harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \partial _ { t } f _ { 1 } + \, \vec { p } \cdot \nabla _ { \vec { x } } f _ { 1 } + \vec { F } \cdot \nabla _ { \vec { p } } f _ { 1 } = \varepsilon ^ { - 1 } C ( f _ { 1 } , f _ { 1 } ) \, . } \end{array}
\Im \left( \oint _ { \zeta = \zeta _ { H } } \frac { d z _ { m } } { d \zeta } d \zeta \right) = \Im \left( \frac { i \pi } { - i v _ { \infty } } \begin{array} { c } { ~ ~ ~ } \\ { \mathrm { r e s } \ ^ { \zeta = \zeta _ { H } } } \end{array} \frac { d w } { d \zeta } \right) = \Im \left\{ \frac { \pi } { - v _ { \infty } } \frac { d } { d \zeta } \left[ \frac { d w } { d \zeta } ( \zeta - \zeta _ { H } ) ^ { 2 } \right] \right\} = 0 ;
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \epsilon } = \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W ( \epsilon ) } { \partial Q ( \epsilon ) } } & { \frac { \partial Q ( \epsilon ) } { \partial \epsilon } \approx \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial W ( \epsilon ) } \frac { \partial W _ { \theta } } { \partial Q ( \epsilon ) } } \\ { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial x } } & { = W ( \epsilon ) ^ { T } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial y } } \end{array}
\begin{array} { r } { a ( \mathbf { J } , \mathbf { v } ) { } = { } b \big ( \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } , \mathbf { v } \big ) \qquad \forall \mathbf { v } \in \mathbb { V } , } \end{array}
q _ { i } ^ { n + 1 } = q _ { i } ^ { n } + \Delta t \left( \frac { \left( \tau _ { i , k + \frac { 1 } { 2 } } ^ { n + 1 } - \tau _ { i , k - \frac { 1 } { 2 } } ^ { n + 1 } \right) } { 1 + \Delta t \left( \left( \frac { \partial \tau _ { i , k + 1 / 2 } } { \partial q _ { i , k } } \right) ^ { n } - \left( \frac { \partial \tau _ { i , k - 1 / 2 } } { \partial q _ { i , k } } \right) ^ { n } \right) } \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { 3 \, \nu _ { \alpha } \, m _ { \alpha } \, N _ { \alpha } \, \Delta u _ { \alpha } } { 2 \pi \, R _ { D T } \, L } } & { { } \approx } & { \frac { E _ { \alpha } + E _ { D } + E _ { p } } { \pi \, R _ { D T } ^ { 2 } \, L } } \end{array}
\mathrm { d } N = ( - N \left[ { \Gamma _ { 0 } + \Gamma _ { \mathrm { ~ m ~ } } ( N ) } \right] + \frac { \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } { \hbar \Omega _ { 0 } } ) \mathrm { d } t + \sqrt { \frac { 2 N \Gamma _ { 0 } k _ { \mathrm { B } } T _ { 0 } } { \hbar \Omega _ { 0 } } } \mathrm { d } { W } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r } { \Delta h _ { \mathrm { s } } \equiv h _ { \mathrm { s } } ^ { \prime \prime } + \frac { 1 } { r } h _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } = \frac { h _ { \mathrm { s } } } { l _ { c } ^ { 2 } } , \quad r > R , \quad h _ { \mathrm { s } } ( R ) = - \delta , \quad h _ { \mathrm { s } } \rightarrow 0 \quad \mathrm { a s } \quad r \rightarrow \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } = 0 . 9 0 \sqrt { \frac { R } { r } } \frac { S ^ { 3 / 2 } } { \nu } \mu _ { 1 i } , } & { { } } & { H _ { 1 } = 0 . 