harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { A \to \infty } \int _ { \Gamma _ { 0 } ( A ) } \left[ u _ { + } ^ { s } ( y ) \frac { \partial G _ { + } ( x , y ) } { \partial y _ { 2 } } - \frac { \partial u _ { + } ^ { s } } { \partial y _ { 2 } } ( y ) G _ { + } ( x , y ) \right] d s ( y ) } \\ { = \int _ { \Gamma _ { d } } \left[ u ^ { s } ( y ) \frac { \partial G ( x , y ) } { \partial y _ { 2 } } - \frac { \partial u ^ { s } } { \partial y _ { 2 } } ( y ) G ( x , y ) \right] d s ( y ) . } \end{array}
\mathrm { ~ I ~ F ~ } = \frac { \mathrm { ~ c ~ i ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ r ~ e ~ c ~ e ~ i ~ v ~ e ~ d ~ b ~ y ~ i ~ t ~ e ~ m ~ s ~ p ~ u ~ b ~ l ~ i ~ s ~ h ~ e ~ d ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ p ~ a ~ s ~ t ~ 2 ~ y ~ e ~ a ~ r ~ s ~ } } { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ o ~ f ~ c ~ i ~ t ~ a ~ b ~ l ~ e ~ i ~ t ~ e ~ m ~ s ~ p ~ u ~ b ~ l ~ i ~ s ~ h ~ e ~ d ~ i ~ n ~ t ~ h ~ e ~ p ~ a ~ s ~ t ~ 2 ~ y ~ e ~ a ~ r ~ s ~ } } .
\begin{array} { r l } { | e | \big ( \mathrm { \textbf { C } } _ { \mathrm { d d } } \big ) _ { P 2 , P 2 } ^ { - 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { P 2 , P 2 } \Delta V _ { P 2 } ( 1 \to 2 ) , } \end{array}
\left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) \log { ( 1 + e ^ { \frac { c - z _ { c } } { \delta } } ) } - \beta _ { 1 } \left( \frac { c - z _ { c } } { \delta } \right) = \left( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } \right) \log { ( 1 + e ^ { \frac { c } { \delta } } ) } - \beta _ { 1 } \left( \frac { c } { \delta } \right) ,
\hat { a } _ { D } ^ { ( q / p ) } ( z ) = \frac { N ^ { 2 } z ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 3 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \frac { ( M _ { p } + m _ { q } z ) ^ { 2 } } { R ^ { 6 } ( z ) } ,
\begin{array} { r } { \dot { \varphi } _ { 0 } = \frac { I _ { 3 } } { 2 I _ { 2 } - I _ { 3 } } \dot { \psi } _ { 0 } , \qquad m _ { \psi } = \frac { 2 I _ { 2 } I _ { 3 } } { 2 I _ { 2 } - I _ { 3 } } \dot { \psi } _ { 0 } . } \end{array}
{ \frac { \delta } { \delta c } } m a x ( | l _ { 0 } ^ { \prime } | ^ { 2 } , | l _ { 1 } ^ { \prime } | ^ { 2 } , | l _ { 2 } ^ { \prime } | ^ { 2 } , | l _ { 3 } ^ { \prime } | ^ { 2 } ) = 0 ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \left( \frac { d } { d r } + \frac { \kappa + 1 } { r } \right) g _ { n \kappa } - ( W _ { n \kappa } - V ( r ) + m _ { e } ) f _ { n \kappa } } & { = 0 , } \\ { \left( \frac { d } { d r } - \frac { \kappa - 1 } { r } \right) f _ { n \kappa } + ( W _ { n \kappa } - V ( r ) - m _ { e } ) g _ { n \kappa } } & { = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { \tilde { q } _ { j } , \, j \in [ J ] } \left\{ \sum _ { j \in [ J ] } \tilde { q } _ { j } : \left\| \sum _ { j \in [ J ] } \tilde { q } _ { j } \widehat { y } _ { j } \widehat { x } _ { j } \right\| \leq \varepsilon , \, 0 \leq \tilde { q } _ { j } \leq \frac { 1 } { J } ~ \forall j \in [ J ] \right\} , } \end{array}
u = R ( \eta ) e ^ { i ( m \xi + n \theta ) } , \quad R ^ { 2 } = { \frac { \cosh \eta - \sqrt { n ^ { 2 } / m ^ { 2 } + \sinh ^ { 2 } \eta } } { \sqrt { 1 + m ^ { 2 } / n ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \eta } - \cosh \eta } }
\begin{array} { r l } { S _ { \mu \nu } } & { = \delta _ { \mu \nu } } \\ { \gamma _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { f r , H F } } } & { = \gamma _ { A A } ^ { \mathrm { f r , H F } } } \\ { H _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } } & { = \delta _ { \mu \nu } \varepsilon ^ { \mathrm { f r e e } } } \\ { \sum _ { \mu } c _ { \mu i } c _ { \mu j } } & { = \delta _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \widehat { \mathfrak { I } } _ { n + 2 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } } & { = | \Pi _ { n + 1 } T ( i _ { n + 1 } ) \Pi _ { n + 1 } Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } } \\ & { \overset \le N _ { n + 1 } ^ { 4 \mu _ { \mathtt { p } } } | T ( i _ { n + 1 } ) \Pi _ { n + 1 } Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } - 2 \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } } \\ & { \overset { \le _ { \mathtt { p _ { e } } } } N _ { n + 1 } ^ { 4 \mu _ { \mathtt { p } } } \gamma ^ { - 1 } ( | \Pi _ { n + 1 } Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } - \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | \mathfrak { I } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } - \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } | \Pi _ { n + 1 } Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } ) } \\ & { \overset \le N _ { n + 1 } ^ { 5 \mu _ { \mathtt { p } } } \gamma ^ { - 1 } ( | Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } - \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | \mathfrak { I } _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } - \mu _ { \mathtt { p } } + \mathtt { b } _ { 1 } } | Z _ { n + 1 } | _ { s _ { 0 } } ) } \\ & { \overset { , , } { \le _ { \mathtt { b } } } \gamma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n + 1 } ^ { 5 \mu _ { \mathtt { p } } } \left( N _ { n } ^ { \mathtt { k } } + \underbrace { \varepsilon ^ { 1 3 - 1 2 b } } _ { \le 1 , \because } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } N _ { n } ^ { - \sigma _ { 4 } } \right) } \\ & { \le \gamma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n + 1 } ^ { 5 \mu _ { \mathtt { p } } } N _ { n } ^ { \mathtt { k } } } \\ & { \overset \le \gamma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 6 - 2 b } N _ { n + 1 } ^ { \mathtt { k } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \ln \Gamma \left( { \frac { k } { n } } \right) = } & { { \frac { \, ( n - 2 k ) \ln 2 \pi \, } { 2 n } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \, \ln \pi - \ln \sin { \frac { \pi k } { n } } \, \right\} + { \frac { 1 } { \pi } } \! \sum _ { r = 1 } ^ { n - 1 } { \frac { \, \gamma + \ln r \, } { r } } \cdot \sin { \frac { \, 2 \pi r k \, } { n } } } \\ & { - { \frac { 1 } { 2 \pi } } \sin { \frac { 2 \pi k } { n } } \cdot \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! { \frac { \, e ^ { - n x } \! \cdot \ln x \, } { \, \cosh x - \cos ( 2 \pi k / n ) \, } } \, { \mathrm { d } } x } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \cos \theta } & { = - \sin \theta \cdot \mathrm { d } \theta - \frac { \eta g ^ { 2 } ( \theta ) } { 2 } \mathrm { d } t } \\ & { = \left( - \sin \theta \cdot f ( \theta ) - \frac { \eta \cos \theta } { 2 } g ^ { 2 } ( \theta ) \right) \mathrm { d } t - \sqrt { \eta } \cdot \sin ( \theta ) g ( \theta ) \mathrm { d } B . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { i j } \left[ \boldsymbol { x } _ { i } , \boldsymbol { s } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } & { = \frac { 1 } { \mathcal { Z } _ { i j } \left[ \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \sum _ { \boldsymbol { x } _ { \partial i \setminus j } } \Biggl \{ \left[ \prod _ { k \in \partial i \setminus j } c _ { k i } \left[ \boldsymbol { x } _ { k } , \boldsymbol { \nu } _ { i k } \boldsymbol { x } _ { i } | \boldsymbol { \mathcal { O } } \right] \right] p \left( { O } _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \\ & { \quad \times \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \left[ \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { s _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } + \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \left( 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) e ^ { s _ { i } ^ { t } + \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \nu _ { k i } ^ { t } x _ { k } ^ { t } } \right) \right] p \left( { O } _ { i } ^ { t } | x _ { i } ^ { t } \right) \Biggr \} , } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \left\| U ^ { ( k ) } ( t , \cdot ) \right\| _ { p } ^ { p } + \sum _ { j = 1 } ^ { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } \left| \nabla \left( \left| U _ { j } ^ { ( k ) } ( t , x ) \right| ^ { p / 2 } \right) \right| ^ { 2 } d x d t \right] \leq C \mathbb { E } \left[ \left\| U _ { 0 } \right\| _ { p } ^ { p } \right] + C _ { T } .
