harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\partial ( x _ { 1 } \wedge \cdots \wedge x _ { p + 1 } ) = { \frac { 1 } { p + 1 } } \sum _ { j < \ell } ( - 1 ) ^ { j + \ell + 1 } [ x _ { j } , x _ { \ell } ] \wedge x _ { 1 } \wedge \cdots \wedge { \hat { x } } _ { j } \wedge \cdots \wedge { \hat { x } } _ { \ell } \wedge \cdots \wedge x _ { p + 1 } .
\sum _ { i _ { 1 } , . . . i _ { l _ { 1 } } ; j _ { 1 } , . . . , j _ { l _ { 2 } } = 1 } ^ { J } \mathrm { t r } ( ( Z \Omega ) ^ { i _ { 1 } } ( Z ^ { \prime } \Omega ) ( Z \Omega ) ^ { j _ { 1 } - i _ { 1 } } ( W \Omega ) . . . . ( W \Omega ) ^ { j _ { l _ { 2 } } } ( Z \Omega ) ^ { J - j _ { l _ { 2 } } } )
c \, \delta { \frac { d \tau } { d q } } = - { \frac { r ^ { 2 } } { c } } { \frac { d \varphi } { d \tau } } \delta { \frac { d \varphi } { d q } } = - { \frac { r ^ { 2 } } { c } } { \frac { d \varphi } { d \tau } } { \frac { d \delta \varphi } { d q } } \, .
\begin{array} { r } { P _ { m , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } = P _ { n , m } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } , \mathbf { k } } , \quad Q _ { m , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } = - Q _ { n , m } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { b } , \mathbf { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } F = \frac { 1 } { h _ { \sigma } h _ { \tau } h _ { z } } \bigg ( } & { { } \frac { \partial } { \partial \sigma } \! \left( \frac { h _ { \tau } h _ { z } } { h _ { \sigma } } \frac { \partial F } { \partial \sigma } \right) + } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } V = \boldsymbol { \nabla } \mathbf { \cdot } ( \mathbf { E } _ { 1 } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad \partial _ { r } V \vert _ { r = R _ { \mathrm { f } } } = \mathbf { \hat { r } } \mathbf { \cdot } ( \mathbf { E } _ { 1 } + \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) \vert _ { r = R _ { \mathrm { f } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } \mathcal { E } = } & { \epsilon ^ { 2 } \left( \left[ - i \delta \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \partial _ { 0 } ^ { 2 } - L _ { 2 } \right] \mathcal { E } + ( \gamma _ { 1 } + \epsilon \gamma _ { 2 } ) \frac { 2 \sqrt { - 2 \eta _ { 2 } } } { 1 + i \delta } \right) } \\ & { + \epsilon ^ { 3 } \left( \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \omega _ { 1 } ^ { 3 } \partial _ { 0 } ^ { 3 } \mathcal { E } + [ \mathcal { N } \mathcal { D } - \omega _ { 1 } L _ { 2 } ] \mathcal { E } + \omega _ { 1 } \gamma _ { 1 } \frac { 2 \sqrt { - 2 \eta _ { 2 } } } { 1 + i \delta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta a _ { \ell } \simeq } & { { } } & { \frac { 4 m _ { \ell } v } { e \Lambda ^ { 2 } } \, \bigg ( C _ { e \gamma } ^ { \ell } - \frac { 3 \alpha } { 2 \pi } \frac { c _ { W } ^ { 2 } \! - \! s _ { W } ^ { 2 } } { s _ { W } c _ { W } } \, C _ { e Z } ^ { \ell } \log \frac { \Lambda } { m _ { Z } } \bigg ) } \end{array}
G _ { \psi } ^ { i j } ( \nu ) \equiv ( - 1 ) ^ { i + j } \Sigma ( ( - 1 ) ^ { i } \bar { R } _ { i } ) \Sigma ( ( - 1 ) ^ { j } \bar { R } _ { j } ) \bar { \gamma } _ { i } ^ { - 2 } \bar { \gamma } _ { j } ^ { - 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { \mathrm { m a x } } } \frac { 1 } { \chi _ { n } - \nu ^ { 2 } } \frac { s _ { n } ^ { \prime } ( ( - 1 ) ^ { i } \bar { R } _ { i } ) s _ { n } ^ { \prime } ( ( - 1 ) ^ { i } \bar { R } _ { j } ) } { \int _ { - \bar { R } _ { 1 } } ^ { \bar { R } _ { 2 } } d r ^ { \prime \prime } \Sigma ( r ^ { \prime \prime } ) s _ { n } ^ { 2 } ( r ^ { \prime \prime } ) } \, .
