harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\langle \tilde { z } _ { 1 } ^ { * } z _ { 1 } \rangle = \Big \langle \mathrm { e } ^ { i [ \theta _ { 1 } ( t ^ { \prime } ) - \theta _ { 1 } ( \tilde { t } ) ] } \Big \rangle = \mathrm { e } ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \langle \Delta \theta _ { 1 } ^ { 2 } ( \tilde { t } - t ^ { \prime } ) \rangle } = \langle \tilde { z } _ { 1 } z _ { 1 } ^ { * } \rangle
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } + \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) } \end{array} \right) = { \mathcal R } \left( \frac { \phi _ { l } } { 2 } \right) \left( \begin{array} { c } { \cos \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \phi _ { y } \right) } \end{array} \right) , } \end{array}
\Theta _ { \mathbb { V } } ( \tau ) _ { \lambda \otimes \nu } ^ { \prime } : = \sum _ { \substack { v ^ { \prime } \in N \lambda + \langle v _ { n } \rangle \, v \in \nu + Y _ { 2 , \mathrm { p r i m } } ^ { \mathbb { Z } } \, w \in \mu _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \mathbb { Z } } } } \varphi _ { \mathbb { V } } ( y ^ { 1 / 2 } ( v ^ { \prime } + v + w ) ) e ^ { \pi i x ( Q ( v ^ { \prime } , v ^ { \prime } ) + Q ( v , v ) ) } .
\begin{array} { r } { \frac { J ^ { * } } { { \varepsilon } } \exp \left( \frac { B ^ { * } } { { \varepsilon } ^ { 2 } } ( S - S _ { c } ) \right) \to 0 \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } { \varepsilon } \to 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { R ( \theta ) = \cos { \theta } ( \vert \uparrow \rangle \langle \uparrow \vert + \vert \downarrow \rangle \langle \downarrow \vert ) } \\ { + \sin { \theta } ( \vert \downarrow \rangle \langle \uparrow \vert - \vert \uparrow \rangle \langle \downarrow \vert ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { \mathrm { ~ I ~ } } [ n ] } & { { } = \cos ( 2 \pi \nu _ { 0 } n / f _ { \mathrm { ~ s ~ m ~ p ~ } } ) } \\ { r _ { \mathrm { ~ Q ~ } } [ n ] } & { { } = \sin ( 2 \pi \nu _ { 0 } n / f _ { \mathrm { ~ s ~ m ~ p ~ } } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle { \widetilde { v } ^ { \bullet } } \right\rangle \left( y ^ { \bullet } \right) } & { = - \mathrm { i } \frac { \mathrm { d } \widetilde { p } ^ { \bullet } } { \mathrm { d } y ^ { \bullet } } \left[ 1 - \mathcal { F } \left( \mathrm { i } ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right] , } \\ { \left\langle { \widetilde { \tau } ^ { \bullet } } \right\rangle \left( y ^ { \bullet } \right) } & { = \left( \gamma - 1 \right) \mathrm { H e } ^ { 2 } \widetilde { p } ^ { \bullet } \left[ 1 - \mathcal { F } \left( \left( \mathrm { i } \mathrm { P r } \right) ^ { 1 / 2 } K _ { v } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f \left( x \right) } & { : } & { = { \bf E } \left( X _ { n + 1 } - x \mid X _ { n } = x \right) = { \bf E } \left( S \left( x \right) \right) - x + { \bf E } \left( \beta \right) = - \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } \left( 1 - \overline { { \alpha } } ^ { x } \right) + { \bf E } \left( \beta \right) } \\ & { \sim } & { - \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha } + { \bf E } \left( \beta \right) \mathrm { a s ~ } x \rightarrow \infty . } \\ { \sigma ^ { 2 } \left( x \right) } & { : } & { = \sigma ^ { 2 } \left( \left( X _ { n + 1 } - x \right) \mid