harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l l l } { \Psi ( z _ { 1 } , \dots , z _ { N } ) } & { = } & { { \cal { A } } \prod _ { j = 1 , k = 1 ; j < m o d ( j , x _ { 1 } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { 1 } } ^ { N ^ { \prime } , N / x _ { 1 } } } \\ & & { ( z _ { j } - z _ { m o d ( j , x _ { 1 } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { 1 } } ) } \\ & { \times } & { \prod _ { j = 1 , k = 1 ; j < m o d ( j , x _ { 2 } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { 2 } } ^ { N ^ { \prime } , N / x _ { 2 } } } \\ & & { ( z _ { j } - z _ { m o d ( j , x _ { 2 } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { 2 } } ) } \\ & { \times } & { \dots } \\ & { \times } & { \prod _ { j = 1 , k = 1 ; j < m o d ( j , x _ { q } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { q } } ^ { N ^ { \prime } , N / x _ { q } } } \\ & & { ( z _ { j } - z _ { m o d ( j , x _ { q } , 1 ) + ( k - 1 ) x _ { q } } ) } \\ & { \times } & { e ^ { - i \sum _ { i = 1 } ^ { N } | z _ { i } | ^ { 2 } / 4 l _ { B } ^ { 2 } } , } \end{array}
\Re [ c _ { m } ( t + \Delta t ) ] = \Re [ c _ { m } ( t ) ] \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } | \alpha _ { p } ^ { m } ( t ) | ^ { 2 } \Delta t \right]
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I m } ( E _ { s } ) } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \mathrm { I m } ( \beta _ { j } + \beta _ { j } ^ { - 1 } ) } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { M - 1 } \mathrm { I m } ( \beta _ { j } ^ { - 1 } + \beta _ { j + 1 } ) - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { I m } ( \beta _ { 1 } + \beta _ { M } ^ { - 1 } ) } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { I m } ( \beta _ { 1 } + \beta _ { M } ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\beta ( g ) = \mu \frac { d g } { d \mu } = - \frac { 3 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { g ^ { 3 } N } { \left( 1 - \frac { N g ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \right) } \, \, \, .
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { A } f ^ { 2 } ( r ^ { A } ) d r ^ { A } d r ^ { A } + a ^ { 2 } ( r ^ { A } ) ( \sigma _ { 1 } ^ { A } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } ( r ^ { A } ) ( \sigma _ { 2 } ^ { A } ) ^ { 2 } + c ^ { 2 } ( r ^ { A } ; r ^ { B } ) ( \sigma _ { 3 } ^ { A } ) ^ { 2 }
C _ { k } = \frac { 1 } { L _ { g } } \int _ { 0 } ^ { L _ { g } } s ( l ) ^ { k } d l = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left( \frac { i } { m } \right) ^ { k } \frac { l _ { i + 1 } - l _ { i } } { L _ { g } } ,
\frac { 1 } { \rho } \frac { d } { d \rho } \left( \rho \frac { d F } { d \rho } \right) - \frac { L _ { m } ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } F - \frac { \mu ^ { 2 } \varpi ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } { 4 \hbar ^ { 2 } } F + k ^ { 2 } F = 0 ,
\begin{array} { r l r } { V _ { 5 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ & { = } & { ( { \cal G } - g _ { n 0 } ) ( \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \rangle - 2 \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle } \\ & { \null } & { + ( { \cal C } _ { 0 } ^ { 0 } - g _ { n 0 } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle + { \cal C } _ { n } ^ { - } \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle } \\ { V _ { 6 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle = { \cal C } _ { n } ^ { - } } \\ { V _ { 7 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ & { = } & { ( { \cal G } - g _ { - n 0 } ) ( \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { - n } ^ { - } \rangle - 2 \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle } \\ & { \null } & { + ( { \cal C } _ { 0 } ^ { 0 } - g _ { - n 0 } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { - n } ^ { - } \rangle ) \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle + { \cal C } _ { - n } ^ { - } \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle } \\ { V _ { 8 } } & { = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle = { \cal C } _ { - n } ^ { - } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta P _ { s h } Q } & { { } = \int _ { V _ { O S C } } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V + \int _ { ( V - V _ { O S C } ) / 2 } ( \sigma _ { x x } - \sigma _ { y y } ) \frac { \partial u } { \partial x } d V } \end{array}
{ U ( R ) } ^ { \dagger } ( { \vec { V } } \cdot { \vec { W } } ) U ( R ) = { U ( R ) } ^ { \dagger } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } { \hat { V _ { i } } } { \hat { W _ { i } } } \right) U ( R ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( { U ( R ) } ^ { \dagger } { \hat { V } } _ { i } U ( R ) ) ( { U ( R ) } ^ { \dagger } { \hat { W } } _ { i } U ( R ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } R _ { i j } { \widehat { V } } _ { j } \cdot \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } R _ { i k } { \widehat { W } } _ { k } \right)
2 \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { E } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) = \vec { F } ^ { - T } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } + ( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } ) ^ { T } \right) \cdot \vec { F } ^ { - 1 } = - \vec { F } ^ { - T } \cdot \frac { \partial \vec { F } ^ { - 1 } } { \partial t } - \frac { \partial \vec { F } ^ { - T } } { \partial t } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } = - \frac { \partial } { \partial t } \left( \vec { F } ^ { - T } \cdot \vec { F } ^ { - 1 } \right) ,
R _ { \pi N _ { 0 } } ^ { D Y } ( x , x _ { \pi } ) = \frac { 4 \sigma _ { \pi ^ { + } N _ { 0 } } ^ { D Y } ( x , x _ { \pi } ) - \sigma _ { \pi ^ { - } N _ { 0 } } ^ { D Y } ( x , x _ { \pi } ) } { \left( 4 \sigma _ { \pi ^ { + } N _ { 0 } } ^ { D Y } ( x , x _ { \pi } ) + \sigma _ { \pi ^ { - } N _ { 0 } } ^ { D Y } ( x , x _ { \pi } ) \right) / 2 } \approx \left( \frac { \delta d ( x ) - \delta u ( x ) } { u _ { v } ^ { p } ( x ) + d _ { v } ^ { p } ( x ) } \right)
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \epsilon } & { { } = - \partial _ { i } \pi ^ { i } , } \\ { \partial _ { t } \pi ^ { i } } & { { } = - v _ { \| } ^ { 2 } \partial ^ { i } \epsilon + D _ { \pi } ^ { \perp } \, \partial ^ { 2 } \pi ^ { i } + \left( D _ { \pi } ^ { \| } - D _ { \pi } ^ { \perp } \right) \partial ^ { i } \partial _ { k } \pi ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu ( \mathbf { Z } ) } & { : = \operatorname* { m a x } \left\{ \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \mathbf { A } _ { i } \mathbf { A } _ { i } ^ { T } \right] \right\| , \left\| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \mathbf { A } _ { i } ^ { T } \mathbf { A } _ { i } \right] \right\| \right\} . } \end{array}
