harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { R a _ { T } } & { = \frac { g C _ { b } \Delta T ^ { 2 } H ^ { 3 } } { 2 \nu \kappa _ { T } } , R a _ { S } = \frac { g b _ { 0 } S _ { m } H ^ { 3 } } { \nu \kappa _ { S } } , P r = \frac { \nu } { \kappa _ { T } } , } \\ { S c } & { = \frac { \nu } { \kappa _ { S } } , S t = \frac { \mathcal { L } } { c _ { p } \Delta T } , \Lambda _ { S } = \frac { \Delta S _ { v } } { S _ { m } } . } \end{array}
\frac { \partial \hat { { \chi } } ^ { ( 2 ) } } { \partial t } = 3 \chi ^ { ( 3 ) } \frac { \mathcal { F } ( u ( z ) ) } { \sqrt { 2 \pi } } \ast \frac { k _ { y } ^ { 2 } \hat { { j } } } { \epsilon ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } + k _ { z } ^ { 2 } ) } - \frac { \hat { { \chi } } ^ { ( 2 ) } } { \tau }
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } _ { K } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , \quad \boldsymbol { u } _ { K ^ { - 1 } } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad \boldsymbol { u } _ { T } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\Delta | \phi | ^ { 2 } + | \nabla ^ { A } \phi | ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } | \phi | ^ { 4 } = ( - s ) | \phi | ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } h ( \phi , \gamma ( \omega ) \phi )
\begin{array} { r l } { H ( \tilde { x } ) } & { = \int _ { a } ^ { b } \mathcal { H } ( x ( z ) , c _ { l } ( z ) , \overline { { c } } _ { l } ( z ) ) \, d z } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } c _ { l } ( z ) \mathcal { H } ^ { - } ( x ( z ) ) + \overline { { c } } _ { l } ( z ) \mathcal { H } ^ { + } ( x ( z ) ) \, d z } \\ & { = \int _ { a } ^ { l } \mathcal { H } ^ { - } ( x ( z ) ) \, d z + \int _ { l } ^ { b } \mathcal { H } ^ { + } ( x ( z ) ) \, d z } \\ & { = H _ { l } ^ { - } ( x ^ { - } ) + H _ { l } ^ { + } ( x ^ { + } ) . } \end{array}
\- \it { \mathcal { L } } _ { S M } ^ { L N C } = \sqrt { 2 } G _ { F } [ [ \overline { { { l _ { i } } } } ( 2 s _ { W } ^ { 2 } - 1 ) \gamma _ { \mu } P _ { L } \nu _ { j } ] ( \overline { { { \nu _ { j } } } } \gamma ^ { \mu } P _ { L } l _ { i } ) - 2 [ \overline { { { l _ { i } } } } 2 s _ { W } ^ { 2 } P _ { L } \nu _ { j } ] ( \overline { { { \nu _ { j } } } } P _ { R } l _ { i } ) ] .
