harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tau _ { \perp } ( k ) } & { { } = ( \nu k ^ { 2 } + 1 2 \nu / h ^ { 2 } \kappa ) ^ { - 1 } , } \\ { \tau _ { \parallel } ( k ) } & { { } = ( \nu _ { \mathrm { L } } k ^ { 2 } / 2 + 6 \nu / h ^ { 2 } \kappa ) ^ { - 1 } . } \end{array}
f ( N _ { 1 } , N _ { 2 } , \ldots , N _ { n } ) = \alpha N + \beta E + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( N _ { i } \ln g _ { i } - N _ { i } \ln N _ { i } + N _ { i } - ( \alpha + \beta \varepsilon _ { i } ) N _ { i } \right)
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { \ell } ^ { \mathrm { \, s } } ( z ) = - \frac { i k _ { \mathrm { m } } \, e ^ { i k _ { \mathrm { m } } ( z - z _ { \ell } ) } } { z - z _ { \ell } } \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \! \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \, \! \, \, \! \, \, \! \! \vec { \mathcal { E } } _ { \ell , 0 } ^ { \mathrm { \, s } } ( 0 , 0 ) . } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } x _ { 2 } ( t ) = { \frac { d } { d t } } x _ { 1 } ( t - t _ { 0 } ) = { \frac { d } { d s } } x _ { 1 } ( s ) = f ( x _ { 1 } ( s ) ) = f ( x _ { 2 } ( t ) )
p ( \varrho ) = \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } \varrho + ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } \varrho ^ { 2 } ) \varrho \ge \alpha _ { 0 } + \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } \; ,
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \log \mathcal { T } ( g ^ { T \bar { M } } , h ^ { \bar { F } } , \nabla ^ { \bar { F } } ) ( T ) } \\ & { = \log \mathcal { T } _ { \mathrm { a b s } } ( g ^ { T M _ { 1 } } , h ^ { F _ { 1 } } , \nabla ^ { F _ { 1 } } ) + \log \mathcal { T } _ { \mathrm { r e l } } ( g ^ { T M _ { 2 } } , h ^ { F _ { 2 } } , \nabla ^ { F _ { 2 } } ) + \chi ( Y ) \mathrm { r a n k } ( F ) \tilde { \zeta } _ { T } ^ { \prime } ( 0 ) / 2 + o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial x ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial y ^ { 2 } } - \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { y } ^ { h } } { \partial z ^ { 2 } } + u _ { x } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial x } + u _ { y } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial y } + u _ { z } ^ { h } \frac { \partial u _ { y } ^ { h } } { \partial z } + \frac { \partial p ^ { h } } { \partial y } + \right. } \\ { \left. \frac { C _ { p e n } ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } ( u _ { y } ^ { h } - g _ { y } ) \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) = f _ { y } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { y } } \in \partial \Omega } \end{array}
\dot { \bf z } _ { M } = \left\{ \begin{array} { l l } { { N ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \left( { \bf p } _ { j \mathrm { T } _ { j } } / r _ { j } m _ { j } \right) \qquad \mathrm { I ~ t y p e ~ c o n f i g u r a t i o n } } } & { { } } \\ { { { \bf p } _ { l } / m _ { l } \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \mathrm { ~ I I ~ t y p e ~ c o n f i g u r a t i o n } : { \bf z } _ { M } \equiv { \bf z } _ { l } , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { = } & { { } { \langle { Y } | { Y } \rangle } - { \langle { Y } | } \hat { O } { | { X } \rangle } - { \langle { X } | } \hat { O } ^ { \dagger } { | { Y } \rangle } + { \langle { X } | } \hat { O } ^ { \dagger } \hat { O } { | { X } \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E ( \{ ^ { 1 } \Gamma _ { p q } \} ) = \sum _ { p q } { ^ { 1 } \Gamma } _ { p q } \, h _ { q p } + \frac { 1 } { 2 } \; \sum _ { p q r s } \left( { ^ { 1 } \Gamma _ { p r } } { ^ { 1 } \Gamma _ { q s } } - { ^ { 1 } \Gamma _ { p s } } { ^ { 1 } \Gamma _ { q r } } \right) g _ { r s p q } + \operatorname* { m i n } _ { \{ { ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { p q r s } } \} \to \{ ^ { 1 } \Gamma _ { p q } \} } \; \sum _ { p q r s } { ^ { 2 } \mathfrak { G } _ { p q r s } } \, g _ { r s p q } \, , } \end{array}
