harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t , \mathcal { B } _ { x } } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq ( 1 - c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \bar { \nu } _ { t - 1 } - \mathbb { E } _ { \xi } [ \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ] \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 2 c _ { \nu } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 4 } } { b _ { x } M } G _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { 2 \hat { L } ^ { 2 } } { b _ { x } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ 2 \bigg \| \eta \alpha _ { t - 1 } \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| \gamma \alpha _ { t - 1 } \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 4 \hat { L } ^ { 2 } } { b _ { x } M ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \hat { x } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { N _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c c } { { \cosh \alpha } } & { { \sinh \alpha } } & { { 0 } } \\ { { \sinh \alpha } } & { { \cosh \alpha } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , } } \\ { { N _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \cosh \beta } } & { { \sinh \beta } } \\ { { 0 } } & { { \sinh \beta } } & { { \sinh \beta } } \end{array} \right) , } } \\ { { N _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c c } { { \cos \gamma } } & { { 0 } } & { { - \sin \gamma } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { \sin \gamma } } & { { 0 } } & { { \cos \gamma } } \end{array} \right) . } } \end{array} \right.
\tilde { H } : \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast 1 } \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma ) \to \mathbb { R }
x h \left( a \right) - \left( \frac { x + 1 } { 9 } \right) - \frac { x a } { 1 8 } + \frac { x a } { 1 8 } \cdot \frac { 1 } { 1 3 + \frac { 5 } { \left( x a \right) ^ { 2 } } } \geq y h \left( a \right) - \left( \frac { y + 1 } { 9 } \right) - \frac { y a } { 1 8 } + \frac { y a } { 1 8 } \cdot \frac { 1 } { 1 3 + \frac { 5 } { \left( y a \right) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r } { \left| \partial _ { v ^ { \prime } } ^ { m } \big [ \mathcal { H } \big [ \big ( ( \theta \circ u ^ { - 1 } ) ( u ^ { - 1 } ) ^ { \prime } \big ) ^ { \prime } \chi _ { [ u ( 0 ) , u ( 1 ) ] } \big ] ( v ^ { \prime } ) \right| \leq C \Gamma _ { s } ( m ) ( M ) ^ { m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { m } = } & { { } a _ { m } r ^ { | m | } + b _ { m } r ^ { - | m | } , ~ ~ ~ } & { f o r ~ m \not = 0 , } \\ { \chi _ { 0 } = } & { { } a _ { 0 } + b _ { 0 } \ln r , ~ ~ ~ } & { f o r ~ m = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta t _ { m } = \frac { \beta h } { \operatorname* { m a x } _ { i } ( c _ { s i } ^ { m } + | u _ { i } ^ { m } | ) } , \ 0 \leqslant m < \overline { { m } } - 1 , } \\ { \Delta t _ { \overline { { m } } - 1 } = t _ { f i n } - t _ { \overline { { m } } - 1 } \leqslant \frac { \beta h } { \operatorname* { m a x } _ { i } ( c _ { s i } ^ { \overline { { m } } - 1 } + | u _ { i } ^ { \overline { { m } } - 1 } | ) } , } \end{array}
