harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c c c } { { \Gamma _ { 1 } ( \vec { k } ) } } & { { = } } & { { - \sqrt { M m } \frac { 2 m } { \vec { k } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } } \\ { { \Gamma _ { 2 } ( \vec { k } ) } } & { { = } } & { { \sqrt { M m } \frac { 1 } { \vec { k } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { V _ { p } ^ { \mathrm { l i n e a r } } \sim R e _ { p } \left( \beta ^ { 2 } \ln r + \beta \gamma r + \frac { \gamma \beta } { r } + \gamma ^ { 2 } \ln r \right) , } \\ & { V _ { p } ^ { \mathrm { n o n - l i n e a r } } \sim R e _ { p } \left( \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } + \frac { \beta \gamma } { r ^ { 4 } } + \frac { \gamma ^ { 2 } } { r ^ { 5 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle S ^ { 2 } \rangle = } & { { } } & { \textrm { T r } \{ \hat { S } ^ { 2 } \hat { \rho } \} } \\ { = } & { { } } & { \hbar ^ { 2 } ( 0 \times P _ { S } + 2 \times P _ { T } + 6 \times P _ { Q } ) . } \end{array}
\omega _ { 1 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega ( x ) , \ \ \ } & { \mathrm { i f } \, x \in D ^ { - } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { i f } \, x \in \mathbb R ^ { n } \setminus D ^ { - } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { a n d } \qquad \omega _ { 2 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \qquad } & { \mathrm { i f } \, x \in D ^ { - } , } \\ { \omega ( x ) , \qquad } & { \mathrm { i f } \, x \in \mathbb R ^ { n } \setminus D ^ { - } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f _ { r } } { \partial v } ( u _ { 0 } , - 1 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) = 0 , } \\ & { f _ { r } ( 0 , - 1 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) = f _ { r } ( 0 , 0 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) , } \\ & { f ( 0 , - 1 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) = f ( - 1 , 0 , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \beta ) , } \end{array}
e ^ { - \delta } \left( r ^ { 2 } e ^ { \delta } \Delta f ^ { \prime } \right) ^ { \prime } + \left[ \frac { r ^ { 2 } E ^ { 2 } } { \Delta } e ^ { - 2 \delta } - \mu ^ { 2 } r ^ { 2 } - l ( l + 1 ) \right] f = 0 .
H ( r , \sigma ) = \left( \frac { R _ { 0 } } { R _ { A } } \right) ^ { 6 } \Delta ^ { - 1 } ( r , \sigma ) e ^ { - 6 \rho ( r , \sigma ) } \, , \qquad \mathcal { Z } ( r , \sigma ) = e ^ { - 2 \rho ( r , \sigma ) } \left( e ^ { 2 \rho ( r , \sigma ) } - \frac { 1 } { 4 } \right) \, .
R _ { \alpha { \bar { m } } \nu { \bar { n } } } = \nabla _ { \bar { m } } \partial _ { \bar { n } } H _ { \alpha \nu } = \partial _ { \bar { m } } \partial _ { \bar { n } } H _ { \alpha \nu } - \Gamma _ { \bar { m } \bar { n } } ^ { \bar { k } } \partial _ { \bar { k } } H _ { \alpha \nu } \, ,
\begin{array} { r l r } { g ^ { 2 } + g ^ { 4 } Q ^ { - \epsilon } \left( \frac { 2 \beta _ { 0 } } { \epsilon } \right) } & { \to } & { { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } - { \frac { 2 \beta _ { 0 } Q ^ { - \epsilon } } { \epsilon } } } } } \\ & { \approx } & { { \frac { 1 } { { \frac { 2 \beta _ { 0 } } { \epsilon } } \lambda _ { P } ^ { - \epsilon } - { \frac { 2 \beta _ { 0 } } { \epsilon } } Q ^ { - \epsilon } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } G _ { \epsilon , R , \delta } ( \eta , t ) \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , t ) } x _ { t , V } ( A ) \textup { d } \eta } & { \leq 2 \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } g _ { \textup { i n } , R } ( \eta ) A \textup { d } \eta + \frac { 1 - \gamma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } _ { > 0 } ^ { 2 } } K _ { R } ( \phi _ { s } ( \eta ) , \phi _ { s } ( \eta ^ { \prime } ) ) G _ { \epsilon , R , \delta } ( \textup { d } \eta , s ) } \\ & { G _ { \epsilon , R , \delta } ( \textup { d } \eta ^ { \prime } , s ) \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , s ) + h _ { \epsilon } ( V ^ { \prime } , s ) } [ ( x _ { s , V } ( A ) + x _ { s , V ^ { \prime } } ( A ^ { \prime } ) ) - x _ { s , V } ( A ) - x _ { s , V ^ { \prime } } ( A ^ { \prime } ) ] \textup { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ( k _ { l } , t _ { r } , s ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t d \textbf { k } ^ { \prime } g ( \textbf { k } ^ { \prime } , \textbf { k } _ { l } ) w ( t , t _ { r } ) e ^ { - i \left[ S ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) + S _ { t } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } ^ { \prime } , t _ { r } , s ) ( t - t _ { r } ) \right] } R ( \textbf { k } ^ { \prime } , t , s ) , } \end{array}
P ( I , S , T ) = a _ { 3 0 0 } T ^ { 3 } + a _ { 2 4 1 } T ^ { 2 } I ^ { 4 } S + a _ { 1 8 2 } T ^ { 1 } I ^ { 8 } S ^ { 2 } + a _ { 0 1 2 3 } I ^ { 1 2 } S ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { \dot { \Pi } + \left( \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } } p + \frac { 5 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } } \Pi \right) \partial _ { k } v _ { k } + \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } } \Pi _ { \langle i k \rangle } \partial _ { \langle i } v _ { k \rangle } - \frac { 5 } { 3 } \frac { 1 } { ( 1 + \hat { c } _ { v } ) ^ { 2 } } \frac { \textrm { d } \hat { c } _ { v } } { \textrm { d } T } q _ { k } \partial _ { k } T + \frac { 2 \hat { c } _ { v } - 3 } { 3 \hat { c } _ { v } ( 1 + \hat { c } _ { v } ) } \partial _ { k } q _ { k } } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { \Pi } } \Pi , } \\ { \dot { \Pi } _ { \langle i j \rangle } + \Pi _ { \langle i j \rangle } \partial _ { k } v _ { k } + 2 \partial _ { k } v _ { \langle i } \Pi _ { \langle j \rangle k \rangle } + 2 ( p + \Pi ) \partial _ { \langle i } v _ { j \rangle } - \frac { 2 } { ( 1 + \hat { c } _ { v } ) ^ { 2 } } \frac { \textrm { d } \hat { c } _ { v } } { \textrm { d } T } \partial _ { k } T q _ { \langle i } \delta _ { j \rangle k } + \frac { 2 } { 1 + \hat { c } _ { v } } \partial _ { \langle j } q _ { i \rangle } } & { { } = - \frac { 1 } { \tau _ { S } } \Pi _ { \langle i j \rangle } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \varrho _ { 0 } \omega ^ { 2 } - \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi } k _ { \parallel } ^ { 2 } \right) \delta \xi _ { \parallel } = \mathrm { i } k _ { \parallel } \delta \tilde { p } + \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 \pi } \mathrm { i } k _ { \parallel } \left( \mathrm { i } k _ { \parallel } \delta \xi _ { \parallel } + \mathrm { i } k _ { y } \delta \xi _ { y } + \frac { \textrm { d } \delta \xi _ { x } } { \textrm { d } x } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( k _ { 0 } , s ) } & { = \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + \tilde { s } _ { 0 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - \tilde { s } _ { 0 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tilde { s } _ { 0 } ^ { 3 } ) ) ) j ( k _ { 0 } . \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + \frac { \kappa _ { k _ { 0 } } } \beta \int _ { \tilde { s } _ { 0 } } ^ { s } d \tau \ \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + \tau ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - \tau + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau ^ { 3 } ) ) ) u _ { 1 } ( \tau ) } \\ & { \le \frac { 4 d ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } \exp ( - \frac \kappa { 2 ^ { 5 } } \xi \eta ^ { 2 } ) j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac { c ^ { 2 } } \beta \textbf { ( } ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) ( \frac { d } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) ( \frac { d } \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } \textbf { ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { d t ^ { 2 } - d \vec { y } _ { p } ^ { \ 2 } - e ^ { - 2 U } d \omega d \bar { \omega } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \tau } } & { { = } } & { { { \cal H } _ { 1 } / { \cal H } _ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { e ^ { - 2 U } } } & { { = } } & { { \Im \mathrm { m } \left( { \cal H } _ { 1 } \bar { \cal H } _ { 2 } \right) \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \omega _ { \mathrm { a , e f f } } ( \mu ) } & { { } = \omega _ { 0 } - \frac { \kappa } { 2 } \left( \operatorname { R e } ( \hat { \mathcal { F } } [ | \psi _ { a } ( \theta ) | ^ { 2 } \psi _ { a } ( \theta ) ] _ { \mu } / a _ { \mu } ) + 2 \sum _ { \eta } | b _ { \eta } | ^ { 2 } \right) } \\ { \omega _ { \mathrm { b , e f f } } ( \mu ) } & { { } = \omega _ { 0 } - \frac { \kappa } { 2 } \left( \operatorname { R e } ( \hat { \mathcal { F } } [ | \psi _ { b } ( \theta ) | ^ { 2 } \psi _ { b } ( \theta ) ] _ { \mu } / b _ { \mu } ) + 2 \sum _ { \eta } | a _ { \eta } | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j = 1 } ^ { 2 ^ { \nu } } C _ { R , d _ { j } } } & { = } & { 3 \cdot 2 ^ { \nu - 1 } + 2 ^ { \rho + \nu - 2 } + ( \mu - \rho ) 2 ^ { \nu + 2 \rho - \mu - 1 } + 2 ^ { \nu + 2 \rho - \mu - 1 } ( 2 ^ { \mu - \rho } - \mu + \rho - 1 ) } \\ & { = } & { 3 \cdot 2 ^ { \nu - 1 } + 3 \cdot 2 ^ { \rho + \nu - 2 } - 2 ^ { \nu + 2 \rho - \mu - 1 } } \\ & { = } & { 3 \cdot 2 ^ { \nu - 1 } + 2 ^ { \rho - 1 } ( 3 \cdot 2 ^ { \nu - 1 } - 2 ^ { \nu + \rho - \mu } ) } \end{array}
\overline { { \mathcal K _ { \overline { { \mathcal Q _ { a } } } } } } ( t _ { \mathfrak u _ { 1 } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 } } , x _ { 0 } ) \mathcal K _ { \mathcal T _ { a } } ^ { * } ( t _ { \mathfrak u _ { 1 } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 } } , y _ { 0 } ) - \mathcal K _ { \mathcal Q _ { b } } ( t _ { \mathfrak u _ { 1 } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 } } , y _ { 0 } ) \overline { { \mathcal K _ { \overline { { \mathcal T _ { b } } } } } } ( t _ { \mathfrak u _ { 1 } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 } } , x _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \hat { h } ^ { \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { n } } } & { \to \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { j } ) _ { \nu } \hat { \mathcal { D } } ^ { \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j + 1 } \hdots \alpha _ { n } } \left[ \hat { \mathcal { H } } \right. , \left. \hat { Q } ^ { \nu \alpha _ { j } } \right] } \\ & { \equiv - \frac { i } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( q _ { j } ) _ { \nu } \partial _ { t } \hat { Q } ^ { \nu \alpha _ { j } ; \alpha _ { 1 } \hdots \alpha _ { j - 1 } \alpha _ { j + 1 } \hdots \alpha _ { n } } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p a i r } } = \frac { | \beta | ^ { 2 } } { \Delta T } = } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { N L } } P _ { P } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 } \int d \omega _ { 1 } \omega _ { 1 } ( 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } ) } \\ & { \times \left| \mathcal { J } ( \omega _ { 1 } , 2 \omega _ { P } - \omega _ { 1 } , \omega _ { P } , \omega _ { P } ) \right| ^ { 2 } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { i j } } & { { } ( \vec { x } , \vec { x } \, ^ { \prime } , z , \omega ) \equiv \left\langle E _ { i } \left( \vec { x } - \frac { \vec { x } \, ^ { \prime } } { 2 } , z , \omega \right) E _ { j } ^ { * } \left( ( \vec { x } + \frac { \vec { x } \, ^ { \prime } } { 2 } , z , \omega \right) \right\rangle , ~ i , j = X , Y } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { c o h } } ^ { \mathrm { e l } } ( \vec { Q } , \omega ) = } & { N \frac { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } { v _ { 0 } } \sum _ { \vec { \tau } } \delta ( \vec { Q } - \vec { \tau } ) \left| \sum _ { j } ^ { N } \overline { { b _ { j } } } \exp ( i \vec { Q } \cdot \vec { R _ { j } } ) \exp ( - W _ { j } ) ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q } & { = \frac { 3 \sqrt [ 6 ] { 2 } \zeta \left( 9 \zeta \left( 6 \zeta + \sqrt { 2 } \sqrt { r } \right) - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } \left( \sqrt { r } - 3 \sqrt { 2 } \zeta \right) } { 2 \left( 5 0 - 9 \zeta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 2 5 0 \ 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \zeta \left( 6 \zeta + \sqrt { 2 } \sqrt { r } \right) - 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 6 \left( 5 0 - 9 \zeta ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { + \frac { 1 } { 6 } \left( - \sqrt [ 3 ] { 2 } \sqrt [ 3 ] { 9 \zeta \left( 6 \zeta + \sqrt { 2 } \sqrt { r } \right) - 5 0 0 } + 4 \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal T } ^ { < a b > } \Big ( k _ { a } m _ { b } + k _ { b } m _ { a } \Big ) } & { = } & { 2 { \cal T } _ { 1 3 } ^ { \prime } \cos \phi _ { \xi } + 2 { \cal T } _ { 2 3 } ^ { \prime } \sin \phi _ { \xi } , } \\ { { \cal T } ^ { < a b > } k _ { a } k _ { b } } & { = } & { { \cal T } _ { 3 3 } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal G _ { \boldsymbol \theta } ( \mathbf { x } _ { i } ) ( \zeta ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { p } b r _ { j } \cdot t r _ { j } = \sum _ { j = 1 } ^ { p } b r _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ) \cdot t r _ { j } ( \zeta ) , } \end{array}
\left. u ( \sigma , \sigma ^ { \prime } ) v ( \sigma , \sigma ) \frac { \partial } { \partial \sigma } { \cal G } _ { s } ( \sigma , \sigma ^ { \prime } ) \right\} \frac { - 1 } { 2 \pi i } \frac { \partial } { \partial \sigma } \left\{ \frac 1 { 1 - e ^ { i ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) } } - \frac 1 { 1 - e ^ { - i ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) } } \right\} \, \, .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { A _ { 1 } ^ { m _ { 1 } } A _ { 2 } ^ { m _ { 2 } } \cdots A _ { n } ^ { m _ { n } } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \cdots \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigg ( \prod _ { i = 1 } ^ { n } d x _ { i } \bigg ) \delta \bigg ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } - 1 \bigg ) \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { m _ { i } - 1 } } { \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } A _ { i } \big ) ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \sigma } _ { \mathrm { L A } } ( \omega ) \! = \! \! \sum _ { k \in \mathbb { P } } \operatorname { R e } \! \left( \! \frac { 1 } { \omega _ { k } \Phi _ { 2 } \omega _ { k } ^ { + } } \! \! \right) \! \! \left( \! \frac { i \omega _ { k } ^ { + } } { \omega - \omega _ { k } ^ { + } } \! - \! \frac { ( i \omega _ { k } ^ { + } ) ^ { * } } { \omega - ( - \omega _ { k } ^ { + } ) ^ { * } } \! \! \right) . } \end{array}
, t h e n ( 2 ) a p p l y t h e o p e r a t o r R a s s p e c i f i e d a b o v e , a n d f i n a l l y ( 3 ) f l a t t e n t h e o u t p u t v e c t o r t o g o b a c k t o t h e o r i g i n a l
\Bigl ( \, { \frac { w ^ { \prime \prime } ( s ) } { 2 \, w ( s ) } } \, - \, { \frac { w ^ { \prime \prime } ( t ) } { 2 \, w ( t ) } } \, \Bigr ) \, w ( s + t ) ~ = ~ w ( s ) \, w ^ { \prime } ( t ) \, - \, w ^ { \prime } ( s ) \, w ( t ) ~ .
