harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) } & { = [ ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) + ( \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) ] ^ { \mathsf { T } } [ ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) + ( \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) ] } \\ & { = ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) + ( { \boldsymbol { \beta } } - { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } ) ( { \boldsymbol { \beta } } - { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) + \underbrace { 2 ( \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } - \mathbf { X } { \boldsymbol { \beta } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) } _ { = \ 0 } } \\ & { = ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) + ( { \boldsymbol { \beta } } - { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { X } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { X } ) ( { \boldsymbol { \beta } } - { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) \, . } \end{array} }
V _ { \beta } ( \phi ) = V _ { 0 } ( \phi ) + \frac { N } { 2 } L F _ { \beta } ( \phi ) _ { R } - \frac { N } { 4 ! } ( \lambda _ { 0 } + \frac { \eta _ { 0 } \phi ^ { 2 } } { 1 0 N } ) ( F _ { \beta } ( \phi ) _ { R } ) ^ { 2 } - \frac { 2 N \eta ( F _ { \beta } ( \phi ) _ { R } ) ^ { 3 } } { 6 ! } .
\left\| \operatorname* { s u p } _ { \lambda < t \leq \lambda + R ^ { - 1 } } | T _ { \alpha } ^ { \gamma } f | \right\| _ { L ^ { 2 } ( B ^ { n } ( 0 , 1 ) ) } \leq C _ { \epsilon } R ^ { \frac { n } { 2 ( n + 1 ) } + \epsilon } \| f \| _ { L ^ { 2 } } , \quad \quad \forall ~ \lambda \in \frac { 1 } { R } \mathbb { Z } \cap [ 0 , 1 - \frac { 1 } { R } ] .
\beta = \left[ \frac { ( 1 + 3 \epsilon ^ { 2 } ) ( 1 + 4 \epsilon ^ { 2 } ) ( 1 + 5 \epsilon ^ { 2 } ) } { ( 1 + \epsilon ^ { 2 } ) ( 1 + 2 \epsilon ^ { 2 } ) } \right] ^ { 1 / 6 }
t _ { \mathrm { i n e r t i a } } = \frac { 2 \pi a e \rho _ { C } } { \gamma } \simeq \frac { \rho _ { C } a e } { 3 \mu } \simeq \frac { 1 0 ^ { 3 } \times 5 0 \times 1 0 ^ { - 6 } \times 5 1 0 ^ { - 6 } } { 3 \times 1 0 ^ { - 3 } } \simeq 1 0 ^ { - 4 } s
\langle F \rangle _ { \phi } = \frac { 1 } { 2 \pi \Delta \Tilde { S } } \Delta \phi \frac { N _ { p h } } { N _ { m } } \sum _ { p \in \Delta \Tilde { S } } \frac { 1 } { R _ { p } } w _ { p } X _ { p } ,
\int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x - \int _ { M } \Phi _ { 1 } ( x , t ) G ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x \sim ( v _ { * } ( y _ { 1 } ) - v _ { * } ( y _ { 2 } ) ) t
\begin{array} { r l } { \frac { \delta ( k ) } { \delta ( \frac { 1 } { \omega k } ) } = } & { \; \frac { e ^ { \frac { k - \omega } { 2 \pi i } \big ( g _ { 1 } ( \omega ) ( \ln _ { i } ( \omega - i ) - \ln _ { \omega } ( k - \omega ) ) + \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } g _ { 2 } ( s ) d s \big ) + O ( ( k - \omega ) ^ { 2 } \ln ( k - \omega ) ) } } { e ^ { \frac { \frac { 1 } { \omega k } - \omega } { 2 \pi i } \big ( g _ { 1 } ( \omega ) ( \ln _ { i } ( \omega - i ) - \ln _ { \omega } ( \frac { 1 } { \omega k } - \omega ) ) + \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } g _ { 2 } ( s ) d s \big ) + O ( ( k - \omega ) ^ { 2 } \ln ( k - \omega ) ) } } } \\ { = } & { \; 1 + \frac { k - \omega } { 2 \pi i } \bigg ( g _ { 1 } ( \omega ) \big [ 2 \ln _ { i } ( \omega - i ) - \ln _ { \omega } ( k - \omega ) - \ln _ { \omega } ( \omega - k ) \big ] + 2 \int _ { \gamma _ { ( \omega , i ) } } g _ { 2 } ( s ) d s \bigg ) } \\ & { + O ( ( k - \omega ) ^ { 2 } \ln ( k - \omega ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 3 } ( V , C , \lambda , \mu ) } & { = C \Bigg [ C ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 2 ( \lambda - 1 ) + \mu ( \gamma - 1 ) } { 2 \gamma ( 1 + V ) } \right) } \\ & { \ \ \ \ - ( V + 1 ) ^ { 2 } - ( n - 1 ) ( \gamma - 1 ) \frac { V ( 1 + V ) } { 2 } } \\ & { \ \ \ \ - ( \lambda - 1 ) \frac { ( 3 - \gamma ) V + 2 } { 2 } \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 = - \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } + \frac { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } u _ { 1 } } { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } + u _ { 1 \ } ^ { \ 2 } } \Rightarrow \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } + u _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) = \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } u _ { 1 } \Rightarrow } \\ & { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } + \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } ) u _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - u _ { 1 } ) = 0 \Rightarrow \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } = 0 \mathrm { ~ o r ~ } \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 1 } = u _ { 1 } - u _ { 1 \ } ^ { \ 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( a ) } } & { = \frac 1 2 \int _ { \omega , q } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 3 , 1 ) } ( \omega , q , - \omega , - q , \varpi , p ) \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \\ & { \stackrel { p \to \infty } { = } \frac 1 2 p ^ { 2 } \int _ { \omega } \frac 1 { \omega ^ { 2 } } \Bigg [ \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \omega + \varpi , p ) - 2 \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( \varpi , p ) + \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 1 , 1 ) } ( - \omega + \varpi , p ) \Bigg ] \; \tilde { \partial } _ { s } \int _ { q } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \delta F _ { \lambda } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } } & { = \frac { \delta T _ { \mathrm { s } } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \lambda \frac { \delta E _ { \mathrm { H } } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \lambda \frac { \delta E _ { \mathrm { x } } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \frac { \delta E _ { \mathrm { c } , \lambda } \ensuremath { [ n ] } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } , } \\ { - v _ { \lambda } ( \mathbf { r } ) } & { = - v _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) + \lambda v _ { \mathrm { H } } ( \mathbf { r } ) + \lambda v _ { \mathrm { x } } ( \mathbf { r } ) + v _ { \mathrm { c } , \lambda } ( \mathbf { r } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { - \nabla \cdot \eta \mu \nabla \varphi = \underbrace { \left[ ( - \nabla \cdot \eta \mu \nabla ) ( - \nabla \cdot \mu \nabla + 1 ) ^ { - 1 } \right] } _ { \in \mathcal { L } ( X _ { \theta } ) \mathrm { ~ d u e ~ t o ~ } } \underbrace { ( - \nabla \cdot \mu \nabla \varphi + \varphi ) } _ { \in X _ { \theta } } \in X _ { \theta } , } \end{array}
\left. \frac { d } { d \tau } \right| _ { \tau = \tau _ { \pm } ^ { * } } \mathcal { L } \left( \tilde { \gamma } _ { 2 } - \omega _ { 0 } \, \tau , \tilde { \psi } _ { 1 } - \omega _ { 1 } \, \tau , \tilde { \gamma } _ { 3 } - \omega _ { 2 } \, \tau , \tilde { \ell } _ { 3 } - \omega _ { 3 } \, \tau , \tilde { \Gamma } _ { 2 } , \tilde { \Psi } _ { 1 } , \tilde { \Gamma } _ { 3 } , \tilde { L } _ { 3 } \right) = 0 .
s _ { X } ( T ) = s _ { X } ( 0 ) - n _ { X } \int _ { 0 } ^ { T } \left( \frac { \lambda _ { X } } { n _ { X } } \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \frac { \lambda _ { \overline { { X } } } } { n _ { \overline { { X } } } } \langle \eta _ { t } ^ { \overline { { X } } } , \mathbf { s } \mathbf { i } \rangle + \beta _ { G } \frac { i _ { H } ( t ) } { n _ { H } } \frac { s _ { X } ( t ) } { n _ { X } } \right) d t .
