harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \left( \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { t ^ { \prime } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { v } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { x } \\ { t } \end{array} \right) } .
\sum _ { \substack { n > 1 \, \mu ( n ) = 1 } } \frac { 1 } { n ^ { v - 1 } } \textnormal { L i } _ { v - 1 } \left( \frac { 1 } { x ^ { n } } \right) = \sum _ { n } \frac { \mu ( n ) } { n ^ { v - 1 } } \sum _ { \substack { m \nmid n \, m < n } } \frac { \mu ( m ) } { m ^ { v - 1 } } \textnormal { L i } _ { v - 1 } \left( \frac { 1 } { x ^ { n m \sigma } } \right) .
m _ { L } = { \frac { m _ { e m } } { \left( { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } \right) ^ { 3 } } } , \quad m _ { T } = { \frac { m _ { e m } } { \sqrt { 1 - { \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } }
\begin{array} { r l } { m _ { 0 } ( t ) } & { = \mathcal { H } _ { 0 } ( 1 - t ) ^ { \mathcal { U } _ { 0 } / 2 } , } \\ { m _ { 1 } ( t ) } & { = \left( \frac { 2 \mathcal { U } _ { 1 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \mathcal { U } _ { 0 } } + \mathcal { H } _ { 1 } \right) ( 1 - t ) ^ { \mathcal { U } _ { 0 } } - \frac { 2 \mathcal { U } _ { 1 } \mathcal { H } _ { 0 } } { \mathcal { U } _ { 0 } } ( 1 - t ) ^ { \mathcal { U } _ { 0 } / 2 } . } \end{array}
| V _ { f b } | ^ { 2 } f ( \xi _ { + } ) = \frac { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } { G _ { F } ^ { 2 } M _ { B } ^ { 5 } } \frac { 1 } { \xi _ { + } ^ { 5 } \Phi ( r _ { f } / \xi _ { + } ) } \frac { d \Gamma ( B \to X _ { f } \ell \nu ) } { d \xi _ { + } } ,
\begin{array} { r l } { A ( X , Y ) } & { = \left( \overline { \nabla } _ { X } Y \right) ^ { \perp } } \\ & { = \left( \mathrm D _ { X } Y + X ( \varphi ) Y + Y ( \varphi ) X - \langle X , Y \rangle _ { \delta } \mathrm D \varphi \right) ^ { \perp } } \\ & { = \left( \mathrm D _ { X } Y - \langle X , Y \rangle _ { \delta } \mathrm D \varphi \right) ^ { \perp } } \\ & { = A _ { \delta } ( X , Y ) - \langle X , Y \rangle _ { \delta } \left( \mathrm D \varphi \right) ^ { \perp } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle f ( \mathbf { x } _ { i } ) \rangle = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } f ( \mathbf { x } _ { i } ) , \quad \mathbf { X } ( t ) = \langle \mathbf { x } _ { i } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vert \Gamma _ { \tilde { g } } ( \mathcal { T } ) \psi \Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad = \sum _ { \gamma \in \mathbb { Z } ^ { d } } \sum _ { \gamma ^ { \prime } \in V _ { \gamma } } \langle \tilde { g } _ { \delta , \gamma } \; T _ { \gamma } \; { g } _ { \delta , \gamma } \; \psi \, , \, \tilde { g } _ { \delta , \gamma ^ { \prime } } \; T _ { \gamma } \; { g } _ { \delta , \gamma ^ { \prime } } \; \psi \rangle \leq \frac { \nu + 1 } { 2 } \sum _ { \gamma \in \mathbb { Z } ^ { d } } \Vert T _ { \gamma } \; { g } _ { \delta , \gamma } \; \psi \Vert ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq | | | \mathcal { T } | | | ^ { 2 } \; \frac { \nu + 1 } { 2 } \; \sum _ { \gamma \in \mathbb { Z } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } g ^ { 2 } ( \sqrt { | \delta | } \; x - \gamma ) | \psi ( x ) | ^ { 2 } \; d x = | | | \mathcal { T } | | | ^ { 2 } \; \frac { \nu + 1 } { 2 } \; \Vert \psi \Vert ^ { 2 } , } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } = - \zeta \omega ^ { 2 } e ^ { - i \omega t } \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \frac { \pi \rho a } { k _ { p } } \frac { H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { p } a ) } { \left[ H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { p } a ) \right] ^ { \prime } } \frac { \left[ \frac { d } { k _ { p } } \sinh ( k _ { p } d ) - \frac { 1 } { k _ { p } ^ { 2 } } ( \cosh ( k _ { p } d ) - 1 ) \right] ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 4 k _ { p } } \sinh ( 2 k _ { p } d ) + \frac { d } { 2 } }
\langle W _ { i } ( \vec { z } , t ) W _ { j } ( \vec { z } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \rangle = \sigma ^ { 2 } \delta ( t - t ^ { \prime } ) \delta _ { i , j } C _ { i , j } ( \vec { z } , \vec { z } ^ { \prime } , t , t ^ { \prime } )
I ( N ) = \sum _ { k , l = 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { 2 } [ 1 - ( - 1 ) ^ { k + l } ] \frac { 1 } { 4 N ^ { 4 } } \frac { \cos ^ { 2 } k \pi / 2 N \cos ^ { 2 } l \pi / 2 N } { \sin ^ { 2 } ( l - k ) \pi / 2 N \sin ^ { 2 } ( k + l ) \pi / 2 N } .
