harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Pi _ { 0 } } & { = \int _ { v _ { x } } \rho \sqrt { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T } } \exp \left[ { - \frac { m { ( v _ { x } - u _ { x } ) } ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } \right] d v _ { x } = \rho , } \\ { \Pi _ { x } } & { = \int _ { v _ { x } } v _ { x } \rho \sqrt { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T } } \exp \left[ { - \frac { m { ( v _ { x } - u _ { x } ) } ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } \right] d v _ { x } = \rho u _ { x } , } \\ { \Pi _ { x x } } & { = \int _ { v _ { x } } v _ { x } ^ { 2 } \rho \sqrt { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T } } \exp \left[ { - \frac { m { ( v _ { x } - u _ { x } ) } ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } \right] d v _ { x } = \rho \left( u _ { x } ^ { 2 } + \frac { k _ { B } T } { m } \right) , } \\ { \Pi _ { x x x } } & { = \int _ { v _ { x } } v _ { x } ^ { 3 } \rho \sqrt { \frac { m } { 2 \pi k _ { B } T } } \exp \left[ { - \frac { m { ( v _ { x } - u _ { x } ) } ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } \right] d v _ { x } = \rho u _ { x } \left( u _ { x } ^ { 2 } + 3 \frac { k _ { B } T } { m } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \| \pi _ { \frac { \rho } { 2 } } E _ { \rho , \rho ^ { \prime } } ( s , \lambda ) \pi _ { \frac { \rho } { 2 } } ^ { * } \big \| } & { { } \; \leq \; \kappa \| [ H , D _ { 0 } ] \| + 2 \lambda \| H ^ { s } \| \cdot \| [ G _ { \rho } ( D ) , ( H \oplus H ^ { * } ) ] \| \; \leq \; c _ { \kappa } \, { \big ( 1 + \frac { 4 8 } { c _ { \rho } } \big ) } \, g ^ { 2 } \; = \; \frac { 3 } { 4 } \, g ^ { 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { A } _ { i j } ^ { ( 0 ) } } & { { } = c _ { 1 } \left( \delta _ { i j } - { p _ { i } } { p _ { j } } \right) + c _ { 2 } { p _ { i } } { p _ { j } } } \\ { { D } _ { i j } ^ { ( 0 ) } } & { { } = c _ { 3 } \left( \delta _ { i j } - { p _ { i } } { p _ { j } } \right) + c _ { 4 } { p _ { i } } { p _ { j } } } \\ { { B } _ { i j } ^ { ( 0 ) } } & { { } = 0 } \end{array}
A _ { 0 } ( \vec { x } , t ) \rightarrow A _ { 0 } ^ { \prime } = { \frac { 1 } { \beta } } \int _ { 0 } ^ { \beta } d t \, A _ { 0 } ( \vec { x } , t ) , \qquad A _ { i } ( \vec { x } , t ) \rightarrow A _ { i } ^ { \prime } = \bar { A } _ { i } ( \vec { x } )
\begin{array} { r l } { T _ { n } ^ { - 1 } ( g _ { n } ) T _ { n } ( \mathrm { i } f _ { 2 } ) } & { = T _ { n } ^ { - 1 } ( g _ { n } ) \left[ T _ { n } ( g _ { n } ) T _ { n } \left( \frac { \mathrm { i } f _ { 2 } } { g _ { n } } \right) + L _ { 1 } ^ { \prime } \right] } \\ & { = T _ { n } \left( \mathrm { i } h _ { 2 } \frac { g } { g _ { n } } \right) + L _ { 2 } ^ { \prime } , } \end{array}
\left( \mathcal { J } ^ { - 1 } \right) _ { i j } = \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { j } } = \frac { 1 } { J } \left( \begin{array} { l l } { ( 1 - \xi ^ { 1 } ) y _ { 3 } ^ { ' } ( \xi ^ { 2 } ) + \xi ^ { 1 } y _ { 4 } ^ { ' } ( \xi ^ { 2 } ) } & { y _ { 1 } ( \xi ^ { 1 } ) - y _ { 2 } ( \xi ^ { 1 } ) } \\ { y _ { 3 } ( \xi ^ { 2 } ) - y _ { 4 } ( \xi ^ { 2 } ) } & { y _ { 1 } ^ { ' } ( \xi ^ { 1 } ) ( 1 - \xi ^ { 2 } ) + y _ { 2 } ^ { ' } ( \xi ^ { 1 } ) \xi ^ { 2 } } \end{array} \right) , \, J = \operatorname* { d e t } \mathcal { J } .
