harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l r l } { a _ { 0 } } & { = m + r + 1 , } & { a _ { 1 } } & { = m + t , } & { a _ { 2 } } & { = m - r , } & { a _ { 3 } } & { = m - t , } \\ { a _ { 4 } } & { = m + s , } & { a _ { 5 } } & { = m + u + 1 , } & { a _ { 6 } } & { = m - s , } & { a _ { 7 } } & { = m - u , } \\ { a _ { 8 } } & { = m - r + 1 , } & { a _ { 9 } } & { = m - t , } & { a _ { 1 0 } } & { = m + r + 1 , } & { a _ { 1 1 } } & { = m + t + 1 , } \\ { a _ { 1 2 } } & { = m - s , } & { a _ { 1 3 } } & { = m - u - 1 , } & { a _ { 1 4 } } & { = m + s , } & { a _ { 1 5 } } & { = m + u . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { i , 1 } = [ \rho _ { i } ] , \quad B _ { i , k + 1 } = \frac { \partial \rho _ { w i } } { \partial y _ { k } } s + \frac { \partial \rho _ { o i } } { \partial y _ { k } } s _ { o } + \frac { \partial \rho _ { r i } } { \partial y _ { k } } , \mathrm { ~ a n d ~ } B _ { i , n + 1 } = 0 . } \\ & { A _ { i , 1 } = ( u / \phi ) [ \rho _ { i } ] \frac { \partial f } { \partial s } , \quad A _ { i , k + 1 } = ( u / \phi ) \left( \frac { \partial \rho _ { w i } } { \partial y _ { k } } f + \frac { \partial \rho _ { o i } } { \partial y _ { k } } f _ { o } \right) \mathrm { ~ a n d ~ } A _ { i , n + 1 } = F _ { i } , } \end{array}
T _ { \mu \nu } ( k ) = i \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \xi _ { 2 } \delta ( 1 - \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } ) \left[ \frac { P ( m ) } { \left[ z - m ^ { 2 } + i \varepsilon \right] ^ { 2 } } \right] _ { z = \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \xi _ { j } p _ { j } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } J _ { \vec { x } _ { 0 } } ( \vec { x } _ { z } ) } & { = 1 + \frac { z ^ { 2 } } { \sigma ^ { 4 } k _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { ( \mathcal { P } \kappa ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } z ^ { 2 } \sqrt { z ^ { 2 } + \sigma ^ { 4 } k _ { 0 } ^ { 2 } } } { 2 a ^ { 4 } \sigma ^ { 2 } k _ { 0 } ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 3 , x } } & { = } & { - \int [ \delta ( y ) \delta ( z ) m _ { z } \delta ^ { \prime } ( x ) B _ { z } - \delta ( x ) \delta ( y ) m _ { x } \delta ^ { \prime } ( z ) B _ { z } } \\ & { - } & { \delta ( x ) \delta ( z ) m _ { x } \delta ^ { \prime } ( y ) B _ { y } + \delta ( y ) \delta ( z ) m _ { y } \delta ^ { \prime } ( x ) B _ { y } ] \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf r } \\ & { = } & { m _ { z } \partial _ { x } B _ { z } \! - \! m _ { x } \partial _ { z } B _ { z } \! - \! m _ { x } \partial _ { y } B _ { y } \! + \! m _ { y } \partial _ { x } B _ { y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l } { N _ { i } } \\ { V _ { e } } \\ { V _ { i } } \end{array} \right) = \frac { \mathcal { Z } _ { c } \omega _ { p i } ^ { 2 } m _ { e } n _ { e , 0 } + \omega _ { p e } ^ { 2 } m _ { i } n _ { i , 0 } } { \mathcal { Z } _ { c } \mu m _ { e } m _ { i } n _ { e , 0 } n _ { i , 0 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } \Delta } ( | B _ { w } | ^ { 2 } ) \left( \begin{array} { l } { n _ { e , 0 } n _ { i , 0 } } \\ { \mathcal { Z } _ { c } ( c _ { g } - v _ { | | } ) n _ { i , 0 } } \\ { ( c _ { g } - u _ { | | } ) n _ { e , 0 } } \end{array} \right) \, , } \\ { \mathrm { w i t h } \qquad } & { \Delta = \big ( ( c _ { g } - u _ { | | } ) ^ { 2 } - c _ { s , i } ^ { 2 } \big ) n _ { e , 0 } + \big ( ( c _ { g } - v _ { | | } ) ^ { 2 } - c _ { s , e } ^ { 2 } \big ) n _ { i , 0 } \, . } \end{array}
0 = \frac { 1 } { p _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { \mathrm { d } t } + \frac { m } { \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } t } \Rightarrow \frac { 1 } { p _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \frac { \mathrm { d } p _ { \mathrm { ~ T ~ } } } { \mathrm { d } t } = - \frac { m } { \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } \frac { \mathrm { d } \nu _ { \mathrm { ~ v ~ } } } { \mathrm { d } t }
\begin{array} { l l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { - 3 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 1 } } \end{array}
| \lambda _ { - } | ^ { 2 } \: \overline { { { \lambda _ { - } } } } \: T _ { [ 0 ] } ^ { ( - 1 ) } \; = \; \left( T _ { [ 0 ] } ^ { ( - 1 ) } \: T _ { [ 0 ] } ^ { ( 0 ) } \: \overline { { { T _ { [ 0 ] } ^ { ( - 1 ) } } } } \right) ^ { 2 } \overline { { { T _ { [ 0 ] } ^ { ( 0 ) } } } } \; .
