harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \lambda \widehat { u } } & { = - \left( D \xi ^ { 2 } + \mu + \beta i _ { e } \right) \widehat { u } - \left( \mu + \nu + \mu p ^ { \prime } ( i _ { e } ) \widehat { Q } _ { s p a c e } ( \xi ) \widehat { Q } _ { t i m e } ( \lambda ) \right) \widehat { v } , } \\ { \lambda \widehat { v } } & { = \beta i _ { e } \widehat { u } - D \xi ^ { 2 } \widehat { v } , } \end{array}
G _ { \mathrm { A F M - N M } } = \left[ \begin{array} { l l l } { G } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { G _ { S L } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { G _ { S L } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \sigma ^ { s } w l } { t } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \frac { w l k _ { f } ^ { 2 } } { 4 \pi } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \frac { w l k _ { f } ^ { 2 } } { 4 \pi } } \end{array} \right]
L = { \frac { 1 } { 4 } } ( \dot { x } _ { 0 } ^ { 2 } + \dot { x } _ { 1 } ^ { 2 } ) + i e \dot { x } _ { 0 } x _ { 1 } f ( x _ { 0 } ) + e \sigma _ { 0 1 } f ( x _ { 0 } ) + { \frac { 1 } { 4 } } ( \dot { x } _ { 2 } ^ { 2 } + \dot { x } _ { 3 } ^ { 2 } ) .
R ^ { * } = \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \mathbf { r } ^ { * } ) \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \mathbf { r } ^ { * } = ( r ( \mathbf { x } _ { 1 } ^ { * } ) , r ( \mathbf { x } _ { 2 } ^ { * } ) , \ldots , r ( \mathbf { x } _ { q } ^ { * } ) ) ^ { T }
v _ { \chi } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { e b a ^ { - 1 } - \lambda _ { 7 } b ^ { 2 } \, } } & { { \, e - \lambda _ { 7 } a b \, } } & { { \, \lambda _ { 1 0 } b \, } } & { { \, \lambda _ { 1 0 } a b } } \\ { { e - \lambda _ { 7 } a b \, } } & { { \, e a b ^ { - 1 } - \lambda _ { 7 } a ^ { 2 } \, } } & { { \, \lambda _ { 1 0 } a \, } } & { { \, \lambda _ { 1 0 } a ^ { 2 } } } \\ { { \lambda _ { 1 0 } b \, } } & { { \, \lambda _ { 1 0 } a \, } } & { { \, e b a ^ { - 1 } - \lambda _ { 8 } \, } } & { { \, e b - \lambda _ { 8 } a } } \\ { { \lambda _ { 1 0 } a b \, } } & { { \, \lambda _ { 1 0 } a ^ { 2 } \, } } & { { \, e b - \lambda _ { 8 } a } } & { { e a b - \lambda _ { 8 } a ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\eta ( x , t ) = \Lambda _ { 0 } k ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( W _ { 0 } \xi ) + \frac { \Lambda _ { 0 } ^ { 2 } k ^ { 4 } } { 4 h _ { 0 } } \cos ^ { 4 } ( W _ { 0 } \xi ) ,
{ \frac { \Gamma \left[ ( \nu + p ) / 2 \right] } { \Gamma ( \nu / 2 ) \nu ^ { p / 2 } \pi ^ { p / 2 } \left| { \boldsymbol { \Sigma } } \right| ^ { 1 / 2 } } } \left[ 1 + { \frac { 1 } { \nu } } ( { \mathbf { x } } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \mathrm { { T } } } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } ( { \mathbf { x } } - { \boldsymbol { \mu } } ) \right] ^ { - ( \nu + p ) / 2 }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Omega } \Big ( e _ { v } ^ { 1 } \wedge \big ( d ( \mathrm { l i } ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } ) ) + i _ { ( \ast e _ { v } ^ { 2 } ) ^ { \sharp } } d v \big ) + e _ { v } ^ { 2 } \wedge f _ { v } ^ { 1 } \Big ) + \int _ { \Sigma } \Big ( ( - 1 ) ^ { n } e _ { \Sigma } ^ { 1 } \wedge \mathrm { t r } _ { \Sigma } ( e _ { v } ^ { 2 } ) + e _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { \Sigma } ^ { 1 } \Big ) } \\ & { + \int _ { \Gamma } \Big ( e _ { b } ^ { 1 } \wedge ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { t r } _ { \Gamma } ( e _ { v } ^ { 2 } ) + \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge f _ { b } ^ { 1 } \Big ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { \frac { 1 } { r ^ { 3 } } } \right\rangle } & { { } = { \frac { Z ^ { 3 } } { n ^ { 3 } a _ { 0 } ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { l \left( l + { \frac { 1 } { 2 } } \right) ( l + 1 ) } } } \\ { \left\langle { \vec { L } } \cdot { \vec { S } } \right\rangle } & { { } = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } [ j ( j + 1 ) - l ( l + 1 ) - s ( s + 1 ) ] } \end{array}
\phi ( x , \widetilde Q ) = \int d ^ { 2 } \vec { k _ { \perp } } \thinspace \theta \left( { \widetilde Q } ^ { 2 } - { \frac { \vec { k _ { \perp } } ^ { 2 } } { x ( 1 - x ) } } \right) \psi ^ { ( \widetilde Q ) } ( x , \vec { k _ { \perp } } ) .
