harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
c = \delta \log { \left( \frac { 1 - e ^ { z _ { c } \beta _ { 1 } / \delta \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) } } { e ^ { - z _ { c } \beta _ { 2 } / \delta \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) } - 1 } \right) } = \frac { z _ { c } \beta _ { 1 } } { \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } } + \delta \log { \left( \frac { 1 - e ^ { - z _ { c } \beta _ { 1 } / \delta \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) } } { 1 - e ^ { - z _ { c } \beta _ { 2 } / \delta \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) } } \right) } .
\begin{array} { r l } { \dot { \varepsilon } } & { { } = - ( ( \varepsilon + p ) \theta + E ^ { \lambda } V _ { \lambda } ) } \\ { \dot { u } ^ { \alpha } } & { { } = \frac { 1 } { ( \varepsilon + p ) } \left( \nabla ^ { \alpha } p + E ^ { \alpha } \rho - B ^ { \alpha \lambda } V _ { { \lambda } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I O C } _ { i j } } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { i n } } , \; \bar { \Pi } _ { j k } ^ { \mathrm { i n } } \right] \quad , } \\ { \mathrm { O O C } _ { i j } } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { o u t } } , \; \bar { \Pi } _ { j k } ^ { \mathrm { o u t } } \right] \quad . } \end{array}
\langle \Delta X _ { \mathrm { t h } } ^ { 2 } ( t ) \rangle \simeq \frac { 4 } { \Gamma ( 1 / 4 ) \Gamma ( 7 / 4 ) } ( \sigma Y ) ^ { 2 } \left( \frac { t } { \tau } \right) ^ { 3 / 4 } .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { j } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha _ { + } } & { ( j \in \mathtt { S } ) , } \\ { \alpha _ { - } } & { ( j \notin \mathtt { S } ) , } \end{array} \right. } \\ { \beta _ { j } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \beta _ { + } } & { ( j \in \mathtt { S } ) , } \\ { \beta _ { - } } & { ( j \notin \mathtt { S } ) , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { p \in P } \sum _ { k \geq 0 } { \frac { 1 } { p ^ { k } } } } & { { } = \sum _ { k \geq 0 } { \frac { 1 } { 2 ^ { k } } } \times \sum _ { k \geq 0 } { \frac { 1 } { 3 ^ { k } } } \times \sum _ { k \geq 0 } { \frac { 1 } { 5 ^ { k } } } \times \sum _ { k \geq 0 } { \frac { 1 } { 7 ^ { k } } } \times \cdots } \end{array}
\Gamma = \left\{ \begin{array} { c } { \Gamma _ { 1 } = \{ \zeta : \varepsilon \leqslant \tau \leqslant R , \varphi = 0 \} , } \\ { \Gamma _ { R } = \{ \zeta : \tau = R , 0 \leqslant \varphi \leqslant \varphi _ { 0 } \} , } \\ { \Gamma _ { 2 } = \{ \zeta : R \geqslant \tau \geqslant \varepsilon , \varphi = \varphi _ { 0 } \} , } \\ { \Gamma _ { \varepsilon } = \{ \zeta : \tau = \varepsilon , \varphi _ { 0 } \geqslant \varphi \geqslant 0 \} , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { D ( \lambda ) } & { = \eta ^ { - } ( 0 ; \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { Y } } ^ { + } ( 0 ; \lambda ) = z ^ { + } ( 0 ; \lambda ) \cdot \eta ^ { - } ( 0 ; \lambda ) = z ^ { + } ( 0 ; \lambda ) V _ { + } ( \lambda ) V _ { - } ( \lambda ) ^ { - 1 } \eta ^ { - } ( 0 ; \lambda ) } \\ & { = z ^ { + } ( 0 ; \lambda ) V _ { + } ( \lambda ) ( e _ { 1 } + \mathbf { o } ( 1 ) ) = z ^ { + } ( 0 ; \lambda ) V _ { + } ( \lambda ) e _ { 1 } + z ^ { + } ( 0 ; \lambda ) V _ { + } ( \lambda ) \mathbf { o } ( 1 ) = 1 + \mathbf { o } ( 1 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } } & { { \hat { G } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) } } \\ { { = } } & { { \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \left[ \int d ^ { 4 } x _ { j } \exp ( - i k _ { j } \cdot x _ { j } ) \right] G ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) } } \\ { { = } } & { { \displaystyle ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } ) \sum _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \lambda _ { 3 } } \prod _ { j = 1 } ^ { 3 } \left[ i P _ { \lambda _ { j } } ( k _ { j } ) \right] } } \\ { { } } & { { \displaystyle \times \sum _ { \pi _ { 3 } } \exp [ - i ( k _ { \pi ( 1 ) \lambda _ { \pi ( 1 ) } } , k _ { \pi ( 2 ) \lambda _ { \pi ( 2 ) } } , k _ { \pi ( 3 ) \lambda _ { \pi ( 3 ) } } ) ] , } } \end{array}