\Pi ^ { + 2 } = \nabla x ^ { + 2 } - \Omega ^ { + 2 i } x ^ { i } - 2 i \pi _ { q } ^ { 1 + } \theta _ { q } ^ { 1 + } - 2 i \pi _ { q } ^ { 2 + } \theta _ { q } ^ { 2 + } ,
\left( \partial _ { z } + 2 k \right) \Big \vert _ { z = 0 ^ { + } } \tilde { G } _ { R } = 0 , \qquad \left( \partial _ { z } + 2 k \right) \Big \vert _ { z = z _ { c } ^ { - } } \tilde { G } _ { R } = 0
\vert v _ { n } \rangle = e ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } g ^ { 2 } ( X + y ) ^ { 2 } } { \frac { ( a ^ { \dag } ) ^ { n } } { \sqrt { n ! } } } \Big ( { \frac { \omega } { \pi } } \Big ) ^ { 1 / 4 } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \omega y ^ { 2 } }
\tilde { Z } _ { g h } ^ { ( n ) } ( \{ q _ { N _ { s } } \} , L ) = s d e t [ M ( \{ \sigma _ { p } \} ) U ^ { - 1 } ( \{ \sigma _ { p } \} ) ] Z _ { g h } ^ { ( n ) } ( \{ q _ { N _ { s } } \} , L )
\begin{array} { r l } { Z _ { i j } ^ { \prime } ( x ) } & { = \frac { \partial } { \partial x } \left( \sum _ { n _ { 0 } , n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 ( 1 - x ) } G _ { i j } ^ { n _ { 0 } , n _ { 1 } } ( \sigma _ { i j } ) \right) \right) ^ { - 1 } } \\ & { = - \frac { \sum _ { n _ { 0 } , n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 ( 1 - x ) } G _ { i j } ^ { n _ { 0 } , n _ { 1 } } ( \sigma _ { i j } ) \right) \frac { - 1 } { 2 ( 1 - x ) ^ { 2 } } G _ { i j } ^ { n _ { 0 } , n _ { 1 } } ( \sigma _ { i j } ) } { \left( \sum _ { n _ { 0 } , n _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 ( 1 - x ) } G _ { i j } ^ { n _ { 0 } , n _ { 1 } } ( \sigma _ { i j } ) \right) \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } e _ { v } = \frac { \delta H } { \delta v } \in P \Lambda ^ { n - 1 } ( \Omega ) , \quad } & { } & { { } e _ { \Sigma } = \frac { \delta H } { \delta \Sigma } \in H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \Sigma ) , } \end{array}
\int k ^ { \mu _ { 1 } } \ldots k ^ { \mu _ { n } } ( k ^ { 2 } ) ^ { N } F ( p , k ) d ^ { 4 } k \, = A _ { n } ^ { ( N ) } p ^ { \mu _ { 1 } } \ldots p ^ { \mu _ { n } } + t r a c e s \ .
\| e ^ { i t ( \Delta _ { x } - V ) } u _ { 0 } \| _ { L _ { t } ^ { q } L _ { y } ^ { r } L _ { z } ^ { 2 } ( \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { m } \times \mathbb { T } ^ { n } ) } \leq \frac { c _ { 0 } } { 1 - c _ { 0 } \| V \| _ { L _ { y } ^ { \frac { d } { 2 } , \infty } L _ { z } ^ { 2 } } } \| u _ { 0 } \| _ { L _ { y , z } ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { m } \times \mathbb { T } ^ { n } ) } ,
\begin{array} { r } { \bar { G } ^ { u } : = \operatorname* { d e t } [ \bar { g } ^ { u } ] = z ^ { n - 1 } \operatorname* { d e t } [ g ^ { u } ] \cdot \left( 1 + \frac { 1 } { 4 z } \left( | x + ( u + 2 z u _ { z } ) \nu | ^ { 2 } - g _ { u } ^ { i j } ( X _ { i } - \beta _ { i } ^ { u } ) ( X _ { j } - \beta _ { j } ^ { u } ) \right) \right) . } \end{array}
S _ { i n t } = \frac { k } { 2 } \int d ^ { 4 } x [ G ^ { a } V ^ { a } ] _ { D } = \frac { k } { 2 } \int d ^ { 4 } x \; T r \left\{ C ^ { a } D ^ { a } - A _ { \mu } ^ { a } v ^ { a \mu } - \bar { \lambda } { } ^ { a } \chi ^ { a } \right\} .
