harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( \ensuremath { { \textstyle \int } } \ensuremath { \partial } f ) \ensuremath { { \textstyle \int } } \ensuremath { \partial } g = ( \ensuremath { { \textstyle \int } } \ensuremath { \partial } f ) g + f \ensuremath { { \textstyle \int } } \ensuremath { \partial } g - \ensuremath { { \textstyle \int } } \ensuremath { \partial } f g - \ensuremath { { \mathrm { E } } } ( \ensuremath { { \textstyle \int } } \ensuremath { \partial } f ) \ensuremath { { \textstyle \int } } \ensuremath { \partial } g .
\begin{array} { r l r } { \sqrt { ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) } N ( 2 n + 2 , \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \sqrt { ( 2 n ) ( 2 n - 1 ) } ( \alpha _ { n } - 1 ) N ( 2 n - 2 , \xi _ { 2 } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \psi } } _ { 1 } ^ { N } ( B \times A ) = \frac 1 N \sum _ { n = 1 } ^ { N } \overline { \mathfrak { T } } _ { 1 , \emptyset } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } ^ { n } } \varkappa _ { B , A } ^ { \overline { \xi } _ { 1 } ^ { N } , \tilde { \pi } _ { 1 } ^ { n } } , \quad \overline { { \psi } } _ { t } ^ { N } ( B \times A ) = \frac 1 N \sum _ { n = 1 } ^ { N } \overline { \mathfrak { T } } _ { t , ( \overline { \xi } _ { 1 } ^ { N } , \dots , \overline { \xi } _ { t - 1 } ^ { N } ) } ^ { \tilde { \mathfrak { p } } ^ { n } } \varkappa _ { B , A } ^ { \overline { \xi } _ { t } ^ { N } , \tilde { \pi } _ { t } ^ { n } } , \quad t \ge 2 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( J _ { X } ^ { 2 } + J _ { Y } ^ { 2 } + J _ { Z } ^ { 2 } ) | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \hbar ^ { 2 } J ( J + 1 ) | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { J _ { Z } | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \hbar \kappa | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { J _ { y } | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \hbar m | J , \kappa , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
G ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { 2 n } | u _ { 0 } ) = \sum _ { k _ { 0 } , k _ { 1 } , \cdots k _ { 2 n } } t _ { k _ { 1 } } ^ { k _ { 0 } } ( u _ { 1 } - u _ { 0 } ) \otimes \cdots \otimes t _ { k _ { 2 n } } ^ { k _ { 2 n - 1 } } ( u _ { 2 n } - u _ { 0 } ) F ( u _ { 1 } , \cdots , u _ { 2 n } | u _ { 0 } ) ^ { k _ { 0 } k _ { 1 } \cdots k _ { 2 n } } .
\begin{array} { r l r } { \xi \cdot \left[ \eta , \gamma \right] ^ { \left( s \right) } } & { = } & { \left[ \xi \cdot \eta , \gamma \right] ^ { \left( s \right) } + \left[ \eta , \xi \cdot \gamma \right] ^ { \left( s \right) } + a _ { s } \left( \eta , \gamma , \varphi _ { s } \left( \xi \right) \right) } \\ { \xi \cdot \varphi _ { s } \left( \eta \right) } & { = } & { \eta \cdot \varphi _ { s } \left( \xi \right) + \varphi _ { s } \left( \left[ \xi , \eta \right] _ { \mathfrak { p } } \right) + \left[ \varphi _ { s } \left( \xi \right) , \varphi _ { s } \left( \eta \right) \right] ^ { \left( s \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d ( \alpha _ { i } ( x _ { i } ) ) } { d ( \alpha _ { 4 } ( t ) ) } = \frac { \beta _ { i } d x _ { i } } { \beta _ { 4 } d t } = \frac { \beta _ { i } } { \beta _ { 4 } } v _ { i } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Delta \varphi } & { = \varphi ( \alpha + \Delta \alpha ) - \varphi ( \alpha ) } \\ & { = \int _ { a + \Delta a } ^ { b + \Delta b } f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) \, d x - \int _ { a } ^ { b } f ( x , \alpha ) \, d x } \\ & { = \int _ { a + \Delta a } ^ { a } f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) \, d x + \int _ { a } ^ { b } f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) \, d x + \int _ { b } ^ { b + \Delta b } f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) \, d x - \int _ { a } ^ { b } f ( x , \alpha ) \, d x } \\ & { = - \int _ { a } ^ { a + \Delta a } f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) \, d x + \int _ { a } ^ { b } [ f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) - f ( x , \alpha ) ] \, d x + \int _ { b } ^ { b + \Delta b } f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) \, d x . } \end{array} }
C ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ } } = \frac { \left( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - S _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } \tau } \right) \left( 1 - \mathrm { ~ e ~ } ^ { - S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } \tau } \right) } { \tau } \, ,
\begin{array} { r l r } { \tau \left( \mu y _ { i } ^ { 2 } \mu ^ { - 1 } \right) } & { = } & { \gamma \left( \rho _ { i _ { 1 } } \ldots \rho _ { i _ { k } } y _ { i } y _ { i } \rho _ { i _ { k } } \ldots \rho _ { i _ { 1 } } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( 1 , \rho _ { i _ { 1 } } \right) \gamma \left( \overline { { \rho _ { i _ { 1 } } } } , \rho _ { i _ { 2 } } \right) \ldots \gamma \left( \bar { \mu } , y _ { i } \right) \gamma \left( \overline { { \mu y _ { i } } } , y _ { i } \right) \ldots \gamma \left( \overline { { \mu y _ { i } y _ { i } \rho _ { i _ { k } } \ldots \rho _ { i _ { 2 } } } } , \rho _ { i _ { 1 } } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \bar { \mu } , y _ { i } \right) \gamma \left( \overline { { \mu y _ { i } } } , y _ { i } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu , y _ { i } \right) \gamma \left( \mu \rho _ { i } , y _ { i } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu , y _ { i } \right) \left( \mu \rho _ { i } y _ { i } \mu ^ { - 1 } \right) } \\ & { = } & { \gamma \left( \mu , y _ { i } \right) \gamma \left( \mu , y _ { i } \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
Q _ { \ell } ^ { \alpha } = \frac { ( \nu _ { b } ^ { \alpha } R ) \; K _ { \ell + \frac { 3 } { 2 } } ( \nu _ { b } ^ { \alpha } R ) } { K _ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } ( \nu _ { b } ^ { \alpha } R ) } - \ell ,
\begin{array} { r l } { | I _ { 3 } | } & { = \bigg | \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { \gamma _ { t } } \mathbb { E } [ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ] \bigg | \leq \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \left[ ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } \right] \right) ^ { 1 / 2 } \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { 1 } { \gamma _ { t } ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } \right] \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { N = 3 , \quad \alpha = 3 , 2 , 1 , 0 , - 1 , } } \\ { { \displaystyle T ( f ) = f \partial _ { t } + \frac { 2 } { 3 } y f ^ { \prime } \partial _ { y } + \frac { 1 } { 3 } \biggl [ x f ^ { \prime } + \frac { 2 } { 3 } y ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } \biggr ] \partial _ { x } , } } \\ { { \displaystyle \quad - \frac { 1 } { 3 } \biggl [ w f ^ { \prime } + \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } + \frac { 4 } { 3 ^ { 2 } } x y ^ { 2 } f ^ { \prime \prime \prime } + \frac { 4 } { 3 ^ { 4 } } y ^ { 4 } f ^ { \mathrm { i v } } \biggr ] \partial _ { w } , } } \\ { { \displaystyle Y ( g ) = g \partial _ { y } + \frac { 2 } { 3 } y g ^ { \prime } \partial _ { x } - \frac { 4 } { 9 } y \biggl ( x g ^ { \prime \prime } + \frac { 2 } { 9 } y ^ { 2 } g ^ { \prime \prime \prime } \biggr ) \partial _ { w } , } } \\ { { \displaystyle X ( h ) = h \partial _ { x } - \frac { 2 } { 3 } \biggl ( x h ^ { \prime } + \frac { 2 } { 3 } y ^ { 2 } h ^ { \prime \prime } \biggr ) \partial _ { w } , } } \\ { { W ( k ) = k y \partial _ { w } , \quad U ( \ell ) = \ell \partial _ { w } . } } \end{array}
