harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l } { { 5 } } & { { } \mathrm { ~ S ~ t ~ e ~ p ~ 1 ~ : ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ p ~ o ~ r ~ t ~ } \qquad } & { \partial _ { t } \textrm { \boldmath { q } } } & { { } + \mathbf { A } ( \textrm { \boldmath { q } } ) \partial _ { x } \textrm { \boldmath { q } } } & { \; = \; } & { { } 0 \, , } \end{array}
\frac { \partial g _ { 2 , \varepsilon } } { \partial x _ { 2 } } \Big | _ { \Omega _ { \varepsilon } ^ { 2 } \cap \Omega _ { \varepsilon } ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 2 ( 1 + \varepsilon ) } e ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 \varepsilon ( 1 + \varepsilon ) } \exp \left\{ - \frac { 1 } { \varepsilon } ( \alpha - \varepsilon ) + \varepsilon \right\} = \frac { 1 } { 2 ( 1 - \varepsilon ) } e ^ { \alpha } = \frac { \partial g _ { 4 , \varepsilon } } { \partial x _ { 2 } } \Big | _ { \Omega _ { \varepsilon } ^ { 3 } \cap \Omega _ { \varepsilon } ^ { 4 } } .
2 V ^ { - 1 } < H > = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left[ G ^ { - 1 } ( p ) + \kappa ^ { 2 } G ( p ) + ( p ^ { 2 } + 4 \kappa ^ { 2 } ) [ G ^ { - 1 } ( p ) + \kappa ^ { 2 } G ( p ) ] ^ { - 1 } \right]
\begin{array} { r } { V _ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { r } , z ; t \right) = \int _ { \mathbb { R } } d k \Phi ( k ) u _ { \mathrm { i n } } \left( \mathbf { r } , z ; k \right) e ^ { i k ( z - c t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { t } } & { = \operatorname { t a n h } { \left[ { \left( c _ { t } ^ { 2 } r _ { \mathrm { d t } } \right) } ^ { 3 } \right] } , \ \ f _ { l } = \operatorname { t a n h } { \left[ { \left( c _ { l } ^ { 2 } r _ { \mathrm { d l } } \right) } ^ { 1 0 } \right] } } \\ { \mathrm { w i t h } \ \ \ r _ { \mathrm { d t } } } & { = \frac { \nu _ { t } } { \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } \cdot { [ \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } ] } ^ { 1 / 2 } } , \ \ \ r _ { \mathrm { d l } } = \frac { \nu } { \kappa ^ { 2 } d _ { w } ^ { 2 } \cdot { [ \sum _ { i , j } { \left( \partial u _ { i } / \partial x _ { j } \right) } ^ { 2 } ] } ^ { 1 / 2 } } \ \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( s ) = } & { { } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { R ( p , u ; t = 0 ) d p } { s - i 4 J \sin ( p ) \sin \left( \frac { u } { 2 } \right) / \hbar + 2 g ( 0 ) / ( s \hbar ^ { 2 } ) } , } \\ { I _ { 2 } ( s ) = } & { { } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } \frac { d p } { s ^ { 2 } - i 4 s J \sin ( p ) \sin \left( \frac { u } { 2 } \right) / \hbar + 2 g ( 0 ) / \hbar ^ { 2 } } . } \end{array}
\hat { M } _ { 1 } ( t ) = \left( \begin{array} { l l } { - k _ { \mathrm { O N } } ( t ) } & { k _ { \mathrm { O F F } } ( t ) } \\ { k _ { \mathrm { O N } } ( t ) } & { - k _ { \mathrm { O F F } } ( t ) } \end{array} \right) .
