harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \hat { \sigma } _ { \small \textsc { { R E V } } } ^ { 2 } = \underbrace { \frac 1 t { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } ( { p ^ { \gamma } } ( { \theta ^ { \tau } } ) - { \small \textsc { { R E V } } } ^ { \gamma } ) ^ { 2 } } _ { \hat { \mathrm { { I } } } _ { t } } + \underbrace { ( { \bar { \mu } ^ { \gamma } } ) ^ { \top } ( \hat { \mathcal { P } } \hat { \mathcal { H } } \hat { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } \hat { \Omega } ( \hat { \mathcal { P } } \hat { \mathcal { H } } \hat { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } { \bar { \mu } ^ { \gamma } } } _ { \hat { \mathrm { { I I } } } _ { t } } } \\ { + \underbrace { 2 \bigg ( \frac 1 t { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } ( { p ^ { \gamma } } ( { \theta ^ { \tau } } ) - { \small \textsc { { R E V } } } ^ { \gamma } ) ( x ^ { \gamma } ( { \theta ^ { \tau } } ) \odot v ( { \theta ^ { \tau } } ) - { \bar { \mu } ^ { \gamma } } ) \bigg ) ^ { \top } ( \hat { \mathcal { P } } \hat { \mathcal { H } } \hat { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } { \bar { \mu } ^ { \gamma } } } _ { \hat { \mathrm { { I I I } } } _ { t } } } \end{array}
\mathcal { F } ( w _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) \leq ( 1 + \eta ) ( \mathcal { F } ( z _ { \varepsilon } , B _ { ( 1 - \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) + \mathcal { F } ( u _ { \varepsilon } , C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) ) + \varepsilon ^ { d } \rho _ { \varepsilon } + \eta \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } .
\sigma _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ r ~ } } \left( E _ { \gamma } \right) \sim \mathcal { G P } \left( \mathbf { f } \left( E _ { \gamma } \right) ^ { \intercal } \boldsymbol { \beta } , \kappa \left( E _ { \gamma } , E _ { \gamma } ^ { \prime } \right) + \sigma _ { \mathcal { G P } } ^ { 2 } \delta _ { E _ { \gamma } , E _ { \gamma } ^ { \prime } } \right)
{ \begin{array} { r l } { I _ { p } } & { = \operatorname { I m } \left( { \frac { E _ { 0 } e ^ { i \omega _ { 0 } t } } { P ( i \omega _ { 0 } ) } } \right) } \\ & { = \operatorname { I m } \left( { \frac { E _ { 0 } e ^ { i \omega _ { 0 } t } } { i \omega _ { 0 } R } } \right) } \\ & { = \operatorname { I m } \left( { \frac { - E _ { 0 } ( i \cos ( \omega _ { 0 } t ) - \sin ( \omega _ { 0 } t ) ) } { \omega _ { 0 } R } } \right) } \\ & { = { \frac { - E _ { 0 } \cos ( \omega _ { 0 } t ) } { \omega _ { 0 } R } } } \end{array} }
U ( \pmb { x } _ { i } ) = \sum _ { i \neq j } ^ { N } \left[ C _ { r } e ^ { - \| \pmb { x } _ { i } - \pmb { x } _ { j } \| / \lambda _ { r } } - C _ { a } e ^ { - \| \pmb { x } _ { i } - \pmb { x } _ { j } \| / \lambda _ { a } } \right] .
{ \langle h _ { c } | } { \cal O } _ { 8 } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ; \Lambda ) { | h _ { c } \rangle } \; = \; { \langle h _ { c } | } { \cal O } _ { 8 } ( { } ^ { 1 } S _ { 0 } ; \Lambda _ { 0 } ) { | h _ { c } \rangle } \; + \; { \frac { 4 C _ { F } } { 3 N _ { c } \beta _ { 0 } M ^ { 2 } } } \log \left( \frac { \alpha _ { s } ( \Lambda _ { 0 } ) } { \alpha _ { s } ( \Lambda ) } \right) { \langle h _ { c } | } { \cal O } _ { 1 } ( { } ^ { 1 } P _ { 1 } ) { | h _ { c } \rangle } .