\begin{array} { r l } { \left< \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \phi _ { j } ( \mathbf { u } ) \right> } & { { } = \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } \int \phi _ { i } ( \mathbf { u } ) \phi _ { j } ( \mathbf { u } ) f _ { \boldsymbol { \beta } } ( \mathbf { u } ; n , \boldsymbol { \beta } ) d ^ { 3 } \mathbf { u } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { 2 } \overset { ( a ) } { \leq } \operatorname* { m i n } \big \{ \big ( H ( Y _ { 1 } , S _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) - H ( S _ { 1 } | Y _ { 1 } , Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) \big ) , \quad \big ( I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) - R _ { 1 } \big ) \big \} } \\ & { = \operatorname* { m i n } \big \{ H ( Y _ { 1 } | Y _ { 2 } , S _ { 2 } ) , \quad \big ( I ( V ; Y _ { 1 } | S _ { 1 } ) - R _ { 1 } \big ) \big \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { u } ^ { \mathrm { L V } } } & { = - \left( \int _ { u _ { 0 } } ^ { u } \frac { \mathrm { d } z } { \alpha ( z - 1 ) ^ { 2 } \left( 1 + W \left[ - \exp \left( \alpha \left( z - \ln z \right) - H _ { \mathrm { L V } } \right) \right] \right) } \right) \partial _ { t } + \frac { 1 } { \alpha } \left( \frac { u } { u - 1 } \right) \partial _ { u } \, , } \\ { X _ { v } ^ { \mathrm { L V } } } & { = - \left( \int _ { v _ { 0 } } ^ { v } \frac { \mathrm { d } z } { \alpha ( z - 1 ) ^ { 2 } \left( 1 + W \left[ - \exp \left( \frac { 1 } { \alpha } \left( z - \ln z - H _ { \mathrm { L V } } \right) \right) \right] \right) } \right) \partial _ { t } + \frac { v } { 1 - v } \partial _ { v } \, . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { { c _ { r } ^ { a } } } \\ { { \overline { { { c } } } _ { r } ^ { a } } } \\ { { d _ { r } ^ { a } } } \\ { { \overline { { { d } } } _ { r } ^ { a } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { i } } & { { 1 } } & { { i } } & { { 1 } } \\ { { - i } } & { { 1 } } & { { - i } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { - i } } & { { 1 } } & { { i } } \\ { { 1 } } & { { - i } } & { { 1 } } & { { i } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { b _ { r } ^ { a } } } \\ { { \overline { { { b } } } _ { r } ^ { a } } } \\ { { b _ { - r } ^ { a } } } \\ { { \overline { { { b } } } _ { - r } ^ { a } } } \end{array} \right)
\frac { 3 } { 2 } n _ { \sigma } k _ { B } \frac { d { \cal T } _ { \sigma } } { d t } = - ( { \bf P } _ { \sigma } \cdot \nabla ) \cdot { \bf u } _ { \sigma } - \nabla \cdot { \bf q } _ { \sigma } + n _ { \sigma } \dot { Q } _ { \sigma , \mathrm { c o l l , i n t e r } } .