\Gamma _ { V ^ { b \mu } V ^ { c \nu } } = - \left( g _ { \mu \nu } - \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \right) \Gamma _ { V ^ { b } V ^ { c } } ^ { T } - \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } \Gamma _ { V ^ { b } V ^ { c } } ^ { L } ,
\begin{array} { r l r } { \Delta \pi } & { = } & { \pi _ { S } - \pi _ { O } } \\ & { = } & { \left[ \frac { M } { 2 } \left( \frac { e ^ { E / \kappa _ { 1 } } } { n _ { s _ { 1 } } e ^ { E / \kappa _ { 1 } } + n _ { 0 } e ^ { \alpha E / 2 \kappa _ { 1 } } } + \frac { 1 } { n _ { s _ { 2 } } e ^ { E / \kappa _ { 1 } } + n _ { 0 } e ^ { \alpha E / 2 \kappa _ { 1 } } } \right) - E \right] } \\ & { } & { - \left[ \frac { M } { 2 } \left( \frac { e ^ { \alpha E / 2 \kappa _ { 1 } } } { n _ { s _ { 1 } } e ^ { E / \kappa _ { 1 } } + n _ { 0 } e ^ { \alpha E / 2 \kappa _ { 1 } } } + \frac { e ^ { \alpha E / 2 \kappa _ { 1 } } } { n _ { s _ { 2 } } e ^ { E / \kappa _ { 1 } } + n _ { 0 } e ^ { \alpha E / 2 \kappa _ { 1 } } } \right) - \alpha E \right] } \\ & { \approx } & { \frac { M } { 2 } \left( \frac { x ^ { 2 } + 1 - 2 x ^ { \alpha } } { n _ { s _ { 1 } } x ^ { 2 } + n _ { 0 } x ^ { \alpha } } \right) - ( 1 - \alpha ) E } \\ & { = } & { f _ { 1 } ( \alpha ) - f _ { 2 } ( \alpha ) } \end{array}
S _ { a } = - \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { \pi } { 2 \theta } \frac { e ^ { 2 } } { h } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } + \epsilon ^ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } { \tilde { b } } _ { \lambda } \right] .
0 = \delta S = \int \delta \left( { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \frac { d x ^ { \mu } } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \lambda } } } } \right) \, d \lambda = \int { \frac { \delta \left( - g _ { \mu \nu } { \frac { d x ^ { \mu } } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \lambda } } \right) } { 2 { \sqrt { - g _ { \mu \nu } { \frac { d x ^ { \mu } } { d \lambda } } { \frac { d x ^ { \nu } } { d \lambda } } } } } } d \lambda
\begin{array} { r l } { x _ { \beta } } & { = x _ { \alpha } ^ { \prime } + ( x _ { \beta } - x _ { \alpha } ) - ( x _ { \alpha } ^ { \prime } - x _ { \alpha } ) } \\ & { \leq _ { 1 } - 1 + \rho c _ { \leq \alpha } + | x _ { \beta } - x _ { \alpha } | + | x _ { \alpha } ^ { \prime } - x _ { \alpha } | } \\ & { \leq - 1 + \rho c _ { \leq \alpha } + \rho c _ { \alpha \beta } - \epsilon _ { Q } + 2 \epsilon _ { P } } \\ & { < - 1 + \rho c _ { \leq \beta } - \epsilon _ { P } . } \end{array}
P r [ \zeta ( t ) = l | \zeta ( 0 ) = g , \zeta ( s ) = g ] = \frac { P r [ \zeta ( s ) = g | \zeta ( t ) = l ] P r [ \zeta ( t ) = l | \zeta ( 0 ) = g ] } { P r [ \zeta ( s ) = g | \zeta ( 0 ) = g ] } ,
\omega ^ { ( 1 ) } ( - \vec { v } ^ { \: 2 } ) = - \frac { g ^ { 2 } N } { 2 } \int \frac { d ^ { D - 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \: \frac { \vec { v } ^ { \: 2 } } { \vec { k } ^ { \: 2 } ( \vec { k } - \vec { v } ) ^ { 2 } } = - \frac { g ^ { 2 } N } { ( 4 \pi ) ^ { 2 + \epsilon } } \, \Gamma ( 1 - \epsilon ) \, \frac { [ \Gamma ( \epsilon ) ] ^ { 2 } } { \Gamma ( 2 \epsilon ) } ( \vec { v } ^ { \: 2 } ) ^ { \epsilon } \; .
