harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { R a m a n } } ( \omega _ { s } ) } & { \propto \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - j ( \omega _ { I } - \omega _ { s } ) t } \left\langle \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) e ^ { j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) e ^ { - j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \right\rangle _ { \rho } d t } \\ & { \propto \omega _ { I } \omega _ { s } ^ { 3 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - j ( \omega _ { I } - \omega _ { s } ) t } \mathrm { T r } \left( \widehat { \rho } \widehat { \mathcal { P } } ^ { \dagger } ( \omega _ { I } ) e ^ { j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \widehat { \mathcal { P } } ( \omega _ { I } ) e ^ { - j \frac { \widehat { H _ { a } } } { \hbar } t } \right) d t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { \mu } } & { { } = \partial _ { \mu } - i g \frac { \lambda ^ { a } } { 2 } A _ { \mu } ^ { a } } \\ { F _ { \mu \nu } ^ { a } } & { { } = \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } + g f ^ { a b c } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { a } } \end{array}
\textnormal { I m } \Big ( d _ { f } \mathscr { F } \big ( c _ { \mathbf { m } } ( \widetilde { \gamma } ) , 0 \big ) \Big ) = \mathtt { s p a n } ^ { \perp _ { ( \cdot | \cdot ) } } \big ( \varphi \mapsto \sin ( \mathbf { m } \varphi ) \big ) .
\begin{array} { r l } { \Theta ^ { - } ( 0 , s ) } & { { } = \Theta ^ { + } ( 0 , s ) , } \\ { b ^ { - } \frac { \partial } { \xi } \Theta ^ { - } ( 0 , s ) } & { { } = b ^ { + } \frac { \partial } { \partial \xi } \Theta ^ { + } ( 0 , s ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \mathbf { c } ^ { ( * ) } , \boldsymbol { \theta } ^ { ( * ) } \right\} = \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { c } , \boldsymbol { { \theta } } ^ { ( M ) } } \frac { \langle \Psi \left( \mathbf { c } , \boldsymbol { \theta } \right) \rvert H \lvert \Psi \left( \mathbf { c } , \boldsymbol { \theta } \right) \rangle } { \langle \Psi \left( \mathbf { c } , \boldsymbol { \theta } \right) \vert \Psi \left( \mathbf { c } , \boldsymbol { \theta } \right) \rangle } , } \end{array}
{ \hat { H } } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 I _ { x x } } } { \hat { J } } _ { x } ^ { 2 } - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 I _ { y y } } } { \hat { J } } _ { y } ^ { 2 } - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 I _ { z z } } } { \hat { J } } _ { z } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { P ( \mathcal { N } _ { 1 } ) = \binom { k _ { C } - 1 } { \mathcal { N } _ { 1 } } \beta ^ { \mathcal { N } _ { 1 } } ( 1 - \beta ) ^ { k _ { C } - 1 - \mathcal { N } _ { 1 } } . } \end{array}
\xi _ { Q } = s _ { 0 } ( 1 - g _ { Q } ) ^ { 3 } + s _ { 1 } ( 1 - g _ { Q } ) ^ { 2 } \, \tilde { \delta } _ { Q } + s _ { 2 } ( 1 - g _ { Q } ) \, \tilde { \delta } _ { Q } ^ { 2 } + s _ { 3 } \, \tilde { \delta } _ { Q } ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { x _ { 5 } ^ { i } = \frac { 2 x _ { 2 } ^ { i } } { \rho _ { i } } } & { = x _ { 1 } ^ { i } - \frac { x _ { 4 } ^ { i } } { \rho _ { i } } } \\ & { = x _ { 1 } ^ { i } - x _ { 6 } ^ { i } } \\ & { = \rho _ { i } x _ { 4 } ^ { i } - ( n - i - 4 ) x _ { 6 } ^ { i } - x _ { 6 } ^ { i } } \\ & { = \rho _ { i } ^ { 2 } x _ { 6 } ^ { i } - ( n - i - 4 ) x _ { 6 } ^ { i } - x _ { 6 } ^ { i } } \\ & { = ( \rho _ { i } ^ { 2 } - n + i + 3 ) x _ { 6 } ^ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { 1 } } & { { } = \frac { 2 \pi c \tau _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { \lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } } } \\ { \Pi _ { 2 } } & { { } = \frac { 2 \pi \mathrm { ~ F ~ W ~ H ~ M ~ } } { \lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } } } \\ { \Pi _ { 3 } } & { { } = \frac { Z _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 } e ^ { 2 } n _ { O } \lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } ^ { 2 } } { \varepsilon _ { 0 } 4 \pi ^ { 2 } m _ { O } c ^ { 2 } } } \\ { \Pi _ { 4 } } & { { } = \left( \frac { E _ { \mathrm { ~ L ~ } } \lambda _ { \mathrm { ~ L ~ } } ^ { 2 } \sin \left( \Theta _ { \mathrm { ~ L ~ } } \right) } { \tau _ { \mathrm { ~ L ~ } } \pi \mathrm { ~ F ~ W ~ H ~ M ~ } ^ { 2 } \cdot 1 . 3 7 \times 1 0 ^ { 1 8 } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega = \sqrt { k _ { x } ^ { 2 } ( u _ { x } ^ { 2 } k _ { x } ^ { 2 } - A _ { x } u _ { z } ^ { 2 } ) + ( u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } ) k _ { x } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ( u _ { y } ^ { 2 } k _ { y } ^ { 2 } - A _ { y } u _ { z } ^ { 2 } ) } } \end{array}
e ^ { j ( 2 \zeta + \pi ) } \Gamma _ { \mathrm { i n } } ( \zeta ) = \sum _ { \ell = 1 , 3 , \ldots } ^ { \infty } w _ { \ell } ( \theta _ { 0 } ) \frac { \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) - j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( \zeta ) } { \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( \zeta ) + j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( \zeta ) } .
\begin{array} { r l } { \Tilde { z } } & { = \left( \frac { | x | } { N t } \right) ^ { \frac { 1 } { N - 1 } } e ^ { i \left( \phi _ { x } + \frac { 2 \pi j } { N - 1 } \right) } , \ j = 0 , 1 , \dots N - 2 , } \\ { \phi _ { x } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { x \geq 0 } \\ { \pi , } & { x < 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
S _ { \mathrm { c o n v } } ^ { ( 3 ) } ( \textbf { k } _ { 1 } , \textbf { k } _ { 2 } ) = S ( \textbf { k } _ { 1 } ) S ( \textbf { k } _ { 2 } ) S ( | \textbf { k } _ { 1 } + \textbf { k } _ { 2 } | ) ,
\begin{array} { r l } { P _ { \sigma } B ^ { T } ( R _ { \lambda , B ^ { T } , \sigma } ) ^ { T } } & { { } = \sum _ { p , q } b _ { \sigma ( q ) p } E _ { p q } \left( \sum _ { r = 1 } ^ { \lambda } E _ { r r } + \sum _ { r = \lambda + 1 } ^ { m } ( b _ { \sigma ( j ) \lambda } E _ { r r } - b _ { \sigma ( j ) r } E _ { \lambda r } ) \right) } \end{array}
\mathrm { M A T - R M S D } \left( \mathbb { S } _ { \mathrm { C R E S T } } , \mathbb { S } _ { \mathrm { P D B } } \right) = \frac { 1 } { \lvert \mathbb { S } _ { \mathrm { P D B } } \rvert } \sum _ { \mathbf { R } ^ { \prime } \in \mathbb { S } _ { \mathrm { P D B } } } \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { R } \in \mathbb { S } _ { \mathrm { C R E S T } } } \mathrm { R M S D } \left( \mathbf { R } , \mathbf { R } ^ { \prime } \right)
U = \left( \begin{array} { c c c } { { - 0 . 5 9 9 } } & { { 0 . 3 2 6 } } & { { - 0 . 7 3 2 } } \\ { { 0 . 7 9 5 } } & { { 0 . 3 5 0 } } & { { - 0 . 4 9 5 } } \\ { { 0 . 0 9 5 } } & { { - 0 . 8 7 8 } } & { { - 0 . 4 6 9 } } \end{array} \right) .
