harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \left| \varepsilon _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } \right| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left\{ \left| \mathcal { A } _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ( t ) \right| \right\} } \\ & { \leq C _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { T } \prod _ { \ell \, : \, v _ { \ell } = 0 } \left( \frac { \sqrt { \log ( 3 + j _ { \ell } + | k _ { \ell } | ) } } { ( 3 + | 2 ^ { j _ { \ell } } s - k _ { \ell } | ) ^ { 2 } } \right) \times \ldots } \\ & { \qquad \ldots \times \prod _ { \ell ^ { \prime } \, : \, v _ { \ell ^ { \prime } } = 1 } \left( \frac { \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell ^ { \prime } } | + | k _ { \ell ^ { \prime } } | ) } } { ( 3 + | 2 ^ { j _ { \ell ^ { \prime } } } s - k _ { \ell ^ { \prime } } | ) ^ { 2 } } \right) \, d s } \\ & { \leq C _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { T } \prod _ { \ell \, : \, v _ { \ell } = 0 } \left( \sqrt { \log ( 3 + j _ { \ell } + 2 ^ { j _ { \ell } } T ) } \right) \times \ldots } \\ & { \qquad \ldots \times \prod _ { \ell ^ { \prime } \, : \, v _ { \ell ^ { \prime } } = 1 } \left( \frac { \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell ^ { \prime } } | ) } \sqrt { \log ( 3 + | k _ { \ell ^ { \prime } } | ) } } { ( 3 + | k _ { \ell ^ { \prime } } | ) ^ { 2 } } \right) \, d s } \\ & { \leq C _ { 1 } N ^ { \# \{ \ell \, : \, v _ { \ell } = 0 \} / 2 } \prod _ { \ell ^ { \prime } \, : \, v _ { \ell ^ { \prime } } = 1 } \left( \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell ^ { \prime } } | ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \left( \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { \operatorname* { m a x } h } + \int _ { \operatorname* { m a x } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \right) \int _ { \gamma ^ { - } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z = : A _ { 1 } + A _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { N _ { \textrm { I C } } \cap S , D } ( t ) } & { { } = \frac { \big \langle N _ { \textrm { I C } } ^ { i } ( T ) \cdot S ^ { i } ( T ) \cdot D ^ { i } ( T + t ) \big \rangle _ { i , T } } { { \langle N _ { \textrm { I C } } ^ { i } ( T ) S ^ { i } ( T ) \rangle _ { i , T } \langle D ^ { i } ( T ) \rangle _ { i , T } } } , } \\ { C _ { S , D } ( t ) } & { { } = \frac { \big \langle S ^ { i } ( T ) \cdot D ^ { i } ( T + t ) \big \rangle _ { i , T } } { \langle S ^ { i } ( T ) \rangle _ { i , T } \langle D ^ { i } ( T ) \rangle _ { i , T } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { E I } } ( x ) } & { : = \textbf { w } _ { \mathrm { Q D } } ^ { \top } \left[ ( m ( x \mid \boldsymbol \theta _ { \mathrm { Q D } } ) - \boldsymbol \eta ) \odot \Phi ( Z \mid \boldsymbol \theta _ { \mathrm { Q D } } ) \right] + \textbf { w } _ { \mathrm { Q D } } ^ { \top } \left[ \sqrt { C ( x , x \mid \boldsymbol \theta _ { \mathrm { Q D } } ) } \odot \phi ( Z \mid \boldsymbol \theta _ { \mathrm { Q D } } ) \right] } \\ { Z } & { : = \frac { m ( x \mid \boldsymbol \theta _ { \mathrm { Q D } } ) - \boldsymbol \eta } { \sqrt { C ( x , x \mid \boldsymbol \theta _ { \mathrm { Q D } } ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x _ { k } ( s ) \| } & { \leqslant \| x _ { k } ( s ) - x _ { k } ( 0 ) \| + \| x _ { k } ( 0 ) \| } \\ & { \leqslant \int _ { 0 } ^ { s } \| x _ { k } ^ { \prime } ( \tau ) \| d \tau + \| x _ { k } ( 0 ) \| } \\ & { \leqslant \sigma _ { T } ( X _ { 0 } ) + \operatorname* { s u p } _ { x _ { 0 } \in X _ { 0 } } \| x _ { 0 } \| . } \end{array}
X = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } ; \quad Y = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } ; \quad Z = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } .
\frac { d \sigma } { d Q ^ { 2 } d \nu d \Gamma } = \frac { G ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \, \frac { 1 } { \nu } \, \frac { E ^ { \prime } } { E } \, F _ { \pi } ^ { 2 } \left( \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } + Q ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \, \frac { d \sigma _ { \pi } } { d \Gamma } \, .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { B } ( | u _ { j } ^ { t + 1 } | ^ { 2 } , d _ { j } ) + \mathbb { R } \left( \langle \Lambda _ { j } ^ { t } , u _ { j } ^ { t + 1 } - \mathcal { F } ( P _ { j } ^ { t } z ^ { t } ) \rangle \right) + \frac { \beta _ { 1 } } { 2 } \| u _ { j } ^ { t + 1 } - \mathcal { F } ( P _ { j } ^ { t } z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \leq \mathcal { B } ( | u _ { j } ^ { t } | ^ { 2 } , d _ { j } ) + \mathbb { R } \left( \langle \Lambda _ { j } ^ { t } , u _ { j } ^ { t } - \mathcal { F } ( P _ { j } ^ { t } z ^ { t } ) \rangle \right) + \frac { \beta _ { 1 } } { 2 } \| u _ { j } ^ { t } - \mathcal { F } ( P _ { j } ^ { t } z ^ { t } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \rho _ { n } | \lambda _ { n } ) } & { { } \equiv \int \mathrm { d } r _ { n } ~ P _ { R } ( r _ { n } ) { \mathcal L } \left( \rho _ { n } \big | \lambda _ { n } r _ { n } \right) } \end{array}
\frac { d } { d \Lambda } e ^ { - \frac { 1 } { \hbar } \left( L ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } ( \varphi ) + I ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } \right) } = \frac { \hbar } { 2 } \langle \frac { \delta } { \delta \varphi } \, , \dot { C } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } \frac { \delta } { \delta \varphi } \rangle \, e ^ { - \frac { 1 } { \hbar } \left( L ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } ( \varphi ) + I ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } \right) } .
l ^ { 2 } J ^ { 2 } \leq \frac { ( m l ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } - \chi _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( m l ^ { 2 } - r _ { + } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ( M l ^ { 2 } + 2 \chi _ { \mathrm { m } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { s } } { \partial \omega _ { i } } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 0 } M _ { s } \frac { \partial } { \partial \omega _ { i } } \int _ { \Omega } \vec { m } \cdot \vec { D } \vec { m } \, d x } \\ & { = - \mu _ { 0 } M _ { s } \int _ { \Omega } \vec { H } _ { s } \frac { \partial \vec { m } } { \partial \omega _ { i } } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { c c c c c c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 7 } \\ { 1 } & { 3 } & { 6 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 1 } \\ { 1 } & { 4 } & { 1 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 6 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c c } { 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 3 } \\ { 2 } & { 5 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 7 } \\ { 3 } & { 9 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 2 } \end{array} \mapsto \begin{array} { c c c c c c } { 1 } & { 1 } & { - 2 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 3 } & { 2 } & { - 3 } & { 0 } & { 1 } & { 3 } \end{array} } \\ & { \mapsto \begin{array} { c c c c c c } & { - 1 } & { 3 } & { - 3 } & { 1 } & { 0 } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \alpha _ { n } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { \left\{ \begin{array} { l l } { { \alpha _ { 0 } , } } & { { n = 0 , } } \\ { { \displaystyle ( 1 - a ) a ^ { n } q ^ { n ^ { 2 } - n } \left\{ \frac { \alpha _ { n } } { 1 - a q ^ { 2 n } } - \frac { a q ^ { 2 n - 2 } \alpha _ { n - 1 } } { 1 - a q ^ { 2 n - 2 } } \right\} , } } & { { n > 0 , } } \end{array} \right. } } \\ { { \beta _ { n } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { \displaystyle \sum _ { r = 0 } ^ { n } \frac { a ^ { r } q ^ { r ^ { 2 } - r } } { ( q ) _ { n - r } } \beta _ { r } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| U \| _ { s , j } ^ { 2 } \right) \leq 2 \mathbb E \| U _ { 0 } \| _ { s , k } ^ { 2 } + C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j , k } ^ { T } } \| U \| _ { s , j } ^ { 2 } d t + C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j , k } ^ { T } } \| u ^ { k } \| _ { s + 1 } ^ { 2 } \| U \| _ { s - 1 } ^ { 2 } d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { \sigma _ { 1 } } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | 1 / \sigma _ { 1 } ^ { * 2 } - 1 / \sigma _ { 1 , \alpha } ^ { 2 } | , W _ { \sigma _ { 2 } } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | 1 / \sigma _ { 2 } ^ { * 2 } - 1 / \sigma _ { 2 , \alpha } ^ { 2 } | , W _ { \sigma _ { 3 } } = \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 9 7 5 ] } | 1 / \sigma _ { 3 } ^ { * 2 } - 1 / \sigma _ { 3 , \alpha } ^ { 2 } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { I } } & { = \hat { I } _ { x } + \hat { I } _ { y } = } \\ & { \frac { 1 } { 2 b ^ { 2 } } \left[ \hat { x } ^ { 2 } + ( b ^ { 2 } \hat { p } _ { x } - b \dot { b } \hat { x } ) ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { 2 b ^ { 2 } } \left[ \hat { y } ^ { 2 } + ( b ^ { 2 } \hat { p } _ { y } - b \dot { b } \hat { y } ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
{ \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } } + \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \right) \mathbf { u } = - { \frac { 1 } { \rho } } \nabla p + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + { \frac { 1 } { \rho } } \mathbf { F } ,
. E v e n a d j u s t i n g t h e p r e s e n t e d c o s t m o d e l t o a f r e q u e n c y o f 4 0 G H z ( i n t h e m i d d l e o f S t a r l i n k ^ { \prime } s u p l i n k a n d d o w n l i n k b a n d s ) , t h i s m o d e l p r o j e c t s a n a e r i a l m a s s d e n s i t y o f 2 , 3 9 6 g / m
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } = \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } + \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } , } \\ { \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } = - \frac { m _ { 1 } ( 2 + m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { ( 2 + m _ { 1 } ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } + \frac { 2 } { 2 + m _ { 1 } } \mathbf { x } _ { 2 } , } \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } = \frac { 2 } { 2 + m _ { 1 } } \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } + \frac { m _ { 1 } ( 2 + m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { ( m _ { 1 } + 2 ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } , } \\ { \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } = - \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } , } \end{array} \right.
\mathrm { I m } \, I [ \delta m ] = - E ( \alpha _ { s } , \mu ) = \mathrm { c o n s t } \times \mu \, \exp \left( \int _ { \alpha _ { s } } \! d x \frac { 1 } { 2 \beta ( x ) } \right) = \mathrm { c o n s t } \times \Lambda .
\mathcal { I } _ { R } ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { g } ) = \frac { \sum _ { i } \operatorname* { m i n } \left\{ | f _ { i } | , | g _ { i } | \right\} } { \operatorname* { m i n } \left\{ \sum _ { i } | f _ { i } | , \sum _ { i } | g _ { i } | \right\} }
\left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { f } } \\ { { - f } } & { { 0 } } \end{array} \right) \star \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { g } } \\ { { - g } } & { { 0 } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { g } } \\ { { - g } } & { { 0 } } \end{array} \right) \star \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { f } } \\ { { - f } } & { { 0 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \left[ g , f \right] _ { \star } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \left[ g , f \right] _ { \star } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \int _ { \bar { z } _ { i } - h / 2 } ^ { \bar { z } _ { i } - \gamma } - \frac { 2 f _ { i } } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 3 } } d \bar { z } _ { 0 } = - f _ { i } \left[ \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \left( h / 2 \right) ^ { 2 } } \right] \, \quad \mathrm { a n d } } \\ & { \int _ { \bar { z } _ { i } + \gamma } ^ { \bar { z } _ { i } + h / 2 } \frac { 2 f _ { i } } { \left( \bar { z } _ { i } - \bar { z } _ { 0 } \right) ^ { 3 } } d \bar { z } _ { 0 } = f _ { i } \left[ - \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \left( h / 2 \right) ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\hat { \textbf { b } } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } \left( u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right) } } \left( \varepsilon v \, , \, \varepsilon u \, , \, 1 \right) \simeq \left( \varepsilon v \, , \, \varepsilon u \, , \, 1 \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \langle F _ { x _ { 0 } } , W \rangle ^ { 2 } } { | | W | | ^ { 2 } | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } } - \frac { \langle F _ { x _ { 0 } } , W \rangle ^ { 2 } } { | | W | | ^ { 2 } ( \lambda + | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } ) } } & { = \frac { \langle F _ { x _ { 0 } } , W \rangle ^ { 2 } } { | | W | | ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \lambda + | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { = \frac { \langle F _ { x _ { 0 } } , W \rangle ^ { 2 } } { | | W | | ^ { 2 } } \frac { \lambda } { | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } ( \lambda + | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } ) } } \\ & { \leq r ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } \frac { \lambda } { \lambda + | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } } \leq \frac { \lambda } { | | F _ { x _ { 0 } } | | ^ { 2 } } \leq \frac { \lambda } { \varepsilon } } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \lambda } ^ { + \infty } \left[ f ( p ) \partial _ { p } \left( p \frac { p } { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } W \left( \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } } , t \right) \xi \left( \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } } , t \right) \right) \right] d p d t } \\ { = } & { { } - \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \lambda } ^ { + \infty } \left[ f ( p ) \partial _ { p } \left( \gamma u \left( p \xi \left( \frac { 1 } { \sqrt { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } } , t \right) \right) \right) \right] d p d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x _ { + } ( t ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } x _ { + } ( t ) \right] } & { \leq 4 \left\| u \right\| _ { L _ { t } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mathcal T _ { k , + } ( t ) - \sigma _ { k } ^ { - 1 } \alpha _ { k } ( t ) + c \int _ { 0 } ^ { t } \mathbb E \left[ x _ { + } ( s ) ^ { \top } \Sigma _ { k } ^ { - 1 } x _ { + } ( s ) \right] d s . } \end{array}
\tilde { \eta } ^ { ( 1 ) } = \hat { \eta } _ { 1 , 0 } e ^ { i \alpha _ { 1 } } + \hat { \eta } _ { 0 , 1 } e ^ { i \alpha _ { 2 } } + c . c . , \qquad b ^ { ( 0 ) } = g + \frac { g } { k } , \qquad \tau ^ { ( 0 ) } = \frac { g } { k }
\mathbf { X } = \left( \begin{array} { c c c } { u _ { 1 } ( x = x _ { D } , t = t _ { 1 } ) } & { \dots } & { u _ { N } ( x = x _ { D } , t = t _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { u _ { 1 } ( x = x _ { D } , t = t _ { N _ { x } } ) } & { \dots } & { u _ { N } ( x = x _ { D } , t = t _ { N _ { x } } ) } \end{array} \right) .
\sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 2 ) } \geq \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 2 ) } + \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 2 ) } = 1 \implies \sum _ { l \in \textbf { b e l o w } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 2 ) } \not \leq x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } ^ { ( 2 ) }
Z = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } d _ { n } e ^ { - \beta E _ { n } } \propto \int _ { 0 } ^ { \infty } d n \, n ^ { b } \, e ^ { - \beta E _ { 1 } n ^ { a } } \propto \beta ^ { - ( 1 + b ) / a } ,