X _ { n } = x \right) = \sigma ^ { 2 } \left( S \left( x \right) \right) + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) } \\ & { = } & { \frac { \overline { { \alpha } } } { \alpha ^ { 2 } } - \frac { 2 x + 1 } { \alpha } \overline { { \alpha } } ^ { x + 1 } - \left( \frac { \overline { { \alpha } } ^ { x + 1 } } { \alpha } \right) ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) } \\ & { \sim } & { \sigma ^ { 2 } \left( \delta \right) + \sigma ^ { 2 } \left( \beta \right) \mathrm { ~ a s ~ } x \rightarrow \infty . } \end{array}
f ( z ) = \sum _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { n } = 0 } ^ { \infty } c _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { n } } ( z _ { 1 } - a _ { 1 } ) ^ { k _ { 1 } } \cdots ( z _ { n } - a _ { n } ) ^ { k _ { n } } \ ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { n } ^ { \prime } } & { = \frac { x [ 2 ] } { 2 \pi \Delta f } = A ^ { T } b [ 2 ] \frac { 1 2 } { M ( M + 1 ) ( M + 2 ) } \frac { 1 } { 2 \pi \Delta f } } \\ & { = ( \phi - k \pi ) \frac { M ( M + 2 ) } { 4 } \frac { 1 2 } { M ( M + 1 ) ( M + 2 ) } \frac { 1 } { 2 \pi \Delta f } } \\ & { = \frac { 3 ( \phi - k \pi ) } { 2 \pi \Delta f ( M + 1 ) } } \\ & { = \frac { 3 ( n \sin ( \theta _ { 0 } ) } { 2 B } - \frac { 3 k } { 2 B } } \\ & { = \frac { 3 } { 2 B } ( n \sin ( \theta _ { 0 } ) - k ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \int ( A + B \, x ) ( a + b \, x ) ^ { m } ( c + d \, x ) ^ { n } ( e + f \, x ) ^ { p } d x = - { \frac { ( A \, b - a \, B ) ( a + b \, x ) ^ { m + 1 } ( c + d \, x ) ^ { n } ( e + f \, x ) ^ { p + 1 } } { b ( m + 1 ) ( a \, f - b \, e ) } } \, + \, { \frac { 1 } { b ( m + 1 ) ( a \, f - b \, e ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int ( b \, c ( m + 1 ) ( A \, f - B \, e ) + ( A \, b - a \, B ) ( n \, d \, e + c \, f ( p + 1 ) ) + d ( b ( m + 1 ) ( A \, f - B \, e ) + f ( n + p + 1 ) ( A \, b - a \, B ) ) x ) ( a + b \, x ) ^ { m + 1 } ( c + d \, x ) ^ { n - 1 } ( e + f \, x ) ^ { p } d x } \end{array} }
\begin{array} { l } { { { } ^ { A } ( \lambda \Phi + \mu \Psi ) ^ { ( n ) } = \lambda { } ^ { A } \Phi ^ { ( n ) } + \mu { } ^ { A } \Psi ^ { ( n ) } , \quad \forall \lambda , \mu \in C , } } \\ { { ( { } ^ { A } \Phi , { } ^ { A } \Psi ) = \S _ { n = 0 } ^ { \infty } ( { } ^ { A } \Phi ^ { ( n ) } , { } ^ { A } \Psi ^ { ( n ) } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho h \frac { \Bar { d } \; \overline { { v } } _ { x } } { \Bar { d t } } } & { { } = \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x x } ) } { \partial x } + \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x y } ) } { \partial y } - \tau _ { x z } + b _ { x } \rho h . } \\ { \rho h \frac { \Bar { d } \; \overline { { v } } _ { y } } { \Bar { d t } } } & { { } = \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { y y } ) } { \partial y } + \frac { \partial ( h \overline { { \sigma } } _ { x y } ) } { \partial x } - \tau _ { y z } + b _ { y } \rho h . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu } & { { } = d \psi ( z ) , } \\ { \beta : = \iota _ { B } \mu } & { { } = d F ( z ) \wedge d \theta _ { 1 } - d G ( z ) \wedge d \theta _ { 2 } , } \\ { B / f } & { { } = G ^ { \prime } ( z ) / \rho ( z ) \partial _ { \theta _ { 1 } } + F ^ { \prime } ( z ) / \rho ( z ) \partial _ { \theta _ { 2 } } , } \\ { f \mu } & { { } = \rho ( z ) d \theta _ { 1 } \wedge d \theta _ { 2 } \wedge d z } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \exp [ - w \cos ^ { 2 } \phi ] } & { = } & { \exp [ - \frac { 1 } { 2 } w ] I _ { 0 } ( \frac { 1 } { 2 } w ) } \\ { \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \cos ^ { 2 } \phi \exp [ - w \cos ^ { 2 } \phi ] } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \exp [ - \frac { 1 } { 2 } w ] [ I _ { 0 } ( \frac { 1 } { 2 } w ) - I _ { 1 } ( \frac { 1 } { 2 } w ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } } & { { } \approx k \mathcal { E } _ { z } \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } ( \mathtt { A } \alpha _ { Z Y } \mu _ { 0 X } + \mathtt { B } \alpha _ { X Z } \mu _ { 0 Y } + \mathtt { C } \alpha _ { Y X } \mu _ { 0 Z } ) \cos ( 2 k Z _ { 0 } ) \hat { \mathbf { z } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { { } = \Delta ^ { 2 } \tau _ { d } t + \Delta ^ { 2 } \tau ^ { 2 } ( e ^ { - t / \tau _ { d } } - 1 ) \approx \frac { \Delta ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d a _ { 1 } } { d t } = ( - i \omega _ { 1 } - \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } ) a _ { 1 } - \sqrt { \gamma _ { 1 } } b _ { 2 } e ^ { i \theta } - \sqrt { \kappa _ { 1 , e } } a _ { i n , 1 } , } \\ & { \frac { d a _ { 2 } } { d t } = ( - i \omega _ { 2 } - \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } ) a _ { 2 } - \sqrt { \gamma _ { 2 } } b _ { 1 } e ^ { i \theta } - \sqrt { \kappa _ { e , 2 } } a _ { i n , 2 } , } \\ & { b _ { 1 } = \sqrt { \gamma _ { 1 } } a _ { 1 } , } \\ & { b _ { 2 } = \sqrt { \gamma _ { 2 } } a _ { 2 } , } \end{array}
I _ { 1 } ( \kappa ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \kappa } c o s { \varphi } e ^ { i \kappa \omega { c o s ( \varphi ) } R / c } d { \varphi } = i 2 { \pi } { \kappa } J _ { 1 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) .
\begin{array} { r l r l } { \textrm { d } f _ { x } ( T _ { x } \partial \mathcal { X } ) } & { = \textrm { d } f _ { x } ( T _ { x } Z + \textrm { K e r } ( \textrm { d } f _ { x } ) ) } & & { \mathrm { ( P r o p e r t y ~ a n d ~ T _ x f ^ { - 1 } ( y ) = \textrm { K e r } ( \textrm { d } ~ f _ x ) ~ ) } } \\ & { = \textrm { d } f _ { x } ( T _ { x } Z ) } \\ & { = T _ { f ( x ) } f ( Z ) } & & { \mathrm { ( ~ f | _ S ~ i s ~ a ~ d i f f e o m o r p h i s m ~ a n d ~ Z \subset ~ S ~ ) } } \\ & { = T _ { y } f ( Z ) } \\ & { = T _ { y } \partial \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) . } & & { \mathrm { ( P r o p e r t y ~ ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle } { d t } } & { = } & { \left[ i \Delta - \frac { \Gamma } { 2 } \right] \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle + i \frac { \bar { \Omega } } { 2 } ( 2 \langle \hat { e } \rangle - 1 ) } \\ { \frac { d \langle \hat { e } \rangle } { d t } } & { = } & { - \Gamma \langle \hat { e } \rangle + i \frac { \bar { \Omega } ^ { * } } { 2 } \langle \hat { \sigma } ^ { - } \rangle - i \frac { \bar { \Omega } } { 2 } \langle \hat { \sigma } ^ { + } \rangle } \end{array}
\delta \ln Z = \int g ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Bigl ( \langle T _ { \tau \phi } \rangle - { \frac { \alpha } { \beta } } \langle T _ { \phi \phi } \rangle \Bigr ) { \frac { d \alpha } { \beta } } d ^ { 4 } x \space .