f _ { 9 } ^ { A } = V _ { 1 1 } \sum _ { ( n ^ { 1 } , n ^ { 2 } ) \ne ( 0 , 0 ) } \left( n ^ { I } g _ { I J } n ^ { J } \right) ^ { - 3 / 2 } \ , \quad V _ { 1 1 } = \sqrt { \operatorname * { d e t } g _ { I J } }
c \ \int _ { \epsilon } ^ { \infty } d t \ t ^ { \delta } \int _ { \epsilon } ^ { t } d u \ u ^ { \rho } = \frac { c } { \rho + 1 } \int _ { \epsilon } ^ { \infty } d t \, B i g ( t ^ { \rho + \delta + 1 } - t ^ { \delta } \epsilon ^ { \rho + 1 } \Big ) .
0 \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { - } ) \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { b a l } } ) \xrightarrow { \textup { r e s } _ { \mathrm { b a l } } ^ { - } } { H } ^ { 1 } ( G _ { p } , F ^ { + } T _ { \textup { \bf f } } \, \widehat \otimes \, F ^ { - } T _ { \mathbf { g } } \otimes _ { \mathcal { R } _ { \mathbf { g } } } F ^ { + } T _ { \mathbf { g } } ^ { * } )
[ \delta _ { s _ { i } } , \delta _ { s _ { j } } ] = [ \delta _ { s _ { i } } , \delta _ { \nu _ { j } } ] = [ \delta _ { \nu _ { i } } , \delta _ { \nu _ { j } } ] = 0 , \, \, \ [ \delta _ { s _ { i } } , s _ { j } ] = \delta _ { i j } \delta _ { s _ { j } } , \, \, [ \delta _ { \nu _ { i } } , \nu _ { j } ] = \delta _ { i j } \delta _ { \nu _ { i } } .
{ \hat { S } } ^ { \dagger } ( z ) { \hat { a } } { \hat { S } } ( z ) = { \hat { a } } \cosh r - e ^ { i \theta } { \hat { a } } ^ { \dagger } \sinh r \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad { \hat { S } } ^ { \dagger } ( z ) { \hat { a } } ^ { \dagger } { \hat { S } } ( z ) = { \hat { a } } ^ { \dagger } \cosh r - e ^ { - i \theta } { \hat { a } } \sinh r
\delta V _ { b } ^ { Z } = - \delta A _ { b } ^ { Z } = \frac { A _ { F B } ^ { e x p } - A _ { F B } ^ { S M } } { A _ { F B } ^ { S M } } \frac { v _ { b } a _ { b } } { a _ { b } - v _ { b } } \frac { v _ { b } ^ { 2 } + a _ { b } ^ { 2 } } { ( v _ { b } + a _ { b } ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a p } _ { U , a } ( A ) } & { = \langle D _ { w } q , L _ { A } D _ { w } q \rangle } \\ & { = \langle D _ { w } a , L _ { A } | _ { U } D _ { w } a \rangle } \\ & { = \langle r , L _ { A } ^ { + } r \rangle } \\ & { = \langle r _ { U } , ( L _ { A } ^ { + } ) _ { U } r _ { U } \rangle . } \end{array}
v _ { \parallel } ^ { * } = \frac { 2 } { 9 } \frac { \Delta \rho ^ { * } g ^ { * } ( a ^ { * } ) ^ { 2 } A R } { \mu ^ { * } } X ( A R ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad v _ { \bot } ^ { * } = \frac { 2 } { 9 } \frac { \Delta \rho ^ { * } g ^ { * } ( a ^ { * } ) ^ { 2 } A R } { \mu ^ { * } } Y ( A R )
= \frac 1 3 \delta _ { \mu \nu } \left\{ \frac 2 3 D _ { m _ { B } } ^ { ( 4 ) } ( x ) + m _ { 2 } ^ { 2 } \left[ \left( \frac { m _ { B } } { m _ { 1 } M _ { 1 } } \right) ^ { 2 } D _ { M _ { 1 } } ^ { ( 4 ) } ( x ) - \left( \frac { m _ { B } } { m _ { 2 } M _ { 2 } } \right) ^ { 2 } D _ { M _ { 2 } } ^ { ( 4 ) } ( x ) - \frac { 2 m _ { 2 } ^ { 2 } } { M _ { 1 } ^ { 2 } M _ { 2 } ^ { 2 } } D _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ( x ) \right] \right\} .
