harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathsf { W } _ { n } : C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathscr { M ; E } ) ^ { \otimes n } \otimes C _ { \mathrm { c } } ^ { \infty } ( \mathscr { M } ; \bar { \mathscr { E } } ^ { * } ) ^ { \otimes n } \to \mathbb { C } , ~ u _ { 1 } \otimes \ldots \otimes u _ { n } \otimes \phi _ { 1 } \otimes \ldots \phi _ { n } \mapsto } \\ & { } & { \mathsf { W } _ { n } ( u _ { 1 } , \ldots , u _ { n } , \phi _ { 1 } , \ldots , \phi _ { n } ) : = \omega \big ( \Phi ( u _ { 1 } ) \ldots \Phi ( u _ { n } ) \, \bar { \Phi } ^ { * } ( \phi _ { 1 } ) \ldots \bar { \Phi } ^ { * } ( \phi _ { n } ) \big ) . } \end{array}
h _ { n } ( x ) = \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! \sqrt { \pi } } } e ^ { x ^ { 2 } / 2 } \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } e ^ { - x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ^ { n } n ! \sqrt { \pi } } } H _ { n } ( x ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l l l } { 0 ^ { 1 \times k } } & { 1 } & { 0 ^ { 1 \times ( N - k - 1 ) } } \end{array} \right) \otimes T ^ { \mathcal { U } } } \\ { \left[ \left( \begin{array} { l l l } { 0 ^ { 1 \times k } } & { 1 } & { 0 ^ { 1 \times ( N - k - 1 ) } } \end{array} \right) \otimes T ^ { \mathcal { U } } \right] \cdot \left( I ^ { N } \otimes \Omega \right) } \end{array} \right) U \leq 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { X \sim \tilde { Q } } \ \ } & { \eta \mathbb { E } _ { \tilde { Q } } [ \tilde { H } ( X ) ] } \\ { \mathrm { ~ s . t . ~ } \ \ } & { \eta \mathbb { E } _ { \tilde { Q } } [ X - a ] = \beta , } \\ & { \eta \mathbb { E } _ { \tilde { Q } } [ \tilde { G } ( X ) ] = \Gamma , } \\ & { { \tilde { Q } } \in \mathscr { P } [ a , \infty ) . } \end{array}
\rho ( \eta ) = \int \mathrm { d } \varepsilon \, g ( \varepsilon ) \delta \left( \eta - f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \right) = - g \big ( f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } ( \eta ) \big ) \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } ^ { - 1 } } { \mathrm { d } \eta } \implies \frac { \mathrm { d } f _ { \mathrm { G } } } { \mathrm { d } \varepsilon } = - \frac { g ( \varepsilon ) } { \rho \big ( f _ { \mathrm { G } } ( \varepsilon ) \big ) } ,
\begin{array} { r l } & { | D \varphi _ { 2 } ( P _ { 0 } ^ { 1 } ) | > | D \varphi _ { 2 } ( P _ { 0 } ^ { 1 } | _ { \theta _ { 1 } = \theta ^ { \mathrm { d } } } ) | > 1 \, , } \\ & { 0 < u _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } < u _ { 5 } ^ { \mathrm { s g } } < \xi ^ { P _ { 0 } ^ { 1 } } \, , \qquad v _ { 5 } ^ { \mathrm { w k } } = v _ { 5 } ^ { \mathrm { s g } } = 0 \, . } \end{array}
\underbrace { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } } { \partial t } } _ { \mathrm { { s t o r a g e } } } + \! \! \underbrace { { \bar { u } } _ { k } { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } } { \partial x _ { k } } } } _ { \mathrm { { m e a n ~ a d v e c t i o n } } } = - \ \underbrace { { \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } } { \frac { \partial { \bar { u } } _ { j } } { \partial x _ { k } } } - { \overline { { u _ { j } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } } { \frac { \partial { \bar { u } } _ { i } } { \partial x _ { k } } } } _ { \mathrm { { s h e a r ~ p r o d u c t i o n } } } + \underbrace { \overline { { { \frac { p ^ { \prime } } { \rho } } \left( { \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { j } } } + { \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } } } \right) } } } _ { \mathrm { { p r e s s u r e - s c r a m b l i n g } } } - \underbrace { { \frac { \partial } { \partial x _ { k } } } \left( { \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } u _ { k } ^ { \prime } } } } + { \frac { \overline { { p ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } } { \rho } } \delta _ { j k } + { \frac { \overline { { p ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { \rho } } \delta _ { i k } - \nu { \frac { \partial { \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } } { \partial x _ { k } } } \right) } _ { \mathrm { { t r a n s p o r t ~ t e r m s } } } - 2 \nu { \overline { { { \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { k } } } { \frac { \partial u _ { j } ^ { \prime } } { \partial x _ { k } } } } } } ,
\frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { { \Omega } ^ { \prime } } \int _ { \Omega ^ { \prime } } \partial _ { t } \sigma ( { \bf X ^ { \prime } } , t ) d ^ { n } X ^ { \prime } = \frac { 1 } { { \Omega } ^ { \prime } } \int _ { \Omega ^ { \prime } } P ( { \bf X ^ { \prime } } , t ) d ^ { n } X ^ { \prime } = - \frac { \lambda } { 2 \Omega ^ { \prime } } \int _ { \Omega ^ { \prime } } \sum _ { \mu = 1 } ^ { n } \left( \mid X ^ { ' \mu } \mid ^ { 2 } + \mid J _ { \mu } ^ { \prime } \mid ^ { 2 } \right) d ^ { n } X
\begin{array} { r } { \Omega _ { j j ^ { \prime } } ^ { \nu \nu ^ { \prime } } - \mathrm { i } \frac { \Gamma _ { j j ^ { \prime } } ^ { \nu \nu ^ { \prime } } } { 2 } = - \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \, \mathbf { d } _ { \nu } ^ { * } \cdot \mathbf { G } ( \mathbf { r } _ { j j ^ { \prime } } ) \cdot \mathbf { d } _ { \nu ^ { \prime } } ^ { \phantom { * } } , } \end{array}
{ \cal L } _ { 1 } ^ { H G S } = - \frac { F _ { \pi } ^ { 2 } } { 1 6 } [ T r \left( L ^ { \dagger } D _ { \mu } L - R ^ { \dagger } D _ { \mu } R \right) ^ { 2 } - \alpha T r \left( L ^ { \dagger } D _ { \mu } L + R ^ { \dagger } D _ { \mu } R \right) ^ { 2 } ]
\boldsymbol { F } _ { i j } ^ { f r , h } = \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } \left[ C _ { 4 } ^ { \prime } g _ { 0 } + C _ { 5 } ^ { \prime } \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial g _ { t } } { \partial \vec { r } } \right] \boldsymbol { \psi } \mathrm { { d } } \boldsymbol { \Xi } ,
\begin{array} { r l } { R _ { 0 0 } = } & { { } \Gamma _ { \, \, \, 0 0 , \nu } ^ { \nu } - \Gamma _ { \, \, \, 0 \nu , 0 } ^ { \nu } + \Gamma _ { \, \, \, 0 0 } ^ { \lambda } \Gamma _ { \, \, \, \lambda \nu } ^ { \nu } - \Gamma _ { \, \, \, 0 \lambda } ^ { \nu } \Gamma _ { \, \, \, \nu 0 } ^ { \lambda } } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 0 } ( g ^ { i i } \partial _ { 0 } g _ { i i } ) - \frac { 1 } { 4 } ( g ^ { i i } \partial _ { 0 } g _ { i i } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { { } - 3 \, \frac { \ddot { a } } { a } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { d _ { \Omega } ( s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } ) } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \pm s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } ( d c _ { j } ) \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } } \\ & { } & { + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \pm s ^ { - 1 } c _ { 1 } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { j i } \vert s ^ { - 1 } c _ { j } ^ { i } \vert \cdots \vert s ^ { - 1 } c _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \int _ { 0 } ^ { r _ { c } } \left( \frac { q ( r _ { c } ) } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r ^ { \prime } } - \phi ( r ^ { \prime } ) \right) 4 \pi r ^ { 2 } d r ^ { \prime } } \end{array}
{ } _ { x } ^ { R L } D _ { b } ^ { p } f ( x ) ~ : = ~ { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { \Gamma ( p - k ) } } { \frac { d ^ { k } } { d x ^ { k } } } \int _ { x } ^ { b } { ( \tau - x ) } ^ { k - p - 1 } f ( \tau ) d \tau ~ ~ , ~ k - 1 \leq p < k
\begin{array} { r l } { B _ { \mu \nu } ^ { i } \left( n \right) } & { { } = \left( \widehat { \omega } _ { \mu } ^ { i } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \nu } \left( n + \widehat { \mu } \right) + \widehat { \omega } _ { \nu } ^ { i } \left( n + \widehat { \mu } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \nu } \left( n + \widehat { \mu } \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \mu } \left( n \right) \right. } \end{array}
