harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } _ { 1 } ( w ) } & { = \frac { \Phi _ { 2 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } ^ { 2 } } + \frac { \Phi _ { 2 } ( w _ { + } ) } { w _ { + } ^ { 2 } } + \frac { \Phi _ { 3 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } } + \frac { \Phi _ { 3 } ( w _ { + } ) } { w _ { + } } \, , } \\ { \hat { \Psi } _ { 2 } ( w ) } & { = \frac { I _ { 2 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } ^ { 2 } } + \frac { I _ { 3 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } } \, , } \\ { \hat { \Psi } _ { 3 } ( w ) } & { = \Phi _ { 1 } ( w _ { - } ) + \Phi _ { 1 } ( w _ { + } ) + \frac { \Phi _ { 4 } ( w _ { - } ) } { w _ { - } } + \frac { \Phi _ { 4 } ( w _ { + } ) } { w _ { + } } \, , } \\ { \hat { \Psi } _ { 4 } ( w ) } & { = \frac { 3 } { w _ { - } } \, I _ { 2 } ( w _ { - } ) + I _ { 3 } ( w _ { - } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , o u t - w } ( o u t ) = } & { { } \frac { ( \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } ) ^ { 2 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { 2 } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } } \end{array}
\widetilde { \vartheta } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \vartheta _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { \varepsilon } } \\ { E _ { \varepsilon } ( \vartheta _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } ) } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } } \end{array} \right. , \quad \widetilde { \ell } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \ell _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } } & { \mathrm { i n ~ } \Omega _ { \varepsilon } } \\ { P _ { \varepsilon } ( \ell _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } ) } & { \mathrm { i n ~ } \Omega \setminus \Omega _ { \varepsilon } } \end{array} \right. .
{ \begin{array} { r l } { C _ { i k \ell m } = R _ { i k \ell m } + } & { { \frac { 1 } { n - 2 } } \left( R _ { i m } g _ { k \ell } - R _ { i \ell } g _ { k m } + R _ { k \ell } g _ { i m } - R _ { k m } g _ { i \ell } \right) } \\ { + } & { { \frac { 1 } { ( n - 1 ) ( n - 2 ) } } R \left( g _ { i \ell } g _ { k m } - g _ { i m } g _ { k \ell } \right) . \ } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { H ^ { 2 } } & { = { \frac { \sigma _ { G } ^ { 2 } } { \sigma _ { P } ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { \sigma _ { A } ^ { 2 } + \sigma _ { D } ^ { 2 } } { \sigma _ { P } ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { \left[ \sigma _ { a } ^ { 2 } + \sigma _ { d } ^ { 2 } + c o v _ { a d } \right] + \sigma _ { D } ^ { 2 } } { \sigma _ { P } ^ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { I _ { 1 } } { \varepsilon _ { c } } ( \lambda ) = \frac { 2 . 0 0 5 2 \times 1 0 ^ { - 5 } A _ { 2 1 } g _ { 2 } \exp \left( \frac { E _ { i } - \bigtriangleup E _ { 1 } } { k T _ { e } } \right) \exp \frac { - E _ { 2 } } { k T _ { e x c } } } { U _ { i } \lambda _ { i } T _ { e } \left[ \xi \left( 1 - \exp \left( \frac { - h c } { \lambda k T _ { e } } \right) \right) + G \left( \exp \left( \frac { - h c } { \lambda k T _ { e } } \right) \right) \right] } } \end{array}
{ \frac { g ( \tau , \vec { \sigma } ) } { \gamma ( \tau , \vec { \sigma } ) } } = g _ { \tau \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) - \gamma ^ { { \check { r } } { \check { s } } } ( \tau , \vec { \sigma } ) g _ { \tau { \check { r } } } ( \tau , \vec { \sigma } ) g _ { \tau { \check { s } } } ( \tau , \vec { \sigma } ) .
\Pi _ { G } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { \beta _ { 1 } } \ln \left( \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } \frac { \alpha _ { G } ^ { ( 2 ) } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) + \mathrm { s u b t r a c t i o n s }
\check { q } ^ { C } ( \xi ) \overset { d e f } { = } \left\{ \begin{array} { l l } { \check { q } ^ { C 1 } \left( \xi \right) = q ^ { C 1 } \left( \frac { \xi - o ^ { ( 1 ) } } { s } \right) , } & { \xi \in [ o ^ { ( 1 ) } - s , o ^ { ( 1 ) } + s ] } \\ { \check { q } ^ { C 2 } \left( \xi \right) = q ^ { C 2 } \left( \frac { \xi - o ^ { ( 2 ) } } { s } \right) , } & { \xi \in [ o ^ { ( 2 ) } - s , o ^ { ( 2 ) } + s ] } \end{array} \right. .
