harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle \Phi _ { i } | \Phi _ { j } \rangle = \sum _ { k } \, \sum _ { k ^ { \prime } } \, \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { i } } \right) \left( \frac { \partial \varphi _ { k ^ { \prime } } } { \partial \theta _ { j } } \right) \, \langle \alpha | a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } \, a _ { k ^ { \prime } } ^ { \dagger } a _ { k ^ { \prime } } | \alpha \rangle } \\ & { } & { = \sum _ { k } \, \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { i } } \right) \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { j } } \right) \, \langle \alpha | a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } \, a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } | \alpha \rangle } \\ & { } & { + \sum _ { k \ne k ^ { \prime } } \, \left( \frac { \partial \varphi _ { k } } { \partial \theta _ { i } } \right) \left( \frac { \partial \varphi _ { k ^ { \prime } } } { \partial \theta _ { j } } \right) \, \langle \alpha | a _ { k } ^ { \dagger } a _ { k } | \alpha \rangle \langle a _ { k ^ { \prime } } ^ { \dagger } a _ { k ^ { \prime } } | \alpha \rangle } \end{array}
\begin{array} { c } { { ( \dot { x } , \dot { y } ) = i ( a \alpha \zeta ^ { \alpha - 1 } , b \beta \zeta ^ { \beta - 1 } ) = ( A \zeta ^ { \alpha - 1 } , B \zeta ^ { \beta - 1 } ) } } \\ { { ( i \dot { y } ^ { * } , - i \dot { x } ^ { * } ) = ( i B ^ { * } ( \zeta ^ { * } ) ^ { \beta - 1 } , - i A ^ { * } ( \zeta ^ { * } ) ^ { \alpha - 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { \infty } f ( x ) d x } & { = \int _ { a } ^ { \infty } \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d Q ( z ) d x = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } \int _ { a } ^ { \infty } \frac { \mathbb { I } ( a \leq x < a + z ) } { z } d x d Q ( z ) } \\ & { = \beta \int _ { 0 + } ^ { \infty } 1 d x d Q ( z ) = \beta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { N } ^ { ( m ) } ( q ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m } } { \left( m ! \right) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } u _ { j } } { 2 \pi i } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \oint \frac { { \mathrm { d } } v _ { i } } { 2 \pi i v _ { i } ^ { 2 } } \Bigg \{ \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { u _ { i } } { v _ { i } } \right) \right] ^ { N } \left[ \operatorname* { d e t } \left( \frac { 1 } { 1 - u _ { i } / v _ { j } } \right) _ { i , j = 1 , \dots , m } \right] ^ { 2 } \cdot } \\ & { \cdot \prod _ { i , j = 1 } ^ { m } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / u _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / v _ { j } \right) } { \left( 1 - q ^ { l } u _ { i } / v _ { j } \right) \left( 1 - q ^ { l } v _ { i } / u _ { j } \right) } \right] ^ { \hat { a } _ { l } } \Bigg \} , } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { i n } \to \mathrm { a l l } } ( \theta ) = { \frac { 1 } { 2 \pi p } } \left( { \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } { \theta } } } \right) 2 \left( 1 - \mathrm { R e } \langle \mathrm { i n } | { \cal R } ^ { 2 } | \mathrm { i n } \rangle \right) \; ,
\begin{array} { r l } { f _ { i } ^ { [ 1 ] } ( x , t + \Delta t ) } & { { } = f _ { i } ^ { [ 1 ] } ( x - v _ { x } \Delta t ) , } \\ { f _ { i } ^ { [ 2 ] } ( v _ { x } , t + \Delta t ) } & { { } = f _ { i } ^ { [ 2 ] } ( v _ { x } - E _ { x } \Delta t ) . } \end{array}
i \hbar \frac { d A _ { n } } { d t } = \omega _ { n } ^ { 0 } A _ { n } + \alpha _ { n } ^ { ' } X _ { n } A _ { n } + \nu _ { n , n - 1 } A _ { n - 1 } + \nu _ { n , n + 1 } A _ { n + 1 } .
