harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \psi - \frac { n / 2 - w _ { 1 } - \varepsilon f _ { 0 } \cos \zeta } { 2 ( w _ { 2 } + \varepsilon f _ { 1 } \cos \zeta ) } \right) ^ { 2 } = \frac { \Psi } { 2 ( w _ { 2 } + \varepsilon f _ { 1 } \cos \zeta ) } + \frac { ( n / 2 - w _ { 1 } - \varepsilon f _ { 0 } \cos \zeta ) ^ { 2 } } { 4 ( w _ { 2 } + \varepsilon f _ { 1 } \cos \zeta ) ^ { 2 } } ,
{ \frac { d x G } { d ^ { 2 } \ell _ { \perp } d ^ { 2 } b } } \sim [ Y - Y ( \ell _ { \perp } ) ] = { \frac { \pi } { \alpha N _ { c } } } \ { \frac { 1 - \lambda _ { 0 } } { 2 \chi ( \lambda _ { 0 } ) } } \ln { \frac { Q _ { s } ^ { 2 } ( y ) } { \ell _ { \perp } ^ { 2 } } }
\begin{array} { l l l } { { \{ { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } \} \otimes \{ ( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 ) + ( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } ) \} } } & { { \rightarrow } } & { { ( 1 , 0 ) \otimes \{ ( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 ) + ( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } ) \} } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { ( 1 , { \frac { 1 } { 2 } } ) + ( { \frac { 1 } { 2 } } , 1 ) + ( { \frac { 1 } { 2 } } , 0 ) + ( 0 , { \frac { 1 } { 2 } } ) } } \\ { { } } & { { \rightarrow } } & { { { \frac { 3 } { 2 } } ^ { - } + { \frac { 1 } { 2 } } ^ { - } + { \frac { 1 } { 2 } } ^ { + } } } \end{array}
\hat { \Pi } _ { \lambda / \mu } = \frac { \lambda ( \nabla \cdot \vec { u } ) ^ { 2 } } { \mu \bigl [ | | \nabla \vec { u } | | ^ { 2 } + \mathrm { ~ t ~ r ~ } ( ( \nabla \vec { u } ) ^ { 2 } ) \bigr ] } \to \frac { \lambda } { \mu }
\begin{array} { r l } { \partial ^ { e _ { j } } h _ { n } ( x ) } & { = ( 2 ^ { n _ { j } } n _ { j } ! \sqrt { \pi } ) ^ { - 1 / 2 } ( H _ { n _ { j } } ^ { \prime } ( x _ { j } ) \mathrm { e } ^ { - x _ { j } ^ { 2 } / 2 } - H _ { n _ { j } } ( x _ { j } ) x _ { j } \mathrm { e } ^ { - x _ { j } ^ { 2 } / 2 } ) \prod _ { k = 1 , k \neq j } ^ { d } h _ { n _ { k } } ( x _ { k } ) } \\ & { = ( 2 ^ { n _ { j } } n _ { j } ! \sqrt { \pi } ) ^ { - 1 / 2 } ( 2 n _ { j } H _ { n _ { j } - 1 } ( x _ { j } ) - x _ { j } H _ { n _ { j } } ( x _ { j } ) ) \mathrm { e } ^ { - x _ { j } ^ { 2 } / 2 } \prod _ { k = 1 , k \neq j } ^ { d } h _ { n _ { k } } ( x _ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } a _ { 1 } } { \mathrm { d } z } } & { = } & { - j \beta a _ { 1 } - j \kappa _ { 1 , 2 } a _ { 2 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } a _ { i } } { \mathrm { d } z } } & { = } & { - j \kappa _ { i , i - 1 } a _ { i - 1 } - j \beta a _ { i } - j \kappa _ { i , i + 1 } a _ { i + 1 } , } \\ { \frac { \mathrm { d } a _ { N } } { \mathrm { d } z } } & { = } & { - j \kappa _ { N , N - 1 } a _ { N - 1 } - j \beta a _ { N } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { b u l k } } & { } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } u = D _ { u } \Delta u - \sigma _ { u } u \, , } & { { \bf x } \in \Omega \backslash \bigcup _ { j = 1 } ^ { m } \Omega _ { j } \, , } \\ { \partial _ { t } v = D _ { v } \Delta v - \sigma _ { v } v \, , } & { { \bf x } \in \Omega \backslash \bigcup _ { j = 1 } ^ { m } \Omega _ { j } \, , } \\ { \partial _ { \tilde { n } } u = \partial _ { \tilde { n } } v = 0 \, , } & { { \bf x } \in \partial \Omega \, , } \end{array} \right. } \\ { \mathrm { r e a c t i o n ~ f l u x e s } } & { } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \varepsilon D _ { u } \partial _ { n _ { j } } u = d _ { 1 } ^ { u } u - d _ { 2 } ^ { u } \mu _ { j } \, , } & { { \bf