harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \langle \widehat { O } \rangle } & { = \operatorname { T r } \left( \widehat { O } \rho ( t ) \right) = \operatorname { T r } \left( \widehat { O } \mathbb { E } _ { \Xi } \rho _ { \Xi } ( t ) \right) = \mathbb { E } _ { \Xi } \operatorname { T r } \left( \widehat { O } \rho _ { \Xi } ( t ) \right) } \\ & { = \mathbb { E } _ { \Xi } \operatorname { T r } \left( \widehat { O } _ { 1 } \otimes \widehat { O } _ { 2 } \otimes \cdots \otimes \widehat { O } _ { N } \cdot \rho _ { 1 , \Xi } ( t ) \otimes \rho _ { 2 , \Xi } ( t ) \otimes \cdots \otimes \rho _ { N , \Xi } ( t ) \right) } \\ & { = \mathbb { E } _ { \Xi } \left[ \operatorname { T r } \left( \widehat { O } _ { 1 } \rho _ { 1 , \Xi } ( t ) \right) \operatorname { T r } \left( \widehat { O } _ { 2 } \rho _ { 2 , \Xi } ( t ) \right) \cdots \operatorname { T r } \left( \widehat { O } _ { N } \rho _ { N , \Xi } ( t ) \right) \right] . } \end{array}
\langle { \cal O } \rangle _ { A } = \langle { \cal O } \rangle _ { L } + \int _ { 0 } ^ { 1 } d \kappa \int D \phi \biggl ( \tilde { \delta } _ { 1 } [ \phi ] + \kappa \tilde { \delta } _ { 2 } [ \phi ] \biggr ) \Theta ^ { \prime } [ \phi ] { \frac { \delta { \cal O } } { \delta \phi } } e ^ { i S _ { \mathrm { e f f } } ^ { M } } .
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { J S } } ^ { G , A } ( p _ { \theta _ { 1 } } , p _ { \theta _ { 2 } } ) } & { = } & { H ( ( p _ { \theta _ { 1 } } p _ { \theta _ { 2 } } ) ^ { G } ) - A ( H ( p _ { \theta _ { 1 } } ) , H ( p _ { \theta _ { 2 } } ) ) , } \\ & { = } & { - F ^ { * } \left( M _ { \nabla F ^ { * } } ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) \right) + \frac { F ^ { * } ( \eta _ { 1 } ) + F ^ { * } ( \eta _ { 2 } ) } { 2 } = J _ { F ^ { * } } ^ { \nabla F ^ { * } , A } ( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \rho \frac { d u _ { i } } { d t } + u _ { j } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } } \\ { \frac { d p } { d t } + u _ { i } \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } } & { { } = } & { - { c _ { s } } ^ { 2 } \rho _ { o } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } p } { \partial x _ { i } x _ { i } } , } \end{array}
\left< \mathcal O \left[ \Psi ^ { ( m ) } \right] \right> _ { \lambda } = \operatorname* { l i m } _ { \Lambda \to \infty } \frac { 1 } { \Lambda } \int _ { 0 } ^ { \Lambda } \mathcal O \left[ \Psi ^ { ( m ) } ( \lambda ) \right] d \lambda
- \frac { 1 } { F } \partial _ { t } ^ { 2 } \Phi _ { l } + \partial _ { r } ( F \partial _ { r } \Phi _ { l } ) = \frac { F _ { , r } } { r } \Phi _ { l } + \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } \Phi _ { l } ,
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { g a p } , n } ^ { K } } & { { } = v _ { F } \mathrm { s g n } \, ( n ) \sqrt { 2 | ( | n | + \frac { \varphi } { 2 \pi } ) \beta | - ( | n | + \frac { \varphi } { 2 \pi } ) ^ { 2 } \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } } , } \\ { E _ { \mathrm { g a p } , n } ^ { K ^ { \prime } } } & { { } = v _ { F } \mathrm { s g n } \, ( n ) \sqrt { 2 | ( | n | - \frac { \varphi } { 2 \pi } ) \beta | - ( | n | - \frac { \varphi } { 2 \pi } ) ^ { 2 } \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } } . } \end{array}
\psi _ { \Lambda } ^ { \prime } ( { \bf p } ) = \sqrt { \frac { \omega ( { { \bf \Lambda p } } ) } { \omega ( { \bf p } ) } } e ^ { i \Omega ( { \bf \Lambda p } ) - i \Omega ( { \bf p } ) } \psi ^ { \prime } ( { \bf \Lambda p } ) .
