harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { c _ { \pm } ( \boldsymbol { r } , t = 0 ) } & { = c _ { 0 } , } \\ { - \psi \big | _ { \Gamma _ { 2 } } = \psi \big | _ { \Gamma _ { 6 } } } & { = \Psi _ { 0 } , } \\ { \boldsymbol { \nabla } \psi \cdot \boldsymbol { n } \big | _ { \Gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 7 } , \Gamma _ { 8 } } } & { = 0 , } \\ { \boldsymbol { j } _ { \pm } \cdot \boldsymbol { n } \big | _ { \Gamma _ { 1 } , \Gamma _ { 2 } , \Gamma _ { 3 } , \Gamma _ { 4 } , \Gamma _ { 5 } , \Gamma _ { 6 } , \Gamma _ { 7 } , \Gamma _ { 8 } } } & { = 0 , } \end{array}
\left\{ D ^ { \mu } A ^ { \nu } ( x , y ) \right\} _ { i j } ^ { a b } = \left\{ \delta _ { i k } ^ { a c } \delta _ { j l } ^ { b d } \partial _ { X } ^ { \mu } - i B _ { i j : k l } ^ { \mu a b : c d } ( x , y ) \right\} A _ { k l } ^ { \nu c d } ( x , y )
\begin{array} { r } { \bigg [ \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho } \frac { U _ { 3 } } { \rho ^ { 3 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { U } { \rho } \cdot \frac { v - U } { T } \left( - \frac { U _ { 3 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { \rho T } \right) - \frac { 2 } { 3 } \frac { U _ { 3 } } { \rho } \left( - \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \rho T } \right) \right) } \\ { + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( - \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { \rho T ^ { 2 } } + \left( - \frac { U _ { 3 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 3 } - U _ { 3 } } { \rho T } \right) \left( - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { | v - U | ^ { 2 } } { 2 T ^ { 2 } } \right) \right) \bigg ] \mathcal { M } ( F ) . } \end{array}
U = \Omega - T \left( { \frac { \partial \Omega } { \partial T } } \right) _ { V , \mu } - \mu \left( { \frac { \partial \Omega } { \partial \mu } } \right) _ { T , V } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } D ( \varepsilon ) { \mathcal { f } } \left( { \frac { \varepsilon - \mu } { k _ { \mathrm { { B } } } T } } \right) \varepsilon \, \mathrm { d } \varepsilon .
\begin{array} { r l } & { ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) ^ { T } ( L ( \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } ) - L ( \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } ) ) \geqslant \frac { \sigma } 2 \| \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } - \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } , \ \forall \widetilde { U } _ { I } ^ { n + 1 } , \widetilde { U } _ { I I } ^ { n + 1 } \in \mathbb { K } _ { b } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { F } } & { : = \{ [ d ] W \; | \; d \in [ 0 , 1 ] ^ { n } \} = \Big \{ \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n } } \beta _ { j } [ v _ { j } ] W \; \big | \; \beta _ { j } \geq 0 , \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n } } \beta _ { j } = 1 , v _ { j } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } \Big \} } \\ & { = \Big \{ \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n } } \beta _ { j } A _ { j } \; \big | \; \beta _ { j } \geq 0 , \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { n } } \beta _ { j } = 1 \Big \} . } \end{array}
\, \frac { d \mathbf { z } } { d t } = \sum _ { n = 1 } ^ { N + 1 } \mathbf { a } _ { n } f ^ { n } \hfill \qquad \qquad \qquad \hfill f ^ { n } = \mathbf { b } ^ { n } . ~ \mathbf { g } ( \mathbf { z } )
\begin{array} { r l } { \tilde { \gamma } _ { 1 1 } } & { = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - | x | ^ { 2 } ) } \\ { t i l d e { \gamma } _ { 1 2 } } & { = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } x \sqrt { 1 - | x | ^ { 2 } } = \pm \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } | x | \mathrm { e } ^ { i \varphi } \sqrt { 1 - | x | ^ { 2 } } } \\ { \& \equiv \mathrm { R e } ( \tilde { \gamma } _ { 1 2 } ) + i \, \mathrm { I m } ( \tilde { \gamma } _ { 1 2 } ) \, , } \end{array}
\bar { \psi } ( s , z ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 6 } \exp { ( \lambda _ { i } z ) } \Bigg [ C _ { i } ( s ) + \mathscr { E } _ { i } ( s ) I _ { i } ( s , z ) \Bigg ] , \; \mathrm { w i t h } \; \mathscr { E } _ { i } ( s ) \equiv \frac { 1 } { \displaystyle \prod _ { j = 1 , j \neq i } ^ { 6 } ( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) } , \; I _ { i } ( s , z ) \equiv \int \exp ( - \lambda _ { i } z ) \mathscr { R } ( s , z ) d z .
