harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { v i s c , 2 } ^ { * } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left( \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 2 , l i q } \frac { \partial } { \xi _ { 2 } } \mathbf { U } _ { l i q } + \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 2 , g a s } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } \mathbf { U } _ { g a s } \right) , } \\ { \mathbf { F } _ { v i s c , 3 } ^ { * } } & { { } = \frac { 1 } { \partial 2 } \left( \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 3 , l i q } \frac { \partial } { \xi _ { 3 } } \mathbf { U } _ { l i q } + \underline { { \underline { { D } } } } _ { 1 3 , g a s } \frac { \partial } { \partial \xi _ { 3 } } \mathbf { U } _ { g a s } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } _ { u \mathbf { k } , v \mathbf { k ^ { \prime } } } = \langle \psi _ { u \mathbf { k } } | \hat { \mathbf { p } } | \psi _ { v \mathbf { k } ^ { \prime } } \rangle } & { = \frac { 1 } { V } \langle u \mathbf { k } | e ^ { - i \mathbf { k } \cdot \hat { \mathbf { r } } } \hat { \mathbf { p } } e ^ { i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \hat { \mathbf { r } } } | v \mathbf { k } ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { V } \delta _ { \mathbf { k } \mathbf { k ^ { \prime } } } M \langle u \mathbf { k } | ( \hat { \mathbf { p } } + \hbar \mathbf { k ^ { \prime } } ) | v \mathbf { k ^ { \prime } } \rangle _ { \textrm { U C } } } \\ & { = \frac { 1 } { V } \delta _ { \mathbf { k } \mathbf { k ^ { \prime } } } \langle u \mathbf { k } | ( \hat { \mathbf { p } } + \hbar \mathbf { k ^ { \prime } } ) | v \mathbf { k ^ { \prime } } \rangle , } \end{array}
N _ { 3 / 2 } \left( \eta \right) \sim \frac { h ^ { 2 } } { M _ { P } ^ { 2 } } \, \left[ \frac { N _ { c , X } \, N _ { c , N } } { a ^ { 6 } } \right] _ { \Big \vert _ { \eta = \eta _ { * } } } \! \! \left[ \frac { a \left( \eta _ { * } \right) } { a \left( \eta \right) } \right] ^ { 3 } \; \; \; , \; \; \; \eta > \eta _ { * } \, \, ,
F ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) \equiv D ^ { \prime } \left( r _ { b } \right) + \frac { 3 } { 4 } r _ { b } \frac { d \beta ^ { \prime } } { d r _ { b } } + \frac { 1 } { 4 } r _ { b } ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } \beta ^ { \prime } } { d r _ { b } ^ { 2 } }
\phi = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 } } } \\ { { \phi _ { 2 } } } \end{array} \right) , \ \ \ \ \ \ \ \ \phi ^ { \dagger T } = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 } ^ { * } } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { * } } } \end{array} \right) .
\boldsymbol { v } ^ { l , n e w } = \boldsymbol { v } ^ { l } + \frac { n ( \boldsymbol { P } - \boldsymbol { P } ^ { 0 } ) } { m ^ { l } } \frac { m ^ { l } } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } m ^ { j } } \frac { j n _ { t } } { N _ { 0 } } , \quad l = 1 , 2 , \cdots , n , j = 1 , 2 , \cdots , \frac { N _ { 0 } } { n _ { t } } ,
\begin{array} { r l } { { 1 } \mathrm { B o n d ~ n u m b e r } } & { = B o = \frac { \rho _ { l } g d ^ { 2 } } { \sigma } } \\ { \mathrm { M o r t o n ~ n u m b e r } } & { = M o = \frac { g \mu _ { l , 0 } ^ { 4 } } { \rho _ { l } \sigma ^ { 3 } } } \\ { \mathrm { C o n f i n e m e n t ~ r a t i o } } & { = C _ { r } = \frac { W } { d } } \\ { \mathrm { c e n t e r ~ t o ~ c e n t e r ~ d i s t a n c e } } & { = h _ { d } = \frac { h } { d } } \end{array}
