harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\vec { F } _ { p h y s i c a l } = \Big [ \sqrt { g _ { \alpha \alpha } } f ^ { \alpha } \Big ] \Big [ \frac { 1 } { \sqrt { g _ { \alpha \alpha } } } \frac { \partial } { \partial x ^ { \alpha } } \Big ] = \sqrt { g _ { r r } } f ^ { r } \frac { 1 } { \sqrt { g _ { r r } } } \frac { \partial } { \partial x ^ { r } } + \sqrt { g _ { \theta \theta } } f ^ { \theta } \frac { 1 } { \sqrt { g _ { \theta \theta } } } \frac { \partial } { \partial x ^ { \theta } } + \sqrt { g _ { \phi \phi } } f ^ { \phi } \frac { 1 } { \sqrt { g _ { \phi \phi } } } \frac { \partial } { \partial x ^ { \phi } } \implies
\psi _ { n _ { 1 } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } = e ^ { + j k _ { z n _ { 1 } } z } R _ { m } ( k _ { \rho n _ { 1 } } \rho , k _ { \rho n _ { 1 } } a ) e ^ { - j m \phi } \quad , n _ { 1 } = 1 , 2 , . . .
\begin{array} { r l } { I = } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { a } } e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \left( 1 - \mathrm { e r f } \left( { \frac { 2 a x _ { 1 } - b } { 2 \sqrt { a } } } \right) \right) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { a } } \ e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \ \mathrm { e r f c } \left( { \frac { 2 a x _ { 1 } - b } { 2 \sqrt { a } } } \right) . } \end{array}
\cos { \left( { \frac { 2 \pi } { 1 7 } } \right) } = - { \frac { 1 } { 1 6 } } \; + \; { \frac { 1 } { 1 6 } } { \sqrt { 1 7 } } \; + \; { \frac { 1 } { 1 6 } } { \sqrt { 3 4 - 2 { \sqrt { 1 7 } } } } \; + \; { \frac { 1 } { 8 } } { \sqrt { 1 7 + 3 { \sqrt { 1 7 } } - { \sqrt { 3 4 - 2 { \sqrt { 1 7 } } } } - 2 { \sqrt { 3 4 + 2 { \sqrt { 1 7 } } } } } }
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \operatorname { v o l } ( E ) = \int _ { x \in E } d x = \int _ { y \in B } \int _ { z \in \pi ^ { - 1 } ( y ) } \frac { 1 } { C } \, d z d y = \frac { \operatorname { v o l } ( \pi ^ { - 1 } ( y ) ) \operatorname { v o l } ( B ) } { C } } \\ & { = \frac { \operatorname { v o l } ( F ) \operatorname { v o l } ( B ) } { C } = \frac { 1 } { C } , } \end{array}
R _ { 2 0 } = { \frac { B _ { 1 } \gamma _ { 2 } - B _ { 2 } \delta _ { 2 } } { \sqrt { \theta } } } + { \frac { \gamma _ { 1 } \lambda _ { 1 } - \delta _ { 1 } \lambda _ { 2 } } { \theta } } \quad .
C _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } \nu _ { 3 } \nu _ { 4 } } ^ { L } ( t , t _ { 1 } ) = \sum _ { \mu \eta } \langle \nu _ { 1 } | \hat { a } _ { \mu } ^ { \dagger } | \nu _ { 2 } \rangle \langle \nu _ { 3 } | \hat { a } _ { \eta } | \nu _ { 4 } \rangle C _ { \mu \eta } ( t - t _ { 1 } )
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \mathbb { P } \left\{ \mathfrak { x } _ { t } \in A , \mathfrak { l } _ { t } > z | \mathfrak { x } _ { 0 } = x , \mathfrak { l } _ { 0 } = v \right\} = \frac { \int _ { \mathcal { M } } \nu _ { 2 } ^ { \varepsilon } \left( d x \right) \left[ \mathbf { 1 } _ { A } \left( x \right) \int _ { z } ^ { \infty } d s \left( 1 - F _ { \tau } ^ { \varepsilon } \left( s ; x \right) \right) \right] } { \int _ { \mathcal { M } } \nu _ { 2 } ^ { \varepsilon } \left( d x \right) \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \left( 1 - F _ { \tau } ^ { \varepsilon } \left( s ; x \right) \right) \right] } \; , \; \mathbb { P } \mathrm { - a . s . \ , }
\operatorname { K u r t } [ Y ] - 3 = { \frac { 1 } { \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sigma _ { j } ^ { \, 2 } \right) ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sigma _ { i } ^ { \, 4 } \cdot \left( \operatorname { K u r t } \left[ X _ { i } \right] - 3 \right) ,
\begin{array} { r l } { p \left( Y _ { a b } \mid \mu , \sigma , \theta \right) } & { { } \approx \mathsf { B e t a B i n o m i a l } \left( Y _ { a b } \mid t _ { a b } , \alpha _ { a b } , \beta _ { a b } \right) , } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } t _ { a b } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { a } ( n _ { a } - 1 ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } a = b } \\ { n _ { a } n _ { b } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
k \; = \; \beta p _ { 1 } + \frac { \mathrm { \boldmath ~ k ~ } ^ { 2 } } { s \beta } p _ { 2 } \: + \: k _ { \perp } , \quad \quad \mathrm { \boldmath ~ k ~ } ^ { 2 } \; \equiv - k _ { \perp } ^ { 2 } .