\zeta _ { n } = \operatorname * { l i m } _ { { N \to \infty } \atop { \forall \Theta \rightarrow 0 } } ( C ^ { ( m ) } ) ^ { - n } N ^ { \chi _ { n } ^ { ( m ) } } \sum _ { l = 2 } ^ { m } \alpha _ { n l } ^ { ( m ) } \Theta _ { l }
\frac { d T _ { c v } } { d t } = \frac { 1 } { m _ { c v } c _ { p _ { c v } } } \left( \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { i } } \Dot { m } _ { i n , i } ( h _ { i n , i } - h _ { o u t , i } ) \right] + \Dot { Q } + \Dot { W } _ { e l } - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { i } } \left[ h _ { o u t , \; i } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { j } } r _ { i , \; j } \right] \right) ,
D _ { \mathrm { K L } } \left( { \mathcal { N } } _ { 0 } \parallel { \mathcal { N } } _ { 1 } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \left( \operatorname { t r } \left( \Sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \Sigma _ { 0 } \right) - k + \left( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } \right) ^ { \mathsf { T } } \Sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } \right) + \ln \left( { \frac { \operatorname* { d e t } \Sigma _ { 1 } } { \operatorname* { d e t } \Sigma _ { 0 } } } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { R } \mathrm { e } _ { \alpha } = } & { { } ~ \frac { \rho _ { \alpha } V _ { 0 } L _ { 0 } } { \nu _ { \alpha } } , } \\ { \mathbb { F } \mathrm { r } = } & { { } ~ \frac { V _ { 0 } } { \sqrt { b L _ { 0 } } } , } \\ { \mathbb { C } \mathrm { n } _ { \alpha } = } & { { } ~ \frac { \varepsilon _ { \alpha } } { L _ { 0 } } , } \\ { \mathbb { W } \mathrm { e } _ { \alpha } = } & { { } ~ \frac { \rho _ { \alpha } V _ { 0 } ^ { 2 } L _ { 0 } } { a _ { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta } & { \geq \frac { 1 } { F _ { p } ( 2 p ^ { r + s - 1 } / \log { n } ) } \cdot \frac { p ^ { s ( s - 1 ) / 2 } } { ( s - 1 ) ^ { s - 1 } } \cdot \frac { x } { 3 p ^ { r + s - 1 } } \cdot \frac { x } { 2 L } \exp \Big ( - \Big ( \frac { L p ^ { r + s - 1 } } { x } + 1 \Big ) \Big ( 1 + \frac { 4 } { s } \Big ) \Big ) } \\ & { \geq \frac { 1 } { 6 } \frac { 1 } { F _ { p } ( 2 p ^ { r + s - 1 } / \log { n } ) } \cdot \frac { p ^ { s ( s - 1 ) / 2 } } { ( s - 1 ) ^ { s - 1 } } \cdot \frac { x } { \log { n } } \cdot \exp \Big ( - \Big ( \frac { L p ^ { r + s - 1 } } { x } + 1 \Big ) \Big ( 1 + \frac { 4 } { s } \Big ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { a ( { \bf w } , { \bf v } ) + \varepsilon ( { \bf w } , { \bf v } ) _ { L ^ { 2 } } = - \varepsilon ^ { - 1 } \left[ a ( R _ { \varepsilon } \Lambda , { \bf v } ) + \varepsilon ( R _ { \varepsilon } \Lambda , { \bf v } ) _ { L ^ { 2 } } \right] = - \varepsilon ^ { - 1 } \, \langle \Lambda , { \bf v } \rangle \qquad \mathrm { f o r ~ a n y ~ } v \in H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \int _ { Q _ { i } } z ^ { i } ( v - u ^ { \tau } ) \left[ y ^ { i } ( u ^ { \tau } , 0 ) - y _ { d } ^ { i } + \frac { 1 } { \sqrt { \tau } } h ^ { i , \tau } \right] \, d x d t } \\ { = } & { \displaystyle - \sum _ { i = 2 } ^ { m } \int _ { 0 } ^ { T } \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } p ^ { i , \tau } ( \cdot , b _ { i } ^ { - } ) ( v ^ { i } - u ^ { i , \tau } ) d t + \displaystyle \sum _ { i = m + 1 } ^ { N } \int _ { 0 } ^ { T } ( v ^ { i } - u ^ { i , \tau } ) I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } p ^ { i , \tau } ( t , b _ { i } ^ { - } ) d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { = \left( \mathbf { I } - \tilde { \mathbf { x } } \right) ^ { - 1 } \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) = ( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } + \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } + \tilde { \mathbf { x } } ^ { 3 } + \ldots ) \left( \mathbf { I } + \tilde { \mathbf { x } } \right) } \\ & { = \mathbf { I } + \sigma ( \tilde { \mathbf { x } } + \tilde { \mathbf { x } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Xi _ { \lambda , r , j } ^ { ( k ) } ( U ) : = M _ { \lambda , r } ( u _ { \lambda j } , u _ { r j } ) = \boldsymbol { 1 } - u _ { r j } E _ { r \lambda } + ( u _ { \lambda j } - 1 ) E _ { r r } \in R ^ { k \times k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { y ^ { T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T } } \sum _ { x ^ { 2 : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - 1 } } \phi _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } ) } \\ & { \times \prod _ { t = 2 } ^ { T } F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ^ { y _ { t } } [ 1 - F ( \theta x _ { t } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { t } } G _ { y ^ { t } , x ^ { t } } ^ { t } ( \alpha ) ^ { x _ { t } } [ 1 - G _ { y ^ { t } , x ^ { t } } ^ { t } ( \alpha ) ] ^ { 1 - x _ { t } } } \\ & { \times F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ^ { y _ { 1 } } [ 1 - F ( \theta x _ { 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { 1 } } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( 1 - \frac { h _ { 2 } } { \sigma } \right) \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } } & { \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } \left( x , y , \frac { | u _ { n } ( x ) - u _ { n } ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { d x \ d y } { | x - y | ^ { N } } } \\ & { + \left( 1 - \frac { h _ { 2 } } { \sigma } \right) \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) \mathcal { H } _ { x } ( x , | u _ { n } | ) d x \leq c _ { 5 } ( 1 + \| u _ { n } \| ) . } \end{array}