\begin{array} { r l } & { \quad \operatorname* { m a x } \{ \| \Gamma _ { j } w \| _ { L _ { t } ^ { \infty } H _ { x } ^ { 1 } ( I _ { j } ) } , \| \Gamma _ { j } w \| _ { X ^ { 1 } ( I _ { j } ) } \} } \\ & { \leq C \| w ( t _ { j } ) \| _ { H _ { x } ^ { 1 } } + \widetilde { C } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( \| w \| _ { X ^ { 1 } ( I _ { j } ) } ^ { 5 - i } \| v \| _ { Z ^ { \prime } ( I _ { j } ) } ^ { i } + \| v \| _ { X ^ { 1 } ( I _ { j } ) } \| w \| _ { X ^ { 1 } ( I _ { j } ) } ^ { 5 - i } \| v \| _ { Z ^ { \prime } ( I _ { j } ) } ^ { i - 1 } ) } \\ & { \quad + \widetilde { C } \| w \| _ { X ^ { 1 } ( I _ { j } ) } ^ { 5 } + \widetilde { C } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } \| v + w \| _ { X ^ { 1 } ( I _ { j } ) } \| v + w \| _ { Z ^ { \prime } ( I _ { j } ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq \Big [ C ( ( 2 C ) ^ { j - 1 } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) \Big ] + \Big [ \widetilde { C } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( ( 2 C ) ^ { j } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) ^ { 5 - i } \eta ^ { i } + \widetilde { C } \| v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \sum _ { i = 2 } ^ { 3 } ( ( 2 C ) ^ { j } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) ^ { 5 - i } \eta ^ { i - 1 } } \\ & { \quad + \widetilde { C } \| v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } ( ( 2 C ) ^ { j } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) ^ { 4 } + \widetilde { C } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ( ( 2 C ) ^ { j } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) \eta ^ { 2 } } \\ & { \quad + \widetilde { C } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } \| v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } ( ( 2 C ) ^ { j } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) ^ { 2 } + \widetilde { C } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ( ( 2 C ) ^ { j } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) ^ { 3 } \Big ] } \\ & { \quad + \Big [ \widetilde { C } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } \| v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \eta ^ { 2 } + \widetilde { C } ( ( 2 C ) ^ { j } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) \eta ^ { 4 } + \widetilde { C } \| v \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } ( ( 2 C ) ^ { j } | J | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } ) \eta ^ { 3 } \Big ] } \\ & { = : A _ { 1 } + A _ { 2 } + A _ { 3 } } \end{array}
\phi _ { i } ( w ) \, F ^ { 2 } \, e ^ { - 2 \bar { \Lambda } / T } = \int _ { 0 } ^ { \omega _ { c } } \! \mathrm { d } \omega _ { + } \, e ^ { - \omega _ { + } / T } \, \bar { \rho } _ { i } ( \omega _ { + } , w ) \, .
\begin{array} { r l } { { \cal V } _ { \mathrm { h y } } ( \lambda , \mathrm { K n } ) } & { = \frac { \eta ( \lambda , \mathrm { K n } ) } { 3 } \int R _ { \mathrm { H D } } ^ { 3 } ( \Omega ) d \Omega } \\ & { = \frac { 4 \pi } { 3 } \left( \frac { 6 k _ { B } T ( t ) } { m \omega _ { \perp } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { \eta ( \lambda , \mathrm { K n } ) } { \sqrt { \lambda } } . } \end{array}
I \left( Q ^ { 2 } = 0 \right) = \int _ { \omega _ { t h } } ^ { \infty } \frac { d \omega } { \omega } \left[ \sigma _ { 1 / 2 } \left( \omega , Q ^ { 2 } = 0 \right) - \sigma _ { 3 / 2 } \left( \omega , Q ^ { 2 } = 0 \right) \right] = - \frac { 2 \pi ^ { 2 } \alpha } { M _ { T } ^ { 2 } } \kappa ^ { 2 } ,
\textnormal { R e } \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( \sigma + i t \right) \log \left| L \left( \sigma + i t , \chi _ { 0 } \right) \right| = \textnormal { R e } \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( \sigma + i t \right) \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \textnormal { R e } \mathcal { P } _ { \chi _ { 0 } } \left( k \left( \sigma + i t \right) \right) } { k } .
