harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum \widetilde { \Omega } ^ { i k } \widetilde { \Omega } _ { k l , p } \widetilde { \Omega } ^ { l j } \widetilde { \Omega } _ { j i , \bar { p } } } & { = \widetilde { \Omega } ^ { 2 i 2 i + 1 } ( \widetilde { \Omega } ^ { 2 j 2 j + 1 } \widetilde { \Omega } _ { 2 i + 1 2 j , p } \widetilde { \Omega } _ { 2 j + 1 2 i , \bar { p } } + \widetilde { \Omega } ^ { 2 j + 1 2 j } \widetilde { \Omega } _ { 2 i + 1 2 j + 1 , p } \widetilde { \Omega } _ { 2 j 2 i , \bar { p } } ) } \\ & { \quad + \widetilde { \Omega } ^ { 2 i + 1 2 i } ( \widetilde { \Omega } ^ { 2 j 2 j + 1 } \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 j , p } \widetilde { \Omega } _ { 2 j + 1 2 i + 1 , \bar { p } } + \widetilde { \Omega } ^ { 2 j + 1 2 j } \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 j + 1 , p } \widetilde { \Omega } _ { 2 j 2 i + 1 , \bar { p } } ) } \\ & { = \sum \frac { \widetilde { \Omega } _ { 2 i + 1 2 j , p } \widetilde { \Omega } _ { 2 j + 1 2 i , \bar { p } } + \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 j + 1 , p } \widetilde { \Omega } _ { 2 j 2 i + 1 , \bar { p } } } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } \widetilde { \Omega } _ { 2 j 2 j + 1 } } } \\ & { \quad - \sum \frac { \widetilde { \Omega } _ { 2 i + 1 2 j + 1 , p } \widetilde { \Omega } _ { 2 j 2 i , \bar { p } } + \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 j , p } \widetilde { \Omega } _ { 2 j + 1 2 i + 1 , \bar { p } } } { \widetilde { \Omega } _ { 2 i 2 i + 1 } \widetilde { \Omega } _ { 2 j 2 j + 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d y \frac { m _ { 1 } ( 1 - y ) + y m _ { 2 } } { ( 1 - y ) m _ { 1 } ^ { 2 } + y m _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { = } & { { } \frac { m _ { 1 } ^ { 4 } + 2 m _ { 1 } ^ { 3 } m _ { 2 } - 2 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } - 2 m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { 3 } + m _ { 2 } ^ { 4 } + 2 m _ { 1 } m _ { 2 } ^ { 3 } \log ( m _ { 2 } ^ { 2 } / m _ { 1 } ^ { 2 } ) } { 2 ( m _ { 1 } - m _ { 2 } ) ^ { 2 } ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \textrm { C } } ( t ) = } & { { } i \sum _ { i , j } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } ( - e ) t _ { i j } ^ { a b } ( t ) ( \mathbf { R } _ { j } - \mathbf { R } _ { i } ) c _ { i a \sigma } ^ { \dagger } ( t ) c _ { j b \sigma } ( t ) } \\ { = } & { { } - e \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } \frac { \partial \epsilon _ { a b } ( \mathbf { k } , t ) } { \partial \mathbf { k } } c _ { \mathbf { k } a \sigma } ^ { \dagger } ( t ) c _ { \mathbf { k } b \sigma } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { { } + \nabla \cdot \left( \rho \textbf { \textit { V } } \right) = 0 } \\ { \rho \left( \frac { \partial \textbf { \textit { V } } } { \partial t } + \left( \textbf { \textit { V } } \cdot \nabla \right) \textbf { \textit { V } } \right) } & { { } } \\ { = - \nabla p + \nabla \cdot } & { { } \left( \mu \left( \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) + \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) ^ { T } \right) \right) - \frac { 2 } { 3 } \nabla \left( \mu \nabla \cdot \textbf { \textit { V } } \right) } \\ { \rho \left( \frac { \partial e } { \partial t } + \left( \textbf { \textit { V } } \cdot \nabla \right) e \right) } & { { } + p \left( \nabla \cdot \textbf { \textit { V } } \right) } \\ { = - \frac { 2 } { 3 } \mu } & { { } \left( \nabla \cdot \textbf { \textit { V } } \right) ^ { 2 } + \mu \left( \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) + \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) ^ { T } \right) : \left( \nabla \textbf { \textit { V } } \right) } \end{array}
S _ { H } \equiv ( n - 1 ) { \frac { H V } { 4 G } } , \ \ \ \ \ \ \ E _ { B H } \equiv n ( n - 1 ) { \frac { V } { 8 \pi G a ^ { 2 } } } , \ \ \ \ \ \ \ T _ { H } \equiv - { \frac { \dot { H } } { 2 \pi H } } .
