harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( z _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } \right) } & { = \frac { 1 } { 2 } \epsilon \int \! d \gamma d \beta \left( \sigma _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } ^ { \beta \gamma } z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } z _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { * } e ^ { i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } \right) t } + \sigma _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } ^ { \beta \gamma } z _ { \left( + , \mathbf { k } \right) } z _ { \beta } z _ { \gamma } e ^ { - i \left( \omega _ { \gamma } + \omega _ { \beta } + \omega _ { \left( - , \mathbf { k } \right) } \right) t } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R e } _ { \mathrm { j e t } } } & { = \frac { u _ { \mathrm { j e t } } d } { \nu _ { \mathrm { g a s } } } , } \\ { C _ { D } } & { = \frac { F _ { D } } { p _ { d } S _ { d } } , } \\ { p _ { d } } & { = \frac { 1 } { 2 } \rho _ { \mathrm { g a s } } u _ { \mathrm { j e t } } ^ { 2 } , } \\ { S _ { d } } & { = \pi \left( \frac { d } { 2 } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma \left( f ( \overline { { x } } ^ { K } ) - f ( x ^ { * } ) \right) } & { \leq } & { \frac { \| x ^ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - \| x ^ { K + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { K + 1 } } \\ & { } & { \quad - \frac { 2 \gamma } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \langle x ^ { k } - x ^ { * } - \gamma \nabla f ( x ^ { k } ) , \theta _ { k } \rangle + \frac { \gamma ^ { 2 } } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \| \theta _ { k } \| ^ { 2 } , } \\ { \overline { { x } } ^ { K } } & { = } & { \frac { 1 } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } x ^ { k } , } \end{array}
J _ { k } = { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { k i j } \int d ^ { 3 } \vec { x } { \cal M } _ { 0 i j } = \epsilon _ { k i j } x _ { i } R _ { j } + \epsilon _ { k i j } \int d ^ { 3 } \vec { y } ( y _ { i } - x _ { i } ) \Theta _ { 0 j } ( \vec { y } , t ) ~ ,
I ( Q ^ { 2 } ) = v _ { 4 } \frac { k ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } d z \left( z ^ { - 2 } - \frac { Q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } z ^ { - 1 } - z ^ { - 2 } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } z } \right) .
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } { S _ { x } } } { \mathrm { d } \eta } } & { { } \simeq } & { \frac { C \psi _ { 1 } ( \chi ) } { \gamma _ { e } } S _ { x } , } \\ { \frac { \mathrm { d } { S _ { y } } } { \mathrm { d } \eta } } & { { } \simeq } & { \frac { C \psi _ { 1 } ( \chi ) } { \gamma _ { e } } S _ { y } , } \\ { \frac { \mathrm { d } { S _ { z } } } { \mathrm { d } \eta } } & { { } \simeq } & { \frac { C ( \psi _ { 1 } ( \chi ) + \psi _ { 2 } ( \chi ) ) } { \gamma _ { e } } S _ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \widetilde { \mathcal L } _ { \gamma , q } h _ { 1 } , h _ { 2 } \rangle _ { L ^ { 2 } } } & { \lesssim \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 1 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 2 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } + \eta \| h _ { 1 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } \| h _ { 2 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } , } \\ { \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } h _ { 1 } \| _ { \mathcal H _ { \sigma } } ^ { 2 } } & { \lesssim \langle \widetilde { \mathcal L } _ { \gamma , q } h _ { 1 } , h _ { 1 } \rangle _ { L ^ { 2 } } + \eta ^ { 2 } \| \mathcal P _ { \gamma } h _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) : } & { = \int _ { \Omega ^ { 1 } } \frac { 1 } { \mu _ { 1 } } \nabla y ^ { \mathcal { N } } \cdot \nabla q ^ { \mathcal { N } } + 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } y ^ { \mathcal { N } } q ^ { \mathcal { N } } } \\ & { + \int _ { \Omega ^ { 2 } } \frac { 1 } { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \partial _ { x _ { 0 } } y ^ { \mathcal { N } } \partial _ { x _ { 0 } } q ^ { \mathcal { N } } + \frac { \mu _ { 2 } } { \mu _ { 1 } } \partial _ { x _ { 1 } } y ^ { \mathcal { N } } \partial _ { x _ { 1 } } q ^ { \mathcal { N } } + 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } y ^ { \mathcal { N } } q ^ { \mathcal { N } } , } \\ { s \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) : } & { = \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } ^ { 1 } } \delta _ { K } h _ { K } \int _ { K } \left( 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } y ^ { \mathcal { N } } \right) \partial _ { x _ { 0 } } q ^ { \mathcal { N } } } \\ & { + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } ^ { 2 } } \delta _ { K } \frac { h _ { K } } { \sqrt { \mu } _ { 2 } } \int _ { K } \left( 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } y ^ { \mathcal { N } } \right) \partial _ { x _ { 0 } } q ^ { \mathcal { N } } , } \\ { a ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) : } & { = \int _ { \Omega ^ { 1 } } \frac { 1 } { \mu _ { 1 } } \nabla p ^ { \mathcal { N } } \cdot \nabla z ^ { \mathcal { N } } - 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } p ^ { \mathcal { N } } z ^ { \mathcal { N } } } \\ & { - \int _ { \Omega ^ { 2 } } \frac { 1 } { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } \partial _ { x _ { 0 } } p ^ { \mathcal { N } } \partial _ { x _ { 0 } } z ^ { \mathcal { N } } - \frac { \mu _ { 2 } } { \mu _ { 1 } } \partial _ { x _ { 1 } } p ^ { \mathcal { N } } \partial _ { x _ { 1 } } z ^ { \mathcal { N } } - 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } p ^ { \mathcal { N } } z ^ { \mathcal { N } } , } \\ { s ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ; \boldsymbol { \mu } \right) : } & { = \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } ^ { 1 } } \delta _ { K } h _ { K } \int _ { K } \left( 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } p ^ { \mathcal { N } } \right) \partial _ { x _ { 0 } } z ^ { \mathcal { N } } } \\ & { + \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { h } ^ { 2 } } \delta _ { K } \frac { h _ { K } } { \sqrt { \mu } _ { 2 } } \int _ { K } \left( 4 x _ { 1 } ( 1 - x _ { 1 } ) \partial _ { x _ { 0 } } p ^ { \mathcal { N } } \right) \partial _ { x _ { 0 } } z ^ { \mathcal { N } } , } \end{array}
\lambda _ { 8 } \equiv \frac { 1 } { \sqrt 3 } ( H _ { 1 } ^ { \lambda } + 2 H _ { 2 } ^ { \lambda } ) = \mathrm { d i a g } ( \frac { 1 } { \sqrt 3 } , \frac { 1 } { \sqrt 3 } , - \frac { 2 } { \sqrt 3 } ) ,
