harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \Gamma _ { 1 } = \rho _ { 3 } \otimes \tau _ { 3 } \otimes \sigma _ { 2 } , \quad \Gamma _ { 2 } = \rho _ { 3 } \otimes \tau _ { 3 } \otimes \sigma _ { 1 } , } \\ & { \Gamma _ { 3 } = \rho _ { 3 } \otimes \tau _ { 2 } \otimes \sigma _ { 0 } , \quad \Gamma _ { 4 } = \rho _ { 3 } \otimes \tau _ { 1 } \otimes \sigma _ { 0 } , } \\ & { \Gamma _ { 5 } = \rho _ { 2 } \otimes \tau _ { 0 } \otimes \sigma _ { 0 } , \quad \Gamma _ { 6 } = \rho _ { 1 } \otimes \tau _ { 0 } \otimes \sigma _ { 0 } , } \\ & { \Gamma _ { 7 } = \rho _ { 3 } \otimes \tau _ { 3 } \otimes \sigma _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial F _ { p q } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } = \sum _ { m } \frac { \partial \gamma _ { p m } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } h _ { q m } + \sum _ { m n k } \frac { \partial \Gamma _ { p m n k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } { \partial { \boldsymbol { \theta } } } g _ { q m n k } . } \end{array}
n _ { \mathrm { d o f } } = \left\{ \begin{array} { l l } { r , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ P ~ O ~ D ~ - ~ N ~ N ~ } } \\ { \sum _ { k } r ^ { k } + \sum _ { k } n _ { \Delta } ^ { k } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ P ~ O ~ D ~ - ~ N ~ N ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { V _ { 1 3 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { V _ { 1 4 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { n } ^ { + } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle = { \cal C } _ { n } ^ { + } } \\ { V _ { 1 5 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle } \\ { V _ { 1 6 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle = { \cal C } _ { - n } ^ { + * } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial t } + \frac { u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { H _ { \xi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + \frac { u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + u _ { z } ^ { ( k ) } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial z } + \frac { u _ { \xi } ^ { ( k ) } u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } - \frac { \big ( u _ { \xi } ^ { ( k ) } \big ) ^ { 2 } } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } } \\ { = } & { - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial p ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \Biggl \{ \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \biggl [ \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \frac { \partial ( H _ { \phi } u _ { \phi } ^ { ( k ) } ) } { \partial \xi } \biggr ] } \\ & { + \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \biggl [ \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \frac { \partial u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } \biggr ] + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial z ^ { 2 } } + \frac { 2 } { H _ { \phi } ^ { 2 } H _ { \xi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } - \frac { 2 } { H _ { \phi } H _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } \frac { \partial u _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } } \\ & { + \biggl [ - \frac { 1 } { H _ { \phi } ^ { 3 } H _ { \xi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \phi } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } + \frac { 1 } { H _ { \phi } ^ { 2 } H _ { \xi } } \frac { \partial ^ { 2 } H _ { \xi } } { \partial \phi ^ { 2 } } - \frac { 1 } { H _ { \phi } ^ { 2 } H _ { \xi } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } \biggr ] u _ { \phi } ^ { ( k ) } } \\ & { + \biggl [ \frac { 1 } { H _ { \phi } ^ { 2 } H _ { \xi } } \frac { \partial ^ { 2 } H _ { \phi } } { \partial \xi \partial \phi } - \frac { 1 } { H _ { \phi } ^ { 3 } H _ { \xi } } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \phi } \frac { \partial H _ { \phi } } { \partial \xi } - \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } H _ { \xi } } { \partial \phi \partial \xi } + \frac { 1 } { H _ { \phi } H _ { \xi } ^ { 3 } } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \xi } \frac { \partial H _ { \xi } } { \partial \phi } \biggr ] u _ { \xi } ^ { ( k ) } \Biggr \} } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { F r } } \frac { \vec { g } \cdot \vec { e _ { \phi } } } { | \vec { g } | } , } \end{array} } \end{array}
d Y _ { n } ( t ) = S _ { n } ( t ) \left[ b _ { n } ( t ) d t + d A ( t ) + \sum _ { d = 1 } ^ { D } \sigma _ { n , d } ( t ) d W _ { d } ( t ) + \delta _ { n } ( t ) \right] , \quad \forall 0 \leq t \leq T , \quad n = 1 \ldots N .