R ^ { A } ( x _ { B j } , x _ { B j } ^ { \prime } , Q ^ { 2 } ) = { \frac { x _ { B j } ^ { \prime } } { x _ { B j } } } { \frac { F _ { 2 } ^ { N / A } \left( x _ { B j } , \xi _ { A } ( Q ^ { 2 } ) Q ^ { 2 } \right) } { F _ { 2 } ^ { N / A } \left( x _ { B j } ^ { \prime } , \xi _ { A } ( Q ^ { 2 } ) Q ^ { 2 } \right) } } = c o n s t a n t ~ ,
\begin{array} { r l r l r l } { \pmb { \mathbb { X } } } & { = \{ { \mathbb { X } ^ { s } } \} _ { s \in \mathbb { N } } , } & { \pmb { \mathbb { Y } } } & { = \{ { \mathbb { Y } ^ { s } } \} _ { s \in \mathbb { N } } , } & { \pmb { \mathbb { W } } } & { = \{ { \mathbb { W } _ { 1 + s } } \} _ { s \in \mathbb { N } } , } \\ { \pmb { \mathbb { E } } } & { = \{ { \mathbb { E } ^ { s } } \} _ { s \in \mathbb { N } } , } & { \pmb { \mathbb { F } } } & { = \{ { \mathbb { F } ^ { s } } \} _ { s \in \mathbb { N } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \! \! e _ { \beta } ^ { \dagger } D e _ { \alpha } d \boldsymbol { x } = \delta _ { \sigma _ { \alpha } \sigma _ { \beta } } \delta \left( \mathbf { k } _ { \alpha } - \mathbf { k } _ { \beta } \right) . } \end{array}
[ b _ { i } ( { \bf { q } } ) , a _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) ] = - ( \frac { \Lambda _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) } { { \tilde { \omega } } _ { i } ( { \bf { q } } ) - \frac { { \bf { k . q } } } { m } } ) g _ { i } ( { \bf { q } } )
\Delta = { \left| \begin{array} { l l l } { A } & { { \frac { 1 } { 2 } } B } & { { \frac { 1 } { 2 } } D } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } B } & { C } & { { \frac { 1 } { 2 } } E } \\ { { \frac { 1 } { 2 } } D } & { { \frac { 1 } { 2 } } E } & { F } \end{array} \right| } = \left( A C - { \frac { 1 } { 4 } } B ^ { 2 } \right) F + { \frac { 1 } { 4 } } B E D - { \frac { 1 } { 4 } } C D ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } A E ^ { 2 } .
\delta q ( x , 4 \; \mathrm { G e V } ^ { 2 } ) = \Delta q ( x , 4 \; \mathrm { G e V } ^ { 2 } ) , \quad \delta \bar { q } ( x , 4 \; \mathrm { G e V } ^ { 2 } ) = \Delta \bar { q } ( x , 4 \; \mathrm { G e V } ^ { 2 } ) \quad .
\frac { L ^ { ' } } { R } = \frac { 1 } { R } \int _ { \phi _ { 2 } } ^ { \phi _ { 3 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin [ \phi _ { 3 } - \beta _ { 3 } ] - \sin [ \phi - \beta _ { 3 } ] ) } } = 2 . 0 8 8 .
V _ { l o n g } = - \int \frac { d s } { s ^ { 3 / 2 } } \frac { e ^ { - b ^ { 2 } s } } { 8 \sqrt { \pi } c _ { 1 } s c _ { 2 } s } ( c _ { 1 } ^ { 2 } - c _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } s ^ { 4 } ( \frac { \sqrt { \pi } } { L _ { 1 } s ^ { 1 / 2 } } ) = - \frac { ( c _ { 1 } ^ { 2 } - c _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 8 c _ { 1 } L _ { 1 } c _ { 2 } b ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \dot { \Omega } _ { 1 } = \phi \Omega _ { 2 } + \frac { b } { I _ { 2 } } ( k _ { 2 } R _ { 2 2 } + k _ { 3 } R _ { 3 2 } ) , \qquad \dot { \Omega } _ { 2 } = - \phi \Omega _ { 1 } - \frac { b } { I _ { 2 } } ( k _ { 2 } R _ { 2 1 } + k _ { 3 } R _ { 3 1 } ) , \qquad \Omega _ { 3 } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } ; } \end{array}
