harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left( \alpha + \gamma \right) ( \tau , \tau + \Delta \tau ) } & { = C _ { \mu } ( \tau , \tau + \Delta \tau ) + \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) , } \\ { \beta ( \tau , \tau + \Delta \tau ) } & { = C _ { \nu } ( \tau , \tau + \Delta \tau ) + \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) , } \\ { \left( ( \alpha - \gamma ) \beta \right) ( \tau , \tau + \Delta \tau ) } & { = \mathscr { O } ( ( \Delta \tau ) ^ { 3 } ) , } \end{array}
\hat { \gamma } ( { \bf r } _ { k } , \tau _ { m } ) = \frac { 1 } { N _ { k , m } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { S } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { S } } \sum _ { \ell = 1 } ^ { N _ { T } - \ell } \mathbb { I } \left( A _ { r _ { k } ; i , j } \right) \, \left[ z ( { \mathbf s } _ { i } , t _ { \ell + m } ) - z ( { \mathbf s } _ { j } , t _ { \ell } ) \right] ^ { 2 } ,
\omega ( t ) \stackrel { ( ) } = 3 ^ { \frac { 1 - \gamma } { 2 \gamma } } \left( \frac 2 3 \right) ^ { n - 1 } ( s _ { 0 } ( t ) ) ^ { - \frac { 1 - \gamma ( n + 4 ) } { \gamma } } = \gamma ^ { 1 - \gamma ( n + 4 ) } 2 ^ { n - 1 } 3 ^ { \frac { 6 - n - ( n + 4 ) \gamma } { 2 } } t ^ { - ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \big [ ( \eta e ^ { X } - 1 ) ^ { 2 } \operatorname* { m i n } \{ X , s \} \operatorname* { m i n } \{ X , t \} \big ] } & { = } & { - s f ( s ; \eta , 1 ) - s f ( t ; \eta , 1 ) + s F ( s ; \eta , 1 ) + s ( 1 - t ) F ( t ; \eta , 1 ) } \\ & { } & { + \mathbb { E } [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} ] + \mathbb { E } [ X ^ { 2 } \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} ] + \mathbb { E } [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq t \} ] , } \\ { \mathbb { E } \big [ ( \eta e ^ { X } - 1 ) \operatorname* { m i n } \{ X , s \} \mathbf { 1 } \{ X \leq t \} \big ] } & { = } & { - s f ( t ; \eta , 1 ) + F ( s ; \eta , 1 ) } \\ { \mathbb { E } \big [ ( \eta e ^ { X } - 1 ) X \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] } & { = } & { - s f ( s ; \eta , 1 ) + F ( s ; \eta , 1 ) } \\ { \mathbb { E } \big [ X e ^ { X } \operatorname* { m i n } \{ X , s \} \big ] } & { = } & { \frac { 1 } { \eta } \big ( s - s F ( s ; \eta , 1 ) + \mathbb { E } \big [ X \big ] + \mathbb { E } \big [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] + \mathbb { E } \big [ X ^ { 2 } \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] \big ) } \\ { \mathbb { E } \big [ e ^ { X } \operatorname* { m i n } \{ X , s \} \big ] } & { = } & { \frac { 1 } { \eta } \big ( 1 + \mathbb { E } \big [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] \big ) } \\ { \mathbb { E } \big [ \operatorname* { m i n } \{ X , s \} \big ] } & { = } & { s - s F ( s ; \eta , 1 ) + \mathbb { E } \big [ X \mathbf { 1 } \{ X \leq s \} \big ] , } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } k _ { 2 } } { \varepsilon _ { 2 } } L _ { \mu \nu } = \frac { D ( x _ { h } , Q _ { h } ^ { 2 } ) } { x _ { h } ^ { 2 } } L _ { \mu \nu } ^ { B } ( \hat { k } _ { 1 } , \hat { k } _ { 1 } - q _ { h } , \lambda ) \frac { d x _ { h } d y _ { h } d z _ { h } d Q _ { h } ^ { 2 } } { 2 | \eta _ { h } | } \ .
