harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Phi _ { i } ^ { ( u ) } \left( { { { \bf { X } } _ { j } } } \right) = \left[ \begin{array} { l } { { \sum _ { p = 0 } ^ { { P _ { u j } } - 1 } { \sum _ { q = 0 } ^ { N - 1 } { { \mathrm { { P } } _ { \mathrm { r c } } } ( p { T _ { s } } - { t _ { u j } } - { \tau _ { u j , 1 } } ) \gamma ( k , \ell , p , q , { k _ { u j , 1 } } , { \beta _ { u j , 1 } } ) { X _ { j } } \left[ { { { \left[ { \ell - p } \right] } _ { M } } , { { \left[ { k - { k _ { u j , 1 } } + q } \right] } _ { N } } } \right] } } } } \\ { { \sum _ { p = 0 } ^ { { P _ { u j } } - 1 } { \sum _ { q = 0 } ^ { N - 1 } { { { \mathrm { P } } _ { \mathrm { r c } } } ( p { T _ { s } } - { t _ { u j } } - { \tau _ { u j , 2 } } ) \gamma ( k , \ell , p , q , { k _ { u j , 2 } } , { \beta _ { u j , 2 } } ) { X _ { j } } \left[ { { { \left[ { \ell - p } \right] } _ { M } } , { { \left[ { k - { k _ { u j , 2 } } + q } \right] } _ { N } } } \right] } } } } \\ { \vdots } \\ { { \sum _ { p = 0 } ^ { { P _ { u j } } - 1 } { \sum _ { q = 0 } ^ { N - 1 } { { \mathrm { { P } } _ { \mathrm { r c } } } ( p { T _ { s } } - { t _ { u j } } - { \tau _ { u j , { L _ { u j } } } } ) \gamma ( k , \ell , p , q , { k _ { u j , { L _ { u j } } } } , { \beta _ { u j , { L _ { u j } } } } ) { X _ { j } } \left[ { { { \left[ { \ell - p } \right] } _ { M } } , { { \left[ { k - { k _ { u j , { L _ { u j } } } } + q } \right] } _ { N } } } \right] } } } } \end{array} \right] ^ { T } . } \end{array}
t _ { k + 1 } = t _ { 1 } - \frac { x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } } { \beta _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } + \bigl ( x _ { 2 } ^ { ( 0 ) } + x _ { 3 } ^ { ( 0 ) } \bigr ) \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { \beta _ { 2 } ^ { ( j ) } }
\begin{array} { r l } { \overline { { \theta } } _ { \mu } ^ { s } ( z _ { 0 } ) } & { = \frac { \mu ( B ( z _ { 0 } , D ) ) } { ( 2 D ) ^ { s } } \leq \frac { \mu _ { k } ( B ( z _ { 0 } , d _ { z _ { k } } ) ) } { ( 2 D ) ^ { s } } } \\ & { = \left( \frac { d _ { z _ { k } } } { D } \right) ^ { s } \frac { \mu _ { k } ( B ( z _ { 0 } , d _ { z _ { k } } ) ) } { ( 2 d _ { z _ { k } } ) ^ { s } } \leq \left( \frac { d _ { z _ { k } } } { D } \right) ^ { s } \overline { { \xi } } _ { k } } \\ & { \leq \left( \frac { D + 2 ^ { - k } } { D } \right) ^ { s } \overline { { \xi } } _ { k } \leq \overline { { \xi } } _ { k } ^ { \operatorname* { s u p } } . } \end{array}
I _ { m } ^ { n } \sim \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { ( k - 1 ) Z ^ { k - 1 } \theta ^ { n + 1 } } } & { m = n + k \ , \ \ k = 2 , 3 , \ldots } \\ { \frac { \ln ( L \theta / Z ) } { \theta ^ { m } } } & { m = n + 1 } \\ { \frac { L ^ { k + 1 } } { ( k + 1 ) \theta ^ { m } } } & { n = m + k \ , \ \ k = 0 , 1 , \ldots } \end{array} \right. \ .
