harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
V ( z ) = { \frac { D - 2 } { 1 6 } } \left[ ( D - 6 ) \left( { \frac { { \cal C } ^ { \prime } } { \cal C } } \right) ^ { 2 } + 4 { \frac { { \cal C } ^ { \prime \prime } } { \cal C } } \right] = - { \frac { ( 1 + \Delta ) \Lambda } { 2 \Delta ( 1 + \bar { K } | z | ) ^ { 2 } } } + { \frac { 2 \bar { K } } { \Delta + 2 } } \delta ( z ) .
\begin{array} { r } { \bf { A } = \left( \begin{array} { l l } { A _ { 1 , 1 } } & { A _ { 1 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } } & { A _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ \bf { B } = \left( \begin{array} { l l } { B _ { 1 , 1 } } & { B _ { 1 , 2 } } \\ { B _ { 2 , 1 } } & { B _ { 2 , 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
g _ { j _ { 1 } i _ { 1 } } g _ { j _ { 2 } i _ { 2 } } \cdots g _ { j _ { n } i _ { n } } A ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { n } } = A _ { j _ { 1 } j _ { 2 } \cdots j _ { n } }
\begin{array} { r l r l } { n _ { \pm } } & { = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { - h ^ { \prime } } \\ { 1 } \end{array} \right) , } & { \tau _ { \pm } } & { = \mp \frac { 1 } { \sqrt { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { h ^ { \prime } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } | \alpha \rangle } & { = \sum _ { n = 0 } c _ { n } \hat { a } | n \rangle = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } \sqrt { n } | n - 1 \rangle = \alpha \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } c _ { n } | n \rangle = } \\ & { = \alpha \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } c _ { k - 1 } | k - 1 \rangle \; \; \Rightarrow \; \sqrt { n } c _ { n } = \alpha c _ { n - 1 } } \\ & { \Rightarrow c _ { n } = \frac { \alpha ^ { n } } { \sqrt { n ! } } c _ { 0 } \; \; \; \Rightarrow \; \; \; | \alpha \rangle = c _ { 0 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \alpha ^ { n } } { \sqrt { n ! } } | n \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \sigma } _ { i j } ^ { 2 } = f _ { v } \big ( \big [ ( \widehat { \Theta } ^ { [ 1 ] } ) _ { i i } ( \widehat { \Theta } ^ { [ 1 ] } ) _ { j j } + ( \widehat { \Theta } ^ { [ 1 ] } ) _ { i j } ^ { 2 } \big ] , . . . , \big [ ( \widehat { \Theta } ^ { [ K ] } ) _ { i i } ( \widehat { \Theta } ^ { [ K ] } ) _ { j j } + ( \widehat { \Theta } ^ { [ K ] } ) _ { i j } ^ { 2 } \big ] \big ) , } \end{array}
( r _ { 1 } , \ { \vec { v } } _ { 1 } ) ( r _ { 2 } , \ { \vec { v } } _ { 2 } ) = ( r _ { 1 } r _ { 2 } - { \vec { v } } _ { 1 } \cdot { \vec { v } } _ { 2 } , \ r _ { 1 } { \vec { v } } _ { 2 } + r _ { 2 } { \vec { v } } _ { 1 } + { \vec { v } } _ { 1 } \times { \vec { v } } _ { 2 } )
\theta _ { \bot \parallel } = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \left( \partial _ { \tau } \vec { x } \, \partial _ { \sigma } \vec { x } + \partial _ { \tau } y \, \partial _ { \sigma } y \right) = \frac { 1 } { a ^ { 2 } \tau } \left[ \vec { f } { \vec { c } \, } ^ { \prime } + a a ^ { \prime } \right] + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } \left( \vec { g } { \vec { c } \, } ^ { \prime } \right) + \ldots
