harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { w _ { x _ { 1 } } = \frac { \Vec { x _ { 3 } x } \times \Vec { x _ { 3 } x _ { 2 } } } { \Vec { x _ { 3 } x _ { 1 } } \times \Vec { x _ { 3 } x _ { 2 } } } } \\ { w _ { x _ { 2 } } = \frac { \Vec { x _ { 3 } x } \times \Vec { x _ { 3 } x _ { 1 } } } { \Vec { x _ { 3 } x _ { 2 } } \times \Vec { x _ { 3 } x _ { 1 } } } } \\ { w _ { x _ { 3 } } = 1 - w _ { x _ { 1 } } - w _ { x _ { 2 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left\| U ( I - V ) \right\| ^ { 2 } } & { = \left\| U \right\| ^ { 2 } - \left\| U V \right\| ^ { 2 } = k - \left\| U V \right\| ^ { 2 } = k - \left\| ( U V ) ^ { \top } \right\| ^ { 2 } = k - k ^ { \prime } + k ^ { \prime } - \left\| V U \right\| ^ { 2 } = k - k ^ { \prime } + \left\| V ( I - U ) \right\| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { i j } = } & { { } R ^ { - 3 } \left[ - \frac { 3 } { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \left( \hat { d } _ { 1 } \hat { d } _ { 1 } e ^ { - 2 i \phi } + \mathrm { { h . c . } } \right) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 , i } } & { { } = \left\langle \frac { \partial \varepsilon _ { i } } { \partial \mathbf { x } } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right\rangle c _ { 0 } + 2 \varepsilon _ { i } \left\langle \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial \mathbf { x } } , \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right\rangle + \varepsilon _ { i } c _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial \mathbf { x } ^ { 2 } } , } \\ { f _ { 2 , i } } & { { } = - \frac { 2 \varepsilon _ { i } c _ { 0 } } { | \partial S / \partial \mathbf { x } | } \sum _ { j , k } \frac { \partial S } { \partial x _ { j } } \frac { \partial S } { \partial x _ { k } } \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x _ { j } \partial x _ { k } } , } \end{array}
L ^ { \tau } ( \theta _ { 0 } , \gamma _ { 0 } ) ( q , u , \eta , \mathcal { T } , \mathcal { G } , \mathcal { F } , \gamma ) = \left( \begin{array} { l } { \overset { w _ { 0 } , \gamma _ { 0 } } { A } ( q , u , \eta ) + \tau \big ( \overset { w _ { 0 } , \gamma _ { 0 } } { P } + \overset { \theta _ { 0 } } { Q } \big ) ( q , u , \eta , \gamma ) + \overset { q _ { 0 } , u _ { 0 } , \eta _ { 0 } } { R } ( \mathcal { T } , \mathcal { G } , \mathcal { F } ) } \\ { \mathcal { T } , \mathcal { G } , \mathcal { F } , \gamma } \end{array} \right) .
- \omega ^ { 2 } \left( \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \right) \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, .
\begin{array} { r l } { \rho } & { = { { \rho } _ { 0 } } \left( 1 - { { \alpha } _ { 0 } } \delta T + { { \beta } _ { 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \mu } & { = { { \mu } _ { 0 } } \left( 1 + { { m } _ { 1 0 } } \delta T + { { m } _ { 2 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) , } \\ { { { C } _ { p } } } & { = { { C } _ { p 0 } } \left( 1 + { { c } _ { 1 0 } } \delta T + { { c } _ { 2 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \lambda } & { = { { \lambda } _ { 0 } } \left( 1 + { { l } _ { 1 0 } } \delta T + { { l } _ { 2 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) , } \\ { \alpha } & { = { { \alpha } _ { 0 } } \left( 1 + { { a } _ { 1 0 } } \delta T + { { a } _ { 2 0 } } \delta { { T } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } } & { = } & { | E _ { x } | ^ { 2 } + | E _ { y } | ^ { 2 } = I _ { 0 } + I _ { 1 } } \\ { S _ { 1 } } & { = } & { | E _ { x } | ^ { 2 } - | E _ { y } | ^ { 2 } = I _ { 0 } - I _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } & { = } & { E _ { x } E _ { y } ^ { * } + E _ { x } ^ { * } E _ { y } = 2 I _ { 2 } - I _ { 0 } - I _ { 1 } } \\ { S _ { 3 } } & { = } & { i ( E _ { x } E _ { y } ^ { * } - E _ { x } ^ { * } E _ { y } ) = 2 I _ { 3 } - I _ { 0 } - I _ { 1 } , } \end{array}
\Delta \kappa ( M _ { W \gamma } ^ { 2 } , p _ { W } ^ { 2 } = M _ { W } ^ { 2 } , p _ { \gamma } ^ { 2 } = 0 ) = { \frac { \Delta \kappa _ { 0 } } { ( 1 + M _ { W \gamma } ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } ) ^ { n } } } .
