harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
E = { \frac { 1 } { n ! } } \int d \Omega \left[ E _ { 1 } \left| Y _ { a _ { 1 } \cdots a _ { n } } ^ { ( l ) } \right| ^ { 2 } + E _ { 2 } \left| Y _ { a _ { 2 } \cdots a _ { n } } ^ { ( l ) } \right| ^ { 2 } + E _ { 3 } \left| Y _ { a _ { 3 } \cdots a _ { n } } ^ { ( l ) } \right| ^ { 2 } \right] .
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } = 4 \frac { G _ { F } \, a } { \sqrt { \displaystyle 2 } } \frac { \alpha ^ { 3 / 2 } } { \sqrt { \displaystyle 4 \pi } } \frac { 1 } { m _ { e } ^ { 4 } } \left[ \frac { 5 } { 1 8 0 } \left( N _ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } \right) \left( F _ { \lambda \rho } F _ { \lambda \rho } \right) - \frac { 1 4 } { 1 8 0 } N _ { \mu \nu } F _ { \nu \lambda } F _ { \lambda \rho } F _ { \rho \mu } \right] \, ,
\mathrm { F } _ { 1 } = 2 \cdot { \frac { \mathrm { P P V } \cdot \mathrm { T P R } } { \mathrm { P P V } + \mathrm { T P R } } } = { \frac { 2 \mathrm { T P } } { 2 \mathrm { T P } + \mathrm { F P } + \mathrm { F N } } }
\begin{array} { r l } { { 4 } \Pi _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( 0 ) } & { = 1 , } \\ { \Pi _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( \ell ) } & { = 0 , } \\ { \Pi _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( a ) } & { = \Pi _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( a ) , } \\ { \frac { \mathrm { d } \Pi _ { R , L } ^ { [ 1 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = a } } & { = \frac { \mathrm { d } \Pi _ { R , L } ^ { [ 2 ] } ( x ) } { \mathrm { d } x } \Big | _ { x = a } , } \end{array}
{ Z _ { e } } ( j \omega ) = \frac { { { V _ { p , f } } ( j \omega ) } } { { { I _ { h } } ( j \omega ) } } = \frac { 1 } { { \omega { C _ { p } } } } \left[ \frac { 4 } { \pi } \left( 1 - \tilde { V } _ { M } \right) - j \right] ,
{ \frac { N } { 1 - x } } = { \frac { N \cdot ( 1 + x ) } { 1 - x ^ { 2 } } } = { \frac { N \cdot ( 1 + x ) \cdot ( 1 + x ^ { 2 } ) } { 1 - x ^ { 4 } } } = \cdots = Q ^ { \prime } = { \frac { N ^ { \prime } = N \cdot ( 1 + x ) \cdot ( 1 + x ^ { 2 } ) \cdot \cdot \cdot ( 1 + x ^ { 2 ^ { ( n - 1 ) } } ) } { D ^ { \prime } = 1 - x ^ { 2 ^ { n } } \approx 1 } }
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { D } _ { x , y } } & { { } = } & { \Sigma _ { x , y } ^ { 2 } + s z \, L _ { u } ^ { 2 } \Sigma _ { \phi x , y } ^ { 2 } } \\ { \mathfrak { d } _ { y } } & { { } = } & { \Sigma _ { y } ^ { 2 } + s z \, L _ { u } ^ { 2 } \sigma _ { \phi y } ^ { 2 } } \end{array}
\mu _ { \otimes } ^ { \prime \prime } - \nabla ^ { 2 } \mu _ { \otimes } - \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } \mu _ { \otimes } = 0 , ~ ~ ~ ~ \mu _ { \oplus } ^ { \prime \prime } - \nabla ^ { 2 } \mu _ { \oplus } - \frac { a ^ { \prime \prime } } { a } \mu _ { \oplus } = 0 .
