harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d \big ( e _ { v } ^ { 2 } \wedge \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } ) \big ) = ( - 1 ) ^ { n - 1 } e _ { v } ^ { 2 } \wedge d \big ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } ) \big )
\mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ e ~ r ~ r ~ o ~ r ~ } = \frac { 1 } { J } \sum _ { j = 1 } ^ { J } \left| \frac { \bar { Q } ( x _ { j } ) - \bar { Q } _ { r e f } ( x _ { j } ) } { \bar { Q } _ { r e f } ( x _ { j } ) } \right|
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { R } _ { \le 3 } \Phi _ { 6 } } & { = \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \partial _ { x } \Pi _ { S ^ { \perp } } W _ { 2 } \Phi _ { 6 } + \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } O p ^ { W } ( \mathfrak { r } _ { - 2 , \le 3 , * } ) \Phi _ { 6 } + \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } \mathcal { R } _ { 5 } \Phi _ { 6 } ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( k _ { l } , t _ { r } , s ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t d \textbf { k } ^ { \prime } g ( \textbf { k } ^ { \prime } , \textbf { k } _ { l } ) w ( t , t _ { r } ) e ^ { - i \left[ S ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) + S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) ( t - t _ { r } ) \right] } R ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) , } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \textbf { k } ^ { \prime } g ( \textbf { k } ^ { \prime } , \textbf { k } _ { l } ) e ^ { - i S ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t w ( t , t _ { r } ) e ^ { - i S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) ( t - t _ { r } ) } R ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) , } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \textbf { k } ^ { \prime } g ( \textbf { k } ^ { \prime } , \textbf { k } _ { l } ) e ^ { - i S ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \tau w ( \tau , 0 ) e ^ { - i S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) \tau } R ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } + \tau , s ) , } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \textbf { k } ^ { \prime } g ( \textbf { k } ^ { \prime } , \textbf { k } _ { l } ) e ^ { - i S ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) } R ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) W \left[ S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) , \Delta E \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int _ { \Gamma _ { 0 } } p ( x , y ) \, d x + q ( x , y ) \, d y - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Gamma _ { i } } p ( x , y ) \, d x + q ( x , y ) \, d y } \\ { = } & { \int _ { D } \left\{ { \frac { \partial q } { \partial e _ { 1 } } } ( x , y ) - { \frac { \partial p } { \partial e _ { 2 } } } ( x , y ) \right\} \, d ( x , y ) . } \end{array} }
\chi _ { e / \gamma } = \frac { \varepsilon _ { e / \gamma } } { m _ { e } c ^ { 2 } F _ { c r } } \sqrt { \left( \mathbf { E } + \frac { \mathbf { p } _ { e / \gamma } c } { \varepsilon _ { e / \gamma } } \times \mathbf { B } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { \mathbf { p } _ { e / \gamma } c } { \varepsilon _ { e / \gamma } } \cdot \mathbf { E } \right) ^ { 2 } } ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \partial ( \rho \eta ) } { \partial t } } } & { + { \frac { \partial ( \rho \eta u ) } { \partial x } } + { \frac { \partial ( \rho \eta v ) } { \partial y } } = 0 , } \\ { { \frac { \partial ( \rho \eta u ) } { \partial t } } } & { + { \frac { \partial } { \partial x } } \left( \rho \eta u ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \rho g \eta ^ { 2 } \right) + { \frac { \partial ( \rho \eta u v ) } { \partial y } } = 0 , } \\ { { \frac { \partial ( \rho \eta v ) } { \partial t } } } & { + { \frac { \partial } { \partial y } } \left( \rho \eta v ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \rho g \eta ^ { 2 } \right) + { \frac { \partial ( \rho \eta u v ) } { \partial x } } = 0 . } \end{array} }