x } \in \partial \Omega _ { j } \, , } \\ { \varepsilon D _ { v } \partial _ { n _ { j } } v = d _ { 1 } ^ { v } v - d _ { 2 } ^ { v } \eta _ { j } \, , } & { { \bf x } \in \partial \Omega _ { j } \, , } \end{array} \right. } \\ { \mathrm { c o m p a r t m e n t s } } & { } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d \mu _ { j } } { d t } = f ( \mu _ { j } , \eta _ { j } ) + \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \partial \Omega _ { j } } ( d _ { 1 } ^ { u } u - d _ { 2 } ^ { u } \mu _ { j } ) \; d S \, , } \\ { \frac { d \eta _ { j } } { d t } = g ( \mu _ { j } , \eta _ { j } ) + \frac { 1 } { \varepsilon } \int _ { \partial \Omega _ { j } } ( d _ { 1 } ^ { v } v - d _ { 2 } ^ { v } \eta _ { j } ) \; d S \, , } \end{array} \right. } \end{array}
U ( \mathcal { A } , b , \varphi ) = \mathbf { 1 } \cos \frac { \tilde { \phi } } { 2 } - i \sin \frac { \tilde { \phi } } { 2 } \frac { \sigma _ { x } \cos \varphi + \sigma _ { y } \sin \varphi + b \sigma _ { z } } { \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { | \left< B ( u , v ) , w \right> _ { V ^ { \prime } } | } & { \leq C \| u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| v \| _ { H ^ { 1 } } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } , } \\ { | \left< B ( u , v ) , w \right> _ { V ^ { \prime } } | } & { \leq C \| u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 1 / 2 } \| A v \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| w \| _ { L ^ { 2 } } , } \\ { | \left< B ( u , v ) , w \right> _ { V ^ { \prime } } | } & { \leq C \| u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| A u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 1 / 2 } \| v \| _ { H ^ { 1 } } \| w \| _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
h _ { \mathrm { R } } ( t ) \approx \left( \frac { 2 4 } { 5 } \right) ^ { 5 / 1 2 } \left( \frac { \alpha g F _ { 0 } } { \rho _ { 0 } c _ { P } N ^ { 3 } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { N } { 2 \Omega } \right) ^ { 1 / 4 } \left( N t \right) ^ { 5 / 1 2 } \, ,
\begin{array} { r l } & { R _ { 0 } ^ { N - 1 } ( x _ { 0 } , z _ { 0 } , ( N + 1 ) t _ { 0 } ) \bigg \rvert _ { F _ { 0 } = F _ { 1 } = \cdots } = \frac { i } { 4 } \iint F _ { 0 } ( x , z ) } \\ & { \times \left[ H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \left( \beta \rho _ { 0 } , \frac { c _ { n } } { \rho _ { 0 } } ( N + 1 ) t _ { 0 } \right) - H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \left( \beta \rho _ { 0 } , \frac { c _ { n } } { \rho _ { 0 } } t _ { 0 } \right) \right] \; d x d z } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \omega _ { \textup { r e d } , J } } { c } = } & { \ r _ { 0 } ( \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } \ r _ { 1 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } ^ { 2 } \ r _ { 2 } ( \boldsymbol { u } _ { J } ) + } \\ & { \ \textup { H } ^ { 3 } \ r _ { 3 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } ^ { 4 } \ r _ { 4 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) + \textup { H } ^ { 5 } \ r _ { 5 } ( \boldsymbol { u } _ { a } , \boldsymbol { u } _ { J } ) \ \ \ , } \end{array}
R _ { \mathrm { M a i n } } ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \alpha _ { \mathrm { u p f r o n t } } + \alpha _ { \mathrm { M a i n } } ) \cdot I _ { \mathrm { e c o n } } \quad \mathrm { i f } \quad s = t } \\ { \, \alpha _ { \mathrm { M a i n } } \cdot I _ { \mathrm { e c o n } } \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \, \, \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right.