\mathbf { { E } } _ { L C P } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { i } \end{array} \right] , \quad \mathbf { { E } } _ { R C P } = \frac { i } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - i } \end{array} \right] ,
{ \cal H } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { c b } V _ { u d } ^ { * } \Big [ c _ { 1 } ( \mu ) ( { \bar { d } } u ) ( { \bar { c } } b ) + c _ { 2 } ( \mu ) ( { \bar { c } } u ) ( { \bar { d } } b ) + \cdots \Big ] ~ ,
F i t t _ { R _ { n } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ) ( \sigma _ { v } - N v ) = F i t t _ { R _ { n } ^ { \chi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J } ( H _ { n } ) _ { R _ { n } ^ { \chi } } ) ( N I _ { v } , \sigma _ { v } - N v ) ,
\Big \{ F , G \Big \} = - \int _ { \Omega } \left( \begin{array} { l } { \delta F / \delta \omega } \\ { \delta F / \delta D } \\ { \delta F / \delta \eta } \\ { \delta F / \delta b } \end{array} \right) \nabla \cdot \underbrace { \left( \begin{array} { l l l l } { q \, \times } & { - q } & { 0 } & { r \, \times } \\ { q } & { q \, \times } & { 1 } & { r } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { r \, \times } & { - r } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } _ { = \mathbb { J } ( \omega , D , \eta , b ) } \nabla \left( \begin{array} { l } { \delta G / \delta \omega } \\ { \delta G / \delta D } \\ { \delta G / \delta \eta } \\ { \delta G / \delta b } \end{array} \right) \, d \mu \, .
\tau _ { a b } = \frac { M } { V c _ { 1 } } \frac { 2 N - 1 } { 2 N } \mathrm { d i a g } \left[ \frac { 2 N } { 2 N - 1 } \frac { c _ { 1 } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } , 1 , 1 \right] .
\begin{array} { r } { \oint \vec { F } ( \theta ) \cdot d \vec { C } ( \theta ) = - \oint \vec { C } ( \theta ) \cdot d \vec { F } ( \theta ) \Rightarrow - \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \frac { \vec { C } _ { k + 1 } + \vec { C } _ { k } } { 2 } \cdot \vec { q } _ { k } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \dot { z } _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon } ( x _ { 2 } ^ { * } + z _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } ( x _ { 2 } ^ { * } + z _ { 1 } ) ^ { M - 1 } ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) ^ { N - M } ( z _ { 2 } + 1 ) b - c ] , } \\ { \dot { z } _ { 2 } } & { { } = ( z _ { 2 } + 1 ) ( - z _ { 2 } ) [ u ( 1 - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ) - x _ { 2 } ^ { * } - z _ { 1 } ] . } \end{array} \right.
W \ = \ \lambda _ { \alpha \beta k } ^ { e } \, \hat { L } _ { \alpha } \hat { L } _ { \beta } \bar { e } _ { k } \ + \ \lambda _ { \alpha j k } ^ { d } \, \hat { L } _ { \alpha } Q _ { j } \bar { d } _ { k } \ + \ \mu _ { \alpha } \, \hat { L } _ { \alpha } H _ { u }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { I } _ { i a } } & { { } \to } & { \mathcal { I } _ { i a } + \mathrm { r a n d } [ 0 , 5 ~ \mathrm { k e V } ] } \\ { \mathcal { I } _ { i a } } & { { } \to } & { \mathcal { I } _ { i a } / \sum _ { b } \mathcal { I } _ { i b } \equiv \hat { \mathcal { I } } _ { i a } } \\ { u _ { i a } } & { { } = } & { \alpha + ( 1 - 2 \alpha ) \hat { \mathcal { I } } _ { i a } } \\ { y _ { i a } } & { { } = } & { \log \frac { u _ { i a } } { 1 - u _ { i a } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \boldsymbol { \Delta } \| _ { \mathrm { F } } } & { \leq \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } + \sum _ { j = 2 } ^ { J } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } _ { j } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } } \\ & { \leq \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } + \frac { 5 \delta ^ { 2 } } { \rho \lambda _ { K } l ^ { 1 / 2 } } + 9 s l ^ { - 1 / 2 } \| \boldsymbol { \Delta } _ { \mathcal { S } \cup \mathcal { S } _ { 1 } ^ { c } } \| _ { \mathrm { F } } } \\ & { \leq C _ { 8 } ( \frac { s ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { \lambda _ { K } ^ { 2 } } + \frac { \delta ^ { 4 } } { \rho ^ { 2 } \lambda _ { K } ^ { 2 } l } + \frac { \delta ^ { 2 } } { \lambda _ { K } ^ { 2 } } ) ^ { 1 / 2 } + \frac { 5 \delta ^ { 2 } } { \rho \lambda _ { K } l ^ { 1 / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { \frac { 1 } { \sqrt { \big ( a _ { -- } a _ { m } \big ) \big ( 1 - a _ { m } \big ) } } \, \ln \left[ \frac { \left[ \sqrt { \big ( 1 - a _ { m } \big ) \big ( a _ { -- } \lambda \big ) } - \sqrt { \big ( a _ { -- } a _ { m } \big ) \big ( 1 - \lambda \big ) } \, \right] ^ { \! 2 } } { | \lambda - a _ { m } | } \right] = \pm z _ { + } \frac { \big ( x - x _ { 0 } \big ) } { \xi } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { \ t e x t i t { i d e a l g a s } } } } { D _ { 0 } } } & { = 1 + \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } \frac { 3 \mathrm { P e } ^ { 2 } - 1 } { ( \mathrm { P e } ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } , } \\ { \frac { V _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { \ t e x t i t { i d e a l g a s } } } } { v _ { \mathrm { w a l l } } } } & { = \frac { h _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 H ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 + \mathrm { P e } ^ { 2 } } . } \end{array}
R ( s ) \sim { \frac { 1 } { 4 } } s ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 8 \, s } } + { \frac { 9 } { 6 4 \, s ^ { 4 } } } - { \frac { 1 8 9 } { 1 2 8 \, s ^ { 7 } } } + \cdots \, .
\sigma = \oint _ { 4 \pi } { \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } } \, \mathrm { d } \Omega = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } } \sin \theta \, \mathrm { d } \theta \, \mathrm { d } \varphi .
P _ { i } = \Omega _ { i } \frac { \exp { \left( - \frac { E _ { i } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { u n i q u e } } } \Omega _ { j } \exp { \left( - \frac { E _ { j } } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) } } , \quad i = 1 , \ldots , N _ { \mathrm { u n i q u e } }
\begin{array} { r } { { M _ { 1 2 } } = \frac { { { \mu _ { 0 } } } } { { 4 \pi } } \oint _ { \partial { \Omega _ { 1 } } } { \oint _ { \partial { \Omega _ { 2 } } } { \frac { 1 } { { { r _ { 1 2 } } } } d { l _ { 1 } } d { l _ { 2 } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \bigoplus _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left( \alpha _ { i } ^ { p } \otimes \alpha _ { j } ^ { q } \right) = \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \bigoplus _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \beta _ { i j } } \\ { = } & { \left\langle \zeta ^ { - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \zeta ( \mu _ { \beta _ { i j } } ) \Bigg ) , \tau ^ { - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \right. } \\ & { \quad \tau ( \eta _ { \beta _ { i j } } + \nu _ { \beta _ { i j } } ) \Bigg ) - \tau ^ { - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau ( \nu _ { \beta _ { i j } } ) \Bigg ) , } \\ & { \quad \left. \tau ^ { - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau ( \nu _ { \beta _ { i j } } ) \Bigg ) \right\rangle } \\ { = } & { \left\langle \zeta ^ { - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \zeta \left( \tau ^ { - 1 } ( p \cdot \tau ( \mu _ { \alpha _ { i } } ) + q \cdot \tau ( \mu _ { \alpha _ { j } } ) ) \right) \Bigg ) \right. , } \\ & { \quad \tau ^ { - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \tau ^ { - 1 } ( p \cdot \tau ( \eta _ { \alpha _ { i } } + \mu _ { \alpha _ { i } } ) \Big . \Bigg . } \\ & { \quad \quad \quad + q \cdot \tau ( \eta _ { \alpha _ { j } } + \mu _ { \alpha _ { j } } ) ) - \tau ^ { - 1 } ( p \cdot \tau ( \mu _ { \alpha _ { i } } ) + q \cdot \tau ( \mu _ { \alpha _ { j } } ) ) } \\ & { \Bigg . \Big . \quad \quad \quad + \zeta ^ { - 1 } ( p \cdot \zeta ( \nu _ { \alpha _ { i } } ) + q \cdot \zeta ( \nu _ { \alpha _ { j } } ) ) \Big ) \Bigg ) } \\ & { \quad - \tau ^ { - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \zeta ^ { - 1 } ( p \cdot \zeta ( \nu _ { \alpha _ { i } } ) + q \cdot \zeta ( \nu _ { \alpha _ { j } } ) ) \Big ) \Bigg ) , } \\ & { \left. \quad \tau ^ { - 1 } \Bigg ( \frac { 1 } { n ( n - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \tau \Big ( \zeta ^ { - 1 } \left( p \cdot \zeta ( \nu _ { \alpha _ { i } } ) + q \cdot \zeta ( \nu _ { \alpha _ { j } } ) \right) \Big ) \Bigg ) \right\rangle . } \end{array}
q _ { s } ( n , t _ { 0 } ) = \frac { A _ { q } ( t _ { 0 } ) \, x _ { 0 , q } ^ { - \lambda _ { q } } } { n - \lambda _ { q } } \, x _ { 0 , q } ^ { n } \; , \; \; \; \; \; g ( n , t _ { 0 } ) = \frac { A _ { g } ( t _ { 0 } ) \, x _ { 0 , g } ^ { - \lambda _ { g } } } { n - \lambda _ { g } } \, x _ { 0 , g } ^ { n } ,
\begin{array} { r l } { \{ a _ { 1 } , \dotsc , a _ { 9 } , \epsilon \} = \{ } & { { } 0 . 4 4 3 5 , 1 . 1 5 9 3 , - 0 . 0 1 4 5 \, \mathrm { K } ^ { - 1 } , 4 . 0 6 , 1 . 3 1 7 6 \cdot 1 0 ^ { - 3 } \, \mathrm { K } ^ { - 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \left. \overline { { \delta g _ { B z } } } \right| _ { F } } & { = - \left. \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \frac { e } { m } \partial _ { t } \left[ \left\langle \delta L _ { g } \right\rangle _ { z } \left. \frac { \partial } { \partial { \cal E } } \right| _ { \bar { \psi } } \bar { F } _ { 0 } \right] } } \right| _ { F } + \left. \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \frac { R B _ { \phi } } { B _ { 0 } } \left\langle \delta A _ { \parallel g } \right\rangle _ { z } \frac { \partial } { \partial \bar { \psi } } \partial _ { t } \bar { F } _ { 0 } } } \right| _ { F } } \\ & { + \left. \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \left[ C _ { g } + { \cal S } \right] } } \right| _ { z F } - \left[ \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \left( \delta \dot { \psi } _ { z } \partial _ { \psi } + \delta \dot { \theta } _ { z } \partial _ { \theta } + \delta \dot { \mathcal { E } } _ { z } \partial _ { \mathcal { E } } \right) \delta F _ { z } } } \right] _ { F } } \\ & { - \frac { 1 } { \tau _ { b } } \frac { \partial } { \partial \psi } \left[ \tau _ { b } \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \delta \dot { \psi } \delta F } } \right] _ { z F } - \frac { 1 } { \tau _ { b } } \frac { \partial } { \partial { \cal E } } \left[ \tau _ { b } \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \delta \dot { \cal E } \delta F } } \right] _ { z F } \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \int _ { a } ^ { b } \rho ( t , x ) - \rho ( s , x ) \textrm { \, d } x \right| \leq \left| \int _ { s } ^ { t } F ( \tau , a , \rho ( \tau , a ) ) - F ( \tau , b , \rho ( \tau , b ) ) \textrm { \, d } \tau \right| \leq \left( 2 \operatorname* { s u p } _ { p \in [ 0 , 1 ] } | f ( p ) | \right) \left| t - s \right| } \end{array}
\hat { R } _ { I } = { r } _ { 0 } + \sum _ { a i } { r } _ { i } ^ { a } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { a b i j } { r } _ { i j } ^ { a b } \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { b } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } \hat { a } _ { i }
i \frac { d \xi _ { 0 } } { d \tau } = \Tilde { \lambda } _ { 1 } \Big [ ( \rho _ { 1 } + \rho _ { 1 } ) \xi _ { 0 } + 2 \xi _ { 1 } \xi _ { - 1 } \xi _ { 0 } ^ { * } \Big ] ,
\hat { \sigma } _ { \alpha } ^ { ( i ) } = \underbrace { \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } \otimes . . . \otimes \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } } _ { i - 1 } \otimes \hat { \sigma } _ { \alpha } \otimes \underbrace { \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } \otimes . . . \otimes \hat { \mathbb { I } } _ { 2 } } _ { n - i }