d _ { 0 } ~ = ~ W _ { t t t } ^ { ( 0 ) } ~ = ~ \int _ { { M } _ { 3 } ^ { C Y } } \, \omega ^ { ( 1 , 1 ) } \, \wedge \, \omega ^ { ( 1 , 1 ) } \, \wedge \, \omega ^ { ( 1 , 1 ) }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \int { \lvert \nabla \Delta _ { h } ^ { i } p \rvert } ^ { 2 } } & { \leqslant \int { \lvert \nabla \Delta _ { h } ^ { i } p \rvert } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } { ( \partial _ { 3 } \Delta _ { h } ^ { i } p ) } ^ { 2 } \zeta _ { h } ^ { i } } \\ & { = \int - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta _ { h } ^ { i } M ) ( \partial _ { 3 } \Delta _ { h } ^ { i } p ) \zeta _ { h } ^ { i } + \int ( \Delta _ { h } ^ { i } P V _ { e } ) ( \Delta _ { h } ^ { i } p ) } \\ & { \leqslant \left( \frac { 1 } { 2 } { \lvert \lvert \Delta _ { h } ^ { i } M \rvert \rvert } _ { L ^ { 2 } } + { \lvert \lvert \Delta _ { h } ^ { i } P V _ { e } \rvert \rvert } _ { H ^ { - 1 } } \right) { \lvert \lvert \nabla \Delta _ { h } ^ { i } p \rvert \rvert } _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } \, | \varphi _ { \pm } ^ { n } \rangle \, | \! \updownarrow \rangle } & { = \pm \mu _ { n } | \varphi _ { \pm } ^ { n } \rangle \, | \! \updownarrow \rangle , } \\ { H _ { \pm } | \varphi _ { \pm } ^ { n } \rangle } & { = \pm \mu _ { n } | \varphi _ { \pm } ^ { n } \rangle , } \\ { H _ { \pm } } & { = \pm \left( \lambda \tau _ { 1 } + m \pm i \gamma \tau _ { 3 } \right) , } \end{array}
E r r _ { N u m } = \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \int _ { \Omega } e _ { i } ^ { 2 } ( \vec { r } ) d \Omega } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { t } } \int _ { \Omega } ( T _ { i } ( \vec { r } ) - T _ { a m b } ) ^ { 2 } d \Omega } } ,
\begin{array} { r l } { \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } } & { { } = \, v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } + \sum _ { \textsc { p } _ { 3 } \textsc { q } _ { 3 } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } } \\ { \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } } & { { } = v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { p } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } - \sum _ { \textsc { q } _ { 3 } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 2 } } S _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \textsc { p } _ { 4 } } \, , } \\ { \nu _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } } & { { } = v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } - \sum _ { \textsc { p } _ { 3 } } v _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { p } _ { 3 } } S _ { \textsc { q } _ { 4 } } ^ { \textsc { p } _ { 3 } } \, . } \end{array}
\zeta ( k ) = { \frac { 2 ^ { k } } { 2 ^ { k } - 1 } } + \sum _ { r = 2 } ^ { \infty } { \frac { ( p _ { r - 1 } \# ) ^ { k } } { J _ { k } ( p _ { r } \# ) } } \qquad k = 2 , 3 , \ldots .
