harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
| I _ { 3 } | \, \le \, C \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 3 / 2 } \bigl ( \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 1 / 2 } + \| \nabla \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 1 / 2 } \bigr ) \bigl ( \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } + \| \rho _ { \gamma } \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } + \| \nabla \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } \bigr ) \, \le \, C \| \tilde { \eta } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } D _ { \epsilon } [ \tilde { \eta } ] \, ,
\begin{array} { r l } { g _ { 0 } ( n ) } & { = - ( 1 + n ) ^ { 3 } ( 2 + n ) , } \\ { g _ { 1 } ( n ) } & { = ( 2 + n ) ^ { 2 } ( 5 4 + 4 0 n + 7 n ^ { 2 } ) , } \\ { g _ { 2 } ( n ) } & { = - ( 2 6 1 4 + 3 2 0 3 n + 1 4 4 9 n ^ { 2 } + 2 8 7 n ^ { 3 } + 2 1 n ^ { 4 } ) , } \\ { g _ { 3 } ( n ) } & { = 1 0 2 6 2 + 1 0 1 0 8 n + 3 6 8 6 n ^ { 2 } + 5 9 0 n ^ { 3 } + 3 5 n ^ { 4 } , } \\ { g _ { 4 } ( n ) } & { = - ( 4 + n ) ( 4 4 3 0 + 2 6 8 8 n + 5 3 5 n ^ { 2 } + 3 5 n ^ { 3 } ) , } \\ { g _ { 5 } ( n ) } & { = ( 4 + n ) ( 5 + n ) ( 7 3 8 + 2 5 1 n + 2 1 n ^ { 2 } ) , } \\ { g _ { 6 } ( n ) } & { = - ( 4 + n ) ( 5 + n ) ( 6 + n ) ( 4 8 + 7 n ) , } \\ { g _ { 7 } ( n ) } & { = ( n + 4 ) ( n + 5 ) ( n + 6 ) ( n + 7 ) . } \end{array}
\vec { E } _ { 1 } ^ { [ 0 ] } = \vec { E } _ { 1 b } ^ { [ 0 ] } = - k \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \frac { \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) } { R ^ { 2 } } \hat { R }
\begin{array} { r } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } \Big ( \! \left( ( 1 - \eta ) I + \eta \Sigma ^ { - 1 } \right) Z \left( ( 1 - \eta ) I + \eta \Sigma ^ { - 1 } \right) \! \Big ) \geq \big ( 1 - \eta + \eta \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ^ { - 1 } ( \Sigma ) \big ) ^ { 2 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( Z ) \geq ( 1 + \eta ) ^ { 2 } \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( Z ) . } \end{array}
H = \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \int d x \left[ \left| \left( \partial _ { x } + i { \frac { \lambda } { 2 } } \rho ^ { 2 } \right) \phi \right| ^ { 2 } - \frac { \lambda ^ { 2 } \xi } { 4 } ( \phi \phi ^ { * } ) ^ { 3 } \right] ,
\sum _ { a , b } \eta _ { a b } \vartheta \left[ \begin{array} { c } { { a } } \\ { { b } } \end{array} \right] \vartheta \left[ \begin{array} { c } { { a } } \\ { { b + v _ { 5 } } } \end{array} \right] \prod _ { r = 3 } ^ { 4 } \vartheta \left[ \begin{array} { c } { { a + \frac { 1 } { 2 } } } \\ { { b + v _ { r } } } \end{array} \right] = 0
\begin{array} { r l } { M _ { 2 } ( r _ { s } ) : = } & { 2 \big [ 2 \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 0 . 6 6 } ( r _ { s } ) - \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 0 } ( r _ { s } ) - \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 1 } ( r _ { s } ) \big ] \; , } \\ { M _ { 3 } ( r _ { s } ) : = } & { \frac { 4 0 } { 3 5 7 } \big [ 1 0 2 \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 0 . 6 6 } ( r _ { s } ) - 2 0 0 \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 0 . 3 4 } ( r _ { s } ) } \\ & { + 1 1 9 \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 1 } ( r _ { s } ) - 2 1 \epsilon _ { \mathrm { c } } ^ { 0 } ( r _ { s } ) \big ] \; , } \end{array}
\left[ \mathop { \mathcal { P } _ { \star } ^ { ( p ) } } \right] ^ { 2 } = \frac { \left( \rho _ { \zeta , p p } + \rho _ { \varepsilon , p p } \right) ^ { 2 } } { \left( \rho _ { \zeta , p p } + \rho _ { \varepsilon , p p } \right) ^ { 2 } + 4 \rho _ { s p } ^ { 2 } } \: .
