harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { 1 - C \varepsilon ^ { \frac 1 { \theta } } } ^ { 1 } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s \right| } & { \leq C \varepsilon \int _ { 1 - C \varepsilon ^ { \frac 1 { \theta } } } ^ { 1 } ( 1 - s ) ^ { \frac \theta 2 } \leq C \varepsilon ^ { \frac 3 2 + \frac 1 \theta } , } \\ { \left| \int _ { - 1 } ^ { - 1 + C \varepsilon ^ { \frac 1 { \theta } } } Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) \, d s \right| } & { \leq C \varepsilon \int _ { - 1 } ^ { - 1 + C \varepsilon ^ { \frac 1 { \theta } } } ( s + 1 ) ^ { \frac \theta 2 } \leq C \varepsilon ^ { \frac 3 2 + \frac 1 \theta } , } \end{array}
\mathrm { \bf ~ r } _ { a } \to - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } , \; \; \; , \; \; \; \mathrm { \bf ~ p } _ { a } \to - \mathrm { \bf ~ p } _ { a } \; \; \; \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \to - \mathrm { \bf ~ A } ( - \mathrm { \bf ~ r } ) \; \; , \; \; \mathrm { \bf ~ E } ( \mathrm { \bf ~ r } ) \to - \mathrm { \bf ~ E } ( - \mathrm { \bf ~ r } )
\begin{array} { r } { k _ { T } + \left( \omega _ { 0 } ( k , v _ { | | } ) + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } \big ( ( \omega - v _ { | | } k ) ^ { 2 } - \Omega _ { e } \omega \big ) } { \omega _ { p e } ^ { 2 } \Omega _ { e } + 2 \omega ( \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } ) ^ { 2 } } \frac { N } { n _ { 0 } } \right) _ { Z } = 0 } \\ { ( v _ { | | } ) _ { T } + \left( \frac { v _ { | | } ^ { 2 } } { 2 } + c _ { s } ^ { 2 } \ln n _ { 0 } + \frac { c _ { s } ^ { 2 } - v _ { | | } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } k ^ { 2 } } | B _ { W } | ^ { 2 } \right) _ { Z } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } B ^ { i } } & { { } = \frac { 3 } { 4 } \partial _ { t } \bar { \Lambda } ^ { i } - \kappa _ { B } \frac { 3 } { 4 } \beta ^ { j } \hat { D } _ { j } \bar { \Lambda } ^ { i } - \eta B ^ { i } , } \\ { \partial _ { t } \beta ^ { i } } & { { } = B ^ { i } , } \end{array}
w _ { 0 , 0 } ^ { - 1 / 2 } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( 0 ) } w _ { \ell , 0 } ^ { - 1 / 2 } + \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( 0 ) } w _ { 0 , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { L ^ { \prime } ( \ell ) } w _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { - 1 / 2 } \le C _ { w } < \infty .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } ( n _ { T } ) ( n _ { T } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { n } _ { T } ) ( \tilde { n } _ { T } ) + ( n _ { T } ^ { 1 } - \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } ) \tilde { n } _ { T } } \end{array}
J _ { \mu } ^ { Z } = \left( \sqrt { 2 } G _ { \mu } M _ { Z } ^ { 2 } \rho _ { f } \right) ^ { 1 / 2 } \left[ \left( I _ { 3 } ^ { f } - 2 Q ^ { f } s _ { W } ^ { 2 } \kappa _ { f } \right) \gamma _ { \mu } - I _ { 3 } ^ { f } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \right] \; ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 0 , y } U _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } } & { = - a _ { - } ^ { \varepsilon } p _ { - } ^ { \varepsilon } + a _ { + } ^ { \varepsilon } \mathbf { E } _ { 0 , y } [ B ^ { \varepsilon } ( Y _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \mathbb { I } ( X _ { \tau ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } = a _ { + } ^ { \varepsilon } ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { e q , 2 } } } & { { } = \rho u _ { \alpha } u _ { \beta } + \rho c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } \theta , } \\ { \Pi _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \mathrm { e q , 2 } } } & { { } = \rho c _ { s } ^ { 2 } \left[ u _ { \alpha } \delta _ { \beta \gamma } \right] _ { \mathrm { ~ c ~ y ~ c ~ } } , } \end{array}
\Omega _ { n } = \sqrt { 1 + \frac { m ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { n ^ { 2 } l ^ { 2 } } } , \; \; \; \; a _ { n } ^ { R } = ( a _ { - n } ^ { R } ) ^ { \dag } , \; \; \; \; \tilde { a } _ { n } ^ { R } = ( \tilde { a } _ { - n } ^ { R } ) ^ { \dag } , \; \; \; \tilde { A } _ { 0 } ^ { R } = ( A _ { 0 } ^ { R } ) ^ { \dag } .
