harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \cal L } = \sqrt { - g } \left[ { \cal R } - { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \vec { \phi } ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 ( p + 2 ) ! } } \sum _ { \alpha } e ^ { \vec { a } _ { \alpha } \cdot \vec { \phi } } ( F _ { p + 2 } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } \right] ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d u } { d t } } } & { = { \frac { \partial u } { \partial q _ { i } } } { \dot { q } } _ { i } + { \frac { \partial u } { \partial p _ { i } } } { \dot { p } } _ { i } + { \frac { \partial u } { \partial t } } } \\ & { = { \frac { \partial u } { \partial q _ { i } } } { \frac { \partial H } { \partial p _ { i } } } - { \frac { \partial u } { \partial p _ { i } } } { \frac { \partial H } { \partial q _ { i } } } + { \frac { \partial u } { \partial t } } } \\ & { = [ u , H ] + { \frac { \partial u } { \partial t } } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \Omega _ { 2 } \gamma _ { 1 } - \Omega _ { 1 } \gamma _ { 2 } = \dot { \gamma } _ { 3 } , \qquad I _ { 2 } \Omega _ { 1 } \gamma _ { 1 } + I _ { 2 } \Omega _ { 2 } \gamma _ { 2 } = c - I _ { 3 } \Omega _ { 3 } \gamma _ { 3 } . } \end{array}
R _ { 0 } { \mathfrak { X } } = ( G | { \mathrm { ~ e x i s t s ~ } } N _ { i } \ ( i = 1 , \cdots , r ) { \mathrm { ~ n o r m a l ~ i n ~ } } G { \mathrm { ~ w i t h ~ } } G / N _ { i } \in { \mathfrak { X } } { \mathrm { ~ a n d ~ } } \bigcap _ { i = 1 } ^ { r } N i = 1 )
q _ { 6 } = \frac 1 6 ( \mathrm { t r } \, M ) ^ { 3 } \pm \frac 1 2 \mathrm { t r } \, M \, \mathrm { t r } \, M ^ { 2 } + \frac 1 3 \mathrm { t r } \, M ^ { 3 } .
{ \begin{array} { r l } & { \int ( A + B \, x ) ( a + b \, x ) ^ { m } ( c + d \, x ) ^ { n } ( e + f \, x ) ^ { p } d x = { \frac { ( A \, b - a \, B ) ( a + b \, x ) ^ { m + 1 } ( c + d \, x ) ^ { n + 1 } ( e + f \, x ) ^ { p + 1 } } { ( m + 1 ) ( a \, d - b \, c ) ( a \, f - b \, e ) } } \, + \, { \frac { 1 } { ( m + 1 ) ( a \, d - b \, c ) ( a \, f - b \, e ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int ( ( m + 1 ) ( A ( a \, d \, f - b ( c \, f + d \, e ) ) + B \, b \, c \, e ) - ( A \, b - a \, B ) ( d \, e ( n + 1 ) + c \, f ( p + 1 ) ) - d \, f ( m + n + p + 3 ) ( A \, b - a \, B ) x ) ( a + b \, x ) ^ { m + 1 } ( c + d \, x ) ^ { n } ( e + f \, x ) ^ { p } d x } \end{array} }
Q = \int d ^ { 3 } x \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { 1 2 } \left( { \mathbf { \sigma } } \cdot { \bf F } ^ { \dagger l } \psi ^ { l } ( x ) \right) + \sigma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \phi ^ { \dagger } ( x ) \cdot \psi _ { L } ( x ) + \sigma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \phi _ { s } ^ { \dagger } ( x ) \cdot \psi _ { L } ( x ) + \mathcal { W } ~ \psi ^ { 1 } \right] .
