harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l } { { 8 } } & { \boldsymbol { I } ( t ) } & & { \approx } & & { \int _ { V ( t ) } } & & { \boldsymbol { u } } & & { d V } & & { = \; } & & { \; \boldsymbol { I } _ { V } ( t ) } & & { - \: \boldsymbol { I } _ { \partial V } ( t ) , } \\ & { K ( t ) } & & { \approx \frac { 1 } { 2 } } & & { \int _ { V ( t ) } \lvert } & & { \boldsymbol { u } \rvert ^ { 2 } } & & { d V } & & { = \; } & & { K _ { V } ( t ) } & & { - K _ { \partial V } ( t ) , } \\ & { E ( t ) } & & { \approx \frac { 1 } { 2 } } & & { \int _ { V ( t ) } \lvert } & & { \boldsymbol { \omega } \rvert ^ { 2 } \; } & & { d V } & & { , } & & { \; \, H ( t ) } & & { \approx \int _ { V ( t ) } ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { \omega } ) \; d V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { Y } ^ { m } \left( { \boldsymbol { \omega } ^ { P } } , \, { \delta \hat { \eta } ^ { i j } } \right) } & { { } = - d _ { Y } ^ { m } \left( { \hat { \eta } ^ { P } } , \, { \delta \hat { \eta } ^ { i j } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \delta f ) _ { x } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) } \\ & { = } & { \delta f ( x , x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) } \\ & { = } & { \sum _ { 1 \le i < j \le n } ( - 1 ) ^ { i + 1 + x _ { i } ( x _ { i + 1 } + \cdots + x _ { j - 1 } ) } f ( x , x _ { 1 } , \cdots , \hat { x _ { i } } , \cdots , [ x _ { i } , x _ { j } ] , \cdots , x _ { n } ) } \\ & { } & { + \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { 1 + x ( x _ { 1 } + \cdots + x _ { j - 1 } ) } f ( x _ { 1 } , \cdots , [ x , x _ { j } ] , \hat { x _ { j } } , \cdots , x _ { n } ) } \\ & { } & { + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i + 2 + x _ { i } ( f + x + x _ { 1 } + \cdots + x _ { i - 1 } ) } [ x _ { i } , f ( x , x _ { 1 } , \cdots , \hat { x _ { i } } , \cdots , x _ { n } ) ] } \\ & { } & { + ( - 1 ) ^ { x f } [ x , f ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) ] + ( - 1 ) ^ { n - 1 } [ f ( x , x _ { 1 } , \cdots , \cdots , x _ { n - 1 } ) , x _ { n } ] } \\ & { = } & { ( ( - 1 ) ^ { x f } d _ { x } f - \delta ( f _ { x } ) ) ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \mathcal { N } _ { u } } ^ { k } } & { { } = \mathrm { ~ A ~ G ~ G ~ } _ { k } \left( \{ h _ { v } ^ { k - 1 } , \forall v \in \mathcal { N } _ { u } \} \right) \, , } \\ { h _ { u } ^ { k } } & { { } = \sigma \left( W ^ { k } \cdot \mathrm { ~ C ~ O ~ N ~ C ~ A ~ T ~ } ( h _ { u } ^ { k } , h _ { \mathcal { N } _ { u } } ^ { k } ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { { ( ( \mathbf { K } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { M } } _ { 1 / \epsilon } ^ { 2 } \mathbf { d } ) ^ { \top } \widetilde { \mathbf { K } } _ { 2 } \partial _ { t } \mathbf { d } + ( \widetilde { \mathbf { K } } _ { 1 } ^ { - 1 } \mathbf { M } _ { 1 / \mu } ^ { 2 } \mathbf { b } ) ^ { \top } \mathbf { K } _ { 2 } \partial _ { t } \mathbf { b } } = \mathbf { d } ^ { \top } \widetilde { \mathbf { M } } _ { 1 / \epsilon } ^ { 2 } \partial _ { t } \mathbf { d } + \mathbf { b } ^ { \top } \mathbf { M } _ { 1 / \mu } ^ { 2 } \partial _ { t } \mathbf { b } = 0 , } \end{array}
\gamma _ { M C } ^ { N F } = \sum _ { k k ^ { \prime } , j j ^ { \prime } } \hat { \mathbf { G } } _ { N F , k j } ^ { \mathrm { A D } } \hat { \mathbf { G } } _ { N F , k ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { \mathrm { A D } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega I _ { k k ^ { \prime } } ^ { \mathrm { A } } ( \omega ) E _ { j j ^ { \prime } } ^ { \mathrm { D } } ( \omega ) .