\left( \frac { 2 \chi } { \theta _ { c } ( t ; \mathrm { ~ B ~ o ~ } ) \sqrt { \hat { r } } } - \frac { 1 } { \hat { r } } \right) \hat { m } _ { 0 } + \frac { \partial \hat { m } _ { 0 } } { \partial \hat { r } } = 0 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \hat { r } = 0 .
\frac { \mathrm d } { \mathrm d t } C ( z ) = \left( \frac { \partial C } { \partial z } ( z ) \right) ^ { \top } \left[ \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { I } \\ { - I } & { 0 } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Psi ( z ) } \end{array} \right) \right] \frac { \partial \mathcal H ^ { N } ( z ) } { \partial z } = 0
{ \cal L } _ { M a x w e l l } ^ { S U S Y } = \frac { 1 } { 4 e ^ { 2 } } \left[ \int \! d ^ { 2 } \theta ~ W ^ { 2 } \! \left( y , \theta \right) + \int \! d ^ { 2 } \bar { \theta } ~ \bar { W } ^ { 2 } ( y ^ { \dagger } , \bar { \theta } \, ) \right]
H ( { \vec { r } } _ { 1 } , \, { \vec { r } } _ { 2 } ) = \sum _ { i = 1 , 2 } { \Bigg ( } - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } } \nabla _ { r _ { i } } ^ { 2 } - { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r _ { i } } } { \Bigg ) } - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { M } } \nabla _ { r _ { 1 } } \cdot \nabla _ { r _ { 2 } } + { \frac { e ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } r _ { 1 2 } } }
\begin{array} { r l } { P ( H _ { i } | F ) } & { { } \approx { \frac { 2 ^ { - ( L ( H _ { i } ) + L ( F | H _ { i } ) ) } } { 2 ^ { - L ( F ) } + \sum _ { j } { 2 ^ { - ( L ( H _ { j } ) + L ( F | H _ { j } ) ) } } } } } \\ { P ( R | F ) } & { { } \approx { \frac { 2 ^ { - L ( F ) } } { 2 ^ { - L ( F ) } + \sum _ { j } { 2 ^ { - ( L ( H _ { j } ) + L ( F | H _ { j } ) ) } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } } & { { } = 0 = - \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) } \end{array}
R _ { \mathrm { S K } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E _ { \nu } \, \phi _ { \mathrm { B } } ( E _ { \nu } ) \left\{ P _ { e e } ( E _ { \nu } ) \sigma _ { e } ^ { W } ( E _ { \nu } ) + [ 1 - P _ { e e } ( E _ { \nu } ) ] \sigma _ { \mu } ^ { W } ( E _ { \nu } ) + \mu _ { \mathrm { L M A } } ^ { 2 } ( E _ { \nu } ) \sigma _ { \mathrm { e m } } ^ { \prime } ( E _ { \nu } ) \right\} } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d E _ { \nu } \, \phi _ { \mathrm { B } } ( E _ { \nu } ) \, \sigma _ { e } ^ { W } ( E _ { \nu } ) } \, ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { i \frac { \partial } { \partial \tau } u _ { j , \varepsilon } ( \mathbf { x } , \tau ) = ( \mathcal { A } _ { \varepsilon } u _ { j , \varepsilon } ) ( \mathbf { x } , \tau ) , } \\ & { u _ { j , \varepsilon } ( \mathbf { x } , 0 ) = e ^ { i \varepsilon ^ { - 1 } \left\langle \mathbf { k } ^ { \circ } , \mathbf { x } \right\rangle } \varsigma _ { j } ^ { \varepsilon } ( \mathbf { x } ) f _ { j } ( \mathbf { x } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } } & { { } = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \left\{ { \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } r } } \left( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { p } \right) \times { \hat { \mathbf { r } } } + \left( { \frac { 1 } { r ^ { 3 } } } - { \frac { i \omega } { c r ^ { 2 } } } \right) \left( 3 { \hat { \mathbf { r } } } \left[ { \hat { \mathbf { r } } } \cdot \mathbf { p } \right] - \mathbf { p } \right) \right\} e ^ { \frac { i \omega r } { c } } e ^ { - i \omega t } } \\ { \mathbf { B } } & { { } = { \frac { \omega ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } } ( { \hat { \mathbf { r } } } \times \mathbf { p } ) \left( 1 - { \frac { c } { i \omega r } } \right) { \frac { e ^ { i \omega r / c } } { r } } e ^ { - i \omega t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \left\| \sum _ { | x | \leq N } f ( x , \cdot ) \right\| _ { 1 , r } } { \sum _ { | x | \leq N } \| f ( x , \cdot ) \| _ { 1 , r } } \simeq \frac { N + N \log ( N ) ^ { \frac { 1 } { r } - \beta } ( r \beta - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { r } } } { N ( r \beta - 1 ) ^ { - \frac { 1 } { r } } } \simeq ( r \beta - 1 ) ^ { \frac { 1 } { r } } + \log ( N ) ^ { \frac { 1 } { r } - \beta } . } \end{array}