( \frac { L } { 2 } , \frac { L } { 2 } , \frac { L } { 2 } ) \otimes ( \frac { L } { 2 } , \frac { L } { 2 } , - \frac { L } { 2 } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { L } ( n , n , 0 )
P ^ { \curvearrowright } ( k , \tau ) = \frac { \sum _ { t , i } ( 1 - \delta _ { \sigma _ { i } ^ { t + 1 } \sigma _ { i } ^ { t } } ) \prod _ { \Delta = 0 } ^ { \tau + 1 } \delta _ { \sigma _ { i } ^ { t } \sigma _ { i } ^ { t - \Delta } } ( 1 - \delta _ { \sigma _ { i } ^ { t } \sigma _ { i } ^ { t - \tau } } ) \delta _ { n _ { i } ^ { t } k } } { \sum _ { t , i } \prod _ { \Delta = 0 } ^ { \tau + 1 } \delta _ { \sigma _ { i } ^ { t } \sigma _ { i } ^ { t - \Delta } } ( 1 - \delta _ { \sigma _ { i } ^ { t } \sigma _ { i } ^ { t - \tau } } ) \delta _ { n _ { i } ^ { t } k } } .
\begin{array} { c } { \dot { q } ^ { n } = \frac { \partial H } { \partial p _ { n } } + u ^ { m } \frac { \partial \phi _ { m } } { \partial p _ { n } } } \\ { - \frac { \partial L } { \partial q ^ { n } } | _ { \dot { q } } = \frac { \partial H } { \partial q ^ { n } } | _ { p } + u ^ { m } \frac { \partial \phi _ { m } } { \partial q ^ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \mathrm { C O H } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) [ v ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) - W ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) ] } \\ & { \approx - \left( 1 - \epsilon _ { \infty } ^ { - 1 } \right) \frac { 1 } { 2 } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) v ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { x ^ { \prime } = y + x - i \xi \sigma \bar { \theta } + i \theta \sigma \bar { \xi } ~ } } & { { ~ \theta ^ { \prime } = \xi + \theta ~ } } & { { ~ \bar { \theta } ^ { \prime } = \bar { \xi } + \bar { \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } ( t ) = - \sum _ { \langle i , j \rangle , \sigma } v _ { i j } ( t ) \hat { c } _ { i \sigma } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j \sigma } + U \sum _ { j } \hat { n } _ { j \uparrow } \hat { n } _ { j \downarrow } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t } & { { } = { \frac { c } { \alpha } } \operatorname { a r c t a n h } \left( { \frac { c T } { X } } \right) \; { \overset { X \, \gg \, c T } { \approx } } \; { \frac { c ^ { 2 } T } { \alpha X } } } \\ { X } & { { } \approx { \frac { c ^ { 2 } T } { \alpha t } } \; { \overset { T \, \approx \, t } { \approx } } \; { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v } \mathbf { r } _ { v } \rangle } \end{array} \right) , } \\ { \mathbf { A } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } & { = \left( \begin{array} { l l } { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { u v } \rangle } \\ { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v u } \rangle } & { \langle \mathbf { n } _ { t } , \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) \mathbf { r } _ { v v } \rangle } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { 2 r _ { c } } \right) \frac { d } { d s } \left[ \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { 2 r _ { c } } \right) \right] - 1 = 0 \Rightarrow \frac { d } { d s } \left[ \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { 2 r _ { c } } \right) \right] ^ { 2 } - 2 = 0 \Rightarrow } \\ & { \left[ \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { 2 r _ { c } } \right) \right] ^ { 2 } - \left[ \ln \left( \frac { r _ { 0 } ( 0 ) } { 2 r _ { c } ( 0 ) } \right) \right] ^ { 2 } = 2 \left( s - s ( 0 ) \right) = - 2 \ln \left( \frac { r _ { 0 } } { r _ { 0 } ( 0 ) } \right) } \end{array}
