harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \hat { \theta } _ { 2 5 } ( \vartheta ^ { \mathrm { d } } ) = \theta _ { \mathrm { s t d y } } ^ { \mathrm { d } } ( 1 , | D \varphi _ { 2 } ( P _ { 0 } ^ { 1 } | _ { \theta _ { 1 } = \vartheta ^ { \mathrm { d } } } ) | ) \, . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } \\ { - \boldsymbol { B } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { - \boldsymbol { A } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { N } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { N } } \end{array} \right) = \Omega _ { m } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { \boldsymbol { X } _ { m } ^ { N } } \\ { \boldsymbol { Y } _ { m } ^ { N } } \end{array} \right)
\mathcal { L } \approx \frac { N _ { b } N _ { + } N _ { - } f } { 2 \pi \Sigma _ { y } \Sigma _ { z } \tan \frac { \theta _ { c } } { 2 } } e ^ { - \frac { \Delta _ { y } ^ { 2 } } { 2 \Sigma _ { y } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } G _ { n , i } } { \mathrm { d } t } = } & { \; ( i + 1 ) G _ { n + 1 , i + 1 } - i G _ { n , i } + ( n - i + 1 ) \lbrace \bar { \lambda } _ { n , i - 1 } ( i - 1 ) + \rho \rbrace G _ { n , i - 1 } } \\ & { - ( n - i ) \lbrace \bar { \lambda } _ { n , i } i + \rho \rbrace G _ { n , i } \; . } \end{array}
\left. c _ { 2 } ( \beta ) \left( \frac 1 2 R _ { \mu \nu \lambda \rho } n _ { i } ^ { \mu } n _ { i } ^ { \lambda } n _ { j } ^ { \nu } n _ { j } ^ { \rho } - \frac 1 4 R _ { \mu \nu } n _ { i } ^ { \mu } n _ { i } ^ { \nu } \right) \right] ~ ~ ~ .
\widetilde { G } ( \ensuremath { R _ { \omega } } ( t ) \mathbf { r } , t ; \ensuremath { R _ { \omega } } ( t ^ { \prime } ) \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) { = } G \big ( \mathbf { r } , t ; \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } \big )
\begin{array} { r l } & { \dot { z } _ { n } ^ { n } ( t ) = - k _ { n } e ^ { - \delta _ { n } ( T - t ) } - \dot { z } _ { n } ^ { j } ( t ) \; , } \\ & { \dot { z } _ { n } ^ { j } ( t ) = - e ^ { - \delta _ { n } ( T - t ) } k _ { n } \left( 1 - \frac { \zeta _ { j } ^ { C } F _ { n n } } { \zeta _ { 1 } ^ { C } \zeta _ { 2 } ^ { C } - \mathcal { E } ^ { 2 } } \right) - e ^ { - \delta _ { j } ( T - t ) } k _ { j } \frac { \zeta _ { j } ^ { C } F _ { n j } } { \zeta _ { 1 } ^ { C } \zeta _ { 2 } ^ { C } - \mathcal { E } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
C ( x ) \approx { \frac { ( 1 / 1 3 5 ) \cdot ( 9 9 0 7 9 1 x ^ { 9 } \pi ^ { 4 } - 1 4 7 1 8 9 7 4 4 x ^ { 5 } \pi ^ { 2 } + 8 7 1 4 6 8 4 1 6 0 x ) } { ( 1 7 4 9 \pi ^ { 4 } x ^ { 8 } + 5 2 3 5 3 6 \pi ^ { 2 } x ^ { 4 } + 6 4 5 5 3 2 1 6 ) } }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } } & { { } = \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \left( A ( c _ { k } ^ { \prime } ) \phi _ { i } - A ( c _ { k } ^ { \prime } ) c _ { k } ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P _ { 1 } ( u ^ { t + 1 } ) - \langle \xi ^ { t } , u ^ { t + 1 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \| u ^ { t + 1 } - u ^ { t } \| _ { M _ { 0 } } ^ { 2 } \leq P _ { 1 } ( u ^ { t } ) - \langle \xi ^ { t } , u ^ { t } \rangle } \\ & { \Leftrightarrow P _ { 1 } ( u ^ { t + 1 } ) + \frac { 1 } { 2 } \| u ^ { t + 1 } - u ^ { t } \| _ { M _ { 0 } } ^ { 2 } \leq P _ { 1 } ( u ^ { t } ) + \langle \xi ^ { t } , u ^ { t + 1 } - u ^ { t } \rangle . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \iint _ { D } { \sqrt { \left( { \vec { r } } _ { u } \cdot { \vec { r } } _ { u } \right) \left( { \vec { r } } _ { v } \cdot { \vec { r } } _ { v } \right) - \left( { \vec { r } } _ { u } \cdot { \vec { r } } _ { v } \right) ^ { 2 } } } \, d u \, d v } \\ { = } & { \iint _ { D } { \sqrt { E G - F ^ { 2 } } } \, d u \, d v } \\ { = } & { \iint _ { D } { \sqrt { \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l } { E } & { F } \\ { F } & { G } \end{array} \right] } } } \, d u \, d v } \end{array} }
