harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \widetilde { P _ { l o s s , k } } = \widetilde { P _ { c o n d , k } } + \widetilde { P _ { d r i v e , k } } + \widetilde { P _ { i n d , k } } } \\ { = \widetilde { R _ { o , k } } \widetilde { I _ { o } ^ { 2 } } + \widetilde { E _ { d r , k } } \widetilde { F _ { k } } + R _ { L } \widetilde { I _ { o } ^ { 2 } } ( 1 + \frac { \varepsilon } { 1 2 } ) } \end{array}
S _ { L } = \int d ^ { 4 } x [ - e { \overline { { \Psi } } } _ { L } \gamma ^ { \mu } i \partial _ { \mu } \Psi _ { L } + C _ { \mu } { \overline { { \Psi } } } _ { L } e \gamma ^ { \mu } \Psi _ { L } ] .
\begin{array} { r l } & { \frac { p _ { e } } { p _ { \infty } } = \frac { 1 } { \gamma } \left[ \frac { 2 + ( \gamma - 1 ) M _ { j } ^ { 2 } } { \gamma + 1 } \right] ^ { \frac { \gamma } { \gamma - 1 } } } \\ & { \frac { \rho _ { e } } { \rho _ { \infty } } = \frac { \gamma ( \gamma + 1 ) p _ { e } } { 2 ( T _ { n } / T _ { \infty } ) } } \\ & { \frac { u _ { e } } { a _ { \infty } } = \sqrt { \frac { 2 ( T _ { n } / T _ { \infty } ) } { \gamma + 1 } } , \quad v _ { e } = w _ { e } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } e ^ { - A v ^ { 2 } } \, d v } & { = \sqrt { \frac { \pi } { A } } , \quad \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { - A | \mathbf { v } | ^ { 2 } } \, d \mathbf { v } = \left( \frac { \pi } { A } \right) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } , } \\ { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \mathbf { v } | ^ { 2 } e ^ { - A | \mathbf { v } | ^ { 2 } } \, d \mathbf { v } } & { = \frac { 3 } { 2 A } \left( \frac { \pi } { A } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } , \quad \int _ { \mathbb { R } } v ^ { 2 } e ^ { - A v ^ { 2 } } \, d v = \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } A ^ { - \frac { 3 } { 2 } } , } \end{array}
\Sigma _ { - } ( p _ { 3 } , \left| { \bf p } \right| ) = - \frac { 1 } { 4 \pi } \ln \frac { 1 } { 2 m } \left( - \frac { 1 } { 2 } \delta - i p _ { 3 } + \frac { \left| { \bf p } \right| ^ { 2 } } { 2 m } + \Sigma _ { - } ( p _ { 3 } , \left| { \bf p } \right| ) \right) ,
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } ^ { 2 } + 4 C _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 4 \| \bar { \zeta } \| ^ { 4 } } { ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ) ^ { 6 } } \left( ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \frac { \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } + 4 \frac { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } ( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { \frac { 4 } { \eta ^ { 6 } \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } \| \bar { y } \| ^ { 6 } } \left( ( \eta \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 ( \eta \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| + \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ( \eta \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \frac { \eta \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } + 4 \frac { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } { \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } ( \eta \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { 4 \left( \frac { 1 } { \eta ^ { 4 } } \left( \frac { 1 } { \| \bar { y } \| ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \eta \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 } { \eta ^ { 3 } } \left( \frac { 1 } { \eta ^ { 2 } \| \bar { \zeta } \| ^ { 3 } \| \bar { y } \| } - \frac { 1 } { \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| ^ { 3 } } \right) + \frac { 4 } { \eta ^ { 4 } } \left( \frac { 1 } { \| \bar { \zeta } \| \| \bar { y } \| } - \frac { 1 } { \eta \| \bar { \zeta } \| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 3 } | } & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 2 } | \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 2 - \alpha ) } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | \int _ { d } ^ { 1 } \frac { d w } { | w | ^ { 2 - \alpha } \sqrt { 1 - w ^ { 2 } } } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | \frac { 1 } { | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { 1 - \alpha } } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { \alpha } . } \end{array}
[ D _ { \mathbb { F } , \varphi } ^ { \alpha } ] ^ { - 1 } h ( f _ { x _ { o } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { F \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow x _ { o } } \frac { S _ { F , \varphi } ^ { \alpha } [ h ( x ) ] - S _ { F , \varphi } ^ { \alpha } [ h ( x _ { o } ) ] } { x - x _ { o } } ~ ~ ~ ~ x , x _ { o } \in \mathbb { F } \, . } \\ { 0 \qquad \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
S _ { j } ^ { N } ( t , c ^ { N } ) = \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } a _ { j } \cdot \left( \Im \left( \nabla \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } \right) + u ^ { N } \Re \left( \overline { { \psi ^ { N } } } B ^ { N } \psi ^ { N } \right) \right) .