\begin{array} { l } { \displaystyle \left| \Re \left( { \lambda } ^ { - \ell } \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } x g ^ { 2 } \overline { { v } } _ { x } d x \right) \right| = o ( { \lambda } ^ { - \ell } ) , \quad \left| 2 \Re \left( i { \lambda } ^ { 1 - \ell } \rho \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } \left( x g ^ { 1 } \right) _ { x } \overline { { v } } d x \right) \right| = o ( { \lambda } ^ { - \ell } ) , } \\ { \displaystyle \left| \Re \left( { \lambda } ^ { - \ell } \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } x g ^ { 4 } \overline { { p } } _ { x } d x \right) \right| = o ( { \lambda } ^ { - \ell } ) , \quad \left| \Re \left( i { \lambda } ^ { { 1 - \ell } } \mu \int _ { 0 } ^ { l _ { 1 } } \left( x g ^ { 3 } \right) _ { x } \overline { { p } } d x \right) \right| = o ( { \lambda } ^ { - \ell } ) . } \end{array}
\xi \; = \; \left\{ \begin{array} { l l } { { + \displaystyle \frac { 2 m _ { D } ^ { 2 } } { ( m _ { c } + m _ { d } ) ( m _ { b } - m _ { c } ) } } } & { { ( D \bar { D } ) } } \\ { { 0 } } & { { ( D ^ { * } \bar { D } ) } } \\ { { - \displaystyle \frac { 2 m _ { D } ^ { 2 } } { ( m _ { c } + m _ { d } ) ( m _ { b } + m _ { c } ) } } } & { { ( D \bar { D } ^ { * } ) } } \\ { { 0 } } & { { ( D ^ { * } \bar { D } ^ { * } ) } } \end{array} \; , \right.
\begin{array} { r l l } { \bar { k } _ { \rightleftarrows } ( \mathbf x ) } & { = } & { \bar { k } _ { \rightleftarrows } ( \xi ) = \displaystyle \int _ { O ( R ) } d \mathbf y \nu \Theta ( r _ { m } ( \operatorname* { m a x } ( \xi , \zeta ) ) - | | \mathbf x - \mathbf y | | ) = \medskip } \\ & { = } & { \displaystyle \int _ { \xi } ^ { R } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \nu \sinh ( R - \zeta ) d \zeta d \phi \; \Theta ( r _ { m } ( \zeta ) - | | \mathbf x - \mathbf y | | ) + \int _ { 0 } ^ { \xi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \nu \sinh ( R - \zeta ) d \zeta d \phi \; \Theta ( r _ { m } ( \xi ) - | | \mathbf x - \mathbf y | | ) } \end{array}
\dim \ker \left( T - \lambda \operatorname { I d } _ { X } \right) = \dim X / \operatorname { I m } \left( T - \lambda \operatorname { I d } _ { X } \right) = \dim \ker \left( T * - \lambda \operatorname { I d } _ { B ^ { * } } \right) = \dim X ^ { * } / \operatorname { I m } \left( T ^ { * } - \lambda \operatorname { I d } _ { X ^ { * } } \right)
\frac { d \eta } { d z } = \eta \left\lbrace g _ { L } \left[ \frac { \mathrm { s g n } ( \eta ) \operatorname { t a n h } ( V ) } { \operatorname { t a n h } \left( V _ { 0 } \right) } - 1 \right] + \frac { 4 } { 3 } \epsilon _ { 3 } \left[ \eta _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \mathrm { s g n } ( \eta ) \operatorname { t a n h } ( V ) } { \operatorname { t a n h } \left( V _ { 0 } \right) } - \eta ^ { 2 } \right] \right\rbrace .