{ \begin{array} { r l } { \Psi } & { = { \frac { i \Psi ^ { \prime } } { z \lambda } } \int _ { - { \frac { a } { 2 } } } ^ { \frac { a } { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i k \left[ z + { \frac { \left( x - x ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + y ^ { \prime 2 } } { 2 z } } \right] } \, d y ^ { \prime } \, d x ^ { \prime } } \\ & { = { \frac { i \Psi ^ { \prime } } { z \lambda } } e ^ { - i k z } \int _ { - { \frac { a } { 2 } } } ^ { \frac { a } { 2 } } e ^ { - i k \left[ { \frac { \left( x - x ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } { 2 z } } \right] } \, d x ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { - i k \left[ { \frac { y ^ { \prime 2 } } { 2 z } } \right] } \, d y ^ { \prime } } \\ & { = \Psi ^ { \prime } { \sqrt { \frac { i } { z \lambda } } } e ^ { \frac { - i k x ^ { 2 } } { 2 z } } \int _ { - { \frac { a } { 2 } } } ^ { \frac { a } { 2 } } e ^ { \frac { i k x x ^ { \prime } } { z } } e ^ { \frac { - i k x ^ { \prime 2 } } { 2 z } } \, d x ^ { \prime } } \end{array} }
t _ { s p } = \left. \frac { E _ { t , p _ { N } } } { E _ { i , s _ { 1 } } } \right\vert _ { E _ { i , p _ { 1 } } = 0 } = Q _ { 3 1 } + \frac { Q _ { 3 2 } ( Q _ { 2 4 } Q _ { 4 1 } - Q _ { 2 1 } Q _ { 4 4 } ) + Q _ { 3 4 } ( Q _ { 2 1 } Q _ { 4 2 } - Q _ { 2 2 } Q _ { 4 1 } ) } { Q _ { 2 2 } Q _ { 4 4 } - Q _ { 2 4 } Q _ { 4 2 } } \ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { s } \left( \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| \nabla _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla _ { h } ( \tilde { \phi } ^ { n + 1 } - \tilde { \phi } ^ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 2 ( \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } , A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) } \\ & { = } & { 2 ( \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) - 2 ( \tau _ { \phi } ^ { n + 1 } , \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) - 2 ( A _ { h } \tilde { \phi } ^ { n } \hat { \boldsymbol { U } } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) , } \end{array}
\alpha _ { p , k } = \frac { \left( - 1 \right) ^ { 3 - k } \left( r - p - 3 \right) ! \left( r - p - 2 \right) p ! ^ { 2 } } { \left( r - 2 - k \right) ! \left( 2 - k \right) ! \left( p - 3 \right) ! \left( k - p \right) k ! ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { c _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 - \frac { \alpha \Delta { t } } { 2 m } } { 1 + \frac { \alpha \Delta { t } } { 2 m } } } \\ { c _ { 1 } \; = \; c _ { 3 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 + \frac { \alpha \Delta { t } } { 2 m } } \, . } \end{array}
Y ( \omega , x ) = \frac { 1 } { \mathrm { j } \, Z _ { c } } \left[ \frac { 1 - \alpha _ { g } } { k \, x } - \frac { 1 + \alpha _ { f } } { \tan { ( k \, x ( 1 + \alpha \, \xi ) + \Psi ) } } \right]
