harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \bar { \Delta } } } { \cal L } F ( m , x ) p _ { V } ( m , x ; s ) d m d x d s = \int _ { 0 } ^ { t } { \int _ { \bar { \Delta } } } F ( m , x ) \mathcal { L } ^ { * } p _ { V } ( m , x ; s ) d m d x d s } \\ & { } & { { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } F ( m , m , \tilde { x } ) \partial _ { x ^ { k } } \left[ \Sigma ^ { 1 , k } p _ { V } \right] ( m , m , \tilde { x } ; s ) d m d \tilde { x } d s } } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \left( F ( m , m , \tilde { x } ) B ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; s ) + \frac { 1 } { 2 } [ \partial _ { x ^ { k } } F \Sigma ^ { 1 , k } p _ { V } ] ( m , m , \tilde { x } ; s ) \right) d m d \tilde { x } d s . } \end{array}
\phi ( \mathbf { r } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \rho \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right| } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } \ + { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int { \frac { \mathbf { p } \left( \mathbf { r } _ { 0 } \right) \cdot \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } \right) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { 0 } | ^ { 3 } } } d ^ { 3 } \mathbf { r } _ { 0 } ,
\hat { H } = \underbrace { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \nabla _ { i } ^ { 2 } } _ { \mathrm { ~ \hat { T } ~ } } - \underbrace { \sum _ { i A } \frac { Z _ { A } } { | \boldsymbol { r } _ { 1 } - \boldsymbol { R } _ { A } | } + \sum _ { i < j } \frac { 1 } { | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } | } } _ { \mathrm { ~ \hat { V } ~ } }
\int \frac { d ^ { 3 } \tilde { u } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { \tilde { u } ^ { 2 } \tilde { u } _ { 0 } ^ { 2 } } { [ \tilde { u } ^ { 2 } + \tilde { u } _ { 0 } ^ { 2 } + \tilde { M } ^ { 2 } ] ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \sim \frac { \tilde { u } _ { 0 } ^ { 2 } } { [ \tilde { u } _ { 0 } ^ { 2 } + \tilde { M } ^ { 2 } ] ^ { \frac { 3 } { 2 } } }
M _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } } ^ { ( n ) } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } ) = 8 \pi \mu A _ { \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } m _ { \alpha { \pmb \alpha } _ { m } \beta ^ { \prime } { \pmb \beta } _ { n } ^ { \prime } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } ^ { \prime } )
\delta ^ { ( 2 ) } S _ { T } = \int d ^ { 4 } x d w \frac { 1 } { 2 } \biggl [ \eta ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } { \cal G } \partial _ { \beta } { \cal G } - { { \cal G } ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { z ^ { \prime \prime } } { z } { \cal G } ^ { 2 } \biggr ]
\begin{array} { c } { { D _ { T M } ^ { ( - 1 ) } ( t ) = \displaystyle { \frac { - \left( { n _ { 0 } } ^ { 2 } \, R ^ { 2 } \, t \, \left( 8 \, a ^ { 2 } + { n _ { 0 } } ^ { 2 } \, R ^ { 2 } \, t ^ { 2 } \right) \right) } { 8 \, { \left( a ^ { 2 } + { n _ { 0 } } ^ { 2 } \, R ^ { 2 } \, t ^ { 2 } \right) } ^ { 2 } \, { \sqrt { 1 + \frac { { n _ { 0 } } ^ { 2 } \, R ^ { 2 } \, t ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } } - \frac { \left( 2 + { n _ { 0 } } ^ { 2 } \, t ^ { 2 } \right) \, Z ^ { 2 } } { 2 \, t ^ { 3 } \, { \sqrt { 1 + { n _ { 0 } } ^ { 2 } \, t ^ { 2 } } } } } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a _ { n } 2 ^ { n - 1 } \sim \frac { 1 } { 2 } f \left( \frac { n } { t } \right) } \\ & { f ( z ) = \frac { 2 ^ { z t } } { \sqrt { 2 \pi t } } \frac { ( 2 - z ) ^ { ( 2 - z ) t } } { ( 1 - z ) ^ { ( 1 - z ) t } } \left[ \frac { 6 } { t } + 2 z - z ^ { 2 } + O \left( \frac { z } { t } \right) \right] \! . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mu } ^ { \mathrm { R } } ( p ^ { \prime } , p ) = F _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + \frac { \mathrm { i } } { 2 } F _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \nu } , } \end{array}
