harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { n = 1 } ^ { \lfloor t \rfloor } n ^ { - s } \right| } & { \le \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { 0 } } n ^ { - \sigma _ { k } } + \int _ { n _ { 0 } } ^ { \lfloor t \rfloor } x ^ { - \sigma _ { k } } \mathrm { d } x = \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { 0 } } n ^ { - \sigma _ { k } } + \frac { ( t + 1 ) ^ { 1 - \sigma _ { k } } - n _ { 0 } ^ { 1 - \sigma _ { k } } } { 1 - \sigma _ { k } } } \\ & { \le \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { 0 } } n ^ { - \sigma _ { k } } + \frac { 2 K - 2 } { k } \left( t ^ { k / ( 2 K - 2 ) } ( 1 + t _ { 0 } ^ { - 1 } ) ^ { k / ( 2 K - 2 ) } - n _ { 0 } ^ { k / ( 2 K - 2 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { ( i , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i , j - 1 ) } - \phi ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j - 1 ) } - \phi ^ { ( i + 1 , j ) } + \phi ^ { ( i - 1 , j ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i - 1 , j + 1 ) } } & { { } = 0 , } \\ { - \phi ^ { ( i + 1 , j ) } + \phi ^ { ( i - 1 , j ) } + \phi ^ { ( i + 2 , j ) } - \phi ^ { ( i , j ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i - 1 , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i + 2 , j + 1 ) } + \phi ^ { ( i , j + 1 ) } } & { { } = 0 , } \\ { - \phi ^ { ( i , j + 1 ) } + \phi ^ { ( i , j - 1 ) } + \phi ^ { ( i , j + 2 ) } - \phi ^ { ( i , j ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i + 1 , j - 1 ) } - \phi ^ { ( i + 1 , j + 2 ) } + \phi ^ { ( i + 1 , j ) } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \alpha \left| \! \left| \sum _ { i } \sum _ { j } \int _ { e _ { i , j } \in \partial \mathcal { K } _ { i } } \mathcal { H } ( \mathbf { u } _ { 0 } | _ { \mathcal { K } _ { i } } , \mathbf { u } _ { 0 } | _ { \mathcal { K } _ { j } } , n _ { i , j } ) \cdot n _ { i , j } d s \right| \! \right| _ { L _ { 1 } } \mathbf { z } _ { 0 } } \\ & { - \sum _ { K \in \mathcal { K } _ { h } } \int _ { \partial K \backslash \Gamma } w ^ { + } \cdot r ^ { * } [ R _ { p } ^ { 0 } ( \mathbf { u } _ { 0 } ) _ { h } ^ { H } ] ( \mathbf { z } _ { 0 } ) d s - \sum _ { K \in \mathcal { K } _ { h } } \int _ { \partial K \backslash \Gamma } w ^ { + } \cdot r _ { \Gamma } ^ { * } [ R _ { p } ^ { 0 } ( \mathbf { u } _ { 0 } ) _ { h } ^ { H } ] ( \mathbf { z } _ { 0 } ) d s = 0 , \qquad \forall w \in \mathcal { V } _ { 0 } ^ { B _ { h } } , } \end{array}
\langle ( H _ { 1 } ) _ { \alpha ^ { ' } } ^ { \alpha } \rangle = \langle ( \overline { { { H } } } _ { 1 } ) _ { \alpha } ^ { \alpha ^ { ' } } \rangle = \left( \begin{array} { c c c c c } { { a _ { 1 } } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { a _ { 1 } } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { a _ { 1 } } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\phi _ { 1 } = a P - \frac { \zeta _ { 3 } } { b } Q ^ { - 1 } P , \ \ \ \ \phi _ { 2 } = - b P ^ { - 1 } Q + \frac { \zeta _ { 1 } } { c } Q , \ \ \ \, p h i _ { 3 } = c Q ^ { - 1 } + \frac { \zeta _ { 2 } } { a } P ^ { - 1 }