\begin{array} { r l r } { ( \mathrm { \bf ~ E } \times \nabla \times \mathrm { \bf ~ A } ) _ { i } } & { = } & { \epsilon _ { i j k } E _ { j } \epsilon _ { k l m } \partial _ { l } A _ { m } = \epsilon _ { k i j } \epsilon _ { k l m } E _ { j } \partial _ { l } A _ { m } = } \\ & { = } & { ( \delta _ { i l } \delta _ { j m } - \delta _ { i m } \delta _ { l j } ) E _ { j } \partial _ { l } A _ { m } = E _ { j } \partial _ { i } A _ { j } - E _ { j } \partial _ { j } A _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ^ { \prime } \colon T _ { 2 } } & { \longrightarrow \mathcal { F } ^ { \prime } } \\ { ( u , \xi , x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } ) } & { \longmapsto \Big ( x _ { 3 } ^ { \frac { \iota _ { X } } { a _ { 4 } - a _ { 4 } } \cdot a _ { 4 } } u : x _ { 3 } ^ { \frac { \iota _ { X } } { a _ { 4 } - a _ { 4 } } \cdot \frac { d _ { 2 } } { \iota _ { X } } } \xi : x _ { 3 } ^ { \frac { \iota _ { X } } { a _ { 4 } - a _ { 4 } } } x _ { 0 } : x _ { 3 } ^ { \frac { \iota _ { X } } { a _ { 4 } - a _ { 4 } } \cdot \frac { a _ { 1 } } { \iota _ { X } } } x _ { 1 } : x _ { 3 } ^ { \frac { \iota _ { X } } { a _ { 4 } - a _ { 4 } } \cdot \frac { a _ { 2 } - a _ { 4 } ( \iota _ { X } - 1 ) } { \iota _ { X } } } x _ { 2 } : x _ { 4 } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { 2 } = - \frac { 1 } { \rho e _ { \theta } \tau } \left( \rho e _ { \theta } p _ { \rho } \tau + \frac { \theta p _ { \theta } ^ { 2 } \tau } { \rho } + \kappa \right) , \quad a _ { 1 } = ( \lambda + \nu ) \frac { p _ { \theta } } { \rho ^ { 2 } e _ { \theta } \tau } q , \quad a _ { 0 } = \frac { \kappa p _ { \rho } } { \rho e _ { \theta } \tau } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { M \mathbf { v } _ { 0 } = M \mathbf { v } ^ { 0 } , } \\ { M \mathbf { v } _ { n + 1 } - M \mathbf { v } _ { n } - \tau M \sum _ { j = 1 } ^ { s } b _ { j } \mathbf { k } _ { j , n } = \mathbf { 0 } , } & { \quad n = 0 , \ldots , n _ { t } - 1 , } \\ { M \mathbf { k } _ { i , n } + K \mathbf { v } _ { n } + \tau K \sum _ { j = 1 } ^ { s } a _ { i , j } \mathbf { k } _ { j , n } = \mathbf { f } _ { i , n } , } & { \quad i = 1 , \ldots , s , \; \; \: n = 0 , \ldots , n _ { t } - 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { \sum { \mathrm { n _ { i } } } } \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n _ { p } } n _ { i } ( \overline { { I } } _ { i } - < \overline { { I } } > ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \sum { \mathrm { n _ { i } } } } \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n _ { p } } \mathrm { n _ { i } } \sigma _ { I _ { i } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 0 1 } } & { { } = - \Delta _ { 3 } + \varepsilon ( 0 0 1 ) } \\ { E _ { 0 1 0 } } & { { } = - \Delta _ { 2 } + \varepsilon ( 0 1 0 ) } \\ { E _ { 1 0 0 } } & { { } = - \Delta _ { 1 } + \varepsilon ( 1 0 0 ) } \\ { E _ { 1 1 0 } } & { { } = - \Delta _ { 1 } - \Delta _ { 2 } + \varepsilon ( 1 1 0 ) \, , } \end{array}
p _ { R } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 T _ { 2 } U _ { 2 } ^ { \prime } } | - { T } U ^ { \prime } n ^ { 2 } + i { T } n ^ { 1 } - i U ^ { \prime } m _ { 1 } + 3 m _ { 2 } | ^ { 2 } = 0 .
