harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Delta \pi } & { = } & { \pi _ { S } - \pi _ { O } } \\ & { = } & { \left[ \frac { M } { 2 } \left( \frac { e ^ { E / \kappa _ { 1 } } } { n _ { s _ { 1 } } e ^ { E / \kappa _ { 1 } } + n _ { 0 } e ^ { E / ( 2 \kappa _ { 1 } ) } } + \frac { 1 } { n _ { s _ { 2 } } e ^ { E / \kappa _ { 1 } } + n _ { 0 } e ^ { E / ( 2 \kappa _ { 1 } ) } } \right) - E \right] } \\ & { } & { - \left[ \frac { M } { 2 } \left( \frac { e ^ { E / ( 2 \kappa _ { 1 } ) } } { n _ { s _ { 1 } } e ^ { E / \kappa _ { 1 } } + n _ { 0 } e ^ { E / ( 2 \kappa _ { 1 } ) } } + \frac { e ^ { E / ( 2 \kappa _ { 1 } ) } } { n _ { s _ { 2 } } e ^ { E / \kappa _ { 1 } } + n _ { 0 } e ^ { E / ( 2 \kappa _ { 1 } ) } } \right) - E \right] } \\ & { = } & { \frac { M } { 2 } ( x - 1 ) \left[ \frac { 1 } { n _ { s _ { 1 } } x + n _ { 0 } } - \frac { 1 } { x ( n _ { s _ { 2 } } x + n _ { 0 } ) } \right] } \\ & { \approx } & { \frac { M } { 2 } \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { x ( n _ { s _ { 1 } } x + n _ { 0 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { x } ^ { * } ( t ) } & { = D \left( N _ { 0 } - x ^ { * } \right) - \frac { b } { a } x ^ { * } y ^ { * } + \sigma _ { 1 } \theta _ { 1 } ^ { * } } \\ { \dot { y } ^ { * } ( t ) } & { = \alpha \frac { b } { a } x ^ { * } y ^ { * } - \frac { c y ^ { * } } { 1 + d y ^ { * } } z ^ { * } - D _ { 1 } y ^ { * } + \sigma _ { 2 } \theta _ { 2 } ^ { * } } \\ { \dot { z } ^ { * } ( t ) } & { = \beta \frac { c y ^ { * } } { 1 + d y ^ { * } } z ^ { * } - D _ { 2 } z ^ { * } + \sigma _ { 3 } \theta _ { 3 } ^ { * } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l } { \phi _ { 1 } } & { \phi _ { 2 } } & { \phi _ { 3 } } \\ { \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial \varepsilon } } & { \frac { \partial \phi _ { 2 } } { \partial \varepsilon } } & { \frac { \partial \phi _ { 3 } } { \partial \varepsilon } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 1 } } { \partial \varepsilon \partial u } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 2 } } { \partial \varepsilon \partial u } } & { \frac { \partial ^ { 2 } \phi _ { 3 } } { \partial \varepsilon \partial u } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { - 1 } \\ { g _ { 1 1 } } & { 2 g _ { 0 2 } } & { 0 } \\ { - 2 g _ { 2 0 } } & { - g _ { 1 1 } } & { 0 } \end{array} \right) .
