harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { \operatorname* { P r } { \nu _ { 1 } = \eta } } { \operatorname* { P r } { \nu _ { 2 } = \eta } } } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \operatorname* { P r } { \lambda _ { i } = n ( \eta - \overline { { \mu _ { \mathcal { Y } _ { 1 } } } } ) _ { i } } } { \operatorname* { P r } { \lambda _ { i } = n ( \eta - \overline { { \mu _ { \mathcal { Y } _ { 2 } } } } ) _ { i } } } = \prod _ { i = 1 } ^ { m } \frac { \exp ( - \varepsilon n | ( \eta - \overline { { \mu _ { \mathcal { Y } _ { 1 } } } } ) _ { i } | ) } { \exp ( - \varepsilon n | ( \eta - \overline { { \mu _ { \mathcal { Y } _ { 2 } } } } ) _ { i } | ) } } \\ & { \leq \exp \left( \varepsilon n \| { \mu _ { \mathcal { Y } _ { 2 } } } - { \mu _ { \mathcal { Y } _ { 1 } } } \| _ { 1 } \right) \leq e ^ { \varepsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { - \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 } } ( z ^ { 2 } ) = \frac { \sqrt { \pi } \, z \, \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } } } { 2 ^ { \frac { 5 } { 4 } } \, \Gamma ( \frac { 1 } { 4 } ) } \, \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi ^ { \frac { 3 } { 8 } - 1 } ( 1 - \xi ) ^ { \frac { 1 } { 8 } - 1 } \, \mathrm { e } ^ { \xi z ^ { 2 } } \, J _ { \frac { 1 } { 4 } } ( \sqrt { \xi ( 1 - \xi ) } z ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } \xi \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { I } _ { q } + \mathbf { \Sigma } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { \Sigma } \right| } & { = \left| \mathbf { D } _ { \mathbf { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \right| \left| \mathbb { I } _ { q } + \mathbf { \Sigma } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { \Sigma } \right| \left| \mathbf { D } _ { \mathbf { \Sigma } } ^ { - 1 / 2 } \right| = \left| \mathbb { I } _ { q } + \mathbf { D } _ { \mathbf { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { \Sigma } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { D } _ { \mathbf { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { R } \mathbf { D } _ { \mathbf { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { D } _ { \mathbf { \Sigma } } ^ { - 1 / 2 } \right| } \\ & { = \left| \mathbb { I } _ { q } + \mathbf { D } _ { \mathbf { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { \Sigma } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { D } _ { \mathbf { \Sigma } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { R } \right| = \left| \mathbb { I } _ { q } + \mathbf { R } _ { 0 } ^ { - 1 } \mathbf { R } \right| , } \end{array}
g _ { 4 } = d \hat { r } ^ { 2 } + \frac { \hat { r } ^ { 2 } } { 4 } \left[ d \theta ^ { 2 } + ( \sin \theta ) ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } + \left( \frac { 2 d z } { l _ { s } g N } + ( 1 - \cos \theta ) d \varphi \right) ^ { 2 } \right] ~ .
M _ { \mathrm { T O T } } = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } \rho - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { 1 6 } { 1 5 } \pi ^ { 2 } \rho ^ { 2 } G R ^ { 5 } + O ( \rho ^ { 3 } ) .