\begin{array} { r l } { \| B ^ { i } \partial _ { i } f \| _ { H ^ { - 1 } ( \mathcal { M } ) } } & { \leq \| ( 1 - \Delta _ { g } ) ^ { - 1 / 2 } B ^ { i } \partial _ { i } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) \to L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } } \\ & { \leq \| ( 1 - \Delta _ { g } ) ^ { - 1 / 2 } [ \partial _ { i } B ^ { i } - ( \partial _ { i } B ^ { i } ) ] \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) \to L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } \leq C \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) } . } \end{array}
\frac { 1 } { \pi } \mathrm { I m } \psi _ { 5 } ( s ) | _ { H A D } = 2 f _ { P } ^ { 2 } M _ { P } ^ { 4 } \; \delta ( s - m _ { P } ^ { 2 } ) + \theta ( s - s _ { 0 } ) \frac { 1 } { \pi } \; \mathrm { I m } \psi _ { 5 } ( s ) | _ { P T } \; .
v ^ { k } ( \boldsymbol { x } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { k } } + a ^ { \alpha j } ( \boldsymbol { x } ( \boldsymbol { \xi } ) ) \frac { \partial \xi ^ { k } } { \partial x ^ { \alpha } } \frac { \partial \xi ^ { \beta } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial \xi ^ { \gamma } } { \partial x ^ { \rho } } \frac { \partial ^ { 2 } x ^ { \rho } } { \partial \xi ^ { \gamma } \partial \xi ^ { \beta } }
\begin{array} { r } { \bar { \omega } _ { h } = \{ x _ { i } = - X + i h ; \, 0 \leqslant i \leqslant N \} , } \\ { \omega _ { h } ^ { * } = \{ x _ { i + 1 / 2 } = - X + ( i + 0 . 5 ) h ; \, 0 \leqslant i \leqslant N - 1 \} , } \end{array}
T _ { A B \rightarrow C D } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \Pi d x _ { i } \phi _ { D } ^ { \dagger } ( x _ { i } , Q ) \phi _ { C } ^ { \dagger } ( x _ { i } , Q ) \phi _ { A } ( x _ { i } , Q ) \phi _ { B } ( x _ { i } , Q ) T _ { \mathrm { q u a r k } } \; ,
| B , p = 0 \rangle = \int D x ( \sigma ) \exp \left( { \frac { i } { 8 \pi } } F _ { \mu \nu } { \int _ { 0 } } ^ { 2 \pi } d \sigma ~ x ^ { \mu } ( \sigma ) \cdot \partial _ { \sigma } x ^ { \nu } - i { \int _ { 0 } } ^ { 2 \pi } d \sigma P _ { \mu } \cdot x ^ { \mu } \right) | B \rangle _ { - 1 }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ I ~ } = \left\langle \partial _ { c } ^ { 2 } \frac { x } { \mu ( c ) } \right\rangle + \partial _ { c } ^ { 2 } \log \left( \mu ( c ) \right) = \left( - \frac { \mu ^ { \prime \prime } } { \mu ^ { 2 } } + \frac { 2 ( \mu ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 3 } } \right) \left\langle x \right\rangle + \left( \frac { \mu ^ { \prime \prime } } { \mu } - \frac { ( \mu ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) = \left( \frac { \mu ^ { \prime } ( c ) } { \sigma } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \textbf { x } _ { i , k } ^ { 0 } \! = \! [ \Re \left\{ \textbf { d } _ { i , k } ^ { T } \right\} , \Im \left\{ \textbf { d } _ { i , k } ^ { T } \right\} , \mathrm { v e c } ( \Re \left\{ \textbf { C } _ { i , k } \right\} ) ^ { T } , \mathrm { v e c } ( \Im \left\{ \textbf { C } _ { i , k } \right\} ) ^ { T } ] ^ { T } , } \end{array}
