harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r } { P _ { n } ^ { r } = { \frac { n ( n + 1 ) { \bigl ( } n ( r - 2 ) - ( r - 5 ) { \bigr ) } } { ( 2 ) ( 3 ) } } = \left( { \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } } \right) \left( { \frac { n ( r - 2 ) - ( r - 5 ) } { 3 } } \right) = T _ { n } \ \left( { \frac { n ( r - 2 ) - ( r - 5 ) } { 3 } } \right) } \end{array} } ,
\lambda \ = \ \frac { \pi m ^ { 2 } R } { 2 } \, \Bigg \{ \, \cot \Big [ \, \pi R \, ( \lambda - \varepsilon ) \, \Big ] \ + \ \frac { \cos \Big [ 2 \phi _ { h } \: + \: \frac { q - 2 } { q } \, \pi R \, ( \lambda - \varepsilon ) \, \Big ] } { \sin \Big [ \, \pi R \, ( \lambda - \varepsilon ) \, \Big ] } \ \Bigg \} \; .
\phi _ { j } ( { \bf q } , { \dot { \bf q } } , t ) = f _ { h + j } ( { \bf X } ( { \bf q } , t ) , { \dot { \bf X } } ( { \bf q } , { \dot { \bf q } } , t ) , t ) \qquad \textrm { f o r e a c h } \; \; \; j = 1 , \dots , k = r - h
Q = F \sum _ { i } \hat { \mathbf { n } } _ { i } \cdot { \mathbf { u } } _ { f } ( \mathbf { r } _ { i } + L \hat { \bf n } _ { i } ) + { U } \hat { \mathbf { e } } _ { x } \cdot \left( { \mathbf { F } } _ { f } - \int _ { S _ { f } } \hat { \mathbf { p } } \, d A \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \textup { \texttt { t a i l } } \big ( u _ { + } ; z _ { 0 } , r , \frac { r } { 2 } \big ) ^ { p - 1 } } \\ & { } & { \quad \leq c r ^ { s p - \operatorname* { m i n } \{ s p , 1 \} - n } \iint _ { U _ { r } } \, [ u ( \cdot , x , t ) ] _ { W ^ { \sigma , p - 1 } ( B _ { r } ) } ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } \mu + c \iiint _ { Q _ { r } } u ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } \nu } \\ & { } & { \qquad + c \, \big ( \frac { r } { R } \big ) ^ { s p } \textup { \texttt { t a i l } } _ { \infty } ( u _ { - } ; z _ { 0 } , R , r ) ^ { p - 1 } } \\ & { } & { \qquad + c r ^ { s p } \iiint _ { Q _ { r } } u ^ { \gamma - 1 } \, \mathrm { d } \nu + r ^ { s p } \| \textup { \texttt { h } } \| _ { L ^ { \infty } ( Q _ { r } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( \chi _ { 0 , 0 } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { i \phi _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) } \mathcal { F } ( I ) ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \right) ( \boldsymbol { x } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { X E } } & { = \int d q \sum _ { \mathbf { k } } \left( \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { X } \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \dagger } \hat { x } _ { { \bf k } } + h . c . \right) , } \\ { \hat { H } _ { C E } } & { = \int d q \sum _ { \mathbf { k } } \left( \kappa _ { { \bf k } , q } ^ { C } \hat { e } _ { { \bf k } q } ^ { \dagger } \hat { c } _ { { \bf k } } + h . c . \right) . } \end{array}
\mathcal { R } ^ { ( s ) } \left( \boldsymbol { h } _ { i } ^ { ( s ) } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { k } W _ { k } ^ { ( s ) } h _ { i , k 0 0 } ^ { ( s ) } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; s < S } \\ { \mathrm { M L P } \left( \left\{ h _ { i , k 0 0 } ^ { ( s ) } \right\} _ { k } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \; s = S } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { q ( x , i _ { k } | i _ { \le k - 1 } ) } { q ( x | i _ { \le k - 1 } ) q ( i _ { k } | i _ { \le k - 1 } ) } } & { = \frac { q ( x , i _ { \le k } ) q ( i _ { \le k - 1 } ) } { q ( x , i _ { \le k - 1 } ) q ( i _ { \le k } ) } = \frac { \lambda _ { i _ { k } } ^ { k } \left( \frac { 1 + u _ { i _ { k } } ^ { k , x } } { d } \right) q ( x , i _ { \le k - 1 } ) q ( i _ { \le k - 1 } ) } { q ( x , i _ { \le k - 1 } ) \sum _ { y } q ( y , i _ { \le k } ) } } \\ & { = \frac { \lambda _ { i _ { k } } ^ { k } \left( \frac { 1 + u _ { i _ { k } } ^ { k , x } } { d } \right) q ( i _ { \le k - 1 } ) } { \sum _ { y } q ( y , i _ { \le k } ) } = \frac { \lambda _ { i _ { k } } ^ { k } \left( \frac { 1 + u _ { i _ { k } } ^ { k , x } } { d } \right) q ( i _ { \le k - 1 } ) } { \sum _ { y } q ( y , i _ { \le k - 1 } ) \lambda _ { i _ { k } } ^ { k } \left( \frac { 1 + u _ { i _ { k } } ^ { k , y } } { d } \right) } } \\ & { = \frac { ( 1 + u _ { i _ { k } } ^ { k , x } ) q ( i _ { \le k - 1 } ) } { \sum _ { y } q ( y , i _ { \le k - 1 } ) ( 1 + u _ { i _ { k } } ^ { k , y } ) } = \frac { ( 1 + u _ { i _ { k } } ^ { k , x } ) } { \sum _ { y } q ( y | i _ { \le k - 1 } ) ( 1 + u _ { i _ { k } } ^ { k , y } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \vartheta } } = \vartheta _ { \mathrm { a m b } } + \frac { 1 } { h _ { T } \, \mathrm { m e a s } ( \Omega ) } \int _ { \Omega } f ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { d } \Omega - \frac { \chi } { h _ { T } \, \mathrm { m e a s } ( \Omega ) } \big ( \vartheta _ { \mathrm { o u t l e t } } - \vartheta _ { \mathrm { i n l e t } } \big ) } \end{array}
\lambda _ { i i } ( \alpha , f ) = \left. \left\langle \varphi _ { i } \right\vert \hat { h } ^ { \mathrm { D F T } } + \alpha \hat { v } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } \left\vert \varphi _ { i } \right\rangle \right\vert _ { f _ { i } = f } = \left. \frac { \partial E ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } } { \partial f _ { i } } \right\vert _ { f _ { i } = f }
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { R } ^ { - } = { \mathbf { R } } _ { \infty } ^ { - } } } & { { = } } & { { q _ { n _ { \infty } } - \frac { 2 } { \gamma - 1 } a _ { \infty } \, \mathrm { , } } } \\ { { \mathbf { R } ^ { + } = { \mathbf { R } } _ { e } ^ { + } } } & { { = } } & { { q _ { n _ { e } } - \frac { 2 } { \gamma - 1 } a _ { e } \, \mathrm { , } } } \end{array}
\hat { \daleth _ { f } } = \daleth _ { f } / \left( T ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } / k l _ { 0 } ^ { 2 } \right) ~ , ~ ~ ~ ~ \hat { \Sigma } = \Sigma / T ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } ~ , ~ ~ ~ ~ \hat { \Lambda } = \Lambda / T ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } , ~ ~ ~ ~ \hat { T _ { f } } = T _ { f } / T ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ } } ,
{ \left( \begin{array} { l l } { F L - k _ { \theta } } & { F L } \\ { k _ { \theta } } & { F L - k _ { \theta } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \theta _ { 1 } } \\ { \theta _ { 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) }
\displaystyle N u = - \frac { 2 } { 3 } \frac { 1 } { \bar { c } } \frac { \partial \bar { c } } { \partial \tau } ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ - \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial \log \bar { c } } { \partial \tau }
\begin{array} { r l } { - \nabla ^ { 2 } \Phi _ { 0 } - \nabla \cdot \left[ - { \mathbf V } _ { i \perp , 0 } \times { \mathbf B _ { 0 } } + \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \left( \nabla \times { \mathbf B _ { 0 } } \right) \right] = } & { { } ~ 0 \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { P } , } \\ { \boldsymbol { \tau } _ { 0 } - \nabla \Phi _ { 0 } + { \mathbf V } _ { i \perp , 0 } \times { \mathbf B _ { 0 } } - \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } \left( \nabla \times { \mathbf B _ { 0 } } \right) = } & { { } ~ \mathbf { 0 } \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { P } , } \end{array}
0 = \delta \psi _ { \mu } = \partial _ { \mu } \epsilon + \frac 1 4 \omega _ { \mu } ^ { a b } \Gamma _ { a b } \epsilon + \frac 1 { 2 8 8 } e _ { \mu } { } ^ { a } \left( \Gamma _ { a } { } ^ { b c d e } - 8 \delta _ { a } ^ { [ b } \Gamma ^ { c d e ] } \right) F _ { b c d e } \epsilon \, .