\begin{array} { c c c } { { \it S } } \\ { { \downarrow } } \\ { { { \it S } ^ { * } } } \end{array} \begin{array} { c c c } { { } } & { { \longrightarrow } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { \longrightarrow } } & { { } } \end{array} \begin{array} { c c c } { { { \bar { \it S } } } } \\ { { \downarrow } } \\ { { { \bar { \it S } } ^ { * } } } \end{array} \begin{array} { c c c } { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \ddot { e } _ { 1 } ( 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 1 ) } & { = 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 1 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 1 , } & { \ddot { \varepsilon } _ { 1 } ( 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 1 ) } & { = 2 , } \\ { \ddot { f } _ { 1 } ( 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 1 ) } & { = 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 2 , } & { \ddot { \varphi } _ { 1 } ( 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 2 \mathbin { \ddot { \otimes } } 3 \mathbin { \ddot { \otimes } } 1 ) } & { = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle S _ { 1 2 } \rangle } & { { } = \frac { 1 } { 4 ( \kappa ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } [ ( C ^ { 2 } + 1 ) ( C ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } + 1 ) ] ^ { 1 / 2 } } \Bigg \{ 3 A _ { 1 } \kappa ^ { 2 } \bigg ( 2 + C ^ { 2 } ( \kappa ^ { 2 } + 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert \nu \mathbin { \lrcorner } u _ { | _ { \partial \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } } \rVert _ { \mathrm { B } _ { p , q } ^ { s - \frac { 1 } { p } } ( \mathbb { R } ^ { n - 1 } ) } \lesssim _ { p , s , n } \lVert u \rVert _ { { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert \mathbf { \delta } u \rVert _ { { \mathrm { B } } _ { p , q } ^ { s } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { S } } & { { } = 2 \mathbf { k } _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { C 1 } - \mathbf { k } _ { C 1 } + \mathbf { k } _ { C 2 } - \mathbf { k } _ { C 2 } , } \\ { \mathbf { k } _ { S } } & { { } = 2 \mathbf { k } _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } + 2 \mathbf { k } _ { C 1 } - 2 \mathbf { k } _ { C 2 } , } \\ { \mathbf { k } _ { S } } & { { } = 2 \mathbf { k } _ { 2 } - \mathbf { k } _ { 1 } + \mathbf { k } _ { C 1 } - \mathbf { k } _ { C 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \tilde { \epsilon } } _ { k } } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Delta \Omega _ { x } ( \theta ^ { \prime } ) e ^ { i ( \nu _ { 0 } \Phi ( \theta ^ { \prime } ) - ( \nu _ { 0 } - k ) \theta ^ { \prime } ) } d \theta ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { i 0 } ^ { 2 } } & { = \log ( f ( y _ { i } , m _ { i } ^ { * } = 0 , r _ { i } = 0 | x _ { i } , c _ { i } = 0 ) ) } \\ & { = \log ( f ( y _ { i } | m _ { i } ^ { * } = 0 , x _ { i } , c _ { i } = 0 ) P ( M _ { i } ^ { * } = 0 , R _ { i } = 0 | x _ { i } , c _ { i } = 0 ) ) } \\ & { = \log ( f ( y _ { i } | m _ { i } ^ { * } = 0 , x _ { i } ) P ( R _ { i } = 0 | m _ { i } ^ { * } = 0 , x _ { i } , c _ { i } = 0 ) P ( M _ { i } ^ { * } = 0 | x _ { i } , c _ { i } = 0 ) ) } \\ & { = \log ( f ( y _ { i } | m _ { i } ^ { * } = 0 , x _ { i } ) P ( R _ { i } = 0 | m _ { i } ^ { * } = 0 ) P ( M _ { i } ^ { * } = 0 | x _ { i } , c _ { i } = 0 ) ) } \\ & { = \log ( f ( y _ { i } | m _ { i } ^ { * } = 0 , x _ { i } ) ) } \\ & { = - \log ( \delta ) - \frac { ( y _ { i } - \beta _ { 0 } - \beta _ { 3 } x _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \delta ^ { 2 } } - 0 . 