\begin{array} { r l } { v _ { z } = } & { { } - \frac { \partial ^ { 2 } p _ { l } } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ( \frac { z ^ { 3 } } { 6 } - \frac { \zeta z ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \xi ^ { 2 } z } { 2 } + \zeta \xi z + \frac { \xi ^ { 3 } } { 3 } - \frac { \zeta \xi ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) - \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( - \frac { z ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial \zeta } { \partial x } - \xi z \frac { \partial \xi } { \partial x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \big ( \operatorname* { s u p } _ { \substack { t \in [ k h _ { n } , ( k + 1 ) h _ { n } ] } } | J _ { t } - J _ { k h _ { n } } | \ge ( 1 - c ) u _ { n } \big ) } & { \le \frac { \mathbb { E } \big [ \big | J _ { ( k + 1 ) h _ { n } } - J _ { k h _ { n } } \big | ^ { r \wedge 1 } \big ] } { \big ( ( 1 - c ) u _ { n } \big ) ^ { r \wedge 1 } } + \mathcal { O } ( h _ { n } ) } \\ & { = \mathcal { O } \big ( h _ { n } u _ { n } ^ { - r } \big ) \, . } \end{array}
\langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ d ~ } } | n \rangle = \langle 0 | \hat { P } ^ { 2 } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ d ~ } } | n \rangle = \left( \langle 0 | \hat { P } \right) \left( \hat { P } \hat { \mathrm { ~ \bf ~ d ~ } } | n \rangle \right) = - ( - 1 ) ^ { P _ { f } } ( - 1 ) ^ { P _ { i } } \langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ d ~ } } | n \rangle
\begin{array} { r l } { { ( b , \lambda , p _ { 2 } ) \longleftrightarrow ( c , \mu , p _ { 3 } ) ; } } & { { P \leftrightarrow R , s \leftrightarrow u \, ; } } \\ { { ( b , \lambda , p _ { 2 } ) \longleftrightarrow ( d , \nu , p _ { 4 } ) ; } } & { { P \leftrightarrow Q , s \leftrightarrow t \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { k \eta } - \eta \widetilde { G } ( Y _ { k \eta } ) \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { k \eta } \right| ^ { 2 } \right] - 2 \eta \mathbf { E } \left[ \left\langle Y _ { k \eta } , \widetilde { G } ( Y _ { k \eta } ) \right\rangle \right] + \eta ^ { 2 } \mathbf { E } \left[ \left| \widetilde { G } ( Y _ { k \eta } ) \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { \le \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { k \eta } \right| ^ { 2 } \right] + 2 \eta \left( \Tilde { b } - \Tilde { m } \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { k \eta } \right| ^ { 2 } \right] \right) + 2 \eta ^ { 2 } \left( \left\| \widetilde { G } \right\| _ { \mathbb { M } } ^ { 2 } + \left( \omega _ { \widetilde { G } } ( 1 ) \right) ^ { 2 } \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { k \eta } \right| ^ { 2 } \right] \right) } \\ & { = \left( 1 - 2 \eta \Tilde { m } + 2 \eta ^ { 2 } \left( \omega _ { \widetilde { G } } ( 1 ) \right) ^ { 2 } \right) \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { k \eta } \right| ^ { 2 } \right] + 2 \eta \Tilde { b } + 2 \eta ^ { 2 } \left\| \widetilde { G } \right\| _ { \mathbb { M } } ^ { 2 } . } \end{array}
u _ { 0 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 1 , 0 ) } ( z ) = \sigma \left( \sum _ { n = 0 } ^ { k - 1 } \sum _ { \ell = k - 2 \left[ \frac { k - 1 } { 2 } \right] } ^ { k } \ell \, n \, t _ { \ell } ( k ) \, \frac { \alpha _ { \ell , \ell - n } } { \alpha _ { \ell \ell } } \, u _ { 0 } ^ { \ell - n - 1 } ( z ) \, A ^ { \prime } ( z ) ^ { 2 n - 1 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ,