{ { \phi } _ { v } } = \frac { ( 1 - \beta ) { { m } _ { c } } / { { \rho } _ { c } } } { ( 1 - \beta ) { { m } _ { c } } / { { \rho } _ { c } } + { { m } _ { w } } / { { \rho } _ { w } } + \beta { { m } _ { c } } / { { \rho } _ { c } } }
u _ { { m } } ^ { { [ + 2 ] } } = { \frac { 1 } { 8 } } ( v _ { { A } } ^ { + } \tilde { \sigma } _ { { m } } v _ { { A } } ^ { + } ) \equiv { \frac { 1 } { 8 } } v _ { \alpha { A } } ^ { + } \tilde { \sigma } _ { { m } } ^ { \alpha \beta } v _ { \beta { A } } ^ { + } ,
G ^ { Z \overline { { { Z } } } } = G ^ { p + 1 \, p + 1 } + G ^ { p + 2 \, p + 2 } - 2 i G ^ { p + 1 \, p + 2 } = \frac { 2 } { \varepsilon \left( 1 + \left( b _ { ( p + 2 ) / 2 } \right) ^ { 2 } \right) } ~ .
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { ( 1 ) } } & { = \operatorname { t a n h } ( x ) , } \\ { \sigma ^ { ( 1 ) } } & { = \log \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - x } } \right) \quad \mathrm { ( L o g S i g m o i d ) } , } \\ { \sigma ^ { ( 1 ) } } & { = \operatorname* { m a x } ( 0 , x ) + \operatorname* { m i n } ( 0 , e ^ { x } - 1 ) \quad \mathrm { ( C E L U ) } , } \\ { \sigma ^ { ( 1 ) } } & { = a \left( \operatorname* { m a x } ( 0 , x ) + \operatorname* { m i n } \left( 0 , b \left( e ^ { x } - 1 \right) \right) \right) \quad \mathrm { ( S E L U ) } , } \\ & { \mathrm { w i t h } ~ a \approx 1 . 0 5 0 7 , ~ \mathrm { a n d } ~ b \approx 1 . 6 7 3 3 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { n _ { f } / n _ { i } } ( \nu _ { f / i } ) } & { { } = \int _ { k = 0 } ^ { \infty } r ^ { 4 } e ^ { - \frac { r } { a _ { \mathrm { B } } \nu } } \: _ { 1 } F _ { 1 } ( - k , 4 , \frac { 2 r } { a _ { \mathrm { B } } , \nu _ { f / i } } ) R _ { n _ { f } / n _ { i } , 0 } ( r ) d r } \end{array}
{ \mathcal { L } } = \left( - k _ { \mathrm { B } } \sum _ { i } \rho _ { i } \ln \rho _ { i } \right) + \lambda _ { 1 } \left( 1 - \sum _ { i } \rho _ { i } \right) + \lambda _ { 2 } \left( U - \sum _ { i } \rho _ { i } E _ { i } \right) .