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \cal E } ^ { ( 1 ) } \left[ \rho , n ^ { ( 1 ) } \right] = E \left[ n ^ { ( 1 ) } \right] } \ ~ } \\ { { \displaystyle ~ ~ ~ ~ + \int \frac { \delta E \left[ \rho ] \right] } { \delta \rho ( { \bf r } ) } \Big \vert _ { n ^ { ( 1 ) } } \left( \rho ( { \bf r } ) - n ^ { ( 1 ) } ( { \bf r } ) \right) d { \bf r } } , } \end{array}
\dot { \mathrm { ~ m ~ } } = \left\{ \begin{array} { l l } { R _ { T } \rho _ { v } \frac { T - T _ { s a t } } { T _ { s a t } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } T < T _ { s a t } , } \\ { R _ { T } \rho _ { l } \frac { T - T _ { s a t } } { T _ { s a t } } , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \left\{ 1 - \alpha \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \rho ( \omega ) [ \mathcal M _ { 2 2 } ^ { - 1 } P _ { z } ( \omega ) - \mathcal M _ { 2 1 } ^ { - 1 } \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) / 2 ] \right\} \left\{ 1 - \alpha \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \rho ( \omega ) [ \mathcal M _ { 3 3 } ^ { - 1 } P _ { z } ( \omega ) - \mathcal M _ { 3 1 } ^ { - 1 } \tilde { P } _ { T } ( \omega ) / 2 ] \right\} } \\ { = } & { \alpha ^ { 2 } \left\{ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \rho ( \omega ) [ \mathcal M _ { 2 3 } ^ { - 1 } P _ { z } ( \omega ) - \mathcal M _ { 2 1 } ^ { - 1 } \tilde { P } _ { T } ( \omega ) / 2 ] \right\} \left\{ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \rho ( \omega ) [ \mathcal M _ { 3 2 } ^ { - 1 } P _ { z } ( \omega ) - \mathcal M _ { 3 1 } ^ { - 1 } \tilde { P } _ { T } ^ { * } ( \omega ) / 2 ] \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Theta _ { n } \rangle } & { = \frac { 1 } { Z } \int \frac { \mathrm { d } p \mathrm { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { f } } \int _ { | c | = 1 } \frac { \mathrm { d } c } { \mathcal { N } } \, \mathrm { e } ^ { - \beta E ( p , q , c ) } \Theta _ { n } } \\ & { = \frac { 1 } { Z } \int \frac { \mathrm { d } p \mathrm { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { f } } \sum _ { a } \mathrm { e } ^ { - \beta [ T ( p ) + V _ { a } ( q ) ] } \int _ { | c | = 1 } \frac { \mathrm { d } c } { \mathcal { N } } \, \Theta _ { a } \Theta _ { n } . } \end{array}
{ D } ^ { ( 1 / 2 ) } ( { \bf p } , { \bf n } ) = \frac { p n + m - i { \vec { \sigma } } \cdot ( { \bf p } { \times } { \bf n } ) } { \sqrt { 2 ( p _ { 0 } + m ) ( p n ) } } , \quad { D } ^ { \dag ( 1 / 2 ) } ( { \bf p } , { \bf n } ) \, { D } ^ { ( 1 / 2 ) } ( { \bf p } , { \bf n } ) = 1 ,
X _ { l , m } ^ { ( L ) } \equiv ( \partial _ { A _ { 1 } } \cdots \partial _ { A _ { l + 2 m } } \omega ^ { L } ) \, K _ { [ l , m ] } ^ { A _ { 1 } \dots A _ { l + 2 m } , B _ { 1 } \dots B _ { l + 2 m } } \, ( \partial _ { B _ { 1 } } \cdots \partial _ { B _ { l + 2 m } } \omega ^ { \prime L } ) \; .
