harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \bigg [ ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) ( 1 + h _ { 1 } ) [ ( 1 - \gamma _ { 1 } ) \rho _ { 1 } ^ { \prime } + \gamma _ { 1 } \rho _ { 2 } ^ { \prime } ] - \rho _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) [ ( 1 - \gamma _ { 1 } ) ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) + \gamma _ { 1 } ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) ] \bigg ] } \\ { \dot { \rho _ { 2 } ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } \bigg [ ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) ( 1 + h _ { 2 } ) [ \gamma _ { 2 } \rho _ { 1 } ^ { \prime } + ( 1 - \gamma _ { 2 } ) \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ( 1 - h _ { 2 } ) [ \gamma _ { 2 } ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { \prime } ) + ( 1 - \gamma _ { 2 } ) ( 1 - \rho _ { 2 } ^ { \prime } ) ] \bigg ] } \end{array} \right.
c ( u ) \alpha = { \left\{ \begin{array} { l l } { \alpha } & { { \mathrm { i f ~ } } \alpha \in \Lambda ^ { \mathrm { e v e n } } W } \\ { - \alpha } & { { \mathrm { i f ~ } } \alpha \in \Lambda ^ { \mathrm { o d d } } W } \end{array} \right. }
\begin{array} { c } { \dot { q } ^ { n } = \frac { \partial H } { \partial p _ { n } } + u ^ { m } \frac { \partial \phi _ { m } } { \partial p _ { n } } } \\ { \dot { p } _ { n } = - \frac { \partial H } { \partial q ^ { n } } - u ^ { m } \frac { \partial \phi _ { m } } { \partial q ^ { n } } } \\ { \phi _ { m } ( q , p ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { t } ( 0 ) } & { = \rho Y _ { t - 1 } ( 0 ) + \beta X _ { t } + \epsilon _ { t } , | \rho | \leq 1 , \epsilon _ { t } \overset { i i d } { \sim } N ( \mu _ { t , 0 } , 1 ) } \\ { Y _ { t } ( w ) } & { = Y _ { t } ( 0 ) + N ( \mu _ { t , w } , 1 ) } \\ { Y _ { 0 } ( 0 ) } & { = 0 , \quad X _ { t } \sim \mathrm { B e r n } ( 0 . 5 ) , } \end{array}
{ \frac { a _ { 1 } + \alpha } { ( a _ { 1 } - \kappa _ { 2 } ) ( a _ { 1 } - \kappa _ { 1 } ) } } l n \biggl [ { \frac { \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 1 } a _ { 1 } } { a _ { 1 } - a _ { 1 } \kappa _ { 1 } } } \biggr ]
[ D _ { 0 } ( \phi ; k ) ] _ { a b } = { \frac { \delta _ { a 1 } \delta _ { b 1 } } { k ^ { 2 } + M _ { 0 } ^ { 2 } ( \phi ; k ) } } + { \frac { \delta _ { a 2 } \delta _ { b 2 } } { k ^ { 2 } + \Omega _ { 0 } ^ { 2 } ( \phi ; k ) } } ~ ,
\lambda _ { ( i + \frac { 1 } { 2 } , j , k ) } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \overline { { \lambda _ { \xi } } } \right) _ { ( i , j , k ) } + \left( \overline { { \lambda _ { \xi } } } \right) _ { ( i + 1 , j , k ) } \right] \, \mathrm { ~ , ~ }
- \frac { q } { 2 c } \int _ { 0 } ^ { c t } r ^ { \prime } \mathtt { d } r ^ { \prime } \frac { 2 \left( 1 - \mathrm { s g n } \left[ r ^ { \prime } - v ( t - r ^ { \prime } / c ) \right] \right) } { v ^ { 2 } t ^ { 3 } } = - \frac { 2 q } { v ^ { 2 } \, c } \int _ { 0 } ^ { v c t / ( c + v ) } \frac { r ^ { \prime } \mathtt { d } r ^ { \prime } } { ( t - r ^ { \prime } / c ) ^ { 3 } } = - \frac { q } { c t } \, .