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { f } } & { { } = } & { - K ( l - l _ { 0 } ) - \tilde { \xi } N _ { f } v _ { f } , } \\ { \sigma _ { b } } & { { } = } & { - K ( l - l _ { 0 } ) + \tilde { \xi } N _ { b } v _ { b } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { S = S _ { W Z W } ( S U ( 2 ) ) + \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int \left( ( \partial u ) ^ { 2 } Q + \alpha ^ { \prime } R ^ { ( 2 ) } \phi ( u ) + \alpha ^ { \prime } T _ { 1 } ( u ) \right) } } \\ { { \mathrm { a n d } } } \\ { { S _ { W Z W } = \frac { Q } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 2 } z \, t r \left( \partial _ { a } g ^ { - 1 } \partial _ { a } g \right) + \frac { Q } { 6 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d ^ { 3 } z \, t r \, \epsilon ^ { a b c } \left( ( g ^ { - 1 } \partial _ { a } g ) ( g ^ { - 1 } \partial _ { b } g ) ( g ^ { - 1 } \partial _ { c } g ) \right) } } \end{array}
{ \cal H } _ { T } = \frac { { \bf \pi } ^ { 2 } + { \bf B } ^ { 2 } } { 2 } + ( { \bf \theta } \cdot { \bf B } ) \frac { { \bf B } ^ { 2 } - { \bf \pi } ^ { 2 } } { 2 } + \left( { \bf \theta } \cdot { \bf \pi } \right) \left( { \bf \pi } \cdot { \bf B } \right)
\Gamma ^ { p } ( Q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 } } F _ { 1 } ( F _ { 1 } + F _ { 2 } ) ( 1 - \lambda _ { 1 } { \frac { Q ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } ) + \lambda _ { 2 } { \frac { 1 + \lambda _ { 3 } M ^ { 2 } / Q ^ { 2 } } { 1 + \lambda _ { 4 } M ^ { 4 } / Q ^ { 4 } } } ,
I ( ~ | D _ { \mathrm { p h y s } } ^ { 0 } ( t ) > \to f ~ ) = | \bar { a } ( f ) | ^ { 2 } ~ | \frac { q } { p } | ^ { 2 } ~ | ~ \frac { 1 } { 2 } ( i \delta m + \frac { 1 } { 2 } \delta \gamma ) ~ t + \eta ~ | ^ { 2 } ~ e ^ { - \gamma _ { + } t }
\mathbf { v } _ { \lambda _ { 1 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { v } _ { \lambda _ { 2 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { v } _ { \lambda _ { 3 } } = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] } ,
\frac { 1 } { 2 \pi } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } \, d \omega ^ { \prime \prime } \, \tilde { \beta } _ { \omega ^ { \prime \prime } \omega } ^ { R * } \, \tilde { \beta } _ { \omega ^ { \prime \prime } \omega } ^ { R } = \langle \, a _ { \omega } ^ { R \dag } a _ { \omega } ^ { R } \, \rangle \, _ { \mathrm { { i n } } } \, .
