harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left[ X _ { 1 } , X _ { 2 } \right] = v \sin \theta \frac { \partial } { \partial { x } } } & { - v \cos \theta \frac { \partial } { \partial { y } } = : X _ { 4 } , \quad \quad \left[ X _ { 3 } , X _ { 1 } \right] = \frac { \partial } { \partial { v } } = : X _ { 5 } , } \\ & { \left[ X _ { 5 } , X _ { 1 } \right] = \cos \theta \frac { \partial } { \partial { x } } + \sin \theta \frac { \partial } { \partial { y } } = : X _ { 6 } , } \end{array}
A = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 4 } & { 5 } & { 6 } \\ { 7 } & { 8 } & { 9 } \end{array} \right] } , \quad G = { \left[ \begin{array} { l l l } { - { \frac { 5 } { 3 } } } & { { \frac { 2 } { 3 } } } & { 0 } \\ { { \frac { 4 } { 3 } } } & { - { \frac { 1 } { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { { 2 } } & { \mathrm { ( i ) : ~ } L ^ { 2 } \Lambda ^ { k } } & { = \mathfrak { B } ^ { k } \oplus \mathring { \mathfrak { B } } ^ { \ast k } \oplus \mathfrak { H } ^ { k } , } \\ & { \mathrm { ( i i ) : ~ } L ^ { 2 } \Lambda ^ { k } } & { = \mathring { \mathfrak { B } } ^ { k } \oplus \mathfrak { B } ^ { \ast k } \oplus \mathring { \mathfrak { H } } ^ { k } . } \end{array}
U _ { n o n p o l } ( \phi ) = - { \frac { e ^ { 3 } T } { 1 2 \pi } } ( { \frac { 1 } { 3 } } T ^ { 2 } + \phi ^ { * } \phi ) ^ { 3 / 2 } + { \frac { e ^ { 3 } \Lambda T ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 3 } } } ( { \frac { 1 } { 3 } } T ^ { 2 } + \phi ^ { * } \phi ) ^ { 1 / 2 } .
I ( { \bf r } _ { \parallel } ) \approx \left| \it U _ { \mathrm { s } } ( { \bf r } _ { \parallel } ) + e ^ { i { \bf k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { r e f } } \cdot { \bf r } _ { \parallel } } \right| ^ { 2 } + \left| U _ { \mathrm { s } } ^ { \perp } ( { \bf r } _ { \parallel } ) \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { L _ { p } = \frac { \delta ^ { 2 } } { N ( \Omega _ { p } ) } \sum _ { j \in \Omega _ { p } } } & { { } \left( \lambda _ { u } U _ { 0 } ^ { - 4 } f _ { u } + \lambda _ { T } T _ { 0 } ^ { - 2 } U _ { 0 } ^ { - 2 } f _ { T } + \right. } \end{array}
\boldsymbol { R _ { u } ^ { B , t } } = \left( \boldsymbol { L _ { B } ^ { t } } \right) ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \left( \boldsymbol { L _ { c } ^ { t } } \right) ^ { - 1 } } & { \left( \boldsymbol { L _ { c } ^ { t } } \right) ^ { - 1 } \left( \mathrm { i } k _ { x } \boldsymbol { \partial _ { y } \nu _ { t } } - \boldsymbol { \partial _ { y } } \boldsymbol { U } \right) \left( \boldsymbol { L _ { e } ^ { t } } - \boldsymbol { E _ { e } } \right) ^ { - 1 } } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \left( \boldsymbol { L _ { e } ^ { t } } - \boldsymbol { E _ { e } } \right) ^ { - 1 } } & { \boldsymbol { 0 } } \\ { \boldsymbol { 0 } } & { \left( \boldsymbol { L _ { c } ^ { t } } \right) ^ { - 1 } \left( \mathrm { i } k _ { z } \boldsymbol { \partial _ { y } \nu _ { t } } \right) \left( \boldsymbol { L _ { e } ^ { t } } - \boldsymbol { E _ { e } } \right) ^ { - 1 } } & { \left( \boldsymbol { L _ { c } ^ { t } } \right) ^ { - 1 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { { } = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ 0 , \infty ) } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { 0 } } & { { } = - \frac { \omega } { 2 D } } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { x \rightarrow \infty } } & { { } = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { { } = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ 0 , \infty ) } \end{array}
