harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { M } _ { \mathbf { q } } = \sum _ { j \in \mathrm { i n - p l a n e } } \left( \Omega _ { 0 j } - \mathrm { i } \frac { \Gamma _ { 0 j } } { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mathbf { q } \cdot \mathbf { r } _ { j } } = \widetilde \Omega ( \mathbf { q } ) - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( \mathbf { q } ) } { 2 } = - \frac { 3 } { 2 } \Gamma _ { 0 } \lambda _ { 0 } \widetilde G ( \mathbf { q } ; 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) \left[ A ^ { 2 } + A \left( U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } + U _ { 2 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } \right) + U _ { 1 } ^ { \mu } l _ { \mu } U _ { 2 } ^ { \nu } \xi _ { \nu } - U _ { 1 } ^ { \mu } \xi _ { \mu } U _ { 2 } ^ { \nu } l _ { \nu } \right] = 0 \; . } \end{array}
\left\langle \rho ^ { + } \left( k \right) \pi ^ { - } \left( q \right) \left| H _ { \mathrm { e f f } } \right| \bar { B } ^ { 0 } \left( p \right) \right\rangle = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { u b } ^ { * } V _ { u d } a _ { 1 } f _ { \pi } \left( 2 m _ { \rho } \right) \epsilon ^ { * } \cdot q \left[ A _ { 0 } ^ { \bar { B } ^ { 0 } \rho ^ { + } } \left( m _ { \pi } ^ { 2 } \right) \right] ,
\mathcal { H } _ { 4 } \left( \psi , J \right) = \delta _ { \nu } J + g _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } J ^ { \frac { 3 } { 2 } } \cos \left( 3 \psi + \xi _ { 3 , 0 , l _ { 3 \nu _ { x } } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { - 1 } J ^ { 2 } ,
\overline { { u v } } = u _ { * } ^ { 2 } \Big \{ - 1 + \frac { 1 } { \kappa } y _ { o } \Big \} = u _ { * } ^ { 2 } \Big \{ - 1 + \frac { 0 . 3 6 5 9 } { \kappa } \frac { y } { \delta _ { 9 9 } } \Big \} .
{ \cal L } _ { \mathrm { S C S } } = - \frac { 1 } { 2 } \epsilon ^ { i j } \left( A _ { i } ^ { ( 0 ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { i } ^ { ( n ) } \right) \left( \dot { A } _ { j } ^ { ( 0 ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \dot { A } _ { j } ^ { ( n ) } \right) + A _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \epsilon ^ { i j } \partial _ { i } \left( A _ { j } ^ { ( 0 ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { j } ^ { ( n ) } \right)
\begin{array} { r l } { | \mathcal { N } ^ { ( k ) } - \phi | } & { = | \mathbf { F _ { 0 } } ^ { - 1 } [ \mathbf { F _ { 0 } } [ \mathcal { N } ^ { ( k ) } ] - \mathbf { F _ { 0 } } ^ { - 1 } [ \mathbf { F _ { 0 } } [ \phi ] ] | } \\ & { \leq \alpha | \mathbf { F _ { 0 } } [ \mathcal { N } ^ { ( k ) } ] - \mathbf { F _ { 0 } } [ \phi ] | } \\ & { \leq \alpha | \mathbf { F _ { 0 } } [ \mathcal { N } ^ { ( k ) } ] | } \\ & { \leq \alpha | \mathbf { F _ { k } } [ \mathcal { N } _ { k } ] | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { X } _ { t \wedge T _ { \xi } } ^ { \xi } } & { { } = \xi - \int _ { 0 } ^ { t \wedge T \wedge T _ { \xi } } u ( \tilde { X } _ { s } ^ { \xi } , T - s ) \textrm { d } s + \sqrt { 2 \nu } \int _ { 0 } ^ { t \wedge T \wedge T _ { \xi } } \textrm { d } B _ { s } } \end{array}
\int _ { V _ { a c t } } d ^ { 3 } \Vec { r } \, \big [ R _ { e m } ^ { l } ( \Vec { r } \, ) + R _ { e m } ^ { l } ( \Vec { r } \, ) N _ { } ^ { l } \big ] = N _ { } ^ { l } \int _ { V _ { a c t } } d ^ { 3 } \Vec { r } \, \big [ R _ { a b s } ^ { l } ( \Vec { r } \, ) + \kappa ^ { l } / V _ { a c t } \big ]
