harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { E _ { s s , s } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \langle u _ { s } \rangle _ { x } ^ { 2 } \big \rangle _ { z } \big | _ { 0 } ^ { 4 0 } , } \\ & { E _ { w s , s } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \big ( u _ { s } - \langle u _ { s } \rangle _ { x } \big ) ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } \big | _ { 0 } ^ { 4 0 } , } \\ & { E _ { s r , s } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \langle v _ { s } \rangle _ { x } ^ { 2 } + \langle w _ { s } \rangle _ { x } ^ { 2 } \big \rangle _ { z } \big | _ { 0 } ^ { 4 0 } , } \\ & { E _ { w r , s } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } \big \langle \big ( v _ { s } - \langle v _ { s } \rangle _ { x } \big ) ^ { 2 } + \big ( w _ { s } - \langle w _ { s } \rangle _ { x } \big ) ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } \big | _ { 0 } ^ { 4 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { [ M M - S P I R ~ u s e r ~ p r i v a c y ] } \quad ( Q _ { n } ^ { [ \mathcal { P } ] } , A _ { n } ^ { [ \mathcal { P } ] } , W _ { [ K ] } , \mathcal { R } _ { S } ) \sim ( Q _ { n } ^ { [ \mathcal { P } ^ { \prime } ] } , A _ { n } ^ { [ \mathcal { P } ^ { \prime } ] } , W _ { [ K ] } , \mathcal { R } _ { S } ) } \end{array}
\dot { x } = A ( t ) R ( t ) \Lambda ( t ) [ a _ { \beta } + 2 \omega _ { \beta 0 } \mathcal { F } ( t ; \omega _ { \beta } , \omega _ { w } ) ] / K _ { 0 } ^ { 1 / 4 } \sim \mathcal { F } ( t ; \omega _ { \beta } , \omega _ { w } )
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - i \omega _ { 1 } - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } } & { - i g } \\ { - i g } & { - i \omega _ { 2 } - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { a _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { - \left[ \begin{array} { l } { \sqrt { \kappa _ { 1 , e } } a _ { i n , 1 } } \\ { \sqrt { \kappa _ { e , 2 } } a _ { i n , 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } ( t ) } & { = - \int _ { \Omega } \mathbf { w } ^ { T } \left( \mathbf { B } ^ { T } \mathcal { E } + \mathcal { E } \mathbf { B } \right) \mathbf { w } \, \textup { d } \mathbf { x } \leq \int _ { \Omega } \mathbf { w } ^ { T } \mathcal { D } \mathcal { E } \mathbf { w } \, \textup { d } \mathbf { x } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { t \to 0 } \left( \begin{array} { c c } { t } & { 0 } \\ { 0 } & { t ^ { - 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \alpha } & { 1 } \\ { 0 } & { \alpha } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { t ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { t } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \alpha } & { 0 } \\ { 0 } & { \alpha } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega \operatorname { I m } s ( \omega ) \, \mathrm { d } \omega = \frac { \pi \omega _ { p } ^ { 2 } } { 2 } \left| \mathbf { E } _ { 0 } \right| ^ { 2 } V , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { ( 2 ) } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) } & { \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { 2 } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) , } & { \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) \leq r _ { \mathrm { s h o r t } } } \\ { \epsilon _ { 2 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) , } & { r _ { \mathrm { s h o r t } } < \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) \leq r _ { \mathrm { l o n g } } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ { e ^ { ( 3 ) } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) } & { \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { 3 } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) , } & { \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) \leq r _ { \mathrm { s h o r t } } \ \mathrm { a n d } \ \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) \leq r _ { \mathrm { s h o r t } } \ \mathrm { a n d } \ \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { k } , \vec { p } _ { i } ) \leq r _ { \mathrm { s h o r t } } } \\ { 0 , } & { \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) > r _ { \mathrm { l o n g } } \ \mathrm { a n d } \ \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) > r _ { \mathrm { l o n g } } \ \mathrm { a n d } \ \mathrm { d i s t } ( \vec { p } _ { k } , \vec { p } _ { i } ) > r _ { \mathrm { l o n g } } } \\ { \epsilon _ { 3 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \\ & { \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { k } ^ { i } } & { : = \sum _ { j \in - i } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) \delta _ { k } ^ { j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } - { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( \bar { m } _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in - i } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \delta _ { k } ^ { j } \big ) } \\ & { \quad + \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) \big ( \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } } \\ & { \quad + c _ { k } \big ) + \beta _ { k + 1 } ^ { i } \big ) - \beta _ { k } ^ { i } - \frac { F _ { k } ^ { i } G _ { k } ^ { i } } { D _ { k } ^ { i } } } \\ & { = \sum _ { j \in - i } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) \delta _ { k } ^ { j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } - { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( \bar { m } _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \delta _ { k } ^ { j } \big ) } \\ & { \quad + \big ( a _ { k } + \bar { a } _ { k } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \delta _ { k } ^ { j } \big ) \big ( \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } } \\ & { \quad + c _ { k } \big ) + \beta _ { k + 1 } ^ { i } \big ) - \beta _ { k } ^ { i } + { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \bar { n } _ { k } ^ { i i } \delta _ { k } ^ { i } + \delta _ { k } ^ { i } G _ { k } ^ { i } , ~ ( \textrm { a s } ~ \delta _ { k } ^ { i } = - \frac { F _ { k } ^ { i } } { D _ { k } ^ { i } } ) } \\ & { \quad - ( b _ { k } ^ { i } + \bar { b } _ { k } ^ { i } ) \big ( \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) + \beta _ { k + 1 } ^ { i } \big ) \delta _ { k } ^ { i } } \\ & { = \sum _ { j \in - i } ( r _ { k } ^ { i j } + \bar { r } _ { k } ^ { i j } ) \delta _ { k } ^ { j } \bar { \delta } _ { k } ^ { j } - { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \big ( \bar { m } _ { k } ^ { i } + \sum _ { j \in \mathsf { N } } \bar { n } _ { k } ^ { i j } \delta _ { k } ^ { j } \big ) } \\ & { \quad + \bar { \mathsf { A } } _ { k } \Big ( \bar { \alpha } _ { k + 1 } ^ { i } \big ( \sum _ { j \in - i } ( b _ { k } ^ { j } + \bar { b } _ { k } ^ { j } ) \bar { \delta } _ { k } ^ { j } + c _ { k } \big ) + \beta _ { k + 1 } ^ { i } \Big ) - \beta _ { k } ^ { i } } \\ & { \quad + \delta _ { k } ^ { i } ( G _ { k } ^ { i } + { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \bar { n } _ { k } ^ { i i } ) - \delta _ { k } ^ { i } ( G _ { k } ^ { i } + { \mu _ { k } ^ { i \star } } ^ { \prime } \bar { n } _ { k } ^ { i i } ) = 0 , } \end{array}
\delta \Lambda _ { \mathrm { g c P } } \; \equiv \; \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf E } \right) .
h ^ { - 1 } { } _ { \alpha } ^ { ~ \gamma } d h _ { \gamma } ^ { ~ \beta } = { \frac { 1 } { 2 } } ( k ^ { - 1 } d k ) ^ { a b } \sigma _ { a b \alpha } ^ { ~ ~ ~ \beta } + i d a ( z ) \delta _ { \alpha } ^ { ~ \beta } .
\frac { d } { d t } \Delta \theta ( t ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r } } } \left[ \theta _ { \mathrm { d } } ( t ) + \theta _ { \mathrm { t h } } ( t ) \right] + \frac { d } { d t } \theta _ { \mathrm { d } } ( t ) .