\pi _ { 1 } ( { \mathrm { S p i n } } ( p , q ) ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { Z } _ { 1 } } & { ( p , q ) = ( 1 , 1 ) { \mathrm { ~ o r ~ } } ( 1 , 0 ) } \\ { \mathrm { Z } _ { 1 } } & { p > 2 , q = 0 , 1 } \\ { \mathbf { Z } } & { ( p , q ) = ( 2 , 0 ) { \mathrm { ~ o r ~ } } ( 2 , 1 ) } \\ { \mathbf { Z } \times \mathbf { Z } } & { ( p , q ) = ( 2 , 2 ) } \\ { \mathbf { Z } } & { p > 2 , q = 2 } \\ { \mathrm { Z } _ { 2 } } & { p , q > 2 } \end{array} \right. }
{ \frac { \partial \mathbf { f } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } = \left( { \frac { \partial \mathbf { f } _ { 1 } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } \right) \times \mathbf { f } _ { 2 } ( \mathbf { v } ) + \mathbf { f } _ { 1 } ( \mathbf { v } ) \times \left( { \frac { \partial \mathbf { f } _ { 2 } } { \partial \mathbf { v } } } \cdot \mathbf { u } \right) .
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 } \left( \ddot { \mathbf { X } } + \frac { 1 } { h _ { 3 } } \left( w - r \hat { \mathbf { r } } _ { t } \cdot \hat { \pmb { \tau } } \right) \dot { \mathbf { X } } _ { s } + \frac { d \mathbf { V } } { d t } \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } \\ { = - \mathbf { \nabla } P + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \left( \frac { 1 } { h _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { h _ { 3 } } \dot { \mathbf { X } } _ { s } \right) _ { s } + \Delta \mathbf { V } \right) + \rho \frac { 1 } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \hat { \mathbf { g } } } \end{array}
\{ \omega ^ { A } , \ { \bar { \pi } _ { B } } \} = i { \delta } _ { B } ^ { A } , \qquad \qquad \{ \pi _ { B ^ { \prime } } , \ { \bar { \omega } } ^ { A ^ { \prime } } \} = i { \delta } _ { B ^ { \prime } } ^ { A ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r } { { \bf C } = \frac { - 1 } { \hbar \omega } e ^ { - i { \pi D } / { 4 } } ( \frac { \mu \omega } { 2 \pi \hbar } ) ^ { { D } / { 2 } } { \bf d } ^ { * } { \bf d } \cdot { \bf F } _ { \mathrm { N I R } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { k } \mathbb { E } \left( \mathbb { X } _ { s , t } ^ { k ; i , i } \right) ^ { 2 } } & { \preceq \operatorname* { s u p } _ { k } \mathbb { E } \left( X _ { s , t } ^ { k ; i } \right) ^ { 4 } \preceq \operatorname* { s u p } _ { k } \left( \mathbb { E } ( X _ { s , t } ^ { k ; i } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( \mathbb { E } ( X _ { s , t } ^ { i } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \leq C \left| t - s \right| ^ { \frac { 2 } { \rho ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \dot { \mathrm { ~ I ~ } } ^ { ( T ) } } { \dot { q } } = \frac { 1 } { \tau _ { c } I _ { c } ( \Delta T ) ^ { 2 } } \frac { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ m ~ } } } J ( \alpha ) \left( 1 - \frac { \dot { q } } { N I _ { c } } \right) , } \end{array}
\frac { d \alpha _ { t } } { d t } = - \frac { \alpha _ { t } } { 4 \pi } \left[ c _ { t } ^ { i } \alpha _ { i } - \left( d _ { Q _ { L } } ^ { t } + d _ { U _ { R } } ^ { t } + d _ { H _ { 2 } } ^ { t } \right) \alpha _ { t } \right] ,
A _ { m } ( 3 , 4 ) = 1 , 4 , 1 8 , 8 8 , 4 5 5 , 2 4 4 8 , 1 3 5 6 6 , 7 6 9 1 2 , 4 4 4 0 1 5 , 2 6 0 1 3 0 0 , \ldots
