harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left| { \left\| A R ^ { T } \right\| } _ { F } ^ { 2 } - { \left\| A \right\| } _ { F } ^ { 2 } \right| = \left| \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( { \left\| A _ { j : } R ^ { T } \right\| } ^ { 2 } - { \left\| A _ { j : } \right\| } ^ { 2 } \right) \right| \leq \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left| { \left\| A _ { j : } R ^ { T } \right\| } ^ { 2 } - { \left\| A _ { j : } \right\| } ^ { 2 } \right| .
\begin{array} { r l } { \int | \psi | ^ { 2 } \bar { \psi } x \cdot \nabla \psi } & { = - \int \psi \nabla \cdot \left( | \psi | ^ { 2 } \bar { \psi } x \right) } \\ & { = - \int \psi \left( 2 \Re \left( \bar { \psi } \nabla \psi \right) \cdot \bar { \psi } x + | \psi | ^ { 2 } \nabla \bar { \psi } \cdot x + d | \psi | ^ { 2 } \bar { \psi } \right) } \\ & { = - \int \left( 2 \Re \left( \bar { \psi } \nabla \psi \right) \cdot | \psi | ^ { 2 } x + \psi | \psi | ^ { 2 } \nabla \bar { \psi } \cdot x + 2 | \psi | ^ { 4 } \right) } \\ { \iff 2 \Re \int | \psi | ^ { 2 } \bar { \psi } x \cdot \nabla \psi } & { = - 2 \Re \int \bar { \psi } \nabla \psi \cdot | \psi | ^ { 2 } x - 2 \int | \psi | ^ { 4 } } \\ { \iff \Re \int | \psi | ^ { 2 } \bar { \psi } x \cdot \nabla \psi } & { = - \frac { 1 } { 2 } \int | \psi | ^ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( O _ { i } , \, \widetilde { H } _ { l } ( x ) ) } & { = \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( O _ { i } , \, \widetilde { H } _ { l } ( x ) - O _ { B _ { l } } ) + \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( O _ { i } , \, O _ { B _ { l } } ) } \\ & { \le 2 \| O _ { i } \| _ { \infty } \, \| \Phi _ { H ( x ) } ( \partial _ { x _ { l } ^ { \prime } } h _ { j _ { l } } ) - \Phi _ { H _ { B _ { l } } ( x ) } ( \partial _ { x _ { l } ^ { \prime } } h _ { j _ { l } } ) \| _ { \infty } + \operatorname { C o v } _ { \sigma ( \beta , x ) } ( O _ { i } , \, O _ { B _ { l } } ) } \\ & { \le 2 \| O _ { i } \| _ { \infty } c ^ { \prime } | A _ { j _ { l } } | \, h \, e ^ { - \mu ^ { \prime } \operatorname { d i s t } ( A _ { j _ { l } } , B _ { l } ^ { c } ) } + 2 C | S _ { i } | \, \| O _ { i } \| _ { \infty } \, h \, e ^ { - \nu \operatorname { d i s t } ( S _ { i } , B _ { l } ) } } \\ & { \le 2 ( C + c ^ { \prime } ) \, \| O _ { i } \| _ { \infty } \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } \, h \, \Big ( e ^ { - \mu ^ { \prime } \operatorname { d i s t } ( A _ { j _ { l } } , B _ { l } ^ { c } ) } + e ^ { - \nu \operatorname { d i s t } ( S _ { i } , B _ { l } ) } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { 1 } + \partial _ { x } \left[ \rho _ { 1 } ( 1 - \kappa \rho _ { 2 } ) \right] { } } & { { } = { } 0 } \\ { \partial _ { t } \rho _ { 2 } - \partial _ { x } \left[ \rho _ { 2 } ( 1 - \kappa \rho _ { 1 } ) \right] { } } & { { } = { } 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| e _ { 3 } ^ { 3 } \| _ { L ^ { 2 } } = \| ( I - e ^ { i s \Delta } ) P _ { N } B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \tau ^ { \frac { 1 + 2 \sigma } { 2 } } , } \\ & { \| e _ { 3 } ^ { 4 } \| _ { L ^ { 2 } } = \| ( I _ { N } - P _ { N } ) B ( P _ { N } v _ { 0 } ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) h ^ { 1 + 2 \sigma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] } E _ { 2 } + i \nabla _ { [ E _ { 2 } , E _ { 1 } ] } E _ { 1 } } & { = D _ { [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] } E _ { 2 } - h ( [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] , E _ { 2 } ) - i D _ { [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] } E _ { 1 } + i h ( [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] , E _ { 2 } ) , } \\ & { = - i D _ { [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] } ( E _ { 1 } + i E _ { 2 } ) - h ( [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] , E _ { 2 } ) + i h ( [ E _ { 1 } , E _ { 2 } ] , E _ { 1 } ) . } \end{array}
\partial _ { x x } \Psi + \partial _ { y y } \Psi + \partial _ { z z } \Psi + n _ { i } - 1 = \chi _ { 5 } \Psi + \chi _ { 6 } \Psi ^ { 2 } + \chi _ { 7 } \Psi ^ { 3 } + \cdot \cdot ,
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { t r i p l e } } } & { = 3 \cdot R _ { \mathrm { A r 3 9 } } ^ { 3 } \cdot \delta t _ { \mathrm { i n t } } ^ { 2 } \cdot T _ { \mathrm { l i v e } } , } \\ { N _ { \mathrm { E R B , A r 3 9 } } } & { = R _ { \mathrm { A r 3 9 } } \cdot R _ { \mathrm { E R B } } \cdot \delta t _ { \mathrm { i n t } } \cdot T _ { \mathrm { l i v e } } , } \\ { N _ { \mathrm { h F p , A r 3 9 } } } & { = R _ { \mathrm { A r 3 9 } } \cdot R _ { \mathrm { h F p } } \cdot \delta t _ { \mathrm { i n t } } \cdot T _ { \mathrm { l i v e } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { i ( K _ { x } + k _ { x } ) \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } - i ( K _ { x } + k _ { x } ) r _ { + } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } + \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + i ( K _ { x } - k _ { x } ) r _ { - } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } - \mathbf { k } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } , } \\ { = i ( K _ { x } + q _ { x } ) c _ { + } ^ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } + i ( K _ { x } - q _ { x } ) c _ { - } ^ { + } \mathrm { e } ^ { i ( \mathbf { K } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } } \\ { - i ( K _ { x } + q _ { x } ) c _ { + } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } + \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { + } - i ( K _ { x } - q _ { x } ) c _ { - } ^ { - } \mathrm { e } ^ { - i ( \mathbf { K } - \mathbf { q } ) \cdot \mathbf { r } _ { j } } \phi _ { - } . } \end{array}
f _ { \sigma } \left( \tilde { q } \right) = \left( \frac { 3 \tilde { q } ^ { 2 } } { 4 } + \tilde { E } _ { \sigma } + \tilde { E } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } , \sigma } - \tilde { E } _ { 2 2 2 } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } \right)
