harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { A } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { a } & { b } & { c } \\ { d } & { e } & { f } \\ { g } & { h } & { i } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { A } ) } } { \left[ \begin{array} { l l l } { \, A } & { \, B } & { \, C } \\ { \, D } & { \, E } & { \, F } \\ { \, G } & { \, H } & { \, I } \end{array} \right] } ^ { \mathrm { T } } = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { A } ) } } { \left[ \begin{array} { l l l } { \, A } & { \, D } & { \, G } \\ { \, B } & { \, E } & { \, H } \\ { \, C } & { \, F } & { \, I } \end{array} \right] }
\widehat { V P } _ { \mathrm { s } } = \widehat { V P } _ { A } + \widehat { V P } _ { B } + \widehat { V P } _ { 1 \mathrm { m } } + \widehat { V P } _ { 1 \ell } + \widehat { V P } _ { 2 } + \widehat { V P } _ { 3 } + \widehat { V P } _ { 4 } .
\begin{array} { r l } { \bigg [ L _ { 0 } ( Y ) \log { ( n ) } + Q _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } L _ { 1 } ( Y ) + } & { { } \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \bigg [ R _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } M _ { 1 } ( Y ) + \frac { R _ { 1 } ( Y ) } { n } + } & { { } \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } \quad ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { 2 } \partial _ { x } c _ { i , 0 } ( x , \mathbf { y } , t ) \mathrm { d } \mathbf { y } \mathrm { d } x \approx \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { t } } \partial _ { \xi } C _ { i } \left( \frac { x } { \sqrt { t } } \right) \mathrm { d } x = t \int _ { - \infty } ^ { \infty } \xi ^ { 2 } \partial _ { \xi } C _ { i } ( \xi ) \mathrm { d } \xi . } \end{array}
\tau ( T _ { \mathrm { e } } , T _ { \mathrm { b } } ) = \frac { C ( T _ { \mathrm { e } } ) ( T _ { \mathrm { e } } - T _ { \mathrm { b } } ) } { \mathcal { Q } ( T _ { \mathrm { e } } , T _ { \mathrm { b } } ) } .
\int _ { c v } \! \! \! \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \left( { \frac { \partial \rho \phi } { \partial t } } \, \mathrm { d } t \right) \, \mathrm { d } V + \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \! \! \! \int _ { A } \left( n . { \rho \phi u } \, \mathrm { d } A \right) \, \mathrm { d } t = \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \! \! \! \int _ { A } \left( n \cdot \left( \Gamma \operatorname { g r a d } \phi \right) \, \mathrm { d } A \right) \, \mathrm { d } t + \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \! \! \! \int _ { c v } S _ { \phi } \, \mathrm { d } V \, \mathrm { d } t
\begin{array} { r } { f _ { a u x } \left( \mathbf { d } _ { \mathbf { w } , \mathbf { o b s } } ^ { ( P _ { p } ) } \mid \mathbf { h } _ { \mathbf { - v } } , \mathbf { b } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \prod _ { i } ^ { N _ { P _ { p } } } \frac { 2 ( [ \mathbf { d } _ { \mathbf { w } } ^ { ( P _ { p } ) } ] _ { i } - [ \mathbf { P } _ { h y d } ] _ { i } ) } { ( [ \mathbf { d } _ { \mathbf { w , o b s } } ^ { ( P _ { p } ) } ] _ { i } - [ \mathbf { P } _ { h y d } ] _ { i } ) ^ { 2 } } \; } & { \mathrm { i f ~ } [ \mathbf { d } _ { \mathbf { w } } ^ { ( P _ { p } ) } ] _ { i } \in [ [ \mathbf { P } _ { h y d } ] _ { i } , [ \mathbf { d } _ { \mathbf { w , o b s } } ^ { ( P _ { p } ) } ] _ { i } ] \; \forall i } \\ { \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathbf { 0 } \; } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } = } & { { } \sum _ { b = 0 , 1 } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( \left\{ t _ { s _ { i } } \middle | s _ { i } \in S _ { b } \right\} \right) \frac { N _ { S _ { b } } } { N _ { S } } } } \\ { = } & { { } \sum _ { b = 0 , 1 } { ( \frac { 1 } { N _ { S } } \sum _ { s _ { i } \in S _ { b } } t _ { s _ { i } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { N _ { S } N _ { S _ { b } } } ( \sum _ { s _ { i } \in S _ { b } } t _ { s _ { i } } ) ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { \ } } & { { e ^ { - 2 \Phi } = { \frac { M } { \lambda } } - \lambda ^ { 2 } x ^ { + } x ^ { - } = { \frac { M } { \lambda } } + e ^ { 2 \lambda \sigma } } } \\ { { \Rightarrow } } & { { e ^ { - 2 \left( \Phi + \lambda \sigma \right) } = 1 + { \frac { M } { \lambda } } e ^ { - 2 \lambda \sigma } } } \\ { { \Rightarrow } } & { { \Phi \sim - \lambda \sigma - { \frac { M } { 2 \lambda } } e ^ { - 2 \lambda \sigma } \; . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \Delta U _ { i } ^ { * } } { \Delta t } = - \frac { \partial } { \partial { { x } _ { j } } } { { \left( { { u } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) } ^ { n } } + \frac { \partial \tau _ { i j } ^ { n } } { \partial { { x } _ { j } } } + Q _ { i } ^ { n } + { { \left( \frac { \Delta t } { 2 } { { u } _ { k } } \frac { \partial } { \partial { { x } _ { k } } } \left( \frac { \partial } { \partial { { x } _ { j } } } \left( { { u } _ { j } } { { U } _ { i } } \right) + { { Q } _ { i } } \right) \right) } ^ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { a ^ { - 1 } } \left( e a \right) } & { = \theta _ { a ^ { - 1 } } \left( e a k k ^ { - 1 } \right) = \theta _ { a ^ { - 1 } } \left( e a \right) \theta _ { a ^ { - 1 } e a } \left( k k ^ { - 1 } \right) = \theta _ { a ^ { - 1 } } \left( e a \right) \theta _ { e } \left( k k ^ { - 1 } \right) } \\ & { = \theta _ { a ^ { - 1 } } \left( e a \right) \theta _ { e } \left( k \right) \theta _ { e k } \left( k ^ { - 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { R H S } } & { = \mu _ { 0 } \omega _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { l } \sum _ { i , j } \sum _ { k } \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } \frac { O _ { 1 } } { \Omega _ { i j k } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } + i \Omega \Gamma _ { i j k } } A _ { i } B _ { j } ^ { * } A _ { l } } \\ & { { \stackrel { \leftrightarrow } { \pi } } : \nabla \otimes \vec { u } _ { k } ^ { i j } \cdot \vec { f } _ { l } ^ { ( 1 ) } e ^ { i \omega _ { 2 } t } e ^ { i ( \beta _ { i } - \gamma _ { j } + \beta _ { l } ) z } + \omega _ { 1 } \: \mathrm { { t e r m s } . } } \end{array}
B _ { \Phi \Phi } = F R ^ { 2 } F ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) = \mathbb { 1 } _ { 3 } .
S _ { \psi } ( \ell _ { m } ) = u _ { 0 } ^ { p } \int \psi p _ { \psi } ^ { ( m ) } ( \psi | \mathbf { x } _ { \ominus } ) \, d \psi \, d \mu _ { p } ^ { ( m ) } ( \mathbf { x } _ { \ominus } ) ,
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { - c \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } \\ { b x _ { 2 } + d ( t ) + s \alpha _ { s } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \alpha _ { s } } { \partial x _ { 1 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { \frac { \partial \alpha _ { s } } { \partial x _ { 2 } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { - c x _ { 1 } \big ( r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } \\ { b x _ { 2 } + d ( t ) + x _ { 1 } \big ( l r ( t ) - x _ { 2 } \big ) } \end{array} \right] . } \end{array}
| \Psi ( s ) \rangle = \sum _ { m } e ^ { - i \Omega _ { m } ( s ) } \left\{ c _ { m } ( 0 ) + \frac { 1 } { T } \sum _ { n \neq m } \left. \left[ \frac { i \langle \widetilde { m } ( s ^ { \prime } ) | \dot { n } ( s ^ { \prime } ) \rangle } { \Delta _ { m n } ( s ^ { \prime } ) } e ^ { i \Omega _ { m n } ( s ^ { \prime } ) } \right] \right| _ { s ^ { \prime } = 0 } ^ { s ^ { \prime } = s } c _ { n } ( 0 ) \right\} | m ( s ) \rangle .