w _ { \mathrm { t o t } } = w _ { + } + w _ { - } = \frac { 1 } { 2 } \langle | { \bf v } | ^ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \left\langle \frac { | { \bf b } | ^ { 2 } } { 4 \pi } \right\rangle = \langle | { \bf v } | ^ { 2 } \rangle ,
s = - \alpha _ { e } ^ { \prime } \left( \frac { w R } { 2 \alpha _ { e } ^ { \prime } } + \frac { \alpha _ { e } ^ { \prime } k ^ { 2 } } { 2 w R } \right) ^ { 2 } = - \alpha _ { e } ^ { \prime } ( k _ { 0 } ^ { \mathrm { N C O S } } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { [ t ] } & { 0 . 8 2 \cdot 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 2 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 3 } 5 g _ { 7 / 2 } ^ { 6 } + } \\ & { 0 . 0 6 \cdot 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 2 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 3 } 5 g _ { 7 / 2 } ^ { 6 } + } \\ & { 0 . 0 6 \cdot 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 1 } 7 d _ { 3 / 2 } ^ { 2 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 2 } 5 g _ { 7 / 2 } ^ { 6 } + } \\ & { 0 . 0 5 \cdot 8 p _ { 1 / 2 } ^ { 2 } 6 f _ { 5 / 2 } ^ { 2 } 5 g _ { 7 / 2 } ^ { 6 } 6 f _ { 7 / 2 } ^ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { R } ^ { 4 } = \{ \alpha 0 \alpha , \alpha 1 \alpha , \alpha 0 \alpha ^ { 2 } , \alpha 1 \alpha ^ { 2 } , \alpha ^ { 2 } 0 \alpha , \alpha ^ { 2 } 1 \alpha , \alpha ^ { 2 } 0 \alpha ^ { 2 } , \alpha ^ { 2 } 1 \alpha ^ { 2 } , \alpha ^ { 2 } \alpha \alpha ^ { 2 } , \alpha ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \} . } \end{array}
\varphi = \frac { R _ { 0 } } { v } \int _ { 0 } ^ { \rho } \frac { ( E - E _ { 1 \sigma } ) ( 1 + \rho ^ { \prime } ) d \rho ^ { \prime } } { \sqrt { \rho ^ { \prime } ( \rho ^ { \prime } + 2 - 2 a / R _ { 0 } ) } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f } { \partial t } = - ( { \mathbf p } - { \mathbf A } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf x } } + \left[ T \frac { \nabla n } { n } + \left( \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial \mathbf x } \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) \right] \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf p } } , \quad \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial t } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \partial \Omega _ { s } } \boldsymbol { \nu } \cdot ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) \cdot \boldsymbol { n _ { s } } d s = \int _ { \partial \Omega _ { s } } \left( - \frac { \eta _ { e } } { \beta } ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) ( \boldsymbol { \nu } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) \right) d s } \end{array}
\begin{array} { r } { \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( e ^ { \prime \prime } - \theta _ { 2 } e ^ { \prime } - \theta _ { 1 } e \right) \varphi d t = \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( R _ { 1 } e ^ { 2 } + R _ { 2 } e e ^ { \prime } + R _ { 3 } ( e ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) \varphi d t , \quad \forall \varphi \in P _ { r _ { n } - 2 } ( I _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ^ { - 1 } } & { [ - \mathbf n \cdot ( \omega ^ { 1 - \gamma } \textbf { D } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 0 } ) ] + \omega ^ { 0 } [ - \mathbf n \cdot \mathbf D ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 1 } ) - \omega ^ { \beta } ( c _ { 0 } ^ { a } - 1 ) ] + } \\ { \omega } & { [ - \mathbf n \cdot \textbf { D } ( \nabla _ { \mathbf x } c _ { 1 } + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } c _ { 2 } ) - \omega ^ { \beta } a c _ { 0 } ^ { a - 1 } c _ { 1 } ] = \mathcal { O } ( \omega ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } \frac { \sin 2 ( X - t ) } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } , } \\ { y _ { 2 } } & { = 0 , } \\ { z _ { 2 } } & { = 0 , } \\ { \phi _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \lambda \, \frac { \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } \bigg [ \cos 2 ( X - t ) \big [ \lambda \sin { 4 \Phi } \cosh 2 ( Z + k h ) + \sin { 2 \Phi } \big ] } \\ & { \quad \; + \lambda \cos { 4 \Phi } \sinh 2 ( Z + k h ) \sin 2 ( X - t ) \bigg ] , } \\ { \theta _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 1 6 } \lambda \, \frac { \varepsilon _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } } { 2 \cosh ^ { 2 } k h } \bigg [ 2 \sin { 2 \Theta } \cos 2 ( X - t ) \big [ \lambda ( \cos { 2 \Theta } + 2 ) - 2 \cos { 2 \Phi } \big ] } \\ & { \quad \; + \lambda ( 4 \sin { 2 \Theta } - \sin ( 4 \Theta ) ) \times } \\ & { \quad \; \big [ \sin { 4 \Phi } \sinh 2 ( Z + k h ) \sin 2 ( X - t ) - \cos { 4 \Phi } \cosh 2 ( Z + k h ) \cos 2 ( X - t ) \big ] \bigg ] . } \end{array}
\pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } _ { j } } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 ^ { 2 } ( \mathrm { p x } ) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 ^ { 2 } ( \mathrm { p x } ) ^ { 2 } } \end{array} \right] , \quad \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } _ { 1 } } } & { \hdots } & { \mathbf { 0 } _ { 2 \times 2 } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { 0 } _ { 2 \times 2 } } & { \hdots } & { \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } _ { n _ { L } } } } \end{array} \right] ,
A _ { C P } ^ { b \rightarrow s \gamma } = { \frac { B R ( \bar { B } _ { d } \rightarrow X _ { s } \gamma ) - B R ( B _ { d } \rightarrow X _ { s } \gamma ) } { B R ( \bar { B } _ { d } \rightarrow X _ { s } \gamma ) + B R ( B _ { d } \rightarrow X _ { s } \gamma ) } } .
\begin{array} { r l r l } { H _ { \ell } ( z ) E _ { \ell } ( w ) } & { \sim \frac { 2 E _ { \ell } ( w ) } { z - w } , } & { H _ { \ell } ( z ) H _ { \ell } ( w ) } & { \sim \frac { - 3 } { ( z - w ) ^ { 2 } } , } \\ { H _ { \ell } ( z ) F _ { \ell } ( w ) } & { \sim \frac { - 2 F _ { \ell } ( w ) } { z - w } , } & { E _ { \ell } ( z ) F _ { \ell } ( w ) } & { \sim \frac { - 3 / 2 } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { H _ { \ell } ( w ) } { z - w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } _ { \mathrm { i n f } } ( a ) } & { = \operatorname* { m i n } \left( \log \alpha _ { a } + \frac { 1 } { \alpha _ { a } } - 1 , \operatorname* { i n f } _ { c \in [ 1 , c _ { a } ^ { * } ] } g _ { a } ( h _ { a } ( c ) , c ) , \log ( 1 + \alpha _ { a } \log c _ { a } ^ { * } ) \right) } \\ & { = \log \left( \alpha _ { a } \frac { \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } } { \mu _ { 1 } } \right) + \frac { 1 } { \alpha _ { a } } \frac { \mu _ { 1 } } { \mu _ { 1 } - \kappa _ { a } } - 1 , } \end{array}