{ \begin{array} { r l } { { \binom { z } { k } } = { \frac { 1 } { k ! } } \sum _ { i = 0 } ^ { k } z ^ { i } s _ { k , i } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k } ( z - z _ { 0 } ) ^ { i } \sum _ { j = i } ^ { k } { \binom { z _ { 0 } } { j - i } } { \frac { s _ { k + i - j , i } } { ( k + i - j ) ! } } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k } ( z - z _ { 0 } ) ^ { i } \sum _ { j = i } ^ { k } z _ { 0 } ^ { j - i } { \binom { j } { i } } { \frac { s _ { k , j } } { k ! } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathsf { G } \equiv \mathsf { E } ^ { + } - \mathsf { E } ^ { - } , } \\ & { } & { \mathsf { E } ^ { \pm } D ^ { 2 } \equiv D ^ { 2 } \mathsf { E } ^ { \pm } \equiv 0 , } \\ & { } & { \mathsf { E } ^ { \pm } \in I ^ { - 3 / 2 } \big ( \mathscr { M } \times \mathscr { M } , C ^ { \pm \prime } ; \mathrm { H o m } ( { \mathscr { E } , \mathscr { E } } ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 2 _ { L } } } & { = 6 D _ { \beta _ { L } } ( C _ { 1 } + D _ { \alpha } ) + 3 D _ { \beta _ { L } } B _ { 1 } \mathrm { , } } \\ { B _ { 2 _ { R } } } & { = 6 ( C _ { 1 } + D _ { \alpha } ) D _ { \beta _ { R } } + 3 B _ { 1 } D _ { \beta _ { R } } \mathrm { , } } \\ { B _ { 3 } } & { = 2 4 D _ { \beta _ { L } } ( C _ { 1 } + D _ { \alpha } ) D _ { \beta _ { R } } + 6 D _ { \beta _ { L } } D _ { \beta _ { R } } + 9 D _ { \beta _ { L } } B _ { 1 } D _ { \beta _ { R } } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | P _ { 1 } ( r ) | - 1 . 3 4 6 0 9 | \mathcal { E } | ^ { 1 1 / 3 } } \\ { \geq } & { q ^ { - 1 } | \mathcal { E } | ^ { 4 } - 2 | \mathcal { E } | ^ { 3 } - 2 q ^ { d - 1 } | \mathcal { E } | ^ { 2 } - q ^ { - 2 } | \mathcal { E } | ^ { 4 } - 2 q ^ { ( d - 3 ) / 2 } | \mathcal { E } | ^ { 3 } - 1 . 3 4 6 0 9 | \mathcal { E } | ^ { 1 1 / 3 } } \\ { \geq } & { t ^ { 4 } q ^ { 1 1 } - 2 t ^ { 3 } q ^ { 9 } - 2 t ^ { 2 } q ^ { 1 0 } - t ^ { 4 } q ^ { 1 0 } - 2 t ^ { 3 } q ^ { 1 0 } - 1 . 3 4 6 0 9 t ^ { 1 1 / 3 } q ^ { 1 1 } } \\ { = } & { t ^ { 2 } q ^ { 1 1 } \left( t ^ { 2 } - 2 t q ^ { - 2 } - 2 q ^ { - 1 } - t ^ { 2 } q ^ { - 1 } - 2 t q ^ { - 1 } - 1 . 3 4 6 0 9 t ^ { 5 / 3 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { 1 1 } \left( t ^ { 2 } - \frac 2 9 t - \frac 2 3 - \frac { t ^ { 2 } } { 3 } - \frac 2 3 t - 1 . 3 4 6 0 9 t ^ { 5 / 3 } \right) } \\ { = } & { t ^ { 2 } q ^ { 1 1 } \left( \frac { 2 } { 3 } t ^ { 2 } - \frac 8 9 t - \frac 2 3 - 1 . 3 4 6 0 9 t ^ { 5 / 3 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 2 } q ^ { 1 1 } \left( \frac { 2 } { 3 } t ^ { 2 } - \frac { 1 7 } { 1 8 } t - 1 . 3 4 6 0 9 t ^ { 5 / 3 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 3 } q ^ { 1 1 } \left( \frac { 2 } { 3 } t - \frac { 1 7 } { 1 8 } - 1 . 3 4 6 0 9 t ^ { 2 / 3 } \right) } \\ { = } & { t ^ { 3 } q ^ { 1 1 } \left( t ^ { 2 / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } t ^ { 1 / 3 } - 1 . 3 4 6 0 9 \right) - \frac { 1 7 } { 1 8 } \right) } \\ { \geq } & { t ^ { 3 } q ^ { 1 1 } \left( 1 2 ^ { 2 / 3 } \left( \frac { 2 } { 3 } \cdot 1 2 ^ { 1 / 3 } - 1 . 3 4 6 0 9 \right) - \frac { 1 7 } { 1 8 } \right) > 0 . } \end{array}