\langle 0 | \chi ^ { \dagger } T ^ { A } { a _ { \psi ^ { \prime } } ^ { ( \lambda ) } } ^ { \dagger } a _ { \psi ^ { \prime } } ^ { ( \lambda ) } \, \psi ^ { \dagger } T ^ { A } \chi | 0 \rangle = \frac { 1 } { 3 } \, \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \psi ^ { \prime } } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ) \rangle \, ,
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 n - 2 } } } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { x ^ { 4 n } ( 1 - x ) ^ { 4 n } } { 1 + x ^ { 2 } } } \, d x } \\ { = } & { \sum _ { j = 0 } ^ { 2 n - 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { 2 ^ { 2 n - j - 2 } ( 8 n - j - 1 ) { \binom { 8 n - j - 2 } { 4 n + j } } } } + ( - 1 ) ^ { n } \left( \pi - 4 \sum _ { j = 0 } ^ { 3 n - 1 } { \frac { ( - 1 ) ^ { j } } { 2 j + 1 } } \right) } \end{array} }
\mathbf { A _ { 0 } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { S } \mathcal { S } } } } & { \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { S } \mathcal { \bar { S } } } } } \\ { \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { \bar { S } } \mathcal { S } } } } & { \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { \bar { S } } \mathcal { \bar { S } } } } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \frac { U } { U _ { p } } = } & { \frac { 1 } { t _ { o } } \left( \frac { 3 t } { 2 } \left( 1 - c _ { h } ^ { 2 } \right) - \frac { h ^ { 2 } } { 4 0 \nu } \left( 5 c _ { h } ^ { 4 } - 6 c _ { h } ^ { 2 } + 1 \right) \right) } \\ & { - \frac { 2 h ^ { 2 } } { \nu t _ { o } } \sum _ { n h = 1 } ^ { \infty } e ^ { - v _ { n h } ^ { 2 } \nu t / h ^ { 2 } } \left[ \frac { \cos \left( c _ { h } v _ { n h } \right) - \cos \left( v _ { n h } \right) } { v _ { n h } ^ { 3 } \sin \left( v _ { n h } \right) } \right] } \end{array}
\varepsilon \frac { \partial Y _ { i } ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } / V _ { \mathrm { i n } } } } \vec { V } ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } Y _ { i } ^ { * } - D _ { \mathrm { e f f } } ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { W _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / D _ { \mathrm { e f f } , 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { L _ { \mathrm { c e l l } } ^ { 2 } / D _ { \mathrm { e f f } , 0 } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \delta _ { \mathrm { D L } } ^ { 2 } / D _ { \mathrm { { e f f } , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = 0
\begin{array} { r } { \rho v ^ { \mu } = \rho u ^ { \mu } - \eta \epsilon _ { \nu } ^ { \mu } g ^ { \nu \alpha } \nabla _ { \alpha } \sigma , } \\ { \rho w ^ { \mu } = \sigma u ^ { \mu } - \eta \epsilon _ { \nu } ^ { \mu } g ^ { \nu \alpha } \nabla _ { \alpha } \rho . } \end{array}
U ( r ) = m c ^ { 2 } \left[ \left( 1 - \frac { r _ { s } } { r } \right) \left( 1 + \frac { { \cal { L } } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } r ^ { 2 } } \right) \right] ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \frac { \partial \Tilde { f } ( s , t ) } { \partial t } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \theta ( | v - w | < \delta ) f ( v ) f ( w ) \left[ e ^ { - s \eta ( v + w ) } + e ^ { - s ( 1 - \eta ) ( v + w ) } - e ^ { - s v } - e ^ { - s w } \right] d v d w d \eta } \\ { \implies \frac { \partial \Tilde { f } ( s , t ) } { \partial t } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { w - \delta } ^ { w + \delta } \left[ e ^ { - s \eta ( v + w ) } + e ^ { - s ( 1 - \eta ) ( v + w ) } - e ^ { - s v } - e ^ { - s w } \right] f ( v ) f ( w ) d v d w d \eta . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 1 } ( \psi , \theta ) } & { = } & { - i \frac { { \bf \nabla } \psi ~ { \bf \cdot } ~ { \bf \nabla } \theta } { | { \bf \nabla } \psi | ^ { 2 } } { \cal M } , } \\ { F _ { 1 2 } ( \psi , \theta ) } & { = } & { \frac { X ^ { 2 } } { { \cal J } | { \bf \nabla } \psi | ^ { 2 } } , } \\ { F _ { 2 1 } ( \psi , \theta ) } & { = } & { { \cal M } \frac 1 { X ^ { 2 } } { \cal J } | { \bf \nabla } \theta | ^ { 2 } { \cal M } - { \cal M } \frac 1 { X ^ { 2 } } { \cal J } { \bf \nabla } \psi ~ { \bf \cdot } ~ { \bf \nabla } \theta \frac { { \bf \nabla } \psi ~ { \bf \cdot } ~ { \bf \nabla } \theta } { | { \bf \nabla } \psi | ^ { 2 } } { \cal M } } \\ { F _ { 2 2 } ( \psi , \theta ) } & { = } & { - i { \cal M } \frac 1 { X ^ { 2 } } { \cal J } { \bf \nabla } \psi ~ { \bf \cdot } ~ { \bf \nabla } \theta \frac { X ^ { 2 } } { { \cal J } | { \bf \nabla } \psi | ^ { 2 } } , } \\ { S ( \psi , \theta ) } & { = } & { \frac { 1 } { \chi _ { a } } \left( - { \cal J } ~ { p } _ { \hat { \chi } } ^ { \prime } - \frac { \cal J } { X ^ { 2 } } g { g } _ { \hat { \chi } } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \cal F _ { \lambda , \mu _ { 1 } \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } } \leq } & { \dim \cal F _ { \lambda + \omega _ { 2 } , \mu _ { 1 } \omega _ { 1 } } + \dim \cal F _ { \lambda + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) , \mu _ { 1 } \omega _ { 1 } } + \dim \operatorname { K e r } ( \lambda - \theta , ( \mu _ { 1 } - 1 ) \omega _ { 1 } ) } \\ & { + ( 1 - \delta _ { \mu _ { 1 } , \lambda _ { 1 } } ) \dim V ( \lambda - \omega _ { 1 } - \mu _ { 1 } \omega _ { 1 } + \mu _ { 1 } \omega _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A _ { * * * * } | _ { \infty } \leq } & { { } \sum _ { a b c d } | B _ { a b c d } | \cdot | C _ { a * } | _ { \infty } \cdot | D _ { b * } | _ { \infty } \cdot | E _ { c * } | _ { \infty } \cdot | F _ { d * } | _ { \infty } } \end{array}
\frac { \partial S _ { i j } } { \partial x _ { j } } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \partial U _ { i } } { \partial x _ { j } } + \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { i } } ) ) = \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } ( \frac { \partial U _ { j } } { \partial x _ { j } } ) ) = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { = [ 2 3 . 5 ( s / l - t / l ) ^ { - 0 . 8 3 } + 1 4 . 9 ] ( t / l ) ^ { 0 . 8 4 } ( h / l ) ^ { - 2 } } \\ & { \qquad + 1 3 . 0 ( s / l - t / l ) ^ { - 1 . 6 9 } + 6 . 0 ( h / l ) ^ { - 2 } , } \\ { c _ { 1 } } & { = 5 6 . 5 ( s / l - t / l ) ^ { - 1 . 3 4 } ( t / l ) ^ { 2 . 9 4 } ( h / l ) ^ { - 1 . 0 8 } } \\ & { \qquad + 0 . 0 3 5 5 ( s / l - t / l ) ^ { - 0 . 8 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Z _ { 3 c , 1 } ^ { * } ) } & { \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \bigg ( \sum _ { i k \ell } \beta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 3 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } + \sum _ { i k \ell k ^ { \prime } } [ \beta _ { k } \beta _ { k ^ { \prime } } \beta _ { \ell } ^ { 2 } + \beta _ { k } \beta _ { k ^ { \prime } } \beta _ { i } \beta _ { \ell } ] \theta _ { i } ^ { 3 } \theta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 3 } \theta _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \bigg ) } \\ & { \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } \big ( \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \theta \| _ { 3 } ^ { 3 } + \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \big ) \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 1 0 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { M } _ { j } ^ { v } } & { = \operatorname* { m i n } ( \tau ( - M _ { j } ^ { v } + u _ { j } ) , 2 \rho _ { j } - \epsilon ) , } \\ { u _ { j } ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { M _ { a } , \mathrm { ~ i f ~ } \omega _ { m } ( t ) > 0 . 0 2 \mathrm { ~ H z , } } \\ { 0 , \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { + } } & { { } = \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \phi _ { + } d y _ { 1 } = \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { 0 } ^ { \Gamma } \left[ \phi _ { - } + \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } \partial _ { 2 } \phi \ d y _ { 2 } \right] d y _ { 1 } = - \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } u _ { 1 } \ d y . } \end{array}