D _ { L L } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { m ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } { q ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } \tau _ { c } ^ { 2 } \frac { | \delta B _ { m } | ^ { 2 } } { B _ { E } ^ { 2 } } L ^ { 4 } \sim L ^ { 6 } , } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 7 7 m ^ { 2 } \Omega _ { d } ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } \gg 1 , } \\ { \frac { 8 ^ { 2 } } { 2 1 ^ { 2 } } \frac { | \delta B _ { m } | ^ { 2 } } { B _ { E } ^ { 2 } } L ^ { 8 } \sim L ^ { 1 0 } , } & { \mathrm { i f ~ } 0 . 7 7 m ^ { 2 } \Omega _ { d } ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } \ll 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \delta { F } _ { \mathrm { { e l } } } } & { = 2 \pi \int _ { r , z } \delta \left( r f [ u ( r ) , u ^ { \prime } ( r ) , u ^ { \prime \prime } ( r ) ] \right) d r \ d z } \\ & { = 2 \pi \int _ { r , z } \left[ \frac { \partial ( r f ) } { \partial u } \delta u + \frac { \partial ( r f ) } { \partial u ^ { \prime } ( r ) } \delta u ^ { \prime } ( r ) + \cdot \cdot \cdot \right] d r \ d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { s } ( y , s ) } & { = - \frac { 3 L } { 4 \pi E _ { s } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \log | y - y ^ { \prime } | \partial _ { s } f ( y ^ { \prime } \! , s ) \mathrm { d } y ^ { \prime } + \frac { 3 \dot { C } ( s ) } { 2 \pi E _ { s } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { f ( y ^ { \prime } \! , s ) } { y - y ^ { \prime } } \mathrm { d } y ^ { \prime } \! . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = X _ { \omega } \cup \bigcup _ { n \in \mathbb N } X _ { 2 n } \; , } \\ { B _ { 1 } } & { = Y _ { \omega } \cup \bigcup _ { n \in \mathbb N } Y _ { 2 n + 1 } \; , } \\ { A _ { 2 } } & { = \bigcup _ { n \in \mathbb N } X _ { 2 n + 1 } \; , \mathrm { ~ a n d } } \\ { B _ { 2 } } & { = \bigcup _ { n \in \mathbb N } Y _ { 2 n } \; ; } \end{array}
C _ { 2 g } = \Theta \left( \xi - \frac { 1 } { 2 } \right) \frac { 1 } { 2 } T _ { R } \left( \left( \xi ^ { 2 } + ( 1 - \xi ) ^ { 2 } \right) ( 4 \xi - 2 + 2 \ln ( 1 - \xi ) - 2 \ln \xi ) + 8 \xi ( 1 - \xi ) ( 1 - 2 \xi ) ) \right) \, ,
\frac { d g _ { \pi \gamma } ( E _ { \pi } ) } { d E _ { \gamma } } = \frac { 2 } { \gamma m _ { \pi } \beta } = \frac { 2 } { ( E _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \, ,
\begin{array} { r l } { h _ { l } ( X _ { i } , X _ { j } , X _ { k } ) = } & { \frac { 1 } { 6 } \big [ { \mathrm { s g n } } ( x _ { i , p _ { 1 } } - x _ { j , p _ { 1 } } ) { \mathrm { s g n } } ( x _ { i , p _ { 2 } } - x _ { k , p _ { 2 } } ) + { \mathrm { s g n } } ( x _ { i , p _ { 1 } } - x _ { k , p _ { 1 } } ) { \mathrm { s g n } } ( x _ { i , p _ { 2 } } - x _ { j , p _ { 2 } } ) } \\ & { + { \mathrm { s g n } } ( x _ { j , p _ { 1 } } - x _ { i , p _ { 1 } } ) { \mathrm { s g n } } ( x _ { j , p _ { 2 } } - x _ { k , p _ { 2 } } ) + { \mathrm { s g n } } ( x _ { j , p _ { 1 } } - x _ { k , p _ { 1 } } ) { \mathrm { s g n } } ( x _ { j , p _ { 2 } } - x _ { i , p _ { 2 } } ) } \\ & { + { \mathrm { s g n } } ( x _ { k , p _ { 1 } } - x _ { i , p _ { 1 } } ) { \mathrm { s g n } } ( x _ { k , p _ { 2 } } - x _ { j , p _ { 2 } } ) + { \mathrm { s g n } } ( x _ { k , p _ { 1 } } - x _ { j , p _ { 1 } } ) { \mathrm { s g n } } ( x _ { k , p _ { 2 } } - x _ { i , p _ { 2 } } ) \big ] . } \end{array}