\frac { V _ { 2 } ^ { 2 } \omega _ { \omega _ { c r } } ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } n n _ { 0 } } - \tan \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } L _ { 0 } } { c } \right) \cot \left( \frac { n \omega _ { c r } L } { c } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { n _ { 0 } } { n } + \frac { n } { n _ { 0 } } \right) , \ \ \, c o s \frac { \pi ( l + \frac { 1 } { 2 } ) } { 2 N + 1 } = \frac { \cos \left( \frac { n \omega _ { c r } L } { c } \right) } { \cos \left( \frac { n _ { 0 } \omega _ { c r } L _ { 0 } } { c } \right) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { = \mathbf { H } _ { \mathrm { e x t } } + \mathbf { H } _ { \mathrm { d e m a g } } + \mathbf { H } _ { \mathrm { e x c h } } , } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { e x t } } } & { = H _ { 0 } \mathbf { e } _ { z } } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { m s } } } & { = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \nabla \nabla \frac { 1 } { \lvert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \rvert } d \mathbf { r } ^ { \prime } } \\ { \mathbf { H } _ { \mathrm { e x c h } } } & { = \frac { 2 A _ { \mathrm { e x } } } { \mu _ { 0 } M _ { s } } \Delta \mathbf { M } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { f ^ { \prime } ( x ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { ( c ) - ( c ) } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { 0 } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } 0 } \\ & { = 0 } \end{array} }
i \hbar \left( \psi _ { 2 } \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } + \psi _ { 1 } \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t } \right) = \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } \right) \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } + \psi _ { 2 } \hat { H } _ { 1 } \psi _ { 1 } + \psi _ { 1 } \hat { H } _ { 2 } \psi _ { 2 } + ( \hat { V } _ { 1 } + \hat { V } _ { 2 } ) \psi _ { 1 } \psi _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \omega _ { m } b ^ { \dagger } b - \sum _ { j = 1 , 2 } [ \Delta _ { j } { a _ { j } } ^ { \dagger } a _ { j } - g _ { j } { a _ { j } } ^ { \dagger } a _ { j } ( b ^ { \dagger } + b ) ] } \end{array}
\mathbf { t } _ { i } = \mathbf { t } _ { i } - \Delta \frac { \frac { \partial f } { \partial \mathbf { t } _ { i } ^ { * } } } { \lVert \frac { \partial f } { \partial \mathbf { t } _ { i } ^ { * } } \rVert } _ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { 0 } \right] } & { { } \equiv } & { \frac { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \langle \hat { F } ( Q _ { i } ) \rangle _ { 0 } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } { \sum _ { n _ { i } = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \beta ( n _ { i } + 1 / 2 ) \omega _ { i } \right\} } } \end{array}
\frac { c - 1 } { 2 - c } \left( \frac { \Gamma ( N + 2 ) \Gamma ( i - 2 + c ) } { \Gamma ( N + c ) \Gamma ( i ) } - 1 \right) > \frac { c - 1 } { 2 - c } \left( \frac { \Gamma ( N + 1 ) \Gamma ( i - 2 + c ) } { \Gamma ( N + c - 1 ) \Gamma ( i ) } - 1 \right) ,