\mathcal { E } = \left\{ \left( q _ { 0 } , \, \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ E ~ } } ^ { ( 0 ) } \right) , \; \left( q _ { 1 } , \, \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ E ~ } } ^ { ( 1 ) } \right) \right\} .
\bar { S } _ { 1 } ( x ) [ \lambda ] = \frac { S _ { 1 } ( x ) [ \lambda ] } { \sigma [ \lambda ] } ~ ~ , ~ ~ \bar { S } _ { 2 } ( x ) [ \lambda ] = \frac { S _ { 2 } ( x ) [ \lambda ] } { \sigma ^ { 2 } [ \lambda ] }
c _ { x z } c _ { y z } - \sqrt { ( 1 - c _ { x z } ^ { 2 } ) ( 1 - c _ { y z } ^ { 2 } ) } \leq c _ { x y } \leq c _ { x z } c _ { y z } + \sqrt { ( 1 - c _ { x z } ^ { 2 } ) ( 1 - c _ { y z } ^ { 2 } ) }
{ \bf f } ^ { G W } ( t ) = \left( \begin{array} { l } { f _ { - 2 } ^ { G W } ( t ) } \\ { f _ { - 1 } ^ { G W } ( t ) } \\ { f _ { 0 } ^ { G W } ( t ) } \\ { f _ { 1 } ^ { G W } ( t ) } \\ { f _ { 2 } ^ { G W } ( t ) } \end{array} \right) .
H ( \tau _ { 1 } ^ { 2 } ) d \tau _ { 1 } ^ { 2 } f ( z _ { + } , m _ { \perp } ) d z _ { + } = H ( \tau _ { 2 } ^ { 2 } ) d \tau _ { 2 } ^ { 2 } f ( z _ { - } , m _ { \perp } ) d z _ { - } \; .
{ \frac { \sin z } { z ( z - 1 ) } } = { \frac { \sin 1 } { z - 1 } } + ( \cos 1 - \sin 1 ) + ( z - 1 ) \left( - { \frac { \sin 1 } { 2 ! } } - \cos 1 + \sin 1 \right) + \cdots .
\frac { B R ( \overline { { { B } } } \rightarrow X _ { s } \gamma ) } { B R ( \overline { { { B } } } \rightarrow X _ { c } e \overline { { { \nu } } } ) } \simeq \frac { 6 \alpha _ { Q E D } } { \pi g ( m _ { c } / m _ { b } ) } | C _ { 7 } ^ { e f f } ( m _ { b } ) | ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 2 \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { 3 \pi } f ( m _ { c } / m _ { b } ) \right) ^ { - 1 } ,
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } ( t ) } & { = { \frac { d } { d t } } \mathbf { v } ( t ) = { \frac { d } { d t } } \left( R \omega { \hat { \mathbf { u } } } _ { \theta } ( t ) \right) } \\ & { = R \left( { \frac { d \omega } { d t } } { \hat { \mathbf { u } } } _ { \theta } ( t ) + \omega { \frac { d { \hat { \mathbf { u } } } _ { \theta } } { d t } } \right) \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { h _ { 0 t } + ( u _ { 0 } h _ { 0 } ) _ { x } } & { = 0 , } \\ { B _ { 2 } ( \theta _ { B } ) \left( h _ { 0 } u _ { 0 x } \right) _ { x } + C _ { 2 } ( \theta _ { B } ) \gamma ( h _ { 0 } ^ { 2 } h _ { 0 x x x } ) _ { x } } & { = 0 , } \\ { \big ( h _ { 0 } K ( x , t ) \big ) _ { x } - \frac { \gamma } { 6 A _ { 2 } ( \theta _ { B } ) } \big ( h _ { 0 } ^ { 3 } h _ { 0 x x x } \big ) _ { x } } & { = 0 . } \end{array}
\Delta _ { F } ^ { ( n ) } ( x - y ) = \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { i \cdot 4 ^ { n } } { p ^ { 4 n } ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } e ^ { - i p \cdot ( x - y ) } \, .
