harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathfrak { B } _ { x y } = i \left( \langle \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } \rangle - \langle \partial _ { k _ { y } } u _ { \mathbf { k } } | \partial _ { k _ { x } } u _ { \mathbf { k } } \rangle \right) .
\begin{array} { r l r } { E _ { d } } & { { } \approx } & { \frac { \pi } { 3 } \, 1 0 ^ { 1 6 } \, L R ^ { 2 } \, \frac { \mathrm { ~ J ~ } } { \mathrm { ~ m ~ } ^ { 3 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \eta _ { t } \left( y _ { t } - f ( x _ { t } , \beta ^ { ( 0 ) } ) \right) \left\{ g _ { ( i ) } ( x _ { t } , \hat { \beta } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } ) - g _ { ( i ) , t } ^ { ( 0 ) } \right\} \right\vert } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ } \leq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \eta _ { t } \left( y _ { t } - f _ { ( i ) } ( x _ { t } , \hat { \beta } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } ) \right) h _ { ( i ) } ( x _ { t } , \beta _ { ( i ) } ^ { \ast ( 0 ) } ) \right\vert \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \hat { \beta } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } - \beta _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } \right\vert } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ } = O _ { p } \left( \frac { \ln \left( k _ { \theta , n } \right) \ln \left( n \right) } { \sqrt { n } } \right) \times O _ { p } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) = o _ { p } \left( \frac { \left( \ln \left( n \right) \right) ^ { 2 } } { n } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { n } ( \sigma _ { t } ) } & { = \frac { 1 } { n ! } \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow 0 } \left( \frac { d } { d z } \right) ^ { n - 1 } \left( \frac { z } { f _ { \sigma _ { t } } ( z ) } \right) ^ { n } } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \operatorname* { l i m } _ { z \rightarrow 0 } \left( \frac { d } { d z } \right) ^ { n - 1 } \exp \left( - n t \left( z + \frac { 1 } { 2 } \right) \right) } \\ & { = \exp \left( - \frac { n t } { 2 } \right) \frac { ( - n t ) ^ { n - 1 } } { n ! } . } \end{array}
\left( \begin{array} { c c c c c c } { \frac { 1 } { E _ { p } } } & { - \frac { \nu _ { p } } { E _ { p } } } & { - \frac { \nu _ { p t } } { E _ { p } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu _ { p } } { E _ { p } } } & { \frac { 1 } { E _ { p } } } & { - \frac { \nu _ { p t } } { E _ { p } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { \nu _ { p t } } { E _ { p } } } & { - \frac { \nu _ { p t } } { E _ { p } } } & { \frac { 1 } { E _ { t } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mu _ { t } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { \mu _ { t } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { 2 \left( \nu _ { p } + 1 \right) } { E _ { p } } } \end{array} \right) ,
\mathcal { L } \rho = - \nabla _ { x } \cdot ( \rho ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) ) = - \nabla _ { x } \cdot ( \rho f _ { 1 } ) - \nabla _ { x } \cdot ( \rho f _ { 2 } ) = ( \mathcal { L } _ { 1 } + \mathcal { L } _ { 2 } ) \rho .
