harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { E _ { \mathrm { s c a t } } \left( t \right) = \intop _ { - \infty } ^ { \omega _ { 1 } - \Delta \omega } \frac { r ( \omega ) } { \left( \omega - \omega _ { 1 } \right) } e ^ { i \omega t } d \omega } \\ & { + \intop _ { \omega _ { 1 } - \Delta \omega } ^ { \omega _ { 1 } + \Delta \omega } \frac { a ( \omega ) } { \left( \omega - \omega _ { 1 } \right) ^ { 2 } } e ^ { i \omega t } d \omega + \intop _ { \omega _ { 1 } + \Delta \omega } ^ { \infty } \frac { r ( \omega ) } { \left( \omega - \omega _ { 1 } \right) } e ^ { i \omega t } d \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \cal { P } = \int \mathrm { D \ z e t a } \, { \mathrm { D } \zeta ^ { \prime } } \ \frac { \delta } { \delta \psi _ { A } ( \zeta ) } \cal { L } _ { A B } ( \zeta , \zeta ^ { \prime } ) \frac { \delta \cal { F } } { \delta \psi _ { B } ( \zeta ^ { \prime } ) } } \\ & { \quad + \int { \mathrm { D } \zeta } \, { \mathrm { D } \zeta ^ { \prime } } \ \frac { \delta } { \delta \psi _ { A } ( \zeta ) } \cal { S } _ { A B } ( \zeta , \zeta ^ { \prime } ) \frac { \delta } { \delta \psi _ { B } ( \zeta ^ { \prime } ) } . } \end{array}
\eta _ { \gamma } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { { ( \gamma ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } } } & { { { \frac { d } { d z } } ( \gamma ^ { \prime } ) ^ { - 1 / 2 } } } \\ { { 0 } } & { { ( \gamma ^ { \prime } ) ^ { 1 / 2 } } } \end{array} \right) .
\mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \ell ) = \frac { 2 } { \tau ^ { 2 } } \frac { \sigma ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \frac { 4 ( 1 - q ) } { q n ( n - 1 ) }
\lambda _ { 2 } ^ { f . p . } ( p a ) = 2 \nu - d + \frac { p ^ { 2 } a ^ { 2 } } { \nu - 1 } + . . . + \tilde { \lambda } _ { 2 } ^ { ( 2 \nu ) } ( p a ) ^ { 2 \nu } \log { p a } + . . .
{ \boldsymbol { \sigma } } = \lambda \operatorname { t r } ( { \boldsymbol { \varepsilon } } ) \mathbf { I } + 2 \mu { \boldsymbol { \varepsilon } } = { \mathsf { c } } : { \boldsymbol { \varepsilon } } \, ; \qquad { \mathsf { c } } = \lambda \mathbf { I } \otimes \mathbf { I } + 2 \mu { \mathsf { I } }
\begin{array} { r l } { \frac { \hat { v } ^ { + } ( \omega ) } { \sqrt { Z _ { 0 } } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { Z _ { 0 } } } \left[ \hat { v } ( \omega ) + \hat { i } ( \omega ) Z _ { 0 } \right] = \left[ \frac { \hbar \omega } { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \hat { a } ( \omega ) } \\ { \frac { \hat { v } ^ { - } ( \omega ) } { \sqrt { Z _ { 0 } } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { Z _ { 0 } } } \left[ \hat { v } ( \omega ) - \hat { i } ( \omega ) Z _ { 0 } \right] = \left[ \frac { \hbar \omega } { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \hat { b } ( \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X _ { 1 1 } = \sigma _ { s x } \sigma _ { d x } - \kappa _ { s x } \kappa _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } , } \\ & { X _ { 1 2 } = i \left[ \sigma _ { s x } \kappa _ { d x } + \kappa _ { s x } \sigma _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } \right] , } \\ & { X _ { 2 1 } = i \left[ \kappa _ { s x } \sigma _ { d x } + \sigma _ { s x } \kappa _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } \right] , } \\ & { X _ { 2 2 } = - \kappa _ { s x } \kappa _ { d x } + \sigma _ { s x } \sigma _ { d x } e ^ { i \Delta \phi } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { 4 } } \bigg \rangle _ { \varepsilon } } & { \equiv \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } \Bigg [ \Bigg \langle \frac { \Theta ( r _ { i j } - \varepsilon ) } { r _ { i j } ^ { 4 } } \Bigg \rangle - \frac { \langle 4 \pi \delta ( \vec { r } _ { i j } ) \rangle } { \varepsilon } } \\ & { + 2 \bigg \langle 4 \pi \delta ( \vec { r } _ { i j } ) \frac { \partial } { \partial r _ { i j } } \bigg \rangle ( \gamma _ { E } + \ln \varepsilon ) \Bigg ] . } \end{array}
\langle \, K ^ { * } , \lambda \, | \, \bar { s } \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \mu } b \, | \, B \, \rangle = - i F ( q ^ { 2 } , \mu ) \, \epsilon _ { \alpha \nu \gamma \delta } \epsilon _ { K ^ { * } } ^ { ( \lambda ) * \alpha } p _ { B } ^ { \gamma } p _ { K ^ { * } } ^ { \delta } ,
\varphi = 2 \arcsin \left( \frac { 1 } { 2 \gamma } \sqrt { \frac { \hbar \omega } { \hbar \omega _ { 0 } } } \right) \approx \frac { 1 } { \gamma } \sqrt { \frac { \hbar \omega } { \hbar \omega _ { 0 } } } .
\begin{array} { r l } { d _ { \mathsf { F R } } ^ { 2 } \left( \rho _ { 0 } , \rho _ { 1 } \right) } & { = \operatorname* { i n f } \bigg \{ \int _ { 0 } ^ { 1 } \int \Big [ \Big ( \alpha _ { t } - \int \alpha _ { t } \mathrm { d } \rho _ { t } \Big ) ^ { 2 } \Big ] \mathrm { d } \rho _ { t } \mathrm { d } t : \left( \rho _ { t } , \alpha _ { t } \right) _ { t \in [ 0 , 1 ] } \mathrm { ~ s o l v e s ~ } \partial _ { t } \rho _ { t } = \rho _ { t } \alpha _ { t } \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { v _ { x } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \partial \phi ( v _ { x } , v _ { y } ) } { \partial v _ { x } } = \frac { v _ { x } d } { \sqrt { \lambda ^ { - 2 } - v _ { x } ^ { 2 } - v _ { y } ^ { 2 } } } } \\ { f _ { v _ { y } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \partial \phi ( v _ { x } , v _ { y } ) } { \partial v _ { y } } = \frac { v _ { y } d } { \sqrt { \lambda ^ { - 2 } - v _ { x } ^ { 2 } - v _ { y } ^ { 2 } } } } \end{array}
\textbf { F } _ { \alpha } ( \textbf { r } , \textbf { r } ^ { \prime } ) = \frac { i e ^ { - i \alpha } } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } \sin \alpha } e ^ { \frac { - i \cot \alpha r ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } e ^ { \frac { i \textbf { r } \cdot \textbf { r } ^ { \prime } } { \sigma ^ { 2 } \sin \alpha } } e ^ { - \frac { i \cot \alpha r ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \langle \Delta \psi \rangle } { 2 \pi } } & { = } & { \frac { 2 } { N ^ { 2 } ( N - 1 ) } \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } N \times i - i ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 2 } { N ^ { 2 } ( N - 1 ) } \lbrace \frac { ( N - 1 ) N ^ { 2 } } { 2 } - \frac { ( N - 1 ) N ( 2 N - 1 ) } { 6 } \rbrace } \\ & { = } & { \frac { ( N - 1 ) N ( N + 1 ) } { 3 ( N ^ { 3 } - N ^ { 2 } ) } } \\ & { = } & { \frac { N + 1 } { 3 N } } \end{array}
