harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { n \lambda \leq s \leq t } \mathbb { E } | \tilde { x } _ { s } - p _ { s } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } } & { \leq \lambda ^ { 2 } R _ { \lambda , \gamma } + 1 6 \lambda ^ { 2 } K ^ { 2 } \int _ { n \lambda } ^ { t } \int _ { n \lambda } ^ { s } \operatorname* { s u p } _ { n \lambda \leq u \leq z } \mathbb { E } | \tilde { x } _ { u } - p _ { u } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } d z d s } \\ & { \leq \lambda ^ { 2 } R _ { \lambda , \gamma } + 1 6 \lambda ^ { 3 } K ^ { 2 } \int _ { n \lambda } ^ { t } \operatorname* { s u p } _ { n \lambda \leq u \leq s } \mathbb { E } | \tilde { x } _ { s } - p _ { s } ^ { \lambda , n } | ^ { 2 } d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { g , - w } ( + ) - \delta _ { l , - w } ( + ) } & { { } = \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { ( + ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, } \end{array}
\tilde { \mathbf { Y } } _ { c } = \left[ { \tilde { \bf y } } _ { c } ^ { f , 1 } - \overline { { \tilde { \bf y } _ { c } ^ { f } } } , \cdots , \; \tilde { { \bf y } } _ { c } ^ { f , N _ { e } } - \overline { { \tilde { { \bf y } } _ { c } ^ { f } } } \right] \in \mathbb { R } ^ { n _ { o b s } \times N _ { e } }
\gamma _ { J ^ { \prime } } ( \alpha _ { s } ) = \frac { \alpha _ { s } } { \pi } \left[ \frac { 9 } { 2 } C _ { F } - 2 C _ { A } - 4 \zeta ( 2 ) \left( C _ { F } - \frac { C _ { A } } { 2 } \right) \right] .
q _ { \mathrm { ~ b ~ } } \ast = q _ { \mathrm { ~ b ~ } } / [ ( \rho _ { \mathrm { ~ p ~ } } / \rho _ { 1 } - 1 ) g d _ { \mathrm { ~ 5 ~ 0 ~ } } ^ { \mathrm { ~ 3 ~ } } ] ^ { \mathrm { ~ 1 ~ / ~ 2 ~ } }
\begin{array} { r } { \Delta \partial _ { t } ^ { k } \varphi = \Psi _ { k } ( u , \varphi ) : = \frac { 1 } { \gamma \lambda } \partial _ { t } ^ { k } ( \varphi _ { t } + u \cdot \nabla \varphi ) + \frac { 2 } { \varepsilon ^ { 2 } } \partial _ { t } ^ { k } \varphi + \partial _ { t } ^ { k } h ( \varphi ) + \frac { 1 } { \lambda } \partial _ { t } ^ { k } \big [ \varrho ^ { \prime } ( \varphi ) \frac { | u | ^ { 2 } } { 2 } \big ] \, , } \end{array}
A _ { { \cal P } 1 } ^ { q q } ( s , t ) = - i g _ { 1 } ^ { 2 } \zeta ( - i s / s _ { 0 } ) ^ { \tilde { \alpha } _ { \cal P } ( t ) - 1 } , \quad A _ { { \cal P } 2 } ^ { q q } ( s , t ) = - i g _ { 1 } ^ { 2 } L ( s , t ) , \quad \tilde { \alpha } _ { \cal P } ( 0 ) = 1
\begin{array} { r } { | \psi _ { p r e } ^ { ( n ) } ( t + d t ) \rangle = \Big [ 1 - \frac { i } { \lambda } \hat { \mathcal { H } } ( t ) d t \Big ] | \psi _ { p r e } ^ { ( n ) } ( t ) \rangle - \frac { 1 } { 2 } \eta d t \big [ ( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } ) ^ { 2 } - 4 \langle \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \rangle _ { n } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } \big ] | \psi _ { p r e } ^ { ( n ) } ( t ) \rangle + \sqrt { \eta } d W _ { n } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } | \psi _ { p r e } ^ { ( n ) } ( t ) \rangle } \end{array}
\langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \rangle , \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 2 } \rangle , \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \rangle , \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 1 2 } \rangle
\begin{array} { r } { \delta _ { x , y } = \frac { 1 } { | X | } \mathrm { a n n } ( \langle x , y \rangle ) = \frac { 1 } { | X | } \langle x , y \rangle ^ { \varepsilon } R _ { s - \varepsilon } ^ { \varepsilon } ( \langle x , y \rangle ) = \frac { 1 } { | X | } \langle x , y \rangle ^ { \varepsilon } \sum _ { i = 0 } ^ { s - \varepsilon } Q _ { i } ^ { \varepsilon } ( \langle x , y \rangle ) . } \end{array}
