harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \partial F } { \partial \alpha } } & { { } = 0 , } \\ { \implies \sin \alpha } & { { } = \frac { \mu _ { 0 } H _ { 0 } } { 2 M _ { 0 } \left( J + K \right) } , \quad \frac { \mu _ { 0 } H _ { 0 } } { 2 M _ { 0 } \left( J + K \right) } < 1 } \\ { \alpha } & { { } = \pi / 2 , \quad \frac { \mu _ { 0 } H _ { 0 } } { 2 M _ { 0 } \left( J + K \right) } \geq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D } & { = M \left[ \begin{array} { l l } { \lambda } & { 1 } \\ { 0 } & { \lambda } \end{array} \right] M ^ { - 1 } } \\ { D ^ { n } } & { = M \left[ \begin{array} { l l } { \lambda } & { 1 } \\ { 0 } & { \lambda } \end{array} \right] ^ { n } M ^ { - 1 } = M \left[ \begin{array} { l l } { \lambda ^ { n } } & { n \lambda ^ { n - 1 } } \\ { 0 } & { \lambda ^ { n } } \end{array} \right] M ^ { - 1 } } \end{array}
\vec { B } _ { 1 } ^ { [ 2 ] } ( \vec { x } _ { 2 } ) = k \left( \frac { 1 } { c } \right) ^ { 2 } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } R ^ { - 2 } ~ \hat { R } \times \vec { J } _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) .
\begin{array} { r l } { \small g _ { i j } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( P _ { i j } ^ { - } - P _ { i j } ^ { + } \right) \sin ^ { 2 } \alpha + \frac { 1 } { 4 } \sin \alpha \cos \alpha \sin \varphi _ { i j } } \\ & { \quad \times \left( \prod _ { k \neq i , j } \cos \varphi _ { i k } + \prod _ { k \neq i , j } \cos \varphi _ { j k } \right) } \end{array}
{ \mathbf { y } } - { \mathbf { x } } = ( y _ { 1 } - x _ { 1 } ) { \mathbf { e } } _ { 1 } + ( y _ { 2 } - x _ { 2 } ) { \mathbf { e } } _ { 2 } + ( y _ { 3 } - x _ { 3 } ) { \mathbf { e } } _ { 3 } .
\begin{array} { r } { \xi _ { \pm } \propto ( - 1 + \alpha \pm \sqrt { A } ) k _ { \parallel } \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } + ( 1 + \alpha \pm \sqrt { A } ) k _ { \perp } \hat { \mathbf { e } } _ { \perp 2 } . } \end{array}
2 E _ { 1 / 2 } ^ { 3 } | \tau _ { 1 / 2 } ( 1 ) | ^ { 2 } + 4 E _ { 3 / 2 } ^ { 3 } | \tau _ { 3 / 2 } ( 1 ) | ^ { 2 } = \textstyle { \frac { 2 } { 3 } } \mu _ { \chi } ^ { 3 } \, .
\left( \begin{array} { l } { h _ { - 2 } } \\ { h _ { - 1 } } \\ { h _ { 0 } } \\ { h _ { 1 } } \\ { h _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \frac 1 2 ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta ) \sin 2 \phi } & { \cos \theta \cos 2 \phi } \\ { - \frac 1 2 \sin 2 \theta \sin \phi } & { - \sin \theta \cos \phi } \\ { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } & { 0 } \\ { - \frac 1 2 \sin 2 \theta \cos \phi } & { \sin \theta \sin \phi } \\ { \frac 1 2 ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta ) \cos 2 \phi } & { - \cos \theta \sin 2 \phi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \cos 2 \psi } & { - \sin 2 \psi } \\ { \sin 2 \psi } & { \cos 2 \psi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { h _ { + } } \\ { h _ { \times } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { g _ { \theta } ( m , z ; \alpha , \epsilon ) \! = \frac { 4 } { 5 } z ^ { 2 } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \frac { q \exp { ( - z q s ) } \mathrm { d } s \mathrm { d } q } { ( m \! + \! \frac { q ^ { \alpha ( 1 - \epsilon ) / 2 } } { \theta s ^ { \alpha \epsilon / 2 } } ) ( 1 - e ^ { - z q } ) } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { s 2 } } & { { s 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { s 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { s 2 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { s 3 } } & { { 0 } } & { { s 