6 8 \sqrt { \frac { R } { r } } \frac { S ^ { 3 / 2 } } { \nu } \left[ \mu _ { 2 i } - \left( \bar { y } ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) \mu _ { 1 i } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + v _ { \mathrm { e x t } } + v _ { \mathrm { H } } \right) \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) + \int \Sigma ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; E _ { i } ) } & { \phi _ { i } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \, d \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ & { = E _ { i } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } n + \partial _ { i } \left( n v _ { i } \right) } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { t } v _ { i } + v _ { j } \partial _ { j } v _ { i } + \frac { e B } { m } \epsilon _ { i j } v _ { j } - \frac { 1 } { m n } \partial _ { j } T _ { i j } } & { { } = 0 , } \\ { n - \frac { \nu e B } { 2 \pi \hbar } + \frac { \nu } { 4 \pi } \partial _ { i } \left( \frac { \partial _ { i } n } { n } \right) + \frac { \nu m } { 2 \pi \hbar } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } v _ { j } } & { { } = 0 . } \end{array}
\rho \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial { \dot { q } } _ { i } } { \partial q _ { i } } } + { \frac { \partial { \dot { p } } _ { i } } { \partial p _ { i } } } \right) = \rho \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial q _ { i } \, \partial p _ { i } } } - { \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial p _ { i } \partial q _ { i } } } \right) = 0 ,
\begin{array} { r l } { i \hbar \partial _ { t } \Psi _ { 1 } = } & { { } \ \left[ { \hat { K } } _ { 1 } + V ( \mathbf { x } ) + G _ { 1 } | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } + G _ { 1 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } - { \tilde { \mu } _ { 1 } } \right] \Psi _ { 1 } , } \\ { i \hbar \partial _ { t } \Psi _ { 2 } = } & { { } \ \left[ { \hat { K } } _ { 2 } + V ( \mathbf { x } ) + G _ { 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } + G _ { 1 2 } | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } - { \tilde { \mu } _ { 2 } } \right] \Psi _ { 2 } , } \end{array}
| \Vec { d } _ { S O V C } | ^ { 2 } = \frac { | \langle A ^ { 2 } \Pi _ { 1 / 2 } ( 0 0 0 ) | \hat { h } ^ { \mathrm { S O } } | B ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 ) \rangle \langle B ^ { 2 } \Sigma _ { 1 / 2 } ^ { + } ( 0 0 0 ) | \hat { h } ^ { \mathrm { L V C } } | A ^ { 2 } \Pi _ { 3 / 2 } ( 0 1 0 ) \rangle | ^ { 2 } } { ( \Delta E _ { A B } ) ^ { 2 } ( \Delta E _ { A A } + \omega ^ { A } ( 0 1 0 ) ) ^ { 2 } } | h _ { \mathrm { A X } } ^ { \mathrm { d i p } } | ^ { 2 } ,
i \int d ^ { 4 } x \, e ^ { i q x } \langle 0 | T ( J _ { i j ; V , A } ^ { \mu } ( x ) J _ { i j ; V , A } ^ { \nu } ( 0 ) ^ { \dagger } ) | 0 \rangle \, \equiv ( - g ^ { \mu \nu } q ^ { 2 } + q ^ { \mu } q ^ { \nu } ) \, \Pi _ { i j ; V , A } ^ { ( 1 ) } ( q ^ { 2 } ) + q ^ { \mu } q ^ { \nu } \, \Pi _ { i j ; V , A } ^ { ( 0 ) } ( q ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { f } ( v ) } & { = } & { \tilde { f } ( \prod _ { i = 1 } ^ { k } w _ { i } ^ { - 1 } y _ { i } ^ { \varepsilon } w _ { i } ) = \tilde { f } ( ( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } w _ { i } ^ { - 1 } y _ { i } ^ { \varepsilon } w _ { i } ) ( w _ { m } ^ { - 1 } y _ { m } ^ { \varepsilon } w _ { m } ) ) } \\ & { = } & { \tilde { f } ( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } w _ { i } ^ { - 1 } y _ { i } ^ { \varepsilon } w _ { i } ) \tilde { \tau } ( w _ { m } ^ { - 1 } y _ { m } ^ { \varepsilon } w _ { m } ) + \tilde { \sigma } ( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } w _ { i } ^ { - 1 } y _ { i } ^ { \varepsilon } w _ { i } ) \tilde { f } ( w _ { m } ^ { - 1 } y _ { m } ^ { \varepsilon } w _ { m } ) } \\ & { = } & { 0 \tilde { \tau } ( w _ { m } ^ { - 1 } y _ { m } ^ { \varepsilon } w _ { m } ) + \tilde { \sigma } ( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } w _ { i } ^ { - 1 } y _ { i } ^ { \varepsilon } w _ { i } ) 0 = 0 } \end{array}