\mathbf { G } = \frac { \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) } { E ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ^ { 2 } } \, d E \otimes d E + \frac { E ^ { 2 } + \mu _ { 1 } ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d t \otimes d t + \sum _ { j = 2 } ^ { N } \, \frac { \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) } { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } \, d p _ { j } \otimes d p _ { j } + \frac { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d \psi _ { j } \otimes d \psi _ { j } \, .
\begin{array} { r l } & { J _ { \mathcal { T } - 1 } ( x ) = \operatorname* { m i n } _ { B _ { \mathcal { T } - 1 } \in \mathbf { U } _ { K } } ~ \operatorname* { m i n } _ { u \in \mathbb { R } ^ { K } } \mathbb { E } \left[ x ^ { \top } Q _ { \mathcal { T } - 1 } x + u ^ { \top } R _ { \mathcal { T } - 1 } u \right. } \\ & { \left. + ( A x + B _ { \mathcal { T } - 1 } u + w ) ^ { \top } Q _ { \mathcal { T } } ( A x + B _ { \mathcal { T } - 1 } u + w ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { S _ { 2 p , \beta } ( x _ { 1 } , \tau _ { 1 } , \varepsilon _ { 1 } , \alpha _ { 1 } , \cdots , x _ { 2 p } , \tau _ { 2 p } , \varepsilon _ { 2 p } , \alpha _ { 2 p } ; \lambda ) } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \operatorname* { l i m } _ { L \rightarrow \infty } \frac { \int \psi _ { x _ { 1 } , \tau _ { 1 } , \alpha _ { 1 } } ^ { \epsilon _ { 1 } } \cdots \psi _ { x _ { 2 p } , \tau _ { 2 p } , \alpha _ { 2 p } } ^ { \epsilon _ { 2 p } } P ( d \psi ) e ^ { - { \cal V } _ { L } ( \psi , \lambda ) } } { \int P ( d \psi ) e ^ { - { \cal V } _ { L } ( \psi , \lambda ) } } } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = : \frac { \int \psi _ { x _ { 1 } , \tau _ { 1 } , \alpha _ { 1 } } ^ { \epsilon _ { 1 } } \cdots \psi _ { x _ { 2 p } , \tau _ { 2 p } , \alpha _ { 2 p } } ^ { \epsilon _ { 2 p } } P ( d \psi ) e ^ { - { \cal V } ( \psi , \lambda ) } } { \int P ( d \psi ) e ^ { - { \cal V } ( \psi , \lambda ) } } . } \end{array}
Q _ { f } = f _ { \hat { \alpha } \hat { \beta } } \tilde { \gamma } ^ { \hat { \alpha } } \tilde { \nabla } ^ { \hat { \beta } } - \frac { 1 } { 6 } \gamma ^ { \mu } ( x ) \gamma ^ { \nu } ( x ) \gamma ^ { \lambda } ( x ) f _ { \mu \nu ; \lambda } ( x )
\begin{array} { r } { E _ { m k } ^ { c } = \sum _ { n = n _ { 1 } [ 2 ] } ^ { n _ { 2 } } \Xi _ { n m k } ( a , i , \gamma ) \alpha _ { n m } , } \\ { E _ { m k } ^ { s } = \sum _ { n = n _ { 1 } [ 2 ] } ^ { n _ { 2 } } \Xi _ { n m k } ( a , i , \gamma ) \beta _ { n m } , } \end{array}
\mathbf { a \times b } = { \left| \begin{array} { l l l } { \mathbf { i } } & { \mathbf { j } } & { \mathbf { k } } \\ { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } & { b _ { 3 } } \end{array} \right| }