\hat { R } ( \theta ) = e ^ { - i \theta ( \hat { N } _ { A } \pm \hat { N } _ { B } ) } \propto e ^ { - i \theta ( \hat { x } _ { A } ^ { 2 } + \hat { p } _ { A } ^ { 2 } \pm \hat { x } _ { B } ^ { 2 } \pm \hat { p } _ { B } ^ { 2 } ) / 4 }
f _ { k } ( t ) = c _ { k } \; t ^ { ( 1 - 3 n ) / 2 } \; J _ { \frac { 1 - 3 n } { 2 - 2 n } } \left( \frac { k t _ { 0 } ^ { n } t ^ { 1 - n } } { n - 1 } \right) + d _ { k } \; t ^ { ( 1 - 3 n ) / 2 } \; Y _ { \frac { 1 - 3 n } { 2 - 2 n } } \left( \frac { k t _ { 0 } ^ { n } t ^ { 1 - n } } { n - 1 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { 2 ^ { B S } \! g ( ^ { B S } \nabla _ { ^ { H } \! X } ^ { H } \! Y , ^ { H } \! Z ) } & { = } & { ^ { H } \! X ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! Y , ^ { H } \! Z ) + ^ { H } \! Y ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! Z , ^ { H } \! X ) - ^ { H } \! Z ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! X , ^ { H } \! Y ) } \\ & { } & { + ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! Z , [ ^ { H } \! X , ^ { H } \! Y ] ) + ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! Y , [ ^ { H } \! Z , ^ { H } \! X ] ) - ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! X , [ ^ { H } \! Y , ^ { H } \! Z ] ) } \\ & { = } & { X g ( Y , Z ) + Y g ( Z , X ) - Z g ( X , Y ) + g ( Z , [ X , Y ] ) } \\ & { } & { + g ( Y , [ Z , X ] ) - g ( X , [ Y , Z ] ) } \\ & { = } & { 2 g ( \nabla _ { X } Y , Z ) } \\ & { = } & { 2 ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! ( \nabla _ { X } Y ) , ^ { H } \! Z ) , } \\ { ^ { B S } \! g ( ^ { B S } \nabla _ { ^ { H } \! X } ^ { H } \! Y , ^ { V } \! \eta ) } & { = } & { ^ { H } \! X ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! Y , ^ { V } \! \eta ) + ^ { H } \! Y ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! \eta , ^ { H } \! X ) - ^ { V } \! \eta ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! X , ^ { H } \! Y ) } \\ & { } & { + ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! \eta , [ ^ { H } \! X , ^ { H } \! Y ] ) + ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! Y , [ ^ { V } \! \eta , ^ { H } \! X ] ) - ^ { B S } \! g ( ^ { H } \! X , [ ^ { H } \! Y , ^ { V } \! \eta ] ) } \\ & { = } & { ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! \eta , [ ^ { H } \! X , ^ { H } \! Y ] ) } \\ & { = } & { ^ { B S } \! g ( ^ { V } \! ( p R ( X , Y ) ) , ^ { V } \! \eta ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { L } _ { 1 1 } } & { = \mathbf { S } _ { 1 1 } , } \\ { \mathbf { L } _ { 1 3 } } & { = \mathbf { S } _ { 1 3 } , } \\ { \mathbf { L } _ { 3 3 } } & { = \mathrm { c h o l } \left( \mathbf { S } _ { 3 3 } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { S } _ { 3 3 } + \mathbf { S } _ { 2 3 } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { S } _ { 2 3 } \right) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { [ \hat { C } \hat { D } ] _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) = C _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) e ^ { ( i \hbar / 2 ) \overset \leftrightarrow { \Lambda } } D _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
T ( \vec { p } , \vec { p } + \vec { q } ) = - \, V ( \vec { q } ) + \int { \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } V ( - \vec { k } ) \, G _ { 0 } ( \vec { k } ) \, T ( \vec { p } - \vec { k } , \vec { p } + \vec { q } ) \, ,