D _ { n } = \left( \begin{array} { c c } { { ( m _ { n } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) g ^ { \mu \nu } + ( 1 - 1 / a ) q ^ { \mu } q ^ { \nu } } } & { { i ( 1 - 1 / a ) m _ { n } q ^ { \mu } } } \\ { { - i ( 1 - 1 / a ) m _ { n } q ^ { \nu } } } & { { q ^ { 2 } - m _ { n } ^ { 2 } / a } } \end{array} \right) ~ .
A _ { \nu } = { \cal A } \left\{ \begin{array} { l l } { ( \eta - \rho ) ^ { \mathrm { i } \nu } - ( \eta + \rho ) ^ { \mathrm { i } \nu } } & { : \nu > 0 } \\ { ( \rho - \eta ) ^ { - \mathrm { i } \nu } - ( - \eta - \rho ) ^ { - \mathrm { i } \nu } } & { : \nu < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { q _ { k + 1 } = q _ { k } + \frac { b \Delta } { m } \left[ p _ { k } + \frac { \Delta } { 2 } \left( F _ { k } + f _ { k } \right) \right] } \\ { p _ { k + 1 } = a p _ { k } + \frac { \Delta } { 2 } \left( a F _ { k } + F _ { k + 1 } \right) + b f _ { k } \Delta } \\ { a \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \frac { 1 - \frac { \beta \Delta } { 2 } } { 1 + \frac { \beta \Delta } { 2 } } } \\ { b \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \frac { 1 } { 1 + \frac { \beta \Delta } { 2 } } } \\ { \beta \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \left. \gamma \right/ m } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { T } _ { i } ^ { + } } & { { } = } & { \left( \overline { a } + h \frac { i } { N } \right) ( N - i ) , } \\ { \overline { T } _ { i } ^ { - } } & { { } = } & { \left( \overline { a } + h \frac { N - i } { N } \right) i } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \phi , f ] } & { = \frac { B _ { \varphi } } { B } ( \partial _ { Z } \phi \partial _ { R } f - \partial _ { R } \phi \partial _ { Z } f ) , } \\ { \nabla _ { \parallel } f } & { = \partial _ { Z } \psi \partial _ { R } f - \partial _ { R } \psi \partial _ { Z } f + \frac { B _ { \varphi } } { B } \partial _ { \varphi } f , } \\ { \mathcal { C } ( f ) } & { = \frac { B _ { \varphi } } { B } \partial _ { Z } f , } \\ { \nabla _ { \perp } ^ { 2 } f } & { = \partial _ { R R } ^ { 2 } f + \partial _ { Z Z } ^ { 2 } f . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { b , j } ^ { \langle j i k \rangle } } & { { } = \frac { 2 \kappa } { r _ { 0 } } \big ( \tan \theta _ { j i k } \frac { \partial \sin \theta _ { j i k } } { \partial \boldsymbol { r } _ { j } } \big ) , } \\ { \boldsymbol { F } _ { b , k } ^ { \langle j i k \rangle } } & { { } = \frac { 2 \kappa } { r _ { 0 } } \big ( \tan \theta _ { j i k } \frac { \partial \sin \theta _ { j i k } } { \partial \boldsymbol { r } _ { k } } \big ) . } \end{array}
S _ { f } [ \psi , \overline { { { \psi } } } , A ] = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \int d ^ { 2 } x \overline { { { \psi } } } ^ { ( a ) } ( x ) \gamma _ { \mu } \Big [ \partial _ { \mu } - i e A _ { \mu } ( x ) \Big ] \psi ^ { ( a ) } \; .
