harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { ~ C ~ S ~ W ~ A ~ P ~ } = | 0 \rangle \langle 0 | \otimes \mathbb { 1 } \otimes \mathbb { 1 } + | 1 \rangle \langle 1 | \otimes \mathrm { { S W A P } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { \delta \Delta _ { c } } & { { } = } & { \Bigg [ \bigg ( \frac { \delta g _ { I } } { g _ { I } } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \delta \xi _ { c } ^ { ( r ) } } { 1 - \xi _ { c } } + \frac { \delta \eta _ { c } ^ { ( r ) } } { 1 - \eta _ { c } } \bigg ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda _ { 1 } = 4 \left| \frac { \left( \sqrt { 1 - L } \cos \theta _ { 0 } - 1 \right) \left[ \left( 2 - L - 2 \sqrt { 1 - L } \cos \theta _ { 0 } \right) \sin \phi - \sqrt { 1 - L } ( \cos \phi + 1 ) \sin \theta _ { 0 } \right] } { [ - L - ( 1 - L ) \cos \phi - 2 \sqrt { 1 - L } \cos \theta _ { 0 } + 2 \sqrt { 1 - L } \cos ( \phi + \theta _ { 0 } ) + 3 ] ^ { 2 } } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { S } } & { = \lambda \, D _ { S E M } [ { \bf g } _ { T } ; \, \mathcal { M } _ { T } ] \quad + } \\ & { \int _ { 0 } ^ { T } d t \, \int _ { \mathcal { B } } d ^ { 2 } \vec { \bf x } \, \sqrt { g _ { t } } \, \, \left[ c _ { 1 } | \nabla { \Gamma } | ^ { 2 } + c _ { 2 } | \nabla \gamma | ^ { 2 } + c _ { 3 } \dot { \Gamma } ^ { 2 } + c _ { 4 } | \dot { \gamma } | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
d L ( \tau ) = \left( \frac { D } { L } - \frac { L } { ( T - \tau ) } + \frac { \gamma } { L } + \frac { L _ { f } I _ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 3 } { 2 } } \left( \frac { L L _ { f } } { D ( T - \tau ) } \right) } { ( T - \tau ) I _ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { L L _ { f } } { D ( T - \tau ) } \right) } \right) d \tau + \sqrt { D } \; d W _ { \tau } \ ,
\left( \mathbf { J } ^ { \mathrm { T } } \mathbf { J } + \lambda \mathbf { I } \right) { \boldsymbol { \delta } } = \mathbf { J } ^ { \mathrm { T } } \left[ \mathbf { y } - \mathbf { f } \left( { \boldsymbol { \beta } } \right) \right] ,
- \nabla \cdot \left( \frac { \nabla \bar { U } _ { r e a l } } { | \nabla \bar { U } _ { r e a l } | } \right) + \lambda _ { 1 } ( \bar { U } _ { r e a l } - \hat { U } _ { r e a l } ) + 2 \lambda _ { 3 } \left( ( \bar { U } _ { r e a l } ) ^ { 2 } + ( \bar { U } _ { i m } ) ^ { 2 } - 1 \right) \bar { U } _ { r e a l } = 0 \; \; \; \mathrm { i n } \; \Omega
\langle m ^ { 2 } \rangle = { \frac { \tilde { \Sigma } } { \tilde { \rho } } } = { \frac { \left( e ^ { 2 h } - 1 \right) ^ { 2 } \left( 3 + ( 2 + \sqrt { 7 } ) e ^ { 2 h } \right) ^ { 2 } } { \left( 1 + ( - 1 + \sqrt { 7 } ) e ^ { 2 h } + ( 2 + \sqrt { 7 } ) e ^ { 4 h } \right) ^ { 2 } } } \ ,
S = \int d ^ { 3 } x \sqrt { - g } e ^ { - 2 \Phi } [ \frac { 4 } { k } + R + 4 ( \nabla \Phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 1 2 } H _ { \mu \nu \rho } H ^ { \mu \nu \rho } ] ,