\begin{array} { r l } { \operatorname { E } \left[ \ln ^ { 2 } ( X ) \right] } & { { } = ( \psi ( \alpha ) - \psi ( \alpha + \beta ) ) ^ { 2 } + \psi _ { 1 } ( \alpha ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) , } \\ { \operatorname { E } \left[ \ln ^ { 2 } ( 1 - X ) \right] } & { { } = ( \psi ( \beta ) - \psi ( \alpha + \beta ) ) ^ { 2 } + \psi _ { 1 } ( \beta ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) , } \\ { \operatorname { E } \left[ \ln ( X ) \ln ( 1 - X ) \right] } & { { } = ( \psi ( \alpha ) - \psi ( \alpha + \beta ) ) ( \psi ( \beta ) - \psi ( \alpha + \beta ) ) - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { r _ { 1 } ^ { \prime \prime } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } + \mathrm { Y } _ { 1 } \stackrel { 1 } { \longrightarrow } \mathrm { Y } _ { 1 } , } \\ & { r _ { 2 } ^ { \prime \prime } : \quad \varnothing \stackrel { 1 / \mu } { \longrightarrow } \mathrm { Y } _ { 1 } , } \\ & { r _ { 3 } ^ { \prime \prime } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } + \mathrm { Y } _ { 1 } \stackrel { 1 / \mu } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 1 } , } \end{array}
\mathrm { ~ E ~ S ~ } ( \mathbf { X } , \mathbf { y } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left\Vert \mathrm { ~ X ~ } ^ { j } - \mathrm { ~ y ~ } \right\Vert - \frac { 1 } { 2 M ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left\Vert \mathrm { ~ X ~ } ^ { i } - \mathrm { ~ X ~ } ^ { j } \right\Vert
\begin{array} { r l } { \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { } } & { { } = \boldsymbol \psi _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ t ~ } } \, , } \\ { \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { Q } } & { { } = \nabla { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { Q } \boldsymbol \psi _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ t ~ } } \, , } \\ { \boldsymbol \phi { } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { P } } & { { } = \nabla { } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ^ { P } \boldsymbol \psi _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ t ~ } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { D } { 2 } = \frac { \frac { D _ { \mathrm { ~ c ~ } } } { 2 } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \frac { \pi } { N } ) - \frac { g } { 2 } - t { _ 1 } ( 1 - \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \frac { \pi } { N } ) ) } { 1 - \mathrm { ~ \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ~ } ( \frac { \pi } { N } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x ^ { 2 } } \ln x \, d x } & { { } = - { \frac { ( \gamma + 2 \ln 2 ) { \sqrt { \pi } } } { 4 } } } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - x } \ln ^ { 2 } x \, d x } & { { } = \gamma ^ { 2 } + { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { m , \alpha } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \omega _ { m , \alpha } ^ { 2 } a ^ { 2 } \Bigg ( I _ { m - 1 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) I _ { m + 1 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) \frac { J _ { m } ^ { 2 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) } { I _ { m } ^ { 2 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { x } } & { = G _ { i } \sin \operatorname { a r c c o s } t _ { j } \cos \varphi _ { k } , } \\ { G _ { y } } & { = G _ { i } \sin \operatorname { a r c c o s } t _ { j } \sin \varphi _ { k } , } \\ { G _ { z } } & { = G _ { i } \cos \operatorname { a r c c o s } t _ { j } , } \\ { w } & { = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } G _ { i } ^ { 2 } w ( G ) _ { i } w ( t ) _ { j } w ( \varphi ) _ { k } , } \end{array}
