harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } , t ) = e ^ { - i E t / \hbar } \ \psi ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } )
B _ { 2 } ^ { \sigma } = \frac { 1 } { 2 } \int d \mathbf { r } \left[ 1 - e ^ { - u _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) / k _ { B } T } \right] = \frac { 2 \pi \sigma ^ { 3 } } { 3 } \left( 7 e ^ { \epsilon _ { \sigma } / k _ { B } T } - 8 \right) ~ .
\begin{array} { r l } & { \langle g ^ { k - \tau _ { k } } , x ^ { k + 1 } \rangle + \omega ( x ^ { k + 1 } ) + \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \langle g ^ { k - \tau _ { k } } , \hat { x } ^ { k } \rangle + \omega ( \hat { x } ^ { k } ) + \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k } \| ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { k } - \kappa } { 2 } \| \hat { x } ^ { k } - x ^ { k + 1 } \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \gamma \left( x _ { t } \right) } & { { } = \left( \mathcal { L } _ { \phi } \gamma \right) \left( x _ { t } \right) + \eta \left( x _ { t } \right) , \; x _ { t } \in D \times T , } \\ { \gamma \left( x _ { t } \right) } & { { } = \gamma _ { B } , \; x _ { t } \in \partial D \times T , } \\ { \gamma \left( x _ { 0 } \right) } & { { } = \gamma _ { I } , \; x _ { 0 } \in D \times \{ 0 \} . } \end{array}
\Gamma = \pi A _ { h } \frac { ( \omega ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } { m ( \omega - m \phi _ { 4 } ) } \sqrt { \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } r _ { 3 } } { r _ { 4 } } } \frac { 1 } { ( e ^ { 2 \pi m \sqrt { \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } r _ { 3 } } { r _ { 4 } } } } - 1 ) } \frac { 1 } { ( e ^ { \frac { \omega - m } { T _ { H } } } - 1 ) } \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } ,
\Gamma _ { R , \alpha } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \int _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { \infty } d W \frac { q } { W ^ { 2 } } \, | g _ { R \alpha } ( W ) | ^ { 2 } \frac { \Gamma _ { R } } { ( M _ { R } - W ) ^ { 2 } + ( \frac { \Gamma _ { R } ( W ) } { 2 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } f _ { i } ^ { \prime \prime } ( \partial _ { i } u ) | \partial _ { i } \partial _ { i } u | ^ { 2 } \Gamma ^ { \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { c \int _ { B } D ^ { 2 } f ( \nabla u ) \big ( \partial _ { i } \nabla u , \partial _ { i } \nabla u \big ) \Gamma ^ { \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { c \int _ { B } D ^ { 2 } f ( \nabla u ) \big ( \nabla \eta , \nabla \eta ) \Gamma ^ { 1 + \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq } & { c ( r ) \sum _ { j = 1 } ^ { n } \int _ { B } f _ { j } ^ { \prime \prime } ( \partial _ { j } u ) \Gamma ^ { 1 + \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k - 2 } \, \mathrm { d } x \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { i j } } { \partial t } } & { { } = } & { \bigg \langle \frac { \partial B _ { i } } { \partial t } B _ { j } \bigg \rangle + \bigg \langle \frac { \partial B _ { j } } { \partial t } B _ { i } \bigg \rangle - \frac { \partial \langle B _ { i } B _ { j } \rangle } { \partial t } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { = } & { \frac { \rho } { \varepsilon _ { 0 } } - \frac { \partial S } { \partial t } , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { = } & { 0 , } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { = } & { - \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } , } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { = } & { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } + \mu _ { 0 } \mathbf { j } + \nabla S , } \\ { \mathbf { E } } & { = } & { - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } , } \\ { \mathbf { B } } & { = } & { \nabla \times \mathbf { A } , } \\ { S } & { = } & { \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \frac { \partial \phi } { \partial t } + \nabla \cdot \mathbf { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { l } ( S , T ) = \Lambda _ { w } ( T ) ( 1 } & { { } - ( 2 . 3 4 3 4 \times 1 0 ^ { - 3 } - 7 . 9 2 4 \times 1 0 ^ { - 6 } T _ { a b s } + 3 . 9 2 4 \times 1 0 ^ { - 8 } T _ { a b s } ^ { 2 } ) S } \end{array}
\mathbb { E } [ \| s ^ { D } - \tilde { s } ^ { D } \| ^ { 2 } ] = \mathbb { E } [ \| \tilde { s } ^ { D } - \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) \| ^ { 2 } ] + \mathbb { E } [ \| s ^ { D } \| ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ \| \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) \| ^ { 2 } ] .