T = \frac { 1 } { 2 } L _ { 1 } { \dot { y _ { 1 } } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } L _ { 2 } { \dot { y _ { 2 } } } ^ { 2 } + M _ { 1 2 } \dot { y _ { 1 } } \dot { y _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( - \nu \Delta { \mathbf u } + \nabla p ) \cdot { \mathbf v } \, d { \mathbf x } } & { = \int _ { \Omega } \frac { \nu } { 2 } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) + \nu { \mathbf v } \cdot \nabla ( { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf u } ) - p { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf v } \, d { \mathbf x } } \\ & { \qquad - \oint _ { { \partial \Omega } } \big ( ( \nu { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) - p I ) { \mathbf v } \big ) \cdot { \mathbf n } \, d s , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { x } [ u , v , Q _ { 1 1 } , Q _ { 1 2 } ] ( x , y ) = [ u , - v , Q _ { 1 1 } , - Q _ { 1 2 } ] ( x , h - y ) , } \\ { \sigma _ { y } [ u , v , Q _ { 1 1 } , Q _ { 1 2 } ] ( x , y ) = [ - u , v , Q _ { 1 1 } , - Q _ { 1 2 } ] ( L - x , y ) , } \\ { \tau _ { x } ( \ell ) [ u , v , Q _ { 1 1 } , Q _ { 1 2 } ] ( x , y ) = [ u , v , Q _ { 1 1 } , Q _ { 1 2 } ] ( x + \ell , y ) , } \end{array}
\frac { \tilde { \theta } _ { \alpha } } { \rho ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } \left[ ( \theta - \theta _ { 0 } ) _ { \alpha } + ( x _ { L } - x _ { 0 } ) _ { \alpha \dot { \alpha } } \bar { \beta } ^ { \dot { \alpha } } \right] \, .
\begin{array} { r l } { \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 1 } } & { = 0 , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 2 } = \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt { \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { 3 } = - \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } } \\ { \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } } & { = - \frac { x ^ { 3 } } { \sqrt { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } = 0 , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } = \frac { x ^ { 1 } } { \sqrt { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } } } \\ { \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } } & { = \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } = - \frac { x ^ { 1 } } { \sqrt { \left( x ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } , \quad \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { t } ( T _ { f i l l } ) } & { { } = } & { N _ { o f f s e t } + { N _ { t } \times { \frac { 1 } { 1 + a \cdot \exp \left( { \frac { E _ { s } } { k _ { B } T _ { f i l l } } } \right) } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \rho } _ { g g } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Omega _ { 1 } \left( \rho _ { e g } - \rho _ { g e } \right) \right] + \Gamma _ { 1 } \rho _ { e e } + \Gamma _ { 2 } \rho _ { r r } + \gamma _ { \ell } ( 1 - s - \rho _ { g g } ) } \\ { \dot { \rho } _ { e e } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Omega _ { 1 } \left( \rho _ { g e } - \rho _ { e g } \right) + \Omega _ { 2 } \left( \rho _ { r e } - \rho _ { e r } \right) \right] - \Gamma _ { 1 } \rho _ { e e } + \gamma _ { \ell } \left( s - \rho _ { e e } \right) } \\ { \dot { \rho } _ { r r } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Omega _ { 2 } \left( \rho _ { e r } - \rho _ { r e } \right) \right] - \Gamma _ { 2 } \rho _ { r r } - \gamma _ { \ell } \rho _ { r r } } \\ { \dot { \rho } _ { g e } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Omega _ { 1 } \left( \rho _ { e e } - \rho _ { g g } \right) - \Omega _ { 2 } \rho _ { g r } + 2 \Delta _ { 1 } \rho _ { g e } \right] - \left( \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } + \gamma _ { \ell } \right) \rho _ { g e } } \\ { \dot { \rho } _ { g r } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Omega _ { 1 } \rho _ { e r } - \Omega _ { 2 } \rho _ { g e } + 2 ( \Delta _ { 1 } + \Delta _ { 2 } ) \rho _ { g r } \right] - \left( \frac { \Gamma _ { 2 } } { 2 } + \gamma _ { \ell } + \gamma _ { r } \right) \rho _ { g r } } \\ { \dot { \rho } _ { e r } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Omega _ { 2 } \left( \rho _ { r r } - \rho _ { e e } \right) + \Omega _ { 1 } \rho _ { g r } + 2 \Delta _ { 2 } \rho _ { e r } \right] - \left( \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } - \frac { \Gamma _ { 2 } } { 2 } + \gamma _ { \ell } \right) \rho _ { e r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ W _ { 1 } ^ { 2 } ] } & { { } = \sigma ^ { 2 } \left( 1 + 2 | s | ^ { 2 } \right) , } \\ { \operatorname { E } [ C _ { 2 } ^ { 2 } ] } & { { } = P , } \\ { \operatorname { E } [ W _ { 1 } C _ { 2 } ] } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } \circ \mathbb { N } ^ { + } = } & { { } } & { i \textbf { I } _ { \{ N 2 i + \} } \circ ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } + N _ { 1 0 } ^ { + } } \end{array}
( 1 - \sigma ^ { 2 } v _ { \perp } ^ { 2 } ) { \frac { d ^ { 2 } f } { d \sigma ^ { 2 } } } + \sigma v _ { \perp } ^ { 2 } { \frac { d f } { d \sigma } } - v _ { \perp } ^ { 2 } f = \sigma R ^ { 2 } \dot { \omega } \ .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { \mathrm { D o m } ( \chi _ { [ j , x ] } ) - \chi _ { [ j , x ] } ^ { - 1 } ( x ) \ni t \to 0 } \frac { d ( \mathcal { X } _ { j } ( t , x ) , \chi _ { [ j , x ] } ( \chi _ { [ j , x ] } ^ { - 1 } ( x ) + t ) ) } { t } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \mathrm { D o m } ( \chi _ { [ j , x ] } ) - \chi _ { [ j , x ] } ^ { - 1 } ( x ) \ni t \to 0 } \frac { \mathrm { d i s t } ( U , \chi _ { [ j , x ] } ( \chi _ { [ j , x ] } ^ { - 1 } ( x ) + t ) ) } { t } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { - 1 , 0 } ( \mathbf { k } ) } & { { } = \frac { \hbar c } { n _ { h } } \sqrt { ( k _ { x } - G ) ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } } , } \\ { E _ { 0 , - 1 } ( \mathbf { k } ) } & { { } = \frac { \hbar c } { n _ { h } } \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } + ( k _ { y } - G ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { V } ^ { \mathrm { ( a c ) } } ( t ) } & { { } \simeq \frac { 8 } { 3 \Gamma ^ { 2 } ( 1 / 4 ) { \pi } ^ { 1 / 2 } } \frac { \tau _ { A } ^ { - 1 / 2 } } { { \tau } ^ { 3 / 2 } } \frac { \sigma ^ { 5 / 2 } } { l _ { p } ^ { 1 / 2 } } \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { f ^ { 2 } } } \end{array}
\left[ \mathrm { V } _ { H _ { 1 } } ( \phi _ { i } ) , \mathrm { V } _ { H _ { 2 } } ( \phi _ { j } ) \right] = \delta _ { i j } \mathrm { V } _ { { \{ H _ { 1 } , H _ { 2 } \} } _ { \mathrm { p b } } } ( \phi _ { i } )
\langle \Xi | \left( G _ { - 1 / 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \ G _ { 1 / 2 } + \frac { 1 1 } { 6 } \ G _ { 3 / 2 } + \frac { 3 } { 2 \sqrt { 3 } } \ G _ { 5 / 2 } + \frac { 7 } { 7 2 } \ G _ { 7 / 2 } + \cdots \right) = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { j } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = \frac { \partial } { \partial \theta _ { j } } E ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ { \mathcal { H } _ { j k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta _ { j } \partial \theta _ { k } } E ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \\ { \mathcal { T } _ { j k l } ( { \boldsymbol { \theta } } ) } & { = \frac { \partial ^ { 3 } } { \partial \theta _ { j } \partial \theta _ { k } \partial \theta _ { l } } E ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } N _ { \mathrm { H } } ( t ) } & { { } = k _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { g r } } N _ { \mathrm { D } } ( t ) - k _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { b g } } N _ { \mathrm { H } } ( t ) } \\ { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } N _ { \mathrm { D } } ( t ) } & { { } = - k _ { \mathrm { H } } ^ { \mathrm { g r } } N _ { \mathrm { D } } ( t ) - k _ { \mathrm { D } } ^ { \mathrm { b g } } N _ { \mathrm { D } } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( D _ { \xi } D _ { \tau } - 1 ) g . f } & { { } = 0 } \\ { D _ { \xi } D _ { \tau } ( f . f ) } & { { } = s g ^ { * } } \\ { 2 i D _ { \xi } ( g . f ) } & { { } = s f ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { s = 1 } ^ { S } U _ { t , s } \right) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } + o ( 1 ) , } & { \mathrm { f o r ~ , } } \\ { \frac { { A ^ { 0 } } ^ { 2 } + { B ^ { 0 } } ^ { 2 } } { 6 } + o ( 1 ) , } & { \mathrm { f o r ~ , } } \end{array} \right. } \\ & { = B _ { T , S } , ~ ~ \mathrm { ( s a y ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { E } } & { \in L ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { M } ^ { + } ( \overline { { \Omega } } ) ) , } \\ { \textup { d } \mathfrak { E } } & { : = \frac { 1 } { 2 } \overline { { \varrho } } \left( \overline { { | \textbf { \textup { U } } | ^ { 2 } } } - | \textbf { \textup { U } } | ^ { 2 } \right) \textup { d } x , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Psi _ { \mathbf { x } , k } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) = { \frac { \Phi _ { \mathbf { x } , k } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots \mathbf { x } _ { N } ) } { { \left\| \Phi _ { \mathbf { x } , k } ( \mathbf { x } _ { 1 } , \mathbf { x } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { x } _ { N } ) \right\| } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { { } = r + \frac { r ( 1 - r ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } { 1 - r ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } , } \\ { T } & { { } = \frac { ( 1 - r ) ^ { 2 } \tau } { 1 - r ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { G } ( \mathbf { r } _ { i j } ) \mathbf { d } _ { j } = } & { \frac { k ^ { 3 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { m } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k r _ { i j } } \Bigg [ \left( \frac { 1 } { k r _ { i j } } + \frac { \mathrm { i } } { ( k r _ { i j } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( k r _ { i j } ) ^ { 3 } } \right) \mathbf { d } _ { j } } \\ & { - \left( \frac { 1 } { k r _ { i j } } + \frac { 3 \mathrm { i } } { ( k r _ { i j } ) ^ { 2 } } - \frac { 3 } { ( k r _ { i j } ) ^ { 3 } } \right) ( \hat { \mathbf { r } } _ { i j } \cdot \mathbf { d } _ { j } ) \hat { \mathbf { r } } _ { i j } \Bigg ] . } \end{array}
A _ { \mu } = C _ { \mu , I } H _ { I } + \phi _ { I } { \mathcal D } _ { \mu } H _ { I } + i \beta _ { I J } [ H _ { I } , { \mathcal D } _ { \mu } H _ { J } ] + \mathrm { ( n o n l i n e a r ~ t e r m s ) } ,
A = - 2 p \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { \ldots } } & { { 1 } } \\ { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { 1 } } & { { \ldots } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, ,
\mathscr { X } _ { _ { \mathscr { R } _ { - } ( t ) } } - \omega ( t ) \in { \mathbb { P } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \omega ( t ) = \frac { \int _ { \mathscr { R } _ { - } ( t ) } r \mathrm { d } r \mathrm { d } z } { \int _ { \mathscr { R } } r \mathrm { d } r \mathrm { d } z } , \quad t \in [ 0 , T ] .