\prod _ { l = 1 \rho } ^ { L } \overline { { \omega } } _ { - \rho _ { l } } ( \boldsymbol n _ { l } ) p _ { \mathrm { s s } } ( \boldsymbol n ) = \prod _ { l = 1 } ^ { L } \omega _ { } ( \boldsymbol n _ { l - 1 } ) p _ { \mathrm { s s } } ( \boldsymbol n _ { 0 } )
\begin{array} { r } { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } - F _ { t , h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert F _ { t , h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 1 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } = \widetilde { r } O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { p } { 2 r } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U } & { { } = } & { G M \Big \{ \frac { 1 } { r } + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial x ^ { < a _ { 1 } . . . } \partial x ^ { a _ { \ell } > } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} + { \cal O } ( c ^ { - 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | S _ { \alpha } ( G ) | ^ { p } } & { \leq \frac { 1 } { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \alpha } | G ^ { - 1 } ( u ) | ^ { p } \mathrm { d } u + \frac { 1 } { 1 - \alpha } \int _ { \alpha } ^ { 1 } | G ^ { - 1 } ( u ) | ^ { p } \mathrm { d } u } \\ & { \leq \Big ( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { 1 } { 1 - \alpha } \Big ) M _ { p } ^ { p } ( G ) } \end{array}
\langle \pi ^ { 0 } ( p ^ { \prime } ) \vert \, ( \bar { s } \, \gamma _ { \mu } u ) ( 0 ) \vert K ^ { + } ( p ) \rangle \; = \; \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \, \Big [ \, ( p + p ^ { \prime } ) _ { \mu } f _ { + } ( s ) + ( p - p ^ { \prime } ) _ { \mu } f _ { - } ( s ) \, \Big ] \, ,
\begin{array} { r l r } & { \{ \mathbf { e } _ { i } \} } & { = { \left\{ \mathbf { e } _ { 0 } , \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { e } _ { 3 } , \mathbf { e } _ { 4 } \right\} } } \\ & { } & { = \frac { \Delta x } { \Delta t } \left\{ \begin{array} { r r r r r } { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \{ \mathrm { w } _ { i } \} } & { = { \left\{ \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 6 } , \frac { 1 } { 6 } , \frac { 1 } { 6 } , \frac { 1 } { 6 } \right\} } } \end{array}
\frac { d } { d t } { \mathcal P } \hat { \rho } _ { I } ( t ) \approx - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } { \mathcal P } { \mathcal L } _ { c , I } ( t ) { \mathcal L } _ { c , I } ( \tau ) { \mathcal P } \hat { \rho } _ { I } ( t ) ,
\begin{array} { r l } { b _ { k + 1 } - b _ { k } } & { = p ^ { - k - 1 } \log \left( C _ { 2 } r _ { 2 } ( \alpha ) \frac { p ^ { k } - 1 } { p - 1 } \right) } \\ & { \le p ^ { - k - 1 } \left( \log \left( \frac { C _ { 2 } r _ { 2 } ( \alpha ) } { p - 1 } \right) + \log p ^ { k } \right) } \\ & { \le p ^ { - k - 1 } \left( C k + \log C r _ { 2 } ( \alpha ) \right) . } \end{array}
\Lambda ( x ^ { 5 } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { \Lambda _ { e } \; , } } & { { | x ^ { 5 } | \ge l } } \\ { { \Lambda _ { i } \; , } } & { { | x ^ { 5 } | < l } } \end{array} \right. = - \frac { 1 } { 1 2 M ^ { 3 } } \left\{ \begin{array} { c c } { { ( T _ { 1 } + T _ { 2 } ) ^ { 2 } \; , } } & { { | x ^ { 5 } | \ge l } } \\ { { ( T _ { 1 } - T _ { 2 } ) ^ { 2 } \; , } } & { { | x ^ { 5 } | < l } } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r } { \langle ( \cdots ) \lvert \delta \phi _ { s } \rvert _ { s } \rangle _ { s } \equiv \lvert A _ { n _ { s } } \rvert ^ { 2 } \left( \int _ { \infty } ^ { \infty } d z _ { s } \lvert \Phi _ { s } ( z _ { s } ) \rvert ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } \int _ { \infty } ^ { \infty } d z _ { s } ( \cdots ) \lvert \Phi _ { s } ( z _ { s } ) \rvert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left( \sum _ { j \in \Omega _ { i } ^ { B } } m _ { i j } ( t ) - e _ { i } ( t ) \right) = 0 , \forall i , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \left( \eta _ { \mathrm { c } } c _ { i } ( t ) - \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { d } } } d _ { i } ( t ) \right) = 0 , \forall i . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { x } _ { ( 1 , i - 1 ) } = } & { { } p _ { ( 1 , i - 1 ) \to ( 0 , i - 1 ) } \tilde { x } _ { ( 0 , i - 1 ) } + p _ { ( 1 , i - 1 ) \to ( 0 , i - 2 ) } \tilde { x } _ { ( 0 , i - 2 ) } + p _ { ( 1 , i - 1 ) \to ( 1 , i ) } \tilde { x } _ { ( 1 , i ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , y , t ) = } & { - \bar { f } \, x \, \mathrm { t a n } \left( \bar { f } \, t \right) - \bar { \tau } \, y \, \mathrm { t a n } \left( \bar { f } \, t \right) , } \\ { v ( x , y , t ) = } & { - \bar { f } \, x - \bar { \tau } \, y , } \\ { h ( x , y , t ) = } & { \tilde { h } _ { 0 } ( 0 ) \mathrm { e } ^ { \bar { \tau } \, t } \sec \left( \bar { f } \, t \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { \beta } h } { \partial x ^ { \beta } } } & { = \epsilon ^ { \beta + 1 } \frac { R F } { 1 5 } \frac { \partial ^ { \beta } \phi } { \partial \xi ^ { \beta } } , } \\ { \frac { \partial h } { \partial t } } & { = - \frac { \epsilon ^ { 2 } R F ^ { 2 } } { 1 5 } \frac { \partial \phi } { \partial \xi } + \frac { \epsilon ^ { 5 } W R F ^ { 2 } } { 1 8 0 } \frac { \partial \phi } { \partial \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q \widetilde { P } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } - \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) \right) \widetilde { G } _ { r } } & { = 0 \, , } \\ { - \, \frac { \partial \widetilde { P } } { \partial z } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } - \left( q ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \right) \right) \widetilde { G } _ { z } } & { = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z } & { = \int D [ \bar { b } , b ] \exp \bigg \{ - \sum _ { \omega } \bar { \Phi } _ { \omega } \mathcal { G } _ { \omega } ^ { - 1 } \Phi _ { \omega } \bigg \} } \\ & { = \prod _ { \omega } \int d \bar { \Phi } _ { \omega } \, d \Phi _ { \omega } \exp [ - \bar { \Phi } _ { \omega } \mathcal { G } _ { \omega } ^ { - 1 } \Phi _ { \omega } ] } \end{array}
- x \frac { \partial f ( x , q _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } ) } { \partial x } = \frac { \alpha _ { s } N _ { \mathrm { c } } } { \pi } q _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d q _ { 1 \mathrm { T } } ^ { 2 } } { q _ { 1 \mathrm { T } } ^ { 2 } } \bigg [ \frac { f ( x , q _ { 1 \mathrm { T } } ^ { 2 } ) - f ( x , q _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } ) } { | q _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } - q _ { 1 \mathrm { T } } ^ { 2 } | } + \frac { f ( x , q _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } ) } { \sqrt { q _ { \mathrm { T } } ^ { 4 } + 4 q _ { 1 \mathrm { T } } ^ { 4 } } } \bigg ] .
