harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left| \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( - \mathbf { P } ( b \otimes ( U ^ { \epsilon _ { n } } - U ) ) , \nabla \phi ) + ( g ^ { \epsilon _ { n } } - g , \phi ) \Big ) d \mathbb { W } _ { r } \right| } \\ & { \leq C \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \left\| ( \mathbf { P } ( b \otimes ( U ^ { \epsilon _ { n } } - U ) ) , \nabla \phi ) \right\| _ { l ^ { 2 } } ^ { 2 } d r \right) ^ { 1 / 2 } + C \mathbb { E } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \left\| ( g ^ { \epsilon _ { n } } - g , \phi ) \right\| _ { l ^ { 2 } } ^ { 2 } d r \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq C _ { b } \| \nabla \phi \| _ { L ^ { 2 } } \| \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| U ^ { \epsilon _ { n } } ( t ) - U ( t ) \| _ { p } + C \| \phi \| _ { L ^ { 2 } } \mathbb { E } \int _ { 0 } ^ { T } \| g ^ { \epsilon _ { n } } ( t ) - g ( t ) \| _ { \mathbb { L } ^ { p } } ^ { p } d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { M 1 M 1 } | _ { \omega \approx \Omega } } & { { } \simeq \frac { \hbar ^ { - 2 } \mu _ { B } ^ { 2 } | B _ { \omega } | ^ { 2 } } { 4 [ ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } / 4 ] } \cos { \theta } , } \\ { P _ { E 1 M 1 } ^ { D / L } | _ { \omega \approx \Omega } } & { { } \simeq \frac { ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) } { 3 } \frac { C ^ { D / L } \Omega \delta } { m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \hbar ^ { - 1 } \mu _ { B } ^ { 2 } | B _ { \omega } | | E _ { \omega } | } { 4 [ ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + \Gamma ^ { 2 } / 4 ] } \cos { \theta } , } \\ { g _ { T } ^ { D / L } } & { { } \simeq \frac { ( \bar { n } ^ { 2 } + 2 ) } { 3 \bar { n } } \frac { c \, C ^ { D / L } \hbar \Omega \delta } { m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } + \mathcal { O } ( \delta / \lambda , \lambda / \Delta _ { 0 } ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } } \\ { \boldsymbol { \sigma } } \\ { \Phi } \\ { h } \end{array} \right] = \sum _ { i } \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { u } ^ { ( i ) } } \\ { \boldsymbol { \sigma } ^ { ( i ) } } \\ { \Phi ^ { ( i ) } } \\ { h ^ { ( i ) } } \end{array} \right] \Omega ^ { i } .
\left[ - \frac { d ^ { 2 } } { d w ^ { 2 } } - \frac { 2 4 } { 1 + e ^ { \sqrt { 8 } w } } + \frac { 3 0 } { \left( 1 + e ^ { \sqrt { 8 } w } \right) ^ { 2 } } \right] \chi _ { n } ( w ) = \nu _ { n } ^ { 2 } \chi _ { n } ( w ) \; ,
R _ { \mu \nu \, \, b } ^ { \quad a } = \partial _ { \mu } \omega _ { \nu \, \, b } ^ { \, a } - \partial _ { \nu } \omega _ { \mu \, \, b } ^ { \, a } + \omega _ { \mu \, \, c } ^ { \, a } \ast \omega _ { \nu \, \, b } ^ { \, c } - \omega _ { \nu \, \, c } ^ { \, a } \ast \omega _ { \mu \, \, b } ^ { \, c }
\begin{array} { r l } { \| [ D , H ] \| } & { \; \leq \; \operatorname* { s u p } _ { n \in { \mathbb Z } ^ { d } } \sum _ { m \in { \mathbb Z } ^ { d } } \| D ( n - m ) \| \, \| \langle n | H | m \rangle \| \; \leq \; \operatorname* { s u p } _ { n \in { \mathbb Z } ^ { d } } \sum _ { m \in { \mathbb Z } ^ { d } } \sqrt { d } \, | n - m | \, \frac { C } { 1 + | n - m | ^ { \alpha } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { F } ( \rho , \phi ) } & { = } & { \left[ \frac { e ^ { j \frac { k } { 2 f } \rho ^ { 2 } } } { j \lambda f } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } U _ { L } ( r , \theta ) e ^ { - j 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta \right] } \\ & { \times } & { \left[ \frac { e ^ { - j \frac { k } { 2 f } \rho ^ { 2 } } } { - j \lambda f } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } U _ { L } ( r , \theta ) e ^ { - j 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta \right] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } f ^ { 2 } } \left| \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } U _ { L } ( r , \theta ) e ^ { - j 2 \pi \rho r c o s ( \phi - \theta ) } r d r d \theta \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left| \mathrm { l n } \left( E \left( e ^ { \mathrm { i } t \overline { { Z } } _ { h } } \right) \right) - \mathrm { l n } \left( e ^ { - \frac { 1 } { 2 } t ^ { 2 } } \right) \right| = O \left( \frac { \omega _ { 1 } ^ { 3 } } { \omega _ { h } ^ { 3 } } \bar { \alpha } _ { h } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } h ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ^ { [ 3 ] } = } & { \{ ( x , x + h _ { 1 } , x + h _ { 2 } , x + h _ { 3 } , x + h _ { 1 } + h _ { 2 } + h _ { 1 2 } , x + h _ { 1 } + h _ { 3 } + h _ { 2 3 } , } \\ & { \quad x + h _ { 2 } + h _ { 3 } + h _ { 1 3 } , x + h _ { 1 } + h _ { 2 } + h _ { 3 } + h _ { 1 2 } + h _ { 1 3 } + h _ { 2 3 } + h _ { 1 2 3 } ) : } \\ & { \quad x \in G ; h _ { 1 } , h _ { 2 } , h _ { 3 } \in G _ { 1 } ; h _ { 1 2 } , h _ { 1 3 } , h _ { 2 3 } \in G _ { 2 } ; h _ { 1 2 3 } \in G _ { 3 } \} . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( \mu , \sigma ^ { 2 } \mid \mathbf { X } ) } & { \propto p ( \mu , \sigma ^ { 2 } ) \, p ( \mathbf { X } \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) } \\ & { \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - ( \nu _ { 0 } + 3 ) / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + n _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) \right] { \sigma ^ { 2 } } ^ { - n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( S + n ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - ( \nu _ { 0 } + n + 3 ) / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + S + n _ { 0 } ( \mu - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } + n ( { \bar { x } } - \mu ) ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - ( \nu _ { 0 } + n + 3 ) / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + S + { \frac { n _ { 0 } n } { n _ { 0 } + n } } ( \mu _ { 0 } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } + ( n _ { 0 } + n ) \left( \mu - { \frac { n _ { 0 } \mu _ { 0 } + n { \bar { x } } } { n _ { 0 } + n } } \right) ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { \propto ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \exp \left[ - { \frac { n _ { 0 } + n } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \mu - { \frac { n _ { 0 } \mu _ { 0 } + n { \bar { x } } } { n _ { 0 } + n } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \quad \times ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { - ( \nu _ { 0 } / 2 + n / 2 + 1 ) } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + S + { \frac { n _ { 0 } n } { n _ { 0 } + n } } ( \mu _ { 0 } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } \right) \right] } \\ & { = { \mathcal { N } } _ { \mu \mid \sigma ^ { 2 } } \left( { \frac { n _ { 0 } \mu _ { 0 } + n { \bar { x } } } { n _ { 0 } + n } } , { \frac { \sigma ^ { 2 } } { n _ { 0 } + n } } \right) \cdot \mathrm { { I G } } _ { \sigma ^ { 2 } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \nu _ { 0 } + n ) , { \frac { 1 } { 2 } } \left( \nu _ { 0 } \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + S + { \frac { n _ { 0 } n } { n _ { 0 } + n } } ( \mu _ { 0 } - { \bar { x } } ) ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array} }
\boldsymbol { u } ( x , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad x \in [ 0 , 0 . 5 ] , } \\ { 0 , \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad x \in ( 0 . 5 , 1 ] . } \end{array} \right.
