harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l } { X ^ { \prime } } \\ { Y ^ { \prime } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \eta } \left( \begin{array} { l } { \sqrt { \mathbb { S } ^ { 2 } + ( \eta ^ { 2 } \mathbb { C } + \sigma \mathbb { S } ) ^ { 2 } } \cos \chi ^ { \prime } } \\ { \sqrt { \mathbb { C } ^ { 2 } + ( \eta ^ { 2 } \mathbb { S } + \sigma \mathbb { C } ) ^ { 2 } } \sin \chi ^ { \prime } } \end{array} \right) .
\left\langle p _ { \mu } \frac { \partial T } { \partial p _ { \nu } } \right\rangle = \frac { 1 } { Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ) \: p _ { \mu } \frac { \partial T } { \partial p _ { \nu } } = - \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: p _ { \mu } \frac { \partial } { \partial p _ { \nu } } \exp ( - \beta \mathcal { H } ) = \frac { 1 } { \beta Z } \int \mathrm { d } ^ { n } \theta \int \mathrm { d } ^ { n } p \: \frac { \partial p _ { \mu } } { \partial p _ { \nu } } \: \exp ( - \beta \mathcal { H } ) = \frac { \delta _ { \mu } ^ { \nu } } { \beta }
E _ { m } ^ { \gamma } \simeq \frac { 2 . 8 2 \hbar c ^ { 3 } } { 8 \pi G M } \simeq 4 3 \times \left( \frac { 1 0 0 } { N _ { s p } } \times \frac { 1 \; s e c } { \tau _ { _ { 1 / 2 } } } \right) ^ { 1 / 3 } T e V ,
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { P } } & { = \left( \hat { S } _ { 1 } ^ { + } \hat { S } _ { 2 } ^ { - } \hat { S } _ { 3 } ^ { + } \hat { S } _ { 4 } ^ { - } \hat { S } _ { 5 } ^ { + } \hat { S } _ { 6 } ^ { - } + \mathrm { H . c . } \right) , } \\ { \hat { Y } _ { P } } & { = - i \hat { S } _ { 1 } ^ { + } \hat { S } _ { 2 } ^ { - } \hat { S } _ { 3 } ^ { + } \hat { S } _ { 4 } ^ { - } \hat { S } _ { 5 } ^ { + } \hat { S } _ { 6 } ^ { - } + \mathrm { H . c . } , } \end{array}
\hat { \bf e } _ { 3 } ( \mathbf { k } ) = \hat { \bf k } ; ~ ~ ~ \hat { \bf e } _ { 1 } ( \mathbf { k } ) = ( \hat { \bf k } \times \hat { \bf n } ) / \lvert \hat { \bf k } \times \hat { \bf n } \rvert ; ~ ~ ~ \hat { \bf e } _ { 2 } ( \mathbf { k } ) = \hat { \bf k } \times \hat { \bf e } _ { 1 } ( \mathbf { k } ) ,
\begin{array} { r l } { ( X _ { j } \otimes X _ { j } ) | \beta ( x _ { j } , y _ { j } ) \rangle } & { = ( - 1 ) ^ { x _ { j } } | \beta ( x _ { j } , y _ { j } ) \rangle , } \\ { ( Y _ { j } \otimes Y _ { j } ) | \beta ( x _ { j } , y _ { j } ) \rangle } & { = ( - 1 ) ^ { x _ { j } \oplus y _ { j } \oplus 1 } | \beta ( x _ { j } , y _ { j } ) \rangle , } \\ { ( Z _ { j } \otimes Z _ { j } ) | \beta ( x _ { j } , y _ { j } ) \rangle } & { = ( - 1 ) ^ { y _ { j } } | \beta ( x _ { j } , y _ { j } ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vert I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) ) - I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , y ) ) \Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } } \\ & { \times \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | x - y | ^ { 2 \varepsilon } | \eta _ { n } | ^ { 2 \varepsilon } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } | \eta _ { j } - \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { \leq } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } } \\ & { \times \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \sum _ { a \in \mathcal { D } _ { n } } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | x - y | ^ { 2 \varepsilon } | \eta _ { n } | ^ { 2 \varepsilon } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \times | \eta _ { j } | ^ { a _ { j } } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf s \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { = } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } | x - y | ^ { 2 \varepsilon } } \\ & { \times \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \sum _ { a \in \mathcal { D } _ { n } } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | \eta _ { n } | ^ { 2 \varepsilon } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \times | \eta _ { j } | ^ { a _ { j } } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf s \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \# \{ i | ( \exists g \in \Gamma ) ( \rho _ { \uparrow } ( \phi _ { \uparrow } ( e _ { i } ) ) = a + g \mathrm { ~ a n d ~ } \rho ^ { \downarrow } ( \phi ^ { \downarrow } ( e _ { i } ) ) = b + g ) \} } \\ & { \qquad = \dim _ { \kappa } \left( \frac { H _ { \uparrow } ^ { \leq a } \cap H _ { \geq b } ^ { \downarrow } } { ( H _ { \uparrow } ^ { < a } \cap H _ { \geq b } ^ { \downarrow } ) + ( H _ { \uparrow } ^ { \leq a } \cap H _ { > b } ^ { \downarrow } ) } \right) . } \end{array}
\lambda _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } ( \bar { \eta _ { 1 } } ) _ { x } d x + \bar { u } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + \frac { R \bar { \theta } } { \bar { \rho } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \xi _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + R \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \zeta _ { x } \bar { \eta _ { 1 } } d x + \nu \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \eta \bar { \eta _ { 1 } } d x = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } g \bar { \eta _ { 1 } } d x .