\gamma ^ { 2 } ( f ^ { + } ) = \frac { \left| \mathcal { F } \left[ u _ { O } ^ { + } \right] \overline { { \mathcal { F } \left[ u ^ { + } \right] } } \right| ^ { 2 } } { \left< \left| \mathcal { F } \left[ u _ { O } ^ { + } \right] \right| ^ { 2 } \right> \left< \left| \mathcal { F } \left[ u ^ { + } \right] \right| ^ { 2 } \right> } ,
\begin{array} { r l } & { F [ ( \delta _ { n } / 6 ) \big \lbrace \Psi _ { s t l } ^ { ( 3 ) } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } ( h - \xi ) _ { l } + 3 \Psi _ { s } ^ { ( 1 ) } ( h - \xi ) _ { s } \big \rbrace ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 + 2 \eta \frac { \delta _ { n } } { 6 } \big \lbrace \Psi _ { s t l } ^ { ( 3 ) } ( h - \xi ) _ { s } ( h - \xi ) _ { t } ( h - \xi ) _ { l } + 3 \Psi _ { s } ^ { ( 1 ) } ( h - \xi ) _ { s } \big \rbrace + O _ { P _ { 0 } ^ { n } } ( \delta _ { n } ^ { 2 } \{ \| h \| ^ { 6 } \vee 1 \} ) \right] } \end{array}
{ \frac { d ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { d x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } { \frac { 2 x ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { \sqrt { \pi } } } = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } { \frac { \Gamma ( 1 + { \frac { 1 } { 2 } } ) } { \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } + 1 ) } } x ^ { { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } } = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } { \frac { \Gamma \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) } { \Gamma ( 1 ) } } x ^ { 0 } = { \frac { 2 { \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } } x ^ { 0 } } { \sqrt { \pi } } } = 1 \, ,
\sum _ { i < j } \sigma _ { i j } \frac { \overrightarrow A _ { i j } - \overleftarrow A _ { i j } } { \sigma _ { 1 2 } A _ { \mathrm { { C V } } } } - \cos \theta _ { \mathrm { { m e b } } } - \overline { { D } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { p } k _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) { * n } } & { { } = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } + ( - ) ^ { q } k _ { 0 } ^ { 2 } { * } \Big ) n _ { \ell } } & { { } = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } - ( - ) ^ { q } ( k _ { 0 } ^ { \phi } ) ^ { 2 } { * } \Big ) { * \tilde { n } _ { \psi } } } & { { } = 0 , } \\ { \Big ( \mathrm { d } { * \mathrm { d } } - ( - ) ^ { p } ( k _ { 0 } ^ { \phi } ) ^ { 2 } { * } \Big ) \tilde { n } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle d \rangle } & { { } = \frac { k n _ { p } } { ( k - c ) n _ { p } + c } , } \\ { \langle d ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { ( k - c ) n _ { p } + c n _ { p } ^ { 2 } } { ( k - c ) n _ { p } + c } , } \\ { \langle d d _ { 1 } \rangle _ { E } } & { { } = \frac { 1 } { \binom { k } { 2 } } \sum _ { i < j } d _ { i } d _ { j } } \end{array}
I _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } } ; \mathbf { K } _ { \mathbf { Y } } ) = S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } } ) - S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } } \vert \mathbf { K } _ { \mathbf { Y } } ) = S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } } ) + S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { Y } } ) - S _ { \alpha } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } } \circ \mathbf { K } _ { \mathbf { Y } } ) ,
\big ( R _ { n } ( z ) \big ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \operatorname { I } } \\ { - \operatorname { I } } & { 0 } \end{array} \right) \big ( R _ { n } ( \overline { { z } } ) \big ) ^ { * } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { A _ { n - 1 } } \\ { - A _ { n - 1 } ^ { * } } & { 0 } \end{array} \right) , \quad z \in \mathbb { C } .
