harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Psi = \psi + \psi _ { \alpha A } \lambda _ { \alpha A } + \frac { 1 } { 2 } \ \psi _ { \alpha A \beta B } \lambda _ { \alpha A } \lambda _ { \beta B } + { \dots } + \frac { 1 } { \Lambda ! } \ \psi _ { \alpha _ { 1 } A _ { 1 } , \dots , \alpha _ { \Lambda } A _ { \Lambda } } \lambda _ { \alpha _ { 1 } A _ { 2 } } \dots \lambda _ { \alpha _ { \Lambda } A _ { \Lambda } } \ .
\epsilon ( t ) \equiv ( 2 / t ) \sum _ { t ^ { \prime } = 1 } ^ { t } ( | \ensuremath { \mathbf { y } } ( t ^ { \prime } ) - \hat { \v { y } } ( t ^ { \prime } ) | ) / ( | \ensuremath { \mathbf { y } } ( t ^ { \prime } ) | + | \hat { \v { y } } ( t ^ { \prime } ) | )
C = \left( \begin{array} { l l l } { \epsilon ^ { - 2 / 3 } \eta _ { 1 1 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \eta _ { 1 2 } } & { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \eta _ { 1 3 } } \\ { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \eta _ { 2 1 } } & { \eta _ { 2 2 } } & { \eta _ { 2 3 } } \\ { \epsilon ^ { - 1 / 2 } \eta _ { 3 1 } } & { \eta _ { 3 2 } } & { \eta _ { 3 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Vert G _ { 4 , i } ^ { \overline { { I } } ^ { i } , \beta } ( t , s ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { \ell + 1 } } ^ { 2 } } & { \lesssim C _ { T } \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { k } ) } ^ { 2 } \Vert f ( t ) \Vert _ { \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { m - 1 } } ^ { 2 } , } \end{array}
I _ { P ^ { \prime } P } ^ { ( 8 , a ) } = - i g ^ { 2 } \frac { \sqrt N } { 2 } \langle P ^ { \prime } | T ^ { a } | P \rangle \delta _ { { \lambda _ { P ^ { \prime } } } { \lambda _ { P } } } = - i g \frac { \sqrt N } { 2 } \Gamma _ { P ^ { \prime } P } ^ { a } \, .
\begin{array} { r l } { \tau ( \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { 2 y _ { 0 , \xi } ( \xi ) } { U _ { 0 , \xi } ( \xi ) } , } & { \mathrm { i f ~ } U _ { 0 , \xi } ( \xi ) < 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } y _ { 0 , \xi } ( \xi ) = U _ { 0 , \xi } ( \xi ) = 0 , } \\ { \infty , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { i \frac { \partial } { \partial z } \psi = - \frac { 1 } { 2 k } \left( \partial _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { \phi } ^ { 2 } \right) \psi , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) } & { { } = p ^ { 2 } \int _ { \omega } \Bigg \{ - \left[ \frac { \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p ) - \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) } { \omega } \right] ^ { 2 } \bar { R } _ { \kappa } ( - \omega - \varpi , p ) } \end{array}
\tau \to \left\{ \begin{array} { c c } { { \tau ^ { \prime } } } & { { \oint _ { p _ { 1 } } ^ { p _ { 2 } } \omega } } \\ { { ( \oint _ { p _ { 1 } } ^ { p _ { 2 } } \omega ) ^ { t } } } & { { \ln t } } \end{array} \right\} + O ( t )
\large S ( \lambda ) = { \frac { \displaystyle \sum _ { - \lfloor { \frac { w } { 2 } } \rfloor } ^ { \lfloor { \frac { w } { 2 } } \rfloor } ( { \lceil { \frac { w } { 2 } } \rceil } - { \lvert { m } \rvert } ) Y ( \lambda + m \cdot \Delta \lambda ) } { w + 2 \cdot \sum ( w - j ) } }
\begin{array} { r l r } { F } & { = } & { \frac { \left( a ^ { 4 } - r _ { + } ^ { 2 } \left( - 4 a ^ { 2 } + 2 Q r _ { + } + r _ { + } ^ { 2 } \right) \right) \left( \delta \log \left( \frac { \left( a ^ { 2 } - r _ { + } \left( Q + r _ { + } \right) \right) ^ { 2 } } \{ r _ { + } ^ { 2 } \left( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) \} \right) - a ^ { 2 } - \delta \log ( 1 6 \pi ) - r _ { + } ^ { 2 } \right) } { 4 \pi r _ { + } ^ { 2 } \left( a ^ { 2 } + r _ { + } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { \mathrm { L } } ( r , t ) } { \partial t } } & { = } & { \frac { 2 } { r ^ { 4 } } \partial _ { r } \left( r ^ { 4 } ( \eta + T _ { \mathrm { L } } ( 0 ) - T _ { \mathrm { L } } ) \partial _ { r } M _ { \mathrm { L } } \right) } \\ & { } & { - \frac { 2 } { r } \left( r \partial _ { r } ^ { 2 } T _ { \mathrm { L } } + 4 \partial _ { r } T _ { \mathrm { L } } \right) M _ { \mathrm { L } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } } & { + \varepsilon ) , t _ { 0 } + \varepsilon ) - m _ { P } } \\ & { \le ( P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) - m _ { P } ) \left( 1 - \varepsilon \gamma \mu ( P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) - m _ { P } ) ^ { \nu - 1 } \big ( 1 - \sqrt { \varepsilon \gamma } c _ { p 1 } \big ) \right) + \varepsilon c _ { p 3 } , } \end{array}
\chi _ { 1 } ( \gamma ) = - \frac { 1 } { 2 \gamma ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 2 ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } + \frac { A _ { g g } ( 0 ) } { \gamma ^ { 2 } } + \frac { A _ { g g } ( 0 ) - b } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } + \mathrm { f i n i t e }
\varepsilon _ { \alpha } ^ { G } \left( { { q } _ { x } } \right) = \frac { \sqrt { q _ { p \alpha } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } - { q _ { x } } } { { q _ { p \alpha } } } \frac { \sqrt { q _ { p \alpha } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } + { q _ { x } } } { { q _ { p \alpha } } }
\int _ { \mathbf { B } _ { \ell \kappa _ { 0 } } } \frac { \left\vert \langle G ( x + \mathrm { i } \tilde { \eta } ) \mathring { ( A ^ { \prime } ) } ^ { { x + \mathrm { i } \tilde { \eta } , e + \mathrm { i } \eta } } G ( e + \mathrm { i } \eta ) \mathring { A } ^ { { e + \mathrm { i } \eta , x + \mathrm { i } \tilde { \eta } } } \rangle \right\vert } { ( x - e ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, \mathrm { d } x \prec \frac { 1 } { \eta } \left( 1 + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } } { N \eta } \right) \, .
\frac { m } { m _ { x } } = 1 - \frac { \hbar ^ { 2 } n } { 4 \pi ^ { 3 } m } \int \mathrm { d } \mathbf { k } \frac { \left[ V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } \right] ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } + \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } \right) ^ { 3 } } , \qquad \frac { m } { m _ { z } } = 1 - \frac { \hbar ^ { 2 } n } { 4 \pi ^ { 3 } m } \int \mathrm { d } \mathbf { k } \frac { \left[ V _ { \mathrm { 1 2 } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } \right] ^ { 2 } k _ { z } ^ { 2 } } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } + \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } \right) ^ { 3 } } .
k _ { \mathrm { f o r m } } = 2 . 2 7 \, \, 1 0 ^ { - 9 } \times \left( \frac { T } { 3 0 0 } \right) ^ { - 0 . 0 6 } \quad \mathrm { c m } ^ { 3 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } \, ,
\Pi ( m ^ { \pm } ) \; = \; c o n s t . \; \frac { ( \Gamma _ { W } / m _ { W } ) ^ { 2 } } { 1 - ( m _ { W } / m ^ { \pm } ) ^ { 2 } \; + \; ( \Gamma _ { W } / m _ { W } ) ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l } { i \partial _ { z ^ { \prime } } \psi _ { n } ( z ^ { \prime } ) } & { \approx - i \gamma _ { n } ^ { \prime } \psi _ { n } ( z ^ { \prime } ) + t _ { 1 } \psi _ { n - 1 } ( z ^ { \prime } ) + t _ { 1 } \psi _ { n + 1 } ( z ^ { \prime } ) } \\ & { + t _ { 2 } e ^ { i \phi _ { 2 , n } } \psi _ { n + 2 } ( z ^ { \prime } ) + t _ { 2 } e ^ { - i \phi _ { 2 , n } } \psi _ { n - 2 } ( z ^ { \prime } ) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { x } ( x - t ) ^ { \beta - 1 } E _ { \alpha , \beta } ^ { \gamma } ( a ( x - t ) ^ { \alpha } ) t ^ { \delta - 1 } E _ { \alpha , \delta } ^ { \sigma } ( a t ^ { \alpha } ) \, d t = x ^ { \beta + \delta - 1 } E _ { \alpha , \beta + \delta } ^ { \gamma + \sigma } ( a x ^ { \alpha } ) .
