harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d \textbf { v } _ { i } } { d t } } & { = - 2 \sum _ { j } \left( \frac { { P } ^ { * } } { \rho _ { i } } \right) V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + 2 \sum _ { j } \frac { \nu } { \rho _ { i } } \textbf { v } _ { i j } V _ { j } \nabla _ { i } W _ { i j } + \textbf { g } _ { i } } \\ { { P } ^ { * } } & { = { p } ^ { * } + { \Pi } ^ { * } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { h _ { 1 } = r h _ { 2 } ^ { \prime } + h _ { 2 } - h _ { 2 } \left( \frac { r S ^ { \prime } } { 2 \bar { S } } + \frac { r N ^ { \prime } } { N } \right) , \qquad \qquad ( \omega \neq 0 ) ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left| X _ { T } - \hat { X } _ { T } ^ { h } \right| ^ { q } \right] } \\ & { \leq c _ { q } \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h \right| ^ { q } \right] + c _ { q } \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h \right| ^ { q } \right] } \\ & { \quad + c _ { q } \mathbb { E } \left[ \left| \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } - \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } \right| ^ { q } \right] . } \end{array}
A _ { \Lambda ^ { \prime } } ( \Sigma _ { + } ^ { + } ) = A _ { \Lambda ^ { \prime } } ( \Sigma _ { - } ^ { - } ) = \frac { g _ { \Lambda ^ { \prime } \Sigma \pi } < n | H _ { w } ^ { p v } | \Lambda ^ { \prime } > ( m _ { \Sigma } - m _ { n } ) } { ( m _ { \Lambda ^ { \prime } } - m _ { n } ) ( m _ { \Lambda ^ { \prime } } - m _ { \Sigma } ) } \sim 0 . 0 8 \cdot 1 0 ^ { - 6 }
{ } _ { N } \! \langle \psi _ { n } ^ { \prime } , \bar { \psi } _ { n } ^ { \prime } | \psi _ { n } , \bar { \psi } _ { n } \rangle _ { N } = \prod _ { \mu = 0 } ^ { p } \delta \left( \mathrm { R e } \psi _ { n \mu } ^ { \prime } - \mathrm { R e } \psi _ { n \mu } \right) \delta \left( \mathrm { I m } \psi _ { n \mu } ^ { \prime } - \mathrm { I m } \psi _ { n \mu } \right) ~ .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { q \in \mathrm { Q } } \operatorname* { s u p } _ { v \in [ 0 , N ] } \mathrm { a } ( q , v ) < \bar { \mathrm { a } } < \infty \, , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { q _ { 1 } , q _ { 2 } \in \mathrm { Q } } \operatorname* { s u p } _ { v \in [ 0 , N ] } \mathrm { b } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , v ) < \bar { \mathrm { b } } < \infty \, , } \end{array}
\tilde { \Phi } ( r ) = [ \Phi ( r ) - \frac { 1 } { V } \int _ { V } \mathrm { d ^ { 3 } } y \Phi ( r + y ) ] \, { } = \int \mathrm { d ^ { 3 } } y \Phi ( r + y ) \left( \delta ( y ) - \frac { 1 } { V } \right) .
