harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { - \Delta _ { p } u : = - \mathrm { d i v } ( { \left| \nabla u \right| } ^ { p - 2 } \nabla u ) = f } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \\ { { \left| \nabla u \right| } ^ { p - 2 } \displaystyle { \frac { \partial u } { \partial \nu } } + \beta { \left| u \right| } ^ { p - 2 } u = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } \partial \Omega , } \end{array} \right.
\mathbf { { V } } _ { p } ^ { Q } = [ \mathbf { v } _ { p } , \mathbf { v } _ { p + 1 } , \ldots , \mathbf { v } _ { k } , \mathbf { v } _ { k + 1 } , \ldots , \mathbf { v } _ { Q - 1 } , \mathbf { v } _ { Q } ] .
{ { \sigma } _ { a b s } } ( \omega ) = { \textrm { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } { d t { { e } ^ { i \omega t } } T { { r } _ { S } } } \left[ \rho _ { { { \mu } ^ { - } } } ^ { \dagger } ( t ) { { \rho } _ { { { \mu } ^ { - } } } } ( 0 ) \right] }
\begin{array} { r l } { a _ { p , i } } & { = \alpha _ { 1 } ( \partial W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } ( W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { = \alpha _ { 1 } \sum _ { s \geq 0 } ( ( s + 1 ) W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } - s W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { b \to + \infty } \int _ { a - i b } ^ { a + i b } e ^ { z t } \, \frac { \Phi ^ { \dagger } ( z ) } { z } e ^ { - x \Phi ( z ) } \, d z \, } & { = \, I _ { 1 } ( \varepsilon ) - \overline { { I _ { 1 } ( \varepsilon ) } } + \, \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } F ( z ; x , t ) \, d z = 2 i I _ { 3 } ( \varepsilon ) + \, \int _ { \gamma _ { \varepsilon , \theta } } F ( z ; x , t ) \, d z , } \end{array}
\frac { d \left( \sigma \cdot \gamma _ { \pm } \left( s \right) \right) } { d s } = \sigma \cdot \frac { d \gamma _ { \pm } \left( s \right) } { d s } = - \sigma \cdot \nabla V \left( \gamma _ { \pm } \left( s \right) \right) = - \nabla V \left( \sigma \cdot \gamma _ { \pm } \left( s \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in \Phi _ { B S } \backslash \mathcal { B } _ { o } } \mathbb { E } [ r _ { i } ^ { - \alpha } ] } & { = ( \pi \lambda _ { B S } ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \sum _ { i = 2 } ^ { N _ { B S } } \frac { \Gamma ( i - 1 ) } { \Gamma ( i ) } } \\ & { = ( \pi \lambda _ { B S } ) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { B S } - 1 } \frac { 1 } { i } } \\ & { \approx \left( \pi \lambda _ { B S } \right) ^ { \frac { \alpha } { 2 } } \left( \ln ( N _ { B S } - 1 ) + \gamma \right) } \end{array}
f ( t , x ) = \frac { 2 r { \mathrm { e } } ^ { r t } } { \rho ( { \mathrm { e } } ^ { r t } - 1 ) } \sqrt { \frac { { \mathrm { e } } ^ { r t } } { x } } I _ { 1 } \left( \frac { 4 r \sqrt { x { \mathrm { e } } ^ { r t } } } { \rho ( { \mathrm { e } } ^ { r t } - 1 ) } \right) { \mathrm { e x p } } \left( - \frac { r ( { \mathrm { e } } ^ { r t } + x ) } { \rho ( { \mathrm { e } } ^ { r t } - 1 ) } \right) ,
2 f ( x _ { 0 } ( B ) ) = - 4 ( \gamma + \log 4 ) + b - \frac { 4 \, B \, { \pi } ^ { 2 } \, { \sqrt { 1 - x _ { 0 } ( B ) } } } { { \sqrt { 1 + 3 \, x _ { 0 } ( B ) } } } .