\psi ( \mathbf { r } , t ) = { \left[ \begin{array} { l } { \psi _ { \sigma = s } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \psi _ { \sigma = s - 1 } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { \sigma = - s + 1 } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \psi _ { \sigma = - s } ( \mathbf { r } , t ) } \end{array} \right] } \quad \rightleftharpoons \quad { \psi ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \dagger } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { { \psi _ { \sigma = s } ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \star } } & { { \psi _ { \sigma = s - 1 } ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \star } } & { \cdots } & { { \psi _ { \sigma = - s + 1 } ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \star } } & { { \psi _ { \sigma = - s } ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \star } } \end{array} \right] }
\varphi _ { \omega _ { M } } ( t ) = \omega _ { M } ( e ^ { t } ) = \int _ { \mu _ { 1 } } ^ { e ^ { t } } \frac { \Sigma _ { M } ( s ) } { s } d s = \int _ { \log ( \mu _ { 1 } ) } ^ { t } \frac { \Sigma _ { M } ( e ^ { u } ) } { s } s d u = \int _ { \log ( \mu _ { 1 } ) } ^ { t } \Sigma _ { M } ( e ^ { u } ) d u = \int _ { 0 } ^ { t } \Sigma _ { M } ( e ^ { u } ) d u ,
\begin{array} { r l } { r _ { K ^ { \prime } , V ^ { \prime } } ( \sigma ( y ) ) } & { = \sum _ { v \in V ^ { \prime } } \Lambda _ { R } ^ { d } ( v , \sigma ( y ) ) \delta _ { V ^ { \prime } } ( v ) } \\ & { = \sum _ { v \in V } \Lambda _ { R } ^ { d } ( R v + R w , R y + R w ) \delta _ { V ^ { \prime } } ( R v + R w ) } \\ & { = \sum _ { v \in V } \Lambda _ { 1 } ^ { d } ( v , y ) \delta _ { V ^ { \prime } } ( R v + R w ) } \\ & { = \tau ( r _ { K , V } ( y ) ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mu _ { \mathrm { \ t e x t s c { b c e } } } ^ { A } = 1 . 0 0 0 _ { - 0 . 0 9 4 } ^ { + 0 . 1 1 3 } } \\ { \mu _ { \mathrm { \ t e x t s c { i n f } } } ^ { A } = 1 . 0 0 0 _ { - 0 . 0 8 7 } ^ { + 0 . 0 9 1 } } \end{array} ,
C _ { F } = ( 1 / N ) \mathrm { T r } ( T ^ { a } T ^ { a } ) = ( N ^ { 2 } - 1 ) / 2 N \ , \quad \mathrm { a n d } \quad C _ { A } \delta ^ { a b } = f ^ { a c d } f ^ { b c d } = \delta ^ { a b } N \ ,
C _ { i j k l } F _ { i ^ { \prime } i } F _ { j ^ { \prime } j } F _ { k ^ { \prime } k } F _ { l ^ { \prime } l } = J ^ { 4 } R _ { i ^ { \prime } i } R _ { j ^ { \prime } j } R _ { k ^ { \prime } k } R _ { l ^ { \prime } l } \left[ \lambda \delta _ { i j } \delta _ { k l } + \mu ( \delta _ { i k } \delta _ { j k } + \delta _ { i l } \delta _ { j k } ) \right] = J ^ { 4 } C _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } }
\begin{array} { r l } { \phi _ { 1 } } & { = \Big [ \wp + 2 ( x - y ) + \frac { ( e _ { 1 } - x ) ( e _ { 1 } + y ) ( 2 e _ { 1 } + y - x ) } { 2 e _ { 1 } ( \wp + e _ { 1 } ) } + \frac { ( e _ { 1 } + x ) ( e _ { 1 } - y ) ( 2 e _ { 1 } - y + x ) } { 2 e _ { 1 } ( \wp - e _ { 1 } ) } } \\ & { - \frac { ( e _ { 1 } - x ) ^ { 2 } ( e _ { 1 } + y ) ^ { 2 } } { 4 e _ { 1 } ( \wp + e _ { 1 } ) ^ { 2 } } + \frac { ( e _ { 1 } + x ) ^ { 2 } ( e _ { 1 } - y ) ^ { 2 } } { 4 e _ { 1 } ( \wp - e _ { 1 } ) ^ { 2 } } \Big ] \, d z - \frac { 2 c ^ { 2 } } { e _ { 1 } } \Big ( \frac { 1 } { \wp - e _ { 1 } } - \frac { 1 } { \wp + e _ { 1 } } \Big ) \, d z , } \\ { \phi _ { 2 } } & { = i \Big [ \wp + 2 ( x - y ) + \frac { ( e _ { 1 } - x ) ( e _ { 1 } + y ) ( 2 e _ { 1 } + y - x ) } { 2 e _ { 1 } ( \wp + e _ { 1 } ) } + \frac { ( e _ { 1 } + x ) ( e _ { 1 } - y ) ( 2 e _ { 1 } - y + x ) } { 2 e _ { 1 } ( \wp - e _ { 1 } ) } } \\ & { - \frac { ( e _ { 1 } - x ) ^ { 2 } ( e _ { 1 } + y ) ^ { 2 } } { 4 e _ { 1 } ( \wp + e _ { 1 } ) ^ { 2 } } + \frac { ( e _ { 1 } + x ) ^ { 2 } ( e _ { 1 } - y ) ^ { 2 } } { 4 e _ { 1 } ( \wp - e _ { 1 } ) ^ { 2 } } \Big ] \, d z + \frac { 2 i \, c ^ { 2 } } { e _ { 1 } } \Big ( \frac { 1 } { \wp - e _ { 1 } } - \frac { 1 } { \wp + e _ { 1 } } \Big ) \, d z , } \\ { \phi _ { 3 } } & { = \frac { c } { 2 e _ { 1 } ^ { 3 } } \Big [ ( e _ { 1 } ^ { 2 } + x y ) \, \Big ( \frac { \wp ^ { \prime } } { \wp - e _ { 1 } } - \frac { \wp ^ { \prime } } { \wp + e _ { 1 } } \Big ) + \frac { e _ { 1 } \, ( e _ { 1 } + x ) ( e _ { 1 } - y ) \wp ^ { \prime } } { ( \wp - e _ { 1 } ) ^ { 2 } } + \frac { e _ { 1 } \, ( e _ { 1 } - x ) ( e _ { 1 } + y ) \wp ^ { \prime } } { ( \wp + e _ { 1 } ) ^ { 2 } } \Big ] \, d z . } \end{array}
{ \cal L } _ { \nu \nu } = { \frac { 1 } { 2 } } \kappa _ { m n } \bar { l ^ { c } } _ { L i } ^ { m } l _ { L j } ^ { n } \Phi _ { 1 } ^ { k } \Phi _ { 2 } ^ { l } ( \epsilon _ { i k } \epsilon _ { j l } - { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { i j } \epsilon _ { k l } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { m n } \bar { l ^ { c } } _ { L i } ^ { m } l _ { L j } ^ { n } \Phi _ { 1 } ^ { k } \Phi _ { 2 } ^ { l } \epsilon _ { i j } \epsilon _ { k l } + h . c .
\frac { \partial \phi _ { p } } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \phi _ { p } \mathbf { u } \right) = \nabla \cdot M \left( \nabla \phi _ { p } - \mathbf { R } _ { p } \right) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } 1 \leq p \leq N ,
\begin{array} { r l } { E ^ { ( p , q ) } ( z ) E ^ { ( r , s ) } ( 0 ) \sim } & { \frac { N } { z ^ { 2 } } \frac { p s - q r } { ( p + q ) ( r + s ) } E ^ { ( p + r - 1 , q + s - 1 ) } ( 0 ) } \\ & { + \frac { N } { z } \frac { p s - q r } { ( p + q + r + s ) } \frac { 1 } { r + s } \partial _ { z } E ^ { ( p + r - 1 , q + s - 1 ) } ( 0 ) . } \end{array}
\Sigma _ { S } = \Sigma _ { h } \cdot { \frac { \Gamma ( S \to g g ) } { \Gamma ( h \to g g ) } } ~ { \frac { \mathrm { B r } _ { S } ^ { \gamma \gamma ( Z Z ) } } { \mathrm { B r } _ { h } ^ { \gamma \gamma ( Z Z ) } } } ~ \sqrt { \frac { \mathrm { m a x } ( \Gamma _ { S } , \Delta M ) } { \mathrm { m a x } ( \Gamma _ { h } , \Delta M ) } } \; ,
\zeta ( 7 ) = \frac { 4 0 9 \pi ^ { 7 } } { 9 4 5 0 0 } - \frac { 2 } { 5 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 7 } } \left[ \frac { 4 } { e ^ { \pi n } - 1 } + \frac { 1 } { e ^ { 4 \pi n } - 1 } \right] ,
\mu _ { 0 2 } \to K \frac { { d _ { r } } \kappa ( 1 + \beta ) } { { d _ { t } } ( 1 + \kappa ) ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { 1 } { \theta } + \frac { 1 - \beta } { 2 } \left( \frac { 1 } { \theta } + \frac { 1 } { \kappa } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } } & { \frac { K ( x ) K ( y ) F ( t u ( x ) ) f ( t u ( y ) ) t u ( y ) } { t ^ { h _ { 2 } } | x - y | ^ { \lambda } } d x d y } \\ & { = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } K ( y ) \left( \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) F ( t u ( x ) ) d x } { | x - y | ^ { \lambda } } \right) \frac { f ( t u ( y ) ) t u ( y ) } { t ^ { h _ { 2 } } } d y } \\ & { = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } K ( y ) \left( \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) F ( t u ( x ) ) d x } { t ^ { \frac { h _ { 2 } } { 2 } } | x - y | ^ { \lambda } } \right) \frac { f ( t u ( y ) ) | u ( y ) | ^ { \frac { h _ { 2 } } { 2 } } } { | t u ( y ) | ^ { \frac { h _ { 2 } } { 2 } - 2 } ( t u ( y ) ) } d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { \mathrm { c o n s } } = } & { \frac { i } { 2 } \left( \bar { u } ^ { * } \bar { u } _ { z } - \bar { u } \bar { u } _ { z } ^ { * } \right) - | \bar { u } _ { \tau } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \bar { u } | ^ { 4 } - \left( \Delta + ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | v _ { s } | ^ { 2 } \right) | \bar { u } | ^ { 2 } + i \phi ^ { \prime } \left( \bar { u } ^ { * } \bar { u } _ { \tau } - \bar { u } \bar { u } _ { \tau } ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] \le } & { { } \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) - u ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] + \| u ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) + u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L _ { 2 } } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { ~ T ~ r ~ i ~ a ~ n ~ g ~ l ~ e ~ i ~ n ~ e ~ q ~ u ~ a ~ l ~ i ~ t ~ y ~ } ) } } \\ { \le } & { { } \alpha \sigma \sqrt { N _ { t } } + \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } } \epsilon ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { ~ L ~ e ~ m ~ m ~ a ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ L ~ e ~ m ~ m ~ a ~ ~ ~ } ) } } \\ { = } & { { } \alpha \sigma \sqrt { N _ { t } } + \sqrt { N _ { t } } \epsilon . } & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( \vec { r } ) } & { { } = r \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \theta } \cos \varphi , } \\ { y ( \vec { r } ) } & { { } = r \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \theta } \sin \varphi , } \\ { z ( \vec { r } ) } & { { } = r \cos \theta \; , } \end{array}
\varphi ^ { \mathrm { ( P ) } } ( x ) = - \frac { 2 q } { r _ { c } } \sideset { } { ' } { \sum } _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { s } Q _ { n } ( u ) \sum _ { p = \pm 1 } \frac { R _ { p , n } ^ { \mathrm { ( e ) } } ( u , r / r _ { c } ) } { u W _ { n + p } ^ { I } } \sin \left( u \xi / r _ { c } \right) \cos \left( n \phi \right) | _ { u = u _ { n , s } } ,
M _ { \pi } ^ { 2 } \ = \ \frac { { \Sigma } _ { s } H } { F ^ { 2 } } \, + \, [ \, 2 \, ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) \, + \, ( N \! - \! 3 ) \, \lambda ] \frac { ( { \Sigma } _ { s } H ) ^ { 2 } } { F ^ { 6 } } \; + \; c \, \frac { ( { \Sigma } _ { s } H ) ^ { 3 } } { F ^ { 1 0 } } \; + \; { \cal O } ( H ^ { 4 } ) \, ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \left\lvert { \boldsymbol { \theta } } + { \boldsymbol { h } } - { \boldsymbol { \eta } } \right\rvert \leq \left\lvert { \boldsymbol { \theta } } + s { \boldsymbol { h } } - { \boldsymbol { \eta } } \right\rvert \leq \frac { 3 } { 2 } \left\lvert { \boldsymbol { \theta } } + { \boldsymbol { h } } - { \boldsymbol { \eta } } \right\rvert . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { B } _ { 1 } = \sum _ { n } \hbar \omega _ { n } g _ { n 1 } ( \hat { b } _ { n } + \hat { b } _ { n } ^ { \dagger } ) , } \\ & { } & { \hat { B } _ { 2 } = \sum _ { n } \hbar \omega _ { n } g _ { n 2 } ( \hat { b } _ { n } + \hat { b } _ { n } ^ { \dagger } ) , } \\ & { } & { \hat { H } _ { b } = \sum _ { n } \hbar \omega _ { n } \left( \hat { b } _ { n } ^ { \dagger } \hat { b } _ { n } + \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
\sum _ { i } { h _ { i } ^ { \left( 0 \right) } } = T , \; \; \; \; \; \sum _ { i } { { { \bf { c } } _ { i } } h _ { i } ^ { \left( 0 \right) } } = 0 , \; \; \; \; \; \sum _ { i } { { { \bf { c } } _ { i } } { { \bf { c } } _ { i } } h _ { i } ^ { \left( 0 \right) } } = c _ { s } ^ { 2 } T , \; \; \; \; \; \sum _ { i } { \widehat F _ { i } ^ { \left( 1 \right) } } = { \widehat F ^ { \left( 1 \right) } } , \; \; \; \; \; \sum _ { i } { { { \bf { c } } _ { i } } \widehat F _ { i } ^ { \left( 1 \right) } } = 0 .
