harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( x , y , t ) } & { = - \frac { \partial } { \partial t } \nabla [ A ( t ) p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) ] } \\ & { = \frac { \partial } { \partial t } [ A ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) ] } \\ & { \equiv A ^ { \prime } ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) + A ( t ) \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ( T ) } } ( x - t , y ) , } \end{array}
1 0 ^ { 1 1 } \times a _ { \mu } ^ { \mathrm { ( v . p . ) } } ( s \leq s _ { 0 } ; \mathrm { t h . \ p a r t } ; \mathrm { N N L O } \ D _ { \mathrm { c a n . } } ) = 4 7 5 2 \pm 1 0 8 \ ,
( \overline { { { e _ { 1 L } } } } , \overline { { { e _ { 2 L } } } } , \overline { { { e _ { 3 L } } } } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { d } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { M _ { 4 } } } & { { m _ { u } } } & { { M _ { \omega } } } \\ { { 0 } } & { { M _ { \omega } } } & { { m _ { d } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { e _ { 1 R } } } \\ { { e _ { 2 R } } } \\ { { e _ { 3 R } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { T } ( \mathbf { X } ; M = \{ \alpha , \mathrm { X } _ { 0 } \} ) : } \\ & { \mathbb { R } ^ { N ( N - 1 ) / 2 } } & & { \to \: \mathbb { R } ^ { N ( N - 1 ) / 2 } } \\ & { \mathrm { X } _ { i } } & & { \mapsto \: \mathrm { e x p } \big ( - ( \mathrm { X } _ { i } - \mathrm { X } _ { 0 } ) / \alpha \big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { ( { \bf e } _ { \theta } - { \bf e } _ { r } \xi ) \cdot \left[ \Lambda ^ { 2 } - \Omega _ { A , m } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { \Omega _ { A , m } } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 \Omega _ { A , m } ^ { 2 } } \right) \right] ( { \bf e } _ { \theta } - { \bf e } _ { r } \xi ) \delta \phi _ { m } - ( F + K ) \delta \phi _ { m } = 0 , } \end{array}
- 2 m _ { 0 } ( 0 ) \frac { g _ { \pi q q 0 } ^ { ( 1 ) } } { g _ { \pi q q 0 } ^ { ( 0 ) \, 2 } } + m _ { c } \frac { g _ { \pi q q 0 } ^ { ( 0 ) } } { q ^ { 2 } } \, \frac { \langle \overline { { { \psi } } } \psi \rangle _ { 0 } ^ { ( 1 ) } } { m _ { 0 } ( 0 ) } - m _ { c } \frac { g _ { \pi q q 0 } ^ { ( 0 ) } } { q ^ { 2 } } \, \frac { \langle \overline { { { \psi } } } \psi \rangle _ { 0 } ^ { ( 0 ) } } { m _ { 0 } ( 0 ) } \, \frac { 2 C _ { 0 } } { m _ { 0 } ( 0 ) }
\begin{array} { r } { { \bf S } = S _ { 0 } \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { \langle \sigma _ { x } \rangle } \\ { \langle \sigma _ { y } \rangle } \\ { \langle \sigma _ { z } \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { t } ( \mathbf { x } , t ) - k \sum _ { i = 1 } ^ { n } u _ { x _ { i } x _ { i } } ( \mathbf { x } , t ) = 0 } & { ( \mathbf { x } , t ) \in \Omega \times ( 0 , \infty ) } \\ { u ( \mathbf { x } , 0 ) = g ( \mathbf { x } ) } & { \mathbf { x } \in \Omega } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sinh ( x - y ) } & { { } = \sinh x \cosh y - \cosh x \sinh y } \\ { \cosh ( x - y ) } & { { } = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y } \\ { \operatorname { t a n h } ( x - y ) } & { { } = { \frac { \operatorname { t a n h } x - \operatorname { t a n h } y } { 1 - \operatorname { t a n h } x \operatorname { t a n h } y } } } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { i j } = \log \frac { P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \right) } { P \left( ( i , j ) \in { \cal D } ^ { \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ } } \right) } - \log \left| { \cal D } ^ { \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ d ~ } } \right| + \log \left| { \cal D } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Z _ { J } [ \mathbf { \Psi } ] } & { = } & { \int D \big [ x \hat { x } f \hat { f } h \hat { h } \big ] \left( \sum _ { \{ \mathbf { J } ( 0 ) \} } \cdots \sum _ { \{ \mathbf { J } ( T ) \} } e ^ { \mathcal { L } } \right) } \\ { \mathcal { L } } & { = } & { \mathcal { L } _ { 0 } + \mathcal { L } _ { J } \, , \qquad \mathcal { L } _ { 0 } = \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } L ( \tau ) } \\ { L ( \tau ) } & { = } & { i \sum _ { k } \int d t E _ { k } ( t , \tau ) + \sum _ { k \neq j } i \hat { h } _ { k j } ( \tau ) \big [ h _ { k j } ( \tau ) - \theta _ { k j } ( \tau ) \big ] - \sum _ { k \neq j } \ln \big ( 2 \mathrm { c o s h } \, [ \beta h _ { k j } ( \tau ) ] \big ) } \\ { \mathcal { L } _ { J } } & { = } & { \sum _ { \tau = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \sum _ { k \neq j } J _ { k j } ( \tau + 1 ) \Big \{ \Psi _ { k j } ( \tau + 1 ) + \beta h _ { k j } ( \tau ) - i \int d t \hat { f } _ { k } ( t , \tau ) x _ { j } ( t , \tau ) \Big \} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { L _ { a } } ^ { L _ { b } } L ^ { n } e ^ { - c L ^ { m } } d L = \frac { c ^ { - \frac { n + 1 } { m } } } { m } \int _ { c L _ { a } ^ { m } } ^ { c L _ { b } ^ { m } } t ^ { \frac { n + 1 } { m } - 1 } e ^ { - t } d t = - \frac { c ^ { - \frac { n + 1 } { m } } \Gamma \left( \frac { n + 1 } { m } , c L ^ { m } \right) } { m } \Big | _ { L _ { a } } ^ { L _ { b } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \kappa _ { 2 } ( M ) = \frac { 2 ( 1 - z ^ { 2 } ) } { 1 - z ^ { 2 M } } \approx \frac { 4 \Delta t } { T _ { 2 } ( 1 - e ^ { - \frac { 2 t } { T _ { 2 } } } ) } , } \end{array}
\widetilde { R } \sim c o n s t + \left( t _ { s } - t _ { s 0 } \right) ^ { 2 } , \quad e ^ { 2 \varphi } \sim \left| t _ { s } - t _ { s 0 } \right| ^ { - 1 } , \quad t _ { s } \rightarrow t _ { s 0 }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \ge 0 } F _ { \mu } ( \underbrace { e \rightarrow S _ { e n t } \rightarrow S _ { e x i t } \rightarrow \dots \rightarrow S _ { e n t } \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) } & { = \sum _ { k \ge 0 } \sum _ { b \in B \setminus C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e n t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) + } \\ & { + \sum _ { k \ge 0 } \sum _ { b \in B \cap C _ { f i n } ( h ) } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e x i t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( { \it \Delta \phi } , \pi ) { \Delta } _ { \mathrm { H V } } ( 0 , \pi ) } & { = } & { - \left( \begin{array} { c c } { \cos ( { \it \Delta \phi } ) } & { - \sin ( { \it \Delta \phi } ) } \\ { \sin ( { \it \Delta \phi } ) } & { \ \ \ \cos ( { \it \Delta \phi } ) } \end{array} \right) , } \\ & { = } & { \mathcal { R } _ { \mathrm { H V } } ( 2 { \it \Delta \phi } ) = \mathcal { R } _ { \mathrm { H V } } ( 4 { \it \Delta \Psi } ) , } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { g } \left\{ - { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon { \phi } ^ { 2 } R - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { \mu \nu } { \partial } _ { \mu } { \phi } { \partial } _ { \nu } { \phi } - V ( \phi ) - { \frac { \alpha } { 3 } } R ^ { 2 } \right\}
