harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { e ^ { - i \phi _ { \pm } ^ { L R } } \cos \frac { \theta _ { \pm } ^ { L R } } { 2 } } \\ { \sin \frac { \theta _ { \pm } ^ { L R } } { 2 } } \end{array} \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \sqrt { \frac { h _ { - } } { h _ { + } } } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } \\ { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi _ { \pm } ^ { L R } } \cos \frac { \theta _ { \pm } ^ { L R } } { 2 } } & { \sin \frac { \theta _ { \pm } ^ { L R } } { 2 } } \end{array} \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } } \sqrt { \frac { h _ { + } } { h _ { - } } } \langle \psi _ { \pm } ^ { L } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) \leq d ( y _ { 2 } , y _ { 3 } ) + d ( y _ { 3 } , y _ { 1 } ) < n + k ^ { \prime } - 5 \epsilon + k - k ^ { \prime } - 1 + \epsilon _ { y _ { 1 } } } \\ & { = ( n - \epsilon ) + ( k - 1 + \epsilon _ { y _ { 1 } } - 2 \epsilon ) - 2 \epsilon < d ( y , y _ { 2 } ) + d ( y , y _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathscr { D } _ { t , m } ^ { 2 } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } - \mathscr { D } _ { t , m - 1 } ^ { 2 } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } - \mathscr { D } _ { t , m - 1 } ^ { 2 } \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } } \\ & { \qquad = ( \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } \cdot \nabla ) \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } + ( \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } \cdot \nabla ) \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } + ( \mathscr { D } _ { t , m - 1 } \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } \cdot \nabla ) \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } } \\ & { \qquad \qquad + ( \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } \cdot \nabla ) \mathscr { D } _ { t , m } \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } - \bigl ( ( \ensuremath { \mathbf { v } } _ { m } \cdot \nabla ) \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m } \, . } \end{array}
\mp \frac { \pi i } { 2 } \zeta _ { { D \! \! \! \! / } ^ { ~ 2 } + m ^ { 2 } } ( 0 ) + \frac { 1 } { 2 } \operatorname * { l i m } _ { s \to 0 } \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } ~ d t ~ t ^ { s - 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } H _ { n } t ^ { { ( n - d ) } / { 2 } } \left[ \frac { d K ^ { ( 1 ) } } { d s } \pm 2 m \sqrt { t } \frac { d K ^ { ( 2 ) } } { d s } \right] .
\begin{array} { r l } & { \xi _ { \zeta } = \sqrt { 1 + \partial _ { x } \zeta ^ { 2 } } \approx 1 + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } ( \partial _ { \tilde { x } } \tilde { \zeta } ) ^ { 2 } } \\ { \mathrm { a n d } \quad } & { \xi _ { h + \zeta } = \sqrt { 1 + ( \partial _ { x } h + \partial _ { x } \zeta ) ^ { 2 } } \approx 1 + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } [ \partial _ { \tilde { x } } ( \tilde { h } + \tilde { \zeta } ) ] ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P _ { s i n g l e \, w i n d o w } } & { { } = } & { \left( \frac { 2 2 0 - 2 3 . 8 } { R _ { w a l l } } + \frac { 1 0 } { R _ { w i n d o w } } \right) \left( 0 - 1 9 \right) + \left( \frac { 1 0 0 } { R _ { w a l l } } \right) \left( 1 5 - 1 9 \right) } \end{array}
I ( t ) \propto \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \tau ^ { \prime \prime } ~ \tilde { \varepsilon } _ { \mathrm { p u m p } } ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) \cdot - \mathcal { H } ( t - \tau ^ { \prime } + \tau ^ { \prime \prime } ) \cdot \tilde { \varepsilon } _ { \mathrm { p r o b e } } ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { E [ v , \mathbf { A } ] } & { { } = \operatorname* { i n f } _ { \psi } \{ \langle \psi | H _ { 0 } | \psi \rangle + \langle u [ v , \mathbf { A } ] , \rho _ { \psi } \rangle + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } _ { \psi } ^ { \mathrm { p } } \rangle \} } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { f } , t _ { f } , \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = \frac { P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { t } | \widehat { L } , t ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } { P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } \ , } \end{array}
T _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right] , \quad T _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right] .