K _ { A _ { 1 } \ldots A _ { p + q } } ( z , t ) \sim \frac { 1 } { t ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { t } \right) ^ { \left[ \frac { p } { 2 } \right] } t ^ { 4 - q } = t ^ { 2 - q - \left[ \frac { p } { 2 } \right] } \qquad \qquad q \leq 4
1 . 2 5 \times 1 0 ^ { - 1 2 } \leq B R ( K _ { L } \rightarrow \pi ^ { 0 } e ^ { + } e ^ { - } ) _ { \mathrm { d i r } } \leq 4 . 6 \times 1 0 ^ { - 1 2 } \; \mathrm { f o r } \; m _ { t } = 1 7 5 . \nonumber \, \phantom { l }
a = f ( \varepsilon ) \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ i ~ t ~ s ~ v ~ a ~ r ~ i ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } \, \ \delta a \, \ \mathrm { ~ i ~ s ~ d ~ e ~ f ~ i ~ n ~ e ~ d ~ b ~ y ~ } \ \delta a = f ^ { \prime } ( 0 ) \, \delta \varepsilon
\sum _ { i } { \frac { \partial \varepsilon _ { n } } { \partial k _ { i } } } q _ { i } = \sum _ { i } \int d \mathbf { r } u _ { n \mathbf { k } } ^ { * } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } ( - i \nabla + \mathbf { k } ) _ { i } q _ { i } u _ { n \mathbf { k } }
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 } } & { = \frac { \left( 1 - p _ { 1 , 1 } ^ { X } ( 1 - p _ { s } ) \right) p _ { 1 , 0 } ^ { X } } { ( p _ { 0 , 1 } ^ { X } + p _ { 1 , 0 } ^ { X } ) \left( 1 + ( 1 - p _ { s } ) \left( p _ { 1 , 0 } ^ { X } - p _ { 0 , 0 } ^ { X } \right) \right) } , } \\ { \pi _ { 1 } } & { = \frac { ( 1 - p _ { s } ) p _ { 1 , 0 } ^ { X } p _ { 0 , 1 } ^ { X } } { ( p _ { 0 , 1 } ^ { X } + p _ { 1 , 0 } ^ { X } ) \left( 1 + ( 1 - p _ { s } ) \left( p _ { 1 , 0 } ^ { X } - p _ { 0 , 0 } ^ { X } \right) \right) } , } \\ { \pi _ { 2 } } & { = \frac { ( 1 - p _ { s } ) p _ { 1 , 0 } ^ { X } p _ { 0 , 1 } ^ { X } } { ( p _ { 0 , 1 } ^ { X } + p _ { 1 , 0 } ^ { X } ) \left( 1 + ( 1 - p _ { s } ) \left( p _ { 1 , 0 } ^ { X } - p _ { 0 , 0 } ^ { X } \right) \right) } , } \end{array}
\sigma _ { \boldsymbol { \theta } } \leq \frac { \sqrt { 2 } - 1 } { 4 } \frac { m _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } } { L } , \quad \Delta t \leq \frac { m _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } ^ { 2 } } { 8 L \dot { \mathcal { G } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } .
\begin{array} { r } { 2 \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { k = j + 1 } ^ { m - 1 } \left( \frac { 2 k } { 2 j + 1 } - \frac { 2 k + 1 } { 2 j + 2 } \right) \psi _ { 0 } ( 2 a - 2 j + 4 k + 1 ) } \\ { + 2 \sum _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { k = j + 1 } ^ { m - 1 } \left( \frac { 2 k } { 2 j + 2 } - \frac { 2 k + 1 } { 2 j + 3 } \right) \psi _ { 0 } ( 2 a - 2 j + 4 k ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { [ - \delta , \delta ] ^ { c } } \, | \kappa _ { \beta } ( t ) | \, d t \le \frac { 8 } { \pi \beta } \int _ { \delta } ^ { \infty } \, \frac { 1 } { e ^ { \pi t / \beta } - 1 } \, d t \le \frac { 8 } { \pi \beta } \int _ { \delta } ^ { \infty } e ^ { - \frac { \pi t } { 2 \beta } } d t = \frac { 1 6 } { \pi ^ { 2 } } \, e ^ { - \frac { \pi \delta } { 2 \beta } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { R ( x , p ; y _ { j } ) \equiv { \sum } _ { i = 1 } ^ { n } f ( u ( x _ { i } ) - u ( y _ { j } ) ) P ( x _ { i } | y _ { j } ) , } \\ & { } & { R ( x , p ; y , q ) \equiv { \sum } _ { j = 1 } ^ { n } q _ { j } R ( x , p ; y _ { j } ) = { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } f ( u ( x _ { i } ) - u ( y _ { j } ) ) P ( x _ { i } , y _ { j } ) , } \\ & { } & { ( x , p ) \succeq _ { \mathrm { r e g } } ( y , q ) \quad \mathrm { i f f } \quad { \sum } _ { i , j = 1 } ^ { n } g ( u ( y _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) P ( x _ { i } , y _ { j } ) \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { i } } & { = } & { \tilde { F } _ { i } + \sum _ { j } \tilde { F } _ { i j j } ( f _ { j } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { j , k } \tilde { F } _ { i j j k k } ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { j , k , l } \tilde { F } _ { i j j k k l l } ( f _ { j } + 1 / 2 ) ( f _ { k } + 1 / 2 ) ( f _ { l } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \dots , } \\ { W _ { i j } } & { = } & { \tilde { \bar { F } } _ { i j } + \sum _ { k } \tilde { F } _ { i j k k } ( f _ { k } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { k , l } \tilde { F } _ { i j k k l l } ( f _ { k } + 1 / 2 ) ( f _ { l } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { k , l , m } \tilde { F } _ { i j k k l l m m } ( f _ { k } + 1 / 2 ) ( f _ { l } + 1 / 2 ) ( f _ { m } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \dots , } \\ { W _ { i j k } } & { = } & { \tilde { F } _ { i j k } + \sum _ { l } \tilde { F } _ { i j k l l } ( f _ { l } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { l , m } \tilde { F } _ { i j k l l m m } ( f _ { l } + 1 / 2 ) ( f _ { m } + 1 / 2 ) + \dots , } \\ { W _ { i j k l } } & { = } & { \tilde { F } _ { i j k l } + \sum _ { m } \tilde { F } _ { i j k l m m } ( f _ { m } + 1 / 2 ) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { m , n } \tilde { F } _ { i j k l m m n n } ( f _ { m } + 1 / 2 ) ( f _ { n } + 1 / 2 ) + \dots , } \end{array}
U _ { g _ { 1 } } U _ { g _ { 2 } } \Psi _ { \mathbf n } ^ { \kappa } ( \mathbf r ) = \exp ( i \alpha _ { 2 } ( \mathbf r ; g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ) U _ { g _ { 1 } g _ { 2 } } \Psi _ { \mathbf n } ^ { \kappa } ( \mathbf r )
\Delta \zeta = { \frac { 2 g ^ { 2 } | \delta \chi ^ { 2 } | x _ { n } ^ { 4 } } { 3 m ^ { 2 } } } \int _ { x _ { n } } ^ { x _ { n + 1 } } \left( { \frac { 1 } { x + \Theta } } + { \frac { s } { s ^ { \prime } } } \right) { \frac { s ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } } d x \, ,
\mathcal { K } [ \rho ( t ) ] = - ( \Omega / 2 ) ^ { 2 } ( \Gamma _ { 0 } ^ { x } \left[ \sigma _ { x } , \sigma _ { x } \rho ( t ) \right] + \left[ \sigma _ { y } , ( \Gamma _ { s } ^ { y } \sigma _ { z } + \Gamma _ { c } ^ { y } \sigma _ { y } ) \rho ( t ) \right] + \mathrm { h . c . } )
\begin{array} { r l } & { \sigma ^ { - 2 } \big ( \sigma ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } A ^ { e } ( \sigma ) \big ) ^ { k } ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } \lesssim 2 ^ { - k + 2 } , \quad k \geq 2 } \\ & { \big ( \sigma ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } A ^ { e } ( \sigma ) \big ) ^ { k _ { 1 } } \circ \big ( ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } A ^ { e } ( \sigma ) \big ) \circ \big ( \sigma ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } A ^ { e } ( \sigma ) \big ) ^ { k _ { 2 } } ( A ^ { 0 } ) ^ { - 1 } \lesssim 2 ^ { - k _ { 1 } - k _ { 2 } } \vert \sigma \vert ^ { - \epsilon } , } \end{array}
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { D } L _ { D } ( D , \mu _ { G } ) = - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { G } } [ \ln D ( x ) ] - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { \mathrm { r e f } } } [ \ln ( 1 - D ( x ) ) ] } \\ { \operatorname* { m i n } _ { G } L _ { G } ( D , \mu _ { G } ) = - \mathbb { E } _ { x \sim \mu _ { G } } [ \ln ( 1 - D ( x ) ) ] } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \exp ( \hat { \mathbf { X } } ) } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { \mathbf { R } } & { \ \ \frac { 1 } { \left\Vert \mathbf { x } \right\Vert ^ { 2 } } ( \mathbf { I } - \mathbf { R } ) \tilde { \mathbf { x } } \mathbf { y } + h \mathbf { y } } \\ { \mathbf { 0 } } & { 1 } \end{array} \right) , \ \mathrm { f o r \ } \mathbf { x } \neq \mathbf { 0 } \ } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { { \hat { W } } } \\ { \mu } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { \operatorname { V a r } _ { x _ { i } } } & { \mathbf { 1 } } \\ { \mathbf { 1 } ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] } ^ { - 1 } \cdot { \left[ \begin{array} { l } { \operatorname { C o v } _ { x _ { i } x _ { 0 } } } \\ { 1 } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \gamma ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \gamma ( x _ { 1 } , x _ { n } ) } & { 1 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \gamma ( x _ { n } , x _ { 1 } ) } & { \cdots } & { \gamma ( x _ { n } , x _ { n } ) } & { 1 } \\ { 1 } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } ^ { - 1 } { \left[ \begin{array} { l } { \gamma ( x _ { 1 } , x ^ { * } ) } \\ { \vdots } \\ { \gamma ( x _ { n } , x ^ { * } ) } \\ { 1 } \end{array} \right] } .