\left[ \begin{array} { l } { d \tau } \\ { d \xi } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \tau _ { t } } & { \tau _ { x } } \\ { \xi _ { t } } & { \xi _ { x } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { d t } \\ { d x } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \tau _ { t } } & { \tau _ { x } } \\ { c ^ { 2 } \tau _ { x } } & { \tau _ { t } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { d t } \\ { d x } \end{array} \right]
\delta \Omega ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \bf k } \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \Delta c _ { \alpha } ( { \bf k } ) [ \beta ^ { - 1 } C _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { - 1 } - S _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( { \bf k } ) ] \Delta c _ { \alpha ^ { \prime } } ( { \bf k } ) .
\frac { d } { d t } ( \rho v _ { \mathrm { { S } } } ) \delta V = - \Delta p A + \int _ { { V _ { \mathrm { { C V } } } } } \mu \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } \boldsymbol { v } \cdot \boldsymbol { n } _ { \mathrm { { S } } } d V + \sigma _ { 1 2 } \kappa A .
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { P F } } ^ { [ N ] } = \sum _ { j } \frac { \hat { P } _ { j } } { 2 M } + V ( R _ { j } ) + \hat { H } _ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } } \Big [ \hat { p } _ { \bf k } ^ { 2 } + \omega _ { \bf k } ^ { 2 } \Big ( \hat { q } _ { \bf k } + \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } } { \omega _ { \bf k } } \sum _ { j } \mu ( \hat { R } _ { j } ) \cdot \cos \varphi _ { j } \Big ) ^ { 2 } \Big ] + \hat { H } _ { \mathrm { l o s s } } , } \end{array}
M _ { \mathrm { e f f } } ^ { \nu } \approx \frac { \Gamma _ { D } ^ { 2 } } { \Gamma _ { M } } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \mathrm { D e t } _ { 2 } ( \Delta ^ { \nu } ) \ne 0 .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \mathrm { e } ^ { - t } t ^ { m } L _ { n } ^ { m } ( t ) L _ { n ^ { \prime } } ^ { m } ( t ) = \frac { ( n + m ) ! } { n ! } \delta _ { n , n ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \big | \ell [ { \mathbf { y } _ { h } } ] ( \mathbf { v } _ { h } ) \big | \leq c _ { n l } \sqrt { 1 + \delta } \| Z \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } ( \| { \mathbf { y } _ { h } } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } \! + C _ { \boldsymbol { \varphi } , \Phi } ) \| \mathbf { v } _ { h } \| _ { H _ { h } ^ { 2 } ( \Omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H = } & { \frac { { \left( q _ { 1 } + w _ { 2 } \right) } ^ { 2 } } { 2 C _ { 1 } } + \frac { w _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 C _ { 2 } } + \frac { { \left( q _ { 2 } + w _ { 2 } \right) } ^ { 2 } } { 2 C _ { 3 } } } \\ & { + \frac { { \left( w _ { 1 } + \phi _ { 2 } \right) } ^ { 2 } } { 2 L _ { 1 } } + \frac { { \left( w _ { 1 } + \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } \right) } ^ { 2 } } { 2 L _ { 2 } } + \frac { w _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 L _ { 3 } } \, . } \end{array}
\vec { z } ^ { D } ( \vec { r } ) = - j \frac { Q } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \rho _ { d } } \vec { z } ^ { F } ( \vec { r } ) \frac { \int d ^ { 3 } \vec { r } ^ { \prime } \vec { z } ^ { F } ( \vec { r } ^ { \prime } ) \cdot \vec { f } ( \vec { r } ^ { \prime } ) } { \int d ^ { 3 } \vec { r } ^ { \prime } \left| \vec { z } ^ { F } ( \vec { r } ^ { \prime } ) \right| ^ { 2 } } .