\langle { \frac { d { \cal { E } } } { d t } } \rangle _ { 2 } = { \frac { 2 \pi ^ { 3 / 2 } \alpha _ { s } \langle { \bf E } ^ { 2 } \rangle \tau _ { c } } { 3 m } } { \frac { Q _ { 0 } ^ { 2 } } { N _ { c } ^ { 2 } - 1 } }
\left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { J } _ { i } } \right) ^ { \prime } \left( \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { J } _ { i } } \right) = \mathbf { I } - \mathbf { P } _ { \mathbf { J } _ { i } }
\begin{array} { r l } { { \mathbf y } _ { R } ( k ) } & { = { \textbf H } _ { S R } ( k ) { \mathbf x } _ { S } + { \mathbf w } _ { R } ( k ) , \qquad k = 1 , \ldots , K } \\ { { \mathbf y } _ { D } } & { = { \textbf H } _ { S D } { \mathbf x } _ { S } + \sum _ { k = 1 , \dots , K } { \textbf H } _ { R D } ( k ) { \mathbf x } _ { R } ( k ) + { \mathbf w } _ { D } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { M } u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) G ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } v _ { * } ( x _ { 2 } , t ) G ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } s \right| } & { = } \\ { \left| \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { M } \psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) G ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } s - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \psi _ { * } ( x _ { 2 } , t ) G ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } s \right| } & { \leq \varepsilon \| G ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , 1 ) } t } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d S _ { n } } { d t } } & { { } = } & { - \beta S _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } I _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } } \\ { \frac { d I _ { n } } { d t } } & { { } = } & { + \beta S _ { n } \sum _ { m } P _ { n m } \frac { \sum _ { k } P _ { k m } I _ { k } } { \sum _ { k } P _ { k m } N _ { k } } - \gamma I _ { n } } \\ { \frac { d R _ { n } } { d t } } & { { } = } & { + \gamma I _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { A B } ( \omega _ { n } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \langle \{ \delta \hat { I } _ { A , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) , \delta \hat { I } _ { B , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) \} \rangle } \\ & { = \sqrt { G _ { A , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) ) G _ { B , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) ) } \biggl [ \underbrace { \frac { 1 } { 2 } \langle \{ \delta \hat { A } ( \omega _ { n } ) , \delta \hat { B } ( \omega _ { n } ) \} \rangle } _ { = V _ { A B } ( \omega _ { n } ) } + N _ { A B , \mathrm { a d d } } \biggr ] , } \end{array}
\left( e ^ { - 2 i \omega _ { j } \pi } - 1 \right) \left( e ^ { - 2 i \omega _ { j ^ { \prime } } \pi } - 1 \right) \frac { e ^ { - i ( [ \omega _ { j } ] - [ \omega _ { j ^ { \prime } } ] ) \theta } } { \sin ^ { 2 } \theta / 2 } .
\mathrm { ~ A ~ r ~ e ~ a ~ } ( f + \varepsilon g ) = \mathrm { ~ A ~ r ~ e ~ a ~ } ( f ) + \varepsilon \iint \frac { ( f _ { x } g _ { x } \! + \! f _ { y } g _ { y } ) } { \sqrt { f _ { x } ^ { 2 } \! + \! f _ { y } ^ { 2 } + 1 } } + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } 2 \! \iint \frac { f _ { x } ^ { 2 } g _ { y } ^ { 2 } \! - \! 2 f _ { x } f _ { y } g _ { x } g _ { y } \! + \! f _ { y } ^ { 2 } g _ { x } ^ { 2 } \! + \! g _ { x } ^ { 2 } \! + \! g _ { y } ^ { 2 } } { \left( f _ { x } ^ { 2 } + f _ { y } ^ { 2 } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } } + O \big ( \varepsilon ^ { 3 } \big ) ,
\begin{array} { r l } { \Gamma ^ { ( a ) } ( \tau ) } & { { } \equiv \Gamma _ { e e } ^ { ( a ) } ( \tau ) + \gamma _ { g } ^ { ( a ) } ( \tau ) + q ^ { ( a ) } ( \tau ) , } \\ { \Gamma _ { e e } ^ { ( a ) } ( \tau ) } & { { } \equiv \Gamma _ { \mathrm { s p } } + \gamma _ { e } ^ { ( a ) } ( \tau ) + \gamma _ { n } . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, { \frac { x ^ { m - 1 } ( 1 - x ) ^ { n - 1 } } { [ a x + b ( 1 - x ) ] ^ { m + n } } } = { \frac { \Gamma ( m ) \Gamma ( n ) } { \Gamma ( m + n ) } } \, { \frac { 1 } { a ^ { m } b ^ { n } } }
\sum _ { \substack { 0 \le N < q \, b _ { 0 } ( N ) = b _ { 0 } , \, \, b _ { 1 } ( N ) = b _ { 1 } } } e ^ { p S _ { N } ( r ) } = \exp \left( - p b _ { 0 } \frac { 1 - b _ { 0 } / a _ { 1 } } { 2 } + p b _ { 1 } \frac { 1 - b _ { 1 } / a _ { 2 } } { 2 } + O ( \operatorname* { m a x } \{ | p | , 1 \} ) \right) \sum _ { 0 \le N < q ^ { \prime } } e ^ { p S _ { N } ( r ^ { \prime } ) } .
