harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \overline { { \overline { { D } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) } & { = \sum _ { m } \alpha _ { m } { \bf R } _ { m } ( { \bf r } _ { 1 } ) { \bf R } _ { m } ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 2 } ) } \\ { \overline { { \overline { { E } } } } ( { \bf r } _ { 1 } , { \bf r } _ { 2 } , \omega ) } & { = \sum _ { n } \beta _ { n } { \bf U } _ { n } ( { \bf r } _ { 1 } ) { \bf U } _ { n } ^ { \ast } ( { \bf r } _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( \pi \otimes \pi ) ( \Delta ( \nu _ { i } ( a ) ) ) } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( \pi \otimes \pi ) ( \nu _ { i } \otimes \nu _ { j } ) ( \Delta _ { G } ( a ) ) ( \pi ( u _ { i j } ) \otimes 1 ) } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ ( \nu _ { i } \otimes \nu _ { j } ) ( \Delta _ { G } ( a ) ) \right] _ { 1 3 } ( 1 \otimes \chi _ { i j } \otimes 1 \otimes 1 ) } \\ & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { \tau \in S _ { N } , \, \tau ( j ) = i } \left[ ( \mathrm { i d } \otimes \alpha _ { \tau } ) ( \nu _ { i } \otimes \nu _ { i } ) ( \Delta _ { G } ( a ) ) \right] _ { 1 3 } ( 1 \otimes \delta _ { \tau } \otimes 1 \otimes 1 ) } \\ & { = } & { \sum _ { \tau \in S _ { N } } \left[ ( \mathrm { i d } \otimes \alpha _ { \tau } ) ( \nu _ { i } \otimes \nu _ { i } ) ( \Delta _ { G } ( a ) ) \right] _ { 1 3 } ( 1 \otimes \delta _ { \tau } \otimes 1 \otimes 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle \mathcal { A } _ { c l } \mathcal { X } , \mathcal { X } \rangle + \langle \mathcal { X } , \mathcal { A } _ { c l } \mathcal { X } \rangle } \\ { = } & { \langle \mathcal { G } x _ { 2 } , x _ { 1 } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle - \mathcal { G } ^ { * } x _ { 1 } , x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle \mathcal { R } _ { c l } x _ { 2 } , x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ & { + \langle x _ { 1 } , \mathcal { G } x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } + \langle x _ { 2 } , - \mathcal { G } ^ { * } x _ { 1 } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle x _ { 2 } , - \mathcal { R } _ { c l } x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { - \langle \mathcal { R } _ { c l } x _ { 2 } , x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } - \langle x _ { 2 } , - \mathcal { R } _ { c l } x _ { 2 } \rangle _ { L _ { 2 } } \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { f } _ { \mathrm { ~ T ~ F ~ } } ^ { ( 1 , 2 ) } = } & { { } - \frac { 9 \sigma _ { 1 } k _ { L , 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } ^ { 1 0 } } { 2 d ^ { 1 0 } } \left( m _ { 2 } + \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 1 } } \right) } \end{array}
f ( y ) = ( 1 { - } \lambda y ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \, e ^ { - s } \, s ^ { \lambda s y } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \, f _ { m } \, { \frac { ( s y ) ^ { m } } { \Gamma ( m { + } 1 { + } \lambda s y ) } } \, ,
R = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \langle \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { a } _ { 1 } \rangle } & { \langle \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { a } _ { 2 } \rangle } & { \langle \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { a } _ { 3 } \rangle } & { \cdots } & { \langle \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { a } _ { n } \rangle } \\ { 0 } & { \langle \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { a } _ { 2 } \rangle } & { \langle \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { a } _ { 3 } \rangle } & { \cdots } & { \langle \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { a } _ { n } \rangle } \\ { 0 } & { 0 } & { \langle \mathbf { e } _ { 3 } , \mathbf { a } _ { 3 } \rangle } & { \cdots } & { \langle \mathbf { e } _ { 3 } , \mathbf { a } _ { n } \rangle } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { \langle \mathbf { e } _ { n } , \mathbf { a } _ { n } \rangle } \end{array} \right] } .
