harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial z ^ { \ell } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) } & { { } = } & { \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } \ell ! } { r ^ { 1 + \ell } } P _ { \ell } \Big ( \frac { { \vec { k } } _ { 3 } \cdot { \vec { x } } } { r } \Big ) , \qquad z = x ^ { 3 } , } \end{array}
\mathbf { A } _ { p b } = \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { C _ { i } } { 2 } - 2 \frac { D _ { i } \omega _ { i } ^ { 2 } } { \gamma _ { i } } } } & { \sqrt { \frac { C _ { i } } { 2 } + 2 \frac { D _ { i } \omega _ { i } ^ { 2 } } { \gamma _ { i } } } } \end{array} \right) , \qquad \mathbf { A } _ { b p } = \left( \begin{array} { l } { \sqrt { \frac { C _ { i } } { 2 } - 2 \frac { D _ { i } \omega _ { i } ^ { 2 } } { \gamma _ { i } } } } \\ { \sqrt { \frac { C _ { i } } { 2 } + 2 \frac { D _ { i } \omega _ { i } ^ { 2 } } { \gamma _ { i } } } } \end{array} \right) .
A _ { C P T } ( t ) \equiv \frac { P _ { B ^ { 0 } ( t ) \to B ^ { 0 } } - P _ { \bar { B } ^ { 0 } ( t ) \to \bar { B } ^ { 0 } } } { P _ { B ^ { 0 } ( t ) \to B ^ { 0 } } + P _ { \bar { B } ^ { 0 } ( t ) \to \bar { B } ^ { 0 } } } = \frac { 2 R e [ c o s \theta s h ( \frac { i x - y } { 2 } \Gamma _ { B } t ) ( c h ( \frac { i x - y } { 2 } \Gamma _ { B } t ) ) ^ { * } ] } { | c h ( \frac { i x - y } { 2 } \Gamma _ { B } t ) | ^ { 2 } + | c o s \theta | ^ { 2 } | s h ( \frac { i x - y } { 2 } \Gamma _ { B } t ) | ^ { 2 } } ,
{ \bf D } _ { \mu } ^ { ( 0 ) } = \beta { \bf X } ^ { ( 0 ) } ( { \bf I } - { \bf X } ^ { ( 0 ) } ) ~ ~ \mathrm { ~ D ~ i ~ a ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ d ~ e ~ n ~ s ~ i ~ t ~ y ~ m ~ a ~ t ~ r ~ i ~ x ~ d ~ e ~ r ~ i ~ v ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ } d { \bf D } ^ { ( 0 ) } / d \mu
V ( \Phi ) = - m ^ { 2 } \mathrm { T r } ( \Phi ^ { 2 } ) + h ( \mathrm { T r } ( \Phi ^ { 2 } ) ) ^ { 2 } + \lambda \mathrm { T r } ( \Phi ^ { 4 } ) - { \frac { m ^ { 4 } } { 4 \lambda ^ { \prime } } } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { 1 } [ \chi _ { A } H _ { n } ] } & { = \mathbb { P } _ { 0 } [ A ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { 1 } [ \chi _ { A } H _ { n + 1 } ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { 1 } [ \mathbb { E } _ { 1 } [ \chi _ { A } \cdot H _ { n + 1 } | \mathcal { F } _ { n } ] ] } \\ & { = \mathbb { E } _ { 1 } [ \chi _ { A } \cdot \mathbb { E } _ { 1 } [ H _ { n + 1 } | \mathcal { F } _ { n } ] ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \Phi } { \partial Z } } & { { } + \zeta _ { 1 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial X ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial Y ^ { 2 } } \right) + \zeta _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \tau ^ { 2 } } + \zeta _ { 3 } \Phi } \end{array}
\hat { \mathcal { U } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ }
\hat { \Delta } _ { i j } = ( ( - 1 ) ^ { j + 1 } \hat { d } _ { j \downarrow } ^ { \dagger } \hat { d } _ { i \uparrow } - ( - 1 ) ^ { i } \hat { d } _ { i \downarrow } ^ { \dagger } \hat { d } _ { j \uparrow } ) ) / \sqrt { 2 }