| \Phi _ { T , n } ^ { h } \rangle = U _ { n + 1 } ^ { \dagger } | \Phi _ { T , n + 1 } ^ { h } \rangle + U _ { T } | \psi _ { 0 } ^ { h } \rangle \operatorname { t r } ( U _ { n , 1 } U _ { T } ^ { \dagger } ) ,
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial v _ { 0 , r } } { \partial r } \right| _ { r = 1 } } & { { } = 0 } \\ { \left. \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial v _ { 0 , r } } { \partial \theta } + \frac { \partial v _ { 0 , \theta } } { \partial r } - \frac { v _ { 0 , \theta } } { r } \right) \right| _ { r = 1 } } & { { } = \sin { \theta } ~ F ( m ) ~ e ^ { - i t } + c . c . } \end{array}
\{ I _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } , I _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ - ~ f ~ r ~ o ~ n ~ t ~ } } , I _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ f ~ t ~ - ~ r ~ e ~ a ~ r ~ } } , I _ { \mathrm { ~ r ~ i ~ g ~ h ~ t ~ - ~ r ~ e ~ a ~ r ~ } } \} = f _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ n ~ d ~ e ~ r ~ } } \left( \Phi , S , R , O , D \right) ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { j \geq 1 } \sum _ { k \geq 1 } m _ { j } m _ { k } 2 ^ { - | j - k | } } & { = \| \mathfrak m \| _ { \ell ^ { 2 } } + \sum _ { k \geq 1 } \sum _ { j > k } 2 m _ { j } m _ { k } 2 ^ { - j + k } } \\ & { \leq \| \mathfrak m \| _ { \ell ^ { 2 } } + \sum _ { j = 2 } ^ { \infty } m _ { j } ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } 2 ^ { - j + k } + \sum _ { k \geq 1 } m _ { k } ^ { 2 } \sum _ { j > k } 2 ^ { - j + k } \leq 3 \| \mathfrak m \| _ { \ell ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \sigma } { d \nu } = \frac { 8 } { 3 } \frac { r _ { e } } { c } \frac { 1 } { h \nu } } & { { } } & { \left( \frac { \varepsilon - h \nu } { \varepsilon } \right) ^ { 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \alpha + \mu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta + \mu \right) \pi \right) } \end{array}
\mathsf { K } = \frac { 1 } { 2 } M \dot { X } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m \dot { x } ^ { 2 } \, , \qquad \mathsf { P } = \frac { 1 } { 2 } k \xi ^ { 2 } \, , \qquad \mathsf { W } = F _ { X } ( t ) X ( t ) \, .
N \mu ^ { - 1 } ( \sum _ { i } V ( \lambda _ { i } ) ) + \sum _ { i < j } [ - 2 \log ( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } ) + \log ( \lambda _ { i } - q \lambda _ { j } ) + \log ( \lambda _ { i } - q ^ { - 1 } \lambda _ { j } ) ]
\rho _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ o ~ n ~ a ~ } } \sim \frac { m _ { e } \, m _ { p } \, g } { \sigma _ { T } \, \epsilon } = 4 . 7 \times 1 0 ^ { - 7 } \, \frac { \alpha \, m _ { e } ^ { 2 } \, m _ { p } ^ { 3 } } { \lambda ^ { 3 / 5 } \, M _ { p l } }
\widehat { \cal M } ^ { ( B ) } ( \omega ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { { \cal M } _ { 1 } + { \cal M } _ { 2 } ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \cal M } _ { 1 } - { \cal M } _ { 2 } ^ { - 1 } } } \\ { { 0 } } & { { { \cal M } _ { 2 } + { \cal M } _ { 1 } ^ { - 1 } } } & { { - { \cal M } _ { 2 } + { \cal M } _ { 1 } ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { { \cal M } _ { 2 } + { \cal M } _ { 1 } ^ { - 1 } } } & { { { \cal M } _ { 2 } + { \cal M } _ { 1 } ^ { - 1 } } } & { { 0 } } \\ { { { \cal M } _ { 1 } - { \cal M } _ { 2 } ^ { - 1 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \cal M } _ { 1 } + { \cal M } _ { 2 } ^ { - 1 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { B _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { \mu \in \{ x , y , z \} } \left[ p _ { i , \mu } p _ { j , \mu } A _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } \frac { \partial ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } ( \b { q } , \b { p } ) } { \partial q _ { i , \mu } \partial q _ { j , \mu } } \right] , } \\ & { = } & { \ensuremath { \mathbf { P } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) + \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } \ensuremath { \mathbf { D } } ^ { 2 } A _ { \mathrm { W } } ( \ensuremath { \mathbf { q } } , \ensuremath { \mathbf { p } } ) , } \end{array}
\sigma v = \frac { G _ { F } ^ { 2 } m _ { \nu } ^ { 4 } } { \pi } \, \frac { v ^ { 2 } } { v _ { N } ^ { 2 } } \, \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } \frac { U _ { k 2 } ^ { P } U _ { k 1 } ^ { P } } { m _ { P _ { k } } ^ { 2 } - 4 m _ { \nu } ^ { 2 } } \right] ^ { 2 } \, \sum _ { f } c _ { f } \beta _ { f } m _ { f } ^ { 2 } \kappa _ { f } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \operatorname { s i n h c } _ { p } ^ { \prime } ( t ) } & { = \frac { d } { d t } \left\{ \frac { \sinh _ { p } ( t ) } { t } \right\} } \\ & { = \frac { t \sinh _ { p } ^ { \prime } ( t ) - \sinh _ { p } ( t ) } { t ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { t \cosh _ { p } ( t ) - \sinh _ { p } ( t ) } { t ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \cosh _ { p } ( t ) } { t ^ { 2 } } \left( t - \operatorname { t a n h } _ { p } ( t ) \right) } \\ & { \geq 0 , } \end{array}
f _ { l } ( k ) = \frac { 1 } { 2 i k } ( e ^ { 2 i \delta _ { l } ( k ) } - 1 ) = \frac { 1 } { k c o t \delta _ { l } ( k ) - i k } = \frac { s i n ( 2 \delta _ { l } ( k ) ) } { 2 k } + i \frac { s i n ^ { 2 } ( \delta _ { l } ( k ) ) } { k } .
\left[ \begin{array} { c } { \frac { \partial \chi } { \partial \phi } } \\ { \frac { \partial \chi } { \partial C } } \\ { \frac { \partial \chi } { \partial S _ { w } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { \frac { \partial V _ { P } } { \partial \phi } } & { \frac { \partial V _ { S } } { \partial \phi } } & { \frac { \partial \rho } { \partial \phi } } \\ { \frac { \partial V _ { P } } { \partial C } } & { \frac { \partial V _ { S } } { \partial C } } & { \frac { \partial \rho } { \partial C } } \\ { \frac { \partial V _ { P } } { \partial S _ { w } } } & { \frac { \partial V _ { S } } { \partial S _ { w } } } & { \frac { \partial \rho } { \partial S _ { w } } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \frac { \partial \chi } { \partial V _ { P } } } \\ { \frac { \partial \chi } { \partial V _ { S } } } \\ { \frac { \partial \chi } { \partial \rho } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathrm { R H S } } & { = ( a + b + c ) \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { a } { a + b + c } \sqrt { 2 a ^ { 2 } + b c } } \\ & { \le ( a + b + c ) \sqrt { \sum _ { \mathrm { c y c } } \frac { a } { a + b + c } ( 2 a ^ { 2 } + b c ) } } \\ & { = \sqrt { a + b + c } \sqrt { 2 ( a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } ) + 3 a b c } . } \end{array}