V ( r _ { \perp } , z , t ) = V _ { G } ( t ) e ^ { - 2 \frac { ( r _ { \perp } - R _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } + V _ { r } \left[ \operatorname { t a n h } \left( \frac { r _ { \perp } - R _ { e } } { \epsilon } + 1 \right) + \operatorname { t a n h } \left( \frac { R _ { i } - r _ { \perp } } { \epsilon } + 1 \right) \right] + \frac { 1 } { 2 } M ( \omega _ { x } ^ { 2 } x ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } y ^ { 2 } + \omega _ { z } ^ { 2 } z ^ { 2 } ) ,
w _ { 6 } = c _ { - 3 } ^ { ( 1 ) } z ^ { 2 } + c _ { - 3 } ^ { ( 2 ) } x z + c _ { - 3 } ^ { ( 3 ) } y z + c _ { - 3 } ^ { ( 4 ) } x ^ { 2 } + c _ { - 3 } ^ { ( 5 ) } x y + c _ { - 3 } ^ { ( 6 ) } y ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \left| { \int _ { \mathcal { C } ( \rho ) } ( \frac { H ( z ) } { z - \omega } - \frac { H ( z ) } { z } ) } d z \right| } \\ & { \leq 2 \pi \frac { \operatorname* { m a x } _ { \theta \in [ 0 , 2 \pi ] } \left| H ( \rho e ^ { i \theta } ) \right| | \omega | \rho } { ( \rho - | a | ) ( \rho - | \omega | ) } } \end{array} } \end{array}
\left[ { \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } } \right] _ { C C } = { \frac { 1 } { 4 v ^ { 2 } + 8 u ^ { 2 } } } , ~ ~ ~ \left[ { \frac { G _ { F } } { \sqrt 2 } } \right] _ { N C } = { \frac { 1 } { 4 v ^ { 2 } + 1 6 u ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { 3 } } & { = \sqrt { 1 - R _ { 2 } } \hat { a } _ { 2 } + i \sqrt { R _ { 2 } } \hat { b } _ { 2 } } & \\ & { = k _ { 1 } \hat { a } _ { 0 } + k _ { 2 } \hat { b } _ { 0 } + k _ { 3 } \hat { v } _ { a } + k _ { 4 } \hat { v } _ { b } , } & \\ { \hat { b } _ { 3 } } & { = \sqrt { 1 - R _ { 2 } } \hat { b } _ { 2 } + i \sqrt { R _ { 2 } } \hat { a } _ { 2 } } & \\ & { = h _ { 1 } \hat { a } _ { 0 } + h _ { 2 } \hat { b } _ { 0 } + h _ { 3 } \hat { v } _ { a } + h _ { 4 } \hat { v } _ { b } , } & \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname * { a r g \, m i n } _ { \omega , b , \lambda } ( \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { U } ^ { \omega , b } + \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { \mathcal { F } } ^ { \omega , b , \lambda } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ( \mathbf { X } ( t ) , t ) = } & { { } \mathbf { u } ( \mathbf { X } _ { 0 } + \alpha \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) + \mathrm { ~ h ~ . ~ o ~ . ~ t ~ . ~ } , t ) } \\ { = } & { { } \alpha \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } + \alpha \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) + \mathrm { ~ h ~ . ~ o ~ . ~ t ~ . ~ } , t ) } \\ { = } & { { } \alpha \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) + \alpha ^ { 2 } [ \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) + \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) \cdot \nabla \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , t ) ] } \end{array}
\left( \Gamma _ { } ^ { \left( 0 \right) 0 } , \Gamma _ { \Lambda R _ { 1 } } ^ { \left( 2 \right) - 1 } \right) ^ { a } + \widetilde { V } ^ { a } \Gamma _ { \Lambda R _ { 1 } } ^ { \left( 2 \right) - 1 } = \alpha _ { R _ { 1 } } ^ { \left( 2 \right) - 2 a } - \left( \Gamma _ { } ^ { \left( 0 \right) 1 } , \Gamma _ { \Lambda R _ { 1 } } ^ { \left( 2 \right) - 2 } \right) ^ { a }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { n } | M _ { n + 1 } | ^ { 2 p } } & { \leq s | M _ { n } | ^ { 2 p } + 2 q | M _ { n } | ^ { 2 p - 1 } \mathbb { E } _ { n } K _ { n } } \\ & { + p ( 2 p - 1 ) 2 ^ { 2 p - 3 } | M _ { n } | ^ { 2 p - 2 } \mathbb { E } _ { n } | K _ { n } | ^ { 2 } + p ( 2 p - 1 ) 2 ^ { 2 p - 3 } \mathbb { E } _ { n } | K _ { n } | ^ { 2 p } } \\ & { \leq 2 C _ { K , 1 } s M _ { n } ^ { 2 } p q \lambda \gamma M _ { n } ^ { 2 q - 1 } + \lambda \gamma p ( 2 p - 1 ) 2 ^ { 2 p - 3 } M _ { n } ^ { ( 2 p - 1 ) } + ( C _ { K , 1 } + C _ { K , p } ) \lambda \gamma } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b } & { = } & { \frac { \lambda B } { 4 \pi } \frac { h \eta } { \left( 1 + \eta \right) ^ { 2 } } + l _ { \perp } ^ { 2 } \, , } \\ { c } & { = } & { \frac { \pi \, C } { \lambda } \frac { h \eta } { \left( 1 + \eta \right) ^ { 2 } } \, , } \\ { s } & { = } & { \left( \frac { \lambda } { 2 \pi } \right) ^ { 3 } \sigma f _ { 0 } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L _ { \mathtt { H M S } } ( \mathrm { e } , \hat { \omega } , S ) : = L _ { \mathtt { H M S } } \big ( g = \mathrm { T r } ( \mathrm { e } \otimes \mathrm { e } ) , Q = \varphi ( e , \widetilde { \omega } ) \big ) } \\ & { \overline { { \ell } } _ { \mathtt { H M S } } ( \mathrm { e } , \hat { \omega } ) : = \overline { { \ell } } _ { \mathtt { H M S } } \big ( g = \mathrm { T r } ( \mathrm { e } \otimes \mathrm { e } ) , Q = \varphi ( e , \widetilde { \omega } ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \| { \vec { u } } \| \| { \vec { v } } \| \sin \theta = { \sqrt { \| { \vec { u } } \| ^ { 2 } \| { \vec { v } } \| ^ { 2 } ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta ) } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { U } ( \mathbf { x } , t ) } & { = \mathbf { x } - \mathbf { X } ( \mathbf { x } , t ) } \\ { \nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { U } } & { = \mathbf { I } - \nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { X } } \\ { \nabla _ { \mathbf { x } } \mathbf { U } } & { = \mathbf { I } - \mathbf { F } ^ { - 1 } } \end{array} }
{ \frac { d } { d x } } \left( \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } f ( x , t ) \, d t \right) = f { \big ( } x , b ( x ) { \big ) } \cdot { \frac { d } { d x } } b ( x ) - f { \big ( } x , a ( x ) { \big ) } \cdot { \frac { d } { d x } } a ( x ) + \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } { \frac { \partial } { \partial x } } f ( x , t ) \, d t .
\begin{array} { r l } & { \textrm { e } ^ { - i ( k + 1 ) \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } P _ { N _ { 0 } } G ^ { 1 } \left( \textrm { e } ^ { i t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } \left( P _ { N _ { 0 } } \xi ( t _ { k + 1 } ) \right) \right) } \\ { = } & { \textrm { e } ^ { - i ( k + 1 ) \tau \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } P _ { N _ { 0 } } \left[ \frac { i \langle \nabla \rangle _ { \alpha } ^ { - 1 } } { 8 } \left( \textrm { e } ^ { t _ { k + 1 } \langle \nabla \rangle _ { \alpha } } P _ { N _ { 0 } } \xi ( t _ { k + 1 } ) \right) ^ { 3 } \right] } \\ { = } & { \sum _ { l \in { T } _ { N _ { 0 } } } \sum _ { \left( l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } \right) \in { I } _ { l } ^ { N _ { 0 } } } \frac { i } { 8 \delta _ { l } } { G } _ { l , l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } } ^ { k } ( \tau ) \textrm { e } ^ { i \mu _ { l } ( x - a ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { u \geq 0 } & { \quad \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { \Delta u = 0 } & { \quad \mathrm { i n ~ } \Omega _ { 0 } ^ { + } ( u ) : = \{ x \in \Omega : u ( x ) > 0 \} , } \\ { | \nabla u | = 1 } & { \quad \mathrm { o n ~ } F _ { 0 } ( u ) : = \partial \Omega _ { 0 } ^ { + } ( u ) \cap \Omega , } \end{array} \right.
