harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Theta \left( \Omega _ { n } ^ { \mathbf { c } } , \Omega _ { n ^ { \prime } } ^ { \mathbf { c } ^ { \prime } } \right) ( 0 ) } \\ & { = \displaystyle \sum _ { \mathbf { a } } \Theta \left( \mathcal { M } _ { \gamma , R } ^ { \mathbf { a } , { n } , \mathbf { c } } , \mathcal { M } _ { \gamma , R } ^ { \mathbf { a } , { n } ^ { \prime } , \mathbf { c } ^ { \prime } } \right) ( 0 ) } \\ & { = \displaystyle \sum _ { \mathbf { a } } \Theta \left( { \psi _ { \gamma } } ( g ^ { \mathbf { a } , \mathbf { n } } ) , { \psi _ { \gamma } } ( g ^ { \mathbf { a } , \mathbf { n } ^ { \prime } } ) \right) ( 0 ) \sum _ { \alpha = 0 } ^ { R - 1 } \prod _ { i = 0 } ^ { l - 1 } \omega _ { 2 } ^ { ( c _ { i } - c _ { i } ^ { \prime } ) \alpha _ { i } } } \\ & { = \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { \prime } } ) \Big ) ( 0 ) \sum _ { \alpha = 0 } ^ { R - 1 } \prod _ { i = 0 } ^ { l - 1 } \omega _ { 2 } ^ { ( c _ { i } - c _ { i } ^ { \prime } ) \alpha _ { i } } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { R 2 ^ { k + 1 } \gamma , } & { ( n , \mathbf { c } ) = ( n ^ { \prime } , \mathbf { c } ^ { \prime } ) , } \\ { 0 , } & { ( n , \mathbf { c } ) \neq ( n ^ { \prime } , \mathbf { c } ^ { \prime } ) . } \end{array} \right. } \end{array}
\lambda ( p ^ { 2 } ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \lambda _ { \mu } } } & { { ( p ^ { 2 } < \mu _ { I R } ^ { 2 } ) } } \\ { { { \frac { A / 2 } { \ln { ( p ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } ) } } } } } & { { ( p ^ { 2 } > \mu _ { I R } ^ { 2 } ) } } \end{array} \right. \right. ,
\mathbf { X } = { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { \mathbf { 1 } } & { \mathbf { d } } & { \mathbf { d } ( 1 ) \times \mathbf { d } ( 2 ) } & { \mathbf { d } ( 1 ) \times \mathbf { d } ( 3 ) } & { \cdots } & { \mathbf { d } ( k - 1 ) \times \mathbf { d } ( k ) } & { \mathbf { d } ( 1 ) ^ { 2 } } & { \mathbf { d } ( 2 ) ^ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { d } ( k ) ^ { 2 } } \end{array} \right] } ,
\| e ^ { i t \Delta _ { x } } u _ { 0 } \| _ { L _ { y _ { \alpha } } ^ { r } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } \lesssim \frac { 1 } { | t | ^ { m ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { r } ) } } \| u _ { 0 } \| _ { L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { y _ { \alpha } } ^ { r ^ { ' } } } \lesssim \frac { 1 } { | t | ^ { m ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { r } ) } } \| u _ { 0 } \| _ { L _ { y _ { \alpha } } ^ { r ^ { ' } } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } H ^ { p } ( u ^ { \prime } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } H ^ { p } ( ( u _ { * } ) ^ { \prime } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } H ^ { p } ( ( v _ { * } ) ^ { \prime } ) \leqslant \int _ { 0 } ^ { 1 } H ^ { p } ( v ^ { \prime } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { k } H ^ { p } ( ( ( u _ { 1 } ) _ { * } ) ^ { \prime } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 - k } H ^ { p } ( ( ( u _ { 2 } ) _ { * } ) ^ { \prime } ) \leqslant \int _ { 0 } ^ { k } H ^ { p } ( u _ { 1 } ^ { \prime } ) + \int _ { 0 } ^ { 1 - k } H ^ { p } ( u _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { k } H ^ { p } ( u ^ { \prime } ( t ) ) d t + \int _ { 0 } ^ { 1 - k } H ^ { p } ( u ^ { \prime } ( k + t ) ) d t = \int _ { 0 } ^ { 1 } H ^ { p } ( u ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \d \theta = \left( 2 { \tt c } \sin ^ { 2 } ( \tau / 2 ) \sin \theta \right) ^ { - 1 } d \tau \, , } \\ { \sin \theta = \frac { \sqrt { \sin ^ { 2 } ( \tau / 2 ) - \sin ^ { 2 } ( \theta _ { \tt d } / 2 ) } } { \cos ( \theta _ { \tt d } / 2 ) \sin ( \tau / 2 ) } \, , } \\ { 1 - \cos ^ { 2 } ( \theta _ { \tt d } / 2 ) \sin ^ { 2 } \theta = \frac { \sin ^ { 2 } ( \theta _ { \tt d } / 2 ) } { \sin ^ { 2 } ( \tau / 2 ) } \, , } \end{array}
\operatorname { V a r } ( { \bar { x } } _ { w } ) = \sum _ { h = 1 } ^ { H } W _ { h } ^ { 2 } \operatorname { V a r } ( { \bar { x } } _ { h } ) \left( { \frac { 1 } { n _ { h } } } - { \frac { 1 } { N _ { h } } } \right) ,
K _ { + } ( \omega ) = \sqrt { - i \frac { \Delta ( 1 - 2 \Delta ) \omega } { 2 \pi } } e ^ { - i \omega \Delta \ln ( - i \omega ) + i \mu \omega } \frac { \Gamma ( - i \omega \Delta ) \Gamma ( - i \omega ( 1 - 2 \Delta ) ) } { \Gamma ( - i \omega ) }
\| \hat { \mathbf { Q } } _ { m } \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , 1 ] ) } \leq C \kappa _ { m - 1 } \tau _ { m } ^ { \prime \prime } \, , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \hat { \mathbf { Q } } _ { m } ( 0 ) = \hat { \mathbf { Q } } _ { m } ( 1 ) = 0 \, .
\left| \tilde { \chi } _ { n k } \right\rangle = \left| \chi _ { n k } \right\rangle - \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { K S } } } \left\langle \phi _ { i k } \mid \chi _ { n k } \right\rangle \left| \phi _ { i k } \right\rangle .
\frac { 1 } { \pi } \frac { - \frac { 1 } { b ^ { 2 } } + \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } } { \sqrt { ( 1 + \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } ) ^ { 2 } - ( \frac { 1 } { b } + b \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } ) ^ { 2 } } } = 0 \, \Rightarrow b = + \sqrt { \frac { l _ { 1 } } { l _ { 2 } } }
{ \frac { k _ { n } k _ { m } } { \omega ^ { 2 } } } = { \frac { \left( q _ { \mu } - \eta _ { \mu } ( \eta \cdot q ) \right) \left( q _ { \nu } - \eta _ { \nu } ( \eta \cdot q ) \right) } { ( \eta \cdot q ) ^ { 2 } } }
\mathbf { E } _ { \mathrm { t } } = \mathbf { E } _ { \mathbf { k } { \mathrm { t } } \, } e ^ { i ( n _ { 1 } k _ { 0 } x \sin \theta _ { \mathrm { i } } + n _ { 2 } k _ { 0 } y \cos \theta _ { \mathrm { t } } - \omega t ) } .
