harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { U _ { i } ^ { \prime \prime } ( t + 1 ) \! - \! \frac { p } { q } ( U _ { i } ( t \! + \! 1 ) \! - \! C _ { 2 } ) } & { = - \frac { p } { q } ( U _ { i } ( t ) + W _ { i } ( t + 1 ) - C _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { p } { q } C _ { 2 } - \frac { p } { q } ( U _ { i } ( t ) + W _ { i } ( t + 1 ) ) } \\ & { \le \frac { p } { q } C _ { 2 } \le \frac { 1 } { q } \log _ { 2 } ( 2 q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf { L } } \Psi ( { \mathbf { X } } , { \mathbf { r } } ) } & { = } & { ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } ) \sum _ { k } \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) \, \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } ) } \\ & { = } & { \sum _ { k } [ ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } ) \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) ] \, \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } ) + \sum _ { k } \psi _ { k } ( { \mathbf { X } } ) \, [ ( { \mathbf { L } } _ { n } + { \mathbf { L } } _ { e } ) \phi _ { k } ( { \mathbf { X } } ; { \mathbf { r } } ) ] , } \end{array}
q _ { i } = \mu ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { { - 7 . 6 0 5 7 } } \\ { { 6 . 9 5 2 2 } } \\ { { 0 . 0 } } \end{array} \right) , \ \ \ \ \ \ \ u _ { i } = \mu ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { { - 2 . 7 3 5 7 } } \\ { { 1 0 . 4 3 6 2 } } \\ { { 0 . 9 0 1 2 } } \end{array} \right) , \ \ \ \ \ \ \ d _ { i } = \mu ^ { - 1 } \left( \begin{array} { l } { { 1 1 . 3 6 8 2 } } \\ { { - 3 . 2 2 5 0 } } \\ { { 3 . 0 5 1 1 } } \end{array} \right)
S = \int _ { 0 } ^ { L } d y \int d ^ { 4 } x \sqrt { - G } \left( - \frac { 1 } { 2 } G ^ { M N } \partial _ { M } \Phi \partial _ { N } \Phi + \frac { 1 } { \sqrt { - G } } \partial _ { M } \left( \sqrt { - G } G ^ { M N } \Phi \partial _ { N } \Phi \right) - \frac { 1 } { 2 } V ( \Phi ) \right) \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { B d G } } = } & { \ i u _ { 1 } ^ { * } \dot { u } _ { 1 } - i v _ { 1 } ^ { * } \dot { v } _ { 1 } + i u _ { 2 } ^ { * } \dot { u } _ { 2 } - i v _ { 2 } ^ { * } \dot { v } _ { 2 } - \mathcal { H } _ { \mathrm { B d G } } , } \\ { \mathcal { H } _ { \mathrm { B d G } } = } & { \ \mathcal { H } _ { \mathrm { B d G } , 1 } + \mathcal { H } _ { \mathrm { B d G } , 2 } + \mathcal { H } _ { \mathrm { B d G , i n t } } , } \\ { \mathcal { H } _ { \mathrm { B d G } , 1 } = } & { \ u _ { 1 } ^ { * } D _ { 1 } ^ { + } u _ { 1 } + v _ { 1 } ^ { * } D _ { 1 } ^ { - } v _ { 1 } + n _ { 1 } ( u _ { 1 } ^ { * } v _ { 1 } + u _ { 1 } v _ { 1 } ^ { * } ) , } \\ { \mathcal { H } _ { \mathrm { B d G } , 2 } = } & { \ u _ { 2 } ^ { * } D _ { 2 } u _ { 2 } + v _ { 2 } ^ { * } D _ { 2 } v _ { 2 } + g _ { 2 } n _ { 2 } ( u _ { 2 } ^ { * } v _ { 2 } + u _ { 2 } v _ { 2 } ^ { * } ) } \\ { \mathcal { H } _ { \mathrm { B d G , i n t } } = } & { \ \varepsilon [ ( u _ { 1 } ^ { * } + v _ { 1 } ^ { * } ) ( u _ { 2 } + v _ { 2 } ) + \mathrm { c . c . } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { m _ { 0 } = \frac { 1 1 } { 2 0 } , \quad m _ { 1 } = \frac { 1 3 } { 6 0 } , \quad m _ { 2 } = \frac { 1 } { 1 2 0 } } \\ & { M ^ { ( n ) } = \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } \left( \frac { 1 } { 6 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } 2 n \right) + \frac { 1 3 } { 3 0 } \cos \left( \frac { 2 \pi } { n _ { \varphi } } n \right) + \frac { 1 1 } { 2 0 } \right) } \end{array}
\mathcal { E } ( \textbf { \textup { u } } , \vartheta ^ { ( 1 ) } \ | \ \textbf { \textup { U } } , \Theta ) ( \tau ) + \int _ { \overline { { \Omega } } } \textup { d } \mathfrak { E } ( \tau ) \leq c ( \nabla _ { x } \textbf { \textup { U } } , \nabla _ { x } \Theta ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \left( \mathcal { E } ( \textbf { \textup { u } } , \vartheta ^ { ( 1 ) } \ | \ \textbf { \textup { U } } , \Theta ) ( t ) + \int _ { \overline { { \Omega } } } \textup { d } \mathfrak { E } ( t ) \right) \textup { d } t .