\theta _ { 1 } = \int d \theta _ { 1 } = \int _ { 0 } ^ { \lambda } \widetilde { \alpha } \, d \widetilde { \lambda } - \int _ { \gamma } \left( \frac { E } { \mathsf { A } } d t + \sum _ { k = 2 } ^ { N } \frac { p _ { k } } { \mathsf { A } } \, d \psi _ { k } \right) \, ,
\begin{array} { r l r } { g \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \sum _ { m } e ^ { i m \varphi } \left[ \frac { \partial \delta f _ { m } } { \partial t } + i m \Omega _ { d } \delta f _ { m } + \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { m } } { 2 1 B _ { 0 } } - i m \frac { \mu A _ { m } } { q B _ { 0 } \gamma } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \delta _ { m 0 } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { ( 3 \Delta E _ { 1 } ^ { 2 } \Delta E _ { 2 } ^ { 2 } ( \Delta E _ { 1 } - \Delta E _ { 2 } ) - 2 \Delta E _ { 1 } ^ { 2 } \Delta E _ { 3 } ^ { 2 } ( \Delta E _ { 1 } - \Delta E _ { 3 } ) \strut } \\ & { } & { \strut + \Delta E _ { 2 } ^ { 2 } \Delta E _ { 3 } ^ { 2 } ( \Delta E _ { 2 } - \Delta E _ { 3 } ) ) \Delta t / D , } \\ { B } & { = } & { ( - 3 \Delta E _ { 1 } \Delta E _ { 2 } ( \Delta E _ { 1 } ^ { 2 } - \Delta E _ { 2 } ^ { 2 } ) + 2 \Delta E _ { 1 } \Delta E _ { 3 } ( \Delta E _ { 1 } ^ { 2 } - \Delta E _ { 3 } ^ { 2 } ) \strut } \\ & { } & { \strut - \Delta E _ { 2 } \Delta E _ { 3 } ( \Delta E _ { 2 } ^ { 2 } - \Delta E _ { 3 } ^ { 2 } ) ) \Delta t / D , } \\ { C } & { = } & { ( 3 \Delta E _ { 1 } \Delta E _ { 2 } ( \Delta E _ { 1 } - \Delta E _ { 2 } ) - 2 \Delta E _ { 1 } \Delta E _ { 3 } ( \Delta E _ { 1 } - \Delta E _ { 3 } ) \strut } \\ & { } & { \strut + \Delta E _ { 2 } \Delta E _ { 3 } ( \Delta E _ { 2 } - \Delta E _ { 3 } ) ) \Delta t / D , } \end{array}
\overline { { { \Gamma } } } _ { \mu } ^ { H Z G ^ { 0 } , 0 } \ \equiv \ \Gamma _ { 0 \mu } ^ { H Z G ^ { 0 } , 0 } \, + \, \widehat { \Gamma } _ { \mu } ^ { H Z G ^ { 0 } , 0 } \, , \qquad \overline { { { \Gamma } } } ^ { H G ^ { 0 } G ^ { 0 } , 0 } \ \equiv \ \Gamma _ { 0 } ^ { H G ^ { 0 } G ^ { 0 } , 0 } \, + \, \widehat { \Gamma } ^ { H G ^ { 0 } G ^ { 0 } , 0 } \, .