\begin{array} { r } { T _ { t } ^ { ( 0 ) } + \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \sigma ^ { ( 0 ) } } T _ { s } ^ { ( 1 ) } + \left< u ^ { ( 1 ) } T _ { \bar { r } } ^ { ( 1 ) } \right> \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { + \frac { 1 } { \bar { r } } \left< v ^ { ( 1 ) } T _ { \theta } ^ { ( 1 ) } \right> + \left< u ^ { ( 2 ) } \right> T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } = \frac { \bar { \nu } } { \bar { r } \bar { \mu } } \left( \bar { r } T _ { \bar { r } } ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } } \end{array}
e _ { i } = { \bf 1 } \otimes \cdots \otimes \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { q ^ { - 1 } } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { q } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \otimes \cdots \otimes { \bf 1 } \; \; \; \in { \bf C } ^ { \otimes 2 l } \; ,
M ^ { ( a b ) } ( t , { \mathbf { u } } ) = \left( \begin{array} { c c c } { t - a \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 1 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 2 } } } { { u _ { 1 } } ^ { 3 } } \right) } } } & & { a \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 2 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 2 } } } { { u _ { 1 } } ^ { 3 } } \right) } } } \\ { b \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 1 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 1 } } } { { u _ { 2 } } } \right) } } } & & { t - b \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } { u _ { 2 } } \sqrt { \log \left( \frac { { u _ { 1 } } } { { u _ { 2 } } } \right) } } } \end{array} \right) \, , \qquad a , b = \pm
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 2 } } & { = } & { - 2 h _ { 1 } h _ { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k > 0 } a _ { j , - k } a _ { j , k } , } \\ { \psi _ { 3 } } & { = } & { 3 h _ { 1 } ^ { 2 } h _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j , k > 0 } ( a _ { i , - j - k } a _ { i , j } a _ { i , k } + a _ { i , - j } a _ { i , - k } a _ { i , j + k } ) } \\ & { } & { + 6 \sigma _ { 3 } \sum _ { i _ { 1 } < i _ { 2 } } \sum _ { k > 0 } k a _ { i _ { 1 } , - k } a _ { i _ { 2 } , k } + ( - 4 N + 6 j - 3 ) \sigma _ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k > 0 } a _ { j , - k } a _ { j , k } } \\ & { } & { + 3 \sigma _ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { k > 0 } k a _ { j , - k } a _ { j , k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { d \sigma ^ { ( t w , c i r c ) } } { d \Omega } \right) _ { S } = \frac { \sigma _ { 0 } } { 4 \pi } \left( 1 - \frac { \beta _ { c i r c } ^ { t w } } { 2 } P _ { 2 } ( \cos \theta _ { p } ) + \right. } \\ { + \left. \left( \delta _ { c i r c } ^ { t w } + \frac { \gamma _ { c i r c } ^ { t w } } { 5 } \right) P _ { 1 } ( \cos \theta _ { p } ) - \frac { \gamma _ { c i r c } ^ { t w } } { 5 } P _ { 3 } ( \cos \theta _ { p } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( B _ { 1 } ) } & { = \sum _ { k < l } ( - 1 ) ^ { k + l } ( \tilde { \psi } _ { k l } ^ { 1 + } ( w _ { 3 1 } ) + \tilde { \eta } _ { k l } | _ { t _ { 1 } = 1 } ( w _ { 3 1 } ) ) } \\ & { = - \delta _ { 1 } c ( G _ { 2 } , G _ { 3 } , 4 , 1 ) + \tilde { K } , } \\ { D ( B _ { 2 } ) } & { = \sum _ { k < l } ( - 1 ) ^ { k + l } ( \hat { \psi } _ { k l } ^ { 2 - } ( w _ { 3 1 } ) + \hat { \eta } _ { k l } | _ { t _ { 1 } = 1 } ( w _ { 3 1 } ) ) } \\ & { = - \delta _ { 1 } c ( G _ { 4 } , G _ { 3 } , 4 , 2 ) + \hat { K } , } \\ { D ( B _ { 3 } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k < l } ( - 1 ) ^ { k + l } ( \tilde { \mu } _ { 3 k l } ^ { -- } \mu _ { 3 k l } ^ { - } ) ( w _ { 3 1 } ) , } \\ { D ( B _ { 4 } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k < l } ( - 1 ) ^ { k + l + 1 } ( \hat { \eta } | _ { t _ { 1 } = 1 } - \tilde { \mu } _ { 3 k l } ^ { - } ) ( w _ { 3 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \left( \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \xi \pi } \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \bar { \phi } _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \xi \pi } \bar { \phi } _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) \right) } \end{array}
