harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \; \boldsymbol \Phi \boldsymbol \cdot \boldsymbol \Phi ^ { \prime } = { \frac { R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \; { \frac { \boldsymbol \phi \boldsymbol \cdot \boldsymbol \phi ^ { \prime } } { B B ^ { \prime } } } \, ,
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { c o r r } } ^ { \infty } = \frac { X ^ { \beta } E _ { \mathrm { c o r r } } ^ { ( X ) } - Y ^ { \beta } E _ { \mathrm { c o r r } } ^ { ( Y ) } } { X ^ { \beta } - Y ^ { \beta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { \frac { k } { 2 } } \pi ^ { \frac { d } { 2 } } \sum _ { \iota : \mathscr { A } \to \{ 1 , \ldots , d \} } c _ { d } ^ { ( \iota ) } \, \mathbf T _ { F _ { k , d } } ^ { x , m } ( \mathbf W _ { 1 } ^ { \mathscr { A } , \iota } , \ldots , \mathbf W _ { m } ^ { \mathscr { A } , \iota } ) } \\ & { = \sum _ { \iota : \mathscr { A } \to \{ 1 , \ldots , d \} } c _ { d } ^ { ( \iota ) } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb R ^ { d } } | \xi | ^ { - k } \int _ { - \infty } ^ { \infty } S _ { \xi , i \lambda } ^ { m } ( \mathbf W _ { 1 } ^ { \mathscr { A } , \iota } , \ldots , \mathbf W _ { m } ^ { \mathscr { A } , \iota } ) e ^ { i \lambda } \, d \lambda \, d \xi } \\ & { = ( - 1 ) ^ { m } \sum _ { \iota : \mathscr { A } \to \{ 1 , \ldots , d \} } c _ { d } ^ { ( \iota ) } \int _ { \mathbb R ^ { d } } | \xi | ^ { 2 m - k } f _ { m } ( \xi ) [ \pi ( \mathbf W _ { 1 } ^ { \mathscr { A } , \iota } ) \otimes \cdots \otimes \pi ( \mathbf W _ { m } ^ { \mathscr { A } , \iota } ) ] \, d \xi . } \end{array}
{ M _ { c } = \left( \begin{array} { l l l l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } & { { \cdots } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \end{array} \right) , }
\bar { L } _ { n } ^ { ( l + 1 / 2 ) } ( x ) = \sqrt { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 ^ { l + 1 } n ! \Gamma ( n + l + 3 / 2 ) } } x ^ { - ( l + 1 / 2 ) } \left( \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } x } - 1 \right) ^ { n } x ^ { n + l + 1 / 2 } .
\hat { \mu } = \{ \mu _ { 1 } \sin \phi _ { 1 } , \mu _ { 1 } \cos \phi _ { 1 } , \mu _ { 2 } \sin \phi _ { 2 } , \mu _ { 2 } \cos \phi _ { 2 } , \mu _ { 3 } \sinh \phi _ { 3 } , \mu _ { 3 } \cosh \phi _ { 3 } \} .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { W ^ { \frac { M } { r _ { 0 } } - 1 } W d t ^ { 2 } - W ^ { 1 - \frac { M } { r _ { 0 } } } \left[ W ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } \right] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \varphi } } & { { = } } & { { \varphi _ { 0 } - \frac { { \cal Q } _ { d } } { r _ { 0 } } \ln W \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \left( \begin{array} { l } { \varrho } \\ { \varrho u _ { j } } \\ { \frac { p } { \gamma - 1 } } \end{array} \right) + \partial _ { x _ { i } } \left( \begin{array} { l } { \varrho u _ { i } } \\ { \varrho u _ { i } u _ { j } + p \delta _ { i j } } \\ { \frac { u _ { i } p \gamma } { \gamma - 1 } } \end{array} \right) - u _ { i } \partial _ { x _ { i } } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { p } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { s _ { p } } \end{array} \right) , } \end{array}