\begin{array} { r l r } { n _ { 2 , 1 } } & { { } = } & { - 2 i \frac { k } { \omega ^ { 3 } } ( \omega - k u ) \, \partial _ { \xi } \phi _ { 1 , 1 } , } \\ { v _ { 2 , 1 } } & { { } = } & { - \frac { i } { \omega ^ { 2 } } ( \omega - k u ) \, \partial _ { \xi } \phi _ { 1 , 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { v e r s i n } ( z ) } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } z ^ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } } } \\ { \operatorname { h a v e r s i n } ( z ) } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } z ^ { 2 k } } { 2 ( 2 k ) ! } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { d } = } & { { } \frac { i } { 2 \pi \epsilon _ { d } } \int \frac { d ^ { 2 } \mathbf { q } } { w _ { d } } \left[ k _ { d } ^ { 2 } \mathbf { p } - \mathbf { k } _ { d } ( \mathbf { k } _ { d } \cdot \mathbf { p } ) \right] } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { T _ { 1 } } & { } & { } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { u } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right) = \lambda _ { u } \left( \begin{array} { l } { \left[ A _ { u } \right] _ { 1 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 2 , : } } \\ { \left[ A _ { u } \right] _ { 3 , : } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H e } _ { \mathrm { 2 } } ^ { \mathrm { * } } + \mathrm { H e } ^ { \mathrm { * } } } & { { } \xrightarrow { } } & { \mathrm { H e } _ { \mathrm { 2 } } + \mathrm { H e } ^ { \mathrm { + } } + \mathrm { e } _ { \mathrm { I C D } } ^ { \mathrm { - } } , } \\ { \mathrm { H e } _ { \mathrm { 2 } } ^ { \mathrm { * } } + \mathrm { H e } _ { \mathrm { 2 } } ^ { \mathrm { * } } } & { { } \xrightarrow { } } & { \mathrm { H e } _ { \mathrm { 2 } } + \mathrm { H e } _ { \mathrm { 2 } } ^ { \mathrm { + } } + \mathrm { e } _ { \mathrm { I C D } } ^ { \mathrm { - } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \textrm { L D O S } ^ { ( m ) } ( \omega , \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { \pi \omega } \operatorname { T r } \operatorname { I m } \mathbb { G } ^ { ( H M ) } ( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { x } _ { 0 } ) . } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } A _ { t } \mathrm { d } t \right) ^ { p / 2 } \right] \le \sum _ { n \ge 0 } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \left( \int _ { n } ^ { n + 1 } A _ { t } \mathrm { d } t \right) ^ { p / 2 } \right] \le \sum _ { n \ge 0 } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \left( \int _ { n } ^ { n + 1 } { \ensuremath { \mathbb E } } [ A _ { s } \ | \ \mathcal F _ { n } ] \mathrm { d } s \right) ^ { p / 2 } \right] .
\langle \boldsymbol C \varepsilon ( \boldsymbol u _ { \tau , h } ) \boldsymbol n , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } \rangle _ { \Gamma _ { \boldsymbol u } ^ { l } } = \langle \boldsymbol C \varepsilon ( \boldsymbol u _ { \tau , h } ) \boldsymbol n \cdot \boldsymbol n , \boldsymbol n \cdot \boldsymbol \chi _ { \tau , h } \rangle _ { \Gamma _ { \boldsymbol u } ^ { d } } \, .
