harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { h ( { v } _ { - i } ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } \exp \bigg ( - \sum _ { j \neq i } ^ { m } \frac { v _ { j } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { j } ^ { 2 } } \bigg ) , } \\ { g ( { v } _ { - i } ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \operatorname* { m i n } \big \{ ( 1 - \varphi ) [ v _ { i } - ( \hat { x } _ { 0 i } - \mu _ { i } ) ] ^ { 2 } , } \\ & { \qquad \qquad c - ( 1 - \varphi ) \sum _ { j \neq i } ^ { m } [ v _ { j } - ( \hat { x } _ { 0 j } - \mu _ { j } ) ] ^ { 2 } \big \} } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad \cdot \exp \bigg ( - \frac { v _ { i } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { i } ^ { 2 } } \bigg ) \left[ - \frac { v _ { i } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } \right] \mathrm { d } v _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla u ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \| \nabla u _ { n } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } } \\ & { \le \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( \| \nabla u _ { n } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } ( M ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 a _ { T } } \int _ { 0 } ^ { t } \| c ( s ) u _ { n } ( s ) + d ( s ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \, d s \right) } \\ & { = \| \nabla u ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 a _ { T } } \int _ { 0 } ^ { t } \| c ( s ) u ( s ) + d ( s ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } ^ { 2 } \, d s . } \end{array}
\Gamma _ { \rho \to \pi \pi } ^ { \mathrm { s K s } } = \pi ^ { - 1 / 2 } \Big ( { \frac { 2 ^ { 6 } 5 ^ { 2 } } { 3 ^ { 6 } } } \Big ) \Big ( { \frac { b } { m _ { q } \beta } } \Big ) ^ { 2 } { \frac { E _ { \pi } ^ { 2 } } { M _ { \rho } } } x ^ { 3 } \; \bigg [ { } _ { 1 } \mathrm { F } _ { 1 } \Big ( - { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { 3 } { 2 } } ; \xi \Big ) + { \frac { 4 } { 4 5 } } { } _ { 1 } \mathrm { F } _ { 1 } \Big ( - { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { 5 } { 2 } } ; \xi \Big ) \bigg ] ^ { 2 } \, e ^ { - x ^ { 2 } / 6 } \ .
\mathbf { A _ { E } } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \mathbf { A _ { 1 } } } & { } & { } & { } \end{array} \right] , \mathbf { X _ { E } } = \left[ \begin{array} { c } { \mathbf { X _ { 1 } } } \\ { \mathbf { X _ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { X _ { N } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { p _ { s , 4 j - 1 1 } } ( \mathbf d ) = } & { \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 1 1 } } ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 1 0 } } \mathbf w _ { 0 } ^ { n _ { s , 4 j - 9 } } ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 8 } } \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 7 } } ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 6 } } \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } ( \mathbf w _ { 2 } \mathbf w _ { 0 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 2 } } } \\ & { \cdots \mathbf w _ { i _ { n } } ( 1 - i _ { n } / 2 ) . } \end{array}
K _ { n } \left( y \right) = \frac { 2 ^ { n - 1 } \left( n - 1 \right) ! } { \left( 2 n - 2 \right) } \frac { 1 } { y ^ { n } } \int _ { y } ^ { + \infty } d \tau \left( \tau ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) ^ { n - 3 / 2 } \tau e ^ { - \tau } .
