harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d \varphi } { d t } } = } & { - { \frac { q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } | ^ { 2 } \left( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \right) ^ { 2 } } } { \frac { d } { d t } } \left[ ( | \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } | ( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } ) \right] } \\ { = } & { - { \frac { q } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } | ^ { 2 } \left( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \right) ^ { 2 } } } { \frac { d } { d t } } \left[ | \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } | - ( \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } ) \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \right] } \\ { = } & { - { \frac { q c } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } { \frac { 1 } { | \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } | ^ { 2 } \left( 1 - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } \right) ^ { 3 } } } \left[ - \mathbf { n } _ { s } \cdot { \boldsymbol { \beta } } _ { s } + { \beta _ { s } } ^ { 2 } - ( \mathbf { r } - \mathbf { r _ { s } } ) \cdot { \dot { \boldsymbol { \beta } } } _ { s } / c \right] } \end{array} }
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { F _ { i } ( \chi _ { j } ( 0 ) N ) } { F _ { j } ( \chi _ { i } ( 0 ) N ) } = c \in [ 0 , \infty ] \quad \Longrightarrow \quad \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } { \sum _ { k = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( k ) } } = c \frac { \chi _ { i } ( 0 ) } { \chi _ { j } ( 0 ) }
\rho _ { M ^ { \prime } } ( \lambda ) = \sqrt { \frac { L } { 2 T } } \rho _ { M } \left( \sqrt { \frac { L } { 2 T } } \lambda \right) = \sqrt { \frac { L } { 2 T } } \frac { 1 } { x _ { B } \pi } \sqrt { 2 x _ { B } - \frac { L } { 2 T } \lambda ^ { 2 } }
z = { \frac { q ^ { 2 } } { M _ { B } ^ { 2 } } } , \quad z _ { 0 } = { \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } } { M _ { B } ^ { 2 } } } , \quad a = { \frac { M _ { g l } ^ { 2 } } { M _ { B } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { m } ( x ) } & { = k ( X , x ) ^ { T } ( K + \lambda I _ { n } ) ^ { - 1 } Y } \\ & { = k ( X _ { i n } ^ { \theta } , x ) ^ { T } ( \Tilde { K } _ { \theta } + \lambda I _ { p _ { \theta } } ) ^ { - 1 } Y _ { i n } ^ { \theta } + \frac { 1 } { \lambda } k ( X _ { o u t } ^ { \theta } , x ) ^ { T } Y _ { o u t } ^ { \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ^ { \alpha } } & { : = A _ { \beta } ^ { \alpha } \left( q ^ { a } \right) \dot { s } ^ { \beta } + A _ { I } ^ { \alpha } \left( q ^ { a } \right) \dot { r } ^ { I } , \alpha = 1 , \ldots , \bar { m } } \\ { \mathbf { u } } & { = \mathbf { A } \left( \mathbf { q } \right) \dot { \mathbf { q } } = \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { A } _ { 1 } } & { \mathbf { A } _ { 2 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { I } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \dot { \mathbf { s } } } \\ { \dot { \mathbf { r } } } \end{array} \right) , \ \ \mathrm { w i t h \ } \mathbf { A } _ { 1 } = \left( A _ { \beta } ^ { \alpha } \right) , \mathbf { A } _ { 2 } = \left( A _ { I } ^ { \alpha } \right) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { L S _ { 1 1 } } & { L S _ { 1 2 } L } \\ { S _ { 2 1 } } & { S _ { 2 2 } L } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } ^ { ( n - 1 ) } } \\ { \ \mathbf { B } ^ { ( n ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { A } ^ { ( n ) } } \\ { \ \mathbf { B } ^ { ( n - 1 ) } } \end{array} \right] .