\begin{array} { r l } { E ^ { * } ( R ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { \rho \geq 0 } \bigg ( \rho R - ( 1 + \rho ) \log \Big ( \sum _ { x \in \mathrm { s u p p } ( P _ { X } ) } P _ { X } ^ { \frac { 1 } { 1 + \rho } } ( x ) \Big ) \bigg ) } \\ { * } & { = \operatorname* { m i n } _ { Q _ { X } : H ( Q _ { X } ) \geq R } D ( Q _ { X } \| P _ { X } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \sinh _ { p } x } & { \sim x \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \sinh _ { p } x } & { \sim C _ { p } e ^ { x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \cosh _ { p } x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \cosh _ { p } x } & { \sim C _ { p } e ^ { x } \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty } \\ { \operatorname { t a n h } _ { p } x } & { \sim x \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow 0 , } & { \operatorname { t a n h } _ { p } x } & { \sim 1 \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty . } \end{array}
\frac { I _ { 2 2 } ^ { p } } { m R ^ { 2 } } = - \frac { m _ { 0 } } { m } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 3 } \left( \hat { x } _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right) \ , \quad \frac { I _ { 2 3 } ^ { p } } { m R ^ { 2 } } = - \frac { m _ { 0 } } { m } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 3 } \hat { x } _ { 2 } \hat { x } _ { 3 } \ ,
Q = { \frac { 2 } { 3 } } \left[ ( n _ { \mathrm { u } } - n _ { \mathrm { \bar { u } } } ) + ( n _ { \mathrm { c } } - n _ { \mathrm { \bar { c } } } ) + ( n _ { \mathrm { t } } - n _ { \mathrm { \bar { t } } } ) \right] - { \frac { 1 } { 3 } } \left[ ( n _ { \mathrm { d } } - n _ { \mathrm { \bar { d } } } ) + ( n _ { \mathrm { s } } - n _ { \mathrm { \bar { s } } } ) + ( n _ { \mathrm { b } } - n _ { \mathrm { \bar { b } } } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } T - \frac { c - c _ { 0 } } { c _ { 1 } - c _ { 0 } } T } & { = \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } ( c _ { 1 } - c _ { 0 } ) t - \frac { c - c _ { 0 } } { c _ { 1 } - c _ { 0 } } ( c _ { 1 } - c _ { 0 } ) t } \\ & { \leq \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } \{ ( c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } ) s + d _ { * } ( a , b ) \} - ( c - c _ { 0 } ) t } \\ & { \leq ( c - c _ { 0 } ^ { \prime } ) s - ( c - c _ { 0 } ) t + \frac { c - c _ { 0 } ^ { \prime } } { c _ { 1 } ^ { \prime } - c _ { 0 } ^ { \prime } } d _ { * } ( a , b ) } \\ & { \leq c ( s - t ) + c d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) } \\ & { \leq c \cdot \{ 2 d _ { * } ( \Gamma _ { 1 } ( t ) , \Gamma _ { 2 } ( s ) ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { i m } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { l m ^ { \prime } } C _ { i , l m ^ { \prime } } \left( D _ { m ^ { \prime } m } ^ { l } ( \hat { R } ) \right) ^ { \ast } Q ( l , m ) , } \\ { \sum _ { l m ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { l - m ^ { \prime } } C _ { i , l m ^ { \prime } } \left( D _ { m ^ { \prime } m } ^ { l } ( \hat { R } ) \right) ^ { \ast } Q ( l , m ) , } \end{array} \right. } \end{array}
f ^ { \left( 1 \right) } ( \theta ) = \sum _ { l } \left( 2 \pi i k \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { i l \theta } \left[ - i \pi \alpha \mathrm { s g n } \left( l \right) \left( 1 - \delta _ { l , 0 } \right) - i \pi \alpha \delta _ { l , 0 } \cos \beta \right] ,