2 } } \\ { { 0 } } & { { s 3 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { { \infty , 2 } } ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } - Q _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } ) P _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( P _ { 1 } Q _ { 1 } - \frac { 1 } { 2 } \tau _ { \infty , 1 } Q _ { 1 } - Q _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 6 } \tau _ { \infty , 2 } ) P _ { 2 } } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 4 } P _ { 1 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( Q _ { 1 } Q _ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } Q _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \tau _ { \infty , 1 } ) P _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) Q _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \partial L | } & { = 2 \int _ { 0 } ^ { 1 - \sqrt { 1 - h _ { 2 } ^ { 2 } } } \left( 1 - \left( x _ { 1 } + \sqrt { 1 - h _ { 2 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { n - 3 } 2 } d x _ { 1 } } \\ & { \approx 2 h _ { 2 } ^ { n - 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( 1 - \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { h _ { 2 } ^ { 2 } } - 2 \frac { \sqrt { 1 - h _ { 2 } ^ { 2 } } } { h _ { 2 } ^ { 2 } } x _ { 1 } \right) ^ { \frac { n - 3 } 2 } d x _ { 1 } } \\ & { = 2 h _ { 2 } ^ { n - 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { n - 3 } 2 \left( 2 \frac { \sqrt { 1 - h _ { 2 } ^ { 2 } } } { h _ { 2 } ^ { 2 } } x _ { 1 } + O ( x _ { 1 } ^ { 2 } ) \right) } d x _ { 1 } . } \end{array}
z = c _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \cdots , i _ { k } } c _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { k } } \theta _ { i _ { 1 } } \theta _ { i _ { 2 } } \cdots \theta _ { i _ { k } } ,
\begin{array} { r } { | Z | = \frac { V _ { \mathrm { 0 } } } { I _ { \mathrm { 0 } } } \quad \mathrm { a n d } \quad \phi _ { \mathrm { Z } } = \mathrm { p h a s e \; s h i f t \; b e t w e e n \; I \; a n d \; V } . } \end{array}
\rho = { \frac { \mathrm { M a s s } } { \mathrm { V o l u m e } } } = { \frac { { \mathrm { D e f l e c t i o n } } \times { \frac { \mathrm { S p r i n g ~ C o n s t a n t } } { \mathrm { G r a v i t y } } } } { { \mathrm { D i s p l a c e m e n t } } _ { \mathrm { W a t e r L i n e } } \times { \mathrm { A r e a } } _ { \mathrm { C y l i n d e r } } } } .
\begin{array} { r l } { \vec { \xi } = \ } & { { } \{ g ( v _ { \bot } ^ { F } , T _ { 2 } ) , g ( v _ { \bot } ^ { G } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , g ( v _ { \bot } ^ { H } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { I } , T _ { 2 } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { J } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { K } , T _ { 2 } ^ { \prime } ) , h ( v _ { \Delta } ^ { L 1 } , v _ { \Delta } ^ { L _ { 2 } } , T _ { 2 } ^ { \prime } , T _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Bar { P } _ { c } ^ { a } = 3 2 . 0 8 \, \, , \, \, \, \, \, \Bar { T } _ { c } ^ { a } = 1 0 . 8 9 \, \, , \, \, \, \, \, r _ { 0 ( c ) } ^ { a } = . 1 2 7 , } \\ & { \Bar { P } _ { c } ^ { b } = 1 6 1 . 1 8 \, \, , \, \, \, \, \, \Bar { \Bar { T } _ { c } ^ { b } } = 3 6 . 5 5 \, \, , \, \, \, \, \, r _ { 0 ( c ) } ^ { b } = . 