harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { ( \textit { P c t . p a r e n t s w i t h B A + ( B l a c k s ) } / 1 0 0 ) ^ { 2 } } { ( \textit { P c t . p a r e n t s w i t h B A + ( W h i t e s ) } / 1 0 0 ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { g l a s s } } ^ { + } } \\ { \mathcal { P } _ { \mathrm { g l a s s } } ^ { - } } \end{array} \right] } & { = I ^ { 0 , 1 } \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { r e s } } ^ { + } } \\ { \mathcal { P } _ { \mathrm { s o u r c e } } ^ { - } } \end{array} \right] } \\ & { = I ^ { 0 , 1 } \left[ \begin{array} { l } { - r \cdot \mathcal { P } _ { \mathrm { s o u r c e } } ^ { - } } \\ { \mathcal { P } _ { \mathrm { s o u r c e } } ^ { - } } \end{array} \right] } \\ & { = I ^ { 0 , 1 } \left[ \begin{array} { l } { - r } \\ { 1 } \end{array} \right] \mathcal { P } _ { \mathrm { s o u r c e } } ^ { - } } \\ & { = \frac { 1 } { t } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { r } \\ { r } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { - r } \\ { 1 } \end{array} \right] \mathcal { P } _ { \mathrm { s o u r c e } } ^ { - } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \frac { 1 - r ^ { 2 } } { t } } \end{array} \right] \mathcal { P } _ { \mathrm { s o u r c e } } ^ { - } . } \end{array}
= \, \sqrt { \frac { 1 + \xi \, \frac { 1 } { M } R } { 1 - \xi \, \frac { 1 } { M } R } } \, \sqrt { \frac { 1 - \xi \, \frac { 1 } { M } R } { 1 + \xi \, \frac { 1 } { M } R } } \, = \, 1 \; .
\hat { \rho } ^ { v e } = \hat { \rho } _ { r e f } ^ { v } + \frac { \hat { M } \hat { \rho } _ { r e f } ^ { v } } { \hat { \rho } _ { l } \hat { R } \hat { T } _ { r e f } } ( - 2 \hat { H } _ { l } \hat { \sigma } - \hat { \Pi } ) + \frac { \hat { L } _ { v } \hat { M } \hat { \rho } _ { r e f } ^ { v } } { \hat { R } \hat { T } _ { r e f } ^ { 2 } } ( \hat { T } _ { s } - \hat { T } _ { r e f } ) ,
\begin{array} { r l } { A ( E _ { - } ) } & { = \int _ { y _ { 1 } } ^ { 0 } ( \zeta _ { 3 } + q _ { 0 } ) \, \mathrm { d } y - \int _ { y _ { 1 } } ^ { y _ { 2 } } ( \zeta _ { 2 } + q _ { 0 } ) \, \mathrm { d } y + \int _ { - a } ^ { y _ { 2 } } ( \zeta _ { 1 } + q _ { 0 } ) \, \mathrm { d } y } \\ & { = q _ { 0 } ( E _ { - } ) a ( E _ { - } ) } \end{array}
i s t h e i n i t i a l b e a m m o m e n t u m . A s a r e s u l t , t h e s e c o n d - o r d e r c o r r e c t i o n o f t h e c a l i b r a t i o n f u n c t i o n h a s a q u a d r a t i c d e p e n d e n c e o n t h e b u n c h i n g v o l t a g e . T h i s r e s u l t i s c o n s i s t e n t w i t h t h e s e c o n d - o r d e r l o n g i t u d i n a l t r a n s i t t i m e f a c t o r d e r i v e d i n R e f s . ~ f o r s l o w - m o v i n g i o n s (
J _ { ( y _ { i } , 0 ) } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { - \frac { ( y _ { i } - 1 ) \left( r \left( ( ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ) ^ { N _ { I } } - 1 \right) + N _ { I } ( w - 1 ) y _ { i } \right) } { N _ { I } ( w - 1 ) } } \\ { 0 } & { \frac { ( r - 1 ) \left( [ ( w - 1 ) y _ { i } + 1 ] ^ { N _ { I } } - 1 \right) } { N _ { T } ( w - 1 ) } + v _ { T } } \end{array} \right) .
