harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
i = ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = \left( { \frac { 1 } { - 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \not = { \frac { 1 ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { ( - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } = { \frac { 1 } { i } } = - i
\frac { \partial g ( x , k _ { T } ^ { 2 } ) } { \partial l n ( 1 / x ) } = \frac { 3 \alpha _ { s } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d k _ { T } ^ { \prime 2 } } { k _ { T } ^ { \prime 2 } } \left[ \frac { g ( x , k _ { T } ^ { \prime 2 } ) - g ( x , k _ { T } ^ { 2 } ) } { \vert k _ { T } ^ { \prime 2 } - k _ { T } ^ { 2 } \vert } + \frac { g ( x , k _ { T } ^ { 2 } ) } { \sqrt { 4 k _ { T } ^ { \prime 2 } - k _ { T } ^ { 2 } } } \right] .
\Delta _ { \mathcal { M } } = \frac { \partial f ^ { \mathrm { e q } } } { \partial \rho } D _ { t } ^ { ( 0 ) } \rho + \frac { \partial f ^ { \mathrm { e q } } } { \partial u _ { \alpha } } D _ { t } ^ { ( 0 ) } u _ { \alpha } + \frac { \partial f ^ { \mathrm { e q } } } { \partial T } \partial _ { t } ^ { ( 0 ) } T + ( v _ { \beta } - u _ { \beta } ) \partial _ { \beta } f ^ { \mathrm { e q } } .
\begin{array} { r l r l } & { \omega \big ( H _ { 0 } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 1 } } { \d x ^ { 3 } } + ( n - 1 ) H _ { 0 } ^ { n - 2 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 0 } } { \d x ^ { 3 } } H _ { 1 } \big ) = s _ { 0 } ^ { n + 3 } \dot { s } _ { 0 } x } & & { \mathrm { f o r } \quad x \in ( 0 , 1 ) , } \\ & { \big ( \frac { \d H _ { 0 } } { \d x } \big ) ^ { 2 } = s _ { 0 } ^ { 4 - \alpha ( n + 3 ) } \omega ^ { \alpha } \big ( H _ { 0 } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 1 } } { \d x ^ { 3 } } + ( n - 1 ) H _ { 0 } ^ { n - 2 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 0 } } { \d x ^ { 3 } } H _ { 1 } \big ) ^ { \alpha } } & & { \mathrm { a t } \quad x = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho \frac { D u _ { i } } { D t } } & { = } & { - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } } \\ { \frac { D p } { D t } } & { = } & { - { c _ { s } } ^ { 2 } \rho _ { o } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial x _ { i } x _ { i } } , } \end{array}
B ( \zeta ; \frac { 1 } { n } + m , 1 - \frac { 1 } { n } ) = \int _ { 0 } ^ { \zeta } \zeta ^ { \frac { 1 } { n } + m - 1 } ( 1 - \zeta ) ^ { 1 - \frac { 1 } { n } - 1 } d \zeta
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \psi ^ { ( j ) } } { \partial t } + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi ^ { ( j ) } } { \partial x ^ { 2 } } + \sigma \sum _ { j = 1 } ^ { j = N } ( | \psi ^ { ( j ) } | ^ { 2 } ) \psi ^ { ( j ) } } & { { } = 0 , } \end{array}
\sum _ { Q } \mathbf S _ { P Q } ^ { [ n n ] } \xi _ { Q } ^ { [ n n ] } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { \mu \nu } \phi _ { \mu } ( \mathbf { r } ) ^ { * } \phi _ { \nu } ( \mathbf { r } ) \phi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } \phi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { P } )
[ \hat { H } ^ { R = 0 , ( r ) } ( m + \frac { r } { 2 } ) , \hat { H } ^ { R = 0 , ( s ) } ( n + \frac { s } { 2 } ) ] = 4 k ( m + \frac { r } { 2 } ) \delta _ { m + n + \frac { r + s } { 2 } , 0 }