5 \log { ( 2 \pi ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } & { \le G ( \theta ) \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } } \\ & { \le ( 4 L _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } B G ( 1 ) } \\ & { \le ( 2 4 L _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { 2 } { 1 - \alpha } } + 2 ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } \Big ( \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 L _ { 1 } ^ { 2 } } \Big ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } + 2 ^ { \frac { 1 } { 1 - \alpha } } ( \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 \alpha } ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \end{array}
\times \! \delta ( { \bf p } + { \bf p } _ { 1 } - { \bf p } _ { 2 } - { \bf p } _ { 3 } ) \, \frac { N _ { e q } ^ { l } ( { \bf p } _ { 1 } ) ( N _ { e q } ^ { l } ( { \bf p } _ { 2 } ) + 1 ) ( N _ { e q } ^ { l } ( { \bf p } _ { 3 } ) + 1 ) } { ( N _ { e q } ^ { l } ( { \bf p } ) + 1 ) }
\left( \begin{array} { l l } { f _ { \mu } ^ { c } I - \Theta _ { u } } & { f _ { \eta } ^ { c } I } \\ { g _ { \mu } ^ { c } I } & { g _ { \eta } ^ { c } I - \Theta _ { v } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \bf \tilde { \mu } } } \\ { { \bf \tilde { \eta } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } \end{array} \right) \, ,
\frac { k _ { n \perp } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \Big ( k _ { n z } + \frac { U _ { p } } { c } \Big ) ^ { 2 } \simeq n \omega _ { L } + \omega _ { X } - I _ { p } - U _ { p } ,
\begin{array} { r l } { t e x t { ( a m b i e n t f l u i d ) } \ \mu _ { 1 } = 1 2 . 0 4 8 \times 1 0 ^ { - 4 } k g / ( m \cdot s ) , \quad \mathrm { ~ ( ~ d ~ r ~ o ~ p ~ ) ~ } \ \mu _ { 2 } = 2 \mu _ { 1 } ; } \\ { t h e t a _ { s } = 7 5 ^ { 0 } \ \mathrm { ~ ( ~ m ~ e ~ a ~ s ~ u ~ r ~ e ~ d ~ o ~ n ~ t ~ h ~ e ~ d ~ r ~ o ~ p ~ s ~ i ~ d ~ e ~ ) ~ } ; } \\ { e t a = 0 . 0 0 7 L _ { 0 } , \quad \lambda = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } \gamma \eta , \quad \gamma _ { 1 } = 5 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { 1 } } , \quad \Delta t = 1 \times 1 0 ^ { - 6 } \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } \mu _ { 1 } } { \epsilon _ { 0 } V _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { S } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 3 ( 2 J + 1 ) } } \alpha _ { n J } ^ { ( 0 ) } } \\ { \alpha _ { V } } & { = ( - 1 ) ^ { J + I + F } \sqrt { \frac { 2 F ( 2 F + 1 ) } { F + 1 } } \left\{ \begin{array} { l l l } { F } & { 1 } & { F } \\ { J } & { I } & { J } \end{array} \right\} \alpha _ { n J } ^ { ( 1 ) } } \\ { \alpha _ { T } } & { = ( - 1 ) ^ { J + I + F + 1 } \sqrt { \frac { 2 F ( 2 F - 1 ) ( 2 F + 1 ) } { 3 ( F + 1 ) ( 2 F + 3 ) } } \left\{ \begin{array} { l l l } { F } & { 2 } & { F } \\ { J } & { I } & { J } \end{array} \right\} \alpha _ { n J } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 3 } } & { : = \int _ { D } \left( 1 \wedge \frac { \delta _ { D } ( w ) ^ { \alpha / 2 } } { \sqrt { s - s ^ { \prime } } } \right) \left( ( s - s ^ { \prime } ) ^ { - d / \alpha } \wedge \frac { s - s ^ { \prime } } { | z ^ { \prime } - w | ^ { d + \alpha } } \right) F _ { D } ( w ) \, d w } \\ & { = \int _ { \delta _ { D } ( w ) > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } \left( ( s - s ^ { \prime } ) ^ { - d / \alpha } \wedge \frac { s - s ^ { \prime } } { | z ^ { \prime } - w | ^ { d + \alpha } } \right) F _ { D } ( w ) \, d w } \\ & { \quad + \int _ { \delta _ { D } ( w ) \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } \frac { \delta _ { D } ( w ) ^ { \alpha / 2 } } { \sqrt { s - s ^ { \prime } } } \left( ( s - s ^ { \prime } ) ^ { - d / \alpha } \wedge \frac { s - s ^ { \prime } } { | z ^ { \prime } - w | ^ { d + \alpha } } \right) F _ { D } ( w ) \, d