\mathbf { H } = \left\{ \begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { 0 } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { 0 } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { { } } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { 0 } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { 0 } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \ \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { \Omega } , } \\ { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { s } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { s } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { k _ { s } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { { } } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \varepsilon _ { s } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { s } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { k _ { s } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \ \tilde { B } , } \\ { - \mathrm { i } \omega ^ { - 1 } \nabla \times \Big ( ( \omega ^ { 2 } \gamma _ { l } \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Psi _ { 0 } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Phi _ { 0 } ] ) } & { { } } \\ { + \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } ( \omega ^ { 2 } \gamma _ { l } \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Psi _ { l ^ { \prime } } ] + \nabla \times \mathcal { A } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { \varsigma _ { l } } [ \Phi _ { l ^ { \prime } } ] ) \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \ \ B _ { l } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { M B } } } & { = \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } + \rho c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } \theta , } \\ { \Pi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathrm { M B } } } & { = \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } u _ { \gamma } + \rho c _ { s } ^ { 2 } \left[ u _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } \theta \right] _ { \mathrm { c y c } } , } \end{array}
\omega ( y , t ) = \sigma _ { \varepsilon } ( y , t ) + \int _ { D } p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) W _ { 0 } ^ { \varepsilon } ( \xi ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) ( G ( \xi , s ) + \rho _ { \varepsilon } ( \xi , s ) ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s ,
\begin{array} { r l } & { G ( \omega _ { x } , \omega _ { z } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { l = - ( N _ { x } - 1 ) } ^ { N _ { x } - 1 } \sum _ { m = - ( N _ { z } - 1 ) } ^ { N _ { z } - 1 } b _ { l , m } e ^ { - j ( l \omega _ { x } + m \omega _ { z } ) } , } \\ & { \omega _ { x } = - \frac { ( N _ { x } - 1 ) \pi } { N _ { x } } , - \frac { ( N _ { x } - 3 ) \pi } { N _ { x } } , \ldots , \frac { ( N _ { x } - 1 ) \pi } { N _ { x } } , } \\ & { \omega _ { z } = - \frac { ( N _ { z } - 1 ) \pi } { N _ { z } } , - \frac { ( N _ { z } - 3 ) \pi } { N _ { z } } , \ldots , \frac { ( N _ { z } - 1 ) \pi } { N _ { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ^ { + } } & { = \frac { 2 q } { \alpha ^ { 2 } \left( Q - q \right) } \left( 2 q e ^ { - Q h } - \left( Q + q \right) e ^ { - q h } \right) \, , } \\ { c _ { 2 } ^ { + } } & { = \frac { 2 q ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } Q \left( Q - q \right) } \left( 2 Q e ^ { - q h } - \left( Q + q \right) e ^ { - Q h } \right) \, . } \end{array}
F ( c + i s ) = \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } \cos ( \boldsymbol { m } _ { x } ^ { \top } \boldsymbol { x } + m _ { t } t ) + i \sin ( \boldsymbol { m } _ { x } ^ { \top } \boldsymbol { x } + m _ { t } t ) \mathrm { d } \mu ( x , t ) = \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } \exp ( i ( \boldsymbol { m } _ { x } ^ { \top } \boldsymbol { x } + m _ { t } t ) ) \mathrm { d } \mu ( \boldsymbol { m } , t ) = 0
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \mu \ell / 1 0 0 0 < r \le 1 / 5 } N _ { u } ( x , r ) } & { \le \operatorname* { s u p } _ { 2 ^ { - m } / 1 0 < r \le 1 / 5 } N _ { u } ( x , r ) } \\ & { \le ( 1 + \varepsilon ) ^ { m - 1 } \operatorname* { s u p } _ { 1 / 1 0 < r \le 1 / 5 } ( N _ { u } ( x , r ) + 1 ) } \\ & { \le 2 4 N + C _ { d } . } \end{array}
\int d ^ { 1 0 } \hat { x } \sqrt { | \hat { \jmath } | } \, \left[ { \textstyle \frac { 1 } { 2 \cdot 5 ! } } \left( \hat { G } _ { ( 5 ) } \right) ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 2 \cdot 5 ! } } \left( \hat { \overline { { { G } } } } _ { ( 5 ) } \right) ^ { 2 } \right] \, .