\begin{array} { r l } { { 2 } \rho } & { { } = \alpha \rho _ { l } + ( 1 - \alpha ) \rho _ { g } } \\ { \mu } & { { } = \alpha \mu _ { l } + ( 1 - \alpha ) \mu _ { g } } \\ { \sigma } & { { } = \alpha \sigma _ { l } + ( 1 - \alpha ) \sigma _ { g } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot { \mathbf { u } } } & { = 0 , } & { \mathbf { x } } & { \in \Omega } \\ { { \mathbf { u } } \cdot \nabla { \mathbf { u } } } & { = - \nabla p + \frac { 1 } { R e } { \nabla ^ { 2 } } { \mathbf { u } } , } & { \mathbf { x } } & { \in \Omega } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { = ( u _ { w } ( \mathbf { x } ) , 0 ) , } & { \mathbf { x } } & { \in \Gamma _ { 1 } } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } ) } & { = 0 , } & { \mathbf { x } } & { \in \Gamma _ { 2 } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { E _ { \rho ^ { \prime } } ^ { \prime } = } & { { } { \frac { \left( 8 e / \alpha ^ { 2 } \right) \rho ^ { \prime } z ^ { \prime } } { \xi ^ { \prime 3 } } } } \\ { E _ { z ^ { \prime } } ^ { \prime } = } & { { } { \frac { - \left( 4 e / \alpha ^ { 2 } \right) 1 / \alpha ^ { 2 } + t ^ { \prime 2 } + \rho ^ { \prime 2 } - z ^ { \prime 2 } } { \xi ^ { \prime 3 } } } } \\ { E _ { \varphi ^ { \prime } } ^ { \prime } = } & { { } H _ { \varphi ^ { \prime } } ^ { \prime } = H _ { z ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 } \\ { H _ { \varphi ^ { \prime } } ^ { \prime } = } & { { } { \frac { \left( 8 e / \alpha ^ { 2 } \right) \rho ^ { \prime } t ^ { \prime } } { \xi ^ { \prime 3 } } } } \\ { \xi ^ { \prime } = } & { { } { \sqrt { \left( 1 / \alpha ^ { 2 } + t ^ { \prime 2 } - \rho ^ { \prime 2 } - z ^ { \prime 2 } \right) ^ { 2 } + \left( 2 \rho ^ { \prime } / \alpha \right) ^ { 2 } } } } \end{array}
J _ { \nu } ^ { ( I ) } ( x ) \; \longleftrightarrow \; \left\{ \begin{array} { l l } { { - \frac { 1 } { \sqrt { \pi + g N } } \; \varepsilon _ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \Phi ^ { ( 1 ) } ( x ) \; \; \; \; \; \; } } & { { I = 1 } } \\ { { \; } } & { { \; } } \\ { { - \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \; \varepsilon _ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \Phi ^ { ( I ) } ( x ) \; \; \; \; \; \; } } & { { I = 2 , \; . . . \; N \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\langle w , u _ { t } \right\rangle + \left\langle \left( q - { \tau } ( q _ { t } + m \cdot \nabla q \right) w , m ^ { \perp } \right\rangle } & { } \\ { \qquad - \left\langle \nabla \cdot w , \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g ( D + b ) \right\rangle } & { = 0 , \, \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } , } \\ { \left\langle \phi , D _ { t } \right\rangle + \left\langle \nabla \cdot m \right\rangle } & { = 0 , \, \forall \phi \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \gamma , q D \right\rangle + \left\langle \nabla ^ { \perp } \gamma , u \right\rangle - \left\langle \gamma , f \right\rangle } & { = 0 , \, \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \\ { \left\langle v , m - u D \right\rangle } & { = 0 , \, \forall v \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } . } \end{array}
U _ { r } ( t ) = \frac { \int _ { V } \phi u _ { y } d V } { \int _ { V } \phi d V } = \frac { \sum _ { \mathbf { x } } \phi ( \mathbf { x } , t ) u _ { y } ( \mathbf { x } , t ) } { \sum _ { \mathbf { x } } \phi ( \mathbf { x } , t ) } , \quad \phi < 0 .
\begin{array} { r l } & { U _ { I } ( t , - \infty ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \epsilon \int _ { - \infty } ^ { 0 } d t ^ { \prime } \, e ^ { \epsilon t ^ { \prime } } U _ { I } ( t , t ^ { \prime } ) , } \\ & { U _ { I } ( + \infty , t _ { 0 } ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \epsilon \int _ { 0 } ^ { + \infty } d t ^ { \prime } \, e ^ { - \epsilon t ^ { \prime } } U _ { I } ( t ^ { \prime } , t _ { 0 } ) . } \end{array}