\left\{ \begin{array} { l } { \dot { \bar { \mathbf { w } } } _ { 1 } = \hat { A } _ { 3 } ^ { 1 1 } \vec { \circ } \bar { { \mathbf { w } } } _ { 1 } + \hat { A } _ { 3 } ^ { 1 2 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { w } } _ { 2 } ^ { 1 } + \hat { A } _ { 3 } ^ { 1 3 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { w } } _ { 2 } ^ { 2 } + \bar { B } _ { 3 } ^ { 1 } u _ { 1 } , \quad { \bar { \mathbf { w } } } _ { 1 } \in \bar { \mathbb { R } } ^ { r } , } \\ { \dot { \bar { \mathbf { w } } } _ { 2 } ^ { 1 } = \hat { A } _ { 3 } ^ { 2 2 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { w } } _ { 2 } ^ { 1 } + \hat { A } _ { 3 } ^ { 2 3 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { w } } _ { 2 } ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \quad { \bar { \mathbf { w } } } _ { 2 } ^ { 1 } \in \bar { \mathbb { R } } ^ { p - r } , } \\ { \dot { \bar { \mathbf { w } } } _ { 2 } ^ { 2 } = \hat { A } _ { 3 } ^ { 3 3 } \vec { \circ } \bar { \mathbf { w } } _ { 2 } ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \quad { \bar { \mathbf { w } } } _ { 2 } ^ { 2 } \in \bar { \mathbb { R } } ^ { q - p } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \big \| } & { \Phi _ { t } ( y ) ( \tau ) - ( \omega I - A ) ^ { \alpha } w \big \| _ { X } \leq \big \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau ) w - ( \omega I - A ) ^ { \alpha } w \big \| _ { X } } \\ & { \qquad + \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau ) a \| _ { X } + h _ { \tau } \| u \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , \tau ] , U ) } } \\ & { \qquad + \int _ { 0 } ^ { \tau } \frac { C _ { \alpha } e ^ { \lambda ( \tau - s ) } } { ( \tau - s ) ^ { \alpha } } \big ( \| f ( 0 , u ( s ) ) \| _ { X } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \big \| f ( ( \omega I - A ) ^ { - \alpha } y ( s ) , u ( s ) ) - f ( 0 , u ( s ) ) \big \| _ { X } \big ) d s . } \end{array}
( \mathbf { A } \cdot \nabla ) \mathbf { B } = { \frac { 1 } { 2 } } { \bigg [ } \nabla ( \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } ) - \nabla \times ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) - \mathbf { B } \times ( \nabla \times \mathbf { A } ) - \mathbf { A } \times ( \nabla \times \mathbf { B } ) - \mathbf { B } ( \nabla \cdot \mathbf { A } ) + \mathbf { A } ( \nabla \cdot \mathbf { B } ) { \bigg ] }
\begin{array} { r } { \frac { w _ { l } ^ { \psi } } { \left( \Delta \psi \right) _ { l } } \approx \frac { m + l + 1 } { ( h _ { 0 } - N ) \omega _ { \zeta } } \sqrt { \left| \frac { \psi _ { l } \omega _ { \theta } ^ { \prime } ( \psi ) } { m + l } \right| } } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { H I } } ( \nu , T ) = \frac { \pi e ^ { 2 } } { m _ { e } c } f _ { 1 2 } ( L * G ) ( \nu , T ) = \frac { \pi e ^ { 2 } } { m _ { e } c } f _ { 1 2 } V ( \nu , T ) .
q _ { n } = q _ { c } + N ^ { - 1 / 3 } ( - ) ^ { n } \, f ( t ) + N ^ { - 2 / 3 } g ( t ) + O ( N ^ { - 1 } ) , \ \ \ t \equiv N ^ { 2 / 3 } \left( 1 - \frac { n } { N } \right) .
\begin{array} { r l } { F _ { \mu \nu } ^ { \beta } } & { { } = \int d \mathbf { r _ { 1 } } \, \zeta _ { \mu } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) \, \hat { f } ^ { \beta } \, \zeta _ { \nu } ( \mathbf { r _ { 1 } } ) } \end{array}
G _ { N } ^ { M } = \frac { 6 } { l ^ { 2 } } \delta _ { N } ^ { M } + \kappa ^ { 2 } \frac { \sqrt { - g _ { b r a n e } } } { \sqrt { - g } } T _ { N } ^ { M } , \: \: ( M , N = y , t , x ^ { i } ) \ .