G - { \frac { 1 } { 2 } } = J _ { 1 } + J _ { 2 } - 1 = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } \sin \pi \nu } \frac { \partial } { \partial \nu } \left( \sin \pi \nu \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \, \frac { \sinh ( 1 - \nu ) t } { \sinh t \cosh \nu t } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime \prime } ( x _ { 2 } / \varepsilon ) \textrm { d } x } & { = \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \beta ( x _ { 1 } , \varepsilon x _ { 2 } ) \phi ^ { \prime \prime } ( x _ { 2 } ) \textrm { d } x _ { 2 } \textrm { d } x _ { 1 } } \\ & { = - \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial \beta } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , \varepsilon x _ { 2 } ) \phi ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \textrm { d } x _ { 2 } \textrm { d } x _ { 1 } } \\ & { = \varepsilon \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { \frac { 1 } { 3 } } ^ { \frac { 2 } { 3 } } \frac { \partial ^ { 2 } \beta } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } ( x _ { 1 } , \varepsilon x _ { 2 } ) \phi ( x _ { 2 } ) \textrm { d } x _ { 2 } \textrm { d } x _ { 1 } } \\ & { + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \partial \beta } { \partial x _ { 2 } } \Big ( x _ { 1 } , \frac { \varepsilon } { 3 } \Big ) \textrm { d } x _ { 1 } . } \end{array}
\widehat { a } _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { k } ( 1 + d _ { k } ^ { a } ) , } & { 1 \leq k \leq r } \\ { a _ { k } , } & { k \geq r + 1 } \end{array} \right. , \ \widehat { b } _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { b _ { k } ( 1 + d _ { k } ^ { b } ) , } & { 1 \leq k \leq s } \\ { b _ { k } , } & { k \geq s + 1 } \end{array} \right. .
y ( t ) : = \| h ( t ) \| _ { L ^ { p } } ^ { p } \quad \mathrm { a n d } \quad G ( t ) : = \left( \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } | \nabla h ^ { p / 2 } | ^ { 2 } \left\langle v \right\rangle ^ { - 3 } \; \, \mathrm { d } v \right) \quad \mathrm { a n d } \quad N ( y ) : = \left( c _ { 0 } - \tilde { C } y ^ { \frac { 1 } { 3 ( p - 1 ) } } \overline { { M } } ^ { \frac { 2 } { 3 } \frac { p - \frac { 3 } { 2 } } { p - 1 } } \right) ,
H _ { \nu } = e ^ { i \rho } \frac { 1 } { 2 p } \left( \tilde { U } \hat { M } ^ { 2 } \tilde { U } ^ { \dagger } + \mathrm { d i a g } ( a _ { C C } , 0 , 0 , a _ { N C } ) \right) e ^ { - i \rho } \equiv e ^ { i \rho } \tilde { H } _ { \nu } e ^ { - i \rho } \, ,
F _ { _ { ( 2 ) } } = \left( \begin{array} { c c c } { { f } } & { { 0 } } & { { M _ { _ { ( 2 ) } } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { R _ { _ { ( 2 ) } } } } \\ { { - M _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ T } } } & { { - R _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { { S _ { 1 1 } ^ { \uparrow \downarrow , t h } } } & { = { \frac { - 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f ( 1 - f ) p } , } \\ { { S _ { 1 1 } ^ { \downarrow \uparrow , t h } } } & { = { \frac { - 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f ( 1 - f ) p , } \quad { S _ { 1 1 } ^ { \downarrow \downarrow , t h } } = { \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E f ( 1 - f ) . } } \end{array}
C ( \theta , t ) = \frac { R ^ { 2 } + 2 \left( \frac { \partial R } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } - R \frac { \partial ^ { 2 } R } { \partial \theta ^ { 2 } } } { \left[ R ^ { 2 } + \left( \frac { \partial R } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } .
\begin{array} { r } { T _ { 2 } = 6 4 \left( \sum _ { a \in S } \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a } , \varepsilon / 2 \} ^ { 2 } } + \sum _ { a \notin S } \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { \operatorname* { m a x } \{ \Delta _ { a } , \varepsilon / 2 \} ^ { 2 } } , \frac { 1 } { c _ { a } ^ { 2 } } + \sum _ { e : X ^ { \prime } \to X } \frac { 1 } { c _ { e } ^ { 2 } } \right\} \right) \log \frac { 1 6 n ^ { 2 } Z T _ { 2 } ^ { 3 } } { \delta } = 6 4 H \log \frac { 1 6 n ^ { 2 } Z T _ { 2 } ^ { 3 } } { \delta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \partial _ { s } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 0 , 2 ) } ( \varpi , p ) \right] _ { ( a ) } } & { { } = \frac 1 2 \int _ { \omega } \bar { \Gamma } _ { \kappa } ^ { ( 2 , 2 ) } ( \omega , q , - \omega , - q , \varpi , p ) \; \int _ { \omega , q } \tilde { \partial } _ { s } \bar { C } _ { \kappa } ( \omega , q ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \pi ( x ) } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { \mu ( n ) } { n } } \Pi ( x ^ { \frac { 1 } { n } } ) } \\ & { = \Pi ( x ) - { \frac { 1 } { 2 } } \Pi ( x ^ { \frac { 1 } { 2 } } ) - { \frac { 1 } { 3 } } \Pi ( x ^ { \frac { 1 } { 3 } } ) - { \frac { 1 } { 5 } } \Pi ( x ^ { \frac { 1 } { 5 } } ) + { \frac { 1 } { 6 } } \Pi ( x ^ { \frac { 1 } { 6 } } ) - \cdots , } \end{array} }
\mathrm { N L O ~ V D M } + \sigma _ { q } ^ { \mathrm { r e s } } ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \otimes q ^ { \mathrm { P L } } + \sigma _ { G } ^ { \mathrm { r e s } } ( \alpha _ { s } ^ { 2 } ) \otimes G ^ { \mathrm { P L } } + \sigma _ { q } ^ { \mathrm { r e s } } ( \alpha _ { s } ^ { 3 } ) \otimes q ^ { \mathrm { P L } } + \sigma _ { G } ^ { \mathrm { r e s } } ( \alpha _ { s } ^ { 3 } ) \otimes G ^ { \mathrm { P L } } .