A ( \theta ) = A _ { ( 0 ) } + A _ { ( 1 - ) } \sin \theta + A _ { ( 1 + ) } \cos \theta + A _ { ( 2 - ) } \sin 2 \theta + A _ { ( 2 + ) } \cos 2 \theta + \cdots = \sum _ { m } A _ { ( m ) } \varphi _ { ( m ) } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { c c ^ { \prime } ( q _ { 1 } ^ { \prime } - 1 ) } & { = q _ { 1 } ^ { 1 / 2 } ( q _ { 0 } ^ { 1 / 2 } - q _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } ) , } \\ { c c ^ { \prime } \cdot ( q _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } ( ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } - ( q _ { 0 } ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } ) } & { = c ( q _ { 1 } - 1 ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } } & { \mathbb { P } \left( \frac { X _ { n } ^ { 1 } ( 2 ^ { - 1 / 6 } n ^ { 2 / 3 } t ) - \frac { n } { \sqrt { 2 } } } { 2 ^ { - 5 / 6 } n ^ { 1 / 3 } } + t ^ { 2 } \leq s \right) } \\ & { = \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { 2 } ^ { 1 } ( t ) \leq s ) = F _ { 2 } ^ { 1 } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( A _ { 5 7 } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 5 } \right) \Bigg [ } & { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } \left( u _ { n n } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n n } ^ { ( 2 ) } \right) + \frac { \partial } { \partial x _ { t _ { 1 } } } \left( u _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n t _ { 1 } } ^ { ( 2 ) } \right) } \\ & { + \frac { \partial } { \partial x _ { t _ { 2 } } } \left( u _ { n t _ { 2 } } ^ { ( 1 ) } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } u _ { n t _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } \right) \Bigg ] = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \left( \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 2 2 ) } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \mathscr { L } _ { 1 } ^ { ( 1 2 ) } \right) u _ { n } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { n + 1 } } & { = } & { f _ { n } e ^ { - \nu \Delta t } + e ^ { - \nu \Delta t } \left[ f _ { n } ^ { t } \left( \frac { e ^ { \nu \Delta t } } { \nu \Delta t } - 1 - \frac { 1 } { \nu \Delta t } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + f _ { n + 1 } ^ { t } \left( e ^ { \nu \Delta t } + \frac { 1 } { \nu \Delta t } - \frac { e ^ { \nu \Delta t } } { \nu \Delta t } \right) \right] - \gamma \Delta t F _ { n + 1 / 2 } } \\ & { = } & { f _ { n } e ^ { - \nu \Delta t } - \gamma \Delta t F _ { n + 1 / 2 } } \\ & { } & { + \left( 1 - e ^ { - \nu \Delta t } \right) \times \left( A f _ { n } ^ { t } + B f _ { n + 1 } ^ { t } \right) , } \end{array}
\left[ \prod _ { i \in S } B _ { i } \right] = \sum _ { P \in \mathbf { P } ( S ) } ( - 1 ) ^ { ( \mathbf { N } ( P ) - 1 ) } ( \mathbf { N } ( P ) - 1 ) ! \prod _ { i \in P } \left\langle \prod _ { j \in i } B _ { j } \right\rangle
I _ { 1 } \ = \ \frac { 1 } { 5 1 2 } \Big ( ( 3 \uptau - 2 \uptau ^ { 3 } ) \cos 2 \uptau + \frac { 3 } { 2 } ( 2 \uptau ^ { 2 } - 1 ) \sin 2 \uptau \Big )
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ r ~ a ~ c ~ . ~ } } \left( \alpha ^ { [ p ] } , \widehat { \alpha } ^ { [ p ] } \right) = \frac { \big | \alpha ^ { [ p ] } - \widehat { \alpha } ^ { [ p ] } \big | } { \alpha ^ { [ p ] } } \, .
