harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lvert \lambda \rvert \lVert u \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lvert \lambda \rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lVert D _ { \cdot } u \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \Delta u \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { \mu } \lVert f \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { ~ ; ~ } } \\ { \lvert \lambda \rvert \lVert u \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lvert \lambda \rvert ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lVert \nabla u \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \nabla ^ { 2 } u \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { n , \mu } \lVert f \rVert _ { { \mathrm { L } } ^ { 2 } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { ~ ; ~ } } \end{array}
- i ( 2 \pi ) ^ { - 4 } { \frac { \delta _ { \mu \nu } + \mu ^ { - 2 } k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } - i \epsilon } } \, , \qquad - i ( 2 \pi ) ^ { - 4 } { \frac { - i \gamma ^ { \mu } k _ { \mu } + m } { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } - i \epsilon } } \, .
\begin{array} { r l } { E _ { j } - \xi } & { = ( E _ { j } - E _ { 0 } ) + ( E _ { 0 } - \xi ) } \\ & { \ge \Delta - \frac { 3 w } { 2 } } \\ & { = \Delta - 3 \sigma \sqrt { \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } } } \\ & { = \Delta \left( 1 - \frac { 3 \sqrt { \ln { e \sigma / \epsilon _ { 1 } } } } { 5 \sqrt { \ln { e c _ { 2 } } } \sqrt { \ln { e \eta ^ { - 1 } \Delta \epsilon ^ { - 1 } } } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { D u ^ { i } } { D t } } & { = } & { \partial _ { t } u ^ { i } + \vec { \nabla } \cdot \vec { \nabla } u ^ { i } } \\ & { = } & { \partial _ { t } \partial _ { i } \phi + \partial _ { t } ( \beta _ { a } \partial _ { i } \alpha ^ { a } ) + u ^ { j } \partial _ { j } ( \partial _ { i } \phi + \beta _ { a } \partial _ { i } \alpha ^ { a } ) } \\ & { = } & { \partial _ { i } \partial _ { t } \phi + ( u ^ { j } \partial _ { j } ) \partial _ { i } \phi } \\ & { } & { + ( \partial _ { t } \beta _ { a } ) ( \partial _ { i } \alpha ^ { a } ) + ( u ^ { j } \partial _ { j } \beta _ { a } ) ( \partial _ { i } \alpha ^ { a } ) } \\ & { } & { + \beta _ { a } \partial _ { i } \partial _ { t } \alpha ^ { a } + \beta _ { a } ( u ^ { j } \partial _ { j } \partial _ { i } \alpha ^ { a } ) . } \end{array}
\overline { G } ( \alpha , \beta ) = \left( \frac { 2 ^ { \frac { \gamma } { 2 } ( \frac { \beta } { 2 } - \alpha ) } 2 \pi } { \Gamma ( 1 - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } ) } \right) ^ { \frac { 2 } { \gamma } ( Q - \alpha - \frac { \beta } { 2 } ) } \frac { \Gamma ( \frac { \gamma \alpha } { 2 } + \frac { \gamma \beta } { 4 } - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } ) \Gamma _ { \frac { \gamma } { 2 } } ( \alpha - \frac { \beta } { 2 } ) \Gamma _ { \frac { \gamma } { 2 } } ( \alpha + \frac { \beta } { 2 } ) \Gamma _ { \frac { \gamma } { 2 } } ( Q - \frac { \beta } { 2 } ) ^ { 2 } } { \Gamma _ { \frac { \gamma } { 2 } } ( Q - \frac { \beta } { 2 } ) \Gamma _ { \frac { \gamma } { 2 } } ( \alpha ) ^ { 2 } \Gamma _ { \frac { \gamma } { 2 } } ( Q ) } .
