harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S \left[ ( m + \frac { \delta } { 2 } ) i v _ { \mu } + q _ { \mu } \right] = \frac { 1 + \gamma _ { 3 } } { 2 } \, \frac { 1 } { ( \mathrm { ~ \, ~ - \frac { 1 } { 2 } ~ \, ~ } \delta + i q _ { 3 } + \frac { \left| { \bf q } \right| ^ { 2 } } { 2 m } ) - \frac { 1 } { 4 \pi } \ln \frac { \epsilon } { 4 } } \, + \, O \left( \frac { \ln m } { m } \right) .
\begin{array} { r l } { \varphi _ { 0 } ( x ) } & { { } = \pi ^ { - 1 / 4 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } , \quad \varphi _ { 1 } ( x ) = \pi ^ { - 1 / 4 } \sqrt { 2 } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } x , } \\ { \varphi _ { j } ( x ) } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { j } } \ x \ \varphi _ { j - 1 } ( x ) - \sqrt { \frac { j - 1 } { j } } \ \varphi _ { j - 2 } ( x ) , \quad j \geq 2 . } \end{array}
H _ { e f f } = \left( \begin{array} { c c } { \varepsilon + e k _ { x } ^ { 2 } - i \gamma _ { 1 } k _ { x } ^ { 2 } } & { u - i \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } k _ { x } ^ { 2 } } \\ { u - i \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } k _ { x } ^ { 2 } } & { - \varepsilon - e k _ { x } ^ { 2 } - i \gamma _ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } } \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
M _ { \mathbf { q } } \stackrel { \mathrm { d e f . } } { = } | \mathcal { T } _ { \mathbf { q } } ( S _ { \mathbf { q } } ( \mathbf { p } ) ) | \stackrel { \sim } | \sigma ( \widehat { \mathcal { T } } _ { j } ( \mathbf { p } ) ) | _ { \Delta } \stackrel { \approx _ { \delta } } | \mathcal { T } _ { j } ( \mathbf { p } ) | _ { \Delta } , \qquad \mathbf { p } \in \widehat { \mathcal { P } } _ { j } \cap \mathbf { q } .
x \ { \boxdot } \ y : = \tau _ { - m } ( \tau _ { m } ( x ) \boxdot \tau _ { m } ( y ) ) = \tau _ { - m } \left( \mathrm { E } _ { n + m , 0 } ( 2 ^ { m } \mathrm { D } _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } } ( x ) \cdot \mathrm { D } _ { n _ { 2 } , m _ { 2 } } ( y ) ) \right) = \mathrm { E } _ { n , m } ( \mathrm { D } _ { n _ { 1 } , m _ { 1 } } ( x ) \cdot \mathrm { D } _ { n _ { 2 } , m _ { 2 } } ( y ) ) .
\begin{array} { r l } { Z _ { m } } & { { } \equiv \left( \omega _ { M } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } - i \Omega \kappa _ { M } \right) , } \\ { f _ { s } } & { { } = \frac { F _ { s } } { \sqrt { 2 \hslash m \omega _ { M } } } , \quad f _ { T } = \frac { F _ { T } } { \sqrt { 2 \hslash m \omega _ { M } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( { \mathbf v } ) } & { { } = \int _ { \Omega } \frac { \nu } { 2 } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) + ( { \mathbf u } \cdot \nabla { \mathbf u } ) \cdot { \mathbf v } - p { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf v } \, d { \mathbf x } , } \\ { \beta ( { \mathbf v } ) } & { { } = \oint _ { { \partial \Omega } } \big ( ( \nu { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) - p I ) { \mathbf v } \big ) \cdot { \mathbf n } \, d s , } \end{array}
+ O \big [ q _ { 0 } z ^ { 2 } R ^ { 2 } / 2 f ^ { 3 } \le q _ { 0 } z ^ { 2 } ( \mathrm { N A } ) ^ { 2 } / 2 f \lesssim g ^ { \prime } q _ { 0 } \lambda _ { e } | z | / 2 f = \pi g ^ { \prime } | z | / f \ll 1 \big ]
\begin{array} { r l r } { S _ { A , p , a } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } p ^ { 2 } ( 1 - p - b ) ( 3 - p ) , } \\ { S _ { B , p , b } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } ( 1 - p ) ^ { 2 } ( p - a ) ( 2 + p ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \sum _ { i } \psi ( { \bf r } _ { i } ) ~ ~ , } \\ { B } & { = } & { e ^ { \beta U ( { \bf r } _ { 1 } , \ldots , { \bf r } _ { N } ) } \sum _ { j } ( { \bf e } _ { t } \cdot \nabla _ { j } ) [ \varphi ( { \bf r } _ { j } ) e ^ { - \beta U ( { \bf r } _ { 1 } , \ldots , { \bf r } _ { N } ) } ] ~ ~ , } \end{array}
