harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\lambda _ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 d _ { M } m _ { M } } } \, \langle M ( v ) \, | \, \bar { h } _ { v } \, { \frac { g } { 2 } } \, \sigma _ { \mu \nu } \, G ^ { \mu \nu } \, h _ { v } \, | \, M ( v ) \rangle \, ,
\begin{array} { r l } { \ell ( \hat { \mu } , \widehat { \sigma ^ { 2 } } | \mu , \sigma ^ { 2 } ) } & { = - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( \hat { \mu } - \mu ) ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } - \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 4 \varepsilon ^ { 2 } } \right) \log { \sigma ^ { 2 } } } \\ & { \phantom { { = } } - \frac { \widehat { \sigma ^ { 2 } } ( 1 + 2 \varepsilon ^ { 2 } ) } { 4 \varepsilon ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \nabla T ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { s } ) | ^ { 2 } } & { { } = } & { \displaystyle \frac { 1 } { v ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } , \quad \forall \, \mathbf { x } \in \Omega } \\ { T ( \mathbf { x } _ { s } , \mathbf { x } _ { s } ) } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\tau _ { i } ^ { R R * } = \frac { 4 } { 3 } \eta _ { i } \frac { U _ { i j } ^ { R * } - U _ { i } ^ { R } } { \Delta r _ { i } } , \quad \mathrm { г д е } \quad \Delta r _ { i } = \frac { | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } { 1 + \varkappa } = \frac { \sqrt { \nu _ { i } / \rho _ { j } } | \overrightarrow { r _ { j } } - \overrightarrow { r _ { i } } | } { 1 + \sqrt { \nu _ { i } / \rho _ { j } } } ,
\Delta C _ { 2 } ( { \bf \overline { { { 3 } } } } \times { \bf \overline { { { 3 } } } } \rightarrow { \bf 3 } ) \, \alpha _ { 3 } ( \Lambda _ { 3 } ) + \Delta C _ { 2 } ( { \bf 2 } \times { \bf 2 } \rightarrow { \bf 1 } ) \, \alpha _ { 2 } ( \Lambda _ { 3 } ) = { \frac { 4 } { 3 } } \, \alpha _ { 3 } ( \Lambda _ { 3 } ) + { \frac { 3 } { 2 } } \, \alpha _ { 2 } ( \Lambda _ { 3 } ) .
\psi ( r , z ) = \frac { \kappa } { 3 . 8 3 } r Y _ { 1 } ( \kappa r ) \sin ( k z ) , \quad v _ { z } = \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial r } , \quad v _ { r } = - \frac { 1 } { r } \frac { \partial \psi } { \partial z }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { h } U _ { \alpha } ^ { j } - \mathcal { L } _ { h } U _ { \gamma } ^ { j } } & { = \sum _ { \beta \not = 0 } \left( J _ { p } ( U _ { \alpha + \beta } ^ { j } - U _ { \alpha } ^ { j } ) - J _ { p } ( U _ { \gamma + \beta } ^ { j } - U _ { \gamma } ^ { j } ) \right) \omega _ { \beta } } \\ & { = ( p - 1 ) \sum _ { \beta \not = 0 } | \eta _ { \beta } | ^ { p - 2 } ( U _ { \alpha + \beta } ^ { j } - U _ { \gamma + \beta } ^ { j } ) \omega _ { \beta } - \left( U _ { \alpha } ^ { j } - U _ { \gamma } ^ { j } \right) ( p - 1 ) \sum _ { \beta \not = 0 } | \eta _ { \beta } | ^ { p - 2 } \omega _ { \beta } , } \end{array}
\int d \Gamma ^ { n } \sum _ { s _ { 1 } , . . . s _ { n } } \Psi _ { s _ { i } } ^ { \ast } ( x _ { i } , \vec { p } _ { i \perp } ) \Psi _ { s _ { i } } ( x _ { i } , \vec { p } _ { i \perp } ) = 1
\begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } , 1 } ^ { z } ( t ) } & { { } = 2 \pi r _ { 1 } \alpha _ { 0 } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) E _ { \varphi } ( r _ { 1 } , t ) , } \\ { I _ { \mathrm { ~ H ~ a ~ l ~ l ~ } , 2 } ^ { z } ( t ) } & { { } = 2 \pi r _ { 2 } \alpha _ { 0 } ( \theta _ { 3 } - \theta _ { 2 } ) E _ { \varphi } ( r _ { 2 } , t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \bar { E } } _ { \mathrm { i s o } } } & { = \bar { E } _ { 0 } \left( \hat { x } + \hat { y } \int _ { 0 } ^ { \bar { z } } d \bar { z } ^ { \prime } \bar { k } \bar { \tilde { B } } ( \bar { z } ^ { \prime } ) \sin ( \bar { k } \bar { y } ) - \hat { z } \bar { \tilde { B } } ( \bar { z } ) \cos ( \bar { k } \bar { y } ) \right) . } \end{array}
p = - \frac { e ^ { - 4 \nu t } } { 4 } \left( \cos ( 2 x ) + \cos ( 2 y ) \right) , \qquad \mathbf { v } = \left( \begin{array} { c } { u } \\ { v } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { \phantom { - } \sin ( x ) \cos ( y ) } \\ { - \cos ( x ) \sin ( y ) } \end{array} \right) e ^ { - 2 \nu t } , \qquad \nu = 1 0 ^ { - 2 } .
\mathcal { L } ( \boldsymbol { \theta } ) = \frac { 1 } { U B } \sum _ { b = 1 } ^ { B } \sum _ { u = 1 } ^ { U } \left[ \operatorname* { m i n } \left( r _ { \boldsymbol { \theta } , u } ^ { b } A _ { u } ^ { b } , \operatorname { c l i p } \left( r _ { \boldsymbol { \theta } , u } ^ { b } , 1 - \epsilon , 1 + \epsilon \right) A _ { u } ^ { b } \right) + \sigma E \left[ \pi _ { \theta } \left( s _ { u } ^ { b } \right) \right) \right]
\begin{array} { r l r } { E _ { 1 _ { \pm } ^ { \prime } } } & { = } & { E _ { 1 } \pm \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } - \sum _ { j } \frac { 1 } { \omega _ { j } } \left( \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle \mp w _ { j } ^ { z } \right) ^ { 2 } } \\ & { = } & { E _ { 1 } \pm \frac { \Delta _ { 1 } } { 2 } - \sum _ { j } \frac { 1 } { \omega _ { j } } \left( \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle ^ { 2 } \mp 2 \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle w _ { j } ^ { z } + \mathcal { O } ( B ^ { 2 } ) \right) , } \end{array}
{ \frac { d n ( \omega ) } { d \omega } } \simeq { \frac { 2 \omega ^ { D - 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { ( D - 1 ) / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ { \frac { c _ { n } } { \Gamma \left( { \frac { D - 1 } { 2 } } - n \right) } } \omega ^ { - 2 n } + { \frac { d _ { n } } { \Gamma \left( { \frac { D - 2 } { 2 } } - n \right) } } \omega ^ { - ( 2 n + 1 ) } \right] ~ ~ ~ ,
\bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ T ~ L ~ O ~ } } \simeq \frac { \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } { \tau } , ~ \bar { n } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ L ~ O ~ } } \simeq \Theta _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } + \Theta _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ } } \tau .