\bar { u } _ { \bar { k } \ } ^ { \ i } = \frac { \sum _ { \substack { m = 1 \, m \neq \bar { k } } } ^ { N } w _ { m \ } ^ { \ \bar { k } i } \theta ( u _ { m \ } ^ { \ \bar { k } i } ) u _ { m \ } ^ { \ \bar { k } i } ( u _ { \bar { k } } + \sum _ { l = 1 } ^ { M } \sum _ { \substack { m = 1 \, m \neq \bar { k } } } ^ { N } w _ { m \ } ^ { \ \bar { k } l } \theta ( u _ { m \ } ^ { \ \bar { k } l } ) u _ { m \ } ^ { \ \bar { k } l } ) } { \sum _ { l = 1 } ^ { M } \sum _ { \substack { m = 1 \, m \neq \bar { k } } } ^ { N } w _ { m \ } ^ { \ \bar { k } l } \theta ( u _ { m \ } ^ { \ \bar { k } l } ) u _ { m \ } ^ { \ \bar { k } l } }
{ \frac { 1 } { | a b | } } e ^ { - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \left( { \frac { \nu _ { x } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { \nu _ { y } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } \right) }
\begin{array} { r } { \mathrm { { C } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \ s i g m a } ( { \bf r } ) = \frac { k \ e p s i l o n } { 2 } \mathrm { ~ I ~ m ~ } \{ { \bf E } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \ s i g m a } ( { \bf r } ) \cdot Z { { \bf H } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \ s i g m a } } ^ { * } ( { \bf r } ) \} . } } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { d p } = m _ { i } + w \int _ { 0 } ^ { \infty } d t u _ { 0 } ( t ) \frac { c _ { i } } { 1 + \frac { u _ { 0 } ( t ) \ell _ { 0 } } { D _ { p } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { \mathrm { a d } } _ { T } ( U ) = T U _ { 0 } T ^ { - 1 } + \widehat { T } U _ { 1 } T ^ { - 1 } , \qquad T \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { \times } , } \\ & { } & { U = U _ { 0 } + U _ { 1 } \in \mathcal { G } _ { p , q , r } , \qquad U _ { 0 } \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 0 ) } , \qquad U _ { 1 } \in \mathcal { G } _ { p , q , r } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \| A ^ { T } A y \| ^ { 2 } } { \| A y \| ^ { 2 } } = } & { \frac { \frac { r ^ { 4 } ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } } { \| c \| ^ { 2 } } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } { \frac { r ^ { 2 } ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } } { \| c \| ^ { 2 } } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } \\ { = } & { r ^ { 2 } - \frac { ( r ^ { 2 } \| c \| ^ { 2 } - \| c \| ^ { 4 } ) \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } { \frac { r ^ { 2 } ( c ^ { T } y ) ^ { 2 } } { \| c \| ^ { 2 } } + ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \| P _ { c } y \| ^ { 2 } } } \\ { \leq } & { r ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ( \| \tilde { \mathbf { e } } _ { k + 1 } \| ^ { 2 } ) \leq } & { \sqrt { \delta } \mathbb { E } ( \| \tilde { \mathbf { e } } _ { k } \| ^ { 2 } ) + \frac { \delta } { 1 - \sqrt { \delta } } \mathbb { E } ( \| \tilde { \mathbf { x } } _ { k + 1 } - \tilde { \mathbf { x } } _ { k } \| ^ { 2 } ) } \\ & { + n \mu _ { k + 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
x _ { i } ^ { ( n + 1 ) } = x _ { i } ^ { ( n ) } \cdot \frac { 1 } { \sum _ { j } A _ { i j } } \cdot \sum _ { j } A _ { i j } \frac { y _ { j } } { \sum _ { k } A _ { k j } x _ { k } ^ { ( n ) } } ,
\begin{array} { r l } { { 2 } \frac { \partial P _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } + \frac { \partial J _ { R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } - \mathcal { J } _ { L \rightarrow R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial P _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial t } + \frac { \partial J _ { L } ^ { [ i ] } ( x , t ) } { \partial x } + \mathcal { J } _ { L \rightarrow R } ^ { [ i ] } ( x , t ) } & { = 0 , } \end{array}
\tilde { \mu } = 1 + C _ { A } T _ { F } \frac { g _ { 0 } ^ { 4 } m ^ { - 4 \varepsilon } } { ( 4 \pi ) ^ { d } } I _ { 0 } ^ { 2 } \frac { ( d - 2 ) ( d ^ { 2 } - 9 d + 1 6 ) } { 4 ( d - 5 ) ( d - 7 ) } \, .
C _ { i } ^ { T } = \frac { ( A + A ^ { T } ) _ { i i } ^ { 3 } - A _ { i i } ^ { 3 } - ( A ^ { T } ) _ { i i } ^ { 3 } } { 2 \, k _ { i } ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ( k _ { i } ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } - 1 ) } .