p _ { C ^ { \mathrm { r e g } } } = p _ { C _ { 0 2 3 } } + p _ { C _ { 0 2 1 } } - \frac { 1 } { 2 } p _ { C _ { 0 2 3 } } \delta ( { \lambda } _ { 3 } ) \delta ( { \lambda } _ { 0 } ) - \frac { 1 } { 2 } p _ { C _ { 0 2 1 } } \delta ( { \lambda } _ { 1 } ) \delta ( { \lambda } _ { 0 } ) = p _ { C _ { 0 2 3 } } + p _ { C _ { 0 2 1 } } - p _ { C ^ { \mathrm { r e g } } } \delta ( { \lambda } _ { 3 } ) \delta ( { \lambda } _ { 1 } ) \, .
d s ^ { 2 } = ( H _ { 1 } H _ { 2 } ) [ - ( H _ { 1 } H _ { 2 } ) ^ { - 2 } d y _ { 0 } ^ { 2 } + ( H _ { 1 } ) ^ { - 2 } d z _ { 1 } ^ { 2 } + ( H _ { 2 } ) ^ { - 2 } d z _ { 2 } ^ { 2 } + ( d x _ { i } ) ^ { 2 } ] , i = 1 , 2 , 3
V = - \frac { 1 } { 2 } \phi ^ { 2 } + g \kappa \phi ^ { 3 } + \frac { 1 } { 3 g ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } } \left( 1 - 3 g ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } \beta \gamma \phi ^ { 2 } - ( 1 - 2 g ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } \beta \gamma \phi ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \right)
\operatorname* { l i m } _ { s \to 1 } ( s - 1 ) \zeta ( s ) = \operatorname* { l i m } _ { s \to 1 } { \frac { \eta ( s ) } { \frac { 1 - 2 ^ { 1 - s } } { s - 1 } } } = { \frac { \eta ( 1 ) } { \log 2 } } = 1 .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { D } \cdot \mathbb { B } } & { = } & { 0 } \\ { \mathbb { D } \times \mathbb { E } + D _ { t } \mathbb { B } } & { = } & { 0 } \\ { \mathbb { D } \cdot \mathbb { E } } & { = } & { g ^ { 2 } \rho \mathrm { \ w h e r e \ } \rho = J _ { t } } \\ { \mathbb { D } \times \mathbb { B } - D _ { t } \mathbb { E } } & { = } & { g ^ { 2 } \mathbb { J } } \end{array}
C _ { H i g g s } \propto { \frac { g _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 M _ { W } } } \left[ { \frac { F _ { h } } { m _ { h } ^ { 2 } } } \left\{ { \frac { c o s \alpha _ { H } } { s i n \beta } } \atop { \frac { - s i n \alpha _ { H } } { c o s \beta } } \right\} + { \frac { F _ { H } } { m _ { H } ^ { 2 } } } \left\{ { \frac { s i n \alpha _ { H } } { s i n \beta } } \atop { \frac { c o s \alpha _ { H } } { c o s \beta } } \right\} \right] { u - q u a r k \atop d - q u a r k }
\begin{array} { r l } { [ \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } ] ^ { \intercal } \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } - [ \beta ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } ] ^ { \intercal } \beta ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } = } & { [ \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } ] ^ { \intercal } ( \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } - \beta ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } ) + [ \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } ] ^ { \intercal } ( \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } - \beta ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } ) } \\ & { - ( \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } - \beta ^ { \scriptscriptstyle ( 2 ) } ) ^ { \intercal } ( \widehat { \beta } ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } - \beta ^ { \scriptscriptstyle ( 1 ) } ) . } \end{array}
d = { \sqrt { ( \Delta x ) ^ { 2 } + ( \Delta y ) ^ { 2 } + ( \Delta z ) ^ { 2 } } } = { \sqrt { ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 2 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) ^ { 2 } } } .