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } ( A \odot B ) v | } & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | \operatorname { t r } ( A D _ { v } B D _ { v } ) | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | \operatorname { t r } ( A D _ { v } D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) D _ { v } ) | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | \operatorname { t r } ( D _ { v } A D _ { v } D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) ) | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | \operatorname { t r } ( D _ { v } D _ { s } ( v ) A D _ { s } ( v ) D _ { v } D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) ) | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } ( D _ { s } ( v ) A D _ { s } ( v ) \odot D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) ) v | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \| D _ { s } ( v ) A D _ { s } ( v ) \odot D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } \| D _ { s } ( v ) A D _ { s } ( v ) \| \| D _ { s } ( v ) B D _ { s } ( v ) \| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } A v | \operatorname* { s u p } _ { v \in \mathcal { K } ( 2 s ) } | v ^ { \prime } B v | , } \end{array}
( X _ { 1 } ^ { * } , X _ { 2 } ^ { * } , X _ { 3 } ^ { * } , Z _ { 1 } ^ { * } , Z _ { 2 } ^ { * } , Z _ { 3 } ^ { * } ) = ( 2 0 0 , 5 0 , 1 2 . 5 , 4 0 0 , 4 0 0 , 6 . 2 5 )
\{ \Omega _ { 0 1 } , \Omega _ { 1 2 } , \Omega _ { 2 3 } , \Omega _ { 3 0 } \} / h = \{ 1 . 9 0 ( 3 ) , 1 . 8 6 ( 4 ) , 1 . 9 3 ( 4 ) , 1 . 9 4 ( 4 ) \} ~ \mathrm { M H z }
\begin{array} { r l } { \theta _ { 1 } ( \bar { H } - \bar { F } ) } & { = [ ( D _ { \phi _ { 1 } } - \theta _ { 2 } \lvert L _ { \phi _ { 1 } } \rvert ) + \theta _ { 1 } \lvert \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \theta _ { 1 } \phi _ { 2 } ] - [ \lvert ( 1 - \theta _ { 1 } ) D _ { \phi _ { 1 } } } \\ & { + ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) L _ { \phi _ { 1 } } + \theta _ { 1 } U _ { \phi _ { 1 } } + \theta _ { 1 } \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \theta _ { 1 } \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert + 2 \theta _ { 1 } \phi _ { 2 } G ] } \\ & { \geq ( 1 + \theta _ { 1 } - \lvert 1 - \theta _ { 1 } \rvert ) D _ { \phi _ { 1 } } - \lvert \theta _ { 1 } B _ { \phi _ { 1 } } - \theta _ { 2 } L _ { 1 } \rvert } \\ & { - \theta _ { 1 } \lvert B _ { \phi _ { 1 } } \rvert - \theta _ { 2 } \lvert L _ { \phi _ { 1 } } \rvert - 2 \theta _ { 1 } \phi _ { 2 } G . } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { T + h } = l _ { T } + \phi _ { h } b _ { T } + s _ { T + h - m ( k + 1 ) } } \\ { l _ { T } = \alpha ( y _ { T } - s _ { T - m } ) + ( 1 - \alpha ) ( l _ { T - 1 } + \phi b _ { T - 1 } ) } \\ { b _ { T } = \beta ( l _ { T } - l _ { T - 1 } ) + ( 1 - \beta ) \phi b _ { T - 1 } } \\ { s _ { T } = \gamma ( F _ { T } - l _ { T - 1 } - \phi b _ { T - 1 } ) + ( 1 - \gamma ) s _ { T - m } } \\ { \phi _ { h } = \phi + \phi ^ { 2 } + . . . + \phi ^ { h } , } \end{array}
\left. { \begin{array} { l } { \gcd ( \gcd ( x , y ) , z ) = \gcd ( x , \gcd ( y , z ) ) = \gcd ( x , y , z ) \ \quad } \\ { \operatorname { l c m } ( \operatorname { l c m } ( x , y ) , z ) = \operatorname { l c m } ( x , \operatorname { l c m } ( y , z ) ) = \operatorname { l c m } ( x , y , z ) \quad } \end{array} } \right\} { \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } } x , y , z \in \mathbb { Z } .