I _ { n m } ^ { e - i } = \frac { 2 \pi } { \hbar } | M _ { e - i } ( \varepsilon _ { n } , \varepsilon _ { m } ) | ^ { 2 } \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { e } ( \varepsilon _ { n } ) [ 2 - f _ { e } ( \varepsilon _ { m } ) ] - f _ { e } ( \varepsilon _ { m } ) [ 2 - f _ { e } ( \varepsilon _ { n } ) ] e ^ { - \Delta \varepsilon / T _ { i } } ; } & { \mathrm { f o r ~ n ~ > ~ m ~ } } \\ { f _ { e } ( \varepsilon _ { m } ) [ 2 - f _ { e } ( \varepsilon _ { n } ) ] e ^ { - \Delta \varepsilon / T _ { i } } - f _ { e } ( \varepsilon _ { n } ) [ 2 - f _ { e } ( \varepsilon _ { m } ) ] ; } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { F ( \ ) \! \! \! } & { = } & { \! \! \! ( L _ { * } H _ { 0 } ) ( \mathrm { d u a l } \, ( \mathrm { T o t } \, C ( \ ) ) \otimes \mathrm { d u a l } \, ( \mathrm { T o t } \, C ( \ ) ) ) } \\ { \! \! \! } & { = } & { \! \! \! ( L _ { * } H _ { 0 } ) \circ ( \mathrm { d u a l } \otimes \mathrm { d u a l } \circ \, ( \mathrm { T o t } \, C ) ) ( \ ) } \\ { \! \! \! } & { = } & { \! \! \! L _ { * } ( H _ { 0 } \circ \mathrm { d u a l } \otimes \mathrm { d u a l } \circ \mathrm { T o t } \, C ) ) ( \ ) . } \end{array}
U _ { i _ { 1 } i _ { 2 } . . i _ { N } } = \sum _ { \stackrel { k , l } { 2 k + l = N } } I _ { i _ { l + 1 } i _ { l + 2 } . . . . i _ { l + 2 k } } \phi _ { i _ { 1 } . . . i _ { l } } f ^ { ( k + l ) } + c y c l i c
\sigma ^ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad \sigma ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad \sigma ^ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) .
{ \frac { \ddot { \hat { a } } _ { 0 } } { \hat { a } _ { 0 } } } - { \frac { \ddot { \varepsilon } } { \varepsilon } } = - { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } \hat { G } _ { 5 } ^ { 2 } } { 9 c _ { 0 } ^ { 6 } } } ( 2 \hat { \varrho } ^ { 2 } c _ { 0 } ^ { 4 } + \hat { \sigma } \hat { \varrho } c _ { 0 } ^ { 2 } + 3 \hat { \sigma } \hat { \wp } + 3 \hat { \wp } \hat { \varrho } c _ { 0 } ^ { 2 } ) - { \frac { \hat { \cal C } c _ { 0 } ^ { 2 } } { \hat { a } _ { 0 } ^ { 4 } } } + { \frac { 4 \pi \hat { G } _ { 5 } } { 3 c _ { 0 } ^ { 2 } } } \left( \hat { \Lambda } + { \frac { 4 \pi \hat { G } _ { 5 } } { 3 c _ { 0 } ^ { 4 } } } \hat { \sigma } ^ { 2 } \right) ,
W _ { + } = - 2 \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } } + 4 n _ { 1 } - 2 \mu _ { 1 } + \frac { m ^ { 2 } + \ell ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + 2 g _ { 1 2 } n _ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \langle n ^ { \prime } | \hat { H } _ { n m } ( \hat { x } , \hat { p } ) | m ^ { \prime } \rangle } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \pi } \int \int d k _ { x } d k _ { p } f _ { n m } ( k _ { x } , k _ { p } ) \langle n ^ { \prime } | e ^ { i ( k _ { x } \hat { x } + k _ { p } \hat { p } ) } | m ^ { \prime } \rangle } \\ & { = } & { e ^ { i \frac { \pi } { 2 } ( m ^ { \prime } - n ^ { \prime } ) } \sqrt { \frac { n ^ { \prime } ! } { m ^ { \prime } ! } } \sqrt { \frac { n ! } { m ! } } \Big ( i \sqrt { \frac { 2 } { \lambda } } \Big ) ^ { m - n } \frac { \lambda } { \Gamma ( 1 - m + n ) } } \\ & { } & { \times \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i [ ( m - n ) - ( m ^ { \prime } - n ^ { \prime } ) ] \tau } d \tau } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \Big ( \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } k \Big ) ^ { m ^ { \prime } - n ^ { \prime } } k ^ { n - m + 1 } { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 + n ; 1 - m + n ; - \frac { \lambda } { 2 } k ^ { 2 } ) L _ { n ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } - n ^ { \prime } } \big ( \frac { \lambda } { 2 } k ^ { 2 } \big ) } \\ & { = } & { \delta _ { m - n , m ^ { \prime } - n ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { m - n } \sqrt { \frac { n ^ { \prime } ! } { ( m - n + n ^ { \prime } ) ! } } \sqrt { \frac { n ! } { m ! } } \frac { \lambda } { \Gamma ( 1 - m + n ) } } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { \infty } k d k \ { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 + n ; 1 - m + n ; - \frac { \lambda } { 2 } k ^ { 2 } ) L _ { n ^ { \prime } } ^ { m - n } \big ( \frac { \lambda } { 2 } k ^ { 2 } \big ) } \\ & { = } & { \delta _ { m - n , m ^ { \prime } - n ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { m - n } \sqrt { \frac { n ^ { \prime } ! } { ( m - n + n ^ { \prime } ) ! } } \sqrt { \frac { n ! } { m ! } } \frac { 2 } { \Gamma ( 1 - m + n ) } } \\ & { } & { \times \int _ { 0 } ^ { \infty } \Tilde { k } d \Tilde { k } \ { _ 1 F _ { 1 } } ( 1 + n ; 1 - m + n ; - \Tilde { k } ^ { 2 } ) L _ { n ^ { \prime } } ^ { m - n } \big ( \Tilde { k } ^ { 2 } \big ) \ \ \ ( \mathrm { w h e r e } \ \ \Tilde { k } = \sqrt { \frac { \lambda } { 2 } } k ) } \\ & { = } & { \delta _ { n , n ^ { \prime } } \delta _ { m , m ^ { \prime } } . } \end{array}
\frac { d W ^ { ( 0 ) } } { d z } = \frac { 2 q ^ { 2 } } { \pi } \operatorname* { l i m } _ { r \rightarrow r _ { 0 } } \mathrm { I m } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { z } \, \frac { k _ { z } } { \varepsilon _ { 0 } } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } K _ { 0 } ( k _ { z } | r - r _ { 0 } | \sqrt { 1 - \beta _ { 0 } ^ { 2 } } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \textbf { E } _ { s } } & { { } = [ C _ { 1 } ( 2 \lambda ^ { 2 } + 1 / \lambda ^ { 4 } - 3 ) + C _ { 2 } ( \lambda ^ { 4 } + 2 / \lambda ^ { 2 } - 3 ) ] A t _ { s } } \end{array}
\frac { - { \left( x ^ { 2 } + y - 2 \, x \, y \right) } ^ { - 1 - \varepsilon } } { \left( 1 + \varepsilon \right) \, \left( 1 + x - 2 \, y \right) } + \frac { 2 ^ { 1 + \varepsilon } \, { \left( 2 \, x ^ { 2 } + y - 5 \, x \, y + 2 \, y ^ { 2 } \right) } ^ { - 1 - \varepsilon } } { \left( 1 + \varepsilon \right) \, \left( 1 + x - 2 \, y \right) } .