w } \\ & { = \int _ { \delta _ { D } ( w ) > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } , \, | z ^ { \prime } - w | > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } \frac { s - s ^ { \prime } } { | z ^ { \prime } - w | ^ { d + \alpha } } F _ { D } ( w ) \, d w } \\ & { \quad + \int _ { \delta _ { D } ( w ) > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } , \, | z ^ { \prime } - w | \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } ( s - s ^ { \prime } ) ^ { - d / \alpha } F _ { D } ( w ) \, d w } \\ & { \quad + \int _ { \delta _ { D } ( w ) \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } , \, | z ^ { \prime } - w | > ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } \frac { \delta _ { D } ( w ) ^ { \alpha / 2 } } { \sqrt { s - s ^ { \prime } } } \frac { s - s ^ { \prime } } { | z ^ { \prime } - w | ^ { d + \alpha } } F _ { D } ( w ) \, d w } \\ & { \quad + \int _ { \delta _ { D } ( w ) \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } , \, | z ^ { \prime } - w | \leq ( s - s ^ { \prime } ) ^ { 1 / \alpha } } \frac { \delta _ { D } ( w ) ^ { \alpha / 2 } } { \sqrt { s - s ^ { \prime } } } ( s - s ^ { \prime } ) ^ { - d / \alpha } F _ { D } ( w ) \, d w . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \phi _ { \Xi } ( t ) \right\rangle = } & { \exp \left( \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) U \left( t , t _ { M } \right) \widetilde { S } \left( t _ { M } , \omega _ { M } \right) } \\ & { \times U \left( t _ { M } , t _ { M - 1 } \right) \widetilde { S } \left( t _ { M - 1 } , \omega _ { M - 1 } \right) \cdots U \left( t _ { 2 } , t _ { 1 } \right) \widetilde { S } \left( t _ { 1 } , \omega _ { 1 } \right) U \left( t _ { 1 } , 0 \right) | \psi ( 0 ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( K _ { \mathcal { Y ^ { \prime } } } + D ^ { \prime } ) \cdot C ^ { \prime } } & { \leq ( K _ { \mathcal { Y ^ { \prime } } } + \phi ^ { * } D ) \cdot C ^ { \prime } } \\ & { = \phi ^ { * } ( K _ { \mathcal { Y } } + D ) \cdot C ^ { \prime } } \\ & { \leq a _ { r e l } \beta + T + \tau ( \pi , E ) + a _ { r e l } ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( g ( B ) - 1 ) + ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) + 2 g ( B ) - 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { L } } ( { \bf { r } } ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 , } & { \sin { ( r _ { 0 } D _ { C } / J ) } , } & { \cos { ( r _ { 0 } D _ { C } / J ) } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 0 , 0 } } & { \! = \! \! \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \! \frac { \mathrm { P r } \big [ E _ { t + 1 } = 0 \big | X _ { t } = n , \hat { X } _ { t } \! = \! n \big ] \mathrm { P r } \big [ X _ { t } \! = \! n , \hat { X } _ { t } \! = \! n \big ] } { \mathrm { P r } \big [ E _ { t } = 0 \big ] } } \\ & { = \! \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { N } \mathrm { P r } \big [ E _ { t + 1 } = 0 \big | X _ { t } = n , \hat { X } _ { t } = n \big ] . } \end{array}
\langle \phi ( \mathcal { A } _ { t + \Delta t } , \mathcal { C } ) \rangle = \langle \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle + \Delta t \, \langle G ( \mathcal { C } , \mathcal { C } ^ { * } ) \phi ( \mathcal { A } _ { t } + L ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { A } _ { t } ^ { * } ) , \mathcal { C } ) \rangle - \Delta t \, \langle G ( \mathcal { C } , \mathcal { C } ^ { * } ) \phi ( \mathcal { A } _ { t } , \mathcal { C } ) \rangle
- \left[ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \pi } \left( \frac { \beta _ { 2 } } { m _ { 2 } } + \frac { m _ { 2 } } { \beta _ { 2 } } \, d _ { 2 } \right) \right] ^ { - 1 } < \Lambda _ { 2 2 } < 0 .