\begin{array} { r } { \tilde { \psi } _ { 1 } \left( \frac { \tilde { r } } { r _ { b } } \right) = \left\{ \begin{array} { c } { b _ { 1 } \frac { \tilde { r } } { r _ { b } } - \frac { 1 } { 8 } g \tilde { r } ^ { 3 } ~ ~ \tilde { r } < r _ { b } } \\ { b _ { 1 } \frac { \tilde { r } } { r _ { b } } - \frac { 1 } { 1 6 } g \tilde { r } \left\{ 2 \tilde { r } ^ { 2 } - 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } + \log \left[ \frac { \tilde { r } + \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } } } { \tilde { r } - \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } } } \right] \right\} ~ ~ r _ { b } < \tilde { r } \ll \infty } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { q } \| _ { 0 , \tau } \lesssim \| \boldsymbol { q } \| _ { 1 , \tilde { \omega } _ { \tau } } , } & { } & { \forall \tau \in \mathcal { T } _ { h } , } \\ { \| \boldsymbol { q } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { q } \| _ { 0 , \tau } \lesssim h _ { \tau } \| \boldsymbol { q } \| _ { 1 , \tilde { \omega } _ { \tau } } , } & { } & { \forall \tau \in \mathcal { T } _ { h } , } \\ { \| \boldsymbol { q } - \boldsymbol { P } _ { h } \boldsymbol { q } \| _ { 0 , e } \lesssim h _ { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \boldsymbol { q } \| _ { 1 , \tilde { \omega } _ { e } } , } & { } & { \forall e \in \mathcal { E } _ { h } , } \end{array}
\begin{array} { r } { H ( \tilde { \phi } _ { 1 } , \tilde { \phi } _ { 2 } , \tilde { q } _ { 1 } , \tilde { q _ { 2 } } ) = h _ { 3 } ( \tilde { q } _ { 1 } ) + \frac { \tilde { \phi } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 ( L _ { 1 } + L _ { 2 } ) } + \frac { L _ { 1 } L _ { 2 } \tilde { \phi } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 ( L _ { 1 } + L _ { 2 } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { h } ^ { o } } & { { } = } & { ( g _ { 1 , 1 } A + g _ { 1 , 2 } B ) + h ^ { 2 } ( g _ { 3 , 1 } [ A , [ A , B ] ] + g _ { 3 , 2 } [ B , [ A , B ] ] ) + \ldots } \\ { H _ { h } ^ { e } } & { { } = } & { h g _ { 2 , 1 } [ A , B ] + h ^ { 3 } ( g _ { 4 , 1 } [ A , [ A , [ A , B ] ] ] + \ldots ) + \ldots } \end{array}
Z = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d s } { s } T r _ { N S - R } \left[ \left( \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { F } } { 2 } \right) \left( \frac { e + h _ { 1 } + h _ { 2 } + h _ { 3 } } { 4 } \right) \mathrm { e } ^ { - 2 \pi s ( L _ { 0 } - a ) } \right]
\overline { { { M } } } _ { 1 } ^ { - 1 } + \overline { { { M } } } _ { 2 } ^ { - 1 } + \overline { { { M } } } _ { 3 } ^ { - 1 } = X _ { 1 1 } + X _ { 2 2 } + X _ { 3 3 } \equiv A ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { ( 2 \ell + 1 ) } { [ ( 2 \ell + 1 ) ! ! ] ^ { 2 } } k _ { o } ^ { 2 \ell + 1 } \cot \delta \simeq - \bigg ( 1 + \frac { ( 2 \ell + 1 ) k _ { o } ^ { 2 } } { ( 2 \ell - 1 ) ( 2 \ell + 3 ) } \bigg ) } \\ & { } & { \times \bigg ( \frac { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } - ( 2 \ell + 1 ) + E ( F _ { 2 } ^ { \prime ( 0 ) } + \frac { k _ { o } ^ { 2 } } { E } \frac { 1 } { 2 \ell - 1 } ) } { F _ { 2 } ^ { ( 0 ) } + E ( F _ { 2 } ^ { \prime ( 0 ) } - \frac { k _ { o } ^ { 2 } } { E } \frac { 1 } { 2 \ell + 3 } ) } \bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { \mu } _ { 1 } \cdot \vec { E } _ { 2 } \left( \vec { r } _ { 1 } \right) - \vec { m } _ { 1 } \cdot \vec { B } _ { 2 } \left( \vec { r } _ { 1 } \right) } & { = } & { \vec { \mu } _ { 2 } \cdot \vec { E } _ { 1 } \left( \vec { r } _ { 2 } \right) - \vec { m } _ { 2 } \cdot \vec { B } _ { 1 } \left( \vec { r } _ { 2 } \right) \, . } \end{array}
