harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Lambda _ { a } ^ { \alpha - 1 } h ( x ) = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \mathfrak { a } _ { \Lambda } ( x , j ) \widehat { h } _ { j } e ^ { \mathrm { i } j x } , \quad \Upsilon _ { a } ^ { \alpha - 3 } h ( x ) = \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \mathfrak { a } _ { \Upsilon } ( x , j ) \widehat { h } _ { j } e ^ { \mathrm { i } j x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { { \mathcal { H } } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( P _ { 1 } ^ { 2 } + P _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 8 } \left( Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\eta _ { K , \ell } : = \mathbb E \left( \eta _ { K , \ell } ( \boldsymbol \omega ) \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \eta _ { \ell } ^ { 2 } : = \sum _ { K \in \mathcal { T } _ { \ell } } \eta _ { K , \ell } ^ { 2 } .
\sigma \left( p p \rightarrow p K ^ { + } \Lambda \right) = \frac { F _ { I S I } \left| M _ { 0 } \right| ^ { 2 } } { \mathrm { F } } \; \int d \, V _ { p s } \frac { \left( 2 \pi \eta _ { c , p K ^ { + } } \right) / \left( e ^ { 2 \pi \eta _ { c , p K ^ { + } } } - 1 \right) } { \mathrm { p } _ { p \Lambda } ^ { 2 } + \left( - 1 / \hat { a } _ { p \Lambda } + \hat { r } _ { p \Lambda } \, \mathrm { p } _ { p \Lambda } ^ { 2 } \, / \, 2 \right) ^ { 2 } }
\times \bigg ( \left( t _ { A } \right) _ { R _ { 1 } r _ { 1 } S _ { 1 } s _ { 1 } } \left( t _ { C _ { 1 } } \right) _ { V _ { 1 } v _ { 1 } W _ { 1 } w _ { 1 } } \left( \left( t _ { E _ { 1 } \alpha _ { 1 } } \right) _ { S _ { 1 } s _ { 1 } V _ { 1 } v _ { 1 } } \delta _ { W _ { 1 } R _ { 1 } } \delta _ { w _ { 1 } r _ { 1 } } - \delta _ { S _ { 1 } V _ { 1 } } \delta _ { s _ { 1 } v _ { 1 } } \left( t _ { E _ { 1 } \alpha _ { 1 } } \right) _ { W _ { 1 } w _ { 1 } R _ { 1 } r _ { 1 } } \right) \bigg ) \times
\hat { H } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } [ J ( \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + \mathrm { H . c . } ) + \Delta \delta _ { T } ( t ) ( \hat { c } _ { n } \hat { c } _ { n + 1 } + \mathrm { H . c . } ) + \mu ( 2 \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } - 1 ) ] ,
T _ { 3 } ( f ) ( z ) \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { j = 1 } ^ { l } \int _ { E _ { j } } ( r ^ { \prime } ) ^ { 1 - n _ { j } } | f ( z ^ { \prime } ) | d \mu ( z ^ { \prime } ) + \int _ { K } | f ( z ^ { \prime } ) | d \mu ( z ^ { \prime } ) , } & { z \in K } \\ { \sum _ { j = 1 } ^ { l } \int _ { E _ { j } } \operatorname* { m i n } \left( r ^ { - n _ { i } } ( r ^ { \prime } ) ^ { 2 - n _ { j } } ; r ^ { 1 - n _ { i } } ( r ^ { \prime } ) ^ { 1 - n _ { j } } \right) | f ( z ^ { \prime } ) | d \mu ( z ^ { \prime } ) + } \\ { r ^ { - n _ { i } } \int _ { K } | f ( z ^ { \prime } ) | d \mu ( z ^ { \prime } ) , } & { z \in E _ { i } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \frac { \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) } { | x | } \textrm { d } x } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( \varepsilon r , \psi ) \phi ^ { \prime } ( r ) \textrm { d } r \textrm { d } \psi } \\ & { = - \varepsilon \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial \beta } { \partial r } ( \varepsilon r , \psi ) \phi ( r ) \textrm { d } r \textrm { d } \psi } \\ & { - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \beta \Big ( \frac { \varepsilon } { 3 } , \psi \Big ) \textrm { d } \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi _ { 2 , 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { C } \left( \omega ^ { 2 } D - 3 k ^ { 4 } \delta _ { i } \right) \phi _ { 1 , 1 } ^ { 2 } , } \\ { n _ { 2 , 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { C } \left[ D - 3 k ^ { 2 } ( A + 4 k ^ { 2 } ) \right] \phi _ { 1 , 1 } ^ { 2 } , } \\ { v _ { 2 , 2 } } & { = } & { \frac { k } { \omega C } \left[ \omega ^ { 2 } D - k ^ { 2 } \left\{ A \omega ^ { 2 } + 2 k ^ { 2 } \left( \delta _ { i } + 2 \omega ^ { 2 } \right) \right\} \right] \phi _ { 1 , 1 } ^ { 2 } , } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ M ~ - ~ F ~ T ~ } } ( \{ x _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } , \{ y _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } ) \equiv \ln P _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ M ~ - ~ F ~ T ~ } } ( \mathbf { A } ^ { * } | \{ x _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } , \{ y _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N } )
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } p \Delta p } & { = - \| \nabla p \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p \kappa u _ { \tau } ^ { 2 } + 2 \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } p \tau \cdot \nabla \left( ( \alpha + \kappa ) u _ { \tau } \right) + { \mathrm { R a } } \int _ { \gamma ^ { - } } p n _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { { } L _ { 1 } = - \nabla _ { \mathbf { r } } ^ { 2 } + i \omega \widehat { \mathbf { r } } \cdot \nabla _ { \mathbf { r } } + ( V + i W ) + \sigma | \phi | ^ { 2 } [ 2 \ln ( | \phi | ^ { 2 } ) + 1 ] - \mu , \quad L _ { 2 } = \sigma \phi ^ { 2 } [ \ln ( | \phi | ^ { 2 } ) + 1 ] . } \end{array}
S = < \exp \left( \int d \hat { \tau } \left[ \hat { \overline { { { \eta } } } } _ { a } D \hat { \eta } ^ { a } + \hat { \overline { { { \eta } } } } _ { a } M _ { b } ^ { a } \hat { \eta } ^ { b } \right] \right) > = < e ^ { - I } > \ ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { ~ d ~ } u \, 4 \pi u ^ { 2 } \langle n _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( u ) \rangle } & { { } = - 1 , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { ~ d ~ } u \, 4 \pi u ^ { 2 } \langle \bar { n } _ { \mathrm { ~ c ~ } } ( u ) \rangle } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = [ a - b ] \cos ( t ) \ + b \cos \left[ t \left( { \frac { a } { b } } - 1 \right) \right] } \\ { y } & { { } = [ a - b ] \sin ( t ) \ - b \sin \left[ t \left( { \frac { a } { b } } - 1 \right) \right] , k = { \frac { a } { b } } } \end{array}
H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { f } \vert \vec { \rho } - \vec { \rho } ^ { \prime } \vert ) \simeq \sqrt { \frac { 2 } { \pi k _ { f } \rho } } e ^ { i k _ { f } \rho } e ^ { - i k _ { f } \vec { u } _ { \rho } \cdot \vec { \rho } ^ { \prime } } e ^ { - i \pi / 4 }