\partial _ { \tilde { t } } \ \left( \frac { \lambda } { \rho ( \varphi ) h ( x ) } \right) \; = \; \lambda \ \sqrt { \tilde { g } \; } / \tilde { \rho } \ h ^ { 2 } ( x ) \ n ^ { i } \ \nabla _ { i } \ \left( \frac { 1 } { \rho \, h } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \mathring { H } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) } & { { } : = \{ \mu \in H \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \mu ) = 0 \} , } \\ { \mathring { H } ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) } & { { } : = \{ \mu \in H ^ { \ast } \Lambda ^ { k } ( \Omega ) \mid \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( \ast \mu ) = 0 \} . } \end{array}
S _ { C 2 } = \sum _ { 0 \le j \le l } \frac { \left( l + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( l + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { - ( \gamma + a ) n + ( - \gamma + b ) j - ( \gamma + a ) l } } { \left( j + n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { { \bf E } _ { \mathrm { S B , n } } \propto \sum _ { s = 1 , 2 } } & { { } \left( \begin{array} { l } { { \bf d } _ { \mathrm { E - H H , s } } } \\ { { \bf d } _ { \mathrm { E - L H , s } } } \end{array} \right) ^ { \dag } \left( \begin{array} { l l } { \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { { H H } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \varsigma _ { n } ^ { \mathrm { { L H } } } } \end{array} \right) } \end{array}
\tilde { \mathbf { u } } = \tilde { \mathbf { u } } _ { b } - \sigma ^ { 2 } ( \tilde { z } + \frac { \tilde { z } ^ { 2 } } { 2 } ) \tilde { \nabla } ( \tilde { \nabla } \cdot \tilde { \mathbf { u } } _ { b } ) - \sigma ^ { 2 } ( \tilde { z } + 1 ) \nabla \tilde { \zeta } _ { \tilde { t } } + O ( \sigma ^ { 4 } , \varepsilon \sigma ^ { 2 } , \beta \sigma ^ { 2 } ) \ .
\chi \left( Q ^ { 2 } \right) \; = \; \frac { 1 } { 2 \pi b } \; \ln \left( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \alpha _ { s } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) } \right) \; = \; \frac { 1 } { 2 \pi b } \; \ln \left( \frac { \ln ( Q _ { 0 } ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } { \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) } \right) \; \; ,
{ \cal S } = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int _ { M _ { e } } d ^ { 4 } x \sqrt { g } \left( R - 2 \Lambda - F ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \sigma \int _ { W } \sqrt { h } \, d ^ { 3 } x
\begin{array} { r l } { \pm \rho _ { \xi } H _ { p } \rho _ { \xi } ^ { 2 } } & { \leq - C _ { 0 } \rho _ { \xi } ^ { 2 } , } \\ { \pm \rho _ { \xi } H _ { p } \hat { \xi } _ { \varphi } ^ { 2 } } & { \leq - C _ { 0 } \hat { \xi } _ { \varphi } ^ { 2 } , } \\ { \pm \rho _ { \xi } H _ { p } \Delta _ { b } ^ { 2 } } & { \leq - C _ { 0 } \Delta _ { b } ^ { 2 } + C _ { 1 } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { \varphi } ^ { 2 } ) } \\ { \pm \rho _ { \xi } H _ { p } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { p } ) } & { \leq - C _ { 0 } \rho _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { p } + C _ { 1 } ( \rho _ { \xi } ^ { 2 } + \Delta _ { b } ^ { 2 } + \hat { \xi } _ { \varphi } ^ { 2 } ) } \end{array}
\Pi ^ { \prime } ( n , k ) = \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } { \frac { \mathrm { d } \theta } { \left( 1 + n \sin ^ { 2 } \theta \right) { \sqrt { 1 - k ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } } } .
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { F D E } } ( \mathbf { r } _ { a } ) = } & { { } v _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { C ( F D E ) } } [ \rho _ { \mathrm { e n v } } ] ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) + v _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ n ~ a ~ d ~ d ~ , ~ k ~ i ~ n ~ } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) + v _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ n ~ a ~ d ~ d ~ , ~ x ~ c ~ } } [ \rho _ { \mathrm { A } } , \rho _ { \mathrm { e n v } } ] ( \mathbf { r } _ { \mathrm { a } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu ( B \times ( - \infty , s ] ) } & { = \gamma \, c _ { d + 1 , \beta } ^ { \prime } \, \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { 0 } ^ { \infty } g ^ { - \beta } { \bf 1 } ( f ( v , - g ) \in B \times [ - s , \infty ) ) \, \mathrm { d } g \mathrm { d } v } \\ & { = \gamma \, c _ { d + 1 , \beta } ^ { \prime } \, \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { - s } ^ { \infty } g ^ { - \beta } { \bf 1 } ( v \in B \times [ - \sqrt { s + g } , \sqrt { s + g } ] ) \, \mathrm { d } g \mathrm { d } v } \\ & { = 2 \gamma \, c _ { d + 1 , \beta } ^ { \prime } \, \lambda _ { d - 1 } ( B ) \int _ { - s } ^ { \infty } g ^ { - \beta } \sqrt { g + s } \, \mathrm { d } g } \\ & { = \gamma \, { \frac { \Gamma ( \beta - { \frac { 1 } { 2 } } ) } { \pi ^ { \frac { d } { 2 } } \Gamma ( \beta - { \frac { d + 1 } { 2 } } ) } } \, \lambda _ { d - 1 } ( B ) { \frac { ( - s ) ^ { - \beta + { \frac { 3 } { 2 } } } } { \beta - { \frac { 3 } { 2 } } } } . } \end{array}
\Lambda ^ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { l l } { { \tilde { \sigma } _ { z } } } & { { \, \tilde { 0 } } } \\ { { \, \tilde { 0 } } } & { { \tilde { \sigma } _ { z } } } \end{array} \right) \qquad \mathrm { ( n o r m a l i z e d ~ h e l i c i t y ~ o p e r a t o r ~ f o r 4 - s p i n o r s ) , }
\boldsymbol { \Xi } = \left\{ \begin{array} { l l } { I _ { 1 } \boldsymbol { \Xi } _ { k _ { \operatorname { I } } } + A _ { 1 } \boldsymbol { \Xi } _ { - k _ { \operatorname { I } } } \quad } & { x < - L / 2 } \\ { \boldsymbol { \Xi } _ { f b } \quad } & { \vert x \vert < L / 2 } \\ { I _ { 2 } \boldsymbol { \Xi } _ { k _ { \operatorname { I } } } + A _ { 2 } \boldsymbol { \Xi } _ { - k _ { \operatorname { I } } } \quad } & { x > L / 2 } \end{array} \right.
A _ { l } ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) = \frac { 2 q v } { c r _ { c } } \sideset { } { ' } { \sum } _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p = \pm 1 } \frac { R _ { n + p } ( u , r / r _ { c } ) } { p ^ { l - 1 } u W _ { n + p } ^ { I } } \cos \left( u \xi / r _ { c } \right) \sin \left( l \pi / 2 - n \phi \right) | _ { u = u _ { n , s } } ,
\begin{array} { r } { \left[ n ^ { 2 } - \mu \epsilon + \mathrm { i } \frac { \mu } { 2 \omega } \mathbf { n } \cdot ( \mathbf { a } \times \mathbf { c } ) \right] \times } \\ { \times \left[ n ^ { 2 } - \mu \epsilon - \mathrm { i } \frac { \mu } { 2 \omega } \mathbf { n } \cdot ( \mathbf { a } \times \mathbf { c } ) \right] = 0 \, . } \end{array}
v _ { x } = \underbrace { { \overline { { v } } } _ { x } } _ { \mathrm { m e a n ~ v a l u e } } + \underbrace { v _ { x } ^ { \prime } } _ { \mathrm { f l u c t u a t i o n } } \quad { \mathrm { a n d } } \quad v _ { y } = { \overline { { v } } } _ { y } + v _ { y } ^ { \prime } \, ;
( m _ { 0 } - m _ { 1 } ) v = \frac { E _ { \gamma _ { + } } ^ { \prime \prime } \left( 1 + \frac { v } { c } \right) \left( 1 - \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - \frac { E _ { \gamma _ { - } } ^ { \prime \prime } \left( 1 - \frac { v } { c } \right) \left( 1 + \frac { \delta v } { c } \right) } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } \sqrt { 1 - \frac { ( \delta v ) ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } =
\begin{array} { r l r } { \textrm { d } \hat { W } _ { \tau } } & { { } = } & { [ \frac { \omega + ( 2 p - 1 ) A } { 1 + \omega } ] \frac { W _ { \tau } } { \tau } \textrm { d } \tau + \sqrt { \epsilon } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { C } ( c ) : = \langle \hat { P } _ { C } \rangle } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 r \frac { ( c N - 1 ) } { N } + 2 s ( 1 - c ) \quad } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \; c \in [ 1 / N , 1 ] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \\ { P _ { D } ( c ) : = \langle \hat { P } _ { D } \rangle } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \tau c + 2 p \frac { ( ( 1 - c ) N - 1 ) } { N } \quad } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \; c \in [ 0 , ( N - 1 ) / N ] } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } ~ , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { L } , 0 } + \Delta _ { \mathrm { L } } \rho _ { \mathrm { T } } c \right) x + \left( \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { G } , 0 } + \Delta _ { \mathrm { G } } \rho _ { \mathrm { T } } c \right) ( 1 - x ) } & { = ( 1 - c ) \rho _ { \mathrm { T } } } \\ { \left[ \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { L } , 0 } - \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { G } , 0 } + ( \Delta _ { \mathrm { L } } - \Delta _ { \mathrm { G } } ) \rho _ { \mathrm { T } } c \right] x } & { = ( 1 - c - \Delta _ { \mathrm { G } } c ) \rho _ { \mathrm { T } } - \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { G } , 0 } , } \end{array}