\begin{array} { r l } { M _ { i j k } ^ { ( 1 ) } } & { = \mathrm { T e r m ~ 1 } = \epsilon _ { i j k } } \\ { M _ { i j k } ^ { ( 2 ) } } & { = \mathrm { T e r m ~ 2 } = \delta _ { i 1 } \epsilon _ { j k 1 } } \\ { M _ { i j k } ^ { ( 3 ) } } & { = \mathrm { T e r m ~ 3 } = \delta _ { j 1 } \epsilon _ { i k 1 } } \\ { M _ { i j k } ^ { ( 4 ) } } & { = \mathrm { T e r m ~ 4 } = \delta _ { k 1 } \epsilon _ { i j 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h ^ { \varepsilon } ( t , x ) } & { = \frac { \gamma } { \varepsilon ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { \frac { \gamma t } { \varepsilon ^ { 2 } } } ( \alpha \varepsilon ^ { 2 } - x ^ { 2 } ) , } \\ { \partial _ { x } h ^ { \varepsilon } ( t , x ) } & { = - 2 \mathrm { e } ^ { \frac { \gamma t } { \varepsilon ^ { 2 } } } x , } \\ { \partial _ { x x } h ^ { \varepsilon } ( t , x ) } & { = - 2 \mathrm { e } ^ { \frac { \gamma t } { \varepsilon ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { D { \cal H } } { D t } : = \frac { \partial { \cal H } } { \partial t } + u \cdot \nabla { \cal H } = } & { - { \cal H } \nabla \cdot u \, , } \\ { \frac { D u _ { i } } { D t } : = \frac { \partial u ^ { i } } { \partial t } + ( u \cdot \nabla ) u ^ { i } = } & { f \epsilon _ { i j } u ^ { j } - g \partial _ { i } { \cal H } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { = \int _ { \sigma _ { 1 } . \infty } ^ { \infty } f ( t ) ( t e _ { 1 } + e _ { 2 } ) ^ { 2 } d t } \\ & { = - 0 . 6 9 3 0 0 5 \binom { 2 } 2 e _ { 1 } ^ { 2 } + ( 0 . 2 8 8 7 5 2 + 0 . 0 3 3 3 4 2 i ) \binom { 2 } 1 e _ { 1 } e _ { 2 } } \\ & { \quad + ( - 0 . 1 1 5 5 0 0 - 0 . 0 2 2 2 2 8 i ) \binom 2 0 e _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array}
f ( r ) = 1 - \frac { 2 m _ { 0 } G _ { N } } { r } - \frac { q _ { m } ^ { 3 / 2 } G _ { N } g ( r ) } { 4 \sqrt { 2 } \beta ^ { 1 / 4 } r } + \frac { r ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } ,
\psi _ { n } \, \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ - \frac { \log { ( n ) } } { \sqrt { 2 } } - \frac { \gamma } { \sqrt { 2 } } \bigg ] \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { \bar { y } ^ { 2 } / 2 } } { \bar { y } } \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array} \right.
\frac { 1 } { \tau _ { m } } \, , \ \frac { 1 } { \tau _ { m } ^ { \prime } } \, , \, f r a c { 1 } { \tau _ { m } ^ { \prime \prime } } \in 4 \ensuremath { \mathbb { N } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { \tau _ { m } ^ { \prime } } { \tau _ { m } } \, , \, f r a c { \tau _ { m } ^ { \prime \prime } } { \tau _ { m } } \in 4 \ensuremath { \mathbb { N } } + 1 , \quad \forall m \in \ensuremath { \mathbb { N } } \, ,
\mathrm { L H S } = \sum _ { m } 2 \gamma _ { m } \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) } \frac { d B _ { m } } { d z } e ^ { i ( \omega _ { 2 } t + \gamma _ { m } z ) } + \omega _ { 1 } \; \mathrm { { t e r m s } . }
\delta S [ \theta , \bar { A } _ { + } , \bar { \Pi } ^ { \perp - } ] = \frac { k } { 8 \pi } \int _ { \partial \cal M } \partial _ { + } \theta \, \partial _ { - } \theta + \partial _ { - } \theta \left( \bar { A } _ { + } - \mathrm { ~ \frac { 8 \ p i } { k } ~ } \bar { \Pi } ^ { \perp - } \right) \, .