E _ { \infty } = \frac { E _ { 0 } E _ { 1 } } { E _ { 0 } + E _ { 1 } } , \qquad \tau _ { r } = \frac { \eta } { E _ { 0 } + E _ { 1 } } = \frac { ( E _ { 0 } - E _ { \infty } ) \eta } { E _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\mathrm { S } = \left[ \begin{array} { l l l } { \mathrm { I } _ { 1 x } } & { \mathrm { I } _ { 1 y } } & { \mathrm { I } _ { 1 z } } \\ { \mathrm { I } _ { 2 x } } & { \mathrm { I } _ { 2 y } } & { \mathrm { I } _ { 2 z } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \mathrm { I } _ { N x } } & { \mathrm { I } _ { N y } } & { \mathrm { I } _ { N z } } \end{array} \right] .
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \boldsymbol { \rho } } } } & { = { \frac { \rho { \hat { \mathbf { r } } } + z { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } { \sqrt { \rho ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \\ { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } & { = { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \\ { { \hat { \mathbf { z } } } } & { = { \frac { z { \hat { \mathbf { r } } } - \rho { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } { \sqrt { \rho ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \left[ \mathscr { X } _ { T } - \mathscr { X } ( k ) \right] _ { H } } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ] - \mathbb { E } [ x ( k ) ] } & { \cdots } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { n } ] - \mathbb { E } [ x ^ { n } ( k ) ] } \\ { \mathbb { E } [ x _ { T } ] - \mathbb { E } [ x ( k ) ] } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { 2 } ] - \mathbb { E } [ x ^ { 2 } ( k ) ] } & { \cdots } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { n + 1 } ] - \mathbb { E } [ x ^ { n + 1 } ( k ) ] } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & \\ { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { n } ] - \mathbb { E } [ x ^ { n } { k } ] } & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { n + 1 } ] - \mathbb { E } [ x ^ { n + 1 } ( k ) ] } & & { \mathbb { E } [ x _ { T } ^ { 2 n } ] - \mathbb { E } [ x ^ { 2 n } ( k ) ] } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s } & { + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \gamma \eta } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) V ( s _ { \ast } ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \eta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( \tilde { s } ^ { \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \partial _ { x } f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \frac { \varepsilon \gamma \eta ^ { 2 } } { 2 } c ^ { \prime } ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ^ { \prime } ( \tilde { s } ^ { \prime } ) V ( s _ { \ast } ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \partial _ { x } f ^ { \varepsilon } ( x , s _ { \ast } , t ) \, d s \, d s _ { \ast } } \\ & { \phantom { = } + \int _ { 0 } ^ { + \infty } ( \varphi ( s ^ { \prime \prime } ) - \varphi ( s ) ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \tilde { W } } _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } { \tilde { W } } _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } { \tilde { W } } _ { j } \Big ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } W _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ { = } & { - \Big ( \sum _ { j = k } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } \Big ) + \Big ( \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } + 1 \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { \ell - 1 } W _ { j } - 1 \Big ) + \sum _ { i = k + 1 } ^ { \ell } W _ { i } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } W _ { j } - \sum _ { j = i } ^ { n } W _ { j } - 1 \Big ) } \\ { = } & { \Big [ - \Big ( \sum _ { j = k } ^ { \ell - 1 } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } \Big ) - \Big ( \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } \Big ) \Big ] + \Big [ \Big ( \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ & { + \Big ( \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } \Big ) \Big ( \sum _ { j = k } ^ { \ell - 1 } W _ { j } \Big ) - \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } + \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } + \sum _ { j = k } ^ { \ell - 1 } W _ { j } - 1 \Big ] + \Big [ \sum _ { i = k + 1 } ^ { \ell } W _ { i } \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } W _ { j } \Big ) } \\ & { + \sum _ { i = k + 1 } ^ { \ell } W _ { i } \Big ( \sum _ { j = k } ^ { i - 1 } W _ { j } \Big ) - \sum _ { i = k + 1 } ^ { \ell } W _ { i } \Big ( \sum _ { j = i } ^ { \ell - 1 } W _ { j } \Big ) - \sum _ { i = k + 1 } ^ { \ell } W _ { i } \Big ( \sum _ { j = \ell } ^ { n } W _ { j } \Big ) - \sum _ { i = k + 1 } ^ { \ell } W _ { i } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ^ { ( 1 ) } } & { { } \equiv - E _ { 0 } + K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 1 ) } \ , } \\ { K ^ { ( 2 ) } } & { { } \equiv E _ { 0 } - K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 1 ) } + K _ { \mathrm { S M S } } ^ { ( 2 ) } \ , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( n ^ { 2 } + n ) \right] T _ { 6 } + \left[ { \frac { 1 } { 2 } } ( n ^ { 2 } + 3 n ) \right] T _ { 5 } + ( n + 1 ) T _ { 4 } + T _ { 1 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } + T _ { 7 } } \\ { \leq } & { ( n ^ { 2 } + n ) T _ { 6 } + ( n ^ { 2 } + 3 n ) T _ { 5 } + ( n + 1 ) T _ { 4 } + T _ { 1 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } + T _ { 7 } \ ( { \mathrm { f o r ~ } } n \geq 0 ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \mathcal { S } } \Big ( \Pi _ { 1 2 } ( \mathcal { S } ) > N / 2 \Big ) \geq } & { \mathbb { P } _ { \mathcal { S } } \Big ( \Pi _ { 2 1 } ( \mathcal { S } ) \leq \lfloor N / 2 \rfloor \Big ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N / 2 \rfloor } { \binom { N } { k } } p _ { \epsilon , \Omega } ^ { k } ( 1 - p _ { \epsilon , \Omega } ) ^ { N - k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { \le \exp \left( 4 d \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t + \frac { 2 \theta ^ { 2 } t \sigma ^ { 2 } | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 1 - 8 \theta \bar { c } t \sigma ^ { 2 } } - \frac { K } { 8 } + \frac { d \log 2 } { 4 } \right) } \\ & { \le \exp \left( \frac { 2 \theta ^ { 2 } t \sigma ^ { 2 } | \nabla U ( x ) | ^ { 2 } } { 1 - 8 \theta \bar { c } t \sigma ^ { 2 } } - \frac { K } { 8 } + \frac { d } { 8 } + \frac { d \log 2 } { 4 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \varphi ( \mathcal { H } ^ { N } ( E _ { t } ) ) ) ^ { \prime \prime } | _ { t = 0 } } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { \varphi ( \mathcal { H } ^ { N } ( E _ { t } ) ) + \varphi ( \mathcal { H } ^ { N } ( E _ { - t } ) ) - 2 \varphi ( V ) } { t ^ { 2 } } \le \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to 0 ^ { + } } \frac { P ( E _ { t } ) + P ( E _ { - t } ) - 2 P ( E ) } { t ^ { 2 } } } \\ & { \le P ( E ) \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } ^ { 2 } t } \left( 1 + \frac { c } { N - 1 } t \right) ^ { N - 1 } \bigg | _ { t = 0 } = \frac { N - 2 } { N - 1 } ( \varphi ^ { \prime } ( V ) ) ^ { 2 } \, I _ { X } ( V ) . } \end{array}
S _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { { \cosh ( \lambda / 2 ) - \sin ( \theta / 2 ) \sinh ( \lambda / 2 ) } } & { { \cos ( \theta / 2 ) \sinh ( \lambda / 2 ) } } \\ { { \cos ( \theta / 2 ) \sinh ( \lambda / 2 ) } } & { { \cosh ( \lambda / 2 ) + \sin ( \theta / 2 ) \sinh ( \lambda / 2 ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { P _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } ( i \omega ) = } & { c _ { a i \alpha } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } ( i \omega ) c _ { a i \beta } } \\ { = } & { 2 \left\{ c _ { i a \alpha } ^ { R } \mathrm { R e } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } - c _ { i a \alpha } ^ { I } \mathrm { I m } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } \right\} c _ { i a \beta } ^ { R } + 2 \left\{ c _ { i a \alpha } ^ { R } \mathrm { I m } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } + c _ { i a \alpha } ^ { I } \mathrm { R e } P _ { a i a i } ^ { ( 0 ) } \right\} c _ { i a \beta } ^ { I } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \Bigg \{ \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( b | X _ { t } ) } + \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } } \\ & { \ \ \ + 2 \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) \Bigg \} } \\ & { \ \ \ - \Bigg \{ \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } + \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X _ { t } ) } + \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg \} \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \leq \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( a | X _ { t } ) } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { a } - \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( a | X _ { t } ) } \Bigg | \Bigg ] + \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { \widehat { w } _ { t } ( b | X _ { t } ) } - \frac { \big ( Y _ { t } ^ { b } - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( b | X _ { t } ) } \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \ \ \ + \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \Big ( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } - \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg | \Bigg ] } \\ & { \ \ \ + 2 \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \Bigg | \left( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) + \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) \right) \left( \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } ( X _ { t } ) - \widehat { \mu } _ { t } ^ { b } ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) \Bigg | \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { z } ^ { \pm } ( t ) = } & { { } \frac { - i A _ { 0 } \sqrt { \pi } } { 4 \sqrt { a } } \sumint _ { f } \sum _ { j j ^ { \prime } } ^ { N } c _ { j ^ { \prime } } ^ { * } c _ { j } \langle j ^ { \prime } | \hat { p } _ { z } | f \rangle \langle f | \hat { p } _ { z } | j \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { J } ( \alpha ) = \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } q \left( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { q } ^ { \mathrm { p h } } } \right) ^ { p } \cos ( \alpha q d ) \equiv \sum _ { p = 2 } ^ { \infty } \mathcal { J } _ { p } ( \alpha ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \gamma } _ { 1 } ( J _ { 1 } ) } & { \subset { \mathbf { V } } \left( z , y ^ { 2 } - ( A _ { 2 } - 1 ) \left( x + \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } - 1 } \right) ^ { 2 } - A _ { 4 } ^ { \prime } \right) , } \\ { \widetilde { \gamma } _ { 2 } ( J _ { 2 } ) } & { \subset { \mathbf { V } } \left( y , z ^ { 2 } - \frac { 1 - A _ { 2 } } { A _ { 2 } } \left( x + \frac { A _ { 1 } } { A _ { 2 } - 1 } \right) ^ { 2 } - A _ { 5 } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { D _ { 0 x } } \\ { D _ { 0 y } } \\ { D _ { 0 z } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { x x } ^ { \mathrm { e f f } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \varepsilon _ { y y } ^ { \mathrm { e f f } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \varepsilon _ { z z } ^ { \mathrm { e f f } } } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { l } { E _ { 0 x } } \\ { E _ { 0 y } } \\ { E _ { 0 z } } \end{array} \right) \: ,
\begin{array} { r l } { k ^ { \uparrow } ( x ) } & { = \operatorname* { s u p } \{ k \ge 1 \ ; \ \mathcal { W } _ { \ell } ( x ) = 1 , \mathrm { ~ f o r ~ a l l } \ 1 \le \ell \le k \} , } \\ { k ^ { \downarrow } ( x ) } & { = \operatorname* { s u p } \{ k \ge 1 \ ; \ \mathcal { W } _ { \ell } ( x ) = 0 , \textrm { f o r a l l } \ 1 \le \ell \le k \} . } \end{array}
\langle \Phi ( \gamma _ { i } P J ) \| \mathrm { T } ^ { ( 1 ) } \| \Phi ( \gamma _ { j } ^ { \prime } P ^ { \prime } J ^ { \prime } ) \rangle = \sum _ { a , b } d _ { a b } ^ { ( 1 ) } \langle n _ { a } l _ { a } j _ { a } \| \mathrm { t } ^ { ( 1 ) } \| n _ { b } l _ { b } j _ { b } \rangle
q _ { 1 2 3 - 4 5 6 } = \frac { 2 \left[ 1 + F _ { 1 7 } \left( \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } - 1 \right) \right] q _ { 1 } + A _ { 2 1 } \left[ 1 + F _ { 2 7 } \left( \epsilon _ { 2 } ^ { - 1 } - 1 \right) \right] q _ { 2 } - \sigma \left( 2 F _ { 1 7 } + A _ { 2 1 } F _ { 2 7 } \right) \left( T _ { \mathrm { ~ h ~ } } ^ { 4 } - T _ { \mathrm { ~ a ~ m ~ b ~ } } ^ { 4 } \right) } { 2 + A _ { 2 1 } } { . }
\left( \begin{array} { l } { \dot { u } } \\ { \dot { v } } \\ { \dot { w } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - R } \\ { 2 / \bar { \tau } } & { - 2 / \bar { \tau } } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 / \bar { \tau } } & { - 2 / \bar { \tau } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { u } \\ { v } \\ { w } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { \frac { R } { k } u w + \dot { k } } \\ { \dot { k } } \\ { \dot { k } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \partial \alpha _ { 1 } } & { = U ^ { 3 } b _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { \partial \alpha _ { 2 } } & { = U ^ { 2 } b _ { 2 } ^ { ( 1 ) } + U ^ { 3 } b _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } \\ { \partial \alpha _ { 3 } } & { = U b _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ; } \\ { \Delta _ { \mathcal { I } , \mathcal { J } } } & { ( \alpha _ { 1 } , b _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) = ( 3 , 1 ) , } \\ { \Delta _ { \mathcal { I } , \mathcal { J } } } & { ( \alpha _ { 2 } , b _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) = ( 2 , 3 ) , } \\ { \Delta _ { \mathcal { I } , \mathcal { J } } } & { ( \alpha _ { 2 } , b _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) = ( 3 , 2 ) , } \\ { \Delta _ { \mathcal { I } , \mathcal { J } } } & { ( \alpha _ { 3 } , b _ { 2 } ^ { ( 2 ) } ) = ( 1 , 3 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \big ( \| \partial _ { t } ^ { k } u \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + ( \gamma \lambda + 1 ) \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { + \mu \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } + \gamma \lambda \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } + \| \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \delta _ { 2 } \| ( \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } , \nabla \partial _ { t } ^ { k } \phi _ { t } ) \| ^ { 2 } + 2 c _ { 1 } \delta _ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 C _ { \delta _ { 2 } } \delta ^ { 2 } ( \| \Delta \partial _ { t } ^ { k } u \| ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \partial _ { t } ^ { k } \phi \| ^ { 2 } ) } \\ & { + \delta _ { 2 } ^ { \prime } D _ { 0 } ( t ) + C _ { \delta , \delta _ { 2 } , \delta _ { 2 } ^ { \prime } } \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 1 2 } ( t ) ) E _ { j } ( t ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ b ] \sum _ { k = N / 2 + 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } } & { \exp \left( - \mu \frac { k ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k + N / 2 } \exp \left( - \mu \frac { ( k + N / 2 + 2 ) ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } \right) } \\ & { = \exp \left( - \mu \frac { ( N / 2 + 2 ) ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } \right) \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \exp \left( - \mu \frac { k ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } - \mu \left( 1 + \frac { 4 } { N } \right) \frac { k } { N } \right) } \\ & { = \exp ( - \mu / 4 ) \exp \left( - \mu \frac { 4 } { N ^ { 2 } } - \mu \frac { 2 } { N } \right) S _ { \mu ( 1 + 4 / N ) } ( N ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { { M } } } = \frac { n _ { 0 } } { ( 2 T / m ) ^ { 3 } \pi ^ { 3 / 2 } } \exp \left\{ - \frac { m v _ { \| } ^ { 2 } } { 2 T } - \frac { m \mu B } { T } \right\} \; \; , } \end{array}
J _ { i } ^ { \mu } = \sum _ { c h a r g e d \; l e p t o n s } \bar { l } { \gamma } ^ { \mu } \left[ A _ { L } ^ { i l } P _ { L } + A _ { R } ^ { i l } P _ { R } \right] l + \sum _ { n e u t r i n o s } \bar { N } { \gamma } ^ { \mu } \left[ A _ { L } ^ { i \nu } \Omega _ { L } P _ { L } + A _ { R } ^ { i \nu } \Omega _ { R } P _ { R } \right] N ,
\begin{array} { r l r l } { \sigma _ { 0 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } & { \sigma _ { 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \\ { \sigma _ { 2 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { i } \\ { - i } & { 0 } \end{array} \right) , } & { \sigma _ { 3 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( x ^ { 2 } + u ^ { 2 } ) d t } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( x ^ { 2 } + ( \dot { x } + x ^ { 3 } - x ) ^ { 2 } ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( x ^ { 2 } + x ^ { 6 } - 2 x ^ { 4 } + x ^ { 2 } ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } ( x ^ { 6 } - 2 x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \dot { x } ^ { 2 } d t = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \sum _ { n , \mu , \nu } c _ { n , \mu } ^ { \dagger } h _ { \mu , \nu } c _ { n , \nu } + c _ { n + 1 , \mu } ^ { \dagger } V _ { \mu , \nu } c _ { n , \nu } + c _ { n , \mu } ^ { \dagger } W _ { \mu , \nu } c _ { n + 1 , \nu } , } \end{array}
\operatorname* { l i m s u p } _ { \lambda \to ^ { + } 0 } \Big \{ \mathcal { G } ^ { \lambda } ( s ^ { \lambda } ; ( 0 , T ) \times \mathbb { T } ^ { d } \big ) d \tau + \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \Big [ { s } ^ { \lambda } ( T , z ) { g } ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s ^ { \lambda } ( T , z ) \big ) \Big ] d z - \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s _ { 0 } ( z ) \big ) d z \Big \} \leq \bar { V } ( s _ { 0 } , g , \bar { s } ) .