\prod _ { i = 1 } ^ { n } { x _ { i } y _ { i } } = \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } \right) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n } y _ { i } \right) = x _ { 1 } y _ { 1 } \cdot x _ { 2 } y _ { 2 } \cdot \ldots \cdot x _ { n } y _ { n }
\begin{array} { r } { ( { \bf r } \cdot \hat { \bf E } ) ( \nabla \times \hat { \bf A } ) _ { i } = ( r _ { j } \hat { E } _ { j } ) \epsilon _ { i l m } \partial _ { l } \hat { A } _ { m } = \epsilon _ { i l m } ( r _ { j } \hat { E } _ { j } ) ( \partial _ { l } \hat { A } _ { m } ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c c c c } { { 2 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { 0 } } \\ { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } \\ { { 0 } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } & { { - 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { . } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 2 } } \end{array} \right) .
\lfloor x \rfloor + \lfloor - x \rfloor = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { { \mathrm { i f ~ } } x \in \mathbb { Z } } \\ { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } x \not \in \mathbb { Z } , } \end{array} \right. }
E 0 _ { p 1 } = - { \frac { i } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } ( 4 \pi \mu ^ { 2 } ) ^ { \epsilon } \Gamma ( 3 + \epsilon ) \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \Pi _ { i = 1 } ^ { 5 } d a _ { i } \delta ( 1 - \Sigma _ { i = 1 } ^ { 5 } a _ { i } ) } { [ { \cal D } _ { p 1 } ( a _ { i } ) ] ^ { 3 + \epsilon } } } \, \, \, ,
u _ { 0 , { \mathrm { M C - } } k } ^ { ( 2 , 0 ) } ( z ) = \frac { \sum _ { i = 0 } ^ { k - 2 } ( - 1 ) ^ { i + k + 1 } \frac { \left( \frac { 1 } { 4 } - 4 ^ { - 2 - i } \right) \, \Gamma \left( k + \frac { 1 } { 2 } \right) } { \Gamma \left( i + \frac { 5 } { 2 } \right) \Gamma \left( k - 1 - i \right) } \, u _ { 0 } ^ { k - i - 2 } ( z ) \, A ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 i } } { \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } 2 ^ { 2 i } \, \upalpha _ { k , i } \, u _ { 0 } ^ { k - i - 1 } ( z ) \, A ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 i } } \left( u _ { 0 } ^ { ( 1 , 0 ) } ( z ) \right) ^ { 2 } .
N _ { Q \overline { { { Q } } } } \: ( W ) \; = \; N _ { q \overline { { { q } } } } \: ( W ) \; - \; N _ { q \overline { { { q } } } } \: ( \sqrt { e } M ) \; \left[ 1 \: + \: { \cal O } ( \alpha _ { s } ( M ) ) \right] .
\widehat { R } _ { ( { S } _ { m _ { i } } , X ) } \left( \widehat { \beta } ^ { { S } _ { m _ { i } } } ; \beta \right) = \frac { 1 } { 5 0 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { 5 0 0 } \left\{ \frac { 1 } { n _ { \mathrm { n e w } } } \sum _ { r = 1 } ^ { n _ { \mathrm { n e w } } } \left( x _ { \mathrm { n e w } _ { r } } ^ { \top } \widehat { \beta } ( k ) ^ { { S } _ { m _ { i } } } - x _ { \mathrm { n e w } _ { r } } ^ { \top } \beta ( k ) \right) ^ { 2 } \right\} .
