harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\operatorname* { m a x } _ { w _ { 1 } > \cdots > w _ { p } } \operatorname* { m i n } _ { 1 \leqslant i < j \leqslant p } \frac { 1 } { 2 } ( w _ { i } + w _ { j } - \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) \left( 1 - \sqrt { 1 - \frac { 4 ( w _ { i } - w _ { j } ) ( \lambda _ { j } - \lambda _ { i } ) } { ( w _ { i } + w _ { j } - \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \left\langle a ^ { 2 } \left( t \right) \right\rangle } & { { } = \left\langle a ^ { 2 } \left( 0 \right) \right\rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \left\langle w \left( \tau \right) w \left( \tau ^ { \prime } \right) \right\rangle d \tau d \tau ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \mathit { \Sigma } } ^ { { < } } \left( \varepsilon \right) } & { { = } { \mathit { \Sigma } } _ { C } ^ { { < } } \left( \varepsilon \right) { + } \sum _ { r { \in } \left\{ L , R \right\} } { { \mathit { \Sigma } } _ { r } ^ { { < } } \left( \varepsilon \right) } } \\ & { { = 2 } i N _ { B } \left( \frac { \varepsilon - \mu _ { C } } { k _ { B } T _ { C } } \right) I m \left( { \mathit { \Sigma } } _ { C } ^ { R } \left( \varepsilon \right) \right) } \\ & { { + } \sum _ { r { \in } \left\{ L , R \right\} } { { 2 } i N _ { B } \left( \frac { \varepsilon { - } { \mu } _ { r } } { k _ { B } T _ { r } } \right) I m \left( { \mathit { \Sigma } } _ { r } ^ { R } \left( \varepsilon \right) \right) } } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { m } } / \Omega _ { \mathrm { i } } \approx 0 . 2 \Lambda _ { \mathrm { m } } , \quad k _ { \parallel , \mathrm { m } } \rho _ { \mathrm { i } } \approx 0 . 6 , \quad k _ { \perp , \mathrm { m } } \rho _ { \mathrm { i } } \approx 1 . 2 .
F _ { t } ( h _ { 0 } ( x ) ) = F _ { t } ( h _ { 1 } ( B _ { N - 1 } ) ) = \sum _ { 1 \leq k \leq N - 1 } \tau _ { B _ { k } } \cdot \nu \left( \mathcal { C } _ { B _ { k } } ^ { L _ { k - 1 } } \right) - \tau _ { B _ { N } } \sum _ { 1 \leq k \leq N - 1 } \nu \left( \mathcal { C } _ { B _ { k } } ^ { L _ { k - 1 } } \right) = F _ { t } ( h _ { 1 } ( x ) ) .
\begin{array} { r l r } { t _ { 1 , n - 2 } } & { = } & { t _ { 1 , n - 1 } t _ { n - 1 , n } \cdot \delta _ { 0 } ^ { - 1 } t _ { 1 , n - 1 } \delta _ { 0 } \cdot t _ { 1 , n } ^ { - 1 } t _ { n - 1 , n - 1 } ^ { - 1 } \in G , } \\ { t _ { 1 , n - 3 } } & { = } & { t _ { 1 , n - 1 } t _ { n - 2 , n } \cdot \delta _ { 0 } ^ { - 1 } t _ { 1 , n - 2 } \delta _ { 0 } \cdot t _ { 1 , n } ^ { - 1 } t _ { n - 2 , n - 1 } ^ { - 1 } \in G , } \\ { t _ { 1 , n - 4 } } & { = } & { t _ { 1 , n - 1 } t _ { n - 3 , n } \cdot \delta _ { 0 } ^ { - 1 } t _ { 1 , n - 3 } \delta _ { 0 } \cdot t _ { 1 , n } ^ { - 1 } t _ { n - 3 , n - 1 } ^ { - 1 } \in G , } \\ & { \vdots } & \\ { t _ { 1 , N + 1 } } & { = } & { t _ { 1 , n - 1 } t _ { N + 2 , n } \cdot \delta _ { 0 } ^ { - 1 } t _ { 1 , N + 2 } \delta _ { 0 } \cdot t _ { 1 , n } ^ { - 1 } t _ { N + 2 , n - 1 } ^ { - 1 } \in G . } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { \varphi } d \overline { { \gamma _ { j } ( t ) } } = \lambda _ { j } ^ { 2 } \left| { \frac { \partial \rho _ { j } ( \gamma _ { j } ( t ) ) } { \rho _ { j } ( \gamma _ { j } ( t ) ) } } \right| ^ { 2 } d \overline { { \gamma _ { j } ( t ) } } = { \frac { \lambda _ { j } ^ { 2 } } { e ^ { - \pi / \lambda _ { j } } } } { \frac { 1 } { ( \rho ^ { - 1 } ) ^ { \prime } } } d \overline { { \rho } } \bigg | _ { \overline { { \rho } } = e ^ { - \pi / 2 \lambda _ { j } - 2 \pi i t } } \, . } \end{array}
\left( - \omega ^ { 2 } + i \omega \Gamma + \omega _ { m } ^ { 2 } - \frac { 2 \beta P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } } { I } \tau _ { 0 } [ \omega ] \right) \delta \theta [ \omega ] = \frac { 1 } { I } \left( \tau _ { \mathrm { { t h } } } [ \omega ] - 2 \beta P _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } \tau _ { 0 } [ \omega ] \delta \theta _ { \mathrm { { L } } } [ \omega ] \right) ,