\begin{array} { r } { G \ddot { { q } } _ { a } = - \nabla \langle \varphi _ { a } , \widehat H _ { e } ( { { q } } _ { a } ) \varphi _ { a } \rangle , \qquad \quad \widehat H _ { e } ( { { q } } _ { a } ) \varphi _ { a } = E ( { { q } } _ { a } ) \varphi _ { a } . } \end{array}
Z ^ { \prime } ( t ) = { \frac { \mathrm { a d } _ { Z } } { 1 - e ^ { - \mathrm { a d } _ { Z } } } } Y \equiv \psi ( e ^ { \mathrm { a d } _ { Z } } ) Y , \quad \psi ( w ) = { \frac { w \log w } { w - 1 } } = 1 + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { m + 1 } } { m ( m + 1 ) } } ( w - 1 ) ^ { m } , | | w | | < 1 .
\begin{array} { r l } { \phi ^ { ( 0 ) * } ( { \boldsymbol { q } } _ { 1 } , \omega _ { 1 } ) } & { { } \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 2 } , \omega _ { 2 } ) \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 3 } , \omega _ { 3 } ) \to } \\ { + } & { { } \langle \phi ^ { ( 0 ) * } ( { \boldsymbol { q } } _ { 1 } , \omega _ { 1 } ) \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 3 } , \omega _ { 3 } ) \rangle \phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { 2 } , \omega _ { 2 } ) . } \end{array}
\sqrt { \pm \frac { \sqrt { 3 } \sqrt { n ^ { 4 } \left( 4 \phi _ { e } ^ { 4 } - \phi _ { e } ^ { 2 } \right) } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } - \frac { 3 n ^ { 2 } \phi _ { e } ^ { 2 } } { \phi _ { e } ^ { 2 } - 1 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \omega } { \partial t } = - \frac { \partial \psi } { \partial y } \frac { \partial \omega } { \partial x } + \frac { \partial \psi } { \partial x } \frac { \partial \omega } { \partial y } } & { + \frac { 1 } { \mathrm { R e } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \omega } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \omega } { \partial y ^ { 2 } } \right) } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial y ^ { 2 } } } & { = - \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } ( t ) } & { = V ( X ( t ) , Z ( t ) , t ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \cosh ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left\Vert Z ( t ) - x ^ { * } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { t ^ { 2 } } { 4 } \operatorname { s i n h c } ^ { 2 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } t \right) \left( f ( X ( t ) ) - f \left( x ^ { * } \right) \right) } \end{array}
{ \cal H } = { \frac { 1 } { 2 } } \rho v _ { i } v _ { i } + R ( \rho ) ~ , ~ ~ \{ v _ { i } ( x ) , \rho ( y ) \} = { \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } } \delta ( x - y ) ~ , ~ ~ \{ v _ { i } ( x ) , v _ { j } ( y ) \} = - { \frac { \partial _ { i } v _ { j } - \partial _ { j } v _ { i } } { \rho } } \delta ( x - y ) .