\begin{array} { r l } { l ^ { \mu } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( u ^ { \mu } + r ^ { \mu } \right) } \\ { n ^ { \mu } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( u ^ { \mu } - r ^ { \mu } \right) } \\ { m ^ { \mu } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \theta ^ { \mu } + i \varphi ^ { \mu } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { D _ { j } = B _ { j } \cap P _ { j } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } | 1 - u ^ { 2 } | > \delta _ { j } , \mathrm { ~ a n d ~ } u _ { i } \rightarrow u \mathrm { ~ u n i f o r m l y } , } \\ & { } & { \tilde { D } _ { j } = B _ { j } \backslash P _ { j } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } | 1 - u ^ { 2 } | \leq \delta _ { j } , \mathrm { ~ a n d ~ } u _ { i } \rightarrow u \mathrm { ~ u n i f o r m l y ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \hat { S } _ { \alpha \beta } ( z , t ) , \hat { S } _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } } ( z ^ { \prime } , t ) \right] } \\ & { } & { = \frac { L } { N } \delta ( z - z ^ { \prime } ) \left[ \delta _ { \alpha \beta ^ { \prime } } \hat { S } _ { \alpha ^ { \prime } \beta } ( z , t ) - \delta _ { \alpha ^ { \prime } \beta } \hat { S } _ { \alpha \beta ^ { \prime } } ( z , t ) \right] ; } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ h ~ f ~ s ~ } } ( 2 S , \mu \mathrm { ~ H ~ } ) = \Big [ 2 2 . 9 5 8 4 ( 8 ) \underbrace { - 0 . 1 6 3 1 9 ( 2 ) \left( \frac { R _ { \mathrm { Z } } } { \mathrm { ~ f ~ m ~ } } \right) + \frac { E _ { \mathrm { F } } } { 8 } \, \Big ( 1 . 0 1 5 8 0 ( 4 ) \, \Delta _ { \mathrm { r e c o i l } } + 1 . 0 0 3 2 6 \, \Delta _ { \mathrm { p o l . } } \Big ) } _ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ i ~ n ~ c ~ l ~ u ~ d ~ i ~ n ~ g ~ r ~ a ~ d ~ i ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ c ~ o ~ r ~ r ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } \Big ] \, \mathrm { ~ m ~ e ~ V ~ } ,
f _ { T T T } = - { \frac { 2 i } { \pi } } \frac { j _ { T } ( T ) } { j ( T ) - j ( U ) } \left\{ \frac { j ( U ) } { j ( T ) } \right\} \left\{ \frac { j _ { T } ( T ) } { j _ { U } ( U ) } \right\} \left\{ \frac { j ( U ) - j ( i ) } { j ( T ) - j ( i ) } \right\} .
U ( \mu , M _ { W } ) = \biggl [ 1 + \frac { \alpha _ { s } ( \mu ) } { 4 \pi } J \biggr ] U ^ { 0 } ( \mu , M _ { W } ) \biggl [ 1 - \frac { \alpha _ { s } ( M _ { W } ) } { 4 \pi } J \biggr ] \ ,
\phi ( \theta , \varphi ) = a \left\{ \cos ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } | 2 \lambda _ { \phi } > - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \sin \theta e ^ { - i \varphi } | 2 \lambda _ { \phi } - \alpha > + \sin ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } e ^ { - 2 i \varphi } | 2 \lambda _ { \phi } - 2 \alpha > \right\} \, .
V _ { K S } ( { \bf r } , t ) = V _ { e x t } ( { \bf r } , t ) + \int \frac { \rho ( { \bf r } ^ { \prime } , t ) } { | { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime } | } d { \bf r } ^ { \prime } + V _ { x c } ( { \bf r } )
\begin{array} { r } { P T E = 1 - \frac { 2 } { 1 + \sqrt { \frac { r _ { 1 1 } r _ { 2 2 } + x _ { 1 2 } ^ { 2 } } { r _ { 1 1 } r _ { 2 2 } - r _ { 1 2 } ^ { 2 } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { h } _ { 1 } ( \eta ) } & { { } = } & { \sin \eta \, , } \\ { \bar { y } ( \eta ) } & { { } = } & { \pm \sqrt { 1 - \bar { H } _ { 1 } ^ { 2 } } + \cos \eta \, , } \end{array}
[ c _ { s } ( \vec { k } ) , c _ { s ^ { \prime } } ( \vec { k } ^ { \prime } ) ] _ { + } = [ c _ { s } ^ { \dag } ( \vec { k } ) , c _ { s ^ { \prime } } ^ { \dag } ( \vec { k } ^ { \prime } ) ] _ { + } = [ d _ { s } ( \vec { k } ) , d _ { s ^ { \prime } } ( \vec { k } ^ { \prime } ) ] _ { + } = [ d _ { s } ^ { \dag } ( \vec { k } ) , d _ { s ^ { \prime } } ^ { \dag } ( \vec { k } ^ { \prime } ) ] _ { + } = 0 .