( \hat { g } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) , \hat { A } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) = ( 2 G _ { g _ { b } } \delta _ { g _ { b } } ^ { * } \hat { \omega } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) , \ 4 \widetilde { \mathcal { L } } _ { A _ { b _ { 0 } } } ( \hat { \omega } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) ) ^ { \sharp } + d \hat { \phi } _ { b , s _ { 1 } } ^ { * } ( \mathsf { S } ) )
\begin{array} { r l } { \pi _ { 0 } = } & { ( 1 - p ) \pi _ { 0 } + p \sum _ { i = 1 } ^ { \tau - 1 } \pi _ { i } + \sum _ { i = \tau } ^ { \infty } P _ { i , 0 } ( 1 ) \pi _ { i } } \\ { = } & { ( 1 - p ) \pi _ { 0 } + p \sum _ { i = 1 } ^ { \tau - 1 } \pi _ { i } + P _ { 1 , 0 } ( 1 ) \sum _ { i = \tau } ^ { \infty } \pi _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( L _ { \downarrow } ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \omega ^ { ( + ) } = ( B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \omega , \ \ ( L _ { \uparrow } ^ { k - 1 } ) ^ { \dagger } \omega ^ { ( - ) } = ( D ^ { k - 1 } ) ^ { \dagger } \omega \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { J } ^ { \mathrm { G R } } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l } { 1 + e ^ { - 2 i \delta \phi } } & { 1 - e ^ { - 2 i \delta \phi } } \\ { 1 - e ^ { - 2 i \delta \phi } } & { 1 + e ^ { - 2 i \delta \phi } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } = } & { - x _ { 1 } + \widetilde { \beta } _ { 2 } ( 1 - x _ { 1 } ) [ \rho ( 1 + r _ { 2 } \epsilon _ { 2 } ) x _ { 1 } + ( 1 - \rho ) ( 1 - \epsilon _ { 2 } ) x _ { 2 } ] } \\ & { + \widetilde { \beta } _ { 3 } ( 1 - x _ { 1 } ) [ \rho ^ { 2 } ( 1 + r _ { 3 } \epsilon _ { 3 } ) x _ { 1 } ^ { 2 } + 2 \rho ( 1 - \rho ) ( 1 - \epsilon _ { 3 } ) x _ { 1 } x _ { 2 } + ( 1 - \rho ) ^ { 2 } ( 1 - \epsilon _ { 3 } ) x _ { 2 } ^ { 2 } ] , } \\ { \frac { d x _ { 2 } } { d t } = } & { - x _ { 2 } + \widetilde { \beta } _ { 2 } ( 1 - x _ { 2 } ) [ ( 1 - \rho ) ( 1 + r _ { 2 } \epsilon _ { 2 } ) x _ { 2 } + \rho ( 1 - \epsilon _ { 2 } ) x _ { 1 } ] } \\ & { + \widetilde { \beta } _ { 3 } ( 1 - x _ { 2 } ) [ ( 1 - \rho ) ^ { 2 } ( 1 + r _ { 3 } \epsilon _ { 3 } ) x _ { 2 } ^ { 2 } + 2 ( 1 - \rho ) \rho ( 1 - \epsilon _ { 3 } ) x _ { 2 } x _ { 1 } + \rho ^ { 2 } ( 1 - \epsilon _ { 3 } ) x _ { 1 } ^ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { \alpha } ^ { \alpha } \rangle } & { = \dots \hat { a } _ { \alpha \downarrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 1 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \\ { | T _ { \alpha } ^ { \beta } \rangle } & { = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \frac { \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \downarrow } ^ { 1 \dagger } + \hat { a } _ { \beta \downarrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 1 \dagger } } { \sqrt { 2 } } \dots | 0 \rangle , } \\ { | P _ { \alpha } \rangle } & { = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 1 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \\ { | I _ { \beta } ^ { \beta } \rangle } & { = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { \beta \downarrow } ^ { 0 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \\ { | T _ { \beta } ^ { \alpha } \rangle } & { = \dots \frac { \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \downarrow } ^ { 1 \dagger } + \hat { a } _ { \alpha \downarrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 1 \dagger } } { \sqrt { 2 } } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \\ { | P _ { \beta } \rangle } & { = \dots \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 0 \dagger } \hat { a } _ { \alpha \uparrow } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { \beta \uparrow } ^ { 0 \dagger } \dots | 0 \rangle , } \end{array}
\mathbf { J } = \left[ - \left( \frac { \partial ( \mathbf { f } + \mathbf { g } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { C } + \left( \frac { \partial ( \mathbf { f } + \mathbf { g } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { L } - \left( \frac { \partial ( \mathbf { f } + \mathbf { g } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) _ { R } \right] _ { \mathbf { q } = \Bar { \mathbf { q } } }
\Delta Q _ { B } = { \frac { N _ { F } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } } \int d t d ^ { 3 } x [ - g ^ { 2 } W _ { \mu \nu } ^ { a } { \tilde { W } } ^ { a \mu \nu } + { g ^ { \prime } } { } ^ { 2 } Y _ { \mu \nu } { \tilde { Y } } ^ { \mu \nu } ] = \Delta Q _ { C S } .