\begin{array} { r l } { I } & { = \left| \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } G ( x , t , y , \tau ) F _ { 1 } ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau \right| } \\ & { = \left| \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { \left( \frac { L - \overline { { \Lambda } } } { L - \Lambda } \right) ^ { 4 } ( \tau ) } \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } G ( x , t , y , \tau ) \partial _ { x } ( ( \varphi ^ { 3 } + 3 \overline { { h } } \; \varphi \; ( \overline { { h } } + \varphi ) ) \; \partial _ { x } ^ { 3 } \varphi ) ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau \right| } \\ & { = \left| \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { \left( \frac { L - \overline { { \Lambda } } } { L - \Lambda } \right) ^ { 4 } ( \tau ) } \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } \partial _ { x } G ( x , t , y , \tau ) ( \varphi ^ { 3 } + 3 \overline { { h } } \; \varphi \; ( \overline { { h } } + \varphi ) ) \; \partial _ { x } ^ { 3 } \varphi ( y , \tau ) \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau \right| } \\ & { \le c ( \| \varphi \| _ { C ( ( 0 , t ) , C ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \overline { { \Lambda } } , L ) ) } ) \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { \left( \frac { L - \overline { { \Lambda } } } { L - \Lambda } \right) ^ { 4 } ( \tau ) } \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } | \partial _ { x } G ( x , t , y , \tau ) | \; \mathrm { d } y \; \mathrm { d } \tau } \\ & { \le c ( \| \varphi \| _ { C ( ( 0 , t ) , C ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \overline { { \Lambda } } , L ) ) } ) \int \displaylimits _ { 0 } ^ { t } { \left( \frac { L - \overline { { \Lambda } } } { L - \Lambda } \right) ^ { 4 } ( \tau ) ( t - \tau ) ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \; \mathrm { d } \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E [ \mathbf { v } ] = \operatorname* { i n f } _ { \mathbf { x } } \{ F [ \mathbf { x } ] + f [ \mathbf { v } , \mathbf { x } ] \} , \quad \mathbf { v } = ( v , \mathbf { A } ) , \quad \mathbf { x } = ( \rho , \mathbf { j } ) . } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ - ~ F ~ T ~ } } ( x , y ) \equiv \ln P _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ - ~ F ~ T ~ } } ( \mathbf { A } ^ { * } | x , y ) = L ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { * } ) \ln ( x ) + L ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { * } ) \ln ( y ) - L ( \mathbf { A } ^ { * } ) \ln ( x + y )
\begin{array} { r l } { \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \mathcal { V } _ { n - 1 } ( \Sigma | n ( p ) ^ { \perp } ) d S _ { p } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \int _ { q \in \Sigma } | \tilde { n } ( q ) \cdot { n } ( p ) | d \Sigma _ { q } d S _ { p } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { q \in \Sigma } \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } | \tilde { n } ( q ) \cdot { n } ( p ) | d S _ { p } d \Sigma _ { q } } \\ & { = \int _ { q \in \Sigma } \omega _ { n - 1 } d \Sigma _ { q } } \\ & { = \omega _ { n - 1 } \mathcal { V } _ { n - 1 } ( \Sigma ) , } \end{array}
\mathbb { P } [ E ( \Omega _ { \delta } ; z _ { 1 } ^ { \delta , + } , \ldots , z _ { n - 1 } ^ { \delta , + } ) ] = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { 1 \le r _ { 1 } < \ldots < r _ { k } \le n - 1 } \operatorname* { d e t } ( ( h _ { \Omega _ { \delta } } ( z _ { r _ { j } } ^ { \delta , + } , ( x _ { 2 r _ { l } } ^ { \delta } x _ { 2 r _ { l } + 1 } ^ { \delta } ) ) ) _ { 1 \le j , l \le k } ) .
{ \begin{array} { r l r } { a + \infty = \infty + a } & { = \infty , } & { a \neq \infty } \\ { a - \infty = \infty - a } & { = \infty , } & { a \neq \infty } \\ { a / \infty = a \cdot 0 = 0 \cdot a } & { = 0 , } & { a \neq \infty } \\ { \infty / a } & { = \infty , } & { a \neq \infty } \\ { a / 0 = a \cdot \infty = \infty \cdot a } & { = \infty , } & { a \neq 0 } \\ { 0 / a } & { = 0 , } & { a \neq 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { R ( z , t ) = D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha ( z , t ) } \bigg \{ { A _ { 0 } c o s ( \omega t ) \bigg \} } = A _ { 0 } c o s ( \omega t + \frac { \pi \alpha ( z , t ) } { 2 } ) } \\ & { = A _ { 0 } c o s ( \omega t + \frac { \pi ( \gamma _ { 4 1 } z ^ { 2 } + \gamma _ { 4 4 } t ^ { 2 } + \beta _ { 4 1 } z + \beta _ { 4 4 } t ) } { 2 } ) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \kappa _ { n } r _ { i } ( 2 \tau ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \psi ) } \mathrm { d } \, \tau = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } 2 \kappa _ { n } r _ { i } \cos ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \psi } \sqrt { \frac { \pi } { 2 \kappa _ { n } r _ { i } } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { \pi } { 4 } } .