\Phi _ { k } ( { \bf p } ) = \delta ^ { ( 2 ) } ( { \bf p } - { \bf k } ) + \frac { \alpha _ { \Lambda } } { 2 \pi } \; \frac { \Psi ( 0 ) } { ( p ^ { 2 } - k ^ { 2 } - i \; \epsilon ) } \; ,
\begin{array} { r l } & { \rVert \mathcal { D } _ { \omega } ^ { - 1 } u \rVert _ { s } \le _ { s , \tau } \gamma ^ { - 1 } \rVert u \rVert _ { s + \tau } \quad \mathrm { ~ f o r ~ u \in ~ C _ { \varphi , x } ^ \infty ~ } } \\ & { \rVert \mathcal { D } _ { \omega } ^ { - 1 } u \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le _ { s , \tau } \gamma ^ { - 1 } \rVert u \rVert _ { s + 2 \tau + 1 } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \quad \mathrm { ~ f o r ~ u \in ~ \mathrm { L i p } ( \Omega _ 0 , C ^ \infty ) ~ } . } \end{array}
G ^ { A B } x _ { , A } ^ { \mu } x _ { , B } ^ { \nu } R _ { \mu \rho \sigma \nu } n _ { \perp } ^ { \rho } n _ { \perp } ^ { \sigma } = \frac { \dot { H } } { ( \dot { f } - H f ) ^ { 2 } - 1 } - 2 H ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { j \in \mathbb { Z } } ( \xi _ { j } - \overleftarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } \Phi _ { j } = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \sum _ { i = 0 } ^ { \ell - 2 } \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( \xi _ { j - i } - \xi _ { j - i - 1 } ) \psi _ { i } \Phi _ { j } = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } F _ { k } ( \xi _ { k } - \xi _ { k - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { s _ { 1 } \sim \rho } \mathbb { E } _ { ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \sim \pi _ { 1 } ^ { * } ( \cdot | s _ { 1 } ) } [ A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) ] } \\ { = } & { \sum _ { s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \rho ( s _ { 1 } ) \pi _ { 1 } ^ { * } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { \le } & { \sum _ { s _ { 1 } } \rho ( s _ { 1 } ) \operatorname* { m a x } _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { = } & { \sum _ { s _ { 1 } } \frac { \rho ( s _ { 1 } ) } { \mu ( s _ { 1 } ) } \mu ( s _ { 1 } ) \operatorname* { m a x } _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { \overset { ( a ) } { \le } } & { | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } \sum _ { s _ { 1 } } \mu ( s _ { 1 } ) \operatorname* { m a x } _ { a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { \overset { ( b ) } { = } } & { | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } \operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } _ { 1 } \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | } } \sum _ { s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \mu ( s _ { 1 } ) \bar { \pi } _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { \overset { ( c ) } { = } } & { | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } \operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } _ { 1 } \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | } } \sum _ { s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \mu ( s _ { 1 } ) ( \bar { \pi } _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) - \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ) A ^ { \pi } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { \overset { ( d ) } { = } } & { | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } \operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } _ { 1 } \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | \mathcal { S } | } } \sum _ { s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \mu ( s _ { 1 } ) ( \pi _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) - \bar { \pi } _ { 1 } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) ) Q ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) } \\ { \overset { ( e ) } { = } } & { | | \frac { \rho } { \mu } | | _ { \infty } \operatorname* { m a x } _ { \bar { \pi } _ { 1 } \in { \Delta } ( \mathcal { A } \times \mathcal { H } ) ^ { | S | } } ( \pi _ { 1 } - \bar { \pi } _ { 1 } ) ^ { \mathsf T } \nabla _ { \pi _ { 1 } } J ^ { \pi } ( \mu ) } \end{array}
