harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
f _ { \varepsilon , i } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 + \frac { 1 } { i } ) \frac { 2 \alpha } { 3 } \tan \left( \alpha h ( r ( x ) + w _ { -- } 2 \varepsilon ) - \frac { \pi } { 2 } + \frac { 1 } { i } \right) } & { \textnormal { i f } r ( x ) \le \operatorname* { m i n } \{ - \frac { w _ { \varepsilon } ^ { - } } { 2 } , - w _ { \varepsilon } ^ { - } + \frac { \pi } { 6 \alpha } \} } \\ { ( 1 + \frac { 1 } { i } ) \frac { 2 \alpha } { 3 } \tan \left( \frac { \pi } { 2 } - \alpha h ( w _ { + } - 2 \varepsilon - r ( x ) ) - \frac { 1 } { i } \right) } & { \textnormal { i f } r ( x ) \ge \operatorname* { m a x } \{ \frac { w _ { \varepsilon } ^ { + } } { 2 } , w _ { \varepsilon } ^ { + } - \frac { \pi } { 6 \alpha } \} } \\ { ( 1 + \frac { 1 } { i } ) \frac { 2 \alpha } { 3 } \tan \left( \mathbf { l } _ { \varepsilon , i } ( r ( x ) ) \right) } & { \textnormal { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. ,
K _ { B } = \frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } = \left( \frac { i k - 2 \cos \rho } { i k + 2 \cos \rho } \right) ^ { 2 } \ \frac { i k - 2 } { i k + 2 } \ \frac { i k - 2 c _ { + } } { i k + 2 c _ { + } } \ \frac { i k + 2 c _ { - } } { i k - 2 c _ { - } } ,
E _ { v } ^ { K } - E _ { v } ^ { K ^ { \prime } } = i \langle d _ { x y } | \hat { H } _ { S O C } ^ { 0 } | d _ { x 2 - y 2 } \rangle - i \langle d _ { x 2 - y 2 } | \hat { H } _ { S O C } ^ { 0 } | d _ { x y } \rangle \approx 4 \lambda ,
\Delta ( x ^ { \prime } - x ) = \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { e ^ { - i k \cdot ( x ^ { \prime } - x ) } } { k ^ { 2 } - M ^ { 2 } - \Pi ( k ^ { 2 } ) + i \epsilon }
p = \left( { \frac { 1 - \| u \| ^ { 2 } } { 1 + \| u \| ^ { 2 } } } , { \frac { 2 \mathbf { u } } { 1 + \| u \| ^ { 2 } } } \right) = { \frac { 1 + \mathbf { u } } { 1 - \mathbf { u } } }
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } A ^ { * } \left( \hat { { \bf p } } + \hat { { \bf p } } ^ { \dagger } \right) A } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( A ^ { * } \hat { { \bf p } } A + A ^ { * } ( \hat { { \bf p } } ) ^ { \dagger } A \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( A ^ { * } \hat { { \bf p } } A - A ^ { * } ( \frac { \hbar } { i } \overleftarrow { \nabla } ) A \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( A ^ { * } \hat { { \bf p } } A - A ( \frac { \hbar } { i } \overrightarrow { \nabla } ) A ^ { * } \right) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( A ^ { * } \hat { { \bf p } } A - A \hat { { \bf p } } A ^ { * } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \theta } E = } & { { } \frac { - i \delta } { 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } E - \frac { 1 - 3 \delta ^ { 2 } } { 1 2 } \partial _ { \sigma } ^ { 3 } E + \frac { 2 f ( i R _ { 1 } - I _ { 1 } ) } { 1 + i \delta } D E } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { \mathrm { s p i n s } } | { \mathcal { M } } | ^ { 2 } } & { = { \frac { e ^ { 4 } } { 4 } } \{ { \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } \mathrm { T r } [ \gamma ^ { \mu } ( \not p _ { 1 } + m ) \gamma ^ { \nu } ( \not p _ { 3 } + m ) ] \mathrm { T r } [ \gamma _ { \mu } ( \not p _ { 2 } + m ) \gamma _ { \nu } ( \not p _ { 4 } + m ) ] } \\ & { ~ ~ + { \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } \mathrm { T r } [ \gamma ^ { \mu } ( \not p _ { 2 } + m ) \gamma ^ { \nu } ( \not p _ { 3 } + m ) ] \mathrm { T r } [ \gamma _ { \mu } ( \not p _ { 1 } + m ) \gamma _ { \nu } ( \not p _ { 4 } + m ) ] } \\ & { ~ ~ - { \frac { 2 } { t u } } \mathrm { T r } [ ( \not p _ { 3 } + m ) \gamma ^ { \mu } ( \not p _ { 1 } + m ) \gamma ^ { \nu } ( \not p _ { 4 } + m ) \gamma _ { \mu } ( \not p _ { 2 } + m ) \gamma _ { \nu } ] \} } \end{array} }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \rho _ { ( \varphi _ { \smash { \vert \nabla u \vert } } ) ^ { * } , \Omega } ( h _ { \mathcal { T } } f ) } & { \lesssim h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \, \big ( \rho _ { \varphi ^ { * } , \Omega } ( f ) + \rho _ { \varphi , \Omega } ( \nabla u ) + \| ( \delta ^ { p ( \cdot ) - 1 } + \vert z \vert ) ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) - 2 } \vert f \vert ^ { 2 } \| _ { 1 , \{ p > 2 \} } \big ) \, . } \end{array} } \end{array}
\Theta _ { p q } = \left\{ \begin{array} { l r } { - 1 , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } p = q = 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } p \neq q } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } p = q = 2 } \end{array} \right. \, .
\operatorname * { l i m } _ { p \rightarrow p _ { 0 } } ( - p ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) \hat { D } _ { F A } ^ { \prime } ( p ) _ { \mu \nu } \; n ^ { \nu } ( p _ { 0 } ) = n _ { \mu } ( p _ { 0 } )
J _ { 2 1 } = \int { \frac { d ^ { n } q _ { 1 } d ^ { n } q _ { 2 } } { \left[ q _ { 1 } ^ { 2 } + i \epsilon \right] \left[ q _ { 2 } ^ { 2 } + i \epsilon \right] \left[ 2 M v \cdot \left( l + q _ { 1 } \right) + \left( l + q _ { 1 } \right) ^ { 2 } + i \epsilon \right] ^ { 2 } \left[ 2 M v \cdot \left( l + q _ { 1 } + q _ { 2 } \right) + \left( l + q _ { 1 } + q _ { 2 } \right) ^ { 2 } + i \epsilon \right] } }
\frac { 2 m ( t ) } { t } - 1 = \frac { 8 \pi } { t } \int t ^ { 2 } H \left[ \frac { Q ^ { 2 } } { t ^ { 4 } } \right] d t + \frac { 2 m _ { 0 } } { t } + \frac { 1 } { 3 } \Lambda t ^ { 2 } - 1
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i j } } & { { } : = \sum _ { c = 1 } ^ { m } Z _ { T _ { c } } n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } \, , } \\ { \beta _ { i j k \ell } } & { { } : = \sum _ { c = 1 } ^ { m } \left( Z _ { N _ { c } } - Z _ { T _ { c } } \right) n _ { i _ { c } } n _ { j _ { c } } n _ { k _ { c } } n _ { \ell _ { c } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \langle ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } - M _ { 1 } \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { A } _ { 1 } ] M _ { 2 } ) \mathring { A } _ { 2 } \rangle } \\ { = } & { \ \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] \rangle - \langle \underline { { W G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } } } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle } \\ & { + \langle \mathcal { S } [ G _ { 1 } - M _ { 1 } ] G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle + \langle \mathcal { S } [ G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } ] ( G _ { 2 } - M _ { 2 } ) ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) ^ { \circ } \rangle } \\ & { + \sum _ { \sigma } \mathbf { 1 } _ { \delta } ^ { \sigma } \, c _ { \sigma } ( { \mathcal { X } } _ { 2 1 } [ \mathring { A } _ { 2 } ] M _ { 1 } ) \big [ - \langle \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } E _ { \sigma } \rangle + \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \mathring { \Phi } _ { \sigma } \rangle + c _ { \sigma } ( \Phi _ { \sigma } ) \langle G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } E _ { \sigma } \rangle \big ] \, , } \end{array}
U ( \mu , M _ { W } ) = \Biggl \lbrack 1 + { \frac { \alpha _ { Q C D } ( \mu ) } { 4 \pi } } J \Biggl \rbrack \Biggl \lbrack { \frac { \alpha _ { Q C D } ( M _ { W } ) } { \alpha _ { Q C D } ( \mu ) } } \Biggl \rbrack ^ { P } \Biggl \lbrack 1 - { \frac { \alpha _ { Q C D } ( M _ { W } ) } { 4 \pi } } J \Biggl \rbrack
\begin{array} { r l } { \frac { { \partial { a _ { m } } ( r , \theta ) } } { { \partial \theta } } } & { = { e ^ { j m v + j { m ^ { 2 } } \phi - j \frac { { 2 \pi } } { \lambda } r } } \left( { j m \frac { { \partial v } } { { \partial \theta } } + j { m ^ { 2 } } \frac { { \partial \phi } } { { \partial \theta } } } \right) , } \\ { \frac { { \partial { a _ { m } } ( r , \theta ) } } { { \partial r } } } & { = { e ^ { j m v + j { m ^ { 2 } } \phi - j \frac { { 2 \pi } } { \lambda } r } } \left( { j { m ^ { 2 } } \frac { { \partial \phi } } { { \partial r } } - j \frac { { 2 \pi } } { \lambda } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ( \mathbf { x } , t _ { d e t } ) } & { = e \left[ \frac { \mathbf { n } - \boldsymbol { \beta } } { \gamma _ { p } ^ { 2 } ( 1 - \boldsymbol { \beta } \cdot \mathbf { n } ) ^ { 3 } R ^ { 2 } } \right] _ { \mathrm { r e t } } + \frac { e } { c } \left[ \frac { \mathbf { n } \times [ ( \mathbf { n } - \boldsymbol { \beta } ) \times \dot { \boldsymbol { \beta } } ) ] } { ( 1 - \boldsymbol { \beta } \cdot \mathbf { n } ) ^ { 3 } R } \right] _ { \mathrm { r e t } } , } \\ { \; \; \mathbf { B } ( \mathbf { x } , t _ { d e t } ) } & { = [ \mathbf { n } \times \mathbf { E } ] _ { \mathrm { r e t } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) p ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } | y _ { 0 } , \cdots , y _ { n } ) d x _ { 0 } \cdots d x _ { n } } & { = { \frac { \int F ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) \left\{ \prod _ { k = 0 } ^ { n } p ( y _ { k } | x _ { k } ) \right\} p ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) d x _ { 0 } \cdots d x _ { n } } { \int \left\{ \prod _ { k = 0 } ^ { n } p ( y _ { k } | x _ { k } ) \right\} p ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { n } ) d x _ { 0 } \cdots d x _ { n } } } } \\ & { = { \frac { E \left( F ( X _ { 0 } , \cdots , X _ { n } ) \prod _ { k = 0 } ^ { n } G _ { k } ( X _ { k } ) \right) } { E \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n } G _ { k } ( X _ { k } ) \right) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { = } & { { } | \langle 0 | a _ { j _ { 2 } } ( T ) a _ { j _ { 1 } } ^ { \dagger } ( 0 ) | 0 \rangle | ^ { 2 } } \\ { = } & { { } | \langle j _ { 2 } | e ^ { - i \hat { H } _ { s 1 0 } t _ { 1 0 } } . . . e ^ { - i \hat { H } _ { s 2 } t _ { 2 } } e ^ { - i \hat { H } _ { s 1 } t _ { 1 } } | j _ { 1 } \rangle | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ^ { 2 } - ( T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) ^ { 2 } \le 2 t T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( u ) \, \, \mathrm { , } \; \, } \\ & { T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ^ { 2 } - ( T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) ^ { 2 } \ge 2 t \Gamma ^ { { \mathbf \Upsilon } } ( T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ) \ ; } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t = t _ { i } } = [ M _ { i k } ^ { \mathrm { t } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t = t _ { k } } = [ P _ { i } ^ { \mathrm { t } } ] [ I _ { i j } ] [ P _ { j } ^ { \mathrm { t } } ] [ I _ { j k } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { t = t _ { k } } ,
\begin{array} { l c c l l } { { \mathrm { f l o o r } } } & { { \mathrm { S U ( 2 / 1 ) } } } & { { \mathrm { U ~ ^ { m } ~ ( 1 ) ~ \otimes ~ U ~ ^ { l } ~ ( 1 ) } } } & { { \mathrm { f i e l d } } } & { { \mathrm { h e l i c i t y } } } \\ { { \mid \mathrm { g n d } > } } & { { ( 0 ~ - \frac { 7 } { 2 } ) } } & { { ( + \frac { 7 } { 2 } ) ( - 7 ) } } & { { e _ { \mu } ^ { a } } } & { { + 2 } } \\ { { \mid \mathrm { 1 s t } > } } & { { ( 1 ~ - \frac { 7 } { 2 } ) } } & { { ( + \frac { 7 } { 2 } ) ( - 6 ) } } & { { \Psi _ { \mu } } } & { { + \frac { 3 } { 2 } } } \\ { { } } & { { ( - 1 ~ - \frac { 5 } { 2 } ) } } & { { ( + \frac { 5 } { 2 } ) ( - 6 ) } } & { { \chi _ { \mu } } } & { { + \frac { 3 } { 2 } } } \\ { { \mid \mathrm { 2 n d } > } } & { { ( 0 ~ - \frac { 5 } { 2 } ) } } & { { ( + \frac { 5 } { 2 } ) ( - 5 ) } } & { { A _ { \mu } } } & { { + 1 , } } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { 1 1 } = 1 . 0 4 \left( \frac { 1 } { 1 + 2 . 0 1 \nu _ { * e } ^ { 1 / 2 } + 1 . 5 3 \nu _ { * e } } + \frac { \epsilon ^ { 3 / 2 } ( 0 . 8 9 ^ { 2 } / 1 . 5 3 ) \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } } { 1 + 0 . 8 9 \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } } \right) , } \\ { K _ { 1 2 } = 1 . 2 0 \left( \frac { 1 } { 1 + 0 . 7 6 \nu _ { * e } ^ { 1 / 2 } + 0 . 6 7 \nu _ { * e } } + \frac { \epsilon ^ { 3 / 2 } ( 0 . 