L ( r ) = \frac { 1 } { 3 \nu ( r ) \left( \frac { 2 \eta ( r ) } { 3 g \nu ( r ) } - h ^ { Q } ( r ) \right) } > 0 , \quad \eta ( r ) : = q _ { e } - g f ( r ) , \quad h ^ { Q } ( r ) : = \frac { q _ { w } } { r \sqrt { 2 \eta ( r ) } } ,
\begin{array} { r l } { p ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { 3 } ( 2 r ^ { \prime } + ( 2 t s _ { 3 } + \frac { \rho } { 2 } ( 2 c _ { 1 } + 3 c _ { 2 } + c _ { 3 } - c _ { 4 } - c _ { 5 } ) ) u + ( 2 A ^ { 1 } - A ^ { 2 } - A ^ { 3 } - A ^ { 4 } + A ^ { 5 } ) v ) , } \\ { q ^ { \prime } } & { = \frac { 1 } { 3 } ( 2 r ^ { \prime } + ( ( 3 - t ) s _ { 3 } + \frac { \rho } { 2 } ( c _ { 3 } - c _ { 1 } - c _ { 4 } - c _ { 5 } ) ) u + ( - A ^ { 1 } + 2 A ^ { 2 } - A ^ { 3 } - A ^ { 4 } + A ^ { 5 } ) v ) . } \end{array}
3 D _ { i \alpha } ( W ( \theta ) \tilde { \gamma } ^ { A } ) ^ { [ \beta \gamma ] } = \delta _ { \alpha } ^ { ~ \beta } D _ { i \delta } ( W ( \theta ) \tilde { \gamma } ^ { A } ) ^ { [ \delta \gamma ] } - \delta _ { \alpha } ^ { ~ \gamma } D _ { i \delta } ( W ( \theta ) \tilde { \gamma } ^ { A } ) ^ { [ \delta \beta ] }
\Gamma _ { \mathrm { R R } } = - \frac { \nu _ { Q \mathrm { - } \mathrm { H e } , i } } { \nu _ { Q \mathrm { - } \mathrm { H e } , i } + \nu _ { Q \mathrm { - } Q , i } } \frac { ( \mu / m _ { Q } ) \Delta E _ { \mathrm { R R } } W _ { \mathrm { R R } } } { ( \eta + \kappa - 3 ) k _ { \mathrm { B } } T } N - \frac { \nu _ { Q \mathrm { - } Q , i } } { \nu _ { Q \mathrm { - } \mathrm { H e } , i } + \nu _ { Q \mathrm { - } Q , i } } W _ { \mathrm { R R } } N .
\begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } ^ { \prime \prime } } & { { } = \frac { 2 c ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } ( W - 1 ) ^ { 2 } ( 4 W ^ { 4 } - 4 W ^ { 3 } - 4 W \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } ) } { \Omega _ { e } ( 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + 2 W ) ^ { 3 } } \, , } \\ { \omega _ { 2 } } & { { } = \frac { \alpha ^ { 4 } \Omega _ { e } ^ { 4 } W ^ { 2 } ( W - 1 ) ( 2 W ^ { 3 } - 2 W ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ) } { c ^ { 4 } ( V ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } ) ( 2 W ^ { 3 } - 4 W ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } + 2 W ) ^ { 2 } } } \end{array}
\dot { \varepsilon } = \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { U } = \frac { \partial u _ { r } } { \partial r } + \frac { 1 } { r } \frac { \partial u _ { \theta } } { \partial \theta } + \frac { u _ { r } } { r } + \frac { 1 } { r \sin ( \theta ) } \frac { \partial u _ { \phi } } { \partial \phi } + \frac { u _ { r } + u _ { \theta } \cot ( \theta ) } { r } .
\begin{array} { r l } { \hat { \Sigma } _ { i j } } & { = \mu _ { a , i } ^ { \alpha } { C ^ { \alpha } } _ { a b } ^ { - 1 } C _ { b c , I } ^ { \beta } { C ^ { \alpha } } _ { c d } ^ { - 1 } \mu _ { d , j } ^ { \alpha } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } { C ^ { \alpha } } _ { a b } ^ { - 1 } { C ^ { \alpha } } _ { b c , i } { C ^ { \alpha } } _ { c d } ^ { - 1 } { C ^ { \alpha } } _ { A B } ^ { - 1 } { C ^ { \alpha } } _ { B C , j } { C ^ { \alpha } } _ { C D } ^ { - 1 } \left[ C _ { a A } ^ { \beta } C _ { d D } ^ { \beta } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { L } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon ) = \big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : } \\ { * } & { \qquad \Psi ( L _ { 1 } , ( 1 + \xi ^ { * } ) L _ { 1 } + L _ { 2 } ; \mathbf { 0 } _ { 2 } ; \mathbf { V } _ { 1 } ( R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) ) \geq 1 - \varepsilon \big \} . } \end{array}
\beta _ { j } = \operatorname* { m a x } _ { x \in S _ { j } , \| x \| = 1 } ( B x , x ) = \operatorname* { m a x } _ { x \in S _ { j } , \| x \| = 1 } ( P A P ^ { * } x , x ) \geq \operatorname* { m i n } _ { S _ { j } } \operatorname* { m a x } _ { x \in S _ { j } , \| x \| = 1 } ( A ( P ^ { * } x ) , P ^ { * } x ) = \alpha _ { j } .
\frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { i } } { \partial t } + u ^ { j } \frac { \partial W _ { \varepsilon } ^ { i } } { \partial x _ { j } } - \nu \Delta W _ { \varepsilon } ^ { i } - W _ { \varepsilon } ^ { j } \frac { \partial u ^ { i } } { \partial x _ { j } } - g _ { \varepsilon } ^ { i } = 0 \quad \textrm { i n } D ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \dot { q } ^ { i } = \frac { \partial H _ { \mathrm { F C } } } { \partial p _ { i } } , \quad \dot { p } _ { i } = - \frac { \partial H _ { \mathrm { F C } } } { \partial q ^ { i } } . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi ( x + h + \tau ) - \psi ( x + h ) } \\ & { \quad \leq \frac { 2 \tau \log ( x + h + \tau ) } { \log { \tau } } + \alpha _ { 1 } ( x + h + \tau ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \alpha _ { 2 } ( x + h + \tau ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } - 0 . 9 9 9 ( x + h ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \frac { 2 } { 3 } ( x + h ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \\ & { \quad \leq \frac { 2 \tau \log ( x + h + \tau ) } { \log { \tau } } + \beta _ { 1 } x ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \beta _ { 2 } x ^ { \frac { 1 } { 3 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { c } { T ^ { \mathcal { T } } \left( \begin{array} { c c c } { A ^ { N - 1 } B } & { \cdots } & { B } \end{array} \right) } \\ { T ^ { \mathcal { T } } \left( \begin{array} { c c c } { A ^ { N - 1 } B } & { \cdots } & { B } \end{array} \right) \cdot \left( I ^ { N } \otimes \Omega \right) } \end{array} \right) U } \\ & { \quad \quad \quad + \left( \begin{array} { c } { T ^ { \mathcal { T } } A ^ { N } } \\ { T ^ { \mathcal { T } } A ^ { N } \Theta } \end{array} \right) x ( 0 ) \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r } { V ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \Phi ( x _ { 0 } ) + \Phi ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) ( x - x _ { 0 } ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \leq x _ { 0 } \, , } \\ { \Phi ( x ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x _ { 0 } > x \, . } \end{array} \right. } \end{array}
e _ { 1 } { \phi } _ { ( 1 ) } ^ { \mathrm { s e l f } } + e _ { 2 } { \phi } _ { ( 2 ) } ^ { \mathrm { s e l f } } = \frac { 1 } { 8 \mathrm { L } } ( e _ { 1 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } ) ( x _ { + } ^ { 2 } + x _ { - } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 4 \mathrm { L } } ( e _ { 1 } ^ { 2 } - e _ { 2 } ^ { 2 } ) x _ { + } x _ { - } + \frac { \mathrm { L } } { 4 } ( e _ { 1 } ^ { 2 } + e _ { 2 } ^ { 2 } ) ,
{ \begin{array} { r l } { G ( s ) } & { \triangleq { \mathcal { F } } \{ g \} ( s ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } g ( x ) e ^ { - i 2 \pi s x } \, d x , \quad s \in \mathbb { R } } \\ { H ( s ) } & { \triangleq { \mathcal { F } } \{ h \} ( s ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } h ( x ) e ^ { - i 2 \pi s x } \, d x , \quad s \in \mathbb { R } } \end{array} }
F ^ { \mu \nu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - E _ { x } / c } & { - E _ { y } / c } & { - E _ { z } / c } \\ { E _ { x } / c } & { 0 } & { - B _ { z } } & { B _ { y } } \\ { E _ { y } / c } & { B _ { z } } & { 0 } & { - B _ { x } } \\ { E _ { z } / c } & { - B _ { y } } & { B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] } .
( - 1 ) ^ { \frac 1 2 ( n + 1 ) } { \frac { 1 } { n ! } } \epsilon ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 2 n + 1 } } \partial _ { \mu _ { n + 1 } } B _ { \mu _ { n + 2 } \cdots \mu _ { 2 n + 1 } } - m \sqrt { - g } B ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { n } } = 0 .
