harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { H _ { k } ( D u _ { k } , \overline { { \xi _ { k } } } ; a _ { i } ) : = \bigg ( | D u _ { k } + \overline { { \xi _ { k } } } | ^ { a _ { i } } + a _ { k } ( x ) | D u _ { k } + \overline { { \xi _ { k } } } | ^ { a _ { i } } \bigg ) , \ i = 1 , 2 , } \\ & { \overline { { \xi _ { k } } } : = \rho ^ { - k \alpha ^ { \prime } } b _ { k } , } \\ & { | | \widetilde { f } | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } : = \operatorname* { m a x } \bigg \{ 1 , \rho ^ { - k a _ { 1 } \alpha ^ { \prime } } , \rho ^ { - k a _ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \bigg \} \rho ^ { k ( 1 - \alpha ^ { \prime } ) } | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } . } \end{array}
f ~ = ~ \left( 1 + \frac { a ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \alpha } { \bar { r } ^ { 2 } } \right) ~ \left( 1 + \frac { a ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \gamma } { \bar { r } ^ { 2 } } \right) ~ \left( 1 + \frac { a ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \sigma } { \bar { r } ^ { 2 } } \right)
\left( \partial _ { t } + \gamma _ { 0 k } \partial _ { k } \right) \Psi _ { H } \gamma _ { 2 1 } = m \widehat { \Psi } _ { H } ~ ~ ~ \in C l _ { 1 , 3 } ^ { + } \otimes { \cal F } ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { \footnotesize ~ k = 1 , 2 , 3 ~ } ~ .
| \phi ( [ \mathfrak { s } _ { i } ^ { ( n _ { i + 1 } , n _ { i + 2 } ) } ] ) - \phi ( \mathfrak { a } _ { i } ^ { ( n _ { i + 1 } ) } ) - \phi ( \mathfrak { b } _ { i } ) - \phi ( \mathfrak { c } _ { i } ^ { ( n _ { i - 1 } ) } ) - \phi ( \mathfrak { d } _ { i } ) + I _ { \phi } ( \mathbf { { l } } ( \mathfrak { b } _ { i } ) / 2 ) + I _ { \phi } ( \mathbf { { l } } ( \mathfrak { d } _ { i } ) / 2 ) | < \epsilon .
h _ { a b } = - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta { q } _ { a b } } = - \rho \frac { \partial f } { \partial { q } _ { a b } } + \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } { q } _ { a b } } \right) .
\begin{array} { r l } { f = } & { { } e ^ { - \rho \cdot \nabla } \left[ { F } - \frac { e } { m } \left( \frac { \partial { \overline { { F _ { 0 } } } } } { \partial \mathcal { E } } + \frac { 1 } { B _ { 0 } } \frac { \partial { \overline { { F _ { 0 } } } } } { \partial \mu } \right) \left\langle \delta L _ { g } \right\rangle \right] + \frac { e } { m } \left[ \frac { \partial { \overline { { F _ { 0 } } } } } { \partial \mathcal { E } } \delta \phi + \frac { 1 } { B _ { 0 } } \frac { \partial { \overline { { F _ { 0 } } } } } { \partial \mu } \delta L \right] . } \end{array}
\left( { \frac { \partial } { \partial t } + \langle { \overline { { \bf { u } } } } \rangle \cdot \nabla } \right) \langle { \overline { { { \widetilde { u } } ^ { i } { \widetilde { u } } ^ { j } } } } \rangle = \widetilde { P } ^ { i j } + \widetilde { \Pi } ^ { i j } - \widetilde { \varepsilon } ^ { i j } + \frac { \partial { \widetilde { T } } ^ { i j \ell } } { \partial x ^ { \ell } } + \widetilde { { \cal { P } } } ^ { i j } ,
s ^ { \xi } = - \frac { b } { 2 a } \left( 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } } \right) < 0 \quad \mathrm { ~ i ~ . ~ e ~ . ~ , ~ } \quad \rho ^ { \xi } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \xi \varphi } = \frac { b } { 2 a } \left( 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } } \right) \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \left( 2 k + 1 \right) \pi } , \quad k \in \mathbb { Z } ,
