harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
G r _ { \mathrm { ~ D ~ } } = \frac { \rho _ { \mathrm { ~ m ~ } } ^ { 2 } \beta _ { \mathrm { ~ m ~ } } } { c _ { \mathrm { ~ p ~ , ~ m ~ } } \mu _ { \mathrm { ~ m ~ } } ^ { 2 } } \frac { \dot { Q } g D ^ { 3 } } { \dot { m } } , \: \: \: R e _ { \mathrm { ~ D ~ } } = \frac { \rho _ { \mathrm { ~ m ~ } } U D } { \mu _ { \mathrm { ~ m ~ } } } .
\operatorname* { l i m s u p } _ { \substack { h \rightarrow 0 \, x ^ { \prime } \rightarrow x \, y ^ { \prime } \rightarrow y } } h ^ { \beta } \log p _ { h ^ { \beta } t } ^ { h } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \substack { h \rightarrow 0 \, x ^ { \prime } \rightarrow x \, y ^ { \prime } \rightarrow y } } h ^ { \beta } \log p _ { h ^ { \beta } t } ^ { h } ( x ^ { \prime } , \overline { { B } } _ { \delta } ( y ) ) \leq - \frac { 1 } { 2 t } \operatorname* { i n f } _ { z \in \overline { { B } } _ { \delta } ( y ) } \lvert z - x \rvert ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { g _ { 2 } ( 2 ( m + 1 ) ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \Gamma \left( m + 1 , \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } \right) \mathrm { d } w } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( m \Gamma \left( m , \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } \right) + ( 2 ( 1 - w ) ) ^ { - m } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \right) \mathrm { d } w } \\ & { = m g _ { 2 } ( 2 m ) + \frac { 1 } { 2 ^ { m } } \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - \left( m + \frac { 3 } { 2 } \right) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \mathrm { d } w } \\ & { \leq \Gamma ( m + 1 ) B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { m \sqrt { 2 m } } \right) + \frac { 1 } { 2 ^ { m } } \int _ { 0 } ^ { 1 } w ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - w ) ^ { - \left( m + \frac { 3 } { 2 } \right) } e ^ { - \frac { 1 } { 2 ( 1 - w ) } } \mathrm { d } w . } \end{array}
\begin{array} { l } { ( H _ { i , k } \land Q _ { q , k } \land T _ { i , \sigma , k } ) \to } \\ { \bigvee _ { ( ( q , \sigma ) , ( q ^ { \prime } , \sigma ^ { \prime } , d ) ) \in \delta } ( H _ { i + d , \ k + 1 } \land Q _ { q ^ { \prime } , \ k + 1 } \land T _ { i , \ \sigma ^ { \prime } , \ k + 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } \approx } & { { } { \bf d } ^ { * } { \bf d } \cdot { \bf F } _ { \mathrm { N I R } } \frac { i \omega } { \pi \hbar } \exp [ { \frac { i } { \hbar } S _ { \mathrm { s c } } ( P _ { n } , t _ { n } , \tau _ { n } ) } ] \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \delta \tau } \end{array}
\frac { 1 } { A _ { 1 } A _ { 2 } \cdots A _ { n } } = ( - i ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \alpha _ { 1 } d \alpha _ { 2 } \cdots d \alpha _ { n } e ^ { i \sum _ { 1 } ^ { n } \alpha _ { j } A _ { j } }
\begin{array} { r l } & { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 4 t h } } ( \mathrm { \boldmath ~ d ~ } ) } \\ & { = \oint \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { d z _ { j } } { 2 \pi i } \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } z _ { j } ^ { 2 } } } { z _ { j } ^ { 1 + d _ { j } } } \right) \exp \left( \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } z _ { j } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } z _ { j } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \int \frac { d Q _ { 1 } d Q _ { 2 } } { 2 \pi } \mathrm { e } ^ { - \frac { Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \left( \oint \frac { d z _ { j } } { 2 \pi i } \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( 1 + i \sqrt { 2 } Q _ { 2 } ) z _ { j } ^ { 2 } + Q _ { 1 } z _ { j } } } { z _ { j } ^ { 1 + d _ { j } } } \, \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \prod _ { j } d _ { j } ! } \int \frac { d Q _ { 1 } d Q _ { 2 } } { 2 \pi } \mathrm { e } ^ { - \frac { Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } } \left( 1 + i \sqrt { 2 } Q _ { 2 } \right) ^ { M } } \\ & { \quad \times \prod _ { j = 1 } ^ { N } H e _ { d _ { j } } \left( \frac { Q _ { 1 } } { \sqrt { 1 + i \sqrt { 2 } Q _ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ E ~ M ~ L ~ } } ^ { \ast } } & { { } = a _ { m } \left( \frac { \mathrm { ~ P ~ r ~ } } { d _ { 1 } } \right) ^ { m _ { 1 } } \left( \frac { \mathrm { ~ G ~ a ~ } } { d _ { 2 } } \right) ^ { m _ { 2 } } \left( \frac { \mathrm { ~ P ~ m ~ } } { d _ { 3 } } \right) ^ { m _ { 3 } } \left( \frac { \mathrm { ~ M ~ a ~ } } { d _ { 4 } } \right) ^ { m _ { 4 } } } \end{array}
{ \cal O } ( T e r m 7 ) \propto \frac { 3 \overline { { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial f _ { \parallel } } { \partial x } \right) ^ { s } } } } { { \overline { { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } } } ^ { 2 } } } .
\prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } = { \frac { 1 } { 1 - 2 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 3 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 5 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 7 ^ { - s } } } \cdots { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } \cdots
\Biggl [ - \frac { 1 } { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d x _ { \parallel } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \Biggl ( \omega + q E _ { 0 } x _ { \parallel } \Biggr ) ^ { 2 } \Biggr ] \phi _ { \omega , { \bf k } _ { \perp } } ( x _ { \parallel } ) = - \frac { 1 } { 2 } ( m ^ { 2 } + { \bf k } _ { \perp } ^ { 2 } ) \phi _ { \omega , { \bf k } _ { \perp } } ( x _ { \parallel } ) .
\begin{array} { r l r } { b } & { { } = } & { \frac { \lambda B } { 4 \pi } \frac { h \eta } { \left( 1 + \eta \right) ^ { 2 } } + l _ { \perp } ^ { 2 } \, , } \\ { c } & { { } = } & { \frac { \pi \, C } { \lambda } \frac { h \eta } { \left( 1 + \eta \right) ^ { 2 } } \, , } \\ { s } & { { } = } & { \left( \frac { \lambda } { 2 \pi } \right) ^ { 3 } \sigma f _ { 0 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\left\langle \bar { B } \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) \bigg | C _ { \beta } C _ { \alpha } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \beta \alpha } C ^ { 2 } \right\rangle .
\boldsymbol { j } = n \boldsymbol { u } \! + \! \delta \boldsymbol { j } , \quad \boldsymbol { j } _ { I } = n _ { I } \boldsymbol { u } \! + \! \delta \boldsymbol { j } _ { I } , \quad \boldsymbol { j } _ { E } = { \cal W } \boldsymbol { u } ,
\begin{array} { r } { \mathbf { \tilde { u } ^ { * } } = \mathbf { 0 } + \mathbf { u } ^ { * } , \; \tilde { p } ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) = p _ { b } ^ { * } ( z ^ { * } ) + p ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) , \; \tilde { \rho } ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) = \rho _ { b } ^ { * } ( z ^ { * } ) + \rho ^ { * } ( \mathbf { x } ^ { * } , t ^ { * } ) , \; z ^ { * } = 0 + \eta ^ { * } ( x ^ { * } , t ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \deg P _ { i } ^ { ( j , k ) } } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = j , k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } \deg Q _ { i } ^ { ( j _ { 2 } , k _ { 2 } ) } \left( P _ { i - 1 } ^ { ( j _ { 1 } , k _ { 1 } ) } \right) } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = j , k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } 3 k _ { 2 } + \deg P _ { i - 1 } ^ { ( j _ { 1 } , k _ { 1 } ) } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } = j , k _ { 1 } + k _ { 2 } = k } 3 k _ { 2 } + 3 k _ { 1 } + d _ { 0 } } \\ & { \leq 3 k + d _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t e ^ { \mathrm { i } \lambda t } \frac { d } { d t } \omega _ { s } ( \tau _ { t } ( O ) ) = } \\ & { \mathrm { i } \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t e ^ { \mathrm { i } \lambda t } \omega _ { s , t } ( [ H , O ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { A } ^ { t } \psi _ { i } } & { { } = \lambda _ { i } ( t ) \mathcal { G } \psi _ { i } , } & { \mathcal { A } ^ { L } \psi _ { i } } & { { } = \kappa _ { i } \mathcal { G } \psi _ { i } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { P } \bigg ( \frac { a _ { n } \mu _ { n } S _ { n } ^ { j } } { \sqrt { w _ { n } } } \geq \vartheta _ { n } ( x _ { * } ^ { j } + \epsilon _ { * * } ) \bigg ) \bigg / \mathbb { P } \bigg ( \frac { a _ { n } \mu _ { n } S _ { n } ^ { j } } { \sqrt { w _ { n } } } \geq \vartheta _ { n } ( x _ { * } ^ { j } - \epsilon _ { * * } ) \bigg ) = 0 \quad \mathrm { f o r ~ e a c h } \quad j .
