harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { g _ { 1 _ { x x } } - \left[ \left( \frac { 6 } { 5 } \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 1 } } \right) R e U \right] g _ { 1 _ { x } } + \left[ \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 1 } } \right) i \omega R e - 1 - \alpha ^ { 2 } \right] g _ { 1 } = \alpha R _ { 0 } e ^ { \alpha x } + \left( \frac { 6 } { 5 } \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 1 } } \right) R e U _ { y } f _ { 1 } , } \\ & { \nu g _ { 2 _ { x x } } - \left[ \frac { 6 } { 5 } R e U \right] g _ { 2 _ { x } } + \left[ i \omega R e - 1 - \nu \alpha ^ { 2 } \right] g _ { 2 } = - \alpha R _ { 1 } e ^ { - \alpha x } - ( 1 - \nu ) i \alpha R _ { 5 } + \left( \frac { 6 } { 5 } \right) R e U _ { y } f _ { 2 } , } \\ & { f _ { 1 _ { x x } } - \left[ \left( \frac { 6 } { 5 } \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 1 } } \right) R e U \right] f _ { 1 _ { x } } + \left[ \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 1 } } \right) i \omega R e - 1 - \alpha ^ { 2 } \right] f _ { 1 } = i \alpha R _ { 0 } e ^ { \alpha x } , } \\ & { \nu f _ { 2 _ { x x } } - \left[ \frac { 6 } { 5 } R e U \right] f _ { 2 _ { x } } + \left[ i \omega R e - 1 - \nu \alpha ^ { 2 } \right] f _ { 2 } = i \alpha R _ { 1 } e ^ { - \alpha x } - ( 1 - \nu ) i \alpha R _ { 6 } , } \end{array}
\frac 1 2 \Delta _ { ( a b ) } V _ { \quad c } ^ { b } \frac { \partial f ^ { c } \left( Q \right) } { \partial Q ^ { d } } = \overline { { { V } } } _ { c d } , \qquad f o r \; e v e r y \; r e a l \; Q ^ { a } \neq 0 .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \xi } ( t ) \| ^ { 2 } \} \le ( 1 - \lambda _ { 2 } ) ^ { t } \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } \Big ( \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \wedge t \Big ) } \\ & { \Big [ 2 c _ { s } c _ { l } ( \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 2 } | ) \| z ^ { s } \| + \frac { 1 } { 2 r _ { 0 } n } ( c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n + \| X ( 0 ) \| ^ { 2 } } \\ & { + 3 \| \tilde { z } ^ { s } \| ^ { 2 } + c _ { l } \| z ^ { s } \| ^ { 2 } ) \Big ] + \lambda _ { 2 } \Big ( \frac { 1 } { \lambda _ { 2 } } \wedge t \Big ) c _ { x } ^ { 2 } , } \end{array}
\Delta s = - \Delta s ^ { \star } \frac { \Delta R } { l _ { + } } \left[ \sinh \left( \frac { R } { l _ { + } } \right) + \frac { l _ { + } \, \cosh \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } { l _ { - } \, \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \bigr ) } \right] ^ { - 1 } \left[ \cosh \left( \frac { R } { l _ { + } } \right) + \frac { l _ { - } \, \sinh \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } { l _ { + } \, \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { f r e e } } } { l _ { - } } \bigr ) } \right] ^ { - 1 } \, ,