\begin{array} { r l } & { ( \langle M _ { \phi _ { 1 } } \rangle + \lvert \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \phi _ { 2 } - \lvert N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert - \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert - 2 \phi _ { 2 } G ) U e } \\ & { \geq ( \langle M _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } \rangle - \lvert N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } \rvert + \phi _ { 2 } - \lvert A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } \rvert - 2 \phi _ { 2 } G ) U e . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } x } & { = \partial _ { t } ( p + \sigma \widehat { n } ) , } \\ & { = ( \partial _ { \tau } + \partial _ { t } \sigma \partial _ { \sigma } + \partial _ { t } s _ { i } t _ { i } \cdot \nabla _ { \! \bot } ) ( p + \sigma \widehat { n } ) , } \\ & { = \partial _ { \tau } p + \partial _ { t } s _ { i } t _ { i } \cdot \nabla _ { \! \bot } p + \sigma \partial _ { \tau } \widehat { n } + \partial _ { t } \sigma \widehat { n } + \sigma \partial _ { t } s _ { i } t _ { i } \cdot \nabla _ { \! \bot } \widehat { n } , } \\ & { = ( v _ { \sigma } + \partial _ { t } \sigma ) \widehat { n } + ( v _ { \bot } + \sigma \partial _ { \tau } \widehat { n } + \partial _ { t } s _ { i } t _ { i } \cdot ( \Pi - \sigma K ) ) , } \\ & { = ( v _ { \sigma } + \partial _ { t } \sigma ) \widehat { n } + ( v _ { \bot } - \sigma ( \nabla _ { \! \bot } v _ { \sigma } + K v _ { \bot } ) + \partial _ { t } s _ { i } t _ { i } \cdot ( \Pi - \sigma K ) ) , } \\ & { = ( v _ { \sigma } + \partial _ { t } \sigma ) \widehat { n } + ( ( v _ { \bot } + \partial _ { t } s _ { i } t _ { i } ) \cdot ( \Pi - \sigma K ) - \sigma \nabla _ { \bot } v _ { \sigma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } e ^ { \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } d \widehat { L ^ { \prime } } } \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } \left( D ( \widehat { L } ) Q ( \widehat { L } ) e ^ { - \int ^ { \widehat { L } } \frac { 2 f ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } { D ( \widehat { L ^ { \prime } } ) } d \widehat { L ^ { \prime } } } \right) } & { = \lambda \left( 1 - \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \widehat { L } } P ^ { \mathrm { i n } } ( \widehat { L ^ { \prime } } ) d \widehat { L ^ { \prime } } \right) \ . } \end{array}
= \; m ^ { ( 1 ) } c ^ { ( 1 ) } : \cos \Bigg ( 2 \sqrt { \pi } \sqrt { \frac { \pi } { \pi \! + \! g N } } U _ { 1 b } \Phi ^ { ( 1 ) } ( x ) + 2 \sqrt { \pi } \sum _ { I = 2 } ^ { N - 1 } U _ { I b } \Phi ^ { ( I ) } ( x )
\begin{array} { r l } { R ^ { \Sigma } } & { = \frac { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \theta + \left( \frac { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } { 2 r ^ { 2 } } - 2 \mathrm { R i c } ^ { M } \left( \partial _ { r } , \partial _ { r } \right) + O ( 1 ) \right) \sin ^ { 2 } \theta } \\ & { + \frac { - 2 ( n - 1 ) k } { r } \sin \theta + \left( \frac { ( n - 1 ) } { r } - O ( r ) \right) k \sin \theta } \\ & { + R ^ { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { G } } } & { = T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { M } } + T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { N } } , } \\ { T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { M } } } & { = \frac { 5 } { 2 } p R T \delta _ { \alpha \beta } , } \\ { T _ { \alpha \beta } ^ { \mathcal { N } } } & { = \frac { 7 } { 2 } R T \sigma _ { \alpha \beta } . } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { | e \Phi | > > 1 } \operatorname * { l i m } _ { m a < < 1 } l n d e t = - \frac { | e \Phi | } { 4 \pi } \ln \left( \frac { | e \Phi | } { ( m a ) ^ { 2 } } \right) + O ( | e \Phi | , ( m a ) ^ { 2 } | e \Phi | \ln ( | e \Phi | ) ) .