{ \frac { \Theta _ { i } } { \Theta _ { i _ { 0 } } } } = { \frac { \operatorname * { d e t } _ { k \neq i _ { 0 } , i \to i _ { 0 } ; j = 1 , \dots , N - 1 } \theta _ { \frac { k } { N } } ( N q _ { j } | N \tau ) } { \operatorname * { d e t } _ { k \neq i _ { 0 } ; j = 1 , \dots , N - 1 } \theta _ { \frac { k } { N } } ( N q _ { j } | N \tau ) } } .
\begin{array} { r l } & { H _ { P ( \Phi _ { Y } , \Phi _ { Z } ) } ^ { j ^ { \prime } } ( Y \times Z , \Omega _ { Y \times Z } ^ { i ^ { \prime } } ( \log \Delta _ { Y \times Z } ) ( - \Delta _ { Y \times Z } ) ) } \\ & { \to H _ { \mathrm { p r } _ { Y \times Z } ^ { - 1 } ( P ( \Phi _ { Y } , \Phi _ { Z } ) ) } ^ { j ^ { \prime } } ( X \times Y \times Z , \Omega _ { X \times Y \times Z } ^ { i ^ { \prime } } ( \log \mathrm { p r } _ { Y \times Z } ^ { * } \Delta _ { Y \times Z } ) ( - \mathrm { p r } _ { X } ^ { * } \Delta _ { Y } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - 2 N ( N - 1 ) ( N - 2 ) ( 2 \pi ) ^ { - ( m + 1 ) } { { \sigma _ { p } } } ( { Q } _ { g } ) ( y , \eta , q , \zeta ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times ( \zeta _ { 0 } ) ^ { 2 } \beta _ { N } ^ { ( k ) } { \sigma _ { p } } ( v _ { 1 } ^ { m } ) ( q , \zeta ^ { ( 1 ) } ) \prod _ { j = 2 } ^ { 4 } { \sigma _ { p } } ( v _ { j } ) ( q , { \zeta ^ { ( j ) } } ) , } \end{array}
\delta \! { \cal R } _ { z _ { n } = \cdots = z _ { 0 } } \Upsilon _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \cdots \Upsilon _ { n } ( z _ { n } ) = { \cal R } _ { z \doteq z _ { n } = \cdots = z _ { 0 } } \Upsilon _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \cdots \Upsilon _ { n } ( z _ { n } ) \Psi ( z ) .
\begin{array} { r } { ( \hbar c \, \vec { \gamma } \cdot { \bf q } + m _ { e } c ^ { 2 } \mathcal { I } _ { 4 } ) \, u _ { { \bf q } , s } = \hbar \varepsilon _ { q } \gamma ^ { 0 } u _ { { \bf q } , s } , } \\ { ( \hbar c \, \vec { \gamma } \cdot { \bf q } - m _ { e } c ^ { 2 } \mathcal { I } _ { 4 } ) \, v _ { { \bf q } , s } = \hbar \varepsilon _ { q } \gamma ^ { 0 } v _ { { \bf q } , s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { T \varrho } \circ \widehat { \pi _ { 1 } } \circ \widehat { \sigma } \circ ( u , v , w ) } & { = \widehat { T \varrho } \circ \widehat { \pi _ { 1 } } \circ ( v , u , w + \langle u , v \rangle ) } \\ & { = \widehat { T \varrho } \circ ( \varrho v , u , w + \langle u , v \rangle ) } \\ & { = ( \varrho v , \varrho u , \varrho w + \varrho \langle u , v \rangle + D [ \varrho ] ( \varrho v , u ) ) } \\ & { = ( \varrho v , \varrho u , \varrho w + \varrho \langle u , v \rangle + \{ v , u \} ) , } \\ { \widehat { c } \circ \widehat { T \varrho } \circ \widehat { \pi _ { 1 } } ( u , v , w ) } & { = \widehat { c } ( \varrho u , \varrho v , \varrho w + \{ u , v \} ) } \\ & { = ( \varrho v , \varrho u , \varrho w + \{ u , v \} ) , } \end{array}
p = 1 \; { \mathrm { G e V } } / c = { \frac { ( 1 \times 1 0 ^ { 9 } ) \times ( 1 . 6 0 2 \ 1 7 6 \ 6 3 4 \times 1 0 ^ { - 1 9 } \; { \mathrm { C } } ) \times ( 1 \; { \mathrm { V } } ) } { 2 . 9 9 \ 7 9 2 \ 4 5 8 \times 1 0 ^ { 8 } \; { \mathrm { m } } / { \mathrm { s } } } } = 5 . 3 4 4 \ 2 8 6 \times 1 0 ^ { - 1 9 } \; { \mathrm { k g } } { \cdot } { \mathrm { m } } / { \mathrm { s } } .