\mathbb { V } ^ { ( 3 ) } = \operatorname { s p a n } \left\{ \phi ^ { ( 3 ) } , \phi _ { i } ^ { ( 3 ) } , \phi _ { i j } ^ { ( 3 ) } , \phi _ { i j k } ^ { ( 3 ) } , \phi _ { i j k l } ^ { ( 3 ) } \, \Big \vert \, i , j , k , l = 1 , 2 , 3 \right\} ,
E - m _ { 0 } c ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 0 } v ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 8 } } { \frac { m _ { 0 } v ^ { 4 } } { c ^ { 2 } } } + { \frac { 5 } { 1 6 } } { \frac { m _ { 0 } v ^ { 6 } } { c ^ { 4 } } } + \cdots ;
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial ^ { \alpha } u ( { \bf x } , t ) } { \partial t ^ { \alpha } } + K _ { 1 } ( { \bf x } , t ) \nabla \cdot u ( { \bf x } , t ) = K _ { 2 } ( { \bf x } , t ) \nabla ^ { 2 } u ( { \bf x } , t ) + f ( { \bf x } , t ) , \quad { \bf x } \in \Gamma , \quad t \in ( 0 , T ) , } \\ & { u ( { \bf x } , 0 ) = u _ { 0 } ( { \bf x } ) , \quad { \bf x } \in \Gamma , } \\ & { \partial u ( { \bf x } , 0 ) = g _ { 0 } ( { \bf x } ) , \quad { \bf x } \in \partial \Gamma , \quad t \in ( 0 , T ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { a } = \rho ( C _ { s } \delta ) ^ { 2 } \sqrt { 2 \boldsymbol { \epsilon } : \boldsymbol { \epsilon } } , \quad C _ { s } ^ { 2 } = C _ { k } \sqrt { \frac { C _ { k } } { C _ { \epsilon } } } } \end{array}
\frac { \mathsf { G } _ { 1 , \psi _ { 2 } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } = 0 \, , \qquad \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \, \frac { \mathsf { G } _ { 2 , p _ { 2 } } } { 2 \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } = \frac { p _ { 2 } } { \mathsf { A } } \, .
\chi _ { \Lambda } ( C ^ { \Lambda _ { 0 } } ) = \sum _ { ( \lambda _ { 0 } ^ { \prime } , \kappa _ { 0 } , - s ) \in D ^ { + } } \, q ^ { 2 ( \lambda _ { 0 } ^ { \prime } , \lambda + \rho _ { 0 } ) } \, \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } n _ { \lambda _ { 0 } ^ { \prime } , s } q ^ { - 2 s ( \kappa + g ) }
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { \lambda \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } } & { + i \alpha U _ { z } ^ { ( k ) } \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } = - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial \tilde { p } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } } \\ & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \frac { \rho _ { 1 } } { \rho _ { 1 2 } \rho _ { k } } \frac { \mu _ { 1 2 } \mu _ { k } } { \mu _ { 1 } } \Biggl [ \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \biggl ( \frac { H _ { \phi } } { H _ { \xi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } \biggr ) + \frac { 1 } { H _ { \xi } H _ { \phi } } \frac { \partial } { \partial \phi } \biggl ( \frac { H _ { \xi } } { H _ { \phi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } \biggr ) - \alpha ^ { 2 } \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } } \\ & { - 4 \frac { \sin \phi } { \sin \phi _ { 0 } } \frac { 1 } { H _ { \xi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \xi } + 4 \frac { \sinh \xi } { \sin \phi _ { 0 } } \frac { 1 } { H _ { \phi } } \frac { \partial \tilde { u } _ { \phi } ^ { ( k ) } } { \partial \phi } + 4 \frac { \cos ^ { 2 } \phi - \cosh ^ { 2 } \xi } { \sin ^ { 2 } \phi _ { 0 } } \tilde { u } _ { \xi } ^ { ( k ) } \Biggr ] , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { \tau } } & { = - \frac { \xi ^ { ( \tau ) } } { | \xi ^ { ( \tau ) } | } , \quad \xi ^ { ( \tau ) } = - \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 1 ) } } \exp \bigl ( i \tau ( l ^ { ( 1 ) } + l ^ { ( 3 ) } ) \bigr ) - \frac { a _ { 3 } ^ { 2 } } { l ^ { ( 3 ) } } \exp ( - i \tau l ^ { ( 2 ) } ) , } \\ { \sigma ^ { 2 } } & { = \biggl ( \frac { l ^ { ( 1 ) } } { a _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { l ^ { ( 3 ) } } { a _ { 3 } ^ { 2 } } \biggr ) ^ { - 1 } , \qquad \rho = \sqrt { l ^ { ( 1 ) } + l ^ { ( 3 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal L } _ { g } ( x , y ) } & { = } & { \exp \left[ - \frac { 2 x ^ { 2 } - 2 ( y - 1 ) ^ { 2 } - x y } { 2 } \right] } \\ { { \cal L } _ { n g } ( x , y ) } & { = } & { \exp \left[ - \frac { 2 x ^ { 2 } - 2 ( y - 1 ) ^ { 2 } - x y } { 2 } \right] + \exp \left[ - \frac { 2 x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } - 3 x y } { 2 } \right] } \end{array}
\mathrm { B r } ( \mu \rightarrow e \gamma ) \simeq 3 \times 1 0 ^ { - 1 1 } \left( \frac { 2 0 0 ~ \mathrm { G e V } } { \tilde { m } } \right) ^ { 4 } \left( \frac { | W _ { \tau \mu } ^ { e } | } { 0 . 0 4 } \right) ^ { 2 } \left( \frac { | W _ { \tau e } ^ { e } | } { 0 . 0 1 } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \tan \beta } { 5 . 0 } \right) ^ { 2 } .
{ { \cal G } ^ { - 1 } } _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } \eta _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { L L T } } = \left( k ^ { 2 } - \Lambda _ { l } + \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } ( N - 1 ) - \frac { N + d } { N + d - 2 } \Lambda \right) \eta _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { L L T } } .
\begin{array} { r } { L _ { n } \mathcal { X } _ { s } ^ { n } ( \varphi ) = \frac { \theta ( n ) } { 2 n ^ { 2 } } \mathcal { X } _ { t } ^ { n } ( \Delta ^ { n } \varphi ^ { n } ) + \frac { \theta ( n ) \alpha _ { n } } { n ^ { 3 / 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \overline { { \xi } } _ { j } ( s ) \overline { { \xi } } _ { j + 1 } ( s ) \nabla ^ { 1 , n } \varphi _ { j } ^ { n } + E _ { t } ^ { n } . } \end{array}
U = h _ { n c } + \varepsilon \sigma _ { b } \left( T ^ { 2 } + T _ { a } ^ { 2 } \right) ( T + T _ { a } ) = A _ { n c } ( T - T _ { a } ) ^ { 1 / 3 } + \varepsilon \sigma _ { b } \left( T ^ { 2 } + T _ { a } ^ { 2 } \right) ( T + T _ { a } ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial F } { \partial U } \bullet ( X ) } & { = } & { - 2 \left< \rho , ( X \odot V ) \Sigma ( U \odot V ) ^ { T } \right> } \\ & { + } & { 2 \left< ( X \odot V ) \Sigma ( U \odot V ) ^ { T } , ( U \odot V ) \Sigma ( U \odot V ) ^ { T } \right> , } \\ & { = } & { \left< - 2 ( \tilde { M } - \hat { M } ) , X \right> , } \end{array}
\vec { \nabla } \cdot \vec { A } = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } x ^ { \prime } \frac { \vec { \nabla } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) + \vec { \nabla } ^ { \prime } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) } { R } .