\begin{array} { r l } { \log \Lambda _ { e , e } = } & { { } 3 0 . 4 - 0 . 5 \log n _ { e } + \frac { 5 } { 4 } \log T _ { e } - \sqrt { \epsilon + \left( \log T _ { e } - 2 \right) ^ { 2 } / 1 6 } } \\ { \log \Lambda _ { e , i } = } & { { } \left\{ \begin{array} { c c } { 3 1 - 0 . 5 \log n _ { e } + \log T _ { e } } & { \textrm { i f } T _ { i } \frac { m _ { e } } { m _ { i } } < 1 0 Z _ { i } ^ { 2 } < T _ { e } } \\ { 3 0 - 0 . 5 \log n _ { e } - \log Z _ { i } + 1 . 5 \log T _ { e } } & { \textrm { i f } T _ { i } \frac { m _ { e } } { m _ { i } } < T _ { e } < 1 0 Z _ { i } ^ { 2 } } \\ { 2 3 - 0 . 5 \log n _ { i } + 1 . 5 \log T _ { i } - \log \left( Z _ { i } ^ { 2 } A _ { i } \right) } & { \textrm { i f } T _ { e } < T _ { i } m _ { e } / m _ { i } } \end{array} \right. } \\ { \log \Lambda _ { i , i } = } & { { } 2 9 . 9 1 - \log \left[ \frac { Z _ { 1 } Z _ { 2 } \left( A _ { 1 } + A _ { 2 } \right) } { A _ { 1 } T _ { 2 } + A _ { 2 } T _ { 1 } } \sqrt { n _ { 1 } Z _ { 1 } ^ { 2 } / T _ { 1 } + n _ { 2 } Z _ { 2 } ^ { 2 } / T _ { 2 } } \right] } \end{array}
u ^ { ( 1 ) } \left( { \vec { 0 } } \right) = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \qquad u ^ { ( 2 ) } \left( { \vec { 0 } } \right) = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \qquad v ^ { ( 1 ) } \left( { \vec { 0 } } \right) = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \qquad v ^ { ( 2 ) } \left( { \vec { 0 } } \right) = { \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] }
\sigma _ { \mathrm { H I } } ( \nu ) = \frac { \pi e ^ { 2 } } { m _ { e } c } f _ { l u } L ( \nu ) = \frac { \pi e ^ { 2 } } { m _ { e } c } f _ { l u } \frac { \Gamma _ { u l } / ( 4 \pi ^ { 2 } ) } { ( \nu - \nu _ { l u } ) ^ { 2 } + ( \Gamma _ { u l } / ( 4 \pi ) ^ { 2 } ) } \, ,
W _ { n } ( A _ { 1 } , A _ { 2 } ) | _ { 0 - \mathrm { i n s t } } = \frac { 1 } { n } \sqrt { \frac { A } { A _ { 1 } A _ { 2 } } } J _ { 1 } ( 2 n \sqrt { \frac { A _ { 1 } A _ { 2 } } { A } } ) + O ( 1 / N ) .
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ } } ^ { i } = \left[ \cfrac { 1 } { 2 } \left( \hat { x } _ { i } ^ { 2 } + \hat { p } _ { i } ^ { 2 } - 1 \right) \right] _ { \mathcal { W } } = \cfrac { 1 } { 2 } \left( x _ { i } ^ { 2 } + p _ { i } ^ { 2 } - 1 \right) . } \end{array}
\Tilde { C } = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { C } _ { R _ { x p _ { 1 } } } } \\ { \tilde { C } _ { Z _ { x p _ { 1 } } } } \\ { \tilde { C } _ { R _ { x p _ { 2 } } } } \\ { \tilde { C } _ { Z _ { x p _ { 2 } } } } \\ { \tilde { C } _ { \psi _ { \bar { s h } _ { i } } } - \tilde { C } _ { \psi _ { \bar { x p } _ { 1 } } } } \\ { \tilde { C } _ { \psi _ { \bar { x p } _ { 1 } } } - \tilde { C } _ { \psi _ { \bar { x p } _ { 2 } } } } \end{array} \right]
U _ { \mathrm { U Q S D } } ( | \varphi \rangle | { \mathrm { r e s u l t ~ ? } } \rangle ) = { \sqrt { 1 - | \langle \varphi | \psi \rangle | } } | \psi ^ { \perp } \rangle | { \mathrm { r e s u l t ~ φ } } \rangle + e ^ { - i \arg ( \langle \varphi | \psi \rangle ) } { \sqrt { | \langle \varphi | \psi \rangle | } } | \gamma \rangle | { \mathrm { r e s u l t ~ ? } } \rangle .
