harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \hat { \mu } ^ { 3 3 } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } - \hat { \mu } ^ { 3 3 } \sqrt { \hat { \mu } ^ { 3 3 } } \right) \left[ \frac { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } } \left( \lvert \eta \rvert _ { \tilde { \mu } } ^ { 2 } - \frac { \langle \tilde { \xi } , \eta \rangle _ { \tilde { \mu } } ^ { 2 } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } ^ { 2 } } \right) - \frac { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \mu } } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } } \left( \lvert \eta \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } ^ { 2 } - \frac { \langle \tilde { \xi } , \eta \rangle _ { \tilde { \varepsilon } } ^ { 2 } } { \lvert \tilde { \xi } \rvert _ { \tilde { \varepsilon } } ^ { 2 } } \right) \right] = 0 .
\hat { H } _ { 2 } = \sum _ { n } ( \mu \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + J _ { 1 } \hat { c } _ { n } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n + 1 } + \mathrm { H . c . } ) \otimes \sigma _ { x } + i \lambda \sum _ { n } ( i \hat { c } _ { n + 1 } ^ { \dagger } \hat { c } _ { n } + \mathrm { H . c . } ) \otimes \sigma _ { x } .
\boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } t _ { i } \left( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \right) \boldsymbol { G } _ { i } , \quad \boldsymbol { G } _ { i } = \boldsymbol { A } ^ { i - 1 } .
\begin{array} { r l } { | F _ { q } ( \boldsymbol { x } ) | } & { = | \ln \langle \boldsymbol { s } ^ { [ q ] } , \exp ( - r B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { n } ) \rangle | } \\ & { \ge \ln s _ { m ( { \theta } ) } ^ { [ q ] } \exp ( - r ( B ^ { \boldsymbol { \mathsf { T } } } \boldsymbol { n } ) _ { m ( { \theta } ) } ) } \\ & { \ge \tilde { c } _ { 2 } r - | \ln s _ { m ( { \theta } ) } ^ { [ q ] } | } \\ & { \ge c _ { 2 } r . } \end{array}
V = \frac { C _ { S _ { i } } ^ { 2 } } { 4 \pi \rho _ { 0 _ { i } } C _ { A _ { i } } \left( C _ { A _ { i } } ^ { 2 } - C _ { S _ { i } } ^ { 2 } \right) } \frac { 1 } { R _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { R _ { 0 } } { r \tilde { B } _ { \phi } ^ { 2 } d r } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { I n d e x } D \Upsilon ( w ) = \mathrm { I n d e x } L _ { w } = \mathrm { I n d e x } L _ { \mathrm { g l u e d } } + \sum _ { i = 0 } ^ { k } \mathrm { I n d e x } L _ { w _ { ( i - 1 ) i ^ { + } } } } \\ & { = } & { n - \sum _ { i = 1 } ^ { k } \mu ( [ w _ { ( i - 1 ) i } ^ { + } , \gamma _ { i } ] ; \alpha _ { ( i - 1 ) i } ) . } \end{array}
D _ { \alpha } ( p ) = 4 \pi \sqrt { p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } + 4 m ^ { 2 } ) } \left[ \ln \frac { \sqrt { p ^ { 2 } + 4 m ^ { 2 } } + \sqrt { p ^ { 2 } } } { \sqrt { p ^ { 2 } + 4 m ^ { 2 } } - \sqrt { p ^ { 2 } } } \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { { \mathcal { L } } _ { 0 } ( k ) = \frac { n - \delta - { \widetilde { \delta } } } { n } k + \delta } & { = k + ( - \delta - { \widetilde { \delta } } ) \frac { k } { n } + \delta = k + \big ( - \delta - \frac { ( 1 - \delta ) \delta } { n } \big ) \frac { k } { n } + \delta } \\ & { = k + \Big ( - \frac { k } { n } - \frac { ( 1 - \delta ) } { n } \frac { k } { n } + 1 \Big ) \delta = k + \frac { - k n - ( 1 - \delta ) k + n ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \delta \ge k , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } ( t ) } & { = \mu _ { i } ( 0 ) + \sum _ { j } \mu _ { i j } ^ { ( 1 ) } ( t ) \mathcal { E } _ { j } + \sum _ { j k } \mu _ { i j k } ^ { ( 2 ) } ( t ) \mathcal { E } _ { j } \mathcal { E } _ { k } + \sum _ { j k l } \mu _ { i j k l } ^ { ( 3 ) } ( t ) \mathcal { E } _ { j } \mathcal { E } _ { k } \mathcal { E } _ { l } } \\ & { + \sum _ { j k l m } \mu _ { i j k l m } ^ { ( 4 ) } ( t ) \mathcal { E } _ { j } \mathcal { E } _ { k } \mathcal { E } _ { l } \mathcal { E } _ { m } + \sum _ { j k l m n } \mu _ { i j k l m n } ^ { ( 5 ) } ( t ) \mathcal { E } _ { j } \mathcal { E } _ { k } \mathcal { E } _ { l } \mathcal { E } _ { m } \mathcal { E } _ { n } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { K } ( t ) } & { { } \sim 1 0 ^ { - 4 } M } \\ { C _ { C a } ( t ) } & { { } \sim 1 0 ^ { - 2 } \times 1 0 ^ { - 3 } = 1 0 ^ { - 5 } M } \\ { C _ { K - C a } ( t ) } & { { } \sim 1 0 ^ { - 2 } \times ( 1 0 0 \times 1 0 ^ { 6 } ) \times 1 0 ^ { - 4 } \times 1 0 ^ { - 6 } M = 1 0 ^ { - 4 } M } \\ { C _ { K - C a - C a } ( t ) } & { { } \sim 1 0 ^ { - 4 } \times ( 1 0 0 \times 1 0 ^ { 6 } ) ^ { 2 } \times 1 0 ^ { - 4 } \times 1 0 ^ { - 1 2 } \times 1 0 ^ { - 1 } M = 1 0 ^ { - 5 } M } \\ { C _ { K - C a - C a - C a } ( t ) } & { { } \sim 1 0 ^ { - 6 } \times ( 1 0 \times 1 0 ^ { 6 } ) \times ( 1 0 0 \times 1 0 ^ { 6 } ) ^ { 2 } \times 1 0 ^ { - 4 } \times 1 0 ^ { - 1 8 } \times 1 0 ^ { - 1 } M = 1 0 ^ { - 6 } M } \\ { C _ { K - C a - C a - C a - C a } ( t ) } & { { } \sim 1 0 ^ { - 8 } \times ( 1 0 \times 1 0 ^ { 6 } ) ^ { 2 } \times ( 1 0 0 \times 1 0 ^ { 6 } ) ^ { 2 } \times 1 0 ^ { - 4 } \times 1 0 ^ { - 2 4 } \times 1 0 ^ { - 2 } M = 1 0 ^ { - 8 } M } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { i r n ^ { b } J b } J ^ { a } e ^ { - i r n ^ { b } J ^ { b } } = } & { \operatorname { A d } \left( e ^ { i r n ^ { b } J ^ { b } } \right) ( J ^ { a } ) = e ^ { \operatorname { a d } ( i r n ^ { b } J ^ { b } ) } J ^ { a } = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } ( - r V _ { n } ) ^ { k } \right) ^ { a b } J ^ { b } } \\ { = } & { \left( \mathbb { 1 } - \left( r - \frac { 1 } { 3 ! } r ^ { 3 } + \frac { 1 } { 5 ! } r ^ { 5 } \mp \ldots \right) V _ { n } - \left( - 1 + 1 - \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ^ { 1 } } r ^ { 4 } \mp \ldots \right) V _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { a b } J ^ { b } } \\ { = } & { \left( \mathbb { 1 } - \sin ( r ) V _ { n } + ( 1 - \cos ( r ) ) V _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { a b } J ^ { b } } \\ { = } & { \left( \delta ^ { a b } - \sin ( r ) n ^ { c } \epsilon ^ { c a b } + ( 1 - \cos ( r ) ) \left( n ^ { a } n ^ { b } - \delta ^ { a b } \right) \right) J ^ { b } } \\ { = } & { J ^ { a } \cos ( r ) + \epsilon ^ { a b c } n ^ { b } J ^ { c } \sin ( r ) + n ^ { a } n ^ { b } J ^ { b } ( 1 - \cos ( r ) ) . } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } - \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ( \mathrm { y _ { A } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } - x A \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \{ u _ { 2 } , u _ { 3 } , u _ { 5 } \} = } & { - \frac { 2 1 0 4 0 3 3 9 6 8 } { 1 3 1 1 5 } u _ { 4 } ^ { 3 } + \frac { 4 5 9 4 2 6 5 1 4 8 4 2 } { 2 0 7 8 7 2 7 5 } u _ { 4 } u _ { 1 } ^ { 2 } u _ { 2 } - \frac { 3 4 0 7 0 8 0 6 7 6 4 } { 2 0 7 8 7 2 7 5 } u _ { 1 } ^ { 3 } u _ { 4 } - \frac { 7 8 7 1 2 4 9 4 1 4 7 } { 1 6 6 2 9 8 2 0 } u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 4 } } \\ & { + \frac { 1 3 9 6 5 1 6 6 2 6 } { 3 4 0 7 7 5 } u _ { 1 } u _ { 4 } u _ { 3 } - \frac { 3 7 2 6 0 1 1 4 3 7 2 } { 2 0 7 8 7 2 7 5 } u _ { 1 } u _ { 5 } u _ { 4 } - \frac { 4 9 8 1 2 5 7 } { 4 3 0 } u _ { 2 } u _ { 4 } u _ { 3 } - \frac { 5 6 7 2 3 4 9 } { 1 3 1 1 5 } u _ { 2 } u _ { 5 } u _ { 4 } , } \end{array}
{ \frac { \partial \Gamma _ { \mathrm { r e n } } ( m , \rho , \mu ) } { \partial m ^ { 2 } } } = \int d ^ { 4 } x \operatorname * { l i m } _ { y \to x } \mathrm { t r } [ G ( x , y ; m ^ { 2 } ) - a _ { 0 } ( x , y ) G _ { 0 } ( x , y ; m ^ { 2 } ) ] ,
\Sigma _ { p q } ^ { \mathrm { c , o u t } } ( \omega ) = \sum _ { j k } ^ { \mathrm { o u t } } \sum _ { i } \frac { \langle p i | | j k \rangle \langle q i | | j k \rangle } { \omega + \epsilon _ { i } - ( \epsilon _ { j } + \epsilon _ { k } ) - i \eta } + \sum _ { b c } ^ { \mathrm { o u t } } \sum _ { a } \frac { \langle p a | | b c \rangle \langle q a | | b c \rangle } { \omega + \epsilon _ { a } - ( \epsilon _ { b } + \epsilon _ { c } ) + i \eta } ,
n = n _ { J } \left[ 1 - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } \left( \frac { 2 0 } { 9 } T ^ { 2 } + \frac { 2 } { 9 } T \frac { K _ { 1 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } { K _ { 2 } \left( \frac { 1 } { T } \right) } \right) \right] .
\frac { 1 } { \log \log n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { u ^ { T } S _ { k } S _ { k } ^ { T } u } { ( k \log k ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \log \log n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { w ^ { T } W _ { k } \mathcal { L } _ { k } ( u ) \mathcal { L } _ { k } ( u ) ^ { T } W _ { k } ^ { T } w } { k \log k } \to \frac { ( 2 \beta + 1 ) ^ { 2 } } { d } u ^ { T } u
\kappa _ { + } = r _ { K ^ { + } } \frac { 3 \alpha ^ { 2 } B ( K ^ { + } \to \pi ^ { 0 } e ^ { + } \nu ) } { 2 \pi ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \Theta _ { W } } \lambda ^ { 8 } = 4 . 1 1 \cdot 1 0 ^ { - 1 1 }
R = k ^ { 2 } \frac { 3 \gamma - k ^ { 2 } \widetilde { d } ^ { 2 } } { 9 } , ~ ~ U = k ^ { 4 } \widetilde { d } ~ \frac { 2 k ^ { 2 } \widetilde { d } ^ { 2 } - 9 \left( \gamma - 3 \right) } { 5 4 } .
g _ { \mu \nu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { - \left( 1 - { \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \left( 1 - { \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { r ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \end{array} \right] } \, .