\prod _ { i = 1 } ^ { \overline { { r } } } ( T _ { g _ { i } , k _ { i } } ^ { \varphi _ { i } } ) ^ { ( 0 ) } \longrightarrow \prod _ { i = 1 } ^ { \overline { { r } } } T _ { g _ { i } , k _ { i } } ^ { \varphi _ { i } } ( p _ { i , 0 } ) \times \cdots \times T _ { g _ { i } , k _ { i } } ^ { \varphi _ { i } } ( p _ { i , m _ { i } - 1 } ) \longrightarrow \prod _ { i = 1 } ^ { \overline { { r } } } \underbrace { T _ { g _ { i } , k _ { i } } \times \cdots \times T _ { g _ { i } , k _ { i } } } _ { m _ { i } } .
b _ { 1 } = { \frac { m _ { 3 } } { s ^ { 3 } } } = { \frac { { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 3 } } { \left[ { \frac { 1 } { n - 1 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } } ,
\langle f _ { 1 } ( M _ { i _ { 1 } } ) f _ { 2 } ( M _ { i _ { 2 } } ) \ldots f _ { n } ( M _ { i _ { n } } ) \rangle = 0 \, m b o x { w h e n e v e r } \ \langle f _ { j } ( M _ { i _ { j } } ) \rangle = 0 \ \mathrm { f o r ~ a l l } \ j
G \equiv \frac { \Gamma _ { \mathrm { N } V ^ { - } } } { \Gamma _ { \mathrm { N } ^ { 0 } } } \frac { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } ^ { + } } } { \gamma _ { e ^ { - } } ^ { \mathrm { N } V ^ { 0 } } }
\begin{array} { r } { t ^ { \frac { \nu + n } { 4 } } \, \widetilde { h } _ { t } ( g ) \, \lesssim \, e ^ { - \frac { 1 } { 4 } \big | \frac { g ^ { + } } { \sqrt { t } } \big | ^ { 2 } } \prod _ { \alpha \in \Sigma _ { r } ^ { + } } \big ( 1 + \langle { \alpha , \frac { g ^ { + } } { \sqrt { t } } } \rangle \big ) ^ { \frac { m _ { \alpha } + m _ { 2 \alpha } } { 2 } - 1 } \, \lesssim \, \varepsilon ( t ) ^ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T = } & { { } \int \mathrm { d } t = \int \frac { \mathrm { d } s } { v } = \int \frac { \mathrm { d } s } { 2 u \cos \varphi } } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { 2 u } \int \mathrm { d } x \, ( 1 + y ^ { 2 } ) = : \int \mathrm { d } x \, J ( y ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } = \frac { 4 \Lambda _ { 2 } } { \lambda } , } } & { { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } + \mu _ { 2 } \mu _ { 3 } + \mu _ { 3 } \mu _ { 1 } = - \frac { 4 \Lambda _ { 1 } } { \lambda } , } } & { { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } + \mu _ { 3 } = - \frac { 4 f _ { o } } { \lambda } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha \leq \frac { \sqrt { b _ { 4 } } } { \sqrt { a _ { 4 } } } , ~ \beta \leq \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { \sqrt { a _ { 3 } } } { \sqrt { a _ { 4 } b _ { 3 } d _ { 1 } B _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } N ^ { 2 } } } , \frac { \sqrt { b _ { 4 } } } { \sqrt { b _ { 3 } c _ { 2 } N ^ { 2 } } } \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } \times ( \mathbf { b } \times \mathbf { c } ) } & { { } = \mathbf { b } ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { c } ) - \mathbf { c } ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } ) } \\ { ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \times \mathbf { c } } & { { } = ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { a } ) \mathbf { b } - ( \mathbf { c } \cdot \mathbf { b } ) \mathbf { a } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ \mathbf { c } _ { i } } & { = \mathbf { x } | \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ] \mathbb { P } [ \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ] } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \mathbb { P } [ [ \mathbf { c } _ { i } = \mathbf { x } ] \cap [ \mathbf { x } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ] ] } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \mathbb { P } [ [ \mathbf { c } _ { i } = \mathbf { x } ] \: \cap \: [ \mathbf { c } _ { i } \in \mathcal { X } _ { \mathcal { C } } ] ] } \\ & { \overset { ( c ) } { = } \mathbb { P } [ \mathbf { c } _ { i } = \mathbf { x } ] } \\ & { \overset { ( d ) } { = } q ^ { - n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \int } & { \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + \tau ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - \tau + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau ^ { 3 } ) ) ) u _ { 1 } ( \tau ) } \\ & { \le \frac { 1 } \beta \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } \pi d ^ { 2 } , 1 ) \vert u _ { 1 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( t ) } & { : = \sum _ { i = 1 } ^ { N } | z _ { i } ( t ) | } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \bigg ( \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } \, \phi \big ( | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) | \big ) \, ( X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) ) - \frac { w _ { i j } ( s ) } { k _ { i } ( s ) } \, \phi \big ( | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | \big ) \, ( x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) ) \bigg ) \, d s \, \bigg | } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } \, \phi \big ( | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) | \big ) \, ( z _ { j } ( s ) - z _ { i } ( s ) ) \, d s \, \bigg | } \\ & { \quad \, \, + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bigg | \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \bigg ( \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } \, \phi \big ( | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) | \big ) - \frac { w _ { i j } ( s ) } { k _ { i } ( s ) } \, \phi \big ( | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | \big ) \bigg ) \, ( x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) ) \, d s \, \bigg | } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } \bigg | \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } \, \phi \big ( | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) | \big ) \, \bigg | \big | z _ { j } ( s ) - z _ { i } ( s ) \big | \, d s \, } \\ & { \quad \, \, + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { t } \bigg | \frac { w _ { i j } ^ { 0 } } { k _ { i } ^ { 0 } } \, \phi \big ( | X _ { j } ( s ) - X _ { i } ( s ) | \big ) - \frac { w _ { i j } ( s ) } { k _ { i } ( s ) } \, \phi \big ( | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) | \big ) \bigg | \, \big | x _ { j } ( s ) - x _ { i } ( s ) \big | \, d s . \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ - 1 , 1 \right] \ni u \longmapsto T _ { \eta } \left( u \right) } & { : = \mathbf { 1 } _ { \left[ - 1 , - u _ { 0 , \eta } \right] } \left( u \right) \tilde { T } _ { \eta } \left( - u \right) - \mathbf { 1 } _ { \left[ - u _ { 0 , \eta } , 0 \right] } \left( u \right) \tilde { T } _ { \eta } \left( - u \right) + } \\ & { + \mathbf { 1 } _ { \left[ 0 , u _ { 0 , \eta } \right] } \left( u \right) \tilde { T } _ { \eta } \left( u \right) - \mathbf { 1 } _ { \left[ u _ { 0 , \eta } , 1 \right] } \left( u \right) \tilde { T } _ { \eta } \left( u \right) \in \left[ - 1 , 1 \right] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d q _ { i } ^ { \prime } d p _ { i } ^ { \prime } } & { = d q _ { i } d p _ { i } \left[ 1 + \left( { \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial q _ { i } \partial p _ { i } } } - { \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial p _ { i } \partial q _ { i } } } - \gamma \right) \delta t \right] , } \\ & { = d q _ { i } d p _ { i } \left[ 1 - \gamma \delta t \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { J ( \omega ) } & { { } = \sum _ { \alpha = 0 } ^ { N } J _ { \alpha } ( \omega ) , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } \\ { J _ { \alpha } ( \omega ) } & { { } = \frac { 2 } { \pi } \lambda _ { \alpha } \omega _ { \alpha } ^ { 2 } \frac { \omega \gamma _ { \alpha } } { \left( \omega _ { \alpha } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \gamma _ { \alpha } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \left\vert \mathcal { M } \right\vert ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r } \sum _ { s ^ { \prime } } \sum _ { r ^ { \prime } } \left\vert \mathcal { M } \left( s , r \longrightarrow s ^ { \prime } , r ^ { \prime } \right) \right\vert ^ { 2 } } \end{array}