\Big \langle \big | \tilde { x } _ { 1 } ( 0 ) \big | ^ { 2 } \Big \rangle = \frac { 1 } { \Big [ 1 - \big ( 1 - f _ { 0 } ^ { 2 } \big ) J _ { 0 } ^ { 2 } \chi \Big ] ^ { 2 } - J _ { 0 } ^ { 2 } \big ( 1 - f _ { 0 } ^ { 2 } \big ) }
{ L _ { \cal I } } = \frac { 1 } { { { N _ { \cal I } } } } \sum _ { i = 1 } ^ { { N _ { \cal I } } } { l \left( { { \cal I } ( { { \hat { u } } _ { i } } ) - i ( { t _ { i } } , { { \bf { x } } _ { i } } ) } \right) }
P _ { u } ^ { ( s ) } = \frac { G _ { \mathrm { F } } } { \sqrt { 2 } } \left[ C _ { 1 } ( \mu ) \, \langle K ^ { 0 } \pi ^ { + } | Q _ { 1 } ^ { u } ( \mu ) | B ^ { + } \rangle _ { \mathrm { P } } + \, C _ { 2 } ( \mu ) \, \langle K ^ { 0 } \pi ^ { + } | Q _ { 2 } ^ { u } ( \mu ) | B ^ { + } \rangle _ { \mathrm { P } } \right]
\Lambda _ { \mathrm { m } } \simeq \frac { 1 } { \beta _ { \mathrm { i 0 } } } \left( - 1 - 4 \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } - \frac { k ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \frac { \delta B _ { \parallel } ^ { 2 } } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \gtrsim 0 .
\rho ( { 0 } , { 0 } ) = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } , \quad \rho ( { 1 } , { 0 } ) = { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } , \quad \rho ( { 0 } , { 1 } ) = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \rho ( { 1 } , { 1 } ) = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } .
\gamma = \frac { \sigma _ { r } ^ { - 2 } T a ( N u _ { \omega } - 1 ) } { C f ( \eta ) P r ^ { - 2 } R a ( N u _ { h } - 1 ) } \approx 3 1 . 7 9 \Omega ^ { 2 } \frac { N u _ { \omega } - 1 } { N u _ { h } - 1 } ,
\begin{array} { r l } { R _ { \nu } ( T ) } & { = \left\lVert f ^ { \nu } - \bar { f } \right\rVert _ { L ^ { 1 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \nu \left\lVert \nabla \bar { u } \right\rVert _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \nu ^ { \frac 1 3 } \left\lVert f ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \Omega ) } ^ { \frac 4 3 } + 2 \nu ^ { \frac 4 3 } \left\lVert u ^ { \nu } ( 0 ) \right\rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { \frac 2 3 } } \\ & { \qquad + 2 \left( 4 \log \left( \frac { 4 A L } \nu _ { + } + \frac { \nu T } { \bar { \delta } ^ { 2 } } \right) + \frac { C ( \Omega ) ( 1 + \nu ^ { 2 } ) E _ { \nu } T } { A L ^ { 4 } } \right) A \nu | \partial \Omega | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { V a r } ( X _ { 3 } ) } & { \lesssim \sum _ { i , k , \ell } \beta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \, \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \, \, \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \cdot \Omega _ { k \ell } \Omega _ { \ell i } \lesssim \sum _ { i , k , \ell } \beta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 3 } \, \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 3 } \, \, \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \cdot \theta _ { \ell } ^ { 2 } } & { \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } \, \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { R e s i d u a l s } = \frac { 1 } { q } \sum _ { i = 1 } ^ { q } \left( \left| \frac { d { S } _ { i } } { d t _ { i } } + \frac { \beta { S } _ { i } { I } _ { i } } { N } \right| ^ { 2 } + \left| \frac { d { I } _ { i } } { d t _ { i } } - \frac { \beta { S } _ { i } { I } _ { i } } { N } + \gamma I _ { i } \right| ^ { 2 } + \left| \frac { d { R } _ { i } } { d t _ { i } } - \gamma I _ { i } \right| ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { r \sim \pi } g _ { i ^ { \star } } } & { = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \exp ( ( d - 1 ) \log r - r ^ { 2 } ) g _ { i ^ { \star } } ^ { ( r ) } } \textup { d } r } { Z } } \\ & { \geq \frac { \int _ { \frac 1 2 r _ { 1 } } ^ { \infty } { \exp ( ( d - 1 ) \log r - r ^ { 2 } ) g _ { i ^ { \star } } ^ { ( r ) } } \textup { d } r } { Z } } \\ & { \geq \frac { 2 \int _ { \frac 1 2 r _ { 1 } } ^ { \infty } { \exp ( ( d - 1 ) \log r - r ^ { 2 } ) g _ { i ^ { \star } } ^ { ( r ) } } \textup { d } r } { \int _ { \frac 1 2 r _ { 1 } } ^ { \infty } { \exp ( ( d - 1 ) \log r - r ^ { 2 } ) \textup { d } r } } } \\ & { \geq 2 \operatorname* { m i n } _ { r \geq r _ { 1 } } \exp ( r - \log ( 4 r ) ) = 2 \exp ( r _ { 1 } - \log ( 4 r _ { 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { C } = } & { ~ \frac { N _ { C } } { N } + \frac { N _ { C } ( N - N _ { C } ) } { 4 N ( N - 1 ) } \bigg \{ ( N - 2 + N w _ { R } ) } \\ & { \times ( \mathbb { R } + \mathbb { S } - \mathbb { T } - \mathbb { P } ) } \\ & { + \frac { N ( k - 1 ) w _ { I } + N ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + N - 2 k - N w _ { R } } { k } } \\ & { \times ( \mathbb { R } - \mathbb { S } + \mathbb { T } - \mathbb { P } ) \bigg \} \delta \, , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { C _ { i j } } } & { { = } } & { { { Y ^ { k } } _ { i } \bullet C _ { k l } { Y ^ { l } } _ { j } } } \\ { { } } & { { = } } & { { C _ { k l } { ( Y _ { 1 } \bullet Y _ { 2 } ) ^ { k l } } _ { i j } } } \\ { { } } & { { = } } & { { C _ { k l } { ( R _ { 1 2 } ^ { - 1 } Y _ { 1 } R _ { 1 2 } Y _ { 2 } ) ^ { k l } } _ { i j } , } } \end{array}
A _ { t \theta _ { 1 } . . . \theta _ { p } } ^ { p + 1 } = - { \frac { r ^ { p + 1 } } { \tilde { L } } } \sin ^ { p - 1 } \theta _ { 1 } \cdots \sin \theta _ { p - 1 } \equiv - { \frac { r ^ { p + 1 } } { \tilde { L } } } \epsilon _ { \theta _ { 1 } . . . \theta _ { p } } .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { N } _ { o r b } = \mathbf { N } _ { o r b , 1 } + \mathbf { N } _ { o r b , 2 } } \\ & { \mathbf { N } _ { s p i n } = \mathbf { N } _ { s p i n , 1 } + \mathbf { N } _ { s p i n , 2 } } \\ & { \mathbf { N } _ { t o t } = \mathbf { N } _ { 1 } + \mathbf { N } _ { 2 } = \mathbf { N } _ { o r b } + \mathbf { N } _ { s p i n } } \end{array}
\Delta _ { \mu \nu } ( Q ) = \delta _ { \mu 0 } \delta _ { \nu 0 } \, \Delta _ { L } ( Q ) + { \cal P } _ { \mu \nu } ^ { T } \Delta _ { T } ( Q ) + \xi _ { C } \frac { Q _ { \mu } Q _ { \nu } } { q ^ { 4 } } \ ,
L _ { 0 } = { \frac { 1 2 } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d q } { q ( 1 + q ^ { 2 } ) } } \; \mathrm { I m } \, A _ { I _ { t } = 1 } ^ { ( 0 ) } ( q ) \, ,
\delta ( t ) = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { \delta _ { k } } { \sqrt { s } } = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { 1 } { \sqrt { s } \left( \mu + ( 1 / s - \mu ) \tau _ { k } \right) } = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { \sqrt { s } } { \mu s + ( 1 - \mu s ) \tau _ { k } } = \frac { 1 } { \tau ( t ) } .