\frac { \nu _ { T } ( y ) } { \nu } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 + \frac { \kappa ^ { 2 } { \hat { R e } } ^ { 2 } \hat { B } } { 9 } \left( 2 y - y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( 3 - 4 y + 2 y ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - e ^ { \left( \frac { - y \hat { R e } \sqrt { \hat { B } } } { A ^ { + } } \right) } \right] ^ { 2 } \right\} ^ { 1 / 2 } + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } & { = - \int _ { \Omega } u _ { i } \left( \alpha \partial _ { j } ( \delta _ { i j } \partial _ { i } v _ { i } ) + \frac { \beta } { 2 } \partial _ { j } ( \partial _ { j } v _ { i } + \partial _ { i } v _ { j } ) \right) } \\ & { \quad \quad + \int _ { \partial \Omega } u _ { i } n _ { j } \left( \alpha \delta _ { i j } \partial _ { k } v _ { k } + \frac { \beta } { 2 } ( \partial _ { j } v _ { i } + \partial _ { i } v _ { j } ) \right) } \\ & { \quad \quad - \int _ { \partial \Omega } v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } n _ { j } } \\ & { = - \int _ { \Omega } u _ { i } \partial _ { j } \sigma _ { i j } ^ { v } + \int _ { \partial \Omega } \left( u _ { i } \sigma _ { i j } ^ { v } - v _ { i } \sigma _ { i j } ^ { u } \right) n _ { j } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } n ^ { 1 / 4 } \operatorname { \mathbb { E } } [ H _ { n + 1 } ] \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } n ^ { 1 / 4 } \operatorname { \mathbb { E } } [ \mathbb { I } ( B _ { n } ^ { \mathrm { r i g h t } } ) ] = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } n ^ { 1 / 4 } \operatorname { \mathbb { E } } [ \mathbb { I } ( C _ { n } ^ { \mathrm { r i g h t } } ) ] > c _ { * } . } \end{array}
{ L } _ { ( \mathbf { x } , E ) } ( \mathbf { X } , { H } ) = \kappa ( { X } _ { 1 } - x _ { 1 } { I } ) \otimes { \sigma } _ { x } + \kappa ( { X } _ { 2 } - x _ { 2 } { I } ) \otimes { \sigma } _ { y } + ( { H } - E { I } ) \otimes { \sigma } _ { z } ,
\begin{array} { r l } { \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i n } } } & { : = \{ ( x _ { u } , w _ { u } ) \in \Xi : x _ { u } \in { \mathcal B } _ { k M _ { \mathrm { i n } } } , w _ { u } \le f _ { \gamma } ( | \| x _ { u } \| - r _ { k } | ) \} , } \\ { \Xi _ { \le { \mathcal M } _ { \gamma } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { o u t } } } & { : = \{ ( x _ { v } , w _ { v } ) \in \Xi : x _ { v } \notin { \mathcal B } _ { k M _ { \mathrm { i n } } } , w _ { v } \le f _ { \gamma } ( | \| x _ { v } \| - r _ { k } | ) \} , } \\ { \Xi _ { > { \mathcal M } _ { \gamma } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { i n } } } & { : = \{ ( x _ { u } , w _ { u } ) \in \Xi : x _ { u } \in { \mathcal B } _ { k M _ { \mathrm { i n } } } , w _ { u } > f _ { \gamma } ( | \| x _ { u } \| - r _ { k } | ) \} , } \\ { \Xi _ { > { \mathcal M } _ { \gamma } } ^ { \scriptscriptstyle \mathrm { o u t } } } & { : = \{ ( x _ { v } , w _ { v } ) \in \Xi : x _ { v } \notin { \mathcal B } _ { k M _ { \mathrm { i n } } } , w _ { v } > f _ { \gamma } ( | \| x _ { v } \| - r _ { k } | ) \} . } \end{array}
\star U = \mathrm { i } \, \partial H \wedge \Omega _ { A L E } - \mathrm { i } \, \bar { \partial } H \wedge \Omega _ { A L E } + \frac { \mathrm { i } } { 2 } \left( \hat { \star } \, d _ { A L E } H \right) \wedge d z \wedge d \bar { z }
s _ { 2 1 } ^ { y y } ( r , \textrm { -- } ) = ( 2 \pi ) ^ { - \frac 3 2 } \underbrace { \left[ \frac { 4 } { w } . \Lambda ( \frac { r } { w } ) \right] } _ { w - \textrm { d e p e n d e n t } } \otimes \underbrace { \left( \frac { s } { r ^ { 2 } + 2 s ^ { 2 } } \right) } _ { s - \textrm { d e p e n d e n t } } \otimes \underbrace { g ( \frac p r ) } _ { p - \textrm { d e p . } }
