harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\phi _ { \mathrm { R F F } } ( x ) : = \left[ \begin{array} { l } { \phi _ { 1 } ( x ) } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { p } ( x ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { e ^ { i x ^ { \top } \omega _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { e ^ { i x ^ { \top } \omega _ { p } } } \end{array} \right] .
\hat { \mathcal { L } } _ { \mathrm { m } } = \rho _ { n } n | \hat { \psi } _ { c } ^ { \dagger } \left( - i \partial _ { \tau } - c \mathcal { A } _ { \tau } \right) \hat { \psi } _ { c } | ^ { 2 } + 2 n \hat { \psi } _ { c } ^ { \dagger } \left( - i \rho _ { s } \partial _ { \tau } - c \mathcal { A } _ { \tau } \right) \hat { \psi } _ { c } - \mathcal { H } _ { \mathrm { m } }
\bar { P } _ { q g } ( \omega , \alpha _ { s } ) = { \frac { \gamma _ { g g } ^ { 2 } ( { \frac { \bar { \alpha } _ { s } } { \omega } } ) \tilde { F } _ { 2 } ^ { b o x } \left( \omega = 0 , \gamma = \gamma _ { g g } ( { \frac { \bar { \alpha } _ { s } } { \omega } } ) \right) } { 2 \sum _ { i } e _ { i } ^ { 2 } } }
C ^ { q G } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { ( 3 - q ) \sqrt { 1 - q } } B e t a ( \frac { 1 } { 1 - q } , \frac { 1 } { 2 } ) } & { \mathrm { i f ~ } q < 1 } \\ { \sqrt { \pi } } & { \mathrm { i f ~ } q = 1 } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { q - 1 } } B e t a ( \frac { 1 } { q - 1 } - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) } & { \mathrm { i f ~ } 1 < q < 3 } \end{array} \right. .
\mathcal { L } ( \boldsymbol { k } ) \boldsymbol { \hat { q } } ( y , \boldsymbol { k } ) = \left[ \begin{array} { l l } { \mathcal { L } _ { B } ( \boldsymbol { k } ) } & { \hat { \nabla } } \\ { \hat { \nabla } ^ { T } } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \hat { u } } ( y , \boldsymbol { k } ) } \\ { \hat { p } ( y , \boldsymbol { k } ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \hat { f } } ( y , \boldsymbol { k } ) } \\ { 0 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { x } \left| \int _ { K } A _ { 0 } ( x , y ) \left[ v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } ( y ) - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( y ) - \sum _ { i \ge 1 } \left( \int _ { K } \left( v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } ( u ) - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( u ) \right) v _ { i } ^ { A _ { 0 } } ( u ) d u \right) v _ { i } ^ { A _ { 0 } } ( y ) \right] d y \right| } \\ { \le } & { \| A _ { 0 } \| \int _ { K } \left| v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } ( y ) - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( y ) - \sum _ { i \ge 1 } \left( \int _ { K } \left( v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } + H } ( u ) - v _ { 1 } ^ { A _ { 0 } } ( u ) \right) v _ { i } ^ { A _ { 0 } } ( u ) d u \right) v _ { i } ^ { A _ { 0 } } ( y ) d y \right| \, = 0 } \end{array}
N _ { \alpha } \left( \vec { x } , t + 1 \right) = N _ { \hat { \alpha } } ^ { \prime } \left( \vec { x } - \vec { c } _ { \hat { \alpha } } , t \right) + \frac { 2 } { T _ { 0 } } \rho \left( \vec { x } - \vec { c } _ { \hat { \alpha } } , t \right) c _ { \hat { \alpha } } ^ { j } \left( U _ { 0 } ^ { j } - \tilde { U } ^ { j } \left( \vec { x } - \vec { c } _ { \hat { \alpha } } , t \right) \right) ,
\mathbf { \hat { f } } ^ { \sigma , E S } = ( \hat { f } _ { 1 } ^ { \sigma , E S } , \hat { f } _ { 2 } ^ { \sigma , E S } , \cdots , \hat { f } _ { N _ { \mathrm { { m o m e n t } } } } ^ { \sigma , E S } ) ^ { T }
