harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \nabla _ { N } ^ { \varepsilon } N , X _ { \theta } \rangle _ { \varepsilon } } & { = - \langle \nabla _ { N } ^ { \varepsilon } X _ { \theta } , N \rangle _ { \varepsilon } } \\ & { = - \langle [ N , X _ { \theta } ] , N \rangle _ { \varepsilon } } \\ & { = - ( X _ { 1 } \delta ) ^ { 2 } c _ { \theta 1 } ^ { 1 } - ( X _ { 1 } \delta ) ( X _ { 2 } \delta ) ( c _ { \theta 2 } ^ { 1 } + c _ { \theta 1 } ^ { 2 } ) - ( X _ { 2 } \delta ) ^ { 2 } c _ { \theta 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { m = 1 } ^ { l } \sum _ { \lambda = 1 } ^ { l - m - 1 } \alpha _ { m \lambda } = \sum _ { \lambda = 1 } ^ { l - 1 } \sum _ { m = 1 } ^ { - \lambda + l - 1 } \alpha _ { m \lambda } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { I V a r } _ { f _ { \theta } } ( \widehat f ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \operatorname { V a r } _ { f _ { \theta } } ( \widehat f ( x ) ) \, d x = \int _ { 0 } ^ { 1 } E _ { f _ { \theta } } \Big [ \big ( \widehat f ( x ) ) - E _ { f _ { \theta } } [ \widehat f ( x ) ] \big ) ^ { 2 } \Big ] \, d x } \\ & { = E _ { f _ { \theta } } \Big [ \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( \widehat f ( x ) ) - E _ { f _ { \theta } } [ \widehat f ( x ) ] \big ) ^ { 2 } \, d x \Big ] } \\ & { = E _ { f _ { \theta } } \Big [ \big \| \widetilde f + ( \widehat f - \widetilde f ) - E _ { f _ { \theta } } \big [ \widetilde f + ( \widehat f - \widetilde f ) \big ] \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \Big ] } \\ & { = E _ { f _ { \theta } } \Big [ \big \| \widetilde f - E _ { f _ { \theta } } [ \widetilde f ] \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \Big ] + E _ { f _ { \theta } } \Big [ \big \| \widehat f - \widetilde f - E _ { f _ { \theta } } [ \widehat f - \widetilde f ] \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \Big ] } \\ & { \geq E _ { f _ { \theta } } \Big [ \big \| \widetilde f - E _ { f _ { \theta } } [ \widetilde f ] \big \| _ { 2 } ^ { 2 } \Big ] } \\ & { = \operatorname { I V a r } _ { f _ { \theta } } ( \widetilde f ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { K } { 2 } \partial _ { s } \ln \left[ 1 + a _ { 1 1 } + \frac { 5 } { 2 } a _ { 0 0 } ^ { ( 1 ) } \right] = } & { \frac { 4 } { 3 } \Bigg [ \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 2 0 } + \frac { 1 } { 2 } \mu _ { 0 2 } } \\ & { - \frac { \mu _ { 0 0 } ^ { ( 2 ) } } { 1 + a _ { 1 1 } + \frac { 5 } { 2 } a _ { 0 0 } ^ { ( 1 ) } } \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K } & { = } & { - \sin ^ { 2 } \beta \, , } \\ & { } & \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { ( r a d ) } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { h _ { 0 } ^ { 2 } \, , } \\ & { } & \\ { \frac { 8 \pi G } { 3 } \, \rho _ { \mathrm { ( d u s t ) } } ^ { ( 0 ) } } & { = } & { - 2 h _ { 0 } \sin \beta < 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ) \int \kappa ( \tilde { \theta } , \tilde { \theta } ^ { \prime } , \tilde { \rho } _ { t } ) \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) P ( \tilde { \theta } , \tilde { \theta } ^ { \prime } , \tilde { \rho } _ { t } ) \left( \nabla _ { \tilde { \theta } } \frac { \delta \tilde { \mathcal { E } } } { \delta \tilde { \rho } } \Bigr | _ { \tilde { \rho } = \tilde { \rho } _ { t } } \right) ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) \mathrm { d } \tilde { \theta } ^ { \prime } \Bigr ] } \\ { = } & { \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ) \int \kappa ( \tilde { \theta } , \tilde { \theta } ^ { \prime } , \tilde { \rho } _ { t } ) \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) P ( \tilde { \theta } , \tilde { \theta } ^ { \prime } , \tilde { \rho } _ { t } ) A ^ { - T } \left( \nabla _ { \theta } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \rho } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } \right) ( \varphi ^ { - 1 } ( \tilde { \theta } ^ { \prime } ) ) \mathrm { d } \tilde { \theta } ^ { \prime } \Bigr ] } \\ { = } & { \nabla _ { \tilde { \theta } } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ) \int \kappa ( \tilde { \theta } , \varphi ( \theta ^ { \prime } ) , \tilde { \rho } _ { t } ) { \rho } _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) P ( \tilde { \theta } , \varphi ( \theta ^ { \prime } ) , \tilde { \rho } _ { t } ) A ^ { - T } \left( \nabla _ { \theta } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \rho } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } \right) ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \Bigr ] } \\ { = } & { \nabla _ { \theta } \cdot \Bigl [ \tilde { \rho } _ { t } ( \tilde { \theta } ) \int \kappa ( \tilde { \theta } , \varphi ( \theta ^ { \prime } ) , \tilde { \rho } _ { t } ) { \rho } _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) A ^ { - 1 } P ( \tilde { \theta } , \varphi ( \theta ^ { \prime } ) , \tilde { \rho } _ { t } ) A ^ { - T } \left( \nabla _ { \theta } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \rho } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } \right) ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } \Bigr ] } \\ { = } & { ( \nabla _ { \theta } \cdot \mathsf { f } ) \cdot | A ^ { - 1 } | } \\ & { \mathsf { f } = \rho _ { t } ( \theta ) \int \kappa ( \tilde { \theta } , \varphi ( \theta ^ { \prime } ) , \tilde { \rho } _ { t } ) { \rho } _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) A ^ { - 1 } P ( \tilde { \theta } , \varphi ( \theta ^ { \prime } ) , \tilde { \rho } _ { t } ) A ^ { - T } \left( \nabla _ { \theta } \frac { \delta \mathcal { E } } { \delta \rho } \Bigr | _ { \rho = \rho _ { t } } \right) ( \theta ^ { \prime } ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } , } \end{array}
{ \frac { \ddot { a } } { a } } = - { \frac { 1 } { L ^ { 2 } } } \left[ p ( \bar { E } ^ { 2 } - \bar { P } _ { \phi } ^ { 2 } ) \left( { \frac { L } { a } } \right) ^ { 2 ( p + 1 ) } - ( p - 1 ) \bar { E } ^ { 2 } \left( { \frac { L } { a } } \right) ^ { 2 p } + ( p - 1 ) \bar { P } _ { \phi } \left( { \frac { L } { a } } \right) ^ { p + 1 } \right] ,
p \times q = ( c _ { 1 } d _ { 2 } - d _ { 1 } c _ { 2 } ) \mathbf { i } + ( d _ { 1 } b _ { 2 } - b _ { 1 } d _ { 2 } ) \mathbf { j } + ( b _ { 1 } c _ { 2 } - c _ { 1 } b _ { 2 } ) \mathbf { k } \, .
