harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \bf { H } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } ^ { f } } & { = { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } - { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } } \\ & { \quad ( { \bf { U } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } + { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { R } } } \\ & { \quad { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } + { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ) ^ { - 1 } } \\ & { \quad ( { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } - { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ( { \bf { U } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } } \\ & { \quad + { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } ) ^ { - 1 } { \bf { Y } } _ { N _ { S } \times N _ { T } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathbf Y } _ { 0 } = ( 0 , 0 , 0 ) ^ { { \mathrm T } } } & { , } & { { \mathbf Y } _ { N } = \left( \frac { e - 1 } { L } , \frac { 2 } { L } , \frac { 1 } { T } \right) ^ { { \mathrm T } } } \\ { { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { 0 } ) = \left( \frac { 1 } { v _ { 0 } } , \frac { 1 } { v _ { 0 } } , 1 \right) ^ { { \mathrm T } } } & { , } & { { \mathbf U } ( { \mathbf Y } _ { N } ) = \left( \frac { e } { v _ { 0 } } , \frac { 3 } { v _ { 0 } } , 1 \right) ^ { { \mathrm T } } . } \end{array}
T _ { \alpha } = \operatorname* { i n f } \{ t > 0 \mid X _ { t } = \alpha \} \sim \operatorname { I G } \left( { \frac { \alpha } { \nu } } , \left( { \frac { \alpha } { \sigma } } \right) ^ { 2 } \right) = { \frac { \alpha } { \sigma { \sqrt { 2 \pi x ^ { 3 } } } } } \exp { \biggl ( } - { \frac { ( \alpha - \nu x ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } x } } { \biggr ) }
R ( x , Q ^ { 2 } ) = ( 1 . + 1 7 . 6 1 1 ( x - 0 . 5 5 ) ^ { - ( 3 . + 0 . 6 6 1 l o g ( Q ^ { 2 } / Q _ { 0 } ^ { 2 } ) ) } ) \Theta ( x - 0 . 5 5 ) .
\begin{array} { r l } & { a _ { k } : V \times V \rightarrow \mathbb { R } \quad \forall k = 1 , \dots , K , } \\ & { b _ { k } : V \times Q \rightarrow \mathbb { R } \quad \forall k = 1 , \dots , K , } \\ & { F _ { k } : V \rightarrow \mathbb { R } \quad \forall k = 1 , \dots , K , } \\ & { G _ { k } : Q \rightarrow \mathbb { R } \quad \forall k = 1 , \dots , K . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { C } _ { i } ^ { 2 } = } & { \left[ \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( 2 ) } + \mathbf { M } _ { i } ^ { 2 } + \mathbf { C } _ { i - 1 } ^ { \dagger } \mathbf { C } _ { i - 1 } \right. } \\ & { - \left. P ( \mathbf { S } _ { i , i } ^ { ( 1 ) } \mathbf { M } _ { i } ) - P ( \mathbf { S } _ { i , i - 1 } ^ { ( 1 ) } \mathbf { C } _ { i - 1 } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } F ( m , m , \tilde { x } ) f _ { 0 } ( m , \tilde { x } ) d m d \tilde { x } { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } F ( m , m , \tilde { x } ) \partial _ { x ^ { k } } \left[ \Sigma ^ { 1 , k } p _ { V } \right] ( m , m , \tilde { x } ; s ) d m d \tilde { x } d s } } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { { \mathbb R } ^ { d } } \left( F ( m , m , \tilde { x } ) B ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; s ) + \frac { 1 } { 2 } [ \partial _ { x ^ { k } } F \Sigma ^ { 1 , k } p _ { V } ] ( m , m , \tilde { x } ; s ) \right) d m d \tilde { x } d s } \\ & { + { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \| A ^ { 1 } ( m , \tilde { x } ) \| ^ { 2 } } \partial _ { m } F ( m , m , \tilde { x } ) { p ( m , m , \tilde { x } ; s ) } d m d \tilde { x } d s . } \end{array}
F _ { 2 } = \operatorname { t a n h } \Bigg [ \Bigg [ \operatorname* { m a x } \Bigg ( \frac { 2 \sqrt { k } } { \beta ^ { * } \omega y } , \frac { 5 0 0 v } { y ^ { 2 } \omega } \Bigg ) \Bigg ] ^ { 2 } \Bigg ] .
