harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { ~ o ~ n ~ e ~ f ~ o ~ r ~ w ~ a ~ r ~ d ~ s ~ h ~ o ~ c ~ k ~ } \; \overrightarrow { S } \! _ { 1 j } \; \mathrm { ~ i ~ s ~ g ~ e ~ n ~ e ~ r ~ a ~ t ~ e ~ d ~ b ~ e ~ t ~ w ~ e ~ e ~ n ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ s ~ } \; ( 1 ) \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; ( j ) , } \\ { \, \mathrm { ~ o ~ n ~ e ~ b ~ a ~ c ~ k ~ w ~ a ~ r ~ d ~ s ~ h ~ o ~ c ~ k ~ } \; \overleftarrow { S } \! _ { 3 j } \; \mathrm { ~ i ~ s ~ g ~ e ~ n ~ e ~ r ~ a ~ t ~ e ~ d ~ b ~ e ~ t ~ w ~ e ~ e ~ n ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ s ~ } \; ( 3 ) \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; ( j ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { 4 \eta ( n R ^ { 2 } + R _ { m } ^ { 2 } ) } { n } + 7 ( 1 - \delta ) ( \eta + \lambda \eta ^ { 2 } ) } \\ & { \quad \cdot \left( \frac { 2 R ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } + \frac { 1 1 R _ { m } ^ { 2 } } { 2 \delta n } + \frac { 1 2 ( 1 - \delta ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } n } + \frac { 1 2 R ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } } + \frac { 2 2 8 R _ { m } ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } m ^ { 2 } n } + \frac { 4 3 2 ( 1 - \delta _ { 1 } ) { \bar { R } } ^ { 2 } } { 5 \delta ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } m ^ { 2 } n } \right) } \\ & { \leq 2 \eta { \cal R } _ { 3 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \sigma } . } \end{array}
{ \frac { \dot { y } } { \dot { x } } } = { \dot { y } } : { \dot { x } } \equiv { \frac { d y } { d t } } : { \frac { d x } { d t } } = { \frac { \frac { d y } { d t } } { \frac { d x } { d t } } } = { \frac { d y } { d x } } = { \frac { d } { d t } } { \Bigl ( } f ( x ) { \Bigr ) } = D y = f ^ { \prime } ( x ) = y ^ { \prime }
x _ { 0 } = k _ { 0 } a , \quad \; x _ { \mathrm { s } } = k _ { \mathrm { s } } a , \quad \; x _ { \mathrm { c } } ^ { \prime } = k _ { \mathrm { c } } ^ { \prime } a , \quad \; x _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } = k _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } a ,
C _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } ( p , z _ { i } ) = \| F _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } ( p ) - F _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } ( q ) \| _ { 2 } .
N _ { j l } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { \mathrm { w h e n } ~ i = j + l , j + l - 2 , \ldots , | j - l | } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right.
{ \cal K } _ { t } = 3 \, { \cal T } _ { 0 } \, k _ { \mathrm { f } } \, n \Delta t = k _ { \mathrm { f } } \frac { 3 { \cal G } m _ { 0 } ^ { 2 } R ^ { 5 } } { a ^ { 6 } } \, n \Delta t \ .
\frac { \mu } { R ^ { 4 } } - \frac { q ^ { 2 } } { R ^ { 6 } } + \frac { 1 } { \ell ^ { 2 } } \left[ 2 \, \frac { \rho } { \sigma } + \left( \frac { \rho } { \sigma } \right) ^ { 2 } \right] > 0 \, ,
\vec { Y } = \left( \begin{array} { c } { \hat { Y } _ { 1 } } \\ { \hat { Y } _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \hat { a } } \\ { \hat { \sigma } ^ { - } } \end{array} \right) , \quad \mathbf { A } = \left( \begin{array} { c c } { i \Delta _ { c } - \kappa } & { - i g } \\ { - i g } & { i \Delta _ { a } - \Gamma } \end{array} \right) ,
H _ { 2 } = H \otimes H = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] } \otimes { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right] }
\delta _ { \mu } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } H _ { \nu \rho \sigma } [ \xi | s ] = - 4 \sqrt { 6 } \pi g \int d \tau I ( \tau ) \frac { d Y ^ { \mu } ( \tau ) } { d \tau } \dot { \xi } _ { \mu } ( s ) \delta ( \xi ( s ) - Y ( \tau ) ) .