< \omega \rho ^ { - } | \bar { \psi } \tau _ { + } \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \psi | 0 > = - \frac { i } { \sqrt { 4 E _ { 1 } E _ { 2 } } } \frac { N _ { C } } { \pi ^ { 2 } g ^ { 2 } } \frac { q _ { \mu } } { q ^ { 2 } } \varepsilon ^ { \lambda \nu \alpha \beta } p _ { 1 \lambda } p _ { 2 \nu } \epsilon _ { \alpha } ^ { * } ( p _ { 1 } ) \epsilon _ { \beta } ^ { * } ( p _ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \forall e \in \mathcal { E } , \forall x \in L _ { s ( e ) } ( \mathbb { S } ^ { n } \setminus \Omega ) : x ^ { T } B _ { e } ^ { T } B _ { e } x \leq \overline { { \lambda } } _ { e } ^ { 2 } x ^ { T } x } \\ { \iff } & { \forall e \in \mathcal { E } , \forall x \in \Pi _ { \mathbb { S } ^ { n } } ( L _ { s ( e ) } ( \mathbb { S } ^ { n } \setminus \Omega ) ) : x ^ { T } B _ { e } ^ { T } B _ { e } x \leq \overline { { \lambda } } _ { e } ^ { 2 } x ^ { T } x } \\ { \iff } & { \forall e \in \mathcal { E } , \forall x \in \mathbb { S } ^ { n } \setminus \Pi _ { \mathbb { S } ^ { n } } ( L _ { s ( e ) } ( \Omega ) ) : x ^ { T } B _ { e } ^ { T } B _ { e } x \leq \overline { { \lambda } } _ { e } ^ { 2 } x ^ { T } x , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } & { { } = } & { { \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 - { \frac { g _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \beta _ { 0 } \ln { \frac { \Lambda } { Q ^ { 2 } } } } } } \end{array}
E _ { \pm } ( k ) ^ { 2 } = k ^ { 2 } + m ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 3 } \varphi ^ { 2 } \pm \sqrt { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 3 6 } \varphi ^ { 4 } + 4 \mu ^ { 2 } ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 3 } \varphi ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = L ^ { \beta } \frac { D ( \alpha - \beta + 1 ) \left( - \frac { 2 \gamma } { D ( \alpha - \beta + 1 ) } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha - \beta + 1 } } e ^ { \frac { 2 \gamma L ^ { \alpha - \beta + 1 } } { D ( \alpha - \beta + 1 ) } } } { \Theta ( \alpha - \beta + 1 ) \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha - \beta + 1 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 } { \alpha - \beta + 1 } , - \frac { 2 L ^ { \alpha - \beta + 1 } \gamma } { D ( \alpha - \beta + 1 ) } \right) } \qquad \alpha - \beta \neq - 1 \ . } \end{array}
{ \chi _ { r } ^ { 2 } } = \frac { N ( k - 1 ) \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { k } \frac { R _ { j } ^ { 2 } } { N } - C _ { F } \right] } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { k } { r _ { i j } ^ { 2 } } - C _ { F } } ; C _ { F } = \frac { N k ( k + 1 ) ^ { 2 } } { 4 }
a _ { i j } = \left\{ \begin{array} { r l l } { { 2 } } & { { \mathrm { i f } } } & { { i = j } } \\ { { - 1 } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \mid i - j \mid = 1 } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \mid i - j \mid > 1 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { p _ { 0 } ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } \left( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos \left( 2 \left( n \phi ^ { ( n ) } + \alpha _ { 0 } \right) \right) \right) = \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } ( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos ( 2 n \phi ^ { ( n ) } ) ) , } \\ { p _ { 1 } ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } \left( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos \left( 2 \left( n \phi ^ { ( n ) } + \alpha _ { 1 } \right) \right) \right) = \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } ( 1 - \mathcal { V } ^ { ( n ) } \sin ( 2 n \phi ^ { ( n ) } ) ) , } \\ { p _ { 2 } ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } \left( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos \left( 2 \left( n \phi ^ { ( n ) } + \alpha _ { 2 } \right) \right) \right) = \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } ( 1 - \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos ( 2 n \phi ^ { ( n ) } ) ) , } \\ { p _ { 3 } ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } \left( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \cos \left( 2 \left( n \phi ^ { ( n ) } + \alpha _ { 3 } \right) \right) \right) = \frac { p ^ { ( n ) } } { 4 } ( 1 + \mathcal { V } ^ { ( n ) } \sin ( 2 n \phi ^ { ( n ) } ) ) , } \end{array}
\bar { T } _ { A } : = T _ { A } + \frac { T _ { B } } { 2 } \frac { \sigma _ { B } ^ { 2 } } { \sigma _ { A } ^ { 2 } } , ~ ~ \bar { T } _ { B } : = T _ { B } + \frac { T _ { A } } { 2 } \frac { \sigma _ { A } ^ { 2 } } { \sigma _ { B } ^ { 2 } } .
\begin{array} { c } { { { \tilde { N } } _ { 2 3 2 } ^ { \omega } = \{ \{ 0 , - \frac { a u _ { 1 2 } \lambda ^ { 6 } } 2 \left( v _ { 1 3 } v _ { 2 3 } e + u _ { 1 3 } u _ { 2 3 } e ^ { * } \right) , } } \\ { { \frac { \lambda ^ { 6 } a } 2 \left( v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } \left( u _ { 1 3 } \left( c - e ^ { * } \right) - 2 a u _ { 1 2 } u _ { 2 3 } \right) + u _ { 1 2 } u _ { 1 3 } u _ { 2 3 } e ^ { * } \right) \} , } } \\ { { \{ - \frac { a u _ { 1 2 } \lambda ^ { 6 } } 2 \left( u _ { 1 3 } u _ { 2 3 } e + v _ { 1 3 } v _ { 2 3 } e ^ { * } \right) , } } \\ { { 0 , - \frac { a ^ { 2 } u _ { 2 3 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } } 2 \} , } } \\ { { \{ \frac { \lambda ^ { 6 } a } 2 \left( v _ { 1 2 } v _ { 2 3 } \left( u _ { 1 3 } \left( c ^ { * } - e \right) - 2 a u _ { 1 2 } u _ { 2 3 } \right) + u _ { 1 2 } u _ { 1 3 } u _ { 2 3 } e \right) , } } \\ { { - \frac { a ^ { 2 } u _ { 2 3 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } } 2 , 0 \} \} ; } } \\ { { S p \left( N _ { 2 3 2 } ^ { \omega } \right) = \lambda ^ { 2 } v _ { 1 2 } ^ { 2 } + \lambda ^ { 4 } \left( a ^ { 2 } \left( v _ { 2 3 } ^ { 2 } + u _ { 2 3 } ^ { 2 } \right) - v _ { 1 2 } ^ { 2 } \left( 1 - u _ { 1 2 } ^ { 2 } \right) \right) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \Delta G _ { 0 } ( \xi , \eta ) \right| = } & { \left| \Phi _ { G _ { 0 } } ( \xi , \eta ) \right| } \\ { \leq } & { \frac { { { { \overline { { \Lambda } } } } } } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } M \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau + { \frac { { { { \overline { { \Lambda } } } } } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { \tau } M \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau + \frac { \overline { { f } } } { 4 } \int _ { \eta } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { z } ^ { z + \eta - s } M \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z + \frac { \overline { { f } } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { z } ^ { 2 z - s } M \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z } \\ { = } & { { M \left( \frac { { { { \overline { { \Lambda } } } } } } { 4 } \xi \eta + \frac { { \overline { { f } } } } { 8 } \xi \eta ^ { 2 } - \frac { { \overline { { f } } } } { 2 4 } \eta ^ { 3 } \right) } } \\ { \leq } & { { M ^ { 2 } \left( \xi + \eta \right) , } } \end{array}
\int x ^ { 2 } \operatorname { a r c s e c } ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \operatorname { a r c s e c } ( a x ) } { 3 } } \, - \, { \frac { \operatorname { a r c o s h } | a x | } { 6 \, a ^ { 3 } } } \, - \, { \frac { x ^ { 2 } } { 6 \, a } } { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } } \, + \, C