P _ { \Delta t _ { j } } ( r _ { j } ) = \left| \left. \int _ { - \varepsilon } ^ { \varepsilon } \bar { C } _ { i \Delta t _ { j } } ^ { [ n ] } \varphi _ { \varepsilon j } \mathop { } \! { d { z } } \right| _ { \| \varphi _ { \varepsilon j } \| \leqslant r _ { j } } \right| ^ { 2 }
\left[ \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| + \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \right| \right] \frac { L _ { p } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( 1 + \| ( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } ) \| \right) \leq \frac { \epsilon } { 2 } ,
S = \frac { - 1 } { 1 6 \pi G _ { D } } \int _ { M _ { D } } d ^ { D } z \sqrt { G } R _ { D } - \frac { f ^ { 4 } } { 4 } \int _ { M _ { 4 } } d ^ { 4 } x \sqrt { g } G _ { M N } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } Y ^ { M } \partial _ { \nu } Y ^ { N } ,
\begin{array} { r l } { { \cal R } _ { \operatorname* { m a x } } [ \mathsf { f } , R , E ] : = } & { \operatorname* { m i n } _ { \rho \in { \cal S } _ { E } , { \cal M } } { \cal R } _ { \operatorname* { m a x } } [ \mathsf { f } , R , \rho , { \cal M } ] , } \\ { { \cal R } _ { a v } [ \mathsf { f } , R , E ] : = } & { \operatorname* { m i n } _ { \rho \in { \cal S } _ { E } , { \cal M } } { \cal R } _ { a v } [ \mathsf { f } , R , \rho , { \cal M } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle f , g * \phi \rangle = \langle \tilde { g } * } & { f , \phi \rangle = \langle f * \tilde { \phi } , g \rangle } \\ { \widetilde { f * g } } & { = \tilde { g } * \tilde { f } } \\ { \psi ^ { \lambda } * \phi ^ { \lambda } = ( \psi * \phi ) ^ { \lambda } \quad } & { \mathrm { a n d } \quad ( \psi \ast \phi ) _ { x } = \psi _ { x } \ast \phi . } \end{array}
C _ { t o t } = C _ { d } + \frac { 2 4 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { p } } , \qquad \mathrm { ~ R ~ e ~ } _ { p } = \frac { 2 a \rho _ { f } | \boldsymbol { v _ { f } } - \boldsymbol { v _ { p } } | } { \mu } ,
N ( L \to 0 , L ^ { \prime } , D ) = { \frac { 1 } { \sqrt { \pi L } } } e ^ { L ^ { \prime } \sqrt \tau } { \frac { \partial } { \partial D } } e ^ { - { \frac { 3 } { 2 } } L ^ { \prime } \sqrt \tau \coth ^ { 2 } \left( \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \tau ^ { 1 / 4 } D \right) } + O ( L ^ { 0 } )
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \rho _ { A } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { = \sum _ { i , j \in \mathcal { N } } \sum _ { I \subseteq \mathcal { N } } \sum _ { \beta \in \mathcal { L } } c _ { I } ^ { j i } \left( \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \eta _ { I \cup \left\{ i \right\} } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) - \eta _ { I \cup \left\{ j \right\} } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf u } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { u ( t _ { 1 } ) } & { u ( t _ { 2 } ) } & { \ldots } & { u ( t _ { N } ) } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { { \bf d } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { \hat { d } ( t _ { 1 } ) } & { \hat { d } ( t _ { 2 } ) } & { \ldots } & { \hat { d } ( t _ { N } ) } \end{array} \right] ^ { T } , } \end{array}
