harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \omega ^ { \varepsilon } ( x , t ) = } & { \int _ { D } p _ { \nu } ^ { D } ( 0 , \eta , t , x ) \omega ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p _ { \nu } ^ { D } ( s , \eta , t , x ) F ( \eta , s ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p _ { \nu } ^ { D } ( s , \eta , t , x ) \chi _ { \varepsilon } ( \eta , s ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = r _ { \mathrm { { i } } } \left[ \frac { p _ { \mathrm { i } } r _ { \mathrm { { i } } } ^ { 2 } } { 2 \pi B \alpha } + c _ { 2 } \lambda \left( \frac { \lambda r _ { \mathrm { { i } } } I _ { 0 } \left( \gamma _ { \mathrm { i } } \right) } { \alpha } - I _ { 1 } \left( \gamma _ { \mathrm { i } } \right) \right) \right] , } \\ { c _ { 2 } } & { = \frac { p _ { \mathrm { { i } } } r _ { \mathrm { i } } ^ { 3 } \beta - p _ { \mathrm { { o } } } r _ { \mathrm { o } } ^ { 3 } \alpha } { 2 \pi B \lambda \left[ \alpha \left( \beta \left( r _ { \mathrm { { i } } } I _ { 1 } \left( \gamma _ { \mathrm { i } } \right) - r _ { \mathrm { { o } } } I _ { 1 } \left( \gamma _ { \mathrm { o } } \right) \right) + \lambda r _ { \mathrm { { o } } } ^ { 2 } I _ { 0 } \left( \gamma _ { \mathrm { o } } \right) \right) - \lambda r _ { \mathrm { { i } } } ^ { 2 } \beta I _ { 0 } \left( \gamma _ { \mathrm { i } } \right) \right] } } \end{array}
\hat { \psi } _ { d } ( z , s ) = - \frac { \hat { \Psi } ( s ) \sinh [ \sqrt { s R _ { p } C } ( z / \ell _ { p } - 1 ) ] } { \xi ^ { - 1 } \sqrt { s R _ { p } C } \cosh \sqrt { s R _ { p } C } + \sinh \sqrt { s R _ { p } C } } \, ,
\begin{array} { r l } { E } & { = \rho _ { 0 } e ^ { a ( 1 + K ) } e ^ { - 3 K T } \left( ( 1 + K ) ( \hat { v } ^ { \tau } ) ^ { 2 } N ^ { 2 } + K \right) , \qquad j ^ { a } = \rho _ { 0 } e ^ { a ( 1 + K ) } e ^ { ( 1 - 3 K ) T } N ( 1 + K ) \hat { v } ^ { \tau } v ^ { a } , } \\ { \eta } & { = \tilde { E } + \rho _ { 0 } e ^ { a ( 1 + K ) } e ^ { - 3 K T } \left( ( 1 + K ) ( | X | _ { g } ^ { 2 } ( \hat { v } ^ { \tau } ) ^ { 2 } - 2 g _ { a b } X ^ { a } v ^ { b } v ^ { \tau } + | v | _ { g } ^ { 2 } ) + 3 K \right) , } \\ { S _ { a b } } & { = \rho _ { 0 } e ^ { a ( 1 + K ) } e ^ { ( - 1 - 3 K ) T } \big ( ( 1 + K ) \big ( X _ { a } X _ { b } ( \hat { v } ^ { \tau } ) ^ { 2 } - X _ { a } \hat { v } ^ { \tau } v _ { b } - X _ { b } \hat { v } ^ { \tau } v _ { a } + v _ { a } v _ { b } \big ) + K ( 2 + K ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { q } _ { m , n , 0 } ^ { \kappa } : = \mathbf { j } _ { m , n } ^ { \kappa } - \bigl \langle \! \! \bigl \langle \mathbf { j } _ { m , n } ^ { \kappa } \bigr \rangle \! \! \bigr \rangle \, , } \\ & { \bigl \langle \! \! \bigl \langle \mathbf { q } _ { m , n , r } ^ { \kappa } \bigr \rangle \! \! \bigr \rangle = 0 \, , \quad \forall r \in \ensuremath { \mathbb { N } } \, , } \\ & { \partial _ { t } \mathbf { q } _ { m , n , r + 1 } ^ { \kappa } = - \mathbf { q } _ { m , n , r } ^ { \kappa } \, , \quad \forall r \in \ensuremath { \mathbb { N } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { f _ { n , x } ( \omega ) } & { : = \left| \mathbf E _ { 0 } ^ { \omega } \left[ G ( X ^ { n } + x / n ) \right] - \mathbf E _ { x / n } ^ { \mathbb X } \left[ G ( \mathbb X ) \right] \right| } \\ { g _ { n } ( \omega ) } & { : = \operatorname* { s u p } \left\{ f _ { m , y } ( \omega ) : m \ge n , \ | y | \ge n \right\} \ . } \end{array} } \end{array}