\left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { x x } } \\ { \varepsilon _ { y y } } \\ { \varepsilon _ { z z } } \\ { 2 \varepsilon _ { x z } } \\ { 2 \varepsilon _ { y z } } \\ { 2 \varepsilon _ { x y } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 2 } } & { S _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { S _ { 1 2 } } & { S _ { 1 1 } } & { S _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { S _ { 1 3 } } & { S _ { 1 3 } } & { S _ { 3 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { S _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { S _ { 4 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 ( S _ { 1 1 } \! - \! S _ { 1 2 } ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { y y } } \\ { \sigma _ { z z } } \\ { \sigma _ { x z } } \\ { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { x y } } \end{array} \right] ,
\mathbf { m } = - { \hat { \mathbf { x } } } { \frac { \partial U _ { \mathrm { { i n t } } } } { \partial B _ { x } } } - { \hat { \mathbf { y } } } { \frac { \partial U _ { \mathrm { { i n t } } } } { \partial B _ { y } } } - { \hat { \mathbf { z } } } { \frac { \partial U _ { \mathrm { { i n t } } } } { \partial B _ { z } } } .
\begin{array} { r l } { \dot { e } + c ^ { 2 } p _ { x } } & { { } = 0 , } \\ { \dot { p } + \frac { 1 } { 3 } e _ { x } + N _ { x } } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { R } } p , } \\ { \dot { N } + \frac { 4 } { 1 5 } c ^ { 2 } p _ { x } } & { { } = - \left( \frac { 1 } { \tau _ { R } } + \frac { 1 } { \tau _ { N } } \right) N , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = \Delta _ { i j } \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , a _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = [ \Delta ( \mathbf { 1 } - \Delta ) ] _ { i j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \dag \langle \Psi _ { 0 } | \dag , b _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } \dag , | \Psi _ { 0 } \rangle } & { = [ \mathbf { 1 } - \Delta ] _ { i j } \dag , . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n _ { d + } } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( n _ { d + } \mathbf { b } v _ { | | d + } \right) } \\ { \frac { \partial p _ { d + } } { \partial t } } & { { } = - \nabla \cdot \left( p _ { d + } \mathbf { b } v _ { | | d + } \right) - \frac { 2 } { 3 } p _ { d + } \nabla \cdot \left( \mathbf { b } v _ { | | d + } \right) + \nabla \cdot \left( \kappa _ { | | d + } \mathbf { b } \mathbf { b } \cdot \nabla T _ { d + } \right) } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( m _ { d + } n _ { d + } v _ { | | d + } \right) } & { { } = - \nabla \cdot \left( m _ { d + } n _ { d + } v _ { | | d + } \mathbf { b } v _ { | | d + } \right) - \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d + } + q _ { d + } n _ { d + } E _ { | | } } \end{array}
[ \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } + ( q ^ { \alpha ) } + r ^ { \alpha ) } ) t ^ { ( \alpha ) } ] h _ { i } ^ { ( \alpha ) 2 } C _ { i } + [ \frac { \alpha ^ { 2 } } { 4 } + q ^ { \alpha ) } t ^ { \alpha ) } - r ^ { ( \alpha ) } u ^ { ( \alpha ) } ] \sum _ { j \neq i } h _ { j } ^ { ( \alpha ) 2 } C _ { j } = C _ { i } , ~ ~ ~ i = 1 , . . . n