I _ { X 2 } \equiv \int \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \Bigg \{ \frac { 2 q _ { \mu } ( q _ { \mu } + k _ { \mu } ) } { \Big ( ( k + q ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } \Big ( q ^ { 2 } + M ^ { 2 } \Big ) ^ { 2 } } - \frac { 4 M ^ { 2 } } { \Big ( ( k + q ) ^ { 2 } + M ^ { 2 } \Big ) \Big ( q ^ { 2 } + M ^ { 2 } \Big ) ^ { 3 } } \Bigg \} . \qquad
\begin{array} { r l } { \overline { { { \bf z } ^ { t } } } - \overline { { { \bf x } ^ { t } } } } & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } { \bf y } ^ { t , k + 1 } ( i ) - { \bf y } ^ { t , k } ( i ) ) } { m } } \\ & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } ( - \eta { \bf \tilde { g } } ^ { t , k } ( i ) ) } { m } } \\ & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } ( - \eta \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k } + \rho \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k } ; \xi ) / \left\| \nabla F _ { i } ( \mathbf { y } ^ { t , k } ; \xi ) \right\| _ { 2 } ) ; \xi ) } { m } . } \end{array}
\mu ( \bar { k } , \chi ) = \log _ { 1 0 } \left( a _ { 0 } ^ { \chi - a _ { 1 } } + a _ { 2 } \right) + \left( a _ { 3 } ^ { \chi - a _ { 4 } } + a _ { 5 } \right) \log _ { 1 0 } \bar { k }
\phi = \left( \begin{array} { l l l } { - \phi _ { 1 } ^ { 1 } - \phi _ { 2 } ^ { 2 } } & { \theta _ { 2 } } & { \theta _ { 0 } } \\ { \alpha ^ { 0 } } & { \phi _ { 1 } ^ { 1 } } & { \theta _ { 1 } } \\ { \alpha ^ { 1 } } & { \beta ^ { 1 } } & { \phi _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) \qquad \left\{ \begin{array} { l l } { \theta _ { 2 } = - x _ { 1 8 } \alpha ^ { 2 } - \frac 5 3 x _ { 4 } \alpha ^ { 1 } - A _ { 1 } \alpha ^ { 0 } + \mu _ { 0 } , } \\ { \theta _ { 1 } = \frac 4 3 W _ { 1 } \alpha ^ { 1 } + \alpha ^ { 2 } , } \\ { \theta _ { 0 } = 8 x _ { 1 5 } \alpha ^ { 2 } - \frac 8 3 x _ { 1 4 } \alpha ^ { 1 } - \frac { 1 6 } { 3 } x _ { 4 } \alpha ^ { 0 } - \frac 4 3 W _ { 1 } \beta ^ { 1 } - \beta ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\Delta S _ { \mathrm { e f f } } = i \int d ^ { 4 } x \, d ^ { 4 } y \, \frac { \delta S _ { \mathrm { e f f } } } { \delta \phi _ { i } ( y ) } \langle \Delta _ { i } \eta ( y ) \, \bar { \eta } ( x ) \, \Delta F ( x ) \rangle _ { \mathrm { 1 P I } }
\begin{array} { r l } & { Z _ { 2 } = \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { [ \frac { W } { 3 } ] + [ \frac { W + 1 } { 2 } ] } } { 2 } \quad \mathrm { z i g z a g - t e r m i n a t e d } , } \\ & { Z _ { 2 } = \frac { 1 - ( - 1 ) ^ { [ \frac { W } { 3 } ] + [ \frac { W + 1 } { 2 } ] } } { 2 } \quad \mathrm { z i g z a g ^ { \prime } - t e r m i n a t e d } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial x ^ { < a _ { 1 } . . . } \partial x ^ { a _ { \ell } > } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) d \tau ^ { \prime } } & { { } = } & { \sum _ { p = 0 } ^ { \ell } \frac { \ell ! } { p ! ( \ell - p ) ! } k _ { < a _ { 1 } } . . . k _ { a _ { p } } \partial _ { a _ { p + 1 } } . . . \partial _ { a _ { \ell } > } \Big \{ \frac { \partial ^ { p } } { \partial \tau ^ { p } } \ln \Big ( \frac { \sqrt { b ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } } + \tau } { b } \Big ) \Big \} \Big | _ { \tau _ { 0 } } ^ { \tau } = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { C a s e A ) } } & { { } \, \mathrm { ~ I ~ f ~ } \quad \mu \leq { 3 \gamma _ { 1 } } / { 5 } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \textbf { C a s e B ) } } & { { } \, \mathrm { ~ I ~ f ~ } \quad \mu > { 3 \gamma _ { 1 } } / { 5 } , \, \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, s > \lambda _ { 2 0 } \, \Leftrightarrow \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \, \, M _ { 0 } > M _ { 2 0 } , \, \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ y ~ } \, \, c _ { 0 } \in \, ] 0 , 1 [ \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) E _ { 2 } } & { = ( \tilde { R } ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) E _ { 2 } ) ^ { T } + A _ { h ( E _ { 2 } , E _ { 2 } ) } E _ { 1 } - A _ { h ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) } E _ { 2 } , } \\ { i R ( E _ { 2 } , E _ { 1 } ) E _ { 1 } } & { = i ( \tilde { R } ( E _ { 2 } , E _ { 1 } ) E _ { 1 } ) ^ { T } + i A _ { h ( E _ { 1 } , E _ { 1 } ) } E _ { 2 } - i A _ { h ( E _ { 2 } , E _ { 1 } ) } E _ { 1 } , } \end{array}
< \tilde { \mathbf { u } } _ { n } > = \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } \tilde { \mathbf { u } } _ { n } \, \mathrm { d } y = \frac { \mathrm { i } \beta _ { n } } { \xi _ { n } } \nabla \tilde { p } _ { n } , \ \ \ \ \ \ \ \ \beta _ { n } = 1 - \frac { 2 \delta _ { n } } { 1 + \mathrm { i } } \operatorname { t a n h } { \frac { 1 + \mathrm { i } } { 2 \delta _ { n } } } .
\sigma _ { s } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { * 2 } { } \, ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } } } ) \left( ^ 1 ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) + { } ^ { 1 } ( \pi _ { y } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) \right)
\begin{array} { r l } { R _ { i j } } & { { } = R _ { i j } ^ { \phi } + \tilde { R } _ { i j } } \\ { R _ { i j } ^ { \phi } } & { { } = - 2 \tilde { D } _ { i } \tilde { D } _ { j } \phi - 2 \tilde { \gamma } _ { i j } \tilde { D } _ { k } \tilde { D } ^ { k } \phi } \\ { \tilde { R } _ { i j } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \tilde { \gamma } ^ { l m } \partial _ { i } \partial _ { j } \tilde { \gamma } _ { l m } + \tilde { \gamma } _ { k ( i } \partial _ { j ) } \tilde { \Gamma } ^ { k } + \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { d } } ^ { k } \tilde { \Gamma } _ { ( i j ) k } } \end{array}
< \Lambda _ { Q } ( \vec { P ^ { \prime } } ) , { \lambda } ^ { \prime } \mid \Lambda _ { Q } , ( \vec { P } ) , { \lambda } > = \frac { E _ { \Lambda _ { Q } } } { m _ { \Lambda _ { Q } } } \delta ( \vec { P } - \vec { P ^ { \prime } } ) \delta _ { \lambda { ' } \lambda } ,
\begin{array} { r l r } { - \overline { { A } } _ { 0 i } \cos \theta _ { i } + A _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 r } \sin \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { = } & { A _ { 0 t } \sin \theta _ { i } - \overline { { A } } _ { 0 t } \cos \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } \sin \theta _ { i } + A _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - A _ { 0 r } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \sin \theta _ { i } } & { = } & { A _ { 0 t } \cos \theta _ { i } + \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 i } \cos \theta _ { i } - \overline { { A } } _ { 0 r } \cos \theta _ { i } } & { = } & { \overline { { A } } _ { 0 t } \cos \overline { { \theta } } _ { t } , } \\ { \mu \left( \overline { { A } } _ { 0 i } + \overline { { A } } _ { 0 r } \right) \sin \overline { { \theta } } _ { t } } & { = } & { \mu _ { 0 } \overline { { A } } _ { 0 t } \sin \theta _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { k } ^ { \pm } } & { = \omega _ { o } \pm \sqrt { v ^ { 2 } + w ^ { 2 } + 2 v w \, \cos { k } } \equiv \omega _ { o } \pm f _ { k } , } \\ { | \phi _ { k } ^ { \pm } \rangle } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi } } \sum _ { x = - \infty } ^ { \infty } e ^ { i k \, x } \Big ( \pm e ^ { - i \theta _ { k } } | x , A \rangle + | x , B \rangle \Big ) , } \end{array}
