harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { 1 . } & { } & & { 0 \leq k \leq \ell - 1 \land 0 \leq 2 b \leq 3 \ell - k - 2 , } \\ { 2 . } & { } & & { 0 \leq k \leq \ell - 1 \land 3 \ell - k - 1 \leq 2 b \leq 3 \ell , } \\ { 3 . } & { } & & { \ell \leq k \leq 2 \ell - 1 \land 0 \leq 2 b \leq 3 \ell - k - 2 , } \\ { 4 . } & { } & & { \ell \leq k \leq 2 \ell - 1 \land 3 \ell - k - 1 \leq 2 b \leq 6 \ell - 2 k - 1 \land 2 b \leq 3 \ell , } \\ { 5 . } & { } & & { \ell \leq k \leq 2 \ell - 1 \land 6 \ell - 2 k \leq 2 b \leq 3 \ell , } \\ { 6 . } & { } & & { 2 \ell \leq k \leq 3 \ell - 1 \land 0 \leq 2 b \leq 3 \ell - k - 2 , } \\ { 7 . } & { } & & { 2 \ell \leq k \leq 3 \ell - 1 \land 3 \ell - k - 1 \leq 2 b \leq 6 \ell - 2 k - 1 , } \\ { 8 . } & { } & & { 2 \ell \leq k \leq 3 \ell - 1 \land 6 \ell - 2 k \leq 2 b \leq 3 \ell . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mu _ { N } } & { = { \frac { \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + N { \bar { x } } } { \lambda _ { 0 } + N } } } \\ { \lambda _ { N } } & { = ( \lambda _ { 0 } + N ) { \frac { a _ { N } } { b _ { N } } } } \\ { { \bar { x } } } & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } } \\ { a _ { N } } & { = a _ { 0 } + { \frac { N + 1 } { 2 } } } \\ { b _ { N } } & { = b _ { 0 } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( \lambda _ { 0 } + N ) \left( \lambda _ { N } ^ { - 1 } + \mu _ { N } ^ { 2 } \right) - 2 \left( \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } \right) \mu _ { N } + \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N } x _ { n } ^ { 2 } \right) + \lambda _ { 0 } \mu _ { 0 } ^ { 2 } \right] } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbf { H } ^ { \mathcal { S } } ( \mathbf { x } ) = \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi = \chi ^ { * } = \frac { - ( \eta - 1 ) ^ { 2 } ( 1 + 2 \psi ) h ^ { 2 } + 2 \left( \eta ^ { 2 } - 1 \right) \left( 1 + \psi \right) h + 8 u ( \psi + 1 ) - 1 6 \eta \psi } { \phi _ { 0 } \left( 1 6 \eta + ( \eta - 1 ) ^ { 2 } h ^ { 2 } \right) } \; , } \end{array}
A _ { 2 } = g ^ { \mu \nu } g ^ { \alpha \beta } \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } \nabla _ { \alpha } \nabla _ { \beta } + b ^ { \mu \nu \alpha } \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } \nabla _ { \alpha } + C ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } + d ^ { \mu } \nabla _ { m u } + X ,
\begin{array} { r l } & { A e ^ { i M \vartheta - i \omega _ { p } t } + c . c . , ~ A = \sum _ { \mu } a _ { \mu } ( t ) e ^ { i \mu \theta } , } \\ & { B e ^ { i ( 2 M + Q ) \vartheta - i 2 \omega _ { p } t } + c . c . , ~ B = \sum _ { \mu } b _ { \mu } ( t ) e ^ { i \mu \theta } , } \\ & { \theta = \vartheta - \widetilde D _ { 1 } t . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \displaystyle ( \delta _ { t } c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) + ( { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } \cdot \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \nabla \cdot { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m + 1 } c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) } & & \\ { + ( \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } , \nabla \bar { c } _ { h } ) + ( c _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) - ( n _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { c } _ { h } ) } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal Q } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { \left( \frac { 3 \Gamma } { 2 k \Omega } \right) ^ { 2 } [ \langle \hat { e } \rangle - | \langle \hat { \sigma } ^ { + } \rangle | ^ { 2 } ] \sum _ { n } ( \hat { k } \cdot \hat { r } _ { n } ) \frac { 1 - | \hat { \varepsilon } \cdot \hat { r } _ { n } | ^ { 2 } } { r _ { n } ^ { 2 } } } \\ & { \to } & { 3 \pi \left( \frac { \Gamma } { \Omega k a } \right) ^ { 2 } [ \langle \hat { e } \rangle - | \langle \hat { \sigma } ^ { + } \rangle | ^ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 - G } { ( N + 1 ) ( N G + 1 - G ) } = \frac { 2 / 3 } { 3 \left( 2 / 3 + 1 - 1 / 3 \right) } = \frac { 1 } { 6 } , } \\ { b _ { 2 } } & { { } = \frac { N G } { N G + 1 - G } = \frac { 2 / 3 } { 2 / 3 + 1 - 1 / 3 } = \frac { 3 } { 6 } . } \end{array}
\| r _ { n } \| = \| b - A x _ { n } \| = \| b - A ( x _ { 0 } + z _ { n } ) \| = \| r _ { 0 } - A z _ { n } \| = \| \beta q _ { 1 } - A Q _ { n } y _ { n } \| = \| \beta q _ { 1 } - Q _ { n + 1 } { \tilde { H } } _ { n } y _ { n } \| = \| Q _ { n + 1 } ( \beta e _ { 1 } - { \tilde { H } } _ { n } y _ { n } ) \| = \| \beta e _ { 1 } - { \tilde { H } } _ { n } y _ { n } \| ,
\begin{array} { r } { \big ( \exists k \in H _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \ \ k ( p _ { 1 } ) = p _ { 2 } \big ) \Longrightarrow \big ( \forall \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } \in \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } \ \ \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( p _ { 1 } ) = \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ( p _ { 2 } ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \hat { \sigma } } ^ { e e } } & { = } & { { \hat { \sigma } } _ { 1 } ^ { e e } + { \hat { \sigma } } _ { 2 } ^ { e e } } \\ { { \hat { \sigma } } _ { 1 } ^ { e e } } & { = } & { \sum _ { { \alpha } , { \alpha ^ { \prime } } = 1 , 2 , 3 } \frac { 1 } { \nu _ { \alpha } \, \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { * } } \, { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 1 } } \, { \hat { \sigma } } ^ { ( 1 ) } \, \left( { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha ^ { \prime } } g _ { 1 } } \right) ^ { \dagger } } \\ { { \hat { \sigma } } _ { 2 } ^ { e e } } & { = } & { \sum _ { { \alpha } , { \alpha ^ { \prime } } = 4 , 5 } \frac { 1 } { \nu _ { \alpha } \, \nu _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { * } } \, { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha } g _ { 2 } } \, { \hat { \sigma } } ^ { ( 2 ) } \left( { \hat { V } } ^ { e _ { \alpha ^ { \prime } } g _ { 2 } } \right) ^ { \dagger } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \boldsymbol { l } } _ { \mathrm { l s } } ( \boldsymbol { z } ) = \frac { 1 } { Q } \sum _ { q = 1 } ^ { Q } \ln \left( \frac { 1 + \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { \hat { l } } _ { q } \left( [ \boldsymbol { z } + \mathbb { B } _ { q } ] \right) + \boldsymbol { l } ( \boldsymbol { z } \oplus \boldsymbol { z } _ { q } ) } } { \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { \hat { l } } _ { q } \left( [ \boldsymbol { z } + \mathbb { B } _ { q } ] \right) } + \mathrm { e } ^ { \boldsymbol { l } ( \boldsymbol { z } \oplus \boldsymbol { z } _ { q } ) } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { q _ { \mathrm { W } + 1 } = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } h ( \mu _ { - j , \mathrm { W } } ) q _ { \mathrm { W } - j } , } \\ & { q _ { \mathrm { W } + j } = h ( \mu _ { + ( j - 1 ) , \mathrm { W } } ) q _ { \mathrm { W } + ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , \infty ) , } \\ & { q _ { \mathrm { W } - 1 } = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } ( 1 - h ( \mu _ { + j , \mathrm { W } } ) ) q _ { \mathrm { W } + j } , } \\ & { q _ { \mathrm { W } - j } = ( 1 - h ( \mu _ { - ( j - 1 ) , \mathrm { W } } ) ) q _ { \mathrm { W } - ( j - 1 ) } \quad ( j = 2 , \cdots , \infty ) . } \end{array}
Q _ { z } ( \delta ) = Q _ { z } + Q _ { z } ^ { \prime } \delta + \frac { 1 } { 2 ! } Q _ { z } ^ { \prime \prime } \delta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 ! } Q _ { z } ^ { \prime \prime \prime } \delta ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 ! } Q _ { z } ^ { \prime \prime \prime \prime } \delta ^ { 4 } + h . o . t
\begin{array} { r } { \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } A _ { t } \leq - \eta \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \Delta _ { t } + \eta \beta ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \operatorname { t r } ( \Sigma _ { t } H _ { t } ) + 1 1 0 0 \eta \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } \textrm { F } _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 1 / 2 } \sqrt { n \log ( \textrm { P } ) } \, . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { M \rightarrow \infty } { \frac { ( k + t + 1 / 2 ) } { M ^ { ( k + t + 1 / 2 ) } } } \sum _ { n = 0 } ^ { M } { \frac { \Gamma \left( n + k + t + 1 / 2 \right) } { n ! } } = 1 \quad \forall \ \mathrm { i n t e g e r s } \ k , t > 0
{ \mathrm { \boldmath ~ e ~ } } ( u = 0 , t ) = \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow + 0 } { \mathrm { \boldmath ~ e ~ } } ( \epsilon , t ) = { \mathrm { \boldmath ~ e ~ } } ( t ) \equiv \frac { \dot { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } ( t ) } { | \dot { \mathrm { \boldmath ~ x ~ } } | } \; ;
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial \zeta } { \partial t } } } & { { } + { \frac { 1 } { a \cos ( \varphi ) } } \left[ { \frac { \partial } { \partial \lambda } } ( u D ) + { \frac { \partial } { \partial \varphi } } \left( v D \cos ( \varphi ) \right) \right] = 0 , } \\ { { \frac { \partial u } { \partial t } } } & { { } - v \left( 2 \Omega \sin ( \varphi ) \right) + { \frac { 1 } { a \cos ( \varphi ) } } { \frac { \partial } { \partial \lambda } } \left( g \zeta + U \right) = 0 \qquad { \mathrm { a n d } } } \\ { { \frac { \partial v } { \partial t } } } & { { } + u \left( 2 \Omega \sin ( \varphi ) \right) + { \frac { 1 } { a } } { \frac { \partial } { \partial \varphi } } \left( g \zeta + U \right) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l } { \xi _ { 1 } ^ { \downarrow } } & { \xi _ { 2 } ^ { \downarrow } } & { \cdots } & { \xi _ { N } ^ { \downarrow } } \\ { o _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { o _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { o _ { N } } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\{ Q _ { \alpha } \, , { \bar { Q } } _ { \beta } \} = 2 \left( \gamma ^ { \mu } P _ { \mu } + \gamma ^ { 5 } { \cal Z } \right) _ { \alpha \beta } \, , \qquad \left[ Q _ { \alpha } , P _ { \mu } \right] = \left[ Q _ { \alpha } , { \cal Z } \right] = 0 \, .