\{ ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime \prime } - 2 , j ^ { \prime \prime } - 2 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime \prime } , j ^ { \prime \prime } - 2 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime \prime } + 2 , j ^ { \prime \prime } - 2 } , \ldots , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime \prime } - 2 , j ^ { \prime \prime } + 2 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime \prime } , j ^ { \prime \prime } + 2 } , ( H _ { x } ) _ { i ^ { \prime \prime } + 2 , j ^ { \prime \prime } + 2 } \}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \mathbb { V } _ { k + 1 } - \mathbb { V } _ { k } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + O ( \xi C _ { \lambda } ^ { 2 } ) \cdot \frac { \alpha _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } + O ( l _ { f , 0 } ^ { 2 } l _ { g , 1 } / \mu _ { g } ^ { 3 } ) \cdot \frac { \delta _ { k } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } ^ { 3 } } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 2 } } \left( O ( \sigma _ { f } ^ { 2 } ) \cdot \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } \gamma _ { k } } + O ( \sigma _ { g } ^ { 2 } ) \cdot \left( \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } } { \gamma _ { k } } + \frac { \delta _ { k } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } \lambda _ { k } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I } & { = } & { \{ l _ { 1 1 } , l _ { 1 2 } , . . . , l _ { n \times 2 } | \mathrm { ~ } 0 \leq l _ { r s } \leq j \mathrm { , ~ } \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } l _ { r s } = j \} , } \\ { a } & { = } & { ( m + 1 ) j - \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } r l _ { r s } \mathrm { , } } \\ { b } & { = } & { 3 j - \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { n } s l _ { r s } , } \end{array}
\sum _ { n } \omega _ { n } \left| \phi _ { n } \right| ^ { 2 } = \zeta ( s = - \frac { 1 } { 2 } \mid \vec { x } , \vec { x } ) = - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } F _ { 0 } ( \vec { x } ) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { S } ^ { * } \sim \omega ^ { 2 } \sum _ { k } \frac { \chi ^ { k } } { \vert \boldsymbol { q } ^ { k } \vert ^ { 2 } } \, , ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ \sigma \rightarrow 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \Delta x } { \partial \bar { \rho } } } & { = \frac { 3 \mu _ { E } } { 4 a _ { 0 } } \Delta \beta ^ { * } t _ { m } ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial \Delta x } { \partial a _ { 0 } } } & { = - \frac { 3 \bar { \rho } \mu _ { E } } { 4 a _ { 0 } ^ { 2 } } \Delta \beta ^ { * } t _ { m } ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial \Delta x } { \partial \Delta \beta ^ { * } } } & { = \frac { 3 \bar { \rho } \mu _ { E } } { 4 a _ { 0 } } t _ { m } ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial \Delta x } { \partial t _ { m } } } & { = \frac { 3 \bar { \rho } \mu _ { E } } { 2 a _ { 0 } } \Delta \beta ^ { * } t _ { m } } \end{array}
\rho _ { J / \psi K _ { S } } = \frac { 1 } { 2 } | A ^ { \prime } | ^ { 2 } \left[ e ^ { - i \beta } ~ - e ^ { i \beta } \right] ~ \left[ \begin{array} { c } { { e ^ { i \beta } } } \\ { { - e ^ { - i \beta } } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 2 } | A ^ { \prime } | ^ { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { - e ^ { 2 i \beta } } } \\ { { - e ^ { - 2 i \beta } } } & { { 1 } } \end{array} \right] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { \Delta } = \hat { u } \rightarrow \hat { u } + i : } \\ & { r / 2 \leq j \leq r , i = ( r + ( 2 j - r ) \omega / ( 1 + \omega ) , } & { P _ { \hat { u } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } [ ( 1 - p ) q + p ] , } \\ & { 0 \leq j < r / 2 , i = ( r + ( 2 j - r ) \omega / ( 1 + \omega ) , } & { P _ { \hat { u } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } ( 1 - p ) q , } \\ & { r / 2 \leq j \leq r , i = ( r + ( 2 j - r ) \omega / ( 1 + \omega ) , } & { P _ { \hat { u } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } ( 1 - p ) ( 1 - q ) , } \\ & { 0 \leq j < r / 2 , i = ( r + ( 2 j - r ) \omega / ( 1 + \omega ) , } & { P _ { \hat { u } , t } ( i ) = _ { r } C _ { j } \hat { Z } ^ { j } ( 1 - \hat { Z } ) ^ { r - j } [ ( 1 - p ) ( 1 - q ) + p ] , } \end{array}