\begin{array} { c c c } { { S _ { K \alpha } \sin \Phi _ { k \beta } } } & { { = } } & { { S _ { K \beta } \sin \Phi _ { k \alpha } \; , } } \\ { { S _ { i \Gamma } \sin \Phi _ { j \gamma } } } & { { = } } & { { S _ { j \Gamma } \sin \Phi _ { i \gamma } \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \rho } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { p } } q _ { \eta } \delta \left( { \boldsymbol r } - \hat { \boldsymbol r } _ { \eta } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol J } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { p } } q _ { \eta } \dot { \hat { \boldsymbol { r } } } _ { \eta } \delta \left( { \boldsymbol r } - \hat { \boldsymbol r } _ { \eta } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol A } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \sum _ { \boldsymbol k , \lambda } { \boldsymbol e } _ { \boldsymbol k , \lambda } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega _ { \boldsymbol k } \epsilon _ { 0 } V } } \left( \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \dagger } e ^ { i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } + \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } e ^ { - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { i \sum _ { \boldsymbol k , \lambda } { \boldsymbol e } _ { \boldsymbol k , \lambda } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \boldsymbol k } } { 2 \epsilon _ { 0 } V } } \left( \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \dagger } e ^ { i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } - \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } e ^ { - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } \right) , } \\ { \hat { \boldsymbol E } _ { c } ^ { \parallel } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { - \boldsymbol \nabla \hat { \phi } ( \boldsymbol r ) , } \\ { \hat { \phi } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { N _ { p } } \frac { q _ { \eta } } { \left| \boldsymbol r - \hat { \boldsymbol r } _ { \eta } \right| } , } \\ { \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) } & { = } & { i \sum _ { \boldsymbol k , \lambda } \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega _ { \boldsymbol k } \epsilon _ { 0 } V } } \left( \boldsymbol k \times { \boldsymbol e } _ { \boldsymbol k , \lambda } \right) \left( \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } ^ { \dagger } e ^ { i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } - \hat { d } _ { \boldsymbol k , \lambda } e ^ { - i \boldsymbol k \cdot \boldsymbol r } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \vert \widehat { \mathbf { h } } _ { k } \mathbf { w } _ { k } \vert ^ { 2 } = \vert ( \mathbf { h } _ { k } ^ { \mathrm { H } } + \mathbf { g } _ { k } ^ { \mathrm { H } } \boldsymbol { \Theta } _ { k } \mathbf { H } ) \mathbf { w } _ { k } \vert ^ { 2 } = \mathrm { T r } ( \mathbf { V } _ { k } \mathbf { F } _ { k } ) , } \\ & { } & { \Vert \widehat { \mathbf { h } } _ { k } \Vert ^ { 2 } = \mathrm { T r } ( \mathbf { V } _ { k } \mathbf { \overline { { R } } } _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi _ { i j k l } ( t ) = \pi _ { i j k l } ( t ) - \left[ \pi _ { l k j i } ( t ) \right] ^ { * } , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \qquad \pi _ { i j k l } ( t ) = ( \mathrm { i } \hbar ) ^ { 2 } \sum _ { p q r s } ( \pm ) _ { j } \mathcal { G } _ { i p k q } ( t ) \, w _ { s q r p } ( t ) \left[ G _ { j s } ^ { > } ( t ) \, G _ { r l } ^ { < } ( t ) - G _ { j s } ^ { < } ( t ) \, G _ { r l } ^ { > } ( t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { \mathrm { e } } = \left[ \begin{array} { l l } { \tilde { U } _ { 1 } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 2 } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { \tilde { V } _ { 1 } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { V } _ { 2 } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { \tilde { T } _ { 1 1 } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 2 } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { \tilde { T } _ { 4 1 } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 2 } ( R ^ { ( N ) } ) } \end{array} \right] } \end{array}
H _ { \perp \; s c a l a r \; \vec { 0 } } = \frac { p _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \vec { k } > 0 } \omega _ { \vec { k } } ( a _ { \vec { k } } ^ { + } a _ { \vec { k } } + \bar { a } _ { \vec { k } } ^ { + } \bar { a } _ { \vec { k } } ) .