\left( | H \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } + | V \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } + | - m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } \right) / 2
f _ { \pi } ( q ^ { 2 } ) = 1 + K q ^ { 2 } + { \frac { q ^ { 4 } } { \pi } } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s } { s ^ { 2 } } } { \frac { I m f _ { \pi } ( s ) } { s - q ^ { 2 } - i \epsilon } }
\begin{array} { r } { \left( 1 - \frac { \dot { R } } { c } \right) R \ddot { R } + \frac { \dot { R } ^ { 2 } } { 2 } \left( 3 - \frac { \dot { R } } { c } \right) = } \\ { \frac { 1 } { \rho } \left[ 1 + \frac { \dot { R } } { c } + \frac { R } { c } \frac { d } { d t } \right] \left[ P ( R , \dot { R } ) - P _ { \infty } ( t ) \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { r } _ { - 2 } ( \varphi , x , \xi ) } & { = \varepsilon \mathfrak { b } _ { 1 } ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) , x , \xi ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathfrak { b } _ { 2 } ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) , x , \xi ) + \varepsilon ^ { 3 } \mathfrak { b } _ { 3 } ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi ) , x , \xi ) + \mathfrak { q } ( \varphi + \tilde { p } _ { 1 } ( \varphi , x , \xi ) ) , } \end{array}
( 1 - A \Delta ) _ { 1 } P _ { a } ( 1 - A \Delta ) _ { 1 } = \left( \delta _ { b } ^ { a } + \epsilon _ { a } ^ { b } \omega \Delta \right) _ { 1 } P _ { b } + \epsilon _ { a b } ( e ^ { b } \Delta ) _ { 1 } I + O ( \Delta ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { v _ { s } ( y , s ) } & { { } = - \frac { 3 L } { 4 \pi E _ { s } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \log | y - y ^ { \prime } | \partial _ { s } f ( y ^ { \prime } \! , s ) \mathrm { d } y ^ { \prime } + \frac { 3 \dot { C } ( s ) } { 2 \pi E _ { s } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { f ( y ^ { \prime } \! , s ) } { y - y ^ { \prime } } \mathrm { d } y ^ { \prime } \! . } \end{array}
\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 3 ^ { k } k } } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 4 ^ { k } k } } = { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 4 } } { \Bigg ) } + { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 1 8 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } { \Bigg ) } + { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 8 1 } } + { \frac { 1 } { 1 9 2 } } { \Bigg ) } + { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 3 2 4 } } + { \frac { 1 } { 1 0 2 4 } } { \Bigg ) } + \cdots = \ln 2
d = 2 r \arcsin \left( \sqrt { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } } { 2 } \right) + \cos \varphi _ { 1 } \cdot \cos \varphi _ { 2 } \cdot \sin ^ { 2 } \left( \frac { \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 1 } } { 2 } \right) } \right) ,
\begin{array} { r l } { F } & { = - e ^ { \beta \mu _ { \mathrm { s } } } Q _ { \mathrm { s } } - \ln Q _ { \mathrm { p } 1 } - \ln Q _ { \mathrm { p } 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { v } \int \mathrm { d } { \mathbf { r } } \left\{ \chi \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) \phi _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - w _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) - w _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) \phi _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - \eta ( \mathbf { r } ) \left[ \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) + \phi _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) - 1 \right] \right\} } \\ & { - \int \mathrm { d } \mathbf { r } \left\{ \lambda _ { + } e ^ { - z _ { + } \psi ( \mathbf { r } ) } + \lambda _ { - } e ^ { z _ { - } \psi ( \mathbf { r } ) } + \frac { \epsilon ( \mathbf { r } ) } { 2 } | \nabla \psi ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } + \frac { \alpha } { v } \phi _ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) \psi ( \mathbf { r } ) \right\} } \end{array}