S _ { b } = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \phi \sqrt { G } \left( G ^ { A B } \partial _ { A } \Phi \partial _ { B } \Phi - m ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { I _ { D } ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { 4 } \big ( \begin{array} { l l } { e ^ { i \ell \phi } } & { e ^ { - i 2 \theta } } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \theta } } \\ { e ^ { i 2 \theta } } & { 1 } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l } { e ^ { - i \ell \phi } } \\ { e ^ { i 2 \theta } } \end{array} \big ) , } \\ { I _ { D } ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { 4 } ( 2 + e ^ { i 2 \theta } e ^ { i ( \ell - 2 ) \phi } + e ^ { - i 2 \theta } e ^ { - i ( \ell + 2 ) \phi } ) , } \\ & { = \sin ^ { 2 } \left( \frac { \ell - 2 } { 2 } \phi + \theta \right) , \ } \\ { I _ { A } ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { 4 } \big ( \begin{array} { l l } { e ^ { i 2 \theta } e ^ { i \ell \phi } } & { 1 } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l l } { 1 } & { e ^ { - i 2 \theta } } \\ { e ^ { - i 2 \theta } } & { 1 } \end{array} \big ) \big ( \begin{array} { l } { e ^ { - i \ell \phi } e ^ { i 2 \theta } } \\ { 1 } \end{array} \big ) , } \\ { I _ { A } ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { 4 } ( 2 + e ^ { - i 2 \theta } e ^ { i ( \ell - 2 ) \phi } + e ^ { i 2 \theta } e ^ { - i ( \ell + 2 ) \phi } ) , } \\ & { = \sin ^ { 2 } \left( \frac { \ell - 2 } { 2 } \phi - \theta \right) . } \end{array}
\begin{array} { l } { { { \cal K } = { \cal A } + V S _ { m } ^ { \dagger } + S _ { m } W ^ { \dagger } + S _ { m } \tilde { { \cal K } } S _ { m } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c c } { { { \cal A } } } & { { V } } \\ { { W ^ { \dagger } } } & { { \tilde { { \cal K } } } } \end{array} \right) \, , } } \\ { { \varphi = X S _ { m } ^ { \dagger } + S _ { m } \tilde { h } S _ { m } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { X } } \\ { { 0 } } & { { \tilde { h } } } \end{array} \right) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { + } } & { { } = \sqrt { \bigg ( \frac { \eta _ { p } + \eta _ { s } } { 2 \zeta } \bigg ) \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) } \bigg ) } , } \\ { \Lambda _ { \pm } } & { { } = \sqrt { \bigg ( \frac { \eta _ { p } - \eta _ { s } } { 2 \zeta } \bigg ) \bigg ( \frac { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta } { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) } \bigg ) } , } \\ { \Lambda _ { \mp } } & { { } = \sqrt { \bigg ( \frac { \eta _ { p } - \eta _ { s } } { 2 \zeta } \bigg ) \bigg ( \frac { \pi _ { x x } ^ { \prime } ( m ^ { + } ) + \beta } { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) } \bigg ) } , } \\ { \Lambda _ { - } } & { { } = \sqrt { \bigg ( \frac { \eta _ { p } + \eta _ { s } } { 2 \zeta } \bigg ) \bigg ( \frac { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) + \beta } { \pi _ { y y } ^ { \prime } ( m ^ { - } ) } \bigg ) } . } \end{array}
H = \sum _ { i , j } A _ { i j } ^ { + } | \textbf { x } _ { i } - \textbf { x } _ { j } | ^ { 2 } + \sum _ { i , j } A _ { i j } ^ { - } | \textbf { x } _ { i } - \textbf { x } _ { j } | ^ { 2 }
\mathcal { C } _ { + } = \{ \mathrm { ~ V ~ O ~ } ^ { 2 + } , \mathrm { ~ V ~ O ~ } _ { 2 } ^ { + } , \mathrm { ~ H ~ } ^ { + } , \mathrm { ~ H ~ } _ { 2 } \mathrm { ~ O ~ } , \mathrm { ~ H ~ S ~ O ~ } _ { 4 } ^ { - } , \mathrm { ~ S ~ O ~ } _ { 4 } ^ { 2 - } \}
\mid \langle \pi ^ { + } \mid H _ { W } \mid K ^ { + } \rangle \mid ~ \approx ~ \mid f _ { \pi } \langle 2 \pi ^ { 0 } \mid H _ { W } \mid K _ { S } \rangle \mid ~ \approx ~ 3 . 5 \times 1 0 ^ { - 8 } \mathrm { G e V } ^ { 2 } ~ .