\{ s _ { r a } , \, s _ { r o } , \, \ensuremath { \lambda } _ { a } , \, \ensuremath { \lambda } _ { o } , \, \ensuremath { \lambda } \} \; \mathrm { ~ u ~ s ~ i ~ n ~ g ~ } \; ( s ^ { n } , c ^ { n } , \Gamma ^ { n } , { \bf v } ^ { n } )
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } \langle p \rangle } & { = \int \Phi ^ { * } V ( x , t ) { \frac { \partial } { \partial x } } \Phi ~ d x - \int \Phi ^ { * } \left( { \frac { \partial } { \partial x } } V ( x , t ) \right) \Phi ~ d x - \int \Phi ^ { * } V ( x , t ) { \frac { \partial } { \partial x } } \Phi ~ d x } \\ & { = - \int \Phi ^ { * } \left( { \frac { \partial } { \partial x } } V ( x , t ) \right) \Phi ~ d x } \\ & { = \left\langle - { \frac { \partial } { \partial x } } V ( x , t ) \right\rangle = \langle F \rangle . } \end{array} }
\phi _ { 1 } = { \frac { \phi _ { 0 } \; ( \eta _ { a b } \; \zeta ^ { a } \; \zeta ^ { b } ) \; \left\{ \eta _ { a b } \; [ x ^ { a } - x _ { 0 } ^ { a } ] \; [ x ^ { b } - x _ { 0 } ^ { b } ] - \eta _ { a b } \; \zeta ^ { a } \; \zeta ^ { b } \right\} } { ( \eta _ { a b } \; [ x ^ { a } - x _ { 0 } ^ { a } ] \; [ x ^ { b } - x _ { 0 } ^ { b } ] - \eta _ { a b } \; \zeta ^ { a } \; \zeta ^ { b } ) ^ { 2 } + 4 ( \eta _ { a b } \; [ x ^ { a } - x _ { 0 } ^ { a } ] \; \zeta ^ { b } ) ^ { 2 } } } ;
{ \cal K } _ { r } ^ { ( 0 ) } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } ) = \frac { g ^ { 2 } N _ { c } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { D - 1 } } \: f _ { B } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } ) \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; f _ { B } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } _ { 2 } ; \vec { q } ) = \frac { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 2 } ^ { \: \prime \: 2 } + \vec { q } _ { 2 } ^ { \: 2 } \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } { \vec { k } ^ { \: 2 } } - \vec { q } ^ { \: 2 } \; ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \bar { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \lambda } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \notin \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { g } & { = \varphi _ { U } ^ { 2 } \sigma ( U ) - \varphi _ { V } ^ { 2 } \sigma ( V ) } \\ & { = \varphi _ { U } \left( \varphi _ { U } - \varphi _ { V } \right) \sigma ( U ) + \varphi _ { V } \left( \varphi _ { U } - \varphi _ { V } \right) \sigma ( V ) + \varphi _ { U } \varphi _ { V } \left( \sigma ( U ) - \sigma ( V ) \right) . } \end{array}
\Delta _ { 6 } ^ { + } = \{ \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } + 2 \pi _ { 3 } + 2 \pi _ { 4 } \} ; \Delta _ { 7 } ^ { + } = \{ \pi _ { 1 } + 2 \pi _ { 2 } + 2 \pi _ { 3 } + 2 \pi _ { 4 } \} .
{ \cal F } _ { g r a v } = \frac { 1 } { 2 i } \int \sqrt { g } g ^ { a b } g ^ { c d } \tilde { \epsilon } _ { a c } \tilde { \epsilon } _ { b d } g ^ { \rho \rho } ( h ^ { * } \partial _ { \rho } h - \partial _ { \rho } h ^ { * } h ) .
{ \cal D } _ { > } ^ { \mu \nu } ( x ) \big | _ { T = 0 } = - ( \xi \! + \! 1 ) { \frac { i } { 8 \pi ^ { 2 } } } { \frac { g ^ { \mu \nu } } { x ^ { 2 } } } + ( \xi \! - \! 1 ) { \frac { i } { 4 \pi ^ { 2 } } } { \frac { x ^ { \mu } x ^ { \nu } } { ( x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } .
A _ { 2 } ^ { t r e e } = \frac { 1 } { 2 } \, g \, T _ { A ^ { \prime } A } ^ { c } \, \Gamma ^ { \nu ^ { \prime } \nu + } ( p _ { A ^ { \prime } } , p _ { A } ) \, e _ { \nu ^ { \prime } } ^ { * } \, e _ { \nu } \, \frac { 1 } { t } \, g \, T _ { B ^ { \prime } B } ^ { c } \, \Gamma ^ { \mu ^ { \prime } \mu - } ( p _ { B ^ { \prime } } , p _ { B } ) \, e _ { \mu ^ { \prime } } ^ { * } \, e _ { \mu } \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } } & { = \left| \frac { k \mathcal { E } _ { z } \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } ( \mathtt { A } \alpha _ { Z Y } \mu _ { 0 X } + \mathtt { B } \alpha _ { X Z } \mu _ { 0 Y } + \mathtt { C } \alpha _ { Y X } \mu _ { 0 Z } ) } { 2 k \sin \vartheta \mathcal { E } _ { \| } \mathcal { E } _ { \bot } \cos ^ { 2 } \vartheta G ^ { \prime } / c } \right| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \| { { { \bf { g } } _ { r } } } \| ^ { 2 } } } & { = 2 M p + 2 { | q | ^ { 2 } } , ~ \Re \{ { { { \bf { g } } ^ { H } } { \bf { W g } } } \} = 2 M ^ { 2 } \Re \{ M e - c ^ { * } q \} , } \\ { { \sin ^ { 2 } } \Omega } & { = \frac { { M a - { { | c | } ^ { 2 } } } } { { M a + { { | c | } ^ { 2 } } } } , ~ { \sin ^ { 2 } } \Theta = \frac { { M p - { { | q | } ^ { 2 } } } } { { M p + { { | q | } ^ { 2 } } } } , } \end{array}
B = \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } \frac { e ^ { - \frac { - x ^ { 2 } } { \alpha } } } { 8 4 0 \alpha ^ { 9 / 2 } } \left( 4 9 ( \alpha x ) ^ { 2 } + 1 6 \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } t \left( 3 \alpha ^ { 2 } - 1 2 \alpha x ^ { 2 } + 4 x ^ { 4 } \right) - 1 2 \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } \alpha ^ { 2 } ( \alpha - 2 x ^ { 2 } ) \ln ( \alpha ) \right) ,
P ( \lambda ) \sum _ { l = 1 } ^ { d ( \lambda _ { j } ) } \frac { R _ { - l } ( \lambda _ { j } ) } { ( \lambda - \lambda _ { j } ) ^ { l } } = \sum _ { n } \sum _ { l = 1 } ^ { d ( \lambda _ { j } ) } \frac { ( \lambda - \lambda _ { j } ) ^ { n - l } } { n ! } \frac { \partial ^ { n } P } { \partial \lambda ^ { n } } ( \lambda _ { j } ) R _ { - l } ( \lambda _ { j } ) .
\Gamma _ { l , s } ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( p ) = \underbrace { \Gamma _ { l , s } ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 ) } _ { \mathrm { { a s \ i n \ ( \ r e f { g a o } } ) } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mu , \nu = 0 } ^ { 3 } \, p _ { \mu } \, p _ { \nu } \, \partial _ { \mu } \, \partial _ { \nu } \, \Gamma _ { l , s } ^ { \, \alpha , \, \alpha _ { 0 } } ( 0 )
\mathbf { H } _ { \mathrm { M W } } = \mathbf { M } \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { 1 } \partial \xi _ { 1 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { 1 } \partial \xi _ { 2 } } } & { \ldots } & { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { 1 } \partial \xi _ { 3 N } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { 2 } \partial \xi _ { 1 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { 2 } \partial \xi _ { 2 } } } & { \ldots } & { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { 2 } \partial \xi _ { 3 N } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { 3 N } \partial \xi _ { 1 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { 3 N } \partial \xi _ { 2 } } } & { \ldots } & { \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \xi _ { N } \partial \xi _ { 3 N } } } \end{array} \right] \mathbf { M }