\partial _ { n } \overset { w _ { 0 } } { A ^ { 1 } } ( q , u , \eta ) + \frac { \varrho } { \gamma _ { 0 } ( 2 ( 1 - 1 / n ) \upmu ( \varrho ) + \uplambda ( \varrho ) ) } \overset { \gamma _ { 0 } } { A ^ { 2 } } ( q , u , \eta ) \cdot e _ { n } = \partial _ { n } g + \frac { \varrho } { \gamma _ { 0 } ( 2 ( 1 - 1 / n ) \upmu ( \varrho ) + \uplambda ( \varrho ) ) } f \cdot e _ { n } .
| \mathcal { A } + \mathcal { A } | ^ { 2 } \geq \left| \bigcup _ { x \in \mathcal { R } } \mathcal { S } _ { x } \right| \geq \frac { 1 } { 7 3 3 3 } \sum _ { x \in \mathcal { R } } \left| \mathcal { S } _ { x } \right| \geq \frac { 1 } { 7 3 3 3 } | \mathcal { R } | 2 ^ { 2 I } \gg \frac { E ( \mathcal { A } ) } { \lceil \log | \mathcal { A } | \rceil } .
\begin{array} { r l r } { \phi _ { 2 } \left( r _ { i j l } \right) = } & { } & { A _ { i j l } \epsilon _ { i j l } \left[ B _ { i j l } \left( \frac { \sigma _ { i j l } } { r _ { i j l } } \right) ^ { p _ { i j l } } - \left( \frac { \sigma _ { i j l } } { r _ { i j l } } \right) ^ { q _ { i j l } } \right] } \\ & { } & { \times \exp \left( \frac { \sigma _ { i j l } } { r _ { i j l } - a _ { i j l } \sigma _ { i j l } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } } \\ { \dot { y } } \\ { \omega _ { x } } \\ { \omega _ { y } } \end{array} \right] = \underbrace { \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { \rho } \\ { - \rho } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } _ { \boldsymbol J } \left[ \begin{array} { l } { \omega _ { x } } \\ { \omega _ { y } } \end{array} \right] } \\ { \& \mathrm { a c c o r d i n g ~ t o ~ d ' A l e m b e r t s ~ p r i n c i p a l ~ } } \\ & { \boldsymbol J ^ { T } \, \boldsymbol C _ { n } ^ { T } = \left[ \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - \rho } & { 1 } & { 0 } \\ { \rho } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \, \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { \rho } \\ { - \rho } & { 0 } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ~ \surd } \end{array}
\psi = \sum _ { n > 2 } c _ { n } \, \big ( \mathcal { F } _ { n } \, \mathcal { X } _ { n - 2 } + \mathcal { F } _ { n - 2 } \, \mathcal { X } _ { n } \big ) + \sum _ { n \ge 1 } c _ { n o } \, \mathcal { X } _ { n } \, \mathcal { F } _ { n } \ . \
A C C ( c , \tau ) = \frac { 1 } { \mid D \mid } \sum _ { t _ { 0 } \in D } \frac { \sum _ { i , j } a _ { i } ( \hat { X } _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } - M _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } ) ( \hat { X } _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } - M _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } ) } { \sqrt { \sum _ { i , j } a _ { i } ( \hat { X } _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } - M _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } ) ^ { 2 } \sum _ { i , j } a _ { i } ( \hat { X } _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } - M _ { c , i , j } ^ { t _ { 0 } + \tau } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { u _ { \ell } ^ { E } ( k r ) } & { = } & { j ^ { - \ell } \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( k r ) e ^ { j k r } \to 1 , \mathrm { ~ a s ~ } k r \to \infty , } \\ { u _ { \ell } ^ { H } ( k r ) } & { = } & { j ^ { - \ell - 1 } \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( k r ) e ^ { j k r } \to 1 , \mathrm { ~ a s ~ } k r \to \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { H } } & { { } = A } \\ { \tilde { g } } & { { } = \frac { B - \tilde { H } ^ { 2 } } { C - \bar { x } \tilde { H } } } \\ { \tilde { \mu } } & { { } = \bar { x } - \frac { \tilde { H } } { \tilde { g } } } \\ { \tilde { \sigma } ^ { 2 } } & { { } = \frac { B } { \tilde { g } ^ { 2 } } - 2 \frac { C } { \tilde { g } } + \overline { { x ^ { 2 } } } - \tilde { \mu } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \tilde { \mathbf Z } } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \leq P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq | \mathbb { B } | , 0 \leq s \leq m ^ { * } } \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \tilde { Z } } _ { i , s \lceil n b \rceil | \mathbb { B } | + j } \right| \leq x \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Psi _ { 0 } ( \xi _ { \alpha } , \zeta _ { \alpha \alpha } ) = 1 - \zeta _ { \alpha \alpha } , } \\ & { \Psi _ { 1 } ( \xi _ { \alpha } , \zeta _ { \alpha \alpha } ) = \frac { \xi _ { \alpha } + \zeta _ { \alpha \alpha } } { 2 } , } \\ & { \Psi _ { - 1 } ( \xi _ { \alpha } , \zeta _ { \alpha \alpha } ) = \frac { - \xi _ { \alpha } + \zeta _ { \alpha \alpha } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( t \leq t _ { o n } ) } & { { } \equiv \exp { \bigg ( - \int _ { 0 } ^ { t } b e ^ { \beta u } d u \bigg ) } = \exp { \bigg ( \frac { b } { \beta } ( 1 - e ^ { \beta t } ) \bigg ) } = \exp { \bigg ( - \frac { \mu ( t ) } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta t } ) \bigg ) } } \\ { S _ { 2 } ( t _ { o n } < t \leq t _ { e n d } ) } & { { } \equiv \exp { \bigg ( - \int _ { t _ { o n } } ^ { t } b \bigg ( \frac { ( f ( t _ { o n } ) + m ) e ^ { - \alpha t _ { o n } } } { a } \bigg ) ^ { \beta / \alpha } e ^ { \beta u } d u \bigg ) } = \exp { \bigg ( - \frac { \mu ( t ) } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta ( t - t _ { o n } ) } ) \bigg ) } } \\ { S _ { 3 } ( t \geq t _ { e n d } ) } & { { } \equiv \exp { \bigg ( - \int _ { t _ { e n d } } ^ { t } b \bigg ( \frac { ( f ( t _ { e n d } , m = 0 ) + \Delta f ) e ^ { - \alpha t _ { e n d } } } { a } \bigg ) ^ { \beta / \alpha } \exp { ( \beta u ) } d u \bigg ) } = \exp { \bigg ( - \frac { \mu ( t ) } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta ( t - t _ { e n d } ) } ) \bigg ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { N } = } & { { } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left\{ 1 - g \left[ 1 + \left( \frac { a } { 2 } - \frac { b } { a } \right) \Delta _ { i } \right] \right\} \delta _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { u } ^ { q G } ( \Delta _ { t } ; r ) _ { q > 1 } } & { { } = \frac { B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , 2 r - \frac { 1 } { 2 } \right) } { \sqrt { 2 r - 3 } \, \sigma _ { u } ^ { q G } B e t a \left( \frac { 1 } { 2 } , r - \frac { 1 } { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ^ { 2 } s ^ { k } / d t ^ { 2 } } & { = d ^ { 2 } b ^ { k } / d t ^ { 2 } - d ^ { 2 } a ^ { k } / d t ^ { 2 } = } \\ & { = \frac { - \partial \Phi ( \alpha ( t ) ) } { \partial x ^ { k } } - { \textstyle \sum _ { i } } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi ( \alpha ( t ) ) } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { k } } s ^ { i } ( t ) + \frac { \partial \Phi ( \alpha ( t ) ) } { \partial x ^ { k } } } \\ & { = - { \textstyle \sum _ { i } } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi ( \alpha ( t ) ) } { \partial x ^ { i } \partial x ^ { k } } s ^ { i } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \beta ^ { \otimes 2 } ( a ^ { ( 1 ) } \gamma , b _ { j } \otimes b _ { k } ^ { * } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \beta ( a b _ { i } ^ { * } , b _ { j } ) \beta ( b _ { i } , b _ { k } ^ { * } ) = \beta ( a b _ { k } ^ { * } , b _ { j } ) = \beta ( b _ { k } ^ { * } , b _ { j } a ) = \beta ( \gamma a ^ { ( 2 ) } , b _ { j } \otimes b _ { k } ^ { * } ) . } \end{array}