\begin{array} { r } { \left[ \hat { \lambda } _ { 1 } , \hat { \lambda } _ { 8 } \right] = \left[ \hat { \lambda } _ { 2 } , \hat { \lambda } _ { 8 } \right] = \left[ \hat { \lambda } _ { 3 } , \hat { \lambda } _ { 8 } \right] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \tilde { H } ( \tau ^ { \prime } , I d ) = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 2 } - 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i \tau ^ { \prime } ( i ) } \\ & { = } & { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 2 } - 2 \sum _ { i \in [ n ] \backslash \{ i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } \} } i \tau ^ { \prime } ( i ) - 2 t _ { 0 } \sum _ { t = 1 } ^ { k } \tau ^ { \prime } ( i _ { t } ) - 2 \sum _ { t = 1 } ^ { k } ( i _ { t } - t _ { 0 } ) \tau ^ { \prime } ( i _ { t } ) } \\ & { = } & { 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } i ^ { 2 } - 2 \sum _ { i \in [ n ] \backslash \{ i _ { 1 } , \cdots , i _ { k } \} } i \tau ( i ) - 2 t _ { 0 } \sum _ { t = 1 } ^ { k } j _ { t } - 2 \sum _ { t = 1 } ^ { k } ( i _ { t } - t _ { 0 } ) \tau ^ { \prime } ( i _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert x ^ { t + 1 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } } & { = \Vert \mathrm { p r o x } _ { \gamma g } ( x ^ { t } - \gamma \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) ) - \mathrm { p r o x } _ { \gamma g } ( x ^ { * } - \gamma \nabla f ( x ^ { * } ) ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \Vert ( x ^ { t } - \gamma \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) ) - ( x ^ { * } - \gamma \nabla f ( x ^ { * } ) ) \Vert ^ { 2 } } \\ & { = \Vert x ^ { t } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \Vert \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) \Vert ^ { 2 } - 2 \gamma \langle \nabla f _ { j } ( x ^ { t } ) - \nabla f ( x ^ { * } ) , x ^ { t } - x ^ { * } \rangle . } \end{array}
\left[ \sigma _ { k } ^ { \left( i \right) , \ddag } \cdot r _ { R } ^ { \left( i \right) } \right] = \left[ \sigma _ { \ell } ^ { \left( j _ { R } \right) } \cdot r _ { \mathrm { E Q } } ^ { \left( j _ { R } \right) } \right]
\begin{array} { r l } { M _ { p , q } ^ { \mathrm { ~ L ~ G ~ } } ( t ) } & { { } = \sqrt { \frac { \gamma ^ { p } g ^ { q } T _ { 1 } ^ { p + q } T _ { 3 } } { p ! q ! T _ { 2 } ^ { 2 q } } } e ^ { c ^ { \dagger } c \ln T _ { 2 } } c ^ { \dagger q } c ^ { p } } \\ { T _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 - e ^ { - 2 ( \gamma - g ) t } } { \gamma - g e ^ { - 2 ( \gamma - g ) t } } } \\ { T _ { 2 } } & { { } = \frac { ( \gamma - g ) e ^ { - ( \gamma - g ) t } } { \gamma - g e ^ { - 2 ( \gamma - g ) t } } } \\ { T _ { 3 } } & { { } = \frac { \gamma - g } { \gamma - g e ^ { - 2 ( \gamma - g ) t } } = 1 - g T _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \sin \left( x t \right) \phi \left( x \right) d x } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \int \frac { d } { d x } \left( - \frac { \cos \left( x t \right) } { t } \right) \phi \left( x \right) d x = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { 1 } { t } \int \cos \left( x t \right) \phi _ { x } \left( x \right) d x = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { C } { t } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { U _ { \zeta } ( \theta , y , z ) : = \varepsilon \left( \sum _ { j _ { k } \in S } \sqrt { | j _ { k } | ( \zeta _ { k } + \varepsilon ^ { 2 ( b - 1 ) } y _ { k } ) } e ^ { \mathrm { i } ( \theta _ { k } + j _ { k } x ) } + \varepsilon ^ { ( b - 1 ) } z \right) , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ b \in ~ ( 1 , 1 + 1 / 1 2 ) ~ } , } \\ & { \mathrm { ~ w i t h ~ } \zeta _ { - k } : = \zeta _ { k } , \quad \theta _ { - k } : = - \theta _ { k } , \quad y _ { - k } : = y _ { k } . } \end{array}