\langle { \hat { \vec { E } } } ^ { ( - ) } ( { \vec { r } } , t ) \cdot { \hat { \vec { E } } } ^ { ( + ) } ( { \vec { r } } , t ) \rangle = \left( { \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { ( { \vec { \mu } } \cdot { \vec { r } } ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } } \right) \times \langle { \hat { b } } _ { s } ^ { \dagger } \left( t - { \frac { r } { c } } \right) { \hat { b } } _ { s } \left( t - { \frac { r } { c } } \right) \rangle = \left( { \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mu s i n \psi } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } c ^ { 2 } r } } \right) ^ { 2 } [ \langle { \hat { R } } _ { k } \left( t - { \frac { r } { c } } \right) \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } ]
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { ? } ^ { \dagger } , \Delta _ { + } ) \mathrm { ~ i s ~ t o r s i o n - f r e e ~ o f ~ r a n k ~ o n e } , \quad \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { ? } ^ { \dagger } , \Delta _ { + } ) \mathrm { ~ i s ~ t o r s i o n } , } \\ & { \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { ? } ^ { \dagger } , \Delta _ { + } ) \xrightarrow { \textup { r e s } _ { p } ^ { ( / \mathbf { g } ) } } H ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ) \, \widehat { \otimes } \, \mathcal { R } _ { ? } \xrightarrow { \sim } \mathcal { R } _ { ? } \quad \mathrm { ~ i s ~ i n j e c t i v e } } \end{array} } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l l } { d X _ { N , t } ^ { i , \infty } } & { = A X _ { N , t } ^ { i , \infty } \, d t + A ^ { \prime } \mathbb { E } X _ { N , t } ^ { i , \infty } \, d t + B \, d Z _ { N , t } ^ { i } , \quad t \in [ 0 , T ] , \quad i \in \{ 1 , \dots , N \} , } \\ { \mu _ { N , t } } & { : = [ X _ { N , t } ^ { i , \infty } ] , } \\ { X _ { N , 0 } ^ { i , \infty } } & { = \xi ^ { i } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \theta } ^ { * } = \underset { \boldsymbol { \theta } } { \arg \operatorname* { m i n } } \mathbb { E } _ { t } \left\{ \mathbb { E } _ { \boldsymbol { x } _ { 0 } } \mathbb { E } _ { \boldsymbol { x } _ { t } | \boldsymbol { x } _ { 0 } } \left[ \| \mathbf { s } _ { \boldsymbol { \theta } } ( \boldsymbol { x } _ { t } , t ) \right. \right. } \\ { \left. \left. - \nabla _ { \boldsymbol { x } _ { t } } \log p _ { 0 t } ( \boldsymbol { x } _ { t } \mid \boldsymbol { x } _ { 0 } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] \right\} , } \end{array}
\frac { L _ { 2 } ( \mathcal { E } _ { \mathrm { m o d e l } } , \mathcal { E } _ { \overline { { \mathrm { h i r e s } } } } ) } { L _ { 2 } ( 0 , \mathcal { E } _ { \overline { { \mathrm { h i r e s } } } } ) }
\begin{array} { r l } { \sum _ { p _ { 1 } p _ { 2 } \in A } \sum _ { q _ { 1 } q _ { 2 } \in B } } & { = \sum _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \in A } \sum _ { j _ { 1 } j _ { 2 } \in B } + \sum _ { t _ { 1 } t _ { 2 } \in A } \sum _ { j _ { 1 } j _ { 2 } \in B } + \sum _ { i _ { 1 } i _ { 2 } \in A } \sum _ { u _ { 1 } u _ { 2 } \in B } + \sum _ { t _ { 1 } t _ { 2 } \in A } \sum _ { u _ { 1 } u _ { 2 } \in B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } } g _ { j } ^ { \nu } ( x , c _ { Q } ) ^ { 2 N _ { 1 } } \, | K _ { j } ^ { \nu } ( x , y ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } x } \\ & { \lesssim \int _ { \mathbb { R } ^ { n } \setminus Q _ { \rho } ^ { * } } \frac { g _ { j } ^ { \nu } ( x , c _ { Q } ) ^ { 2 N _ { 1 } } \, 2 ^ { 2 j m ^ { \prime } } \, \| { S } _ { j , y } ^ { \nu , N _ { 3 } , 0 } { f } _ { j } ^ { \nu } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { 2 } } { g _ { j } ^ { \nu } ( x , y ) ^ { N _ { 3 } - N _ { 2 } / \rho + N _ { 2 } / \rho } } \, \mathrm { d } x } \\ & { \lesssim 2 ^ { - 