harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \partial P ( y , t | y _ { 0 } , t _ { 0 } ) } { \partial t } = \sum _ { k } ( - 1 ) ^ { k } \frac { \partial ^ { k } } { \partial y ^ { k } } \left[ D ^ { ( k ) } ( y , t ) P ( y , t | y _ { 0 } , t _ { 0 } ) \right] \; .
\begin{array} { r l r } { { q _ { n f } = \frac { \mathbf { R } ^ { + } + \mathbf { R } ^ { - } } { 2 } \, \mathrm { ~ , ~ } } } & { { } \ } & { { a _ { f } = \frac { \gamma - 1 } { 4 } ( \mathbf { R } ^ { + } - \mathbf { R } ^ { - } ) \, \mathrm { ~ . ~ } } } \end{array}
\left( \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { \alpha } + n \left( \frac { k _ { j } } { k _ { 1 } } \right) ^ { \alpha } \right) \Omega = \left( \frac { k _ { 1 } } { k _ { j } } \right) ^ { \alpha } \omega _ { 1 } + n \left( \frac { k _ { j } } { k _ { 1 } } \right) ^ { \alpha } \omega _ { j } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \theta } _ { t } \odot \vec { \sigma } _ { t } - \vec { \lambda } _ { t } \rangle } & { \ge \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) \sum _ { j = 0 } ^ { n } \left( \lvert W _ { j } \rvert - 1 \right) ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( a ) } \ge \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } \mathcal T _ { T } } \\ & { \ge \sum _ { t = 1 } ^ { T } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } + ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) C _ { W } \mathcal T _ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( M | D ) } & { { } = \frac { \int p ( D , \theta _ { M } , M ) \textup { d } \theta _ { M } } { \sum _ { M \in \mathcal { M } } \int p ( D , \theta _ { M } , M ) \textup { d } \theta _ { M } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \exp \left\{ c _ { k } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { Z } _ { k } ^ { z _ { k } } ( s ) d s \right\} \right] = } & { { } \exp \left\{ c _ { k } \left( z _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } + ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } s } } { \alpha _ { k } } d s \right) \right\} } \\ { = } & { { } \exp \left\{ c _ { k } \left( z _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } + ( d _ { k } - c _ { k } ) \int _ { 0 } ^ { t } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } s } } { \alpha _ { k } } d s \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \hat { v } _ { s o l } ( x , t ) = } & { \phi _ { n _ { 0 } } ( x , 0 ) \Delta \hat { n } _ { 0 } ( t ) + \phi _ { \theta _ { 0 } } ( x , 0 ) \Delta \hat { \theta } _ { 0 } ( t ) + } \\ & { \phi _ { p _ { 0 } } ( x , 0 ) \Delta \hat { p } _ { 0 } ( t ) + \phi _ { x _ { 0 } } ( x , 0 ) \Delta \hat { x } _ { 0 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 1 } \right] } \\ & { \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } + 2 C _ { W } ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) } \epsilon \mathcal T _ { T } + \frac { 4 M ^ { 2 } } { \epsilon } + \frac { g ( \mathcal T _ { T } ) } \epsilon \cdot \sqrt { 8 6 M ^ { 2 } K ^ { 6 } \mathcal T _ { T } ^ { \frac 3 2 } + \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } } \\ & { \le \frac { ( K + 1 ) M ^ { 2 } + 2 C _ { W } ( K M ^ { 2 } + \epsilon K M ) } \epsilon \mathcal T _ { T } + \frac { 4 M ^ { 2 } } { \epsilon } + \frac { \sqrt { 8 6 } M K ^ { 3 } \mathcal T _ { T } ^ { \frac 3 4 } g ( \mathcal T _ { T } ) } { \epsilon } + \frac { g ( \mathcal T _ { T } ) } \epsilon \cdot \sqrt { \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { \mathcal T _ { T } } \lVert \mathbf Q _ { t - 1 } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e _ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq \tau ^ { 2 } \left\| I _ { N } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - \theta ) \left( d B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) [ B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) ] \right) \mathrm { d } \theta \right) \right\| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq \tau ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq \theta \leq 1 } \left\| d B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) [ B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) ] \right\| _ { l ^ { \infty } } } \\ & { \leq \tau ^ { 2 } | \Omega | ^ { \frac { 1 } { 2 } } C \left( \| V \| _ { L ^ { \infty } } , \| \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { \infty } } \right) \| B ( \Phi _ { B } ^ { \theta \tau } ( P _ { N } v _ { 0 } ) ) \| _ { L ^ { \infty } } } \\ & { \leq