R _ { \alpha \beta \gamma } ^ { \lambda } = \partial _ { \gamma } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \lambda } - \partial _ { \alpha } \Gamma _ { \gamma \beta } ^ { \lambda } + \Gamma _ { \gamma \sigma } ^ { \lambda } \Gamma _ { \alpha \beta } ^ { \sigma } - \Gamma _ { \alpha \sigma } ^ { \lambda } \Gamma _ { \gamma \beta } ^ { \sigma } \; .
\frac { | \lambda _ { L } ^ { 1 1 } \lambda _ { R } ^ { * 2 1 } | ^ { 2 } } { m _ { L Q } ^ { 4 } } \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } ( m _ { \pi } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 6 4 \pi ( m _ { u } + m _ { d } ) ^ { 2 } } < \Gamma ( \pi ^ { + } \rightarrow \overline { { { \mu } } } \nu _ { e } ) \; ,
\mathbf T _ { n , m } = \sum _ { h = - ( n - 1 ) } ^ { n - 1 } \frac { \overline { { Y _ { n - 1 } ^ { h } ( \hat { \mathbf { z } } _ { 1 } } } ) \| \mathbf { z } _ { 1 } \| ^ { n - 1 } } { ( 2 n - 1 ) ( - n - 1 ) R ^ { n + 2 } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \big ( n Y _ { n - 1 } ^ { h } ( \hat { \mathbf { x } } ) \hat { \mathbf { x } } - \nabla _ { S } Y _ { n - 1 } ^ { h } ( \hat { \mathbf { x } } ) \big ) \overline { { Y _ { n } ^ { m } ( \hat { \mathbf { x } } } } ) ~ \mathrm { d } s _ { \hat { \mathbf { x } } } , n \geq 1 .
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k + 1 ) } ) \, ] \lesssim \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { k } \, t \, \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } ^ { 2 } \, ] - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { k } \, \beta _ { k } \, u \, \mathrm { E } \, [ \, \vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \vert \, ] } \\ { \le \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { k } \, ( t \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \Vert ^ { 2 } \, ] + \beta _ { k } \, u \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \Vert _ { 1 } \, ] ) } \\ { \le \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \frac { 1 } { 2 } \, \theta _ { k } \, ( t \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \Vert ^ { 2 } \, ] + \beta _ { k } \, u \, \mathrm { E } \, [ \, \Vert \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \Vert \, ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \tilde { t } } \tilde { h } } & { = \partial _ { \tilde { x } } \cdot \left[ \tilde { h } ^ { 3 } \, \partial _ { \tilde { x } } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { h } } \right] \ \ - \ \tilde { M } \left[ \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { h } } - \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { \zeta } } \right] \ + \ \tilde { U } \partial _ { \tilde { x } } \tilde { h } } \\ { \partial _ { \tilde { t } } \tilde { \zeta } } & { = \partial _ { \tilde { x } } \cdot \left[ \tilde { D } \tilde { \zeta } \, \partial _ { \tilde { x } } \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { \zeta } } \right] \ - \ \tilde { M } \left[ \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \tilde { \zeta } } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] \ + \ \tilde { U } \partial _ { \tilde { x } } \tilde { \zeta } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { E } _ { a , b } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 L _ { x } } \frac { 1 } { 2 L _ { y } } \int _ { - L _ { y } } ^ { L _ { y } } \int _ { - L _ { x } } ^ { L _ { x } } \pmb { j } \cdot \tilde { \pmb { A } } ( x , y ) d x d y } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { 5 } W \mathbb { n } { \mathrm { ~ i s ~ p e r p e n d i c u l a r ~ t o ~ } } M \mathbb { t } \quad \, } & { { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } \quad 0 = ( W \mathbb { n } ) \cdot ( M \mathbb { t } ) } \\ & { { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } \quad 0 = ( W \mathbb { n } ) ^ { \mathrm { T } } ( M \mathbb { t } ) } \\ & { { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } \quad 0 = \left( \mathbb { n } ^ { \mathrm { T } } W ^ { \mathrm { T } } \right) ( M \mathbb { t } ) } \\ & { { \mathrm { ~ i f ~ a n d ~ o n l y ~ i f ~ } } \quad 0 = \mathbb { n } ^ { \mathrm { T } } \left( W ^ { \mathrm { T } } M \right) \mathbb { t } } \end{array} }
M _ { G } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { s _ { \mathrm { i m } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { s _ { \mathrm { i m } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 4 \, c _ { 2 0 } \cos ( \theta ) } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 4 \, c _ { 0 2 } \sec ( \theta ) } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { s _ { \mathrm { o b } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { s _ { \mathrm { o b } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
E \sim \int _ { 0 } d r ~ r ^ { 2 } ~ \left( \kappa _ { 1 } ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( \sin f ) ^ { 2 } + \kappa _ { 3 } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( \sin f ) ^ { 2 } + \kappa _ { 4 } \frac { 1 } { r ^ { 4 } } ( \sin f ) ^ { 4 } \right) .
