harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \cos \left( \eta \sin ( \beta ) \right) = } & { { } J _ { 0 } \left( \eta \right) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { 2 k } \left( \eta \right) \cos \left( 2 k \beta \right) } \\ { \sin \left( \eta \sin ( \beta ) \right) = } & { { } 2 \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } J _ { 2 k - 1 } \left( \eta \right) \sin \left( ( 2 k - 1 ) \beta \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { \downarrow } = \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { - v _ { \mathrm { L } } } \\ { u _ { \mathrm { L } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { - \sin \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathbb { D } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { i \cos ( \theta ) } & { \sin ( \theta ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sin ( \theta ) } & { i \cos ( \theta ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \nu ( \omega ) = \nu ( Y ( \omega ) ) , } \\ & { \textbf { f } ( \cdot , \omega ) = \textbf { f } ( \cdot , Y ( \omega ) ) , } \\ & { \textbf { h } ( \cdot , \omega ) = \textbf { h } ( \cdot , Y ( \omega ) ) , } \\ & { \textbf { g } _ { i n } ( \cdot , \omega ) = \textbf { g } _ { i n } ( \cdot , Y ( \omega ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { \rho \boxtimes \sigma } ( \vec { u } , \vec { v } ) = \sum _ { \vec { u } _ { 1 } , \vec { v } _ { 1 } } W _ { \rho } ( g _ { 0 0 } ^ { - 1 } \vec { u } _ { 1 } , ( N g _ { 1 1 } ) ^ { - 1 } \vec { v } _ { 1 } ) \; \; W _ { \sigma } ( g _ { 0 1 } ^ { - 1 } ( \vec { u } - \vec { u } _ { 1 } ) , ( N g _ { 1 0 } ) ^ { - 1 } ( \vec { v } _ { 1 } - \vec { v } ) ) \; . } \end{array}
\| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } \, \le \, C _ { 4 } E _ { 0 } [ \eta ] + C _ { 5 } \bigl ( \mu _ { 0 } ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ^ { 2 } + \mu _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { A ( q ) } { 4 } } & { { } = \big . f ( t ) \cos \left( q t \right) \big | _ { t = 0 } ^ { t = R } - \int _ { 0 } ^ { R } f ^ { \prime } ( t ) \cos ( q t ) \, \mathrm { d } t \, , } \\ { \frac { B ( q ) } { 4 } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } g ^ { \prime } ( t ) \sin ( q t ) \, \mathrm { d } t - g ( R ) \sin \left( q R \right) . } \end{array}
= \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\} \right\} + { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ { \hat { \Pi } } _ { \rho , \delta } ^ { n } \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \right\} \right\}
\begin{array} { r } { { \beta _ { 1 } } = - { \beta _ { 2 } } = \beta , ~ ~ ~ \textrm { f o r } ~ ~ ~ N = 2 , } \\ { { \beta _ { 1 } } = - { \beta _ { 3 } } = \beta , ~ { \beta _ { 2 } } = 0 , ~ ~ ~ \textrm { f o r } ~ ~ ~ N = 3 . } \end{array}
\nabla _ { \alpha } = \frac { \partial } { \partial \theta ^ { \alpha } } - i \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } } \partial _ { \alpha { \dot { \alpha } } } \ , \quad \bar { \nabla } _ { \dot { \alpha } } = - \frac { \partial } { \partial \bar { \theta } ^ { \dot { \alpha } } } + i \theta ^ { \alpha } \partial _ { \alpha { \dot { \alpha } } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { Z } _ { f _ { n } } ( C ) } \varphi ( t ) H _ { 1 } ( d t ) } & { = \sum _ { i } \int _ { \mathcal { Z } _ { f _ { n } } ( V _ { i } \cap C ) } \phi _ { i } ( t ) \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) } \\ & { \leq \sum _ { i } \int _ { \mathcal { Z } _ { f _ { n } } ( V _ { i } ) } \phi _ { i } ( t ) \varphi ( t ) H _ { 1 } ( \mathrm { d } t ) } \\ & { = \sum _ { i } \int \phi ( t , \gamma _ { i , f _ { n } } ( t ) ) \varphi ( t , \gamma _ { i , f _ { n } } ( t ) ) \sqrt { 1 + \gamma _ { i , f _ { n } } ^ { \prime } ( t , \gamma _ { i , f _ { n } } ( t ) ) ^ { 2 } } \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle h _ { 4 } ^ { 2 } ( r , \theta ) \rangle } & { = \frac { k _ { B } T } { \gamma } \frac { 1 } { \pi } \Big [ \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { Z ^ { 9 0 } ( \ell _ { c } , 0 , \alpha ) } { 2 S _ { 0 , \alpha } } \chi _ { 0 , \alpha } ^ { 2 } ( r ) } \\ & { + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \infty } \frac { Z ^ { 9 0 } ( \ell _ { c } , n , \alpha ) } { S _ { n , \alpha } } \chi _ { n , \alpha } ^ { 2 } ( r ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } z } \bigg [ ( 1 - M ) \frac { \mathrm { d } U } { \mathrm { d } z } + U \frac { \mathrm { d } M } { \mathrm { d } z } \bigg ] + c \frac { \mathrm { d } U } { \mathrm { d } z } + U \big ( 1 - U - M \big ) } & { = 0 , } \\ { c \frac { \mathrm { d } M } { \mathrm { d } z } - \lambda M U } & { = 0 , } \end{array}
\pi = { \sqrt { 1 2 } } \left( 1 - { \frac { 1 } { 3 \cdot 3 } } + { \frac { 1 } { 5 \cdot 3 ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 7 \cdot 3 ^ { 3 } } } + \cdots \right)
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { M } ^ { * } \mathbf { M } } & { = \mathbf { V } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { * } \mathbf { U } ^ { * } \, \mathbf { U } { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { V } ^ { * } = \mathbf { V } ( { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { * } { \boldsymbol { \Sigma } } ) \mathbf { V } ^ { * } } \\ { \mathbf { M } \mathbf { M } ^ { * } } & { = \mathbf { U } { \boldsymbol { \Sigma } } \mathbf { V } ^ { * } \, \mathbf { V } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { * } \mathbf { U } ^ { * } = \mathbf { U } ( { \boldsymbol { \Sigma } } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { * } ) \mathbf { U } ^ { * } } \end{array} }
\prod _ { n = 1 } ^ { m } \left( \frac { p _ { n } ^ { 2 k } } { p _ { n } ^ { 2 k } - 1 } \right) = \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { 3 ^ { 2 k } } } \right) \cdot \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { 5 ^ { 2 k } } } \right) \cdot \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { 7 ^ { 2 k } } } \right) \cdot \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { 1 1 ^ { 2 k } } } \right) \cdots \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { p _ { m } ^ { 2 k } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| y _ { 1 , i } ^ { k + 1 } - y _ { 2 , j } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { \leq \mathbb { E } \Big \| y _ { 1 , i } ^ { k } + ( \nu \Delta t / 2 ) \left( x _ { i , 1 } ^ { k + 1 } - y _ { 1 , i } ^ { k } \right) S ^ { \beta } ( x _ { 1 , i } ^ { k + 1 } , y _ { 1 , i } ^ { k } ) } \\ & { \qquad - \left( y _ { 2 , j } ^ { k } + ( \nu \Delta t / 2 ) \left( x _ { 2 , j } ^ { k + 1 } - y _ { 2 , j } ^ { k } \right) S ^ { \beta } ( x _ { 2 , j } ^ { k + 1 } , y _ { 2 , j } ^ { k } ) \right) \Big \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq C \mathbb { E } \left[ \| x _ { i , 1 } ^ { k + 1 } - x _ { j , 2 } ^ { k + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| y _ { i , 1 } ^ { k } - y _ { j , 2 } ^ { k } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { l } { g _ { 1 } ^ { + } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } } \end{array} \right] = S ^ { 0 , 1 } \left[ \begin{array} { l } { g _ { 0 } ^ { + } } \\ { g _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 1 } ^ { + } = t \cdot g _ { 0 } ^ { + } - r \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } = r \cdot g _ { 0 } ^ { + } + \frac { 1 - r ^ { 2 } } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right. \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 0 } ^ { + } = \frac { 1 } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { + } + \frac { r } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } = r \cdot g _ { 0 } ^ { + } + \frac { 1 - r ^ { 2 } } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right. } \\ & { \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { 0 } ^ { + } = \frac { 1 } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { + } + \frac { r } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } = \frac { r } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { + } + \frac { 1 } { t } \cdot g _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right. \Rightarrow \quad \left[ \begin{array} { l } { g _ { 0 } ^ { + } } \\ { g _ { 0 } ^ { - } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { t } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { r } \\ { r } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { g _ { 1 } ^ { + } } \\ { g _ { 1 } ^ { - } } \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad I ^ { 0 , 1 } = \frac { 1 } { t } \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { r } \\ { r } & { 1 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \Phi _ { X } } ^ { q } ( X , \Omega _ { X } ^ { p } ( \log \Delta _ { X } ) ) } & { \xrightarrow { \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } } H _ { \mathrm { p r } _ { X } ^ { - 1 } ( \Phi _ { X } ) } ^ { q } ( X \times Y , \Omega _ { X \times Y } ^ { p } ( \log \Delta _ { X \times Y } ) ) } \\ & { \xrightarrow { \smile \gamma } H _ { \Psi } ^ { p + j } ( X \times Y , \Omega _ { X \times Y } ^ { p + i } ( \log \Delta _ { Y } ) ) } \\ & { \xrightarrow { \mathrm { p r } _ { Y * } } H _ { \Phi _ { Y } } ^ { q + j - d _ { X } } ( Y , \Omega _ { Y } ^ { p + i - d _ { X } } ( \log \Delta _ { Y } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { u } _ { x } ^ { \mathrm { l o w } , n + 1 } } & { = ( u _ { \mathbf { 0 } } ^ { \mathbf { e } } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { k _ { x } \Delta x _ { e } w _ { 0 } } ( f _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 0 ) } ^ { \mathbf { e } } - f _ { ( e _ { x } - \frac { 1 } { 2 } , e _ { y } ) } ) } \\ { \tilde { u } _ { y } ^ { \mathrm { l o w } , n + 1 } } & { = ( u _ { \mathbf { 0 } } ^ { \mathbf { e } } ) ^ { n } - \frac { \Delta t } { k _ { y } \Delta y _ { e } w _ { 0 } } ( g _ { ( 0 , \frac { 1 } { 2 } ) } ^ { \mathbf { e } } - g _ { ( e _ { x } , { e _ { y } - \frac { 1 } { 2 } } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { R } _ { I } } & { = } & { { ^ I r } _ { 0 } + \sum _ { a i } { ^ I r } _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } { ^ I r } _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } } \\ & { + } & { { ^ I s } _ { 0 } \hat { b } ^ { \dagger } + \sum _ { a i } { ^ I s } _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { b } ^ { \dagger } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a b i j } { ^ I s } _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i } \hat { b } ^ { \dagger } } \end{array}
\mathrm { t r } \left( U [ \vec { \varphi } \, ] \: \mathrm { d } U ^ { - 1 } [ \vec { \varphi } \, ] \: t ^ { a } \right) = \mathrm { i } \: T ^ { a b } [ \vec { \varphi } \, ] \, \mathrm { d } \varphi ^ { a } \; .