5 6 ^ { 2 } / 0 . 6 7 ) \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } } { 1 + 0 . 5 6 \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } } \right) , } \\ { K _ { 2 2 } = 2 . 5 5 \left( \frac { 1 } { 1 + 0 . 4 5 \nu _ { * e } ^ { 1 / 2 } + 0 . 4 3 \nu _ { * e } } + \frac { \epsilon ^ { 3 / 2 } ( 0 . 4 3 ^ { 2 } / 0 . 4 3 ) \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } } { 1 + 0 . 4 3 \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } } \right) , } \\ { K _ { 1 3 } = 2 . 3 [ 1 + 1 . 0 2 \nu _ { * e } ^ { 1 / 2 } + 1 . 0 7 \nu _ { * e } ] ^ { - 1 } [ 1 + 1 . 0 7 \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } ] ^ { - 1 } , } \\ { K _ { 2 3 } = 4 . 1 9 [ 1 + 0 . 5 7 \nu _ { * e } ^ { 1 / 2 } + 0 . 6 1 \nu _ { * e } ] ^ { - 1 } [ 1 + 0 . 6 1 \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } ] ^ { - 1 } , } \\ { K _ { 3 3 } = 1 . 8 3 [ 1 + 0 . 6 8 \nu _ { * e } ^ { 1 / 2 } + 0 . 3 2 \nu _ { * e } ] ^ { - 1 } [ 1 + 0 . 6 6 \nu _ { * e } \epsilon ^ { 3 / 2 } ] ^ { - 1 } . } \end{array}
e = \underbrace { \frac { D ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } [ B D ] _ { \sigma _ { r } } ^ { 2 } } { 2 [ B D ] _ { y } [ B D ] } } _ { k } - \underbrace { \frac { i k D ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } ( z + s ) ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { 2 } [ B D ] _ { \sigma _ { r } } } { [ B D ] _ { y } [ B D ] } } _ { l } - \underbrace { \frac { k ^ { 2 } D ^ { 2 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } ( z + s ) ^ { 4 } \sigma _ { p } ^ { 4 } } { 2 [ B D ] _ { y } [ B D ] } } _ { m } .
{ \cal L } ( t ) = \dot { \Phi } ^ { * } \dot { \Phi } - \nabla \Phi ^ { * } \cdot \nabla \Phi - \frac { \lambda } { 4 ! } \Biggl ( \Phi ^ { * } \Phi + \frac { 1 2 m ^ { 2 } ( t ) } { \lambda } \Biggr ) ^ { 2 } ,
g ^ { - 1 } D ( \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } ) \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } \to v _ { 2 } ^ { - 1 } g ^ { - 1 } D ( \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } ) \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } \leftarrow v _ { 2 } ^ { - 1 } D ( \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } ) \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { r } } & { { } : = \hat { \mathbf { r } } , } \\ { \mathbf { e } _ { \perp } ( r ) : = \frac { 1 } { B _ { 0 } ( r ) } \left( 0 , B _ { 0 z } ( r ) , - B _ { 0 \theta } ( r ) \right) , \quad } & { { } \mathbf { e } _ { \parallel } ( r ) : = \frac { \mathbf { B } _ { 0 } } { B _ { 0 } } = \frac { 1 } { B _ { 0 } ( r ) } \left( 0 , B _ { 0 \theta } ( r ) , B _ { 0 z } ( r ) \right) , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { g } } & { { } = } & { m _ { \mathrm { ~ R ~ } } g } \\ { g } & { { } = } & { \bigg ( \frac { r _ { \mathrm { ~ E ~ } } } { r _ { \mathrm { ~ E ~ } } + z _ { \mathrm { ~ R ~ } } } \bigg ) ^ { 2 } g _ { \mathrm { ~ S ~ L ~ } } } \end{array}