8 k _ { Q } N _ { 1 } } 2 ^ { 8 N _ { 1 } j } 2 ^ { - N _ { 2 } ( j - k _ { Q } ) } \, 2 ^ { 2 j m ^ { \prime } } \, \| f _ { j } ^ { \nu } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \frac { 1 } { g _ { j } ^ { \nu } ( x , y ) ^ { N _ { 3 } - 2 N _ { 1 } - N _ { 2 } / \rho } } \, \mathrm { d } x } \\ & { \lesssim 2 ^ { - 8 k _ { Q } N _ { 1 } } 2 ^ { 8 N _ { 1 } j } 2 ^ { - N _ { 2 } ( j - k _ { Q } ) } \, 2 ^ { 2 j m ^ { \prime } } \, 2 ^ { j ( n - \rho \kappa / 2 ) } \, 2 ^ { - j \rho ( n - \kappa / 2 ) } } \\ & { = 2 ^ { - 8 k _ { Q } N _ { 1 } } 2 ^ { 8 N _ { 1 } j } 2 ^ { - N _ { 2 } ( j - k _ { Q } ) } \, 2 ^ { j ( \kappa \rho - 2 \rho n + 2 n ) } 2 ^ { - 2 j ( n - \rho n + \kappa \rho ) / p } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i j } { \frac { \partial ^ { 2 } \varepsilon _ { n } } { \partial k _ { i } \partial k _ { j } } } q _ { i } q _ { j } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } q ^ { 2 } + \sum _ { n ^ { \prime } \neq n } { \frac { | \int d \mathbf { r } \, u _ { n \mathbf { k } } ^ { * } { \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } } \mathbf { q } \cdot ( - i \nabla + \mathbf { k } ) u _ { n ^ { \prime } \mathbf { k } } | ^ { 2 } } { \varepsilon _ { n \mathbf { k } } - \varepsilon _ { n ^ { \prime } \mathbf { k } } } }
( A _ { - 1 } ) _ { I } = - ( A _ { - 1 } ) _ { K } \; , \; ( A _ { 0 } ) _ { I } = ( A _ { 0 } ) _ { K } \; , \; ( A _ { i } ) _ { I } = ( - 1 ) ^ { i } ( A _ { i } ) _ { K } ,
q = ( \mathscr { X } _ { _ { \mathscr { R } _ { - } ^ { m } } } - \omega ^ { m } ) \in { \mathbb { P } } ^ { m } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \qquad \omega ^ { m } = \frac { \int _ { \mathscr { R } _ { - } ^ { m } } r \mathrm { d } r \mathrm { d } z } { \int _ { \mathscr { R } } r \mathrm { d } r \mathrm { d } z }
\begin{array} { r l } { d G _ { 1 } ^ { R } } & { = ( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } { 4 } ) d G _ { 1 } ^ { L } + \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 1 } ^ { R } } { 4 } d G _ { 2 } ^ { L } } \\ & { \quad - ( 1 - \frac { M _ { 1 } ^ { L } M _ { 2 } ^ { R } } { 4 } ) \frac { M _ { 1 } ^ { L } } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } } { \partial G _ { 2 } ^ { L } } d G _ { 2 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } } { \partial g _ { 2 } ^ { L } } d g _ { 2 } ^ { L } \right) \times \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } + \mathbf { p } _ { 2 } ^ { L } \times \left( \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } } { \partial G _ { 1 } ^ { L } } d G _ { 1 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 1 } ^ { L } } { \partial g _ { 1 } ^ { L } } d g _ { 1 } ^ { L } \right) \right] } \\ & { \quad - \frac { M _ { 2 } ^ { L } } { 2 } \left[ \left( \frac { \partial \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } } { \partial G _ { 1 } ^ { L } } d G _ { 1 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } } { \partial g _ { 1 } ^ { L } } d g _ { 1 } ^ { L } \right) \times \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } + \mathbf { p } _ { 1 } ^ { L } \times \left( \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial G _ { 2 } ^ { L } } d G _ { 2 } ^ { L } + \frac { \partial \mathbf { x } _ { 2 } ^ { L } } { \partial g _ { 2 } ^ { L } } d g _ { 2 } ^ { L } \right) \right] } \\ & { = O ( \chi , \chi , \beta \chi , \chi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { { \bf U } } _ { \mathrm { A L M M S E } } } \\ & { = { \widetilde { \bf Y } } { { \mathbf { \overline { { E } } } } ^ { H } } { { \left( \left( 1 - { { \eta } _ { b } } \right) \mathbf { \overline { { E } } } { { { \mathbf { \overline { { E } } } } } ^ { H } } + \left( \left( 1 - { { \eta } _ { b } } \right) \frac { \sigma _ { \omega } ^ { 2 } } { \sigma _ { u } ^ { 2 } } { { \mathbf { I } } _ { M } } + { { \eta } _ { b } } N { { \mathbf { I } } _ { M } } \right) \right) } ^ { - 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } \left[ ( \sqrt { ( r _ { 4 } \cos \theta _ { 1 } - r _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( r _ { 4 } \sin \theta _ { 1 } - d _ { 1 } ) ^ { 2 } } - l _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { ( - r 4 \cos \theta _ { 1 } + r _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( - r _ { 4 } \sin \theta _ { 1 } - d _ { 1 } ) ^ { 2 } } - l _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] , } \\ { V _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } \left[ ( \sqrt { ( r _ { 4 } \cos \theta _ { 2 } - r _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( r _ { 4 } \sin \theta _ { 2 } - d _ { 1 } ) ^ { 2 } } - l _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { ( - r 4 \cos \theta _ { 2 } + r _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( - r _ { 4 } \sin \theta _ { 2 } - d _ { 1 } ) ^ { 2 } } - l _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] , } \\ { V _ { 3 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } k _ { 2 } \left[ ( \sqrt { r _ { 3 } ^ { 2 } ( \cos \theta _ { 1 } - \cos \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( d _ { 2 } + r _ { 3 } \sin \theta _ { 1 } - r _ { 3 } \sin \theta _ { 2 } ) ^ { 2 } } - l _ { 2 } ) ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { \delta , h } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( \| u _ { h } ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } + ( \beta + \delta \alpha ) \| u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } \Big ) - \frac { 1 } { 4 } \| u _ { h } ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } - \delta ^ { 2 } \| u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \Big ( \| u _ { h } ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + 2 \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } \Big ) + \big ( \frac { 1 } { 2 } ( \beta + \delta \alpha ) - \delta ^ { 2 } \big ) \| u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { \frac { 1 } { 4 } \Big ( \| u _ { h } ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } \Big ) + \frac { 1 } { 2 } \big ( 2 \delta + 4 \delta ^ { 2 } + 3 \delta ^ { 3 } \big ) \| u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 } { \cal E } _ { h } ^ { ( 1 ) } ( t ) . } \end{array}
E ( \rho ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 < \rho \leq \rho _ { m } } \\ { B _ { m } J _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) + C _ { m } N _ { 0 } ( k _ { 0 } \rho ) } & { \rho _ { m } < \rho \leq \rho _ { c } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , k ) d k = - \frac { \omega ^ { j ( l + 1 ) } } { 2 \pi i } \int _ { \partial D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) } k ^ { l } \hat { w } ( x , t , \omega ^ { j } k ) d k = \omega ^ { j ( l + 1 ) } \mathcal { A } ^ { - j } F _ { 1 } ^ { ( l + 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } , } \end{array}