D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } I _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } \bigg \{ { c o s ( \omega S ) \bigg \} } = D _ { \mathrm { N , L } } ^ { \alpha } \bigg \{ { c o s ( \omega S - \frac { \pi } { 2 } \alpha ) \bigg \} } = c o s ( \omega S + \frac { \pi } { 2 } \alpha - \frac { \pi } { 2 } \alpha ) = c o s ( \omega S ) ,
\begin{array} { r l } { ( \tilde { k } _ { n } , z _ { n } , p _ { n } ) \to ( \tilde { k } , z , p ) \quad } & { \mathrm { s t r o n g l y ~ i n ~ } ( L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { N } ) ) ^ { 2 } \times L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { N \times N } ) } \\ { \underset { n \to \infty } { \operatorname* { l i m s u p } } \; I [ \tilde { k } _ { n } , } & { z _ { n } , p _ { n } ] \leq \bar { I } [ \tilde { k } , z , p ] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S } & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \sqrt { \left( { \frac { d x } { d t } } \right) ^ { 2 } + \left( { \frac { d y } { d t } } \right) ^ { 2 } } } d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } r { \sqrt { 2 - 2 \cos t } } \, d t } \\ & { = 2 r \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin { \frac { t } { 2 } } \, d t } \\ & { = 8 r . } \end{array} }
{ \frac { M _ { 1 } } { \left( R - r \right) ^ { 2 } } } + { \frac { M _ { 2 } } { \left( 2 R - r \right) ^ { 2 } } } = \left( { \frac { M _ { 2 } } { M _ { 1 } + M _ { 2 } } } R + R - r \right) { \frac { M _ { 1 } + M _ { 2 } } { R ^ { 3 } } }
\widetilde { C } _ { 9 } ^ { ( 0 ) } \longrightarrow \widetilde { C } _ { 9 } ^ { ( 0 , \mathrm { m o d } ) } = \widetilde { C } _ { 9 } ^ { ( 0 ) } + \left( C _ { 2 } ^ { ( 0 ) } + \frac { 4 } { 3 } C _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \right) \, H _ { 0 } \, ,
k _ { \sigma \cdot v , \sigma \cdot v ^ { \prime } } = \sum _ { \substack { e \in \mathrm { E } , \, h \left( e \right) = \left\{ \sigma \cdot v , \sigma \cdot v ^ { \prime } \right\} } } k _ { \sigma \cdot v , \sigma \cdot v ^ { \prime } } ^ { e } = \sum _ { \substack { e \in \mathrm { E } , \, h \left( \sigma ^ { - 1 } \cdot e \right) = \left\{ v , v ^ { \prime } \right\} } } k _ { v , v ^ { \prime } } ^ { \sigma ^ { - 1 } \cdot e } = \sum _ { \substack { e \in \sigma \cdot \mathrm { E } , \, h \left( e \right) = \left\{ v , v ^ { \prime } \right\} } } k _ { v , v ^ { \prime } } ^ { e } = \sum _ { \substack { e \in \mathrm { E } , \, h \left( e \right) = \left\{ v , v ^ { \prime } \right\} } } k _ { v , v ^ { \prime } } ^ { e }
\begin{array} { r } { \mathcal { F } _ { 2 } \Big ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } f ) - \tilde { \chi } _ { 2 } \mathbf { D } _ { u , k } ^ { 1 } ( \tilde { \chi } _ { 2 } \mathcal { F } _ { 1 } f ) \Big ) ( \xi ) = \int \mathcal { D } ^ { c o m } ( t , k , \xi , \xi _ { 1 } ) \hat { f } _ { k } ( t , \xi _ { 1 } ) d \xi _ { 1 } . } \end{array}
\phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { R 3 } } ( \tau ; t ) = \phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { R 3 } } ( t ) = P _ { \mathrm { o n } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \frac { \Phi _ { \mathrm { o n } } ( \tau ^ { \prime } ) } { \langle \tau _ { \mathrm { o n } } \rangle } \int _ { 0 } ^ { t } d \tau ^ { \prime \prime } I _ { j } ( \tau ^ { \prime \prime } ; t ) \omega _ { \mathrm { i n f } } \left( \operatorname* { m i n } { ( \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) } \right)