\begin{array} { r l } { \left( \ln ^ { k } { ( u + e ) } + k \frac { \ln ^ { k - 1 } { ( u + e ) } } { u + e } \right) f ( u ) } & { \leq r u \ln ^ { k } ( u + e ) } \\ & { + r k \ln ^ { k - 1 } ( u + e ) - \mu u ^ { 2 } \ln ^ { k - p } ( u + e ) } \\ & { \leq ( \epsilon - \mu ) \int _ { \Omega } u ^ { 2 } \ln ^ { k - p } ( u + e ) + c ( \epsilon ) . } \end{array}
t _ { \infty , 2 k - 1 } = 2 T _ { 2 } ^ { \frac { 2 k - 1 } { 2 } } \left( \sum _ { p = 1 } ^ { r _ { \infty } - k - 2 } \frac { \underset { m = p + 1 } { \overset { r _ { \infty } - k - 2 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } { 2 ^ { r _ { \infty } - k - p - 2 } ( r _ { \infty } - k - p - 2 ) ! } T _ { 1 } ^ { r _ { \infty } - k - p - 2 } \tau _ { p } + T _ { 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 - k } \frac { \underset { m = 0 } { \overset { r _ { \infty } - k - 2 } { \prod } } ( 2 r _ { \infty } - 2 m - 5 ) } { 2 ^ { r _ { \infty } - 1 - k } ( r _ { \infty } - 1 - k ) ! } \right)
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = } & { p _ { N } \sum _ { q } P ( q ) \left[ 1 - ( 1 - V ) ^ { q } \right] , } \\ { S } & { { } = } & { \sum _ { m } p _ { H } ^ { [ m ] } Q ( m ) \left[ 1 - ( 1 - W ) ^ { m } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { x ( t ) = c t - \frac { 2 } { k } \tan ^ { - 1 } \bigg [ \sqrt \frac { 1 - \epsilon } { 1 + \epsilon } \tan \bigg ( \frac { \omega \sqrt { 1 - \epsilon ^ { 2 } } } { 2 } t \bigg ) \bigg ] . } \end{array}
\beta _ { f r e e } ^ { 0 G } ( t _ { d } ) = \sqrt { \frac { \pi e } { 2 } } \left( 1 / \alpha - 4 \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \right) \gamma ^ { 2 } D _ { 0 } \alpha ^ { 3 } t _ { d } ^ { 3 } .
u _ { y } = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } u _ { y } ^ { \prime } } { 1 + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } ^ { \prime } } } , \quad u _ { y } ^ { \prime } = { \frac { { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } u _ { y } } { 1 - { \frac { v } { c ^ { 2 } } } u _ { x } } } ,
\begin{array} { r l r } & { d _ { 3 } - d _ { 1 } = - \frac { 3 r ^ { 6 } } { 2 t ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \frac { r ^ { 4 } } { t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { t ^ { 3 } } ) , \quad } & { d _ { 2 } - d _ { 3 } = - \frac { 3 r ^ { 6 } } { 2 t ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \frac { r ^ { 4 } } { t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { t ^ { 3 } } ) , } \\ & { 0 < | g _ { 2 } - g _ { 3 } | < \frac { b r ^ { 4 } } { t ^ { 2 } } , \quad } & { 0 < | g _ { 1 } - g _ { 2 } | < \frac { b r ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } X _ { i \beta } } & { = \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } X _ { i \beta } + \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha i } R _ { i \beta } } { R _ { i i } } X _ { i \beta } } \\ & { = \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } X _ { i \beta } + \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha i } R _ { i \beta } } { s ( z ) } X _ { i \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } G _ { \epsilon , R , \delta } } & { ( \eta , t ) \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , t ) } x _ { t , V } ( A ) ^ { n } \textup { d } \eta \leq } \\ { \leq } & { 2 \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } g _ { \textup { i n } , R } ( \eta ) A ^ { n } \textup { d } \eta + \frac { 1 - \gamma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } K _ { R } ( \phi _ { s } ( A , V ) , \phi _ { s } ( A ^ { \prime } , V ^ { \prime } ) ) G _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ^ { \prime } , s ) G _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta , s ) } \\ & { \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , s ) + h _ { \epsilon } ( V ^ { \prime } , s ) } [ ( x _ { s , V } ( A ) + x _ { s , V ^ { \prime } } ( A ^ { \prime } ) ) ^ { n } - x _ { s , V } ( A ) ^ { n } - x _ { s , V ^ { \prime } } ( A ^ { \prime } ) ^ { n } ] \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta \textup { d } s } \\ { \leq } & { 2 \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } g _ { \textup { i n } , R } ( \eta ) A ^ { n } \textup { d } \eta + ( 1 - \gamma ) | | K _ { R } | | _ { \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { n } } \binom { n } { k } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , s ) } x _ { s , V } ^ { k } ( A ) G _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta , s ) \textup { d } \eta } \\ & { \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V ^ { \prime } , s ) } x _ { s , V ^ { \prime } } ^ { n - k } ( A ^ { \prime } ) G _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta ^ { \prime } , s ) \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } s , } \end{array}
\tilde { H } _ { 1 2 3 } \Psi _ { \Delta } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \tilde { E } _ { 1 2 3 } \Psi _ { \Delta } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) ,
\boldsymbol { \sigma } = \left( \begin{array} { l l l } { \partial _ { x } { v ^ { x } } } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { x } { v ^ { y } } + \partial _ { y } { v ^ { x } } \right) } & { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } { v ^ { x } } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { x } { v ^ { y } } + \partial _ { y } { v ^ { x } } \right) } & { - \partial _ { x } { v ^ { x } } } & { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } { v ^ { y } } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } { v ^ { x } } } & { \frac { 1 } { 2 } \partial _ { z } { v ^ { y } } } & { 0 } \end{array} \right) + { \mathcal O } ( { \epsilon } ) \; ,
\begin{array} { r } { \ddot { \mathnormal { x } } + 2 \; \xi \; \dot { \mathnormal { x } } - \frac { 1 } { 2 } \; \mathnormal { x } \; ( 1 + 2 \delta \mathnormal { x } - \mathnormal { x } ^ { 2 } ) - ( 1 + \beta \left| x \right| ) \chi \; \mathnormal { v } = } \\ { \mathnormal { f } \; \cos { \left( \Omega \; t \right) } + \mathnormal { p } \sin { \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { 1 } = - 2 C \cos k + 2 C + C _ { 0 } } \\ & { f _ { 2 } = 2 \left( \omega ^ { 2 } L \right) ^ { - 1 } \cos k - 2 \left( \omega ^ { 2 } L \right) ^ { - 1 } - \left( \omega ^ { 2 } L _ { 0 } \right) ^ { - 1 } } \\ & { g _ { 1 } = - C _ { x } e ^ { i k } + \left( \omega ^ { 2 } L _ { x } \right) ^ { - 1 } e ^ { - i k } } \\ & { g _ { 2 } = \left( \omega ^ { 2 } L _ { x } \right) ^ { - 1 } e ^ { i k } - C _ { x } e ^ { - i k } , } \end{array}
\varepsilon _ { k } F G _ { l } = \frac { k ! l ! } { \left( k + l - 2 \right) ! } \varepsilon _ { k } ^ { M _ { 1 } ( M _ { 2 } \cdots M _ { k } } G _ { l } ^ { M _ { k + 1 } \cdots ) M _ { k + l } } F _ { M _ { 1 } M _ { k + l } } ,