\Delta _ { F } ^ { - 1 } \left( P \right) = - \left[ \gamma ^ { 0 } \left( D _ { 0 } + \, ^ { \ast } D _ { 0 } \right) + i { \bf \gamma } . \widehat { { \bf p } } \left( D _ { s } + \, ^ { \ast } D _ { s } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 2 } = 0 \, , } & { { } } & { \vec { a } _ { 1 } \cdot \vec { a } _ { 1 } + \vec { a } _ { 2 } \cdot \vec { a } _ { 2 } = 1 \, . } \end{array}
\Omega _ { \mathrm { C N } } = 3 \sigma \sum _ { a b } | { \tilde { \mu } } _ { a b } | ^ { 2 } - 2 \chi \sum _ { a b } ( { \bf d } _ { a } ^ { * } \cdot { \bf d } _ { b } ) _ { F } { \tilde { \mu } } _ { a b } \ .
\phi _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) = 2 \pi \left( c _ { j , k } + \boldsymbol { s } _ { j , k } \cdot \boldsymbol { \xi } + \eta _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) \right) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \Omega _ { 0 , 0 } \, ,
\delta _ { l } = \sqrt { \beta + | \mu _ { l } | ^ { \alpha } } , \quad G _ { j } ^ { n + 1 } = i \sum _ { l \in { T } _ { N } } \frac { 1 } { \delta _ { l } } \widetilde { ( g ( \psi ^ { n + 1 } ) ) } _ { l } \textrm { e } ^ { i \mu _ { l } ( x _ { j } - a ) } = \sum _ { l \in { T } _ { N } } \widetilde { G } _ { l } ^ { n + 1 } \textrm { e } ^ { i \mu _ { l } ( x _ { j } - a ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathscr { M } _ { 3 } ^ { \frac { \gamma } { \alpha } } } { t } \int _ { C _ { 1 } L ^ { 2 } } ^ { t } \mathcal { M } _ { 3 } ( s ) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } \, d s } & { = \frac { \mathscr { M } _ { 3 } ^ { \frac { \gamma } { \alpha } } } { t } \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { M } _ { 3 } ( s ) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } \, d s - \frac { \mathscr { M } _ { 3 } ^ { \frac { \gamma } { \alpha } } } { t } \int _ { 0 } ^ { C _ { 1 } L ^ { 2 } } \mathcal { M } _ { 3 } ( s ) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } \, d s } \\ & { \geq 1 - \frac { C _ { 1 } L ^ { 2 } \mathscr { M } _ { 3 } ^ { \frac { \gamma } { \alpha } } } { t } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
\left. \begin{array} { c c l l } { { \Gamma _ { 1 , \epsilon } } } & { { : } } & { { n _ { 1 } \in { \bf Z } + { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { n _ { 2 } \ \mathrm { o d d } } } \\ { { \Gamma _ { 2 , \epsilon } } } & { { : } } & { { n _ { 1 } \in { \bf Z } } } & { { n _ { 2 } \ \mathrm { e v e n } } } \\ { { \Gamma _ { 3 , \epsilon } } } & { { : } } & { { n _ { 1 } \in { \bf Z } + { \frac { n _ { 2 } + 1 } { 2 } } } } & { { n _ { 2 } \in { \bf Z } } } \end{array} \right\} \mathrm { a n d } \quad m \in { \bf Z } + \epsilon
\begin{array} { l } { \displaystyle \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { d } x \, x ^ { \alpha - 1 } \, \exp ( - a \, x ^ { 2 } ) \, \gamma ( \mu , b x ^ { 2 } ) \, J _ { \nu } ( c \, x ) \, = \, } \\ { \, = \, \frac { 2 ^ { - \nu - 1 } b ^ { \mu } c ^ { \nu } \Gamma \left( \mu + \frac { \alpha + \nu } 2 \right) } { \mu a ^ { \mu + ( \alpha + \nu ) / 2 } \Gamma ( \nu + 1 ) } \, \Psi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { l } { \mu + \frac { \alpha + \nu } 2 , \mu } \\ { \mu + 1 , \nu + 1 } \end{array} \right| - \frac b a , - \frac { c ^ { 2 } } { 4 a } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \tau , i } ( Y _ { \tau _ { i } } ) } & { { } = \mathrm { T e n } _ { i } ( ( V _ { \tau _ { i } } ^ { 0 } \mathrm { M a t } _ { 0 } ( Y _ { \tau _ { i } } ) ) ^ { T } ) \in \mathcal { V } _ { \tau } , \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ Y _ { \tau _ { i } } \in \mathcal { V } _ { \tau _ { i } } } \\ { \pi _ { \tau , i } ^ { \dagger } ( Z _ { \tau } ) } & { { } = \mathrm { T e n } _ { 0 } ( ( \mathrm { M a t } _ { i } ( Z _ { \tau } ) V _ { \tau _ { i } } ^ { 0 } ) ^ { T } ) \in \mathcal { V } _ { \tau _ { i } } , \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ Z _ { \tau } \in \mathcal { V } _ { \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } f ^ { 1 } = - \nabla _ { ( x , v ) } \cdot \Big ( \big ( f ^ { 1 } \ast ( A \nabla _ { f } \mathcal H ( f ^ { 1 } ) ) \big ) f ^ { 1 } \Big ) , \qquad \partial _ { t } f ^ { 2 } = - \nabla _ { ( x , v ) } \cdot \Big ( \big ( f ^ { 2 } \ast ( A \nabla _ { f } \mathcal H ( f ^ { 2 } ) ) \big ) f ^ { 2 } \Big ) } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { i } ^ { N _ { e } + N _ { n } } \frac { 1 } { 2 m _ { i } } \left[ \hat { P } _ { i } - z _ { i } \mathbf { A } ( \mathbf { r } _ { i } t ) / c \right] ^ { 2 } + \hat { V } + \hat { H } _ { E M } ,
\int _ { P } \left( \sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } s ( t - m P ) \right) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { k } { P } } t } \, d t = \underbrace { \int _ { - \infty } ^ { \infty } s ( t ) \cdot e ^ { - i 2 \pi { \frac { k } { P } } t } \, d t } _ { \triangleq \, S \left( { \frac { k } { P } } \right) }
\left\{ \begin{array} { r l } & { Q _ { i } ( z , \widetilde { \xi } ; x _ { 0 } ) : = | z + \widetilde { \xi } | ^ { a _ { i } } + a ( x _ { 0 } + \zeta x ) | z + \widetilde { \xi } | ^ { a _ { i } } , \ i = 1 , 2 , \ \ \widetilde { \xi } = \frac { \zeta } { K } \xi , } \\ & { \Delta _ { p , \widetilde { \xi } } ^ { N } v : = \Delta v + ( p - 2 ) \bigg \langle D ^ { 2 } v \frac { D v + \widetilde { \xi } } { | D v + \widetilde { \xi } | } , \frac { D v + \widetilde { \xi } } { | D v + \widetilde { \xi } | } \bigg \rangle , } \\ & { | | \widehat { f } | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } : = \operatorname* { m a x } \bigg \{ \frac { \zeta ^ { 2 } } { K } , \frac { \zeta ^ { 2 + a _ { 1 } } } { K ^ { 1 + a _ { 1 } } } , \frac { \zeta ^ { 2 + a _ { 2 } } } { K ^ { 1 + a _ { 2 } } } \bigg \} | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { u _ { i } ^ { \prime } } & { { } = \frac { \int _ { x _ { i } - \delta } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) u _ { i j } x _ { i j } d x _ { j } } { \int _ { x _ { i } - \delta } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) x _ { i j } ^ { 2 } d x _ { j } } . } \\ { u _ { i } ^ { \prime \prime } } & { { } = \frac { \int _ { x _ { i } - \delta } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) u _ { i j } x _ { i j } ^ { 2 } d x _ { j } } { \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) x _ { i j } ^ { 4 } d x _ { j } } = \frac { \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) ( u _ { i j } + u _ { i j ^ { \prime } } ) x _ { i j } ^ { 2 } d x _ { j } } { \int _ { x _ { i } } ^ { x _ { i } + \delta } \omega ( r _ { i j } ) x _ { i j } ^ { 4 } d x _ { j } } . } \end{array}
^ 3 Q _ { s _ { \sigma } t _ { \tau } u _ { \kappa } } ^ { p _ { \sigma } q _ { \tau } r _ { \kappa } } = \langle \Psi | \hat { a } _ { p _ { \sigma } } \hat { a } _ { q _ { \tau } } \hat { a } _ { r _ { \kappa } } \hat { a } _ { u _ { \kappa } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { t _ { \tau } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { s _ { \sigma } } ^ { \dagger } | \Psi \rangle .