\bar { D } ^ { 2 } Z \sum _ { f } \left( { Q } _ { f } ^ { \dagger } e ^ { V } { Q } _ { f } + \bar { Q } _ { f } ^ { \dagger } e ^ { - V } \bar { Q } _ { f } \right) = \frac { N _ { f } } { 2 \pi ^ { 2 } } \mathrm { T r } \, W ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { k \leq K T / \varepsilon ^ { 2 } } \Big | \sum _ { j = 1 } ^ { k } \theta ( Y _ { \tau _ { j - 1 } } ^ { \varepsilon } ) \mathbf { E } \Big [ X _ { \tau _ { j } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - X _ { \tau _ { j - 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } \Big | \mathscr { F } _ { \tau _ { j - 1 } ^ { \varepsilon } } \Big ] \Big | > R \Big ) \leq \mathbf { P } ( K T C > R ) = 0 , \quad R \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { S } _ { 8 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - 2 \pi i \alpha } e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { - } ( z ) - g _ { + } ( z ) ) } } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { e ^ { 2 \pi i \alpha } e ^ { x ^ { 2 } ( g _ { + } ( z ) - g _ { - } ( z ) ) } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 4 \pi i \alpha } e ^ { 2 x ^ { 2 } g _ { - } ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { - 2 \pi i \alpha } } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { 0 } ^ { - 1 } e ^ { 2 x ^ { 2 } g _ { + } ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = : \widetilde { S } _ { U _ { 3 } } \widetilde { S } _ { P _ { + } } \widetilde { S } _ { U _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } + \gamma \ensuremath { p ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = 0 } \\ { \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \partial _ { t } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \partial _ { x } \ensuremath { p ^ { ( 2 ) } } + \ensuremath { \rho u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } & { = \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { \rho ^ { ( 0 ) } } | v | \mu _ { 2 2 } \partial _ { x x } \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { v ^ { ( 0 ) } } } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } + \ensuremath { u ^ { ( 0 ) } } \partial _ { x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } & { = \mu _ { u } | u | \partial _ { x x } \ensuremath { s ^ { ( 0 ) } } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { { \Gamma ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } 1 1 } ( p ) } } & { { \Gamma ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } 1 2 } ( p ) } } \\ { { \Gamma ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } 2 1 } ( p ) } } & { { \Gamma ^ { \phi _ { P } ^ { 0 } 2 2 } ( p ) } } \end{array} \right) = \frac { - i \sum _ { Q } m _ { Q } ^ { 2 } } { [ ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } ] [ ( k + h ) ^ { 2 } + s ^ { 2 } - r ^ { 2 } ] } \left( \begin{array} { l l } { { ( p ^ { 2 } - i \varepsilon ) ( k + h + i s ) } } & { { - i p ^ { 2 } r } } \\ { { - i p ^ { 2 } r } } & { { - ( p ^ { 2 } + i \varepsilon ) ( k + h - i s ) } } \end{array} \right)
\langle A ( \mathbf { k } , \omega ) , B ( \mathbf { k } , \omega ) \rangle \equiv \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } A ( \mathbf { k } , \omega ) B ( \mathbf { k } , \omega ) \mathrm { d } \mathbf { k } \mathrm { d } \omega .