\left[ \begin{array} { l } { E _ { 2 } } \\ { H _ { 2 } } \end{array} \right] = \mathbf { M } _ { 1 } \left[ \begin{array} { l } { E _ { 3 } } \\ { H _ { 3 } } \end{array} \right] , \mathbf { M } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { \cos \beta h _ { 1 } } & { j Z _ { 0 } \sin \beta h _ { 1 } } \\ { j \frac { 1 } { z _ { 0 } } \sin \beta h _ { 1 } } & { \cos \beta h _ { 1 } } \end{array} \right]
\frac { \dot { \omega } _ { i j } } { \omega _ { i j } } = \frac { K _ { i } \omega _ { i } - \epsilon _ { i j } K _ { j } \omega _ { j } } { \omega _ { i } - \epsilon _ { i j } \omega _ { j } } \frac { \dot { \alpha } } { \alpha } \equiv K _ { i j } \frac { \dot { \alpha } } { \alpha } .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \langle \mathcal { J } _ { 0 } ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ) , \mathcal { Q } _ { 0 } y \rangle _ { L ^ { 2 } } = \langle A _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } x , y \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } = \langle x , A _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } ^ { \ast } y \rangle _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 } \langle \mathcal { Q } _ { 0 } x , A _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } ^ { \ast } y \rangle _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { x _ { 1 } } = u _ { 1 } , \dot { u _ { 1 } } = \lambda ( - y _ { 2 } z _ { 3 } + y _ { 2 } z _ { 4 } + y _ { 3 } z _ { 2 } - y _ { 3 } z _ { 4 } - y _ { 4 } z _ { 2 } + y _ { 4 } z _ { 3 } ) , } \\ & { \dot { y _ { 1 } } = v _ { 1 } , \dot { v _ { 1 } } = \lambda ( x _ { 2 } z _ { 3 } - x _ { 2 } z _ { 4 } - x _ { 3 } z _ { 2 } + x _ { 3 } z _ { 4 } + x _ { 4 } z _ { 2 } - x _ { 4 } z _ { 3 } ) , } \\ & { \dot { z _ { 1 } } = w _ { 1 } , \dot { w _ { 1 } } = \lambda ( - x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 2 } y _ { 4 } + x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 3 } y _ { 4 } - x _ { 4 } y _ { 2 } + x _ { 4 } y _ { 3 } ) , } \\ & { \dot { x _ { 2 } } = u _ { 2 } , \dot { u _ { 2 } } = \lambda ( y _ { 1 } z _ { 3 } - y _ { 1 } z _ { 4 } - y _ { 3 } z _ { 1 } + y _ { 3 } z _ { 4 } + y _ { 4 } z _ { 1 } - y _ { 4 } z _ { 3 } ) , } \\ & { \dot { y _ { 2 } } = v _ { 2 } , \dot { v _ { 2 } } = \lambda ( - x _ { 1 } z _ { 3 } + x _ { 1 } z _ { 4 } + x _ { 3 } z _ { 1 } - x _ { 3 } z _ { 4 } - x _ { 4 } z _ { 1 } + x _ { 4 } z _ { 3 } ) , } \\ & { \dot { z _ { 2 } } = w _ { 2 } , \dot { w _ { 2 } } = \lambda ( x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 1 } y _ { 4 } - x _ { 3 } y _ { 1 } + x _ { 3 } y _ { 4 } + x _ { 4 } y _ { 1 } - x _ { 4 } y _ { 3 } ) , } \\ & { \dot { x _ { 3 } } = u _ { 3 } , \dot { u _ { 3 } } = \lambda ( - y _ { 1 } z _ { 2 } + y _ { 1 } z _ { 4 } + y _ { 2 } z _ { 1 } - y _ { 2 } z _ { 4 } - y _ { 4 } z _ { 1 } + y _ { 4 } z _ { 2 } ) , } \\ & { \dot { y _ { 3 } } = v _ { 3 } , \dot { v _ { 3 } } = \lambda ( x _ { 1 } z _ { 2 } - x _ { 1 } z _ { 4 } - x _ { 2 } z _ { 1 } + x _ { 2 } z _ { 4 } + x _ { 4 } z _ { 1 } - x _ { 4 } z _ { 2 } ) , } \\ & { \dot { z _ { 3 } } = w _ { 3 } , \dot { w _ { 3 } } = \lambda ( - x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 1 } y _ { 4 } + x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 4 } - x _ { 4 } y _ { 1 } + x _ { 4 } y _ { 2 } ) , } \\ & { \dot { x _ { 4 } } = u _ { 4 } , \dot { u _ { 4 } } = \lambda \cdot ( y _ { 1 } z _ { 2 } - y _ { 1 } z _ { 3 } - y _ { 2 } z _ { 1 } + y _ { 2 } z _ { 3 } + y _ { 3 } z _ { 1 } - y _ { 3 } z _ { 2 } ) , } \\ & { \dot { y _ { 4 } } = v _ { 4 } , \dot { v _ { 4 } } = \lambda ( - x _ { 1 } z _ { 2 } + x _ { 1 } z _ { 3 } + x _ { 2 } z _ { 1 } - x _ { 2 } z _ { 3 } - x _ { 3 } z _ { 1 } + x _ { 3 } z _ { 2 } ) , } \\ & { \dot { z _ { 4 } } = w _ { 4 } , \dot { w _ { 4 } } = \lambda ( x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 2 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { X | T = t } [ Z ] } & { = } & { \sum _ { d = 0 } ^ { M } d p _ { t } ( d ) , } \\ { \mathbb { E } _ { X | T = t } [ Z ^ { 2 } ] } & { = } & { \textrm { V a r } _ { X | T = t } [ Z ] + \left( \mathbb { E } _ { X | T = t } [ Z ] \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { d = 0 } ^ { M } d ^ { 2 } p _ { t } ( d ) + \frac { ( n - 1 ) } { n } \left( \sum _ { d = 0 } ^ { M } d p _ { t } ( d ) \right) ^ { 2 } , } \end{array}
- \otimes _ { \mathcal { C } } - \colon \mathrm { { M o d } } _ { \mathcal { C } } ( \textup { P r } _ { \mathcal { B } } ^ { \textup { L } } ) \times { \mathrm { M o d } } _ { \mathcal { C } } ( \textup { P r } _ { \mathcal { B } } ^ { \textup { L } } ) \to \mathrm { { M o d } } _ { \mathcal { C } } ( \textup { P r } _ { \mathcal { B } } ^ { \textup { L } } )
\begin{array} { r l } & { \frac { | g ( \xi ; \mu ) - g ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) | } { [ G ( \xi ; \mu ) - G ( \xi - \tau ( \xi - \alpha ( \mu ) ) ; \mu ) ] ^ { 3 / 2 } } } \\ & { = \frac { \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { u } ( \xi - ( 1 - s ) ( \xi - \alpha ( \mu ) ) \tau ; \mu ) d s \right| ( \xi - \alpha ( \mu ) ) \tau } { \left[ \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } g ( \xi - ( 1 - s ) ( \xi - \alpha ( \mu ) ) \tau ; \mu ) d s \right) ( \xi - \alpha ( \mu ) ) \tau \right] ^ { 3 / 2 } } . } \end{array}
A _ { \tau } = \left( \gamma - 1 \right) \frac { k _ { x } ^ { 2 } \mathrm { M } _ { \infty } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { T _ { w } } \left[ 1 - \mathcal { F } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { g _ { i j } } & { = \boldsymbol { g } _ { i } \cdot \boldsymbol { g } _ { j } = \frac { \partial x ^ { k } } { \partial \xi ^ { i } } \frac { \partial x ^ { k } } { \partial \xi ^ { j } } \Rightarrow \boldsymbol { \left[ G \right] } = \boldsymbol { \left[ A \right] ^ { T } } \boldsymbol { \left[ A \right] } = \boldsymbol { \left[ G \right] ^ { T } } , } \\ { g ^ { i j } } & { = \boldsymbol { g } ^ { i } \cdot \boldsymbol { g } ^ { j } = \frac { \partial \xi ^ { i } } { \partial x ^ { k } } \frac { \partial \xi ^ { j } } { \partial x ^ { k } } \Rightarrow \boldsymbol { \left[ \bar { G } \right] } = \boldsymbol { \left[ \bar { A } \right] } \boldsymbol { \left[ \bar { A } \right] ^ { T } } = \boldsymbol { \left[ \bar { G } \right] ^ { T } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { X } ( t + \Delta t ) = \underbrace { \mathbf { X } ( t ) + \int _ { t } ^ { t + \Delta t } { \mathbf { F } \left( \mathbf { X } \left( t \right) \right) } d t } _ { \mathcal { M } \left[ \mathbf { X } ( t ) , \phi \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \gamma , \delta \rangle } & { = } & { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { \mathrm { H V } } ( \delta ) \mathcal { D } _ { 3 } ^ { \mathrm { H V } } ( \gamma ) | \mathrm { H } \rangle } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta } { 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta } { 2 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { \cos ( \frac { \gamma } { 2 } ) } & { - \sin ( \frac { \gamma } { 2 } ) } \\ { \sin ( \frac { \gamma } { 2 } ) } & { \ \ \cos ( \frac { \gamma } { 2 } ) } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \mathrm { e } ^ { - i \frac { \delta } { 2 } } \cos ( \frac { \gamma } { 2 } ) } \\ { \mathrm { e } ^ { + i \frac { \delta } { 2 } } \sin ( \frac { \gamma } { 2 } ) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { | \mathrm { J o n e s } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { f b } } ( t ) = r _ { \mathrm { e x t } } t _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } E ^ { + } \left( L , t - \tau _ { \mathrm { e x t } } \right) e ^ { - i \omega _ { 0 } \tau _ { \mathrm { e x t } } } } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \overline { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
B _ { N } ( R _ { 1 } , R _ { m } ; \phi _ { 1 } , \phi _ { m } ) = \sum _ { l = - \infty } ^ { + \infty } J _ { N - m l } ( R _ { 1 } ) J _ { l } ( R _ { m } ) \exp { [ - i l ( m \phi _ { 1 } - \phi _ { m } ) ] } ,
Z _ { \epsilon } ( \omega ) = \frac { i \Omega } { \pi \Delta n ( \omega ) } \int _ { 2 \pi n _ { 1 } ( \omega ) / \Omega } ^ { 2 \pi n _ { 2 } ( \omega ) / \Omega } e ^ { - i \Omega \eta } \mathfrak { I m } \left( \frac { R _ { 0 } ( \eta ) e ^ { i \Omega \eta } } { 1 + i \omega \theta _ { 0 } ( \eta ) } \right) d \eta + O ( \epsilon ) ,
\begin{array} { r l } { E \cap B _ { \delta _ { j } / 3 } ( \mathbf { x } _ { j } ) } & { = \left( \cup _ { i = 1 } ^ { N } E _ { \mathbf { x } _ { i } } \cap B _ { \delta _ { i } / 3 } ( \mathbf { x } _ { i } ) \right) \cap B _ { \delta _ { j } / 3 } ( \mathbf { x } _ { j } ) } \\ & { = \cup _ { i = 1 } ^ { N } ( E _ { \mathbf { x } _ { i } } \cap B _ { \delta _ { i } / 3 } ( \mathbf { x } _ { i } ) \cap B _ { \delta _ { j } / 3 } ( \mathbf { x } _ { j } ) ) } \\ & { = \cup _ { i = 1 } ^ { N } ( E _ { \mathbf { x } _ { j } } \cap B _ { \delta _ { i } / 3 } ( \mathbf { x } _ { i } ) \cap B _ { \delta _ { j } / 3 } ( \mathbf { x } _ { j } ) ) } \\ & { = E _ { \mathbf { x } _ { j } } \cap B _ { \delta _ { j } / 3 } ( \mathbf { x } _ { j } ) \cap ( \cup _ { i = 1 } ^ { N } B _ { \delta _ { i } / 3 } ( \mathbf { x } _ { i } ) ) } \\ & { = E _ { \mathbf { x } _ { j } } \cap B _ { \delta _ { j } / 3 } ( \mathbf { x } _ { j } ) \cap \hat { N } } \\ & { = E _ { \mathbf { x } _ { j } } \cap B _ { \delta _ { j } / 3 } ( \mathbf { x } _ { j } ) , } \end{array}
\overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { T } \left( - c _ { p } ^ { R } \tilde { \mathbf { A } } _ { 0 } + \tilde { \mathbf { B } } _ { 0 } \right) \mathbf { U } _ { 1 } - i \left( c _ { p } ^ { I } \ \ \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { T } \tilde { \mathbf { A } } _ { 0 } \mathbf { U } _ { 1 } - \frac { 1 } { k } \overline { { \mathbf { U } } } _ { 1 } ^ { T } \tilde { \mathbf { C } } _ { 0 } \mathbf { U } _ { 1 } \right) = 0 .