\begin{array} { r l r } & { } & { \ln f ( U ) = \lbrack \mathrm { L T } \rbrack ^ { ( U \to + \infty ) } \ln \left\langle \delta ( U - \vert \varphi _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( 0 , L ) \vert ^ { 2 } ) \right\rangle _ { S _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } } } \\ & { } & { = \lbrack \mathrm { L T } \rbrack ^ { ( U \to + \infty ) } \ln \, \left\lbrack \int \delta \left( U - \vert \varphi _ { \mathrm { i n s t } } ^ { x _ { \mathrm { i n s t } } ( \cdot ) } ( 0 , L ) \vert ^ { 2 } \right) \, \mathrm { e } ^ { - \vert c _ { 1 } \vert ^ { 2 } / \mu _ { \mathrm { m a x } } } \, \frac { d ^ { 2 } c _ { 1 } } { \pi \mu _ { \mathrm { m a x } } } \right\rbrack . } \end{array}
L _ { a b } ^ { \mathrm { c o h } } \equiv \frac { \sigma _ { x } } { \left| v _ { a } - v _ { b } \right| } = \frac { 2 E ^ { 2 } } { \left| \Delta { m } _ { a b } ^ { 2 } \right| } \, \sigma _ { x } \, ,
\begin{array} { r } { \dot { \Omega } _ { 1 } = - \frac { g _ { 2 } - g _ { 3 } } { g _ { 2 } + g _ { 3 } } \Omega _ { 2 } \Omega _ { 3 } = \frac { 1 } { I _ { 1 } } ( I _ { 2 } - I _ { 3 } ) \Omega _ { 2 } \Omega _ { 3 } , } \\ { \dot { \Omega } _ { 2 } = - \frac { g _ { 3 } - g _ { 1 } } { g _ { 3 } + g _ { 1 } } \Omega _ { 1 } \Omega _ { 3 } = \frac { 1 } { I _ { 2 } } ( I _ { 3 } - I _ { 1 } ) \Omega _ { 1 } \Omega _ { 3 } , } \\ { \dot { \Omega } _ { 3 } = - \frac { g _ { 1 } - g _ { 2 } } { g _ { 1 } + g _ { 2 } } \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } = \frac { 1 } { I _ { 3 } } ( I _ { 1 } - I _ { 2 } ) \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } , } \end{array}
\delta _ { 1 / m ^ { 3 } } = - \frac { \ell _ { V } ^ { ( 3 ) } } { ( 2 m _ { c } ) ^ { 3 } } + \frac { \ell _ { C } ^ { ( 3 ) } } { ( 2 m _ { c } ) ^ { 2 } ( 2 m _ { b } ) } + \frac { \ell _ { B } ^ { ( 3 ) } } { ( 2 m _ { c } ) ( 2 m _ { b } ) ^ { 2 } } - \frac { \ell _ { P } ^ { ( 3 ) } } { ( 2 m _ { b } ) ^ { 3 } } .
\left| \varepsilon _ { p , m i n } ^ { \mathrm { s t d } } \right| = \kappa _ { T } N _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 } - | \nabla _ { h } z _ { r } | ^ { 2 } \right) < \frac { \kappa _ { T } N _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } ,
\lambda _ { i j } ^ { \prime } = \left\{ \begin{array} { l l } { - 3 \sqrt { 5 } ( c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 1 } \\ { - ( A _ { 4 5 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + A _ { 4 8 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 2 } \\ { - ( A _ { 5 7 } \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + \bar { A } _ { 7 8 } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 3 } \\ { - 2 A _ { 5 9 } ( \gamma _ { i 1 } ^ { \prime } + \frac { c _ { 2 } ^ { ( 2 ) , 0 } } { c _ { 2 } ^ { ( 1 ) , 0 } } \gamma _ { i 2 } ^ { \prime } ) , } & { \mathrm { i f ~ } j = 4 } \end{array} \right. , \mathrm { ~ f o r ~ } i = 3 , 4 ;
\begin{array} { r l r } { \left[ \langle N | \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } \} | N \rangle \right] } & { { } = } & { \Big [ n _ { i } ( n _ { i } - 1 ) \Big ] - 4 f _ { i } \Big [ n _ { i } \Big ] + 2 f _ { i } ^ { 2 } } \end{array}
\lambda _ { 1 } = \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { S } ^ { 2 } \right) , \quad \lambda _ { 2 } = \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { R } ^ { 2 } \right) , \quad \lambda _ { 3 } = \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { S } ^ { 3 } \right) , \quad \lambda _ { 4 } = \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { R } ^ { 2 } \boldsymbol { S } \right) , \quad \lambda _ { 5 } = \operatorname { t r } \left( \boldsymbol { R } ^ { 2 } \boldsymbol { S } ^ { 2 } \right) .