[ p \cdot \hat { H } , \widetilde { M } ] _ { \mu \nu } = \left[ p \cdot \hat { H } , \, { ( i / 2 ) } \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } \, { | \rho | ^ { 2 } } \, y ( \rho \cdot q ) \, \hat { s } _ { \rho } \right] _ { \mu \nu } , \quad \mu , \nu \in { \cal R }
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { H } ( Y | X ) \ } & { \equiv \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } \, p ( x ) \, \mathrm { H } ( Y | X = x ) } \\ & { = - \sum _ { x \in { \mathcal { X } } } p ( x ) \sum _ { y \in { \mathcal { Y } } } \, p ( y | x ) \, \log _ { 2 } \, p ( y | x ) } \\ & { = - \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } \, p ( x ) p ( y | x ) \, \log _ { 2 } \, p ( y | x ) } \\ & { = - \sum _ { x \in { \mathcal { X } } , y \in { \mathcal { Y } } } p ( x , y ) \log _ { 2 } { \frac { p ( x , y ) } { p ( x ) } } . } \end{array} }
\boldsymbol { X } _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } = \int \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } \left( \vec { r } \right) \boldsymbol { V } ^ { \textrm { X C } } ( \vec { r } ) \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } \left( \vec { r } \right) \textrm { d } ^ { 3 } r
S _ { n m } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { 2 } { N } } \cos \left[ \frac { \pi \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) m } { N } \right] \quad } & { m \neq 0 } \\ { \sqrt { \frac { 1 } { N } } \quad } & { m = 0 , } \end{array} \right.
3 { \frac { 2 } { 3 } } , \ 3 { \frac { 3 } { 5 } } , \ 3 { \frac { 2 0 } { 3 3 } } , \ 3 { \frac { 6 6 } { 1 0 9 } } , \ 3 { \frac { 1 0 9 } { 1 8 0 } } , \ 3 { \frac { 7 2 0 } { 1 1 8 9 } } , \ \cdots
\sigma ( | \textbf { r } _ { i j } | ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { i f ~ } | \textbf { r } _ { i j } | \leq 3 . 5 \, \mathrm { \AA } } \\ { \exp \left( - \frac { ( | \textbf { r } _ { i j } | - 3 . 5 \, \mathrm { \AA } ) ^ { 2 } } { 2 \times ( 0 . 0 5 \, \mathrm { \AA } ) } \right) } & { \mathrm { i f ~ } 3 . 5 \, \mathrm { \AA } \leq | \textbf { r } _ { i j } | < 3 . 5 1 \, \mathrm { \AA } } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } 3 . 5 1 \, \mathrm { \AA } \leq | \textbf { r } _ { i j } | } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal F _ { c } ( N , \omega ) } & { : = - \frac { 1 } { 2 } \left( S + \Delta S \right) + \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } \log 2 \pi \omega - 2 \pi \omega \sum _ { \alpha } ( 1 - | z _ { \alpha } | ^ { 2 } ) } \\ & { = - N \left( b + \frac { 1 } { 2 } \right) - \frac { N ^ { 2 } } { 2 } \left( \log N - \frac { 1 } { 2 } \right) + \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } \log 2 \pi \omega - 2 \pi \omega \sum _ { \alpha } ( 1 - | z _ { \alpha } | ^ { 2 } ) , } \end{array}
\tilde { \Delta } _ { c o v } ( A _ { 1 } , A _ { 2 } ; c ) = \frac { n } { 2 i } \int _ { 0 } ^ { 1 } d t \int P ( c _ { 2 } , \, F ^ { n - 1 } ( A _ { 1 } + t A _ { 2 } ) ) +
\begin{array} { r l } { \left\vert d ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( y ) ) - d ( \phi ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi ^ { r _ { i } } ( y ) ) \right\vert } & { \leqslant \left\vert d ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( y ) ) - d ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi ^ { r _ { i } } ( y ) ) \right\vert } \\ & { \qquad + \left\vert d ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi ^ { r _ { i } } ( y ) ) - d ( \phi ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi ^ { r _ { i } } ( y ) ) \right\vert } \\ & { \leqslant d ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( y ) , \phi ^ { r _ { i } } ( y ) ) + d ( \phi _ { k } ^ { r _ { i } } ( x ) , \phi ^ { r _ { i } } ( x ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { = \tilde { t } \alpha / 2 t _ { R } } \\ { \tau } & { = \tilde { \tau } \sqrt { \alpha / | \beta _ { 2 } | L } } \\ { A } & { = \tilde { A } \sqrt { 2 \gamma L / \alpha } } \\ { P } & { = \sqrt { 8 \kappa P _ { \mathrm { i n } } \gamma L / \alpha ^ { 3 } } } \\ { \delta } & { = 2 ( \theta - J _ { \mathrm { M } } ) / \alpha } \\ { C } & { = J _ { \mathrm { M } } \Omega _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } | \beta _ { 2 } | L / \alpha ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( 0 ) } ( { \bf k } ) \! = \! } & { \sum _ { j _ { z } } \left[ C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } h ( { \bf k } ) C _ { { \bf k } , j _ { z } } + C _ { { \bf k } , j _ { z } } ^ { \dagger } T _ { z } C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } \right. } \\ & { \left. + C _ { { \bf k } , j _ { z } + 1 } ^ { \dagger } T _ { z } ^ { \dagger } C _ { { \bf k } , j _ { z } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \textnormal { N } ( n ) } , \textnormal { i f } n \equiv p _ { 1 } \cdots p _ { k } \textnormal { w i t h } p _ { 1 } , \ldots , p _ { k } \in \mathbb { Z } [ i ] ^ { * } \textnormal { p r i m e s , } \textnormal { N } ( p _ { j } ) \in [ P _ { j } ^ { 1 - \varepsilon } , P _ { j } ] \, \, \, \forall \, j < k , } \\ { 0 , \quad \, \, \textnormal { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. } \end{array}
\phi _ { i } ( x , y ) = \frac { \phi _ { 0 } ( x - y ) } { v _ { 1 } } \left[ v _ { 1 } + \frac { \sigma ( X ) + i \varphi ^ { 0 } ( X ) } { \sqrt { 2 } } \right] \delta _ { i } { } ^ { 5 } + \sqrt { 2 } i \frac { \phi _ { 0 } ( x - y ) } { v _ { 2 } } \varphi ^ { \rho } ( X ) \left( S ^ { \rho } \right) _ { i } { } ^ { 5 } + \ldots ,
{ \begin{array} { r l } { \langle \psi _ { 2 } | { \hat { \mathbf { r } } } | \psi _ { 2 } \rangle } & { = ( \langle \psi | ( { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) ) ^ { \dagger } ) { \hat { \mathbf { r } } } ( { \hat { T } } ( \mathbf { x } ) | \psi \rangle ) } \\ & { = \langle \psi | { \hat { \mathbf { r } } } | \psi \rangle + \mathbf { x } } \end{array} }
\lambda _ { \mathrm { s } } \, \equiv \, \frac { l } { \int _ { 1 } ^ { + \infty } \mathrm { d } x \, { \mathsf p } _ { \hat { \kappa } _ { l } l } ( x ) } \, \quad \quad \left( l \sim \overline { r } _ { \mathrm { g } } \right) ,
{ \frac { 1 } { M ! } } \left( \sqrt { 1 - | \eta | ^ { 2 } } a _ { 0 } ^ { \dagger } + \eta a _ { 1 } ^ { \dagger } \right) ^ { M } | 0 \rangle , \qquad \eta = \xi / \sqrt { 1 + | \xi | ^ { 2 } } \in \mathbf { C } ,
\begin{array} { r l r l } { \operatorname* { m i n } \ } & { \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { G } , t \in T } c _ { G _ { i } ^ { t } , 2 } ( P _ { G _ { i } } ^ { t } ) ^ { 2 } + c _ { G _ { i } ^ { t } , 1 } P _ { G _ { i } } ^ { t } + c _ { G _ { i } ^ { t } , 0 } + \sum _ { t \in T } p _ { f l } ^ { t } P _ { f l } ^ { t } + c ^ { \top } y } \\ & { + \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \beta _ { i , t } ^ { + } u _ { i , t } ^ { \beta , + } + \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \beta _ { i , t } ^ { - } u _ { i , t } ^ { \beta , - } + b _ { \Omega } ^ { \top } u _ { \Omega } } \\ & { - \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } P _ { D G _ { i } , \operatorname* { m i n } } ^ { t } \beta _ { i , t } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 1 } - \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } P _ { i , t } ^ { + } \beta _ { i , t } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 