\left[ M { \frac { \partial } { \partial M } } + \beta ( e ) { \frac { \partial } { \partial e } } + n \gamma _ { 2 } + m \gamma _ { 3 } \right] G ^ { ( n , m ) } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { n } ; y _ { 1 } , y _ { 2 } , \ldots , y _ { m } ; M , e ) = 0
c = \sqrt [ 3 ] { \frac { | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } | + | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { - } | - \frac { 4 \pi } { 3 } k \varepsilon ^ { 3 } } { | \Omega _ { x _ { 0 } , r } ^ { + } | } } ,
\begin{array} { r } { m _ { n } \Ddot { u } _ { n } ^ { ( 2 ) } - \alpha _ { 1 1 } ( u _ { n } ^ { ( 1 ) } - u _ { n } ^ { ( 2 ) } ) - \beta _ { 1 1 } ( u _ { n + 1 } ^ { ( 1 ) } - u _ { n } ^ { ( 2 ) } ) - \alpha _ { 1 2 } ( \phi _ { n } ^ { ( 1 ) } - \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } ) - \beta _ { 1 2 } ( \phi _ { n + 1 } ^ { ( 1 ) } - \phi _ { n } ^ { ( 2 ) } ) = 0 } \end{array}
L _ { \kappa } ( \theta ^ { ( 0 ) } ) - L _ { \kappa } ( \theta ^ { * } ) = J ^ { ( 0 ) } ( \mu ) - J ^ { * } ( \mu ) - \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } \sum _ { s _ { 1 } , a _ { 1 } , \eta _ { 2 } } \log \frac { \pi _ { 1 } ^ { \theta ^ { ( 0 ) } } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } { \pi _ { 1 } ^ { \theta ^ { * } } ( a _ { 1 } , \eta _ { 2 } | s _ { 1 } ) } - \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } \sum _ { s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \log \frac { \pi _ { 2 } ^ { \theta ^ { ( 0 ) } } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) } { \pi _ { 2 } ^ { \theta ^ { * } } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) } \le \bar { C } - \kappa \log \pi _ { 1 } ^ { L B } - \kappa \log \pi _ { 2 } ^ { L B }
{ \Bigg ( } { \frac { 1 7 } { p } } { \Bigg ) } _ { 4 } { \Bigg ( } { \frac { p } { 1 7 } } { \Bigg ) } _ { 4 } = { \left\{ \begin{array} { l l } { + 1 { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } \; \; p = x ^ { 2 } + 1 7 y ^ { 2 } } \\ { - 1 { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } 2 p = x ^ { 2 } + 1 7 y ^ { 2 } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { k _ { B } T _ { x } } & { { } = } & { < m ( v _ { x } - v _ { x } ^ { b g } ) ^ { 2 } > , } \\ { k _ { B } T _ { y } } & { { } = } & { < m v _ { y } ^ { 2 } > , } \\ { k _ { B } T _ { z } } & { { } = } & { < m v _ { z } ^ { 2 } > , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \theta , { \eta } ; { x } _ { i } , { z } _ { i } , y _ { i } ) } & { = G \big ( \ensuremath { \langle { x } _ { i } , \, \theta \rangle } + \ensuremath { \langle { z } _ { i } , \, { \eta } \rangle } \big ) - y _ { i } ( \ensuremath { \langle { x } _ { i } , \, \theta \rangle } + \ensuremath { \langle { z } _ { i } , \, { \eta } \rangle } ) . } \end{array}
\sin ( x ) = { \cfrac { x } { 1 + { \cfrac { x ^ { 2 } } { 2 \cdot 3 - x ^ { 2 } + { \cfrac { 2 \cdot 3 x ^ { 2 } } { 4 \cdot 5 - x ^ { 2 } + { \cfrac { 4 \cdot 5 x ^ { 2 } } { 6 \cdot 7 - x ^ { 2 } + \ddots } } } } } } } } .