H \left( t \right) = \sqrt { \frac { 8 \pi } { 3 } } m _ { \phi } \frac { \phi _ { 0 } } { M _ { P l } } \left( \frac { a _ { 0 } } { a \left( t \right) } \right) ^ { 3 / 2 } \; \; \; , \; \; \; a > a _ { d o m } \; \; \; ,
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } R } & { = { R } _ { 0 } + \epsilon { R } _ { 1 } , \quad } & { V } & { = { V } _ { 0 } + \epsilon { V } _ { 1 } , \quad } & { P } & { = { P } _ { 0 } + \epsilon { P } _ { 1 } , } \\ { T } & { = { T } _ { 0 } + \epsilon { T } _ { 1 } , } & { Y } & { = { Y } _ { 0 } + \epsilon { Y } _ { 1 } , } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C ( r , \theta , r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) } & { = } & { { \frac { r ^ { \prime } ( r - r ^ { \prime } \; \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) ) } { r ^ { 2 } + r ^ { 2 } - 2 r r ^ { \prime } \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) } } , } \\ { D ( r , \theta , r ^ { \prime } , \theta ^ { \prime } ) } & { = } & { { \frac { r ^ { 2 } \, \sin ( \theta - \theta ^ { \prime } ) } { r ^ { 2 } + r ^ { 2 } - 2 r r ^ { \prime } \cos ( \theta - \theta ^ { \prime } ) } } . } \end{array}
\boxed { \mathrm { ~ C ~ L ~ S ~ D ~ E ~ I ~ M ~ : ~ } \qquad \boldsymbol { c } ( \boldsymbol { a } ) = ( P ^ { T } M ) ^ { - 1 } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) - \frac { \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } ( P ^ { T } M ) ^ { - 1 } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) } { ( \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } A ^ { - 1 } \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ) } A ^ { - 1 } \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) . }
\begin{array} { r l } { J ^ { m } ( | u | ^ { 2 p } u ) = \ } & { e ^ { i x ^ { 2 } / 4 t } ( 2 i t ) ^ { m } \partial _ { x } ^ { m } ( e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } | u | ^ { 2 p } u ) } \\ { = \ } & { e ^ { i x ^ { 2 } / 4 t } ( 2 i t ) ^ { m } \partial _ { x } ^ { m } ( | e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } u | ^ { 2 p } e ^ { - i x ^ { 2 } / 4 t } u ) } \\ { = \ } & { e ^ { i x ^ { 2 } / 4 t } ( 2 i t ) ^ { m } \partial _ { x } ^ { m } ( | w | ^ { 2 p } w ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { v } = \{ v ^ , H \} = \Pi ^ { v ^ { i } x ^ { i } } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \Pi ^ { v ^ { i } v ^ { j } } \frac { \partial H } { \partial v ^ { j } } = - \delta ^ { i j } \frac { \partial H } { \partial x ^ { j } } + \epsilon ^ { i j k } \frac { \partial H } { \partial v ^ { i } } = \frac { \partial \phi } { \partial x ^ { i } } + \epsilon ^ { i j k } v _ { j } B _ { k } } \end{array} .
\begin{array} { r l r } { { S } ( \mu ) } & { { } = } & { - \sum _ { p } \log ( \beta _ { p } - \mu ) - M \log \Big ( \sum _ { p } \frac { 1 } { \beta _ { p } - \mu } \Big ) } \\ { \frac { E ( \mu ) } { E _ { \mathrm { m i n } } } } & { { } = } & { \frac { \sum _ { p } \frac { \beta _ { p } } { \beta _ { p } - \mu } } { \sum _ { p } \frac { \beta _ { 0 } } { \beta _ { p } - \mu } } } \\ { \frac { T ( \mu ) } { E _ { \mathrm { m i n } } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \sum _ { p } \frac { \beta _ { 0 } } { \beta _ { p } - \mu } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v ( x , t , k ) : = \left( \begin{array} { l l } { 1 - | r ( k ) | ^ { 2 } } & { - \overline { { r ( k ) } } e ^ { - t \Phi ( \zeta , k ) } } \\ { r ( k ) e ^ { t \Phi ( \zeta , k ) } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \Phi ( \zeta , k ) : = 2 i ( \zeta k + 4 k ^ { 3 } ) , \qquad \zeta : = \frac { x } { t } . } \end{array}