U ^ { - , + } ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) + v ^ { - } ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) = \int _ { \mathbb { S } _ { 0 } } R ( \mathbf { x } _ { R } , \mathbf { x } _ { S } , t ) * v ^ { + } ( \mathbf { x } _ { S } , \mathbf { x } _ { S } ^ { \prime } , t ) d \mathbf { x } _ { S } ,
U _ { 0 } ^ { n } S t r \left( \ldots \underbrace { \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } } \ldots \right) = \frac { n } { n + 2 k } ( U _ { 0 } ^ { n } - U _ { 0 } ^ { n } | _ { i _ { n } \leftrightarrow i _ { 1 } ^ { \prime } } - \ldots - U _ { 0 } ^ { n } | _ { i _ { n } \leftrightarrow i _ { 2 k } ^ { \prime } } ) S t r \left( \ldots \underbrace { \phi ^ { i _ { 2 k } ^ { \prime } } \phi ^ { i _ { 2 k - 1 } ^ { \prime } } } \ldots \right) .
\begin{array} { r l } { p } & { = \frac { 1 } { 3 } ( x - y ) + \frac { \rho } { 6 } ( 2 c _ { 1 } + 3 c _ { 2 } + c _ { 3 } ) u + \frac { 1 } { 3 } ( 2 A ^ { 1 } - A ^ { 2 } - A ^ { 3 } ) v } \\ { q } & { = \frac { 1 } { 3 } ( x - y ) + \frac { \rho } { 6 } ( c _ { 3 } - c _ { 1 } ) u + ( 1 - t ) s _ { 3 } u + \frac { 1 } { 3 } ( - A ^ { 1 } + 2 A ^ { 2 } - A ^ { 3 } ) v } \\ { r } & { = \frac { 1 } { 2 } ( x - y ) + \frac { \rho } { 4 } ( c _ { 4 } + c _ { 5 } ) u - t s _ { 3 } u + \frac { 1 } { 2 } ( A ^ { 4 } - A ^ { 5 } ) v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textrm { f o r t i m e : } \quad } & { { } \frac { \textrm { d } \varphi } { \textrm { d } t } + \beta ^ { 2 } \varphi = 0 , } \\ { \textrm { f o r s p a c e : } \quad } & { { } \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \xi + \partial _ { r } ^ { 2 } \xi + \partial _ { z } ^ { 2 } \xi + \beta ^ { 2 } \xi = 0 , \quad \Rightarrow \quad \xi ( r , z ) = \rho ( r ) \zeta ( z ) , \quad \Rightarrow } \\ { \textrm { f o r r : } \quad } & { { } \frac { 1 } { r } \frac { \textrm { d } \rho } { \textrm { d } r } + \frac { \textrm { d } ^ { 2 } \rho } { \textrm { d } r ^ { 2 } } + \mu ^ { 2 } \rho = 0 , } \\ { \textrm { f o r z : } \quad } & { { } \frac { \textrm { d } ^ { 2 } \zeta } { \textrm { d } z ^ { 2 } } + \gamma ^ { 2 } \zeta = 0 , } \end{array}
( { \sqrt { 2 } } , 1 , - 1 ) ; \quad ( - { \sqrt { 2 } } , 1 , - 1 ) ; \quad ( { \sqrt { 2 } } , - 1 , 1 ) ; \quad ( - { \sqrt { 2 } } , - 1 , 1 ) ; \quad ( 0 , { \sqrt { 3 } } , 0 ) ; \quad ( 0 , - { \sqrt { 3 } } , 0 ) .
