harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } } \mathcal { F } Y ( r , \cdot ) ( \eta ) \mathcal { F } Y ( s , \cdot ) ( \eta ) | \eta | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta } \\ & { = \frac { 2 } { \nu } \int _ { \mathbb { R } } \sin \left( \sqrt { \nu / 2 } r | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } \right) \sin \left( \sqrt { \nu / 2 } s | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } \right) | \eta | ^ { 1 - 2 H - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta } \\ & { = \frac { 1 } { \nu } \int _ { \mathbb { R } } \left[ \cos \left( \sqrt { \nu / 2 } ( r - s ) | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } \right) - \cos \left( \sqrt { \nu / 2 } ( r + s ) | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } \right) \right] | \eta | ^ { 1 - 2 H - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta } \\ & { = \frac { 1 } { \nu } \int _ { \mathbb { R } } \left( \left[ 1 - 2 \sin ^ { 2 } \left( \sqrt { \nu / 2 } ( r - s ) | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } / 2 \right) \right] - \left[ 1 - 2 \sin ^ { 2 } \left( \sqrt { \nu / 2 } ( r + s ) | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } / 2 \right) \right] \right) | \eta | ^ { 1 - 2 H - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta } \\ & { = \frac { 2 } { \nu } \int _ { \mathbb { R } } \sin ^ { 2 } \left( \sqrt { \nu / 2 } ( r + s ) | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } / 2 \right) | \eta | ^ { 1 - 2 H - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta - \frac { 2 } { \nu } \int _ { \mathbb { R } } \sin ^ { 2 } \left( \sqrt { \nu / 2 } ( r - s ) | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } / 2 \right) | \eta | ^ { 1 - 2 H - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta } \\ & { = \frac { 2 } { \nu } \left( \bigg | \frac { r + s } { 2 } \bigg | ^ { \frac { 2 } { \alpha } ( \alpha + 2 H - 2 ) } - \bigg | \frac { r - s } { 2 } \bigg | ^ { \frac { 2 } { \alpha } ( \alpha + 2 H - 2 ) } \right) \int _ { \mathbb { R } } \sin ^ { 2 } \left( \sqrt { \nu / 2 } | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } \right) | \eta | ^ { 1 - 2 H - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta \ge 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \mathrm { ~ M ~ M ~ S ~ E ~ } \theta _ { m } ] ^ { - 1 } = \frac { \eta _ { m } \kappa _ { m } B _ { m } ^ { 2 } A _ { m } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } \hat { q } _ { \mathrm { A C } } ( m \Delta f _ { r } ) } } \end{array}
{ \cal E } _ { 1 } ( y ) ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm t \in [ 0 , t _ { 1 } ] } \\ { { \cal K } _ { i } ( t , g _ { t } + \bar { y } _ { t } ) , } & { \mathrm t \in ( t _ { i } , s _ { i } ] } \\ { { \cal T } _ { q } ( t - s _ { i } ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , g _ { s _ { i } } + \bar { y } _ { s _ { i } } ) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } & { \mathrm t \in ( s _ { i } , t _ { i + 1 } ] } \end{array} \right.