Z [ \beta , J _ { \alpha } , K ^ { \alpha } ] = \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp \left( - \frac { \beta } { 2 } M ^ { \alpha \beta } p _ { \alpha } p _ { \beta } \right) \exp \left( - \frac { \beta } { 2 } F _ { \alpha \beta } \theta ^ { \alpha } \theta ^ { \beta } \right) \exp \left( \beta J _ { \alpha } \theta ^ { \alpha } \right) \exp \left( \beta K ^ { \alpha } p _ { \beta } \right) .
\begin{array} { r l } { ( x ^ { 0 } - x ^ { * } ) ^ { \top } ( s ^ { 0 } - s ^ { * } ) = } & { ( x _ { B } ^ { 0 } ) ^ { \top } s _ { B } ^ { 0 } + ( x _ { B } ^ { * } ) ^ { \top } s _ { B } ^ { * } - ( x _ { B } ^ { 0 } ) ^ { \top } s _ { B } ^ { * } - ( x _ { B } ^ { * } ) ^ { \top } s _ { B } ^ { 0 } ( x _ { N } ^ { 0 } ) ^ { \top } s _ { N } ^ { 0 } } \\ & { + ( x _ { N } ^ { * } ) ^ { \top } s _ { N } ^ { * } - ( x _ { N } ^ { 0 } ) ^ { \top } s _ { N } ^ { * } - ( x _ { N } ^ { * } ) ^ { \top } s _ { N } ^ { 0 } ( x _ { n + 1 } ^ { 0 } ) ^ { \top } s _ { n + 1 } ^ { 0 } } \\ & { + ( x _ { n + 1 } ^ { * } ) ^ { \top } s _ { N } ^ { * } - ( x _ { n + 1 } ^ { 0 } ) ^ { \top } s _ { n + 1 } ^ { * } - ( x _ { n + 1 } ^ { * } ) ^ { \top } s _ { n + 1 } ^ { 0 } } \\ { = } & { - \delta + ( x _ { n + 1 } ^ { 0 } ) ^ { \top } s _ { n + 1 } ^ { 0 } - ( x _ { n + 1 } ^ { 0 } ) ^ { \top } s _ { n + 1 } ^ { * } = 0 . } \end{array}
\boldsymbol { \Phi } ^ { T } \mathbf { M } \boldsymbol { \Phi } \ddot { \mathbf { x } } _ { s } + \boldsymbol { \Phi } ^ { T } \mathbf { C } \boldsymbol { \Phi } \dot { \mathbf { x } } _ { s } + \boldsymbol { \Phi } ^ { T } \mathbf { K } \boldsymbol { \Phi } \mathbf { x } _ { s } = \boldsymbol { \Phi } ^ { T } \boldsymbol { \Xi } \mathbf { S } \mathbf { N } \mathbf { x } .
\widetilde { \eta } ^ { i } \equiv U ^ { i } { } _ { j } \eta ^ { j } \, , \qquad \widetilde { \eta } _ { i } \equiv \eta _ { j } ( U ^ { - 1 } ) ^ { j } { } _ { i } \ , \qquad \widetilde { \theta } ^ { i } \equiv \tilde { U } ^ { i } { } _ { j } \theta ^ { j } \, , \qquad \widetilde { \theta } _ { i } \equiv \theta _ { j } ( \tilde { U } ^ { - 1 } ) ^ { j } { } _ { i } \ ,
{ \begin{array} { r l } { \bigvee _ { n = 0 } ^ { N } T ^ { - n } Q } & { = \{ Q _ { i _ { 0 } } \cap T ^ { - 1 } Q _ { i _ { 1 } } \cap \cdots \cap T ^ { - N } Q _ { i _ { N } } } \\ & { \qquad { \mathrm { ~ w h e r e ~ } } i _ { \ell } = 1 , \ldots , k , \ \ell = 0 , \ldots , N , \ } \\ & { \qquad \qquad \mu \left( Q _ { i _ { 0 } } \cap T ^ { - 1 } Q _ { i _ { 1 } } \cap \cdots \cap T ^ { - N } Q _ { i _ { N } } \right) > 0 \} } \end{array} }
c ( s , k ) = \sum _ { j _ { 1 } + \cdots + j _ { s } = k \atop j _ { 1 } , \ldots , j _ { s } \geq 0 } \tau _ { j _ { 1 } } ^ { } \cdots \tau _ { j _ { s } } ^ { } \quad s \geq 1 , k \geq 0 ,
Y _ { 0 } ~ = ~ \frac { 3 . 7 9 x _ { d e c } } { \sqrt { g _ { * } } m _ { p l } M \langle \sigma | v | \rangle } ~ = ~ 3 . 8 \frac { M \ln ( m _ { p l } / M ) } { N \alpha _ { s } ^ { 2 } \sqrt { g _ { * } } m _ { p l } } .