\mathcal { L } ^ { \prime } ( x ) = \eta _ { W } \left( \bar { \psi } ( x ^ { \prime } ) \gamma ^ { 0 } \frac { ( 1 + \gamma ^ { 5 } ) } { 2 } \psi ( x ^ { \prime } ) W _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) + \bar { \psi } ( x ^ { \prime } ) \gamma ^ { i } \frac { ( 1 + \gamma ^ { 5 } ) } { 2 } \psi ( x ^ { \prime } ) W _ { i } ( x ^ { \prime } ) \right) = \eta _ { W } \bar { \psi } ( x ^ { \prime } ) \gamma ^ { \mu } \frac { ( 1 + \gamma ^ { 5 } ) } { 2 } \psi ( x ^ { \prime } ) W _ { \mu } ( x ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { u } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { p q r } S _ { p } \left( \frac { \partial S _ { q } } { \partial v } \frac { \partial S _ { r } } { \partial w } - \frac { \partial S _ { r } } { \partial v } \frac { \partial S _ { q } } { \partial w } \right) } \\ { \Sigma _ { v } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { p q r } S _ { p } \left( \frac { \partial S _ { q } } { \partial w } \frac { \partial S _ { r } } { \partial u } - \frac { \partial S _ { r } } { \partial w } \frac { \partial S _ { q } } { \partial u } \right) } \\ { \Sigma _ { w } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \varepsilon _ { p q r } S _ { p } \left( \frac { \partial S _ { q } } { \partial u } \frac { \partial S _ { r } } { \partial v } - \frac { \partial S _ { r } } { \partial u } \frac { \partial S _ { q } } { \partial v } \right) \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \mathrm { d i v } \left( ( H ( \nabla u ) ) ^ { p - 1 } H _ { \xi } ( \nabla u ) \right) = \lambda m ( x ) | u | ^ { p - 2 } u } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \\ { H ^ { p - 1 } ( \nabla u ) H _ { \xi } ( \nabla u ) \cdot n + \mathtt k | u | ^ { p - 2 } u = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } & { \left\langle \eta , \frac { \partial T _ { h } } { \partial t } \right\rangle + \langle \mathbf { b } \cdot \nabla \eta , \sqrt { \kappa _ { \Delta } } \zeta _ { h } \rangle + \langle \nabla \eta , \kappa _ { \perp } \nabla T _ { h } \rangle = \langle \eta , S \rangle } & { \forall \eta \in \mathbb { V } _ { 2 } ^ { \mathrm { C G } } , } \\ & { \langle \phi , \zeta _ { h } - \sqrt { \kappa _ { \Delta } } \mathbf { b } \cdot \nabla T _ { h } \rangle = 0 } & { \forall \phi \in \mathbb { V } _ { 1 } ^ { \mathrm { D G } } . } \end{array}
E ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } ) = P _ { H H } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } ) + P _ { V V } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } ) - P _ { H V } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } ) - P _ { V H } ( \theta _ { \mathbf { a } } , \theta _ { \mathbf { b } } )
\mathscr { E } \left\{ \stackrel [ m _ { 1 } = 1 ] { M } { \sum } \stackrel [ m _ { 2 } \neq m _ { 1 } ] { M } { \sum } \left( a _ { M m _ { 1 } } \left( \phi _ { e _ { j } r } ^ { a } , \phi _ { e _ { j } r } ^ { e } \right) e ^ { j \varphi _ { m _ { 1 } } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m 1 } } } \left[ \tilde { h } _ { r , k } \right] _ { m _ { 1 } } \right) \left( a _ { M m 2 } \left( \phi _ { e _ { j } r } ^ { a } , \phi _ { e _ { j } r } ^ { e } \right) e ^ { j \varphi _ { m 2 } } e ^ { j \bar { \varphi _ { m 2 } } } \left[ \tilde { h } _ { r , k } \right] _ { m _ { 2 } } \right) ^ { H } \right\} = M
c o s ^ { 2 } ( 2 \theta ) \; \{ \; e ^ { - 2 \gamma L } \; - \; e ^ { - \alpha L } \left[ 1 + 2 t g ^ { 2 } ( 2 \theta ) s i n ^ { 2 } ( \frac { \delta m ^ { 2 } } { 4 E } L ) \right] \; \} + \; e ^ { - \alpha L } \leq 0 . 2
\xi = 1 0 0 \left( \textnormal { e x p } \left[ M _ { | \textbf { k } | } \left( \left| \log { \left( \frac { P ( | \textbf { k } | ) } { P ( | \textbf { k } | ) _ { W R F } } \right) } \right| \right) \right] - 1 \right)
\hat { \mathbf { n } } \times [ \eta \mathbf { \nabla } \times \mathbf { B } ] _ { - } ^ { + } = ( \hat { \mathbf { n } } \cdot \mathbf { B } ) [ \mathbf { v } ] _ { -- } ^ { + } [ ( \hat { \mathbf { n } } \cdot \mathbf { v } ) \mathbf { B } ] _ { - } ^ { + } ~ ,