g _ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c } { { h _ { i j } - B a _ { i } a _ { j } } } & { { - B a _ { i } } } \\ { { - B a _ { j } } } & { { - B } } \end{array} \right) ~ ~ , ~ ~ g ^ { \mu \nu } = \left( \begin{array} { c c } { { h ^ { i j } } } & { { - a ^ { i } } } \\ { { - a ^ { j } } } & { { a ^ { 2 } - B ^ { - 1 } } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ,
n _ { q } \left( \tau \right) = \left| \, f _ { 2 \, \vec { q } } \left( \tau \right) \, f _ { 1 \vec { q } } ^ { \ast } \left( 0 \right) - \, f _ { 1 \, \vec { q } } \left( \tau \right) \, f _ { 2 \, \vec { q } } ^ { \ast } \left( 0 \right) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { X ^ { ( a ) } ( U ) = \log ( U ) + x _ { - } ^ { ( a ) } \left( \mathfrak { q } ^ { - 1 } U \right) - x _ { + } ^ { ( a ) } ( U ) + x _ { 0 } ^ { ( a ) } \log ( U ) + \alpha _ { x } ^ { ( a ) } , } \\ & { Y ^ { ( a ) } ( U ) = \log ( U ) + y _ { - } ^ { ( a ) } ( \mathfrak { q } ^ { - 1 } U ) - y _ { + } ^ { ( a ) } \left( U \right) - y _ { 0 } ^ { ( a ) } \log ( V ) - \alpha _ { y } ^ { ( a ) } , } \\ & { \Gamma _ { \pm } ^ { ( a ) } ( U ) = \pm \gamma _ { - } ^ { ( a ) } \left( U \right) \mp \gamma _ { + } ^ { ( a ) } ( U ) \pm \widetilde { \gamma } ^ { ( a ) } \pm \gamma _ { 0 } ^ { ( a ) } \log ( U ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { I } ( L \cos \theta > 2 \varepsilon ) \frac { L \sin \theta ( L \cos \theta - 2 \varepsilon ) } { \sqrt { ( L + 2 \varepsilon ) ^ { 2 } - ( L \cos \theta - 2 \varepsilon ) ^ { 2 } } } } & { + \frac { L ^ { 2 } \sin \theta \cos \theta } { \sqrt { ( L + \varepsilon ) ^ { 2 } - L ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } } \\ { - \mathbb { I } ( L \sin \theta > 2 \varepsilon ) 2 L \cos ( \theta ) - \mathbb { I } ( L \sin \theta } & { < \varepsilon ) L \cos \theta , } \end{array}
\psi _ { c } ^ { ( + ) } = \textstyle { \sqrt { \frac { E + m } { 2 m } } } { \left[ \begin{array} { l } { { \frac { { \vec { \sigma } } \cdot { \vec { p } } } { E + m } } \chi } \\ { \chi } \end{array} \right] } e ^ { i p \cdot x }
u ( x , y ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { r e p } } A _ { x } ^ { i } \cos \left( 2 \pi L ^ { - 1 } l _ { x } ^ { i } x + \phi _ { x } ^ { i } \right) A _ { y } ^ { i } \sin \left( 2 \pi L ^ { - 1 } l _ { y } ^ { i } y + \phi _ { y } ^ { i } \right)
\begin{array} { r l r } { k _ { 0 } } & { = } & { \left[ \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } k ^ { 2 } | \pi ^ { 3 / 2 } \delta ^ { 3 } \exp { \left( - k ^ { 2 } \delta ^ { 2 } / 4 \right) } | ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin \phi \, \mathrm { d } k \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \phi } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \pi } \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } | \pi ^ { 3 / 2 } \delta ^ { 3 } \exp { \left( - k ^ { 2 } \delta ^ { 2 } / 4 \right) } | ^ { 2 } k ^ { 2 } \sin \phi \, \mathrm { d } k \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \phi } \right] ^ { 1 / 2 } , } \\ & { = } & { \sqrt { 3 } / \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { 1 } } & { = - C _ { 2 } \left( 2 I + \beta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) , } \\ { X _ { 2 } } & { = ( C _ { 2 } \left( 2 I + \beta F ^ { \prime } ( \alpha ) \right) ) ^ { 2 } - \left( 3 C _ { 3 } + 3 \beta C _ { 3 } F ^ { \prime } ( \alpha ) + \beta C _ { 2 } F ^ { \prime } ( \alpha ) C _ { 2 } + \beta ^ { 2 } C _ { 3 } F ^ { \prime } ( \alpha ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s } _ { I + i } } & { = \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { I + i } = \mathbf { t } ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } + \mathbf { P } ) ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } \mathbf { P } + \underbrace { \mathbf { P } ^ { T } \mathbf { P } } _ { = \mathbf { I } } ) \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } } \\ & { = \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { P } + \mathbf { I } ) ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { I - i + 1 } = \mathrm { s } _ { I - i + 1 } , \qquad 1 \leq i \leq k , } \end{array}
P _ { \mathrm { K R R } } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right) : = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \alpha _ { i } k \left( \boldsymbol { X } _ { q } , \boldsymbol { X } _ { i } \right) ~ ,
c \tau = \int \sqrt { \left( \frac { d ( c t ) } { d ( c t ) } \frac { \partial } { \partial ( c t ) } + \frac { d r ( t ) } { d ( c t ) } \frac { \partial } { \partial { r ( t ) } } \right) \cdot \left( \frac { d ( c t ) } { d ( c t ) } \frac { \partial } { \partial ( c t ) } + \frac { d r ( t ) } { d ( c t ) } \frac { \partial } { \partial { r ( t ) } } \right) } c d t
\boldsymbol { \hat { \omega } } = \frac { 1 } { | \mathbf { S } | } \Big ( S _ { 1 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) , S _ { 2 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) , S _ { 3 } ( { \mathbf { u } } _ { b } ) \Big ) \, .
\begin{array} { c } { { \bar { \varepsilon } _ { 1 i } \gamma ^ { A } \varepsilon _ { 2 } ^ { i } \tilde { \gamma } _ { A } = 2 ( \varepsilon _ { 1 } ^ { i } \bar { \varepsilon } _ { 2 i } - \varepsilon _ { 2 } ^ { i } \bar { \varepsilon } _ { 1 i } ) } } \\ { { { } } } \\ { { \rho _ { 1 } ^ { i } \bar { \varepsilon } _ { 2 i } = \textstyle { \frac { 1 } { 8 } } \bar { \varepsilon } _ { 2 i } \gamma ^ { [ A } \tilde { \gamma } ^ { B ] } \rho _ { 1 } ^ { i } \gamma _ { [ A } \tilde { \gamma } _ { B ] } - \textstyle { \frac { 1 } { 4 } } \bar { \varepsilon } _ { 2 i } \rho _ { 1 } ^ { i } 1 } } \end{array}
\Omega ^ { 1 , 2 } ( \tau ) | _ { \alpha ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 ! } 2 \times 2 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime } } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) = 2 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime } } R _ { 0 } ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } ) \mu ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime } )
. O f f - r e s o n a n t e x c i t a t i o n i n a m o l e c u l e - c a v i t y s y s t e m i s u s u a l l y a c h i e v e d b y o p t i c a l l y p u m p i n g a h i g h e r - e n e r g y e l e c t r o n i c s t a t e o f t h e m o l e c u l e s ~ , w h i c h t h e n r a p i d l y r e l a x e s i n t o t h e l o w e s t e n e r g y e x c i t e d s t a t e ( S