\begin{array} { r l } { p _ { U , S } ( u , t + \Delta t ) = } & { { } \sum _ { r = 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d h \, p _ { U | R } ^ { \mathrm { s t } } ( u | r ) \, p _ { R | S , H } ^ { \mathrm { s t } } ( r | h , s ) \, p _ { H } ( h , t + \Delta t ) \sum _ { s ^ { \prime } = 0 } ^ { N _ { S } } \sum _ { u ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } P ( s ^ { \prime } , t \to s , t + \Delta t ) | u ^ { \prime } ) p _ { U , S } ( u ^ { \prime } , s ^ { \prime } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \hat { \theta } _ { a } - \hat { \theta } _ { z _ { i } ^ { * } } } \right\| } & { \leq \left\| { \theta _ { a } ^ { * } - \theta _ { z _ { i } ^ { * } } ^ { * } } \right\| + 2 \operatorname* { m a x } _ { b \in [ k ] } \left\| { \theta _ { b } ^ { * } U ^ { * T } - \hat { \theta } _ { b } U ^ { T } } \right\| } \\ & { \leq \sqrt { n _ { a } + n _ { z _ { i } ^ { * } } } ( p - q ) + 2 C _ { 2 } \beta ^ { - 0 . 5 } k \sqrt { p } } \\ & { \leq 1 . 1 \sqrt { n _ { a } + n _ { z _ { i } ^ { * } } } ( p - q ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { : = - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \alpha _ { i } \exp \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { 6 } A _ { i j } ( x _ { j } - P _ { i j } ) ^ { 2 } \right) , } \\ { \alpha } & { = ( 1 . 0 , 1 . 2 , 3 . 0 , 3 . 2 ) ^ { \top } , } \\ { \textbf { A } } & { = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 0 } & { 3 } & { 1 7 } & { 3 . 5 } & { 1 . 7 } & { 8 } \\ { 0 . 0 5 } & { 1 0 } & { 1 7 } & { 0 . 1 } & { 8 } & { 1 4 } \\ { 3 } & { 3 . 5 } & { 1 . 7 } & { 1 0 } & { 1 7 } & { 8 } \\ { 1 7 } & { 8 } & { 0 . 0 5 } & { 1 0 } & { 0 . 1 } & { 1 4 } \end{array} \right) , } \\ { \textbf { P } } & { = \left( \begin{array} { l l l l l l } { 1 3 1 2 } & { 1 6 9 6 } & { 5 5 6 9 } & { 1 2 4 } & { 8 2 8 3 } & { 5 8 8 6 } \\ { 2 3 2 9 } & { 4 1 3 5 } & { 8 3 0 7 } & { 3 7 3 6 } & { 1 0 0 4 } & { 9 9 9 1 } \\ { 2 3 4 8 } & { 1 4 5 1 } & { 3 5 2 2 } & { 2 8 8 3 } & { 3 0 4 7 } & { 6 6 5 0 } \\ { 4 0 4 7 } & { 8 8 2 8 } & { 8 7 3 2 } & { 5 7 4 3 } & { 1 0 9 1 } & { 3 8 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\vec { S } ( x , y , z , t ) = \frac { i \hbar } { 2 m } \left( \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi + U \psi \right) \nabla \psi ^ { * } - \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi + U \psi \right) ^ { * } \nabla \psi \right) = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } \frac { \partial \psi _ { R } } { \partial t } \nabla \psi _ { R } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { m } \frac { \partial \psi _ { I } } { \partial t } \nabla \psi _ { I } \, .
\sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \mu _ { 3 } + \frac { | A | ^ { 2 } } { 2 } \left( e ^ { 2 \mu _ { 2 } } - 1 \right) } e ^ { - \frac { i } { \hslash } g t \hat { \sigma } \hat { b } _ { 2 } } e ^ { e ^ { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert e ^ { \mu _ { 2 } } A \right\rangle .
