harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { d _ { w _ { \alpha } } ( f , g ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | h _ { f } ^ { ( \alpha ) } ( x ) - h _ { g } ^ { ( \alpha ) } ( x ) | \left( 1 - \frac { \alpha \| x \| ^ { 2 } } { 2 } \right) _ { + } ^ { \frac { 1 - \alpha } { \alpha } } \, d x , } & { \mathrm { i f } \quad \alpha \neq 0 , } \\ { \frac { 2 } { n } \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } | h _ { f } ( x ) - h _ { g } ( x ) | \, d \gamma _ { n } ( x ) , } & { \mathrm { i f } \quad \alpha = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ [ L _ { \omega _ { 0 } } , d _ { 1 } ^ { * } ] , [ L _ { \omega _ { 0 } } , d _ { 1 } ^ { * } ] \} } & { = [ L _ { \omega _ { 0 } } , \{ d _ { 1 } ^ { * } , [ L _ { \omega _ { 0 } } , d _ { 1 } ^ { * } ] \} ] } \\ & { = \frac 1 2 [ L _ { \omega _ { 0 } } ( 1 ) , [ L _ { \omega _ { 0 } } ( 1 ) , \{ d _ { 1 } ^ { * } , d _ { 1 } ^ { * } \} ] ] \quad \mathrm { b y ~ } } \\ & { = - \frac 1 2 [ L _ { \omega _ { 0 } } ( 1 ) , [ L _ { \omega _ { 0 } } ( 1 ) , \Lambda _ { \omega _ { 0 } } ] ] \quad \mathrm { b y ~ ( i i i ) } } \\ & { = - L _ { \omega _ { 0 } } ( 1 ) . } \end{array}
\hat { H } _ { l o c } = - t \sum _ { \langle i j \rangle , \sigma } ( c _ { i , \sigma } ^ { \dagger } c _ { j , \sigma } + c _ { j , \sigma } ^ { \dagger } c _ { i , \sigma } ) + U \sum _ { i } n _ { i \uparrow } n _ { i \downarrow } - h \sum _ { i } ( n _ { i \uparrow } - n _ { i \downarrow } )
\mathcal { T } _ { x x } \to \beta c ^ { 2 } \biggl \{ b \, \textrm { e } ^ { \delta _ { 1 } ^ { 2 } } \Gamma ( 0 , Y ^ { 2 } ) - a _ { 1 } \biggl [ a _ { 2 } c \, \textrm { e } ^ { \delta _ { 1 } ^ { 2 } } \sqrt { \frac { 2 \pi \textrm { e } ^ { \delta _ { 1 } ^ { 2 } } } { 3 } } \textrm { e r f c } \biggl ( \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } Y \biggr ) - \textrm { e } ^ { - ( Y ^ { 2 } - \delta _ { 1 } ^ { 2 } ) } \biggr ] \biggr \} ,
{ \cal G } _ { \omega } ( r , r ^ { \prime } , \theta ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } r ^ { 1 - D / 2 } \left[ e _ { n } H _ { \nu } ^ { ( 1 ) } ( k r ) + f _ { n } H _ { \nu } ^ { ( 2 ) } ( k r ) \right] C _ { n } ^ { ( - 1 + { D / 2 } ) } ( z ) \quad ( r ^ { \prime } > r > a ) .