\hat { a } _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } { { \hat { b } _ { n } } } \\ { { - \hat { b } _ { - n } ^ { \dagger } } } \end{array} \right. \; \; \; \hat { a } _ { n } ^ { \dagger } = \left\{ \begin{array} { l l } { { \hat { b } _ { n } ^ { \dagger } } } & { { ( k > 0 ) } } \\ { { - \hat { b } _ { - n } } } & { { ( k < 0 ) } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \Lambda } } & { g _ { W } ^ { \Lambda } ( \Psi _ { 1 } , \Psi _ { 2 } ) = \frac { d } { d \Lambda } g \left( \Psi _ { 1 } , e ^ { \Lambda Q _ { W } ( L ) } \Psi _ { 2 } \right) = g \left( \Psi _ { 1 } , ( Q _ { W } L + L Q _ { W } ) e ^ { \Lambda Q _ { W } ( L ) } \Psi _ { 2 } \right) } \\ & { = g \left( \Psi _ { 1 } , L e ^ { \Lambda Q _ { W } ( L ) } Q _ { W } \Psi _ { 2 } \right) - ( - 1 ) ^ { | \Psi _ { 1 } | } g \left( Q _ { W } \Psi _ { 1 } , e ^ { \Lambda Q _ { W } ( L ) } \Psi _ { 2 } \right) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { k } ^ { l } } & { = \frac { 1 } { N _ { k } ^ { l } L _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { l } } { \left( \frac { \beta _ { i } c P _ { i } } { 1 3 . 6 M e V } \right) ^ { 2 } s _ { i } ^ { 2 } } \; \; \; } & { P _ { i } \leq P _ { \mathrm { t h r } } \; , } \\ { \lambda _ { k } ^ { h } } & { = \left( \frac { \bar { \beta } _ { h } c \bar { P } _ { h } } { 1 3 . 6 M e V } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { N _ { k } ^ { h } L _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { h } } { s _ { i } ^ { 2 } } \; \; \; } & { P _ { i } > P _ { \mathrm { t h r } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathscr { E } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \lambda } \int _ { 0 } ^ { \lambda } \Big \{ \Big [ \zeta ( x , t ) + h ( x ) \Big ] ^ { 2 } - h ^ { 2 } ( x ) + } \end{array}
\frac { C _ { G _ { \delta } } } { C _ { \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } } } \sim 1 + \frac { 1 + \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathscr D } ^ { 2 } } + \mathcal O ( \sigma _ { \mathscr D } ^ { - 4 } ) ,
\begin{array} { r } { \mathrm { c h a r } \left( \frac { \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { 0 } ) } { \delta _ { K } ^ { 1 } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) } \right) = \mathrm { c h a r } \left( \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } ^ { - } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) ) } \right) \mathrm { c h a r } \left( \frac { H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) } { \textup { r e s } _ { p } ( \delta ( T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \emptyset } ) ) } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { H } _ { \vec { \sigma } } ( \vec { x } ) = \left( \frac { \partial ^ { 2 } V _ { \vec { \sigma } } ( \vec { x } ) } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } \right) _ { 1 \leq i , j \leq N } = I + A } \\ & { } & { A _ { i j } = A _ { j i } = - \frac { 2 } { N } \frac { g _ { \sigma _ { i } , \sigma _ { j } } } { ( x _ { i } - x _ { j } ) ^ { 2 } } \leq 0 \quad \mathrm { f o r } \quad i \neq j } \\ & { } & { A _ { i i } = - \sum _ { j \neq i } A _ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r } { J \circ \mathcal { F } : \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( t , x ) \mapsto \varphi _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ w ~ } } ( \tau , q ) = \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( \tau , q ) . } \end{array}
\hat { Q } _ { B } = \hat { c } ^ { 1 } \hat { p } _ { \lambda } + \hat { c } ^ { 2 } \left[ \hbar \omega ( a ^ { \dagger } a + \frac { 1 } { 2 } ) - \Lambda \right] \ \ \ , \ \ \ \hat { Q } _ { B } ^ { 2 } = 0 \ .