\begin{array} { r l } { Y _ { t } ^ { 2 } = \ } & { { \mathbb E } \bigg [ D ^ { 2 } G ( T , X _ { T } ^ { i } ) - \int _ { t } ^ { T } \bigg ( \frac { 1 } { n } D _ { x x } H ^ { i } ( X _ { s } ^ { i } , n Y _ { s } ^ { i } ) } \\ & { \quad + 2 D _ { x p } H ^ { i } ( X _ { s } ^ { i } , n Y _ { s } ^ { 1 } ) Y _ { s } ^ { 2 } + n D _ { p p } H ^ { i } ( X _ { s } ^ { i } , n Y _ { s } ^ { 1 } ) | Z _ { s } ^ { 1 } | ^ { 2 } - D ^ { 2 } F ^ { i } ( s , X _ { s } ^ { i } ) \bigg ) d s \, \Big | \, \mathcal { F } _ { t } \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \mathbf { K } _ { X } \right] ( r , s ) } & { = k ( x _ { r } , x _ { s } ) , } \\ { \left[ \mathbf { K } _ { X } ^ { t } \right] ( r , s ) } & { = k ( x _ { r + 1 } , x _ { s } ) , } \\ { \left[ \mathbf { K } _ { X } ^ { L } \right] ( r , s ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } a ( i , j ) ( x _ { r } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { x ^ { i } } { \partial x ^ { j } } k ( x _ { r } , x _ { s } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { d } F _ { i } ( x _ { r } ) \frac { \partial \partial x ^ { i } } k ( x _ { r } , x _ { s } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathrm { ~ a ~ l ~ l ~ f ~ o ~ u ~ r ~ } \; \hat { \mu } ^ { \mathrm { ~ ' ~ } } \mathrm { ~ s ~ } } \frac { W \cdot \hat { \lambda } } { W \cdot \mathcal { D } } ( - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { \hat { \mu } } ) \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } } = } & { { } } \\ { \left( \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { 1 } } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 1 } } - \frac { W \cdot \hat { \lambda } _ { 2 } } { W \cdot \mathcal { D } } \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 2 } } \right) } & { { } } \\ { ( - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { \hat { \mu } _ { 1 } } - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { - \hat { \mu } _ { 1 } } ) . } \end{array}
\left[ { \begin{array} { l } { C } \\ { C A } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { l } { \left[ { \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} } \right] } \\ { \left[ { \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - { \frac { k } { m } } } & { - { \frac { b } { m } } } \end{array} } \right] } \end{array} } \right] = \left[ { \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} } \right]
T _ { i j h l } ( r ) = \hat { r } _ { i j h l } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } ( r ) + \hat { P } _ { ( i j } \hat { P } _ { h l ) } \overline { { T } } _ { \mathrm { N } } ( r ) + \hat { P } _ { ( i j } \hat { r } _ { h l ) } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } ( r ) ,
{ { T } _ { 2 } } \approx \frac { { { ( 8 - { { V } _ { { \lambda _ { i } } } ^ { \prime } } ) } ^ { 2 } } T V _ { A } } { { { ( 8 \mathrm { ~ + ~ } 4 I _ { e l } ^ { \operatorname* { m a x } } - { { V } _ { { \lambda _ { i } } } ^ { \prime } } - { { V } _ { e l } ^ { \prime } } ) } ^ { 2 } } V _ { M } } ,
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \nu - \mu } \sin \left( \left( \alpha + \nu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { \alpha + \beta + \nu - \mu } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta + \nu \right) \pi \right) } \end{array}
\sigma _ { \mathcal { F } ^ { 2 } , n } ^ { 2 } \doteq \operatorname* { s u p } _ { f ^ { 2 } \in \mathcal { F } ^ { 2 } } \| f ^ { 2 } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { P } _ { n } ) } ^ { 2 } \le f _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { P } _ { n } ) } ^ { 2 } = f _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \sigma _ { \mathcal { F } , n } ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } } & { { } = } & { - \frac { \kappa ( 4 \Lambda ) Z _ { i } ^ { 0 } / 2 + 2 \kappa \pi ^ { - 1 } \beta \rho } { ( 4 \Lambda ) ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } { \bf \hat { n } } \times { \bf { \hat { n } } } _ { i } ^ { 0 } } \end{array}