\begin{array} { r l r } { A _ { \mathrm { 0 i } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } + A _ { \mathrm { 0 r } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 1 } k _ { \mathrm { t } } ^ { \mathrm { T } } } { \mu _ { 2 } k _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { T } } } A _ { \mathrm { 0 t } } ^ { \mathrm { ( I I ) } } \, . } \end{array}
\bar { k } _ { i n } ( y , m , \nu ) = \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \bar { k } _ { i n } ( y , m , \nu , R ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \xi } d \xi \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \frac { \nu \Gamma ( m , \nu A ( | | \mathbf x - \mathbf y | | , \xi ) ) } { m ! } .
\begin{array} { r } { R _ { 1 2 } ( \tau ^ { \prime } ) = \hat { q } _ { 1 } ^ { * } ( f _ { s c } ) \hat { q } _ { 2 } ( f _ { s c } ) e ^ { i 2 \pi f _ { s c } \tau ^ { \prime } } , } \\ { R _ { 1 1 } ( \tau ^ { \prime } - \tau ) = \hat { q } _ { 1 } ^ { * } ( f _ { s c } ) \hat { q } _ { 1 } ( f _ { s c } ) e ^ { i 2 \pi f _ { s c } ( \tau ^ { \prime } - \tau ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta P } & { { } = s \delta T + n \cdot \delta \mu + n _ { \ell } \cdot \delta \mu _ { \ell } - { * \tilde { \mu } } \cdot \delta { * \tilde { n } } - { * \tilde { \mu } _ { \psi } } \cdot \delta { * \tilde { n } _ { \psi } } } \\ { \epsilon } & { { } = - P + T s + \mu \cdot n + \mu _ { \ell } \cdot n _ { \ell } . } \end{array}
- { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { r } ( t ) } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } m = { \frac { \partial V [ \mathbf { r } ( t ) ] } { \partial x } } \mathbf { \hat { x } } + { \frac { \partial V [ \mathbf { r } ( t ) ] } { \partial y } } \mathbf { \hat { y } } + { \frac { \partial V [ \mathbf { r } ( t ) ] } { \partial z } } \mathbf { \hat { z } } ,
F _ { \pi } ^ { 2 } ( 0 ; N _ { f } ) = F _ { \pi } ^ { 2 } ( m _ { \rho } ( N _ { f } ) ; N _ { f } ) - \frac { N _ { f } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } m _ { \rho } ^ { 2 } ( N _ { f } ) \ .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathfrak { f } _ { 9 } } { g _ { n } } } & { = \frac { ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + \mathrm { i } x ( x ^ { 2 } - 1 ) } { ( \cos ( x _ { 1 } ^ { 1 } ) - \cos ( x ) ) ^ { 2 } + \mathrm { i } \sin ( x ) ( \cos ( x _ { 1 } ^ { 2 } ) - \cos ( x ) ) } } \\ & { = \frac { h _ { 1 } ( \cos ( 1 ) - \cos ( x ) ) ^ { 2 } + \mathrm { i } h _ { 2 } \sin ( x ) ( \cos ( 1 ) - \cos ( x ) ) } { ( \cos ( x _ { 1 } ^ { 1 } ) - \cos ( x ) ) ^ { 2 } + \mathrm { i } \sin ( x ) ( \cos ( x _ { 1 } ^ { 2 } ) - \cos ( x ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { ~ e ~ x ~ . ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) } & { { } = \sum _ { e , e ^ { \prime } , g } T _ { { g e } s } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e ^ { \prime } g } s } , } \\ { \rho _ { s } ^ { ( \mathrm { ~ g ~ r ~ . ~ } ) } ( \textbf { r } , \tau ) } & { { } = \sum _ { g , g ^ { \prime } , e } T _ { { e g } s } \rho _ { { g g ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { g ^ { \prime } e } s } . } \end{array}