\chi ^ { 2 } = \! \! \! \sum _ { p _ { T } \mathrm { b i n s } } \frac { \Big [ \int _ { \mathrm { b i n } _ { i } } \d p _ { T } \, \d n / \d p _ { T } - \mathrm { ( E x p . v a l u e ) } _ { i } \Big ] ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \pm R _ { 2 } ^ { \pm } } & { = \frac { \mathrm { i } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \Bigg \{ \Bigg [ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { 1 - \Gamma _ { 0 } } { b _ { 0 } } \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) \Bigg ] \delta \hat { \psi } _ { z } } \\ & { + \Bigg [ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) \Bigg ] \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) \Bigg \} \left( \begin{array} { c } { \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { \ell , j _ { \ell } } ^ { \prime } } & { { } = ( j _ { \ell } - J _ { \ell } / 2 ) \triangle x _ { \ell } ^ { \prime } , \quad \triangle x _ { \ell } ^ { \prime } = L _ { \ell } / J _ { \ell } , \quad j _ { \ell } = 0 , \dots , J _ { \ell } - 1 , \quad \ell = 1 , \dots , d , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { 0 } } & { = { \frac { 1 } { P } } \int _ { P } s ( x ) \, d x } \\ { A _ { n } } & { = { \frac { 2 } { P } } \int _ { P } s ( x ) \cos \left( 2 \pi { \frac { n } { P } } x \right) \, d x \qquad { \mathrm { f o r ~ } } n \geq 1 \qquad } \\ { B _ { n } } & { = { \frac { 2 } { P } } \int _ { P } s ( x ) \sin \left( 2 \pi { \frac { n } { P } } x \right) d x , \qquad { \mathrm { f o r ~ } } n \geq 1 } \end{array} }
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \dot { \theta } } - \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \theta } + \frac { \partial \mathcal { R } } { \partial \dot { \theta } } = 0 , \quad \quad \quad \frac { d } { d t } \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \dot { \varphi } } - \frac { \partial \mathcal { L } _ { \mathrm { e f f } } } { \partial \varphi } + \frac { \partial \mathcal { R } } { \partial \dot { \varphi } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { E _ { x } } } & { { } = } & { \frac { e _ { 0 } } { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } \right) } \\ { \hat { E _ { y } } } & { { } = } & { \frac { e _ { 0 } } { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { V } } \mathrm { e } ^ { i \beta } + \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \mathrm { e } ^ { - i \beta } \right) . } \end{array}
{ \cal M } = { \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { H _ { 2 } ^ { 0 } } } & { { H _ { 1 } ^ { - } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { H _ { 2 } ^ { + } } } & { { H _ { 1 } ^ { 0 } } } \\ { { \chi } } & { { 0 } } & { { M + \Sigma } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \xi } } & { { 0 } } & { { M + \Sigma } } \end{array} \right) } .