\frac { 1 } { 2 l + 2 } \frac { d } { d t } \left( \int _ { \Omega } z _ { n } ^ { 2 l + 2 } \right) \leq \int _ { \Omega } g _ { 0 } z _ { n } ^ { 2 l + 2 } + \int _ { \Omega } u _ { n } \partial _ { x } g _ { 0 } z _ { n } ^ { 2 l + 1 } .
\begin{array} { r l } { \quad } & { \left| { \bf { b } } _ { \mathrm { { P } } } ^ { H } ( r _ { l } , \phi , \theta ) { \bf { b } } _ { \mathrm { P } } ( r _ { m } , \phi , \theta ) \right| = } \\ & { \quad \quad \quad \frac { 1 } { N _ { 1 } N _ { 2 } } \left| \sum _ { n _ { 1 } } \sum _ { n _ { 2 } } e ^ { j ( \zeta _ { 1 } ( n _ { 1 } - \zeta _ { 2 } n _ { 2 } ) ^ { 2 } + \zeta _ { 3 } n _ { 2 } ^ { 2 } ) } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 1 + \sqrt { 3 } } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a ^ { \frac { 3 m ( 3 m + 1 ) } { 2 } } b ^ { \frac { 3 m ( 3 m - 1 ) } { 2 } } e ^ { 2 \pi i m x } } \\ { - \sqrt { 3 } } & { \left[ \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a ^ { \frac { ( 3 m + 1 ) ( 3 m + 2 ) } { 2 } } b ^ { \frac { 3 m ( 3 m + 1 ) } { 2 } } e ^ { 2 \pi i ( m + 1 / 3 ) x } + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } a ^ { \frac { 3 m ( 3 m - 1 ) } { 2 } } b ^ { \frac { ( 3 m - 1 ) ( 3 m - 2 ) } { 2 } } e ^ { 2 \pi i ( m - 1 / 3 ) x } \right] } \\ { = } & { \left( a b , - a e ^ { \frac { 2 \pi i ( x + 1 ) } { 3 } } , - b e ^ { \frac { - 2 \pi i ( x + 1 ) } { 3 } } : a b \right) _ { \infty } + \left( a b , - a e ^ { \frac { 2 \pi i ( x - 1 ) } { 3 } } , - b e ^ { \frac { - 2 \pi i ( x - 1 ) } { 3 } } : a b \right) _ { \infty } } \\ & { - \frac { - 2 } { 1 + \sqrt { 3 } } \left( a b , - a e ^ { 2 \pi i x } , - b e ^ { - 2 \pi i x } : a b \right) _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { l , p } ( r , \phi , z ) } & { = \sqrt { \frac { 2 p ! } { \pi ( p + | l | ) ! } } \frac { 1 } { w ( z ) } \left( \frac { r \sqrt { 2 } } { w ( z ) } \right) ^ { | l | } } \\ & { { \times } L _ { p } ^ { | l | } \left( \frac { 2 r ^ { 2 } } { { w ( z ) } ^ { 2 } } \right) e ^ { - r ^ { 2 } / { w ^ { 2 } ( z ) } } e ^ { i \{ k z + \frac { k r ^ { 2 } } { 2 R ( z ) } - \psi ( z ) + l \phi \} } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta = \frac { ( m _ { 2 } - \lambda _ { 2 } ) - ( m _ { 1 } - \lambda _ { 1 } ) } { m _ { 2 } - \lambda _ { 2 } } , } \\ & { \mathcal { D } = \operatorname* { m a x } _ { \sigma _ { b } , \kappa \in \mathbb { R } _ { + } } \left( \mathcal { R } _ { m _ { 2 } - \lambda _ { 2 } } ( \sigma _ { b } , \kappa ) - \mathcal { R } _ { m _ { 1 } - \lambda _ { 1 } } ( \sigma _ { b } , \kappa ) \right) , } \end{array}
( \partial - { \bar { \partial } } ) ( \hat { { \cal \phi } ^ { 0 } } , \hat { { \cal A } _ { z } ^ { 0 } } ) \sim { \frac { \sqrt { 3 } ( - 1 + a _ { i } ) a _ { i } ^ { 3 } \biggl [ ( b _ { i } e _ { i } ) ^ { 2 } c _ { i } f _ { i } ( c _ { i } - f _ { i } ) { \bar { z } } + ( - b _ { i } c _ { i } ^ { 2 } e _ { i } ^ { 2 } f _ { i } ( f _ { i } - b _ { i } ) + e _ { i } b _ { i } ^ { 2 } c _ { i } f _ { i } ^ { 2 } ( c _ { i } - e _ { i } ) ) z \biggr ] ( z - { \bar { z } } ) } { | z | ^ { 4 } } } ,