\phi _ { \mathrm { i n } } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) = \arg \left[ \sum _ { \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } } \Tilde { \psi } _ { \mathrm { C L A S S } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } ) \Tilde { R } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( n ) \ast } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \right] .
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { \partial \Omega } \Big ( E ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \Sigma } ) + ( - 1 ) ^ { n } \langle d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \Big ) \wedge \frac { \delta \tilde { \mathcal { G } } } { \delta \phi _ { \partial } } , } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { x x } } \\ { \varepsilon _ { y y } } \\ { 2 \varepsilon _ { x y } } \end{array} \right] } \, = \, { \left[ \begin{array} { l l l } { { \frac { 1 } { E _ { x } } } } & { - { \frac { \nu _ { y x } } { E _ { y } } } } & { 0 } \\ { - { \frac { \nu _ { x y } } { E _ { x } } } } & { { \frac { 1 } { E _ { y } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 1 } { G _ { x y } } } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { \sigma _ { x x } } \\ { \sigma _ { y y } } \\ { \sigma _ { x y } } \end{array} \right] } \, .
\frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { p _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { N - 1 } } \\ { p _ { N } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { I } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { I } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { I } \\ { - \alpha _ { 0 } I } & { - \alpha _ { 1 } I } & { \cdots } & { - \alpha _ { N - 2 } I } & { - \alpha _ { N - 1 } I } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { p _ { 1 } } \\ { p _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { N - 1 } } \\ { p _ { N } } \end{array} \right] .
\left. \frac { \partial \langle n _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( u ) \rangle } { \partial u } \right\vert _ { u \rightarrow 0 ^ { + } } = \langle n _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \prime } ( 0 ) \rangle = \langle n _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( 0 ) \rangle + \frac { 1 } { \ensuremath { N _ { \mathrm { ~ e ~ } } } } \int \mathrm { ~ d ~ } \ensuremath { \mathbf { r } } \, n ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) .
\left\langle { \frac { d G } { d t } } \right\rangle _ { \tau } = { \frac { 1 } { \tau } } \int _ { 0 } ^ { \tau } { \frac { d G } { d t } } \, d t = { \frac { 1 } { \tau } } \int _ { G ( 0 ) } ^ { G ( \tau ) } \, d G = { \frac { G ( \tau ) - G ( 0 ) } { \tau } } ,
\mathcal { R } _ { 1 } ( { * } \mathrm { d } { * } F ) = \mathcal { R } _ { 1 } \frac { J ^ { \flat } } { c } \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { - { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { E } = \frac { k } { \alpha } \rho } \\ { - L _ { e _ { 0 } } \mathscr { E } - { \boldsymbol { * } } \mathbf { d } { \boldsymbol { * } } \mathscr { B } = - \frac { k } { \alpha } \frac { \boldsymbol { J ^ { \flat } } } { c } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \rho + \ensuremath { \nabla } \cdot ( \rho \ensuremath { \boldsymbol } { u } ) = 0 , } \\ { \partial _ { t } \ensuremath { \boldsymbol } { u } + \ensuremath { \boldsymbol } { u } \cdot \ensuremath { \nabla } \ensuremath { \boldsymbol } { u } = - \frac { 1 } { \rho } \ensuremath { \nabla } P + \ensuremath { \boldsymbol } { g } + \frac { 1 } { \rho } \ensuremath { \nabla } \cdot \ensuremath { \boldsymbol } { \overline { { \Pi } } } , } \\ { \partial _ { t } s + \ensuremath { \boldsymbol } { u } \cdot \ensuremath { \nabla } s = \frac { 1 } { \rho T } ( \ensuremath { \nabla } \cdot ( k \ensuremath { \nabla } T ) + \rho \epsilon + \Phi ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = } & { \frac { 1 } { 2 } \! - \! \frac { 1 } { 4 } \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \frac { d \varphi } { 2 \pi } \! \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \frac { d \varphi ^ { \prime } } { 2 \pi } \! \left\{ e ^ { - i \left[ \Phi _ { A } ( \varphi ) - \Phi _ { B } ( - \varphi ) + \Phi _ { B } ( \varphi ^ { \prime } ) - \Phi _ { A } ( - \varphi ^ { \prime } ) \right] } \right. } \\ & { \left. + e ^ { - i \left[ \Phi _ { A } ( - \varphi ) - \Phi _ { B } ( \varphi ) + \Phi _ { B } ( - \varphi ^ { \prime } ) - \Phi _ { A } ( \varphi ^ { \prime } ) \right] } \right\} } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { m \varphi _ { 0 } } { \pi } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \left\langle ^ { t } P ( D _ { f } ) , \phi \right\rangle } & { = \sum _ { \alpha } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } \int _ { U } \phi ( x ) ( \partial ^ { \alpha } ( c _ { \alpha } f ) ) ( x ) \, d x } & & { { \mathrm { A s ~ s h o w n ~ a b o v e } } } \\ & { = \int _ { U } \phi ( x ) \sum _ { \alpha } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } ( \partial ^ { \alpha } ( c _ { \alpha } f ) ) ( x ) \, d x } \\ & { = \int _ { U } \phi ( x ) \sum _ { \alpha } \left[ \sum _ { \gamma \leq \alpha } { \binom { \alpha } { \gamma } } ( \partial ^ { \gamma } c _ { \alpha } ) ( x ) ( \partial ^ { \alpha - \gamma } f ) ( x ) \right] \, d x } & & { { \mathrm { L e i b n i z ~ r u l e } } } \\ & { = \int _ { U } \phi ( x ) \left[ \sum _ { \alpha } \sum _ { \gamma \leq \alpha } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } { \binom { \alpha } { \gamma } } ( \partial ^ { \gamma } c _ { \alpha } ) ( x ) ( \partial ^ { \alpha - \gamma } f ) ( x ) \right] \, d x } \\ & { = \int _ { U } \phi ( x ) \left[ \sum _ { \alpha } \left[ \sum _ { \beta \geq \alpha } ( - 1 ) ^ { | \beta | } { \binom { \beta } { \alpha } } \left( \partial ^ { \beta - \alpha } c _ { \beta } \right) ( x ) \right] ( \partial ^ { \alpha } f ) ( x ) \right] \, d x } & & { { \mathrm { G r o u p i n g ~ t e r m s ~ b y ~ d e r i v a t i v e s ~ o f ~ } } f } \\ & { = \int _ { U } \phi ( x ) \left[ \sum _ { \alpha } b _ { \alpha } ( x ) ( \partial ^ { \alpha } f ) ( x ) \right] \, d x } & & { b _ { \alpha } : = \sum _ { \beta \geq \alpha } ( - 1 ) ^ { | \beta | } { \binom { \beta } { \alpha } } \partial ^ { \beta - \alpha } c _ { \beta } } \\ & { = \left\langle \left( \sum _ { \alpha } b _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } \right) ( f ) , \phi \right\rangle } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } = \ } & { \int ^ { x _ { e } } \phi ( \epsilon \phi _ { x x } - a \phi _ { x } ) d x + \Big [ \big ( \delta \phi \big ) \big ( B \phi \big ) + \frac { 1 } { 2 } \dot { x } _ { e } \phi ^ { 2 } \Big ] _ { x = x _ { e } } } \\ { = \ } & { - \epsilon \| \phi _ { x } \| ^ { 2 } + \Big [ \big ( \delta \phi \big ) \big ( B \phi \big ) + \epsilon \phi \phi _ { x } + \frac { 1 } { 2 } \big ( \dot { x } _ { e } - a \big ) \phi ^ { 2 } \Big ] _ { x = x _ { e } } , } \end{array}
\langle \O _ { \Delta } ( x ) \O _ { \Delta _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) \cdots \O _ { \Delta _ { n } } ( x _ { n } ) \rangle = A ( \Delta , \Delta _ { i } ; N ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { ( x - x _ { i } ) ^ { 2 \Delta _ { i } } } }
\| \nabla \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \| \rho \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } + \| \eta _ { 3 } \| _ { \mathcal { X } _ { \epsilon } } ^ { 2 } \, \le \, 2 C _ { 8 } Q _ { \epsilon } [ \eta _ { 3 } ] + C \bigl ( \tilde { \mu } _ { 0 } ^ { 2 } + \tilde { \mu } _ { 1 } ^ { 2 } + \tilde { \mu } _ { 2 } ^ { 2 } \bigr ) \, .