C ( M _ { 2 } ) \tau ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \sqrt { C } \log ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) \sqrt { 1 + T ^ { \frac { p } { 2 r + p } } } + \lambda _ { \mathcal { A } } } \\ { = } & { 2 \sqrt { C } \log ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( T ) \sqrt { \frac { 1 } { h ^ { p } } + 1 } + 2 C \sqrt { \frac { \log T } { h ^ { p } } } + \frac { 2 C _ { 1 } \sqrt { p } } { \sqrt { h ^ { p } } } + 2 C _ { 2 } \sqrt { T } h ^ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \Delta p } & { = - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } ( \nabla u ) ^ { T } \colon \nabla u + { \mathrm { R a } } \partial _ { 2 } T } & { \textnormal { i n } } & { \Omega } \\ { n \cdot \nabla p } & { = - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \kappa u ^ { 2 } + 2 \tau \cdot \nabla \left( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \right) } & { \textnormal { o n } } & { \gamma ^ { + } } \\ { n \cdot \nabla p } & { = - \frac { 1 } { \mathrm { P r } } \kappa u ^ { 2 } + 2 \tau \cdot \nabla \left( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \right) + n _ { 2 } \mathrm { { R a } } } & { \textnormal { o n } } & { \gamma ^ { - } } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { n } { \dot { q } } _ { i } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { i } } } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \dot { q } } _ { i } { \frac { \partial T } { \partial { \dot { q } } _ { i } } } = 2 T \, .
\begin{array} { r l } { U _ { p } ^ { * ( 1 ) } } & { { } = - \frac { 1 } { 1 2 } \mathcal { A } ^ { 2 } \mathcal { B } \mathcal { C } t ^ { * 5 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin ^ { 2 } \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { U _ { q } ^ { * ( 1 ) } } & { { } = - \frac { 1 } { 1 2 } \mathcal { A } \mathcal { B } ^ { 2 } \mathcal { C } t ^ { * 5 } \cos ^ { 2 } \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } , } \\ { \Omega _ { r } ^ { * ( 1 ) } } & { { } = 0 , } \\ { \phi ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } } { 1 2 } t ^ { * 4 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\int { \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { k _ { i } k _ { j } } { ( k _ { 0 } - i \epsilon ) ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ) } } = - i \delta _ { i j } { \frac { I ( m ) } { 2 4 \pi } }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r c l } { \displaystyle \mathrm { d } s ^ { 2 } = \big [ Z \left( x , y , z \right) \big ] ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { 2 } - \big [ a \left( t \right) R \left( x , y , z \right) \big ] ^ { 2 } \left( \mathrm { d } x ^ { \, 2 } + \mathrm { d } y ^ { \, 2 } + \mathrm { d } z ^ { \, 2 } \right) , } \end{array} } \end{array}
\int _ { L \subset \mathbb { R } ^ { n } } \! \! \! \nabla \varphi \cdot d \mathbf { r } \ = \ \varphi \left( \mathbf { q } \right) - \varphi \left( \mathbf { p } \right) \ \ { \mathrm { ~ f o r ~ } } \ \ L = L [ p \to q ]
\frac { 1 } { r ^ { 2 } } | E _ { \theta 0 } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } | E _ { \phi 0 } | ^ { 2 } = \frac { \delta } { r ^ { 4 } } | E _ { r 0 } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { | \mathfrak { q } _ { \mathfrak { a } } | _ { m , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \gamma ^ { - 1 } \left( \varepsilon ^ { 5 } + \varepsilon ^ { 3 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \right) , } \\ { | d _ { i } \mathfrak { q } _ { \mathfrak { a } } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { m , s , \eta _ { 0 } } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } } \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha ^ { M 1 } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 2 } { 3 } \sum _ { n } \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle 0 \| T _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \\ { \alpha ^ { E 2 } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 3 0 } ( \alpha \omega ) ^ { 2 } \sum _ { n } \frac { \Delta E _ { n 0 } | \langle 0 \| T _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \| n J _ { n } \rangle | ^ { 2 } } { \Delta E _ { n 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { V _ { 1 } - V _ { \mathrm { B } } } { R _ { 1 } } } + { \frac { V _ { 2 } - V _ { \mathrm { B } } } { R _ { 2 } } } + { \frac { V _ { 2 } } { R _ { 3 } } } = 0 } \\ { V _ { 1 } = V _ { 2 } + V _ { \mathrm { A } } } \end{array} \right.