\begin{array} { r } { \Delta = 5 \frac { \sigma _ { k l } \sigma _ { k l } } { \rho } + \frac { 5 6 } { 5 } \frac { q _ { k } q _ { k } } { p } - 1 2 \mu T \frac { \partial } { \partial x _ { k } } \left( \frac { q _ { k } } { p } \right) , } \end{array}
{ \frac { \partial } { \partial t } } ( \mathbf { E } \times \mathbf { B } ) = { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } \times \mathbf { B } + \mathbf { E } \times { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } = { \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } } \times \mathbf { B } - \mathbf { E } \times ( { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { E } )
J = 2 \pi \Lambda \int \, d \eta d \beta \, \left[ 1 + \frac { g _ { 1 } } { 2 } \frac { ( \nabla w ) ^ { 2 } } { 1 - w ^ { 2 } } + \frac { g _ { 2 } } { 2 } \left( \frac { ( \nabla w ) ^ { 2 } } { 1 - w ^ { 2 } } + \left( ( \nabla v ) ^ { 2 } + \frac { N ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { a ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \eta } \right) ( 1 - w ^ { 2 } ) \right) \right] ( 1 - w ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 5 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
H _ { \mu _ { 1 } . . . \mu _ { n } } = { \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } } \; \partial _ { \ [ \mu _ { 1 } } C _ { \mu _ { 2 } . . . \mu _ { n } ] } , \ \ \mathrm { o r } \ \ \ H ^ { ( n ) } = d C ^ { ( n - 1 ) } \ .
\sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \vert \widehat { \mu ^ { n , t } } ( k ) - \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - ( \widehat { \rho _ { t } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) ) \vert ^ { 2 } = \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \vert \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) \vert ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \vert \boldsymbol { \mathcal { A } } ( x , a ) - \boldsymbol { \mathcal { A } } ( y , a ) \vert } & { \lesssim \vert p ( x ) - p ( y ) \vert \, \vert \ln ( \delta + \vert a \vert ) \vert \, ( \varphi ^ { \prime } ( x , \vert a \vert ) + \varphi ^ { \prime } ( y , \vert a \vert ) ) } \\ & { \lesssim \vert p ( x ) - p ( y ) \vert \, \vert \ln ( \delta + \vert a \vert ) \vert \, ( 1 + ( \delta + \vert a \vert ) ^ { p ( y ) - p ( x ) } ) \, \varphi ^ { \prime } ( x , \vert a \vert ) \, . } \end{array} } \end{array}
\epsilon _ { \mu } T ^ { \mu \nu } \epsilon _ { \nu } ^ { \prime } [ 2 ^ { + + } ( q \bar { q } ) ] = c ^ { \prime } \sqrt { 2 } m ^ { 2 } G _ { \mu \rho } ^ { a } G _ { \nu \rho } ^ { a } e ^ { \mu \nu } / ( k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \sigma _ { 3 } } } & { | x | ^ { \frac { \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } F ( x ) | x | ^ { \frac { 3 \alpha } { 2 } \sigma _ { 3 } } e ^ { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \sigma _ { 3 } } = \widehat { \mathbf { R } } ( 0 ) ( 2 \pi ) ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 2 } } e ^ { \pi i ( \alpha - \frac { 1 } { 2 } ) \sigma _ { 3 } } \Gamma ( \alpha + \textstyle \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \sigma _ { 3 } } 2 ^ { - \alpha \sigma _ { 3 } } e ^ { \pi i ( \frac { 1 } { 2 } - \alpha ) \sigma _ { 3 } } . } \end{array}
\frac { d Q } { d t } \leq \frac { 1 } { 1 6 } \frac { h \varphi _ { 0 } } { | K | } \, , ~ ~ ~ \Gamma \leq \frac { h \pi } { 6 | K | ^ { 1 / 2 } } \frac { m ^ { 2 } } { M _ { \mathrm { P } } } \, ,
\sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n } L ( \nu ; \nu _ { n } , \gamma _ { n } ) \approx \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n } L ( \nu ; \nu _ { n } , \gamma _ { m } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left( L ( \nu ; 0 , \gamma _ { m } ) \ast \sum _ { n = 1 } ^ { N } a _ { n } \delta ( \nu - \nu _ { n } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } ( t ) } & { = \int _ { \partial \Omega } \mathcal { A } \cdot \mathbf { n } \, \textup { d } \mathbf { x } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \int _ { \Gamma _ { i } ^ { + } } w _ { i } ^ { 2 } \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \, \textup { d } \mathbf { x } + \int _ { \Gamma _ { i } ^ { - } } w _ { i } ^ { 2 } \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \, \textup { d } \mathbf { x } \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left[ \int _ { \Gamma _ { i } ^ { + } } w _ { i } ^ { 2 } \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \, \textup { d } \mathbf { x } + \int _ { \mathcal { C } _ { i } } u _ { i } ^ { 2 } \exp ( \mu _ { i } ( \mathbf { x } ) ) \left( \mathbf { a } _ { i } \cdot \mathbf { n } \right) \, \textup { d } \mathbf { x } \right] } \\ & { \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 2 \alpha \beta \Vert { { \theta } _ { t } } - { \theta ^ { * } } \Vert ^ { 2 } } & { \leq - \alpha \beta \Vert { \tilde { \theta } _ { t } } - { \theta ^ { * } } \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \theta _ { t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq - \alpha \beta \Vert { \tilde { \theta } _ { t } } - { \theta ^ { * } } \Vert ^ { 2 } + 2 \alpha \beta \Vert \alpha e _ { t - 1 } - e _ { p , t } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq - \alpha \beta \Vert { \tilde { \theta } _ { t } } - { \theta ^ { * } } \Vert ^ { 2 } + 4 \alpha \beta \left( \alpha ^ { 2 } \Vert e _ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } + \Vert e _ { p , t } \Vert ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq - \alpha \beta \Vert { \tilde { \theta } _ { t } } - { \theta ^ { * } } \Vert ^ { 2 } + O \left( \alpha ^ { 3 } \beta \delta ^ { 2 } G ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq - \alpha \beta \Vert { \tilde { \theta } _ { t } } - { \theta ^ { * } } \Vert ^ { 2 } + O \left( \alpha ^ { 2 } \delta ^ { 2 } G ^ { 2 } \right) , } \end{array}
{ \frac { m _ { 0 ^ { + + } } } { \surd \sigma } } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 3 . 4 4 ( 1 7 ) } } & { { \ \ \ \xi = 3 } } \\ { { 3 . 2 1 ( 1 3 ) } } & { { \ \ \ \xi = 5 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { C ( w _ { s r } ) } & { = \frac { H ( f ^ { s c a l } ( w _ { s r } ) ) } { H ( f ^ { s c a l } ( \operatorname* { m i n } W ) ) } , } \\ { \mathrm { w i t h } \quad \; H ( w _ { s r } ) } & { = \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \exp { \frac { - w _ { s r } ^ { 2 } } { 2 } } , w _ { s r } \geq 0 , } \\ { f ^ { s c a l } ( w _ { s r } ) } & { = \frac { w _ { s r } - \operatorname* { m i n } W } { ( \operatorname* { m a x } W ) / | S | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\vert \frac { \delta { \cal U } ^ { ( 1 ) } } { \delta n ^ { ( 0 ) } } \right\vert } & { = \left\vert \frac { \delta { \cal U } ^ { ( 1 ) } } { \delta n ^ { ( 1 ) } } \frac { \delta n ^ { ( 1 ) } } { \delta n ^ { ( 0 ) } } \right\vert } \\ & { \propto \left\vert \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 1 ) } ] - n ^ { ( 1 ) } \right\vert \times \left\vert \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] - n ^ { ( 0 ) } \right\vert } \\ & { \propto \omega ^ { - 4 } \times \omega ^ { - 2 } . } \end{array}