D _ { x } ^ { + } = D _ { x } ^ { - } = \frac { 1 } { \Delta x } \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } ( e ^ { \mathrm { i } \frac { ( 2 i - 1 ) k _ { x } \Delta x } { 2 } } - e ^ { - \mathrm { i } \frac { ( 2 i - 1 ) k _ { x } \Delta x } { 2 } } ) = \frac { 2 \mathrm { i } } { \Delta x } \sum _ { i = 1 } ^ { r } c _ { i } \sin ( ( i - \frac { 1 } { 2 } ) k _ { x } \Delta x ) ,
- \frac { i } { 2 } \left[ V , S \right] = \frac { \lambda } { 2 } \sum _ { q , q ^ { \prime } , k } \left( Q ( q ) \sum _ { q ^ { \prime \prime } , k ^ { \prime } } A ( q ^ { \prime \prime } , - q ^ { \prime } , k ) Q ( q ^ { \prime \prime } ) n _ { k ^ { \prime } , { q ^ { \prime \prime } - q ^ { \prime } } } n _ { k , q + q ^ { \prime } } + Q ( q ^ { \prime } ) \sum _ { q ^ { \prime \prime } , k ^ { \prime } } A ( q ^ { \prime \prime } , - q , k ) Q ( q ^ { \prime \prime } ) n _ { k ^ { \prime } , { q ^ { \prime \prime } - q } } n _ { k , q + q ^ { \prime } } \right) .
W _ { n m } ^ { c } ( z ) \approx T _ { n m } ^ { M } ( z ) = \cfrac { a _ { 1 } } { 1 + \cfrac { a _ { 2 } ( z ^ { 2 } - \tilde { z } _ { 1 } ^ { 2 } ) } { \ddots 1 + \cfrac { a _ { p } ( z ^ { 2 } - \tilde { z } _ { p - 1 } ^ { 2 } ) } { 1 + \cfrac { ( z ^ { 2 } - \tilde { z } _ { p } ^ { 2 } ) g _ { p + 1 } ( z ) } { \ddots 1 + a _ { M } ( z ^ { 2 } - \tilde { z } _ { M - 1 } ^ { 2 } ) } } } } \,
\begin{array} { r } { H ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { p _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } + V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) , } \end{array}
\underset { 1 \leq s \leq n } { \operatorname* { m a x } } \left| \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bar { \mathbf \Xi } _ { j , s } ^ { \mathbb { B } } / \sqrt { n b } \right| _ { \infty } \approx \underset { z \in \mathbb { B } } { \operatorname* { m a x } } \underset { t \in [ b , 1 - b ] } { \operatorname* { s u p } } \sqrt { n b _ { z } } | \vartheta _ { z } ( t ) | / \tilde { \Gamma } _ { z } ( t )
\Pi ( k ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) = - 8 i N _ { c } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha \int \bar { d } ^ { 4 } p \quad \alpha ( 1 - \alpha ) / [ p ^ { 2 } - m ^ { 2 } + k ^ { 2 } \alpha ( 1 - \alpha ) ] ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \b u ( \b x , t ) } & { { } = ( - \sin ( 2 \pi x _ { 2 } ) , \sin ( 2 \pi x _ { 1 } ) ) e ^ { - 4 \nu \pi ^ { 2 } t } , } \\ { p ( \b x , t ) } & { { } = - \cos ( 2 \pi x _ { 1 } ) \cos ( 2 \pi x _ { 2 } ) e ^ { - 8 \nu \pi ^ { 2 } t } , } \end{array}
P _ { \downarrow \uparrow } ( t ) = P _ { \uparrow \downarrow } ( t ) = \frac { 1 } { 8 } ( 2 - e ^ { - 8 \left( ( \overline { { n } } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } ) | \alpha _ { 1 } ( t ) | ^ { 2 } + ( \overline { { n } } _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } ) | \alpha _ { 3 } ( t ) | ^ { 2 } \right) } - e ^ { - 8 \left( ( \overline { { n } } _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ) | \alpha _ { 2 } ( t ) | ^ { 2 } + ( \overline { { n } } _ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } ) | \alpha _ { 4 } ( t ) | ^ { 2 } \right) } )