{ \begin{array} { r l } { I _ { k } ^ { p a t h } ( F ) } & { : = \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) p ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } \\ & { \approx _ { N \uparrow \infty } { \widehat { I } } _ { k } ^ { p a t h } ( F ) } \\ & { : = \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) { \widehat { p } } ( d ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) | y _ { 0 } , \cdots , y _ { k - 1 } ) } \\ & { = { \frac { 1 } { N } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } F \left( \xi _ { 0 , k } ^ { i } , \cdots , \xi _ { k , k } ^ { i } \right) } \end{array} }
\mathbf { H } _ { e f f } = \left[ \begin{array} { l l } { \omega _ { 1 } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { 1 } + \Lambda } & { \Lambda } \\ { \Lambda } & { \omega _ { 2 } - \frac { i } { 2 } \gamma _ { 2 } + \Lambda } \end{array} \right]
W _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 h _ { 0 } } \sqrt { \frac { 3 \Lambda _ { 0 } } { \chi h _ { 0 } } } , ~ ~ ~ ~ v _ { 0 } = c _ { 0 } + \frac { c _ { 0 } \Lambda _ { 0 } } { 2 h _ { 0 } } ( 2 k ^ { 2 } - 1 ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { M S S I M ~ l o s s } } & { = 1 - \mathrm { M S S I M } , } \\ & { = 1 - \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathrm { c o n s t ~ h e i g h t } } \left[ \frac { \left( 2 \mu \hat { \mu } + \mathrm { C _ { 1 } } \right) \left( 2 \chi + \mathrm { C _ { 2 } } \right) } { \left( \mu ^ { 2 } + \hat { \mu } ^ { 2 } + \mathrm { C _ { 1 } } \right) \left( \sigma ^ { 2 } + \hat { \sigma } ^ { 2 } + \mathrm { C _ { 2 } } \right) } \right] , } \end{array}
P ( N ) = \sum _ { C = 0 } ^ { \infty } \frac { \left( C \langle n \rangle \right) ^ { N } } { N ! } \cdot \mathrm { e } ^ { - C \langle n \rangle } \cdot \frac { \langle C \rangle ^ { C } \mathrm { e } ^ { - \langle C \rangle } } { C ! }
\mathcal { A } _ { x } = \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { x } } & { \rho } & { 0 } \\ { \varsigma ^ { 2 } + \frac { \partial _ { \rho } P _ { x x } ^ { * } } { \rho } } & { u _ { x } + \frac { \partial _ { u _ { x } } P _ { x x } ^ { * } } { \rho } } & { \frac { \partial _ { u _ { y } } P _ { x x } ^ { * } } { \rho } } \\ { 0 } & { 0 } & { u _ { x } } \end{array} \right] .
< \bar { \psi } \psi > = { \frac { i } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } T r \int d ^ { 4 } p \frac { \gamma \cdot p - m u } { p ^ { 2 } - m ^ { 2 } } = \frac { m ^ { 3 } N _ { C } } { 4 \pi ^ { 2 } } \{ { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } - l o g ( { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } + 1 ) \} .
\varphi ( E ) = \operatorname* { i n f } { \biggl \{ } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } p ( A _ { i } ) \, { \bigg | } \, E \subseteq \bigcup _ { i = 0 } ^ { \infty } A _ { i } , \forall i \in \mathbb { N } , A _ { i } \in C { \biggr \} } .
\kappa _ { m } = \frac { 1 } { \rho _ { m } } \left( \alpha _ { l } \rho _ { l } + \alpha _ { g } \rho _ { g } C _ { t } ^ { 2 } \right) \kappa _ { l } , \quad \epsilon _ { m } = \frac { 1 } { \rho _ { m } } \left( \alpha _ { l } \rho _ { l } + \alpha _ { g } \rho _ { g } C _ { t } ^ { 2 } \right) \epsilon _ { l }
e ^ { - i \frac { 1 } { \hbar } 2 t _ { \mathrm { R } } \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } = \underbrace { \hat { U } _ { \mathrm { s w a p } } e ^ { - i \frac { 1 } { \hbar } t _ { \mathrm { R } } \hat { H } _ { \mathrm { a s y m } } } \hat { U } _ { \mathrm { s w a p } } } _ { e ^ { - i \frac { 1 } { \hbar } t _ { \mathrm { R } } \hat { H } _ { 1 } } } e ^ { - i \frac { 1 } { \hbar } t _ { \mathrm { R } } \hat { H } _ { \mathrm { a s y m } } } .