{ \tilde { \Lambda } } ( \lambda _ { l } ) { \vec { a } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \Lambda _ { 1 1 } } & { . . . } & { \Lambda _ { 1 N } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \Lambda _ { N 1 } } & { . . . } & { \Lambda _ { N N } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { a _ { N } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { e ^ { - S _ { 2 } ^ { A } } } & { { } = \frac { \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } P _ { s _ { 1 } } P _ { s _ { 2 } } \operatorname* { d e t } g _ { C = A } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \sum _ { \left\{ s _ { 1 } \right\} , \left\{ s _ { 2 } \right\} } P _ { s _ { 1 } } P _ { s _ { 2 } } \operatorname* { d e t } g _ { C = \varnothing } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \left( \hat { p } - p _ { t } \right) ^ { T } \rangle } \\ & { = \int \psi ( q , t ) ^ { \ast } V ^ { \prime } ( q ) \otimes ( - i \hbar \nabla - p _ { t } ) ^ { T } \psi ( q , t ) d ^ { D } q } \\ & { = \int \psi ( x , t ) ^ { \ast } V ^ { \prime } ( q _ { t } + x ) \otimes \left( A _ { t } \cdot x \right) ^ { T } \psi ( x , t ) d ^ { D } x } \\ & { = \langle \hat { V } ^ { \prime } \otimes \hat { x } ^ { T } \rangle \cdot A _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\langle v \right\rangle ^ { k } ( \partial _ { v _ { i } } h ) ^ { 2 } } & { + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\langle v \right\rangle ^ { k } A [ f ] \nabla \partial _ { v _ { i } } h \cdot \nabla \partial _ { v _ { i } } h } \\ & { \le - \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla ( \left\langle v \right\rangle ^ { k } \partial _ { v _ { i } } h ) \cdot \partial _ { v _ { i } } A [ f ] \nabla h \, \mathrm { d } v - \int A [ f ] \partial _ { v _ { i } } h \nabla \partial _ { v _ { i } } h \nabla \langle v \rangle ^ { k } } \\ & { \quad + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \nabla ( \left\langle v \right\rangle ^ { k } \partial _ { v _ { i } } h ) \cdot \partial _ { v _ { i } } ( \nabla a [ f ] h ) \, \mathrm { d } v + \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \partial _ { v _ { i } } \left( \left\langle v \right\rangle ^ { k } \partial _ { v _ { i } } h \right) \left( A [ h ] : \nabla ^ { 2 } \mu + h \mu \right) \, \mathrm { d } v } \\ & { = J _ { 1 } + J _ { 2 } + J _ { 3 } + J _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { c } [ k ] = a _ { + } [ k ] \mathbf { c } _ { + } [ k ] + a _ { - } [ k ] \mathbf { c } _ { - } [ k ] \, , \ } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad \mathbf { a } ^ { T } = \left( \begin{array} { l l } { a _ { + } [ k ] } & { a _ { - } [ k ] } \end{array} \right) \, . \, } \end{array}
\mathrm { D e t } _ { N } ^ { \mathbf { r } } : = \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } \\ { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } \end{array} \right) ^ { r - r _ { 3 } } \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } \\ { z _ { 1 } } & { z _ { 2 } } \end{array} \right) ^ { r - r _ { 2 } } \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { l l } { y _ { 1 } } & { y _ { 2 } } \\ { z _ { 1 } } & { z _ { 2 } } \end{array} \right) ^ { r - r _ { 1 } } ,