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle \mathbb { D } _ { T } ^ { \gamma } p ^ { i , \tau } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ^ { i , \tau } ) + q ^ { i } p ^ { i , \tau } } & { = } & { y ^ { i , \tau } - y _ { d } ^ { i } + \frac { 1 } { \sqrt { \tau } } h ^ { i , \tau } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ^ { i , \tau } ( \cdot , a ^ { + } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ^ { j , \tau } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ^ { i , \tau } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ^ { i , \tau } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 1 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ^ { i , \tau } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { T } ^ { 1 - \gamma } p ^ { i , \tau } ( T , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
d C ^ { ( n ) } = F ^ { ( n + 1 ) } = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } \hat { \star } F ^ { ( 9 - n ) } = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } \hat { \star } d C ^ { ( 8 - n ) } = ( - 1 ) ^ { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } d \hat { \star } C ^ { ( 1 0 - n ) } ,
M ( z ) = \left( \begin{array} { l l l l } { r _ { \alpha } z - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { ( r _ { \alpha } - r _ { \alpha , \beta } ) z - 1 } & { \frac { r _ { \beta } } { r _ { \alpha } } r _ { \alpha , \beta } z } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { r _ { \alpha } } { r _ { \beta } } r _ { \beta , \alpha } z } & { ( r _ { \beta } - r _ { \beta , \alpha } ) z - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { r _ { \beta } z - 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \big ( R H S \big ) _ { L _ { D } ^ { \infty } } = } & { \frac { 1 } { 2 } L _ { D } ^ { \infty } \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } - \Big ( 2 a - \frac { 1 } { 2 } \Big ) \big ( L _ { \infty } ^ { + } + L _ { \infty } ^ { - } \big ) \mathbf { \nabla } \cdot \textbf { \emph { v } } + \frac { 1 } { 4 } \Big ( L _ { D } ^ { \infty } \big ( \big < z ^ { \infty + 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \big ) - 2 L _ { \infty } ^ { + } \big < z ^ { \infty - 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { - 2 L _ { \infty } ^ { - } \big < z ^ { \infty + 2 } \big > ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ) \frac { 1 } { \rho } \textbf { \emph { \^ n } } \cdot \mathbf { \nabla } \rho ; } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { t r } \left[ v _ { y } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { y } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right] } \\ & { } & { = \frac { v _ { F } ^ { 2 } } { 9 6 } \Bigg \{ 4 8 \left( \hbar \omega - g \right) \left( \hbar \omega - g - \hbar \Omega \right) + ( \hbar v _ { F } \tilde { k } ) ^ { 2 } - \hbar v _ { F } \tilde { k } } \\ & { } & { \times \left[ 4 \sqrt { 6 } \left( 2 \hbar \omega - 2 g - \hbar \Omega \right) \cos { ( \varphi ) } + 5 \hbar v _ { F } k \cos { ( 2 \varphi ) } \right] \Bigg \} } \\ & { } & { \times \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \frac { \delta ( \hbar \omega - \epsilon _ { \eta _ { 1 } } ) } { \epsilon _ { \eta _ { 1 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 1 } } } \frac { \delta ( \hbar \omega - \hbar \Omega + \epsilon _ { \eta _ { 2 } } ) } { \epsilon _ { \eta _ { 2 } } - \epsilon _ { - \eta _ { 2 } } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial z \partial \bar { z } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } e ^ { u _ { j } } } & { = \pi \gamma _ { i } \delta _ { 0 } \, \, \mathrm { o n } \, \, { \mathbb C } \backslash \{ 0 \} \quad ( \gamma _ { i } > - 1 ) } \\ { \frac { \sqrt { - 1 } } { 2 } \, \int _ { { \mathbb C } \backslash \{ 0 \} } e ^ { u _ { i } } \mathrm { d } z \wedge \mathrm { d } \bar { z } } & { < \infty } \end{array} \right. \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \quad i = 1 , \cdots , n .