\begin{array} { r l } { b ^ { 2 } } & { = b _ { 1 , 1 } ^ { 2 } w _ { 1 , 1 } ^ { 2 } w _ { 1 , 2 } ^ { 2 } + b _ { 1 , 2 } ^ { 2 } ( w _ { 1 , 1 } w _ { 2 , 2 } + w _ { 1 , 2 } w _ { 2 , 1 } ) ^ { 2 } + b _ { 2 , 2 } ^ { 2 } w _ { 2 , 1 } ^ { 2 } w _ { 2 , 2 } ^ { 2 } + 2 b _ { 1 , 1 } b _ { 2 , 2 } w _ { 1 , 1 } w _ { 1 , 2 } w _ { 2 , 1 } w _ { 2 , 2 } } \\ & { + 2 b _ { 1 , 1 } b _ { 1 , 2 } w _ { 1 , 1 } w _ { 2 , 2 } w _ { 1 , 2 } + 2 b _ { 1 , 1 } b _ { 1 , 2 } w _ { 1 , 1 } w _ { 1 , 2 } ^ { 2 } w _ { 2 , 1 } + 2 b _ { 1 , 2 } b _ { 2 , 2 } w _ { 1 , 1 } w _ { 2 , 1 } w _ { 2 , 2 } ^ { 2 } + 2 b _ { 1 , 2 } b _ { 2 , 2 } w _ { 1 , 2 } w _ { 2 , 1 } ^ { 2 } w _ { 2 , 2 } . } \end{array}
\mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } = \bar { \mathcal { S } } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } )
S _ { 1 1 } ^ { \uparrow \uparrow , q } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } + \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T \left( e V \coth \bigg [ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \bigg ] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) .
\begin{array} { r l } { \ensuremath { \widehat { \boldsymbol { \Phi } } } ( s ) } & { = s ^ { 2 } \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { M } } } + s \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { D } } } - \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { M } } } \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 2 } - \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { D } } } \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } } \\ & { = \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { M } } } ( s ^ { 2 } \ensuremath { \boldsymbol { I } } _ { r } - \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 2 } ) + \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { D } } } ( s \ensuremath { \boldsymbol { I } } _ { r } - \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ) } \\ & { = \left( \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { M } } } ( s \ensuremath { \boldsymbol { I } } _ { r } + \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ) + \ensuremath { \skew 4 \widehat { \boldsymbol { D } } } \right) ( s \ensuremath { \boldsymbol { I } } _ { r } - \ensuremath { \boldsymbol { \Lambda } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { r e v } } ( \Phi ( x _ { r } ) , \Phi ( x _ { s } ) ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 m } \sum _ { l = 1 } ^ { m } \nabla ^ { \top } \Phi ( x _ { r } ) ( x _ { l } ) a ( x _ { l } ) \nabla \Phi ( x _ { s } ) ( x _ { l } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { { 1 } \rho ^ { n } = \alpha ^ { n } \rho _ { l } + ( 1 - \alpha ^ { n } ) \rho _ { g } } \\ { \mu ^ { n } = \alpha ^ { n } \mu _ { l } + ( 1 - \alpha ^ { n } ) \mu _ { g } } \end{array}
B _ { \mathrm { Q E D } } ( s , t _ { 1 } , u _ { 1 } ) = \frac { t _ { 1 } } { u _ { 1 } } + \frac { u _ { 1 } } { t _ { 1 } } + \frac { 4 m _ { Q } ^ { 2 } s } { t _ { 1 } u _ { 1 } } \left[ 1 - \frac { m _ { Q } ^ { 2 } s } { t _ { 1 } u _ { 1 } } \right] \, \, .