\begin{array} { r } { A _ { 3 } \cap C _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z - \sigma r / 2 \leq x \leq \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z \qquad \textrm { i f } z < \sigma / 2 - r } \\ { \sigma r / 2 < x \leq \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z \qquad \textrm { i f } \sigma / 2 - r < z < \sigma / 2 - r / 2 } \end{array} \right. } \end{array}
\{ 0 < x < 2 \bar { \varepsilon } , \, 0 < y < y _ { P _ { 2 } } + \frac { x } { k } \} \; \subseteq \; \mathcal { R } ( \Omega _ { 2 \bar { \varepsilon } } ^ { 5 } ) \; \subseteq \; \{ 0 < x < 2 \bar { \varepsilon } , \, 0 < y < y _ { P _ { 2 } } + k x \} \, .
\begin{array} { r l r } { J _ { 0 } } & { { } = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \, d x \, \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \, d \phi ( | x | - \mathrm { c o s } \phi ) \mathrm { c o s } \phi = 2 - \pi } \\ { J _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \, d x \, \int _ { - \phi _ { c } } ^ { \phi _ { c } } \, d \phi ( | x | - \mathrm { c o s } \phi ) \mathrm { c o s } \phi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega ^ { \alpha } } & { { } = A _ { \beta } ^ { \alpha } \left( s ^ { \alpha } \right) \dot { s } ^ { \beta } + \mathcal { A } _ { I } ^ { \alpha } ( r ^ { J } ) \dot { r } ^ { I } } \\ { \dot { s } ^ { \alpha } } & { { } = B _ { \beta } ^ { \alpha } \left( s ^ { a } \right) \Omega ^ { \beta } - B _ { \beta } ^ { \alpha } \left( s ^ { a } \right) \mathcal { A } _ { I } ^ { \beta } ( r ^ { J } ) u ^ { I } } \end{array}
\displaystyle \frac { d \Gamma _ { F B } } { d q ^ { 2 } } = \displaystyle \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 3 } } \left( \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } \mid V \mid ^ { 2 } \frac { \lambda \; q ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } [ ( \mid H _ { + } ^ { L } \mid ^ { 2 } - \mid H _ { - } ^ { L } \mid ^ { 2 } ) - ( \mid H _ { + } ^ { R } \mid ^ { 2 } - \mid H _ { - } ^ { R } \mid ^ { 2 } ) ] ,
\begin{array} { r } { { \bf m } = \sum _ { N = 1 } ^ { n } m _ { N } [ { \bf x } _ { N } , \dot { \bf x } _ { N } ] = \sum _ { i } g _ { i } [ { \bf R } _ { i } , \dot { \bf R } _ { i } ] = R I R ^ { T } { \boldsymbol \omega } = R I { \bf \Omega } = R { \bf M } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { \boldmath ~ S ~ } ( \mathrm { \boldmath ~ y ~ } , s ) } & { \equiv } & { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { 4 } y _ { k } \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { k } - s \mathrm { \boldmath ~ H ~ } } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { l l l } { y _ { 3 } - s } & { - 1 - y _ { 1 } + y _ { 4 } } & { 1 - y _ { 2 } - y _ { 4 } } \\ { - 1 - y _ { 1 } + y _ { 4 } } & { y _ { 3 } } & { 0 } \\ { 1 - y _ { 2 } - y _ { 4 } } & { 0 } & { - y _ { 3 } } \end{array} \right) = \mathrm { \boldmath ~ O ~ } \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } _ { + } ^ { 3 } . } \end{array}
\Vert x _ { h } - x _ { h , \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } \Vert ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { m } \Vert x _ { h } ( t _ { i } ) - x _ { h , \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ( t _ { i } ) \Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { R _ { i , k } ^ { l } } & { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \partial \alpha _ { i } } { \partial x _ { j } } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \Bigg ( \alpha _ { j } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \Delta _ { l } + \sum _ { ( m , n ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 2 } } h _ { i m n } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \Big ( [ W _ { m , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - W _ { m , k \Delta _ { l } } ] [ W _ { n , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - } \\ & { } & { W _ { n , k \Delta _ { l } } ] - \Delta _ { l } \Big ) \Bigg ) \Delta _ { l } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { ( j , m ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \alpha _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { m } } ( \xi _ { 1 } ^ { l } ) [ X _ { j , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ^ { l } - X _ { j , k \Delta _ { l } } ^ { l } ] [ X _ { m , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } ^ { l } - X _ { m , k \Delta _ { l } } ^ { l } ] \Delta _ { l } } \\ { M _ { i , k } ^ { ( 1 , l ) } } & { = } & { \sum _ { ( j , m ) \in \{ 1 , \dots , d \} ^ { 2 } } \frac { \partial \alpha _ { i } } { \partial x _ { j } } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) \beta _ { j m } ( X _ { k \Delta _ { l } } ^ { l } ) [ W _ { m , ( k + 1 ) \Delta _ { l } } - W _ { m , k \Delta _ { l } } ] \Delta _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle { \cal B } _ { f } ( p _ { f } ) | V _ { \mu } | { \cal B } _ { c } ( p _ { i } ) \rangle } & { { } = } & { \bar { u } _ { f } ( p _ { f } ) [ f _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + i f _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \nu } + f _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) q _ { \mu } ] u _ { i } ( p _ { i } ) , } \\ { \langle { \cal B } _ { f } ( p _ { f } ) | A _ { \mu } | { \cal B } _ { c } ( p _ { i } ) \rangle } & { { } = } & { \bar { u } _ { f } ( p _ { f } ) [ g _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) \gamma _ { \mu } + i g _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } q ^ { \nu } + g _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) q _ { \mu } ] \gamma _ { 5 } u _ { i } ( p _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a = } & { { } ~ \frac { \alpha } { \mu n ^ { * } } ( 1 - p _ { S } ) , } \\ { b = } & { { } ~ 1 - p _ { S } + 1 - \mathcal { R } _ { 0 } + \frac { \alpha } { r + \mu } p _ { S } ( \varepsilon _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) \varepsilon _ { 1 } ) , } \\ { c = } & { { } ~ \frac { \mu n ^ { * } } { \alpha } ( 1 - \mathcal { R } _ { 0 } ) . } \end{array}
k = \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \frac { M ^ { 2 } \log \left( \frac { M ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) - m ^ { 2 } \log \left( \frac { m ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) } { M ^ { 2 } - m ^ { 2 } } ,
( \rho , \mathbf { v } , \mathbf { B } ) = \left( 1 , 0 , 0 , 0 , \frac { 1 0 0 } { \sqrt { 4 \pi } } , 0 , 0 \right) , \qquad p = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 0 ^ { 3 } , } & { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \leq 0 . 1 , } \\ { 0 . 1 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { U _ { i } } & { { } = \int u _ { i } ( \vec { x } ) d ^ { 3 } \vec { x } = \sum _ { p = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 } M _ { i } \vec { v } _ { p } ^ { 2 } = \int \left[ u _ { k , i } ( \vec { x } ) + u _ { t h , i } ( \vec { x } ) \right] d ^ { 3 } \vec { x } } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 4 } ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } + g f ^ { a b c } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } ) ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } A _ { \mu } ^ { a } A ^ { a \mu }