\begin{array} { r } { \tau \frac { \partial \mathbf q } { \partial t } - c _ { v } \mathbf l \frac { \partial T } { \partial t } + \mathbf l \nabla \mathbf q + \lambda ( 1 - M ) \nabla T + \mathbf q = 0 , \quad M = \frac { 1 } { 2 \gamma _ { h } \rho ^ { 2 } c _ { v } ^ { 3 } T ^ { 3 } } \mathbf q ^ { 2 } , \quad \mathbf l = \tau \mathbf u _ { h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { c \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | \widetilde { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big \{ | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } - | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { \lambda _ { 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big \{ | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} + \rho \sum _ { k < k ^ { \prime } } \Big \{ | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { k ^ { \prime } S _ { k ^ { \prime } } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { k ^ { \prime } S _ { k ^ { \prime } } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\{ | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } \right\} } \\ { \leq } & { \left( \frac { K ( K - 1 ) } { 2 } \rho + \lambda _ { 0 } \right) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big \{ | | \Delta _ { k S _ { k } ^ { c } } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { k S _ { k } } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\{ | | \widehat { \Sigma } _ { k } ^ { + } - \Sigma _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { F } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { g } ^ { c } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 \Delta _ { x } \Delta _ { y } } \sum _ { z _ { p } \in ( z , z + d z ) } \sum _ { q } F _ { x } ^ { p q } ( z _ { p } - z _ { q } ) l _ { p q } ^ { d z } , } \\ { p _ { g } ^ { c } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \Delta _ { x } \Delta _ { y } } \sum _ { z _ { p } \in ( z , z + d z ) } \sum _ { q } F _ { z } ^ { p q } ( z _ { p } - z _ { q } ) l _ { p q } ^ { d z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { h } ( v , w ) } & { = ( \gamma _ { 0 } ^ { c } \tau _ { c } ^ { - 1 } + \frac { \gamma _ { 0 } ^ { b } b _ { \infty } } { h } ) ( [ v ] , [ w ] ) _ { \mathcal { F } _ { h } } + \gamma _ { 1 } ^ { b } b _ { \infty } h ( [ n _ { F } \cdot \nabla v ] , [ n _ { F } \cdot \nabla w ] ) _ { \mathcal { F } _ { h } } } \\ & { \quad + ( \gamma _ { n } ^ { c } \tau _ { c } ^ { - 1 } h + \gamma _ { n } ^ { b } b _ { \infty } ) ( n _ { \Gamma _ { h } } \cdot \nabla v , n _ { \Gamma _ { h } } \cdot \nabla w ) _ { \mathcal { T } _ { h } } } \end{array}
\left[ \frac { \partial } { \partial t } + { \bf v } \cdot \frac { \partial } { \partial { \bf r } } \pm \frac { t _ { s } } { 4 t ^ { 3 } } { \bf r } \cdot \frac { \partial } { \partial { \bf v } } \right] f ^ { \pm } ( { \bf r } , { \bf v } , t ) = 0 \, ,
A = W D ^ { \frac { 1 } { 2 } } V ^ { * } = \underbrace { \left( W D ^ { \frac { 1 } { 2 } } W ^ { * } \right) } _ { P } \underbrace { \left( W V ^ { * } \right) } _ { U } = \underbrace { \left( W V ^ { * } \right) } _ { U } \underbrace { \left( V D ^ { \frac { 1 } { 2 } } V ^ { * } \right) } _ { P ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { U ( \mathbf { r } ) = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathcal { C } } \frac { d \mathbf { L } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } } { F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } , } \end{array}
C _ { Q } = - 2 \pi r _ { + } ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \right] ^ { 2 q ^ { 2 } / ( 2 q ^ { 2 } + 3 ) } \left[ 1 - \frac { 3 } { 2 q ^ { 2 } + 3 } \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \right] \left[ 1 - \frac { 2 q ^ { 2 } + 9 } { 2 q ^ { 2 } + 3 } \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \right] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { S _ { l } ( x ) } & { { } = \sqrt { \frac { \pi x } { 2 } } J _ { \frac { l + 1 } { 2 } } ( x ) , } \\ { C _ { l } ( x ) } & { { } = - \sqrt { \frac { \pi x } { 2 } } Y _ { \frac { l + 1 } { 2 } } ( x ) . } \end{array}
\mathcal { N } ( x , y ) \approx \frac { \tau ( x , y ) } { \ell ( x , y ) } = \frac { D ( x , y ) - \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } s ^ { 2 } E ( \delta ^ { 2 } ( x , y ) ) } ~ \textrm { ( C a s e ~ \# 1 ) } .