\overline { { { Z } } } _ { \Psi } = \int \prod D \Phi ^ { a } \prod D \vartheta ^ { b } \prod \delta ( d ^ { \gamma } ) e x p \left( { \frac { i } { \hbar } } W ( \Phi ^ { a } , { \frac { \partial \overline { { \Psi } } } { \partial \Phi ^ { a } } } , \vartheta ^ { b } , { \frac { \partial \overline { { \Psi } } } { \partial \vartheta ^ { b } } } \right)
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \mathrm { ( F W M ) } } ( t , \tau _ { 1 2 } ) } & { { } \sim \sum _ { n } p _ { n } \sum _ { k , u , v } M _ { n u } ^ { * } M _ { n v } ^ { } M _ { k u } ^ { } M _ { k v } ^ { * } } \end{array}
S _ { \mathrm { { I n t } } } = \int \mathrm { d } k \mathrm { d } k ^ { \prime } \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , { k } , { k ^ { \prime } } } ^ { \nu } \phi _ { { k } , { k ^ { \prime } } } ^ { \nu } \overline { { \gamma } } _ { \alpha , { k } } \gamma _ { \alpha , { k } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { k _ { K L } ^ { \infty } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \langle \partial g _ { K L } ^ { \infty } / \partial z _ { 1 } \rvert \rho _ { e q } \lvert \partial g _ { K L } ^ { \infty } / \partial z _ { 1 } \rangle = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb R ^ { N } } \biggr \{ \frac { N - p } { \alpha p } \bigl [ ( \alpha - 1 ) g ( u ) - } & { u g ^ { \prime } ( u ) \bigr ] g ( u ) ^ { p - 1 } | D u | ^ { p } - \lambda N \biggl ( \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { \alpha p ^ { * } } \biggl ) V | u | ^ { k } \biggr \} d x } \\ & { = \int _ { \mathbb R ^ { N } } \biggl \{ \frac { \lambda } { k } | u | ^ { k } \, x \cdot D V ( x ) \, + \frac { \beta } { \alpha p ^ { * } } | u | ^ { \alpha p ^ { * } } \, x \cdot D K ( x ) \biggr \} d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \mathrm { R e } ( K _ { T _ { n } } ( x , z ) ) ) ^ { 2 } d \nu ( z ) } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } s _ { l } ^ { - 1 } s _ { l ^ { \prime } } ^ { - 1 } \frac { ( 2 l + 1 ) ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \sum _ { q = 1 } ^ { 2 l + 1 } \sum _ { q ^ { \prime } = 1 } ^ { 2 l ^ { \prime } + 1 } d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { x } ) d _ { q ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } ^ { l ^ { \prime } } ( \theta _ { x } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdot \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ( ( q - l - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) \cos ( ( q ^ { \prime } - l ^ { \prime } - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) d \varphi _ { z } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdot \int _ { 0 } ^ { \pi } d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { z } ) d _ { q ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } ^ { l ^ { \prime } } ( \theta _ { z } ) \sin ( \theta _ { z } ) d \theta _ { z } , } \\ & { \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \mathrm { I m } ( K _ { T _ { n } } ( x , z ) ) ) ^ { 2 } d \nu ( z ) } \\ & { = \sum _ { l = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { [ T _ { n } ] } s _ { l } ^ { - 