\left[ \begin{array} { l } { { m } } \\ { { n } } \end{array} \right] _ { q } = \frac { ( q ; q ) _ { m } } { ( q ; q ) _ { n } ( q ; q ) _ { m - n } } , ~ ~ ( p ; q ) _ { m } = \prod _ { k = 0 } ^ { m - 1 } ( 1 - p q ^ { k } ) , ~ ( p ; q ) _ { 0 } = 1 .
\begin{array} { l c l l c l } { { \alpha } } & { { = } } & { { 1 . 1 4 7 , } } & { { \beta } } & { { = } } & { { 1 . 2 4 1 , } } \\ { { a } } & { { = } } & { { 0 . 3 0 9 - 0 . 1 3 4 \, \sqrt { s } , } } & { { b } } & { { = } } & { { 0 . 8 9 3 - 0 . 2 6 4 \, \sqrt { s } , } } \\ { { A } } & { { = } } & { { 0 . 2 1 9 - 0 . 0 5 4 \, s , } } & { { B } } & { { = } } & { { - 0 . 5 9 3 + 0 . 2 4 0 \, s , } } \\ { { C } } & { { = } } & { { 1 . 1 0 0 - 0 . 4 5 2 \, s , } } & { { D } } & { { = } } & { { 3 . 5 2 6 + 0 . 4 9 1 \, s , } } \\ { { E } } & { { = } } & { { 4 . 5 2 1 + 1 . 5 8 3 \, s , } } & { { E ^ { \prime } } } & { { = } } & { { 3 . 1 0 2 \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \gamma , ( q D ) _ { t } \right\rangle } & { = \left\langle \gamma , \mathring { Z } _ { t } + Z _ { t } ^ { \prime } \right\rangle , } \\ & { = \left\langle \mathring { P } _ { h } ^ { 1 } \gamma , \mathring { Z } _ { t } \right\rangle + \left\langle \mathring { P } _ { 0 } ^ { \perp } \gamma , Z _ { t } ^ { \prime } \right\rangle , } \\ & { = \left\langle \nabla ^ { \perp } \mathring { P } _ { h } ^ { 1 } \gamma , u _ { t } \right\rangle + \left\langle \mathring { P } _ { 0 } ^ { \perp } \gamma , Z _ { t } ^ { \prime } \right\rangle , } \\ & { = - \left\langle \nabla ^ { \perp } \mathring { P } _ { h } ^ { 1 } \gamma , q m ^ { \perp } \right\rangle - \left\langle \nabla \mathring { P } _ { 0 } ^ { \perp } \gamma , q m \right\rangle , } \\ & { = - \left\langle \nabla \gamma , q m \right\rangle , \quad \forall \gamma \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } f ^ { ( k ) } ( t ) \frac { h ^ { k } } { k ! } } & { = f ( t + h ) - f ( t ) - f ^ { ( n ) } ( \xi _ { t , h } ) \frac { h ^ { n } } { n ! } } \\ & { = f ( t + h ) - f ( t ) - ( f ^ { ( n ) } ( \xi _ { t , h } ) - f ^ { ( n ) } ( t ) ) \frac { h ^ { n } } { n ! } - f ^ { ( n ) } ( t ) \frac { h ^ { n } } { n ! } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \pmb { \theta } , \mathbf { w } ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { o p } } { \left( \frac { 1 } { N _ { R , j } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { R , j } } { M ( w _ { R , j } ^ { i } ) \left\| \mathcal { N } _ { j } ( \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { R , j } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right) } } \\ & { + { \frac { 1 } { N _ { D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { D } } { M ( w _ { D } ^ { i } ) \left\| \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } } \end{array}
\chi ^ { 2 } = \int d y _ { 3 } \; d y _ { 2 } \; d y _ { 1 } \left[ P ( y _ { 3 } , t _ { 3 } ; y _ { 2 } , t _ { 2 } ; y _ { 1 } , t _ { 1 } ) - P _ { \mathrm { M } } ( y _ { 3 } , t _ { 3 } ; y _ { 2 } , t _ { 2 } ; y _ { 1 } , t _ { 1 } ) \right] ^ { 2 } / ( \sigma _ { 3 j } ^ { 2 } + \sigma _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left\Vert \phi \left( t \right) \right\Vert ^ { 2 } } & { { } = \frac { d } { d t } \langle \phi \left( t \right) | \phi \left( t \right) \rangle = \langle \dot { \phi } | \phi \rangle + \langle \phi | \dot { \phi } \rangle = 2 \operatorname { R e } \langle \phi | \dot { \phi } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { p } ( n _ { e } , A _ { e } ) = } & { \frac { 1 } { 2 } \int d x d y \, \left( \rho _ { s } ^ { 2 } n _ { e } G _ { 1 0 e } ^ { - 2 } n _ { e } + d _ { e } ^ { 2 } \left( G _ { 1 0 e } ^ { - 1 } u _ { e } \right) ^ { 2 } + | \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { \parallel } | ^ { 2 } + d _ { i } ^ { 2 } | B _ { \parallel } | ^ { 2 } \right. } \\ & { \left. + n _ { e } \left( 1 - 2 G _ { 1 0 e } ^ { - 2 } \right) \phi + \phi \left( G _ { 1 0 e } ^ { - 2 } - 1 \right) \frac { \phi } { \rho _ { s } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 = \partial _ { z } \big ( \kappa ( \phi ) \partial _ { z } p _ { f } \big ) } \\ & { 0 = \rho g \phi \sin \theta + \partial _ { z } ( a ( \phi ) p ) } \\ & { \partial _ { z } p + \partial _ { z } p _ { f } = - \rho g \phi \cos \theta } \\ & { 0 = \mu _ { 1 } | \partial _ { z } u | - \frac { 2 } { d \Delta \phi \sqrt { \rho _ { s } } } ( \phi _ { \mathrm { m a x } } - \phi ) \sqrt { p } } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ c ~ r ~ i ~ t ~ i ~ c ~ a ~ l ~ } } ( n = 5 , K _ { G } ) \approx 3 . 8 1 2 \left( 1 - \frac { ( 7 + \sqrt { 5 } ) } { 3 6 } \frac { 4 \pi } { 2 . 3 7 7 } \frac { 1 } { N } \right) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { 2 } = \frac { | { \Im } ( ( x - a ) ( \overline { { y } } - \overline { { a } } ) ( 1 - a \overline { { x } } ) ( { 1 - \overline { { a } } y } ) ) | } { | ( x - a ) ( 1 - a \overline { { x } } ) | 1 - a \overline { { y } } | ^ { 2 } - ( y - a ) ( 1 - a \overline { { y } } ) | 1 - a \overline { { x } } | ^ { 2 } | } . } \end{array}
m _ { 1 , 2 } ( t ) = m ( { \bf e } _ { 1 , 2 } , k _ { 1 , 2 } , t ) = \left( A ( t ) - i \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } { \bf B } ( t ) \right) \mathrm { T } \exp \left[ i \int _ { 0 } ^ { t } \frac { k _ { 1 , 2 } P ( t ) } { \omega - { \cal H } ( t ) } d t \right] ,
\begin{array} { c l } { \displaystyle b _ { 2 , k } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 3 2 \pi } \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \int _ { s _ { k } } ^ { s _ { k } + l _ { k } } { \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x , 1 } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \\ & { \displaystyle \times \biggr ( \frac { 2 } { 3 \pi \delta } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } - \frac { 2 } { 3 \pi \delta } \cos { \left( 3 \chi _ { x } ( s ) - 3 \delta \frac { s } { R } \right) } \cos { \left( 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - 3 \delta \frac { s ^ { \prime } } { R } \right) } } \\ & { \displaystyle - 2 \cos { 3 \chi _ { x } ( s ) } \cos { \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } \pi \delta + \sin { 3 | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { 3 \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } } \\ & { \displaystyle + 3 \left( 2 \cot { \pi \nu _ { x } } \cos { \chi _ { x } ( s ) } \cos { \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) } + \sin { | \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) | } + \sin { \left( \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) + \chi _ { x } ( s ) \right) } \right) \biggr ) . } \end{array}
1 / 6 ( A A _ { s y m } ) ^ { 3 } ( Q { \bar { Q } } ) ^ { 2 } + 4 ( A A _ { s y m } ) ( A A Q { \bar { Q } } _ { a n t i } ) ^ { 2 } + 6 4 ( A A A { \bar { Q } } { \bar { Q } } ) ( A A A Q Q ) = \Lambda ^ { 8 } ( Q { \bar { Q } } )
\mathbf { X } _ { n } \equiv \left[ \begin{array} { c } { { x _ { n + 1 } } } \\ { { x _ { n } } } \end{array} \right] , \; \; \; \; \; \mathbf { J } _ { n } \equiv \left[ \begin{array} { c } { { \frac T \beta j _ { n } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right]
u _ { \pm } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = k _ { 1 } \left( \theta _ { 2 } - \theta _ { 3 } \right) \pm k _ { 2 } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 3 } \right) \cot ( k _ { 2 } ( r _ { 1 } - r _ { 2 } ) ) .