S h _ { c } ^ { * } = d \left( \frac { g R _ { 0 } ^ { 3 } } { \nu _ { o } ^ { 2 } } \right) ^ { i } \left( \frac { \nu _ { o } } { \nu } \right) ^ { 2 ( i - j ) } \left( \frac { \rho _ { m } - \rho _ { a } } { \rho _ { a } } \right) ^ { f - j } S c ^ { e - j } R a ^ { j } ,
\langle \frac { F _ { \omega } } { I } \partial _ { \omega } g \rangle = \langle F _ { \omega } \rangle = \langle F _ { \omega } ^ { c o n t a c t } + F _ { \omega } ^ { d r a g } \rangle = \langle \widetilde { \beta } ^ { l } \left( \nabla \times \boldsymbol { u } _ { o } / 2 - \omega ^ { l } \hat { \boldsymbol { z } } \right) \left| \nabla \times \boldsymbol { u } _ { o } / 2 - \omega ^ { l } \hat { \boldsymbol { z } } \right| \rangle ,
\begin{array} { r l } { \bigl | \langle a _ { m } ^ { \prime \prime } ( x ) u , u \rangle \bigr | } & { = \frac { a _ { m } ( x ) } { \sigma ^ { 4 } } \bigl | - \sigma ^ { 2 } \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \langle u , x - z _ { m } \rangle ^ { 2 } \bigr | } \\ & { \leq \frac { a _ { m } ( x ) } { \sigma ^ { 4 } } \operatorname* { m a x } ( \sigma ^ { 2 } , \| x - z _ { m } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) \| u \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
u \cdot \psi = \left\{ { \begin{array} { l l } { \psi } & { { \mathrm { i f ~ } } \psi \in \wedge ^ { \mathrm { e v e n } } W } \\ { - \psi } & { { \mathrm { i f ~ } } \psi \in \wedge ^ { \mathrm { o d d } } W } \end{array} } \right.
h _ { 0 } ^ { j } = { \frac { c - c _ { 0 } } { 2 4 } } + \Delta _ { j } ^ { j } = { \frac { c } { 2 4 } } - { \frac { ( K - 4 j ) ^ { 2 } } { 8 K ( K + 2 ) } } { } ~ .
2 \pi \mathrm { i \, } \mathcal { \epsilon } _ { c r } \left( t \right) + \int _ { \infty } ^ { 0 } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \xi \pi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \right) } \mathrm { e } ^ { \rho t \mathrm { e } ^ { ^ { \mathrm { i } \pi } } } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \pi } \mathrm { d } \rho + \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \rho ^ { \xi } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \xi \pi } } \frac { \phi _ { \sigma } \left( \rho \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi } \right) } { \phi _ { \varepsilon } \left( \rho \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi } \right) } \mathrm { e } ^ { \rho t \mathrm { e } ^ { - ^ { \mathrm { i } \pi } } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \pi } \mathrm { d } \rho = 0
\small \begin{array} { r l } { \frac { \sf T M w c [ 4 ] } { n } = } & { { } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { 6 4 } \, k \, b ( - k n ) \bigg [ 4 \left( 1 - 3 x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( X _ { k } ^ { - 3 , 0 } \right) ^ { 2 } + 9 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( \left( X _ { k } ^ { - 3 , - 2 } \right) ^ { 2 } + \left( X _ { k } ^ { - 3 , 2 } \right) ^ { 2 } \right) \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { | \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } | ^ { \alpha } } } & { \left| \left[ u ( e ^ { i \varphi _ { 1 } } y ) - u ( e ^ { i \varphi _ { 1 } } ) \right] - \left[ u ( e ^ { i \varphi _ { 2 } } y ) - u ( e ^ { i \varphi _ { 2 } } ) \right] \right| } \\ & { \leq \left( 2 | | | u ^ { \prime } | | | _ { \infty } \right) ^ { \alpha } \left( 2 | 1 - y | | | | u ^ { \prime } | | | _ { \infty } \right) ^ { 1 - \alpha } \leq 2 | | | u | | | _ { C ^ { 1 } } | 1 - y | ^ { 1 - \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { i } ^ { ( 2 \varepsilon ) } ( x , y ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 4 } \Bigl [ p _ { i } ^ { ( \varepsilon ) } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) + p _ { i } ^ { ( \varepsilon ) } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } \end{array}
\langle \hat { T } \rangle \simeq \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { p } } \langle x _ { i } y _ { i } \rangle } { m _ { p } \sigma _ { x } ^ { 2 } } \simeq \frac { \langle x y \rangle } { \sigma _ { x } ^ { 2 } } = T .