0 8 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { - 2 \, V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } } \Bigg [ \frac { 1 } { 8 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { ( 4 ) } } { V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) \left( \frac { 1 } { 4 } + \alpha ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 8 8 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { ( 3 ) } } { V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) ^ { 2 } \left( 7 + 6 0 \alpha ^ { 2 } \right) \Bigg ] , } \\ { \Lambda _ { 3 } } & { { } = } & { \frac { n + \frac { 1 } { 2 } } { - 2 \, V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \Bigg [ \frac { 5 } { 6 9 1 2 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { ( 3 ) } } { V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) ^ { 4 } \left( 7 7 + 1 8 8 \alpha ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 4 \pi | \psi _ { n } ( 0 ) | ^ { 2 } \; = \; \frac { m ^ { 2 } } { \pi } \int _ { \Delta E _ { n } } d E \; v ( E ) K ( E ) \; , } \\ & { } & { \hphantom { 4 \pi | } \Uparrow \qquad \quad \hphantom { \frac { m ^ { 2 } } { \pi } \int _ { \Delta E _ { n } } d E \; v ( } \Uparrow } \\ & { } & { \qquad \quad \textrm { o . k . w i t h i n f e w \% } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { x , y , t } } & { = ( \lambda ^ { x } , \lambda ^ { y } , \lambda ^ { t } ) \in \mathbb R _ { + } ^ { 3 } , } \\ { \lambda ^ { x y , t } } & { = ( \lambda ^ { x y } , \lambda ^ { x y } , \lambda ^ { t } ) \in \mathbb R _ { + } ^ { 3 } , } \\ { \lambda ^ { x y t } } & { = ( \lambda ^ { x y t } , \lambda ^ { x y t } , \lambda ^ { x y t } ) \in \mathbb R _ { + } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } f ^ { 2 } ~ d u \right) \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } g ^ { 2 } ~ d u \right) } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \sqrt { \frac { M _ { 1 } M _ { 2 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } } + \sqrt { \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { M _ { 1 } M _ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } f g ~ d u \right) ^ { 2 } . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \biggl ( \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } U ( \eta ) \frac { \partial } { \partial g _ { e } } \langle 1 _ { \eta } \rangle \biggr ) } & { = \sum _ { f } \mathbb { E } \biggl ( \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } ( g _ { f } \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } - \beta + \beta \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } ^ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial g _ { e } } \langle 1 _ { \eta } \rangle \biggr ) } \\ & { = \sum _ { f } \mathbb { E } \biggl ( \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } \frac { \partial } { \partial g _ { f } } \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } \frac { \partial } { \partial g _ { e } } \langle 1 _ { \eta } \rangle + \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial g _ { e } } { g _ { f } } \langle 1 _ { \eta } \rangle \biggr ) } \\ & { = \sum _ { f } \mathbb { E } \biggl ( \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } C _ { e f } ( \eta ) \frac { \partial } { \partial g _ { e } } \langle 1 _ { \eta } \rangle + \langle \sigma _ { f } \rangle _ { \eta } \langle \sigma _ { e } \rangle _ { \eta } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial g _ { e } } { \partial g _ { f } } \langle 1 _ { \eta } \rangle \biggr ) . } \end{array}
\bar { \Delta } ( v _ { 1 } \cdot v _ { 2 } \dots v _ { n } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { \sigma \in \mathrm { S h } ( i , n - i ) } \epsilon ( \sigma , v ) ( v _ { \sigma ^ { - 1 } ( 1 ) } \cdot v _ { \sigma ^ { - 1 } ( 2 ) } \dots v _ { \sigma ^ { - 1 } ( i ) } ) \otimes ( v _ { \sigma ^ { - 1 } ( i + 1 ) } \cdot \cdot \cdot v _ { \sigma ^ { - 1 } ( n ) } ) .