S _ { z _ { i } } = \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau } \right) \hat { F _ { i } ^ { z } } = \left( 1 - \frac { \Delta t } { 2 \tau } \right) w _ { i } \left[ \frac { \mathbf { c _ { i } } \cdot ( \mathbf { F _ { s } } + \mathbf { F _ { b } } ) } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { ( \mathbf { u } \nabla \rho ) : ( \mathbf { c _ { i } } \mathbf { c _ { i } } ) } { c _ { s } ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { \tilde { \Gamma } _ { k , N } ^ { \theta , v } } & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \begin{array} { l } { \left\{ { \frac { { { a _ { k , n } } \sigma _ { k } ^ { \theta } } } { { \left( { \Gamma _ { k , \mathrm { { m a x } } } ^ { \theta } - { b _ { k , n } } \delta _ { k } ^ { \theta } } \right) { M _ { 1 } } } } , \forall n } \right\} , } \\ { \frac { { \sigma _ { k } ^ { v } } } { { { M _ { 1 } } ( M _ { 1 } ^ { 2 } - 1 ) \left( { \Gamma _ { k , { \mathrm { m a x } } } ^ { v } - \left( { N - 1 } \right) \delta _ { k } ^ { v } } \right) } } } \end{array} \right\} , } \\ { \tilde { \Gamma } _ { k , N } ^ { d } } & { = \frac { { \sigma _ { k } ^ { d } } } { { { M _ { 1 } } \left( { \Gamma _ { k , \mathrm { m a x } } ^ { d } - \left( { N - 1 } \right) \delta _ { k } ^ { d } } \right) } } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \alpha _ { 1 } A _ { 2 } ^ { * } A _ { 3 } ^ { * } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \sigma \tau } , \quad \frac { \mathrm { d } { A _ { 2 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \alpha _ { 2 } A _ { 1 } ^ { * } A _ { 3 } ^ { * } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \sigma \tau } , \quad \frac { \mathrm { d } { A _ { 3 } } } { \mathrm { d } { \tau } } = \alpha _ { 3 } A _ { 1 } ^ { * } A _ { 2 } ^ { * } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \sigma \tau } - \Omega _ { 3 } s _ { 3 } f ( \tau ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \mu \tau } ,
\hat { \vartheta } _ { 0 } = { \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } } ( U _ { 1 } - U _ { 2 } ) ^ { 2 } = F ^ { 2 } ( { \frac { 1 } { 8 } } , { \frac { 3 } { 8 } } , 1 ; - z ) ~ .
\begin{array} { r l } { \delta \psi _ { s } ( t ) = } & { } \\ { p s i _ { s , e } \frac { i _ { e } \kappa ^ { * } } { \eta + i _ { e } \kappa ^ { * } } e ^ { - \eta ( t - t f ) } } \\ { \delta \psi _ { i } ( t ) = } & { \ \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } e ^ { - \eta ( t - t f ) } } \\ & { \ + \left( \psi _ { i , e } - i _ { e } \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } \right) e ^ { - ( t - t _ { e } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { U } { U _ { p } } = } & { { } \frac { 1 } { t _ { o } } \left( \frac { 3 t } { 2 } \left( 1 - c _ { h } ^ { 2 } \right) - \frac { h ^ { 2 } } { 4 0 \nu } \left( 5 c _ { h } ^ { 4 } - 6 c _ { h } ^ { 2 } + 1 \right) \right) } \end{array}
\chi _ { B } = \frac { m n ( H - 1 ) + \chi _ { B 0 } \, \Delta _ { ( m , n ) } \, e ^ { \phi _ { B 0 } } } { n ^ { 2 } H + ( m - \chi _ { B 0 } n ) ^ { 2 } \, e ^ { 2 \phi _ { B 0 } } } ,