{ \begin{array} { r } { Z = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \varepsilon \left( n + 1 / 2 \right) / k T } = e ^ { - \varepsilon / 2 k T } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e ^ { - n \varepsilon / k T } = e ^ { - \varepsilon / 2 k T } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { - \varepsilon / k T } \right) ^ { n } } \\ { = { \frac { e ^ { - \varepsilon / 2 k T } } { 1 - e ^ { - \varepsilon / k T } } } = { \frac { 1 } { e ^ { \varepsilon / 2 k T } - e ^ { - \varepsilon / 2 k T } } } = { \frac { 1 } { 2 \sinh \left( { \frac { \varepsilon } { 2 k T } } \right) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \forall i = 1 , \cdots , N , \quad \textrm { a n d } \quad \forall \mu _ { k } \in \mathcal { G } , } \\ & { \quad A _ { k , i } = \int _ { \Omega } \mathbf { u } _ { H } ( \mu _ { k } ) \cdot \Phi _ { i } ^ { h } \ \textrm { d } \textbf { x } , } \\ & { \quad B _ { k , i } = \int _ { \Omega } \mathbf { u } _ { h } ( \mu _ { k } ) \cdot \Phi _ { i } ^ { h } \ \textrm { d } \textbf { x } , } \end{array}
I = \frac { 1 } { 2 L _ { x } L _ { z } } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \int _ { 0 } ^ { L _ { z } } \left. \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } \right| _ { y = - 1 } + \left. \frac { \partial u _ { x } } { \partial y } \right| _ { y = 1 } d x d z ,
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } x ^ { n } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } b _ { n } x ^ { n } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { j } b _ { n - j } \right) x ^ { n } .
\begin{array} { r l } { ( J _ { 1 } ^ { ( m j + 1 ) } , y _ { 2 } ^ { 2 i } , y _ { 3 } ^ { 2 i } , y _ { 4 } ^ { i s } , \ldots , y _ { d } ^ { i s } ) : y _ { 4 } ^ { i ( s - 1 ) } \cdots y _ { d } ^ { i ( s - 1 ) } } & { \subseteq } \\ { ( J _ { 1 } ^ { ( m j + 1 ) } , y _ { 2 } ^ { 2 \ell ( i + 3 ) } , y _ { 3 } ^ { 2 \ell ( i + 3 ) } , y _ { 4 } ^ { 2 ( i + 3 ) } , \ldots , y _ { d } ^ { 2 ( i + 3 ) } ) : ( y _ { 2 } ^ { 2 } y _ { 3 } ^ { 2 } ) ^ { \ell ( i + 3 ) - i } y _ { 4 } ^ { 2 ( i + 3 ) - i } \cdots y _ { d } ^ { 2 ( i + 3 ) - i } . } \end{array}
d _ { \theta } = \left[ \begin{array} { l l l } { f _ { \theta } ( 1 , 1 , 1 ) } & { \cdots } & { f _ { \theta } ( 1 , 1 , T ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { f _ { \theta } ( N , 1 , 1 ) } & { \ddots } & { f _ { \theta } ( N , 1 , T ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { f _ { \theta } ( N , N , 1 ) } & { \cdots } & { f _ { \theta } ( N , N , T ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \delta } & { { } = \frac { 2 \gamma ( a - \ell ) ( a f - f \ell + h ) } { ( a f - f \ell + h ) ^ { 2 } - v ^ { 2 } ( a - \ell ) ^ { 2 } } , } \\ { \kappa } & { { } = \frac { 2 \gamma a ^ { 2 } ( a f + h ) } { ( a f + h ) ^ { 2 } - a ^ { 2 } v ^ { 2 } } , } \\ { \theta } & { { } = 2 \gamma \ell ( a f + h ) ( a f - f \ell + h ) ( a ( a f + 2 h ) - \ell ( a f + h ) ) . } \end{array}
E ^ { \mathrm { ( s ) } } ( \mu ; s ) = \frac { 2 ^ { - D } \pi ^ { ( 3 - D ) / 2 } } { \left| \beta _ { m } \right| ^ { D } \Gamma \left( \frac { s } { 2 } \right) \Gamma \left( \frac { D + 1 - s } { 2 } \right) }
\displaystyle { \beta _ { m } \simeq \frac { 3 } { 2 } T _ { c } \sqrt { \frac { \omega _ { 1 } } { \omega _ { c } } } , \quad \omega _ { 1 } = \omega _ { p } \left( \frac { 4 \omega _ { p } } { \omega _ { c } } \right) ^ { 1 / 3 } , \quad \beta _ { m } \simeq 2 T _ { c } \left( \frac { \omega _ { p } } { \omega _ { c } } \right) ^ { 2 / 3 } } .