E _ { 2 } = \frac { v ^ { 2 } } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left\{ G _ { h } ^ { - 1 } ( - \vec { q } \, ^ { 2 } ) h ( \vec { q } ) h ( - \vec { q } ) + G _ { p } ^ { - 1 } ( - \vec { q } \, ^ { 2 } ) \vec { p } ( \vec { q } ) \cdot \vec { p } ( - \vec { q } ) \right\}
\begin{array} { r l } { W ^ { - 1 } } & { \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } u _ { \mathrm { h o r } } \frac { H } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r = W ^ { - 1 } \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { h o r } } \frac { d } { d r } \int _ { 1 } ^ { r } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r ^ { \prime } d r } \\ { = } & { \: W ^ { - 1 } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { h o r } } ) ( r _ { 0 } ) \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r ^ { \prime } - W ^ { - 1 } \int _ { 1 } ^ { r _ { 0 } } \frac { d } { d r } ( e ^ { i \widetilde { \omega } r _ { * } } { u } _ { \mathrm { h o r } } ) \int _ { 1 } ^ { r } \frac { H e ^ { - i \widetilde { \omega } r _ { * } } } { \Delta } ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) \, d r ^ { \prime } d r } \end{array}
M _ { 3 , x y y } ^ { \sigma , E S } = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , E S } v _ { i x } v _ { i y } ^ { 2 } = \rho ^ { \sigma } u _ { x } [ 2 \lambda _ { x y } u _ { y } + u _ { x } ( \lambda _ { y y } + u _ { y } ^ { 2 } ) ] ,
\mathcal { D } = \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left[ | \theta _ { i } ^ { ( 1 ) } - \theta _ { i } ^ { ( 2 ) } | ^ { 2 } + | \varphi _ { i } ^ { ( 1 ) } - \varphi _ { i } ^ { ( 2 ) } | ^ { 2 } \right] }
\begin{array} { r } { \langle S _ { z } ^ { \mathrm { s h e a r } } \rangle _ { x y } = \langle S _ { z } ^ { \mathrm { s h e a r , + } } \rangle _ { x y } - \langle S _ { z } ^ { \mathrm { s h e a r , - } } \rangle _ { x y } } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } p ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } - c ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } p ^ { \prime } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu _ { l } \frac { \partial ^ { 3 } p ^ { \prime } } { \partial t \partial x ^ { 2 } } = 0
\beta = \arctan \frac { 2 r \sin \alpha } { 1 - r ^ { 2 } } , \qquad e ^ { i \beta ^ { \prime } } = \frac { 1 - r ^ { 2 } e ^ { - 2 i \alpha } } { | 1 - r ^ { 2 } e ^ { - 2 i \alpha } | } .
{ \frac { ( \Delta N _ { k } ) ^ { 2 } } { \langle N _ { k } \rangle } } = { \frac { 1 } { 2 } } \biggl \{ ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 4 } ) ^ { 2 } + \biggl ( m _ { 0 } \omega _ { 0 } \mu _ { 3 } - { \frac { 1 } { m _ { 0 } \omega _ { 0 } } } \mu _ { 2 } \biggr ) ^ { 2 } \biggr \} \ \ .
E _ { \mathrm { P N C } } = \langle \phi _ { 7 s } ^ { \mathrm { H F } } | D | \delta \phi _ { 6 s } ^ { \mathrm { R P A } } \rangle + \langle \delta \phi _ { 7 s } ^ { \mathrm { R P A } } | D | \phi _ { 6 s } ^ { \mathrm { H F } } \rangle \, .