\mathrm { P e } _ { \mathrm { C } , * } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { m i n } \{ \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } , + } ^ { \prime } , \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } , - } ^ { \prime } , \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } , l } ^ { \prime } \} \; \mathrm { w h e n ~ } } \\ { \qquad \mathrm { D a } < ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } / 1 2 \alpha , } \\ { \qquad \mathrm { D a } > 1 - 2 / \alpha , } \\ { \qquad \mathrm { a n d ~ } \alpha > 5 } \\ { \mathrm { m i n } \{ \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } , + } ^ { \prime } , \mathrm { P e } _ { \mathrm { C } , - } ^ { \prime } \} \, \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
Z _ { ( r , s ) } ( q ) = \sum _ { ( r ^ { \prime } , s ^ { \prime } ) , ( r ^ { \prime \prime } , s ^ { \prime \prime } ) } N _ { r ^ { \prime } r ^ { \prime \prime } } ^ { ( A _ { g - 2 } ) } { } ^ { r } N _ { s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } ^ { ( A _ { g - 1 } ) } { } ^ { s } \chi _ { r ^ { \prime } , s ^ { \prime } } ( q ) { \chi _ { r ^ { \prime \prime } , s ^ { \prime \prime } } ( q ) } ^ { * }
h _ { T , P } - h _ { T , P } ^ { \mathrm { i d e a l } } = R T _ { C } \left[ T _ { r } ( Z - 1 ) - 2 . 0 7 8 ( 1 + \kappa ) { \sqrt { \alpha } } \ln \left( { \frac { Z + 2 . 4 1 4 B } { Z - 0 . 4 1 4 B } } \right) \right]
\left( 1 - \frac { 2 \sqrt { s } } { \mathbf { t } _ { k + 1 } } \operatorname { c o t h c } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) \right) \frac { \mathbf { t } _ { k + 1 } ^ { 2 } } { 4 } \operatorname { s i n h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k + 1 } \right) \leq \frac { \mathbf { t } _ { k } ^ { 2 } } { 4 } \operatorname { s i n h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \mathbf { t } _ { k } \right) \mathrm { ~ f o r ~ } k \geq 0 .
\begin{array} { r l } { F _ { \varepsilon } ( w ) } & { = \left( ( \alpha - \beta ) \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } + \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { j } + \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { j } - z ) \right) \left( - \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } \right) } \\ & { \qquad - \left( \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { j } \right) \left( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma - \frac { \varepsilon ( v / \sigma ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( v / \sigma ) ^ { 3 } } { 3 } \right) } \\ & { \qquad - \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } \left( - \varepsilon ^ { 1 / 2 } \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } - \frac { \varepsilon } { 2 } \left( \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } \right) ^ { 2 } - \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } } { 3 } \left( \frac { p v } { \sigma ( 2 - p ) } \right) ^ { 3 } \right) + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 3 } \mathbf { t } v ^ { 3 } - \mathbf { x } _ { j } v ^ { 2 } - ( u _ { j } - z ) v + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) . } \end{array}
E = K ( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } ^ { 2 } \boldsymbol { \ell } _ { 2 } ^ { 2 } - \left( \boldsymbol { \ell } _ { 1 } \cdot \boldsymbol { \ell } _ { 2 } \right) ^ { 2 } ) / 2 ,
\begin{array} { r } { \Gamma _ { \mathrm { c o r e } } = \frac { \displaystyle n _ { \mathrm { g } } n _ { \mathrm { e f f } } - n _ { \mathrm { c l a d } } ^ { 2 } } { \displaystyle n _ { \mathrm { c o r e } } ^ { 2 } - n _ { \mathrm { c l a d } } ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { \mathrm { c l a d } } = \frac { \displaystyle n _ { \mathrm { c o r e } } ^ { 2 } - n _ { \mathrm { g } } n _ { \mathrm { e f f } } } { \displaystyle n _ { \mathrm { c o r e } } ^ { 2 } - n _ { \mathrm { c l a d } } ^ { 2 } } , } \end{array}
Z ( s ) \equiv \pi ^ { - s / 2 } \Gamma \left( \frac { s } { 2 } \right) \zeta ( s ) = \pi ^ { - ( 1 - s ) / 2 } \Gamma \left( \frac { 1 - s } { 2 } \right) \zeta ( 1 - s ) \equiv Z ( 1 - s ) .
