harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { 2 \alpha \beta = 2 d _ { n + 1 } \| s _ { n + 1 } \| \le \frac { 2 d _ { n + 1 } ^ { 2 } } { \gamma _ { n + 1 } } + \frac { \gamma _ { n + 1 } } { 2 } \| s _ { n + 1 } \| ^ { 2 } \le \frac { 2 d _ { n + 1 } ^ { 2 } } { \gamma _ { n + 1 } } + d _ { n + 1 } \| s _ { n + 1 } \| + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \| g _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( s ) } & { = \zeta ( s ) L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) ) ^ { 2 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) \times \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) ) } \\ & { = \zeta ( s ) L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) ) ^ { 2 } \prod _ { i = 0 } ^ { n } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { 2 i } ( f ) ) } \\ & { = \zeta ( s ) ^ { 2 } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { n } ( f ) ) ^ { 3 } \prod _ { 1 \leq i \leq n , i \neq \frac { n } { 2 } } L ( s , \mathrm { S y m } ^ { 2 i } ( f ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi _ { n _ { k } } ( x _ { k } ) = ( 2 \pi ) ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \frac { e ^ { - x _ { k } ^ { 2 } / 4 } } { \zeta _ { k } ^ { n _ { k } } \sqrt { n _ { k } ! } } \phi _ { n _ { k } } ^ { \mathrm { h a r } } ( x _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left( \begin{array} { l l } { - ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { - } } & { ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \\ { ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } \tilde { \bf D } _ { 1 } ^ { + } } & { - ( \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ) ^ { - 1 } } \end{array} \right) ( { \bf s } , x _ { 3 } ) \left( \begin{array} { l } { { \bf J } _ { 1 1 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 1 } ^ { * } ( - { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } \\ { { \bf J } _ { 2 2 } { \tilde { \bar { \bf F } } } _ { 2 } ^ { * } ( - { \bf s } , x _ { 3 } , { \bf x } _ { F } ) { \bf J } _ { 1 1 } ^ { - 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi ^ { * } \left( \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \right) ^ { \dagger } \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \Psi = \hbar ^ { 2 } \left( \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } m ^ { 2 } + k ^ { 2 } r ^ { 2 } \right) } \\ { \Psi ^ { * } \hat { l } _ { - } ( r , \phi , z ) \hat { l } _ { + } ( r , \phi , z ) \Psi = \hbar ^ { 2 } \left( \frac { z ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } m ^ { 2 } + 2 i k z + ( k r ) ^ { 2 } - m \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A _ { n } } & { = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } s ( x ) \cos ( n x ) \, d x = 0 , \quad n \geq 0 . } \\ { B _ { n } } & { = { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } s ( x ) \sin ( n x ) \, d x } \\ & { = - { \frac { 2 } { \pi n } } \cos ( n \pi ) + { \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } } } \sin ( n \pi ) } \\ & { = { \frac { 2 \, ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { \pi n } } , \quad n \geq 1 . } \end{array} }
E _ { x } ^ { 0 } ( r , \theta , \varphi ) = \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } r } \mathrm { e } ^ { i k _ { \mathrm { d } } r } \mathrm { e } ^ { - i k _ { \mathrm { d } } z _ { \mathrm { p } } \cos \theta } p _ { x } ( \sin ^ { 2 } \varphi + \cos ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \varphi ) ,