{ \frac { 1 } { \lambda } } = { \frac { E _ { \mathrm { i } } - E _ { \mathrm { f } } } { 1 2 3 9 8 . 4 \, { \mathrm { e V ~ � } } } } = R _ { \mathrm { H } } \left( { \frac { 1 } { m ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } \right)
{ \begin{array} { r l } { S \left( { \boldsymbol { \beta } } + { \boldsymbol { \delta } } \right) } & { \approx \left\| \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) - \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } \right\| ^ { 2 } } \\ & { = \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) - \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } \right] ^ { \mathrm { T } } \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) - \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } \right] } \\ & { = \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] ^ { \mathrm { T } } \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] - \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } - \left( \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } \right) ^ { \mathrm { T } } \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] + { \boldsymbol { \delta } } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } } \\ & { = \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] ^ { \mathrm { T } } \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] - 2 \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } + { \boldsymbol { \delta } } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } { \boldsymbol { \delta } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } } & { \leq \frac { 2 } { \sqrt { n } } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \sigma \sqrt { \frac { \log n } { n p } } \right) \frac { 9 C _ { 0 } ( 1 + \sigma \sqrt { d } ) } { \sqrt { n p } } + 1 4 \left( C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log n } { n p } } + C _ { 3 } \sigma \left( \frac { \log n } { n p } \right) ^ { \frac { 3 } { 4 } } \right) \left( \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } + \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) } \\ & { \quad + \frac { 2 6 C _ { 0 } + 2 C _ { 5 } } { \sqrt { n } } \frac { \sqrt { \log n } + \sigma \sqrt { d } + \sigma \sqrt { \log n } } { \sqrt { n p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \hat { \eta } = } & { \nabla ( \rho e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } ) = \nabla \rho e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } + \rho \nabla e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } } \\ { = } & { \nabla \rho e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } - \frac { 1 } { 2 \beta } \rho \nabla \Phi e ^ { - \frac { \Phi } { 2 \beta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \beta _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } C _ { V } / \beta ^ { 2 } ~ \mathrm d \beta } & { { } = - \frac 1 V \int _ { \beta _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { \partial E } { \partial \beta } ~ \mathrm d \beta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \kappa _ { 2 } \left( 8 \gamma ^ { 4 } - 4 \sqrt { 4 \gamma ^ { 8 } + \pi ^ { 4 } \gamma ^ { 4 } n ^ { 4 } } + \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \right) } { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } } = } & { \frac { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \kappa _ { 2 } } { 1 6 \gamma ^ { 4 } } + \mathcal { O } \left( \gamma ^ { - 6 } \right) , } \\ { \frac { \kappa _ { 2 } \left( 8 \gamma ^ { 4 } + 4 \sqrt { 4 \gamma ^ { 8 } + \pi ^ { 4 } \gamma ^ { 4 } n ^ { 4 } } + \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } \right) } { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } } = } & { \frac { 1 6 \gamma ^ { 4 } \kappa _ { 2 } } { \pi ^ { 4 } n ^ { 4 } } + 2 \kappa _ { 2 } + \mathcal { O } \left( \gamma ^ { - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f \left( \mathbf { u } , r \right) } { \partial r } = } & { 4 M r } \\ & { - 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \left\| \mathbf { a } _ { m , \theta } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \theta } \right\| + \left\| \mathbf { a } _ { m , \phi } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \phi } \right\| } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { j } ^ { \nu } ( x , c _ { Q } ) ^ { 2 N _ { 1 } } \lesssim g _ { j } ^ { \nu } ( x , y ) ^ { 2 N _ { 1 } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { 8 N _ { 1 } } 2 ^ { ( j - k _ { Q } ) \ell } \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { g _ { j } ^ { \nu } ( x , y ) ^ { 2 N _ { 1 } } \, 2 ^ { 8 N _ { 1 } ( j - k _ { Q } ) } , } & { j \geq k _ { Q } , } \\ { g _ { j } ^ { \nu } ( x , y ) ^ { 2 N _ { 1 } } , } & { j < k _ { Q } . } \end{array} \right. } \end{array}
\tilde { A } _ { 1 } ( p ) = - g ^ { 2 } N ( N ^ { 2 } - 1 ) \delta _ { b } ^ { a } \delta _ { J } ^ { I } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } d ^ { 4 } \theta \, \frac { 1 } { k ^ { 2 } [ ( p - k ) ^ { 2 } + m ^ { 2 } ] } \left\{ \Phi _ { a I } ^ { \dagger } ( p , \theta , { \overline { { \theta } } } ) \Phi ^ { b J } ( - p , \theta , { \overline { { \theta } } } ) \right\} .