e ^ { - \frac { t _ { s } } { \tau } } \Bigg ( B \frac { t _ { s } } { \tau } + C \Bigg ) = \alpha \Bigg [ e ^ { - \frac { T _ { p e a k } } { \tau } } \Bigg ( B \frac { T _ { p e a k } } { \tau } + C \Bigg ) \Bigg ] ~ ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { \mathrm { t } } \left( n _ { \mathrm { { e } } } m _ { \mathrm { { e } } } \right) + \partial _ { \mathrm { x } } \left( n _ { \mathrm { { e } } } m _ { \mathrm { { e } } } v _ { \mathrm { { e } } } \right) = } & { { } 0 } \\ { \partial _ { \mathrm { t } } \left( n _ { \mathrm { { i } } } m _ { \mathrm { { i } } } \right) + \partial _ { \mathrm { x } } \left( n _ { \mathrm { { i } } } m _ { \mathrm { { i } } } v _ { \mathrm { { i } } } \right) = } & { { } 0 } \end{array}
\mathrm { R } _ { m } [ u ] \sim \frac { \ell _ { m } u _ { 0 } } { \nu } \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { h } = \mathrm { R } \, \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { 1 + h } \ \ \textrm { w i t h p r o b a b i l i t y } \ \ P \sim \left( \frac { \ell _ { m } } { \ell _ { 0 } } \right) ^ { J ( h ) } ,
\begin{array} { r l } { \langle j _ { \textrm { C } } ^ { y } ( t ) \rangle } & { = \frac { - i } { N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { C } ) y } ( \mathbf { k } , t ) G _ { b \sigma a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ) , } \\ { \langle j _ { \textrm { S } } ^ { y } ( t ) \rangle } & { = \frac { - i } { N } \sum _ { \mathbf { k } } \sum _ { a , b } \sum _ { \sigma } v _ { a b \sigma } ^ { ( \textrm { S } ) y } ( \mathbf { k } , t ) G _ { b \sigma a \sigma } ^ { < } ( \mathbf { k } ; t , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \omega _ { n - 1 } \mathcal { V } _ { n - 1 } ( \Sigma ) } & { = 2 \int _ { q \in \Sigma } \omega _ { n - 1 } d \Sigma _ { q } = \int _ { q \in \Sigma } \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } | \cos \phi _ { p , q } | d S _ { p } d \Sigma _ { q } } \\ & { = \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \int _ { q \in \Sigma } | \cos \phi _ { p , q } | d \Sigma _ { q } d S _ { p } } \\ & { = \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } 2 \mathcal { V } _ { n - 1 } ( \Sigma | n ( p ) ^ { \perp } ) \ d S _ { p } } \\ & { = \int _ { p \in \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \int _ { \ell \perp \ell _ { p } ^ { \perp } } \# ( \ell \cap \Sigma ) d \ell _ { u } ^ { \perp } d S _ { q } } \\ & { = \int _ { \ell \in \mathcal { L } } \# ( \ell \cap \Sigma ) d \ell . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial t } \varphi C ^ { \prime } + \frac { 1 } { R } { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \Big ( { \boldsymbol { q } } C ^ { \prime } - \varphi D { \boldsymbol { \nabla } } ( C ^ { \prime } ) \Big ) = 0 .
\Gamma = 0 . 7 5 \exp \left[ - 1 . 2 / ( u _ { \Delta } ^ { \prime } / s _ { L } ^ { 0 } ( \widetilde { h } , \widetilde { Z } ) ) ^ { 0 . 3 } \right] ( \hat { \Delta } / \delta _ { L } ^ { 0 } ( \widetilde { h } , \widetilde { Z } ) ) ^ { 2 / 3 }
\operatorname* { m i n } _ { \tilde { q } } { \alpha \tilde { q } ^ { - 2 } I _ { 2 } } = - \frac { ( 1 + \mathrm { ~ D ~ a ~ } ) ^ { 2 } } { 4 } + \mathrm { ~ D ~ a ~ } \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } ^ { \prime } .