\begin{array} { r l r l } { \mu = 2 } & { } & { ( \lambda _ { d } - \lambda _ { 2 } ^ { \alpha } ) \gamma _ { 2 , d } } & { = t _ { 2 , 1 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { 1 , d } } \\ { \mu = 3 } & { } & { ( \lambda _ { d } - \lambda _ { 3 } ^ { \alpha } ) \gamma _ { 3 , d } } & { = t _ { 3 , 1 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { 1 , d } + t _ { 3 , 2 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { 2 , d } } \\ { \mu = 4 } & { } & { ( \lambda _ { d } - \lambda _ { 4 } ^ { \alpha } ) \gamma _ { 4 , d } } & { = t _ { 4 , 1 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { 1 , d } + t _ { 4 , 2 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { 2 , d } + t _ { 4 , 3 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { 3 , d } } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { \mu = d - 1 } & { } & { ( \lambda _ { d } - \lambda _ { d - 1 } ^ { \alpha } ) \gamma _ { d - 1 , d } } & { = t _ { d - 1 , 1 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { 1 , d } + t _ { d - 1 , 2 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { 2 , d } + \cdots + t _ { d - 1 , d - 2 } ^ { ( \alpha ) } \gamma _ { d - 1 , d } } \end{array}
f _ { i _ { 0 } } ^ { x } ( x ; \alpha , \nu _ { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - \alpha \left( x - c _ { i _ { 0 } } ^ { x } \right) ^ { 2 } } - e ^ { - \alpha \left( \frac { \nu _ { x } w _ { x } } { 2 } \right) ^ { 2 } } } & { \mathrm { ~ i f ~ } \lvert x - c _ { i } ^ { x } \rvert < \frac { \nu _ { x } w _ { x } } { 2 } , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { \sqrt { h } } { h } { \mathbb E } \left[ \Psi ( V _ { t } ) \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| { \mathcal H } \left( \frac { M _ { t } - X _ { t } ^ { 1 } } { \sqrt { h } \| A ^ { 1 } ( X _ { t } ) \| } \right) \right] = \frac { 1 } { 4 } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } \Psi ( m , { m , \tilde { x } } ) \| A ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) \| ^ { 2 } p _ { V } ( m , { m , } \tilde { x } ; t ) d m ~ d \tilde { x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \mathcal { D } z f [ z ] \frac { \partial P _ { t } [ z ] } { \partial t } d t = \int \mathcal { D } z \left[ - \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { z ( x ) } { x } \frac { \delta f [ z ] } { \delta z ( x ) } d t + \left( \nu _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \infty } z ( x ) d x \right) d t \left\{ f [ z + n / x ] - f [ z ] \right\} \right] P _ { t } [ z ] . } \end{array}
\left[ \mathcal { M } \left( \frac { \mathcal { M } ^ { 2 } } { 2 \rho ^ { 2 } } + \varepsilon + \frac { p } { \rho } \right) + \frac { \varkappa ^ { 2 } } { 2 } \mathcal { M } \left( \left( \frac { j } { \rho } + \frac { \theta } { \mathcal { M } } \right) ^ { 2 } - \frac { \theta ^ { 2 } } { \mathcal { M } ^ { 2 } } \right) \right] = 0 .
c h ( S _ { \pm } ( N ) ) = 2 + { \frac { p _ { 1 } ( N ) \pm 2 \chi ( N ) } { 4 } } + { \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } ( N ) + 4 p _ { 2 } ( N ) \pm 4 p _ { 1 } ( N ) \chi ( N ) } { 1 9 2 } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { s } \gamma _ { j } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \sum _ { j = 1 } ^ { s } \frac { \gamma _ { j } } { j ^ { 2 k } } } & { { } = 0 , \qquad 1 \leq k \leq n - 1 . } \end{array}
\cos { \frac { \pi } { 5 \times 2 ^ { 5 } } } = { \frac { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 . 5 + { \sqrt { 1 . 2 5 } } } } } } } } } } } } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \Delta E _ { \mathrm { a d s } } ^ { \mathrm { \, w i t h o u t \ s o l v e n t } } } & { = } & { E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ + \ a d a t o m \ w i t h o u t \ s o l v e n t } } - E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, B G \ w i t h o u t \ s o l v e n t } } } \\ & { } & { - E _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { \, a d a t o m \ r e f e r e n c e } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \alpha _ { A D } \alpha _ { B C } = 0 } } & { { \mathrm { ~ A < B , \, ~ C < D ~ } } } \\ { { \alpha _ { A D } \alpha _ { B D } = 0 } } & { { \mathrm { ~ A < B ~ , ~ ( n o ~ s u m m a t i o n ! ) . } } } \end{array} \right.