E _ { r } ^ { i j } ( t ) = ( f _ { 2 } ^ { i j } ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , t ) - f ^ { i j } ( \theta _ { 1 } , t ) f ^ { i j } ( \theta _ { 2 } , t ) ) / ( f ^ { i j } ( \theta _ { 1 } , t ) f ^ { i j } ( \theta _ { 2 } , t ) ) .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { W } } } ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R I S } } ) } & { \! = \! \bigg ( \mathbf { H } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R I S } } \! ) \mathbf { H } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } } ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R I S } } \! ) \! + \! \frac { L \sigma _ { n } ^ { 2 } } { P } \mathbf { I } _ { M } \! \bigg ) ^ { \! - 1 } \! \! \mathbf { H } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R I S } } \! ) } \\ { \mathbf { W } ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R I S } } ) } & { \! = \! \sqrt { P } \, \overline { { \mathbf { W } } } ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R I S } } ) / ( \| \overline { { \mathbf { W } } } ( \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R I S } } ) \| _ { \mathrm { F } } ) \in \mathrm { ~ \mathbb { C } ~ } ^ { M \times L } . } \end{array}
( a _ { + } , b _ { + } ) = ( \frac { \mathbf { Q } m } { 2 \tilde { c } } + \frac { \mathbf { Q } } { 2 r } , 1 ) , \quad ( a _ { - } , b _ { - } ) = ( \frac { \tilde { c } } { 6 \mathbf { m } } - \frac { 2 \mathbf { Q } ^ { 2 } } { 3 \mathbf { m } r } , - \frac { 4 \mathbf { Q } } { 3 \mathbf { m } } ) , \quad \tilde { c } = 3 \mathbf { m } + \sqrt { 9 \mathbf { m } ^ { 2 } + 4 \mathbf { Q } ^ { 2 } m } .
\Gamma _ { q \bar { q } , \gamma ^ { * } } ^ { ( 0 ) i } ( q _ { R } ) \; = \; \langle q | t ^ { i } | \bar { q } \rangle \Gamma _ { q \bar { q } , \gamma ^ { * } } ^ { } ( q _ { R } ) ; \: \: \: \Gamma _ { q \bar { q } , \gamma ^ { * } } ( q _ { R } ) = \Gamma _ { a } \: + \: \Gamma _ { b }
\begin{array} { r l r } { F _ { n + 1 / 2 } } & { = } & { \sum _ { b _ { k } \in \partial V _ { j } } ( \mathbf n _ { k } \cdot \mathbf v ) f ( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } ) S _ { k } } \\ & { = } & { \sum _ { b _ { k } \in \partial V _ { j } } ( \mathbf n _ { k } \cdot \mathbf v ) \left( \gamma ^ { r } \widetilde { f } ^ { r } \left( \mathbf x _ { b } , \mathbf v , t _ { n } + \frac { \Delta t } { 2 } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + ( 1 - \gamma ^ { r } ) f _ { n + 1 / 2 } ^ { t } ( \mathbf v ) \right) S _ { k } , } \end{array}