\operatorname* { m a x } \{ P ^ { * } ( 0 , 0 ) , P ^ { * } ( 1 , 1 ) , P ^ { * } ( 1 , 0 ) , \overline { { P } } _ { \mathrm { ~ h ~ c ~ } } ^ { * } \} = \operatorname* { m a x } \{ P ^ { * } ( 0 , 0 ) , P ^ { * } ( 1 , 1 ) \}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u + \nabla P = \Delta u + f } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega } \\ { \operatorname { d i v } u = 0 } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times \Omega } \\ { u = 0 } & { \mathrm { ~ o n ~ } ( 0 , T ) \times \partial \Omega } \\ { u \bigr \rvert _ { t = 0 } = u _ { 0 } } & { \mathrm { ~ i n ~ } \Omega } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ \mathcal { S } ( Y ) \Big [ L ( Y ) \log { ( n ) } + Q ( Y ) \Big ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { \chi ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } \qquad } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + Q _ { 0 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ^ { 2 } { ( n ) } \Gamma \bigg ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 0 } \bigg ) \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ & { \underbrace { \mathcal { S } ( Y ) } _ { \mathrm { H O S P } } \underbrace { R ( Y ) \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 1 } ) } { \chi ^ { n / 2 + \alpha _ { 1 } } } } _ { \mathrm { n a \" i v e ~ d i v e r g e n c e } } + \underbrace { R _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log { ( n ) } \Gamma \bigg ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 1 } \bigg ) } _ { { \lambda _ { n } \mathrm { ~ d i v e r g e n c e } } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array}
H = \frac { 2 } { 3 } \Pi ^ { \mu } \Pi ^ { \nu } \Pi _ { \mu \nu } + \frac { 3 } { 5 } \Pi ^ { \mu } \Pi ^ { \alpha } \Pi _ { \mu \alpha } - \frac { 2 } { 1 5 } \Pi _ { \alpha \beta } \Pi ^ { \alpha } \Pi ^ { \beta } \quad .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \sigma _ { s r } \left( t \right) \ast \varepsilon \left( t \right) \right) \varepsilon \left( t \right) } \\ & { } & { \qquad = \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { s r } \left( t \right) \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \sigma _ { s r } \left( t \right) \ast \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) \right) - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \sigma } _ { s r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \left( \varepsilon \left( t \right) - \varepsilon \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } } \\ & { } & { \qquad = \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { s r } \left( t \right) \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \dot { \sigma } _ { s r } \left( t \right) \ast \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) + \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { s r } ^ { \left( g \right) } \varepsilon ^ { 2 } \left( t \right) - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \sigma } _ { s r } \left( t - t ^ { \prime } \right) \left( \varepsilon \left( t \right) - \varepsilon \left( t ^ { \prime } \right) \right) ^ { 2 } \mathrm { d } t ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X ^ { 1 } } & { = r , } \\ { X ^ { 2 } } & { = \phi , } \\ { X ^ { 3 } } & { = z , } \\ { x ^ { 1 } } & { = \gamma ( r , z ) , } \\ { x ^ { 2 } } & { = \phi + \Delta \phi ( r , z ) , } \\ { x ^ { 3 } } & { = \alpha ( r , z ) , } \\ { v ^ { 1 } } & { = \gamma ( r , z ) , } \\ { v ^ { 2 } } & { = 0 , } \\ { v ^ { 3 } } & { = \alpha ( r , z ) . } \end{array}