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb { P } \left( \alpha \sum _ { j \in S _ { i } ^ { \mathsf { c } } } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) w _ { j } \geq \frac { \beta n ( p - q ) t j } { 8 0 k ^ { 2 } } \Bigg | S _ { i } \cup \{ i \} \right) } \\ & { \leq - \frac { \beta n ( p - q ) t j } { 8 0 k ^ { 2 } } s + p s ^ { 2 } \left( \frac { 4 ( C _ { 0 } + 3 ) k \sqrt { k n p } } { \beta n ( p - q ) } \right) ^ { 2 } \exp \left( 2 { s } t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { l } { \alpha } \\ { 1 } \end{array} \right] } & { = \alpha T _ { G } ( \alpha ) \cdots T _ { G } ^ { n - 1 } ( \alpha ) \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { a _ { 1 } } \end{array} \right] \cdots \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { a _ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { T _ { G } ^ { n } ( \alpha ) } \\ { 1 } \end{array} \right] } \\ & { = \alpha T _ { G } ( \alpha ) \cdots T _ { G } ^ { n - 1 } ( \alpha ) \left[ \begin{array} { l l } { p _ { n - 1 } } & { p _ { n } } \\ { q _ { n - 1 } } & { q _ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { T _ { G } ^ { n } ( \alpha ) } \\ { 1 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega _ { x } = \omega _ { y } = 0 . \qquad \qquad \qquad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { 2 } , \mathrm { ~ } z = u _ { o } } \\ & { \omega _ { x } = \omega _ { y } = \omega _ { z } = 0 . \qquad \qquad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { 3 } , \mathrm { ~ } z = 2 u _ { o } } \\ & { \omega _ { x } = \omega _ { y } = 0 . \qquad \qquad \qquad \mathrm { a t } ~ \Omega _ { 4 } , \mathrm { ~ } z = 3 u _ { o } } \end{array}
\tau _ { 3 } ( u ) = ( g _ { 1 } + g _ { 2 } + g _ { 3 } ) u + g _ { 1 } g _ { 2 } g _ { 3 } + g _ { 1 } \beta _ { 3 } + g _ { 2 } \beta _ { 1 } + g _ { 3 } \beta _ { 2 } \; .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { p = \pm 1 } \frac { K _ { n + p } ( \gamma _ { 1 } u ) } { W _ { n + p } ^ { I } } } & { = } & { \frac { 2 \varepsilon _ { 0 } / ( \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 0 } ) } { \gamma _ { 0 } I _ { n } ( \gamma _ { 0 } u ) } , } \\ { \sum _ { p = \pm 1 } \frac { I _ { n + p } ( \gamma _ { 0 } u ) } { W _ { n + p } ^ { I } } } & { = } & { \frac { 2 \varepsilon _ { 1 } / \left( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } \right) } { \gamma _ { 1 } K _ { n } ( \gamma _ { 1 } u ) } , } \end{array}
\left( \frac { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 3 } } { \hbar } \right) \alpha ^ { 3 } \tilde { F } _ { Q } ( \tilde { r } ) = \left( \hbar c \frac { N _ { e } ^ { 2 } } { \left( \frac { \hbar } { m _ { e } c } \right) ^ { 2 } \alpha ^ { - 2 } \tilde { r } ^ { 2 } } \right) \alpha .
\int [ d X _ { n } ^ { I } ] [ d X _ { n } ^ { I I } ] < 0 \mid : V _ { 1 } ( z ) : : V _ { 2 } ( u ) : \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } \delta ( X _ { n } ( \tau _ { 1 } ) - X _ { n } ^ { I } )
{ \binom { p ( a , b ) } { q ( a , b ) } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \binom { 1 } { b } } , } & { { \mathrm { i f ~ } } b = a + 1 { \mathrm { , } } } \\ { { \binom { p ( a , m ) q ( m , b ) + p ( m , b ) } { q ( a , m ) q ( m , b ) } } , } & { { \mathrm { o t h e r w i s e , ~ w h e r e ~ } } m = \lfloor ( a + b ) / 2 \rfloor } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { C _ { i j } ^ { \alpha } } & { = \frac { \mathrm { d } V _ { j } ^ { \alpha } } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { - } ( x _ { i } ^ { - } ) - \frac { \mathrm { d } V _ { j } ^ { \alpha } } { \mathrm { d } x } \bigg \vert _ { + } ( x _ { i } ^ { + } ) } \\ & { = - \frac { 1 } { \ell _ { ( j - 1 ) j } } \delta _ { i ( j - 1 ) } + \left( \frac { 1 } { \ell _ { ( j - 1 ) j } } + \frac { 1 } { \ell _ { j ( j + 1 ) } } \right) \delta _ { i j } - \frac { 1 } { \ell _ { j ( j + 1 ) } } \delta _ { i ( j + 1 ) } } \\ & { \, \quad \quad - \delta _ { 1 j } \delta _ { i N } \frac { \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \alpha L } } { \ell _ { N ( N + 1 ) } } - \delta _ { 1 i } \delta _ { j N } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \alpha L } } { \ell _ { N ( N + 1 ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { \hat { H } } _ { \infty } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } } & { { } = } & { U \sum _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } - \frac { U } { 2 } \mathrm { ~ s ~ g ~ n ~ } \left( \Delta n \right) \left( \hat { n } _ { 1 } - \hat { n } _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \delta _ { \mathrm { 3 D } } } ^ { * } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } & { { } \approx } & { \frac { \mu _ { 6 2 6 } ^ { \prime } \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } \ensuremath { R _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } { \hbar } - \frac { \ensuremath { k _ { 6 2 6 } } \ensuremath { v _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } { \sqrt { 2 } } , } \\ { \ensuremath { \delta _ { \mathrm { 3 D } } } ^ { * } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } & { { } \approx } & { - \frac { \mu _ { 6 2 6 } ^ { \prime } \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } \ensuremath { R _ { \mathrm { c a p } } } ( \ensuremath { b _ { \mathrm { 3 D } } ^ { \prime } } ) } { \hbar } . } \end{array}
\left( \mathbf { A } ^ { - 1 } \right) _ { i j } = { \frac { 1 } { \left| \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \end{array} \right| } } \left( \mathbf { C } ^ { \mathrm { T } } \right) _ { i j } = { \frac { 1 } { \left| \begin{array} { l } { \mathbf { A } } \end{array} \right| } } \left( \mathbf { C } _ { j i } \right)
\begin{array} { r l } { | \Psi ( t ) \rangle } & { = \prod _ { j = 1 } | \psi _ { j } ( t ) \rangle , } \\ { | \psi _ { j } \rangle } & { = c _ { j g a } ( t ) | g _ { j } , a _ { j } \rangle + c _ { j g b } ( t ) | g _ { j } , b _ { j } \rangle + c _ { j e a } ( t ) | e _ { j } , a _ { j } \rangle + c _ { j e b } ( t ) | e _ { j } , b _ { j } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ^ { < } ( L , \tau | L _ { 0 } , \tau _ { 0 } = 0 ) } & { = \frac { L e ^ { - \frac { L ^ { 2 } + L _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 D \tau } } \left( \frac { L } { L _ { 0 } } \right) ^ { \frac { \gamma } { d } + \frac { 1 } { 2 } } I _ { \frac { \gamma } { D } + \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { L L _ { 0 } } { D \tau } \right) } { D \tau } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { T _ { n } ( x ) } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \big ( } \, U _ { n } ( x ) - U _ { n - 2 } ( x ) \, { \big ) } ~ . } & { } & { { } } \\ { T _ { n } ( x ) } & { { } = U _ { n } ( x ) - x \, U _ { n - 1 } ( x ) ~ . } & { } & { { } } \\ { U _ { n } ( x ) } & { { } = 2 \, \sum _ { { \mathrm { ~ o d d ~ } } j } ^ { n } T _ { j } ( x ) } & { } & { { } { \mathrm { ~ f o r ~ o d d ~ } } n ~ . } \\ { U _ { n } ( x ) } & { { } = 2 \, \sum _ { { \mathrm { ~ e v e n ~ } } j } ^ { n } T _ { j } ( x ) - 1 } & { } & { { } { \mathrm { ~ f o r ~ e v e n ~ } } n ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi = \bigg ( 2 \mathrm { a c o s } \Big ( \frac { \sqrt { 5 } } { 4 } \Big ) - \frac { 5 } { 4 } \sqrt { 4 - \frac { 1 } { 4 } } \bigg ) } & { } & { \zeta = \frac { 1 } { r _ { 1 } } \bigg ( \chi - 2 \mathrm { a c o s } \Big ( \frac { 1 } { 4 } \Big ) + \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 4 - \frac { 1 } { 4 } } \bigg ) . } \end{array}
F ( \lambda ) = x _ { + } ^ { 2 \ell - \mu + \lambda } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \rho + 1 ) ^ { 2 \ell - \mu } \rho ^ { \lambda - 1 } d \rho = \frac { \Gamma ( \lambda ) \Gamma ( - 2 \ell + \mu - \lambda ) } { \Gamma ( \mu - 2 \ell ) } \, x _ { + } ^ { 2 \ell - \mu + \lambda } \, ,
\begin{array} { c } { { V _ { u d } = 0 . 9 7 4 0 \pm 0 . 0 0 0 5 } } \\ { { \mathrm { a n d } } } \\ { { | V _ { u d } | ^ { 2 } + | V _ { u s } | ^ { 2 } + | V _ { u b } | ^ { 2 } = 0 . 9 9 6 8 \pm 0 . 0 0 1 4 } } \end{array}