D \Omega + \hbar \left\{ \beta _ { X _ { i } } ^ { ( 1 ) } \frac { \partial V _ { ( 0 ) } } { \partial X _ { ( i ) } } - \gamma _ { \phi } ^ { ( 1 ) } \phi _ { c } \frac { \partial V _ { ( 0 ) } } { \partial \phi _ { c } } + \frac { 3 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } h _ { t } ^ { 4 } \phi _ { c } ^ { 4 } \right\} = 0
- \frac { 1 } { \rho _ { f } } \frac { \partial \widetilde { P } } { \partial y } - \frac { \partial ( \overline { { \widetilde { u _ { y } ^ { ' } } \widetilde { u _ { y } ^ { ' } } } } ) } { \partial y } - \overline { { \frac { \rho _ { p } f \phi _ { l } } { \rho _ { f } \tau _ { p } } ( \widetilde { u } _ { y } - \widetilde { v } _ { y } ) } } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \Big | \breve { Y } _ { i } - Y _ { i } \Big | } \\ { = } & { \Big | \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } - \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | } \\ { = } & { \Big | \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } - \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { + } & { \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } - \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | } \\ { + } & { \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - F _ { { h _ { 1 } } , i } + f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { - } & { \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - F _ { { h _ { 1 } } , i } + f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ } & { { } s _ { l } \left[ \sin \left( \omega _ { 0 } \left( t - t _ { l } \right) \right) + \alpha _ { 1 } \sin \left( ( \omega _ { 0 } + \Omega ) \left( t - t _ { l } \right) + \phi _ { l } \right) + \ldots \right] } \\ { + } & { { } c _ { l } \left[ \cos \left( \omega _ { 0 } \left( t - t _ { l } \right) \right) + \alpha _ { 1 } \cos \left( ( \omega _ { 0 } + \Omega ) \left( t - t _ { l } \right) + \phi _ { l } \right) + \ldots \right] \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 1 } } & { { } = - \frac { \eta } { \psi } } \\ { C _ { 1 2 } } & { { } = { \frac { - { \eta } ^ { 2 } } { 2 \psi } } } \\ { C _ { 1 3 } } & { { } = 0 } \\ { C _ { 2 1 } } & { { } = { \frac { - { \eta } ^ { 2 } } { 2 \psi } } } \\ { C _ { 2 2 } } & { { } = \frac { \left( 4 \, \left( \eta + 1 \right) ^ { 2 } \psi ^ { 3 } - \left( 6 \eta ^ { 2 } + 8 \eta \right) \psi ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } \left( \eta ^ { 2 } + 8 \eta + 2 \right) \psi + 3 \eta ^ { 4 } + 6 \eta ^ { 3 } \right) { \eta } ^ { 3 } } { 3 \left( \left( - 2 \eta - 2 \right) \psi + { \eta } ^ { 2 } + 2 \eta \right) \psi \left( \left( 2 \eta + 2 \right) \psi ^ { 2 } + \left( { \eta } ^ { 2 } + 2 \eta \right) \psi - 4 \eta ^ { 2 } \right) } } \\ { C _ { 2 3 } } & { { } = \frac { \left( \left( - 4 \eta - 6 \right) \psi + \eta ^ { 2 } + 6 \eta \right) \eta ^ { 5 } } { 3 ( ( - 2 \eta - 2 ) \psi + \eta ^ { 2 } + 2 \eta ) ( ( 2 \eta + 2 ) \psi ^ { 2 } + ( \eta ^ { 2 } + 2 \eta ) \psi - 4 \eta ^ { 2 } ) } } \\ { C _ { 3 1 } } & { { } = { \frac { { \eta } ^ { 3 } } { 2 \psi } } } \\ { C _ { 3 2 } } & { { } = { \frac { \left( \left( 2 \eta + 2 \right) \psi ^ { 2 } + \left( { \eta } ^ { 2 } + \eta \right) \psi - 3 \eta ^ { 2 } \right) { \eta } ^ { 4 } } { 3 \psi \left( \left( 2 \eta + 2 \right) \psi ^ { 2 } + \left( { \eta } ^ { 2 } + 2 \, \eta \right) \psi - 4 \eta ^ { 2 } \right) } } } \\ { C _ { 3 3 } } & { { } = - { \frac { { \eta } ^ { 6 } } { \left( 6 \, \eta + 6 \right) \psi ^ { 2 } + \left( 3 \eta ^ { 2 } + 6 \eta \right) \psi - 1 2 \eta ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | e | \big ( \mathrm { \textbf { C } } _ { \mathrm { d d } } \big ) ^ { - 1 } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 . 4 6 3 } & { 0 . 0 1 4 } & { 1 0 ^ { - 5 } } \\ { 0 . 0 1 4 , } & { 0 . 4 0 7 } & { 0 . 0 0 4 } \\ { 1 0 ^ { - 5 } } & { 0 . 0 0 4 } & { 0 . 6 9 7 } \end{array} \right) \times 1 0 ^ { - 3 } . } \end{array}
v _ { l l ^ { \prime } } \approx v _ { l l ^ { \prime } , 0 } + \sum _ { m \neq 0 } \mathopen { } \left[ | { \bf r } _ { l } - { \bf r } _ { l ^ { \prime } } + m { \bf b } | ^ { - 1 } - | m { \bf b } | ^ { - 1 } \right] \mathclose { } ,
\widetilde { S } = { \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { \omega } } & { { \omega ^ { 2 } } } \\ { { 1 } } & { { \omega ^ { 2 } } } & { { \omega } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho \dot { v } _ { x } = \partial _ { x } \tau _ { x x } + \partial _ { z } \tau _ { x z } , } \\ { \rho \dot { v } _ { z } = \partial _ { z } \tau _ { z z } + \partial _ { x } \tau _ { x z } , } \\ { \dot { \tau } _ { x x } = ( \lambda + 2 G ) \partial _ { x } v _ { x } + \lambda \partial _ { z } v _ { z } + s , } \\ { \dot { \tau } _ { z z } = \lambda \partial _ { x } v _ { x } + ( \lambda + 2 G ) \partial _ { z } v _ { z } + s , } \\ { \dot { \tau } _ { x z } = G ( \partial _ { z } v _ { x } + \partial _ { x } v _ { z } ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { N } _ { \parallel } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { N } _ { \parallel } } \\ { \mathbf { N } _ { \perp } ^ { \prime } } & { { } = \gamma ( \mathbf { v } ) \left( \mathbf { N } _ { \perp } - { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \mathbf { v } \times \mathbf { L } \right) } \end{array}
L _ { 2 } = V _ { 2 } ( \phi ) - \frac { 1 } { 4 } g ^ { \alpha \beta } g ^ { \mu \nu } F _ { \alpha \mu } F _ { \beta \nu } - h \overline { { { \Psi } } } \Psi | \xi | e ^ { \gamma \phi / M _ { p } }
1 . 1 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \tilde { \epsilon } _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ g ~ h ~ t ~ n ~ i ~ n ~ g ~ } } \lambda ^ { - 5 / 2 } \, \alpha ^ { 7 } \, \beta ^ { 3 / 2 } \gamma ^ { - 4 }
w _ { I _ { y } } ( t ) = \frac { c o s ( 2 \beta ) } { 4 \pi } \int _ { - S / 2 } ^ { S / 2 } \frac { ( y - y _ { 0 } ) \frac { d \Gamma ( t ) } { d y _ { 0 } } \quad { d y _ { 0 } } } { [ ( y - y _ { 0 } ) ^ { 2 } + 4 h ^ { 2 } c o s ^ { 2 } ( \theta ) ] } ,
\ { \mathcal { L } } = \left[ - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 } v ^ { 2 } A _ { \mu } A ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \eta \partial ^ { \mu } \eta - \lambda v ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \right] + \left[ - \lambda v \eta ^ { 3 } - { \frac { 1 } { 4 } } \lambda \eta ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \eta ^ { 2 } + 2 v \eta \right) A ^ { \mu } A _ { \mu } \right] ~ .