\beta _ { i j } ( \omega ) = \frac { \pi e ^ { 3 } } { \hbar ^ { 2 } } \epsilon _ { j \beta \gamma } \int _ { \textbf { k } } \sum _ { n , m } f _ { n m } ^ { \textbf { k } } \Delta _ { \textbf { k } , m n } ^ { i } r _ { \textbf { k } , n m } ^ { \beta } r _ { \textbf { k } , m n } ^ { \gamma } \delta ( \omega _ { m n } - \omega )
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \ell \to \infty } \frac { 1 } { \ell } \int _ { 0 } ^ { \ell } u ( x ; \mu , \ell ) \ d x = \left\{ \begin{array} { l l } { \beta ( \mu ) } & { ( \mu \neq \overline { { \mu } } ) , } \\ { \displaystyle \frac { \beta ( \mu ) } { 1 + \sqrt { h } } } & { ( \mu = \overline { { \mu } } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta h { { T } _ { c } } = h { { T } ^ { n - 1 } } - h { { T } ^ { n } } = \Delta t { { \left[ \frac { \partial \left( h { { { \bar { u } } } _ { i } } T _ { b } \right) } { \partial { { x } _ { i } } } + \frac { \Delta t } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { \partial } { \partial { { x } _ { k } } } \left( \frac { \partial \left( h { { { \bar { u } } } _ { i } } T _ { b } \right) } { \partial { { x } _ { i } } } \right) \right] } ^ { n } } - \Delta t \frac { \partial } { \partial { { x } _ { i } } } \left( h k \frac { \partial { { T } ^ { n - { { \theta } _ { 3 } } } } } { \partial { { x } _ { i } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { \mu } \overset \leftrightarrow { \Lambda } ( A _ { \mathrm { W } } \overset \leftrightarrow { \Lambda } P _ { \mu } ) } & { = } & { - { \nabla } _ { \b { p } } P _ { \mu } \cdot { \nabla } _ { \b { q } } ( { \nabla } _ { \b { q } } A _ { \mathrm { W } } \cdot { \nabla } _ { \b { p } } P _ { \mu } ) } \\ & { = } & { - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \partial ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } } { \partial q _ { i , \mu } \partial q _ { j , \mu } } . } \end{array}
\frac { d N _ { \gamma } } { d t } \sim N _ { 0 } \frac { P } { \hbar \omega _ { c } } \sim N _ { 0 } \frac { \alpha ( \chi _ { e } m c ^ { 2 } ) ^ { 2 } / \hbar } { \chi _ { e } \gamma m c ^ { 2 } } \sim N _ { 0 } \alpha \omega _ { 0 } a _ { 0 } ,
\rho _ { i k } = - \frac { p } { \epsilon _ { p } } \frac { 1 } { \Omega } \delta _ { i k } - \frac { m } { \epsilon _ { p } } \frac { 1 } { \Omega } \epsilon _ { i j k } \chi _ { 1 } ^ { * } \sigma _ { k } \chi _ { 1 } \sin ( 2 \beta ) .
\begin{array} { r l r } { \tau ( E ) } & { } & { = \mathrm { I m } \{ \mathrm { i } \mathfrak { T } ( E ) \} = \mathrm { R e } \{ \mathfrak { T } ( E ) \} = - \mathcal { H } \{ \mathrm { I m } \{ \mathfrak { T } ( E ) \} \} } \\ & { } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial } { \partial E } \mathcal { H } \{ \ln [ \sigma ( E ) ] \} = \frac { 1 } { 2 } \mathcal { H } \left\{ \frac { 1 } { \sigma ( E ) } \frac { \partial \sigma } { \partial E } \right\} , } \end{array}