\langle j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } | 0 \, 0 \rangle = \delta _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } \delta _ { m _ { 1 } , - m _ { 2 } } { \frac { ( - 1 ) ^ { j _ { 1 } - m _ { 1 } } } { \sqrt { 2 j _ { 1 } + 1 } } }
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { \left( \int _ { 0 } ^ { \epsilon } \frac { d { \mathcal N } ( t ) } { d t } { \mathrm e } ^ { - U ^ { \epsilon } ( x ) / k _ { B } T } d x + D \int _ { \epsilon } ^ { \infty } \frac { \partial ^ { 2 } p ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } d x \right) } \\ & { = } & { \frac { d { \mathcal N } ( t ) } { d t } \int _ { 0 } ^ { \epsilon } { \mathrm e } ^ { - U ^ { \epsilon } ( x ) / k _ { B } T } d x - D \partial _ { x } p ( \epsilon , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { 3 D , \mathrm { s u r f } } ^ { \pm ^ { \prime } } } & { { } = } & { \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } H _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } \hat { P } _ { \pm , \mathrm { 3 D } } } \end{array}
\delta _ { H } = 2 \times 1 0 ^ { - 5 } \alpha _ { 0 } ^ { - 1 } \, ( \Omega _ { \mathrm { N R } } ) ^ { c _ { 1 } + c _ { 2 } \ln \Omega _ { \mathrm { N R } } } \exp { [ c _ { 3 } ( n - 1 ) + c _ { 4 } ( n - 1 ) ^ { 2 } ] }
\frac { ( p _ { \| } - p _ { 0 } ) ^ { 2 } } { a _ { \| p } ^ { 2 } } + \frac { p _ { \perp } ^ { 2 } } { a _ { \perp p } ^ { 2 } } = 1 , \quad \mathrm { w i t h } \quad 0 < p ^ { 2 } < \infty
\begin{array} { r l } { P ( v _ { i } \rightarrow v _ { j } ) } & { = \sum _ { e } P ( v _ { i } \rightarrow e ) P ( e \rightarrow v _ { k } | v _ { i } ) = } \\ & { = \sum _ { e } \frac { \mathcal { I } _ { i e } } { \lambda } \frac { \mathcal { I } _ { e j } ^ { T } ( 1 - \delta _ { i j } ) \psi _ { j } } { \psi _ { i } } = } \\ & { = \frac { \mathbf { A } _ { i j } ^ { c o u n t } } { \lambda } \frac { \psi _ { j } } { \psi _ { i } } , } \end{array}
\Lambda _ { 1 } = 2 \Delta , \quad \Lambda _ { 2 } = - 2 \hat { j } \Delta , \quad \Lambda _ { 3 } = 2 ( \hat { j } + 1 ) \Delta , \quad \Lambda _ { 4 } = \hat { j } ( \hat { j } + 1 ) + r ^ { 2 } + 2 \Delta .
\begin{array} { r l } { \bigl \langle P ^ { G } \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { a _ { t } } ) , f ( \theta ) \bigr \rangle } & { = g _ { \rho _ { a _ { t } } } ( P ^ { G } \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { a _ { t } } ) , M ( \rho _ { a _ { t } } ) ^ { - 1 } f ( \theta ) ) } \\ & { = g _ { \rho _ { a _ { t } } } ( \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { a _ { t } } ) , M ( \rho _ { a _ { t } } ) ^ { - 1 } f ( \theta ) ) = \bigl \langle \sigma _ { t } ( \theta , \rho _ { a _ { t } } ) , f ( \theta ) \bigr \rangle . } \end{array}
\hat { \mathrm { \bf ~ j } } _ { 0 } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { q _ { a } } { m _ { a } } \hat { \mathrm { \bf ~ p } } _ { a } = \frac { 1 } { i \hbar } [ \hat { \mathrm { \bf ~ d } } , \hat { H } _ { m a t t e r } ] \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \; \hat { \mathrm { \bf ~ d } } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } q _ { a } \mathrm { \bf ~ r } _ { a }
\begin{array} { r } { \overline { { \xi _ { p } ^ { \prime } \eta ^ { \prime } } } = \overline { { \xi _ { p } ^ { \prime } \left( \eta - \overline { { \eta } } \right) } } \approx \overline { { \xi _ { p } ^ { \prime } \left( \eta \left( \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } \right) + { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } \left. \frac { \partial \eta } { \partial x _ { i } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } - \overline { { \eta } } \right) } } = \overline { { \xi _ { p } ^ { \prime } { x _ { p } ^ { \prime } } _ { i } } } \left. \frac { \partial \eta } { \partial x _ { i } } \right| _ { \overline { { \boldsymbol x } } _ { p } } , } \end{array}