\begin{array} { r l } { r _ { 1 2 } } & { { } = \frac { d _ { k } \rho } { \sqrt { 2 } } \big [ 1 + \sin \theta \cos \varphi \big ] ^ { 1 / 2 } , } \\ { r _ { 2 3 } } & { { } = \frac { d _ { k } \rho } { \sqrt { 2 } } \big [ 1 + \sin \theta \cos ( \varphi - 2 \pi / 3 ) \big ] ^ { 1 / 2 } , } \\ { r _ { 3 1 } } & { { } = \frac { d _ { k } \rho } { \sqrt { 2 } } \big [ 1 + \sin \theta \cos ( \varphi + 2 \pi / 3 ) \big ] ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { k \leq K } | \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) - \xi _ { N } ( t _ { k } ; \xi _ { 0 } ) | ^ { p } \leq C \delta ^ { { p ^ { \prime } } p } ( 1 + | \nabla \xi _ { 0 } | ^ { 4 } + | A \xi _ { 0 } | ^ { 2 } ) ^ { p / 2 } \exp \left( \widetilde { C } \alpha | \xi _ { 0 } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}
{ \bar { Z } } _ { 1 } ^ { p , q } = \ker d _ { 0 } ^ { p , q } : E _ { 0 } ^ { p , q } \rightarrow E _ { 0 } ^ { p , q + 1 } = \ker d _ { 0 } ^ { p , q } : F ^ { p } C ^ { p + q } / F ^ { p + 1 } C ^ { p + q } \rightarrow F ^ { p } C ^ { p + q + 1 } / F ^ { p + 1 } C ^ { p + q + 1 }
u _ { 2 } \left( 1 - \frac { r } { z ^ { * } } \, , \alpha _ { 2 } \right) = \left( 1 - \frac { r } { z ^ { * } } + \alpha _ { 2 } r \right) \, \frac { ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } } { ( 1 - r / z ^ { * } ) ^ { \gamma _ { r } } + ( \alpha _ { 2 } r ) ^ { \gamma _ { r } } } + \frac { r } { z ^ { * } } ( 1 + z ^ { * } ( 1 - \alpha _ { 2 } ) ) \frac { ( z ^ { * } ( 1 - \alpha _ { 2 } ) ) ^ { \gamma _ { p } } } { 1 + ( z ^ { * } ( 1 - \alpha _ { 2 } ) ) ^ { \gamma _ { p } } } \; .
\begin{array} { r } { g , N , X \in C ^ { 0 } ( [ T _ { 0 } , T _ { + } ) , H ^ { k } ) \cap C ^ { 1 } ( [ T _ { 0 } , T _ { + } ) , H ^ { k - 1 } ) , } \\ { k \in C ^ { 0 } ( [ T _ { 0 } , T _ { + } ) , H ^ { k - 1 } ) \cap C ^ { 1 } ( [ T _ { 0 } , T _ { + } ) , H ^ { k - 2 } ) , } \\ { u , \rho \in C ^ { 0 } ( [ T _ { 0 } , T _ { + } ) , H ^ { k - 1 } ) , } \\ { \partial _ { T } \rho , \partial _ { T } u \in C ^ { 0 } ( [ T _ { 0 } , T _ { + } ) , H ^ { k - 2 } ) . } \end{array}
\lambda _ { 2 } = \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } + A } { 6 E } + \frac 1 { 2 E } \sqrt { \frac { - Q } 3 } \cos \frac \alpha 3 - \frac 1 { 2 E } \sqrt { - Q } \sin \frac \alpha 3 ,
\begin{array} { r l r } { S _ { n - 1 } } & { = } & { \int d \Omega _ { n - 1 } } \\ & { = } & { \int \sin ^ { n - 2 } ( \varphi _ { 1 } ) \sin ^ { n - 3 } ( \varphi _ { 2 } ) \cdots \sin ^ { 2 } ( \varphi _ { n - 3 } ) \sin ( \varphi _ { n - 2 } ) \, d \varphi _ { 1 } d \varphi _ { 2 } \cdots d \varphi _ { n - 2 } d \varphi _ { n - 1 } } \\ & { = } & { \pi ^ { \frac { n - 2 } { 2 } } \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } \frac { \Gamma ( \frac { n - 2 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } \cdots \frac { \Gamma ( \frac { 2 } { 2 } ) } { \Gamma ( \frac { 3 } { 2 } ) } 2 \pi } \\ & { = } & { \frac { 2 \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { u ^ { n + 1 } - u ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { D } _ { x } ^ { 2 } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { 2 } + | u ^ { n } | ^ { 2 } } { 2 } \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { 4 } + | u ^ { n } | ^ { 4 } } { 2 } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \quad + \beta \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { 4 } + | v ^ { n } | ^ { 4 } } { 2 } \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { 2 } + | u ^ { n } | ^ { 2 } } { 2 } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { i \frac { v ^ { n + 1 } - v ^ { n } } { \Delta t } + \boldsymbol { D } _ { x } ^ { 2 } v ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } & { = \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { 2 } + | v ^ { n } | ^ { 2 } } { 2 } \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { 4 } + | v ^ { n } | ^ { 4 } } { 2 } v ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \quad + \beta \frac { | u ^ { n + 1 } | ^ { 4 } + | u ^ { n } | ^ { 4 } } { 2 } \frac { | v ^ { n + 1 } | ^ { 2 } + | v ^ { n } | ^ { 2 } } { 2 } v ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