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { D _ { x } ^ { 2 } n _ { 0 } } { 2 } d \tilde { x } + \mathcal { O } \left[ \lambda ^ { 3 } \right] - \int _ { 0 } ^ { \infty } v _ { z } n _ { e } d \tilde { x } = 0 . } \end{array}
\partial _ { t } \psi = \frac { i } { 2 } ( - \partial _ { x } ^ { 2 } + \partial _ { z } ^ { 2 } ) \psi - ( 1 + i \delta ) \psi + i | \psi | ^ { 2 } \psi + i h _ { 0 } e ^ { - z ^ { 2 } / \sigma _ { z } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { o } } & { { } = \omega \hat { n } \ ; } \\ { \hat { H } _ { S } } & { { } = 2 J \hat { \Sigma } _ { X } - \Delta _ { 0 } \ ; } \\ { \hat { H } _ { o S } } & { { } = [ U _ { 3 } ( \hat { \xi } ) - 1 ) ] \otimes 2 J \hat { \Sigma } _ { X } - [ U _ { 6 } ( \hat { \xi } ) - 1 ] \otimes \Delta _ { 0 } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \Delta } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } } & { : = \operatorname* { m a x } _ { k \in [ n ] } \left\| { \Delta _ { k } } \right\| _ { \mathrm { o p } } , \quad \left\| { \Delta ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p , \infty } } : = \operatorname* { m a x } _ { k \in [ n ] } \left\| { \Delta _ { k } ^ { ( j ) } } \right\| _ { \mathrm { o p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { X \to 0 } \sigma } & { { } = \frac { 8 \pi r _ { e } ^ { 2 } } { 3 } ( 1 - X ) = \sigma _ { T } ( 1 - X ) } \\ { \operatorname* { l i m } _ { X \to \infty } \sigma } & { { } = \frac { 2 \pi r _ { e } ^ { 2 } } { X } \left( \log X + \frac { 1 } { 2 } \right) } \end{array}
\mathbf { J _ { x } r } ( \mathbf { x } _ { k } , \rho _ { k } ) \mathbf { y } _ { k } - \mathbf { J _ { x } r } ( \mathbf { x } _ { k } , \rho _ { k } ) ( \mathbf { y } _ { k } - \mathbf { x } _ { k } ) = \mathbf { J _ { x } r } ( \mathbf { x } _ { k } , \rho _ { k } ) \mathbf { x } _ { k } = ( m - 1 ) \mathbf { r } ( \mathbf { x } _ { k } , \rho _ { k } ) \geq 0 ,
\partial _ { 0 } J _ { 1 } - \partial _ { x } J _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { 0 } L _ { 1 } \, - \partial _ { x } L _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { 0 } L _ { 0 } - \partial _ { x } L _ { 1 } ) g + \, \frac { 1 } { 2 } ( L _ { 0 } ^ { 2 } - L _ { 1 } ^ { 2 } ) g \; \; \; ,
T _ { M N } ^ { 4 - b r a n e , l } = \Lambda _ { l } A ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \delta ( \vec { n } \cdot \vec { z } ) \left( \begin{array} { r r r r r r } { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { - 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - \mathrm { c o s } ^ { 2 } \varphi _ { l } } } & { { - \mathrm { s i n } \varphi _ { l } \mathrm { c o s } \varphi _ { l } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { - \mathrm { s i n } \varphi _ { l } \mathrm { c o s } \varphi _ { l } } } & { { - \mathrm { s i n } ^ { 2 } \varphi _ { l } } } \end{array} \right) ,
\partial _ { t } \vec { m } = - 2 \frac { T } { \gamma } \vec { m } - \frac { 1 } { a } \int \nabla \cdot \left( \nabla \left( \vec { w } \cdot \mathbf { \hat { n } } \right) p \right) \mathbf { \hat { n } } d \Omega \; .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { 1 } ( \lambda ) } & { = \frac { p _ { 1 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } + \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } \frac { \lambda \, E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } ) I _ { ( - \infty , c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } { E _ { \underline { { \theta } } } [ ( Z + \lambda + c _ { 0 , 1 } - c _ { 0 , 2 } ) ^ { 2 } I _ { ( - \infty , c _ { 0 , 2 } - c _ { 0 , 1 } - \lambda ) } ( Z ) ] } } \\ & { = \frac { p _ { 1 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } + \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } \alpha _ { 1 } ^ { * } ( \lambda ) ; } \end{array}
\lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } \sim { \cal O } ( 1 / a ) , \qquad \lambda _ { 4 } \sim 4 \log a - a ^ { 2 } , \qquad \lambda _ { 5 } \sim 4 \log a + a ^ { 2 } , \qquad \lambda _ { 6 } = - 4 a ^ { 3 } \log a
\begin{array} { r l } { w _ { m } ( x ) } & { { } = e ^ { - x ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { x } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) ^ { m } e ^ { y ^ { 2 } } \, d y } \\ { \alpha ( \gamma ) } & { { } = 2 \left( \sinh ^ { - 1 } ( \gamma ) - { \frac { \gamma } { \sqrt { 1 + \gamma ^ { 2 } } } } \right) } \\ { v } & { { } = { \frac { E _ { i } } { \omega } } \left( 1 + { \frac { 2 } { \gamma ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