\left( \prod _ { p } { \frac { p \gamma _ { c , p } ( n ) } { ( p - 1 ) ^ { c } } } \right) \int _ { 2 \leq x _ { 1 } \leq \cdots \leq x _ { c } : x _ { 1 } + \cdots + x _ { c } = n } { \frac { d x _ { 1 } \cdots d x _ { c - 1 } } { \ln x _ { 1 } \cdots \ln x _ { c } } } ,
\frac { \partial u _ { 2 } } { \partial C } = \frac { - 1 } { 2 4 ( k _ { 1 } ) ^ { 2 } } \frac { \partial k _ { 1 } } { \partial C } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial E } = \frac { - 1 } { 2 4 ( k _ { 1 } ) ^ { 2 } } \frac { \partial k _ { 1 } } { \partial E } ~ ~ , ~ ~ \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial \kappa } = 0 ,
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ^ { B } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) = } & { \overline { { \chi } } \left( \varepsilon ^ { - 1 } v _ { \eta } \right) \chi ( \varepsilon \eta ) \Big ( \Phi _ { \iota _ { 1 } } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) + \Phi _ { \iota _ { 2 } } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) + \Phi _ { n } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) - \Phi _ { \iota _ { 1 } , \infty } - \Phi _ { \iota _ { 2 } , \infty } - \Phi _ { n , \infty } \Big ) } \\ { = } & { \overline { { \chi } } \left( \varepsilon ^ { - 1 } v _ { \eta } \right) \chi ( \varepsilon \eta ) \Big ( \widetilde { \Phi } _ { \iota _ { 1 } } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) + \widetilde { \Phi } _ { \iota _ { 2 } } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) + \widetilde { \Phi } _ { n } ( \eta , { \mathfrak { v } } ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ( x ) } & { { } = } & { ( \exp ( - 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 / x ) ) ^ { 0 . 5 } } \\ { f _ { 2 } ( x ) } & { { } = } & { 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + \sqrt { \exp ( ( \pi + \sin \pi ) / ( - x ) ) } } \\ { f _ { 3 } ( x ) } & { { } = } & { ( \exp ( - 3 / x ) ) ^ { 0 . 5 } } \\ { f _ { 4 } ( x ) } & { { } = } & { \tan ( 2 * \exp ( - \exp ( 1 / x ) ) ) } \\ { f _ { 5 } ( x ) } & { { } = } & { 3 * \exp ( - \exp ( 1 / x ) ) } \\ { f _ { 6 } ( x ) } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big | [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } \right) - [ f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] ^ { \prime } \left( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \overline { { \gamma } } _ { p k } \right) \Big | \leq \frac { \epsilon } { 2 } .
< \widetilde { \bf E } _ { 1 } | \widetilde { \bf E } _ { 2 } > \, = \int d ^ { 3 } { \bf r } \widetilde { \bf E } _ { 1 } ^ { * } ( { \bf r } ) \cdot \widetilde { \bf E } _ { 2 } ( { \bf r } )
\displaystyle \Gamma _ { \mathrm { F B } } ( q ^ { 2 } ) = ( A - B ) \left( \frac \alpha { 4 \pi s _ { W } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( I _ { t } ( q ^ { 2 } ) + s _ { W } ^ { 2 } I _ { f } ( q ^ { 2 } ) + a _ { 2 } s _ { W } ^ { 2 } \displaystyle \sum _ { V } I _ { V } ( q ^ { 2 } ) \right) .
\begin{array} { r l } { \Sigma ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = 2 \delta _ { \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } } ( - \alpha k _ { 3 } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) + 4 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } R ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) + 8 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 3 } \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime \prime } } R ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime \prime } ) R ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime \prime } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) } \\ & { + 1 6 ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 4 } ( \Delta t ) ^ { 2 } \sum _ { \tau ^ { \prime \prime } , \tau ^ { \prime \prime \prime } } R ^ { 2 } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime \prime } ) R ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime \prime } , \tau ^ { \prime \prime \prime } ) R ^ { 2 } ( \tau _ { - } ^ { \prime \prime \prime } , \tau _ { + } ^ { \prime } ) \mu ( \tau ^ { \prime } ) + \dots } \end{array}