\hat { H } _ { 1 } = A ( t ) \left( \frac { 1 } { 2 } m \omega _ { \mathrm { t w } } ^ { 2 } \left( \hat { x } _ { i } ^ { 2 } + \hat { x } _ { j } ^ { 2 } \right) + g \left( \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( i ) } \hat { x } _ { i } + \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( j ) } \hat { x } _ { j } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { L } & { = \frac { | \mathbf { I } ( T S L _ { i } ) - \mathbf { I } ( T S L _ { j } ) \exp ( \frac { T S L _ { j } - T S L _ { i } } { \mathbf { \widehat { T _ { 1 \rho } } } } ) | } { \mathbf { \sigma _ { 1 } } } } \\ & { + \frac { | \mathbf { M } ( T P _ { m } ) - \mathbf { M } ( T P _ { n } ) \exp ( \frac { T P _ { n } - T P _ { m } } { \widehat { \mathbf { T _ { 2 } } } } ) | } { \mathbf { \sigma _ { 2 } } } + \log ( 2 \mathbf { \sigma _ { 1 } } ) } \\ & { + \log ( 2 \mathbf { \sigma _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i j } } & { { } = \frac { \omega _ { i j } ^ { 3 } } { 3 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar c ^ { 3 } ( 2 N _ { i } + 1 ) } S _ { i j } , } \\ { R _ { i j } } & { { } = \frac { 1 } { 6 \varepsilon _ { 0 } \hbar ^ { 2 } ( 2 N _ { i } + 1 ) } \frac { 2 \hbar \omega _ { i j } ^ { 3 } } { \pi c ^ { 3 } } \frac { 1 } { e ^ { \hbar \omega _ { i j } / k _ { B } T } - 1 } S _ { i j } , } \end{array}
( \mathbf { a } \times [ \mathbf { b } \times \mathbf { c } ] ) _ { i } = ( \delta _ { i \ell } \delta _ { j m } - \delta _ { i m } \delta _ { \ell j } ) a ^ { j } b ^ { \ell } c ^ { m } = a ^ { j } b ^ { i } c ^ { j } - a ^ { j } b ^ { j } c ^ { i } = \mathbf { b } _ { i } ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } ) - \mathbf { c } _ { i } ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { p r } ( \hat { \mathcal { A } } , J | \boldsymbol { \lambda } ) } & { = \mathrm { P r } ( J | \boldsymbol { \lambda } ) \mathrm { p r } ( \hat { \mathcal { A } } | \boldsymbol { \lambda } ) } \\ & { = \mathrm { P r } ( J | \boldsymbol { \lambda } ) \prod _ { j = 1 } ^ { J } \mathrm { p r } ( \mathbf { \hat { A } } _ { j } | \boldsymbol { \lambda } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x } ( \theta , \phi ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } } & { \left( \sum _ { m = 1 } ^ { M } \alpha _ { m n } ^ { x } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } { g _ { 1 , i } } \left( m , n , \theta , \phi \right) \right. } \\ & { \left. + \sum _ { m = 0 } ^ { M } \beta _ { m n } ^ { x } \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } { g _ { 2 , i } } \left( m , n , \theta , \phi \right) \right) } \end{array}
\leq \mathbb { E } _ { X ^ { n } } \left\{ { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \left( I - \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } \right) \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \right\} + \left\Vert \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } - \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \right\Vert _ { 1 } \right\}
m _ { i j } ^ { u } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \eta ^ { 4 } } } & { { \eta ^ { 3 } } } & { { \eta ^ { 2 } } } \\ { { \eta ^ { 3 } } } & { { \eta ^ { 2 } } } & { { \eta } } \\ { { \eta ^ { 2 } } } & { { \eta } } & { { 1 } } \end{array} \right) \: v ,
\nabla ^ { 2 } ( \nabla ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) A _ { 0 } = - \nabla ^ { 2 } \rho - s \overrightarrow { \nabla } \times \overrightarrow { j } - s v _ { o } \nabla ^ { 2 } \varphi + \nabla ^ { 2 } \left( \overrightarrow { v } \times \overrightarrow { \nabla } \varphi \right) .