I ( x ) = \mathrm { P } \int _ { 1 } ^ { \infty } \frac { \coth ( \pi x z ) } { ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } d z = - \frac { 1 } { 2 } \oint _ { | z - 1 | = \epsilon } \frac { \coth ( \pi x z ) } { ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } d z + \int _ { 1 + \epsilon } ^ { \infty } \frac { \coth ( \pi x z ) } { ( z ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } d z .
\begin{array} { r l r } { U _ { j k } } & { = } & { - \frac { 1 } { \kappa \, \alpha } \sum _ { s = | m | } ^ { \mathrm { m i n } ( k , j ) } \sum _ { t = 0 } ^ { j + k - 2 s } ( - 1 ) ^ { j + k + t } { \binom { j + k - 2 s } { t } } } \\ & { \times } & { \sqrt { { \binom { j + m } { s + m } } } \sqrt { { \binom { j - m } { s - m } } } \sqrt { { \binom { k + m } { s + m } } } \sqrt { { \binom { k - m } { s - m } } } } \\ & { \times } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d q } { ( 1 + q ) ^ { 2 s + t + 1 } \sqrt { q ^ { 2 } + 1 / \omega ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } } \, , } \end{array}
R _ { 4 } ^ { A P A P } = \frac { R _ { 3 } ^ { 2 } \left[ 3 + ( c + b ) \right] } { R _ { 2 } \left[ 3 + ( c + b ) - A \right] } = \frac { R _ { 3 } ^ { 2 } \left[ R _ { 2 } ^ { 3 } + R _ { 1 } R _ { 2 } R _ { 3 } - 2 R _ { 1 } ^ { 3 } R _ { 3 } \right] } { R _ { 2 } \left[ 2 R _ { 2 } ^ { 3 } - R _ { 1 } ^ { 3 } R _ { 3 } - R _ { 1 } ^ { 2 } R _ { 2 } ^ { 2 } \right] }
\begin{array} { r l } { a _ { \theta } } & { { } = \frac { i \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } } { \pi } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) , } \\ { b _ { \theta } } & { { } = \frac { i \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } } { \pi } ( \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } ) , } \\ { f ( i , j ) } & { { } = J _ { 0 } ( k _ { i } r _ { j } ) - J _ { 2 } ( k _ { i } r _ { j } ) , } \\ { g ( i , j ) } & { { } = H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { i } r _ { j } ) - H _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { i } r _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { a , b } ( H _ { i , 1 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( H _ { 0 , 1 } + B _ { 0 } ) \otimes 1 + 1 \otimes H _ { 0 , 1 } + A _ { 0 } - F _ { 0 } \mathrm { ~ i f ~ } i = 0 , } \\ { ( H _ { i , 1 } + B _ { i } ) \otimes 1 + 1 \otimes H _ { 0 , 1 } + A _ { i } - F _ { i } \mathrm { ~ i f ~ } i \neq 0 , } \end{array} \right. } \\ { \Delta ^ { a , b } ( X _ { i , 1 } ^ { + } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( X _ { 0 , 1 } ^ { + } + B _ { 0 } ^ { + } ) \otimes 1 + 1 \otimes X _ { 0 , 1 } ^ { + } + A _ { 0 } ^ { + } - F _ { 0 } ^ { + } \mathrm { ~ i f ~ } i = 0 , } \\ { ( X _ { i , 1 } ^ { + } + B _ { i } ^ { + } ) \otimes 1 + 1 \otimes X _ { 0 , 1 } ^ { + } + A _ { i } ^ { + } - F _ { i } ^ { + } \mathrm { ~ i f ~ } i \neq 0 , } \end{array} \right. } \\ { \Delta ^ { a , b } ( X _ { i , 1 } ^ { - } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( X _ { 0 , 1 } ^ { - } + B _ { 0 } ^ { - } ) \otimes 1 + 1 \otimes X _ { 0 , 1 } ^ { - } + A _ { 0 } ^ { - } - F _ { 0 } ^ { - } \mathrm { ~ i f ~ } i = 0 , } \\ { ( X _ { i , 1 } ^ { - } + B _ { i } ^ { - } ) \otimes 1 + 1 \otimes X _ { 0 , 1 } ^ { - } + A _ { i } ^ { - } - F _ { i } ^ { - } \mathrm { ~ i f ~ } i \neq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \Tilde { \mathbf { v } } _ { \phi = 0 } ^ { T + L } = [ 4 \Gamma _ { 1 } ^ { + } + 8 \Gamma _ { 1 } ^ { - } , 5 R _ { 1 } ^ { + } + 7 R _ { 1 } ^ { - } , } \\ { 6 T _ { 1 } ^ { + } + 6 T _ { 1 } ^ { - } , 6 U _ { 1 } ^ { + } + 6 U _ { 1 } ^ { - } , 5 V _ { 1 } ^ { + } + 7 V _ { 1 } ^ { - } , } \\ { 6 X _ { 1 } ^ { + } + 6 X _ { 1 } ^ { - } , 6 Y _ { 1 } ^ { + } + 6 Y _ { 1 } ^ { - } , 6 Z _ { 1 } ^ { + } + 6 Z _ { 1 } ^ { - } ] } \end{array}
\begin{array} { c } { { ^ { o u t } < R _ { c } ( \beta _ { 1 } ^ { \prime } ) \bar { R } _ { \underline { { d } } } ( \beta _ { 2 } ^ { \prime } ) | R _ { a } ( \beta _ { 1 } ) \bar { R } _ { \underline { { b } } } ( \beta _ { 2 } ) > ^ { i n } = \delta ( \beta _ { 1 } ^ { \prime } - \beta _ { 1 } ) \delta ( \beta _ { 2 } ^ { \prime } - \beta _ { 2 } ) F _ { a b } ^ { c d } ( \beta ) } } \\ { { - \delta ( \beta _ { 1 } ^ { \prime } - \beta _ { 2 } ) \delta ( \beta _ { 2 } ^ { \prime } - \beta _ { 1 } ) B _ { a b } ^ { d c } ( \beta ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } R } & { { } = { R } _ { 0 } + \epsilon { R } _ { 1 } , \quad } & { V } & { { } = { V } _ { 0 } + \epsilon { V } _ { 1 } , \quad } & { P } & { { } = { P } _ { 0 } + \epsilon { P } _ { 1 } , } \\ { T } & { { } = { T } _ { 0 } + \epsilon { T } _ { 1 } , } & { Y } & { { } = { Y } _ { 0 } + \epsilon { Y } _ { 1 } , } & { } & { { } } \end{array}
\mathcal { J } _ { \mathrm { m } } = \left( 1 - \mathcal { R } \right) \rho _ { s } \varOmega _ { s } - \left[ \left( 1 - \mathcal { R } \right) \left( \beta _ { s } - \beta _ { r } \right) - \mathcal { R } \beta _ { \mathcal { R } } + \beta _ { T } \right] \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \boldsymbol { \sigma } \hat { \varsigma } \times ( { \boldsymbol { j } _ { \mathrm { m } } } / { \hbar } ) \cdot ( \nabla - \frac { \epsilon _ { \mathrm { d m } } } { \epsilon _ { \mathrm { n e } } } \boldsymbol { e } _ { i } )
m _ { \nu } ^ { D } = \left( \begin{array} { c c c } { { \Delta _ { 2 } \Delta _ { 5 } \bar { \phi } _ { 4 } } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { \bar { \phi } _ { 4 } } } & { { \Delta _ { 2 } \Delta _ { 5 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { F _ { 1 } } } \end{array} \right)
S _ { \mu , \mu _ { \partial } } ^ { L } ( X ) : = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { \mathbb H } \left( | \nabla _ { g } X | ^ { 2 } + Q R _ { g } X + 4 \pi \mu e ^ { \gamma X } \right) d \lambda _ { g } + \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb R } \left( Q K _ { g } X + 2 \pi \mu _ { \partial } e ^ { \frac { \gamma } { 2 } X } \right) d \lambda _ { \partial g } .