K _ { q } ( \theta ) = \frac { ( 1 ) ( 2 - B / 2 ) ( 1 + B / 2 ) } { ( 1 - E ( \sigma _ { 0 } , \sigma _ { 1 } , \beta ) ) ( 1 + E ( \sigma _ { 0 } , \sigma _ { 1 } , \beta ) ) ( 1 - F ( \sigma _ { 0 } , \sigma _ { 1 } , \beta ) ) ( 1 + F ( \sigma _ { 0 } , \sigma _ { 1 } , \beta ) ) }
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { I } \rangle } & { { } = \hat { C } _ { I } | \Phi _ { 0 } \rangle } \\ { \langle \Psi _ { I } | } & { { } = [ \hat { C } _ { I } | \Phi _ { 0 } \rangle ] ^ { \dagger } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { T } _ { i j } ^ { x } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { a } _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \beta } + \hat { a } _ { i \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \alpha } ) , } \\ { \hat { T } _ { i j } ^ { y } } & { { } = \frac { 1 } { 2 i } ( \hat { a } _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \beta } - \hat { a } _ { i \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \alpha } ) , } \\ { \hat { T } _ { i j } ^ { z } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( \hat { a } _ { i \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \alpha } - \hat { a } _ { i \beta } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j \beta } ) . } \end{array}
f _ { W } ^ { ( i ) } ( q _ { i } \, , p _ { i } ) \approx \sum _ { n } ^ { } \, w _ { n } \, | \psi _ { n } ( q _ { i } ) | ^ { 2 } \, 2 \pi \, \delta \left( p _ { i } - I _ { n } ( q _ { i } ) \right) \, .
\begin{array} { l } { { \partial _ { t 2 } } ( \rho { u _ { x } } ) = { \partial _ { x 1 } } \left[ { \rho { \nu _ { b } } ( { \nabla _ { 1 } } \cdot { \bf { u } } ) + \frac { 2 } { 3 } \rho \nu ( 2 { \partial _ { x 1 } } { u _ { x } } - { \partial _ { y 1 } } { u _ { y } } - { \partial _ { z 1 } } { u _ { z } } ) } \right] } \\ { + { \partial _ { y 1 } } \left[ { \rho \nu ( { \partial _ { y 1 } } { u _ { x } } + { \partial _ { x 1 } } { u _ { y } } ) } \right] + { \partial _ { z 1 } } \left[ { \rho \nu ( { \partial _ { z 1 } } { u _ { x } } + { \partial _ { x 1 } } { u _ { z } } ) } \right] , } \end{array}
\forall x = ( n , s , \tau ) \in E , \quad \phi ( x ) = \sum _ { k = 1 } ^ { m ( n , s ) } \mathbf { 1 } _ { A _ { k } ^ { n , s } } ( \tau _ { 1 , n - s } ) \varphi _ { k } ^ { n - s } ( \tau _ { 1 , n - s } ) .