\delta I _ { m } ( g ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \Omega } t ^ { \mu \nu } \delta ( g _ { \mu \nu } ) \sqrt { g } \; d ^ { 4 } x - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \partial \Omega } \Theta ( \delta g ) \sqrt { { } _ { 3 } g } \; d ^ { 3 } x .
\begin{array} { r l } { \tilde { Y } \frac { 1 } { \tilde { \mathrm { p x } } ^ { 2 } } } & { = \tilde { Y } \frac { 1 } { ( 4 \mathrm { p x } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \tilde { Y } \frac { 1 } { ( 4 \cdot 0 . 1 7 \mu \mathrm { m } ) ^ { 2 } } } \\ & { = 2 . 1 6 \cdot \tilde { Y } \frac { 1 } { \mu \mathrm { m } ^ { 2 } } } \\ { \Rightarrow Y \, \mu \mathrm { m } ^ { - 2 } } & { = 2 . 1 6 \cdot \tilde { Y } \, \tilde { \mathrm { p x } } ^ { - 2 } } \end{array}
= \{ \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } v ^ { - 2 \nu } ( v ^ { 2 } - \beta ^ { 2 } ) ^ { \nu - 1 / 2 } \} [ 2 ^ { \nu } \Gamma ( \nu + 1 ) ] ^ { - 1 } ; \; \; 0 < \beta < v < \pi .
a _ { 0 } = \left[ 1 - 2 \ln ( 2 \omega ) + \frac { 2 } { 3 } \omega ^ { 2 } - \frac { 1 } { 9 } \omega ^ { 4 } + \frac { 8 } { 1 3 5 } \omega ^ { 6 } - \frac { 5 3 } { 1 3 5 0 } \omega ^ { 8 } + \frac { 1 1 1 2 } { 4 2 5 2 5 } \omega ^ { 1 0 } - \frac { 2 4 1 6 4 3 } { 1 3 3 9 5 3 7 5 } \omega ^ { 1 2 } + \frac { 1 8 7 7 6 } { 1 4 8 8 3 7 5 } \omega ^ { 1 4 } \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { G _ { p q } ( \omega ) } & { = \sum _ { n } \frac { \langle \Psi _ { 0 } ^ { N } | a _ { p } | \Psi _ { n } ^ { N + 1 } \rangle \langle \Psi _ { n } ^ { N + 1 } | a _ { q } ^ { \dagger } | \Psi _ { 0 } ^ { N } \rangle } { \omega - E _ { n } ^ { N + 1 } + E _ { 0 } ^ { N } } } \\ & { + \sum _ { n } \frac { \langle \Psi _ { 0 } ^ { N } | a _ { q } ^ { \dagger } | \Psi _ { n } ^ { N - 1 } \rangle \langle \Psi _ { n } ^ { N - 1 } | a _ { p } | \Psi _ { 0 } ^ { N } \rangle } { \omega + E _ { n } ^ { N - 1 } - E _ { 0 } ^ { N } } } \\ & { \equiv G _ { p q } ^ { + } ( \omega ) + G _ { p q } ^ { - } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { i n f } _ { ( x , z ) \in \mathcal { R } } \frac { 1 } { n h ^ { q } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } K \left( \frac { \| X _ { k } - x \| + \| Z _ { k } - z \| } { h } \right) } \\ { \geq \ } & { \ \operatorname* { i n f } _ { ( x , z ) \in \mathcal { R } } \bar { f } _ { X Z } ( x , z ) - \operatorname* { s u p } _ { ( x , z ) \in \mathcal { R } } | \hat { f } _ { X Z } ( x , z ) - \bar { f } _ { X Z } ( x , z ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { z ^ { r } ( k ) ^ { \top } ( - I _ { n + q } + Q ( k + 1 ) - Q ( k ) ) z ^ { r } ( k ) } \\ & { \leq - \lvert | z ^ { r } ( k ) \rvert | ^ { 2 } + z ^ { r } ( k ) ^ { \top } ( Q ( k + 1 ) - Q ( k ) ) z ^ { r } ( k ) } \\ & { \leq - \lvert | z ^ { r } ( k ) \rvert | ^ { 2 } + \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( Q ( k + 1 ) - Q ( k ) ) \lvert | z ^ { r } ( k ) \rvert | ^ { 2 } } \\ & { \leq - \lvert | z ^ { r } ( k ) \rvert | ^ { 2 } + ( 1 - \sigma ) \lvert | z ^ { r } ( k ) \rvert | ^ { 2 } } \\ & { = - \sigma \lvert | z ^ { r } ( k ) \rvert | ^ { 2 } < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta E } & { { } = \zeta ( L , S ) \{ \mathbf { L } \cdot \mathbf { S } \} } \\ { \ } & { { } = \ ( 1 / 2 ) \zeta ( L , S ) \{ J ( J + 1 ) - L ( L + 1 ) - S ( S + 1 ) \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ^ { - } ( L , t ) } & { { } = } & { \sqrt { R } E ^ { + } ( L , t ) + E _ { \mathrm { f b } } ( t ) , } \\ { E ^ { + } ( 0 , t ) } & { { } = } & { \sqrt { R } E ^ { - } ( 0 , t ) , } \end{array}
J _ { \sigma , \tau } ( \mathbf { r } _ { i j } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { j } } c _ { n , \sigma \tau } [ j ( x _ { i j } ) ^ { 2 } + j ( y _ { i j } ) ^ { 2 } + j ( z _ { i j } ) ^ { 2 } ] ^ { n / 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { R _ { k } } & { \ge I ( Y _ { k } ; U _ { k } | U _ { k ^ { \prime } } ) + 2 \delta , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ R _ { 1 } + R _ { 2 } \ge I ( Y _ { 1 } , Y _ { 2 } ; U _ { 1 } , U _ { 2 } ) + 3 \delta , } \\ { K _ { k } } & { \ge I ( X ; U _ { k } | U _ { k ^ { \prime } } ) + 2 \delta , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ K _ { 1 } + K _ { 2 } \ge I ( X ; U _ { 1 } , U _ { 2 } ) + 3 \delta , } \\ { R _ { 1 } + K _ { 2 } } & { \ge I ( Y _ { 1 } , X ; U _ { 1 } , U _ { 2 } ) + 3 \delta , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ R _ { 2 } + K _ { 1 } \ge I ( X , Y _ { 2 } ; U _ { 1 } , U _ { 2 } ) + 3 \delta , } \\ { D } & { \ge \mathbb { E } [ d ( X , \phi ( U _ { 1 } , U _ { 2 } ) ) ] + \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { ( l ) } } & { = A _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } J _ { m } ( \omega r / c _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } ) \exp ( \mathrm { i } m \theta ) } \\ & { + B _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } H _ { m } ^ { ( 1 ) } ( \omega r / c _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } ) \exp ( \mathrm { i } m \theta ) , } \\ { \psi ^ { ( l ) } } & { = A _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } J _ { m } ( \omega r / c _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } ) \exp ( \mathrm { i } m \theta ) } \\ & { + B _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } H _ { m } ^ { ( 1 ) } ( \omega r / c _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } ) \exp ( \mathrm { i } m \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { \mathrm { t r u n c } } \leq \frac { 4 h } { \sqrt { 2 \pi t } } \sum _ { j = J / 2 } ^ { - \frac { ( j h - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \leq \frac { 4 h } { \sqrt { 2 \pi t } } e ^ { - \frac { ( ( J / 2 ) h - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } + \frac { 4 } { \sqrt { 2 \pi t } } \int _ { L / 2 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { ( x - \delta ) ^ { 2 } } { 4 \sigma ^ { 2 } } } \, d x } \end{array}