1 } s _ { l ^ { \prime } } ^ { - 1 } \frac { ( 2 l + 1 ) ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \sum _ { q = 1 } ^ { 2 l + 1 } \sum _ { q ^ { \prime } = 1 } ^ { 2 l ^ { \prime } + 1 } d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { x } ) d _ { q ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } ^ { l ^ { \prime } } ( \theta _ { x } ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdot \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ( ( q - l - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) \sin ( ( q ^ { \prime } - l ^ { \prime } - 1 ) ( \varphi _ { x } - \varphi _ { z } ) ) d \varphi _ { z } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \cdot \int _ { 0 } ^ { \pi } d _ { q ( l + 1 ) } ^ { l } ( \theta _ { z } ) d _ { q ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) } ^ { l ^ { \prime } } ( \theta _ { z } ) \sin ( \theta _ { z } ) d \theta _ { z } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ( \hat { u } u _ { 0 } ^ { - 1 } ) = } & { u _ { 0 } ^ { - 1 } \Delta \hat { u } + 2 \nabla \hat { u } \cdot \nabla u _ { 0 } ^ { - 1 } + \hat { u } \Delta u _ { 0 } ^ { - 1 } } \\ { = } & { u _ { 0 } ^ { - 1 } ( c R - \lambda ) \hat { u } - 2 \nabla ( \hat { u } u _ { 0 } ^ { - 1 } ) \cdot \nabla \log u _ { 0 } - 2 \hat { u } u _ { 0 } ^ { - 3 } | \nabla u _ { 0 } | ^ { 2 } - \hat { u } u _ { 0 } ^ { - 2 } \Delta u _ { 0 } + 2 \hat { u } u _ { 0 } ^ { - 3 } | \nabla u _ { 0 } | ^ { 2 } } \\ { = } & { ( \Lambda _ { c } ^ { \prime } - \lambda ) \hat { u } u _ { 0 } ^ { - 1 } - 2 \nabla ( \hat { u } u _ { 0 } ^ { - 1 } ) \cdot \nabla \log u _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { f 0 } } } & { { } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad \eta _ { \mathrm { f l i p } } \leq \eta \leq \eta _ { \mathrm { o f f } } } \\ { 0 \; \; } & { { } \quad \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array}
A _ { \beta , 2 } = { \frac { \pi } { 3 \gamma } } \int _ { \Sigma } \left[ ( \gamma ^ { 4 } - 1 ) p _ { 1 } { \cal P } + ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) ( p _ { 2 } R + p _ { 3 } { \cal Q } ) \right] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \langle \eta _ { T } ^ { X } , f _ { T } \rangle } & { { } = \langle \eta _ { 0 } ^ { X } , f _ { 0 } \rangle + \int _ { 0 } ^ { T } \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathcal { A } f _ { t } \rangle d t + \lambda _ { X } \int _ { 0 } ^ { T } \langle \eta _ { t } ^ { X } , \mathbf { s } \mathbf { i } ( f _ { t } ^ { \mathcal { I } } - f _ { t } ) \rangle d t } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { m } ^ { c } } & { = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T _ { c } } g ( \xi ) \mathrm { c o s } ( 2 \pi m \xi / T _ { c } ) d \xi } \\ & { = \frac { 1 } { T _ { c } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { c o s } ( 2 \pi m \xi / T _ { c } ) d \xi } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi m } \mathrm { s i n } ( 2 \pi m T / T _ { c } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l c c } { \psi _ { h s } ( \mathbf { r } , t ) = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { \mathbf { r } \in U _ { i } } \\ { \hat { \mathbf { P } } ^ { 2 } \psi _ { h s } ( \mathbf { r } , t ) = 2 m ( E - V _ { 0 } ) \psi _ { h s } ( \mathbf { r } , t ) } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
M _ { \mathrm { S y m } } ( t _ { d } ) = e ^ { - \frac { 1 } { 2 } G ^ { 2 } \beta _ { G G } ( t _ { d } ) } \left\langle e ^ { - \frac { 1 } { 2 } G _ { 0 } ^ { 2 } \beta _ { 0 0 } ( t _ { d } ) } \right\rangle .