p _ { K | X } ( k | x _ { n } , \theta ) = \frac { \frac { e ^ { - H } H ^ { k } } { k ! } \phi ( x _ { n } ; \mu + k / g , \sigma ^ { 2 } ) } { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - H } H ^ { m } } { m ! } \phi ( x _ { n } ; \mu + m / g , \sigma ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r l } { \vert u u \rangle _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 2 \rangle - \vert 6 \rangle - \vert 1 5 \rangle + \vert 1 7 \rangle ) } \\ { \vert u u \rangle _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 3 \rangle - \vert 5 \rangle - \vert 1 4 \rangle + \vert 1 8 \rangle ) } \\ { \vert u u \rangle _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( \vert 8 \rangle - \vert 9 \rangle + \vert 1 1 \rangle - \vert 1 2 \rangle ) } \end{array}
A ( s , t , u ) = \frac { s } { v ^ { 2 } } + \alpha _ { 4 } \frac { 4 ( t ^ { 2 } + u ^ { 2 } ) } { v ^ { 4 } } + \alpha _ { 5 } \frac { 8 s ^ { 2 } } { v ^ { 4 } } + \cdots ~ ,
S ( q ) = \frac { \eta \pi } { 4 \tau ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau } d t \int _ { 0 } ^ { \tau } d t ^ { \prime } \left( \frac { q ( t ) - q ( t ^ { \prime } ) } { \sin [ \pi ( t - t ^ { \prime } ) / \tau ] } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathbf { k + q , k } } ^ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { r } , t ) } & { = \frac { 2 \pi } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { \pm } | g _ { \mathbf { q } } | ^ { 2 } f _ { \mathbf { k + q } } ( \mathbf { r } , t ) \times } \\ & { \times \left( \frac { 1 } { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 } + n _ { \mathbf { q } } ( \mathbf { r } , t ) \right) \delta \left( \varepsilon _ { \mathbf { k } } - \varepsilon _ { \mathbf { k + q } } \pm \hbar \omega _ { \mathbf { q } } \right) , } \\ { \Gamma _ { \mathbf { k , k + q } } ^ { \mathrm { o u t } } ( \mathbf { r } , t ) } & { = \frac { 2 \pi } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { \pm } | g _ { \mathbf { q } } | ^ { 2 } \left( 1 - f _ { \mathbf { k + q } } ( \mathbf { r } , t ) \right) \times } \\ & { \times \left( \frac { 1 } { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 } + n _ { \mathbf { q } } ( \mathbf { r } , t ) \right) \delta \left( \varepsilon _ { \mathbf { k } } - \varepsilon _ { \mathbf { k + q } } \mp \hbar \omega _ { \mathbf { q } } \right) , } \end{array}
\mathcal { M } ^ { ( n ) } = \frac { g _ { W } ^ { 2 } ( 1 6 ) ^ { n } M _ { W } ^ { 2 } } { 6 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } } \int d ^ { D } k \, g ^ { \alpha \beta } g ^ { \delta \gamma } \frac { g _ { \beta \delta } - k _ { \beta } k _ { \delta } / M _ { W } ^ { 2 } } { k ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \frac { g _ { \gamma \alpha } - ( p - k ) _ { \gamma } ( p - k ) _ { \alpha } ) / M _ { W } ^ { 2 } } { ( p - k ) ^ { 4 n } ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \boldsymbol { v } + ( \boldsymbol { v } \boldsymbol { \cdot } \nabla ) \, \boldsymbol { v } + 2 \boldsymbol { \Omega } _ { c } \times \boldsymbol { v } } & { = - \nabla p + 2 E \, \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \epsilon } ( \boldsymbol { v } ) + \boldsymbol { r } \times \mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { \delta } , } \\ { \nabla \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { v } } & { = 0 , } \end{array}
V _ { \alpha \beta } = \frac { \omega _ { a } ^ { 2 } } { \hbar \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } \mathbf { d } _ { \alpha } ^ { * } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ \bar { G } ( \mathbf { r } _ { \alpha } , \mathbf { r } _ { \beta } , \omega _ { a } ) \} \mathbf { d } _ { \beta } ^ { T }
\bar { A } _ { { L } } + \delta _ { 0 } \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } = 0 , \qquad \bar { A } _ { { Q } } + \delta _ { 1 } \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } = 0 , \qquad \bar { A } _ { { R } } + \delta _ { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } = 0 .