\mathbb { E } \Vert x _ { k } \Vert ^ { p } \leq ( 1 + \epsilon ) \mathbb { E } \Vert M _ { k } e _ { 1 } \Vert ^ { p } \mathbb { E } \Vert x _ { k - 1 } \Vert ^ { p } + \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { p } { p - 1 } } - ( 1 + \epsilon ) } { \left( ( 1 + \epsilon ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } - 1 \right) ^ { p } } \mathbb { E } \Vert q _ { k } \Vert ^ { p } ,
\begin{array} { r l } { f _ { t } } & { { } = \sigma \left( W _ { f } \cdot \left[ h _ { t - 1 } , x _ { t } \right] + b _ { f } \right) , } \\ { i _ { t } } & { { } = \sigma \left( W _ { i } \cdot \left[ h _ { t - 1 } , x _ { t } \right] + b _ { i } \right) , } \\ { c _ { t } ^ { \prime } } & { { } = \operatorname { t a n h } \left( W _ { c } \cdot \left[ h _ { t - 1 } , x _ { t } \right] + b _ { c } \right) , } \\ { c _ { t } } & { { } = f _ { t } * c _ { t - 1 } + i _ { t } * c _ { t } ^ { \prime } , } \\ { o _ { t } } & { { } = \sigma \left( W _ { o } \cdot \left[ h _ { t - 1 } , x _ { t } \right] + b _ { o } \right) , } \\ { h _ { t } } & { { } = o _ { t } * \operatorname { t a n h } \left( c _ { t } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } } & { \leq \left\| { ( \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U \Lambda ^ { - 1 } } \right\| { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } + \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U } \right\| \left\| { \Lambda ^ { - 1 } } \right\| { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ( t ) = H _ { \mathrm { 0 } } ( t ) + H _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { E M } } + H _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { P h } } , } \\ & { H _ { \mathrm { 0 } } ( t ) = H _ { \mathrm { S } } ( t ) + \sum _ { \mathbf { k } } \hbar \nu _ { \mathbf { k } } b _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } b _ { \mathbf { k } } + \sum _ { j } \hbar \omega _ { j } a _ { j } ^ { \dagger } a _ { j } , } \\ & { H _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { E M } } = \sum _ { j } ( f _ { j } \sigma ^ { \dagger } a _ { j } + f _ { j } ^ { \ast } \sigma a _ { j } ^ { \dagger } ) , } \\ & { H _ { \mathrm { I } } ^ { \mathrm { P h } } = \sigma ^ { \dagger } \sigma \sum _ { \mathbf { k } } g _ { \mathbf { k } } ( b _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } + b _ { - \mathbf { k } } ) + \sigma ^ { \dagger } \sigma \sum _ { \mathbf { k } } \tilde { g } _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } ( b _ { \mathbf { k } } ^ { \dagger } + b _ { - \mathbf { k } } ) ( b _ { \mathbf { k } ^ { \prime } } ^ { \dagger } + b _ { - \mathbf { k } ^ { \prime } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 3 } ( s ) } & { = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 2 + 2 s - 2 s ^ { 2 } - s ^ { 3 } } { 2 + 6 s + 5 s ^ { 2 } + s ^ { 3 } } } & { \frac { 2 s } { 2 + 4 s + s ^ { 2 } } } & { \frac { s ^ { 2 } } { 2 + 6 s + 5 s ^ { 2 } + s ^ { 3 } } } \\ { \frac { 2 s } { 2 + 4 s + s ^ { 2 } } } & { \frac { 2 - s ^ { 2 } } { 2 + 4 s + s ^ { 2 } } } & { \frac { 2 s } { 2 + 4 s + s ^ { 2 } } } \\ { \frac { s ^ { 2 } } { 2 + 6 s + 5 s ^ { 2 } + s ^ { 3 } } } & { \frac { 2 s } { 2 + 4 s + s ^ { 2 } } } & { \frac { 2 + 2 s - 2 s ^ { 2 } - s ^ { 3 } } { 2 + 6 s + 5 s ^ { 2 } + s ^ { 3 } } } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \zeta _ { t } + A \sigma _ { x } + \alpha B ( { \zeta } { \sigma } ) _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( { \zeta } ^ { 2 } { \sigma } ) _ { x } + \epsilon ^ { 2 } \kappa { \sigma } _ { x x x } = 0 } \\ & { \sigma _ { t } + \zeta _ { x } + \alpha B { \sigma } { \sigma } _ { x } - \alpha ^ { 2 } C ( { \zeta } { \sigma } ^ { 2 } ) _ { x } = 0 } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } { \tau _ { s } } & { : = \tau _ { \mathrm { r e s t } } \left( \frac { 4 N _ { \mathrm { e f f } } } { ( 1 - 4 \rho ) } \right) ^ { 1 / 3 } \sim N _ { \mathrm { e f f } } ^ { 1 / 3 } \tau _ { \mathrm { r e s t } } } \\ { V _ { s } } & { : = \Delta V \left( \frac { 4 } { ( 1 - 4 \rho ) N _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 6 } \sim N _ { \mathrm { e f f } } ^ { - 1 / 3 } \Delta V , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { r } ( \rho ) = - \frac { 1 } { 2 } \Bigg [ \operatorname { t a n h } \Bigg ( \frac { \rho - \rho _ { s } - 3 L _ { s } } { L _ { s } } \Bigg ) + \operatorname { t a n h } \Bigg ( \frac { \rho _ { s } - 3 L _ { s } - \rho } { L _ { s } } \Bigg ) \Bigg ] , } \end{array}