\begin{array} { r l r } { \widetilde { R } ( x , t ) } & { \approx } & { 2 ^ { 2 / 3 } \pi ^ { - 5 / 6 } \textrm { D a } ^ { 1 / 3 } \textrm { P e } ^ { 2 / 3 } \left( 2 ^ { 1 / 6 } \pi ^ { - 1 / 6 } \textrm { D a } ^ { 1 / 3 } \textrm { P e } ^ { 1 / 6 } \frac { x } { \widetilde { \delta } _ { 0 } } \right) } \\ & { } & { \times \textrm { A i } \left( 2 ^ { 1 / 6 } \pi ^ { - 1 / 6 } \textrm { D a } ^ { 1 / 3 } \textrm { P e } ^ { 1 / 6 } \frac { x } { \widetilde { \delta } _ { 0 } } \right) } \end{array}
^ C _ { 0 } D _ { ( 1 - r ) ^ { + } } ^ { \alpha ( ( 1 - r ) ^ { + } ) } \overline { { U ^ { + } } } ~ : = ~ { \frac { ( 1 - r ) ^ { + } } { R ^ { + } } } ~ ; ~ \alpha ( ( 1 - r ) ^ { + } ) \in ( 0 , 1 ]
\Phi = \left( \begin{array} { l l l l l } { { 0 } } & { { h } } & { { 0 } } & { { \ldots } } & { { 0 } } \\ { { { \frac { a _ { 1 } } { h } } } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { { \frac { a _ { 2 } } { h ^ { 2 } } } } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { h } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { { \frac { a _ { 1 } } { h } } } } & { { 0 } } & { { h } } \\ { { { \frac { a _ { n - 1 } } { h ^ { ( n - 1 ) } } } } } & { { \ldots } } & { { { \frac { a _ { 2 } } { h ^ { 2 } } } } } & { { { \frac { a _ { 1 } } { h } } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ d z \quad ,
\Delta f = { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial r } } \left( r ^ { 2 } { \frac { \partial f } { \partial r } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta { \frac { \partial f } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \varphi ^ { 2 } } } ,
{ \begin{array} { r l r l } { s ( x ) } & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \hat { s } } ( n ) \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { n } { P } } x } } & & { { \mathrm { c o m m o n ~ m a t h e m a t i c s ~ n o t a t i o n } } } \\ & { = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } S [ n ] \cdot e ^ { i 2 \pi { \frac { n } { P } } x } } & & { { \mathrm { c o m m o n ~ e n g i n e e r i n g ~ n o t a t i o n } } } \end{array} }
\int _ { 0 } ^ { L } \! \! d x _ { 4 } \, \xi _ { M } ^ { + } ( x _ { 4 } ) \, \xi _ { M ^ { \prime } } ^ { + } ( x _ { 4 } ) = \int _ { 0 } ^ { L } \! \! d x _ { 4 } \, \xi _ { M } ^ { - } ( x _ { 4 } ) \, \xi _ { M ^ { \prime } } ^ { - } ( x _ { 4 } ) = \delta _ { M M ^ { \prime } } \, .
\begin{array} { r l r } { \tilde { E } _ { \eta } ( \tau , \mathbf { x } ) } & { = } & { \frac { Z e } { 4 \pi } \int d ^ { 2 } \mathbf { x } ^ { \prime } \frac { \tau \sinh ( \eta - \eta _ { 0 } ) } { { [ ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta _ { 0 } ) ] } ^ { 3 / 2 } } f _ { \bot } ( x ^ { \prime } , x _ { 0 } ; y ^ { \prime } , y _ { 0 } ) \Theta \left( 1 - \frac { { x ^ { \prime } } ^ { 2 } } { r _ { a } ^ { 2 } } - \frac { { y ^ { \prime } } ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \right) } \\ { \tilde { B } _ { y } ( \tau , \mathbf { x } ) } & { = } & { Z e \frac { 3 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { x } ^ { \prime } d ^ { 2 } \mathbf { x } ^ { \prime \prime } \frac { \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) ^ { 2 } ( x ^ { \prime } - x ^ { \prime \prime } ) \sinh ( \eta _ { 0 } - \eta ^ { \prime } ) } { ( ( x ^ { \prime } - x ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + ( y ^ { \prime } - y ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + \tau _ { f } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ; \mathbf { x } ) ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta _ { 0 } - \eta ) ) ^ { 5 / 2 } } \times } \\ & { } & { \frac { f _ { \bot } ( x ^ { \prime \prime } , x _ { 0 } ; y ^ { \prime \prime } , y _ { 0 } ) } { \sqrt { ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( y - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } ( \eta - \eta ^ { \prime } ) } } \Theta \left( 1 - \frac { { x ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } { r _ { a } ^ { 2 } } - \frac { { y ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \right) } \end{array}