S _ { \mathrm { { \small i n t } } } = \int _ { \Sigma } d ^ { D - 1 } x \left[ { \frac { 1 } { 2 } } T _ { \mu \nu } { \widetilde h } ^ { \mu \nu } + { \frac { 8 } { D - 2 } } \Theta \varphi \right] ~ ,
\begin{array} { r l r } { \langle \Phi _ { i } | \Phi _ { i } \rangle } & { { } = \langle \Psi _ { 0 } | \Psi _ { 0 } \rangle = 1 \dag \langle \Phi _ { i } | \dag , b _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } b _ { i a } ^ { \dagger } \dag , | \Phi _ { i } \rangle } & { = \langle \Psi _ { 0 } | \dag , f _ { i a } ^ { \dagger } f _ { i b } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle = [ \Delta _ { i } ] _ { a b } \qquad \forall \dag , a , b = 1 , . . . , B { \nu } _ { i } \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \lambda _ { 1 } + r ( \lambda _ { 1 } ) - r _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } ) ) \langle y _ { s } , v _ { 1 } \rangle } & { = { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , y _ { s } , w _ { 1 } ) } \\ { ( \lambda _ { 1 } + r ( \lambda _ { 1 } ) - r _ { 3 } ( \lambda _ { 1 } ) ) \langle z _ { s } , w _ { 1 } \rangle } & { = { \mathcal { S } } ( u _ { 1 } , v _ { 1 } , z _ { s } ) } \end{array}
\kappa ^ { \underline { { \mu } } } ( \tau ) = i ( p _ { \underline { { m } } } \Gamma ^ { \underline { { m } } } ) _ { ~ ~ \underline { { { \nu } } } } ^ { \underline { { { \mu } } } } \kappa ^ { \prime \underline { { { \nu } } } } ( \tau ) .
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { t r } } [ \ensuremath { \mathbf { P } } _ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { v p } } ( x , x ^ { \prime } ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x \ensuremath { \mathrm { d } } x ^ { \prime } \phantom { x x x x x x } } \\ { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { t r } } [ \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { v p } } ( x , x ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! n ^ { \mathrm { v p } } ( x ) \ensuremath { \mathrm { d } } x \neq 0 . } \end{array}
\theta _ { 2 } ^ { T } \stackrel { V _ { 1 } \rightarrow 0 } { \rightarrow } \frac { g } { 2 n } { \cot ( k L ) } \frac { \omega } { c } L \left[ T _ { 0 } \left( 1 - \frac { { \sin ^ { 2 } ( k L ) } } { \cot ( k L ) } \frac { c } { \omega L } \frac { n ^ { 2 } - ( n _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } V _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 n _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { 3 } } \right) - 1 \right] .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { E _ { 2 } , 1 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) } & { { } = 2 \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { \delta } _ { 0 } } - \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { \delta } _ { 1 } } - \delta _ { \vec { r } , \pm \vec { \delta } _ { 2 } } \, \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \Phi _ { E _ { 2 } , 2 ^ { \prime } } ( \vec { R } , \vec { r } ) } & { { } = 2 \delta _ { \vec { r } , \pm ( \vec { \delta } _ { 1 } + \vec { \delta } _ { 2 } ) } - \delta _ { \vec { r } , \pm ( \vec { \delta } _ { 0 } + \vec { \delta } _ { 1 } ) } - \delta _ { \vec { r } , \pm ( \vec { \delta } _ { 0 } - \vec { \delta } _ { 2 } ) } \, \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! y _ { 1 } : = U = \langle U \rangle _ { 0 } + \langle U \rangle _ { 1 } + \langle U \rangle _ { 2 } + \langle U \rangle _ { 3 } , \quad y _ { 2 } : = \widetilde { U } = \langle U \rangle _ { 0 } + \langle U \rangle _ { 1 } - \langle U \rangle _ { 2 } - \langle U \rangle _ { 3 } , } \\ & { } & { \! \! y _ { 3 } : = \widehat { U } = \langle U \rangle _ { 0 } - \langle U \rangle _ { 1 } + \langle U \rangle _ { 2 } - \langle U \rangle _ { 3 } , \quad y _ { 4 } : = \widetilde { \widehat { U } } = \langle U \rangle _ { 0 } - \langle U \rangle _ { 1 } - \langle U \rangle _ { 2 } + \langle U \rangle _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \hat { K } ^ { ( 2 ) } = } & { \sum _ { m \neq 0 } \frac { 1 } { m } \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { H } _ { 0 } \right] \int \omega e ^ { i m \omega t } d t + \sum _ { m , m ^ { \prime } \neq 0 , - m } \frac { \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { V } _ { m ^ { \prime } } \right] } { 2 m } \int \omega e ^ { i ( m + m ^ { \prime } ) \omega t } d t } \\ { = } & { \sum _ { m \neq 0 } \frac { 1 } { i m ^ { 2 } } \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { H } _ { 0 } \right] e ^ { i m \omega t } + \sum _ { m , m ^ { \prime } \neq 0 , - m } \frac { \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { V } _ { m ^ { \prime } } \right] } { 2 i m ( m + m ^ { \prime } ) } e ^ { i ( m + m ^ { \prime } ) \omega t } . } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = c _ { 0 } \hat { S } _ { z } ^ { ( 0 ) } + c _ { S } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b a t h } } } \hat { S } _ { z } ^ { ( k ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { b a t h } } } \left( C _ { k } \hat { S } _ { + } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { - } ^ { ( k ) } + C _ { k } ^ { * } \hat { S } _ { - } ^ { ( 0 ) } \hat { S } _ { + } ^ { ( k ) } \right) ,
L _ { \mathrm { o s c } } \approx 2 . 5 \, \frac { E _ { \nu } } { \mathrm { G e V } } \, \frac { \mathrm { e V } ^ { 2 } } { \Delta m _ { \nu } ^ { 2 } } \, \, \, \mathrm { k m } \, .
\boldsymbol { \psi } ( x _ { j } , t ) = \sqrt { 2 ^ { n } } \left( \mathrm { R e } { \langle x _ { j } 0 \, | \, \psi \rangle } + \mathrm { I m } { \langle x _ { j } 0 \, | \, \psi \rangle } \boldsymbol { i } + \mathrm { R e } { \langle x _ { j } 1 \, | \, \psi \rangle } \boldsymbol { j } + \mathrm { I m } { \langle x _ { j } 1 \, | \, \psi \rangle } \boldsymbol { k } \right) .
\mathbf { x } = \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l } { n _ { \mathrm { ~ v ~ } } } & { n _ { \mathrm { ~ l ~ } } } & { T _ { \mathrm { ~ T ~ } } } & { r _ { \mathrm { ~ f ~ } } } & { m _ { \mathrm { ~ o ~ } } } & { m _ { \mathrm { ~ f ~ } } } & { p _ { \mathrm { ~ C ~ } } } & { z _ { \mathrm { ~ R ~ } } } & { v _ { \mathrm { ~ R ~ } } } \end{array} \right] ^ { \mathbf { T } }
r = r ^ { \prime } \left[ 1 - { \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } } [ 2 ( x _ { 0 } x ^ { \prime } + y _ { 0 } y ^ { \prime } ) + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ] + { \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } } [ 2 ( x _ { 0 } x ^ { \prime } + y _ { 0 } y ^ { \prime } ) + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ] ^ { 2 } + \cdots \right] ,
\delta R _ { k } = \frac { { \partial { R _ { k } } } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } \cdot \delta { \bf { \bar { v } } } = \left[ \begin{array} { l } { \frac { { \partial \delta { { \bar { u } } _ { i } } } } { { \partial { x _ { i } } } } } \\ { \frac { { \partial \delta { { \bar { u } } _ { i } } } } { { \partial t } } + \frac { { \partial \left( { { { \bar { u } } _ { j } } \delta { { \bar { u } } _ { i } } } \right) } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \left( { { { \bar { u } } _ { i } } \delta { { \bar { u } } _ { j } } } \right) } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \delta \bar { p } } } { { \partial { x _ { i } } } } - \nu \frac { { { \partial ^ { 2 } } \delta { { \bar { u } } _ { i } } } } { { \partial { x _ { j } } \partial { x _ { j } } } } + \frac { \partial \delta { \tau _ { i j } } } { { \partial { x _ { j } } } } } \end{array} \right] = 0 .