\begin{array} { r l } { a _ { 4 1 1 } ^ { ( 3 ) } = } & { \frac { \Omega _ { c } a _ { 4 3 1 } ^ { \ast ( 2 ) } - d _ { 3 1 } ( a _ { 4 4 1 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 1 1 1 } ^ { ( 2 ) } ) } { X _ { 1 } } , } \\ { a _ { 4 1 2 } ^ { ( 3 ) } = } & { \frac { \Omega _ { c } a _ { 4 3 2 } ^ { \ast ( 2 ) } - d _ { 3 1 } ( a _ { 4 4 2 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 1 1 2 } ^ { ( 2 ) } + a _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } ) } { X _ { 1 } } , } \\ { a _ { 4 2 2 } ^ { ( 3 ) } = } & { \frac { \Omega _ { c } a _ { 4 3 2 } ^ { \ast ( 2 ) } - d _ { 3 2 } ( a _ { 4 4 2 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 2 2 2 } ^ { ( 2 ) } ) } { X _ { 2 } } , } \\ { a _ { 4 2 1 } ^ { ( 3 ) } = } & { \frac { \Omega _ { c } a _ { 4 3 1 } ^ { \ast ( 2 ) } - d _ { 3 2 } ( a _ { 4 4 1 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 2 2 1 } ^ { ( 2 ) } + a _ { 2 1 } ^ { \ast ( 2 ) } ) } { X _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { t } ^ { * } ( x ) } & { = \operatorname* { m i n } _ { \pi _ { t } } \mathbf { E } _ { w } [ c _ { t } ( x , \bar { \pi } _ { t } ( x ) ) + [ \operatorname* { m i n } _ { \pi ^ { t + 1 } } \mathbf { E } [ \sum _ { \tau = t + 1 } ^ { \mathcal { T } - 1 } c _ { \tau } ( x ( \tau ) , \bar { \pi } _ { \tau } ( x ( \tau ) ) ) ] ] } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \pi _ { t } } [ \mathbf { E } _ { w } c _ { t } ( x , \bar { \pi } _ { t } ( x ) ) + J _ { t + 1 } ^ { * } ( x ^ { + } ) ] } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \pi _ { t } } [ \mathbf { E } _ { w } c _ { t } ( x , \bar { \pi } _ { t } ( x ) ) + J _ { t + 1 } ^ { * } ( f _ { \theta _ { t } } ^ { S _ { t } } ( x , \bar { \pi } _ { t } ( x ) , w ) ) ] } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { \pi _ { t } } [ \mathbf { E } _ { w } c _ { t } ( x , \bar { \pi } _ { t } ( x ) ) + J _ { t + 1 } ( f _ { \theta _ { t } } ^ { S _ { t } } ( x , \bar { \pi } _ { t } ( x ) , w ) ) ] } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { ( S _ { t } , u ) \in \mathbf { U } _ { K } \times \Pi _ { i \in S _ { t } } \mathcal { U } _ { i } } \mathbf { E } _ { w } \left[ c _ { t } ( x , u ^ { S _ { t } } ) + J _ { t + 1 } ( f _ { \theta _ { t } } ^ { S _ { t } } ( x , u ^ { S _ { t } } , w ) ) \right] } \\ & { = J _ { t } ( x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } ( 1 , \boldsymbol { u } ) = } & { ( x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } \left( \mathcal { A } _ { 1 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) - \mathcal { A } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \right) ^ { 2 } / 4 \ \ ; } \\ { p _ { 2 } ( 1 , \boldsymbol { u } ) = } & { \left\{ \right. - 2 ( x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ) ( \mathcal { A } _ { 3 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) - \mathcal { A } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) ) ( \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) + \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ) + } \\ & { - 2 ( \mathcal { A } _ { 3 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) - \mathcal { A } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) ) ^ { 2 } - ( x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } ( \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \mathcal { B } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } ) + } \\ & { - 2 ( x _ { 1 } ^ { \prime } - x _ { 1 } ) ( \mathcal { A } _ { 1 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) - \mathcal { A } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) ) ( \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) + \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) ) \} / 4 8 \ \ ; } \\ { p _ { 3 } ( 1 , \boldsymbol { u } ) = } & { \{ 1 0 \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) + 7 \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 7 \mathcal { B } _ { 3 } ( x _ { 1 } ) ^ { 2 } \} / 1 4 4 0 \ \ ; } \end{array}