Z ( v _ { 1 } , v _ { 2 } ) \rightarrow \frac { \sqrt { 4 \pi } } { \sqrt { v _ { 2 } } } = \frac { \sqrt { 1 + ( 2 \pi \theta _ { 1 } ) ^ { 2 } } } { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } u _ { 2 } }
T _ { \mu \nu } ^ { a b c d } T _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ^ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } c d ^ { * } } Q ^ { \mu \mu ^ { \prime } } ( k _ { 1 } ) g ^ { \nu \nu ^ { \prime } } = S ^ { a b c d } S ^ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } c d * }
\operatorname* { m i n } _ { w } \sqrt { \frac { \int \left[ n _ { \mathrm { ~ g ~ , ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } ( w , \lambda ) - n _ { \mathrm { ~ g ~ , ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } } ( \lambda ) \right] ^ { 2 } \mathrm { ~ d ~ } \lambda } { \int n _ { \mathrm { ~ g ~ , ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } } ^ { 2 } ( \lambda ) \mathrm { ~ d ~ } \lambda } } ,
\begin{array} { r l r } { r ( x , y ) } & { = } & { \left\langle \operatorname* { m i n } _ { z ( t ) } \int _ { x } ^ { y } d t g ^ { \mu \nu } \frac { d z _ { \mu } ( t ) } { d t } \frac { d z _ { \nu } ( t ) } { d t } \right\rangle } \\ & { = } & { \operatorname* { m i n } _ { z ( t ) } \int _ { x } ^ { y } d t g _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { d S } } \frac { d z ^ { \mu } ( t ) } { d t } \frac { d z ^ { \nu } ( t ) } { d t } + \left\langle \operatorname* { m i n } _ { z ( t ) } \int _ { x } ^ { y } d t \gamma _ { \mu \nu } \frac { d z ^ { \mu } ( t ) } { d t } \frac { d z ^ { \nu } ( t ) } { d t } \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { x } [ \rho _ { L } ] } & { \approx - \frac { \bar { \rho } ^ { 2 } p _ { L } ^ { 6 } } { 4 p _ { F } ^ { 6 } } \biggr ( J _ { \textnormal { i d } , \textnormal { i d } } ( L ) + \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } J _ { \sigma _ { j } , \sigma _ { j } } ( L ) - \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \bigr ( J _ { \textnormal { i d } , \sigma _ { j } } ( L ) + J _ { \sigma _ { j } , \textnormal { i d } } ( L ) \bigr ) \biggr ) } \\ & { \approx - \frac { \pi \bar { \rho } ^ { 2 } p _ { L } ^ { 4 } } { p _ { F } ^ { 6 } } I _ { 0 } | Q ^ { D } | L ^ { 3 } - \biggr ( - \frac { \pi \bar { \rho } ^ { 2 } p _ { L } ^ { 3 } } { 4 p _ { F } ^ { 6 } } I _ { 1 } + \frac { \pi \log 2 \bar { \rho } ^ { 2 } p _ { L } ^ { 3 } } { 2 p _ { F } ^ { 6 } } I _ { 1 } - \frac { \pi \bar { \rho } ^ { 2 } p _ { L } ^ { 3 } } { p _ { F } ^ { 6 } } I _ { 2 } \biggr ) | \partial Q ^ { D } | L ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ G ~ M ~ } } ( \mathbf { A } ) } & { { } = p ^ { L } ( 1 - p ) ^ { \binom { N } { 2 } - L } \cdot \left( \frac { p ^ { - } } { p } \right) ^ { L ^ { - } } \left( \frac { p ^ { + } } { p } \right) ^ { L ^ { + } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = { \frac { X ^ { 1 / 2 } } { \rho } } ( e ^ { 2 A } d x ^ { 2 } + d r ^ { 2 } ) + { \frac { X ^ { 1 / 2 } } { \rho ^ { 3 } } } ( d \theta ^ { 2 } + { \frac { \rho ^ { 6 } \cos ^ { 2 } \theta } { X } } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } + { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { X } } d \phi ^ { 2 } )
\{ 0 < \hat { x } < \bar { \varepsilon } , \, 0 < y < \frac { \hat { x } } { k } \} \; \subseteq \; \mathcal { R } ( \Omega _ { \bar { \varepsilon } } ^ { 5 } ) \; \subseteq \; \{ 0 < \hat { x } < \bar { \varepsilon } , \, 0 < y < k \hat { x } \} \, .