Z _ { 0 } ^ { \mathrm { Q E D } } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \prod _ { x _ { \perp } } d \tilde { a } _ { 3 } \left( x _ { \perp } \right) \cos ^ { 2 } \left( \tilde { a } _ { 3 } \left( x _ { \perp } \right) \right) \exp \left\{ - \frac { 2 \ell } { g ^ { 2 } L } \sum _ { y _ { \perp } , \delta _ { \perp } } ( \tilde { a } _ { 3 } ( y _ { \perp } + \delta _ { \perp } ) - \tilde { a } _ { 3 } ( y _ { \perp } ) ) ^ { 2 } \right\}
\mathbb H = N _ { \star } \left( \left( 1 - p _ { x } \right) + \frac { 1 5 \pi } { 8 } p _ { x } \, \langle N _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ r ~ s ~ / ~ g ~ a ~ l ~ } } \rangle \right) \, n _ { e } \, p _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ f ~ e ~ } } \, p _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } \, N _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } }
\begin{array} { c c c c c } { \phi } & { : } & { \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) } & { \to } & { \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) \otimes ( \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) , \dots , \ell ^ { \infty } ( \Delta _ { d - 1 } ) ) } \\ & & { x } & { \mapsto } & { ( x , \phi _ { 1 } ( x ) , \dots , \phi _ { G } ( x ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Delta _ { k } ^ { - } | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big ( c | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { F } ^ { 2 } + \frac { 1 6 \lambda ^ { 2 } s _ { k } } { c } \Big ) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big ( c | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } + \frac { 4 | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } \Big ) } \\ { \leq } & { c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \Delta _ { k } | | _ { F } ^ { 2 } + \frac { 8 \lambda ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } s _ { k } } { c } + \frac { 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } ^ { 2 } } { c } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { i } \rho ( S _ { i } , T _ { b } ) H } & { { } = S _ { e } \rho ( S _ { e } , T _ { m e a n } ) ( C _ { 1 } H - C _ { 1 } ( 1 - \phi _ { e } ) h _ { e } + \Delta v _ { e } ) . } \end{array}
{ \cal A } ( p ) \sim \frac { g ^ { m } \alpha ^ { 2 m - 1 } } { R ^ { 2 m + 2 } r _ { \mathrm { m i n } } ^ { m + 2 } } \int d r \, r ^ { 3 } \biggl ( \frac { r _ { \mathrm { m i n } } } { r } \biggr ) ^ { \Delta } F ( \tilde { p } \sqrt { \alpha ^ { \prime } } ) \ ,
\begin{array} { r l } & { \overleftrightarrow { \mathbf { K } } = \overleftrightarrow { \mathbf { 1 } } - \frac { \pi } { 2 } \sum _ { j , n } \int \displaylimits _ { 0 } ^ { \infty } \int \displaylimits _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { \parallel } d p _ { \perp } \frac { \omega _ { p j } ^ { 2 } p _ { \perp } ^ { 2 } \overleftrightarrow { \mathbf { S } } f _ { j } } { \left[ p _ { \parallel } - \frac { m _ { j } ( \omega - n \Omega _ { j } ) } { k _ { \parallel } } \right] \omega ^ { 2 } } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } \left| \frac { 1 } { \frac { 1 } { m _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } \rho _ { \pi } ( Z _ { i j } , \tilde { Z } _ { i j } ) } - 1 \right| = 0 , \quad \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } \left| \frac { 1 } { \frac { 1 } { m _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } \rho _ { \nu } ( \vartheta _ { i j } ) } - 1 \right| = 0 .