i T _ { \mathrm { s e a } - \mathrm { s e a } } ( \hat { s } , t ) \! \! = \! \! \sum _ { j k } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \frac { d z ^ { + } } { z ^ { + } } \frac { d z ^ { - } } { z ^ { - } } \, \, i T _ { \mathrm { h a r d } } ^ { j k } ( z ^ { + } z ^ { - } \hat { s } , t ) \, \, \mathrm { I m } \, T _ { \mathrm { s o f t } } ^ { j } \! \! \left( \frac { s _ { 0 } } { z ^ { + } } , t \right) \, \mathrm { I m } \, T _ { \mathrm { s o f t } } ^ { k } \! \! \left( \frac { s _ { 0 } } { z ^ { - } } , t \right) ,
\begin{array} { r l } & { \log \Big [ \frac { p _ { \hat { \theta } + \hat { h } / \sqrt { n } } ^ { n } } { p _ { \hat { \theta } } ^ { n } } ( X ^ { n } ) \frac { \pi ( \hat { \theta } + \hat { h } / \sqrt { n } ) } { \pi ( \hat { \theta } ) } \Big ] + \hat { \omega } _ { s t } ^ { - 1 } \hat { h } _ { s } \hat { h } _ { t } / 2 - \log 2 \hat { w } ( \hat { h } ) = \hat { r } _ { n , 4 } ( \hat { h } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { ( m ) } ( s ) } & { = \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] } \\ & { \leq \left( \frac { \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { l } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] + \mathbb { E } _ { H } \left[ \left\Vert \left( I - \frac { \eta _ { u } } { b } H \right) e _ { 1 } \right\Vert ^ { s } \right] } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( h ( s ) ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } + \omega ^ { 2 } x _ { 0 } = } & { { } 0 , } \\ { D _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 1 } + \omega ^ { 2 } x _ { 1 } = } & { { } - \sigma ^ { * } x _ { 0 } - 2 D _ { 0 } D _ { 1 } x _ { 0 } - c ^ { * } D _ { 0 } x _ { 0 } - k _ { 3 } ^ { * } x _ { 0 } ^ { 3 } } \end{array}
\Bar { \lambda } _ { 2 } ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { k _ { 1 , u } \left( x - x _ { 0 , u } \right) , } & { \quad x \leq x _ { 0 , u } , \quad y \geq 0 , } \\ { k _ { 2 , u } \left( x - x _ { 0 , u } \right) , } & { \quad x > x _ { 0 , u } , \quad y \geq 0 , } \\ { k _ { 1 , l } \left( x - x _ { 0 , l } \right) , } & { \quad x \leq x _ { 0 , l } , \quad y < 0 , } \\ { k _ { 2 , l } \left( x - x _ { 0 , l } \right) , } & { \quad x > x _ { 0 , l } , \quad y < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \sum _ { d , w \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } \prod _ { i } \frac { ( a _ { i } ^ { t } b _ { i } ^ { 1 - t } ) ^ { d _ { i } } } { d _ { i } ! } e ^ { - a _ { i } ^ { t } b _ { i } ^ { 1 - t } } \frac { ( \hat { a } _ { i } ^ { t } \hat { b } _ { i } ^ { 1 - t } ) ^ { w _ { i } } } { w _ { i } ! } e ^ { - \hat { a } _ { i } ^ { t } \hat { b } _ { i } ^ { 1 - t } } = 1 . } \end{array}
\tau _ { \mathrm { e f f } } = \frac { \mathrm { T r } \left\{ { \hat { H } } _ { \mathrm { e x t } } \, { \hat { \tau } } \right\} } { \left( \mathrm { T r } \left\{ { \hat { H } } _ { \mathrm { e x t } } \, { \hat { \rho } } _ { \mathrm { i n i } } \right\} - \mathrm { T r } \left\{ { \hat { H } } _ { \mathrm { e x t } } \, { \hat { \rho } } _ { \mathrm { s t } } \right\} \right) } \, .