\check { x } ^ { ( \kappa ) } = \left( \begin{array} { l } { - \frac 1 \kappa | \delta _ { K } ^ { \prime } \cdot x ^ { \prime } | } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) \mathrm { ~ \ ~ a n d ~ \ } \hat { x } ^ { ( \kappa ) } = \left( \begin{array} { l } { \frac 1 \kappa | \delta _ { K } ^ { \prime } \cdot x ^ { \prime } | } \\ { x ^ { \prime } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \; \, \textbf { M o d e l 4 } \qquad \Rightarrow \qquad D ( N ) = \rho _ { \ast } \times } \\ & { \times \displaystyle { \frac { 1 } { \left[ - 2 \, \mathrm { e } \, \lambda \, \mathcal { W } _ { - 1 } \! \! \: \! \left( - \frac { 1 } { 2 \, \mathrm { e } \, \lambda } \left( \frac { \rho _ { \ast } } { 6 } \right) ^ { 1 / \kappa } \, \left( \frac { 8 } { 7 } N \right) ^ { - 1 / ( \lambda \, \kappa ) } \right) \right] ^ { \kappa } } } \, , \phantom { \times } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L = } & { \left( \begin{array} { l l l l } { \hat { w } ^ { 1 \to 0 } + \alpha \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } & { \hat { n } } & { \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } & { \mathbb { 1 } } \end{array} \right) \, , } \\ { R = } & { \left( \begin{array} { l } { \mathbb { 1 } } \\ { \lambda \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } \\ { \lambda \hat { n } } \\ { \hat { w } ^ { 1 \to 0 } + \alpha \hat { w } ^ { 0 \to 1 } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i \partial _ { t } u = - \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle u + B \left[ \frac { 1 } { 4 } ( u + \overline { { u } } ) ^ { 2 } + ( a t + b ) ( u + \overline { { u } } ) \right] , } \\ & { u ( 0 , x ) = \check { z } ( 0 , x ) - i \langle \partial _ { x } ^ { 2 } \rangle ^ { - 1 } \check { z } _ { t } ( 0 , x ) . } \end{array}
Y = \frac { 1 } { 4 m _ { Z } ^ { 4 } } [ s _ { 1 } s _ { 2 } ( s _ { 1 } ^ { 2 } + s _ { 2 } ^ { 2 } ) - ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) ^ { 2 } ( t _ { 1 } t _ { 2 } + u _ { 1 } u _ { 2 } ) + 2 ( t _ { 1 } t _ { 2 } - u _ { 1 } u _ { 2 } ) ^ { 2 } ] .