| n _ { \alpha } ( k ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } E _ { n } ( k ) } \left[ \begin{array} { l } { h _ { \alpha x } ( k ) - i h _ { \alpha y } ( k ) } \\ { E _ { n } ( k ) } \end{array} \right] , \qquad | \widetilde { n } _ { \alpha } ( k ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } E _ { n } ^ { * } ( k ) } \left[ \begin{array} { l } { h _ { \alpha x } ^ { * } ( k ) - i h _ { \alpha y } ^ { * } ( k ) } \\ { E _ { n } ^ { * } ( k ) } \end{array} \right] ,
P ( u , O ( t , \mathbf { x } ) , \rho ( t , \mathbf { x } ) , n ( t , \mathbf { x } ) ) = p _ { 1 } ( u ) \, p _ { 2 } ( O ( t , \mathbf { x } ) ) \, p _ { 3 } ( \rho ( t , \mathbf { x } ) , n ( t , \mathbf { x } ) ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow 0 } \tilde { F } _ { m , \Omega _ { m } } ^ { \prime \prime } ( x ) = } & { - \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow 0 } \frac { \tilde { F } _ { m , \Omega _ { m } } ^ { \prime } ( x ) ( m + 1 ) + \frac { \sigma _ { \Omega _ { m } } } { 4 } \tilde { \nu } _ { \Omega _ { m } } ( x ) \tilde { F } _ { m , \Omega _ { m } } ( x ) } { x } } \\ { = - } & { \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow 0 } \left\{ \tilde { F } _ { m , \Omega _ { m } } ^ { \prime \prime } ( x ) ( m + 1 ) + \frac { \sigma _ { \Omega _ { m } } } { 4 } [ \tilde { \nu } _ { \Omega _ { m } } ( x ) \tilde { F } _ { m , \Omega _ { m } } ( x ) ] ^ { \prime } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { \alpha } ( X , Y ) } & { = \frac { \alpha } { \alpha - 1 } \log \mathbb { E } \left[ \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { \alpha } } \left[ \left( \frac { \mathcal { P } _ { Y | X } } { \mathcal { P } _ { Y } } \right) ^ { \alpha } \bigg | Y \right] \right] } \\ & { = D _ { \alpha } ( \mathcal { P } _ { X Y } \| \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } ) - D _ { \alpha } ( \mathcal { P } _ { Y _ { \alpha } } \| \mathcal { P } _ { Y } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { r } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { 0 \, , } \\ { B _ { \vartheta } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \mathcal { M } _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \varphi - \mathcal { M } _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \varphi \, , } \\ { B _ { \varphi } ( \boldsymbol { r } , t ) } & { { } = } & { \mathcal { M } _ { x } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \cos \varphi - \mathcal { M } _ { z } ( r , t ^ { \prime } ) \sin \vartheta + \mathcal { M } _ { y } ( r , t ^ { \prime } ) \cos \vartheta \sin \varphi \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { E B E R } _ { \mathrm { d a t a } } } & { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K _ { \mathrm { m a x } } } \left[ X _ { 1 , Q ( k ) } Y _ { 1 , Q ( k ) } - X _ { 2 , { \widehat Q } } ( 1 - Y _ { 2 , { \widehat Q } } ( k ) ) - ( 1 - X _ { 3 , { \widetilde Q } ( k ) } ) Y _ { 3 , { \widehat Q } ( k ) } - X _ { 4 , Q ^ { \prime } ( k ) } Y _ { 4 , Q ^ { \prime } ( k ) } \right] } \\ & { } & { + \sum _ { k = K _ { \mathrm { m a x } } + 1 } ^ { N } \left[ X _ { 1 , Q ( k ) } Y _ { 1 , Q ( k ) } - X _ { 2 , { \widehat Q } } ( 1 - Y _ { 2 , { \widehat Q } } ( k ) ) - ( 1 - X _ { 3 , { \widetilde Q } ( k ) } ) Y _ { 3 , { \widehat Q } ( k ) } - X _ { 4 , Q ^ { \prime } ( k ) } Y _ { 4 , Q ^ { \prime } ( k ) } \right] \; , } \end{array}
\overline { { \mathrm { S K L } } } _ { \, \mathrm { a n n u a l } } ^ { \, \mathrm { D a y ( N i g h t ) } } = \frac { N _ { \mathrm { o r b i t s } } ^ { \mathrm { a n n u a l } } } { L _ { \mathrm { l a t } } } \, \mathrm { S K L } _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { D a y ( N i g h t ) } } .
S = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { L } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \mu \left( { \frac { \partial w } { \partial t } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } E I \left( { \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } + q ( x ) w ( x , t ) \right] d x d t .
\begin{array} { r l } { - z _ { - } e \psi } & { { } + k _ { B } T \left[ \ln \left( { \frac { a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) - \frac { a _ { - } ^ { 3 } } { a _ { + } ^ { 3 } } \ln \left( { \frac { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } - a _ { + } ^ { 3 } c _ { + } } { 1 - a _ { - } ^ { 3 } c _ { - } } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) = - f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) - \frac { 1 } { 2 } D ( \widehat { L } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \alpha } } & { = \left( \frac { E _ { 2 } } { 1 - \nu _ { 2 } ^ { 2 } } e _ { 2 } h _ { 2 } - \frac { E _ { 1 } } { 1 - \nu _ { 1 } ^ { 2 } } e _ { 1 } h _ { 1 } \right) } \\ { \tilde { \beta } } & { = - \left( \frac { E _ { 2 } } { 1 - \nu _ { 2 } ^ { 2 } } \left( \frac { h _ { 2 } ^ { 3 } } { 1 2 } + h _ { 2 } e _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \frac { E _ { 1 } } { 1 - \nu _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { h _ { 1 } ^ { 3 } } { 1 2 } + h _ { 1 } e _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right) } \\ { \tilde { \gamma } } & { = - \left( \frac { E _ { 2 } } { 1 - \nu _ { 2 } } h _ { 2 } e _ { 2 } \eta _ { 2 } - \frac { E _ { 1 } } { 1 - \nu _ { 1 } } h _ { 1 } e _ { 1 } \eta _ { 1 } \right) } \\ { \tilde { \nu } _ { A } } & { = \frac { 1 } { \tilde { \alpha } } \left( \frac { E _ { 2 } \nu _ { 2 } } { 1 - \nu _ { 2 } ^ { 2 } } e _ { 2 } h _ { 2 } - \frac { E _ { 1 } \nu _ { 1 } } { 1 - \nu _ { 1 } ^ { 2 } } e _ { 1 } h _ { 1 } \right) } \\ { \tilde { \nu } _ { B } } & { = \frac { - 1 } { \tilde { \beta } } \left( \frac { E _ { 2 } \nu _ { 2 } } { 1 - \nu _ { 2 } ^ { 2 } } \left( \frac { h _ { 2 } ^ { 3 } } { 1 2 } + h _ { 2 } e _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \frac { E _ { 1 } \nu _ { 1 } } { 1 - \nu _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { h _ { 1 } ^ { 3 } } { 1 2 } + h _ { 1 } e _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right) } \\ { \overline { { \alpha } } } & { = \left( \frac { E _ { 2 } } { 1 - \nu _ { 2 } ^ { 2 } } h _ { 2 } + \frac { E _ { 1 } } { 1 - \nu _ { 1 } ^ { 2 } } h _ { 1 } \right) } \\ { \overline { { \beta } } } & { = - \tilde { \alpha } } \\ { \overline { { \gamma } } } & { = - \left( \frac { E _ { 2 } } { 1 - \nu _ { 2 } } h _ { 2 } \eta _ { 2 } + \frac { E _ { 1 } } { 1 - \nu _ { 1 } } h _ { 1 } \eta _ { 1 } \right) } \\ { \overline { { \nu } } _ { A } } & { = \frac { 1 } { \overline { { \alpha } } } \left( \frac { E _ { 2 } \nu _ { 2 } } { 1 - \nu _ { 2 } ^ { 2 } } h _ { 2 } + \frac { E _ { 1 } \nu _ { 1 } } { 1 - \nu _ { 1 } ^ { 2 } } h _ { 1 } \right) } \\ { \overline { { \nu } } _ { B } } & { = \tilde { \nu } _ { A } } \end{array}
\Delta m _ { B } = \frac { \beta _ { B } G _ { F } ^ { 2 } m _ { W } ^ { 2 } f _ { B } ^ { 2 } m _ { B } } { 6 \pi ^ { 2 } } \left\vert \sum _ { i , j } \xi _ { i } \xi _ { j } \left[ S ^ { W W } - 2 \cot ^ { 2 } \beta \cdot S ^ { H W } + \frac { 1 } { 4 } \cot ^ { 4 } \beta \cdot S ^ { H H } \right] \right\vert .