\mathbb { E } _ { x } [ U ^ { p } ( X _ { t } ) ] \le \left( \sigma ^ { 2 } ( p - 1 ) + U ( x ) + \left( 1 + \frac { d L } { 2 \underline { { c } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - r } } \right) ^ { p } \le c _ { p } \left( U ^ { p } ( x ) + \left( ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) \left( 1 + \frac { d L } { 2 \underline { { c } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - r } } \right) ^ { p } \right) .
\begin{array} { r l r } { g _ { 1 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 1 4 1 2 1 5 4 - 7 7 1 5 9 x ^ { 2 } \; , } \\ { g _ { 2 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 1 7 4 8 0 6 1 1 8 - 1 4 3 5 6 3 2 3 7 x ^ { 2 } + 1 3 3 9 5 9 4 1 7 x ^ { 4 } \; , } \\ { g _ { 3 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 3 5 - 3 x ^ { 2 } \; , } \\ { g _ { 4 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 4 2 2 6 1 2 2 3 5 - 1 8 8 2 3 8 6 5 8 x ^ { 2 } + 1 2 9 9 7 4 8 8 3 x ^ { 4 } \; , } \\ { g _ { 5 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 2 0 8 3 9 1 4 9 3 3 3 - 1 5 1 2 2 8 2 7 1 0 3 x ^ { 2 } + 1 2 5 8 9 8 5 1 8 5 8 x ^ { 4 } + 6 2 3 8 0 7 0 5 8 x ^ { 6 } \; , } \\ { g _ { 6 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 2 1 9 6 4 6 0 4 5 6 5 6 + 9 6 3 6 1 4 5 4 5 2 4 x ^ { 2 } - 4 3 2 6 0 4 6 0 7 9 8 6 x ^ { 4 } + 6 2 0 0 6 6 9 7 0 1 6 4 x ^ { 6 } } \\ & { } & { - 2 9 0 4 7 1 8 6 6 0 5 4 x ^ { 8 } \; , } \\ { g _ { 7 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 2 3 - 1 8 x ^ { 2 } + 1 5 x ^ { 4 } \; , } \\ { g _ { 8 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 3 6 2 3 8 7 2 1 8 - 2 9 7 0 4 9 9 9 1 x ^ { 2 } + 2 4 3 8 5 5 6 8 8 x ^ { 4 } - 5 1 7 9 8 1 5 x ^ { 6 } \, } \\ { g _ { 9 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 2 1 6 9 1 7 1 3 5 0 5 5 - 1 5 6 8 0 7 6 1 8 1 4 4 x ^ { 2 } + 1 0 5 9 6 8 7 0 6 1 2 2 x ^ { 4 } + 3 5 4 6 2 0 7 9 4 0 0 x ^ { 6 } } \\ & { } & { - 1 3 7 1 9 8 9 5 9 5 3 x ^ { 8 } \; , } \\ { g _ { 1 0 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 5 0 0 0 6 5 4 9 1 4 0 5 6 - 3 1 0 8 0 1 2 2 8 9 0 2 4 x ^ { 2 } + 1 4 1 5 9 6 5 4 0 0 5 8 1 x ^ { 4 } + 1 7 9 8 6 6 5 4 1 9 9 9 9 x ^ { 6 } } \\ & { } & { - 1 3 4 9 5 5 9 0 5 3 0 1 x ^ { 8 } - 6 2 5 1 7 0 3 1 9 6 7 1 x ^ { 1 0 } \; , } \\ { g _ { 1 1 } ( x ^ { 2 } ) } & { = } & { 2 0 0 9 7 0 1 2 2 7 0 6 0 0 - 8 2 3 8 1 5 7 2 3 2 6 4 8 8 x ^ { 2 } + 3 2 9 4 5 8 3 0 8 4 5 0 8 7 8 x ^ { 4 } - 6 8 2 6 9 5 1 3 4 9 7 9 4 0 0 x ^ { 6 } } \\ & { } & { + 7 9 5 0 4 1 8 5 8 9 3 3 8 1 2 x ^ { 8 } - 5 3 2 7 7 3 7 3 9 1 9 3 3 7 6 x ^ { 1 0 } + 1 6 1 0 2 4 4 6 3 5 4 2 8 5 4 x ^ { 1 2 } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { p } ^ { \prime } ( r ) = } & { - 4 p \nu \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) d \sigma } \\ & { + \mu _ { 1 } p g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) d \sigma } \\ & { + \mu _ { 1 } p g ( r ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) | ^ { p - 2 } \mathcal { W } ( t ; r , \sigma ) h ( \sigma ) \partial _ { \sigma } \Psi ( t - r , \sigma ) d \sigma . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \Delta _ { 1 1 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 1 1 , - } ( \zeta , k ) ( 1 + r _ { 1 } ( \omega ^ { 2 } k ) r _ { 2 } ( \omega ^ { 2 } k ) ) , } & & { k \in \Gamma _ { 5 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 1 1 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 1 1 , - } ( \zeta , k ) f ( k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 8 } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \Delta _ { 1 1 , + } ( \zeta , k ) = \Delta _ { 1 1 , - } ( \zeta , k ) f ( k ) , } & & { k \in \Gamma _ { 1 1 } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\sigma ( x , u ) = \frac { \cos x } { \cos ( x + \lambda u ) } \prod _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { x } { \pi } + ( 2 l - 1 ) \lambda - \frac { \lambda u } { \pi } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { x } { \pi } + ( 2 l - 1 ) \lambda - \frac { \lambda u } { \pi } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { x } { \pi } + ( 2 l - 2 ) \lambda - \frac { \lambda u } { \pi } \right) \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { x } { \pi } + 2 l \lambda - \frac { \lambda u } { \pi } \right) } / ( u \to - u ) \right]
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 0 } ^ { ( m ) } = ~ } & { \sum _ { j = 0 } ^ { j = m } \Phi _ { 0 } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { x } , t ) ~ \mathrm { w i t h } ~ } \\ { \Phi _ { 0 } ^ { ( m j ) } \equiv ~ } & { \frac { 1 } { 2 } B _ { 0 } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { x } , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { c . c . } } \\ { \equiv ~ } & { \frac { 1 } { 2 } \bar { \Phi } _ { 0 } ^ { ( m j ) } ( \mathbf { x } , t ) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } j ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \mathrm { c . c . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \eta _ { \! _ { L \to L } } ^ { i , \mathrm { p o t e n } } : = \| L ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( L ( \psi _ { h } ^ { n , i } - \psi _ { h } ^ { n , i - 1 } ) - ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i } ) - \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i - 1 } ) ) ) \| , } \\ & { \eta _ { \! _ { L \to L } } ^ { i , \mathrm { f l u x } } : = \left\| ( K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i } ) ) - K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i - 1 } ) ) ) K ( \theta ( \psi _ { h } ^ { n , i } ) ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \nabla ( \psi _ { h } ^ { n , i } + z ) \right\| . } \end{array}
T \operatorname { R e } ( \lambda ) = - K ^ { 2 } \left( 1 - \mathcal { D } _ { 1 } \right) + \frac { 4 \mathcal { D } _ { 1 } K ^ { 4 } } { 9 } \left( 1 - \mathcal { D } _ { 2 } \right) - \frac { 3 2 \mathcal { D } _ { 1 } \mathcal { D } _ { 2 } K ^ { 6 } } { 8 1 } - \frac { 6 4 \mathcal { D } _ { 1 } \mathcal { D } _ { 2 } K ^ { 8 } } { 7 2 9 }
\left\{ \begin{array} { l c l } { { b ( z ) c ( w ) } } & { { = } } & { { \frac { \epsilon } { z - w } \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { T ( z ) } } & { { = } } & { { - j \, : b \partial c : \, + \, ( 1 - j ) : \partial b \cdot c : \; . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \hat { W } = } & { { } \, \lambda \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \left( \hat { n } _ { i } \hat { w } _ { i + 1 } ^ { 0 \to 1 } + \hat { w } _ { i } ^ { 0 \to 1 } \hat { n } _ { i + 1 } \right) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { w } _ { i } ^ { 1 \to 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { M } _ { 3 } = \left( \frac { 1 } { I _ { 2 } } - \frac { 1 } { I _ { 1 } } \right) M _ { 1 } M _ { 2 } - b ( { \bf k } , [ { \bf R } _ { 3 } ( t ) , { \bf z } ( t ) ] ) . } \end{array}
\frac { \partial } { \partial p _ { \nu } } ( a _ { \nu } { \cal F } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial p _ { \mu } \partial p _ { \nu } } ( b _ { \mu \nu } { \cal F } ) = f ( p , x ) { \cal F }
\phi _ { \lambda } ( \tau , z ) : = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \tilde { J } ( h ) | u ^ { \lambda } ( \tau , z + \lambda h ) - u _ { 0 } ( \tau , z ) | d h + \left\{ \int _ { - \lambda } ^ { \lambda } \frac { 1 } { \lambda } \Psi _ { 0 } ( \lambda \partial _ { \tau } u ^ { \lambda } ( \tau + \sigma , z ) ) { \bf 1 } _ { ( \tau + \sigma , z ) \in A } \ d s + | u ^ { \lambda } - u _ { 0 } | \right\} | \partial _ { \tau } \, g |