\bigl ( u _ { n } \cdot \epsilon _ { \Omega } ^ { U _ { n - 1 } G } ( u _ { n - 1 } ^ { \prime } \cdot u _ { n - 1 } ) \cdot \ldots \cdot \epsilon _ { \Omega } ^ { U _ { 1 } G } ( u _ { 1 } ^ { \prime } \cdot u _ { 1 } ) , e , \ldots , e \bigr ) \ \ .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \Phi ( A , H ) ] - } & { \sum _ { \mathrm i \in \{ 1 , \dots , k \} ^ { d - 1 } \setminus \mathrm J } \mathbb { E } [ \Phi ( A _ { \mathrm i } , H ) ] } \\ & { \le \mathbb { E } [ \Phi ( A , H ) ] - \sum _ { \mathrm i \in \{ 1 , \dots , K \} ^ { d - 1 } } \mathbb { E } [ \Phi ( A _ { \mathrm i } , H ) ] + ( | \mathrm J | + ( K - k ) ^ { d - 1 } ) b m ^ { d - 1 } } \\ & { \le C \frac { n ^ { d - 1 } } { m ^ { 1 / 1 6 } } + b \beta n ^ { d - 1 - \varepsilon / 8 } m ^ { d - 1 } + b \frac { n ^ { d - 1 } } { m ^ { ( d - 1 ) / 6 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi \frac { \partial \left\langle c \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } } & { { } = \nabla _ { \mathbf { x } } \cdot ( \tilde { \textbf { D } } ^ { \star } \nabla _ { \mathbf x } \left\langle c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } ) + \nabla _ { \mathbf x } \cdot ( \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } \left\langle c _ { 0 } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { V } _ { \mathrm { e f f } } \rangle } & { = \langle \hat { V } \rangle - \operatorname { T r } [ \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \Sigma _ { t } ] / 2 + \operatorname { T r } [ \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \Sigma _ { t } ] / 2 } \\ & { = \langle \hat { V } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \kappa , \rho } ( H ^ { s } ) ^ { * } L _ { \kappa , \rho } ( H ^ { s } ) \; \geq \; L _ { \kappa , \rho } ( H ) ^ { * } L _ { \kappa , \rho } ( H ) + ( s ^ { 2 } \, - \, 2 \, \| \Im m ( H ) \| \cdot | s | ) \boldsymbol { 1 } _ { \rho } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { t o t a l } = } } & { { } \sum _ { i \in \{ 1 , 2 \} } I ^ { ( i , 0 ) } \mathrm { L } ( f _ { r } , f _ { i } ^ { \textrm { Q D } } , 0 , 0 , \Gamma ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { s i g } } } & { { } = \epsilon ^ { 2 } m _ { A ^ { \prime } } ^ { 3 } \iint \frac { \mathrm { d } f \mathrm { d } f ^ { \prime } } { 8 \pi ^ { 3 } } \frac { f \, \rho _ { \mathrm { D M } } \, \mathcal { F } _ { \mathrm { D M } } \left( f \right) \, \delta ( f - f ^ { \prime } ) } { ( f ^ { 2 } - f _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \left( f f _ { 0 } / Q _ { L } \right) ^ { 2 } } \, V \, \frac { C } { 3 } } \end{array}
h = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \kappa _ { i } \left( \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i + 1 } + \hat { a } _ { i + 1 } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \right) ,
\begin{array} { r l } { \dot { m } _ { k } } & { = \epsilon ^ { 2 } \pi \int d \mathbf { q } \int d \mathbf { p } \omega _ { k } \Gamma _ { p q k } ^ { 2 } m _ { k } m _ { p } m _ { q } \left( \omega _ { q } m _ { q } ^ { - 1 } + \omega _ { p } m _ { p } ^ { - 1 } + \omega _ { k } m _ { k } ^ { - 1 } \right) \delta \left( \omega _ { p , q , k } \right) \delta \left( \mathbf { k } + \mathbf { q } + \mathbf { p } \right) . } \end{array}
[ n _ { i } ^ { F } , n _ { j } ^ { F } ] = \frac { i \epsilon _ { i j k } n _ { k } ^ { F } } { [ l ( l + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } } , \quad \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } n _ { i } ^ { F 2 } = { \bf 1 } , \quad l \in \{ \frac { 1 } { 2 } , 1 , \frac { 3 } { 2 } \ldots \} .