\hat { E } _ { v } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \xi _ { x } \left( { \tau } _ { x x } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { x x } \right) + \xi _ { y } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \xi _ { z } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x y } ^ { m o d } + \xi _ { y } \left( { \tau } _ { y y } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) + \xi _ { z } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \xi _ { x } { \tau } _ { x z } ^ { m o d } + \xi _ { y } { \tau } _ { y z } ^ { m o d } + \xi _ { z } \left( { \tau } _ { z z } ^ { m o d } - \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) } \\ { \xi _ { x } { \beta } _ { x } + \xi _ { y } { \beta } _ { y } + \xi _ { z } { \beta } _ { z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { h } & { = ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } - 4 \gamma ^ { 2 } p ^ { 3 } + 2 \gamma ( 3 \gamma - 2 ) p ^ { 2 } + ( 1 - \gamma ) ( 4 \gamma - 3 ) p } \\ & { \geq ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } - 4 \gamma ^ { 2 } p ^ { 3 } + \gamma ^ { 2 } p ^ { 2 } + \gamma ( 5 \gamma - 4 ) p ^ { 2 } } \\ & { > ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } } \\ & { \geq 0 . } \end{array}
\delta Z _ { \psi } = - \frac { \alpha } { 4 \pi } \left\{ B _ { 0 } \left( 0 , m _ { e } , 0 \right) - 1 - 4 m _ { e } ^ { 2 } \, B _ { 0 } ^ { ' } \left( m _ { e } ^ { 2 } , m _ { e } , \mu \right) \right\} \, \, ,
\frac { \partial { u } _ { d x } } { \partial t } + { u } _ { d x } \frac { \partial { u } _ { d x } } { \partial x } = - \frac { q _ { d } } { m _ { d } } \frac { \partial \phi } { \partial x } - \alpha \frac { 1 } { n _ { d } } \frac { \partial n _ { d } } { \partial x } .
\begin{array} { r l } { \frac { \lvert \{ q \in \Gamma / \Gamma _ { \gamma } \colon s _ { 1 } q = q \} \rvert } { [ \Gamma : \Gamma _ { \gamma } ] } } & { = \frac { ( [ \Lambda : \Lambda _ { \gamma } ] - l ) [ \bigoplus _ { \Lambda } \mathbb Z ^ { d } : A _ { \gamma } ] } { [ \Lambda : \Lambda _ { \gamma } ] [ \bigoplus _ { \Lambda } \mathbb Z ^ { d } : A _ { \gamma } ] } } \\ & { > 1 - \varepsilon _ { \gamma } , } \end{array}
\tilde { \Phi } _ { 1 } = | \Phi | \cos \alpha \ , \ \ \, t i l d e { \Phi } _ { 2 } = | \Phi | \sin \alpha \ , \ \ \| \Phi | = \sqrt { \tilde { \Phi } _ { 1 } ^ { 2 } + \tilde { \Phi } _ { 2 } ^ { 2 } } = \sqrt { \Phi _ { 1 } ^ { 2 } + \Phi _ { 2 } ^ { 2 } } \ .