- \frac { i } { 4 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { \exp ( i [ \alpha _ { 1 } ( x - x ^ { \prime } ) + ( k ^ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } | z - z ^ { \prime } | ] ) } { ( k ^ { 2 } - \alpha _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \; d \alpha _ { 1 }
c _ { r } \leq ( - 1 ) ^ { d - r } { \left[ \begin{array} { l } { d } \\ { r } \end{array} \right] } c _ { d } + { \frac { ( - 1 ) ^ { d - r - 1 } } { ( d - 1 ) ! } } { \left[ \begin{array} { l } { d } \\ { r + 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { d s ^ { 2 } = d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } + d z ^ { 2 } } & { = \cos ^ { 2 } \theta d \lambda ^ { 2 } + d \theta ^ { 2 } } \\ & { = \frac { 4 } { \left( 1 + \xi ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left( d \xi ^ { 2 } + d \eta ^ { 2 } \right) } \\ & { = \frac { 4 } { \left( 1 + \hat { \xi } ^ { 2 } + \hat { \eta } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \left( d \hat { \xi } ^ { 2 } + d \hat { \eta } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U } \right\| } \\ & { \leq \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U ^ { * } U ^ { * T } U } \right\| + \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I - U ^ { * } U ^ { * T } ) U } \right\| } \\ & { \leq \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U ^ { * } } \right\| + \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I - U ^ { * } U ^ { * T } ) U } \right\| } \\ & { \leq \left\| { ( A _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) U ^ { * } } \right\| + \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) ( U - \bar { U } ) } \right\| + \left\| { ( \tilde { A } _ { i \cdot } - \mathbb { E } A _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) ( \bar { U } - \bar { U } ^ { ( i ) } W ^ { ( i ) } ) } \right\| } \\ & { \quad + \left\| { ( \check { A } _ { i \cdot } - \check { P } _ { i \cdot } ) ( I _ { n } - U ^ { * } U ^ { * T } ) \bar { U } ^ { ( i ) } } \right\| + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \sum _ { j \in S } A _ { i j } + \left( t + \sqrt { \frac { k } { \beta n } } \right) \sum _ { j \in S _ { i } } \left| A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } \right| , } \end{array}
\xi \to \xi _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \bigg ( \frac { \operatorname { t a n h } \big [ a _ { \xi } \big ( \xi - 1 \big ) \big ] } { \operatorname { t a n h } ( a _ { \xi } ) } + \frac { \operatorname { t a n h } ( a _ { \xi } \xi ) } { \operatorname { t a n h } ( a _ { \xi } ) } \bigg ) ,
D ^ { ( - ) } = \sqrt { V } \left( - \vec { \sigma } \cdot \vec { P } + \frac { i P _ { 5 } } { V } \right) \, , \quad D ^ { ( + ) } = V \left( \vec { \sigma } \cdot \vec { P } + \frac { i P _ { 5 } } { V } \right) \frac { 1 } { \sqrt { V } } \, ,
{ \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { \cos ( 2 \pi / 5 ) } \\ { \sin ( 2 \pi / 5 ) } \\ { \cos ( 4 \pi / 5 ) } \\ { \sin ( 4 \pi / 5 ) } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { \cos ( 4 \pi / 5 ) } \\ { \sin ( 4 \pi / 5 ) } \\ { \cos ( 8 \pi / 5 ) } \\ { \sin ( 8 \pi / 5 ) } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { \cos ( 6 \pi / 5 ) } \\ { \sin ( 6 \pi / 5 ) } \\ { \cos ( 2 \pi / 5 ) } \\ { \sin ( 2 \pi / 5 ) } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l } { \cos ( 8 \pi / 5 ) } \\ { \sin ( 8 \pi / 5 ) } \\ { \cos ( 6 \pi / 5 ) } \\ { \sin ( 6 \pi / 5 ) } \end{array} \right) } ,
\frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } = - H ^ { \coth } \bigg [ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \bigg ] + C _ { 1 } , \qquad \qquad \frac { \xi _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \xi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } + \eta _ { t } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } \eta _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ b ~ } } } = H ^ { \operatorname { c s c h } } \bigg [ \frac { \psi _ { \alpha } ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } { J ^ { \mathrm { ~ s ~ } } } \bigg ] + C _ { 1 } .