i \hbar \frac { \partial \psi ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) } { \partial t } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) \; \; \; ; \; \; \; - i \hbar \frac { \partial \psi ^ { * } ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) } { \partial t } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ^ { * } ( \mathrm { { \bf ~ r } , t } ) \; .
\begin{array} { r l } { 2 \Omega _ { U } = } & { { } \ \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } U + \frac { \zeta ^ { 2 } } { 2 \theta } ( ( C U ) ^ { T } U + U ( C U ) ) + } \\ { = } & { { } \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } ( ( C U ) ^ { u } ) ^ { T } U ( C U ) ^ { m - u } } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \rho _ { 1 } } = C _ { 1 } \bigg [ ( \alpha - \rho _ { 1 } ) ( 1 + h _ { 1 } ) ( p _ { 1 1 } \rho _ { 1 } + p _ { 1 2 } \rho _ { 2 } ) - \rho _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) [ p _ { 1 1 } ( \alpha - \rho _ { 1 } ) + p _ { 1 2 } ( 1 - \alpha - \rho _ { 2 } ) ] \bigg ] } \\ { \dot { \rho _ { 2 } } = C _ { 2 } \bigg [ ( 1 - \alpha - \rho _ { 2 } ) ( 1 + h _ { 2 } ) ( p _ { 1 2 } \rho _ { 1 } + p _ { 2 2 } \rho _ { 2 } ) - \rho _ { 2 } ( 1 - h _ { 2 } ) [ p _ { 1 2 } ( \alpha - \rho _ { 1 } ) + p _ { 2 2 } ( 1 - \alpha - \rho _ { 2 } ) ] \bigg ] } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \Omega } & { = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \mathbf { v } _ { 2 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \end{array} \right] } = { \left| \begin{array} { l l l l } { v _ { 1 1 } } & { v _ { 2 1 } } & { \cdots } & { v _ { n 1 } } \\ { v _ { 1 2 } } & { v _ { 2 2 } } & { \cdots } & { v _ { n 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { v _ { 1 n } } & { v _ { 2 n } } & { \cdots } & { v _ { n n } } \end{array} \right| } } \end{array} } \, ,
\int _ { \bigcup \mathcal A } \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( a ; r ) ) ^ { p - 1 } \frac { \, \mathrm d r } { r ^ { p - 1 } } \doteq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { r _ { i } } ^ { r ^ { i } } \mathcal E _ { \mathrm { s g } } ^ { 1 , p ^ { \prime } } ( \mathbb S ^ { 1 } ( a ^ { i } ; r ) ) ^ { p - 1 } \frac { \, \mathrm d r } { r ^ { p - 1 } } .