\int d ^ { 2 } x \; \left\{ t r ( \frac { 1 } { 2 } \partial _ { + } \Phi \partial _ { - } \Phi - A _ { + } \partial _ { - } \Phi ) - \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } h _ { j } t r ( \partial _ { - } \Phi ) ^ { j + 2 } \right\} .
\tilde { E } _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { E _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { E _ { \mathrm { p o l o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) + E _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ~ ~ ~ ~ E _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \sum _ { \omega } ~ E _ { \mathrm { w a v e } } ( k _ { h } , k _ { z } , \omega ) .
\frac { \partial \widetilde { \textbf { f } } _ { 2 } ^ { e q } } { \partial \textbf { U } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] - \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \widetilde { \lambda } _ { 3 } } } \end{array} \right] \frac { \partial \textbf { G } } { \partial \textbf { U } }
\phi \frac { \partial c } { \partial t } + \left( \frac { f _ { a } } { s } { { \bf v } } + \frac { D } { s } \frac { \partial p _ { c } } { \partial s } { \bf \nabla } s + \frac { D } { s } \frac { \partial p _ { c } } { \partial \Gamma } { \bf \nabla } \Gamma \right) \cdot { \bf \nabla } c = g _ { c } ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 7 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 6 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 5 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P r o b } \{ | L ( E , 1 , \chi ) | = 0 \} } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { B ( \mathrm { c o n d } ( \chi ) ) } 2 ^ { 1 / 4 } a _ { E } ( - 1 / 2 ) G ^ { 2 } ( 1 / 2 ) \log ^ { 1 / 4 } ( X ) \, d x } \\ & { = } & { 2 ^ { 1 / 4 } a _ { E } ( - 1 / 2 ) G ^ { 2 } ( 1 / 2 ) \log ^ { 1 / 4 } ( X ) B ( \mathrm { c o n d } ( \chi ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { e \dot { \varpi } _ { b } } & { { } = \frac { { \cal E } _ { 0 } } { e \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \Bigg \{ \frac { 1 } { 1 6 } \, y z \, b ( - k n ) \bigg [ 2 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) ( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } ) ^ { 2 } k \left( 1 - e ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \bigl ( \nabla ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l } ) \circ X _ { m - 1 , l } ^ { - 1 } \bigr ) } \qquad } & { } \\ & { = \bigl ( \partial _ { t } \nabla ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l } ) \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l } ^ { - 1 } } \\ & { = \bigl ( \nabla \partial _ { t } ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l } ) \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l } ^ { - 1 } } \\ & { = \bigl ( \nabla \bigl ( \bigl ( \partial _ { t } T _ { m - 1 } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla T _ { m - 1 } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l } \bigr ) \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l } ^ { - 1 } } \\ & { = \bigl ( \nabla X _ { m - 1 , l } \circ X _ { m - 1 , l } ^ { - 1 } \bigr ) \nabla \bigl [ \nabla \cdot \bigl ( \bigl ( \mathbf { K } _ { m } + \mathbf { s } _ { m - 1 } \bigr ) \nabla T _ { m - 1 } + \mathbf { e } _ { m - 1 } \bigr ) \bigr ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { M ( { a } _ { 0 } , \lambda _ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } { a } _ { 0 } ^ { 2 } Q ( { a } _ { \infty } , \lambda _ { \infty } ) = M ( { a } _ { \infty } , \lambda _ { \infty } ) - \frac { 1 } { 2 } { a } _ { \infty } ^ { 2 } Q ( { a } _ { \infty } , \lambda _ { \infty } ) , } \\ & { G ( { a } _ { 0 } , \lambda _ { 0 } ) = G ( { a } _ { \infty } , \lambda _ { \infty } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \mu } ( n _ { \pm } u _ { \pm } ^ { \mu } ) } & { { } = } & { 0 , } \\ { \partial _ { \nu } ( h _ { \pm } u _ { \pm } ^ { \mu } u _ { \pm } ^ { \nu } } & { { } + } & { p _ { \pm } \eta ^ { \mu \nu } ) = f _ { \pm } ^ { \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { i } } & { = \mu _ { a , i } ^ { \alpha } { C ^ { \alpha } } _ { a b } ^ { - 1 } \left( { d _ { b } - \mu _ { b } ^ { \alpha } } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } ( d _ { a } - \mu _ { a } ^ { \alpha } ) { C ^ { \alpha } } _ { a b } ^ { - 1 } { C ^ { \alpha } } _ { b c , i } { C ^ { \alpha } } _ { c d } ^ { - 1 } ( d _ { d } - \mu _ { d } ^ { \alpha } ) - \frac { 1 } { 2 } { C ^ { \alpha } } _ { a b } ^ { - 1 } { C ^ { \alpha } } _ { b a , i } } \end{array}
\frac { i \gamma \cdot ( x _ { 2 } p ) } { ( x _ { 2 } p ) ^ { 2 } + i \epsilon } \longrightarrow \frac { i \gamma \cdot n } { 2 x _ { 2 } p \cdot n } \left[ \frac { x _ { 2 } - x _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } + i \epsilon } \right]
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { \widehat f ( x _ { 0 } ) : \, \operatorname* { s u p } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } \operatorname { V a r } _ { f } ( \widehat f ( x _ { 0 } ) ) \leq V } \, \operatorname* { s u p } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } \, \operatorname { B i a s } _ { f } \big ( \widehat f ( x _ { 0 } ) \big ) ^ { 2 } \geq \Big ( \frac { \gamma _ { \mathrm { L o w } } ( R , \beta ) } { n V } \Big ) ^ { 2 \beta } , } \end{array}
{ R _ { i } } \left( { { { \bar { u } } _ { i } } , \bar { p } } \right) = \frac { { \partial { { \bar { u } } _ { i } } } } { { \partial t } } + \frac { { \partial \left( { { { \bar { u } } _ { i } } { { \bar { u } } _ { j } } } \right) } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial \bar { p } } } { { \partial { x _ { i } } } } - \nu \frac { { { \partial ^ { 2 } } { { \bar { u } } _ { i } } } } { { \partial { x _ { j } } \partial { x _ { j } } } } - { \overline { { \mathcal F } } _ { i } } + \frac { { \partial { \tau _ { i j } } } } { { \partial { x _ { j } } } } = 0 ,
\operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } ( x _ { m } ^ { ( 1 ) } , y _ { m } ^ { ( 1 ) } ) = ( 0 , { f } _ { 5 , \mathrm { s h } } ( 0 ) ) \, , \qquad \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } | \psi _ { x x } ( x _ { m } ^ { ( 1 ) } , y _ { m } ^ { ( 1 ) } ) | = \frac { 1 } { \gamma + 1 } \, .
h ^ { 2 } q _ { t } + 2 i \frac { \partial ( \psi , q ) } { \partial ( \zeta , \bar { \zeta } ) } = 0 , \; \; \; \; q = \nabla _ { L B } ^ { 2 } \psi , \; \; \; \; h = \frac { 2 } { 1 + \zeta \bar { \zeta } }
\frac { C _ { 8 } H _ { a } ( x ) } { \tilde { \eta } ( \tilde { r } = 0 , \tilde { t } ) } \frac { \partial ^ { 2 } \langle \tilde { P } \rangle ( \tilde { r } = 0 , \tilde { t } ) } { \partial \tilde { r } ^ { 2 } } + C _ { 9 } = 0 \mathrm { ~ и ~ } \frac { C _ { 8 } H _ { a } ( x ) } { \tilde { \eta } ( \tilde { r } = \tilde { R } , \tilde { t } ) } \frac { \partial ^ { 2 } \langle \tilde { P } \rangle ( \tilde { r } = \tilde { R } , \tilde { t } ) } { \partial \tilde { r } ^ { 2 } } + C _ { 9 } = 0 .
\varepsilon = \left( \frac { 2 7 ^ { 2 } \hat { v } ^ { 6 } \hat { A } ^ { 1 1 } } { 4 ^ { 2 } \hat { H } ^ { 8 } \hat { S } ^ { 6 } \hat { F } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 1 2 } .
