harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathbb { F } ^ { u } } & { = - \mathsf { K } ^ { h h , - 1 } \mathsf { K } ^ { h \pi } \mathsf { D } _ { W } \mathbb { B } , } \\ { \mathbb { F } ^ { h } } & { = \mathsf { K } ^ { h h , - 1 } \mathbb { B } , } \\ { \mathbb { F } ^ { p } } & { = - \mathsf { K } ^ { h h , - 1 } \left( \mathbb { H } ^ { p _ { 0 } } - \mathsf { K } ^ { h \pi } \mathsf { D } _ { W } \mathbb { B } _ { - 1 } \right) , } \\ { \mathbb { F } ^ { T } } & { = - \mathsf { K } ^ { h h , - 1 } \left( \mathbb { H } ^ { T _ { 0 } } + \frac { 5 } { 2 } \mathbb { B } _ { - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { S H G } , \mathbf { k } } ^ { \mu \alpha \beta } ( \omega ) = \, \, } & { \sum _ { a , b , c } v _ { a b } ^ { \mu } \frac { \displaystyle v _ { b c } ^ { \beta } \frac { v _ { c a } ^ { \alpha } f _ { a c } } { \omega - \epsilon _ { c a } } - \frac { f _ { c b } v _ { b c } ^ { \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b c } } v _ { c a } ^ { \beta } } { 2 \omega - \epsilon _ { b a } } } \\ & { + \sum _ { a , b } v _ { a b } ^ { \mu } \frac { \frac { 1 } { 2 } h _ { b a } ^ { \alpha \beta } f _ { a b } } { 2 \omega - \epsilon _ { a b } } + \sum _ { a , b } h _ { a b } ^ { \mu \alpha } \frac { v _ { b a } ^ { \beta } f _ { a b } } { \omega - \epsilon _ { b a } } } \\ & { + \sum _ { a } \frac { 1 } { 2 } h _ { a a } ^ { \mu \alpha \beta } f _ { a } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { ~ S ~ H ~ G ~ } } ( t ) } & { { } \propto \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - 2 \Gamma ( \omega ) t ^ { \prime } } e ^ { - \Gamma ( 2 \omega ) ( t - t ^ { \prime } ) } \mathrm { d } t ^ { \prime } } \end{array}
{ \Phi } _ { 0 } ( z _ { 1 } , \eta _ { 1 } ) \Phi _ { 0 } ( z _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \sim ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { \bar { \eta } _ { 1 } \eta _ { 2 } + \bar { \eta } _ { 2 } \eta _ { 1 } } \Phi _ { 0 } ( z _ { 1 } , \eta _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { ( G _ { H } ( x ) ) _ { l } ^ { k } } & { = - i \frac { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \left( \hat { \mu } ^ { q a } \partial _ { x ^ { a } } \hat { \mu } ^ { k 3 } + \hat { \mu } ^ { q 3 } \frac { \partial _ { x ^ { a } } ( \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } \hat { \mu } ^ { k a } ) } { \sqrt { \lvert \hat { \mu } ^ { - 1 } \rvert } } \right) } \\ & { + i ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \frac { \sigma ^ { a j q } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } \partial _ { x ^ { a } } ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { \tilde { b } j } \frac { \sigma ^ { 3 \tilde { k } \tilde { b } } } { \sqrt { \lvert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \rvert } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { W ( 0 , T ) } ^ { D } v } & { { } = \lambda v \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ i ~ n ~ t ~ } ( \mathcal { M } ) , } \\ { \int _ { - T / 2 } ^ { T / 2 } \frac { \partial \Phi _ { * } ^ { t } v } { \partial n ^ { t } } \circ \Phi ^ { t } \mathrm { ~ d ~ } t } & { { } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \mathcal { M } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H \left( t \right) = i \left[ \begin{array} { c c c c c c c c } { - \frac { 1 } { C _ { 1 } R _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 2 } R _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 2 } } } & { 0 } & { \frac { 1 } { C _ { 2 } } } & { - \frac { 1 } { C _ { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 3 } R _ { 3 } } } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { 1 } { C _ { 3 } } } & { 0 } & { \frac { 1 } { C _ { 3 } } } \\ { \frac { 1 } { L _ { 1 } \left( t \right) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { L _ { 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { L _ { 3 } \left( t \right) } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { L _ { x 1 } } } & { - \frac { 1 } { L _ { x 1 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { L _ { x 2 } } } & { - \frac { 1 } { L _ { x 2 } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { U = { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { u } _ { 1 } } & { \mathbf { u } _ { 2 } } & { \mathbf { u } _ { 3 } } \end{array} \right] } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 2 } & { - 6 9 } & { - 5 8 / 5 } \\ { 6 } & { 1 5 8 } & { 6 / 5 } \\ { - 4 } & { 3 0 } & { - 3 3 } \end{array} \right] } ; } \\ { Q = { \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { \mathbf { u } _ { 1 } } { \| \mathbf { u } _ { 1 } \| } } } & { { \frac { \mathbf { u } _ { 2 } } { \| \mathbf { u } _ { 2 } \| } } } & { { \frac { \mathbf { u } _ { 3 } } { \| \mathbf { u } _ { 3 } \| } } } \end{array} \right] } } & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { 6 / 7 } & { - 6 9 / 1 7 5 } & { - 5 8 / 1 7 5 } \\ { 3 / 7 } & { 1 5 8 / 1 7 5 } & { 6 / 1 7 5 } \\ { - 2 / 7 } & { 6 / 3 5 } & { - 3 3 / 3 5 } \end{array} \right] } . } \end{array} }
( - j ) ^ { M } ( n _ { 1 } n _ { 2 } \cdots n _ { M } ) x ( n _ { 1 } , \ldots , n _ { M } ) { \overset { \underset { \mathrm { F T } } { } } { \longleftrightarrow } } { \frac { ( \partial ) ^ { M } } { ( \partial \omega _ { 1 } \partial \omega _ { 2 } \cdots \partial \omega _ { M } ) } } X ( \omega _ { 1 } , \ldots , \omega _ { M } ) ,
\mathcal { G } \doteq k _ { \parallel , \mathrm { m } } \rho _ { \mathrm { i } } \, \biggl ( \frac { k _ { \parallel , \mathrm { m } } } { k _ { \perp , \mathrm { m } } } \biggr ) ^ { 2 } \biggl ( \alpha - \alpha ^ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } } { 4 k _ { \perp } ^ { 2 } } \alpha ^ { 3 } \biggr ) ^ { 1 / 2 } \cos ^ { - 1 } \biggl ( \frac { 2 - \sqrt { 4 - k ^ { 2 } / k _ { \perp } ^ { 2 } } } { \alpha } \biggr )
\left\{ \quad \begin{array} { r l } { \mathrm { i } \partial _ { t } \ u ( x , t ) } & { { } = A u ( x , t ) + B ( u ( x , t ) ) , \qquad x \in \mathbb { R } , t \geq 0 , } \\ { u ( x , 0 ) } & { { } = u _ { 0 } ( x ) , } \end{array} \right.
\int _ { 0 } ^ { \infty } d s \, \sin s \, f ( s / z , y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \int _ { - \pi } ^ { \pi } d s \, ( - \sin s ) \, f \left( \frac { \pi ( 2 k + 1 ) + s } z , y \right) .
