harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\omega _ { \mathrm { F M } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma _ { \mathrm { e f f } } \frac { \sqrt { H _ { a } ^ { 2 } - H _ { x } ^ { 2 } + \left( \frac { 7 } { 2 } H _ { x } ^ { 2 } - 2 H _ { a } ^ { 2 } \right) \epsilon ^ { 2 } + \left( 3 H _ { x } ( H _ { a } ^ { 2 } - H _ { x } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + H _ { z } H _ { x } \right) \epsilon + H _ { z } ( H _ { a } ^ { 2 } - H _ { x } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } { \sqrt { 1 - \epsilon ( H _ { a } ^ { 2 } / H _ { x } ^ { 2 } - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { 2 } } } } & { \mathrm { f o r ~ | { H _ x } | ~ < ~ H _ a ~ , } } \\ { \frac { \gamma _ { \mathrm { e f f } } } { ( 1 - \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \sqrt { H _ { x } \left[ \left( H _ { x } - H _ { a } \right) + H _ { z } \epsilon + ( 2 H _ { a } - \frac { 1 } { 2 } H _ { x } ) \epsilon ^ { 2 } \right] } } & { \mathrm { f o r ~ | { H _ x } | ~ \geq ~ H _ a ~ . } } \end{array} \right.
i \Sigma ( q ) _ { \bar { \mu } \bar { \nu } ; \mu \nu } ^ { 1 a } = i \kappa ^ { 2 } \frac { \int d ^ { 4 } k } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { \left( k _ { \bar { \mu } } ^ { \prime } k _ { \bar { \nu } } + k _ { \bar { \nu } } ^ { \prime } k _ { \bar { \mu } } \right) e ^ { \frac { \kappa ^ { 2 } | { k ^ { \prime } } ^ { 2 } | } { 8 \pi ^ { 2 } } \ln \left( \frac { m ^ { 2 } } { m ^ { 2 } + | { k ^ { \prime } } ^ { 2 } | } \right) } \left( k _ { \mu } ^ { \prime } k _ { \nu } + k _ { \nu } ^ { \prime } k _ { \mu } \right) e ^ { \frac { \kappa ^ { 2 } | k ^ { 2 } | } { 8 \pi ^ { 2 } } \ln \left( \frac { m ^ { 2 } } { m ^ { 2 } + | k ^ { 2 } | } \right) } } { \left( { k ^ { \prime } } ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon \right) \left( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon \right) } .
{ \begin{array} { r l } { \Delta f } & { = { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r { \frac { \partial f } { \partial r } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \theta ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial f } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \theta ^ { 2 } } } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \dot { { x } _ { 1 } } } & { = { x } _ { 1 } - { x } _ { 1 } { x } _ { 2 } + { r } { x } _ { 1 } ^ { 2 } - { p } \frac { { x } _ { 1 } ^ { 2 } { x } _ { 3 } } { { x } _ { 1 } ^ { 2 } + d } , } \\ { \dot { { x } _ { 2 } } } & { = - { x } _ { 2 } + { x } _ { 1 } { x } _ { 2 } , } \\ { \dot { { x } _ { 3 } } } & { = - { q } { x } _ { 3 } + { p } \frac { { x } _ { 1 } ^ { 2 } { x } _ { 3 } } { { x } _ { 1 } ^ { 2 } + d } . } \end{array}
{ \frac { \partial c _ { k } ^ { s } } { \partial t } } = i \epsilon \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } L _ { - k p q } ^ { - s s _ { p } s _ { q } } c _ { p } ^ { s _ { p } } c _ { q } ^ { s _ { q } } e ^ { i \Omega _ { k , p q } t } \delta _ { { \bf k } , { \bf p } { \bf q } } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \tilde { \xi } _ { \operatorname* { s u p } } } ( x ; \alpha ) } & { = \alpha A + ( 1 - \alpha ) B } \\ & { = \alpha \bigg [ \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } - \theta _ { l } \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } , \frac { b - a } { c - a } - \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } \bigg \} \bigg ] } \\ & { \qquad + ( 1 - \alpha ) \bigg [ \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } + \theta _ { r } \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } , \frac { b - a } { c - a } - \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } \bigg \} \bigg ] } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } - [ \alpha \theta _ { l } - ( 1 - \alpha ) \theta _ { r } ] \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } , } & { a < x \leq a + \frac { b - a } { \sqrt { 2 } } ; } \\ { \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } - [ \alpha \theta _ { l } - ( 1 - \alpha ) \theta _ { r } ] \big [ \frac { b - a } { c - a } - \frac { ( x - a ) ^ { 2 } } { ( b - a ) ( c - a ) } \big ] , } & { a + \frac { b - a } { \sqrt { 2 } } \leq x < b . } \end{array} \right. } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { f } ( i ) } = \frac { 1 } { \alpha _ { \mathrm { G } } } \bigg \langle \frac { R _ { i } } { R _ { i } ^ { \mathrm { r e f } } } \bigg \rangle _ { \mathrm { f } ( i ) } ^ { \mathrm { D , B - c e l l s } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 \alpha \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \langle \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) , \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rangle + 4 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + \left( \alpha \xi _ { 3 } + \alpha ( 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) + 2 4 \xi _ { 2 } ) + 2 4 \alpha ^ { 2 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } \right) \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + \alpha \left( \frac { c _ { 1 } + c _ { 2 } } { \xi _ { 1 } } + \frac { 1 } { \alpha } + 2 4 \xi _ { 2 } + \frac { 4 } { \xi _ { 2 } } \right) \mathbb { E } _ { t - \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \bar { \theta } _ { t - \tau } \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 9 d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } \alpha ^ { 2 } + 3 6 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } + 4 \alpha ^ { 3 } L _ { 1 } G ^ { 2 } + 2 \alpha ^ { 3 } L _ { 2 } G + \left( \frac { 4 \alpha } { \xi _ { 2 } } + 2 \alpha ^ { 3 } L _ { 1 } \right) \Delta _ { t - \tau } } \\ & { + \alpha \left( \frac { 4 } { \xi _ { 3 } } + 3 \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) + \frac { 4 } { \xi _ { 2 } } + \alpha ^ { 2 } \left( 2 4 ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } + 1 6 \right) \right) \mathbb { E } _ { t - \tau } [ \Delta _ { t } ] } \\ & { + 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 4 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 4 \alpha ^ { 2 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \\ & { + 3 \alpha \xi _ { 1 } ( c _ { 1 } + c _ { 2 } ) \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 \alpha ^ { 3 } L _ { 1 } \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G } \end{array}
g ^ { ( 1 ) } ( t ) = \frac { 1 } { n _ { 0 } } \left| \langle \psi ^ { * } ( x , t ) \psi ( x , 0 ) \rangle \right| \sim e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \Delta \tilde { \phi } _ { \tilde { x } , \tilde { t } } ^ { 2 } } \, ,
s _ { p } = { \sqrt { \frac { \left( n _ { 1 } - 1 \right) s _ { X _ { 1 } } ^ { 2 } + \left( n _ { 2 } - 1 \right) s _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } } { n _ { 1 } + n _ { 2 } - 2 } } }
\begin{array} { r } { \hat { a } _ { \mathrm { o u t } } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } d ^ { 2 } { \mathbf { r } } d z \hat { A } _ { \mathrm { o u t } } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , z ; t ) V _ { \mathrm { o u t } } ^ { \ast } \left( \mathbf { r } , z ; t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { x _ { m } x _ { n } ^ { 2 } f } ( \xi ) } & { = i \partial _ { \xi _ { m } } \left( \widehat { x _ { n } ^ { 2 } f } \right) = i \partial _ { \xi _ { m } } \left[ \frac { 1 } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( 1 - \frac { ( \xi _ { n } + i a _ { n } ) ^ { 2 } } { 2 z } \right) E ( \xi , a , z ) \right] } \\ & { = - \frac { i } { 2 z } \left( \frac { \pi } { z } \right) ^ { \frac { d } { 2 } } \left( 1 - \frac { ( \xi _ { n } + i a _ { n } ) ^ { 2 } } { 2 z } \right) \frac { \xi _ { m } + i a _ { m } } { 2 z } E ( \xi , a , z ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { L } } } _ { \Phi } = \frac { 1 } { 2 } \Phi ^ { \dag } \left( x \right) i \overline { { \sigma } } ^ { \mu } D _ { \mu } \, i \sigma ^ { \nu } D _ { \nu } \Phi \left( x \right) + \frac { 1 } { 2 } \Phi ^ { \dag } \left( x \right) i \sigma ^ { \mu } D _ { \mu } \, i \overline { { \sigma } } ^ { \nu } D _ { \nu } \Phi \left( x \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \kappa } } ) } E } & { = ( \nabla _ { { \boldsymbol { \theta } } } E , \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } E ) } \\ { \nabla _ { ( { \boldsymbol { \theta } } , { \boldsymbol { \kappa } } ) } ^ { 2 } E } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \nabla _ { { \boldsymbol { \theta } } } ^ { 2 } E } & { \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } \nabla _ { { \boldsymbol { \theta } } } E } \\ { ( \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } \nabla _ { { \boldsymbol { \theta } } } E ) ^ { \intercal } } & { \nabla _ { { \boldsymbol { \kappa } } } ^ { 2 } E } \end{array} \right] . } \end{array}
\left[ - \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 } + v _ { e f f } ^ { K S } [ \rho _ { I } ] ( \textbf { r } ) + v _ { e m b } ^ { I } [ \rho _ { I } , \rho _ { I I } ] ( \textbf { r } ) \right] \phi _ { k } ^ { I } ( \textbf { r } ) = \varepsilon _ { k } ^ { I } \phi _ { k } ^ { I } ( \textbf { r } )
\frac { \partial C _ { S } ^ { i , j } } { \partial t } = \mathrm { ~ - ~ } \frac { k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } } { ( 1 - \epsilon ) } ( C _ { S } ^ { i , j } - C _ { F } ^ { i , j } ) + \rho _ { \mathrm { B } } \frac { v ^ { i } } { [ E ] } \ .
\begin{array} { r } { \mathbb { A } _ { k } = - q _ { k } ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l } { \alpha + \gamma q _ { k } ^ { 2 } } & { \kappa - \delta } \\ { \kappa + \delta } & { \beta } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf q } & { = } & { \frac { 1 - e ^ { - \nu \Delta t \textrm { P r } } } { \nu \Delta t \textrm { P r } } \widetilde { \mathbf { q } } } \\ { \textrm { w i t h } \quad \widetilde { \mathbf { q } } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \mathbf c _ { i } ^ { \prime } \left[ \mathbf c _ { i } ^ { 2 } \widetilde { g } ( \mathbf x , \mathbf v _ { i } ^ { \prime } , t ) + \widetilde { h } ( \mathbf x , \mathbf v _ { i } ^ { \prime } , t ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { 0 0 } } & { = \langle u _ { 0 } | H - E | u _ { 0 } \rangle , M _ { 1 0 } = \langle u _ { 1 } | H - E | u _ { 0 } \rangle ; } \\ { ( \mathbf { M } _ { 0 } ) _ { l } } & { = \langle u _ { l } | H - E | u _ { 0 } \rangle , ( \mathbf { M } ) _ { l l ^ { \prime } } = \langle u _ { l } | H - E | u _ { l ^ { \prime } } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| I _ { d } - \overline { { A } } D \overline { { F } } ( \frac { \nu _ { 0 } } { \sqrt { | { \Omega _ { 0 } } | } } , U _ { 0 } ) \| _ { X _ { 1 } } } & { \leq Z _ { 1 } } \\ { \operatorname* { m a x } \{ 1 , \| { B } \| _ { 2 } \} \sum _ { \alpha \in J _ { \mathbb { G } } } \| \left( \mathbb { K } _ { \alpha } - ( \partial ^ { \alpha } \mathbb { L } ^ { - 1 } ) ^ { * } \right) \mathbb { v } _ { \alpha } ^ { * } \| _ { 2 } } & { \leq \mathcal { Z } _ { u } . } \end{array}
g = \mathrm { d i a g } \left( \begin{array} { c c c c c c c c } { { \frac 1 4 } } & { { \frac 1 2 } } & { { \frac 1 6 } } & { { \frac 1 4 } } & { { \frac 1 { 1 6 } } } & { { \frac 1 { 1 2 } } } & { { \frac 1 { 8 } } } & { { \frac 1 4 } } \end{array} \right) .
\beta = \frac { V _ { t 1 } } { V _ { t 2 } } \left[ 1 + \mathrm { ~ C ~ o ~ R ~ \textsubscript ~ { ~ i ~ n ~ } ~ } ^ { 2 } + \frac { 2 W _ { a } } { m _ { p } V _ { n 1 } ^ { 2 } } \right] ^ { - 0 . 5 } .