\begin{array} { r } { F = \frac { 1 } { N } \sum _ { i \in V } \left( \frac { d _ { i } } { 2 } - 1 \right) \log Z _ { \Psi _ { i } } - \frac { 1 } { N } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i \in V } \sum _ { j \in \partial i } \log z _ { \Psi _ { i } \to j } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { B } ^ { \tau } } & { { } = } & { \frac { b - d _ { B } } { b + d _ { E } } v _ { E } ^ { \tau } + \frac { d _ { E } + d _ { B } } { b + d _ { E } } v _ { C } ^ { \tau } , } \\ { v _ { B } ^ { n } } & { { } = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { E } } ( v _ { E } ^ { n } - v _ { C } ^ { n } ) + v _ { C } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 2 } ^ { q } } { = - \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } T k _ { B } \mathcal { T } - \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } R T \left( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \right) . } } \end{array}
w _ { x } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { x } ( t - 1 ) + w _ { x - 1 } ( t - 1 ) \quad } & { \mathrm { ~ i f ~ ( x - 1 ) \in ~ \mathcal { J } _ { t - 1 } ~ } } \\ { w _ { x } ( t - 1 ) } & { \mathrm { ~ i f ~ ( x - 1 ) \notin ~ \mathcal { J } _ { t - 1 } ~ } } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ x = t ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ x > t ~ o r ~ x \notin ~ \mathcal { J } _ { t - 1 } ~ } , } \end{array} \right. \mathrm { f o r ~ } x \in [ 0 , t ] \mathrm { ~ a n d ~ } t \in \mathbb { N }
\begin{array} { r l } & { \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } , t , s ) = \int _ { s } ^ { t } \nabla _ { \textbf { k } } \omega _ { g } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) } d t ^ { \prime } = 0 , } \\ & { \omega _ { g } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } = 0 , } \\ & { \omega _ { g } ^ { \textbf { k } } + \textbf { F } ( t ) \cdot \Delta \textbf { r } ( \textbf { k } , t , s ) = \omega . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \alpha = \beta = { \frac { 1 8 0 ^ { \circ } - \gamma } { 2 } } = 9 0 ^ { \circ } - { \frac { \gamma } { 2 } } } \\ & { \sin \alpha = \sin \beta = \sin \left( 9 0 ^ { \circ } - { \frac { \gamma } { 2 } } \right) = \cos \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } \\ & { { \frac { c } { \sin \gamma } } = { \frac { a } { \sin \alpha } } = { \frac { x } { \cos \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } } } \\ & { { \frac { c \cos \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) } { \sin \gamma } } = x } \end{array} }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! \! d \eta \, \frac { \mu ^ { 2 } ( \eta ) } { \hat { s } ^ { 2 } ( \eta , \! Z ) } = \xi \! + \! 2 \hat { \Delta } ( \xi , \! Z ) , \: \: \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! \! d \eta \, \frac { \mu ( \eta ) } { \hat { s } ( \eta , \! Z ) } \le \xi \! + \! \hat { \Delta } ( \xi , \! Z ) , \: \: \int _ { 0 } ^ { \xi } \! \! \! d \eta \, \sqrt { \! \frac { \mu ( \eta ) } { \hat { s } ( \eta , \! Z ) } } \le \xi \! + \! \frac 1 2 \hat { \Delta } ( \xi , \! Z ) . \quad } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 3 } & { 5 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 1 } \\ { - 2 6 } \\ { 1 6 } \end{array} \right] } = 0 \quad \mathrm { a n d } \quad { \left[ \begin{array} { l l l } { - 4 } & { 2 } & { 3 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { - 1 } \\ { - 2 6 } \\ { 1 6 } \end{array} \right] } = 0 \mathrm { , }
\begin{array} { r l } { S _ { N } ^ { 2 } } & { = \mathbb { E } [ \ell _ { 1 } ^ { 2 } ] + \frac { 4 n } { ( n - 2 ) ^ { 2 } } \mathbb { E } [ q _ { 1 2 } ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big [ ( \ell _ { i } ^ { 2 } - \mathbb { E } [ \ell _ { 1 } ^ { 2 } ] ) + 4 g _ { i } \big ] + 4 \binom { n - 1 } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { i < j } \varphi _ { i j } + \mathcal { S } _ { \mathfrak { c } } , } \end{array}
| \phi \rangle = \exp \sum _ { a } \left( C _ { 1 } \left( \left| \vec { p } \right| \right) A _ { \vec { p } , 1 } ^ { a + } A _ { \vec { p } , 1 } ^ { a + } + C _ { 2 } \left( \left| \vec { p } \right| \right) A _ { \vec { p } , 2 } ^ { a + } A _ { \vec { p } , 2 } ^ { a + } + C _ { 3 } \left( \left| \vec { p } \right| \right) \left( B _ { \vec { p } } ^ { a + } A _ { \vec { p } } ^ { L , a + } + i \overline { { { c } } } _ { \vec { p } } ^ { a + } c _ { \vec { p } } ^ { a + } \right) \right) \mid 0 \rangle
\hat { H } _ { X X Z } = \sum _ { k = 1 } ^ { M } ( \hat { \sigma } _ { x } ^ { ( k ) } \hat { \sigma } _ { x } ^ { ( k + 1 ) } + \hat { \sigma } _ { y } ^ { ( k ) } \hat { \sigma } _ { y } ^ { ( k + 1 ) } + \Delta \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( k ) } \hat { \sigma } _ { z } ^ { ( k + 1 ) } ) .