\begin{array} { r l } { | I _ { 1 } | } & { { } \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - 1 } | \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } | ^ { \alpha } d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
\textbf { J } \equiv \textbf { J } _ { q x } ( \textbf { x } ) = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \mathrm { d } q _ { 1 } } { \mathrm { d } x _ { 1 } } } & { \dots } & { \frac { \mathrm { d } q _ { 1 } } { \mathrm { d } x _ { f _ { x } } } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { \frac { \mathrm { d } q _ { f _ { q } } } { \mathrm { d } x _ { 1 } } } & { \dots } & { \frac { \mathrm { d } q _ { f _ { q } } } { \mathrm { d } x _ { f _ { x } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ^ { \Phi } ( n ) } & { = \mathrm { x } _ { 1 } ( \Phi ) A _ { 1 } ^ { n } W ^ { ( 1 ) } + \mathrm { x } _ { 2 } ( \Phi ) A _ { 2 } ^ { n } Z _ { 0 } = \sum _ { \lambda \in \Gamma \cup \{ \rho \} } \lambda ^ { n } \mathrm { x } _ { 1 } ( \Phi ) \pi _ { \lambda } W ^ { ( 1 ) } + o ( \gamma ^ { n } ) } \\ & { = \rho ^ { n } \mathrm { x } _ { 1 } ( \Phi ) W \mathrm u + \sum _ { \lambda \in \Gamma } \lambda ^ { n } \mathrm { x } _ { 1 } ( \Phi ) W _ { \lambda } \mathrm u _ { \lambda } + o ( \gamma ^ { n } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 1 0 } ^ { c } = + 3 \sqrt { 1 5 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \sin i \cos i \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \phantom { } _ { 0 } \Delta \bar { S } _ { 2 1 } , } \\ { \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 1 0 } ^ { s } = - 3 \sqrt { 1 5 } \frac { G M } { R ^ { 2 } } \left( \frac { R } { a } \right) ^ { 4 } \sin i \cos i \sin \left( \frac { \gamma } { 2 } \right) \phantom { } _ { 0 } \Delta \bar { C } _ { 2 1 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { H } & { = } & { - t \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } ( c _ { 1 \sigma } ^ { \dagger } c _ { 2 \sigma } + c _ { 2 \sigma } ^ { \dagger } c _ { 1 \sigma } ) + \sum _ { \sigma = \uparrow , \downarrow } ( \epsilon _ { 1 } n _ { 1 \sigma } + \epsilon _ { 2 } n _ { 2 \sigma } ) } \\ & { \quad } & { + U ( n _ { 1 \uparrow } n _ { 1 \downarrow } + n _ { 2 \uparrow } n _ { 2 \downarrow } ) \, , } \end{array}
T _ { \perp } ( \omega ) = \frac { T _ { 1 } ( \omega ) T _ { 2 } ( \omega ) } { 1 + R ^ { 2 } ( \omega ) e ^ { - 2 \alpha ( \omega ) L } - 2 e ^ { - \alpha ( \omega ) L } \mathrm { R e } \left( r ^ { 2 } ( \omega ) e ^ { i \beta ( \omega ) L } \right) } ,
\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \} = 2 P _ { a } \gamma _ { \alpha \beta } ^ { a } , \quad \{ S _ { \alpha } , S _ { \beta } \} = 2 P _ { a } \gamma _ { \alpha \beta } ^ { a } , \quad \{ Q _ { \alpha } , S _ { \beta } \} = 2 \epsilon _ { \alpha \beta } P _ { 3 } ,
{ L _ { 4 - 5 } } = \sqrt { { L _ { 4 - 6 , b } } ^ { 2 } + { L _ { 5 - 6 , b } } ^ { 2 } - 2 \cdot { L _ { 4 - 6 , b } } \cdot { L _ { 5 - 6 , b } } \cdot c o s ( { A _ { b } } ) ) }
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } { \bf u ( k ) } } & { = } & { - i \sum _ { \bf p } \{ { \bf k \cdot u ( q ) } \} { \bf u ( p ) } - i { \bf k } p ( { \bf k } ) / \rho - N ( \cos ^ { 2 } \theta ) { \bf u ( k ) } } \\ & { } & { - \nu k ^ { 2 } { \bf u ( k ) } + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) , } \\ { { \bf k \cdot u ( k ) } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle e _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } y } , f _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } x } \rangle _ { 2 } + \langle e _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } x } , f _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } y } \rangle _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l } { f _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } x } ^ { \top } } & { e _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } y } ^ { \top } } \end{array} \right] \Sigma \left[ \begin{array} { l } { f _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } y } } \\ { e _ { \partial , \mathcal { Q } _ { 0 } y } } \end{array} \right] . } \end{array}
\frac { ( 1 - \varepsilon ) m _ { t } } { \sqrt { 2 } f _ { \pi _ { t } } } \left[ i \bar { t } \gamma _ { 5 } t \pi _ { t } ^ { 0 } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bar { t } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) b \pi _ { t } ^ { + } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \bar { b } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) t \pi _ { t } ^ { - } \right] .