\boldsymbol { U } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 ( \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } - \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ) } \left[ \begin{array} { l l l l } { \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { - \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { - i \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } / \omega _ { 1 } } & { i \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } / \omega _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { - \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { i \psi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } / \omega _ { 1 } } & { - i \psi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } / \omega _ { 1 } } \\ { - \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { i \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } / \omega _ { 2 } } & { - i \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } / \omega _ { 2 } } \\ { - \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { - i \psi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } / \omega _ { 2 } } & { i \psi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } / \omega _ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r } { \frac { \partial \hat { U } _ { i } ^ { \dagger } } { \partial { u } _ { l , j } } = \delta _ { i , j } L ( + i \hat { A } _ { i } ^ { \dagger } \Delta t _ { i } ; + i \hat { V _ { l } } \Delta t _ { i } ) } \\ { = \delta _ { i , j } L ^ { \dagger } ( - i \hat { A } _ { i } \Delta t _ { i } ; - i \hat { V _ { l } } \Delta t _ { i } ) } \\ { = \delta _ { i , j } L _ { i , l } ^ { \dagger } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { I } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { = \delta _ { \lambda , \beta } \left( \sum _ { i \in \mathcal { N } } \pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } z _ { i } - \mathbf { z } _ { I } \right) + \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } \sum _ { \left( R , \alpha \right) } p _ { \left( R , \alpha \right) } ^ { \circ } \left( \gamma \right) q _ { \gamma \beta } \eta _ { \widetilde { \alpha } \left( I \right) } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) . } \end{array}
{ \tilde { n } } _ { f , { \overline { { { M S } } } } } ^ { o } \left( \frac { Q ^ { 2 } } { m _ { q } ^ { 2 } } \right) = n _ { f , V } ^ { o } \left( \frac { { Q ^ { * } } ^ { 2 } } { m _ { q } ^ { 2 } } \right)
\langle \hat { \phi } ( { \bf x } , t ) \hat { \phi } ( { \bf x } ^ { \prime } , t ) \rangle _ { \mathrm { T } } = \frac { 1 } { { \cal Z } } \mathrm { T r } [ e ^ { - \beta _ { 0 } \hat { H } _ { \mathrm { H A } } } \hat { \phi } _ { f } ( { \bf x } , t ) \hat { \phi } _ { f } ( { \bf x } ^ { \prime } , t ) ]
\frac { \partial } { \partial x _ { p } } \frac { \partial } { \partial y } \phi ( x + x _ { p } , y + y _ { p } ) = \frac { \partial } { \partial x _ { p } } \left. \frac { \partial \phi ( x + x _ { p } , v ) } { \partial v } \right| _ { v = y + y _ { p } } \frac { d ( y + y _ { p } ) } { d y } = \left. \frac { \partial ^ { 2 } \phi ( u , v ) } { \partial u \partial v } \right| _ { u = x + x _ { p } , v = y + y _ { p } }
\omega _ { j } = \omega _ { 0 } + ( j - 3 1 ) \, \Delta \omega , \quad \Delta \omega = 2 \pi / T , \quad T = 4 0 9 6 \, \textrm { a . u . } , \quad \varphi _ { j } = - 3 v _ { j } \textrm { r a d } .