\frac { \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } } { \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) } \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) - A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) = \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { M u l t i h e a d } \left( Q , K , V \right) } & { { } = \mathrm { C o n c a t } \left( \hat { y } _ { 1 } , \dots , \hat { y } _ { h } \right) W ^ { \mathrm { O } } , } \\ { \hat { y } _ { l } \left( Q , K , V \right) } & { { } = \mathrm { A t t e n t i o n } \left( Q W _ { l } ^ { \mathrm { Q } } , K W _ { l } ^ { \mathrm { K } } , V W _ { l } ^ { \mathrm { V } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \tan x } & { = x + { \frac { 2 x ^ { 3 } } { 3 ! } } + { \frac { 1 6 x ^ { 5 } } { 5 ! } } + { \frac { 2 7 2 x ^ { 7 } } { 7 ! } } + { \frac { 7 9 3 6 x ^ { 9 } } { 9 ! } } + \cdots } \\ { \sec x } & { = 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { 5 x ^ { 4 } } { 4 ! } } + { \frac { 6 1 x ^ { 6 } } { 6 ! } } + { \frac { 1 3 8 5 x ^ { 8 } } { 8 ! } } + { \frac { 5 0 5 2 1 x ^ { 1 0 } } { 1 0 ! } } + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { x } ^ { n + 1 } = \mathbf { x } ^ { n } - h \nabla E _ { n } ( \mathbf { x } ^ { n } ) + \beta ( \mathbf { x } ^ { n } - \mathbf { x } ^ { n - 1 } ) , } & & { { n = 1 , 2 , . . . , N } } \\ & { \mathbf { x } ^ { 1 } = \mathbf { x } ^ { 0 } - h \nabla E _ { 0 } ( \mathbf { x } ^ { 0 } ) } \\ & { \mathbf { x } ^ { 0 } = \mathbf { x } ^ { - 1 } = \mathbf { 0 } } \end{array}
\left[ { \frac { R _ { B } ( R _ { A } - D ) } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \right] ^ { 2 } \, { \frac { 1 } { { B ^ { \prime } } ^ { 4 } } } = { \frac { ( R _ { A } - D ) ( D + R _ { B } ) } { D ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } = \cot ^ { 2 } \alpha \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf u ^ { \top } \mathbf v } & { = \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \| { \mathbf x } \| ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 2 } ( \mathbf v - \mathbf e _ { 1 } ) ^ { \top } \mathbf x \cdot \mathbf x ^ { \top } \mathbf v } \\ & { = \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \| { \mathbf x } \| ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 2 } ( \mathbf v ^ { \top } \mathbf x ) ^ { 2 } - 2 \lambda _ { 2 } \mathbf e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf x \cdot \mathbf x ^ { \top } \mathbf v } \\ & { \geq \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ( \mathbf v ^ { \top } \mathbf x ) ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ( \mathbf e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf x ) ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 2 } ( \mathbf v ^ { \top } \mathbf x ) ^ { 2 } - 2 \lambda _ { 2 } \mathbf e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf x \cdot \mathbf x ^ { \top } \mathbf v } \\ & { = \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ( \mathbf v ^ { \top } \mathbf x - \mathbf e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf x ) ^ { 2 } + 2 \lambda _ { 2 } ( \mathbf v ^ { \top } \mathbf x ) ^ { 2 } } \\ & { \geq \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ( \mathbf v ^ { \top } \mathbf x - \mathbf