g _ { p _ { i } ^ { \prime } } \left\{ \begin{array} { l l } { \leq g _ { p _ { \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor } ^ { \prime } } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor \ge i \ge l , } \\ { > g _ { p _ { \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor } ^ { \prime } } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \left\lfloor \frac { l + h } { 2 } \right\rfloor < i \leq h . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| \hat { \mu } - ( 1 , 1 , 1 ) \| _ { L ^ { p } ( \hat { \Gamma } ) } } & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \| \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } } \| _ { \mathcal { B } ( L ^ { p } ( \hat { \Gamma } ) ) } ^ { j - 1 } \| \hat { \mathcal { C } } _ { \hat { w } } ( 1 , 1 , 1 ) \| _ { L ^ { p } ( \hat { \Gamma } ) } \leq \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } K _ { p } ^ { j } \| \hat { w } \| _ { L ^ { \infty } ( \hat { \Gamma } ) } ^ { j - 1 } \| \hat { w } \| _ { L ^ { p } ( \hat { \Gamma } ) } } \\ & { = \frac { K _ { p } \| \hat { w } \| _ { L ^ { p } ( \hat { \Gamma } ) } } { 1 - K _ { p } \| \hat { w } \| _ { L ^ { \infty } ( \hat { \Gamma } ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathbf { T } } \hat { \mathbf { b } } = } & { } & { \hat { \mathbf { a } } ^ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { b } } = } & { } & { b _ { n \ell } / J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \\ { \hat { \mathbf { a } } ^ { 0 } = } & { } & { a _ { n \ell } / J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } \\ { \hat { \mathbf { T } } = } & { } & { \delta _ { n n ^ { \prime } } \delta _ { \ell \ell ^ { \prime } } - \left( 1 - \delta _ { n n ^ { \prime } } \right) e ^ { j \left( \ell ^ { \prime } - \ell \right) \phi _ { n n ^ { \prime } } } } \\ & { } & { \times H _ { \ell - \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } R _ { n n ^ { \prime } } \right) s _ { n \ell } \frac { J _ { \ell ^ { \prime } } \left( k _ { o } r _ { n ^ { \prime } } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) } } \end{array}
{ \cal L } = \frac 1 2 \partial _ { \mu } \phi \partial ^ { \mu } \phi - \frac { m ^ { 2 } } { 2 \beta ^ { 2 } } \cosh \sqrt 2 \beta \phi - \bar { \psi } i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi + m \bar { \psi } \psi \cosh \frac { \beta \phi } { \sqrt 2 } ,
\begin{array} { c c c } { { { \cal E } = \int _ { M _ { 3 } } < ( H _ { [ \mu \nu } \otimes I _ { E } - I _ { E } \otimes K _ { [ \mu \nu } ) } } & { { \wedge } } & { { ( D _ { \rho ] } ^ { A } \Phi _ { A } \otimes I _ { E } - I _ { E } \otimes D _ { \rho ] } ^ { B } \Phi _ { B } ) > } } \\ { { - \int _ { M _ { 3 } } < ( D _ { [ \mu } ^ { A } \Phi _ { A } \otimes I _ { E } ) \wedge ( H _ { \nu \rho ] } \otimes I _ { E } ) > } } & { { + } } & { { ( A \leftrightarrow B , \Phi _ { A } \leftrightarrow \Phi _ { B } ) . } } \end{array}
E ( r ) = T _ { 2 } \left( \sqrt { { \frac { \alpha ^ { 2 } N ^ { 2 } } { 4 } } + r ^ { 4 } } - F r ^ { 3 } \right) \approx T _ { 2 } \left( { \frac { N \alpha ^ { \prime } } { 2 } } - F r ^ { 3 } + { \frac { r ^ { 4 } } { N \alpha ^ { \prime } } } \right) \ .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \oint _ { c ( u ) } \underbrace { \frac { m } { D } + \frac { \pi \diamond n } { D } } _ { \mathrm { ~ ` ~ M ~ o ~ m ~ e ~ n ~ t ~ u ~ m ~ s ~ h ~ i ~ f ~ t ~ ' ~ } } = - \oint _ { c ( u ) } \frac { 1 } { D } \left( \frac { \delta h } { \delta a } \diamond a + \frac { \delta h } { \delta D } \diamond D \right) \, . } \end{array}