\left\{ \begin{array} { l l } { y _ { 1 } ^ { b } = s _ { 1 } , } \\ { y _ { 1 } ^ { t } = s _ { 1 } + s _ { 2 } , } \\ { y _ { 2 } ^ { b } = s _ { 2 } + s _ { 3 } , } \\ { y _ { 2 } ^ { t } = s _ { 3 } + s _ { 4 } , } \\ { . . . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { ( { \bf z } _ { N } , { \bf z } _ { P } ) = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } , \qquad ( { \bf z } _ { N } - { \bf z } _ { K } , { \bf z } _ { P } - { \bf z } _ { M } ) = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta ) } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \Omega _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta ^ { \prime } ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
\hat { \textbf { Q } } ^ { d } ( t ) = w _ { r } ^ { t } \hat { \textbf { Q } } _ { \mathrm { ~ R ~ K ~ T ~ U ~ } } ( t ) + w _ { t } ^ { t } \hat { \textbf { Q } } _ { \mathrm { ~ T ~ E ~ L ~ } } ( t ) ,
\begin{array} { r l } { H _ { \mu , z } ^ { - 1 } ( \widetilde { Y } _ { t _ { i } - t _ { i - 1 } } ^ { G _ { \mu } ( \tilde { z } ) } - G _ { \mu } ( \tilde { z } ) ) } & { = H _ { \mu , z } ^ { - 1 } ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t _ { i } - t _ { i - 1 } } \mu ( G _ { \mu } ^ { - 1 } ( \widetilde { Y } _ { s } ^ { G _ { \mu } ( \tilde { z } ) } - G _ { \mu } ( \tilde { z } ) + G _ { \mu } ( z ) ) ) \: d s + W _ { t _ { i } } - W _ { t _ { i - 1 } } } \\ & { \quad + A _ { z , \tilde { z } } + B _ { z , \tilde { z } } + C _ { z , \tilde { z } } } \end{array}
\begin{array} { r } { I m \left( \frac { 1 } { \epsilon _ { A + } } \right) \simeq - \pi \delta ( \epsilon _ { A + } ) \simeq - \pi \left( \frac { \omega _ { + } } { \omega _ { A } } \right) ^ { 2 } \frac { \delta ( z _ { s } ^ { 2 } - z _ { + } ^ { 2 } ) } { \sigma _ { + s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 2 } } & { { } = \alpha { D _ { 3 } } = { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 1 ^ { \prime } } } , } \\ { q _ { 3 ^ { ' } } } & { { } = \beta { D _ { 2 ^ { \prime } } } = { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 } } + { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } \bar { 3 } 2 ^ { \prime } } } - { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 } } - { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } 1 } } , } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 1 ) } = \sum _ { m \neq 0 } \frac { \left[ \hat { V } _ { m } , \hat { V } _ { - m } \right] } { 2 m } = \sum _ { m \neq 0 } \frac { \hat { V } _ { m } \hat { V } _ { - m } } { m } .
\begin{array} { r l } { u _ { 0 , s } ( \mathbf { x } , \omega ) \overline { { \widetilde { q } _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) } } } & { { } = \widetilde { \alpha } _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) e ^ { i \widetilde { \theta } _ { s } ( \mathbf { x } , \omega ) } } \end{array}
\pi \, : \, C ( G \wr _ { * , H } S _ { N } ^ { + } ) \rightarrow C ( G ^ { * _ { H } N } \rtimes S _ { N } ) = C ( G ) ^ { * _ { H } N } \otimes C ( S _ { N } ) \mathrm { ~ s . t . ~ } \left\{ \begin{array} { l c l } { \pi ( \nu _ { i } ( a ) ) } & { = } & { \nu _ { i } ( a ) \otimes 1 } \\ { \pi ( u _ { i j } ) } & { = } & { 1 \otimes \chi _ { i j } } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l } { \partial _ { t } u _ { 1 } = D _ { 1 } \, \Delta u _ { 1 } - \xi _ { 1 } \, \nabla \cdot ( u _ { 1 } \, \nabla u _ { 3 } ) + \psi _ { 1 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } , u _ { 4 } ) , } \\ { \partial _ { t } u _ { 2 } = D _ { 2 } \, \Delta u _ { 2 } - \xi _ { 2 } \, \nabla \cdot ( u _ { 2 } \, \nabla u _ { 3 } ) + \psi _ { 2 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } , u _ { 4 } ) , } \\ { \partial _ { t } u _ { 3 } = \psi _ { 3 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } , u _ { 4 } ) , } \\ { \partial _ { t } u _ { 4 } = D _ { 4 } \, \Delta u _ { 4 } - \xi _ { 4 } \, \nabla \cdot ( u _ { 4 } \, \nabla u _ { 3 } ) + \psi _ { 4 } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } , u _ { 4 } ) . } \end{array} \right.
\phi ( x ) = i \int _ { \Gamma _ { + } + \Gamma _ { - } } d k e ^ { i k x } \frac { 1 } { f ( - k ^ { 2 } ) } a ( k ) = \int d k [ e ^ { i k x } a ( k ) + e ^ { - i k x } \bar { a } ( k ) ] \delta ^ { + } G ( k ^ { 2 } ) ~ ~ ~ .