\zeta _ { \cal D } ( s ) = \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( N + 1 ) ^ { 2 } } { [ ( { \frac { 2 \pi } { \beta } } j + i \mu ) ^ { 2 } + { \frac { N ( N + 2 ) + 6 \xi } { a ^ { 2 } } } + m ^ { 2 } ] ^ { s } } }
\begin{array} { r l } { J ( t ) } & { = J _ { 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { 3 } \delta J _ { s } \cos ( \omega _ { s } t + \theta _ { s } ) } \\ & { = J _ { 0 } + \sum _ { s = 1 } ^ { 3 } \frac { \delta J _ { s } } { 2 } \left( e ^ { i ( \omega _ { s } t + \theta _ { s } ) } + e ^ { - i ( \omega _ { s } t + \theta _ { s } ) } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | J _ { 1 } | } & { { } \leq C \left( \left\| h \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| \partial _ { x } ^ { 2 } v \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| \partial _ { x } h \right\| _ { L ^ { 2 } } + \left\| v _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| h _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } \right) \left\| \partial _ { x } ^ { 2 } \mathscr { L } h \right\| _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
H _ { L C } ^ { ( f l a t ) } = \frac { 1 } { 2 p _ { - } } \int _ { 0 } ^ { l } d \sigma \, \left( \pi _ { i } \pi _ { i } + \frac { 1 } { ( 2 \pi \alpha ^ { \prime } ) ^ { 2 } } Z ^ { i \, \prime } Z ^ { i \, \prime } \right) \ .
\dot { x } = U _ { s } ^ { ( 2 ) } \cos ( \phi _ { 2 } ) - U _ { s } ^ { ( 1 ) } \cos ( \phi _ { 1 } ) - \frac { 3 x \left( \mathbf { x } \cdot \mathbf { S } ^ { ( 1 ) } \cdot \mathbf { x } + \mathbf { x } \cdot \mathbf { S } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { x } \right) } { 8 \pi \mu ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } ,
\begin{array} { r l } { N \Delta _ { 1 } f _ { n } ( x , \theta ) = } & { - N ( N - 1 ) \int _ { - \pi } ^ { \pi } \int _ { P _ { 1 } ( x , \theta , \theta _ { 1 } ) } f _ { 2 , n } ( x , \theta , x _ { 1 } , \theta _ { 1 } ) \, d x _ { 1 } d \theta _ { 1 } } \\ & { + N ( N - 1 ) \int _ { \theta - \pi / 2 } ^ { \theta + \pi / 2 } \int _ { P _ { 2 } ( x , \theta , \theta _ { 1 } ) } f _ { 2 , n } ( x , \theta , x _ { 1 } , \theta _ { 1 } ) \, d x _ { 1 } d \theta _ { 1 } } \\ & { + N ( N - 1 ) \int _ { \theta - \pi / 2 } ^ { \theta + \pi / 2 } \int _ { P _ { 1 } ( x , \theta + \pi , \theta _ { 1 } ) } f _ { 2 , n } ( x , \theta , x _ { 1 } , \theta _ { 1 } + \pi ) \, d x _ { 1 } d \theta _ { 1 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r l r l } { \nabla \cdot ( \epsilon _ { n } ( u ) \nabla \psi ) + ( p _ { n } - u ^ { p _ { n } } ) ^ { 1 / ( 2 m + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c } } c _ { j } ^ { \infty } q _ { j } e ^ { - \beta \psi q _ { j } } + \rho } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } } & { } & { { } \Omega ; } \\ { \psi } & { { } = \psi _ { D } } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } } & { } & { { } \partial \Omega ; } \\ { \nabla \cdot \left( \theta | \nabla u | ^ { p _ { n } - 2 } \nabla u \right) - u ^ { p _ { n } - 1 } V _ { m , n } ( u , \psi ) } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } } & { } & { { } \Omega _ { \mathrm { t } } ; } \\ { u } & { { } = 1 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } } & { } & { { } \Omega _ { \mathrm { i } } \cup \Sigma _ { 1 } ; } \\ { u } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } } & { } & { { } \Omega _ { \mathrm { e } } \cup \Sigma _ { 0 } } \end{array} \right.