\begin{array} { r } { m ^ { X , ( 1 ) } ( z ) = I + \frac { m _ { 1 } ^ { X , ( 1 ) } } { z } + O \biggl ( \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \biggr ) , \quad z \to \infty , \quad m _ { 1 } ^ { X , ( 1 ) } : = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( t ) e ^ { - \tilde { r } _ { \alpha } ( 0 ) t } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - \tilde { r } _ { \alpha } ( 0 ) } { f ( s ) } d s } } d x } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { n ^ { 0 } ( Y ( t , x ) ) } { Y ( t , x ) ^ { \alpha } } Y ( t , x ) ^ { \alpha } e ^ { \int _ { Y ( t , x ) } ^ { x } { \frac { \tilde { r } ( s ) - \tilde { r } _ { \alpha } ( 0 ) } { f ( s ) } d s } } d x } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { \mathcal { A } ^ { ( 0 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 2 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 0 3 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 1 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 1 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 2 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 1 3 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 2 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 2 1 ) } } & { \bar { \mathcal { A } } ^ { ( 2 2 ) } } & { \bar { \mathcal { A } } ^ { ( 2 3 ) } } \\ { \mathcal { A } ^ { ( 3 0 ) } } & { \mathcal { A } ^ { ( 3 1 ) } } & { \bar { \mathcal { A } } ^ { ( 3 2 ) } } & { \bar { \mathcal { A } } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { f ^ { ( 1 ) } } \\ { f ^ { ( 2 ) } } \\ { f ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { \mathrm { K n } } \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 1 3 ) } } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 2 3 ) } } \\ { 0 } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 1 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 2 ) } } & { \mathcal { L } ^ { ( 3 3 ) } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { f ^ { ( 0 ) } } \\ { f ^ { ( 1 ) } } \\ { f ^ { ( 2 ) } } \\ { f ^ { ( 3 ) } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \mathcal { D } } [ \| x _ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \| x _ { k + 1 } - \hat { x } _ { k } \| ^ { 2 } ] } & { \leq } & { ( 1 - \omega \mu + 9 \omega ^ { 2 } \delta ) \bigg ( \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - \hat { x } _ { k - 1 } \| ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { } & { \quad + 1 2 \omega ^ { 2 } \sigma _ { * } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { V ^ { 2 } } & { = V ^ { 1 } + \phi ( x , u , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) { \frac { \partial } { \partial u _ { 2 } } } } \\ & { = x { \frac { \partial } { \partial u } } - u { \frac { \partial } { \partial x } } + ( 1 + u _ { 1 } u _ { 1 } ) { \frac { \partial } { \partial u _ { 1 } } } + \phi ( x , u , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) { \frac { \partial } { \partial u _ { 2 } } } } \end{array} }
G ^ { ( 2 ) } ( x , x ^ { \prime } ) = \frac 1 { 2 \pi ^ { 2 } } \frac 1 { \sqrt { 2 r r ^ { \prime } } } \int _ { \rho } ^ { \infty } d t \frac 1 { \sqrt { \cosh t - \cosh \rho } } \frac { \sinh ( t / \alpha ) } { \cosh ( t / \alpha ) - \cos ( \gamma ) } \ .