\begin{array} { r l } { \mathrm { h e r e } \; \; \; \alpha _ { 1 } ^ { * } ( \lambda ) } & { = \frac { \lambda \, E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } ) I _ { ( - \infty , c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } ) ^ { 2 } I _ { ( - \infty , c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } , \; \; \lambda \geq 0 . \qquad \qquad } \\ & { = \frac { \lambda \, \int _ { - \infty } ^ { 0 } z \, f _ { Z } ( z + c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) d z } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } z ^ { 2 } \, f _ { Z } ( z + c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) d z } , \; \; \lambda \geq 0 , } \\ & { = E _ { \lambda } [ k ( S _ { \lambda } , \lambda ) ] , \; \; \lambda \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \cal D } _ { { \cal C } _ { \nu } ^ { \lambda } } ( \delta _ { \nu } , \lambda _ { \nu } ) ( d \delta _ { \nu } , d \lambda _ { \nu } ) = - c _ { \nu } \frac { \alpha ( ( [ \delta _ { \nu } ^ { n + 1 } ] _ { + } ) ^ { \alpha - 1 } - \widetilde \delta _ { \nu } ^ { n + 1 } ) } { 2 ( \delta _ { \nu } ^ { n + 1 } - \delta _ { \nu } ^ { n } ) } ( { \mathbf 1 } _ { \mathrm { C o n t a c t } } ) d \delta _ { \nu } + d \lambda _ { \nu } , } \end{array}
{ \frac { \kappa ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { \vec { n } } { \frac { P ^ { \vec { n } , \mu \tau } } { t - m _ { \vec { n } } ^ { 2 } } } \to { \frac { - i 8 \pi } { 5 \Lambda _ { c } ^ { 3 } } } \left( \eta ^ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 3 } } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \right) \,
\begin{array} { r } { \hat { \omega } _ { l u } ^ { \mathrm { i n f } } ( T ) = 1 - \Psi _ { \mathrm { i n f } } ( T - T _ { l u } ^ { \mathrm { i n f } } + \Delta T ) / \Psi _ { \mathrm { i n f } } ( T - T _ { l u } ^ { \mathrm { i n f } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ g ~ } } ( r ) = \frac { \alpha } { 4 \pi m } i \mathbf { \gamma } \cdot \nabla \left[ \phi ( r ) \left( \int _ { 1 } ^ { \infty } d t \frac { e ^ { 2 t r m } } { t ^ { 2 } \sqrt { t ^ { 2 } - 1 } } - 1 \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \hat { \rho } } { d t } } & { = \frac { - i } { \hbar } [ \omega _ { 0 } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } , \rho ] + \gamma \left( 1 + \bar { n } \right) ( 2 \hat { a } \rho \hat { a } ^ { \dagger } - \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \rho - \rho \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } ) } \\ & { + \gamma \bar { n } ( 2 \hat { a } ^ { \dagger } \rho \hat { a } - \hat { a } \hat { a } ^ { \dagger } \rho - \rho \hat { a } \hat { a } ^ { \dagger } ) . } \end{array}
X ^ { \mu } = \frac { \partial \Delta _ { I } S } { \partial \alpha _ { \mu } } = - k _ { B } \frac { \partial } { \partial \alpha _ { \mu } } \left( \log \frac { P } { P _ { 0 } } \right) = - \frac { k _ { B } } { P } \frac { \partial P } { \partial \alpha _ { \mu } }
\frac { \epsilon _ { O V } } { \epsilon _ { B C S } } = \frac { ( \Lambda _ { \perp } F _ { 0 } ) F _ { 0 } } { ( \mu G _ { 0 } ) G _ { 0 } } \cong \left( \frac { F _ { 0 } } { G _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { F _ { 0 } } { \mu } \right) ^ { 1 / 2 } \, \, .