R _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } ^ { S S _ { z } } ( x , k _ { \bot } ) = { \frac { \sqrt { p _ { 1 } ^ { + } p _ { 2 } ^ { + } } } { \sqrt { 2 } ~ { \tilde { M } _ { 0 } } } } ~ \bar { u } ( p _ { 1 } , s _ { 1 } ) \Gamma v ( p _ { 2 } , s _ { 2 } ) ,
\widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , { \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } , \Delta _ { 0 } ) \xrightarrow { \mathrm { i d } \otimes \mathrm { t r } ^ { * } } \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) \xrightarrow { \pi _ { \mathrm { t r } ^ { * } } } \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) \xrightarrow [ + 1 ] { \delta }
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } } & { { } = \tilde { A } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k } + \tilde { H } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { K } \; \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { B } \; \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s } + \tilde { L } \; \mathbf { u } _ { i n } + \tilde { C } } \\ { \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } } & { { } = \tilde { A } _ { s } \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \tilde { K } _ { s } \; \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \tilde { B } _ { s } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } + \tilde { H } _ { s } \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } \otimes \tilde { \mathbf { u } } ^ { k + 1 } } \\ { \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } } & { { } = \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } + \frac { \Delta t } { 2 } ( \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k + 1 } + \partial _ { t } \tilde { \mathbf { d } } _ { s } ^ { k } ) . } \end{array} } \end{array} \right.
\widetilde { W } _ { \nu } ( \eta , \eta ^ { \prime } ) = ( r r ^ { \prime } ) ^ { - \frac { d } { 2 } - \nu } { W } _ { \nu } ^ { \infty } ( [ \tau , \mathrm { e } ] , [ \tau ^ { \prime } , \mathrm { e } ^ { \prime } ] ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { \frac { d } { 2 } } } \frac { \Gamma ( \nu + \frac { d } 2 ) } { \Gamma ( \nu + 1 ) } \frac { 1 } { { [ - ( \eta - \eta ^ { \prime } ) ^ { 2 } ] } ^ { \frac { d } { 2 } + \nu } } .
( p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) F _ { \imath } ^ { \mathrm { p h y s } } ( p , \bar { z } ) = 0 \qquad [ ( p , { \widehat J } { } ^ { l } ) - m l ] F _ { \imath } ^ { \mathrm { p h y s } } ( p , \bar { z } ) = 0 \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { h } ^ { \prime } ( x ) } & { = - r x ^ { r - 1 } { _ 2 F _ { 1 } } ( - \frac { r } { 2 } , - \frac { d + r - 2 } { 2 } ; \frac { d } { 2 } ; \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) + \frac { r ( d + r - 2 ) } { d x ^ { 3 - r } } { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { 2 - r } { 2 } , - \frac { d + r - 4 } { 2 } ; \frac { d + 2 } { 2 } ; \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) } \\ & { \quad + \frac { r ( d + r - 2 ) x } { d } { _ 2 F _ { 1 } } ( \frac { 2 - r } { 2 } , - \frac { d + r - 4 } { 2 } ; \frac { d + 2 } { 2 } ; 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { N } ( u ) \Psi _ { p , x } ^ { ( N ) } ( z ) = p \prod _ { k = 1 } ^ { N - 1 } ( u - x _ { k } ) \Psi _ { p , x } ^ { ( N ) } ( z ) , \qquad \bar { B } _ { N } ( \bar { u } ) \Psi _ { p , x } ^ { ( N ) } ( z ) = \bar { p } \prod _ { k = 1 } ^ { N - 1 } ( \bar { u } - \bar { x } _ { k } ) \Psi _ { p , x } ^ { ( N ) } ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R \rightarrow L : v ^ { + } ( t ) \geq v _ { \ell } ( t ) + \delta _ { 1 } \ \mathrm { a n d } \ v ( t ) \geq v _ { \ell } ( t ) , } \\ { L \rightarrow R : v ^ { + } ( t ) \geq v _ { \ell } ( t ) + \delta _ { 2 } \ \mathrm { o r } \ v ^ { + } ( t ) \geq v ( t ) + \delta _ { 2 } , } \\ { g ^ { + } ( t ) \geq \ v ( t ) \tau _ { 2 } , \quad g ^ { - } ( t ) \geq \ v ^ { - } ( t ) \tau _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \chi } = \tilde { \chi } _ { c } + 2 a _ { \Delta N } \frac { k _ { \mathrm { o n } } k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } } { ( k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { r } = \hat { R } _ { 0 } r , \ \hat { z } = \hat { H } _ { 0 } z , \ ( \hat { u } , \hat { w } ) = ( \hat { u } ^ { * } u , \frac { \hat { H } _ { 0 } } { \hat { R } _ { 0 } } \hat { u } ^ { * } w ) , } \\ { \hat { \mu } = \hat { \mu } _ { 0 } \hat { \mu } , \ \hat { T } = \hat { T } _ { \mathrm { r e f } } + T \Delta \hat { T } , } \\ { h a t { \sigma } = \hat { \sigma } _ { 0 } \sigma = \hat { \sigma } _ { 0 } ( 1 + \frac { \hat { \eta } _ { \sigma } \Delta \hat { T } } { \hat { \sigma } _ { 0 } } T ) , } \\ { \hat { c } _ { p } = \hat { c } _ { p , 0 } c _ { p } , \ \hat { k } = \hat { k } _ { 0 } k , \ \hat { t } = \frac { \hat { R } _ { 0 } } { \hat { u } ^ { * } } t , \ \hat { p } = \hat { p } _ { g } + \frac { \hat { \mu } _ { 0 } \hat { u } ^ { * } \hat { R } _ { 0 } } { \hat { H } _ { 0 } ^ { 2 } } p , \ \hat { J } = \frac { \hat { k } _ { 0 } \Delta \hat { T } } { \hat { H } _ { 0 } \hat { L } } J . } \end{array}
- \, \, < < G _ { 1 } ^ { 0 } \, G _ { 2 } ^ { 0 } \, G _ { 3 } ^ { 0 } \, K _ { 2 3 } ^ { L } \, G _ { 2 } ^ { 0 } \, G _ { 3 } ^ { 0 } > > g ^ { 0 } < < G _ { 1 } ^ { 0 } \, G _ { 2 } ^ { 0 } \, K _ { 1 2 } ^ { L } \, G _ { 1 } ^ { 0 } \, G _ { 2 } ^ { 0 } \, G _ { 3 } ^ { 0 } \, > > .
\begin{array} { r l } { \zeta _ { k n } = \frac { 1 } { 1 2 \pi } \sum _ { i = 0 } ^ { 1 } { \sum _ { j = 0 } ^ { 1 } { \frac { g _ { i } \left( x _ { k n } \right) g _ { j } \left( y _ { k n } \right) \left| z _ { k } \right| } { \left( g _ { j } ^ { 2 } \left( y _ { k n } \right) + z _ { k } ^ { 2 } \right) \sqrt { g _ { i } ^ { 2 } \left( x _ { k n } \right) + g _ { j } ^ { 2 } \left( y _ { k n } \right) + z _ { k } ^ { 2 } } } } } + } & { \frac { 1 } { 6 \pi } \sum _ { i = 0 } ^ { 1 } { \sum _ { j = 0 } ^ { 1 } { \tan ^ { - 1 } \left( \frac { g _ { i } \left( x _ { k n } \right) g _ { j } \left( y _ { k n } \right) } { \left| z _ { k } \right| \sqrt { g _ { i } ^ { 2 } \left( x _ { k n } \right) + g _ { j } ^ { 2 } \left( y _ { k n } \right) + z _ { k } ^ { 2 } } } \right) } } } \end{array}
t _ { c } = \left\{ \begin{array} { l l l } { \frac { \alpha _ { 0 } } { 4 - \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 4 } { \left( 4 - \alpha _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \, \left[ \frac { \pi } { 2 } + \arctan \left( \frac { \alpha _ { 0 } } { \sqrt { 4 - \alpha _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) \right] } & { } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad - 2 < \alpha _ { 0 } < 2 } \\ { \frac { 1 } { 3 } } & { } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \alpha _ { 0 } = - 2 } \\ { - \frac { \alpha _ { 0 } } { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - 4 } + \frac { 4 } { \left( \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - 4 \right) ^ { 3 / 2 } } \, \, \mathrm { a r c t a n h } \left( \frac { \sqrt { \alpha _ { 0 } ^ { 2 } - 4 } } { \alpha _ { 0 } } \right) } & { } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \alpha _ { 0 } < - 2 } \end{array} \right. \qquad .