\left[ \begin{array} { c c } { { \Psi _ { 1 } ( x ) } } \\ { { \Psi _ { 2 } ( x ) } } \end{array} \right] = R ( - \theta ( x ) ) \left[ \begin{array} { c c } { { \Psi _ { e } ( x ) } } \\ { { \Psi _ { \mu } ( x ) } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { { \cos { \theta ( x ) } } } & { { - \sin { \theta ( x ) } } } \\ { { \sin { \theta ( x ) } } } & { { \cos { \theta ( x ) } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { { \Psi _ { e } ( x ) } } \\ { { \Psi _ { \mu } ( x ) } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { l l } { { A _ { 4 } ( \hat { S } _ { 3 } ) A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } ) = i [ [ \hat { S } _ { 3 } ] ] ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } } & { { A _ { 2 } ( \hat { S } _ { 3 } ) = 2 i ( A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } ) - A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } - 1 ) ) } } \\ { { A _ { 3 } ( \hat { S } _ { 3 } ) = 2 i ( A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } ) - A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } + 1 ) ) ~ , } } & { { A _ { 5 } = 4 ( 2 A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } ) - A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } - 1 ) - A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } + 1 ) ) ~ . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \Theta } & { = \frac { 1 } { 2 } \alpha \left[ H + 2 \hat { D } ^ { i } Z _ { i } - 2 \kappa _ { 1 } ( 2 + \kappa _ { 2 } ) \Theta \right] + \mathcal { L } _ { \beta } \Theta } \\ { \partial _ { t } Z _ { i } } & { = \alpha \left[ M _ { i } + D _ { i } \Theta - \kappa _ { 1 } Z _ { i } \right] + \gamma ^ { 1 / 3 } Z ^ { j } \partial _ { t } \left[ \gamma ^ { - 1 / 3 } \gamma _ { i j } \right] + \beta ^ { j } \hat { D } _ { j } Z _ { i } , } \end{array}
H _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } = \sum _ { k } \left( \begin{array} { l l } { o _ { k } ^ { \dagger } } & { e _ { k } ^ { \dagger } } \end{array} \right) \tilde { H } _ { \mathrm { ~ T ~ B ~ } } ( k ) \left( \begin{array} { l } { o _ { k } } \\ { e _ { k } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \big \langle \bigl ( f - \langle f \rangle \bigr ) \bigl ( g - \langle g \rangle \bigr ) \big \rangle = C \sum _ { k \in \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } _ { * } } \widehat f _ { k } \; \overline { { \widehat g _ { k } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathbf { a } } } & { { } = \sum _ { \mathbf { b } \neq \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \Re \left( V _ { \mathbf { b a } } F _ { \mathbf { b a } } ^ { + } \right) } \\ { K _ { \mathbf { a } } } & { { } = \frac { \Gamma _ { 0 } T } { 2 } + \sum _ { \mathbf { b } \neq \mathbf { a } } n _ { \mathbf { b } } \Im \left( V _ { \mathbf { b a } } F _ { \mathbf { b a } } ^ { - } \right) } \\ { F _ { \mathbf { b a } } ^ { \pm } } & { { } = \frac { T } { 4 } \boldsymbol { \Bigg ( } e ^ { - \gamma T } \cos \theta _ { \mathrm { i n } } - \left( 1 - e ^ { - \gamma T / 4 } \right) ^ { 3 } \left( 1 + e ^ { - \gamma T / 4 } \right) } \\ { \Phi } & { { } = \Delta \phi ( T ) - 2 \Delta \phi ( 3 T / 4 ) + 2 \Delta \phi ( T / 4 ) - \Delta \phi ( 0 ) } \end{array}