P _ { 0 } = \frac { m \zeta _ { \mathrm { 0 } } \omega _ { 0 } \omega _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { \mathrm { s } } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 3 } y _ { 0 } ^ { 2 } } { \left( 2 \zeta _ { \mathrm { 0 } } \frac { \omega _ { \mathrm { s } } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \left( 1 - \left( \frac { \omega _ { \mathrm { s } } } { \omega _ { 0 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { x \to - 3 / 2 } \Pi _ { k } \equiv \varepsilon } & { { } = } & { - \frac { \pi K _ { \theta , \phi } C _ { E } ^ { 2 } } { 3 2 b _ { 0 } } \operatorname* { l i m } _ { x \to - 3 / 2 } \frac { I ( x ) } { 3 + 2 x } } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \mathbf { \Phi ( \mathbf { x } ) } } \frac { \overline { { \langle q ( \mathbf { x } , t ) , \Phi ( \mathbf { x } ) \rangle } } _ { \Omega } } { \langle \Phi ( \mathbf { x } ) , \Phi ( \mathbf { x } ) \rangle _ { \Omega } }
\begin{array} { r l } { \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 1 } \right) _ { p q } } & { { } = - \frac { \delta _ { p 0 } } { \Delta t _ { q } } \equiv - \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 1 } \right) _ { p q } ^ { - } } \\ { \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 2 } \right) _ { p q } } & { { } = 2 \frac { \delta _ { p 0 } } { \Delta t _ { q } } \left( \frac { H _ { p q } } { \Delta t _ { q } } - \dot { \bar { H } } _ { 0 } \right) \equiv \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 2 } \right) _ { p q } ^ { + } - \left( \nabla _ { \mathbf { H } } f _ { 2 } \right) _ { p q } ^ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vartheta ( t _ { 1 } ) = Y _ { 1 } - U _ { 1 } } & { \in \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } + Y _ { 3 } } { 3 } \pm \frac { B _ { 2 1 } + B _ { 3 1 } } { 3 } , \, \frac { 1 } { 3 } \right) ; } \\ { \vartheta ( t _ { 2 } ) = Y _ { 2 } - U _ { 2 } } & { \in \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } + Y _ { 3 } } { 3 } \pm \frac { B _ { 2 1 } + B _ { 3 2 } } { 3 } , \, \frac { 1 } { 3 } \right) ; } \\ { \vartheta ( t _ { 3 } ) = Y _ { 3 } - U _ { 3 } } & { \in \mathcal { N } \left( \frac { Y _ { 1 } + Y _ { 2 } + Y _ { 3 } } { 3 } \pm \frac { B _ { 3 1 } + B _ { 3 2 } } { 3 } , \, \frac { 1 } { 3 } \right) . } \end{array}
\sum _ { \mu = 0 } ^ { N f - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N f - 1 } C _ { \mu 0 } ( \eta ) C _ { \mu k } ( \eta ) x _ { k } = \sum _ { k = 1 } ^ { N f - 1 } \delta _ { 0 k } x _ { k } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \eta _ { t } + \nabla \cdot [ ( D + \varepsilon \eta ) \mathbf { u } ] + \sigma ^ { 2 } \nabla \! \cdot \! \left\{ a \nabla ( D ^ { 3 } \nabla \! \cdot \! \mathbf { u } ) - b D ^ { 2 } \nabla \eta _ { t } \right\} = 0 \ , } \\ & { { \mathbf { u } } _ { t } + \nabla \eta + \frac { \varepsilon } { 2 } \nabla | \mathbf { u } | ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \nabla \left\{ c \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \nabla \eta ) - d \nabla \! \cdot \! ( D ^ { 2 } \mathbf { u } _ { t } ) \right\} = 0 \ . } \end{array}
\vert { \cal U } _ { \mathrm { B O } } ( { \bf R , n } ) - U _ { \mathrm { B O } } ( { \bf R } ) \vert \propto \vert { \boldsymbol \eta } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - { \bf n } \vert ^ { 2 } ,