\begin{array} { r l } { S } & { = \left\{ v \in \mathbb { Z } ^ { 2 } : v = v _ { c } + ( a , b ) , 0 < a , b < 2 L \right\} , } \\ { S _ { 0 } } & { = \left\{ v \in \mathbb { Z } ^ { 2 } : v = v _ { c } + ( a , b ) , 0 < a , b < L \right\} , } \\ { S _ { 1 } } & { = \left\{ v \in \mathbb { Z } ^ { 2 } : v = v _ { c } + ( L + a , b ) , 0 < a , b < L \right\} , } \\ { S _ { 2 } } & { = \left\{ v \in \mathbb { Z } ^ { 2 } : v = v _ { c } + ( a , L + b ) , 0 < a , b < L \right\} , } \\ { S _ { 3 } } & { = \left\{ v \in \mathbb { Z } ^ { 2 } : v = v _ { c } + ( L + a , L + b ) , 0 < a , b < L \right\} . } \end{array}
\frac { \partial { \mathcal F } _ { E S } ( \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , R ) } { \partial \sigma _ { i } } \frac { \partial \sigma _ { i } } { \partial \eta _ { i } } + \frac { \partial { \mathcal F } _ { C R } ( \eta _ { i } ) } { \partial \eta _ { i } } = 0
\sigma _ { 1 2 3 } \partial _ { t } \Psi + \sigma _ { 1 } \partial _ { x } \Psi \sigma _ { 2 1 } + \sigma _ { 2 } \partial _ { y } \Psi \sigma _ { 2 1 } + \sigma _ { 3 } \partial _ { x } \Psi \sigma _ { 2 1 } = m \Psi \sigma _ { 1 } ~ ,
\Delta _ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \mathcal { W } ) = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { E } } \sum _ { \substack { \vec { k } , n \, \epsilon _ { n } ^ { ( 1 ) } ( \vec { k } ) \in \mathcal { W } \, \epsilon _ { n } ^ { ( 2 ) } ( \vec { k } ) \in \mathcal { W } } } \left( \epsilon _ { n } ^ { ( 1 ) } ( \vec { k } ) - \epsilon _ { n } ^ { ( 2 ) } ( \vec { k } ) \right) ^ { 2 } } ,
\int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \xi _ { n } f ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) \, \mathrm { d } \xi _ { n } \, \mathrm { d } \xi _ { t _ { 1 } } \, \mathrm { d } \xi _ { t _ { 2 } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { p } \rho V _ { p } \; \overline { { a } } _ { x , p } \; w _ { x , p } = } & { { } - \sum _ { p } V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x x , p } \frac { \partial w _ { x , p } } { \partial x } - \sum _ { p } V _ { p } \overline { { \sigma } } _ { x y , p } \frac { \partial w _ { x , p } } { \partial y } } \end{array}
\begin{array} { r } { \small { \left( \! \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \right) \! , \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \right) \! \! \right) \! . } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { \left| \operatorname { p s i n } ( \mathbf { b } , \mathbf { c } , \mathbf { d } ) \right| } { \mathrm { A r e a } _ { a } } } = { \frac { \left| \operatorname { p s i n } ( \mathbf { a } , \mathbf { c } , \mathbf { d } ) \right| } { \mathrm { A r e a } _ { b } } } = { \frac { \left| \operatorname { p s i n } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } , \mathbf { d } ) \right| } { \mathrm { A r e a } _ { c } } } = { \frac { \left| \operatorname { p s i n } ( \mathbf { a } , \mathbf { b } , \mathbf { c } ) \right| } { \mathrm { A r e a } _ { d } } } } \\ { = } & { { \frac { ( 3 \operatorname { V o l u m e } _ { \mathrm { t e t r a h e d r o n } } ) ^ { 2 } } { 2 ! ~ \mathrm { A r e a } _ { a } \mathrm { A r e a } _ { b } \mathrm { A r e a } _ { c } \mathrm { A r e a } _ { d } } } \, . } \end{array} }
( 1 - \mid { \tilde { Z _ { p } } } \mid ^ { 2 } ) = \frac { ( 1 - \mid a _ { p } \mid ^ { 2 } ) ( 1 - \mid Z _ { p } \mid ^ { 2 } ) } { 1 + \mid a _ { p } \mid ^ { 2 } \mid Z _ { p } \mid ^ { 2 } + 2 \mid a _ { p } \mid \mid Z _ { p } \mid c o s \chi _ { p } } \quad \geq 0
M _ { \nu } \simeq m _ { 0 } \left( \begin{array} { c c c } { { - 0 . 0 0 3 } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } i } } & { { \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } i } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } i } } & { { \frac { 2 } { 3 } } } & { { - \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } } } \\ { { \frac { 2 } { \sqrt { 6 } } i } } & { { - \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } } } & { { \frac { 1 } { 3 } } } \end{array} \right)