A _ { C } ^ { N S N S } = { \frac { G _ { C } } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d t } { 2 t } } ( 8 \pi ^ { 2 } t ) ^ { - 5 } { \frac { f _ { 3 } ( e ^ { - \pi t } ) ^ { 8 } } { f _ { 1 } ( e ^ { - \pi t } ) ^ { 8 } } } \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } y \, \exp \left( - a y ^ { 2 } + b y \right) \mathrm { d } y } & { { } = \frac { b } { 2 a } \, \sqrt { \frac { \pi } { a } } \exp \left( \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { A = \left( \begin{array} { c c } { \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { x ^ { 2 } } - a _ { + } } & { - a _ { c o } } \\ { - a _ { c o } } & { \frac { \ell ( \ell + 1 ) } { x ^ { 2 } } - a _ { - } } \end{array} \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W } } } & { { } = e ^ { - i \delta t } \hbar \eta \Omega \ e ^ { i \tilde { \phi } } \hat { S } _ { + } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) \cos \left( \frac { \Delta \phi } { 2 } \right) } \end{array}
\mu _ { E _ { 0 } } ( \textbf { x } , 0 ) = { \mathcal R } ^ { - 1 } \mathrm { ~ P ~ } ^ { \sharp } ( \textbf { x } ) = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \mathbb { R } } | \xi | \mathscr F _ { s } [ \mathrm { ~ P ~ } ^ { \sharp } ( \theta , \cdot ) ] ( \xi ) \exp ( i \xi \textbf { x } \cdot \Theta _ { \theta } ) d \xi d \theta ,
\begin{array} { r l } { | \Downarrow \rangle } & { { } = \left| \overline { { n = 4 9 , l = 1 , j = \frac { 3 } { 2 } , m _ { j } = + \frac { 1 } { 2 } } } \right\rangle } \\ { | \Uparrow \rangle } & { { } = \left| \overline { { n = 4 8 , l = 2 , j = \frac { 5 } { 2 } , m _ { j } = + \frac { 3 } { 2 } } } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \underbrace { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \widehat { u } ^ { \intercal } X _ { k , \cdot } W _ { k } \epsilon _ { k } } _ { \mathrm { a s y m p ~ n o r m a l } } + \underbrace { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \left( W _ { k } h ^ { \prime } ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) X _ { k , \cdot } X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { u } - e _ { j } \right) ^ { \intercal } ( \beta - \widehat { \beta } ) } _ { \mathrm { r e m a i n i n g ~ b i a s } } } \\ & { + \underbrace { \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \widehat { u } ^ { \intercal } X _ { k , \cdot } W _ { k } R _ { k } } _ { \mathrm { n o n l i n e a r i t y ~ b i a s } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \cos ( \omega _ { + } \tau _ { 1 } ) = \frac { \omega _ { + } ^ { 2 } } { \omega _ { - } ^ { 2 } } - 1 + \frac { \omega _ { + } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { - } ^ { 2 } } \{ 1 + \cos ( \omega _ { - } \tau _ { \mathrm { f } } / 2 - 2 \pi \frac { \omega _ { - } } { \omega _ { + } } ) \} . } \end{array}
\sigma _ { x } ( n ) = \prod _ { i = 1 } ^ { r } \sum _ { j = 0 } ^ { a _ { i } } p _ { i } ^ { j x } = \prod _ { i = 1 } ^ { r } \left( 1 + p _ { i } ^ { x } + p _ { i } ^ { 2 x } + \cdots + p _ { i } ^ { a _ { i } x } \right) .