| | \mathcal { E } _ { \psi } | | _ { \mathrm { R M S E } } = | | \psi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } - \psi _ { \mathrm { ~ n ~ u ~ m ~ e ~ r ~ i ~ c ~ a ~ l ~ } } | | _ { 2 } / \sqrt { \mathcal { N } }
\begin{array} { r l } { U _ { 1 } ( t ) } & { = \frac { 4 \left( 4 \Delta _ { 2 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \right) \kappa _ { e } P _ { i n } } { \left( 4 \Delta _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( 4 \Delta _ { 2 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \mathrm { g } _ { 1 2 } ^ { 2 } \left( 2 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } - 8 \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } \right) + \mathrm { g } _ { 1 2 } ^ { 4 } } } \\ { U _ { 2 } ( t ) } & { = \frac { 4 \mathrm { g } _ { 1 2 } ^ { 2 } \kappa _ { e } P _ { i n } } { \left( 4 \Delta _ { 1 } ^ { 2 } + \kappa _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( 4 \Delta _ { 2 } ^ { 2 } + \kappa _ { 2 } ^ { 2 } \right) + \mathrm { g } _ { 1 2 } ^ { 2 } \left( 2 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } - 8 \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } \right) + \mathrm { g } _ { 1 2 } ^ { 4 } } , } \end{array}
M = \{ x _ { i } \in { \bf P } ( 1 , 1 , 2 , 2 , 2 ) | W = x _ { 0 } ^ { 8 } + x _ { 1 } ^ { 8 } + x _ { 2 } ^ { 4 } + x _ { 3 } ^ { 4 } + x _ { 4 } ^ { 4 } \} .
\begin{array} { r } { \mathrm { \boldmath { ~ F ~ } } = \frac { r } { R } \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { \theta } \otimes \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { \theta } + z _ { Z } \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { z } \otimes \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { z } + z _ { R } \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { z } \otimes \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { r } + r _ { Z } \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { r } \otimes \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { z } + r _ { R } \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { r } \otimes \mathrm { \boldmath { ~ e ~ } } _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r } { R ^ { 2 } = \frac { \mathrm { E x p l a i n e d ~ v a r i a n c e } } { \mathrm { R e s i d u a l ~ v a r i a n c e } + \mathrm { E x p l a i n e d ~ v a r i a n c e } } = \frac { \frac { 1 } { n _ { c } - 1 } \sum _ { c } \hat { Y } _ { c } ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } + \frac { 1 } { n _ { c } - 1 } \sum _ { c } \hat { Y } _ { c } ^ { 2 } } , } \end{array}
| \partial ^ { \alpha } \phi _ { k } ^ { L } ( r ) | \leq c _ { \alpha } ( R / L ) ^ { | \alpha | } L ^ { - \frac 3 2 } \leq c _ { \alpha } N ^ { \frac { | \alpha | } { 3 } } L ^ { - \frac 3 2 - | \alpha | }
\sqrt { T } \xi _ { t } ^ { a } ( P ) = \frac { \varphi ^ { a ^ { * } ( P ) } \Big ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ; \widehat { \mu } _ { t } ^ { a ^ { * } ( P ) } , \widehat { w } _ { t } \Big ) - \varphi ^ { a } \Big ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ; \widehat { \mu } _ { t } ^ { a } , \widehat { w } _ { t } \Big ) - ( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) ) } { \sqrt { V ^ { a * } ( P ) } }
z _ { \uparrow \ast } ^ { i } ( v _ { z c } ^ { i } ) = z _ { \downarrow \ast } ^ { i } ( v _ { z c } ^ { i } ) = z _ { \uparrow \ast } ^ { i } ( v _ { \downarrow z } ^ { i } ) = z _ { \downarrow \ast } ^ { i } ( v _ { \uparrow z } ^ { i } ) = \overline { { z } } _ { \ast } ^ { i } .