I _ { N - n } \longrightarrow \frac { 1 } { n ! } \biggl \{ \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } , \dots \biggl \{ \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } , \prod _ { k = 1 } ^ { N } p _ { k } \biggr \} \dots \biggr \} = I _ { N - n } ( g = 0 ) ,
\left( { \frac { \partial } { \partial t } + { \bf { U } } \cdot \nabla } \right) K = - { \bf { E } } _ { \mathrm { { M } } } \cdot { \bf { J } } - { \cal { R } } ^ { i j } \frac { \partial U ^ { i } } { \partial x ^ { j } } - \varepsilon _ { K } + { \bf { B } } \cdot \nabla W + \nabla \cdot \left( { \frac { \nu _ { \mathrm { K } } } { \sigma _ { \mathrm { { K } } } } \nabla K } \right) ,
\frac { \partial P _ { \mathrm { l } } ^ { * } ( S _ { \mathrm { l } } , S _ { \mathrm { r } } ) } { \partial \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } } = \frac { e ^ { L / \lambda } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } ( e ^ { L / \lambda } \xi S _ { \mathrm { l } } - S _ { \mathrm { r } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } ) } { \xi ( e ^ { 2 L / \lambda } - \eta _ { \mathrm { l ^ { \prime } } } \eta _ { \mathrm { r ^ { \prime } } } ) ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { H G _ { n , n } } ( x , y ) } & { \overset { x _ { 0 } } { \Longrightarrow } \mathrm { H G _ { n , n } } + x _ { 0 } \left( \sqrt { n + 1 } \mathrm { H G _ { n + 1 , n } } - \sqrt { n } \mathrm { H G _ { n - 1 , n } } \right) } \\ & { + y _ { 0 } \left( \sqrt { n + 1 } \mathrm { H G _ { n , n + 1 } } - \sqrt { n } \mathrm { H G _ { n , n - 1 } } \right) } \end{array}
\bigl [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 3 } ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , 3 } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R , 3 , F } ; \mathfrak { p } _ { { 3 \mathrm { b } } , F } ; \mathfrak { p } _ { R , S / C } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { { 3 \mathrm { b } } , F } \bigr ] \to [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } ; \mathfrak { p } _ { 3 \mathrm { b } } ] .
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } \exp { ( - b e ^ { \beta t _ { e n d } } ( t - t _ { e n d } ) ) ) } d t } & { { } = \exp { ( b e ^ { \beta t _ { e n d } } t _ { e n d } ) } \frac { \exp { ( - b e ^ { \beta t _ { e n d } } t ) } } { - b e ^ { \beta t _ { e n d } } } \bigg | _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D \omega } { D t } } & { { } = \mathrm { ~ P ~ r ~ } { } \, \nabla ^ { 2 } \omega + \mathrm { ~ P ~ r ~ } { } \, \mathrm { ~ R ~ a ~ } { } \, \frac { \partial \theta } { \partial x } , } \\ { - \nabla ^ { 2 } \psi } & { { } = \omega , \ \ \mathbf { u } = \nabla _ { \perp } \psi , } \\ { \frac { D \theta } { D t } } & { { } = \nabla ^ { 2 } \theta , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { M } ^ { A , A ^ { \prime } } \delta \nu _ { i } ^ { A , A ^ { \prime } } = \tilde { M } ^ { A , A ^ { \prime } } F _ { i } \delta \langle r ^ { 2 } \rangle ^ { A , A ^ { \prime } } + K _ { i } } \\ { \tilde { M } ^ { A , A ^ { \prime } } \delta \nu _ { j } ^ { A , A ^ { \prime } } = \tilde { M } ^ { A , A ^ { \prime } } F _ { j } \delta \langle r ^ { 2 } \rangle ^ { A , A ^ { \prime } } + K _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Phi } _ { \tau } ( \mathbf { X } ) - \mathbf { X } } & { { } = 0 , } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { X } _ { 0 } ) \cdot \left( \mathbf { X } - \mathbf { X } _ { 0 } \right) } & { { } = 0 , } \end{array}
\mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } = \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { \eta = ( \eta _ { 1 } , \ldots , \eta _ { \ell } ) \in \{ 0 , 1 \} ^ { \ell } ; } \\ { | \eta | = m } \end{array} } \, \sum _ { \tiny \begin{array} { c } { 0 \leq j _ { 1 } < \ldots < j _ { \ell } \leq n - 1 } \end{array} } \, \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } \mathcal { S } _ { \{ j _ { k } \} } ^ { 1 , \eta _ { k } } .