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } = } & { \frac { 2 ^ { m _ { 1 } } - 1 } { 2 ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 , 1 } } - 1 } \left( \frac { N _ { 2 } } { N _ { 1 } } P - \frac { N _ { 2 } - N _ { 1 } } { N _ { 1 } } P _ { 2 , 2 } \right) , } \\ { P _ { 2 , 1 } = } & { \frac { 2 ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 , 1 } } - 2 ^ { m _ { 1 } } } { 2 ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 , 1 } } - 1 } \left( \frac { N _ { 2 } } { N _ { 1 } } P - \frac { N _ { 2 } - N _ { 1 } } { N _ { 1 } } P _ { 2 , 2 } \right) . } \end{array}
\Psi = \frac { 1 } { \sqrt { 2 S } } \left( \begin{array} { l } { { \chi _ { 1 } + \xi _ { 1 } } } \\ { { \chi _ { 2 } + \xi _ { 2 } } } \\ { { \chi _ { 1 } - \xi _ { 1 } } } \\ { { \chi _ { 2 } - \xi _ { 2 } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l } { { \Psi _ { + } + \Psi _ { - } } } \\ { { \Psi _ { + } - \Psi _ { - } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \mathcal { B } ( \delta _ { 1 } , \delta _ { 2 } , \delta _ { 3 } ) } } \\ & { } & { : = \left\{ w \in \mathcal { W } _ { \xi } : \operatorname* { s u p } _ { z \in D _ { 1 / 2 } } \| \partial _ { r } w _ { 0 , 0 } ( z ) - 1 \| _ { \infty } \leq \delta _ { 1 } , \, \operatorname* { s u p } _ { z \in D _ { 1 / 2 } } | w _ { 0 , 0 } ( z , 0 ) + z | \leq \delta _ { 2 } , \, \| w _ { \geq 1 } \| _ { \xi } \leq \delta _ { 3 } \right\} . } \end{array}
\frac { 2 p ( 1 - p ) ( 1 - e ^ { 2 \lambda } ) } { 1 - 2 p ( 1 - p ) ( 1 - e ^ { 2 \lambda } ) } \left\{ \begin{array} { l l } { > 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \lambda < 0 , } \\ { = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \lambda = 0 , } \\ { < 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \lambda > 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \delta _ { x _ { k } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { - 1 } & & { \mathrm { i f } \ k = r \ \mathrm { f o r \ a n y } \ r = \mu _ { 1 } , \cdots , \mu _ { l } } \\ { + 1 } & & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \\ { \delta _ { y _ { k ^ { \prime } } } } & { = \left\{ \begin{array} { l l l } { - 1 } & & { \mathrm { i f } \ k ^ { \prime } = s \ \mathrm { f o r \ a n y } \ s = \nu _ { 1 } , \cdots , \nu _ { m } } \\ { + 1 } & & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \end{array}
\Phi ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } + \varphi ( x ) \left( x + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 3 \cdot 5 } } + { \frac { x ^ { 7 } } { 3 \cdot 5 \cdot 7 } } + { \frac { x ^ { 9 } } { 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 } } + \cdots \right)
u \in L _ { \mathrm { l o c } } ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) , \qquad \nabla u \in L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) , \qquad G ( u ( \cdot ) ) \in L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) , \qquad n \in \mathbb { N } ,
E = \frac { m _ { p } ( \dot { r } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } ) } { \sqrt { 1 - H _ { 0 } ( \dot { r } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } ) } } + m _ { p } H _ { 0 } ^ { - 1 } [ \sqrt { 1 - H _ { 0 } ( \dot { r } ^ { 2 } + r ^ { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } ) } - 1 ] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { k + \ell + s + 1 } H _ { x } } { \partial ^ { k } x \, \partial ^ { \ell } y \, \partial ^ { s + 1 } t } = } & { \, \, - \frac { 1 } { \mu } \frac { \partial ^ { k + \ell + s + 1 } E _ { z } } { \partial ^ { k } x \, \partial ^ { \ell + 1 } y \, \partial ^ { s } t } , } \\ { \frac { \partial ^ { k + \ell + s + 1 } H _ { y } } { \partial ^ { k } x \, \partial ^ { \ell } y \, \partial ^ { s + 1 } t } = } & { \, \, \frac { 1 } { \mu } \frac { \partial ^ { k + \ell + s + 1 } E _ { z } } { \partial ^ { k + 1 } x \, \partial ^ { \ell } y \, \partial ^ { s } t } , } \\ { \frac { \partial ^ { k + \ell + s + 1 } E _ { z } } { \partial ^ { k } x \, \partial ^ { \ell } y \, \partial ^ { s + 1 } t } = } & { \, \, \frac { 1 } { \epsilon } \bigg ( \frac { \partial ^ { k + \ell + s + 1 } H _ { y } } { \partial ^ { k + 1 } x \, \partial ^ { \ell } y \, \partial ^ { s } t } - \frac { \partial ^ { k + \ell + s + 1 } H _ { x } } { \partial ^ { k } x \, \partial ^ { \ell + 1 } y \, \partial ^ { s } t } \bigg ) . } \end{array}
E _ { \mathrm { X C } } ^ { \mathrm { G G A } } [ n _ { \uparrow } , n _ { \downarrow } ] = \int \varepsilon _ { \mathrm { X C } } ( n _ { \uparrow } , n _ { \downarrow } , \nabla n _ { \uparrow } , \nabla n _ { \downarrow } ) n ( \mathbf { r } ) \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } .
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \log \mathcal { T } ( g ^ { T \bar { M } } , h ^ { \bar { F } } , \nabla ^ { \bar { F } } ) ( T ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \log \mathcal { T } _ { i } ( g ^ { T \bar { M } _ { i } } , h ^ { \bar { F } _ { i } } , \nabla ^ { \bar { F } _ { i } } ) ( T ) - \log \mathcal { T } ( T ) } \\ & { = \log \mathcal { T } ( g ^ { T M } , h ^ { F } , \nabla ^ { F } ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \log \mathcal { T } _ { i } ( g ^ { T M _ { i } } , h ^ { F _ { i } } , \nabla ^ { F _ { i } } ) - \log \mathcal { T } . } \end{array}
B _ { m - 2 , 3 } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } ( m - 3 - t ) ^ { 2 } , \quad } & { m - 4 \leq t < m - 3 } \\ { - \frac { 3 } { 2 } ( m - 2 - t ) ^ { 2 } + 2 ( m - 2 - t ) , \quad } & { m - 3 \leq t < m - 2 } \\ { 0 \quad } & { o t h e r w i s e } \end{array} \right.
\mathbf { q } _ { l } = \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { l } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { W ( x , y , z ) } \\ { B _ { 0 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { P ( z ) } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { q } _ { h } = \left[ \begin{array} { l } { \rho _ { h } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { W ( x , y , z ) } \\ { B _ { 0 } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { P ( z ) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r } { { \cal V } _ { \Delta x } ( t ) = 2 \left[ \left( \frac { k _ { B } \, T } { k } + \frac { { \cal F } ^ { 2 } \, \mu \, q ( 1 - q ) } { k ( w + w _ { r } ) } \right) ( 1 - \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } ) + \frac { { \cal F } ^ { 2 } \, \mu ^ { 2 } \, q ( 1 - q ) } { w ^ { 2 } - w _ { r } ^ { 2 } } \left( \mathrm { e } ^ { - w _ { - } \, t } - \mathrm { e } ^ { - w _ { r } \, t } \right) \right] \, . } \end{array}
\bar { D } _ { T W } = \frac { | \psi _ { 0 } | ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 5 } \bar { N } } { 4 \sqrt { l ( l + 1 ) } } \Big [ \omega ^ { 2 } \Big ] _ { \omega _ { m i n } } ^ { \omega _ { m a x } } .
\begin{array} { r l r } { i \frac { \partial } { \partial t } \psi _ { 1 } ( x , t ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } \psi _ { 1 } ( x , t ) + \gamma e ^ { i \omega t } \psi _ { 2 } ( x , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { \left( 2 \pi i \right) ^ { n } } \int _ { C _ { 1 } } \dots \int _ { C _ { n } } \frac { \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( H _ { r } \left( z _ { r } \right) - H _ { r } \left( x _ { r } \right) \right) } { \prod _ { r = 1 } ^ { n } \left( z _ { r } - x _ { r } \right) H _ { r } \left( z _ { r } \right) } f \left( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } \right) d z _ { 1 } \dots d z _ { n } = \sum _ { \mathbf { a \in A } } \sum _ { \mathbf { k \in } \left[ \mathbf { 0 , } \nu \left( \mathbf { a } \right) - \mathbf { 1 } \right] } H _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } \partial _ { \mathbf { a } } ^ { \mathbf { k } } f . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( x , t ) } & { = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { P _ { G E N } ( t ) } { P _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } \, f _ { G E N } ( x ) - \gamma _ { m } \, m ( x , t ) + D _ { m } \, \nabla ^ { 2 } m ( x , t ) } \\ { \dot { p } ( x , t ) } & { = } & { \omega _ { p } \; f _ { R I B } ( x ) \, m ( x , t ) - \gamma _ { p } \, p ( x , t ) + D _ { p } \nabla ^ { 2 } \, p ( x , t ) , } \end{array}
[ A , a ^ { \dagger } ] = { \frac { 1 } { 2 } } [ z a ^ { \dagger 2 } - z ^ { * } a ^ { 2 } , a ^ { \dagger } ] = - { \frac { z ^ { * } } { 2 } } [ a ^ { 2 } , a ^ { \dagger } ] = - z ^ { * } a .