U ( x , z ) \approx \frac { k } { 4 } e ^ { - i \pi / 4 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } U ( x ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) \sqrt { \frac { 2 } { \pi k r } } \exp ( i k r ) \frac { z - z ^ { \prime } } { r } \; d { x ^ { \prime } }
f _ { E M } ^ { \alpha } = J _ { \beta } \left( \partial ^ { \alpha } \mathbb { A } ^ { \beta } - \partial ^ { \beta } \mathbb { A } ^ { \alpha } \right) = \frac { \Lambda _ { \rho } } { p } \left( f ^ { \alpha } - \frac { d { \, \ln { ( p ) } } } { d \tau } \varrho U ^ { \alpha } + \varrho c ^ { 2 } \partial ^ { \alpha } \ln { ( p ) } \right)
\begin{array} { r l } { ( \nabla \cdot \mathbf { A } \mathbf { D } ) _ { k } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \partial } { \partial y _ { j } } ( \mathbf { A } \mathbf { D } ) _ { k j } = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \partial } { \partial y _ { j } } \mathbf { A } _ { k i } \mathbf { D } _ { i j } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \partial \mathbf { A } _ { k i } } { \partial y _ { j } } \mathbf { D } _ { i j } + \mathbf { A } _ { k i } \frac { \partial \mathbf { D } _ { i j } } { \partial y _ { j } } = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \left[ \frac { \partial \mathbf { A } _ { k i } } { \partial y _ { j } } \mathbf { D } _ { i j } \right] + ( \mathbf { A } \nabla \cdot \mathbf { D } ) _ { k } . } \end{array}
E ^ { a } ( u ) \Bar { \otimes } E ^ { b } ( u ) = \bigcup _ { ( r , w ) \in Q ( u ) } \bigcup _ { \chi _ { a 1 } ( w ) , \chi _ { b 2 } ( w ) } L ^ { a } ( r , u , w ) \otimes L ^ { b } ( r , u , w )
\begin{array} { r l } { \big \langle \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \big \rangle _ { \widetilde { \rho } } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { r } \frac { \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) \vert } { \sum _ { j = 1 } ^ { r } \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( j \right) \vert } \frac { \beta ^ { \left( q \right) } \left( i \right) + 1 } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) } + \sum _ { i = 1 } ^ { r } \frac { \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) \vert } { \sum _ { j = 1 } ^ { r } \vert \Lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \left( j \right) \vert } \nu , } \\ & { = \Big \langle \frac { \beta ^ { \left( q \right) } \left( i \right) + 1 } { \widetilde { \tau } ^ { \left( q \right) } \left( i \right) } \Big \rangle _ { i } + \nu , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { t } , \hat { l } _ { ( p , t ) } , \hat { s } \leftarrow \operatorname * { a r g m i n } _ { u _ { t } , l _ { ( p , t ) } , s } L _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } - w _ { 4 } s \ , \ \ } & { { } \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ \ L _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } } < \epsilon _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } } } \\ { \hat { u } _ { t } , \hat { l } _ { ( p , t ) } \leftarrow \operatorname * { a r g m i n } _ { u _ { t } , l _ { ( p , t ) } } L _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ a ~ l ~ } } \ , \ \ } & { { } \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ \ L _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } } \geq \epsilon _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ a ~ g ~ e ~ } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { \downarrow } ( \Delta , \alpha ) } & { = \frac { ( \alpha - 2 ) ( 1 - \Delta ^ { 1 - \alpha } ) } { ( \alpha - 1 ) ( 1 - \Delta ^ { 2 - \alpha } ) } , } \\ { \tau _ { \uparrow } ( \Delta , \alpha ) } & { = \Delta \tau _ { \downarrow } , } \\ { \eta ( \Delta , \alpha ) } & { = \frac { ( \alpha - 1 ) } { 1 - \Delta ^ { 1 - \alpha } } \tau _ { \downarrow } ^ { \alpha - 1 } , } \end{array}