\left( \mu \mathbf { A } ^ { T } ( \mathbf { m } ) \mathbf { A } ( \mathbf { m } ) + \mathbf { P } ^ { T } \mathbf { P } \right) \mathbf { u } ^ { e } = \mu \mathbf { A } ^ { T } ( \mathbf { m } ) \mathbf { b } ^ { * } + \mathbf { P } ^ { T } \mathbf { d } ^ { * } .
Q _ { M , N } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { s _ { j } } \left\langle \left( \frac { 1 } { B ^ { 3 } } [ ( N - \iota M ) \mathbf { B } \times \nabla B \cdot \nabla \psi - ( M G - N I ) \mathbf { B } \cdot \nabla B ] \right) ^ { 2 } \right\rangle .
D _ { \pm } x _ { 1 } ^ { \mu } = \partial _ { \pm } x _ { 1 } ^ { \mu } - \frac 1 { p _ { 2 } ^ { 2 } } p _ { 2 } ^ { \mu } \, \, p _ { 2 } \cdot \partial _ { \pm } x _ { 1 } \, ,
{ } ^ { 2 } Q _ { r _ { \sigma } s _ { \tau } } ^ { p _ { \sigma } q _ { \tau } } = \langle \Psi | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } \hat { a } _ { q _ { \tau } } \hat { a } _ { s _ { \tau } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r _ { \sigma } } ^ { \dagger } | \Psi \rangle
\nabla \! \times \! [ \nabla \! \times \! \textbf { E } ( { \boldsymbol { r } } , \omega ) ] = \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \epsilon ( \omega , { \boldsymbol { r } } ) \textbf { E } ( { \boldsymbol { r } } , \omega ) ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q > 1 } } & { = \frac { \sqrt { r \, \beta ^ { q G } } } { { C ^ { q G } } ^ { 2 } } B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , 2 r - \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { \times _ { 2 } F _ { 1 } \left( r , 2 r - \frac { 1 } { 2 } , r + \frac { 1 } { 2 } ; - \beta ^ { q G } \frac { \Delta _ { u } ^ { 2 } } { 4 r } \right) , } \end{array}
\mathbf { \Psi } ^ { \dagger } = \left( U ^ { \dagger } ( x ) , W ^ { \dagger } ( x ) , P ^ { \dagger } ( x ) , \frac { 1 } { 1 - L e } \Theta ^ { \dagger } ( x ) , - \frac { L e } { 1 - L e } \Theta ^ { \dagger } ( x ) \right) ^ { T } e ^ { i k _ { c } z } + c . c . ,
\int d T _ { A B } : = \int \prod _ { i = 1 } ^ { A } d ^ { 2 } b _ { i } ^ { A } \, T _ { A } ( b _ { i } ^ { A } ) \prod _ { j = 1 } ^ { B } d ^ { 2 } b _ { j } ^ { B } \, T _ { B } ( b _ { j } ^ { B } ) ,
R _ { 2 } = \frac { 4 \Gamma \left< u ^ { * 2 } \right> \left< u _ { S } ^ { + } \left( t ^ { + } \right) u _ { S } ^ { + } \left( t ^ { + } - \tau _ { a } ^ { + } \right) \right> + 2 \Gamma ^ { 2 } \left< u ^ { * 2 } \right> \left< u _ { S } ^ { + } \left( t ^ { + } \right) u _ { S } ^ { + 2 } \left( t ^ { + } - \tau _ { a } ^ { + } \right) \right> } { \sqrt { \left< \left\{ E _ { 2 L } \left[ u ^ { * } \right] + 2 \Gamma \mathcal { L } \left[ u ^ { * 2 } u _ { S } ^ { + } + \mathcal { H } \left[ u ^ { * } \right] \mathcal { H } \left[ u ^ { * } u _ { S } ^ { + } \right] \right] + \Gamma ^ { 2 } E _ { 2 L } \left[ u ^ { * } u _ { S } ^ { + } \right] \right\} ^ { 2 } \right> } \sqrt { \left< u _ { S } ^ { + 2 } \right> } }