\begin{array} { r l } { q ^ { \mathrm { v e n } } } & { { } = \langle \frac { p ^ { \mathrm { v e n } } - p ^ { \mathrm { l v } } } { R ^ { \mathrm { v e n } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { a r t } } } & { { } = \langle \frac { p ^ { \mathrm { l v } } - p ^ { \mathrm { a r t } } } { R ^ { \mathrm { a r t } } } \rangle , } \\ { q ^ { \mathrm { p e r } } } & { { } = \frac { p ^ { \mathrm { a r t } } - p ^ { \mathrm { v e n } } } { R ^ { \mathrm { p e r } } } , } \end{array}
\mathrm { ~ F ~ o ~ r ~ } \ \omega = 0 \ : \quad \left( \begin{array} { l } { \hat { \eta } } \\ { \hat { u } _ { 1 } } \\ { \hat { u } _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { i g k _ { 2 } / f } \\ { - i g k _ { 1 } / f } \end{array} \right) , \qquad \mathrm { ~ F ~ o ~ r ~ } \ \omega \neq 0 \ : \quad \left( \begin{array} { l } { \hat { \eta } } \\ { \hat { u } _ { 1 } } \\ { \hat { u } _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { H k ^ { 2 } } \\ { k _ { 1 } \omega - i f k _ { 2 } } \\ { k _ { 2 } \omega + i f k _ { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \beta _ { x } = \left( { \tau } _ { x x } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) \tilde { u } + { \tau } _ { x y } ^ { m o d } \tilde { v } + { \tau } _ { x z } ^ { m o d } \tilde { w } - { q } _ { x } ^ { m o d } \, \mathrm { , } } \\ { \beta _ { y } = { \tau } _ { x y } ^ { m o d } \tilde { u } + \left( { \tau } _ { y y } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) \tilde { v } + { \tau } _ { y z } ^ { m o d } \tilde { w } - { q } _ { y } ^ { m o d } \, \mathrm { , } } \\ { \beta _ { z } = { \tau } _ { x z } ^ { m o d } \tilde { u } + { \tau } _ { y z } ^ { m o d } \tilde { v } + \left( { \tau } _ { z z } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) \tilde { w } - { q } _ { z } ^ { m o d } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { c c } { ( 1 + x y ) } & { \times ( 1 + x ^ { 2 } y ) } \\ { \times ( 1 + x y ^ { 2 } ) } & { \times ( 1 + x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) } \end{array} = \begin{array} { c c } { \frac { 1 - x ^ { 3 } y ^ { 3 } } { ( 1 - x y ) } } & { \times \frac { 1 - x ^ { 4 } y ^ { 2 } } { ( 1 - x ^ { 2 } y ) } } \\ { \times \frac { ( 1 - x y ^ { 2 } ) } { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } & \end{array}
H [ h ] = \int d { \bf x } \left[ \int d z \, V ( z ) \rho _ { \pi } \left( \frac { z - h ( { \bf x } ) } { \sqrt { 1 + ( \nabla h ) ^ { 2 } } } \right) + \gamma _ { 0 } \, \sqrt { 1 + ( \nabla h ) ^ { 2 } } - \Delta p \, h ( { \bf x } ) \right]
\begin{array} { r l } & { \textnormal { C r e s t p h a s e d u r a t i o n } : \, \, \, \, \, \, \, \, \, T ^ { \textnormal { L } , \textnormal { c r e s t } } = \bigg ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { \epsilon } { \pi } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) T ^ { \textnormal { E } } , } \\ & { \textnormal { T r o u g h p h a s e d u r a t i o n } : T ^ { \textnormal { L } , \textnormal { t r o u g h } } = \bigg ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \epsilon } { \pi } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 } \bigg ) T ^ { \textnormal { E } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { h _ { e f f } \approx P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } H P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } = \bar { \epsilon } _ { 1 2 } + \Delta _ { 1 2 } \sigma _ { z } + P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } V P _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } , } \end{array}
\gamma _ { 2 } = - \nu _ { m } \frac { k ^ { 2 } u _ { A } ^ { 2 } } { 2 ( c _ { s } ^ { 2 } + u _ { A } ^ { 2 } ) } \frac { c ^ { 2 } - c _ { s } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } + u _ { A } ^ { 2 } } .
I _ { 1 } = { \frac { \pi c ^ { 2 - s } } { 4 ( s - 1 ) ( s - 2 ) a \alpha ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } + { \frac { ( 2 c ) ^ { 2 - s } \pi } { a \alpha ^ { \frac { 3 } { 2 } } \Gamma ( s ) } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { X _ { n } ^ { 2 - s } } \{ K _ { - s + 2 } ( X _ { n } ) - X _ { n } K _ { - s + 3 } ( X _ { n } ) \} \ ,
D ^ { 2 } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } \tan \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } + \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta ^ { 2 } } ,
P _ { \mu \rightarrow \tau } = t a n ^ { 2 } \psi _ { \mu } + 4 s i n ^ { 2 } x c o s ^ { 2 } \theta _ { 1 3 } c o s \theta _ { 2 3 } c o s ^ { - 2 } \psi _ { \mu } s i n ( \theta _ { 2 3 } + \psi _ { \mu } ) ( - s i n \psi _ { \mu } + c o s ^ { 2 } \theta _ { 1 3 } c o s \theta _ { 2 3 } s i n ( \theta _ { 2 3 } + \psi _ { \mu } ) ) ,
\sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { i , j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) = | | \Theta \odot G | | = \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \sum _ { j = 1 ; j \neq i } ^ { n - 1 } \theta _ { i , j } | | M _ { i , j } \odot G | | + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \theta _ { i , i } | | M _ { i , i } \odot G | | .