\bar { D } ^ { \dot { \alpha } } J _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { 0 } = \frac { 1 } { 3 } D _ { \alpha } \left\{ \left[ 3 { \cal W } - \sum _ { i } S _ { i } \, \frac { \partial { \cal W } } { \partial S _ { i } } \right] - \left[ \frac { b } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \mathrm { T r } \, W ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i } \gamma _ { i } Z _ { i } \bar { D } ^ { 2 } \left( { S _ { i } } ^ { \dagger } e ^ { V } S _ { i } \right) \right] \right\}
E _ { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } , 3 z ^ { 2 } - r ^ { 2 } } = { \sqrt { 3 } } \left[ ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) [ n ^ { 2 } - ( l ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) / 2 ] V _ { d d \sigma } / 2 + n ^ { 2 } ( m ^ { 2 } - l ^ { 2 } ) V _ { d d \pi } + [ ( 1 + n ^ { 2 } ) ( l ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) / 4 ] V _ { d d \delta } \right]
\begin{array} { l } { p ( k ) = \frac { ( k + 1 ) ^ { 1 - \lambda _ { k } } - k ^ { 1 - \lambda _ { k } } } { ( D _ { k } + 1 ) ^ { 1 - \lambda _ { k } } - d _ { k } ^ { 1 - \lambda _ { k } } } , } \\ { p ( m ) = \frac { ( m + 1 ) ^ { 1 - \lambda _ { m } } - m ^ { 1 - \lambda _ { m } } } { ( D _ { m } + 1 ) ^ { 1 - \lambda _ { m } } - d _ { m } ^ { 1 - \lambda _ { m } } } . } \end{array}
Z _ { \mathrm { Q C D } } ( T ) \; = \; \int { \cal D } A _ { \mu } ^ { a } \exp \left( - \int _ { 0 } ^ { \beta } d \tau \int d ^ { 3 } x { \frac { 1 } { 4 } } G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \mu \nu } ^ { a } \right) ,
\begin{array} { r l } { f _ { r } } & { { } = e ^ { - \alpha U t } \left( W _ { 1 } S _ { 1 } - W _ { 2 } S _ { 2 } - \alpha L _ { 2 } \right) } \\ { f _ { i } } & { { } = e ^ { - \alpha U t } \left( W _ { 1 } S _ { 2 } + W _ { 2 } S _ { 1 } + \alpha L _ { 1 } \right) } \\ { g _ { r } } & { { } = g _ { i } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { R e g } _ { \Lambda _ { 0 } } ( T ) + \mathrm { R e g } _ { \Lambda _ { j } } ( T ) \geq \frac { T } { 2 } \epsilon ^ { \mu } \cdot \frac { 1 } { 2 } \exp \{ - \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { 1 } , \mathbb { P } _ { j } ) \} } \\ { \Longleftrightarrow \quad } & { \frac { \ln \left( \mathrm { R e g } _ { \Lambda _ { 0 } } ( T ) + \mathrm { R e g } _ { \Lambda _ { j } } ( T ) \right) } { \ln T } \geq 1 + \frac { \operatorname* { m i n } \{ \epsilon ^ { \mu } , \epsilon _ { j } ^ { \mu } \} / 4 } { \ln T } - \frac { \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { 1 } , \mathbb { P } _ { j } ) } { \ln T } } \\ { \overset { ( * ) } { \Longrightarrow } \quad } & { \frac { \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { 1 } , \mathbb { P } _ { j } ) } { \ln T } \geq 1 } \\ { \Longleftrightarrow \quad } & { \frac { \sum _ { i \in P _ { j } } \mathbb { E } _ { 0 } [ N _ { i } ( T ) ] } { \ln T } \geq \frac { 1 } { \mathrm { K L } \big ( \nu _ { P _ { j } } ^ { ( 0 ) } , \nu _ { P _ { j } } ^ { ( j ) } \big ) } = \frac { K ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( \epsilon ^ { \mathrm { v } } ) ^ { 2 } } = : T ( \nu _ { P _ { j } } ^ { ( 0 ) } ) } \end{array}
\left( { \frac { \partial } { \partial t } + { \bf { U } } \cdot \nabla } \right) K = - { \bf { E } } _ { \mathrm { { M } } } \cdot { \bf { J } } - { \cal { R } } ^ { i j } \frac { \partial U ^ { i } } { \partial x ^ { j } } - \varepsilon _ { K } + { \bf { B } } \cdot \nabla W + \nabla \cdot \left( { \frac { \nu _ { \mathrm { { K } } } } { \sigma _ { \mathrm { { K } } } } \nabla K } \right) ,