\tau = \int \frac { \sqrt { \dot { T } ^ { 2 } - T ^ { 2 } \dot { W } ^ { 2 } } } { T \ln ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 } } d T , \; \; r _ { c } y = \int \frac { \sqrt { \dot { T } ^ { 2 } - T ^ { 2 } \dot { W } ^ { 2 } } } { \ln ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 } } d W ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { i } ^ { ( j ) , - } } & { { } = \left[ \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( k ) } \right] _ { k \in \mathcal { G } _ { i } ^ { ( j ) } } \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times m _ { i } ^ { ( j ) } } , } \\ { \mathbf { S } _ { i } ^ { ( j ) , + } } & { { } = \left[ \boldsymbol { T } _ { i } ^ { ( k + 1 ) } \right] _ { k \in \mathcal { G } _ { i } ^ { ( j ) } } \in \mathbb { R } ^ { N _ { x } ^ { 2 } \times m _ { i } ^ { ( j ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi _ { 2 } ( x , t ) = \Xi _ { 2 } ( t ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { \prime } { \cal { G } } _ { \mu } ( x - x ^ { \prime } , t ) \varphi _ { 1 } ( x ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \psi } ^ { \prime \prime } ( x ) - \frac { \mu ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \hat { \psi } ( x ) = 0 , \quad \qquad x \in ( h _ { i } + r _ { + } , h _ { i } + r ) , } \\ { \hat { \psi } ( h _ { i } + r _ { + } ) = ( u ( h _ { i } + r _ { + } ) - 1 ) ^ { 2 } , \quad \qquad \hat { \psi } ^ { \prime } ( h _ { i } + r ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ell _ { \widehat { k } } ^ { \left[ V \right] } \left( t \right) = \frac { V _ { o } ^ { 2 / 3 } \varDelta \gamma ^ { 7 / 9 } \, t ^ { 1 / 3 } } { K _ { I c } ^ { 4 / 9 } \mu ^ { \prime 1 / 3 } } , \quad b _ { \widehat { k } } ^ { \left[ V \right] } = \frac { K _ { I c } ^ { 2 / 3 } } { \varDelta \gamma ^ { 2 / 3 } } \equiv \ell _ { b } } \\ { w _ { \widehat { k } } ^ { \left[ V \right] } \left( t \right) = \frac { V _ { o } ^ { 1 / 3 } \mu ^ { \prime 1 / 3 } } { K _ { I c } ^ { 2 / 9 } \varDelta \gamma ^ { 1 / 9 } t ^ { 1 / 3 } } , \quad p _ { \widehat { k } } ^ { \left[ V \right] } \left( t \right) = E ^ { \prime } \frac { \varDelta \gamma ^ { 5 / 9 } V _ { o } ^ { 1 / 3 } \mu ^ { \prime 1 / 3 } } { t ^ { 1 / 3 } K _ { I c } ^ { 8 / 9 } } . } \end{array}
\frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } = \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } + \frac { \partial \widehat { \lambda } } { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } \cdot \frac { \partial \widetilde { \boldsymbol { p } } } { \partial \widehat { \boldsymbol { p } } } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } | { \bf { b } } _ { \mathrm { { L } } } ^ { H } ( r _ { l } , \phi _ { l } ) { \bf { b } } _ { \mathrm { L } } ( r _ { m } , \phi _ { m } ) | = \operatorname* { l i m } _ { N \to + \infty } \frac { 1 } { N } \left| \int _ { - \infty } ^ { \infty } e ^ { j \eta _ { 2 } t ^ { 2 } } \mathrm { { d } } t \right| . } \end{array}
\lambda _ { \pm } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \Lambda _ { m , m } \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \Lambda _ { m , m } \right) ^ { 2 } - 4 \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \left( \Lambda _ { m , m } \Lambda _ { m + 1 , m + 1 } - \Lambda _ { m + 1 , m } \Lambda _ { m , m + 1 } . \right) } .