\begin{array} { r l r } { { 2 } \bar { A } ^ { \star } \triangleq \operatorname* { m i n } _ { \pi \in \Pi } \quad } & { \bar { A } ( \pi ) = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \mathbb { E _ { \pi } } \big [ \sum _ { t = 1 } ^ { T } C _ { \Delta } ( \mathbf { s } _ { t } , u _ { t } ) \big ] } & \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \bar { E } ( \pi ) = \operatorname* { l i m s u p } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \mathbb { E _ { \pi } } \big [ \sum _ { t = 1 } ^ { T } C _ { E } ( \mathbf { s } _ { t } , u _ { t } ) \big ] \leq E _ { \mathrm { m a x } } , } & \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } } & { = \left( h _ { 1 } + \mathbf { \bar { g } } _ { 1 } \: \mathbf { \Phi } _ { 1 } \: \mathbf { g } _ { 1 } \, \right) \, ( \beta _ { 1 } \, x _ { 1 } + \beta _ { 2 } \, x _ { 2 } ) \, \sqrt { P _ { r } } + N _ { o } , } \\ { r _ { 2 } } & { = \left( h _ { 2 } + \mathbf { \bar { g } } _ { 2 } \: \mathbf { \Phi } _ { 2 } \: \mathbf { g } _ { 2 } \, \right) \, ( \beta _ { 1 } \, x _ { 1 } + \beta _ { 2 } \, x _ { 2 } ) \, \sqrt { P _ { r } } + N _ { o } , } \end{array}
- \mathcal { H } ( G _ { T , i } ^ { * } ) = \theta _ { g w d } \ e ^ { \tau _ { d } } \sum _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \Big \{ 1 - \big ( 1 - e ^ { - \tau _ { d } } \big ) ^ { k } \Big \} x _ { d } ^ { ( k ) } ( G _ { T , i } ^ { * } ) + \theta _ { g w e s p } \ e ^ { \tau _ { e s p } } \sum _ { k = 1 } ^ { N - 2 } \Big \{ 1 - \big ( 1 - e ^ { - \tau _ { e s p } } \big ) ^ { k } \Big \} x _ { e s p } ^ { ( k ) } ( G _ { T , i } ^ { * } ) \ ,
\begin{array} { r l } & { 0 < \frac { 1 } { 1 + \eta _ { i + 1 , j , k } ^ { ( n + 1 ) } } \le ( \frac { 1 } { 2 } \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 1 } = 2 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 1 } , \quad \mathrm { ( b y ~ , ~ ) } , } \\ & { \mathrm { s o ~ t h a t } \quad \| \frac { 1 } { 1 + \eta ^ { ( n + 1 ) } } \| _ { \infty } \le 2 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 1 } , } \\ & { \| { \cal N L E } _ { 1 } \| _ { 2 } \le \| \frac { 1 } { 1 + \eta ^ { ( n + 1 ) } } \| _ { \infty } \cdot \| D _ { x } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } \le 2 ( \epsilon _ { 0 } ^ { * } ) ^ { - 1 } \| D _ { x } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } . } \end{array}
= ( p _ { 0 } ^ { + \prime } / v _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + \prime } / v _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + \prime } / v _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 }
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \Big [ L ( Y ) \log { ( n ) } + Q ( Y ) \Big ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \qquad \qquad ~ ~ \qquad \qquad \quad } & { { } } \\ { + \Big [ Q _ { 0 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + Q _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + Q _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { R ( Y ) \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } + \Big [ R _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + R _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \Big ] \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array} \right.