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \bar { \phi } _ { \mathrm { i n } } - \frac { A \sinh m _ { \mathrm { i n } } r } { m _ { \mathrm { i n } } r } + \frac { Q ^ { 2 } ( 6 + m _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } r ^ { 2 } ) } { 3 2 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } m _ { \mathrm { i n } } ^ { 4 } R ^ { 6 } } } & { r \leq R , } \\ { \bar { \phi } _ { \mathrm { o u t } } - \frac { B } { r } - \frac { Q ^ { 2 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } M _ { \gamma } r ^ { 2 } } } & { r > R . } \end{array} \right.
\delta \big ( \overline { { Q } } ( k _ { \perp } ) \big ) = \frac { 2 C _ { 2 } \overline { { \gamma } } ( k _ { \perp } ) \overline { { k } } _ { \perp } b _ { k } ^ { 3 } } { \rho _ { p } } \delta ( \mathrm { ~ l ~ n ~ } \overline { { k } } _ { \perp } ) ,
\phi _ { \Delta t } ^ { ( * ) } \circ \phi _ { \Delta t } ^ { ( * * ) } \qquad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \qquad \phi _ { { \Delta t } / 2 } ^ { ( * * ) } \circ \phi _ { \Delta t } ^ { ( * ) } \circ \phi _ { { \Delta t } / 2 } ^ { ( * * ) }
\begin{array} { r } { \bigg [ \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { M } } & { \mathbf { Q } } \\ { \mathbf { Q } ^ { * } } & { \mathbf { M } ^ { * } } \end{array} \right) - \omega _ { j } \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { V } } & { \mathbf { W } } \\ { - \mathbf { W } ^ { * } } & { - \mathbf { V } ^ { * } } \end{array} \right) \bigg ] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } _ { Y } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { j } ) } \\ { \mathbf { B } _ { Y } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { j } ) } \end{array} \right] } \\ { = \left[ \begin{array} { l } { \begin{array} { r l } { \mathbf { Z } _ { Y } } & { } \\ { \mathbf { - Z } _ { Y } ^ { * } } & { } \end{array} } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac 1 4 ( ( p _ { 0 } ^ { 2 } + \ | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } - ( p _ { 0 } ^ { 2 } - | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } ) } \\ { = } & { p _ { 0 } ^ { 2 } | \boldsymbol h _ { k } ^ { H } \boldsymbol w _ { 0 } | ^ { 2 } \geq \beta _ { k } \eta _ { k } = \frac 1 4 ( ( \beta _ { k } + \eta _ { k } ) ^ { 2 } - ( \beta _ { k } - \eta _ { k } ) ^ { 2 } ) , } \end{array}
G ( z ; \rho _ { A } ) \equiv - \operatorname { T r } \bigg ( \rho _ { A } \ln { \frac { 1 - z \rho _ { A } } { 1 - z } } \bigg ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { k } \bigg ( \operatorname { T r } ( \rho _ { A } ^ { k + 1 } ) - 1 \bigg ) .