\begin{array} { r l } { \ddot { x } } & { = x \dot { \theta } ^ { 2 } + y \ddot { \theta } + 2 \dot { y } \dot { \theta } - \frac { \mu ( r _ { c } + x ) } { r ^ { 3 } } + \frac { \mu } { r _ { c } ^ { 2 } } + a _ { x } } \\ { \ddot { y } } & { = y \dot { \theta } ^ { 2 } - x \ddot { \theta } - 2 \dot { x } \dot { \theta } - \frac { \mu y } { r ^ { 3 } } + a _ { y } } \\ { \ddot { z } } & { = - \frac { \mu z } { r ^ { 3 } } + a _ { z } } \end{array}
\Delta T _ { i } ^ { \prime } ( t ) = \sum _ { \mu = 1 } ^ { N - 1 } \left[ \frac { C _ { \mu } ^ { F } } { \lambda _ { \mu } ^ { \prime } } + \left( C _ { \mu } ^ { \prime } ( 0 ) - \frac { C _ { \mu } ^ { F } } { \lambda _ { \mu } ^ { \prime } } \right) e ^ { - \lambda _ { \mu } ^ { \prime } t } \right] \psi _ { \mu } ^ { \prime } ( x _ { i } ) ,
\begin{array} { r l } { q _ { 2 ^ { \prime } } } & { { } = \alpha D _ { 3 } = - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 } } , } \\ { q _ { 3 ^ { ' } } } & { { } = \beta D _ { 2 ^ { \prime } } = { D _ { 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - 2 { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { W } _ { 1 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { { } = } & { \tilde { W } _ { 1 } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) } \\ { \tilde { W } _ { 2 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { { } = } & { \tilde { W } _ { 2 } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) } \\ { \tilde { W } _ { 4 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { { } = } & { \tilde { W } _ { 4 } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) } \\ { \tilde { W } _ { 3 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } & { { } = } & { - \tilde { W } _ { 3 } ( k _ { 2 } , k _ { 1 } ) \; . } \end{array}
H _ { d } ( z ) = { \frac { ( b _ { 0 } K ^ { 2 } + b _ { 1 } K + b _ { 2 } ) + ( 2 b _ { 2 } - 2 b _ { 0 } K ^ { 2 } ) z ^ { - 1 } + ( b _ { 0 } K ^ { 2 } - b _ { 1 } K + b _ { 2 } ) z ^ { - 2 } } { ( a _ { 0 } K ^ { 2 } + a _ { 1 } K + a _ { 2 } ) + ( 2 a _ { 2 } - 2 a _ { 0 } K ^ { 2 } ) z ^ { - 1 } + ( a _ { 0 } K ^ { 2 } - a _ { 1 } K + a _ { 2 } ) z ^ { - 2 } } }
S _ { + - } = 0 , S _ { + 0 } = 0 , S _ { 0 - } = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \sum _ { c } ( S _ { ( - c ) \, ( - a ) } ) ^ { \ast } S _ { c b } = \delta _ { a b } P _ { a } = \sum _ { c } S _ { a c } ( S _ { ( - b ) \, ( - c ) } ) ^ { \ast }
\times \left[ \, _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 2 ; 4 - u ; \frac { 2 \omega } { 1 + \omega } \right) + { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( 1 , 2 - u ; 4 - u ; \frac { 2 \omega } { 1 + \omega } \right) \right] .
\mathcal { D } ( A , B ) = \frac { T ^ { 1 . 7 5 } \sqrt { \frac { 1 } { M _ { \mathrm { A } } } + \frac { 1 } { M _ { \mathrm { B } } } } } { P _ { \mathrm { a t m } } \left( V _ { A } ^ { 1 / 3 } + V _ { B } ^ { 1 / 3 } \right) ^ { 2 } } \cdot 1 0 ^ { - 6 } .