\langle X _ { j } ^ { i } ( X ^ { \dagger } ) _ { l } ^ { k } \rangle = \frac { 1 } { \Sigma [ 0 ] } \int [ d X ] [ d Y ] X _ { j } ^ { i } ( X ^ { \dagger } ) _ { l } ^ { k } e ^ { - \mathrm { T r } ( X A _ { x } X ^ { \dagger } ) - \mathrm { T r } ( Y A _ { y } Y ^ { \dagger } ) } = \delta _ { l } ^ { i } ( A _ { x } ^ { - 1 } ) _ { j } ^ { k } = \delta _ { l } ^ { i } ( B _ { x } ) _ { j } ^ { k }
\begin{array} { r l r } { D _ { F } \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) } & { = } & { - \frac { i } { \left( 2 \pi \right) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } q \frac { e ^ { - i q \cdot \left( x _ { 2 } - x _ { 1 } \right) } } { q ^ { 2 } + i \delta } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \left( 2 \pi i \right) } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d q _ { 0 } H \left( \vec { x } _ { 2 } - \vec { x } _ { 1 } , q _ { 0 } \right) e ^ { - i q _ { 0 } \left( t _ { 2 } - t _ { 1 } \right) } } \end{array}
\Delta _ { h } ( t ) = \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } \mu _ { h } ( s ) d s + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } e ^ { ( t - s ) \mathcal { A } _ { U } } D J _ { s } ( \varphi _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( u _ { 0 } ) ) [ \Delta _ { h } ( s ) ] d s ,
\begin{array} { r } { \widetilde { \varrho } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \varrho _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { \varepsilon } } \\ { 0 } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } } \end{array} \right. , \quad \widetilde { \textbf { \textup { u } } } _ { \varepsilon } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \textbf { \textup { u } } _ { \varepsilon } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { \varepsilon } } \\ { \textbf { 0 } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { N _ { \mathrm { m a x } } = \left\lceil \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \right\rceil = \left\{ \begin{array} { l c l } { N } & { \textrm { i f } } & { \tau _ { \mathrm { m } } / \tau _ { \mathrm { d } } \in \mathbb { N } } \\ { N + 1 } & { \textrm { i f } } & { \tau _ { \mathrm { m } } / \tau _ { \mathrm { d } } \notin \mathbb { N } } \end{array} \right. , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi } { \partial t } } & { = g \frac { \delta F } { \delta m } - \Gamma \frac { \delta F } { \delta \phi } + \eta _ { \phi } ( t , { \mathbf { r } } ) , } \\ { \frac { \partial m } { \partial t } } & { = - g \frac { \delta F } { \delta \phi } + \nabla ^ { 2 } \left[ \Lambda \frac { \partial F } { \partial m } + \eta _ { m } ( t , \mathbf { r } ) \right] , } \\ { \langle \eta _ { \phi } ( t , { \mathbf { r } } ) \rangle } & { = \langle \eta _ { \phi } ( t , { \mathbf { r } } ) \rangle = 0 , } \\ { \langle \eta _ { \phi } ( t , { \mathbf { r } } ) \eta _ { \phi } ( t ^ { \prime } , { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) \rangle } & { = 2 \Gamma T \delta ( t - t ^ { \prime } ) \delta ( { \mathbf { r } } - { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) , } \\ { \langle \eta _ { m } ( t , { \mathbf { r } } ) \eta _ { m } ( t ^ { \prime } , { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) \rangle } & { = 2 \Lambda T \delta ( t - t ^ { \prime } ) \delta ( { \mathbf { r } } - { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\frac { A _ { C } ( \phi ) } { A _ { C } ^ { \mathrm { p r o t o n } } ( \phi ) } = \frac { \int _ { - 1 } ^ { 1 } d x \Big ( P ( \frac { 1 } { x - \xi } ) + P ( \frac { 1 } { x + \xi } ) \Big ) \Big ( H ^ { p } ( x , \xi , 0 ) + ( A / Z - 1 ) H ^ { n } ( x , \xi , 0 ) \Big ) } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } d x \Big ( P ( \frac { 1 } { x - \xi } ) + P ( \frac { 1 } { x + \xi } ) \Big ) H ^ { p } ( x , \xi , 0 ) } \, .