\left( \begin{array} { l } { s _ { m } } \\ { c _ { m } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { x } & { y } \\ { - y } & { x } \end{array} \right) ^ { m } \left( \begin{array} { l } { s _ { 0 } } \\ { c _ { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \Delta t \operatorname* { i n f } _ { { \bf v } _ { j } ^ { n } \in X _ { h } } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \left\{ \| \nabla { \bf \eta } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \| \nabla { \bf \eta } _ { j } ^ { n } \| ^ { 2 } \right\} \le 2 T \operatorname* { m a x } _ { n = 0 , 1 , \cdots , N } \operatorname* { i n f } _ { { \bf v } _ { j } ^ { n } \in X _ { h } } \| \nabla { \bf \eta } _ { j } ^ { n } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \left( B ^ { 0 } \rightarrow K ^ { + } \pi ^ { - } \right) } } \\ { { \left( B ^ { 0 } \rightarrow K ^ { 0 } \pi ^ { 0 } \right) } } \end{array} \right) = M ^ { S U ( 2 ) } \left( \begin{array} { c } { { \left( B ^ { 0 } \rightarrow \left\{ K ^ { + } \pi ^ { - } \right\} \right) } } \\ { { \left( B ^ { 0 } \rightarrow \left\{ K ^ { 0 } \pi ^ { 0 } \right\} \right) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { M _ { T } ( t ) \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \sim } M _ { T , c } - \sqrt { \frac { M _ { T , c } ^ { 4 } + 2 M _ { T , c } ^ { 3 } } { 6 ( M _ { T , c } ^ { 2 } + M _ { T , c } ) } } \sqrt { 1 - t / t _ { c } } \mathrm { , } } \\ & { M _ { T } ( t ) \stackrel { t \rightarrow t _ { c } } { \sim } M _ { T , c } - K \sqrt { 1 - t / t _ { c } } \mathrm { . } } \end{array}
\epsilon ^ { - 1 } ( q , \omega ) = 1 + V _ { q } \frac { \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ( 1 - V _ { q } \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) + \chi _ { \downarrow \downarrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ( 1 - V _ { q } \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) + 2 \chi _ { \uparrow \uparrow } ^ { 0 } ( q , \omega ) ) \chi _ { \downarrow \downarrow } ( q , \omega ) ) } { 1 - V _ { q } ( \chi _ { \uparrow \uparrow } ( q , \omega ) + \chi _ { \downarrow \downarrow } ( q , \omega ) ) }
\begin{array} { r l } { F ( x ) } & { = \psi _ { x } ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) ) - \frac { \omega } { 1 0 } x \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi _ { x y } ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) - \frac { \omega } { 1 0 } t x ) \, \mathrm { d } t } \\ & { = - ( b _ { 1 } \psi _ { y } + b _ { 0 } \psi ) ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) ) - \frac { \omega } { 1 0 } x \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi _ { x y } ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) - \frac { \omega } { 1 0 } t x ) \, \mathrm { d } t \qquad \mathrm { f o r ~ x ~ \in ~ ( 0 , \varepsilon ) ~ } \, . } \end{array}
\frac { \Delta v _ { \mathrm { l } } } { v _ { \mathrm { 0 } } } = \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \left[ \Delta \rho _ { \infty } + \frac { \Delta \rho _ { \mathrm { z e r o } } - \Delta \rho _ { \infty } } { \left( P / \lambda + 1 \right) ^ { 2 } } \right] \, .