\parallel \vec { E } \parallel = \operatorname * { m a x } \{ \operatorname * { s u p } _ { T \leq t \leq t _ { 0 } } \mid e _ { 1 2 } ( t ) \mid , \operatorname * { s u p } _ { T \leq t \leq t _ { 0 } } \mid e _ { 2 1 } ( t ) \mid \}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \delta r } { \delta \theta } } } & { = - { \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } { \frac { \delta u } { \delta \theta } } = - { \frac { h } { m } } { \frac { \delta u } { \delta \theta } } } \\ { { \frac { \delta ^ { 2 } r } { \delta \theta ^ { 2 } } } } & { = - { \frac { h ^ { 2 } u ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } { \frac { \delta ^ { 2 } u } { \delta \theta ^ { 2 } } } - { \frac { h u ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } { \frac { \delta h } { \delta \theta } } { \frac { \delta u } { \delta \theta } } } \\ { \left( { \frac { \delta \theta } { \delta t } } \right) ^ { 2 } r } & { = { \frac { h ^ { 2 } u ^ { 3 } } { m ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { c } { { - { \frac { 1 } { 2 } } \zeta _ { \overline { { { \Theta } } } / \mu ^ { 2 } } ( s ) + \zeta _ { - \overline { { { D } } } ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } } ( s ) = } } \\ { { \displaystyle { \frac { \Omega } { 8 \pi ^ { 2 } } } \sum _ { a } { \frac { ( \omega ^ { a } ) ^ { 2 } } { \widehat { \omega } ^ { a } } } \left( \frac { \mu ^ { 2 } } { 2 \omega ^ { a } } \right) ^ { s } { \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, u ^ { s - 1 } \, { \frac { e ^ { \displaystyle - { \frac { u } { 2 } } } } { 1 - e ^ { - u } } } \, \left( - e ^ { \displaystyle { \frac { u } { 2 \widehat { \omega } ^ { a } } } } - \cosh u + 1 \right) \, Y _ { { \bf \mathrm { S } } ^ { 2 } } \left( { \frac { u } { 2 \widehat { \omega } ^ { a } } } \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { L } = } & { { } \frac { A \sqrt { R ^ { * } } } { \hbar \omega } \Bigg ( \frac { 2 R ^ { * } } { \pi } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { \Gamma _ { n } / n ^ { 3 } } { ( \hbar \omega - E _ { g } + \frac { R ^ { * } } { n ^ { 2 } } ) ^ { 2 } + \Gamma _ { n } ^ { 2 } } + } \end{array}
\Sigma \left( \frac { \left( u - \frac { w } { 2 } \right) } { p } \left[ \tan ^ { - 1 } \left( \frac { p + z } { u - \frac { w } { 2 } } \right) - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { z } { u - \frac { w } { 2 } } \right) \right] - \frac { \left( \frac { w } { 2 } + u \right) } { p } \left[ \tan ^ { - 1 } \left( \frac { p + z } { \frac { w } { 2 } + u } \right) - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { z } { \frac { w } { 2 } + u } \right) \right] \right)
\left\{ \begin{array} { l l l } { g _ { u } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d _ { u } } ) = ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d _ { u } } ) , \quad u < u ^ { \ast } , } \\ { g _ { u } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d _ { u } } ) = \left( h ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { t ^ { \ast } } ) , 0 , \ldots , 0 \right) , \quad u = u ^ { \ast } , } \\ { g _ { u } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { d _ { u } } ) = ( x _ { 1 } ^ { \beta _ { u } \wedge 1 } , 0 , \ldots , 0 ) , \quad u > u ^ { \ast } . } \end{array} \right.
{ \omega } _ { a \; \hat { c } } ^ { \; \hat { b } } = e _ { d } ^ { \hat { c } } \, e _ { \hat { b } } ^ { e } \, \Gamma _ { a e } ^ { d } - e _ { \hat { b } } ^ { d } \partial _ { a } e _ { d } ^ { \hat { c } } \; ,
T ( r _ { 0 } , \rho , \tilde { b } , x _ { p } ) = \pi \alpha ^ { 2 } n _ { e f f } { \frac { r _ { 0 } \rho } { \tilde { b } ^ { 2 } } } \ln \Bigl ( { \frac { \tilde { b } ^ { 2 } } { r _ { 0 } \rho } } \Bigr ) x _ { p } ^ { - \Delta _ { p } } \Bigl ( { \frac { 2 a _ { p } } { \pi } } \Bigr ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } a _ { p } \ln ^ { 2 } ( { \frac { \tilde { b } ^ { 2 } } { r _ { 0 } \rho } } ) } \, \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { ~ \omega ^ { m } ~ e ^ { i \tau _ { R } \omega } ~ e ^ { - \tau _ { I } \omega } = ( - 1 ) ^ { m } ~ \omega ^ { m } ~ e ^ { i \tau _ { R } \omega } ~ e ^ { \tau _ { I } \omega } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { S ^ { \prime } [ \mathbf { q } ] = \int _ { t _ { \mathrm { s t } } } ^ { t _ { \mathrm { f i n } } } L ^ { \prime } ( \mathbf { q } ( t ) , { \dot { \mathbf { q } } } ( t ) , t ) \, d t = \int _ { t _ { \mathrm { s t } } } ^ { t _ { \mathrm { f i n } } } L ( \mathbf { q } ( t ) , { \dot { \mathbf { q } } } ( t ) , t ) \, d t + \int _ { t _ { \mathrm { s t } } } ^ { t _ { \mathrm { f i n } } } { \frac { \mathrm { d } f ( \mathbf { q } ( t ) , t ) } { \mathrm { d } t } } \, d t } \\ { = S [ \mathbf { q } ] + f ( P _ { \mathrm { f i n } } , t _ { \mathrm { f i n } } ) - f ( P _ { \mathrm { s t } } , t _ { \mathrm { s t } } ) , } \end{array}
\Delta = 1 0 0 A _ { 1 } ^ { 2 } + 4 A _ { 1 } ( 2 5 \sigma - 1 4 ) \chi _ { 1 } ^ { 2 } + \left[ \sigma ( 2 5 \sigma - 2 8 ) + 3 6 \right] \chi _ { 1 } ^ { 4 } - 6 4 \chi _ { 1 } ^ { 2 } .