Q _ { 2 } = \left( \! \! \begin{array} { c c } { T _ { 2 1 } ^ { s u b } } & { T _ { 2 2 } ^ { s u b } B } \\ { T _ { 1 1 } ^ { s u p } B } & { T _ { 1 2 } ^ { s u p } } \end{array} \! \! \right) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \epsilon \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } ( \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) + \epsilon \frac { \partial ( p ^ { \sigma } \delta _ { \alpha \beta } + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { 1 \beta } } = - \epsilon \frac { \rho ^ { \sigma } } { \tau ^ { \sigma } } ( u _ { \alpha } ^ { \sigma } - u _ { \alpha } ) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \cup _ { k \geq 1 } ( \widehat { a } _ { k } , \widehat { b } _ { k } ) } \widehat { \varphi } ( \widehat { x } ) ^ { 2 } d \widehat { x } } & { = \sum _ { k \geq 1 } \frac { \left( \widehat { h } ( \widehat b _ { k } ) - \widehat { h } ( \widehat a _ { k } ) \right) ^ { 2 } } { | \widehat { b } _ { k } - \widehat { a } _ { k } | } } \\ & { = \sum _ { x \in D ^ { - } } \frac { \left( f ( x ) - f ( x - ) \right) ^ { 2 } } { \mathbf { s } ( x ) - \mathbf { s } ( x - ) } + \sum _ { x \in D ^ { + } } \frac { \left( f ( x + ) - f ( x ) \right) ^ { 2 } } { \mathbf { s } ( x + ) - \mathbf { s } ( x ) } } \\ & { = \int _ { I } \left( \frac { d f ^ { - } } { d \mu _ { d } ^ { - } } \right) ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { - } + \int _ { I } \left( \frac { d f ^ { + } } { d \mu _ { d } ^ { + } } \right) ^ { 2 } d \mu _ { d } ^ { + } < \infty . } \end{array}
f _ { i } ^ { \prime } = f _ { i } + \frac { \delta t } { 2 } \left( \frac { 1 } { \tau _ { 1 } } - \frac { 1 } { \tau _ { 2 } } \right) ( f _ { i } ^ { \ast } - f _ { i } ^ { \mathrm { e q } } ) .
\mathrm { f } _ { k } = \left( \mathrm { \ u p s i g m a } _ { a ; k } - \mathrm { \ u p s i g m a } _ { b ; k } \right) \cdot \mathrm { n } _ { x } \Delta y + \left( \mathrm { \ u p s i g m a } _ { c ; k } - \mathrm { \ u p s i g m a } _ { d ; k } \right) \cdot \mathrm { n } _ { y } \Delta x ,
\frac { 1 } { 4 \pi } \nabla ^ { 2 } \phi _ { 1 } ( \textbf { x } ) + \frac { \rho _ { t h } ^ { 2 } } { \lambda _ { D } ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } \Psi _ { 1 } ( \textbf { x } ) = \sum _ { i } q _ { i } n _ { i } ( \textbf { x } ) - e n _ { e } ( \textbf { x } ) .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \gamma , \eta } \operatorname* { m a x } _ { \varphi } \left( \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] - d \right) \varphi + c \mathbf { P } ( U = 1 ) } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 - \varphi ) \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ ~ } \mathbf { P } ( U = 1 ) \le \bar { \kappa } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { ( \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + 1 ) } & { ( \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + 1 ) } & { ( \lambda _ { 3 } ^ { 2 } + 1 ) } & { ( \lambda _ { 4 } ^ { 2 } + 1 ) } \\ { L _ { 1 } } & { L _ { 2 } } & { L _ { 3 } } & { L _ { 4 } } \\ { e ^ { - \lambda _ { 1 } H } } & { e ^ { - \lambda _ { 2 } H } } & { e ^ { - \lambda _ { 3 } H } } & { e ^ { - \lambda _ { 4 } H } } \\ { \lambda _ { 1 } e ^ { - \lambda _ { 1 } H } } & { \lambda _ { 2 } e ^ { - \lambda _ { 2 } H } } & { \lambda _ { 3 } e ^ { - \lambda _ { 3 } H } } & { \lambda _ { 4 } e ^ { - \lambda _ { 4 } H } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { C _ { 1 } } \\ { C _ { 2 } } \\ { C _ { 3 } } \\ { C _ { 4 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathscr { R } _ { 1 } } \\ { \mathscr { R } _ { 2 } } \\ { \mathscr { R } _ { 3 } } \\ { \mathscr { R } _ { 4 } } \end{array} \right]
T _ { s } [ \hat { \rho } ^ { \eta } ] = \tilde { T } _ { s } [ \hat { \rho } ^ { l } ] + T _ { s } ^ { 1 } [ \hat { \rho } ^ { l } ] - \tilde { T } _ { s } ^ { 1 } [ \hat { \rho } ^ { l } ] + T ^ { h } [ \hat { \rho } ^ { h } ] ,