\begin{array} { r l } { J _ { \mathcal { S } } = \operatorname* { m i n } \, } & { \mathbb { E } ^ { \sum _ { l = 1 } ^ { H } J _ { Q _ { l } , W _ { l } } ^ { T ( s _ { l } ) } } } \\ { \mathrm { s . t . } \, } & { T \in \mathcal { S } ^ { \mathcal { D } } } \\ & { i _ { l , k + 1 } = a _ { l , k } + _ { \mathcal { V } } w _ { l , k } , \, i _ { l , 0 } = s _ { l , 0 } } \\ & { Q _ { l } = ( i _ { l , k } ) _ { k \in \mathbb { N } _ { N } } } \\ & { w _ { l , k } \sim \nu _ { k } } \\ & { W _ { l } = ( w _ { l , k } ) _ { k \in \mathbb { N } _ { N - 1 } } , } \end{array}
\varepsilon _ { i , j } : = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \; \mathrm { i f ~ } \; j _ { \mathbf { a } } < i _ { \mathbf { a } } } \\ { 0 , } & { \; \mathrm { i f ~ } \; i _ { \mathbf { a } } , \ j _ { \mathbf { a } } \mathrm { ~ a r e ~ n o t ~ c o m p a r a b l e } } \\ { 1 , } & { \; \mathrm { i f ~ } \; i _ { \mathbf { a } } \leq j _ { \mathbf { a } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \int | \psi _ { -- } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) | ^ { 2 } \frac { d \omega _ { 1 } d \omega _ { 2 } } { T ( 2 \pi ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1 } { i \gamma _ { \mathrm { 1 D } } ^ { 2 } } \sum _ { i j } g _ { i } g _ { j } ^ { * } } \\ { \Big [ } & { \frac { ( \omega _ { 0 } - H _ { 1 } ) ( \omega _ { 0 } - H _ { 2 } ) ( \omega _ { 0 } - H _ { 3 } ^ { * } ) ( \omega _ { 0 } - H _ { 4 } ^ { * } ) } { ( \Omega - H _ { 1 } - H _ { 4 } ^ { * } ) } } \\ { \times } & { \left( \frac { \Omega - H _ { 3 } ^ { * } - H _ { 4 } ^ { * } } { H _ { 1 } - H _ { 3 } ^ { * } } - \frac { \Omega - H _ { 1 } - H _ { 2 } } { H _ { 4 } ^ { * } - H _ { 2 } } \right) } \\ & { \times \frac 1 { ( \Omega - H _ { 1 } - H _ { 2 } - V _ { 1 2 } ) ( \Omega - H _ { 3 } ^ { * } - H _ { 4 } ^ { * } - V _ { 3 4 } ) } \Big ] _ { 1 1 1 1 , i i j j } } \end{array}
{ \frac { \log { \cal Z } _ { \mathrm { e f f } } } { V } } \; = \; { \frac { 1 } { 1 2 \pi } } m ^ { 3 } ( \Lambda ) - \; { \frac { 1 } { 8 \pi } } { \frac { \lambda } { 1 6 \pi } } m ^ { 2 } \; - \; { \frac { 1 } { 1 2 \pi } } \left[ 4 \log { \frac { \Lambda } { 2 m } } + { \frac { 9 } { 2 } } - 4 \log 2 \right] \left( { \frac { \lambda } { 1 6 \pi } } \right) ^ { 2 } m \, .