\mathbf { \Gamma } _ { A u g } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { \Gamma } _ { 0 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { - 1 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { - 2 } } & { \cdots } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { 1 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { 0 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { - 1 } } & { \cdots } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { 2 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { 1 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { 0 } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \\ { \mathbf { \Gamma } _ { p - 1 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { p - 2 } } & { \mathbf { \Gamma } _ { p - 3 } } & { \cdots } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } & { R _ { n + 1 } + ( \beta _ { n } - d _ { n - 1 } ) R _ { n } + ( \gamma _ { n } - \beta _ { n - 1 } d _ { n - 1 } - e _ { n - 2 } ) R _ { n - 1 } } \\ & { - ( d _ { n - 1 } + e _ { n - 2 } \beta _ { n - 2 } ) R _ { n - 2 } - e _ { n - 2 } \gamma _ { n - 2 } R _ { n - 3 } } \\ { = } & { Q _ { n + 1 } + ( b _ { n } - \sigma _ { n - 1 } ) Q _ { n } + ( c _ { n } - b _ { n - 1 } \sigma _ { n - 1 } - \tau _ { n - 2 } ) Q _ { n - 1 } } \\ & { - ( \sigma _ { n - 1 } + \tau _ { n - 2 } b _ { n - 2 } ) Q _ { n - 2 } - \tau _ { n - 2 } c _ { n - 2 } Q _ { n - 3 } , ~ n \geq 2 . } \end{array}
d f ( { \boldsymbol { a } } ) ( { \boldsymbol { v } } ) = { \frac { \partial f } { \partial x _ { 1 } } } ( { \boldsymbol { a } } ) v _ { 1 } + \cdots + { \frac { \partial f } { \partial x _ { n } } } ( { \boldsymbol { a } } ) v _ { n } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } ( - 1 ) ^ { | m _ { i } | | n _ { i } a | } \epsilon ( m _ { i } \otimes _ { B } n _ { i } a ) } & { = \sum _ { i } ( - 1 ) ^ { | m _ { i } | | n _ { i } | + | m _ { i } | | a | } \epsilon ( m _ { i } \otimes _ { B } n _ { i } ) a } \\ & { \sim \sum _ { i } ( - 1 ) ^ { | m _ { i } | | n _ { i } | + | m _ { i } | | a | + | a | | m _ { i } \otimes n _ { i } | } a \epsilon ( m _ { i } \otimes _ { B } n _ { i } ) } \\ & { = \sum _ { i } ( - 1 ) ^ { | a m _ { i } | | n _ { i } | } \epsilon ( a m _ { i } \otimes _ { B } n _ { i } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathrm { T r } C _ { A } ^ { n } \rangle } & { = \langle \mathrm { T r } ( V ^ { \dagger } V ) ^ { n } \rangle } \\ & { = \left( \sum _ { i _ { 1 } = 1 } ^ { N / 2 } \cdots \sum _ { i _ { 2 n } = 1 } ^ { N / 2 } \right) \int d U U _ { i _ { 2 } i _ { 1 } } ^ { * } U _ { i _ { 2 } i _ { 3 } } U _ { i _ { 4 } i _ { 3 } } ^ { * } U _ { i _ { 4 } i _ { 5 } } \cdots U _ { i _ { 2 n } i _ { 2 n - 1 } } ^ { * } U _ { i _ { 2 n } i _ { 1 } } } \\ & { = \sum _ { \{ i _ { k } , i _ { k } ^ { \prime } , j _ { k } , j _ { k } ^ { \prime } \} = 1 } ^ { N / 2 } \int d U U _ { i _ { 1 } j _ { 1 } } \cdots U _ { i _ { n } j _ { n } } U _ { i _ { 1 } ^ { \prime } j _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { * } \cdots U _ { i _ { n } ^ { \prime } j _ { n } ^ { \prime } } ^ { * } \delta _ { i _ { 1 } ^ { \prime } i _ { 1 } } \cdots \delta _ { i _ { n } ^ { \prime } i _ { n } } \delta _ { j _ { 2 } ^ { \prime } j _ { 1 } } \cdots \delta _ { j _ { n } ^ { \prime } j _ { n - 1 } } \delta _ { j _ { 1 } ^ { \prime } j _ { n } } , } \end{array}
\bar { \varepsilon } _ { 3 / 2 } \equiv \frac { \varepsilon _ { 3 / 2 } } { \sqrt { 1 + \rho ^ { 2 } } } = \sqrt 2 \, R _ { \mathrm { S U ( 3 ) } } \left| \frac { V _ { u s } } { V _ { u d } } \right| \left[ \frac { \mathrm { B } ( B ^ { + } \to \pi ^ { + } \pi ^ { 0 } ) + \mathrm { B } ( B ^ { - } \to \pi ^ { - } \pi ^ { 0 } ) } { \mathrm { B } ( B ^ { + } \to \pi ^ { + } K ^ { 0 } ) + \mathrm { B } ( B ^ { - } \to \pi ^ { - } \bar { K } ^ { 0 } ) } \right] ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \Psi _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) } { \partial t } = } & { \left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla _ { \bot } ^ { 2 } - i \hbar \frac { \gamma _ { \mathrm { c } } } { 2 } + g _ { \mathrm { c } } | \Psi _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) | ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + \left( g _ { \mathrm { r } } + i \hbar \frac { R } { 2 } \right) n _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) + V ( \mathbf { r } ) \right] \Psi _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) } \\ & { + \frac { \Delta _ { \mathrm { L T } } } { k _ { \mathrm { L T } } ^ { 2 } } \left( i \frac { \partial } { \partial x } \pm \frac { \partial } { \partial y } \right) ^ { 2 } \Psi _ { \mp } ( \mathbf { r } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi ( y ) } & { = } & { \exp \left( - \frac { y } { 2 } \right) y ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } \times } \\ & { \times } & { _ { 1 } F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } - E + \frac { \delta ~ \nu } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , 1 + \frac { 1 } { 2 } ~ \sqrt { 1 - 4 ~ \delta ~ \nu + 4 ~ \nu ^ { 2 } } , y \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 2 } ( Q , h ; r , c _ { 1 } , c _ { 2 } ) = - } & { h \frac { \phi ( r ) } { r ^ { 2 } \phi ( r / d ) } \Lambda ( r / d ) } \\ & { + \frac { 2 h } { r \phi ( r / d ) } \sum _ { \chi \ne \chi _ { 0 } \mod { r / d } } \overline { { \chi } } \left( \frac { c _ { 1 } - c _ { 2 } } { d } \right) L ( 0 , \chi ) L ( 1 , \chi ) A _ { r , \chi } + O _ { r } ( h ^ { 1 / 2 + \varepsilon } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( z ) } & { = \frac { 1 - a z } { z ( z - a ) } \Big ( - \frac { r _ { 1 } } { a } z ^ { 2 } + \Big ( \frac { a ^ { 2 } - 1 } { a ^ { 2 } } r _ { 1 } - \frac { r _ { 2 } } { a } \Big ) z - a \tau ^ { 2 } r _ { 1 } \Big ) , } \\ { \overline { { f ( 1 / \bar { z } ) } } } & { = \frac { z - a } { z ( 1 - a z ) } \Big ( - a \tau ^ { 2 } r _ { 1 } z ^ { 2 } + \Big ( \frac { a ^ { 2 } - 1 } { a ^ { 2 } } r _ { 1 } - \frac { r _ { 2 } } { a } \Big ) z - \frac { r _ { 1 } } { a } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} } & { { } \equiv } & { \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } - 4 f _ { i } \, \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + 2 f _ { i } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { E } _ { I I } } & { \boldsymbol { G } _ { \iota I } ^ { T } } \\ { \boldsymbol { G } _ { \iota I } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \vec { u } _ { I , K } ^ { \# } } \\ { * } \end{array} \right] = - \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { E } _ { I B } } \\ { \boldsymbol { G } _ { \iota B } } \end{array} \right] \vec { u } _ { B , K } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi = \langle \lVert \mathbf { \mathcal { H } } _ { t } \rVert \rangle _ { t } , \quad \lVert \mathbf { \mathcal { H } } _ { t } \rVert = \sqrt { \lambda _ { M } ( \mathbf { \mathcal { H } } _ { t } \mathbf { \mathcal { H } } _ { t } ^ { T } ) } . } \end{array}
\mathrm { ~ \footnotesize ~ ( ~ m ~ = ~ - ~ 5 ~ , ~ f ~ = ~ 5 ~ 5 ~ . ~ 4 ~ ) ~ \ + ~ \ ( ~ m ~ = ~ - ~ 1 ~ , ~ f ~ = ~ 1 ~ 1 ~ . ~ 2 ~ ) ~ \ \leftrightarrow ~ \ ( ~ m ~ = ~ - ~ 6 ~ , ~ f ~ = ~ 6 ~ 6 ~ . ~ 7 ~ ) ~ }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \log ^ { + } \bigg ( \frac { 1 } { s ^ { r } - \alpha ^ { r - 1 } ( 1 - \alpha ) } \bigg ) \bigg ] } & { = - \int _ { A } ^ { ( A ^ { r } + 1 ) ^ { 1 / r } } \varphi _ { \alpha } ( x ) \log ( x ^ { r } - A ^ { r } ) \mathrm { d } x } \\ & { \leq - \| \varphi _ { \alpha } \| _ { \infty } \int _ { A } ^ { ( A ^ { r } + 1 ) ^ { 1 / r } } \log ( x ^ { r } - A ^ { r } ) \mathrm { d } x . } \end{array}
I _ { 1 } = - \Re i \int _ { 0 } ^ { c } \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 2 } u _ { 2 } | _ { x = \frac { b y } { c } } ^ { x = \frac { y ( b - a ) } { c } + a } d y + \Re i \int _ { 0 } ^ { b } \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 1 } u _ { 2 } | _ { y = 0 } ^ { y = \frac { c x } { b } } d x + \Re i \int _ { b } ^ { a } \overline { { u _ { 2 } } } \partial _ { 2 } u _ { 2 } | _ { y = 0 } ^ { y = \frac { c x - a c } { b - a } } d x .