y ^ { 2 } \left( y ^ { 2 } - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } e ^ { - y } = y e ^ { - y } \frac { d } { d y } \left[ \left( y ^ { 2 } - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \right] ,
( { \eta } _ { \mu \nu } ) = \left( \begin{array} { c c c c c } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
- 8 m _ { c } ^ { 2 } ( m _ { b } ) = - 8 ( m _ { c } ^ { \mathrm { p o l e } } ) ^ { 2 } \, z ^ { - 2 4 / 2 5 } = ( m _ { c } ^ { \mathrm { p o l e } } ) ^ { 2 } \left[ - 8 - 3 2 \alpha _ { s } ( m _ { b } ) \ln \hat { m } _ { c } + { \frac { 8 } { 3 } } \alpha _ { s } ( m _ { b } ) ^ { 2 } \ln ^ { 2 } \hat { m } _ { c } + \dots \right] \, ,
\times \, \frac { \omega } { 2 i \pi \hbar \sin \omega \Delta t } \, e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } | \ell | } \, e ^ { \frac { i \omega } { 2 \hbar } \frac { \cos \omega \Delta t } { \sin \omega \Delta t } ( r _ { f } ^ { 2 } + r _ { i } ^ { 2 } ) } \, J _ { | \ell | } \left( \frac { \omega r _ { f } \, r _ { i } } { \hbar \sin \omega \Delta t } \right) \ \ \ .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \frac { \partial u _ { 0 i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) } { \partial \tau } + \nu k ^ { 2 } u _ { 0 i } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) + 2 \epsilon _ { i j \ell } \omega _ { \mathrm { { F } } j } u _ { 0 \ell } ^ { \prime } ( { \bf { k } } ; \tau ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \gamma \delta } ^ { \sigma } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { \sigma } } C _ { \gamma i } ^ { L , \sigma } \, C _ { \delta i } ^ { R , \sigma } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { D _ { \gamma \delta } } & { { } = D _ { \gamma \delta } ^ { \alpha } + D _ { \gamma \delta } ^ { \beta } \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \rho , \lambda , N } ( \widetilde \Omega _ { n } ^ { R , L } , \widetilde X _ { n } ^ { R , L } ) \leq E _ { \rho , \lambda , N } ( \Omega _ { n } , X _ { n } ) + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathcal H ^ { 2 } ( \Omega _ { n } ^ { k } \cap \partial B _ { R } ( 0 ) ) + { \frac { C } { L } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \omega ) ^ { * } \alpha _ { 3 } ( \omega ) } & { = p ( \omega ) ^ { * } p _ { 2 } ( \omega ) ^ { * } \beta _ { 2 } ( \omega ) } \\ & { = ( p ( \omega ) \bullet p _ { 2 } ( \omega ) ) ^ { * } \beta _ { 2 } ( \omega ) } \\ & { = f ( p _ { 1 } ( \omega ) ) ^ { * } \beta _ { 2 } ( \omega ) } \\ & { = p _ { 1 } ( \omega ) ^ { * } \beta _ { 2 } ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \vec { \mathcal { P } } _ { 1 } \right) ^ { \mathrm { T } } \hat { \sigma } _ { z } \vec { \mathcal { E } } _ { 2 } ( 1 ) = \left( \vec { \mathcal { P } } _ { 2 } \right) ^ { \mathrm { T } } \hat { \sigma } _ { z } \vec { \mathcal { E } } _ { 1 } ( 2 ) \, , } \end{array}
\rho _ { C } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 4 1 2 2 7 5 6 4 5 2 3 2 5 3 4 3 7 5 } { 2 7 4 8 5 0 4 1 9 1 5 3 3 0 5 6 } c + \frac { 8 2 4 0 5 6 4 6 0 7 2 4 8 4 1 6 2 5 } { 2 1 9 8 8 0 3 3 5 3 2 2 6 4 4 4 8 } b
\dot { Q } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } = P _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \; \; \; , \; \; \; \dot { P } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } = - \omega _ { k } ^ { 2 } Q _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \omega _ { k } = c k