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } ( \mathcal { P } _ { 0 } ( z ) ) } & { = - \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \left\{ \operatorname { R e } \left( \log \left( \frac { 1 + \sqrt { z } } { 1 - \sqrt { z } } \right) \right) ^ { 2 } \right\} } \\ & { = - \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \left( \log \left( \sqrt { \frac { \mu _ { 1 } ( r , c ) } { \mu _ { 2 } ( r , c ) } } \right) \right) ^ { 2 } + \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \left( \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 2 \sqrt { 1 - c ^ { 2 } } \sqrt { r } } { 1 - r } \right) \right) ^ { 2 } } \\ & { = : \mathcal { G } ( r , c ) . } \end{array}
\Sigma _ { A } ( \bar { p } ) \simeq \frac { i e ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } | e H | \int d q _ { 0 } d q _ { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - r ^ { 2 } } \frac { G _ { 1 } } { q ^ { 2 } } \frac { \Sigma _ { A } ( \bar { p " } ) } { \bar { p " } ^ { 2 } + \Sigma _ { A } ( \bar { p " } ) }
\xi _ { \perp } ( q ^ { 2 } ) = \xi _ { \perp } ( 0 ) \left( \frac { 1 } { 1 - q ^ { 2 } / M _ { B } ^ { 2 } } \right) ^ { \! 2 } , \qquad \xi _ { \parallel } ( q ^ { 2 } ) = \xi _ { \parallel } ( 0 ) \left( \frac { 1 } { 1 - q ^ { 2 } / M _ { B } ^ { 2 } } \right) ^ { \! 3 } ,
\begin{array} { r } { \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha i } R _ { i \beta } X _ { i \beta } = \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha i } R _ { i \beta } X _ { i \beta } = - \sum _ { \alpha \neq \beta } H _ { i \alpha } \left( R _ { i i } \sum _ { \mu } R _ { \alpha \mu } ^ { ( i ) } H _ { \mu i } R _ { i \beta } X _ { i \beta } \right) } \end{array}
h = \frac { 8 \pi } { 1 5 } l _ { p } ^ { \prime 6 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { n _ { 0 } = - \infty } ^ { \infty } \frac { Q _ { n } } { \left( | \vec { r } - \vec { r } _ { n } | ^ { 2 } + ( x _ { 1 1 } - x _ { n 1 1 } + n _ { 0 } R _ { 1 1 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } ,
\begin{array} { c } { { e _ { 0 } = b _ { 1 } ^ { - } b _ { n + 1 } ^ { + } , ~ ~ ~ } } \\ { { f _ { 0 } = b _ { 1 } ^ { + } b _ { n + 1 } ^ { - } , ~ ~ ~ } } \\ { { h _ { 0 } = N _ { b _ { 1 } } - N _ { b _ { n + 1 } } , ~ ~ ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ^ { 2 } \left( \widehat { \mathcal { A } } _ { g } , \mathbb { Z } \right) = H ^ { 2 } \left( { \mathcal { A } } _ { g } , \mathbb { Z } \right) = \mathbb { Z } \lambda , } \\ & { H ^ { 2 } \left( \widehat { \mathcal { X } } _ { g } , \mathbb { Z } \right) = H ^ { 2 } \left( { \mathcal { X } } _ { g } , \mathbb { Z } \right) = \mathbb { Z } \lambda \oplus \mathbb { Z } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } Q ( w _ { t } , w ) \leq } & { \gamma _ { 1 } \eta _ { 1 } \mathrm { K L } ( p \| p _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { T } ( \eta _ { T } + \lambda _ { 2 } ) \mathrm { K L } ( p \| p _ { T } ^ { * } ) } \\ & { + \gamma _ { 1 } \tau _ { 1 } \mathrm { K L } ( q \| q _ { 0 } ^ { * } ) - \gamma _ { T } \left( \tau _ { T } + \lambda _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta _ { T } } \right) \mathrm { K L } ( q \| q _ { T } ^ { * } ) } \\ & { + 4 \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } ( 1 + \mu _ { t } ) \epsilon } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \left( \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { p _ { t } ^ { * } } } \right) \delta _ { t , 1 } + \left( 3 0 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( p _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { p _ { t } ^ { * } } } } \right) \sqrt { \delta _ { t , 1 } } \right] } \\ & { + \sum _ { t = 1 } ^ { k } \gamma _ { t } \left[ \left( \lambda _ { 2 } + \frac { 2 \lambda _ { 1 } } { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } \right) \delta _ { t , 2 } + \left( 3 4 + \frac { 8 \lambda _ { 1 } \sigma ( q _ { t } ^ { * } ) } { \sqrt { \alpha _ { q _ { t } ^ { * } } } } \right) \sqrt { \delta _ { t , 2 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } \left\{ n ^ { - 1 } p ^ { - 1 / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } ^ { - 1 } \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } \right\} } \\ & { = } & { p ^ { - 1 / 2 } { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 1 } ) { \mathbb { E } } \left\{ \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } \right\} \, , } \end{array}
\Phi _ { P } ( q ^ { 2 } ) = \left[ f ( q ^ { 2 } ) + ( p _ { 1 } ^ { 2 } - p _ { 2 } ^ { 2 } ) a _ { + } ( q ^ { 2 } ) + q ^ { 2 } \bar { a } _ { - } ( q ^ { 2 } ) \right] ( m _ { \pi } ^ { 2 } - q ^ { 2 } ) + q ^ { 2 } f _ { \pi } g _ { V P \pi } . \nonumber
\begin{array} { r } { 2 \mathbb { E } \left[ \| \hat { \bar { x } } - \bar { x } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { E } \left[ \| \bar { x } - \frac { \delta \Delta _ { m i n } } { \sqrt { d } } \alpha \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] \geq \mathbb { E } \left[ \| \hat { \bar { x } } - \frac { \delta \Delta _ { m i n } } { \sqrt { d } } \alpha \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { { E } _ { B } \Big [ ( p ( a | b ) - p ( a ) ) ^ { n } \Big ] \stackrel { * } { \rightarrow } { E } _ { B } \Bigg [ \Big ( p ( a | b ) - { E } _ { B } \Big [ p ( a | b ) \Big | b ^ { \prime } \Big ] \Big ) ^ { n } \Bigg | b ^ { \prime } \Bigg ] = ( p ( a | b ^ { \prime } ) - p ^ { \prime } ( a ) ) ^ { n } = 0 . } \end{array}
\alpha ^ { \prime } ( M ^ { 2 } - m _ { 0 } ^ { 2 } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \alpha _ { - n } \alpha _ { n } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \widetilde { \alpha } _ { - n } \widetilde { \alpha } _ { n } \ .
\begin{array} { r l } { H } & { { } = R - K _ { i j } K ^ { i j } + K ^ { 2 } - 1 6 \pi \rho _ { \mathrm { A D M } } } \\ { M _ { i } } & { { } = D ^ { j } \left[ K _ { i j } - \gamma _ { i j } K \right] - 8 \pi S _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { \mathbf R } _ { m + 1 , h } ^ { \sharp } \| _ { { \mathcal J } ^ { 1 } ( t , c _ { * } h ^ { - 1 } ) } ^ { 2 } } & { \leq \left( \int _ { t } ^ { c _ { * } h ^ { - 1 } } \int _ { t } ^ { c _ { * } h ^ { - 1 } } S _ { m + 1 , h } ( x , y ) ^ { 2 } e ^ { y } \, d x \, d y \right) \cdot \left( \int _ { t } ^ { c _ { * } h ^ { - 1 } } \int _ { t } ^ { x } e ^ { - x } \, d x \, d y \right) } \\ { * [ 1 m m ] } & { \leq c _ { \sharp } ^ { 2 } \left( \int _ { t } ^ { \infty } \int _ { t } ^ { \infty } e ^ { - 2 x - y } \, d x \, d y \right) \cdot \left( \int _ { t } ^ { \infty } \int _ { t } ^ { x } e ^ { - x } \, d x \, d y \right) = O ( e ^ { - 4 t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \pi _ { i j } ^ { a } \left( b _ { j } , \xi _ { j j } ^ { a } , \xi _ { i j } ^ { a } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { i j , k } ^ { a } \left( b _ { j } , r _ { i j } ^ { a } , r _ { j j } ^ { a } , N _ { i j } ^ { I } , N _ { j j } ^ { I } \right) \left[ b _ { j } + \left( r _ { i j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) l _ { i j } ^ { a } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i j } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 1 } } \left( b _ { j } , r _ { i j } ^ { a } , r _ { j j } ^ { a } , N _ { i j } ^ { I } , N _ { j j } ^ { I } \right) \left[ b _ { j } + \left( r _ { i j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { i , k } ^ { b _ { 1 } } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i j } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 2 } } \left( b _ { j } , r _ { i j } ^ { a } , r _ { j j } ^ { a } , N _ { i j } ^ { I } , N _ { j j } ^ { I } \right) \left[ b _ { j } + \left( r _ { j j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { j , k } ^ { b _ { 2 } } - C _ { a v } \cdot w _ { j } ^ { a } \left( N _ { j j } ^ { I } \right) \right] } \\ { + } & { \lambda _ { i j , k } ^ { b _ { 3 } } \left( b _ { j } , r _ { i j } ^ { a } , r _ { j j } ^ { a } , N _ { i j } ^ { I } , N _ { j j } ^ { I } \right) \left[ 2 b _ { j } + \left( r _ { i j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { i , k } ^ { b _ { 3 } } + \left( r _ { j j } ^ { a } - \frac { C _ { a v } } { v _ { a } } \right) d _ { j , k } ^ { b _ { 3 } } - C _ { a v } \cdot w _ { i } ^ { a } \left( N _ { i j } ^ { I } \right) - C _ { a v } \cdot w _ { j } ^ { a } \left( N _ { j j } ^ { I } \right) \right] } \\ { - } & { \frac { C _ { a v } } { M } N _ { i j } ^ { I } , \quad i , j = 1 , \dots , M . } \end{array}
\int _ { - t } ^ { t } \frac { d x } { ( x ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) ^ { \kappa + 1 } } = \frac { 1 } { \kappa ! } \left( - \frac { 1 } { 2 \lambda } \frac { d } { d \lambda } \right) ^ { \kappa } \int _ { - t } ^ { t } \frac { d x } { x ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } }
{ \begin{array} { r l r l r l } { \sin ( \arcsin x ) } & { = x } & { \cos ( \arcsin x ) } & { = { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } & { \tan ( \arcsin x ) } & { = { \frac { x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } } \\ { \sin ( \operatorname { a r c c o s } x ) } & { = { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } & { \cos ( \operatorname { a r c c o s } x ) } & { = x } & { \tan ( \operatorname { a r c c o s } x ) } & { = { \frac { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } { x } } } \\ { \sin ( \arctan x ) } & { = { \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } } & { \cos ( \arctan x ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } } & { \tan ( \arctan x ) } & { = x } \\ { \sin ( \operatorname { a r c c s c } x ) } & { = { \frac { 1 } { x } } } & { \cos ( \operatorname { a r c c s c } x ) } & { = { \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } { x } } } & { \tan ( \operatorname { a r c c s c } x ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } } } \\ { \sin ( \operatorname { a r c s e c } x ) } & { = { \frac { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } { x } } } & { \cos ( \operatorname { a r c s e c } x ) } & { = { \frac { 1 } { x } } } & { \tan ( \operatorname { a r c s e c } x ) } & { = { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 } } } \\ { \sin ( \operatorname { a r c c o t } x ) } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } } & { \cos ( \operatorname { a r c c o t } x ) } & { = { \frac { x } { \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } } } & { \tan ( \operatorname { a r c c o t } x ) } & { = { \frac { 1 } { x } } } \end{array} }
\langle P _ { \alpha \beta } \rangle = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 / 2 } } & { { 1 / 4 } } & { { 1 / 4 } } \\ { { 1 / 4 } } & { { 3 / 8 } } & { { 3 / 8 } } \\ { { 1 / 4 } } & { { 3 / 8 } } & { { 3 / 8 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { k _ { \pm } } & { = \pm \frac { i \mu ( { \bf { a } } \times { \bf { c } } ) \cdot \hat { \bf { k } } } { 4 \omega } + \omega ( S _ { + } + i S _ { - } ) \; , } \\ { \tilde { k } _ { \pm } } & { = \pm \frac { i \mu ( { \bf { a } } \times { \bf { c } } ) \cdot \hat { \bf { k } } } { 4 \omega } - \omega ( S _ { + } + i S _ { - } ) \; , } \end{array}