v _ { 2 + 3 } ^ { \mathrm { r e d } } ( T , n ) = - \frac { T } { \pi } \left[ v _ { 2 } ( T ) + v _ { 3 } ( T ) n ^ { 1 / 2 } \ln \left( \frac { 4 \pi n } { T ^ { 2 } } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \langle E _ { \delta } \rangle } & { \overset { ! } { = } \langle E _ { \mathrm { B } } \rangle } \\ { \Leftrightarrow \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } E \cdot \rho ( E ) \cdot f _ { \delta } ( E ) \cdot \mathrm { d } E } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( E ) \cdot f _ { \delta } ( E ) \cdot \mathrm { d } E } } & { = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } E \cdot \rho ( E ) \cdot f _ { \mathrm { B } } ( E ) \cdot \mathrm { d } E } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \rho ( E ) \cdot f _ { \mathrm { B } } ( E ) \cdot \mathrm { d } E } } \\ { \Leftrightarrow \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } E \cdot \sqrt { E } \cdot \delta ( E - E _ { 0 } ) \cdot \mathrm { d } E } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { E } \cdot \delta ( E - E _ { 0 } ) \cdot \mathrm { d } E } } & { = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } E \cdot \sqrt { E } \cdot \exp \left( - \frac { E } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) \cdot \mathrm { d } E } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \sqrt { E } \cdot \exp \left( - \frac { E } { k _ { \mathrm { B } } T } \right) \cdot \mathrm { d } E } } \\ { \Leftrightarrow E _ { 0 } } & { = 3 / 2 \cdot k _ { \mathrm { B } } T } \end{array}
{ \cal Q } _ { N } ( \vartheta ) = \mathop { \operatorname * { l i m } } _ { \eta \rightarrow 0 } \frac { 1 } { i } \log \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( \vartheta + i \eta ) } } { 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { - i Z _ { N } ( \vartheta - i \eta ) } } \: .
\widetilde { E } ^ { 2 } \frac { \psi } { \widetilde { v } ^ { 2 } } + \widetilde { E } \left( 1 + \psi + \frac { \psi } { \widetilde { v } ^ { 2 } } \widetilde { N } \right) - 1 + \psi \widetilde { N } = 0 ,
\begin{array} { r } { \frac { L ^ { ' } } { R } = \frac { 1 } { R } \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) } } = \sqrt { \frac { \sin \phi _ { 1 } } { 2 } } \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } = 2 . 0 8 8 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { S } _ { 0 } } & { { } = \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } + \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } , \qquad \hat { S } _ { 1 } = \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } - \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } , } \\ { \hat { S } _ { 2 } } & { { } = \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } + \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } , \qquad \hat { S } _ { 3 } = i ( \hat { a } _ { V } ^ { \dagger } \hat { a } _ { H } - \hat { a } _ { H } ^ { \dagger } \hat { a } _ { V } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Pi _ { N } ^ { \otimes n } \rho _ { n } ( t , x _ { 1 } , . . . , x _ { n } ) = \rho _ { 0 } ^ { ( N ) } ( t ) \frac { 1 } { n ! } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { j } g _ { j } ( t ) \xi _ { j } ( x _ { 1 } ) \right) \cdot \cdot \cdot \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } c _ { j } g _ { j } ( t ) \xi _ { j } ( x _ { n } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { = - \int _ { \partial V } \mathbf { S } ^ { \mathrm { p o y n } } ( \mathbf { r } , \omega ) \cdot \mathbf { \hat { n } } d \mathbf { r } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { V } \mathrm { R e } \{ \mathbf { J } ^ { * } ( \mathbf { r } , \omega ) \cdot \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) \} d \mathbf { r } . } \end{array}
\delta W = \frac { f ^ { \prime } } { M _ { 0 } ^ { 3 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } \epsilon _ { \alpha ^ { \prime } \beta ^ { \prime } \gamma ^ { \prime } } ( Q _ { \alpha } ^ { I } Q _ { \beta } ^ { J } Q _ { \gamma } ^ { K } ) ( \bar { Q } _ { I } ^ { \alpha ^ { \prime } } \bar { Q } _ { J } ^ { \beta ^ { \prime } } \bar { Q } _ { K } ^ { \gamma ^ { \prime } } ) \, .