\left[ \begin{array} { l } { \theta _ { 0 } ( t ) } \\ { \theta _ { \mathrm { ~ t ~ i ~ l ~ t ~ } } ( t ) } \\ { \theta _ { \mathrm { ~ y ~ a ~ w ~ } } ( t ) } \end{array} \right] = \frac { 2 } { 3 } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 5 } & { 0 . 5 } & { 0 . 5 } \\ { \cos ( \psi ) } & { \cos ( \psi + \frac { 2 } { 3 } \pi ) } & { \cos ( \psi + \frac { 4 } { 3 } \pi ) } \\ { \sin ( \psi ) } & { \sin ( \psi + \frac { 2 } { 3 } \pi ) } & { \sin ( \psi + \frac { 4 } { 3 } \pi ) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \theta _ { 1 } ( t ) } \\ { \theta _ { 2 } ( t ) } \\ { \theta _ { 3 } ( t ) } \end{array} \right] ,
\dot { z } _ { i } = \frac { - 3 \gamma ^ { - 1 } ( K + K ^ { \prime } ) \chi } { ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } } \frac { r _ { i } ^ { 2 \chi } } { \overline { { z _ { i } } } } \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \ln ( r _ { i } ^ { ( 1 - \chi ) } / a ) } , } & { r _ { i } \gg \delta } \\ { ~ } \\ { 2 \chi \frac { r _ { i } ^ { - 2 \chi } } { \left( \delta ^ { - 2 \chi } - R ^ { - 2 \chi } \right) } , } & { r _ { i } \sim \delta } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { e ^ { \vec { w } } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] : = t _ { s } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] + \Delta \epsilon _ { \mathrm { H } } ^ { \vec { w } } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] + \epsilon _ { \mathrm { x } } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] + \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { \vec { w } } [ f _ { q } ^ { \vec { w } } ] \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { i } = \xi _ { i } e ^ { i ( \omega t - k \cdot x ) } , \qquad \xi _ { 2 } = - \frac { \omega k _ { 1 } { - } i f k _ { 2 } } { \omega k _ { 2 } { + } i f k _ { 1 } } \xi _ { 1 } = - \frac { k _ { 1 } k _ { 2 } v ^ { 2 } { - } i f \omega } { k _ { 2 } ^ { 2 } v ^ { 2 } + f ^ { 2 } } \xi _ { 1 } , } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( 8 , 8 . 2 5 \cos 3 0 ^ { 0 } , - 8 . 2 5 \sin 3 0 ^ { 0 } , 1 1 6 . 5 \right) , } & { x < 1 / 6 + \frac { y } { \tan 6 0 ^ { 0 } } } \\ { ( 1 . 4 , 0 , 0 , 1 ) , } & { x > 1 / 6 + \frac { y } { \tan 6 0 ^ { 0 } } } \end{array} \right.