e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf x ) ^ { 2 } } \\ & { \geq \lambda _ { 2 } ( \mathbf v ^ { \top } \mathbf x - \mathbf e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf x ) ^ { 2 } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal I } _ { a b c d } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { - 3 \bigg \{ \Big ( 8 m _ { a } m _ { b } m _ { c } m _ { d } + 8 k _ { a } k _ { b } m _ { c } m _ { d } + k _ { a } k _ { b } k _ { c } k _ { d } \Big ) \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \Big ( \frac { 2 } { r \big ( r + ( { \vec { k } } \cdot { \vec { r } } ) \big ) } - \frac { ( \vec { k } \cdot \vec { r } ) } { r ^ { 3 } } \Big ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \rho } ^ { \mathrm { S } } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } ) } & { = \langle M ^ { \mathrm { S } } ( \rho ) \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } \rangle } \\ & { = \langle \psi _ { \sigma _ { 1 } } , M ^ { \mathrm { S } } ( \rho ) ^ { - 1 } \psi _ { \sigma _ { 2 } } \rangle } \\ & { = \int \int \kappa ( \theta , \theta ^ { \prime } , \rho ) \rho ( \theta ) \nabla _ { \theta } \psi _ { \sigma _ { 1 } } ( \theta ) ^ { T } \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \psi _ { \sigma _ { 2 } } ( \theta ^ { \prime } ) \rho ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta \mathrm { d } \theta ^ { \prime } . } \end{array}
\frac { d \beta } { d z } \simeq \frac { - 4 \epsilon _ { R } \eta _ { m } ^ { 4 } } { 3 \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left( \eta _ { 0 } / \eta _ { m } \right) } \left[ \frac { 3 \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } - \frac { 2 \eta _ { 0 } ^ { 3 } } { \eta _ { m } ^ { 3 } } - 3 \left( 1 - \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { \eta _ { m } ^ { 2 } } \right) \mathrm { ~ a ~ r ~ c ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { m } } \right) \right] .
a _ { 1 } a _ { 2 } = { \frac { ( - { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma _ { 1 } ) ( - { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma _ { 2 } ) } { ( E - E _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } i \Gamma _ { 1 } ) ( E - E _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } i \Gamma _ { 2 } ) } }
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { g s } } \approx \underset { \boldsymbol { \Theta } , \boldsymbol { \phi } } { \mathrm { M i n } } \left\{ \sum _ { a = 1 } ^ { L } ( 1 + \cos \theta _ { a } ) \, E _ { a } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a , b , c , d = 1 } ^ { L } \varrho _ { a b } ^ { ( 0 ) } \, \varrho _ { c d } ^ { ( 0 ) } \, \left( I _ { a b c d } - \frac { 1 } { 2 } I _ { a d c b } \right) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \, ( \phi _ { a } - \phi _ { b } + \phi _ { c } - \phi _ { d } ) } \right\} , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } \mathcal { N } _ { t } \leq - \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ^ { p } ( e ) \mathbf { a } ( t , e ) ( \nabla P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ) ^ { 2 } + C _ { 0 } \rho ^ { p - 1 } ( e ) P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) \mathbf { a } ( t , e ) \left| \nabla P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) \right| .