u = \sqrt { \operatorname * { d e t } { M } - \left( \begin{array} { c c } { { ( \nabla _ { 0 } \phi } } & { { \nabla _ { 0 } X ) } } \end{array} \right) M \left( \begin{array} { c } { { \nabla _ { 0 } \phi } } \\ { { \nabla _ { 0 } X } } \end{array} \right) } ,
{ G _ { i } } = { \omega _ { i } } \left[ { { \bf { u } } \cdot \nabla \rho + \frac { { { { \bf { c } } _ { i } } \cdot \left( { { { \bf { F } } _ { s } } + { \bf { G } } } \right) } } { { c _ { s } ^ { 2 } } } + \frac { { { \bf { u } } \nabla \rho : \left( { { { \bf { c } } _ { i } } { { \bf { c } } _ { i } } - c _ { s } ^ { 2 } { \bf { I } } } \right) } } { { c _ { s } ^ { 2 } } } } \right] .
\begin{array} { r l } & { \pi \frac { d \Breve { \mathbf { u } } } { d t } = \pi \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { \mathcal { G } } ) \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Breve { \mathbf { u } } ( 0 ) = \mathbf { z } } \\ & { \Rightarrow \quad \frac { d \Breve { \mathbf { u } } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \Breve { \mathbf { u } } } , \hat { \mathcal { G } } ) \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \Breve { \mathbf { u } } ( 0 ) = \mathbf { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \phi _ { n } ( g ) - I _ { d _ { n } } \| } & { = \left\| \phi _ { n } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { k } h _ { i } \right) - I _ { d _ { n } } \right\| \leq \left\| \phi _ { n } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } h _ { i } \right) \phi _ { n } ( h _ { k } ) - I _ { d _ { n } } \right\| + \varepsilon _ { n } } \\ & { = \left\| \phi _ { n } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { k - 1 } h _ { i } \right) - I _ { d _ { n } } \right\| + \| \phi _ { n } ( h _ { k } ) - I _ { d _ { n } } \| + \varepsilon _ { n } \leq \cdots } \\ & { \cdots \leq \sum _ { i = 1 } ^ { k } \| \phi _ { n } ( h _ { i } ) - I _ { d _ { n } } \| + k \varepsilon _ { n } \leq k ( \delta _ { n } + \varepsilon _ { n } ) . } \end{array}
\; + \{ x _ { i } ^ { \pm } ( l ) x _ { i } ^ { \pm } ( k ) x _ { j } ^ { \pm } ( m ) - ( q + q ^ { - 1 } ) x _ { i } ^ { \pm } ( l ) x _ { j } ^ { \pm } ( m ) x _ { i } ^ { \pm } ( k ) + x _ { j } ^ { \pm } ( m ) x _ { i } ^ { \pm } ( l ) x _ { i } ^ { \pm } ( k ) \}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { k } ^ { \mathrm { ( e x c ) } } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { Q } ) } & { = \chi _ { A _ { 1 } , k } ( \boldsymbol { q } ) \phi _ { A _ { 1 } } ( \boldsymbol { q } ; \boldsymbol { Q } ) } \\ & { + \chi _ { B _ { 2 } , k } ( \boldsymbol { q } ) \phi _ { B _ { 2 } } ( \boldsymbol { q } ; \boldsymbol { Q } ) } \end{array}
{ \bar { u } } { \frac { \partial { \bar { T } } } { \partial x } } + { \bar { v } } { \frac { \partial { \bar { T } } } { \partial y } } = { \frac { \partial } { \partial y } } \left( \alpha { \frac { \partial { \bar { T } } } { \partial y } } - { \overline { { v ^ { \prime } T ^ { \prime } } } } \right) .