E _ { k } ^ { ( 2 ) } = \sum _ { k ^ { \prime } \neq k } { \frac { \langle \psi _ { k } ^ { 0 } | V _ { \mathrm { i n t } } | \psi _ { k ^ { \prime } } ^ { 0 } \rangle \langle \psi _ { k ^ { \prime } } ^ { 0 } | V _ { \mathrm { i n t } } | \psi _ { k } ^ { 0 } \rangle } { E _ { k } ^ { ( 0 ) } - E _ { k ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } } } \equiv - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i j } F _ { i } F _ { j }
\Gamma ( \tilde { \nu } _ { \tau } \to \overline { { { b _ { L } } } } \, b _ { R } ) = \frac { 3 } { 1 6 \pi } \vert \lambda _ { 3 3 3 } ^ { \prime } \vert ^ { 2 } \, m _ { \tilde { \nu } _ { \tau } } \left( 1 - 2 \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { m _ { \tilde { \nu } _ { \tau } } ^ { 2 } } \right) K ^ { 1 / 2 } \left( 1 , \frac { m _ { b } } { m _ { \tilde { \nu } _ { \tau } } } , \frac { m _ { b } } { m _ { \tilde { \nu } _ { \tau } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { I } _ { p p } ( \bar { v } , \chi _ { \gamma } ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \bar { v } } \biggl [ \frac { 2 ( 1 + v ^ { 2 } ) } { 1 - v ^ { 2 } } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } \left( \eta _ { v } \right) + \int _ { \eta _ { v } } ^ { \infty } \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } \left( y \right) d y \biggr ] d v , } \end{array}
\psi _ { n } ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } \, n ! } } } \cdot \left( { \frac { m \omega } { \pi \hbar } } \right) ^ { 1 / 4 } \cdot e ^ { - { \frac { m \omega x ^ { 2 } } { 2 \hbar } } } \cdot H _ { n } \left( { \sqrt { \frac { m \omega } { \hbar } } } x \right) , \qquad n = 0 , 1 , 2 , \ldots .
\begin{array} { r } { ( \partial _ { t } ^ { 2 } - \partial _ { q } ^ { 2 } - L _ { x } ^ { 2 } - L _ { y } ^ { 2 } - L _ { z } ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } + \lambda \, \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { 3 } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { L } ^ { \dagger } } & { { } : = \varepsilon _ { S S l } \left( \log \left( \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \frac { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } ( K _ { S } + s _ { 0 } ) } { K _ { M } ^ { 3 } } \right) , } \\ { \mathrm { o r } } \\ { \varepsilon _ { M } ^ { \dagger } } & { { } : = \varepsilon _ { S S l } \left( \log \left( \frac { k _ { 1 } ( K _ { M } + s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { k _ { 2 } K _ { M } } \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } \right) + \exp \left( \frac { s _ { 0 } } { K _ { M } } - 1 \right) \frac { ( K _ { M } + s _ { 0 } ) } { K _ { M } } \right) . } \end{array}
\mathring { A } _ { i } ^ { { i , j } } E _ { \sigma } = \big ( \mathring { A } _ { i } ^ { { i , j } } E _ { \sigma } \big ) ^ { \circ _ { i , i } } + \mathcal { O } \big ( | e _ { i } - \sigma e _ { j } | + | \eta _ { i } - \eta _ { j } | \big ) E _ { + } + \mathcal { O } \big ( | e _ { i } - \sigma e _ { j } | + | \eta _ { i } - \eta _ { j } | \big ) E _ { - }