H _ { m n } ^ { \mathrm { e f f } } \left( x ^ { \mu } \right) = \langle m | H | n \rangle + \delta _ { n m } \langle m | \partial _ { \mu } H | n \rangle x ^ { \mu } + { \frac { 1 } { 2 ! } } \sum _ { l \in { \mathcal { H } } _ { H } } \left( { \frac { \langle m | \partial _ { \mu } H | l \rangle \langle l | \partial _ { \nu } H | n \rangle } { E _ { m } - E _ { l } } } + { \frac { \langle m | \partial _ { \nu } H | l \rangle \langle l | \partial _ { \mu } H | n \rangle } { E _ { n } - E _ { l } } } \right) x ^ { \mu } x ^ { \nu } + \cdots .
\begin{array} { r l r } { u ^ { \prime } \left( z \right) } & { = } & { \frac { \overline { { \alpha } } \left( 1 + \mu _ { \beta } \right) - \mu _ { \beta } z ^ { 2 } } { \alpha z ^ { 2 } } } \\ { u ^ { \prime \prime } \left( z \right) } & { = } & { - \frac { 2 \overline { { \alpha } } \left( 1 + \mu _ { \beta } \right) } { \alpha z ^ { 3 } } < 0 \mathrm { , } } \end{array}
\int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \frac { \overline { { w _ { \zeta } } } \mathcal { F } _ { 1 } } { ( \zeta - \zeta _ { k } ) \overline { { f _ { \zeta } } } } \, d \zeta = \int _ { \mathbb { T } } \frac { \overline { { w _ { \zeta } ( \zeta - \zeta _ { k } ) } } \mathscr { A } _ { k } } { \overline { { f _ { \zeta } } } } \, d \tau , \quad \frac 1 2 \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \mathcal { F } _ { 2 } f _ { \zeta } \, d \zeta = \frac 1 2 \int _ { \mathbb { T } } \mathcal { B } _ { k } ^ { \rho } f _ { \zeta } \, d \tau .
\frac { d { \bf q } } { d s } = \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } } \, , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \frac { d { \bf p } } { d s } = - \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf q } } \, ,
\left. \begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \ell \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; V ) } \quad } & { J ( y , u , \ell ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \begin{array} { r l } { [ t ] } & { \dot { y } ( t ) = f ( \Phi ( y , u ) ( t ) ) \quad \mathrm { \ae ~ } ( 0 , T ) , \quad y ( 0 ) = 0 , } \\ & { \Psi ( y , u ) ( t ) = \ell ( t ) \quad \mathrm { \ae ~ } ( 0 , T ) , } \\ & { y \in H ^ { 1 } ( 0 , T ; Y ) , \quad u \in L ^ { 2 } ( 0 , T ; U ) . } \end{array} } \end{array} \quad \right\}
+ \mathbb { E } ^ { * } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { y } } ^ { 2 } \} + 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } a _ { \mathrm { y } } \} - 2 \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { y } } \right| ^ { 2 } \} - 2 \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { * } \}
\begin{array} { r l r } & { \frac { D } { D t } \overline { { ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + \frac { \partial } { \partial { X _ { j } } } \overline { { \frac { u _ { j } ^ { + } + u _ { j } ^ { - } } { 2 } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } + \frac { \partial } { \partial { r _ { j } } } \overline { { \delta u _ { j } ( \delta u _ { i } ) ^ { 2 } } } } & \\ & { + 2 \overline { { \delta u _ { i } \delta u _ { j } } } \frac { \partial \overline { { U } } _ { i } } { \partial x _ { j } } = - 2 \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial } { \partial { X _ { i } } } \overline { { \delta P \delta u _ { i } } } + \mathcal { V } } & { . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta _ { 2 } ( s , t , x , w , y ) | } & { : = \int _ { s } ^ { t } \Vert h _ { s , x } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { \infty , \infty } ^ { \rho } } \Vert b ^ { m } ( u , \cdot ) \Vert _ { \mathbb { B } _ { p , q } ^ { \beta } } } \\ & { \qquad \qquad \times \left\Vert \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \left[ \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - \cdot ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } - \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - \cdot ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right] \right\Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } \mathrm { d } u . } \end{array}
\frac { \gamma ^ { 4 } R ^ { 2 } } { 1 6 \Gamma _ { 1 } ^ { 2 } \left( \Gamma _ { 2 } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left( \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { z x } + \omega \Gamma _ { y z } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \mathsf { S } _ { t , k + 1 } - \mathbb { E } \left[ \mathsf { S } _ { t , k + 1 } \vert \mathcal { F } _ { t , k } \right] } \\ & { = \mathsf { S } _ { t , k + 1 } - \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , k } ) - \mathsf { S } _ { t , k } + \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , k - 1 } ) - \mathbb { E } \left[ \eta _ { t , k + 1 } \vert \mathcal { F } _ { t , k } \right] } \\ & { = \eta _ { t , k + 1 } - \mathbb { E } \left[ \eta _ { t , k + 1 } \vert \mathcal { F } _ { t , k } \right] } \\ & { + \bar { \mathsf { h } } _ { \mathcal { B } _ { t , k + 1 } } ( \widehat { S } _ { t , k } ) - \bar { \mathsf { h } } _ { \mathcal { B } _ { t , k + 1 } } ( \widehat { S } _ { t , k - 1 } ) - \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , k } ) + \bar { \mathsf { h } } ( \widehat { S } _ { t , k - 1 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 6 } = \frac { i \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } - 1 , n _ { y } + 1 \right) \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } , n _ { y } \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } , n _ { y } + 1 \right) } } & { { } } \\ { - \frac { i \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } - 1 \right) \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } , n _ { y } \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } \right) } } & { { } } \\ { + \frac { i \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } - 1 \right) \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } \right) } } & { { } } \\ { - \frac { i \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } - 1 , n _ { y } + 1 \right) \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } , n _ { y } + 1 \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } \epsilon _ { 1 } \left( n _ { x } , n _ { y } + 1 \right) } } & { { } } \\ { + \frac { i \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } , n _ { y } + 1 \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } - \frac { i \epsilon _ { 2 } \left( n _ { x } + 1 , n _ { y } \right) } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { h ( \beta ) = \left( \begin{array} { l l } { ( t _ { 1 } + \gamma _ { 1 } ) \beta + \frac { t _ { 1 } - \gamma _ { 1 } } { \beta } + V } & { \delta } \\ { \delta } & { ( t _ { 2 } + \gamma _ { 2 } ) \beta + \frac { t _ { 2 } - \gamma _ { 2 } } { \beta } - V } \end{array} \right) . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { s - 1 } e ^ { - { \frac { a } { t } } } e ^ { - \mu t } d t = 2 ( { \frac { a } { \mu } } ) ^ { \frac { s } { 2 } } K _ { s } ( ( 4 a \mu ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) = \Gamma ( s ) \mu ^ { - s } + \Gamma ( - s ) ( { a } ) ^ { s } + { \cal O } ( \mu ^ { 1 - s } , \mu )