\begin{array} { r l r } { [ \nu \mathbf { e } _ { 2 } , B ] [ \mu \mathbf { e } _ { 2 } , A ] [ \nu \mathbf { e } _ { 2 } , B ] ^ { - 1 } } & { = } & { [ \nu \mathbf { e } _ { 2 } - \mu \mathbf { e } _ { 2 } , B A ] [ \nu \mathbf { e } _ { 2 } , B ] } \\ & { = } & { [ \nu \mathbf { e } _ { 2 } - \mu \mathbf { e } _ { 2 } - g \nu \mathbf { e } _ { 2 } , A ] } \end{array}
2 \pi ( 1 + \chi ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \frac { \sqrt { 1 + a ^ { 2 } [ 1 + ( m ^ { 2 } - 1 ) \sin ^ { 2 } \phi ] } } { 1 + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi } ,
\begin{array} { r l r } { P _ { _ B } ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { \gamma } { 2 v } \left[ e ^ { - ( \gamma + \alpha / 2 ) t } I _ { 0 } \left( \frac { \alpha \Delta ( x , t ) } { 2 v } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F } & { \equiv } & { \left\langle { \bf u } \cdot { \bf f ^ { \prime } } + { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf f } + { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } \cdot { \bf f ^ { \prime } } + { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf f } \right. } \\ & { } & { \left. - { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } \cdot { \bf f } - { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf f ^ { \prime } } \right\rangle \, , } \\ { D } & { \equiv } & { \left\langle { \bf u } \cdot { \bf d ^ { \prime } } + { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf d } + { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } \cdot { \bf d ^ { \prime } } + { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf d } \right. } \\ & { } & { \left. - { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } \cdot { \bf d } - { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf d ^ { \prime } } \right\rangle \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } } & { \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \rho _ { A } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } \\ & { = \sum _ { i , j \in \mathcal { N } } \sum _ { I \subseteq \mathcal { N } } \left< \underbrace { c _ { I } ^ { j i } \left( \beta \right) \textstyle \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } } _ { \phi } \Big ( \underbrace { \mathbf { x } _ { I \cup \left\{ j \right\} } - \mathbf { x } _ { I \cup \left\{ i \right\} } } _ { \varphi } \Big ) \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } } \\ & { = \sum _ { i , j \in \mathcal { N } } \sum _ { I \subseteq \mathcal { N } } \sum _ { \beta \in \mathcal { L } } \upsilon \left( \beta \right) c _ { I } ^ { j i } \left( \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \left< \mathbf { x } _ { I \cup \left\{ j \right\} } \mid \beta \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } - \left< \mathbf { x } _ { I \cup \left\{ i \right\} } \mid \beta \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \bf F } \frac { d \bar { \bf r } } { d s } } & { { } = \bar { \bf F } \left( \frac { \cos \psi } { v ^ { 2 } } \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf w } } + ( \cos \psi + { \bf h } \cdot { \bf q } ) \hat { \bf n } + \sum _ { \mathrm { ~ i ~ } = 1 } ^ { 2 } \hat { \bf e } _ { i } \frac { d q _ { i } } { d s } \right) \, ; } \\ { \frac { d \bar { \bf q } } { d s } } & { { } = \left[ \dot { \bf q } + \sin \psi { \bf a } _ { \phi } , 1 \right] + \frac { \cos \psi } { v ^ { 2 } } \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf p } } \, . } \end{array}
\hat { \mathcal { E } } _ { 1 \mapsto 2 } ^ { 2 D } : \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 1 } = \frac { x _ { 2 } } { b ( t _ { 2 } ) } , } \\ { y _ { 1 } = \frac { y _ { 2 } } { b ( t _ { 2 } ) } , } \\ { w _ { 1 } ( t _ { 1 } ) d t _ { 1 } = \frac { w _ { 2 } ( t _ { 2 } ) } { b ^ { 2 } ( t _ { 2 } ) } d t _ { 2 } , } \\ { \psi _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , t _ { 2 } ) = \ ~ ~ ~ ~ \frac { 1 } { b } \psi _ { 1 } \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } , t _ { 1 } \right) \chi ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , t _ { 2 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | g _ { \mathcal { N } } ( s _ { 2 } ) - g _ { \mathcal { N } } ( s _ { 1 } ) | \leq } & { \; C \bigg | \frac { ( s _ { 1 } - b ) ^ { \mathcal { N } } - ( s _ { 2 } - b ) ^ { \mathcal { N } } } { ( s _ { 2 } - b ) ^ { \mathcal { N } } ( s _ { 1 } - b ) ^ { \mathcal { N } } } \bigg | \int _ { s _ { 2 } } ^ { b } ( b - t ) ^ { \alpha } ( t - s _ { 2 } ) ^ { \mathcal { N } - 1 } d t } \\ & { + \frac { C } { ( b - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } } } \int _ { s _ { 2 } } ^ { b } ( b - t ) ^ { \alpha } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ( b - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } - 2 } d t } \\ & { + \frac { C } { ( b - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } } } \int _ { s _ { 1 } } ^ { s _ { 2 } } ( b - t ) ^ { \alpha } ( t - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } - 1 } d t } \\ { \leq } & { \; C \frac { ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ( b - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } - 1 } } { ( b - s _ { 2 } ) ^ { \mathcal { N } } ( b - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } } } ( b - s _ { 2 } ) ^ { \alpha + \mathcal { N } } + \frac { C } { ( b - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } } } ( b - s _ { 1 } ) ^ { \alpha } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ( b - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } - 1 } } \\ & { + \frac { C } { ( b - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } } } ( b - s _ { 1 } ) ^ { \alpha } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { \mathcal { N } } } \\ { \leq } & { \; \frac { C ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) } { ( b - s _ { 1 } ) ^ { 1 - \alpha } } \leq C ( s _ { 2 } - s _ { 1 } ) ^ { \alpha } , } \end{array}
U _ { i _ { 1 } \, \, i _ { 2 } } ^ { \, \, j _ { 1 } \, \, j _ { 2 } } = \sum _ { \rho , \rho ^ { \prime } \subset \lambda \otimes \mu } U _ { k _ { 1 } \, \, k _ { 2 } } ^ { \, \, l _ { 1 } \, \, l _ { 2 } } \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda } } & { { \mu } } & { { \rho } } \\ { { i _ { 1 } } } & { { i _ { 2 } } } & { { m } } \end{array} \right) ^ { \ast } \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda } } & { { \mu } } & { { \rho } } \\ { { k _ { 1 } } } & { { k _ { 2 } } } & { { m } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda } } & { { \mu } } & { { \rho ^ { \prime } } } \\ { { l _ { 1 } } } & { { l _ { 2 } } } & { { m ^ { \prime } } } \end{array} \right) ^ { \ast } \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda } } & { { \mu } } & { { \rho ^ { \prime } } } \\ { { j _ { 1 } } } & { { j _ { 2 } } } & { { m ^ { \prime } } } \end{array} \right) \, \, .
\phi _ { \infty } ^ { f } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 \pi } } { \frac { e ^ { - i u } } { u ^ { 3 / 2 } } } \left\{ \alpha e ^ { i ( \nu + 1 / 2 ) \pi / 2 } + \beta e ^ { - i ( - \nu + 1 / 2 ) \pi / 2 } \right\}
\begin{array} { r } { \operatornamewithlimits { m i n i m i z e } _ { \mathbf { w } } \ \ \mathcal { J } _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ n ~ a ~ l ~ t ~ y ~ } } ( \mathbf { w } ) : = \mathcal { J } ( \mathbf { w } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { { n _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ i ~ d ~ } } } } \operatorname* { m a x } ( B ( \mathbf { x } _ { i } ) - B _ { + } ^ { * } , 0 ) ^ { 2 } + \operatorname* { m a x } ( B _ { - } ^ { * } - B ( \mathbf { x } _ { i } ) , 0 ) ^ { 2 } , } \end{array}
\phi ^ { l , n + 1 } \rho ^ { l , n + 1 } \mathscr { E } ^ { l , n + 1 } = \frac { \phi ^ { l , n } \rho ^ { l , n } \mathscr { E } ^ { l , n } - \Delta _ { \mathrm { a d v } } + \Delta _ { \mathrm { v o l } } ( \rho ^ { l , n + 1 } \Gamma ^ { l , n + 1 } \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } } ^ { l , n + 1 } - p _ { \mathrm { r e f } } ^ { l , n + 1 } ) + \Delta _ { \mathrm { s h e a r } } } { 1 + \Delta _ { \mathrm { v o l } } \Gamma ^ { l , n + 1 } / \phi ^ { l , n + 1 } }
| \bar { \cal M } | ^ { 2 } ( b \rightarrow J / \psi + X ) = m _ { c } ^ { - 1 } \sum _ { [ n ] _ { a } } \frac { | \bar { \cal A } | ^ { 2 } ( b \rightarrow c \bar { c } [ n ] _ { a } + q _ { f } ) } { \langle 0 | O _ { a } ^ { c \bar { c } } [ n ] | 0 \rangle } \langle 0 | O _ { a } ^ { J / \psi } [ n ] | 0 \rangle \, .