\begin{array} { l l l } { { | U _ { 1 2 } ^ { \ell } | = \sqrt { { \frac { m _ { e } } { m _ { \mu } } } } } } & { { \ ; \ \ \ } } & { { | U _ { 1 3 } ^ { \ell } | = { \frac { \sqrt { 2 m _ { e } m _ { \mu } } } { m _ { \tau } } } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { | U _ { 3 1 } ^ { \ell } | = { \frac 3 { \sqrt { 2 } } \ \frac { \sqrt { m _ { e } m _ { \mu } } } { m _ { \tau } } } } } & { { \ ; } } \\ { { \ } } & { { | U _ { 2 3 } ^ { \ell } | = { \frac 1 { \sqrt { 2 } } \ } { \frac { m _ { \mu } } { m _ { \tau } } } } } \end{array}
S _ { D } = \int d ^ { 4 } \sigma \left( - \sqrt { - \mathrm { d e t } \, ( G _ { \mu \nu } + \tilde { F } _ { \mu \nu } ) } + { \frac { 1 } { 4 } } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \tau } \tilde { F } _ { \mu \nu } b _ { \rho \tau } \right) .
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { \mathrm { a d s } } ^ { \mathrm { \, w i t h \ s o l v e n t } } } & { { } = } & { E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ + \ a d a t o m \ w i t h \ s o l v e n t } } - E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ w i t h \ s o l v e n t } } } \end{array}
( p + \tilde { q } Y ) ^ { n } = ( \tilde { q } Y ) ^ { n } + n ( \tilde { q } Y ) ^ { n - 1 } ( p Y ) + \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } ( \tilde { q } Y ) ^ { n - 2 } ( p Y ) ^ { 2 } + \cdots \ . \nonumber
b _ { n \nu } = - \frac { 2 J _ { \nu } \left( \frac { m _ { n } } { k } \right) + \frac { m _ { n } } { k } J _ { \nu } ^ { \prime } \left( \frac { m _ { n } } { k } \right) } { 2 Y _ { \nu } \left( \frac { m _ { n } } { k } \right) + \frac { m _ { n } } { k } Y _ { \nu } ^ { \prime } \left( \frac { m _ { n } } { k } \right) } ,
\left( \begin{array} { c } { { \chi _ { 1 } } } \\ { { \chi _ { 2 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \sin \mu \, J _ { n + \lambda _ { i } } + \cos \mu \, J _ { - ( n + \lambda _ { i } ) } } } \\ { { \frac { i k } { E + m } ( \sin \mu \, J _ { n + \lambda _ { i } + 1 } - \cos \mu \, J _ { - ( n + \lambda _ { i } + 1 ) } ) } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { i j } ( \textbf { r } , \tau ) | _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ c ~ o ~ h ~ . ~ } } } & { { } = - M _ { i j } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { i j } ( \textbf { r } , \tau ) + \delta _ { i j } \left( p _ { i } ^ { ( \mathrm { ~ p ~ u ~ m ~ p ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) + \Gamma _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } } \sum _ { k } G _ { i k } ^ { ( \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ . ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) \rho _ { k k } ( \textbf { r } , \tau ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \rho _ { L } , u _ { L } , p _ { L } \right) = ( 1 . 4 , 0 . 1 , 1 . 0 ) , ~ \left( \rho _ { R } , u _ { R } , p _ { R } \right) = ( 1 . 0 , 0 . 1 , 1 . 