Z _ { g } ^ { ( 1 ) } = \frac { Z _ { A } ^ { ( 1 ) } } { Z _ { g h } ^ { ( 1 ) } } \tilde { Z } _ { g } ^ { ( 1 ) } = 1 + \frac { 3 } { \kappa } \frac { C _ { 2 } ( G ) } { 2 } \mathrm { s i g n } ( \kappa )
P _ { D } = \frac { 1 } { 2 } - \delta \Delta \frac { \Omega _ { r } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { 4 \delta ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } + \Omega _ { r } ^ { 4 } } } { 4 \Delta } t \right) } { 2 \delta ^ { 2 } \Delta ^ { 2 } + \Omega _ { r } ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \mu ^ { ( j ) } } \ell _ { N , m } \left( \mu ^ { ( 1 ) } , \ldots , \mu ^ { ( m ) } \right) } & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } \nabla _ { \mu ^ { ( j ) } } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( j ) } \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } { \sum _ { l = 1 } ^ { m } \phi \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) } \left( X _ { i } - \mu ^ { ( l ) } \right) . } \end{array}
{ \frac { d { \mathcal { L } } } { d x ^ { \nu } } } = d _ { \nu } { \mathcal { L } } = { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { \mu } \phi _ { \alpha } ) } } { \frac { \partial ( \partial _ { \mu } \phi _ { \alpha } ) } { \partial x ^ { \nu } } } + { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \phi _ { \alpha } } } { \frac { \partial \phi _ { \alpha } } { \partial x ^ { \nu } } }
{ \cal H } = { \pm } m { \rho } _ { \pm } + { \frac { 1 } { 2 } } { F _ { 1 2 } } ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } g { { \rho } _ { \pm } } ^ { 2 } + { \frac { e ^ { 2 } l } { \kappa } } { { \rho } _ { \pm } } ^ { 2 } .
P _ { V } ^ { \ell } = \frac { \hat { g } _ { L 2 } ^ { \ell } + \hat { g } _ { R 2 } ^ { \ell } } { \hat { g } _ { L 2 } ^ { \ell } - \hat { g } _ { R 2 } ^ { \ell } } , \ P _ { L } ^ { q } = \frac { \hat { g } _ { L 2 } ^ { q } } { \hat { g } _ { L 2 } ^ { \ell } - \hat { g } _ { R 2 } ^ { \ell } } , \ P _ { R } ^ { u , d } = \frac { \hat { g } _ { R 2 } ^ { u , d } } { \hat { g } _ { L 2 } ^ { q } } .
\begin{array} { r l r } { R A R } & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { a } & { - b } \\ { c } & { - d } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { a } & { - b } \\ { - c } & { d } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \widehat { \gamma } _ { t + \varepsilon } ^ { 1 } , \ldots , \widehat { \gamma } _ { t + \varepsilon } ^ { h } \right] } & { \simeq \mathbf { g } ^ { - 1 } \left( \mathbf { g } _ { \mathcal { M } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) \right) } \\ & { = \operatorname { D e c o d e r } \left( \mathbf { g } _ { \mathcal { M } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) \right) . } \end{array}
\partial _ { t } \Omega _ { \epsilon } ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \Omega _ { \epsilon } ( t , \xi ) - \mu _ { 1 } g ( t ) h _ { \epsilon } ( \xi ) \partial _ { \xi } \Omega _ { \epsilon } ( t , \xi ) = \frac { C } { \beta } g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } h _ { \epsilon } ^ { \prime } ( \eta ) \partial _ { \eta } \Omega _ { \epsilon } ( t , \eta ) d \eta + a ( t , \xi )
\mathrm { l i m } _ { \, h \, \downarrow \, 0 } \frac { \mathbb { E } [ \, K _ { h } ( W - w ) \, Y \mid X = x ] } { \mathbb { E } \, [ K _ { h } ( W - w ) \mid X = x ] } = \frac { \int _ { \mathbb { W } } \, \delta ( \tilde { w } - w ) \, \mu ( \tilde { w } , x ) \, p ( \tilde { w } , x ) \, d \tilde { w } } { \mathbb { E } [ \delta ( W - w ) \mid X = x ] } = \frac { \mu ( w , x ) \, p ( w , x ) } { p ( w , x ) } = \mu _ { w } ( x ) .