\mathrm { G D - R M S E } _ { \mathrm { t e s t } } = \sqrt { \frac { 1 } { N _ { t e s t } } \cdot \sum _ { k } ^ { N _ { t e s t } } { \left( x _ { 1 } ^ { k } \cdot \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 1 } ^ { k } } ) } { \partial x _ { 1 } ^ { k } } + x _ { 2 } ^ { k } \cdot \frac { \partial \ln ( \hat { \gamma _ { 2 } ^ { k } } ) } { \partial x _ { 1 } ^ { k } } \right) ^ { 2 } } }
\vec { E } _ { b } ( \vec { x } _ { 2 } ) = - k \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \frac { \hat { R } } { R ^ { 2 } } \left[ \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) + \left( \frac { R } { c } \right) \partial _ { t } \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t _ { r e t } ) \right] .
\Psi ( \pmb { r } , t ) = N e ^ { - i \mathcal { E } t / \hbar } \left( \begin{array} { c } { \sin [ k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] \sin [ k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { - i \frac { \eta _ { x } } { 1 + \sqrt { \eta ^ { 2 } + 1 } } \cos [ k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] \sin [ k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] + \frac { \eta _ { y } } { 1 + \sqrt { \eta ^ { 2 } + 1 } } \sin [ k _ { x } ( x + L _ { x } ) ] \cos [ k _ { y } ( y + L _ { y } ) ] } \end{array} \right) .
r _ { H } \approx \frac { 1 } { 1 6 } 3 ^ { 3 / 8 } 2 ^ { 1 / 4 } \left( 3 3 5 1 7 9 7 + ( 1 7 1 ) ( 2 6 5 9 ) \sqrt { 5 7 } \right) ^ { 1 / 8 } A ^ { - 1 / 8 } r _ { 0 } ,
W ( x , y , z , t ) = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla \psi ^ { * } \cdot \nabla \psi + U \psi ^ { * } \psi = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla \psi _ { R } \cdot \nabla \psi _ { R } + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla \psi _ { I } \cdot \nabla \psi _ { I } + U \psi _ { R } ^ { 2 } + U \psi _ { I } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } v _ { 1 } + \mathrm { R e } v _ { 1 } \partial _ { y _ { 1 } } v _ { 1 } + \mathrm { R e } v _ { 3 } \partial _ { y _ { 3 } } v _ { 1 } \right) = \Delta v _ { 1 } - \partial _ { y _ { 1 } } p - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \rho \sin \theta , } \\ & { \rho _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } v _ { 3 } + \mathrm { R e } v _ { 1 } \partial _ { y _ { 1 } } v _ { 3 } + \mathrm { R e } v _ { 3 } \partial _ { y _ { 3 } } v _ { 3 } \right) = \Delta v _ { 3 } - \partial _ { y _ { 3 } } p - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } \rho \cos \theta , } \\ & { \partial _ { t } T + \mathrm { P e } _ { p } \mathbf { v } \cdot \nabla T = \Delta T , } \\ & { \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } \rho + \mathrm { P e } _ { s } \mathbf { v } \cdot \nabla \rho = \Delta \rho , \quad \left. \rho \right| _ { | \mathbf { y } | \rightarrow \infty } = \rho _ { 0 } - \Gamma _ { 0 } ( y _ { 1 } \sin \theta + y _ { 3 } \cos \theta ) . } \end{array}
g ^ { t } - \langle g ^ { t } \rangle _ { \psi } \simeq \frac { I } { \Omega S } \left( v _ { \parallel f } - v _ { \parallel } - \langle v _ { \parallel f } - v _ { \parallel } \rangle _ { \psi } + u _ { f } - u - \langle u _ { f } - u \rangle _ { \psi } \right) \mathcal { D } f _ { M } ( v _ { \parallel } = - u ) + \textit { O } ( \epsilon v _ { t } ) .