0 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { n \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y - n \delta } \\ & { } & { - 2 5 e ^ { 4 \theta } \beta _ { n } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { \leq } & { R \leq n \int _ { Q _ { l } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y + n \delta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { \mathrm { d } T } = \frac { \mathrm { d } V _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { ~ b ~ i ~ f ~ } } } { \mathrm { d } T } = \Delta V \frac { I _ { T } N _ { T } } { I _ { V } N _ { V } \rho } \frac { \mathrm { d } p _ { T } } { \mathrm { d } T } = \frac { \Delta V } { \Delta T } \frac { I _ { T } N _ { T } } { I _ { V } N _ { V } \rho } p _ { T } ( 1 - p _ { T } ) = \frac { \Delta V } { \Delta T } \frac { I _ { T } N _ { T } \varrho } { I _ { V } N _ { V } \rho } , } \end{array}
\begin{array} { r } { x = \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ \mathsf { 1 } ~ ' s ~ a m o n g ~ t h e ~ e _ { i } ~ ' s } - \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ \mathsf { 1 } ~ ' s ~ a m o n g ~ t h e ~ e _ { i } ' ~ ' s } ; } \\ { y = \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ \mathsf { 2 } ~ ' s ~ a m o n g ~ t h e ~ e _ { i } ~ ' s } - \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ \mathsf { 2 } ~ ' s ~ a m o n g ~ t h e ~ e _ { i } ' ~ ' s . } } \end{array}
\begin{array} { r } { K ( R , v , v _ { R } ) = - ( \lambda ^ { - 1 } \bar { \sigma } _ { 2 2 } ) _ { a } { a } ^ { \prime } R v + \frac { 1 } { 2 } R \zeta ( \bar { r } _ { a } ^ { 2 } { a } ^ { 2 } + v _ { R } ^ { 2 } ) + R \xi \bar { r } _ { a } { a } ^ { \prime } v _ { R } . } \end{array}
\mathcal { K } _ { N } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left\{ \frac { 2 \pi } { L } [ - N / 2 , . . . , 0 , . . . , N / 2 - 1 ] \right\} ^ { 3 } , } & { N \mathrm { ~ i s ~ e v e n , } } \\ { \left\{ \frac { 2 \pi } { L } [ - ( N - 1 ) / 2 , . . . , 0 , . . . , ( N - 1 ) / 2 ] \right\} ^ { 3 } , } & { N \mathrm { ~ i s ~ o d d , } } \end{array} \right.
\frac { \mathrm { ~ d ~ } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \left[ \begin{array} { l } { \bar { \mathbf { u } } } \\ { \mathbf { s } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] + \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathcal { K } - \mathcal { K } ^ { T } ) \left[ \begin{array} { l } { \bar { \mathbf { u } } } \\ { \mathbf { s } } \end{array} \right] - \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } \mathcal { Q } ^ { T } \mathcal { Q } \left[ \begin{array} { l } { \bar { \mathbf { u } } } \\ { \mathbf { s } } \end{array} \right] ,
T _ { e f f } ^ { S } = { \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } } { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } V _ { t } \bar { s } _ { i } t _ { i j } ^ { a } \gamma _ { \mu } b _ { j } t _ { l m } ^ { a } \Delta F _ { 1 } F _ { S } ( Q ^ { 2 } ) ( q _ { 1 } + q _ { 2 } ) ^ { \mu } , \; \; \mathrm { f o r \; s c a l a r \; d i q u a r k s } \,
R _ { p p } ( \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) = \int _ { 0 } ^ { \varepsilon _ { \gamma } } { \frac { d ^ { 2 } W _ { p p } } { d t d \varepsilon _ { e } } ( \varepsilon _ { e } , \varepsilon _ { \gamma } , \chi _ { \gamma } ) d \varepsilon _ { e } } = \frac { \alpha m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { 3 \sqrt { 3 } \pi \hbar \epsilon _ { \gamma } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { d v \frac { 9 - v ^ { 2 } } { 1 - v ^ { 2 } } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } \biggl ( \frac { 8 } { 3 \chi _ { \gamma } ( 1 - v ^ { 2 } ) } \biggr ) } .