\mathrm { L o s s } ( \{ u _ { i , j , k } \} ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \sum _ { q = 1 } ^ { Q } \| \lambda _ { i , q } ^ { p } ( \mathcal { L } \boldsymbol { u } _ { M } ( \boldsymbol { x } _ { i , q } ) - \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } _ { i , q } ) ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \left( \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i , e } \in \partial \Omega } \| \lambda _ { i , e } ^ { b } ( \mathcal { B } \boldsymbol { u } _ { M } ( \boldsymbol { x } _ { i , e } ) - \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } _ { i , e } ) ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \Re \{ F _ { \alpha } ( y _ { m } ) \} = } & { { } 1 } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \Im \{ F _ { \alpha } ( y _ { m } ) \} = } & { { } 0 } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \Re \{ F _ { \beta } ( y _ { m } ) \} = } & { { } 1 } \\ { \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \Im \{ F _ { \beta } ( y _ { m } ) \} = } & { { } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega [ a _ { f } ] } & { \lesssim \underset { i = 0 , 1 } { \operatorname* { s u p } } \Vert ( 1 + t ) \partial _ { t } ^ { i } f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb R ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell } ) } , \ \ 3 + \frac { 3 d } { 2 } < \ell , } \\ { \Xi [ a ] _ { M } } & { \lesssim \underset { i = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } { \operatorname* { s u p } } \, \Vert \partial _ { t } ^ { i } f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb R ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell } ) } , \ \ 4 + M + \frac { d } { 2 } < \ell , } \\ { \Omega [ a _ { f } ] } & { \lesssim \underset { i = 0 , 1 } { \operatorname* { s u p } } \Vert \partial _ { t } ^ { i } f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( \mathbb R ; \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell } ) } , \ \ 7 + \frac { 3 d } { 2 } < \ell . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \pi \mathbf { v } ) ) \right) } & { = \operatorname* { d e t } \left( \boldsymbol { \pi } J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) \boldsymbol { \pi } ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \operatorname* { d e t } \left( \boldsymbol { \pi } ^ { - 1 } \boldsymbol { \pi } J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) \right) } \\ & { = \operatorname* { d e t } \left( J _ { \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widetilde { \varphi _ { 2 } } \partial _ { z z } \Psi + \widetilde { u ^ { \prime } } ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) \Big ( \widetilde { \varphi _ { 2 } } \widetilde { u ^ { \prime } } ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) \Psi \Big ) = \Omega , } \\ & { \Psi ( t , z , u ( 0 ) ) = \Psi ( t , z , u ( 1 ) ) = 0 , } \end{array}
M ( \Sigma _ { c } ^ { * } \to \Sigma _ { c } \pi ) = { \frac { g _ { 2 } } { \sqrt { 6 } f _ { \pi } } } i \epsilon _ { \nu \rho \sigma \mu } v ^ { \sigma } q _ { t } ^ { \nu } { \bar { u } } _ { \Sigma _ { c } } \gamma _ { t } ^ { \rho } \gamma _ { 5 } u _ { \Sigma _ { c } ^ { * } } ^ { \mu } \; ,
\begin{array} { r l } { - \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a ^ { n } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a } & { = - \int _ { \{ a \geq c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a ^ { n } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a + \int _ { \{ c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \leq a < 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a ^ { n } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a } \\ & { \leq - \int _ { \{ a \geq c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a ^ { n } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a + ( 2 c _ { 0 } ) ^ { n } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { \frac { 2 } { 3 } n } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { x | \epsilon _ { n } } ^ { 2 } = c _ { 1 } \epsilon _ { n } + ( c _ { 2 } + 2 \rho x _ { 0 } 2 ^ { - 2 \rho } ) \delta _ { n } + x _ { * } - x _ { 0 } 2 ^ { - 2 \rho } , } \end{array}