{ \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \odot { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \dot { \sigma } _ { \mathrm { r e l } } = \frac { \varepsilon } { 4 } \int \d ^ { 4 } p \, W ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } , \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } | \vec { p } _ { 1 } , \vec { p } _ { 2 } ) f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 1 } ) f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 2 } ) \left( \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) } { f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) } + \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) } { f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) } - \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } } ( \vec { p } _ { 1 } ) } { f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 1 } ) } - \frac { f _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } } ( \vec { p } _ { 2 } ) } { f ^ { \mathrm { M B } } ( \vec { p } _ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } \, , } \end{array}
\xi = \frac { c _ { \mathrm { H F } } ^ { \mathrm { ( T C ) } } - c _ { \mathrm { H F } } ^ { \mathrm { ( n o n \ m h y p h e n T C ) } } } { 1 - c _ { \mathrm { H F } } ^ { \mathrm { ( n o n \ m h y p h e n T C ) } } } \; ,
\small \begin{array} { r l } { \dot { e } } & { { } = - { \cal E } _ { 0 } \, \frac { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } { e } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac 3 8 \, y z \, a ( - k n ) \bigg [ \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) - 6 \left( 1 - x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } \right) X _ { k } ^ { - 3 , 2 } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { R R M S E ^ { v a l } } = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { d } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d } } } \left( 1 0 0 \sqrt { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \mathrm { v a l } } } ( x _ { \mathrm { m e a n } , k } ^ { \mathrm { o u t } - i } - x _ { k } ^ { \mathrm { v a l } - i } ) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { \mathrm { v a l } } } ( x _ { k } ^ { \mathrm { v a l } - i } ) ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
M _ { 1 } ( M _ { Z } ) / \alpha _ { 1 } ( M _ { Z } ) = M _ { 2 } ( M _ { Z } ) / \alpha _ { 2 } ( M _ { Z } ) = M _ { 3 } ( M _ { Z } ) / \alpha _ { 3 } ( M _ { Z } ) = m _ { 1 / 2 } / \alpha _ { U } ,
p ( x ^ { \prime } , t + \varepsilon ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \, \mathrm { d } x \left( \left( 1 + \varepsilon \left[ D _ { 1 } ( x , t ) { \frac { \partial } { \partial x } } + D _ { 2 } ( x , t ) { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } \right] \right) \delta ( x ^ { \prime } - x ) \right) p ( x , t ) + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } E _ { s s , l } ( t ) } & { } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \langle u _ { l } \rangle _ { x } ^ { 2 } \big \rangle _ { z } \big | _ { 0 } ^ { 8 0 } , } \end{array}
{ \cal { B } } = \frac { 1 2 \pi ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { \mu ^ { 2 } } ^ { \infty } s ^ { \prime } d s ^ { \prime } \left\{ \log \left[ \frac { A ^ { 2 } ( s ^ { \prime } ) s ^ { \prime } + B ^ { 2 } ( s ^ { \prime } ) } { A ^ { 2 } ( s ^ { \prime } ) s ^ { \prime } } \right] - \frac { B ^ { 2 } ( s ^ { \prime } ) } { A ^ { 2 } ( s ^ { \prime } ) s ^ { \prime } + B ^ { 2 } ( s ^ { \prime } ) } \right\} \, ,
\begin{array} { r l } { G _ { i i } ( t - \tau ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } \left( 1 - e ^ { - \frac { a ^ { 2 } } { 4 ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } } \right) } \end{array}
\frac { v _ { t + h d t } ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } - v _ { t } ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } } { h d t } = - \Delta ^ { - 1 } F _ { t } ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } + \frac { 1 } { R e } \Delta ^ { - 1 } \left[ \Delta \Delta \frac { v _ { t + h d t } ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } + v _ { t } ^ { ( k _ { x } ^ { \prime } , k _ { z } ^ { \prime } ) } } { 2 } \right] .
\tilde { \rho } _ { { \left| 0 \right\rangle } _ { \theta } } ( \omega ) = \frac { ( 2 N + 1 ) e ^ { - \frac { | \omega | } { 2 } } + e ^ { - \left( \xi + i \chi - \frac 1 2 \right) | \omega | } + e ^ { - \left( \xi - i \chi - \frac 1 2 \right) | \omega | } - 1 } { 2 \left( e ^ { - | \omega | } + 1 \right) } + \Delta \tilde { \rho } _ { \theta } ( \omega ) .