\Pi ^ { \prime \prime } { } ^ { i j } = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \left\langle { p ^ { \prime \prime } \left( { \frac { \partial u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } } { \partial x ^ { j } } + \frac { \partial u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } { \partial x ^ { i } } } \right) } \right\rangle - 2 \nu \left\langle { \frac { \partial u ^ { \prime \prime } { } ^ { i } } { \partial x ^ { \ell } } \frac { \partial u ^ { \prime \prime } { } ^ { j } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle ,
\begin{array} { r l r } { \varepsilon _ { n } ^ { \mathrm { ( D i r a c ) } } } & { = } & { m _ { e } c ^ { 2 } + Z ^ { 2 } h c R _ { \infty } \times } \\ & { } & { \Big [ \frac { 2 \mathcal { G } ( n ) } { 1 + \mu _ { e p } } - \frac { \mu _ { e p } \, Z ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \, \mathcal { G } ^ { 2 } ( n ) } { \big ( 1 + \mu _ { e p } \big ) ^ { 3 } } \Big ] . } \end{array}
\sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \mathbf S _ { t } \odot \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle - Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right] = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb E \left[ \langle \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } , \vec { \theta } _ { t } ^ { \prime } \rangle - ( \mathbf Q _ { t - 1 } \odot \mathbf S _ { t } ) _ { a _ { t } } \right]
\psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } = \psi _ { 1 } ^ { i , j } + i \xi _ { \mu } \sum _ { k = 0 } ^ { i - 1 } [ \psi _ { 1 } ^ { i - k + 1 , j } - 2 \psi _ { 1 } ^ { i - k , j } + \psi _ { 1 } ^ { i - k - 1 , j } ] [ ( k + 1 ) ^ { 2 - \mu } - k ^ { 2 - \mu } ] - i \beta ( V _ { 1 } ^ { j } \psi _ { 2 } ^ { i , j } + V _ { 1 } ^ { j + 1 } \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } ) ,
C ( \langle 1 , \omega \rangle ) , \ C ( \langle 1 , \omega ^ { \omega } \rangle ) , \ C ( \langle 1 , \omega ^ { \omega ^ { 2 } } \rangle ) , \ C ( \langle 1 , \omega ^ { \omega ^ { 3 } } \rangle ) , \cdots , C ( \langle 1 , \omega ^ { \omega ^ { \omega } } \rangle ) , \cdots
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } \left( p _ { 1 } ^ { ( N , G ) } , \dots , p _ { N } ^ { ( N , G ) } \right) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( N - 2 k + 1 ) p _ { k } ^ { ( N , G ) } } \end{array}
E ( \alpha ) = { \frac { 1 } { \alpha } } \int d b \ e ^ { - { \frac { b } { \alpha } } } \sum _ { n _ { 3 } , n _ { 4 } } { \frac { E ( n _ { 3 } , n _ { 4 } ) b ^ { n _ { 3 } + n _ { 4 } } } { ( n _ { 3 } + n _ { 4 } ) ! } } ,
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \Dot { \theta } _ { ( 0 ) } = \omega _ { ( 0 ) } - R _ { 1 } ^ { [ - ] } ( \theta _ { ( 1 ) } ) B ^ { 1 } \sin ( D ^ { 0 } \theta _ { ( 0 ) } ) } \\ { \begin{array} { r l } { \Dot { \theta } _ { ( 1 ) } = \omega _ { ( 1 ) } } & { { } - R _ { 0 } ^ { [ + ] } ( \theta _ { ( 0 ) } ) R _ { 1 } ^ { [ + ] } ( \theta _ { ( 1 ) } ) D ^ { 0 } \sin ( B ^ { 1 } \theta _ { ( 1 ) } ) } \end{array} } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { \partial F } { \partial p _ { i } } = - E _ { x } ^ { a d j } ( y _ { s } , T _ { m } - t _ { i } ) \frac { J _ { 0 } } { \bar { p } } \Big [ 1 - \frac { 1 } { N _ { T } } \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { \bar { p } ^ { 2 } } \Big ] .