\left[ \begin{array} { l l l } { 1 - { x } _ { 2 } + 2 { r } { { x } _ { 1 } } - 2 { p } { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 3 } } } & { { - { x } _ { 1 } } } & { { - p } { { x } _ { 1 } } ^ { 2 } } \\ { { { x } _ { 2 } } } & { { - 1 + { x } _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { 2 { p } { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 3 } } } & { { 0 } } & { - q + { p } { x } _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { { \mathrm E } \Big [ W _ { i } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } \Big ) ^ { 2 } \Big ] = { \mathrm E } \Big [ \frac { ( i - 1 ) ( n - i ) } { ( n - 1 ) ^ { 2 } } W _ { i } ( n - W _ { i } ) \Big ] + { \mathrm E } \Big [ \frac { ( i - 1 ) ^ { 2 } } { ( n - 1 ) ^ { 2 } } W _ { i } ( n - W _ { i } ) ^ { 2 } \Big ] } \\ { = } & { \frac { ( i - 1 ) ( n - i ) } { n } + \frac { ( i - 1 ) ^ { 2 } ( n ^ { 2 } - 2 n + 2 ) } { n ^ { 2 } } = ( i - 1 ) ( 1 - 1 / n ) + ( i - 1 ) ^ { 2 } ( 1 - 1 / n ) ( 1 - 2 / n ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \sum _ { m } e ^ { - i ( \Omega + 2 m \omega ) t } i ^ { m } J _ { m } [ \sqrt { \kappa } \Lambda ^ { 2 } \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar } \tau \gamma ( \omega \tau ) \alpha ( \omega \tau ) ] } \end{array}
T ^ { \alpha \beta } = \frac { p } { \varrho c ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial _ { \gamma } \mathbb { A } ^ { \beta } - \frac { \Lambda _ { \rho } } { c ^ { 2 } } U ^ { \alpha } U ^ { \beta } = \frac { p } { \varrho c ^ { 2 } } \, \partial _ { \gamma } \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \mathbb { A } ^ { \beta }
\begin{array} { r l } { J _ { 2 } \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } \Big [ ( 1 + \| \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 2 } ^ { 2 } ) \| \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { 1 } \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } u \| _ { 1 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 1 } \| \Delta \partial _ { t } ^ { j } \varphi \| _ { 1 } \Big ] \big ( \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \varrho ( \varphi ) ) } \big ) } \\ { \leq } & { C \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + \mathcal { E } _ { j } ( t ) ) \mathcal { E } _ { j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \mathcal { D } _ { j } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | u ( x , y _ { 0 } ) | } & { \leq | u ( x , 1 ) | + \left( \int _ { y _ { 0 } } ^ { 1 } \left| s ^ { \beta } D _ { y } u ( x , s ) \right| ^ { p } s ^ { m } \ d s \right) ^ { \frac 1 p } \left( \int _ { y _ { 0 } } ^ { 1 } s ^ { ( - \beta - \frac m p ) p ^ { \prime } } \ d s \right) ^ { \frac 1 { p ^ { \prime } } } } \\ & { \leq | u ( x , 1 ) | + C \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| s ^ { \beta } D _ { y } u ( x , s ) \right| ^ { p } s ^ { m } \ d s \right) ^ { \frac 1 p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { U \mathcal M ( \rho ) U ^ { \dag } = \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { t _ { 1 } , . . , t _ { j } } \Xi _ { \rho } \left( \sum _ { j } t _ { j } k _ { j } \right) \left( \prod _ { j } Z _ { j } ^ { t _ { j } } \right) = \frac { 1 } { d ^ { n - r } } \Pi _ { j = 1 } ^ { r } \mathbb { E } _ { t _ { j } } [ \chi ( k _ { j } ) Z _ { j } ] ^ { t _ { j } } \; , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta \tilde { v } _ { j , 0 } = \tilde { v } _ { j , 1 } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & { \mathrm { i n } \, \, \Omega _ { j } , } \\ { \cdots , } \\ { - \Delta \tilde { v } _ { j , s - 2 } = \tilde { v } _ { j , s - 1 } } & { \mathrm { i n } \, \, \Omega _ { j } , } \\ { - \Delta \tilde { v } _ { j , s - 1 } = \tilde { f } _ { j } ( x , \tilde { v } _ { j , 0 } ) } & { \mathrm { i n } \, \, \Omega _ { j } , } \\ { 0 < \tilde { v } _ { j , 0 } , \ldots , \tilde { v } _ { j , s - 1 } \leq 1 } & { \mathrm { i n } \, \, \Omega _ { j } , } \\ { \tilde { v } _ { j , 0 } = \cdots = \tilde { v } _ { j , s - 1 } = 0 } & { \mathrm { o n } \, \, \partial \Omega _ { j } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \frac { d \vec { r } _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { \vec { u } _ { k } \, , } \\ { \frac { d \vec { p } _ { k } } { d t } } & { { } \approx } & { \frac { q _ { k } } { V } \, \int _ { V } d ^ { 3 } r \, \phi \left( \vec { r } , \vec { r } _ { k } \right) \, \left( \vec { E } _ { k } + \vec { u } _ { k } \times \vec { B } _ { k } \right) } \end{array}
\beta = \frac { 3 c _ { 0 } } { 2 h _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ \sigma = \frac { \chi c _ { 0 } h _ { 0 } ^ { 2 } } { 6 } , ~ ~ ~ ~ \chi = 1 - \frac { 3 \gamma } { \rho g h _ { 0 } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } _ { \mathrm { X U V } } ( t ) = } & { { } \sum _ { n = 1 1 , 1 3 , 1 5 , 1 7 } \frac { \sqrt { I _ { \mathrm { X U V } } ^ { 0 } } } { \omega _ { \mathrm { X U V } } } \cos ^ { 2 } ( \omega t / 2 n _ { c } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } v ^ { \mu } ( \boldsymbol { x } ( t ) ) } & { { } = \dot { x } ^ { \nu } ( t ) \partial _ { \nu } v ^ { \mu } ( \boldsymbol { x } ( t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \langle e ^ { i \int _ { t - \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } ( E _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) - E _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) ) / \hbar } \rangle \langle f ( t ) f ( t - \tau ) \rangle } \\ & { } & { = e ^ { i \tau ( \langle E _ { 2 } - E _ { 1 } \rangle ) / \hbar } e ^ { - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { t - \tau } ^ { t } d \tau ^ { \prime } \int _ { t - \tau } ^ { \tau ^ { \prime } } d \tau ^ { \prime \prime } \langle \delta E ( \tau ^ { \prime } ) \delta E ( \tau ^ { \prime \prime } ) \rangle } e ^ { - \tau / \tau _ { f } } } \\ & { } & { = e ^ { i \tau ( \langle E _ { 2 } - E _ { 1 } \rangle ) / \hbar } e ^ { - \tau _ { e } ( \tau - \tau _ { e } ( 1 - e ^ { - \tau / \tau _ { e } } ) ) \langle \delta E ^ { 2 } \rangle / \hbar ^ { 2 } } e ^ { - \tau / \tau _ { f } } . } \end{array}
\mathrm { ~ D ~ i ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } ( p _ { 1 } ) = \sqrt { \int ( p _ { 2 } - p _ { 2 C e n t r o i d } ) ^ { 2 } f ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) d p _ { 2 } / \int f ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ) d p _ { 2 } } / p _ { 1 }