V _ { \mathrm { e f f } } ( \zeta _ { j } , | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { i } | ) = \frac { 1 - ( 1 + \zeta _ { j } | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { i } | ) e ^ { - 2 \zeta _ { j } | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { i } | } } { | \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } _ { i } | } ,
\= \xi _ { \/ F } = \frac { 1 } { c } \Big ( \= \chi _ { \/ F } - j \= \kappa _ { \/ F } \Big ) , \qquad \= \zeta _ { \/ F } = \frac { 1 } { c } \Big ( \= \chi _ { \/ F } ^ { T } + j \= \kappa _ { \/ F } ^ { T } \Big ) .
4 f ^ { 3 } C _ { 0 5 0 5 } + 2 e ^ { 2 } f ^ { 2 } ( G _ { \phantom { 5 } 5 } ^ { 5 } - G _ { \phantom { 0 } 0 } ^ { 0 } - G _ { \phantom { 3 } 3 } ^ { 3 } ) = 6 e ^ { 2 } f f ^ { \prime \prime } - 3 e ^ { 2 } f ^ { \prime 2 }
d s _ { 3 } ^ { 2 } = - \left( 1 + \frac { y ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \right) d t ^ { 2 } + \left( 1 + \frac { y ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } d y ^ { 2 } + y ^ { 2 } d \phi ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( Z _ { L } = j + 1 ) } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( P _ { n } ^ { L } = j , \zeta _ { L } = n + 1 ) } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( P _ { n } ^ { L } = j ) \, q _ { L } ( j , \dagger ) } \\ & { = \frac { 1 } { h _ { L } ( p _ { 0 } ) } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( P _ { n } ^ { \infty } = j ) \, h _ { L } ( j ) \, q _ { L } ( j , \dagger ) } \\ & { = \frac { 1 } { h _ { L } ( p _ { 0 } ) } \, U ( p _ { 0 } , j ) \, h _ { L } ( j ) \, q _ { L } ( j , \dagger ) , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d x } ^ { 4 } \int \mathrm { d } \phi \mathrm { d } \rho \sqrt { G } \left( G ^ { A B } \partial _ { A } \Phi \partial _ { B } \Phi - m _ { \Phi } ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r } { F _ { i ^ { \prime } i } F _ { k ^ { \prime } k } \delta _ { i k } = J ^ { 2 } R _ { i ^ { \prime } i } R _ { k ^ { \prime } k } \delta _ { i k } = J ^ { 2 } \delta _ { i ^ { \prime } k ^ { \prime } } . } \end{array}
{ S _ { 1 4 } ^ { t h } } = - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int d E [ T _ { 1 4 } f _ { 4 } ( 1 - f _ { 4 } ) + T _ { 4 1 } f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) ] ,
q _ { n j j _ { 3 } l } ^ { c } ( \mathrm { \boldmath ~ r ~ } ) = N _ { j l } ( x _ { n j l } ) \left( \begin{array} { c } { { i W _ { - } ( n j l ) \; j _ { \bar { l } } \left( x _ { n j l } \frac { r } { R } \right) \; \phi _ { j j _ { 3 } \bar { l } } ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } } ) } } \\ { { ( \bar { l } - l ) W _ { + } ( n j l ) \; j _ { l } \left( x _ { n j l } \frac { r } { R } \right) \; \phi _ { j j _ { 3 } l } ( \hat { \mathrm { \boldmath ~ r ~ } } ) } } \end{array} \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \tilde { w } _ { n + 1 } } & { = } & { \left( \tilde { w } _ { n } + \frac { \delta t } { 2 } \left( 3 \left[ - \widetilde { w w _ { z } } + \tilde { \theta } \right] _ { n } - \left[ - \widetilde { w w _ { z } } + \tilde { \theta } \right] _ { n - 1 } e ^ { - k ^ { 2 } \sqrt { \frac { P r } { R a } } \delta t } \right) \right) e ^ { - k ^ { 2 } \sqrt { \frac { P r } { R a } } \delta t } } \\ { \tilde { \theta } _ { n + 1 } } & { = } & { \left( \tilde { \theta } _ { n } + \frac { \delta t } { 2 } \left( 3 \left[ - \widetilde { w \theta _ { z } } + \tilde { w } \right] _ { n } - \left[ - \widetilde { w \theta _ { z } } + \tilde { w } \right] _ { n - 1 } e ^ { - k ^ { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \delta t } \right) \right) e ^ { - k ^ { 2 } \frac { 1 } { \sqrt { P r R a } } \delta t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { P r o b } _ { I } ( k ) : = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { P r o b } _ { I } \left( n , k \right) , } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { ( 2 ^ { k } k ! ) \# \mathcal { S } _ { I } ( n , k ) } { n ^ { k + 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } _ { N } ^ { \mathbb { C } } ( \boldsymbol { \zeta } ) } & { : = \sum _ { 1 \le j < k \le N } \log \frac { 1 } { | \zeta _ { j } - \zeta _ { k } | ^ { 2 } } + N \sum _ { j = 1 } ^ { N } W ( \zeta _ { j } ) , } \\ { \mathbf { H } _ { N } ^ { \mathbb { H } } ( \boldsymbol { \zeta } ) } & { : = \sum _ { 1 \le j < k \le N } \log \frac { 1 } { | \zeta _ { j } - \zeta _ { k } | ^ { 2 } } + \sum _ { 1 \le j \le k \le N } \log \frac { 1 } { | \zeta _ { j } - \bar { \zeta } _ { k } | ^ { 2 } } + 2 N \sum _ { j = 1 } ^ { N } W ( \zeta _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( r , v , h ) = \frac { h ^ { 2 } } { 2 r } } & { - \frac h 2 \frac { \phi ( r ) } { r } \frac 1 { \phi ( r / d ) } \Lambda ( r / d ) } \\ & { + \frac h { \phi ( r / d ) } \sum _ { \chi \ne \chi _ { 0 } \mod { r / d } } \overline { { \chi } } ( v / d ) L ( 0 , \chi ) L ( 1 , \chi ) A _ { r , \chi } + O _ { r } ( h ^ { 1 / 2 + \varepsilon } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle I _ { h } \left( \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } \right) , \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \rangle } & { { } = - \langle \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle , } \\ { \langle I _ { h } ( \mathbf { u } \cdotp \nabla \mathbf { w } ^ { k } ) , \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \rangle } & { { } = - \langle \mathbf { u } \cdotp \nabla \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } , \mathbf { w } ^ { k } \rangle , } \\ { \langle I _ { h } ( \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \mathbf { u } ) , \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } \rangle } & { { } = - \langle \mathbf { w } ^ { k } \cdotp \nabla \Delta \mathbf { g } ^ { k + 1 } , \mathbf { u } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } & { { } = } & { ( B r / 2 ) \; { \bf e } _ { \phi } \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { i n s i d e \; \; \; t h e \; \; \; s o l e n o i d } \; , } \\ { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } } & { { } = } & { ( B r _ { 0 } ^ { 2 } ) / 2 r \; { \bf e } _ { \phi } = \frac { \Phi } { 2 \pi r } { \bf e } _ { \phi } \; \; \; \mathrm { o u t s i d e \; \; \; t h e \; \; \; s o l e n o i d } \; , } \end{array}
{ \sqrt { { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( x _ { i } - { \bar { x } } \right) ^ { 2 } } } = { \sqrt { { \frac { 1 } { N } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { 2 } \right) - { \bar { x } } ^ { 2 } } } = { \sqrt { \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } ^ { 2 } \right) - \left( { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } x _ { i } \right) ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { N } | j _ { 1 } \rangle } & { { } = } & { 0 \ , } \\ { \hat { N } | j _ { k } \rangle } & { { } = } & { | j _ { k - 1 } \rangle \; ; \, k = 2 , \ldots , n \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \xi } & { { } = } & { \xi { \left( x , y , z \right) } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \eta } & { { } = } & { \eta { \left( x , y , z \right) } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \zeta } & { { } = } & { \zeta { \left( x , y , z \right) } \ \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
( E , \mathrm { d } , \rho ) : \quad \cdots \stackrel { \ell _ { 1 } = \mathrm { d } ^ { ( 4 ) } } \longrightarrow E _ { - 3 } \stackrel { \ell _ { 1 } = \mathrm { d } ^ { ( 3 ) } } { \longrightarrow } E _ { - 2 } \stackrel { \ell _ { 1 } = \mathrm { d } ^ { ( 2 ) } } { \longrightarrow } E _ { - 1 } \stackrel { \rho = \mathrm { d } ^ { ( 1 ) } } { \longrightarrow } T M .