\begin{array} { r } { X _ { 1 } = \frac { ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \lvert ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) + 2 i ( k _ { 1 } l _ { 1 } + k _ { 2 } l _ { 2 } \beta - \Omega _ { 1 } ) \rvert ^ { 2 } } , } \\ { X _ { 2 } = \frac { ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { \lvert ( k _ { 1 } ^ { 2 } + \beta k _ { 2 } ^ { 2 } ) + 2 i ( k _ { 1 } l _ { 3 } + k _ { 2 } l _ { 4 } \beta - \Omega _ { 1 } ) \rvert ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { 0 , \lambda k } = - \sqrt { \frac { 2 } { \hbar \omega _ { k } ^ { 3 } } } \, g _ { k } \biggl ( \underline { { e } } _ { \lambda k } \cdot \underline { { d } } _ { e n } \biggr ) \quad , } \end{array}
\nabla _ { f _ { 1 } \mathbf { v } _ { 1 } + f _ { 2 } \mathbf { v } _ { 2 } } \mathbf { u } = f _ { 1 } \nabla _ { \mathbf { v } _ { 1 } } \mathbf { u } + f _ { 2 } \nabla _ { \mathbf { v } _ { 2 } } \mathbf { u }
B ^ { \prime } = - { \frac { 1 } { r } } - { \frac { D - d } { d - 2 } } A ^ { \prime } \pm \sqrt { { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } + { \frac { ( D - d ) ( D - 2 ) } { ( d - 1 ) ( d - 2 ) ^ { 2 } } } ( A ^ { \prime } ) ^ { 2 } } ~ .
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } ^ { \mathrm { e q } } } & { = \rho , } \\ { a _ { i _ { 1 } } ^ { \mathrm { e q } } } & { = \rho u _ { i _ { 1 } } , } \\ { a _ { i _ { 1 } i _ { 2 } } ^ { \mathrm { e q } } } & { = \rho u _ { i _ { 1 } } u _ { i _ { 2 } } , } \\ { a _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } ^ { \mathrm { e q } } } & { = \rho u _ { i _ { 1 } } u _ { i _ { 2 } } u _ { i _ { 3 } } , } \\ { a _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } i _ { 4 } } ^ { \mathrm { e q } } } & { = \rho u _ { i _ { 1 } } u _ { i _ { 2 } } u _ { i _ { 3 } } u _ { i _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E N C } ^ { 2 } } & { = \left( 2 q I _ { \mathrm { l e a k } } + \frac { 4 k T } { R _ { p } } \right) F _ { i } \tau _ { \mathrm { p } } } \\ & { \; \; \; \; + 4 k T C _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } \left( R _ { s } + \frac { \Gamma } { g _ { m } } \right) \frac { F _ { \nu } } { \tau _ { \mathrm { p } } } + 2 \pi A _ { f } C _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } F _ { \nu f } } \end{array}
\left[ \varepsilon _ { i j } \right] = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \varepsilon _ { 1 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \varepsilon _ { 3 3 } } \end{array} \right) = \varepsilon _ { 0 } \left( \begin{array} { l l l } { n _ { o } ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { n _ { o } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { n _ { e } ^ { 2 } } \end{array} \right) ,
J _ { \mathbf { R } } ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r l } & { \mathbf { P } ^ { ( 1 , \pm ) } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { P } ^ { ( 2 , \pm ) } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { P } ^ { ( 0 ) } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { z } & { \in \partial U ( 0 , \delta ) , } \\ & { \mathbf { P } _ { - } ^ { ( \infty ) } ( z ) J _ { \mathbf { T } } ( z ) \mathbf { P } _ { + } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } , \quad } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \mathrm { e } ^ { - \Gamma ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } = \left( \frac { \pi } { \Gamma } \right) ^ { 3 / 2 } . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ \Gamma ] > 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau \left( \mu \rho _ { i } y _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } y _ { i } \rho _ { i + 1 } \mu ^ { - 1 } \right) } & { = } & { \gamma \left( \overline { { \mu \rho _ { i } } } , y _ { i + 1 } \right) \gamma \left( \overline { { \mu \rho _ { i } y _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } } } , y _ { i } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) \gamma \left( \mu \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } , y _ { i } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) \left( \mu \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } y _ { i } \rho _ { i + 1 } \mu ^ { - 1 } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) \left( \mu \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i + 1 } y _ { i } \rho _ { i + 1 } \mu ^ { - 1 } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) \left( \mu \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } \rho _ { i } \rho _ { i } y _ { i + 1 } \rho _ { i } \mu ^ { - 1 } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) \left( \mu \rho _ { i } \rho _ { i + 1 } y _ { i + 1 } \rho _ { i } \mu ^ { - 1 } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i + 1 } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
+ { \frac { 1 } { 2 m ^ { 2 } } } \Pi _ { \theta } ^ { 2 } + { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \partial _ { i } \theta \partial _ { i } \theta + m ^ { 2 } ( \partial = _ { i } A _ { i } ) \theta - A _ { 0 } ( \partial _ { i } \Pi _ { i } + { \frac { \mu } { 2 } } \epsilon _ { i j } \partial = _ { i } A _ { j } + { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } A _ { 0 } ) ,
\omega Z _ { i ( 2 ) } \rightarrow Z _ { i ( 2 ) } , \ \, o m e g a \tilde { B } _ { i ( 1 2 ) } ^ { 1 } \rightarrow \tilde { B } _ { i ( 1 2 ) } ^ { 1 } , \ \ \omega \tilde { \psi } _ { i ( 1 2 ) } ^ { 1 } \rightarrow \tilde { \psi } _ { i ( 1 2 ) } ^ { 1 } ( i = 1 , 2 , 3 ) ,
\chi _ { c } ^ { \prime } ( \omega = \omega _ { c } ) = \frac { 2 } { \kappa + 2 | J | ^ { 2 } \chi _ { a } ( \omega _ { c } ) } = \frac { 2 } { \kappa } \frac { 1 } { 1 + C _ { \mathrm { h y b } } ( 1 - i \tilde { \Delta } _ { a } ) ^ { - 1 } } ,
e ^ { \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 4 } ^ { \ast } } - e ^ { \mathcal { A } _ { 1 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 2 } ^ { \ast } } - e ^ { \mathcal { A } _ { 3 } ^ { \ast } + \mathcal { A } _ { 4 } ^ { \ast } } = 0 ,
P _ { \alpha } = \left( \begin{array} { c } { { \alpha _ { 1 } } } \\ { { \alpha _ { 2 } } } \\ { { \alpha _ { 3 } } } \end{array} \right) \begin{array} { c c c } { { ( \bar { \alpha } _ { 1 } } } & { { \bar { \alpha } _ { 2 } } } & { { \bar { \alpha } _ { 3 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \end{array}
\delta _ { ( n ) } | A \rangle = { \cal D } _ { n } | \Lambda _ { n } \rangle \, , \qquad { \cal D } _ { n } \equiv \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( - ) ^ { j } \! \! \! \! \sum _ { l _ { 1 } , \ldots , l _ { j + 1 } = 1 } ^ { n } \delta _ { n l _ { j + 1 } } \prod _ { i = 1 } ^ { j } \frac { \varepsilon ^ { l _ { i } l _ { i + 1 } } } { \lambda _ { l _ { i } n } } { \bf a } _ { l _ { i + 1 } l _ { i } } ^ { } D _ { l _ { 1 } } \, ,