Z ( x _ { 0 } ^ { j } , k _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 1 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 } ^ { j } } ) = \mathcal Z _ { j } ( x _ { 0 } ^ { j } , k _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 1 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 } ^ { j } } , k [ \mathcal U ] , t [ \mathcal V ] )
E _ { 0 } ^ { H O } = \frac { N } { 2 } ~ \hbar \omega , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ E _ { 0 } ^ { H A } = - \left( \frac { m e ^ { 4 } } { 2 \hbar ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { [ 1 + ( N - 3 ) / 2 ] ^ { 2 } } ,
\mathbf { V } = \left( \begin{array} { l l l l } { k ^ { t r a n s } ( 1 ) } & { v _ { p } ( 1 ) } & { v _ { e } ( 1 ) } & { E _ { f r a c } ^ { \prime } ( 1 ) } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { k ^ { t r a n s } ( N ) } & { v _ { p } ( N ) } & { v _ { e } ( N ) } & { E _ { f r a c } ^ { \prime } ( N ) } \end{array} \right)
\mathcal { E } \left( x \right) = \int \mathrm { d } ^ { 3 } k \sqrt { \frac { 2 \omega } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } } \left\{ \begin{array} { c } { { \left[ c ^ { 1 } e _ { 1 } + c ^ { 3 } \left( e _ { 3 } + e _ { 4 } \right) \right] \mathrm { e } ^ { - i k x } + } } \\ { { \left[ c ^ { * 2 } e _ { 1 } + c ^ { * 4 } \left( e _ { 3 } + e _ { 4 } \right) \right] \mathrm { e } ^ { i k x } } } \end{array} \right\} , \quad \omega \equiv \sqrt { \overrightarrow { k } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \geq 2 0 L , \quad \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \geq C ^ { \prime } L ^ { 1 0 } e ^ { 6 0 L ^ { 2 } } , \quad \gamma _ { n } \in [ 2 , n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \slash ( 4 L ) ] , } \\ & { } & { \operatorname* { m i n } \{ ( \gamma _ { n } - 1 ) L , \log ( 1 + \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } ) \} \geq 2 \operatorname* { m a x } \{ ( C _ { L } L ) ^ { 2 5 } , C _ { 1 } ^ { \prime } \} . } \end{array}
\frac { \partial V _ { x } } { \partial t } - \frac { B _ { 0 } } { \mu _ { 0 } \rho _ { 0 } } \frac { \partial b } { \partial z } = - \frac { \delta \rho } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial V _ { x } } { \partial t } - V _ { z } \frac { \partial V _ { x } } { \partial z } + \frac { 3 \eta _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } \frac { \partial } { \partial z } \left( \frac { b } { B _ { 0 } } \left[ \frac { b } { B _ { 0 } } \frac { \partial V _ { x } } { \partial z } + \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial V _ { z } } { \partial z } \right] \right) + O ( \epsilon ^ { 5 / 2 } ) ,
S _ { \mathrm { { p r o l a t e } } } = 2 \pi a ^ { 2 } \left( 1 + { \frac { c } { a e } } \arcsin \, e \right) \qquad { \mathrm { w h e r e } } \qquad e ^ { 2 } = 1 - { \frac { a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } .
\boldsymbol { v } ^ { \bot } \in \boldsymbol { H } ^ { \bot } ( \mathrm { c u r l } , \Omega ) : = \{ \boldsymbol { v } : \boldsymbol { v } \in \boldsymbol { H } _ { 0 } ( \mathrm { c u r l } , \Omega ) , ( \boldsymbol { v } , \boldsymbol { v } ^ { 0 } ) = 0 , \ \boldsymbol { v } ^ { 0 } \in \boldsymbol { H } _ { 0 } ( \mathrm { c u r l } 0 , \Omega ) \}
D _ { \alpha } ^ { \mathbf i } \left[ - 3 i { \bar { \sigma } } ^ { 0 \dot { \alpha } \gamma } { \bar { D } } _ { \dot { \alpha } { \mathbf i } } D _ { \beta \gamma } T \right] = - 2 4 \left[ \sigma _ { \alpha } ^ { \mu 0 \, \, \gamma } \partial _ { \mu } D _ { \beta \gamma } T - \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { 0 } D _ { \alpha \beta } T \right] .
\left\{ { \begin{array} { r c r c c } { v _ { 1 } } & { - } & { v _ { 2 } } & { = } & { u _ { 2 } - u _ { 1 } } \\ { m _ { 1 } v _ { 1 } } & { + } & { m _ { 2 } v _ { 2 } } & { = } & { m _ { 1 } u _ { 1 } + m _ { 2 } u _ { 2 } . } \end{array} } \right.