\begin{array} { r l } { \left( \mathbf { A } _ { \mathrm { R } } \mathbf { G } \mathbf { A } _ { \mathrm { R } } ^ { \top } \right) \boldsymbol { \varphi } + j \omega \mathbf { A } _ { \mathrm { C } } \mathbf { C } \mathbf { A } _ { \mathrm { C } } ^ { \top } + \mathbf { A } _ { \mathrm { V } } \mathbf { i } _ { \mathrm { V } } } & { = - \mathbf { A } _ { \mathrm { I } } \mathbf { i } _ { \mathrm { s r c } } } \\ { \mathbf { A } _ { \mathrm { V } } ^ { \top } \boldsymbol { \varphi } } & { = \mathbf { v } _ { \mathrm { s r c } } } \end{array}
b ^ { \prime } c = c b ^ { \prime } + ( q - q ^ { - 1 } ) ( d a ^ { \prime } + a d ^ { \prime } ) + b c ^ { \prime } ( q - q ^ { - 1 } ) ^ { 2 } , \quad b ^ { \prime } d = q d b ^ { \prime } + ( q ^ { 2 } - 1 ) b d ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf { A } ) = 0 } & { \Rightarrow \overline { { \mathbf { D } } } _ { 2 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 2 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { A } _ { 1 } = 0 } \\ & { \mathrm { a n d } \; \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { C } } } _ { 2 } \cdot \mathsf { A } _ { 2 } = 0 } \\ { \nabla \times \nabla f = 0 } & { \Rightarrow \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { E } } } _ { 1 } \cdot \mathsf { f } _ { 1 } } \\ & { = - \overline { { \mathbf { C } } } _ { 1 } \cdot \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { - 1 } \cdot \overline { { \mathbf { D } } } _ { 1 } ^ { T } \cdot \mathsf { f } _ { 1 } = 0 . } \end{array}
* h _ { \alpha \beta } = \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { - a \cos \theta } & { a r \sin \theta } & { 0 } \\ { a \cos \theta } & { 0 } & { 0 } & { - a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta } \\ { - a r \sin \theta } & { 0 } & { 0 } & { r \left( a ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) \sin \theta } \\ { 0 } & { a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta } & { - r \left( a ^ { 2 } + r ^ { 2 } \right) \sin \theta } & { 0 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \hat { X } _ { \alpha } ( \omega _ { n } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ) \hat { a } _ { \alpha , \mathrm { o u t } } ( \omega ) + \mathrm { h . c . } } \\ { \hat { P } _ { \alpha } ( \omega _ { n } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } i } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \mathcal { G } ( \omega _ { n } - \omega ) \hat { a } _ { \alpha , \mathrm { o u t } } ( \omega ) + \mathrm { h . c . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ( r , \phi , \xi ) = \tilde { \psi } _ { 0 } \left( \frac { r } { r _ { b } } \right) + g \frac { r _ { b } } { 1 6 } \tilde { \psi } _ { 0 } ^ { \prime } \left( \frac { r } { r _ { b } } \right) \cos \phi + \tilde { \psi } _ { 1 } \left( \frac { r } { r _ { b } } \right) \cos \phi + \mathcal { O } [ g ^ { 2 } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha j } ^ { ( i ) } R _ { j \beta } ^ { ( i ) } } { R _ { j j } ^ { ( i ) } } { \texttt A } _ { j \beta } } & { \prec \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha } \left| \sum _ { \beta } \frac { R _ { \alpha j } ^ { ( i ) } R _ { j \beta } ^ { ( i ) } } { R _ { j j } ^ { ( i ) } } { \texttt A } _ { j \beta } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \prec \left( \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha } \left| \sum _ { \beta } N ^ { - 3 / 2 } \right| ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \prec N ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { i } = } & { { } \frac { \binom { N - 1 } { i - 1 } } { \binom { N - 1 } { i - 1 } + \binom { N - 1 } { i } } \tilde { x } _ { ( 1 , i - 1 ) } + \frac { \binom { N - 1 } { i } } { \binom { N - 1 } { i - 1 } + \binom { N - 1 } { i } } \tilde { x } _ { ( 0 , i ) } } \\ { = } & { { } \frac { i } { N } \tilde { x } _ { ( 1 , i - 1 ) } + \frac { N - i } { N } \tilde { x } _ { ( 0 , i ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = \nabla \cdot \left( \rho \nabla \left( \tilde { \kappa } \rho - ( \tilde { \kappa } + \gamma ) \omega _ { \varepsilon } \ast \rho + \tilde { \alpha } \eta - ( \tilde { \alpha } + \beta ) \omega _ { \varepsilon } \ast \eta \right) \right) , } & & { \mathrm { i n } \quad ( 0 , + \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } , } \\ { \frac { \partial \eta } { \partial t } } & { = \nabla \cdot \left( \eta \nabla \left( \tilde { \alpha } \rho - ( \tilde { \alpha } + \beta ) \omega _ { \varepsilon } \ast \rho + \tilde { c } \eta - ( \tilde { c } + 1 ) \omega _ { \varepsilon } \ast \eta \right) \right) , } & & { \mathrm { i n } \quad ( 0 , + \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } . } \end{array}
x ( 0 ) = \left( \begin{array} { l } { - \frac { R } { K } } \\ { 0 } \\ { \frac { R } { 2 } } \end{array} \right) \, , \quad w ( 0 ) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
\mathbb { P } \left( | \mathcal { C } _ { 1 } \triangle \hat { \mathcal { C } } _ { 1 } | > \frac { ( \delta + \epsilon ) n } { 2 } \right) = \mathbb { P } \left( \frac { 2 } { n } \sum _ { v \in \mathcal { C } _ { 1 } } 1 ( R _ { v } < x _ { 0 } ) + \frac { 2 } { n } \sum _ { v \in \mathcal { C } _ { 2 } } 1 ( R _ { v } > x _ { 0 } ) > \delta + \epsilon \right) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \Omega \epsilon _ { 0 } } } \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \left( \mathrm { ~ \bf ~ q ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \sin ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \frac { 1 } { c k } \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \cos ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right) } \\ { \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } & { { } = } & { - \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } \epsilon _ { 0 } } \sum _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \left( \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \sin ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) - c k \, \mathrm { ~ \bf ~ q ~ } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \cos ( \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { x ^ { \textnormal { L , n e t } } = x ^ { \textnormal { L , c r e s t } } + x ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } = x | ^ { a - c } - x | ^ { \Tilde { \mathrm { a } } - c } = \frac { \pi ( 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } ) } { k } \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathcal { S } } = \epsilon ^ { - 1 } \sum _ { i } \int _ { V } \mathrm { d } \boldsymbol { r } \big \vert \boldsymbol { J } _ { i } ^ { \mathrm { d } } ( \phi ^ { * } ) \big \vert ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { j } = \left( { - 1 - \beta l _ { j } + \sqrt { ( 1 + \beta l _ { j } ) ^ { 2 } - 4 \alpha ( 4 k _ { j } ^ { 2 } - l _ { j } ^ { 2 } ) } } \right) / { 2 \alpha } , \qquad j = 1 , 2 . } \end{array}
E _ { p } \mathbf { p } ^ { k } = A _ { p } \mathbf { u } ^ { k } + H _ { p } \mathbf { u } ^ { k } \otimes \mathbf { u } ^ { k } + K _ { p } \; \partial _ { t } \mathbf { d } _ { s } \otimes \mathbf { u } ^ { k } + C _ { p } ,
\psi _ { \mathrm { ~ D ~ S ~ V ~ } } ( x ) = \pi ^ { - 1 / 4 } e ^ { - k / 2 } \exp [ - e ^ { 2 k } \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 } + i p x - i \frac { x _ { 0 } p _ { 0 } } { 2 } ]