\Gamma _ { + } ^ { 3 } ( m ) = \frac { - e ^ { 2 } } { 1 6 \pi } \int d t ~ d ^ { 3 } { \bf x } ~ \epsilon _ { i j k } a _ { j } \dot { a } _ { i } ~ \frac { \partial } { \partial x _ { k } } e ^ { - m | { \bf x } | } .
f _ { i } ^ { \mathrm { i n ( e q ) } } \left( \textbf { x } , t \right) = w _ { i } \rho _ { \mathrm { i n } } ( \textbf { x } , t ) \bigg [ 1 + \frac { \textbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { u } _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { x } , t ) } { c _ { s } ^ { 2 } } + \frac { \left[ \textbf { c } _ { i } \cdot \mathbf { u } _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { x } , t ) \right] ^ { 2 } } { 2 c _ { s } ^ { 4 } } - \frac { \left[ \mathbf { u } _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { x } , t ) \cdot \mathbf { u } _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { x } , t ) \right] } { 2 c _ { s } ^ { 2 } } \bigg ] \; .
\begin{array} { r } { S ( ^ { 2 2 5 } \mathrm { ~ R ~ a ~ } , g ) \approx ( - 2 . 6 g \bar { g } _ { 0 } + 1 2 . 9 g \bar { g } _ { 1 } - 6 . 9 g \bar { g } _ { 2 } ) \ e \cdot \mathrm { ~ f ~ m ~ } ^ { 3 } \, . } \end{array}
4 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} + \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} + 4 \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} | \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} | ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ | a _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { 2 } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \}
x _ { 1 } = \frac { 2 n _ { 1 } } { N } = \bar { r } \sin \theta \cos \phi , \quad x _ { 2 } = \frac { 2 n _ { 2 } } { N } = \bar { r } \sin \theta \cos \phi , \quad x _ { 3 } = \frac { 2 n _ { 3 } } { N } = \bar { r } \cos \theta ,
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + \varepsilon ) , t _ { 0 } + \varepsilon ) \le } & { P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) - \varepsilon \gamma \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| ^ { 2 } + \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| \| R ( t _ { 0 } + \varepsilon ) \| } \\ & { + \frac { H _ { P x } } { 2 } \big ( \varepsilon \gamma \| \nabla _ { x } P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) \| + \| R ( t _ { 0 } + \varepsilon ) \| \big ) ^ { 2 } + L _ { P t } \varepsilon . } \end{array}
\xi _ { \phi } \left( t \right) = \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d e t } } \sqrt { P \left( t \right) P \left( t - \tau _ { d } \right) } } \left( \sin { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \xi _ { I } \left( t \right) - \cos { \left( \Phi \left( t \right) \right) } \xi _ { Q } \left( t \right) \right) .