\frac { d \sigma } { d t } = \frac { G \dot { \gamma } ( t ) } { \sigma _ { y } + k \dot { \gamma } ( t ) ^ { n } + \eta _ { s } \dot { \gamma } ( t ) } \left\{ \sigma _ { y } + k \dot { \gamma } ( t ) ^ { n } - \sigma ( t ) \right\} ,
S ( \{ \xi \} ) = \operatorname * { d e t } ( \Phi _ { i j } ) = \prod _ { i = 1 } ^ { D } { \frac { h _ { i } ( \{ \xi \} ) } { f _ { i } ( \xi _ { i } ) } } \ , \ M _ { i } ( \xi _ { 1 } , \dots , \xi _ { i - 1 } , \xi _ { i + 1 } , \dots , \xi _ { D } ) = { \frac { \partial S } { \partial \Phi _ { i 1 } } } = { \frac { S ( \{ \xi \} ) } { h _ { i } ^ { 2 } ( \{ \xi \} ) } } \enspace ,
\begin{array} { r l } { A ^ { - 1 } } & { { } = \left[ g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } + 2 G _ { C i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i C } ^ { s _ { 2 } } \right] ^ { - 1 } } \end{array}
\gamma ^ { 0 } S ^ { + } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 2 } } & { { c } } & { { 0 } } & { { \tilde { l } _ { 1 } c } } \\ { { - c ^ { * } } } & { { 0 } } & { { - \tilde { l } _ { 1 } c ^ { * } } } & { { 2 \tilde { l } _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { - l _ { 1 } d } } & { { 2 } } & { { d } } \\ { { l _ { 1 } d ^ { * } } } & { { - 2 l _ { 1 } } } & { { - d ^ { * } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \gamma ^ { 0 } S ^ { - } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { - c } } & { { 2 \tilde { l } _ { 1 } } } & { { - \tilde { l } _ { 1 } c } } \\ { { c ^ { * } } } & { { 2 } } & { { \tilde { l } _ { 1 } c ^ { * } } } & { { 0 } } \\ { { - 2 l _ { 1 } } } & { { l _ { 1 } d } } & { { 0 } } & { { - d } } \\ { { - l _ { 1 } d ^ { * } } } & { { 0 } } & { { d ^ { * } } } & { { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r l } { ( \mathcal { M } - \lambda I ) \xi _ { l } } & { = \left( 1 - \boldsymbol { r } \boldsymbol { l } ^ { T } \right) \bar { \boldsymbol { l } } , } & & { \boldsymbol { l } ^ { T } \boldsymbol { \xi } _ { l } = 0 } \\ { \left( \mathcal { M } ^ { T } - \lambda I \right) \xi _ { r } } & { = \left( 1 - \boldsymbol { l } \boldsymbol { r } ^ { T } \right) \bar { \boldsymbol { r } } , } & & { \boldsymbol { r } ^ { T } \xi _ { r } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { \sum _ { j = x , y } \bigg ( \frac { \hbar \omega _ { j } } { 2 } \big ( \hat { p } _ { j } ^ { 2 } + \hat { q } _ { j } ^ { 2 } \big ) + \hbar G _ { j } \hat { c } ^ { \dag } \hat { c } \hat { q } _ { j } } \end{array}
\mu : = { \bar { m } } ^ { a } \delta n _ { a } = { \bar { m } } ^ { a } m ^ { b } \nabla _ { b } n _ { a } \, , \quad \lambda : = { \bar { m } } ^ { a } { \bar { \delta } } n _ { a } = { \bar { m } } ^ { a } { \bar { m } } ^ { b } \nabla _ { b } n _ { a } \, ;
\begin{array} { r l } { S t \left( \frac { d U _ { p } ^ { * } } { d t ^ { * } } - \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } U _ { q } ^ { * } \right) } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } F _ { p } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { p } ^ { * } - \phi ^ { * } , } \\ { S t \left( \frac { d U _ { q } ^ { * } } { d t ^ { * } } + \epsilon ^ { 2 } \Omega _ { r } ^ { * } U _ { p } ^ { * } \right) } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } F _ { q } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi ) U _ { q } ^ { * } - 1 , } \\ { S t J _ { q } ^ { * } \frac { d ^ { 2 } \phi ^ { * } } { d t ^ { * 2 } } } & { { } = - \frac { 4 } { \pi } \left( T _ { i } ^ { * } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) U _ { p } ^ { * } U _ { q } ^ { * } + T _ { \Omega } ^ { * } ( R e _ { \Omega } ^ { * } , \chi ) \frac { d \phi ^ { * } } { d t ^ { * } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. \delta Z _ { 2 } \right| _ { u _ { 2 } } } & { = } & { - 4 \pi V \beta \int \left\langle \overline { { \delta u _ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } } \right\rangle r _ { 1 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { \left. \delta Z _ { 3 } \right| _ { u _ { 2 } } } & { = } & { - 8 \pi ^ { 2 } V \beta \int \left\langle \sum _ { i < j } \overline { { \delta u _ { 2 } } } ( r _ { i j } ) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 3 } } } } \right\rangle \mathrm { d } \Omega _ { 3 } } \\ { \left. \delta Z _ { 3 } \right| _ { u _ { 3 } } } & { = } & { - 8 \pi ^ { 2 } V \beta \int \left\langle \overline { { \delta u _ { 3 } } } \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 3 } } } } \right\rangle \mathrm { d } \Omega _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } , h ) = C _ { D } \frac { 1 } { h ^ { D } } e ^ { - \frac { ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { N } _ { n m } ( k , \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { e } _ { r } = Z _ { n } ^ { 1 } ( k r ) T _ { n m } ^ { 2 } ( \theta ) e ^ { \mathrm { i } m \phi } } \\ { \mathbf { N } _ { n m } ( k , \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { e } _ { \theta } = Z _ { n } ^ { 2 } ( k r ) T _ { n m } ^ { 3 } ( \theta ) e ^ { \mathrm { i } m \phi } } \\ { \mathbf { N } _ { n m } ( k , \mathbf { r } ) \cdot \mathbf { e } _ { \phi } = \mathrm { i } Z _ { n } ^ { 2 } ( k r ) T _ { n m } ^ { 1 } ( \theta ) e ^ { \mathrm { i } m \phi } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { K ( \mathbf { x _ { 0 } } , \mathbf { x _ { 1 } } ) } & { { } = \mathrm { c o v } \left( \sum _ { j } \alpha _ { 0 , j } X _ { j } , \sum _ { k } \alpha _ { 1 , k } X _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle j _ { 1 } \, \left( M - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \, { \frac { 1 } { 2 } } \, { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg | } \left( j _ { 1 } \pm { \frac { 1 } { 2 } } \right) \, M \right\rangle } & { { } = \pm { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 \pm { \frac { M } { j _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } } } \\ { \left\langle j _ { 1 } \, \left( M + { \frac { 1 } { 2 } } \right) \, { \frac { 1 } { 2 } } \, \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \right) { \Bigg | } \left( j _ { 1 } \pm { \frac { 1 } { 2 } } \right) \, M \right\rangle } & { { } = { \sqrt { { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 \mp { \frac { M } { j _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } } } \end{array}
\beta _ { 1 } \; = \; \frac { 1 } { 6 } \, \Big [ \, 1 1 C _ { A } - 4 T n _ { f } \, \Big ] \, , \qquad \beta _ { 2 } \; = \; \frac { 1 } { 1 2 } \, \Big [ \, 1 7 C _ { A } ^ { 2 } - 1 0 C _ { A } T n _ { f } - 6 C _ { F } T n _ { f } \, \Big ] \, ,
R _ { i j } ( x ) = \sum _ { k , l = 1 } ^ { n } r _ { k l } { \Big ( } \psi \circ \varphi ^ { - 1 } ( x ) { \Big ) } D _ { i } { \Big | } _ { x } ( \psi \circ \varphi ^ { - 1 } ) ^ { k } D _ { j } { \Big | } _ { x } ( \psi \circ \varphi ^ { - 1 } ) ^ { l } .
\mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ } } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \eta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } + \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } & { - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } & { \cdots } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \cdots } & { - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } \\ { - \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { - \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } & { \zeta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } + \beta \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l } & { \quad + = 0 , } \\ & { \quad _ { j , i + 1 , 2 } + _ { j , i + 1 , 3 } = 0 , } \\ & { \quad _ { i , j , 4 } + _ { i , j , 4 } = 0 , } \\ & { \quad - _ { j , i , 1 } + _ { i , j , 7 } = 0 , } \\ & { \quad _ { i , j , 1 } - _ { j , i , 5 } = 0 , } \\ & { \quad - _ { j , i , 1 } - _ { i , j + 1 , 7 } = 0 , } \\ & { \quad _ { i , j , 1 } + _ { j , i + 1 , 5 } = 0 , } \\ & { \quad _ { j , i + 1 , 1 } + _ { i , j , 1 1 } = 0 , } \\ & { \quad - _ { i , j + 1 , 1 } - _ { j , i , 9 } = 0 , } \\ & { \quad _ { j , i + 1 , 1 } - _ { i , j + 1 , 1 1 } = 0 , } \\ & { \quad - _ { i , j + 1 , 1 } + _ { j , i + 1 , 9 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = [ d _ { x } , \quad d _ { y } , \quad d _ { z } ] ^ { T } , } \\ { y } & { { } = [ a ^ { x } , \quad a ^ { y } , \quad a ^ { z } ] ^ { T } , } \\ { H } & { { } = \mathbf { A } ( \omega _ { i } , \dot { \omega } _ { i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V } & { { } = 1 . 3 \times 1 0 ^ { 8 } \, \mathrm { ~ c ~ m ~ / ~ s ~ e ~ c ~ } } \\ { E } & { { } = 3 \times 1 0 ^ { 4 9 } \, \mathrm { ~ e ~ r ~ g ~ s ~ } } \end{array}
A _ { i , t } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \mathrm { ~ i ~ f ~ } r \widehat { \vartheta } _ { i , n } - c ( 1 - \widehat { \vartheta } _ { i , n } ) \geq 0 , \quad \forall n \in \{ 0 , 1 , \ldots , t - 1 \} , } \\ { 0 , \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\langle \Omega | T \{ \phi ( x ) \phi ( y ) \} | \Omega \rangle = \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty ( 1 - i \epsilon ) } { \frac { \int { \mathcal { D } } \phi \, \phi ( x ) \phi ( y ) \exp \left[ i \int _ { - T } ^ { T } d ^ { 4 } z \, { \mathcal { L } } \right] } { \int { \mathcal { D } } \phi \, \exp \left[ i \int _ { - T } ^ { T } d ^ { 4 } z \, { \mathcal { L } } \right] } } ,
\begin{array} { r l r } { \| \theta ^ { t + 1 } - \theta ^ { 0 } \| _ { 2 } } & { \leq } & { \beta \sum _ { s = 0 } ^ { t } \| ( \hat { H } ^ { s } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { s } \| _ { 2 } } \\ & { \leq } & { \beta \sum _ { s = 0 } ^ { t } \frac { \| J _ { \mu } ^ { s } ( \hat { H } ^ { s } + \omega I ) ^ { - 1 } \hat { g } ^ { s } \| _ { \mu } } { \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { s } ) } } } \\ & { \overset { ( i ) } { \leq } } & { \beta \sum _ { s = 0 } ^ { t } \left( \frac { \| Q ^ { s } - T Q ^ { s } \| _ { \mu } } { \sqrt { \frac { 4 } { 9 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } } + \frac { 2 ( 1 + \gamma ) \beta \tau _ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) \sqrt { \frac { 4 } { 9 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } } \left( \omega + \sqrt { \frac { 3 \log ( 3 K / \delta ) } { N } } \right) \right) } \\ & { \leq } & { \beta \sum _ { s = 0 } ^ { t } \left( \frac { ( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) \beta } { 2 } ) ^ { s } \| Q ^ { 0 } - T Q ^ { 0 } \| _ { \mu } + \varepsilon } { \sqrt { \frac { 4 } { 9 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } } + \frac { 2 ( 1 + \gamma ) \beta \tau _ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) \sqrt { \frac { 4 } { 9 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } } \left( \omega + \sqrt { \frac { 3 \log ( 3 K / \delta ) } { N } } \right) \right) } \\ & { \overset { ( i i ) } { \leq } } & { \beta \sum _ { s = 0 } ^ { t } \frac { 2 ( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) \beta } { 2 } ) ^ { s } \| Q ^ { 0 } - T Q ^ { 0 } \| _ { \mu } } { \sqrt { \frac { 4 } { 9 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } } } \\ & { \leq } & { \frac { 6 \| Q ^ { 0 } - T Q ^ { 0 } \| _ { \mu } } { ( 1 - \gamma ) \sqrt { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( G ^ { 0 } ) } } , } \end{array}