\operatorname* { m a x } _ { 0 < r < r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } | \partial U _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ } } / \partial r | \gg \operatorname* { m a x } _ { 0 < r < r _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } | \partial U / \partial r |
^ { t } \left( \bullet \ast { \tilde { S } } \right) : { \mathcal { D } } ^ { \prime } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \to { \mathcal { D } } ^ { \prime } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \qquad ^ { t } \left( \bullet \ast { \tilde { T } } \right) : { \mathcal { E } } ^ { \prime } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \to { \mathcal { D } } ^ { \prime } ( \mathbb { R } ^ { n } )
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { U _ { 1 } \times [ t _ { 2 } - \epsilon ^ { - 1 } , t _ { 2 } ] } \left( | \varphi ^ { * } J _ { 1 } - J _ { 2 } | + | \varphi ^ { * } \tilde { g } _ { 1 } - g _ { 2 } | ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { [ \epsilon ^ { - 1 } ] } | \nabla _ { g _ { 2 } } ^ { i } ( \varphi ^ { * } \tilde { g } _ { 1 } ) | ^ { 2 } \right) \le \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\kappa _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ l ~ } } = \sqrt { 1 + \frac { \bar { I } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } } ^ { 2 } } { \bar { I } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } } \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ^ { 2 } } } \approx \sqrt { 1 + \frac { \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ } } } { \mathcal { C } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } } ,
\left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { K ^ { 2 } } \, \int d \mu ( u ) \int d \mu ( \bar { v } ) \exp \left( - \alpha { \mathrm { t r } \, } ( u s \bar { v } - a ) ( \bar { v } ^ { \dagger } s u ^ { \dagger } - a ) \right) \ = \ \frac { 1 } { K ! } \frac { \operatorname * { d e t } \left[ \gamma ( s _ { f } , a _ { f ^ { \prime } } ) \right] _ { f , f ^ { \prime } = 1 , \ldots , K } } { \Delta _ { K } ( s ^ { 2 } ) \Delta _ { K } ( a ^ { 2 } ) } \ .
\begin{array} { r l } { P \left( w _ { n } | \Lambda _ { n } \right) } & { { } = \sum _ { N _ { \mathrm { t e } , n } = 0 } ^ { \infty } \mathrm { P o i s s o n } ( N _ { \mathrm { t e } , n } ; \beta \Lambda _ { n } ) } \end{array}
\frac { 1 } { \mathfrak { d } ( \zeta ) - \| \mathcal { E } ( \Omega _ { B } ^ { - 1 } ( \zeta ) ) \| } \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { ( \rho _ { i } ^ { a } ) ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ \zeta \in \Gamma _ { i } } \\ { ( \rho _ { \mu } ^ { b } ) ^ { - 1 } , } & { \mathrm { f o r } \ \zeta \in \Gamma _ { \mu } } \end{array} \right. .
E ( \mathbf { n } _ { \Delta } ) = X _ { 0 } \cdot \gamma \cdot \Delta t \asymp d , \quad \mathrm { ~ t ~ h ~ u ~ s ~ i ~ n ~ p ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ u ~ l ~ a ~ r ~ } \operatorname* { l i m } _ { \rho \to \infty } E ( \mathbf { n } _ { \Delta } ) = \infty .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { d e t } [ H ( V , \xi ) ] } & { { } = } & { \operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { l l l } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } & { H _ { \nu } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } & { H _ { b } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \\ { H _ { \parallel } ^ { \mu } ( V , \xi ) } & { H _ { \nu } ^ { \mu } ( V , \xi ) } & { H _ { b } ^ { \mu } ( V , \xi ) } \\ { 0 _ { 1 0 \times 1 } } & { 0 _ { 1 0 \times 4 } } & { \xi _ { \mu } \xi ^ { \mu } I _ { 1 0 } } \end{array} \right] } \end{array}
\epsilon = \frac { 3 e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } \mathrm { s i n } ^ { 2 } \theta _ { W } } m _ { t } ^ { 4 } \mathrm { l n } \left( 1 + \frac { { m } _ { \tilde { t } } ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { 2 } } \right) .