\mathbf { a } \times \mathbf { b } = [ \mathbf { a } ] _ { \times } \mathbf { b } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { - a _ { 3 } } & { a _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { 0 } & { - a _ { 1 } } \\ { - a _ { 2 } } & { a _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \\ { b _ { 3 } } \end{array} \right] .
v s ^ { 2 } = ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) ^ { \mathrm { { T } } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X } { \hat { \boldsymbol { \beta } } } ) \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad v = n - k ,
\begin{array} { r } { \boldsymbol { c } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { c _ { 3 3 } } & { c _ { 3 1 } } & { c _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 1 3 } } & { c _ { 1 1 } } & { c _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 1 3 } } & { c _ { 1 2 } } & { c _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 c _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 c _ { 4 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 c _ { 6 6 } } \end{array} \right] } \\ { \boldsymbol { C } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { C _ { 3 3 } } & { C _ { 3 1 } } & { C _ { 1 3 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { C _ { 1 3 } } & { C _ { 1 1 } } & { C _ { 1 2 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { C _ { 1 3 } } & { C _ { 1 2 } } & { C _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 C _ { 4 4 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 C _ { 4 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 C _ { 6 6 } } \end{array} \right] } \\ { \boldsymbol { e } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { e _ { 3 3 } } & { e _ { 3 1 } } & { e _ { 3 1 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 e _ { 1 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 e _ { 1 5 } } & { 0 } \end{array} \right] } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l } { i \omega + \frac { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } { L } } & { \frac { \mathscr { L } G } { I _ { 0 } L } } \\ { - \frac { I _ { 0 } R _ { 0 } ( 2 + \beta ) } { C } } & { i \omega + \frac { 1 - \mathscr { L } } { \tau _ { 0 } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \delta I } \\ { \delta T } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \frac { \delta V } { L } } \\ { \frac { \delta P } { C } } \end{array} \right] ,
A _ { 0 } ^ { l } = { \frac { \sin ( \pi s ) } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d z ( z l / a ) ^ { - 2 s } { \frac { \partial } { \partial z } } \ln ( 1 + z ^ { 2 } ) ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } } ,
v _ { i } = \sqrt { 2 R T _ { G H } } h _ { N , i } , \quad w _ { i } = \sqrt { 2 R T _ { G H } } \frac { 2 ^ { N - 1 } N ! \sqrt { \pi } } { N ^ { 2 } [ H _ { N - 1 } ( h _ { N , i } ) ] ^ { 2 } } e ^ { { h _ { N , i } } ^ { 2 } } .