\begin{array} { r } { F ( r _ { i j } ; \lambda ) = - \frac { \partial \phi } { \partial r _ { i j } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { - 2 4 a } { b } \left( \frac { b } { r _ { i j } - \lambda + \sqrt [ 6 ] { 2 } b } \right) ^ { 7 } \left( 1 - 2 \left( \frac { b } { r _ { i j } - \lambda + \sqrt [ 6 ] { 2 } b } \right) ^ { 6 } \right) , } & { r _ { i j } < \lambda } \\ { 0 , } & { r _ { i j } \ge \lambda } \end{array} \right. } \end{array}
\partial _ { x } \cdot ( \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ) \frac { \partial _ { x } \zeta } { \xi _ { \zeta } ^ { 3 } } = \xi _ { \zeta } \partial _ { \zeta } ( \gamma _ { \mathrm { b l } } + f _ { \mathrm { w e t } } ) + \partial _ { \zeta } g _ { \mathrm { b r u s h } } - \xi _ { \zeta } \partial _ { h } f _ { \mathrm { w e t } } .
\int _ { 0 } ^ { T } { d t } \omega _ { \mu \nu } [ \dot { x } ] \to \int _ { 0 } ^ { T } { d t \omega _ { \mu \nu } } [ \dot { x } ^ { c l } ] + \frac { T } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } { d t [ \ddot { x } _ { \mu } } ( t ) \dot { x } _ { \nu } ( t ) - \ddot { x } _ { \nu } ( t ) \dot { x } _ { \mu } ( t ) ] ,
\begin{array} { r l } & { \partial _ { \varphi } \Big ( d _ { f } \Psi _ { p } \{ f \} [ h ] \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \varphi \big ) \Big ) } \\ { = } & { \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \sin \big ( f ( \varphi ) - f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \big ( f ^ { \prime } ( \varphi ) - f ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \cos \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) \big ) f ^ { \prime } ( \varphi ) \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \cos ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) ) f ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \sin ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) ) \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } { D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) } \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \\ & { + \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ) , \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \partial _ { \varphi ^ { \prime } } \left( \sin \big ( \theta _ { 0 } + f ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) \right) d \varphi ^ { \prime } } \\ { \triangleq } & { \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \big [ I _ { 1 } \{ f \} h ( \varphi ) + I _ { 2 } \{ f \} h ( \varphi ) + I _ { 3 } \{ f \} h ( \varphi ) + I _ { 4 } \{ f \} h ( \varphi ) \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } ^ { ( n ) } } & { = \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { ( k \cdot p - k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { [ \frac { 1 } { 2 } \big ( ( k ^ { 2 } + p ^ { 2 } ) - ( k - p ) ^ { 2 } \big ) - k ^ { 2 } ] ^ { 2 } } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { ( p ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 2 ( p ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) ( p - k ) ^ { 2 } + ( p - k ) ^ { 4 } } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } k \frac { ( p ^ { 4 } - 2 p ^ { 2 } k ^ { 2 } + k ^ { 4 } ) - 2 ( p ^ { 2 } - k ^ { 2 } ) ( p - k ) ^ { 2 } + ( p - k ) ^ { 4 } } { ( k ^ { 2 } ) ^ { 2 n } [ ( p - k ) ^ { 2 } ] ^ { 2 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { \Psi } _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ( \boldsymbol { \Lambda } ) = \Psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { e q } ( \bar { \mathbf { C } } ) + g ( { \mathsf { d } } ) \Psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { n e q } ( \bar { \mathbf { C } } , \{ \mathbf { A } ^ { ( i ) } \} ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad + \Psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { v o l } ( J ) + \Psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { n o n l o c a l } ( \nabla { \mathsf { d } } ) , } \\ & { \quad \mathrm { w i t h } \quad \Psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { n e q } ( \bar { \mathbf { C } } , \{ \mathbf { A } ^ { ( i ) } \} ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Psi _ { \mathrm { \tiny ~ R } } ^ { n e q ( i ) } ( \bar { \mathbf { C } } , \mathbf { A } ^ { ( i ) } ) , } \end{array}