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \exp ( 2 l s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cosh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cdots \cosh ( l _ { n - 1 } s ^ { \alpha } ) \sinh ( l _ { n } s ^ { \alpha } ) } \right\} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } } \\ & { \leq 2 ^ { n - 2 } \left[ 1 + \frac { L ( t ) } { 2 l _ { 2 } } \right] \cdots \left[ 1 + \frac { L ( t ) } { 2 l _ { n - 1 } } \right] \exp \left( - ( n - 2 ) \Lambda \left( \frac { l _ { 2 } + \cdots + l _ { n - 1 } - 2 l } { ( n - 2 ) t ^ { \nu } } \right) ^ { \beta } \right) } \\ & { \left[ 1 + 2 \left[ 1 + \frac { L ( t ) } { 2 l _ { 1 } } \right] \left[ 1 + \frac { L ( t ) } { 2 l _ { n } } \right] \left[ \exp \left( - 2 \Lambda \left( \frac { l _ { 1 } - l } { t ^ { \nu } } \right) ^ { \beta } \right) + \exp \left( - 2 \Lambda \left( \frac { l _ { n } - l } { t ^ { \nu } } \right) ^ { \beta } \right) \right] \right] , } \end{array}
\tau _ { F S } ^ { - 1 } ( \omega ) = \frac { 1 } { \hbar g ( \epsilon _ { F } ) } \frac { 2 \pi } { N _ { k ^ { \prime } } N _ { k } } \sum _ { k , k ^ { \prime } } | g _ { k , k ^ { \prime } } ^ { n , m , \alpha } | ^ { 2 } \Big ( 1 - \frac { v _ { k } ^ { n } . v _ { k ^ { \prime } } ^ { m } } { | v _ { k } ^ { n } | | v _ { k ^ { \prime } } ^ { m } | } \Big ) \delta ( \epsilon _ { k } ^ { n } - \epsilon _ { F } ) \delta ( \epsilon _ { k ^ { \prime } } ^ { m } - \epsilon _ { F } ) \sum _ { \pm } \frac { \pm b ( \omega \pm \omega _ { q } ^ { \alpha } ) } { ( e ^ { \pm \beta \hbar \omega _ { q } ^ { \alpha } } - 1 ) b ( \omega ) }
L _ { 3 } = \dot { x } p _ { x } + \dot { y } p _ { y } + \dot { z } p _ { z } - \frac { 1 } { 2 } p _ { x } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } p _ { y } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } p _ { z } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) - \xi \left[ p _ { z } + g ( x p _ { y } - y p _ { x } ) \right] \ \ \ .
W _ { \kappa } ^ { ( { \cal A } ) } [ { \cal J } ] \; = \; - \, i \, \ln Z _ { \kappa } ^ { ( { \cal A } ) } [ { \cal J } ] \; = \; - \, i \, \ln \left\{ \; \int \, { \cal D } { \cal A } \; \exp \left[ i \, \frac { } { } \left( S _ { \mathrm { e f f } } [ { \cal A } , { \cal J } ] + \Re _ { \kappa } [ { \cal A } ] \right) \; \right] \; \right\} \; .
\begin{array} { r l } { \hat { \boldsymbol { p } } } & { { } = - \hat { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \boldsymbol { a } \left( p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) \right) + \hat { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \hat { \mathcal { A } } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { \mathrm { p i l e - u p } } } & { { } = N _ { \mathrm { d o u b l e } } + N _ { \mathrm { t r i p l e } } + N _ { \mathrm { E R B , A r 3 9 } } + N _ { \mathrm { h F p , A r 3 9 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { D } ( t , X _ { t } ^ { D } ) = C \nabla \log p _ { t } ^ { D } ( x _ { t } ^ { D } ) = } & { C \nabla \log \frac { p _ { t } ^ { D } ( x _ { t } ^ { D } ) } { \mathcal { N } ( 0 , C _ { t } ) } + C \nabla \log \mathcal { N } ( 0 , C _ { t } ) ( x _ { t } ^ { D } ) } \\ { = } & { P ^ { D } \mathbb { E } [ - C A _ { t } ^ { - 1 } \nabla \Phi ( X _ { 0 } ) | X _ { t } ^ { D } = x _ { t } ^ { D } ] + C ^ { D } ( C _ { t } ^ { - 1 } ) ^ { D } x _ { t } ^ { D } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda = \frac { 5 } { 2 } \pm i g ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \gamma ) , } & { { } } & { \gamma = \frac { 6 f _ { 1 } ^ { 2 } + f _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 ( 2 f _ { 1 } ^ { 2 } + f _ { 2 } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho _ { + } ^ { * } } { d \langle k \rangle } = 0 \Longleftrightarrow } & { \lambda _ { 1 } \Big [ \beta _ { 2 } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) \Big ] - \lambda _ { 2 } \Big [ \beta _ { 1 } ^ { 2 } { ( 1 - \eta ) } ^ { 2 } + \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) \Big ] - { \Big [ \beta _ { 1 } ( 1 - \eta ) + \beta _ { 2 } \eta \Big ] } ^ { 2 } } \\ & { - \Tilde { \Lambda } \beta _ { 1 } ^ { 2 } { ( 1 - \eta ) } ^ { 2 } + \Lambda \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } \eta ( 1 - \eta ) = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \boldsymbol { \it p a } ( X ) \cdot \boldsymbol { v } | } & { \geq \left| v _ { 1 } \right| - \left| v _ { 2 } \right| - \left| v _ { 3 } \right| - \cdots - \left| v _ { | \boldsymbol { \it P a } ( X ) | } \right| } \\ & { \geq \frac { D _ { 0 } } { \sqrt { D _ { 0 } ^ { 2 } + 1 } } - \sqrt { ( D - 1 ) \left( \left| v _ { 2 } \right| ^ { 2 } + \left| v _ { 3 } \right| ^ { 2 } + \cdots + \left| v _ { | \boldsymbol { \it P a } ( X ) | } \right| ^ { 2 } \right) } } \\ & { \ge \frac { D _ { 0 } } { \sqrt { D _ { 0 } ^ { 2 } + 1 } } - \sqrt { ( D - 1 ) \left( 1 - \frac { D _ { 0 } ^ { 2 } } { D _ { 0 } ^ { 2 } + 1 } \right) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \sqrt { ( D _ { 0 } ^ { 2 } + 1 ) ( D - 1 ) } } = \frac { 1 } { \sqrt { 4 D ^ { 2 } - 3 } } , } \end{array}
T ( x = \ensuremath { \mathrm { 0 . 0 1 } } \ensuremath { \, } \ensuremath { \mathrm { \ m e t e r } } ) = T _ { \mathrm { i n n e r } } = \ensuremath { \mathrm { 1 0 0 0 } } \ensuremath { \, } \ensuremath { \mathrm { K } }
\begin{array} { r } { \hat { I } ( s ) \propto \langle \hat { v } ( 0 , s ) \rangle \approx \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle A \frac { \sin \pi \alpha } { \pi \alpha } \frac { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } { s ^ { 1 + \alpha } } + A \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \frac { s ^ { \alpha - 1 } } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s > s ^ { * } } \\ { \displaystyle \frac { L ^ { 2 } } { 2 A } \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \frac { s ^ { \alpha - 1 } } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ^ { \alpha } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } s < s ^ { * } , } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { \log ( \operatorname* { d e t } W _ { n } ^ { - 1 } ) ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg ( \frac { ( \operatorname* { d e t } W _ { k } ) ^ { 2 } - ( \operatorname* { d e t } W _ { k + 1 } ) ^ { 2 } } { ( \operatorname* { d e t } W _ { k } ) ^ { 2 } } \bigg ) W _ { k } \mathcal { L } _ { k } ( u ) \mathcal { L } _ { k } ( u ) ^ { T } W _ { k } ^ { T } \to \frac { 1 } { d } u ^ { T } u W
\langle P _ { e e } ^ { d a y , i } ( s _ { 2 } ^ { 2 } , ~ \delta , L _ { 0 } , \xi ) \rangle = \frac { 1 } { 1 8 0 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { 1 8 0 0 } P _ { e e } ^ { d a y } ( r _ { 0 k } ) S _ { i } ( r _ { 0 k } ) ~ .
{ \ensuremath { \boldsymbol } u } = 0 + \epsilon { \ensuremath { \boldsymbol } u } _ { 1 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) , \, n = n _ { s } ( z ) + \epsilon n _ { 1 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) , \, { \ensuremath { \boldsymbol } p } = { \ensuremath { \boldsymbol } p } _ { s } + \epsilon < { \ensuremath { \boldsymbol } p } _ { 1 } > + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) , \, P _ { e } = P _ { e } { ^ s } + \epsilon p _ { e } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) ,
\mathcal { F } _ { c _ { I } } \cdots c _ { \mathcal { H } } = F ^ { \vec { \Lambda } _ { 1 } } \cap F ^ { \vec { \Lambda } _ { 2 } } \cap F ^ { \vec { \Lambda } _ { 3 } } \cap \cdots , F ^ { \Lambda _ { \mathcal { H } } }
\begin{array} { r l } { ( d ^ { - 1 } \, h \, d ) ^ { * } ( \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) } & { { } = d ^ { * } { } ^ { - 1 } \, h ^ { * } \, d ^ { * } ( \varphi _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ) } \end{array}
f \left( { { S } _ { { \lambda } } } \right) = S + { { a } _ { 1 } } S _ { { \lambda } } ^ { 1 } + { { a } _ { 2 } } S _ { { \lambda } } ^ { 2 } + \cdots + { { a } _ { k - 2 } } S _ { { \lambda } } ^ { k - 2 } + { { a } _ { k - 1 } } S _ { { \lambda } } ^ { k - 1 }