\left( \begin{array} { c } { p _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { i } } \\ { \vdots } \\ { p _ { n } } \\ { p _ { n + 1 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { n + j } } \\ { \vdots } \\ { p _ { n + m } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { ( 1 - X _ { 1 } ^ { 1 } ) } & { - ( 1 - X _ { 2 } ^ { 1 } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { ( 1 - X _ { 1 } ^ { i } ) } & { - ( 1 - X _ { 2 } ^ { i } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { ( 1 - X _ { 1 } ^ { n } ) } & { - ( 1 - X _ { 2 } ^ { n } ) } \\ { ( X _ { 1 } ^ { 1 } - X _ { 1 } ^ { n + 1 } ) } & { - ( X _ { 2 } ^ { 1 } - X _ { 2 } ^ { n + 1 } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { ( X _ { 1 } ^ { j } - X _ { 1 } ^ { n + j } ) } & { - ( X _ { 2 } ^ { j } - X _ { 2 } ^ { n + j } ) } \\ { \vdots } & { \vdots } \\ { ( X _ { 1 } ^ { m } - X _ { 1 } ^ { n + m } ) } & { - ( X _ { 2 } ^ { m } - X _ { 2 } ^ { n + m } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { A _ { 1 } } \\ { A _ { 2 } } \end{array} \right)
\frac { d W } { d z } = \frac { d W ^ { ( 0 ) } } { d z } + \frac { 2 q ^ { 2 } } { \pi r _ { c } ^ { 2 } } \mathrm { I m } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, \frac { u } { \varepsilon _ { 0 } } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \varepsilon _ { 0 } \gamma _ { 1 } K _ { 0 } \left( \gamma _ { 1 } u \right) K _ { 1 } \left( \gamma _ { 0 } u \right) - \varepsilon _ { 1 } \gamma _ { 0 } K _ { 1 } \left( \gamma _ { 1 } u \right) K _ { 0 } \left( \gamma _ { 0 } u \right) } { \varepsilon _ { 0 } \gamma _ { 1 } K _ { 0 } \left( \gamma _ { 1 } u \right) I _ { 1 } \left( \gamma _ { 0 } u \right) + \varepsilon _ { 1 } \gamma _ { 0 } K _ { 1 } \left( \gamma _ { 1 } u \right) I _ { 0 } \left( \gamma _ { 0 } u \right) } \right] .
\begin{array} { r l } { \left( P _ { \overline { { R } } } ^ { 2 } \psi \right) \left( x \right) } & { = \mathbb { E } \left[ \left( P _ { \overline { { R } } } \psi \right) \circ p \circ \overline { { \mathbf { R } } } \right] \left( x \right) = \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } \left[ \left( \psi \circ p \circ \overline { { \mathbf { R } } } \right) \circ p \circ \overline { { \mathbf { R } } } \right] \right] } \\ & { = \int d \mathbb { P } \left( \omega \right) \int d \mathbb { P } \left( \omega ^ { \prime } \right) \left( \psi \circ p \right) \left( \bar { R } _ { \pi \left( \omega ^ { \prime } \right) } \circ \bar { R } _ { \pi \left( \omega \right) } x , \theta \omega ^ { \prime } \right) } \\ & { = \int d \mathbb { P } \left( \theta \omega \right) \left( \psi \circ p \right) \left( \bar { R } _ { \pi \left( \theta \omega \right) } \circ \bar { R } _ { \pi \left( \omega \right) } x , \theta ^ { 2 } \omega \right) } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \psi \circ p \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { k } } & { { } = - \tau _ { i j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } = - \tau _ { i j } \cdot S _ { i j } = - \langle \boldsymbol { \tau } , \mathbf { S } \rangle _ { F } = - \mathrm { ~ t ~ r ~ } \left( \boldsymbol { \tau } \mathbf { S } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( \lambda ) } & { = \mathcal { T } ( \lambda ) - \mathcal { T } ( \mathcal { P } ) } \\ & { = \left[ \mathcal { T } ^ { 1 0 } ( \lambda + \mathcal { P } ) + \mathcal { T } ^ { 0 0 } + \mathcal { T } ^ { 1 1 } \right] \; ( \lambda - \mathcal { P } ) } \\ & { = ( \lambda \mathcal { T } ^ { 1 0 } + \Lambda + \mathcal { T } ^ { 1 1 } ) \; ( \lambda - \mathcal { P } ) , \quad \textnormal { f r o m . } } \end{array}
F = \frac { 4 } { L k \cos \theta } [ - i \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } a _ { 2 m } ( k _ { x } ) \sin ( 2 m \theta ) + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a _ { 2 m + 1 } ( k _ { x } ) \cos ( ( 2 m + 1 ) \theta ) ] .