2 } } \\ & { - \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } P _ { i , t } ^ { + } \beta _ { i , t } ^ { - } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 3 } - \sum _ { i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } P _ { D G _ { i } , \operatorname* { m i n } } ^ { t } \beta _ { i , t } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 4 } } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { A y \geq b , } \\ & { - P _ { D G _ { i } } ^ { t } + u _ { i , t } ^ { \beta , + } + u _ { i , t } ^ { \beta , - } - P _ { D G _ { i } , \operatorname* { m i n } } ^ { t } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 1 } - P _ { i , t } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 2 } } \\ & { \qquad - P _ { i , t } ^ { + } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 3 } - P _ { D G _ { i } , \operatorname* { m i n } } ^ { t } ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 4 } \geq 0 } & & { \forall i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \\ & { u _ { i , t } ^ { \beta , + } \geq 0 , \ - u _ { i , t } ^ { \beta , - } \geq 0 } & & { \forall i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \\ & { ( A _ { \Omega } u _ { \Omega } ) _ { i } - \beta _ { i , t } ^ { - } ( ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 1 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 3 } ) - \beta _ { i , t } ^ { + } ( ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 2 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 4 } ) \geq 0 } & & { \forall i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \\ & { u _ { \Omega } \geq 0 } \\ & { ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 1 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 2 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 3 } + ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 4 } \geq - 1 } & & { \forall i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \\ & { - ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 1 } , - ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 2 } \geq 0 } & & { \forall i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \\ & { ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 3 } , ( u _ { \mathrm { e n v } } ) _ { i , t } ^ { 4 } \geq 0 } & & { \forall i \in \mathcal { N } _ { D G } , t \in T } \\ & { , \ \& \ } \end{array}
k _ { 0 } = \left[ \frac { \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } k ^ { 2 } | \hat { \Theta } _ { 0 } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } k _ { x } \, \mathrm { d } k _ { y } \, \mathrm { d } k _ { z } } { \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \int _ { \! \! - \infty } ^ { \infty } | \hat { \Theta } _ { 0 } | ^ { 2 } \, \mathrm { d } k _ { x } \, \mathrm { d } k _ { y } \, \mathrm { d } k _ { z } } \right] ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { G } _ { 2 , 2 } ( f ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } } ( \partial _ { x } z ) ^ { 2 } d x , \quad \mathcal { G } _ { 3 , 2 } ( f ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } } v z ^ { 2 } d x , } \\ & { \mathcal { G } _ { 4 , 2 } ( f ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } } v z \Pi _ { S } ( v z ) + v ^ { 2 } z ^ { 2 } d x , \quad \mathcal { G } _ { 5 , 2 } ( f ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { T } } v ^ { 3 } z ^ { 2 } d x . } \end{array}
L = \mathrm { T r } \left\{ - \frac { 1 } { 4 } G ^ { \mu \nu } G _ { \mu \nu } + \frac { 1 } { 2 } D _ { \mu } S ^ { \dagger } D ^ { \mu } S \right\} + \frac { 1 } { 2 } D _ { \mu } \phi ^ { \dagger } D ^ { \mu } \phi - V ( S , \phi ) \, .