g ( m _ { i } ^ { 2 } ) \equiv { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left[ \sum _ { s } m _ { s } ^ { D - 2 } { } ~ \Gamma \left( 1 - \frac D 2 , m _ { s } ^ { 2 } \delta \right) + 2 \sum _ { d } m _ { d } ^ { D - 2 } \Gamma \left( 1 - \frac D 2 , m _ { d } ^ { 2 } \delta \right) \right] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r } { y _ { s } ( t ) = \sum _ { p _ { 1 } = 0 } ^ { R _ { 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { p _ { 1 } } \frac { c _ { p _ { 1 } } \beta _ { p _ { 1 } , k } } { k ! } t ^ { k } e ^ { - a _ { 1 } t } + \sum _ { p _ { 1 } = 0 } ^ { R _ { 1 } } \sum _ { p _ { 2 } = 0 } ^ { R _ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { p _ { 1 } } \sum _ { m = 0 } ^ { p _ { 2 } } \frac { c _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } \beta _ { p _ { 1 } , k } \beta _ { p _ { 2 } , m } } { k ! m ! } t ^ { ( k + m ) } e ^ { - ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vartheta _ { _ { X = Y } } } & { { } = \frac { 1 } { 3 2 k _ { 0 } \zeta _ { 1 } \left( 2 A ^ { 2 } \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } + \sqrt { 2 } \zeta _ { 1 } \right) } } \end{array}
\delta _ { R } \left( \mathbf { P } _ { 1 } , \mathbf { P } _ { 2 } \right) = \left\| \log \left( \mathbf { P } _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { P } _ { 2 } \mathbf { P } _ { 1 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \right) \right\| _ { F } = \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \log ^ { 2 } \lambda _ { i } \right] ^ { 1 / 2 }
\gamma ( n , p ) = \left[ { \frac { 8 \Gamma \left( \frac { n + 3 - p } { 2 } \right) } { ( 2 + n ) \sqrt { \left( 1 - { \frac { p } { n + 2 } } \right) / ( p + 1 ) } } } \right] ^ { \frac { w } { n + 1 } }
k _ { \mathrm { ~ M ~ a ~ t ~ \' ~ { ~ e ~ } ~ r ~ n ~ } ( 5 / 2 ) } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x ^ { \prime } } ) = \sigma _ { f } ^ { 2 } \cdot \Big ( 1 + \frac { \sqrt { 5 } \lVert \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x ^ { \prime } } \rVert } { \ell } + \frac { 5 \lVert \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x ^ { \prime } } \rVert ^ { 2 } } { 3 \ell ^ { 2 } } \Big ) \cdot \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \Big ( \frac { - \sqrt { 5 } \lVert \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x ^ { \prime } } \rVert } { \ell } \Big ) ,
{ s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { 0 } = \bar { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { 0 } + \hat { s } _ { k } ^ { 0 } \quad \mathrm { a n d } \quad { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { 1 } = \frac { \bar { s } _ { j + \frac { 1 } { 2 } , k } ^ { 1 } + \hat { s } _ { k } ^ { 1 } } { \Delta x }
\begin{array} { r l } { q _ { 2 } } & { = \alpha { D _ { 3 } } = - 2 { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } \mathrm { { 3 } } } } + { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } { \mathrm { 3 } } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 } } , } \\ { q _ { 3 ^ { ' } } } & { = \beta { D _ { 2 ^ { \prime } } } = { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 } } - 2 { D _ { 3 1 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot \vec { F } = \frac { c } { \varepsilon ^ { 2 } } \left( < \sigma , B > - < \sigma , I > \right) , } \\ & { \frac { \partial C _ { v } T } { \partial t } = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \left( < \sigma , I > - < \sigma , B > \right) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } ( \mathsf { K } _ { \nu _ { \mathrm { t } } } ) } & { \leq L _ { \mathrm { x } } ( ( \mathbf { \tilde { T } } _ { J ( \eta ; \mathbf { v } ) } [ \mathbf { v } ] \mathbf { \tilde { v } } ) _ { \nu _ { \mathrm { t } } } ) + \log _ { 2 } ( c ^ { - 1 } \hat { S } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 1 } ) } \\ & { \leq L _ { \mathrm { x } } ( \mathbf { \tilde { T } } _ { J ( \eta ; \mathbf { v } ) } [ \mathbf { v } ] \mathbf { \tilde { v } } ) + \log _ { 2 } ( c ^ { - 1 } \hat { S } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 1 } ) } \\ & { \leq L _ { \mathrm { x } } ( \mathbf { v } ) + C _ { 1 } ( \mathbf { B } _ { 1 } , s ) J ( \eta ; \mathbf { v } ) + \log _ { 2 } ( c ^ { - 1 } \hat { S } _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 1 } ) , } \end{array}