{ \begin{array} { r } { \mu ( A + B ) \geq \mu ( A ^ { + } + B ^ { + } ) + \mu ( A ^ { - } + B ^ { - } ) \geq ( \mu ( A ^ { + } ) ^ { 1 / n } + \mu ( B ^ { + } ) ^ { 1 / n } ) ^ { n } + ( \mu ( A ^ { - } ) ^ { 1 / n } + \mu ( B ^ { - } ) ^ { 1 / n } ) ^ { n } } \\ { = \mu ( B ^ { + } ) ( 1 + { \frac { \mu ( A ^ { + } ) ^ { 1 / n } } { \mu ( B ^ { + } ) ^ { 1 / n } } } ) ^ { n } + \mu ( B ^ { - } ) ( 1 + { \frac { \mu ( A ^ { - } ) ^ { 1 / n } } { \mu ( B ^ { - } ) ^ { 1 / n } } } ) ^ { n } = ( 1 + { \frac { \mu ( A ) ^ { 1 / n } } { \mu ( B ) ^ { 1 / n } } } ) ^ { n } ( \mu ( B ^ { + } ) + \mu ( B ^ { - } ) ) = ( \mu ( B ) ^ { 1 / n } + \mu ( A ) ^ { 1 / n } ) ^ { n } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { e _ { 1 } ( s ) } \\ { e _ { 2 } ( s ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \cos \theta ( s ) } & { - \sin \theta ( s ) } \\ { \sin \theta ( s ) } & { \phantom { + } \cos \theta ( s ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { N ( s ) } \\ { B ( s ) } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\frac { \partial E _ { k } } { \partial t } = \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } K _ { \theta , \phi } } { 1 2 8 b _ { 0 } } k ^ { 2 + 2 x } \int _ { \Delta _ { \perp } } \sum _ { s s _ { p } s _ { q } } \delta ( s + s _ { p } \tilde { p } + s _ { q } \tilde { q } ) \frac { s } { \tilde { p } \tilde { q } } \left[ C _ { E } ^ { 2 } \left( s { \tilde { p } } ^ { x } { \tilde { q } } ^ { x } + s _ { p } { \tilde { p } } ^ { 3 } { \tilde { q } } ^ { x } + s _ { q } { \tilde { p } } ^ { x } { \tilde { q } } ^ { 3 } \right) \right.