\int _ { x _ { b , \mathrm { m i n } } } ^ { 1 } { \left( g ( x _ { b } ) \right) _ { + } h ( x _ { b } ) d x _ { b } } = \int _ { x _ { b , \mathrm { m i n } } } ^ { 1 } { g ( x _ { b } ) [ h ( x _ { b } ) - h ( 1 ) ] d x _ { b } } .
\frac { 5 } { 1 4 } \mathbf { U } _ { i - 1 } ^ { \prime } + \mathbf { U } _ { i } ^ { \prime } + \frac { 5 } { 1 4 } \mathbf { U } _ { i + 1 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 8 \Delta x } \left( \mathbf { U } _ { i + 2 } - \mathbf { U } _ { i - 2 } \right) + \frac { 1 1 } { 1 4 \Delta x } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 } - \mathbf { U } _ { i - 1 } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \Phi } & { { } = } & { - \frac { 3 G M } { 4 a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } \left[ A + \frac { 4 a _ { 2 } a _ { 3 } m _ { o } } { 3 \lambda M } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( \delta m ) } & { { } } & { = \int _ { m _ { L } } ^ { \infty } d m _ { i } \int _ { m _ { i } + \delta m } ^ { \infty } d m _ { j } \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { i } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { i } \int _ { t _ { i } } ^ { T } d t _ { j } \int _ { \Omega } d \vec { x } _ { j } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \big \langle \langle f \varrho _ { N } \rangle \big \rangle _ { \mu ^ { N } } = \langle f \varrho ^ { * } \rangle , \qquad \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \big \langle \big ( \langle f \varrho _ { N } \rangle \big ) ^ { 2 } \big \rangle _ { \mu ^ { N } } = \langle f \varrho ^ { * } \rangle ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { H _ { F } - \left\langle 0 | H _ { F } | 0 \right\rangle } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega \left( a a ^ { \dagger } + a ^ { \dagger } a \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { H / \hbar = } & { { } \sum _ { j = a , c , m } \omega _ { j } j ^ { \dagger } j + \frac { \omega _ { b } } { 2 } \left( q ^ { 2 } + p ^ { 2 } \right) + H _ { \mathrm { d r i } } / \hbar } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { K } ( u , v ) } & { = \frac { 2 \alpha - \beta n } 2 \left( \| u \| _ { { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } } ^ { 2 } - \| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } + \| \mathbb { L } _ { \vec { c } } ^ { \frac 1 2 } u + v \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad + \frac { 2 \alpha - \beta ( n - 2 ) } 2 \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( { \mathbb { R } ^ { n } } ) } ^ { 2 } - ( \alpha ( p + 1 ) - \beta n ) K ( u ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } } & { { } = \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ( \mathbf { M } ^ { D } ) = p _ { \mathbb { S } } ( 1 , 0 , - 1 ) , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { K ^ { - } } } & { { } = \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ( \mathbf { M } ^ { K ^ { - } } ) = p _ { \mathbb { S } } ( - \nu , - \nu , \nu - 1 ) , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 1 ^ { - } } } & { { } = p _ { \mathbb { S } } ( 1 - 3 \nu , \nu - 1 , \nu - 1 ) , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 2 ^ { - } } } & { { } = p _ { \mathbb { S } } ( - 2 \nu , - 1 , - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E ( \textbf { m } ) } & { { } = } & { E _ { \mathrm { E x } } ( \textbf { m } ) + E _ { \mathrm { Z } } ( \textbf { m } ) + E _ { \mathrm { D e m } } ( \textbf { m } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \Delta \lambda _ { k + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq c _ { 1 } ( \beta ) \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } + c _ { 2 } ( \beta ) \| \Delta x _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } \{ c _ { 1 } ( \beta ) , c _ { 2 } ( \beta ) \} \Big [ \| \Delta x _ { k + 1 } \| ^ { 2 } + \| \Delta x _ { k } \| ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\mathrm { d } _ { \chi } f ( 0 , \chi _ { 0 } ) = - \mathrm { a d } _ { M _ { 0 } } : \mathrm { I m } _ { \mathbb { R } } \, \mathrm { a d } _ { M _ { 0 } } \to \mathrm { I m } _ { \mathbb { R } } \, \mathrm { a d } _ { M _ { 0 } }
\left[ \begin{array} { l l l } { u _ { 7 } } & { u _ { 8 } } & { u _ { 9 } } \\ { u _ { 4 } } & { u _ { 5 } } & { u _ { 6 } } \\ { u _ { 1 } } & { u _ { 2 } } & { u _ { 3 } } \end{array} \right] , ~ \left[ \begin{array} { l l l } & { v _ { 8 } } & \\ { v _ { 4 } } & { v _ { 5 } } & { v _ { 6 } } \\ & { v _ { 2 } } & \end{array} \right] , ~ \mathrm { a n d ~ } \left[ \begin{array} { l l l } & { w _ { 8 } } & \\ { w _ { 4 } } & { w _ { 5 } } & { w _ { 6 } } \\ & { w _ { 2 } } & \end{array} \right] .