\kappa _ { h } ^ { 2 } \left( 1 - y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \cdot \frac { d ^ { 2 } \Psi ( y ) } { d y ^ { 2 } } - 2 \kappa _ { h } ^ { 2 } y \left( 1 - y ^ { 2 } \right) \cdot \frac { d \Psi ( y ) } { d y } + \left[ \omega ^ { 2 } - V _ { 0 } \left( 1 - y ^ { 2 } \right) \right] \Psi ( y ) = 0
W [ J ] = \Gamma ( \phi _ { \mathrm { c l . } } ) + \int d ^ { d } x { \frac { \delta W [ J ] } { \delta J ( x ) } } J ( x ) , \quad { \frac { \delta W [ J ] } { \delta J ( x ) } } = \phi _ { \mathrm { c l . } } = < \Omega | \phi | \Omega > _ { J } \quad ,
M _ { n } = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - i \delta _ { n } } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { i \delta _ { n } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { r _ { n , n + 1 } } \\ { r _ { n , n + 1 } } & { 1 } \end{array} \right) \frac { 1 } { t _ { n , n + 1 } }
\begin{array} { r l } { \mathbf m _ { i j } ^ { n + 1 } } & { = \mathbf m _ { i j } ^ { n } - \Delta t \, \mathrm { R H S } _ { i j } ^ { \mathbf m } ( \rho _ { \cdot , \cdot } ^ { n } , \mathbf m _ { \cdot , \cdot } ^ { n } , e _ { \cdot , \cdot } ^ { n } ) } \\ { \rho _ { i j } ^ { n + 1 } } & { = \rho _ { i j } ^ { n } - \Delta t \, \mathrm { R H S } _ { i j } ^ { \rho } ( \rho _ { \cdot , \cdot } ^ { n } , \mathbf m _ { \cdot , \cdot } ^ { n + 1 } , e _ { \cdot , \cdot } ^ { n } ) } \\ { e _ { i j } ^ { n + 1 } } & { = e _ { i j } ^ { n } - \Delta t \, \mathrm { R H S } _ { i j } ^ { e } ( \rho _ { \cdot , \cdot } ^ { n } , \mathbf m _ { \cdot , \cdot } ^ { n + 1 } , e _ { \cdot , \cdot } ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { q } _ { 2 } = | A _ { 1 } | ^ { 2 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 1 } \bar { A } _ { 1 } } + | B _ { 1 } | ^ { 2 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { B _ { 1 } \bar { B } _ { 1 } } } \\ { + \left( A _ { 1 } ^ { 2 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 1 } A _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } 2 \left( \omega _ { 0 } t - \theta \right) } + B _ { 1 } ^ { 2 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { B _ { 1 } B _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } 2 \left( \omega _ { 0 } t + \theta \right) } + c . c . \right) } \\ { + \left( A _ { 1 } B _ { 1 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 1 } B _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } 2 \omega _ { 0 } t } + A _ { 1 } \overline { { B } } _ { 1 } \hat { \mathbf { q } } _ { 2 } ^ { A _ { 1 } \overline { { B } } _ { 1 } } e ^ { - \mathrm { i } 2 \theta } + c . c . \right) . \ } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } , m } } & { { } } & { = 4 \, \pi \, ( l _ { 1 } + l _ { 2 } ) ! \big [ ( 2 \, l _ { 1 } + 1 ) \, ( 2 \, l _ { 2 } + 1 ) \, ( l _ { 1 } - m ) ! \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { i j } ^ { 0 } } & { = \left( ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 1 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 2 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 3 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 4 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 5 } , \, ( x _ { i } ) _ { 6 } , \, ( x _ { j } ) _ { 6 } , \, v _ { i n l e t } \right) } \\ { e _ { i j } ^ { t } } & { = \left( ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 1 } , \, ( x _ { i } - x _ { j } ) _ { 2 } , \, ( \psi _ { \gamma } ( h _ { i } ^ { t } ) - \psi _ { \gamma } ( h _ { j } ^ { t } ) ) _ { 1 } , \, ( \psi _ { \gamma } ( h _ { i } ^ { t } ) - \psi _ { \gamma } ( h _ { j } ^ { t } ) ) _ { 2 } , \, ( \psi _ { \gamma } ( h _ { i } ^ { t } ) - \psi _ { \gamma } ( h _ { j } ^ { t } ) ) _ { 3 } , \, g _ { i } , \, g _ { j } , \, v _ { i n l e t } \right) } \end{array}
\boldsymbol f ( \boldsymbol X _ { t _ { \mathrm { \scriptsize ~ c y c } } } ) = \boldsymbol y _ { t } = \left\{ \begin{array} { c l } { 1 } & { \mathrm { f o r ~ n o r m a l ~ } \boldsymbol X _ { t _ { \mathrm { \scriptsize ~ c y c } } } } \\ { 0 } & { \mathrm { f o r ~ m o t i o n - i n f l u e n c e d ~ } \boldsymbol X _ { t _ { \mathrm { \scriptsize ~ c y c } } } } \end{array} \right.