{ \begin{array} { l r c l r } { \operatorname* { m a x } _ { x _ { t } } } & { E [ Q _ { t + 1 } ( W _ { t + 1 } ) ] } & \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } } & { W _ { t + 1 } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \xi _ { i , t + 1 } x _ { i , t } } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i , t } } & { = } & { W _ { t } } \\ & { x _ { t } } & { \geq } & { 0 } \end{array} }
\left( \begin{array} { l } { \xi _ { t } ^ { \mathrm { s } } } \\ { \eta _ { t } ^ { \mathrm { s } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } & { - \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } \\ { \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } & { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { - H ^ { \coth } \left[ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } \right] + C _ { 1 } } \\ { - \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } } \end{array} \right) , \qquad \left( \begin{array} { l } { \xi _ { t } ^ { \mathrm { b } } } \\ { \eta _ { t } ^ { \mathrm { b } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } } \\ { \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { b } } } \end{array} \right) \bigg ( H ^ { \operatorname { c s c h } } \left[ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { s } } } { J ^ { \mathrm { s } } } \right] + C _ { 1 } \bigg ) .
\begin{array} { r l } { { \frac { d ^ { \acute { n } } F ( P _ { 0 } ) } { d P ^ { \acute { n } } } } } & { { } = { \frac { d ^ { { \acute { n } } - 1 } F ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) } { d P ^ { { \acute { n } } - 1 } } } = { \frac { d ^ { { \acute { n } } - 2 } F ^ { \prime \prime } ( P _ { 0 } ) } { d P ^ { { \acute { n } } - 2 } } } = { \frac { d ^ { { \acute { n } } - 3 } F ^ { \prime \prime \prime } ( P _ { 0 } ) } { d P ^ { { \acute { n } } - 3 } } } = \cdots = { \frac { d ^ { { \acute { n } } - r } F ^ { ( r ) } ( P _ { 0 } ) } { d P ^ { { \acute { n } } - r } } } , } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { \mathbf { W } \in \mathcal { B } _ { \mathbf { W } ^ { \star } } ( \gamma ) } \left\{ f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { s } } ( \mathbf { W } ) - f _ { \ell _ { q } } ^ { \mathrm { s } } ( \mathbf { W } ^ { \star } ) \right\} \lesssim - { t _ { 0 } ^ { q - 1 } } \cdot \sqrt { \frac { k - r } { d _ { 2 } } } \cdot \sqrt { \frac { p p _ { 0 } } { s d _ { 1 } d _ { 2 } } } \cdot \gamma .
S _ { 0 } ^ { ( l ) } [ Q ] = { \frac { l } { 2 g ^ { 2 } \beta } } \sum _ { { \vec { n } } } \sum _ { { \hat { e } } } \varphi _ { { \vec { n } } } [ \varphi _ { { \vec { n } } + 2 { \hat { e } } } - 2 \varphi _ { { \vec { n } } + { \hat { e } } } + \varphi _ { \vec { n } } ] \; .
\prod _ { \substack { ( a , b , c , d ) = 1 \, a , b , c , d \geq 1 } } \left( \frac { 1 } { 1 - w ^ { a } x ^ { b } y ^ { c } z ^ { d } } \right) ^ { \frac { 1 } { a ^ { 1 } b ^ { 1 } c ^ { 1 } d ^ { - 2 } } } = \exp \left\{ \left( \sum _ { h = 1 } ^ { \infty } \frac { w ^ { h } } { h ^ { 1 } } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { x ^ { i } } { i ^ { 1 } } \right) \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { y ^ { j } } { j ^ { 1 } } \right) \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { z ^ { k } } { k ^ { - 2 } } \right) \right\} .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { { } = } & { - \nabla ( { p } / { \rho } ) - \frac { \sigma } { \rho } \Delta ^ { - 1 } [ ( { \bf B } _ { 0 } \cdot \nabla ) ^ { 2 } { \bf u } ] + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