\begin{array} { r l } { N ^ { ( k ) } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \left( \frac { \alpha } { 2 \pi } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sum _ { s } \int d \mathbf { q } a _ { k } ^ { \dag } ( \mathbf { q } , s ) a _ { k } ( \mathbf { q } , s ) e ^ { - { \frac { \alpha } { 2 } } ( \mathbf { q } - \mathbf { x } ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { x ^ { 4 n } ( 1 - x ) ^ { 4 n } } { 2 ^ { 2 n - 2 } ( 1 + x ^ { 2 } ) } } = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } } & { { } { \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { 2 ^ { 2 n - j - 2 } } } x ^ { 4 n + j } ( 1 - x ) ^ { 4 n - 2 j - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } \right] _ { \mathrm { d i r e c t } } } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { f } _ { b } \mathbf { f } _ { b } ^ { \mathsf { ^ { * } T } } D ( \theta ) d \theta } \\ & { = S _ { \eta \eta } ( \omega ) d \omega \frac { 1 6 \rho ^ { 2 } g ^ { 2 } } { k ^ { 6 } } \left( \frac { k d \sinh ( k d ) + 1 - \cosh ( k d ) } { \cosh ( k d ) } \right) ^ { 2 } } \\ & { \frac { 1 } { ( J _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) + Y _ { 1 } ^ { ' 2 } ( k a ) ) } \left[ \begin{array} { l l } { 1 / 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 / 2 } \end{array} \right] } \end{array}
a ( x , z ) = \sqrt { 2 } \, \sum _ { \alpha , \beta } \left[ \widetilde { a } _ { \alpha , \beta } ^ { + } \cos ( \beta z ) + \mathrm { i } \widetilde { a } _ { \alpha , \beta } ^ { - } \sin ( \beta z ) \right] \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha x } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } ,
\boldsymbol { m } = ( | \boldsymbol { \nabla } a | ^ { 2 } + | \boldsymbol { \nabla } b | ^ { 2 } - | \boldsymbol { \nabla } c | ^ { 2 } - | \boldsymbol { \nabla } d | ^ { 2 } ) \boldsymbol { i } + 2 ( \boldsymbol { \nabla } b \cdot \boldsymbol { \nabla } c - \boldsymbol { \nabla } a \cdot \boldsymbol { \nabla } d ) \boldsymbol { j } + 2 ( \boldsymbol { \nabla } a \cdot \boldsymbol { \nabla } c + \boldsymbol { \nabla } b \cdot \boldsymbol { \nabla } d ) \boldsymbol { k } .
V = e \left( \mathcal { A } _ { 0 } ( \mathbf { y ) - } \mathcal { A } _ { 0 } ( \mathbf { y } ^ { \prime } ) \right) = - \frac { e ^ { 2 } } { \pi } K _ { 0 } ( \theta \mid \mathbf { y - y } ^ { \prime } \mid ) ,
N ( h ) = \left[ ( h ^ { 0 } ) ^ { 3 } - \frac { 3 } { 2 } h ^ { 0 } \delta _ { i j } h ^ { i } h ^ { j } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( h ^ { 1 } ) ^ { 3 } + \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } h ^ { 1 } [ ( h ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \ldots + ( h ^ { n } ) ^ { 2 } ] \right] .
\begin{array} { r } { X _ { i } = E \left[ 1 _ { \{ ( s _ { h } ^ { i } , a _ { h } ^ { i } ) = ( s , a ) \} } u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s _ { h + 1 } ^ { i } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \Big \vert \mathcal { H } _ { h } ^ { i } \right] - 1 _ { \{ ( s _ { h } ^ { i } , a _ { h } ^ { i } ) = ( s , a ) \} } u ( V _ { h + 1 } ^ { * } ( s _ { h + 1 } ^ { i } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) . } \end{array}
A _ { \pm \pm } ( D _ { s } ^ { + } \rightarrow \rho ^ { + } \phi ) = i { \frac { { G } _ { F } } { \sqrt { 2 } } } V _ { c s } V _ { u d } ^ { * } m _ { \rho } f _ { \rho } ( m _ { D } + m _ { \phi } ) a _ { 1 } \left\{ A _ { 1 } ( m _ { \rho } ^ { 2 } ) \pm { \frac { k } { ( 1 + r ) ^ { 2 } } } V ( m _ { \rho } ^ { 2 } ) \right\} .