\small \begin{array} { r l } { { \sf d e e c [ 1 ] } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } - \frac 3 8 \, y z \, a ( - k n ) \bigg [ \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } + X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) - 6 \left( 1 - x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } \right) X _ { k } ^ { - 3 , 2 } X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { U \times U } } & { \widetilde { G } _ { N } ( t - s , x , x ^ { \prime } , z , z ^ { \prime } ) \widetilde { G } _ { N } ( s , z , z ^ { \prime } , y , y ^ { \prime } ) f ( z - z ^ { \prime } ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } z \, \ensuremath { \mathrm { d } } z ^ { \prime } } \\ & { \ge \frac { C } { 1 \wedge t ^ { d } } e ^ { - c _ { 4 } \frac { | x - y | ^ { 2 } + | x ^ { \prime } - y ^ { \prime } | ^ { 2 } } { t } } \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \beta / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { j } } & { { } = \left\vert G \right\vert ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( l \Omega t + \theta \right) + \left\vert F \right\vert ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( l \Omega t + \theta \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \theta ) = 2 \phi _ { d } ( \theta ; \hat { \theta } , J _ { \hat { \theta } } ^ { - 1 } ) \Phi ( ( \sqrt { 2 \pi } / 1 2 ) \ell _ { \hat { \theta } , s t l } ^ { ( 3 ) } ( \theta - \hat { \theta } ) _ { s } ( \theta - \hat { \theta } ) _ { t } ( \theta - \hat { \theta } ) _ { l } ) , } \end{array}
v ( \mathbf { R } ) = { \frac { 1 } { R } } , \quad v _ { \alpha } ( \mathbf { R } ) = - { \frac { R _ { \alpha } } { R ^ { 3 } } } , \quad { \mathrm { a n d } } \quad v _ { \alpha \beta } ( \mathbf { R } ) = { \frac { 3 R _ { \alpha } R _ { \beta } - \delta _ { \alpha \beta } R ^ { 2 } } { R ^ { 5 } } } .
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ b _ { n } = \sigma _ { n - 1 } - \sigma _ { n } , ~ n \geq 0 , } \\ & { \left\{ \begin{array} { r l } & { c _ { n } = b _ { n - 1 } \sigma _ { n - 1 } \tau _ { n - 1 } + \tau _ { n - 2 } + \frac { \tau _ { n - 2 } c _ { n - 2 } } { \tau _ { n - 3 } } , ~ n \geq 3 , } \\ & { c _ { 2 } = b _ { 1 } \sigma _ { 1 } - \tau _ { 1 } + \tau _ { 0 } , ~ c _ { 1 } = b _ { 0 } \sigma _ { 0 } - \tau _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { r } _ { i } } & { { } = } & { x _ { i } \left[ 1 - \prod _ { \alpha \in N ( i ) } ( 1 - \hat { v } _ { \alpha \rightarrow i } ) \right] , } \\ { \hat { s } _ { \alpha } } & { { } = } & { y _ { \alpha } \left[ 1 - \prod _ { i \in N ( \alpha ) } ( 1 - \hat { w } _ { i \rightarrow \alpha } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { m } ( C \sigma ^ { - 1 } ; \, \varphi ^ { 1 } , \dots , \varphi ^ { m } ) ( \mathbf { t } ) = } \\ & { \cdots \left[ ( \cdots ( \varphi _ { S _ { \sigma ( \ell ) } } ^ { \sigma ( \ell ) } ( \rho _ { \sigma ( \ell ) } ( \mathbf { t } ^ { \sigma ( \ell ) } ) ) \circ _ { j _ { 1 } ( \sigma ( \ell ) ) + 1 } \cdots ) \cdots ) \circ _ { j _ { 1 } ( \sigma ( \ell ) ) + \dots + j _ { w ( \sigma ( \ell ) ) } ( \sigma ( \ell ) ) + w ( \sigma ( \ell ) ) } \cdots \right] \cdots = } \\ & { \alpha _ { m } ( C ; \, \varphi ^ { \sigma ( 1 ) } , \dots , \varphi ^ { \sigma ( m ) } ) ( \mathbf { t } ) = \alpha _ { m } ( C ; \, \sigma ^ { - 1 } ( \varphi ^ { 1 } , \dots , \varphi ^ { m } ) ) ( \mathbf { t } ) } \end{array}
\Sigma ( \mathbf k , \omega ) \simeq \Sigma _ { 0 } ( \mathbf k , \omega ) + \sum _ { \mathbf k ^ { \prime } } n _ { \mathbf k ^ { \prime } \downarrow } \partial _ { n _ { \mathbf k ^ { \prime } \downarrow } } \Sigma ( \mathbf k , \omega ) \vert _ { n _ { \mathbf k ^ { \prime } \downarrow } = 0 }