C _ { L } ^ { \mathrm { ~ g ~ } } = \frac { 4 } { U _ { \infty } } \int _ { 0 } ^ { s } \frac { \mathrm { ~ d ~ } v _ { g } } { \mathrm { ~ d ~ } \sigma } \zeta ( s - \sigma ) \mathrm { ~ d ~ } \sigma \cos \alpha ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { | \hat { Y } _ { t _ { n } } | ^ { 2 } } & { + ( 1 - \lambda _ { 2 } ) \Delta t _ { n } | \hat { Z } _ { t _ { n } } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } ( 1 - \lambda _ { 3 } ) \Delta t _ { n } | \hat { \Gamma } _ { t _ { n } } | ^ { 2 } } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ | \hat { Y } _ { t _ { n + 1 } } | ^ { 2 } + 2 \hat { Y } _ { t _ { n + 1 } } f \Delta t _ { n } + ( 1 + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } \right. } \\ & { \left. + \frac { 1 } { K _ { \gamma } ^ { 2 } } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 } \int _ { E } \gamma ^ { 2 } ( e ) \lambda ( d e ) ) \Delta t _ { n } | f _ { t _ { n } } | ^ { 2 } \right\} . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { x , \pm } ^ { R } } & { { } = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \sigma _ { x } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { y , \pm } ^ { R } } & { { } = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \sigma _ { y } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \\ { S _ { z , \pm } ^ { R } } & { { } = \frac { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \sigma _ { z } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } { \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { q \in ( \mathcal { P } _ { p } ^ { 1 } \setminus \mathcal { S } _ { p } ^ { 0 } ) } \tilde { R } _ { p } ^ { 1 } ( q ) } & { \geq \sum _ { q \in ( \mathcal { P } _ { p } ^ { 1 } \setminus \mathcal { S } _ { p } ^ { 0 } ) } \operatorname* { m a x } _ { l = 1 , \ldots , k ( q ) } \bar { R } _ { p } ^ { l } ( q ) - ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 3 / 4 } - c ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 3 / 4 } \ln T _ { p } ^ { q + 1 } - A _ { p } ( q ) } \\ & { \geq \sum _ { q \in ( \mathcal { P } _ { p } ^ { 1 } \setminus \mathcal { S } _ { p } ^ { 0 } ) } \operatorname* { m a x } _ { l = 1 , \ldots , k ( q ) } \hat { R } _ { p } ^ { l } ( q ) - \sum _ { q < q _ { 0 } } \left( 4 ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 7 / 8 } + c ( T _ { p } ^ { q + 1 } ) ^ { 3 / 4 } \ln T _ { p } ^ { q + 1 } \right) } \\ & { \geq \sum _ { q \in ( \mathcal { P } _ { p } ^ { 1 } \setminus \mathcal { S } _ { p } ^ { 0 } ) } \hat { R } _ { p } ^ { 0 } ( q ) - \eta _ { p } T _ { p } ^ { q _ { 0 } } - 4 ( 4 + c \ln T _ { p } ^ { q _ { 0 } } ) T ^ { 1 5 / 1 6 } } \\ & { \geq \sum _ { q \in ( \mathcal { P } _ { p } ^ { 1 } \setminus \mathcal { S } _ { p } ^ { 0 } ) } \bar { R } _ { p } ^ { * } ( q ) - \eta _ { p } T - 3 \epsilon _ { p } T - 4 ( 5 + c \ln T ) T ^ { 1 5 / 1 6 } . } \end{array}
\mathcal { F } _ { 1 } ^ { + } = \mathcal { F } _ { 1 } ^ { + t } + \mathcal { F } _ { 1 1 } ^ { + l } + \mathcal { F } _ { 1 2 } ^ { + l } + \mathcal { F } _ { 1 3 } ^ { + l } + \mathcal { F } _ { 1 4 } ^ { + l } + \mathcal { F } _ { 1 5 } ^ { + l } + \mathcal { F } _ { 1 6 } ^ { + l } .