\left\{ \begin{array} { l l } & { \partial _ { t } \zeta ^ { \prime } + C _ { 1 } \partial _ { x } \nabla ^ { - 2 } \zeta ^ { \prime } - \nu \nabla ^ { 2 } \zeta ^ { \prime } = F ( \overline { { u } } , \zeta ^ { \prime } ) } \\ & { \partial _ { t } \overline { { u } } - \nu \nabla ^ { 2 } \overline { { u } } = G ( \zeta ^ { \prime } ) } \\ & { \zeta ^ { \prime } ( 0 , x , y ) = \zeta _ { 0 } ^ { \prime } ( x , y ) } \\ & { \overline { { u } } ( 0 , y ) = \overline { { u } } _ { 0 } ( y ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \log \rho } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \mathbb { E } _ { \boldsymbol \pi } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } F ( s _ { j } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \log \mathbb { E } _ { \boldsymbol \mu } \left[ \left\lVert \prod _ { j = 1 } ^ { n } \exp \left( \frac { \theta \cos ( \varphi ) } { 2 } G ( y _ { j } ) \right) \right\rVert _ { F } ^ { 2 } \right] } \\ & { = \log \eta } \\ & { = \log \lambda _ { \mathrm { m a x } } ( K ^ { \theta } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \binom { n } { k } } p ^ { k } q ^ { n - k } } & { { } \simeq { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi n p q } } } \exp \left\{ \ln \left( \left( { \frac { n p } { k } } \right) ^ { k } \right) + \ln \left( \left( { \frac { n q } { n - k } } \right) ^ { n - k } \right) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } } = \int \xi _ { \mu } ^ { \vec { 0 } } \left( \vec { r } \right) \frac { \rho _ { \textrm { p } } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) - \rho _ { \textrm { N } } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) } { \left| \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } \right| } \xi _ { \nu } ^ { \vec { L } } \left( \vec { r } \right) ~ \textrm { d } ^ { 3 } r \; \textrm { d } ^ { 3 } r ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( \phi ( \gamma ) , \phi ( \mu ) ) } \\ & { = f \left( \boldsymbol { \gamma } _ { { 1 } } , \boldsymbol { \gamma } _ { { 2 } } , \ldots , \boldsymbol { \gamma } _ { { a } } , \boldsymbol { \mu } _ { { 1 } } , \boldsymbol { \mu } _ { { 2 } } , \ldots , \boldsymbol { \mu } _ { b } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { a } \! \frac { \lambda } { p _ { i } } \! \! \sum _ { e = 1 } ^ { m _ { i } - 1 } \! \! \gamma _ { i , \pi _ { i } ( e ) } \gamma _ { i , \pi _ { i } ( e + 1 ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { a } \! \sum _ { e = 1 } ^ { m _ { i } } \! d _ { i , e } \gamma _ { i , e } + \sum _ { j = 1 } ^ { b } \! \frac { \lambda } { q _ { j } } \! \! \sum _ { o = 1 } ^ { n _ { j } - 1 } \mu _ { j , \sigma _ { j } ( o ) } \mu _ { j , \sigma _ { j } ( o + 1 ) } } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { b } \! \sum _ { o = 1 } ^ { n _ { j } } c _ { j , o } \mu _ { j , o } , } \end{array}
( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) ^ { s } \cdot \delta ( a _ { 1 } , a _ { N } ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = a _ { 1 } + 1 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 1 } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = a _ { 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 2 } } - 1 } \sum _ { i _ { 3 } = a _ { 2 } } ^ { i _ { 2 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 3 } } - 1 } \cdots \sum _ { i _ { s } = a _ { s - 1 } } ^ { i _ { s - 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { s } } - 1 } \Big ) ,
\eta _ { \lambda } = \frac { \pi \alpha _ { s } } { 6 } \frac { \lambda _ { 2 1 1 } ^ { ' 2 } } { G _ { F } ^ { 2 } m _ { \tilde { d } _ { R } } ^ { 4 } } \frac { m _ { p } } { m _ { \tilde { g } } } \left[ 1 + \left( \frac { m _ { \tilde { d } _ { R } } } { m _ { \tilde { u } _ { L } } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } .
| \varepsilon _ { \mathbf { p } } | = \frac { \tau _ { \mathbf { p } } ^ { L } } { \tau _ { \mathbf { p } } ^ { N L } } = \left| \frac { 2 \pi ( \partial n _ { \mathbf { p } } / \partial t ) } { \omega _ { \mathbf { p } } n _ { \mathbf { p } } } \right| \ll 1 .