j _ { 0 } ^ { \mu , m n } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, \zeta \; \epsilon ^ { \mu \nu m n } a _ { \nu } \frac { ( v _ { b } ^ { 2 } - v _ { a } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { v _ { a } ^ { 2 } } ,
T _ { r e f } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { 1 6 } ( t _ { i } - t c o r _ { i } - t 0 ) / \sigma _ { i } ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { 1 6 } 1 / \sigma _ { i } ^ { 2 } }
\hat { \Theta } _ { \Delta } ^ { i } [ N ] = - \frac { 2 } { 3 ! } \frac { 1 } { i \hbar } \; N ( v ( \Delta ) ) \; \epsilon ^ { J K L } { \hat { \Phi } } ^ { E } ( F _ { J K } ) \, t r \left( \tau ^ { i } \; h _ { s _ { L } ( \Delta ) } \left[ h _ { s _ { L } ( \Delta ) } ^ { - 1 } , \; \sqrt { \hat { V } ( v ( \Delta ) , \epsilon ) } \right] \right)
\begin{array} { r l } { \tau } & { { } = ( \tau _ { \mathrm { c o n v } } ^ { - 2 } + \tau _ { \mathrm { d i f f } } ^ { - 2 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \\ { \tau _ { \mathrm { c o n v } } ^ { - 1 } } & { { } = \frac { 2 a } { h } , } \\ { \tau _ { \mathrm { d i f f } } ^ { - 1 } } & { { } = \frac { 1 2 \kappa } { h ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { 1 } = - 2 \left( b _ { 0 } + \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) - \frac { 2 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) = a \left[ 2 \left( 1 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \right) - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \right] = a \left( 2 - \frac { 3 \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \right) } \\ & { g _ { 2 } = 2 \left( 1 - \frac { 2 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) = b \left[ 2 \left( 1 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \right) + \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \right] = b \left( 2 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \right) } \\ & { g _ { 3 } = - \frac { 4 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left( \frac { b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) \right) = - a ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \right) } \\ & { g _ { 4 } = \frac { 4 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left( \frac { 2 b _ { 0 } ^ { 2 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } - \mathrm { R e } ( b _ { 1 } ) - b _ { 0 } \right) = - c } \\ & { g _ { 5 } = \frac { 4 b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \left( 1 - \frac { b _ { 0 } } { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } \right) = - b ^ { 2 } \left( 1 - \frac { \mathrm { R e } ( b _ { 2 } ) } { 2 b _ { 0 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a } & { : } & { = - \frac { 2 m _ { \beta } \chi + \left( 3 m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) q } { 2 \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) } \mathrm { , ~ } b : = \frac { \left( m _ { \alpha } - m _ { \beta } \right) q - 2 m _ { \beta } \chi } { 2 \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) } \mathrm { , ~ a n d ~ } } \\ { c ^ { 2 } } & { : } & { = \frac { \left( m _ { \alpha } - m _ { \beta } \right) ^ { 2 } } { 4 \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) ^ { 2 } } \frac { m _ { \alpha } } { m _ { \beta } } q ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } P _ { N } = } & { - } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Big \{ v _ { 0 } \, ( \hat { n } _ { i } \cdot \vec { \nabla } _ { i } ) \, P _ { N } + \partial _ { \theta _ { i } } \, \Big ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \Big [ { \frac { \Gamma } { N _ { i } ^ { \beta } } } a _ { j i } \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \Big ] P _ { N } \Big ) \Big \} } \end{array}
J _ { \alpha } ^ { \mu { \mathbf i } } = 1 9 2 \left[ - 3 i \sigma _ { \alpha \dot { \alpha } } ^ { \mu } { \bar { D } } _ { \mathbf j } ^ { \dot { \alpha } } D ^ { { \mathbf i } { \mathbf j } } T - 3 i { \bar { \sigma } } ^ { \mu \dot { \alpha } \beta } { \bar { D } } _ { \dot { \alpha } } ^ { \mathbf i } D _ { \alpha \beta } T - 1 2 \partial ^ { \mu } D _ { \alpha } ^ { \mathbf i } T + a \sigma _ { \alpha } ^ { \mu \nu \, \beta } \partial _ { \nu } D _ { \beta } ^ { \mathbf i } T \right] | \ .
\operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { Y } } = \operatorname { C o v } [ \mathbf { X } , \mathbf { Y } ] = \operatorname { E } [ ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ( \mathbf { Y } - \operatorname { E } [ \mathbf { Y } ] ) ^ { T } ] = \operatorname { E } [ \mathbf { X } \mathbf { Y } ^ { T } ] - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] \operatorname { E } [ \mathbf { Y } ] ^ { T }
P ( x ) = \operatorname* { P r } ( X > x ) = C \int _ { x } ^ { \infty } p ( X ) \, \mathrm { d } X = { \frac { \alpha - 1 } { x _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - \alpha + 1 } } } \int _ { x } ^ { \infty } X ^ { - \alpha } \, \mathrm { d } X = \left( { \frac { x } { x _ { \operatorname* { m i n } } } } \right) ^ { - \alpha + 1 } .
\begin{array} { r l } & { 1 - g z _ { 1 } ^ { 2 } - \rho _ { 0 } + \frac { b } { \rho _ { 0 } } \tau H ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) = 0 } \\ & { 1 - g z _ { 2 } ^ { 2 } - \rho _ { 0 } + \frac { a } { \rho _ { 0 } } \tau H ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) = 0 } \\ & { - 2 g z _ { 1 } + \frac { a \tau } { \rho _ { 0 } } + \frac { b \tau } { \rho _ { 0 } } \cdot H ^ { \prime } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) = 0 , } \\ & { - 2 g z _ { 2 } + \frac { b \tau } { \rho _ { 0 } } + \frac { a \tau } { \rho _ { 0 } } \cdot H ^ { \prime } ( z _ { 2 } - z _ { 1 } ) = 0 . } \end{array}
\varphi ( x ) = { \varepsilon _ { h } } \left( \begin{array} { c } { \phi _ { 1 } ( x ^ { \prime } , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } ) } \\ { \phi _ { 2 } ( x ^ { \prime } , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) + { \varepsilon _ { h } } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { - x _ { 3 } \, \partial _ { x _ { 1 } } \phi _ { 3 } ( x ^ { \prime } , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } ) - \frac { x _ { 3 } } { { \varepsilon _ { h } } } \partial _ { y _ { 1 } } \phi _ { 3 } ( x ^ { \prime } , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } ) } \\ { - x _ { 3 } \, \partial _ { x _ { 2 } } \phi _ { 3 } ( x ^ { \prime } , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } ) - \frac { x _ { 3 } } { { \varepsilon _ { h } } } \partial _ { y _ { 2 } } \phi _ { 3 } ( x ^ { \prime } , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } ) } \\ { \frac { 1 } { h } \, \phi _ { 3 } ( x ^ { \prime } , \frac { x ^ { \prime } } { { \varepsilon _ { h } } } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \delta \mathcal { L } = \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi ) } \delta \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \psi + \frac { \partial \mathcal L } { \partial ( \partial _ { \mu } \psi ) } \delta \partial _ { \mu } \psi + \frac { \partial \mathcal L } { \partial \psi } \delta \psi + \frac { \partial \mathcal L } { \partial x ^ { \mu } } \delta x ^ { \mu } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } ^ { \beta } \frac { \partial G _ { 1 } ^ { \psi } } { \partial z ^ { \beta } } } & { { } = } & { \frac { B _ { 0 } } { \Omega _ { 0 } } \left[ G _ { 1 } ^ { \bf x } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \; + \; G _ { 1 } ^ { \bf x } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \nabla \left( \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, { \bf w } \right] } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \gamma _ { b } ^ { a } \left( \xi _ { i j } ^ { b } + \xi _ { j i } ^ { b } - \partial _ { i } \rho _ { j } ^ { b } - \partial _ { j } \rho _ { i } ^ { b } - \nu _ { i c } ^ { b } \rho _ { j } ^ { c } - \nu _ { j c } ^ { b } \rho _ { i } ^ { c } \right) = 0 \, \, \, .