G = \frac { G _ { 0 } } { 4 \pi } \int _ { - 1 / 2 } ^ { 1 / 2 } d z \, d s \, \frac { i ( z - s ) } { \sqrt { \mathfrak { D } _ { x } \mathfrak { D } _ { y } } } \exp \Bigg [ - 2 i \delta ( z - s ) - \frac { 2 \tilde { \sigma } _ { \eta } ^ { 2 } ( z - s ) ^ { 2 } } { 1 + \Gamma ^ { 2 } } - \left( \frac { \Gamma } { 1 + \Gamma ^ { 2 } } \frac { \tilde { \sigma } _ { \eta } } { \tilde { \beta } _ { y } } \right) ^ { 2 } \frac { ( z ^ { 2 } - s ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 } \frac { \mathfrak { d } _ { y } } { \mathfrak { D } _ { y } } \Bigg ] .
I = 2 \left( { \frac { \alpha } { \sinh ^ { 2 } A + \sin ^ { 2 } { \frac { \gamma } { 2 } } } } - { \frac { \sinh { \frac { 2 A } { \alpha } } } { \sinh { 2 A } } } ~ { \frac { 1 } { ( \sinh ^ { 2 } { \frac { A } { \alpha } } + \sin ^ { 2 } { \frac { [ \gamma ] } { 2 \alpha } } ) } } \right) ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { E _ { I } ( \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge e _ { 2 } \wedge \omega ^ { \prime } ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) } \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 2 } \wedge \omega ^ { \prime } ) + ( - 1 ) ^ { h \pi ( F ) + 2 } \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge \omega ^ { \prime } ) + ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) + 2 } \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge e _ { 2 } \wedge E _ { I } ( \omega ^ { \prime } ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) } \left( - \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge \omega ^ { \prime } ) + \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge \omega ^ { \prime } ) + \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge e _ { 2 } \wedge E _ { I } ( \omega ^ { \prime } ) ) \right) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \pi ( F ) } \varepsilon _ { F } \otimes ( e _ { 1 } \wedge e _ { 2 } \wedge E _ { I } ( \omega ^ { \prime } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { R } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } ) ) = \mathbf { x } _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ) - \mathbf { x } _ { j } ( \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } ) = \bigg ( \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial \boldsymbol { \xi } } \bigg ) _ { j } ( \boldsymbol { \xi } _ { j } - \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } ) , } \end{array}
\kappa ( \tilde { z } ) = - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \ln \left( \frac { \zeta } { \tilde { R } ^ { N } } \right) = - \frac { \mathrm { i } } { 2 } \ln \left( \frac { \tilde { z } ^ { N } } { \tilde { R } ^ { N } } \right) = - \frac { \mathrm { i } N } { 2 } \ln \left( \frac { \tilde { z } } { \tilde { R } } \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { g } _ { q s } ^ { p r } } & { { } = \sum _ { J K } ( p r | J ) ( J | K ) ^ { - 1 } ( K | q s ) } \\ { V _ { R S } } & { { } = \underset { V _ { R S } } { \operatorname { a r g m i n } } \, \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \left| \tilde { g } _ { q s } ^ { p r } - \sum _ { R S } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { p } ^ { R } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { r } ^ { R } V _ { R S } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { q } ^ { S } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { s } ^ { S } \right| ^ { 2 } } \\ { E _ { R S } } & { { } = \sum _ { p q r s } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { p } ^ { R } ( X ^ { ( p r ) } ) _ { r } ^ { R } \tilde { g } _ { q s } ^ { p r } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { q } ^ { S } ( X ^ { ( q s ) } ) _ { s } ^ { S } } \\ { S _ { R S } ^ { ( p q ) } } & { { } = \sum _ { p q } ( X ^ { ( p q ) } ) _ { p } ^ { R } ( X ^ { ( p q ) } ) _ { q } ^ { R } ( X ^ { ( p q ) } ) _ { p } ^ { S } ( X ^ { ( p q ) } ) _ { q } ^ { S } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Gamma _ { 4 V } ^ { ( 0 ) \mathrm { { p e r t } } } } } & { { C ^ { ( 4 ) } \left[ L _ { ( 0 , 2 ) } - L _ { ( 0 , 3 ) } \right] + C ^ { ( 5 ) } \left[ L _ { ( 0 , 3 ) } - L _ { ( 0 , 1 ) } \right] + C ^ { ( 6 ) } \left[ L _ { ( 0 , 1 ) } - L _ { ( 0 , 2 ) } \right] } } \\ { { \mathrm { } } } & { { C ^ { ( 4 ) } \left[ \frac { 3 } { 2 } \left( L _ { ( 0 , 2 ) } - L _ { ( 0 , 3 ) } \right) \right] + \frac { 1 } { 2 } \left( C ^ { ( 5 ) } - C ^ { ( 6 ) } \right) \left[ - 2 L _ { ( 0 , 1 ) } + L _ { ( 0 , 2 ) } + L _ { ( 0 , 3 ) } \right] } } \end{array}
C ^ { ( 1 , q ) } ( p ^ { 2 } , p ^ { 2 } ; 0 ) = \frac { g ^ { 2 } \; \eta } { ( 4 \pi ) ^ { n / 2 } } \; N _ { f } T _ { R } \; \frac { ( n - 4 ) ( n - 2 ) } { n - 1 } \; \frac { \kappa } { p ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \rho ( t ) } & { = \mathrm { T r } _ { R } [ U ( t ) \rho ( 0 ) \otimes | 1 _ { \mathrm { F S } } \rangle \langle 1 _ { \mathrm { F S } } | \otimes | 0 _ { b } \rangle \langle 0 _ { b } | U ^ { \dagger } ( t ) ] , } \\ { \rho _ { 0 1 } ( t ) } & { = \mathrm { T r } _ { R } [ U ( t ) \rho ( 0 ) \otimes | 0 _ { a } \rangle \langle 1 _ { \mathrm { F S } } | \otimes | 0 _ { b } \rangle \langle 0 _ { b } | U ^ { \dagger } ( t ) ] , } \\ { \rho _ { 0 0 } ( t ) } & { = \mathrm { T r } _ { R } [ U ( t ) \rho ( 0 ) \otimes | 0 _ { a } \rangle \langle 0 _ { a } | \otimes | 0 _ { b } \rangle \langle 0 _ { b } | U ^ { \dagger } ( t ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathscr W } _ { S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) = \gamma _ { S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) { \bf v } ^ { \left( \mathrm { e } \right) \mathrm { T } } \left( { \bf I } _ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } d } - { \bf S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \right) ^ { \mathrm { T } } \left( { \bf I } _ { n ^ { \left( \mathrm { e } \right) } d } - { \bf S } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \right) { \bf u } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \left( \theta \right) , } \end{array}
\psi ^ { N } \in L _ { [ 0 , T ] } ^ { \infty } H _ { 0 , x } ^ { \frac { 5 } { 2 } + \delta } \ \cap \ L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } H _ { 0 , x } ^ { \frac { 7 } { 2 } + \delta }
\begin{array} { r l r } & { } & { p _ { 1 } ^ { ( q ) } ( T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \left( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \cos T _ { 0 } + \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \sin T _ { 0 } \right) } \\ { \textrm { a n d } } & { } & { a _ { 1 } ^ { ( q ) } ( T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = \left( \mu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \sin T _ { 0 } - \nu _ { 1 q } ( T _ { 2 } ) \cos T _ { 0 } \right) } \\ & { } & { p _ { 1 } ^ { ( j ) } ( T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = 0 , \quad a _ { 1 } ^ { ( j ) } ( T _ { 0 } , T _ { 2 } ) = 0 \quad \forall j \neq q } \end{array}
\frac { d a _ { 5 } } { d t } = C _ { 5 } + L _ { 5 , 1 } a _ { 1 } + L _ { 5 , 2 } a _ { 2 } + L _ { 5 , 3 } a _ { 3 } + L _ { 5 , 4 } a _ { 4 } + L _ { 5 , 5 } a _ { 5 } + L _ { 5 , 6 } a _ { 6 } + \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { P O D } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { P O D } } Q _ { 5 , j , k } a _ { j } a _ { k }