\begin{array} { r l } { ( A B ) C } & { = \left[ \left( a _ { i , j } \right) _ { i , j } \cdot ( b _ { i , j } ) _ { i , j } \right] \cdot ( c _ { i , j } ) _ { i , j } } \\ & { = \left( \sum _ { k } a _ { i , k } b _ { k , j } \right) _ { i , j } \cdot ( c _ { i , j } ) _ { i , j } } \\ & { = \left( \sum _ { l } \left( \sum _ { k } a _ { i , k } b _ { k , l } \right) \cdot c _ { l , j } \right) _ { i , j } } \\ & { = \left( \sum _ { l } \sum _ { k } a _ { i , k } b _ { k , l } c _ { l , j } \right) _ { i , j } } \\ & { = \left( \sum _ { k } a _ { i , k } \cdot \left( \sum _ { l } b _ { k , l } c _ { l , j } \right) \right) _ { i , j } } \\ & { = \left( a _ { i , j } \right) \cdot \left( \sum _ { l } b _ { i , l } c _ { l , j } \right) _ { i , j } = A ( B C ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { \textup { x x } } ^ { \textup { b } } } & { = \frac { 8 \left( \alpha ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 3 / 2 } } { \left[ \left( 2 \alpha ^ { 2 } - 1 \right) \ln \left( \alpha + \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } \right) - \alpha \left( \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } \right) \right] } \, , } \\ { K _ { \textup { y y } } ^ { \textup { b } } } & { = K _ { \textup { z z } } ^ { \textup { b } } = \frac { 1 6 \left( \alpha ^ { 2 } - 3 \right) ^ { 3 / 2 } } { \left[ \left( 2 \alpha ^ { 2 } - 3 \right) \ln \left( \alpha + \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } \right) + \alpha \left( \sqrt { \alpha ^ { 2 } - 1 } \right) \right] } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \omega = 1 0 ^ { 1 2 } \, \frac { 1 } { \mathrm { s } } \, , \quad \frac { c } { \omega } = 3 . 0 \cdot 1 0 ^ { - 4 } \, \mathrm { m } \, , } \\ & { } & { m _ { k } c = 5 . 0 \cdot 1 0 ^ { - 1 9 } \, \frac { \mathrm { k g m } } { \mathrm { s } } \, , \quad E _ { 0 } = 3 . 0 \cdot 1 0 ^ { 1 1 } \, \frac { \mathrm { V } } { \mathrm { m } } \, , } \\ & { } & { B _ { 0 } = 1 0 ^ { 4 } \, \frac { \mathrm { V s } } { \mathrm { m } ^ { 2 } } \, , \quad j _ { 0 } = \epsilon _ { 0 } \omega E _ { 0 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Lambda ( p _ { s } , 1 - p _ { q } ) \leq \operatorname* { m i n } _ { f _ { m } , g _ { m } } | K | ^ { - m } E _ { S _ { m } , Q _ { m } } \left[ { \mathbf { l e n } ( f _ { m } ( S _ { m } , Q _ { m } ) ) } \right] \leq \Lambda ( p _ { s } , 1 - p _ { q } ) + O \left( \frac { \log | K | ^ { m } } { | K | ^ { m } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { D } } & { { } = K _ { s } \frac { 1 - \phi } { 1 + c s \phi } , } \\ { G _ { D } } & { { } = G _ { s } \frac { 1 - \phi } { 1 + \frac { 3 } { 2 } c s \phi } , } \end{array}
x _ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 1 } ( q _ { i } + q _ { j } ) / \binom { N } { 2 } = ( N - 1 ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } / \binom { N } { 2 } = 2 / N
\theta _ { d - 1 } = \frac { J } { l \sqrt { 2 } } \left[ \sqrt { 1 + E } \, E l l i p t i c E \left( \frac { T } { l } , \frac { 1 } { E + 1 } \right) - \frac { E } { \sqrt { 1 + E } } \, E l l i p t i c F \left( \frac { T } { l } , \frac { 1 } { E + 1 } \right) \right] \; ,
S [ B , \tilde { B } , F ] = \int d ^ { 5 } x \left\{ { \textstyle \frac { 1 } { 2 \cdot 3 ! } } H ^ { 2 } - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } m ^ { 2 } B ^ { 2 } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \epsilon \partial \tilde { B } ( F + m B ) \right\} \, .