\begin{array} { r l r } { N ( \epsilon ) } & { { } \propto } & { \exp \left( - 2 \frac { B _ { n } } { E } \mathrm { s i n h } ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { \epsilon / m c ^ { 2 } - 1 } { 2 } } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \Biggl | \kappa _ { m } \biggl \| \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \xi _ { m , k } \bigl ( \ensuremath { \mathrm { I } _ { 2 } } + \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } \nabla T _ { m - 1 } \biggr \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } - \kappa _ { m - 1 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla T _ { m - 1 } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } \, \Biggr | } \qquad } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { F A } ^ { o } } & { = \mathbb { P } ( \sigma _ { w } ^ { 2 } > \tau ) } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \tau < \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } \\ { 1 - \frac { \ln ( \rho \tau ) - \ln ( \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } ) } { 2 \ln ( \rho ) } , } & { \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } \leq \tau \leq \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } , } \\ { 0 , } & { \tau > \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \Psi \rangle } & { { } = } & { c _ { 0 } | \Phi _ { 0 } \rangle + \sum _ { r , a } c _ { a } ^ { r } | \Phi _ { a } ^ { r } \rangle + \sum _ { r < s , a < b } c _ { a b } ^ { r s } | \Phi _ { a b } ^ { r s } \rangle + } \end{array}
\varphi _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \varphi _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 2 } ) - \varphi _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 1 } ) \varphi _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 2 } )
\times \left( 1 - ( 1 + \epsilon ) \beta ( 1 - \beta ) \right) e _ { A ^ { \prime } \mu } ^ { * \perp } e _ { A \nu } ^ { \perp } \biggr ] \biggl [ { C _ { 3 } } _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } } R _ { 1 2 \perp } ^ { \prime \: \mu } R _ { 1 2 \perp } ^ { \nu } + { C _ { 4 } } _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } } R _ { 2 1 \perp } ^ { \prime \: \mu } R _ { 1 2 \perp } ^ { \nu } \biggr ] ~ .
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { A _ { 0 } } \\ { A _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { A _ { n } } \\ { B _ { 0 } } \\ { B _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { B _ { n } } \end{array} \right) } \end{array}
\omega ^ { ( 1 ) } \; : = \; \sqrt { \frac { \pi } { \pi + g N } } \; \; \; \; , \; \; \; \; \omega ^ { ( I ) } \; : = \; 1 \; \; \; \mathrm { f o r } \; \; \; 2 \leq I \leq N \; ,
K _ { b } = \int _ { m _ { L } } ^ { \infty } d m _ { i } \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { i } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { i } \int _ { t _ { i } } ^ { T } d t _ { j } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { j } e ^ { - 2 \beta ( m _ { i } - m _ { L } ) } \Lambda ( t _ { i } , \vec { x } _ { i } ) \Phi _ { R } \left( m _ { i } - M _ { R } \left( \vec { x } _ { i } \right) \right) .
\omega _ { c a s } = \frac { 1 } { 2 } f _ { \pi } r ^ { 2 } \mu \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \frac { d t } { t ^ { 3 } } \frac { 1 } { ( 1 + z ) ^ { 4 } } = \frac { 3 } { 4 } f _ { \pi } r ^ { 2 } \frac { \mu } { t _ { 0 } ^ { 2 } } ,
h _ { u } = \phi \left( x _ { u } , \bigoplus _ { v \in \mathcal { N } _ { u } } \psi \left( x _ { u } , x _ { v } \right) \right) = \phi \left( x _ { u } , \frac { 1 } { N } \sum _ { v \in \left( \mathcal { Z } _ { w } \backslash u \cup \bigcup _ { q \in \mathcal { M } _ { w } } \mathcal { Z } _ { q } \right) } \psi \left( x _ { u } , x _ { v } \right) \right) =
P ( D ) ( y _ { p } ) = P ( D ) \left( { \frac { B e ^ { \gamma t } } { P ( \gamma ) } } \right) = { \frac { B } { P ( \gamma ) } } P ( D ) \left( e ^ { \gamma t } \right) = { \frac { B } { P ( \gamma ) } } P ( \gamma ) e ^ { \gamma t } = B e ^ { \gamma t } .