\sum _ { \mathbf { k } \in \beth _ { n , T } } \left| \varepsilon _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } \right| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left| \mathcal { A } _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ( t ) \right| \leq \sum _ { v \in \mathcal { B } _ { n } } \sum _ { \mathbf { k } \in \beth _ { n , T } ^ { v } } \left| \varepsilon _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } \right| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left| \mathcal { A } _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ( t ) \right| .
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } _ { \epsilon } ( t , \xi ) = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \Psi ( t , \sigma ) \mathcal { V } _ { 0 } ( \xi - \sigma ) d \sigma - \mu _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { t } g ( s ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \partial _ { \sigma } [ \Psi ( t - s , \xi - \sigma ) ] h _ { \epsilon } ( \sigma ) \mathcal { V } _ { \epsilon } ( s , \sigma ) d \sigma d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u _ { x } + u _ { y } \partial _ { y } u _ { x } } & { = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { y } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { y } \right] + c _ { s } ^ { + } \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { y } } { \rho } \partial _ { y } \rho + \partial _ { y } u _ { y } \right] } & { = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { y } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { y } \right] + c _ { s } ^ { - } \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { y } } { \rho } \partial _ { y } \rho + \partial _ { y } u _ { y } \right] } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial n _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } = \frac { 1 } { n _ { 0 } } \big [ 1 - x \operatorname { t a n h } { ( x ) } \big ] \phi _ { c l } ( x , 0 ) \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] , } \\ & { \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial p _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } = \frac { 2 i } { n _ { 0 } | c | } \, x \, \phi _ { c l } ( x , 0 ) \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] , } \\ & { \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial x _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } = \big [ \frac { n _ { 0 } | c | } { 2 } \operatorname { t a n h } { ( x ) } \big ] \phi _ { c l } ( x , 0 ) \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right] , } \\ & { \frac { \partial \Vec { \phi } _ { c l } ( x , t ) } { \partial \theta _ { 0 } } \rvert _ { t = 0 } = i \phi _ { c l } ( x , 0 ) \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi } & { { } \to \Phi + \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { d } \Lambda _ { \ell } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q > 0 , } \\ { a _ { \ell } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } q = 0 , } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad \pounds _ { \beta } \Lambda _ { \ell } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = \frac { 4 } { 3 } A _ { 0 } ^ { 3 } + } & { { } A _ { 0 } ^ { 2 } \left\{ \left[ \hat { P } _ { 2 } ^ { ( a ) } ( s ) \right] ^ { 2 } - \left[ \hat { Q } _ { 1 } ^ { ( a ) } ( s ) \right] ^ { 2 } \right. } \end{array}
\delta _ { H Z Z } ^ { ( 2 ) } = \delta _ { H Z Z , \, n u } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { u } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \frac { 1 5 } { 2 } - \zeta ( 2 ) \right] N _ { c } C _ { F } \frac { \alpha _ { s } } { \pi } x _ { t } ,
\begin{array} { r l } { A z { \bar { z } } + B z + C { \bar { z } } + D } & { { } = 0 } \\ { A { \frac { 1 } { w } } { \frac { 1 } { \bar { w } } } + B { \frac { 1 } { w } } + C { \frac { 1 } { \bar { w } } } + D } & { { } = 0 } \\ { A + B { \bar { w } } + C w + D w { \bar { w } } } & { { } = 0 } \\ { D { \bar { w } } w + C w + B { \bar { w } } + A } & { { } = 0 . } \end{array}
F = - { \frac { d V } { d r } } = - { \frac { \mu c ^ { 2 } } { 2 r ^ { 4 } } } \left[ r _ { \mathrm { { s } } } r ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } r + 3 r _ { \mathrm { { s } } } a ^ { 2 } \right] = 0
\begin{array} { r l } & { \Omega _ { 1 } = \{ z \in \mathbb { R } ^ { n m } : V _ { 1 } ( z ) \leq \operatorname* { m a x } _ { s \in \mathbb { R } ^ { n m } , \| s \| \leq \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 4 } } V _ { 1 } ( s ) + 1 \} , } \\ & { \Omega _ { 2 } = \{ z \in \mathbb { R } ^ { n m } : V _ { 1 } ( z ) \leq \operatorname* { m a x } _ { s \in \mathbb { R } ^ { n m } , \| s \| \leq \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 4 } } V _ { 1 } ( s ) \} . } \end{array}
( n + 1 ) ! ( n + 2 ) ! \, x _ { 2 } \, b _ { n + 2 } - ( n + 1 ) ( 1 + x _ { 1 } \, x _ { 2 } ) \, b _ { n + 1 } + { \frac { x _ { 1 } } { n ! ( n - 1 ) ! } } \, b _ { n } = 0 \ .