\begin{array} { r l } & { \mathop { \operatorname* { m a x } } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) \in \mathcal { Z } } R e g r e t ( \mathcal { M } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } , \textbf { a l g o } , K ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { \bar { H } L A } \sum _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) \in \mathcal { Z } } R e g r e t ( \mathcal { M } _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } , \textbf { a l g o } , K ) } \\ & { \geq K [ u ( H - \bar { H } - d - \rho ) - u ( - \rho ) ] \epsilon \left( 1 - \frac { 1 } { K \bar { H } L A } \sum _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } E _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } \left[ N _ { ( h ^ { * } , s ^ { * } , a ^ { * } ) } ^ { K } \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] \le } & { \mathbb { E } _ { \delta u } [ \| \hat { u } ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) - u ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } ] + \| u ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) + u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L _ { 2 } } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { T r i a n g l e ~ i n e q u a l i t y } ) } } \\ { \le } & { \alpha \sigma \sqrt { N _ { t } } + \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } } \epsilon ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } & { \quad { \scriptstyle ( \mathrm { L e m m a ~ ~ a n d ~ L e m m a ~ } ) } } \\ { = } & { \alpha \sigma \sqrt { N _ { t } } + \sqrt { N _ { t } } \epsilon . } & \end{array}
\gamma _ { \phi \phi } ^ { m } ( l ) = E [ \phi _ { k } ^ { m } \phi _ { k + l } ^ { m } ] = h _ { a 1 } ^ { 2 } E [ \phi _ { k } ^ { s _ { 1 } } \phi _ { k + l } ^ { s _ { 1 } } ] + . . . + h _ { a P } ^ { 2 } E [ \phi _ { k } ^ { s _ { P } } \phi _ { k + l } ^ { s _ { P } } ]
\left[ J _ { i } , J _ { j } \right] = i \epsilon _ { i j k } J _ { k } , \quad \left[ J _ { i } , K _ { j } \right] = i \epsilon _ { i j k } K _ { k } , \quad \left[ K _ { i } , K _ { j } \right] = - i \epsilon _ { i j k } J _ { k } .
\begin{array} { r l } & { \hat { H } _ { e l } = \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } + \hat { H } _ { o n e } ( x ) + \hat { \Pi } } \\ & { \hat { H } _ { o n e } ( x ) = \epsilon _ { d _ { 1 } } ( x ) \sum _ { \sigma } d _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } d _ { 1 \sigma } + \epsilon _ { d _ { 2 } } ( x ) \sum _ { \sigma } d _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } d _ { 2 \sigma } } \\ & { + t _ { d } \sum _ { \sigma } ( d _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } d _ { 2 \sigma } + d _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } d _ { 1 \sigma } ) } \\ & { + \sum _ { k \sigma } \epsilon _ { k \sigma } c _ { k \sigma } ^ { \dagger } c _ { k \sigma } + \sum _ { k \sigma } V _ { k } ( d _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } c _ { k \sigma } + c _ { k \sigma } ^ { \dagger } d _ { 1 \sigma } ) } \\ & { \hat { \Pi } = U ( d _ { 1 \uparrow } ^ { \dagger } d _ { 1 \uparrow } d _ { 1 \downarrow } ^ { \dagger } d _ { 1 \downarrow } + d _ { 2 \uparrow } ^ { \dagger } d _ { 2 \uparrow } d _ { 2 \downarrow } ^ { \dagger } d _ { 2 \downarrow } ) } \\ & { \epsilon _ { d _ { 1 } } ( x ) = e _ { d _ { 1 } } - \sqrt { 2 } g x } \\ & { \epsilon _ { d _ { 2 } } ( x ) = e _ { d _ { 2 } } - \sqrt { 2 } g x } \end{array}
{ { \varepsilon } _ { \mathrm { ~ a ~ p ~ p ~ } } } ( { { q } _ { x } } ) = 1 - \frac { q _ { x } ^ { 2 } + q _ { y } ^ { 2 } } { q _ { p \alpha } ^ { 2 } } = \underbrace { \frac { \sqrt { q _ { p \alpha } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } - { { q } _ { x } } } { { { q } _ { p \alpha } } } } _ { \varepsilon _ { a p p } ^ { - } \left( { { q } _ { x } } \right) , \, L H P \ a n a l y t i c } \underbrace { \frac { { { q } _ { x } } + \sqrt { q _ { p \alpha } ^ { 2 } - q _ { y } ^ { 2 } } } { { { q } _ { p \alpha } } } } _ { \varepsilon _ { a p p } ^ { + } \left( { { q } _ { x } } \right) , \, U H P \ a n a l y t i c } .