{ \partial _ { t 2 } } ( \rho { u _ { x } } ) + \frac { 1 } { 3 } { \partial _ { x 1 } } \left[ { ( 1 - \frac { { { s _ { b } } } } { 2 } ) m _ { 7 } ^ { ( 1 ) } + ( 1 - \frac { { { s _ { \nu } } } } { 2 } ) m _ { 8 } ^ { ( 1 ) } + ( 1 - \frac { { { s _ { \nu } } } } { 2 } ) m _ { 9 } ^ { ( 1 ) } } \right] + { \partial _ { y 1 } } \left[ { ( 1 - \frac { { { s _ { \nu } } } } { 2 } ) m _ { 4 } ^ { ( 1 ) } } \right] + { \partial _ { z 1 } } \left[ { ( 1 - \frac { { { s _ { \nu } } } } { 2 } ) m _ { 5 } ^ { ( 1 ) } } \right] = 0 ,
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial L _ { a a } } { \partial t } \right| _ { P ^ { * } } L ^ { * } - \left. \frac { \partial L } { \partial t } \right| _ { P ^ { * } } L _ { a a } ^ { * } } & { = 0 } \\ & { \implies } \\ { \frac { L _ { a a } ^ { * } } { L ^ { * } } = P _ { a a } ^ { * } } & { = \left( \left. \frac { \partial L _ { a a } } { \partial t } \right| _ { P ^ { * } } \right) \left( \left. \frac { \partial L } { \partial t } \right| _ { P ^ { * } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
q _ { i } ^ { \prime } = q _ { i } + \frac { q _ { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ o ~ m ~ s ~ } } } - \frac { 1 } { N _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ o ~ m ~ s ~ } } } \sum _ { i } ^ { N _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ o ~ m ~ s ~ } } } q _ { i } ,
E _ { z } = - { \frac { 1 } { l } } D _ { 0 } \Theta \sim { \frac { 1 } { l } } ( \partial _ { X } \Theta \, \, D _ { 0 } X + \partial _ { Y } \Theta \, \, D _ { 0 } Y ) = - { \frac { 1 } { l \rho ^ { 2 } } } ( X D _ { 0 } Y - Y D _ { 0 } X ) \, ,
\begin{array} { r } { \xi ( { \boldsymbol x } ) = \mathcal { F } _ { \mathrm { 2 D } } \left[ \cos \left( { \boldsymbol b _ { 1 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) , \, \sin \left( { \boldsymbol b _ { 1 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) , \, \cos \left( { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) , \, \sin \left( { \boldsymbol b _ { 2 } } \cdot { \boldsymbol x } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( [ \mathbf { C } _ { u , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { u , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \mathrm { ~ s i n g u l a r } \right) \leq C k ^ { 8 } C _ { k - 1 } ^ { \prime } \exp \left( - n c c _ { k - 1 } ^ { \prime } / k ^ { 1 1 } \right) , } \\ { \mathbb { P } \left( \left| \left[ ( [ \mathbf { C } _ { u , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { C } _ { u , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ) ^ { - 1 } \right] _ { i j } - \left[ \boldsymbol { \Pi } _ { u ( k + 1 ) } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \right] _ { i j } \right| \geq \epsilon \right) \leq C k ^ { 8 } C _ { k - 1 } ^ { \prime } \exp \left( - n c c _ { k - 1 } ^ { \prime } / k ^ { 1 1 } \right) . } \end{array}