\begin{array} { r l r } { \left[ n _ { i } v _ { i } \right] _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { 0 , } \\ { \left[ n _ { i } k _ { B } T _ { \perp i } + \frac { B _ { i } ^ { 2 } } { 8 \pi } + m n _ { i } v _ { i } ^ { 2 } \right] _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { 0 , } \\ { \left[ B _ { i } v _ { i } \right] _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { 0 , } \\ { \left[ \frac { n _ { i } v _ { i } } { 2 } ( k _ { B } T _ { \parallel i } + 4 k _ { B } T _ { \perp i } ) + n _ { i } v _ { i } \frac { 1 } { 2 } m v _ { i } ^ { 2 } + v _ { i } \frac { B _ { i } ^ { 2 } } { 4 \pi } \right] _ { 1 } ^ { 2 } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { c o v } \left( \bar { X } , X _ { ( p n ) } \right) \, = \, f \left( \nu _ { p } \right) ^ { - 1 } \mathrm { E } \left( X _ { 1 } - \nu _ { p } \right) \left\{ p I \left( X _ { 1 } > \nu _ { p } \right) - ( 1 - p ) I \left( X _ { 1 } \le \nu _ { p } \right) \right\} , } \\ & { } & { \mathrm { v a r } \left( X _ { ( p n ) } \right) \, = \, f \left( \nu _ { p } \right) ^ { - 2 } p ( 1 - p ) , \, \, \, \mathrm { P r } \left( X _ { 1 } < \nu _ { p } \right) \, = \, p . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial E ( z , \omega ) } { \partial z } } & { = } & { - i \left( \frac { [ \sqrt { \epsilon ( \omega ) } - n _ { g } ] \omega } { c } - \beta ( \omega _ { 0 } ) \right) E ( z , \omega ) } \\ & { - } & { \frac { i \omega } { 2 c \sqrt { \epsilon ( \omega ) } } P _ { \mathrm { N L } } ( z , \omega ) , } \end{array}
\mathbf { g } _ { i , j _ { 1 } , \ldots , j _ { d } } ^ { ( d ) } ( h ) : = \mathbf { g } ^ { ( d ) } ( \mathbf { x } _ { i } ( h ) , \mathbf { x } _ { j _ { 1 } } ( h ) , \dots , \mathbf { x } _ { j _ { d } } ( h ) )
\begin{array} { r } { \hat { v } ( x , t , k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { m _ { - } ^ { \omega } ( x , t , k ) v ^ { ( 3 ) } ( x , t , k ) m _ { + } ^ { \omega } ( x , t , k ) ^ { - 1 } , } & { k \in \hat { \Gamma } \cap \mathcal { D } , } \\ { m ^ { \omega } ( x , t , k ) , } & { k \in \partial \mathcal { D } , } \\ { v ^ { ( 3 ) } ( x , t , k ) , } & { k \in \hat { \Gamma } \setminus \bar { \mathcal { D } } . } \end{array} \right. } \end{array}
d x ^ { \mu _ { 1 } } \wedge d x ^ { \mu _ { 2 } } \wedge \cdots \wedge d x ^ { \mu _ { r } } = \sum _ { \mathrm { { \scriptsize ~ p e r m u t a t i o n s } } \, P } \mathrm { s i g n } ( P ) d x ^ { \mu _ { P ( 1 ) } } \otimes d x ^ { \mu _ { P ( 2 ) } } \otimes \cdots \otimes d x ^ { \mu _ { P ( r ) } } ,
\begin{array} { r l } { \Theta _ { \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k + 1 } } ^ { j _ { k } , j _ { k + 1 } } = \sum _ { i _ { k } , i _ { k + 1 } = 0 } ^ { d - 1 } \sum _ { \alpha _ { k } = 0 } ^ { \chi - 1 } } & { U _ { i _ { k } , i _ { k + 1 } } ^ { j _ { k } , j _ { k + 1 } } \lambda _ { \alpha _ { k - 1 } } ^ { [ k - 1 ] } \Gamma _ { \alpha _ { k - 1 } \alpha _ { k } } ^ { [ k ] i _ { k } } } \\ & { \lambda _ { \alpha _ { k } } ^ { [ k ] } \Gamma _ { \alpha _ { k } \alpha _ { k + 1 } } ^ { [ k + 1 ] i _ { k + 1 } } \lambda _ { \alpha _ { k + 1 } } ^ { [ k + 1 ] } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { z ( t ) } & { = } & { { \cal T } _ { q } ( t - s _ { i } ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , z _ { s _ { i } } ) + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) [ { \cal F } ( e , z _ { e } ) + { \cal A } \hat { u } ( e ) ] d e } \\ & { } & { + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal G } ( e , z _ { e } ) d \hat { \cal W } ( e ) + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) , } \end{array}