{ \frac { M _ { \mathrm { J u p i t e r } } } { M _ { \mathrm { N e p t u n e } } } } = { \frac { 1 . 9 0 \times 1 0 ^ { 2 7 } } { 1 . 0 2 \times 1 0 ^ { 2 6 } } } = 1 8 . 6 3 .
\begin{array} { r l } & { S \left( e ^ { ( a ) } ( U ) \right) = - \psi _ { - } ^ { ( a ) } \left( C ^ { - 3 / 2 } U \right) ^ { - 1 } e ^ { ( a ) } ( C U ) , } \\ & { S \left( f ^ { ( a ) } ( U ) \right) = - f ^ { ( a ) } ( C U ) \psi _ { + } ^ { ( a ) } \left( C ^ { - 3 / 2 } U \right) ^ { - 1 } , } \\ & { S \left( \psi _ { \pm } ^ { ( a ) } ( U ) \right) = \psi _ { \pm } ^ { ( a ) } \left( C ^ { - 1 } U \right) ^ { - 1 } , } \\ & { S ( C ) = C ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { P o r t \ 1 ^ { \prime } } \rangle } \\ { | \mathrm { P o r t \ 2 ^ { \prime } } \rangle } \end{array} \right) } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \sqrt { 1 - \alpha } } & { \sqrt { \alpha } } \\ { - \sqrt { \alpha } } & { \sqrt { 1 - \alpha } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { | \mathrm { P o r t \ 3 ^ { \prime } } \rangle } \\ { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle } \end{array} \right) , } \end{array}
S _ { \alpha \beta } ^ { * } + E _ { \alpha \beta } ^ { s } = \rho \varsigma ^ { 2 } \left[ A _ { \alpha \beta } ^ { s } \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + A _ { \beta \alpha } ^ { s } \partial _ { \beta } u _ { \alpha } \right] + B _ { \alpha } ^ { s } \partial _ { \alpha } \rho + B _ { \beta } ^ { s } \partial _ { \beta } \rho .
\lambda _ { 1 } = 1 , \quad \lambda _ { 2 } = \frac { \chi ^ { 2 } ( 1 + \chi ) ^ { 4 } } { 2 ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ^ { 4 } } , \quad \lambda _ { 3 } = \frac { \chi ^ { 2 } ( 1 + \chi ) ^ { 2 } } { 2 ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ^ { 3 } } , \quad \lambda _ { 4 } = \frac { \chi ^ { 3 } } { ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ^ { 3 } } , \quad 0 , \ \ \ 0 , \ \ \ 0 , \ \ \ 0 .
( \dot { p } _ { 1 } , \dot { p } _ { 2 } , \dot { p } _ { 3 } ) = ( k p _ { 2 } , - k p _ { 1 } , 0 ) - d ^ { 2 } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } , p _ { 3 } ) + ( 0 , 0 , d ^ { 2 } p _ { 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { K _ { i j } } & { = \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } X _ { j \beta } = \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } X _ { j \beta } + \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha i } R _ { i \beta } } { R _ { i i } } X _ { j \beta } } \\ & { = \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( i j ) } X _ { j \beta } + \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha j } ^ { ( i ) } R _ { j \beta } ^ { ( i ) } } { R _ { j j } ^ { ( i ) } } X _ { j \beta } + \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha i } ^ { ( j ) } R _ { i \beta } ^ { ( j ) } } { R _ { j j } ^ { ( i ) } } X _ { j \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \end{array}
\left( \boldsymbol { \hat { u } } - \boldsymbol { \tilde { \hat { u } } } \right) \left( \boldsymbol { \hat { u } } - \boldsymbol { \tilde { \hat { u } } } \right) ^ { H } - \mathbb { E } \left[ \left( \boldsymbol { \hat { u } } - \boldsymbol { \tilde { \hat { u } } } \right) \left( \boldsymbol { \hat { u } } - \boldsymbol { \tilde { \hat { u } } } \right) ^ { H } \right] = \boldsymbol { \varepsilon _ { u u } } ^ { * } - \boldsymbol { \varepsilon _ { u y } } ^ { * } \boldsymbol { T _ { u } } ^ { H } - \boldsymbol { T _ { u } } { \boldsymbol { \varepsilon _ { u y } } ^ { * H } } + \boldsymbol { T _ { u } } \boldsymbol { \varepsilon _ { y y , n } } ^ { * } \boldsymbol { T _ { u } } ^ { H } .