c _ { i } ^ { W } = \frac { 2 Q _ { i } } { q _ { i } ^ { W } } = \frac { \sum _ { j \neq i } a _ { i j } \sum _ { k \neq i , j } a _ { i k } \left( 1 - a _ { j k } \right) \sum _ { l \neq i , j , k } a _ { k l } a _ { j l } \left( 1 - a _ { i l } \right) } { \sum _ { j } a _ { i j } \left[ \left( d _ { i } - 1 \right) \left( d _ { j } - 1 \right) - n _ { i j } \right] } ,
\begin{array} { r l } { \Rightarrow | f ( k + 1 ) | } & { = | a | \prod _ { i = 1 } ^ { n } \left| k + 1 - a _ { i } \right| \prod _ { j = 1 } ^ { m } [ ( k + 1 ) ^ { 2 } - 2 \operatorname { R e } ( z _ { j } ) ( k + 1 ) + | z _ { j } | ^ { 2 } ] } \\ & { > | a | \prod _ { i = 1 } ^ { n } | k - a _ { i } | \prod _ { j = 1 } ^ { m } [ k ^ { 2 } - 2 \operatorname { R e } ( z _ { j } ) k + | z | ^ { 2 } ] = | f ( k ) | } \end{array}
\theta _ { \mathrm { n e x t } } = \mathrm { a r g m i n } _ { \theta } \big \{ \hat { J } ( \theta ) \, | \, \{ n _ { F } ^ { \mathrm { e f f } } ( \theta ) , n _ { R } ^ { \mathrm { e f f } } ( \theta ) \} \geq f n _ { s } \big \} ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } ( \rho _ { A } h _ { A } ) + \mathrm { { d i v } } ( \rho _ { A } h _ { A } v _ { A } - q _ { A } ) = e _ { D _ { A } } + D _ { t } ^ { A } \pi _ { A } , } \\ { \partial _ { t } ( \rho _ { B } h _ { B } ) + { \mathrm { d i v } } ( \rho _ { B } h _ { B } v _ { B } - q _ { B } ) = e _ { D _ { B } } + D _ { t } ^ { B } \pi _ { B } , } \\ { D _ { t } ^ { N } ( \rho _ { S } h _ { S } ) + \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } ( \rho _ { S } h _ { S } v _ { S } - q _ { S } ) = e _ { D _ { S } } + D _ { t } ^ { S } \pi _ { S } + q _ { B } \cdot n _ { \Gamma } - q _ { A } \cdot n _ { \Gamma } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { p } _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { ( A ) } } & { { } = \sum _ { u } S _ { u } ^ { t _ { 1 } } S _ { u } ^ { t _ { 2 } } + 2 \sum _ { j } S _ { j } ^ { t _ { 1 } } S _ { j } ^ { t _ { 2 } } , } \\ { \tilde { p } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { ( B ) } } & { { } = \sum _ { t } S _ { u _ { 2 } } ^ { t } S _ { u _ { 1 } } ^ { t } + 2 \sum _ { i } S _ { u _ { 1 } } ^ { i } S _ { u _ { 2 } } ^ { i } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { 2 n ( k - 2 ) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { c } & { 1 _ { 2 n ( k - 2 ) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { z _ { 1 } } & { z _ { 2 } } & { b _ { 2 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { x _ { 3 } } & { x _ { 4 } } & { z _ { 3 } } & { z _ { 1 } ^ { \ast } } & { b _ { 1 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 4 } ^ { \ast } } & { x _ { 2 } ^ { \ast } } & { a _ { 2 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { x _ { 3 } ^ { \ast } } & { x _ { 1 } ^ { \ast } } & { a _ { 1 } ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right]
\Gamma _ { 1 } ^ { ( + ) } = \sum _ { i j } \frac { - 3 Q _ { i i j j } ^ { ( + ) } } { 4 ! D _ { i i } ^ { ( + ) } D _ { j j } ^ { ( + ) } } + \sum _ { i j k } \frac { 9 T _ { i i j } ^ { ( + ) } T _ { j k k } ^ { ( + ) } + 6 [ T _ { i j k } ^ { ( + ) } ] ^ { 2 } } { 2 ! ( 3 ! ) ^ { 2 } D _ { i i } ^ { ( + ) } D _ { j j } ^ { ( + ) } D _ { k k } ^ { ( + ) } } ,
D \overline { { \Psi } } ( \theta _ { 0 } , \gamma _ { 0 } ) ( q , u , \eta , \mathcal { T } , \mathcal { G } , \mathcal { F } , \gamma ) = \big ( D \Psi ( q _ { 0 } , u _ { 0 } , \eta _ { 0 } , \gamma _ { 0 } ) ( q , u , \eta , \gamma ) + D \Phi ( \theta _ { 0 } ) ( q , u , \eta , \mathcal { T } , \mathcal { G } , \mathcal { F } ) , \mathcal { T } , \mathcal { G } , \mathcal { F } , \gamma \big ) .