\begin{array} { r l r } { m ( t , \tau ) } & { { } : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } x _ { i } ( t , \tau ) = \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) \big ] } \\ { C ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } x _ { i } ( t , \tau ) x _ { i } ( t ^ { \prime } , \tau ) = \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) x ( t ^ { \prime } , \tau ) \big ] \qquad } \\ { G ( t , t ^ { \prime } , \tau ) } & { { } : = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in \mathcal { T } } \frac { \delta x _ { i } ( t , \tau ) } { \delta \theta _ { i } ( t ^ { \prime } , \tau ) } \Big | _ { \theta = 0 } = \frac { \delta \mathbb { E } \big [ x ( t , \tau ) \big ] } { \delta \theta ( t ^ { \prime } , \tau ) } \Big | _ { \theta = 0 } } \\ { \hat { \mu } ( \tau ) / N _ { t } } & { { } : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } ( N _ { t } - 1 ) } \sum _ { i , j \in \mathcal { T } } J _ { i j } ^ { ( t t ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( t t ) } ( \tau ) \Big ] } \\ { \hat { \lambda } ( \tau ) / \sqrt { N _ { t } } } & { { } : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } N _ { o } } \sum _ { i \in \mathcal { T } , j \in \mathcal { O } } J _ { i j } ^ { ( t o ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( t o ) } ( \tau ) \Big ] } \\ { \tilde { \lambda } ( \tau ) / \sqrt { N _ { t } } } & { { } : = } & { \frac { 1 } { N _ { t } N _ { o } } \sum _ { i \in \mathcal { O } , j \in \mathcal { T } } J _ { i j } ^ { ( o t ) } ( \tau ) = \mathbb { E } \Big [ J ^ { ( o t ) } ( \tau ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { k } ^ { ( \mathrm { U L } , \mathrm { d } ) } = \frac { { { p } _ { k } } { { \left| \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \mathbb { E } \left( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { E D U } , k , m } ^ { \mathrm { H } } { { \mathbf { D } } _ { k , m } } { { \mathbf { h } } _ { \mathrm { E D U } , k , m } } \right) } \right| } ^ { 2 } } } { \sum _ { i = 1 , i \ne k } ^ { K } { { { p } _ { i } } } \mathbb { E } { { \left| \sum _ { m = 1 } ^ { M } { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { E D U } , k , m } ^ { \mathrm { H } } { { \mathbf { D } } _ { k , m } } { { \mathbf { h } } _ { \mathrm { E D U } , i , m } } } \right| } ^ { 2 } } + \sigma _ { \mathrm { U L } } ^ { 2 } \mathbb { E } \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } { \mathbb { E } \| { { \mathbf { D } } _ { k , m } } { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { E D U } , k , m } } { { \| } ^ { 2 } } } \right) } } \end{array}
. N o w , s o l v i n g t h e r e g r e s s i o n p r o b l e m i n r e q u i r e s a h u g e c o m p u t a t i o n a l e f f o r t a l r e a d y i n m o d e r a t e h i g h d i m e n s i o n s s i n c e r e g r e s s i o n s u f f e r s f r o m t h e c u r s e o f d i m e n s i o n a l i t y . T h i s o f t e n m a k e s t h i s p r o c e d u r e i n f e a s i b l e f o r d i m e n s i o n s