\begin{array} { r } { \{ ( \mu _ { \mathrm { W W } j } , \mu _ { \mathrm { W M } j } ) \} _ { j } = \{ ( f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { \mathrm { W W } j } ) , f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { C } } ( \mu _ { \mathrm { W M } j } ) ) \} _ { j } \cup \{ ( f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { \mathrm { W W } j } ) , f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { D } } ( \mu _ { \mathrm { W M } j } ) ) \} _ { j } . } \end{array}
{ \cal L } _ { 0 } ^ { \gamma f u l l } = \chi _ { x } \upsilon _ { t } + \upsilon _ { x } \chi _ { t } - 2 { \cal H } _ { 0 } ^ { E } + \lambda \left( u - \frac { \chi _ { x } ^ { \gamma - 1 } + \upsilon _ { x } ^ { \gamma - 1 } } { \gamma - 1 } \right) + \sigma \left( \rho - \chi _ { x } \upsilon _ { x } \right)
\mathbf { e } _ { 1 } = { \star } ( \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } \wedge \mathbf { e } _ { 4 } ) , - \mathbf { e } _ { 2 } = { \star } ( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } \wedge \mathbf { e } _ { 4 } ) , \mathbf { e } _ { 3 } = { \star } ( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 4 } ) , - \mathbf { e } _ { 4 } = { \star } ( \mathbf { e } _ { 1 } \wedge \mathbf { e } _ { 2 } \wedge \mathbf { e } _ { 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { \left( U ^ { ( n ) } ( s ) , \phi \right) = } & { \left( U _ { 0 } , \phi \right) + \int _ { 0 } ^ { s } \left( U ^ { ( n ) } ( r ) , A \phi \right) d r + \int _ { 0 } ^ { s } \left( G ( U ^ { ( n ) } ( r ) ) , \phi \right) d r } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { s } \left( \varphi ^ { ( n ) } \varphi ^ { ( n - 1 ) } \mathbf { P } \left( u _ { i } ^ { ( n - 1 ) } U ^ { ( n - 1 ) } \right) , \partial _ { i } \phi \right) d r } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { s } \left( \varphi ^ { ( n ) } \varphi ^ { ( n - 1 ) } \sigma \left( U ^ { ( n - 1 ) } \right) , \phi \right) d \mathbb { W } _ { r } - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { s } \left( \mathbf { P } \left( b _ { i } U ^ { ( n ) } \right) , \partial _ { i } \phi \right) d \mathbb { W } _ { r } , } \end{array}
d s _ { ( \mu < 0 ) } ^ { 2 } = l ^ { 2 } \left[ - d \tau ^ { 2 } + \frac { 1 + m } { 4 } \frac { d z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } + \frac { 1 + m } { 4 } \frac { d \bar { z } ^ { 2 } } { \bar { z } ^ { 2 } } + \left( e ^ { - 2 \tau } + \frac { ( 1 + m ) ^ { 2 } } { 1 6 } \frac { 1 } { z ^ { 2 } \bar { z } ^ { 2 } } e ^ { 2 \tau } \right) d z d \bar { z } \right] ,
\langle \bar { \psi } \psi \rangle _ { T \mu } ~ \simeq ~ - ~ \frac { 2 \vert e H \vert } { \pi ^ { 2 } } T \sum _ { l } \int _ { 0 } ^ { \sqrt { \vert e H \vert } } d p _ { 3 } \frac { m ( T , \mu ) } { [ ( 2 l + 1 ) \pi T + i \mu ] ^ { 2 } + p _ { 3 } ^ { 2 } + m ^ { 2 } ( T , \mu ) } _ { , }
P _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { ( q ) } \equiv \left| P _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { ( q ) } \right| \, e ^ { i \delta _ { q _ { 1 } q _ { 2 } } ^ { ( q ) } } \equiv P _ { q _ { 1 } } ^ { ( q ) } - P _ { q _ { 2 } } ^ { ( q ) }
T ^ { \mu \nu } = { \frac { i } { 2 } } \left[ \bar { \psi } \bar { \gamma } _ { ( \mu } \stackrel { \rightarrow } { D } _ { \nu ) } \psi - \bar { \psi } \stackrel { \leftarrow } { D } _ { ( \mu } \bar { \gamma } _ { \nu ) } \psi \right] ~ ,