\begin{array} { r } { { \cal L } _ { D M } = - \frac { \alpha _ { D } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \, { \cal F } \, \ln \left[ \, 1 - \frac { 2 \, { \cal F } } { \beta ^ { 2 } } + \frac { 2 \, { \cal G } ^ { 2 } } { \beta ^ { 3 } \sqrt { - 2 \, { \cal F } } } \, \right] \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega = \{ ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \ | \ 0 < y _ { 1 } < \Gamma , h ( y _ { 1 } ) < y _ { 2 } < 1 + h ( y _ { 1 } ) \} } \end{array}
\begin{array} { r } { a ( L ) = a \left( L _ { 0 } + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { m } L _ { m } \right) = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \frac { d ^ { p } a ( L _ { 0 } ) } { d L _ { 0 } } \left( \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { m } L _ { m } \right) ^ { p } \ . } \end{array}
k \left( \boldsymbol { X } _ { i } , \boldsymbol { X } _ { j } \right) = \exp { \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { \sigma } \left\lVert \boldsymbol { X } _ { i } - \boldsymbol { X } _ { j } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \left( 1 + \frac { \sqrt { 3 } } { \sigma } \left\lVert \boldsymbol { X } _ { i } - \boldsymbol { X } _ { j } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right) ~ ,
\operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } A _ { 3 } ( n ) \leq m ^ { s } \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \int _ { Q _ { T } } \lvert \left( u - \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } + \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } ^ { 2 } - \partial _ { x } u ^ { 2 } \right) \rvert ^ { s } \psi = 0
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial \mu } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { \frac { ( 1 - \rho ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial \rho } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { \frac { n \rho } { 1 - \rho ^ { 2 } } + \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ( x _ { i - 1 } - \mu ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } \\ & { } & { - \frac { \rho \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { \partial } { \partial \gamma ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { = } & { - \frac { n } { 2 \gamma ^ { 2 } } + \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } } { 2 \gamma ^ { 4 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \langle X ( t ) \rangle } & { = } & { \left. - i \frac { \partial \hat { P } ( l , t ) } { \partial l } \right\vert _ { l = 0 } } & { } & { = } & { \left( \langle u _ { \mathrm { S } } \rangle + \frac { \alpha } { \beta } \Lambda \right) t , } \\ { \langle \tilde { X } ( t ) ^ { 2 } \rangle } & { = } & { \left. - \frac { \partial ^ { 2 } \hat { P } ( l , t ) } { \partial l ^ { 2 } } \right\vert _ { l = 0 } - m _ { 1 } ^ { 2 } } & { } & { = } & { \left( \sigma ^ { 2 } + \frac { \alpha ( \alpha + 1 ) } { \beta } \Lambda \right) t , } \\ { \langle \tilde { X } ( t ) ^ { 3 } \rangle } & { = } & { \left. i \frac { \partial ^ { 3 } \hat { P } ( l , t ) } { \partial l ^ { 3 } } \right\vert _ { l = 0 } - 3 m _ { 1 } m _ { 2 } + 2 m _ { 1 } ^ { 3 } } & { } & { = } & { \frac { \alpha ( 1 + \alpha ) ( 2 + \alpha ) } { \beta ^ { 2 } } \Lambda t , } \end{array}