\begin{array} { r l } { \textbf { R } _ { i } ( t ) } & { = \frac { \lambda _ { \textrm { t x 1 } } } { 4 \pi \| \textbf { p } _ { \textrm { t x 1 } } ( t ) - \textbf { p } _ { \textrm { r x } } ( t ) \| } G _ { \textrm { t x 1 } , i } ( t ) \textbf { S } _ { \textrm { t x 1 } } ( t ) } \\ & { + \frac { \lambda _ { \textrm { t x 2 } } } { 4 \pi \| \textbf { p } _ { \textrm { t x 2 } } ( t ) - \textbf { p } _ { \textrm { r x } } ( t ) \| } G _ { \textrm { t x 2 } , i } ( t ) \textbf { S } _ { \textrm { t x 2 } } ( t ) , \, i = 1 , 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \frac { p ( x ) } { q ( x ) } } & { = \log \frac { e ^ { - \eta _ { 0 } } \eta _ { 0 } ^ { x } / [ ( 1 - e ^ { - \eta _ { 0 } } ) x ! ] } { e ^ { - \eta _ { 1 } } \eta _ { 1 } ^ { x } / [ ( 1 - e ^ { - \eta _ { 1 } } ) x ! ] } } \\ & { = \eta _ { 1 } - \eta _ { 0 } + \log \frac { 1 - e ^ { - \eta _ { 1 } } } { 1 - e ^ { - \eta _ { 0 } } } + x \log \! \left( \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 1 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi _ { \nu \mu } } & { = } & { \Big ( 1 - \hbar ^ { 2 } \beta \partial _ { \nu } ^ { 2 } \Big ) \partial _ { \nu } \Psi _ { \mu } - \Big ( 1 - \hbar ^ { 2 } \beta \partial _ { \mu } ^ { 2 } \Big ) \partial _ { \mu } \Psi _ { \nu } + \Big ( 1 - \hbar ^ { 2 } \beta \partial _ { \nu } ^ { 2 } \Big ) \frac { i } { \hbar } e A _ { \nu } \Psi _ { \mu } } \\ & { - } & { \Big ( 1 - \hbar ^ { 2 } \beta \partial _ { \nu } ^ { 2 } \Big ) \frac { i } { \hbar } e A _ { \mu } \Psi _ { \nu } , ~ ~ \textmd { a n d } ~ ~ F _ { \nu \mu } = \nabla _ { \nu } A _ { \mu } - \nabla _ { \mu } A _ { \nu } , } \end{array}
\begin{array} { l r } { \operatorname { F } ( 0 , n ) = 2 [ 0 ] n = n + 1 } \\ { \operatorname { F } ( 1 , n ) = 2 [ 1 ] n = 2 + n } \\ { \operatorname { F } ( 2 , n ) = 2 [ 2 ] n = 2 \times n } \\ { \operatorname { F } ( 3 , n ) = 2 [ 3 ] n = 2 ^ { n } } \\ { \operatorname { F } ( 4 , n ) = 2 [ 4 ] n = 2 ^ { 2 ^ { 2 ^ { { } ^ { . \, ^ { . \, ^ { . \, ^ { 2 } } } } } } } } \\ { . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } ( \gamma _ { \mu \nu } , \gamma _ { \kappa \lambda } , \gamma _ { \mu \kappa } , \gamma _ { \mu \lambda } , \gamma _ { \nu \kappa } , \gamma _ { \nu \lambda } ) } & { { } } \\ { \cdot \operatorname* { m i n } ( \sqrt { ( \mu \nu | \mu \nu ) _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } ( \kappa \lambda | \kappa \lambda ) _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } } , } & { { } } \\ { \sqrt { ( \mu \mu | \kappa \kappa ) _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } ( \nu \nu | \lambda \lambda ) _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } } , } & { { } } \\ { \sqrt { ( \mu \mu | \lambda \lambda ) _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } ( \nu \nu | \kappa \kappa ) _ { \mathrm { ~ S ~ R ~ } } } , } & { { } } \\ { \frac { Q _ { \mu \nu } Q _ { \kappa \lambda } e ^ { - \theta R ^ { 2 } } } { R ^ { 2 } } } & { { } ) < \varepsilon . } \end{array}
\Gamma = \dot { x } \frac { \partial } { \partial x } + \dot { y } \frac { \partial } { \partial y } + \dot { \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } + \frac { \hat { u } \sin \theta } { m } \frac { \partial } { \partial \dot { x } } - \frac { \hat { u } \cos \theta } { m } \frac { \partial } { \partial \dot { y } } + \frac { \hat { u } } { I } \frac { \partial } { \partial \dot { \theta } }
\frac { \mathrm { i } } { k } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \xi } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \theta } \right) = \frac { \mathrm { i } } { k } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \xi } \left( - \mathrm { i } k \theta \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k \widehat { \theta } } \right) = \theta \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ( \xi + \widehat { \theta } ) } , ~ \vert \widehat { \theta } \vert < \vert \theta \vert .
1 6 ~ { ^ < _ { \sim } } ~ { \frac { \mu _ { 2 } } { \mu _ { 1 } } } ~ { ^ < _ { \sim } } ~ 3 2 , \qquad \qquad 0 . 4 4 ~ { ^ < _ { \sim } } ~ { \frac { \mu _ { 3 } } { \mu _ { 4 } } } ~ { ^ < _ { \sim } } ~ 2 . 3 .