R _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } _ { \| } ) = | r _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } _ { \| } ) | ^ { 2 } = \frac { | \mathbf { e } _ { \sigma } \cdot \hat { \boldsymbol { \alpha } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \cdot \mathbf { e } _ { \sigma ^ { \prime } } | ^ { 2 } } { ( 2 A \varepsilon _ { 0 } / k ) ^ { 2 } } = \frac { | \mathbf { e } _ { \sigma } \cdot \hat { \boldsymbol { \alpha } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \cdot \mathbf { e } _ { \sigma ^ { \prime } } | ^ { 2 } } { ( A \lambda \varepsilon _ { 0 } / \pi ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \partial _ { { x } _ { j } } \Omega _ { 0 } \big ( \vec { k } , \vec { x } + \frac { \partial \omega } { \partial \vec { k } } s , t + s \big ) } \\ & { = 2 i \int d \vec { q } ^ { \prime } q _ { j } ^ { \prime } e ^ { i \vec { q } ^ { \prime } \cdot ( \vec { x } + \partial _ { \vec { k } } \omega s ) } \int _ { 2 , 4 \mathrm { ~ s m a l l } } d \vec { k } _ { 2 } d \vec { k } _ { 4 } T _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 2 } } ^ { \vec { k } - \vec { q } / 2 , \vec { k } _ { 4 } } b _ { \mathbf 2 } ^ { * } ( t + s ) b _ { \mathbf 4 } ( t + s ) \delta ( \vec { q } ^ { \prime } + \vec { k } _ { 2 } - \vec { k } _ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } } & { = } & { \epsilon _ { w } \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } \kappa _ { D } w ^ { 2 } + \epsilon _ { p } [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] R , } \\ & { } & { + \epsilon _ { w } \sigma _ { 1 } ( 1 + \kappa _ { D } R ) w R ^ { 2 } \mathrm { c s c h } ( \kappa _ { D } R ) } \\ { \mathcal { B } } & { = } & { [ \{ [ \epsilon _ { p } \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ) - \epsilon _ { w } \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] w \} } \\ & { } & { + \epsilon _ { p } [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] R } \\ & { } & { + \epsilon _ { w } \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } \delta \kappa _ { D } R \coth ( \kappa _ { D } R ) ] \exp [ \kappa _ { D } ( R + w ) ] , } \\ { \mathcal { C } } & { = } & { \epsilon _ { w } \{ \sigma _ { 1 } w ^ { 2 } \kappa _ { D } R ^ { 2 } + [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] R } \\ & { } & { + \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } ( 1 + 2 \kappa _ { D } R ) w } \\ & { } & { - \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } \kappa _ { D } \coth ( \kappa _ { D } R ) \} , } \\ { \mathcal { D } } & { = } & { \epsilon _ { p } [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } ] } \\ & { } & { - \epsilon _ { w } [ \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } + \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } + \sigma _ { 1 } R ^ { 2 } \kappa _ { D } ( R + w ) ] } \\ & { } & { + \epsilon _ { w } \kappa _ { D } \sigma _ { 2 } ( R + w ) ^ { 2 } R \coth ( \kappa _ { D } R ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s } \frac { n _ { s } e _ { s } ^ { 2 } } { T _ { s } } \chi _ { z s } \left[ \delta \phi _ { z } \right] _ { \psi } } & { = } & { - \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { V _ { \psi } ^ { \prime } } \sum _ { s } \sum _ { \hat { \sigma } } \int d \mathcal { E } d \mu \tau _ { b s } \overline { { e ^ { - i Q _ { z s } } J _ { 0 } } } } \\ & { } & { \times \sum _ { l } \frac { l ^ { 2 } \hat { \sigma } \omega _ { b s } } { \omega _ { G } ^ { 2 } } \overline { { e ^ { i Q _ { G s } } \cos l \vartheta _ { c } \frac { c R B _ { \phi } } { 4 { \cal J } B _ { 0 } ^ { 2 } ( d \psi / d r ) } ( J _ { 0 } \delta E _ { r G } ) ^ { * } } } } \\ & { } & { \times \overline { { e ^ { i Q _ { G s } } \cos l \vartheta _ { c } \frac { e _ { s } ^ { 2 } } { m _ { s } } \frac { \partial \bar { F } _ { 0 s } } { \partial \mathcal { E } } J _ { 0 } \delta \phi _ { G } } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| v _ { 1 } - v _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } \leq \| v _ { 1 } - v _ { 2 } \| _ { L ^ { \infty } ( \partial \Omega ) } + \frac { C } { n } \operatorname* { m a x } _ { x \in \overline { { \omega } } } \mathrm { d i s t } ( x , \partial \Omega ) ^ { 1 / n } \| f _ { 1 } - f _ { 2 } \| _ { L ^ { n } ( \Omega ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert \sum _ { s = 1 } ^ { t } X _ { s } \right\Vert \leq } & { \frac { 2 R } { 3 } \log \frac { 1 } { \delta } + \sqrt { 2 \sum _ { s = 1 } ^ { T } \sigma _ { s } ^ { 2 } \log \frac { 1 } { \delta } } + \sqrt { R ^ { 2 } + \frac { 2 R ^ { 2 } } { 3 } \log \frac { 1 } { \delta } + \sqrt { 2 \sum _ { s = 1 } ^ { T } \sigma _ { s } ^ { 2 } R ^ { 2 } \log \frac { 1 } { \delta } } + \sum _ { s = 1 } ^ { t } \sigma _ { s } ^ { 2 } } } \\ { \leq } & { 3 R \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , \log \frac { 1 } { \delta } \right\} + 3 \sqrt { \sum _ { s = 1 } ^ { T } \sigma _ { s } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , \log \frac { 1 } { \delta } \right\} } . } \end{array}
| \psi ( x ) \rangle = \left\{ \begin{array} { l r } { | i _ { x } \rangle } & { \mathrm { b a s i s ~ \ e n c o d i n g } } \\ { \sum _ { i } ^ { n } x _ { i } | i \rangle } & { \mathrm { a m p l i t u d e ~ \ e n c o d i n g } } \\ { \otimes _ { i } ^ { n } R ( x _ { i } ) | 0 ^ { n } \rangle } & { \mathrm { a n g l e ~ \ e n c o d i n g } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \int \displaylimits _ { V } w _ { 1 } ( \rho c _ { v } \partial _ { t } T + \nabla \cdot \mathbf q - Q _ { v } ) \textrm { d } V = 0 , \quad \Rightarrow \quad \int \displaylimits _ { V } ( w _ { 1 } \rho c _ { v } \partial _ { t } T + \nabla w _ { 1 } \cdot \mathbf q - w _ { 1 } Q _ { v } ) \textrm { d } V + \int \displaylimits _ { S } \mathbf q \cdot \mathbf n w _ { 1 } \textrm { d } S = 0 , } \end{array}
\widetilde M ( \pmb \theta ) = J ^ { \top } J , \quad J _ { i j } ( \pmb \theta ) = \frac { \partial \hat { p } } { \partial \theta _ { j } } ( \mathbf x _ { i } , \pmb \theta ) , \quad i \in \{ 1 , 2 , \cdots , N \} , \quad j \in \{ 1 , 2 , \cdots , n \} .
| \hat { A _ { 1 } } | ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { | \hat { A _ { 1 } } | ( 0 ) e ^ { h ( t ) } \left( 1 + \frac { | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } ( 0 ) } { | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) } \left( \frac { b _ { 0 } } { b _ { 0 } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) } \right) \left\{ \left[ 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { 2 t } \right) \right] ^ { 1 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) } { b _ { 0 } } } - 1 \right\} \right) ^ { - 1 / 2 } } & { \mathrm { i f ~ } \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \neq b _ { 0 } } \\ { | \hat { A _ { 1 } } | ( 0 ) e ^ { h ( t ) } \left\{ 1 + \frac { | \hat { A _ { 1 } } | ^ { 2 } ( 0 ) } { | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) } \log \left[ 1 - b _ { 0 } | \hat { A _ { 2 } } | ^ { 2 } ( 0 ) \left( 1 - e ^ { 2 t } \right) \right] \right\} ^ { - 1 / 2 } } & { \mathrm { i f ~ } \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) = b _ { 0 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { \ast } ( \tilde { y } ) = \left( 1 - 2 \frac { \tilde { y } } { \tilde { H } } \right) \frac { 1 - \lvert \beta ( \alpha ) \rvert } { 2 \Delta _ { R } } P e _ { f } , \, } \\ & { \Gamma _ { \ast \ast } ( \tilde { y } ) = \left( 1 - 2 \frac { \tilde { y } } { \tilde { H } } \right) \frac { 1 + \lvert \beta ( \alpha ) \rvert } { 2 \Delta _ { R } } P e _ { f } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { E } ( t ) \leq } & { \mathcal { O } \left( T ^ { \nu - 1 } \right) + \mathcal { O } \left( T ^ { - 2 ( \sigma - \nu ) } \right) + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \mathcal { O } \left( T ^ { - \nu } \right) + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { { } _ { C } D _ { 0 , t } ^ { \alpha } u ( t ) = \underbrace { P . V . \int _ { t ^ { n - 1 } } ^ { t } k _ { - \alpha } ( t - s ) u ( s ) \ d x [ s ] - \frac { t ^ { - \alpha } u ( 0 ) } { \Gamma ( 1 - \alpha ) } } _ { L ^ { \alpha } u } + \underbrace { \int _ { 0 } ^ { t ^ { n - 1 } } k _ { - \alpha } ( t - s ) u ( s ) \ d x [ s ] } _ { H ^ { \alpha } u } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { f } _ { 2 } ( \cdot , u ) u _ { 2 } } { \zeta - 1 } + \frac { 1 } { 4 ( \nu _ { 2 } - \varepsilon ) } \Big ( \sum _ { n \geq 1 } | b _ { n , 2 } ( \cdot ) | \, | g _ { n , 2 } ( \cdot , u ) | \Big ) ^ { 2 } } & { + \frac 1 2 \| ( g _ { n , 2 } ( \cdot , u ) ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq M _ { 0 } ( M _ { 1 } | u _ { 2 } | ^ { 2 } + M _ { 2 } ) , } \end{array}
G _ { \mu \nu } ( k ) = { \frac { 1 } { m _ { + } ^ { 2 } - m _ { - } ^ { 2 } } } [ G _ { \mu \nu } ^ { + } ( m _ { + } ^ { 2 } ; k ) - G _ { \mu \nu } ^ { - } ( m _ { - } ^ { 2 } ; k ) ] .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { \eta } } ] } & { \le } & { \mathbb { E } [ \lambda ^ { \tau _ { h } } \mathbb { I } _ { \eta \ge 1 } ] + g ( \lambda ; C _ { 0 } \sqrt { h } , e ^ { m _ { 0 } } ) \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \eta \ge k } \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { k - 1 } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { \mathcal { I B } } : = \langle \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { \mathcal I } \rangle _ { \mathcal B } = \langle \langle \psi _ { \varepsilon } \rangle _ { \mathcal B } \rangle _ { \mathcal I } . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac { m _ { 0 } ^ { 4 } } { \lambda } \left( 1 - \cos \frac { \sqrt { \lambda } } { m _ { 0 } } \phi \right)
\begin{array} { r l } { \tilde { s } ( h _ { 1 } ) \tilde { s } ( h _ { 2 } ) } & { = [ s ( h _ { 1 } ) , 1 ] [ s ( h _ { 2 } ) , 1 ] } \\ & { = [ \rho ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) s ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) , \sigma ( s ( h _ { 1 } ) , s ( h _ { 2 } ) ) ] } \\ & { = [ s ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( s ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) ^ { - 1 } \rho ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) s ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) ) , \sigma ( s ( h _ { 1 } ) , s ( h _ { 2 } ) ) ] } \\ & { = [ s ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) , ( \chi \circ \rho ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) ) \cdot ( \sigma ( s ( h _ { 1 } ) , s ( h _ { 2 } ) ) ) ] } \\ & { = ( \chi \circ \rho ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) ) \cdot ( \sigma ( s ( h _ { 1 } ) , s ( h _ { 2 } ) ) ) \tilde { s } ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) \ensuremath { \, \mathrm { . } } } \end{array}
K ^ { ( N , \overline { { \rho } } ) } ( u ) = \frac { u } { 1 - \overline { { \rho } } } \left( \frac { \Gamma \left( N u + \overline { { \rho } } \right) \Gamma \left( N \right) } { u \Gamma \left( N u \right) \Gamma \left( N + \overline { { \rho } } \right) } - \overline { { \rho } } \right) , \qquad 0 \le u \le 1 , \overline { { \rho } } > 0 , \overline { { \rho } } \neq 1 ,