R ( \omega ) = \frac { 1 } { N _ { t } } \Big [ \sum _ { i , j } \big ( \omega \delta _ { i j } - z _ { i j } \big ) ^ { - 1 } \Big ] _ { \underline { { \mathbf { J } } } } = \frac { 1 } { N _ { t } } \left[ \sum _ { i , j } \left( \frac { \delta _ { i j } } { \omega } + \frac { z _ { i j } } { \omega ^ { 2 } } + \sum _ { k } \frac { z _ { i k } z _ { k j } } { \omega ^ { 3 } } + \cdots \right) \right] _ { \underline { { \mathbf { J } } } }
M _ { i j } ( \pmb \theta ) = \left\langle \frac { \partial \hat { p } } { \partial \theta _ { i } } , \frac { \partial \hat { p } } { \partial \theta _ { j } } \right\rangle _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { 1 } { \hat { p } } \frac { \partial \hat { p } } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial \hat { p } } { \partial \theta _ { j } } \ \mathrm d \mathbf x .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \varphi _ { t } ( v ; w ) } & { = - \frac { w } { v } \lambda ( v ) e ^ { - \Lambda ( v ) t } } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } \varphi _ { t } ( v ; w ) } & { = \lambda ( v ) \left( \varphi _ { t } ( - v ; w ) - \varphi _ { t } ( v ; w ) \right) } \\ & { = \lambda ( v ) \left( \frac { \lambda ( - w ) - \frac { w } { v } \lambda ( - v ) e ^ { - \Lambda ( v ) t } } { \Lambda ( v ) } - \frac { \lambda ( - w ) + \frac { w } { v } \lambda ( v ) e ^ { - \Lambda ( v ) t } } { \Lambda ( v ) } \right) } \\ & { = - \lambda ( v ) \left( \frac { \frac { w } { v } \lambda ( - v ) e ^ { - \Lambda ( v ) t } } { \Lambda ( v ) } + \frac { \frac { w } { v } \lambda ( v ) e ^ { - \Lambda ( v ) t } } { \Lambda ( v ) } \right) = - \lambda ( v ) \frac { w } { v } e ^ { - \Lambda ( v ) t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \! L } ( n , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) = - \sum _ { k _ { 1 } = 0 } ^ { n / 3 } \sum _ { k _ { 2 } = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( n / 3 , 5 L / 1 2 - k _ { 1 } / 2 ) } \Lambda ( L , n , k _ { 1 } , k _ { 2 } , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) \log _ { 2 } \Lambda ( L , n , k _ { 1 } , k _ { 2 } , M _ { 1 } , M _ { 2 } ) , } \end{array}
x = \ldots , - { \frac { 5 \lambda } { 4 } } , \; - { \frac { 3 \lambda } { 4 } } , \; - { \frac { \lambda } { 4 } } , \; { \frac { \lambda } { 4 } } , \; { \frac { 3 \lambda } { 4 } } , \; { \frac { 5 \lambda } { 4 } } , \ldots
\begin{array} { c } { \| D \phi ^ { t } | _ { E ^ { s } } \| \leq C \lambda ^ { t } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \geq 0 , } \\ { \| D \phi ^ { t } | _ { E ^ { u } } \| \leq C \lambda ^ { - t } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \leq 0 , } \\ { \| D \phi ^ { t } | _ { T \Lambda } \| \leq C \mu ^ { | t | } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \in \mathbb { R } . } \end{array}
\mathrm { T e n s i o n l e s s \ w i t h } \ \xi = 0 : \quad \sigma ^ { 2 } = 1 , \quad \delta ^ { 2 } = 1 , \quad \alpha = 0 , \quad \frac { k ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = 1 , \quad \frac { \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = 0 .