{ \frac { d \sigma _ { R } } { d x d y d z } } = \int { \frac { 1 } { 2 \pi } } { \frac { d ^ { 3 } k } { 2 k _ { 0 } } } { \frac { d { \tilde { z } } } { d z } } d p _ { t } d \phi _ { h } \theta ( { \sin ^ { 2 } \vartheta _ { m a x } } - { \sin ^ { 2 } \vartheta } ) \theta ( { \sin ^ { 2 } \vartheta } - { \sin ^ { 2 } \vartheta _ { m i n } } ) { \frac { d \sigma } { d x d y d z d p _ { t } d \phi _ { H } } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } p _ { s h o r t } ( t ) } & { = 1 } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m ) d t + \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } Z _ { 3 } ^ { - 1 } p ( t , m = 0 ) d t } \\ & { = ( 1 - S ( t _ { e n d } , m ) ) + Z _ { 3 } ^ { - 1 } \bigg ( \int _ { 0 } ^ { \infty } p ( t , m = 0 ) d t - \int _ { 0 } ^ { t _ { e n d } } p ( t , m = 0 ) d t \bigg ) } \\ & { = ( 1 - S ( t _ { e n d } , m ) ) + Z _ { 3 } ^ { - 1 } \bigg ( 1 - ( 1 - S ( t _ { e n d } , m = 0 ) \bigg ) } \\ { \implies ( 1 - S ( t _ { e n d } , m ) ) + Z _ { 3 } ^ { - 1 } S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } & { = 1 } \\ { \implies Z _ { 3 } ^ { - 1 } } & { = \frac { S ( t _ { e n d } , m ) } { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ | ( u _ { a } - u _ { 0 } ) ( \cdot , z ) \cdot z ^ { - \mu _ { 1 } } - a \psi _ { 1 } | } \\ { = } & { \ | ( w _ { a } - w _ { 0 } ) ( \cdot , z ) \cdot z ^ { - \mu _ { 1 } } - a \psi _ { 1 } | + | ( u _ { 0 } - w _ { 0 } ) ( \cdot , z ) ) \cdot z ^ { - \mu _ { 1 } } | + | ( u _ { a } - w _ { a } ) ( \cdot , z ) ) \cdot z ^ { - \mu _ { 1 } } | \to 0 . } \end{array}
\frac { d \Delta n _ { \Omega } } { d F _ { D C } } = \Gamma \frac { 3 \chi ^ { ( 3 ) } } { n _ { s i } } F _ { R F } + \Gamma \frac { 3 \chi ^ { ( 3 ) } } { n _ { s i } } F _ { D C } \frac { d F _ { R F } } { d F _ { D C } } + \frac { d \Delta n _ { c a r r i e r } } { d F _ { D C } }
\begin{array} { r l } { S } & { = \sum _ { i } \left[ f _ { ( 0 0 0 ) } ^ { \mathrm { e x p } } ( t _ { i } ) - f _ { ( 0 0 0 ) } ( t _ { i } ) \right] ^ { 2 } + \sum _ { i } \left[ f _ { ( 0 1 0 ) } ^ { \mathrm { e x p } } ( t _ { i } ) - f _ { ( 0 1 0 ) } ( t _ { i } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + \sum _ { i } \left[ f _ { ( 1 0 0 ) } ^ { \mathrm { e x p } } ( t _ { i } ) - f _ { ( 1 0 0 ) } ( t _ { i } ) \right] ^ { 2 } , } \end{array}
f _ { 0 } = - \frac { 3 } { 2 } z ( 1 - z ^ { 2 } ) , \; f _ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } ( 1 - z ^ { 2 } ) , \; f _ { 2 } = \frac { 9 } { 4 } z ^ { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { 3 } z ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 1 .