\begin{array} { r l r } { \left\| \left[ X , \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } ) } \right] \right\| } & { \leq } & { \sum _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \| [ X , A _ { \eta _ { r + 1 } } ^ { ( j _ { r + 1 } ) } ] \| \prod _ { k , \ k \neq r + 1 } \| A _ { \eta _ { k } } ^ { ( j _ { k } ) } \| } \\ & { \leq } & { \sum _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \prod _ { k = 1 } ^ { \ell } \| A _ { \eta _ { k } } \| } \\ & { \leq } & { \ell \cdot 2 ^ { \ell - m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \pm } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } & { = - \Delta _ { x x } ^ { 1 1 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \frac { \Gamma _ { x x } ^ { 1 1 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } { 2 } \pm \textrm { s i g n } \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } \right) \sqrt { \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \frac { \Gamma _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } } { 2 } \right) ^ { 2 } } + i \frac { \Gamma _ { 1 } } { 2 } , } \\ { \Sigma _ { \pm } ( \mathbf { k } _ { | | } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 \pm \textrm { s i g n } \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } \right) \frac { - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \Gamma _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) / 2 } { \sqrt { \left( - \Delta _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) + i \Gamma _ { x x } ^ { 1 2 } ( \mathbf { k } _ { | | } ) / 2 \right) ^ { 2 } + ( \omega _ { 1 } - \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } / 4 } } \right) } \end{array}
\tan { \frac { E } { 2 } } = { \frac { \tan { \frac { 1 } { 2 } } a \tan { \frac { 1 } { 2 } } b \sin C } { 1 + \tan { \frac { 1 } { 2 } } a \tan { \frac { 1 } { 2 } } b \cos C } } .
\begin{array} { r l } { S _ { m , \alpha } } & { = \frac { 1 } { 2 } \omega _ { m , \alpha } a \Bigg ( \omega _ { m , \alpha } a ( J _ { m } ^ { \prime } ( \omega _ { m , \alpha } a ) ) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { m ^ { 2 } } { \omega _ { m , \alpha } a } J _ { m } ^ { 2 } ( \omega _ { m , \alpha } ) + \omega _ { m , \alpha } a J _ { m } ^ { 2 } ( \omega _ { m , \alpha } a ) \Bigg ) . } \end{array}
\Delta _ { A } = m _ { \Psi } ^ { 2 } - m _ { A } ^ { 2 } = \frac { 1 4 } { 3 } g ^ { 2 } \alpha m ^ { 2 } , \qquad \Delta _ { B } = m _ { \Psi } ^ { 2 } - m _ { B } ^ { 2 } = - 2 g ^ { 2 } \alpha m ^ { 2 } .
\Delta \phi _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ p ~ a ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } = \frac { 1 } { \hbar } \left( \frac { p _ { 1 } + p _ { 2 } } { 2 } \right) \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) ,