V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ B ~ S ~ } } = V _ { \mathrm { ~ C ~ G ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ B ~ S ~ } } + V _ { \mathrm { ~ D ~ 2 ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ B ~ S ~ } } + V _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } ^ { \mathrm { ~ C ~ B ~ S ~ } }
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } \left[ \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } d x \, e ^ { - a | x | } | f _ { \zeta m } ( \omega ) ) | ^ { b } \right] } & { \leq \left( { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } \left[ \left( \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { d } \setminus \{ 0 \} } d x \, e ^ { - a | x | } \right) ^ { 2 } \right] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \ensuremath { \mathbb E } } _ { 0 , \rho } \left[ | f _ { \zeta m } ( \omega ) ) | ^ { 2 b } \right] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq c ( \beta ) . } \end{array}
{ { F } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , { { t } _ { n } } \right) = \left( 4 { { \mathbb { F } } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t / 2 \right) - { { \mathbb { F } } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t \right) \right) / \Delta t ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \nabla _ { E _ { 1 } } E _ { 1 } } & { = \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } E _ { 2 } + \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } E _ { 3 } , \qquad } & { \nabla _ { E _ { 1 } } E _ { 2 } } & { = - \gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } E _ { 1 } - \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } E _ { 3 } , \qquad } & { \nabla _ { E _ { 1 } } E _ { 3 } } & { = - \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } E _ { 1 } + \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } E _ { 2 } , } \\ { \nabla _ { E _ { 2 } } E _ { 1 } } & { = \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } E _ { 2 } + \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } E _ { 3 } , } & { \nabla _ { E _ { 2 } } E _ { 2 } } & { = - \gamma _ { 2 1 } ^ { 2 } E _ { 1 } + \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } E _ { 3 } , } & { \nabla _ { E _ { 2 } } E _ { 3 } } & { = - \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } E _ { 1 } + \gamma _ { 1 1 } ^ { 3 } E _ { 2 } , } \\ { \nabla _ { E _ { 3 } } E _ { 1 } } & { = \frac { \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } } { 3 } E _ { 2 } , } & { \nabla _ { E _ { 3 } } E _ { 2 } } & { = - \frac { \gamma _ { 2 1 } ^ { 3 } } { 3 } E _ { 1 } , } & { \nabla _ { E _ { 3 } } E _ { 3 } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - ( 2 \alpha _ { - } + \kappa _ { - } ) } & { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } - ( 2 \alpha _ { + } + \kappa _ { + } ) \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { + } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 5 } { 1 6 } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { 2 } - \left[ \alpha _ { - } + \alpha _ { + } \right] \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } u _ { - } ^ { 2 } , } \end{array}
\alpha _ { \mathbf { 0 } i } = 1 + \frac { \sum _ { \mathbf { q } } \langle v _ { \mathrm { p e r t , \mathbf { q } } } ^ { \mathbf { 0 } i } \vert \Delta _ { \mathbf { q } } ^ { \mathbf { 0 } i } n \rangle } { \sum _ { \mathbf { q } } \langle n _ { \mathbf { q } } ^ { \mathbf { 0 } i } \vert v _ { \mathrm { p e r t , \mathbf { q } } } ^ { \mathbf { 0 } i } \rangle } .
\Omega _ { A , A B } ^ { 1 , 2 } ( \tau ) \Big | _ { \alpha ^ { 2 } } = \dots + ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime } } R _ { A B } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau _ { - } ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau _ { - } ^ { \prime } )
\hat { U } _ { \mathrm { m o l } } = U _ { 0 } \hat { n } _ { H \uparrow } \hat { n } _ { H \downarrow } + U _ { 0 } \hat { n } _ { L \uparrow } \hat { n } _ { L \downarrow } + U _ { H L } \hat { n } _ { H } \hat { n } _ { L }
K ( w , \bar { w } ) = \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } d _ { \ell } K _ { \ell } ( w , \bar { w } ) = \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } d _ { \ell } \ln \Delta _ { \ell } ( w , \bar { w } ) = \ln \left[ \prod _ { \ell = 1 } ^ { n } ( \Delta _ { \ell } ( w , \bar { w } ) ) ^ { d _ { \ell } } \right] .