\begin{array} { r l } { { \frac { 4 } { 3 \sqrt { 3 } } } = \left| \exp { \frac { \partial f _ { \alpha ^ { 2 } } ( q ) } { \partial \alpha } } \right| _ { \alpha = 1 } } & { = \left| 4 q ^ { 1 / 2 } - 1 2 8 q ^ { 5 / 2 } - 7 5 5 2 q ^ { 9 / 2 } - 1 6 5 9 3 9 2 q ^ { 1 3 / 2 } + \cdots \right| } \\ & { = \left| \xi ^ { 1 / 2 } + { \frac { \xi ^ { 3 / 2 } } { 4 } } + { \frac { \xi ^ { 5 / 2 } } { 1 2 8 } } - { \frac { 3 5 \xi ^ { 7 / 2 } } { 5 1 2 } } - { \frac { 8 2 0 9 \xi ^ { 9 / 2 } } { 6 5 5 3 6 } } + \cdots \right| \, . } \end{array}
\Pi ^ { \mathrm { o n e - l o o p } } ( p ^ { 2 } ) = \frac { N g ^ { 2 } m } { 8 \pi } \left\{ \left( \frac { 1 } { 1 6 } \frac { p ^ { 6 } } { m ^ { 6 } } - \frac { 1 } { 2 } \frac { p ^ { 4 } } { m ^ { 4 } } - \frac { 5 } { 2 } \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } + 2 \right) \frac { 2 m } { p } \tan ^ { - 1 } \frac { p } { 2 m } + \frac { 1 } { 4 } \frac { p ^ { 4 } } { m ^ { 4 } } - \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } - 2 \right\}
\begin{array} { r l } { \mathrm { m i n } \quad } & { \sum _ { g \in \cal G } \left( a _ { g } { p _ { g } } ^ { 2 } + b _ { g } p _ { g } + c _ { g } \right) } \\ { \mathrm { s . t } \quad } & { \underline { { p _ { g } } } \leq p _ { g } \leq \overline { { p _ { g } } } , \quad \forall g \in \cal G } \\ & { \mathrm { S e c u r i t y ~ C o n s t r a i n t s ~ ( ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { C } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { = } & { \sigma | { \bf E } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { C } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { = } & { | { \bf E } _ { \mathrm { s c a } } ^ { \sigma + } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } - | { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma - } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } , } \\ { \mathrm { C } _ { \mathrm { { i n t } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { = } & { 2 \sigma \mathrm { R e } \{ { { \bf E } _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } } ^ { * } ( { \bf r } ) \cdot { { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma \sigma } } ( { \bf r } ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \tilde { \mathbf { p } } } } & { { } = - \gamma \tilde { \mathbf { p } } - \mathbf { \underline { { K } } } \tilde { \mathbf { q } } + \mathbf { f } ( \tilde { \mathbf { q } } ) + \boldsymbol { \eta } ( t ) } \\ { \dot { \tilde { \mathbf { q } } } } & { { } = \tilde { \mathbf { p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { { { { \tilde { L } } _ { k } } } } { { \| { A \tilde { M } ^ { - 1 } } \| ^ { 2 } } } } & { \le } & { \frac { 1 } { { \| r ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } } \cdot \frac { \left\langle { { r ^ { ( k ) } } , A \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } } \right\rangle ^ { 2 } } { \| A \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } + \| A \delta _ { 2 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } } \\ & { \le } & { \frac { 1 } { { \left\| r ^ { ( k ) } \right\| ^ { 2 } } } \cdot \frac { \left\langle { { r ^ { ( k ) } } , A \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } } \right\rangle ^ { 2 } } { \| A \delta _ { 1 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } } . } \end{array}
\int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { s _ { 0 } } \mathrm { d } s f ( s ) \Im \Pi = \underbrace { \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { s _ { 0 } } \mathrm { d } s [ f ( s ) - P _ { n } ( s ) ] \Im \Pi } _ { d a t a } + \underbrace { \frac { i } { 2 } \oint _ { | s | = s _ { 0 } } \mathrm { d } s P _ { n } ( s ) \Pi ^ { Q C D } } _ { t h e o r y }