\begin{array} { r l } { w _ { \delta } ^ { m , 1 } ( x ) } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { \tau \in \mathcal { T } _ { x , b } ^ { \delta } } \ln \left( \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \tau \wedge \tau _ { B _ { m } } } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { \delta } ^ { m } ) d s + M w _ { \delta } ^ { m } ( X _ { \tau \wedge \tau _ { B _ { m } } } ) } \right] e ^ { \Vert \phi _ { \delta } - M w _ { \delta } ^ { m } \Vert } \right) } \\ & { = w _ { \delta } ^ { m } ( x ) + \Vert \phi _ { \delta } - M w _ { \delta } ^ { m } \Vert . } \end{array}
\rho = { \frac { 1 } { c } } \cosh \left( { \frac { 1 } { 3 } } \cosh ^ { - 1 } ( 3 c ) \right) , \qquad c = \cos \left( { \frac { 2 \pi } { 1 2 } } \right) = \sin \left( { \frac { 2 \pi } { 6 } } \right) = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \, .
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { | \mathbf { a } | = 1 } Z ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) < \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { b } \in \mathcal { B } } Z ^ { \prime } ( \mathbf { b } ) } \end{array}
A _ { \mu a } ( x ) = M \int \! { \frac { d ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } d ^ { 4 } y \: e ^ { i y \cdot q } ( \partial _ { \mu } \pi ^ { a } ) \sqrt { Z _ { \pi } ( q ) } e ^ { - i q \cdot x } .
\begin{array} { r l } { f } & { { } = \frac { L } { R _ { v } T _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { c _ { p } } { R T _ { 0 } } , \quad \quad \quad \mathrm { a n d } } \\ { y _ { a } } & { { } = \frac { L q _ { v s } ^ { * } } { ( 1 + a ) R T _ { 0 } } \exp \left[ \frac { L q _ { v s } ^ { * } } { ( 1 + a ) R T _ { 0 } } \right] . } \end{array}
| \Psi _ { i } \rangle = \exp \left( \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mu _ { n } ^ { ( i ) } \left( a _ { n } ^ { ( i ) } \right) ^ { \dagger } \right) | p ^ { ( i ) } \rangle = \exp \left( i p ^ { ( i ) } x _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \kappa _ { n } ^ { - 1 / 2 } \mu _ { n } ^ { ( i ) } \alpha _ { - n } ^ { ( i ) } \right) | 0 \rangle .