W _ { 0 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) = \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime \prime } \epsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime \prime } , \omega ) v ( \mathbf { r } ^ { \prime \prime } , \mathbf { r } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { a _ { T ( W ) } ^ { l } ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes n ) \otimes ( \delta _ { g _ { j } } \otimes w ) ) = } & { a _ { T ( W ) } ^ { r } c _ { T ( W ) } ^ { A } ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes n ) \otimes ( \delta _ { g _ { j } } \otimes w ) ) } \\ { = } & { T ( a _ { B } ^ { r } ) \mu _ { B , W } ^ { T } c _ { T ( W ) } ^ { A } ( ( \delta _ { g _ { i } } \otimes n ) \otimes ( \delta _ { g _ { j } } \otimes w ) ) } \\ { = } & { \frac { \tau \big ( g _ { j } | w | ^ { - 1 } g _ { j } ^ { - 1 } , g _ { i } \big ) ( n ) } { \tau ( g _ { k } , h ) ( n ) } T ( a _ { B } ^ { r } ) \mu _ { N , W } ^ { T } } \\ & { \cdot \big ( ( \delta _ { g _ { j } } \otimes w ) \otimes \big ( \delta _ { g _ { k } } \otimes h n h ^ { - 1 } \big ) \big ) } \\ { = } & { \delta _ { j , k } \frac { \tau \big ( g _ { j } | w | ^ { - 1 } g _ { j } ^ { - 1 } , g _ { i } \big ) ( n ) } { \tau ( g _ { k } , h ) ( n ) ^ { - 1 } \gamma ( g _ { j } ) \big ( | w | , h n h ^ { - 1 } \big ) } } \\ & { \cdot \big ( \delta _ { g _ { j } } \otimes \big ( w \cdot h n h ^ { - 1 } \big ) \big ) } \\ { = } & { \delta _ { i , j } \frac { \tau \big ( g _ { i } | w | ^ { - 1 } g _ { i } ^ { - 1 } , g _ { i } \big ) ( n ) } { \tau \big ( g _ { i } , | w | ^ { - 1 } \big ) ( n ) \gamma ( g _ { i } ) \big ( | w | , | w | ^ { - 1 } n | w | \big ) } } \\ & { \cdot \big ( \delta _ { g _ { i } } \otimes \big ( w \cdot | w | ^ { - 1 } n | w | \big ) \big ) } \\ { = } & { \frac { \delta _ { i , j } } { \gamma ( g _ { i } ) ( n , | w | ) } \big ( \delta _ { g _ { i } } \otimes \big ( w \cdot | w | ^ { - 1 } n | w | \big ) \big ) . } \end{array}
\zeta _ { \pm } = \frac { R _ { \pm } } { l } \qquad k = \frac { k _ { 1 } l ^ { 2 } } { k _ { 2 } } \qquad \gamma = \frac { F l } { k _ { 2 } } \qquad \sigma = \frac { y _ { s } } { l } ,
P _ { k C - D } ( k _ { i } ) = \frac { P ( k _ { i } ) \sum _ { m = 1 } ^ { k _ { i } } C _ { k _ { i } , m } } { \sum _ { k } P ( k ) \left( \sum _ { m = 1 } ^ { k _ { i } } C _ { k , m } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } = Z ^ { 0 } \int } & { { } e x p \Bigg [ - \Bigg ( R ( \mathcal { M } ) + R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) + V o l ( \mathcal { M } ) \Bigg ) \Bigg ] } \end{array}
E ^ { f K K } = - { \cal { F } } \left[ \frac { \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + a ^ { 2 } k ^ { 2 } x ^ { 2 } } } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \beta } { 2 } \sqrt { { \bf p } ^ { 2 } + a ^ { 2 } k ^ { 2 } x ^ { 2 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { \delta \Lambda _ { \mathrm { g c P M } } } & { = } & { \nabla \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left[ \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \; \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \delta { \bf E } + \frac { { \bf u } _ { \mathrm { E } } } { c } \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \delta { \bf B } \right) \right. } \\ & { } & { \left. - \int _ { P } F _ { \mathrm { g c } } \left( \mathbb { Q } _ { \mathrm { g c } } \, \mathrm { \boldmath ~ \cdot ~ } \, \delta { \bf B } \right) \, \mathrm { \boldmath ~ \times ~ } \, \frac { 1 } { c } \left( \dot { \bf X } - { \bf u } _ { \mathrm { E } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 \varepsilon } \! } & { { } = } & { \! \lambda _ { 2 \varepsilon } = 1 \; , \; \lambda _ { 3 \varepsilon } ( { \bf B } _ { 0 } ) = 1 + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } \; , } \\ { \lambda _ { 1 \mu } \! } & { { } = } & { \! \lambda _ { 2 \mu } = 1 \; , \; \lambda _ { 3 \mu } ( { \bf B } _ { 0 } ) = \frac { c _ { 1 } } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\hat { f } _ { a } ^ { n e q } = \frac { t _ { a } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } ( \mathbf { c } _ { a } \mathbf { c } _ { a } - c _ { s } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } ) : \Pi _ { \alpha \beta } ^ { n e q } .