b _ { 1 } ( y , y ^ { \prime } , p _ { 0 } ) = a _ { 1 } ( p _ { 0 } ) + { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( R _ { \mu \nu } ( p _ { 0 } ) ( y - y ^ { \prime } ) ^ { \mu } ( y - y ^ { \prime } ) ^ { \nu } + R _ { \mu \lambda \nu \rho } ( p _ { 0 } ) ( y - y ^ { \prime } ) ^ { \mu } ( y - y ^ { \prime } ) ^ { \nu } y ^ { \lambda } y ^ { \rho } \right)
\boldsymbol { Y } \approx \hat { \mathcal { M } } \left( \boldsymbol { X } \right) = \boldsymbol { \mu _ { \boldsymbol { Y } } } + \operatorname { d i a g } \left( \boldsymbol { \sigma _ { \boldsymbol { Y } } } \right) \sum _ { \boldsymbol { \alpha } \in \mathcal { A } ^ { \star } } \sum _ { j = 1 } ^ { N ^ { \prime } } a _ { j , \boldsymbol { \alpha } } \Psi _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( \boldsymbol { X } \right) \boldsymbol { \phi } _ { j }
\begin{array} { r l r l } { T _ { T h } = \frac { E _ { T h } } { E _ { i n } } = } & { 1 - \frac { 2 \Gamma _ { 1 } } { - i \Delta \omega + \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } } , } & { T _ { D r } = \frac { E _ { D r } } { E _ { i n } } = } & { - \frac { e ^ { i \pi m } 2 \sqrt { \Gamma _ { 1 } \Gamma _ { 2 } } } { - i \Delta \omega + \tilde { \gamma } + \Gamma _ { 1 } } , } \end{array}
p = \pm B _ { 0 } \ell \left[ \frac { k ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, \frac { \nu \eta + 2 \eta ^ { 2 } - B _ { 0 } ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } ( \nu \eta + B _ { 0 } ^ { 2 } ) } - 1 \right] ^ { 1 / 2 } + \cdots .
\begin{array} { r } { e _ { x } ^ { ( i , j ) } = - \frac { \partial \phi } { \partial x } ^ { ( i , j ) } = - \frac { \phi ^ { ( i + 1 , j ) } - \phi ^ { ( i - 1 , j ) } } { 2 \Delta x } , } \\ { e _ { y } ^ { ( i , j ) } = - \frac { \partial \phi } { \partial y } ^ { ( i , j ) } = - \frac { \phi ^ { ( i , j + 1 ) } - \phi ^ { ( i , j - 1 ) } } { 2 \Delta y } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathcal { A } _ { \theta } } ( \mathbb { Z } ^ { n } ) / S _ { \mathcal { A } _ { \theta } } ^ { - \infty } ( \mathbb { Z } ^ { n } ) } & { \to S _ { \mathcal { A } _ { \theta } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) / S _ { \mathcal { A } _ { \theta } } ^ { - \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \\ { \sigma } & { \mapsto \widetilde \sigma } \end{array}
- \frac { \partial _ { \phi } \tilde { \mu } _ { h } } { \phi _ { 0 } } \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { S \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { k \phi _ { 0 } ^ { 3 } } , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ( \frac { S \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { k \phi _ { 0 } ^ { 3 } } < \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } ) } \\ { 2 \sqrt { \frac { S \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ C ~ } } } { k \phi _ { 0 } ^ { 3 } } \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } } - \mathrm { ~ D ~ a ~ } _ { 0 } , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \hat { A _ { 1 } } } { \mathrm { d } t } = } & { \hat { A _ { 1 } } - \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } \mathrm { d } \eta \int _ { 0 } ^ { t - 2 \eta } \mathrm { d } \chi \cdot \Bigl [ \eta ^ { 2 } \cdot \bigl ( \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) } \\ & { + \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) \cdot e ^ { - i p _ { 1 } \eta } \bigr ) } \\ & { + \hat { A _ { 2 } } ( t - \eta ) \hat { A _ { 1 } } ( t - \eta - \chi ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( t - 2 \eta - \chi ) e ^ { - i p _ { 1 } ( 2 \eta + \chi ) } \cdot \eta ( \eta + u _ { 1 } ( \eta + \chi ) ) \Bigr ] \cdot e ^ { - \hat { \nu } ( 2 \eta + \chi ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \omega \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { = } & { D k } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { + k \left( w - \frac { C j } { \rho } \right) } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } , } \\ { \omega \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } } & { = } & { F k } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { j } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { j } } & { + 2 k \left( w - \frac { j } { \rho } \right) \cos \theta } & { \frac { ( \ensuremath { \mathbf { k } } \ensuremath { \mathbf { j } _ { 0 } ^ { \prime } } ) } { k } . } \end{array}