\mathrm { S U ( 2 ) _ { L } \! \otimes \! S U ( 2 ) _ { H } \! \otimes \! U ( 1 ) _ { Y } } \stackrel { \! \! M _ { 2 } } { \longrightarrow } \mathrm { S U ( 2 ) _ { L } \! \otimes \! U ( 1 ) _ { Y } } ,
{ \frac { d x G } { d ^ { 2 } b d ^ { 2 } \ell } } = { \frac { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } { 4 \pi ^ { 4 } } } \int _ { x Q _ { s } ^ { 2 } R M / Q ^ { 2 } } ^ { Q _ { s } ^ { 2 } / Q ^ { 2 } } { \frac { d z } { z } } \approx { \frac { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } { 4 \pi ^ { 4 } } } \ell n \ 1 / x
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { t } } & { \ensuremath { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \mathsf { S } _ { t , 0 } - \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , 0 } ) = \frac { 1 } { \mathsf { b } _ { t } ^ { \prime } } \sum _ { i \in \mathcal { B } _ { t , 0 } } \delta _ { t , 0 , i } - \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , 0 } ) \; . } \end{array}
D \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \xi ^ { 2 } \dot { \gamma } } & { ( \mathrm { { f r i c t i o n l e s s } } ) } \\ { \xi \dot { \gamma } } & { ( \mathrm { { f r i c t i o n a l } } ) } \end{array} \right. ~ .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { P } \left[ a _ { j } , L _ { j - 1 } , k _ { \nu } ( \alpha _ { j } ) \right] } & { \approx } & { \mathcal { P } \left[ a _ { j } , L _ { j - 1 } , k _ { \nu } ( \alpha _ { j - 1 } ) \right] = a _ { j } } \\ { e ^ { - i \, k _ { \nu } ( \alpha _ { j } ) \, L _ { j - 1 } } } & { \approx } & { e ^ { - i \, k _ { \nu } ( \alpha _ { j - 1 } ) \, L _ { j - 1 } } = 1 \ , \quad n \geq j \gg \nu } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x k _ { a b } { \bf B } ^ { a } ( { \bf \dot { A } } ^ { b } + \mathrm { \boldmath ~ \ a l p h a ^ { b } ~ } ) - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } k _ { a b } q _ { n } ^ { a } \int { \bf A } ^ { b } ( z _ { n } ) \cdot d { \bf z } _ { n } = \int d ^ { 4 } x \left( \partial _ { \mu } V ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 } \, k _ { a b } \mathrm { \boldmath ~ \ a l p h a ^ { a } \ b e t a ^ { b } ~ } \right) \ .
\begin{array} { r l } { \left( \alpha _ { k } - \mu s \right) \left( \gamma _ { k } + \mu \alpha _ { k } \right) } & { = \alpha _ { k } \gamma _ { k } + \mu \alpha _ { k } ^ { 2 } - \mu s \gamma _ { k } - \mu ^ { 2 } s \alpha _ { k } } \\ & { = \mu s \gamma _ { k + 1 } + \alpha _ { k } \gamma _ { k } - \mu s \gamma _ { k } - \mu ^ { 2 } s \alpha _ { k } } \\ & { = \mu s \left( \left( 1 - \alpha _ { k } \right) \gamma _ { k } + \mu \alpha _ { k } \right) + \alpha _ { k } \gamma _ { k } - \mu s \gamma _ { k } - \mu ^ { 2 } s \alpha _ { k } } \\ & { = ( 1 - \mu s ) \alpha _ { k } \gamma _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( - \mathrm { i } \omega + \nu k ^ { 2 } \right) \hat { u } _ { i } ( \mathbf { q } ) + 2 \Omega \epsilon _ { i 3 j } \hat { u } _ { j } ( \mathbf { q } ) = } & { \hat { f } _ { i } ( \mathbf { q } ) + \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \hat { b } _ { i } ( \mathbf { q } ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { < r | \hat { U } ^ { - 1 } ( \theta _ { 0 } ) | A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) > } } & { { = } } & { { < r | A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) > \ \ \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { < r | \hat { U } ^ { - 1 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) | A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) > } } & { { = } } & { { < r | A _ { \bar { z } } ( z , \bar { z } ) > \ \ \ , } } \end{array}
I ^ { \mathrm { { c o } } } ( \theta , \tau ) = | A _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { c o } } Y _ { 2 2 } ( \theta ) e ^ { i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 2 } } ^ { \mathrm { { c o } } } } + A _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { c o } } Y _ { 2 0 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { d _ { 0 } } ^ { \mathrm { { c o } } } } + A _ { s } ^ { \mathrm { c o } } Y _ { 0 0 } ( \theta ) e ^ { - i \omega \tau + i \phi _ { s } ^ { \mathrm { { c o } } } } | ^ { 2 }
{ \overline { { u } } } { \frac { \partial { \overline { { v } } } } { \partial x } } + { \overline { { v } } } { \frac { \partial { \overline { { v } } } } { \partial y } } = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial { \overline { { p } } } } { \partial y } } + \nu \left( { \frac { \partial ^ { 2 } { \overline { { v } } } } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } { \overline { { v } } } } { \partial y ^ { 2 } } } \right) - { \frac { \partial } { \partial x } } ( { \overline { { u ^ { \prime } v ^ { \prime } } } } ) - { \frac { \partial } { \partial y } } ( { \overline { { v ^ { 2 } } } } )
