { k l } \right) = \frac { \varepsilon } 3 ( S + A ) \, .
\begin{array} { r l } { { \cal U } ( { \bf R , n } ) = } & { \operatorname* { m i n } _ { D ^ { \sigma } } \left\{ { \cal F } _ { \mathrm { K S } } [ { \boldsymbol \rho } , { \bf n } ] + \int v ( { \bf R , r } ) \rho ( { \bf r } ) d { \bf r } \right. } \\ & { \left. - \mu \left( \sum _ { \sigma } \int \rho _ { \sigma } ( { \bf r } ) d { \bf r } - N _ { e } \right) \right\} . } \end{array}
G _ { A B } = R _ { A B } - g _ { A B } R _ { \phantom { C } C } ^ { C } / 2 = - \kappa _ { 5 } ^ { 2 } [ - \Lambda _ { 5 } g _ { A B } + T _ { \mu \nu } \delta _ { A } ^ { \mu } \delta _ { B } ^ { \nu } \delta ( y ) ]
N ~ \stackrel { \uparrow } { \bullet } ~ \stackrel { \circ } { \downarrow } ~ \bar { s } ~ \stackrel { \circ } { \downarrow } ~ s + \bar { N } ~ \stackrel { \uparrow } { \bullet } ~ \stackrel { \circ } { \downarrow } ~ s ~ \stackrel { \circ } { \downarrow } ~ \bar { s }
1 . { \overline { { \mathbf { t } 0 } } } _ { b } = 1 + \mathbf { t } b T = { \frac { ( r ^ { 2 } - 1 ) + ( r \! - \! \! 1 ) b } { r ^ { 2 } - 1 } } = { \frac { 1 } { r + 1 } } .
E = \int d { \vec { r } } \left[ { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } | \nabla \psi ( { \vec { r } } ) | ^ { 2 } + V ( { \vec { r } } ) | \psi ( { \vec { r } } ) | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } U _ { 0 } | \psi ( { \vec { r } } ) | ^ { 4 } \right]
\begin{array} { r l } { \Delta _ { i + 1 } } & { = f _ { 4 } ( c _ { i } , d _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { - f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) + \big ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } \big ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } } \\ { } & { = f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - \frac { \big ( f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) - ( u ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } ) \big ) \cdot \mu ( F \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F _ { i } \setminus F ) } } \\ { } & { < f _ { 3 } ( c _ { i } , F _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 0 } ) = \mathcal { E } _ { 1 } + \mathcal { E } _ { 2 } + \underbrace { D G _ { \delta } ( \bar { i } ) \circ ( L - \mathbb { D } ) \circ D { G } _ { \delta } ( \bar { i } ) ^ { - 1 } } _ { = : \mathcal { E } _ { 3 } } + D G _ { \delta } ( \bar { i } ) \circ \mathbb { D } \circ D { G } _ { \delta } ( \bar { i } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \left( \| \partial _ { t } p \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla \cdot p \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) \, d t } \\ { = } & { } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \| s p _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| \nabla \cdot p _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d s _ { 2 } } \\ { = } & { } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \| A \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s \alpha \beta u _ { L } + f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d s _ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \| A \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s \alpha \beta u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d s _ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { | s | } { s _ { 1 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \| f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| f _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \, d s _ { 2 } } \\ { \leq } & { } & { C \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \left( \frac { 1 } { s _ { 1 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \| \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) \, d t } \\ { \leq } & { } & { C \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - 2 s _ { 1 } t } \left( \frac { 1 } { s _ { 1 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \| \partial _ { t } f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \Big ( \frac { 1 } { s _ { 1 } } \left( 1 + \frac { \sigma _ { \rho } } { s _ { 1 } } \right) ^ { 2 } + 1 \Big ) \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 4 } [ h ] } & { : = ( \Phi _ { 4 } ) ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 3 } \Phi _ { 4 } [ h ] = \mathcal { D } _ { \omega } h - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 4 } [ h ] + \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 1 } + R _ { 4 } [ h ] , } \\ { M _ { 4 } [ h ] } & { : = O p ^ { W } \left( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } 4 + \mathfrak { m } _ { \le 0 } ( \omega , \xi ) + \mathfrak { r } _ { - 2 , 1 } \right) , } \end{array}
\displaystyle \Pi _ { i j , V / A } ^ { [ l ] } ( q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 1 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \infty } d s \frac { ( - s ) ^ { 2 - l } R _ { i j , V / A } ^ { ( l ) } ( s , m _ { u } , m _ { d } , m { } , \mu , \alpha _ { s } ) } { s - q ^ { 2 } } \ \ \ \; \; \mathrm { m o d \; s u b }
\begin{array} { r l } { i \partial _ { t } \tilde { c } _ { a } ( t ) } & { { } = \left( \Omega _ { g a } ^ { * } + \int { d E \frac { \mathcal { V } _ { a E } \Omega _ { g E } ^ { * } } { \omega _ { g } + \omega - \omega _ { E } } } \right) \tilde { c } _ { g } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } | \langle x | \psi ( t ) \rangle | ^ { 2 } } & { { } = - i \langle \psi ( t ) | [ | x \rangle \langle x | , \mathrm { R e } H _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } ] | \psi ( t ) \rangle } \end{array}
\boxed { \mathcal { I } _ { l } ^ { S } ( A ) = \frac { A } { 2 l } \bigg [ \frac { J _ { l } J _ { l + 1 } ^ { \prime } - J _ { l + 1 } J _ { l } ^ { \prime } } { 1 + 2 l } + \frac { J _ { l } J _ { l - 1 } ^ { \prime } - J _ { l - 1 } J _ { l } ^ { \prime } } { 1 - 2 l } \bigg ] _ { A } . }
\mathrm { S y m } _ { \Omega } = \left( \sigma _ { 1 } \sigma \right) \mathfrak { U } \left( \tilde { r } \right) \cup \left( \sigma _ { 2 } \sigma \right) \mathfrak { U } \left( \tilde { r } \right) \cup \cdots \cup \left( \sigma _ { m } \sigma \right) \mathfrak { U } \left( \tilde { r } \right)
e ^ { \mathbf { A } t } = \left( \begin{array} { l l } { \cos { E _ { 1 } t } - i \frac { \Delta \omega } { 2 E _ { 1 } } \sin { E _ { 1 } t } } & { - i \frac { \sigma } { E _ { 1 } } \sin E _ { 1 } t } \\ { i \frac { \sigma } { E _ { 1 } } \sin E _ { 1 } t } & { \cos { E _ { 1 } t } + i \frac { \Delta \omega } { 2 E _ { 1 } } \sin { E _ { 1 } t } } \end{array} \right) ,
\cos { \frac { \pi } { 1 5 \times 2 ^ { 0 } } } = { \frac { { \sqrt { { \sqrt { 0 . 7 0 3 1 2 5 } } + 1 . 8 7 5 } } + { \sqrt { 0 . 3 1 2 5 } } - 0 . 2 5 } { 2 } }
\begin{array} { r } { { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) = j _ { l } ( k r ) \boldsymbol { X } _ { l m } ( { \bf r } ) , \qquad { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) = \frac { \boldsymbol { \nabla } \times { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { j } ( { \bf r } ) } { k } , \qquad \boldsymbol { X } _ { l m } ( { \bf r } ) = \frac { { \bf { L } } Y _ { l m } ( \theta , \varphi ) } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } . } \end{array}
f _ { b _ { + } d _ { + } a _ { - } } ( 0 , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \frac { s g } { m } \sqrt { \frac { N } { 2 \pi } } \frac { f _ { a _ { + } a _ { - } } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } { \sqrt { x _ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \mathrm { E r r o r } } & { = } & { \frac { \left< X ^ { 2 } ( t ) \right> - \left< Y ^ { 2 } ( t ) \right> } { \left< Y ^ { 2 } ( t ) \right> } = \frac { \left( t ^ { \alpha _ { 1 } } - ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } + ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 2 } } \right) - t ^ { \alpha _ { 2 } } } { t ^ { \alpha _ { 2 } } } } \\ & { \sim } & { \frac { \alpha _ { 1 } \tau } { t ^ { 1 + \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } } } - \frac { \alpha _ { 2 } \tau } { t } . } \end{array}