\ell _ { j } ( x ) : = \prod _ { \begin{array} { l } { 0 \leq m \leq k } \\ { m \neq j } \end{array} } { \frac { x - x _ { m } } { x _ { j } - x _ { m } } } = { \frac { ( x - x _ { 0 } ) } { ( x _ { j } - x _ { 0 } ) } } \cdots { \frac { ( x - x _ { j - 1 } ) } { ( x _ { j } - x _ { j - 1 } ) } } { \frac { ( x - x _ { j + 1 } ) } { ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) } } \cdots { \frac { ( x - x _ { k } ) } { ( x _ { j } - x _ { k } ) } } ,
\begin{array} { r c l } { { N = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } { \alpha ^ { a } } ^ { \dagger } \alpha ^ { a } \ \ \ } } & { { , } } & { { \ \ \ N ^ { \dagger } = N \ \ \ , } } \\ { { B ^ { \dagger } = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } { \alpha ^ { a } } ^ { \dagger } { \alpha ^ { a } } ^ { \dagger } \ \ \ } } & { { , } } & { { \ \ \ B = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \alpha ^ { a } \alpha ^ { a } \ \ \ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } ( \omega ) = H ( \omega ) \Theta ( \omega ) + H ^ { * } ( - \omega ) \Theta ( - \omega ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { H ( \omega ) } & { : \quad \omega > 0 } \\ { \operatorname { R e } H ( \omega ) } & { : \quad \omega = 0 } \\ { H ^ { * } ( - \omega ) } & { : \quad \omega < 0 } \end{array} \right. , } \\ { P ( \omega ) = [ H ( \omega ) - H ^ { * } ( - \omega ) ] \Theta ( - \omega ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { : \quad \omega > 0 } \\ { i \operatorname { I m } H ( \omega ) } & { : \quad \omega = 0 } \\ { H ( \omega ) - H ^ { * } ( - \omega ) } & { : \quad \omega < 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\alpha ( \mu ^ { 2 } ) \equiv \frac { g ^ { 2 } ( \mu ^ { 2 } ) } { 4 \pi } = \alpha _ { 0 } \times \left\{ \begin{array} { l l } { { \displaystyle \frac { 1 } { t } } } & { { \mathrm { ~ i f ~ t _ { F } ~ < ~ t ~ } \smallskip } } \\ { { \displaystyle \frac { 1 } { t _ { F } } + \frac { ( t _ { F } - t _ { C } ) ^ { 2 } - ( t - t _ { C } ) ^ { 2 } } { 2 t _ { F } ^ { 2 } ( t _ { F } - t _ { C } ) } } } & { { \smallskip \mathrm { ~ i f ~ t _ { C } ~ < ~ t ~ < ~ t _ { F } ~ } } } \\ { { \displaystyle \frac { 1 } { t _ { F } } + \frac { ( t _ { F } - t _ { C } ) ^ { 2 } } { 2 t _ { F } ^ { 2 } ( t _ { F } - t _ { C } ) } } } & { { \mathrm { ~ i f ~ t ~ < ~ t _ { C } ~ } \smallskip } } \end{array} \right. ~ ,
\begin{array} { r } { \hat { a } _ { \bf k } = \sqrt { \frac { \omega _ { \mathbf { k } } } { 2 \hbar } } \hat { q } _ { \bf k } + i \sqrt { \frac { 1 } { 2 \hbar \omega _ { \mathbf { k } } } } \hat { p } _ { \bf k } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \hat { a } _ { \bf k } ^ { \dagger } = \sqrt { \frac { \omega _ { \mathbf { k } } } { 2 \hbar } } \hat { q } _ { \bf k } - i \sqrt { \frac { 1 } { 2 \hbar \omega _ { \mathbf { k } } } } \hat { p } _ { \bf k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { 0 \leq k \leq K - 1 } \mathbb { E } \left[ \| F ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { \frac { ( 1 + 8 \omega \gamma ( \delta + L ^ { 2 } ) - L \gamma ) \left( 1 + \frac { 4 8 \omega \gamma \delta } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } \right) ^ { K - 1 } \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { \omega \gamma ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) ( K - 1 ) } } \\ & { } & { \quad + \frac { 4 \left( 8 + \frac { 1 - L \gamma } { K - 1 } \left( 1 + \frac { 4 8 \omega \gamma \delta } { ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } \right) ^ { K - 1 } \right) \sigma _ { * } ^ { 2 } } { ( 1 - L \gamma ) ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) } , } \end{array}
y = \frac { \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } } } { ( \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } - 1 ) ^ { 2 } + ( \frac { y _ { 2 } } { x _ { 1 } } - \frac { y _ { 1 } } { x _ { 1 } } ) ^ { 2 } + ( \frac { z _ { 2 } } { x _ { 1 } } - \frac { z _ { 1 } } { x _ { 1 } } ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { 1 \geq \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } T _ { n } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( N ^ { - \frac { 1 } { 2 } } r _ { k } ) ( N ^ { - \frac { 1 } { 2 } } r _ { k } ) ^ { * } T _ { n } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { n } { N } \frac { 1 } { n } \mathrm { t r } ( \frac { 1 } { N } R _ { n } R _ { n } ^ { * } ) T _ { n } ^ { - 1 } \to c \int s / t \mathrm { d } H ( s , t ) . } \end{array}
Q = \gamma _ { v } \left( \frac { 1 } { 2 \omega } - \frac { k ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \omega \left( 4 \omega ^ { 2 } - 1 - 4 k ^ { 2 } \alpha \tilde { c _ { s } } ^ { 2 } \right) } \right) .