( \Pi ^ { 1 } \circ T \circ P ) ^ { - 1 } = F ^ { - 1 } \circ ( \underbrace { \widetilde F \circ \Pi ^ { 1 } \circ \widetilde H ^ { - 1 } } _ { = \mathrm d \Pi ^ { 1 } } \circ \underbrace { \widetilde H \circ T \circ H ^ { - 1 } } _ { \mathrm d T } \circ \underbrace { H \circ P \circ F ^ { - 1 } } _ { = P - O } ) ^ { - 1 } \circ \widetilde F
\begin{array} { r } { \mathrm { A o A } _ { \mathrm { s e p } } \leq \mathrm { A o A } \leq \mathrm { A o A } _ { \mathrm { b u f f e t } } - 0 . 0 5 ^ { \circ } , \quad \mathrm { ~ P r e - b u f f e t ~ ( 0 ) } } \\ { \mathrm { A o A } \geq \mathrm { A o A } _ { \mathrm { b u f f e t } } + 0 . 0 5 ^ { \circ } , \quad \mathrm { P o s t - b u f f e t ~ ( 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } n } { \sqrt { ( q ^ { 2 } - k _ { 1 } ^ { 2 } - k _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } ^ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } } \left[ ( m _ { d } - m _ { u } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) + m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 1 } ^ { 2 } } ) \right) \right. } \\ & { } & { \left. + ( m _ { u } - m _ { s } ) \left( m _ { s } ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) - m _ { u } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { m _ { s } ^ { 2 } - m _ { u } ^ { 2 } } { 2 k _ { 2 } ^ { 2 } } ) \right) \right] } \\ & { } & { = ( m _ { d } - m _ { u } ) J ( m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) + ( m _ { u } - m _ { s } ) J ( - m _ { u } , - m _ { d } , m _ { s } ) . } \end{array}
+ \frac { 1 } { 8 } \ln ^ { 2 } \left( \frac { \kappa ^ { - } } { q ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \ln \left( \frac { q ^ { 2 } + \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } { q ^ { 2 } } \right) \ln \left( \frac { q ^ { 2 } ( q ^ { 2 } + \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ) ^ { 3 } } { ( \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 4 } \ln \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } { q ^ { 2 } } \right) \ln \left( \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } { q ^ { 2 } } \right) + ( q _ { 1 } ^ { 2 } \leftrightarrow q _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) ~ .
F _ { 2 } = { \frac { { ( { \frac { q } { 2 } } ) } ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } L _ { 2 } ^ { 2 } } } = { \frac { \frac { q ^ { 2 } } { 4 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } L _ { 2 } ^ { 2 } } } \,
\begin{array} { r l } { \left| \mathcal { D } _ { N } ^ { \Phi , \alpha } f ( x ) \right| } & { = \left( 1 + | m | ^ { 2 } \right) ^ { - \delta / 2 } \left\vert \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \Phi ( N , n ) e ^ { 2 \pi i n m \cdot \alpha } \right\vert } \\ & { \geq c \left( 1 + | m | ^ { 2 } \right) ^ { - \delta / 2 } \left( 1 + N \| m \cdot \alpha \| \right) ^ { - \vartheta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 0 } ^ { 0 } ( x ) } & { = 1 , } \\ { Q _ { 0 } ^ { 1 } ( x ) } & { = \frac { N } { m } , } \\ { Q _ { 1 } ^ { 0 } ( x ) } & { = \left( N + 1 \right) \left( \frac { N } { m } x - 1 \right) , } \\ { Q _ { 2 } ^ { 0 } ( x ) } & { = \left( \frac { N ( N + 3 ) } { 2 m ( m + 1 ) } \right) \left( ( N ( N + 3 ) + 2 ) x ^ { 2 } - 2 ( N + 1 ) ( m + 1 ) x + m ( m + 1 ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k } ( \phi ) } & { = \epsilon \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } c _ { k , i } ( s ) \overline { { h } } _ { k , i } ( t / \epsilon ) \right] \phi } \\ & { \; \; \; + \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { k } } d _ { k , i } ( s ) \overline { { p } } _ { k , i } ( t / \epsilon ) \right] \phi ^ { 2 } } \\ & { \; \; \; - \phi ^ { 3 } } \\ { | | h _ { k , i } ( t ) | | _ { C ^ { \alpha } ( [ 0 , \infty ) ) } } & { = O ( 1 ) } \\ { | | p _ { k , i } ( t ) | | _ { C ^ { \alpha } ( [ 0 , \infty ) ) } } & { = O ( 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta E _ { a , \mathrm { r e d } \, 1 } ^ { \mathrm { L + H } , \, \mathrm { L a L } } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { \pm } \sum _ { n _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { 1 } \, k _ { 1 } ^ { 3 } \, n _ { \beta } ( k _ { 1 } ) \frac { \langle \phi _ { a } | r _ { i } | \phi _ { n _ { 1 } } \rangle \langle \phi _ { n _ { 1 } } | r _ { i } | \phi _ { a } \rangle } { E _ { a } - E _ { n _ { 1 } } \pm k _ { 1 } } \right] \frac { \partial } { \partial E _ { a } } \left[ \frac { 4 \alpha ( \alpha Z ) ^ { 4 } } { 3 \pi n _ { a } ^ { 3 } } \log \beta _ { a } \right] , } \end{array}
m _ { s c a l a r } ^ { 2 } = 2 n _ { 5 } \Lambda ^ { 2 } \left[ C _ { 3 } ( \frac { \alpha _ { 3 } } { 4 \pi } ) ^ { 2 } + C _ { 2 } ( \frac { \alpha _ { 2 } } { 4 \pi } ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 5 } ( \frac { Y } { 2 } ) ^ { 2 } ( \frac { \alpha _ { 1 } } { 4 \pi } ) ^ { 2 } \right] ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \tau _ { k } } \left( \varphi \circ H ^ { k } \right) \psi \, \mathrm { d } \mu } & { = \int _ { \tau _ { k } } \left( \varphi \circ \mathcal { G } \circ \mathcal { F } ^ { 2 k } \circ \mathcal { G } ^ { - 1 } \right) \psi \, \mathrm { d } \mu } \\ & { = \int _ { \mathcal { G } ^ { - 1 } \tau _ { k } } \left( \varphi \circ \mathcal { G } \circ \mathcal { F } ^ { 2 k } \right) ( \psi \circ \mathcal { G } ) \, \mathrm { d } \mu } \\ & { = \int _ { \mathcal { G } ^ { - 1 } \tau _ { k } } \left( \tilde { \varphi } \circ \mathcal { F } ^ { 2 k } \right) \tilde { \psi } \, \mathrm { d } \mu } \end{array}
g ( C ) = \left( \prod _ { d | \mathfrak { n } } \Delta _ { d } ^ { r _ { d } } ( z ) \right) ^ { \frac { 1 } { ( q - 1 ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } } } = \mathrm { c o n s t . } \left( \prod _ { \substack { 1 \leq i \leq r \, 0 \leq j \leq r - i } } D _ { \mathfrak { p } ^ { i } } ^ { a _ { i j } } ( \mathfrak { p } ^ { j } z ) \right) ^ { \frac { k } { ( q - 1 ) ( | \mathfrak { p } | - 1 ) | \mathfrak { p } | ^ { r - 1 } } } ,
\boldsymbol { c } = \left[ \begin{array} { l } { \gamma } \\ { \gamma } \\ { \gamma } \end{array} \right] , \quad \boldsymbol { \psi } = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { x _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { x _ { 1 } x _ { 2 } } \\ { x _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right] , \quad \Theta _ { m } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , \quad B = \frac { \pi } { 4 } \left[ \begin{array} { l l l l } { 8 } & { 2 } & { 0 } & { 2 } \\ { 4 } & { 3 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 4 } & { 1 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \left\Vert \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } = \left\Vert \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u ) - \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u ^ { * } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ { = } & { \left\| u + \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u + \beta | u | ^ { 2 } u ) - \gamma \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } u - u ^ { * } - \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u ^ { * } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } u ^ { * } ) - \gamma ^ { * } \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } u ^ { * } \right\| _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( V u - V u ^ { * } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \beta \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \qquad + | \gamma - \gamma ^ { * } | \cdot \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } u \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \gamma ^ { * } \left\Vert \mathcal { G } _ { H ^ { 1 } } ( u - u ^ { * } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } \left\Vert V ( u - u ^ { * } ) \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \beta \left\Vert u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \qquad + | \gamma - \gamma ^ { * } | \cdot C _ { 3 } \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } \gamma ^ { * } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ { \leq } & { ( 1 + C _ { 3 } ^ { 2 } V _ { \operatorname* { m a x } } + C _ { 3 } ^ { 2 } \gamma ^ { * } ) \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \beta \left\Vert u ^ { 3 } - ( u ^ { * } ) ^ { 3 } \right\Vert _ { H ^ { - 1 } ( \Omega ) } + C _ { 3 } | \gamma - \gamma ^ { * } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { e f f } } ( \infty ) } & { = 1 + \frac { \mathrm { P e } _ { p } ^ { 2 } \cot ^ { 2 } ( \theta ) } { 2 \gamma \mathrm { P e } _ { 2 } ^ { 2 } ( \sin ( \gamma ) + \sinh ( \gamma ) ) ^ { 2 } } \left( \frac { 5 } { 2 } \sin ( 2 \gamma ) + 6 \gamma \sin ( \gamma ) \sinh ( \gamma ) + \right. } \\ & { \left. 5 \cos ( \gamma ) \sinh ( \gamma ) + \gamma ( \cosh ( 2 \gamma ) - \cos ( 2 \gamma ) ) - 5 \cosh ( \gamma ) ( \sin ( \gamma ) + \sinh ( \gamma ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { 2 y } ^ { 1 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ \kappa ~ ( \gamma _ { 1 } ~ H - ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 2 y } ^ { 2 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ ( t \kappa - \gamma ~ u ) + t ^ { 2 } ~ u ^ { 3 } + 2 u v ^ { 2 } - 3 ~ t ~ u ^ { 2 } ~ v + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( ( \gamma - 2 ) u - t \kappa ) ) } \\ { K _ { 2 y } ^ { 3 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( - u ^ { 2 } ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ ( ( \gamma + 1 ) ~ v - t ~ u ) ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ H ~ ( t ~ u - \gamma _ { 1 } ~ v ) ) } \\ { K _ { 2 y } ^ { 4 } } & { { } = } & { d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ \kappa ~ ( - \gamma _ { 1 } ~ H + ( \gamma + 1 ) ~ E _ { c } ) } \end{array}
\langle \delta \phi ^ { 2 } \rangle \sim \langle A _ { i } ^ { 2 } \rangle \sim \int ^ { p _ { * } } \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { T _ { \mathrm { e f f } } } { p ^ { 2 } } \sim p _ { * } T _ { \mathrm { e f f } } \sim \overline { { { \phi } } } _ { 0 } ^ { 2 } .
\| \nabla _ { \sigma } f \| _ { \mathrm { o p } } = \operatorname* { s u p } _ { A \in \mathbb R ^ { d \times d } , \| A \| = 1 } \| \langle \nabla _ { \sigma } f , A \rangle \| = \operatorname* { s u p } _ { \substack { A \in \mathbb R ^ { d \times d } , \| A \| = 1 , \, u \in \mathbb R ^ { d } , \| u \| = 1 } } \langle \nabla _ { \sigma } f , A \otimes u \rangle .
\begin{array} { r l } { b _ { 0 } = 2 \sigma _ { \mathrm { W H } } ^ { 2 } } & { = 5 . 7 _ { - 2 . 5 } ^ { + 3 . 0 } \times 1 0 ^ { - 3 1 } ~ \mathrm { H z } ^ { - 1 } , } \\ { b _ { - 1 } = \frac { \sigma _ { \mathrm { F F } } ^ { 2 } } { 2 \mathrm { l n } 2 } } & { = 1 . 3 _ { - 0 . 3 } ^ { + 0 . 3 } \times 1 0 ^ { - 3 0 } , } \\ { b _ { - 2 } = \frac { 6 \sigma _ { \mathrm { R W } } ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } & { = 1 . 6 _ { - 0 . 3 } ^ { + 0 . 4 } \times 1 0 ^ { - 3 1 } ~ \mathrm { H z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \b { W _ { o } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } ^ { * } t } e ^ { \b { A } t } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { H } ( i \omega ) ^ { * } \b { H } ( i \omega ) ~ \mathrm { d } \omega , } \\ { \b { W _ { c } } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } t } e ^ { \b { A } ^ { * } t } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { H } ( i \omega ) \b { H } ( i \omega ) ^ { * } ~ \mathrm { d } \omega . } \end{array}