\mathrm { t r } ( \gamma ^ { [ A } \tilde { \gamma } ^ { B } \gamma ^ { C ] } \tilde { \gamma } _ { [ D } \gamma _ { E } \tilde { \gamma } _ { F ] } ) = 4 \epsilon ^ { A B C } { } _ { D E F } - 2 4 \delta _ { ~ D } ^ { [ A } \delta _ { ~ E } ^ { B } \delta _ { ~ F } ^ { C ] }
^ 3 F _ { s _ { \lambda } t _ { \mu } u _ { \nu } } ^ { p _ { \sigma } q _ { \tau } r _ { \kappa } } = \langle \Psi | \hat { a } _ { u _ { \nu } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { t _ { \mu } } \hat { a } _ { s _ { \lambda } } \hat { a } _ { p _ { \sigma } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q _ { \tau } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r _ { \kappa } } | \Psi \rangle ,
\mathbf { D } ^ { 2 } = \omega ^ { 2 } \left( \begin{array} { l l l l l l } { - 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & & { \ddots } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 2 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \Bigl | h \partial _ { \nu } u | _ { y = 0 } \Bigr | ^ { 2 } } & { = h ^ { 2 } \Bigl ( c _ { m n } ^ { 2 } m ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( n \pi x ) + 2 c _ { m n } d _ { m n } \pi ^ { 2 } n m \sin ( n \pi x ) \sin ( m \pi x ) } \\ & { \quad + d _ { m n } ^ { 2 } n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( m \pi x ) \Bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \cos ( \theta ) } & { = \left| \boldsymbol { p } \cdot \boldsymbol { \hat { g } } \right| } \\ { \cos ( \psi ) } & { = \left| \frac { \left[ \left( \mathbb { 1 } - \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } \right) \cdot \boldsymbol { \hat { g } } \right] \cdot \boldsymbol { p ^ { \prime } } } { | \left( \mathbb { 1 } - \boldsymbol { p } \boldsymbol { p } \right) \cdot \boldsymbol { \hat { g } } | } \right| } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { I } ^ { J _ { 2 } } } & { = 0 , } \\ { \dot { \Omega } ^ { J _ { 2 } } } & { = - \frac { 3 } { 2 } \, n _ { \mathrm { b } } \, J _ { 2 } \, \left( \frac { R } { p } \right) ^ { 2 } \, \cos I , } \\ { \dot { \omega } ^ { J _ { 2 } } } & { = \frac { 3 } { 8 } \, n _ { \mathrm { b } } \, J _ { 2 } \, \left( \frac { R } { p } \right) ^ { 2 } \, \left( 3 + 5 \cos 2 I \right) . } \end{array}
Q = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { 0 } & { - { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos 3 0 ^ { \circ } } & { \sin 3 0 ^ { \circ } } \\ { 0 } & { - \sin 3 0 ^ { \circ } } & { \cos 3 0 ^ { \circ } } \end{array} \right] }
\epsilon _ { m , m ^ { \prime } } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 , } } & { { m > m ^ { \prime } , } } \\ { { 0 , } } & { { m = m ^ { \prime } , } } \\ { { - 1 , } } & { { m < m ^ { \prime } , } } \end{array} \right.