\boxplus : \mathbb { F } _ { n + k - 1 , m } \times \mathbb { F } _ { n , m } \to \mathbb { F } _ { n + k , m } , \quad \left( \DOTSB \mathop { \mathchoice { \boxplus \huge } { \boxplus \LARGE } { \boxplus } { \boxplus \footnotesize } } _ { l = 1 } ^ { k } ( a _ { l } \boxdot i _ { l } ) , ( a _ { k + 1 } \boxdot i _ { k + 1 } ) \right) \mapsto \DOTSB \mathop { \mathchoice { \boxplus \huge } { \boxplus \LARGE } { \boxplus } { \boxplus \footnotesize } } _ { l = 1 } ^ { k + 1 } ( a _ { l } \boxdot i _ { l } ) ,
\begin{array} { r l } { V _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( \theta , \lambda ) = } & { { } \frac { G M } { R _ { B } } [ 1 + \sum _ { n = 2 } ^ { M } ( \frac { a } { R _ { B } } ) ^ { n } \sum _ { m = 0 } ^ { n } ( \bar { C } _ { n m } ^ { 1 } \cos m \lambda } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { \nabla _ { \phi } \operatorname { E L B O } \left( \phi \vert \lambda \right) } = - \frac { 1 } { n _ { \epsilon } n _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \epsilon } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { t } } \nabla _ { \phi } \ h _ { \beta } \left( g _ { \phi } \left( \epsilon _ { i } \right) , t _ { j } \Big \vert \lambda \right) + \nabla _ { \phi } \mathbb { H } \left[ q _ { \phi } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \Psi _ { i } } } & { { } = \sum _ { t _ { i } , \tau _ { i } : \xi ( t _ { i } , \tau _ { i } ) = 1 } \sum _ { v = 1 } ^ { 3 } f _ { v } ^ { \tau _ { i } , x _ { i , 0 } ^ { * } } \sum _ { S _ { 1 } , S _ { 2 } } F _ { | \partial i | } ^ { v , \tau _ { i } } ( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ) \psi ( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ) \log \psi ( t _ { i } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ) } \end{array}
P H P = \left[ \begin{array} { r r r } { { H _ { 1 1 } } } & { { H _ { 1 2 } } } & { { H _ { 1 3 } } } \\ { { H _ { 2 1 } } } & { { H _ { 2 2 } } } & { { H _ { 2 3 } } } \\ { { H _ { 3 1 } } } & { { H _ { 3 2 } } } & { { H _ { 3 3 } } } \end{array} \right] ,
{ \frac { d \sigma } { d \cos \vartheta _ { \gamma } d k } } = { \frac { \alpha } { 1 2 \pi ^ { 2 } } } G _ { F } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 4 } { \frac { s ^ { \prime } k } { s k _ { + } k _ { - } } } [ \eta _ { + } ^ { 2 } F ( \eta _ { + } ) + \eta _ { - } ^ { 2 } F ( \eta _ { - } ) ] .
\begin{array} { r l r l r l r } & { \Phi ^ { d } : = \{ u \in \mathcal { M } : \Phi ( u ) \leq d \} , } & & { \Phi _ { e } : = \{ u \in \mathcal { M } : \Phi ( u ) \geq e \} , } & & { \Phi _ { e } ^ { d } : = \Phi ^ { d } \cap \Phi _ { e } , } & \\ & { \Psi ^ { d } : = \{ w \in S ^ { + } : \Psi ( w ) \leq d \} , } & & { \Psi _ { e } : = \{ w \in S ^ { + } : \Psi ( w ) \geq e \} , } & & { \Psi _ { e } ^ { d } : = \Psi ^ { d } \cap \Psi _ { e } , } & \\ & { K : = \{ w \in S ^ { + } : \Psi ^ { \prime } ( w ) = 0 \} , } & & { K _ { d } : = \{ w \in K : \Psi ( w ) = d \} , } & & { \nu _ { d } : = \operatorname* { s u p } _ { u \in \Phi ^ { d } } \| u \| . } & \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \varphi } } & { = \frac { \partial h ( \varphi , w ) } { \partial \varphi } \Bigg | _ { \varphi = q _ { 0 } , ~ w = w _ { 0 } ^ { \circ } } } \\ { S _ { w } } & { = \frac { \partial h ( \varphi , w ) } { \partial w } \Bigg | _ { \varphi = q _ { 0 } , ~ w = w _ { 0 } ^ { \circ } } } \\ { \mu _ { k } } & { = v ^ { * } - S _ { \varphi } q _ { 0 } + S _ { w } \big ( w _ { k } ^ { \circ } - w _ { 0 } ^ { \circ } \big ) , } \end{array}
\sum _ { N = 0 } ^ { D - 1 } \Delta _ { R N } \Delta _ { R ^ { \prime } N } = 1 , ~ ~ ~ ~ \mathrm { o r } ~ ~ ~ ~ \sum _ { N = 0 } ^ { D - 1 } \Delta _ { R N } \Delta _ { R ^ { \prime } N } = 3 , ~ ~ ~ ~ ~ R \not = R ^ { \prime } .