\mathcal { P } _ { K _ { s } } ( N ) \geq \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { I } _ { s , d } N - C _ { s , d } ^ { \prime } 2 ^ { \frac { s } { d } } N ^ { \frac { s } { d } } + \mathcal { I } _ { s , d } } & { 0 < s < d , } \\ { \mathcal { I } _ { s , d } N + \mathcal { I } _ { s , d } + C _ { s , d } ^ { \prime } 2 ^ { \frac { s } { d } } N ^ { \frac { s } { d } } , } & { - 2 < s < 0 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ N _ { B } ] } & { = \int _ { a } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { n } \mathrm { { P r } } \{ N _ { B } = n | a \} f _ ( a ) d a } \\ & { \stackrel { { ( a ) } } { = } \int _ { a } ^ { \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { n } \frac { \left( P _ { m } \lambda _ { U E } a \right) ^ { n } } { n ! } e ^ { - P _ { m } \lambda _ { U E } a } f _ { } ( a ) d a } \\ & { = \int _ { a } ^ { \infty } { P _ { m } \lambda _ { U E } a } \left( 1 - e ^ { - P _ { m } \lambda _ { U E } a } \right) } \\ & { a ^ { \kappa - 1 } e ^ { - \kappa \lambda _ { B S } a } \frac { ( \kappa \lambda _ { B S } ) ^ { \kappa } } { \Gamma ( \kappa ) } d a } \\ & { \stackrel { { ( b ) } } { = } \frac { P _ { m } \lambda _ { U E } } { \kappa \lambda _ { B S } } \frac { \Gamma ( \kappa + 1 ) } { \Gamma ( \kappa ) } \left( 1 - \left( \frac { \kappa \lambda _ { B S } } { \kappa \lambda _ { B S } + P _ { m } \lambda _ { U E } } \right) ^ { \kappa + 1 } \right) } \\ & { = \frac { P _ { m } \lambda _ { U E } } { \lambda _ { B S } } \left( 1 - \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { P _ { m } \lambda _ { U E } } { \kappa \lambda _ { B S } } \right) ^ { \kappa + 1 } } \right) . } \end{array}
( f _ { 5 , \mathrm { s h } } - { f } _ { 5 , 0 } ) ^ { \prime \prime } ( x ) = \frac { A _ { 1 } ( x ) + A _ { 2 } ( x ) + A _ { 3 } ( x ) } { \partial _ { y } \bar { \psi } _ { 2 5 } ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) ) } \, ,
Z _ { i } = \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { j } \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } \cup \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } } \sum _ { \textbf { 0 } \neq \boldsymbol { v _ { i } } \in V _ { i } \atop w _ { ( L , \pi ) } ( \boldsymbol { v _ { i } } ) = j } \chi ( \boldsymbol { u _ { i } } \cdot \boldsymbol { v _ { i } } ) .
\left\{ \begin{array} { c c } { { w _ { i } } _ { t } = D _ { i } { w _ { i } } _ { x x } - { w _ { i } } _ { x } + F _ { i } ( x , t , w ) , } & { x \in ( 0 , 1 ) , 0 < t < T , i = 1 , . . . , \tilde { m } , } \\ { - D _ { i } { w _ { x } } _ { i } ( 0 , t ) + w _ { i } ( 0 , t ) = \delta _ { i } , \, { w _ { i } } _ { x } ( 1 , t ) = 0 } & { 0 < t < T , i = 1 , . . . , \tilde { m } , } \\ { w _ { i } ( x , 0 ) = { w _ { 0 } } _ { i } ( x ) , } & { x \in ( 0 , 1 ) , i = 1 , . . . , \tilde { m } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { d } \alpha } & { : = ( \mathrm { d } + ( - 1 ) ^ { r } \delta ) \alpha = \mathrm { d } \alpha + ( - 1 ) ^ { r } \delta \alpha , } \\ { ( \imath _ { \xi } + \imath _ { \mathrm { X } } ) \alpha } & { : = \imath _ { \xi } \alpha + \imath _ { \mathrm { X } } \alpha , } \\ { ( \mathcal { L } _ { \xi } + \mathcal { L } _ { \mathrm { X } } ) \alpha } & { : = \mathcal { L } _ { \xi } \alpha + \mathcal { L } _ { \mathrm { X } } \alpha . } \end{array}