\begin{array} { r } { G ( z ) = 2 A \int _ { z } ^ { \infty } \frac { \left[ g ( \eta ) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ~ g \left( \frac { \eta } { \sqrt { 2 } } \right) - \eta \right] r } { \sqrt { r ^ { 2 } - z ^ { 2 } } } d r ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] } & { \langle \eta _ { t } ^ { H } , \mathbf { s } \mathbf { i } \left( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } \right) \rangle \leq 2 ( n _ { \operatorname* { m a x } } ) ^ { 2 } , } \\ & { \frac { 1 } { s _ { W } ( t ) } \langle \eta _ { t } ^ { W } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle \leq n _ { \operatorname* { m a x } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 4 \pi } { 3 c \omega } \int _ { 0 } ^ { 1 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } u \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q \; q ^ { 2 } ( 2 ( \omega + E _ { 0 } + Z / q ) ) ^ { 3 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { M _ { 2 } ^ { 0 , 0 , 0 , 0 } } & { M _ { 2 } ^ { 1 , 0 , 0 , 0 } } & { M _ { 2 } ^ { 1 , 1 , 0 , 0 } } & { M _ { 2 } ^ { 2 , 1 , 0 , 0 } } \\ { \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } & { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } & { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } & { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ { M _ { 2 } ^ { 1 , 1 , 1 , 0 } } & { M _ { 2 } ^ { 2 , 1 , 1 , 0 } } & { M _ { 2 } ^ { 2 , 2 , 1 , 0 } } & { M _ { 2 } ^ { 3 , 2 , 1 , 0 } } \\ { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } & { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } & { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } & { \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Delta _ { n } ( \varphi _ { 1 } ^ { ( n ) } , \varphi _ { 2 } ^ { ( n ) } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { X _ { 1 } X _ { 2 } } ^ { n } , { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) } \\ & { \leq \{ 1 + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 1 } | } + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 2 } | } \} \Theta ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) . } \end{array}
- \delta ^ { a b } C _ { 1 } C _ { 2 } { \frac { g ^ { 4 } } { 8 p ^ { 2 } } } \Lambda ^ { 3 - \omega } \int { \frac { d ^ { \omega } k } { ( 2 \pi ) ^ { \omega } } } { \frac { 2 k \cdot p + p ^ { 2 } } { | k + p | k ^ { 2 } } } ,
\left\lvert { \vec { w } } \right\rvert _ { H _ { 0 , \mu } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) } ^ { 2 } = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \underbrace { \lambda _ { i } } _ { > 0 } \left\lvert { w _ { i } } \right\rvert ^ { 2 } , \quad { \left\lVert { \vec { w } } \right\rVert } _ { H _ { 0 , \epsilon , \mu } ( \operatorname { c u r l } ; \Omega ) } ^ { 2 } = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } ( 1 + \lambda _ { i } ) \left\lvert { w _ { i } } \right\rvert ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \left\lvert { w _ { - i } } \right\rvert ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { I ^ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } ( x } & { { } : y ) = \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { \tau \sigma _ { x } ^ { 2 } } { 2 \bar { n } + 1 } \right) , } \\ { I ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } ( x } & { { } : y ) = \log _ { 2 } \left( 1 + \frac { \tau \sigma _ { x } ^ { 2 } } { 2 \bar { n } + 2 } \right) . } \end{array}
\zeta \dot { { \mathsf { d } } } = e ^ { - { \mathsf { d } } } \Psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { n e q } ( \bar { \mathbf { C } } , \{ \mathbf { A } ^ { ( i ) } \} ) - \frac { \zeta } { \tau _ { H } } { \mathsf { d } } + \psi ^ { * } \ell ^ { 2 } \triangle { \mathsf { d } } .