\begin{array} { r l } { \exp ( - \beta \hat { { \cal H } } ) } & { \approx 1 + \beta g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } B _ { z } s \frac { 1 - | z | ^ { 2 } } { 1 + | z | ^ { 2 } } } \\ & { + \beta ^ { 2 } \left( g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } B _ { z } \right) ^ { 2 } \frac { s | z | ^ { 2 } } { \left( 1 + | z | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \left( \beta g { \ensuremath { \mu _ { \mathrm { B } } } } B _ { z } s \frac { 1 - | z | ^ { 2 } } { 1 + | z | ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
G _ { k } ^ { ( 2 ) } ( { \vec { x } } , { \vec { y } } ) = D _ { k } ( { \vec { x } } , { \vec { y } } ) - { \frac { \lambda _ { 2 } ( \mu ) } { 1 - ( \lambda _ { 2 } ( \mu ) / 4 \pi \alpha ) \ln ( k _ { 4 } ^ { 2 } / \mu ^ { 2 } ) } } D _ { k } ( { \vec { x } } , 0 ) D _ { k } ( 0 , { \vec { y } } )
\mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } + \Big ( f _ { 0 } \boldsymbol { u } ^ { \perp } + g \boldsymbol { \nabla } \eta - \mathrm { \scriptsize ~ \frac { 1 } { 2 } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } ) \Big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = 0 ,
\begin{array} { l } { r _ { + } = \frac { \frac { N } { m } - n _ { i } } { 1 + \exp { \left( - \frac { n _ { i } + \sum _ { j \neq i } ^ { m } n _ { j } \cos { \theta _ { i j } } } { T } \right) } } } \\ { r _ { - } = \frac { n _ { i } } { 1 + \exp { \left( { \frac { n _ { i } + \sum _ { j \neq i } ^ { m } n _ { j } \cos { \theta _ { i j } } } { T } } \right) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { X } _ { k + 1 / 2 } ^ { i } } & { = X _ { k + 1 / 2 } ^ { i } + \delta _ { k } ( u _ { k } ^ { i } - \frac { 1 } { r ^ { i } } ( X _ { k + 1 / 2 } ^ { i } - p ^ { i } ) ) } \\ & { = ( 1 - \frac { \delta _ { k } } { r ^ { i } } ) X _ { k + 1 / 2 } ^ { i } + \frac { \delta _ { k } } { r ^ { i } } ( p ^ { i } + r ^ { i } u _ { k } ^ { i } ) = \bar { X } _ { k + 1 / 2 } ^ { i } + \delta _ { k } u _ { k } ^ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { i j } = - \frac 1 2 R _ { i n } \epsilon _ { n j k } M _ { k } ( R , \dot { R } ) , \qquad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad ( \tilde { R } p ) _ { i j } = - \frac 1 2 \epsilon _ { i j k } M _ { k } ( R , \dot { R } ) , \quad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \tilde { R } \equiv R ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \centering P _ { \mu e } \simeq P _ { \mu e } ( \mathrm { ~ S ~ I ~ } ) + P _ { \mu e } ( a _ { e \beta } / c _ { e \beta } ) + \mathcal { O } ( \alpha ^ { 2 } , \alpha \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 3 } , a _ { e \beta } ^ { 2 } , c _ { e \beta } ^ { 2 } , a _ { \mu \tau } ^ { 2 } , c _ { \mu \tau } ^ { 2 } ) , \, \, \, \, \, \, \, \beta = \mu , \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U = { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { u } _ { 1 } } & { \mathbf { u } _ { 2 } } & { \mathbf { u } _ { 3 } } \end{array} \right) } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l l } { 1 2 } & { - 6 9 } & { - 5 8 / 5 } \\ { 6 } & { 1 5 8 } & { 6 / 5 } \\ { - 4 } & { 3 0 } & { - 3 3 } \end{array} \right) } ; } \\ { Q = { \left( \begin{array} { l l l } { { \frac { \mathbf { u } _ { 1 } } { \| \mathbf { u } _ { 1 } \| } } } & { { \frac { \mathbf { u } _ { 2 } } { \| \mathbf { u } _ { 2 } \| } } } & { { \frac { \mathbf { u } _ { 3 } } { \| \mathbf { u } _ { 3 } \| } } } \end{array} \right) } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l l } { 6 / 7 } & { - 6 9 / 1 7 5 } & { - 5 8 / 1 7 5 } \\ { 3 / 7 } & { 1 5 8 / 1 7 5 } & { 6 / 1 7 5 } \\ { - 2 / 7 } & { 6 / 3 5 } & { - 3 3 / 3 5 } \end{array} \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \! \! \left( \sqrt { \alpha _ { 2 } } \phi _ { \alpha _ { 2 } - 1 } + \sqrt { \alpha _ { 2 } + 1 } \phi _ { \alpha _ { 2 } + 1 } \right) \phi _ { \beta _ { 2 } } \omega _ { 0 } ( \xi _ { 2 } ) \, \mathrm { d } \xi _ { 2 } } \\ & { = } & { \sqrt { \alpha _ { 2 } } I ( \alpha _ { 2 } - 1 , \beta _ { 2 } ) + \sqrt { \alpha _ { 2 } + 1 } I ( \alpha _ { 2 } + 1 , \beta _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { l _ { q } } } & { { = } } & { { q ^ { 2 } [ ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } - q ^ { - 1 } x ^ { + } x ^ { - } - q x ^ { - } x ^ { + } - ( x ^ { 3 } ) ^ { 2 } ] } } \\ { { \, } } & { { = } } & { { q ^ { 2 } [ ( x _ { 0 } ) ^ { 2 } - q x _ { + } x _ { - } - q ^ { - 1 } x _ { - } x _ { + } - ( x _ { 3 } ) ^ { 2 } ] \; ; } } \\ { { \, } } & { { \, } } & { { \, } } \\ { { l _ { q } } } & { { = } } & { { C D - q ^ { 2 } A B \quad . } } \end{array}
\bigl < n ; t | i \hbar \frac { \partial } { \partial t } | n ; t \bigr > = \int d q \bigl < n ; t | q \bigr > \Bigl ( i \hbar \frac { \partial } { \partial t } \Bigr ) \bigl < q | n ; t \bigr > = ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \frac { \hbar } { 2 \sqrt { \kappa } } \frac { \dot { B } ( t ) A ( t ) - B ( t ) \dot { A } ( t ) } { A ( t ) } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { R ^ { + } ( \rho ) = ( 1 - \rho ) \bigg ( \alpha \frac { 1 + h _ { 1 } } { 2 } + ( 1 - \alpha ) \frac { 1 + h _ { 2 } } { 2 } \bigg ) \rho = ( 1 - \rho ) \frac { 1 + H } { 2 } \rho } \\ { R ^ { - } ( \rho ) = \rho \bigg ( \alpha \frac { 1 - h _ { 1 } } { 2 } + ( 1 - \alpha ) \frac { 1 - h _ { 2 } } { 2 } \bigg ) ( 1 - \rho ) = \rho \frac { 1 - H } { 2 } ( 1 - \rho ) } \end{array} \right. } \end{array}
\Delta _ { p e } ( \chi _ { e } ) = \left| \left\{ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) - \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) \right\} / \tilde { W } _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \chi _ { e } ) \right|
\int _ { \Omega } \Big ( - 2 p _ { 1 } \Delta \mathbf { v } - \nabla [ \nabla \cdot \mathbf { v } ] \Big ) \cdot \boldsymbol { \phi } \, d \Omega = \int _ { \Omega } \mathbf { g } ( m ) \cdot \boldsymbol { \phi } \, d \Omega \,
\begin{array} { r } { \widehat { U } ^ { \mathrm { s r } } ( \tilde { x } ; \sigma _ { \textrm { w a l l } } , \xi _ { \textrm { w a l l } } ) = \frac { 3 ^ { 3 / 2 } } { 2 } \xi _ { \textrm { w a l l } } \left( \left( \frac { \displaystyle \sigma _ { \textrm { w a l l } } } { \displaystyle \tilde { x } } \right) ^ { 9 } - \left( \frac { \displaystyle \sigma _ { \textrm { w a l l } } } { \displaystyle \tilde { x } } \right) ^ { 3 } \right) . } \end{array}