| | \mathrm { ~ s ~ h ~ i ~ f ~ t ~ e ~ d ~ f ~ i ~ n ~ a ~ l ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } - \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ i ~ a ~ l ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } | | / | | \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ i ~ a ~ l ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ } | |
( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { \rho } ) f _ { W } = w ^ { 1 , W } \psi ^ { 1 } + 3 w _ { t _ { 1 } } ^ { 0 , W } \psi _ { t _ { 1 } } ^ { 0 } + 3 w _ { t _ { 2 } } ^ { 0 , W } \psi _ { t _ { 2 } } ^ { 0 } ,
\rho _ { 1 } ( \vec { x } , t ) = \bar { \rho } _ { 1 } \rho _ { 1 } ^ { 1 } ( \vec { x } ) f ^ { 1 } ( t ) , \qquad \rho _ { 2 } ( \vec { x } , t ) = \bar { \rho } _ { 2 } \rho _ { 2 } ^ { 2 } ( \vec { x } ) f ^ { 2 } ( t ) .
\it \frac { \partial \bf V } { \partial \mathrm { t } } + ( { \bf V } \nabla ) { \bf V } - R e ^ { - 1 } \nabla ^ { 2 } \bf V + \nabla \mathrm { p - { \bf F } = \ t a u \left\{ 2 \frac { \partial } { \partial t } ( \nabla \mathrm { p ) + \nabla ^ { 2 } ( \mathrm { p \bf V ) + \nabla ( \nabla \cdot ( \mathrm { p \bf V ) ) } } } \right\} }
\begin{array} { r } { P _ { e w } ^ { * , o } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } < k _ { a } ^ { o } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } \\ { 1 - \frac { \ln ( \rho k _ { a } ^ { o } + \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } ) - \ln ( \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } ) } { 2 \ln ( \rho ) } , } & { \rho \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } \geq k _ { a } ^ { o } + \frac { \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } } { \rho } , } \end{array} \right. } \end{array}
t _ { O } = \left\{ \begin{array} { l l } { t ^ { * } , } & { \bar { l } \in ( 0 , 1 ) } \\ { - t ^ { * } W _ { - 1 } \left( - \frac { 1 } { e \bar { l } ^ { 2 } } \right) , } & { \bar { l } \in [ 1 , \infty ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \phi _ { b } } { h } \| { \widetilde { b } } _ { h } - b _ { h } \| _ { 0 , \infty , \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } \| \nabla v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } \lesssim \frac { \phi _ { b } } { h } ( | b | _ { 1 , \infty , T } + b _ { \infty } \kappa ) ^ { 2 } \| v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } \lesssim ( \tau _ { c } h ) ^ { - 1 } \| v \| _ { \mathcal { T } _ { h } } ^ { 2 } . } \end{array}
\Gamma _ { t t } ^ { r } = { \frac { c ^ { 2 } B B ^ { \prime } } { 2 } } , \; \Gamma _ { r r } ^ { r } = - { \frac { B ^ { - 1 } B ^ { \prime } } { 2 } } , \; \Gamma _ { \theta \theta } ^ { r } = - r B , \; \Gamma _ { \phi \phi } ^ { r } = - B r \sin ^ { 2 } \theta
\mathrm { A E } _ { \mathrm { R } } = 1 - \frac { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \left| \Gamma _ { 0 } \mathrm { E } _ { \mathrm { i n c } } ( \lambda ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \lambda } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! \left| \mathrm { E } _ { \mathrm { i n c } } ( \lambda ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \lambda } ,
t e r n a r y ( x , A , B ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \hfill 1 , \hfill \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ \frac { A + x } { 2 B } ~ } , } \\ { \hfill 0 , \hfill \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ 1 - \frac { A } { B } ~ } , } \\ { \hfill - 1 , \hfill \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ \frac { A - x } { 2 B } ~ } , } \end{array} \right.