I ( x ) \equiv \int _ { 0 } ^ { x } y ^ { 3 } d y \left[ j _ { J } ^ { 2 } ( y ) - \frac { J } { 2 J + 1 } j _ { J + 1 } ^ { 2 } ( y ) - \frac { J + 1 } { 2 J + 1 } j _ { J - 1 } ^ { 2 } ( y ) \right]
p _ { j } = \mathop { \, \mathrm { R e s \, } } _ { \lambda \to q _ { j } } L _ { 2 , 1 } ( \lambda ) = \hbar \mathop { \, \mathrm { R e s \, } } _ { \lambda \to q _ { j } } \frac { Y _ { 2 } ( \lambda ) ( \partial _ { \lambda } Y _ { 1 } ) ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) ( \partial _ { \lambda } Y _ { 2 } ) ( \lambda ) } { Y _ { 2 } ( \lambda ) - Y _ { 1 } ( \lambda ) }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ] \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { l = 0 } ^ { \tau _ { k } } \mathbb { E } [ \| x ^ { k - l + 1 } - x ^ { k - l } \| ] } \\ { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } 2 \gamma ^ { - 1 } ( L _ { f } + L _ { \omega } ) ( \tau _ { k } + 1 ) } \\ { = } & { 2 \gamma ^ { - 1 } ( L _ { f } + L _ { \omega } ) \big ( K + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \tau _ { k } \big ) , } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { n } { \binom { 2 n } { 2 i } } - \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } { \binom { 2 n } { 2 i + 1 } } = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n } ( - 1 ) ^ { j } { \binom { 2 n } { j } } = ( 1 - 1 ) ^ { 2 n } = 0
{ \begin{array} { l l } { \Omega _ { i } ^ { j } } & { = d ( \Gamma ^ { j } _ { q i } \theta ^ { q } ) + ( \Gamma ^ { j } _ { p k } \theta ^ { p } ) \wedge ( \Gamma ^ { k } _ { q i } \theta ^ { q } ) } \\ & { = \theta ^ { p } \wedge \theta ^ { q } \left( \partial _ { p } \Gamma ^ { j } _ { q i } + \Gamma ^ { j } _ { p k } \Gamma ^ { k } _ { q i } ) \right) } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \theta ^ { p } \wedge \theta ^ { q } R _ { p q i } ^ { j } } \end{array} }
f _ { \pi } ^ { 2 } \; = \; 4 N _ { c } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { M ^ { 2 } ( k ) - \frac 1 2 M ( k ) \frac { d M ( k ) } { d k } k + \frac 1 4 \left( \frac { d M ( k ) } { d k } \right) ^ { 2 } k ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } + M ^ { 2 } ( k ) ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \omega } & { { } = \left( \frac { 1 - 4 \rho } { 4 \nu ^ { 4 } } \right) ^ { 1 / 6 } \frac { 1 } { \Delta V } = \frac { 1 } { V _ { s } } } \\ { \sigma } & { { } = \left( \frac { \nu ^ { 2 } \left( 1 - 4 \rho \right) } { 4 } \right) ^ { 1 / 3 } \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } = \frac { 1 } { \tau _ { s } } . } \end{array}
\| \eta _ { 1 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \, = \, \| \eta _ { 1 } \| _ { \mathcal { X } _ { 0 } } ^ { 2 } + \mathcal { O } \bigl ( \epsilon ^ { \gamma _ { 1 } } \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \bigr ) \, , \qquad E _ { \epsilon } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta _ { 1 } ] \, = \, \frac { \beta _ { \epsilon } { - } 2 } { 4 \pi } \, \tilde { \mu } _ { 0 } ^ { 2 } + E _ { 0 } ^ { \mathrm { k i n } } [ \eta _ { 1 } ] + \mathcal { O } \bigl ( \epsilon \beta _ { \epsilon } \| \eta \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \bigr ) \, .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { 1 1 } ( z , \bar { z } ) } & { = } & { i \left[ ( z \bar { z } + k ) \frac { ( z ^ { 2 } - \bar { z } ^ { 2 } ) } { ( z \bar { z } ) ^ { 2 } } + 2 \log { \frac { z } { \bar { z } } } \right] , } \\ { \sigma _ { 2 2 } ( z , \bar { z } ) } & { = } & { i \left[ ( z \bar { z } + k ) \frac { ( \bar { z } ^ { 2 } - z ^ { 2 } ) } { ( z \bar { z } ) ^ { 2 } } + 2 \log { \frac { z } { \bar { z } } } \right] , } \\ { \sigma _ { 1 2 } ( z , \bar { z } ) } & { = } & { \frac { ( z \bar { z } + k ) ( z ^ { 2 } + \bar { z } ^ { 2 } ) } { ( z \bar { z } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \phi ^ { \prime } ( z _ { 2 } ) J ( T ^ { - 1 } ) ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } } & { = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \beta \left( z _ { 1 } , \frac { \varepsilon } { 3 } \right) J ( T ^ { - 1 } ) \left( z _ { 1 } , \frac { \varepsilon } { 3 } \right) \textrm { d } z _ { 1 } } \\ & { - \varepsilon \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \phi ( z _ { 2 } ) \frac { \partial \beta } { \partial z _ { 2 } } ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) J ( T ^ { - 1 } ) ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } } \\ & { - \varepsilon \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \phi ( z _ { 2 } ) \beta ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } J ( T ^ { - 1 } ) ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f \| _ { L ^ { p } ( Y _ { \mathrm { b r o a d } } ) } ^ { p } } & { \leq K ^ { O ( 1 ) } \| T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f \| _ { L ^ { p } ( Y ^ { \prime } ) } ^ { p } } \\ & { \leq K ^ { O ( 1 ) } \left\| \prod _ { j = 1 } ^ { n + 1 } | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { j } | ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } \right\| _ { L ^ { p } ( \cup _ { B \subset Y ^ { \prime } } B ( x _ { B } , 2 ) ) } } \\ & { \sim K ^ { O ( 1 ) } M ^ { - \frac { 1 } { 2 ( n + 1 ) } } \left\| \prod _ { j = 1 } ^ { n + 1 } | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { j } | ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } \right\| _ { L ^ { \frac { 2 ( n + 1 ) } { n } } ( \cup _ { B \subset Y ^ { \prime } } B ( x _ { B } , 2 ) ) } } \\ & { \leq K ^ { O ( 1 ) } M ^ { - \frac { 1 } { 2 ( n + 1 ) } } \left\| \prod _ { j = 1 } ^ { n + 1 } | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { j } | ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } \right\| _ { L ^ { \frac { 2 ( n + 1 ) } { n } } ( B _ { R } ^ { \ast } ) } } \\ & { \lesssim K ^ { O ( 1 ) } M ^ { - \frac { 1 } { 2 ( n + 1 ) } } \left\| \prod _ { j = 1 } ^ { n + 1 } | e ^ { i t \Delta } f _ { j } | ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } \right\| _ { L ^ { \frac { 2 ( n + 1 ) } { n } } ( B _ { 2 R } ) } } \\ & { \lesssim K ^ { O ( 1 ) } M ^ { - \frac { 1 } { 2 ( n + 1 ) } } R ^ { \epsilon } \| f \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq K ^ { O ( 1 ) } M ^ { - \frac { 1 } { n + 1 } } \nu ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } R ^ { \frac { \lambda } { 2 ( n + 1 ) } + \epsilon } \| f \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { j } ^ { * } Y _ { j } = \frac { 1 } { 4 } } & { \left[ ( X _ { j } + Y _ { j } ) ^ { * } ( X _ { j } + Y _ { j } ) - ( X _ { j } - Y _ { j } ) ^ { * } ( X _ { j } - Y _ { j } ) \right. } \\ & { \left. + i ( X _ { j } - i Y _ { j } ) ^ { * } ( X _ { j } - i Y _ { j } ) - i ( X _ { j } + i Y _ { j } ) ^ { * } ( X _ { j } + i Y _ { j } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \tau _ { 1 } \! = \! k ) } & { = \frac { 1 } { \mu _ { 1 } } \bigg ( 1 - \frac { 1 } { \mu _ { 1 } } \bigg ) ^ { k - 1 } \, , \quad k = 1 , 2 , \cdots , \infty } \\ { P ( \tau _ { 0 } \! = \! k ) } & { = \frac { 1 } { Z } \exp \bigg ( - \frac { ( k - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \bigg ) \, , \quad k = 1 , 2 , \cdots , 2 \mu _ { 0 } \! - \! 1 . } \end{array}
c _ { 0 , i } \! = \frac { E [ Z _ { i } ] } { E [ Z _ { i } ^ { 2 } ] } = \! \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } z _ { i } f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) d z _ { 1 } d z _ { 2 } } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } z _ { i } ^ { 2 } f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) d z _ { 1 } d z _ { 2 } } , \; i = 1 , 2 .