T _ { 1 } ( \psi _ { \mathrm { N } } ) = \frac { 1 } { 2 } c _ { t } \left( \operatorname { t a n h } \left( \frac { \psi _ { \mathrm { N } } - x _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ d ~ } } } { w _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ d ~ } } } \right) + \operatorname { t a n h } ( 1 ) \right)
\begin{array} { r l } { I } & { { } = ( \mathbf { E } _ { A } + e ^ { i \delta } \mathbf { E } _ { B } ) \cdot ( \mathbf { E } _ { A } ^ { \ast } + e ^ { - i \delta } \mathbf { E } _ { B } ^ { \ast } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | D ^ { 2 } u _ { k } ( 0 ) - D ^ { 2 } u _ { k } ( z ) | } & { \le | D ^ { 2 } u _ { 0 } ( z ) - D ^ { 2 } u _ { 0 } ( 0 ) | + \sum _ { j = 1 } ^ { k } | D ^ { 2 } h _ { j } ( z ) - D ^ { 2 } h _ { j } ( 0 ) | } \\ & { \le C | z | \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } + C | z | \sum _ { j = 1 } ^ { k } 2 ^ { j ( 1 - \alpha ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } = } & { \; - \beta S ( I + \alpha Y ) , } \\ { I ^ { \prime } = } & { \; \beta S ( I + \alpha Y ) - \gamma _ { 1 } I , } \\ { T ^ { \prime } = } & { \; \gamma _ { 1 } I , } \\ { P ^ { \prime } = } & { \; - \nu \beta P ( I + \alpha Y ) , } \\ { Y ^ { \prime } = } & { \; \nu \beta P ( I + \alpha Y ) - \gamma _ { 2 } Y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { ( i , l , k ) \in \mathbb { B } } \left\| \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \left| \hat { \beta } ( t ) - \beta ( t ) - \frac { 1 } { n b } \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b } ( t _ { j } - t ) \tilde { e } _ { j } \right| \right\| _ { q } = O ( b ^ { - 1 / q } ( n ^ { \phi - 1 } b ^ { - 1 } h + b ^ { 3 } + n ^ { - 1 / 2 } h ) ) . } \end{array}
S ( x , y ) \otimes [ y \bar { y } ] ^ { \nu - \frac { 1 } { 2 } } C _ { j } ^ { \nu } ( 2 y - 1 ) = \left. \frac { d } { d \rho } \right| _ { \rho = 0 } [ x \bar { x } ] ^ { \nu - \frac { 1 } { 2 } + \rho } C _ { j } ^ { \nu + \rho } ( 2 x - 1 ) .
\big ( \hat { \phi } , \hat { D } \hat { \phi } \big ) _ { \hat { \Omega } } = \big ( \sqrt { J } \phi , \sqrt { J } \big ( D \phi + D _ { m } \phi \big ) \big ) _ { \hat { \Omega } } = \big ( \phi , D \phi + D _ { m } \phi \big ) _ { \Omega } .
J _ { p } ^ { e x p } \ = \ 1 . 9 3 \, \left( \frac { v _ { p } } { c } \right) \, E _ { k i n } ^ { - 2 . 7 } \ \ \ c m ^ { - 2 } \, s r ^ { - 1 } \, s ^ { - 1 } \, G e V ^ { - 1 } .
\nabla _ { x , y } f = \left( { \frac { \partial f } { \partial x } } , { \frac { \partial f } { \partial y } } \right) , \qquad \nabla _ { x , y } g = \left( { \frac { \partial g } { \partial x } } , { \frac { \partial g } { \partial y } } \right)
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { s } \| \nabla \varphi \cdot \nabla a [ f _ { n } ] f _ { n } \| _ { L ^ { 1 } } \, \mathrm { d } t } & { \le \int _ { 0 } ^ { s } \| \nabla \varphi \| _ { L ^ { 6 } } \| \nabla a [ f _ { n } ] \| _ { L ^ { 3 } } \| f _ { n } \| _ { L ^ { 2 } } \, \mathrm { d } t \le C s ^ { 1 / 2 } \| \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T _ { 0 } ; H ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\frac { i g } { 2 } \left( { \cal A } _ { - } ^ { a } + { \cal A } _ { - } ^ { a * } \right) \partial \partial ^ { * } \partial _ { - } ^ { - 2 } \left[ A T ^ { a } \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } _ { - } A ^ { * } \right]
\left| f _ { 1 , Q } - \frac { \Gamma _ { 1 , \lambda } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 , \lambda } ) } { D \Gamma _ { 2 , \lambda } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 2 , \lambda } ) } g _ { 1 , R } \right| \geq 2 \sqrt { - \frac { \Gamma _ { 1 , \lambda } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 1 , \lambda } ) } { D \Gamma _ { 2 , \lambda } \operatorname { t a n h } ( \Gamma _ { 2 , \lambda } ) } f _ { 1 , R } \, g _ { 1 , Q } } .