\widehat { \lambda } = \widehat { \lambda } ( \boldsymbol { p } _ { 0 } ) + \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \cdot \delta \widetilde { \boldsymbol { p } } + \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \cdot \delta \widehat { \boldsymbol { p } } + \frac { \partial } { { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } } \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \boldsymbol { : } \delta \widetilde { \boldsymbol { p } } \delta \widetilde { \boldsymbol { p } } + \frac { \partial } { { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } } \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } \boldsymbol { : } \delta \widehat { \boldsymbol { p } } \delta \widehat { \boldsymbol { p } } + \textit { O } ( | \delta \boldsymbol { p } | ^ { 3 } ) ,
\pi _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } = \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } p _ { j i } ^ { \left[ \beta \right] } \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { j } ^ { \left[ \gamma \right] } + \left( 1 - \frac { 1 } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } p _ { i j } ^ { \left[ \beta \right] } \right) \sum _ { \gamma = 1 } ^ { L } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } ,
V _ { u s } \; \approx \; \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } - \sqrt { \frac { m _ { u } } { m _ { c } } } e ^ { i \sigma } \; , \; \; \; \; \; \; \; V _ { c d } \; \approx \; \sqrt { \frac { m _ { u } } { m _ { c } } } - \sqrt { \frac { m _ { d } } { m _ { s } } } e ^ { i \sigma } \;
P ( L ^ { - } , L ^ { + } ) = \binom { \binom { N } { 2 } } { L ^ { - } , L ^ { 0 } , L ^ { + } } ( p ^ { - } ) ^ { L ^ { - } } ( p ^ { 0 } ) ^ { L ^ { 0 } } ( p ^ { + } ) ^ { L ^ { + } } ;
\begin{array} { r l } { N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } } & { = N ^ { \frac { ( 2 D - 1 ) \varepsilon } { 2 D } } N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \cdot N ^ { - \frac { ( 2 D - 1 ) \varepsilon } { 2 D } } | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 D } N ^ { ( 2 D - 1 ) \varepsilon } ( N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } ) ^ { 2 D } + \frac { 2 D - 1 } { 2 D } N ^ { - \varepsilon } | { \texttt X } | ^ { 2 D } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } } & { { } = 0 , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } = \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt { \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } = - \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } } \\ { \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } } & { { } = - \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } = 0 , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } = \frac { x ^ { 1 } } { \sqrt { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } } \\ { \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } } & { { } = \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } = - \frac { x ^ { 1 } } { \sqrt { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \| f _ { j } \| ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 j + 1 } } } & { = 2 \sum _ { k \geq 1 } I _ { j , k } { \bar { I } } _ { j , k } + { \frac { 1 } { ( j + 1 ) ^ { 2 } } } } \\ & { = 2 \sum _ { m = 1 } ^ { j } \sum _ { r = 1 } ^ { j } { \frac { j ! ^ { 2 } } { ( j + 1 - m ) ! ( j + 1 - r ) ! } } { \frac { ( - 1 ) ^ { r } } { \imath ^ { m + r } } } { \frac { \zeta ( m + r ) } { ( 2 \pi ) ^ { m + r } } } + { \frac { 1 } { ( j + 1 ) ^ { 2 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { \tilde { k } _ { z } } { \tilde { k } _ { \ensuremath { \mathrm { S } } \ensuremath { \mathrm { T } } _ { z } } } = \frac { 4 J ( 2 k _ { \mathrm { b } } + k _ { \mathrm { C R } } ) } { ( 2 k _ { \mathrm { b } } + k _ { \mathrm { C R } } ) ^ { 2 } + 4 \delta \epsilon ^ { 2 } + 8 J \delta \epsilon \cos 2 \theta } } \end{array}
\lambda _ { L } ( z ) = \frac { 1 } { 2 L } \left[ \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { L - 2 z } { 2 \sqrt { 2 } \sigma _ { r } } \right) + \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { L + 2 z } { 2 \sqrt { 2 } \sigma _ { r } } \right) \right]