V _ { T } ^ { M a j o r a n a } ( r ) \simeq - { \frac { 2 ^ { 3 / 2 } G _ { F } ^ { 2 } m ^ { 3 / 2 } g _ { V } g _ { V } ^ { \prime } } { \pi ^ { 5 / 2 } r } } \; T ^ { 5 / 2 } \; e ^ { - m / T } .
\frac { \mathrm { ~ P ~ S ~ D ~ a ~ t ~ r ~ e ~ s ~ o ~ n ~ a ~ n ~ c ~ e ~ w ~ h ~ e ~ n ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ i ~ s ~ a ~ l ~ o ~ n ~ g ~ y ~ - ~ a ~ x ~ i ~ s ~ } } { \mathrm { ~ P ~ S ~ D ~ a ~ t ~ r ~ e ~ s ~ o ~ n ~ a ~ n ~ c ~ e ~ w ~ h ~ e ~ n ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ i ~ s ~ a ~ l ~ o ~ n ~ g ~ x ~ - ~ a ~ x ~ i ~ s ~ } } .
\begin{array} { r l } { \left\| A _ { j _ { n } } \cdots A _ { j _ { 1 } } \right\| } & { = \left\| \left( \begin{array} { l l } { a _ { j _ { n } } } & { b _ { j _ { n } } } \\ { 0 } & { c _ { j _ { n } } } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { l l } { a _ { j _ { 1 } } } & { b _ { j _ { 1 } } } \\ { 0 } & { c _ { j _ { 1 } } } \end{array} \right) \right\| } \\ & { = \left\| \left( \begin{array} { l l } { a _ { j _ { n } } \cdots a _ { j _ { 1 } } } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } a _ { j _ { n } } \cdots a _ { j _ { \ell + 1 } } b _ { j _ { \ell } } c _ { j _ { \ell - 1 } } \cdots c _ { j _ { 1 } } } \\ { 0 } & { c _ { j _ { n } } \cdots c _ { j _ { 1 } } } \end{array} \right) \right\| } \\ & { = \left\| \left( \begin{array} { l l } { | a _ { j _ { n } } \cdots a _ { j _ { 1 } } | } & { \left| \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } a _ { j _ { n } } \cdots a _ { j _ { \ell + 1 } } b _ { j _ { \ell } } c _ { j _ { \ell - 1 } } \cdots c _ { j _ { 1 } } \right| } \\ { 0 } & { | c _ { j _ { n } } \cdots c _ { j _ { 1 } } | } \end{array} \right) \right\| } \\ & { \leq \left\| \left( \begin{array} { l l } { | a _ { j _ { n } } \cdots a _ { j _ { 1 } } | } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { n } | a _ { j _ { n } } \cdots a _ { j _ { \ell + 1 } } b _ { j _ { \ell } } c _ { j _ { \ell - 1 } } \cdots c _ { j _ { 1 } } | } \\ { 0 } & { | c _ { j _ { n } } \cdots c _ { j _ { 1 } } | } \end{array} \right) \right\| } \\ & { = \left\| \left( \begin{array} { l l } { | a _ { j _ { n } } | } & { | b _ { j _ { n } } | } \\ { 0 } & { | c _ { j _ { n } } | } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { l l } { | a _ { j _ { 1 } } | } & { | b _ { j _ { 1 } } | } \\ { 0 } & { | c _ { j _ { 1 } } | } \end{array} \right) \right\| } \\ & { \leq \left\| B _ { k ( j _ { n } ) } \cdots B _ { k ( j _ { 1 } ) } \right\| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } [ \mathbf { u } _ { j } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \stackrel { \cdot \cdot } { = } [ \boldsymbol { \Sigma } _ { u , k + 1 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] _ { j + 1 , k + 2 } , } & { \; \; \; \frac { 1 } { N } [ \mathbf { u } _ { j } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { u } _ { 0 } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \stackrel { \cdot \cdot } { = } 0 , } \\ { \frac { 1 } { N } [ \mathbf { v } _ { i } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] ^ { T } \mathbf { v } _ { k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } \stackrel { \cdot } { = } [ \boldsymbol { \Sigma } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } / \mathrm { o u t } } ] _ { i + 1 , k + 1 } . } & { } \end{array}