R \left( \begin{array} { l l l l } { q _ { 1 } } & { q _ { 2 } } & { \ldots } & { q _ { N } } \\ { k _ { 1 } } & { k _ { 2 } } & { \ldots } & { k _ { N } } \end{array} ; x \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { ( k _ { j } - 1 ) ! } \operatorname* { l i m } _ { s \to i q _ { j } } \partial _ { k _ { j } - 1 } \left( e ^ { s x } \prod _ { i \neq j = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { ( s - i q _ { i } ) ^ { k _ { i } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } \left( n \Delta t , \mathbf { r } _ { p } \right) } & { = \mathcal { E } _ { p } ^ { ( n ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 1 } } e _ { i } ^ { ( n ) } w _ { i } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { r } _ { p } ) , } \\ { \mathcal { B } ( ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \Delta t , \mathbf { r } _ { p } ) } & { = \mathcal { B } _ { p } ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 2 } } b _ { i } ^ { ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } w _ { i } ^ { ( 2 ) } ( \mathbf { r } _ { p } ) . } \end{array}
K ( x _ { f } , t _ { f } ; x _ { i } , t _ { i } ) = Q e ^ { \frac { i S _ { \mathrm { c } } } { \hbar } } { \sqrt { \frac { \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) } { \sin \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) } } } = e ^ { \frac { i S _ { c } } { \hbar } } { \sqrt { \frac { m \omega } { 2 \pi i \hbar \sin \omega ( t _ { f } - t _ { i } ) } } } .
\begin{array} { r l r } { d ( H _ { f } ( \widetilde { x } ) , H _ { f } ( \widetilde { y } ) ) } & { \leq } & { d ( H _ { f } ( \widetilde { x } ) , H _ { f } ( \widetilde { x _ { k } } ) ) + d ( H _ { f } ( \widetilde { x _ { k } } ) , H _ { g _ { k } } ( \widetilde { x _ { k } } ) ) + d ( H _ { g _ { k } } ( \widetilde { x _ { k } } ) , H _ { g _ { k } } ( \widetilde { y _ { k } } ) ) } \\ & { + } & { d ( H _ { g _ { k } } ( \widetilde { y _ { k } } ) , H _ { f } ( \widetilde { y _ { k } } ) ) + d ( H _ { f } ( \widetilde { y _ { k } } ) , H _ { f } ( \widetilde { y } ) ) } \\ & { \leq } & { d ( H _ { f } ( \widetilde { x } ) , H _ { f } ( \widetilde { x _ { k } } ) ) + 2 / k + d ( H _ { f } ( \widetilde { y } ) , H _ { f } ( \widetilde { y _ { k } } ) ) \to 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathrm { a e p } } ( \varepsilon _ { \mathrm { s } } , d ) } & { : = 4 \log _ { 2 } \left( 2 \sqrt { d } + 1 \right) \sqrt { - \log _ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } } \right) } } \\ & { \simeq 4 \log _ { 2 } \left( 2 \sqrt { d } + 1 \right) \sqrt { \log _ { 2 } ( 2 / \varepsilon _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } = \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( a ) } \psi _ { \pm , 0 } ^ { ( \digamma ) } , \quad k _ { 0 } ^ { ( a ) } = k _ { 0 } ^ { ( a ) } + k _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } , } \\ & { e _ { 0 } ^ { ( a ) } = e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } e _ { 0 } ^ { ( a ) } - ( - 1 ) ^ { | a | } H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } e _ { 0 } ^ { ( a ) } e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } , } \\ & { f _ { 0 } ^ { ( a ) } = \frac { 1 } { H _ { 1 } ^ { A _ { a \digamma } } - H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } } \left( f _ { 0 } ^ { ( a ) } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } - ( - 1 ) ^ { | a | } H _ { 1 } ^ { - A _ { a \digamma } } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } f _ { 0 } ^ { ( a ) } \right) } \end{array}