\left. \overline { { u ^ { \prime } C ^ { \prime } } } \right| _ { L _ { m i x } } \approx - \frac { k ^ { 2 } L _ { m i x } ^ { 2 } } { P _ { r } } \left| \frac { \partial w } { \partial r } \right| \frac { \partial C } { \partial r }
\sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \int _ { t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } } \left( \frac { ( t - t _ { j } ) ^ { \theta } } { \theta ! } g _ { j , \theta } ^ { ( \theta ) } \right) ^ { 2 } \, \mathrm { d } t = \frac { ( \Delta t ) ^ { 2 \theta + 1 } } { ( 2 \theta + 1 ) ( \theta ! ) ^ { 2 } } \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \left( g _ { j , \theta } ^ { ( \theta ) } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { 0 \leq k \leq K - 1 } \mathbb { E } \left[ \| F ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } \right] } & { \leq } & { \operatorname* { m i n } _ { 0 \leq k \leq K - 1 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq } & { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 2 } \frac { w _ { k } } { W _ { K - 1 } } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { k } } ( \hat { x } _ { k } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { \omega \gamma ( 1 - C _ { 1 } ) W _ { K - 1 } } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \left( w _ { k - 1 } \mathbb { E } \left[ \| x _ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] \right. } \\ & { } & { \quad \left. - w _ { k } \mathbb { E } \left[ \| x _ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right] \right) + \frac { 2 C _ { 2 } w _ { 0 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( \hat { x } _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } { ( 1 - C _ { 1 } ) W _ { K - 1 } } } \\ & { } & { \quad + \frac { 2 C _ { 3 } W _ { K } \sigma _ { * } ^ { 2 } } { ( 1 - C _ { 1 } ) W _ { K - 1 } } } \\ & { \leq } & { \frac { w _ { - 1 } \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { \omega \gamma ( 1 - C _ { 1 } ) W _ { K - 1 } } + \frac { 2 C _ { 2 } w _ { 0 } \mathbb { E } \left[ \| F _ { v _ { 0 } } ( \hat { x } _ { 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } { ( 1 - C _ { 1 } ) W _ { K - 1 } } + \frac { 2 C _ { 3 } W _ { K } \sigma _ { * } ^ { 2 } } { ( 1 - C _ { 1 } ) W _ { K - 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P r o b } ( X _ { t + \Delta t } ^ { i } = G | X _ { t } ^ { i } = I ) : = \lambda _ { N } ^ { I \rightarrow G } \left( w _ { \mathrm { e c } } ^ { i } , w _ { \mathrm { i r r } } ^ { i } , \frac { N _ { G } ( X _ { t } ) } { N } \right) \cdot \Delta t } \\ & { \quad \quad \quad \mathrm { w h e r e } \, \, \lambda _ { N } ^ { I \rightarrow G } \left( w _ { \mathrm { e c } } ^ { i } , w _ { \mathrm { i r r } } ^ { i } , \frac { N _ { G } ( X _ { t } ) } { N } \right) = w _ { \mathrm { e c } } ^ { i } \cdot U _ { \mathrm { e c } } \left( w _ { \mathrm { i r r } } ^ { i } , \frac { N _ { G } ( X _ { t } ) } { N } \right) . } \end{array}
{ \hat { \cal H } } _ { 4 } = \left( \begin{array} { l l l l } { b _ { 1 } t + E _ { 1 } } & { 0 } & { g ^ { * } } & { - \gamma ^ { * } } \\ { 0 } & { - b _ { 1 } t + E _ { 1 } } & { \gamma ^ { * } } & { g ^ { * } } \\ { - g } & { - \gamma } & { b _ { 2 } t + E _ { 2 } } & { 0 } \\ { \gamma } & { - g } & { 0 } & { - b _ { 2 } t + E _ { 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { r _ { i } } & { { } = } & { p _ { N } \left[ 1 - \prod _ { \alpha \in N ( i ) } ( 1 - v _ { \alpha \rightarrow i } ) \right] , } \\ { s _ { \alpha } } & { { } = } & { p _ { H } ^ { [ m ] } p _ { N } ^ { m _ { \alpha } } \left[ 1 - \prod _ { i \in N ( \alpha ) } ( 1 - w _ { i \rightarrow \alpha } ) \right] , } \end{array}
\frac { d h _ { p p ^ { \prime } } ( l ) } { d l } = \! \! - \sum _ { q } \! \left( \frac { d h _ { p q } ( l ) } { d l } \frac { 1 } { E _ { p } ( l ) - E _ { q } ( l ) } h _ { q p ^ { \prime } } ( l ) + h _ { p q } ( l ) \frac { 1 } { E _ { p ^ { \prime } } ( l ) - E _ { q } ( l ) } \frac { d h _ { q p ^ { \prime } } ( l ) } { d l } \right) \, ,