I \left( T _ { \mathrm { ~ t ~ } } \right) = \sqrt { \frac { m } { 2 \pi T _ { \mathrm { ~ t ~ } } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } Y \left( \frac { m v ^ { 2 } } { 2 } + \gamma T _ { \mathrm { ~ t ~ } } \right) \exp \frac { - m v ^ { 2 } } { 2 T _ { \mathrm { ~ t ~ } } } \mathrm { ~ d } v
m _ { 4 } ^ { 3 } ( \Delta + \partial _ { \perp } ^ { 2 } ) U ( \vec { r } , x ^ { \perp } ) + m _ { 3 } ^ { 2 } \delta ( x ^ { \perp } ) \Delta U ( \vec { r } , x ^ { \perp } ) = \frac { 2 } { 3 } M \delta ( \vec { r } ) \delta ( x ^ { \perp } ) .
\int \arcsin ( a x ) ^ { n } \, d x = x \arcsin ( a x ) ^ { n } \, + \, { \frac { n { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } \arcsin ( a x ) ^ { n - 1 } } { a } } \, - \, n \, ( n - 1 ) \int \arcsin ( a x ) ^ { n - 2 } \, d x
N _ { \infty } \left( Q _ { l _ { m } } ^ { ( j _ { l _ { m } } , k _ { l _ { m } } ) } \circ \dots \circ Q _ { l _ { 1 } } ^ { ( j _ { l _ { 1 } } , k _ { l _ { 1 } } ) } ( P _ { 0 } ) \right) \leq C _ { j , k , \varepsilon } N _ { \infty } ( P _ { 0 } ) h ^ { - k \varepsilon } \left( \operatorname* { s u p } _ { 1 \leq l \leq i } | | d _ { \hat { \rho } } F ^ { ( l ) } | | \right) ^ { 3 k }
G ^ { I } ( p _ { 0 } ^ { \prime } , p _ { 0 } ) \, = \, G ^ { 0 } ( p _ { 0 } ^ { \prime } ) \, \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \, { \frac { \Lambda ^ { + + } } { - 2 i \pi \, g ^ { 0 } } } \, G ^ { 0 } ( p _ { 0 } )
| \Psi _ { w } ( t + \Delta t , \vec { x } ) \rangle - | \Psi _ { w } ( t , \vec { x } ) \rangle = \Delta t \partial _ { t } | \Psi _ { w } ( t , \vec { x } ) \rangle \, , \ | \Psi _ { w } ( t , \vec { x } + \Delta \vec { x } ) \rangle - | \Psi _ { w } ( t , \vec { x } ) \rangle = \Delta \vec { x } \cdot \partial _ { \vec { x } } | \Psi _ { w } ( t , \vec { x } ) \rangle \, .
\operatorname { O n e Z e r o } = \lambda x . \operatorname { I s Z e r o } \ ( \operatorname { f i r s t } \ x ) \ x \ ( \operatorname { I s Z e r o } \ ( \operatorname { s e c o n d } \ x ) \ x \ ( \operatorname { O n e Z e r o } \ \operatorname { p a i r } \ ( \operatorname { p r e d } \ ( \operatorname { f i r s t } \ x ) ) \ ( \operatorname { p r e d } \ ( \operatorname { s e c o n d } \ x ) ) ) )
\left( \! \! { \binom { 4 } { 3 } } \! \! \right) = { \binom { 4 + 3 - 1 } { 3 } } = { \binom { 6 } { 3 } } = { \frac { 6 \times 5 \times 4 } { 3 \times 2 \times 1 } } = 2 0 .