\frac { \mathrm { d } \bar { \mathbf { U } } } { \mathrm { d } t } = \mathcal { G } _ { \boldsymbol { \Theta } } ( \bar { \mathbf { U } } ) : = \left[ \begin{array} { l } { f _ { H } ( \bar { \mathbf { u } } ) } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] + \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } ( \mathcal { K } - \mathcal { K } ^ { T } ) \bar { \mathbf { U } } - \boldsymbol { \Omega } _ { 2 } ^ { - 1 } \mathcal { Q } ^ { T } \mathcal { Q } \bar { \mathbf { U } } + \mathbf { W } _ { \mathbf { T } } \mathbf { F } ,
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { \frac { - \bar { f } \tilde { h } _ { y } - \bar { \tau } \tilde { h } _ { x } } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { \frac { \bar { f } \tilde { h } _ { x } - \bar { \tau } \tilde { h } _ { y } } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { \frac { \bar { \tau } ( \tilde { h } _ { x } ^ { 2 } + \tilde { h } _ { y } ^ { 2 } ) t } { F ^ { 2 } ( \bar { f } ^ { 2 } + \bar { \tau } ^ { 2 } ) } + \tilde { h } _ { 0 } ( 0 ) + \tilde { h } _ { x } x + \tilde { h } _ { y } y . } \end{array}
\mathcal { H } ( \textbf { k } ) = \sum _ { i = x , y , z } \left( \nu _ { i } ^ { t } \hbar k _ { i } + \left( \nu _ { i } \hbar k _ { i } + \delta _ { i } \hbar ^ { 2 } k _ { i } ^ { 2 } \right) \sigma _ { i } \right) - \mu
S = \frac { 1 } { 4 } A _ { \mathrm { E H } } = \frac { 1 } { 4 } \left[ ( r ^ { 2 } C ) ^ { \frac { \tilde { d } + 1 } { 2 } } D ^ { \frac { d - 1 } { 2 } } \right] _ { r = r _ { + } } = \frac { 1 } { 4 } \Omega _ { \tilde { d } + 1 } r _ { + } ^ { \tilde { d } + 1 } \left[ 1 - \left( \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \right) ^ { \tilde { d } } \right] ^ { \frac { \tilde { d } + 2 } { 2 \tilde { d } } } .
\Phi _ { n + N } = \sqrt { z ^ { N } / \prod _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i } } \Phi _ { n } , \; \; \; \Phi _ { n + N } ^ { * } = \sqrt { z ^ { - N } / \prod _ { i = 1 } ^ { N } c _ { i } ^ { * } } \Phi _ { n } ^ { * } ,
A { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = \lambda _ { 3 } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { \lambda _ { 3 } } \\ { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right] } .
{ \frac { 1 } { \eta } } = { \frac { 1 } { 2 \eta _ { \mathrm { a } } } } \left( 2 + { \frac { \mathrm { d } \ln { { \dot { \gamma } } _ { \mathrm { a } } } } { \mathrm { d } \ln { \sigma } } } \right) .
\frac { S _ { L , \mathbb { K } } } { S _ { L } } = \frac { 1 } { \widehat { T _ { b } } - \widehat { T _ { u } } } \frac { | \nabla c | _ { c _ { 0 } } } { | \nabla c | _ { c _ { 0 } } ^ { \circ } }
\begin{array} { l } { r _ { 1 } = } \\ { r _ { 2 } = } \\ { r _ { 3 } = } \\ { r _ { 4 } = } \\ { r _ { 5 } = } \\ { r _ { 6 } = } \\ { r _ { 7 } = } \\ { r _ { 8 } = } \\ { r _ { 9 } = } \\ { \vdots } \end{array} \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l l } { \underline { { 0 } } } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 1 } & { \underline { { 0 } } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \underline { { 1 } } } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { \underline { { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \underline { { 0 } } } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \underline { { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { \underline { { 0 } } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \underline { { 1 } } } & { 0 } & { \cdots } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \underline { { 1 } } } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] \, .
\frac { d } { d t } \left\| h \right\| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } \leq C \left\| h _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| h \right\| _ { H ^ { s } } ^ { 2 } + C \left\| h _ { 0 } \right\| _ { L ^ { 2 } } \left( \left\| h \right\| _ { H ^ { s - \frac { 1 } { 2 } + \epsilon } } + \left\| h \right\| _ { H ^ { s - 2 } } \right) \left\| h \right\| _ { H ^ { s } }
F _ { K ^ { * } V } ( k ^ { 2 } ) = 1 + \Biggl ( { \frac { 1 - \tilde { r } _ { 1 } } { 1 + \tilde { r } _ { 1 } } } \Biggr ) { \frac { X _ { \omega } ( k ^ { 2 } ) } { X _ { \rho } ( k ^ { 2 } ) } } \Biggl ( { \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { m _ { \omega } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } } \Biggr ) - \Biggl ( { \frac { \sqrt { 2 } \tilde { r } _ { 1 } } { 1 + \tilde { r } _ { 1 } } } \Biggr ) { \frac { X _ { \phi } ( k ^ { 2 } ) } { X _ { \rho } ( k ^ { 2 } ) } } \Biggl ( { \frac { m _ { \rho } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } { m _ { \phi } ^ { 2 } - k ^ { 2 } } } \Biggr ) .