{ \cal W } ( q , p ) = - \frac { 1 } { 2 ^ { 1 1 } \pi ^ { 4 } } \left[ \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \epsilon } \left( 2 \log \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { - ( p + q ) ^ { 2 } } + 8 - \frac { 1 1 } { 2 } \gamma \right) + \mathrm { f i n i t e ~ p a r t } \right] , \,
{ \begin{array} { r l } { { \dot { \mathbf { r } } } } & { = { \frac { \mathbf { p } } { m } } } \\ { { \dot { \mathbf { p } } } } & { = - \xi \, \mathbf { p } - \nabla V ( \mathbf { r } ) + { \sqrt { 2 m \xi k _ { \mathrm { B } } T } } { \boldsymbol { \eta } } ( t ) , \qquad \langle { \boldsymbol { \eta } } ^ { \mathrm { T } } ( t ) { \boldsymbol { \eta } } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \mathbf { I } \delta ( t - t ^ { \prime } ) } \end{array} }
E ^ { s t i c k } [ \{ c _ { j } \} ] = \int _ { - u _ { s } } ^ { u _ { s } } \left( \sum _ { j > 2 } ^ { N _ { r } } c _ { j } \partial _ { \xi } \psi _ { j } ( \xi _ { 0 } , u ) \right) ^ { 2 } \frac { d { u } } { 1 - u ^ { 2 } } \, . \
\begin{array} { r l r } { \mu _ { { 2 , \mathrm { t h } } } } & { = } & { \mu _ { \mathrm { r e f } } \frac { T _ { \mathrm { r e f } } + S } { T _ { 2 , \mathrm { t h } } + S } \left( \frac { T _ { 2 , \mathrm { t h } } } { T _ { \mathrm { r e f } } } \right) ^ { \frac 3 2 } } \\ { T _ { { 2 , \mathrm { t h } } } } & { = } & { T _ { \mathrm { t } 1 , \mathrm { r e f } } \left( 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } \mathrm { M a } _ { 2 , \mathrm { t h } } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { * } T } & { \; = \; R F _ { 0 } ^ { * } R ^ { * } R F _ { 0 } R ^ { * } + ( { \bf 1 } - R R ^ { * } ) } \\ & { \; = \; R R ^ { * } F _ { 0 } ^ { * } R F _ { 0 } R ^ { * } + R [ F _ { 0 } ^ { * } , R ^ { * } ] R F _ { 0 } R ^ { * } + ( { \bf 1 } - R R ^ { * } ) } \\ & { \; = \; R R ^ { * } F _ { 0 } ^ { * } F _ { 0 } R R ^ { * } + R R ^ { * } F _ { 0 } ^ { * } [ R , F _ { 0 } ] R ^ { * } + R [ R , F _ { 0 } ] ^ { * } R F _ { 0 } R ^ { * } + ( { \bf 1 } - R R ^ { * } ) } \\ & { \; = \; { \bf 1 } + Q F _ { 0 } ^ { * } [ R , F _ { 0 } ] R ^ { * } + R [ R , F _ { 0 } ] ^ { * } R F _ { 0 } R ^ { * } \; . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { F } } \\ { \dot { y } _ { F } } \\ { \omega _ { F } } \end{array} \right] = \left\{ \begin{array} { l l } { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 3 2 6 } & { 0 . 2 2 2 } & { - 0 . 2 1 3 } \\ { 0 . 1 8 5 } & { - 0 . 0 0 8 } & { - 0 . 0 7 6 } \\ { - 0 . 3 3 3 } & { - 0 . 1 4 7 } & { 0 . 2 2 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 0 } } \\ { \dot { y } _ { 0 } } \\ { \omega _ { 0 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 1 7 5 } \\ { 9 0 . 4 } \\ { - 1 7 1 } \end{array} \right] } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 3 7 7 \dot { x } _ { 0 } + 2 . 2 5 \dot { y } _ { 0 } + \omega _ { 0 } < - 4 8 5 } \\ { \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 6 0 6 } & { 0 . 6 4 9 } & { - 0 . 0 0 7 } \\ { 0 . 1 4 6 } & { - 0 . 0 8 9 } & { - 0 . 0 0 6 } \\ { - 0 . 1 9 2 } & { 1 . 0 1 } & { 0 . 8 8 7 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \dot { x } _ { 0 } } \\ { \dot { y } _ { 0 } } \\ { \omega _ { 0 } } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { l } { 1 1 7 } \\ { 4 9 . 3 } \\ { 3 5 . 0 } \end{array} \right] } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 3 7 7 \dot { x } _ { 0 } + 2 . 2 5 \dot { y } _ { 0 } + \omega _ { 0 } > - 4 8 5 . } \end{array} \right.