\P _ { \frac { 3 } { 2 } } J ^ { i } G ^ { i 8 } \P _ { \frac { 3 } { 2 } } J ^ { j } G ^ { j 8 } \P _ { \frac { 3 } { 2 } } = { \frac { 1 5 } { 4 } } \P _ { \frac { 3 } { 2 } } G ^ { i 8 } \P _ { \frac { 3 } { 2 } } G ^ { i 8 } \P _ { \frac { 3 } { 2 } } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { s } _ { \ell } \left( g , \ensuremath { \mathbf { r } } , \tau \right) } & { = \frac { \boldsymbol { \alpha } _ { \ell } ( g ) \prod _ { p \in N ( v _ { \ell } ) } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } ( g ) } { \sum _ { h \in \mathbb { F } _ { q } } \boldsymbol { \alpha } _ { \ell } ( h ) \prod _ { p \in N ( v _ { \ell } ) } \boldsymbol { \mu } _ { c _ { p } \to v _ { \ell } } ( h ) } } \\ & { = \frac { \boldsymbol { \alpha } _ { \ell } ( g ) \boldsymbol { \mu } _ { v _ { \ell } \to c _ { 0 } } ( g ) } { \sum _ { h \in \mathbb { F } _ { q } } \boldsymbol { \alpha } _ { \ell } ( h ) \boldsymbol { \mu } _ { v _ { \ell } \to c _ { 0 } } ( h ) } . } \end{array}
A ^ { ( 1 ) } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } \mathrm { t r } ( T ^ { a _ { 1 } } T ^ { a _ { 2 } } T ^ { a _ { 3 } } T ^ { a _ { 4 } } ) { \frac { u ( \sin \pi { \frac { s } { 2 } } + \sin \pi { \frac { t } { 2 } } + \sin \pi { \frac { u } { 2 } } ) } { \Gamma ( { \frac { s } { 2 } } + 1 ) \Gamma ( { \frac { t } { 2 } } + 1 ) \Gamma ( { \frac { u } { 2 } } + 1 ) \sin ( \pi { \frac { s } { 2 } } ) \sin ( \pi { \frac { t } { 2 } } ) \sin ( \pi { \frac { u } { 2 } } ) } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \mathsf { E } [ U _ { i } ( t + 1 ) - U _ { i } ( t ) \mid Y ^ { t } = y ^ { t } , \theta = i ] \rho _ { i } ( y ^ { t } ) } & { \ge C - P _ { 0 } \log _ { 2 } \! \left( \! 1 \! - \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } \frac { \alpha \! + \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \right) \! - \! P _ { 1 } \log _ { 2 } \! \left( \! 1 \! + \alpha \frac { ( q \! - \! p ) ^ { 2 } } { 1 \! - \! \rho _ { \operatorname* { m i n } } } \right) } \\ & { \ge C - \log _ { 2 } \left( 1 - \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { \operatorname* { m i n } } } [ P _ { 0 } ( \alpha + \rho _ { \operatorname* { m i n } } ) - P _ { 1 } \alpha ] \right) \, . } \end{array}
Q ^ { + } ( f , f _ { \beta } ) = \int _ { \mathcal { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathcal { S } ^ { 2 } } \sigma ( | \vec { v } _ { r } | , \vec { \Omega } ) | \vec { v } _ { r } ^ { * } | f _ { \beta } ( \vec { v } ^ { * } { } ^ { \prime } ) f ( \vec { v } ^ { * } ) d \vec { v } ^ { * } d \vec { \Omega } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 0 } ^ { T } \| x _ { t } \| } & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \sum _ { t = t _ { j } } ^ { t _ { j + 1 } - 1 } \| x _ { t } \| } \\ & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \left[ \frac { \kappa } { 1 - \rho } \| x _ { t _ { j } } \| + \beta w _ { \operatorname* { m a x } } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } - 1 ) \right] } \\ & { \leq \frac { \kappa } { 1 - \rho } \sum _ { j = 0 } ^ { J - 1 } \| x _ { t _ { j } } \| + \beta w _ { \operatorname* { m a x } } T } \\ & { \leq \beta w _ { \operatorname* { m a x } } T + \frac { \kappa } { 1 - \rho } \left( \frac { 1 } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } \frac { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } ^ { \mathbb M + 1 } - 1 } { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } - 1 } ( \| x _ { 0 } \| + \frac { \alpha _ { 8 } } { \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } - 1 } ) + \frac { \beta w _ { \operatorname* { m a x } } } { 1 - \sqrt { \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } } } J \right) } \\ & { = \beta w _ { \operatorname* { m a x } } ( T + \alpha _ { 1 } J ) + \alpha _ { 2 } ( L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa ) ^ { \mathbb M } \| x _ { 0 } \| + \alpha _ { 3 } ( L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa ) ^ { \mathbb M } ( \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) } \end{array}