\small \begin{array} { r l } & { x _ { c m } = \frac { 1 } { 4 } ( x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } + x _ { 4 } ) , \quad y _ { c m } = \frac { 1 } { 4 } ( y _ { 1 } + y _ { 2 } + y _ { 3 } + y _ { 4 } ) , \quad z _ { c m } = \frac { 1 } { 4 } ( z _ { 1 } + z _ { 2 } + z _ { 3 } + z _ { 4 } ) } \\ & { \Bar { x } _ { 1 } = x _ { 1 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 1 } = y _ { 1 } - y _ { c m } , \quad \Bar { z } _ { 1 } = z _ { 1 } - z _ { c m } , } \\ & { \Bar { x } _ { 2 } = x _ { 2 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 2 } = y _ { 2 } - y _ { c m } , \quad \Bar { z } _ { 2 } = z _ { 2 } - z _ { c m } , } \\ & { \Bar { x } _ { 3 } = x _ { 3 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 3 } = y _ { 3 } - y _ { c m } , \quad \Bar { z } _ { 3 } = z _ { 3 } - z _ { c m } , } \\ & { \Bar { x } _ { 4 } = x _ { 4 } - x _ { c m } , \quad \Bar { y } _ { 4 } = y _ { 4 } - y _ { c m } , \quad \Bar { z } _ { 4 } = z _ { 4 } - z _ { c m } , } \\ & { u _ { c m } = \frac { 1 } { 4 } ( u _ { 1 } + u _ { 2 } + u _ { 3 } + u _ { 4 } ) , \quad v _ { c m } = \frac { 1 } { 4 } ( v _ { 1 } + v _ { 2 } + v _ { 3 } + v _ { 4 } ) , \quad w _ { c m } = \frac { 1 } { 4 } ( w _ { 1 } + w _ { 2 } + w _ { 3 } + w _ { 4 } ) , } \\ & { \Bar { u } _ { 1 } = u _ { 1 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 1 } = v _ { 1 } - v _ { c m } , \quad \Bar { w } _ { 1 } = w _ { 1 } - w _ { c m } } \\ & { \Bar { u } _ { 2 } = u _ { 2 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 2 } = v _ { 2 } - v _ { c m } , \quad \Bar { w } _ { 2 } = w _ { 2 } - w _ { c m } , } \\ & { \Bar { u } _ { 3 } = u _ { 3 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 3 } = v _ { 3 } - v _ { c m } , \quad \Bar { w } _ { 3 } = w _ { 3 } - w _ { c m } , } \\ & { \Bar { u } _ { 4 } = u _ { 4 } - u _ { c m } , \quad \Bar { v } _ { 4 } = v _ { 4 } - v _ { c m } , \quad \Bar { w } _ { 4 } = w _ { 4 } - w _ { c m } , } \end{array}
\langle 0 | \mathrm { T r } \, \lambda ^ { 2 } | 0 \rangle ^ { 2 } = \frac { 2 ^ { 1 0 } \pi ^ { 4 } } { 5 } \, e ^ { - 8 \pi ^ { 2 } / g ^ { 2 } } \, \frac { M _ { \mathrm { P V } } ^ { 6 } } { g ^ { 4 } } = \frac { 1 4 4 } { 5 } \, \Lambda _ { G } ^ { 6 } \, ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { c } ^ { b } \int _ { M \times M } d _ { t } ^ { 4 } ( x , y ) e ^ { - 2 f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) \, d t } \\ { \le } & { 8 \int _ { c } ^ { b } \int _ { M \times M } \left( d _ { t } ^ { 4 } ( x , p ) + d _ { t } ^ { 4 } ( y , p ) \right) e ^ { - 2 f ( x , t ) - 2 f ( y , t ) } \, d V _ { t } ( x ) d V _ { t } ( y ) \, d t . } \end{array}
x _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } = x _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } \ e ^ { ( i \phi _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } + i 2 \pi f _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } } t ) } + n _ { \ell } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ n ~ ) ~ } }
d s ^ { 2 } = \sum _ { j = 2 } ^ { N } d s _ { j } ^ { 2 } , \quad \quad \, d s _ { j } ^ { 2 } = - d t _ { j } ^ { 2 } + \frac { \mu _ { j } ^ { 2 } ( \cosh { t _ { j } } ) ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d x _ { j } ^ { 2 } \, , \qquad j = 2 , \cdots , N \, ,
\begin{array} { r l } { \phi _ { i } ( t + \Delta t ) = } & { { } \phi _ { i } + \Delta t \omega + \Delta t \Gamma ( 1 - 2 \sigma ^ { 2 } \Delta t ) \sum _ { j \in \partial _ { i } } \sin [ 2 ( \phi _ { j } - \phi _ { i } ) ] } \end{array}
F _ { L } ^ { \alpha \beta } \equiv \left( \begin{array} { c c } { { f _ { L } ^ { 0 } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } f _ { L } ^ { - } } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } f _ { L } ^ { - } } } & { { f _ { L } ^ { -- } } } \end{array} \right) \; .