\begin{array} { r l r } { X ( L _ { \mathrm { m i } } ) } & { { } = } & { X _ { 0 } ~ , } \\ { \frac { \partial { X } } { \partial { y } } ( L _ { \mathrm { m i } } ) } & { { } = } & { 0 \quad \textrm { o r } \quad \frac { \partial ^ { 2 } { X } } { \partial { y ^ { 2 } } } ( L _ { \mathrm { m i } } ) = 0 ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { K } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) = } & { \frac 1 2 K ( \log ( \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 0 } } ) ) \cdot \log ^ { [ 1 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) ; } \\ { \Psi _ { K , H } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) = } & { K ( \log ( \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 0 } } ) ) \cdot \log ^ { [ 2 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) } \\ & { + \frac 1 4 H ( \log ( \frac { \alpha _ { 1 } } { \alpha _ { 0 } } ) , \log ( \frac { \alpha _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } } ) ) \cdot \log ^ { [ 1 ] } ( \alpha _ { 0 } , \alpha _ { 1 } ) \cdot \log ^ { [ 1 ] } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } ) . } \end{array}
i \nu ( \omega ) = \frac { \omega _ { p } ^ { * } } { 6 \pi ^ { 2 } n _ { e } ^ { * } \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } q \, q ^ { 6 } V _ { s } ^ { 2 } ( q ) S _ { i i } ( q ) \left[ \epsilon ( q , \omega ) - \epsilon ( q , 0 ) \right] \, .
\begin{array} { r l } { Q ( \Delta \omega ) } & { = \int _ { \omega _ { 1 } } ^ { \omega _ { 2 } } d \omega P ( \omega + \Delta \omega ) P ( \omega ) } \\ & { = \frac { p ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } \Delta \omega } \ln \left[ \frac { \omega _ { 2 } \left( \omega _ { 1 } + \Delta \omega \right) } { \omega _ { 1 } \left( \omega _ { 2 } + \Delta \omega \right) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { n , \alpha } } & { = \frac { 1 } { 2 } \omega _ { n , \alpha } ^ { 2 } a ^ { 2 } \Bigg ( - J _ { n - 1 } ( \omega _ { n , \alpha } a ) J _ { n + 1 } ( \omega _ { n , \alpha } a ) } \\ & { + I _ { n - 1 } ( \omega _ { n , \alpha } a ) I _ { n + 1 } ( \omega _ { n , \alpha } a ) \frac { J _ { n } ^ { 2 } ( \omega _ { n , \alpha } a ) } { I _ { n } ^ { 2 } ( \omega _ { n , \alpha } a ) } \Bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \zeta } U } & { { } = } & { \Tilde { V } , \quad \partial _ { \zeta } V = \Tilde { U } , } \\ { \partial _ { \zeta } \Tilde { U } } & { { } = } & { - ( \theta - \langle U ^ { 2 } + V ^ { 2 } \rangle ) U - V + U V ^ { 2 } + U ^ { 3 } } \\ { \partial _ { \zeta } \Tilde { V } } & { { } = } & { - ( \theta - \langle U ^ { 2 } + V ^ { 2 } \rangle ) V + U + V U ^ { 2 } + V ^ { 3 } - S } \end{array}
s _ { 1 } ^ { n + 3 } \dot { s } _ { 1 } = O \big ( \omega ^ { 2 } \big ) \stackrel { } { = } O \big ( t ^ { - 2 ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } \big ) \quad \Leftrightarrow \quad s _ { 1 } ^ { n + 4 } = \left\{ \begin{array} { l l } { O ( t ^ { 2 ( n + 4 ) \gamma - 1 } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \gamma \ne \frac 1 { 2 ( n + 4 ) } , } \\ { O ( \log t ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \gamma = \frac 1 { 2 ( n + 4 ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { a ( { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } , \boldsymbol { z } _ { I } ) + \overline { { b ( \boldsymbol { z } _ { I } , \varphi _ { h } ) } } - k ^ { 2 } ( \varepsilon ( { \boldsymbol { E } } - { \boldsymbol { E } } _ { h } ) , \boldsymbol { z } _ { I } ) = R ( { \boldsymbol { E } } , \boldsymbol { z } _ { I } ) . } \end{array}