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { c i n q u e f o i l } } ( \rho , \phi ) = } & { e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } } } \bigr ( 1 + \rho ^ { 2 } - 2 \rho ^ { 4 } - 2 \rho ^ { 6 } + \rho ^ { 8 } \rho ^ { 1 0 } } \\ & { - 1 6 \rho ^ { 5 } \bigr ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \bigr ) - 8 \rho ^ { 5 } ( a - b ) ^ { 2 } e ^ { - i 5 \phi } } \\ & { - 8 \rho ^ { 5 } ( a + b ) ^ { 2 } e ^ { i 5 \phi } \bigr ) } \end{array}
\frac { \partial \hat { Q } } { \partial \mathcal { T } } + \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \hat { \mathbf { E } _ { e } } - \hat { \mathbf { E } _ { v } } \right) + \frac { \partial } { \partial \eta } \left( \hat { \mathbf { F } _ { e } } - \hat { \mathbf { F } _ { v } } \right) + \frac { \partial } { \partial \zeta } \left( \hat { \mathbf { G } _ { e } } - \hat { \mathbf { G } _ { v } } \right) = 0 \, \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r l } { c ( t ) : = } & { \parallel \! \Phi _ { B } ( Y ( t ) \sigma Y ( t ) ^ { * } ) \! \parallel _ { L _ { 1 } ^ { \infty } ( { \mathcal R } \subset { \mathcal { B } } , \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ) } } \\ { = } & { \operatorname* { i n f } _ { \gamma } \parallel \! \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { B } ^ { \frac { - 1 } { 2 } } \gamma ^ { \frac { - 1 - i t } { 2 } } \Phi _ { B } \Big ( \Phi _ { A } ^ { \dag } \big ( \rho _ { A } ^ { \frac { 1 + i t } { 2 } } \sigma _ { A } ^ { \frac { - 1 - i t } { 2 } } \big ) \sigma \Phi _ { A } ^ { \dag } \big ( \sigma _ { A } ^ { \frac { - 1 + i t } { 2 } } \rho _ { A } ^ { \frac { 1 - i t } { 2 } } \big ) \Big ) \gamma ^ { \frac { - 1 + i t } { 2 } } \sigma _ { B } ^ { \frac { - 1 } { 2 } } \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \! \parallel _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { M ^ { \pm } } _ { 5 } ^ { \rho \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = N _ { c } \frac { e _ { 1 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \mathrm { { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { 1 } } \gamma ^ { \mu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { 1 } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { 2 } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \gamma ^ { \nu } \right] } \\ & { } & { + N _ { c } \frac { e _ { 2 } g _ { W } V _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } { \mathrm { T r } } \left[ \frac { i } { p \! \! \! / - m _ { 2 } } ( 1 - \gamma ^ { 5 } ) \gamma ^ { \nu } \frac { i } { p \! \! \! / + k \! \! \! / _ { 2 } - m _ { 1 } } i \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { 5 } \frac { i } { p \! \! \! / - k \! \! \! / _ { 1 } - m _ { 2 } } \gamma ^ { \mu } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \gamma _ { 2 } ^ { - } = c _ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { q } { \binom { q } { j } } ( 1 - v ) ^ { q - j } v ^ { j } \times } \\ { \sum _ { k = 0 } ^ { q - j } { \binom { q - j } { k } } ( 1 - c _ { 2 } ) ^ { q - j - k } c _ { 2 } ^ { k } e _ { k , q } \sum _ { k = 0 } ^ { j } { \binom { j } { k } } ( 1 - c _ { 0 } ) ^ { j - k } c _ { 0 } ^ { k } e _ { k , q } , } \end{array}
d _ { m ^ { \prime } m } ^ { j } ( \beta ) = [ ( j + m ^ { \prime } ) ! ( j - m ^ { \prime } ) ! ( j + m ) ! ( j - m ) ! ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { s = s _ { \mathrm { m i n } } } ^ { s _ { \mathrm { m a x } } } \left[ { \frac { ( - 1 ) ^ { m ^ { \prime } - m + s } \left( \cos { \frac { \beta } { 2 } } \right) ^ { 2 j + m - m ^ { \prime } - 2 s } \left( \sin { \frac { \beta } { 2 } } \right) ^ { m ^ { \prime } - m + 2 s } } { ( j + m - s ) ! s ! ( m ^ { \prime } - m + s ) ! ( j - m ^ { \prime } - s ) ! } } \right] .