\Gamma _ { 1 1 } ^ { 1 } \, = \, \sqrt { \frac { 2 \tan \frac { 2 \pi } { 3 } \, \tan \frac { 8 \pi } { 1 5 } \, \tan \frac { 1 1 \pi } { 3 0 } } { \tan \frac { 2 \pi } { 1 5 } \, \tan \frac { 3 \pi } { 1 0 } } } \, = \, 1 0 . 9 9 0 8 8 3 . .
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { \mathrm { g } } } & { = { \frac { \partial \omega } { \partial \mathbf { k } } } = { \frac { \partial ( E / \hbar ) } { \partial ( \mathbf { p } / \hbar ) } } = { \frac { \partial E } { \partial \mathbf { p } } } = { \frac { \partial } { \partial \mathbf { p } } } \left( { \sqrt { p ^ { 2 } c ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } \right) } \\ & { = { \frac { \mathbf { p } c ^ { 2 } } { \sqrt { p ^ { 2 } c ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } } } \\ & { = { \frac { \mathbf { p } c ^ { 2 } } { E } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int \varphi _ { \bf k } \frac { \partial n _ { \bf k } } { \partial t } \, d { \bf k } } & { { } = \pi \int \frac { \alpha ^ { 2 } } { \left( \Lambda + p _ { 1 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \delta ( - 2 { \bf p } _ { 1 } \cdot { \bf p } _ { 2 } ) n _ { 2 } ^ { 2 } n _ { k } ^ { 2 } ( { \bf p } _ { 1 } \cdot 2 { \bf k } ) ^ { 2 } \left( \partial _ { \omega } n _ { \omega } ^ { - 1 } - \partial _ { \omega _ { 2 } } n _ { \omega _ { 2 } } ^ { - 1 } \right) \left( \partial _ { \omega } \varphi _ { \omega } - \partial _ { \omega _ { 2 } } \varphi _ { \omega _ { 2 } } \right) d { \bf k } _ { 1 } \, d { \bf k } _ { 2 } \, d { \bf k } , } \end{array}
B _ { a c b d } h ^ { C D } e _ { C } ^ { c } e _ { D } ^ { d } e _ { A } ^ { a } e _ { B } ^ { b } = R _ { A B } ^ { h } - \textup { \textbf Y } _ { A B } \operatorname { t r } _ { h } \textup { \textbf K } - \textup { \textbf K } _ { A B } \operatorname { t r } _ { h } \textup { \textbf Y } + 2 h ^ { C D } \textup { \textbf Y } _ { C ( A } \textup { \textbf K } _ { B ) D } .
\frac { d S } { d y } \, = \, c ^ { ( q g ) } \, \left( \frac { d N ^ { ( q g ) } } { d y } \right) _ { b = 0 } \, \, \approx \, \frac { c ^ { ( \pi ) } } { r } \, \left( \frac { d N ^ { ( \pi ) } } { d y } \right) _ { b = 0 } \; .
\sum _ { i = 1 } ^ { n } q _ { a } ^ { i } [ \varphi _ { i } ^ { \alpha } \overline { { { \varphi } } } _ { i \beta } + \varphi _ { i \beta } \overline { { { \varphi } } } _ { i } ^ { \alpha } ] = \vec { \xi _ { a } } \vec { \sigma } _ { \beta } ^ { \alpha } \qquad ; a = 1 , . . . , r .