g ( \vec { x } , t ) ^ { * } = g ( \vec { x } , t + \beta ) ^ { * } z = g ( \vec { x } + L _ { z } \vec { e } _ { z } , t + \beta ) z = g ( \vec { x } + L _ { z } \vec { e } _ { z } , t ) z ^ { 2 } = g ( \vec { x } , t ) ^ { * } z ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { T ^ { I } \psi ( p ) = ( \lambda _ { p } , \langle u _ { 1 } , T p \rangle , \langle u _ { 2 } , T p \rangle , \lambda _ { F } \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( T ) \Psi ( p ) ) ^ { T } \sim ( 1 , \langle u _ { 1 } , p ^ { \prime } \rangle , \langle u _ { 2 } , p ^ { \prime } \rangle , \Psi ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ) ) ^ { T } = \psi ^ { \prime } ( p ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( i \mathcal { L } ) ^ { n } z _ { l } } & { { } = } & { \prod _ { k = 1 } ^ { n } \sum _ { \nu _ { k } = 1 } ^ { M } \left( B _ { \nu _ { k } } ^ { ( 1 ) } a _ { \nu _ { k } } - A _ { \nu _ { k } } ^ { ( 1 ) } b _ { \nu _ { k } } \right) z _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega } d \; \mathrm { g r a d } [ \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) ] \bullet \kappa ( \mathbf { x } ) \, \mathrm { g r a d } [ \vartheta ( \mathbf { x } ) ] \; \mathrm { d } \Omega + \int _ { \Omega } \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) \, h _ { T } \, ( \vartheta ( \mathbf { x } ) - \vartheta _ { \mathrm { a m b } } ) \; \mathrm { d } \Omega } \\ { + \int _ { \Sigma } \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) \, \chi \, \mathrm { g r a d } [ \vartheta ( \mathbf { x } ) ] \bullet \widehat { \mathbf { t } } ( \mathbf { x } ) \; \mathrm { d } \Gamma = \int _ { \Omega } \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) \, f ( \mathbf { x } ) \; \mathrm { d } \Omega \quad \forall \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) \in \mathcal { W } } \end{array}
F _ { _ { S } } ^ { 1 2 } ( \Delta _ { _ { \! J } } ^ { } \otimes 1 ) ( F _ { _ { \! S } } ^ { } ) = F _ { _ { S } } ^ { 2 3 } ( 1 \otimes \Delta _ { _ { \! J } } ^ { } ) ( F _ { _ { \! S } } ^ { } ) \, ,
\begin{array} { r l } { T = } & { { } \frac { 1 } { 2 } I _ { 1 } \dot { \alpha } _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } I _ { 2 } \dot { \alpha } _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { V = } & { { } \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } [ ( R \cos ( \theta ) \sin ( \alpha _ { 1 } ) ] ^ { 2 } } \end{array}
= \left( \begin{array} { c c c } { { \ast } } & { { 0 . 4 - 0 . 7 } } & { { 0 . 0 - 0 . 2 } } \\ { { \ast } } & { { \ast } } & { { 0 . 5 - 0 . 8 } } \\ { { \ast } } & { { \ast } } & { { \ast } } \end{array} \right) .
F _ { q } ^ { L G } ( M ) = \sum _ { k = 0 } ^ { q - 1 } \left[ \frac { 2 G M } { \langle n \rangle } \right] ^ { k } \frac { q ! ( q - 1 ) ! } { ( q - k ) ! k ! ( q - 1 - k ) ! 2 ^ { k } } \ \ .
W = 2 \sqrt { 2 } m e ^ { { \frac { 5 } { \sqrt { 1 5 } } } \tilde { \varphi } } - e ^ { { \frac { 2 } { \sqrt { 1 5 } } } \tilde { \varphi } } ( \sqrt { 2 } \mu e ^ { { \frac { 3 } { \sqrt { 1 0 } } } \tilde { f } } + { \frac { R _ { 4 } } { 2 \sqrt { 2 } \mu } } e ^ { - { \frac { 2 } { \sqrt { 1 0 } } } \tilde { f } } ) .