{ \frac { 1 } { 2 a _ { 2 } } } \int _ { - a _ { 2 } } ^ { a _ { 2 } } d x _ { 2 } \ f ( { \bf x } ) = { \frac { e ^ { - { \frac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } } } { \sigma _ { 1 } \sqrt { 2 \pi } } } \cdot { \frac { 1 } { 4 a _ { 2 } } } \left[ \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a _ { 2 } \sigma _ { 1 } + \rho \sigma _ { 2 } \, x _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \sqrt { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } } \Big ] + \mathrm { E r f } \Big [ { \frac { a _ { 2 } \sigma _ { 1 } - \rho \sigma _ { 2 } \, x _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \sqrt { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } } \Big ] \right] \, .
\sigma _ { \tau ( j , p _ { i } ) } = \frac { L _ { i j } } { c } \cdot \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { p _ { i } ^ { 2 } } \left( \sqrt { 1 + \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { p _ { i } ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } \cdot \frac { \sigma _ { p } } { p } = 0 . 0 2 \cdot \frac { L _ { i j } } { c } \cdot \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { p _ { i } ^ { 2 } } \left( \sqrt { 1 + \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { p _ { i } ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } .
\psi ~ = ~ ( \varphi _ { 0 } + e _ { 1 } \varphi _ { 1 } ) + e _ { 2 } ( \varphi _ { 2 } + e _ { 1 } \varphi _ { 3 } ) + e _ { 4 } ( \varphi _ { 4 } + e _ { 1 } \varphi _ { 5 } ) + e _ { 6 } ( \varphi _ { 6 } + e _ { 1 } \varphi _ { 7 } ) \quad ,
\begin{array} { r l } { \left( \left( \theta _ { w ^ { - 1 } B \mid B } \circ t _ { P , B } ( \Phi _ { m } ^ { M } ) \right) ( f _ { v } ) \right) ( m ) } & { = \int _ { U _ { J , w ^ { - 1 } B } } \left( \left( t _ { P , B } ( \Phi _ { m } ^ { M } ) \right) ( f _ { v } ) \right) ( u ^ { \prime } m ) d u ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { U _ { J , w ^ { - 1 } B } } \int _ { G ( F ) } t _ { P , B } ( \phi _ { m } ^ { M } ) ( y ) \cdot f _ { v } ( y ^ { - 1 } u ^ { \prime } m ) d y d u ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { U _ { J , w ^ { - 1 } B } } \int _ { P _ { J , B } m P _ { J , B } } t _ { P , B } ( \phi _ { m } ^ { M } ) ( y ) \cdot f _ { v } ( y ^ { - 1 } u ^ { \prime } m ) d y d u ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { U _ { J , w ^ { - 1 } B } } \sum _ { y \in P _ { J , B } m P _ { J , B } / P _ { J , B } } t _ { P , B } ( \phi _ { m } ^ { M } ) ( y ) \cdot f _ { v } ( y ^ { - 1 } u ^ { \prime } m ) d u ^ { \prime } } \\ & { = \int _ { U _ { J , w ^ { - 1 } B } } \sum _ { k \in P _ { J , B } / \left( P _ { J , B } \cap m P _ { J , B } m ^ { - 1 } \right) } t _ { P , B } ( \phi _ { m } ^ { M } ) ( k m ) \cdot f _ { v } ( m ^ { - 1 } k ^ { - 1 } u ^ { \prime } m ) d u ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha + 1 } } & { = n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } n \land p ^ { i } \left( \left( \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } \right) , } \\ & { = \bigvee _ { i \in I } n \land p ^ { i } n \land p ^ { i } \left( \left( \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } \right) , } \\ & { = \bigvee _ { i \in I } n \land p ^ { i } \left( \left( \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } \right) , } \\ & { = n \land \left( \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha + 1 } . } \end{array}
\mathbb { E } _ { \Xi } \left\langle \rho _ { \Xi } ( t ) \mid \rho _ { \Xi } ( t ) \right\rangle \le \mathrm { e } ^ { \Lambda ( 1 + \tilde { \alpha } ^ { 2 } ) t } \langle \rho ( 0 ) | \rho ( 0 ) \rangle .