P ( S _ { d } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) = 8 \gamma N _ { t } \exp ( 8 \gamma S _ { d } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) \left( 1 - \exp ( 8 \gamma S _ { d } ^ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) \right) ^ { N _ { t } - 1 }
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 } } & { { } = \left( \bar { \psi } _ { \mathrm { ~ f ~ } } - \bar { \psi } _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } \right) Y _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { \prime } + \left( \bar { \psi } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ d ~ } } - \bar { \psi } _ { \mathrm { ~ a ~ i ~ r ~ } } \right) Y _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ d ~ } } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V } & { { } = \operatorname { V a r } \left[ \mathcal { M } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { X } } } \mathcal { M } ^ { 2 } \left( \boldsymbol { x } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } - \mathcal { M } _ { 0 } ^ { 2 } } \\ { V _ { u } } & { { } = \operatorname { V a r } \left[ \mathcal { M } _ { u } \left( \boldsymbol { X } _ { u } \right) \right] = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { X } _ { u } } } \mathcal { M } _ { u } ^ { 2 } \left( \boldsymbol { x } _ { u } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x } _ { u } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { C _ { \star } ^ { 2 , \alpha } , S , R } } & { \leq C ( S , \alpha , \gamma ) \left( \| u \| _ { C ^ { 0 } , S \times [ R / 3 , 3 R ] } + \operatorname* { s u p } _ { R / 3 \leq \rho \leq 4 R / 3 } \rho \| \eta _ { z _ { 0 } } \cdot \left( \mathscr { R } ( v ) + z ^ { - 1 } \mathscr { T } ( 0 ) \right) \| _ { C _ { \star } ^ { \alpha } , \rho } \right) } \\ & { \leq C ( S , \alpha , \gamma ) ( z _ { 0 } ^ { \gamma } + \delta _ { 0 } ) R ^ { \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { l } { 2 ( \rho ^ { n - 1 } - \rho ^ { \ast n - 1 } , \theta _ { h } ^ { n } ) \leq \displaystyle \frac { 2 } { \Delta t } \left\Vert \rho ^ { n - 1 } - \rho ^ { \ast n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } + \displaystyle \frac { \Delta t } { 2 } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } \right\Vert ^ { 2 } } \\ { \leq \Delta t C \displaystyle \left( \frac { \Delta t ^ { 1 / 2 } \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { , \infty } ( D ) ^ { d } ) } } { h } \right) ^ { 2 } \left( \frac { h ^ { m + 1 } } { \Delta t ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 2 } \left\vert c \right\vert _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { m + 1 } ( D ) ) } ^ { 2 } + \displaystyle \frac { \Delta t } { 2 } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \dot { \alpha } } { \alpha } = - \frac { \kappa d _ { \gamma } ^ { ( 1 ) } \phi _ { 0 } } { 2 } \exp { \left( - \frac { \Gamma t } { 2 } \right) } \bigg ( \Gamma \cos \left( \theta - t \omega _ { d } \right) + 2 \omega _ { d } \sin \left( \theta - t \omega _ { d } \right) \bigg ) . } \end{array}
\frac { \partial \boldsymbol { M } ^ { ( t ) } } { \partial q _ { \alpha } } = \frac { \partial \boldsymbol { M } ( \varepsilon _ { t } ; \boldsymbol { q } ) } { \partial q _ { \alpha } } \cdot \boldsymbol { M } ^ { ( t - 1 ) } + \boldsymbol { M } ( \varepsilon _ { t } ; \boldsymbol { q } ) \cdot \frac { \partial \boldsymbol { M } ^ { ( t - 1 ) } } { \partial q _ { \alpha } } \, ,
\begin{array} { r l } { A ( x , t _ { k } ) = } & { { } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } h ^ { 2 } \nabla _ { x } K _ { 2 , \epsilon } \left( X _ { t _ { k } } ^ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } , x \right) \wedge \omega _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } } } \end{array}
G _ { N } = g _ { s } ^ { 2 } \left( { \frac { E } { E _ { s } } } \right) ^ { D - 2 } = \left( { \frac { \lambda } { N } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { E } { E _ { s } } } \right) ^ { D - 2 - 2 \alpha }
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } x _ { i } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } y _ { i } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } , \forall i \in V _ { 1 } .