d \sigma _ { \uparrow } - d \sigma _ { \downarrow } \propto \int d ^ { 2 } p _ { 1 \perp } \left[ \left( \frac { p _ { 2 a } } { x _ { 2 } { \cal P } } h _ { 1 T } + \frac { { \bf p _ { 1 } } _ { \perp } \cdot { \bf p _ { 2 } } _ { \perp } } { x _ { 1 } x _ { 2 } { \cal P } ^ { 2 } } h _ { 1 } ^ { \perp } \right) { \bar { h } } _ { 1 } ^ { \perp } + ( 1 \leftrightarrow 2 ) \right] ,
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \tau } [ \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } ] \leq \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } \{ \hat { \rho } - \rho , \mu / 2 \} } \left( \frac { D ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } ^ { 2 } M ^ { 2 } \right) \Bigg / \left( \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \right) . } \end{array}
G _ { \nu } ( k ) \, \equiv \, \theta \frac { \epsilon _ { \nu 0 j } } { k ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - \theta ^ { 2 } + i \epsilon ) } \, \frac { k ^ { j } k ^ { 0 } } { { \vec { k } } ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { \mathfrak { p } } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbf { V } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } } \vert _ { G _ { K } } ) } & { = \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - k / 2 ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) } \\ { \mathscr { F } _ { \bar { \mathfrak { p } } } ^ { \mathrm { b a l } } ( { \mathbf { V } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } } \vert _ { G _ { K } } ) } & { = \{ 0 \} } \end{array} \begin{array} { r l } & { \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - k / 2 ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) , } \\ & { \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - k / 2 ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) . } \end{array}
B _ { i j } = \frac { 3 \sum _ { p = 1 } ^ { n } \left( \phi ^ { ( p ) } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } H _ { i j k k } ^ { ( p ) } \right) } { \phi _ { t o t } \left( K _ { d } ^ { { ( p ) } ^ { - 1 } } + K _ { f } ^ { - 1 } - K _ { 0 } ^ { - 1 } \right) } = \frac { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \phi ^ { ( p ) } B _ { i j } ^ { ( p ) } } { \phi _ { t o t } } = \overline { { B _ { i j } ^ { ( p ) } } } \, ,
{ \begin{array} { r l } { { \hat { A } } { \hat { B } } { \hat { C } } { \hat { D } } { \hat { E } } { \hat { F } } \ldots } & { = { \hat { A } } { \mathopen { : } } { \hat { B } } { \hat { C } } { \hat { D } } { \hat { E } } { \hat { F } } \ldots { \mathclose { : } } } \\ & { \quad + { \hat { A } } \sum _ { \mathrm { s i n g l e s } } { \mathopen { : } } { \hat { B } } ^ { \bullet } { \hat { C } } ^ { \bullet } { \hat { D } } { \hat { E } } { \hat { F } } \ldots { \mathclose { : } } } \\ & { \quad + { \hat { A } } \sum _ { \mathrm { d o u b l e s } } { \mathopen { : } } { \hat { B } } ^ { \bullet } { \hat { C } } ^ { \bullet \bullet } { \hat { D } } ^ { \bullet \bullet } { \hat { E } } ^ { \bullet } { \hat { F } } \ldots { \mathclose { : } } } \\ & { \quad + { \hat { A } } \ldots } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathcal { H } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { q } \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { \mathfrak { r } } ( c _ { n , \alpha } ^ { \dagger } [ \mathbf { t } _ { l } ^ { L } ] _ { \alpha \beta } c _ { n + l , \beta } + c _ { n + l , \alpha } ^ { \dagger } [ \mathbf { t } _ { l } ^ { R } ] _ { \alpha \beta } c _ { n , \beta } \right. } \\ & { } & { \left. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + c _ { n , \alpha } ^ { \dagger } [ \mathbf { t } _ { 0 } ] _ { \alpha \beta } c _ { n , \beta } ) \right] , } \end{array}
h ( X _ { n } , \theta _ { n + 1 } ) = \left( \begin{array} { l } { X _ { n } ^ { 1 } + ( a _ { 1 } s i n ( X _ { t } ^ { 2 } ) + a _ { 2 } \frac { X _ { t } ^ { 1 } } { 1 + | X _ { t } ^ { 1 } | } ) \Delta t } \\ { X _ { n } ^ { 2 } + ( a _ { 3 } c o s ( X _ { t } ^ { 1 } ) + a _ { 4 } \frac { X _ { t } ^ { 2 } } { 1 + | X _ { t } ^ { 2 } | } ) \Delta t } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 5 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { - 1 } ( \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { j } } , \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) + ( { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } \cdot \nabla \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { j } } , \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \cdot { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { j } } , \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) } & { } \\ { + ( \nabla \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { j } } , \nabla \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) + ( \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { j } } , \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) + ( B _ { c } ( c _ { h } ^ { m + 1 } , { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } ) \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { j } } , \varphi _ { { \boldsymbol a } _ { i } } ) } & { \le 0 \quad \mathrm { ~ f o r ~ } \quad i \not = j . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( 1 - \rho ) \frac { \ell ^ { \prime } ( \rho ) } { \ell ( \rho ) } = - \frac { ( \ell ( \rho ) ) ^ { 2 } + ( 1 - \rho ) ^ { 2 } h ^ { \prime } ( \rho ) } { ( \ell ( \rho ) ) ^ { 2 } ( 1 + \rho ) } \, . } \end{array}
\hat { e } _ { \mathbf { u } } ^ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } = ( \hat { E } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { \sigma _ { 1 } } \hat { E } _ { u _ { 3 } u _ { 4 } } ^ { \sigma _ { 2 } } - \delta _ { u _ { 2 } u _ { 3 } } ^ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \hat { E } _ { u _ { 1 } u _ { 4 } } ^ { \sigma _ { 2 } } )
\lambda _ { + } ^ { \alpha } = v _ { A } ^ { \alpha - } \lambda _ { A } + v _ { \dot { A } } ^ { \alpha + } \lambda _ { + 2 \dot { A } } , \ \ \lambda _ { - } ^ { \alpha } = v _ { A } ^ { \alpha - } \lambda _ { - 2 A } + v _ { \dot { A } } ^ { \alpha + } \lambda _ { \dot { A } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { J } \big ( \textrm { T r } e ^ { - \beta H _ { p } } \big ) ^ { n } } & { \sim \int \mathcal { D } R \mathcal { D } Q \mathcal { D } K \mathcal { D } \Lambda \exp { \left[ \frac { N \beta ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } R _ { \alpha } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ^ { p } + \frac { N \beta ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha \neq \alpha ^ { \prime } } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } Q _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) ^ { p } \right] } } \\ & { \quad \cdot \exp { \left[ - \frac { N \beta ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha } \sum _ { \tau < \tau ^ { \prime } } K _ { \alpha } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { \alpha } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) - \frac { N \beta ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha < \alpha ^ { \prime } } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } \Lambda _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) Q _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] } } \\ & { \quad \quad \cdot \left( \textrm { T r } \exp { \left[ \sum _ { \alpha } H _ { \Gamma } ( \sigma ^ { \alpha } ) + \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha } \sum _ { \tau < \tau ^ { \prime } } K _ { \alpha } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \sigma ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma ^ { \alpha } ( \tau ^ { \prime } ) \right] } \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdot \left. \exp { \left[ \frac { \beta ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } \sum _ { \alpha < \alpha ^ { \prime } } \sum _ { \tau \tau ^ { \prime } } \Lambda _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \sigma ^ { \alpha } ( \tau ) \sigma ^ { \alpha ^ { \prime } } ( \tau ^ { \prime } ) \right] } \right) ^ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } } & { \leq \Bigg ( 2 \sqrt { \frac { k } { \beta n } } + \frac { 4 k } { \beta n ( p - q ) } \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U ^ { * } } \right\| } \\ & { \quad + \frac { 4 k } { \beta n ( p - q ) } \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) ( U - \bar { U } ) } \right\| } \\ & { \quad + \frac { 2 4 C _ { 0 } k ^ { 2 . 5 } \sqrt { n p } } { \beta n ( p - q ) } \left\| { U _ { i \cdot } } \right\| + \frac { 4 k } { \beta n ( p - q ) } \left\| { ( \check { A } _ { i \cdot } - \check { P } _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| + \frac { 4 k } { \beta n ( p - q ) } \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \sum _ { j \in S } A _ { i j } } \\ & { \quad + \frac { 4 k } { \beta n ( p - q ) } \left( t + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \right) \sum _ { j \in S _ { i } } \left| A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } \right| \Bigg ) { \mathbb { I } \left\{ { \mathcal { F } } \right\} } . } \end{array}
\bar { H } _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = x _ { - } S _ { 0 } ^ { 2 } - x _ { + } S _ { + } ^ { 2 } - 2 x _ { 0 } S _ { + } S _ { 0 } - 2 x _ { - } k S _ { 0 } + 2 x _ { 0 } ( s + k ) S _ { + } + x _ { - } ( k ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } ) \, .