\Delta _ { \alpha \beta } = { \frac { t _ { U } } { 8 \pi ^ { 2 } } } \left( 3 + { \frac { A _ { U } ^ { 2 } } { \tilde { m } _ { U } ^ { 2 } } } + { \frac { A _ { U } } { B _ { U } } } \right) \, ( \lambda _ { \alpha \gamma i } \lambda _ { \beta \gamma i } + 3 \lambda _ { \alpha i j } ^ { \prime } \lambda _ { \beta i j } ^ { \prime } ) \, ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } \left( \mu _ { g } \| z _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } , \frac { 1 } { l _ { g , 1 } } \| \nabla g _ { k } ( z _ { k } ^ { ( t ) } ) - \nabla g _ { k } ( y _ { k } ^ { * } ) \| ^ { 2 } \right) \le \langle \nabla g _ { k } ( z _ { k } ^ { ( t ) } ) - \nabla g _ { k } ( y _ { k } ^ { * } ) , z _ { k } ^ { ( t ) } - y _ { k } ^ { * } \rangle . } \end{array}
L ( R ) \ = \ \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { v = 1 } ^ { k } R _ { j v } C _ { j i } \left( \hat { \Lambda } _ { i v } ( R ) - M _ { j i } \log \hat { \Lambda } _ { i v } ( R ) \right)
\begin{array} { r l r } { e _ { i } ( e _ { j } w ) } & { = } & { - e _ { j } ( e _ { i } w ) , \qquad e _ { i + 8 } ( e _ { j + 8 } w ) = - e _ { j + 8 } ( e _ { i + 8 } w ) , } \\ { e _ { i } ( e _ { i } w ) } & { = } & { - w , \qquad e _ { i + 8 } ( e _ { i + 8 } w ) = - w \quad i , j = 1 , . . . , 7 , \quad \forall w \in \mathbb { C } \otimes \mathbb { S } } \end{array}
\rho \left[ \frac { \partial \v } { \partial t } + ( \mathbf { v } \cdot \nabla ) \mathbf { v } \right] = \nabla \cdot \left( - p \mathbb { I } + \mu \left[ \nabla \mathbf { v } + \nabla \mathbf { v } ^ { \top } \right] \right) + \rho \mathbf { b } ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } = } & { \nu _ { e } \left[ \frac { 3 \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } } { ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) ^ { 3 } } + \frac { 2 \alpha _ { p } a _ { 1 p } } { \sigma _ { p } ^ { 2 } } - 2 \alpha _ { e } a _ { 1 e } \right] , } \\ { B = } & { \frac { ( \lambda ^ { 2 } \nu _ { e } - \sigma _ { i } ) ^ { 2 } } { 2 \lambda \nu _ { e } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi ) - [ D _ { r } , \Psi ] + \Pi _ { \le N } \mathcal { R } = [ \mathcal { R } ] , \mathrm { ~ w h e r e ~ } ( [ \mathcal { R } ] ) _ { k } ^ { j } ( l ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { R } _ { j } ^ { j } ( 0 ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ ( l , j , k ) = ( 0 , j , j ) ~ , ~ j \in ~ S _ { \mathtt { M } } ^ \perp ~ } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { \omega } ( x _ { 2 } , v ) } & { \le d _ { \omega } ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) - d _ { \omega } ( x _ { 1 } , v ) } \\ & { \le d _ { \omega } ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) + d _ { \omega } ( x _ { 1 } , s _ { 1 } ) - d _ { \omega } ( s _ { 1 } , v ) } \\ & { \le k + \ell _ { 0 } + 5 - d _ { \omega } ( v , s _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma \left( t \right) = \sqrt { 1 + v _ { o } ^ { 2 } / \left( a \left( t \right) ^ { 2 } \mathbb { C } ^ { 2 } \right) } , } \\ & { \Omega _ { o } \equiv \frac { q B _ { o } } { m c } , } \\ & { \phi \left( t \right) = \frac { \Omega _ { o } \mathbb { C } } { \dot { a } v _ { o } } \times } \\ & { \left\{ \begin{array} { r l } & { \ln \frac { v _ { o } + \mathbb { C } \gamma \left( 0 \right) } { v _ { o } / a + \mathbb { C } \gamma \left( t \right) } , \mathrm { i f ~ } a = 1 + \dot { a } t , } \\ & { \frac { \mathbb { C } } { 2 v _ { o } } \left( \frac { \gamma \left( t \right) } { a } - \gamma \left( 0 \right) \right) - \frac { \mathbb { C } ^ { 2 } } { 2 v _ { o } ^ { 2 } } \left( \sinh ^ { - 1 } \frac { v _ { o } } { a \mathbb { C } } - \sinh ^ { - 1 } \frac { v _ { o } } { \mathbb { C } } \right) , \mathrm { i f ~ } a = 1 / \left( 1 + \dot { a } t \right) . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { K } \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } f _ { k } \right) \sigma _ { j } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { K } f _ { l } ^ { 2 } \right) \longrightarrow \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } C _ { I - i , i } \sum _ { j = i } ^ { \infty } \left( \prod _ { k = i } ^ { j - 1 } f _ { k } \right) \sigma _ { j } ^ { 2 } \left( \prod _ { l = j + 1 } ^ { \infty } f _ { l } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
d \sigma _ { V } + d \sigma _ { r } + d \sigma _ { v a c } = \frac { \alpha ^ { 3 } } { 4 } \frac { d Q ^ { 2 } } { S ^ { 2 } Q ^ { 4 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } [ \theta _ { i } ^ { F } + 4 ( \delta ^ { e l } + \delta _ { v a c } ^ { l } + \delta _ { v a c } ^ { h } ) \theta _ { i } ^ { 0 } ] { \cal F } _ { i } .
\begin{array} { r } { \pi _ { i j } = 0 , \qquad R ^ { T } R = { \bf 1 } , \qquad ( R ^ { T } p g ^ { - 1 } ) _ { i j } + ( i \leftrightarrow j ) = 0 , \qquad g ^ { - 1 } \lambda + \lambda g ^ { - 1 } = 2 g ^ { - 1 } p ^ { T } p g ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \in \mathcal { X } _ { 1 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| \left| \sum _ { n \in [ N ] _ { q } } f _ { 0 } ( n ) \overline { { \chi ( n ) } } \right| \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) - \mathbb { E } _ { b \in \mathbb { Z } _ { q } ^ { \times } } g ( b ) \overline { { \chi } } ( b ) \right| } \\ & { \ll ( \log q ) ^ { - 1 0 } \frac { 1 } { \varphi ( q ) } \sum _ { \chi \pmod { q } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } f ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \ll ( \log q ) ^ { - 1 0 } \frac { 1 } { \varphi ( q ) } ( N + \varphi ( q ) ) \frac { \log N } { N } \ll \frac { 1 } { \varphi ( q ) ( \log q ) ^ { 9 } } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \displaystyle { \sum _ { s = 1 } ^ { D / 2 } \, [ Z _ { s } , \bar { Z } _ { s } ] = \sum _ { s = 1 } ^ { D / 2 } \, \frac { 1 } { \, \theta _ { s } } } \, , ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ [ Z _ { s } , Z _ { r } ] = 0 \, , } } \end{array}
| | u _ { \mathrm { i n f } } | | _ { L _ { r _ { * } } ^ { \infty } ( - \infty , - | m | | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } x _ { 0 } ) } + | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } | | u _ { \mathrm { i n f } } ^ { \prime } | | _ { L _ { r _ { * } } ^ { \infty } ( - \infty , - | m | | \widetilde { \omega } | ^ { - 1 } x _ { 0 } ) } \leq \frac { B _ { \mathrm { h o m } } ( | W | + \sqrt { | \omega | } \sqrt { | \widetilde { \omega } | } ) } { | \widetilde { \omega } | } ,
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { p r e d } } ( x _ { 0 } ; \ell _ { \tau } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \log \left( \frac { \sigma _ { x } ^ { 2 } } { \sigma _ { x | \ell _ { \tau } } ^ { 2 } } \right) = - \frac { 1 } { 2 } \log \left( 1 - \frac { \langle \delta x ( 0 ) \delta \ell ( \tau ) \rangle ^ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 2 } \sigma _ { \ell } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { E _ { x } ^ { \prime } } & { { } = E _ { x } } & { \qquad B _ { x } ^ { \prime } } & { { } = B _ { x } } \\ { E _ { y } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( E _ { y } - v B _ { z } \right) } & { B _ { y } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( B _ { y } + { \frac { v } { c ^ { 2 } } } E _ { z } \right) } \\ { E _ { z } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( E _ { z } + v B _ { y } \right) } & { B _ { z } ^ { \prime } } & { { } = \gamma \left( B _ { z } - { \frac { v } { c ^ { 2 } } } E _ { y } \right) . } \end{array}