\psi ^ { I } ( \rho , z ) \approx \ \int _ { 0 } ^ { k _ { r } } \frac { S ( \beta _ { r } ) } { \tau ( \beta _ { 1 } ) } J _ { 0 } ( \rho \sqrt { k _ { r } ^ { 2 } - \beta _ { r } ^ { 2 } } \, ) e ^ { i \beta _ { 1 } } d \beta _ { r }
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ - ~ p ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ p ~ o ~ l ~ ) ~ } } } & { { } = } & { - \sum _ { j } \hat { S } \left( w _ { j } ^ { x } \sigma _ { x } ^ { \prime } + w _ { j } ^ { y } \sigma _ { y } ^ { \prime } \right) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) \hat { S } ^ { \dagger } } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ } } ^ { I } = \frac { t } { 2 m _ { I } } \left\langle \nabla _ { \textbf { r } _ { I } } \Psi ^ { I } | \nabla _ { \textbf { r } _ { I } } \Psi ^ { I } \right\rangle + \frac { 1 - t } { 2 m _ { I } } \left\langle \Psi ^ { I } | \left( \textbf { P } ^ { I } \right) ^ { 2 } | \Psi ^ { I } \right\rangle ,
d ^ { 2 } = \left\langle \Delta \left( l n f ^ { e q } \right) \cdot \Delta f ^ { e q } \right\rangle = \left\langle l n \frac { f _ { R } ^ { e q } } { f _ { L } ^ { e q } } ( f _ { R } ^ { e q } - f _ { L } ^ { e q } ) \right\rangle
\begin{array} { r } { \rho ( t ) = \sum _ { m , n = 0 } ^ { \infty } M _ { m , n } ^ { \mathrm { ~ P ~ D ~ } } ( t ) \rho ( 0 ) { M _ { m , n } ^ { \mathrm { ~ P ~ D ~ } } } ^ { \dagger } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { F } _ { | I | } ^ { ( 1 ) j } ( x ( z ) ; I \setminus u _ { j } ) } & { = \lambda ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { d } D _ { I \setminus u _ { j } } \frac { \Omega _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( \hat { z } ^ { k } , u _ { j } ) } { ( x ( u _ { j } ) + y ( \hat { z } ^ { k } ) ) ( x ( z ) + y ( u _ { j } ) ) ^ { 2 } } } \\ & { + \operatorname* { l i m } _ { v \to u _ { j } } ( x ( v ) - x ( u _ { j } ) ) D _ { I } \frac { \hat { H } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ( v ) ; z ) } { H _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( x ( v ) ; z ) } \; . } \end{array}
\left( \mathbf { U } ^ { \dagger } \mathbf { A } \mathbf { U } \right) ^ { \dagger } = \operatorname { d i a g } \left( \alpha _ { 1 } ^ { * } , \ldots , \alpha _ { m } ^ { * } \right) = \mathbf { U } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { U } = \operatorname { d i a g } \left( { \frac { 1 } { \alpha _ { 1 } } } , \ldots , { \frac { 1 } { \alpha _ { m } } } \right)
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { e } u \| _ { C ^ { m + 1 , \alpha } ( B _ { 1 / 2 } ) } } & { \le C \bigg ( \| \partial _ { e } u \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 3 / 4 } ) } + \| \partial _ { e } f \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \| \partial _ { e } a _ { i j } \partial _ { i j } u \| _ { C ^ { m - 1 , \alpha } ( B _ { 3 / 4 } ) } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { L } } & { { } = \cos \left( \Theta _ { i } + \frac { \pi } { 2 } \right) \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { l _ { L } } & { { } = \sin \left( \Theta _ { i } + \frac { \pi } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Delta U - \omega _ { u } ^ { 2 } \, U = 0 \, , \quad { \bf x } \in \Omega \setminus \{ { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { m } \} \, ; \qquad \partial _ { n } U = 0 \, , \quad { \bf x } \in \partial \Omega \, ; } \\ & { } & { U \sim A _ { j } ^ { u } \log | { \bf x } - { \bf x } _ { j } | + \frac { A _ { j } ^ { u } } { \nu } + \frac { 1 } { d _ { 1 } ^ { u } } ( D _ { u } A _ { j } ^ { u } + d _ { 2 } ^ { u } \mu _ { j } ) \, , \quad \mathrm { a s } \quad { \bf x } \to { \bf x } _ { j } \, , \qquad j \in \lbrace { 1 , \ldots , m \rbrace } \, , } \end{array}