\begin{array} { r l } { V ( z ) } & { = V E _ { R } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi z } { a _ { z } } \right) } \\ & { = V E _ { R } \left[ \left( \frac { \pi z } { a _ { z } } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { \pi z } { a _ { z } } \right) ^ { 4 } + \frac { 2 } { 4 5 } \left( \frac { \pi z } { a _ { z } } \right) ^ { 6 } + O ( z ^ { 8 } ) \right] = \frac { 1 } { 2 } m \omega ^ { 2 } z ^ { 2 } + \delta V ( z ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \phi ( x , t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \pi } { 2 c ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \! \left( - \, \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \! \left[ \sqrt { | x - c t | } I _ { - \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) \! + \mathrm { i } \frac { x - c t } { \sqrt { | x - c t | } } I _ { \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { ( x - c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) \right] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { \pi } { 2 c ^ { 2 } \Delta x ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 4 } \exp \! \left( - \, \frac { ( x + c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) } \\ & { } & { \times \! \left[ \sqrt { | x + c t | } I _ { - \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { ( x + c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) \! - \mathrm { i } \frac { x + c t } { \sqrt { | x + c t | } } I _ { \frac { 1 } { 4 } } \! \left( \frac { ( x + c t ) ^ { 2 } } { 8 \Delta x ^ { 2 } } \right) \right] \! . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| A A ^ { \top } - B B ^ { \top } \right\| _ { 2 } } & { = \left\| \frac { 1 } { 2 } ( A - B ) ( A + B ) ^ { \top } + \frac { 1 } { 2 } ( A + B ) ( A - B ) ^ { \top } \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \left( \left\| ( A - B ) ( A + B ) ^ { \top } \right\| _ { 2 } + \left\| ( A + B ) ( A - B ) ^ { \top } \right\| _ { 2 } \right) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \left( \left\| A - B \right\| _ { 2 } \times \left\| ( A + B ) ^ { \top } \right\| _ { 2 } + \left\| A + B \right\| _ { 2 } \times \left\| ( A - B ) ^ { \top } \right\| _ { 2 } \right) } \\ & { = \left\| A - B \right\| _ { 2 } \times \left\| A + B \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \left\| A - B \right\| _ { 2 } \times \left( \left\| A - B + B \right\| _ { 2 } + \left\| B \right\| _ { 2 } \right) } \\ & { \leq \left\| A - B \right\| _ { 2 } \times \left( \left\| A - B \right\| _ { 2 } + 2 \left\| B \right\| _ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } \mathbf u _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes \mathbf u _ { h } ^ { n + 1 } ) + H ( q _ { h } ^ { , n + 1 } , \rho _ { h } ^ { n + 1 } ) - \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla { \mathbf u } _ { h } ^ { n + 1 } ) } \\ & { \quad + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } \otimes ( \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } - \overline { { \mathbf v } } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) = \boldsymbol { 0 } , } \end{array}