\omega _ { a } ^ { 2 } ( t ) = \frac { ( \rho _ { 1 } - \rho _ { 2 } ) g ( t ) + \sigma k _ { a } ^ { 2 } } { \rho _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( k _ { a } | h _ { 2 } | ) + \rho _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( k _ { a } | h _ { 1 } | ) } k _ { a } \operatorname { t a n h } ( k _ { a } | h _ { 1 } | ) \operatorname { t a n h } ( k _ { a } | h _ { 2 } | ) ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { \sum _ { k } \hat { H } _ { k } } \\ { \hat { H } _ { k } } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } k ^ { 2 } } & { \frac { \hbar \Omega _ { R } } { 2 } } \\ { \frac { \hbar \Omega _ { R } } { 2 } } & { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } ( k + \Delta k ) ^ { 2 } } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } \mathbf { 1 } + \frac { \hbar \Omega _ { R } } { 2 } \sigma _ { x } + \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } ( k \Delta k ) + E _ { R } } \end{array} \right) , } \end{array}
| \Phi ( p , t ) | ^ { 2 } \sim { \mathcal { N } } \left( - m x _ { 0 } \omega \sin ( \omega t ) , { \frac { \hbar m \Omega } { 2 } } \left( \cos ^ { 2 } { ( \omega t ) } + { \frac { \omega ^ { 2 } } { \Omega ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } { ( \omega t ) } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { \Psi ( h + a ; a , r ) = } & { \sum _ { k ’ = - K } ^ { c } \left[ \psi ( a ( k ’ - r ) + h ) - \psi ( a ( k ’ - 1 - r ) ) \right] + O ( K ^ { - 1 / 2 } ) } \\ { = } & { \sum _ { k ’ = - K } ^ { c } \left[ \psi ( a ( k ’ - r ) + h ) - \psi ( a ( k ’ - r ) ) \right] - \psi ( a ( K - 1 - r ) ) } \\ & { + O ( K ^ { - 1 / 2 } ) = \Psi ( h ; a , r ) + O ( K ^ { - 1 / 2 } ) , \ K \to \infty . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \frac { l _ { E } ^ { D + 1 } } { ( l _ { E } ^ { 2 } + \Delta ) ^ { 6 } } = \frac { \pi ( D - 8 ) ( D - 6 ) ( D - 4 ) ( D - 2 ) D \csc \big ( \frac { \pi D } { 2 } \big ) } { 7 6 8 0 \Delta ^ { 5 - \frac { D } { 2 } } } \, .
d \mathcal S ^ { 2 } = \frac { 1 } { \left( 1 - \frac { { \Lambda } r ^ { 2 } } { 6 c ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } [ c ^ { 2 } ( d t ) ^ { 2 } - ( d x ) ^ { 2 } - ( d y ) ^ { 2 } - ( d z ) ^ { 2 } ] ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } _ { y } ^ { \mathrm { L R } } } & { = } & { U _ { \mathrm { H V } } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { y } ^ { \mathrm { H V } } U _ { \mathrm { H V } } } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - i } \\ { 1 } & { i } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { i } & { - i } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \frac { \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } } { 2 } ( { \bf 1 } - \sigma _ { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \lambda , u \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \sum _ { \chi } \chi ^ { - 1 } ( b ) \sum _ { x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \left( \chi \chi _ { 1 } \right) ( x _ { 1 } ) \psi ( u x _ { 1 } ) \cdots \left( \chi \chi _ { n + 1 } \right) ( x _ { n + 1 } ) \psi ( u x _ { n + 1 } ) } \\ & { \quad \times \psi ( - u \lambda ) \psi \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \lambda , u \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \sum _ { \chi } \chi ^ { - 1 } ( b ) \overline { { \chi ^ { n + 1 } \chi _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } } } ( u ) \psi ( - u \lambda ) \psi \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) G ( \chi \chi _ { 1 } ) \cdots G ( \chi \chi _ { n + 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \chi } \chi ^ { - 1 } ( b ) \left( \sum _ { \lambda \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \overline { { \chi ^ { n + 1 } \chi _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } } } \left( - \frac { 1 } { \lambda } \right) \psi \left( \frac { 1 } { \lambda } \right) \right) G ( \overline { { \chi ^ { n + 1 } \chi _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } } } ) } \\ & { \quad \times G ( \chi \chi _ { 1 } ) \cdots G ( \chi \chi _ { n + 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { q ( q - 1 ) } \sum _ { \chi } \chi ^ { - 1 } ( b ) \chi ^ { n + 1 } \chi _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } ( - 1 ) G ( \overline { { \chi ^ { n + 1 } \chi _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } } } ) G ( \overline { { \chi ^ { n + 1 } \chi _ { 1 } \cdots \chi _ { n + 1 } } } ) } \\ & { \quad \times G ( \chi \chi _ { 1 } ) \cdots G ( \chi \chi _ { n + 1 } ) . } \end{array}
\sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } \delta ( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ) = \frac { \prod _ { \alpha = 1 } ^ { l } m _ { \alpha } ! } { | T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | | T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | } | T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { \vec { A } } } \, .