\widehat { \textbf { m } } \cdot \widetilde { ( \textbf { u } \phi ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \widehat { \textbf { m } } \cdot \textbf { u } _ { n } ^ { - } \phi _ { n } ^ { - } \enspace \mathrm { i n } \enspace \Omega _ { n } ^ { - } } \\ { \widehat { \textbf { m } } \cdot \textbf { u } _ { n } ^ { + } \phi _ { n } ^ { + } \enspace \mathrm { i n } \enspace \Omega _ { n } ^ { + } } \end{array} \right. \enspace \mathrm { a n d } \enspace \widehat { \textbf { m } } \cdot \widehat { ( \textbf { u } \phi ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \widehat { \textbf { m } } \cdot \textbf { u } ^ { - } \{ \! \! \{ \phi \} \! \! \} - c [ \! [ \phi ] \! ] \enspace \mathrm { i n } \enspace \Omega _ { n } ^ { - } } \\ { \widehat { \textbf { m } } \cdot \textbf { u } ^ { + } \{ \! \! \{ \phi \} \! \! \} - c [ \! [ \phi ] \! ] \enspace \mathrm { i n } \enspace \Omega _ { n } ^ { + } } \end{array} \right.
\left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } - \boldsymbol { \Sigma } _ { t } \right\| _ { \mathrm { H S } } \leq \left\| \widetilde { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } - \widehat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } \right\| _ { \mathrm { H S } } + \left\| \widehat { \boldsymbol { \Sigma } } _ { t } - \boldsymbol { \Sigma } _ { t } \right\| _ { \mathrm { H S } } .
{ \frac { \zeta ^ { \prime } ( { \hat { \alpha } } , x _ { \operatorname* { m i n } } ) } { \zeta ( { \hat { \alpha } } , x _ { \operatorname* { m i n } } ) } } = - { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \ln { \frac { x _ { i } } { x _ { \operatorname* { m i n } } } }
\begin{array} { r l } { \left| \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } \tilde { l } ^ { 1 } ( z ) \right| } & { = \left| \frac { d ^ { 2 } } { d z ^ { 2 } } \tilde { l } ^ { \infty } ( z ) \right| } \\ { \left| \frac { e ^ { z } } { ( e ^ { z } + 1 ) ^ { 2 } } \right| } & { = \left| \frac { e ^ { z } ( e ^ { z } - 1 ) } { ( e ^ { z } + 1 ) ^ { 3 } } \right| } \\ { e ^ { z } } & { = \left| \frac { e ^ { z } ( e ^ { z } - 1 ) } { e ^ { z } + 1 } \right| , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { S _ { i j } ^ { m } = \frac { 1 } { 2 } [ ( \rho u _ { i } ) _ { , j } + ( \rho u _ { j } ) _ { , i } ] } \\ { S _ { i j } ^ { \tau } = \frac { 1 } { 2 } [ \tau _ { i k , k j } + \tau _ { j k , k i } ] } \\ { S _ { i j } ^ { M } = \frac { 1 } { 2 } [ ( \rho u _ { i } ) _ { , k } u _ { k , j } + ( \rho u _ { j } ) _ { , k } u _ { k , i } ] } \\ { S _ { i j } ^ { \Theta } = \frac { 1 } { 2 } [ ( \rho \Theta u _ { i } ) _ { , j } + ( \rho \Theta u _ { j } ) _ { , i } ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { \partial { \mathcal { R } } } { \partial \bar { u } _ { - } } \right] = } & { - i ( 1 + \phi ^ { \prime \prime } ) \bar { u } + \left( ( \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 2 | \bar { u } | ^ { 2 } - \phi ^ { \prime \prime } \right) v _ { s } - ( v _ { s } ) ^ { 2 } \bar { u } ^ { * } - ( \bar { u } ) ^ { 2 } v _ { s } ^ { * } , } \end{array}