\begin{array} { r l } { \Psi \big ( t , z ( t , \varphi ) \big ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \Omega ( t , \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ^ { \prime } ) } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \widetilde { \gamma } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( 2 \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } , 0 ) \right] } & { { } = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { - u _ { T } } ( 0 , \xi , T , \eta ) \textrm { d } \eta } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 m } } W _ { A } ^ { \mu \nu } = i \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } q _ { \rho } \biggl ( s _ { \sigma } { \frac { 1 } { p . q } } g _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) + [ p . q s _ { \sigma } - s . q p _ { \sigma } ] { \frac { 1 } { m ^ { 2 } p . q } } g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \biggr )
\begin{array} { r l } { W _ { i } [ x _ { i } ^ { t + 1 } = S | \mathbf { x ^ { t } } ] = } & { { } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \prod _ { j \in \partial i } [ 1 - \lambda _ { j i } ^ { t } \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } ] } \\ { W _ { i } [ x _ { i } ^ { t + 1 } = I | \mathbf { x ^ { t } } ] = } & { { } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } ( 1 - r _ { i } ^ { t } ) + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , S } \left[ 1 - \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \prod _ { j \in \partial i } [ 1 - \lambda _ { j i } ^ { t } \delta _ { x _ { j } ^ { t } , I } ] \right] } \\ { W _ { i } [ x _ { i } ^ { t + 1 } = R | \mathbf { x ^ { t } } ] = } & { { } \delta _ { x _ { i } ^ { t } , R } + \delta _ { x _ { i } ^ { t } , I } r _ { i } ^ { t } } \end{array}
\mathbf { W } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { T S } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { R S } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { S T } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S R } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { W } _ { 1 } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { 1 S } } } \\ { \mathbf { W } _ { \mathrm { S 1 } } } & { \mathbf { W } _ { \mathrm { S S } } } \end{array} \right] ,
s _ { i j } ( R _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } i j \in \mathrm { S o l v e n t } } \\ { \frac { 1 } { R _ { i j } } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } i j \in \mathrm { P r o b e } } \\ { \mathrm { i f } ~ i \in \mathrm { P r o b e } \wedge j \in \mathrm { S o l v e n t } \mathrm { ~ o r ~ } i \in \mathrm { S o l v e n t } \wedge j \in \mathrm { P r o b e } \mathrm { ~ : ~ } } & \\ { \frac { 1 } { R _ { i j } } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } R _ { i j } \leq R _ { \mathrm { o n ~ } } } \\ { \frac { 1 } { R _ { i j } } \left\{ \left( \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } { R _ { \mathrm { o f f ~ } } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } \right) ^ { 3 } \left( - 6 \left( \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } { R _ { \mathrm { o f f ~ } } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } \right) ^ { 2 } + 1 5 \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } { R _ { \mathrm { o f f ~ } } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } - 1 0 \right) + 1 \right\} , } & { \mathrm { ~ i f ~ } R _ { \mathrm { o n ~ } } < R _ { i j } < R _ { \mathrm { o f f } } } \\ { 0 , \ } & { \mathrm { ~ i f ~ } R _ { i j } \geq R _ { \mathrm { o f f } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \nabla \times u } & { = \left( \partial _ { \sigma } u _ { \theta } - \frac { \partial _ { \theta } u _ { \sigma } } { \sigma } + \mathcal { C } { u _ { \theta } } \right) \widehat { t } _ { s } + \left( \frac { \partial _ { \theta } u _ { s } } { \sigma } - \frac { \nabla _ { s } u _ { \theta } } { h _ { s } } - \mathcal { B } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { \sigma } + \left( \frac { \nabla _ { s } u _ { \sigma } } { h _ { s } } - \partial _ { \sigma } u _ { s } + \mathcal { A } u _ { s } \right) \widehat { t } _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { s h o r t } ( t , m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p ( t , m ) } & { t < t _ { o n } } \\ { p ( t , m ) } & { t _ { o n } \leq t < t _ { e n d } } \\ { p ( t , m = 0 ) \frac { S ( t _ { e n d } , m ) } { S ( t _ { e n d } , m = 0 ) } } & { t \geq t _ { e n d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { { \partial \hat { \rho } ( x , t ) } } { { \partial t } } \; \; = \; \; \left( - \mathrm { ~ i ~ } \hat { \hat { L } } ( x ) - \hat { \hat { K } } ( x ) + \hat { \hat { R } } + \hat { \mathcal { L } } - k _ { f } \right) \hat { \rho } ( x , t ) ,