\frac { \partial } { \partial t ^ { * } } \nabla ^ { * 2 } \psi ^ { * } + \frac { \partial ( \psi ^ { * } , \nabla ^ { * 2 } \psi ^ { * } ) } { \partial ( x ^ { * } , z ^ { * } ) } - \sigma \nabla ^ { * 4 } \psi ^ { * } - \sigma \frac { \partial \theta ^ { * } } { \partial z ^ { * } } = 0 ,
\left( { \frac { p } { 5 } } \right) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \textrm { i f } } \; p \equiv \pm 1 { \pmod { 5 } } } \\ { - 1 } & { { \textrm { i f } } \; p \equiv \pm 2 { \pmod { 5 } } . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { T ^ { \mathrm { S } } ( x , t ) } & { = T _ { o } + A ( \lambda ( t ) ) \, \mathrm { e r f } \left( \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { S } } t } } \right) , } \\ { T ^ { \mathrm { L } } ( x , t ) } & { = T _ { i } + B ( \lambda ( t ) ) \, \mathrm { e r f c } \left( \frac { x } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { L } } t } } - \frac { s ( t ) } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \mathrm { L } } t } } ( 1 - R _ { \rho } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \gamma } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \left( f ( x ^ { k } ) - f ( x ^ { * } ) \right) } & { \leq } & { \frac { 1 } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \left( \| x ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - \| x ^ { k + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } \right) - \frac { 2 \gamma } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \langle x ^ { k } - x ^ { * } - \gamma \nabla f ( x ^ { k } ) , \theta _ { k } \rangle } \\ & { } & { \quad + \frac { \gamma ^ { 2 } } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \| \theta _ { k } \| ^ { 2 } } \\ & { = } & { \frac { \| x ^ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } - \| x ^ { K + 1 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { K + 1 } - \frac { 2 \gamma } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \langle x ^ { k } - x ^ { * } - \gamma \nabla f ( x ^ { k } ) , \theta _ { k } \rangle } \\ & { } & { \quad + \frac { \gamma ^ { 2 } } { K + 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { K } \| \theta _ { k } \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) } & { = \frac { \Delta \Omega } { 4 \pi } \exp \left\{ - \gamma ( \boldsymbol { r } _ { 0 } , \boldsymbol { r } _ { 1 } , E _ { 0 } ^ { w } ) - \ldots - \gamma ( \boldsymbol { r } _ { n } , \boldsymbol { r } _ { d } , E _ { n } ^ { w } ) \right\} } \\ & { \times t ( \boldsymbol { r } _ { n } , \boldsymbol { \theta } _ { k _ { n } } ) \prod _ { m = 1 } ^ { n } \Delta _ { q _ { m } } ( \mathbb { S } _ { \boldsymbol { r } _ { m - 1 } , k _ { m - 1 } } ) } \\ & { \times \prod _ { m = 1 } ^ { n } K ( \boldsymbol { \theta } _ { k _ { m - 1 } } , \boldsymbol { \theta } _ { k _ { m } } , E _ { m - 1 } ^ { w } | \boldsymbol { r } _ { m } ) , } \end{array}
\dot { \boldsymbol { P } } = \dot { \xi } \boldsymbol { P } ^ { \prime } , \qquad \dot { \boldsymbol { L } } = l \dot { \phi } \boldsymbol { e } _ { \phi } + \dot { \boldsymbol { P } } , \qquad \dot { \boldsymbol { R } } = r \, \dot { \phi } \boldsymbol { e } _ { \phi } + \dot { \boldsymbol { P } } ,
H _ { y } ( k _ { y } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 J _ { 1 } \cos k _ { y } \tau _ { x } } & { t \in [ \ell T , \ell T + T / 2 ) } \\ { 2 ( \mu + J _ { 2 } \sin k _ { y } ) \tau _ { z } } & { t \in [ \ell T + T / 2 , \ell T + T ) } \end{array} \right. .