\begin{array} { l l l } { { \eta _ { c } } } & { { = } } & { { \bar { c } c + \varepsilon \cdot \eta + \varepsilon ^ { \prime } \cdot \eta ^ { \prime } } } \\ { { \varepsilon } } & { { \cong } } & { { 0 . 0 1 0 \qquad \varepsilon ^ { \prime } \cong 0 . 0 2 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big \langle \Pi _ { \mathcal { S } } \left( \mathbf { M } \right) , \mathbf { A } + \varepsilon \mathbf { \Delta } \big \rangle = \big \langle \mathbf { M } , \mathbf { A } + \varepsilon \mathbf { \Delta } \big \rangle } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { d } \Big \langle M _ { k } , A _ { k } + \varepsilon \Delta _ { k } \Big \rangle = \sum _ { k = 0 } ^ { d } \Big \langle \sum _ { j = 1 } ^ { m } \bar { \mu _ { j } } ^ { k } \sigma _ { j } u _ { j } v _ { j } ^ { H } , A _ { k } + \varepsilon \Delta _ { k } \Big \rangle = } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \Bigl ( \sum _ { k = 0 } ^ { d } \mu _ { j } ^ { k } u _ { j } ^ { H } ( A _ { k } + \varepsilon \Delta _ { k } ) v _ { j } \Bigr ) = \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { j } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { V a l u e } } [ \bot ] } & { = \emptyset } \\ { { \mathrm { V a l u e } } [ \top ] } & { = \mathbf { R } } \\ { { \mathrm { V a l u e } } [ A \land B ] } & { = { \mathrm { V a l u e } } [ A ] \cap { \mathrm { V a l u e } } [ B ] } \\ { { \mathrm { V a l u e } } [ A \lor B ] } & { = { \mathrm { V a l u e } } [ A ] \cup { \mathrm { V a l u e } } [ B ] } \\ { { \mathrm { V a l u e } } [ A \to B ] } & { = { \mathrm { i n t } } \left( { \mathrm { V a l u e } } [ A ] ^ { \complement } \cup { \mathrm { V a l u e } } [ B ] \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Delta _ { V } ( x , u ) } & { = L _ { f } V ( x ) + L _ { g } V ( x ) u - L _ { \hat { f } } V ( x ) - L _ { \hat { g } } V ( x ) u , } \\ { \Delta _ { h } ( x , u ) } & { = L _ { f } h ( x ) + L _ { g } h ( x ) u + \alpha ( h ( x ) ) - \widehat { \nabla h ( x ) } ^ { T } \hat { f } ( x ) } \\ & { \quad - \widehat { \nabla h ( x ) } ^ { T } \hat { g } ( x ) u - \alpha ( \hat { h } ( x ) ) . } \end{array}
\bar { N } _ { n m } ^ { r s } = \frac { 1 } { n m } \oint _ { z ^ { r } } \frac { d z } { 2 \pi i } \oint _ { z ^ { s } } \frac { d w } { 2 \pi i } \frac { 1 } { ( z - w ) ^ { 2 } } ( - 1 ) ^ { n ( r - 1 ) + m ( s - 1 ) } ( f ( z ) ) ^ { ( - 1 ) ^ { r } n } ( f ( w ) ) ^ { ( - 1 ) ^ { s } m }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \sum _ { i \in [ m _ { 1 } ] } \left( X _ { i } - q \right) - \sum _ { j \in [ m _ { 2 } ] } \left( Y _ { j } - p \right) \geq \frac { 1 + \rho } { 2 } \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) ( p - q ) \right) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \sum _ { i \in [ m _ { 1 } ] } \left( X _ { i } - \left( \frac { p + q } { 2 } + \frac { \rho ( p - q ) } { 2 } \right) \right) - \sum _ { j \in [ m _ { 2 } ] } \left( Y _ { j } - \left( \frac { p + q } { 2 } - \frac { \rho ( p - q ) } { 2 } \right) \right) \geq 0 \right) } \\ & { \geq \mathbb { P } \left( ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) \delta \geq \sum _ { i \in [ m _ { 1 } ] } \left( X _ { i } - \left( \frac { p + q } { 2 } + \frac { \rho ( p - q ) } { 2 } \right) \right) - \sum _ { j \in [ m _ { 2 } ] } \left( Y _ { j } - \left( \frac { p + q } { 2 } - \frac { \rho ( p - q ) } { 2 } \right) \right) \geq 0 \right) } \\ & { = \sum _ { ( x , y ) \in \mathcal { X } } \left( \prod _ { i \in [ m _ { 1 } ] } h _ { 1 } ( x _ { i } ) \right) \left( \prod _ { j \in [ m _ { 2 } ] } h _ { 2 } ( y _ { j } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { a } _ { \mathrm { t o t , S M M } } ^ { \mathrm { J } } } & { = a _ { 1 } ^ { \mathrm { J } } \frac { 1 + r _ { 1 1 , \mathrm { b o t } } \mathrm { e } ^ { i 2 h _ { \mathrm { b } } \beta _ { 1 } } } { 1 - r _ { 1 1 , \mathrm { b o t } } r _ { 1 1 , \mathrm { t o p } } \mathrm { e } ^ { i 2 h _ { \mathrm { t o t a l } } \beta _ { 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \phi ( f _ { n } ; m _ { a } ) } & { { } \simeq g _ { a \gamma \gamma } ( m _ { a } ) \frac { \sqrt { 2 \rho _ { a } } } { 2 k _ { 0 } } | H _ { a } ^ { \prime } ( m _ { a } ) | T } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \perp } ^ { \varphi } ( k _ { \perp } ) \sim E _ { \perp } ^ { T } ( k _ { \perp } ) \sim \frac { \bar { \varphi } ^ { 2 } } { k _ { \perp } } \propto k _ { \perp } ^ { - 7 / 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } \approx } & { { } 0 . 2 6 4 5 7 \sqrt [ 3 ] { - 2 A ^ { 3 } + 5 . 1 9 6 2 \sqrt { - 4 A ^ { 3 } C - A ^ { 2 } B ^ { 2 } + 1 8 A B C + 4 B ^ { 3 } + 2 7 C ^ { 2 } } + 9 A B + 2 7 C } } \end{array}
{ \mathrm { r o o t ~ } } \simeq { \mathrm { ~ k n o w n ~ s q u a r e ~ r o o t } } - { \frac { { \mathrm { k n o w n ~ s q u a r e } } - { \mathrm { u n k n o w n ~ s q u a r e } } } { 2 \times { \mathrm { k n o w n ~ s q u a r e ~ r o o t } } } }
\hat { Q } \hat { R } + \tilde { z } I = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { \tilde { z } + \epsilon _ { z } } & { { \epsilon } _ { 1 } } & { { \epsilon } _ { 2 } } & { \dots } & { { \epsilon } _ { m - 2 } } & { { \epsilon } _ { m - 1 } } \\ { \tilde { \epsilon } } & { \times } & { \times } & { \dots } & { \times } & { \times } \\ & { \times } & { \times } & { \dots } & { \times } & { \times } \\ & & { \times } & { \dots } & { \times } & { \times } \\ & & & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ & & & & { \times } & { \times } \end{array} \right] .
\sigma _ { k k ^ { \prime } } \equiv \left[ \frac { \sum _ { i \in G _ { k } , j \in G _ { k ^ { \prime } } } T _ { i j } \left( r _ { i j } - \langle r \rangle _ { k k ^ { \prime } } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i \in G _ { k } , j \in G _ { k ^ { \prime } } } { T _ { i j } } } \right] ^ { 1 / 2 } ,
\psi ( x , y , z , t ) = A \sin \left( k _ { x } x \right) \sin \left( k _ { y } y \right) \sin \left( k _ { z } z \right) \exp \left( - \mathrm { i } \left( \frac { E _ { 1 } } { \hbar } t + \frac { \pi } 3 \right) \right)