\begin{array} { r } { \left| \langle e ^ { - \gamma \psi } \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , \nabla _ { x } c \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } - \gamma \langle \nabla _ { x } \Delta _ { x } ^ { - 1 } a , \nabla _ { x } \phi _ { 0 } \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } \overline { c } \right| \lesssim \| a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } \| ( e ^ { - \gamma \psi } c ) ^ { \times } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } . } \end{array}
C _ { p } \langle \rho u _ { z } T \rangle _ { A , t } ( z ) - \Big \langle k \frac { d T _ { s a } } { d z } \Big \rangle _ { A , t } ( z ) - \int _ { 0 } ^ { z } \Big \langle u _ { j } \frac { \partial p } { \partial x _ { j } } \Big \rangle _ { A , t } d z ^ { \prime } - \int _ { 0 } ^ { z } \langle \sigma _ { i j } S _ { i j } \rangle _ { A , t } \left( z ^ { \prime } \right) d z ^ { \prime } = \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ . ~ }
\int _ { 0 } ^ { \infty } k \, d k \, J _ { 0 } [ k \rho ] \, ( - \rho ^ { 2 } ) \, f [ k ] = \int _ { 0 } ^ { \infty } k \, d k \, J _ { 0 } [ k \rho ] \, ( \partial _ { k } ^ { 2 } + 1 / k \partial _ { k } ) \, f [ k ]
\begin{array} { r l r } { R _ { x x } ( \Delta x ^ { \prime } , \Delta y ^ { \prime } , \Delta z ^ { \prime } ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } { \int } P _ { x x } ( \mathbf { k } ) e ^ { - i k _ { x } \Delta x ^ { \prime } } e ^ { - i k _ { y } \Delta y ^ { \prime } } } \end{array}
\Gamma _ { \Lambda } = \int _ { \Sigma } \d \Sigma _ { \mu } J _ { \Lambda } ^ { \mu } = \int _ { \Sigma } \d \Sigma _ { \mu } \partial _ { \nu } \Gamma _ { \Lambda } ^ { \mu \nu } = \oint _ { { \cal B } } \ensuremath { \operatorname { d } \! { } \Sigma _ { \mu \nu } } \Gamma _ { \Lambda } ^ { \mu \nu } \, .
\begin{array} { r l } { \check { \phi } _ { 0 } | _ { \xi \to + \infty } } & { { } = { \Phi } _ { 0 } | _ { z \to 0 + } , \quad \check { \phi } _ { 1 } | _ { \xi \to + \infty } = { \Phi } _ { 1 } | _ { z \to 0 + } + b ^ { 2 } \xi \frac { d { \Phi } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 + } , } \\ { \frac { d \check { \phi } _ { 0 } } { d \xi } \Big | _ { \xi \to + \infty } } & { { } = 0 , \quad \quad \quad \; \frac { d \check { \phi } _ { 1 } } { d \xi } \Big | _ { \xi \to + \infty } = b ^ { 2 } \frac { d { \Phi } _ { 0 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 + } , } \\ { \frac { d \check { \phi } _ { 2 } } { d \xi } \Big | _ { \xi \to + \infty } } & { { } = b ^ { 2 } \frac { d { \Phi } _ { 1 } } { d z } \Big | _ { z \to 0 + } + b ^ { 4 } \xi \frac { d ^ { 2 } { \Phi } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } \Big | _ { z \to 0 + } , } \\ { \frac { d ^ { 2 } \check { \phi } _ { 2 } } { d \xi ^ { 2 } } \Big | _ { \xi \to + \infty } } & { { } = b ^ { 4 } \frac { d ^ { 2 } { \Phi } _ { 0 } } { d z ^ { 2 } } \Big | _ { z \to 0 + } . } \end{array}
\left| Z _ { 0 } ( \omega ) - Z ( \omega ) + \frac { 1 } { T \omega } \mathfrak { I m } ( Z ( \omega ) ) + \frac { i } { T } Z ^ { \prime } ( \omega ) \right| \le R _ { 0 } \left( 1 + \frac { \theta } { T } \right) e ^ { - T / \theta } ,
\operatorname* { m a x } _ { \tilde { q } } { I _ { 1 } } = \frac { 1 } { \alpha } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { ( \alpha - 1 ) ^ { 2 } } { 4 \alpha } - \mathrm { ~ D ~ a ~ } \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) .