B ( p _ { i } , p _ { j } ; E _ { \mathrm { { m i n } } } , \lambda ) = \pm \frac { ( p _ { i } p _ { j } ) } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { E _ { \gamma } < E _ { \mathrm { m i n } } } \frac { d ^ { 3 } p _ { \gamma } } { 2 E _ { \gamma } } \frac { 1 } { ( p _ { i } p _ { \gamma } ) } \frac { 1 } { ( p _ { j } p _ { \gamma } ) }
\partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } - \partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } + \partial _ { q _ { j } } \mu _ { i } ^ { \boldsymbol { ( \alpha ) } } )
{ \begin{array} { l } { x = { \frac { w _ { \xi } + v } { 1 + { \frac { v w _ { \xi } } { V ^ { 2 } } } } } t , \ y = { \frac { \sqrt { 1 - \left( { \frac { v } { V } } \right) ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v w _ { \xi } } { V ^ { 2 } } } } } w _ { \eta } t } \\ { U ^ { 2 } = \left( { \frac { d x } { d t } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { d y } { d t } } \right) ^ { 2 } , \ w ^ { 2 } = w _ { \xi } ^ { 2 } + w _ { \eta } ^ { 2 } , \ \alpha = \operatorname { a r c t g } { \frac { w _ { y } } { w _ { x } } } } \\ { U = { \frac { \sqrt { \left( v ^ { 2 } + w ^ { 2 } + 2 v w \cos \alpha \right) - \left( { \frac { v w \sin \alpha } { V } } \right) ^ { 2 } } } { 1 + { \frac { v w \cos \alpha } { V ^ { 2 } } } } } } \end{array} } \left| { \begin{array} { l } { { \frac { u _ { x } - v } { 1 - { \frac { u _ { x } v } { V ^ { 2 } } } } } = u _ { \xi } } \\ { { \frac { u _ { y } } { \beta \left( 1 - { \frac { u _ { x } v } { V ^ { 2 } } } \right) } } = u _ { \eta } } \\ { { \frac { u _ { z } } { \beta \left( 1 - { \frac { u _ { x } v } { V ^ { 2 } } } \right) } } = u _ { \zeta } } \end{array} } \right.
\omega ^ { A } { } _ { B } = \frac { \mathsf { G } _ { A , B } } { 2 \mathsf { G } _ { A } \sqrt { \mathsf { G } _ { B } } } \, \vartheta ^ { A } + \xi ^ { A } { } _ { B C } \, \vartheta ^ { C } \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ ~ ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ } ~ A ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ B ) \, .
R ( T ) = \frac { \Sigma _ { { \nu } e } ( T ) \, l a n g l e \sigma _ { { \nu _ { \mu } } e } \rangle } { \Sigma _ { { \nu } e } \, l a n g l e \frac { \mathrm { d } \sigma _ { { \nu _ { \mu } } e } } { \mathrm { d } T } \rangle }
\begin{array} { r l r } { K } & { = } & { - \tan ^ { 2 } \beta < 0 \, , } \\ & { } & \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { ( r a d ) } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { \left( \frac { 9 H _ { p } ^ { 2 } } { 4 } - 2 H _ { N } ^ { 2 } \right) \tan ^ { 2 } \beta } \\ & { } & \\ & { = } & { \frac { 3 \left( 3 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } - 8 \eta v _ { 0 } \rho g \sin \beta \right) } { 4 \rho ^ { 2 } g ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } \, , } \\ & { } & \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { ( s t i f f ) } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { H _ { N } ^ { 4 } \tan ^ { 2 } \beta = \left( \frac { 3 \eta v _ { 0 } } { \rho g \cos \beta } \right) ^ { 2 } \, , } \\ & { } & \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { ( 2 / 3 ) } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { 3 H _ { p } H _ { N } \tan ^ { 2 } \beta = \frac { 3 \sigma _ { 0 } } { \cos ^ { 2 } \beta } \, \sqrt { \frac { 3 \eta v _ { 0 } \sin \beta } { \left( \rho g \right) ^ { 3 } } } \, , } \\ & { } & \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { ( d u s t ) } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { - 3 H _ { p } \tan ^ { 2 } \beta = - \frac { 3 \sigma _ { 0 } \sin \beta } { \rho g \cos ^ { 2 } \beta } < 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J } & { = \left[ \begin{array} { c c } { \partial _ { \langle b \rangle } G _ { \langle b \rangle } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) } & { \partial _ { \langle v ^ { \dagger } c \rangle } G _ { \langle b \rangle } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) } \\ { \partial _ { \langle b \rangle } G _ { \langle v ^ { \dagger } c \rangle } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) } & { \partial _ { \langle v ^ { \dagger } c \rangle } G _ { \langle v ^ { \dagger } c \rangle } ( { \boldsymbol { i } } , \boldsymbol { 0 } ) } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { c c } { - \gamma _ { c } } & { g ^ { * } N } \\ { g ( 2 \langle c ^ { \dagger } c \rangle - 1 ) } & { - ( \gamma + i \Delta \nu ) } \end{array} \right] , } \end{array}
C ^ { \prime } \left( U ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( a _ { i + 1 } ) - U ^ { \frac { 1 } { 3 } } ( b _ { i } ) \right) \geq \frac { \gamma \varepsilon N _ { \varepsilon } } { 1 + L } ( a _ { i + 1 } - b _ { i } ) ,
\int _ { 0 } ^ { k _ { 0 } ^ { 2 } } { \frac { d k ^ { \prime 2 } } { k ^ { \prime 2 } } } \Phi _ { T } ( k ^ { \prime 2 } , Q ^ { 2 } , x ^ { \prime } ) = \pi ^ { 2 } x ^ { \prime } g _ { p } ( x ^ { \prime } , k _ { 0 } ^ { 2 } ) { \frac { \beta _ { \gamma ^ { * } } ( Q ^ { 2 } ) } { \beta _ { p } } }
H = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \Omega _ { \mathrm { ~ p ~ } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \Omega _ { \mathrm { ~ p ~ } } } & { - 2 \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } } & { \Omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \Omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } } & { - 2 \left( \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } + \Delta _ { \mathrm { ~ c ~ } } \right) } & { \Omega _ { \mathrm { ~ M ~ W ~ } } \left( A M \right) } \\ { 0 } & { 0 } & { \Omega _ { \mathrm { ~ M ~ W ~ } } \left( A M \right) } & { - 2 \left( \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } + \Delta _ { \mathrm { ~ c ~ } } - \Delta _ { { \mathrm { ~ M ~ W ~ } } } \right) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { { \cal P } _ { i j } ^ { E } } & { { } = } & { \epsilon _ { 0 } \, \left( E _ { i } E _ { j } + c ^ { 2 } B _ { i } B _ { j } \right) } \\ { { \cal P } _ { i j } ^ { M } } & { { } = } & { \sum _ { n } \int d ^ { 3 } p \, p _ { i } u _ { j } \, f _ { n } \, , } \end{array}
{ \cal O } _ { E O M } ^ { ( 2 ) } ( U ) = D ^ { 2 } U U ^ { \dagger } - U \overline { { { D } } } ^ { 2 } U ^ { \dagger } - \chi U ^ { \dagger } + U \chi ^ { \dagger } + \frac { 1 } { 3 } \mathrm { t r } \, \left( \chi U ^ { \dagger } - U \chi ^ { \dagger } \right) .
\begin{array} { r l } { F _ { T + 1 } } & { \le \frac { 1 } { ( m n T ) ^ { 2 } } \left( \frac { ( F _ { 1 } + L _ { 2 , \infty } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } ) \tilde { W } } { C _ { 3 } } + \frac { 1 1 2 L _ { 2 , \infty } ^ { 2 } ( \varsigma + \sigma ) ^ { 2 } \tilde { A } ^ { 2 } { \tilde { W } } ^ { 2 } } { \mu ^ { 3 } } \right) = \tilde { O } \left( \frac { 1 } { ( m n T ) ^ { 2 } } \right) , } \end{array}