\vec { \xi } _ { x } = \frac { 1 } { \kappa \sqrt { c } } \frac { \partial } { \partial x } \left( \begin{array} { c } { { f ( r ) } } \\ { { \theta } } \end{array} \right) , \: \: \vec { \xi } _ { y } = \frac { 1 } { \kappa \sqrt { c } } \frac { \partial } { \partial y } \left( \begin{array} { c } { { f ( r ) } } \\ { { \theta } } \end{array} \right) , \: \: \vec { \xi } _ { \theta } = \sqrt { \frac { \beta } { 4 \pi } } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \begin{array} { c } { { f ( r ) } } \\ { { \theta } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { Q _ { v } = q _ { \textrm { m e t } } - \hat { \omega } _ { b } \rho _ { b } c _ { b } ( T _ { b } - T _ { t } ) + \rho _ { b } c _ { b } \mathbf v \cdot \nabla T _ { t } + \nabla \cdot ( \lambda _ { p } \nabla T _ { t } ) , } \end{array}
\phi ( G _ { N } ) : = \operatorname* { m a x } _ { v \in V _ { N } } \left\lvert \frac { N } { M ( N ) } \sum _ { w \in W _ { N } } \frac { 1 } { d _ { w } ^ { N } } - 1 \right\rvert \leq \operatorname* { m a x } \left( 1 - \frac { 1 - \varepsilon } { 1 + \varepsilon } , \frac { 1 + \varepsilon } { 1 - \varepsilon } - 1 \right) \leq \frac { 2 \varepsilon } { 1 - \varepsilon } \leq 4 \varepsilon ,
A _ { n , 3 } = A _ { n , 1 } \cap \{ \operatorname* { s u p } _ { \| \theta - \theta _ { * } \| > M _ { n } / \sqrt { n } } \{ \ell ( \theta ) - \ell ( \theta _ { * } ) \} < - c _ { 5 } M _ { n } ^ { 2 } \} \cap \smash { \{ \int _ { K _ { n } } e ^ { \ell ( \theta _ { * } + h / \sqrt { n } ) - \ell ( \theta _ { * } ) } \pi ( \theta _ { * } + h / \sqrt { n } ) d h > \tilde { c } _ { 1 } \} , }
\mathcal { C } ( \mathfrak { p } ^ { r } ) = \left( \bigoplus _ { i = 1 } ^ { m } \langle \overline { { C _ { i } } } \rangle \right) \oplus \left( \bigoplus _ { i = m + 1 } ^ { r - 2 } \langle \overline { { C _ { i } - | \mathfrak { p } | C _ { i + 1 } } } \rangle \right) \oplus \langle \overline { { D _ { r - 1 } } } \rangle \oplus \langle \overline { { D _ { 0 } } } \rangle ,
P _ { n } = \frac { 1 } { n ! \, \Gamma ( k ) } \; { \sf H } _ { 1 , 1 } ^ { 1 , 1 } \left[ \, \lambda \left| \begin{array} { c } { { ( 1 - n , \; 1 ) } } \\ { { ( k , \; 1 / \mu ) } } \end{array} \right] \right. \quad \mathrm { f o r ~ } 0 < \mu < 1 .
b _ { \ell } ( N ) = \left\{ \begin{array} { l l } { b _ { \ell } ( N ^ { \prime } ) } & { \textrm { i f } 0 \le \ell \le s + i m - 1 , } \\ { 0 } & { \textrm { i f } s + i m \le \ell \le s + ( i + 1 ) m - 1 , } \\ { b _ { \ell - ( i + 1 ) m } ( N ^ { \prime \prime } ) } & { \textrm { i f } s + ( i + 1 ) m \le \ell \le s + ( i + k + 1 ) m - 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi ( \boldsymbol { r } ; z ) \, = \, - \frac { \mathrm { i } \, U } { \Gamma ( N ) } \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } U \, r ^ { 2 } } 2 \right) \, } \\ { \displaystyle \times \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } \rho \, \rho \, \exp \left( \frac { \mathrm { i } U } 2 \, \rho ^ { 2 } \right) \, { \Gamma \left( N , N \, \rho ^ { 2 } \right) } \, J _ { 0 } ( U r \, \rho ) \, , } \end{array}