4 \delta \lambda _ { 1 i } \delta \lambda _ { 2 i } ( \lambda _ { 1 i } f _ { + + , i } ^ { e q } - \lambda _ { 1 i } f _ { - + , i } ^ { e q } - \lambda _ { 1 i } f _ { -- , i } ^ { e q } + \lambda _ { 1 i } f _ { + - , i } ^ { e q } ) = G _ { 1 i }
\begin{array} { r l } { Z ( A ) } & { = \sum _ { A } e ^ { - H ( A ) } = \sum _ { A } e ^ { - \sum _ { i , j \neq i } \left( \alpha _ { i } ^ { o u t } + \alpha _ { j } ^ { i n } \right) a _ { i j } } = } \\ & { = \prod _ { i , j \neq i } \sum _ { a _ { i j } = 0 , 1 } \left( x _ { i } ^ { o u t } x _ { j } ^ { i n } \right) ^ { a _ { i j } } = \prod _ { i , j \neq i } \left( 1 + x _ { i } ^ { o u t } x _ { j } ^ { i n } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | Y | _ { \alpha } } & { < r + 1 . 3 \zeta \sum _ { i = 1 } ^ { r } | ! P _ { i } | _ { \alpha - 1 } + 1 . 3 r \zeta ( 2 . 3 + 2 \zeta ) + 2 . 2 \zeta ( r + 1 ) } \\ & { = ( 1 + 1 . 3 \zeta ( 4 . 5 + 2 \zeta ) ) r + 1 . 3 \zeta \sum _ { i = 1 } ^ { r } | ! P _ { i } | _ { \alpha - 1 } + 2 . 2 \zeta } \\ & { < 1 . 3 | X | _ { \alpha } + 2 . 2 \zeta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \iota } ^ { ( T ) } = \sigma \left( \frac { \mathrm { d } \alpha } { \mathrm { d } T } \right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r e s t } } ^ { 2 } } \frac { \omega ^ { 2 } } { \sigma } \left( \frac { \mathrm { d } \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { \mathrm { d } T } \right) ^ { 2 } = \dot { \i } _ { N _ { T } } ^ { ( T ) } \left( 1 + \frac { I _ { V } ^ { 2 } N _ { V } \tau _ { V } \rho } { I _ { T } ^ { 2 } N _ { T } \tau _ { T } \varrho } + \frac { N _ { T } I _ { e } ^ { 2 } \tau _ { e } } { I _ { T } ^ { 2 } \tau _ { T } \varrho } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \alpha _ { \mathrm { { c v } } } + \alpha _ { \mathrm { { m a i n } } } + \alpha _ { \mathrm { { t a i l } } } \, , } \\ { \beta } & { { } = \beta _ { \mathrm { { c v } } } + \beta _ { \mathrm { { m a i n } } } + \beta _ { \mathrm { { t a i l } } } \, , } \end{array}
S _ { l - e } = \int d ^ { 2 } x \sqrt { - G } e ^ { - 2 \Phi } \big \{ R + 4 ( \nabla \Phi ) ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } F ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla T ) ^ { 2 } + T ^ { 2 } \big \} .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \theta } R _ { \alpha } ^ { p } ( \theta ) } & { = \mathbb { E } _ { X , Y } \bigg [ \bigg ( p Y g _ { \theta } ( - Y X ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( Y X ) - ( 1 - p ) Y g _ { \theta } ( Y X ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - Y X ) \bigg ) X \bigg ] } \\ & { = P _ { 1 } \mathbb { E } _ { X ^ { [ 1 ] } } \left[ \left( p g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) - ( 1 - p ) g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) \right) X ^ { [ 1 ] } \right] } \\ & { \quad \quad + P _ { - 1 } \mathbb { E } _ { X ^ { [ - 1 ] } } \left[ \left( - p g _ { \theta } ( X ^ { [ - 1 ] } ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } g _ { \theta } ( - X ^ { [ - 1 ] } ) + ( 1 - p ) g _ { \theta } ( - X ^ { [ - 1 ] } ) ^ { 1 - \frac { 1 } { \alpha } } g _ { \theta } ( X ^ { [ - 1 ] } ) \right) X ^ { [ - 1 ] } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { X ^ { [ 1 ] } } \left[ \left( p g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) - ( 1 - p ) g _ { \theta } ( X ^ { [ 1 ] } ) ^ { 1 - 1 / \alpha } g _ { \theta } ( - X ^ { [ 1 ] } ) \right) X ^ { [ 1 ] } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( v ) } & { = 2 ^ { ( n - k ) \alpha } 2 ^ { k \alpha } \left( \delta _ { x } ^ { j } ( v ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { - } ) + \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { + } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } + 2 ^ { n \alpha - 1 } \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { - } ) + 2 ^ { n \alpha - 1 } \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { + } ) } \\ & { = \mu _ { 1 } ^ { v } 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 1 } ) + \mu _ { 2 } ^ { v } 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { i = 1 } ^ { l ^ { v } - 1 } \nu _ { i } ^ { v } 2 ^ { n _ { i } ^ { v } \alpha } \left( \delta _ { x } ^ { j } ( v _ { i } ^ { v } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { j } ( ( v _ { i } ^ { v } ) ^ { - } ) + \delta _ { x } ^ { j } ( ( v _ { i } ^ { v } ) ^ { + } ) ) \right) } \\ & { \phantom { = } + 2 ^ { ( n - k ) \alpha } 2 ^ { k \alpha } \left( \delta _ { x } ^ { j } ( v ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { - } ) + \delta _ { x } ^ { j } ( v ^ { + } ) ) \right) } \\ & { = \mu _ { 1 } ^ { v } 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 1 } ) + \mu _ { 2 } ^ { v } 2 ^ { n \alpha } \delta _ { x } ^ { j } ( u _ { 2 } ) } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { i = 1 } ^ { l ^ { v } } \nu _ { i } ^ { v } 2 ^ { n _ { i } ^ { v } \alpha } \left( \delta _ { x } ^ { j } ( v _ { i } ^ { v } ) - \frac 1 2 ( \delta _ { x } ^ { j } ( ( v _ { i } ^ { v } ) ^ { - } ) + \delta _ { x } ^ { j } ( ( v _ { i } ^ { v } ) ^ { + } ) ) \right) \mathrm { . } } \end{array}
T _ { a b } = \underbrace { \rho u _ { a } u _ { b } + p _ { \mathrm { i s o } } h _ { a b } } _ { T _ { a b } ^ { \mathrm { i d e a l } } } + \underbrace { q _ { a } u _ { b } + q _ { a } u _ { b } } _ { T _ { a b } ^ { \mathrm { h e a t } } } + \underbrace { p _ { \mathrm { v i s } } h _ { a b } + \pi _ { a b } } _ { T _ { a b } ^ { \mathrm { v i s } } } ~ ,
\begin{array} { r l r } & { \psi _ { D S } } & { = \frac { ( 4 a ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) \sinh { ( \alpha x ) } - \alpha ^ { 2 } \cosh { ( \alpha x ) } } { ( 4 a ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) \cosh { ( \alpha x ) } - \alpha ^ { 2 } \sinh { ( \alpha x ) } } , } \\ & { \psi _ { B S } } & { = \frac { - 2 ( 2 a ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) \exp { ( \frac { 1 } { 2 } i \alpha ^ { 2 } t } ) } { ( 4 a ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) \cosh { ( \alpha x ) } - \alpha ^ { 2 } \sinh { ( \alpha x ) } } . } \end{array}
\Tilde { f } ^ { S R } ( \vec { r } , \omega ) = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } } \mathrm { e } ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \int _ { 0 } ^ { c } \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) x } \mathrm { d } x - \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } \alpha ^ { 2 } } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \alpha ^ { 2 } c } ) \, .
\left< \overline { { \delta ^ { 2 } ( \Delta ) } } \right> = \frac { 4 K \tau _ { l } ^ { 2 } } { \tau _ { l } ^ { 2 } - \tau _ { s } ^ { 2 } } \left[ \tau _ { l } \left( 1 - e ^ { - \Delta / \tau _ { l } } \right) - \tau _ { s } \left( 1 - e ^ { - \Delta / \tau _ { s } } \right) \right] .
{ \begin{array} { r l } { { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { a } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { b } & { 1 } \end{array} \right) } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { a + b } & { 1 } \end{array} \right) } , } \\ { { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { a } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { b } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { a + b } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
E = - { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { a _ { 1 } a _ { 2 } } { 4 \pi r } } { \vec { v } } _ { 1 } \cdot \left[ 1 + { \hat { r } } { \hat { r } } \right] \cdot { \vec { v } } _ { 2 }