\delta _ { 5 } V _ { R } = - \frac { \bar { \alpha } } { 2 4 \pi } ( \frac { m _ { H } ^ { 2 } } { m _ { Z } ^ { 2 } } ) \frac { c ^ { 2 } - s ^ { 2 } } { s ^ { 2 } c ^ { 2 } } \times 0 . 9 7 3 = - 0 . 0 0 3 2 \; \; .
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { } & { \sum _ { j \in J } x _ { i j } } & { \le \underline { { s } } _ { i } , } & { \qquad } & { \forall i \in I , } \\ & { } & { \sum _ { i \in I } x _ { i j } } & { = \overline { { d } } _ { j } , } & & { \forall j \in J , } \\ & { } & { x _ { i j } } & { \ge 0 , } & & { \forall i \in I , j \in J . } \end{array}
\sum _ { \ell = 1 } ^ { n _ { s , 4 j - 3 } } ( v ( \mathbf d ) - v ( 1 \mathbf X _ { 1 } \mathbf Y _ { 1 } \cdots \mathbf X _ { s - 1 } \mathbf Y _ { s - 1 } \mathbf w _ { 2 } ^ { n _ { s , 1 } } \cdots ( \mathbf w _ { 0 } \mathbf w _ { 2 } ) ^ { n _ { s , 4 j - 4 } } \mathbf w _ { 2 } ^ { \ell } ) ) > \frac 1 { \beta ^ { p _ { s , 4 j - 3 } } } \frac 1 { \beta ^ { 2 } ( \beta ^ { 2 } + 1 ) } ( 1 - 1 / \beta ^ { 2 n _ { s , 4 j - 3 } } ) .
c o r r e s p o n d t o s o l i d - b o d y r o t a t i o n , s i m p l e s h e a r a n d p l a n a r e x t e n s i o n , r e s p e c t i v e l y . W h i l e o u r p r i m a r y f o c u s i s o n p l a n a r e x t e n s i o n \, (
\begin{array} { r } { M _ { b } ^ { \left( \varsigma \right) } = \sum _ { k \in \mathcal { K } } { A _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \left[ \frac { \Gamma \left( \mathsf { M } _ { k } , \gamma N _ { 0 } \mathsf { M } _ { k } / l _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( y \right) \right) } { \Gamma \left( \mathsf { M } _ { k } \right) } \right] ^ { b } f _ { Y _ { 0 , k } ^ { \left( \varsigma \right) } } \left( y \right) \mathrm { d } y } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \mathbb E \left( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \right) ^ { 2 } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 4 + 2 \gamma } \left( \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d t \right) ^ { 2 } } \longrightarrow 1 \mathrm { ~ i n ~ p r o b a b i l i t y ~ w h e n ~ } \, N , T \rightarrow \infty . } \end{array}
\begin{array} { l l } { f _ { 1 3 } = } & { { m _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } + 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 1 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 3 } } + 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) \left( - \left( { x _ { 3 } } + 1 \right) { y _ { 1 } } + { y _ { 3 } } \left( { x _ { 1 } } + 1 \right) \right) + } \\ & { { m _ { 4 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 1 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 3 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 3 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) \left( \left( - { x _ { 3 } } + 1 \right) { y _ { 1 } } + { y _ { 3 } } \left( { x _ { 1 } } - 1 \right) . \right) } \end{array}
\left( 1 + { \frac { 1 } { n } } \right) ^ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \binom { n } { k } } { \frac { 1 } { n ^ { k } } } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } { \frac { 1 } { k ! } } \times { \frac { n } { n } } \times { \frac { n - 1 } { n } } \times \cdots \times { \frac { n - k + 1 } { n } } ,
\begin{array} { r l } { \langle N _ { 1 } ( \tau ) f ( s ) \rangle } & { = \langle \frac { 1 } { \xi } e ^ { - k / \xi \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { k / \xi r } f ( r ) d r f ( s ) \rangle } \\ & { = \frac { 1 } { \xi } e ^ { - k / \xi \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { k / \xi r } \langle f ( r ) f ( s ) \rangle d r } \\ & { = 2 k _ { B } T e ^ { - k / \xi \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } e ^ { k / \xi r } \delta ( r - s ) d r } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 k _ { B } T e ^ { - k / \xi ( \tau - s ) } , \; \mathrm { i f ~ } \tau > s } \\ { 0 , \; \mathrm { i f ~ } \tau \leq s } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega _ { i } } \rho ^ { n + 1 } \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } \, d \Omega - \int _ { \Omega _ { i } } \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } \nabla \overline { { \mathbf v } } ^ { n + 1 } ) \, d \Omega = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { \Omega _ { i } } \rho ^ { n + 1 } \mathbf v ^ { n + 1 } \, d \Omega .