\int \int _ { T } f ( \mathbf { r } ) \ d \mathbf { r } = 6 V \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 - \lambda _ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { 1 - \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } } f ( \lambda _ { 1 } \mathbf { r } _ { 1 } + \lambda _ { 2 } \mathbf { r } _ { 2 } + \lambda _ { 3 } \mathbf { r } _ { 3 } + ( 1 - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } - \lambda _ { 3 } ) \mathbf { r } _ { 4 } ) \ d \lambda _ { 1 } \ d \lambda _ { 2 } \ d \lambda _ { 3 }
\mathbf { t } = \frac { ( 1 , h _ { x } ) } { \sqrt { 1 + h _ { x } ^ { 2 } } } , \quad \textrm { a n d } \quad \mathbf { n } = \frac { ( - h _ { x } , 1 ) } { \sqrt { 1 + h _ { x } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r l r } { | \Phi ^ { N } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { n _ { 1 } , \dots , n _ { N } } \int \, \cdots \int d \boldsymbol { p } _ { 1 } \dots \boldsymbol { p } _ { N } f _ { n _ { 1 } , \dots , n _ { N } } ^ { N } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } , \dots , \boldsymbol { p } _ { N } ) \times \ } & { { } \times } & { | \boldsymbol { p } _ { 1 } \rangle \dots | \boldsymbol { p } _ { N } \rangle | n _ { 1 } \rangle \dots | n _ { N } \rangle \, , } \end{array}
r - \bar { r } = \frac { 4 } { m _ { \sigma _ { 5 } } ^ { 2 } } \frac { I m T r ( \mu \mu ^ { \dagger } \lambda _ { 5 } ^ { \dagger } { \lambda _ { 5 } } ^ { \prime } { \lambda _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \dagger } \lambda _ { 3 } ) } { T r ( \lambda _ { 5 } ^ { \dagger } \lambda _ { 5 } ) } I m I ( m _ { \sigma _ { 5 } } , m _ { \sigma _ { 3 } } , m _ { { \sigma _ { 5 } } ^ { \prime } } , m _ { { \sigma _ { 3 } } ^ { \prime } } , m _ { \phi } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b } ( t _ { j } - t ) \tilde { y } _ { j , k } ^ { i } \tilde { y } _ { j , h } ^ { l } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b } ( t _ { j } - t ) ( \tilde { \epsilon } _ { j , k } ^ { i } \tilde { \epsilon } _ { j , h } ^ { l } + \tilde { \mu } _ { j , k } ^ { i } \tilde { \mu } _ { j , h } ^ { l } + \tilde { \epsilon } _ { j , k } ^ { i } \tilde { \mu } _ { j , h } ^ { l } + \tilde { \epsilon } _ { j , h } ^ { l } \tilde { \mu } _ { j , k } ^ { i } ) } \\ & { \approx \sum _ { j = 1 } ^ { n } K _ { b } ( t _ { j } - t ) \tilde { \epsilon } _ { j , k } ^ { i } \tilde { \epsilon } _ { j , h } ^ { l } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } T } & { = \operatorname* { d e t } \Big ( \hat { e } _ { c } + \frac { \Delta \hat { e } } { 2 } , \hat { e } _ { c } - \frac { \Delta \hat { e } } { 2 } , \hat { e } _ { 2 } , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } \Big ) } \\ & { = \operatorname* { d e t } \big ( { \Delta \hat { e } } , \hat { e } _ { c } , \hat { e } _ { 2 } , \dots , \hat { e } _ { N - 1 } \big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( 1 - \theta ) h [ ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - z ) ^ { 2 } - ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \omega } } ) ^ { 2 } ] } \\ & { < 2 ( G ( \overline { { \omega } } ; \overline { { \mu } } ) - G ( z ; \overline { { \mu } } ) ) < ( 1 + \theta ) h [ ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - z ) ^ { 2 } - ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - \overline { { \omega } } ) ^ { 2 } ] } \\ & { \quad ( \beta ( \overline { { \mu } } ) - { \epsilon } < z < \overline { { \omega } } < \beta ( \overline { { \mu } } ) ) , } \end{array}