N _ { Q 5 } ^ { c a } ( p ) = - \frac { i } { 2 } d _ { Q } ( R ) \int \frac { d ^ { 4 } l } { { ( 2 \pi ) } ^ { 4 } } \mathrm { t r } \left[ i \gamma _ { 5 } i S ^ { c a } ( l , m _ { Q } ) i \gamma _ { 5 } i S ^ { a c } ( l + p , m _ { Q } ) \right] ,
\begin{array} { r } { a ( \boldsymbol x ) = a _ { \mathrm { m } } + \frac { a _ { \mathrm { i } } - a _ { \mathrm { m } } } { 2 } \left[ 1 - \operatorname { t a n h } \left( \frac { | \boldsymbol x - \boldsymbol x _ { \mathrm { i } } | - r } { \xi } \right) \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ^ { \mathrm { S E } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) \equiv P _ { \mathrm { r l o s s } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) + P _ { \mathrm { n l o s s } } ^ { \mathrm { } } ( \mathbf { r } _ { 0 } , \omega ) . } \end{array}
\frac { D k _ { \theta } ^ { + } } { D t ^ { + } } = \underbrace { P _ { \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ P ~ r ~ o ~ d ~ u ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } } + \underbrace { T _ { \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ T ~ u ~ r ~ b ~ u ~ l ~ e ~ n ~ t ~ d ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } } + \underbrace { D _ { \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ M ~ o ~ l ~ e ~ c ~ u ~ l ~ a ~ r ~ d ~ i ~ f ~ f ~ u ~ s ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } } - \underbrace { \epsilon _ { \theta } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ D ~ i ~ s ~ s ~ i ~ p ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } ~ } }
\begin{array} { r } { L o s s = C _ { 1 } \| \nabla \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Omega } + C _ { 2 } \| \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Gamma - \Gamma _ { t } } + C _ { 3 } \| \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla h + \gamma ( \hat { h } - g \phi ( x ) ) \| _ { \Gamma _ { t } } + ( \int _ { \Gamma _ { t } } \gamma ( h - \phi ) d s ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 4 \pi = \phi _ { \mathrm { O A } _ { 1 } | f = f _ { \mathrm { b } } } + } & { { } \phi _ { \mathrm { A A } _ { 1 } | f = f _ { \mathrm { b } } } + \phi _ { \mathrm { A _ { 1 } B } | f = f _ { \mathrm { b } } } + } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { E [ X ^ { 2 } ] } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { K } k ^ { 2 } \operatorname* { P r } ( X = k ) = \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { K } ( k + r ) ( k + r + 1 ) \operatorname* { P r } ( X = k ) \right] - ( 2 r + 1 ) E [ X ] - r ^ { 2 } - r } \\ & { = { \frac { r ( r + 1 ) } { \binom { N } { K } } } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { K } { \binom { k + r + 1 } { r + 1 } } { \binom { N + 1 - ( r + 1 ) - k } { K - k } } \right] - ( 2 r + 1 ) E [ X ] - r ^ { 2 } - r } \\ & { = { \frac { r ( r + 1 ) } { \binom { N } { K } } } \left[ { \binom { N + 2 } { K } } \right] - ( 2 r + 1 ) E [ X ] - r ^ { 2 } - r = { \frac { r K ( N - r + K r + 1 ) } { ( N - K + 1 ) ( N - K + 2 ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { 1 } ( s ) } & { = \Sigma _ { 1 } ^ { p } ( s ) + \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) } \\ & { \quad + \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) + \kappa _ { 2 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 2 } ) \Sigma _ { 2 } ( s ) , } \end{array}
\tilde { F } ^ { 2 } = F _ { \rho } ^ { 2 } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } ) \, F _ { \rho } ^ { 2 } ( Q _ { 2 } ^ { 2 } ) \, \frac { Q _ { 2 } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \, \left\{ 1 + \epsilon ^ { - 1 } \, \frac { Q _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \, M ^ { 2 } } \right\} \ .