\begin{array} { r l } & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } = \frac { e ^ { \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { 3 \pi \hat { \nu } _ { 1 } } { 2 } } e ^ { 2 \pi \nu _ { 1 } } \sqrt { 2 \pi } q _ { 3 } } { ( e ^ { 2 \pi \hat { \nu } _ { 1 } } - 1 ) \Gamma ( - i \hat { \nu } _ { 1 } ) } , \qquad \beta _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } = \frac { e ^ { - \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { 3 \pi \hat { \nu } _ { 1 } } { 2 } } \sqrt { 2 \pi } \bar { q } _ { 3 } } { ( e ^ { 2 \pi \hat { \nu } _ { 1 } } - 1 ) \Gamma ( i \hat { \nu } _ { 1 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { a } ^ { b } \left[ \frac { r } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } | D \psi | ^ { 2 } + \frac { | \psi | ^ { 2 } } { r } + \frac { | \psi | ^ { 2 } } { V - c } \frac { d } { d r } \left( \frac { r D V } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \right] d r = - \frac { \psi _ { I } ^ { * } D \psi _ { I } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } , , } \end{array}
C F _ { \pm } = \frac { 1 } { m _ { \rho } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \, m _ { \rho } ^ { 3 } f _ { \rho } f _ { \rho } ^ { T } ( \zeta _ { 4 } ^ { T } \pm \widetilde { \zeta } _ { 4 } ^ { T } ) i ( g _ { \mu \alpha } P _ { \beta } - g _ { \beta \mu } P _ { \alpha } ) ,
E _ { 1 2 3 } ^ { ( 3 ) } = \sum _ { \sigma \in S _ { 3 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } } \frac { \langle 0 _ { \sigma ( 1 ) } 0 _ { \sigma ( 2 ) } | V _ { \sigma ( 1 ) \sigma ( 2 ) } | m _ { \sigma ( 1 ) } m _ { \sigma ( 2 ) } \rangle \langle m _ { \sigma ( 2 ) } 0 _ { \sigma ( 3 ) } | V _ { \sigma ( 2 ) \sigma ( 3 ) } | 0 _ { \sigma ( 2 ) } m _ { \sigma ( 3 ) } \rangle \langle m _ { \sigma ( 3 ) } m _ { \sigma ( 1 ) } | V _ { \sigma ( 3 ) \sigma ( 1 ) } | 0 _ { \sigma ( 3 ) } 0 _ { \sigma ( 1 ) } \rangle } { ( \Delta _ { m _ { \sigma ( 1 ) } } ( \sigma ( 1 ) ) + \Delta _ { m _ { \sigma ( 2 ) } } ( \sigma ( 2 ) ) ) ( \Delta _ { m _ { \sigma ( 1 ) } } ( \sigma ( 1 ) ) + \Delta _ { m _ { \sigma ( 3 ) } } ( \sigma ( 3 ) ) ) }
\Lambda \equiv \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \log \frac { N _ { T } } { N _ { 0 } } = \sum _ { \beta } P _ { 0 \beta } \log [ ( 1 - q _ { \beta } ) V ] + \sum _ { \beta } P _ { 1 \beta } \log [ q _ { \beta } Y ]
\Gamma _ { R \rightarrow \pi , \eta } = \frac { q _ { \pi , \eta } } { q } b _ { \pi , \eta } \Gamma _ { R } \frac { q _ { \pi \eta } ^ { 2 } + C _ { \pi , \eta } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } + C _ { \pi , \eta } ^ { 2 } } ,
\eta _ { \mathrm { p s n } } = \delta B _ { \mathrm { m i n } } \sqrt { \tau _ { \mathrm { s a m p l e } } } \approx \frac { \sqrt { 3 } \, \xi } { \epsilon \, \sqrt { \delta } } \frac { 1 } { 4 \, \gamma _ { \mathrm { n v } } \, C \sqrt { n _ { \mathrm { n v } } \, V _ { \mathrm { s e n } } \, \phi \, \tau _ { \mathrm { t o t } } } } ,
\frac { d \tau ^ { ( m + 1 ) } } { d \tau ^ { ( m ) } } = \frac { k _ { m + 1 } \mathcal { A } _ { m + 1 } [ u ] } { k _ { m } \mathcal { A } _ { m } [ u ] } = 2 \mathcal { X } _ { 1 } [ U ^ { ( m ) } ] .