\forall k \in \{ 1 , 2 \} , \quad \partial _ { t } z _ { k } ( t , \varphi ) \cdot \big ( J \partial _ { \varphi } z _ { k } ( t , \varphi ) \big ) = \partial _ { \varphi } \Big ( \Psi \big ( t , z _ { k } ( t , \varphi ) \big ) \Big ) .
- \frac { \delta \Gamma } { \delta V ^ { ( 2 ) } ( \phi ) } = C _ { ( n ) } \sum _ { l \, = \, 0 } ^ { \infty } g ^ { 2 ( l + 1 ) } \int d ^ { n } p \left[ \frac { 1 } { 2 p \cdot \partial } \, \partial ^ { \mu } V ^ { ( 2 ) } ( \phi ) \, \frac { \partial } { \partial p ^ { \mu } } \right] ^ { l } \, f _ { 0 } ( p ) \, ,
\exp \left( \frac { y } { 2 } \frac { \partial } { \partial _ { x _ { 0 } } } - \sum _ { k } \frac { y } { 2 } X _ { 0 , 2 k + 1 } \frac { \partial } { \partial _ { x _ { 2 k + 1 } } } \right) | \Omega \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } x ^ { ( 1 ) } } { d \xi ^ { 2 } } } & { { } = - x ^ { ( 1 ) } - \frac { \left( x ^ { ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } , } \\ { x ^ { ( 1 ) } ( 0 ) } & { { } = 0 , } \\ { \left. \frac { d x ^ { ( 1 ) } } { d \xi } \right| _ { \xi = 0 } } & { { } = \mp \frac { \pi | \lambda | } { 2 } x _ { 0 } ( 1 \pm x _ { 0 } ) \exp ( \mp x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Gamma _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \sqrt { f } , \mu ) \geqslant \mathbf { 1 } _ { m \in ( 1 , 2 ) } m \left[ \delta _ { N } \Gamma _ { N } ^ { ( 0 ) } ( \sqrt { f } , \mu ) + \frac { m - 1 } { 2 } \Gamma _ { N } ^ { ( 1 ) } ( \sqrt { f } , \mu ) \right] + \mathbf { 1 } _ { m \in ( 0 , 1 ) } \Gamma _ { N } ^ { ( 0 ) } ( \sqrt { f } , \mu ) . } \end{array}
q _ { c } ^ { 2 } ( z | \omega , \Delta _ { \omega } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } z \leq \omega } \\ { \frac { z } { 2 } ( - \operatorname { t a n h } ( \frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } ) + 1 ) ; x = 2 \frac { z - \omega - 0 . 5 \Delta _ { \omega } } { \Delta _ { \omega } } } & { \mathrm { i f ~ } \omega < z < \omega + \Delta _ { \omega } } \\ { z , } & { \mathrm { i f ~ } z \geq \omega + \Delta _ { \omega } } \end{array} \right. \mathrm { , }
\begin{array} { r } { | \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , w - y ) - \nabla ^ { k } p _ { \alpha } ( t - u , z - y ) | \leq \left( 2 \frac { | w - z | } { ( t - u ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } } \right) ^ { \zeta } \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , y - z ) } { ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } + \frac { \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , w - y ) } { ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } . } \end{array}
\mathbf { \widetilde { \Gamma } } = \gamma ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { \mathfrak { A } } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathfrak { B } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { 0 } \end{array} \right] ,
\overline { { \Omega } } ( t , \theta , \varphi ) = \omega _ { N } \mathbf { 1 } _ { 0 < \theta < \theta _ { 1 } + f _ { 1 } ( t , \varphi ) } + \omega _ { C } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { 1 } + f _ { 1 } ( t , \varphi ) \leqslant \theta < \theta _ { 2 } + f _ { 2 } ( t , \varphi ) } + \omega _ { S } \mathbf { 1 } _ { \theta _ { 2 } + f _ { 2 } ( t , \varphi ) \leqslant \theta < \pi } ,