f ^ { n + 1 } = \left( \begin{array} { l } { - \frac { x _ { n + 1 } - x _ { n } } { h _ { n } } } \\ { y _ { n + 1 } } \\ { \left( \begin{array} { l } { \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { u ( t _ { n + 1 } ) } \end{array} \right) } \end{array} \right) , \qquad e ^ { n + 1 } = \left( \begin{array} { l } { \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { u ( t _ { n + 1 } ) } \\ { \left( \begin{array} { l } { - R \bar { \nabla } H ( x _ { n } , x _ { n + 1 } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \hat { c } } _ { \varepsilon } } { \partial { \hat { t } } } + \hat { \mathbf v } _ { \varepsilon } \cdot { \hat { \nabla } } \hat { c } _ { \varepsilon } = { \hat { \nabla } } \cdot ( \hat { \textbf { D } } { \hat { \nabla } } \hat { c } _ { \varepsilon } ) , \quad \hat { \mathbf x } \in { \hat { \Omega } } _ { p } ^ { \varepsilon } , \quad \hat { t } > 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle A | B \rangle = \left( \cos ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } \cos { \frac { \delta } { 2 } } + \sin ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } \cos { \frac { \delta } { 2 } } \right) } \\ { + \, \, i \, \left( \sin ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } \sin { \frac { \delta } { 2 } } - \cos ^ { 2 } { \frac { \beta } { 2 } } \sin { \frac { \delta } { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { ( \varepsilon + \mathcal { E } ^ { ( 1 ) } ) \, u ^ { \mu } u ^ { \nu } + ( \mathcal { P } _ { l } ^ { ( 1 ) } - \mathcal { P } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } ) \, l ^ { \mu } l ^ { \nu } + ( P + \mathcal { P } _ { \perp } ^ { ( 1 ) } ) \, \Delta ^ { \mu \nu } + 2 \, M \, u ^ { \left( \mu \right. } l ^ { \left. \nu \right) } + 2 \, W _ { \perp u } ^ { \left( \mu \right. } u ^ { \left. \nu \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { = } & { \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { t r } } [ \ensuremath { \mathbf { D } } ( x ) \hat { \b { n } } _ { 1 } ( x , x ^ { \prime } ) ] _ { x ^ { \prime } = x } \ensuremath { \mathrm { d } } x } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega _ { L } } \int _ { \Omega _ { L } } \ensuremath { \mathrm { T r } } [ \ensuremath { \mathbf { w } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \hat { \b { n } } _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ] \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { d } } x _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle D ( t ^ { 1 } ) u ^ { 1 } , v ^ { 1 } \rangle } & { = \langle [ \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 0 } ) , U ^ { 0 } ] \Phi _ { 0 } , V ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle + \langle [ \mathcal { H } _ { K } ( t ^ { 1 } ) , U ^ { 1 } ] \Phi _ { 0 } , V ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle } \\ & { = : D _ { 1 } ( t ^ { 1 } ) + D _ { 2 } ( t ^ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left| \left( - \frac { i \, \sqrt { 3 } } { 3 } \right) ^ { n - 1 } \, \frac { ( 2 n + 1 ) ! ! } { 2 ^ { n - 1 } } \right| } & { < } & { \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \right) ^ { n - 1 } \, \frac { ( 2 n + 2 ) ! ! } { 2 ^ { n - 1 } } = 4 \, \sqrt { 3 } \, \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \right) ^ { n } \, ( n + 1 ) ! } \\ & { \leq } & { 4 \, \sqrt { 3 } \, \left( \frac { 2 \, \sqrt { 3 } } { 3 } \right) ^ { n } \, n ! \, . } \end{array}
0 = \ensuremath { \mathrm { H } _ { k } } ( \mathrm { K } _ { 0 } ) \xrightarrow { \iota _ { k } ^ { 0 , 1 } } \ensuremath { \mathrm { H } _ { k } } ( \mathrm { K } _ { 1 } ) \xrightarrow { \iota _ { k } ^ { 1 , 2 } } \dots \xrightarrow { \iota _ { k } ^ { m - 2 , m - 1 } } \ensuremath { \mathrm { H } _ { k } } ( \mathrm { K } _ { m - 1 } ) \xrightarrow { \iota _ { k } ^ { m - 1 , m } } \ensuremath { \mathrm { H } _ { k } } ( \mathrm { K } _ { m } ) = \ensuremath { \mathrm { H } _ { k } } ( \mathrm { K } )