m _ { 1 } = \left( { - 1 - \beta l _ { 1 } \pm \sqrt { ( 1 + \beta l _ { 1 } ) ^ { 2 } - 4 \alpha ( 4 k _ { 1 } ^ { 2 } - l _ { 1 } ^ { 2 } ) } } \right) / { 2 \alpha }
\begin{array} { r l } { V } & { { } = \sum _ { \mathbf { n } } \Big [ \big ( p ( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } ) k _ { \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } , \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } } - p ( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } ) k _ { \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } , \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime \prime } } \big ) \Delta x _ { 1 } ( \mathbf { n } ^ { \prime \prime \prime } ) \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } , \hat { p } _ { \nu } ^ { ( L ) } \} } & { = \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } \hat { p } _ { \nu } ^ { ( L ) } + \hat { p } _ { \nu } ^ { ( L ) } \hat { p } _ { \mu } ^ { ( L ) } } \\ & { = - i \left[ \bigotimes _ { r = ( \mu - 1 ) L + 1 } ^ { \mu L - 1 } \hat { X } _ { r } \hat { Y } _ { \mu L } \bigotimes _ { r ^ { \prime } = ( \mu + 1 ) L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { ( \nu - 1 ) L } \hat { Z } _ { r ^ { \prime } } \bigotimes _ { r ^ { \prime \prime } = ( \nu - 1 ) L + 1 } ^ { \nu L } \hat { X } _ { r ^ { \prime \prime } } \right] } \\ & { \quad + i \left[ \bigotimes _ { s = ( \mu - 1 ) L + 1 } ^ { \mu L - 1 } \hat { X } _ { s } \hat { Y } _ { \mu L } \bigotimes _ { s ^ { \prime } = ( \mu + 1 ) L ( \textrm { m o d } L ) } ^ { ( \nu - 1 ) L } \hat { Z } _ { s ^ { \prime } } \bigotimes _ { s ^ { \prime \prime } = ( \nu - 1 ) L + 1 } ^ { \nu L } \hat { X } _ { s ^ { \prime \prime } } \right] } \\ & { = 0 \quad \textrm { ( s h o w n ) } } \end{array}
\psi _ { \omega , \mu , n , \nu } ( x ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \alpha ^ { 1 / 2 } } J _ { | n - \nu \kappa | / \alpha } ( \mu r ) e ^ { i [ \nu Z - \omega t + ( n - \nu \kappa ) \varphi / \alpha ] } ,
\begin{array} { r l r } { i \partial _ { \tau } t _ { i } ^ { a } } & { = } & { \langle \Phi _ { i } ^ { a } | [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] + [ [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] , T _ { 2 } ( \tau ) ] | \Phi \rangle } \\ { i \partial _ { \tau } t _ { i j } ^ { a b } } & { = } & { \langle \Phi _ { i j } ^ { a b } | [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] + [ [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] , T _ { 2 } ( \tau ) ] } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 } [ [ [ \bar { H } _ { N } , T _ { 1 } ( \tau ) ] , T _ { 2 } ( \tau ) ] , T _ { 2 } ( \tau ) ] | \Phi \rangle . } \end{array}
\{ S _ { 1 } , H _ { 1 } \} _ { f } = \frac { e } { m c } ( \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial \theta } \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial \mu } - \frac { \partial H _ { 1 } } { \partial \theta } \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial \mu } ) ,
1 0 0 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 1 0 \uparrow \uparrow ( 1 0 \uparrow ) ^ { 9 8 } ( 2 \times 1 0 ^ { 2 0 0 } ) = 1 0 \uparrow \uparrow ( 1 0 \uparrow ) ^ { 1 0 0 } 2 . 3