\boldsymbol { \mathcal { T } } = ( \boldsymbol { \mathcal { T } } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { 1 } _ { n } ) \, \boldsymbol { 1 } _ { n } - \boldsymbol { 1 } _ { n } \times ( \boldsymbol { 1 } _ { n } \times \boldsymbol { \mathcal { T } } ) = ( \boldsymbol { \mathcal { T } } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { 1 } _ { n } ) \, \boldsymbol { 1 } _ { n }
\begin{array} { r l r } { \delta ^ { 3 } \left( \Delta \vec { p } _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, j } \right) } & { { } = } & { \int \frac { d ^ { 3 } \xi } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \, e ^ { - i \vec { \xi } \cdot \left( \Delta \vec { p } _ { k } - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \Delta \vec { p } _ { k } ^ { \, j } \right) } \, . } \end{array}
{ \cal E } _ { f } ^ { s c } = - \frac 1 2 C _ { s } \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } \int _ { m _ { e } } ^ { \infty } d k [ k ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } ] ^ { 1 - s } \frac { \partial } { \partial k } [ \ln f _ { m } ( i k ) - \ln f _ { m } ^ { a s } ( i k ) ]
\begin{array} { r l } { \mathbf { d c a y } _ { \mathbf { x } } } & { = \sigma \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) } \\ { \mathbf { d c a y } _ { \mathbf { x } } ^ { - 1 } } & { = \frac { 1 } { \sigma } \mathbf { I } + \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } - \tilde { \mathbf { x } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \sigma } \left( \mathbf { I } + \mathrm { c a y } \left( - \tilde { \mathbf { x } } \right) \right) = \frac { 1 } { 2 \sigma } ( \mathbf { I } + \mathbf { R } ^ { T } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 0 } ( X , Y ) } & { \geq g _ { 0 } ^ { L } \triangleq \left( H ( Y ) - \log \textnormal { r a n k } ( \mathbf { P } _ { X | Y } ) \right) ^ { + } } \\ { G _ { 0 } ( X , Y ) } & { \geq G _ { 0 } ^ { L } \triangleq \left( H ( Y ) - \operatorname* { m i n } \{ H ( X ) , \log \textnormal { r a n k } ( \mathbf { P } _ { X | Y } ) \} \right) ^ { + } , } \end{array}
{ \cal W } ^ { D } = \sum _ { \mathrm { \scriptsize ~ a l l ~ f i e l d s } } \int ( d _ { \varphi _ { k } } + x \partial _ { x } ) \varphi _ { k } ( x ) { \frac { \delta } { \delta \varphi _ { k } ( x ) } } \qquad d _ { \varphi _ { k } } = \dim ^ { U V } { \varphi _ { k } }
\mathrm { R E } = \frac { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s a m p l e } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s a m p l e } } } \Vert u _ { \theta } ^ { i } - u ^ { i } \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ] 0 , T ] ) } } { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s a m p l e } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s a m p l e } } } \Vert u ^ { i } \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ] 0 , T ] ) } } ,
\mathbf { \Phi } _ { A } ( \Delta t ) \mathbf { u } ( t ) : = \mathbf { u } ( t + \Delta t ) = \mathfrak { F } _ { N } ^ { - 1 } \Big ( \mathbf { e x p } \big ( - \mathrm { i } \Delta t \mathcal { A } ( \mathbf { k } ) \big ) \odot \mathfrak { F } _ { N } \mathbf { u } ( t ) \Big ) ,