\widehat { \mathcal { L } } [ \hat { \psi } _ { ( 2 , 0 ) } ] = \frac { \log { ( \hat { y } ) } } { 2 \hat { y } } - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \Gamma { ( k ) } } { ( 2 \hat { y } ) ^ { k + 1 } } ,
\begin{array} { r l r } { \phi _ { \Delta } ^ { ( 1 ) } ( x ) \, : = \, ( X _ { t + \Delta } ^ { ( 1 ) } \mid X _ { t } ^ { ( 1 ) } = x ) } & { = } & { x e ^ { - \alpha ( \lambda ) \Delta } + \mu ( \lambda ) ( 1 - e ^ { - \alpha ( \lambda ) } ) + \xi _ { t } } \\ { \phi _ { \Delta } ^ { ( 2 ) } ( x ) \, : = \, ( X _ { t + \Delta } ^ { ( 2 ) } \mid X _ { t } ^ { ( 2 ) } = x ) } & { = } & { \frac { \mu ( \lambda ) A \Delta ( x - \mu ( \lambda ) ) + x } { A \Delta ( x - \mu ( \lambda ) ) + 1 } } \end{array}
\int _ { \operatorname { U } ( N ) } \mathrm { d } U \, U _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } U _ { m _ { 1 } , n _ { 1 } } ^ { * } = \frac { 1 } { N } \delta _ { i _ { 1 } , m _ { 1 } } \delta _ { j _ { 1 } , n _ { 1 } }
f _ { I I } ( \theta ) = \left\{ \begin{array} { c } { { f ( \theta ) + f ( \theta - i \pi \, \mathrm { s i g n } \Im m ( \theta ) ) \qquad \mathrm { i f } \quad p > 1 } } \\ { { f ( \theta ) - f ( \theta - i \pi p \, \mathrm { s i g n } \Im m ( \theta ) ) \qquad \mathrm { i f } \quad p < 1 } } \end{array} \right. \: \textrm { f o r } \: | \Im m \theta | > \pi \operatorname * { m i n } ( 1 , p )
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { a } \left( r \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } \psi _ { m , \beta } ^ { \prime } + \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \alpha } \psi _ { m , \beta } \right) d r } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { a } \left( \frac { m ^ { 2 } } { r } \psi _ { m , \alpha } - \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } - r \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime \prime } \right) \psi _ { m , \beta } d r } \\ { = } & { K _ { m , \alpha } \delta _ { \alpha \beta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ a ~ d ~ v ~ } } ( G _ { X } , D _ { Y } ) } & { { } = \mathbb { E } _ { y \sim p _ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( y ) } \left[ \log D _ { Y } ( y ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } = \sum _ { b = 0 } ^ { \infty } \bigg ( } & { - t _ { L M } ^ { b } \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { M } - ( t _ { L M } ^ { b } ) ^ { * } \hat { a } _ { M } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } } \\ & { - t _ { M R } ^ { b } \hat { a } _ { M } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } - ( t _ { M R } ^ { b } ) ^ { * } \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { M } } \\ & { + \epsilon _ { L } ^ { b } \hat { a } _ { L } ^ { \dagger } \hat { a } _ { L } + \epsilon _ { M } ^ { b } \hat { a } _ { M } ^ { \dagger } \hat { a } _ { M } } \\ & { + \epsilon _ { R } ^ { b } \hat { a } _ { R } ^ { \dagger } \hat { a } _ { R } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { x } = u _ { y } = u _ { z } = 0 . \qquad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { 1 } , \mathrm { ~ } z = 0 } \\ & { u _ { z } = - \delta . \qquad \qquad \qquad \quad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { n + 1 } , \mathrm { ~ } z = n u _ { o } } \\ & { \omega _ { x } = \omega _ { y } = 0 . \qquad \qquad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { i } , \mathrm { ~ } z = ( i - 1 ) u _ { o } , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad i = \mathrm { e v e n ~ i n t e g e r s } \in \{ 1 , 2 , \ldots , n + 1 \} } \\ & { \omega _ { x } = \omega _ { y } = \omega _ { z } = 0 . \qquad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { j } , \mathrm { ~ } z = ( j - 1 ) u _ { o } , } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad j = \mathrm { o d d ~ i n t e g e r s } \in \{ 1 , 2 , \ldots , n + 1 \} } \end{array}