\Delta L _ { k } ( N _ { 1 } , N _ { 2 } ; N _ { 1 } , N _ { 1 } ) \approx \frac { ( N _ { 2 } ^ { ( R b ) } + N _ { 2 } ^ { ( K ) } ) { \mathrm { W e } } ( N _ { 2 } ) } { ( N _ { 1 } ^ { ( R b ) } + N _ { 1 } ^ { ( K ) } ) { \mathrm { W e } ( N _ { 1 } ) } . }
\begin{array} { r l } & { \widetilde a _ { - 1 } = \frac { \pi k } { h } \, a _ { - 1 } \, , \qquad \widetilde a _ { n } = \left( \frac { h } { \pi k } \right) ^ { n } \left[ a _ { n } - \ln \left( \frac { \pi k } { h } \right) b _ { n } \right] \, , \qquad \widetilde b _ { n } = \left( \frac { h } { \pi k } \right) ^ { n } b _ { n } \, , } \\ & { \widetilde c _ { n } = \left( \frac { h } { \pi k } \right) ^ { n } \left[ c _ { n } - \ln \left( \frac { \pi k } { h } \right) d _ { n } \right] \, , \qquad \widetilde d _ { n } = \left( \frac { h } { \pi k } \right) ^ { n } d _ { n } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { S } _ { z } ( t ) \approx \eta \langle \hat { S } _ { y , \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle \chi \Delta z _ { m } ( t ) + \sqrt { \eta \frac { c } { 2 } \langle \hat { S } _ { 0 , \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle } \cos \alpha ( \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ , ~ 0 ~ } } ^ { \dagger } ( c t ) + \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ , ~ 0 ~ } } ( c t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l l } { \hat { a } _ { 1 } } & { \hat { b } _ { 1 } } & { \cdots } & { \hat { a } _ { N } } & { \hat { b } _ { N } } \end{array} \right) ~ \tilde { H } ~ \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { 1 } } \\ { \hat { b } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \hat { a } _ { N } } \\ { \hat { b } _ { N } } \end{array} \right) , } \end{array}
\left( { \frac { \cal Z } { | Z | } } \right) _ { m a g } = \left( \begin{array} { l l } { { i \sigma _ { 2 } \; \left( \begin{array} { l l l l } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) } } & { { \mathrm { I } } } \\ { { - \mathrm { I } } } & { { i \sigma _ { 2 } \; \left( \begin{array} { l l l l } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { \d X _ { i } ( t ) } & { = - \nabla V [ \hat { \mu } _ { t } ] ( X _ { i } ( t ) ) \d t + \sqrt { 2 \tau } \d B _ { t , i } + \d \Phi _ { t , i } , \quad X _ { i } ( 0 ) \sim \mu _ { 0 } } \\ { \hat { \mu } _ { t } } & { = \frac 1 m \sum _ { i = 1 } ^ { m } \delta _ { X _ { i } ( t ) } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { c _ { L + 1 , \sigma } ^ { \dagger } } & { { } = } & { \exp ( i \theta ) c _ { 1 , \sigma } ^ { \dagger } } \\ { c _ { L + 1 , \sigma } } & { { } = } & { \exp ( - i \theta ) c _ { 1 , \sigma } } \end{array}
F = \int { \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( f + \frac { 1 } { 2 } \frac { \zeta U _ { 0 } ^ { 2 } \tau _ { R } } { 2 v _ { 0 } } \kappa \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) d \mathbf { x } } ,
\mathbf { M } ^ { c e } = \left( \begin{array} { l l l } { \times } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \times } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \times } \end{array} \right) , \quad \mathbf { M } ^ { d f } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \times } & { \times } \\ { 0 } & { \times } & { \times } \end{array} \right) , \quad \mathbf { M } ^ { c o } = \left( \begin{array} { l l l } { \times } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \times } & { \times } \\ { 0 } & { \times } & { \times } \end{array} \right) ,