s \geq \frac { \langle \sigma _ { A f _ { 2 } } v \rangle } { a ^ { 3 } } \int _ { t _ { c } } ^ { t _ { f } } d t \, a ^ { 3 } n _ { f _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { \langle \sigma _ { A f } v \rangle } { a ^ { 3 } } \int _ { t _ { B } } ^ { t _ { f } } d t \, a ^ { 3 } n _ { f } ^ { 2 }
{ \frac { \partial a _ { k } ^ { s } } { \partial t } } = i \epsilon \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { 8 \sin \theta _ { k } } \right) k s _ { p } s _ { q } a _ { p } ^ { s _ { p } } a _ { q } ^ { s _ { q } } e ^ { i \Omega _ { k , p q } t } \delta _ { { \bf k } , { \bf p } { \bf q } } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, .
- \, S _ { \, n } ^ { [ r ] } ( p _ { 1 } ) \ = \ - \frac { 1 } { u _ { r , 2 n + 1 } } \, \frac { t ( p _ { 1 } ) } { p _ { 1 } { } ^ { 2 } + u _ { r , 2 n } \Lambda ^ { 2 } } \qquad ( \, n = 1 \ldots r \, ) \, ,
\partial _ { \mu } \phi ( x ) \rightarrow \partial _ { \mu } \phi ^ { \prime } ( x ) = U ( x ) \partial _ { \mu } \phi ( x ) + ( \partial _ { \mu } U ) \phi ( x ) \equiv e ^ { i \alpha ( x ) } \partial _ { \mu } \phi ( x ) + i ( \partial _ { \mu } \alpha ) e ^ { i \alpha ( x ) } \phi ( x )
\Phi ( { \bf x } , \theta ) = \chi + \bar { \theta } \lambda + \frac 1 2 \bar { \theta } \theta F , ~ ~ D _ { \alpha } = \frac { \partial } { \partial \bar { \theta } _ { \alpha } } - ( \hat { \partial } \theta ) _ { \alpha } , ~ ~ \bar { D } _ { \alpha } = \frac { \partial } { \partial \theta _ { \alpha } } - ( \bar { \theta } \hat { \partial } ) _ { \alpha } .
\begin{array} { c } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \left\| \bf { w } \right\| \Rightarrow \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } ( \sum _ { j } w _ { j } ^ { 2 } ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } y _ { i } \left( \mathbf { w } ^ { T } \mathbf { x } _ { i } - b \right) \geq 1 , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } i = 1 , . . . , n } \end{array}
f ( x ) = f ( a ) + f ^ { \prime } ( a ) ( x - a ) + { \frac { f ^ { \prime \prime } ( a ) } { 2 ! } } ( x - a ) ^ { 2 } + \cdots + { \frac { f ^ { ( k ) } ( a ) } { k ! } } ( x - a ) ^ { k } + h _ { k } ( x ) ( x - a ) ^ { k } ,
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { \alpha } ^ { S } ( y ) } & { = \left( \sum _ { s \in \mathcal { S } } P _ { S } ( s ) l ( s , y ) ^ { \alpha } \right) ^ { 1 / \alpha } \leq { \varepsilon } \Rightarrow P _ { S } ( s _ { y } ) l ( s _ { y } , y ) ^ { \alpha } = P _ { S } ( s _ { y } ) \Lambda ( y ) ^ { \alpha } \leq { \varepsilon ^ { \alpha } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i } \left( \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right) } & { \propto p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { \nu } _ { i k } \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right] \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right. } \\ & { \qquad \left. + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \Biggr \} p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) . } \end{array}