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathcal P } } _ { \mathrm { I } } } & { : = \left\{ \alpha + i \beta \ : \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } < d \right\} \cup \left\{ \alpha + i \beta \ : \ \alpha \in ( \sqrt { d / 2 } , \sqrt { 2 d } ) \ ; \ | \alpha | + | \beta | < \sqrt { 2 d } \ \right\} , } \\ { { \ensuremath { \mathcal P } } _ { \mathrm { I I } } } & { : = \left\{ \alpha + i \beta \ : | \alpha | + | \beta | > \sqrt { 2 d } \ ; \ | \alpha | > \sqrt { d / 2 } \right\} , } \\ { { \ensuremath { \mathcal P } } _ { \mathrm { I I I } } } & { : = \left\{ \alpha + i \beta \ : \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } > d \ ; \ | \alpha | < \sqrt { d / 2 } \right\} . } \end{array}
{ \mathbf M } _ { N } = \left[ \begin{array} { c c c c } { { M _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 1 } } } & { { \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { M _ { 2 } } } & { { \frac 1 2 g v _ { 1 } } } & { { - \frac 1 2 g v _ { 2 } } } \\ { { - \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 1 } } } & { { \frac 1 2 g v _ { 1 } } } & { { 0 } } & { { - \mu } } \\ { { \frac 1 2 g ^ { \prime } v _ { 2 } } } & { { - \frac 1 2 g v _ { 2 } } } & { { - \mu } } & { { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) \boxtimes _ { H } \sigma } ( \vec { p } , \vec { q } ) = } & { \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) } ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) \; \Xi _ { \sigma } ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) } \\ { = } & { \Xi _ { \rho } ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) \; \Xi _ { \sigma } ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) \delta _ { ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) \in S } } \\ { = } & { \Xi _ { \rho \boxtimes _ { H } \sigma } ( \vec { p } , \vec { q } ) \delta _ { ( 2 ^ { - 1 } \vec { p } , \vec { q } ) \in S } \; . } \end{array}
f _ { q } = \left. \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, G _ { q } ( \tau u x ^ { 2 } y ) \, \mathrm { e } ^ { - y ^ { 3 } + u x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } } \right/ \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, \mathrm { e } ^ { - y ^ { 3 } + u x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \dot { \tilde { x } } _ { u i } = } & { A _ { u i } \tilde { x } _ { u i } + A _ { r i } \tilde { x } _ { o i } } \\ & { - \gamma V _ { u i } ^ { T } \sum _ { j = 1 } ^ { N } l _ { i j } ( t ) \big [ { V _ { u j } \tilde { x } _ { u j } + V _ { o j } \tilde { x } _ { o j } } \big ] , } \\ { \dot { \tilde { x } } _ { o i } = } & { ( A _ { o i } + L _ { o i } C _ { o i } ) \tilde { x } _ { o i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \pi } { 4 } } = } & { { } 8 3 \arctan { \frac { 1 } { 1 0 7 } } + 1 7 \arctan { \frac { 1 } { 1 7 1 0 } } - 2 2 \arctan { \frac { 1 } { 1 0 3 6 9 7 } } } \end{array}
v _ { \tau } = \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } \left( \frac { | \mathbf { v } | } { \frac { 1 } { \kappa _ { V } } \ln { \delta _ { w } ^ { + } } + B } , C _ { \mu } ^ { 1 / 4 } \sqrt { k } \right) \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { y ^ { \mathcal { N } } } ( y ^ { \mathcal { N } } , u ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ) = J _ { y ^ { \mathcal { N } } } ( y ^ { \mathcal { N } } , u ^ { \mathcal { N } } ) + e _ { y ^ { \mathcal { N } } } ( y ^ { \mathcal { N } } , u ^ { \mathcal { N } } ) ^ { * } p ^ { \mathcal { N } } = 0 } & { \quad \quad \mathrm { ~ i n ~ } \big ( Y ^ { \mathcal { N } } \big ) ^ { * } } \\ { \mathcal { L } _ { u ^ { \mathcal { N } } } ( y ^ { \mathcal { N } } , u ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ) = J _ { u ^ { \mathcal { N } } } ( y ^ { \mathcal { N } } , u ^ { \mathcal { N } } ) + e _ { u ^ { \mathcal { N } } } ( y ^ { \mathcal { N } } , u ^ { \mathcal { N } } ) ^ { * } p ^ { \mathcal { N } } = 0 } & { \quad \quad \mathrm { ~ i n ~ } \big ( U ^ { \mathcal { N } } \big ) ^ { * } } \\ { \mathcal { L } _ { p ^ { \mathcal { N } } } ( y ^ { \mathcal { N } } , u ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } ) = e ( y ^ { \mathcal { N } } , u ^ { \mathcal { N } } ) = 0 } & { \quad \quad \mathrm { ~ i n ~ } Q ^ { \mathcal { N } } , } \end{array} \right. } \end{array}