\begin{array} { r l } { Y _ { \ell , - m } ^ { \cal R } ( \vartheta , \varphi ) } & { = \sqrt { 2 } { \cal I } [ Y _ { \ell m } ( \vartheta , \varphi ) ] } \\ { Y _ { \ell 0 } ^ { \cal R } } & { = Y _ { \ell 0 } } \\ { Y _ { \ell m } ^ { \cal R } ( \vartheta , \varphi ) } & { = \sqrt { 2 } { \cal R } [ Y _ { \ell m } ( \vartheta , \varphi ) ] . } \end{array}
1 < \frac { M c _ { + } \, \Delta \chi \, l _ { - } l _ { + } } { 2 R D } \frac { \Delta s ^ { \star } } { \Delta c } \, \frac { l _ { + } \sinh ( 2 R / l _ { + } ) + l _ { - } \cosh ( 2 R / l _ { + } ) - l _ { - } - 2 R } { ( l _ { - } ^ { 2 } + l _ { + } ^ { 2 } ) \sinh ( 2 R / l _ { + } ) + 2 l _ { + } l _ { - } \cosh ( 2 R / l _ { + } ) } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } \subset \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } } & { { } \xrightarrow [ \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ . ~ a ~ s ~ } ] { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ v ~ i ~ v ~ e ~ s ~ } } \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } \subset \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \widetilde { H } _ { m , r } } & { = \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \nabla \cdot \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { * } - 1 } \mathbf { A } _ { m , n , r } ( t , x ) \mathbf { q } _ { m , n , r + 1 } ^ { \kappa _ { m } } ( t ) } \\ & { = \nabla \cdot \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { * } - 1 } \mathbf { A } _ { m , n , r + 1 } \mathbf { q } _ { m , n , r + 1 } ^ { \kappa _ { m } } - \nabla \cdot \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { * } - 1 } \mathbf { A } _ { m , n , r } \mathbf { q } _ { m , n , r } ^ { \kappa _ { m } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { E } _ { 0 } } & { = } & { \left( \mathbb { 1 } _ { d } - \frac { \gamma t } { 2 } L ^ { \dag } L \right) U , \; \; \tilde { E } _ { 1 } = \sqrt { \gamma t } L U , } \\ { E _ { 0 } } & { = } & { \mathbb { 1 } _ { d } - \frac { \gamma t } { 2 } L ^ { \dag } L , \; \; \; \; \; \; \; \; \; E _ { 1 } = \sqrt { \gamma t } L . } \end{array}
\begin{array} { l } { { ( m , - m , 1 , p ) \longleftrightarrow \tilde { \beta } ^ { \frac { 2 k ^ { \prime } } { \delta } m - \frac { k } { \delta } ( p - k ^ { \prime } ) } , } } \\ { { ( m , - m , 0 , p ) \longleftrightarrow \tilde { \beta } ^ { \frac { 2 k ^ { \prime } } { \delta } m + \frac { k } { \delta } p } \tilde { \gamma } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R = } & { g ^ { 1 1 } ( \frac { \partial } { \partial { x } } \Gamma _ { 1 m } ^ { m } - \frac { \partial } { \partial { x ^ { m } } } \Gamma _ { 1 1 } ^ { m } + \Gamma _ { 1 a } ^ { m } \Gamma _ { m 1 } ^ { a } - \Gamma _ { m a } ^ { m } \Gamma _ { 1 1 } ^ { a } ) } \\ & { + g ^ { 2 2 } ( \frac { \partial } { \partial { y } } \Gamma _ { 2 m } ^ { m } - \frac { \partial } { \partial { x ^ { m } } } \Gamma _ { 2 2 } ^ { m } + \Gamma _ { 2 a } ^ { m } \Gamma _ { m 2 } ^ { a } - \Gamma _ { m a } ^ { m } \Gamma _ { 2 2 } ^ { a } ) } \\ { = } & { g ^ { 1 1 } ( \frac { \partial } { \partial { x } } \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } - \frac { \partial } { \partial { x } } \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } + \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } - \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } \Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } ) } \\ { = } & { 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } ( \operatorname { g r a d } f ) } & { = \nabla \cdot ( \nabla f ) = \nabla ^ { 2 } f } \\ { \operatorname { c u r l } ( \operatorname { g r a d } f ) } & { = \nabla \times ( \nabla f ) } \\ { \operatorname { g r a d } ( \operatorname { d i v } { \vec { v } } ) } & { = \nabla ( \nabla \cdot { \vec { v } } ) } \\ { \operatorname { d i v } ( \operatorname { c u r l } { \vec { v } } ) } & { = \nabla \cdot ( \nabla \times { \vec { v } } ) } \\ { \operatorname { c u r l } ( \operatorname { c u r l } { \vec { v } } ) } & { = \nabla \times ( \nabla \times { \vec { v } } ) } \\ { \Delta f } & { = \nabla ^ { 2 } f } \\ { \Delta { \vec { v } } } & { = \nabla ^ { 2 } { \vec { v } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathcal { C } = \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf D } ) \oplus \mathrm { ~ i ~ m ~ } ( { \bf D } _ { [ 1 ] } ) \oplus \mathrm { ~ i ~ m ~ } ( { \bf D } _ { [ 2 ] } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { K } } & { \sum _ { t = 1 } ^ { K } \| \partial F ( \overline { { { \mathbf w } } } ^ { k } ) \| _ { \delta } \leq \frac { 2 ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) } { \delta N } + \operatorname* { m a x } \left( \frac { 5 G ^ { 2 / 3 } ( F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } ) ^ { 1 / 3 } } { ( N \delta ) ^ { 1 / 3 } } , \frac { 6 G } { \sqrt { N } } \right) ~ . } \end{array}
R _ { 3 } ^ { b d } \equiv \frac { \Gamma _ { 3 j } ^ { b } ( y _ { c } ) / \Gamma ^ { b } } { \Gamma _ { 3 j } ^ { d } ( y _ { c } ) / \Gamma ^ { d } } = \left( c _ { V } \frac { H _ { V } ^ { ( 0 ) } ( y _ { c } , r _ { b } ) } { A ^ { ( 0 ) } ( y _ { c } ) } + c _ { A } \frac { H _ { A } ^ { ( 0 ) } ( y _ { c } , r _ { b } ) } { A ^ { ( 0 ) } ( y _ { c } ) } \right) \left( 1 + 6 r _ { b } c _ { A } + O ( r _ { b } ^ { 2 } ) \right) ~ ,
T _ { 0 } = \left[ 1 - \varphi ( \varepsilon ) \sum _ { \bf { q } , \bf { q ^ { \prime } } } \frac { G ( { \bf { q } } ) G ( { \bf { q ^ { \prime } } } ) } { m ^ { 2 } q _ { z } q _ { z ^ { \prime } } } ( { \bf { q } } _ { \perp } { \bf { q } } _ { \perp } ^ { \prime } ) \sin ( q _ { z } \tau ) \sin ( q _ { z } ^ { \prime } \tau ) e ^ { - i ( { \bf { q } } + { \bf { q } ^ { \prime } } ) { \bf { r } } } \right] \mathrm { , }
{ { I } _ { A B } } = { { \log } _ { 2 } } \frac { { { V } _ { B } } } { { { V } _ { \left. B \right| A } } } = { { \log } _ { 2 } } \frac { \left( V \mathrm { ~ + ~ } { { \xi } _ { E } } \mathrm { ~ + ~ } { { \chi } _ { t o t } } \right) } { \left( 1 + { { \xi } _ { E } } + { { \chi } _ { t o t } } \right) } .