S _ { \mathrm { D i r a c } } = \mathrm { \frac { i } { 2 \ p i } } \int d ^ { 2 } \! \sigma \, \, { \bar { \Psi } } \gamma ^ { a } \partial _ { a } \Psi = \mathrm { \frac { i } { \ p i } } \int d ^ { 2 } \! \sigma \, \, { \bar { \Psi } } _ { L } { \bar { \partial } } \Psi _ { L } - \mathrm { \frac { i } { \ p i } } \int d ^ { 2 } \! \sigma \, \, { \bar { \Psi } } _ { R } { \partial } \Psi _ { R } \ ,
R _ { \pi } = R _ { \pi } ^ { * } = 6 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } \, | a _ { 1 } ^ { \mathrm { e f f } } | ^ { 2 } \, | V _ { u d } | ^ { 2 } \approx | a _ { 1 } ^ { \mathrm { e f f } } | ^ { 2 } \times 0 . 9 6 ~ \mathrm { G e V } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { { \boldsymbol r } _ { 0 } = ( 0 , 0 ) , } \\ & { { \boldsymbol r } _ { 1 } = \frac L 2 ( 1 , 0 ) , } \\ & { { \boldsymbol r } _ { 2 } = \frac L 2 \left( \cos \frac { 2 \pi } { 3 } , \sin \frac { 2 \pi } { 3 } \right) = \frac L 2 \left( - \frac 1 2 , \frac { \sqrt 3 } 2 \right) , } \\ & { { \boldsymbol r } _ { 3 } = \frac L 2 \left( \cos \frac { 4 \pi } { 3 } , \sin \frac { 4 \pi } { 3 } \right) = \frac L 2 \left( - \frac 1 2 , - \frac { \sqrt 3 } 2 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { k - 1 } ( \phi ) } & { = \epsilon ^ { k + 1 } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { \tilde { n } _ { k } } C _ { k , i } ( s ) \overline { { h } } _ { k , i } ^ { * } ( t / \epsilon ) \right] } \\ & { \; \; \; + \epsilon \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } c _ { k , i } ( s ) \overline { { h } } _ { k , i } ( t / \epsilon ) \right] \tilde { \phi } } \\ & { \; \; \; + \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m _ { k } } d _ { k , i } ( s ) \overline { { p } } _ { k , i } ( t / \epsilon ) \right] \tilde { \phi } ^ { 2 } } \\ & { \; \; \; - \tilde { \phi } ^ { 3 } } \end{array}
{ { \frac { \partial _ { \xi } \big ( T ^ { ( 1 ) } - \kappa T _ { a i r } ^ { ( 1 ) } \big ) } { h _ { \xi } } } } - ( \partial _ { u } \delta \xi [ u ] ) \, \frac { h _ { \xi } } { h _ { u } } \, \frac { \partial _ { u } \big ( T ^ { ( 0 ) } - \kappa T _ { a i r } ^ { ( 0 ) } \big ) } { h _ { u } } + \delta \xi [ u ] \, { \partial _ { \xi } { \frac { \partial _ { \xi } \big ( T ^ { ( 0 ) } - \kappa T _ { a i r } ^ { ( 0 ) } \big ) } { h _ { \xi } } } } = 0 \mathrm { ~ a t ~ } \xi = \xi _ { 0 } \ , \
\begin{array} { r l r } & { } & { v _ { 0 } = \langle | \mathbf { V } ( t + 1 ) | \rangle _ { t } = \langle | \mathbf { V } ( t + 1 ) - \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) + \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) | \rangle _ { t } \leq \tilde { \beta } \langle R \rangle _ { t } + \langle | \mathbf { V } ( t + 1 ) - \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) | \rangle _ { t } \Longrightarrow } \\ & { } & { \langle | \mathbf { V } ( t + 1 ) - \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) | \rangle _ { t } \geq v _ { 0 } ( 1 - \sqrt { \tilde { \beta } } ) \Longrightarrow 1 - \frac { \langle | \mathbf { V } ( t + 1 ) - \tilde { \beta } \mathbf { X } ( t ) | \rangle _ { t } } { v _ { 0 } } \leq \sqrt { \tilde { \beta } } . } \end{array}
\widehat { \mathbf { F } } _ { \ell } ( \mathbf { U } ^ { - } , \mathbf { U } ^ { + } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathbf { F } _ { \ell } ( \mathbf { U } ^ { - } ) + \mathbf { F } _ { \ell } ( \mathbf { U } ^ { + } ) - \alpha _ { \ell } ^ { \mathrm { { L F } } } ( \mathbf { U } ^ { + } - \mathbf { U } ^ { - } ) \right) , \qquad \ell = 1 , 2
( p _ { 1 } - a _ { 1 } ) { \frac { d r _ { 1 } ( t ) } { d t } } + ( p _ { 2 } - a _ { 2 } ) { \frac { d r _ { 2 } ( t ) } { d t } } + \cdots + ( p _ { n } - a _ { n } ) { \frac { d r _ { n } ( t ) } { d t } } = 0