A _ { 1 } \to ( A _ { 1 } A _ { 2 } A _ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \ A _ { 2 } \to ( A _ { 1 } A _ { 2 } ^ { - 1 } A _ { 3 } ^ { - 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \ A _ { 3 } \to ( A _ { 1 } ^ { - 1 } A _ { 2 } A _ { 3 } ^ { - 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \ A _ { 4 } \to ( A _ { 1 } ^ { - 1 } A _ { 2 } ^ { - 1 } A _ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ~ .
\begin{array} { r } { \Psi ( { \bf x } _ { 1 } , \cdots , { \bf x } _ { N } ) = \exp \left( - { \frac { i } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \chi ( { \bf r } _ { j } ) \right) \Psi _ { 0 } ( { \bf x } _ { 1 } , \cdots , { \bf x } _ { N } ) } \end{array}
F = \frac { 4 s ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } ( 1 + \gamma ) } { ( e ^ { s ^ { 2 } } - \alpha ) ( \alpha - \alpha \gamma + e ^ { s ^ { 2 } } ( 1 + 3 \gamma ) ) \sigma ^ { 2 } }
{ \begin{array} { r l } { \eta _ { w } } & { = \operatorname { c n } \chi \operatorname { c n } \psi , } \\ { \eta _ { x } } & { = \operatorname { s n } \chi \operatorname { d n } \psi \cos \phi , } \\ { \eta _ { y } } & { = \operatorname { s n } \chi \operatorname { d n } \psi \sin \phi , } \\ { \eta _ { z } } & { = \operatorname { d n } \chi \operatorname { s n } \psi , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \overrightarrow { \lambda } = \left( \begin{array} { c } { \sin \left( \theta _ { l } \right) \cos \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \theta _ { l } \right) \sin \left( \phi _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \theta _ { l } \right) \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \cos \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } - \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } - \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \sin \left( \theta _ { y } \right) \sin \left( \frac { \theta _ { l } } { 2 } \right) } \\ { - \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \cos \left( \theta _ { y } \right) } \end{array} \right) . } \end{array}
\mathbf { X } = { \left[ \begin{array} { l } { X ( z _ { 0 } ) } \\ { X ( z _ { 1 } ) } \\ { \vdots } \\ { X ( z _ { N - 1 } ) } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { x } = { \left[ \begin{array} { l } { x [ 0 ] } \\ { x [ 1 ] } \\ { \vdots } \\ { x [ N - 1 ] } \end{array} \right] } , { \mathrm { ~ a n d } } \quad \mathbf { D } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { z _ { 0 } ^ { - 1 } } & { z _ { 0 } ^ { - 2 } } & { \cdots } & { z _ { 0 } ^ { - ( N - 1 ) } } \\ { 1 } & { z _ { 1 } ^ { - 1 } } & { z _ { 1 } ^ { - 2 } } & { \cdots } & { z _ { 1 } ^ { - ( N - 1 ) } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { z _ { N - 1 } ^ { - 1 } } & { z _ { N - 1 } ^ { - 2 } } & { \cdots } & { z _ { N - 1 } ^ { - ( N - 1 ) } } \end{array} \right] } .
A _ { \mu \nu \eta \sigma \rho } ^ { ( 2 ) } ( x ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 } ( A _ { \mu } A _ { \eta } \partial _ { \sigma } F _ { \nu \rho } ^ { 0 } - \partial _ { \nu } A _ { \rho } \partial _ { \eta } A _ { \mu } A _ { \sigma } + A _ { \mu } F _ { \nu \eta } ^ { 0 } F _ { \sigma \rho } ^ { 0 } ) \, \, \, ,
\phi _ { m } \, = \, \mathrm { B S } _ { 0 } [ \eta _ { m } ] + \mathrm { B S } _ { 1 } [ \eta _ { m - 1 } ] + \dots + \mathrm { B S } _ { m - 1 } [ \eta _ { 1 } ] + \mathrm { B S } _ { m } [ \eta _ { 0 } ] \, .