L _ { [ 0 , T ] } ^ { 1 } H _ { 0 , x } ^ { [ 0 , 2 ) } \cap L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } H _ { 0 , x } ^ { [ 0 , 1 ) } \cap L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } L _ { x } ^ { [ 1 , 6 ) }
\frac { Z _ { n } ^ { ( N _ { f } + 1 ) } ( M , M _ { N _ { f } + 1 } ) } { C _ { n } ^ { ( N _ { f } + 1 ) } ( M , M _ { N _ { f } + 1 } ) } \ = \ \frac { Z _ { n } ^ { ( N _ { f } ) } ( M ) } { C _ { n } ^ { ( N _ { f } ) } ( M ) } \, \frac { ( n + N _ { f } ) ! } { ( N \Sigma ^ { 2 } ) ^ { n + N _ { f } } } \, \frac { 1 } { \prod _ { f = 1 } ^ { N _ { f } } ( M _ { f } ^ { 2 } - M _ { N _ { f } + 1 } ^ { 2 } ) }
x _ { t - 1 } = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha _ { t } } } \left( x _ { t } - \frac { 1 - \alpha _ { t } } { \sqrt { 1 - \hat { \alpha } _ { t } } } \epsilon _ { \theta } ( x _ { t } , t / T , y ) \right) + \sqrt { \sigma _ { t } } z
\langle H _ { t } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { v \cos \beta } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \; \; \; \; \; , \; \; \; \; \; \; \langle H _ { \chi } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { v \sin \beta } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ~ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } ( \mu _ { k \eta } , \Bar { \nu } _ { k \eta } ^ { r } ) + \mathcal { W } _ { 2 } ( \Bar { \pi } ^ { r } , \pi ) } & { \le C _ { 1 } \left( \operatorname* { m a x } \left\{ x ^ { \frac { 1 } { 2 } } , x ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right\} + \operatorname* { m a x } \left\{ y ^ { \frac { 1 } { 2 } } , y ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right\} \right) } \\ & { \le C _ { 1 } \left( 2 \left( x + y \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + 2 \left( x + y \right) ^ { \frac { 1 } { 4 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \bf ~ A } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { \Omega \epsilon _ { 0 } } } \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } } \left( \mathrm { \bf ~ q } _ { \mathrm { \bf ~ k } } \sin ( \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } ) + \frac { 1 } { c k } \mathrm { \bf ~ p } _ { \mathrm { \bf ~ k } } \cos ( \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } ) \right) } \\ { \mathrm { \bf ~ E } ( \mathrm { \bf ~ r } ) } & { = } & { - \frac { 1 } { \sqrt { \Omega } \epsilon _ { 0 } } \sum _ { \mathrm { \bf ~ k } } \left( \mathrm { \bf ~ p } _ { \mathrm { \bf ~ k } } \sin ( \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } ) - c k \, \mathrm { \bf ~ q } _ { \mathrm { \bf ~ k } } \cos ( \mathrm { \bf ~ k } \cdot \mathrm { \bf ~ r } ) \right) } \end{array}
\mathbf { J } _ { m k k } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) = 2 \left( \sigma ^ { r } \right) ^ { - 2 } \left[ \begin{array} { c c } { \left( \mathbf { J } _ { m k k } ^ { o } \right) _ { 1 1 } } & { \left( \mathbf { J } _ { m k k } ^ { o } \right) _ { 1 2 } } \\ { \left( \mathbf { J } _ { m k k } ^ { o } \right) _ { 1 2 } ^ { T } } & { \left( \mathbf { J } _ { m k k } ^ { o } \right) _ { 2 2 } } \end{array} \right] ,
\phi _ { R } \rightarrow B ^ { \prime } e ^ { - \gamma a x } e ^ { \gamma a L } \frac { \Gamma ( 2 \gamma ) \Gamma ( 1 + 2 \sigma ) } { \Gamma ( 1 + \gamma + \sigma + \lambda ) \Gamma ( \gamma + \sigma - \lambda ) } + B ^ { \prime } e ^ { \gamma a x } e ^ { - \gamma a L } \frac { \Gamma ( - 2 \gamma ) \Gamma ( 1 + 2 \sigma ) } { \Gamma ( 1 - \gamma + \sigma - \lambda ) \Gamma ( - \gamma + \sigma - \lambda ) }
\begin{array} { r l } { d X ( s ) = } & { \ \biggl ( b ( s , \alpha ( s ) ) X ( s ) + \bar { b } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) X ( s - \delta ) \biggr ) d s } \\ & { + \biggl ( X ( s ) \sigma ( s , \alpha ( s ) ) + X ( s - \delta ) \bar { \sigma } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) \biggr ) d W ( s ) } \\ & { + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \biggl ( X ( s - ) \eta ( s , \alpha ( s - ) , z ) } \\ & { + X ( ( s - \delta ) - ) \bar { \eta } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) , z ) \biggr ) \tilde { N } ( d t , d z ) } \\ & { + \biggl ( X ( s - ) \gamma ( s , \alpha ( s - ) ) + X ( ( s - \delta ) - ) \bar { \gamma } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) ) \biggr ) d \tilde { \Phi } ( t ) , } \\ { s \in } & { [ t + \delta , T + \delta ] , } \\ { X ( s ) = } & { \ \kappa ( s ) , \qquad s \in [ t , t + \delta ] . } \end{array}