{ } ( \partial _ { \tau } + k _ { 2 i } ) R _ { i j } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) \delta _ { i j } + \int d \tau ^ { \prime \prime } \, \sum _ { k } \Sigma _ { i k } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime \prime } ) R _ { k j } ( \tau ^ { \prime \prime } , \tau ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } & { \mathrm { V } _ { \mathrm { R F J } } ^ { \Omega } = \mathrm { I } _ { P D } \times \cos ( \Omega t + \delta \phi ) } \\ & { = \frac { m _ { \alpha } \alpha \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 n + 1 ) \Big ( e ^ { \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { \mathrm { i } \Omega t } + e ^ { - \mathrm { i } \Psi _ { 1 } } e ^ { - \mathrm { i } \Omega t } \Big ) } { \Theta _ { m } \Theta _ { c } } \times \frac { e ^ { \mathrm { i } ( \Omega t + \delta \phi ) } + e ^ { - \mathrm { i } ( \Omega t + \delta \phi ) } } { 2 } } \\ & { = \frac { m _ { \alpha } \alpha \mathrm { E } _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 n + 1 ) } { 2 \Theta _ { m } \Theta _ { c } } \left( e ^ { \mathrm { i } ( \Psi _ { 1 } - \delta \phi ) } + e ^ { \mathrm { i } ( - \Psi _ { 1 } + \delta \phi ) } \right) + \left( \mathrm { t e r m s ~ i n ~ } 2 \Omega \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \delta ) } & { : = O \left( \Delta _ { 1 } + \left( d \sigma _ { \operatorname* { m a x } } + \sum _ { i = 1 } ^ { d } c _ { i } ( \delta ) \right) \sqrt { \log \frac { d T } { \delta } } + d L \log \left( \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \sqrt { T } + r ( \delta ) \right) \right) , } \\ { c _ { i } ( \delta ) } & { : = O \left( \sigma _ { i } ^ { 3 } \log \left( \frac { d } { \delta } \right) + \sigma _ { i } \log \left( 1 + \sigma _ { i } ^ { 2 } T + \sigma _ { i } ^ { 2 } \log \frac { d } { \delta } \right) + \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \log \left( \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \sqrt { T } + r ( \delta ) \right) \right) , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { r ( \delta ) } & { : = O \left( \Delta _ { 1 } + \left\Vert \sigma ^ { 2 } \right\Vert _ { 1 } \log \left( \frac { d } { \delta } \right) + \left\Vert \sigma \right\Vert _ { 1 } \sqrt { \log \frac { d } { \delta } } + L d \log L \right) , } \end{array}
B C _ { c o s t } ( t , [ \zeta , a ] ) = \left. \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( \kappa _ { 1 } l o g ( a ) + \kappa _ { 2 } \big ) \cdot \big ( \kappa _ { 3 } \zeta + \kappa _ { 4 } \big ) } & { a \leq \kappa _ { a } } \\ { \big ( \kappa _ { 1 } l o g ( \kappa _ { a } ) + \kappa _ { a } ^ { o } ( a - \kappa _ { a } ) + \kappa _ { 2 } \big ) \cdot \big ( \kappa _ { 3 } \zeta + \kappa _ { 4 } \big ) } & { a > \kappa _ { a } } \end{array} \right. \right\}