\widetilde { \cal A } [ \sigma _ { 1 } \cdots \sigma _ { 2 } | \sigma _ { 3 } \cdots \sigma _ { 4 } | \cdots ] = \widetilde { \cal A } [ \sigma _ { 1 } \cdots \sigma _ { 2 } ] \widetilde { \cal A } [ \sigma _ { 3 } \cdots \sigma _ { 4 } ] \widetilde { \cal A } [ \cdots ] \, ,
\begin{array} { r l } { \zeta f _ { \mathrm { l i q } } } & { = ( \alpha - 1 ) H _ { \mathrm { d r y } } \rho _ { \mathrm { l i q } } k _ { B } T \log \left( \frac { \rho _ { \mathrm { s a t } } } { \rho _ { \mathrm { t o t } } - \rho _ { \mathrm { s a t } } } \right) } \\ & { = ( \alpha - 1 ) \frac { H _ { \mathrm { d r y } } k _ { B } T } { \ell _ { K } ^ { 3 } } \log \left( \frac { p _ { \mathrm { s a t } } } { p _ { \mathrm { t o t } } - p _ { \mathrm { s a t } } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \langle v \rangle } & { = { \frac { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { + \infty } v \cdot v ^ { n - 1 } \exp \left( - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k T } } \right) \, d v } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { + \infty } v ^ { n - 1 } \exp \left( - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k T } } \right) \, d v } } } \\ & { = { \sqrt { \frac { 2 k T } { m } } } \ { \frac { \Gamma \left( { \frac { n + 1 } { 2 } } \right) } { \Gamma \left( { \frac { n } { 2 } } \right) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \mu ^ { 1 } } & { = } & { 0 } \\ { \mu ^ { 2 } } & { = } & { I _ { 2 } \left( M _ { 2 } ( 3 ) - M _ { 2 } ( 4 ) \right) } \\ { \mu ^ { 3 } } & { = } & { I _ { 3 } \left( M _ { 3 } ( 4 ) - 3 M _ { 3 } ( 6 ) + 2 M _ { 3 } ( 8 ) \right) } \\ { \mu ^ { 4 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } I _ { 2 } ^ { 2 } \left( M _ { 4 } ( 5 ) - 4 M _ { 4 } ( 8 ) + 3 M _ { 4 } ( 9 ) \right) } \\ { \mu ^ { 5 } } & { = } & { \frac { 5 } { 6 } I _ { 2 } I _ { 3 } \left( M _ { 5 } ( 6 ) - 5 M _ { 5 } ( 1 0 ) + 2 M _ { 5 } ( 1 2 ) + 8 M _ { 5 } ( 1 6 ) - 6 M _ { 5 } ( 1 8 ) \right) } \\ { \mu ^ { 6 } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } I _ { 2 } ^ { 3 } \left( M _ { 6 } ( 7 ) - 6 M _ { 6 } ( 1 2 ) + 1 5 M _ { 6 } ( 1 5 ) - 1 0 M _ { 6 } ( 1 6 ) \right) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { 3 } I _ { 3 } ^ { 2 } \left( M _ { 6 } ( 7 ) - 6 M _ { 6 } ( 1 2 ) - 1 5 M _ { 6 } ( 1 5 ) + 2 0 M _ { 6 } ( 1 6 ) + 3 0 M _ { 6 } ( 2 0 ) - 6 0 M _ { 6 } ( 2 4 ) + 3 0 M _ { 6 } ( 2 7 ) \right) } \\ { \mu ^ { 7 } } & { = } & { \frac { 7 } { 1 2 } I _ { 2 } ^ { 2 } I _ { 3 } \left( M _ { 7 } ( 8 ) - 7 M _ { 7 } ( 1 4 ) + 9 M _ { 7 } ( 1 8 ) - 5 M _ { 7 } ( 2 0 ) + 1 2 M _ { 7 } ( 2 4 ) - 3 0 M _ { 7 } ( 3 0 ) + 2 0 M _ { 7 } ( 3 2 ) \right) } \\ { \mu ^ { 8 } } & { = } & { \frac { 1 } { 8 } I _ { 2 } ^ { 4 } \left( M _ { 8 } ( 9 ) - 8 M _ { 8 } ( 1 6 ) + 2 8 M _ { 8 } ( 2 1 ) - 5 6 M _ { 8 } ( 2 4 ) + 3 5 M _ { 8 } ( 2 5 ) \right) } \\ & { + } & { \frac { 4 } { 9 } I _ { 2 } I _ { 3 } ^ { 2 } \left( M _ { 8 } ( 9 ) - 8 M _ { 8 } ( 1 6 ) - 7 M _ { 8 } ( 2 1 ) + 4 9 M _ { 8 } ( 2 4 ) - 3 5 M _ { 8 } ( 2 5 ) \right. } \\ & { + } & { \left. 3 5 M _ { 8 } ( 2 8 ) - 1 0 5 M _ { 8 } ( 3 6 ) + 3 5 M _ { 8 } ( 4 0 ) + 1 0 5 M _ { 8 } ( 4 5 ) - 7 0 M _ { 8 } ( 4 8 ) \right) } \end{array}
H _ { 0 } ^ { c } = \frac { 1 } { 2 } p ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( W ^ { \prime \prime } ( x ^ { ( i ) } ) \right) ^ { 2 } \left( x - x ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } - \frac { \hbar } { 2 } \left| W ^ { \prime \prime } ( x ^ { ( i ) } ) \right|