\begin{array} { r } { \begin{array} { l l } & { X _ { 0 } = \{ x \in X \, \mid \, \langle x _ { i } ^ { * } , x \rangle = 0 , \, i = 1 , \ldots , m \} , } \\ & { Y _ { 1 , 0 } = \{ y _ { 1 } \in Y \, \mid \, \langle y _ { 1 , i } ^ { * } , y _ { 1 } \rangle = 0 , \, i = 1 , \ldots , m \} , } \\ & { Y _ { 2 , 0 } = \{ y _ { 2 } \in Y \, \mid \, \langle y _ { 2 , i } ^ { * } , y _ { 2 } \rangle = 0 , \, i = 1 , \ldots , m \} . } \end{array} } \end{array}
S [ x ^ { \hat { i } } , x ^ { \alpha } ] = \int d ^ { 2 } \xi \left[ \partial x ^ { \hat { i } } f _ { \hat { i } \hat { j } } \bar { \partial } x ^ { \hat { j } } + \partial x ^ { \hat { i } } f _ { \hat { i } \beta } \bar { \partial } x ^ { \beta } + \partial x ^ { \alpha } f _ { \alpha \hat { j } } \bar { \partial } x ^ { \hat { j } } + \partial x ^ { \alpha } f _ { \alpha \beta } \bar { \partial } x ^ { \beta } \right] .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { s } ( \xi , \overline { { \xi } } ) } & { = | q | ^ { 1 / 2 } \, ( a _ { 0 } + a _ { 2 } \cos ( 2 t ) + a _ { 4 } \cos ( 4 t ) + a _ { 6 } \cos ( 6 t ) + \cdots ) } \\ & { + | q | ^ { 3 / 2 } \, ( b _ { 0 } + b _ { 2 } \cos ( 2 t ) + b _ { 4 } \cos ( 4 t ) + b _ { 6 } \cos ( 6 t ) + \cdots ) } \\ & { + | q | ^ { 5 / 2 } \, ( c _ { 0 } + c _ { 2 } \cos ( 2 t ) + c _ { 4 } \cos ( 4 t ) + c _ { 6 } \cos ( 6 t ) + \cdots ) + \cdots \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d a _ { j } } { d t } = - i ( \Delta _ { j } + g _ { 0 _ { j } } x _ { j } ) a _ { j } - \frac { \kappa _ { j } } { 2 } a _ { j } + E _ { j } } \\ { \frac { d x _ { j } } { d t } = \omega _ { m _ { j } } p _ { j } } \\ { \frac { d p _ { j } } { d t } = - \omega _ { m _ { j } } x _ { j } - \frac { \gamma _ { m _ { j } } } { 2 } p _ { j } + J x _ { 3 - j } + g _ { 0 _ { j } } | a _ { j } | ^ { 2 } } \end{array}
B _ { z } ( y ) = B _ { 0 , x } \sqrt { \operatorname { s e c h } ^ { 2 } \left( \frac { y - 0 . 2 5 L _ { y } } { \delta } \right) + \operatorname { s e c h } ^ { 2 } \left( \frac { y - 0 . 7 5 L _ { y } } { \delta } \right) + B _ { g } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial t } = } & { { } \mathcal { F } _ { N N } \left( u ( x , t ) , \frac { \partial u ( x , t ) } { \partial x } , \frac { \partial ^ { 2 } u ( x , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , . . . , \frac { \partial ^ { d } u ( x , t ) } { \partial x ^ { d } } , x , t ; \phi \right) } \\ { u ( x , t ) } & { { } = h ( x , t ) , \; - \tau \leq t \leq 0 \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { B } ( u ( x , t ) ) = g ( x , t ) , \; x \in \partial \Omega , \; t \geq 0 \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { i t H _ { A } } \rho ( \vec { n } _ { 0 } ) e ^ { - i t H _ { A } } = } & { \rho \big ( \vec { n } ( t ) \big ) , \, \, \mathrm { ~ w h e r e ~ } \, \, \vec { n } ( t ) = ( \mathrm { s i n } \theta _ { 0 } \, \mathrm { c o s } \varphi ( t ) , \mathrm { s i n } \theta _ { 0 } \, \mathrm { s i n } \varphi ( t ) , \mathrm { c o s } \theta _ { 0 } ) , } \end{array}
\alpha _ { k } ^ { j } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \cdot e ^ { ( \mu _ { k } { \frac { T } { 2 } } + i \theta _ { k } ) \cdot j } , \beta _ { k } ^ { j } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } e ^ { i \vartheta } \cdot e ^ { ( \mu _ { k } { \frac { T } { 2 } } - i \theta _ { k } ) \cdot j } \ ,