r ^ { \ell } \, { \left( \begin{array} { l } { Y _ { \ell m } } \\ { Y _ { \ell - m } } \end{array} \right) } = { \sqrt { \frac { 2 \ell + 1 } { 2 \pi } } } { \bar { \Pi } } _ { \ell } ^ { m } ( z ) { \left( \begin{array} { l } { A _ { m } } \\ { B _ { m } } \end{array} \right) } , \qquad m > 0 .
[ a _ { 0 } , a _ { m } ^ { \dagger } a _ { m } ] = ( a _ { 0 } a a \hbar + a _ { 0 } a a \hbar ^ { 2 } + a _ { 0 } a a a a \hbar ^ { 2 } + a _ { 0 } a a \hbar ^ { 3 } ) + ( a a a \hbar ) ,
\frac { d \sigma } { d T } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } \cdot M } { 2 \pi } \left\{ ( G _ { V } + G _ { A } ) ^ { 2 } + ( G _ { V } - G _ { A } ) ^ { 2 } \left( 1 - \frac { T } { E _ { \nu } } \right) ^ { 2 } - ( G _ { V } ^ { 2 } - G _ { A } ^ { 2 } ) \frac { M T } { E _ { \nu } ^ { 2 } } \right\}
u _ { c } ( t ) \approx u _ { s } ( t ) - \frac { 4 } { \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } e ^ { - 6 0 ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / L ^ { 2 } t } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { t - 1 } e ^ { 6 0 ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } / L ^ { 2 } m } \Delta u _ { s } ^ { m } + u _ { s } ( 0 ) - u _ { 0 } \right) , \quad \Delta u _ { s } ^ { m } \equiv u _ { s } ^ { m + 1 } - u _ { s } ^ { m } .
( \bar { t } _ { L } , \bar { \chi } _ { L } ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { m _ { t _ { L } \chi } } } \\ { { m _ { t _ { R } \chi } } } & { { m _ { \chi \chi } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { t _ { R } } } \\ { { \chi _ { R } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \mathbf { 0 } } & { = \mathbf { A } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } + \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { A } + \mathbf { C } ^ { \top } \mathbf { C } } \\ & { - \eta \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { W } _ { 2 } + \mathbf { W } _ { 2 } ^ { \top } ) \right] \mathbf { B } \mathbf { B } ^ { \top } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { W } _ { 2 } + \mathbf { W } _ { 2 } ^ { \top } ) \right] . } \end{array}
\mathbf { E } _ { s } ( \mathbf { r } , t ) \approx - { \frac { 1 } { 4 \pi } } \iiint _ { V } \ { \frac { \left( { \frac { \partial \mathbf { B } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ) } { \partial t } } \right) \times \left( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 3 } } } d ^ { 3 } \mathbf { r ^ { \prime } }
\begin{array} { r l r } { { \bf E } \left( \tau _ { x _ { 0 } , 0 } \right) } & { = } & { { \bf E } \left( \tau _ { 0 , 0 } \right) + x _ { 0 } z ^ { \prime } \left( 1 \right) = \frac { b _ { 0 } x _ { 0 } + \mu _ { \delta } } { b _ { 0 } \left( \mu _ { \delta } - \mu _ { \beta } \right) } \mathrm { ~ i f ~ } \mu _ { \beta } < \mu _ { \delta } \mathrm { ~ ( p o s i t i v e ~ r e c u r r e n c e ) , } } \\ & { = } & { \infty \mathrm { ~ i f ~ } \mu _ { \beta } = \mu _ { \delta } \mathrm { ~ ( n u l l ~ r e c u r r e n c e ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \rangle } { d t } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq 0 } g _ { m 0 } \langle ( 2 \hat { e } _ { 0 } - 1 ) \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { \frac { d \langle \hat { e } _ { 0 } \rangle } { d t } } & { { } = } & { - \sum _ { m \neq 0 } \left[ g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { + } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle + g _ { m 0 } ^ { * } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { + } \rangle \right] } \end{array}
J = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } & { \cdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { 1 } \\ { c _ { 1 } } & { c _ { 2 } } & { \cdots } & { c _ { n - 1 } } & { c _ { n } } \end{array} \right) _ { n \times n }
t _ { \mathrm { l i f e } } ~ \sim ~ \sqrt { \frac { Y _ { \mathrm { e l a s t i c } } } { \pi \delta ( p _ { 0 } - p _ { v } ) } \frac { \rho } { p _ { 0 } - p _ { v } } } ~ \rightarrow ~ \frac { t _ { \mathrm { l i f e } } } { R _ { p } \sqrt { \rho / ( p _ { 0 } - p _ { v } ) } } ~ \sim ~ \sqrt { \frac { E } { p _ { 0 } - p _ { v } } \frac { h _ { p } } { \delta } \bigg ( \frac { h _ { p } } { R _ { p } } \bigg ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \bigg ( 1 - \frac { H } { R _ { p } } \bigg ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \vec { J } ^ { \prime } } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { c \tau + d } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { c } { 2 \pi i \varepsilon } } & { c \tau + d } \end{array} \right) \vec { J } , } \\ { \tau ^ { \prime } } & { = } & { \frac { a \tau + b } { c \tau + d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { j _ { 1 } \cdots j _ { m - 1 } } } & { = \left( Z _ { j _ { 1 } \cdots j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } \right) _ { \mu , \nu = 1 , \dots k } \in \mathfrak { g l } _ { k } ( S ) = S \otimes _ { \boldsymbol k } \mathfrak { g l } _ { k } , } \\ { Z } & { = \left( \sum _ { j _ { 1 } , \dots , j _ { m - 1 } } \frac { Z _ { j _ { 1 } \cdots j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } } { ( m - 1 ) ! } \xi ^ { j _ { 1 } } \cdots \xi ^ { j _ { m - 1 } } \right) _ { \mu , \nu = 1 , \dots k } \in \mathfrak { N } ^ { 1 } , } \\ { Z _ { \mu } ^ { \nu } } & { = \sum _ { j _ { 1 } , \dots , j _ { m - 1 } } \frac { Z _ { j _ { 1 } \cdots j _ { m - 1 } \mu } ^ { \nu } } { ( m - 1 ) ! } \xi ^ { j _ { 1 } } \cdots \xi ^ { j _ { m - 1 } } \in \bigwedge \ \! \! \! ^ { m - 1 } \operatorname { D e r } ( S ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { 0 } = } & { \frac { S _ { 0 } } { 8 } \bigl [ - ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) + \sin ^ { 2 } { \theta } \; ( 1 - s _ { 1 } \cos { 2 \phi } ) \left( \alpha _ { 1 } \sin ^ { 2 } { \psi } + \alpha _ { 2 } \cos ^ { 2 } { \psi } - \alpha _ { 3 } \right) } \\ & { + s _ { 1 } \left( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } \right) ( \cos { \theta } \sin { 2 \psi } \sin { 2 \phi } - \cos { 2 \psi } \cos { 2 \phi } ) \bigr ] , } \\ { U _ { 1 } = } & { - \frac { S _ { 0 } \sqrt { 1 - s _ { 1 } ^ { 2 } } } { 8 } \; \bigl [ \sin ^ { 2 } { \theta } \sin { 2 \phi } \; ( \alpha _ { 1 } \sin ^ { 2 } { \psi } + \alpha _ { 2 } \cos ^ { 2 } { \psi } - \alpha _ { 3 } ) } \\ & { + ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) ( \cos { \theta } \sin { 2 \psi } \cos { 2 \phi } + \cos { 2 \psi } \sin { 2 \phi } ) \bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \rho _ { \mathrm { p h } } = \frac { 2 \pi ^ { 2 } ( k _ { B } T ) ^ { 4 } } { 4 5 \hbar ^ { 3 } u _ { \mathrm { p h } } ^ { 5 } } } \\ & { } & { \rho _ { \mathrm { r o } } = \frac { 2 p _ { \mathrm { r o } } ^ { 4 } } { 3 ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \hbar ^ { 3 } } \sqrt { \frac { \mu _ { \mathrm { r o } } } { k _ { B } T } } \exp \left( - \frac { \Delta _ { \mathrm { r o } } } { k _ { B } T } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } c \| _ { 0 , \tau } \lesssim h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \boldsymbol { w } \| _ { 0 , e } , \quad \quad \forall \tau \in \omega _ { e } , } \\ & { \| \mathrm { c u r l } ~ \tilde { \boldsymbol { w } } _ { b } \| _ { 0 , \tau } \lesssim h _ { e } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| \boldsymbol { w } \| _ { 0 , e } , \quad \forall \tau \in \omega _ { e } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( \mathbf { r } ) } & { = \mathbf { B } _ { \alpha } ( \mathbf { r } ) + \mathbf { B } _ { \beta } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { \alpha } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \alpha _ { l m } \mathbf { B } _ { \alpha _ { l m } } ( \mathbf { r } ) + \sum _ { l = 1 } ^ { L _ { \beta } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \beta _ { l m } \mathbf { B } _ { \beta _ { l m } } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \ominus } = 1 + ( \exp ( T _ { \mathrm { n o t } \ominus } ) - 1 ) T _ { \mathrm { n o t } \ominus } ^ { \ominus } + P ^ { \bullet } T ^ { \ominus } = 1 + ( \exp ( T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ) - 1 ) T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \oplus } + P ^ { \bullet } T ^ { \oplus } } \\ & { T ^ { \oplus } = 1 + ( \exp ( T _ { \mathrm { n o t } \ominus } ) - 1 ) T _ { \mathrm { n o t } \ominus } ^ { \oplus } + ( \exp ( T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ) - 1 ) T _ { \mathrm { n o t } \oplus } ^ { \oplus } + P ^ { \bullet } T ^ { \oplus } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a ) \ \ \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { i } X _ { i } \right] } & { \asymp \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { i } | X _ { i } | \right] \asymp \sqrt { \log n } , } \\ { ( b ) \ \ \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { i } X _ { i } \right] } & { = \sqrt { 2 \log n } + o ( 1 ) } \end{array}
\exp \left[ L _ { n } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \right] = \frac { 2 r ^ { 2 } } { r _ { + } ^ { 2 } } \left\{ \cosh \left[ r _ { + } ( \Delta \phi + 2 \pi n ) \right] - \cosh ( r _ { + } \Delta t ) \vphantom { A _ { A } ^ { A } } \right\} + O \left( 1 \right) \ \ ,
( \bar { \nabla } _ { \mu } + 2 \partial _ { \mu } \bar { \phi } ) ( { \cal G } ^ { \mu \nu } - \bar { G } _ { \alpha } ^ { ~ ~ \nu } h ^ { \alpha \mu } - \bar { G } _ { ~ ~ \beta } ^ { \mu } h ^ { \beta \nu } ) + \bar { G } ^ { \mu \nu } ( \delta \Gamma _ { \sigma \mu } ^ { \sigma } ( h ) + 2 ( \partial _ { \mu } \varphi ) ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( u _ { n } - u \right) } \\ & { = \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( u _ { n } - u _ { \nu } \right) + \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( u _ { \nu } - u \right) } \\ & { = \int _ { Q _ { T } } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( T _ { \varepsilon } \left( u _ { n } - u _ { \nu } \right) \right) + \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( u _ { \nu } - u \right) } \\ & { \leq C _ { 1 } ( \varphi _ { 0 } , g _ { 0 } , \Omega , T ) \varepsilon - \nu \left( \left( u - u _ { \nu } \right) , T _ { \varepsilon } ( u _ { n } - u ) \right) _ { Q _ { T } } + \int _ { \{ | u _ { n } - u _ { \nu } | \leq \varepsilon \} } \gamma \tilde { u } _ { n } \left( \partial _ { x } \tilde { u } _ { n } \right) \partial _ { x } \left( u _ { \nu } - u \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho c _ { v } \partial _ { t } T } & { = \kappa _ { 0 } \Delta T + \kappa _ { 1 } \nabla \cdot \bar { \mathbf T } , } \\ { \rho ^ { \prime } c _ { v } ^ { \prime } \partial _ { t } \bar { \mathbf T } } & { = ( \kappa _ { 4 } + \kappa _ { 5 } ) \nabla \nabla \cdot \bar { \mathbf T } + \kappa _ { 6 } \Delta \bar { \mathbf T } - \kappa _ { 3 } \nabla T - \kappa _ { 2 } \bar { \mathbf T } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 1 } - 1 } } \theta ( n , f ^ { - 1 } ( N _ { 2 ^ { n _ { 2 } } } \times F _ { i } ^ { n _ { 1 } } ) ) \ge \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 1 } - 1 } } \theta ( n , \xi _ { n _ { 2 } n _ { 1 } } ^ { - 1 } ( N _ { 2 ^ { n _ { 2 } } } \times F _ { i } ^ { n _ { 1 } } ) ) . } \\ & { } & { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 2 } } - 1 } \theta ( n , f ^ { - 1 } ( N _ { j } \times N _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } ) ) \ge \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n _ { 2 } } - 1 } \theta ( n , \xi _ { n _ { 2 } n _ { 1 } } ^ { - 1 } ( N _ { j } \times N _ { 2 ^ { n _ { 1 } } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \hat { \boldsymbol D } } _ { l . m } ( 0 , t ) } & { = } & { - \frac { c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } m _ { a } ^ { 2 } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \int d \theta \int d \varphi \boldsymbol B _ { l , m } ( r ^ { \prime } ) Y _ { l , m } ( \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } ) \cos ( m _ { a } ( t - r ^ { \prime } / c ) ) r ^ { \prime } \sin \theta } \\ & { = } & { - \frac { c g _ { a , \gamma \gamma } a _ { 0 } m _ { a } ^ { 2 } } { 4 \pi } \mathcal K _ { m , n } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { \prime } \boldsymbol B _ { l , m } ( r ^ { \prime } ) \cos ( m _ { a } ( t - r ^ { \prime } / c ) ) r ^ { \prime } , } \end{array}
S _ { \mathrm { I I A } } \approx \int d ^ { 6 } x \sqrt { | g _ { A } | } \left[ e ^ { - \Phi _ { A } } \left( R _ { A } + | \nabla \Phi _ { A } | ^ { 2 } - | d B _ { 2 A } | ^ { 2 } \right) - | d A _ { 1 A } | ^ { 2 } \right]
\sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( \lambda _ { i } ^ { 2 } + 1 ) C _ { i } ( s ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \mathscr { F } _ { i } ( s ) \big ( ( D + \lambda _ { i } ) ^ { 2 } + 1 \big ) I _ { i } ( s , z = 0 )
\begin{array} { r l r } { \dot { q } _ { 1 } } & { { } = } & { p _ { 1 } , } \\ { \dot { q } _ { 2 } } & { { } = } & { p _ { 2 } , } \\ { \dot { p } _ { 1 } } & { { } = } & { - q _ { 1 } ^ { 3 } + 2 K _ { Q } \left( q _ { 2 } - q _ { 1 } \right) , } \\ { \dot { p } _ { 2 } } & { { } = } & { - q _ { 2 } ^ { 3 } + 2 K _ { Q } \left( q _ { 1 } - q _ { 2 } \right) . } \end{array}