\begin{array} { r } { \mathscr { P } _ { a , \eta } ^ { 1 } : = \{ P \in \mathscr { P } ^ { 1 } ( a ) | F _ { + } ^ { \prime } ( a ) \leq \eta \} , \ \mathscr { P } _ { a , \underline { { \eta } } , \bar { \eta } , \nu } ^ { 2 } : = \{ P \in \mathscr { P } ^ { 2 } ( a ) | \underline { { \eta } } \leq f ( a ) \leq \bar { \eta } , f _ { + } ^ { \prime } ( a ) \geq - \nu \} . } \end{array}
\boldsymbol { \mathcal { E } } = \boldsymbol { \mathcal { E } } _ { x } + \boldsymbol { \mathcal { E } } _ { y } = \mathcal { E } _ { x } \, \hat { \mathbf { x } } + \mathcal { E } _ { y } \, \hat { \mathbf { y } } ;
\begin{array} { r l } { \tilde { I } _ { p p } ( \bar { v } , \chi _ { \gamma } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \bar { v } } \biggl [ \frac { 2 ( 1 + v ^ { 2 } ) } { 1 - v ^ { 2 } } \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } \left( \eta _ { v } \right) + \int _ { \eta _ { v } } ^ { \infty } \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } \left( y \right) d y \biggr ] d v , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { * } [ h ] } & { = \varepsilon ^ { 2 } \left( A ( v _ { \varepsilon } ( \theta _ { 0 } , y _ { \delta } ) , v _ { \varepsilon } ( \theta _ { 0 } , y _ { \delta } ) , \Pi _ { E } h ) - A ( \bar { v } , \bar { v } , \Pi _ { E } h ) \right) = : \sum _ { | j | \le C } ( h , e ^ { \mathrm { i } j x } ) _ { L ^ { 2 } } \chi _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \rho _ { \alpha } \star f _ { \alpha } ( \cdot \vert t ) \} ( x ) } & { = \int _ { 0 } ^ { x } \rho _ { \alpha } ( x - u ) f _ { \alpha } ( u \vert t ) \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { x } \rho _ { \alpha } ( x - u ) f _ { \alpha } ( u t ^ { - 1 / \alpha } ) t ^ { - 1 / \alpha } \, d u } \\ { y = u t ^ { - 1 / \alpha } : \quad } & { = \int _ { 0 } ^ { x t ^ { - 1 / \alpha } } \rho _ { \alpha } ( x - y t ^ { 1 / \alpha } ) f _ { \alpha } ( y ) \, d y } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { x t ^ { - 1 / \alpha } } \rho _ { \alpha } ( t ^ { 1 / \alpha } ( x t ^ { - 1 / \alpha } - y ) ) f _ { \alpha } ( y ) \, d y } \\ & { = t ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { x t ^ { - 1 / \alpha } } \rho _ { \alpha } ( x t ^ { - 1 / \alpha } - y ) f _ { \alpha } ( y ) \, d y } \\ & { = t ^ { - 1 } \{ \rho _ { \alpha } \star f _ { \alpha } \} ( x t ^ { - 1 / \alpha } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( \mathbf { a } ( t _ { 0 } ) ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { P O D } } \int _ { 0 } ^ { T } \bigg \{ { a _ { i } ^ { r e f } } ( t _ { 1 } ) - \int _ { 0 } ^ { t _ { 1 } } f _ { i } ( \mathbf { a } , t ) d t \bigg \} ^ { 2 } d t _ { 1 } } \\ & { = M S E ( O D E S o l v e ( \mathbf { a } ( t _ { 0 } ) , t _ { 0 } , f , \theta ) - \mathbf { a } _ { r e f } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } } & { { } = - i \Delta \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } - i g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \cdot \sqrt { n _ { \mathrm { ~ L ~ } } } \sqrt { 1 - \frac { \tilde { n } _ { a } } { n _ { \mathrm { ~ L ~ } } } } \cdot b , } & { } \\ { \frac { d } { d t } b } & { { } = - i \Omega _ { \mathrm { ~ v ~ } } b - i g _ { 0 } \bigg ( \frac { J } { \Delta } \bigg ) \sqrt { { n } _ { \mathrm { ~ L ~ } } } \cdot \mathcal { A } _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } . } \end{array}