\begin{array} { r l } { \Delta U _ { \lambda } [ \mathbf { X } ] } & { { } = - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 4 \gamma k _ { \mathrm { B } } T } \int _ { 0 } ^ { t _ { f } } d t \, \left[ \boldsymbol { \lambda } _ { i } ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \Big ( e _ { \eta } ^ { 2 } \wedge \big ( f _ { \eta } ^ { 1 } + [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) ] _ { 1 } \big ) + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 2 } ) \wedge \ast \Big ( d \big ( \mathrm { l i } _ { \phi } ( f _ { \phi } ^ { 1 } \big ) ) } \\ & { - \ast \big ( \big ( \ast e _ { \eta } ^ { 1 } + d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) \big ) \wedge ( \ast d \eta ) \big ) - d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) } \\ & { - [ \eta , d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { 1 } ) ] _ { 1 } \Big ) + \int _ { \Sigma } \big ( e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge e _ { \phi } ^ { 1 } \big ) = 0 . } \end{array}
w = \frac { p _ { \Phi } } { \rho _ { \Phi } } = \frac { \dot { R } ^ { 2 } + \frac { \Omega ^ { 2 } } { a ^ { 6 } R ^ { 2 } } + 2 V ( R ) } { \dot { R } ^ { 2 } + \frac { \Omega ^ { 2 } } { a ^ { 6 } R ^ { 2 } } - 2 V ( R ) }
\begin{array} { r l } { \overline { { f } } ( R ) } & { \equiv - \frac { 1 } { N \beta } \mathbb { E } \log { { \sum _ { \vec { \sigma } \vec { \alpha } } } ^ { ( R , R ) } w ( \vec { \alpha } ) \exp { \left[ - \beta \sum _ { i \tau } h _ { i } ( \vec { \alpha } ; \tau ) \sigma _ { i } ( \tau ) - \beta \sum _ { i } H _ { 0 } ( \vec { \sigma } _ { i } ) \right] } } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { 1 } { N \beta } \mathbb { E } \log { { \sum _ { \vec { \alpha } } } ^ { ( R ) } w ( \vec { \alpha } ) \exp { \Big [ - \beta U ( \vec { \alpha } ) \Big ] } } . } \end{array}
2 L _ { E H } ^ { \prime } = | { D ^ { + + } \omega } | ^ { 2 } - { m ^ { + + } } ^ { 2 } \omega \bar { \omega } - V ^ { + + } ( \bar { \omega } D ^ { + + } \omega - \omega D ^ { + + } \bar { \omega } - \mu ^ { + + } ) + { V ^ { + + } } ^ { 2 } \omega \bar { \omega }
\left\{ \begin{array} { c } { \begin{array} { r l } & { E _ { 2 \mp 2 } ^ { c } = - \frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \left( \cos i \mp 1 \right) ^ { 2 } } \\ & { \times \left( 2 \sin \gamma \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + 3 \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \cos \gamma \right) \bar { C } _ { 2 2 } , } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } & { E _ { 2 \mp 2 } ^ { s } = - \frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \left( \cos i \mp 1 \right) ^ { 2 } } \\ & { \times \left( 2 \sin \gamma \cos \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) + 3 \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \cos \gamma \right) \bar { S } _ { 2 2 } , } \end{array} } \end{array} \right.
\mathbf { H } = \epsilon \left( | e \rangle \langle e | - | g \rangle \langle g | \right) + \Delta \left( | e \rangle \langle g | + | g \rangle \langle e | \right) + \sum _ { k = 1 } \omega _ { k } \mathbf { b } _ { k } ^ { \dagger } \mathbf { b } _ { k } + \left( | e \rangle \langle e | - | g \rangle \langle g | \right) \sum _ { k = 1 } c _ { k } \left( \mathbf { b } ^ { \dagger } + \mathbf { b } _ { k } \right) ,
\begin{array} { r } { \left( \hat { \epsilon } _ { A 0 } - \Delta _ { 0 } \lvert A _ { 1 } \rvert ^ { 2 } - \chi _ { 0 } \epsilon _ { s } \lvert A _ { 1 } \rvert ^ { 2 } \right) A _ { 0 } = - ( \hat { C } _ { 0 } / \epsilon _ { s } ) \lvert A _ { 1 } \rvert ^ { 2 } A _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { \mathrm { W } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \ensuremath { \mathbf { D } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } ^ { ( 0 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + \ensuremath { \mathbf { P } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } ^ { ( 2 ) } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { c } \rangle } & { { } = \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m _ { l } = - l } ^ { l } | l m _ { l } s m _ { s } \rangle Y _ { l m _ { l } } ^ { * } ( \vartheta _ { k } , \varphi _ { k } ) } \end{array}