C _ { 3 , k } ( \alpha , \beta , \gamma ) = \frac { 1 } { 3 \Gamma ( k + 1 ) } \int _ { c - i \infty } ^ { c + i \infty } \frac { \mathrm { d } z } { 2 \pi i } \; \frac { \Gamma ( - z ) \Gamma ( - z + \alpha - 1 ) \Gamma ( - z - \beta + 1 ) \Gamma ( - z + \alpha - \beta ) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( k + 2 z - \alpha + \beta - \gamma + 2 ) \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } ( k + 2 z - \alpha + \beta + \gamma ) \right) } { \Gamma ( - 2 z + \alpha - \beta ) }
\begin{array} { l } { { l i m _ { T \rightarrow \infty } ( T - \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } \int _ { \tau _ { 0 } } ^ { T } d \tau E [ ( ( \phi _ { \tau } , f ) - E [ ( \phi _ { \tau } , f ) ] ) ( ( \phi _ { \tau } , f ^ { \prime } ) - E [ ( \phi _ { \tau } , f ^ { \prime } ) ] ) ] = } } \\ { { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 i } ( f , { \cal A } ^ { - 1 } f ^ { \prime } ) - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } l i m _ { T \rightarrow \infty } ( T - \tau _ { 0 } ) ^ { - 1 } ( { \cal A } ^ { - 1 } f , \Big ( e x p ( - 2 i ( T - \tau _ { 0 } ) { \cal A } ) - 1 \Big ) { \cal A } ^ { - 1 } f ^ { \prime } ) } } \end{array}
U _ { i } = \frac { U } { u _ { * } } , \ V _ { i } = \frac { V x } { \nu } , \ y _ { i } = \frac { y u _ { * } } { \nu } = y ^ { + } , \ \overline { { u v _ { i } } } = \frac { \overline { { u v } } } { u _ { * } ^ { 2 } } . \ \overline { { u _ { i } ^ { 2 } } } = \frac { \overline { { u ^ { 2 } } } } { u _ { * } ^ { 2 } } , \ \overline { { v _ { i } ^ { 2 } } } = \frac { \overline { { v ^ { 2 } } } } { u _ { * } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { \frac { d \check { \theta } _ { 1 } } { d \xi } = b ^ { 2 } \frac { \gamma - 1 } { \gamma } \check { \theta } _ { 0 } W + b ^ { 2 } \frac { d { T } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { + } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { x } ^ { T } J \lneqq \mathbf { x } ^ { T } \iff } & { \mu ( 1 - q _ { i } ) + \nu ( 1 - q _ { i } ) \leq \delta ( i ) ( 1 - q _ { i } ) ( 1 - T _ { i , i } ) } \\ { \iff } & { \frac { \mu } { \delta ( i ) } + \frac { b ( i ) } { \delta ( i ) } \frac { 1 - q _ { i } ^ { 2 } } { 1 - q _ { i } } + \frac { \nu } { \delta ( i ) } \leq 1 } \\ { \iff } & { b ( i ) q _ { i } \leq d } \\ { \iff } & { q _ { i } \leq \frac { d } { b ( i ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \frac { 1 } { 2 } \hbar \omega _ { 0 } \hat { \sigma } ^ { z } + \hbar \omega _ { m } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \mu _ { z } ( B _ { 0 } + \frac { \partial B _ { z } } { \partial z } z ) \hat { \sigma } ^ { z } + \hbar \Omega _ { \mu } \hat { \sigma } ^ { x } \cos ( \omega _ { \mu } t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { C o v } ( E _ { \mathrm { x } } ^ { i } , E _ { \mathrm { x } } ^ { j } ) } & { \approx \left( \mathbf { \tilde { k } } ^ { i } \right) ^ { T } \mathbf { \widetilde { K } } ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { k } } ^ { j } = K _ { i j } } \\ { \left( \mathbf { \widetilde { K } } \right) _ { a b } } & { = k _ { F _ { \mathrm { x } } } ( \mathbf { \tilde { x } } _ { a } , \mathbf { \tilde { x } } _ { b } ) } \\ { \left( \mathbf { \tilde { k } } ^ { i } \right) _ { a } } & { = \sum _ { g \in i } w _ { g } ^ { i } ( e _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { L D A } } ) _ { g } ^ { i } k _ { F _ { \mathrm { x } } } ( \mathbf { x } _ { g } ^ { i } , \mathbf { \tilde { x } } _ { a } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathrm { ~ e ~ e ~ } } ^ { y y } } & { { } = \chi _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { z z } \sin ^ { 2 } ( \theta ) , } \\ { \chi _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { x y } } & { { } = \frac { 2 j } { k } , } \\ { \chi _ { \mathrm { ~ m ~ m ~ } } ^ { x x } \in \mathbb { R } \quad } & { { } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \chi _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ^ { y x } = - \chi _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ } } ^ { x y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { u } _ { z } = \left( u _ { z } ^ { 2 } - 1 \right) g _ { 0 } ^ { h f } \frac { k _ { \perp } ^ { * } } { 2 } } \\ & { \times \frac { \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \cos \varphi _ { p } } { \left\{ \left[ \gamma _ { 0 } + b ( \xi ) \right] + \left( \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { 2 } \right) u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \operatorname { s e n } \varphi _ { p } \right\} } } \\ & { + \quad \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { 2 k _ { \perp } ^ { * } } \gamma ^ { - 1 } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \cos \varphi _ { p } } \\ & { - \frac { \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) \left( \frac { d b } { d \xi } \right) } { 2 \left\{ \left[ \gamma _ { 0 } + b ( \xi ) \right] + \left( \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { 2 } \right) u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \operatorname { s e n } \varphi _ { p } \right\} } } \end{array}
\frac { d \psi _ { 1 } } { d r ^ { \prime } } = - i \cos \phi \psi _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } ( - i ) ^ { M + \beta } e ^ { - i ( N - M ) \phi } \left[ J _ { M + \beta - 1 } ( r ^ { \prime } ) + i e ^ { - i \phi } J _ { M + \beta } ( r ^ { \prime } ) \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 M _ { j } r ^ { 2 } } \, \frac { d } { d r } \bigg ( r ^ { 2 } \, \frac { d \psi _ { n _ { r } , L } ( r ) } { d r } \bigg ) + \frac { \hbar ^ { 2 } L _ { j } ( L _ { j } + 1 ) } { 2 M _ { j } r ^ { 2 } } \, \psi _ { n _ { r } , L } ( r ) } \\ & { } & { \; \; + V _ { \mathrm { n u c l } } ^ { ( j ) } ( r ) \psi _ { n _ { r } , L _ { j } } ( r ) = \epsilon \psi _ { n _ { r } , L _ { j } } ( r ) , \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { L } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) } & { = : \left[ D \right] \; \gamma ^ { \frac { \beta } { 1 - \alpha } } c ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + \ \cdots } \\ & { \quad \ + \mathrm { V a r } \left[ D \right] \gamma ^ { \frac { 2 \beta - 2 } { 1 - \alpha } } \langle \tilde { L } _ { 2 } ( \tau ) \rangle \langle \tilde { L } _ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle \ . } \end{array}
\Delta G _ { f o r m } ^ { \circ } = ( \Delta A - \Delta F ^ { \prime } ) T - \Delta A ( T \ln T ) - \Delta B ( T ^ { 2 } ) + \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } \Delta C ( T ^ { - 1 } ) + 2 \Delta D ( T ^ { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } )
\begin{array} { r } { g _ { u } ( u ) = a _ { 1 } \langle u \rangle ^ { 2 } + a _ { 2 } \langle u \rangle + a _ { 3 } , \ \ g _ { \phi } ( \phi ) = b _ { 1 } \langle \phi \rangle ^ { 2 } + b _ { 2 } \langle \phi \rangle + b _ { 3 } . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } \left( ( x - 1 ) \left( { \frac { A } { x - 1 } } + { \frac { B x + C } { x ^ { 2 } + x + 1 } } \right) \right) = \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } A + \operatorname* { l i m } _ { x \to 1 } { \frac { ( x - 1 ) ( B x + C ) } { x ^ { 2 } + x + 1 } } = A .
\begin{array} { r l } { \frac { \delta T _ { s } } { \delta \rho } - \mu } & { { } = \frac { \sum _ { i } ^ { N } - \frac { 1 } { 2 } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) \nabla ^ { 2 } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) - \epsilon _ { i } \phi _ { i } ^ { 2 } ( \mathbf { r } ) } { \rho ( \mathbf { r } ) } } \end{array}
f _ { a u x } \left( \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( T ) } \mid \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } , \mathbf { b } \right) = \prod _ { i } ^ { N _ { T } } { \left( 2 \pi \sigma _ { T } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \exp { \left[ - 0 . 5 \sigma _ { T } ^ { - 2 } \left( \left[ \mathbf { d } _ { \mathbf { w } } ^ { ( T ) } \right] _ { \mathbf { i } } - \left[ \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( T ) } \right] _ { \mathbf { i } } \right) ^ { 2 } \right] } }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E } = } & { { } - \frac { \boldsymbol { u } \times \boldsymbol { B } } { c } + \frac { 1 } { 4 \pi Z e } \frac { ( \nabla \times \boldsymbol { B } ) \times \boldsymbol { B } } { n _ { i } } - \frac { m _ { e } } { e } \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } } \end{array}