\tan \mathrm { \boldmath \Large ~ \left( ~ \right. ~ } \! \! \! \phi _ { l } ^ { ( D ) } ( k ; a ) \mathrm { \boldmath \Large ~ \left. ~ \right) ~ } \! \! = \operatorname { t a n h } \left( \frac { \pi \Theta _ { l } } { 2 } \right) \, \frac { 1 - { \mathcal T } _ { l } ( k ; a ) \, \varrho _ { l } } { { \mathcal T } _ { l } ( k ; a ) + \varrho _ { l } } \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { { } = } & { - v _ { 0 } \nabla \cdot ( { \bf P } \rho ) - \nabla \cdot \left( - \Gamma _ { \rho } \nabla \frac { \delta F _ { a } } { \delta \rho } \right) , } \\ { \frac { \partial { \bf P } } { \partial t } } & { { } = } & { \lambda _ { 1 } ( { \bf P } \cdot \nabla ) { \bf P } - \Gamma _ { P } \frac { \delta F _ { a } } { \delta { \bf P } } . } \end{array}
\Phi ( \theta ^ { A } , \bar { \theta } ^ { B } , x ^ { \mu } ) = \phi _ { 0 } ( x ^ { \mu } ) + \psi _ { A } ( x ^ { \mu } ) \theta ^ { A } + \bar { \theta } ^ { B } \bar { \psi } _ { B } + \chi _ { A B } \theta ^ { A } \theta ^ { B } + \ldots
T _ { n l m } ^ { ( 0 ) } ( N = \pm 1 ) \simeq \pm \frac { \sqrt { I } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \frac { | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot { \mathbf { q } } | } { 2 \omega ^ { 2 } } f _ { e l } ^ { B 1 } ( q ) ,
\left( \mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) , \cdots , ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \alpha ^ { 1 } \cdot \beta ^ { 1 } , \dots , \alpha ^ { n } \cdot \beta ^ { n } } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) , \cdots , ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \gamma ^ { 1 } , \dots , \gamma ^ { n } } \right)
\begin{array} { r l } { H / \hbar = } & { \sum _ { j = a , c , m } \omega _ { j } j ^ { \dagger } j + \frac { \omega _ { b } } { 2 } \left( q ^ { 2 } + p ^ { 2 } \right) + H _ { \mathrm { d r i } } / \hbar } \\ & { + g _ { N } \left( a ^ { \dagger } c + a c ^ { \dagger } \right) - g _ { c } c ^ { \dagger } c q + g _ { m } m ^ { \dagger } m q , } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { \pi } ^ { 2 } ( t , \rho ) } & { { } = u ( t , \rho ) } \\ { m _ { \pi } ^ { 2 } ( t , \rho ) } & { { } = u ( t , \rho ) + 2 \rho \partial _ { \rho } u ( t , \rho ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \check { \rho } _ { 1 } \check { v } _ { 0 } + \check { \rho } _ { 0 } \check { v } _ { 1 } , } \\ { \gamma b ^ { 2 } \frac { d \check { v } _ { 0 } } { d \xi } } & { = - \frac { d \check { p } _ { 1 } } { d \xi } + \nu \frac { d ^ { 2 } \check { v } _ { 1 } } { d \xi ^ { 2 } } , } \\ { \check { p } _ { 1 } } & { = \check { \rho } _ { 1 } \check { \theta } _ { 0 } + \check { \rho } _ { 0 } \check { \theta } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| Q ^ { K } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } } & { \leq } & { \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta + \frac { 9 \beta ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } } \right) \| Q ^ { K - 1 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 1 8 \beta \tau _ { 1 } ^ { 2 } \log ( 2 K / \delta ) } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } N } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 3 6 } \right) \| Q ^ { K - 1 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 1 8 \beta \tau _ { 1 } ^ { 2 } \log ( 2 K / \delta ) } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } N } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 3 6 } \right) ^ { K } \| Q ^ { 0 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 3 6 \tau _ { 1 } ^ { 2 } \log ( 2 K / \delta ) } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } N } , } \end{array}