\begin{array} { r l } { \mathbf { R } _ { 4 } ( \alpha , \beta ) = \mathrm { e } ^ { \mathbf { S } _ { 4 } } } & { = \mathbf { I } _ { 4 } + \sin ( \alpha ) \mathbf { A } + [ 1 - \cos ( \alpha ) ] \mathbf { A } ^ { 2 } } \\ & { \mathrel { \phantom { = } } + \sin ( \beta ) \mathbf { B } + [ 1 - \cos ( \beta ) ] \mathbf { B } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { F r = \left( \frac { \mathrm { ~ i ~ n ~ e ~ r ~ t ~ i ~ a ~ l ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } { \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ v ~ i ~ t ~ y ~ t ~ e ~ r ~ m ~ } } \right) ^ { 1 / 2 } = \left( \frac { \| ( v \cdot \nabla ) v \| } { \| g \| } \right) ^ { 1 / 2 } = \left( \frac { V ^ { 2 } / L } { g } \right) ^ { 1 / 2 } = \frac { V } { \sqrt { g L } } } \end{array}
\frac { \delta p _ { \perp \mathrm { i } } } { p _ { \mathrm { i 0 } } } = - \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \frac { \delta n } { n _ { 0 } } + 2 \, \frac { \omega ^ { 2 } - k ^ { 2 } v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } v _ { \mathrm { t h , i } } ^ { 2 } } \frac { \delta B _ { \parallel } } { B _ { 0 } } \simeq \biggl ( 2 + \frac { T _ { \mathrm { e } } } { T _ { \mathrm { i 0 } } } \biggr ) \frac { \delta n } { n _ { 0 } } ,
\sigma ^ { \prime } ( \leftarrow ) _ { i } = { \left( \begin{array} { l l l l l l l } { 1 } & { 2 } & { \cdots } & { i + 1 } & { \cdots } & { n } & { i } \\ { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( 1 ) ) } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( 2 ) ) } & { \cdots } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( i + 1 ) ) } & { \cdots } & { ( \leftarrow ) _ { j } ( \tau ( n ) ) } & { n } \end{array} \right) }
{ \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \eta \omega K } \\ { - \eta \omega K } & { 0 } \end{array} \right] } { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { { L } } } } \\ { - \eta \omega \psi _ { \mathrm { { L } } } ^ { * } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { \mathrm { { L } } } } \\ { - \eta \omega \psi _ { \mathrm { { L } } } ^ { * } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } _ { \chi } [ \mathcal { I } _ { \mathrm { l o c } } ^ { \mathrm { C V } } ( \sigma , \eta ) ] ( c ^ { * } ) } & { = \mathrm { V a r } _ { \chi } [ \Re \mathcal { I } _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma , \eta ) ] \bigg ( 1 - \frac { { c ^ { * } } ^ { 2 } \mathrm { V a r } _ { \chi } [ | \mathcal { F } _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma , \eta ) | ^ { 2 } ] } { \mathrm { V a r } _ { \chi } [ \Re \mathcal { I } _ { \mathrm { l o c } } ( \sigma , \eta ) ] } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \int _ { B _ { \varepsilon } } ( X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } ) e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } { \int _ { B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } p _ { d a t a } ( y ) d y } } \\ { = } & { \frac { \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } ( X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } ) e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } ( z ) | J ( z ) | d z } { \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } ( z ) | J ( z ) | d z } } \\ { = } & { X - e ^ { - \frac { t } { 2 } } \frac { \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } y ( z ) e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } ( z ) | J ( z ) | d z } { \int _ { y ( z ) \in B _ { \varepsilon } } e ^ { - \frac { \| X - y ( z ) e ^ { - \frac { t } { 2 } } \| ^ { 2 } } { 2 ( 1 - e ^ { - t } ) } } \hat { \rho } ( z ) | J ( z ) | d z } } \end{array}