\begin{array} { r l } { } & { = \sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } \sum _ { j _ { 1 } , \dots j _ { \mathbf { m } } } ( B _ { 1 } ) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { j _ { 1 } } \dots ( B _ { 1 } ) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m _ { 1 } ) } } ^ { j _ { m _ { 1 } } } \cdots } \\ { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \times ( B _ { l } ) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } - m _ { l } ) } } ^ { j _ { ( \mathbf { m } - m _ { l } ) } } \cdots ( B _ { l } ) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathbf { m } ) } } ^ { j _ { ( \mathbf { m } ) } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d \tau } W ( \eta ) = } & { - } & { ( \eta - \eta ^ { * } ) \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \partial f _ { i } ^ { [ \alpha ] } } { \partial y _ { i } ^ { [ \alpha ] } } ( \eta ) } \\ & { + } & { ( \eta ^ { * } - \eta ) \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { \partial f _ { i } ^ { [ \alpha ] } } { \partial y _ { i } ^ { [ \alpha ] } } ( ( U \psi ) _ { i } ^ { [ \alpha ] } + \eta ) \right. } \\ & { - } & { \left. \frac { \partial f _ { i } ^ { [ \alpha ] } } { \partial y _ { i } ^ { [ \alpha ] } } ( \eta ) \right] . } \end{array}
\frac { \left( \mathcal P _ { A } ^ { n + 1 } + \mathcal P _ { B } ^ { n + 1 } \right) - \left( \mathcal P _ { B } ^ { n } + \mathcal P _ { B } ^ { n } \right) } { \Delta t } = - \mathcal I _ { P , A } | ^ { n + \frac 1 2 } - \mathcal I _ { P , B } | ^ { n + \frac 1 2 } \, .
\begin{array} { r l } { K ( x _ { f } , t _ { f } ; x _ { i } , t _ { i } ) } & { { } = Q e ^ { \frac { i S _ { \mathrm { c } } } { \hbar } } \prod _ { j = 1 } ^ { \infty } { \frac { j \pi } { \sqrt { 2 } } } \int d a _ { j } \exp { \left( { \frac { i } { 2 \hbar } } a _ { j } ^ { 2 } { \frac { m } { 2 } } \left( { \frac { ( j \pi ) ^ { 2 } } { t _ { f } - t _ { i } } } - \omega ^ { 2 } ( t _ { f } - t _ { i } ) \right) \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { l } = } & { { } 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , t i j } } \partial _ { i } \partial _ { k } \psi \epsilon _ { l k j } + 2 \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi _ { , t t i } } \partial _ { t } \partial _ { k } \psi \epsilon _ { l k i } } \end{array}
\boldsymbol { \sigma } + \lambda \overset \triangledown { \boldsymbol { \sigma } } + \lambda \left( \boldsymbol { \sigma } \cdot \dot { \boldsymbol { \gamma } } + \dot { \boldsymbol { \gamma } } \cdot \boldsymbol { \sigma } \right) - \lambda \boldsymbol { \sigma } : \dot { \boldsymbol { \gamma } } \mathbb { I } - \frac { \lambda } { 2 } \mathrm { T r } ( \boldsymbol { \sigma } ) \dot { \boldsymbol { \gamma } } = \lambda \mu \dot { \boldsymbol { \gamma } } ;
\begin{array} { r } { \underline { { y } } ^ { ( t , p ) } = \left[ \begin{array} { l } { \underline { { \varphi } } ^ { ( 1 , 1 : n l , t , p ) } } \\ { \vdots } \\ { \underline { { \varphi } } ^ { ( n s , 1 : n l , t , p ) } } \end{array} \right] \qquad \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \qquad \underline { { \varphi } } ^ { ( s , 1 : l , t , p ) } = \left[ \begin{array} { l } { \varphi ^ { ( s , 1 , t , p ) } } \\ { \vdots } \\ { \varphi ^ { ( s , n l , t , p ) } } \end{array} \right] \, . } \end{array}
r _ { p } = { \frac { n _ { 2 } \cos \theta _ { \mathrm { i } } - n _ { 1 } \cos \theta _ { \mathrm { t } } } { n _ { 2 } \cos \theta _ { \mathrm { i } } + n _ { 1 } \cos \theta _ { \mathrm { t } } } }