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! P ( \vec { G } ) = \prod _ { m \geq 2 } \prod _ { \alpha \in \mathcal { K } ( m ) } \prod _ { i } [ p _ { i \alpha } ^ { ( m ) } ] ^ { a _ { i \alpha } ^ { ( m ) } } \left( 1 - p _ { i \alpha } ^ { ( m ) } \right) ^ { 1 - a _ { i \alpha } ^ { ( m ) } } \! , } \end{array}
\{ f , g \} = - \frac { i } { 2 J } \sum _ { I = 0 } ^ { N } \left( \frac { \partial f } { \partial { \bar { z } } _ { I } } \frac { \partial g } { \partial z _ { I } } - \frac { \partial f } { \partial z _ { I } } \frac { \partial g } { \partial { \bar { z } } _ { I } } \right)
\ensuremath { \frac { \partial \tilde { p } ^ { \prime } } { \partial \tilde { t } } } + \tilde { \bar { u } } \ensuremath { \frac { \partial \tilde { p } ^ { \prime } } { \partial \tilde { x } } } + \gamma \tilde { \bar { p } } \ensuremath { \frac { \partial \tilde { u } ^ { \prime } } { \partial \tilde { x } } } - ( \gamma - 1 ) \frac { \tilde { \dot { q } } ^ { \prime } } { \tilde { A } } \delta ( \tilde { x } - \tilde { x } _ { f } ) = 0 ,
S _ { p } ( \ell _ { m } ) \approx C _ { p } u _ { 0 } ^ { p } \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { \zeta _ { p } } \, F _ { p } \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { s } } \right) , \quad \zeta _ { p } = - \log _ { 2 } \lambda _ { p } ,
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } _ { x } \operatorname* { m a x } _ { u } } & { 4 ( x _ { 1 } - 2 ) ^ { 2 } - 2 u _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 1 } - u _ { 2 } ^ { 2 } + 2 x _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { x \in X = [ - 1 0 0 , 1 0 0 ] ^ { 2 } , } \\ & { u \in U = [ - 5 , 5 ] ^ { 2 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } } & { { } P \left( \Delta ; t \right) } \\ { = } & { { } \left\{ \begin{array} { l c c } { \delta \left( \Delta + 1 - q \right) } & { \mathrm { i f } } & { q < \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( \delta \left( \Delta - \frac { 1 } { 2 } \right) + \delta \left( \Delta + \frac { 1 } { 2 } \right) \right) } & { \mathrm { i f } } & { q = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \delta \left( \Delta - q \right) } & { \mathrm { i f } } & { q > \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. , } \end{array}
\alpha _ { i , j } = { s o f t m a x } \left( \frac { \left( \mathbf { W } _ { 3 } \mathbf { x } _ { i } \right) ^ { \top } \left( \mathbf { W } _ { 4 } \mathbf { x } _ { j } \right) } { \sqrt { d } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \phi ^ { \prime \prime } ( z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } } & { = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial \beta } { \partial z _ { 2 } } ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \phi ^ { \prime } ( z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } } \\ & { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \partial \beta } { \partial z _ { 2 } } \Big ( z _ { 1 } , \frac { \varepsilon } { 3 } \Big ) \textrm { d } z _ { 1 } } \\ & { + \varepsilon \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial z _ { 2 } ^ { 2 } } ( z _ { 1 } , \varepsilon z _ { 2 } ) \phi ( z _ { 2 } ) \textrm { d } z _ { 2 } \textrm { d } z _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { e x p } } & { = \int _ { - \infty } ^ { \infty } r { \Phi } ^ { \prime } ( r ) d r } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } r \cdot \frac { 2 ( r - a ) } { ( b - a ) ( c - a ) } d r + \int _ { b } ^ { c } r \cdot \frac { 2 ( c - r ) } { ( c - a ) ( c - b ) } d r } \\ & { = \frac { 2 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } - a b } { 3 ( c - a ) } + \frac { c ^ { 2 } + b c - 2 b ^ { 2 } } { 3 ( c - a ) } } \\ & { = \frac { a + b + c } { 3 } . } \end{array}