A _ { 4 } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } , k _ { 4 } ) \rightarrow - i \int { \frac { d ^ { 7 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 7 } } } { \frac { \sum _ { I J \mu } A _ { \ J } ^ { I \mu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k ) A _ { \ I \mu } ^ { J } ( k _ { 3 } , k _ { 4 } , - k ) } { k ^ { 2 } - i \epsilon } } \ ,
\tau = \int _ { 0 } ^ { a } \frac { \mathrm { d } a } { a ^ { 2 } H } = 2 \sqrt { a } \, \, { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { 1 } / { 6 } , { 1 } / { 2 } , { 7 } / { 6 } , - a ^ { 3 } \right) \, , \quad \tau _ { \infty } = \frac { \Gamma ( 1 / 3 ) \, \Gamma ( 7 / 6 ) } { \Gamma ( 3 / 2 ) }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } ( \| u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + } & { \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } ) + \mu \| \nabla u \| ^ { 2 } + \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } = \langle K _ { u } , - u - u _ { t } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle \rho ^ { \prime } ( \phi ) \phi _ { t } , | u | ^ { 2 } \rangle \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta _ { k + 1 } \leq \Delta _ { k } - \mu _ { k + 1 } \overline { { \Psi } } _ { i _ { k + 1 } } ( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } _ { k } ) + L _ { \operatorname* { m a x } } ^ { p ^ { \ast } } \frac { G _ { p ^ { \ast } } } { p ^ { \ast } } \mu _ { k + 1 } ^ { p ^ { \ast } } \overline { { \Psi } } _ { i _ { k + 1 } } ( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } _ { k } ) ^ { \frac { p ^ { \ast } } { q ^ { \ast } } } . } \end{array}
\psi _ { ( m _ { 1 } , n _ { 1 } ) } \otimes \psi _ { ( m _ { 2 } , n _ { 2 } ) } = \sum _ { k = | m _ { 1 } - m _ { 2 } | + 1 } ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 } - 1 } \; \sum _ { l = | n _ { 1 } - n _ { 2 } | + 1 } ^ { n _ { 1 } + n _ { 2 } - 1 } \; \left[ \psi _ { ( k , l ) } \right] ,
S _ { E } ^ { v o l } = \sum _ { a } \frac { V _ { a } } { 4 G _ { d } } + \frac { \beta } { 1 6 \pi G _ { d } } \int _ { \Sigma } F \wedge \bar { G } - - \frac { \beta } { 8 \pi G _ { d } } \int _ { \partial \Sigma _ { \infty } } ( \partial ^ { i } \phi ) d \sigma _ { i } ,
\begin{array} { r l } { l ( \textbf { x } , \textbf { y } ) } & { = \frac { 2 \mu _ { x } \mu _ { y } + C _ { 1 } } { \mu _ { x } ^ { 2 } + \mu _ { y } ^ { 2 } + C _ { 1 } } \textbf { , } } \\ { c ( \textbf { x } , \textbf { y } ) } & { = \frac { 2 \sigma _ { x } \sigma _ { y } + C _ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 2 } + \sigma _ { y } ^ { 2 } + C _ { 2 } } \textbf { , } } \\ { s ( \textbf { x } , \textbf { y } ) } & { = \frac { \sigma _ { x y } + C _ { 3 } } { \sigma _ { x } \sigma _ { y } + C _ { 3 } } \textbf { , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \{ 1 5 j \} = ~ ( - 1 ) ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } j _ { i } + l _ { i } + k _ { i } } \sum _ { s } d _ { s } \left\{ \begin{array} { c c c } { j _ { 1 } } & { k _ { 1 } } & { s } \\ { k _ { 2 } } & { j _ { 2 } } & { l _ { 1 } } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { j _ { 2 } } & { k _ { 2 } } & { s } \\ { k _ { 3 } } & { j _ { 3 } } & { l _ { 2 } } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { j _ { 3 } } & { k _ { 3 } } & { s } \\ { k _ { 4 } } & { j _ { 4 } } & { l _ { 3 } } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { j _ { 4 } } & { k _ { 4 } } & { s } \\ { k _ { 5 } } & { j _ { 5 } } & { l _ { 4 } } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { j _ { 5 } } & { k _ { 5 } } & { s } \\ { j _ { 1 } } & { k _ { 1 } } & { l _ { 5 } } \end{array} \right\} \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } | \bar { V } _ { N } ^ { s e d } - V _ { r } ^ { \mathrm { S t } } | } & { \leqslant \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } | N ^ { - 2 / 3 } \| \nabla ( v _ { N _ { 1 } } + v _ { N , 3 } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - V _ { r } ^ { \mathrm { S t } } | + C _ { \delta } r ^ { 1 - \delta } } \end{array}