T _ { d } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { 1 1 } } } & { { m _ { 1 2 } \, e ^ { i \phi _ { 1 2 } } } } & { { m _ { 1 3 } \, e ^ { i \phi _ { 1 3 } } } } \\ { { 0 } } & { { m _ { 2 2 } } } & { { m _ { 2 3 } \, e ^ { i \phi _ { 2 3 } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 3 3 } } } \end{array} \right) , \quad U _ { d } = ( U _ { d } ) _ { i j } , \ i , j = 1 \cdots 3 , \quad D _ { d } = d i a g ( m _ { d } , m _ { s } , m _ { b } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( Q _ { k } - Q _ { - k } ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \; \phi ( x ) \sin k x } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( P _ { k } - P _ { - k } ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \; \pi ( x ) \sin k x } \\ { \frac { 1 } { \omega _ { k } \sqrt { 2 } } ( P _ { k } + P _ { - k } ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \; \phi ( x ) \cos k x } \\ { - \frac { \omega _ { k } } { \sqrt { 2 } } ( Q _ { k } + Q _ { - k } ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { L } } \int _ { 0 } ^ { L } d x \; \pi ( x ) \cos k x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { O r d e r ~ } \delta ^ { 2 } \mathrm { ~ o f ~ } = } & { \delta ^ { 2 } \Bigg [ \int \lambda ( z ) \Big ( - Q ( z , d \tilde { z } ) \mathcal { L } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) + Q ( z , d \tilde { z } ) \frac { 1 } { 2 } D _ { \Phi } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } D _ { \Phi } Q ( z , d \tilde { z } ) ( f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) - f _ { k } ( z , 0 ) ) \Big ) } \\ & { + \lambda ( z ) ( \mathcal { L } f _ { k } ( z , 0 ) - D _ { \Phi } f _ { k } ( z , 0 ) \rangle ) } \\ & { + \int Q ( z , d \tilde { z } ) ( f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) - f _ { k } ( z , 0 ) ) \Big ( - \frac { 1 } { 2 } \lambda ( z ) ( \lambda ( \tilde { z } ) + \lambda ( z ) ) + \frac { 1 } { 2 } D _ { \Phi } \lambda ( z ) \Big ) \Bigg ] } \\ { = } & { \delta ^ { 2 } \Bigg [ \int \lambda ( z ) \Big ( - Q ( z , d \tilde { z } ) \mathcal { L } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) + Q ( z , d \tilde { z } ) \frac { 1 } { 2 } D _ { \Phi } f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) \rangle } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { 2 } D _ { \Phi } Q ( z , d \tilde { z } ) ( f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) - f _ { k } ( z , 0 ) ) } _ { \textnormal { T e r m } A } \Big ) } \\ & { + \underbrace { \lambda ( z ) \Big ( \mathcal { L } f _ { k } ( z , 0 ) - D _ { \Phi } f _ { k } ( z , 0 ) ) - \frac { 1 } { 2 } \lambda ( z ) \int Q ( z , d \tilde { z } ) ( f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) - f _ { k } ( z , 0 ) ) \Big ) } _ { \textnormal { T e r m } B } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { 2 } D _ { \Phi } \lambda ( z ) \int Q ( z , d \tilde { z } ) ( f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) - f _ { k } ( z , 0 ) ) } _ { \textnormal { T e r m } C } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int Q ( z , d \tilde { z } ) ( f _ { k } ( \tilde { z } , 0 ) - \underbrace { f _ { k } ( z , 0 ) } _ { \textnormal { T e r m } D } ) \lambda ( z ) \lambda ( \tilde { z } ) \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { \mathrm { f } } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { T _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { T _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { T _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { T _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { U _ { 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { U _ { 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \end{array} \right] , } \\ { Y _ { \mathrm { f } } } & { = \left[ \begin{array} { l } { - H _ { n } ^ { ( 1 ) } ( \omega R ^ { ( N ) } / c ) } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 } { c \rho \omega } H _ { n } ^ { ( 1 ) \prime } ( \omega R ^ { ( N ) } / c ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\hat { \mathbf { V } } { ^ { \mathrm { s } } } = \mathrm { d c a y } _ { \hat { \mathbf { X } } } ( \dot { \hat { \mathbf { X } } } ) , \ \ \ \hat { \mathbf { V } } { ^ { \mathrm { b } } } = \mathrm { d c a y } _ { - \hat { \mathbf { X } } } ( \dot { \hat { \mathbf { X } } } )
\begin{array} { r } { \chi ( \mathbf { q } , \omega ) = \frac { \chi _ { 0 } ( \mathbf { q } , \omega ) } { 1 - \left[ v ( q ) + K _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { q } ) \right] \chi _ { 0 } ( \mathbf { q } , \omega ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \Delta _ { n } ( \varphi _ { 1 } ^ { ( n ) } , \varphi _ { 2 } ^ { ( n ) } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { X _ { 1 } X _ { 2 } } ^ { n } , { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) } { { \Theta ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) } } \leq 1 + \sum _ { i = 1 , 2 } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { i } | } , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 \pi \cdot | a b | } } e ^ { - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \left( { \frac { \omega _ { x } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { \omega _ { y } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) }