n _ { B } = { \frac { 1 } { 3 } } \biggl \{ \int { \frac { d \omega } { 2 \pi } } \bigl ( n _ { L } ^ { u } ( \omega ) - n _ { R } ^ { u } ( \omega ) \bigr ) - \int { \frac { d \omega } { 2 \pi } } \bigl ( n _ { L } ^ { b } ( \omega ) - n _ { R } ^ { b } ( \omega ) \bigr ) \biggr \} \times \Delta ( \omega ) \ ,
\begin{array} { r l } { R } & { = \mathbb { C } [ x _ { 0 } , \dots , x _ { n } ] = \bigoplus _ { i \in \mathbb { N } } R _ { i } : = \mathbb { C } [ x _ { 0 } , \dots , x _ { n } ] _ { i } } \\ { S } & { = \mathbb { C } [ y _ { 0 } , \dots , y _ { n } ] = \bigoplus _ { i \in \mathbb { N } } S _ { i } : = \mathbb { C } [ y _ { 0 } , \dots , y _ { n } ] _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \tau } W ( \eta ) = } & { { } - } & { ( \eta - \eta ^ { * } ) \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \partial f _ { i } ^ { [ \alpha ] } } { \partial y _ { i } ^ { [ \alpha ] } } ( \eta ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { M } _ { \textup { s c o } } } \left[ F _ { \textup { s c o } } ( \mathbf { X } ) \right] - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { X } \in \mathcal { X } } F _ { \textup { s c o } } ( \mathbf { X } ) } & { = O \left( \frac { G D } { \sqrt { p - 1 } } \cdot \left( \frac 1 { \sqrt n } + \frac { \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } \log \frac 1 \delta } } { n \epsilon } \right) \right) \mathrm { ~ f o r ~ } p \in ( 1 , 2 ] , } \\ { \mathbb { E } _ { \mathcal { M } _ { \textup { s c o } } } \left[ F _ { \textup { s c o } } ( \mathbf { X } ) \right] - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { X } \in \mathcal { X } } F _ { \textup { s c o } } ( \mathbf { X } ) } & { = O \left( G D \sqrt { \log ( d _ { 1 } d _ { 2 } ) } \cdot \left( \frac 1 { \sqrt n } + \frac { \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } \log \frac 1 \delta } } { n \epsilon } \right) \right) \mathrm { ~ f o r ~ } p = 1 . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { K _ { 1 1 , r e d u c e d } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { F _ { 1 } } \end{array} \right] }
f ( 0 , x , y , v ) = F _ { \mathrm { M } } ( v ) \left\{ 1 + \frac { \alpha } { \beta _ { 0 } } \cos ( k _ { \parallel } x + k _ { \perp } y ) \left[ \frac { 2 k _ { \perp } } { | k | } - \alpha \cos ( k _ { \parallel } x + k _ { \perp } y ) \right] \right\} .
f ( \mathbf { h } _ { \mathbf { g } } \mid \mathbf { d } _ { \mathbf { o b s } } ) = c _ { 0 } f ( \mathbf { d } _ { \mathbf { o b s } } \mid \mathbf { h } _ { \mathbf { g } } ) f ( \mathbf { h } _ { \mathbf { g } } ) \, = c _ { 0 } f ( \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } \mid \mathbf { h } _ { \mathbf { - v } } , \mathbf { b } ) f ( \mathbf { d } _ { \mathbf { s } , \mathbf { o b s } } \mid \mathbf { h } _ { v } , \mathbf { b } ) f ( \mathbf { h } , \mathbf { b } )