\mu _ { u } | u | \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { \phantom { \rho } \partial _ { x x } p } \\ { \rho \partial _ { x x } u } \\ { \rho \partial _ { x x } v } \\ { \phantom { \rho } \partial _ { x x } s } \end{array} \right) } \end{array} + \delta U \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { p } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - ( \gamma - 1 ) p } \end{array} \right) } \end{array} + \delta p \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { T } } & { { } = \mathrm { ~ l ~ n ~ } \Bigg [ \cfrac { k - k _ { l o w } } { k _ { h i g h } - k } \Bigg ] , } \\ { k } & { { } = \cfrac { k _ { h i g h } \exp ( k _ { T } ) + k _ { l o w } } { \exp ( k _ { T } ) + 1 } , } \end{array}
\left( \sum _ { I = 0 } ^ { K } \alpha _ { I } ^ { m } ( \varphi ^ { I } ) ^ { 2 } \right) \left( \sum _ { I = 0 } ^ { K } \alpha _ { J } ^ { n } ( \varphi ^ { J } ) ^ { 2 } \right) \left( \sum _ { I = 0 } ^ { K } \alpha _ { L } ^ { p } ( \varphi ^ { L } ) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { \mathbf u ^ { n + 1 } = ( 1 - \chi ) { \mathbf v } ^ { n + 1 } + \chi \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } , } \\ & { h ^ { n + 1 } = ( 1 - \xi ) { l } ^ { n + 1 } + \xi \overline { { l } } ^ { n + 1 } , } \\ & { p ^ { n + 1 } = p ^ { , n + 1 } + \rho ^ { n + 1 } g z , } \\ & { p ^ { n + 1 } = \rho ^ { n + 1 } R T ^ { n + 1 } , } \\ & { h ^ { n + 1 } - h ^ { n } = c _ { p } ( T ^ { n + 1 } - T ^ { n } ) , } \\ & { K ^ { n + 1 } = \frac { | \mathbf u ^ { n + 1 } | ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\tilde { \nu } _ { \alpha _ { 2 } } = Z _ { \; \; \alpha _ { 2 } } ^ { \alpha _ { 1 } } \tilde { \eta } _ { \alpha _ { 1 } } ^ { * } + \frac 1 2 C _ { \alpha _ { 2 } } ^ { \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } } \Phi _ { \alpha _ { 0 } } ^ { * } \Phi _ { \beta _ { 0 } } ^ { * } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { e } _ { 1 } ^ { ( u ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 6 } } \\ { \hat { e } _ { 2 } ^ { ( u ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 7 } } \\ { \hat { e } _ { 3 } ^ { ( u ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { 1 } { 2 } \hat { \lambda } _ { 3 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \hat { \lambda } _ { 8 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { R M S } } } & { { } = I _ { \mathrm { p } } { \sqrt { { \frac { 1 } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } } { \int _ { T _ { 1 } } ^ { T _ { 2 } } { \frac { 1 - \cos ( 2 \omega t ) } { 2 } } \, d t } } } } \end{array}
E _ { L P } = \frac { \widetilde { E } _ { x } + \widetilde { E } _ { c } ( k ) } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \widetilde { E } _ { x } - \widetilde { E } _ { c } ( k ) \right) ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } } ,
{ \cal P } [ \Phi , t ] = | \Psi [ \Phi , t ] | ^ { 2 } = \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \Pi _ { k } \left\{ | N _ { k } ( t ) | ^ { 2 } e ^ { - \frac { | \Phi _ { k } ^ { i } ( t ) | ^ { 2 } } { | \phi _ { k } ( t ) | ^ { 2 } } } \right\}
\beta ( t ) = - \frac { i g } { \hslash } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { - i \omega t ^ { \prime } } \phi _ { 2 } ( t ^ { \prime } ) = - \frac { i g } { \hslash } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } e ^ { i \left( \frac { c \Omega } { 2 r _ { g } } - \omega \right) t ^ { \prime } } .