\begin{array} { r l } { m _ { \mu } ^ { ( d ) } ( \Delta ) } & { = \frac { \mu ^ { d / 2 - 1 } } { 2 } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { ( 1 - s ) ^ { d / 2 - 1 } - 1 } { \sqrt { s ^ { 2 } + x _ { - } ( s ) ^ { 2 } } } + \frac { ( 1 + s ) ^ { d / 2 - 1 } - 1 } { \sqrt { s ^ { 2 } + x _ { + } ( s ) ^ { 2 } } } \right) \, \textnormal { d } s \right. } \\ & { \qquad \left. + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \frac { 1 } { \sqrt { s ^ { 2 } + x _ { - } ( s ) ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { \sqrt { s ^ { 2 } + x _ { + } ( s ) ^ { 2 } } } \right) \, \textnormal { d } s \right] \, , } \end{array}
{ \cal F } _ { 2 } ^ { ( n ) } ( - | \vec { \xi } | ^ { 2 } ) = \frac { 2 ^ { ( 8 - n ) } \Gamma ( n - 3 ) } { 9 [ \Gamma ( n - 5 / 2 ) ] ^ { 2 } } ( \rho _ { n } | \vec { \xi } | ) ^ { n - 2 } \bigg [ ( n - 1 ) K _ { n - 2 } ( \rho _ { n } | \vec { \xi } | ) - { \frac { 1 } { 2 } } ( \rho _ { n } | \vec { \xi } | ) K _ { n - 1 } ( \rho _ { n } | \vec { \xi } | ) \bigg ] ~ .
- \sigma _ { + } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \sigma _ { - } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 3 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) .
\varepsilon _ { 1 , 2 } ( \omega ) = \varepsilon _ { \infty } ^ { 1 , 2 } + \frac { ( \omega _ { p } ^ { 1 , 2 } ) ^ { 2 } } { ( \omega _ { 0 } ^ { 1 , 2 } ) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \gamma ^ { 1 , 2 } \omega } ,
\frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \leqslant \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 + \alpha + 3 \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 + \alpha - \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 + \alpha + 3 \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \cos \frac { \left( 1 - \alpha - 3 \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } \frac { \sin \frac { \left( 1 - \alpha + \gamma - 2 \eta \right) \pi } { 4 } } { \sin \frac { \left( 1 - \alpha - 3 \gamma + 2 \eta \right) \pi } { 4 } } ,
\begin{array} { r l } { X _ { 2 } [ f ] : = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { \operatorname* { m a x } ( q , q ^ { \prime } ) } A ( q , q ^ { \prime } ) \frac { { q ^ { \prime } } ^ { 2 } d q ^ { \prime } } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } } \\ { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { q ^ { \prime } } ^ { \infty } f _ { q } A ( q , q ^ { \prime } ) \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { { q ^ { \prime } } ^ { 2 } d q ^ { \prime } } { 2 \pi ^ { 2 } } } \\ { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Theta ( q - q ^ { \prime } ) f _ { q } A ( q , q ^ { \prime } ) \frac { { q ^ { \prime } } ^ { 2 } d q ^ { \prime } } { 2 \pi ^ { 2 } } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } f _ { q } \bar { A } ( q ) \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { y } , \mathbf { e } , \mathbf { a } _ { j } } } & { \quad f ( \mathbf { y } ) + q ( \widetilde { \eta } ( \mathbf { e } ) ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad W ^ { j } + \mathbf { w } ^ { j ^ { \intercal } } \mathbf { y } - \widetilde { \eta } ( \mathbf { e } ) + \widetilde { \alpha } _ { j } ( \mathbf { a } ^ { j } ) = 0 , \quad j = 1 , 2 , \dots k } \\ & { \quad \mathbf { y } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { y } } , \mathbf { e } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \eta } + 1 } , \mathbf { a } ^ { j } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \alpha ^ { j } } + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } \rangle } { \partial t } } & { { } = } & { \left\langle \frac { \partial c _ { k } ^ { s } } { \partial t } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } \right\rangle + \left\langle c _ { k } ^ { s } \frac { \partial c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } } { \partial t } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } \right\rangle + \left\langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \frac { \partial c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } } { \partial t } \right\rangle } \end{array}