\varphi _ { \pm } = \mathrm { c o n s t . } , \; \; \; \; \; \; \; \; q ^ { 2 } = 2 a b , \; \; \; \; \; \; \; \; \, s i n ^ { 2 } \theta = { \mathrm { c o n s t . } } = b / a ,
\frac { \partial v _ { 3 } } { \partial \tilde { \ell } _ { 3 } } = \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial \ell _ { 3 } } = \left( 1 - e _ { 3 } ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \left( 1 + e _ { 3 } \cos v _ { 3 } \right) ^ { 2 } = \delta _ { 2 } ^ { - 3 } \left( 1 + \sqrt { 1 - \delta _ { 2 } ^ { 2 } } \, \cos v _ { 3 } \right) ^ { 2 } + O \left( \frac { L _ { 2 } } { L _ { 3 } ^ { * } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \hat { O } _ { 1 } } & { { } = \frac { \mathbf { p } \cdot \nabla } { m } + \frac { \mathbf { p } } { m } \cdot e \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d \lambda \mathbf { B } ( x + i \hbar \lambda \nabla _ { p } ) \times \nabla } \\ { \hat { O } _ { 2 } } & { { } = \frac { \nabla ^ { 2 } } { 4 m } - \frac { p ^ { 2 } } { m } - \frac { e \hbar ^ { 2 } } { 1 2 m } \nabla \cdot ( \mathbf { B } \times \nabla ) } \\ { D _ { t } } & { { } = \partial _ { t } + e \int _ { 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d \lambda \mathbf { E } ( x + i \hbar \lambda \nabla _ { p } ) \cdot \nabla _ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { L } = - 2 \int \int _ { V } \frac { \partial v } { \partial t } d x d y } & { { } + 2 \oint _ { S } \Bigg [ \frac { 1 } { 2 } ( v ^ { 2 } - u ^ { 2 } ) - x v \zeta - x \frac { \partial u } { \partial t } + \frac { 1 } { R e } \Big ( x \nabla ^ { 2 } u + \frac { \partial u } { \partial y } + \frac { \partial v } { \partial x } + 2 \frac { \partial v } { \partial y } \Big ) \Bigg ] d x } \end{array}
\eta _ { i } ( y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x _ { i } , } & { \mathrm { i f } \ \ M \le \kappa ( n ) , \ i \in \mathbb { U } \mathrm { ~ a n d ~ } J = 0 } \\ { \hat { x } _ { i 0 } , } & { \mathrm { i f } \ \ M \le \kappa ( n ) , \ i \notin \mathbb { U } \mathrm { ~ a n d ~ } J = 0 } \\ { \hat { x } _ { i 1 } , } & { \mathrm { i f } \ \ M > \kappa ( n ) \mathrm { ~ o r ~ } J = 1 , } \end{array} \right.
\left[ \begin{array} { l l } { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { c e l l } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { c e l l } } } & { - a \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } } \\ { - a ^ { \dagger } \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } } & { ( 1 + \beta ) \mathbf { K } _ { \mathrm { e x } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { c e l l } } - \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { c e l l } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \hat { \mathbf { u } } _ { 0 } } \\ { \hat { \mathbf { u } } _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } \end{array} \right] \, .
P \left( \lambda \right) + \Delta P \left( \lambda \right) = \lambda ^ { d } \left( A _ { d } + \varepsilon \Delta _ { d } \left( \varepsilon \right) \right) + \lambda ^ { d - 1 } \left( A _ { d - 1 } + \varepsilon \Delta _ { d - 1 } \left( \varepsilon \right) \right) + \ldots + \left( A _ { 0 } + \varepsilon \Delta _ { 0 } \left( \varepsilon \right) \right)
\begin{array} { r l } { \vec { u } _ { - } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { C s i n ( k _ { 0 } z ) - A c o s ( k _ { 0 } x ) } \\ { - B c o s ( k _ { 0 } y ) } \end{array} \right] } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \rho _ { \mathrm { C B } } u _ { \mathrm { c o n v } } ^ { 2 } = \int _ { r _ { \mathrm { C B } } } ^ { r _ { \mathrm { C B } } + \delta _ { \mathrm { o v } } } F _ { \mathrm { b u o y } } \, d r \sim \delta _ { \mathrm { o v } } \ensuremath { \left\langle F _ { \mathrm { b u o y } } \right\rangle } ,
J _ { r } = { \frac { e n } { 4 } } ( J _ { 2 } + { \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } J _ { 2 } } } - { \frac { 2 r _ { 1 } } { \sigma } } ) = { \frac { e n } { 4 } } ( J _ { r } + J _ { 1 } + { \frac { r _ { 1 } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } J _ { 2 } } } - { \frac { 2 r _ { 1 } } { \sigma } } ) ~ .