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { v } } & { } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { F \frac { 2 0 \phi ^ { 5 } } { S ^ { 2 } ( 1 - \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \; \; } & { \mathrm { i f ~ } \phi ^ { \prime } < 1 0 \% } \\ { F \frac { 0 . 2 \phi ^ { 3 } } { S ^ { 2 } ( 1 - \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \; \; } & { \mathrm { i f ~ } \phi ^ { \prime } > 1 0 \% } \end{array} \right. } \end{array}
\langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle = \operatorname { T r } _ { m } \Big ( \mathcal { M } _ { j - 1 } ^ { \dag } \circ \dotsb \circ \mathcal { M } _ { i + 1 } ^ { \dag } ( \hat { L } ) \, \operatorname { T r } _ { d } \big ( \hat { U } _ { j } \big [ \hat { R } \otimes | 0 _ { d } \rangle \langle 0 _ { d } | \big ] \hat { U } _ { j } ^ { \dag } \big ) \Big ) .
\begin{array} { r l } { P \left( t \right) } & { { } = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \sigma _ { s r } \left( t \right) \ast \varepsilon \left( t \right) \right) \varepsilon \left( t \right) \right) - \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \dot { \sigma } _ { s r } \left( t \right) \ast \varepsilon \left( t \right) + \sigma _ { s r } ^ { \left( g \right) } \varepsilon \left( t \right) \right) \varepsilon \left( t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } D = \, } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big [ | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } - | c | ^ { 2 } - | d | ^ { 2 } + | e | ^ { 2 } + | f | ^ { 2 } \Big ] , } \\ { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } A = \, } & { { } - \mathrm { R e } ( a ^ { * } \, b - e ^ { * } \, f ) \sin ( \alpha + \frac { \theta } { 2 } ) } \\ { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } A _ { x x } = \, } & { { } \mathrm { R e } ( a ^ { * } \, d ) \cos ( \theta ) + \mathrm { R e } ( b ^ { * } \, c ) - \mathrm { I m } ( d ^ { * } \, e ) \sin ( \theta ) , } \\ { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } A _ { y y } = \, } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big [ | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } - | c | ^ { 2 } - | d | ^ { 2 } + | e | ^ { 2 } + | f | ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}
P \left( w _ { 1 : N } ^ { 1 : K } \middle | \vartheta \right) = \prod _ { n = 1 } ^ { N } \prod _ { k = 1 } ^ { K } \mathrm { G a u s s i a n } ( w _ { n } ^ { k } ; g \Lambda _ { n } ^ { k } ( \vartheta ) + o , \sigma _ { w } ^ { 2 } ) .
\Psi = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } \Psi _ { k } , \quad { \cal A } = A _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } { \cal A } _ { k } , \quad V = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } V _ { k } .
E \ensuremath { [ n ] } = T _ { \mathrm { ~ s ~ } } \ensuremath { [ n ] } + E _ { \mathrm { ~ H ~ } } \ensuremath { [ n ] } + E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } \ensuremath { [ n ] } + \int \mathrm { ~ d ~ } \ensuremath { \mathbf { r } } \, \ensuremath { v _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) n ( \ensuremath { \mathbf { r } } )
{ } _ { 2 } \phi _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { { a \phantom { c } b } } \\ { { \phantom { a } c \phantom { b } } } \end{array} ; q , z \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( a ; q ) _ { n } ( b ; q ) _ { n } } { ( c ; q ) _ { n } ( q ; q ) _ { n } } z ^ { n } , \qquad ( a ; q ) _ { n } = \prod _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( 1 - a q ^ { j } ) ~ .