{ \bf { v } } _ { p } ^ { n + 1 / 2 } = { \bf { v } } _ { p } ^ { n - 1 / 2 } + \frac { q _ { s } } { m _ { s } } ( { \bf { E } } ^ { n } + { \bf { v } } _ { p } ^ { n } \times { \bf { B } } ^ { n } ) \Delta t
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { L } } } _ { \Phi } = \Phi ^ { \dag } \left( x \right) \left( g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } - \frac { 1 } { 4 } R \right) \Phi \left( x \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { T } ( X _ { 0 } ) : = } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { C } ^ { 1 } ( \mathbb { R } _ { + } , \mathbb { R } ^ { n } ) } ~ ~ \int _ { 0 } ^ { T } \| x ^ { \prime } ( t ) \| d t } \\ & { ~ ~ \mathrm { s u b j e c t ~ t o } ~ ~ ~ \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } ( t ) = - \nabla f ( x ( t ) ) , ~ \forall t > 0 , } \\ { x ( 0 ) \in X _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
x ( \tau ) - x _ { 0 } = \int _ { - \infty } ^ { 0 } d \tau \frac { u _ { 0 } e ^ { \xi \tau } } { c - u _ { 0 } e ^ { \xi \tau } } + \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau \frac { u _ { 0 } e ^ { - \xi \tau } } { c - u _ { 0 } e ^ { - \xi \tau } }
\begin{array} { r l } { ( - y ^ { \prime } ) x ^ { \prime } } & { > ( - y ) x } \\ { ( y - \epsilon ) ( x - \epsilon ) } & { < y x } \\ { y x - \epsilon x - \epsilon y + \epsilon ^ { 2 } } & { < y x } \\ { - \epsilon x - \epsilon y + \epsilon ^ { 2 } } & { < 0 } \\ { - x + \epsilon } & { < y } \\ { x - \epsilon } & { > - y } \end{array}
\displaystyle { \mathbf e } = \frac { q _ { 1 } { \mathbf e } _ { \mathrm { ~ i ~ } } + q _ { 2 } { \mathbf e } _ { \mathrm { ~ j ~ } } + q _ { 3 } { \mathbf e } _ { \mathrm { ~ k ~ } } } { \sqrt { q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } + q _ { 3 } ^ { 2 } } }
p _ { 2 n } = - \left\{ a _ { 2 n - 2 } \, \omega _ { 1 } + a _ { 2 n - 4 } \, \omega _ { 2 } + \cdots + a _ { 4 } \, \omega _ { n - 2 } + a _ { 2 } \, \omega _ { n - 1 } \right\} - \frac { 2 n - 1 } { 2 ( 2 n + 1 ) } \, a _ { 2 n - 1 } \, .
\mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { X _ { s } , j } ) } ( \mathbf { \check { q } } , \mathbf { \check { p } } ) = - \sum _ { k = 2 } ^ { r _ { s } } \nu _ { X _ { s } , k - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { X _ { s } , j } ) } H _ { X _ { s } , k } : = - \left( \boldsymbol { \nu } _ { j } ^ { ( X _ { s } ) } \right) ^ { t } \mathbf { H } _ { X _ { s } }
d _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { + 4 \, } & { \mathrm { s t r o n g e s t ~ b e l i e f } } \\ { + 3 \, } & { \mathrm { s t r o n g ~ b e l i e f } } \\ { + 2 \, } & { \mathrm { m o d e r a t e ~ b e l i e f } } \\ { + 1 \, } & { \mathrm { w e a k ~ b e l i e f } } \\ { 0 \, } & { \mathrm { u n d e c i d e d } } \\ { - 1 \, } & { \mathrm { w e a k ~ d i s b e l i e f } } \\ { - 2 \, } & { \mathrm { m o d e r a t e ~ d i s b e l i e f } } \\ { - 3 \, } & { \mathrm { s t r o n g ~ d i s b e l i e f } } \\ { - 4 \, } & { \mathrm { s t r o n g e s t ~ d i s b e l i e f } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { Y _ { \alpha } ^ { \sigma } } & { = [ \frac { D + 2 } { 2 } \rho ^ { \sigma } R ^ { \sigma } ( T ^ { \sigma } - T ) ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) - \frac { D + 4 } { 2 D } \rho ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) ^ { 2 } u _ { \alpha } ^ { \sigma } } \\ & { + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) u _ { \alpha } ^ { \sigma } - \rho ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } u _ { \beta } - u _ { \alpha } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) ] } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { \sigma } ( u _ { \alpha } ^ { 2 } - u _ { \alpha } ^ { \sigma 2 } ) u _ { \alpha } . } \end{array} } \end{array}
H = \sum _ { n } \epsilon _ { n } c _ { n } ^ { \dagger } c _ { n } + t _ { 1 } \sum _ { \langle n m \rangle } c _ { n } ^ { \dagger } c _ { m } + t _ { 2 } \sum _ { \langle \langle n m \rangle \rangle } c _ { n } ^ { \dagger } c _ { m } .