\hat { \mathbf { F } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { H L L C } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { \hat { F } } ^ { \mathbf { L } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad \hat { S } ^ { L } \geq 0 , } \\ { \mathbf { \hat { F } } ^ { * \mathbf { L } } = \mathbf { \hat { F } } ^ { \mathbf { L } } + \hat { S } ^ { L } \left( \mathbf { Q } ^ { * \mathbf { L } } - \mathbf { Q } ^ { \mathbf { L } } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad \hat { S } ^ { L } \leq 0 \leq \hat { S } ^ { * } , } \\ { \mathbf { \hat { F } } ^ { * \mathbf { R } } = \mathbf { \hat { F } } ^ { \mathbf { R } } + \hat { S } ^ { R } \left( \mathbf { Q } ^ { * \mathbf { R } } - \mathbf { Q } ^ { \mathbf { R } } \right) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad \hat { S } ^ { * } \leq 0 \leq \hat { S } ^ { R } , } \\ { \mathbf { \hat { F } } ^ { \mathbf { R } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \quad \hat { S } ^ { R } \leq 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { { } = x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } } \\ { r _ { 2 } } & { { } = x _ { 1 } + \zeta x _ { 2 } + \zeta ^ { 2 } x _ { 3 } } \\ { r _ { 3 } } & { { } = x _ { 1 } + \zeta ^ { 2 } x _ { 2 } + \zeta x _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { P } _ { n } ^ { * } | \boldsymbol { \vartheta } , \boldsymbol { \varphi } _ { n } ^ { * } } & { \sim \{ \mathcal { M } + \mathcal { E } _ { T } + \mathcal { E } _ { B } \} | \boldsymbol { \vartheta } , \boldsymbol { \varphi } _ { n } ^ { * } } \\ & { \sim \mathcal { N } ( \mathcal { M } ( \boldsymbol { \vartheta } _ { e } , \boldsymbol { \varphi } _ { n } ^ { * } ) + \boldsymbol \mu _ { B } , \boldsymbol \Sigma _ { T } + \boldsymbol \Sigma _ { B } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \smash { \widetilde { f } } ( k _ { y } ) } & { { } = \int \frac { \mathrm { d } y } { \sqrt { 2 \pi } } f ( y ) \exp \left[ - i y \left( k _ { y } + \frac { 2 \pi } { \lambda } \sin \theta \right) \right] , } \\ { f ( y ) } & { { } = \int \frac { \mathrm { d } k _ { y } } { \sqrt { 2 \pi } } \smash { \widetilde { f } } ( k _ { y } ) \exp \left[ i y \left( k _ { y } + \frac { 2 \pi } { \lambda } \sin \theta \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { j } ^ { 1 } ( t ) } & { : = \lbrace k \in \mathbb { Z } : B _ { j , k } \subseteq [ 0 , t ] \rbrace , } \\ { D _ { j } ^ { 2 } ( t ) } & { : = \lbrace k \in \mathbb { Z } \setminus D _ { j } ^ { 1 } ( t ) : B _ { j , k } \cap [ 0 , t ] \neq \emptyset \rbrace , } \\ { D _ { j } ^ { 3 } ( t ) } & { : = \lbrace k \in \mathbb { Z } : B _ { j , k } \cap [ 0 , t ] = \emptyset \rbrace . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \tilde { \Omega } ( x _ { 2 } ) } T _ { t } } & { = \int _ { \tilde { \Omega } ( x _ { 2 } ) } \nabla \cdot ( \nabla T - u T ) = \int _ { \partial \tilde { \Omega } ( x _ { 2 } ) } n \cdot ( \nabla T - u T ) } \\ & { = \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) + \int _ { \gamma ( x _ { 2 } ) } n _ { + } \cdot ( \nabla T - u T ) } \\ & { = \int _ { \gamma ^ { - } } n _ { - } \cdot \nabla T + \int _ { \gamma ( x _ { 2 } ) } n _ { + } \cdot ( \nabla T - u T ) } \end{array}
\Gamma _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { 1 } ( \pi \mathbf { v } ) = \pi \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \Gamma _ { \hat { \pi } \hat { G } } ^ { 2 } ( \pi \mathbf { u } ) = \pi \Gamma _ { \hat { G } } ^ { 2 } ( \mathbf { u } )