\begin{array} { c } { { \displaystyle Z _ { N } ^ { \prime } ( \vartheta ) = N \left[ \displaystyle \frac { 1 } { \cosh ( \vartheta + \Theta ) } + \displaystyle \frac { 1 } { \cosh ( \vartheta - \Theta ) } \right] + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { H } } 2 \pi G ( \vartheta - h _ { k } ) + } } \\ { { - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { C } } 2 \pi G ( \vartheta - c _ { k } ) - \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { W } } 2 \pi G _ { I I } ( \vartheta - w _ { k } ) - 2 \pi \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { S } } \left( G ( \vartheta - \hat { y } _ { k } + i \eta ) + G ( \vartheta - \hat { y } _ { k } - i \eta ) \right) } } \\ { { + \displaystyle \frac { 1 } { i } \displaystyle \int d x G ( \vartheta - x - i \eta ) \displaystyle \frac { d } { d x } \log _ { F D } \left[ 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z _ { N } ( x + i \eta ) } \right] + } } \\ { { - \displaystyle \frac { 1 } { i } \displaystyle \int d x G ( \vartheta - x + i \eta ) \displaystyle \frac { d } { d x } \log _ { F D } \left[ 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { - i Z _ { N } ( x - i \eta ) } \right] . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { P } ( x _ { \mathrm { i n } } ^ { \prime } ) - f _ { P } ( x _ { \mathrm { i n } } ) | } & { { } = \left| \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \partial f _ { P } ( x _ { \mathrm { i n } } ( t ) ) } { \partial t } \, d t \right| } \end{array}
\sum _ { \boldsymbol { k } } ( \Theta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } } + \frac { e \vec { \mathcal { E } } } { \hbar } \cdot \vec { D } _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } } + i \omega \delta _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \boldsymbol { k } } ) g _ { \boldsymbol { k } \alpha } = f _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } } ^ { s } ( v _ { \boldsymbol { k } ^ { \prime } , \alpha } - V _ { \alpha } ) ,
\begin{array} { r l r } { B _ { 1 } ( z ) B _ { 3 } ( w ) } & { \sim } & { 0 , } \\ { B _ { 2 } ( z ) B _ { 3 } ( w ) } & { \sim } & { \frac { 6 B _ { 3 } ( w ) } { ( z - w ) ^ { 2 } } + \frac { 2 B _ { 3 } ^ { \prime } ( w ) } { ( z - w ) } , } \\ { B _ { 3 } ( z ) B _ { 3 } ( w ) } & { \sim } & { \frac { c _ { 3 } ^ { B } } { ( z - w ) ^ { 6 } } + \frac { 2 ( N - 1 ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 3 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 2 } h _ { 3 } ) B _ { 2 } ( w ) } { \psi _ { 0 } ( z - w ) ^ { 4 } } } \\ & { } & { + \frac { ( N - 1 ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 2 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 1 } h _ { 3 } ) ( 2 + \psi _ { 0 } h _ { 2 } h _ { 3 } ) B _ { 2 } ^ { \prime } ( w ) } { \psi _ { 0 } ( z - w ) ^ { 3 } } + \cdots , } \end{array}
t _ { \mathrm { s } } ^ { \mathrm { s a } } \approx \biggl [ \alpha k _ { \perp } v _ { \mathrm { m s , s a } } \biggl ( 1 + \frac { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { m s , s a } } ^ { 2 } } \frac { 1 + \Gamma ( \Gamma - 1 ) \beta _ { \mathrm { i 0 } } / 2 } { 2 } \biggr ) \biggr ] ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \widetilde { h } _ { n + 1 } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \left( 1 \wedge \frac { ( t - s ) s } { t } \right) ^ { - \rho } \widetilde { h } _ { n } ( s ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } s } \\ & { \le 2 ^ { \rho } ( 2 ^ { 1 + \rho } ) ^ { n } \int _ { 0 } ^ { t / 2 } ( 1 \wedge s ) ^ { - \rho } \widehat { h } _ { n } ( s ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } s + 2 ^ { \rho } ( 2 ^ { 1 + \rho } ) ^ { n } \int _ { t / 2 } ^ { t } ( 1 \wedge ( t - s ) ) ^ { - \rho } \widehat { h } _ { n } ( s ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } s } \\ & { = 2 ^ { \rho } \int _ { t / 2 } ^ { t } ( 1 \wedge ( t - s ) ) ^ { - \rho } \widehat { h } _ { n } ( t - s ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } s + 2 ^ { \rho } \int _ { t / 2 } ^ { t } ( 1 \wedge ( t - s ) ) ^ { - \rho } \widehat { h } _ { n } ( s ) \, \ensuremath { \mathrm { d } } s . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r } { 8 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } } & { = } & { 5 1 2 + 6 4 } & { = } & { 5 7 6 } \\ { 5 ^ { 3 } + 7 ^ { 3 } + 6 ^ { 3 } } & { = } & { 1 2 5 + 3 4 3 + 2 1 6 } & { = } & { 6 8 4 } \\ { 6 ^ { 3 } + 8 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } } & { = } & { 2 1 6 + 5 1 2 + 6 4 } & { = } & { 7 9 2 } \\ { 7 ^ { 3 } + 9 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } } & { = } & { 3 4 3 + 7 2 9 + 8 } & { = } & { 1 0 8 0 } \\ { 1 ^ { 3 } + 0 ^ { 3 } + 8 ^ { 3 } + 0 ^ { 3 } } & { = } & { 1 + 0 + 5 1 2 + 0 } & { = } & { 5 1 3 } \\ { 5 ^ { 3 } + 1 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } } & { = } & { 1 2 5 + 1 + 2 7 } & { = } & { 1 5 3 } \\ { 1 ^ { 3 } + 5 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } } & { = } & { 1 + 1 2 5 + 2 7 } & { = } & { 1 5 3 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { Q } & { \coloneq O \cup \{ ( X , x , a ) ~ | ~ X \in O , x \in X , a \in \mathcal { A } \cup \{ 0 ^ { * } \} \} } \\ { \Delta } & { \coloneq \{ ( X , R \colon X \to Y , Y ) ~ | ~ R \colon X \to Y \in M \} } \\ & { \; \; \cup \{ ( X , R \colon X \to Y , ( Y , y , 0 ) ) ~ | ~ Y \in O , x \in Y \} } \\ & { \; \; \cup \{ ( ( X , x , a ) , R \colon X \to Y , ( Y , y , a \vee b ) ) ~ | ~ x R ^ { b } y , a \vee b \neq \alpha , R \in M \} } \\ & { \; \; \cup \{ ( ( X , x , a ) , R \colon X \to Y , ( Y , y , 0 ^ { * } ) ) ~ | ~ x R ^ { b } y , a \vee b = \alpha , R \in M \} } \\ & { \; \; \cup \{ ( ( X , x , 0 ^ { * } ) , R \colon X \to Y , ( Y , y , a ) ) ~ | ~ x R ^ { a } y , R \in M , a \neq \alpha \} } \\ & { \; \; \cup \{ ( ( X , x , 0 ^ { * } ) , R \colon X \to Y , ( Y , y , 0 ^ { * } ) ) ~ | ~ x R ^ { a } y , R \in M , a = \alpha \} } \\ { F } & { \coloneq \{ ( X , x , 0 ^ { * } ) ~ | ~ X \in O , x \in X \} } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 4 C _ { 3 } K _ { 0 } T \beta _ { n } ^ { - 1 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 } e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { \times 8 C _ { 3 } K _ { 0 } T L ^ { - 2 } e ^ { 2 L } ( 2 K _ { 0 } T ) ^ { 2 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 } e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { \times C _ { 4 } K _ { 0 } ^ { 3 } T ^ { 3 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } , } \end{array}
\Delta ( Q _ { 0 } ^ { a } ) = 1 \otimes Q _ { 0 } ^ { a } + Q _ { 0 } ^ { a } \otimes 1 \mathrm { ~ a n d ~ } \Delta ( Q _ { 1 } ^ { a } ) = 1 \otimes Q _ { 1 } ^ { a } + Q _ { 1 } ^ { a } \otimes 1 + { f _ { b c } } ^ { a } Q _ { 0 } ^ { b } \otimes Q _ { 0 } ^ { c }
[ p _ { i } , x _ { j } ] = \delta _ { i j } \, e ^ { - 2 p _ { 0 } / \kappa } - \frac { 1 } { \kappa ^ { 2 } } \left( \vec { p } \, { } ^ { 2 } \, \delta _ { i j } - 2 p _ { i } p _ { j } \right) , \quad [ p _ { 0 } , x _ { i } ] = - \frac { 2 } \kappa \, p _ { i }
\begin{array} { r l } { \left( - \mathrm { i } \omega + \eta k ^ { 2 } \right) \hat { b } _ { i } ( \mathbf { q } ) = } & { { } \mathrm { i } \mathbf { k } \cdot \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \hat { u } _ { i } ( \mathbf { q } ) , } \end{array}