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \left| \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \bar { \mathbf \Xi } _ { i } ^ { \mathbb { B } } \right| _ { \infty } \leq x \right) - \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \tilde { \mathbf Z } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \right| = O ( ( n b ) ^ { - ( 1 - 1 1 \iota ) / 8 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { J } } & { \le \left[ \nabla F ( \boldsymbol { w } _ { t } ) - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \nabla f ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { N } D _ { i } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) } \right] } \\ & { - \left[ \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } C ( \boldsymbol { w } _ { i , t } ) \sum _ { m = 1 } ^ { D _ { i } } \nabla _ { \boldsymbol { w x } } ^ { 2 } f ( \boldsymbol { w } _ { t } , \boldsymbol { x } _ { i m } , y _ { i m } ) \boldsymbol { n } _ { i m } } { D } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathbb { C } _ { \xi , 0 } \right) _ { k } ^ { i } } & { = \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } \pi \mathtt { M } ^ { \alpha + 3 } } { 1 9 2 ( \alpha + 1 ) } \left( \left( \mathbb { A } _ { S _ { 0 } ^ { + } } \right) _ { k } ^ { i } - 2 \frac { i _ { \xi } f ( i _ { \xi } , \mathtt { j } _ { i } ) \mathtt { j } _ { i } } { i _ { \xi } | i _ { \xi } | ^ { \alpha - 1 } } \mathtt { j } _ { k } ^ { \alpha } \right) + \left( W _ { r , 7 } ( \xi ) \right) _ { k } ^ { i } , } \\ { \left( \mathbb { C } _ { \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } } \right) _ { k } ^ { i } } & { = \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } \pi \mathtt { M } ^ { \alpha + 3 } } { 1 9 2 ( \alpha + 1 ) } \left( \left( \mathbb { A } _ { S _ { 0 } ^ { + } } \right) _ { k } ^ { i } - 2 \frac { \left( i _ { \xi , 1 } f ( i _ { \xi , 1 } , \mathtt { j } _ { i } ) - i _ { \xi , 2 } f ( i _ { \xi , 2 } , \mathtt { j } _ { i } ) \right) \mathtt { j } _ { i } } { i _ { \xi , 1 } | i _ { \xi , 1 } | ^ { \alpha - 1 } - i _ { \xi , 2 } | i _ { \xi , 2 } | ^ { \alpha - 1 } } \mathtt { j } _ { k } ^ { \alpha } \right) + \left( W _ { r , 8 } \right) _ { k } ^ { i } , } \end{array}
M _ { \mathrm { d } } \simeq \l ^ { 3 } m _ { 0 } \left( \begin{array} { l l l } { { \l ^ { 4 } } } & { { \l ^ { 3 } } } & { { \l ^ { 3 } } } \\ { { \l ^ { 3 } } } & { { \l ^ { 2 } } } & { { \l ^ { 2 } } } \\ { { \l } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \ ,
\tilde { E } ( t ) = \left[ \frac { 1 } { 2 } \frac { ( \textbf { r } _ { n } ^ { N } - \textbf { r } _ { n - 1 } ^ { N } ) ^ { 2 } } { ( t _ { n } - t _ { n - 1 } ) ^ { 2 } } + \overline { { V ( n ) } } \right] .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial C _ { F } ^ { i , j } } { \partial t } } & { = } & { \underbrace { D _ { \mathrm { a x } } ^ { i } \frac { \partial ^ { 2 } C _ { F } ^ { i , j } } { \partial x ^ { 2 } } } _ { \mathrm { a x i a l ~ d i s p e r s i o n } } - \underbrace { u \frac { \partial C _ { F } ^ { i , j } } { \partial x } } _ { \mathrm { c o n v e c t i o n } } + \underbrace { \frac { k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } } { \epsilon } ( C _ { S } ^ { i , j } - C _ { F } ^ { i , j } ) } _ { \mathrm { d i f f u s i o n ~ t o ~ c a t a l y s t } } , } \\ { \frac { \partial C _ { S } ^ { i , j } } { \partial t } } & { = } & { \mathrm { - } \underbrace { \frac { k _ { \mathrm { L } } a ^ { i } } { ( 1 \mathrm { - } \epsilon ) } ( C _ { S } ^ { i , j } - C _ { F } ^ { i , j } ) } _ { \mathrm { d i f f u s i o n ~ t o ~ c a t a l y s t } } + \underbrace { \rho _ { \mathrm { B } } \frac { v ^ { i } } { [ E ] } } _ { \mathrm { r e a c t i o n } } \ . } \end{array}