\textbf { \textit { f } } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ } } = - \frac { 3 \rho _ { \mathrm { f } } } { 8 \rho _ { \mathrm { p } } r _ { \mathrm { p } } } C _ { \mathrm { d } } \left| \textbf { \textit { u } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } \right| \textbf { \textit { u } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ } } ,
\begin{array} { r l r } { \| e ^ { i t \mathcal { D } _ { m } } u _ { 0 } \| _ { L ^ { p } ( I , L ^ { q } ( \mathcal { M } ) ) } } & { \leq C \| u _ { 0 } \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } + C t _ { 0 } \operatorname* { s u p } _ { s } \| | \mathcal { D } _ { m } | ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } e ^ { i t \mathcal { D } _ { m } } u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } } & \\ & { \qquad \qquad \leq C \| u _ { 0 } \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } + C \| | \mathcal { D } _ { m } | ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } \leq C \| u _ { 0 } \| _ { H ^ { \widetilde { \gamma } _ { p q } } ( \mathcal { M } ) } . } \end{array}
K ( r , t ) = \frac { 6 \alpha } { \pi ^ { 2 } } \int _ { k _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { k _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } d k k ^ { - 5 / 3 } \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ c ~ } ( k r ) e ^ { - | t | / \tau ( k ) } .
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { { } \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \frac { m \beta \tau \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \alpha f _ { o n } } \bigg ( \tau + \bigg ( - t _ { e n d } + \frac { 1 } { \beta } \ln { \bigg ( \frac { \beta } { b } + e ^ { \beta t _ { e n d } } \bigg ) } \bigg ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { ( 1 ) } & { \sum _ { p = 0 } ^ { n - 1 } \frac { \partial ^ { n + 1 - p } g _ { \delta } } { \partial x ^ { n + 1 - p } } \sum _ { I } c _ { I } A ^ { n + 1 - p - | I | } ( \frac { \partial A } { \partial u } ) ^ { i _ { 1 } } ( \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial u ^ { 2 } } ) ^ { i _ { 2 } } \cdots ( \frac { \partial ^ { p } A } { \partial u ^ { p } } ) ^ { i _ { p } } , } \end{array}
G _ { \mathrm { ~ b ~ r ~ i ~ d ~ g ~ e ~ } } ( \vec { r } , t | \vec { r } _ { 1 } , t _ { 1 } ; \vec { r } _ { 2 } , t _ { 2 } ) = \left( \frac { t _ { 2 } - t _ { 1 } } { 4 \pi D ( t _ { 2 } - t ) ( t - t _ { 1 } ) } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { ( \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } ) ^ { 2 } } { 4 D ( t _ { 2 } - t ) } - \frac { ( \vec { r } - \vec { r } _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 D ( t - t _ { 1 } ) } + \frac { ( \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 D ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } \right) ,
\hat { v } ( b ; \boldsymbol { w } ^ { * } ) = - 1 + \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } \sum _ { b ^ { \prime } \in \mathcal { B } ( b , a ) } \operatorname* { P r } ( b ^ { \prime } \! \mid \! b , a ) \hat { v } ( b ^ { \prime } ; \boldsymbol { w } ^ { * } ) \qquad \forall b \neq b ^ { \Omega }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial l ( \theta , z ) } { \partial \theta _ { a b } } } & { = h _ { a b } \frac { \bar { A } _ { a b } ( z ) } { \theta _ { a b } } - h _ { a b } \frac { 1 - \bar { A } _ { a b } ( z ) } { 1 - \theta _ { a b } } } \\ { \widehat { \theta } _ { a b } } & { = \bar { A } _ { a b } ( z ) , \ \ 1 \leq a \leq b \leq k . } \end{array}
G _ { k } ( W ) _ { d i l } \sim { \frac { \alpha _ { 0 } } { B _ { k } ^ { \prime } } } W ^ { \Delta } \sim { \frac { \alpha _ { 0 } } { B _ { k } ^ { \prime } } } { \frac { z ^ { \Delta } { z ^ { \prime } } ^ { \Delta } } { L ^ { 2 \Delta } } } ,