\bar { P } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ^ { ( n , m ) } = \frac { 1 } { N ^ { ( n ) } N ^ { ( m ) } } \sum _ { i = 1 } ^ { N ^ { ( n ) } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { ( m ) } } P _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( i , j | n , m )
S _ { 0 } = - { \frac { N } { \lambda } } \mathrm { T r } ( U + U ^ { \dagger } ) + \sum _ { l } { \frac { 1 } { 2 \sigma _ { l } ^ { 2 } } } \mathrm { T r } ( X _ { l } ^ { i } X _ { - l } ^ { i } ) - \sum _ { l \not = 0 } { \frac { 1 } { s _ { l } } } \mathrm { T r } ( \bar { \alpha } _ { l } \alpha _ { l } ) \, .
\sigma _ { 0 \rightarrow f } ^ { \mathrm { Q S } } = \frac { 4 \pi ^ { 3 } \alpha a _ { 0 } ^ { 5 } } { A _ { e } \tau _ { 0 } c } g ( 0 ) | W _ { f , 0 } ^ { \mathrm { Q S } } | ^ { 2 }
{ \cal E } = \frac { { g _ { \omega } ^ { \ast } } ^ { 2 } } { 2 m _ { \omega } ^ { 2 } } \rho _ { b } ^ { 2 } + \frac { m _ { \sigma } ^ { 2 } } { 2 { g _ { \sigma } ^ { \ast } } ^ { 2 } } ( M _ { N } - M _ { N } ^ { \ast } ) ^ { 2 } + \frac { \gamma } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int d ^ { 3 } k \, E ^ { \ast } ( k ) ( n _ { k } - \bar { n } _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { \Big | | \operatorname { N o r m a l i z e } ( x ) | - | \operatorname { N o r m a l i z e } ( y ) | \Big | } & { { } = \Big | \big ( \pi - ( ( 2 n + 1 ) \pi - x ) \big ) - \big ( \pi - ( y - ( 2 n + 1 ) \pi ) \big ) \Big | } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { m } \left( \chi _ { c } , \psi _ { c } \right) = \frac { ( 1 - i ) } { 2 i ^ { m } \sqrt { 2 \psi _ { c } } } Q _ { m - 1 / 2 } \left( i \frac { \psi _ { c } ^ { 2 } - \chi _ { c } ^ { 2 } - 1 } { 2 \psi _ { c } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { 2 } \left( \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) , \mathbb { C } \right) } & { \cong H ^ { 2 } \left( \widehat { \mathcal { A } } _ { g } , \mathbb { C } \right) , } \\ { H ^ { 2 } \left( \mathfrak { s p } \left( H ^ { \prime } \right) \ltimes H ^ { \prime } , \mathbb { C } \right) } & { \cong H ^ { 2 } \left( \widehat { \mathcal { X } } _ { g } , \mathbb { C } \right) . } \end{array}
\mathcal { H } ( y ; k _ { x } , k _ { z } , \omega ) : = \widehat { \mathcal { C } } \left( \mathrm { ~ i ~ } \omega \, \mathcal { I } _ { 2 \times 2 } - \widehat { \mathcal { A } } \right) ^ { - 1 } \widehat { \mathcal { B } }
{ \begin{array} { r l } { h ^ { \prime } ( x ) } & { = f ^ { \prime } ( x ) \cdot { \frac { 1 } { g ( x ) } } + f ( x ) \cdot \left[ { \frac { - g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) ^ { 2 } } } \right] } \\ & { = { \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) } } - { \frac { f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { g ( x ) } { g ( x ) } } \cdot { \frac { f ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) } } - { \frac { f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^ { \prime } ( x ) } { g ( x ) ^ { 2 } } } . } \end{array} }
[ \, \gamma ^ { j } ( t ) \, , \, \gamma ^ { k } ( t ) \, ] \; = \; ( \operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } - \operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \to 0 ^ { - } } ) \langle \gamma ^ { j } ( t + \varepsilon ) \gamma ^ { k } ( t ) \rangle
\frac { 1 } { 4 } \frac { c } { \sigma ( \boldsymbol { \xi } ) } \mu \int _ { \mathbb { B } } \int _ { \mathbb { H } } \left[ ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { a } ) ^ { 2 } + 2 ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { a } ) ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { J } ) + ( \boldsymbol { \xi } \cdot \boldsymbol { \eta } _ { J } ) ^ { 2 } \right] \textup { d } V ^ { \prime } \textup { d } V \ .