\begin{array} { r l r } { \tilde { \rho } _ { + } ( \epsilon ) } & { = } & { \frac { 1 } { \pi \sqrt { 2 } } \sqrt { \sqrt { \left( I _ { s } - \frac { \epsilon } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } + \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } - I _ { s } + \frac { \epsilon } { \sqrt { 2 } } } - \frac { \sqrt { ( \epsilon ) _ { + } } } { \pi 2 ^ { 1 / 4 } } \quad \mathrm { f o r } \ v _ { 0 } > \sqrt { 2 } \quad \mathrm { g a p ~ c a s e } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { \pi \sqrt { 2 } } \sqrt { \sqrt { \left( \alpha + \frac { \epsilon } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } + I _ { 3 } ^ { 2 } } + \alpha + \frac { \epsilon } { \sqrt { 2 } } } - \frac { \sqrt { ( \epsilon ) _ { + } } } { \pi 2 ^ { 1 / 4 } } \quad \mathrm { f o r } \ v _ { 0 } < \sqrt { 2 } \quad \mathrm { o v e r l a p ~ c a s e } } \end{array}
[ \, N \, Y _ { \bf m } ^ { S U ( N ) } , N \, Y _ { \bf n } ^ { S U ( N ) } \, ] = - 2 i \left\{ N \sin \left( \frac { 2 \pi } { N } { \bf m \times n } \right) \right\} N \, Y _ { \bf m + n } ^ { S U ( N ) } .
A _ { n } ( \omega ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { 1 } ^ { 0 } + \frac { \epsilon _ { 3 3 } } { e _ { 3 3 } a } l _ { a m p } e ^ { - i \phi _ { 0 } } \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { 2 } ^ { 0 } } & { n = 0 } \\ { \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { 1 } ^ { 1 } + \frac { \epsilon _ { 3 3 } } { e _ { 3 3 } a } l _ { a m p } e ^ { - i \left( \phi _ { 0 } + \Delta \phi \right) } \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { 2 } ^ { 1 } } & { n = 1 } \\ { \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { 1 } ^ { n } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\omega _ { n } = \frac { \bar { \omega } _ { n } } { \sum _ { k = 0 } ^ { 2 } \bar { \omega } _ { k } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \bar { \omega } _ { n } = \gamma _ { n } \left( 1 + \frac { \tau ^ { 2 } } { \beta _ { n } ^ { 2 } + \epsilon } \right) , ~ n = 0 , 1 , 2 ,
\omega _ { \mathrm { l i n } } \bigl ( r , z - a _ { 3 } ( t ) , t \bigr ) \, = \, \frac { \Gamma } { \nu t } \, \eta _ { \mathrm { l i n } } \Bigl ( \frac { r - \bar { r } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, \frac { z - \bar { z } ( t ) - \tilde { z } ( t ) } { \sqrt { \nu t } } \, , \, t \Bigr ) \, ,
\nabla _ { | | } ^ { 2 } \equiv \frac { 1 } { \sin ( s ) } \frac { \partial } { \partial s } \left[ \sin ( s ) \frac { \partial } { \partial s } \right] + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } ( s ) } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \psi ^ { 2 } }
\Pi _ { 0 0 } ( 0 , k \to 0 ) = { \frac { e ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 3 } } \left( 1 - { \frac { 3 e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } + { \frac { \sqrt 3 e ^ { 3 } } { 4 \pi ^ { 3 } } } + \ldots \right) .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : } & { } & { \int _ { \| x \| _ { 2 } > M } { \Phi ( \| x \| / \lambda ) \cdot | ( G - G ^ { \prime } ) \ast Z _ { \delta , d } ( x ) | \mathrm { d } x } \leq 1 / 2 \} } \\ & { \leq } & { \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \int _ { \| x \| _ { 2 } > M } { \Phi ( \| x \| ^ { 5 / 4 } / \lambda M ^ { ( 1 / 4 ) } ) \cdot | ( G - G ^ { \prime } ) \ast Z _ { \delta , d } ( x ) | \mathrm { d } x } \leq 1 / 2 \} } \\ & { \leq } & { \operatorname* { i n f } \{ \lambda \in \mathbb { R } ^ { + } : \mathbb { E } _ { X \sim G - G ^ { \prime } , Y \sim Z _ { \delta , d } } ( \Phi ( \| X + Y \| ^ { 5 / 4 } / \lambda M ^ { ( 1 / 4 ) } ) \leq 1 / 2 \} } \\ & { \lesssim } & { \operatorname* { i n f } \{ \lambda > 0 : \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \exp ( ( \| x \| ^ { 5 / 4 } / \lambda M ^ { 1 / 4 } ) ^ { \beta } ) \cdot | ( G - G ^ { \prime } ) ( x ) | \mathrm { d } x } \leq 3 / 2 \} } \\ & { + } & { \operatorname* { i n f } \{ \lambda > 0 : \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } { \exp ( ( \| x \| ^ { 5 / 4 } / \lambda M ^ { 1 / 4 } ) ^ { \beta } ) \cdot | Z _ { \delta , d } ( x ) | \mathrm { d } x } \leq 3 / 2 \} } \\ & { \lesssim } & { \frac { ( d \bar { \theta } ) ^ { 5 / 4 } } { M ^ { 1 / 4 } } + C \delta ^ { 5 / 4 } / M ^ { 1 / 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { A _ { 1 } ^ { \textrm { t r u e } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - 0 . 9 1 9 0 } & { 0 . 5 5 5 5 } \\ { 0 . 4 9 3 6 } & { - 0 . 5 7 6 1 } \end{array} \right] , } & { A _ { 2 } ^ { \textrm { t r u e } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { - 1 . 2 6 5 3 } & { 0 . 0 5 7 4 } \\ { 0 . 2 9 8 1 } & { 0 . 2 4 5 5 } \end{array} \right] } \\ { A _ { 3 } ^ { \textrm { t r u e } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 9 3 2 8 } & { 0 . 5 7 0 2 } \\ { 0 . 0 6 3 6 } & { - 1 . 0 4 8 7 } \end{array} \right] , } & { B ^ { \textrm { t r u e } } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { 0 . 4 5 7 0 } & { 0 . 2 8 2 8 } \\ { 0 . 2 1 1 5 } & { 0 . 8 8 6 3 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { o p t } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { = \frac { 1 } { 6 0 } ( - 3 u _ { i - 2 } + 2 7 u _ { i - 1 } + 4 7 u _ { i } - 1 3 u _ { i + 1 } + 7 u _ { i + 2 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 0 } \left[ 3 P _ { \mathrm { L } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) + 6 P _ { \mathrm { C } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) + \phantom { 1 } P _ { \mathrm { R } } \left( x _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) \right] , } \\ { P _ { \mathrm { o p t } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) } & { = \frac { 1 } { 1 0 } \left[ \phantom { 1 } P _ { \mathrm { L } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) + 6 P _ { \mathrm { C } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) + 3 P _ { \mathrm { R } } \left( x _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial t } + \bar { u } _ { j } \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \frac { \partial \bar { p } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \nu \frac { \partial \bar { u } _ { i } } { \partial x _ { j } } - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta } & { = } & { - \frac { \sigma ^ { 2 } - 1 } { 1 6 \sigma ^ { 3 } \nu } [ ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 } ( 3 \sigma ^ { 2 } + 1 ) \kappa ^ { 3 } - \sigma ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( 5 \sigma ^ { 4 } - 1 8 \sigma ^ { 2 } - 3 ) \kappa ^ { 2 } } \\ & { + } & { \sigma ^ { 2 } ( \sigma ^ { 2 } - 1 ) ( \sigma ^ { 2 } - 9 ) \kappa + \sigma ^ { 3 } ( \sigma ^ { 2 } - 5 ) ] } \end{array}
\mathcal { L } _ { \alpha } ^ { * } [ \hat { \mathcal { O } } ] = ( \gamma / 2 ) \sum _ { i } \left( 2 \hat { \sigma } _ { i } ^ { \alpha g } \hat { \mathcal { O } } \hat { \sigma } _ { i } ^ { g \alpha } - \{ \hat { n } _ { i } ^ { \alpha } , \hat { \mathcal { O } } \} \right)