\begin{array} { r } { \Delta \widetilde U _ { i j } ( \boldsymbol { \theta } ) = V _ { \boldsymbol { \theta } , j } ( k _ { 0 } , k _ { 0 } ) + \frac { 2 } { \pi } ( I _ { i j } ^ { 1 } + I _ { i j } ^ { 2 } ) + \frac { 4 } { \pi ^ { 2 } } I _ { i j } ^ { 3 } + ( i \leftrightarrow j ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { k } ( \frac { d ^ { 2 } p _ { 2 } } { d t ^ { 2 } } + \frac { d p _ { 2 } } { d t ^ { \prime } } ) } & { { } } & { \approx k - \frac { k + 1 } { k } \frac { d p _ { 2 } } { d t ^ { \prime } } - \frac { k + 1 } { k } p _ { 2 } - k p _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu - e \, \lambda \ = \ \frac { \delta T _ { \mathrm { k i n } } ^ { \mathrm { \, n i } } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } - T \frac { \delta S ^ { \mathrm { n i } } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \frac { \delta F _ { \mathrm { x c } } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } + \frac { \delta F _ { \mathrm { c } } ^ { e I } } { \delta n ( \mathbf { r } ) } - e \, \phi ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\Omega _ { 0 } ^ { ( 0 , 1 ) } \rightarrow \Omega _ { 1 } ^ { ( 0 , 1 ) } = \sum _ { a , p } \frac { \langle \Phi _ { a } ^ { p } | H _ { W } | \Phi _ { 0 } \rangle } { { \cal E } _ { 0 } - { \cal E } _ { a } ^ { p } } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { a } = \sum _ { a , p } \frac { \langle p | h _ { w } | a \rangle } { \epsilon _ { a } - \epsilon _ { p } } a _ { p } ^ { \dagger } a _ { a } \equiv \sum _ { a , p } \Omega _ { a } ^ { p }
\mathrm { d i s t } ( \Gamma _ { \mathrm { s h o c k } } \cap ( B _ { \bar { r } } ( P _ { 0 } ^ { 1 } ) \cup B _ { \bar { r } } ( P _ { 0 } ^ { 2 } ) ) , \, B _ { 1 } ( O _ { 2 } ) ) \geq \bar { r } \, .
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { P } } _ { 0 } ( x ^ { \prime } , x ) \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } ( x , x ^ { \prime } ) ] \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x ^ { \prime } \phantom { x x x x x x } } \\ { = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ t ~ r ~ } } [ \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } ( x , x ) ] \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! n ^ { \mathrm { ~ v ~ p ~ } } ( x ) \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } x \neq 0 . } \end{array}
\Phi _ { \lambda s ^ { \prime } } ^ { M B } ( y , k _ { \perp } ^ { 2 } ) = \frac { \sqrt { M M ^ { \prime } } } { 2 \pi \sqrt { y ( 1 - y ) } } \frac { V _ { \lambda s ^ { \prime } } ^ { M B } ( y , k _ { \perp } ^ { 2 } ) G ( y , k _ { \perp } ^ { 2 } ) } { M ^ { 2 } - s _ { M B } ^ { 2 } ( y , k _ { \perp } ^ { 2 } ) } .
E _ { L } = \frac { \sum _ { x , y } I _ { \mathrm { ~ P ~ A ~ - ~ b ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ( x , y , z _ { m } ) } { \sum _ { x , y } I _ { \mathrm { ~ P ~ A ~ - ~ w ~ a ~ t ~ e ~ r ~ } } ( x , y , z _ { m } ) } ,
s h o w s b i f u r c a t i o n d i a g r a m a n d L y a p u n o v e x p o n e n t s o f S t a n d a r d . O u r m o d e l s h o w s t h a t e v e n w i t h n o n z e r o i n i t i a l p o p u l a t i o n a n d n o n z e r o i n t e r - s p e c i e s r e l a t i o n s h i p s o f \alpha , \beta , a n d \gamma , w e m a y s t i l l a c q u i r e f l i p b i f u r c a t i o n f o r 1 D l o g i s t i c e q u a t i o n
\sigma _ { 0 } ( s ) = \sigma _ { 1 } ( 1 - \mathcal { H } ( s - s _ { 1 } ) ) + \sum _ { i = 2 } ^ { n } \sigma _ { i } ( \mathcal { H } ( s - s _ { i - 1 } ) - \mathcal { H } ( s - s _ { i } ) ) + \sigma _ { n + 1 } \mathcal { H } ( s - s _ { n } ) ,
\frac { D } { D t } \vec { A } = \frac { D } { D t } \left( \boldsymbol { \ell } \boldsymbol { \ell } \right) = \boldsymbol { \ell } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) \boldsymbol { \ell } + \boldsymbol { \ell } \boldsymbol { \ell } \cdot \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) = \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } \cdot \vec { A } + \vec { A } \cdot \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } .
s ( \lambda + \Delta \lambda ) = s ( \lambda ) \frac { 1 + \frac { \Delta \lambda \pi ^ { ( s ) } ( \lambda + 0 . 5 \Delta \lambda ) } { 2 m _ { s } } } { 1 - \frac { \Delta \lambda \pi ^ { ( s ) } ( \lambda + 0 . 5 \Delta \lambda ) } { 2 m _ { s } } }
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } x ^ { 2 } g ( x ) \ d x \ = \ \frac { 1 } { g _ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma } \int _ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { 2 } e ^ { - \frac { ( x - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \ d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { g } _ { 0 } ( x - x _ { \mathrm { i } } , s ) } & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { \exp [ - i k ( x - x _ { \mathrm { i } } ) ] } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + A ^ { 2 } / ( 2 B ) + ( B / 2 ) k ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Delta } ^ { \prime } ( \xi , Z ) = \displaystyle \frac { 1 \! + \! v } { 2 \hat { s } ^ { 2 } } \! - \! \frac 1 2 , \qquad \hat { s } ^ { \prime } ( \xi , Z ) = K \left\{ \! \widetilde { N } \left[ Z \! + \! \hat { \Delta } \right] \! - \! \widetilde { N } ( Z ) \! \right\} , \qquad K : = \frac { 4 \pi e ^ { 2 } } { m c ^ { 2 } } ; } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { { \frac { 1 } { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c c c c c c } { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { } \\ { \cdots } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 0 , 0 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 0 , 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 1 , 0 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 1 , 1 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 1 , 2 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 2 , 1 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 2 , 2 } } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 2 , 3 } } & { \cdots } \\ { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { \hat { { \mathbf { B } } } _ { 3 , 2 } } & { \hat { { \mathbf { H } } } _ { 3 , 3 } } & { \cdots } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { \vdots } \\ { \Psi _ { 0 } } \\ { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } \\ { \Psi _ { 3 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) } & { { } = } & { E \left( \begin{array} { c } { \vdots } \\ { \Psi _ { 0 } } \\ { \Psi _ { 1 } } \\ { \Psi _ { 2 } } \\ { \Psi _ { 3 } } \\ { \vdots } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { l } { { { \cal D } _ { + k } { \cal X } ^ { + k } - { \cal X } ^ { + k } { \cal D } _ { + k } = \mu _ { + k } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { + k } { \cal X } ^ { + k } = q ^ { 2 } { \cal X } ^ { + k } \mu _ { + k } ~ , } } \\ { { \mu _ { + k } { \cal D } _ { + k } = q ^ { - 2 } { \cal D } _ { + k } \mu _ { + k } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mu _ { + k } \equiv 1 + ( q ^ { 2 } - 1 ) { \cal X } ^ { + k } { \cal D } _ { + k } ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \mathbb E \left[ \left. Q _ { t , i } ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \le Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } + \mathbb E \left[ \left. \sum _ { s = T _ { 0 } } ^ { t - 1 } \mathbb E \left[ \left. \left( Q _ { s + 1 , i } - Q _ { s , i } \right) ^ { 2 } \right\rvert \mathcal F _ { s } \right] + 2 \sum _ { T _ { 0 } \le s < s ^ { \prime } < t } \mathbb E \left[ \left. \left\lvert Q _ { s + 1 , i } - Q _ { s , i } \right\rvert \right\rvert \mathcal F _ { s } \right] \cdot \mathbb E \left[ \left. \left\lvert Q _ { s ^ { \prime } + 1 , i } - Q _ { s ^ { \prime } , i } \right\rvert \right\rvert \mathcal F _ { s ^ { \prime } } \right] \right\rvert \mathcal F _ { T _ { 0 } } \right] } \\ & { \le Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } + ( t - T _ { 0 } ) M ^ { 2 } + 2 \binom { t - T _ { 0 } } { 2 } M ^ { 2 } } \\ & { = Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } + ( t - T _ { 0 } ) ^ { 2 } M ^ { 2 } } \\ & { \le Q _ { T _ { 0 } , i } ^ { 2 } + M ^ { 2 } m ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { 4 } \frac { 1 } { ( \alpha \beta ) ^ { \frac 1 2 } } \Psi ( \alpha , 1 , \beta ) } \\ & { = F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha , \alpha , 1 , 1 , \beta ) + \Big ( \frac { d } { 2 } + 1 \Big ) F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , 1 , \beta ) + 2 \alpha F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , 1 , \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { W ^ { \gamma } } & { = \frac { \sqrt { 3 } \alpha m } { 2 \pi } \chi _ { e } \mathcal { H } ( \chi _ { e } ) , } & { \mathcal { H } ( \chi _ { e } ) } & { = \frac { 2 } { 9 \chi _ { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 5 u ^ { 2 } + 7 u + 5 } { ( 1 + u ) ^ { 3 } } \, K _ { 2 / 3 } \! \left( \frac { 2 u } { 3 \chi _ { e } } \right) \, d u } \end{array}
\begin{array} { r } { G _ { \psi _ { s _ { 1 } } , \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } } ^ { \star } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) ^ { ( 0 ) } = \langle 0 | \mathrm { T } [ \psi _ { s _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \star \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } ( x _ { 2 } ) ] | 0 \rangle _ { \star } ^ { ( 0 ) } : = { \mathrm { i } } \, \hbar \, { \mathsf \Delta } _ { \textrm { \tiny B V } } \, \mathsf { H } \, \big ( \delta _ { x _ { 1 } } ^ { \psi _ { s _ { 1 } } } \odot _ { \star } \delta _ { x _ { 2 } } ^ { \bar { \psi } _ { s _ { 2 } } } \big ) \ . } \end{array}
\left( { \frac { \partial f } { \partial t } } \right) _ { \mathrm { c o l l } } = \iint g I ( g , \Omega ) [ f ( \mathbf { r } , \mathbf { p ^ { \prime } } _ { A } , t ) f ( \mathbf { r } , \mathbf { p ^ { \prime } } _ { B } , t ) - f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } _ { A } , t ) f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } _ { B } , t ) ] \, d \Omega \, d ^ { 3 } \mathbf { p } _ { B } ,
K _ { 2 } ^ { h } ( k , l , m ) = M ^ { 6 } \int _ { \Omega _ { k l m } } d ^ { 3 } \vec { x } _ { 1 } \, d ^ { 3 } \vec { x } _ { 2 } \; k _ { 2 } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 2 } ) { \frac { \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } ) \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 2 } ) } { \left[ \int _ { \Omega _ { t o t } } d ^ { 3 } \vec { x } \, \rho _ { 1 } ( \vec { x } ) \right] ^ { 2 } } } \; .