t _ { s } \approx 8 . 5 \left( \frac { \omega _ { 0 } - \omega _ { p } } { \omega _ { p } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { k _ { p } v _ { 0 } } { \omega _ { p } } \right) ^ { 1 / 2 } \frac { L _ { n } } { c } ,
\begin{array} { r l } { h _ { \mathrm { R o T } } ^ { \mathrm { G } } } & { { } = \left[ \frac { 4 } { L / 2 ( n + 2 ) } \right] ^ { \frac { 1 } { n + 4 } } , } \\ { h _ { \mathrm { R o T } } ^ { \mathrm { S T } } } & { { } = \left[ \frac { 1 6 ( \nu - 2 ) ^ { 2 } ( 1 + n + \nu ) ( 3 + n + \nu ) } { ( 2 + n ) ( n + \nu ) ( 2 + n + \nu ) ( n + 2 \nu ) ( 2 + n + 2 \nu ) L / 2 } \right] ^ { \frac { 1 } { n + 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \pi ^ { - \frac { d } { 2 } } I _ { 2 } ( P ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { d } \Big ( 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , D _ { i } x ) + T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , D _ { i } x ) \Big ) + T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( x , \Delta x ) } \\ & { + T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 1 ] } } ^ { x } ( a ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { 1 } { d } \Big ( 4 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , x , D _ { i } x ) + 4 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , D _ { i } x ) } \\ & { + 8 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } } ^ { x } ( x , x , D _ { i } x , D _ { i } x ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } x , a _ { i } ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( x , D _ { i } a _ { i } ) } \\ & { + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , a _ { i } , D _ { i } x ) + 2 T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , x , D _ { i } x ) + T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 2 ] } } ^ { x } ( a _ { i } , a _ { i } ) \Big ) } \\ & { + \frac { 4 } { d } T _ { F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } } ^ { x } ( x , x , \Delta x ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \vec { \Omega } } } & { = ( 0 , 0 , \Omega ) , \quad { \vec { r } } = ( x , y , 0 ) , } \\ { { \vec { u } } } & { = { \vec { \Omega } } \times { \vec { r } } = ( - \Omega y , \Omega x , 0 ) , } \\ { { \vec { \omega } } } & { = \nabla \times { \vec { u } } = ( 0 , 0 , 2 \Omega ) = 2 { \vec { \Omega } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \bar { \nabla } _ { X } Y } & { = } & { \bar { \nabla } _ { X } ( \overset { * } { Y } + Y _ { \xi } ) + \bar { \nabla } _ { X } Y _ { N } } \\ & { = } & { \nabla _ { X } ( \overset { * } { Y } + Y _ { \xi } ) + h ( X , \overset { * } { Y } + Y _ { \xi } ) - A _ { Y _ { N } } X + \nabla _ { X } ^ { t } Y _ { N } } \\ & { = } & { \nabla _ { X } \overset { * } { Y } + \nabla _ { X } Y _ { \xi } + h ( X , \overset { * } { Y } + Y _ { \xi } ) - A _ { Y _ { N } } X + \nabla _ { X } ^ { t } Y _ { N } } \\ & { = } & { \overset { * } { \nabla } _ { X } \overset { * } { Y } + \overset { * } { h } ( X , \overset { * } { Y } ) - A _ { Y _ { \xi } } ^ { * } X + \nabla _ { X } ^ { * t } Y _ { \xi } + h ( X , \overset { * } { Y } ) - A _ { Y _ { N } } X + \nabla _ { X } ^ { t } Y _ { N } . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { | \psi _ { \mathrm { p h o } } ^ { m } ( z _ { j } ) \rangle } & { = } & { \mathcal { F T } ^ { - 1 } \left[ \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } ( \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } ) | \psi ^ { m } \rangle \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt N } \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { m o d e } } } \alpha _ { p } ^ { m } e ^ { i 2 \pi z _ { j } p } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \Bigg [ \int _ { B _ { 1 / 2 } } \Big ( \eta \big ( | \nabla U _ { k } | ^ { p - 2 } \nabla U _ { k } - | \nabla U _ { 0 } | ^ { p - 2 } \nabla U _ { 0 } \big ) \cdot \nabla ( U _ { k } - U _ { 0 } ) \Big ) \, d x + \int _ { B _ { 1 / 2 } } \eta | \nabla U _ { 0 } | ^ { p - 2 } \nabla U _ { 0 } \cdot \nabla ( U _ { k } - U _ { 0 } ) \, d x \Bigg ] = 0
i \partial _ { t } ( i \sigma _ { 2 } \psi _ { \mathrm { { L } } } ^ { * } ) = + i { \vec { \sigma } } \cdot \nabla ( i \sigma _ { 2 } \psi _ { \mathrm { { L } } } ^ { * } ) + m \psi _ { \mathrm { { L } } }
\begin{array} { r } { \dot { \theta } = \pm \frac { m _ { 2 } } { I _ { 1 } } \sqrt { 1 - ( m _ { 3 } / m _ { 2 } ) ^ { 2 } \frac { ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \theta } } \equiv f ( \theta ) , } \\ { \dot { \psi } = \frac { m _ { 3 } } { I _ { 3 } } - \frac { m _ { 3 } } { I _ { 1 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) \cos \theta } { \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ { \cos \varphi = - \frac { m _ { 3 } } { m _ { 2 } } \frac { 1 - \cos \theta } { \sin \theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial e _ { d } } { \partial t } + \frac { \partial e _ { b } } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \mathbf q _ { d } - \nabla \cdot \mathbf q _ { b } , } \\ { \tau \frac { \partial e _ { b } } { \partial t } + \nabla \cdot \mathbf q _ { b } } & { { } = - e _ { b } , } \\ { \tau \frac { \partial \mathbf q _ { d } } { \partial t } + \mathbf q _ { d } } & { { } = - \frac { \lambda _ { d } } { C } \nabla e _ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { 2 } = } & { { } 1 - \phi _ { 1 } , } \\ { \rho = } & { { } \rho _ { 1 } \phi _ { 1 } + \rho _ { 2 } \phi _ { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { \gamma - 1 } = } & { { } \phi _ { 1 } \frac { 1 } { \gamma _ { 1 } - 1 } + \phi _ { 2 } \frac { 1 } { \gamma _ { 2 } - 1 } , } \\ { P ^ { \infty } \frac { \gamma } { \gamma - 1 } = } & { { } \phi _ { 1 } \frac { \gamma _ { 1 } P _ { 1 } ^ { \infty } } { \gamma _ { 1 } - 1 } + \phi _ { 2 } \frac { \gamma _ { 2 } P _ { 2 } ^ { \infty } } { \gamma _ { 2 } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { 1 } } & { = \frac 1 { 3 0 \sqrt { 1 5 } } \big ( c _ { 1 } ( - 9 - 1 2 C + 4 c _ { 1 } ^ { 2 } + 9 c _ { 3 } ^ { 2 } ) + 6 c _ { 2 } c _ { 3 } \big ) , } \\ { W _ { 2 } } & { = \frac 1 { 9 0 } \big ( c _ { 3 } ( 3 - 3 0 C - 1 0 c _ { 3 } ^ { 2 } ) - 3 c _ { 1 } c _ { 2 } ( 4 + 1 5 C ) \big ) , } \\ { W _ { 3 } } & { = \frac 1 { 7 5 } ( - 7 - 6 C + 1 5 c _ { 3 } ^ { 2 } ) , } \\ { W _ { 4 } } & { = \frac 2 { 2 5 } ( - 1 - 3 C ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } x ^ { k + 1 } + \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } x ^ { k } } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } a _ { k - 1 } x ^ { k } + \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } x ^ { k } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k - 1 } x ^ { k } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k } x ^ { k } + a _ { 0 } x ^ { 0 } + a _ { n } x ^ { n + 1 } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( a _ { k - 1 } + a _ { k } ) x ^ { k } + a _ { 0 } x ^ { 0 } + a _ { n } x ^ { n + 1 } } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( a _ { k - 1 } + a _ { k } ) x ^ { k } + x ^ { 0 } + x ^ { n + 1 } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \left| P ( Z _ { \mathrm { b o o t } } \leq x | \mathcal { F } _ { n } ) - P \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = \lceil n \tau _ { n } \rceil } ^ { 2 \lceil n b \rceil - \lceil n \tau _ { n } \rceil } \bar { \mathbf Z } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \right| } \\ & { = O _ { \mathbb { P } } \left( \vartheta _ { n } ^ { 1 / 3 } \left\{ 1 \vee \log ( n | \mathbb { B } | / \vartheta _ { n } ) \right\} ^ { 2 / 3 } + \Theta \left( ( q _ { n } ^ { \circ } ) ^ { - q } , n | \mathbb B | \right) \right) } \\ & { = o _ { \mathbb { P } } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { c } { { A _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) A _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) } } \\ { { A _ { 3 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) A _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial r _ { 1 } } r _ { 1 } ^ { \prime } + \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial v } v ^ { \prime } } & { = 6 \delta ^ { 2 } r _ { 1 } v x ^ { 2 } + 1 2 \delta ^ { 3 } r _ { 1 } x ^ { 3 } , \quad \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial x } x ^ { \prime } = - 6 \delta ^ { 2 } r _ { 1 } v x ^ { 2 } - 1 8 \delta ^ { 3 } r _ { 1 } ^ { 2 } x ^ { 3 } , } \end{array}
\sigma ( n , T ) = \frac { ( k _ { B } T ) ^ { 3 / 2 } ( 4 \pi \epsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 1 / 2 } e ^ { 2 } } \; \sigma ^ { * } = 0 . 0 2 5 8 8 8 3 \, \, T ^ { 3 / 2 } \; \sigma ^ { * } ( \Omega \mathrm { m \, \, K } ^ { 3 / 2 } ) ^ { - 1 } = 3 2 4 0 5 . 4 \, \, T _ { \mathrm { e V } } ^ { 3 / 2 } \; \sigma ^ { * } ( \Omega \mathrm { m } ) ^ { - 1 } \, .
{ \sf g } _ { \ell } ( { \alpha } ) = \frac { 1 } { \kappa } \left[ \left( { \frac { \alpha ^ { 2 } } { \kappa } + 1 } \right) \left( \frac { \alpha ^ { 4 } } { \kappa ^ { 2 } } + \frac { \alpha ^ { 2 } } { \kappa } - { \ell } ( { \ell } + 1 ) \right) \right] ^ { - 1 } .
1 ^ { Y } \sqsubset 1 ^ { Y } \Rightarrow 1 ^ { Y } . \; f \sqsubset 1 ^ { Y } . \; f \Rightarrow 1 ^ { Y } . \; f \sqsubset 1 ^ { X } \leq ( f . \; 1 ^ { X } ) . \; f \Rightarrow 1 ^ { Y } . \; f \sqsubset 1 ^ { X } \leq ( f . \; 1 ^ { X } ) . \; f \Rightarrow 1 ^ { Y } \sqsubset f . \; 1 ^ { X } \Rightarrow 1 ^ { Y } \leq f . \; 1 ^ { X } \Rightarrow f . \; 1 ^ { X } = 1 ^ { Y }
\langle Q ( p , \xi ) \bar { Q } ( q , \eta ) | Q ( p ^ { \prime } , \xi ^ { \prime } ) \bar { Q } ( q ^ { \prime } , \eta ^ { \prime } ) \rangle \; = \; 4 E _ { p } E _ { q } ( 2 \pi ) ^ { 6 } \delta ^ { 3 } ( p - p ^ { \prime } ) \delta ^ { 3 } ( q - q ^ { \prime } ) ,
\varepsilon _ { x z } ^ { I } ( r , \theta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon ^ { 0 } , r < a } \\ { \frac { \epsilon _ { 0 } a ^ { 3 } } { 4 r ^ { 5 } } \left[ 9 a ^ { 2 } c - ( 2 + 3 c ) r ^ { 2 } - 1 5 c ( 7 a ^ { 2 } - 5 r ^ { 2 } ) c o s ( 4 \theta ) \right] , r \geq ~ a , } \end{array} \right.