q = 2 \pi / 1 3 \ensuremath { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ \, ~ } ~ } } \ensuremath { \mathrm { 1 3 } } \approx 1 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \ensuremath { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ \, ~ } ~ } } \ensuremath { \mathrm { m r a d } }
\begin{array} { r } { F _ { i j } ^ { \prime } \equiv [ i j k ] l B _ { k } / a _ { k } , } \\ { T ^ { \mu \nu } \equiv \frac { P } { \Gamma - 1 } \frac { U ^ { \mu } U ^ { \nu } } { c ^ { 2 } } + T _ { \mathrm { H D } } ^ { \mu \nu } + T _ { \mathrm { E M } } ^ { \mu \nu } , } \\ { T _ { \mathrm { H D } } ^ { \mu \nu } \equiv \left( \rho + P / c ^ { 2 } \right) U ^ { \mu } U ^ { \nu } + P g ^ { \mu \nu } , } \\ { T _ { \mathrm { E M } } ^ { \mu \nu } \equiv F ^ { \mu \alpha } F _ { \alpha } ^ { \nu } - \frac { 1 } { 4 } g ^ { \mu \nu } F ^ { \alpha \beta } F _ { \alpha \beta } ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathrm { ( R W G ) } } ( x , y ) } & { = E _ { 1 0 } ^ { \mathrm { T E } , \mathrm { ( R W G ) } } \frac { 2 } { \sqrt { 2 } } \frac { 1 } { \sqrt { w _ { \mathrm { x } } w _ { \mathrm { y } } } } \cos ( k _ { 1 0 } ^ { \mathrm { ( R W G ) } } x ) \hat { \mathbf { y } } } \\ { \mathbf { H } ^ { \mathrm { ( R W G ) } } ( x , y ) } & { = Y _ { 1 0 } ^ { \mathrm { T E } , \mathrm { ( R W G ) } } [ \mathbf { E } ^ { \mathrm { ( R W G ) } } ( x , y ) \cdot \hat { \mathbf { y } } ] \hat { \mathbf { x } } } \end{array}
\sigma _ { s } ^ { 2 } { } \, ^ { 1 } ( \pi _ { x } \overline { { \pi _ { y } } } ) ^ { 1 } ( \pi _ { x } ^ { * } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) ^ { 1 } ( \sigma _ { s } ^ { * } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } )
m _ { \eta ^ { \prime } , \eta } ^ { 2 } = ( m _ { \mathrm { K } } ^ { 2 } + \chi ( 0 ) / 2 N _ { c } ) \pm { \frac { 1 } { 2 } } \sqrt { ( 2 m _ { \mathrm { K } } ^ { 2 } - 2 m _ { \pi } ^ { 2 } - \chi ( 0 ) / 3 N _ { c } ) ^ { 2 } + { \frac { 8 } { 9 } } \chi ( 0 ) / N _ { c } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \tilde { F } _ { 1 } ( t ) } & { = - \frac { 2 } { 5 } F ( t ) u _ { 1 0 } ( t ) , } \\ { * [ 1 m m ] \tilde { F } _ { 2 } ( t ) } & { = F ( t ) \left( \frac { 4 8 } { 1 7 5 } u _ { 0 0 } ( t ) - \frac { 1 } { 2 5 } \big ( u _ { 0 0 } ( t ) u _ { 1 1 } ( t ) - u _ { 1 0 } ( t ) ^ { 2 } \big ) + \frac { 5 1 } { 1 7 5 } u _ { 2 1 } ( t ) - \frac { 1 1 } { 3 5 } u _ { 3 0 } ( t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } ( \tilde { g } , \tilde { A } ) } & { = \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \check { L } _ { b } ( 0 ) ( \dot { g } , \dot { A } ) = ( \dot { g } , \dot { A } ) - \sigma \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \Big ( \big ( \partial _ { \sigma } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) + \frac { \sigma } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \widehat { L _ { b } } ( 0 ) \big ) ( \dot { g } , \dot { A } ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r } { i \hbar \partial _ { t } N _ { A } ( t ) = \hbar \int \mathrm { d } x \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega N _ { x , \omega } g _ { A } ( x , \omega ) \mathrm { e } ^ { - i \omega t } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { A } t } . } \end{array}
^ 4 S = \int d ^ { 4 } x { \mid g \mid } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \{ - R + T r [ \frac { 1 } { 2 } ( ( J ^ { p } ) ^ { 2 } + ( J ^ { q } ) ^ { 2 } ) - p F F ^ { T } - q \tilde { F } F ^ { T } ] \} .