\tilde { \delta } _ { h } ( k ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } - \frac { \pi } { h } \le k < \frac { \pi } { h } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ , ~ e ~ l ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { c _ { i } ^ { \top } \left( \tilde { z } _ { k } , \tilde { v } _ { k } \right) + b _ { i } } \\ & { + \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \| c _ { i } ^ { \top } \tilde { \Phi } ^ { k - 1 , j } \tilde { E } _ { k - 1 - j } \| _ { 1 } \le 0 ~ \forall k \in \mathbb { N } _ { T + 1 } ~ \forall i \in \mathbb { N } _ { I } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ a , b , c , b , c ] } & { = } & { 3 [ a , b , b , c , c ] ; } \\ { \mathrm [ a , b , c , c , b ] } & { = } & { - 4 [ a , b , b , c , c ] ; } \\ { \mathrm [ a , c , b , c , b ] } & { = } & { 3 [ a , b , b , c , c ] ; } \\ { \mathrm [ a , c , b , b , c ] } & { = } & { - 4 [ a , b , b , c , c ] ; } \\ { \mathrm [ a , c , c , b , b ] } & { = } & { [ a , b , b , c , c ] ; } \\ { \mathrm p [ a , b , b , c , c ] } & { = } & { 0 . } \end{array}
S = { \frac { 1 } { 4 } } ( 4 \pi a ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 4 } } A _ { \mathrm { h o r i z o n } } ; \quad E = { \frac { 1 } { 2 } } a = \left( { \frac { A _ { \mathrm { h o r i z o n } } } { 1 6 \pi } } \right) ^ { 1 / 2 }
\frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { d } t } = - \frac { m ^ { 2 } | U | \kappa ^ { 4 } } { 3 \pi } = - \frac { \pi | a _ { 0 } | ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } a ^ { 6 } } { 4 8 | U | } ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { { } \propto g _ { l } g _ { r } + g _ { a } | \Omega _ { b } | e ^ { i ( \theta + \phi _ { b } ) } , } \\ { A _ { 2 } } & { { } \propto g _ { l } g _ { r } + g _ { a } | \Omega _ { b } | e ^ { - i ( \theta - \phi _ { b } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \tilde { \bf D } } _ { \perp } ^ { ( i ) } ( { \bf r } _ { \perp } ) } & { = } & { D _ { 0 } J _ { 0 } ( k _ { 0 \perp } r _ { \perp } ) \hat { \bf e } _ { + } , } \\ { { \tilde { \bf D } } _ { \perp } ^ { ( t ) } ( { \bf r } _ { \perp } ) } & { = } & { D _ { 0 } \left[ T _ { + + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) J _ { 0 } ( k _ { 0 \perp } r _ { \perp } ) \hat { \bf e } _ { + } - T _ { - + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) J _ { 2 } ( k _ { 0 \perp } r _ { \perp } ) e ^ { i 2 \phi } \hat { \bf e } _ { - } \right] , } \\ { { \tilde { \bf D } } _ { \perp } ^ { ( r ) } ( { \bf r } _ { \perp } ) } & { = } & { D _ { 0 } \left[ R _ { + + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) J _ { 0 } ( k _ { 0 \perp } r _ { \perp } ) \hat { \bf e } _ { + } - R _ { - + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) J _ { 2 } ( k _ { 0 \perp } r _ { \perp } ) e ^ { i 2 \phi } \hat { \bf e } _ { - } \right] , } \end{array}