\begin{array} { r } { H _ { 3 } = 6 \alpha ^ { 2 } c _ { 4 } \delta _ { l } \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert \le 3 \alpha ^ { 2 } \Big \lVert \frac { 1 } { N K } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } Z _ { i } ( O _ { l , k } ^ { ( i ) } ) \Big \rVert ^ { 2 } + 3 \alpha ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \delta _ { l } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I ( t ) \propto \displaystyle \frac { L A } { 8 \Gamma ( \alpha / 2 ) } \sqrt { \frac { 2 } { B } \frac { \sin \pi \alpha } { \pi \alpha } } \frac { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha / 2 } } { t ^ { 1 - \alpha / 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { c } = \frac { \rho ^ { ( 1 ) } g \sin \theta H _ { 1 } ^ { 2 } } { \mathcal { K } \mu } , \quad \textrm { w h e r e } \quad \frac { 1 } { \mathcal { K } } = \frac { 1 } { \delta + 1 } \left[ \frac { 1 } { 3 } + \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \delta } { m } + \frac { \delta ^ { 3 } r } { 3 m } + \frac { \delta ^ { 2 } r } { 2 m } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { c } ( s _ { c } ) } & { = k _ { 1 } C _ { 0 } ( C _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { 2 r \, \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } - 1 \right) + 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( e ^ { s \, \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } - 1 \right) \, , } \\ { \lambda _ { d } ( s _ { d } ) } & { = 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( e ^ { \tau \, \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } - 1 \right) + k _ { 4 } D _ { 0 } ( D _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { 2 p \, \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } - 1 \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \left[ \left( \begin{array} { l } { p _ { m , 0 } } \\ { p _ { m , C } } \\ { p _ { m , D } } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { p _ { r , 0 } } \\ { p _ { r , C } } \\ { p _ { r , D } } \end{array} \right) \right] = - p _ { m , 0 } C + B \sum _ { k = \mathcal { M } _ { C } } ^ { N - 1 } { \binom { N - 1 } { k } } p _ { r , 0 } ^ { k } ( 1 - p _ { r , 0 } ) ^ { N - 1 - k } } \\ & { + p _ { m , 0 } B { \binom { N - 1 } { \mathcal { M } _ { C } - 1 } } p _ { r , 0 } ^ { \mathcal { M } _ { C } - 1 } ( 1 - p _ { r , 0 } ) ^ { N - \mathcal { M } _ { C } } } \\ & { + B \sum _ { k = \mathcal { M } _ { C } } ^ { N - 1 } { \binom { N - 1 } { k } } p _ { r , 0 } ^ { k } ( 1 - p _ { r , 0 } ) ^ { N - 1 - k } \sum _ { j = \mathcal { M } _ { C } } ^ { N - 1 } } \\ & { \sum _ { m = 0 } ^ { j } { \binom { k } { m } } { \binom { N - 1 - k } { j - m } } p _ { r , C } ^ { m } ( 1 - p _ { r , C } ) ^ { k - m } p _ { r , D } ^ { j - m } ( 1 - p _ { r , D } ) ^ { N - 1 - k - ( j - m ) } } \\ & { + ( p _ { m , 0 } p _ { m , C } + ( 1 - p _ { m , 0 } ) p _ { m , D } ) \left( B \sum _ { k = \mathcal { M } _ { C } } ^ { N - 1 } { \binom { N - 1 } { k } } p _ { r , 0 } ^ { k } ( 1 - p _ { r , 0 } ) ^ { N - 1 - k } \right. } \\ & { \left. \sum _ { m = 0 } ^ { \mathcal { M } _ { C } - 1 } { \binom { k } { m } } { \binom { N - 1 - k } { \mathcal { M } _ { C } - 1 - m } } p _ { r , C } ^ { m } ( 1 - p _ { r , C } ) ^ { k - m } p _ { r , D } ^ { \mathcal { M } _ { C } - 1 - m } ( 1 - p _ { r , D } ) ^ { N - k - ( \mathcal { M } _ { C } - m ) } - C \right) } \\ & { + a _ { 2 } p _ { m , 0 } p _ { m , C } + a _ { 1 } ( p _ { m , 0 } ( 1 - p _ { m , C } ) + ( 1 - p _ { m , 0 } ) p _ { m , D } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { e } } & { { } \equiv } & { \sum _ { i } Z _ { i } n _ { i } } \\ { n _ { e } \textbf { u } _ { e } } & { { } \equiv } & { \sum _ { i } Z _ { i } n _ { i } \textbf { v } _ { i } , } \end{array}
\Lambda _ { - } = { \frac { 1 } { 2 } } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { - } = { \frac { 1 } { 4 } } \gamma ^ { + } \gamma ^ { - } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { - \sigma _ { 3 } } } \\ { { - \sigma _ { 3 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; .