{ \boldsymbol { \sigma } } = { \cfrac { 1 } { J } } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { F } } } } { \boldsymbol { F } } ^ { T } \quad { \mathrm { w h e r e } } \quad J : = \operatorname* { d e t } { \boldsymbol { F } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathbb { E } \left[ V ( t ) \right] } & { = \frac { d } { d t } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } \mathbb { E } \left[ \sum _ { j = i } ^ { \infty } \Delta _ { j } ( t ) \right] = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } \frac { d } { d t } \mathbb { E } \left[ \sum _ { j = i } ^ { \infty } \Delta _ { j } ( t ) \right] } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } \mathbb { E } \left[ \frac { \lambda } { M } \sum _ { w \in W } \left( q _ { i - 1 } ^ { ( 2 ) , w } ( t ) ^ { d } - q _ { i - 1 } ^ { ( 1 ) , w } ( t ) ^ { d } \right) - \Delta _ { i } ( t ) \right] } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } \mathbb { E } \left[ \frac { \lambda d } { M } \sum _ { w \in W } \left( q _ { i - 1 } ^ { ( 2 ) , w } ( t ) - q _ { i - 1 } ^ { ( 1 ) , w } ( t ) \right) - \Delta _ { i } ( t ) \right] } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } \left( \theta \rho _ { 0 } d - 1 \right) \mathbb { E } \left[ \Delta _ { i } ( t ) \right] \leq - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } \mathbb { E } \left[ \Delta _ { i } ( t ) \right] } \end{array}
E _ { \Delta t _ { j } } = \int _ { - \varepsilon } ^ { \varepsilon } \delta ^ { [ n ] } ( z ) \varphi _ { \varepsilon } ( z ) \mathop { } \! { d { z } } \cdot \int _ { - \varepsilon } ^ { \varepsilon } \left( \pi ^ { - 1 } z ^ { - 2 } \right) ^ { [ n ] } \varphi _ { \varepsilon } ( z ) \mathop { } \! { d { z } } .
\pi _ { j a _ { \alpha } + i _ { n - 3 } \lambda _ { n - 2 } + \cdots + i _ { 0 } \lambda _ { 1 } } ^ { C _ { 2 ^ { n } } } H \underset { \cong } { \xleftarrow { \varepsilon ^ { * } } } \pi _ { j a _ { \alpha } + i _ { n - 3 } \lambda _ { n - 3 } + \cdots + i _ { 0 } \lambda _ { 0 } } ^ { C _ { 2 ^ { n - 1 } } } H \quad \mathrm { f o r ~ j , i _ k \in \mathbb { Z } ~ } .
\begin{array} { r l } { \Psi \big ( t , z ( t , \varphi ) \big ) } & { = \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) \big ) + \Psi _ { p } \{ f \} \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \varphi \big ) \triangleq \Psi \{ f \} \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \varphi \big ) , } \\ { \Psi _ { p } \{ f \} ( \theta , \varphi ) } & { \triangleq \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 0 } } ^ { \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D \big ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
I ^ { A } ( k _ { \perp } ) ~ = \int d \alpha d \beta ~ { \frac { ( 1 - 2 \bar { \alpha } \alpha ) ( 1 - 2 \bar { \beta } \beta ) k _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 ( k _ { \perp } ^ { 2 } \bar { \alpha } \alpha - p _ { A } ^ { 2 } \bar { \beta } \beta ) } }
\begin{array} { r l } { \ddot { x } + \Gamma _ { x x } ^ { x } \dot { x } ^ { 2 } + 2 \Gamma _ { x y } ^ { x } \dot { x } \dot { y } + \Gamma _ { y y } ^ { x } \dot { y } ^ { 2 } } & { = 0 } \\ { \ddot { y } + \Gamma _ { x x } ^ { y } \dot { x } ^ { 2 } + 2 \Gamma _ { x y } ^ { y } \dot { x } \dot { y } + \Gamma _ { y y } ^ { y } \dot { y } ^ { 2 } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( u _ { R } - w ) ( \cdot , z ) | } & { \leq ( \delta + \varepsilon ( \Lambda _ { 2 } z _ { 0 } ) ) \cdot \left( \frac { z } { \Lambda _ { 2 } z _ { 0 } } \right) ^ { \mu _ { 1 } - 1 } \cdot \bar { \psi } _ { 1 } , \ \ \ \ \ \forall z \in [ \Lambda _ { 2 } z _ { 0 } , R / 2 ] ; } \\ { \| u _ { R } \| _ { C _ { \star } ^ { 2 } , S \times [ \Lambda _ { 2 } z _ { 0 } , R / 2 ] } } & { \leq \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \mu \nu } } & { = \int \textrm { d } r \, \phi _ { \mu } ^ { * } \left( r \right) \left( - \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 } + V \left( r \right) \right) \phi _ { \nu } \left( r \right) , } \\ { \left( \mu \nu | \lambda \sigma \right) } & { = \int \textrm { d } r _ { 1 } \textrm { d } r _ { 2 } \frac { \phi _ { \mu } ^ { * } \left( r _ { 1 } \right) \phi _ { \nu } \left( r _ { 1 } \right) \phi _ { \lambda } ^ { * } \left( r _ { 2 } \right) \phi _ { \sigma } \left( r _ { 2 } \right) } { \left| r _ { 1 } - r _ { 2 } \right| } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) \| _ { \mathfrak E } ^ { 2 } \leq \| F _ { + , i n } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak E } ^ { 2 } + C _ { M } ( t + \| \langle v \rangle ^ { m _ { 1 } } F _ { + } ^ { \varepsilon } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } \cap \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { + } ) _ { v } } ^ { 2 } d t ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D ( \bar { \rho } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \omega _ { A B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) \leq } \\ & { D ( \bar { \rho } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \bar { \gamma } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) } \\ & { + D ( \bar { \gamma } _ { A B E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } , \omega _ { A B } ^ { n } \otimes \bar { \rho } _ { E F | T _ { \mathrm { e c } } } ^ { n } ) . } \end{array}
\Gamma ( \chi _ { 2 } \rightarrow \gamma \gamma ) = \frac { 9 I m f _ { E M } ( ^ { 3 } p _ { 2 } ) } { \pi m ^ { 4 } } | R _ { \chi _ { 2 } } ^ { \prime } ( 0 ) | ^ { 2 } + \frac { 1 5 I m g _ { E M } ( ^ { 3 } p _ { 2 } ) } { \pi m ^ { 6 } } R e ( R _ { \chi _ { 2 } } ^ { ( 3 ) } ( 0 ) R _ { \chi _ { 2 } } ^ { \prime } ( 0 ) )
\begin{array} { r l } { \tau \partial _ { t } \vec { m } } & { { } = 2 ( \vec { m } _ { e q } ( \vec { w } ) - \vec { m } ) } \\ { \vec { m } _ { e q } } & { { } = \frac { \vec { w } \tau } { 3 a } \left( 1 - \frac { 3 } { 5 } \left( \frac { \vec { w } \tau } { 3 a } \right) ^ { 2 } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( y , t ) = \omega ( y , t ) 1 _ { \{ y \in \partial D \} } } & { + \int _ { D } p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \partial } { \partial z _ { 2 } } \Big | _ { z _ { 2 } = 0 } p ^ { D } ( s , z , t , y ) \theta ( z _ { 1 } , s ) \textrm { d } z _ { 1 } \textrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c } & { : = \operatorname* { m i n } \big \{ \operatorname* { i n f } \big \{ k : k \in \mathbb { Z } , 2 ^ { k } \geq \operatorname* { m i n } \{ | 1 - | c _ { 1 } | | , | 1 - | c _ { 2 } | | \} \big \} , 0 \big \} , } \\ { \tilde { c } } & { : = \operatorname* { m a x } \{ \operatorname* { i n f } \big \{ k : k \in \mathbb { Z } , 2 ^ { k } \geq \operatorname* { m a x } \{ | c _ { 1 } | , | c _ { 2 } | \} \big \} , 0 \} , \qquad c \leq 0 \leq \tilde { c } . } \end{array}
{ \bf f } = \hbar \, \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ { \bf { \hat { f } } } _ { 1 } \, { \hat { \sigma } } ^ { ( 1 ) } \right\} + \hbar \, \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left\{ { \bf { \hat { f } } } _ { 2 } \, { \hat { \sigma } } ^ { ( 2 ) } \right\} \, ,
\begin{array} { r l } { I ^ { ( 1 ) } } & { { } = 1 2 0 i ( - 1 ) ^ { 6 } \int d \Omega _ { 4 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d l _ { E } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s d u d v } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { U _ { 1 } ( \mu ) } E _ { B } \ge \frac { 2 \sqrt { h ^ { 2 } + k ^ { 2 } } ( \sqrt { 4 - 3 \cos ^ { 2 } \xi } - 2 + \cos ^ { 2 } \xi ) \Delta S _ { A B } } { ( 1 + \cos \xi ) \ln \left( \frac { 2 } { 1 + \cos \xi } \right) + ( 1 - \cos \xi ) \ln \left( \frac { 2 } { 1 - \cos \xi } \right) } .