\begin{array} { r l } { \tau } & { \partial _ { t } \int _ { \Omega } \delta \phi \mathrm { d } V = \oint _ { \partial \Omega } \left( \lambda _ { d } ^ { 2 } + \lambda _ { s } ^ { 2 } \tau \partial _ { t } \right) \nabla \delta \phi \cdot \mathrm { d } \vec { S } } \\ & { = \frac { \phi _ { 0 } ( 1 - \phi _ { 0 } ) ^ { 2 } \tau } { \zeta } \oint _ { \partial \Omega } \left( K \nabla \delta \phi - \eta ^ { \mathrm { p } } \nabla \nabla \cdot \vec { v } ^ { \mathrm { p } } \right) \cdot \mathrm { d } \vec { S } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! K _ { 1 } + K _ { 1 } ^ { * } \! = \! \frac { \eta ( z ) } { ( 2 \pi ) ^ { 1 / 2 } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d x } { \left\{ [ 1 - \eta ^ { 2 } ( z ) / \eta _ { m } ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } \cosh ( 2 x ) + 1 \right\} ^ { 1 / 2 } } } \\ & { } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \! \! d s \frac { \left\{ g ( s , z ) \exp [ i \beta ( z ) s ] + g ^ { * } ( s , z ) \exp [ - i \beta ( z ) s ] \right\} } { \left\{ [ 1 - \eta ^ { 2 } ( z ) / \eta _ { m } ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } \cosh [ 2 x - 2 \eta ( z ) s ] + 1 \right\} ^ { 1 / 2 } } . } \end{array}
V _ { i j } = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 2 } \, c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 2 } \, c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 3 } \, e ^ { - i \delta _ { 1 3 } } } } \\ { { - s _ { 1 2 } \, c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } \, s _ { 2 3 } \, s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { c _ { 1 2 } \, c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } \, s _ { 2 3 } \, s _ { 1 3 } \, e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { s _ { 2 3 } \, c _ { 1 3 } } } \\ { { s _ { 1 2 } \, s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } \, c _ { 2 3 } \, s _ { 1 3 } \, e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { - c _ { 1 2 } \, s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } \, e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { c _ { 2 3 } \, c _ { 1 3 } } } \end{array} \right)
V _ { F C } ^ { 2 } = \frac { \left( \int n ^ { 2 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 2 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } \right) ^ { 3 } } { \int n ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) E ^ { 6 } \left( \vec { r } \right) d \vec { r } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { L S F } ( \mathcal { X } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \mathcal { U } \subset \mathcal { X } } \mathrm { S F } ( \mathcal { U } ) , } \\ { \mathrm { L S F } _ { \Upsilon } ( \mathcal { X } ; \Lambda ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \mathcal { U } \subset \mathcal { X } } \mathrm { S F } _ { \Upsilon } ( \mathcal { U } ; \Lambda ) , } \end{array}
d l ^ { 2 } = d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } + d z ^ { 2 } + { \frac { ( x d x + y d y + z d z ) ^ { 2 } } { \kappa ^ { - 1 } R ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { f ( x ) = \exp [ g ( x ) ] - 1 , } \\ & { \quad \quad : = \mathcal { G P } \big ( f ( x ) ; m ( x ) , C ( x , x ) \big ) , } \\ & { g ( x ) : = \mathcal { G P } \big ( g ( \cdot ) ; m _ { g } ( \cdot ) , C _ { g } ( \cdot , \cdot ) \big ) , } \\ & { m ( x ) : = \exp \left[ m _ { g } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } C _ { g } ( x , x ) \right] , } \\ & { C ( x , x ^ { \prime } ) : = m _ { g } ( x ) m _ { g } ( x ^ { \prime } ) \left[ C _ { g } ( x , x ) - 1 \right] . } \end{array}
\rightarrow H _ { 2 } ( S ^ { 1 } \times S ^ { 1 } ; \mathbb { Q } ) \cong \mathbb { Q } \rightarrow H _ { 2 } ( A _ { { S ^ { 3 } } _ { k } } ; \mathbb { Q } ) \oplus H _ { 2 } ( B _ { { S ^ { 3 } } _ { k } } ; \mathbb { Q } ) \cong H _ { 2 } ( A _ { { S ^ { 3 } } _ { k } } ; \mathbb { Q } ) \rightarrow H _ { 2 } ( { S ^ { 3 } } _ { k } ; \mathbb { Q } ) \cong \{ 0 \} \rightarrow