\sigma ^ { + } = \ \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ , \ \sigma ^ { - } = \ \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ , \ \sigma ^ { 0 } = \ \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l r } { H _ { 1 } ( \mathrm { S M o d } _ { g , \ast ; k } ) } & { \cong } & { \left< \widetilde { h } _ { 1 } , \widetilde { h } _ { 2 } , \widetilde { t } _ { 1 , 2 } \middle | ( \widetilde { t } _ { 1 , 2 } ^ { - n + 1 } \widetilde { h } _ { 1 } ^ { n + 1 } \widetilde { h } _ { 2 } ^ { n - 1 } ) ^ { k n } = 1 \right> } \\ & { \cong } & { \left< \widetilde { h } _ { 1 } , \widetilde { h } _ { 2 } , \widetilde { t } _ { 1 , 2 } , X \middle | ( X ^ { n - 1 } \widetilde { h } _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { k n } = 1 , X = \widetilde { t } _ { 1 , 2 } ^ { - 1 } \widetilde { h } _ { 1 } \widetilde { h } _ { 2 } \right> } \\ & { \cong } & { \left< \widetilde { h } _ { 1 } , \widetilde { h } _ { 2 } , X \middle | ( \widetilde { h } _ { 1 } ^ { 2 } X ^ { n - 1 } ) ^ { k n } = 1 \right> . } \end{array}
P _ { \mathrm { p r } } = \left( \frac { 2 } { 1 - 1 / ( 2 \xi ) } \right) \frac { 1 } { 2 } \frac { \gamma _ { c } } { \beta _ { \mathrm { e f f } } } , \ \ \ \beta _ { \mathrm { e f f } } = \frac { \beta } { 1 + 2 \xi ( 1 - \beta ) }
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 1 } = D _ { 1 } \Delta u _ { 1 } - \xi _ { 1 } \nabla \cdot \left( u _ { 1 } \nabla u _ { 3 } \right) + \mu _ { 1 } u _ { 1 } ( 1 - u _ { 1 } ^ { r } ) - \frac { \rho u _ { 1 } u _ { 4 } } { k _ { u _ { 1 } } + \theta u _ { 1 } } } , } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 2 } = D _ { 2 } \Delta u _ { 2 } - \xi _ { 2 } \nabla \cdot \left( u _ { 2 } \nabla u _ { 3 } \right) + \frac { \rho u _ { 1 } u _ { 4 } } { k _ { u _ { 1 } } + \theta u _ { 1 } } - \delta _ { 2 } u _ { 2 } , } } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 3 } = - u _ { 3 } \left( \alpha _ { 1 } u _ { 1 } + \alpha _ { 2 } u _ { 2 } \right) + \mu _ { 3 } u _ { 3 } ( 1 - u _ { 3 } ) , } } \\ { \displaystyle { \partial _ { t } u _ { 4 } = D _ { 4 } \Delta u _ { 4 } - \xi _ { 4 } \nabla \cdot \left( u _ { 4 } \nabla u _ { 3 } \right) + \beta u _ { 2 } - \delta _ { 4 } u _ { 4 } - \frac { \rho u _ { 1 } u _ { 4 } } { k _ { u _ { 1 } } + \theta u _ { 1 } } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } ( x , t ) } & { = \alpha ( x , t ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } ( x , t ) } & { = \beta ( x , t ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \gamma ( x , t ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \omega } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) + \delta ( x , t ) \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 - \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - \omega } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 - \omega } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\| \mathcal { A ^ { * } A } ( M _ { r _ { \star } } ^ { \prime } ) \| = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathbb S ^ { n - 1 } } | \langle v , \mathcal { A ^ { * } A } ( M _ { r _ { \star } } ^ { \prime } ) v \rangle | \le 2 \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal H } | \langle v , \mathcal { A ^ { * } A } ( M _ { r _ { \star } } ^ { \prime } ) v \rangle | .