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { I } ( X ; Y ) } & { = D _ { \mathrm { K L } } ( P ( X , Y ) \parallel P ( X ) P ( Y ) ) } \\ & { = \operatorname { E } _ { X } \{ D _ { \mathrm { K L } } ( P ( Y \mid X ) \parallel P ( Y ) ) \} } \\ & { = \operatorname { E } _ { Y } \{ D _ { \mathrm { K L } } ( P ( X \mid Y ) \parallel P ( X ) ) \} } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } c _ { i } ^ { \mathrm { g l o b } } < \sum _ { i = 0 } ^ { 2 } c _ { i } ^ { \mathrm { l o c } } } \\ { \Leftrightarrow \; } & { 1 + r _ { p } + \frac 1 2 r _ { p } ( r _ { p } + 1 ) + s + \frac 1 2 g ( g + 1 ) - \rho + h _ { \mathrm { B K } } + n _ { 1 } + n _ { 2 } - \# | D | } \\ & { \qquad < 1 + g + 2 g ^ { 2 } + n - 1 } \\ { \Leftrightarrow \; } & { 0 < \frac 1 2 g ( 3 g + 1 ) - \frac 1 2 r _ { p } ( r _ { p } + 3 ) + \rho + \# | D | + n _ { 2 } - 1 - s - h _ { \mathrm { B K } } . } \end{array}
\overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { i - 1 } \mathcal { R } _ { n } = \left[ \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { i - 1 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { 0 } \right) , \ldots , \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { i - 1 } \mathbf { g } \left( \gamma _ { n \varepsilon } \right) \right]
\begin{array} { r l } { { \bf W } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { c c } { s _ { 0 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) + s _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { s _ { 2 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) - i s _ { 3 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \\ { s _ { 2 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) + i s _ { 3 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } & { s _ { 0 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) - s _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) } \end{array} \right] } \end{array}
\kappa = \frac { L R } { \epsilon _ { \textup { o p t } } } , \; K = \left( \frac R r \right) ^ { \frac 2 3 } = d ^ { \frac 1 3 } \kappa ^ { \frac 2 3 } , \; \lambda _ { \star } = \frac { \epsilon _ { \textup { o p t } } K ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \log ^ { 2 } \kappa = \frac { \epsilon _ { \textup { o p t } } d ^ { \frac 2 3 } \kappa ^ { \frac 4 3 } } { R ^ { 2 } } \log ^ { 2 } \kappa .
Q _ { X } = Q - 2 \pi \sum _ { \vec { b } \in B _ { X } } [ G _ { - } , \mu _ { 2 } ( q _ { \vec { b } } \Psi _ { \vec { b } } , \cdot ) ] = \psi _ { R } ^ { j } \frac { \partial } { \partial r ^ { j } } + 2 \pi i \sum _ { \vec { b } \in B _ { X } } q _ { \vec { b } } \frac { \partial \Psi _ { \vec { b } } } { \partial Y _ { j } } \frac { \partial } { \partial \psi _ { \Phi } ^ { j } } .
t = \frac { S N R \, \cdot T } { \tilde { G } _ { 1 } ^ { 2 } Q F _ { 0 } ^ { 6 } L _ { z } ^ { 3 } \omega _ { s } \kappa _ { E H } ^ { 2 } } \left( \frac { \kappa _ { E H } } { \kappa } \right) ^ { 2 } ,
\phi _ { g } ( r , t = 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { C \left( 1 . 0 - \frac { r ^ { 2 } } { r _ { b } ^ { 2 } } \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } g = 0 , 1 } \\ { 0 . 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
= \int _ { 0 } ^ { 1 } { \biggl [ } { \frac { 2 } { y } } \operatorname { a r t a n h } ( y ) - { \frac { 2 } { y } } \operatorname { a r t a n h } { \biggl ( } { \frac { { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } \, y } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } } { \biggr ) } { \biggr ] } _ { x = 0 } ^ { x = 1 } \, \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 2 } { y } } \operatorname { a r t a n h } ( y ) \, \mathrm { d } y =
\begin{array} { r } { \int \frac { d x } { \sqrt { x [ ( E - b + b x ) ( 2 - x ) - \gamma ] } } = \sqrt { \frac { 2 } { I _ { 2 } } } \int d t , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad x \equiv 1 - \cos \theta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \leftrightarrow Z _ { 1 } \otimes Z _ { 2 } \otimes . . . \otimes Z _ { j - 1 } \otimes \sigma _ { j } ^ { + } \otimes \mathbb { 1 } _ { j + 1 } . . . \otimes \mathbb { 1 } _ { N } } \\ { \hat { a } _ { j } \leftrightarrow Z _ { 1 } \otimes Z _ { 2 } \otimes . . . \otimes Z _ { j - 1 } \otimes \sigma _ { j } ^ { - } \otimes \mathbb { 1 } _ { j + 1 } . . . \otimes \mathbb { 1 } _ { N } } \end{array}