d s ^ { 2 } = - \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } d t ^ { 2 } + \left( \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } - r _ { 0 } ^ { 2 } \right) d \theta ^ { 2 } + \left( \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } - r _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } + \sinh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { 2 } x _ { 1 } } { l } \right) d x _ { 2 } ^ { 2 }
\Gamma _ { t t } ^ { r ^ { \ast } } = \Gamma _ { t r ^ { \ast } } ^ { t } = \Gamma _ { r ^ { \ast } r ^ { \ast } } ^ { t } = \Gamma _ { r ^ { \ast } r ^ { \ast } } ^ { r ^ { \ast } } = \frac { 1 } { 2 } \frac { d \Omega ( r ) } { d r } .
\begin{array} { r l r } & { A \, \cos ^ { m } \left( \frac { \pi } { 2 } \left( \frac { \pi + 2 \phi } { \pi + 2 \phi _ { \mathrm { t i l t } } } - 1 \right) \right) \; } & { \phi \leq \phi _ { \mathrm { t i l t } } } \\ & { A \, \cos ^ { n } \left( \frac { \pi } { 2 } \left( 1 - \frac { \pi - 2 \phi } { \pi - 2 \phi _ { \mathrm { t i l t } } } \right) \right) \; } & { \phi \geq \phi _ { \mathrm { t i l t } } , } \end{array}
\mathcal V _ { i } = \frac { \log _ { 1 0 } \widetilde V _ { i } } { \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le M _ { N } } \left\{ \log _ { 1 0 } \widetilde V _ { j } \right\} - \operatorname* { m i n } _ { 1 \le j \le M _ { N } } \left\{ \log _ { 1 0 } \widetilde V _ { j } \right\} } .
Y _ { + } \tilde { \sigma } _ { \mathrm { N C } } ^ { e ^ { \pm } p } = \left[ \frac { 2 \pi \alpha ^ { 2 } } { Q ^ { 4 } x } \right] ^ { - 1 } \frac { d ^ { 2 } \sigma _ { \mathrm { N C } } ^ { e ^ { \pm } p } } { d x d Q ^ { 2 } } = Y _ { + } F _ { 2 } ^ { \mathrm { N C } } \mp Y _ { - } x F _ { 3 } ^ { \mathrm { N C } } - y ^ { 2 } F _ { L } ^ { \mathrm { N C } }
h \circ f _ { 2 } \circ f _ { 3 } \circ \ldots \circ f _ { k + 1 } ( z ) = h \circ ( \underbrace { g ^ { \frac { 1 } { 2 } } \circ \ldots \circ g ^ { \frac { 1 } { 2 } } } _ { k } ( z ^ { 2 ^ { k + 1 } } ) ) ^ { \frac 1 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \bigl | G _ { \mathrm { P S E } } \left( \omega \right) \bigr | ^ { 2 } } & { { } = \frac { S _ { x , x } \left( \omega \right) } { \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { x , x } \left( \omega \right) + S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) } } \end{array} } \end{array}
Q = A \rho _ { 1 } ^ { 4 } + B \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } + C \rho _ { 2 } ^ { 4 } + D \rho _ { 1 } ^ { 2 } \rho _ { 2 } + E \rho _ { 2 } ^ { 3 } + F \rho _ { 1 } ^ { 2 } + G \rho _ { 2 } ^ { 2 } + H \ln \rho _ { 1 }