{ \frac { \epsilon _ { j } ( \theta ) } { T } } = \phi _ { 3 } ( \theta - \theta ^ { \prime } ) \star \ln \left( 1 + e ^ { \epsilon _ { j } ( \theta ^ { \prime } ) / T } \right) - \sum _ { l = 0 } ^ { t - 3 } \left( \delta _ { j , l + 1 } + \delta _ { j , l - 1 } \right) \phi _ { 3 } ( \theta - \theta ^ { \prime } ) \star \ln \left( 1 + e ^ { - \epsilon _ { l } ( \theta ^ { \prime } ) / T } \right)
\nabla \cdot \frac { F ^ { \prime } ( \phi ) \nabla \phi } { \sqrt { a ^ { 2 } + F ^ { \prime } ( \phi ) ^ { 2 } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } } } = 0 , ~ ~ ~ \phi \equiv \frac { y - y _ { 0 } } { x - x _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } & { C o v ( \boldsymbol { Z } _ { t } ( x ) , \boldsymbol { Z } _ { t + \tau } ( x + u ) ) = V a r ( \Lambda ^ { \prime } ) \exp ( - A \tau ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { A _ { t } ( x ) \cap A _ { t + \tau } ( x + u ) } \exp ( - 2 A ( t - s ) ) d s \, d \xi \, l ( A ) d A , } \\ & { C o r r ( \boldsymbol { Z } _ { t } ( x ) , \boldsymbol { Z } _ { t + \tau } ( x + u ) ) = \frac { \exp ( - A \tau ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { A _ { t } ( x ) \cap A _ { t + \tau } ( x + u ) } \exp ( - 2 A ( t - s ) ) \, \, d s \, d \xi \, f ( A ) d A } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { A _ { t } ( x ) } \exp ( - 2 A ( t - s ) ) \, \, d s \, d \xi \, l ( A ) d A } . } \end{array}
V = \left( \begin{array} { l l } { { \; 1 } } & { { \sqrt { 2 } m _ { W } \frac { M s _ { \beta } + \mu c _ { \beta } } { M ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } } } \\ { { - \sqrt { 2 } m _ { W } \frac { M s _ { \beta } + \mu c _ { \beta } } { M ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } } } } & { { \; s i g n ( \mu ) } } \end{array} \right) ,
U V _ { \mathrm { ~ l ~ } } = \frac { \pi } { 4 } d _ { \mathrm { ~ T ~ } } ^ { 2 } L _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } - \frac { \pi } { 4 } ( D _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } ^ { 2 } - d _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } ^ { 2 } ) L _ { \mathrm { ~ d ~ t ~ } } .
\bigl ( \partial _ { t } \vec { u } + [ \vec { u } \cdot \nabla ] \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } = \bigl ( \partial _ { t } ^ { \circ } \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } + \bigl ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } \quad \forall \vec { \chi } \in [ H ^ { 1 } ( \mathscr { R } ) ] ^ { 2 } .
\mathrm { ~ D ~ i ~ v ~ } \, { \bf T } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } + { \bf b } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = 0 , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ t ~ h ~ e ~ t ~ r ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ a ~ r ~ y ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } \quad { \bf t } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ( { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ) = { \bf T } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } .
d s ^ { 2 } = d t ^ { 2 } - \frac { 1 } { V } ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \, d \phi ^ { 2 } ) - \mu ^ { 2 } V ( d \chi + \cos \theta \, d \phi ) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { \phi } ^ { 2 } - \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } g ^ { 2 } } { v _ { 0 } ^ { 2 } } r ^ { 2 } \right) \psi = - 2 \frac { g } { v _ { 0 } } ( 2 n + | m | + 1 ) \omega _ { 0 } \psi . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \nabla F ( x ) } & { = \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { x } \nabla _ { y } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ( \nabla _ { y } \nabla _ { y } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \big ) ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) } \\ & { = \nabla _ { x } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \Big [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ^ { * } ( x ) ) \Big ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ^ { * } ( x ) ) . } \end{array}