\left[ \left( f _ { 1 } f _ { 5 } \right) ^ { 1 / 2 } \Gamma ^ { 0 } \partial _ { 0 } + \Gamma ^ { 1 } \left( \partial _ { r } + \frac { 3 } { 2 r } + \frac { 1 } { 8 } d _ { r } ( \ln ( f _ { 1 } f _ { 5 } ) ) \right) + \left( f _ { 1 } f _ { 5 } \right) ^ { 1 / 2 } \Gamma ^ { 5 } \partial _ { x _ { 5 } } + \Gamma ^ { b } D _ { b } \right] \chi + g ( r ) \chi = 0
\psi _ { m , p _ { z } } ( { \bf r } ) = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { \cosh \theta } } \\ { { 0 } } \\ { { \sinh \theta } } \end{array} \right) { \frac { e ^ { i p _ { z } z } } { \sqrt { 2 \pi } } } { \phi _ { m } ^ { * } } ( { x , y } ) \, ,
\begin{array} { r l r } { \left. \begin{array} { c } { \left[ 9 5 , 4 6 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 4 8 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 4 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 4 2 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 2 8 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 1 6 , 1 1 7 \right] } \end{array} \right\} } & { 1 / 6 } & \\ { \left. \left[ 1 4 , 6 1 , 6 8 \right] \: \: \: \right\} \: } & { 1 } & \\ { \left. \begin{array} { c } { \left[ 9 5 , 1 2 8 , 1 1 7 \right] } \\ { \left[ 9 5 , 1 1 2 , 1 1 7 \right] } \end{array} \right\} } & { 1 / 2 } & \end{array}
\nabla ^ { 2 } \phi = \frac { \partial } { \partial r } \left( r ^ { 2 } \frac { \partial \phi } { \partial r } \right) + \frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \sin \theta \frac { \partial \phi } { \partial \theta } \right) + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial \psi ^ { 2 } } = 0
\left( \frac { L } { T v _ { T } } \right) \bar { D } _ { t } \bar { f } + \left( \bar { v } _ { \alpha } - \left( \frac { L } { T v _ { T } } \right) \bar { u } _ { \alpha } \right) \bar { \partial } _ { \alpha } \bar { f } = \left( \frac { L } { l _ { m . f . p . } } \right) \bar { \mathcal { J } } _ { B } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { g _ { n + 2 } } & { = { \frac { c ^ { n + 2 } } { x ^ { 2 } k ( k + 1 ) \cdots ( k + n - 1 ) } } \cdot { \frac { x ^ { 2 } } { ( k + n ) ( k + n + 1 ) } } f _ { k + n + 2 } ( x ) } \\ & { = { \frac { c ^ { n + 2 } } { x ^ { 2 } k ( k + 1 ) \cdots ( k + n - 1 ) } } f _ { k + n + 1 } ( x ) - { \frac { c ^ { n + 2 } } { x ^ { 2 } k ( k + 1 ) \cdots ( k + n - 1 ) } } f _ { k + n } ( x ) } \\ & { = { \frac { c ( k + n ) } { x ^ { 2 } } } g _ { n + 1 } - { \frac { c ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } g _ { n } } \\ & { = \left( { \frac { c k } { x ^ { 2 } } } + { \frac { c } { x ^ { 2 } } } n \right) g _ { n + 1 } - { \frac { c ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } g _ { n } , } \end{array} }
\operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow 0 } \int _ { \Gamma _ { 9 } } \tilde { \sigma } _ { s r } \left( s \right) \mathrm { e } ^ { s t } \mathrm { d } s = - \mathrm { i } \pi \frac { 1 } { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } ^ { 1 - \xi } } \frac { \phi _ { \varepsilon } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } { \phi _ { \sigma } ^ { \prime } \left( \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } \right) } \mathrm { e } ^ { \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { R P } } } t } .
I _ { 1 } = { \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } } \int { \omega ( x ) x ^ { 2 } d x ( A ^ { 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } - A e ^ { - { { x ^ { 2 } } / 2 } } { ( 1 + A ^ { 2 } e ^ { - x ^ { 2 } } ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) } ,