\begin{array} { r l } & { \mu _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \alpha _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t - t _ { 1 } ) F ( t _ { 1 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } , } \\ & { \mu _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ( t ) = \iint _ { - \infty } ^ { \infty } \alpha _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ( t - t _ { 1 } , t - t _ { 2 } ) F ( t _ { 1 } ) F ( t _ { 2 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } t _ { 2 } , } \\ & { \mu _ { i j k l } ^ { ( 3 ) } ( t ) = \iint \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \alpha _ { i j k l } ^ { ( 3 ) } ( t - t _ { 1 } , t - t _ { 2 } , t - t _ { 3 } ) } \\ & { \qquad \qquad \quad \times F ( t _ { 1 } ) F ( t _ { 2 } ) F ( t _ { 3 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } t _ { 2 } \mathrm { d } t _ { 3 } , } \\ & { \mu _ { i j k l m } ^ { ( 4 ) } ( t ) = \iint \! \! \! \iint _ { - \infty } ^ { \infty } \alpha _ { i j k l m } ^ { ( 4 ) } ( t - t _ { 1 } , t - t _ { 2 } , t - t _ { 3 } , t - t _ { 4 } ) } \\ & { \qquad \qquad \quad \times F ( t _ { 1 } ) F ( t _ { 2 } ) F ( t _ { 3 } ) F ( t _ { 4 } ) \mathrm { d } t _ { 1 } \mathrm { d } t _ { 2 } \mathrm { d } t _ { 3 } \mathrm { d } t _ { 4 } . } \end{array}
\begin{array} { c l } { \displaystyle F ^ { \left( 1 \right) } \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) = } & { \displaystyle J ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \biggl ( f _ { 3 , 0 , n } \sin \left( 3 \psi _ { 3 } - \left( n - l _ { 3 \nu _ { x } } \right) \theta + \xi _ { 3 , 0 , n } \right) } } \\ & { \displaystyle + f _ { 1 , 0 , n } \sin \left( \psi _ { 3 } - \left( n - \frac { l _ { 3 \nu _ { x } } } { 3 } \right) \theta + \xi _ { 1 , 0 , n } \right) \biggr ) . } \end{array}
\forall r \in \mathbb { N } : \qquad \| \mathsf { K } F \| _ { \check { \mathcal { G } } _ { \mathrm { h o m } ; K , \bar { \lambda } , r } ^ { \bar { \alpha } + \beta } } \le \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } ^ { \prime } \, \| F \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { h o m } ; K , 2 ( \bar { \lambda } + \rho ) , r } ^ { \bar { \alpha } } } \, ;
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { R } = - \frac { \mathcal { G } m _ { 1 } m _ { 2 } } { 8 a _ { 2 } } } & { { } \bigg [ I _ { 1 } ^ { 2 } \cos { ( ( p + 2 ) \lambda _ { 2 } - p \lambda _ { 1 } - 2 \Omega _ { 1 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } l ^ { \prime } } } & { = \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { y } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { y } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { y } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \partial \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( y ) } { \partial y } \frac { \partial \Lambda _ { l } ( y ) } { \partial y } \mathrm { d } y } \\ & { \sum _ { j } \sum _ { k } \phi _ { j k } ^ { ( n ) } ( t ) \int N ( x , z ) \Lambda _ { j } ( x ) \Lambda _ { k } ( z ) \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( x ) \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } z } \\ & { + \sum _ { l = 0 } ^ { n _ { y } - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { n _ { y } - 1 } \exp { \left( \frac { 2 \pi i } { n _ { y } } n l \right) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Lambda _ { l ^ { \prime } } ( y ) \Lambda _ { l } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { \sum _ { j } \sum _ { k } \phi _ { j k } ^ { ( n ) } ( t ) \int N ( x , z ) \frac { \partial \Lambda _ { j } ( x ) } { \partial x } \Lambda _ { k } ( z ) \frac { \partial \Lambda _ { j ^ { \prime } } ( x ) } { \partial x } \Lambda _ { k ^ { \prime } } ( z ) \mathrm { d } x \mathrm { d } z } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { q } ( n _ { x } , y , n _ { z } ) } & { { } = \frac { 1 } { N _ { x } N _ { z } } \sum _ { ( I , K ) = ( 1 , 1 ) } ^ { ( N _ { x } , N _ { z } ) } q ( x _ { I } , y , z _ { K } ) \exp [ - 2 \pi \mathrm { i } ( n _ { x } x _ { I } / L _ { x } + n _ { z } z _ { K } / L _ { z } ) ] , } \\ { q ( x _ { I } , y , z _ { K } ) } & { { } = \sum _ { ( n _ { x } , n _ { z } ) = ( - N _ { x } / 2 , - N _ { z } / 2 ) } ^ { ( N _ { x } / 2 - 1 , N _ { z } / 2 - 1 ) } \tilde { q } ( n _ { x } , y , n _ { z } ) \exp [ 2 \pi \mathrm { i } ( n _ { x } x _ { I } / L _ { x } + n _ { z } z _ { K } / L _ { z } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \zeta ( E _ { 1 } - E _ { 0 } ) } + e ^ { - \zeta ( E _ { 2 } - E 0 ) } } } \\ { w _ { 1 } } & { = \frac { e ^ { - \zeta ( E _ { 1 } - E _ { 0 } ) } } { 1 + e ^ { - \zeta ( E _ { 1 } - E _ { 0 } ) } + e ^ { - \zeta ( E _ { 2 } - E 0 ) } } } \\ { w _ { 2 } } & { = \frac { e ^ { - \zeta ( E _ { 2 } - E 0 ) } } { 1 + e ^ { - \zeta ( E _ { 1 } - E _ { 0 } ) } + e ^ { - \zeta ( E _ { 2 } - E 0 ) } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \Delta \varphi _ { 0 } = - \Delta \varphi _ { 2 } } \\ { \alpha _ { 2 } J _ { 0 } ^ { 2 } J _ { 1 } J _ { 2 } - \alpha _ { 0 } \left( J _ { 0 } ^ { 2 } J _ { 1 } J _ { 2 } + J _ { 0 } J _ { 1 } ^ { 3 } \right) = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathrm { \textbf { C h a r a c t e r i z i n g ~ I n e q u a l i t i e s : } } } \\ & { \quad 2 x _ { k } \leq x _ { i } + x _ { j } , } \\ & { \quad \operatorname* { m a x } ( x _ { i } + x _ { j + 1 } , x _ { i + 1 } + x _ { j } ) \leq 2 x _ { k + 1 } \leq x _ { i + 1 } + x _ { j + 1 } } \\ & { \mathrm { \textbf { R e g i o n ~ A r e a : } } } \\ & { \quad ( x _ { i + 1 } - x _ { i } ) ( x _ { j + 1 } - x _ { j } ) - ( 2 x _ { k + 1 } - x _ { j + 1 } - x _ { i + 1 } ) ^ { 2 } / 2 } \end{array}
( H _ { 1 2 3 } ^ { \frac { 1 } { 2 } 0 0 } ) ^ { T } = \partial _ { 2 } \partial _ { 3 } H _ { 1 2 3 } \partial _ { 2 } \partial _ { 3 } = { \cal P } _ { 1 2 3 } ( x _ { 3 2 } x _ { 2 1 } ) ^ { - 1 } H _ { 1 2 3 } x _ { 3 2 } x _ { 2 1 } { \cal P } _ { 1 2 3 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \mathrm { { o u t } } } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { { { f ( n _ { a } ) } } } & { 0 } \\ { { f ( n _ { b } ) } - { f ( n _ { a } ) } } & { { f ( n _ { b } ) } } \end{array} \right] \cdot \overbrace { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } ^ { \updownarrow } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { f ( n _ { b } ) } } \end{array} \right] } \\ & { = { f ( n _ { b } ) } \cdot \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \big ( \{ 2 \} , \{ 2 , 1 \} , \{ 1 , 1 \} , \{ 1 \} \big ) , \, \big ( \{ 2 \} , \{ 1 , 2 \} , \{ 1 , 1 \} , \{ 1 \} \big ) , } \\ & { \big ( \{ 1 \} , \{ 1 , 1 \} , \{ 1 , 1 \} , \{ 1 \} \big ) , \, \big ( \{ 1 \} , \{ 1 , 1 \} , \{ 1 , 0 \} , \{ 0 \} \big ) , } \\ & { \big ( \{ 1 \} , \{ 1 , 1 \} , \{ 0 , 1 \} , \{ 0 \} \big ) , \, \big ( \{ 1 \} , \{ 1 , 0 \} , \{ 0 , 0 \} , \{ 0 \} \big ) , } \\ & { \big ( \{ 1 \} , \{ 0 , 1 \} , \{ 0 , 0 \} , \{ 0 \} \big ) , \, \big ( \{ 1 \} , \{ 0 , 0 \} , \{ 0 , 0 \} , \{ 0 \} \big ) . } \end{array}
\hat { \rho } _ { \mathrm { ~ A ~ E ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ } } = \int \! \! d ^ { 2 } \alpha \, \, Q _ { \checkmark } [ \alpha ] \cdot \hat { \rho } _ { \mathrm { ~ A ~ E ~ } } ^ { \mathrm { ~ f ~ } } \left[ \alpha \right] ,