p _ { \mathrm { ~ M ~ A ~ } } = \frac { \int _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ e ~ l ~ } } \vec { E } \cdot \vec { D } d v } { \int _ { \mathrm { ~ A ~ l ~ l ~ } } \vec { E } \cdot \vec { D } d v } \simeq \frac { t _ { \mathrm { ~ M ~ A ~ } } } { \epsilon _ { r } } \frac { \int _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ r ~ f ~ } } \epsilon _ { 0 } \left| \vec { E } _ { \mathrm { ~ v ~ a ~ c ~ } } \right| ^ { 2 } d \sigma } { \int _ { \mathrm { ~ A ~ l ~ l ~ } } \vec { E } \cdot \vec { D } d v } ,
U _ { a , b } ( \boldsymbol { r } ) \equiv \frac { 1 } { 2 M } \left[ \frac { a + b } { 2 } \hat { \boldsymbol { p } } \left( \frac { 1 } { M } \hat { \boldsymbol { p } } M \right) - \left( a b + \frac { a + b } { 2 } \right) { \left( \frac { 1 } { M } \hat { \boldsymbol { p } } M \right) } ^ { 2 } \right]
\overline { { \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) } { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( \overline { { \log | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) | } } - \overline { { \log | { \bf C } | } } + \log \overline { { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \bf { C \Xi } ( { \bf \Lambda } ^ { - 1 } ) ] } } \right)
\frac { - 1 } { 4 } \left( \overrightarrow { \partial } _ { x } ^ { 2 } - \overrightarrow { \partial } _ { X } ^ { 2 } \right) K _ { i \left( P - p \right) } ( e ^ { x + X } ) \, K _ { i \left( P + p \right) } ( e ^ { x - X } ) = - e ^ { 2 x } \, K _ { i \left( P - p \right) } ^ { \prime } ( e ^ { x + X } ) \, K _ { i \left( P + p \right) } ^ { \prime } ( e ^ { x - X } ) \; ,
\mathbf { W } _ { \mathrm { ~ K ~ } } ^ { \prime } , \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ V ~ } } ^ { \prime } \in \mathbb { R } ^ { d _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ t ~ e ~ n ~ t ~ } } \times d _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } }
\psi _ { 2 } \rightarrow \exp \left( ( i \gamma _ { i } \partial ^ { i } + e \gamma _ { i } A ^ { i } ) / ( 2 m _ { 2 } ) \right) \psi _ { 2 } , \ \ \ \ \ \overline { { \psi } } _ { 2 } \rightarrow \overline { { \psi } } _ { 2 } \exp \left( ( - i \gamma _ { i } \stackrel { \leftarrow } { \partial ^ { i } } + e \gamma _ { i } A ^ { i } ) / ( 2 m _ { 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \ddot { y } + ( \frac { { 2 \zeta } } { { { U _ { r } } { S _ { t } } } } + \frac { { 4 \gamma } } { { \pi { m ^ { * } } + \pi { C _ { M } } } } ) \dot { y } + \frac { 1 } { { { U _ { r } } ^ { 2 } { S _ { t } } ^ { 2 } } } y } & { = \frac { { { C _ { L 0 } } } } { { 4 { \pi ^ { 3 } } { S _ { t } } ^ { 2 } ( { m ^ { * } } + { C _ { M } } ) } } \cdot q , } \\ { \ddot { q } + \varepsilon \left( { { q ^ { 2 } } - 1 } \right) \dot { q } + q } & { = { A } \ddot { y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { B } } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - \frac { \left( E _ { \gamma , \zeta } ( W , X ^ { n } ) + \frac { 2 \rho \gamma } { \sqrt { 2 \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } } \right) } { \zeta } \right) } \\ & { = \frac { \sqrt { 2 \sigma _ { W } ^ { 2 } \pi } \left( \zeta - E _ { \gamma , \zeta } ( W , X ^ { n } ) \right) ^ { 2 } } { 8 \gamma \zeta } . } \end{array}
C ^ { q G } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { ( 3 - q ) \sqrt { 1 - q } } B e t a ( \frac { 1 } { 1 - q } , \frac { 1 } { 2 } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } q < 1 } \\ { \sqrt { \pi } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } q = 1 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { q - 1 } } B e t a ( \frac { 1 } { q - 1 } - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 1 < q < 3 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { \widetilde { r } O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) ) } \end{array}