\hat { x } _ { 1 } = \lambda _ { 1 } + \frac { \theta } { 2 } ( \partial _ { \lambda _ { 1 } } + i \partial _ { \lambda _ { 2 } } ) \quad , \quad \hat { x } _ { 2 } = \lambda _ { 2 } + \frac { \theta } { 2 } ( \partial _ { \lambda _ { 2 } } - i \partial _ { \lambda _ { 1 } } ) \quad ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } } & { { } = \left( \frac { \partial \phi } { \partial y } , - \frac { \partial \phi } { \partial x } \right) , } \\ { \mathbf { B } } & { { } = \left( \frac { \partial \psi } { \partial y } , - \frac { \partial \psi } { \partial x } \right) , } \end{array}
\tau _ { e x p } = \frac { R } { 2 \gamma _ { w } c } \sim 2 0 \, \mathrm { s } \left( \frac { R } { 1 0 ^ { 1 4 } \mathrm { \; c m } } \right) \left( \frac { \gamma _ { w } } { 1 0 ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } .
\small { \mathbf { M } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { M _ { 1 1 } } & { M _ { 1 1 } - 2 M _ { 6 6 } } & { M _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { M _ { 1 1 } - 2 M _ { 6 6 } } & { M _ { 1 1 } } & { M _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { M _ { 1 3 } } & { M _ { 1 3 } } & { M _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 5 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 5 5 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { M _ { 6 6 } } \end{array} \right) , }
\begin{array} { r l r } { \hat { p } _ { r } } & { = } & { 0 } \\ { \hat { p } _ { \phi } } & { = } & { - \frac { \hbar } { 2 i } \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \hat { p } _ { z } } & { = } & { \hbar k \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \end{array}
\mathbf { x } _ { t - 1 } = \frac { \sqrt { \bar { \alpha } _ { t - 1 } } \beta _ { t } } { 1 - \bar { \alpha } _ { t } } \hat { \mathbf { x } } _ { 0 \mid t } + \frac { \sqrt { \alpha _ { t } } ( 1 - \bar { \alpha } _ { t - 1 } ) } { 1 - \bar { \alpha } _ { t } } \mathbf { x } _ { t } + \sigma _ { t } \epsilon , \quad \epsilon \sim \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { I } ) .
\begin{array} { r } { \Omega ^ { 1 , 2 } ( \tau ) | _ { \alpha ^ { 3 } } = 4 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 3 } ( \Delta t ) ^ { 2 } \sum _ { \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) \mu ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R \sin \phi _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } \, d \phi , } \\ { R - R \cos \phi _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } \, d \phi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ) \| \eta _ { i } \| ^ { 2 } \leq V _ { 2 i } ( \eta _ { i } ) \leq \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( G ) \| \eta _ { i } \| ^ { 2 } , } \\ & { } & { \frac { \partial V _ { 2 i } ( \eta _ { i } ) } { \partial \eta _ { i , n + 1 } } \leq 2 \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( G ) \| \eta _ { i } \| , \; \forall \eta _ { i } \in \mathbb { R } ^ { n + 1 } . } \end{array}
V \; = \; \left( \begin{array} { l l l } { { \displaystyle \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } } & { { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - \displaystyle \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } } & { { ~ ~ ~ \displaystyle \frac { \sqrt { 6 } } { 4 } ~ ~ ~ } } & { { \displaystyle \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } } \\ { { \displaystyle \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } } } & { { - \displaystyle \frac { \sqrt { 6 } } { 4 } } } & { { \displaystyle \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } } \end{array} \right) \; .