\begin{array} { l } { \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } = \sigma _ { i + 1 } \sigma _ { i } \sigma _ { i + 1 } , \; \; \; \textrm { f o r } \; 1 \leq i \leq N - 2 , } \\ { \sigma _ { i } \sigma _ { j } = \sigma _ { j } \sigma _ { i } , \; \; \; \textrm { f o r } \; 1 \leq i , j \leq N - 1 , \; | i - j | \geq 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { u b } = Q _ { u } ( z _ { b } ) } & { \approx 0 . 0 9 Q _ { F } , } \\ { M _ { u b } = M _ { u } ( z _ { b } ) + M _ { u } ^ { \prime } ( z _ { b } ) } & { \approx 0 . 3 6 M _ { 0 } \; \textrm { a n d } , } \\ { F _ { u b } = F _ { u } ( z _ { b } ) + F _ { u } ^ { \prime } ( z _ { b } ) } & { \approx - 0 . 7 1 | F _ { 0 } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( u ) } & { { } = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ o ~ m ~ e ~ } \mu \in [ \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } ) \, \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { j } } & { = ( n + i - j ) ( j + \frac { c ^ { ( \nu ) } } { d ^ { ( \nu ) } } ) + ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) + n ( ( i - N - 1 ) - \frac { c ^ { ( \nu ) } } { d ^ { ( \nu ) } } ) , } \\ { F _ { j } } & { = ( j - 1 ) ( N - j + 1 ) \frac { \mu _ { j - 1 } } { \mu _ { j } } ( n + i - j + 1 ) \big ( d ^ { ( \nu ) } ( j - 1 ) + c ^ { ( \nu ) } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 4 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \frac { 4 ^ { k } \lambda L ^ { 2 } d } { 3 2 \sigma n } \right\} } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \frac { 4 ^ { k + 1 4 } d } { 3 2 ^ { 2 } e } \right\} \leqslant \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \frac { 4 ^ { 1 4 } \; k d } { 3 2 ^ { 2 } e } \right\} } \\ & { \leqslant \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\{ - \frac { 4 ^ { 9 } \; k d } { e } \right\} \leqslant e . } \end{array}
\left\langle \sigma _ { j } ( 0 , 0 ) \right\rangle _ { \mathbb { D } } ^ { \alpha } = N ^ { - 2 ( 1 - N ^ { - 1 } ) h _ { j } - 1 } \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \epsilon ^ { 2 ( 1 - N ^ { - 1 } ) h _ { j } } \sum _ { a = 0 } ^ { N - 1 } \left\langle \left( \phi _ { j + a } \otimes \phi _ { \mathbf { 1 } + a } \otimes \dots \phi _ { \mathbf { 1 } + a } \right) ( \epsilon , \bar { \epsilon } ) \sigma ^ { [ k ] } ( 0 , 0 ) \right\rangle _ { \mathbb { D } } ^ { \alpha }
\begin{array} { r l } { \eta _ { i } ^ { \left[ \beta \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { = \delta _ { \lambda , \beta } \left( \rho _ { A } ^ { \circ } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) - z _ { i } \right) + \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { j i } ^ { \circ } \left( \gamma \right) q _ { \gamma \beta } \eta _ { j } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } \\ & { \quad + \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } \left( 1 - \sum _ { j \in \mathcal { N } } e _ { j i } ^ { \circ } \left( \gamma \right) \right) q _ { \gamma \beta } \eta _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) . } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } \left[ \rho _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) \right] = \int _ { \mathrm { ~ U ~ C ~ } } f ^ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } \left[ \rho _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) , \gamma _ { \uparrow \uparrow , \uparrow \downarrow , \downarrow \downarrow } ( \vec { r } ) , \tau _ { \uparrow , \downarrow } ( \vec { r } ) \right] ~ \textrm { d } ^ { 3 } r ,