\frac { d \mathbf { x } } { d t } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { r } } \frac { T _ { i } \times ( \mathbf { x } - \mathbf { \bar { x } _ { i } } ) } { \| \mathbf { x } - \mathbf { \bar { x } } _ { i } \| ^ { 3 } }
\mathrm { ~ { \widetilde { u } } ~ } _ { r } = \mathrm { ~ { \widetilde { u } } ~ } ( x , y , z _ { 1 } , t ) - \mathrm { ~ { \widetilde { u } } ~ } _ { s } ( x , y , t ) , \qquad \mathrm { ~ { \widetilde { v } } ~ } _ { r } = \mathrm { ~ { \widetilde { v } } ~ } ( x , y , z _ { 1 } , t ) - \mathrm { ~ { \widetilde { v } } ~ } _ { s } ( x , y , t ) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( t _ { 0 } - \omega , t _ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } , t _ { 3 } - \epsilon ^ { 3 } ) = } & { \mathcal { E } ( t _ { 0 } - 1 - \epsilon \omega _ { 1 } - \epsilon ^ { 2 } \omega _ { 2 } - \epsilon ^ { 3 } \omega _ { 3 } , t _ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } , t _ { 3 } - \epsilon ^ { 3 } ) } \\ { = } & { \mathcal { E } ( t _ { 0 } - 1 , t _ { 2 } , t _ { 3 } ) + \epsilon ( - \omega _ { 1 } \partial _ { 0 } ) \mathcal { E } ( t _ { 0 } - 1 , t _ { 2 } , t _ { 3 } ) } \\ & { + \epsilon ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - \omega _ { 2 } \partial _ { 0 } - \partial _ { 2 } \right) \mathcal { E } ( t _ { 0 } - 1 , t _ { 2 } , t _ { 3 } ) } \\ & { + \epsilon ^ { 3 } \left( \frac { - \omega _ { 1 } ^ { 3 } \partial _ { 0 } ^ { 3 } } { 6 } + \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } \partial _ { 0 } ^ { 2 } + \omega _ { 1 } \partial _ { 0 } \partial _ { 2 } - \omega _ { 3 } \partial _ { 0 } - \partial _ { 3 } \right) \mathcal { E } ( t _ { 0 } - 1 , t _ { 2 } , t _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \operatorname* { m i n } _ { u ( A ) } } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \omega _ { 0 } ( A [ t ] ) \right] } \\ & { \mathrm { ~ s . t ~ } : } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ u \left( A [ t ] \right) \right] \leq b , } \\ & { } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ \omega _ { k } \left( A [ t ] \right) \right] \leq c _ { k } , k = 1 , \cdots , K , } \\ & { } & { u ( A [ t ] ) \in \{ 0 , 1 , \cdots , L \} . } \end{array}
{ \cal L } _ { C S M } = { \dot { \varphi } } \varphi ^ { \prime } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \dot { A } } _ { - } - { A _ { + } ^ { \prime } } ) ^ { 2 } + 2 e { \dot { \varphi } } A _ { - } + a e ^ { 2 } A _ { + } A _ { - } ,
\sum _ { a = 1 } ^ { \eta } \int \textrm { d } \mathbf r _ { 1 } \, \textrm { d } \mathbf r _ { 2 } \frac { \phi ^ { * } \left( \mathbf r _ { 1 } \right) \chi _ { a } \left( \mathbf r _ { 1 } \right) \psi _ { a } ^ { * } \left( \mathbf r _ { 2 } \right) \theta \left( \mathbf r _ { 2 } \right) } { \left| \mathbf r _ { 1 } - \mathbf r _ { 2 } \right| } \, ,
\begin{array} { r l } { - i \omega } & { { } \rightarrow \partial _ { t } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - \omega ^ { 2 } \rightarrow \partial _ { t } ^ { 2 } , } \\ { i \omega ^ { 3 } } & { { } \rightarrow \partial _ { t } ^ { 3 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \omega ^ { 4 } \rightarrow \partial _ { t } ^ { 4 } . } \end{array}
\left[ \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { { \mathrm { d } { \rho } ^ { * } } ^ { 2 } } + \left( \omega - e \frac { Q } { \rho } \right) ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \frac { \Delta ( \rho ) } { R ^ { 2 } ( \rho ) } \right] \chi ( { \rho } ^ { * } ) = 0 \; ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { h } _ { 0 } } & { = ( \boldsymbol { x } , t ) } \\ { \boldsymbol { z } _ { l } } & { = W _ { l } \boldsymbol { h } _ { l - 1 } + b _ { l } , } \\ { \boldsymbol { h } _ { l } } & { = \phi ( W _ { l } \boldsymbol { h } _ { l - 1 } + b _ { l } ) , \; \; \mathrm { w i t h } \; \; l = 1 , 2 , \cdots L , \mathrm { a n d } } \\ { \boldsymbol { o } } & { = W _ { L + 1 } \boldsymbol { h } _ { L } + b _ { L + 1 } , } \end{array}