x _ { - } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { X _ { - } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - X _ { - } ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad x _ { + } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { X _ { + } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - X _ { + } ^ { T } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\Psi _ { ( 3 , 3 , 2 ) } = \prod _ { i < j } ( z _ { i } ^ { ( 1 ) } - z _ { j } ^ { ( 1 ) } ) ^ { 3 } \prod _ { i < j } ( z _ { i } ^ { ( 2 ) } - z _ { j } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 3 } \prod _ { i , j } ( z _ { i } ^ { ( 1 ) } - z _ { j } ^ { ( 2 ) } ) ^ { 2 } \; \Psi _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { C _ { i } } & { = \langle F _ { 1 1 } ^ { \alpha } - A _ { 1 1 } ^ { \alpha } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega } } \\ { L _ { i j } } & { = \langle F _ { 1 ( j + 1 ) } ^ { \alpha } + F _ { ( j + 1 ) 1 } ^ { \alpha } - A _ { 1 ( j + 1 ) } ^ { \alpha } - A _ { ( j + 1 ) 1 } ^ { \alpha } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega } } \\ { Q _ { i j k } } & { = \langle F _ { ( j + 1 ) ( k + 1 ) } ^ { \alpha } - A _ { ( j + 1 ) ( k + 1 ) } ^ { \alpha } , \Phi _ { i } \rangle _ { \Omega } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ E ^ { 2 } ( \omega , \omega _ { a } ) \right] _ { \mathrm { R I N } } } & { = \frac { \Delta X _ { a } ( \Delta \omega ) } { 2 X _ { a } } \left( \left( A ( \omega _ { a } ) \left[ A ( 2 \omega _ { a } - \omega ) + A ( \omega ) \right] + B ( \omega _ { a } ) \left[ B ( 2 \omega _ { a } - \omega ) + B ( \omega ) \right] \right) \cos ( \Delta \omega t + \phi _ { 0 } ) \, \right. } \\ & { \left. \qquad \quad + \left( A ( \omega _ { a } ) \left[ B ( 2 \omega _ { a } - \omega ) - B ( \omega ) \right] + B ( \omega _ { a } ) \left[ A ( \omega ) - A ( 2 \omega _ { a } - \omega ) \right] \right) \sin ( \Delta \omega t + \phi _ { 0 } ) \right) } \\ & { = \frac { \Delta X _ { a } ( \Delta \omega ) } { 2 X _ { a } } \sqrt { N ( \omega , \omega _ { a } ) } \cos ( \Delta \omega t + \varphi ) = \sqrt { \frac { P _ { \mathrm { R I N } } N ( \omega , \omega _ { a } ) } { 8 T _ { \mathrm { o b s } } \Delta \omega } } \cos ( \Delta \omega t + \varphi ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( S \le s , T \le t ) } & { = P \left( X + Y \le s , \frac { X } { X + Y } \le t \right) } \\ & { = \iint _ { D } f _ { X , Y } ( x , y ) \, d x \, d y \quad \quad , \mathrm { ~ w h e r e ~ } D = \{ ( x , y ) : x + y \le s , x / ( x + y ) \le t \} } \\ & { = \lambda ^ { 2 } \iint _ { D } e ^ { - \lambda ( x + y ) } \mathbf 1 _ { x , y > 0 } \, d x \, d y } \end{array}
\overline { { \mathbf { V } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , s } = { \mathbf { R } } _ { 2 } ^ { - 1 } \overline { { \mathbf { U } } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , s } , \quad s = j - l , \cdots , j + l ;
\begin{array} { r l } & { \delta _ { 1 } ( \zeta , k ) = e ^ { - i \nu _ { 1 } \ln _ { \omega k _ { 4 } } ( k - \omega k _ { 4 } ) } e ^ { - \chi _ { 1 } ( \zeta , k ) } = e ^ { - i \nu _ { 1 } \ln _ { 0 } z _ { 1 } } t ^ { \frac { i \nu _ { 1 } } { 2 } } e ^ { i \nu _ { 1 } \ln \hat { z } _ { 1 } } e ^ { i \nu _ { 1 } \ln z _ { 1 , \star } } e ^ { - \chi _ { 1 } ( \zeta , k ) } , } \\ & { \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) = e ^ { - i \nu _ { 1 } \ln z _ { 1 } } t ^ { \frac { i \nu _ { 1 } } { 2 } } e ^ { i \nu _ { 1 } \ln \hat { z } _ { 1 } } e ^ { i \nu _ { 1 } \ln z _ { 1 , \star } } e ^ { i \nu _ { 2 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 2 } ( \zeta , k ) } , } \\ & { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) = e ^ { - i \nu _ { 3 } \ln z _ { 1 } } t ^ { \frac { i \nu _ { 3 } } { 2 } } e ^ { i \nu _ { 3 } \ln \hat { z } _ { 1 } } e ^ { i \nu _ { 3 } \ln z _ { 1 , \star } } e ^ { i \nu _ { 4 } \tilde { \ln } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ( k - \omega ^ { 2 } k _ { 2 } ) - \tilde { \chi } _ { 3 } ( \zeta , k ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \lesssim \int _ { x _ { u } : \| x _ { u } \| \le r _ { k } - C _ { \beta } } \int _ { x _ { v } : \| x _ { v } \| > 2 r _ { k } } | \| x _ { v } \| - r _ { k } | ^ { - \alpha d } g ( r _ { k } , z ( x _ { v } ) ) \mathrm { d } x _ { v } \mathrm { d } x _ { u } } \\ & { \lesssim r _ { k } ^ { d } \int _ { t > r _ { k } } ( t + r _ { k } ) ^ { d - 1 } t ^ { - \alpha d } g ( r _ { k } , t ) \mathrm { d } t \lesssim r _ { k } ^ { d } \int _ { t \ge r _ { k } } t ^ { - d ( \alpha - 1 ) - 1 } g ( r _ { k } , t ) \mathrm { d } t . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { d { \bar { p } } _ { \alpha } } { d t } } - { \bar { \Gamma } } _ { \alpha \gamma } ^ { \beta } { \bar { p } } _ { \beta } { \frac { d { \bar { x } } ^ { \gamma } } { d t } } - q { \bar { F } } _ { \alpha \gamma } { \frac { d { \bar { x } } ^ { \gamma } } { d t } } } \\ { = } & { { \frac { d } { d t } } \left( { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } p _ { \delta } \right) - \left( { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } { \partial x ^ { \theta } } } { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } { \frac { \partial x ^ { \iota } } { \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } } \Gamma _ { \delta \iota } ^ { \theta } + { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } { \partial x ^ { \eta } } } { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \eta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } } \right) { \frac { \partial x ^ { \epsilon } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } p _ { \epsilon } { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } { \partial x ^ { \zeta } } } { \frac { d x ^ { \zeta } } { d t } } - q { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } F _ { \delta \zeta } { \frac { d x ^ { \zeta } } { d t } } } \\ { = } & { { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } \left( { \frac { d p _ { \delta } } { d t } } - \Gamma _ { \delta \zeta } ^ { \epsilon } p _ { \epsilon } { \frac { d x ^ { \zeta } } { d t } } - q F _ { \delta \zeta } { \frac { d x ^ { \zeta } } { d t } } \right) + { \frac { d } { d t } } \left( { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } \right) p _ { \delta } - \left( { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } { \partial x ^ { \eta } } } { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \eta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } } \right) { \frac { \partial x ^ { \epsilon } } { \partial { \bar { x } } ^ { \beta } } } p _ { \epsilon } { \frac { \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } { \partial x ^ { \zeta } } } { \frac { d x ^ { \zeta } } { d t } } } \\ { = } & { 0 + { \frac { d } { d t } } \left( { \frac { \partial x ^ { \delta } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } } } \right) p _ { \delta } - { \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \epsilon } } { \partial { \bar { x } } ^ { \alpha } \partial { \bar { x } } ^ { \gamma } } } p _ { \epsilon } { \frac { d { \bar { x } } ^ { \gamma } } { d t } } } \\ { = } & { 0 . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ \Delta _ { 0 } ^ { 2 } \vert \Phi \right] = \frac { 2 F ^ { 2 } } { ( \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } ) ^ { 2 } } - \frac { F ( 2 F \! \! - \! \! 1 ) } { \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } } + \frac { F ^ { 2 } \! \! - \! \! 1 } { 1 2 F } \eta \mu _ { 0 } ^ { \Phi } + \frac { F ( F \! \! - \! \! 1 ) } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { E } \left[ X ^ { p } \right] } & { { } = \sigma ^ { p } \cdot ( - i { \sqrt { 2 } } ) ^ { p } U \left( - { \frac { p } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \mu } { \sigma } } \right) ^ { 2 } \right) , } \\ { \operatorname { E } \left[ | X | ^ { p } \right] } & { { } = \sigma ^ { p } \cdot 2 ^ { p / 2 } { \frac { \Gamma \left( { \frac { 1 + p } { 2 } } \right) } { \sqrt { \pi } } } { } _ { 1 } F _ { 1 } \left( - { \frac { p } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } , - { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { \mu } { \sigma } } \right) ^ { 2 } \right) . } \end{array}