\widetilde { \omega } _ { h } - \widetilde { \omega } _ { L } \approx \omega _ { h } - \omega _ { L } + \frac { ( p - 1 ) } { 2 p } \, \omega _ { p } ^ { 2 } \, \frac { c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + 4 \omega _ { p } ^ { 2 } } } - \frac { 1 } { 2 \, \sqrt { \omega _ { c } ^ { 2 } + \omega _ { p } ^ { 2 } } } \right] \, .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { C _ { X } = } & { X _ { A 0 } + X _ { A 1 } \cos ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) + X _ { A 3 } \cos 3 ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) } \\ & { + X _ { A 5 } \cos 5 ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) } \\ { C _ { Y } = } & { Y _ { A 1 } \sin ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) + Y _ { A 3 } \sin 3 ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) } \\ & { + Y _ { A 5 } \sin 5 ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) } \\ { C _ { N } = } & { N _ { A 1 } \sin ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) + N _ { A 2 } \sin 2 ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) } \\ & { + N _ { A 3 } \sin 3 ( 2 \pi - \gamma _ { A } ) \enspace . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \ell } ( X ) } & { = \{ \chi \in \Psi _ { \ell } : \mathrm { c o n d } ( \chi ) \leq X \} } \\ { \Psi _ { \ell } ^ { \mathrm { t o t } } ( X ) } & { = \{ \chi \in \Psi _ { \ell } ^ { \mathrm { t o t } } : \mathrm { c o n d } ( \chi ) \leq X \} } \\ { \Psi _ { \ell } ^ { \prime } ( X ) } & { = \{ \chi \in \Psi _ { \ell } ^ { \prime } : \mathrm { c o n d } ( \chi ) \leq X \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { { S _ { 1 1 } ^ { q } = \frac { 4 e ^ { 2 } } { h } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E ( T f _ { 1 } ( 1 - f _ { 1 } ) + T f _ { 2 } ( 1 - f _ { 2 } ) } } \\ { { + T ( 1 - T ) ( f _ { 1 } - f _ { 2 } ) ^ { 2 } ) } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = d x _ { 1 } ^ { 2 } + d x _ { 2 } ^ { 2 } + d x _ { 3 } ^ { 2 } = d \theta ^ { 2 } + a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } = e ^ { \varphi } | d z | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { E } } & { { } = 4 \pi \rho } \\ { \nabla \times \mathbf { B } } & { { } = \frac { 1 } { c } \frac { \partial \mathbf { E } } { \partial t } + \frac { 4 \pi } { c } \textbf { J } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { z } ^ { \prime } } & { = E ^ { 2 } ( \chi _ { z x x } ^ { \prime } \sin ^ { 2 } \theta + \chi _ { z z z } ^ { \prime } \cos ^ { 2 } \theta + \chi _ { x z x } ^ { \prime } \sin 2 \theta ) , } \\ { P _ { x } ^ { \prime } } & { = E ^ { 2 } ( \chi _ { x x x } ^ { \prime } \sin ^ { 2 } \theta + \chi _ { x z z } ^ { \prime } \cos ^ { 2 } \theta + \chi _ { x z x } ^ { \prime } \sin 2 \theta ) , } \\ { P _ { y } ^ { \prime } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< { \hat { X } _ { + } ^ { 2 } } ( \Delta \omega , \phi ) \right> } & { { } = \left< { \hat { I } _ { X , + } ^ { 2 } } ( \Delta \omega , \phi ) \right> - \frac { N _ { e , \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ } } + N _ { o , \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ } } } { 2 } , } \\ { \left< { \hat { P } _ { - } ^ { 2 } } ( \Delta \omega , \phi ) \right> } & { { } = \left< { \hat { I } _ { P , - } ^ { 2 } } ( \Delta \omega , \phi ) \right> - \frac { N _ { e , \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ } } + N _ { o , \mathrm { ~ a ~ d ~ d ~ } } } { 2 } . } \end{array}