\cos { \frac { \pi } { 1 7 \times 2 ^ { 0 } } } = { \frac { \sqrt { 3 0 + 2 { \sqrt { 1 7 } } + { \sqrt { 1 3 6 - 8 { \sqrt { 1 7 } } } } + { \sqrt { 2 7 2 + 4 8 { \sqrt { 1 7 } } + 8 { \sqrt { 3 4 - 2 { \sqrt { 1 7 } } } } \times ( { \sqrt { 1 7 } } - 1 ) - 6 4 { \sqrt { 3 4 + 2 { \sqrt { 1 7 } } } } } } } } { 8 } } ;
f ^ { ( C ) } ( \theta ) = - \frac { i \eta } { \sqrt 2 k } \frac { g _ { \omega } ( \theta ) } { ( \cos \omega - \cos \theta ) ^ { 3 / 2 } } \frac { ( 1 - \cos \theta ) ^ { q } \Theta _ { \omega } ( \theta ) } { [ ( \cos \omega - \cos \theta ) ^ { 1 / 2 } - i \sqrt 2 \sin ( \omega / 2 ) ] ^ { 2 q } } \ ,
\begin{array} { r l r } { ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( x ) \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) - \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( x ) \tilde { r } _ { n } ( x ) } \\ & { } & { + O _ { P } ( \sigma _ { 0 , n } ^ { 2 } ( x ) C ( M _ { n } ) r ( d , J _ { 0 , n } ) ^ { k + 1 } ) . } \end{array}
\mathrm { C D } _ { \mathrm { { t o t } } } ( { \bf r } ) = - \frac { 4 } { \epsilon } \mathrm { I m } \{ G \} C _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) = \frac { k } { 2 } \mathrm { I m } \{ G \} \sum _ { \sigma ^ { \prime } = \pm 1 } \sigma ^ { \prime } | { \bf E } _ { \mathrm { t o t } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) | ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { J _ { m - 1 } ( k \psi _ { c } ) = \frac { 1 } { k } \left[ \frac { \partial J _ { m } ( k \psi _ { c } ) } { \partial \psi _ { c } } + \frac { m } { \psi _ { c } } J _ { m } ( k \psi _ { c } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in \ensuremath { \mathbb { Z } } ^ { d } } | U _ { \alpha } ^ { j + 1 } | } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in \ensuremath { \mathbb { Z } } ^ { d } } | U _ { \alpha } ^ { j } | \left( 1 - \tau \sum _ { \alpha \not = 0 } | U _ { \alpha + \beta } ^ { j } - U _ { \alpha } ^ { j } | ^ { p - 2 } \omega _ { \beta } \right) + \tau \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in \ensuremath { \mathbb { Z } } ^ { d } } | U _ { \alpha } ^ { j } | \sum _ { \alpha \not = 0 } | U _ { \alpha + \beta } ^ { j } - U _ { \alpha } ^ { j } | ^ { p - 2 } \omega _ { \beta } + \tau \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in \ensuremath { \mathbb { Z } } ^ { d } } | f _ { \alpha } | } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in \ensuremath { \mathbb { Z } } ^ { d } } | U _ { \alpha } ^ { j } | + \tau \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in \ensuremath { \mathbb { Z } } ^ { d } } | f _ { \alpha } | } \\ & { \leq \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } + t _ { j + 1 } \operatorname* { s u p } _ { \alpha \in \ensuremath { \mathbb { Z } } ^ { d } } | f _ { \alpha } | , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| I _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \varphi _ { n } ) ^ { \prime } - I _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \varphi ) ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } \leq C \| ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \varphi _ { n } ) ^ { \prime } - ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \varphi ) ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } \to 0 \; \mathrm { ~ a s ~ } n \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = \mathrm { a c o s h } \big ( - [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] \big ) = \mathrm { a c o s h } \big ( - [ P ( x _ { 1 } ) , P ( x _ { 2 } ) ] \big ) } \\ & { = \mathrm { a c o s h } \big ( [ x _ { 1 } , p ] [ x _ { 2 } , p ] - \sum _ { k \in [ K ] } [ x _ { 1 } , h _ { k } ] [ x _ { 2 } , h _ { k } ] \big ) } \\ & { = \mathrm { a c o s h } \big ( - [ \mathcal { Q } ( x _ { 1 } ) , \mathcal { Q } ( x _ { 2 } ) ] \big ) . } \end{array}
D ^ { - 1 } ( \vec { u } ) = \Delta ^ { - 1 } ( \vec { U } ) = \left( \begin{array} { c c } { { \delta _ { i j } \! + \! \gamma _ { + } u _ { i } u _ { j } / u ^ { 2 } } } & { { + \gamma u _ { i } } } \\ { { + \gamma u _ { j } } } & { { 1 \! + \! \gamma _ { - } } } \end{array} \right) .
U = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { \omega } } & { { \bar { \omega } } } \\ { { 1 } } & { { \bar { \omega } } } & { { \omega } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { ( \mathcal { S } \rho ) ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { { } \triangleq \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { r } ^ { \prime } } } \rho ( \mathbf { r } ) ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\lambda _ { s } ^ { 2 } \simeq \frac { \eta ^ { \mathrm { p } } \left( 1 - \phi _ { 0 } \right) ^ { 2 } } { \zeta } \ \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \ \lambda _ { d } ^ { 2 } \simeq \frac { K \phi _ { 0 } \left( 1 - \phi _ { 0 } \right) ^ { 2 } \gamma } { 2 \zeta T } \ .
\ddot { q } ^ { n ^ { \prime } } \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial \dot { q } ^ { n ^ { \prime } } } { \partial \dot { q } ^ { n } } = \frac { \partial L } { \partial q ^ { n } } - \dot { q } ^ { n ^ { \prime } } \frac { \partial ^ { 2 } L } { \partial q ^ { n ^ { \prime } } \partial \dot { q } ^ { n } }
\begin{array} { r l r } { \bar { U } ( z ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { A } \int _ { A } d x \, d y \, U ( { \bf r } ) \qquad \bar { j } ( z ) = \frac { 1 } { A } \int _ { A } d x \, d y \, j _ { z } ( { \bf r } ) } \\ { \bar { \cal J } ( z ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { A } \int _ { A } d x \, d y { \cal J } ( { \bf r } ) } \end{array}
\gamma , \underline { { z } } ^ { \prime } : [ \Pi _ { \underline { { x } } : A ^ { \prime } ( \delta ) } B ^ { \prime } ( \delta , \underline { { x } } ) ] ( \textnormal { \texttt { f } } ^ { \prime } ( \gamma ) ) \vdash g ^ { \Pi } ( \gamma , \alpha ( \gamma ) ^ { * } \underline { { z } } ^ { \prime } ) = g ^ { \Pi } ( \gamma , \underline { { z } } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { \vert \breve { Y } _ { i } \vert = } & { \vert \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \Big \langle F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \vert } \\ { \le } & { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \vert \vert F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { \le } & { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { 2 r } } \kappa _ { k } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 \varepsilon } \! } & { = } & { \! \lambda _ { 2 \varepsilon } = 1 \; , \; \lambda _ { 3 \varepsilon } ( { \bf B } _ { 0 } ) = 1 + \frac { d _ { 2 } } { c _ { 1 } } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } \; , } \\ { \lambda _ { 1 \mu } \! } & { = } & { \! \lambda _ { 2 \mu } = 1 \; , \; \lambda _ { 3 \mu } ( { \bf B } _ { 0 } ) = \frac { c _ { 1 } } { c _ { 1 } - d _ { 1 } \, { \bf B } _ { 0 } ^ { 2 } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sinh x - \sinh y } & { { } = 2 \cosh \left( { \frac { x + y } { 2 } } \right) \sinh \left( { \frac { x - y } { 2 } } \right) } \\ { \cosh x - \cosh y } & { { } = 2 \sinh \left( { \frac { x + y } { 2 } } \right) \sinh \left( { \frac { x - y } { 2 } } \right) } \end{array}
[ ( - 1 , 0 ) , ( 0 , 0 . 1 ) , ( 0 , 0 . 2 ) , ( 0 , 0 . 3 ) , ( 1 , 0 . 1 ) , ( 1 , 0 . 2 ) , ( 1 , 0 . 3 ) , ( 2 , 0 . 1 ) , ( 2 , 0 . 2 ) , ( 2 , 0 . 3 ) ]
\left\{ \begin{array} { r c c c l l } { { \bf a } ( { \bf u } _ { h } , { \bf v } _ { h } ) } & { - } & { { \bf b } ( \boldsymbol \lambda _ { h } , { \bf v } _ { h } ) } & { = } & { \int _ { \gamma } \rho \, v _ { h _ { \gamma } } ^ { \gamma } \, d x , } & { \forall { \bf v } _ { h } \in { \bf V } _ { h } , } \\ { { \bf b } ( \boldsymbol \mu _ { h } , { \bf u } _ { h } ) } & { + } & { \alpha \ { \bf c } ( \boldsymbol \lambda _ { h } , \boldsymbol \mu _ { h } ) } & { = } & { 0 , } & { \forall \boldsymbol \mu _ { h } \in \boldsymbol \Lambda _ { h } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { U \left( R , \frac 1 2 \right) = N \left( \frac { \lambda } { 4 \pi } \right) ^ { 4 } \frac { \gamma \prime ^ { 2 } \Psi _ { q } \bar { P } } { d ^ { 4 } r _ { q } ^ { 2 } r _ { p } ^ { 2 } } I \prime ^ { 2 } = N \bar { P } \frac { \lambda ^ { 4 } \gamma \prime ^ { 2 } \Psi _ { q } r _ { p } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } d ^ { 4 } r _ { q } ^ { 2 } } \bigg ( \sqrt [ 4 ] { \frac { R ^ { 2 } } { r _ { p } ^ { 2 } } + 1 } - 1 \bigg ) ^ { 2 } . } \end{array}
Z : = \left\{ u : \Omega \rightarrow \mathbb { R } \, \Bigg | \, \int _ { \Omega } u ^ { 2 } x \, d x d y < \infty \, , \, \int _ { \Omega } \frac { \left| \nabla u \right| ^ { 2 } } { x } d x d y < \infty ; \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \, u ( 0 , y ) = 0 \right\} \cap C ^ { 0 } \left( \overline { { \Omega } } \right) .
\int d y ( 1 - y ) ^ { a } ( 1 + y ) ^ { b } y ^ { c } = 2 ^ { - ( 2 c + 2 ) } { \frac { \Gamma ( { \frac { a + 1 } { 2 } } ) \Gamma ( c + 1 ) } { \Gamma ( { \frac { a + 1 } { 2 } } + c + 1 ) } } ,
\delta \pi ^ { \mu \nu } = N _ { \ast s } \int _ { \mathcal { V } ^ { 3 } } \frac { d ^ { 3 } u } { \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } } u ^ { \mu } u ^ { \nu } \left( - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } w ^ { 2 } \right) e ^ { - \frac { P _ { \mu } U ^ { \mu } } { T } } .
Q _ { 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos ( \theta ) } & { - \sin ( \theta ) } & { 0 } \\ { 0 } & { \sin ( \theta ) } & { \cos ( \theta ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } = \exp \left( \theta { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \right) ~ .