\phi _ { j } ( z ) = \phi _ { j } ( z ; \mathbf { y } ) = i \int _ { y _ { 2 j } } ^ { z } \frac { \Pi _ { l = 1 } ^ { n - 2 } ( u - \mu _ { l } ^ { ( j ) } ) } { \Pi _ { j = 1 } ^ { 2 n } ( u - y _ { j } ) ^ { 1 / 2 } } d u \times \left( \int _ { y _ { 2 j + 1 } } ^ { y _ { 2 j + 2 } } \frac { \Pi _ { l = 1 } ^ { n - 2 } ( u - \mu _ { l } ^ { ( j ) } ) } { \Pi _ { j = 1 } ^ { 2 n } ( u - y _ { j } ) ^ { 1 / 2 } } d u \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l r } { \delta } & { = } & { \frac { 2 \pi \rho _ { n } r _ { e } } { ( \hbar \omega ) ^ { 2 } } \left( Z + \frac { - \kappa K ^ { \prime } } { \epsilon ^ { n + 2 - m } } \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 2 } + \frac { \pi K } { 2 \epsilon } \tan \left( \frac { m \pi } { 2 } \right) \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { m - 1 } + \left( \frac { 2 ^ { - m + 3 } K } { ( m - 3 ) \epsilon ^ { m - 2 } } + \frac { ( 1 - 2 ^ { - n + 3 } ) K ^ { \prime } } { ( n - 3 ) \epsilon ^ { n - 2 } } \right) \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { 2 } \right. } \\ & { + } & { \left. \left( 2 K - \frac { 7 \kappa } { 3 \epsilon ^ { n - m } } \right) \left( \frac { 1 } { \hbar \omega } \right) ^ { m } + \cdots \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log _ { 1 0 } \eta } & { = 7 - \frac { 1 1 . 3 \left( T - T _ { V E } \right) \left( \frac { 2 0 6 } { T _ { V E } } \right) } { 3 5 . 9 + \left( T - T _ { V E } \right) \left( \frac { 2 0 6 } { T _ { V E } } \right) } , } \\ { \ln \rho } & { = \ln \rho _ { 0 } + 0 . 0 0 1 2 T \left( 1 - \frac { 2 0 6 } { T _ { V E } } \right) + \frac { p } { 1 2 . 8 \times 1 0 ^ { 8 } } , } \end{array}
A ( \zeta ) \sim \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } \zeta ^ { - \sigma _ { 3 } / 4 } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i } } \\ { - 1 } & { \mathrm { i } } \end{array} \right) \left( I + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { A _ { k } } { \zeta ^ { 3 k / 2 } } \right) \mathrm { e } ^ { - \frac { 2 } { 3 } \zeta ^ { 3 / 2 } \sigma _ { 3 } } , \qquad | \arg \, \zeta | < \pi ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \Sigma } _ { 1 } ^ { 1 / q } ( q ) = } & { \left( \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \mathbb { E } ^ { q } \left[ \frac { x _ { 1 , l _ { 1 } } x _ { 1 , l _ { 2 } } } { \| X _ { 1 } \| ^ { 2 } } \right] \right) ^ { 1 / q } \ge \left( \sum _ { l \in \mathcal { L } } \mathbb { E } ^ { q } \left[ \frac { x _ { 1 , l } ^ { 2 } } { \| X _ { 1 } \| ^ { 2 } } \right] \right) ^ { 1 / q } } \\ { = } & { p ^ { 1 / q - 1 } \left( \sum _ { l \in \mathcal { L } } \mathbb { E } ^ { q } \left[ \frac { x _ { 1 , l } ^ { 2 } } { \| X _ { 1 } \| ^ { 2 } } \right] \right) ^ { 1 / q } \left( \sum _ { l \in \mathcal { L } } 1 ^ { q / ( q - 1 ) } \right) ^ { 1 - 1 / q } } \\ { \ge } & { p ^ { 1 / q - 1 } \sum _ { l \in \mathcal { L } } \mathbb { E } \left[ \frac { x _ { 1 , l } ^ { 2 } } { \| X _ { 1 } \| ^ { 2 } } \right] = p ^ { 1 / q - 1 } . } \end{array}
{ \cal M } _ { \tilde { \psi } ^ { + } } \ = \ \left( \begin{array} { c c } { { M _ { 2 } } } & { { \sqrt 2 \, M _ { W } s _ { \beta } } } \\ { { \sqrt 2 \, M _ { W } c _ { \beta } } } & { { - \mu } } \end{array} \right) \ .
( U \Lambda U ^ { - 1 } ) ( x , y ) \; = \; \Lambda ( x ) \: \delta ^ { 4 } ( x - y ) \: + \: { \mathrm { ( h i g h e r ~ o r d e r s ~ i n ~ ( l _ { \mathrm { \scriptsize { m a c r o } } } ~ E _ { P } ) ^ { - 1 } ~ ) } } .
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha } ( 1 ) } & { = N _ { \alpha } \int \mathrm { d } ( 2 3 \ldots ) \rho ( 1 2 \ldots ) \, , } \\ { f _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) } & { = N _ { \alpha } ( N _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } ) \int \mathrm { d } ( 3 4 \ldots ) \rho ( 1 2 \ldots ) \, , } \\ { f _ { \alpha \beta \gamma } ( 1 2 3 ) } & { = N _ { \alpha } ( N _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } ) ( N _ { \gamma } - \delta _ { \alpha \gamma } - \delta _ { \beta \gamma } ) \int \mathrm { d } ( 4 5 \ldots ) \rho ( 1 2 \ldots ) \, , } \\ & { \mathrm { e t c . \, , } } \end{array}