\Psi _ { \mathbf { q } } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \dots , \mathbf { x } _ { N _ { \mathrm { e l } } } ) = J _ { \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \dots , \mathbf { r } _ { N _ { \mathrm { e l } } } ) \Psi _ { A G P , \mathbf { q } } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \dots , \mathbf { x } _ { N _ { \mathrm { e l } } } ) .
i [ K _ { k } , x _ { l } ] = \frac { 1 } { 2 } \left( x _ { k } \frac { p _ { l } } { \omega } + \frac { p _ { l } } { \omega } x _ { k } \right) - t \delta _ { k l } + i \omega [ x _ { k } , x _ { l } ] ~ ~ ~ ~ .
\dot { \Sigma } _ { \mathrm { m a c r o } } = \d _ { t } \bigg ( S - \frac { E + p _ { B } V } { T _ { B } } \bigg ) + \sum _ { b = 1 } ^ { B } \dot { Q } _ { b } \bigg ( \frac { 1 } { T _ { B } } - \frac { 1 } { T _ { b } } \bigg ) + \frac { 1 } { T _ { B } } \sum _ { b = 1 } ^ { B } ( p _ { B } - p _ { b } ) \d _ { t } V _ { b } + ( E + p _ { B } V ) \d _ { t } \frac { 1 } { T _ { B } } + \frac { V } { T _ { B } } \d _ { t } p _ { B } \geq 0 \, .
\begin{array} { r } { \mathcal { R } _ { \tau } [ H _ { Q } ^ { ' ( T ) } ] ( x ^ { \prime } ) = - | p _ { 1 } ^ { \prime } - p _ { 2 } ^ { \prime } | = - \frac { 2 } { \sqrt { A ( \tau ) } } \sqrt { 1 - B ( \tau ) x ^ { 2 } } \ \ \ \mathrm { f o r } \ \ \ | x ^ { \prime } | < \frac { 1 } { \sqrt { B ( \tau ) } } . \ \ \ \ \ \ \ \ } \end{array}
\mu _ { 0 } \; = \; \frac { q \; \psi } { c \Omega _ { 0 } B _ { 0 } } \left[ \left( \frac { \dot { \psi } } { 2 \psi } \right) ^ { 2 } + \left( \dot { \theta } - c \Phi ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r } { \widetilde { P } _ { \Phi } ^ { i + 1 } ( \sigma _ { i + 1 } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) ) = P _ { \Phi } ^ { i + 1 } ( \sigma _ { i + 1 } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) ) - P _ { \Phi } ^ { i } ( \sigma _ { i } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) ) + P _ { \Theta } ^ { i } ( \sigma _ { i } ( \boldsymbol { \mathfrak { s } } ) ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \lambda } } = R _ { \mathrm { H } } \left( 1 - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \right) \qquad \left( R _ { \mathrm { H } } \approx 1 . 0 9 6 8 { \times } 1 0 ^ { 7 } \, { \mathrm { m } } ^ { - 1 } \approx { \frac { 1 3 . 6 \, { \mathrm { e V } } } { h c } } \right)
p ( \alpha ) ~ = ~ \frac { a ( \alpha - \mu ) } { \pi ^ { 2 \mu } a ( \alpha ) } ~ ~ , ~ ~ r ( \alpha ) ~ = ~ \frac { \alpha p ( \alpha ) } { ( \mu - \alpha ) } ~ ~ , ~ ~ m ( \alpha ) ~ = ~ \frac { [ 4 ( \mu - \alpha ) ^ { 2 } - 1 ] p ( \alpha ) } { 4 ( \mu - \alpha ) ^ { 2 } }
\Sigma _ { \mathrm { e x t } } = \displaystyle { \int } d ^ { 3 } x \sum _ { \Phi = A _ { \mu } ^ { a } , \, B _ { \mu } ^ { a } , \, c ^ { a } , \eta ^ { a } , \, \phi ^ { a } } \Phi ^ { * } s \Phi \, .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \Delta t } \big < \vec { X } ^ { m + 1 } - \vec { X } ^ { m } , ~ \zeta \, \vec { f } ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } \big > - \big < ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \vec { U } ^ { m + 1 } \cdot \vec { \nu } ^ { m } , ~ \zeta \, | \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } | \big > = 0 \qquad \forall \zeta \in V ^ { h } , } \\ & { \big < \varkappa ^ { m + 1 } , ~ \vec { \eta } \cdot \vec { f } ^ { m + \frac { 1 } { 2 } } \big > + \big < \vec { \eta } \cdot \vec { e } _ { 