{ \frac { d N _ { \ell ^ { + } \ell ^ { - } } ^ { \mathrm { B o l t z } } } { d ^ { 4 } x \, d M ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 4 } } } \int d s \, \lambda ( s , m ^ { 2 } , m ^ { 2 } ) { \frac { K _ { 1 } ( \sqrt { s } / T ) } { ( \sqrt { s } / T ) } } { \frac { d \sigma _ { h h \ell ^ { + } \ell ^ { - } } } { d M ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { M _ { q } \left( \frac { q - 1 } { q + 1 } \right) } & { = x _ { \delta } \log _ { q } ( q - 1 ) - x _ { \delta } \log _ { q } x _ { \delta } - ( 1 - x _ { \delta } ) \log _ { q } ( 1 - x _ { \delta } ) } \\ & { \leq x _ { \delta } \log _ { q } ( q - 1 ) - x _ { \delta } \log _ { q } x _ { \delta } - \log _ { q } ( 1 - x _ { \delta } ) } \\ & { \leq x _ { \delta } \log _ { q } \left( \frac { q - 1 } { x _ { \delta } } \right) + 2 x _ { \delta } } \\ & { = - \frac { w ( q - 1 ) } { q ( q + 1 ) } \log _ { q } { w } + \frac { w ( q - 1 ) } { q ( q + 1 ) } \log _ { q } ( q ( q + 1 ) ) + 2 x _ { \delta } } \\ & { \leq \frac { 0 . 1 9 + 4 w } { q + 1 } } \\ & { < \frac { 1 } { q + 1 } . } \end{array}
\beta = g + \frac { 2 0 } { 3 } g \alpha ^ { 2 } - \frac { 2 1 m } { 2 \pi \Lambda } g ^ { 2 } \alpha + \frac { 1 6 1 m ^ { 2 } } { 1 2 \pi ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } g ^ { 3 } .
\frac { z _ { 2 } ^ { + } } { v _ { \mathrm { A } } } \sim \frac { z _ { 2 } ^ { - } } { v _ { \mathrm { A } } } \sim k _ { \perp } d _ { i } \frac { { z _ { 1 } ^ { + } } ^ { 2 } } { v _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { f } ^ { N } ( \mathbf { x } ) = \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { M } , | \mathbf { k } | \leq N } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { { [ - \pi , \pi ) ^ { M } } } \boldsymbol { f } ( \mathbf { t } ) e ^ { - i \mathbf { k } \mathbf { t } } \mathrm { d } { \mathbf { t } } \right) e ^ { i \mathbf { k } \mathbf { x } } , } \end{array}
\partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } d x = - \alpha \int _ { 0 } ^ { 1 } u u _ { x } d x \Rightarrow { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { t } | | u | | _ { 2 } ^ { 2 } = - \alpha { \frac { u ^ { 2 } } { 2 } } { \Big | } _ { 0 } ^ { 1 } = 0
\delta { \widetilde \varphi } = - \frac { \mathrm { e } ^ { \varphi _ { 0 } } \, ( m - \chi _ { 0 } \, n ) ^ { 2 } - \mathrm { e } ^ { - \varphi _ { 0 } } n ^ { 2 } } { 2 \, { \widetilde \Delta } _ { m , n } } \, \frac { { \widetilde Q } _ { 1 } } { r ^ { 6 } } ~ ~ ~ , ~ ~ ~ \delta { \widetilde \chi } = \frac { \mathrm { e } ^ { - \varphi _ { 0 } } \, ( m - \chi _ { 0 } \, n ) \, n } { { \widetilde \Delta } _ { m , n } } \, \frac { { \widetilde Q } _ { 1 } } { r ^ { 6 } } ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \varepsilon ( \omega ) = \varepsilon _ { \infty } - \frac { \omega _ { p 0 } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + i \omega \Gamma _ { 0 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { { \omega _ { i } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } - i \omega \Gamma _ { i } } } , } \end{array}