\begin{array} { r } { T _ { d } = \left( C _ { 0 } m _ { c } ^ { 1 / 3 } \frac { p _ { s i , c } } { p _ { 0 0 } \, q _ { v , c } } T _ { 0 0 } n _ { c } \right) ^ { - 1 } \sim \leavevmode { 3 4 0 } \ \mathrm { ~ s ~ } \, , } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { P _ { x } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) } \\ { P _ { y } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) } \\ { P _ { z } ^ { ( 2 ) } ( 2 \omega ) } \end{array} \right) = \epsilon _ { 0 } \left( \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \chi _ { x x z } ^ { ( 2 ) } } & { - \chi _ { y y y } ^ { ( 2 ) } } \\ { - \chi _ { y y y } ^ { ( 2 ) } } & { \chi _ { y y y } ^ { ( 2 ) } } & { 0 } & { \chi _ { x x z } ^ { ( 2 ) } } & { 0 } & { 0 } \\ { \chi _ { z x x } ^ { ( 2 ) } } & { \chi _ { z x x } ^ { ( 2 ) } } & { \chi _ { z z z } ^ { ( 2 ) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { E _ { x } ( \omega ) E _ { x } ( \omega ) } \\ { E _ { y } ( \omega ) E _ { y } ( \omega ) } \\ { E _ { z } ( \omega ) E _ { z } ( \omega ) } \\ { 2 E _ { y } ( \omega ) E _ { z } ( \omega ) } \\ { 2 E _ { x } ( \omega ) E _ { z } ( \omega ) } \\ { 2 E _ { x } ( \omega ) E _ { y } ( \omega ) } \end{array} \right)
p _ { k } ( x _ { k } | \mathbf { x } _ { < k } ^ { * } ) = \frac { p _ { 0 } ( \mathbf { x } _ { < k } ^ { * } , x _ { k } ) } { p _ { < k } ( \mathbf { x } _ { < k } ^ { * } ) } \propto p _ { < k + 1 } ( \mathbf { x } _ { < k } ^ { * } , x _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { E _ { y , k _ { y } , n } ^ { L } ( x ) } & { = e ^ { - i q k _ { y } x } \sin \left( \frac { \pi n } { L } x \right) , } \\ { H _ { z , k _ { y } , n } ^ { L } ( x ) } & { = \frac { 1 } { 2 } i e ^ { - i q k _ { y } x } \Biggl [ \left( \frac { 1 } { Z _ { x + } } - \frac { 1 } { Z _ { x - } } \right) \cos \left( \frac { \pi n } { L } x \right) } \\ & { - i \left( \frac { 1 } { Z _ { x + } } + \frac { 1 } { Z _ { x - } } \right) \sin \left( \frac { \pi n } { L } x \right) \Biggr ] , } \\ { E _ { x , k _ { y } , n } ^ { L } ( x ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } i e ^ { - i q k _ { y } x } \Biggl [ \left( \frac { Z _ { y + } } { Z _ { x + } } - \frac { Z _ { y - } } { Z _ { x - } } \right) \cos \left( \frac { \pi n } { L } x \right) } \\ & { - i \left( \frac { Z _ { y + } } { Z _ { x + } } + \frac { Z _ { y + } } { Z _ { x - } } \right) \sin \left( \frac { \pi n } { L } x \right) \Biggr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } } & { = \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 5 } } { 3 2 \pi ^ { 4 } N _ { p } \hbar \omega _ { \gamma } \omega _ { p } ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \bf q } ^ { \prime } \sum _ { \pm } \sum _ { s s ^ { \prime } j } } \\ & { \delta ( \varepsilon _ { q } + \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { \gamma } \pm \omega _ { p } ) \; \bigg | \overline { { u } } _ { { \bf q } ^ { \prime } s ^ { \prime } } \, \mathcal { M } _ { j } ^ { \pm } ( { \bf q } ^ { \prime } , { \bf q } ) \, v _ { { \bf q } s } \bigg | ^ { 2 } , } \end{array}
D _ { i } ^ { \mathrm { a } } \left( \partial _ { y } ^ { 2 } c _ { i } ^ { \mathrm { a } } + \partial _ { z } ^ { 2 } c _ { i } ^ { \mathrm { a } } \right) = u _ { z } \partial _ { z } c _ { i } ^ { \mathrm { a } } \; ,
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { c o f e } } ( r _ { s } , \bar { f } ) = } & { - \frac { \bar { f } } { n } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } \frac { q } { \pi } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } = \epsilon _ { \mathrm { x } } ( r _ { s } ) \bigg [ \frac { 2 } { \bar { f } } \bigg ] ^ { 1 / 3 } } \\ { ; , } \end{array}