{ F _ { k } ^ { U } } : = ( Q _ { k } ^ { u _ { 1 } } \circ T _ { b _ { 1 } } ^ { \varphi _ { 1 } } ) ( f _ { 1 } ) \, \prod _ { j \in \mathfrak { I } _ { 2 } } ( P _ { k } ^ { u _ { j } } \circ T _ { b _ { j , k } } ^ { \varphi _ { j } } ) ( f _ { j } ) \prod _ { j \in \mathfrak { I } _ { f } } ( P _ { k } ^ { u _ { j } } \circ T _ { b _ { j , k } } ^ { \varphi _ { j } } ) ( f _ { j } ) \prod _ { j \in \mathfrak { I } _ { \infty } } ( P _ { k } ^ { u _ { j } } \circ T _ { b _ { j , k } } ^ { \varphi _ { j } } ) ( f _ { j } ) .
\begin{array} { r l r } { Z _ { g } } & { { } = } & { \sum _ { [ \sigma _ { i } ] } \exp \left[ - \sum _ { i } J _ { 1 } \Theta ( \sigma _ { i } - \sigma _ { i + 1 } ) - J _ { 2 } \Theta ( \sigma _ { i + 1 } - \sigma _ { i } ) + h \sum _ { i } \sigma _ { i } \right] , } \end{array}
L _ { k m } = ( \partial _ { \mu } \pi ) ^ { 2 } + \kappa _ { K } ( \partial _ { \mu } K ) ^ { 2 } + \kappa _ { 0 } ( \partial _ { \mu } \bar { \eta } _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( \bar { \eta } _ { 8 } , \bar { \eta } _ { 0 } ) \Upsilon ^ { - 1 } { \cal M } ^ { 2 } \Upsilon \left( \begin{array} { c } { { \bar { \eta } _ { 8 } } } \\ { { \bar { \eta } _ { 0 } } } \end{array} \right) ~ ,
U ( { \bar { X } } ( \sigma _ { + } , t ) , { \bar { X } } ( \sigma _ { - } , t ) ) = { \cal P } \exp { ( \int _ { \sigma _ { - } } ^ { \sigma _ { + } } A _ { i } { \frac { d X ^ { i } } { d \, \sigma } } d \, \sigma ) } .