\frac { \lambda } { 8 \pi ^ { 2 } } \int k ^ { 2 } \; d k \left| f _ { k } ( \eta ) \right| ^ { 2 } \; ( 1 + 2 \; n _ { 0 } ) \stackrel { \eta \rightarrow \infty } { = } \tilde { \mu } ^ { 4 } \; \eta ^ { 2 }
\begin{array} { r } { S ( r _ { 0 } , W _ { r } ) = \frac { \langle \Delta r _ { 0 } \Delta W _ { r } \rangle } { \sqrt { \langle \Delta r _ { 0 } ^ { 2 } \rangle \langle \Delta W _ { r } ^ { 2 } \rangle } } , } \end{array}
( - 1 ) ^ { l _ { 0 } + . . . + l _ { N } + . . . } ( - 1 ) ^ { n _ { 1 } + . . . + n _ { L } + . . . } ( - 1 ) ^ { k _ { 0 } + . . . + k _ { M } + . . . } A _ { { \bf l } , { \bf n } , { \bf k } } ( q ) > 0 \, ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ 0 < q < 1
\widetilde { A } _ { 0 , - \nu } = \frac { \mathrm { i } \nu } { \sqrt { \pi } } \, \frac { { \cal A } } { c } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( - \eta ) ^ { - \mathrm { i } \nu - 1 } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \nu _ { 1 } \eta } \, \mathrm { d } \eta \sim \mathrm { i } \sqrt { 2 \mathrm { i } \nu } \, \frac { { \cal A } } { c } \, ( \nu _ { 1 } / \nu ) ^ { \mathrm { i } \nu } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \nu }
\left[ \frac { \mathcal { P } } { \mathrm { W } } \right] \sim \left[ \frac { V _ { 0 } } { ~ \mathrm { M V } } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { \omega _ { { p e } } } { 1 0 ^ { 1 1 } ~ \mathrm { r a d . s } ^ { - 1 } } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { l } { \mathrm { m } } \right] \left[ \frac { b } { a } \right] \left[ \frac { k _ { B } T } { m c ^ { 2 } } \right] ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left[ \frac { \rho _ { i } } { a } \right] ^ { 2 } \left[ \frac { \omega _ { p e } } { \omega _ { c e } } \right] ^ { 2 } ,
E = - E _ { n } \, , \; n \geq 1 \; \; \psi _ { n , p } ^ { ( - ) } = \sqrt { \frac { E _ { n } - m } { 2 E _ { n } } } \frac { e ^ { i p x _ { 2 } } } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } { \zeta } ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { N _ { n } H _ { n } ( \zeta ) } } \\ { { - \frac { \sqrt { E _ { n } ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } { E _ { n } - m } N _ { n - 1 } H _ { n - 1 } ( \zeta ) } } \end{array} \right)
- \frac { \omega } { 2 } k _ { l } \lambda _ { s } \int d ^ { 3 } r \, ( r _ { l } r _ { s } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { l s } r ^ { 2 } ) \langle 0 | \hat { \rho } | n \rangle = - \frac { \omega } { 6 } k _ { l } \lambda _ { s } \langle 0 | \hat { Q } _ { l s } | n \rangle
\mathrm { I m } \Pi ( s ) = - N A ^ { 2 } \frac { \Sigma ( 0 ) ^ { 4 } } { 4 \, s ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } \sin \left( \eta _ { \Lambda } \pi \right) \left[ e ^ { 2 \delta - \eta _ { \Lambda } \, \mathrm { l n } \frac { s } { \tilde { \Lambda } ^ { 2 } } } \gamma \left( \eta _ { \Lambda } \right) - e ^ { - 2 \delta + \eta _ { \Lambda } \, \mathrm { l n } \frac { s } { \tilde { \Lambda } ^ { 2 } } } \gamma \left( - \eta _ { \Lambda } \right) \right] \ ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { S M } } ( \theta ) : = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } _ { \mathbf { x } \sim p _ { t } } [ | | s _ { \theta } ( \mathbf { x } , t ) - \nabla _ { \mathbf { x } } \log p _ { t } ( \mathbf { x } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } ] d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { d } F _ { ( f ^ { \mathrm { X } } , f ^ { \mathrm { Y } } ) } ( \nu ) } & { = \left\langle \mathcal { L } _ { d } ^ { \mathrm { X } } f ^ { \mathrm { X } } , \nu ^ { \mathrm { X } } \right\rangle \frac { \partial } { \partial x } F \left( \left\langle f ^ { \mathrm { X } } , \nu \right\rangle , \left\langle f ^ { \mathrm { Y } } , \nu \right\rangle \right) + \left\langle \mathcal { L } _ { d } ^ { \mathrm { Y } } f ^ { \mathrm { Y } } , \nu ^ { \mathrm { Y } } \right\rangle \frac { \partial } { \partial y } F \left( \left\langle f ^ { \mathrm { X } } , \nu \right\rangle , \left\langle f ^ { \mathrm { Y } } , \nu \right\rangle \right) + } \\ & { + \left\langle \nabla ^ { T } f ^ { \mathrm { X } } \, \sigma ^ { \mathrm { X } } \, \nabla f ^ { \mathrm { X } } , \nu ^ { \mathrm { X } } \right\rangle \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } F \left( \left\langle f ^ { \mathrm { X } } , \nu \right\rangle , \left\langle f ^ { \mathrm { Y } } , \nu \right\rangle \right) + \left\langle \nabla ^ { T } f ^ { \mathrm { Y } } \, \sigma ^ { \mathrm { Y } } \, \nabla f ^ { \mathrm { Y } } , \nu ^ { \mathrm { Y } } \right\rangle \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } F \left( \left\langle f ^ { \mathrm { X } } , \nu \right\rangle , \left\langle f ^ { \mathrm { Y } } , \nu \right\rangle \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { c f } _ { \mathit { T Q G } ( 0 , 1 , q ) } ( t ) } & { { } = \frac { \left( b \sqrt { \nu } | t | \right) ^ { \frac { \nu } { 2 } } \operatorname { K } _ { \frac { \nu } { 2 } } \left( b \sqrt { \nu } | t | \right) } { 2 ^ { \frac { \nu } { 2 } - 1 } \Gamma \left( \frac { \nu } { 2 } \right) } = \operatorname { c f } _ { \mathit { S t u d e n t } ( \nu ) } ( b t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 4 } \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } | _ { t = 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { E } ( h _ { i } \circ ( f _ { i } ^ { t } ) ^ { - 1 } ) = - \textrm { R e } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { D } } \phi _ { i } \ddot { \mu _ { i } } d x d y + \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \phi _ { i } | | \dot { \mu _ { i } } | ^ { 2 } d x d y } \end{array}
\left\vert \mu _ { \mathbf { R } _ { 0 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \mathbf { t } _ { 0 } } d s f \circ \hat { \pi } _ { \bar { 0 } } \left( \cdot , \cdot , s \right) \right] - \mu _ { \mathbf { R } _ { 0 } } \left[ \int _ { 0 } ^ { \mathbf { t } _ { 0 } \wedge M } d s f \circ \hat { \pi } _ { \bar { 0 } } \left( \cdot , \cdot , s \right) \right] \right\vert \leq \epsilon \operatorname* { s u p } _ { \left( x , \omega , s \right) \in \mathfrak { V } } \left\vert f \left( x , \omega , s \right) \right\vert
\left( M _ { J , m } ^ { ( e ) } \right) _ { f i } = \sqrt { { \frac { 4 \pi } { ( 2 J + 1 ) } } } \int d ^ { 3 } x \rho _ { f i } ( \vec { x } ) | \vec { x } | ^ { J } Y _ { J m } ( { \frac { \vec { x } } { | \vec { x } | } } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n \bar { F } ( n ) } \sum _ { j = 0 } ^ { \lfloor a ( r n ) \rfloor } \bar { F } ( j ) } & { \leq \frac { a ( r n ) } { n \, \bar { F } ( n ) } = \frac { a ( r n ) } { r n \bar { F } ( r n ) } \cdot \frac { r \, \bar { F } ( r n ) } { \bar { F } ( n ) } } \\ & { \leq \frac { a ( r n ) } { r n \bar { F } ( r n ) } \cdot \frac { r \, \bar { F } ( a ( n ) ) } { \bar { F } ( n ) } \rightarrow 0 \cdot r = 0 } \end{array}