\int _ { \mathrm { L S } } d { \bf r } [ { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } \cdot { \bf u } ] = - \int _ { 0 } ^ { k _ { f } } [ T _ { u } ( k ^ { \prime } ) + \mathcal { F } _ { u } ( k ^ { \prime } ) ] d k ^ { \prime } = \Pi _ { u } ( k ) + \Pi _ { B } ( k ) .
\begin{array} { r l r } { C } & { = } & { A _ { 0 } ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { 0 } - A _ { 1 } ^ { 1 } A _ { 0 } ^ { 0 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( A _ { 0 } ^ { 0 } A _ { 0 } ^ { 0 } + A _ { 1 } ^ { 0 } A _ { 0 } ^ { 1 } + A _ { 0 } ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { 0 } + A _ { 1 } ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { 1 } - A _ { 0 } ^ { 0 } A _ { 0 } ^ { 0 } - 2 A _ { 0 } ^ { 0 } A _ { 1 } ^ { 1 } - A _ { 1 } ^ { 1 } A _ { 1 } ^ { 1 } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( A _ { \nu } ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { \nu } - ( A _ { \mu } ^ { \mu } ) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\int { \frac { \sin a x \, d x } { ( \cos a x ) ( 1 + \sin a x ) } } = { \frac { 1 } { 4 a } } \cot ^ { 2 } \left( { \frac { a x } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \right) + { \frac { 1 } { 2 a } } \ln \left| \tan \left( { \frac { a x } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \right) \right| + C
\begin{array} { r l } { W _ { i j } } & { ( \vec { x } , \vec { x } \, ^ { \prime } , z , \omega ) \equiv \left\langle E _ { i } \left( \vec { x } - \frac { \vec { x } \, ^ { \prime } } { 2 } , z , \omega \right) E _ { j } ^ { * } \left( ( \vec { x } + \frac { \vec { x } \, ^ { \prime } } { 2 } , z , \omega \right) \right\rangle , ~ i , j = X , Y } \end{array}
{ \begin{array} { l c l } { K , N } & { = } & { { \mathrm { a s ~ a b o v e } } } \\ { \theta _ { i = 1 \dots K } , \phi _ { i = 1 \dots K } , { \boldsymbol { \phi } } } & { = } & { { \mathrm { a s ~ a b o v e } } } \\ { z _ { i = 1 \dots N } , x _ { i = 1 \dots N } , F ( x | \theta ) } & { = } & { { \mathrm { a s ~ a b o v e } } } \\ { \alpha } & { = } & { { \mathrm { s h a r e d ~ h y p e r p a r a m e t e r ~ f o r ~ c o m p o n e n t ~ p a r a m e t e r s } } } \\ { \beta } & { = } & { { \mathrm { s h a r e d ~ h y p e r p a r a m e t e r ~ f o r ~ m i x t u r e ~ w e i g h t s } } } \\ { H ( \theta | \alpha ) } & { = } & { { \mathrm { p r i o r ~ p r o b a b i l i t y ~ d i s t r i b u t i o n ~ o f ~ c o m p o n e n t ~ p a r a m e t e r s , ~ p a r a m e t r i z e d ~ o n ~ } } \alpha } \\ { \theta _ { i = 1 \dots K } } & { \sim } & { H ( \theta | \alpha ) } \\ { { \boldsymbol { \phi } } } & { \sim } & { \operatorname { S y m m e t r i c - D i r i c h l e t } _ { K } ( \beta ) } \\ { z _ { i = 1 \dots N } | { \boldsymbol { \phi } } } & { \sim } & { \operatorname { C a t e g o r i c a l } ( { \boldsymbol { \phi } } ) } \\ { x _ { i = 1 \dots N } | z _ { i = 1 \dots N } , \theta _ { i = 1 \dots K } } & { \sim } & { F ( \theta _ { z _ { i } } ) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \hat { T } _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { T } _ { \mathrm { W T O } , i j } } & { \mathrm { i f } \ \hat { T } _ { \mathrm { W O D } , i j } = \emptyset } \\ { \hat { T } _ { \mathrm { W O D } , i j } } & { \mathrm { i f } \ \hat { T } _ { \mathrm { W T O } , i j } = \emptyset } \\ { \operatorname* { m a x } ( \hat { T } _ { \mathrm { W O D } , i j } , \ \hat { T } _ { \mathrm { W T O } , i j } ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q ( \omega ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { \omega } { a \omega ^ { b } c ( \omega _ { 0 } ) } \left( a c ( \omega _ { 0 } ) \tan \left( \frac { b \pi } { 2 } \right) ( \omega ^ { b - 1 } - \omega _ { 0 } ^ { b - 1 } ) + 1 \right) \right. } \\ & { } & { \left. \qquad - \frac { a \omega ^ { b } c ( \omega _ { 0 } ) } { \omega } \left( a c ( \omega _ { 0 } ) \tan \left( \frac { b \pi } { 2 } \right) ( \omega ^ { b - 1 } - \omega _ { 0 } ^ { b - 1 } ) + 1 \right) ^ { - 1 } \right] } \\ & { = } & { \displaystyle \frac { \hat { M } _ { \infty } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \hat { M } _ { j } \frac { \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } { 1 + \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } } { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \hat { M } _ { j } \frac { \omega \tau _ { j } } { 1 + \omega ^ { 2 } \tau _ { j } ^ { 2 } } } . } \end{array}
0 \le \frac { \mathrm { ~ V ~ - ~ s ~ c ~ o ~ r ~ e ~ } } { ( E - E _ { 0 } ) / ( E _ { \infty } - E _ { 0 } ) } \le N \frac { ( E _ { \infty } - E _ { 0 } ) ( E _ { M } - E ) } { ( E _ { \infty } - E ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = - \sum _ { \ell = 1 } ^ { L - 1 } t ^ { ( \ell , 1 ) } \sigma _ { + } ^ { ( \ell + 1 , 1 ) } \sigma _ { - } ^ { ( \ell , 1 ) } - \sum _ { \ell = 2 } ^ { L - 2 } t ^ { ( j , 2 ) } \sigma _ { + } ^ { ( \ell + 1 , 2 ) } \sigma _ { - } ^ { ( \ell , 2 ) } \left( \sigma _ { z } ^ { ( \ell , 1 ) } + 1 \right) } \end{array}
0 = \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \nabla \cdot ( \mathbf { u } T - \nabla T ) \, d x = \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \partial _ { x } ( u T - \partial _ { x } T ) + \partial _ { y } ( v T - \partial _ { y } T ) \, d x = \partial _ { y } \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } ( v T - \partial _ { y } T ) \, d x
\begin{array} { r l } { \Delta g _ { \mathrm { n o n - r e l . } } ^ { \mathrm { h a d . } } ( 1 s , Z = 1 0 ) } & { { } = - 1 . 0 9 2 ( 1 4 ) \times 1 0 ^ { - 1 2 } \, . } \end{array}
J _ { i j k l } = J _ { 0 } ( 3 a { - } b { - } c { - } d ) ~ , \ \ \ J _ { j k l i } = J _ { 0 } ( 3 b { - } a { - } c { - } d ) ~ , \ \ \ J _ { k l i j } = J _ { 0 } ( 3 c { - } a { - } b { - } d ) ~ , \ \ \ J _ { l i j k } = J _ { 0 } ( 3 d { - } a { - } b { - c } )
{ \begin{array} { r l r l } { \gamma } & { = H _ { k - 1 } - \log k + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( n - 1 ) ! | G _ { n } | } { k ( k + 1 ) \cdots ( k + n - 1 ) } } } & & { } \\ & { = H _ { k - 1 } - \log k + { \frac { 1 } { 2 k } } + { \frac { 1 } { 1 2 k ( k + 1 ) } } + { \frac { 1 } { 1 2 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) } } + { \frac { 1 9 } { 1 2 0 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) } } + \cdots } & & { } \end{array} }