{ G ^ { ( 1 ) } } ( \mathbf { r _ { 1 } , r _ { 2 } } ) = \frac { 1 } { \lambda _ { \mathrm { ~ d ~ B ~ } } ^ { 3 } } g _ { 3 / 2 } \left( \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ \frac { \mu - [ V ( \mathbf { r _ { 1 } } ) + V ( \mathbf { r _ { 2 } } ) ] / 2 } { k _ { B } T } \right] , \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - \pi \frac { ( \mathbf { r _ { 2 } - r _ { 1 } } ) ^ { 2 } } { \lambda _ { \mathrm { ~ d ~ B ~ } } ^ { 2 } } \right] \right) ,
\begin{array} { r l } { w _ { \infty , m \ell } ( r ) = } & { \: B _ { + } w _ { + , m \ell } ( r ) + B _ { - } w _ { - , m \ell } ( r ) , } \\ { \widetilde { w } _ { \infty , m \ell } ( r ) = } & { \: \widetilde { B } _ { + } w _ { + , m \ell } ( r ) + \widetilde { B } _ { - } w _ { - , m \ell } ( r ) , } \\ { w _ { \pm , m \ell } ( r ) = } & { \: \widetilde { A } _ { \pm , m \ell } \widetilde { w } _ { \infty , m \ell } ( r ) + { A } _ { \pm , m \ell } w _ { \infty , m \ell } ( r ) , } \end{array}
\alpha ( - q ^ { 2 } ) \simeq { \frac { \alpha _ { 0 } ( \Lambda ^ { 2 } ) } { 1 - { \frac { \alpha _ { 0 } ( \Lambda ^ { 2 } ) } { 3 \pi } } \log { \frac { - q ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r } { U _ { \tau } ^ { [ \theta , \pm ] } ( x , y ) = \sum _ { n _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } \cdots \sum _ { n _ { N } = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { \sigma \in S _ { N } } D ^ { [ \theta , \pm ] } ( t _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots t _ { N } ^ { n _ { N } } \sigma ) \widetilde { U } _ { \tau } ( x , t _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } \cdots t _ { N } ^ { n _ { N } } \sigma y ) . } \end{array}
\mathbf { k _ { n _ { x } , n _ { y } , n _ { z } } } = k _ { n _ { x } } \mathbf { \hat { x } } + k _ { n _ { y } } \mathbf { \hat { y } } + k _ { n _ { z } } \mathbf { \hat { z } } = { \frac { n _ { x } \pi } { L _ { x } } } \mathbf { \hat { x } } + { \frac { n _ { y } \pi } { L _ { y } } } \mathbf { \hat { y } } + { \frac { n _ { z } \pi } { L _ { z } } } \mathbf { \hat { z } }
\begin{array} { r } { E 1 _ { P V } = \frac { \langle \Psi _ { f } ^ { ( 0 ) } | H _ { W } | \tilde { \Psi } _ { i } ^ { ( 1 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } + \frac { \langle \tilde { \Psi } _ { f } ^ { ( 1 ) } | H _ { W } | \Psi _ { i } ^ { ( 0 ) } \rangle } { { \cal N } _ { i f } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } ^ { - 1 } } & { { } = 4 \pi e ^ { 4 } \sum _ { b } \frac { n _ { b } Z _ { a } ^ { 2 } Z _ { b } ^ { 2 } \lambda _ { a b } m _ { a } ^ { 2 } } { m _ { b } p _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } , a } ^ { 3 } } \frac { T _ { b } } { T _ { a } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { Y } } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { C { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { Y } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] + s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ { \leq } & { 2 C \left\| { \mathbf { Y } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { y } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + 2 C { \mathbb { E } } [ \left\| \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } ) - \nabla { \mathbf { F } } ( { \mathbf { X } } ^ { k } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] + s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