\begin{array} { r l } { \ln \left( 2 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } \sigma \ln \left( e \sigma / \epsilon _ { 1 } \right) / ( 3 \epsilon _ { 1 } \eta ) \right) } & { \le \ln \left( 2 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } / ( 3 \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \eta ) \right) } \\ & { \le \ln \left( 2 0 0 c _ { 2 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } / ( 3 \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \le \ln \left( 6 7 c _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 2 \ln \left( \eta ^ { - 1 } \sigma \epsilon _ { 1 } ^ { - 1 } ) \right) } \\ & { = \ln \left( 6 7 c _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 2 \ln \left( 0 . 2 2 A / ( \sqrt { \ln { e c _ { 2 } } } \sqrt { \ln { e A } } ) \right) } \\ & { \le \ln \left( 6 7 c _ { 2 } ^ { 2 } \right) + 2 \ln \left( 0 . 2 2 A / \sqrt { \ln { e A } } \right) } \end{array}
M S E _ { b } = \frac { 1 } { N _ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } \| \mathcal { B } ( \textbf { x } _ { b } ^ { i } , \vec { \varphi _ { b } ^ { i } } , u _ { b } ^ { i } ; w ) \| ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { z ^ { \prime } ( s ) } & { \leq } & { 2 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) + \cdots + ( N - 1 ) | a _ { N - 1 } ( \delta ) | x ( s ) ^ { N - 2 } } \\ & { } & { + N x ( s ) ^ { N - 1 } | h _ { \delta } | + x ( s ) ^ { N } [ | ( h _ { \delta } ) _ { x } | + | ( h _ { \delta } ) _ { y } | ] } \\ & { } & { + | y ( s ) | | i _ { \delta } | + x ( s ) A z ^ { \prime } ( s ) | i _ { \delta } | + x ( s ) | y ( s ) | [ | ( i _ { \delta } ) _ { x } | + | ( i _ { \delta } ) _ { y } | ] } \\ & { } & { + 2 y ( s ) A z ^ { \prime } ( s ) | j _ { \delta } | + | y ( s ) | ^ { 2 } [ | ( j _ { \delta } ) _ { x } | + | ( j _ { \delta } ) _ { y } | ] } \\ & { \leq } & { 3 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) + 2 N x ( s ) ^ { N - 1 } h ( 0 , 0 ) + ( 2 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) ^ { 2 } + 2 h ( 0 , 0 ) x ( s ) ^ { N } ) A C C _ { 4 } + C _ { 3 } z ^ { \prime } ( s ) } \\ & { \leq } & { 4 a _ { 2 } ( \delta ) x ( s ) + 4 N x ( s ) ^ { N - 1 } h ( 0 , 0 ) + C _ { 3 } z ^ { \prime } ( s ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { 4 , \epsilon } \to \, } & { - } & { \, \iiint _ { Q _ { r } } \big ( \textup { \texttt { c } } _ { \mathrm { o } } \lvert u \rvert ^ { \gamma - 1 } + \textup { \texttt { h } } \big ) \big ( \omega _ { + } \varphi ^ { p } \big ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \ge } & { - \iiint _ { Q _ { r } } \big ( \textup { \texttt { c } } _ { \mathrm { o } } \lvert u \rvert ^ { \gamma - 1 } \omega _ { + } + \textup { \texttt { h } } \omega _ { + } \big ) \varphi ^ { p } ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \\ & { \ge } & { - c \iiint _ { Q _ { r } } \big ( \lvert u \rvert ^ { \gamma } + \omega _ { + } ^ { \gamma } + \textup { \texttt { h } } ^ { \frac { p } { p - 1 } } + \omega _ { + } ^ { p } \big ) \varphi ^ { p } ( v , x , t ) \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb E ^ { e p } = \omega ( r ) \Big ( \left( \begin{array} { l l } { c _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { 2 } } \end{array} \right) - \frac { 1 } { a ^ { 2 } c _ { 1 } + b ^ { 2 } c _ { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } & { a b c _ { 1 } c _ { 2 } \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( \tau ) } \\ { a b c _ { 1 } c _ { 2 } \mathrm { ~ s ~ i ~ g ~ n ~ } ( \tau ) } & { b ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n , m } ^ { \epsilon } ( x , y , z ) \approx } & { \mathrm { i } ^ { m } \bigg ( \mathcal { U } _ { n , m } - \mathrm { i } \frac { \epsilon } { 2 } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } } \\ & { - A _ { m } \mathcal { U } _ { n , m + 2 } - B _ { m } \mathcal { U } _ { n , m - 2 } \Big ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { U } _ { t + 1 } = \operatorname* { m i n } _ { \nu _ { t } > 0 } \left( ( 1 + \nu _ { t } ) \left( \mu _ { t } \sqrt { \hat { U } _ { t } } + \alpha _ { t } c _ { t } \right) ^ { 2 } + \alpha _ { t } ^ { 2 } \left( 1 + \frac { 1 } { \nu _ { t } } \right) \sigma _ { t } ^ { 2 } \right) = \left( \mu _ { t } \sqrt { \hat { U } _ { t } } + \sigma _ { t } + \alpha _ { t } c _ { t } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { T r } ~ e ^ { - t L _ { 2 } } \sim { \frac { 1 } { ( 4 \pi t ) ^ { d / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ \bar { a } _ { n } t ^ { n } + \bar { b } _ { n } t ^ { n + 1 / 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , 2 } } & { = \beta _ { 2 } \langle k \rangle ( 1 - \rho ) ( 1 - \epsilon _ { 2 } ) ( 1 - x _ { 1 } ) } \\ & { + 2 \beta _ { 3 } \langle q \rangle ( 1 - \rho ) \rho ( 1 - \epsilon _ { 3 } ) ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 1 } } \\ & { + 2 \beta _ { 3 } \langle q \rangle ( 1 - \rho ) ^ { 2 } ( 1 - \epsilon _ { 3 } ) ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } } \end{array}
G = \left[ \begin{array} { c c c c c c c c c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right]
\alpha = \frac { N } { N + \hat { N } } \quad \quad \Omega _ { \hat { G } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { I } _ { 3 N } - \frac { \alpha } { N } \mathbf { 1 } _ { N \times N } \otimes \mathbf { I } _ { 3 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { I } _ { d _ { h } N } } \end{array} \right] \quad \quad \omega _ { \hat { G } } = \left[ \begin{array} { l } { - ( 1 - \alpha ) \mathbf { 1 } _ { N \times 1 } \otimes \mathbf { \hat { x } } _ { a v } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right]
\| u _ { M } ^ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times [ t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) } \leq \epsilon , \quad \forall \; n = 0 , \cdots , N .
\begin{array} { r l } { \mathbb { A } _ { g , n } } & { = \mathbb { A } _ { g , 0 } \otimes ^ { F _ { g , n } } \mathbb { A } _ { 0 , n } \quad \mathrm { w i t h ~ } F _ { g , n } = \bigl ( \Delta _ { \mathbb { U } _ { q } } ^ { \odot n } \otimes ( \Delta _ { \mathbb { U } _ { q } } ^ { ( 3 ) } ) ^ { \odot g } \bigr ) ( R ^ { \prime } ) } \\ { \mathcal { L } _ { g , n } } & { = \mathcal { L } _ { g , 0 } \otimes ^ { F _ { g , n } } \mathcal { L } _ { 0 , n } ( q ^ { 1 / D } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { \Delta _ { 2 } } = } & { \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } } \right) { \eta _ { 1 } } + \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 3 } } } \\ { + } & { \left( { { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } } + { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } } } \right) { \eta _ { 1 ^ { \prime } } } + \left( { { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 3 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 } } } \right) { \eta _ { 2 ^ { \prime } } } . } \end{array}
\operatorname { V a R } _ { \alpha } ( L ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mu + s { \frac { ( 1 - \alpha ) ^ { - \xi } - 1 } { \xi } } } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi \neq 0 , } \\ { \mu - s \ln ( 1 - \alpha ) } & { { \mathrm { i f ~ } } \xi = 0 . } \end{array} \right. } \quad