\tilde { p } ^ { \prime 1 } = \sum _ { a = 2 } ^ { n - 1 } \tilde { p } ^ { \prime a } = \tilde { p } ^ { 1 } + { \frac { 2 } { ( D - 2 ) } } \tilde { p } ^ { n - 1 } + { \frac { l } { 2 \, ( D - 2 ) } } \tilde { p } \, ,
\Gamma ^ { + } ( r , \omega ) = - \frac { 1 } { { d } ( \mu _ { { \mathrm a } } ( r ) + \mu _ { \mathrm { s } } ^ { \prime } ( r ) ) } \frac { \partial \Phi ( r , \omega ) } { \partial \hat { n } } = \frac { 2 \gamma _ { d } } { \alpha } \Phi ( r , \omega ) .
G _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ^ { N _ { 1 } N _ { 2 } } = \sum _ { M _ { a } , M _ { b } } ( - 1 ) ^ { 2 I + M _ { a } + M _ { b } } { \sqrt { ( 2 k _ { 1 } + 1 ) ( 2 k _ { 2 } + ) } } \times \langle M _ { b } | \Lambda ( t ) | M _ { a } \rangle \langle M _ { b } ^ { \prime } | \Lambda ( t ) | M _ { a } ^ { \prime } \rangle ^ { * } \times { \left( \begin{array} { l l l } { I } & { I } & { k _ { 1 } } \\ { M _ { a } ^ { \prime } } & { - M _ { a } } & { N _ { 1 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { I } & { I } & { k _ { 2 } } \\ { M _ { b } ^ { \prime } } & { - M _ { b } } & { N _ { 2 } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { \sigma } & { = } & { \sigma ^ { ( 0 ) } + \epsilon \sigma ^ { ( 1 ) } + \cdots = | \mathbf { X } _ { s } ^ { ( 0 ) } | + \frac { \epsilon \mathbf { X } _ { s } ^ { ( 0 ) } \cdot \mathbf { X } _ { s } ^ { ( 1 ) } } { | \mathbf { X } _ { s } ^ { ( 0 ) } | } + \cdots } \\ { \kappa } & { = } & { \kappa ^ { ( 0 ) } + \epsilon \kappa ^ { ( 1 ) } + \cdots } \\ { h _ { 3 } } & { = } & { h _ { 3 } ^ { ( 0 ) } + \epsilon h _ { 3 } ^ { ( 1 ) } + \cdots = \sigma ^ { ( 0 ) } + \epsilon \left[ \sigma ^ { ( 1 ) } - \sigma ^ { ( 0 ) } \kappa ^ { ( 0 ) } \bar { r } \cos \varphi ^ { ( 0 ) } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - c \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) = \frac { \partial \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 1 } } \Big ( - c x _ { 1 } \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) \Big ) + \frac { \partial \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial x _ { 2 } } \Big ( b x _ { 2 } + d ( t ) + x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) \Big ) , } \\ & { b x _ { 2 } + d ( t ) + s \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) = b x _ { 2 } + d ( t ) + x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) . } \end{array}
\tilde { k } = \frac { k } { 2 } \left( \frac { W _ { 3 } } { 2 l G _ { 4 } } \right) ^ { 2 / 3 } , \qquad \tilde { \mu } = \left( \frac { W _ { 3 } } { 2 l G _ { 4 } } \right) ^ { 4 / 3 } \mu .
\Gamma = \left\{ \begin{array} { l l } { \Gamma _ { \mathrm { s R G B } } , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \leq 0 . 0 3 9 2 8 } \\ { \left( \frac { \Gamma _ { \mathrm { s R G B } } + 0 . 0 5 5 } { 1 . 0 5 5 } \right) ^ { 2 . 4 } , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.