\bar { U } _ { 0 } + \frac { \pi \mu _ { 0 } ^ { 3 } ( \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } n I _ { 0 } ) ^ { 2 } p ( r _ { 1 } , r _ { 2 } ) } { 3 2 l r _ { 2 } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { { \cal Q } _ { n l } ( \omega , q ) } & { = } & { \frac { 4 q } { \omega } \; { \cal I } _ { n l } ( q ) \left[ \frac { q } { 2 \omega } ( 2 l + 1 ) \; { \cal I } _ { n l } + ( l + 1 ) { \cal J } _ { n l l + 1 } ( \omega , q ) - l { \cal J } _ { n l l - 1 } ( \omega , q ) \right] } \\ & { } & { + \frac { l ( l - 1 ) } { 2 l + 1 } { \cal J } _ { n l l - 1 } ^ { 2 } ( \omega , q ) + \frac { ( l + 1 ) ( l + 2 ) } { 2 l + 1 } { \cal J } _ { n l l + 1 } ^ { 2 } ( \omega , q ) } \\ & { } & { - \frac { 6 l ( l + 1 ) } { 2 l + 1 } { \cal J } _ { n l l + 1 } ( \omega , q ) { \cal J } _ { n l l - 1 } ( \omega , q ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { B _ { n } } & { = n ! { \left| \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { 2 ? } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } & { \vdots } \\ { n ? } & { ( n - 1 ) ? } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \\ { ( n + 1 ) ? } & { n ? } & { \cdots } & { 2 ? } & { 0 } \end{array} \right| } } \\ & { = n ! { \left| \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } \\ { { \frac { 1 } { 2 ! } } } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & & { \vdots } & { \vdots } \\ { { \frac { 1 } { n ! } } } & { { \frac { 1 } { ( n - 1 ) ! } } } & { \cdots } & { 1 } & { 0 } \\ { { \frac { 1 } { ( n + 1 ) ! } } } & { { \frac { 1 } { n ! } } } & { \cdots } & { { \frac { 1 } { 2 ! } } } & { 0 } \end{array} \right| } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { - 2 } I _ { j , \Delta } = } & { \Delta ^ { - 2 } T M _ { j } + [ \partial _ { x } \widetilde { D } _ { x x } ] \partial _ { x } ( T M _ { j } ) } \\ & { + [ \partial _ { x } \widetilde { D } _ { x y } ] \partial _ { y } ( T M _ { j } ) + [ \partial _ { y } \widetilde { D } _ { y y } ] \partial _ { y } ( T M _ { j } ) } \\ & { + [ \partial _ { y } \widetilde { D } _ { x y } ] \partial _ { x } ( T M _ { j } ) + [ \widetilde { D } _ { x x } ] \partial _ { x } ^ { 2 } ( T M _ { j } ) } \\ & { + [ \widetilde { D } _ { y y } ] \partial _ { y } ^ { 2 } ( T M _ { j } ) + 2 [ \widetilde { D } _ { x y } ] \partial _ { x } \partial _ { y } ( T M _ { j } ) , } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad j = 1 , 2 , \cdots , j _ { \textrm { m a x } } \ge 7 , } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { 2 } S ( E , V ) = \left( \begin{array} { l l } { \frac { \partial } { \partial E } \frac { 1 } { T } } & { \frac { \partial } { \partial V } \frac { 1 } { T } } \\ { \frac { \partial } { \partial E } \frac { p } { T } } & { \frac { \partial } { \partial V } \frac { p } { T } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } U ( t ) } & { = \int _ { \Omega } \partial _ { t } \left[ \rho _ { 1 } + \rho _ { 2 } + \rho _ { 3 } + \rho _ { 4 } + \rho _ { 5 } \right] d x } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } d _ { i } \int _ { \Omega } \Delta \rho _ { i } d x - \int _ { \Omega } \nabla ( \rho _ { 2 } \vec { v } _ { 2 } ( \rho ) ) d x - \int _ { \Omega } \nabla ( \rho _ { 3 } \vec { v } _ { 3 } ( \rho ) ) d x - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \delta _ { i } \int _ { \Omega } \rho _ { i } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } d _ { i } \int _ { \partial \Omega } \nabla \rho _ { i } \cdot n d \sigma ( x ) - \int _ { \partial \Omega } \rho _ { 2 } \vec { v } _ { 2 } ( \rho ) \cdot n d \sigma ( x ) - \int _ { \partial \Omega } \rho _ { 3 } \vec { v } _ { 3 } ( \rho ) \cdot n \sigma ( x ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \delta _ { i } \int _ { \Omega } \rho _ { i } d x } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } v _ { i , o u t } \int _ { \Gamma _ { 2 } } \rho _ { i } d \sigma ( x ) - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \delta _ { i } \int _ { \Omega } \rho _ { i } d x \leq 0 , \quad t \in [ 0 , T ( u _ { 0 } ) ) . } \end{array}
\tilde { T } _ { \infty } = \frac { \displaystyle \int _ { x = 0 } T | \rho \vec { v } \cdot \mathrm { d } \vec { \mathcal { S } } | } { \displaystyle \int _ { x = 0 } | \rho \vec { v } \cdot \mathrm { d } \vec { \mathcal { S } } | } ,
\begin{array} { r } { \Delta U _ { i , a } ^ { * } = \Delta t { { \left[ - \frac { \partial \left( { { { \bar { u } } } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } + \frac { \Delta t } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { \partial } { \partial { { x } _ { i } } } \left( \frac { \partial \left( { { { \bar { u } } } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) } { \partial { { x } _ { j } } } \right) \right] } ^ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C _ { \mathrm { x c } } } = \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \, \int \Gamma _ { \mathrm { L D O S } } ^ { T } ( \mu , \mathbf { r } ) \, \frac { \partial \mu _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ) } { \partial N } \, \mathrm { d } \mathbf { r } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol C _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c } { - \beta w ^ { 2 } D } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \beta w ^ { 2 } D } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \beta w ^ { 2 } D } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r c c c c c l c l } { \nu _ { 0 } } & { = } & { E ( \Delta N ^ { \star } ) } & { = } & { p _ { 0 } \Delta N ^ { \star } ( 0 ) + p _ { 1 } \Delta N ^ { \star } ( 1 ) } & { = } & { 3 p _ { 0 } + 1 } & { = } & { \frac { 4 \mu y + 2 x + 2 y - 1 } { 2 x + 2 y + \mu y - 1 } } \\ { \nu _ { 1 } } & { = } & { E ( \Delta V ) } & { = } & { p _ { 0 } \Delta V ( 0 ) + p _ { 1 } \Delta V ( 1 ) } & { = } & { 2 p _ { 0 } } & { = } & { \frac { 2 \mu y } { 2 x + 2 y + \mu y - 1 } } \\ { \nu _ { 2 } } & { = } & { E ( \Delta F ) } & { = } & { p _ { 0 } \Delta F ( 0 ) + p _ { 1 } \Delta F ( 1 ) } & { = } & { p _ { 0 } } & { = } & { \frac { \mu y } { 2 x + 2 y + \mu y - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { B } \geq \operatorname* { m a x } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \zeta > 0 , \gamma \geq 0 } \left\{ \frac { ( \zeta - E _ { \gamma , \zeta } ( W , X ^ { n } ) ) ^ { 2 } } { 8 \gamma \zeta } \right\} , \operatorname* { m a x } _ { \alpha > 1 } \left\{ \left( \frac { ( 2 \alpha - 1 ) } { 2 \alpha } \exp \left( \frac { \alpha - 1 } { \alpha } I _ { \alpha } ( W , X ^ { n } ) \right) \right) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } \frac { ( \alpha - 1 ) } { ( 2 \alpha - 1 ) } \right\} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) - 4 \nu \partial _ { \xi } ^ { 2 } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) - \mu _ { 1 } g ( t ) \xi ^ { \beta } \partial _ { \xi } \tilde { \Omega } ( t , \xi ) = C g ( t ) \int _ { 0 } ^ { \xi } \eta ^ { \beta - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { \Omega } ( t , \eta ) d \eta + f ( t ) \chi ( \xi ) + \delta \left( \beta + C \right) g ( t ) \varphi ( \xi ) , } \\ & { \tilde { \Omega } ( t , 0 ) = 0 , \quad \forall t \in [ 0 , T ] , } \\ & { \tilde { \Omega } ( 0 , \xi ) = \Omega _ { 0 } ( \xi ) , \quad \forall \xi \in [ 0 , \infty ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { d _ { \infty } = } & { { } d _ { 1 } ( 1 ) - \int _ { 1 } ^ { \infty } \theta ^ { \prime } \partial _ { z } \psi _ { 1 } ( s ) d s - \int _ { 1 } ^ { \infty } \nabla _ { z , y } ^ { \bot } P _ { \neq } \psi _ { 1 } \cdot \nabla _ { z , y } d _ { 1 } ( s ) d s . } \end{array} } \end{array}
Z _ { I I } ( z ) = A _ { 1 } e ^ { i z \sqrt { \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } - B - A } } + B _ { 1 } e ^ { - i z \sqrt { \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } - k _ { x } ^ { 2 } - k _ { y } ^ { 2 } - B - A } } ,
\Omega _ { G S } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \Omega _ { 0 } \frac { e ^ { \frac { ( t - \tau _ { r } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } } - e ^ { \frac { \tau _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } } } { 1 - e ^ { \frac { \tau _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } } } } & { , \; 0 < t < \tau _ { r } } \\ { \Omega _ { 0 } } & { , \; \tau _ { r } < t < \tau _ { p } - \tau _ { r } } \\ { \Omega _ { 0 } \frac { e ^ { \frac { [ t - ( \tau _ { p } - \tau _ { r } ) ] ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } } - e ^ { \frac { \tau _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } } } { 1 - e ^ { \frac { \tau _ { r } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } } } } } & { , \; \tau _ { p } - \tau _ { r } < t < \tau _ { p } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R ^ { g } ( \omega _ { \tau } , } & { T _ { w } , \omega _ { t } ) = \frac { 2 \pi } { \sqrt { C ^ { 2 } ( 0 ) - C ^ { 2 } ( T _ { w } ) } } \times } \\ & { \exp \left( - \frac { C ( 0 ) ( \omega _ { t } ^ { 2 } + \omega _ { \tau } ^ { 2 } ) - 2 C ( T _ { w } ) \omega _ { \tau } \omega _ { t } } { 2 ( C ^ { 2 } ( 0 ) - C ^ { 2 } ( T _ { w } ) ) } \right) . } \end{array}
D ^ { * } = \frac { 1 . 0 2 4 - 0 . 9 1 x _ { g } } { 1 + 7 . 5 x _ { g } } \cdot 1 0 ^ { - 9 } \, \frac { \mathrm { ~ m ~ } ^ { 2 } } { \mathrm { ~ s ~ } } ,
\sigma ( A B \rightarrow t \bar { t } ) = \sum \int d x _ { 1 } d x _ { 2 } d \hat { t } ~ \lbrack f _ { a / A } ( x _ { 1 } ) ~ f _ { b / B } ( x _ { 2 } ) + x _ { 1 } \leftrightarrow x _ { 2 } \rbrack ~ { \frac { d \hat { \sigma } } { d \hat { t } } } ~ ,
K _ { H } ( m , t _ { 2 } ; m , t _ { 1 } ) = e ^ { - i \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left[ E _ { m } \textbf { ( } \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) \textbf { ) } + F ( t ^ { \prime } ) \cdot \mathbf { \Lambda } _ { c } ^ { \textbf { k } ( t ^ { \prime } ) } \right] \mathrm { d } t ^ { \prime } }
s ( t ) = \big ( ( n + 4 ) B _ { 0 } ^ { 2 } t \big ) ^ { \frac { 1 } { n + 4 } } \left\{ \begin{array} { l l } { \big ( 1 + O \big ( t ^ { - \frac { \alpha ( n + 3 ) - 4 } { 2 ( n + 4 ) } } \big ) \big ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \alpha \ne 2 \frac { n + 6 } { n + 3 } , } \\ { \left( 1 + O ( t ^ { - 1 } \log t ) \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \alpha = 2 \frac { n + 6 } { n + 3 } . } \end{array} \right.