\left( \begin{array} { c c } { { V V ^ { \dag } } } & { { V U ^ { \dag } } } \\ { { U ^ { \prime } V ^ { \dag } } } & { { U ^ { \prime } U ^ { \dag } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 - K f K ^ { \dag } } } & { { - K f \Delta ^ { \dag } } } \\ { { - \Delta ^ { \prime } f K ^ { \dag } } } & { { 1 - \Delta ^ { \prime } f \Delta ^ { \dag } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { c } { { \hat { A } } ( \mathbf { k } , t ) } \\ { { \hat { B } } _ { s } ( \mathbf { k } , t ) } \end{array} \right] = \pmb { \mathcal { E } } ( ( t - t _ { 0 } ) \Omega ) \left[ \begin{array} { c } { { \hat { A } } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) } \\ { { \hat { B } } _ { s } ( \mathbf { k } , t _ { 0 } ) } \end{array} \right] + \sum _ { m = 1 } ^ { m = M } \sum _ { j = 0 } ^ { j = m } \left[ \begin{array} { c } { \mathcal { I } _ { A } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } , t ) } \\ { \mathcal { I } _ { B } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { k } , t ) } \end{array} \right] , } \end{array}
c _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \ldots i _ { N } } = \sum _ { u _ { 0 } \ldots u _ { N } } { { ^ 1 T _ { u _ { 0 } u _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } } } { ^ 2 T _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { i _ { 2 } } } \ldots { ^ N T _ { u _ { N - 1 } u _ { N } } ^ { i _ { N } } } }
\partial _ { \mu } \partial ^ { \mu } \rho - \frac { \rho \, ( \frac { 1 } { 4 } r ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \partial _ { \mu } \xi + \epsilon _ { \mu \nu } \partial ^ { \nu } \psi ) ^ { 2 } } { ( \rho ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } r ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( \rho ^ { 2 } - 1 ) \rho + \frac { 1 } { 2 } \rho \, \sigma ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, \sigma ^ { 2 } \cos \xi = 0
t _ { 2 } = - 1 0 \cdot 1 0 0 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \ln { \left( \frac { 0 . 5 } { 5 } \right) } = - 1 0 \cdot 1 0 0 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \ln { 0 . 1 } \approx 2 . 3 0 2
\begin{array} { r } { \widetilde G ( \mathbf { q } ; z ) = \frac { \mathrm { i } } { 2 \mathcal { A } } \sum _ { \mathbf g \in \Lambda ^ { * } } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } - ( \mathbf { q } + \mathbf g ) ^ { 2 } } | z | } } { \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } - ( \mathbf { q } + \mathbf g ) ^ { 2 } } } \approx \frac { \mathrm { i } } { 2 \mathcal { A } } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { z } | z | } } { q _ { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta f _ { m } ^ { L } } & { { } = } & { - \frac { a _ { m } r ^ { 2 } } { 2 1 B _ { 0 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \left[ \underbrace { 8 e ^ { - i \omega _ { m } t + \gamma _ { m } t } } _ { \mathrm { ~ U ~ L ~ F ~ m ~ o ~ d ~ u ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ w ~ i ~ t ~ h ~ g ~ r ~ o ~ w ~ t ~ h ~ / ~ d ~ e ~ c ~ a ~ y ~ } } - \underbrace { { 8 } e ^ { - i m \Omega _ { d } t } } _ { \mathrm { ~ B ~ a ~ l ~ l ~ i ~ s ~ t ~ i ~ c ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } + \underbrace { 1 5 m \Omega _ { d } e ^ { - i m \Omega _ { d } t } \left( \frac { e ^ { i m \Omega _ { d } t - i \omega _ { m } t + \gamma _ { m } t } - 1 } { \omega _ { m } - m \Omega _ { d } + i \gamma _ { m } } \right) } _ { \mathrm { ~ W ~ a ~ v ~ e ~ - ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ d ~ r ~ i ~ f ~ t ~ - ~ r ~ e ~ s ~ o ~ n ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } } \right] . } \end{array}
{ \cal H } = - K \cdot \left( { \cal K } \frac { \delta } { \delta K } \right) - K \cdot \left( \frac { \delta } { \delta K } \vee \frac { \delta } { \delta K } \right) - \frac { 1 } { N ^ { 2 } } K \cdot \left( K \cdot \left( \wedge \frac { \delta } { \delta K } \right) \right) - K \cdot T .
q _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) \simeq e ^ { i \omega \tau ( \mathbf { x } _ { s } , \mathbf { x } ^ { * } ) } \int _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { b } } a ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } , \omega ) e ^ { i \omega \phi ( \mathbf { x } _ { r } ) } \chi ( \mathbf { x } _ { r } ) d l ( \mathbf { x } _ { r } ) \; ,