{ \frac { 1 } { g _ { 1 } ^ { 2 } ( p ^ { 2 } ) } } = { \frac { 1 } { g _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \textstyle { \frac { 2 0 } { 9 } } } { \cal J } ( m _ { t } ^ { 2 } , p ^ { 2 } , \Lambda ^ { 2 } ) + { \textstyle { \frac { 2 } { 9 } } } { \cal J } ( m _ { b } ^ { 2 } , p ^ { 2 } , \Lambda ^ { 2 } ) \, ,
V ( z ) = a ^ { 2 } e ^ { - 4 \alpha z } - 2 a c e ^ { - 3 \alpha z } + [ c ^ { 2 } - 2 a ( b + \alpha a n + \alpha ) ] e ^ { - 2 \alpha z } + c ( 2 b + \alpha ) e ^ { - \alpha z } + b ^ { 2 } \ ,
p _ { l ^ { \prime } ; 0 } ^ { ( n ) } = a _ { l ^ { \prime } } ^ { ( n ) } \left( A _ { l ^ { \prime } ; 0 } ^ { 1 ; 0 } ( \overrightarrow { O O _ { n } } ) \mu + \sum _ { u \neq n } \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { u } } A _ { l ^ { \prime } ; 0 } ^ { l ; 0 } ( \overrightarrow { O _ { u } O _ { n } } ) p _ { l ; 0 } ^ { ( u ) } \right) ,
W _ { \infty } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ( \Delta n ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } ) = \frac { U } { 2 } \left( \left( \frac { \Delta n ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } } { 2 } \right) ^ { 2 } - 1 \right) ,
\begin{array} { r } { \hat { e } _ { i } ^ { \prime } \equiv \frac { \hat { e } _ { i } - ( \hat { e } _ { i } { \cdot } \hat { e } _ { 0 } ) \hat { e } _ { 0 } } { \sqrt { 1 - | \hat { e } _ { i } { \cdot } \hat { e } _ { 0 } | ^ { 2 } } } } \end{array}
\mathbf { k } _ { n } = \frac { k } { \sqrt { x _ { n } ^ { 2 } + y _ { n } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c } { - x _ { n } } \\ { - y _ { n } } \end{array} \right) \approx - \frac { k } { f } \mathbf { r } _ { n } ,
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + R _ { 1 } [ a l l ] [ 1 ] } & { < r _ { 1 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + 2 1 c ^ { 2 } c _ { 1 } + 2 1 \tilde { c } _ { 1 } + 2 1 c ^ { 2 } c _ { 2 } + N , } \\ { R _ { 1 } [ a l l ] [ ( \frac s \eta ) ^ { \gamma } ] } & { < \frac { c ^ { 3 } } { 1 \wedge \beta } \tilde { c } _ { 1 } + \frac { c ^ { 3 } } { 1 \wedge \beta } c _ { 2 } , } \\ { r _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + R _ { 2 } [ a l l ] [ 1 ] } & { < r _ { 2 } ( \tilde { s } _ { 0 } ) + 2 1 c _ { 1 } + 2 1 \tilde { c } _ { 1 } + 2 \frac c { 1 \wedge \beta } c _ { 2 } + N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { p _ { 1 } p _ { 2 } \in A } \sum _ { q _ { 1 } q _ { 2 } \in B } } & { { } = \sum _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \in A } \sum _ { j _ { 1 } j _ { 2 } \in B } + \sum _ { t _ { 1 } t _ { 2 } \in A } \sum _ { j _ { 1 } j _ { 2 } \in B } + \sum _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \in A } \sum _ { u _ { 1 } u _ { 2 } \in B } + \sum _ { t _ { 1 } t _ { 2 } \in A } \sum _ { u _ { 1 } u _ { 2 } \in B } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \{ \phi _ { a } ^ { i } , \phi _ { b } ^ { j } \} } } & { { = \Omega _ { a b } ^ { i j } } } \\ { { \{ \phi _ { a } ^ { i } , G _ { b } \} } } & { { = C _ { a b } ^ { c } \phi _ { c } ^ { i } } } \\ { { \{ G _ { a } , G _ { b } \} } } & { { = C _ { a b } ^ { c } G _ { c } } } \end{array} ,
\begin{array} { r } { \log \frac { p _ { \theta _ { * } + h / \sqrt { n } } ^ { n } } { p _ { \theta _ { * } } ^ { n } } ( X ^ { n } ) - h _ { s } v _ { s t } ^ { n } \Delta _ { \theta _ { * } , t } ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } v _ { s t } ^ { n } h _ { s } h _ { t } - \frac { 1 } { 6 \sqrt { n } } a _ { \theta _ { * } , s t l } ^ { ( 3 ) , n } h _ { s } h _ { t } h _ { l } = r _ { n , 1 } ( h ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { C } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { a 1 } \oplus \left( \begin{array} { c } { A } \\ { A } \\ { D } \\ { A } \\ { A } \\ { D } \end{array} \right) _ { m a p } = \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { B } \\ { C } \\ { B } \\ { D } \end{array} \right) _ { b 2 } } \end{array}
m _ { n } ( e _ { m _ { 0 } } ^ { ( j _ { 0 } ) } , \bar { e } _ { m _ { 1 } } ^ { ( \bar { j } _ { 1 } ) } \epsilon , \dots \bar { e } _ { m _ { n - 1 } } ^ { ( \bar { j } _ { n - 1 } ) } \epsilon ) = \left. \sum _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n - 2 } } ( \mu _ { n } ) _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n - 1 } } ^ { j _ { 0 } , \bar { j } _ { 1 } \dots , \bar { j } _ { n - 1 } } \left( \prod _ { l = 0 } ^ { n - 2 } C _ { M _ { l } , m _ { l + 1 } , M _ { l + 1 } } ^ { J _ { l } - i _ { l } , \bar { j } _ { l + 1 } , J _ { l + 1 } - i _ { l + 1 } } \right) \right| _ { \substack { i _ { 0 } = 0 ; \, i _ { n - 1 } = 2 j _ { 0 } - n + 2 } } \bar { e } _ { M _ { n - 1 } } ^ { ( \bar { J } _ { n - 1 } - j _ { 0 } + n - 2 ) } \epsilon .