\begin{array} { r l } { f _ { m } } & { = \tilde { f } _ { m } / \rho _ { r } , } \\ { \ensuremath { f ^ { \mathrm { e q } } } _ { m } } & { = \tilde { f } _ { m } ^ { \mathrm { { e q } } } / \rho _ { r } , } \\ { t } & { = \tilde { t } / ( L / e _ { r } ) , } \\ { \ensuremath { \mathbf { e } } } & { = \tilde { \vec { e } } / e _ { r } , } \\ { \nabla } & { = L \tilde { \nabla } , \mathrm { ~ a n d } } \\ { \tau } & { = \tilde { \tau } / t _ { c } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l } { s _ { x } \cos \theta } & { - s _ { y } \sin \theta } & { t _ { x } s _ { x } \cos \theta - t _ { y } s _ { y } \sin \theta + t _ { x } ^ { \prime } } \\ { s _ { x } \sin \theta } & { s _ { y } \cos \theta } & { t _ { x } s _ { x } \sin \theta + t _ { y } s _ { y } \cos \theta + t _ { y } ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { 3 } \, } & { = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \Bigl \{ \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \bigl ( ( \beta _ { \epsilon } + L ) P _ { m } + Q _ { m } \bigr ) \eta _ { 3 - m } \, , \, \eta _ { 0 } \Bigr \} + \bigl \{ \phi _ { 2 } \, , \eta _ { 1 } - R \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ & { + \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 2 } - R \eta _ { 1 } + R ^ { 2 } \eta _ { 0 } \bigr \} - \bigl \{ \phi _ { 0 } \, , R \eta _ { 2 } - R ^ { 2 } \eta _ { 1 } + R ^ { 3 } \eta _ { 0 } \bigr \} } \\ & { - \frac { r _ { 0 } } { \Gamma } \Bigr ( \bigl ( \dot { \bar { r } } _ { 2 } - \dot { \bar { r } } _ { 0 } \bigr ) \partial _ { R } \eta _ { 0 } + \bigl ( \dot { \bar { z } } _ { 2 } - \dot { \bar { z } } _ { 0 } \bigr ) \partial _ { Z } \eta _ { 0 } + \dot { \bar { z } } _ { 0 } \partial _ { Z } \eta _ { 2 } \Bigr ) + \delta \partial _ { R } \bigl ( R \eta _ { 1 } - R ^ { 2 } \eta _ { 0 } \bigr ) + \delta \eta _ { 1 } \, . } \end{array}
G ^ { ( N , M ) } ( z _ { 1 } , S _ { M + 1 } , \cdots , S _ { N } ; z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = ( z _ { 2 } z _ { 1 } ^ { - 1 } + z _ { 2 } z _ { 1 } ) { \overline { { G } } } ^ { ( N , M + 1 ) } ( S _ { M + 1 } , \cdots , S _ { N } ; z _ { 1 } , z _ { 2 } )
\int d t ^ { \prime } \; G ( t , t ^ { \prime } ) \; \frac { e ^ { 2 \, \mu \, t ^ { \prime } } } { t ^ { \frac 5 2 } } = \frac { e ^ { - \frac { k ^ { 2 } \, t } { 4 \, \mu } } } { e ^ { 2 } \; C ^ { 2 } \; t ^ { 1 + \frac { 3 \, k ^ { 2 } } { 1 6 \, \mu ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } \Pi _ { \alpha _ { n } } ( A _ { n } | Y ^ { n } ) } & { \leq \frac { \int _ { A _ { n } } e ^ { - 4 n \alpha _ { n } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } d \Pi ( \eta ) } { \Pi ( B _ { n } ( \eta _ { 0 } , \varepsilon _ { n } ) ) e ^ { - 2 { \alpha _ { n } } n \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } } + o ( 1 ) \leq e ^ { - n \alpha _ { n } \varepsilon _ { n } ^ { 2 } } + o ( 1 ) = o ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P r o b . } \left( \bigcup _ { i = 1 } ^ { M } { \cal { A } } _ { i } ^ { c } \right) } & { \le } & { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathrm { P r o b . } \left( { \cal { A } } _ { i } ^ { c } \right) } \\ & { \le } & { M \underset { i \in [ M ] } { \operatorname* { m a x } } \mathrm { P r o b . } \left( { \cal { A } } _ { i } ^ { c } \right) } \\ & { \le } & { 2 M \underset { i \in [ M ] } { \operatorname* { m a x } } \exp \left( - \frac { N \varepsilon ^ { 2 } } { 2 \Lambda _ { i } ^ { 2 m } B _ { i } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\delta ^ { \prime } = c \big ( \frac { F _ { 0 } } { \sqrt { 6 } } \big ) = c ^ { \prime } \big ( - \sqrt { \frac { 3 } { 1 0 } } \hat { D } _ { 0 } ^ { M } - \frac { \hat { F } _ { 0 } ^ { M } } { \sqrt { 6 } } \big ) = c \big ( - \sqrt { \frac { 3 } { 1 0 } } D _ { 0 } ^ { M } + \frac { F _ { 0 } ^ { M } } { \sqrt { 6 } } \big ) ,
\Phi ( \vec { r } , t ) = { \displaystyle \frac { Z _ { P } e } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } A _ { k } \int \frac { \exp \left[ \mathrm { i } \vec { s } \cdot \left( \vec { r } - \vec { R } _ { b } ( t ) \right) \right] } { s ^ { 2 } + \alpha _ { k } ^ { 2 } - ( \beta s _ { z } ) ^ { 2 } } \; \mathrm { d } ^ { 3 } s } ,
\begin{array} { r } { \left\| t ( t ^ { 2 } + | \partial _ { v } | ^ { 2 } ) ( 2 - \partial _ { v } ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \mathrm { A } _ { 0 } P _ { 0 } \big ( \partial _ { v } ( \Pi \Upsilon _ { 1 } ) \big ) \right\| _ { 2 } \lesssim \epsilon } \end{array}
\lbrack A _ { 1 } , \eta _ { o } ] = \frac { ( \eta _ { o } B _ { o } \varphi _ { o } ) } { ( B _ { o } \varphi _ { o } ) } A _ { 1 } ^ { { } } + \frac { 2 \lambda \varphi _ { o } B _ { o } } { ( B _ { o } \varphi _ { o } ) } +
{ \cal L } _ { L } = \dot { \rho } \rho ^ { \prime } - \rho ^ { 2 } + 2 e \rho ^ { \prime } ( A _ { 0 } - A _ { 1 } ) - { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } ( A _ { 0 } - A _ { 1 } ) ^ { 2 } + { \frac { e ^ { 2 } } { 2 } } A _ { \mu } A ^ { \mu } ,
G ( \bar { \xi } ^ { \prime \prime } , \xi ^ { \prime } ; T ) = C _ { 0 } \left( 1 + \sum _ { m = 1 } ^ { N } \xi _ { m } ^ { \ast \prime \prime } \xi _ { m } ^ { \prime } \exp ( - i \omega _ { m } T ) \right) ^ { 2 J } \exp ( i H _ { 0 } T ) .
\begin{array} { r l r } { m _ { t } } & { = } & { 4 K _ { L L } + O ( J ) \, \; \; \; \; m _ { \tau } = \frac { 3 } { 2 } K _ { L R } + O ( J ) \, \; \; \; \; m _ { b } = 4 K _ { R R } + O ( J ) } \\ { m _ { c } } & { = } & { J _ { L L } \, \; \; \; \; \; \; \; \; m _ { \mu } = \frac { 3 } { 2 } J _ { L R } \, \; \; \; \; \; \; \; \; m _ { s } = J _ { R R } } \end{array}
d U _ { \mathrm { c v } } = \delta Q + d U _ { \mathrm { i n } } + d ( p _ { \mathrm { i n } } V _ { \mathrm { i n } } ) - d U _ { \mathrm { o u t } } - d ( p _ { \mathrm { o u t } } V _ { \mathrm { o u t } } ) - \delta W _ { \mathrm { s h a f t } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d ^ { 2 } y _ { 1 } } { d \tau ^ { 2 } } } & { { } = } & { ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) - 1 } \\ { \frac { d ^ { 2 } y _ { j } } { d \tau ^ { 2 } } } & { { } = } & { \alpha _ { j } ( y _ { j - 1 } - y _ { j } ) + \beta _ { j } ( y _ { j + 1 } - y _ { j } ) , \qquad j = 2 , \cdots , n } \\ { \frac { d ^ { 2 } y _ { n } } { d \tau ^ { 2 } } } & { { } = } & { \alpha _ { n } ( y _ { n - 1 } - y _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta \displaystyle \sum _ { \alpha } \mathscr { P } _ { \alpha } = } & { { } ~ \displaystyle \sum _ { \alpha } 2 \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) : \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { X } ^ { s ; t } ( x , v ) } & { = x + ( 1 - e ^ { t - s } ) v + \int _ { t } ^ { s } ( 1 - e ^ { \tau - s } ) \mathrm { F } \left( \tau , \mathrm { X } ^ { \tau ; t } ( x , v ) \right) \, \mathrm { d } \tau , } \\ { \mathrm { V } ^ { s ; t } ( x , v ) } & { = e ^ { t - s } v + \int _ { t } ^ { s } e ^ { \tau - s } \mathrm { F } \left( \tau , \mathrm { X } ^ { \tau ; t } ( x , v ) \right) \, \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\cdot \left[ ( 2 n - 1 ) ( 4 n - 1 ) { \cal G } _ { n } + 2 \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } { \cal G } _ { n - j } \left( { \cal G } _ { j + 1 } { \cal G } _ { 0 } c ( j , n ) - \sum _ { k = 0 } ^ { j + 1 } { \cal G } _ { j + 1 - k } { \cal G } _ { k } d ( j , k , n ) \right) \right] , \; n \ge 0 ,
\begin{array} { r l } { \Theta _ { k , q } ^ { ( v , e ) } ( x ) } & { \simeq 1 - { \frac { \langle z _ { k } \rangle ^ { ( v ) } } { \Gamma ( k ) \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } \left( { \frac { \langle n _ { q } \rangle ^ { ( e ) } } { \Gamma ( q ) \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } \right) ^ { k - 1 } ( 1 - x ) ^ { ( q - 1 ) ( k - 1 ) } } \\ & { + O ( ( 1 - x ) ^ { q ( k - 1 ) } , ( 1 - x ) ^ { k ( q - 1 ) ) } ) , } \\ { \Theta _ { q , k } ^ { ( e , v ) } ( x ) } & { \simeq 1 - { \frac { \langle n _ { q } \rangle ^ { ( e ) } } { \Gamma ( q ) \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } \left( { \frac { \langle z _ { k } \rangle ^ { ( v ) } } { \Gamma ( k ) \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } \right) ^ { q - 1 } ( 1 - x ) ^ { ( q - 1 ) ( k - 1 ) } } \\ & { + O ( ( 1 - x ) ^ { q ( k - 1 ) } , ( 1 - x ) ^ { k ( q - 1 ) ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf T } _ { \mathrm { o b s } } } & { = } & { \left[ T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( 1 ) } , T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( 2 ) } , \dots , T _ { \mathrm { o b s } } ^ { ( N _ { T } ) } \right] , } \\ { { \bf f } _ { T } ( \boldsymbol { \theta } _ { T } ) } & { = } & { \left[ f _ { T } ^ { ( 1 ) } , f _ { T } ^ { ( 2 ) } , \dots , f _ { T } ^ { ( N _ { T } ) } \right] , } \\ { f _ { T } ^ { ( i ) } } & { = } & { f _ { T } ( \mathbf { x } _ { r } ^ { ( i ) } , \mathbf { x } _ { s } ^ { ( i ) } ; \boldsymbol { \theta } _ { T } ) , } \end{array}
{ S } ( [ p _ { i } ( t ) ] , [ q ^ { i } ( t ) ] ; t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } d t \{ p _ { k } { \dot { q } } ^ { k } - { H } ( { q ^ { i } } , { p } _ { j } ; t ) \} .