\begin{array} { r l } { I ^ { ( 1 ) } } & { = \frac { 2 4 0 i \pi ^ { 2 } } { 4 0 m _ { \mathrm { H } } ^ { 8 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s d u d v \delta ( x + y + r + s + u + v - 1 ) \frac { 1 } { ( u + v ) ^ { 4 } } } \\ & { = \frac { 6 i \pi ^ { 2 } } { m _ { \mathrm { H } } ^ { 8 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \int _ { 0 } ^ { 1 - u } d v \int _ { 0 } ^ { 1 - u - v } d s \int _ { 0 } ^ { 1 - s - u - v } d r \int _ { 0 } ^ { 1 - r - s - u - v } d y \frac { 1 } { ( u + v ) ^ { 4 } } } \\ & { = \frac { 6 i \pi ^ { 2 } } { m _ { \mathrm { H } } ^ { 8 } } \operatorname* { l i m } _ { u \rightarrow 0 } \bigg ( - \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 3 6 u ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 u } - \frac { 1 } { 2 } \ln u \bigg ) } \\ & { = \frac { - 3 i \pi ^ { 2 } } { 2 m _ { \mathrm { H } } ^ { 8 } } + \mathrm { i n f i n i t y } \, . } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { l o s s } } ^ { \rho ^ { \alpha } } ( p _ { 3 } ) = ( 2 \pi ) ^ { 4 } { \frac { f _ { \rho \pi \pi } ^ { 2 } } { s _ { \rho } ( s _ { \rho } + 1 ) } } \sum _ { \beta , \gamma } \vert \varepsilon _ { \alpha \beta \gamma } \vert \int D p _ { 1 } D p _ { 2 } \, { \cal M } ( p _ { 1 } , p _ { 3 } ) \left( 1 + f _ { - \beta } ( p _ { 1 } ) \right) \left( 1 + f _ { - \gamma } ( p _ { 2 } ) \right) \delta ( p _ { 1 } + p _ { 2 } - p _ { 3 } ) ,
\small \int _ { \Omega _ { 2 D } } ( \hat { E } _ { x , k } ^ { n + 1 } , \hat { E } _ { y , k } ^ { n + 1 } , \hat { E } _ { z , k } ^ { n + 1 } ) \omega = \int _ { \Omega _ { 2 D } } ( \partial _ { x } \hat { V } _ { k } ^ { n + 1 } , \partial _ { y } \hat { V } _ { k } ^ { n + 1 } , - i \beta _ { k } \hat { V } _ { k } ^ { n + 1 } ) \omega , \quad \forall \omega ( x , y ) ,
{ \frac { 2 } { \pi } } t r \int d ^ { 2 } b < A _ { i } ^ { c \ell } ( \underline { { { x } } } + \underline { { { b } } } , x _ { - } ) A _ { i } ^ { c \ell } ( \underline { { { b } } } , x _ { - } ) = x G ( x , Q ^ { 2 } )
\begin{array} { r } { i \hbar \frac { \partial } { \partial t } u _ { b , { \bf k } } ( { \bf r } , t ) = \Big [ \frac { 1 } { 2 m } { \left( - i \hbar \nabla + \hbar { \bf k } + \frac { e } { c } { \bf A } ^ { \mathrm { ( t ) } } ( t ) \right) } ^ { 2 } } \\ { - e \varphi ( { \bf r } , t ) + \hat { v } _ { \mathrm { N L } } ^ { { { \bf k } + \frac { e } { \hbar c } { \bf A } ^ { \mathrm { ( t ) } } ( t ) } } + { v } _ { \mathrm { x c } } ( { \bf r } , t ) \Big ] u _ { b , { \bf k } } ( { \bf r } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \delta e } } & { { = - \partial _ { \tau } ( a e ) - { i } \alpha ( \tau ) \psi , } } \\ { { \delta \psi } } & { { = - a ( \tau ) \dot { \psi } - { \frac { 3 } { 2 } } \dot { a } \psi - { \frac { 1 } { 4 } } \alpha ( \tau ) \dot { e } - { \frac { 1 } { 2 } } \dot { \alpha } ( \tau ) e . } } \end{array}