I _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = - 2 D p ^ { 2 } \int d ^ { D } k \frac { ( k ^ { 0 } ) ^ { 2 } } { k ^ { 4 } ( p - k ) ^ { 4 } ( k ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { f } ^ { 2 } ) } \, .
\begin{array} { r } { \textbf { L } ( t ) = \sum _ { i } ^ { N } \textbf { r } _ { i } ( t ) \times ( \textbf { p } _ { i } ( t + \delta t / 2 ) + \textbf { p } _ { i } ( t - \delta t / 2 ) ) / 2 } \\ { = \sum _ { i } ^ { N } \textbf { r } _ { i } ( t ) \times ( m _ { i } \textbf { r } _ { i } ( t + \delta t ) - m _ { i } \textbf { r } _ { i } ( t - \delta t ) ) / 2 \delta t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho _ { \mathrm { a } } } & { = - \frac { i } { \hbar } [ H _ { \mathrm { a } } , \rho _ { \mathrm { a } } ] + \frac { \Gamma ^ { \mathrm { B } } } { 2 } \mathcal { D } [ \sigma ^ { - } ] \rho _ { \mathrm { a } } } \\ & { + \frac { \Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { S E } } } { 2 } \mathcal { D } [ \sigma ^ { - } ] \rho _ { \mathrm { a } } + \frac { \Gamma _ { \mathrm { b a d } } ^ { \mathrm { g a i n } } } { 2 } \mathcal { D } [ \sigma ^ { + } ] \rho _ { \mathrm { a } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { o r i g } ^ { G o d } \left( u ^ { - } , u ^ { + } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \operatorname* { m i n } _ { u ^ { - } \leq u \leq u ^ { + } } f ( u ) , \qquad } & { \mathrm { i f ~ } u ^ { - } < u ^ { + } , } \\ { \operatorname* { m a x } _ { u ^ { + } \leq u \leq u ^ { - } } f ( u ) , \qquad } & { \mathrm { i f ~ } u ^ { - } \geq u ^ { + } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } _ { n } \big ( ( \gamma , \eta ) , \varphi \big ) } \\ { = } & { \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n - 1 , \tau } \big ) ( 1 - \alpha ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n - 1 , \tau , \kappa } \big ) ( 1 - \beta ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { L } _ { n - 1 , \kappa } \big ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { L } _ { n - 1 , \kappa - 1 } \big ) } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n - 1 , \tau } \big ) \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n - 1 , \tau - 1 } \big ) \alpha } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 0 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n - 1 , \tau , \kappa } \big ) \beta } \\ & { + \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( U = 1 ) \big ] \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n - 1 , \tau - 1 , \kappa - 1 } \big ) \beta } \\ & { + c \mathbf { P } ( U = 1 ) - d \alpha \mathbf { P } \big ( \mathfrak { J } _ { n , \tau } \big ) - d \beta \mathbf { P } \big ( \mathfrak { K } _ { n , \tau , \kappa } \big ) . } \end{array}
H _ { a } ( s ) = { \frac { b _ { 0 } s ^ { 2 } + b _ { 1 } s + b _ { 2 } } { a _ { 0 } s ^ { 2 } + a _ { 1 } s + a _ { 2 } } } = { \frac { b _ { 0 } + b _ { 1 } s ^ { - 1 } + b _ { 2 } s ^ { - 2 } } { a _ { 0 } + a _ { 1 } s ^ { - 1 } + a _ { 2 } s ^ { - 2 } } } \ .