B = \frac { 2 \Gamma _ { w } / D _ { s } \left[ 1 6 z \alpha ^ { 2 } + 4 \Gamma _ { w } / D _ { s } t ( 3 \alpha ^ { 2 } - 1 2 \alpha z ^ { 2 } + 4 z ^ { 4 } ) - 3 \Gamma _ { w } / D _ { s } \alpha ^ { 2 } ( \alpha - 2 z ^ { 2 } ) \ln \alpha \right] } { e ^ { \frac { z ^ { 2 } } { \alpha } } ( \alpha ^ { 7 / 2 } ( 9 6 + 3 8 4 t ) ) } .
\begin{array} { r l r } { \varepsilon } & { \leq } & { { \mathbb P } \big ( \eta ^ { \prime } \in F ( r , h , \delta ^ { \prime } ) \, | \, { \mathcal { N } } _ { B ( r ) } = \eta _ { B ( r ) } \big ) } \\ & { \leq } & { { \mathbb P } \big ( \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z _ { 0 } ) ) [ \eta _ { U ^ { \complement } } ^ { \prime } ] > 0 \, | \, { \mathcal { N } } _ { B ( r ) } = \eta _ { B ( r ) } \big ) } \\ & { = } & { { \mathbb P } \big ( \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z _ { 0 } ) ) [ \eta ^ { \prime } ] > 0 , \, \eta _ { U } ^ { \prime } = \emptyset \, | \, { \mathcal { N } } _ { B ( r ) } = \eta _ { B ( r ) } \big ) } \\ & { \leq } & { { \mathbb P } \big ( \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z _ { 0 } ) ) > 0 \, | \, { \mathcal { N } } _ { B ( r ) } = \eta _ { B ( r ) } \big ) ~ . } \end{array}
{ \frac { d N _ { i } } { d t } } = - V \sum _ { j } \left[ \sum _ { r } w _ { r } ^ { \mathrm { { e q } } } \gamma _ { r i } \gamma _ { r j } \right] { \frac { \mu _ { j } - \mu _ { j } ^ { \mathrm { { e q } } } } { R T } } .
\Omega ( t ) \approx \omega _ { 0 } ^ { 2 } \left[ 1 + f _ { 1 } \cos ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t + \phi _ { \mathrm { m o d } } ) + f _ { 2 } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } } t + \phi _ { \mathrm { m o d } } ) \right] ,
\frac { \Delta _ { t , i } } { \Delta _ { t , c } } \lesssim 0 . 2 0 2 , \quad \frac { \Delta _ { t , c } } { \tau _ { r } / d } \lesssim 0 . 4 7 6 , \quad \frac { \Delta _ { f , c } } { \omega _ { r } / d } \lesssim 0 . 0 1 6 .
\bar { \mathcal { E } } = { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \frac { B o } { C a } } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \bar { h } _ { f } ^ { ' 2 } \left( \bar { h } _ { f } - \bar { h } _ { a } \right) ^ { 3 } \mathrm { d } \bar { X } ,
A _ { ( b ) } = g ^ { 4 } \int d ^ { 2 6 } k \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { 1 } d x _ { 3 } d z _ { 2 } d z _ { 4 } ~ x _ { 1 } ^ { - \alpha ( - ( k - p _ { 1 } ) ^ { 2 } ) - 1 } \, x _ { 3 } ^ { - \alpha ( - ( k - p _ { 3 } ) ^ { 2 } ) - 1 } \, ( z _ { 2 } z _ { 4 } ) ^ { - \alpha ( - ( p _ { 1 } - p _ { 3 } ) ^ { 2 } ) - 1 } .