{ P } _ { K ^ { \prime \prime } } = - \left\langle { \widetilde { u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } u ^ { \prime \prime } { } ^ { m } } \frac { \partial \widetilde { u } ^ { m } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle \simeq + \widetilde { \nu } \left( { \frac { \partial \widetilde { u } ^ { m } } { \partial x ^ { \ell } } } \right) ^ { 2 } > 0 .
\mu = \frac { 1 } { 6 \pi \rho \nu R } \frac { 1 + 3 \rho \nu / \kappa R } { 1 + 2 \rho \nu / \kappa R } = \frac { 1 } { 6 \pi \rho \nu R } \frac { 1 + 3 b R } { 1 + 2 b R } .
\psi ( p ^ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \biggl [ \frac { 2 } { \epsilon } - l o g \bigl ( \frac { \Delta ( p ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } } \bigr ) \biggr ] \biggl ( - x + \frac { 1 3 1 } { 8 } x ^ { 2 } - \frac { 1 0 7 } { 8 } x ^ { 3 } + \frac { 6 3 } { 8 } x ^ { 4 } \biggr ) .
\begin{array} { r } { \gamma _ { n } ^ { u } = \prod _ { m = 1 } ^ { n } e ^ { - j \varphi _ { m } ^ { u } } , \varphi _ { m } ^ { u } = \left\{ \begin{array} { l } { \beta _ { 0 } p , \ \ \mathrm { S t a t e } \ 0 , } \\ { \beta _ { 1 } p , \ \ \mathrm { S t a t e } \ 1 , \ } \end{array} \right. \ \mathrm { i n } \ \frac { ( u - 1 ) T } { L } \leq t \leq \frac { T } { L } \ } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { \alpha - 1 } ( 2 k ) } & { > \left( 2 k - \frac { 2 - \alpha } { 2 } \right) ^ { \alpha - 1 } > k ^ { \alpha - 1 } \left( 2 - \frac { 2 - \alpha } { 2 k } \right) ^ { \alpha - 1 } \overset { k \ge 2 } > k ^ { \alpha - 1 } \left( \frac { 7 } { 4 } \right) ^ { \alpha - 1 } , } \\ { \quad \lambda _ { \alpha - 1 } ( k ) } & { < \left( k + \frac { 2 - \alpha } 2 \right) ^ { \alpha - 1 } \le k ^ { \alpha - 1 } \left( 1 + \frac { ( 2 - \alpha ) } { 2 k } \right) ^ { \alpha - 1 } \overset { k \ge 2 } \le k ^ { \alpha - 1 } \left( \frac { 5 } { 4 } \right) ^ { \alpha - 1 } . } \end{array}
\frac { u _ { 2 } } { u _ { 1 } } = \sqrt { \frac { \left[ 1 / 2 + \mathrm { M a } _ { 2 } ^ { 2 } / \left( \gamma _ { 1 } - 1 \right) \right] } { \left[ 1 / 2 + \mathrm { M a } _ { 1 } ^ { 2 } / \left( \gamma _ { 2 } - 1 \right) \right] } } ,
P _ { 0 } ( Z ) = \left( \begin{array} { c c } { { ( I + Z ^ { \dag } Z ) ^ { - 1 } } } & { { ( I + Z ^ { \dag } Z ) ^ { - 1 } Z ^ { \dag } } } \\ { { Z ( I + Z ^ { \dag } Z ) ^ { - 1 } } } & { { Z ( I + Z ^ { \dag } Z ) ^ { - 1 } Z ^ { \dag } } } \end{array} \right) .