e V = k _ { B } \mathcal { T } , S _ { 1 1 } ^ { q } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } 4 k _ { B } \mathcal { T } + \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } R T 0 . 1 6 k _ { B } \mathcal { T }
\begin{array} { r l } { \operatorname { c f } _ { \mathit { T Q G } ( 0 , 1 , q ) } ( t ) } & { { } = \exp \left( - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right) = \operatorname { c f } _ { \mathit { N o r m a l } \left( 0 , 1 \right) } ( t ) . } \end{array}
\left. \begin{array} { r l } & { n _ { i } = 1 + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } n _ { i l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \\ & { u _ { i } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m + 1 } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } u _ { i l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \\ & { v _ { i } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m + 1 } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } v _ { i l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \\ & { w _ { i } = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } w _ { i l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \\ & { \Psi = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \varepsilon ^ { m } \sum _ { l = - \infty } ^ { \infty } \Psi _ { l } ^ { ( m ) } ( \xi , \eta , \zeta , \tau ) e ^ { i ( k z - \omega t ) l } , } \end{array} \right\}
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \mathrm { e s s } ( x \mapsto x ^ { a } ) } & { = } & { \displaystyle \left. a x ^ { a - 1 } + \sum _ { k = 0 } ^ { a } \binom { a } { k } B _ { a - k } ^ { - } x ^ { k } \right| _ { x = 0 } } \\ & { = } & { 0 + \displaystyle \binom { a } { 0 } B _ { a - 0 } ^ { - } \cdot 1 } \\ & { = } & { B _ { a } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 3 \mathrm { ~ \ q ~ u ~ a ~ r ~ k ~ s ~ } } } \times \left( 3 \ \mathrm { ~ \ p ~ a ~ i ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ f ~ o ~ r ~ c ~ e ~ s ~ \ } \right) \times \left( { \frac { 8 } { 3 } } \right) = \frac 8 3 \mathrm { ~ \ f ~ o ~ r ~ b ~ a ~ r ~ y ~ o ~ n ~ s ~ }
\begin{array} { r l r } { \Xi } & { { } = } & { \sum _ { N _ { + } = 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \beta \mu _ { + } N _ { + } } } { N _ { + } ! } \left( \int d \mathbf { r } e ^ { - \beta e i \phi ( \vec { r } ) } \right) ^ { N _ { + } } \sum _ { N _ { - } = 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { - \beta \mu _ { - } N _ { - } } } { N _ { - } ! } \left( \int d \mathbf { r } e ^ { \beta e i \phi ( \vec { r } ) } \right) ^ { N _ { - } } } \end{array}
f ( \mathbf { h } , \mathbf { b } ) = f ( \mathbf { h } \mid \mathbf { b } ) f ( \mathbf { b } ) = f ( \mathbf { h } _ { \mathbf { v } } \mid \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } , \mathbf { b } ) f ( \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } \mid \mathbf { b } ) f ( \mathbf { b } )
h _ { a b b _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) = f _ { a b { b } _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) - R _ { p } \left( n _ { b b _ { 1 } } ( { \pmb x } ) \delta _ { a b _ { 2 } } + n _ { b b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) \delta _ { a b _ { 1 } } + 2 ( \delta _ { a b } n _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } ( { \pmb x } ) - \delta _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } n _ { a b } ( { \pmb x } ) ) \right)
\therefore \cos x = { \cfrac { 1 } { 1 + { \cfrac { x ^ { 2 } } { 2 - x ^ { 2 } + { \cfrac { 2 x ^ { 2 } } { 3 \cdot 4 - x ^ { 2 } + { \cfrac { 3 \cdot 4 x ^ { 2 } } { 5 \cdot 6 - x ^ { 2 } + \ddots } } } } } } } } .