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 6 + 4 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 7 + 4 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 7 + 4 i } ^ { B , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k + 1 - 2 i , 2 k - 8 + 4 i } ^ { A , i - 1 } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 i , 2 k - 5 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
m = \sqrt { 2 } \left| ( m _ { 0 } \delta - e _ { 0 } \gamma ~ = 0 , \tilde { q } ) { \footnotesize \left[ \! \! \begin{array} { c } { { \tilde { F } ^ { \prime } ( \tilde { a } ) } } \\ { { \tilde { a } } } \end{array} \! \! \right] } \right| \, ,
\mathcal { J } _ { B } ( \epsilon , \overline { { \ensuremath { \mathcal { P } } } } ^ { 1 / 2 } ( \Xi , \epsilon ) , L ^ { 2 } ( m ) ) = \left( \int _ { \epsilon ^ { 2 } / 2 ^ { 2 ^ { 1 3 } } } ^ { \epsilon } H _ { B } ^ { 1 / 2 } ( \delta , \overline { { \ensuremath { \mathcal { P } } } } ^ { 1 / 2 } ( \Xi , \delta ) , L ^ { 2 } ( m ) ) d \delta \vee \delta \right) \lesssim \sqrt { n } \epsilon ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { c v } = } & { \frac { 1 } { N k } \sum _ { n _ { c } ^ { o } , n _ { d } ^ { o } ; n _ { c } ^ { m } , n _ { d } ^ { m } } ( \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { c v } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow i } \Delta n _ { c v } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { C } } } \\ & { + \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c v } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c v } ^ { \mathrm { C } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } } \\ & { + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c v } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { D } } + \mathrm { P } _ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ^ { i \rightarrow j } \Delta n _ { c v } ^ { \mathrm { D } \rightarrow \mathrm { V } \rightarrow \mathrm { C } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H _ { 0 } } A } & { = \hat { H _ { 0 } } \sum _ { n = 0 } ^ { N } C _ { n } ( t ) e ^ { i \delta _ { n } t } { \psi } _ { n } ( \tau ) } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { N } C _ { n } ( t ) e ^ { i \delta _ { n } t } \cdot \hat { H _ { 0 } } { \psi } _ { n } ( \tau ) } \\ & { = \sum _ { n = 0 } ^ { N } C _ { n } ( t ) e ^ { i \delta _ { n } t } \cdot i \delta _ { n } { \psi } _ { n } ( \tau ) . } \end{array}
\mathbf D _ { \mathbf x } \mathbf F ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) = - \mathbf I - \Delta t \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) \left( \mathbf A + \mathbf A \mathbf x \left( \nabla _ { \mathbf x } r ( \mathbf x ) \ln \left( \frac { g _ { i } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \right) - r ( \mathbf x ) \frac { \nabla _ { \mathbf x } \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } { \sigma _ { i } ( \mathbf x ) } \right) \right) .
{ \begin{array} { r l } { { \sqrt { k } } } & { = { \frac { m } { n } } } \\ & { = { \frac { m \left( { \sqrt { k } } - q \right) } { n \left( { \sqrt { k } } - q \right) } } } \\ & { = { \frac { m { \sqrt { k } } - m q } { n { \sqrt { k } } - n q } } } \\ & { = { \frac { \left( n { \sqrt { k } } \right) { \sqrt { k } } - m q } { n \left( { \frac { m } { n } } \right) - n q } } } \\ & { = { \frac { n k - m q } { m - n q } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \vec { v } _ { 1 } \cdot \vec { v } _ { 2 } } { v _ { 1 } v _ { 2 } } } & { = } & { \cos \theta _ { 1 } \cos \theta _ { 2 } + \sin \theta _ { 1 } \sin \theta _ { 2 } \cos \phi _ { 2 } \quad , } \\ { \cos \theta _ { 1 , 2 } } & { = } & { \frac { v _ { \parallel 1 , 2 } } { v _ { 1 , 2 } } \quad , } \\ { v _ { 1 , 2 } } & { = } & { \sqrt { v _ { \parallel 1 , 2 } ^ { 2 } + v _ { \perp 1 , 2 } ^ { 2 } } \quad , } \end{array}
A ( B _ { q } ^ { 0 } \to D _ { \pm } f _ { s } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ A ( B _ { q } ^ { 0 } \to D ^ { 0 } f _ { s } ) \pm e ^ { - i \phi _ { \mathrm { C P } } ( D ) } A ( B _ { q } ^ { 0 } \to \overline { { { D ^ { 0 } } } } f _ { s } ) \right]
- \frac { \textbf { B } ^ { * } } { m B _ { \parallel } ^ { * } } \boldsymbol { \cdot } \left( \mu _ { g y } \nabla _ { g y } B ( X _ { g y } ) + e \varepsilon _ { \delta } \nabla \left< \phi _ { 1 } \right> - \frac { e } { c } \bar { v } _ { g y , \parallel } \varepsilon _ { \delta } \nabla \left< A _ { 1 \parallel } \right> \right) \partial _ { { v } _ { g y , \parallel } } F = 0