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { I } } & { \lesssim \int \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | z - y | } { ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { ( d + \alpha ) \ell ^ { \prime } } } \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | x - z | } { ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { ( d + \alpha ) \ell ^ { \prime } } } \mathrm { d } z } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha } ( \ell ^ { \prime } - 1 ) } } \int \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha } } } \frac { 1 } { \left( 1 + \frac { | x - z | } { ( u - s ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { ( d + \alpha ) \ell ^ { \prime } } } \mathrm { d } z } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d \ell ^ { \prime } } { \alpha } } } \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha } ( \ell ^ { \prime } - 1 ) } } . } \end{array}
\sigma ^ { N R L } ( \epsilon ) = { \frac { A _ { 5 } + { \big ( } ( A _ { 4 } - A _ { 3 } \epsilon ) ^ { 2 } + 1 ) { \big ) } ^ { - 1 } A _ { 2 } } { \epsilon ( e ^ { A _ { 1 } \epsilon ^ { - 1 / 2 } } - 1 ) } }
\frac { d N _ { \mu } } { d E _ { \mu } d \Omega } \approx 0 . 1 4 E _ { \mu } ^ { - 2 . 7 } [ c m ^ { 2 } s s r G e V ] ^ { - 1 } \times [ \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 . 1 E _ { \mu } \cos \theta } { 1 1 5 G e V } } + \frac { 0 . 5 4 } { 1 + \frac { 1 . 1 E _ { \mu } \cos \theta } { 8 5 0 G e V } } ]
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { 2 } } & { : = \mathrm { T r } _ { 1 } | \Psi \rangle \langle \Psi | = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 2 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } ^ { \prime } \left( \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 1 } \, F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) \bar { F } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) \right) \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) | \mathrm { v a c } \rangle \langle \mathrm { v a c } | \hat { a } ( \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) } \\ & { = \sum _ { \lambda } r _ { \lambda } \, \left( \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 2 } \, u _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 2 } ) \, \hat { a } ^ { \dagger } ( \omega _ { 2 } ) \right) | \mathrm { v a c } \rangle \langle \mathrm { v a c } | \left( \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { 2 } ^ { \prime } \, \bar { u } _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) \, \hat { a } ( \omega _ { 2 } ^ { \prime } ) \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cot \theta _ { p } } & { = } & { - \tan \left[ \left( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } \right) + q _ { p } \delta + q _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } \right] } \\ & { \approx } & { - ( \theta _ { 1 } - \Theta _ { p } ^ { ( y ) } ) - q _ { p } \delta - q _ { p } ^ { \prime } \zeta ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 2 } [ h ] } & { = \mathcal { D } _ { \omega } h - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 2 } [ h ] + R _ { 2 } [ h ] , } \\ { M _ { 2 } } & { = O p ^ { W } ( \mathtt { m } _ { \alpha } m _ { 1 , \alpha } ( \xi ) + \frac { T _ { \alpha } } { 4 } + \mathfrak { d } _ { 0 } ( \varphi , x , \xi ) ) = : O p ^ { W } ( \mathfrak { p } _ { M _ { 2 } } ( \varphi , x , \xi ) ) , } \end{array}