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \Big ( \frac 1 2 \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } \Big ) + \alpha \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { 1 } ( { \tilde { u } } { \tilde { v } } ) _ { x } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } - \overline { { v } } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { u } } _ { x } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } + \alpha ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \tilde { v } } _ { x } { \mathrm { d } x } . } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } \varepsilon } } E ( \varepsilon ) K ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) = { \frac { 1 } { \varepsilon ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } ) } } { \bigl [ } - E ( \varepsilon ) E ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) + E ( \varepsilon ) K ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) - ( 1 - \varepsilon ^ { 2 } ) K ( \varepsilon ) K ( { \sqrt { 1 - \varepsilon ^ { 2 } } } ) { \bigr ] }
\begin{array} { r } { \beta _ { 3 i + 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( s ( \alpha _ { 3 i + 1 } ) \oplus \beta _ { 3 i } ) \cdot a _ { 3 i + 2 } } & { \mathrm { i f ~ } | \alpha _ { 3 i + 1 } | \geq } \\ & { | \alpha _ { 3 i + 2 } | } \\ { ( s ( \alpha _ { 3 i + 2 } ) \oplus \beta _ { 3 i } \oplus \beta _ { 3 i + 1 } ) \cdot a _ { 3 i + 2 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. } \end{array}
\hat { E } _ { v ^ { i } , v ^ { j } } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } { E _ { v ^ { i } , v ^ { j } } ^ { k } } + \mathrm { L N } ( f _ { 3 } ( h _ { r } ^ { i } ) , f _ { 4 } ( h _ { r } ^ { j } ) )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \! \left[ \mu _ { Z } ( \lVert P P _ { m } k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ) \right] } & { \le \mathbb { E } \! \left[ \mu _ { Z } ( \lVert P k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ) \right] + \mathbb { E } \! \left[ \mu _ { Z } ( \lVert P P _ { m } ^ { \perp } k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ) \right] } \\ & { \le \mathbb { E } \! \left[ \mu _ { Z } ( \lVert P k ( \cdot , x ) \rVert _ { \mathcal { H } _ { k } } ) \right] + \sqrt { \sum _ { j > m } \sigma _ { j } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \hat { \mathcal { P } } } { \mathrm { m i n } } } & { { } \, f \left( \mathbf { P } , \hat { \phi } ^ { \hat { \mathcal { P } } } \right) } \\ { f \left( \mathbf { P } , \hat { \phi } ^ { \hat { \mathcal { P } } } \right) } & { { } = \sum _ { i } ^ { n _ { \mathrm { s a m p } } } \frac { c ^ { 2 } } { n _ { \mathrm { s a m p } } } \log \left( 1 + \left( \frac { P _ { i } - \hat { \phi } ^ { \hat { \mathcal { P } } } \left( \mathbf { x } _ { i } \right) } { c } \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 3 } \cdot \mathbf { V } _ { 3 } = ~ } & { { } 0 ; } \\ { \partial _ { t } \mathbf { V } _ { 3 } + ( \mathbf { V } _ { 3 } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { U } _ { 3 } + ( \mathbf { U } _ { 3 } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { V } _ { 3 } + \nabla _ { 3 } P = ~ } & { { } - ( \mathbf { V } _ { 3 } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { V } _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } ( \eta ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } , \dots , \eta ^ { 2 } - x _ { n } ^ { 2 } ) } & { \subseteq \mathcal { T } ( n - \| \mathbf { x } \| _ { 2 q } ^ { 2 q } ) } \\ & { = \mathcal { Q } ( n - \| \mathbf { x } \| _ { 2 q } ^ { 2 q } ) } \\ & { \subseteq \mathcal { Q } ( 1 - x _ { 1 } ^ { 2 } , \dots , 1 - x _ { n } ^ { 2 } ) = \mathcal { Q } ( \mathrm { B } ^ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \omega ( g _ { 0 } , \dots , g _ { n } ) = } & { ( - 1 ) ^ { n + 1 } \omega ( g _ { 1 } , \dots , g _ { n } ) } \\ & { + \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { n - i } \omega ( g _ { 0 } , \dots , g _ { i } g _ { i + 1 } , \dots , g _ { n } ) + \omega ( g _ { 0 } , \dots , g _ { n - 1 } ) \cdot g _ { n } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ell _ { 1 } } & { = } & { \frac { 3 \pi } { 4 \omega } ( A _ { f _ { x x x } } ( 0 , 0 , 0 ) + A _ { f _ { x y y } } ( 0 , 0 , 0 ) + A _ { g _ { x x y } } ( 0 , 0 , 0 ) + A _ { g _ { y y y } } ( 0 , 0 , 0 ) } \\ & { } & { - f _ { x x } ( 0 , 0 , 0 ) \times f _ { x y } ( 0 , 0 , 0 ) + g _ { y y } ( 0 , 0 , 0 ) \times g _ { x y } ( 0 , 0 , 0 ) + g _ { x x } ( 0 , 0 , 0 ) \times g _ { x y } ( 0 , 0 , 0 ) } \\ & { } & { - f _ { y y } ( 0 , 0 , 0 ) \times f _ { x y } ( 0 , 0 , 0 ) + f _ { x x } ( 0 , 0 , 0 ) \times g _ { x x } ( 0 , 0 , 0 ) - f _ { y y } ( 0 , 0 , 0 ) \times g _ { y y } ( 0 , 0 , 0 ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \gamma } _ { t ^ { \prime } } = } & { \Big [ \mathbf { g } ^ { - 1 } \Big ( \underbrace { \mathcal { F } ^ { - 1 } \circ \overline { { \mathcal { K } } } _ { \varepsilon } ^ { t ^ { \prime } - t } \circ \mathcal { F } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { \left[ t - m \varepsilon , t \right] } \right) } _ { \textbf { P a r t s 1 - 4 } } } \\ & { + \underbrace { \mathcal { C } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { \left[ t - m \varepsilon , t \right] } \right) } _ { \textbf { P a r t 1 a n d p a r t 5 } } \Big ) \Big ] ^ { \mathsf { T } } \left( m \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { c _ { i } } { m x _ { i } } \partial _ { x _ { i } } ( g _ { \mathrm { B F } } n _ { \mathrm { B } } ) } & { { } = } \\ { \frac { c _ { i } ~ g _ { \mathrm { B F } } ~ \omega _ { i B } ^ { 2 } ( 0 ) } { g _ { \mathrm { B B } } ~ \Pi _ { j } b _ { j } b _ { i } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { \, \mathrm { B e t a } \left( A _ { q } , B _ { q } \right) , \, \, m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { \, \mathrm { B e r n o u l l i } \left( q _ { m } \right) , } \\ { D \sim } & { \, \mathrm { I n v G a m m a } \left( \alpha _ { D } , \beta _ { D } \right) , } \\ { \boldsymbol { r } _ { k } ^ { m } \sim } & { \, \mathrm { N o r m a l } \left( \boldsymbol { r } _ { k - 1 } ^ { m } , 2 D \Delta t _ { k } \right) , } \\ { \mu _ { 0 } \sim } & { \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \mu } , \beta _ { \mu } \right) , } \\ { \mu _ { \mathcal { B } } \sim } & { \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { b } , \beta _ { \mathcal { B } } \right) . } \end{array}
\tilde { n } \sim \epsilon ^ { \alpha _ { n } } , \quad \frac { \nabla _ { \perp } \cdot \boldsymbol { u } _ { \perp } } { \Omega _ { i } } \sim \epsilon ^ { \alpha _ { \xi } } , \quad \frac { b _ { z } } { v _ { \mathrm { A } } } \sim \epsilon ^ { \alpha _ { b } } , \quad \frac { u _ { z } } { v _ { \mathrm { A } } } \sim \epsilon ^ { \alpha _ { u } } ,