q _ { _ \mathrm { ~ E ~ U ~ V ~ } } = \epsilon \sum _ { s } ^ { n _ { \texttt { s p e c i e s } } } n _ { s } \int _ { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \lambda _ { \operatorname* { m a x } } } \phi _ { s } ( \lambda ) I _ { s } ( \lambda ) E ( \lambda ) d \lambda ,
\underbrace { g _ { \lambda , i _ { 1 } } \circ \cdots \circ g _ { \lambda , i _ { 1 } } } _ { \mathrm { ~ r - 2 ~ t i m e s } } \circ g _ { \lambda , i _ { 1 } } \circ g _ { \lambda , i _ { 2 } } \neq \underbrace { g _ { \lambda , i _ { 1 } } \circ \cdots \circ g _ { \lambda , i _ { 1 } } } _ { \mathrm { ~ r - 2 ~ t i m e s } } \circ g _ { \lambda , i _ { 2 } } \circ g _ { \lambda , i _ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \gamma ( t ) } & { = - i \frac { \Omega } { 2 } \eta e ^ { - i \delta t } e ^ { i \phi _ { \mathrm { m } } } , } \\ { \alpha ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \left( - i \frac { \Omega } { 2 } \eta e ^ { - i \delta t } e ^ { i \phi _ { \mathrm { m } } } \right) d t = \frac { \Omega \eta e ^ { i \phi _ { \mathrm { m } } } } { 2 \delta } \left( e ^ { - i \delta t } - 1 \right) , } \\ { \Phi ( t ) } & { = \mathrm { I m } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \, \alpha ( t ^ { \prime } ) ^ { * } \mathrm { d } \alpha ( t ^ { \prime } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { 0 } ( \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \xi , } & { \xi \leq 0 , } \\ { 0 , } & { 0 < \xi \leq \beta , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \xi - \frac 1 2 \beta , } & { \beta < \xi \leq 4 + \beta , } \\ { \xi - ( 2 + \beta ) , } & { 4 + \beta \leq \xi , } \end{array} \right. } \\ { U _ { 0 } ( \xi ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \xi \leq \beta , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \xi - \frac 1 2 \beta , } & { \beta < \xi \leq 2 + \beta , } \\ { - \frac 1 2 \xi + \frac 1 2 ( 4 + \beta ) , } & { 2 + \beta < \xi \leq 4 + \beta , } \\ { 0 , } & { 4 + \beta < \xi , } \end{array} \right. } \\ { V _ { 0 } ( \xi ) } & { = H _ { 0 } ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \xi \leq 0 , } \\ { \xi , } & { 0 < \xi \leq \beta , } \\ { \frac { 1 } { 2 } \xi + \frac 1 2 \beta , } & { \beta < \xi \leq 4 + \beta , } \\ { 2 + \beta , } & { 4 + \beta < \xi . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { { \theta } } } ) } ( \hat { P } _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) - \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { { \theta } } } ) } ( P _ { r } , P _ { G _ { \theta } } ) } \\ & { \le d _ { \omega ^ { * } ( \theta ^ { * } ) } ( \hat { P } _ { r } , P _ { G _ { \theta ^ { * } } } ) - d _ { \omega ^ { * } ( \theta ^ { * } ) } ( P _ { r } , P _ { G _ { \theta ^ { * } } } ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { X \sim \hat { P } _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega ^ { * } ( { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] + \mathbb { E } _ { X \sim P _ { G _ { { \theta } ^ { * } } } } [ \psi ( D _ { \omega ^ { * } ( { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] } \\ & { \quad - \left( \mathbb { E } _ { X \sim { P } _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega ^ { * } ( { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] + \mathbb { E } _ { X \sim P _ { G _ { { \theta } ^ { * } } } } [ \psi ( D _ { \omega ^ { * } ( { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] \right) } \\ & { = \mathbb { E } _ { X \sim \hat { P } _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega ^ { * } ( { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim { P } _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega ^ { * } ( { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \left| \mathbb { E } _ { X \sim P _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega } ( X ) ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim \hat { P } _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega } ( X ) ) ] \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { 3 } } & { - 4 h ^ { 2 } ( a _ { 1 } + a _ { 4 } + a _ { 6 } ) \delta ^ { 2 } + 4 h ^ { 4 } \left[ 4 ( a _ { 1 } a _ { 4 } + a _ { 1 } a _ { 6 } + a _ { 4 } a _ { 6 } ) - a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 } - a _ { 5 } ^ { 2 } \right] \delta } \\ & { - 1 6 h ^ { 6 } ( 4 a _ { 1 } a _ { 4 } a _ { 6 } - a _ { 1 } a _ { 5 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 6 } + a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 5 } - a _ { 3 } ^ { 2 } a _ { 4 } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h \langle G _ { S } \rangle } & { { } = } & { \frac { [ \ln ( \rho ) ] ^ { 2 } } { 1 2 \pi } + \frac { \ln \rho } { 2 \pi } \ln \left( \frac { P ^ { 2 } ( - \sqrt { \rho } , \rho ) } { \sqrt { \rho } } \right) - \frac { \ln ( \rho ^ { 2 } ) } { \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k \ln \left( \frac { 1 + \rho ^ { k - 1 / 2 } } { 1 + \rho ^ { k + 1 / 2 } } \right) , } \\ { h \langle G _ { D } \rangle } & { { } = } & { \frac { 2 K ( - \sqrt { \rho } , \rho ) - 1 } { 2 \pi } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { C } _ { j k } } & { = } & { - j k S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , j } ) M _ { 1 2 , j } \hat { p } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) + S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , j } ) M _ { 1 2 , j } \hat { q } ( k - j ) ( \bar { p } j ^ { 2 } + \bar { q } ) + } \\ & { } & { - j k S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , j } ) M _ { 2 2 , j } \hat { p } ( k - j ) + S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , j } ) M _ { 2 2 , j } \hat { q } ( k - j ) , \quad j \neq k , } \end{array}
\tilde { r } \equiv \left| \frac { A ( B ^ { + } \to K ^ { + } D ^ { 0 } ) } { A ( B ^ { + } \to K ^ { + } \overline { { { D ^ { 0 } } } } } \right| = \left| \frac { A ( B ^ { - } \to K ^ { - } \overline { { { D ^ { 0 } } } } ) } { A ( B ^ { - } \to K ^ { - } D ^ { 0 } } \right| \approx \frac { 1 } { \lambda } \frac { | V _ { u b } | } { | V _ { c b } | } \times \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \approx 0 . 1 ,
\sum _ { k \in { I _ { n } ^ { 1 } } } \frac { \xi _ { k } ^ { 4 } } { n ^ { 4 } } \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ \frac { U _ { \xi _ { k } } } { \xi _ { k } ^ { 2 } } - 2 \vartheta _ { k } \right] \overset { \P } { \to } 0 \qquad \mathrm { a n d } \qquad \sum _ { { k \in I _ { n } ^ { 2 } } } \frac { \xi _ { k } ^ { 4 } } { n ^ { 4 } } \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ \frac { U _ { \xi _ { k } } } { \xi _ { k } ^ { 2 } } - 2 \vartheta _ { k } \right] \overset { \P } { \to } 0 ,