\begin{array} { r l r } { f ( \theta _ { \mathrm { t a r g e t } } , \theta _ { \mathrm { N N } } ; \lambda _ { \mathrm { d } } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \in \{ \mathrm { E 1 , M 1 } \} } \left| \theta _ { i , \mathrm { t a r g e t } } ( \lambda _ { \mathrm { d } } ) - \theta _ { i , \mathrm { N N } } ( \lambda _ { \mathrm { d } } ) \right| . } \end{array}
Z _ { K } ( \Lambda ) = Z _ { K } ( \Lambda _ { 1 } ) \left( { \frac { \log { \frac { \Lambda _ { 1 } } { \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } } } } { \log { \frac { \Lambda } { \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } } } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = Z _ { K } ( \Lambda _ { 1 } ) { \frac { g ( \Lambda ) } { g ( \Lambda _ { 1 } ) } } ,
\mu ^ { 2 } ( t ) \simeq M ^ { 2 } - C \lambda \frac { T _ { 0 } M } { ( M t _ { s p } ) ^ { 3 / 2 } } \exp \bigg ( 2 \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, \mu ( t ^ { \prime } ) \bigg ) ,
( x _ { i + 2 } , f _ { i + 2 } ) \rightarrow f _ { i + 2 } = f _ { i } + \frac { f _ { i } ^ { \prime } } { 1 ! } ( 2 h ) + \frac { f _ { i } ^ { \prime \prime } } { 2 ! } ( 2 h ) ^ { 2 } \rightarrow f _ { i + 2 } = f _ { i } + 2 h f _ { i } ^ { \prime } + 2 h ^ { 2 } f _ { i } ^ { \prime \prime }
\operatorname* { m a x } _ { \substack { x ^ { \prime } \in [ - L / 2 , L / 2 ] \, x \in [ a , b ] } } \Big | \frac { \partial ^ { n } } { \partial ( x ^ { \prime } ) ^ { n } } G ^ { ( 1 ) } ( x - x ^ { \prime } , t ) \Big | \leq \frac { q ^ { n + 1 } } { \sqrt { \pi } } \big | H _ { n } \big ( R e ^ { - i \pi / 4 } \big ) \big | ,
\frac { \partial } { \partial t } { \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u _ { r } } \\ { \rho w } \\ { E } \end{array} \right] } + \frac { \partial } { \partial r } { \left[ \begin{array} { l } { \rho u _ { r } } \\ { \rho u _ { r } ^ { 2 } + p } \\ { \rho u _ { r } w } \\ { \rho u _ { r } H } \end{array} \right] } + \frac { \partial } { \partial z } { \left[ \begin{array} { l } { \rho w } \\ { \rho u _ { r } w } \\ { \rho w ^ { 2 } + p } \\ { \rho w H } \end{array} \right] } = - \frac { 1 } { r } { \left[ \begin{array} { l } { \rho u _ { r } } \\ { \rho u _ { r } ^ { 2 } } \\ { \rho u _ { r } w } \\ { \rho u _ { r } H } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { n b } ( s ) } & { = \int { J _ { \| } ^ { n b } \mathbf { b } \cdot d \textbf { S } _ { \phi } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { s } d s ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { J _ { \| } ^ { n b } \frac { B ^ { \phi } } { | \mathbf { B } | } \sqrt { g } d \theta } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { s } d s ^ { \prime } \frac { d \mathcal { I } _ { n b } } { d s ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \bf J } _ { \mathcal { T } } \equiv { \bf J } _ { \nabla _ { i } \mathcal { T } } | _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } \equiv \left( \begin{array} { c c } { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { T } } { \partial X _ { i } \partial X _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { T } } { \partial X _ { i } \partial P _ { i } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { T } } { \partial P _ { i } \partial X _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { T } } { \partial P _ { i } \partial P _ { i } } } \end{array} \right) \Bigg \vert _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } , \ \ \ \ \ \ \ } \\ & { } & { { \bf J } _ { \Phi } \equiv { \bf J } _ { \nabla _ { i } \Phi } | _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } \equiv \left( \begin{array} { c c } { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial X _ { i } \partial X _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial X _ { i } \partial P _ { i } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial P _ { i } \partial X _ { i } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial P _ { i } \partial P _ { i } } } \end{array} \right) \Bigg \vert _ { { \bf Z } _ { i } = { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \mathrm { d } \Omega _ { k } Y _ { l m _ { l } } ( \vartheta _ { k } , \varphi _ { k } ) Y _ { l ^ { \prime } m _ { l } ^ { \prime } } ^ { * } ( \vartheta _ { k } , \varphi _ { k } ) = \delta _ { l , l ^ { \prime } } \delta _ { m _ { l } , m _ { l } ^ { \prime } } , } \\ { \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } \langle J M | j _ { 1 } m _ { 1 } j _ { 2 } m _ { 2 } \rangle \langle j _ { 1 } m _ { 1 } j _ { 2 } m _ { 2 } | J ^ { \prime } M ^ { \prime } \rangle = \delta _ { J , J ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } , } \\ { \langle j _ { 1 } m _ { 1 } j _ { 2 } m _ { 2 } | J M \rangle \neq 0 \ \Leftrightarrow \ m _ { 1 } + m _ { 2 } = M . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - H ( Y | Z ) - H ( Y | \tilde { Z } ) } & { = \mathbb { E } _ { p _ { \theta } ( \tilde { Z } , Z , Y ) } \left[ \log p _ { \theta } ( Y | \tilde { Z } ) + \log p _ { \theta } ( Y | Z ) \right] } \\ & { \ge \mathbb { E } _ { p _ { \theta } ( \tilde { Z } , Z , Y ) } \left[ \log p _ { \pi _ { 1 } } ( Y | \tilde { Z } ) + \log p _ { \pi _ { 1 } } ( Y | Z ) \right] } \\ & { \sim - \sum \left( \mathcal { L } \left( y , h _ { \pi _ { 1 } } ( \tilde { z } ) \right) + \mathcal { L } \left( y , h _ { \pi _ { 1 } } ( z ) \right) \right) . } \end{array}
\varepsilon ^ { 3 } \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left( \tilde { \eta } \tilde { r } \frac { \partial \tilde { w } } { \partial \tilde { r } } \right) + \varepsilon ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \tilde { z } } \left( \tilde { \eta } \frac { \partial \tilde { w } } { \partial \tilde { z } } \right) = \frac { \partial \tilde { P } } { \partial \tilde { z } } .
d s ^ { 2 } = - \left( 1 - \frac { G M } { r } \right) ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 - \frac { G M } { r } \right) ^ { - 2 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { p _ { i } \left( \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } & { { } \propto p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { \nu } _ { i k } \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right] \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { G } & { = D b _ { \varepsilon } \bigg [ 2 \sqrt { \kappa _ { E } \kappa _ { S } T } + \kappa _ { E } ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) \bigg ] } \\ & { \qquad \times \Bigg [ \frac { 2 N _ { e } - 3 } { 2 N _ { e } - 4 } \Bigg ( 1 + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \sqrt { \frac { \kappa _ { E } } { \kappa _ { S } T } } \Bigg ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad - \frac { b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { 2 N _ { e } - 4 } \; \frac { \kappa _ { E } ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) } { \kappa _ { S } T } \Bigg ) \Bigg ] . } \end{array}
c _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } = \frac { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } c _ { \mathrm { N } ^ { + } } c _ { e ^ { - } } } { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } + \gamma _ { h ^ { + } } ^ { \mathrm { N } ^ { 0 } } c _ { h ^ { + } } }
p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { m } ) = \frac { \# \ \mathrm { ~ o ~ f ~ o ~ c ~ c ~ u ~ r ~ r ~ e ~ n ~ c ~ e ~ s ~ o ~ f ~ t ~ h ~ e ~ w ~ o ~ r ~ d ~ } x _ { 1 } x _ { 2 } \dots x _ { m } } { n - m + 1 } ,