\begin{array} { r l } { \mathring { \rho } ( a _ { x _ { i } x _ { 0 } } ^ { j } ) } & { = a _ { x _ { i } } ^ { j } \otimes a _ { x _ { 0 } } ^ { i } } \\ { \mathring { \rho } ( a _ { x _ { 0 } x _ { i } } ^ { j } ) } & { = 0 } \\ { \mathring { \rho } ( a _ { x _ { i } x _ { j } } ^ { k } ) } & { = a _ { x _ { i } } ^ { k } \otimes a _ { x _ { j } } ^ { i } } \\ { \mathring { \rho } ( a _ { x _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { i } ) } & { = 0 } \\ { \mathring { \rho } ( a _ { x _ { 0 } ^ { 3 } } ^ { i } ) } & { = 0 } \\ { \mathring { \rho } ( a _ { x _ { 0 } x _ { i } x _ { j } } ^ { k } ) } & { = a _ { x _ { 0 } x _ { i } } ^ { k } \otimes a _ { x _ { j } } ^ { i } } \\ { \mathring { \rho } ( a _ { x _ { k } x _ { i } x _ { j } } ^ { \ell } ) } & { = a _ { x _ { k } } ^ { \ell } \otimes a _ { x _ { i } x _ { j } } ^ { k } + 2 a _ { x _ { k } x _ { i } } ^ { \ell } \otimes a _ { x _ { j } } ^ { k } + a _ { x _ { k } x _ { j } } ^ { \ell } \otimes a _ { x _ { i } } ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \sigma } \bigl | \mathbb E { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) \bigr | } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \sigma } \mathbb E | { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \sigma } \mathbb E \bigl [ | { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) | ; | { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) | \geq M \bigr ] + \operatorname* { s u p } _ { \sigma } \mathbb E \bigl [ | { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) | ; \eta \leq | { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) | < M \bigr ] + \eta } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \sigma } \mathbb E \bigl [ | { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) | ; | { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) | \geq M \bigr ] + M \operatorname* { s u p } _ { \sigma } \mathbb { P } ( \eta \leq | { L } _ { \varepsilon } ( \sigma ) | < M ) + \eta } \\ & { \leq 3 \eta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } \circ \mathbb { W } ^ { + } = } & { { } } & { i \textbf { I } _ { \{ W 2 + \} } \circ ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } + W _ { 1 0 } ^ { + } } \end{array}
4 0 \langle q _ { A } ^ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { N } ( \frac { N - 1 } { N } ) ^ { 2 } + ( \frac { N - 1 } { N } ) \frac { 1 } { N ^ { 2 } } = \frac { N - 1 } { N ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { q \sigma _ { z } | p \rangle = { \frac { u u d } { \sqrt { 6 } } } \Big ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! } & { { } } & { { \frac { 2 e } { 3 } } ( - 2 \uparrow \uparrow \downarrow + \uparrow \downarrow \uparrow - \downarrow \uparrow \uparrow ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \sqrt { \operatorname* { d e t } [ \widetilde { \mathbf { D } } ( x , y ) ] } } & { { } = \theta _ { 1 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) \, \theta _ { 2 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { r } = \frac { m _ { e } } { \left( 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } } } & { { } \left[ \left( \frac { v _ { r } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } a _ { r } + \frac { v _ { r } v _ { \varphi } a _ { \varphi } } { c ^ { 2 } } + \frac { v _ { r } v _ { z } a _ { z } } { c ^ { 2 } } \right) \right. } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } y ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ) + q ^ { i } y ^ { i } } & { = } & { f ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { { ( 0 , T ) \times ( a , b _ { i } ) } = : Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( \cdot , a ^ { + } ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { j } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( \cdot , a ^ { + } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { 1 } ( \cdot , b _ { 1 } ^ { - } ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { v ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 2 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) } & { = } & { v ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle y ^ { i } ( 0 , \cdot ) } & { = } & { y ^ { 0 , i } } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N . } \end{array} \right.
H _ { D 8 } \equiv f ^ { - 4 } = c ^ { 4 } e ^ { - { \frac { 4 } { 5 } } \phi } = 1 - g _ { s } { \frac { k } { 2 \pi \ell _ { s } } } | x ^ { 9 } | = 1 - g _ { s } | m | | x ^ { 9 } | \, .
\left| \langle \omega | U _ { s } U _ { \omega } | s \rangle \right| ^ { 2 } = \left| { \frac { 1 } { \sqrt { N } } } \cdot { \frac { N - 4 } { N } } + { \frac { 2 } { \sqrt { N } } } \right| ^ { 2 } = { \frac { ( 3 N - 4 ) ^ { 2 } } { N ^ { 3 } } } = 9 \left( 1 - { \frac { 4 } { 3 N } } \right) ^ { 2 } \cdot { \frac { 1 } { N } }
\left\{ \begin{array} { r c l l } { - \mathrm { d i v } \, A \nabla u + B u } & { \, \, = \, \, } & { g } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Omega , } \\ { u } & { \, \, = \, \, } & { h _ { D } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { D } , } \\ { \vec { n } \cdot A \nabla u } & { \, \, = \, \, } & { h _ { N } } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { N } , } \end{array} \right.