q _ { t } ( r _ { 0 } , t ) = q _ { w } ( r _ { 0 } , t ) = \frac { Q - c _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ s ~ } } V _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ s ~ } } \frac { \partial P _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ j ~ } } ( t ) } { \partial t } } { 2 \pi r _ { 0 } h } ,
Z _ { \mathrm { S B } } ^ { \mathrm { c l } } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \varphi \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \vartheta \sin \vartheta e ^ { - \beta H _ { \mathrm { e f f } } } Z _ { \mathrm { B } } ^ { \mathrm { c l } } ,
d s _ { 6 } ^ { 2 } = - 2 \, d t \, d \chi - \frac { 4 r _ { 0 } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \, d \chi ^ { 2 } - d \rho ^ { 2 } - \rho ^ { 2 } \, d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } \left[ \left| { G } \left( x , a _ { i \eta } \right) - \nabla \Bar { U } _ { r ^ { \prime } } ( x ) \right| ^ { 2 } \right] } & { = \frac { 1 } { N _ { B } } \mathbf { E } \left[ \left| \nabla U _ { \lambda _ { i , j } } \left( x + r ^ { \prime } \zeta _ { i , j } \right) - \nabla \Bar { U } _ { r ^ { \prime } } ( x ) \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { \le \frac { 1 } { N _ { B } } \mathbf { E } \left[ \left| \nabla U _ { \lambda _ { i , j } } \left( x + r ^ { \prime } \zeta _ { i , j } \right) \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { \le \frac { 2 } { N _ { B } } \operatorname* { m a x } _ { \ell = 1 , \ldots , N } ( ( \omega _ { \nabla U _ { \ell } } ( 1 ) ) ^ { 2 } | x | ^ { 2 } + ( | \nabla U _ { \ell } ( \mathbf { 0 } ) | + 2 \omega _ { \nabla U _ { \ell } } ( 1 ) ) ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \it E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } , t ) } & { { } = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega } \tilde { \it E } _ { \mathrm { i n } } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) u _ { \mathrm { i n } } ( { \bf r } ; { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } , \omega ) e ^ { - i \omega t } , } \\ { { \it E } _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf r } , t ) } & { { } = \sum _ { { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \omega } \tilde { \it E } _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \omega ) u _ { \mathrm { o u t } } ( { \bf r } ; { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { o u t } } , \omega ) e ^ { - i \omega t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ( E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) } & { { } < 1 6 \pi ^ { 2 } \int _ { \sqrt { 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } } ^ { \infty } \rho _ { \mu \nu } ( G ) \rho _ { \kappa \kappa } ( G ) d G } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname { E n v } ( X , * _ { \sigma } , \sigma , \sigma ) } & { = } & { \langle e _ { x } , ~ x \in X \mid e _ { \sigma ( x ) } = e _ { y } ^ { - 1 } e _ { x } e _ { y } , \quad e _ { \sigma ( x ) } = e _ { x } , \quad x , y \in X \rangle } \\ & { = } & { \langle e _ { x } , ~ x \in X \mid e _ { y } e _ { x } = e _ { x } e _ { y } , \quad x , y \in X \rangle } \\ & { \cong } & { \bigoplus _ { | X | } \mathbb { Z } . } \end{array}
\Theta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } = \boldsymbol { k } + \boldsymbol { q } , \boldsymbol { k } } ^ { \mathrm { ( 1 p h ) } } = - \frac { 2 \pi } { \hbar } \frac { 1 } { N } \sum _ { \nu } \left| g _ { \nu } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { q } ) \right| ^ { 2 } \bigg ( \delta ( \epsilon _ { \boldsymbol { k } } - \hbar \omega _ { \nu \boldsymbol { q } } - \epsilon _ { \boldsymbol { k } + \boldsymbol { q } } ) N _ { \boldsymbol { q } } + \delta ( \epsilon _ { \boldsymbol { k } } + \hbar \omega _ { \nu \boldsymbol { q } } - \epsilon _ { \boldsymbol { k } + \boldsymbol { q } } ) ( N _ { \boldsymbol { q } } + 1 ) \bigg )
( \gamma _ { a _ { 0 } b _ { 0 } } ^ { 0 } \psi _ { b _ { 0 } } ) ^ { \dagger } \rightarrow ( - i ) ^ { n } ( \partial _ { \mu _ { n } } \partial _ { \mu _ { n - 1 } } \cdots \partial _ { \mu _ { 1 } } \psi _ { b _ { 0 } } ^ { \dagger } \gamma _ { b _ { 0 } a _ { 0 } } ^ { 0 \dagger } ) \gamma _ { a _ { 0 } a _ { 1 } } ^ { \mu _ { 1 } \dagger } \cdots \gamma _ { a _ { n - 2 } a _ { n - 1 } } ^ { \mu _ { n - 1 } \dagger } \gamma _ { a _ { n - 1 } a _ { n } } ^ { \mu \dagger } \, .