( x _ { i } , k _ { j } ) = ( ( i - { 1 } / { 2 } ) { ( X _ { R } - X _ { L } ) } , ( j - { 1 } / { 2 } ) ( k _ { m a x } - k _ { m i n } ) ) / { N _ { u m } } , \ i , j = 1 , \dots , N _ { u m } ,
\begin{array} { r l } { r ^ { \mu \nu } } & { = \frac { 1 } { ( q - 1 ) ! } n ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } + \frac { 1 } { ( q - 2 ) ! } ( n _ { \ell } ) ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } \mu _ { \ell } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { q ! } { * \tilde { n } } ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } { * \tilde { \mu } } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } - \frac { m ^ { 2 } } { ( q - 1 ) ! } { ( * \tilde { n } _ { \psi } ) } ^ { \mu } _ { \rho _ { 1 } \ldots } { * \tilde { \mu } } _ { \psi } ^ { \nu \rho _ { 1 } \ldots } , } \\ { r ^ { [ \mu \nu ] } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \nu } , \, \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \beta } \bigr ] } & { = \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \underbrace { \bigl [ \hat { a } _ { \nu } , \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \bigr ] } _ { = \, \delta _ { \nu \alpha } } \hat { a } _ { \beta } + \underbrace { \bigl [ \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \bigr ] } _ { = \, 0 } \hat { a } _ { \nu } \hat { a } _ { \beta } + \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \underbrace { \bigl [ \hat { a } _ { \nu } , \hat { a } _ { \beta } \bigr ] } _ { = \, 0 } + \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \underbrace { \bigl [ \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } , \hat { a } _ { \beta } \bigr ] } _ { = \, - \delta _ { \mu \beta } } \hat { a } _ { \nu } } \\ & { = \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \beta } \, \delta _ { \nu \alpha } - \hat { a } _ { \alpha } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \nu } \, \delta _ { \mu \beta } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ { \hat { \sigma } } ^ { 2 } ] } & { = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname { E } [ ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } ] } { N } } } \\ & { = \operatorname { E } [ ( X - \operatorname { E } [ X ] ) ^ { 2 } ] - { \frac { 1 } { N } } \operatorname { E } [ ( X - \operatorname { E } [ X ] ) ^ { 2 } ] } \\ & { = \left( { \frac { N - 1 } { N } } \right) \sigma _ { \mathrm { a c t u a l } } ^ { 2 } } \\ { \operatorname { E } [ { \hat { \sigma } } _ { \mathrm { w } } ^ { 2 } ] } & { = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \operatorname { E } [ ( x _ { i } - \mu ^ { * } ) ^ { 2 } ] } { V _ { 1 } } } } \\ & { = \operatorname { E } [ ( X - \operatorname { E } [ X ] ) ^ { 2 } ] - { \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } ^ { 2 } } } \operatorname { E } [ ( X - \operatorname { E } [ X ] ) ^ { 2 } ] } \\ & { = \left( 1 - { \frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } ^ { 2 } } } \right) \sigma _ { \mathrm { a c t u a l } } ^ { 2 } } \end{array} }
S ( \sigma ) = \frac { 1 } { 4 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \sigma ^ { \prime } d \sigma ^ { \prime \prime } e ^ { \frac { 1 } { 4 } \gamma \eta p \left( \epsilon ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) - \epsilon ( \sigma - \sigma ^ { \prime \prime } ) \right) } e ^ { \psi ^ { + } ( \sigma ^ { \prime } ) } e ^ { \psi ^ { - } ( \sigma ^ { \prime \prime } ) }