\begin{array} { r l } { Y _ { T } + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \left( 1 - \frac { y _ { t + 1 } } { y _ { t + 2 } } \right) Y _ { t } = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { y _ { t } } { y _ { t + 1 } } \overset { ( a ) } { \geq } T \left( \frac { y _ { 1 } } { y _ { T + 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { T } } } \\ { \Rightarrow \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in \left[ T \right] } Y _ { t } \right) \left( 1 + \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } 1 - \frac { y _ { t + 1 } } { y _ { t + 2 } } \right) \geq } & { T \left( \frac { y _ { 1 } } { y _ { T + 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { T } } . } \end{array}
{ f _ { 1 } ^ { 0 } } ^ { \prime } { f _ { 2 } ^ { 0 } } ^ { \prime } \left( 1 + A ^ { - 1 } f _ { 1 } ^ { 0 } \right) \left( 1 + A ^ { - 1 } f _ { 2 } ^ { 0 } \right) = f _ { 1 } ^ { 0 } f _ { 2 } ^ { 0 } \left( 1 + { f _ { 1 } ^ { 0 } } ^ { \prime } \right) \left( 1 + A ^ { - 1 } { f _ { 2 } ^ { 0 } } ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } } & { = \alpha _ { i _ { 0 } - 1 , n _ { 0 } } + \alpha _ { 1 } = ( i _ { 0 } - 1 ) \alpha + \alpha = i _ { 0 } \alpha , } \\ { { b } _ { i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) } & { = b _ { i _ { 0 } - 1 } ^ { ( n _ { 0 } ) \leftarrow } ( t ) b _ { 1 } ^ { \leftarrow } ( t ) = ( t ^ { \alpha } \ell ( t ) ) ^ { i _ { 0 } } , \mathrm { ~ a n d } , } \\ { \mu _ { i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } ^ { \oplus } } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { i _ { 0 } } c _ { m , n _ { 0 } + 1 } ^ { I ( i _ { 0 } ) } \mu _ { m , i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } ^ { * } = \mu _ { i _ { 0 } - 1 , i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } + \mu _ { i _ { 0 } , i _ { 0 } , n _ { 0 } + 1 } , } \end{array}
= - \frac 1 { 1 2 } \stackrel { ( 2 ) } { x } \cdot \stackrel { ( 2 ) } { x } \tau ^ { 4 } + \frac 1 { 3 6 0 } \stackrel { ( 3 ) } { x } \cdot \stackrel { ( 3 ) } { x } \tau ^ { 6 } -
\left( \begin{array} { l l l l l } { a _ { 1 } } & { 2 a _ { 1 } } & { 2 ^ { 2 } a _ { 1 } } & { 2 ^ { 3 } a _ { 1 } } & { 2 ^ { 4 } a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { 3 a _ { 2 } } & { 3 ^ { 2 } a _ { 2 } } & { 3 ^ { 3 } a _ { 2 } } & { 3 ^ { 4 } a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { 4 a _ { 3 } } & { 4 ^ { 2 } a _ { 3 } } & { 4 ^ { 3 } a _ { 3 } } & { 4 ^ { 4 } a _ { 3 } } \\ { a _ { 4 } } & { 5 a _ { 4 } } & { 5 ^ { 2 } a _ { 4 } } & { 5 ^ { 3 } a _ { 4 } } & { 5 ^ { 4 } a _ { 4 } } \\ { a _ { 5 } } & { 6 a _ { 5 } } & { 6 ^ { 2 } a _ { 5 } } & { 6 ^ { 3 } a _ { 5 } } & { 6 ^ { 4 } a _ { 5 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { x _ { 3 } } \\ { x _ { 4 } } \\ { x _ { 5 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { A _ { 1 } } \\ { A _ { 2 } } \\ { A _ { 3 } } \\ { A _ { 4 } } \\ { A _ { 5 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \beta } ^ { \prime } \left( x \, , 0 \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad x \ge \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { \beta \left( x + \frac { 1 } { 2 \beta } \right) } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad | x | \le \frac { 1 } { 2 \beta } } \\ { 0 } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad x \le - \frac { 1 } { 2 \beta } . } \end{array} \right. } \end{array}