m ^ { 2 } ( H _ { 1 } , H _ { + } ) = \left( \begin{array} { c c } { { 4 ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 4 } ) u _ { 1 } ^ { 2 } \ \ } } & { { 4 \sqrt { 2 } \lambda _ { 4 } u _ { 1 } u _ { 2 } } } \\ { { 4 \sqrt { 2 } \lambda _ { 4 } u _ { 1 } u _ { 2 } \ \ } } & { { 8 ( \lambda _ { 2 } + \lambda _ { 4 } ) u _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } \frac { \partial \zeta } { \partial t } } & { = \frac { 1 } { N _ { 0 } \cdot N ( \iota ) } D [ \zeta ] \phi , } \\ { \omega _ { 0 } \frac { \partial \phi } { \partial t } } & { = \frac { 1 } { N _ { 0 } \cdot N ( \iota ) } \left( B _ { \zeta } \phi \cdot N _ { 0 } \right) \cdot D [ \zeta ] \phi - \frac { 1 } { 2 } | B _ { \zeta } \phi | ^ { 2 } - H ( \iota ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { n u l l } } } & { = - 2 \ln { \frac { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ n u l l ~ m o d e l } } { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ t h e ~ s a t u r a t e d ~ m o d e l } } } } \\ { D _ { \mathrm { f i t t e d } } } & { = - 2 \ln { \frac { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ f i t t e d ~ m o d e l } } { \mathrm { l i k e l i h o o d ~ o f ~ t h e ~ s a t u r a t e d ~ m o d e l } } } . } \end{array} }
- \; \frac { 1 } { e } \; \frac { \lambda ^ { 2 } } { ( x _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \; \left[ \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { x _ { 2 } } { \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } } \right) \; - \; \pi \Big ( \frac { 1 } { 2 } + m \Big ) \right] \; .
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \frac { 1 + \phi } { 2 } \rho _ { 1 } \tau _ { 1 } + \rho _ { 1 } \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa _ { 1 } \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) , } \\ { \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \frac { 1 - \phi } { 2 } \rho _ { 2 } \tau _ { 2 } + \rho _ { 2 } \left( \frac { \kappa _ { 2 } } { \varepsilon } F ( \phi ) - \frac { \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } \right) , } \\ { \tau _ { 1 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \frac { 2 \kappa _ { 1 } } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) - 2 \kappa _ { 1 } \varepsilon \Delta \phi , } \\ { \tau _ { 2 } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ - \frac { 2 \kappa _ { 2 } } { \varepsilon } F ^ { \prime } ( \phi ) + 2 \kappa _ { 2 } \varepsilon \Delta \phi , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \boldsymbol { S } _ { D } \rangle ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) } & { \! = } & { \! \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { \mathrm { D C } } ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) + \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { \mathrm { D C } } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) + \boldsymbol { \mathcal { I } } _ { \mathrm { i n t } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) \, , \quad } \end{array}
\left| { \begin{array} { c c c c c } { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { \cdots } & { x _ { n } } \\ { x _ { n } } & { x _ { 1 } } & { x _ { 2 } } & { \cdots } & { x _ { n - 1 } } \\ { x _ { n - 1 } } & { x _ { n } } & { x _ { 1 } } & { \cdots } & { x _ { n - 2 } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { x _ { 2 } } & { x _ { 3 } } & { x _ { 4 } } & { \cdots } & { x _ { 1 } } \end{array} } \right| = \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \omega _ { j } + x _ { 3 } \omega _ { j } ^ { 2 } + \cdots + x _ { n } \omega _ { j } ^ { n - 1 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \xi ^ { \top } e _ { 2 } = \lambda + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } \| \mathbf z _ { i } \| ^ { 2 } + 2 \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) \cdot e _ { 2 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } \right) } } \\ & { \geq } & { \lambda + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( e _ { 2 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } 2 \lambda _ { i } ( e _ { 2 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } 2 \lambda _ { i } ( e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ( e _ { 2 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) } \\ & { \geq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( e _ { 2 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } 2 \lambda _ { i } ( e _ { 1 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ( e _ { 2 } ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } ( ( e _ { 2 } - e _ { 1 } ) ^ { \top } \mathbf z _ { i } ) ^ { 2 } . } \end{array}
O _ { w a i t } = \frac { 1 } { N _ { f } } \sum _ { f = 0 } ^ { N _ { f } } \sum _ { i } ^ { N } \int \displaylimits _ { \Vec { x } _ { 0 } - \Delta \Vec { x } / 2 } ^ { \Vec { x } _ { 0 } + \Delta \Vec { x } / 2 } \delta ( \Vec { x } _ { i , f } - \Vec { x } ) d \Vec { x }
\begin{array} { r } { \frac { d \boldsymbol { x } ( t ) } { d t } = ( \boldsymbol { A } + \nu ( t ) \cdot \boldsymbol { B } ) \: \boldsymbol { x } ( t ) + \nu ( t ) \cdot \boldsymbol { c } + \boldsymbol { \beta } ( t ) , } \\ { \nu ( t ) = u ( t ) + \gamma ( t ) , } \\ { \boldsymbol { y } ( t ) = g ( \theta ) * \boldsymbol { x } ( t ) + \boldsymbol { \epsilon } ( t ) , } \end{array}