\pi = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { 4 } { 8 n + 1 } } - { \frac { 2 } { 8 n + 4 } } - { \frac { 1 } { 8 n + 5 } } - { \frac { 1 } { 8 n + 6 } } \right) \left( { \frac { 1 } { 1 6 } } \right) ^ { n }
\begin{array} { r l r } { v _ { i } ^ { j } } & { { } = } & { \frac { \Delta \mathrm { ~ P ~ C ~ } _ { i } } { \Delta \tau _ { j } } , } \\ { \hat { \mathbf { v } } ^ { j } } & { { } = } & { \frac { \mathbf { v } ^ { j } } { | | \mathbf { v } ^ { j } | | _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { 1 } = \alpha _ { 2 } = \left( \frac { \Delta } { \lambda ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \, , \quad \alpha _ { 3 } = \frac { \sqrt { \Delta } } { 2 \lambda } \, , \quad \alpha _ { 4 } = 1 \, . } \end{array}
I m \bar { g } _ { R } ( m _ { \phi } ) = e g _ { R K ^ { + } K ^ { - } } g _ { \phi K ^ { + } K ^ { - } } \frac { 8 } { 3 \pi } \frac { \mu ^ { 4 } ( m _ { \phi } ^ { 2 } - 4 m _ { K ^ { + } } ^ { 2 } ) } { ( m _ { \phi } ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \sqrt { 1 - \frac { 4 m _ { K ^ { + } } ^ { 2 } } { m _ { \phi } ^ { 2 } } } \ .
\frac { 2 \mathrm { i } \pi ^ { 2 } } { \sqrt { - \lambda \left( k _ { 1 2 } ^ { 2 } , k _ { 2 3 } ^ { 2 } , k _ { 3 1 } ^ { 2 } \right) } } \; \left\{ \mathrm { C l } _ { 2 } \left( 2 \theta _ { 1 2 } \right) + \mathrm { C l } _ { 2 } \left( 2 \theta _ { 2 3 } \right) + \mathrm { C l } _ { 2 } \left( 2 \theta _ { 3 1 } \right) \right\}
\begin{array} { r l } { \overline { { h } } _ { \Xi } \left( A \right) = \operatorname* { m a x } _ { { q } ^ { + } , { q } ^ { - } \in { \mathbb R } _ { + } ^ { N m } } \quad } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in { \mathcal I } } { c } _ { 2 } ^ { \top } A \left( { \xi } _ { i } + { q } _ { i } ^ { + } - { q } _ { i } ^ { - } \right) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathrm { ( ) , ~ ( ) , ~ ( ) . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \star } } & { \le ( 1 + t _ { n } ) \omega _ { \nu } ^ { 2 } ( r _ { n } R _ { \nu } ^ { \star } ) \operatorname { \bf T r } \left( H _ { n } ( \theta _ { n } ) ^ { - 1 / 2 } G _ { \star } H _ { n } ( \theta _ { n } ) ^ { - 1 / 2 } \right) } \\ { d _ { \star } } & { \ge \frac { 1 - t _ { n } } { \omega _ { \nu } ^ { 2 } ( r _ { n } R _ { \nu } ^ { \star } ) } \operatorname { \bf T r } \left( H _ { n } ( \theta _ { n } ) ^ { - 1 / 2 } G _ { \star } H _ { n } ( \theta _ { n } ) ^ { - 1 / 2 } \right) . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 3 } \sigma } { \partial t \, \partial p _ { 1 } ^ { 2 } \, \partial p _ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { \pi \alpha ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } ( \vert \beta _ { L } ^ { e } \vert ^ { 4 } + \vert \beta _ { R } ^ { e } \vert ^ { 4 } ) \left\{ \frac { t } { u } + \frac { u } { t } + \frac { 2 ( p _ { 1 } ^ { 2 } + p _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { u t } - p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { t ^ { 2 } } + \frac { 1 } { u ^ { 2 } } \right) \right\} \ \rho ( p _ { 1 } ^ { 2 } ) \ \rho ( p _ { 2 } ^ { 2 } )