S _ { \mathrm { r e s } } ( M ^ { 2 } , z ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \mathrm { d } \tau \, \widehat w ( \tau , z ) \, { \frac { \alpha _ { s } ( \tau e ^ { C } M ^ { 2 } ) } { 4 \pi } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \Bigg ( { \frac { \alpha _ { s } ^ { \mathrm { R } } ( \mu ^ { 2 } ) } { 4 \pi } } \Bigg ) ^ { n } \, c _ { n } ^ { \mathrm { R } } ( \mu , M , z ) \, \beta _ { 0 } ^ { n - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \widetilde { M } ( \omega ) } & { = \frac { 2 m ( k _ { c } ^ { 2 } - k k _ { t } + I _ { m } k \omega ^ { 2 } ) } { k _ { c } ^ { 2 } - ( k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( k - m \omega ^ { 2 } ) } \, , } \\ { \widetilde { J } ( \omega ) } & { = \frac { 2 I _ { m } k _ { c } m \omega ^ { 2 } } { k _ { c } ^ { 2 } - ( k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( k - m \omega ^ { 2 } ) } \, , } \\ { \widetilde { I } ( \omega ) } & { = \frac { 2 I _ { m } ( k _ { c } ^ { 2 } - k k _ { t } + m k _ { t } \omega ^ { 2 } ) } { k _ { c } ^ { 2 } - ( k _ { t } - I _ { m } \omega ^ { 2 } ) ( k - m \omega ^ { 2 } ) } \, . } \end{array}
{ \widetilde C } = - \frac { 2 b _ { 1 } } { \tilde { a } } \Bigg [ \left( \frac { { \tilde { a } } ^ { \prime } } { { \tilde { a } } } \right) ^ { \prime \prime } - 2 \left( 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } } \right) \left( \frac { { \tilde { a } } ^ { \prime } } { { \tilde { a } } } \right) ^ { 3 } \Bigg ] ^ { \prime }
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } - \tilde { \textbf { u } } ^ { n } } { \Delta t } - \nu \Delta \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } = \textbf { f } ^ { n + 1 } - ( \textbf { u } ^ { n } \cdot \nabla ) \textbf { u } ^ { n } - \nabla p ^ { n } , \ \ \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } | _ { \partial \Omega } = 0 ; } \\ & { } & { \frac { R ^ { n + 1 } - R ^ { n } } { \Delta t } = \frac { R ^ { n + 1 } } { E ( \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } ) + K _ { 0 } } \left( - \nu \| \nabla \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + ( \textbf { f } ^ { n + 1 } , \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } ) \right) ; } \\ & { } & { \xi ^ { n + 1 } = \frac { R ^ { n + 1 } } { E ( \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } ) + K _ { 0 } } , \ \eta ^ { n + 1 } = 1 - ( 1 - \xi ^ { n + 1 } ) ^ { 2 } , \ \textbf { u } ^ { n + 1 } = \eta ^ { n + 1 } \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } ; } \\ & { } & { ( \nabla p ^ { n + 1 } , \nabla q ) = \left( \textbf { f } ^ { n + 1 } - ( \textbf { u } ^ { n + 1 } \cdot \nabla ) \textbf { u } ^ { n + 1 } - \nu \nabla \times \nabla \times \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } , \nabla q ) \right) , \ \forall q \in H ^ { 1 } ( \Omega ) . } \end{array}
L H S = \int d z \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \rho d \varphi P \stackrel { d z = u n i t } { = } \frac { \eta ^ { 2 } k ^ { 2 } \rho } { 1 6 } \frac { 2 } { \pi k \rho } | e ^ { - j k \rho - j \frac { \pi } { 4 } } | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \left| I _ { 1 } e ^ { - j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } } + I _ { 2 } e ^ { j \frac { k d \cos ( \varphi ) } { 2 } } \right| ^ { 2 }