\left. { N _ { ( C _ { j } \varphi ) } } ^ { - 1 } \int \bar { C } _ { i \Delta t _ { j } } \varphi \mathop { } \! { d { z } } \right| _ { \| \varphi \| \leqslant r < 1 } = \left. \int \bar { C } _ { i \Delta t _ { j } } ^ { [ n ] } \varphi \mathop { } \! { d { z } } \right| _ { \| \varphi \| \leqslant r < 1 }
\begin{array} { r l } & { \ \| u _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 } { p + 1 } \| v \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } } \\ & { \qquad + \frac { 2 \beta } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x } \\ { = \ } & { \| u _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| v _ { 0 x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { p + 1 } \| u _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } + \frac { 1 } { p + 1 } \| v _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } } \\ & { \qquad + \frac { 2 \beta } { p + 1 } \int _ { \mathbb { R } } | u _ { 0 } | ^ { p + 1 } | v _ { 0 } | ^ { p + 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 0 } / d } & { = \psi ( \ell _ { 0 } , 0 ) - \psi ( \ell _ { 0 } - s , 0 ) } \\ & { = \textrm { R e } \, [ \mathcal { G } ( \ell _ { 0 } ) - \mathcal { G } ( \ell _ { 0 } - s ) ] } \\ & { = \frac { c J _ { 0 } } { k _ { 1 } } \int _ { \gamma } ^ { 1 } \frac { u d u } { \sqrt { ( u ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } ) ( 1 - u ^ { 2 } ) ( \beta ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) } } } \\ & { = \frac { c J _ { 0 } } { k _ { 1 } \sqrt { \beta ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } } \textbf { K } ( k _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { D } { D t } \left( 2 \nu _ { t } S _ { i j } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) } & { { } = 2 \nu _ { t } S _ { i j } \frac { D } { D t } \left( 2 \nu _ { t } S _ { i j } \right) - 2 \nu _ { t } S _ { i j } \frac { D \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } } { D t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| J _ { N } \| _ { C _ { * } ^ { 0 } } } & { \lesssim \sum _ { M \ll K \sim N } \left\| \mathbf { P } _ { N } \left( \partial _ { j } v _ { K } ^ { i } \partial _ { i } v _ { M } ^ { j } + \partial _ { j } v _ { M } ^ { i } \partial _ { i } v _ { K } ^ { j } \right) \right\| _ { C _ { * } ^ { - 2 } } } \\ & { \lesssim N ^ { - 2 } \sum _ { M \ll K \sim N } \left\| \partial _ { j } v _ { K } ^ { i } \partial _ { i } v _ { M } ^ { j } + \partial _ { j } v _ { M } ^ { i } \partial _ { i } v _ { K } ^ { j } \right\| _ { L ^ { \infty } } . } \end{array}
\mathrm { ~ H ~ A ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) = \mathrm { ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) \Bigg ( 1 - \frac { \gamma \sqrt { r ( \boldsymbol { x } ) } } { \hphantom { e } \vphantom { \big | } \sqrt { \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } [ t ] + \gamma ^ { 2 } r ( \boldsymbol { x } ) } \hphantom { e } } \Bigg ) ,
\rho = \left( \begin{array} { l l l } { | \alpha | ^ { 2 } } & { \mathrm { A } \mathrm { e } ^ { i \phi _ { 1 } } } & { \mathrm { B } \mathrm { e } ^ { i \phi _ { 2 } } } \\ { \mathrm { A } \mathrm { e } ^ { - i \phi _ { 1 } } } & { | \beta | ^ { 2 } } & { \mathrm { C } \mathrm { e } ^ { i \phi _ { 1 2 } } } \\ { \mathrm { B } \mathrm { e } ^ { i \phi _ { 2 } } } & { \mathrm { C } \mathrm { e } ^ { - i \phi _ { 1 2 } } } & { | \gamma | ^ { 2 } } \end{array} \right) .