{ \tilde { G } } _ { 3 \xi } ( { \hat { \xi } } _ { 3 } { \eta } _ { 3 } ; { { \hat { \xi } } _ { 3 } } ^ { \prime } { { \eta } _ { 3 } } ^ { \prime } ) = { \hat { G } } ( { { \hat { \xi } } _ { 3 } } { \hat { \eta } } _ { 3 } ; { { \hat { \xi } } _ { 3 } } ^ { \prime } { { \hat { \eta } } _ { 3 } } ^ { \prime } ) \times F ( p _ { 3 } , { p _ { 3 } } ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { \lambda _ { 4 , 5 } \equiv \lambda _ { \pm } = 2 \epsilon _ { a } + \frac { 1 } { 2 } ( U + K ) \pm \frac { 1 } { 2 } [ ( U - K ) ^ { 2 } + 1 6 ( t + V ) ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { e q n s } ^ { { { u } _ { i } } } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } { { { \left( { { u } _ { i , a } } ^ { j } - \left( { { h } _ { 0 } } { { u } _ { i , 0 } } ^ { j } + \Delta { { U } _ { i , a } } ^ { j } \right) / { { h } _ { a } } \right) } ^ { 2 } } / \Delta { { t } ^ { 2 } } } \ + \sum _ { j = 1 } ^ { N } { { { \left( { { u } _ { i , c } } ^ { j } - \left( { { h } _ { 0 } } { { u } _ { i , 0 } } ^ { j } + \Delta { { U } _ { i , c } } ^ { j } \right) / { { h } _ { c } } \right) } ^ { 2 } } / \Delta { { t } ^ { 2 } } } \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { z } \tilde { \mathcal { E } } = } & { \frac { i } { 2 k } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \tilde { \mathcal { E } } + i \frac { k } { 2 \epsilon _ { 0 } } \tilde { \mathcal { P } } } \\ & { - \eta _ { 0 } \hbar \omega _ { 0 } \mathcal { N } \tilde { \mathcal { Q } } - \frac { i k } { 2 } \frac { e ^ { 2 } \mathcal { N } } { \epsilon _ { 0 } m _ { e } ( \omega _ { 0 } + \omega ) ^ { 2 } } \tilde { \mathcal { R } } } \end{array}
E ( L ) = E _ { \mathrm { b u l k } } L + E _ { \mathrm { b o u n d a r y } } - \frac { \pi c ( m L ) } { 2 4 L } \; , \quad c ( l ) = \frac { 6 l } { \pi ^ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \theta \: L ( \theta ) \cosh \theta \ ,
\begin{array} { r } { \delta \xi _ { x } ( x , t ) \approx \mp \frac { k _ { y } } { \omega _ { A } ^ { \prime } ( x ) t } \delta \xi _ { y } ( x , 0 ) e ^ { \pm \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { A } ( x ) t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \textup { d } } { \, \textup { d } t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \eta _ { \varepsilon } ( - f _ { + } ) \, \textup { d } y = - \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { t } f _ { + } \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( - f _ { + } ) \, \textup { d } y } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { 1 } C \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime \prime } ( - f _ { + } ) \Big ( \frac { v _ { 0 } } { L ( t ) } \Big ) ^ { 2 } \bigl ( f _ { + } \, ( 1 - \rho ) \bigr ) _ { \mathrm { t r } } ^ { 2 } - \left( \lambda ( f _ { - } - f _ { + } ) + \frac { L ^ { \prime } ( t ) } { L ( t ) } \, y \, \partial _ { y } f _ { + } \right) \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( - f _ { + } ) \, \textup { d } y } \\ & { \qquad + \beta _ { + } ( \Lambda ) \, f _ { + } ( t , 1 ) \, \eta _ { \varepsilon } ^ { \prime } ( - f _ { + } ( t , 1 ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { d h } } = J _ { \eta , X Y } ^ { \mathrm { ( H E ) } } \sum _ { ( i j ) } ( \hat { \eta } _ { i } ^ { x } \hat { \eta } _ { j } ^ { x } + \hat { \eta } _ { i } ^ { y } \hat { \eta } _ { j } ^ { y } ) + J _ { \eta , Z } ^ { \mathrm { ( H E ) } } \sum _ { ( i j ) } \hat { \eta } _ { i } ^ { z } \hat { \eta } _ { j } ^ { z } , } \end{array}