\left\{ \begin{array} { r l l } { - \nu \Delta u ( x , y ) + ( u ( x , y ) \cdot \nabla ) u ( x , y ) + \nabla p ( x , y ) } & { = f ( x , y ) } & { , \forall ( x , y ) \in \Omega } \\ { \nabla \cdot u ( x , y ) } & { = 0 } & { , \forall ( x , y ) \in \Omega } \\ { u ( x , y ) - g ( x , y ) } & { = 0 } & { , \forall ( x , y ) \in \partial \Omega \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \big | \mathcal { I } _ { n } ( \boldsymbol { t } , \boldsymbol { \tilde { t } } ) \big | \leq } & { \int \prod _ { i \in J _ { 1 } } \frac { | x _ { i } ^ { \epsilon _ { i } } | } { ( 1 + | x _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { d + 1 } } \, d \boldsymbol { x } \int \prod _ { i \in \tilde { J } _ { 1 } } \frac { | y _ { i } ^ { \nu _ { i } } | } { ( 1 + | y _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { d + 1 } } \, d \boldsymbol { y } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 k - n - 1 } } f ( \boldsymbol { s } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) d \boldsymbol { s } d \boldsymbol { \tilde { s } } } \\ & { \times \int | \hat { \varphi } ( \frac { q _ { 0 } } { \hbar } ) | ^ { 2 } \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } q _ { 0 } ^ { 2 } - \tilde { \nu } - i \zeta | } \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } q _ { 0 } ^ { 2 } + \nu + i \zeta | } \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } ( q _ { \kappa ( i ^ { * } ) } + q _ { i ^ { * } - 1 } - q _ { \kappa ( i ^ { * } ) - 1 } ) ^ { 2 } + \nu + i \zeta | } } \\ & { \times \prod _ { m = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } q _ { m } ^ { 2 } - \tilde { \nu } - i \zeta | } \Big | \partial _ { \boldsymbol { \xi } _ { \tilde { J } _ { 1 } } } ^ { \boldsymbol { \nu } } \partial _ { \boldsymbol { \eta } _ { J _ { 1 } } } ^ { \boldsymbol { \epsilon } } \mathcal { G } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \alpha , \tilde { \alpha } ) \Big | \, d \boldsymbol { \eta } d \boldsymbol { \xi } d \boldsymbol { q } d \nu d \tilde { \nu } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \sum _ { ( R ) } \left( 1 ^ { \otimes k } \otimes \mathsf { D } _ { g - k , n } \bigl ( R _ { ( 2 ) } \bigr ) \right) \otimes \rho _ { V } \bigl ( R _ { ( 1 ) } \bigr ) } \\ { = \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } ( g + n ) \ldots \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } ( g + 1 ) \, \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } ( g ) \overset { V } { \widetilde { L } } { ^ { ( + ) } } ( g ) \ldots \overset { V } { L } { ^ { ( + ) } } ( k + 1 ) \overset { V } { \widetilde { L } } { ^ { ( + ) } } ( k + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R _ { 2 } \leq \frac { N _ { 1 } } { N _ { 2 } } I ( X _ { 2 , 1 } ; Y _ { 2 , 1 } ) + \frac { N _ { 2 } - N _ { 1 } } { N _ { 2 } } I ( X _ { 2 , 2 } ; Y _ { 2 , 2 } ) } \\ & { - \frac { \sqrt { N _ { 1 } V ( X _ { 2 , 1 } ; Y _ { 2 , 1 } ) + ( N _ { 2 } - N _ { 1 } ) V ( X _ { 2 , 2 } ; Y _ { 2 , 2 } ) } } { N _ { 2 } } Q ^ { - 1 } \left( \epsilon _ { 2 } \right) } \\ & { + O \left( \frac { \log N _ { 2 } } { N _ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { U } } & { = \log _ { 2 } \bigg [ 1 + \overline { { \gamma } } _ { s } \bigg ( N ^ { 2 } \big ( \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 } \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \big ) + \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } \big ( N ( 1 - \frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } a ^ { 2 } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 } ) + \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 6 } ( a ^ { 2 } + a - 1 ) \big ) + \gamma \alpha \beta \big ( \frac { \pi } { 4 } \sqrt { \pi } ( N - a ) \big ) + a \alpha ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \bigg ) \bigg ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { = \left( g ^ { \mu \nu } { \sqrt { - g } } \right) _ { , \nu } + g ^ { \sigma \nu } \Gamma _ { \sigma \nu } ^ { \mu } { \sqrt { - g } } + g ^ { \mu \sigma } \Gamma _ { \sigma \nu } ^ { \nu } { \sqrt { - g } } - g ^ { \mu \nu } \Gamma _ { \sigma \nu } ^ { \sigma } { \sqrt { - g } } \, } \\ & { = \left( g ^ { \mu \nu } { \sqrt { - g } } \right) _ { , \nu } + 0 + g ^ { \mu \alpha } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \beta } { \sqrt { - g } } - g ^ { \mu \alpha } \Gamma _ { \beta \alpha } ^ { \beta } { \sqrt { - g } } \, . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } \frac { \partial \textbf { v } ( x , y , t ) } { \partial t } } & { = - \nabla p ( x , y , t ) , } \\ { \frac { 1 } { b _ { 0 } } \frac { \partial p ( x , y , t ) } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot \textbf { v } ( x , y , t ) + \psi ( y , t ) \delta ( x ) + \sum _ { i = o , c } { q _ { i , 1 } ( y , t ) \delta ( x - ( x _ { i } - \epsilon ) ) + q _ { i , 2 } ( y , t ) \delta ( x - x _ { i } ) } . } \end{array}