\overline { { \sigma } } _ { \mathrm { c o l l } } = \int \sigma _ { \mathrm { c o l l } } ( \hat { \boldsymbol { e } } _ { \mathrm { h y } } ) d \hat { \boldsymbol { e } } _ { \mathrm { h y } } = { 3 2 \pi a _ { d } ^ { 2 } / 1 5 }
\begin{array} { r l } { d _ { \eta } ( \gamma _ { 0 } ( t _ { k } ) , \gamma _ { 0 } ( t _ { k + 1 } ) ) } & { \leq d _ { \eta } ( \gamma _ { \eta } ( t _ { k } ) , \gamma _ { 0 } ( t _ { k } ) ) + d _ { \eta } ( \gamma _ { \eta } ( t _ { k } ) , \gamma _ { \eta } ( t _ { k + 1 } ) ) + d _ { \eta } ( \gamma _ { 0 } ( t _ { k } ) , \gamma _ { \eta } ( t _ { k + 1 } ) ) } \\ & { \leq d _ { 0 } ( \gamma _ { \eta } ( t _ { k } ) , \gamma _ { 0 } ( t _ { k } ) ) + d _ { \eta } ( \gamma _ { \eta } ( t _ { k } ) , \gamma _ { \eta } ( t _ { k + 1 } ) ) + d _ { 0 } ( \gamma _ { 0 } ( t _ { k } ) , \gamma _ { \eta } ( t _ { k + 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| r \| _ { 2 } } & { = \left\| \left[ \begin{array} { l l } { S V + X Q V } & { - X A ^ { T } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { \lambda } \\ { \Delta y } \end{array} \right] - r _ { c } \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \left\| \left[ \begin{array} { l l } { S V + X Q V } & { - X A ^ { T } } \end{array} \right] \right\| _ { 2 } \epsilon _ { O S S } } \\ & { \leq \delta \| r _ { c } \| _ { 2 } . } \end{array}
\exp \Big ( \lambda _ { - } \sum _ { j \in \mathtt { S } } \psi ( x _ { j } ^ { - 1 } ) + \lambda _ { + } \sum _ { k \in \{ 1 , \ldots , N \} \backslash \mathtt { S } } \psi ( x _ { k } ^ { - 1 } ) \Big ) \exp \Big ( \lambda _ { - } \sum _ { j \in \mathtt { S } } \varphi ( x _ { j } ) + \lambda _ { + } \sum _ { k \in \{ 1 , \ldots , N \} \backslash \mathtt { S } } \varphi ( x _ { k } ) \Big )
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { b } \left[ \| x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \ | \ x ^ { t } \right] } & { { = } } & { \| x ^ { t } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \gamma \langle x ^ { t } - x ^ { * } , \nabla f ( x ^ { t } ) \rangle + \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } _ { b } \left[ \| \nabla f _ { B _ { t } } ( x ^ { t } ) \| ^ { 2 } \ | \ x ^ { t } \right] } \\ & { \overset { L e m . } { \leq } } & { ( 1 - \gamma \mu ) \| x ^ { t } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - 2 \gamma [ f ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } f ] + \gamma ^ { 2 } \mathbb { E } _ { b } \left[ \| \nabla f _ { B _ { t } } ( x ^ { t } ) \| ^ { 2 } \ | \ x ^ { t } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \end{array} \right) = { \mathcal R } \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \phi _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\langle S _ { \mathrm { e r r } } \rangle = n \, \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \mathrm { d } } } d t _ { 1 } \, k _ { \mathrm { f } } ( t _ { 1 } ) \, e ^ { - n \, \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) } \, e ^ { - ( n - 1 ) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 1 } + \tau _ { \mathrm { l } } } d t ^ { \prime } k _ { \mathrm { f } } ( t ^ { \prime } ) }