\begin{array} { c c c c c } { { } } & { { S O ( 2 n - 1 ) } } & { { \subset } } & { { S O ( 2 n ) } } & { { R _ { M } = { \bf 2 n } } } \\ { { } } & { { S p ( 2 n ) } } & { { \subset } } & { { S U ( 2 n ) } } & { { R _ { M } = { \bf ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) } } } \\ { { } } & { { G _ { 2 } } } & { { \subset } } & { { S O ( 7 ) } } & { { R _ { M } = { \bf 7 } \mathrm { \ o r \ } { \bf 8 } } } \\ { { } } & { { F _ { 4 } } } & { { \subset } } & { { E _ { 6 } } } & { { { \bf 2 7 } } } \\ { { \ast } } & { { G _ { 2 } } } & { { \subset } } & { { F _ { 4 } } } & { { \ast } } \\ { { \ast } } & { { G _ { 2 } } } & { { \subset } } & { { E _ { 6 } } } & { { \ast } } \\ { { \ast } } & { { G _ { 2 } } } & { { \subset } } & { { E _ { 7 } } } & { { \ast } } \\ { { \ast } } & { { G _ { 2 } } } & { { \subset } } & { { E _ { 8 } } } & { { \ast } } \\ { { \ast } } & { { S p ( 8 ) } } & { { \subset } } & { { E _ { 6 } } } & { { \ast } } \\ { { \ast } } & { { S p ( 6 ) } } & { { \subset } } & { { E _ { 7 } } } & { { \ast } } \\ { { \ast } } & { { F _ { 4 } } } & { { \subset } } & { { E _ { 7 } } } & { { \ast } } \\ { { \ast } } & { { F _ { 4 } } } & { { \subset } } & { { E _ { 8 } } } & { { \ast } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \hat { \xi } _ { i } ( t ) \hat { \xi } _ { j } ( t ^ { \prime } ) \rangle = } & { { } \frac { \gamma _ { i } } { \Omega _ { i } } \int \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } e ^ { - \mathrm { i } \omega \left( t - t ^ { \prime } \right) } \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbb { P } } } ^ { 2 } f } & { = \overline { { \mathbb { P } } } f - \mathrm { d } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } ^ { \ast } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \overline { { \mathbb { P } } } f } \\ & { = \overline { { \mathbb { P } } } f - \mathrm { d } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } ^ { \ast } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } f + [ \mathrm { d } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mathrm { d } ^ { \ast } ( - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ] ^ { 2 } f } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } \left( \overline { { \mathbb { P } } } f - \mathrm { d } ^ { \ast } \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - 1 } f + [ \mathrm { d } ^ { \ast } \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - 1 } ] ^ { 2 } f \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } \left( \overline { { \mathbb { P } } } f - \lambda \mathrm { d } ^ { \ast } \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - 2 } f \right) } \\ & { = \overline { { \mathbb { P } } } f \mathrm { . ~ } } \end{array}
\left( \frac { ( - i \nabla + { \bf a } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } } ( { \bf r } , t ) ) ^ { 2 } } { 2 } + v _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } } ( { \bf r } , t ) \right) \phi _ { i } ( { \bf r } , t ) = i \partial _ { t } { \phi _ { i } ( { \bf r } , t ) }
\begin{array} { r l } { \cos \varphi \sin \varphi } & { = \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \varphi } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sin \bigg ( \tan ^ { - 1 } \bigg ( \frac { 2 J } { \omega _ { \mathrm { c a v } } - \omega _ { \mathrm { L } } } \bigg ) \bigg ) } \\ & { = \frac { J } { \sqrt { \Delta ^ { 2 } + 4 J ^ { 2 } } } \approx \frac { J } { \Delta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { 0 } \mathrel { \mathop : } = { \left\{ \omega = \tau ^ { ( 1 : \mathsf { T } ) } : \forall t < \mathsf { T } , \mathsf { e x i t } ( \tau ^ { ( 1 : t ) } ) = \mathsf { F A L S E } , \mathrm { ~ a n d ~ e i t h e r ~ } \mathsf { T } = T \mathrm { ~ o r ~ } \mathsf { e x i t } ( \tau ^ { ( 1 : \mathsf { T } ) } ) = \mathsf { T R U E } \right\} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { T - t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \langle \bar { I } ( T ) I ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { = \int _ { T - t } ^ { T } d t ^ { \prime } \, \frac { 1 } { T } \left[ 2 - e ^ { - t ^ { \prime } } - e ^ { - ( T - t ^ { \prime } ) } \right] = \frac { 1 } { T } [ 2 t - 1 + e ^ { - T } + e ^ { - t } - e ^ { t - T } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 2 3 } ^ { ( 3 ) } } & { = } & { \frac { C _ { 9 } ^ { * } } { R _ { 1 2 } ^ { 3 } R _ { 1 3 } ^ { 3 } R _ { 2 3 } ^ { 3 } } \frac { f ( \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } , m ) } { 6 } } \\ { C _ { 9 } ^ { * } } & { = } & { \frac { 4 } { 9 } r _ { S P } ^ { 2 } ( C s ) r _ { S P } ^ { 4 } ( A r ) \frac { 2 E _ { S P } ( A r ) - E _ { S P } ( C s ) } { 2 ( E _ { S P } ( A r ) - E _ { S P } ( C s ) ) ^ { 2 } E _ { S P } ( A r ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \phi } = f _ { \boldsymbol { q } n } \left[ \frac { \eta _ { t } \Omega _ { t } } { \Omega _ { t } ^ { 2 } - \omega _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } } \cos ( \kappa _ { \boldsymbol { q } n } z ) \boldsymbol { e } _ { x } - \frac { i \epsilon _ { t } q } { \epsilon _ { z } \kappa _ { \boldsymbol { q } n } } \frac { \eta _ { z } \Omega _ { z } } { \Omega _ { z } ^ { 2 } - \omega _ { \boldsymbol { q } n } ^ { 2 } } \sin ( \kappa _ { \boldsymbol { q } n } z ) \boldsymbol { e } _ { z } \right] e ^ { i q x } \vartheta \left( \frac { d } { 2 } - | z | \right) \vartheta \left( | z | - \frac { \delta } { 2 } \right) . } \end{array}
{ \cal W } _ { A B C } = i F _ { I J K } \big ( Z ( z ) \big ) \; { \frac { \partial Z ^ { I } ( z ) } { \partial z ^ { A } } } { \frac { \partial Z ^ { J } ( z ) } { \partial z ^ { B } } } { \frac { \partial Z ^ { K } ( z ) } { \partial z ^ { C } } } \, .
\hat { \varrho } ( k , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } e ^ { + i a \cos ( \omega _ { 0 } t ) k } = \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { l \in \mathbb { Z } } i ^ { l } \mathrm { J } _ { l } ( k a ) e ^ { + i l \omega _ { 0 } t } ,
d s ^ { 2 } = \frac { ( \pi T R ) ^ { 2 } } u \left( - f ( u ) d t ^ { 2 } + d x ^ { 2 } + d y ^ { 2 } + d z ^ { 2 } \right) + { \frac { R ^ { 2 } } { 4 u ^ { 2 } f ( u ) } } d u ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { f _ { 2 , D R B R D } ^ { + } ( x ) = f _ { 2 , D R B R D } ^ { - } ( x ) } & { = f _ { 2 } ^ { + } ( 0 ) - \frac { \lambda _ { r } } { 2 } \textnormal { s i g n } ( x ) \left( \frac { \arctan ( x / \gamma ) } { \gamma } - \frac { x } { \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \right) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 1 2 } \left( \frac { \gamma ^ { 2 } - x ^ { 2 } } { ( \gamma ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } \right) - \frac { \lambda _ { r } ^ { 2 } } { 8 } \ln \left( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { ~ d } t } = \sum _ { l } N _ { l } \left| \mathcal { A } _ { l } \right| ^ { 2 } \frac { \omega } { \exp \left( \omega / T _ { \mathrm { H } } \right) - 1 } \frac { \mathrm { d } \omega } { 2 \pi } ,