f _ { P } ( Z ) = \frac { D } { K ^ { \prime } ( k _ { 1 } ) } \mathrm { ~ c ~ n ~ } ^ { - 1 } \left[ \frac { \mathrm { ~ c ~ n ~ } ( B ^ { - 1 } K ( k ) Z , k ) } { \mathrm { ~ c ~ n ~ } ( B ^ { - 1 } K ( k ) , k ) } , k _ { 1 } \right] - Z ,
( - 1 ) ^ { F } = \psi _ { 1 1 } ( - 1 ) ^ { \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \psi _ { - m } \cdot \psi _ { m } } ~ ~ , ~ ~ { G } = - \gamma _ { 0 } \beta _ { 0 } - \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left[ \gamma _ { - m } \beta _ { m } + \beta _ { - m } \gamma _ { m } \right] ~ ~ .
\begin{array} { r } { Q _ { x x } = \frac { \partial M _ { y x } } { \partial y } + \frac { \partial M _ { x x } } { \partial x } = - \mathscr { D } \frac { \partial } { \partial x } \left( \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } \right) ; \quad Q _ { y y } = \frac { \partial M _ { y y } } { \partial y } - \frac { \partial M _ { x y } } { \partial x } = - \mathscr { D } \frac { \partial } { \partial y } \left( \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta _ { e , 2 } } & { = } & { \frac { \| ( P _ { \mathit { F } } + \Delta _ { e } ) ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \| _ { 2 } } { \| ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \| _ { 2 } } } \\ & { \leq } & { \frac { \| P _ { \mathit { F } } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \| _ { 2 } } { \| ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \| _ { 2 } } + \frac { \| \Delta _ { e } ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \| _ { 2 } } { \| ( I - P _ { \mathit { E } _ { - e } } ) x _ { e } \| _ { 2 } } } \\ & { \leq } & { R ( X _ { \mathit { E } } , X _ { \mathit { F } } ) + \| \Delta _ { e } \| _ { 2 } } \end{array}
\frac { \delta m ^ { 2 } | _ { t w o \; l o o p } } { \delta m ^ { 2 } | _ { o n e \; l o o p } } \; \sim \; \frac { g ^ { 4 } } { \lambda } \; \frac { \mu ^ { 2 } } { m _ { \rho } ^ { 2 } } \; .
\begin{array} { r l r } { - \frac { { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } } & { { } - } & { \frac { G M _ { \oplus } } { c ^ { 2 } r _ { \mathrm { A } } } \Big ( 1 - J _ { 2 } \Big [ \frac { R _ { \oplus } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ] ^ { 2 } \frac { 3 z _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } - r _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { 2 r _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } \Big ) = } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( X } & { | Y = y ) = - \sum _ { x } P ( X = x | Y = y ) \log P ( X = x | Y = y ) } \\ & { = - \sum _ { x : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} } \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} } P ( X = x ) } \log \frac { P ( X = x ) } { \sum _ { x : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} } P ( X = x ) } } \\ & { = \log \left( \sum _ { x : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} } P ( X = x ) \right) - \frac { 1 } { \sum _ { x : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} } P ( X = x ) } \sum _ { x : \{ \hat { x } \} = \{ \hat { y } \} } P ( X = x ) \log P ( X = x ) , } \end{array}