{ \begin{array} { r l } { \int x ^ { n } e ^ { c x } \, d x } & { = { \frac { 1 } { c } } x ^ { n } e ^ { c x } - { \frac { n } { c } } \int x ^ { n - 1 } e ^ { c x } \, d x } \\ & { = \left( { \frac { \partial } { \partial c } } \right) ^ { n } { \frac { e ^ { c x } } { c } } } \\ & { = e ^ { c x } \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i } { \frac { n ! } { ( n - i ) ! c ^ { i + 1 } } } x ^ { n - i } } \\ & { = e ^ { c x } \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { n - i } { \frac { n ! } { i ! c ^ { n - i + 1 } } } x ^ { i } } \end{array} }
{ \mathbf M _ { C } } = \left[ \begin{array} { l l l } { { M } } & { { { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } g v _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } g v _ { 1 } } } & { { \mu } } & { { - { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } h _ { \tau } v _ { 3 } } } \\ { { { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } g v _ { 3 } } } & { { - \epsilon _ { 3 } } } & { { { \textstyle { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } } h _ { \tau } v _ { 1 } } } \end{array} \right] \nonumber
{ \frac { \partial \ln \mathrm { B } ( \alpha , \beta ) } { \partial \beta } } = - { \frac { \partial \ln \Gamma ( \alpha + \beta ) } { \partial \beta } } + { \frac { \partial \ln \Gamma ( \alpha ) } { \partial \beta } } + { \frac { \partial \ln \Gamma ( \beta ) } { \partial \beta } } = - \psi ( \alpha + \beta ) + 0 + \psi ( \beta )
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { s _ { k } | x | ^ { 2 \alpha } e ^ { 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \widehat { \gamma } _ { k } , \ k = 1 , 3 , 5 , 7 , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { - 1 } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } & { - 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \widehat { \gamma } _ { 2 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } & { - e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \widehat { \gamma } _ { 6 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } & { 1 } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \gamma _ { 4 } , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { s _ { 0 } e ^ { 2 \pi i \alpha } | x | ^ { - 2 \alpha } e ^ { - 2 x ^ { 2 } \widehat { g } ( z ) } } & { e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , \quad } & { z } & { \in \gamma _ { 8 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \hat { O } = \mathcal { L } ^ { \dag } \hat { O } = } & { \frac { i } { \hbar } \left[ \hat { H } _ { J C } + \hat { H } _ { p u m p } , \hat { O } \right] } \\ & { + \kappa { \mathcal { D ^ { \dagger } } [ \hat { a } ] \hat { O } } + \Gamma { \mathcal { D ^ { \dagger } } [ \hat { \sigma } _ { - } ] \hat { O } } . } \end{array}
{ \cal M } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { M ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \gamma + M ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \gamma } } & { { - ( M ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) \sin \gamma \cos \gamma } } \\ { { - ( M ^ { 2 } + M ^ { 2 } ) \sin \gamma \cos \gamma } } & { { M ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \gamma + M ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \gamma } } \end{array} \right) ,
Z _ { N _ { f } } ^ { \beta _ { \mathrm { D } } } = \int D [ W ] \prod _ { f = 1 } ^ { N _ { f } } \mathrm { d e t } ( { \cal D } + m _ { f } ) e ^ { - { \frac { N \beta _ { \mathrm { D } } } { 4 } } \, \mathrm { t r } \, v ( W ^ { \dagger } W ) }
X ( x , y ) = X _ { \mathrm { c l } } ( y ) + \sum _ { n } X _ { n } ( x ) a _ { n } ( y ) , \qquad \varphi ( x , y ) = \varphi _ { \mathrm { c l } } ( y ) + \sum _ { n } \varphi _ { n } ( x ) b _ { n } ( y ) \, ,
\begin{array} { r l } { M _ { T \wedge T _ { \xi } } ^ { i } } & { { } = W _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , T ) - \int _ { 0 } ^ { T \wedge T _ { \xi } } 1 _ { \{ t < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( t ) g _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { t } ^ { \xi } , T - t ) \textrm { d } t } \end{array}