\begin{array} { r l } & { 2 \frac { 1 } { u ^ { r } u _ { \gamma } ^ { r } } ( 1 - \cos ( u ^ { \theta } - u _ { \gamma } ^ { \theta } ) ) = O ( e ^ { - 2 ( \delta + 2 k \pi + \theta _ { q } ) s } ) } \\ { \implies } & { 1 - \cos ( u ^ { \theta } - u _ { \gamma } ^ { \theta } ) = O ( e ^ { - 2 \delta s } ) } \\ { \implies } & { | u ^ { \theta } - u _ { \gamma } ^ { \theta } | = O ( e ^ { - \delta s } ) . } \end{array}
{ \cal L } = i g { \mathrm { T r } } ( \overline { { { H } } } H \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } { \cal A } _ { \mu } ) + \left( i h { \mathrm { T r } } ( \overline { { { H } } } S \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } { \cal A } _ { \mu } ) + \frac { i } { \Lambda _ { \chi } } { \mathrm { T r } } ( \overline { { { H } } } T ^ { \mu } \gamma ^ { \lambda } \gamma _ { 5 } [ h _ { 1 } D _ { \mu } { \cal A } _ { \lambda } + h _ { 2 } D _ { \lambda } { \cal A } _ { \mu } ] ) + h . c . \right) ,
\begin{array} { r l } { \textrm { F o u r i e r : } \quad } & { { } q _ { r } = - \partial _ { r } T , } \\ { \quad } & { { } q _ { z } = - \partial _ { z } T , } \\ { \textrm { G K : } \quad } & { { } \tau \partial _ { t } q _ { r } + q _ { r } = - \partial _ { r } T + ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) \left[ \partial _ { r r } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \right] q _ { r } + \eta _ { 1 } \partial _ { z z } q _ { r } + \eta _ { 2 } \partial _ { r z } q _ { z } , } \\ { \quad } & { { } \tau \partial _ { t } q _ { z } + q _ { z } = - \partial _ { z } T + ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) \partial _ { z z } q _ { z } + \eta _ { 1 } \left[ \partial _ { r r } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \right] q _ { z } + \eta _ { 2 } \left[ \frac { 1 } { r } \partial _ { z } + \partial _ { r z } \right] q _ { r } , } \\ { \textrm { J E : } \quad } & { { } \tau \partial _ { t } q _ { r } + q _ { r } = - \partial _ { r } T - \tau _ { T } \partial _ { t r } T , } \\ { \quad } & { { } \tau \partial _ { t } q _ { z } + q _ { z } = - \partial _ { z } T - \tau _ { T } \partial _ { t z } T , } \end{array}
- \nabla \cdot ( \delta \nabla ( \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } ) ) + \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } = \mathbf v ^ { n + 1 } , \quad \delta = \alpha ^ { 2 } a ( \mathbf v ^ { n + 1 } ) ,
\mathrm { c o s } \delta = { \frac { 1 - \epsilon _ { a } \mathrm { c o s } \gamma \mathrm { c o s } \eta } { \sqrt { 1 + \epsilon _ { a } ^ { 2 } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \gamma - 2 \epsilon _ { a } \mathrm { c o s } \gamma \mathrm { c o s } \eta } } } , \quad \mathrm { s i n } \delta = { \frac { - \epsilon _ { a } \mathrm { c o s } \gamma \mathrm { s i n } \eta } { \sqrt { 1 + \epsilon _ { a } ^ { 2 } \mathrm { c o s } ^ { 2 } \gamma - 2 \epsilon _ { a } \mathrm { c o s } \gamma \mathrm { c o s } \eta } } } .