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } } & { = \hat { Q } \hat { H } \hat { P } \, ( \mathcal { E } - \hat { P } \hat { H } \hat { P } ) ^ { - 1 } \, \hat { P } \hat { H } \hat { Q } = \hat { Q } \hat { H } \hat { P } \; G _ { P } \; \hat { P } \hat { H } \hat { Q } } \\ & { = \sum _ { I J } ^ { n } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \rangle \langle \Phi _ { I } ( r ; R ) | \, \hat { H } ^ { e l } P \, G _ { P } \, P \hat { H } ^ { e l } \, | \Phi _ { J } ( r ; R ) \rangle \langle \Phi _ { J } ( r ; R ) | } \\ & { = \sum _ { I J } ^ { n } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \rangle \, \mathcal { S } _ { I J } \, \langle \Phi _ { J } ( r ; R ) | } \end{array}
\footnote { A l l t h e p a r a m e t e r s a r e e m p i r i c a l l y d e t e r m i n e d u s i n g t h e g e n e r a l w o r k f l o w , w h e r e t h e t r a i n i n g s t a r t s w i t h r e l a t i v e l y s m a l l v a l u e s a n d i n c r e a s e s t h e v a l u e s u n t i l t h e l e a r n i n g p e r f o r m a n c e c a n n o t b e f u r t h e r i m p r o v e d . }
\theta ^ { 2 } \Delta E _ { n } ^ { ( 1 ) } ( o d d ) = \frac { \theta ^ { 2 } V _ { 0 } } { 6 } [ 1 - 4 m a ^ { 2 } V _ { 0 } ( V _ { 0 } - n \pi ) ( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 2 n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } ) ] .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \left( \left\vert G \right\vert ^ { 2 } - \left\vert F \right\vert ^ { 2 } \right) } \\ & { = 2 \sum _ { m , n } ( \left\vert A _ { m - l } \right\vert \left\vert A _ { m + n + l } ^ { \ast } \right\vert \cos ( n ( \phi + \Omega t ) + \varphi _ { n } ^ { - l } ) } \\ & { + \left\vert A _ { m + l } \right\vert \left\vert A _ { m + n - l } ^ { \ast } \right\vert \cos ( n ( \phi + \Omega t ) + \varphi _ { n } ^ { l } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { g } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) } & { = \mathcal { F } ^ { - 1 } \circ \mathbf { g } _ { \mathcal { F } } \left( \widehat { \Gamma } _ { t + \varepsilon } \right) } \\ & { = \left[ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } ^ { 1 } \left( x _ { t + \varepsilon } \right) \right) , \ldots , \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } ^ { l } \left( x _ { t + \varepsilon } \right) \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \theta } \left( x _ { 0 : T } \right) } & { = p \left( x _ { T } \right) \prod _ { t = 1 } ^ { T } p _ { \theta } \left( x _ { t - 1 } | x _ { t } \right) , } \\ { p _ { \theta } \left( x _ { t - 1 } | x _ { t } \right) } & { = \mathcal { N } \left( x _ { t - 1 } ; \ \mu _ { \theta } \left( x _ { t } , t \right) , { { \Sigma } _ { \theta } } ( { { x } _ { t } } , t ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } } & { \leq \frac { 2 ( 1 + \kappa ) ^ { 1 / 2 } } { ( 1 - \kappa ) ^ { - 1 / 2 } } \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } ( P _ { \gamma } ^ { + } - P _ { g } ^ { + } ) \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \| \gamma | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } \| _ { \sigma _ { 1 } } } \\ & { \leq \frac { \sqrt { 2 } \pi } { 2 ( 1 - \kappa ) \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } R \alpha \| \gamma - g \| _ { X } . } \end{array}
\begin{array} { r } { D ^ { 2 } I _ { i } ( s , z ) = - \textbf { i } R e ^ { 2 } P r R \bigg ( \frac { 2 ( z - z _ { d } ) } { d ^ { 2 } } + \lambda _ { i } \bigg ) \exp \bigg ( \displaystyle \frac { - ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg ) \exp ( - \lambda _ { i } z ) } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { 2 } = \frac 1 2 I _ { 2 } [ \dot { \theta } ^ { 2 } + \dot { \varphi } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ] + m _ { \psi } \dot { \varphi } \cos \theta - b [ k _ { 3 } \cos \theta - k _ { 2 } \sin \theta \cos \varphi ] , } \end{array}
e _ { t , 1 } \simeq 1 - \int _ { - \frac { \tau _ { r } } { 2 d } } ^ { \frac { \tau _ { r } } { 2 d } } d \tau ( \Phi _ { t } * ( \hat { \phi } _ { t } ^ { * } \odot \hat { \phi } _ { t } ) ) ( \tau )
\begin{array} { r l r } { k _ { \mathrm { P } } ^ { ( 1 2 9 ) } } & { { } = } & { k _ { \mathrm { P } } ^ { ( 1 3 1 ) } \equiv k _ { \mathrm { P } } } \\ { k _ { \mathrm { I } } ^ { ( \alpha ) } } & { { } = } & { \Gamma _ { \alpha } k _ { \mathrm { P } } ^ { ( \alpha ) } . } \end{array}