\begin{array} { r l } & { r ( \overline { { F } } _ { 1 } \cap \overline { { F } } _ { 2 } ) + r ( \overline { { F } } _ { 1 } \cup \overline { { F } } _ { 2 } ) + r ( \overline { { F } } _ { 3 } ) + \cdots + r ( \overline { { F } } _ { d } ) - ( d - 1 ) r ( M ) } \\ & { = r ( \overline { { F } } _ { > 1 } \cap \overline { { F } } _ { 2 } ) + r ( E ( M ) ) + r ( \overline { { F } } _ { 3 } ) + \cdots + r ( \overline { { F } } _ { d } ) - ( d - 1 ) r ( M ) } \\ & { = r ( \overline { { F } } _ { > 2 } ) + r ( \overline { { F } } _ { 3 } ) + \cdots + r ( \overline { { F } } _ { d } ) - ( d - 2 ) r ( M ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \pi _ { \bigstar } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H _ { h } = \mathbb { F } _ { 2 } \langle \Sigma ^ { - 1 } \frac { 1 } { a _ { \alpha } ^ { i } } \rangle [ u _ { \alpha } ^ { \pm } ] \quad \mathrm { i f ~ n = 1 ~ } } \\ & { \pi _ { \bigstar } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H _ { h } = \mathbb { F } _ { 2 } \langle \Sigma ^ { - 1 } \frac { 1 } { a _ { \lambda _ { 0 } } ^ { i } } \rangle [ u _ { \alpha } ^ { \pm } , u _ { \lambda _ { 0 } } ^ { \pm } , \cdots , u _ { \lambda _ { n - 2 } } ^ { \pm } ] \langle 1 , a _ { \alpha } \rangle \quad \mathrm { i f ~ n \geq ~ 2 ~ } . } \end{array}
( \sigma + \mathcal { V } _ { 2 } ) ( \sigma + \mathcal { V } _ { 3 } ) ( \sigma + \mathcal { V } _ { 4 } ) - \bar { \mathcal { N } } _ { 4 } { \mathcal { N } } _ { 3 } | A _ { 5 } | ^ { 2 } ( \sigma + \mathcal { V } _ { 2 } ) - \bar { \mathcal { M } } _ { 2 } { \mathcal { M } } _ { 3 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } ( \sigma + \mathcal { V } _ { 4 } ) = 0 ,
{ \tilde { \rho } } _ { c } ( { \vec { q } } _ { 1 } , . . . , { \vec { q } } _ { p } ) = f _ { A B } \int \prod _ { i = 2 } ^ { p } d ^ { 4 } x _ { 1 } d ^ { 4 } x _ { i } d ^ { 4 } z _ { i } e ^ { - i q _ { 1 } x _ { 1 } } e ^ { - i q _ { i } ( x _ { i } - z _ { i } ) } G ( x _ { 1 } . . . x _ { p } ; z _ { 2 } . . . z _ { p } )
A _ { \nu _ { 1 } , \dots , \nu _ { n } } ^ { ( n ) } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { M _ { \mathrm { i n t } } } \frac { \partial ^ { n } V _ { \alpha } ( Q _ { \alpha } ( q _ { \mu _ { \alpha , 1 } } , \dots , q _ { \mu _ { \alpha , M _ { \alpha } } } ) ) } { \partial q _ { \nu _ { 1 } } \dots \partial q _ { \nu _ { n } } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \xi _ { 1 } = \omega _ { 3 , 1 } ( t ) + x \omega _ { 1 , 1 } + y \omega _ { 2 , 1 } , } \\ & { } & { \xi _ { 2 } = \omega _ { 3 , 2 } ( t ) + x \omega _ { 1 , 2 } + y \omega _ { 2 , 2 } , } \\ & { } & { \xi _ { 3 } = \omega _ { 3 , 3 } ( t ) + x \omega _ { 1 , 3 } + y \omega _ { 2 , 3 } , } \\ & { } & { \xi _ { 4 } = \omega _ { 1 , 4 } F _ { 1 } \left( \xi _ { 1 } \right) + \omega _ { 2 , 4 } F _ { 2 } \left( \xi _ { 2 } \right) + \omega _ { 3 , 4 } F _ { 3 } \left( \xi _ { 3 } \right) + \omega _ { 4 , 4 } ( t ) , } \\ & { } & { \xi _ { 5 } = \omega _ { 1 , 5 } F _ { 1 } \left( \xi _ { 1 } \right) + \omega _ { 2 , 5 } F _ { 2 } \left( \xi _ { 2 } \right) + \omega _ { 3 , 5 } F _ { 3 } \left( \xi _ { 3 } \right) + \omega _ { 4 , 5 } ( t ) , } \\ & { } & { \xi = \omega _ { 1 , 6 } F _ { 4 } \left( \xi _ { 4 } \right) + \omega _ { 2 , 6 } F _ { 5 } \left( \xi _ { 5 } \right) + \omega _ { 3 , 6 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \left( \Im G _ { x x } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { { } } & { b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \sin \left( \theta _ { n s } \right) } \\ { \frac { \partial \left( \Im G _ { y y } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { { } } & { - b _ { n \ell } e ^ { j \ell \theta _ { n s } } \bigg [ H _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) \cos \left( \theta _ { n s } \right) } \\ { \frac { \partial \left( \Im G _ { z z } \right) } { \partial \hat { b } _ { n \ell } } = } & { { } } & { - j J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) H _ { \ell } \left( k _ { o } R _ { n s } \right) e ^ { j \ell \theta _ { n s } } } \end{array}