\begin{array} { r } { \varphi ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { i f ~ } \xi \leqslant \xi _ { 4 } } \\ { E _ { 0 } \frac { ( \xi - \xi _ { 4 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \xi _ { 3 } - \xi _ { 4 } ) } , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 4 } < \xi \leqslant \xi _ { 3 } } \\ { E _ { 0 } \frac { \xi _ { 0 } - \xi _ { 4 } } { 2 } - E _ { 0 } \frac { ( \xi _ { 0 } - \xi ) ^ { 2 } } { 2 ( \xi _ { 0 } - \xi _ { 3 } ) } , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 3 } < \xi \leqslant \xi _ { 0 } } \\ { E _ { 0 } \frac { \xi _ { 2 } - \xi _ { 0 } } { 2 } - E _ { 0 } \frac { ( \xi - \xi _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \xi _ { 1 } - \xi _ { 0 } ) } , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 0 } < \xi \leqslant \xi _ { 1 } } \\ { E _ { 0 } \frac { ( \xi - \xi _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } ) } , } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 1 } < \xi \leqslant \xi _ { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \xi _ { 2 } < \xi . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { D } } & { = \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ( \mathbf { M } ^ { D } ) = p _ { \mathbb { S } } ( 1 , 0 , - 1 ) , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { K ^ { - } } } & { = \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ( \mathbf { M } ^ { K ^ { - } } ) = p _ { \mathbb { S } } ( - \nu , - \nu , \nu - 1 ) , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 1 ^ { - } } } & { = p _ { \mathbb { S } } ( 1 - 3 \nu , \nu - 1 , \nu - 1 ) , } \\ { \hat { \boldsymbol { \Lambda } } ^ { 2 ^ { - } } } & { = p _ { \mathbb { S } } ( - 2 \nu , - 1 , - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \langle \Tilde { F } _ { D } , m _ { \Tilde { F } , D } \rvert \hat { Q } _ { q = m _ { \Tilde { F } , D } - m _ { \Tilde { F } , S } } \lvert \Tilde { F } _ { S } , m _ { \Tilde { F } , S } \rangle } \\ & { = g ^ { ( q ) } \left( \gamma , \phi \right) \langle J _ { D } = 5 / 2 \rvert \lvert \hat { Q } \rvert \lvert J _ { S } = 1 / 2 \rangle \langle \Tilde { F } _ { S } , m _ { \Tilde { F } , S } ; k = 2 , q = m _ { \Tilde { F } , D } - m _ { \Tilde { F } , S } \lvert \Tilde { F } _ { D } , m _ { \Tilde { F } , D } \rangle , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } } } }
\frac { \partial \underline { { f } } ^ { s } } { \partial \underline { { q } } ^ { s } } = \begin{array} { l } { \left( \begin{array} { l l l l } { u } & { a } & { 0 } & { 0 } \\ { a } & { u } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { u } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { u } \end{array} \right) } \end{array}
G _ { d } ( N ) \equiv ( 2 N - 1 ) ! \ldots 3 ! 1 ! = { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { N / 2 } } } 2 ^ { N ( N + 1 ) } G _ { 2 } ( N + 1 ) G _ { 2 } ( N + { \frac { 3 } { 2 } } )
\begin{array} { r } { { S _ { \alpha \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , s h } } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E \bigg ( \sum _ { \gamma } T _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( f _ { \gamma } - f _ { \alpha } ) } \\ { + M _ { \alpha } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } f _ { \alpha } ^ { 2 } - \sum _ { \gamma \delta } \sum _ { \rho \rho ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } T r ( s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma \rho ^ { \dagger } } s _ { \alpha \delta } ^ { \sigma \rho ^ { \prime } } s _ { \alpha \delta } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho ^ { \dagger } } s _ { \alpha \gamma } ^ { \sigma ^ { \prime } \rho } ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H ( g _ { m } ( f _ { m } ( S , Q ) ) ) } & { \stackrel { ( a ) } { = } } & { H ( g _ { m } ( f _ { m } ( S , Q ) ) ) - H ( g _ { m } ( f _ { m } ( S , Q ) ) | S , Q ) } \\ & { \stackrel { ( b ) } { = } } & { I ( S , Q ; g _ { m } ( f _ { m } ( S , Q ) ) ) } \\ & { \stackrel { ( c ) } { \geq } } & { I ( { \mathbf { v } ( S ) } , { \mathbf { v } ( Q ) } ; { \mathbf { v } ( g _ { m } ( f _ { m } ( S , Q ) ) ) } ) } \end{array}
g = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { b } } & { { 1 } } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { c c } { { e ^ { a / 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - a / 2 } } } \end{array} \right) \, \left( \begin{array} { r r } { { \cos \theta } } & { { \sin \theta } } \\ { { - \sin \theta } } & { { \cos \theta } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { k ! } \cdot \frac { d ^ { k } } { d t ^ { k } } [ x ^ { n } ] \frac { G ( x ) ^ { 2 } } { 1 - R ( x ) } } & { = \frac { 1 } { k ! } \cdot [ x ^ { n } ] \frac { d ^ { k } } { d t ^ { k } } \frac { G ( x ) ^ { 2 } } { 1 - R ( x ) } } \\ & { = [ x ^ { n - k } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } \cdot ( G + 1 - R ) ^ { 2 } } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { n - k } [ x ^ { j } ] ( 1 - R ) ^ { - ( k + 1 ) } \cdot [ x ^ { n - k - j } ] \left( G + 1 - R \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } ^ { N } ( \rho _ { S } h _ { S } ) + \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } ( \rho _ { S } h _ { S } v _ { S } - q _ { S } ) } & { = \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } h _ { S } - { \mathrm { d i v } } _ { \Gamma } q _ { S } } \\ & { = e _ { D _ { S } } + D _ { t } ^ { S } \pi _ { S } + q _ { B } \cdot n _ { \Gamma } - q _ { A } \cdot n _ { \Gamma } , } \end{array}
h _ { - } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \frac { \mathcal { E } ^ { \ell } - \mathcal { E } ^ { \ell - 1 } } { \mathcal { E } ^ { \ell + 1 } - \mathcal { E } ^ { \ell } } , \qquad \textnormal { a n d } \qquad h _ { + } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \frac { \mathcal { E } ^ { \ell + 2 } - \mathcal { E } ^ { \ell + 1 } } { \mathcal { E } ^ { \ell + 1 } - \mathcal { E } ^ { \ell } }
\begin{array} { r } { Y _ { \mathrm { e } } \left( \begin{array} { l } { B _ { \mathrm { L } } } \\ { B _ { \mathrm { T } } } \end{array} \right) = Z _ { \mathrm { e } } \left( \begin{array} { l } { A _ { \mathrm { L } } ^ { ( N ) } } \\ { A _ { \mathrm { T } } ^ { ( N ) } } \\ { B _ { \mathrm { L } } ^ { ( N ) } } \\ { B _ { \mathrm { T } } ^ { ( N ) } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { T } } & { = } & { \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { \mathcal { I } } { e _ { L } } + \sum _ { l = 1 } ^ { L - 1 } \mathbf { u } _ { l } ( \frac { 1 } { e _ { l } } - \frac { 1 } { e _ { L } } ) \mathbf { u } _ { l } ^ { \top } \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \Sigma = \rho \varsigma \mathcal { I } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \rho _ { 2 } } ^ { G } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { G } } & { { } = \omega F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , e } + \bar { \omega } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , c } + F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c , c ^ { 2 } } + \bar { \omega } F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c ^ { 2 } , e } + \omega F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c ^ { 2 } , c } + F _ { \rho _ { 2 } } ^ { c , e } F _ { \rho _ { 1 } } ^ { c ^ { 2 } , c ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert \bar { A } _ { i } - \bar { A } \rVert } & { = \lVert \Phi ^ { \top } D ^ { ( i ) } ( \Phi - \gamma P ^ { ( i ) } \Phi ) - \Phi ^ { \top } \bar { D } ( \Phi - \gamma \bar { P } \Phi ) \rVert } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \le } \gamma \lVert \Phi \rVert ^ { 2 } \lVert D ^ { ( i ) } \rVert \lVert P ^ { ( i ) } - \bar { P } \rVert + \lVert \Phi \rVert ^ { 2 } \lVert D ^ { ( i ) } - \bar { D } \rVert \lVert ( I - \gamma \bar { P } ) \rVert } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \le } \gamma \sqrt { n } \epsilon + ( 1 + \gamma ) [ 2 ( n - 1 ) \epsilon + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) ] = A ( \epsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } \left( \frac { \partial W ^ { \prime } } { \partial \theta _ { x _ { i } ^ { \prime } } } \right) - \frac { \partial W ^ { \prime } } { \partial \theta } + \tilde { g } _ { i } ^ { \prime } \frac { \partial n _ { i } } { \partial \theta } } & { = 0 , } \\ { - \frac { \partial \pi ^ { \prime } } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } + \tilde { g } _ { k } ^ { \prime } \frac { \partial n _ { k } } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } + \frac { \partial \tilde { t } _ { i k } ^ { \prime } } { \partial x _ { k } ^ { \prime } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial v _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { i } ^ { \prime } } } & { = 0 . } \end{array}
\frac { 1 } { T ^ { \mathrm { { o n } } } ( p ) } = \frac { 1 } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } C _ { 2 n } p ^ { 2 n } } + \frac { M \mu } { 4 \pi ^ { 2 } } + \frac { i M p } { 4 \pi } .
\begin{array} { r l r } { w _ { L } } & { = } & { w _ { j } + \nabla w \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } ( { \bf g } - \overline { { \bf g } } _ { j } ) \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) } \\ & { = } & { w _ { j } + { \bf g } \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 } ( { \bf g } - \overline { { \bf g } } _ { j } ) \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) } \\ & { = } & { w _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \bf g } + \overline { { \bf g } } _ { j } \right) \cdot ( { \bf x } - { \bf x } _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { J } } & { { } = \mathrm { j } \otimes 1 + 1 \otimes \mathrm { j } } \\ { \mathrm { J } _ { \mathrm { z } } } & { { } = \mathrm { j } _ { \mathrm { z } } \otimes 1 + 1 \otimes \mathrm { j } _ { \mathrm { z } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { v _ { x 1 } q _ { x 1 } = v _ { x 1 } \left( k _ { x } + \frac { e A _ { x 1 } } { \hbar } \right) } \\ & { } & { ~ ~ = b v _ { x 2 } q _ { x 2 } = b v _ { x 2 } \left( k _ { x } + \frac { e A _ { x 2 } } { \hbar } \right) , } \\ & { } & { v _ { y 1 } q _ { y 1 } = v _ { y 1 } \left( k _ { y } + \frac { e A _ { y 1 } } { \hbar } \right) } \\ & { } & { ~ ~ = b v _ { y 2 } q _ { y 2 } = b v _ { y 2 } \left( k _ { y } + \frac { e A _ { y 2 } } { \hbar } \right) , } \\ & { } & { M _ { 1 } = b M _ { 2 } } \end{array}
c ^ { A _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } ( r ) = 2 c ^ { A _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } ( r ) = 2 - \frac { 2 \, \, \pi ^ { 2 } B ( 2 - B ) } { 3 ( \beta - \ln ( r / 2 ) ) ^ { 2 } } \quad .
\delta \alpha _ { 2 } ^ { i } = - D ^ { i } { \frac { 1 } { \partial D } } \delta \tilde { \rho } _ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon ^ { i j } \partial ^ { j } { \frac { 1 } { D \partial } } \delta \alpha _ { 1 } \times \delta \alpha _ { 1 }