{ \begin{array} { r l r l } & { { \boldsymbol { \nabla } } \cdot { \boldsymbol { u } } = 0 } & & { { \mathrm { ( i n c o m p r e s s i b i l i t y ) } } } \\ & { { \boldsymbol { \nabla } } \times { \boldsymbol { u } } = 0 } & & { { \mathrm { ( i r r o t a t i o n a l ) } } } \\ & { { \frac { \partial } { \partial t } } { \boldsymbol { u } } + \left( { \boldsymbol { u } } \cdot { \boldsymbol { \nabla } } \right) { \boldsymbol { u } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \boldsymbol { \nabla } } p } & & { { \mathrm { ( E u l e r ~ e q u a t i o n ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { w _ { i \rightarrow \alpha } } & { { } = } & { \left[ 1 - \prod _ { \beta \in N ( i ) \setminus \alpha } ( 1 - v _ { \beta \rightarrow i } ) \right] , } \\ { v _ { \alpha \rightarrow i } } & { { } = } & { p _ { H } ^ { [ m ] } p _ { N } ^ { m _ { \alpha } - 1 } \left[ 1 - \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } ( 1 - w _ { j \rightarrow \alpha } ) \right] , } \end{array}
R _ { E } ( y ) \propto y ^ { - s } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \operatorname * { l i m } _ { y \rightarrow 1 } \left\{ \frac { \frac { d } { d y } \left[ R _ { E } ( y ) \right] } { R _ { E } ( y ) } \right\} = - s ,
W _ { i n } ^ { 2 } = \frac { \Delta V _ { i , j , k } } { V _ { i n } } \left( \begin{array} { l l l l l } { \frac { a ^ { 2 } } { \gamma \bar { \rho } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \bar { \rho } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \bar { \rho } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \bar { \rho } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \bar { \rho } C _ { v } } { \bar { T } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { X ( x , k ) = I - \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } ( \mathsf { U } X ) ( x ^ { \prime } , k ) e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } d x ^ { \prime } , } \\ & { X ^ { A } ( x , k ) = I + \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } ( \mathsf { U } ^ { T } X ^ { A } ) ( x ^ { \prime } , k ) e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \mathcal { L } ( k ) } d x ^ { \prime } , } \end{array}
{ \cal T } _ { a b } ( q _ { 0 } , \vec { q } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d { q _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 \pi } \rho ( q _ { 0 } ^ { \prime } , \vec { q } ) { \cal D } _ { a b } ^ { 0 } ( q _ { 0 } , q _ { 0 } ^ { \prime } ) ~ ,
\begin{array} { r l } { ( { \texttt A } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } \backslash a , b ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a a } } & { = - z ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a , b ) } ) _ { a a } ( { \texttt A } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } \backslash b ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a a } } \\ & { = - z ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash a , b ) } ) _ { a a } \left[ ( { \texttt A } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a a } + z ( G ^ { ( \mathbb { T } \backslash b ) } ) _ { b b } ( { \texttt A } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a b } ( { \texttt B } { \mathcal G } ^ { ( \mathbb { T } ) } { \texttt B } ^ { T } ) _ { a b } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( \theta _ { n } , Z _ { \theta _ { n } } ) - \Phi ( t _ { n } , Z _ { t _ { n } } ) } & { = \int _ { t _ { n } } ^ { \theta _ { n } } \left( - \sqrt { \nu } \nabla \Phi + \sqrt { \nu } \nabla \Phi \right) ( s , Z _ { s } ) \, \circ d W ( s ) } \\ & { + \int _ { t _ { n } } ^ { \theta _ { n } } ( u \cdot \nabla ) \Phi \, d s } \\ & { = \int _ { t _ { n } } ^ { \theta _ { n } } ( u \cdot \nabla ) \Phi \, d s . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { \mathcal { A } } ( c ) = \underset { z _ { \mu } } { \mathrm { m a x } } \{ f _ { \mu } ( c , z _ { \mu } ) \, | \, h _ { \mu } ( c , z _ { \mu } ) \leq 0 \} } \\ { \sigma _ { \mathcal { B } } ( c ) = \underset { z _ { \sigma } } { \mathrm { m i n } } \{ f _ { \sigma } ( c , z _ { \sigma } ) \, | \, h _ { \sigma } ( c , z _ { \sigma } ) \leq 0 \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { { } ( \omega _ { - } ; T _ { s } , T _ { i } ) \propto \sum _ { e , e ^ { \prime } } \sum _ { e ^ { \prime \prime } } \iint d t d \tau e ^ { - i \omega _ { e ^ { \prime \prime } e ^ { \prime } } ( t - \tau ) } \rho _ { e e ^ { \prime } } ( \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \chi } { \partial \tau } + \omega ^ { - \alpha } ( \mathbf v _ { 0 } - \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \mathbf v _ { 0 } \cdot ( \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \qquad \mathbf y \in \mathcal B , } \\ & { - \mathbf n \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \qquad \mathbf y \in { \Gamma } , } \end{array}
P _ { 0 } - P _ { 0 } ^ { ( 0 ) } \, = \, < ( P _ { 0 } - S ) \, { \frac { 1 } { 3 } } \, u ^ { \tau } \, ( \, 1 + M ^ { 0 } \overline { { \Pi } } \, ) \, M ^ { R } \, u > .
\begin{array} { r l } { F ^ { \prime } \left( x ^ { ( k ) } \right) } & { = F ^ { \prime } ( \alpha ) \left( I + 2 C _ { 2 } e _ { k } + 3 C _ { 3 } e _ { k } ^ { 2 } + 4 C _ { 4 } e _ { k } ^ { 3 } \right) + O \left( e _ { k } ^ { 4 } \right) , } \\ { F ^ { \prime \prime } \left( x ^ { ( k ) } \right) } & { = F ^ { \prime } ( \alpha ) \left( 2 C _ { 2 } + 6 C _ { 3 } e _ { k } + 1 2 C _ { 4 } e _ { k } ^ { 2 } \right) + O \left( e _ { k } ^ { 3 } \right) , } \\ { F ^ { \prime \prime \prime } \left( x ^ { ( k ) } \right) } & { = F ^ { \prime } ( \alpha ) \left( 6 C _ { 3 } + 2 4 C _ { 4 } e _ { k } \right) + O \left( e _ { k } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\small \begin{array} { r l } { T _ { 5 } } & { { } = - { \cal T } _ { 0 } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 3 } { 8 } \, y \, a ( - k n ) \bigg [ \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) - 6 \left( 1 - x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } \right) X _ { k } ^ { - 3 , 2 } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \bigg ] } \end{array}
\mathbf { c } _ { n } = \mathbf { f } _ { t } ( t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { 1 } ( - \tau _ { 1 } ) , \ldots , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { m } ( - \tau _ { d } ) ) { \mathrm { ~ a n d ~ } } \mathbf { d } _ { n } = \mathbf { f ( } t _ { n } , \mathbf { z } _ { n } , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { 1 } ( - \tau _ { 1 } ) , \ldots , { \widetilde { \mathbf { z } } } _ { t _ { n } } ^ { m } ( - \tau _ { d } ) )
\begin{array} { r } { P _ { \alpha } = \tau _ { \alpha } | _ { \zeta = 1 / 2 } + \tau _ { \alpha } | _ { \zeta = - 1 / 2 } , \quad P = \tau | _ { \zeta = 1 / 2 } + \tau | _ { \zeta = - 1 / 2 } , } \\ { Q _ { \alpha } = \tau _ { \alpha } | _ { \zeta = 1 / 2 } - \tau _ { \alpha } | _ { \zeta = - 1 / 2 } , \quad Q = \tau | _ { \zeta = 1 / 2 } - \tau | _ { \zeta = - 1 / 2 } . } \end{array}