V _ { e f f } ( \sigma ) = { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 \lambda } } - \left[ \frac { \Lambda \sigma ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 3 / 2 } } + \frac { \sqrt { 2 } } { \pi } ( e B ) ^ { 3 / 2 } \zeta \left( - \frac { 1 } { 2 } , 1 + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 e B } \right) + \frac { 1 } { 2 \pi } e B \sigma \right]
\Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { g a i n } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega _ { \mathrm { a } } ) = \frac { 2 } { \epsilon _ { 0 } \hbar } \sum _ { \mu , \eta } \mathbf { d } \cdot \left[ \int _ { V _ { \mathrm { G } } } { \mathrm d } { \bf r } \frac { i } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm d } \omega \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { a } ^ { 2 } } \frac { \tilde { \omega } _ { \mu } - \tilde { \omega } _ { \eta } ^ { * } } { ( \tilde { \omega } _ { \mu } - \omega ) ( \tilde { \omega } _ { \eta } ^ { * } - \omega ) } | \epsilon _ { I } ( \mathbf { r } , \omega ) | A _ { \mu } ( \omega _ { a } ) A _ { \eta } ^ { * } ( \omega _ { a } ) \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) \tilde { \mathbf { f } } _ { \mu } ( \mathbf { r } ) \cdot \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \tilde { \mathbf { f } } _ { \eta } ^ { * } ( \mathbf { r } _ { 0 } ) \right] \cdot \mathbf { d } ,
\begin{array} { r l } { S _ { F } ( \Omega ) } & { { } = \frac { k _ { B } T } { m } \frac { \Gamma _ { 0 } } { ( \Omega _ { 0 } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } \Gamma _ { 0 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf D _ { \mathbf y } \mathbf F ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) } & { = \mathbf I - \Delta t \left( \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 \alpha } \Big ) \mathbf A \mathbf x + \frac { 1 } { 2 \alpha } \mathbf A \mathbf y ^ { ( 2 ) } ( \mathbf x ) \right) \nabla _ { \mathbf y } \widetilde H _ { i } ( \mathbf x , \mathbf g ( \mathbf x ) ) , \quad i = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { , x _ { 1 } > \frac { b } { a } x _ { 2 } , } \\ { 2 } & { , x _ { 1 } < \frac { b } { a } x _ { 2 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\L _ { D - 2 } \sim \Big ( { \frac { \pi } { D { - } 3 } } \Big ) ^ { 2 } M _ { D - 2 } ^ { ~ D - 2 } ~ ( \ell \, M _ { D - 2 } ) ^ { 2 } ~ \Big ( { \frac { M _ { D } } { M _ { D - 2 } } } \Big ) ^ { 2 D - 4 } ~ ,
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l l l } { M _ { 1 1 } - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { M _ { 2 2 } - 1 } & { i \mathcal { k } ^ { \alpha } M _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { i \mathcal { k } ^ { \alpha } M _ { 3 2 } } & { M _ { 3 3 } - 1 } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { l } { \delta \hat { \mathcal { U } } _ { \perp } ^ { \alpha } } \\ { \delta \hat { \mathcal { U } } _ { \parallel } ^ { \alpha } } \\ { \delta \hat { \rho } } \end{array} \right) = 0 , } \end{array}
\nu _ { 5 } ^ { * } = \mu _ { m a x , H } \frac { S _ { D O C } ^ { * } } { K _ { H , D O C } + S _ { D O C } ^ { * } } \frac { S _ { N O _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { H , N O _ { 3 } } + S _ { N O _ { 3 } } ^ { * } } \frac { S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } { K _ { H , N H _ { 3 } } + S _ { N H _ { 3 } } ^ { * } } \frac { K _ { H , O _ { 2 } } } { K _ { H , O _ { 2 } } + S _ { O _ { 2 } } ^ { * } } \frac { K _ { M ^ { * } } ^ { i n } } { K _ { M } ^ { i n } + M ^ { * } } \psi _ { H } ^ { * }