{ \begin{array} { r l } & { \cos z : = { \frac { \exp ( i z ) + \exp ( - i z ) } { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } { \frac { z ^ { 2 k } } { ( 2 k ) ! } } , } \\ { { \mathrm { a n d ~ } } \quad } & { \sin z : = { \frac { \exp ( i z ) - \exp ( - i z ) } { 2 i } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } { \frac { z ^ { 2 k + 1 } } { ( 2 k + 1 ) ! } } } \end{array} }
\mu = \mu _ { 0 } \left( \frac { T } { T _ { 0 } } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { T _ { 0 } + T _ { S } } { T + T _ { S } } \mathrm { ~ , ~ a ~ n ~ d ~ } Z : = \frac { 3 ( 3 + \delta ) \mu _ { b } } { 2 \delta \mu } = \frac { Z _ { \infty } } { 1 + \frac { \pi ^ { 3 / 2 } } { 2 } \sqrt { \frac { T ^ { * } } { T } } + \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } + \pi \right) \frac { T ^ { * } } { T } }
\frac { 1 } { 8 z } + V ( z ) = \frac { 1 } { 8 z _ { 0 } } + V ( z _ { 0 } ) + \frac 1 2 ( z - z _ { 0 } ) ^ { 2 } \omega ^ { 2 } + O ( ( z - z _ { 0 } ) ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \langle X _ { n } ^ { 2 } ( 0 ) \rangle } & { = \langle X _ { n } ^ { 2 } ( t ) \rangle } \\ & { = \frac { k _ { B } T } { ( N + 1 ) \kappa } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \sin ^ { 2 } \left( \frac { n k \pi } { N + 1 } \right) \frac { 1 } { \left[ 1 - \cos \left( \frac { k \pi } { N + 1 } \right) \right] } } \\ & { = \frac { k _ { B } T } { \kappa } n \left( 1 - \frac { n } { N + 1 } \right) , } \end{array}
C = \frac { 2 \delta ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } \epsilon } + \frac { \delta ^ { 2 } \lambda } { 9 6 \pi ^ { 2 } \epsilon } \left[ \lambda _ { 1 } ( N _ { 1 } + 2 ) + \lambda _ { 2 } ( N _ { 2 } + 2 ) \right] \; ,
( \triangledown _ { y _ { j } } { \hat { L } } ) ^ { T } { \frac { \partial { \hat { L } } } { \partial y _ { j } \partial y _ { j } } } ( \triangledown _ { y _ { j } } { \hat { L } } ) \leq { \frac { \gamma ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } } { \bigg ( } { \frac { \partial { \hat { L } } } { \partial y _ { j } } } { \bigg ) } ^ { T } { \bigg ( } { \frac { \partial L } { \partial y _ { j } \partial y _ { j } } } { \bigg ) } { \bigg ( } { \frac { \partial { \hat { L } } } { \partial y _ { j } } } { \bigg ) } - { \frac { \gamma } { m \sigma ^ { 2 } } } \langle \triangledown _ { y _ { j } } L , { \hat { y _ { j } } } \rangle { \bigg | } { \bigg | } { \frac { \partial { \hat { L } } } { \partial y _ { j } } } { \bigg | } { \bigg | } ^ { 2 }
\ensuremath { \mathbf Ḋ \Gamma Ḍ } _ { \mathrm { Ḋ } L S L Ḍ } ( \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ) : = \ensuremath { \mathbf Ḋ y Ḍ } _ { \mathrm { Ḋ } r e f Ḍ } + \ensuremath { \mathbf Ḋ V Ḍ } \widetilde { \ensuremath Ḋ \mathbf Ḋ y Ḍ Ḍ } ( t ; \ensuremath { \boldsymbol Ḋ \mu Ḍ } ) ,