\begin{array} { r l } & { | g _ { \epsilon } ( \rho ) | \leq C | \log \epsilon | } \\ & { | \partial ^ { \alpha } g _ { \epsilon } ( \rho ) | \leq C _ { \alpha } \left( \epsilon ^ { - | \alpha | / 2 } \right) } \\ & { \frac { \exp ( g _ { \epsilon } ( \rho ) ) } { \exp ( g _ { \epsilon } ( \zeta ) ) } \leq C \left\langle \frac { \rho - \zeta } { \sqrt { \epsilon } } \right\rangle ^ { \mu } } \end{array}
F ^ { \mu \nu } = \partial ^ { \mu } A ^ { \nu } - \partial ^ { \nu } A ^ { \mu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - E _ { x } / c } & { - E _ { y } / c } & { - E _ { z } / c } \\ { E _ { x } / c } & { 0 } & { - B _ { z } } & { B _ { y } } \\ { E _ { y } / c } & { B _ { z } } & { 0 } & { - B _ { x } } \\ { E _ { z } / c } & { - B _ { y } } & { B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] }
\sigma _ { i j } ^ { 2 } = \delta _ { i j } ( \sigma _ { i , s t a t } ^ { 2 } + \sigma _ { i , u n c o r r } ^ { 2 } ) + \sigma _ { i , e x p } \sigma _ { j , e x p } + \sigma _ { i , c a l } \sigma _ { j , c a l }
\mathcal { B } _ { n } ^ { ( s ) } [ u ] = \mathcal { B } _ { n } [ u ] + \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 ^ { n } | u _ { n } | u _ { n } , } & { n = s - 1 , s ; } \\ { 0 , } & { \textrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { u \cdot s \leq ( 1 + \sqrt { \epsilon } ) \sqrt { \frac { 1 + \epsilon } { 2 t } \ln \left( \frac { \ln \left( ( 1 \! + \! \epsilon ) t \right) } { \omega } \right) } \Longleftrightarrow c = \frac { 2 ( u \cdot s ) ^ { 2 } } { ( 1 + \epsilon ) ( 1 + \sqrt { \epsilon } ) ^ { 2 } } \leq \frac { 1 } { t } \ln \left( \frac { \ln \left( ( 1 \! + \! \epsilon ) t \right) } { \omega } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { - \mu _ { 1 } ( [ a , b ] , c ) - [ \mu _ { 1 } ( a , b ) , c ] } \\ & { } & { + \mu _ { 1 } ( a , [ b , c ] ) - ( - 1 ) { a b } \mu _ { 1 } ( b , [ a , c ] ) + [ a , \mu _ { 1 } ( b , c ) ] - ( - 1 ) { a b } [ b , \mu _ { 1 } ( a , c ) ] } \\ & { = } & { \delta ^ { 2 } \mu _ { 1 } ( a , b , c ) ; \; \mathrm { f o r ~ a l l ~ h o m o g e n e o u s } \; a , b , c \in L . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \delta A } { d t } = } & { { } ( \alpha \bar { P } _ { z , L C } - 1 / T _ { 2 } ) \delta A + \epsilon \delta B / 2 + \alpha A _ { L C , \pm } \delta \bar { P } _ { z } , } \\ { \frac { d \delta B } { d t } = } & { { } - \epsilon \delta A / 2 - \delta B / T _ { 2 } , } \\ { \frac { d \delta \bar { P } _ { z } } { d t } = } & { { } - \alpha A _ { L C , \pm } \delta A / 2 - ( 1 / T _ { 1 } + G ) \delta \bar { P } _ { z } , } \end{array}