W _ { j } ^ { - } Q _ { j } - E ^ { - 1 } \left[ W _ { j } ^ { + } Q _ { j } \right] = \left[ W _ { 1 } ^ { - } q _ { 1 } + W _ { N - 1 } ^ { + } \thinspace q _ { N - 1 } \right] \thinspace \frac { 1 } { 1 - E } \left[ Q _ { j } \right] ,
\begin{array} { r l } { \prod _ { l \in L } } & { c _ { k _ { l } } ( x _ { l } ) \prod _ { m \in M } s _ { k _ { m } } ( x _ { m } ) = 2 ^ { ( \# L + \# M ) / 2 } \prod _ { l \in L } \cos ( 2 \pi k _ { l } x _ { l } ) \prod _ { m \in M } \sin ( 2 \pi k _ { m } x _ { m } ) } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { \lfloor \# M / 2 \rfloor } } { 2 ^ { ( \# L + \# M ) / 2 } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { \# L } } \cos \left( \sum _ { l \in L } e _ { l } \cdot 2 \pi k _ { l } x _ { l } \right) \cdot \sum _ { e ^ { \prime } \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { \# M } } \cos \left( \sum _ { m \in M } e _ { m } ^ { \prime } \cdot 2 \pi k _ { m } x _ { m } \right) \cdot \prod _ { m \in M } e _ { m } ^ { \prime } } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { \lfloor \# M / 2 \rfloor } } { 2 ^ { ( \# L + \# M ) / 2 } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { \# L + \# M } } \cos \left( \sum _ { l \in L } e _ { l } \cdot 2 \pi k _ { l } x _ { l } \right) \cdot \cos \left( \sum _ { m \in M } e _ { m } \cdot 2 \pi k _ { m } x _ { m } \right) \cdot \prod _ { m \in M } e _ { m } } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { \lfloor \# M / 2 \rfloor } } { 2 \cdot 2 ^ { ( \# L + \# M ) / 2 } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { \# L + \# M } } \cos \left( \sum _ { l \in L } e _ { l } \cdot 2 \pi k _ { l } x _ { l } + \sum _ { m \in M } e _ { m } \cdot 2 \pi k _ { m } x _ { m } \right) \cdot \prod _ { m \in M } e _ { m } } \\ & { \qquad + \frac { ( - 1 ) ^ { \lfloor \# M / 2 \rfloor } } { 2 \cdot 2 ^ { ( \# L + \# M ) / 2 } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { \# L + \# M } } \cos \left( \sum _ { l \in L } e _ { l } \cdot 2 \pi k _ { l } x _ { l } - \sum _ { m \in M } e _ { m } \cdot 2 \pi k _ { m } x _ { m } \right) \cdot \prod _ { m \in M } e _ { m } } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { \lfloor \# M / 2 \rfloor } } { 2 ^ { ( \# L + \# M ) / 2 } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { \# L + \# M } } \cos \left( \sum _ { u \in L \cup M } e _ { u } \cdot 2 \pi k _ { u } x _ { u } \right) \cdot \prod _ { m \in M } e _ { m } } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { \lfloor \# M / 2 \rfloor } } { 2 ^ { ( \# L + \# M ) / 2 } } \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { \# L + \# M } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { \mu ( 2 l + 1 ) } { ( 2 l + 1 ) ^ { 2 } } \frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 2 } \mu } { \mathcal C } _ { { 2 l + 1 } } \left( \sum _ { u \in L \cup M } e _ { u } k _ { u } x _ { u } \right) \cdot \prod _ { m \in M } e _ { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \Delta } _ { \mathrm { L R } } ( { \it \Delta \phi } = \pi / 2 , \delta _ { \mathrm { s f } } ) } & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \left( \begin{array} { c c } { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { - \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \\ { \sin \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } & { \cos \left( \frac { \delta _ { \mathrm { s f } } } { 2 } \right) } \end{array} \right) , } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \exp \left( - \frac { i \sigma _ { 2 } { \delta _ { \mathrm { s f } } } } { 2 } \right) } \\ & { = } & { \mathrm { e } ^ { i \beta } \mathrm { e } ^ { i \overline { { k } } d } \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { L R } } ( \delta _ { \mathrm { s f } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi ( A _ { t } ( \xi - \lambda ) ) - \pi ( A _ { t } ( \xi ) ) } & { \leq \lambda \theta \frac { \Phi _ { t } ( \xi - \lambda ) } { 1 + ( \xi - \lambda ) \frac { w _ { t } } { v _ { t } } } \leq \lambda \theta \frac { \Phi _ { t } ( - x _ { t } ) } { 1 - x _ { t } \frac { w _ { t } } { v _ { t } } } } \\ & { \leq \lambda ( \theta + o ( 1 ) ) \Phi _ { t } ( - x _ { t } ) , } \end{array}
G _ { p , q } ^ { \, m , n } \! \left( \left. { \begin{array} { l } { \mathbf { a _ { p } } } \\ { \mathbf { b _ { q } } } \end{array} } \; \right| \, z \right) = \sum _ { h = 1 } ^ { m } { \frac { \prod _ { j = 1 } ^ { m } \Gamma ( b _ { j } - b _ { h } ) ^ { * } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Gamma ( 1 + b _ { h } - a _ { j } ) \; z ^ { b _ { h } } } { \prod _ { j = m + 1 } ^ { q } \Gamma ( 1 + b _ { h } - b _ { j } ) \prod _ { j = n + 1 } ^ { p } \Gamma ( a _ { j } - b _ { h } ) } } \times
\eta _ { 1 I } = k _ { 1 I } x + k _ { 2 I } y + \frac { 1 } { 2 } \big ( ( k _ { 1 R } ^ { 2 } - k _ { 1 I } ^ { 2 } ) + \beta ( k _ { 2 R } ^ { 2 } - k _ { 2 I } ^ { 2 } ) \big ) z
\begin{array} { r l } { | I _ { 4 } | } & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } \left| \sin \left( \frac { \varphi _ { 1 } - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 1 - \alpha ) } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \leqslant C C _ { 0 } \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } \| g \| _ { C ^ { \alpha } ( \mathbb { T } ) } | \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } | ^ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \left( \frac { \partial f } { \partial t } \right) \right\rvert _ { x } \left. \left( \frac { \partial x } { \partial f } \right) \right\rvert _ { t } \left. \left( \frac { \partial t } { \partial x } \right) \right\rvert _ { f } = - 1 . } \end{array}
\langle \phi ( x _ { 1 } ) \cdots \phi ( x _ { n } ) \rangle = \frac { \int \mathcal { D } \phi \, \phi ( x _ { 1 } ) \cdots \phi ( x _ { n } ) e ^ { - S ( \phi ) } } { \int \mathcal { D } \phi \, e ^ { - S ( \phi ) } } .
\begin{array} { r } { I = \frac { \epsilon _ { 0 } c T _ { i } | E _ { 0 } | ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \left[ T + r + 2 \sqrt { r } \sqrt { T } \cos \phi \right] . } \end{array}
\mathcal { V } _ { P } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { V } _ { P , N e w t } \approx 1 2 6 W ^ { 2 } H } & { \mathrm { ~ : ~ } \quad \mathrm { ~ W ~ i ~ } < 0 . 5 } \\ { \mathcal { V } _ { P , s t r a n d } \approx 1 8 0 0 W ^ { 2 } H / L } & { \mathrm { ~ : ~ } \quad \mathrm { ~ W ~ i ~ } \geq 0 . 5 } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l r } { \ln \left( \frac { f _ { b i M } } { f _ { M } } \right) } & { = } & { \ln \left( \frac { { \cal T } ^ { 3 / 2 } } { T _ { \perp } T _ { \parallel } ^ { 1 / 2 } } \right) - \frac { m ( v _ { x } ^ { \prime 2 } + v _ { y } ^ { \prime 2 } ) } { 2 k _ { B } } \left[ \frac { T _ { \parallel } - T _ { \perp } } { T _ { \perp } ( 2 T _ { \perp } + T _ { \parallel } ) } \right] } \\ & { } & { - \frac { m v _ { z } ^ { \prime 2 } } { 2 k _ { B } } \left[ \frac { 2 ( T _ { \perp } - T _ { \parallel } ) } { T _ { \parallel } ( 2 T _ { \perp } + T _ { \parallel } ) } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } } & { = } & { \psi _ { 2 } ^ { i , j } - \sum _ { k = 1 } ^ { j } [ ( k + 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } - k ^ { ( 1 - \alpha ) } ] [ \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 - k } - \psi _ { 2 } ^ { i , j - k } ] + i ^ { - \alpha } \beta _ { \alpha , \mu } ( V _ { 2 } ^ { j } \psi _ { 1 } ^ { i , j } + V _ { 2 } ^ { j + 1 } \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } ) } \\ & { - } & { i ^ { - \alpha } \xi _ { \alpha , \mu } \sum _ { k = 0 } ^ { i - 1 } [ \psi _ { 2 } ^ { i - k + 1 , j } - 2 \psi _ { 2 } ^ { i - k , j } + \psi _ { 2 } ^ { i - k - 1 , j } ] [ ( k + 1 ) ^ { 2 - \mu } - k ^ { 2 - \mu } ] , } \end{array}
\frac { \partial k } { \partial t } + u _ { m } \frac { \partial k } { \partial x _ { m } } = \underbrace { - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { m } ^ { \prime } } } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { m } } } _ { P _ { k } } \underbrace { - \frac { \partial } { \partial x _ { m } } \left( \frac { \overline { { p ^ { \prime } u _ { m } ^ { \prime } } } } { \rho } + \overline { { u _ { m } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } - \nu \frac { \partial k } { \partial x _ { m } } \right) } _ { D _ { k } } - \underbrace { \nu \overline { { \left( \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { m } } \right) \left( \frac { \partial u _ { i } ^ { \prime } } { \partial x _ { m } } \right) } } } _ { \varepsilon } ,
A _ { \mathrm { r , ~ s t a n d a r d } } ( _ { \mathrm { 2 9 } } { \mathrm { C u } } ) = 0 . 6 9 \times 6 2 . 9 2 9 + 0 . 3 1 \times 6 4 . 9 2 7 = 6 3 . 5 5 .
\begin{array} { r l r l } { { 7 } \Phi } & { ~ ~ = ~ ~ } & { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } & { \int \mathrm { d } ^ { 3 } x ^ { \prime } \frac { \rho \left( \mathbf { x ^ { \prime } } , t - \frac { 1 } { c } | \mathbf { x } - \mathbf { x ^ { \prime } } | \right) } { | \mathbf { x } - \mathbf { x ^ { \prime } } | } } \\ { \mathbf { A } } & { ~ ~ = ~ ~ } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } & { \int \mathrm { d } ^ { 3 } x ^ { \prime } \frac { \mathbf { J } \left( \mathbf { x ^ { \prime } } , t - \frac { 1 } { c } | \mathbf { x } - \mathbf { x ^ { \prime } } | \right) } { \left| \mathbf { x } - \mathbf { x ^ { \prime } } \right| } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i \leq m ~ \mathrm { ~ a n d ~ } ~ 1 \leq j \leq n , ~ ~ ~ ~ ~ \varphi _ { i j } ^ { a b } } & { = \frac { Y _ { i x } ^ { a } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + \sum _ { k } ^ { m } Y _ { k x } ^ { a } } } \\ { \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i \leq m ~ \mathrm { ~ a n d ~ } ~ 1 \leq j \leq n , ~ ~ ~ ~ ~ { \varphi } _ { i j } ^ { b a } } & { = \frac { y _ { i } ^ { b } U _ { j x } ^ { b } } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \sum _ { k } ^ { n } U _ { k x } ^ { b } } } \end{array}
g _ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { D } R _ { i } e _ { i } ^ { I } R _ { j } e _ { i } ^ { I } , \; \; g _ { i j } ^ { * } = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { D } \frac { 1 } { R _ { i } } e _ { i } ^ { * I } \frac { 1 } { R _ { j } } e _ { J } ^ { * I }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { z z } ^ { 2 } ( z ) d z - \lambda \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { z } ^ { 2 } ( z ) d z = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } c _ { i } c _ { j } \int _ { 0 } ^ { 1 } \phi ^ { < i > } ( z ) \big ( \phi _ { z z z z } ^ { < j > } ( z ) + \lambda \phi _ { z z } ^ { < j > } ( z ) \big ) d z . } \end{array}