\begin{array} { r } { ( i D _ { z } + \frac { 1 } { 2 } ( D _ { x } ^ { 2 } + \beta D _ { y } ^ { 2 } ) - \lambda ) g \cdot f = 0 , ~ ~ ( D _ { x } ^ { 2 } + \beta D _ { y } ^ { 2 } - 2 \lambda ) f \cdot f = 2 \gamma \lvert g \rvert ^ { 2 } . } \end{array}
\phi ( \mathbf { x } , t ) \in \mathbb { P } = \lbrace \forall t \geq 0 : \phi ( \mathbf { x } , t ) \in W ^ { 1 , 2 } ( \Omega ^ { c } ) ; 0 \leq \phi ( \mathbf { x } , t ) \leq 1 \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega ^ { c } ; t _ { 1 } \leq t _ { 2 } \Longrightarrow \phi ( \textbf { x } , t _ { 1 } ) \leq \phi ( \textbf { x } , t _ { 2 } ) \rbrace
\underbrace { \partial _ { t } D _ { 1 1 1 } } _ { T e r m 1 } + \underbrace { \left( \partial _ { r } + \frac { 2 } { r } \right) D _ { 1 1 1 1 } } _ { T e r m 2 } - \underbrace { \frac { 6 } { r } D _ { 1 1 2 2 } } _ { T e r m 2 ^ { \prime } } = \underbrace { - T _ { 1 1 1 } } _ { T e r m 3 } + \underbrace { 2 \nu C } _ { T e r m 4 } - \underbrace { 2 \nu Z _ { 1 1 1 } } _ { T e r m 5 } ,
\begin{array} { r l r } { r _ { 0 } = 5 \ \mathrm { k p c } } & { : } & { \qquad m = 2 . 6 \times 1 0 ^ { 1 1 } \, M _ { \odot } , \qquad k = 4 5 \ \mathrm { k p c } ; } \\ { r _ { 0 } = 1 0 \ \mathrm { k p c } } & { : } & { \qquad m = 5 . 2 \times 1 0 ^ { 1 1 } \, M _ { \odot } , \qquad k = 9 0 \ \mathrm { k p c } ; } \\ { r _ { 0 } = 1 5 \ \mathrm { k p c } } & { : } & { \qquad m = 7 . 8 \times 1 0 ^ { 1 1 } \, M _ { \odot } , \qquad k = 1 3 5 \ \mathrm { k p c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha \beta } ( \omega ) = \frac { i e ^ { 3 } } { 2 \hslash ^ { 2 } } \int [ d \mathbf { k } ] } & { \Bigg ( \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { Q } ^ { \nu \alpha } , \hat { r } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \hat { v } ^ { \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha } , \hat { Q } ^ { \nu \beta } } ^ { ( 2 ) } \right\} } \\ & { + \mathrm { t r } \left\{ \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \mu } \cdot \hat { \rho } _ { \hat { r } ^ { \alpha } , \hat { r } ^ { \beta } } ^ { ( 2 ) } \right\} \Bigg ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { S } \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } \cdot \bar { \mathbf { v } } d S = j \omega \mu \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \int _ { S ^ { \prime } } \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } d S - \frac { j } { \epsilon \omega } \int _ { S } \nabla \cdot \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \int _ { S ^ { \prime } } \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) d S ^ { \prime } d S } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega \tilde { t } _ { n } ^ { \prime } = } & { { } ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 2 \zeta _ { 0 } - \zeta _ { n } } { \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } + ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { W ^ { 1 , p } } } & { { } \leq C \left( \| \omega \| _ { p } + \left( 1 + \| \kappa \| _ { \infty } ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } \right) \| u \| _ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { a d } _ { [ x , y ] _ { \mathfrak g } } } & { = [ [ x , y ] _ { \mathfrak g } , \cdot \, ] _ { \mathfrak g } } \\ & { = - [ [ y , \cdot \, ] _ { \mathfrak g } , x ] _ { \mathfrak g } - [ [ \cdot \, , x ] _ { \mathfrak g } , y ] _ { \mathfrak g } , \qquad ( \mathrm { b y ~ i d e n t i t y ~ o f ~ J a c o b i } ) } \\ & { = [ x , [ y , \cdot \, ] _ { \mathfrak g } ] _ { \mathfrak g } - [ y , [ x , \cdot \, ] _ { \mathfrak g } ] _ { \mathfrak g } } \\ & { = \mathrm { a d } _ { x } \circ \mathrm { a d } _ { y } - \mathrm { a d } _ { y } \circ \mathrm { a d } _ { x } = [ \mathrm { a d } _ { x } , \mathrm { a d } _ { y } ] . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \rho _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \bigg [ ( \alpha - \rho _ { 1 } ) ( 1 + h _ { 1 } ) ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) - \rho _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) ( 1 - ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) ) \bigg ] } \\ { \dot { \rho _ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \bigg [ ( 1 - \alpha - \rho _ { 2 } ) ( 1 + h _ { 2 } ) ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) - \rho _ { 2 } ( 1 - h _ { 2 } ) ( 1 - ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } ) ) \bigg ] } \end{array} \right.