\begin{array} { r } { \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } \lesssim \| a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| b \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + | \overline { c } | + \| ( e ^ { \gamma \psi } c ) ^ { \times } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \psi ^ { \prime } ( t , x ) } } & { { = } } & { { e ^ { - i e \epsilon _ { 0 } ( t , x ) } \psi ( t , x ) \ , } } \\ { { { A ^ { 1 } } ^ { \prime } ( t , x ) } } & { { = } } & { { A ^ { 1 } ( t , x ) - \partial _ { 1 } \epsilon _ { 0 } ( t , x ) \ , } } \\ { { \pi _ { 1 } ^ { \prime } ( t , x ) } } & { { = } } & { { \pi _ { 1 } ( t , x ) \ , \ } } \\ { { { A ^ { 0 } } ^ { \prime } ( t , x ) } } & { { = } } & { { A ^ { 0 } ( t , x ) + \partial _ { 0 } \epsilon _ { 0 } ( t , x ) \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \forall o , \tilde { o } \in O : \ \mathrm { A d j } \left( o , \tilde { o } \right) \ \textrm { i f f } \ \forall k \geq 0 , \forall i \in \left[ 1 , S \right] , \forall j \in \left[ 1 , \lambda ^ { i } \right] , } \\ & { i , j \in \mathbb { N } , \exists \left( j _ { 1 } , k _ { 1 } \right) , \left( j _ { 2 } , k _ { 2 } \right) , \psi \in \left[ 0 , 1 \right] : \left| o _ { j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { i } - \tilde { o } _ { j _ { 1 } , k _ { 1 } } ^ { i } \right| \leq \psi , } \\ & { \left| o _ { j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { i } - \tilde { o } _ { j _ { 2 } , k _ { 2 } } ^ { i } \right| \leq \psi , \ o _ { j , k } ^ { i } = \tilde { o } _ { j , k } ^ { i } \ \forall ( j , k ) \neq \left( j _ { 1 } , k _ { 1 } \right) , \left( j _ { 2 } , k _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { n } } & { \geq n ^ { 3 } ( 1 - \eta ) ^ { 3 } \int _ { a \sqrt { \mu n } } ^ { \sqrt { \mu n } } \int _ { a \sqrt { \mu n } } ^ { \sqrt { \mu n } } \int _ { a \sqrt { \mu n } } ^ { \sqrt { \mu n } } f _ { n } ( u , v , w ) d F _ { n } ( u ) d F _ { n } ( v ) d F _ { n } ( w ) } \\ & { = ( 1 - \eta ) ^ { 3 } \Big ( \int _ { a \sqrt { \mu n } } ^ { \sqrt { \mu n } } w ^ { 2 } d F _ { n } ( w ) \Big ) ^ { 3 } \geq \varepsilon _ { 2 } n ^ { 3 - 3 / 2 \alpha } L ( \sqrt { n } ) ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L _ { d a m a g e } = \int _ { \mathrm { B } } \Bigg ( \Big [ \frac { \zeta } { d t } ( { \mathsf { d } } - { \mathsf { d } } _ { o l d } ) - e ^ { - { \mathsf { d } } } \Psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { n e q } ( \bar { \mathbf { C } } , \{ \mathbf { A } ^ { ( i ) } \} ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { \zeta } { \tau _ { H } } { \mathsf { d } } \Big ] { \mathsf { d } } _ { t e s t } + \psi ^ { * } \ell ^ { 2 } \nabla { \mathsf { d } } \cdot \nabla { \mathsf { d } } _ { t e s t } \Bigg ) \, d v _ { \mathrm { \tiny ~ R } } , } \end{array}
\mathbf { n } ( \mathbf { r } ) \mathbf { A } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) = ( \mathbf { A } _ { s } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { A } _ { p } ( \mathbf { r } ) ) ^ { 2 } \mathbf { n } ( \mathbf { r } ) = ( \mathbf { A } _ { s } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { A } _ { p } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) + 2 \mathbf { A } _ { s } ( \mathbf { r } ) \mathbf { A } _ { p } ( \mathbf { r } ) ) \mathbf { n } ( \mathbf { r } ) \approx 2 \mathbf { A } _ { s } ( \mathbf { r } ) \mathbf { A } _ { p } ( \mathbf { r } ) \mathbf { n } ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r l } { \langle m ( \infty , A _ { s } ) \rangle = \sum _ { k = 0 } ^ { N } p ( k , A _ { s } ) } & { { } \left[ \quad \sum _ { \lambda = 0 } ^ { S \gamma } p ( \lambda , k / N ) m ( \lambda ) + \right. } \end{array}