\begin{array} { r l } { \left| { K } _ { h } ( x , t ) \right| } & { \leq \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \left| \mathcal { K } _ { h } ( x , t + l ) \right| } \\ & { \leq C \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \gamma ^ { | x - t - l | / h } = C \left\{ \gamma ^ { | x - t | / h } + \sum _ { l > 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { ( x - t + l ) / h } + \sum _ { l > 0 } ^ { \infty } \gamma ^ { ( - x + t + l ) / h } \right\} } \\ & { = C [ \gamma ^ { | x - t | / h } + \gamma ^ { 1 / h } \{ \gamma ^ { ( x - t ) / h } + \gamma ^ { ( t - x ) / h } \} / ( 1 - \gamma ^ { 1 / h } ) ] . } \end{array}
\mathcal Q _ { n , k } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \qquad } & { k < n - 1 , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad k > n ( n - 1 ) / 2 , } \\ { n ^ { n - 2 } \qquad } & { k = n - 1 , \quad } \\ { Q ( n , k ) \qquad } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
Z _ { i } = \frac { 2 \pi M _ { 1 1 } ^ { 3 } V _ { 7 } } { V _ { 3 , i } ^ { 2 } } \ \ ( i \leq N _ { 3 } ) \ , \quad \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 4 } ^ { 2 } } = Z _ { N _ { 3 } + 1 } = { 2 \pi M _ { 1 1 } ^ { 9 } V _ { 7 } } \ .
g _ { A B C D } ^ { ( 4 ) } \! = \! \frac { 1 } { 4 } \left\{ 1 \! + \! \cos [ \Phi _ { A } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \! + \! \Phi _ { B } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \! - \! \Phi _ { C } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \! - \! \Phi _ { D } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) ] \right\} .
{ \cal A } _ { C P } ( \Delta t ) = { \frac { \Gamma ( B ^ { 0 } \rightarrow f _ { C P } ) ( \Delta t ) - \Gamma ( \bar { B } ^ { 0 } \rightarrow f _ { C P } ) ( \Delta t ) } { \Gamma ( B ^ { 0 } \rightarrow f _ { C P } ) ( \Delta t ) + \Gamma ( \bar { B } ^ { 0 } \rightarrow f _ { C P } ) ( \Delta t ) } } = C _ { f } \cos ( \Delta m _ { B _ { d } } \Delta t ) + S _ { f } \sin ( \Delta m _ { B _ { d } } \Delta t ) ,
\begin{array} { r l } & { \langle S _ { x } ( t _ { 0 } + \tau ) S _ { x } ( t _ { 0 } ) \rangle } \\ { = } & { \mathrm { ~ } e ^ { - \Gamma _ { 2 } \tau } \left( \cos ( \tau \omega ) + \frac { \gamma ^ { 2 } ( \Gamma _ { x x } - \Gamma _ { y y } ) } { 4 \omega } \sin ( \tau \omega ) - \frac { \gamma ^ { 2 } ( \Gamma _ { x x } + \Gamma _ { y y } + 2 \Gamma _ { z z } ) } { 4 } \tau \cos ( \tau \omega ) \right) \langle S _ { x } ( t _ { 0 } ) ^ { 2 } \rangle } \\ { + } & { \mathrm { ~ } e ^ { - \Gamma _ { 2 } \tau } \left( \left( 1 + \frac { \gamma ^ { 2 } \Gamma _ { x y } } { 2 \omega } \right) \sin ( \tau \omega ) - \frac { \gamma ^ { 2 } ( \Gamma _ { x x } + \Gamma _ { y y } + 2 \Gamma _ { z z } ) } 4 \tau \sin ( \tau \omega ) \right) \langle S _ { x } ( t _ { 0 } ) S _ { y } ( t _ { 0 } ) \rangle } \\ { + } & { \mathrm { ~ } \mathfrak { C } \langle S _ { x } ( t _ { 0 } ) S _ { z } ( t _ { 0 } ) \rangle + \mathfrak { D } \langle S _ { x } ( t _ { 0 } ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { \lambda _ { 2 } = - \frac { 1 + A _ { 2 } - A _ { 1 } ^ { 2 } C _ { \star } } { \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 } + \sqrt { ( \frac { 1 } { 2 } A _ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } + 2 A _ { 1 } ^ { 2 } C _ { \star } } } \geq - \frac { \frac { 1 } { A _ { 2 } } + ( 1 - \frac { A _ { 1 } ^ { 2 } C _ { \star } } { A _ { 2 } } ) } { 1 + \frac { 1 } { A _ { 2 } } } = - \mathcal { O } ( \frac { 1 } { - \log \gamma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( H - x ) w _ { > } \| _ { 2 } } & { \ge | \langle w _ { > } , ( H - x ) w _ { > } \rangle | } \\ & { \ge x \| w _ { > } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac 1 { \sqrt { N } } \bigg | \sum _ { i , j \in S _ { > } } w _ { i } w _ { j } X _ { i j } \bigg | } \\ & { \ge \frac 1 2 x - \frac 1 { \sqrt { N } } \bigg ( \sum _ { i , j \in S _ { > } } X _ { i j } ^ { 2 } \bigg ) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ge \frac 1 2 x - \frac 1 { \sqrt { N } } | S _ { > } | \operatorname* { m a x } _ { i , j \in S _ { > } } | X _ { i j } | } \\ & { \ge \frac 1 2 x - \frac 1 { \delta ^ { 2 } \sqrt { N } } \operatorname* { m a x } _ { i , j \in S _ { > } } | X _ { i j } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { L } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \alpha \beta } z ^ { \alpha } \dot { z } ^ { \beta } - H - S _ { \alpha } { z } ^ { \alpha } \, , } \\ { \mathcal { F } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r \in \mathcal { R } } \dot { q } ^ { r } \dot { \phi } ^ { r } = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { F } _ { \alpha \beta } \dot { z } ^ { a } \dot { z } ^ { \beta } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \mathcal { F } _ { 1 0 } ( 4 n ) q ^ { n } } & { \equiv \frac { ( q ; q ) _ { \infty } ^ { 2 } ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } ^ { 3 } } { ( q ^ { 2 } ; q ^ { 2 } ) _ { \infty } ( q ^ { 5 } ; q ^ { 5 } ) _ { \infty } ^ { 4 } ( q ^ { 2 0 } ; q ^ { 2 0 } ) _ { \infty } } } \\ & { \equiv \frac { ( q ^ { 4 } ; q ^ { 4 } ) _ { \infty } } { ( q ^ { 1 0 } ; q ^ { 1 0 } ) _ { \infty } } . } \end{array}
x ^ { \prime } ( \xi ) = \frac { \omega ^ { \prime } { } ^ { 2 } } { \omega ^ { \prime } { } ^ { 1 } } ( \xi ) = x ( \xi ) + \frac { \delta \omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 1 } } ( \xi ) - x ( \xi ) \, \frac { \delta \omega ^ { 1 } } { \omega ^ { 1 } } ( \xi ) .
F ( \rho , \sigma ) = \operatorname* { m i n } _ { \{ F _ { i } \} } F ( X , Y ) = \operatorname* { m i n } _ { \{ F _ { i } \} } \left( \sum _ { i } { \sqrt { \operatorname { t r } ( \rho F _ { i } ) \operatorname { t r } ( \sigma F _ { i } ) } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \langle \tilde { \Psi } _ { \kappa } | } & { = \langle 0 | \hat { L } ( \kappa ) ( 1 - \hat { S } _ { 2 } ) e ^ { - \hat { T } } } \\ { | \Psi _ { \kappa } \rangle } & { = e ^ { \hat { T } } ( 1 + \hat { S } _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \hat { S } _ { 2 } ^ { 2 } + \hat { S } _ { 3 } ^ { - } ) \hat { R } ( \kappa ) | 0 \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] \} } \textrm { d } x } & { = \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \beta ( \tau ^ { + } , n ^ { + } ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) \textrm { d } n ^ { + } \textrm { d } \tau ^ { + } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( \tau ^ { + } , \varepsilon n ^ { + } ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { + } ) \textrm { d } n ^ { + } \textrm { d } \tau ^ { + } } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { + \infty } \beta \Big ( \tau ^ { + } , \frac { \varepsilon } { 3 } \Big ) \textrm { d } \tau ^ { + } } \\ & { - \varepsilon \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial \beta } { \partial n ^ { + } } ( \tau ^ { + } , \varepsilon n ^ { + } ) \phi ( n ^ { + } ) \textrm { d } n ^ { + } \textrm { d } \tau ^ { + } . } \end{array}