\frac { \partial \tilde { S } } { \partial \xi } = \frac { \partial ( z _ { r } , \tilde { S } ) } { \partial ( z _ { r } , \xi ) } = \frac { 1 } { J } \frac { \partial ( z _ { r } , S ) } { \partial ( \theta , S ) } = \frac { 1 } { J } \frac { \partial z _ { r } } { \partial \theta } = \frac { 1 } { J } \frac { g \alpha _ { r } } { N _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { ( C _ { i j k l } F _ { i ^ { \prime } i } F _ { j ^ { \prime } j } F _ { k ^ { \prime } k } F _ { l ^ { \prime } l } ) _ { , j ^ { \prime } } ( A _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathrm { i } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } \\ { \ \ \ } & { + C _ { i j k l } F _ { i ^ { \prime } i } F _ { j ^ { \prime } j } F _ { k ^ { \prime } k } F _ { l ^ { \prime } l } ( A _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathrm { i } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k ^ { \prime } , l ^ { \prime } } ^ { \prime } + \mathrm { i } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } A _ { k ^ { \prime } , j ^ { \prime } } ^ { \prime } - A _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } k _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } k _ { l ^ { \prime } } ^ { \prime } ) + \rho \omega ^ { 2 } \delta _ { i k } F _ { i ^ { \prime } i } F _ { k ^ { \prime } k } A _ { k ^ { \prime } } ^ { \prime } = 0 . } \end{array}
Q _ { 1 } = \underbrace { \varphi _ { f } \varphi _ { n } \frac { q _ { 0 } c _ { 1 } } { 1 + q _ { 1 } c _ { 1 } } } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ u ~ m ~ p ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } - \underbrace { \varphi _ { f } \varphi _ { n } q _ { 2 } c _ { 1 } } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ l ~ e ~ a ~ s ~ e ~ } } ,
\begin{array} { r l } { x _ { \mathrm { j } } } & { { } = x _ { \mathrm { k } } \times x _ { \mathrm { l } } } \\ { x _ { \mathrm { k } } } & { { } = a b s ( x _ { \mathrm { j } } ) } \\ { x _ { \mathrm { l } } } & { { } = \log ( x _ { \mathrm { k } } ) } \\ { x _ { \mathrm { m } } } & { { } = t \times x _ { \mathrm { j } } { \mathrm { ~ , w h e r e ~ } } t { \mathrm { ~ r e p r e s e n t s ~ t i m e } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) q _ { \parallel , u } R _ { u } = } & { { } ~ \gamma n _ { t } T _ { t } M _ { t } \sqrt { \frac { 2 T _ { t } } { m _ { i } } } R _ { t } } \\ { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) p _ { t o t , u } = } & { { } ~ 2 ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) n _ { t } T _ { t } } \end{array}
I [ L , X ] = I [ L ] + i \int d ^ { 2 } \xi d ^ { 2 } \theta \left[ \langle L ^ { - 1 } D _ { + } L , T ^ { a } \rangle F _ { a \beta } ^ { R } D _ { - } X ^ { \beta } + D _ { + } X ^ { \alpha } \hat { F } _ { \alpha \beta } D _ { - } X ^ { \beta } \right] ,
\begin{array} { r l r } { K _ { 4 y } ^ { 1 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ~ ~ \kappa ~ ( u + t ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) ~ H ) } \\ { K _ { 4 y } ^ { 2 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + \gamma ~ \kappa ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) ~ H ) } \\ { K _ { 4 y } ^ { 3 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( - u ~ \kappa + \gamma _ { 1 } ~ t ~ v ^ { 2 } + \gamma _ { 1 } ~ u ~ v ) ~ ( \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } + ( 2 - \gamma ) ~ H ) } \\ { K _ { 4 y } ^ { 4 } } & { = } & { d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( u ~ \kappa ^ { 2 } + \gamma ~ \gamma _ { 1 } ~ u ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ u ~ E _ { c } + \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ t ~ v ~ E _ { c } - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ H ~ u - \gamma _ { 1 } ^ { 2 } ~ H ~ t ~ v } \\ & { - } & { \gamma _ { 1 } ~ H ~ t ^ { 2 } ~ u + \gamma _ { 1 } ~ H ~ t ~ v ) } \end{array}