H = H _ { r } + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \left[ \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } - q _ { a } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { T } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) \right] ^ { 2 } + V _ { \mathrm { C o u l } }
s M A P E = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \lvert h ( \vec { x _ { i } } ) - y _ { i } ( \vec { x _ { i } } ) \rvert } { \frac { 1 } { 2 } \lvert y _ { i } ( \vec { x _ { i } } ) \rvert + \frac { 1 } { 2 } \lvert h ( \vec { x _ { i } } ) \rvert } \times 1 0 0 .
\begin{array} { r l } & { \Lambda \left( A C _ { \alpha } \right) = C _ { \alpha } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) , } \\ & { \Lambda \left( B \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) \right) = \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( x ) = } & { { } - \int _ { 0 } ^ { x } \frac { 2 \lambda _ { 0 } ( x ^ { \prime } ) } { R ( x ^ { \prime } ) } \frac { Q } { \pi R ( x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } d x ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } { ( g _ { a b } ^ { \prime } ) } = } & { \frac { C _ { 2 } ^ { 2 } C _ { 3 } ^ { 5 } x _ { 3 } ^ { 2 } \left( \vert x \vert ^ { 2 } - x _ { 3 } ^ { 2 } \right) } { 1 2 8 C _ { 1 } ^ { 3 } \vert x \vert ^ { 1 5 } } \cdot } \\ & { \cdot \left( C _ { 2 } x _ { 3 } ^ { 2 } ( 4 C _ { 3 } ( C _ { 2 } - C _ { 1 } \vert x \vert ) + C _ { 2 } ) + 4 ( C _ { 2 } - 1 ) C _ { 3 } x _ { 3 } \vert x \vert ( C _ { 1 } \vert x \vert - C _ { 2 } ) - C _ { 2 } ^ { 2 } \vert x \vert ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { i j j j } ^ { ( 3 ) } ( t ; \omega ) = \frac { 1 } { 8 } \gamma _ { i j j j } ^ { \mathrm { D F W M } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { P W } } ( t ; \omega ) ] ^ { 3 } , } \\ { \mu _ { i j j j } ^ { ( 3 ) } ( t ; 3 \omega ) = \frac { 1 } { 2 4 } \gamma _ { i j j j } ^ { \mathrm { T H G } } ( \omega ) [ F ^ { \mathrm { P W } } ( t ; 3 \omega ) ] ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { y } _ { j } \left( \mathbf x _ { t ^ { * } } \right) } & { = \hat { \mu } _ { j } + \mathbf { k } ^ { T } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) \mathbf { \tilde { K } } ^ { - 1 } \left( \mathbf y _ { j } - \hat { \mu } _ { j } \mathbf { 1 } _ { n } \right) , } \\ { \hat { \sigma } _ { j } ^ { 2 } } & { = \frac { 1 } { n - 1 } \left( \mathbf { y } _ { j } - \hat { \mu } _ { j } \mathbf { 1 } _ { n } \right) ^ { T } { \mathbf { \tilde { K } } } ^ { - 1 } \left( \mathbf { y } _ { j } - \hat { \mu } _ { j } \mathbf { 1 } _ { n } \right) , } \\ { K ^ { * } } & { = 1 + \eta - \mathbf { k } ^ { T } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) { \mathbf { \tilde { K } } } ^ { - 1 } \mathbf { k } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) + \frac { \left( 1 - \mathbf { 1 } _ { n } ^ { T } { \mathbf { \tilde { K } } } ^ { - 1 } \mathbf { k } ( \mathbf x _ { t ^ { * } } ) \right) ^ { 2 } } { \mathbf { 1 } _ { n } ^ { T } { \mathbf { \tilde { K } } } ^ { - 1 } \mathbf { 1 } _ { n } } , } \end{array}
\ln D ( A ) = - \frac { m ^ { 2 } } 2 \int \frac { d p } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { T } d \, t d \, t ^ { \prime } E ( p , t ) E ( - p , t ) \frac { e ^ { - i | p | \, | t - t ^ { \prime } | } } { 2 | p | } .
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 2 } = } & { { } \mathcal { P } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { D } } - \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } - \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { D } } ^ { 2 } } \end{array}