F _ { \rho \mu } ( x _ { 0 } + \eta y ) = \mathrm { e } ^ { \eta y D } F _ { \rho \mu } ( x _ { 0 } ) \, , \, \, \, \, V ( x _ { 0 } + y ) = \mathrm { e } ^ { y D } V ( x _ { 0 } ) \; .
- \pi _ { z z } = 2 \eta _ { 0 } \left( \frac { b } { B _ { 0 } } \frac { \partial V _ { x } } { \partial z } + \frac { 2 } { 3 } \frac { \partial V _ { z } } { \partial z } \right) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) .
\dot { M } _ { \mathrm { E d d } } \simeq 2 . 6 \times 1 0 ^ { - 7 } \mathrm { M } _ { \odot } \mathrm { y r } ^ { - 1 } \left( \frac { M _ { \mathrm { 2 } } } { 1 0 \mathrm { M } _ { \odot } } \right) \left( \frac { \eta } { 0 . 1 } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { 1 + X } { 1 . 7 } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \omega \cdot \nabla _ { x } Z _ { n } } & { = \sum _ { i _ { 1 } + \cdots + i _ { j } = n } \frac { \nabla _ { z } ^ { j } ( \mathcal { V } - \mathcal { R } _ { 1 } ) } { j ! } [ Z _ { i _ { 1 } } , \ldots , Z _ { i _ { j } } ] - \sum _ { i _ { 1 } + \cdots + i _ { k } + k = n } \frac { \nabla _ { z } ^ { k } \mathcal { R } _ { k } } { k ! } [ Z _ { i _ { 1 } } , \ldots , Z _ { i _ { k } } ] . } \end{array}
d s ^ { 2 } = \left( { \frac { \mu } { D - 3 } } \right) ^ { 2 } { \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } } \left[ - d t ^ { 2 } + d \rho ^ { 2 } \right] + \mu ^ { 2 } d \Omega _ { D - 2 } ^ { 2 } , \ \ \ \ \ A _ { t } = - { \frac { \mu } { D - 3 } } { \frac { 1 } { \rho } } ,
{ \boldsymbol { \omega } } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \displaystyle - { \frac { 1 } { r \sin \theta } } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { \sin \theta } { r ^ { 2 } } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( { \frac { 1 } { \sin \theta } } { \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } } \right) \right) } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r } { f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { s } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { W } } f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { s } } ( \mathbf { W } ) \gtrsim { t _ { 0 } ^ { q } } \cdot p p _ { 0 } , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ \mathbf { W } ^ \star \in ~ \mathcal { W } ~ a n d ~ a n y ~ q \geq ~ 1 ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { B } ( t ) } & { = ( \Omega _ { \mathrm { r f } } \cos ( \omega _ { \mathrm { r f } } t ) + \Omega _ { x } ^ { \mathrm { e x t } } ) \hat { F } _ { x } + \Omega _ { y } ^ { \mathrm { e x t } } \hat { F } _ { y } } \\ & { + ( \Omega _ { \mathrm { d c } } + \Omega _ { z } ^ { \mathrm { e x t } } ) \hat { F } _ { z } , } \end{array}
{ \frac { 3 } { 4 } } G _ { N } m _ { 1 } m _ { 2 } \int d \tau ( \dot { x _ { 0 } } \dot { x _ { 0 } } - { \frac { 1 } { 3 } } \dot { x _ { \mu } } \dot { x ^ { \mu } } ) { \frac { 1 } { r ( \tau ) } } ~ .
s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \left( \frac { b } { a } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 + \xi } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { \pi } { 1 + \xi } } \quad \mathrm { a n d } \quad \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \left( \frac { b } { a } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 + \xi } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { \pi } { 1 + \xi } } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol W } : \quad \hat { f } _ { \mathcal { D } } ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol b } ^ { ( 0 ) } ) : = } & { - \frac { 1 } { | \mathcal { D } | } \sum _ { v \in \mathcal { D } } y _ { v } \cdot g \big ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol b } ^ { ( 0 ) } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ( v ) } \big ) . } \end{array}