\Pi _ { V V P } ( p ^ { 2 } , q ^ { 2 } , r ^ { 2 } ) = { \frac { ( - B _ { 0 } F _ { 0 } ^ { 2 } \, ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) + a ) ( r ^ { 2 } - { M _ { P } } ^ { 2 } ) + b ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) + c r ^ { 2 } } { 2 ( p ^ { 2 } - { M _ { V } } ^ { 2 } ) ( q ^ { 2 } - { M _ { V } } ^ { 2 } ) r ^ { 2 } ( r ^ { 2 } - { M _ { P } } ^ { 2 } ) } }
2 \pi \mathrm { i \, } \sigma _ { s r } \left( t \right) + \int _ { \infty } ^ { 0 } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 - \xi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \pi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) } { \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) } \mathrm { e } ^ { \rho t \mathrm { e } ^ { ^ { \mathrm { i } \pi } } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \mathrm { d } \rho + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { 1 - \xi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \left( 1 - \xi \right) \pi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi } \right) } { \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi } \right) } \mathrm { e } ^ { \rho t \mathrm { e } ^ { - ^ { \mathrm { i } \pi } } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi } \mathrm { d } \rho = 0 ,
\Gamma ( t \rightarrow q Z ) = \frac { \alpha m _ { t } } { 4 \sin ^ { 2 } 2 \theta _ { W } } \left( 1 - \frac { m _ { Z } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left[ \left( \frac { \kappa _ { Z } ^ { q } } { \Lambda } \right) ^ { 2 } m _ { t } ^ { 2 } ( 2 + \frac { m _ { Z } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } ) - 6 v _ { Z } ^ { q } \frac { \kappa _ { Z } ^ { q } } { \Lambda } m _ { t } + ( v _ { Z } ^ { q 2 } + a _ { Z } ^ { q 2 } ) ( 2 + \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } ) \right]
\begin{array} { r l } & { \rho _ { s } ( t ) = \mathrm { t r } _ { B } \left( \right. } \\ & { T _ { \leftarrow } \prod _ { i = 0 } ^ { M } U _ { i , i - 1 } \mathrm { e x p } \left( \int _ { t _ { 0 } + \varepsilon ( i - 1 ) } ^ { t _ { 0 } + \varepsilon i } \mathrm { d } \tau U _ { i - 1 } ^ { \dagger } ( \tau ) H _ { s b , - } ( \tau ) U _ { i - 1 } ( \tau ) \right) } \\ & { \qquad \quad \left. \rho _ { s } ( t _ { 0 } ) \otimes \rho _ { B } \right) } \end{array}
m < 0 \; \; \; \; \psi ( x ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d p \; a _ { n p } \psi _ { n p } ^ { ( + ) } ( x ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d p \; b _ { n p } ^ { \dag } \psi _ { n p } ^ { ( - ) } \; ,
\begin{array} { r l r } { \left\langle f \right\vert S - 1 \left\vert i \right\rangle } & { { } = } & { \frac { \left( - i \lambda \right) ^ { 2 } } { 2 ! } \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } y \int \frac { d ^ { 4 } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } \frac { i e ^ { i k \cdot \left( x - y \right) } } { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \times } \end{array}
\langle 1 - x _ { b } \rangle \Big | _ { x _ { b } > 1 - \delta } = B _ { 0 } ( \delta ) + \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \pi } \, B _ { 1 } ( \delta ) + \bigg ( \frac { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { \pi } \bigg ) ^ { 2 } \beta _ { 0 } \, B _ { 2 } ( \delta ) + \ldots \, ,
{ \begin{array} { r l r l } { { 4 } { \mathrm { ~ ( 1 ) ~ } } \ } & { s _ { p , K } ( f ) } & & { : = \operatorname* { s u p } _ { x _ { 0 } \in K } \left| \partial ^ { p } f ( x _ { 0 } ) \right| } \\ { { \mathrm { ~ ( 2 ) ~ } } \ } & { q _ { i , K } ( f ) } & & { : = \operatorname* { s u p } _ { | p | \leq i } \left( \operatorname* { s u p } _ { x _ { 0 } \in K } \left| \partial ^ { p } f ( x _ { 0 } ) \right| \right) = \operatorname* { s u p } _ { | p | \leq i } \left( s _ { p , K } ( f ) \right) } \\ { { \mathrm { ~ ( 3 ) ~ } } \ } & { r _ { i , K } ( f ) } & & { : = \operatorname* { s u p } _ { \stackrel { | p | \leq i } { x _ { 0 } \in K } } \left| \partial ^ { p } f ( x _ { 0 } ) \right| } \\ { { \mathrm { ~ ( 4 ) ~ } } \ } & { t _ { i , K } ( f ) } & & { : = \operatorname* { s u p } _ { x _ { 0 } \in K } \left( \sum _ { | p | \leq i } \left| \partial ^ { p } f ( x _ { 0 } ) \right| \right) } \end{array} }