\begin{array} { r } { \widehat { F } _ { \mathrm { ~ M ~ F ~ } , p } ^ { ( k ) } : = \operatorname { M F } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } , \pi ^ { ( k ) } , p ) = \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } F ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) + \alpha \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } G ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } G ^ { ( k ) } ( \xi _ { i } ) \right) } \end{array}
P _ { b } ( a , b , b ) = \frac { - 1 } { 8 \pi ^ { 2 } b ^ { 3 } } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } d z \frac { I _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) / I _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) } { K _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) I _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) - K _ { \nu } ^ { ( b ) } ( b z ) I _ { \nu } ^ { ( a ) } ( a z ) } ,
\varepsilon ( E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) < \frac { 3 2 \pi ^ { 2 } \theta _ { \mu \omega } ( 2 E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) ^ { 2 l _ { \mu } - 1 } } { ( ( 4 l _ { \mu } - 1 ) ! ! ) ^ { 2 } } e ^ { - \frac { E _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { 2 \theta _ { \mu \omega } } } < \tau
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) = } & { { } \frac { ( x - t ) [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { x } + \frac { y [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { y } } \\ { \equiv } & { { } \frac { 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) } { r } \mathbf { e } _ { r } , } \\ { \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) = } & { { } - \mathbf { e } _ { x } \left\{ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } - \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } + \left[ - \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + \frac { 2 ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } + \frac { ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \right] \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { p } } = \mathbf { R } . \mathbf { p } - \mathbf { S } . \mathbf { p } + \mathbf { p } ( \mathbf { p } . \mathbf { S } . \mathbf { p } ) - \frac { c } { \nu } ( \mathbf { W } . \mathbf { p } ) \mathbf { W } . ( \mathbf { p p } - \mathbb { 1 } ) } \end{array}
( \hat { n } _ { e f } + \hat { n } _ { g h } ) = \hat { a } ^ { \dagger } \hat { c } e ^ { i \theta _ { a } } + \hat { c } ^ { \dagger } \hat { a } e ^ { - i \theta _ { a } } + \hat { b } ^ { \dagger } \hat { d } e ^ { i \theta _ { b } } + \hat { d } ^ { \dagger } \hat { b } e ^ { - i \theta _ { b } }
n _ { \mu } = \pm \sqrt { - a } \frac { \epsilon _ { \mu \nu \alpha } p ^ { \nu } \pi ^ { \alpha } } { \pi \cdot p } \, \, \, ; \, \, \pi _ { 0 } = \pm \sqrt { \pi _ { 1 } ^ { 2 } + \pi _ { 2 } ^ { 2 } }
S = { } - { \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } \int d ^ { 2 } \sigma \, \sqrt { - g } \Bigl \{ { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { a b } \partial _ { a } X ^ { \mu } \partial _ { b } X ^ { \nu } \eta _ { \mu \nu }
\left( \frac { \Gamma ( N + 2 ) \Gamma ( i - 2 + c ) } { \Gamma ( N + c ) \Gamma ( i ) } - 1 \right) < \left( \frac { \Gamma ( N + 1 ) \Gamma ( i - 2 + c ) } { \Gamma ( N + c - 1 ) \Gamma ( i ) } - 1 \right) ,
d n _ { e } ( x , y , z ) = \cfrac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { x } ( z ) \sigma _ { y } ( z ) } \exp \left[ - \cfrac { 1 } { 2 } \left( \cfrac { x } { \sigma _ { x } ( z ) } \right) ^ { 2 } - \cfrac { 1 } { 2 } \left( \cfrac { y } { \sigma _ { y } ( z ) } \right) ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } + \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M \left( \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \right) - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M \Pi _ { S } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } } \\ & { = \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \tilde { M } + ( \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } ) \partial _ { x } \tilde { M } } \\ & { \ + \Psi _ { 1 } \Pi _ { S } \partial _ { x } \tilde { M } + \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M \left( \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \right) - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M \Pi _ { S } \Psi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } } \\ & { = : \Phi _ { 1 } \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \tilde { M } + \mathcal { R } _ { M } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { 0 } ( z ) } & { = } & { V _ { c } \, D \left( n _ { s } \frac { d T _ { s } } { d G } \mathcal { G } ^ { d } \right) - i \frac { V _ { c } n _ { s } T _ { s } } { q _ { s } } ( l P + m Q ) , } \\ { \Gamma _ { 1 } ( z ) } & { = } & { \left( \frac { \kappa } { \cos { \theta _ { 0 } } } \right) V _ { c } D \left( n _ { s } { G } _ { s } ^ { c } \frac { d T _ { s } } { d G } \right) , } \\ { \Gamma _ { 2 } ( z ) } & { = } & { 2 \left( \frac { \kappa } { \cos { \theta _ { 0 } } } \right) V _ { c } n _ { s } { G } _ { s } ^ { c } \frac { d T _ { s } } { d G } + V _ { c } \frac { d T _ { s } } { d G } D { G } _ { s } ^ { d } . } \end{array}
\epsilon _ { T } ^ { i } = ( 2 s _ { i } + 1 ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } d p _ { z } \; \int _ { 0 } ^ { \infty } d p _ { T } \; p _ { T } \sqrt { m _ { i } ^ { 2 } + p _ { T } ^ { 2 } } \; f _ { i } ( p ; T , \mu _ { B } ) \; ,
\left( \begin{array} { c } { | 1 _ { + } \rangle } \\ { | 1 _ { - } \rangle } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \cos \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } } & { e ^ { \textrm { i } \phi _ { 1 } } \sin \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } } \\ { - \sin \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } } & { e ^ { \textrm { i } \phi _ { 1 } } \cos \frac { \theta _ { 1 } } { 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { | 1 \rangle } \\ { | \bar { 1 } \rangle } \end{array} \right) ,
\sigma ( \nu \bar { \nu } \rightarrow \gamma \gamma \gamma ) = \frac { 1 3 6 } { 9 1 , 1 2 5 } \frac { G _ { F } ^ { 2 } \, a ^ { 2 } \, \alpha ^ { 3 } } { \pi ^ { 4 } } \left( \frac { \omega } { m _ { e } } \right) ^ { 8 } \, \omega ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \gamma , f , g ) = } & { \underset { ( x , y ) \sim \gamma } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 } + \int _ { M } \Big ( P _ { r } ( x ) - \int _ { M } \gamma ( x , y ) d y \Big ) f ( x ) d x } \\ & { + \int _ { M } \Big ( P _ { \theta } - \int _ { M } \gamma ( x , y ) d x \Big ) g ( y ) d y } \end{array}
F _ { X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) = F _ { X _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdot \ldots \cdot F _ { X _ { n } } ( x _ { n } ) \quad { \mathrm { f o r ~ a l l ~ } } x _ { 1 } , \ldots , x _ { n }
\begin{array} { r l } { \| u ^ { \prime \prime } - u _ { N } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { T } ) } } & { \leq \sum _ { | k | \geq N + 1 } k ( k - 1 ) | c _ { k } | } \\ & { \leq \left( \sum _ { | k | \geq N + 1 } k ^ { 6 } | c _ { k } | ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \sum _ { | k | \geq N + 1 } \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \leq C \frac { \| u \| _ { H ^ { 3 } ( \mathbb { T } ) } } { \sqrt { N } } . } \end{array}
= p ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } 1 0 ^ { k } } + p ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 2 } 1 0 ^ { k } } q ^ { 1 } + p ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 3 } 1 0 ^ { k } } q ^ { 1 0 } + \ldots + p ^ { 1 0 } q ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 3 } 1 0 ^ { k } } + p ^ { 1 } q ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 2 } 1 0 ^ { k } } + q ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } 1 0 ^ { k } } ,
\Upsilon \left( \mathbf { x } , \tau , \tau _ { 1 } \right) = \frac { \langle \mathbf { u } _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau \right) \cdot \mathbf { b } _ { 0 0 } ^ { \prime } \left( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } \right) \rangle } { \sqrt { \langle u _ { 0 0 } ^ { \prime 2 } \rangle \left( \mathbf { x } , \tau \right) \langle b _ { 0 0 } ^ { \prime 2 } \rangle \left( \mathbf { x } , \tau _ { 1 } \right) } } ,
\left( \begin{array} { r c } { { m _ { A } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta + M _ { Z } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } } & { { - \left( m _ { A } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } \right) \sin \beta \cos \beta } } \\ { { - \left( m _ { A } ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } \right) \sin \beta \cos \beta } } & { { m _ { A } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta + M _ { Z } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta + \epsilon / \sin ^ { 2 } \beta } } \end{array} \right) \; ,