D = - { \frac { 2 \pi c } { \lambda ^ { 2 } } } { \frac { d ^ { 2 } \beta } { d \omega ^ { 2 } } } = { \frac { 2 \pi c } { v _ { g } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } } { \frac { d v _ { g } } { d \omega } }
\begin{array} { r l } & { n ( r , \phi , \xi ) = \frac { 2 r ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 2 r \sqrt { r ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } } } \\ & { + g \frac { \cos \phi } { 4 \left( r ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } \right) ^ { 3 / 2 } } \left[ \left( 4 r ^ { 2 } - 3 \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } \right) \left( r ^ { 2 } - \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } \right) - \frac { \tilde { r } _ { b } ^ { 6 } } { 8 r ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\Delta u ( s ) = \frac { \sqrt { \beta _ { u } ( s ) \beta _ { u } ( s _ { k } ) } \, \cos ( \lvert \mu _ { u } ( s ) - \mu _ { u } ( s _ { k } ) \rvert - \pi Q _ { u } ) } { 2 \sin ( \pi Q _ { u } ) } \Delta { k _ { u } } ,
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] \leq } & { C \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + s _ { k } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\vec { E } = - \vec { u } _ { e } \times \vec { B } - \frac { 1 } { e n _ { e } } \frac { \partial P _ { e , j k } } { \partial x _ { k } } - \frac { m _ { e } } { e } \left( \frac { \partial \vec { u } _ { e } } { \partial t } + ( \vec { u } _ { e } \cdot \vec { \nabla } ) \vec { u } _ { e } \right) + \eta \vec { J }
\tilde { f } _ { s } ( t , \vec { p } ) = \delta ( p _ { z } ) \Theta ( Q _ { s } ^ { 2 } - p _ { \perp } ^ { 2 } ) c { \frac { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } { 4 \pi ^ { 3 } \alpha N _ { c } } }
{ { \theta } _ { n } } = 1 . 0 \times { { 1 0 } ^ { - 6 } } , 5 . 0 \times { { 1 0 } ^ { - 6 } } , 1 . 0 \times { { 1 0 } ^ { - 5 } } , 5 . 0 \times { { 1 0 } ^ { - 5 } } , 1 . 0 \times { { 1 0 } ^ { - 4 } } , 5 . 0 \times { { 1 0 } ^ { - 4 } }
\begin{array} { r l } { | g _ { \sigma , \xi ; \epsilon ^ { \prime \prime } } ^ { 2 } ( x ) - f _ { \sigma } ^ { 2 } ( x - \xi ) | } & { { } = | g _ { \sigma , \xi ; \epsilon ^ { \prime \prime } } ( x ) - f _ { \sigma } ( x - \xi ) | \cdot | g _ { \sigma , \xi ; \epsilon ^ { \prime \prime } } ( x ) + f _ { \sigma } ( x - \xi ) | } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { i } ^ { \dagger } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( e _ { i } + i e _ { i + 4 } + e _ { i + 8 } + i e _ { i + 1 2 } ) , } \\ { A _ { i } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - e _ { i } + i e _ { i + 4 } - e _ { i + 8 } + i e _ { i + 1 2 } ) , } \\ { \psi ( A _ { i } ^ { \dagger } ) = B _ { i } ^ { \dagger } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( a e _ { i } + i a e _ { i + 4 } + b e _ { i + 8 } + i b e _ { i + 1 2 } ) , } \\ { \psi ( A _ { i } ) = B _ { i } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - a e _ { i } + i a e _ { i + 4 } - b e _ { i + 8 } + i b e _ { i + 1 2 } ) , } \\ { \psi ^ { 2 } ( A _ { i } ^ { \dagger } ) = C _ { i } ^ { \dagger } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( b e _ { i } + i b e _ { i + 4 } + a e _ { i + 8 } + i a e _ { i + 1 2 } ) , } \\ { \psi ^ { 2 } ( A _ { i } ) = C _ { i } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } ( - b e _ { i } + i b e _ { i + 4 } - a e _ { i + 8 } + i a e _ { i + 1 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } = } & { \Big ( \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle + \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } - \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle \Big ) \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } } \\ { = } & { \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } + ( \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } - \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle ) \langle \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } \rangle } \\ { \approx } & { \langle \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } ^ { \dagger } \hat { \sigma } _ { \mathbf { n } , + } \rangle \hat { a } _ { \mathbf { k } , + } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \mathcal { H } _ { 5 } ( f ) } & { = \frac { 1 } { 2 - \alpha } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } G _ { 1 , \ge 3 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , { J } ) f ^ { \prime } ( \eta ) \sin ( \theta - \eta ) d \eta } \\ & { \ + \frac { 1 } { 2 ( 2 - \alpha ) } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { 1 - \frac { \alpha } { 2 } } G _ { 2 , \ge 4 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , { J } ) d \eta } \\ & { \ - \frac { 1 } { 2 - \alpha } \int ( 2 - 2 \cos ( \theta - \eta ) ) ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } G _ { 3 , \ge 3 } ( f ( \theta ) , f ( \eta ) , { J } ) ( f ( \theta ) - f ( \eta ) ) d \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { k l } } & { { } = } & { \frac { m _ { k } \, m _ { l } } { m _ { k } + m _ { l } } \, , } \\ { \sigma _ { R } ^ { k l } \left( \epsilon \right) } & { { } \ge } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 2 i - 1 } ^ { k l } \, , } & { \epsilon _ { 2 i - 1 } ^ { k l } \le \epsilon \le \epsilon _ { 2 i } ^ { k l } } \\ { 0 \, , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\phi ( R , Z ) \, = \, \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \sqrt { ( 1 { + } \epsilon R ) ( 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } ) } \, F \biggl ( \epsilon ^ { 2 } \frac { ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( 1 { + } \epsilon R ) ( 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } ) } \biggr ) \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } R ^ { \prime } \, \mathrm { d } Z ^ { \prime } \, ,
\begin{array} { l l } { { A _ { l } \, \rightarrow } } & { { A _ { 1 } \, \, , } } \\ { { A _ { \overline { { { l } } } } \, \rightarrow } } & { { \overline { { { A } } } _ { 1 } \, \, , } } \\ { { A _ { h } \, \rightarrow } } & { { A _ { 2 } \, \, , } } \\ { { A _ { \overline { { { h } } } } \, \rightarrow } } & { { \overline { { { A } } } _ { 2 } \, \, , } } \\ { { A _ { L } \, \rightarrow } } & { { B _ { 1 } \, \, , } } \\ { { A _ { H } \, \rightarrow } } & { { B _ { 2 } \, \, \, , } } \end{array}
\epsilon _ { \alpha } \, \omega ^ { \alpha } { } _ { \beta } + \epsilon _ { \beta } \, \omega ^ { \beta } { } _ { \alpha } = 0 \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ - ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ ~ ~ } \alpha ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ ~ ~ } \beta ) \, ,
\theta ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \frac { \theta ( - n - \frac 1 2 ) t _ { 1 } ^ { n } } { t _ { 2 } ^ { n + 1 } } } } \\ { { \frac { \theta ( n + \frac 1 2 ) t _ { 2 } ^ { n } } { t _ { 1 } ^ { n + 1 } } } } & { { 0 } } \end{array} \right] - \theta ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \left[ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \frac { \theta ( n + \frac 1 2 ) t _ { 1 } ^ { n } } { t _ { 2 } ^ { n + 1 } } } } \\ { { \frac { \theta ( - n - \frac 1 2 ) t _ { 2 } ^ { n } } { t _ { 1 } ^ { n + 1 } } } } & { { 0 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { M ( u ) = M ( u ^ { ( 0 ) } ) + M ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 1 ) } \varepsilon + \left( M ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } M ^ { \prime \prime } \left( u ^ { ( 0 ) } \right) \left( u ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \right) \varepsilon ^ { 2 } + \hdots , } \\ & { } & { g ( u ) = g ( u ^ { ( 0 ) } ) + g ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 1 ) } \varepsilon + \left( g ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { \prime \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) \left( u ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \right) \varepsilon ^ { 2 } + \hdots , } \\ & { } & { q ^ { \prime } ( u ) = q ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) + q ^ { \prime \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 1 ) } \varepsilon + \left( q ^ { \prime \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 2 ) } + \frac { 1 } { 2 } q ^ { ( 3 ) } ( u ^ { ( 0 ) } ) \left( u ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } \right) \varepsilon ^ { 2 } + \hdots , } \\ & { } & { f _ { c l } ^ { d } ( x , y , u ) = f _ { c l } ^ { d } ( x , y , u ^ { ( 0 ) } ) + f _ { c l } ^ { d } ( x , y , u ^ { ( 1 ) } ) \varepsilon + f _ { c l } ^ { d } ( x , y , u ^ { ( 2 ) } ) \varepsilon ^ { 2 } + \hdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } & { \leq \bigg ( 1 + \frac { 3 3 } { 3 2 I } \bigg ) \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + 4 I \hat { L } ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ 2 \| \eta \bar { \nu } _ { t - 1 } \| ^ { 2 } + \| \gamma \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 8 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } + 1 6 I M ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } } \\ & { \qquad + 1 2 8 I \hat { L } ^ { 2 } ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + 1 2 8 I \bar { L } ^ { 2 } ( c _ { \nu } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 2 } I \eta ^ { 2 } \alpha _ { l } ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg \| \big ( \nu _ { \ell } ^ { ( m ) } - \bar { \nu } _ { \ell } \big ) \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { j } } & { { } = } & { \sqrt { \frac { \kappa _ { j } ^ { \parallel } } { \kappa _ { j } ^ { \perp } } \xi ^ { 2 } + \frac { i 2 C _ { j } \rho _ { j } ( \omega ) } { \kappa _ { j } ^ { \perp } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r i ) } } ( \alpha ) = \sum _ { f = 0 } ^ { n - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { f } \Big \{ F _ { k } [ \alpha ; } & { \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) ] - F _ { k } [ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n - 1 ) ] \Big \} } \\ & { \times \binom { n - 1 } { f } p ^ { n - f - 1 } ( 1 { - } p ) ^ { f } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { l \to \infty } \left( \frac 1 l \sum _ { k = X _ { i } ( 0 ) } ^ { \infty } \frac { 1 } { F ( k ) ^ { l } } \right) ^ { - 1 / l } = F ( k _ { 0 } ) \operatorname* { l i m i n f } _ { l \to \infty } \left( \# M + \sum _ { k \ge X _ { i } ( 0 ) , \, k \notin M } \frac { F ( k _ { 0 } ) ^ { l } } { F ( k ) ^ { l } } \right) ^ { - 1 / l } = F ( k _ { 0 } ) } \end{array}
\chi _ { \nu } = - \frac { i } { 2 } \sum _ { \alpha , \beta } \left( \log { ( \frac { z - z _ { \alpha } } { \overline { { { z } } } - \overline { { { z _ { \alpha } } } } } ) } - \log { ( \frac { z - z _ { \beta } } { \overline { { { z } } } - \overline { { { z _ { \beta } } } } } ) } \right)
n ^ { \mathrm { o p t } } = \frac { 2 + 5 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { - } } } + \left( ( 2 + 5 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { \mu _ { e \mathrm { - } } } ) ^ { 2 } - 1 2 \frac { \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { e \mathrm { - } } } \right) ^ { 1 / 2 } } { 2 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } } .
\frac { d \mathcal { H } } { d \widehat { \boldsymbol { p } } } = \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial \widehat { \lambda } } \bigg \lvert _ { \widehat { \boldsymbol { p } } } \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } + \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \bigg \lvert _ { \widehat { \lambda } } .
\frac { d \hat { F } ( \lambda ) } { d \lambda } = e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } e ^ { - \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } - e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } e ^ { - \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { E j e c t a : } \; \; \rho } & { { } \propto r ^ { - n } t ^ { n - 3 } , \; \mathbf { v } = \mathbf { r } / t } \\ { \mathrm { C S M : } \; \; \rho } & { { } \propto r ^ { - s } , \; \mathbf { v } = 0 } \\ { P = 1 0 ^ { - 6 } } & { { } \rho \; \mathrm { ( b o t h \; c a s e s ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underbrace { \frac { 2 C _ { f } } { k A _ { p } } \left( \alpha \pi d _ { v } C _ { d , v } \right) ^ { 2 } } _ { a } y _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 3 } - \left( 1 + \frac { k _ { i } } { k } \right) y _ { 1 } + \underbrace { \frac { A _ { p } } { k } } _ { b } y _ { 3 } + \underbrace { \frac { k _ { i } } { k } } _ { c } \underbrace { x _ { 1 / 2 } } _ { d } - \underbrace { \frac { F _ { 0 } } { k } } _ { e } } & { = 0 , } \end{array}
[ N _ { i } , { \cal P } _ { j } ] = i \, \delta _ { i j } \left( \kappa \sinh \frac { { \cal P } _ { 0 } } \kappa - \frac { \vec { { \cal P } } \, { } ^ { 2 } } { 2 \kappa } \, e ^ { { \cal P } _ { 0 } / \kappa } \right) , \quad [ N _ { i } , { \cal P } _ { 0 } ] = i { \cal P } _ { i } \, e ^ { { \cal P } _ { 0 } / \kappa } .