\begin{array} { r l } { \left. \operatorname { B T } \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } } & { = \frac { H ^ { 3 } } { 6 } \left( { w } _ { 5 } ^ { 2 } ( x _ { R } , t ) - { w } _ { 4 } ^ { 2 } ( x _ { R } , t ) + { w } _ { 4 } ^ { 2 } ( x _ { L } , t ) - { w } _ { 5 } ^ { 2 } ( x _ { L } , t ) \right) } \\ & { = \frac { H ^ { 3 } } { 6 } \left( ( \beta ^ { 2 } - 1 ) { w } _ { 4 } ^ { 2 } ( x _ { R } , t ) + ( \alpha ^ { 2 } - 1 ) { w } _ { 5 } ^ { 2 } ( x _ { L } , t ) \right) \leq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { - 1 } & { = } & { ( - 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) } \\ { 0 } & { = } & { ( 0 , - 1 , - 1 , 1 , 1 , - 2 , - 2 , - 2 , 2 , - 1 ) } \\ { 1 } & { = } & { ( 0 , 0 , 0 , 0 , - 1 , 1 , 1 , 1 , - 1 , 0 ) } \\ { 2 } & { = } & { ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , - 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) } \\ { 3 } & { = } & { ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , - 1 , 0 , 1 , 0 ) } \\ { 4 } & { = } & { ( 0 , 0 , 1 , 0 , - 1 , 1 , 1 , 0 , - 2 , - 1 ) } \\ { 5 } & { = } & { ( 0 , 0 , - 1 , - 1 , 0 , - 1 , - 1 , 0 , 2 , 1 ) } \\ { 6 } & { = } & { ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , - 1 , 0 ) } \\ { 7 } & { = } & { ( 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , - 1 , 0 ) } \\ { 8 } & { = } & { ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d f _ { | s \rangle } } { d t } = } & { - } & { \sum _ { l , j , p } \! \left( { \frac { \Gamma _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } } { 2 } } \right) \! { \frac { | \alpha _ { p , | s \rangle , | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } | ^ { 2 } I _ { l , p } / I _ { s a t } } { 1 + 4 ( \Delta _ { l , | s \rangle , | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } / \Gamma _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } ) ^ { 2 } } } \! ( f _ { | s \rangle } - f _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } ) } \\ & { + } & { \ \sum _ { j } \Gamma _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } | \boldsymbol { \alpha } _ { | s \rangle , | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } | ^ { 2 } f _ { | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } , \ \mathrm { a n d } } \\ { \frac { d f _ { | s ^ { \prime } \rangle } } { d t } = } & { + } & { \sum _ { l , i , p } \! \left( { \frac { \Gamma _ { | s ^ { \prime } \rangle } } { 2 } } \right) \! { \frac { | \alpha _ { p , | s \rangle , | s _ { j } ^ { \prime } \rangle } | ^ { 2 } I _ { l , p } / I _ { s a t } } { 1 + 4 ( \Delta _ { l , | s _ { i } \rangle , | s ^ { \prime } \rangle } / \Gamma _ { | s ^ { \prime } \rangle } ) ^ { 2 } } } \! ( f _ { | s _ { i } \rangle } - f _ { | s ^ { \prime } \rangle } ) } \\ & { - } & { \ \Gamma _ { | s ^ { \prime } \rangle } f _ { | s ^ { \prime } \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { F } _ { m } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } } \\ & { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { 1 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \cap L ^ { 2 } ( 0 , T ; H ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { \frac { 1 0 } { 3 } } ( 0 , T ; W ^ { 1 , \frac { 1 0 } { 3 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } } & { = \mathcal { P } _ { u } \bar { f } + ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { P } _ { \mathrm { o d d } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } = 0 + ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \bar { \mathcal { S } } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) } \\ & { = ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) ( \mathcal { I } - \mathcal { S } \mathcal { S } _ { u u } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { S } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) } \\ & { = ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { S } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) - ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { S } \mathcal { S } _ { u u } ^ { - 1 } \mathcal { P } _ { u } \mathcal { S } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) } \\ & { = ( \mathcal { I } - \mathcal { P } _ { u } ) \mathcal { S } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) = \mathcal { S } \bar { \mathcal { A } } _ { \mathrm { o e } } ( f _ { W } - \mathcal { P } _ { \mathrm { e v e n } } | _ { \overline { { \mathbb { V } } } } \, \bar { f } ) . } \end{array}
\frac { \left. \delta \mu _ { i } ^ { 2 } \right| ^ { m } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } = \underbrace { \left[ 2 \mathbf { Q } _ { p } ^ { - 1 } \operatorname { R e } \left( \mathbf { \tilde { H } } ^ { * } \mathbf { \mathcal { R } } ^ { * } \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } \right) \right] ^ { * } \mathbf { Q } _ { p } \delta \mathbf { p } ^ { m } } _ { \delta E _ { \mathbf { A } } ^ { m } } + \underbrace { \left( \frac { \nabla _ { \mathbf { \overline { { q } } } } \mu _ { i } ^ { 2 } } { \mu _ { i } ^ { 2 } } \right) ^ { * } \mathbf { Q } _ { q } \delta \mathbf { \overline { { q } } } ^ { m } } _ { \delta E _ { \mathbf { \overline { { q } } } } ^ { m } } ,
\begin{array} { r } { \varepsilon ^ { s } + \varepsilon ^ { l } = 1 } \\ { \varepsilon ^ { \alpha } = \frac { \mathrm { ~ V ~ o ~ l ~ u ~ m ~ e ~ } ^ { \alpha } } { \mathrm { ~ V ~ o ~ l ~ u ~ m ~ e ~ } ^ { t o t a l } } } \end{array}
{ \cal L } _ { 4 } ^ { 1 } = Q _ { 2 } \wedge [ e ^ { - { \frac { \phi } { 2 } } } ( d A - B _ { ( 2 ) } ) - { \frac { 1 } { 2 } } E ^ { b } \wedge E ^ { a } F _ { a b } ] \Big ) ,
M ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 4 \mathrm { d e t \ / } K ^ { + } } \left( \begin{array} { c c } { { c } } & { { - s } } \\ { { s } } & { { c } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { M _ { \eta } ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { M _ { \eta ^ { \prime } } ^ { - 1 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { c } } & { { s } } \\ { { - s } } & { { c } } \end{array} \right) \quad ,
\left\langle \sum _ { j = 1 } ^ { n } b _ { j } K _ { y _ { j } } , \sum _ { i = 1 } ^ { m } a _ { i } K _ { x _ { i } } \right\rangle _ { H _ { 0 } } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { n } { a _ { i } } b _ { j } K ( y _ { j } , x _ { i } ) ,
\begin{array} { r l r l } & { \mathrm { c o n s e r v a t i o n ~ o f ~ s p e c i e s } } & & { \phi \cfrac { \partial c } { \partial t } + \nabla \cdot ( { \bf q } \, c ) = 0 , } \\ & { \mathrm { i n c o m p r e s s i b i l i t y ~ c o n d i t i o n } } & & { \nabla \cdot { \bf q } = 0 , } \\ & { \mathrm { D a r c y ~ l a w } } & & { { \bf q } = - k \, m ( c ) \nabla p . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { u } _ { t + 1 } - u _ { \bar { x } _ { t + 1 } } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \tau \alpha _ { t } } { 4 } ) \| \bar { u } _ { t } - u _ { \bar { x } _ { t } } \| ^ { 2 } - \frac { \tau ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 4 } \| \bar { q } _ { t } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \frac { 9 \tau \alpha _ { t } } { 2 \mu } \underbrace { \| \nabla _ { y ^ { 2 } } g ( \bar { x } , y _ { \bar { x } } ) \bar { u } _ { t } - \nabla _ { y } f ( \bar { x } , y _ { \bar { x } } ) - \bar { q } _ { t } \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } + \frac { 9 \bar { L } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t } } { 2 \mu \tau } \| \bar { \nu } _ { t } \| ^ { 2 } } \end{array}