Z = \int \exp \{ - \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { \alpha } \int _ { - \frac { \pi } { b } } ^ { \frac { \pi } { b } } d k | \tilde { \phi } _ { \alpha } ( k ) | ^ { 2 } \sin ( k b ) b ^ { - 1 } \} d \tilde { \phi } _ { \alpha } ^ { * } ( k ) d \tilde { \phi } _ { \alpha } ( k )
\begin{array} { r l } { \textrm { A l s o , } T ^ { \prime } } & { = L ^ { T } T L } \\ & { = \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] \right) ^ { T } \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { B } & { A } \end{array} \right] \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { I } & { I } \\ { - I } & { I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { B } & { A } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { A + B } & { A + B } \\ { - A + B } & { A - B } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I } & { - I } \\ { I } & { I } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l } { A + B } & { 0 } \\ { 0 } & { A - B } \end{array} \right] , } \end{array}
g _ { p } ( \omega _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { W _ { n m } ^ { c } ( \omega _ { i } ) } & { p = 1 } \\ { \displaystyle \frac { g _ { p - 1 } ( \omega _ { p - 1 } ) - g _ { p - 1 } ( \omega _ { i } ) } { ( \omega _ { i } ^ { 2 } - \omega _ { p - 1 } ^ { 2 } ) g _ { p - 1 } ( \omega _ { i } ) } } & { p > 1 } \end{array} \right.
\frac { i } { \hbar } A ( Q , Q ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } d s \int _ { 0 } ^ { s } d s ^ { \prime } r ( s ) [ - i \mu ( s - s ^ { \prime } ) R ( s ^ { \prime } ) - \nu ( s - s ^ { \prime } ) r ( s ^ { \prime } ) ]
d s _ { { \cal Y } ^ { 2 } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \biggl \{ X ( g _ { 1 } d \lambda _ { 1 } + g _ { 2 } d \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } + g _ { 1 } d \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + g _ { 2 } d \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \biggr \} .
{ \begin{array} { r l r } { H _ { 0 } ( M ) } & { = H ^ { 3 } ( M ) = } & { \mathbb { Z } } \\ { H _ { 1 } ( M ) } & { = H ^ { 2 } ( M ) = } & { \pi / [ \pi , \pi ] } \\ { H _ { 2 } ( M ) } & { = H ^ { 1 } ( M ) = } & { { \mathrm { H o m } } ( \pi , \mathbb { Z } ) } \\ { H _ { 3 } ( M ) } & { = H ^ { 0 } ( M ) = } & { \mathbb { Z } } \end{array} }
{ \cal L } _ { H Q E T } = \bar { h } _ { v } i ( v \! \cdot \! D ) h _ { v } + \frac { 1 } { 2 m _ { Q } } \, { \cal K } + \frac { 1 } { 2 m _ { Q } } \, C _ { \mathrm { m a g } } ( \mu ) { \cal S } + O ( 1 / m _ { Q } ^ { 2 } ) .
{ \begin{array} { r l } { \varphi ( \varphi ( ( { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , t _ { 0 } ) , t ) , s ) } & { = \varphi ( ( \varphi ^ { t , t _ { 0 } } ( { \boldsymbol { x } } _ { 0 } ) , t + t _ { 0 } ) , s ) } \\ & { = ( \varphi ^ { s , t + t _ { 0 } } ( \varphi ^ { t , t _ { 0 } } ( { \boldsymbol { x } } _ { 0 } ) ) , s + t + t _ { 0 } ) } \\ & { = ( \varphi ^ { s , t + t _ { 0 } } ( { \boldsymbol { x } } ( t + t _ { 0 } ) ) , s + t + t _ { 0 } ) } \\ & { = ( { \boldsymbol { x } } ( s + t + t _ { 0 } ) , s + t + t _ { 0 } ) } \\ & { = ( \varphi ^ { s + t , t _ { 0 } } ( { \boldsymbol { x } } _ { 0 } ) , s + t + t _ { 0 } ) } \\ & { = \varphi ( ( { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , t _ { 0 } ) , s + t ) . } \end{array} }