1 } , ~ | \vec { X } _ { \alpha } ^ { m + 1 } | \big > + \big < ( \vec { X } ^ { m } \cdot \vec { e } _ { 1 } ) \vec { X } _ { \alpha } ^ { m + 1 } , ~ \vec { \eta } _ { \alpha } \, | \vec { X } _ { \alpha } ^ { m } | ^ { - 1 } \big > = 0 \qquad \forall \vec { \eta } \in V _ { \partial } ^ { h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { + + } ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta + 1 / N , \Sigma + 1 / N \right) } & { { } + W ^ { + - } \thinspace ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta + 1 / N , \Sigma - 1 / N \right) + W ^ { - + } \thinspace ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta - 1 / N , \Sigma + 1 / N \right) } \\ { + W ^ { -- } } & { { } \thinspace ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta - 1 / N , \Sigma - 1 / N \right) - \Omega ( \Delta , \Sigma ) \thinspace \tau \left( \Delta , \Sigma \right) = - 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { \sqrt { { \sigma } ^ { 2 } + { { \sigma _ { \phi } } } ^ { 2 } } , } \\ { B } & { = } & { \sqrt { { \sigma } ^ { 2 } + 2 \, { { \sigma _ { \phi } } } ^ { 2 } } , } \\ { C } & { = } & { { \mathrm { e } ^ { - { \frac { \left( { \xi } - { \tau _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } { { \sigma } ^ { 2 } + { { \sigma _ { \phi } } } ^ { 2 } } } } } , } \\ { D } & { = } & { { \mathrm { e } ^ { - { \frac { \left( { \xi } - { \tau _ { 0 } } \right) ^ { 2 } } { { \sigma } ^ { 2 } + 2 \, { { \sigma _ { \phi } } } ^ { 2 } } } } } . } \end{array}
\frac { \mathrm { d } E _ { h } } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } \bar { E } _ { h } } { \mathrm { d } t } + \frac { \mathrm { d } E _ { h } ^ { \prime } } { \mathrm { d } t } = ( \bar { \mathbf { u } } , \frac { \mathrm { d } \bar { \mathbf { u } } } { \mathrm { d } t } ) _ { \Omega } + ( \mathbf { u } ^ { \prime } , \frac { \mathrm { d } \mathbf { u } ^ { \prime } } { \mathrm { d } t } ) _ { \omega } = 0 ,
| P _ { \mathrm { s s } , P _ { 0 } } ^ { \lambda } \rangle ( t ) \approx | R _ { 0 , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle + 2 \sum _ { j = 2 \atop j \, \mathrm { e v e n } } ^ { L - 1 } \mathrm { R e } \left[ \mathrm { e } ^ { + i t \frac { j \delta } { 2 } } | R _ { j , \mathrm { D } } ^ { \lambda } \rangle \langle L _ { j , \mathrm { D } } ^ { \lambda } | P _ { 0 } \rangle \right] \, .
\begin{array} { r l } { I _ { \partial D _ { i } } [ v _ { n } ] } & { { } = \frac { 1 } { \delta } \left( \frac { \mathrm { d } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { + } ( x _ { i } ^ { - } , \alpha ) - \frac { \mathrm { d } v _ { i , n } ^ { * } } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { - } ( x _ { i } ^ { + } , \alpha ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \mathbf { C } ( 2 ) } ( 3 ) } & { = \mathrm { m a x i m i z e } ~ ~ q ( \mathrm { i } \neq \mathrm { j } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \mathcal { C } ( 2 ) \in \mathbf { C } ( 2 ) } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathcal { S } _ { A } ^ { 2 \to 3 } \otimes \mathcal { S } _ { B } ^ { 2 \to 3 } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } ~ q ( \mathrm { i } \neq \mathrm { j } ) \le q ( \mathrm { i } ^ { \prime } \neq \mathrm { j } ^ { \prime } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { i } \neq \mathrm { i } ^ { \prime } ~ \mathrm { a n d / o r } ~ \mathrm { j } \neq \mathrm { j } ^ { \prime } ~ . } \end{array}