| \psi \rangle = \Psi _ { e \bar { e } } ( x , \vec { k } _ { \perp } ; \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) b _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \dagger } ( x , \vec { k } _ { \perp } ) d _ { \lambda _ { 2 } } ^ { \dagger } ( 1 - x , - \vec { k } _ { \perp } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { P } } & { { } = \left( \hat { S } _ { 1 } ^ { + } \hat { S } _ { 2 } ^ { - } \hat { S } _ { 3 } ^ { + } \hat { S } _ { 4 } ^ { - } \hat { S } _ { 5 } ^ { + } \hat { S } _ { 6 } ^ { - } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \right) , } \\ { \hat { Y } _ { P } } & { { } = - i \hat { S } _ { 1 } ^ { + } \hat { S } _ { 2 } ^ { - } \hat { S } _ { 3 } ^ { + } \hat { S } _ { 4 } ^ { - } \hat { S } _ { 5 } ^ { + } \hat { S } _ { 6 } ^ { - } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l l } { \widetilde { \omega } ^ { 2 } - ( p _ { 0 } ) _ { 1 1 } } & { i \widetilde { \omega } 2 \widehat { \Omega } _ { 1 2 } - ( p _ { 0 } ) _ { 1 2 } } & { i \widetilde { \omega } 2 \widehat { \Omega } _ { 1 3 } - ( p _ { 0 } ) _ { 1 3 } } \\ { i \widetilde { \omega } 2 \widehat { \Omega } _ { 1 2 } - ( p _ { 0 } ) _ { 1 2 } } & { \widetilde { \omega } ^ { 2 } - ( p _ { 0 } ) _ { 2 2 } } & { i \widetilde { \omega } 2 \widehat { \Omega } _ { 2 3 } - ( p _ { 0 } ) _ { 2 3 } } \\ { i \widetilde { \omega } 2 \widehat { \Omega } _ { 1 3 } - ( p _ { 0 } ) _ { 1 3 } } & { i \widetilde { \omega } 2 \widehat { \Omega } _ { 2 3 } - ( p _ { 0 } ) _ { 2 3 } } & { \widetilde { \omega } ^ { 2 } - ( p _ { 0 } ) _ { 3 3 } } \end{array} \right] \mathbb { P } _ { \perp } \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } \end{array} \right] = i b \left[ \begin{array} { l } { k _ { 1 } } \\ { k _ { 2 } } \\ { k _ { 3 } } \end{array} \right] , } \end{array}
M _ { i j } = 2 \delta _ { i j } - \sum _ { \alpha } ( \delta _ { i , j - a _ { \alpha } } + \delta _ { i , j + a _ { \alpha } } ) + \sum _ { \beta } ( \delta _ { i , j - b _ { \beta } } + \delta _ { i , j + b _ { \beta } } ) \, .
\begin{array} { r l r } { u _ { k l } } & { { } = } & { \frac { c \sqrt { \left( p _ { k } \cdot p _ { l } \right) ^ { 2 } - m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } { p _ { k } ^ { 0 } p _ { l } ^ { 0 } } \, . } \end{array}
\rho _ { \uparrow \downarrow } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } ; \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) = \langle \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \phantom { \dagger } } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \phantom { \dagger } } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } ) \rangle ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \psi ( x , 0 ) } \Delta F \mathrm { ~ \ \ \ \ \ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ \ \ \ } E _ { \psi ( x , 0 ) } \le E _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathrm { k } } = \frac { \vec { r } - \vec { r } _ { 0 } } { | \vec { r } - \vec { r } _ { 0 } | } , \qquad \boldsymbol { \mathrm { b } } = [ [ { \vec { k } } \times { \vec { r } } _ { 0 } ] \times { \vec { k } } ] \equiv b \, \vec { m } \qquad \Rightarrow \qquad \vec { m } = \frac { [ [ { \vec { k } } \times { \vec { r } } _ { 0 } ] \times { \vec { k } } ] } { | [ [ { \vec { k } } \times { \vec { r } } _ { 0 } ] \times { \vec { k } } ] | } . } \end{array}
g ( \theta ) = \frac { [ \sin ( \theta ) ] ^ { 2 p - 1 } [ \cos ( \theta ) ] ^ { 2 q - 1 } } { \int _ { \theta _ { m i n } } ^ { \theta _ { m a x } } ( [ \sin ( \theta ) ] ^ { 2 p - 1 } [ \cos ( \theta ) ] ^ { 2 q - 1 } ) \mathrm { ~ d ~ } \theta } ,