\left\{ \begin{array} { c } { { \mathrm { R e } \widetilde { \mathcal { E } } ^ { ( 0 ) } ( s , \mathbf { k } ) } } \\ { { \mathrm { R e } \widetilde { \mathcal { E } } ^ { ( 1 ) } ( s , \mathbf { k } ) } } \\ { { \mathrm { R e } \widetilde { \mathcal { E } } ^ { ( 2 ) } ( s , \mathbf { k } ) } } \end{array} \right\} = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d k _ { 0 } \, \frac { \wp } { k _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } \left\{ \begin{array} { c } { { \rho ^ { ( 0 ) } ( k _ { 0 } , \mathbf { k } ) } } \\ { { k _ { 0 } \, \rho ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } , \mathbf { k } ) } } \\ { { k _ { 0 } \, \rho ^ { ( 2 ) } ( k _ { 0 } , \mathbf { k } ) } } \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array} { c } { { - \delta _ { \psi } } } \\ { { \delta _ { \psi } } } \\ { { \frac { \delta _ { M } } { M } } } \end{array} \right\} ,
\begin{array} { r l } { \left| { \mathrm { T r } } [ | \mathcal D _ { \gamma } | P _ { \gamma } ^ { + } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) P _ { \gamma } ^ { + } ] \right| } & { \leq \| | \mathcal D _ { \gamma } | ^ { 1 / 2 } P _ { \gamma } ^ { + } ( \theta ( \gamma ) - T ( \gamma ) ) P _ { \gamma } ^ { + } \mathcal D _ { \gamma } | ^ { 1 / 2 } \| _ { \sigma _ { 1 } } } \\ & { \leq 2 \| P _ { \gamma } ^ { + } ( \theta ( \gamma ) - \gamma ) P _ { \gamma } ^ { + } \| _ { X _ { c } } \leq 2 C _ { \kappa , L } \frac { R \alpha _ { c } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \| T ( \gamma ) - \gamma \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { p = j _ { 1 } + m _ { 1 } } \\ & { q = j _ { 1 } - m _ { 1 } } \end{array} \right. , \quad \left\{ \begin{array} { l l } & { r = j _ { 2 } + m _ { 2 } } \\ & { s = j _ { 2 } - m _ { 2 } } \end{array} \right. , \quad \left\{ \begin{array} { l l } & { u _ { 1 } = \bar { j } _ { 1 } - \bar { m } _ { 1 } } \\ & { v _ { 1 } = \bar { j } _ { 1 } + \bar { m } _ { 1 } } \end{array} \right. , \quad \left\{ \begin{array} { l l } & { u _ { 2 } = \bar { j } _ { 2 } - \bar { m } _ { 2 } } \\ & { v _ { 2 } = \bar { j } _ { 2 } + \bar { m } _ { 2 } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { U } = } & { \ U ( I - \theta ( I - C ^ { T } ) d t ) \Omega _ { U } ( I - \theta ( I - C ) d t ) U + \zeta ^ { 2 } U d t , } \\ { = } & { \ U \Omega _ { U } U - U ( I - C ^ { T } ) \Omega _ { U } U \theta d t - U \Omega _ { U } ( I - C ) U \theta d t } \\ & { \ + \zeta ^ { 2 } U d t + O ( d t ^ { 2 } ) , } \\ { = } & { \ \Omega _ { U } - U ( I - C ^ { T } ) \Omega _ { U } \theta d t - \Omega _ { U } ( I - C ) U \theta d t } \\ & { \ + \zeta ^ { 2 } U d t + O ( d t ^ { 2 } ) , } \\ { 0 = } & { \ - \Omega _ { U } d t + U C ^ { T } \Omega _ { U } d t - \Omega _ { U } d t + \Omega _ { U } C U d t } \\ & { \ + \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } U d t + O ( d t ^ { 2 } ) , } \end{array}
\boxed { \begin{array} { r l } & { f _ { j m \lambda } ( k ) = - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { c \hbar } } \frac { \sqrt { 2 \pi } ( - i ) ^ { j } } { k ^ { 2 } } \big ( a _ { j m } ( k ) + \lambda b _ { j m } ( k ) \big ) } \\ & { g _ { j m \lambda } ( k ) = - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { c \hbar } } \frac { \sqrt { 2 \pi } ( - i ) ^ { j } } { k ^ { 2 } } \big ( p _ { j m } ( k ) + \lambda q _ { j m } ( k ) \big ) . } \end{array} }
\begin{array} { r } { S \frac { \partial \bar { \phi } _ { s } } { \partial G } \frac { \partial G _ { a } } { \partial \bar { t } } - \Bigl ( 1 - \frac { G _ { a } } { G } \Bigr ) \frac { \partial S \bar { \phi } _ { s } } { \partial \bar { z } } + S \frac { \partial \bar { \phi } _ { s } \bar { v } _ { x } } { \partial G } \frac { \partial G _ { a } } { \partial \bar { x } } = 0 . } \end{array}
x _ { i } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } ( t + 1 ) = \operatorname* { m i n } \Bigg [ \sum _ { l = 1 } ^ { n } W _ { i l } h _ { l } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } ( t ) , \, \psi _ { i } x _ { i } ^ { \mathrm { ~ } } ( 0 ) \Bigg ] \quad .