T ( M ) \leq \frac { 1 } { 2 ^ { N } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 ^ { N } - 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { N } - 2 } C _ { N } \rho ^ { k } ( M ^ { \ast } ) = \frac { C _ { N } ( 2 ^ { N } - 2 ) ^ { 2 } } { 2 ^ { N } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \rho ^ { k } ( M ^ { \ast } ) = O \left( \frac { 1 } { 1 - \rho ( M ^ { \ast } ) } \right) ,
\mathbf { T } ^ { ( l ) } = ( 2 l - 1 ) ! ! \ \mathbf { ( } \otimes r ^ { l } ) - ( 2 l - 3 ) ! ! \ r ^ { 2 } \left\langle \otimes \mathbf { r } ^ { ( l - 2 ) } \otimes { \mathsf { \boldsymbol { \delta } } } ^ { 1 } \right\rangle + ( 2 l - 5 ) ! ! \ r ^ { 4 } \left\langle \otimes \mathbf { r } ^ { ( l - 4 ) } \otimes { \mathsf { \boldsymbol { \delta } } } ^ { 2 } \right\rangle - \ldots
f _ { C } ( R _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 + c o s ( \pi \frac { R _ { i j } } { R _ { C } } ) ) / 2 } & { R _ { i j } \le R _ { C } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\mathbf { u } = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \boldsymbol { \rho } \mathbf { v } } \\ { \boldsymbol { B } } \\ { E } \end{array} \right] \quad \mathrm { a n d } \quad \mathbf { F } = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \rho } \mathbf { v } } \\ { \boldsymbol { \rho } \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } + \mathbf { I } \left( P + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { B } { \cdot } \mathbf { B } \right) - \mathbf { B } \otimes \mathbf { B } } \\ { \boldsymbol { v } \otimes \mathbf { B } - \mathbf { B } \otimes \boldsymbol { v } } \\ { \left( E + P + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { B } { \cdot } \mathbf { B } \right) \mathbf { v } - \mathbf { B } ( \mathbf { v } { \cdot } \mathbf { B } ) } \end{array} \right] ,
\mathcal { M } _ { \tau _ { \eta } } \ni \left( x , s \right) \longmapsto \bar { \kappa } _ { \eta } \left( x , s \right) : = \left( \kappa _ { \eta } \left( x \right) , \frac { \bar { \tau } _ { \eta } \circ \kappa _ { \eta } \left( x \right) } { \tau _ { \eta } \left( x \right) } s \right) = \left( \kappa _ { \eta } \left( x \right) , s \right) \in \mathcal { M } _ { \bar { \tau } _ { \eta } } \ ,
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \partial } } } & { = \left( { \frac { \partial } { \partial x ^ { 0 } } } , \, { \frac { \partial } { \partial x ^ { 1 } } } , \, { \frac { \partial } { \partial x ^ { 2 } } } , \, { \frac { \partial } { \partial x ^ { 3 } } } \right) } \\ & { = ( \partial _ { 0 } , \, \partial _ { 1 } , \, \partial _ { 2 } , \, \partial _ { 3 } ) } \\ & { = \mathbf { E } ^ { 0 } \partial _ { 0 } + \mathbf { E } ^ { 1 } \partial _ { 1 } + \mathbf { E } ^ { 2 } \partial _ { 2 } + \mathbf { E } ^ { 3 } \partial _ { 3 } } \\ & { = \mathbf { E } ^ { 0 } \partial _ { 0 } + \mathbf { E } ^ { i } \partial _ { i } } \\ & { = \mathbf { E } ^ { \alpha } \partial _ { \alpha } } \\ & { = \left( { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial } { \partial t } } , \, \nabla \right) } \\ & { = \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , \nabla \right) } \\ & { = \mathbf { E } ^ { 0 } { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial } { \partial t } } + \nabla } \end{array} }
\hat { \sigma } ( \omega ) = \int \frac { d \omega ^ { \prime } } { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 k _ { B } T } \left( \langle \hat { v } ( \omega ^ { \prime } ) \hat { F } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \rangle + \langle \hat { v } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \hat { F } ( \omega ^ { \prime } ) \rangle \right) \, .