d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } = d \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d \mathbf { g } ^ { \prime } = \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } d \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert d \boldsymbol { \omega } \mathrm { , ~ w i t h ~ } \boldsymbol { \omega } = \frac { \mathbf { g } ^ { \prime } } { \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert } \mathrm { , }
\Phi ^ { \ell } ( t , \bar { t } , \psi ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } t _ { 0 n } ^ { \ell } ( t , \bar { t } , \psi ) = \frac { e ^ { - i \ell \psi } } { ( 1 - | t | ^ { 2 } ) ^ { \ell } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } b _ { n } t ^ { n } \equiv e ^ { - i \ell \psi } \varphi ( t , \bar { t } ) \,
\begin{array} { r l } { | | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } | | | _ { 1 } = } & { | | | \widehat { W } ^ { [ k ] } \widehat { \Theta } _ { w } ^ { [ k ] } \widehat { W } ^ { [ k ] } - W _ { 0 } ^ { [ k ] } \Theta _ { w 0 } ^ { [ k ] } W _ { 0 } ^ { [ k ] } | | | _ { 1 } } \\ { \leq } & { | | \widehat { W } ^ { [ k ] } | | _ { \infty } ^ { 2 } | | | \widehat { \Theta } _ { w } ^ { [ k ] } - \Theta _ { w 0 } ^ { [ k ] } | | | _ { 1 } + | | \widehat { W } ^ { [ k ] } - W _ { 0 } ^ { [ k ] } | | _ { \infty } | | | \Theta _ { w 0 } ^ { [ k ] } | | | _ { 1 } | | \widehat { W } ^ { [ k ] } | | _ { \infty } } \\ & { + | | W _ { 0 } ^ { [ k ] } | | _ { \infty } | | | \Theta _ { w 0 } ^ { [ k ] } | | | _ { 1 } | | \widehat { W } ^ { [ k ] } - W _ { 0 } ^ { [ k ] } | | _ { \infty } . } \end{array}
\left. { \frac { \mathrm { d } \Phi _ { B } } { \mathrm { d } t } } \right| _ { t = t _ { 0 } } = \left( \int _ { \Sigma ( t _ { 0 } ) } \left. { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } \right| _ { t = t _ { 0 } } \cdot \mathrm { d } \mathbf { A } \right) + \left( { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \int _ { \Sigma ( t ) } \mathbf { B } ( t _ { 0 } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { A } \right)
S _ { p } = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { D } ^ { 2 } } } \int d ^ { D } x \sqrt { - G } \left[ { \cal R } - { \frac { 4 } { D - 2 } } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 \cdot ( p + 2 ) ! } } e ^ { 2 a _ { p } \phi } F _ { p + 2 } ^ { 2 } \right] ,
{ \cal Z } _ { 1 } \approx { \frac { 1 } { 1 0 0 0 } } \left( { \small \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { - 0 . 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { 3 1 + 1 . 9 i } } & { { 0 } } & { { - 0 . 3 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \ddots } } \\ { { 0 } } & { { 4 5 - 2 . 6 i } } & { { 0 } } & { { - 0 . 5 } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { - 0 . 1 } } & { { 0 } } & { { 5 4 - 6 . 7 i } } & { { 0 } } & { { - 0 . 7 } } & { { \ddots } } \\ { { 0 } } & { { 0 . 1 5 } } & { { 0 } } & { { 6 3 + 7 . 7 i } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { \ddots } } & { { } } & { { \ddots } } \end{array} } \right) + { \cal O } ( 1 0 ^ { - 5 } )
\begin{array} { r l r } { \left< B _ { t , t + \tau } ^ { ( N ) } ( \Gamma _ { p } ) \right> } & { = } & { \frac { \left< w \right> } { \delta t } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Omega _ { t _ { i - 1 } , t _ { i } } ( \Gamma _ { p } ; 0 ) , } \\ & { \approx } & { \frac { \left< w \right> } { \delta t } \Omega _ { t , t + \tau } ( \Gamma _ { p } ; 0 ) , } \end{array}