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { m + 1 } ( j ) } & { = \varphi ( \varphi ^ { - 1 } ( \alpha ^ { m } ( j ) ) - 1 ) + 1 } \\ & { = a ^ { o ^ { + } ( 2 m + 1 , 2 m + 1 ) } b ^ { o ^ { - } ( 2 m + 1 , 2 m + 1 ) } ( \varphi ^ { - 1 } ( \alpha ^ { m } ( j ) ) - 1 ) + 1 } \\ & { = a ^ { u ^ { + } ( 2 m + 1 , 2 m + 1 ) } b ^ { u ^ { - } ( 2 m + 1 , 2 m + 1 ) } \left( a ^ { u ^ { + } ( 0 , 2 m ) } b ^ { u ^ { - } ( 0 , 2 m ) } j + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 m + 1 } ( - 1 ) ^ { k } a ^ { u ^ { + } ( k , 2 m ) } b ^ { u ^ { - } ( k , 2 m ) } \right) + 1 } \\ & { = a ^ { u ^ { + } ( 0 , 2 m + 1 ) } b ^ { u ^ { - } ( 0 , 2 m + 1 ) } j + \left( \sum _ { k = 1 } ^ { 2 m + 1 } ( - 1 ) ^ { k } a ^ { u ^ { + } ( k , 2 m + 1 ) } b ^ { u ^ { - } ( k , 2 m + 1 ) } \right) + 1 } \\ & { = a ^ { u ^ { + } ( 0 , 2 m + 1 ) } b ^ { u ^ { - } ( 0 , 2 m + 1 ) } j + \sum _ { k = 1 } ^ { 2 m + 2 } ( - 1 ) ^ { k } a ^ { u ^ { + } ( k , 2 m + 1 ) } b ^ { u ^ { - } ( k , 2 m + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { n + 1 } ( t ) } & { { } = } & { \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } G _ { n + 1 } ( t - t ^ { \prime } ) [ - i a _ { 1 } k _ { n + 1 } u _ { n + 2 } ^ { * } ( t ^ { \prime } ) u _ { n + 3 } ( t ^ { \prime } ) } \end{array}
\sum _ { \overset { i + j = n + 2 } { i , j \geq 1 } } \left[ \mathrm { d } , \left[ \ell _ { i } , \ell _ { j } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } = \sum _ { \overset { i + j + k = n + 3 } { i , j , k \geq 1 } } \left[ \ell _ { i } , \left[ \ell _ { j } , \ell _ { k } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } = 0 ,
H _ { S S } = \left( \begin{array} { l l } { L _ { 2 } ^ { + } L _ { 2 } ^ { - } } & { 0 } \\ { 0 } & { L _ { 2 } ^ { - } L _ { 2 } ^ { + } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { ( H ^ { - } ) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { ( H ^ { + } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \lambda ( R _ { 2 } \cup S ) } & { \leq \lambda ( R _ { 1 } \cup S ) + \lambda ( R _ { 2 } ) - \lambda ( R _ { 1 } ) = \lambda ( R _ { 1 } \cup S ) = \lambda ( E \setminus ( R _ { 1 } \cup S ) ) } \\ & { = \lambda ( ( E \setminus ( R _ { 1 } \cup Q ) ) \cup ( Q \setminus S ) ) } \\ & { \leq \lambda ( E \setminus ( R _ { 1 } \cup Q ) ) + \lambda ( ( E \setminus ( R _ { 2 } \cup Q ) ) \cup ( Q \setminus S ) ) - \lambda ( E \setminus ( R _ { 2 } \cup Q ) ) } \\ & { = \lambda ( ( E \setminus ( R _ { 2 } \cup Q ) ) \cup ( Q \setminus S ) ) = \lambda ( R _ { 2 } \cup S ) . } \end{array}