{ \frac { 1 } { \sqrt { \gamma ^ { \prime } } } } \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { v } } \end{array} \right) ( \gamma z ) = \chi _ { \gamma } ^ { * } \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { v } } \end{array} \right) ( z ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ T _ { m + 1 } \, | \, \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) ] } \\ { = } & { \frac { \mathbb { P } _ { b _ { \delta } ^ { + } } [ \mathbb { 1 } _ { \{ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } \partial B _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta ) \} } \mathbb { P } _ { \mathcal { R } _ { \delta } ( t _ { 1 } ) } [ \{ t _ { j } \le \tau \} \cap \{ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) \} ] ] } { h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } } \\ { \le } & { \frac { h _ { \partial B _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } { h _ { ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) } ( b _ { \delta } ^ { + } ) } \left( \operatorname* { m a x } _ { v _ { \delta } \in \partial B _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta ) } \mathbb { P } _ { v _ { \delta } } [ \mathcal { R } _ { \delta } \mathrm { ~ h i t s ~ } \partial B _ { \delta } ( z _ { 0 } , \beta / 4 ) \mathrm { ~ b e f o r e ~ } ( a _ { \delta } b _ { \delta } ) \cup ( c _ { \delta } d _ { \delta } ) ] \right) ^ { j } . } \end{array}
E _ { \mathrm { o u t } } = \sqrt { P _ { i } } \cdot e ^ { j \omega _ { c } t } \left\{ \begin{array} { l } { \alpha _ { 0 } \left[ J _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { j \Delta \varphi _ { 0 } } - J _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { j \left[ \left( \omega _ { 1 , 2 } - \omega _ { 2 , 1 } \right) t + \Delta \varphi _ { 0 } \right] } \right] } \\ { + \left[ J _ { 0 } J _ { 1 } e ^ { j \omega _ { 1 , 2 } t } - J _ { 1 } J _ { 2 } e ^ { j \left[ \left( 2 \omega _ { 1 , 2 } - \omega _ { 2 , 1 } \right) t \right] } \right] } \\ { + \alpha _ { 2 } J _ { 0 } J _ { 2 } e ^ { j \left( 2 \omega _ { 1 , 2 } t + \Delta \varphi _ { 2 } \right) } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } \tilde { u } + ( \sigma + \hat { \sigma } ) \tilde { u } + \sigma \tilde { u } ^ { * } + \nabla \cdot \tilde { p } = f \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { \rho } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ & { \partial _ { t } \tilde { p } ^ { * } = - \nabla \tilde { u } , \quad \partial _ { t } \tilde { u } ^ { * } = \sigma \tilde { u } \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { \rho } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ & { \partial _ { t } \tilde { p } + \Lambda _ { 1 } \tilde { p } = \partial _ { t } \tilde { p } ^ { * } + \Lambda _ { 2 } \tilde { p } ^ { * } \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { \rho } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ & { \tilde { u } = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \quad ( \partial D \cup \Gamma _ { 0 } ) \times ( 0 , T ) , } \\ & { \tilde { u } = 0 \quad } & & { \mathrm { o n } \quad \Gamma _ { \rho } ^ { + } \times ( 0 , T ) , } \\ & { \tilde { u } | _ { t = 0 } = \tilde { p } | _ { t = 0 } = \tilde { u } ^ { * } | _ { t = 0 } = \tilde { p } ^ { * } | _ { t = 0 } \quad } & & { \mathrm { i n } \quad \Omega _ { \rho } ^ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { F } & { \equiv } & { \displaystyle { \frac { \lambda _ { 1 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { r e a l } - \hat { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } d \Omega + \frac { \lambda _ { 2 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( \bar { U } _ { i m } - \hat { U } _ { i m } ) ^ { 2 } d \Omega + \frac { \lambda _ { 3 } } { 2 } \int _ { \Omega } ( ( \bar { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ) ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } d \Omega } } \end{array}
\phi ( { \bf u } ) = \exp \left[ i \, \mu _ { i } u _ { i } - { \frac { 1 } { 2 ! } } \, C _ { i j } \, u _ { i } u _ { j } - \, { \frac { i } { 3 ! } } \, B _ { i j k } \, u _ { i } u _ { j } u _ { k } + \, { \frac { 1 } { 4 ! } } \, D _ { i j k l } \, u _ { i } u _ { j } u _ { k } u _ { l } + \dots + \, { \frac { i ^ { n } } { n ! } } \, A _ { i _ { 1 } \dots i _ { n } } \, u _ { i _ { 1 } } \dots u _ { i _ { n } } \right] \, ,
I _ { g h } ^ { \prime } = \int d ^ { 3 } x \mathrm { T r } ( Z _ { g h } ^ { - 1 } \partial ^ { \mu } \overline { { { c } } } ^ { ( r ) } \, p a r t i a l _ { \mu } c ^ { ( r ) } + \tilde { Z } _ { g } ^ { - 1 } \partial ^ { \mu } \overline { { { c } } } ^ { ( r ) } [ A _ { \mu } ^ { ( r ) } , c ^ { ( r ) } ] ) .
\begin{array} { r l } & { z _ { x ^ { + } } + p _ { y } ( x ^ { + } ) - y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } \geq 0 , } \\ & { z _ { x ^ { -- } \delta _ { N } } + p _ { y } ( x ^ { - } ) - y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } \geq 0 , } \\ & { f _ { y , z } ^ { c } ( \bar { t } + \delta _ { N } ) - z _ { \bar { t } + \delta _ { N } } + z _ { \bar { t } } - y _ { 5 } \delta _ { N } ^ { 2 } \geq 0 \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } \bar { t } \in T _ { N } \setminus \{ M \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \| A y \| - \| A y ^ { \prime } \| ) \left( 1 - Z Z ^ { \prime } \right) c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) + \frac { r } { \| c \| } ( Z + Z ^ { \prime } ) \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { ( \| A y \| - \| A y ^ { \prime } \| - \frac { r } { \| c \| } c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) ) ( 1 - Z Z ^ { \prime } ) \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \| + \frac { r } { \| c \| } ( 1 - Z Z ^ { \prime } - Z - Z ^ { \prime } ) \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } } \\ { \geq } & { ( r \| y - y ^ { \prime } \| - \frac { r } { \| c \| } \| c \| \| y - y ^ { \prime } \| ) ( 1 - Z Z ^ { \prime } ) \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \| - \frac { 2 r } { \| c \| } \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { - \frac { 2 r } { \| c \| } \| c ^ { T } ( y - y ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { L - \frac { \partial L } { \partial q } \frac { \partial q } { \partial t } } & { { } = \frac { \partial L } { \partial q ^ { \prime } } \frac { \partial q ^ { \prime } } { \partial t } } \\ { i \hbar \frac { \partial \Psi } { \partial t } } & { { } = H \Psi } \\ { G _ { \mu \nu } } & { { } = 8 \pi T _ { \mu \nu } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { a } _ { \mu } , \, \hat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \bigr ] } & { = \delta _ { \mu \nu } , \qquad \bigl [ \hat { a } _ { \mu } , \, \hat { a } _ { \nu } \bigr ] = 0 , \qquad \mathrm { a n d } \qquad \sum _ { \mu } u _ { \mu } ( \mathbf { x } , z ) u _ { \mu } ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , z ) = \delta ( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\sum _ { m = \frac { 1 } { 2 } } ^ { \Lambda } \bigl [ \Delta _ { m } ( \zeta ) \bigl ( b _ { m } ^ { \dag } b _ { m } a _ { 0 } + b _ { m } ^ { \dag } a _ { 0 } b _ { m } + a _ { 0 } b _ { m } ^ { \dag } b _ { m } + ( b _ { m } a _ { 0 } b _ { m } ^ { \dag } - a _ { 0 } ) \bigr ) + ( b \rightarrow d , \zeta \rightarrow - \zeta ) \bigr ] + { \hat { \rho } } ( \zeta ) a _ { 0 }
f _ { \gamma G } ( x , \cos \theta ) = \frac { 2 ( 1 - x ) ^ { \frac { \delta } { 2 } - 1 } } { x ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) } \left[ ( 2 - x ) ^ { 2 } ( 1 - x + x ^ { 2 } ) - 3 x ^ { 2 } ( 1 - x ) \cos ^ { 2 } \theta - x ^ { 4 } \cos ^ { 4 } \theta \right]
\begin{array} { r l } { g ^ { 0 0 } \, \frac { \ddot { a } } { a } = } & { { } - \frac { 4 } { 3 } \pi \left( T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - T _ { \, \, \, i } ^ { i } \right) , } \\ { g ^ { 0 0 } \, \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } = } & { { } \frac { 8 } { 3 } \pi T _ { \, \, \, 0 } ^ { 0 } - \frac { K \left( x , y , z \right) } { a ^ { 2 } } , } \end{array}
\operatorname { L i } _ { s } ( z ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { z ^ { k } } { k ^ { s } } } = z + { \frac { z ^ { 2 } } { 2 ^ { s } } } + { \frac { z ^ { 3 } } { 3 ^ { s } } } + \cdots
\begin{array} { r l } & { \hat { \mathcal { A } } _ { s , \lambda } ( [ H , O ] ) = \lambda \hat { \mathcal { A } } _ { s , \lambda } ( O ) , \quad \lambda \in \mathfrak { R } , } \\ & { \hat { \mathcal { A } } _ { s , \lambda } ( [ L _ { x } ( \eta ) , O ] ) = \hat { \mathcal { A } } _ { s , \lambda } ( [ L _ { x } ^ { \dagger } ( \eta ) , O ] ) = 0 , \quad \forall O \in \mathfrak { U } _ { l o c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ I ~ W ~ } = } & { { } 1 4 . 0 7 - 2 8 7 8 4 \left( \frac { T } { 1 \mathrm { ~ K ~ } } \right) ^ { - 1 } - 2 . 0 4 \log { \left( \frac { T } { 1 \mathrm { ~ K ~ } } \right) } } \end{array}
\delta ( \boldsymbol { \mathcal { X } } , \boldsymbol { \mathcal { Y } } ) : = \underset { \textbf { x } \in \boldsymbol { \mathcal { X } } : \| \textbf { x } \| _ { 1 , \Omega } = 1 } { \operatorname* { s u p } } \left\lbrace \underset { \textbf { y } \in \boldsymbol { \mathcal { Y } } } { \operatorname* { i n f } } \quad \| \textbf { x } - \textbf { y } \| _ { 1 , \Omega } \right\rbrace .
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } \left[ | X - \mu | ^ { p } \right] } & { = \sigma ^ { p } ( p - 1 ) ! ! \cdot { \left\{ \begin{array} { l l } { { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } } } & { { \mathrm { i f ~ } } p { \mathrm { ~ i s ~ o d d } } } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } p { \mathrm { ~ i s ~ e v e n } } } \end{array} \right. } } \\ & { = \sigma ^ { p } \cdot { \frac { 2 ^ { p / 2 } \Gamma \left( { \frac { p + 1 } { 2 } } \right) } { \sqrt { \pi } } } . } \end{array} }