T \operatorname { R e } ( \lambda ) = K ^ { 2 } \left( \widetilde { \mathcal { D } } _ { 1 } - 1 \right) + \frac { 4 \mathcal { D } _ { 1 } K ^ { 4 } } { 9 } \left( 1 - \frac { \mathcal { D } _ { 2 } \widetilde { \mathcal { D } } _ { 1 } ^ { 2 } } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { 2 } } \right) - \frac { 3 2 \mathcal { D } _ { 2 } \widetilde { \mathcal { D } } _ { 1 } K ^ { 6 } } { 8 1 } - \frac { 6 4 \mathcal { D } _ { 1 } \mathcal { D } _ { 2 } K ^ { 8 } } { 7 2 9 }
I _ { n } ^ { D } ( w ) = { \frac { \Gamma \left( { \frac { D } { 2 } } \right) } { \Gamma \left( { \frac { D - 1 } { 2 } } \right) \sqrt \pi } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta \, \left( { \frac { x + y } { z } } \right) ^ { n } \, \sin ^ { D - 2 } \theta \, \quad \mathrm { f o r ~ } n = - 1 , 1 , 2
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \textrm { d } x = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \partial \beta } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , 0 ) \textrm { d } x _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \rho } & { { } = \rho _ { f } + \nabla \cdot \textbf { P } } \\ { \textbf { J } } & { { } = \textbf { J } _ { f } + \nabla \times \textbf { M } + \frac { \partial \textbf { P } } { \partial t } , } \end{array}
\mathrm { T r } [ \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \sigma } \gamma ^ { \nu } \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } ] = \mathrm { T r } [ \gamma ^ { \rho } \gamma ^ { \mu } \gamma ^ { \nu } \gamma ^ { \sigma } \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } ] = 1 6 g ^ { \rho \sigma }
\begin{array} { r l } & { H _ { \mathrm { 1 e f f } } = \left[ \Omega ^ { \prime } - \frac { g ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } N _ { j } } { 8 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } \right] S _ { z } + \chi _ { \mathrm { 1 e f f } } S _ { x } ^ { 2 } , } \\ & { H _ { \mathrm { 2 e f f } } = \left[ \Omega ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } g N _ { j } - \frac { g ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } N _ { j } } { 4 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } \right] S _ { z } + \chi _ { \mathrm { 2 e f f } } S _ { z } ^ { 2 } , } \\ & { H _ { \mathrm { 3 e f f } } = \left[ \Omega ^ { \prime } - g N _ { j } - \frac { g ^ { 2 } \Omega ^ { \prime } N _ { j } } { 4 ( \Omega ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) } \right] S _ { z } + \chi _ { \mathrm { 3 e f f } } S _ { z } ^ { 2 } , } \end{array}
\varphi _ { \alpha _ { 1 } - 1 , \alpha _ { 2 } + 1 , \alpha _ { 3 } } ( z _ { i } ) + \varphi _ { \alpha _ { 1 } - 1 , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } + 1 } ( z _ { i } ) = - \varphi _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } } ( z _ { i } )
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol Z _ { t + r } \sim \mathcal N ( \boldsymbol \mu _ { t + r } , \mathrm { d i a g } ( \boldsymbol \sigma _ { t + r } ) ) , } \\ & { \boldsymbol \mu _ { t + r } = \mathrm { F C } ^ { \mu } ( \boldsymbol h _ { t + r } ) , \boldsymbol \sigma _ { t + r } = \mathrm { F C } ^ { \sigma } ( \boldsymbol h _ { t + r } ) , } \end{array}
O ( \varepsilon ^ { 0 } ) : - \tilde { \Lambda } _ { j k } ( f _ { k , \alpha } ^ { ( 0 ) } - f _ { k , \alpha } ^ { e q } ) = 0 , \Leftrightarrow f _ { j , \alpha } ^ { ( 0 ) } = f _ { j , \alpha } ^ { e q } ,
\frac { 1 } { 2 } ( M _ { 1 } \tilde { B } \tilde { B } + M _ { 2 } \sum _ { r = 1 } ^ { 3 } \tilde { W } _ { r } \tilde { W } _ { r } + M _ { 3 } \sum _ { a = 1 } ^ { 8 } \tilde { g } _ { a } \tilde { g } _ { a } + h . c . ) ~ ,
\frac { 2 \pi } { \tilde { g ^ { 2 } } ( T ) } - \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } T ^ { 2 } } { q _ { 1 } ^ { 2 } } + 4 - \ln { ( 1 6 ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { ( q _ { 1 } / 2 \pi T ) ^ { 2 } - 1 } { ( 2 n + 1 ) [ 4 n ( n + 1 ) + ( q _ { 1 } / 2 \pi T ) ^ { 2 } ] } = 0 \, ,
\begin{array} { r l } & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 1 ) = \{ X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 2 } , X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 3 } , X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 4 } \} } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 2 ) = \{ X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 2 } , X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 3 } , X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 4 } , X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } \} } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 3 ) = \{ X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 3 } , X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 4 } , X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 2 } \} } \\ & { A _ { U } ^ { ( 1 ) } ( 4 ) = \{ X _ { 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 4 } , X _ { 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 1 } , X _ { 3 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 2 } , X _ { 4 } ^ { \langle 1 \rangle } + S _ { 3 } \} } \end{array}