{ \bf { x } } _ { t } ^ { k } = { \bf { x } } _ { t } ^ { k - 1 } + \alpha _ { t } \Big [ \mathrm { { s } } _ { \boldsymbol { \theta } } ( { \bf { x } } _ { t } ^ { k - 1 } , \beta _ { t } ) + \gamma \nabla _ { { \bf { x } } _ { t } } \log p _ { \beta _ { t } } ( { \bf { y } } \mid { \bf { x } } _ { t } ) \Big ] + \sqrt { 2 \alpha _ { t } } { \bf { z } } _ { t } ^ { k }
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { T } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } } & { \approx } & { \mathrm { R e } ( n _ { \mathrm { t } } ) \left( 1 + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \right) \, , } \\ { \frac { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { L } } ) } { \mathrm { R e } ( k _ { \mathrm { i } } ) } } & { \approx } & { 1 + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \, . } \end{array}
d s ^ { 2 } = ( 1 - \frac { N ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } ) ( \frac { r } { 8 N } ) ^ { 2 } ( d \tau + 4 N \cos \theta d \phi ) ^ { 2 } + ( 1 - \frac { N ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } ) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } r ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { A ( \phi ^ { ( i - 1 ) } , \phi ^ { \prime } ) } & { = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \exp \left( \log q _ { \theta } ( \phi ^ { ( i - 1 ) } ) - \log p ( \phi ^ { ( i - 1 ) } ) - \log q _ { \theta } ( \phi ^ { \prime } ) + \log p ( \phi ^ { \prime } ) \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \exp \left( \log q _ { \theta } ( \phi ^ { ( i - 1 ) } ) - S [ \phi ^ { ( i - 1 ) } ] - \log q _ { \theta } ( \phi ^ { \prime } ) + S [ \phi ^ { \prime } ] \right) \right) } \\ { \phi ^ { ( i ) } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi ^ { \prime } } & { A < \pi } \\ { \phi } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { w h e r e ~ } \pi \sim \mathrm { U n i f o r m } ( 0 , 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { n } = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { x } K ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x - x ^ { \prime } , y - y ^ { \prime } , t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { \infty } K ( x , x ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x , y , t ) \sum _ { i = 0 } ^ { n } v _ { i } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , t ) d y ^ { \prime } d x ^ { \prime } - \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } H _ { i } \mathrm { ~ w i t h ~ } H _ { 0 } = N [ v _ { 0 } ] . } \end{array}
\operatorname* { d e t } ( { \vec { x } } \! - \! { \vec { f } } \! _ { 0 } , { \vec { f } } \! _ { 2 } ) ^ { 2 } - \operatorname* { d e t } ( { \vec { f } } \! _ { 1 } , { \vec { x } } \! - \! { \vec { f } } \! _ { 0 } ) ^ { 2 } - \operatorname* { d e t } ( { \vec { f } } \! _ { 1 } , { \vec { f } } \! _ { 2 } ) ^ { 2 } = 0
\epsilon | s | ^ { 4 } + \rho - { \frac { 1 } { 2 } } \left[ a + ( 3 | v | ^ { 2 } - | s | ^ { 2 } ) b \right] | s | ^ { 2 } - \left[ - a + ( 3 | s | ^ { 2 } - | v | ^ { 2 } ) b \right] | v | ^ { 2 } = 0