a _ { h } ( \textbf { u } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) : = \displaystyle { \sum _ { E \in \mathcal { T } _ { h } } a _ { h } ^ { E } ( \textbf { u } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) } \quad \mathrm { a n d } \quad b _ { h } ( \textbf { u } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) : = \displaystyle { \sum _ { E \in \mathcal { T } _ { h } } b _ { h } ^ { E } ( \textbf { u } _ { h } , \textbf { v } _ { h } ) } ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial g _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } } r _ { 1 , i } \Big | _ { x _ { j } = x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } = 0 . } \end{array}
\mathbb { P } [ P _ { X } ( c ) \leq p _ { X } ^ { \mathrm { m i n } } ] \leq \mathrm { e } ^ { - s _ { x } p _ { X } ^ { \mathrm { m i n } } } M _ { P _ { X } ( c ) } ( s _ { x } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad s _ { x } < 0 ~ ,
D _ { x } ( z , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( a _ { p } e ^ { i \omega _ { 1 } ( t - p T ) } + b _ { p } e ^ { - i \omega _ { 1 } ( t - p T ) } ) e ^ { - i k _ { z } z } , } & { p T - t _ { 1 } < t < p T } \\ { ( c _ { p } e ^ { i \omega _ { 2 } ( t - p T + t _ { 1 } ) } + d _ { p } e ^ { - i \omega _ { 2 } ( t - p T + t _ { 1 } ) } ) e ^ { - i k _ { z } z } , } & { ( p - 1 ) T < t < p T - t _ { 1 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \dot { p } _ { \theta } = - \frac { [ p _ { \varphi } - p _ { \psi } \cos \theta ] [ p _ { \psi } - p _ { \varphi } \cos \theta ] } { I _ { 1 } \sin ^ { 3 } \theta } , } \\ { \dot { p } _ { \varphi } = 0 , \quad \mathrm { t h e n } \quad p _ { \varphi } = m _ { \varphi } = c o n s t , } \\ { \dot { p } _ { \psi } = 0 , \quad \mathrm { t h e n } \quad p _ { \psi } = m _ { \psi } = c o n s t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) \rightarrow M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { s } ( \Omega ) ) } \\ & { } & { \sqrt { M _ { \theta } ( u ^ { N } ) } \rightarrow \sqrt { M _ { \theta } ( u _ { \theta } ) } \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { s } ( \Omega ) ) } \\ & { } & { q ^ { \prime } ( u ^ { N } ) \rightarrow q ^ { \prime } ( u _ { \theta } ) \mathrm { ~ s t r o n g l y ~ i n ~ } C ( [ 0 , T ] ; L ^ { s } ( \Omega ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { p } & { = \frac { \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 1 } ) ) - \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 2 } ) ) + I _ { 2 2 } ( \omega _ { 1 } ) I _ { 1 1 } ( \omega _ { 2 } ) - I _ { 2 2 } ( \omega _ { 2 } ) I _ { 1 1 } ( \omega _ { 1 } ) } { I _ { 1 1 } ( \omega _ { 2 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 1 } ) ) - I _ { 1 1 } ( \omega _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 2 } ) ) } , } \\ { q } & { = \frac { I _ { 2 2 } ( \omega _ { 1 } ) - I _ { 2 2 } ( \omega _ { 2 } ) } { I _ { 1 1 } ( \omega _ { 2 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 1 } ) ) - I _ { 1 1 } ( \omega _ { 1 } ) \operatorname* { d e t } ( I ( \omega _ { 2 } ) ) } . } \end{array}