w _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { n | 3 } = \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { + \infty } b _ { l n n ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } T _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { n ^ { \prime } | 2 } = 0
\mathbf { w } = \{ w _ { H R } ^ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { H R } } \cup \{ w _ { H B } ^ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { H B } } \cup \{ w _ { L D } ^ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } }
\begin{array} { r l } { ( F _ { 1 } , e / f ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 0 , \ \ensuremath { \Sigma } = - 1 \, ; } \\ { ( F _ { 2 } , e / f ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 1 , \ \ensuremath { \Sigma } = 0 \, ; } \\ { \mathrm { a n d ~ } ( F _ { 3 } , e / f ) } & { : \ensuremath { \Lambda } = 1 , \ \ensuremath { \Omega } = 2 , \ \ensuremath { \Sigma } = + 1 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } \left( - \nabla p + \eta _ { S } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } \right) \delta _ { \Omega } ~ d \Omega = \sum _ { c \in T _ { h } } \int _ { V ( c ) } \left( - \nabla p + \eta _ { S } \nabla ^ { 2 } \textbf { u } \right) \delta _ { \Omega } ~ d V ( c ) , } \end{array}
M _ { d } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } S ^ { a b } S _ { a b } = - ( S ^ { 0 d } ) ^ { 2 } - S ^ { 0 i } S ^ { 0 i } + S ^ { d i } S ^ { d i } + \frac { 1 } { 2 } S ^ { i j } S _ { i j } .
\mathbf { y } = \{ y _ { i } \} , \boldsymbol { X } = \{ x _ { i j } \} , \boldsymbol { \beta } = \{ \beta _ { j } \} , \boldsymbol { \epsilon } = \{ \epsilon _ { i } \} , ( i = 1 , \ldots , n ) , ( j = 0 , \ldots , m )
\begin{array} { r l } & { { \boldsymbol K } _ { i j } ( x ) = \exp \left( - \frac { \| x _ { i } - x _ { j } ^ { \sf d } \| _ { { \mathcal G } _ { i } } ^ { 2 } } { \varepsilon } \right) , } \\ & { { \mathcal G } _ { i } : = ( { \boldsymbol A } _ { i } ^ { \tau _ { \mathrm { h } } } ) ^ { \top } { \boldsymbol G } _ { i , \tau _ { \mathrm { h } } } ^ { - 1 } { \boldsymbol A } _ { i } ^ { \tau _ { \mathrm { h } } } , \ { \boldsymbol G } _ { i , \tau _ { \mathrm { h } } } : = \sum _ { k = 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { h } } - 1 } { \boldsymbol A } _ { i } ^ { k } { \boldsymbol B } _ { i } { \boldsymbol B } _ { i } ^ { \top } ( { \boldsymbol A } _ { i } ^ { \top } ) ^ { k } , } \\ & { \bar { { \boldsymbol A } } _ { i } : = { \boldsymbol A } _ { i } - { \boldsymbol B } _ { i } { \boldsymbol B } _ { i } ^ { \top } ( { \boldsymbol A } _ { i } ^ { \top } ) ^ { \tau _ { \mathrm { h } } - 1 } { \boldsymbol G } _ { i , \tau _ { \mathrm { h } } } ^ { - 1 } { \boldsymbol A } _ { i } ^ { \tau _ { \mathrm { h } } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \Rightarrow B ^ { - 1 } = \pm B ^ { \mathrm { a d j } } { \mathrm { ~ i s ~ i n t e g r a l . } } } \\ & { \Rightarrow \mathbf { x } _ { 0 } = B ^ { - 1 } b { \mathrm { ~ i s ~ i n t e g r a l . } } } \\ & { \Rightarrow { \mathrm { E v e r y ~ b a s i c ~ f e a s i b l e ~ s o l u t i o n ~ i s ~ i n t e g r a l . } } } \end{array} }