\begin{array} { r l } { \underset { \boldsymbol { \Phi } } { \arg \operatorname* { m i n } } } & { { } \underset { \left( \boldsymbol { I } , \boldsymbol { I _ { 1 } } , \boldsymbol { I _ { 2 } } \right) \sim \mathcal { D } } { \mathbb { E } } \left\| \boldsymbol { \theta } - \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \Phi } } \left( \boldsymbol { \mathcal { P } } \mid \boldsymbol { I _ { 1 } } , \boldsymbol { I _ { 2 } } \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { d { \cal B R } } { d w } ( B \to D ^ { * } l \nu ) = \tau _ { B } \frac { d \Gamma } { d w } = \tau _ { B } \times [ . . . . ] \times \sqrt { w ^ { 2 } - 1 } | V _ { c b } | ^ { 2 } { \cal F } ^ { 2 } ( w ) ,
{ \begin{array} { l } { { \mathrm { ~ 1 } } } \\ { { \mathrm { ~ 1 } } \quad { \mathrm { ~ 2 } } } \\ { { \mathrm { ~ 1 } } \quad { \mathrm { ~ 4 } } \quad { \mathrm { ~ 4 } } } \\ { { \mathrm { ~ 1 } } \quad { \mathrm { ~ 6 } } \quad { \mathrm { ~ 1 2 } } \quad { \mathrm { ~ 8 } } } \\ { { \mathrm { ~ 1 } } \quad { \mathrm { ~ 8 } } \quad { \mathrm { ~ 2 4 } } \quad { \mathrm { ~ 3 2 } } \quad { \mathrm { ~ 1 6 } } } \\ { { \mathrm { ~ 1 } } \quad { \mathrm { ~ 1 0 } } \quad { \mathrm { ~ 4 0 } } \quad { \mathrm { ~ 8 0 } } \quad { \mathrm { ~ 8 0 } } \quad { \mathrm { ~ 3 2 } } } \\ { { \mathrm { ~ 1 } } \quad { \mathrm { ~ 1 2 } } \quad { \mathrm { ~ 6 0 } } \quad 1 6 0 \quad 2 4 0 \quad 1 9 2 \quad { \mathrm { ~ 6 4 } } } \\ { { \mathrm { ~ 1 } } \quad { \mathrm { ~ 1 4 } } \quad { \mathrm { ~ 8 4 } } \quad 2 8 0 \quad 5 6 0 \quad 6 7 2 \quad 4 4 8 \quad 1 2 8 } \end{array} }
x ^ { x - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left| \binom { x } { n } n \frac { \left( 1 - e ^ { - t } t \right) ^ { n } } { e ^ { t } - t } \right| d t \le x ^ { x - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left| \binom { x } { n } \frac { n } { e ^ { t } - t } \right| d t = C x ^ { x - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left| \binom { x } { n } n \right|
4 0 0 0 \ { \mathrm { g } } \, \mathrm { { { H } _ { 2 } \mathrm { { { O } \cdot { \frac { 1 \ { \mathrm { m o l } } \, \mathrm { { { H } _ { 2 } \mathrm { { O } } } } } { 1 8 \ { \mathrm { g } } \, H _ { 2 } O } } \cdot { \frac { 1 0 \ { \mathrm { m o l } } \, e ^ { - } } { 1 \ { \mathrm { m o l } } \, H _ { 2 } O } } \cdot { \frac { 9 6 , 0 0 0 \ { \mathrm { C } } \, } { 1 \ { \mathrm { m o l } } \, e ^ { - } } } = 2 . 1 \times 1 0 ^ { 8 } C \ \, \ } } } }
\begin{array} { r l } { ( { \boldsymbol { p } } ) _ { i } } & { { } \geq 0 } \\ { ( { \boldsymbol { A } } { \boldsymbol { p } } - { \boldsymbol { b } } ) _ { i } } & { { } \geq 0 } \\ { ( { \boldsymbol { p } } ) _ { i } ( { \boldsymbol { A } } { \boldsymbol { p } } - { \boldsymbol { b } } ) _ { i } } & { { } = 0 } \end{array}