\langle { u ^ { j } u ^ { k } } \rangle = \langle { u _ { 0 0 } ^ { j } u _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \langle { u _ { 0 1 } ^ { j } u _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \langle { u _ { 0 0 } ^ { j } u _ { 0 1 } ^ { k } } \rangle + \delta \langle { u _ { 1 0 } ^ { j } u _ { 0 0 } ^ { k } } \rangle + \delta \langle { u _ { 0 0 } ^ { j } u _ { 1 0 } ^ { k } } \rangle + \cdots ,
\left[ - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 M _ { j } } \, \nabla ^ { 2 } + V _ { \mathrm { n u c l } } ^ { ( j ) } ( r ) \right] \Psi _ { n _ { r } , L _ { j } , M _ { L } } ( \mathbf { r } ) = \epsilon \Psi _ { n _ { r } , L _ { j } , M _ { L } } ( \mathbf { r } ) ,
\langle \psi ( { \bf p } _ { 1 } ) \psi ^ { + } ( { \bf p } _ { 2 } ) \rangle = \langle \phi ( { \bf p } _ { 2 } ) \phi ^ { + } ( { \bf p } _ { 1 } ) \rangle = f _ { 1 } \! \left( \frac { | { \bf p } _ { 1 } | } { | { \bf p } _ { 2 } | } \right) \frac { 1 + z _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } } { \sqrt { | { \bf p } _ { 1 } | | { \bf p } _ { 2 } | } } \, \delta _ { z \bar { z } } ( z _ { 1 } - z _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \hat { f } _ { \Omega } ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol U } ) = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } - \frac { 1 } { | \Omega _ { i } | } \sum _ { v \in \Omega _ { i } } { \boldsymbol y } _ { v } ^ { \top } { \boldsymbol g } \big ( { \boldsymbol W } , { \boldsymbol V } ; { \boldsymbol X } _ { \mathcal { N } ( v ) } \big ) } \end{array}
\kappa _ { s } ( q ) = \frac { \mathrm { \operatorname* { d e t } } \left( \underline { { s } } ^ { \prime } , \underline { { s } } ^ { \prime \prime } \right) } { \vert \vert \underline { { s } } ^ { \prime } \vert \vert ^ { 3 } } = \frac { \vert s _ { 1 } ^ { \prime } s _ { 2 } ^ { \prime \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime \prime } s _ { 2 } ^ { \prime } \vert } { \left[ ( s _ { 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( s _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \quad ,
S _ { N } ^ { ( 1 ) } ( x , y ) = K _ { N } ( x , y ) - \psi _ { 1 } ( x ) \sum _ { l = 1 } ^ { 4 } [ A C ( I - B A C ) ^ { - 1 } ] _ { l 1 } \ \varepsilon \psi _ { l } ( y ) - \psi _ { 2 } ( x ) \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } [ A C ( I - B A C ) ^ { - 1 } ] _ { k 2 } \ \varepsilon \psi _ { k } ( y ) ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } = \lambda _ { p } \sum _ { s = 1 } ^ { h } \Vert \widehat { \gamma } _ { t + \varepsilon } ^ { s } - \gamma _ { t + \varepsilon } ^ { s } \Vert _ { F } + \lambda _ { r } \sum _ { s = 1 } ^ { h } \Vert \mathbf { g } ^ { - 1 } \circ \mathbf { g } \left( \widehat { \gamma } _ { t } ^ { s } \right) - \gamma _ { t } ^ { s } \Vert _ { F } , } \end{array}