\| \mathcal { L } ^ { - 1 } \{ \hat { P } _ { 2 } ( s ) \} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } = \| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \cosh ( l s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cosh ( l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) \cdots \cosh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } \right\} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } \leq 2 ,
{ \begin{array} { l l l l l l l } { x _ { 1 } } & { = } & { x _ { 0 } - { \frac { f ( x _ { 0 } ) } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } } } & { = } & { 1 0 - { \frac { 1 0 ^ { 2 } - 6 1 2 } { 2 \times 1 0 } } } & { = } & { 3 5 . 6 \qquad \qquad \qquad \quad \; \, } \\ { x _ { 2 } } & { = } & { x _ { 1 } - { \frac { f ( x _ { 1 } ) } { f ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) } } } & { = } & { 3 5 . 6 - { \frac { 3 5 . 6 ^ { 2 } - 6 1 2 } { 2 \times 3 5 . 6 } } } & { = } & { { \underline { { 2 } } } 6 . 3 9 5 \, 5 0 5 \, 6 1 7 \, 9 7 8 \dots } \\ { x _ { 3 } } & { = } & { \vdots } & { = } & { \vdots } & { = } & { { \underline { { 2 4 . 7 } } } 9 0 \, 6 3 5 \, 4 9 2 \, 4 5 5 \dots } \\ { x _ { 4 } } & { = } & { \vdots } & { = } & { \vdots } & { = } & { { \underline { { 2 4 . 7 3 8 \, 6 } } } 8 8 \, 2 9 4 \, 0 7 5 \dots } \\ { x _ { 5 } } & { = } & { \vdots } & { = } & { \vdots } & { = } & { { \underline { { 2 4 . 7 3 8 \, 6 3 3 \, 7 5 3 \, 7 } } } 6 7 \dots } \end{array} }
\begin{array} { c c c c } { { z : } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } & { { \to } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , e ^ { 2 \pi i z } x ^ { 6 , 7 } , e ^ { - 2 \pi i z } x ^ { 8 , 9 } \right) } } \\ { { y : } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } & { { \to } } & { { \left( e ^ { 2 \pi i y } x ^ { 2 , 3 } , e ^ { - 2 \pi i y } x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } \\ { { x : } } & { { \left( x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } & { { \to } } & { { \left( e ^ { - 2 \pi i x } x ^ { 2 , 3 } , x ^ { 4 , 5 } , e ^ { 2 \pi i x } x ^ { 6 , 7 } , x ^ { 8 , 9 } \right) } } \end{array}
d F = 2 4 \epsilon \left[ 2 \left( \frac { \sigma } { 2 r ^ { \prime } } \right) ^ { 1 2 } - \left( \frac { \sigma } { 2 r ^ { \prime } } \right) ^ { 6 } \right] n \frac { z _ { 0 } } { r ^ { \prime } } \frac { 2 \pi r } { r ^ { \prime } } d r ,
\begin{array} { r l } { S _ { l _ { j k } m _ { j k } } ( \mathbf { \hat { r } } ) = } & { \sqrt { \Big ( \frac { m _ { j k } } { 2 | m _ { j k } | } \Big ) } \Bigg \{ Y _ { l _ { j k } - | m _ { j k } | } ( \mathbf { \hat { r } } ) + } \\ & { ( - 1 ) _ { j k } ^ { m } \Big ( \frac { m _ { j k } } { | m _ { j k } | } \Big ) Y _ { l _ { j k } | m _ { j k } | } ( \mathbf { \hat { r } } ) \Bigg \} , } \end{array}