{ \cal M } = \left( \begin{array} { c c c c } { { { \cal M } _ { 0 0 } } } & { { { \cal M } _ { 0 1 } } } & { { { \cal M } _ { 0 2 } } } & { { { \cal M } _ { 0 3 } } } \\ { { { \cal M } _ { 1 0 } } } & { { { \cal M } _ { 1 1 } } } & { { } } & { { \vdots } } \\ { { { \cal M } _ { 2 0 } } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } \\ { { { \cal M } _ { 3 0 } } } & { { \cdots } } & { { } } & { { { \cal M } _ { 3 3 } } } \end{array} \right) = q ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { | \Phi | ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \theta _ { W } } } & { { \chi ^ { 1 } ( x ) } } & { { \chi ^ { 2 } ( x ) } } & { { \chi ^ { 3 } ( x ) } } \\ { { \chi ^ { 1 } ( x ) } } & { { | \Phi | ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \chi ^ { 2 } ( x ) } } & { { 0 } } & { { | \Phi | ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { \chi ^ { 3 } ( x ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { | \Phi | ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \hat { v } = \left\{ \begin{array} { l l } { v ^ { ( 4 ) } , } & { k \in \hat { \Gamma } \setminus \bar { \mathcal { D } } , } \\ { m ^ { \omega k _ { 4 } } , } & { k \in \partial \mathcal { D } _ { \omega k _ { 4 } } , } \\ { m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } , } & { k \in \partial \mathcal { D } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } , } \\ { m _ { - } ^ { \omega k _ { 4 } } v ^ { ( 4 ) } ( m _ { + } ^ { \omega k _ { 4 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \hat { \Gamma } \cap \mathcal { D } _ { \omega k _ { 4 } } , } \\ { m _ { - } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } v ^ { ( 4 ) } ( m _ { + } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \hat { \Gamma } \cap \mathcal { D } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { J } ^ { 2 } \widetilde { \psi } _ { p } \left( \boldsymbol { x } \right) = j \left( j + \bar { d } - 2 \right) \widetilde { \psi } _ { p } \left( \boldsymbol { x } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \left| \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { d } & { e } & { f } \\ { g } & { h } & { i } \end{array} \right| } } & { { } = a ( e i - f h ) - b ( d i - f g ) + c ( d h - e g ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \int _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ( w | _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda } \\ { Q } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \int _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ( ( w | _ { \{ r \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda \circ j ) } \end{array}
\mathbf { g } _ { \mathrm { e l } } ^ { ( m ) } = 2 g _ { J } \left( \begin{array} { c c c } { \Re \langle \bar { m } | \hat { J } _ { x } | m \rangle } & { \Im \langle \bar { m } | \hat { J } _ { x } | m \rangle } & { \langle m | \hat { J } _ { x } | m \rangle } \\ { \Re \langle \bar { m } | \hat { J } _ { y } | m \rangle } & { \Im \langle \bar { m } | \hat { J } _ { y } | m \rangle } & { \langle m | \hat { J } _ { y } | m \rangle } \\ { \Re \langle \bar { m } | \hat { J } _ { z } | m \rangle } & { \Im \langle \bar { m } | \hat { J } _ { z } | m \rangle } & { \langle m | \hat { J } _ { z } | m \rangle } \end{array} \right)