P _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { V } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { p _ { i } ^ { \alpha } p _ { i } ^ { \beta } } { m _ { i } } - \sum _ { i } ^ { N } \sum _ { i > j } ^ { N } ( \alpha _ { i } - \alpha _ { j } ) F _ { i j } \right] \, ,
K _ { \theta } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } \, \exp \left[ - \frac { 2 i } { \theta } \epsilon _ { \alpha \beta } \Bigl ( x _ { 1 } ^ { \alpha } x _ { 2 } ^ { \beta } + x _ { 2 } ^ { \alpha } x _ { 3 } ^ { \beta } + x _ { 3 } ^ { \alpha } x _ { 1 } ^ { \beta } \Bigr ) \right]
f ^ { 2 } = | a | \left( 2 \lambda - \frac { \nu _ { _ { D C } } + \xi _ { _ { D C } } } { 4 } | a | ^ { 2 } - \frac { 3 \nu _ { _ { D C } } - \xi _ { _ { D C } } } { 4 } | b | ^ { 2 } \right) \frac { 4 } { \left( | a | \chi _ { _ { D C } } \pm 2 \left( \zeta _ { _ { D C } } \lambda + \mu _ { _ { D C } } \right) \right) } ,
\widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( s ) = \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } ( s ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } ) ^ { - 1 } \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \overline { { u } } ) } { \partial r } + \frac { \partial \overline { { w } } } { \partial z } } & { = 0 \, , } \\ { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r \overline { { u } } \, \overline { { w } } + r \overline { { u ^ { \prime } w ^ { \prime } } } ) + \frac { \partial } { \partial z } ( { \overline { { w } } } \, \overline { { w } } + \overline { { w ^ { \prime } w ^ { \prime } } } ) } & { = - \frac { \partial \overline { { p } } } { \partial z } + \overline { { b } } \, , } \\ { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } ( r \overline { { u } } \, \overline { { b } } + r \overline { { u ^ { \prime } b ^ { \prime } } } ) + \frac { \partial } { \partial z } ( { \overline { { w } } } \, \overline { { b } } + \overline { { w ^ { \prime } b ^ { \prime } } } ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \overline { { u } } _ { \tau } ( 0 ) : = u _ { 0 } , \quad \quad \overline { { u } } _ { \tau } ( t ) : = u _ { i } } & { \mathrm { ~ i f ~ } t \in ( t _ { i - 1 } , t _ { i } ] \quad \mathrm { ~ f o r ~ } i = 1 , \dots , N , } \\ & { \underline { { u } } _ { \tau } ( T ) : = u _ { N } , \quad \; \underline { { u } } _ { \tau } ( t ) : = u _ { i - 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } t \in [ t _ { i - 1 } , t _ { i } ) \quad \mathrm { ~ f o r ~ } i = 1 , \dots , N , } \\ & { \hat { u } _ { \tau } ( 0 ) : = u _ { 0 } , \quad \quad \hat { u } _ { \tau } ( t ) : = \frac { u _ { i } - u _ { i - 1 } } { t _ { i } - t _ { i - 1 } } ( t - t _ { i - 1 } ) + u _ { i - 1 } } & { \mathrm { ~ i f ~ } t \in ( t _ { i - 1 } , t _ { i } ] \quad \mathrm { ~ f o r ~ } i = 1 , \dots , N . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle g | \langle x , A | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , A \rangle | g \rangle = } & { \langle g | \langle x , B | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , B \rangle | g \rangle = } \\ & { \frac { i } { 2 v w \sin { k } } | v + w e ^ { i k } | e ^ { i k | x - x ^ { \prime } | } , } \\ { \langle g | \langle x , A | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , B \rangle | g \rangle = } & { \frac { i } { 2 v w \sin { k } } \Big ( v e ^ { i k | x - x ^ { \prime } | } + w e ^ { i k | x - x ^ { \prime } - 1 | } \Big ) , } \\ { \langle g | \langle x , B | G _ { o } ^ { R } | x ^ { \prime } , A \rangle | g \rangle = } & { \frac { i } { 2 v w \sin { k } } \Big ( v e ^ { i k | x - x ^ { \prime } | } + w e ^ { i k | x - x ^ { \prime } + 1 | } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \Xi } F ( \Xi ) = } & { \sum _ { M = 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \int _ { 0 } ^ { t _ { M } } \int _ { \Omega } \cdots \int _ { 0 } ^ { t _ { 2 } } \int _ { \Omega } \exp \left( - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Omega } \lambda ( s , \omega ) \mathrm { d } \mu _ { \omega } \mathrm { d } s \right) } \\ & { \times \left( \prod _ { m = 1 } ^ { M } \lambda \left( t _ { m } , \omega _ { m } \right) \right) F ( \Xi ) \mathrm { d } \mu _ { \omega _ { 1 } } \mathrm { ~ d } t _ { 1 } \cdots \mathrm { d } \mu _ { \omega _ { M - 1 } } \mathrm { ~ d } t _ { M - 1 } \mathrm { ~ d } \mu _ { \omega _ { M } } \mathrm { ~ d } t _ { M } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 , 1 } } & { \cdots } & { x _ { 1 , n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { x _ { n , 1 } } & { \cdots } & { x _ { n , n } } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l r } { \pi _ { A \to B , \sigma } ( i ) } & { = } & { a _ { \sigma } + h \left[ \frac { N - i } { ( 1 + \alpha ) N } + \frac { \alpha N ( 1 - z _ { \sigma } ) } { ( 1 + \alpha ) N } \right] , } \\ { \pi _ { B \to A , \sigma } ( i ) } & { = } & { a _ { \sigma } + h \left[ \frac { i } { ( 1 + \alpha ) N } + \frac { \alpha N z _ { \sigma } } { ( 1 + \alpha ) N } \right] . } \end{array}
\frac { 1 } { q ^ { d } | S _ { t } | ^ { 2 } } \sum _ { x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , x ^ { 3 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } S _ { t } ( x ^ { 1 } - x ^ { 2 } ) S _ { t } ( x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) \left( \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } f _ { i } ( x ^ { i } ) \right) \left( \frac { 1 } { | S _ { t } | } \sum _ { x ^ { 4 } \in \mathbb F _ { q } ^ { d } } f _ { 4 } ( x ^ { 4 } ) S _ { t } ( x ^ { 3 } - x ^ { 4 } ) \right) .
\begin{array} { r } { \widetilde { R } _ { 1 1 } = \big ( \widetilde { L } _ { 1 1 } ^ { \sharp } - \sigma \widetilde { L } _ { 1 2 } ^ { \sharp } ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { \flat } ) ^ { - 1 } \widetilde { L } _ { 2 1 } ^ { \sharp } \big ) ^ { - 1 } , \quad \widetilde { R } _ { 1 0 } = \widetilde { R } _ { 1 1 } \big ( - \widetilde { L } _ { 1 0 } + \sigma \widetilde { L } _ { 1 2 } ^ { \sharp } ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { \flat } ) ^ { - 1 } \widetilde { L } _ { 2 0 } \big ) L _ { 0 0 } ^ { - 1 } , } \\ { \widetilde { R } _ { 1 2 } = - \widetilde { R } _ { 1 1 } \widetilde { L } _ { 1 2 } ^ { \sharp } ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { \flat } ) ^ { - 1 } , \quad \widetilde { R } _ { 2 1 } = - ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { \flat } ) ^ { - 1 } \widetilde { L } _ { 2 1 } ^ { \sharp } \widetilde { R } _ { 1 1 } , \quad \widetilde { R } _ { 2 2 } = ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { \flat } ) ^ { - 1 } - \sigma ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { \flat } ) ^ { - 1 } \widetilde { L } _ { 2 1 } ^ { \sharp } \widetilde { R } _ { 1 2 } , } \\ { \widetilde { R } _ { 2 0 } = - ( \widetilde { L } _ { 2 2 } ^ { \flat } ) ^ { - 1 } \big ( \widetilde { L } _ { 2 0 } L _ { 0 0 } ^ { - 1 } + \widetilde { L } _ { 2 1 } ^ { \sharp } \widetilde { R } _ { 1 0 } \big ) , \quad \widetilde { R } _ { 0 1 } = - L _ { 0 0 } ^ { - 1 } \big ( \widetilde { L } _ { 0 1 } \widetilde { R } _ { 1 1 } + \widetilde { L } _ { 0 2 } \widetilde { R } _ { 2 1 } \big ) , } \\ { \widetilde { R } _ { 0 2 } = - L _ { 0 0 } ^ { - 1 } \big ( \sigma \widetilde { L } _ { 0 1 } \widetilde { R } _ { 1 2 } + \widetilde { L } _ { 0 2 } \widetilde { R } _ { 2 2 } \big ) , \quad \widetilde { R } _ { 0 0 } = L _ { 0 0 } ^ { - 1 } \big ( I - \sigma \widetilde { L } _ { 0 1 } \widetilde { R } _ { 1 0 } - \sigma \widetilde { L } _ { 0 2 } \widetilde { R } _ { 2 0 } \big ) } \end{array}