\frac { T _ { \mathrm { t } } ( z ) } { T _ { 1 } } = \left( \frac { p _ { \mathrm { t } } ( z ) } { p _ { 1 } } \right) ^ { \frac { \gamma - 1 } { \gamma } } = 1 + \frac { \gamma - 1 } { 2 } \mathrm { M a } ( z ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { } & { = \hat { \mathcal { R } } _ { \mathrm { L R } } ( \Delta \phi ) | \mathrm { i n p u t } \rangle } \\ & { } & { = \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \phi + \Delta \phi } { 2 } } \cos ( \theta / 2 ) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \phi + \Delta \phi } { 2 } } \sin ( \theta / 2 ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\nu _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\begin{array} { r l } & { H _ { 2 n } ( x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { ( 2 n - 2 k - 1 ) ! ! } ( - 1 ) ^ { k } C _ { n } ^ { k } x ^ { 2 n - 2 k } , } \\ & { H _ { 2 n - 1 } ( x ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { ( 2 n - 1 ) ! ! } { ( 2 n - 2 k - 1 ) ! ! } ( - 1 ) ^ { k } C _ { n - 1 } ^ { k } x ^ { 2 n - 2 k - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp { ( s A ) } } & { = \exp { \left( \frac { s } { 2 } \operatorname { T r } ( A ) \operatorname { I } _ { 2 } \right) } \, \exp { ( s A - \frac { s } { 2 } \operatorname { T r } ( A ) \operatorname { I } _ { 2 } ) } } \\ & { = e ^ { \frac { s } { 2 } \operatorname { T r } ( A ) } ( \operatorname { I } _ { 2 } + s A - \frac { s } { 2 } \operatorname { T r } ( A ) \operatorname { I } _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { V } \left[ \nabla f _ { i } ( x ) \right] } & { \leq } & { \mathbb { E } \left[ \Vert \nabla f _ { i } ( x ) - \nabla f ( y ) \Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq } & { 2 \mathbb { E } \left[ \Vert \nabla f _ { i } ( x ) - \nabla f _ { i } ( y ) \Vert ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { E } \left[ \Vert \nabla f _ { i } ( y ) - \nabla f ( y ) \Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { = } & { 2 \mathbb { E } \left[ \Vert \nabla f _ { i } ( x ) - \nabla f _ { i } ( y ) \Vert ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { V } \left[ \nabla f _ { i } ( y ) \right] } \\ & { \leq } & { 4 L _ { \operatorname* { m a x } } D _ { f } ( x ; y ) + 2 \mathbb { V } \left[ \nabla f _ { i } ( y ) \right] . } \end{array}
M _ { 0 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , \dots , k _ { r } ) = \frac 1 { K } \sum _ { D | k _ { \nu } , \, \nu = 1 , 2 , \dots , r } \frac { \mu ( D ) ( K / D ) ! } { \prod _ { \nu = 1 } ^ { r } ( k _ { \nu } / D ) ! } , \qquad \qquad K : = \sum _ { \nu = 1 } ^ { r } k _ { \nu } .
\frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \mu _ { \sigma } } = - 2 \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { d a t a } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial \mu _ { \sigma } } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { T } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \, d \boldsymbol { \textbf { r } } + \eta _ { \sigma } \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \frac { \partial f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) } { \partial \mu _ { \sigma } } \right) \, .
\begin{array} { r } { \tilde { \varepsilon } _ { 1 } = m c ^ { 2 } - \frac { m Z ^ { 2 } } { 2 } + \frac { m Z ^ { 4 } } { 8 c ^ { 2 } } + O \left( \frac { 1 } { c ^ { 4 } } \right) , } \end{array}